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DICTIONNAIRE

DES SCIENCES

MATHÉMATIQUES.

IHPRIMERIE DE C.-J. DE MAT.

DICTIONNAIRE

DES SCIENCES

PURES ET APPLIQUÉES.

PAR UNE SOCIÉTÉ

D'ANCIENS ÉLÈVES DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE.
SOUS LA DIRECTION DE

A.-S, DE MONTFERRIER,

MEMBRE DE L'ANCIENNE SOCIÉTÉ ROYALE ACADÉMIQUE DES SCIENCES DE PARIS, DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE MARSEILLE,
DE CELLE DE METZ, ETC., ETC.

TOME SECOND.

BRUXELLES,

A LA LIBRAIRIE CLASSIQUE ET MATHÉMATIQUE »'Azex. DE MAT.

RUE DE LA BATTERIE, N° 24.

F1 DOCO XXXVIEIS,

D”,

-
* Î
Re 2 és à

DICTIONNAIRE

DES

SCIENCES MATHÉMATIQUES

PURES ET APPLIQUÉES.

F.

FABRI (Le PÈre Hoxoné), religieux de l’ordre des
jésuites, fut un géomètre distingué du XVII siècle.
a publié divers ouvrages qui ne sont point exempts d’er-
reurs, notamment un ouvrage sur la cycloïde, où les
principaux problèmes proposés par Pascal sous le pseu-
donyme de 4. Dettonville, sont éludés ; un écrit sur la
mécanique et les lois du mouvement, et un mémoire
dans lequel il s’est vainement efforcé de contredire
l'explication donnée par Huygens du phénomène que
présente l’anneau de Saturne; mais il est juste d’ajouter
que ce géomètre s’empressa de reconnaitre le peu de
fondement de sa critique et de rendre hommage à son
illustre adversaire. Le nom du Père Fabri ne figurerait
pas dans ce Dictionnaire s’il ne rappelait une impor-
tante décision de l’église relativement au système de
Copernic, décision qui a été l’objet des plus violentes
et des plus injustes critiques. Ce savant religieux était
grand pénitencier de Rome à l'époque où la découverte
du véritable système du monde excita à la fois l'attention
des géomètres et les craintes exagérées de quelques
hommes pieux, qui crurent y voir une contradiction ma-
nifeste avec divers passages des saintes écritures

Ce fut dans le but de maintenir le respect dû à ces
livres sur lesquels reposent les fondemens de la foi et
dont le vulgaire ne peut comprendre que la lettre, et
ensuite dans d’autres vues qui ne peuvent être exposées
ici, mais qui n’ont rien d’hostile à la science, que l'é-

glise dut maintenir une décision qui lui a été si injus-
tement reprochée. Mais le père Fabri déclara que cette
décision ne pouvait avoir d'autorité qu’autant qu’il ne
serait donné aucune démonstration scientifique du mou-
vement dela terre. Ainsi l’église s’associait réellement au
contraire au véritable progrès de la science, tout enpre-
nantses précautions contre des hypothèses moins fondées
que celle de Copernic.Au surplus cettequestion était réso-
lue d'avance par les Pères de l’église, qui, lisant pour ainsi
dire au travers dessiècles, avaient deviné le mouvement
ascendant de l'intelligence humaine et fait une sage
distinction entre les vérités morales et les vérités scien-
tifiques qui ne sont point du domaine de la révélation et
de la conscience.

FABRICIUS (Davin), pasteur d’un village de la Ost-
Frise, a été un de ces observateurs qui ont tant contribué
dans le XVII° siècle aux progrès de l’astronomie. L’il-
lustre Kepler cite avec éloge ses observations sur la pla-
nète de Mars et les idées qu’il avança sur la théorie de
la Lune. David Fabricius découvrit en 1596 l'étoile
changeante du col de la Baleine, et c’est surtout à cause
de cette observation importante que son nom a du
prendre place dans les fastes de l’astronomie. Il a égale-
ment observé la comète de 1607. Son fils Jean suivit la
même carrière scientifique et on lui attribue l'honneur
des premières découvertes faites au moyen du télescope.
Le premier, il reconnut les taches du soleil et décrivit

6 FA

les révolutions de cet astre. Ses droits à la priorité de

ces belles découvertes sont incontestablemeut établis
dans l’ouvrage intitulé : De maculis in sole visis et
eorum cum sole revolutione narratio , in-4° , qui parut
à Wittemberg au mois de juin 1611: mais hâtons-nous
de dire que cet hommage, que nous rendons ici aux
travaux maintenant oubliés de Jean Fabricius, ne peut

diminuer en rien la gloire de Galilée.

FACE (Géom.). On désigne sous ce nom les plans
qui composent la surface d’un polyèdre : ainsi les faces
d’un cube sont les six carrés qui le limitent.

La face sur laquelle on suppose le solide appuyé
prend le nom de base. Chacune des faces peut être prise

pour la base.

FACETTE (Gcom.). Diminutif de face. On emploie
cette expression lorsque les plans du polyèdre sont très-
petits. Les verres qui multiplient l'image d’un objet sont

taillés à facettes.

FACTEUR (44g.). Nombre qui entre dans la com-
position d’un autre par voie de multiplication. Par
exemple, 12 étant considéré comme le résultat de la
multiplication de 3 par 4, 3 et 4 sont dits les facteurs
de 12.

En général a, b, ce, d, etc., seront les facteurs de M,

si l’on a
a.b,c.d.etc. = M.

Les facteurs d’un nombre se nomment aussi ses di-
viseurs, parce qu'il est évident qu'un nombre est exac-
tement divisible par chacun de ses facteurs,

La recherche des facteurs d’un nombre ou la décom-
position d’un nombre en ses facteurs est un objet très-
important dans l’arithmétique et dans l'algèbre. Lorsqu'il
s’agit des nombres entiers on sait que :

1° Tout nombre pair est divisible par 2.

5

2° Tout nombre dont le chiffre des unités est o ou
est divisible par 5; il est divisible en même temps par 2
et par 5, ou par 10, dans le premier cas.

3°. Tout nombre dont la somme des chiffres est un
multiple de 3 est divisible par 3.

4° Tout nombre dont la somme des chiffres est un
multiple de 9 est divisible par 9.

5° Tout nombre dont la somme deschiffres des rangs
impairs, est égale à la somme des chifires des rangs
pairs, ou n'en diffère que d'un multiple de 11, est di-
visible par 17.

Ces propriétés éminemmentsimples se trouvent démon-
trées dans tous les ouvrages élémentaires. Appliquons-les
à la recherche des facteurs de 12870.

. D'abord, ce nombre est divisible par 2 et par 5
puisqu'il est pair et que son premier chiffre est o. Opé-

FA

rant ces divisions nous aurons 12870 = 1287 X 5X 2.
Maintenant en prenant la somme des chiffres de 1287,
Savoir :1+2+8+7—18, nous voyons que cette
somme est un multiple de 9, et nous en concluons que
1287 est divisible par 9. En effet 1297=143X9, et par
conséquent 12870—143X9X5X 2. Le facteur 143 n’é-
tant divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, comparons
la somme de ses chiffres de rangs impairs avec celle de
ses chiffres de rangs pairs, nous trouverons (3+1)—4=0, :
C’est-à- dire que 143 est divisible par 1 1. Nous aurons
effectivement 143=13X 11, et par suite

12870 — 13X11XOX5X2,
ou

13 IIX SX EX

12870 —

à cause de 9=3X3. Or, le plus grand facteur 13 étant
un nombre premier, n’est plus décomposable, et nous
conclurons que les facteurs premiers de 12870 sont 2,
3,0, 11 ét 19.

Lorsqu'il entre, dans la composition d’un nombre,
des facteurs autres que 2,3, 5,gou 11, leur recherche
présente alors des difficultés telles qu’à l'exception de
quelques cas particuliers on est forcé d'essayer successi-
vement si parmi les nombres premiers plus petits que
le proposé il s’en trouve qui puissent le diviser exacte-
ment. Ces derniers sont alors ses facteurs, C’est ainsi,
par exemple, que pour découvrir les facteurs de 18661 ne
il faut essayer successivement tous les nombres premiers
depuis 1 jusqu'a 431, car ce nombre est formé par le
produit des deux nombres premiers 181 et 1031, Quant
aux règles particulières qu'on donne pour les facteurs 7,
13, 17, etc. , il est encore plus prompt d’essayer immé-
diatement la division que de les employer.

Facteur ÉLÉMENTAIRE. Nom donné par M. Wronski,
dans sa Philosophie des Mathématiques, au facteur idéal
1 + w !, dontlapuissanceinfiniment grande (4e)

Le-]
donne la génération d'un nombre quelconque n.

Si nous supposons que l’exposant 72 de la puissance am

ee ; 1
croïsse d’une quantité indéfiniment petite + nous

aurons

mt

Le
un Ka

et la quantité TA le facteur élémentaire de a”, car
ce n’est évidemment qu’à l’aide de ce facteur idéal que
nous pouvons concevoir une continuité indéfinie dans
la génération de la quantité a”. Continuité indéfinie
que réclame la raison pour que le troisième mode de
construction des nombres (v0y. ALGÈBRE, 19)

ATEC

FA

soit universellement possibie. (Voyez PuiLosoPniE DES
MATHÉMATIQUES.)

Mais d’après la théorie des logarithmes (voy. ce mot)
nous avons, en désignant par log &, le logarithme na-
turel de 4,

1

log a = © (a® —1),

ce qui nous donne.
2 ï
a°=1+#log a —
Hloga—,

9 T +
ainsi, la quantité 1 + log a est le facteur élémen-

taire de la puissance a”.
Nous verrons ailleurs l'extrême importance de ces
facteurs, Foy. FacuLtÉs et SOMMATOIRE.

FACTORIELLE (4/g.). Produit dont les facteurs
sont en progression arithmétique.

Vandermondea considéré le premier (voy. Mémoires
de l'Académie des Sciences , 1772, première partie) les

produits de la forme

ada—1) (a—2) (a—3).....,.(a—(m—1)

illes a nommés puissances du second ordre et les a dé-
signés par la notation

[a}”

conservee par Lacroix dans son grand traité du calcul
différentiel. Suivant cette notation on a

[ar=a
[a F = aç(a—i)
La = a(a—1) (a—2)

etc. etc.

Après avoir examiné les propriétés principales de ces
fonctions nouvelles, Vandermonde en a tiré plusieurs
conséquences remarquables et entre autres cette belle
expression de la circon férence du cercle

V/a=

dont nous avons donné ailleurs une déduction. Voyez
Cercre, 33.

Depuis, Kramp a généralisé l'usage de ces fonctions
en les appliquant à toutes les fonctions circulaires et à
la détermination des intégrales des ordres supérieurs
(voy. Analyse des réfractions astronomiques). \eur
avait donné d’abord le nom de Jaculies numériques,
mas ensuite Arbogast , dans son traité des dérivations ,

FA 7

les ayant désignées sous celui de factorielles, Krawp a
cru devoir adopter cette dernière dénomination dans
son -{rithmétique universelle.

Nous désignerons donc, d’après ces géomètres, per
le nom de factorielle un produit de la forme

a(a+r) (a4-2r) (a+4-3r) .... (a4-(m—i)r),

l'accroissement r étant positif ou négatif, et nous con-
serverons la notation de Kramp qui est

amlr

de sorie que nous avons

alr— a

ar — a(a+-r)

air — a(a+-r\a-ar)

air — a(a+-r)(a+2r)!a+3r)

etc. etc.

air = a(a4-n(a-2r) ...(a4{m—i)r)

Dernièrement enfin, M. Wronski a donné un nou-
veau degré d'importance à ces fonctions, en les consi-
dérant sous un point de vue entièrement nouveau et en
substituant aux facteurs à, (a+r), (a+-2r) etc., une Fonc-
tion arbitraire de ces mêmes facteurs. Généralisées ainsi,
ces nouvelles fonctions forment une des parties les plus

importantes de la scieuce des nombres;elles seront traitées

dans ce dictionnaire au mot FACULTES'ALGORITHMIQUES,
nom adopté par le savant auteur de la Philosophie des
mathématiques. Nous ne nous occuperons ici que des

Jactorielles simples ou élémentaires, dont nous avons

donné ci-dessus la construction, et qui peuvent être en-
visagées comme un cas particulier des facultés algo-
rithmiques.

1. Dans le produit
a(a+-r) (a+2r)
ou, ce qui est Ja même chose dans la factorielle,
anir

le premier terme a se nomme la base; la différence r,
l'accroissement ; et le nombre 72 des facteurs, l'exposant.
2. On peut aussi exprimer ce même produit par

(a+ (m—3)rynl-r

eu prenant le dernier terme pour le premier et en con-

sidérant l'accroissement r comme négatif. On a donc

am (a4-(m—i)r}rir

8 FA

Par la même raison, la factorielle à accroissement né-
gatif

an|—1

qui désigne le produit
a(a—r\a—2r)...... (a—(m—:1)r)
peut se mettre sous la forme

(a—(m—i)nmir

3. La factorielle à exposant binome am+nlr est équi-
valente au produit des deux factorielles monomes a»,
(a+mryir, ou bien encore à celui des deux factorielles
anr, (a-nrymir, C'est-à-dire qu’on a

amtnlr = am|r(at-mr)nir
= arlr(a+nrnlr
Eu effet
amir(aÆmrhir = fatatn. ; (a-Hm—1))] Le
(a+-mr\a4{m+4i)r).(a4{m4n—i)r) |
= a(a+r\atr).. .(a{mtn-nr

= qam+nir

et de même pour le second produit.
4. La factorielle am—rir, peut aussi se décomposer en

arnir

car cette factorielle exprime le produit des m facteurs
a(a+r\a-tar)...…...(a{m—i}r)
diminué ou plutôt divisé par les z facteurs
(a-Hm—n)rKa-Hm=nt}n.… (am)
ou par la factorielle
(a+{m—n)rrir.
5. Si dans l’identité précédente

an-n|r — pre
(aHKm--n)r}ir

on fait n—n, on obtient

mir
ar — -—- —
anir
ainsi la factorielle à exposant zéro est, comme la simple
puissance, égale à l'unité.

FA

6. En faisant m—0, dans la même identité, elle de
vient

a—nir — te.
(a—nr)ir

égalité qui détermine l’idée qu’on doit attacher aux
factorielles à exposans négatifs.

7- On voit aisément qu’en faisant l’accroissement r
égal à zéro, les factorielles se réduisent à de simples
puissances et que les propriétés que nous venons de dé-
duire, sont alors en effet celles des puissances. (Foy.
ALcèere, 23, 24, 25). A l’aide de cette considération on
pourrait conclure, par analogie, que toutes les relations
précédentes démontrées pour le cas des exposans en-
tiers subsistent encore lorsque ces exposans sont des
nombres fractionnaires, ce qui a lieu effectivement;
mais comme c’est en étendant ainsi, par analogie, au
cas de l’exposant quelconque, des décompositions qui ne
peuvent s'effectuer généralement, que Kramp est tombé
dans des contradictions mathématiques capables de lui
faire mettre en doute les premiers principes de la science,
nous nous réservons de démontrer rigoureusement ces
propriétés fondamentales des factorielles , à l’article Fa-
CULTÉS où nous considèrerons ces fonctions dans toute
leur généralité.

8. De toutes les propriétés des factorielles, la plus re-
marquable est qu’on peut, à l’aide de simples transfor-
mations, leur donner des bases ou des accroissemens
quelconques. C’est ce qui résulte du théorème suivant:

La factorielle a" peut se décomposer en deux facteurs
dont l’un est la simple puissance æ et l’autre la facto-

tr

m
rielle 1 |

; qui a pour base l’unité. C'est-à-dire qu’on a

(La
m' =
anir = am, 1 la

car, en divisant successivement les facteurs

a, ar, a+or, etc... a+(m—i)r

de la factorielle proposée, par la base a, ils deviennent

et la factorielle elle-même peut se mettre sous la forme

ax ax (: +T)ax(ital)…
axX(1+(m-1T)

ou en réunissant les 2 facteurs a,

am X 1 ( + 2) (+22) É (+ 0m) 7)

FA

ce qui se réduit en dernier lieu à

9. En multipliant chaque facteur de la factorielle
générale am, par une même quantité quelconque c, on
obtient encore une autre transformation importante :
en effet la factorielle devient

ac (ac + cr)(ac + cr)... (ac + (m—x) cr)

ou
(ac}riler

mais, comme multiplier chaque facteur par € revient à
multiplier le produit des » facteurs par €”, on a donc

aussi

cm, amlr — (ac}rler

10. Ceci posé, on peut toujours transformer la facto-
rielle al" en une autre dont la base soit une quantité
quelconque b, car d’après (8) nous avons

mi
ar — ani la
d’où
F
mir 2
ami EE 18
an nn

multipliant les deux nombres de cette égalité pour b”,
elle devient
bn ml”
\4

an anir — bmx

mais en vertu de (9) nous avons

PALET AI
bn, 1 la 14
et, par conséquent,
n
an | Fe
— T—
bn° ar =D
on a donc définitivement, en divisant par le facteur
bn
am?
mt br
anr — dx m à
an

11. D’après les mêmes principes on peut aussi trans-
former la factorielle al" en une autre dont l’accroisse-
ment soit une quantité quelconque 3. Car d’après ce qui
vient d’être démontré

: AN)
air — rm,
r

Tour 11,

FA 9

or, de cette égalité on tire

anr PANLLE
ET = (©)

ct, en mullüipliant de part et d'autre par 2

zm PANCAE az NZ
—, an — qu, à (ee
ana Tr r
rm az miz
an — — ss
EUR t r

12. Une factorielle dont l’exposaut est un nombre
pair ne change pas de valeur lorsqu'on change les signes
de sa base et de son. accroissement et l’on a générale-

ment, 22 désignant un nombre pair quelconque,

2n|[ Er on[ Er

(Ha) — (a)

Car les facteurs du premier membre de cette égalité étant

+ (Ha), + (Han), + (Hakor), + (Hak3r), etc.

si l’on change en même temps les signes de la base et de

l'accroissement ils deviennent
+ (Fo), + (rar), + (Fair), + (Far), etc.
ou

— (Ha), — (Hakr), — (Hakor), — (Has), etc.

c’est-à-dire, les mêmes que dans le premier cas mais tous
négatifs. Donc, puisque le nombre de ces facteurs est
pair, le produit des derniers aura le même signe que le
produit des premiers et comme de plus ces produits

sont les mêmes, on a nécessairement

2 nr 2 Er

(£a) = (a)
sil’exposant était un nombre impair 2n+4 1, ontrouverait
avecla même facilité

: +
En er (Fa

AE Er

ainsi les factorielles se comportent à cet égard comme les
simples puissances.

13. En remarquant, d'après (9), que la factorielle
(—a)"i-" peut se décomposer en (—1}". a et que
d’après (8)

mi
—1)", a" V — (—1)", œ", 1

\

15

FA

on peut eu conclure que (4)

40

-
nl

(— a}! —T — (—a". NO La

à cause de (—a. am = (—a)", Mais cette décompo-
sition, qui est rigoureusement exacte lorsque #2 est un
nombre entier, n’a pas lieu généralement, ou pour toutes
les valeurs de cet exposant : c'est ce que M. Wronski a
démontré dans son introduction à la philosophie des ma-
thématiques , en remontant aux principes supérieurs de
la génération des quantités, et il a donné ainsi la solu-
tion des résultats étranges que Kramp avait obtenus en
adméttarit faussément la généralité de cette expres-
sion (4).

14. Comme il ést très-facile de démontrer que toutes
les transformatiotis précédentes ont encore lieu pour le
cas del’exposant entier négatif, nous nenous y arrêterens
pas davantage, et nous procèderons à la déduction des
lois principales des factorielles.

Théorème. Une factorielle quelconque ar peut

toujours se développer en une série .

A + Ar HA, Asr L Ari —L etc.

procédant par puissances progressives de l’accroisse-
ment 7.

Pour démontrer ce théorème dans le cas de l’exposant
m entier et positif, et pour trouver la loi des cocfficiens
A5, Ar, À,, etc., il ne faut que considérer la formation
du produit de plusieurs binomes dontles seconds termes
seuls sont différens; or on sait (7’oy. MurripricaTion)
aue le produit des 7»? binomes

(x—+a) (æ+0) (&+c) 4 (24m)

est égal à

œmL Ban—-iE Bixn—ib etc... . Br

B, étant égal à la somme des seconds termes des binomes,
B, à la somme de leurs produits de deux à deux, B:àla
somme de leurs produits de trois à trois, et ainsi de suite.
Mais dans le cas des factorielles les seconds termes des
binomes étant

O7, ARTS eo scies e (=)

leur somme ou
LA LE ‘5712 ln 1
orH1r+-ur tr... ma)
peut'se mettre sous la forme

(01234... H(m—i))r, où (mir

en désignant par (m/1), la somme des nombres naturels
0, 1,2, 3, lc... I,

FA

La somme des produits de deux à deux de ces se-
conds termes peut aussi prendre la forme

(1 Xo+1X2#2X 3H etc … .) r°, ou (mL2)r?

(ml), désignant la somme des produits de deux à deux
dés nombres naturels 6, 1, 2, 3, etc... mm—1 :

En général, la somme des produits de # à p des se-
conds termes des facteurs de là factorielle pourra s’ex-
primer par (1u) r#, (mu) désignant lasomme des pro-
duits # à # des nombres naturels o, 1,9, 3... r2—1.

Ainsi, observant que pour passer du développement
du produit des »2 binomés à celui de la factorielle ar,

il ne faut que substituer a à x et les quantités
(nli}r, (n12}r°, (mlT3)r, (mI4)ri, été.

aux coefficiens B;, B:, B,, ctc.; nous aurous définitive-
ment (a)

ane = @n+{m entr L(mnlo)an-2r ete: : +
(mem rar 1

le dernier terme B,, du développement du produit des
mn binomes étant ici zéro à cause du facteur zéro qui s'y
trouve, le développement de la factorielle s'arrête au
terme (z21m—31)arr-x,

Il ne nous reste plus à connaître que la loi qui lie les
coefficiens (7/1), (m1), etc. pour pouvoir les évaluer
däns chaque cas particulier, Or, nous avons (3)

(aHmrnr, ani = arr, (anr)rlr
faisant dans cette égalité 2=1, elle devient
(ar), an = a(a+r}"ir

ct les développemens des deux nombres de cette der-
nière doivent être identiques.

Pour obtenir le développement du premier membre,
ilest visible qu'il faut multiplier par (ar) celui de
am; opérant cette multiplication ôn aura

(a-mr)anir = am+iE(m+(mD)anr
+-(m(mli)+(mD))an-1ir+ etc.
On obtiendra le développement du second meme

en substituant d’abord a+r, à la place de & dans l’ex-
pression générale (a) et en multipliant ensuite par a.

L'expression (a) devient par cette substitution

(anmlr — (arm {ml 1)(a+-rn—ir
—+{nP)\atr}n—2r+ etc.

et l’on trouve, en développant les binomes (a4-r)",

FA

(a+r}n—: {voy. Brno), et en multipliant le tout par 4,

LL PARERENR ete

alt} = ertitment PA

+ Gali)arr + ph pan + etc...
+ (mlojan-ir L etc...

ainsi ce développement devant être identique avec celui
de (a—-mr) amr, nous aurons la suite d’egalités,

m + (ml) = m+ (ml)

m (ms) #- Me = er mp (m—1)(mis)+(ml2)
(m— —2
m (m13) + hs — a +
_— (m1) +(m—2)(ml2)4(m13)
etc. = etc.

La première de ces égalités est une simple identité ;
retranchaut des deux membres de la seconde le terme
commun (”112), nous en tirerons ensuite (b)

m(m—1)

1.2

(mli)=

opérant de même pour les égalités suivantes, nous ob-
tiendrons (b)

nt} (n— = 2) Any e Un
3(n13)— sind (m1) +
(m—1)(m— fr 3) m(m— Dina)(ne)
12:83 —? (n Dos 1.2,3.4
etc. = etc,

formules dont la loi est évidente ct à l’aide desquelles on
peut calculer les coefficiens du développement d’une
factorielle quelconque. Un exemple suffira pour ensei-
gner leur emploi; soit a°}, la factorielle dont on de-
mande le développement : faisant mi==5 dans les expres-
sions (b), nousaurons

(mali) pa = 0
nu
: 5.4.3
2(mP2)=— ., 10 + n&S = #0
3. 43e 1423.
Sm8= ET LES 310 + - nie —190
PE OL 150 SLI TO 4 :3.9%3
(rm HALE FU EC LE CRETE NT Ji
5.4:3:2.1
RTE EE ef 4
6
5(m15)= 0. Ne 0, ee + 0. Le + 06, 10 +0

FA 41

Tous les autres coefficiensse réduisant à zéro, le déve-
loppement démandé n’a que les cinq termes suivaus :

an5— a5ioair+-35ar+5oar+ofar

15. Lorsque l'exposant de la factorielle ar est un
nombre entier négatif, son développement prend un
nombre indéfini de termes et les coefficiens (m1),
(mL), etc., qui se composaient des sommes des produits
combinées des nombres naturels 1, 2, 3, etc., devien-
nent les différences des puissances de ces mêmes nom-
bres. On peut encore trouver facilement la loi de dé-

veloppement, car nous avons (6)

T
a—mir —

7 (a—mr) pr r
ou

V1
(arr

a=mir =
à cause de (707. n. 2),
(a—mryrir = (ape

on a donc aussi

I 1 ï I
re Q'S DO ar mn
a—3r a—mr

anir —

ar a—2r

développant chaque facteur en particulier au moyen du
binome de Newton nous aurons

(a—r)-1 = a-i+a-trta ir +a-ir+ etc.
(a—or)1 = ai +oa-r#a-3r +8a- hr; + etc.
(a—3r) = a-143a—trLoa-%r +aqa—hr+ etc.
et en général

(a=mr)=1 == aimer cr4néarÿrnarhr4 etc.

et le produit de tous ces développemens, qui doit don-
ner celui de gr est nécessairement de la forme

a-m+A,a-m—ir 4 À ar À ;a-m—3r À etc.

‘ lenombre des termes étant indéfini. Or, cette expres-

sion est, à l'exception des coefficiens dont la loi ne nous

est point encore connue, ce que devient le développe-

ment de &#}" en y substituant —m à la place de m.
Pour trouver la loi des coefficieus {11), (ma), etc.,

nous sommes partis en premier lieu de l'égalité
(amrir. ar = arr, (a+-nr)"ir

mais cette égalité subsiste encore lorsqueyz et x sont né-

12 FA

gatüfs (voy. FacuLrés 17).Ainsi faisant m——m et n=—1
nous aurons aussi

(a—mr)a-nr — a(a+r)-mnir

opérant comme nous l’avons fait ci-dessus, nous obtien-
drons pour les coefficiens Ar, A,, A3 etc. les valeurs sui-
vantes :

m(m+1)
de,

CDS) à

1.2

(m+2)(mn23) De
1-2

m(m+-1)(m+-2)
CET ON

C4 3) (rm 1)(m+) (m- i-H3) à

CE
1.2.9

À, +
(+ I Xm+2)(m+3)

122921

(m+3)mt4) | _ (a4+2)(#43) (+4)

1.2 N. Mia

(n+1)(m+2) (m+3)m+1 D à

1.934

mm) m+2)\m+3\m+44)

142-9440

AVES A, +

eiC, etc.

valeurs identiques avec celles qu’on obtiendrait en fai-
sant 72 négatif dans les expressions (b). Ainsi le déve-
loppement

ar = am (mnan-1r{mDanm-2r
+ (n13)an-Sr+ etc. .

dans lequel les coefficiens sont donnés par les expres-
sions (b) se trouve démontré pour toutes les valeurs
entières positives et négatives de l’exposant 7.

On pourrait par d’autres considérations analogues
démontrer la généralité de cette loi pour les valeurs
fractionnaires ou autres, de l’exposant 2; mais nous
nous contenterons ici d'admettre par induction cette gé-
néralité, renvoyant à l’article Facurrés la construction
de l'idée qu’on doit attacher aux factorielles à exposant
fractionnaires, ou aux factorielles irrationnelles.

16. Pour terminer l’exposition de la théorie des fac-
torielles il nous resterait à exposer le théorème fonda-
mental de ces fonctions, savoir que la factorielle à base
binome

(a+-b}n 7
a pour développement l'expression

ml)

a] lLma” birE ES

m(m—1)(rm—92)
—— 1" 7 qm—3lrbäir .
AA) 2e rrigte

HRAUr,

an—2\rha r +

FA

formule dont le binome de Newton n’est qu’un cas par-
ticulier, celui où l’on a r—o ; mais nous en avons déjà
donné, au mot BiNomE, une démonstration nouvelle, et
de plus nous l’avons déduit d’une loi plus générale (voy.
Cosrriciens INpÉ TERMINÉS IT); de sorte qu'il se trouve
démontré , dans ce dictionnaire, dela manière la plus
rigoureuse pour toutes les valeurs de l’exposant "2 en-
tières ou fractionnaires, positives ou négatives. Nous
renverrons donc aux articles cités; comme aussi nous
renverrons au mot Facurrés pour la déduction du Fac-
TEUR ÉLÉMENTAIRE, (v0y. ce mot) de la factorielle géné-
rale am, C’est par la considération extrêmement im-
portante de ce facteur, que M. Wronski a donné le clef
des contradictions mathématiques trouvées par Kramp
et dont nous avons parlé ci-dessus (7 et 13).

FACULES (astr.). Points du disque solaire plus bril-
lans que le reste, dont lPapparition précède quelque-
fois celle des taches. Foy. Soceir.

FACULTÉS ALGORITHMIQUES (Æ4{g.). Mode
universel de génération des quantités à l’aide de facteurs

liés entre eux par une loi.

1. Soit dx une fonction quelconque de la variable x,
et soit ? l'accroissement de la variable, nous nommerons

Jaculté algorithmique, la fonction (a)
GX UE Ë

qui exprime le produit des 72 facteurs (b)

px. o(xHE).0(x +28). .....p{xt{m—i)é)

en prévenant une fois pour toutes que l’exposant »7 se
rapporte à la fonction gx et non à la variable x.

2. Lorsque la fonction x est simplement x, la fa-
culté devient

am 2(x HE) (x to) x 435). ..(xH(m—1)2)

c'est-à-dire une factorielle (voy. ce mot). Les factorielles
sont doncle cas le plus particulier des facultés.

3. il résulte évidemment de cette construction que
si l’on prend le dernier facteur de (b) savoir

pE-Hm1)8)

pour base de la faculté, il faudra considérer l’accroisse-
ment £ comme négatif et que le produit (b) pourra
s'exprimer encore par

pat (n—r)é)e +;

de sorte qu’on a généralement l’identité

pent = ge-{m—r)Epni

FA

4. On a encore par construction

game = qu. pla} — quite q(aaë je
— pris. g(x +38) 5 — qxélip(a 48) 4e
— etc. j
et en général (c)
pari — paré, D(x+-né)e—nlE

n étant plus petit que 71.
Faisant dans cette expression #—n#—p, d'où m—n+p,
et substituant on a(d)

pantré — pari, p(xHnérE
5, L'expression (c) donne encore

pxilé

= —————

se (a+ né)

px"ls

et, par conséquent, en faisant comme ci-dessus »2—n—p,
d’où »—m—p, on a (e)

A SRERES E"
pet (m—pléyi

pan—plé —

6. En faisant »—p, dans l'expression (e) elle devient

qpxmE

OÙE => 1 —
pxmlé

ainsi les facultés sont, comme lespuissances, égales à
l'unité lorsque l’exposant est zero.

J- L'expression (e) donne encore l’idée qu’il faut at-
tacher aux facultés à exposans négatifs, car en y faisant
m=—0 elle devient (f)

ie rad APRES
PP a pEPr

les expressions (d)(e) et (f°) dans le cas degx=x, se ré-
duisent à celles que nous avons données pour les facto-
rielles aux numéros 3, 5 et6.

8. En vertu de l’expression (d), on a généralément,

ga tn — pans, p(x+mele
ainsi faisant 7'—n—-p, on aura aussi

pan tntplé — paomnié, p(xHmé)utpie
== qi, gértmelnt. g(ut(mn)8)p't

on trouverait de même

qaorrtut-p+-glé = pænlé, p(xtme)ne. g(æ+(m+n)£)rE.
X(x-Hni-tnp)é)7

et ainsi de suite pour un nombre quelconque d’exposans,
Or, si l’on fait

M=n=p=q—= etc.

FA 15
on aura, en désignant par # le nombre de ces quan-
tités, (g)

gene — pamit, gfeHn£}n, o(at-amé)"é....
(Hume)

mais l'accroissement devant toujours être appliqué à la
variable, on a évidemment, 4x étant une fonction quel-
conque de x,

our ë, dan Ë — (px. dr) 5

puisque le premier membre de cette égalité désigne le
produit

{ex pré). .e(e-Hm—1)#)| X
pr.q(x-+t). Yet (m—1)#) |

et que lesecond désigne le produit identique

(ox. Var fox +E). dx +6)... (g{x + (m—1)6).
dix (m—1)é))

d’après cette considération l'expression (g) devient
premé = joxo(x mé)... .p{(x4(u—r)mé) Pré
et comme la quantité renfermée entre les accolades est
égale à ox2l"#, on a définitivement (4)
prime — (xml)
ou bien encore
gum = (gain
à cause de la propriété générale
(pxPE)q — (pxIË)p £

qui résulte immédiatement de la construction de ces
fonctions,

9. Si nous exprimons par x la faculté 9x7 nous
aurons l'égalité

d’où

en désignant par le radical VA cause de l’analogic des
facultés et des puissances) l'opération qu’il faut exécuter
sur la faculté 4: pour remonter à sa base ox ; opération
que nous pouvons nommer extraction des bases des
facultés.

44 FA

D'après cette notation nous avons

mi 7

\/r2" 5 = pr

10. En appliquant les considérations précédentes à
l'égalité (2), elle fournit

u'mË

POMlE — pymlE
\/#0 E— ox

re : n
ainsi faisant mn, d'où m=—=—, nous aurons (2)
EL

be —— |, nl
h LE
QUE — px"

et la base pourra être extraite exactement tant que
g sera facteur de 7. Dans tous les autres cas la quantité

1 le
paf sera une quantité érrationnelle d’un ordre supé-
rieur. L'expression (:) nous montre l’idée qu’il faut at-
tacher aux facultés à exposans fractionnaires.

11. 1lest faciie de voirque le produit de deux facultés
radicales de même exposant et de même accroissement

donne l'identité

ml£,__ - ml£ m\f _
\/# \/4= dr,
car en faisant
mé ,__ mie,
\/r— x N/ 4 — Z,
on tire
dx — Xnt ; dx — Znlt ;
d’où (8)

px. dx — Xnr, Zn — (X.Z)"E,
et par conséquent
mlé 2 mess (me
\/#. Yx=X.Z= ra / Ve
12. On trouverait de la même manière

UM = Ve]

et plus généralement

Ve Vel

13. Si dans l'égalité

ceci posé, faisons

nl£ m\z

V” Vex|= ae
nous en tirerons

es ÈS fr

Mais en vertu de l'expression (4) (numéro 8 nous
avons, en faisant £ — m3,

ES Sir

d’où

nm\|sz

ox = Xrnmis,et 0x x

nous avons donc aussi

n\mz

W

mn|z

[Ve] V?x

égalité qu'en vertu de l'expression (2) on peut encore
écrire

en se servant d’exposans fractionnaires,

, Fr
Or, en faisant m2 —= r, nous aurons 727 — et cette

dernière expression deviendra

[=

laquelle résulte immédiatement de l'expression (4)

1 1 .
(u° 8) en y substituant et à la place de #2 et ». Ainsi
cette expression a lieu encore dans le cas des exposans

1 Le
fractionnaires » et

Par des procédés semblables on démontreraitles iden-
tités plus générales (72)

FA

14. Si dans la première de ces égalités on fait m2 =1,

elle devient

et son premier membre exprime le produit
P| P Pl,
E £ PL
CEA (re +78) (ele 6e

P|,
LI
|
atoPe)
4
on peut donc le mettre sous là forme
P| le, =
— 1€ n—Ni-E JE
gx! Jec-+Pe) % Ÿ
q
qui se réduit, en vertu des expressions mémés dont
nous sommes partis, à
PB
A cri
gx" .qfet+fn 7 0,
q
de sorte que nous avons l'égalité

ne Pl, | pla—1) le
eu Mg tit) 7

LAC) PT

4

Tr .
= D + 1, nous aurons définitivement

L 4 5 r f
Si, dans cette dernière; nous faisons : d'ou

prete pl, AE
ga? — qu RE +"

Ainsi la proposition du numéro 4
Qué = Qt. o(xtns)pié,

se trouye démontrée pour toute valeur positive entière
et fractionnaire des deux termes de l’exposant binome.
15. On prouvera de la même manière que

FA 15
9 V1 Ë . P
d’où l’on tire en faisant ! — 0
mt a
Le e
n|
FN rue,
M, nl°
L— —Ÿ
Par)

expression qui donne la signification des facultés à ex-
posans fractionnaires négatifs.

16. Les propriétés générales que nous venous de dé:
moutrer pour les exposans entiers et fractionnaires po-
sitifs peuvent s'étendre par analogie aux exposans néga-
tifs, mais si l’on veut en obtenir la déduction directe on
peut avoir recours à des transformations très-faciles
dont nous allons donner un exemple.

m étant un nombre entier ou fractionnaire, nous
avons (7 et 15)

x =
PCe my

° ed —

et, conséquemunent, ? étant aussi un nombre eutier ou
fräctionnaire nous 4vons énicore

o x Uni -asun. ne A

? (x—(m né" 71

mais d'après 4 et 14

2—(mn}}rtné pu (m dns. o(x nt)"
? LT JTE s OÙ

donc
I

g—(n+n)|i— = — —
? Pix —{(nin, Enr, pa —n:)"}

or

I

Q(T—nË)E PE

I —m\#
Far + (PTE)

donc en substituant , on aura encore
Qa—m—n Ë — px" Ep(x—nËé)-mi

et de cette manière la proposition du numéro 4 se
trouve démontrée pour toutes les valeurs des deux
termes de l’exposant binome.

C’est en opérant d’une manière analogue qu’on peut
s'assurer que toutes les propriétés des facultés exposées
danslesnuméros précédens subsistent quels que soient les
exposans entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs.

17. Procédons maintenant à la déduction de la loi
fondamentale des facultés.

Si nous désignons par Log. gx, le logarithme na-

turel de la fonction 8æ, nous aurons évidemment

Log /@xn)=log. x-log.g (æx+-E) +... ...
—Hlog.p(æ+{rn—1)#)

16 FA
et nous obtiendrons, en développant les termes du se-
cond membre de cette égaiité par la formule de Taylor,

< ‘2 d’'ognressl =
(Voy. DirréReNTiEL, 34) la suite d'expressions

log. gx — log. gx.
ee 2e d’log. pr
log.p(x+#) — log. gz+ T dz* ‘1.2
+ etc.
re gx, d log.gx px 4£°
log.p(ax+2ê)=log: gx 2 Ë Tr, de — ‘1.2
— etc.

d lo L d log.? gx OË?
log.p(x+3#) ÿ—log. Ten ET : RATE 7

dx? 1.2
etc. etc. - etc.
dlo
dog. oem 1)à) — logige + Em)
+TTE es ë + etc.

1.2

Ainsi désignant par
M{m), la somme des nombres 0,1,2,3,4, etc. jusqu’à
m—1, par M m), la somme des secondes puissances de

ces mêmes nombres et en général par
Mr la somme de leurs puissances #, ou

oinon tant gr etc. .....
Nous aurons, en additionnant,
— m log. gx + M(m) nn: z

GE log. ox z
dx? ‘1.2

Log. (ox

+ etc.

+ M(m,
ou simplement

| z2 3
Log.(pen) — A HAE, as À ete

en faisant pour abréger (mn)

A, — m log. 9x

£ d'log. ox

! A —M(mn) ru
Mn, ELLE
vR Pr px
A3—=M{ni)s. —

LC. —7CLC:

Or, e étant la base des logarithmes naturels, on a gé-
néralement
e log: X — X,
ainsi

TACAANE + As SET etc,

gant i— e

LA

FA

Si nous désiguons donc maintenant par f'£ l’exposant
de e et par F£ la puissance elle-même ou la faculté
?x"1*, NOUS aurons

FE — ef

Mais F2 étant considérée comme une fonction de la
variable £, son développement d’après la formule de

Maclaurin (Voy. DirrÉrentieL, 36) est

dF ? EE 220 td'.Bte
FE E ET Æ reste

le point placé sur Z indiquant la valeur zéro qu'il
faut donner à cette variable après les différentiations.
Faisant donc

Ni—Fi
NT
Ne Te
N:— LE
efc: = EiG

nous aurons pour le développement de F£ ou de
px"E l'expression (7)
em N EN. N. En _. + etc.
et il ne nous reste plus à trouver que la loi des coeffi-
ciens, c’est-à-dire la loi des différentielles successives
de la fonction F£,
Or de
Fée

nous tirons, en différentiant (Voy. DiFrÉrENTIEL, 32)
dEÉd(efr)— est dfé FE. dft;

nous aurons donc, en vertu de la loi fondamentale
du calcul différentiel (Foy DIFFÉRENTIEL, 27)

dFë —FE.dfé

DFE—dF£.dfé +F£é.d'fé

DFE DFE.dfé + 24FE.d'fE + FE. df.

diFé— dFE.dfé + 3dFE.d'f54+ 3dFE.d'fE

+ FAdifE
etc. — etc.

Ainsi divisant par dè,dë’,dë,etc., et faisant ä—0
après les différentiations, nous trouverons pour les coef-
ficiens N,, N,, N,, etc., les expressions

No —#%?

dfe
N, =N, dE

dfi fi
RENTE NÉE

FA

dfé. fi dif
N,=N,. dE + 2N,. de EN
4 d d
ND +3 ND +3 NÉE
dif
HN
etc:—=elc

La détermination des valeurs des différentielles suc-
cessives de j'£, se faitsans aucune difficulté ; car puisque

ous avons

JE—As+A,EZ +AË a Fa — etc.

nous obtiendrons successivement, en différentiant les
deux membres de cette égalité et en faisant £ — 0 après
chaque différentiation,

et en général

Si nous remarquons en outre que lorsque
£=0,ona Fi gx

nous aurons définitivement, en substituant dans les
expressions (7) toutes ces valeurs, ou plutôt celles de
À,, À, etc., données ci-dessus sous la marque (2), les
expressions finales (p).

N, = gam
N,=N,. Mn), (O9),

N, = N,. M(m).. (ES) Fe N.M(m).( © cs æ)

2

NN. Mn). (SELS) an (ER
dlog.px
+ Ns. M(m),. RE)
et en gén éral

No = No: M{m. CE?)

dx
«Mi, (— log. D)

FA 17
PEN #2 d log
+ < Nos. M{m)s. RE)
G—1 w—9 pus , di, log. gx
+- one No, Min), Sd #)

+ etc.

Cette belle loi du développement des facultés est
due à M. Wronski, qui l’a donnée, sans démonstration,
dans la première note de sa Acfüutation de la théorie
des fonctions analytiques. A suffit de se rappeler que
toutes les propriétés des facultés ont généralement lieu,
quels que soient les exposans entiers ou fractionnaires,
pour pouvoir conclure qu'il en est nécessairement de
même de leur loi fondamentale.

Nous verrons plus loin comment on évalue dans tous
les cas les quantités M{m),, M{m),, etc.

19. Daus Ie cas où la fonction gx est simplement x,
c'est-à-dire, lorsque la faculté peut être considérée
comme une simple factorielle, on peut, en partant des
relations connues

(ml) = M{m),

2(ml2) = Mn), . (mi) — M(m),

3(n13) — M{mn), .{nl2) —M{n),.(ml1)+Mim),

Ga) = Mn), (13) — Mn.) (me) +
+ Min). (nl) —M(m),
etc. —etc.
qui existent entre les sommes de puissances M{/), et les
sommes de produits (z2/n), réduire les expressions (p),
en (9)
re

N, = Mn),.æm-i = (mli).xm—1

Gnlr).M{n), — Mn), | am—2 1. {nm o)an-s

à
Doi

N,=9 ! {ml2)Mn), — (na) M(m), + Min); | xm—3

=1.2.3 (mJ8)2

etc.— etc.
et, en général,

Nom 09 a (lu). : CHE

nous aurons donc, dans ce cas particulier,

(4)

DE = JE (mr). am—1£ (m2). am—3gs D
— (m13).xm-385 LE etc.

et tel est en effet le développement que nous avons
trouvé pour les factorielles. Foy. FAGTORIELLE, 14.
19. Il uous reste à déduire de la loi fondamentale des

3

15 FA
facultés, le facteur élémentaire (voy. ce mot) de ces
fonctions. Or en considérant p comme une quantité in-

finiment petite ?, l'expression (d), n° 4, devient

nl£

1

p(x né)
L. 1g :

et la quantité 9(xn£) * est évidemment le facteur élé-
mentaire de la faculté 9x5. Dans le cas des factorielles

on a

2 Tolé — ne (xHnépl

4
ainsi (nb
rielle générale xr£. Il suffit donc d'appliquer à ces deux
facteurs les lois respectives des fonctions dont ils font

est le facteur élémentaire de la facto-

partie pour obtenir leurs générations. Commençons par
le facteur élémentaire des factorielles.
En vertu de la loi (a), (voy. FacromELLe, 14), rap-

portée ci-dessus sous la marque {g) nous avons (7)

(ane — (x+nE+ (ini). HER

+ GE

KR (@+nË) het

les coefficiens (271), (472), etc., étant ce que deviennent
(ml), (ml), etc., dans le cas de m=—£

Mais en substituant £ à la place de 72 dans les expressions
(b) (voy. FacromeLre, 14) qui donnent les valeurs de
Gal), (ml), etc., on voit que tous ces coefficiens de-
viennent des multiples de cette quantité infiniment

petite et qu’ils sont tous affectés du signe —; désignons

d . a L 1 È
onc par —0,, —-6,, — 6: etc., ce que devien-

nent daus ce cas les quantités (m[1), (m2), etc., eten di-

: : 1 .
visant de part et d'autre par - nous obtiendrons les

relations suivantes (s)

3
E = 0,—30,+430,
3 = 0:—/40:4603—49,
& = 0,—b0,1003—10044-59%
GC. —= etc.
et en général

n n(n—1) n(n—1) 2) ,

1
mou Li + ONE SEE
RE

Si, à l’aide de ces relations, on effectue le calcul des

0 +

quantités 0,, 9, etc., on verra que toutes celles d’un

FA

indice impair, comme #3, 45, 6, etc., seront égales À
zéro , excepté le première 9,, et que toutes celles d’un
indice pair sont alternativement positives et négatives.

On trouve aïn$si

I I
0, =+-, G—.2 ;
2 240
I 1
0,=+ — 010 =
Host SF 132
I Got
= — Hi FE) = —
120 E 32760
= + —
É— —— — —
152 ? à 12
-
etc. LC:

Ces nombres, d’un grand usage dans le caleul som:
matoire, sont connus sous le nom de nombres de Ber-
nourllr.

L'expression (r) devient donc

ë , £

A2 Sn:
(x Hnëf"® = (xd-né) a0, si Rae
—. — CIC...
dard nt ar nes la suite
ë Le æ+nE

£ #2 à
aa Te ap Ton re

et, remarquant que d’après la théorie des logarithmes
(Voy. ce mot),

I

(x+n£) = 1 EL log. (né) |

nous obtiendrons définitivement l’expression (4)

(æ-ngÿ 142 log. CEE

c’est-à-dire (4')
fac. élém ETES US log. (x + ne EE
‘a re 1 x+YnË

Nous verrons ailleurs dés applications importantes de
ces expressions (7’oy. SÉRIES HARMONIQUES).
Pour obtenir maintenant le facteur élémentaire de la

2
faculté ox *, développons gte-n£)lé

mentale (7)

par la loi fonda-

mit Ë #3 £3
px —= N, + NS + UE rar ne + etc. :

et, pour obtenir les valeurs des quantités M(2),, M(m);, |

l

etc., dans le cas de »3—}, partons des relations connues

qui existent entre ces quantités et les nombres de Ber-
nouïlli, savoir:

M(m), =,

Mn) = 3m —0,n1,

Mn), = 4 m3 — 0m 4-20,m,

Mn), = 2 mi— 05m. +3 Dim? — 3 05m,

nel

‘etc:

et en général

Mn)" «mnt — bin ee 0 mir
I

n+1

22 HE Op mms +. Hi )Onpre

C'est à l’aide de ces relations qu’on peut effectuer fa-
cilement l'évaluation numérique des quantités M{2),,
Mr). etc. pour toutes les valeurs de m positives ou né-
gatives, entières ou fractionnaires.

Faisant donc m—%, nous trouverons

Mr 18e s

MG =+20,.5
MG = +30: x
Mas 4 à

(TE etc.

Les expressions générales (p) deviendront en y substi-
tuant ces valeurs

D nu a] log. g(+ni p(x+né)
JE di AR + 1
Mrs d log. p(x+n£)
1 ile LS a [ee dx? Er |
. Nos bu 3 y s je log. Es]
Co BRE
etc.—=;, te.

et remarquant , en outre, que

No—yxtné) = 1 + 2 log. ox né)

on obtiendra définitivement

fac. élém. QarE = 1 de log. Q(x+n£) —
d'log otr+n?)
o [AE st ie
üg d log. p(x+né)
“ne

. dx 7

6, [en serie Pee

+ etc...

FA 19

En faisant dans cette expression gx = x, on retrouvera
le facteur élémentaire des factorielles donné ci-dessus
sous la marque (/').

20. Pour compléter la théorie des facultés algorith-
miques, il nous resterait à examinerle cas des fonc-
tions de plusieurs variables recevant chacune un accrois-
sement différent, et surtout le cas plus général où les
accroissemens de ces variables sont eux-mêmes des
quantités variables; mais cet examen nous entrainerait
trop loin, et nous sommes forcés de renvoyer nos ec-
teurs à l'ouvrage déjà cité de M. Wronski (Réfutation
de la théorie des fonctions analytiques ). Si nous nous
sommes attachés à démontrer rigoureusement les pro-
priétés fondamentales des facultés pour les valeurs frac-
tionnaires des exposans, c'est que cela n’avait point en-
core été fait , et que l'extrême importance de ces fonc-
tions nouvelles repose, principalement , sur les quanti-
tés érrationnelles supérieures auxquelles l'extraction de
leurs bases donne naissance ; cette considération nous
fera pardonner les détails, peut-être minutieux, dans

lesquels nous sommes entrés,

Nous verrons ailleurs le rang que les facultés occupent
dans la science. Voyez MATRÉMATIQUES.

Facurrés ExrONENTIELLES. Facultés dont l’exposant
est une quantité variable ou une fonction d’une quan-
tité variable,

FAGNANO (LE COMTE JULES-CHARLES DE) ; marquis
de Taschi et de San-Ifonario, est remarquable parmi
les géomètres italiens les plus distingués de lafin du
XVII du XVII.
Dès l’année 1719 il a publié dans les journaux italiens et
les actes de Leipsig des mémoires fort remarquables
sur divers problèmes de géométrie et d’algèbre. Ces

siècle et &Gu commencement

pièces furent publiées plus tard , réunies en deux volu-
mes in-4°, par le comte de Fagnano lui-même sous ce
simple titre : Produzzioni mathematiche, Pesaro , 1750;
Parmi les nombreux sujets qui y sonttraités avec le plus
de supériorité , on doit citer une Théorie générale des
proportions géométriques , un traité des diverses pro-
priétés des triangles rectilignes , et surtout des recher-
ches sur les propriétés de Ja Lemniscate ; une figure de
cette courbe orne le frontispice de son livre. Son fils,
Jean-Frarçois de Taschi de Fagnano, archidiacre de
Sinigaglia , s’est aussi distingué dans la même carrière,
Les mémoires remarquables qu’il a publiéssur un grand
nombre de problèmes qui intéressent la géométrie et la
science des nombres, ont été insérés dans les 4ctes de
(Foyez AcrA TRAD., 1774, 1775 1776.)
Nous verrons à l’article Locanrrnme plusieurs expres-

Leipsig.

sions très-remarquables de la circonférence du cercle au
moyen des logarithmes des quantités imaginaires , qui
appartiennent à ces deux géomètres.

90 FA

FAUSSE POSITION (Règle de).{4rith.) Opération
dont le but est de résoudre, à l’aide des nombres seuls,
et sans le secours des formules algébriques, tous les pro-
blèmes déterminés à uneseule inconnue qui conceïnent
les quantités numériques.

Résoudre un problème numérique , c’est trouver un
nombre qui satisfasseaux conditions énoncées dans ce pro-
blème. En algèbre, on désigne ce nombre inconnu par x,
etaprèsavoir exprimé, à l’aide des signes algéhriques, les
relations qui existent entre les quantités connues , qui
sont les données du problème , et la quantité cherchéex,
on obtient une équation dont la solution fait connaître
la valeur de x. Si l’on demandait, par exemple, quel
est le nombre dont les deux tiers surpassent la 7noitie
d’une seule unité; en désignant ce nombre inconnu
par æ, ses deux tiers seraient exprimés par

zæ . : :
.etl’on aurait la relation

2

22 53
3° sa MmOItIC par

27 T

ÉÉSTRRE

laquelle, traitée selon les règles des équations du pre-
mier degré ( loyez ce mot) , ferait connaitre la valeur
dex , savoir : æ —6.

On fait une fausse position, lorsqu’au lieu de résou-
dre directement l'équation . on met à la place de l’in-
connue æ un nombre pris entièrement au hasard. Si l’on
examine ensuite ce que devient par cette supposition la
condition énoncée, on trouvera ordinairement qu’elle
n’en sera pas satisfaite; on verra conséquemment de
combien ils’en faut qu’elle le soit, et cette quantité,
exprimée en nombres, sera l’erreur de la fausse po-
sition.

Une seconde supposition également arbitraire, ou
une seconde fausse position, fera connaître, de la même
manière, une seconde erreur.

Ayant exécuté ces deux opérations préalables, voici
la règle absolument générale à l’aide de laquelle on
déterminera la véritable valeur de l’inconnue :

1° Si les deux erreurs sont de méme nature , c’est-à-
dire , sielles sont toutes deux en plus ou toutes deux en
moins , >iultipliez chacune des suppositions par l'erreur
que l’autre aura produite ; prenez la différence de ces

produits, et divisez-la par la différence des erreurs.

2° 191 les erreurs sont de nature différente, c’est. à-
dire l’une en plus et l’autre en moins, multipliez de
méme chaque supposition par l'erreur de l’autre, pre-
nez la somme de ces produits, et divisez-la par La
somme des erreurs.

Dans les deux cas le quotientsera la véritable valeur
de l'inconnue.

En prenant, par exemple, le problème ci-dessus,

FA

supposons d’abord que le nombre demandé soit 12:
alors, comme les deux tiers de ce nombre sont 8, et
que sa moitié plus 1 est, nous voyons que la condi-
tion du problème n’est pas remplie , puisque 5 surpasse
7 de 1. L'erreur de cette première fausse position est
donc 1 en plus. Supposons maintenant que le nombre
cherché soit 18: comme les deux tiers de 18 sont égaux
à 12, et que sa moitié plus 1 est égale à 10, nous avons
une seconde erreur en plus égale à 2. Ecrivons ainsi les
résultats des fausses positions

1'° fausse position = 12, 1erreur = + r.
2° fausse position = 18, 2° erreur = + 2.
Les deux erreurs étant de même nature, multiplions
12 par 2, 18 par 1 , et divisons la différence 6 des deux
produits 24 et 18, par la différence 1 des deux erreurs.
Le quotient 6 est le nombre demandé. En effet, les

2 de 6 sont 4 , et sa moitié plus 1 est également 4.

La règle de fausse position ne donne des solutions
rigoureuses que dans le cas où le problème proposé
conduit à une équation du premier degré. Dans tous
les autres cas, son application exige que par des moyens
quelconques on se soit procuré une valeur approchée
de l'inconnue , mais alors elle devient d’un usage d’au-
tant plus précieux qu’elle égale au moins, si elle ne
surpasse pas, toutes les méthodes algébriques connues
en facilité.

Toutes les fois donc que l'inconnue déterminée par
cette règle remplira la condition énoncée dans le pro-
blème , ce problème sera du premier degré ; si elle ne
la remplit pas, il faudra conclure que le problème en
question passe le premier degré.

Quant aux valeurs qu'on voudra supposer à l’incon-
nue , elies sont absolument arbitraires; tous les nombres
possibles entiers ou fractionnaires conduisent également
au but; mais comme les plus simples méritent la préfé-
rence , et qu'il n’en est pas de plus simples que zèro et
ur , on simplifiera beaucoup l'opération en prenant zéro
pour la première fausse position , et un pour la seconde;
car l’un des produits devenant zéro, et l’autre étant
seulement le produit de un par l'erreur résultante de la
supposition zéro , c'est-à-dire cette premièreerreur elle-
même , la règle pourra s’énoncer ainsi :

Divisez la première erreur par La somme ou la diffé-
rence des deux erreurs, suivant que ces erreurs sont de
nature différente où de méme nature.

Exemple. Partager 47 en deux parties telles qu’en
divisant la plus petite par 3 et la plus grande par 5, la
somme des quotients soit égale à 11.

Prenant o pour la plus petite partie, la plus grande
sera 47. Or, o divisé par 3, donne o pour quotient,
et 47 divisé par 5 donne o plus 4. Ainsi la somme des

FA
quotients est 9 + ?, et diffère de r1 de r ++, ou de À

en moins.

Prenant 1 pour la plus petite partie, la plus grande
séra 46. Il en résultera pour les quotients les fractions

* 4 143
ïet + dont la somme #3

23

est plus petite que 11 de 7%.
Nous avons donc :

1'*supposition —0o, 1'*erreur £,en moins.

e

2° supposition —=1, 2° erreur ?;,en/noins.

étant la même chose que % , la différence des erreurs
est 2; ainsi divisant # par 4, nous obtiendrons pour
quotient 12, qui doit être la plus petite des parties
cherchées. En effet, 12 étant la plus petite partie , 35
sera la plus grande, et l’on a

H+=n.

Pour démontrer l'exactitude rigoureuse de cette règle
dans toutes les questions qui ne passent pas le premier
degré, remarquons que ces questions se résolvent à
l’aide d’une équation dont la forme générale est

Ax+B—o

Or, en substituant successivement à la place de x la
suite des nombres naturelso,1,2,3,etc., on voit
que le premier membre de cette équation devient

Pourz—o, la quantité, B
CIE FE A +B
T—0), 2A+B
Tite, 3A+B

etc. etc,

C'est-à-dire que les valeurs successives de ce premier
membre, forment une progression arithmétique du pre-
mier ordre dont la différence est A, et dont le terme
général est À x + B, x désignant l'in äce ou le rang
des termes. Ainsi , la solution del’équation 4x + B =,
se réduit à déterminer quel est le terme de la progrés-
sion qui se réduit à zéro, ou eu dernier liex quel est
l'indice x du terme zéro.

Cette question ne présente aucune diffculté:, car
(voyez ProGression ) en désignant simplement par”

À, Ar, À; ; A3, Au, etci A;

les termes de la progression , nous savons qu’un terme
quelconque À, est égal au premier plus autant de fois
la différence de la progression qu'il y a de termes
avant lui. Ainsi en désignant par D la différence, nous
avons pour un terme quelconque A», l'égalité

An = A, - mD

FA 91

et pour un autre terme quelconque An, l'égalité

An—=A,+nD
ce qui nous donne pour la valeur de la différence D,
l'expression
D — An — An
ME

Mais il est évident que pour trouver l'indice du
terme zero de la progression, il suffit de diviser le
terme A», ou leterme À, , pour la différence D ; car le
quotient de cette division indiquera combien de fois il
faut ôter la différence de chacun de ces termes, pour le
rendre égal à zéro, et conséquemmenti l’éndice du terme
zéro sera égal à l’un ou à l’autre desindices m, n dimi-
nués de ce quotient. Ainsi Am Ct An divisés par D,
donnant respectivement

NA m — MA NAÂn—MAn

2
A nv A m An — À mn
l'indice demandé sera
NA yn— MA m NAn—MAn

M — =
n— A m

ou
An— Am ?

et par la nature du problème, ces deux expressions doi-
vent être équivalentes. Elles se réduisent, en effet,

l’une et l’autre à

MA n—N An
An—A mt

Ainsi pour trouver l'indice demandé, il faut multiplier
chacun des deux termes par l'indice de l’autre, et di-
viser la différence des produits par celle des termes:
ce qui est le principe de la règle de fausse position.
Les conséquences ultérieures sont assez évidentes pour
se passer de développemens.

Quelle que soit l'utilité de la règle de fausse position
en arithmétique, son importance serait bien peu de
chose si elle se bornait strictement aux problèmes du
premier degré ; mais lorsque par d’autres procédés , ou
seulement par le simple tâätonuement on s’est procuré
une valeur approchée de l’inconnue , cette règle devient
applicable à tous les problèmes déterminés quels qu'ils
püissent être , et offre alors une ressource précieuse au
calculateur, quand les moyens directs lui manquent ou
sont trop compliqués. En effet, si dans une expression
algébrique quelconque dépendant d’une quantité incon-
vue +, on substitue à la place de x une suite de nom-
bres en progression arithmétique, les valeurs correspon-
dantes de l'expression fnrmeront elles-mêmes une suite
de termes qui se rapprecheront d'autant plus d'une
progression arithmétique , que la différence de la pro-

99

99 FE

gression des nombres substitués sera plus petite. Aussi,
l'application de la règle de fausse position à des ques-
tions au-dessus du premier degré, devra-t-elle donner
des résultats d'autant plus près de la véritable valeur
cherchée, que les suppositions seront elles:mêmes plus
près de cette valeur.

Ayant donc trouvé une valeur approchée de l’incon-
nue, on en choisira une seconde prise à volonté, mais
différant très-peu de l’autre; on appliquera à ces deux
valeurs la règle de fausse position Le résultat sera déjà
plus proche de la véritable valeur que les deux nom-
bres qu’on avait supposés. Cette seconde valeur appro-
chée en fera trouver une troisième, par une nouvelle
application de la règle , et ainsi de: suite, jusqu'a ce
qu'on ait obtenu une approximation suffisante. Dans la
plupart -des cas , la troisième valeur sera exacte jusqu’à
la sixième et même à la septième décimale.

L'exemple suivant suffira pour montrer la marche des
opérations:

Exemple. On demande un nombre tel , que si de son
cube , on Ôte sa racine carrée, il reste 1.

Ce problème conduit à une équation du sixième de-
gré, et la science ne possède encore aucun moyen direct
de le résoudre. On voit facilement que le nombre de-
mandé est plus grand que r et plus petit que 2, eten
poussant un peu plus loin Je tâätonnement on reconnaît
qu'il doit être un peu moindre que 1,3; ainsi

1° supposition, x = 1,3; on trouve xŸ—92,1097
et Va— 1,140155, la différence de ces nombres est
1,026825 , il y a doncuneerreur en plus de 0,056825.

2° supposition,x =1,29; on trouve x? — 2,140689,
V2 = 5, 140195; la différence de ces nombres est
1,010997, il y a donc uncerreuren plus deo ,o010g07.

Appliquant la règle, nous trouverons :

Différence des produits —0,0391251
Différence des erreurs = 0,045918

Ja divisou donne 1,28:6 pour valeur approchée de
j’'inconnue. En effet, faisant x — 1,28:6, on a

a3—92,13472996 ; et V/x=1,13472464,

quaatités dont la différence 1,00000512 ne diffère en
plus de l'unité que de 0,00000513. Une seconde opé-
ration en prenant pour seconde supposition x=1,28759,
ferait trouver la valeur de l’inconnue avec au moins dix

décimales exactes.

FÉVRIER (Calendrier). Second mois dé l’année, côn-
tenant 28 jours dans les années communes , ‘et 29 dans
les années bissextiles. Foyez GALENDRIER.

FERMAT (Prenns), né à Toulouse vers l'an 1590,
est un de ces grands géomètres du XVII° siècle,»dont

FE

l'histoire dé la science honore le plus la mémoire et les
importans travaux. On ignore dans quelles circonstances
le goût des mathématiques putse développer en lui.
Quoi qu'il.en soit, les travaux de Fermat ont large-
meut contribué aux progrès extraordinaires de l'algè-
bre et de la géométrie, à l’époque où l’illustre Des-
cartes opérait une si heureuse révolution dans ces bran-
ches de la science. Fermat , qui,occupait une charge de
conseiller au parlement de Toulouse, ne révéla d’abord
le génie dont il était doué que dans sa correspondance
avec le père Mersenne et d’autres savans. Ses lettres
forment un recueil important pour l'histoire des mathé-
matiques. Dans le temps même où Cavalleri appliquait
sa géométrie, à la recherche. des solides formés par les
sections coniques, Fermat et d’autres géomiètres fran-
çais cherchaient à s’élever à la considération d'une mul-
titude de courbes , comme ils $’appliquaient à déter-
miner leurs tangentes, leurs centres de gravité, et les
solides formés par leur révolution. Dans une lettre
adressée au père Mersenne, vers le milieu dé l’année
1656, Fermat annonça qu’il avait considéré une spirale
différente de celle d’Archimède. On sait, en cffet, que
dans cette nouvelle courbe, les arcs de cercle parcourus
depuis le commencement de la révolution par l’extré-
mité du rayon, ne sont point, comme dans celle du
géomètre de Syracuse , en même raison que les espaces
parcourus par le point décrivant; qui s’avance du cen-
tre vers la circonférence; mais en raison des carrés de
ces espaces, de sorte que les arcs de cercle qui mesu-
rent sa révolution, croissant uniformément, ce sont les
carrés des distances au cehtre qui croissent aussi unifor-
mément. On trouvera dans les lettres de Fermat la me-
sure de ces espaces, et la solution d’une foule de pro-
blèmes aussi difficiles que nouveaux, dont la consi-
dération des courbes était l'objet, et entre autres sa
méthode pour trouver les centres de gravité des conoï-
des ; nous devons ÿ renvoyer le lecteur.

Le génie de Fermat avait pour ainsi dire devancé
celui de Descartes: sa correspondance, dont nous ve-
nons de parler, constate qu'il fut de bonne hewe en
possession d’une grande partie des plus brillantes pro-
positions, que l’illustre auteur du Discours sur La mé-
thode avance dans son Traité de géométrie, entreautres
de la méthode des Mazximis et minimis, de celle des tan-
gentes et de celle de la construction des lieux solides.
Ua historien des mathématiques a donc eu raison de
s’écrier, dans son admiration pour ce célèbre géomètre :
« Si Descartes eût manqué à l'esprit humain, Fermat
l'eût remplacé en géométrie. » Cependant ces deux
hommes si supérieurs, si dignes de s’apprécier , eurent
ensemble plusieurs démêlés, dans lesquels ils soutinrent
tous deux leur opinion avec plus ou moins de raison ou
debonheur, mais avec une irritation peu philosophique.

FE
Nous né pouvons entrer dans ces détails qui m’intéres-
sent qu'imparfaitement aujourd’hui histoire de la
science.

Pierre Fermat est mort au mois de janvier 1665; il
laissa la réputation d’un juge intègre et éclairé ; aussi
bien que d’un grand géomètre, car jamais ses études
scientifiques ne lui firentoublier un momentses devoirs
de magistrat. Il écrivait avec une élégance remarquable,
non-seulement pour un géomètre, mais encore pour les
littérateurs de son temps ; ilavait l'esprit vif et brillant,
et à ses connaissances profondes en mathématiques, il
joignait celle de plusieurs langues anciennes et modernes
qu'il parlait et écrivait avec une égale facilité. L’aca-
démie de Toulouse qui comprit enfin la perte que les
sciences avaient faites en cet homme aussi distingué par
son caractère que par ses talens, proposa long-temps
après sa mort, pour sujet d’un prix qu'elle institua,
l'appréciation de ses travaux ; il était énoncé sous cette
forme: De l'influence de Fermat sur la géométrie, de
son temps. Ce fut la dissertation de Genty que l’académie
couronna.

Les œuvres de Fermat furent recueillies et publiées à
Toulouse en 1669 sous ce titre: Opéra malhematica,
2 vol. in-4°. Outre son édition annotée de l'algèbre de
Diophante, qui fut publiée séparément en 1670, ce re-
cueil contient les ouvrages spéciaux suivans : 1. Aé-
thode pour trouver la quadrature de toute sorte de pa-
raboles. II. Méthode des maxima laquelle sert non-seu-
lemént pour la détermination des problèmes plans et
solides, mais encore pour mener des tangentes aux
courbes , trouver les centres de gravité des solides et la
solution de questions concernant les nombres. Cette
dernière méthode a paru assez semblable à celle des

fluxions de Newton, pour que quelques mathématiciens

modernes aient voulu présenter Fermat comme le vé-
ritable auteur du calcul différentiel, prétention qui ne
repose sur aucun fondement si l’on considère la nature
abstraite de ce calcul tel qu’il a été découvert par
Leibnitz. II. Une introduction aux lieux géometriques
plans ët solides. IN. Un traité sur les tangentes sphéri-
ques, où il démontre pour les solides ce que Viète avait
démontré pour les plans. V. Une restauration des deux
livres d’Apollonius sur les lieux plans. VI. Une mé-
Thode générale pour la dimension des lignes courbes, et
enfin un grand nombre de mémoires et de lettres scien-
tifiques.

FERNEL (Jæan ), médecin et mathématicien , s’est
rendu célèbre par la première mesure d’un degré ter-
restre du méridien, qui ait été tentée en France, On a
de lui un ouvrage de mathématiques pures, intitulé :
De proportionibus libri W, Paris, 1528 in-fol. et deux
ouvrages astronomiques le Monalospherion ét la Cos-
motheoria: ces écrits sont aujourd'hui complètement

FE

oubliés, Voici lemoyen qu'employa Fernel pour déter-

23

miner la grandeur dela terre, par la mesure d’un degré
du méridien. Il alla de Paris à Amiens, villes qui se
trouvent à peu près sous le même méridien, et
comptant avec exactitude les tours de roue de. sa voi-
ture, ils’avança vers le nord jusqu’à ce que. la, bau-
teur solsticiale du :soleil fût. d’un. degré moindre
qu'à Paris, et trouva ainsi, pour le. degré d'Amiens,
57070 toises. On sait que Picard détermina, depuis,
ce degré à 57,060 toises. Et quoique cette détermination
ait depuis subi quelques modifications, il est au moins
curieux que Fernel ait pu arriver aussi près de la vérité,
à l’aide d’une méthode si erronée et si insuffisante, On
doit du moins lui savoir gré de sa tentative, en attri-
buant à un pur hasard le résultat qu’il obtint. Fernel,

qui était né en 1497, mourut en 1558.

FERRARI (Lotis), né à Milan en 1522, suivant
Cardan, et à Bologne suivant Bombelli, est regardé
comme le premier inventeur de la révolution des équa-
tions du quatrième degré. Cardan rapporte que Ferrari
entra à son service à l’âge de quinze ans, les dispositions
extraordinaires qu'il remarqua dans ce jeune homme
le déterminèrent à le tirer de sa condition servile pour
donner des soins à son éducation. Son généreux maître
favorisa les penchans qu’il mantfésta pour les mathéma-

tiques, et Ferrari profitasi bien de ses leçons, qu’à l’âve
ques, cons; 6

‘ de r7 ansil fut en état de professer cette science. Depuis

cette époque, la fortune de Ferrari devint plus brillante
que celle de son maitre. Le cardinal de Mantoue, qui
l'avait admis dans son intimité , lui fit obtenir du prince
de Gonzague, son frère, l’importante mission de dresser
la carte du Milanais. Il employa huit années à l’achè-
vement de ce travail, et après avoir meué une vie licen-
cieuse et une conduite peu louable envers ses bienfai-
teurs, il mourut âgé de 43 ans, empoisonné, dit-on,
par une sœur que l'espoir d'obtenir sa riche succession
avait excitée à commettre ce crime,

Ferrari fit sa découverte à l’occasion d’un problème
proposé par Jean Calla et qui divisa quelque temps les
mathématiciens. Il s'agissait de trouver trois nombres
continuellement proportionnels, dont la somme fut 16,
et le produit du second par le premier fut 6. Ferrari,
X Pinstigation de Cardan, s’occupa de ce problème et
entrouva une solution ingénieuse. Elle consiste à ajouter
à chaque membre de l'équation ordonnée d’une certaine
manière, des quantités quadratiques et simples qui soieut
telles que l'extraction de la racine carrée de chacun soit
possible. (Voy. Biquadratique. )

FERREO (Scarow) de Bologne, géomètre du XVI°
siècle, est connu dans l’histoire de la science, comme
ayant résolu le premier, les équations du troisième

degré, (Voyez AuGÈvre et Canpan.)

FI

FIGURE. Nom que l’on donne quelquefois, en
arithmétique, aux chiffres simples o, 1,2,3,4,5,6,7,8,9

24

de notre échelle numérique.

ligue en géométrie, désigne généralement la forme
d’une partie de l'étendue, limitée par des ligues droites
ou courbes, si c'est une surface; et par des surfaces
planes ou courbes si c’est un solide,

FIGURE DE LA TERRE. Voy. TERRE.

FIGURE (Sciences des nombres). Onappelle nombres
figures des suites de nombres formant des progressions
arithmétiques de divers ordres, dérivées les unes des
autres par une loi constante.

Soit: 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, 8, etc., la suite des nombres
naturels. Si l’on ajoute ensemble les termes de cette suite
depuis le premier jusqu’à un terme quelconque, il en
résultera les nombres 1, 3, 6, 10, 15, 21, etc. qui sont
les nombres figurés du second ordre, nommés aussi
nombres triangulaires.

Ajoutant de même les termes de cette dernière série,
il en résultera la suite 1, 4, 10, 20, 35, 56, etc. qui sont
les xombres figurés du troisième ordre; on nomme encore
ceux-ci nombres pyramidaux.

De nouvelles additions des termes de cette dernière
suite donneront les nombres 1, 5, 15, 35, 70, 126, etc.
qui sont les nombres figurés du quatrième ordre.

Continuant de la même manière pour les ordres
supérieurs et disposant ces suites par colonnes verticales,

on formera le tableau suivant :

11440/24310

qu'on peut prolonger à volonté. Les noms de nombres
triangulaires et de nombres pyramidaux, donnés aux
nombres figurés des second et troisième ordres, reposent
sur des considérations géométriques aujourd’hui insi-
gnifiantes.

Ces suites, dans lesquelles le terme général de chacune
est la mème chose que le terme sommatoire de celle qui
la précède, ont beaucoup occupé les premiers algébristes
parce qu’elles leur donnaient le moyen de former ai-

FI s

sément les puissances successives d’un binome. En effet
si l’on exainine la formation de ces puissances

(a+b} = a +b
(a+-b} —
(a+) = a+3a b+3ab +

(aHb} = ai ab+46ab+ ab Lbi

(ab) = a +5aibHioab+ioab+5abi tb

etc. ete.

on reconnait aisément que les coefficiens numériques
des seconds termes, sont les nombres figurés du premier
ordre, ou les nombres naturels; que ceux des troisièmes
termes sont les nombres figurés du troisième ordre, et
ainsi de suite, de sorte qu’en disposant ces nombres en
forme de triangle, comme il suit :

III

VAT VAR OV Tr VAI

on trouve immédiatement les cocfficiens numériques
d’une puissance de binome, en prenant les nombres
situés dans la colonne horizontale dont le premiernombre
est l’exposant de cette puissance. Mais depuis la décou-
verte du développement général douné par la formule
de Newton, toutes ces considérations sont de peu d’im-
portance. Nous verrons aux mots ProGnessiox Ariru-
MÉTIQUE €t SOMMATOIRE , comment on obtient le terme
général de chaque suite des nombres figurés.

FINÉ (OnoncE), mathématicien et littérateur, né à
Briancon en 1494, doit être misau nombre des savans de
cette période qui ont contribué par leurs travaux à répan-
drele goût des mathématiques et par conséquent à favo-
riserles progrès de cette science. Son mérite le fit choisir
par François I" pour professer les mathématiques au col-

FL

lége royal, on a de lui plusieurs traités sur les mathémati-
ques, l'optique, la géographie et l’astronomie, où plutôt
l'astrologie, car sous ce dernier rapport, Oronce Finé,
n’était point au- dessus des erreurs de son siècle. Il
mourut en 1555. Ses divers écrits ont été réunis et im-
primés sous ce titre un peu ambitieux : Oronti Fine,
Delphinaleis protomathesis, Paris,1532, 42 et 56, in-fol.

FINI. Tout ce qui a des limites est /êni. Foy. CarcuL
DES DIFFÉRENCES 24, la distinction transcendantale des
idées du jéni et de l'infini.

FIRMAMENT (4str.). Nom par lequel on désigne
souvent le ciel en général.

FIXE (4str.). On nomme étoiles fixes, les astres qui
paraissent n’avoir aucun mouvement propre. #oyez
Érorcx.

FLAMSTEAD (JEan), célèbre astronore anglais,
né le 19 août 1649 (1646?) dans une petite ville du Der-
byshire, s’est surtout rendu recommandable par ses im-
portantes et nombreuses observations. Un penchant na-
turel à la solitude et à la méditation le porta de bonne
heure vers la contemplation du ciel. Le hasard ayant fait
tomber dans ses mains , un traité de la sphère de Sacro-
Bosco, il le lut avec avidité et ce fut son premier guide
dans l'étude sérieuse de l'astronomie, à laquelle il se
livra dès-lors avec toute l’ardeur dont les esprits austères
et mélancoliques sont susceptibles. On ne sait point de
quels maîtres il sollicita les conseils, ni quels instrumens
ileut d’abord à sa disposition; mais ses progrès furent
rapides, etil entra en maitre dans la noble carrière que
son génie lui avaitouverte. Dès l’année 1669, Flamstead
présenta à laSociété royale de Londres des éphémérides
pour l’année suivante; travail remarquable qui appela
l'attention des savans sur le jeune astronome, et procva
qu'il avait simultanément embrassé l'étude théorique
de la science, et celle qui résulte de l’observation des
phénomènes célestes. En 1672, il publia un mémoire
sur l'équation du temps qui ajouta beaucoup à sa ré
putation et le mit en relation avec les principaux
astronomes de l'Europe. Quelques années après,
Flamstead publia un traité sur la théorie de la lune
d'Horoxes. Get astronome n'avait pas eu le temps d’en
calculer les tables, et Flamstead, adoptant l’hypothèse
qu'il proposait pour expliquer les mouvemens de ce
corps céleste, remplitla lacune importante qu’on remar-
quait à regret dans son trayail.

Déjà l’Angleterre comptait Flamstead parmi ses sa-
vaus les plus remarquables; il vint à Londres vers l’an-
née 1673, et sans abandonner ses études favorites il en-
tra dans les ordres et fat pourvu d’un bénéfice qu’il
laissa bientôt après pour les fonctions de directeur du
nouvel observatoire royal de Greenwich, fondé par
Charles IT. Ce prince dissipé secondait ainsi le génie de
l'illustre nation sur laquelle il régnait, et qui tient une

Tome 1H,

FL

si grande place dans l’histoire de l'esprit humain, car

elle a toujours devancé les autres nations de l'Europe,
par ses institutions et ses recherches scientifiques. Dès
cemoment, la vie de Flamstead est entièrement acquise à
la science, et ses jours, marqués de peu d’événemens, ne
se comptent que par ses travaux d'observation auxquels
il se livra exclusivement. Le but principal de l’établis-
sement de Greenwich avait été la rectification des lieux
des fixes et l'observation de la lune, pour arriver à la
production d’uuethéorie exacte de cette planète qui püt
favoriser les progrès de la navigation. Flamstead s’oc-
cupa avecpersistance de ces deux objets, et recueillit en
même temps un nombre considérable d'observations gé-
nérales. En 1719, l'illustre Halley, qui devait être le suc-
cesseur de Flamstead, publia sous le titre de Ærstoria ce-
destis Britannica les observations de ce grand astronome.
Cet ouvrage fut imprimé contrele gré du vénérable
directeur de Greenwich, qui ne voulut point le recon-
naître et qui entreprit lui-même la publication du re-
cueil de ses observatious ; il parut sous le même titre
plusieurs années aprèssa mort, en trois volumes in-folio.
Cet ouvrage renferme, outre une foule d'observations
importantes, des prolégomènes fort remarquables sur
l'histoire de l’astronomie. Le catalogue des fixes que
Flamstead y donne, est le plus complet de ceux qui
avaient paru alors, il contient les lieux de trois mille
étoiles, observées par lui et un catalogue particulier
de soixaute-sept étoiles zodiacales, dont l’occultation de
la lune et des planètes rend l'observation si importante,
Ontrouve danslerecueil mathématique deJonas Moore,
un mémoire de Flamstead, dans lequel il expose des
idées nouvelles sur la sphère etouil donne une méthode
pour calculer les éclipses de soleil par la projection de
l'ombre de la lune sur le disque de la terre. Flamstead
mourut à Londres le 30 décembre 1719 (1720?) Ses
écrits peu nombreux sont : [. De æquatione temporis
diatriba, Lond. 1672. in-4° WI. /nter opera Horocci:
Lond.1659,in-4° HT. Historia celestis britannica. Lond.
1625, 3 vol. in-f°

FLÉAU ( Mec.). Instrument composé de deux bä-
tons de bois dur, assemblés lâchement bout à bout par
une courroie , et qui sert à battre le blé.

On nomme aussi fléau, la verge de fer aux extrémités
de laquelle sont suspendus les bassins d’une balance.
Voyez BaLance, é

FLÈCHE (Géoin.). Nom donné par quelques auteurs
au sénus verse d’un arc. /’oy.SIiNUS VERSE.

FLÈCHE (Ast.). Nom d’une constellation boréale.
Voy. CONSTELLATION.

FLUENTE (4/g.). Les Anglais, d'après Newton,
nomment Æluentes ce que les géomètres du continent
appelleut {ntégrales. Foy. Fruxtow et [xrécraz.

FLUIDE ({ydrost). Corps,

dont les molécules

{

26 FL
cèdent à la moindre pression et sont mobiles en tous
sens. |
Les Fluides se divisent en incompressibles et en élas-
siques. Les Fluides incompressibles sont ceux auxquels
la pression ne peut faire changer de volume ? Tels sont
le mercure , l'eau , huile, le vin, etc. Les Fluides élas-
tiques, au contraire, sont ceux dont la compression di-
minue le volume. Tels sont l’air, les différens gaz, les
vapeurs d’eau , etc.

La nature des fluides est du ressort de la physique,
les lois de leurs mouvemens constituent deux branches
des mathématiques appliquées savoir: l'HSDROSTATIQUE,
ou la science des lois de l'équilibre des forces qui
meuvent les fluides, l'HypronynawiQue, ou la science
des lois de l’action des forces motrices qui meuvent les
fluides. { Joy. ces divers mots. )

FLUX ET REFLUX (Æydrog.). Mouvement pé-
riodique journalier des eaux de la mer causé par lac-
tion combinée des attractions du soleil et de la lune.
Voy. Manées.

FLUXION (4{g.). En considérant une étendue quel-
conque comme engendrée par le mouvement d’une
autre étendue, Newton donne le nom de f{uxion à la
vitesse avec laquelle chaque partie de la première éten-
due se trouve décrite.

Cazcuz pes rzuxiows. Ce calcul, l’une des plus bril-
lantes découvertes de l’immortel Newton, est le même
en dernier résultat que le GALCUL DIFFÉRENTIEL; Mais sa
conception primitive Où sa métaphysique n’en fait
réellement qu'une méthode dérivée, qui ne peut être
expliquée que par les véritables principes du calcul de
l'infini, principes dont nous avons donné l’exposition
au mot pirrérenTiEL. C’est ce que nous allons facilement
faire comprendre. Précisons d’abord ce que Newton
entend par le rapport de deux fuxions.

Si l’on suppose, par exemple, une parabole engen-
drée par le mouvement d’une droite qui se meut uni-
formément, parallèlement à elle-même, le long de l'axe
des abscisses, tandis qu’un point parcourt cette droite
avec une vitesse variable telle que la partie parcourue
est toujours moyenne proportionnelle entre une ligne
donnée quelconque et la partie correspondante de l'ab-
cisse ; le rapport qu'il y a entre la vitesse variable de
ce point à chaque instant et la vitesse uniforme de la
droite, est celui de la fuxion de l’ordonnée à la fluxion
de labscisse. C'est-à-dire que ce rapport est celui des
accroïssemens respectifs de l’ordonnée et de l’abscisse.

On voit donc ici que Newton nomme fluxion ce que,
d’après Leïbnitz, nous nommons différence.

Mais, en désignant, comme c’est l’usage, par y l’or-

donnée et par x l’abscisse d’une courbe quelconque, y
sera nécessairement

une certaine fonction @gx de

FL
V'abscisse, et l'équation de la courbe pourra s'exprimer
généralement par (1)

= zx.

Or, toutes les variations de grandeur de y, peuvent
être immédiatement tirées de cette équation, à l’aide
des variations correspondantes de æ, car en supposant
que l'abscisse x croisse de la partie 9, ou devienne
æ+9, si nous désignons par A la variation correspon-

dante ou l’accroissement de y, nous aurons (2),

J+4=9 (24 DE

d'où nous obtiendrons en comparant avec (1)
A=(x+0)—®x ,

; c : à A Ne
équation , qui ferà connaître le rapport = , et cela indé:
Le]

pendamment de toute considération de mouvement et
de vitesse; ces considérations, bien loin d’expliquer la
nature des accroissemens À, à n'étant elles-mêmes pos-
sibles qu’en vertu delexpression (r). ILest donc évident
que les fluxions où les différences des quantités, tirent
leur origine de la nature même des quantités numéri-
ques, et non de l'application de ces quantités aux figu-
res géométriques ; en un mot, li considération abstraite
des différences, précède nécessairement et rend seule
possible la considération concrète de ces mêmes diffé-
rences.

Quoique ies géomètres du dernier siècle, que l'inrint
épouvantaient, trouvassent la métaphysique de Newton
beaucoup plus lumineuse que celle de Leibnitz, ils
comprirent, et Newton avec eux, que l’idée de vitesse
est non-seulement étrangère à la science des nombres,
mais encore que lorsque le mouvement est variable,
l'expression algébrique de cette vitesse exige précisé-
ment des fluxions ou des différentielles , lesquelles ne
peuvent ainsi en tirer leur signification. Newton rejeta
donc bientôt toute considération de mouvement, et
daws son célèbre livre des Principes, il reproduisit son
calcul sous un tout autre aspect, en présentant le rap-
port des fluxions de deux quantités, comme celui
qu’elles ont dans la limite de leurs différences respec-
tives, ou lorsque ces différences s’évanouissent. C’est
sur ce dernier point de vue, que se trouve fondée la
méthode des limites qu’on enseigne aujourd’hui généra-
lement sous le nom de calcul différentiel. :

Si les géomètres français ont montré peu de tact phi-
losophique en préférant les procédés indirects de la mé-
thode des limites, à ceux si éminemment simples du
calcul différentiel proprement dit, ils ont du moins
adopté la notation de Leibnitz. Cette dernière est à la |
vérité beaucoup plus commode que celle de Newton,
dont les géomètres anglais se sont exclusivement servis

FO
pendant long-temps, mais dont ils commencent à aban-
donner l'usage. D’après Newton, æ avec un point, tel
que æ, désigne la fluxion du premier ordre ou la diffé-

%
rentieile première de x; x désigne la fluxion du se-

cond ordre ou la différentielle seconde; æ, la fluxion
du troisième ordre ou la différentielle troisième; ct
aiusi de suite.

La MÉTHODE INVERSE DES FLUXIONS a pour objet de
remonter aux quantités dont les fluxions sont données,
ou de trouver les fluentes de ces fluxions; c’est propre-
ment le calcul intégral. Voy. Inrécraz, voy. aussi
Foncuon et Limire.

FOLIUM de Descartes (Géom.). Courbe du troisième
ordre, qui tire son nom de la ressemblance d’une de ses
parties avec une feuille. Joy. l'Anarysk DES INFINI-
MENT pETITS, du Marquis de l'Hôpital.

FOMALHAUT (454). Étoile de la première gran-
deur, située à la bouche du poisson austral.

FONCTION (a/g.) On nomme en général fonction
d'une ou de plusieurs quantités variables, toute expres-
sion algébrique composée, d’une manière quelconque,
de ces inêèmes variables et de quantités constautes. Par
exemple æ, y, etc., désignant des quantités va-
riables, et a, b, c, etc. , des quantités constantes, les
expressions
ax? + b, Vaz+b+e

a
ge" Tex" etc.

ax ,

(ax+i+ er ,

sont toutes des fonctions de x. Et

axty, Va+y, Vax—y, + by, etc.

des fonctions de x et de y, etc.

1. On divise communément les fonctions en a/ge-
briques èt transcendantes. Les premières se forment
par les opérations élémentaires de l’algèbre; les se-
cordes contiennent en outre des quantités transcen-
dantes, c’est-à-dire des quantités exponentielles, des
sinus , des logarithmes, des différentielles, etc. Ainsi
l'expression

a + bam—cV/ (2x2)

x — 3bx?

est une fonction algébrique de x, et les expressions
at+b, ax"dx +bdx, sinx +ax, aLog.x +-bx
sont des fonctions transcéndantes de #.

2. Les fonctions algébriques se subdivisent en fonc-
tions rationnelles et en fonctions irrationnelles. Les
fonctions rationnelles sont celles qui ne contiennent que
des puissances entières de la variable; les fonctions irra
tiounelles sont celles où la variable est affectée du signe

FO 27
ar

radical. Par exemple, les expressions ax, 1,
a—x

axi— bxi, etc., sont des fonctions rationnelles; et
Væ, at” (@—x’), V/(a-bx—cx?) etc., sont des
fonctions irrationnelles. ;

3. Les fonctions rationnelles se subdivisent encore
en fonctions entières et en fonctions fractionnaires. On
nomme fonctions entières celles qui ne renferment que
des puissances entières et positives de la variable et
dans lesquelles cette variable ne se trouve mêlée à aucun
dénominateur. Les fonctions fractionnaires sont celles

où le contraire a lieu ; ainsi la formule

abx+cx+dx+exi+ etc.

représentera une fonction quelconque entière, et la for
mule

a+-bxcx+dr+exi etc.
a+ Ex ya ox oxiE etc:

une fonction quelconque fractionnaire, quelles que
soient d’ailleurs les constantes à, b. c, a, B, y etc., po-
sitives ou négatives , entières ou fractionnaires , ration-
nelles ou irrationnelles, et même transcendantes.

4. En remarquant que la valeur d’une fonction quel-
conque de la variable x dépend de la valeur qu’on attri-
bue à cette variable , on peut considérer la fonction
elle-même comme une quantité variable, Par exemple
la fonction ax+-b devient successivement

ab, oa+-b, 3a4b, 4a4-b, etc.

en faisant T1, 2 —%,L 9€ —"4, etc. Ainsi dés

signant généralement par y, cette quantité variable
F.

; SRE LB DIOURE
ax+-b, nous aurons l'équation

y —=ax+b

dans laquelle y, ou la fonction de x, sera dite une
variable dépendante, tandis que x est La variable indc-
pendante. L

5. Lorsqu'on représente par y une fonction quel-
conque de x, comme rien n'empêche de considérer
cette quantité y comme une variable indépendante, et
que, quelle que soit la valeur qu’on veuille luiattribuer,
il en résulte nécessairement une valeur déterminée
pour æ, on peut donc toujours , réciproquement , con-
sidérer æ comme une fonction de y. Par exemple, y
étant comme ci-dessus la fonction ax+-b, si l'on résout

par rapport à æ, l'équation
Y = ax-}-b

on trouve

28 FO

et l'expression ? —b,oux, se nomme alors fonction
a

réciproque de y.

6. S'il est toujours facile d'obtenir la valeur d’une
fonction entière correspondante à une valeur déter-
minée de la variable, il n’en est pas de même lorsque
Ja fonction est irrationnelle ou transcendante; et dans le

plus grand nombre des cas on est forcé d’avoir recours

à des procédés de transformation que nous ne pouvons

exposer ici. ( Voy. l'Introduction à l'analyse des infini-
ment petits d'Euler. ) Mais le grand moyen, connu des
géomètres, pour évaluer toute espèce de fonctions,
c’est d'obtenir par les séries une nouvelle génération des
quantités qu’elles représentent, ce que l'on appelle dé-
velopper une fonction en série: ce problème est au-
jourd’hui résolu complètement par les procédés du
calcul différentiel, et nous devons renvoyer aux articles
de ce Dictionnaire qui en traitent (Foy. DiFFÉRENTIEL ,
34,41 et SémE), tout en faisant observer qu'il existe
encore d’autres algorithmes capables de donner une
solution exacte et quelquefois plus satisfaisante de la
question que celle qu’on obtient au moyen des séries.
Poy. TEcantE. |

THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES. Obtenir tous les
résultats du calcul différentiel sans avoir recours à au-
cune quantité infiniment petite ou évanouissante, dé-
terminer les véritables principes de ce calcul, tel estle
double problème dont notre célèbre Lagrange a cru
donner la solution dans ses ouvrages sur la théorie et le
calcul des fonctions analytiques. (Voy. Théorie des
Jonct. analy., et Lecon sur le calcul des fonct.) Nous
avons eu déjà l’occasion dans plusieurs articles de ce
Dictionnaire de nous élever contre l'étrange prétention
des géomètres modernes de vouloir repousser de la
science l’idée de l’infénisans laquelle elle n’existerait pas,
et nous pourrions nous contenter ici de déclarer, en
nous appuyant sur les principes exposées au mot Dirre-
RENTIEL, que, considérée sous le rapport métaphysique,
la théorie de Lagrange est un véritable non sens philo-
sophique ; mais les services éminens que ce grand ma-
thématicien a rendus à la science, la nature même des
erreurs daus lesquelles il est tombé, et surtout la polé-
mique singulière dont ces erreurs ont été l’objet entre
l'Institut de France et l’auteur de la Philosophie des
mathématiques nous font un devoir d’entrer dans quel-
ques détails capables d’éclaircir cette importante ques-
tion.

Le point de départ de Lagrange est que la théorie
du développement des fonctions en séries renferme les
principes métaphysiques du calcul différentiel, et ses
moyens sont de démontrer que les quantités dites dif-
féerentielles ne sont en réalité qu’une espèce particulière
d'algorithme des fonctions, ou comme il les nomme,

FO
des fonctions dérivées d'une fonction primitive. Soit,
dit-il, fx une fonction quelconque d’une variable x, si
l'on suppose qu’à la place de x on mette dans cette
fonction x—i, à étant une quantité quelconque indéter-
minée, elle deviendra f (x+-?) et on pourra la déve-
lopper en une série de cette forme (a)

S(@) = fetpit-qe re ete.

dans laquelle les quantités p, g, r, etc., coefficiens des
puissances de à, sont de nouvelles fonctions de x déri-
vées de la fonction primitive et indépendante de l’in-
déterminée 2.

Quant à la possibilitémêème de la forme du développe-
meut{a), Lagrange suppose, pour la démontrer, qu’au-
cun terme de ce développement ne peut contenir des
puissances fractionnaires de z parce que, vu la pluralité
des racines, la série aurait plusieurs valeurs, ce quise-
rait absurde. Fondé sur cette raison que nous examine-
rons plus loin, il pose pour second principe de sa théo-

rie l'expression (b).

J'(a+Hi)=fr+il

dans lacuelle P est une fonction de xet dei qui ne
i

peut devenir infinie lorsque z'est égal à zéro, puisque

dans ce dernier cas, cette expression doit se réduire à

l'identité.

JX= TL

Mais P étant une nouvelle fonction de x et dei, on
peut aussi en séparer ce qui est indépendant de # et qui
par conséquent ne s'évanouit pas lorsque 7 devient nul,
Soit donc p ce que devient P lorsqu'on faiti = 0,p
sera une fonction de æ sansz et l’on aura encore.

D iQ

iQ étant la partie de P qui devient nulle lorsque
1 —o et Q une nouvelle fonction de x et de £. En pour-
suivant le même raisonnement on pourra former la
suite d’égalités,

F(x+i) fx til
P—p+1Q
Q=—7+iR
Kris

etc—etc :

ce qui donnera en substituant successivement,

Sla+Hi)=fxtpit-qè ri tete.

Cest-h-dire une série de la forme en question (a). FI
- ; ; 1

Ceci posé, Lagrange démontre que chacune des fonc-
tions p, g, r, s, etc. se dérive de celle qui la précède par

ns nd

un procédé unique de dérivation , de sorte que p étant f
la dérivée de fx, q estla dérivée de p, r la dérivée de 4, |

—

FO
etc. Il nomme alors p première dérivée ou fonction
prime, q seconde dérivée ou fonction seconde, r troi-
sième dérivée ou fonction tierce, etc., et désignant ces
dérivées par la notation f'x, f"x, f"'x etc., il parvient

au développement final

etc.

« , 72 2
fx Hi) = fa tfriLf He + f''x :
etil conclut que ces fonctions dérivées sont la véritable
signification des coefficiens différentiels du théorème de
Taylor.

Se CORAE dSfx 113
Es sors

LU 40:21:23

Seti =fe +Ÿ ete.
Il ne nous est point nécessaire de suivre Lagrange
dans les conséquences ultérieures de ses principes, ri
dans les nombreuses applications qu'il en fait; ici le
métaphysicien disparait pour faire place au géomètre :
tout ce que la science et le génie peuvent offrir de res-
sources, se trouve employé par lui avec cette supério-
rité incontestable qui l’a placé au premier rang, et qui
donne un haut degré d'utilité à l'étude de sa théorie des
Jonctions analytiques, malgré la fausse direction de
cet ouvrage. Toute cette prétendue théorie repose évi-
damment sur les deux principes (a) et (b), et il nous
suffit-d’examiner la validité de ces principes pour nous
former uue idée de celle de la théorie elle-même,
Pour pouvoir poser comme principe la forme (a) du
développement des fonctions en séries, il faudrait d’a-
bord démontrer que toute fonction flx+-1) est, en elle-
même, identique avec le développement fx—+Æpiqi+
etc., ou qu’elle est simplement équivalente à ce déve-
loppement, et déterminer la condition supérieure de
cette identité ou de cette équivalence ; mais Lagrange
se contente d'établir qu’il ne peut y avoir dans ce déve-
loppement (a) des puissances fractionnaires dei, ce qui
le conduit à son second principe (4) à l’aide duquel il
prétend ensuite démontrer cette forme (a) justement en
question ; or, sans relever ici le cercle logique qui ré-
sulte de la dépendance mutuelle des deux expressions
(a) et(b), il est de fait que la démonstration de Lagrange
sur les puissances fractionnaires de z est non-seulement
insuffisante, mais de plus qu’elle est entièrement fausse,
car rien n’empêche de faire entrer ces puissances frac-
tionnaires dans le développement de la fonction fx+i),
et dans ce cas les valeurs différentes des radicaux se
compensent soit dans la génération même de la série,
soit dans la quantité qu’elle donne de manière qu'il en
résulte toujours la même valeur pour la fonction f (x+i)
(voy. Séries). La forme (a) des séries n’est donc nulle-
ment démontrée, et la théorie de Lagrange repose con-
séquemment sur une base hypothétique : ses deux prin-
cipes (a) et (b) n’étant jusqu'ici vérifiés qu’à postériori,

FO

Mais lors même que ces principes seraient rigoureu-

29

sement établis , aucun d’eux n’est capable de donner
une signification indépendante et absolue aux fonctions
dérivées fx, f'x, ete., sur lesquelles reposent, d’après
Lagrange, la métaphysique et la possibilité du calcul
différentiel , en effet , ces fonctions n’ont d'autre signifi-
cation que d'être les coefficiens des termes de la série et
leur position dans cette série n’est réellement que la
donnée du problème qu’on peut se proposer sur la re-
cherche de leur nature. Or, la nature d’une quantité
consiste dans la réunion des opérations élémentaires ou
systématiques à l’aide desquelles elle est formée, car
c'est évidemment la réunion de ces opérations qui cons-
titue la signification de cette quantité, signification qui
est absolue lorsque les opérations sont primitives ( addi-
tion, multiplication, puissance et leurs inverses ), et
seulement relative, lorsque les opérations sont deéri-
vces (logarithmes, sinus, etc.,) (voy. Marnémariques).
Par exemple, si nous désignons par a la diagonale d’un
carré dont le côté est b, l'expression

b
sin. 45°

sera la signification relative de la quantité a, parce
qu'il entre dans cette expression la fonction séuus qui
n’est point primitive, tandis que l'expression équiva-
lente

b\/2

sera la signification absolue de cette même quantité,
celle qui fait connaître la nature irrationnelle de la
diagonale. (Foy. Cencze, 45, un autre exemple pris sur
) Les fonctions dérivées de La-
grange f'x, f'x,etc., ne sont en réalité qu'un nom
donné à certains procédés qu’il faut exécuter pour ob-

le fameux nombre 7.

tenir les équations dont la valeur de ces fonctions dé-
pendent, et elles n’ont ainsi en elles-mémes aucune es-
pèce de signification; bien loin donc de pouvoir expli-

dfx fx

uer la nature des quantités différentielles
q q dx' dx’?

etc., elles ne sauraient être conçues qu'à l’aide de ces
quantités, et c'est seulement parce qu’on a

Dfx

dfx J'=S

7 dx?

dfz

ar PTE

, etc.

que ces fonctions dérivées reçoivent une signification
qui les rend susceptibles d'être employées dans la science.
( Voy. Réfüutatïion de la théorie des fonctions analyti-
» Paris 1812.)

FONTAINE ARTIFICIELLE (Mec.).

le moyen de laquelle l’eau est versée ou lancée. De ces

ques de Lagrange, par H. Wronski

Machine par

machines, les unes comme les jets d'eau |

(voy. ce mot)

agissent par la pesanteur de l’eau, les autres comme la

50 FO

célèbre fontaine de Héron d'Alexandrie, dont nous al-
lons donner la description, agissent par le ressort de
l'air.

La fontaine de Héron se compose de deux boites de
métal ez et xy (PL. 15, fig. 2) auxquelles on donne
une foume arbitraire, et qui sont réunies par des tuyaux
de même matière wx , 2Y, et surmontées d'un bassin
ar. Le bassin 4ë communique à la boite supérieure £z
par le tuvau BZ ouvert euz et qui porte en 5 un ajutage
qu’on y visse au besoin. Ce même bassin communique à
la boîte inférieure xy par le tuyau wx ouvert aux deux
bouts, et qui se rend vers Le fond de la boîte. Enfin les
deux boites communiquent ensemble par le tuyau Yz
ouvert en y, et qui traverse la boite supérieure dans
presque toute sa hauteur. Pour mettre cette fontaine en
jeu, on emplit d’eau jusqu’au trois quarts par le tuyau
»z la boite supérieure Ez. On en met eusuite dans le
bassin AE, de manière à tenir toujours plein le tuyau
wx. Cette colonne d’eau qui tend à se répandre dans la
boîte inférieure xx, comprime par sou poids la masse
d'air dont elle est remplie : cet air ainsi comprimé s’é-
chappe par le tuyau vz et va déployer son ressort sur la
surface de l’eau contenue dans la boite super eure Ez, et
alors cette eau comprimée par le ressort de l'air, s’é-
chappe en forme de jet par le tuyau 8z. De cette ma-
nière , l’eau de la boîte supérieure Ez, chassée par l'air,
retombe dans le bassin 4E, et à l’aide du tuyau 0x,
passe dans la boite inférieure , et continue à comprimer
de plus en plus l'air intérieur, ce qui fait durer le jet
tant qu'il y a de l’eau dans le bassin superieur. Aprés
l'opération, on vide la boite inférieure au moyen d'un
robinet placé au-dessous.

Cette fontaine perfectionnée par Nieuventit contient
le principe de toutes les machines hydrauliques qui
agissent par le ressort de Pair. (Poyez le Cours de phy-
sique de Musschenbrock.) Nous allons faire connaitre
ici la construction et la théorie des plus importantes de
ces machines.

Machine de Darwin.
Rest le conduit supé.
rieur qui fournit l’eau à
la machine, R' le réser-
voir
veut élever l’eau. C une

dans lequel on

capacité fermée placée
au bas de la chute, c
une autre capacité fer-

mée placée au niveau

du conduit R. Ces deux

capacitéscommuniquent
entre elles par un tube et avec les réservoirs À et R'
par des tuyaux indiqués sur la figure et susceptibles

d’être fermés par les robinets 2, 7n,p, q«

à FO

Les robinets 72, g étant fermés, et ceux p, 7, n' ou-
verts, la capacité C se vide entièrement, et celle C
s’emplit jusqu’au niveau 4a' du bief supérieur. Fermant
les robinetsp, 2, n', et ouvrant ceux 7, q, la capacité C
s’emplira d’eau, comme la figure l'indique. A mesure
qu’elle s'emplira, l'air contenue dans cette capacité se
comprimant , forcera l’eau contenue en C' a mouter eu
R'. La capacité C étant pleine, on fermera les robinets
mm, Q; Ou ouvrira ceux p,n, n'et le même jeu recom-
mencera.

Soient :

JI la hauteur de la chute, comptée du niveau A au fond
de la capacité C.
H' la hauteur à laquelle l'eau est élevée, comptée du

niveau À au niveau L.

a,a! les aires des sections horizontales des capacités
C, G'supposées prismatiques.

h, h' les hauteurs sur lesquelles ces capacités S'emplis-
sent et se vident à chaque oscillation,

# la hauteur de la colonne d’eau qui fait équilibre à la

pression atmosphérique 10,3.

Supposant que les capacités C, C’ n’ont queles hauteurs
h, h'; négligeant le volume de l’air contenu dans le
tuyau qui établit la communication evtre ces capacités ;
considérant l'instant où Cest plein d'air, C plein d’eau,
et où l’on viept de fermer le robinet; onauraQ A pour
le volume d’air enfermé dans la machine, et soumis à
la pression u. Considérant ensuite l'instant où C a été
rempli d’eau, et C'vidé, on aura ©’ h' pour le vo-
lume auquel aura été réduit l’air enfermé dans la ma-
chine. La pression de cet air scra donc devenu pol
, Q'h
Mais cette tension doit faire équilibre en C'à la colonne
d’eau p+H'—+'. Donc on a la relation.

# sg #4 ++", d'où RTE ET

Le rapport de l'effet produit par la machine à la

oh Oh :

quantité d'action dépensée est donc

ARLES eH'
oh." (LH RH

Pour rendre ce rapport le plus grand possible, il faut
d’abord poser k'—o. Il devient alors

RER

ce)"
Sa valeuraugmente avec H'. Mais comme la pression de
l'air enfermé , laquelle fait équilibre en C' à la colonne
u+H'+hf, doit faire équilibre en C à une colonne au
plus égale à H—A, on ne peut pas prendre

Re. 28

FO
HAN — 2, où H>H — Ah

Ainsi pour obtenir le plus grand effet, il faudra
poser encore À—0, et faire H'—H. Le rapport devient

sub
bH
il est le plus grand possible quand H=o, et égal à
l'unité. D'où il résulte que
1°. La hauteur à laquelle on élève l’eau ne peut sur-
passer la hauteur de la chute, moins la hauteur des
deux capacités.
2°. Pour obtenir le plus grand effet, il faut faire la
hauteur des deux capacités infiniment petite et la hau-
teur à laquelle on élève l’eau égale à celle de la chute.
3°. L'effet obtenu 'ainsi est d'autant plus grand que
a hauteur de Ja chute est plus petite, etégale à la quan-
tité d’action dépensée quand cette hauteur est infini-
ment petite.
Lorsqu'on veut éle-

ver l’eau à une hau-
teur plus grande que
celle de la chute, en
employant le même
appareil, on peut l’é-
lever par reprises;
au moyen de la dis-
position indiquée par
la figure ci-contre.
Les robinets n, p;
p', payant été fer-
més, l'affluence de
l'eau dans la capacité ns
capacités C’, c”, C”', à s'élever dans les réservoirs s-
ement au-dessus de chacune d'elle. Ou-

G a forcé l’eau contenue dans les

tués respectiv
vrant ensuite les robinets susdits, et fermant ceux 71,
q, d' q", la capacité CG se vide d’eau, pndis que les
autres capacités s'emplissent, et le même jeu recom-
mence.

L'appareil qui vient d'être
indiqué est décrit dans les ou-
vrages anglais sous le nom
de Darwin. La machine telle
qu'on la voit ci-dessus a été
exécutée pour la première
fois par Hoëll à Schemmitz
en 1775. IL paraît qu'il ya
quelque erreur dans le ré-
sultat annoncé sur son pro-*=
duit. Le jeu des robinets est
exécuté par des ouvriers. On
a proposé un régulateur dont

à disposition paraît peu salis-

FO 51

faisante, et dont on peut voir la description dans le
traité de M. Hachette.

Principe de la machine de Darwin appliqué à l'éleva-
tion de l'huile dans les lampes.

Pour faire remplir à l’appareil précédent l'objet
d'utilité dont il s’agit, il fallait constater la vitesse avec
laquelle le fluide est poussé dans le réservoir supérieur.
On y parvient de la manière suivante, C, C’, C”, sont
trois capacités fermées. Celles C, C” sont d’abord rem-
plies de fluide. Ce fluide s'écoule de C en C’, avec une
vitesse constante , due à la distance verticale des points
A,B. L'air contenu dans C’ y est comprimé, et y sou-
tient a pression atmosphérique, plus celle de la colonne
de fluide AB. La compression de cet air se transmet en
a; et si la colonne a b est égale à celle AB, il y a èqui-
libre. L’écoulement de l'air de G en C’ avec une vitesse
constante, occasionne donc lécoulement de l'air de C'
en C” et celui du fluide de C” en b, avec des vitesses

également constantes.

Machine de Détrouville.

Cette machine est analogue à la précédente. Elle cn
diffère en ce que’ l’action de la chute d’eau, s'exerce
par l'intermédiaire d'un volume d'air dilaté. CC
sont, deux capacités fermées, communiquant par un
tuvau. R est le bief supérieur, fournissant l’eau. R' le
réservoir dans lequel on veut en élever. Supposons
l'appareil dans l’état indiqué par la figure, les robinets
n , p fermés, ceux 72, q, ouverts, la capacité C remplie
d’eau

source, celle C'’ occupée

fournie

par Ja

par l'air atmosphérique.
On fermera les robinets
mm, q,eton ouvrira Ceux?
n, p. L'eau contenue en
C s'écoulera par », et
l'air contenu en C' passera
La

atmosphériaue

en CG en se dilatant.
pression
agissant sur R, fera monter de l’eau en C’ par p. L'eau
cessera de sortir de C et d'entrer en €’ quand les
distances du niveau de A aux deux niveaux de l'eau,
dans les deux capacités, seront égales entre elles, et
à la différence entre les hauteurs des deux colonnes
‘d’eau, qui représentent la pression atmosphérique

et la’ force élastique restant à l'air enfermé après sa
dilatation. Pour que l’eau parvienne en C’ il faut que
Ja hauteur du fond de cette capacité au-dessus de A soit
moindreque celle de la colonne d’eau qui représente la
pression atmosphérique, L'eau ne peut d’ailleurs mon-

ter en C’ à une hauteur au-dessus de À , qui surpasse

52

FO

hauteur de la chute. Quand C' sera rempli, on fermera
les robinets p, n, et ouvrant ceux 72, g, C'se videra en
R', et Cs’emplira de nouveau. Soitnommé :

H, la hauteur de la chute comptée du niveau À au
fond de la capacité C,

H', la hauteur à laquelle on élève l’eau , comptée de
A au niveau A’ du réservoir supérieur.

9, ©’, Les sections liorizontales des deux capacités
C, C'; 2,X" , les hauteurs dont le niveau de l’eau y
varie à chaque oscillation.

&, la hauteur de la colonne d’eau qui fait équilibre à
la pression atmosphérique — 10", 3.

Faisant abstraction de l’air contenu dans lestuyaux de
communication , et au-dessus de l’eau dans C, quand
cette capacité vient d’être remplie, on'a ©’h' por le
volume de l’air enfermé. Quand C sera vidé, la pression
de cet air sera g—(H'+4-X"), et parconséquent ce volume

sera devenu — ©'h', . Mais alors il est sorti

À
Prin
le volume d’eau ©, et il estentré le volume ©'4' donc

© est le volume qu’a pris l'air dilaté, et on a la relation

72
DEAR = Fe
R=û'R Bt)
Le rapport de l'effet utile à la quantité d’action dépensée
est donc
e'h'H'

(e—H'—2)H
QAH, 3

2H

Pour rendre ce rapport le plus grand possible, il faut
d’abord supposer k'—0; ce qui donne

(&—H')H'
HN,

i

Faisant ensuite varier H', la valeur correspondante au
maximum sera H'=+, et comme H' ne peut surpasser
H, cette valeur s’appliquera aux cas où H sera ©>5u. La
valeur maximum du rapport de l'effet utile à la quantité
d'action dépensée sera pour ces cas

il sera d'autant plus grand que H sera plus petit et par-
conséquent sa limite correspondra à H—+y et sera Æ.
Dans le cas ou H sera 4x on aura le maximum
d'effet en fsisant H' le plus grand possible, où —H, La
valeur du rapport deviend
p—H
=
laquelle sera d'autant plus grande que H sera plus petit,
et—1 si H—o. D'où il résulte 1° qu’en général l'effet
que peut produire la machine est d'autant plus grand

que la hauteur de la chute est plus petite. 2°. Que dans

‘temps aux plus pénibles travaux du géomètre, sans

FO

le cas où la hauteur de la chute surpasse, 5, 15, il faut
pourobtenir le plus d’effet, que l’eau soit élevée à 5, 15
et quela limite de cet effet est la moitié de la quantité
d'action dépensée, 3°.Que dans le cas où la hauteur de la
chute est entre 5”, 15 et o, il faut pour obtenir le plus
d’effet que la hauteur à laquelle on élève l’eau soit égale
à celle de la chute et que la limite de cet effet est la
quantité d'action dépensée.

Si on voulait élever l’eau à une hauteur plus grande
que 10%, 3, ou plus grande que la hauteur de la chute,
il faudrait l’élever par reprises, au moyen d’un appa-
reil analogue à celui indiqué ci-dessous.

Cette machine a été proposée en 1590 par Detrou-
ville , et elle a été l’objet d’un rapport de l’Académie
des Sciences, rédigé par Meusnier. Elle n’a jamais été
exécutée en grand. La difficulté d’empêcher l'air at-
mosphérique de pénétrer dans les capacités; l'effet de
l'air qui se dégage de l’eau quand la pression est moin-
dre, contribuent à en rendre l’emploi peu avantageux.

M. Manoury Dectot a présenté en 1812 et 1813, di-
verses machines à élever l’eau, fondées sur les mêmes
principes que les précédentes. Ces machines offraient
cette circonstance remarquable, que les robinets ou
soupapes étaient supprimés en sorte que les nouveaux
appareils n’avaient aucunes parties mobiles. Les alter-
näatives d’affluence et d'écoulement de l’eau dans les ca-
pacités , s’opéraient par un jeu desyphons. Le plus re-
marquables de ces appareils était celui nommé par l’au,
teur hydréole, où l'élévation de l’eau était produite par
l’aircondensé venantse mêler avecune colonne d’eau qu’il
rendait spécifiquement plus léger. La description de ces
machines, dont les modèles sont au Conservatoire des
arts et métiers, n’a point été publiée.

FONTAINE DES BERTINS (Alexis), géomètre dis-
tingué du xvin° siècle, naquit à Claveyson, en Dau-
phiné, en 1505. Sa famille qui avait de l’aisance, lui fit
donner une éducation conforme à sa position sociale. Il
était destiné à la carrière du baraeau, mais son goût pour
les sciences l’amena à Paris, où il ne tarda pas à acquérir
de la célébrité. C’était à la fois un homme d'esprit et
un homme du monde, doué d’une imagination vive et
d’un caractère ferme , quoiqu’un peu bizarre; il ne re-
culait devant aucune difficulté, et pouvait se livrer long-

éprouver ri lassitude ni découragement. Fontaine, dont
on redoutait les sarcasmes hardis, et dont on appré-
ciait les connaissances, devint membre de l’Académie |
des sciences : le recueil des travaux de cette illustre !

compagnie reçut un grand nombre de mémoires de ce
géomètre sur diverses branches des sciences mathémati- |!
ques, qui tous attestent un profond savoir et une ori-.
ginalité puissante. Il est surtout connu dans la science
par son travail sur les tautochrones. La solution du pro- {!

FO

blème que présente ces courbes, est d’une grande im-
portance théorique. On sait qu’il consiste à trouver une
courbe telle, que tout corps pesant , descendant le long
de sa concavité, arrive toujours dans le même temps au
point le plus bas, de quelque point de la courbe qu'il
commence à descendre. Huygens, Newton, Euler et
Jean Bernouilli, ont tour à tour examiné ce problème,
et l'ont résolu dans divers cas. Fontaine aborda cette
théorie avec une méthode ingénieuse et nouvelle, et
bien que la solution qu'il a donnée du problème ne fût
pas assez générale, elle n’en parut pas moins l'œuvre
d’un grand géomètre. 1l eut l'honneur de voir sa mé-
thode développée par Euler, qui lui donna d’ailleurs
les plus grands éloges ; il est certain que Fontaine a dé-
posé dans ses travaux le germe de plusieurs découvertes
importantes; ainsi, dans sa solution des tautochrones,
il à démontré deux théorèmes qui ont peut-être servi
de fondement au calcul des variations, et le premier, il
a proposé une ingénieuse notation pour exprimer les
coefficiens différentiels de tous les ordres, qui porte son
nom, et dont on se sert encore. Fontaine est mort en
Franche-Comté, en 1771. Il n’a publié que des Mémoi-
res qu’on trouve dans les recueils académiques, mais
qui cependant-ont été réunis et publiés à part, en 1764.
Condorcet a fait l'éloge de cet académicien.

FORCE (Mcc.). Cause quelconque qui met un corps
en mouvement, ou plus généralement, qui tend à mou-
voir ou meut réellement un corps.

Selon cette définition, la puissance musculaire des
| animaux, tout aussi bien que la pesanteur, le choc de
deux corps, la pression, etc., sont considérés comme
des forces ou des sources de mouvement, parce qu'il
| est évident, par l'expérience journalière, que les corps
exposés à la libre action de l’une de ces causes, sont mis

| ; sh :
|en mouvement ou éprouvent des variations dans celui
| qu'ils peuvent avoir déjà.

| Toutes les forces, quelque différentes qu’elles soient,
se’ mesurent par les effets qu’elles peuvent produire
| dans une même circonstance. De cette manière, elles
| deviennent des quantités comparables, qu’on peut
|représenter par des nombres ou par des lignes, en les
lrapportant à une unité de leur espèce. Ainsi, quand on
dit qu’une force est représentée par une ligne droite
IAB, cela signifie seulemént que cette force agissant sur
jun corps placé au point À , lui ferait parcourir la droite
AB dans un temps déterminé,

Les forces mécaniques peuvent se rainencr à deux
clässes , savoir : celles qui agissent Sur un corps en repos,
At celles qui agissent sut un corps en mouvement. Les
premières, que l’on conçoit comme résidant dans un
cürps Supporté par un plan ou suspendu à un obstacle
juviticible, sotit nommées forces de pression, de ten-

TOME II,

FO 99
sion, motrices Où FORCES MORTES , elles peuvent toujours
être mesurées par un poids. Dans cette classe de forces,
où peut ranger les forces dites centripètes et centrifuges
(vay. ces mots), quoiqu’elles résident dans un corps en
mouvement, parce que ces forces sont homogènes avec
des poids , pressions ou tensions de diverses sortes.

Les forces de corps en mouvement sont des puissan-
ces qui résident dans un corps aussi long-temps que le
mouvement continue; on les nomme forces mouvantes,
ou ronces vives. Nous allons examiner successivement

ces diverses forces.

Fonce morre. C’est, comme nous l’avons déjà dit,
celle qui agit contre un obstacle invincrble, qui consiste
par conséquent dans une simple tendance au mouve-
ment, et qui ne produit aucun effet sur l'obstacle sur
lequel elle agit. Telle est par exemple, la force d’un
corps pésant qui tend à descendre, mais qui est
posé sur une table ou suspendu à une corde. Ce corps
ue saurait descendre , parce que la résistance de la table
ou de la corde l’en empêche, mais il presse la table ou
tend la corde, et il montre par là sa tendance au mouve-
ment, qui ne peut avoir d'effet tant que ces obstacles
invincibles s'y opposent. Cette pression du corps pesant
est donc sans effet dans les deux cas; ou plutôt, les ef-
fets qu’elle produit, c’est-à-dire, la pression de la table
ou la tension de la corde, sont des effets qui n’épuisent
point la cause pressante. Ainsi, cette cause pressante ne
perd rien de sa force, parce qu’elle ne la déploie point,
mais qu’elle tend simplement à la déployer. Lors donc
que les obstacles sont invincibles, l’action de la force
quitend à les déplacer , est à tout moment détruite par
ces obstacles, et à tout moment reproduite par l'effort
continue] que fait Ja force pressante pour vaincre cette
résistance.

La force morte d'un corps se mesure par le produit
de sa masse ou de sa matière propre, multipliée par sa
vitesse initiale, c’est-à-dire, par la vitesse qu'il aurait
dans le premier instant, si l'obstacle qui le retient ve-
nait à céder,

Force vive. C’est celle d’un corps actuellement en
mouvement ; qui agit contre un obstacle qui cèdeet qui
produit un effet sur lui. Telle est, par exemple, la
Jorce d’un corps, qui, par sa pesanteur, est tombé
d’une certaine hauteur; et choque un obstacle qu’il ren-
contre. Telle est encore la force d’un ressort qui se dé-
bande contre un obstacle qu'il déplace.

Où avait toujours pensé jusqu'à Léibnitz, que la
Jorce vive devait être évaluée ainsi que la force-morte,
par le produit de la masse multipliée par la simple
vitesse, mais ce grand home établit qu'il fallait les-
timer par le produit de la masse inultipliée par Île
carré dé lu vitesse (vüy. BDrevis dénibnstratio trroris

.
24

FO

memorabilis Cartesiiet aliorum. Act. trad.Lecipsic.1686 ,
page 161.) Quelque opposée que fût cette opinion aux
principes connus et adoptés jusqu'alors, elle trouva
d’ardens promoteurs , et fit naître entre les géomètres
une dispute célèbre dont on peut voir les pièces dans les
Mémoires de l’Académie des Sciences, 1728, et dans
ceux de 4#4- Petersbourg, t. TL. Sans entrer ici dans
les raisons pour et contre qui ont été alléguées par les
deux partis avec plus ou moins de justesse, nous allons
éclaircir la question en précisant, d’après Cornat, ce
que l’on doit entendre par l'expression de force vive.

Les hommes, les animaux et autres agens de même
nature, peuvent exercer des forces comparables à celles
des poids, soit en effet par leurs propres poids, soit par
les efforts spontanés dont ils sont capables. Or, il se
présente deux manières aussi naturelles l’une que l’autre
d'évaluer l’action qu’ils exercent réellement. L'une
consiste à voir quel fardeau un homme, par exemple,
peut porter, ou quel effort évalué en poids, il peut
soutenir , tout demeurant en repos. Alors la force de cet
homme, est une force de pression équivalente à tel ou
tel poids, et on peut la considérer comme une force
morte.

La seconde manière d'évaluer la force d’un homme,
d’un cheval, etc. , est d'examiner l'ouvrage qu’il est en
état de faire dans un temps donné; dans un jour, par
exemple , par un travail suivi. Sous ce point de vue,
pour arriver comme dans le premier cas à une évalua-
tion précise, nous pouvons encore comparer le résultat
de son travail , à l’effet de la pesanteur; car ilest naturel
d'évaluer ce travail, et par le poids qu'il peut élever
dans un temps donné, et par la hauteur à laquelle il
élève ce poids. C’est ainsi qu'on l'entend, lorsqu'on
dit qu’un cheval équivaut , pour la force, à sept hom-
mes ; on ne veut pas dire, que si sept hommes tiraient
d’un côté et le cheval de l’autre, il y aurait équilibre,
mais que dans un travail suivi, le cheval à lui seul élè-
vera , par exemple, autant d’eau du fond d’un puits, à
une hauteur donnée, que les sept hommes ensemble,
pendant le mmêmetemps. Quand on emploie des ouvriers,
l'intérêt est de savoir ce qu'ils peuvent faire de travail
dans un geure analogue à celui dont on vient de parler,
bien plus que de savoir les fardeaux qu'ils pourraient
porter sans bouger de place. Cette ñouvelle manière
d'envisager les forces, est donc au moins aussi natu-
relle et aussi importante que la première. Et comme il
est sensible qu’élever un poids de cent kilogrammes à
mille mètres de hauteur, est la même chose dans cette
manière d'évaluer les forces, qu’élever deux cents kilo-
grammes à cinq cents mètres seulement : il suit que les
forces, sous ce nouveau point de vue, doivent être
considérées comme en raison directe des poids à élever

et des hauteurs auxquelles il faut les porter, ou autres

FO
travaux comparables à celui-là. Or, c'est sur cette
considération qu'est fondée Ja notion usuelle des
forces vives.

En effet soit M une masse, P son poids, gla gravité,
dtYélément du temps, et H la hauteur à laquelle P à
été porté. Suivant cette nouvelle manière d'envisager
les forces, celle qui a dû être emplovée pour élever P à
la hauteur IE, sera P X H. Mais FE étant l’espace par-
couru, peut être exprimé parle produit d’une vitesse V

et d’un temps T (voy. Mouvement). D'un autre côté on

lt. M
a M— 8° (voy. Pons ), et g.dt exprime une
autre vitesse V' (voy. Viresse) donc PH —M VV" _.
dt

donc dt et T étant deux quantités homogènes , PH sera
le produit d’une masse par le produit de deux vitesses
ou par le carré de la vitesse moyenne proportionnelle
entre V et V'; donc la force PH se résume en un pro-
duit d’une masse par le carré d’une vitesse , comme
M4, en nommant w la vitesse moyenne proportionnelle
entre V et V'{ voy. Carnot, Principes fondamentaux
de l'équilibre et du mouvement).

Les forces se distinguent encore en uniformes et va-
riables ( voy. Mouvement et ACCÉLÉRÉ, voy. aussi
CEnrraL).

CompPosiTION DES FORCES. Lorsqu'un corps matériel
que l’on peut réduire à un point est soumis à l’action
simultanée de plusieurs forces qui agissent sur lui dans
des directions différentes et qui ne se font point équili-
bre, ilest certain qu’il doit se mouvoir dans une cer-
taine direction et alors rien n'empêche d'attribuer le
mouvement qu'il preud à une force unique agissant sur
lui dans cette direction. Cette force est ce qu’ou appelle
la résuliante de celles qui ont mis le corps en mouve-
ment, etcelles-cisoht nomméesles composantes delapre-
mière; la propriété caractéristique de la résultante est de
pouvoir remplacer identiquément les composantes et
par conséquent de leur faire équilibre, quand on l’ap-
plique au point matériel, en sens contraire de sa direc-
tion , car alors ce point se trouve absolument dans le
même état que s’il était sollicité par deux forces égales
et directement opposées. Le problème de la composi-
tion des forces sur lequel repose toute la statique, con-

siste à déterminer la grandeur et la direction d'un

nombre queiconque de forces données. )

Si les forces données sont au nombre de deux, cas.

auquel il est facile de ramener tousles autres, en repré- |
sentant ces forces par deux droites, il suffit d’une sim- ,

ple construction géométrique pour résoudre le pro-

blème. Soit, en effet, le point P sollicité dans la à

direction Pr? par une force représentée par Pa, et
dans la direction Pr, par une force représentée par Pb, |
Si l'on construit entre Pa et P4 le parallélogramme

FO
Pace , la diagonale Pc de ce parallélogramme sera la
direction de la résultante et représentera sa grandeur.

Pour ‘démontrer cet important théorème on peut
considérer le point P comme se mouvant de Pen asur
le plan Pace en vertu de la seule force Pa, tandis que
ce plan lui-même se meut dans la direction Pn, de telle
manière qu’il se trouve occuper la position cerd au mo-
ment où le point P arrive eu a; or il est évident que
par l’effet de ce double mouvement, le point a, et par
suite P, arrive en c, au moment où Pacb se trouve en
cend, le point matériel P est donc arrivé de P en c par
le concours des deux mouvemens, c’est-à-dire qu’il a
décrit la diagonale Pc et que cette diagonale représente
en grandeur et en direction la résultante des forces Pa
et Pe.

La démonstration directe de ce théorème qui porte
le nom du parallélogramme des forces a été tentée par
plusieurs géomètres ; parmi toutes leurs démonstrations
nous devons citer la démonstration synthetique où géo-
métrique dé M. Duchayla qu’on trouve dans la plupart
des ouvrages élémentaires, et surtout l’élégante dé-
mopstration algébrique ou, comme on le dit, analyti-
que de M. Poisson (Voy. ses Elémens de Mécanique).

Une fois le parallélogramme des forces établi, il de-
viént très-facile de trouver la résultante d’un nombre
quelconque de forces, car après avoir trouvé la résul-
tante de deux d’entre elles, on compose cette résultante
avec une troisième force, ce qui donne une seconde ré-
sultante qu’on compose également avec une quatrième
force, etainsi de suite jusqu’à ce que l’on soit parvenu à
la résultante finale.

Le parallélogramme des forces sert encore à décom-
poser une force donnée en plusieurs autres par des
constructions géométriques qui ne présentent aucune
difficulté.

Force AntmaLe. C’est celle qui résulte des puissances
musculaires de l’homme et des animaux.

Désagulier, dans sa Philosophie expérimentale, rap-
porte plusieurs observations curieuses et utiles sur la
comparaison des forces de l’homme et de celles des
chevaux, et sur la meilleure manière de les appliquer.
Nous devons renvoyer à son ouvrage pour les détails
qui sortent entièrement de notre plan. (’oy. Desagu-
lier's experimental philosophy.)

FORMULE (4/g.). Résultat général d’un calcul algé-
brique qui indique les opérations qu'il faut faire pour

FO | ts)
obtenir la quantité dont ce résultat exprime la généra-
lion. Par exemple :

æLpx+q=0
étant une équation quelconque du second degré, on a
pour la valeur de x

x RE

à BNP TO
et, ce résultat absolument général et dans lequel il ne
faut que substituer à la place de pet de g des nombres
quelconques pour obtenir ensuite, à l’aide des opérations
indiquées, les valeurs des racines d’une équation pro-
posée dusecond degré, ce résultat, disons-nous, se nomme

Jormule.

FORTIFICATION (Wathém. appl.). La fortification
a pour objet dedisposer un terrain donné qu'on a intérêt
à défendre, de manière à mettre une armée en état de
résister avec avantage à des forces qui lui sont supé-
rieures.

Lorsque la position à défendre est d’un grand intérêt :
et que sa défense ne doit pas être immédiate , on l’oc-
cupe par une place forte ; et la disposition la plus con-
venable qu’on doit donner à cette place, tout en dé-
pendant de la configuration du terrain sur lequel elle
estssise s'appuie sur dés principes dont le développe-
ment est du ressort de la fortification permanente.

Lorsqu'on n’a pour but que d'occuper momentané-
ment une position, soit pour fournir un point d'appui
à uze armée, soit pour empêcher l'ennemi de S'y éta-
blir, on y construit des retranchemens dont le tracé et
l'armement constituent la fortification passagère.

FORTIFICATION PERMANENTE.

Aussitôt que les peuples se furent constitués en corps
de nation et eurent fondé des villes, ils cherchèrent à
les mettre à l'abri des incursions de leurs voisins. De là
naquit l’art de la fortification. On se contenta d'abord
d’enfermer d’une muraille le lieu qu'on voulait proté-
ger. On la fit ensuite précéder d’un fossé afin d’en

274

rendre l'accès plus difficile. Comme on s’apercut biens
tôt qu’il était impossible de défendre ce fossé sans ex-
poser les défenseurs aux coups des assiégeans , on con-
struisit de distance en distance des tours rondes ou car-
rées qui permettaient de prendre des vues deflanc. Leur
distance maximum était déterminée par la plus grande
portée des armes alors en usage. Afin que l'enceinte
présentät une plus grande résistance aux béliers et au-
res engins destinés à la battre en brêche , on la ter-

26 FO
rassa, c’est-à-dire qu’on appuya contre elle une masse de
terre qui , terminée par un plan horizontal en contre-
bas du sommet du mur, formait ainsi ure banquette
propre à recevoir les défenseurs.

L'attaque fut alors dirigée contre les portes qui pré-
sentaient une résistance moires grande. Afin de les dé-
fendre, on les surmonta de machicoulis qui permettaient
de jeter toute sorte de /\
projectiles sur les assail - /
lans. Voila quels furent /
les progrès de la for-
tification jusqu'à l’inven-
tion de la poudre à canon.

Mais aussitôt qu’on em-
ploya l'artillerie contre les enceintes, on s’aperçut
bientôt que la défense était dans un état d'infériorité
bien marquée par rapport à l'attaque. Les tours des-
tinées à flanquer le fossé , ne présentaient pas un loge-
ment convenable à l'artillerie. Alors on leur donna des
dimensions plus considérables sans altérer leur forme.
On les termina en flèche dont la pointe était tournée
vers la campagne, et ainsi faites elles prirent le nom de
Bastion. Une enceinte ainsi armée fut appellée enceinte

bastionnée, et elle a conservé ce nom dans la fortifica-
tion moderne.

PE RE Le) ER

Ce fut vers 1500 que ces améliorations eurent lieu.
Errar d, de Bar-le-Duc , qui vivait sous Henri IV, estle
premier ingénieur français qui ait écrit sur la fortifica-
tion. Son traité, qui porte pour titre : La fortification
démontrée et réduite en art, date de 1594. Le tracé qui
porte son nom se détermine de la manière suivante :

Soit AB Ie côté d’un hexagone régulier à fortifier.
On mène les ravons Ao et Bo, et avec ces deux droites

où fait aux points À et B, des angles de 45°. On divise

FO

ces angles en deux parties égales , par les droites AF et
BG; leurs points de rencontre F et G, avec les droites
AC et BD, sont joints par une droite FG, qui est paral-
lèle à AB. Des points F et G, on abaisse des perpen-
diculaires FIX et GI, sur les droites AG et BD, et le
tracé en front est ainsi complètement déterminé. Les
parties AÏT et BI, sont les faces des bastions, dont le
saillant est en À et B; FH et GT sontles flancs, et FG la
courtine. En faisant les mêmes opérations sur les autres
côtés de l'hexagone , on aura son tracé complet. Cette
méthode est on ne peut plus vicieuse, car les flancs des-
tinés à défendre le saïllant du bastion , ne peuvent diri-
ger leurs feux sur la courtire : de plus, ils sont d’une

petitesse extrême.

3. Marolois , ingénieur hollandais, proposa un tracé
qui présentait quelques avantages sur celui d’'Errard son
contemporain. (Ÿ’oy. planch. 11 , fig. 4.)

Par un point A d’une ligne indéfinie AB, soit menée
une droite AO, faisant avec elle un angle égal àla moitié
de celui de l'hexagone régulier. Par le même point A,
menons une droite AD, faisant avec AO un augle de 4o°,
ct prenons sur elle une longueur AE de 40 toises. Du
point E abaissons la perpendiculaire EN sur AB. De N
en [, portons une longueur de 72 toises qui sera celle de
la courtine. Au point I, élevonsune perpendiculaire IL
égale à NE ; faisons IB égale à AN, et en joignant BL,
ce sera la face de l’autre demi-bastion. Prolongeant la
droite EN, on fera avec elle au point E un angle GEF
de
Ao, on mènera MF parallèle à AB. On prolongera les
perpenudiculaires EN et IL, jusqu’à leur rencontre en
Get H, avec cette droite, et le front sera complète-

55°, et par le point de rencontre F avec la droite

ment déterminé.

Dans ce tracé, les flancs peuvent défendre les saillans
des bastions, mais les vues sont très-obliques, et l4
défense est bien loin d’être efficace.

4. Le chevalier Antoine de Ville, ingénieur distingué
sous Louis XIIE, publia en 1628 un ouvrage ayant pour
titre, les fortifications du chevalier Antoine de Ville,
dans lequel se trouvait décrit le tracé suivant. (Planche
tx; fin. 3.)

Soit AE le côté d’un hexagone à fortifier. On le divi-
sera en G parties égales. On prendra les droites AC et
ED, égales chacune à une de ces parties; aux points
C et D, on élèvera les perpendiculaires CL et DH,
qu'on prendra égales à AC. On mènera les rayons indé-
finis OA et OE. Du point L on abaissera LQ perpendi-
culaire sur AO, on prendra AM égale à QL, et la
droite ML sera la face du bastion. On fera la même
construction pour l’autre sommet du polygone. Le fossé
doit être tracé parallèlement aux faces du bastion, et

‘FO

avoir une largeur de 20 toises. Afin de couvrir le flanc
DH, on y pratiquait un orillon GRIH, dont la con-
struction se déterminait ainsi. On divise DH en trois
parties égales. On prend DG égale à l'une d'elles, eton
joint MG; sur cette droite on prend GK égale à DG, et
par le point K on mène une parallèle à DH. L'orillon se
trouve ainsi déterminé. On le termine ordinairement
par une partie arrondie, qui doit être tangente aux deux
droites GM et RH. EF est un second flanc retiré, élevé
au-dessus du flanc DG, ce qui donnait deux étages de
feux.

Dans ce tracé, les flanquemens sont encore trop obli-
ques ; et les gorges des bastions tellement étroites, qu'il
est bien difficile de pouvoir y loger tout ce qui est
convenable à la défense.

5. Le comte de Pagan, mort maréchal-de-camp en
1665, a publié en 1645 un ouvrage ayant pour titre les
Lortifications du comte de Pagan. Son tracé se construit
de la manière suivante. (voy. PI. 11, fig.3). Soit AD le
côté d’un hexagone régulier que nous supposerons de
180 toises. On le divisera en deux parties égales, et au
point de division D, on élèvera la perpendiculaire DC
de 30 toises. On mènera la ligne de défense CA. Ou
prendra la face AC de 55 toises et du point E, on abais-
sera EM perpendiculaire sur la ligne de défense EC. MN
menée parallèlement à AD sera la courtine. Afin d’aug-
meunter les feux desflancs, on construit trois flancs élevés
les uns au-dessus des autres. De plus on construit un se-
cond bastion intérieur au premier. Pour tracer ces
flancs, on divise EN en deux parties égales du point G,
et on mène AC que l’on prolonge indéfiniment, ainsi
que la ligne de défense AN. On prend les parties NI,
IL, LO chacune de 7 toises, et on mène les droites IH,
LL et OP parallèles à FN; la droite passant par le
point P est menée parallèlement à la face du bastion et à
16 toises en arrière. Leterre-plein du flanc supérieur est
au niveau de celui du bastion; celui du second flanc est
élevé de la moitié de la hauteur du bastion au-dessus de
la campagne; et le terre plein du troisième est au ni-
veau de la campagne. On entre dans ces deux derniers
flancs par des souterrains pratiqués sous le rempart de
la brisure de la courtine. Dans ce système, les feux de
flancs défendent bien les saillans des bastions, puisqu'ils
sont perpendiculaires aux lignes de défense, et le bastion
intérieur est d’un excellent effet pour défendre la place
jusqu’à la dernière extrémité,

G. Enfin parut l’homme qui devait faire faire unpasim-
mense à l’art de Ia fortification , et qui a donné pour
l'attaque et la défense des places des préceptes qui sont,
à bien peu de chose près, ceux que l’onsuitencore aujour-
d’hui. Sébastien Leprêtre de Vauban, naquit en 1633.
Il mourut en 1707, directeur général des fortifications

FO ST
et maréchal de France. Il fit 53 siéges, bâtit 33 places
fortes et en repara un très-grand nombre,

Dans son premier tracé, le maréchal de Vauban sup-
pose le côté de l'hexagone régulier de 180 toises. (Foy.
Pl. 11, fig. 2. ) Ille divise au point en deux parties
égales, par la perpendiculaire ED qu'il fait égale au 1/6
du côté extérieur ou à 30 toises. Les droites DO et DM
sont les ligues de défense. Il prend les faces OL et MB
égales aux 2/7 du côté extérieur, et les flancs LQet BC
sont menés perpendiculaires aux lignes de défense; la
droite CQ , paralièle au côté extérieur , est la courtine.
Les relations entre la longueur des faces, celle de la
perpendiculaire et celle du côté extérieur sont extrème-
ment simples, GE ADSL que la longueur du côté exté-
rieur est donnée, tout le tracé du front se trouve com-
plètement déterminé. Dans la suite Vauban imagina un
second et un troisième tracé, qu'il n’appliqua qu'aux
places de Landau et New-Brisack, et comme c’est à peu
près son premier tracé qui, modifié par Cormontaigne,
a été généralement adopté, nous nous abstiendrons de

faire connaître les deux autres.

7, En décrivant le front moderne, et en donnant les
moyens de le tracer exactement, nous ferons connaître
les différens ouvrages dontilse compose, indépendam-
ment des bastions, qui constituent ce qu’on appelle le
corps de place.

Nous supposerons le côté extérieur AB de 360 mè-
tres ; la perpendiculaire CD élevée sur le milieu le 1/6
LA

de ce côté, ou 60 mètres; les faces ont le 1/3 de AB, ou
120 mètres. Les flancs EG et FH sont menés perpendi-
culairement aux lignes de défense. Afin de donner de
la force à l'enceinte bastionnée on lui a ajouté des ou-
vrages qui prennent le nom général de dehors. Le pre-
micr est la tenaïlle placée en avant de la courtine , et
destinée à couvrir le débouché de la poterne, ou pas-

sage seryant à communiquer de l'intérieur à l’extérieur,

38 FO

et qui est pratiqué sous le milieu de la courtine. À 12
mètres et à 26 mètres de la courtine on mène deux
droites parallèles à ses dimensions; la seconde est termi-
née aux lignes de défense du front. On laisse un passage
de 10 mètres entre la tenaille et les flancs. La tenaille
est terminée en arrière par deux droites menées parallè-

lement aux lignes de défense et à 14 mètres d’elles.

Des saillans des bastions comme centres on décrit des
arcs de cercle d'un rayon de 30 mètres, et les droites me-
nées tangentiellement à ces circonférences et à deux au-
tres circonférences tracées des points a et b, comme
centres avec des rayons de 34 mètres, limitent la largeur
du fossé du corps de place et sont les contrescarpes
de ce fossé. On appelle escerpe la limite intérieure du
fossé.

De tous les ouvrages construits au-delà de la contres-
carpe, le plus considérable est la demi-lune. Pour la
construire, on prolonge la perpendiculare élevée sur
le milieu du côté extérieur du front, et on prend sur
elle 96 mètres à partir de son point de rencontre avec
le côté extérieur. Le point ainsi déterminé est le saillant
dela demi-lune. En joignant ce point avec deux points
pris sur les faces des bastions et a 36 mètres de l'angle
de la face et du flanc, ou de l'angle d'épaule, on a la
direction des faces de la demi-lune qui se terminent à
la contrescarpe du fossé du corps de place. La demi-
lune est précédée d’un fossé de 20 mètres de large et
qui est arrondi au saillant.

Dans l’intérieur de la demi-lune on pratique un ou-
vrage qui porte le nom de réduit de demi-lune. Les
faces sont tracées à 30 mètres des faces de la demi-lune
et lui sont parallèles, En avant est un fossé de 10
mètres. Les faces sont arrêtées à 16 mètres de la contres-
carpe du fossé du corps de place, et par ces points des
droites menées parallèlement à la perpendiculaire au
côté extérieur du front déterminent les flancs du ré-

duit.

Le corps de place et la demi-lune sont environnés
d’un chemin couvert large de 10 mètres, dans lequel les
parties placées devant les saillants, prennent le nom
de places d'armes saïllantes. Les parties situées vis-à-
vis Le point de rencontre de la contrescarpe du corps de
place et de la contrescarpe de la demi-lune, sont les
places d'armes rentrantes. En voici le tracé. On prend
54 mètres sur la contrescarpe de la demi-lune et sur celle
du corps de place, et par ces points on mène deux
” droites se rencontrant et ayant chacune 60 mètres. Dans
l'intérieur de cette place d'armes rentrante , on pratique
un réduit maconné dont un des côtés de l’escarpe est
déterminé par la droite joignant le saillant de la demi-
lune, et un point pris à 4o mètres du point de rencontre
de la contrescarpe du fossé du corps de place et dela

FO

contrescarpe de la demi-lune et sur Ja première. Par le
point où cette droite rencontre la capitale de la place
d’armes, c’est-à-dire la droite la divisant en deux par-
ties égales, et par un point pris à 4o mètres sur la con-
trescarpe de la demi-lune , on mènera une droite qui
déterminera l'autre escarpe. En avant ,on pratiquera
un fossé de 5 mètres de large.

Dans ce tracé les demi-lunes placent les bastions dans
des ceintures. Afin de leur donner une saillie on les en-
tourera d’une demi-lune sans réduit, qui en soit séparée
par un fossé, et qui alors prendra le nom de contre-
garde.

Quelquefois en avant des bastions et sur leurs capi-
tales on place des demi-lunes avec flancs; elles se nom-
ment alors lunettes. On les entoure d’un chemin cou-
vert, qui est quelquefois réuni à celui des demi-lunes
adjacentes. Les ouvrages ainsi éloignés du corps de
place prennent le nom général d'ouvrages détachés ou
avancés. (Voy. PI. 35.)

5. Après nous être ainsi occupés du tracé complet du
front moderne, il nous reste à donner les moyens de
déterminer exactement son relief, et les rapports de
hauteur que doivent avoir entre elles ses différentes
parties pour présenter la meilleure défense possible. Dans
tout ce qui va suivre nous supposerons que la fortifica-
tion est assise sur un terrain horizontal.

On appelle relief la hauteur d’un ouvrage de fortifi-
cation au-dessus d’un plan quelconque choisi arbitraire-
ment ; ordinairement c’est par rapport au fond du fossé
que toutes les hauteurs sont comptées.

Le relief relatif, ou la différence des hauteurs de
deux ouvrages, par rapport au même plan, se nomme

commandement.

Un profil est une coupe verticale, perpendiculaire à
la projection horizontale de l’escarpe d’un ouvrage. A°
l'aide du profil {A), fait perpendiculairement à la face
d'un bastion, et retournant d’équerre sur le réduit de
la place d'armes rentrante ; et du profil (B), fait perpen-
diculairement sur le milieu de la courtine, et retour-
uant d’équerre sur la demi-lune etson réduit, nousallons
expliquer les différentes parties du relief de la fortifica-
tion. (PI. 38, fig. 1 et 2.) Profil (A). Le point & est le
sommet de l’escarpe du bastion, qui est couronné par
un cordon en pierre de taille, destiné à rejeter les eaux
pluviales. Le talus de ce mur de revêtement, qui a or-
dinairement 10%, est au 1/10, inclinaison que de
nombreuses expériences ont fait regarder comme la
meilleure. Ce mur a au sommet 2,50 mètres d'épaisseur,
et par conséquent 3,50 mètres à la base. Il est fondé à
1 mètre au-dessous du fond du fossé, sur un empâte-
ment faisant saillie de 0,60 mètres sur le pied du talus.

Son parement intérieur est vertical,

|
|

FO
La masse de terre appuyée contre ce mur, s'appelle pa-
rapet. Elle est terminée extérieurement par un talus
qui est celui des terres abandonnées à elles-mêmes. Le
point b appartient à la créte intérieure du parapet, dé-
terminée de manière à ce qu'il ait 6 mètres d'épaisseur ;
Ja droite bc fait avec l'horizontale, un angle dont la
tangente est comprise entre le + et le £de son rayon.
C’est la plongée, et son prolongement doit passer à un
mètre environ au-dessus du sommet de la contres-
carpe. ac est le talus extérieur. Le talus intérieur bd,
a 3 de hauteur sur 1 de base, afin de permettre aux
défenseurs d'appliquer commodément leur fusil sur la
plongée; la banquette df est à 1,20 mètres au-dessous
de la crète intérieure , cette hauteur étant suffisante
pour qu’on puisse tirer à son aise, sans trop se décou -
vrir, La banquette se raccorde avec le terre-plein, situé
à 2,50 mètres au dessous de la crête intérieure, par un
talus qui a 1 de hauteur sur 2 de base. Une longueur
horizontale de 13 mètres à partir de la crête intérieure
détermine l’extrémité du terre-plein, qui est raccordé
avec le sol de la place par un talus à terres coulantes.
La contrescarpe du fossé est revêtue en maçonnerie,

l’inclinaison est encore au mais les épaisseurs sont

10 ?
moindres que pour l’escarpe, puisque la masse des terres
à soutenir est beaucoup moins considérable. Le che-
min couvert qui a 10 mètres de large a une crête inté-
riceure élevée de 2,50 mètres au-dessus du sommet de
la contrescarpe, et elle se raccorde avec le terrain envi-
ronnant par un plan dont l'inclinaison varie entre

le = etle =, et qui se nomme glacis. La crête du
chemin-couvert ou du glacis doit être telle qu’elle
couvre le mur d'’escarpe des vues de l’ennemi; c'est-à-
dire, qu’en menant parle sommet de l’escarpe et la crête
du glacis un plan, il doit laisser au-dessous de lui tous
les établissemens de l’ennemi , ou tout au plus leur être
tangent.

La nomenclature des différentes parties qui compo-
sent le profil (B), est absolument la même que pour le
précédent. Les relations de commandement existant
entre ces différentes parties, sont celles-ci: Le plan des
crêtes des glacis de la demi-lune passe à 3,85 mètres
au-dessus du plan du terrain; le plan des crêtes inté-
rieures de la demi-lune, passe à 5,70 mètres au-dessus
du terrain; celui des crêtés du réduit à 6,35 mètres, et
celui de la crète de la courtine, et par conséquent de
toutes les crêtes du corps de place, à 7,00 mètres.

À l’aide de ces données, on pourra déterminer com-
plètement le tracé et le relief d’un polygone à fortifier,
en supposant que le terrain sur lequel il est assis est
horizontal, ainsi que le terrain environnant.

9. Lorsquele terrain qui environne la fortification n’est
plus horizontal, le relief n’est plus le même que dans les

cas dont nous venons de nous occuper. Les parapets des

FO 89
ouvrages doivent être tels que leurs terre-pleins ne
puissent être vus de l’ennemi. [l est évident que l’on sa-
tisfera à cette condition, si le plan des crètes intérieures
passe au-dessus de tous les établissemens de l’assiégeant.
On voit de suite que dans ce cas il n’est pas possible de
tenir toutes les crêtes intérieures d’une place forte dans
un même plan, et il faut alors chercher quel est le
moindre nombre possible de plans qui peuvent résou-
dre le problème, en satisfaisant à la condition de ne pas
se jeter dans des reliefs excessifs.

Le plan qui contient les crêtes intérieures d’un ou-
vrage s'appelle plan de défilement; et défiler un ou-
vrage, C’est déterminer ce plan, de manière à ce qu'il
passe au-dessus des étublissemens de l'ennemi. Comme
on ne doit se défiler que des points qui peuvent battre
avec quelque certitude, on a fixé la limite du défile-
ment à 1400 mètres, portée de but en blanc des pièces
du plus gros calibre. Au-delà, on ne tient plus compte
des accidens du terrain.

Un des meilleurs moyens qu'on puisse employer
pour défiler une place, est de le faire par front séparé.
Alors on commeuce par déterminer la côte du fond du
fossé, et en prenant sur le milieu de l’escarpe de la
courtine un point à 10 mètres au-dessus, on le considère
comme apparteuant au plan de défilement. La question
se réduit alors à faire passer par un point donné un plan
passant à 1,50 mètres au-dessus des hauteurs connues. Et
sion diminue les côtes de toutes les courbes horizontales
déterminant le terrain de 1,50 mètres, il ne s'agira que
de leur mener un plan tangent par ce point donné.
(Poy. DériLemenT, ÉCUELLE DE PENTE.)

Li arrive souvent qu’on ne peut défiler un front par
un seul plan, alors on emploie deux plans de défilement
se coupant suivant la perpendiculaire sur le milieu de
la courtine. Dans ce cas , lorsque les deux plans se cou-
pent en gouttière, on construit une traverse suivant la
capitale de la demi-lune et du réduit, afin de préserver
les défenseurs des vues de revers.

Il est souvent plus commode d’astreindre le plan de
défilement à passer par une droite dont on se donne la
position et les côtes. Cette droite s'appelle charnière. La
question du défilement des ouvrages est une des plus dif-
ficiles de l’art de la fortification, et il est impossible de
déterminer par avance quels seront les plans dont on
devra faire choix. Ce n’est que par une grande habitu-
de, et servi par un coup d'œil exercé qu’on pourra ar-
river à trouver rapidement quels sont les meilleurs
moyens de préserver les défenseurs, non seulement des
vues directes de l’ennemi, mais encore des vues de
revers et d’enfilade.

Il est certaines positions pour lesquelles le problème
est insoluble , à moins qu’on ne donne à la fortification
des reliefs tout-à-fait exagérés,

10 FO

Ce qu'on a de mieux à faire alors est d'abandonner
une position qui ne peut jamais présenter une bonne dé-
feuse.

10, Afin d'assurer les communications des différentes
parties de la fortification entre elles , on établit sous le
milieu des courtines un passage voüûté qui débouche à
2,00 mètres au-dessus du fond du fossé; ce passage
continue sous la tenaille, mais aa niveau du fond du
fossé, Afin qu’on puisse se rendre à couvert dans le
réduit de la demi-lune, on construit de chaque côté
du milieu de la tenaille et dans le fond du fossé un
ouvrage en terre, qui se nomme caponnière. On monte
dans la tenaille et dans le réduit de demi-lune par deux
escaliers , appelés pas de souris. Un passage souterrain
pratiqué sous le flanc du réduit de la demi-lune con-
duit dans son fossé , et vis-à-vis se trouve un pas de
souris donnant entrée dans la demi-lune. Deux pas de
souris conduisent dans je réduit de place d'armes ren-
trantes, dont la communication est permise avec le che-
min couvert par deux passages souterrains, débouchant
dans son fossé, qui est raccordé par deux rampes avec
le terre-plein du chemin couvert. (Foy. planche 57.)

Un des grands (léfauts de ce tracé est de présenter des
communications peu faciles. Les escaliers ou pas de sou-
ris sont étroits et raides, et comme ils n’ont point de
rampe, ils sont d’assez difficile accès pour un soldat
chargé de son sac et de son armement. L’artillerie ne
trouvant point de rampes pour communiquer avec les
ouvrages extérieurs, on est obligé de jeter les pièces et
leurs effets dans le fossé du corps de place, et à l’aide
de chèvres on les place dans les ouvrages à défendre.
Moyen fort lent , et qui nécessairement endommage le
matériel, quelque précaution qu’on puisse prendre.

Les branclies du chemin couvert dé la demi-lune,
pouvant facilement être parcourues dansle sens de leur
longueur par des projectiles, on y construit des traver-
ses; afin de protéger les défenseurs. Les traverses qui
pourraient être nécessaires sur les faces des demi-lunes,
ne sont jamais faites que pendant le siége même, leur
position la plus convenable ne poüvant être détermi-
née à l’avance.

11. On emploie avec avantage dans la défense des
places, les rrines. On appelle ainsi des cavités pratiquées
dans la terre ; remplies d’une certaine quantité de pou-
dre à canon, destinée par son explosion à faire sauter
tout le terrain qui se trouve au-dessus d’elle. On cons-
truit en maçonnerie des galeries souterraines dans diffé-
rentes parties de la fortification ; et c’est d’elle qu’on
part pour construire pendant un siége des galeries plus
petites qu'on appelle rameaux, aux extrémités des-
quelles on met la quantité de poudre nécessaire pour
produire leffet voulu. On appelle contre-mines, les
galerics construites par avance.

FG

12. Examinons maintenant quelles sont les proprié-
tés du front de fortification ; que nous venons de tracer.
Imaginons que l'ennemi veut s'emparer de la place,
parcourons rapidement les différentes époques du
siégre, ét voyons quel secours peuvent se prêter les dif-
férentes pièces.

Pour commencer l'attaque d’une place forte, l’enne-
mi l’énvestit, c’est-à-dire qu’il envoie des troupes en
avant pour s'emparer de toutes les avenues, intercepter
toutes les communications , et empêcher que quoique ce
soit puisse entrer dans la place ou en sortir. L'armée
assiégeante prend ensuite ses positions. Elle assoie son
camp de manière À être hors de la portée du canon
des assiégés , et elle l'entoure de retranchemens destinés
à la protéger contre une armée de secours, et contre les
sorties de la garnison. On détermine quel est le point
le plus favorable pour l'attaque , et on commence l'ou-
verture de la tranchée. On appelle tranchée, un fossé
de 3 à 4 tnètres de large sur un mètre de profondeur,
dont ôn jette les terres du côté de la place. On forme
ainsi un parapet, qui met à l'abri du feu des assiégés ,
les homines qui sont dans le fond de la tranchée. La
première tranchée est faite à Goo mètres des saillans des
ouvrages attaqués et menée parallèlement aux ouvrages,
(Voyez planche 38, fig. 3.) On l’appelle parallèle. Lies
Musulmans ont les premiers employés les parallèles
ausiége de Candie. La première parallèle communi-
que par des tranchées avec des dépôts d'outils, qui sont
disposés à quinze ou dix-huit cents mètres de la
place. Une seconde paralièle est tracée à 300 mè-
tres de la place. Elle communique avec la pre-
mière, par des tranchées qui ont la forme de zig-zags,
afin de n'être pas enfilées par les feux de l’assiégé. Les
zig-zags ont reçu le nom de boyaux. Es ont pour ligne
milieu la capitale des ouvrages attaqués. Dans la seconde
parallèle, on établit les batteries. Elles sont disposées
perpendiculairement aux prolongemens des crêtes inté-
rieures des ouvrages. On peut ainsi faire parcourir aux
projectiles toute la longueur de la face d’un ouvrage. Ce
sont des ba‘teries à ricochet: On établit aussi des batte-
ries à plein fouet, c'est-à-dire disposées parallèlement
aux forces des ouvrages à battre. Peu de temps après
que le tir à ricochet est commencé, l’assiégé se voit
forcé d'abandonner les pièces qui arment les faces de la
demi-lune , car elles sont bientôt démontées. Il n’est
plus possible non-plus de ‘tenir dans les chemins cou-
verts. À peine quelques hommes protégés par les tra-
verses, peuvent-ils se hasarder à venir examiner la
marche de l’assiégeant; et à l'inquiéter par quelques
coups de mousqueterie. Pendant ce temps, l'assiégeant
construit des boyaux, qui le conduisent à la troisième
parallèle, qu'il établit à Go mètres des saillans. En
avant, il dispose une quatrième parallèle ; dans laquelle

FO
il établit des batteries de mortiers,
les défenseurs du chemin-couvert et des réduits de

destinées à chasser

place d'armes rentrantes. De la troisième parallèle il
se porte vers le saillant du chemin-couvert, en mar-
chant sur la capitale, par une tranchée qui prend le
nom de sape. À 30 mètres de la crête du glacis, lasape
suit une direction parallèle à cette crête, jusqu'au pro-
longement de la contrescarpe de la demi-lune. Le para-
pet des sapes est construit à l’aide de gabions , espèce
de panier sans fond, qui sontremplis de terre, et contre
lesquels s'appuie la masse des terres provenant de la
tranchée. La partie de la sape parallèle à la crête du
glacis, reçoit une grande élévation à l’aide de trois
étages de gabions, ce qui permet de plonger dans le
chemin-couvert, et d’en chasser, à coups de fusils, les
hommes qui pourraient encore s’y trouver. C’est un
cavalier de tranchée. Lorsque le cavalier de tranchée a
produit son effet, l’assiégeant reprend sa sape, qu'il
conduit jusqu’à 4 ou 5 mètres de la crête du glacis,
pour la continuer de part et d'autre du saillant, paral-
lèlement à la crête. C’est le couronnement du chemin-
couvert. C’est la qu’on dépose quatre batteries de brè-
che ; deux contre le saillant de la demi-lune, et deux
contre les deux bastions devant la trouée du fossé de la
demi-lune.

Ici se fait sentir un des grands défauts du système de for-
tification.Les dehors devraient protégerle corps de place,
jusqu’à la dernièreépoque du s'ége, et cependant à peine
le couronnement du chemin-couvert est-il fait, qu'on
peut faire brèche au corps de place. Aussitôt que cette
brèche est praticable, c’est-à-dire aussitôt que les ma-
çonneries et les terres éboulées ont formé une rampe qui
permet d'arriver dans l’intérieur de la place, lassié-
geant ouvrira une galerie de mineur sous le chemin-
couvert de la demi-lune, et il la fera déboucher au
fond du fossé de cet ouvrage.Par son moyen il pourra se
porter rapidement au pied de la brèche, et si son atta-
que de vive fôrce réussit, ilse sera emparé du bastion,
et par couséquent de Ja place, sans avoir été obligé de
prendre la demi-lune et son réduit. Un grand nombre
d'ingénieurs s’est occupé de cette question importante ,
et beaucoup de dispositifs ont été proposés. L’expé-
rience n’en a encore sanctionné aucun, de sorte qu’il
est difficile dese prononcer, Car une attaque faite sur le
papier, marche toujours au gré de celui qui la dispose,
et il est impossible d’en rien conclure sur le plus ou
moins d'avantages que présente telle ou telle disposition.
On évite cependant une partie des inconvéniens signa-
lés, en pratiquant un retranchement dans l'intérieur des
bastions, puisque, de la perte de celui-ci, ne s'ensuit pas
celle de la place; et qu’ensuite l'ennemi ne pourrait te-
nir dans le bastion, où il serait exposé au feu de Ja
demi-lune et de son réduit. L’assiégeant sera donc

Toux 11,

FO Î

forcé de prendre la demi-lune, ce à quoi il ne pourra

=

arriver, qu'après y avoir fait une brèche praticable,
avoir pratiqué une galerie souterraine qui lui permette
de descendre dans le fossé , et avoir donné l'assaut. La
demi-lune prise, restera à prendre le réduit, pour le-
quel il faudra opérer d'une manière analogue. Mais ici,
l’assiégeant ne se trouvera pas dans des circonstances
aussi favorables que pour l’attaque de la demi-lune.
Il ne pourra en effet y faire arriver sonartillerie qu'avec
beaucoup de peine, et le peu de largeur du terre-
plein, lui donnera bien peu de facilité pour y disposer
des batteries dans lesquelles il soit à couvert du feu du
réduit. Cependant le réduit finira par être pris; car sa
garnison sera toujours très-faible par rapport aux for-
ces dont l’ennemi pourra disposer, et on ne peut espé-
rer de le déloger de vive force de la demi-lune.

Aussitôt que l'ennemi se sera emparé du réduit de
la demi-lune , il viendra s'établir à la gorge, pour y
disposer des batteries destinées à faire brèche à la te=
naille. L’utilité de cet ouvrage est mise ici tout-à-fait
hors de doute, car s’il n'existait pas, l’assiégeant pour-
rait de suite faire brèche à la courtine, et par consé-
quent, donner immédiatement l'assaut au corps de
place. L’occupation du réduit de demi-lune rend im-
possible le séjour de l’assiégé dans les réduits de place
d'armes rentrantes, car il y serait vu à dos et plongé.
C’est encore un des inconvéniens du système, car un
ouvrage ne devrait jamais être rendu inutile qu'après
avoir été attaqué directement. Il ne faudrait cependant
pas en conclure que les réduits de places d'armes ren-
trantes sont inutiles. Leur principal but est d'offrir un
refuge assuré aux défenseurs du chemin couvert, dans
le cas où l'ennemi tenterait un mouvement de vive
force. Lorsque l'ennemi s’est emparé de tous les dehors, ‘
il pousse ses tranchées vers le saillant du chemin cou-
vert du bastion, il en fait le couronnement, établit ses
batteries de brèche, et donne ensuite l’assaut au corps
de place. Il ne reste plus alors à la place assiégée qu’à
obtenir la capitulation la plus honorable.

Nous avons supposé que les demi-lunes étaient en
saillie sur les bastions. Lorsque les saillants des deux
bastions et celui de la demi-lune se trouvent à peu près
sur une même ligne droite, on peut canonner à la fois
le saillaut des trois chemins couverts, et le siége se
trouve abrégé d’autant, surtout si les bastions n’ont
point de retranchement intérieur.

FORTIFICATION PASSAGÈRE,

Les retranchemens employés dans la fortification
passagère, sout simples ou composés. Ces derniers
prennent le nom de lignes.

0

42 FO

Les retranchemens simples ou £lémens des lignes,

comprennent :

Le redan. Ouvrage composé de deux faces et ouvert
à sa gorge. Il a peu d’étendue et ne sert qu'à couvrir
une issue, un pont jeté sur un ruisseau.

La lunette. C’est un redan auquel on ajoute des
flancs , dans le but de flanquer des ouvrages collatéraux,
ou pour découvrir des parties de terrain qui sont dé-
robées à la vue des faces. La longueur des faces varie
entre 30 et Go mètres, et celle des flancs entre 12 et 15

mètres ; cet ouvrage est ouvert à la gorge.

La redoute. C'est le plus simple des ouvrages fer-
més. Elle affecte ordinairement la forme d’un carré;
cependant elle est quelquefois polygonale. Comme elle
n'a point d’angles rentrants, elle wa que des feux di-
rects, et par conséquent ne peut défendre son fossé. De
plus, devant chaque saillant se trouve un secteur privé
de jeux , déterminé par le prolongement des deux fa-

ces.

Le fort étoilé est une redoute dans laquelle on brise
les côtés, afin d’avoir une défense des fossés. Cet ou-
vrage est mauvais. Sa capacité intérieure est extrême-
ment petite, et les secteurs privés de feux sont très-
grands.

La crémaillère à &é imaginée pour fournir des

flanquemens à un retranchement en ligne droite. Les

FO
faces ne doivent pas avoir plus de 80 mètres et les
flancs 12 mètres.

Le front bastionné, qui se compose des mêmes par-
ties que dans Ja fortification permanente, ne doit pas
avoir un côté extérieur de plus de 250 mètres. Il peut
méme quelquefois être réduit à 100 mètres. La lon-
gueur perpendiculaire est, pour le carré, du ? du côté
extérieur; pour le pentagone, du ;; ct pour les autres

polygones, du &. Les faces ont les ; du côté extérieur.

Dans les ouvrages fermés, la capacité intérieure doit
être assez grande pour contenir facilement tout ce qui
est nécessaire à la défense. Il existe donc une relation
entre le développement d’un ouvrage et sa conte-
nance, Soient + la longueur du côté d’une redoute car-
rée; y le nombre des défeuseurs; v celui des hommes
compris dans la réserve ; » le nombre de rangs d'hom-
mes placés sur le parapet; p celüi des pièces de canon,
et s l’espace nécessaire pour loger ce qui est nécessaire
à l'artillerie exprimé en mètres carrés. On aura la re-

lation, |

(8) = 574 |
en supposant que depuis la crête intérieure jusqu’au pied
du talus de la banquette, il y a une distance de 4 mètres,
et qu’un homme occupe les 2/3 d’un mètre carré.

D'un autre côté, 4æ.est égal à la longueur occupée
au parapet par les défenseurs et par les pièces, ce qui

donnera :

Y—Y
n

5 mètres étant l’espace occupé par une pièce de canon.

Si dans cette dernière équation ou fait v=o et n=2,1

on exprimera que la redoute est défendue par deux

rangs d'hommes, sans réserve, ce qui donnera évidem-!

ment le maximum de longueur de son côté. La pre-,

mière relation exprimant que l’espace est strictement
nécessaire pour contenir ce qui est nécessaire à la dé:

FO
fense, donnera le minimum du côté de la redoute. On
obtiendra ainsj deux limites entre lesquelles on pourra

osciller. Et à l’aide des deux équations ci-dessus , 4 des
quantités qui les composent étant données, on pourra

facilement trouver les deux autres. -

15, Le profil à donner à un ouvrage de campagne
dépend de la qualité des terres à employer, de la na-
ture de l'attaque qu'il a à soutenir , de la résistance
qu'il doit présenter , de la durée présumée de son uti-
lité, et du temps et des moyens qu’on peut consacrer à
sa construction.

La crête intérieure devant mettre à l'abri les défen-
seurs placés sur le terre-plein, n'aura pas moins de 2,00
mètres d’excavation; elle en aura 2,50 mètres lorsque
l’ouvrage contiendra des hommes à cheval. L’épaisseur
du parapet dépend du poids des projectiles auquel il
est exposé. Comme en général les ouvrages de fortifica-
tion passagère ne sont attaqués que par de l'artillerie
de campagne, on sé contente de donner à leur parapet
3 mètres d'épaisseur. L’inclinaison de la plongée varie
entre lerf5etle 116. Elle doit être telle que son plan
prolongé passe à 1 mètre environ au-dessus de la cou-
trescarpe du fossé. Le talus intérieur a 1 de base sur 3
de hauteur. Comme les terres sous cette inclinaison ne
peuvent se tenir d’elles-mêmes, ce talus est revêtu en
gazon ou en clayonnage. La banquette qui est à

1,20 mètres au-dessus de la crête intérieure a
1,20 mètres de large, et est raccordée avec le

terre-plein par un talus qui a 2 de base sur 1 de hauteur.
Le talus extérieur est à la pente naturelle des terres.
A fin que le poids du parapet ne fasse pas ébouler le ta.
lus d’escarpe, on laisse au pied du talus extérieur une
berme de 0,60 a 1,00 de large. Le talus d’escarpe a pour
base les 2[3 de la base du talus natutel des terres, la
hauteur restant la même; la base du talus de contres-
carpe est la moitié dela base du même talus.

16. La question de la balance entre les remblais et les
déblais d’un ouvrage est une des plus importantes de
la fortification passagère. Dans certains cas, elle est fort
pénible; mais, pour la simplifier autant que possible,
nous supposerons que l'ouvrage est assis sur un terrain
horizontal,

Soient R le yolume du remblais ; S la surface de son
profil, et Z la longueur du chemin parcouru par le cen-
tre de gravité de ce profil. On aura la relation,

R=SL.

FO 45

En désignant par D le volume du déblai, par S' Ja sur-
face du profil du fossé, et par /', le chemin parcouru

par le centre de gravité de ce profil, on aura la rela-

tion,

D—S'{.

el :
Si — est le rapport du foisonnement des terres, nous
T2

aurons, pour exprimer que le déblai doit être égal au
remblai, l'équation :

R= D(° )
D'où, eu substituant pour R et D leurs valeurs , et
2 Ï 2

l' m
=S = (
iQ m1 »

équation qui donne S’ en fonction de /', On obtiendra

dégageant S';

une approximation suffisaute, en prenant pour l' la lon-
gueur de la ligne milieu du fossé.

Reste maintenant à déterminer, à l’aide de S”, les di-
mensions du fossé , en l’astreignant pour les talus d’es-

carpe et de contrescarpe aux conditions sus-énoncées.

Soient æ la largeur du fossé, y sa profondeur, et x
l'angle du talus naturel des terres; nous aurons :

(= A
S'=y (æ Lycota)

D'où :
EU 5
Lt: cot « Hi
ee tang & (æ 7 S' )
4 7 ÿ >: cotz }

Dans la valeur de y on ne tient compte que du signe
moins , parce que c’est le seul qui convienne à la ques-
tion, puisque y doit diminuer quand x augmente, et
vice verst. En se donnant x ou y, on pourra toujours, à
l’aide de ces relations, obtenir la valeur de l’autre varia-
ble; æ étant astreint à avoir au moins 4 mètres, et y
étant compris entre 2 mètres et 4 mètres. Lorsqu’en
oscillant entre ces limites, on obtiendra pour y une va-
leur imaginaire, on changera alors l’inclinaison de la
plongée, ce qui donnera une autre valeur deS’, et per-
mettra, au moyen de gnelques tâätonnemens, d'obtenir
une valeur réelle du radical.

Lorsque la fortification est assise sur un terrain acci-
denté, les crêtes intérieures ne peuvent plus être con-
puisque

n’abriteraient pas les défenseurs placés sur le terre-plein.

tenues dans un plan horizontal, alors elles
Il faut défiler l’ouvrage, et comme on n’a pas le temps
deleverpar courbes horizontales le terrain environnant,

il faut nécessairement que les opérations de défilemen

4% FO
se fassent immédiatement, sans avoir recours aux
moyens employés dans la fortification permanente,

Supposons que novus voulions défiler une lunette
d’une hauteur située en avant , et dont le point culmi-
nant soit bien déterminé. Le plan de défilement devant
passer à 1,50 mètres au-dessus du terrain , nous le sup-
poserons abaissé de cette quantité, et alors il deviendra
tangent auxhauteurs. Nous déterminerons, sur la gorge
de l'ouvrage, le point d’intersection de cette ligne avec
la droite joignant le saillant de la lunette et le point
culminant du terrain. Nous planterons en ce point un
piquet de 1,00 mètres de haut, dont le sommet sera évi-
demment dans le plan de défilement, Eu faisant passer
par ce sommet et par le point culminant un rayon vi-
suel , il sera contenu tout entier dans le plan de défile-
ment, et son intersection avec une perche plantée au
saillant de l’ouvrage, déterminera un point apparte-
nant à ce même plan. En le relevant de 1,50 mètres, on
aura la hauteur de la crête intérieure du saillant.

Si on avait à se défiter de plusieurs hauteurs, l'emploi
d’un seul plan conduirait le plus souvent à des reliefs
excessifs. On emploiera alors deux plans qu'on fera se
couper suivant la capitale de l'ouvrage , et suivant cette
insersection , on construira une traverse destinée à pré-
server les défenseurs des vues de revers. Quelquefois on
2e pourra plus se contenter d’une seule charnière, et
on sera forcé d’en employer plusieurs. C’est à la saga-
cité de l’ingénieur à déterminer quels seront les meil-
leurs moyens à employer, en ne perdant jamais de vue
que les reliefs doivent étre aussi petits que possible.
Dans tous les cas, lorsque les différens plans de défile-
meut se couperont en goutüuère , il faudra nécessaire-
ment construire des traverses suivant leur intersec-
tion.

Dans les cas dont nous venons de nous occuper, la
balance des déblais et remblais ne pourra se faire que
par faces, et même par portions de face. On aura re-
cours alors au théorème de Thomas Simpson, ou au
profil moyen. ( Foy. Remgrais).

18. La défense des retranchemens est confiée à des
troupes d'infanterie, soutenues par un certain nombre
de pièces de canon, Au saillant, on construit une bar-
bette, afiu de découvrir tout le terrain environnant ,
et d’avoir un champ de tir plus vaste. Sur les faces, les
pièces sont à enbrasures, la direction du tir peuvant se
fixer par avance, et restant la même pendant toute la
durée de l'attaque.

19. Indépendamment de ces moyens de défense, il
en est d’autres, compris sous la dénomination générale
de défenses accessoires.

On dispose le long de la contrescarpe des arbres cou-

chés dont on tourne les branches vers l'ennemi. Ce sont

des abattis. En avant du saillant qui est le point d’at-

FO

taque, à cause du secteur privé de feux , on dispose des
trous de loup. Ce sont des cavités affectant la forme d’un
tronc de cône, la base supérieure étant la plus grande.
Leur profondeur est d'environ 1,00 mètres et au centre
est planté un fort pieu acéré. On hérisse le terrain de
petits piquets saillans de 30 à 4o centimètres et espacés
de 20 à 30. On répand des chausse-trapes , espèce de
clous à quatre pointes, disposées de marière à ce qu'il y
en ait toujours une en l'air, On plante des palissades dans
le fond du fossé, au pied de la contrescarpe. On enterre
sous le parapet des fraises ou palissades inclinées, qui
font saillie sur le talus d’escarpe, et s'opposent à l’esca-
lade. Lorsque les localités le permettent , on emploie
les eaux comme défense accessoire , soit en tendant des
inondations, soit en remplissant les fossés d’eau.

20. On appelle lignes, des retranchemens composés
dans lesquels entrent comme élémens les différens ou-
vrages que nous avons précédemment décrits. Les lignes
sont continues où à intervalles.

Les premières, comme le dit leur nom, embrassent
tout le terrain à défendre par une suite d'ouvrages en-
tre lesquels il n'existe point de solutions de continuité.
On y emploie, pour les parties les moins susceptibles
d'attaque, la ligne à crémaillère, en ayant soin de faire
retourner les crans de 3 en 3 mêtres.Dansles autres por-
tionson a recours au tracé bastionné.Les lignes offrent de
grands inconvéniens. Leur grand développement exige
un temps considérable pour leur construction, et un
grand nombre d'hommes pour leur défense. Forcees en
un point, elles deviennent complètement inutiles.

Les lignes à intervalles se composent de combinaison
de redoutes, de lunettes, et de redans. On les dispose or-
dinairement sur deux lignes, et de manière qu’elles se
flanquent réciproquement. Dans ce cas on ferme à la
gorge les redoutes et les lunettes, soit par un fossé , soit
par des chevaux de frise, ou des palissades; et cela,
afin que de la cavalerie lancée au galop, ne puisse pas,
après avoir franchi l'intervalle des lignes, venir prendre
les ouvrayes par la gorge.

21. Iadépendamment de cesretranchemens construits
exprès, un général habile sait utiliser tout ce quise pré-
sente pour l’employer à sa défense. Les villages, les
maisons isolées, les moulins, les églises, les cimetières etc.
Le seul principe qui puisse être donné pour de telles
dispositions, est que les défenseurs ne soient-pas exposés
à des feux de revers et d’enfilade, et, que dans le cas
d'insuccès, leur retraite soit toujours assurée.

(Foy. les ouvrages de Vauban, de Cormontaigne, de
Carnot, et le Mémorial de l'officier du génie).

FOURIER (Jean-Bapnisre-Josepu-Baron), l’un des
plus célèbres géomètres modernes, naquit à Auxerre le.
21 mars 5768, d’une famille honorable, originaire de
lorraine, et dans le sein de laquelle il trouva de nobles

|‘
ÿ

Et

ef

|

À

+

#

FO

exemples à imiter. Pierre Fourier, réformateur et gé-
néral de l’ordre des Prémontrés, était son oncle. On
sait que ce religieux, aussi distinguépar ses lumières que
par ses hautes vertus, est le fondateur d’une cengréga-
tion de femmes vouées à l'éducation des jeunes filles
pauvres, quia servi de modèle à toutes les institutions
semblables qui existent de nos jours.

Le jeune Fourier fitses études à l'École militaire
d'Auxerre, où il se distingua par la rapidité de ses pro-
grès, l’aménité de ses mœurs et la vivacité de son es-
prit. Ce fut seulement à l’âge de treize ans qu’il com-
mença l’étude des mathématiques, et son aptitude pour
ces hautes sciences se manifesta avec plus d’éclat encore
que celle qui l'avait fait distinguer dans ses premiers
cours. Dès l’âge de dix-huit ans il occupa la chaire de
mathématiques dans l’école où il avait étudié, et lors de
la fondation de l’école normale, Fourier fat un des
jeunes professeurs que le département de l'Yonne
envoya à ce lycée scientifique pour se fortifier dans l’art
si difficile d’instruire les autres. Il ne tarda pas à se ren-
dre digne de cette honorable distinction, il s’attira l’at-
tention de Monge etde Lagrange, et ces illustres maitres
le désignèrent au choix du gouvernement, pour professer
les mathématiques à l'École Centrale des travaux pu-
blics, grande et puissante instifution, devenue depuis si
utile à la France et si célèbre en Europe sous le nom
d’Ecole polytechnique. Quoique Fourier n’eût encore
publié aucuns travaux , il fut dès-lors considéré comme
un géomètre du premier mérite, etil fut du nombre
des savans que le Directoire permit au général Bona-
parte d'emmener en Orient. Fourier devint nécessaire-
mentmembre de l'Institut d'Égypte, et malgrésa jeunesse
il s’y fit remarquer par l’activité de ses recherches etl’im-
portance de ses travaux. l’ailleurs, les savans, les gé-
néraux et les soldats, tout était jeune dans cette glo-
rieuse armée qui, à travers tous les périls, allait porter
sur la terre désolée des Pharaons le drapeau, les lu-
mières et les arts de la France! Nous regrettons de ne
pouvoir entrer ici dans quelques détails honorables pour
la mémoire de Fourier et qui se rattachent à cette im-
mortelle expédition; quelques mots seulement en-
core sur sa vie publique. En 1802, l'illustre chef de
l'armée d'Égypte devenu premier consul, s’entoura de
tous les hommes distingués que l'orage révolutionnaire
avait épargnés, et dans le double but d’honorer la
science et de régénérer dignement l'administration du
pays, il crut devoir arracher à leurs utiles travaux un
grand nombre de savans qui devinrent les chefs des
diverses branches de l'administration civile et miltaire,
dans le vaste plan d'organisation qu'il avait conçu.

Fourier ne put échapper à cette pensée qui a peut-être
_ été funeste aux progrès de la science; il fut appelé à la
| préfecture du département de l'Isère, où le temps et les

|

FO 45

révolutions , qui, depuis encore, onttroubléplus'eurs fois
les destinées de la France, n’ont pu faire oublier cet
administrateur éclairé, bienveillant et juste.

Cependant Fourier, tout en se livrant avec zèle aux
fonctions de la magistrature, alors importante, dans l’é-
tat dont il était revêtu, trouva les moyens de donner
beaucoup de temps à l'étude et aux travaux scientifiques
qui ont rendu son non recommandable. L'Institut de
France proposa, en 1806, un prix pour la solution de
cette question : déterminer les lois de la propagation
de la chaleur dans les corps solides. Fourier concourut,
et son mémoire fut couronné. Mais il sentit lui-même
que ses recherches n’avaient cependant rien encore de
définitifet de concluant ; car en 1811 il adressa de nou-
veau à l’Institut un second mémoire plus volumineux
sur la même question. Ces deux écrits ont depuis formé
les bases principales de sa Théorie analytique de la
chaleur.

De grands événemens, qu’il nous est impossible de
passer entièrement sous silence, vinrent peu d'années
après troubler la carrière politique et scientifique de
Fourier. En 1815, le retour imprévu de Napoléon, qui
passa par Grenoble en rentrant en France, jeta dans une
étrange perplexité un grand nombre de fonctionnaires
que les Bourbons avaient conservés en place. Le préfet
de l'Isère, voyant d'ailleurs l'impossibilité de résister à
l'entrainement enthousiaste des populations et de l’ar-
mée en faveur de Napoléon, ne trouva rien de mieux à
faire que de se retirer. devant lui. Mais Napoléon, qui
avait justemeut comparé sa marche au vol de l'aigle,
retrouva Fourier à Lyon; il pardonna son hésitation à
son ancien collègue de l’Institut d'Égvpte ; etle nomma
préfet du Rhône. Peu de temps après, cependant, Fou-
rier n'ayant point paru s'associer avec assez de dévou-
ment et d'énergie aux projets de Napoléon, fut disgra-
cié. Il vint à Paris, où il s'est entièrement livré depuis
aux travaux scientifiques pour lesquels il avait une ap-
titude plus réelle, En 1816, il lut à l’Académie des
sciences un mémbire sur les vibrations des surfaces élas-
tiques, qui fut accueilli avec une faveur marquée par
cette compagnie, car dans le courant de la même année,
elle appela Fourier dans son sein à la presqu'unanimité
des voix. Le roi Louis X VITE, appréciant mal le carac-
tère et la vie politique de ce savant, lui refusa sa sanc-
tion, mais en 1817, une unanimité aussi remarquable
ayant de nouveau appelé Fourier à l’Académie des
sciences , le roi s'empressa d'approuver son élection. Il
partagea avec Cuvier les fonctions de secrétaire perpé-
tuel , et devint bientôt un des membres les plus actifs
et les plus distingués du corps savant qui avait insisté,
d’une manière si honorable pour lui, à l'appeler dans
son sein. À ses recherches sur la chaleur, ii ajouta en
1820 la solution d’un problème fort compliqué, qui se

46 FO

rattache à ce phénomème. Il consiste à former les équa-
tions différentielles qui expriment la distribution de la
chaleur dans les liquides en mouvement; lorsque toutes
les molécules sont déplacées par des forces quelconques,
combinées avec les changemens de température. Ces
équations appartiennent à l'hydrodynamique générale,
Enfin, en 1822, Fourier publia l'ensemble de ses tra-
vaux sur les diverses questions que présentent l’exis-
teuce et la diffusion de la chaleur, dans un ouvrage
spécial, qu’on peut regarder comme le plus important
de ceux qu’il a composés. Nous n’entrerons point ici
dans l’exposition systématique de la théorie de Fourier,
qui d’ailleurs, comme il le dit lui-même , devrait, si elle
était définitive, former une des branches principales de
la physique générale. En effet, elle repose uniquement
sur l'observation de quelques faits primordiaux, sui-
vant lui, auxquels il rattache tous les principes des phé-
nomènes que présente la chaleur, et dont il a voulu
déduire la démonstration mathématique des lois qui les
régissent. Nous dirons seulement avec cette franchise
austère qui caractérise nos jugemens , ét que ne saurait
attiédir la vénération profonde que rous professons
pour la mémoire de Fourier, qu'il ne s’est point placé
dans un point de vue favorable à la découverte des lois
du phénomène qui a été l’objet de ses études. Comme
la plupart des géomètres modernes, dont le savoir est
incontestable, Fourier manquait essentiellement “de
cette philosophie élevée qui peut seule juitier la
science à la connaissance des causes premières ; il appar-
tenait comme eux aux idées philosophiques du dernier
siècle, et ses travaux consciencieux et recommandables
ne s'élèvent point au-dessus des connaissances qui peu-
vent se déduire de la seule considération de l’expé-
rience. Il ne faut qu'ouvrir son livre pour être con-
firmé dans cette opinion dès la lecture des premières
lignes. » Les causes principales, dit-il, ne nous sont
point connues, mais elles sont assujetties a des lois sim-
ples et constantes, que l’on peut découvrir par l’ob-
servation, et dont l'étude est l’objet de la philosophie
naturelle. » Nous n'avons pas besoin de faire remar-
quer combien cette proposition est vide de sens philo-
sophique.

Néanmoins, l'ouvrage de Fourier présente plusieurs
parties fort remarquables, il contient quelques théorè-
mes nouveaux heureusement formulés et des intégra-
tions qui attestent à un haut degré le mérite de l’auteur
comme géomètre. En 1827, l’Académie française ap-
précia, en lui donnant ses suffrages ; les connaissances
littéraires que ses études sérieuses ne lui avaient pas
fait népliger. Les écrits mathématiques de Fourier se
font remarquer par un style élégänt «et pur ; pat
la rectitude des idées et la manière heureuse avec la-
quelle elles sont exprimées. Ces qualités d’historien

FO

brillent surtout à un degré remarquable dans l’intro-
duction du grand ouvrage sur l'Égypte, à la rédaction
générale duquel il a beaucoup contribué, et dans les
divers éloges qu’il a eu l’occasion de prononcer comme
secrétaire perpétuel de PAtadémie des sciences. Fou-
rier, qui est mort à Paris en 1829, manquait de ce
courage civil nécessaire aux hommes publics dans
les temps de trouble et de malheur que nous avons tra-
versés, mais il laisse dans l'administration, comme dans
la science et les lettres , un nom recommandable et pur.
Il était simple dans sa vie privée, spirituel et bienveil-
lant; si conversation était attachante, et ilavait le rare
talent de faire briller les personnes avec lesquelles il s’en-
tretenait, Si, comme savant , la postérité, qui ne peut
manquer de reconnaitre en lui un habile géomètre, ne
le place pas au premier rang de ceux qui ont agrandi le
cercle de nos connaissances, elle lui assignera néanmoins
une place distinguée parmi les hommes célèbres de la
période historique dans laquelle nous vivons, Sa mé-
moire enfin sera toujours chère à ceux qui l’ont connu.
On a de lui: I. Discours préliminaire servant de pré-

J'ace historique au grand ouvrage sur l'Égypte, Paris,

1810, 1 vol. grand in-f°. II. Un grand nombre de Mé-
moires sur diverses questions de physique générale et de
mathématiques, insérés dans le recueil de l’Académie
des sciences. [IL Rapport sur les établissemens appelés
Tontines, Paris, 1801, in-4°. IV. Théorie analytique
de la chaleur, Paris, 1822, in-4°. V. Éloges de De-
lambre, de sir Williams Herschell et de Bréguet; divers
discours sur les progrès des sciences mathématiques.

FOURNEAU (45t.). Nom d’une constellation méri®
dionale introduite par La Gaille (voy. CONSTELLATION),

FOYER (Géom. et opt.). On désigne par ce nom , en
géométrie ; certains points pris dans l'aire des sections
coniques ; dont la propriété principale est de réunir les
rayons qui viennent frapper la courbe, suivant des di-
rections déterminées. V’oy. Ezzipse, HyYPER2OLE, Para-
2OLE. En optique, on appelle foyer d'un verre, foyer
d'une lunette, etc., le point où les rayons lumineux
réfléchis ou réfractés par le miroir , viennent se réunir.
Lenrizre et

Voyez CarorrriQue, 5. Voy. aussi

Minoir.

FRACTIONS (Arith. et alg.). Espèce particulière de
nombres ; que l’on considère populairement comme les
parties d’une unité déterminée. Par exemple, l’ancienne
livre, poids de marc, étant prise pour unité des mesu-
res de pesanteur, la motié de cette livre, son tiers,
son quart, etc., sont des fractions de la livre. Nous avons
yu (ALG: 13) l’origine de ces nombres, qui doivent
naissance à la branche inverse du second mode élé-

Ê
mientaire de la construction des nombres ; nous avons vu -

Pr

M

également la manière de les exprimer et les propriétés

FR

fondamentales qu'ils tiennent de leur construction ; il
nous reste donc seulement ici à exposer quelques consi-
dérations particulières qui leur sont propres.

1. Les fractions ne changeant pas de valeur, lorsqu'on
multiplie en même temps ou qu’on divise leurs deux
termes par le même nombre (are. 13. 3°), il s’en suit
qu’une fraction peut être exprimée d’une infinité de
manières différentes; c'est ainsi, par exemple, que cha-

cune des fractions

exprime une seule et même quantité. L'expression la
plus simple d’une fraction est celle dans laquelle les
nombres qui forment son numérateur et son dénomi-
nateur sont les plus petits possibles , telle est £ dans la
suite ci-dessus. Or, une fraction quelconque étant don-
née, trouver son expression la plus simple, c’est ce qui
constitue le problème de réduire une fraction à sa plus
simple expression.

Désignons par .

une fraction quelconque susceptible

, : a : :
de réduction, et par ñ l'expression la plus simple de
cette fraction, nous aurons

M
N

Ps
mn:

d’où nous tirerons

Mb = Na

égalité qui nous fournira les deux relations suivantes:

La première nous apprend que N doit être exactement
divisible par 2, En effet, le quotient de Na par b de-
vant être un nombre entier, M et & n’étant pas divisi-

u a qu atod- notes
bles par D, puisque j St une fraction réduite à sa plus

simple expression , il faut nécessairement que N soit
exactement divisible par b, pour que le produit Na le
soit lui-même. La seconde relation nous apprend que
M doit être aussi exactement divisible par a, puisque le
quotient de M, divisé par à, doit être égal à celui de N
par à, qui, d’après ce que nous venons de voir, est un
nombre entier. Ceci posé, désignons ce quotient par Q,
nous aurons

» Fu M _a.Q
N= PO NM —= Q&RE za

Ainsi, pour réduire la fraction À à la forme , , il faut

N
déterminer le facteur Q commun à ses deux termes ,

FR AT
car en divisant chacun de ces termes par ce facteur ,
on aura évidemment

Mais ce facteur Q étant nécessairement composé de tous
les facteurs premiers qui se trouvent en même temps
dans M et dans N, le problème se réduit donc, en der-

nier lieu, à la recherche de ces facteurs.

TA à 139 é : £
Soit pour exemple la fraction qu'il s'agit de ré-
. 1

duire à sa plus simple expression. En examinant les deux
nombres 135 et 315, on voit d’abord qu'ils sont l’un et
l'autre divisibles par 5 (voy. Facreur). Ainsi, puisque
ce facteur premier 5 ne doit pas entrer dans les termes
de la fraction réduite, divisons successivement 135 ct

315 par 5, et nous aurons peur première réduction

Eu examinant de nouveau les nombres 27 et 63, on
trouve facilement qu’ils sont tous deux divisibles par 9
(voy. Facteur), et en opérant l division, on obtient
pour seconde réduction

Les nombres 3 et 7 étant premiers n’ont plus de fac-
3
teurs communs, et l’on en conclut que - est

7

simple expression de la fraction proposée

la plus

135
315
Revenons maintenant sur les détails de opération. I
résulte des décompositions précédentes que 135 est
formé par le produit destrois facteurs 3.5.0 et que 315
est formé par le produit des trois facteurs 9.5.0, c’est-
à-dire que ces nombres ont pour facteurs communs 5 et 7,
et qu'ils sont conséquemment l’un et l’autre divisibles
par 5et par o, ou par 54, produit de 5 et 9. Nous avons
donc

135

STD 75;

et si nous avions pu trouver d’une manière sommaire
54, c'est-à-dire le plus grand facteur commun de 135
et de 315, nous aurionsobtenu immédiatement la frac-
tion réduite # en divisant 135 et 319 par ce plus grand
facteur. Ainsi, la manière la plus directe et heureuse-
ment la plus facile de réduire une fraction à sa plus
simple expression, consiste à chercher le plus grand
facteur commun, ou ce qui est la même chose, le plus
grand commun diviseur de ses deux termes. En opérant

ensuite les divisions , la fraction sc trouve réduite.

48 FR

L'opération de la recherche du plus grand commun
diviseur de eux nombres, a été exposée au mot Com-
MUN DIVISEUR.

a. Lorsqu'une fraction irréductible, c’est-à-dire ré-
duite à sa plus simple expression, est exprimée par de
grands nombres, il est très-souvent utile de chercher
d’autres fractions exprimées par de plus petits nom-
bres, et dont la valeur ne diffère de celle de la propo-
sée que le moins possible; on obtient ainsi des approxi-
mations suffisantes pour les moyens usuels. Ce problème,
pris dans sa plus grande généralité, est complètement
résolu à l’aide de la transformation de la fraction en
fraction continue ; (Fay. conTINU).

Nous avons donné au mot cencce, 30, un exemple
de ces réductious, qu'Huvgens à employées le premier
pour la construction de son planétaire.

Fracrions DÉCIMALES. (Woy. Décimare). Pour les
opérations élémentaires qu'on peut exécuter sur les
fractions, tant ordinaires que décimales, voyez les
mots : ADDITION, SOUSTRACTION, MULTIPLICATION, DI-
VISION, EXTRACTION DES RACINES @t ÉLÉVATION AUX PUIS-
SANCES. Joy. aussi PÉRIODIQUE:

FRACTIONS RATIONNELLES. On donne ce nom, en À/-

gèbre , à toute fonction fractionnaire de la forme

A tn HA x" + A,rP+....
Ban +B,rr +B,xr +...

qui ue renferme que des exposans enticrs.

Le problème de décomposer ces fractions en d’autres
dont les dénominations soient plus simples, et qu’on
désigne sous le nom de FRACTIONS PARTIELLES, Se pré-
sente souvent dans le calcul intégral. Nous ne pouvons
entrer ici dans les détails que ce sujet comporte. ( Voy.
Le traité élémentaire du calcul différentiel de Lacroix.
1828. Pag. 243 et suiv.) Leibuitz est le premier qui ait
considéré de semblables décompositions, devenues en-
suite l'objet des recherches de Cotes, de Moivre,
d'Euler, de Simpson et de Lagrange. Euler a particulière-
ment traité cette matière avec sa supériorité habituelle,
dans le second chapitre de son bel ouvrage, analysis
infinitorum.

FRÉNICLE DE BESSY, arithméticien du dix-sep-
tième siècle, et l’un des premiers membres de l’acadé-
mie des sciences, doit plutôt la célébrité qu'il a acquise
aux éloges de l'illustre Fermat et du savant père Mer-
sennes, qu’à la valeur réelle et à l'utilité de ses travaux.
Il faut cependant reconnaitre avec ses contemporains,
qu’il était doué d’une aptitude supérieure et toute spé-
ciale pour la science des nombres, car il est certain
qu'avec sa seule arithmétique, il résolut des problèmes
numériques qui avaient inutilement occupé les médita-
tions d'hommes tels que les Fermat , les Descartes , les

FR
Roberval, les Wallis. Fermat s’exprimait ainsi sur son
compte dans une de ses lettres : « Je vous déclare ingé-
nument que j'admire le génie de M. Frénicle, qui,
sans algèbre, pousse si avant dans la connaissance des
nombres ; et ce que jy trouve de plus excellent consiste
dans la vitesse de ses opérations. » Les grands géo-
mètres dont nous venons de parler, soupçonnèrent bien
que Frénicle ne devait ses succès qu’à une méthode
à l’aide de laquelle il püt généraliser les nombres , et
qui lui permit ainsi de se passer de l'algèbre ; mais ils
teutèrent de vains efforts pour la découvrir, et Frénicle
en fit une espèce de secret qu'il refusa constamment
de révéler, malgré les plus pressantes et les plus hono-
rables sollicitations. Ce ne fut qu'après sa mort qu'on
trouva dans ses papiers le mot de cette énigme scienti-
fique. La méthode de Frénicle était la méthode d’exclu-
sion, qui, depuis les progrès de l'algèbre, est devenue
trop insuffisante pour être employée par les géomètres,
pour lesquels elle ne peut plus être qu’un objet de cu-
riosité, quoique Lagrange et Euler aient daigné s’occu-
per d'en démontrer lesapplications les plus compliquées.
Frénicle a publié un traité des carrés magiques, dans
lequel il a fait preuve d'une grande sagacité ; mais les
problèmes numériques auxquels peut donner lieu la
disposition des nombres qui porte ce nom, ne sont
d’aucun intérêt pour la science et doivent être relé-
gués parmi ces difficultés sans objet, qui ont du entra-
ver, dès ses premiers pas, la marche de l’esprit humain:
On doit encore à Frénicle un traité des triangles rec-
tangles, dans lequel, parmi plusieurs propositions re-
marquables, il démontre qu’il n’y a aucun triangle rec-
tangle en nombres entiers, dont l'aire soit un carré ou
un double carré. Frénicle, qui était né à Paris, dans les
premières années du dix-septième siècle, entra en 1666

à l’Académie des sciences, et mourut en 1675.

FROTTEMENT ({Aéc.). Résistance qu'un corps
éprouve à glisser sur un autre.

Toutes les fois que deux surfaces glissent l’une sur
l’autre, il y a frottement, parce que ces surfaces, quel-
que polies qu’elles nous paraissent , nele sont jamais par-
faitement , et sont couvertes d’éminences et de cavités.
Lors donc que deux surfaces se touchent, les éminences
de l’une entrent dans les cavités de l’autre; et pour les
faire glisser l’une sur l’autre, il faut en arracher les par-
ties engagées , en soulevant le corps pour les dégager,
et, par conséquent, vaincre le poids de ce corps. Il
faut donc une force réelle pour faire glisser un corps
sur un autre, et ce qui résiste à cette force est ce qui
constitue le frottement.

Amontons est le premier qui ait envisagé cette

question avec toute l'attention que mérite son impor-
tance pour l'effet réel des machines. Il prétend (Hem,

FR

de l'Acad., 1699) que le frottement est simplement
proportionnel à la pression, C'est-à-dire, à la force qui
applique les deux surfaces l’une contre l’autre, et ne dé-
pend point de leurs grandeurs. Il évalue généralement
le frottement comme le tiers de la pression. Les expé-
riences postérieures de Bulfinger ( Voy. Mém. de Pe-
tersbourg, tom. 4 }semblent confirmer les idées d’Amon-
tons, sauf la différence de l'évaluation du frottement
qui, d'après ce physicien, n’est que le quart de la force

de pression.

Parent ajouta plusieurs considérations ingénieuses à
la théorie d'Amontons. Dans sa nouvelle statique sans
frottement et avec frottement, insérée dans les mémoires
de l’Académie, 19704 et 1712, il résolut plusieurs pro-
blèmes importans. Bientôt après , Camus ( Traité des
forces mouvantes) , Musschenbroëk et Désaguliers,
traitèrent la question, et ajoutèrent de nouvelles ex pé-
riences. Il résulte des travaux de ces mécaniciens , que
le rapport du frottement à la pression est différent ,
suivant les différentes espèces de matières qui frottent
les unes contre les autres, et qu'il varie du sixième au
tiers. Cependant il n’y a aucun inconvénient dans la
pratique d'admettre le rapport d’Amontons, car il vaut
mieux donner trop d'avantage à la puissance que de lui
en donner trop peu. Musschenbroëk n’adopte pas non
plus la proposition avancée par Amontons, savoir que
le frottement n’augmente pas, quoiqu'on augmente
les surfaces, pourvu que la pression soit la même.
D'après les expériences de ce savant professeur, ie frot-
tement augmente quand les surfaces sont plus grandes ,
mais, à la vérité, dans un rapport beaucoup moindre
que celui des surfaces.

Bossut et l'abbé Nollet ont distingué deux espèces dé
frottement, celui qui résulte d’une surface glissant sur
uue autre, et celui qui résulte d’un corps routant sur
une surface. La résistance occasionnée par le premier
de ces frottemens est toujours plus grande que celle
qui est produite par le second. Telle est en effet le
résultat de toutes les expériences...

Fergusson et le professeur Vince de Cambridge se sont
également occupés de la théorie du frottement dont il
était réservé à l’illustre Coulomb de surmonter les prin-
cipales difficultés. L'Académie des sciences ayant succes-
sivement proposé en 1779 et en 1782 pour l’objet d’un
concours, la théorie des machines simples, en ayant
égard aux effets du frottement et de la raideur des cor-
dages, Coulomb, alors gapitaine au corps royal du
génie, remporta le prix qui était double, et son mé-
moire, l'ouvrage le mieux faitetle plus complet qui eût

FR 49
encore été composé sur cette matière fut imprimé dans
le dixième volume des savans étrangers. Nous ne pou-
vons rapporter ici en détails les résultats de Conlomb ;
ils ont servi de base à Proni pour la théorie du frotte-
ment qu’il a donnée dans son Architecture hydraulique.

Voici seulement les plus importans.

1. Le frottement des bois glissant à sec sur les bois,
oppose, après un temps suffisant de repos, une résis-
tance proportionnelle aux pressions, cette résistance
augmente sensiblemeut dans les premiers instans du re-
pos; mais après quelques minutes elle parvient ordinai-

rement à son maximum ou à sa limite.

2. Lorsque les bois glissent à sec sur les bois avec une
vitesse quelconque, le frottement est encore proportion-
nel aux pressions; mais son intensité est beaucoup moin-
dre que celle qu’on éprouve en détachant les surfaces
après quelques minutes de repos : on trouve par exemple
que la force nécessaire pour faire glisser et détacher
deux surfaces de chène après quelques minutes de repos
est à celle nécessaire pour vaincre le frottemeut lorsque
les surfaces ont déjà un degré de vitesse quelconque,

comme 9, best à 2, 2.

3. Le frottement des métaux glissant sur les métaux
sans enduit, est également proportionnel aux pressions;
mais son intensité est la même, soit qu’on veuille dé-
tacher les surfaces après un temps quelconque de repos,
soit qu'on veuille ertretenir une vitesse uniforme quel-

conque.

4. Les surfaces hétérogènes, telles que lesbois et les
métaux, glissant lune sur l’autre sans enduit, donnent
pour leurs frottemens des résultats tout différens de
ceux qui précèdent, car l'intensité de leur frottement
relativement au temps de repos, varie lentement, et
ne parvient à la limiie qu’après quatre ou cinq jours et
quelquefois davantage , au lieu que dans les métaux elle
y parvient dans un instant, et daus les bois dans quelques
minutes; cet accroissement est même si lent, que la ré-
sistance du frottement dans les vitesses insensibles est
presque la même que celle que l’on surmonte en ébran-
lant ou détachant les surfaces après quelques secondes
de repos. Ce n’est pas encore tout : dans les bois glis-
sant sans enduit sur les bois, et dans les métaux glissant
sur les métaux, la vitesse n’influe que très-peu sur les
frottemens; mais ici le frottement croit très-sensible-
ment à mesure que l’on augmente les vitesses, en sorte
que le frottement varie à très-peu près suivant une pro-
gression arithmétique, lorsque les vitesses croissent sui«
yant une progression géométrique.

FR

5. Il est toujours permis, dans les applications aux
machines qui peuvent se présenter, de considérer la
résistance du frottement comme composée de deux par-
ties : 1° une partie proportionnelle à la pression, et qui
est le frottement proprement dit ; 2° une partie propor-
tiounelle à l’étendue des surfaces en contact, et qu’on
regarde comme provenant de leurs adherences. Les
valeurs de ces deux parties peuvent être considérées,
pour chaque uature de surfaces, comme ne variant pas
sensiblement avec la vitesse du mouvement. Mais elles
ne sont pas les mêmes en général lorsqu'il s’agit de dé-
tacher des surfaces qui ont été en contact pendant quel-
que temps, ou de continuer un mouvement commencé.
On doit aussi distinguer le frottement des surfaces
planes de celui des axes dans les mouvemens de rota-
tion. Les tableaux suivans contiennent, sur ces divers
objets, les principaux résultats fournis par l'observa-
tion.

°, Frottement des surfaces planes , qui ont demeuré en
contact assez long-temps pour que la résistance soit
à Son INaAximum.

————……….……—…——_— … …—…— _ _—“—“ñ“…——

FR

. Frottement des surfaces planes, quand le mouve-
ment dure depuis un certain temps.

RAPPORT
E c du
INPIEORTON frottement OBSERFAPIONS.
| LES SURFACES EN CONTACT. à la
pression.
Chène sur chène, les fibres paral-
lèles.. SNS ENS 0, 11
etla sarface réduite à à des
arêtes arrondies. . 0, 0S
Les fibres croisées 0, 10
ex les surfaces réduites à :
des arrètes arrondies... . 0, 10
Les fibres parallèles et
les surfaces enduites de
suif on de vicux oing re. “e. |
nouvelé à chaque essai. .| 0, 05 L adhérence des surfaces occasiane
Fo senc co die une résistance d'environ 30 kil.
arrètes arrondies, avec en- par mètre carré.
duit, ou l'enduit essuyé
etles surfaces restant onc-
LU EP A 0, 06
Chène sur sapie, les f bres parallèles.| 0, 4
Sapin sur sapin _. 0, 17
Orme sur orme 0, 10
Chène sur fer, les fibres étant pa-
rallèles, et la vitesse très-
Pete... 0, 08 Le frottement augmente avec la vi-
La vitesse de Om,3 par tesse, à moins que les surfaces
Teoondel, Le ces. 0, 17 n'aient été usées pendant long-
Les surfaces étant très- temps.
petites, sans enduit, mais
| restant onctueuses. . . . .. 0, 07 ÊLe rapport du frottement à la pres-|
Fer sur fer............. 0, ?S sion est constant
Caiere sur ler. see 0, 24 Le frottement diminue quand les
Fer sur fer avec un enduit de suif surfaces ont été usées long-temps.
renouvelé ....... D proran Le frottement après un long use se!
Cuivre sur fer avec un enduit de reduit à 0,47.
suif renouvelé. ........ 0, 10
Avec de l'huile sur un av- L'adhérence produit une résistance
cien enduit de suif..... 0, 42 d'environ 44 kil. par mètre carre.
La surface réduite à des L'adhérence produit une résistance
pointes émoussces, restant d'environ 7 kil. par mètre carré.
onctueuse; On a enduite L'adhérence peut être regardee|
de suif et d'huile. ....:, 0, {2 comme nulle.

3°. Frottement des axes, quand le mouvement dure
depuis un certain temps.

INDICATION

DES AXES MIS SM EXPÉRIENCE.

Axe de fer dans une boîte de cuivre.
avec un enduit de auif...

xaP
du
frottement
à
la pression.

FUnT

OBSERVATIONS.

avec un enduit de vieux
oing,
Les surfaces étant pêné-
trées par le suifen res-

PT
RAPPORT
INDICATION ne
LE OBSERVATIONS.
DES SURFACES EN CONTACT.) a la
pression
| Rs
| \Chène sur chènre, les fibres parallèles! 0, 44 Le frottementparvient au merimum
| Les fibres parallèles, au bout de quelques secondes.
H et la surface réduite
| à des arètes arron-
| Den. 0,42 |Idem;
Les fibres croisces.. | 0, 27 Iden.
Les surfaces garaies
d'un enduit de sui!
reuouvelé à chaque :
expérience........ 0, 38 Le frottement atteint son maximum
! Les mêmes après un en quelques jours. L'adhérencr
} long user, en mettant produit une résistance d'environ
| du vieux oing...... 0, 21 49 kil. par mètre carré.
Idem. L'adhérence prodnit une ré-
Chôène sur sapin, les bres parallèles. | 0, 67 sistance d'environ 59 kil. par
mètre CaITÉ,
Sapin sur sapin,les fibres parallèles.| Oo, 56 |Le frottement atteint son mari-
Orme sur orme, les fibres parallèles 0, 46 mum au boutde quelques secondes.
Fer sur chène 0, 20 Idem.
Cuivre sur chène 0, 18 Idem.
Fer surfer...... 0, 2S Il n'est point certain que le frotte-
Cuivre sur fer 0, 6 ment eût atteint son maximum.
La surface réduite à Idem.
des pointes émoussées c, 17 Le maximum du frottement à lieu
Les surfaces garnies au bout de quelques secondes.
d'an enduit de suif Hem.
D 0, 114 [ldem.
D'un enduit d'huile..| 0, 17 [Il a lieu au bout de quelques heure:
D'un enduit de vieux la résistance de l'adhérence es
one. 0, 44 d'environ 7 kil. par mètre quarré:
Pierre de liais (calcaire d'un grain La valeur du frottement aprés qui
très-fn), bien polie, le mouvement est commencé n:
surune pierre sembla- peut pss différer sensiblement de
ble{Rondelet, Traité celle qui a lieu à l'instant où le
de l'art de batir, t. 1], mouvement commence.
Be: 25h-..5557 0, 58 Idem.
Pierre de Chitesu-Landon (calcaire Idem.
très dure) dont la sur-
face était piquée ou
bouchardée sur une
pierre semblable{ Bois
tard , Expérience sur
da maïn. d'œuvre, ete.,
pape SS) .......... 0, 7S
Caisse en bois glissant sur du pavé
(Régnier, Description du
dynamomètre, Journal de
l'École p° olytechrique.
[air 1 "73 SON NRESEE" 0, 58

tant onctueuses, ,,.. .
avec un enduit d'huile.
avec un enduit qui n'a-
vait pas été renouvelée
depuis long-temps quoi-
que la machine eût servi
continuellement... .....
Axe de chène vert, dans une boite
de gayac avec un enduit
desnik sec
l'enduit étant essuyé et les
surfaces restant onctueu-

Axe de chène vert dans une boite
d'orme enduite de suif.
l'enduit etant essuye et
les surfaces resian: once:
LUEUSES.. Se .-ss some

Axe de buis dans mne hoite de gayac
enduite de suif.. .
l'enduit étant essuyé a
les surfaces restant onc-

Lueuses ............
Axe de bois dans une boite d'orme
enduîte de suif........

l'enduit étant essuyé et
les surfaces restant onc-
NS ee

On voit par ce tablean que le frot-
tement des axes est en générol
un peu moins considérable dans
des circonstances semblables que
le frottement des surfaces planes,
et on peut juger aussi, d'après|
les résultats précédens, que dans
tous les cas qui peuvent se pré-
senter dans le mouvement des]
machines, où les snrfaces sont or-
dinairement enduites de cope
gras , le frottement est beaucoup}

ANR 0, 06 au-dessous du tiers de |a pressisn, à,
après avoir servi long en sorte que l'évaluation admise |
temps sans qu'on ait ra- par Bélidor est jout-a-fais fau
fraichi l'enduit........ 0, 07 tive.

FR

4°. Frottement des voitures.

——————

| BAPFORT

| circoNsraNcEs sea »

| ra OBSERFATIONS.
DU MOUVEMENT. ala -

| pression.

|

|

Voyezles expériences de M. Bou ||
lard, Journal de Physique, 1785.
Un memoire du cumte de Rum |
ford , Bibliothèque Britannique |
sciences etarts, tom. 47. Ces re-
sultats conviennent aux roue:
d'une grandeur ordinaire, et non
aux petites roues.

Voiture roulant surun terrain ho-
lrizontal , ferme etuni, les chevaux
allant au pas ou au trot......-..

Sur du pavé de grès les chevaux
lallant au | LCRRRREEEEE EEE EEE EE
|
| Les chevaux allant au grand trot

| Sur un terrain sablonneux, ou des
lcailloux nouvellement places, au
pas comme autrot..,..,.,,.., …

En 1831, le capitaine d'artillerie Morin entreprit de
reproduire toutes les expériences de Coulomb sur une
échelle plus vaste, et à l’aide d’un appareil très-ingé-
nieux, dont l'idée appartient à M. Poncelet, il put
évaluer les résistances occasionées par le frottement avec
un degré de précision supérieur à tout ce qui avait êté
fait avant lui. Un rapport de l’Académie des sciences
avant appelé l'attention du gouvernement sur ces ex-
périences, M. Morin fut invité à les continuer par le
ministre de la guerre, qui mit à sa disposition tous les
matériaux nécessaires. Le travail de M. Morin Forme
aujourd’hui trois volumes in“4°, dont le dernier vient
de paraître. ( Voyez Nouvelles expériences sur le frot-
tement, par le capitaine Morin. Paris, 1833, 1534.)

Les résultats consignés dans ce bel ouvrage confirment
les lois générales découvertes par Coulomb; mais les
évaluations numériques de l'intensité du frottement
sont entièrement différentes, et tendent généralement
à attribuer une valeur plus grande à cette intensité.
Nous devons nous contenter ici de présenter quelques-
uns des rapports de M. Morin, on pourra les compa-
rer avec ceux que contiennent les tables précédentes.

KRAPPORI
du frottement à la pression
A
après un contact |
de
quelque temps.

DISPOSITIONS
des
fibresentre elles.

SURFACES

En CONTACT.

en mouvement

—————

Chène sur chène à sec..,..,.,..| parallèles. 0,60 à 0,65 0,48
id. id... .. [perpendiculaires 0,54 0,5%
id. mouillé, id. 0,71 025
Orme sur chène à sec. parallèles. 0,69 0,45
id. i -.. [perpendiculaires. 0,57 0,45
Frène sur chène à sec.......,,. parallèles. 0,50 0,40
Sapin sur chêne. id... id. 0,52 0,56
Hètre sur chène. id... id. 0,55 0,56
Poirier sauvage sur chène. id. .... id. 0,44 0,40
Fer forgé sur chène. id..... id. 0,62 0,62
Cuivre jaune sur chêne. id...,... id. 0,62 0,62
Cuivre noir corroyé sur chêne. id. id, 0,74 0,27
Cuir de bœnf pour semelle,
et à plat. id. , 14, 0,61 0,54
Id. de champ surchène id....., id. 0,45 0,54
Id. id. mouillé... ........ id. 0,79 0,29
Sangle de chanvre sur chène à sec. id. 0,64 0,52
Natte de petites cordes de chanvre
sur chène. Mir ene id, 0,50 0,52

le de chanvre de 0m,04 de dia-
mètre sur chène, 1...

FU 51

FRUSTUM (Geom.). Mot latin qui signifie morceau,
et dont quelques auteurs se sont servis pour désigner ce
que uous exprimons par l’épithète de #ronque; ainsi,
ils ont appelé frustum de cône, de pyramide, ce qu'on ap-
pelle cône tronqué, pyramide tronquée , etc. (Voyez ces
mots.)

FULTON (Roserr), célèbre mécanicien moderne,
est né en Amérique, dans le comté de Lancastre, qui
fait partie de l’état de Pensylvanie. Il appartenait à une
famille pauvre qui ne put donner à son éducation tout
le développement que son intelligence vive et précoce
semblait réclamer. Il apprit d'abord à Philadelphie l’art
du joaillier ; il vint ensuite à Londres, où il s’'adonna à
Ja peinture , et arriva en dernier lieu à Paris, où il put
faire des études conformes au génie dont il était doué
pour la mécanique. Nous ne nous proposons ni de le
suivre dans les vicissitudes de sa vie, ni d'exposer même
ses divers travaux comme mécanicien; mais nous avons
pensé que Fulton appartenait à l'histoire de la science,
sinon comme inventeur, au moins comme le premier et
le plus heureux propagateur de la navigation par la va-
peur. Il est remarquable que le premier steam-boat ou
bateau à vapeur ait été construit sous la direction de
Fulton à Paris, et essayé sur la Seine. Personne ne
comprit alors l'importance et l'utilité de cette puissante
invention qui doit immortaliser le nom de Fulton.
C’est le sort de cette France, qui est si fière de ses lu-
mières et de sa civilisation, de méconnaitre les œuvres
du génie, jusqu'au jour où les applaudissemens du
monde viennent lui apprendre qu’elle a dédaigné une
gloire que lui offrait un de ses enfans ou quelque cré-
dule étranger, qui, sur la foi de sa civilisation hospita-
lière et éclairée, était venu lui en faire hommage. La
découverte de Fulton fut accueillie dans sa patrie avec
une sorte d'enthousiasme, et elle n’a pas peu contribué
à y faire naître cette prospérité inouie que les vieux états
de l'Europe, à part l’industrieuse Angleterre, envient
vainement à la fédération américaine. En attribuant à
Fulton l'invention des bateaux à vapeur, nous n'igno-
rons pas qu’on a voulu lui en disputer la gloire, et que
des Français même ont pu justement en réclamer la
première pensée. Mais quelle importance l’amour-pro-
pre national peut-il mettre à réclamer la priorité d’une
invention qu'aucun Français n’a pu trouver moyen de
pratiquer en France, et qui a été dédaignée lorsqu'un
étranger est venu au sein même de la capitale en dé-
montrer la puissance et les avantages? D'ailleurs , au-
jourd’hui même que les bateaux à vapeur sillonnent les
mers en tous sens, et que ce moyen prodigieux de na-
vigation a établi des relations si fréquentes et si avan-
tageuses entre les points opposés des plus vastes em-
pires, la France n’en est-elle pas à compter encore le
nombre de ses bâtimens construits d’après ce système ?

FU

Les apologistes maladroits de la France feraient beau-
coup plus pour sa dignité et sa gloire si, au lieu de ré-
clamer pour elle l'avantage desdates et des noms d'hom-
mes, ils lui disaient sérieusement, qu'appelée par la
Providence à de grandes destinées, elle défait elle-
mêune son glorieux avenir en ne suivant que de très-
loin les nations éclairées dans la carrière du progrès et
des découvertes. Fulton mourut le 24 février 1815, à
New-York. Sa dépouille mortelle fut suivie par les so-
ciétés savantes et par tout le peuple de cette ville, qui
porta le deuil durant trente jours.

FUNICULAIRE (Méc.). On nomme machine funti-
culaire un assemblage de cordes à l’aide desquelles des
puissances et des résistances se font équilibre. Cette ma-
chine est considérée comme la plus simple des machines
élémentaires.

On trouve les lois de l'équilibre dans cette machine

FU

en réduisant, d’une part, toutes les puissances à une
seule par le principe de la composition des forces
(voy. Force), et de l’autre toutes les résistances à une
seule par le même principe. On arrive ainsi à ne plus
considérer que deux puissances uniques qui doivent être
égales et directement opposées pour se faire équilibre,
{Voy. la Mecanique de Poisson et la Sratique de
Poinsot.)

FUSEAU (Géom.). Nom donné par quelques géomè-
tres au solide que forme une courbe en tournant autour
de son ordonnée ou autour de sa tangente au sommet.

On désigne plus généralement par le nom de fuseau
un segment de sphère tracé sur un plan pour être en-
suite collé sur une boule dans la fabrication des globes
célestes ou terrestres.

FUSEAU (451). Nom d’une constellation plus con-

nue sous celui de Chevelure de Bérénice.

Ge

GALILÉE (Gare). Les hommes de génie qui, sous
des points de vue différens, ont ouvert à l'esprit humain
des routes nouvelles, ne peuvent être comparés entre
eux ; chacun d’eux se présente à l'histoire de la science
et à l'admiration du monde avec la spontanéité qui lui
est propre, avec le signe auguste d’une mission spéciale.
Il faut donc laisser aux amplifications académiques ce
luxe stérile de parallèles impossibles qu’on s'attache si
souvent à y étaler aux dépens de la raison. Descartes et
Galilée eurent le malheur de ne point se comprendre,
mais cette circonstance n’a pu établir ni opposition ni
analogie entre les doctrines et les productions scienti-
fiques de ces deux grands hommes, et l’on ne peut
d’ailleurs supposer que des sentimens de jalousie indi-
gnes de leur génie aient en rien contribué à leur inspi-
rer cet éloignement dont la cause doit rester à jamais
cachée dans les profonds mystères du cœur humain.

Ce fut le 18 février 1564, à Pise, quenaquit l'illustre
Galilée, de Vincenzio Galilei, noble Florentin, et de
Jolie Ammanati.Ses parens ne possédaient qu'une for-
tune médiocre ; mais son père, versé dans les connais-
sances mathématiques, ne tarda pas à apprécier l’intel-
ligence de son fils: il veilla avec soin sur son éducation,
et lui inspira de bonne heure le goût de la science qu'il
aimait, et dont on sait qu’il a fait d’heureuses applica-
tions à la théorie de la musique, L'enfance de Galilée
fut remarquable, et comme tous les hommes supé-
rieurs qui semblent avoir un pressentiment de leur ave-
niv, il se joua pour ainsi dire avec les connaissances

élémentaires qu'on lui communiqua, jusqu’au moment

où la science, qu’il devait féconder par des découvertes
immortelles, offrit un plus noble aliment à son esprit.
Mais, chose étrange! il avait déjà deviné les proprié-
tés du pendule, en observant, dit-on, les oscillations
réglées et périodiques d’une lampe suspendue à la voûte
d’une église de Pise, découverte qu’il publia dans un
âge plus avancé, et il n’avait point encore compris
l'importance des mathématiques. « Il n'avait pas le
moindre désir de les apprendre, dit un de ses princi-
paux biographes, ne concevant pas en quoi des trian-
gles et des cercles pouvaient servir à la philosophie. »
Car alors cet esprit audacieux et créateur s'appliquait
spécialement aux luttes philosophiques, et à cette épo-
que où l’aristotélisme dominait l’école, où la double in-
fluence du pouvoir spirituel et du pouvoir temporel
venaient en aide à son vieux despotisme, Galilée, à
dix-huit ans, avait osé l’attaquer en pleine université.
Mais enfin, diverses circonstances décidèrent de sa des-
tinée, et il s’appliqua à l’étude des mathématiques avec
toute l’ardeur dont il était capable. A peine fut-il en
possession des vérités que la science lui révéla, que le
jeune Galilée, saisi d’admiration et de joie, s’élança en
maître dans la carrière où son génie l’appelait. Il aban-
donna dès-lors la médecine et les études littéraires qu’on
lui faisait suivre, pour se donner tout entier à ces hau-
tes spéculations dans lesquelles la Liberté et la nouveauté
de sa manière de discuter lui firent en peu de temps
une réputation prodigieuse. Tels furent la rapidité et
l'éclat deses progrès, qu'à peine âgé de vingt-cinqans,
Guido Ubaldi, son maitre et son ami, et les Médicis ses

.

GA
protecteurs, lui firent donner la chaire des mathémati-
ques à l’université de Pise.

À part les malheurs qui affligèrent la vieillesse de
Galilée, et dont il nous sera impossible de ne pas parler,
nous croyons devoir maintenant ne nous occuper que
de sa vie scientifique, car c’est sous le rapport de ses
nobles travaux que nous devons surtout le considérer
dans cette rapide notice.

Frappé de la méthode qu’avait employée Archimède
pour déterminer les proportions d’un alliage d'or et
d'argent, Galilée voulut la rendre d’une application
plus usuelle et plus commode, et il imagina un instru-
ment dont la balance hydrostatique n’est qu’un perfec-
tionnement. Ce fut peu de temps après qu'il fit à Pise,
en présence d’un immense concours de spectateurs, son
expérience victorieuse sur la chute des graves, en 0p-
position manifeste avec les principes établis par Aris-
tote. Nous avons consacré ailleurs un article historique
spécial à cette importante découverte, et nous ne croyons
pas devoir revenir ici sur les particularités qu’elle con-
tient. (Voy. AGCÉLÉRATION DE LA CHUTE DES CORPS.)

Retiré, en 1597, dans une ville de l’état de Venise ,
à la suite des persécutions qu’attira à Galilée la dé-
monstration de sa nouvelle théorie , il écrivit successi-
vement pour les élèves que la renommée appelait à
lui, des traités sur les diverses branches des mathé-
matiques, que les progrès de la science ont depuis rendus
moins importans. Ce fut à cette époque qu’il inventa le
thermomètre , ou que du moins il en fit des essais qui
durent avoir peu de célébrité, puisque cette invention
fut attribuée à Drebbel, mais Galilée mérite bien d’en
être cru sur sa parole. (Ÿ’oy. Drenrer..) Il produisit aussi
alors un autre instrument auquel il donna le nom de
compas nulilaire, parce qu’il était principalement des-
tiné à l'usage des ingénieurs ; c'est le compas de pro-
portion , et l’on a également disputé à Galilée le mérite
de cette invention, qui fut attribuée à Byrge; mais il
est aujourd’hui établi d’une manière incontestable qu’il
n'existe aucune analogie entre les deux instrumens.
(Poy. BYRGE.)

Quoique dès cette époque le nom de Galilée brillät
déjà d’un grand éclat dans l'Europe savante, ce ne fut
réellement qu'après ces importantes découvertes astro-
nomiques, dans les premières années du XVII siècle,
qu'il parvint à ce haut degré d'illustration que la pos-
térité lui a conservé, Il entra dans les travaux de cette
branche de la science par sa dissertation sur l'étoile qui
apparut tout-à-coup, en 1604, dans la constellation du
Serpentaire. 11 démontra, contre l’opinion de la philo-
sophie péripatéticienne, que ce corps céleste, qui ré-
pandait un éclat extraordinaire, était fort au-delà de
la prétendue région élémentaire présumée par les as-
tronomes de cette école, et qu’il était même beaucoup

GA

plus éloigné dans l’espace que tous les autres corps pla-
uétaires. En 1609, le bruit s'étant répandu à Venise

55

qu'un Hollandais avait présenté au comte Maurice de
Nassau un instrument d'optique qui rapprochait consi-
dérablement les objets les plus éloignés, Galilée, sur
cette Vague information, construisit le premier téles-
cope, ét le premier qui püt sérvir aux observations as-
tronomiques. Il était dans la destinée de ce grand hom-
me de se voir disputer une à une toutes ses découvertes,
toutes ses inventions, et de souffrir pour la cause de la
vérité. L'invention du télescope devint pour lui une
source nouvelle de discussions et de tracasseries que lui
suscita le pédantisme ou la jalousie des docteurs del'épo-
que. Mais Galilée, dans son Nuncius sideris, écrit dans
lequelilannonça au morde les résultats de cette belle dé-
couverte, raconte lui-même avec une si noble simplicité
les nombreux essais auxquels il se livra pour rendre
utile à la science l’usage de la Zunette à longue vue dont
il avait entendu parler, qu'il fallut une mauvaise foi
bien robuste pour l’accuser de solliciter un honneur qui
ue lui appartenait pas. De l’aveu même de Galilée, il
n’est donc point, à proprement parler, l'inventeur du
télescope; mais quelle comparaison peut-on faire entre
l'instrument incomplet de l’opticien hollandais et ce-
lui à l’aide duquel Galilée put lire plusieurs pages du
graud livre du ciel ? Pourquoi celui qui, en Hollande,
joignit par hasard des verres d’inégale courbure, s'il
fut le véritable inventeur du télescope, ne le tourna-t-il
pas aussitôt vers le ciel comme Galilée, et ne fitil pas
ainsi la plus belle et la plus sublime application de cet
instrument ?

Quoi qu'il en soit, aidé du télescope qu'il avait con-
struit, Galilée fut le premier de tous les hommes qui
put examiner la surface de la lune et en décrire les
formes. Pour la première fois, les regards d’un mortel
virent avec étonnement les hautes montagnes et les
profondes vallées qui sillonnent les flancs de cette pla-
nète. Peu de temps après, il observa Vénus, dont les
phases prouvent la forme sphérique, et il apercut les
quatre satellites de Jupiter, qui accompagnent dans son
cours cet immense globe; il vit la voie Lactée , les né-
buleuses et ces innombrables étoiles, trop éloignées pour
être aperçues à la vue simple. Émerveillé de ce ma-
Jestueux et nouvel aspect du ciel dont aucun astronome
n'avait joui avant lui, Galilée fit partager son enthou-
siasme et sa joie à l'Europe savante, en lui communi-
quant ces précieuses observations, qu'il allait bientôt
étendre à de nouveaux objets, et qui devaient enfin
confirmer les théories de Copernic. Galilée, en obser-
vant Saturne, reconnut qu’il se présentait quelquefois
sous la forme d’un simple disque, et quelquefois accom-
pagué de deux appendices qui paraissaient être deux
petites planètes. Mais la puissance de son instrument

04 GA

n’était pas assez forte pour lui permettre de déterminer
dès-lors la constitution singulière de ce grand corps
céleste et voir l'anneau dont il est environné. Ce bon-
heur ou cette gloire était réservé à Huvgens. À ces
grandes et importantes découvertes de Galilée , il faut
ajouter celle des taches du soleil, dont il conclut la
rotation de ce globe. Il tira de l’observation de celles
qu'on remarque constamment dans la lune, la consé-
quence que cet astre nous présente toujours à peu près
la même face, malgré l’espèce d’oscillation périodique
qu'il éprouve, et à laquelle Galilée donna le nom de
libration. C’est avec la même aptitude à découvrir les
conséquences de choses, avec la même profondeur de
jugement, que Galilée consacra une grande partie de sa
vie à observer les satellites de Jupiter, afin de fonder
une théorie de leurs mouvemens qui püt êtreappliquée
à la résolution du problème des longitudes.

Un homme du génie de Galilée, en possession de
tant de faits nouveaux, ne pouvait laisser àun autre
l'honneur immortel de tirer de ses découvertes la
preuve du vrai système de l'univers. La démonstration
scientifique de la théorie de Copernic devint l’objet
constant de ses travaux, le sujet de ses écrits et des
conversations publiques auxquelles il se livrait avec les
nombreux visiteurs que sa haute renommée lui attirait.
Il rejeta comme des erreurs grossières , les doctrines as-
tronomiques enseignées jusqu'alors et fit faire à la
science un progrès immense, en tirant le système de
Copernic de l’état d’hypothèse où il serait demeuré
long-temps peut-être sans Vinvention du télescope et
les observations qui en furent la conséquence.

Copernic avait été livré sur un théâtre aux huées du
peuple, en Allemagne; Galilée fut également voué au
ridicule de ses concitoyens , qui le comparèrent à Astol-
phe voyageant dans la lune , comme Descartes fut après
l'objet des plus ignobles persécations en Hollande, où
il s'était réfugié. Telles sont , même à des époques plus
éclairées , les tristes circonstances qui accompagnent ha-
bituellement la production de la vérité. L'exemple de
ces trois grands hommes ne semble-t-il pas prouver
qu'il y a dans le monde un principe de mensonge qui
lutte contre l'intelligence humaine, et arrête ses déve-
loppemens, jusqu'au moment où la vérité dissipe par
le viféclat de sa lumière les orageuses ténèbres qui l’en-
veloppaient.

A cette époque, Galilée avait quitté Venise pour la
cour de Florence. La protection que lui avait long-
temps accordée cette puissante république, lui eût
sans aucun doute épargné les graves injustices et les
malheurs que lui suscitèrent le fanatisme des anciennes
doctrines et le fanatisme religieux, plus dangereux
encore et plus puissant. Les ennemis de Galilée, pour
s'attaquer à ses opinions, firent d’abord proscrire la

GA

doctrine de Copernic comme contraire au texte des écri-
tures. Ce grand homme fut ensuite personnellement cité
devant une commission de théologiens, qui lui donna
connaissance de la déclaration suivante: « Soutenir
que le soleil est placé immobile au centre du monde,
est une opinion absurde , fausse en philosophie, et for-
mellement hérétique, parce qu’elle est expressément
contraire aux écritures ; soutenir que la terre n’est point
placée au centre du monde , qu’elle n’est pas immobile,
et qu’elle a même un mouvement journalier de rota-
tion, c’est aussi une proposition absurde, fausse en phi-
losophie, et au moins erronée dans la foi. » En con$é-
quence, défense fut faite à Galilée de propager à l’ave-
ir l'opinion qui venait d’être condamnée.

On comprendra quelle dut être la profonde douleur
de ce génie sur lequel l'ignorance jetait le voile respecté
de la religion. Ce fut en vain qu'il soumit au Saint-
Office les argumens les plus favorables à la vérité, ce
fut en vain qu’il prouva que l’Ecriture avait dû parler
le langage du vulgaire et que son texte n'avait rien de
contraire à la doctrine de Copernic; on ne voulut point
l'entendre et il fut contraint de se soumettre à une dé-
cision aussi erronée qu'illégale, car l’église dépositaire
d’un ordre de vérités qui n’ont rien de commun avec
les vérités scientifiques , n’avait aucun droit de s’immi-
scer dans une question exclusivement du démaine de la
science.

Le désir de faire triompher la juste cause de la vérité,
ne permit pas à Galilée de garder sa promesse, et l’on
sait que dans son célèbre dialogue sur les deux systèmes
du monde, où il met en présence un péripatéticien et
un copernicien , tout l'avantage de la discussion reste à
ce dernier. Malgré les précautions qu'il avait prises de
paraitre lui-même étranger à ce résultat, et de faire
approuver d'avance son livre par le pape, l'envie quis’at-
tachait à sa gloire, ne le laissa pas en repos,et dénoncé à
l'inquisition, il fut obligé, à l’âge de soixante-neuf ans, et
affaibli par des douleurs rhumatismales, de comparaître
devart ce redoutable tribunal. On ne peut lire sans at-
tendrissement le récit qu’il a fait dans une de ses lettres
de son triste voyage de Florence à Rome et des persécu-
tions qu’il endura. Après de nombreuses comparutions
devantlesjuges qu’on lui avait donnés,ses opinions furent
dénoncées et flétries , et lui condamné à la prison pour
un terme indéfini, et on osa lui dicter la formule d’ab-
juration, qu'il fut contraint de prononcer en ces termes:
« Moi, Galilée, dans la soixante-dixième année de mon
» âge, étant constitué prisonnier, età genoux devant vos
» Éminences, ayant devant les veux les saints Évangiles,
» que je touche de mes propres mains: j’abjure, je
» maudis, je déteste l'erreur et l’hérésie du mouvement
» de la terre. » Ce fut ainsi, et le 22 juin 1630, que le
génie daigna s’humilier devant l’envie qui l'avait pour-

GA

suivi et l'ignorance qui le condamnait ! Mais on dit que
Galilée, grand encore, malgré cette dégradation,
frappa vivement la terre du pied et s’écria à demi-voix:
Pourtant elle se meut! (E pur si muove.) C'était le
dernier cri de la raison opprimée.

Nous avons à dessein abrégé les détails douloureux
qui se rattachent à cet événement important dans l’his-
toire de la science, mais qui sont connus de tout le
monde. Hätons-nous de dire que du moins les droits sa-
ccrés de l’humanité ne furent pas davantage violés dans
la personne de Galilée, et qu'aucun document ne
prouve qu’il ait eu à souffrir les cruautés dont on pré-
tend que l’inquisition usa envers lui. On lui donna pour
prison le palais de l'ambassadeur de Toscane , et quel-
ques années après, il recouvra entièrement sa liberté.
L’indignation dont on ne peut se défendre après tant
d'années , à l’aspect des maux dont fut frappé cet illustre
vieillard , éclata partout hors de l'Italie et dans le sein
de l'Église même, et c’est, en dernier lieu, l'inquisition
qui supportera seule dans la postérité la honte de cet
odieux attentat. Ce fut au comte de Noailles, ambassa-
deur de France à Rome, que Galilée confia ses derniers
travaux, en manuscrit, ils furent imprimés à Leyde
par les Elzevirs ; ce sont deux dialogues dans lesquels il
créait une science pour ainsi dire nouvelle, en établis-
sant les lois de la résistance des solides et celles du mou-
vement accéléré des corps graves. C’est aussi un Frau-
çais, le père Mersenne, qui honorait à la fois la science
et la religion, qui publia le premier la mécanique de
Galilée, où l’on trouve la première démonstration des
lois de l'équilibre et celle du principe des forces vir-
tuelles.

Malgréle poids des années et des infortunes qui avaient
troublé sa carrière, legrand Galilée observait encore avec
lecourage qu'il avait eu dans sa jeunesse, et il continuait
ses tables des satellites de Jupiter lorsqu'il perdit la vue.
Ainsi tousles malheurs qui peuvent torturer la vie, tom-
bèrent sur cet homme prodigieux, exemple sublime de
la résignation et de la constance nécessaires aux hommes
qui se dévouent au triomphe de la vérité. Il ne pou-
vait plus voir le ciel, mais sa parole chaleureuse et bril-
lante l'expliquait encore à ses nombreux élèves et à tous
les hommes qui venaient à Florence lui apporter le tri-
but de leur respect et de leur admiration. Dieu mit en-
fin un terme à ses souffrances et à ses malheurs en le
rappelant à lui, et le grand et noble Galilée entra dans
l’immortalité le 9 janvier 1642 à l’âge de soixante-dix
huit ans. Ce fut dans la même année que Newton fut
donné au monde. Il est à regretter que les œuvres de
Galilée, qui forment une bibliographie considérable ;
n'aient jamais été réunies. Ce serait une entreprise digne

de l'attention des savans et de la protection d’un gou-
vernement éclairé.

GA 59
GASSENDI (Prerre). Ce nom appartient à la fois à

lascience, à la philosophie, aux lettres et aux arts. Il
rappelle un de ces esprits vastes et hardis qui, dans la
première moitié du XVIT' siècle, donnèrent une impul-
sion extraordinaire à toutes les connaissances, à toutes les
idées qui agitaient alorsle mondeintellectuel. Pierre Gas-
send ou Gassendi naquit dans un village voisin de Digne,
en Provence, le 22 janvier 1592, d’une famille pauvre
et obscure. Il reçut les premiers élémens de l’instruction
de la charité du curé de son hameau, mais son enfance
fut tellement hâtive et merveilleuse, que le généreux
pasteur épouvanté d’une précocité qui tenait du mi-
racle , présenta son élève à l’évêque de Digne qui
le prit sous sa protection. On rapporte que dès
l'âge de quatre ans, il répétait les sermons qu'il avait
entendus prononcer, et qu’il se levait en secret pendant
la nuit pour méditer et admirer le ciel.

A viugt-un ans Gassendi obtint au concours les chaires
de philosophie et de théologie dans l’université d’Aix, et
ce fut alors qu’il justifia toutes les espérances qu’avaient
fait concevoir son enfance merveilleuse et sa laborieuse
jeunesse. Il sentit de bonne heure ce qu’il y avait de
faux et d’erronné dans les doctrines despotiques de l'é-
cole; mais obligé de se conformer aux méthodes reçues,
il ne commença à manifester son opposition qu’en fai-
sant soutenir des thèses pour et contre Aristote. Quelques
années plus tard, pourvu d’un bénéfice à la cathédrale
de Digne, il put se livrer avec plus d'indépendance à la
libre manifestation de ses idées, et il publia les deux
premières parties de son livre des Exercitationes para-
doxicæ adversüs Aristotelem ; c'était alors un acte d'au-
dace.

Les études et les recherches de Gassendi s'étendaient
à toutes les branches du savoir, mais l'astronomie fut
une des sciences pour laquelle il se sentait le plus d’at-
trait. Galilée venait alors de changer par ses découver-
tes la face de cétte science, et Gassendi fut en France
un des plus ardents zélateurs de sa doctrine. Il enseigna
publiquement le mouvement de la terre, et contribua
beaucoup à empêcher la Sorbonne parisienne de se dés-
honorer, en publiant une déclaration semblable à celle
des théologiens de Rome. Galilée trouva encore en Gas-
sendi un éloquent etsavant apologiste, quand le père
Gasrée attaqua la célèbre théorie sur l'accélération des
graves. Il est juste de faire observer ici en faveur des
savants français du XVII siècle, qu’ils accucillirent en
général avec un louable empressement ces grandes et
nouvelles doctrines, qui allaient régénérer le monde
scientifique, et que, tandis que la théorie de Copernic
était livrée en Allemagne à la risée publique, et que
Galilée souffrait en 1talie pour en avoir démontré l’exac-
titude, la France acceptait avec admiration l’œuvre de
ces deux beaux génies. Tous deux trouvèrent en France

06 GA

des disciples qui défendirent leur cause avec l’entraine-
ment de la conviction et l'autorité que donne le savoir;
sous ce rapport Le nom de Gassendi sera toujours cher à
la science.

On doit encore à cet homme célèbre une observa-
tion curieuse du passage de Mercure sousle Soleil. L'il-
lustre Képler avait averti, dès 1629 , les astronomes de
se préparer à observer ce rare phénomène le 7 novem-
bre de l’aunée 1631 ; il annonçait également un passage
semblable de Vénus comme devant avoir li u leG dé-
cembre de la même année, Gassendi fut assez heureux
pour jouir à Paris de la réalisation de la prédiction scien-
üfique de Képler. Le jour indiqué par ce graud astro-
nome, il tourna son télescope vers le soleil et aperçut
une petite tache noire et ronde déjà assez avancée sur
le disque de cet astre. Il l’observa avec attention, et ne
douta plus, d'après|a rapidité deson mouvement, que ce
ne fût Mercure. Gassendi détermina ainsi les circonstan-
ces de cette occultation : il trouva que le centre de Mer-
cure était sur le bord du disque solaire à 10 h. 28 m. du
matin, et que la conjonctiou avait eu lieu à 7 h. 58 m.
daws le 14° degré 36° du Scorpion. Il en conclut le mo-
ment de l'entrée à 5 h. 28 m. du matin, et le lieu du
uœud voisin au 14° degré 52’ du Scorpion. Képler l’a-
vait placé au 15° degré 20’ de ce signe. Enfin Gassendi
estima à 20" le diamètre apparent de Mercure, mais il
attendit vainement le passage annoncé de Vénus, qui
n'eut pas lieu ou ne fut pas visible en Europe: c’est pour
cela qu'il intitula l'écrit daus lequel il rendit compte de
son observation, Je Mercurio in sole visu et Venere
invisa.

La haute renommée qui s’est attachée à Gassendi
comme plulosophe, a diminué l’éclat de ses travaux
comme géomètre, mais ils n’en méritaient pas moins
d’être recueillis dans l'histoire de la science, Sous le pre-
mier de ces rapports la carrière de Gassendi fut bril-
lante, sans doute, et ses doctrines seraient dignes d’un
examen approfondi ; mais nous nesaurions nous y livrer
ici sans sortir de notre plan. Nous nous bornerons à dire
que Grassendi n’a nullement basé d’une nranière absolue
ses principes philosophiques sur ceux d'Épicure ;
comme on l’a dit tant de fois. La vaste instruction
de cet homme célèbre l'avait familiarisé avec la con-
naissance des philosophies anciennes ; il chercha
dans la comparaison d’une foule de systèmes des
armes contre l’aristotélisme dont l'insuffisance était
démontrée à sa raison. Il n'est donc pas étonnant
que la philosophie à priori de Descartes lait eu pour
adversaire. Gassendi est en réalité, le véritabie chef
de l’école éclectique en France. Il mourut à Paris le 14
octobre 1655. On a de la peine à comprendre l’immen-
sité des travaux de Gassendi, et l'aptitude étonnante

dont il était doué pour les connaissances si diverses sur

GE

lesquelles il a écrit avec une remarquable supériorité.
Voici la liste de ses principaux écrits mathématiques:
I: Parhelia, seu soles IF spurit qui cire verum, Roiïnæ
Die 20 martis 1629 apparuerunt , etc. Paris, 1630 in-4°.
IT Mercurius in sole visus et Venus invisa, Paris, 1631.
IUT. Proportio gnomonis ad solstitialem umbram ob-
servata Massilia, Paris, 1636. IV. Æpist. XX de appa-
rente magnitudine solis, etc. Paris, 1636, V. De motu
impresso à motore translato. Paris, id. VI. Novem stel-
læ visæ cérea Jovem, Paris, 1643. VIE. De proportione
qu gravia decidentia accelerantur , etc., Paris, 1646.
VI. Jastitutio astronomica, Paris, 1647. IX. Appen-
dix cometæ, Lyon, 1658. etc. etc.

GÉBER ou GIABER, dont le véritable nom paraît
être Aou Moussan Drarar az Surt, est un des plus cé-
lèbres alchimistes arabes. On a voulu lui faire honneur
de l'invention de l'algèbre, branche de la science à la-
quelle il aurait donné son nom. Cardan , qui le placeau
nombre des douze plus suktils génies du monde, n’a pas
peu contribué à accréditer cette opinion. Mais Cardan
était lui-même très prévenu en faveur de l’alchimie, et
peut-être n’a-t-il fait que partager Penthousiasme des
adeptes pour Géber. Les livres qui nous restent de cet
Arabe, qui suivant l'historien Aboulfeda vivait dansle
VIII* siècle, sont exclusivement consacrés à l’alchimie
et à la médecine empirique. On y trouve bien quelques
notions d'astronomie, mais rien qui indique la grande
découverte attribuée à leur auteur. On a donc pu penser
ou qu'il avait existé un autre Géber, ou que l’alchimiste
Géber n’était pas l'inventeur prétendu de l'algèbre.

GELLIBRAND (Henri), astronome et géomètre an-
glais né à Londres en 1597, fut l’ami et sans doute l’é-
lève de Henri Briggs qui le chargea en mourant de ter-
miner son grand travail sur les logarithmes qu’il laissait
inachevé. Gellibrand se conforma à ses intentions, et pu-
blia cet ouvrage, dont'il a composé tout le second livre,
sous le titre de: Trigonometria britannica.

Gellibrand était curé de la paroisse de Chiddingstone,

dans le comté de Kent, lorsqu'il fut saisi tout à coup.

d’une étrange passion pour les mathématiques. Il aban-
donna la carrière ecclésiastique et vint s'asseoir comme
écolier sur les bancs de l'Université d'Oxford. Le zèle
avec lequel il selivra à l'étude le fit distinguer par Henri
Briggs qui lui fit obtenir la chaire d’astronomie de Gres-
ham. Il est auteur de divers traités sur la navigation et
d'un ouvrage mathématique intitulé : Znstitution trigo-
nomélrique , qua été imprimé plusieurs fois. Gellibrand
mourut jeune encore, en 1637, probablement des suites
d'un travail trop appliqué , car la nature ue l'avait pas
fait géomètre. Comme astronome il ne reste rien de Gel-

librand, qui d’ailleurs partisan du systèmede Ptolémée,

traitait celui de Copernic d’absurdité.

GE
GÉMEAUX (les). (Æstr.) Nam d'une constellation et
du troisième signe du zodiaque, marqné H. #oy. Ba-

LANCE et CONSTELLATION.

GÉNÉRATEUR, GÉNÉRATRICE. En Géométrie,
on donne ce nom à toute espèce d’étendue qui, par son
mouvement, en engendre un autre, Ainsi on appelle
cercle générateur de la cycloïde, le cercle dont un des
points décrit la cycloïde. pendant qu’il roule sur une
droite, ( Voy, CycLoïne.)

GÉNÉRATION. Ce mot n'a été employé par les
géomètres que pour désigner la construction d’une
étendue déterminée, par le moyen d’une autre étendue
supposée en mouvement. C’est de cette manière qu’on
peut imaginer qu'une sphère est formée par la révolu-
tion complète d’un demi-cercle autour de son diamètre;
ou qu'un cône droit est construit par la révolution d'un
triangle rectangle autour de l’un des côtés de son angle
droit. Dans ce cas la droite autour de laquelle s'opère
le mouvement, preud le nom d’'axe de rotation où de
révolution.

Nous nous sommes déjà servis, dans le cours de ce
Dictionnaire, du mot génération, enle prenant dans une
acception plus étendue, soit en Pappliquant aux nom-
bres, soit.en l’appliquant à l'espace; nous en fixerons le

sens absolu au mot PniLosorme.

GÉOCENTRIQUE (de z}, terre etde seyeroy, centre).
Se dit de tout ce qui a rapport aux planètes, en considé-
rant la terre comme le centre de leurs mouvemens, Par
exemple, on nomme longitude géocentrique, et latitude
géocentrique, la longitude et la latitude d’une planète
vue de la terre; ct mouvement géocentrique, le mouve-
ment propre, apparent, d’une planète sur la voûte cé-
leste. Foy. Larrrune, Loscirune et PLANÈTE.

GÉODÉSIE (de y», terre, et de J'ulw, je divise ).
Branche de la géométrie pratique qui à pour objet le
partage des terres ou des surfaces, où en général, la
division d’une figure quelconque en un certain nombre
de parties.

On donne maintenant au mot géodesie une acception
beaucoup plus générale, en désignant par ce nom la
science pratique non-seulement de la division, mais en-
core de la mesure des terrains; et on lui fait embrasser

‘ainsi toutes les opérations trigonométriques et astrono-
miques nécessaires pour lever une carte, mesurer la
longueur d’un degré terrestre, ete., ete. La géodesre,
prise dans ce sens étendu, est proprement la géométrie
pratique. Ses procédés font l’objet de plusieurs articles
de ce Dictionnaire, auxquels nous renverrons. (Voy.
Lever Des puans, Ménipienne, MESURE DE LA rEnnr.
Ceux de nos lecteurs qui voudraient approfondir Ja
science doivent consulter le Traité de géodésie de Puis

TOME IL.

5T
sant, et le Nouveau traité géométrique de
de M. A. Lefèvre,

GÉOGRAPHIE (math. app.) (de, terre, et de

vpapos je décris). Science qui traite de tout ce qui a

l'arpertage

rapport à la terre. Elle se divise en géographie physt-
que et en géographie mathématique. Cette dernière
comprend les relations respectives des diverses parties
de la terre entre elles et par rapport au ciel; elle est
l’objet de plusieurs articles dans ce dictionnaire. Voyez
Larirupe, Loncirune, Méninienne et Terre.

GÉOMÉTRIE de y», terre. et de perpor y Mesure),
Malgré le sens restreut que lui donne son étymologie,
mesure de la terre, c'est sons ce nom que l’on désigne
Ja science générale de l’Érenpue, l’une des deux bran-
ches fondamentales des mathématiques pures.

L'origine de la géométrie remonte à l’origine des so-
ciétés. Dès la plus haute antiquité on trouve partout
l'intelligence humaine en possession de quelques vérités
mathématiques, produit nécessaire de ses premiers dé-
veloppemens. Muis ces vérités, d'ailleurs en très-petit
nombre, étaient uniquement relatives aux besoins ma-
tériels des hommes : le partage et la mesure des pro-
priétés , les limites des héritages , la figure et la dimen-
sion des matériaux propres aux constructions , tels
farent incontestablement les objets dont elles étaient
déduites, et, pendant une longue suite de siècles,
l'Égypte , qu'on s'accorde à nous présenter comme le
berceau de la géométrie, ne put s'élever au-dessus de
ces considérations concrètes de l’étendue. C’est seule-
ment à Thalès et à Pythagore que commence la consi-
dération abstratte des vérités géométriques, c’est-à-dire,
LA SCIENCE , €t sous ce rapport, comme sous tant d’au-
tres, la Grèce s’est placée à la tête des nations alurs ci-
vilisées.

Après Pythagore, à qui l’on doit le théorème du
carré de l'hypothénuse (voy. ce mot), lune des plus
importantes propositions élémentaires , les philosophes
grecs se livrèrent à l’envi à l'étude de la géométrie.
Anaxagoras de Clazomène, persécuté pour avoir ensei-
gné que les astres sont des corps matériels; Hippocrate
de Chio , connu par sa fameuse et pourtant insignifiante
quadrature des funules; et le divin Platon, qui appe-
lait Dieu l'éternel géomètre, doivent être cités parmi
ceux qui contribuèrent aux progrès de la science, et dont
Euclide recueillit plus tard les travaux lorsqu'il com-
posa sou célèbre ouvrage des Elémens. (vor. Eucrne).
Comme les découvertes des géomètres de cette première
période sont mentionnées dans leurs articles biographi-
ques, pour éviter les répétitions, nous devons nous con-
tenter ici de renvoyer à ces articles. Voyez AroOLLONIUS,
AncnimÈpe, etc. etc. ’oy. aussi Écocr D'ALEXANDRIE.

Malgré les immenses travaux de tousces hommes il-

8

53 GE

lustres, la science demeura dans le cercle borné des propo-
sitions particulières, etplus tard, après la renaissance des
lettres, lorsque l'Europe sortit de la longue barbarie qui
suivit la destruction de l'empire romain, on se borna si
exclusivement à traduire et à commenter les ouvrages
des anciens, qu'il est presque impossible de citer un vé-
ritable progrès avant l’époque où Descartes vint ouvrir
à la géométrie la nouvelle carrière qu'elle a parcourue
depuis, d'une manière si brillante. C’est en 1637 que ce
grand homme publia sa Géométrie; et quaranteans après,
le calcul différentiel , découvert par Leibnitz et Newton,
portait la science du géomètre à son plus haut degré de
perfection, en la faisant définitivement passer des con-
sidérations particulières aux considérations générales ou
universelles.

Cependant, tandis que Descartes, par l'application de
l'algèbre à la géométrie, fondait une des branches les
plus élevées de la géométrie générale, d’autres mathé-
maticiens s’y frayaient aussi des routes nouvelles ; Cava-
liéri, par sa #2éthode des indivisibles, (Voy. ce mot.)
Fermat et Barrow, par leur méthode des tangentes, pré-
paraient les découvertes de Newton, en même temps
que Desargues et Pascal, par leurs considérations sur les
propriétés des projections et des transversales, jetaient
les germes de la géométrie descriptive, de cette géomé-
trie qui doit tout récemment à Monge son entier déve-
loppement. C'est ainsi que commençait la nouvelle
période de la science, et dès lors il ne s’agit plus de con-
sidérer, comme on l'avait fait uniquement jusqu'à ces
derniers efforts de l'esprit humain, les nombres et les
figures sous le seul rapport de la relation; la construc-
tion ou la génération des quantités tant numériques que
géométriques, devint le but supérieur des géomètres de
cette ère brillante qui date du XVI{' siècle et s'étend
jusqu’à nos jours. Ces travaux importans sont consignés
dans les articles consacrés aux mathématiciens à qui nous
en sommes redevables, et nous ne pouvons qu'y ren-
voyer.

Aujourd’hui, toutesles branches de la scENCE DE L’E-
TENDUE sont constituées. Elles ont été l’objet de nom-
breuses investigations qui les ont successivement portées
à un tel degré de développement, qu'il devient difficile
de saisir leur ensemble, et d’apercevoir leur liaison.
Mais cette unité de principe, dernier besoin de la rai-
son, que l’on chercherait vainement dans les travaux
des géomètres modernes, n’est plus du domaine de leur
science ; c’est à la rn1Losopnie seule qu’il appartient de
fixer Jes lois des réalités matérielles cet intellectuelles ;
c’est donc à cette science des sciences qu’il faut définiti-
vement avoir recours pour établir les mathématiques
d’une manière absolue. On comprendra facilement que,
par philosophie, nous ne pouvons entendre cette
logomachie puérile enseignée publiquement, sous ce

GE

nonr, dans nos écoles, et dont les résultats, bien loin
d’être capables de favoriser le développement dela rai-
son, ne font que retenir dans une ignorance honteuse
de toute vérité supérieure la nation qui se prétend la
plus éclairée de la terre. Si l’on veut désormais s'élever
à de véritables connaissances rationnelles, si, comme
l'impérieuse nécessité s’en fait sentir de toutes parts, on
veut enfin remonter aux principes de la ceititude, ct
sortir du chaos intellectuel dans lequel la société sc
trouve plongée, sous le triple rapport de la politique,
de la religion et de la science, il faut se décider à recon-
naître hautement le néant de cette grossière métaphy-
sique des sensations, aujourd’hui ss dominante, et le
nou-sens de cet échafaudage ridicule de notions psycho-
logiques que, sous le nom d’eclectisme, on ne rougit
par de nous présenter comme le plus sublime effort de
l'esprit humain.

Ce n’est point ici le licu d’ab order la déduction phi-
losophique des diverses branches de la géométrie géné-
rale, cette déduction sera l'objet d’un article spécial,
dans lequel nous ferons connaitre les principessupérieurs
qui viennent enfin fonder et expliquer la science; il
nous suffit, pour l’embrasser dans son ensemble, d'établir
provisoirement la classification suivante.

La céomÉrntr, prise dans son sens le plus général ,
est la science de l'étendue. Elle se divise en deux bran-
ches principales.

La première de ces branches a pour objet les modes
distincts et indépendans , ou les modes individuels de la
génération et de la comparaison de l'étendue; Ja se-
conde , les modes universels de cette génération et de
ceite comparaison.

I. Les modes individuels de la génération et de la
comparaison de l'étendue forment la science désignée
sous le nom de Géométrie élémentaire. C’est propre-
ment la géométrie des anciens. Nous allons la résumer
en peu de mots.

Les élémens de toute génération primitive de l’éten-
due sont les lignes. Le premier mode de génération élé-
mentaire primitive est la ligne drorte; le dernier, la ligne
courbe; et la transition entre ces deux modes, l'angle.
En combinant ensemble les modes primitif de la géné-
ration de l'étendue, on obtient une génération élémen-
taire dérivée, la surface; et par la réunion systématique
de ces diverses générations , on obtient le solide.

Les lignes, les surfaces et les solides, tels sont donc

es objets dela géométrie élémentaire , et par suite ceux
de toute la géométrie générale.

D'après les anciens, de toutes les lignes courbes, on
ne considère, dans la géométrie élémentaire, que la
circonférence du cercle. Foy., pour la construction
des figures géométriques, les Norions PRÉLIMINAIRES,

GE
ct dans le cours de ce dictionnaire les mots : ANGLE,
CERCLE, LIGNE , POLYGONE, SOLIDE , TRIANGLE , @tC.

La comparaison élémentaire des figures géométriques
porte sur l'égalité où l'inégalité de ces figures. 707.
TRIANGLE €t SIMILITUDE.

"IL. Les modes universels de la génération et de la
comparaison de l’étendue forment plusieurs branches
de la géométrie générale ; savoir :

La GÉOMÉTRIE DES TRANSVERSALES, qui a pour objet la
génération primitive universelle de l'étendue par in-
tersection. ( Woy. TRANSVERSALE.)

La GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE , qui traite de la génération
systématique universelle de l’étendue par projection.
( Voy. DESCRPTIVE. )

A ra
GE

La céomérnte dite ANALYTIQUE ou l'application de

59

l'algèbre à la géométrie, dont l’objet est la génération
systématique universelle de l'étendue par les coordon-
nées. Cette dernière a une partie élémentaire qui traite
de la génération élémentaire universelle de l'étendue
par la construction des rapports ou des lieux géomé-
triques. ( Voy. APPLICATION DE L’ALGÈDRE À LA GÉO-

MÉTRIE. )

La comparaison des figures géométriques envisagée
sous le point de vue de l'universalité constitue les féns
géométriques que l’on peut se proposer dans chacune de
ces sciences, dont le tableau suivant fera mieux voix la
liaison.

Modes distincts et indépendans, ou modes individuels de la génération et de la comparaison
de l'étendue. — GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE,

Partie élémentaire, — {nrersecrIoN. —
GÉOMÉTRIE DES TRANSVERSALES.

GEÉOMETRIE
GÉNÉRALE.
Lois de l'étendue. [Modes géométriques ou
| 1 primitifs.
Modes universels de la
génération et dela com- Partie systématique. — PROsEGrIONS. —
\ paraison de l’étendue, GÉOMÉTRIE DESGRIPTIVE.
Partie élémentaire, — Lieux. — Appri-
CATION DE L'ALGÈBRE À LA GÉOMÉTRIE.
(sans coordonnées).
« Modes algébriques ou
dérivés.

GERARD pe CRÉMONE, mathématicien et astronome
du xu° siècle, surnommé tantôt Cremonensis et tantôt
Carmonensis, parles écrivains postérieurs à cette époque;
ce qui a fait penser que cette dénomination pouvait s’ap-
pliquer à deux personnages différens. Il est aujourd’hui
prouvé que ce n’est là qu’une confusion assez ordinaire
aux chroniqueurs dumoyen-âge. Gérard naquit à Cré-
mone, en Lombardie, vers l'an 1114. Son goût pour
la science l’attira en Espagne, où il passa une grande
partie desa vie. Il en rapporta lAÆ/magestede Ptolémée,
qu'il traduisit en latin. Roger Bacon et Régio Montanus
ont signalé les imperfections de ce travail , qu’il lui était
peut-être impossible d'éviter, et qui n’a pas moins beau-
coup contribué à favoriser l'étude de l'astronomie. Ou-
tre beaucoup de traductions d'ouvrages de médecine,
on doit encore à Gérard de Crémone plusieurs ouvrages

Partie systématique. — Coonnonnfes. —
GÉOMÉTRIE dite ANALYTIQUE.

mathématiques qui sont venus jusqu'à nous; ce sont
l. Theoria planetarum. WW, Allaken de causis crepus-
culorum. AT, Geomantia astronomica. On trouve ce
dernier écrit dans les œuvres de Cornelius Agrippa; il
a été traduit en français par De Salerne, sous le titre de
géomancie astronomique : le traducteur aurait dû dire
astrologique. Gérard de Crémone est mort dans sa ville
natale en 1187, à l’âge de 75 ans.

GERBERT , né en Auvergne , d’une famille obscure,
vers le milieu du dixième siècle, s’est distingué par son
savoir à cette époque de profonde ignorance. Ses tra-
vaux marquent le point de départ du mouvement intel-
lectuel qui s’opéra dans l'Europe occidentale , au sein
de l’organisation féodale, et qui dissipa lentement les té-
nèbres et la barbarie , où les migrations des hommes du
nord et les luttes sanglantes de plusieurs siècles avaient

60 GE
plongé cette partie du monde. Élevé à l'abbaye d’Au-
rillac, qui appartenait à cet ordre illustre de Saint-Be-
noit, à qui les sciences et les arts de la civilisation doi-
vent leur régénération merveilleuse, Gerbert y reçut
probablement les soins de quelque maître inconnu qui
cultiva les dispositions dont il était doué. C'était dans ces
pieux asiles que le savoir humain s’était retiré et qu'il y
fut conservé comme un dépôt sacré, à l’abri des misères
et des agitations qui désolaient alors le monde. Gerbert
prit l’habit de l’ordre au sein duquel son enfance avait
trouvé ‘une si généreuse protection. Il était né avec le
génie dés mathématiques, et, tourmenté du désir de
connaître, il obtint de ses supéreurs la permission de
voyager, La renommée des Arabes le conduisit en Ts-
pagne. Il en rapporta en France le système de nu-
mération dont cette nation dispute l'invention aux
Indieus , et qui est celui dont nous nous servons au-
jourd’hui. Peut-être est-ce à Gerbert que sont dues les
premières notions de l'algèbre, qu’une similitude de
nom à pu faire attribuer à un autre. Quoi qu’il en soit,
le jeune moine acquit bientôt une grande renommée, et
ses connaissances en mathématiques, prodigieuses pour
son temps, le firent accuser de magie. Mais plus heu-
reux que Roger Bacon , qui, religieux comme lui, eut
encore, plusieurs siècles après, à se défendre contre cette
absurde accusation, Gerbert parvint rapidement aux
plus hautes dignités de l'église; qui admirait son savoir
etsa piété. Successivement abbé de Bobbio, en Lombar-
die; supérieur de l’école de Rhcims, où il eut pour dis-
ciplele 101 d& France ; Robert; évêque de ce diocèse et
ensuite de Ravenne où l’appela la faveur de l'empereur
Othon HE, Gerbert fut enfin élevé à la papauté et gou-
verna l'église catholique, sous le nom de Silvestre IF.
Il y a quelque chose de merveilleux ét qui mérite
l’atteution de l'histoire, dans la vie de ce religieux qui,
né dans la classe malheureuse et opprimée des serfs,
obtient la liberté, sous l’habit révéré de l’ordre de Saint-
Benoit ; sort du monasière , pélerin de la science , et
foulant aux pieds les préjugés de son temps, va deman-
der la lumière aux ennentis de sa religion , puis revient
l’apporter à son pays barbare, où l’on attribue sa supé-
riorité au démon. La providence ne labandonne pas ;
il lutte avec énergie contre cette fatale erreur, enseigne
à ses contemporains les priucipes de lascience, construit
la première horloge à balancier dont on se snit servi en
Europe, où l’on ne savait encore mesurer la marche
du temps qu’à l'aide d’un instrumentinsuffisant, etenfin
dans ces tristes jours d’ignorance fait moater le savoir
sur la chaire de Saint Pierre ! Cetillustre pontife mourut
le 11 maide lan 1003. 1 ne reste de lui que le glorieux
souvenir des services qu’il a rendus à la science.
GIRAFFE (454). Nom d’une constellation australe,

située entre la grande Ourse, Cassiopée, Persée et le Co:

GI
cher. Elle est composée de 58 étoiles dans le catalogue
britannique.

GIRARD ( azrenr). Géomètre hollandais , né vers la
fin du 16° siècle. I doit être signalé, dans l’histoire de la
science, comme un des précurseurs de Descartes, quoi-
qu'il n'ait qu'entrevu plusieurs vérités qu’il était réservé
à ce grand homme de développer. Son principal ou-
vraÿe qui est intitulé : Zavention nouvelle en algèbre,
et qu'il publia en 1629, in-4°; renferme ; en effet, plu-
sieurs aperçus nouveaux et qui annoncent de sérieuses
études en géométricet en algèbre. On y trouve unie con-
naissance des racines négatives plus approfondie que
dans les écrits contemporains sur le même sujet. Albert
Girard donne dans cet ouvrage un essai ingénieux sur
les angles solides et leur mesure, objet négligé jusqu’a-
lors par les géomètres. Il y mesure, pour la pre-
mière fois; la dimension en superficie, non-seulement
des triangles sphériques , mais des figures quelconques
tracées sur la surface d’une sphère par des arcs de
grand cercle. Un des objets de ce livre est encore de
démontrer que, dans les équations cubiques qui con-
duisent au cas irréductible, il y a toujours trois racines,
deux nositives et une négative. On sait que Viète avait
déjà coustruit ces équations, mais il était borné à as-
siguer les racines positives ; Girard va plus loin etassigne
les négatives qu'il appelle par moins ; et il est glorieux
pour lui d’avoir montré, plusieurs années avant Des-
cartes, l'usage des racines négatives en géométrie. On
doit encore à Albert Girard une édition des œuvres de
Stevin, publiée à Leyde en 1634: il annonce dans la
préface, qu’il vient le rétablir les trois livres des porismes ;
d'Euclide ; mais ce travail, qui a paru impossible à l’in-
génieux et savant Simpson, u’a jamais été publié. Ce
géomètre qui dévoua sa vie à destravaux utiles aux pro-
grès de la science, mais peu brillaus et surtout peu pro-
ductifs, mourut dans l’indigence en 1634.

GLOBE. En géométrie, C'est un corps rond que l’on
concoit engendré par:la révolution d’un demi-cercle
autour de son diamètre; on l’appelle plus communé-
ment sphère. (Voy. ce mot).

On nomme GLOBE ARTIFICIEL en géographie eten astro-
nomie, un globe de métal, de bois où de carton, sur la
surface duquel on représente la terre ou le ciel, avec.
les divers cercles que l’on imagine tracés sur eux. Les
globes qui représentent la terre se nomment globes ter-

restres ; et ceux qui représentent le ciel globes célestes.

(Foy. planche 28, figures 9 et 11). Les limites un peu! …

étroites, qui nous sont imposées pour ce second et der-

nier volume du dictionnaire des sciences mathématiques, |
4

né nous perméttént pas de donner ici la con$truction et.
l'usage dé ces instrumens. 1

GNOMON. (45st). Instrumèént qui sert à mesurer la
hauteur du soleil. Gé noni vient du grec vue

GN
(Règle à droite, style droit). Le gnonion, est ordinai-
remet un pilier; une colonne, ou une pyramide éle-
vée verticalement sur une surface plane, horizontale,
en un point d’une ligue droite tracée sur cette surface,
et qui représente la méridienne du lieu: (Foy. pl. 28
fig. 6). Pour connaître la hauteur du soleil dans le mé-
ridien, c’est-à-dire la hauteur du soleil au-dessus de
l’horizon au moment du midi vrai, il suffit de mesurer
la longueur de l'ombre projetée par le gnomon lors-
que cette ombre tombe exactement sur la ligue méri-
dienue , car dans le triangle rectangle formé parle gno-
mon, son ombre ct le rayon lumineux, deux côtés
étant connus, il devient facile de calculer l’angle de
l'ombre et du rayon, qui mesure précisément la hau-
teur du soleil. Soit en effet CE. (p£. 98, fig. 6) un gno-
mon, dont nous exprimerons la hauteur par k, et soit o
la longueur CA de son ombre, l’angle EAC sera la hau-

teur du soleil et nous aurons (Ÿ’0y. TRIGONOMÉTRIE).

1 :tang EAC ::0:h
d'ou
o

tang EAC — à

C’est de cetté manière que, 320 ans avant notre ère,
Pythéas trouva le jour du solstice d'été, à Mar-
seille; la longueur de l’ombre était celle du gnomon,
4

dans le rapport des nombres 120 et 41 À ce qui donne

pour la valeur de là tangente de l'angle de hauteur,
le nombre 2 5 cet angle était donc alors de 70° 47'
42" qu'il faut réduire à 70" 31° 35", en tenant compte
de la grandeur du demi-diamètre apparent du soleil
et des effets de la réfraction. Ainsi, la hauteur de l’é-
quateur étant à Marseille de 46° 42! 17", on peut en
conclure que la distarice du soleil à l'équateur, au moment
du solstice; ou que l’obliquité de l'écliptique, était à
peu près de 23° 49" du temps de Pythéas.

La méthode d'observer les hauteurs du soleil par
l'ombre d’un gnomon, est sujette à plusieurs inconvé-
niens, dont le principal consiste dans le vague de la
terminaison de lombre. On y a remédié en adoptant
au sommet une plaque percée d’un trou circulaire, au
woyeu duquel l'image brillante du soleil est projetée
sur la méridienne. Les observations les plus importan-
tes sont celles de Cassini. (Voy. ce mot), faites à Bulo
gne en 1656, et celles de le Mounier, faites à Paris, en
1743, dans Péglise de StSulpice; elles ont constaté la
diminution progressive de l’obliquité dé l'écliptique.
(Foy. Eeurwriqur). Pour plus de détails, voÿ. M£ni-
DIENNE,

GNOMONIQUE, science des cadrans solaires. Ce
nom est dérivé de gnomon , parce que les Grecs distin-
güaient les heures par ombre d'un gnomon.

GN 61

On nomme cadran solaire, une surface quelconque
sur laquelle on décrit une assemblage de ligues, telles
que l’ombre d’une verge métallique, implantée dans
cette surface, indique l’heure par sa coïncidence avec
une de ces lignes. Les lignes du cadran se nomment les
lignes horaires, et la verge métallique prend le nom
de style où d’axe, parce qu’on la considère comme
faisant partie de l'axe du monde, dans la direction du-
quel elle est toujours placée.

1. Pour se rendre facilement compte des propriétés
fondamentales des cadrans solaires, supposons que l'axe
du monde, au lieu d’être une ligne imaginaire, soit
une verge métallique, et que le plan de l'équateur’
soit capable de retenir lombre que fait naître l’inter-
ception des rayons solaires par cette verge. Dans son
mouvement diurne apparent, le soleil décrivant sur la
voûte céleste un cercle parallèle à l’équateur, l'ombre
projetée par l'axe parcourra successivement le plan de
l'équateur, et si l'on imagine ce plan partagé en 24 par-
ties égales par des droites menées du centre à la circou-
férence , la coïncidence de l'ombre avec chacuue de ces
droites indiquera une heure déterminée ou une vingt-
quatrième partie du jour solaire vrai. Nous nommerous
plans horaires, les plans d'ombre, c'est-à-dire les plans
qui à chaqué instant passent ‘par l’axe et par le centre
du soleil.

2. Or,un point quelconque de la surface de la
terre peut être considéré , sans erreur sensible ,
comme le centre de la sphère céleste, et tout plan
parallèle à l'équateur, auquel ce point appartient, peut
être pris pour le plan même de l'équateur. Si donc on
établit un style AB (PL. 41, fig. 1) dans la direction de
l’axe du monde, et qu’on lui fasse traverser en un point
G; un plan parallèle à l’équateur, on aura immédiate-
ment un cadran solaire en décrivant du point C une cir-
conférence de cercle, car ilsuffira, pour tracer les lignes
horaires, de diviser cette circonférence en 24 parties
égales par des droites menées du centre C, en ayant soin
toutefois qu'une de ces droites, CD, rencontre la méri-
dienne du lieu. Cette droite sera la ligne de midi, et les
autres indiqueront les heuresavant ou après midi, selon
qu’ellesseront dirigées à l'occident ou à l’orient de la mé-
ridienne. Le cadran dont nous venons de donner la des-
cription se nomme cadran équatorial; pour qu'il puisse
servir toute l’année il faut qu'il ait deux faces, le so-
leil se trouvant pendant six mois dans l'hémisphère
boréal et pendant six mois dans l'hémisphère austral.

Le tracé des lignes horaires ne présentant aucune dif-
ficulté dans ce cadran; on voit que sa construction de-
maude seulement qu'on sache tracer une méridienne et
placer le stylé. Nous allons nous occuper de ces pro-
blèmes dont la solution est également essentielle pour
tous les autres cadrans,

62 . GN

3. Ayant choisi un plan bien horizontal, on décrira
d’un point quelconque une circonférence de cercle, et
l’on fixera, à ce point, une tringlede métal de quelques
pouces de hauteur exactement perpendiculaire au plan.
On observera avant midi l'instant où l'extrémité de
l'ombre de la tringle atteindra la circonférence et l’on
marquera le point où cette rencontre aura lieu ; après
midi, on observera de nouveau l'instant où le même
phénomènese représentera, et on marquera le nouveau
point de rencontre. On divisera en deux parties égales
l'arc compris entre les deux points ainsi déterminés, et,
par ce point de division et par le centre, on inènera
une droite indéfinie qui sera la méridienne. Comme
une seule observation faite avant et après midi peut
manquer de précision , il est plus convenable de tracer
plusieurs circonférences concentriques pour pouvoir dé-
terminer plusieurs points le matin et le soir; on est
alors certain de la bonté du résultat, si tous les points de
division des arcs sont sur uue même ligne droite. Il
existe d’autres moyens plus exacts de tracer une méri-
dienne que nous verrons ailleurs. (Voy. M£riDiENxe.)

4. Le style devant être dans la direction de l’axe du
monde , il faut qu'il soit situé dans le plan vertical qui
passe par la méridienne , et qu’il fasse avec cette ligne
un angle égal à la hauteur du pôle au-dessus del’horison,
ou à la latitude du lieu. Ces deux conditions peuvent
être facilement obtenues à l’aide d’une équerre sur la-
quelle on trace l’angle demandé.

Pour placer le cadran , il suffit ensuite de faire passer
le style par son centre , de manière qu’il soit exactement
perpendiculaire à son plan, ce qu’on exécute encore par
le moyen d’une équerre.

5. Nous pouvons maintenant nous proposer de tracer
un cadran sur une surface plane dirigée d’une manière
quelconque. Ce problème, pris dans sa plus grande géné-
ralité, consiste à trouver les intersections des plans
horaires avec la surface donnée. Soit d’abord un plan
horizontal.

6. Cadran horizontal. Ayant tracé la méridienne AB,
et placé le style AC (PI. 41,fig. 2.), de manière
que l'angle CAB soit égal à la latitude du lieu, il ne
reste plus qu’à décrire les lignes horaires ; or, ces lignes
devant nécessairement se rencontrer au point À , sup-
posé le centre de la sphère céleste, il suffit de détermi-
ner pour chacune d’elles un second point qui lui appar-
tienne. Imaginons un cadran équatorial dont le centre
soit en un point quelconque du style, et dont le plan
coupe le plan horizontal donné selon la droite MN.
Cette droite sera la trace du plan de l'équateur sur celui
de l'horizon. On la nomme l’eéquinoxiale. Si nous con-
cevons maintenant que par l'axe AC et par chacune des
lignes horaires DE, DP, etc, du cadran équatorial on
fasse passer des plans, les intersections AË, AP , etc., de

GN

ces plans avec le plan horizontal, seront les lignes
horaires du cadran horizontal. On pourra donc tracer
immédiatement ces lignes horaires en connaissant seule-
ment les points E, P, etc., où les lignes horaires du ca-
dran équatorial, prolongées suffisamment, rencontrent
l’équinoxiale MN. Cette considération si simple va nous
fournir les moyens, soit de calculer la grandeur des
angles horaires LAB, PAB , etc. , entre les lignes ho-
raires cherchées et la méridienne AB, soit de construire
graphiquement ces lignes.

Le triangle BAD , rectangle en D, nous donne (Voyez
TricoNomÉTRIE.)

1: sin DAB : : AB : BD
ct le triargle EBD , rectangle en B, nous donne
1: tang EDB : : BD: BE
De ces deux proportions nous tirons
ee = tang EDB X sin DAB
Mais letriangle BAL, rectangle en B , nous donne aussi

1: tang BAE : : AB : BE

donc, nous avons

tang BAE — ee = tang EDBX sin DAB.

Ainsi, remarquant que l'angle BDE peut étreun quel-
conque des angles horaires du cadran équatorial , et que
l'angle BAE est l'angle horaire correspondant du cadran
horizontal, que de plus l'angle DAB est la latitude du
lieu, si nous désignons par À les angles horaires
équatoriaux , par L' les angles horizontaux correspor-
dans, et par À la latitude, nous aurons définitivement

l'expression générale (x).
tang h' = tang h. sin à.

dans laquelle il ne reste plus qu’à substituer pour 2 les
distances angulaires des différentes heures à midi, à rai-
sou de 15° par heure, puisque les lignes horaires , pri-
ses d'heure en heure, du cadran équatorial, divisent
la circonférence en 24 parties égales ou de 15 en 15 de-
grés sexagésimaux.

S'il s'agissait donc de trouver les angleshoraires d’un
cadran horizontal, pour Paris, par exemple, où la lati-
tude est de 48° 50’, on ferait dans la formule (1), à =
48° 50’ et À successivement égal à 15°, 30°, 45°, etc. ,
on obtiendrait pour h'les valeurs suivantes: 11°25';
232305 S0%h0. etc.

Comme les distances angulaires des ligues horaires

GN
sont les mêmes avant ‘cet après-midi ; ou à droite ct à
gauche de la méridienne, on aura donc la ligne de onze
heures et celle de une heure , en faisant de chaque côté
de la méridienne un angle de 11° 25" ; on aura de mé-
me les lignes de dix heures et de deux heures, en fai-
sant des angles de 23° 30}, etainsi desuite. Si au lieu de
diviser le cadran d'heure en heure, on voulait le divi-
ser de demi-heure en demi-heure, on ferait successive-
ment dans la formule (1) 2 égala 7° 30°, 15°, 22° 30",
30° etc., et l’onobtiendrait les valeurs suivantes pour les
distances angulaires de la ligne de midi avec

Matin. Soir.
laine de EXT ect: va XD Sup 0! 10H 58-29!
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9- La construction graphique du cadran horizontal est
extrêmement simple. Soit À ( fig. 3. »1. 41.) le centre
de ce cadran, et AB la méridienne , on décrira l’angle
DAB égal à la latitude du lieu, et d’un point arbitraire

| D pris sur AD, on élèvera sur cette droite une perpen-

diculaire DB prolongée jusqu'à sa rencontre en B avec

| la méridienne, Par ce point B on mènera la droite indé-

finie MN perpendiculaire à la méridienne, ce sera l’é-
quinoxiale. Sur le prolongement de la méridienne on

| prendra BC égal à BD, et avec BC comme rayon on dé-

crira un demi cercle EBF. On divisera ce demi-cercle

| en 12 parties égales, et par chaque point de division on
| mènera des rayons que l’on prolongera jusqu’à leur

rencontre avec l’équinoxiale MN. On joindra enfin le

| centre À à tous les points de rencontre par des droites,
} lesquelles seront les lignes horaires demandées. La ligne
} de six heures est parallèle à l’équinoxiale, et les lignes
| au-dessus de celle de six heures sont les prolongemens
| des lignes au-dessous.

La raison de cette construction est évidente, car si
l’on redresse par la pensée le triangle ABD de manière

| que son plan devienne perpendiculaire au plan du ca-

dran, et qu’on fasse tourner le demi-cercle EBF jusqu’à

GN

ce que CB se confonde avec BD ; on auro la disposition

65

à l’aide de laquelle nous avons déterminé (p1. 41 fig. 2.)
les valeurs des angles horaires. En effet C qui se con-
fond avec D devient le centre du cadran équatorial ;
AD estl’axe, ct les points marqués, X, XI, I, I etc.,
sont les intersections des lignes horaires avec l’équi-
noxiale.

8. Cadran vertical. On donne ce nom à tout cadran
décrit sur une surface plane perpendiculaire au plan de
l'horizon. Ce cadran prend divers noms, selon la direc-
tion de son intersection avec l'horizon. On le nomme
vertical méridional lorsqu'il regarde exactement le pôle
sud, ou qu’il est perpendiculaire au plan du méridien,
c’est-à-dire dans le plan du premier vertical ; vertical
déclinant \orsqu'il fait un angle quelconque avec le
plan du premier vertical; et particulièrement vertical
méridional lorsque son plan est le même que celui du
méridien. Ge dernier se nomme encore cadran oriental
lorsque sa face regarde le levant, et cadran occidental
lorsqu'elle regarde le couchant. Nous allons donner la
construction de ces divers cadrans.

9. Cadran vertical méridional. Soit À (PL. 41 fig. 4.)
le centre du cadran; la ligne AC, déterminée par un fil
à plomb, sera la ligne de midi ou l'intersection du
plan du méridien avec celui du cadran. On placera le
style AB dans la direction de l'axe du monde; ce qui
s’exécutera en l’adaptaut bien exactement dans le plan
du méridien, et de manière qu'il fasse avec la méri-
dienne un angle BAC égal au complément de la latitude
du lieu. Ceci posé, imaginons un cadran équatorial
dont le centre soit en un point quelconque B du style,
le plan de ce cadran coupera le plan vertical suivant
une droite MN perpendiculaire à AC, laquelle sera
l'équinoxiale du cadran demandé.

Ainsi joignant par des droites AD, AE, etc., le cen-
tre À avec les points D, E, etc., où les lignes horaires
du cadran équatorial coupent l’équinoxiale, on aura les
lignes horaires demandées du cadran vertical méridio-
nal. Cette construction nous donne immédiatement l’ex-
pression de l’angle horaire du cadran vertical, car le
triangle CBA , rectangle en B, fournit

1: AC : : sin BAC : BC

d'où AC— le triangle CBD , rectangle en C,

BC.
sin BAC?
fournit

1 : tang CBD : : BC : CD

d'où CD — BC. tang CBD; et enfin le triangle ADC,
rectangle en C, fournit

1 : tang CAD : : AC : CD

64 GN

d'où tang CAD — _

; €t par conséquent

tang CAD = tang CBD. sinBAC

or, CAD est l'angle horaire du cadran vertical; CBD,
l'angle horaire du cadran équatorial, et BAC le complé-
ment de la latitude. Nous avons donc généralement, en
donnant à het à les mêmes désignations que ci-des-

sus,

tang L'— tang h sin (90° — À) — tang a. cos à

expression qui, en faisant successivement À égal à 15°
30°, 45° etc, nous donnera les distances angulaires des
lignes horaires à la ligne de midi. On en fera le calcul
comme pour le cadran horizontal.

Eu comparant les dispositions de la fig. 4, avec celles
de la fig. 2 qui nous a servi à trouver l'angle horaire du
cadran horizontal, on voit que la construction graphi-
que du cadran vertical méridional, est, à peu de chose
près, semblable à celle du cadran horizontal, et que
cette construction peut s’exécuter de la manière sui-
vante.

Soit C, (PI. 13, fig. 2) le centre du cadran que l’on
veut décrire, menons la ligne CA qui fasse avec la mé-
ridienne CD un angle ACD égal au complément de la
latitude du lieu; d’un point À, pris sur AC, menons à
AC une perpendiculaire AE, et du point E où cette per-
pendiculaire rencontre la méridienne menons BG per-
pendiculaire à CD. Ce sera l’équinoxiale. Prenons ED=—
AE, et du point D comme centre décrivons le quart de
cercle EFQ. Divisons ce quart de cercle en dix parties
égales, et par chacun des points de division menons des
rayons prolongés jusqu’à leur rencontre, et par le centre
C, menons les droites Cri, Co, Co, etc. Ces droites
seront Îles lignes horaires avant midi. Une même cons-
truction à la gauche de la méridienne nous donnera les
lignes horaires après midi.

Le plus long-temps que le cadran vertical méridional
puisse indiquer l'heure, c’est depuis six heures du ma-
tin jusqu’à six heures du soir , et cela a lieu au temps
des équinoxes. Après l’équinoxe d'automne, le soleil
éclaire la face méridionale du plan du premier vertical
pendant tout le temps qu'il est sur l'horizon ; mais il se
lève alors après six heures et se couche toujours avant.
Après l’équinoxe du printemps, le soleil se lève avant
six heures, mais il commence par éclairer la face nord
de ce plan , et il est toujours plus de six heures lorsque
ses rayons parviennent à la face méridionale, comme
aussi le soir il cesse d’éclairer cette dernière avant six
heures. Si l’on voulait construire un cadran vertical sep-
tentrional, ce qui s’exécuterait exactement de la même
manière que ci-dessus, sauf que le style devrait faire

GA
avec la méridienne un angle BAC (PI. 41. fig. 4) égal au
supplément de l'angle BAC, complément de la latitude,
on voit que ce cadran ne pourrait servir que lorsque le
soleil est au nord du premier vertical, etqu’il n’indi-
querait même alors que quelques heures , le matin etle
soir.

10. Cadran vertical déclinant. Ce cadran est celui
qu’on décrit le plus communément sur les murailles.
Aussi, nous allons , comme pour les précédens, ensei-
gner la manière de calculer les distances angulaires des
lignes horaires à la ligne de midi , obtenue immédiate-
ment par le fil à plomb , et donner sa construction gra-
phique.

Pour simplifier la question , supposons qu’on ait placé
devant la muraille un cadran horizontal bien orienté.
Le style de ce cadran, prolongé jusqu'à la muraille, mar-
quera la place, la direction et la situation du style du
cadran qu’on veut construire, Les lignes horaires, pareil-
lement prolongées jusqu’à la muraille, v détermineront
chacune un point par où doit passer la ligne correspon-
dante du cadran vertical ; ainsi, le centre étant donné
par le style , on pourra facilement tracer les lignes ho-
raires sur le plan vertical déclinant.

Soit donc (PI. 41. fig. 5.) A le centre du cadran hori-
zoutal, et AD son style prolongé indiquanten D le cen-
tre du cadran vertical. Soit de plus MN l’équinoxiale du
cadran horizontai, et M'N'l’équinoxiale du cadran ver-
tical déterminée sur son plan par l'intersection du plan
horizontal. Alors l'angle M'BM sera l'angle de déclinai-
son du plan vertical, et BAË étant un angle horaire
quelconque du cadran, BDC sera l'angle horaire cor-
respondant du cadran vertical. Désignons par à la lati-
tude du lieu ou l’angle DAB, par à la déclinaison du
plan vertical en l'angle M'BM, par H l'angle horaire
horizontal EAB , et par H' l'angle horaire vertical BDC.
Les triangles ADB, ABE, tous deux rectangles en B.
nous fournissent

AB : BD
AB : BE

1 : tang. à ::
1 : tang. H ::

d’où nous tirerons

__ ED. tang H
+ tang À “ie

BE

D'autre part, le triangle CBE , nous donne
BC: BE :: sin CEB : sin ECB

Mais CEB est le complément de l'angle horaire H, et
comme l'angle CBE est la déclinaison du plan vertical,
nous avons J
ECB — 180° — CEB -- CBE — 180° — (90°—H) —
d= Go° + H—9, conséquemment la proportion c- |
dessus est la même chose que

GN
BC : BE :: sin (90°—H) : sin (90° + H — 5)
:: cos H : cos (H—5)
d’où nous avons

__BE. cos
” cos(H—0)

substituant dans cette valeur de BC celle de BE trouvée
ci-dessus , elle deviendra

__BD.tang H. cos IH
7 tang à. cos(H—9)

BC

ce qui nous donnera

BC sin H
BD ” tang À. cos(H—5)

en remarquant que tang H. cos H — sin H.
Maintenant le triangle CBD , rectangle en B, nous

fournit
I Te HE BD EMBC
d’où
tang H' — _
et, définitivement (1)
sin H

ang Hot".
& tang À. cos(H—0)

Cette expression nous donnera les valeurs des angles ho-

raires du cadran vertical, en y substituant à la place de

H les valeurs angulaires des angles du cadran horizon-

tal, lesquelles sont données par la formule (2)

tang. H = tan h. sin à

h étant l'heure comptée à partir de midi etconvertie en
degrés de l’équateur à raison de 15° par heure. (Voyez
ci-dessus, 4.)

Daws cette construction nous n'avons considéré que
Ja moitié du plan du cadran , celle qui reçoit les ombres
après-midi; pour rendre la formule applicable à l’autre
moitié, car ici les deux moitiés du cadran ne sont plus
semblables, il faut faire H négatif, ce qui donne

sin H

E . = Qt ee ———
lang. H tanp À. cos(H+0)

le signe négatif de tang H' indique que l'angle H' doit
être pris sur le cadran à l'occident de la méridienne.
En faisant tourner le plan vertical autour de sa ligne
équinoxiale M'N' jusqu'à ce qu’il soit rabattu sur le
plan horizontal , on trouve sans difficulté la construction
graphique que nous allons exposer. Soit D (PI. 4r, fig. 6)
Tome 11,

GN 65

le centre du cadran vertical et BD la méridienne verti-
cale ; menons arbitrairement une droite M'N' perpen-
diculaire à BD , et par le point B menons une autre
droite MN qui fasse avec M'N' un angle MBM' égal à
la déclinaison du plan vertical. Du point B élevons sur
MN une perpendiculaire indéfinie BA , elle représen-
tera la méridienne du cadran horizontal. Pour trouver
le centre de ce dernier, faisons au point D un angle
BDA' égal au complément de la latitude et portons la
distance BA’ de Ben A, A sera le centre du cadran
horizontal. Il ne s’agit donc plus que de décrire ce ca-
dran par le procédé donné ci-dessus (4), en prenant A
pour centre et AB pour méridienne, et les intersections
de ses lignes horaires avec l’équinoxiale M'N' du cadran
vertical nous donneront les seconds points cherchés
des lignes horaires de ce dernier. Mais pour nous servir
des constructions déjà faites , abaissons du point B sur
DA' la perpendiculaire BE , et portons la longueur
BE de Ben P, P sera le centre du cadran équatorial à
l’aide duquel il faut construire le cadran horizontal.
Décrivons donc le demi-cercle QBS , et divisons-le en
douze parties égales ; faisons passer des rayons par tous
les points de divisions, enles prolongeant jusqu’à l’équi-
noxiale MN du cadran horizontal. Achevons ensuite ce
cadran comme cela est indiqué dans la figure ; les ligues
horaires, ou leur prolongement, rencontreront M'N' en
des points IX, X, XI, I, IT, etc. Enfin menons du point
D une droite à chacun de ces points, etle cadran de-
mandé sera construit.

11. Un objet préalable important , soit qu’on veuille
se contenter de la construction graphique , soit qu’on
veuille calculer les distances angulaires des lignes horai-
res à la ligne de midi, par les formules (1) et (2),
c’est de connaître avec exactitude la déclinaison du plan
vertical. Nous allons indiquer un moyen très simple
d'arriver à cette connaissance. L’axe AC (PI. 41. fig 1.)
étant établi, on sait qu’il doit toujours être dans le plan
du méridien et dans la direction de l’axe du monde,
par la pointe € de cet axe, on mènera une horizontale
CD, et l’on marquera le point D où elle rencontre la
méridienne À XII; cette dernière est donnée dans tous
les cadrans verticaux par la direction d’un fil à plomb
suspendu au centre À du cadran. Par ce point D, on
mènera dans le plan du cadran une horizontale MDN,
sur laquelle on marquera deux points M et N également
distans du point D. Cela fait, on mesurera avec le plus
grand soin tous les côtés des triangles MCD, DEN, et
dans chacun d’eux on calculera l'angle en D. Dans tous
les cas, ces deux angles doivent être supplémens l’un
de l’autre , ce qui sert à vérifier l'opération; s'ils sont
tous deux droits , le plan est sans déclinaison ou direc-
tement méridional ; s'ilssont inégaux, leur différence est
égale à la déviation du plan dû cadran.

GN
12. Lorsque la déviation du plan du cadran est égale
à 90°, ce plan se confond alors avec celui du méridien

66

et le cadran prend le nom d’ortental ou d'occidental,
selon qu'il est tracé sur la face qui regarde lorient, ou
Sur celle qui regarde l'occident. La construction est la
mème dans les deux cas.

Eci, le plan du cadran contenant l’axe ne peut recevoir
sonombre , et l’on doit établir cetaxeen dehors et paral-
lëlement au plan. Soit, donc pris à volonté un point A
(pl. 13, fig. 4); on mènera d’abord dansle plan uneho-
rizontale indéfinie AB, etensuite une droite AK qui fasse
avec celle-ci un angle égal à la latitude du lieu. D'un
point quelconque D on élèvera sur AK une perpendicu-
laire EDC, elle représentera ‘axe du monde. Au point
D on élèvera une verge ou faux style d’une longueur de
quelques pouces, et à son extrémité on fixera le vrai
style en l'inclinant parallèlement à EC. Ceci posé, on
prendra DE égale à la longueur du faux style, et par
le point Æ on mènera EG parallèle à AK, ce sera l’é-
quinoxiale. Du point D comme centre , avec DE pour
rayon , on décrira une circonférence EKC , dont on di-
visera la moitié inférieure en douze parties égales, et
par chaque point de division on mènera unrayon qu'on
prolongera jusqu’à sa rencontre avec l’équinoxiale EG.
Par tous les points ainsi trouvés sur l’équinoxiale, on
mènera des droites parallèles à EC, ces droites seront
les lignes horaires demandées. EC est la ligne de six
heures, c’est-à-dire qu'il est six heures du matin ou du
soir lorsque l'ombre du style coïncide avec EC. Il est
facile d’après cela de connaître quelles sont les heures
indiquées par les autres lignes.

Le cadran oriental ne peut servir que depuis le ma-
tin jusqu'à midi, etle cadran occidental que depuis
midi jusqu’à la nuit. Dans ces deux cadrans, les lignes
horaires sont toutes parallèles entre elles et à l'axe du
monde, parceque cet axe étant l'intersection commune
de tous les plans horaires , et étant d’ailleurs parallèle
au plan donné , les intersections des plans horaires avec
celui-cine sauraient rencontrer l’axe et lui sont aussi né-
cessairement parallèles, On peut donc se rendre aisé-
ment compte de la construction que nous venons de
donner.

13. Cadrans inclinés. On nomme généralement ainsi
tous les cadrans dont le plan fait un angle quelconque
avecde plan de l'horizon. Dans ce sens, le cadran équa-
torial et tous les cadrans verticaux sont des cadrans in-
elinés. Si l'intersection du plan du cadran avec l'hori-
zon:est une droite qui passe par les points d’orient et
d’occident, le cadran est simplement incliné; dans tous
les autres casle cadran est ditincliné et déclinant.

La construction d’un cadran incliné ne présente pas
plus de difficulté que celle d’un cadran horizontal ; il
faut seulement substituer dans la formule

GN

tang L' = tang A. sin À

Sin( a+ i),à la place de sin à, z étant l’inclinaison
du plan, que l’on mesure à Vaide d’un quart de cerclé
gradué; et, dans la construction graphique (pl. 41,
fig. 3) faire l'angle BAD égal à à + 5. Le style doit
faire aussi avecla méridienne du cadran un angle égal à
À + à. Toutes ces conditions sont assez évidentes pour
qu'il suffise de les énoncer. E

14. Il est cependant un cas remarquable que nous de-
vons examiner, c’est celui où le plan donné passe par
les pôles du monde, c’est-à-dire lorsque son inclinaison
est égale à la latitude. L'axe se trouve alors compris
dans le plan et toutes les lignes horaires lui sont paral-
lèles. Le cadran tracé sur ce plan prend le nom de c4-
dran polaire. I y en a de deux espèces ; s'ils regardent
ie zénith, on les nomme polaires supérieurs, et s'ils re-
gardent le nadir, polaires inférieurs. Les premiers mar-
quent les heures depuis six heures du matin jusqu’à six
heures du soir, et les derniers les heures du matin jus-
qu’à six heures, et les heures du soir depuis six heures
jusqu'au coucher du soleil. Leur construction est la
même ; la voici :

Sur le plan du cadran menez une droite horizontale
AB (pl. 13, fig. 3 )et ayant pris CE pour méridienne,:
d’un point D comme centre , avec DE pour rayon, dé-
crivez un quart de cercle DGE. Divisez ce quart de
cercle en six parties égales et du centre D, menez par
les points de division les droites Dr, D2, D3 ,etc., qui
rencontrent l'horizontale AB. Portez les intervalles Er ,
E2, E3, etc., de l'autre côté de.CE,..et par tous les
points de division élevez des perpendiculaires à AB,
elles seront les lignes horaires. Enfin élevez en D un
style perpendiculaire au plan Au cadran et égalaa rayon
DE ; ou sur deux faux styles égaux à DE, et placés
perpendiculairement l’un en E ct l’autre en C, placez
une règle parallèle à CE; son ombre marquera les
heures en tombant sur les ligues horaires marquées 1,
DD MELC ;

Daos le cadran polaire inférieur, on supprime les
heures d'avant midi,9,10 et 11, et celles d'après-
midi 1, 2,3, etc.; l’on ne conserve que les heures 7 et8
du matin et 4 et 5 du soir, qui deviennent les heures
7 et8 du soir et { et 5 du matin en retournantle cadran.

15. Cadran incliné et déclinant. C'est ici le cas le plus
compliqué et le plus général de la gnomonique plane :
cependant nous en obtiendrons la solution sans avoir re-

cours à d’autres principes que ceux qui nous ont guidés |

jusqu'ici.
Soient (pl. 42, fig. 3)

demandé, MN son équinoxiale et DD' son axe. Prolon- .

geons cetaxe jusqu’au plan horizontal, que l’on peut con:
cevoir passer par MN, et prenons le point À, où il ren:

DB'la méridienne du cadran ?

GN

contre ceplan, pour centre d’un cadran horizontal dont
M'N', mené perpendiculairement à la méridienne AB
par le point B, et dans le plan horizontal, sera la ligne
équinoxiale. Une ligne horaire quelconque AE du ca-
dran horizontal coupera l'équinoxiale MN du cadran én-
cliné et déclinant en un point C qui déterminera la
ligne horaire correspondante DC de ce dernier cadran.
Il ne s’agit donc plus que de calculer l'angle CDB. Or,
désiguons l'angle DAB ou la latitude du licu par à,
l'angle MBM' ou la déviation du plan donné par d'et
enfin l'angle ABD ou linclinaison du plan par 7; dési-
gaous de plus par H l'angle horaire BAE et par H'son
correspondant CDB. Ceci posé, le triangle ADB nous
donne

AB : BD :: sin(180—à—1) : sin à ::
et le triangle ABE

Sin(A+i): sin À

1 : tang H:: AB:BE

En combinant ces deux proportions on entire

BD, sin(a+i) tang H
TS sin À

BE

Le triangle CBE, dans lequel les angles sont CEB —
90° — H, CBE —5 et BCE—180° — 90 + I1— 9 — 90
+ (H — 9), nous donne

BC : BE : : cos I : cos(Il—0)

d’où
: BE: cosH
7 cos(H—5)
Substituaut dans cette valeur de BC, celle de BE,
uous obtiendrons

BC

BD

__sin(a+). sin H

sin À. cos(I— 3)

Mais le triangle BDC, rectangle en B, donne encore

1 :tang H':: BD: BC
| d’où l'on tire Ô
tang H' — Fe

et, par conséquent, (a)

sin (A+-1). sin H
‘sin A, cos(H—)

tang à

Formule dans laquelle l'angle H du cadran horizon-
| tal est donné par l'expression

ang H = tag l sin À

GN OT

h étant l'heure exprimée en degrés à raison de 15
par heure. Dn fera H négatif pour une moitié du cadran.
Cette expression générale (a) doit contenir comme
Cas particuliers toutes celles que nous avons trouvées
précédemment. En effet si nous faisons Z — 40°, ce qui
est le cas des cadrans verticaux, nous avons sin (Ai) —

j cos À I
Sin(A4+go° — cos À, ét comme
sit

== --(4) de-
1 À tang à ( )

vient
sin II

tang H' —
ô langA. à. cos(H— 5)
C’est la formule du n° 10.
Si dans cette dernière on fait d — 0, cas des cadrans

verticaux saus déclinaison , on obtient

sin II
tang À. COS He

__tang 7H
tan A

taug H' —

et, en substituant la valeur detaug H,

tang h. sin à

tang H'— = tan L. sin 2.
C’est la formule du n° 6.
Enfin , si l'on fait dans (a), d —0o, on a le cas des

cadrans inclines, c'est-à-dire ,

ou
tang H' = tang A. sin(a+i)

eu substituant la valeur de tang H.

La construction graphique des cadrans inclines décli-
nans s'exécute, à peu de chose près, de la même ma-
nière que celle des cadrans verticaux déclinans; par
exemple, DB (pl.

d'enne et MN l’équinoxiale d’un tel cadran, on mènera

42, fig. 2) représentant la méri-

du centre D une droite DO’ faisant avec DB an angle
DBO' égal à 180° — (2 +i)
autre droite BA", faisant avec DB l’augle DBA' égal à

; étpar le point B une
l’inclinaison 7. BA' sera la distance du centre à l’é-
quinoxiale, du cadran horizontal qui doit servir à
la construction. Du point B on mènera encore BO
DO",

dran équinoxial à l’aide duquel on doit décrire lecadran

perpendiculaire sur BO' sera le rayon du ca-
horizontal. Ainsi ayant mené la droite M’ N' qui fait
avec MN au point B, un anple MBM' égal à la dévia-
tiou d, et la droite AB perpendiculaire sur M’ N', on
prendra AB — A' B et BO — BO'
centre on décrira le demi-cercle QBS , @t on achèvera
.est

; du point O comme

la construction comme au n° 10 ( jl.

/ "A
41, Hp.

évident que BAË étaut un angle horaire du « pus ho-

68 GN
rizontal , BDC est l’angle correspondant du cadran tn-
cliné déclinant.

16. Dans tous les cadrans dont nous venons de parler,
il y a un style parallèle à l’axe du monde ; mais on peut
encore trouver l'heure solaire par la hauteur du soleil ,
de plusieurs manières différentes, à l’aide de cadrans
portatifs pour lesquels on n’a pas besoin de connaitre la
méridienne. Il nous devient impossible de décrire ces
derniers et nous sommes forcés de renvoyer nos lecteurs
aux ouvragesspéciaux , non-seulement pour ce qui con-
cerne ces cadrans, mais encore pour beaucoup de détails
de la gnomonique dans lesquels nous n’avons pu entrer.
Nous donnerons au mot UNIVERSEL la construction d’un
cadran de cette espèce à l’aide duquel on peut trouver
l'heure avec ou sansle secours du soleil, et par lemoyen
d’un astre quelconque. Quant aux cadrans tracés sur des
surfaces courbes, nous ne pouvons également nous en oc-
cuper; mais toute la gnomonique peut se ramener à un seul
problème général qui est celui-ci : Étant donnes douze
plans quise coupent tous à angles égaux dans une même
droite, trouver leurs intersections avec une surface
plane ou courbe située d'une manière quelconque par
rapport à ces plans. Toutes les constructions précé-
dentes ne sont que des cas particuliers de ce problème,
et il en est de mème de toutes les autres. Nous devons
seulement ajouter quelques mots concernant la précision
qu’on peut espérer des cadrans solaires.

La gnomonique suppose que le mouvement du soleil
est parfaitement uniforme et s'exécute dans un cercle
exactement parallèle à l'équateur. Ces deux hypothèses
sont inexactes, Voyons si cette inexactitude peut entrai-
ner de grandes erreurs. La durée dela révolution diurne
du soleil varie depuis 23 h. 59° 40” environ, jusqu'à
24 h. o' 30”; cette différence de 50” d’une limite à la
limite opposée n’est que de quelques dixièmes de se-
conde entre deux jours consécutifs. On peut donc con-
clure que des arcs égaux sont parcourus par le soleil
dans un même jour en temps sensiblement égaux etque
l'heure solaire est bien représentée par un arc de 15°
décrit autour de l'axe par le plan horaire. Quoique le
mouvement du soleil ne soit pas lui-même bien repré-
senté par des cercles parallèles à l'équateur , car il ne le
serait réellement que par un filet de vis à pas inégaux
et roulé autour de la zone sphérique , si l’on ne s’attache
qu’aux heures qui s’éloignent peu de midi, on pourra
encore considérer les ares comme exactement circulaires
et les inégalités seront iusensibles. Mais il est d’autres
causes d'erreurs qu’il est impossible d'éviter; ce sont la
réfraction et la parallaxe qui élèvent inégalement le so-
leil aux différentes heures du jour et dans lesdifférentes
saisons de l’année. Comme, heureusement, ces causes
ont peu d'influence sur les heures qui approchent le
plus de midi et qu’elles n’en ont aucune sur l'instant de

GO

midi même , on voitqu’on ne doit demander une grande
précision aux Cadrans solaires oue dans les environs de
midi.

Lorsqu'on veut qu’un cadran solaire indique le midi
moyen, on construit autour de la ligne de midi une

Ov

courbe qu’on nomme méridienne du temps moyen(|

MÉRIDIENNE. }

On construit aussi des cadrans lunaires ; mais on peut
se servir de touslescadrans solaires pour trouver l'heure
au moyen des ombres lunaires ; il ne faut pour cela que
connaître l’âge de la luue, ou le nombre de joursécou-
lés depuis la nouvelle lune. Ayant remarqué l'heure in-
diquée par la lune sur le cadran solaire, on ajoutera à
cette heure les trois quarts de l’âge de Jalune ;la somme
sera l'heure solaire. Ce procédé, qu’on ne doit regarder
que comme une approximation , est fondé sur ce que la
lune passe tous les jours au méridien trois quarts d'heure
plus tard que le jour précédent. Comme le jour de la
nouvelle lune elle passe au méridien en même temps que
le soleil, le lendemain elle passe trois quarts d'heure
après, le surlendemain deux fois À d'heure et ainsi de
suite. Si le nombre des jours multiplié par et ajouté
au nombre d'heures est plus grand que 12, il faut en
ôter 12.

i7. L'invention des cadrans solaires est attribuée à
Anaximandre, mais elle parait plus ancienne puisqu'il
est question d’un de ces instrumens dans la Bible , sous
le règne d’Achaz, c'est-à-dire, 775 ans avant notre ère
( Poy. Rois 1v, 20, 10). Leur usage était déjà com-
mun en Grèce du temps d'Eudoxe, mais les Romains
pe les connurent que très-tard. Le premier qui parut à
Rome fut construit par les soins de Papirius Cursor,
306 aus avant J.-C. Beaucoup d’auteurs ont écrit sur la
gnomonique ; on doit à Clavius un ouvrage très-étendu,
dont l'édition publiée en 1708, avec les additions de
Sturmius et les méthodes de Picard et de la Hire pour
tracer de grands cadrans, est encore ce que nous avons
de plus completsur cette matière. Depuis, Dechalles,Oza-
nam, La Hire, Wolf, Deparcieux, Rivard, Dom Be-
dos, Émerson, ont donné des traités de gnomonique
plus ou moins détaillés. Delambre en a placé un très-
curieux dans sou Histoire de l'astronomie ancienne.

GONIOMÉTRIE.(Géom.) Ce mot dérive de yanx,
angle , et de perper, mesure, et sert à désigner l’art de
mesurer les angles comme aussi de tracer sur le papier
des angles dont la grandeur ex degrés est connue. (Voy.
la Goniométrie de M. Francœur.) Nous avons expliqué.
au mot ANGLE pourquoi on se sert du cercle pour la:
mesure des angles, et ce que l’on doit entendre par le
nombre de leurs degrés. à

GR
GRAPHIQUE. (Gcom.) Opération graphique. C'est

celle qui consiste à résoudre un problème par des figu-
res géométriques tracées sur le papier. On peut s’en ser-
vir avantageusement pour obtenir une première ap-
pr'oximation dans un grand nombre de questions astro-
nomiques , et même dans de simples problèmes numé-
riques. La méthode de solution des équations du troi-
sième et du quatrième degré que nous avons donnée au
mot CONSTRUCTION , est une opération graphique.

GRANDEUR. On définit ordinairement la grandeur,
en mathématiques, tout ce qui est suscepuble d’aug-
mentation ét de diminution ; c'est dans ce sens qu’un
nombre est une grandeur, et qu'une étendue est une
grandeur. D'Alembert a mis en doute, dans l'Encyclo-
pédie, la justesse de cette définition, en disant que Ja
lumière est susceptible d'augmentation et de diminution,
et que cependant ce serait s'exprimer très-improprement
si l’on regardait la lumière comme une grandeur. Mais
nous pouvons faire observer qu’il s’agit ici de l'intensité
de la lumière , intensité qu’on peut représenter par un
nombre, et qui est conséquemment une véritable gran-
deur dans l’acception mathématique de ce mot.

GRAPHOMÈTRE. (Géom. prat.) Demi-cercle gra-
dué dont on se sert dans l’arpentage pour relever les
angles sur le terrain. Ce demi-cercle est monté sur un
pied et porte à son centre une règle ou alidade mobile,
qui sert à viser les objets. Lorsque cette alidade est pla-
cée dans la direction d’un objet, et que le diamètre du
demi-cercle est placé dans la direction d’un autre, l’an-
gle formé par les droites que l’on suppose menées du
centre de l'instrument à ces deux objets est mesuré par
l’arc compris entre le diamètre et l’alidade, et l’on
connaît immédiatement la grandeur de cet angle par le
nombre des degrés de l'arc marqué sur l'instrument.

GRAVESANDE (Guirraume-JacorS"), géomètre hol-
landais, né à Bois-le-Duc, le 27 septembre 1658, a
surtout acquis de la célébrité durant le XVIII siècle,
par ses recherches en physique et ses opinions en philo-
sophie. Après avoir étudié les mathématiques avec beau-
coup d’ardeur et de succès, il débuta dans la carrière
des sciences par un Æssai sur la perspective, qui fixa
l'attention des géomètres, et mérita les suffrages de
l'illlustre Jean Bernouïili. S’Gravesande prit ensuite
une part active à la rédaction du Journal littéraire,
devenu célèbre sous le titre de Journal de la république
des lettres. I y rendait compte des productions mathé-
matiques , et en général des découvertes scientifiques de
son temps; ses articles remarquables par leur origina-
lité et la profondeur des vues , forment des dissertations
aussi complètes qu’intéressantes sur les plus graves
questions. On peut citer entre autres son examen de la
Géométrie de l'infini, de Fontenelle ; ses dissertations

GR 69

sur la construction des machines pneumatiques ; et sur
la théorie des forces vives et du choc des corps en mou-
vement. La machine pneumatique dut quelques perfec-
tionnemens importans à l’ingénieuse discussion de
S'Gravesande, et ses opinions sur la théorie des forces
conformes d’ailleurs à celles de Leibnitz, devinrent
l’occasion d’une longue et utile controverse parmi les
géomètres.

Eo 1717, S’'Gravesande fut promu à la chaire de ma-
thématiques et d’astronomie à l’Université de Leyde,
etil posa dans son discours d'introduction les principes
de la philosophie qu'il a depuis professée avec éclat.
Nous ne le suivrons pas néanmoins dans le développe-
ment de ces doctrines , dont l'influence n’a été que pas-
sagère. Nous nous bornerons à dire que sous le point de
vue pratique de la science, S'Gravesande démontra les
avantages de la méthode introduite par Galilée et New-
ton, et que dans la spéculation, ses opinions auxquel-
les on a donné le nom de PAïlosophie , ne sont en réa-
lité qu’un éclectisme impuissant des doctrines de Des-
cartes, de Leïbnitz et de Locke. Après avoir refusé de
quitter sa patrie pour faire partie des académies de St-
Pétersbourg et de Berlin, S'Gravesande mourut le 28
février 1742, des suites de la profonde douleur quelui
fit éprouver la perte inattendue de ses deux jeunes fils.
Il a laissé dans la science un nom distingué cet plusieurs
ouvrages importans, parmi lesquels nous citerons :
I. Essai de perspective, dont nous avons parlé, La
Haye, 1711. IL. Physica elementa mathematica expe-
rimentis confirmata ; sie introductio ad philosophian
Newtoniam, 2 vol. in-4. La Haye, 1720, 21-25-42.
IL. Mathesos universalis elementa , quibus accedunt ,
specimen commentarii in arithmeticam universalem
Newtoni, ut et de determinandäi form seriei infinitæ
ad suntæ regula nova. Leyde, 1727. in-8.

GRAVITATION. Tendance qu'un corps a vers un
autre corps par la force de sa gravité. Joy. GRavirÉ.

La physique céleste est fondée aujourd’hui sur le
principe de la gravitation universelle, posé par New-
ton, en vertu duquel toutes les parties de la matière
tendent les unes vers les autres avec une force qui varie
en raison inverse du carré de la distance. Les démons-
trations qui ont été données de ce principe ne laissent
rien à désirer, et nous pouvons le considérer comme
une des lois générales de la nature. Mais , quoique sa dé-
couverte suffise pour immortaliser l'heureux génie au-
quel la science et conséquemment l'humanité sont en-
core redevables sous tant d’autres rapports, ce serait
être peu justes envers les prédécesseurs de Newton, que
de leur refuser une part de l’éclatante gloire dont on Pa
environné, Ici, comme pour toutes les grandes décou-
vertes , nous voyons surgir des ténèbres un point lumi-
neux; à peine perceptible à sa naissance, il s’accroit

TO GR

avec lenteur; longtemps reste stationnaire; puis il &’ac-
croit de nouveau , déborde enfin de toutes parts ; ét finit
par porter la vie et là lumière au sein dela nuit profonde
où ila pris naissance, Mais que d’obstacles à surmonter !
Que d'efforts, trop souveut infructueux ! Certes, si
nous devons de la réconnaissance à ces êtres privilégiés
qui savent d’une main hardie soulever le voile de la vé-
rité, combien n’en devons-nous pas aussi à ceux dont
les trivaux , moins brillans, peut-être, mais non moins
utiles, préparent le chemin ; aplanissentla voie, et accu-
mulent les matériaux !

La gravitation universelle a été entrevue dès la plus
haute antiquité. Ce fut un des principes de la philoso-
phie de Démocrite et d’Epicure , et nous avons vu que
longtemps avant eux Anaxagoras ( Joy: ce mot) don-
nait aux corps célestes uné pesanteur vers la terre qu’il
regardait comme le centre de leurs mouvemens. Lors-
que le véritable système du monde ; découvert ou plu-
tôt ressuscité par Copernic, commença à se répandre ,
les idées des anciens sur la gravitation commencèrent
aussi à germer. Copernic lui-même n’attribuait la for-
me sphérique des corps célestes qu’à la tendance de leurs
parties à se réunir ; mais il n’alla pas jusqu’à étendre cette
tendance d’une planète à l’autre. Bientôt Kepler fit ce
pas hardi, car dans la préface de son livre sur les mou-
vemens de Mars, il fait peser la lune sut la terre et vice
versd, de sorte, dit-il, que si elles n'étaient retenues
loin l’une de l’autre par leur rotation , elles s'approche-
raient et se réuniraient à leur centre commun de gra-
vité. Pius tard, l'attraction ou la gravitation était signa-
lée par Fermat comme la cause de la pesanteur. Suivant
lui, un corps matériel ne tombait vers le centre de la
terre que parce qu'il se prêtait autant qu'il était possible
à la tendance qu’il avait vers toutes les parties de laterre.
Il ajoutait même qu’il était moins attiré lorsqu'il était
entre le centre et la surface , parce que les parties les
plus éloignées de ce centre commun l’attiraient en sens
contraire des plus proches; d’où il concluaitque, dans ce
cas, la pesanteur décroit comme la distance au centre
(Voy. Mersenne , harm. univ. ; live 11.) , ce qui depuis
a été rigoureusement démontré par Newton. Roberval
prit aussi la gravitation universelle pour principe fon-
damental du système physico-astronomique qu’il mit au
jour en 1644 sous le nom d’Aristarque de Samos. Dans
cet ouvrage, Roberval attribue à toutes les parties, de
la matière dont l’univers est composé, la propriété de
tendre les unes vers les autres ; c’est là, dit-il , la raison
pour laquelle elles s’arrangent en figure sphérique ,
non par la vertu d’un centre , mais par leur attraction
mutuelle et pour se mettre en équilibre les unes avec
les autres.

Mais , ainsi que nous l'avons déjà dit au mot arrnac-

mon ; personne, avant Néwton, n'a mieux aperçu le

GR

principe de la gravitation universelle , ni plus approché
d’en faire application la plus convenable au système
de l'univers, que le docteur Hook. Il ne lui restait qu’à
trouver la loi du carré des distances ; et s’il y a encore
bien loin des coujectures de ce savant aux sublimes dé-
monstrations de Newton, nous verrous plus loin que
son livre, publié en 1674, fut au moins l’occasion des
découvertes de ce dermer.

Ce fut en 1666 que Newton, retiré à la campagne ,
pour fuir la peste qui cette année désola Londres et ses
environs ; tourna ses méditations sur la pesanteur des
corps. Sa première réflexion, d’après ce que raconte
Pimbertou (View of sir Isaac Newton Philosophy.
Londres; 1725) fut que la cause quelconque qui pro-
duit la chute des corps terrestres , agissant toujours sur
eux à quelque hauteur qu’on ies porte , il pouvait bien
se faire qu’elle s’éteudit beaucoup plus loin qu’on ne
pensait, jusqu’à la lune même, et que ce pouvait étre
cette force qui retenait la lune dans son orbite , en con-
trebalançant la force centrifuge qui nait de sa révolution
autour de la terre. Il considéra en même temps que,
quoique la pesanteur ne parût pas diminuée daus les
différentes hauteurs auxquelles nous pouvons atteindre,
ces hauteurs sont trop petites pour qu’on puisse en con-
clure que son action est partout la même ; et il lui parut
au contraire beaucoup plus probable qu’elle devait
décroiître à mesure que la distance au centre augmente.
Pour découvrir la loi de cette diminution, Newton
donna une grande extension à ses premiers aperçus; il
pensa que si c’est en effet la pesanteur de la lune vers
notre globe qui la retient dans son orbite ; il doit en
être de même des planètes principales à l'égard du $6-
leil et des satellites de Jupiter à l'égard de cette pla-
nète. En comparant les temps périodiques des plañètes
autour du soleil avecleuts distances, iltrouva que les
forces centrifuges qui naissent de leurs révolutions, et
par conséquent les forces centripètes qui les contreba-
lancent, sont en raison inverse des carrés des distances,
La même chose ayant lieu pour les satellites de Jupiter,
Newton conclut que la force qui retient la lune dans son
orbite devait être la pesanteur diminuée dans le rap-
port inverse du carré de sa distance à la terre. Il ne
s'agissait plus que de vérifier cette conclusion.

Or, si la lune dont là distance à la terreest d’envi-
ron 6o demi-diamètres terrestres, est forcée de circuler
autour de celle-ci parce qu’elle tend vers elle avec une
pesanteur diminuée suivant le carré de sa distance,
c’est-à-dire 602—3600 moindre qu’à la surface dela verre,
la chute qu’elle ferait étant uniquement livrée à cette
force pendant un temps déterminé, celui d’une minute
par exemple, devra être la 3600 ième: partie de l’es-
pace que décrivent les corps pesans vers la surface de
la terre, péndant Ic même temps. Mais cette chute de

GR

la lane, ou cet espace dont elle s’approcherait de la
terre, si elle obéissait uniquement à la pesanteur durant
une minute, c’estle sinus verse de Parc qu'elle décrit
durant ce temps (Voyez ronces cenrrazes). Donc ce
sinus verse doit être la 3600 ième partie de l’espace
parcouru en une minute par un corps pesant qui
tombe librement à la surface de la terre. Newton entre-
prit les calculs nécessaires ; mais les-résultats qu’il
obtint alors lui firent abandonner toutes ses recherches.
Ayant supposé, avec les géographes de sa nation, que le
degré terrestre contenait Go milles auglais, au lieu de
Go et demi qu’it contient environ , il ne trouva plus le
rapport qu'il fallait pour vérifier sa conjecture ; et cette
erreur de mesure, qu'il lui était impossible de supposer,
faillit ruiner tout-a-coup le majestueux édifice qui com-
mençait à s'élever.

Ce ne fut qu'en 1676 que Newton recommença ses
calculs en se servant de la nouvelle mesure de la terre
faite par Picard, et il est probable qu'il y fut engagé
par la lecture de l’ouvrage de Hook. Quand, à l’aide de
cette mesure, il eut détemniné exactement les dimen-
sions de lorbite lunaire , le calcul lui donna précisé-
ment ce qu’il cherchait (voy: GrAvirÉ), et après cette
démonstration il n’hésita plus à conclure que la même
force qu’éprouvent les corps voisins de la surface de la
terre, la lune l'éprouve dans son.orbite, et.que.c’est cette
_ force qui l'y retient .et l'empêche de tomber -en ligne
droite. Assuré de cette vérité, Newton poursuivit.ses in-
vestigations ; il vit que les lois de Képler dont il donna
la première démonstration théorique ( voy. AIRES
proportionnelles aux temps), n’étaieut qu’une consé-
quence de son nouveau principe, et il l’établit enfin
d'une manière inébranlable dans l'ouvrage qu'il publia
en 1687 sous le titre de Philosophiæ naturalis prin-
cipia mathematica ; ouvrage immortel, dont ôn n'a pas
trop dit en le proclamant l’un des plus beaux que l'es:
prit humain ait jamais'produits, et dont le succès si écla-
tant en Angleterre et si contesté dans le reste de l'Eu-
rope, finit par ruiner tous les anciens systèmes, en opé-
rant une immense révolution dans la science à laquelle
il apportait enfin une base.

En France, où les idées nouvelles n’excitent promp-
tement l’enthousiasme que lorsqu’ellessont absurdes, une
vive opposition $’éleva d’abord contre le système de
la gravitation universelle. Si quelques amis de la vérité
osèrent se déclarer en faveur de Newton, on les flétrit
bien vite du nom d’attractionnaires: on rangea l’attrac-
tion au nombre des causes occultes, ses partisans, au
nombre des songe-creux, ét il né fallut pas moins que
l'immense ascendant de Voltairé sur son siècle pour faire
révenir les ésprits de leur jugement précipité. Ce génie
brillant que les poètes regardaient comme un grand
philosophe, et les philosophes comme un grand poète,

GR 71
se déclara le panégyriste de Newton dans un ouvrage
qui décèle toutefois la plus complète ignorance des pre-
mièresnotions dela géométrie élémentaire; mais Voltaire
était l’oracle de l’époque, et du moins cette fois la vérité
n'eut pas à souffrir de son influence. Nous devons dire, à
la louange de notre nation, que la réaction en faveur du
nouveau système ne se fit pas long-temps attendre , et
qu’elle fut aussi complète que générale.

Plusieurs auteurs, tels que Whiston dans ses Prælec-
tiones physico-math. et S'Gravesande, dans ses Æle-
mens et institutions, ont tenté de rendre les découvertes
de Newton accessibles au public non initié aux calculs
supérieurs, en remplaçant les démonstrations mathé-
matiques par des raisonnemens plussimples ou des expé-
riences. Ces ouvrages, et particulièrement celui de
Maclaurin, intitulé : Æxposition des découvertes du
chevalier Newton; traduit en français en 1756 par ma-
dame la marquise du Châtelet, ont contribué à répan-
dye la doctrine de l'attraction. On doit aux pères Leseur
et Jacquier, minimes, la traduction du livre même des
principes avec un commentaire très étendu.

GRAVITÉ. (Méc.) Force par laquelle tous les corps
tendent les uns vers les autres.

Tous les corps qui existent dans l'univers se compor-
tent entre eux, comme s'ils s’attiraient mutuellement ,
ou comme s'ils étaient poussés les uns vers les autres par
une puissance extérieure. Cette force, quelles que soient
sa nature ét Son origine, agit en raison directe des mas-
ses et en raison inverse du carré des distances ; ses lois
sont plus exactement connues que celles d'aucune autre
force naturelle. Quant à la cause physique de la gravité,
elle est entièrement ignorée, et aucun des systèmes ima-
ginés pour en rendre raison n’est à l'abri d'objections
auxquelles il est impossible de répondre. Les corps
s'attirent-ils réellement les uns Jes autres ? ou sont-ils
poussés les uns vers les autres ? C'est ce qu'il est impos-
sible de décider dans l’état actuel de la science, et uous
ne devons considérer la gravité ou latendance mutuelle
des corps que comme un fait général dont la cause supé-
rieure né sera révélée qu'avec le mystère de la création.
Newton lui-même n'a jamais prétendu donner l’attrac-
tion comme la cause de la gravité; il dit expressément
qu’il se sert seulement de ce mot pour énoncer le fait et
non pour expliquer.

La gravité est la même chose que la pesanteur , ce-
pendant le mot pesanteur ne s'applique qu’à la force qui
fait que les corps terrestres tendent vers la terre , tandis
que gravité se dit généralement de la force par laquelle
uu corps quelconque tend vers un autre. Voiciles preu-
ves de l’universalité de cette force.

Un corps, matériel quelconque, mis en mouvement
par l'effet d'une force unique, décrit nécessairement une
ligue droite. Ainsi les corps qui, dans leurs mouvemens,

712 GR
décrivent des lignes courbes, y doivént être forcés par
quelque autre puissançe qui agit sur eux continuelle-

ment.

Il suit de la que les planètes, faisant leurs révolutions
dans des orbites elliptiques, reçoivent l’action continuelle
et constante d’une force qui les empêche de se déplacer
de ces orbites et de décrire des lignes droties.

Mais il est prouvé, 1°. que tous les corps qui, dans
leur mouvement, décrivent une ligne courbe sur
un plan , et qui, par des rayons tirés vers un
même point, décrivent autour de ce point des aires
proportionnelles aux temps, sont poussés par quelque
puissance qui tend vers ce point. 2°. Que lorsque plu-
sieurs corps tournent autour d’un même centre
dans des cercles coucentriques, de manière que les carrés
des temps périodiques de leurs révolutions, soiententre
eux comme les cubes de leurs distances du centre com-
muni, les forces centrales de ces corps sont en raison in-
verse des carrés de distances. ( l’oy: Forces cen-

TRALES. 8. ) st

Or, Képler a reconnu, et après lui tous les astro-
nomes, que les aires décrites par les rayons vecteurs des
planètes sont proportionnelles aux temps de leurs révo-
lutions, et que les carrés de ces révolutions sont entre
eux comme les cubes des distances. ( Joy. Lois pe
K£pLer. )

Ainsi, les planètes sont donc retenues dans leurs or-
bites par une puissance qui agit continuellement sur
elles, dont la direction est vers le centre de ces orbites,
et dont l'intensité diminue commelecarré de la distance
augmente.

Il suffit maintenant de comparer cette force centrale
ou centripèle , avec la force de gravité des corps sur

la terre pour s'assurer qu’elles sont exactement sem-
blables.

Nous avons vu (AGcÉLERE), que la pesanteur fait par-
courir aux corps qui tombent librement, à la latitude
de Paris, l’espace de 4,9044 mètres pendant la première
seconde de leur chute, et comme on mesure les forces
accélératrices par la vitesse acquise dans l’unité de temps,
la force de la pesanteur est donc représentée par 9,8088
mètres. Mais cette force n’est pas précisément celle que
nous avons besoin de connaître, puisqu’elle est diminuée
par l'effet de la force centrifuge due à la rotation de la
terre sur son axe. Pour pouvoir comparer la gravité à
Ja surface de la terre avec ce qu’elle est à la distance des
planètes, il faut d’abord la déterminer telle qu’elle est
en elle-même; or, si nous désignons par G la force de
gravité, par fl’effet de la force centrifuge et par g la
force de la pesanteur donnée, par l'expérience, comme
f'agit en sens inverse de la gravité, nous aurons

GR

g=G—S nn d'où G=g+f

à l'équateur g—9,7708 (voy. Prnoue), et f'est le 5
de la gravité (voy. Forces cenrraues 12); substituant
ces valeurs, nous trouverons

G
G _ —_——
7798 2E0

d’où nous obtiendrons en dégageant G,
G = 9,8137 mètres.

Maintenant si nous désignons par G' ce que devient
la gravité G à la distance de la lune, en supposant que
cette force décroît en raison inverse du carré de la dis-
tance, nous aurons, le rayon moyen de l'orbite lunaire
égal à 60,314 demi-diamètres de la terre,

G:G'::(60,314ÿ :1

d’où nous tirerons

panier omenprane
(60,314) (60,314.)"
Tel sera donc l'effet de la gravité dans une seconde de
temps, sur un corps qui serait à la distance de la lune.
Mais Ÿ étant une force accélératrice, la formule géné-
rale du mouvement accéléré est (v0y. AGCÉLÉRÉ)

e : te
ii —
2?

Ainsi, mettant à la place de la valeurde G',et suppo-
sant que le temps £ soit d’une minute ou de Co”, nous
aurons pour l’espace e qui devra être parcouru dans une
minute de temps

7 —/,89 mètres.

Ainsi, un corps placé à la région de la lune, parcour-
raitun espace de 4,89 mîtres, en une minnte, en tom-
bantli brement vers la terre, si Ja force de gravité
s'étend jusqu’à cette distance. Voyons maintenant si
l'expérience s'accorde avec ce résultat.

D'après la théorie des forces centrales, si la lune
obéissait uniquement à la force centripète, elle tomberait
vers la terre, en une minute , d’un espace égal au sinus
verse de l’arc qu’elle décrit dans le même temps. Ainsi,
la révolution sidérale de la lune autour de la terre s’ef-
fectuant dans une période de 27 jours 7 heures 43' ou
de 39343", nous avons, pour la valeur de l'arc décrit
dans une minute

GR

360° 1129000" "0!
39343 18984 0

et, comme le sinus verse d’un angle quelconque # pour
un cercle dont le rayon est 7? (voy. Sinus vERsE) est

donné par l'expression

2r, sin ? (Ë)

BR:

R étant le ravon des tables de sinus, nous aurons
pour l’espace cherché
3

2 (60,314)sin? G6",47) 5

Pour obtenir cette valeur en mètres il faut la multi-
plier par le rayon équatorial de la terre qui est de
6376466 , et elle devient

2(30,314). 6376466. sin (16"47).pe — 4,89 mètres.

Aivsi la force centripète de Ja lune est la même que
la force de lagravité, c'est-à-dire, procède du même
principe. Donc la lune pèse vers la terre, etréciproque-
ment celle-ci pèse sur la lune, ce qui est confirmé d’ail-
leurs par le phénomène des marées. ( V’oy. Marérs.)

Le même raisonnement peut s'appliquer aux autres
planètes, et il en résulte que la gravité est une force
universelle. Foy. PESANTEUR.

CENTRE DE GRAVITÉ. Voy. CENTRE.

GRÉGOIRE DE SAINT VINCENT (le Père). Re-
igieux de l'ordre de Jésus et célèbre géomètre du XVII
siècle. Le problème de la quadrature du cercle a été
l'objet constant des travaux de ce savant mathémati-
ien, mais il n’y a de commun que cette prétention
malheureuse, entre lui et la plupart de ceux qui ont eu
en vue le même ubjet. Lelivre du père Grégoire : opus
geometricum quadraturæ circuli et sectionum cont, (An-
vers 1647) qui, d’après son titre, semble spécialement
destiné à l’explication de la prétendue découverte qu'il
croyait avoir faite d’une solution, si inutilement cher-
chée, contient une foule de découvertes réelles et im-
2ortantes. C’est, dit un historien des mathématiques,
an vrai trésor, une mine riche de vérités mathémati-
ques. On y trouve en effet un grand nombre de théorè-
nes curieux et exacts sur les propriétés du cercle, et de
hacune des sections coniques, la sommation géométri-
juement déduite des termes et des puissances des ter-
nes des progressions; des moyens sans nombre de
arrer la parabole et de mesurer les solides de cir-
TOME IL

GR 19
convolution des sections coniques, etc., ete. La publi
cation de ce livre fit beaucoup de bruit dans le monde
savant, il devint bientôt l’objet d’une polémique animée
entre les géomètres. L’illustre Huygens prit la plume
pour combattre la solution erronée du problème que le
père Grégoire donnait comme décisive ; mais ce dernier
trouva de nombreux défenseurs. Son savant adversaire
rendit hommage à sen mérite et n’hésita pas à le placer
au rang des géomètres les plus distingués, ce fut aussi
l’opiuion de Léibnitz qui est consignée dans les Æcta eru-
ditorum de Yannée 1695. Grégoire de Saint-Vincent
était né à Bruges en 1524 ; il professa les mathématiques
à Rome et à Prague. Il était dans cette dernière ville
lors de la célèbre bataille qui la livra aux Suédois. En-
trainé par son zèle à porter des secours spirituels aux
soldats de sa communion, sur le champ de bataille, il v
fut dangereusement blessé, et malheureusement il per-
dit tous ses manuscrits, fruits de cinquante ans de tra-
vaux scientifiques, au milieu des dévastations dont les
protestans vainqueurs accablèrent cette cité. Le père
Grégoire de Saint-Vincent est mort en 1667.

GREGORY (Jacques), né en 1636 à New-Aberdeen
en Ecosse, doit être mis au nombre des grands géomè-
tres qui ont illustré ce prodigieux XVII® siècle, si fer-
tile en grands hommes. Après un voyage en Italie, en-
trepris dans le but d’enterdre les profe:seurs célèbres
que ce pays possédait alors, il revint dans sa patrie oùil
fut promu à la chaire de mathématiques du collége uni-
versitaire de Saint-André. Il remplit ses fonctions avec
une distinction remarquable, et s’acquit en même temps
par ses travaux une réputation européenne, Grégory
devança, en effet , le grand Newton dans l'invention du
télescope à réflexion. Il exposa sa découverte dans un
ouvrage où on trouve un grand nombre d'idées neu-
ves et hardies. Peut-être aurait-il attaché son nom aux
perfectionnemens de l'optique qui ont augmenté les
titres de gloire de Newton, s’il n'avait mis une impor-
tance trop grande à résoudre l’un des problèmes les plus
difficiles de cette scienc®, c’est-à-dire à chercher les
moyens de remédier à l'incurvation des images dans les
verres ou les miroirs sphériques , et s’il n'avait ainsi
perdu beaucoup de temps en essais infructueux. Gré-
gory publia ensuite ses Exercices géométriques , dans
lesquels il a démontré la quadrature de l’hyperbole
donnée par Mercator ; il y réduit à cette quadrature la
figure des Secantes , dout dépend l'accroissement exact
des méridiens dans les cartes réduites. La suite qu’il
donne dans cet ouvrage pour exprimer la circonférence
circulaire, est d’un usage très difficile. Il résulte de sa
correspondance avec Collins qu'il avait découvert l’ori-
gine de l’expression d’une des suites que Newton avait
trouvées pour le cercle ; il en envoya la continuation à
ce géomètre , avec la suite nouvelle qui exprime l’arc

10

74 GR

par le sinus , et qui lui appartenait entièrement, On voit
encore dans cette correspondance que Gregory était en
possession de la méthode du retour des suites ; et qu'il
l'aurait publiée, s’il w’en avait été empêché par son res-
pect et son admiration pour Newton, qui se proposait
lui-même à cette époque de publier la sienne. (Com-
mercium Epistolicum , édition in-4.}

Dans un autre ouvrage sur la vraie quadrature du
cercle et de l’hyperbole, Grégory entreprend de prou-
ver que cette quadrature est impossib'e, et qu’on ne
peut résoudre ce problème que par approximation. [y
annonce la découverte d’une propriété des polygones
inscrits et circonscrits aux sections coniques; mais elle
fut contestée par beaucoup de géomètres, et notamment
par Huygens. Enfin dans un traité de géométrie uni-
verselle, Grégory a donné un recueil dethéorèmes cu-
rieux et utiles pour la transformation et la quadrature
des figures curvilignes, pour la rectification des courbes,
la nature de leurs solides et de leurs circonvolutions ,
et qui sont d’une grande élégance.

Grégory était pauvre; il refusa les bienfaits de
Louis XIV, à qui il avait été désigné par l’Académie
des sciences, comme un des savans étrangers qui en éteit
le plus digne; mais les motifs de son refus qu’il expri-
me dans une de ses lettres à Collins, font honneur à sa
modestie : « Je suis content de ma situation, lui disait-
il, quelque peu avantageuse qu’elle soit; j’ai connu
bien des savans , fort au-dessus de moi à tous égards,
aveclesquels je ne voudrais pas changer de condition. »
Une mort subite et imprévue vint tout-à-coup briser
les nobles espérances que Grégory avait fait concevoir ,
au mément où, dans toute la force de l’âge et du génie,
ses travaux pouvaient être si utiles au progrès de la
science. Il mourut à 39 ans, en 1675. Les principaux
écrits mathématiques de Grégory qui ont été imprimés
sont : £, Optica promota, seu abdita radiorum reflecto-
rum el refraclorum mysteriæ geomcetricè enunciata.
Lond. 1663, in-4. Il. Exercitationes geometricæ , Pa-
doue, 1666, in-4. IT. Vera circuli et hyperbolæ qua-
1667,
universalis , id. 1663, in-4.

dratura, Padoue, in-4, IV. Geomelricæ pars

GRÉGORY (Davin), neveu de Jacques Grégory fut
un mathématicien distingué, mais iln’atteignit pas dans
la science le rang élevé oùs’était placé son oncle, quoi-
qu'il se soit exercé dans les mêmes branches des mathé-
matiques, ou peut-être à cause de cela. Il était méde-
cin et professeur d'astronomie à l’université d'Oxford ,
où il eut du moins la gloire d'expliquer publiquement,
lun des premiers, les doctrines de Newton, qui l'hono-
rait de son amitié. Né à Aberdeen en 1661, il mourut
à Maidenhead dans le Berkshire, le 10 octobre 1702.

Voici la liste-de ses ouvrages : [. Æxercitalio geome-

GU

trica de dimentione figurarum ; sive specimen methodi
generalis dimitiendi quasvis figuras. Edimbourg, 1654,
in-4. IT. Catoptricæ sphericæ elementa, Oxford, 1695.
Le docteur Browne a traduit en anglais cet ouvrage
estimé , et en 1735, Desagulier en a donné une édition
plus complète. IT. 4stronomicæ, physicæ, et geometricæ
elementa, Oxford, 1702. in-fol. On doit encore à David
Gregory une traduction en latin dela théorie de la lune,
par Newton; une excellente édition d'Euclide avec le
texte grec et sa traduction latine en regard. Oxford,
1703, in-fol. , eteufin un grand nombre de dissertations
insérées dans les Transactions philosophiques du temps.

GUERIKE (Orro pe), l'an des plus célèbres physi-
ciens du XVIL' siècle, naquit à Magdebourg en 1502.
C’est à lui qu’on doit la première idée de la machine
pueumatique. Guerike fut aussi un des astronomes les
plus distingués de son temps. L’un des premiers il an-
nonçÇa qu’on pouvait prédire avec exactitude le retour
des comètes; l’expérience et les progrès de la science
ont confirmé cette opinion. Il n’en est pas de même de
celle qui lui faisait supposer que les taches du soleil
w’étaicut autre chose que des petites planètes, dont la
révolution avait lieu dans un cercle trop rapproché de
cet astre, et dont par conséquent il était presque impos-
sible d’en mesurer la distance. Quelques astronomes ont
pensé néanmoins que cette hypothèse n’était pas dénuée
de fondement. Guerike, qui était en correspondance
avec tous les savans de l'Europe, mourut à Hambourg
en 1686. Ses travaux et ses principales observations ont
été recueillis et publiés sous ce titre : Ææxperimenta
nova, ul vocant, Magdcburgica, de pauco spatio, ab.
ipso authore perfectiüs edita, varüsque experimentis
aucta ; quibus accesserunt certa quædam de aëris pon-
dere circà terram, de virtutibus mundanis et systemate
mundi planetario , sieut et de stellis fixis ac spatio illo d
immenso. Amsterdam , 1672. fig. in-fol. |

1

GUILLAUME IV, surnommé le Sage , landgrave de
Hesse-Cassel, né le 14 juin 1532, l’un des princes les
plus éclairés de son temps, s’est rendu illustre non-seu-
lement par la protection qu’il accorda aux sciences , mais.
encore par ses propres travaux. L’astronomie lui doit
surtout beaucoup; il fit construire à Cassel un des pre-
miers observatoires qui aient existé en Europeetle mu-.

nit des instrumens les plus perfectionnés qu’on possédait
de son temps. On a de lui un grand nombre d’observas
tions importantes qui ont été recueillies et publiées par
Snellius en 1618. Il s’adjoignit ensuite Rothman et Justes
Byrge, deux astronomes estimés de cette époque qu'il
ne cessa de combler de ses faveurs. Ce fut également
ses pressantes sollicitations que Tvycho-Brahé dut Ie
avantages que lui accorda le roi de Danemarck. Gui
laume mourut en 1592, Le landgrave Maurice son fil

HA

et son successeur, imita son exemple ct partagea ses
goûts scientifiques.

GULDIN (le père Paur), religieux de l’ordre de
Jésus, dans lequel il entra après avoir abjuré la foi pro-
testante, naquit à Saint-Gall en 1577. Ce géomètre
s’est rendu célèbre par sa défense de la réforme du Ca-

HA 15
lendricr grégorien, qu’il entreprit contre Calvisius,
mais plus encore par une méthode d’appréciation du
centre de gravité, qu’il a exposée dans un ouvrage in-
titulé : De centro gravitalis trium specierum quantitalis
continuæ. Viennæ-Austriæ, 1635, 1640-41-42. Il ést

mort en 1643. Foy, CENTROBARIQUE.

IE.

HALLEY (Enmon»). Ce grand astronome naquit le
8 novembre 1656, à Londres, où 1l étudia sous le sa-
vant Thomas Gale. L’étendue prodigieuse de ses con-
naissances et des travaux d’un ordre élevé, lui méritè-
rent dès sa jeunesse une de ces grandes renommées qui
récompenseraient dignement une longue carrièrescienti-
fique. Il avait à peine dix-neuf ans quand il publia sa mé-
thode directe pour trouver les aphélies et les excentrici-
tés des planètes, ouvrage remarquable, et qui annoncait
ce que son auteur devait être un jour. Nous ne suivrons
point ce grand homme dans tous les événemens de sa
vie, nous nous bornerons à exposer succinctement les
travaux importans , les observations et les découvertes
qui en ont illustré le cours.

A l’époque où Halley manifestait ainsi le penchant qui
entrainait sou génie vers l’astronomie, les catalogues de
Ptolémée et de Tycho étaient les documens les plus
complets qu’on possédait sur la position des étoiles et la
connaissance du ciel, et leur imperfection s’opposait aux
progrès de lascience.Hévéliuset Flamstead s’occupaient,
il est vrai, à combler la vaste lacune laissée par ces an-
ciens observateurs dans cette partie importante de la
seience; mais leurs travaux ne pouvaient s'étendre au-

delà des horizons bornés de Londres et de Dantzig.
Halley conçut le projet d’aller observer dans l’autre hé-
misphère , et de pénétrer vers le pôle austral plus avant
que Richer. (Voyez ce mot.) Charles IE, qui, malgré la
dissipation et la légèreté de ses mœurs royales , proté-
geait les sciences, approuva ses desseins, et lui fit fournir
tous lesmoyens d'exécution d'une aussi utile entreprise.
I s'embarqua en 1676 pour Sainte-Hélène. Il y passa une
année et détermina la position de trois cent cinquante
étoiles; il créa une nouvelle constellation à côté du
Navire , à laquelle il donna le nom de Chéne de Char-
les II. Pendant son séjour dans cette île | Halley obser-
va un passage de Mercure sur le disque du soleil, qui
eut lieu le 28 octobre de l’année 1677. Mais sa sagacité
lui révéla l'utilité que la science pouvait retirer de l’ob-
servation du passage des planètes inférieures au-devant
du soleil. I] s’attacha surtout à se convaincre et à démon-
trer que le passage de Vénus donnerait la parallaxe

exacte de cet astre. On sait que Halley, quoiqu'il soit
parvenu à un âge très-avancé, n’a pu jouir du spectacle
de ce rare et curicux phénomène, mais qu’on a retiré
après lui de cette observation tous les résultats qu'il en
attendait. De retour à Londres, Halley publia son Ca-
talogue des étoiles australes, avec de savantes disserta-
tions sur divers points de l'astronomie. C’est dans cet
ouvrage qu'il expose sa méthode pour déterminer
la parallaxe du soleil ( Fay. Vénus). Peu de temps
après, Halley voyagea en France, en Italie et en Alle-
magne, pour communiquer aux savans ses observations
et recueillir de nouvelles connaissances. De retour en
Angleterre, il se livra durant quinze ans aux recherches
les plus importantes et les plus fécondes; l’on trouve
dans les Transactions philosophiques de 1683 à 1687
un nombre considérable de mémoires et de dissertations
qui attestent l'élévation de son génie et la prodigieuse
multiplicité de ses connaissances. Parmi les travaux qui
suffiraient pour illustrer son nom, on remarque sa
théorie ingénieuse des variations de l’aiguille aimantée
et des lois de ce phénomène; son histoire des vents
alisés, et des mémoires sur les questions les plus contro-
versées et les plus importantes, en astronomie, géo-
métrie, algèbre, optique, physique, artillerie; Halley
se livrait en même temps à destravauxscientifiques d’un
autre ordre, et il publia à la même époque divers mé-
moires fort curieux sur l'histoire naturelle , les antiqui-
tés , la philologie , etc. , qu’on trouve dans le même re-
cueil.

En 1698 , Halley entreprit de vérifier par l'expérience
sa théorie des variations de la boussole : il sembarqua
de nouveau, pénétra jusqu’au cinquante deuxième de-
gré de latitude australe, et parcourut en deux ans les
mers des deux hémisphères sous les climats les plus
opposés. Partout ses observations furent conformes à sa
loi des variations magnétiques. Il revint heureux de
cette certitude dans sa patrie, où il devait long-temps
encore ajouter à l'illustration de son nom. Ami du
grand Newton et fervent promoteur de ses doctrines,
c’est à ses soins, à son zèle et à ses puissantes sollicitations
que le monde dut la publication des Principes, livre

76 HA

immortel que son illustre auteur ne voulait point faire
paraître. Bientôt après Halley appliqua la méthode de
Newton à la détermination des orbites paraboliques des
comètes. Il se livra à de longs et pénibles calculs, et
ayant enfin pu comparer les orbites des comètes ob-
servéesscientifiquement jusqu'a cette époque, ilreconnut
une parfaite analogie dans les élémens de celles des
années 1531, 1007 et 1632. Ea remontant plus loin
dans l’histoireil trouva l'indication de l’apparition d’une
comète dans les années 1305, 1380 ct 1456, et il ne
douta plus que ce ne füt le même astre dont il venait de
découvrirle retour périodique. Il établiten conséquence
que cette comète avait une période de soixante quatorze
à soixante seize ans, et annonça qu’elle reparaitrait de
1758 à 1759; c'était en 1705 qu'il publiait sa décou-
verte. (Voy. Apian, CLatraur et Comire.) L’astronomie
doit encore à Halley un perfectionnement de la théorie
des mouvemens de la lune, dont la connaissance est
d’une application si importante à la navigation. Cette
idée l’avait préoccupé de bonne heure, mais ce fut dans
son âge mur et riche de tant d’observations et de con-
naissances nouvelles, qu'il se livra à un travail sérieux
sur ce sujet. On sait qu'il employa comme base de ses
investigations le saros, période des Chaldéens, dont la
durée est d'environ dix-huit ans, et qui ramène à peu-
près la lune dans les mêmes circonstances par rapport à
la terre et au soleil. Sous ce point de vue, letravail de
Halley a été l’objet des critiques les mieux fondées:
l'illustre Laplace, parmi beaucoup d’autres géomètres,
a signalé un certain nombre d’inégalités séculaires de la
lune qui ne pouvaient par conséquent être vérifiées
dans le cours de la période chaldéenne; mais ce travail
de Halley fut du moins pour lui l’occasion de décou-
vertes réelles et utiles à la théorie qu’il avait en vue
d'établir d’une manière définitive. En effet, il put en
tirer les lois du mouvement de la lune, c’est-à-dire son
équation séculaire et la connaissance des causes de son
inégalité périodique, dont la principale est la variation
des distances de la terre au soleil.

Ce fut en 1720, c’est-à-dire dans l'intervalle de ces
travaux, que Halley remplaca à l’observatoire de Green-
wich le célèbre et savant Flamstead ; cette position lui
fournit de vastes moyens de vérifier, par l'observation la
plus soutenue, les théories dont il s’occupait alors. Nous
indiquons plutôt ici que nous n’exposons les décou-
vertes de ce grand et infatigable astronome; c’est dans
ses ouvrages mêmes qu'il faut les étudier, pour mieux
comprendre les ressorts de cette noble intelligence , et
sa constance à poursuivre les conséquences des choses
au-delà des limites qu’une philosophie inféconde vou-
drait fixer aux investigations de l'esprit humain. Nous
devons ajouter que les écrits de Halley offrent une con-
firmation explicite, sous ce rapport, des doctrines phi-

HA

losophiques exposées dans ce dictionnaire. En effet, cet
illustre astronome, bien qu’il ait préféré les théories de
Newton à quelques hypothèses de Descartes, ne parlait
pas moins de ce grand homme avec le profond respect
que son génie inspirera toujours aux hommes qui cher-
chent consciencieusement la vérité. Il a suivi sa méthode
dans tous les cas où l'observation lui a paru insuffisante.
Ainsi quand il annonça le premier que la parallaxe et
le diamètre des étoiles devaient être insensibles, parce
que leur distance était infinie ,il mit un terme à des re-
cherches sans résultats réels, tant ces globes sont hors
de la portée des instrumens les plus puissans , et il sup-
pléa par l’autorité absolue de la raison à l'autorité pra-
tique et bornée des méthodes empiriques. En détermi-
nant la précession des équinoxes , en même temps que
Lahire et Dominique Cassini, Halley s’éleva par la puis-
sance du même principe philosophique à la connais-
sance du mouvement propre des étoiles, si intimement
liée à celle du système de l'univers. Il reconout que
depuis Hipparque, les latitudes de quelques étoiles de
première grandeur avaient subi des changemens consi-
dérables, et comme il se convainquit que ces change-
mens ne pouvaient être attribués à la diminution de
l'obliquité de l’écliptique et à la précession des équi-
noxes , il en conclut que chaque étoile avait un mouve-
ment qui lui était propre. Il tira bientôt de ces prémices
des conséquences et des développemens non moins re-
marquables. Il déclara que la prétendue immobilité
des fixes n’était qu’apparente et que ces corps chan-
geaient de lieu dans l’espace, et que leurs changemens
très-lents ne nous paraissaient d’ailleurs petits qu’en
raison de la distance où ils se trouvent de notre globe.
L’'éloignement anéantit à peu près les variations qu’une
longue accumulation de siècles peut seule rendre sen-
sibles, et Halley en conclut que la destination de ces
globes immenses ne pouvait être seulement de nous
transmettre la faible et pâle lumière que nous en rece-
vons et que vraisemblablement ils éclairaient , comme
autant de soleils, des systèmes inconnus, dans l’espace.
Ces idées paraitront peut-être vulgaires aujourd’hui, :
mais à l'époque où Halley les produisit elles frappèrent

d’étonnement par leur nouveauté et leur hardiesse phi-

losophique. C’est le droit et le devoir de l’histoire de

les rendre à leur illustre auteur, en les signalant dans

la marche progressive de l'esprit humain, Le savant

historien des mathématiques, Montucla , a suivi Halley

dans tous les développemens de ses conjectures sur les

comètes, qui se déduisent d’ailleurs de la théorie de

Newton. Il a rappelé que, suivant lui, en rétrogradant

de 555 en 575 ans on trouvait que la comète qui avait

paru en lan 46 avant Jésus-Christ, quelque temps

après la mort de César, avait dü passer fort près de la

terre, à l'époque où la chronologie fixe l'évènement

HA

du dernier cataclysme qui a bouleversé le monde et que
probablement cette circonstance astronomique n’y fut
pas étrangère. Halley et Newton, comme Pascal, ajoute
cet écrivain, avec une ironie pleine de tristesse et dont
on conçoit trop bien le motif, avaient encore cette fai-
blesse de croire en un Dieu!

Halley, dont les exigences de notre plan ne nous
permettent pas de considérer avec plus de développe-
mens les immenses et utiles travaux, mourut à l’âge de
83 ans, le 25 janvier 1742. « Il était, dit Mairan, franc
et décidé dans ses procédés, équitable dans ses juge-
mens , égal et réglé dans ses mœurs, doux et affable,
toujours prêt à se communiquer, désintéressé, etc. »
Pour lui, la mort ne fut que le moment attendu avec
une religieuse résignation d’une modification supérieure
dans l'existence immortelle de l’homme. Frappé de pa-
ralysie depuis trois ans , ses forces s’étcignirent peu à
peu sans qu’il perdit rien de la douce sérénité de son
caractère et de cette gaité ou plutôt de cette assurance
paisible qui environne de tant de grandeur les derniers
momens d’un homme vertueux. Voici la liste deses prin-
cipaux ouvrages. I. Methodus directa et geometrica in-
vestigandi excentricitates planetarum, Londres, 1635
— 1077, in-4°. IL. Catalogus stellarum australium , tb.
1678 — 1679, in-4°. IL. Théorie des variations de l’ai-
guille aimantée ; en anglais, Trans. philos. de 1683, en
latin dans les Acta eruditorum ; de 1684. IV. Théorie
de la recherche du foyer des verrés optiques, Trans.
philos. de 1692. V. Apollon Pergæt de sectione ra-
tionis libri IT ex arabico MS. latinè versi, accedunt
cjusdem de sectione spatii, libri IT restituti. en Saxe,
1706 ,in-8°.VI. Apollonit Pergæiconicorum libri V ILT.
et Sereni de sectione cylindri et coni, libri IT. ib. 1710,
in-fo. VIT. Tabulæ astronomicæ , ib. 1749, in-4°.

HARMONIQUE. Trois nombres sont en proportion
harmonique, lorsque le rapport géométrique de deux
de ces nombres est égal au rapport des différences de
chacun d’eux avec le troisième. Par exemple , les nom-

bres À, B, C seront en proportion harmonique si l'on
a (1)

As Gi:sA. —.B : B—C

Je nombre du milieu B, prend alors le nom de moyen
harmonique.

La valeur de ce moyen est donnée À l’aide de celles
des extrémes par l'expression (2)

2AC

AC

que l'on tire facilement de la proportion (1).
|. L'opération indiquée par cette expression, et qui

HA 77
consiste à diviser le double du produit des extrémes par
leur somme, est nommée DiVistON HARMONIQUE, parce
qu’elle renferme le principe de l'échelle diatonique de
la musique. Pour comprendre la génération que nous
allons donner de cette échelle, il est essentiel de se
rappeler les notions fondamentales suivantes :

1°. La hauteur d’unto7 quelconque est entièrement
déterminée par le nombre des vibrations qu'il fait dans
un temps donné, ou par la durée du temps pendaut

lequel il achève un nombre donné de vibrations.

2°. L'intervalle de deux tons est exprimé par le rap-
port des temps pendant lesquels ils font un même
nombre de vibrations.

3°. Deux intervalles sont égaux, lorsque les temps
des tons qui les composent forment entre eux une pro-
portion géométrique.

Ceci posé, désignant par l'unité, le temps employé
par un ton marqué: ut, , pour faire un nombre déter-
miné de vibrations, on sait par expérience que la frac-
tion + exprime rigoureusement l’octave de ce ton, en

Ulas

: 1
Prenant la moyenne harmonique entre 1 et-, c’est
2
4 I :
à-dire faisant À — - et C — 1, nous obtiendrons
>

B — ;,ettelest le ton marqué s0/, ou la quinte de

ŒIR

Ulis.

L'intervalle de la quinte à l’octave est une quarte ;
diitervatéebessn aber, Of
cet intervalle est égal à - : 5 — =. On la marque fu.
Ps que fé
La moyenne harmonique entre ut, et sol, ou entre

Int est à. tierce najettre , Où mi.

2
3?
La moyenne harmonique entre w et fa, ou eutre
A 8 ; ;
1 et #, cest - ; seconde majeure, ou rc.
5 9
La moyenne harmonique entre fa et ut,, ou entre

et-, est 3 sixie majeure où la.

}
2

CR

L’intervalle de la tierce à la quarte est aussi celui de
la septième à l'octaxe , il en résulte la proportion

8 % : :
— est la septième majeure ou si.
15

Les sept tons de l'échelle diatonique seront donc re-
présentés par les termes de la progression .

13 HA
DC IT D D 8
Ts 9' 5? A BARRES
ut,,re, nai, fa, sol, la, si.
on y trouve les trois intervalles
ut 8 fa ui8 ant dant Bu :8
Ré un entig kr Sol-ot4ntie:set 16e 75!

égaux chacun à D tons maÿeurs ; les deux intervalles
TES LOIR. 3
OCR OU

10

égaux chacun à —, ons mineurs ; et enfin les deux

©

intervalles

A à ] : :
égaux chacun à —, semi tons majeurs.
15?

L'intervalle du semi ton majeur au ton mineur, se
uomme sepu ton mineur; et celui du {on majeur au ton

mineur prend le nom de commu. Le premier est donc
o |

2
: , 2 Sr
représenté par le nombre 2 etle dernier par —

80

Si l’on veut intercaler des tons intermédiaires entre
les tons primitifs de l’échelle diatonique pour former
l'échelle qui procède entièrement par demi tons et que
l’on nomme échelle chromatique, on pourra encore
opérer de la même manière en se servant des intervalles

adoptés par les musiciens. En effet :

L’intervalle de la quarte à la septième mineure, est
lui-même une quarte parfaite; on a donc la propor-
tion

ul:

Ja :: fa: si bémol

d’où il résulte, si bémol =+.
É

L’intervalle de la sixte mineure à \a septième mi-
neure , est une seconde majeure. Cette égalité donne la
proportion

ut :r6 :: sol dièse : st bémol

d’où l'on tire, en substituant les nombres, sol dièse
__ 81
- 128"

L'’intervalle de la seconde majeure à la quarte ma-
jeure est une tierce majeure ; d’où

ce qui donne, ut, dièse—

HA

ut,: mi::ré: fa dièse

: e 32 : ;
et par suite, fa dièse = 45? quarle majeure nommée

aussi fausse quinte ou triton.

L’intervalle de la seconde majeure à la quarte est
une tierce mineure, d’où

rés fa autre dièse
29
CEE

Enfin, l'intervalle entre ré et re dièse est une seconde

et ré dièse

mineure, et comme celui de ut: à ul, dièse doit être
aussi une seconde mineure, on a

ré : ré dièze : ; ut, : ut, dièse

2
256"

Les douze tons de la gamme complète chromatique ,
savoir: ut, ut, dièse, ré, re dièse, mi, fa, fa dièse,
sol, sol dièse, la, si bémol, s£, ut, auront donc pour va-
leurs numériques :

lesquelles sont toutes déduites du principe très simple
de la division harmonique de l’octave. Nous devons
dire cependant que tous les auteurs ne sont pas d'accord
sur les valeurs des tons intercalaires; mais les précé-
dentes sont généralement adoptées par les premiers
harmonistes allemands.

HARRIOT (Tuowas). Ce savant mathématicien, na-
quit à Oxford en 1560; dès l’âge de 19 ans, il avait ob-
tenu le grade demaître-ès-arts, et n'ayant qu’une fortune
médiocre il fut obligé de donner des leçons de mathé-
matiques pour se procurer les moyens de continuer ses
études. Plus tard il fut un des compagnons du chevalier
Walter Raleigh, cet infortuné favori de la reine Elisa-
beth, qui conduisit une expédition anglaise dans la
Caroline du nord , à laquelle on donna le nom de Vir-
ginie. Harriot leva la carte de ce pays, et publia à son
retour à Londres la relation de ce voyage. Depuis lors
il s’occupa exclusivement de mathématiques, mais
naturellement modeste et habitué à une vie solitaire et
méditative, ses travaux qui ont contribué aux progrès
delascience, ne furent d'abord révélés qu’à quelque amis,
et leur publication n’eut lieu qu'après sa mort. On lui
doit l’importante découverte de la nature et de la for-
mation des équations , que Viète avait déjà abordée,

HA

mais qu’il développa avec une sagacité et une supério-
rité remarquables. Il ne se borna pas à considérer les
équations sous la forme usitée jusqu'alors, c’est-à-dire
en égalant les termes où entre la quantité incotnue à
celui qui contient la connue. Il fait passer dans l’occa-
sion ce dernier terme du même côté que les autres, et
V’affectant d’un signe contraire à celui qu’il avait, il
égale toute l’expression à zéro. Mais il semble, comme
l'ont remarqué plusieurs géomètres, qu'Harriot n’a pas
senti lui-même tout l'avantage qu’on pouvait tirer de
cette manière de considérer les équations, car il ne la
mentionne pour ainsi dire qu’en passant, et emploie
partout ailleurs que dans un seul chapitre de l’ouvrage
où se trouve cette découverte la forme ordiuaire, Iors-
qu'il propose une équation. Mais la découverte fonda-
mentale d'Harriot, celle qui lui a fait assigner un rang
élevé parmi les mathématiciens de son temps, est tout
entière dans la remarque qu’il a faite, que toutes les
équations d’ordres supérieurs sont des produits d’équa-
tions simples. L'on sait que de cette génération des
équations découle une foule de vérités qui sont d’un
haut intérêt en algèbre. Nous renvoyons au surplus,
pour prendre une idée plus complète dé cette partie des
travaux d’Harriot, à l'ouvrage même où cette méthode
est proposée : Ariis analytica praxis ad œquationes
algebricas resolvendas | Londres, 1631. in-fol.
Wallis a fait tort à la mémoire de Harriot en parlant
avec exagération de ses découvertes et en lui attribuant,
sans sagacité, celles’ de Descartes dont il avait la pré-
tention de rabaisser le génie. Il a été jusqu’à le désigner
comme l'inventeur des équations du second degré, dont
la découverte appartieut incontestablement à Viète.
Harriot était en correspondance avec plusieurs savants
célèbres de son temps, et notamment avec Képler; il
résulte des lettres de ce dernier, qu'Harriot était en
correspondance avec lui au sujet de la théorie de F'arc-
en-ciel. Vers le milieu du dix-huitième siècle, on trouva
dans un château du comté de Sussex ; qui appartenait
à la famille des ducs de Northumberland, un manu-
scrit d'Harriot, d’aprèslequel on pourrait présumer que
ce géomètre avait reconnu les taches dans le soleil à peu
près en même temps que Galilée, Cette circonstance
n'est remarquable dans l’histoire de la science qu’en ce
qu’on peut en tirer la conséquence qu'Harriot s'était
procuré un télescope, ou qu’il en avait deviné la con-
struction. Nous ferons remarquer que Drebbel, qui le
premier apporta à Londres un microscope et un téles-
cope qu'il avait acheté de Zacharie Jans, y fut accueilli
par le roi Jacqués en 1618, et qu’il est fort possible
qu'Harriot ait tenu de cet homme, qu’on a beaucoup
trop calomnié, la connaissance de ce dernier instrument,
Cependant d’après ce manuscrit, Ilarriot aurait vu les
taches du soleil en 1610, c'est-à-dire un mois après

HA 19
Galilée, ce qui s’accorderait mal avec cette circonstance
d'autant plus probable cependant que dans des lettres
postérieures à cette époque, il ne parle pas de cette dé-
couverte; et il était assez naturel qu’il communiquât une
pareille découverte à un astronome comme Képler. Il
y a donc ici confusion ou erreur de date. Harriot est

mort à Londres le 2 juillet 1621.

HAUTEUR. (Géom.) Élévation d’un objet au-dessus
de la surface de la terre. La mesure des hauteurs tant
accessibles qu’inaccessibles est l’objet de l’Æ/wmétrie
(voy: ce mot).

On se sert encore de ce mot pour désigner la distance
d’un point à une ligne et celle d’une ligne à un plan.
C’est ainsi qu'on nomme hauteur d’un triangle la per-
pendiculaire abaissée de son sommet sur sa base, ou,
plus généralement, du sommet de l’un de ses angles sur
le côté opposé à cet angle. La hauteur d’un parallélo-
gramme est la perpendiculaire abaissée d’un point quel-
conque d’un de ses côtés sur le côté opposé.

HAUTEUR. ( 454.) On nomme hauteur ou élévation
d’un astre, l’arc du cercle vertical compris entre l’astre
et l’horizon.

Les hauteurs des astres se dis inguent en apparentes
et en vraies. La hauteur apparente ett celle qu’on ob-
serve avec les instrumens et qui est influencée par la
réfraction qui relève l'astre vers le zénith, et par la
parallaxe qui l'abaisse vers l'horizon. La hauteur vraie
est celle qu’on obtient par le calcul, en tenant compte
des effets de la réfraction et de la parallaxe.

La hauteur meridienne, qui a lieu lorsquel’astre passe
par le méridien, est la plus grande de toutes ; c’est l’arc
du méridien compris entre l’astre et l'horizon. Son ob-
servalion est essentielle dans un grand nombre de ques-
tions astronomiques, et principalement pour trouver la
déclinaison de l’astre. (Foy. DÉcuinaison. }

La hauteur de l'équateur est la plus petite de ses
deux distances à l'horizon mesurée sur le méridien. Elle
est le complément de la hauteur du pôle.

La hauteur du pôle est égale à la latitude terrestre du
lieu , et le problème si important pour l'Astronomie.et
la Géographie de trouver la latitude d’un lieu se réduit
à trouver la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon de
ce lieu. (Foy. LAriTuDE. )

Si l’étoile polaire était exactement située au pôle, il
suffirait de mesurer sa hauteur pour avoir immédiate-
ment la latitude; mais comme elle en est éloignée d’en-
viron deux degrés, ce n’est qu’à l’aide de ses hauteurs
méridiennes qu'on peut trouver le centre du petit cer-
cle qu’elle décrit en 24 heures autour du pôle, c’est-à-

«

80 HA

dire le pôle lui-même. En effet, cette étoile passant
deux fois au méridien dans le cours d’une révolution
diurne, si nous désignons par À sa plus grande hauteur
méridienne et par 4’ sa plus petite À — h' sera la dimi-
nution du petit cercle décrit par cette étoile, et consé-

2} h+h'
h- ke La s sera la hauteur mé-
2

quemment h' + n

ridienne du cercle ou du pôle.

Toutes les étoiles circompolaires peuvent également
servir pour obtenir la hauteur du pôle, en observant
leur double passage au méridien; ce tte méthode est
la meilleure de toutes celles qu'on emploie dans le pro-
blème deslatitudes. Ilest bien entendu que les hauteurs
dont on prend ainsi la moyenne doivent être corrigées
des effets de la réfraction.

Les hauteurs des astres observés hors du méridien

servent encore à trouver en mer, ou sur terre ,
l'heure qu'il est au moment de lobservation. ( Foy.

Heure.)

HauTEURS CORRESPONDANTES. On donne ce nom à
deux hauteurs égales d’un même astre observées l’une
avant le passage d’un astre au méridien, et l’autre après
ce passage. Ces deux hauteurs servent à déterminer

l'instant précis du passage de cet astre au méridien.

Par l'effet du mouvement diurne apparent, les astres
paraissent décrire des cercles parallèles à l'équateur,
dont les deux parties à droite et à gauche sont sem-
blables; ainsi, une heure, par exemple, avant le pas-
sage au méridien et une heure après, les astres ont la
même hauteur au-dessus de l'horizon dans un sens dif-
féreut. Si l'on a donc observé, à l’aide d’une horloge,
le moment où l'astre avaitune hauteur quelconque avant
son passage par le méridien, et le moment ensuite où il
se trouve avoir la même hauteur en descendant vers le
couchant, la moitié de la différence entre les temps des
observations sera le temps que marquait l'horloge au
moment du passage.

On se sert de cette méthode pour vérifier la marche
des horloges et connaitre la quantité dont elles avancent
ou retardent, l'heure exacte du passage étant calculée à
l'avance.

HAZARD. Voy. ProBaBiLitE.

HÉLIAQUE. (4st.) On donne le nom d’hcliaque
au lever d’un astre, lorsqu'il sort des rayons du soleil,
dont l’éclat empèchait de l’apercevoir , et qu'il devient
visible le matin avant le lever du soleil.

On nomme aussi coucher héliaque, le coucher d'un
astre qui entre dans les rayons du soleil, et qui cesse
d’être visible.

HE
HÉLICE. Foy. SrinaLe.

HÉLICOIDE. Voy. SpIRALE PARABOLIQUE.
HÉLIOCENTRIQUE ( 451.) se dit de tout ce qui est

relatif aux planètes vues! du soleil. Ainsi le /eu hélio-
centrique d'une planète est le point de l’écliptique au-
quel nous rapporterions cette planète si nous étions
placés au centre du soleil.

HÉLIOMÈTRE (Ast.) Instrument qui sert à mesurer
le diamètre du soleil et celui des planètes.

HÉLIOSTATE (4st.) Lunette mise en mouvement
par un mécanisme d’horlogerie qui lui fait suivre le
mouvement du soleil, et permet d’observer cet astre
comme s’il était en repos.

HÉMISPHÈRE. ( Geéom.) Moitié d'une sphère ter-
minée par un plan qui. passe par son centre. ( Woy.
SPHÈRE.)

HEMISPHÈRE. ( 4st.) Moitié du globe céleste.

Voy. ARMILLAIRE.

HENDÉCAGONE. (Geéom.) (de evdexæ onze et de
yovsa angle). Figure composée de onze côtés et de onze
angles. Foy. Porycowe.

HEPTAGONE. (Géom. )( de tre septet yowa an-
gle). Polygone de sept côtés. Joy. Porxcoxx.

HERCULE. ( 454. ) Constellation boréale, qui ren-

ferme 113 étoiles dans le catalogue de Flamstead. Elle

est située entre le Serpentaire , la Lyre et la Couronne
(voy. pl. 9). Son étoile principale marquée x, est de
la seconde grandeur.

HÉRON (d'Alexandrie), géomètre du x1° siècle avant
Jésus-Christ, s'acquit dans l'antiquité une granderenom-
mée par son habileté dans la mécanique. On a de lui un
traité sur les machines à vent, dont la publication est
due aux soins du savant Commandin : (Æeronis spiri-
talia, cura F° redericr Commandini, 1595, in-4°, éerum ,
1647, curd N. Aileoti). I parait être l'inventeur des
clepsydres à eau et de plusieurs machines à vent qui
excitèrent l'admiration de ses contemporains. On voit
dans les collections de Pappus que Héron avait aussi
écrit un traité sur lesdifférentes puissances mécaniques ;
mais il n’est que cité dans ce précieux recueil, et il n’est
point venu jusqu’à nous.

HÉRON Le EURE, qui vivait dans le vin° siècle, était
un ingénieur remarquable pour son temps. On a de lui
un traité des machines de guerre , digne d'attention. Il
se trouve dans la collection des Mathematici veteres,
édition du Louvre , 1693. On y a joint un autre traité
de géodesie, c'est-à-dire de géométrie, qui est moins

HE

important, bien qu’on y trouve la méthode ingénieuse
de mesurer la surface d’uu triangle rectiligne par la
connaissance seule des trois côtés, sans rechercher la
perpendiculaire; mais elle n’est accompagnée d’aucune
démonstration.

HERSCHELL (Wirriams), né à Hanovre en 1738,
un des plus célèbres observateurs modernes, doit
sa réputation à la découverte de la planète qui porte
son nom et qu'il fit à l’aide d’un télescope d’une puis-
sance extraordinaire qu’il avait construit lui-même.
Herschell ne possédait pas des connaissances théoriques
fort étendues, mais il était doué de la perspicacité et
de la patience nécessaires aux observateurs des phéno-
mènes célestes. Il ne fut d’abord qu'un musicien
agréable; admis en cette qualité à l’église de Batti, il
occupa ses loisirs à faire des télescopes. Jusqu’alors on
n'avait pu obtenir de ces instrumens qu’un grossissement
de 400 fois l’objet, il parvint successivement et après
plusieurs essais à en construire un qui donnait un gros-
sissement de Gooo. Ce fut le 10 mars 1771 qu’il put dé-
couvrir avec ce gigantesque instrument la nouvelle pla-
nète placée au-dessus de Saturue, et à laquelle avec le
nom de cet astronome on a aussi donné lenom d'Uranus.
Plus tard, Herschell, en 1787 ct en 1797 a découvert
six satellites à sa planète. En 1780 il découvrit encore

| deux nouveaux satellites de Saturne, et enfin en 1790
il put observer sans interruption l'anneau de Saturne

et s'assurer qu’il tourne sur un axe perpendiculaire à
son plan, dans l’espace de 10 heures 32 minutes. Hers-
chell est mort en 1822.

HERSCHEL. ( 454.) Nom que l’on donne quelques
fois à la planète plus connue sous celui d’Uranus (voy.
ce mot) parce qu’elle a été découverte par le célèbre
astronome anglais Williams Herschel.

HÉTÉRODROME. ( Méc.) Le levier hétérodrome
est celui dans lequel le point d'appui est situé entre la
puissance et la résistance. Nous le nommons levier du
premier ordre. Foy. Lxvier.

HEURE , partie aliquote du jour naturel, habituel-
lement un vingt-quatrième. L'origine du mot heure ou
spa est ; selon plusieurs auteurs , le nom d’Æorus que
(les Égyptiens donnaient au soleil, le père des heures.
D'autres le font dériver du mot grec ops@eiy terminer. Une
ieure, parmi nous, est une durée du temps égale à la
vingt-quatrième partie du jour naturel ou de la durée
de la rotation diurne de la terre. On la divise en 60 mi-
nutes, la minute en 60 secondes, etc. La division du

our en heures est très-ancienne , mais les différens peu-

ples n'avaient point adopté la même division,

Les Juifs et les Romains, avant la première guerre
punique, ne connaissaient point la division en 24 heures
igales ; ils partageaient le jour artificiel, pris du lever
Tome 11,

HE 81
au coucher du soleil, en quatre parties principales,
prime, tierce , sexle el none , composées chacune de
trois heures. Prime commençait au lever du soleil, tierce
trois heures après, sexte à midi et none trois heures
avant le coucher du soleil. Les heures étaient plus ou
moins grandes dans les diverses saisons de l’année, sui-
vant le temps plus ou moins long de la présence du so-
leil au-dessus de l'horizon : ce sont les Aeures judaïques,
planétaires et inégales qu’on trouve encore indiquées
dans les bréviaires. On divisait aussi la nuit en quatre
parties de trois heures chacune.

Les Grecs commencçaient à compter leurs heures (un
vingt-quatrième du jour) à partir du coucher du soleil.
Cette pratique a été celle de plusieurs peuples. Généra-
lement aujourd’hui le jour civil commence à minuit,
c'est-à-dire au moment du passage du soleil par le méri-
dien inférieur.

Les astronomes distinguent trois sortes d'heures, les
heures sidérales, les heures solaires moyennes et Les
heures solaires vraies. Les premières se rapportent au
jour sidéral, qui est la durée d’une révolution complète
de la sphère céleste; les secondes au jour solaire moyen,
et les dernières au jour solaire vrai (voyez ÉQUATION
pu Temps). Chacune de ces heures est = du jour dont
elle fait partie.

Les heures sidérales, ainsi que les heures solaires
moyennes , sont respectivement égales entre elles et
uniformes ; mais les heures solaires vraies ne sont
égales que pour un même jour, elles varient de gran-
deur d’un jour à l’autre.

Pour comparer les durées de ces diverses heures, nous
prendronsl’heure sidérale comme terme decomparaison.
Cette heure est d’après ce que nous avons dit, Æ de
la durée du temps écoulé entre deux passages suc-
cessifs d’une étoile quelconque au méridien; or, les
étoiles qui sont fixes, du moins sensiblement, et qui sont
entrainées d’orient en occident par un mouvement com-
mun, reviennent toujours au méridien à des intervalles
égaux, après une révolution entière de 36°, tandis que
le soleil qui a un mouvement propre d’occident en
orient ne revient chaque jour au méridien qu'après
avoir parcouru un cercle entier plus l'arc qu’il a décrit
en sens inverse pendant cette révolution; ainsi, en 24
heures sidérales, le mouvement d’une étoile d’orient en
occident est de 360°, et celui du soleil de 360° — A,
À désignant l’arc rétrograde décrit par le soleil pendant
ces 24 heures.

Si nous désignons par T, le temps sidéral qui doit
s’écouler entre deux retours successifs du soleil au mé-
ridien, nous aurons donc

360° — À : 3600 ::241: T
at

o =
32 HE |

ce qui nous donnera pour la valeur de T, ou pour la

durée du jour solaire exprimée en heures sidérales

Mais le mouvement propre moyen du soleil étant
de 58' 858", 642

A. — 58" 58", 642, et par conséquent
Lt st |

en 24 heures sidérales, nous avons

36o°

04 —— — 9h 3 56", 55
Tor 359 x 1° x) = o4u 3! 56", 554
< ?

dont la vingt-quatrième partie, 1 h. o' 9", 827, est la
Penn de l'heure solaire moyenne en temps sidéral.

Si l’on veut prendre l'heure solaire moyenne pour
terme de comparaison, on aura pour la valeur de l’heure

sidérale exprimée en temps moyen

De —= 059" 0"”,17
Celle du jour sidéral est donc 23 h. 56° 4”, ogo7 en
temps moyen,

Ces rapports servent à passer de l'heure moyenne à
l'heure sidérale et vice versa: réductions d’un usage
continuel dans la pratique de l'astronomie. Quant à
l'heure solaire vraie, sa grandeur étant variable, ses
rapports avec l'heure sidérale le sont également.

HÉVÉLIUS (ou plutot Jean Heverx), l'un des plus cé.
lèbres astronomes du XII° siècle, naquit à Dantzig le 22
janvier 1611, d'une famille patricienne et apulente. Il
reçut une éducation conforme à cette position sociale,
et appliqua d’abord exclusivement ses talens aux affaires
publiques; mais le goût des sciences ei l’ardeur avec la-
quelle il selivra à l'étude de l'astronomie le firent entrer
plus tard dans une autre carrière où il n’acquit pas moins
d'illustration. Hévélius était dans la force de l’âge, en-
1647, lorsqu'il publia une description de la lune, qui
commença sa renommée et révéla pour ainsi dire son
génie à l'Europe savante. Cet ouvrage était surtout re-
marquable par l’exactitude avec laquelle Hévélius y dé-
crivit les diverses inégalités qui forment des taches à Ja
surface de cet astre : aussi voulut-il en graver lui-même
les planches. Cependant les noms qu'il crut pouvoir
douner à ces accidents du globe lunaire ne furent point
adoptés par les astronomes, qui leur préférèrent la no-
menclature proposée par le père Grimaldi, savant obser-
vateur de cette époque. Cet ouvrage a pour titre : Sele-
nographia, Gedaui. (än-fol. 1647).

Hévélius publia successivement depuis plusieurs ou-
vrages importans qui intéressent spécialement l’astrono-

mie. Sa théorie du mouvement de hbration de la lune

IE
et ses observations des phases de Saturne le placèrent au
nombre des grands astronomes. (De motu lunæ libra-
forio, Gedani, 1651. in-fol. — De nativa saturni facie,
1656). En
1661, Hévélius publia son observation du passage de

cjusdemque phænomenis etc. ib. in-fol.
Mercure sous le soleil; il y joignit l'observation encore
inédite d’Iloroxes sur le passage de Vénus sous cet
astre, qui avait eu lieu en 1639. On trouve à la suite de
cette publication l’histoire de la nouvelle étoile décou-
verte peu d'années auparavant dans le cou de la baleine,
remarquable par la périodicité de ses mouvements, et
que les observations d'Hévélius avaient beaucoup con-
tibué à faire connaître. On doit encore à ce savant
astronome une lettre sur les deux éclipses de l’année
1654, où ces phénomènes sont décrits avec un rare talent,
et divers traités sur les comètes, qui ont beaucoup con-
tribué à avancer la théorie de ces astres, quoique les

hypothèses ou plutôt les conjectures qu'Hévélius y

">

propose sur leur nature même laissent beaucoup
désirer.

On voit qu'Hévélius fut surtout un habile observateur;
il possédait en effet un observatoire muni d’excellens
jnstrumens, et qu'on pouvait comparer à celui de Ty-
cho-Brahé; une imprimerie y était annexée, et c’est dans
cette retraite scientifique qu’il s'était créée, que tous ses
écrits virent le jour. Halley et Hooke ont fait remar-
quer qu'Hévélius, malgré é la sagacité supérieure qu’il a
si souvent montrée, tenait avec une étrange obstination
à observer avec d'anciens instrumens, et ne voulut ja-
mais faire usage du télescope, invention récente alors.
Sous le titre de : MachinϾ celestis pars prior ( 1673 in-
fol.), Hévélius a donné la description deson observatoire
et de ses instrumens; la seconde partie de cet ouvrage qui
ut publiée peu de temps après, renferme les observations
qu'il a pu faire durant une longue, suite d'années. TI pu-
blia encore en 1685 un dernier volume d’observations,
après le rétablissement de son observatoire qui avait
été entièrement détruit par un incendie en 1680; il avait!
préparé deux nouveaux écrits, mais sa mort qui arriva,
en 1688 ne lui permit pas de les publier, et mit un ter-
me à une carrière qui fut aussi longue qu'honorable et
laborieuse. En 1690, on livra à l'impression ces deux
ouvrages qui n’ajoutèrent rien à sa réputation. £

HEXAËDRE. (Géom.) C'est un des cinq solides ré:1.
guliers de Platon. On le nomme aussi cube (Pose f

SOLIDE). |
HEXAGONE. (Géom.) Polygone de six côtés. (Foy
PorxGoxE)- €

Un Hexagone régulier est celui dont les angles et lesi
côtés sont égaux. Comme tous les polygones régulier Ag
peuvent être inscrits dans un cercle, (/’oy. CERCLE, LE | &.
si nous supposons qu'on ait inscrit l'hexagone À BC
D E F, et que du centre O, on ait mené deux rayons

HE
O A,OB, l'angle au centre AO B ayant pour mesure

l’arc A B, qui est la sixième partie de la circonférence,
sera de 286?
r =
6

— 60° ; mais dans le triingle isocèle

A B O, les angles à la base O A B, O B A, sont égaux,

180° — G6o°

etchacunde — = 66°, ainsi ce triangle à ses

trois angles égaux, et conséquemment aussi ses côtés le
sont. Donc le côté de l’hexagone inscrit est égal au
rayon.

Pour décrire un hexagone régulier dont le côté soit
une droite donnée, il suffit de décrire un cercle
avec cette grandeur pour rayon, et de la porter six fois
sur la circonférence. En joignant les points de division
par des droites, l'hexagone sera construit.

HIPPARQUE, de Nicée, en Bithynie: Ce grand
astronome qui fut un des plus illustres maitres de
l'école d'Alexandrie, vivait dans le deuxième siècle

avant notre ère. Ses immenses travaux marquent dans
l’histoire de la science un point de départ tout nou-
veau que nous avons suffisamnient caractérisé dans
un autre article de ce dictionnaire. ( #oy. ÉcoE
D'ALExANDRIE, ) Nous ajouterons seulement ici que
lorsqu'il eut reconnu le peu de fondement des théories
adoptées deson temps, et qu'il eut résolu de refaire
tout le travail de ses prédécesseurs, en apportant dans
ses observations une précision jusqu'alors inconnue,
il fut contraint de les comparer seulement à celles des
premiers : astronomes d'Alexandrie, pour établir sa
théorie du soleil et de la précession des équinoxes, et
de rejetter comme incertaines et inexactes, ces antiques
observations si vantées des Egyptigns et des Chaldéens.
C'est cependant sur ces connaissances dédaignées par
Hipparque, deux siècles avant Jésus-Christ, qu’on a
voulu s'appuyer de nos jours pour démontrer l’exis-
tence d'une, civilisation qui placerait le berceau du
monde daus un passé inconnu! Ilipparque a déter-
miné la durée de l’année tropique; il a donné les
premières tables du soleil qui soient mentionnées dans
l’histoire de l'astronomie ; le premier aussi il a produit
une théorie des mouvemens de la lune , fondée sur ut
uombre immense d'observations rigoureuses et il à

* HE 85
déterminé la parallaxe de cet astre, dont il a essayé de
conclure celle du soleil. On lui doit aussi un catalogue
d'étoiles, et des aperçus ‘prodigieux sur les phéno-
mènes célestes, et surtout la grandé découverte de la
précession des équinoxes. Hipparque à également
porté une vive lumière dans la géographie, en donnant
une méthode de fixer la position des lieux sur la
terre, par leur latitude et leur longitude. C’est en se
livrant aux nombreux calculs qu’exigèrent ces im-
portantes recherches, qu’il perfectionna la trigonométrie
sphérique. Il ne nous reste d’'Hipparque que son
commentaire critique de la sphère, ouvrage antérieur
à la découverte de la précession des équinoxes. Tous
ses autres écrits ont disparu , et c’est dans l’almageste
de Ptolémée seulement que se retrouvent les traces de
ses glorieux travaux.

HIVER. ( 454. } Quatrième saison de l’année, qui
commence vers le 22 décembre , lorsque le soleil eutre
dans le signe du capricorne, et finit vers le 21 mars,
lorsqu'il sort du signe des poissons, pour entrer dans
celui du bélier. Sa durée est de 89 jours 2 heures.
(Foy: ARMILLAIRE. )

Le premier jour de cette saison est le plus court de
l’année.

HIPPOCRATE pe Cuio, l’un des plus anciens géo-
mètres dontles travaux fassent époque dans l’histoire
de la science, s’est rendu célèbre par sa quadrature, des
lunules. (Foy. ce mot.) Il s’est aussi distingué parmi
les géomètrés de l'antiquité qui abordèrent la solution
du problème dela duplication da cuhe. Il était l’auteur
d’un traité élémentaire de géométrie , que celui d’Eu-
clide fit de bonne heure oublier.

HOMOCENTRIQUE. ( 454.) D'ouos semblable, et
de x:vrpov centre. C’est la même chose que CONGENTRI-
QUE. (Foy. ce mot.) l

HOMODROME, Vieux terme de Mecanique. Le le-
vier homodrome est celui dans lequel la puissance et la
résistance sont toutes deux du même côté du point d’ap-
pui. l’oy. Levier:

On considère deux sortes de leviers homodromes :
l'un, que l’on nomme aujourd’hui levier de la seconde
espèce, à la résistance entre l'appui et la puissance;
l’autre ; qui se nomme levier de la-troisième espèce, a
Ja puissance entre l'appui et la résistance.

HOMOGÈNE. (Alg.) On appelle quantités homo-
gènes, celles qui ont le même nombre de dimensions.
Par exemple,x',2?7,æyz sont des quantités homogènes
parce qu'elles ont chacune trois dimensions ( voy. pr:
MENSION ), Une équation est dite Aomogène, lorsque les
variables ont le même nombre de dimensions duns tous
les termes.

HOMOLOGUE, ( Géomn.) (d'épos semblable et de

nd
HE

hoyos raison). Nom que l’on donne aux côtés opposés à
7

84

des angles égaux dans les figures semblables. J’oy. St-

MILITUDE.

HOOK (Roserr), géomètre et astronome anpglais,
est célèbre par le nombre et l'importance de ses obser-
vations, et par l’habileté avec laquelle il perfectionna les
instrumens déjà connuset en imagina de nouveaux. Îl est
l’auteur d’un traité du micromètre ( micrographie) qui
renferme d’excellentes réflexions sur la construction et
l'usage de cet instrument , dont ilrevendiqua mal à pro-
pos l'invention. Il avait eu également la prétention de
disputer à Huygens la découverte du ressort spiral qui
règle les oscillations du balancier dans les montres : mais
il a beaucoup de titres réels et fondés à la gloire, parmi
lesquels nous ne pouvons passer sous silence ses vues sur
la gravitation universelle. Nulle part ce principe n’est
aussi clairement énoncé et plus développé, avant New-
ton, que dans l'ouvrage de flook, intitulé: An attempt
to prove the motion ofthe earth. Lond. 1674, in-4°.
Voici, en effet, dans quels termes précis ce géo-
mètre s'exprime à ce sujet re” J’expliquerai un système
» du monde différent à bien des égards de tous les au-
» tres, etquiest fondésur les trois propositions suivantes:
» 1° que tous les corps célestes ont non seulement une
» attraction où une gravitation sur leur propre centre,
» mais qu'ils s’attirent mutuellement les uns les autres
» dans leur sphère d'activité.

» 2 Que tous les corps qui ont un mouvement sim.
» ple et direct continueraient à se mouvoir en ligne
» droite, si quelque force ne les en détournait sans
» cesse, et ne les contraignait à décrire un cercle, une
» ellipse ou quelque autre courbe plus composée.

» 3° Que l'attraction est d'autant plus puissante, que

le corps attirant est plus voisin.»

Hook ajoutait qu'a l'égard de la loi suivant laquelle
agit cette force, ce devait être l’objet de méditations et
de recherches particulières auxquelles il n’avait encore
pu selivrer, mais que son idée méritait d’être suivie et
pouvait être très-utile aux astronomes. Ce livre parut
en 1674, c’est à-dire douze ans avant la publication des
principes de Newton. On sait au surplus que l'opinion,
quiattribuela pesanteur à l'attraction mutuelledes COrps,
est antérieure aux travaux de ce grand homme et qu’elle
se trouve surtout expressément exposée dans une lettre
de Pascal et de Roberval à Fermat , en date du 16 août
1638. (Voyez Newrox.) Hook est mort en 1702,

HOPITAL (cuiLLaume = FRANÇOIS DE L’) l’un des géo-
mètres les plus distingués de la fin du 17° siècle, Il ré-
véla de bonne heure les plus heureuses dispositions pour
la science, en faveur de laquelle il renonça à une exis-
‘ence brillante et à la carrière des armes où ses ancêtres

s'étaient illustrés. À quinze as i! résolut uu problème

HE

de Pascal sur la cycloïde, qui avait paru fort diffi-
cile aux plus habiles géomètres du temps. Lorsque la
faiblesse desa santé lui-eut fourni, quelques années plus
tard ,un motif honorable de quitter les rangs de l’ar-
mée, le marquis de l'Hôpital se livra avec ardeur à l’é-
tude des mathématiques. L’illustre Jean Bernouilli de-
vint son ami et son maitre, et ce fut pour lui qu’il com-
posa les /econs de calcul différentiel et intégral ; l'élève
ne tarda pas à devenir digne d’un tel professenr. L'H6-
pital a attaché son nom à la solution des problèmes les
plus difficiles et les plus remarquables dont l’histoire de
la science à cette époque fasse mention , au nombre des-
quels est celui de {a courbe de la plus courte descente,
proposé par Jean Bernouilli.

Mais le plus beau titre de gloire de l'Hôpital est son
Analyse des infiniment petits, qu’il publia en 1696.
C'est dans cet ouvrage que fut exposé pour la pre-
mière fois le calcul différentiel inventé par Leiïbnitz,
et dont trois ou quatre géomètres de ce temps étaient
seuls encore en possession (Foy. Dirrérexce). L'Hôpital,
qui était né en 1661 , mourut à l’âge de quarante-trois
ans, le 2 février 1704 , avant d’avoir pu mettre la der-
uière main à son 7raütc analytique des sections coniques
et de la construction des lieux géométriques. Ce livre
qui fut imprimé en 1707 peut être encore aujourd’hui
consulté avec fruit.

HORAIRE. ( 454.) Ce mot s'emploie pour plusieurs
objets relatifs à l'heure; par exemple, on nomme

Cercles horaires, ou cercles de déclinaisons, les grands
cercles qui passent par les pôles de la sphère et qui, par
leurs distances au méridien , marquent les heures. Ainsi
quand le soleil est dans un cercle horaire éloigné du
méridien de 15°, il est une heure ou onze heures, selon
que cette distance est occidentale ou orientale.

Angle horaire, l'angle au pôle formé par le cercle
horaire et par le méridien du lieu.

Mouvement horaire , l'espace parcouru en une heure
de temps par un astre, ou la variation qu’éprouvent en
une heure sa longitude et sa latitude.

Lignes horaires , les lignes qui marquent les heures
sur un cadran solaire. (Foy. GNOMOoNIQUE.)

HORIZON. (Ast. ) (de :£s je termine). Grand cer-
cle de la sphère céleste qui sépare sa partie visible de sa
partie invisible.

Lorsque, d’un point quelconque de la surface de la
terre, on examine le ciel, ilapparaît comme une voûte ou
calotte sphérique , appuyée sur un plan qui est la terre.
L’intersection de la voûte et du plan parait à l’observa-
teur un cercle dont il occupe le centre; et c’est ce cercle
qui sépare la partie supérieure et visible du ciel, de sa :
partie inférieure et invisible, qu’on nomme en général
l’horizon. LR

On distingue l'horizon en rationnel et en sensible.

___ _——

|

HO

L’horizonrationnel où astronomique, estun grand cer-
cle de la sphère dont le plan passe par le centre de la
terre, et qui a pour pôles le zénith et le nadir. Il par-
tage la sphère en deux parties égales. L'horizon sen-
sible où apparent est un plan que l’on suppose toucher
la surface de la terre et que l'on conçoit parallèle à l'ho-
rizon rationel. Cet horizon partage la sphère céleste
en deux parties inégales, mais le rayon de la terre n’é-

Z

tant qu'un point par rapport à l'immense distance de la
terre aux étoiles fixes, toutes les fois qu'il s’agit de ces
astres on peut supposer rigoureusement que l'horizon
sensible se confond avec l'horizon rationnel. Ainsi, pour
l'observateur placé au point D, à la surface de la terre,
et dont l'horizon rationnelest selon la droite AB, tandis
que son horizon sensible est selon la droite A" B’, les
points A et A de la sphère céleste ne seront qu’un seul
et même point , parce que l'arc AA',ou le rayon DT qui
le détermine, n’a aucune grandeur comparable avec le
rayon AT de la sphère céleste. L'étoile fixe observée en
A' dans l'horizon sensible sera donc bien réellement en
A dans l'horizon rationnel. Cependant comme iln’en est
point ainsi pour la lune et pour les planètes dont les
distances à la terre ne sont point infinies comparative-
ment au rayon terrestre, la distinction des deux hori-
zOns est nécessaire,

Il est encore une autre espèce d'horizon qu’on appelle
visible en Géographie; ce n'est autre chose que l'é-
tendue de la terre ou de la mer que l’on peut aper-
cevoir en regardant autour de soi autant que la vue
peut s'étendre. La grandeur de cet horizon visible n’est
pas toujours la même, car il est évident que plus l'œil
est élevé, plus l'horizon sera grand. Un observateur
placé sur le sommet d’une haute montagne découvre
nécessairement une plus grande étendue de pays que
sil était vers le pied ; et en mer, par exemple, la vigie
aperçoit du haut d'un mât, un point B de la terre,
avant qu'il puisse être visible pour ceux qui sont sur
le pont du vaisseau. (Foy. pl. 35, fig. 4).

Lorsqu'on connaît la hauteur del’œil au dessus de la sur-
face de laterre, laquelle surface est toujours prise au ni-
veau de celle de la mer, on eut facilement déterminer

HO 89

le diamètre de l'horizon visible, car en supposant (fig.
ci-contre), que E D soit cette hauteur, la droite EF,
tangente à la terre, désigne le rayon visuel qui termine
d’un côté l'horizon visible, lequel a pour demi diamètre
l'arc F D qu’on peut considérer comme une ligne droite,
cet arc étant toujours très-petil' par rapport à la cir-
conférence de la terre; or, dans letriangle TFE, rec-
tangle en F, on a

1: SuFET:: TE:TF

ainsi, T F étant le rayon connu dela terre, TE ce rayon
plus la hauteur donnée D E, on calculera la grandeur de
l’angleF ET, d'où l’on conclura celle de son complément
FT E.Mais l'angle FE T a pour mesure l'arc F D; on
connaîtra donc de cette manière le nombre des degrés
de cet arc, dont chacun vaut environ 111118 mètres
(57012 toises). La grandeur du rayon moyen de la terre,
qu'il faut employer dans ce calcul pour obtenir une
approximation suffisante, est de 6366545 mètres.

En pleine mer où l'on observe la hauteur des astres
par rapport à l'horizon visible ou à latangente EF, ces
hauteurs sont toujours trop grandes et l’on voit aisé-
ment, à l'inspection de la figure, qu'il fautles diminuer
de l’arc AA" oude l’angle FTE pour avoir les véritables
hauteurs au dessus de l'horizon rationnel. Tous les traités
de navigation contiennent des tables qui donnent ce
qu'il faut retrancher de la hauteur observée d’après
l'élévation de l'œil au dessus du niveau de la mer.

L'horizon, soit rationnel , soit sensible, se partage en
deux moitiés dont l’une est appelée l'horizon oriental
et l’autre l'horizon occidental, parce que le premier
est à lorient et l’autre à l’occident. Ces deux horizons
sont séparés l’un de l’autre par le méridien. (Foy.
ARMILLAIRE 8 et O.)

HORIZONTAL. (45t.) On donne ce nom à tout ce
qui est de niveau avec l'horizon, ou se rapporte à l’ho-
rizon.

Cadran horizontal. C'est celui qui est tracé sur un
plan parallèle à l'horizon. (Foy GNomonique, 6.)

Plan horizontal, C’est un plan parallèle à l'horizon.

Ligne horizontale. Droite tirée du point de vue,
dans la Perspective, parallèlement à l'horizon, ou in-
tersection du plan du tableau et du plan horizontal,

Parallaxe horizontale. (V'oy. ParaLLAxE.)

Réfraction horizontale. (Foy. Rérnacriow.)

HORLOGE. (Meéc.) Nom sous lequel on désigne
généralement toute machine propre à mesurer le
temps.

HOROGRAPHIE, (Æ4sr.) C'est l’art de faire des ca-
drans. On le nomme aussi //orologiographie, et plus

communément Gnomonique. (Foy. ce mot.)

HOROPTÈRE. (Opt.) Nom que l’on donne à la ligne

56 HU

droite tirée du point où les deux axes optiques concou-
rent, et qui est parallèle à celle qui joint les centres des
deux veux ou des deux pupilles.

HOROXES ( Jérémie) , astronome du 17° siècle, né
en Angleterre, dans le comté de Lancastre, vers l’an
1619. Il s’est rendu célèbre par la première observation
qui ait été faite du passage de Vénus sous. le soleil et
qui arriva le 4 décembre 1639. Il détermiva la position
des nœuds et les autres élémens du mouvement de cette
planète avec la plus grande exattitude, et réforma Île
calcul de Képler relatif à ce phénomène. Cette observa-
tion a été depuis d’une grande utilité en astronomie.
Horoxes était un pauvre jeune homme qui, avec Guil-
laume Crabree, son ami, aussi pauvre que lui, se li-
vrait avec toute l'ardeur du génie à l'étude de cette
science et à l'observation des astres , presque sans livres
et sans instrumens. Ïl a écrit au sujet du passage de Vé-
nus sous le soleil un traité fort remarquable qu’il n’eut
pas même la joie de voir imprimer, car il mourut su-
bitement le 15 janvier 1641. Cet astronome , qui vécut
dans la pauvreté et mourut à vingt-deux ans, a laissé
d’autres travaux qui, réunis par les soins de Wallin,
furent publiés à Londres en 1678, sous ce titre : Horoc-
cii opera posthuma. On sait que Flamstead n’a pas dé-
daigné d'achever ses tables de la lune et qu'Hévélius a
publié en 1661 son observation de la conjonction de
Vénus. Crabree, le jeune ami d'IHoroxes, mourut éga-
lement à la fleur de l’âge dans une des guerres civiles
qui troublaient alors l'Angleterre.

HUYGENS pe ZUYLICHEN (Carisrian ). Il faudrait
embrasser toute l’histoire de la science, durant la bril-
lante période du 17° siècle , pour présenter ici une ana-
lyse, même succincte, de la longue série d'inventions
et de publications dues à l'homme de génie qui a rendu
ce nom si célèbre etsi illustre. Déjà dans une multitude
d’articles de ce dictionnaire nous avons eu l’occasion ,
qui se présentera souvent encore, de rappeler ses tra-
vaux, d'exposer ses théories, de citer ses opinions; il
ne nous reste done qu’à faire connaitre les particularités
principales d’une vie si remarquable, si intimement
liée à tous les progrès qui se sont effectués dans toutes
les branches du savoir, à l’époque où elle s'est ac-
complie.

Huygens naquit à La Haye, le 14 avril 1629. Son
père Constantin Huygens, secrétaire et conseiller des
princes d'Orange, qui à fourni une honorable carrière
dans les hautes fonctions publiques et dans les lettres ,
devina son génie et voulut être son pretnier précepteur.
Le jeune Huygens montra surtout des dispositions
extraordinaires pour les sciences exâctes : des maîtres
distingués, furent chargés de les développer. H étudia
successivement à Leyde et à Breda, et ses premiers es-
sais attirérent l'attention de otré grand Descartes, qui

HU

prononça dés-lors sur ce jeune homme un jugement
dont il a réalisé toutes les prévisions et que la postérité
a confirmé,

Ce fut en 1651 que Huygens publia son premier ou-
vrage, c’est-à-dire les Théorèmes sur la quadrature de
Thyperbole, de l'ellipse et du cercle, etc. avec la cri-
tique de ouvrage du père Grégoire de St.-Vincent sur
le même sujet. Peu de temps après, il publia ses décou-
vertessur la grandeur du cercle. C’est versl’an 1655 que,
deretour de son premier voyage en France, il s'occupade
l’art de tailler et de polir les verresdes grandes lunettes.
Il parvint ä construire un objectif de douze pieds de
foyer, etce fut à l’aide de cet instrument qu’il découvrit
un satellite de Saturne; et qu’il put observer le phéno-
mène bizarre qui distingue cette planète dans notre sys-
tème et explique amsi ses inégalités mal entrevues par
Galilée; mais ce ne fut que quelques années après qu’il
put compléter sa découverte en perfectionnant encore
son instrument. Il publia vers la même époque son 4rt
de conjecturer, application ingénieuse du calcul aux
jeux de hasard. Presque en même temps il communi-
quait à Schooten la rectification de la parabole cubi-
que, à Wallis la mesure de l'aire totale de la cissoïde,
à Sluze l'évaluation de la surface courbe du conoïdepa-
rabolique ; en quantités dépéndantes de la quadrature dn
cercle, à Pascal une détermination pareille ; pour le co-
noïde hyperbolique , les sphéroïdes en général et la qua-
drature d’une portion de la cycloïde. En 1655, il pu-
blia son importante découverte de l'application du pen-
dule aux horloges, que Galilée avait entrevue et qw’il
eut la gloire de réaliser et de compléter. En 1659, à
Vaide d’un objectif de vingt-deux pieds de foyer, il
fut à même de préciser davantage ses premières obser-
vations sur Saturne , et il publia le système de cette
planète, dont il acquit une connaissance assez certaine
pour ännoricer la disparition de l’anneau en 1677.

A cette époque, la gloire et la célébrité de Huygens,
appuyéés sûr tant de travaux dont nous ne donnons ici
qu’un énoncé incomplet, n'avaient point de rivales dans
le monde. C’est qu'il était à peu près seul dans cette
noble carrière où Kepler ; Galilée, Descartes et Fermat
avaient cessé de brillér et où Newton et Leibhitzn’étaient
pas encore entrés. De 1660 à 1663 ce grand homme
voyagea en Angleterre et en France ; et développa dans
ces deux pays les brillantes théories ‘dont il était en
possession. Il ÿ fut accueilli avec l'enthousiasme qu’in-
spire le génie, et devint membre de la Société royale des
sciences de Londres, et de l’Académie royale desscien-
ces de Paris. Louis X1V et son ministre Colbert, jaloux
de la gloire quele ‘travaux d’un tel homme pouvaient
répandre sur l'académie naissante; ne néglgèrent rien
pour l’attacher plus intimement à la France. Touché de.
la bienveillance plus que de la munificence royale avec

HU

laquelle il fut accueilli, Huygens vint se fixer à Paris.
Ce fut là qu'il publia ses traités sur la Dioptrique et sur
le mouvement résultant de la percussion, et qu'il résuma
enfin l'exposition de ses plus belles découvertes dans
son Æorologium oscillatorium. Ce grand ouvrage fut
publié à Paris en 1673. Nous sommes forcés de passer
sous silence un grand nombre detravaux et de décou-
vertes d'Huygens dont il enrichit encore à ceite époque
la théorie de la science ; son perfectionnement n’était pas
le seul objet de ses méditations, et il s’attachait aussi à
en tirer des résultats pratiqués d’une utilité générale.
Ce fut dans cette pensée. qu'il appliqua aux montres la
thévrie du pendule en y adaptant le ressort spiral pour
régler les oscillations du bälancier.

Tant de travaux avait profondément affecté la santé
de ce grand homme. Plusieurs fois déjà il avait voulu
chercher le repos et la solitude dans sa patrie, et cédant
toujours aux pressantes sollicitations dont il était l'objet
il avait consénti à revenir à Paris ; mais eu 1681 1l effec-
tua irréyocablement le projet qu’il avait conçu de se

retirer en Hollande , où le rappelaient l'intérêt de sa
santé et les liens de famille qui furent toujours puis-
sans sur son cœur. Mais il n'avait pas quitté la France

sans laisser après lui de nouvelles traces de son génie

si actif, & universel. Il avait perfectionné la construc-
tion du baromètre, inventé un niveau à lunette d’une
vérification facile, recherché la démonstration rigou-
reuse des principes de la statique, l'équilibre du levier
et des polygones funiculaires. |

* La retraite d'Huygens ne fut point de sa part un adieu
à la science et aux recherches de ses applications d’uti-
lité: les travaux de cette dernière période de sa vie ne
sont ni moins importans, ni moins remarquables que
ceux qui avaient jusqu'alors illustré sa carrière. Il con-
struisit à cette époque un automate planélaire pour re-
présenter les mouvemens réels des corps planétaires.
En travaillant à cet ingénieux mécanisme, il fut mis sur
la voie d’une de ses plus belles découvertes , celle de
Y'emploi des fractions continues, qui avaient été consi-
dérées par Brounker et Wallis, sans que ces géomètres
eussent connu leurs principales propriétés. Huygens re-
prit vers le même temps ses recherches sur l'optique ;
mais à cette époque une grande révolution se préparait
dans la science, Leibnitz publiait la découverte du ca/-
cul différentiel et Newton le livre des Principes, Huy-
gens passa en Angleterre pour voir l’auteur de ce der-
nier ouvrage; il connaissait depuis long-temps Leibnitz,
dont il avait encouragé les premiers essais, mais l’on
doit dire qu'il ne rendit pas immédiatement justice à
l’importance féconde de sa découverte. Il reyint en
Hollande en 1690, et publia en français deux de ses
écrits les plus dignes de l'admiration de la postérité, le
Traité de la lumière et le Discours sur la cause de la

HY 87
pesanteür. Les dermères anuées de sa vie furent reme
plies par des recherches sur le calcul différentiel , dont
il avait enfin saisi Ja puissance et la grandeur. écrivit
x Fontenelle (1693) « qu'il voyeit avec surprise ct avec
» ädmiration l’étendue et la fécondité de cet art; que
» de quelque côté qu'il tournât sa vue, il en décou-
» vrait de nouveaux usages; qu’enfin il y concevait un
» progrès etune spéculation infinies.» Huygens mourut
à La Haye le 8 juillet 1695. Ce grand homme était
doué de cette bienveillance aimable qui ajoute à l'éclat
du 'gérie, il accueillait avec empressement les savans
qui venaient le consulter , et surtout les jeunes gens qui
entraient dans la carrière. Il avait compris le génié de
Leibnitz, comme Descartes, pour lequel il professa tou-
jours le culte du respect et l'admiration, avait compris le
sien. L’illustre inventeur du calcul différentiel s'est pla
à faire connaître toutes les obligations qu’il avait eues à
ses entretiens avec ce grand géomètre. Il racontait dans
la suite qu’un monde nouveau s'était ouvert pour lui
depuis lors, et qu'il s’était senti un autre homme. Im-
primer à un génie de cette trempe une direction si fé-
conde, n’était-ce pas encore bien mériter de la société,
s’écrie avec raison uu biographe d'Huygens en rappe-
lant cette particularité de sa vie privée. Les œuvres
d'Huygens , à part divers mémoires qui se trouvent dans
les Transactions philosophiques , ont été recueillies par
S'Gravesande sous ces titres : Christiani Hugenit Zu-
lichemii, opera varia, in quatuor tomos distributa, 1 vol.
in-4° Leyde, 1524. — Id., opera relique , 2 vol. in-4",
quorum secundum in duos tomos distributum , conti-

net opera posthuma. Amsterdam, 1729.

HYADES, (451). Étoiles rassemblées en forme d’ Y,
qui sont dans la coustellation Gu taureau.

- HYDRAULIQUE. (Mée.) Science qui a pour objet
le mouvement des eaux, et la construction des machines
propres à les conduire. C'est proprement la partie pra-
tique de l’hydrodynamique. (Foy. ce mot):

Les machines dont on se sert pour tout ce qui concerne
la conduite et l'élévation de l'eau, prennent en général
lé nom de r#achines hydrauliques Voy. Foxraixe, JEr

D'EAU, Pour, ROUE, et Syruon.

HYDRE. (454) Constellation méridionale nommée
aussi serpens aguaticus, asina Coluber, echidna ou
vipére, Elle s'étend au dessus du Lion, de la Vierge et
de la Balance, (Foy. pl. 9 et 10,)

HYDRODYNAMIQUE. (Mec.) Une des branches de

la mécanique. Elle a pour objet les lois du mouvement
des fluides,

Cette science se subdivise en deux branches, dont la
première considère les lois du mouvement des liquidés;
c'est proprément l'HYÿpRAULIQUE, et la seconde celles du

88 HY

mouvement des gaz, c’est la Pneumarique. (Woy. ce
mot.)

L’hydrodynamique est la partie la plus difficile et la
moins avancée de la mécauique; ses lois fondamentales
sont entièrementinconnues, et le peu delois particulières
dont elle se compose aujourd’hui ne sont encore qu’un
résultat de l'expérience; toutes les tentatives faites jus-
qu'ici pour les généraliser ou pour en obtenir la déduc-
tion mathématique à priori ont été sans succès, et nous
pouvons prévoir qu’il en sera de même de toutes les
tentatives ultérieures, tant que la constitution intime
des fluides où généralement celle de la matière ne sera
pas dévoilée.

1. Ilest connu, par expérience, que lorsqu'un fluide
pesant contenu dans un vase s'échappe par une ouver-
ture pratiquée au fond'du vase, la surface extérieure
du fluide conserve sensiblement une situation horizon-
tale. Si l’on imagine donc que la masse du fluide soit
partagée en tranches horizontales, cestranches pourront
être considérées comme parallèles à mesure qu'elles
s’abaisseront et que le vase se videra, et les molécules
qui les composent seront censées descendre verticale-
ment. Cette hypothèse est loin sans doute d’être rigou-
reuse, puisque les molécules seront soumises à des
mouvemens horizontaux, mais elle est au moins suffi-
sante pour nous donner une solution approchée du
problème de l'écoulement des fluides.

Soit EFCD, (pl. 43 fig. 1.) un vase dont la surface
interne est donnée par l'équation (x, y, z), — 0; ima-
ginons un plan horizontal A B, et prenons l'ordonnée
ez — z pour mesurer la distance d’une des tranches du
fluide à ce plan. A l’aide de l'équation 9 (x, y, 2), nous
connaîtrons l'aire s, dela tranche qui répond à l’ordonnée
z, et, la hauteur de la tranche étant supposée infiniment
petite, en multipliant cette aire par la différentielle dz
de z, nous aurons sd: pour le volume de la tranche.
Or,comme dans l'hypothèse qui nous sert de base, toutes
les molécules de cette tranche arrivent en même
temps par un chemin vertical au plan horizontal qui lui
sert de base, il est évident que ces molécules seront ani-
mées de la même vitesse. Mais si nous considérons deux
tranches différentes, la vitesse cessera d’être constante.
En effet le fluide étant incompressible, une tranche
quelconque ne peut descendre de la hauteur 4z dans
le temps dt sans qu’il ne sorte par l’orifice C D une quan-
tité de fluide égale au volume de cette tranche. Ainsi,
si nous désignons par v la vitesse qui a lieu à l’orifice
C D, par a l'aire de cet orifice; comme la vitesse est gé-
néralement égale à l’espace divisé par le temps (or.
viresse), l’espace vertical parcouru dans l'instant dt sera
égal à vdt ; donc en multipliant l'aire a par cette hau-
teur verticale dt, nous aurons avdt pour la quantité
du fluide écoulé par l’orifice C D pendant l'instant dé.

HY

Cette quantité de fluide devant être égale à la tranche
disparue, nous aurons l’équation

Los... .Sdz — avdt

d’où nous tirerons

dz
Der

Dee 00 s 5
di

. AV =

Si nous désignons par v la vitesse de la tranche après
dz, /
le temps £, nous aurons u— PAULE Viresse); substituant

certe valeur dans (2), nous obtiendrons

3,55.

se ŒV——<ISIL

équation qui nous apprend que les vitesses v et u doi-
vent être en raison inverse des aires a et s. Ce qui du
reste est évident.

| È 2 du
Après l'instant dt, la vitesse deviendra du, ou PAS
[e

mais si les molécules du fluide n’agissaient pas les unes
sar les autres, la force accélératrice ou la pesanteur qui
les sollicite étant exprimée par g, nous aurions

du
le g, et du = gdl

Or, par l’action réciproque des molécules , chaque
tranche perd toute la vitesse qu’elle aufait si ces molé-
cules étaient libres, moins celle qui lui reste effective-
ment; ainsi la vitesse perdue par une molécule de la
tranche s sera

du

et, par conséquent, la force accélératrice due à cette
vitesse aura pour expression

du
“tHoude,

Mais , d’après le principe de d’Alembert (voy.Srart-
QUE )le fluide resterait en équilibre si chacune de ses
tranches était sollicitée par des forces motrices capables
de lui imprimer la vitesse qu’elle perd à chaque instant;
supposons donc ces tranches sollicitées par de sembla-
bles forces , et l'équation d'équilibre des fluides incom-
pressibles

dp = igdz

dans laquelle p désigne la pression et à la densité du
fluide ( Foy. HynrosrariQuE, n° 9.) deviendra , dans
cette hypothèse, (4)

du

a) €

dp = ä(e —

HY

Substituant à la place de du, sa valeur trouvée en
différentiant l'équation (3), av = su, savoir :

asdv — avds

du —

s?

re AT . dz ue 2e 7
et éliminant ensuite gr *u moyeu de l'équation (1), l'é-

quation (4) deviendra(5)

En intégrant parrapport à 7, comme les quantités vet
dv
dt

qu’elles sont les valeurs particulières que prennent les

doivent être considérées comme coustantes, puis-

du

di

es fé dv dz av
Pres ÉTÉ . 6

La valeur de la constante C qui est en général une

quantités u et — à l'orifice , nous aurons (6)

fonction du temps £ dépend de la pression que supporte
la surface supérieure du fluide. Pour plus de simplicité
nous supposerons que cette pression est celle de l’atmo-
sphère et nous la désignerons par +. Désignons alors par
z! la valeur de l’ordonnée z relative au niveau du fluide
dansle vase, et par s' la surface de ce niveau ou ce que
devient s lorsqu'on fait z — z’ ; si nous prenons linté-

dz - à
_grale = de manière qu’elle s’'évanouisse pour cette

valeur z — z' nous aurons aussi pour cette même va-
leur (7)
a?v?
Tr = 0| 82 ——— C
ele

Eliminant C dans(6) à l’aide de sa valeur prise dans (7),
cette dernière équation devient définitivement (5)

Re dv dz av av?
P=T+ af etes; JF TEE]

et donne la valeur de la pression exercée sur un point
quelconque du vase,

2. Pour obtenir la pression qui a lieu à lorifice, dési-
gnons-la par #,etcomme dans ce cas z reçoit une valeur
déterminée qui est la distance constante du plan AB à
l’orifice, représentons par / cette valeur; nommons de
plus À la hauteur du niveau au-dessus de l’orifice, nous
aurons À

l— z; et désignons enfin par N l'inté-
dr : NEA

grale f prise dans toute l’étendue de k, c’est-à dire
s

— L. Substituant ces valeurs
dans (8) nous obtiendrons (0)

dv 242
Tr — o[et— an + |

n remarquant que lorsque 3 = l'on as = «.
TOME 11.

depuis z — z' jusqu'à z

NY

Cette deruière équation fait connaitre la valeur de la

59

pression 7 à l’orifice. Si l’on suppose les pressions zct
r égales, comme cela a lieu lorsqu’elles sont exercées
seulement par le poids de l'atmosphère, — 7 se ré-

duit à zéro, le facteur commurt d disparait et l’équa-
tion (9) devient (10)
gh—aN-+x

ay
2 ==
di. © (CG ES

3. Le mouvement d’un fluide qui s'écoule par un ori-
fice horizontal présente deux cas : celui où le fluide est
entretenu constamment au même niveau, et celui où le
niveau s’abaisse à mesure que le fluide s’écoule. Dans le
premi.r cas, A, Net s sont des qualités constantes, et
l’on peut intégrer sans difficulté l'équation (10) , mais
dans le second, À devient variable et cette intégration
ne peut s'effectuer sous une forme finie que dans un très-
petit nombre de cas. Nous ne pouvons examiner icique
les résultats les plus généraux de cette théorie.

Si l'on suppose l’orifice CD très-petit par rapport à la
capacité du vase, on pourra négliger sans erreur sensible

les termes multiphiés par & dans l’équation (10), etelle

deviendra
gh—zv —=
d’où nous obtiendrons (r1)
v=V/2gh

En comparant cette expression avec la formule 6, du
mouvement accéléré (Ÿoy. AccéLérE), et en observant
que dans cette dernière la quantité g est la même chose
qu'ici g, on découvre le théorème très important dont
voici l'énoncé :

La vitesse d'un fluide qui sort d'un vase par un très
petit orifice est égale à celle d'un corps pesant qui serait
tombé de toute La hauteur du niveau au dessus de l'o-
rifice.

Ce théorème a lieu dans les deux cas du niveau con-
stant ou variable.

4. La vitesse v peut servir à trouver la quantité d’eau
écoulée dans le temps 4, ou ce qu’on appelle la dépense
du réservoir. En effet si nous désignons par de l'espace
parcouru dans le temps dt, nous avons

de = vdt

et, conséquemment avde exprime le petit filet qui s’est
écoulé dans le temps d£, donc

fe avdt
t

est la quantité d'eau écoulée dans le temps & ou la “de-
pense. Remplaçant v par sa valeur (11) et intégrant,

nous obtiendrons (12)
Pas SL
dépense — as dW/h

5. Si la hauteur À du niveau est constante, on a sim-

plement,

12

90 HY

dépense = at\/2gh
ou, en désignant par D la dépense, (13)

D — \/5g. at Vh
pour Paris, où la quantité g est 9",80867 ;, nous au-
rons (14) Ë

D — (4,42915)aV/h

expression dans laquelle £ doit être un nombre de se-
condes. |

Lorsque l’orifice est circulaire, l'expression (13) peut
encore se simplifier; car, en désignant par r le rayon de

cet orifice et par 7
pst 1, On a a=—=.7 r°, et comme r=—3,

la demi-circonférence dont le rayon
1415926.., on
obtient, en réalisant le calcul des quantités con-
stantes, (15)

rh

formule dans laquelle on mettra ensuite les valeurs de

D = (13,9145)

r, de £ et de Æ qui conviendfont au cas particulier que
Von voudra examiner. La valeur de D sera donnée en
mètres cubes, et comme le poids d'un mètre cube d’eau
est de cent kilogrammes, on connaîtra immédiatement
le poids de la dépense.

G. Si nous considérons un second vase qui, ainsi que
le premier, se maintienne toujours plein, et que nous
nommions D’ sa dépense, a’ son orifice et L' la hauteur
de son niveau au dessus de l’orifice, l'équation (13) de-
viendra pour ce ças

= V/2g. a'l\/h'
et en comparant D à D', nous obtiendrons la pro-
portion
D

: D':: ah: ah

ainsi lorsque a — a’ ou lorsque les orifices ont la même
ouverture, les dépenses d’eau sont comme les racines
carrées des hauteurs.

7. La hauteur k' dont un mobile tombe dans un temps
1, est donnée par l'équation (Ÿ’oy. AGcÉLÉRÉ).

oh"

RTE, dout— rs

mettant cette valeur dans (13) nous aurons (16)

oa\/hh

d’où l’on voit que la dépense, dans le cas du niveau

coftant, est égale au double du volume d’un cylindre
dont l’orifice a serait la base et qui aurait pour hauteur
une moyenne proportionnelle entre la hauteur du ni-
veau et la hauteur de laguelle un corps grave descend
dans le temps 4.

8. La dépense d’eau calculée d’après les formules
précédentes ne s'accorde pas avec celle qui résulte de

HY
l'expérience, et la surpasse toujours en grandeur, dans
un rapport qui ne varie ni avec la largeur de l’orifice ni
avec la hauteur du niveau. On évalue ce rapport cons-
tant à 0, 62; de sorte qu'il faut, dans les applications,

multiplier par o, 62 (Foy. le mémoire de Prony sur le
jaugeage des eaux courantes), les valeurs de D don-
nées par Les formules 13, 14, 15 et 16. L’équation (15)

devient ainsi (17)

D = (8,627) r'4V/h

-

On attribue cette différence entre la théorie et l’expé- *
rience à la contraction que le fluide éprouve en sortant
par l’orifice, contraction qui paraît elle-même résulter
des directions concourantes que prennent les moléculés
en s’approchant de Porifice, ce qui produit un rétrécis-
sement dans la largeur de la veine fluide,

9. Les théorèmes des N°3 et G trouvent d'assez
nombreuses applications dans la pratique de l’hydrau-
lique, qui est heureusement beaucoup plus avancée que
Foy:
nouvelle Architecture hydraulique de Prony. Foy. aussi

la théorie, l’'Hydrodynamique de Bossut, et la

le mot IlYDROSTATIQUE.
HYDROGRAPHIE. (Géographie ) ( deudap, eut 1

de 7pagu, je décris.

dans ce dictionnaire

) Partie de la géographie qui a pour
objet la connaissance des mers. Quelques auteurs ont
étendu ce mot à l’art de naviguer.
HYDROSTATIQUE. (
la mécanique. C’est la science de l'équilibre des fluides.

Méc ). Une des branches de

Le mot Hydrostatique, formé de doseauetdesar: 05)
qui arréte, désigne proprement la statique de l’eau, où
la science de l'équilibre des caux ; mais on l’applique au-
jourd’hui à la statique de tous les fluides, tant liquides
que gazeux : on donne cependant le nom particulier
d'Acrostalique, à la statique de l’air(voy. ce mot). Cette
science doit sa fondation à Archimide, qui en a donné
les premières notions dans son traité de insidentibus
humido.

Depuis le géomètre de Syracuse , jusqu’au géomètre
flamand Stevin, c’est-à-dire, jusqu'a la fin du seizième
siècle, l'Hydrostatique demeura sans développement,
et l’on ne trouve, même pendant cette longue période,

"

aucune trace de tentatives faites pour en perfectionne
la théorie. Le premier traité méthodique sur cette ma
tière , est celui de l'équilibre des liqueurs de Pascal
car l’ouvrage de Stevin se réduit presque exclusive
ment à la démonstration des propositions fondamentale
trouvées par Archimide. Pascal ne se contènta p
d'établir d’une manière rigoureuse et uniforme les pr
priétés de l'équilibre des fluides, il résolut encore plu
sieurs difficultés importantes , et l’on doit certainemer
à ce grand homme les premiers progrès réels de cett
science, qui se développa bientôt après par suite d
trayaux de Toricelli , de Guglielmini et de Mariotte.

HY

Lorsque les lois principales de l'Hydrostatique eurent
été posées empiriquement d’une manière incontestable,
leur déduction mathématique devint le but des efforts
des plus grands géomètres. Jean et Daniel Bernouilli ,
Newton, Maclaurin, D'Alembert, Clairaut, Lagrange,
s’en occupèrent successivement avec plus où moins de
bonheur; mais comme la nature ou la constitution
intime des fluides, est encore entièrement inconnue,
tout ce que l’on apu faire jusqu'ici, c'est d'établir la
théorie mathématique des lois hydrostatiques, sur le
principe expérimental de l'égalité de la pressionen tous
sens. Cette théorie, que nous allons exposer, est donc
encore bien loin d’être définitive; et si elle parait
suffisante pour rendre raison des phénomènes connus,
on ne peut guère en espérer des découvertes ulté-
rieures,

3, Nous admettrons, comme uu fait constaté par ex-
périence, que toute pression exercée à la surface d’un
fluide quelconque, est transmise également dans tous
les sens. Pour préciser cette hypothèse fondamentale,
et l’exprimer numériquement , considérons un vase AF
(Pc, 43 fig. 2 ) dela forme d’un parallélipipède, et
rempli d’un fluide mcompressible que nous supposerons
d’abord sans pesanteur. Si nous imaginons qu’à la sur-
face mnop du fluide, on applique un piston qui couvre
exactement cette surface sur tous ses points, et que l’on
fasse agir un poids P perpendiculairement au piston,

Ja base du vase ABCD sera pressée comme si le poids P

lui était appliqué immédiatement, et chacune de ses
parties supportera une pression proportionnelle à son
étendue. Ainsi désignant par A la surfacc ABCD et par
a une partie abed de cette surface, nous aurons

Atlas: SP4:D

p désignant la pression que supporte a. Sinous prenons
donc & pour l'unité de surface , nous aurons (1)

1ù
PAS A

et, par conséquent une partie Ab'c'd'de la surface ABCD
qui contiendra © fois l'unité de surface, supportera une
pression P' donnée par l'équation (2)

Pi rs

Mais la pression que le poids P exerce à la surface su-
érieure du fluide se transmet par son intermédiaire,
non-seulement sur la base du vase, mais encore sur
toutes les autres parois qui sont également pressées: donc
la surface», au lieu d’être prise sur la base, était située
tar l’une des parois latéraïes, elle supporterait encore
a pression po.

2. En considérant Ja surface w comme infiniment
vetite, elle peut être représentée par le rectangle élé-

HY 91

mentaire dædy (Foy. Quaprarure), et alors pdxdy de-
vient la pression exercée contre un élément du vase, en
quelque partie que cet élément soit situé et lors même
que la surface du vase serait courbe.

3. Nous avons jusqu'ici considéré le fluide contenu
dans le vase comme s’il était sans pesanteur : or, lorsque
ce fluide est pesant, il transmet bien toujours de la
même manière la pression qu’on exerce à sa surface,
mais il exerce en outre contre les parois du vase une
pression due à son propre poids, laquelle est variable
d'un point à un autre de ces parois. Il en est encore de
même lorsque les molécules d’une masse fluide, con-
tenue dans un vase fermé de toutes parts, sont sollicitées
par des forces accélératrices données, de telle manière
que les parois du vase soient nécessaires pour maintenir
l'équilibre, et qu'on ne puisse y faire une ouverture
sans que le fluide ne s'échappe. Alors chaque point de
ces parois éprouve une pression particulière dirigée de
dedans en dehors, pression dont la grandeur dépend
des forces accélératrices données , et de la position du
point. En désignant par p' cette dernière pression, on
voitqu'on ne peut la supposer constante que dans
une étendue infiniment petite #. Ainsi p étant la pression
totale de l'unité de surface dont on peut concevcir cha-
que élément comme épronvant la pression p', on a
l'équation (3)

p'=pe

La quantité p est ici ce qu’on nomme la pression
à chaque point du vase rapportée à llunité de surface.

4. Cela posé, dans le cas où la paroi supérieure du
vase, ou seulement une de ses parties, serait remplacée
par un piston, pour que l'équilibre subsiste toujours il
faut évidemment appliquer au piston une force égale et
contraire à la pression que la surface du vase éprouvait
à cet endroit; car alors les conditions demeurent les
mêmes. L'équilibre ne sera pointencore troublé, si à cette
première force on en ajoute une seconde P ; seulement
la pression exercée par elle sur la surface du fluide en
contact avec le piston, sera transmise par le fluide éga-
lement en tous sens, et par conséquent la pression pse
trouvera augmentée à chaque point du vase d’une quan-

è ; LE . :

tité constante etégale à NÉ M désignant l'étendue de la
surface du fluide qui reçoit la pression P (voy. ci-des-
sus (1). Ainsi la pression totale que supportent les parois
d’un vase, lorsqu'il renferme un fluide en équilibre, se
compose de la somme de deux espèces différentes de
pressions , l'une variable d’un point à l’autre, due aux
forces motrices des molécules élémentaires du fluide,
l’autre, constante pour tous ces points, due à la pres:
sion exercée à la surface du fluide et transmise égale-
ment dans toutes les directions par l'intermédiaire du
fluide,

99 H\

5. Cherchons maintenant l'équation générale de
l'équilibre en rapportant la position d’une molécule
fluide à trois plans rectangulaires coordonnées (Foy.
APPLICATION, 29) et pour cet effet supposons que le plan
des x.y soit horizontal et situé au-dessus du fluide( pl.
43. Jig. 3) dont nous concevrons le volume partagé en
un nombre infini de parallélipipèdes élémentaires par
des plans parallèles aux trois plans coordonnées. Dési-
gnons par »2 la masse du fluide ; dm sera celle de l'un
de ces élémens, dont le volume sera exprimé par
dxdydz, x, 7,2 étant les coordonnées de l'élément. Or,
en désignant par d ia densité, supposée constante dans
la molécule du fluide, la masse étant égale au produit
du volume par la densité (Voy. Dexsité), nous au-
rous (4)
dm —= d'dxdydz

Désignons par X,Y,Z les sommes des composantes pa-
rallèles aux axes des x, des y et des z, des forces accé-
lératrices qui agissent sur la molécule. Ces résultantes
devront être considérées comme constantes dans toute
l’étendue de l'élément dm; les produits

Xdm, Ydm, Zdm

représenteront les forces motrices de dm, parallèles aux
axes. (/’oy. Force morte et Mécaxioue.) Ces forces
doivent contrebalancer les pressions que le fluide envi-
rounant exerce sur les six faces de l'élément dm.
Désignant par p, comme ci-dessus, la pression rap-
portée à l'unité de surface, la pression supportée par la
surface supérieure 779 ou drdy de la molécule, sera

pdædy ; mais lorsque lordonnée am — z devient
am mn ==3 + ds, la pression p qui varie avec z
devient :
dp
D — dz
TT dz

et cette dernière quantité exprime la pression de l’unité
de ‘surface sur la base »p du parallélipipède; cette
base éprouvera donc une pression

(P —- “ ds) dxdy

La différence des pressions verticales à la surface su-
périeure et à la base du parallélipipède, c’est-à-dire
la différence entre la pression qui tend à élever la mo-
lécule et celle qui tend à l’abaisser sera donc

dp

d

. dxdyd=

et comme cette différence doit faire équilibre avec la
force motrice verticale Zdm , nous aurons

& dx dy dz — Zdm

HY

ou , simplement (5) É

dprur s

+ — 02

dz
en substituant à la place de dm sa valeur (4).

On obtiendra de la même manière, en désignant par

get r les pressions latérales exercées sur l'unité de sur-

face et qui agissent contre les faces ns—dxdz, mo—dydz,
(6)

Mais les pressions g et r ne peuvent différer de la
pression p, car la pression pdrdy qui a lieu sur la face
dxdy devant être transmise dans tous les sens, les pres-
sions des faces verticales dxdz,dydz seront composées
des pressions pdxdz, pdydz augmentées des pressions
particulières dues aux forces motrices Xdm, Ydm, Zdm.
Ainsi les pressions totales ydxdz, rdydz seront respecti-
vement

gdxdz=—pdxdz4M
rdydz = pdy dz--N

M et N étant les pressions dues aux forces motrices. Or,
M et N sont évidemment des quantités infiniment pe-
tites du troisième ordre, comme Ja masse dm ; ainsi elles
sont nulles par rapport aux quantités infiniment petites
du second ordre qui entrent dans les équations précé-
deutes (7’oy. DirrérenTIEL) et en les retranchant on
trouve g—p etr—p. Les expressions (5) et (6) se rédui-
sent donc à (7

d'où l’on déduit l'équation générale (8)
dp=XXdx + Ydy +Zd:)

La valeur de p qu’on obtiendra en intégrant cette
équation, exprime la pression, rapportée à l’unité de
surface , que le fluide exerce en un point quelconque
dont les coordonnées sont x,y,2. Lorsque le fluide est
renfermé dans un vase, il suffira de mettre dans p la
valeur des coordonnées d’un point de sa surface pour
connaitre la pression qne ce vase éprouve à ce point, et
qui sera toujours détruite par la résistance de la paroi,
tant que cette résistance sera suffisante. Dans les en-
droits où ie vase est ouvert, comme rien ne détruirait
la pression du fluide, l'équilibre ne peut subsister, si la
valeur de p ne devient nulle d'elle-même pour tous les
points de la surface libre du fluide; condition qui ne
peut être remplie que pour des fluides incompressibles
et lorsque la surface libre est la surface supérieure du
fluide. Dans les fluides élastiques, la pression étant pro-
portionnelle à la densité (Foy. Air), cette pression ne
peut jamais devenir nulle tant que la densité ne l’est pas,
et par conséquent un tel fluide ne peut rester en équi-

HY

libre s’il n’est contenu dans un vase fermé de toutes
parts.

16. Appliquons les considérations précédentes au cas
desfluides incompressibles, et considérons un tel fluide,
homogène dans toutes ses parties, renfermé dans un vase
capable d'opposer à la pression une résistance indéfinie.
La densité d étant alors constante, la possibilité de dé-
terminer la valeur de p pour un point dont les coor-
données sont x, y, z dépendra de celle de l'intégration
de la formule.

Xdx + Ydy + Zdz

intégration à laquelle on peut toujours parvenir lorsque
cette formule est une différentielle exacte des variables
x, y, z. Si une partie de la surface supérieure du fluide
est libre, la pression p doit être nulle à cette partie pour
que l'équilibre puisse subsister; l'équation (8) de-
vient (0)

Xax + Ydy + Zd: —0o

Cette dernière équation aurait encore lieu si la pression
p était constante. Tel est le cas où l'atmosphère, par
exemple, presse également sur tous les points de la sur-
face libre. En effet la différentielle d’une quantité con-
stante est zéro.

7 Mais dans le cas où l’expression (9) est une diffé-
rentielle exacte, et que dp — 0, c’est-à-dire lorsque la
pression, si elle existe, est constante, pour que le fluide
puisse rester en équilibre, il faut nécessairement que la
résultante des forces accélératrices qui agit de dehors en
dedans, soit normale à la surface du fluide; car dans le
cas contraire on pourrait la décomposer en deux forces,
l’une normale et l’autre tangente à la surface, et rien
n’empêcherait cette dernière de faire glisser la molécule
dm. X résulte de cette considération, que lorsque le
fluide n’est sollicité que par des forces accélératrices di-
rigées vers un centre fixe , sa surface extérieure doit
être sphérique. En effet prenant le centre d’attraction
pour l’origine des coordonnées , la distance du point
T, 7, %, à cette origine, aura pour expression

VERT

Désignons par r cette distance et par @ la force d’attrac-
tion qui agit sur dm; cette force fera avec les axes

4 Hobre

coordonnées des angles qui auront pour cosinus -—.*, —:
r

nous aurons donc

T r4
X= 65 T9, 26e

et ces valeurs substituées dans (9)nous donneront, pour
l'équation de la surface du fluide,

F(xdx + y dy + 2dz)=0

ou simplement

HY

dx + ydy 4zdz =0
dont l'intégrale

le]
QT

2? +7? +2 =0C
est l’équation d’une sphère (J/oy. ce mot). Ainsi la sur-
face du fluide est nécessairement sphérique.

8. Si le centre d'attraction est très-éloigné de la sur-
face du fluide, comme, par exemple, le centre de la
terre par rapport à la surface supérieure d’une eau sta-
gnante, la courbure devenant insensible dans une pe-
tite étendue, on peut, pour cette étendue, la considé-
rer comme plane.

9- Dans le cas où les forces accélératrices qui agissent
sur un fluide se réduisent à la seule force de la pesan-
teur, nous aurons

X—=0, Yo) 2—p8
g désignant la force de la pesanteur à la surface de la
terre.

L’équation d'équilibre pour une masse fluide renfer-
mée dans un vase ouvert à sa partie supérieure, et qui
repose sur un plan horizontal , deviendra donc, en sub-
stituant ces valeurs dans (8)

(10)... dp—=dgdz

La surface supérieure du fluice, qui sera horizontale,
comme nous l'avons vu ci-dessus, étant prise pour le
plan des x, y.

L'intégration de cette équation , en considérant J'et
g comme des quantités constantes, nous donnera (r1;

p= dx

Il n’y a pas besoin d’ajouter de constante parce que la
pression doit être nulle à la surface du fluide, ou lors-
quez — 0.

10. Soit À la distance comprise entre le niveau du
fluide et un point de la surface intérieure ou de la base
du vase. Pour ce point, z devenant À, nous aurons (12)

p=ôgh

et telle sera la pression que supporte l’unité de surface
de la base.

Mais nommons P la pression que supporte la base to-
tale du vase égale à un certain nombre »2 d'unités de
surface ; P contiendra m2 fois p, et l’on aura (13)

P=pm
ce qui devient, en substituant à p sa valeur (12)

14 OP = dem

En remarquant que »#h exprime le volume d’un pris-
me qui a 2 pour base et À pour hauteur; et qu’en mul-
tipliant le volume par la densité, on obtient la masse du
prisme ( Voy. Densité); laquelle a son tour multipliée

94 HY

par la gravité g donne le poids ( Fay. ce mot); on en
conclura que la base » supporte une pression égale au
poids du volume du prisine du fluide qui repose sur
cette base. Ainsi cette pression est indépendante de la
figure du vase. Nous obtenons ici un résultat très-remar-
quable et reconnu par l’expérience, c'est que, quelles
que soient les capacités de plusieurs vases ayant des ba-
ses égales et dont les uns vont en s’élargissant de la base
au sommet et les autres en diminuant ( Foy. pl. 43,
fig. 4), si on les remplit tous du même fluide pesant
jusqu'à une même hauteur, les bases éprouveront des
pressions égales quoique les quantités de fluide çonte-
nues dans ces vases soient entièrement différentes.
11.Pourtrouver la pression que le vase éprouve surses
surfaces latérales, nommons «dy l'élément de cette surface;
la pression p que supporte l'unité de surface de l'élé-
ment de sera donnée par l'équation {11), en donnant à
z pour valeur la distance de do au niveau du fluide;
mettant cette valeur dans (13) et remarquant que 72
doit être remplacé par la surface élémentaire du, nous
obticndrons d9zds pour une des forces élémentaires

parallèles qui composent P , ainsi (15)

P= [lies

Lorsque Ja surface » est donnée, les deux variables
= et» qui entrent dans cette équation, se réduisent
aisément à une seule et l'intégration peut toujours s’ef.
fectuer. Nous ne pouvons entrer dans les détails ulté-
ricurs,.

12. La pression éprouvée par la surface inférieure
d’un vase qui contient plusieurs fluides pesans de den-
sités différentes et superposés les uns sur les autres , se
trouve sans difficulté par les principes précédens ; car
en admettant qu'on ait versé sur l’eau en équilibre dans
le vase (fig. 5, pl. 43) EFGH , un nouveau fluide plus
léger, qui ait sa surface supérieure EF horizontale,
comme celle de l’eau et qui s'élève à une hauteur }’
au-dessus de la surface EF de l’eau, ces deux fluides
resteront en équilibre dans le vase, et le nouveau fluide
exercera une pression égale sur tous les points de la sur-
face de l’eau qui forme sa base; ainsi, cette dernière
surface étant représentée par 77’ et la densité du fluide
par d’, la pression totale de l'aire’ sera d'g m'h', en
vertu de 14. Mais cette pression est transmise, par l’in-
termédiaire de l’eau , sur le fond GH du vase ,et il en
résulte sur ce fond dont l'aire est 72 , une nouvelle pres-
sion égale à d'emh'; d'où il suit que la pression totale
que les deux fluides réunis exercent sur la base horizon-

tale du vase, est égale à

P — dgmh + d'gmh"

Untroisième fluide, d’une densité encore moindre 9,
versé sur la surface du second jusqu’à la hauteur 4" au-

HY
dessus de cette force , produirait sur cette surface CD;
dont nous désignerons l'aire par 72", une pression
d'gmh"; cette pression transmise par le second fluide
sur la surface supérieure du premier deviendra d’gr'h",
et cette dernière transmise sur la base du vase par le
premier fluide sera enfin d’gmh"'; donc la pression totale

des trois fluides réunis, sur la base du vase sera
P = 9gmh + d'omh' + d'gmh"

et ainsi de suite pour un nombre quelconque de fluides.

13. Examinons actuellement les conditions d’équi-
libre des fluides contenus dans plusieurs vases qui com-
muniquent de l’un à l’autre par des ouvertures latérales.
Soient, pour cet objet, deux vases M et N (p£. 43

Jig: 6) d’une capacité quelconque, réunis à leurs parties
inférieures par un conduit ren. Si ces deux vases renfer-
mént un seul fluide homogène et incompressible, et
qu'ils soient ouverts à leurs extrémités supérieures, il
faudra nécessairement que le fluide s'élève à la même
hauteur ou qu'il ait le même niveau dans l’un et dans
l'autre de ces vases; car l'équilibre ne saurait subsister
si la pression exercée dans le premier yase par la masse
AomB de fluide, sur la couche oEFp du,même fluide
commune aux deux vases, n’est pas contrebalancée par
la pression exercée dans le second vase par la masse
fluide CrpD , sur la même couche commune : or ces
pressions dépendent uniquement des hauteurs Ao et Cn
( Foy. 10); donc, dans le cas d'équilibre , ces hauteurs
sont égales,

14. Si nous imaginons que sur l’une des surfaces li-
Lres du fluide, sur AB, par exemple, on ait placé une
paroi mobile , toute pression exercée sur cette paroi for-
cera une partie du fluide du vase M à se rendre dans le
vase N, et conséquéemmentleniveau AB s’abaissera , tan-
dis que le niveau CD s’élevera. L'équilibre ne pourra
s’établir que lorsque le niveau CD aura atteint une hau-
teur suffisante pour que la pression due à cette hauteur
puisse contrebalancer la somme des pressions exercées
dans le vase M par le fluide restant et par le poids qui
agit à sa surface supérieure. L'équilibre aura encore
lieu sans que le niveau AB s'abaisse, si l’on donne au
fluide du vase N une hauteur convenable au-desssus de
ce niveau, en augmentant sa quantité,

Désignons par P le poids qui presse la surface AB, et
par À la hauteur, au-dessus du niveau ABCD, de la quan-
tité de fluide qu’il faut ajouter pour conserver l'équilibre.
La pression exercée par cette nouvelle quantité de fluide
sur la surface de niveau CD sera dgrh, m étant l'aire
de cette surface. Ainsi M étant l’aire de la surface AB,
on aura pour la pression de l’unité de surface de la cou-

, 12 :
che commune oËFp, d’une part M et de l'autre
Jem ; rie
ST Dgh, et par conséquent dans le cas d équilibre,
m - SENS

D'où

Il résulte de ces expressions que L est entièrémient in-
dépendant de la forme et de la capacité du vase N, de
sorte que dans le cas où ce vase serait un cylindre d’un
très-petit diamètre, il suffirait d’une petite quantité de
fluide pour atteindre cette liauteur , et conséquéemment
pour faire équilibre ä P, queile que soit la grandeur de
ce poids. C’est sur ce principe que reposent la construc-
tion et les propriétés de la presse hÿ drostatique. (Voy.
PRéssE.)

15. La pression que l'atmosphère exerce sur les deux
surfaces libres AB et CD du fluide ne péut en aucune
manière troubler l'équilibre, puisque cette pression,
rapportée à l'unité de surface, est la même partout; mais
si l’on soustrait l’une de ces surfaces à l’action atmo-
sphérique , en faisant le vide dans la partie supérieure du
vase , il est évident que l'équilibre ne pourra plus sub:
sister, et que le fluide s’élevera au-dessus du niveau
dans celui des vases où il n’éprouve plus la pression de
l'air. Pour trouver dans ce cas les conditions du réta-
blissement de l’équilibre , sapposons que le vide ait été
fait dans le vase N , ct qu’on ait ensuite exactement
fermé son orifice. La pression atmosphérique n’agissant
plus quesur la surface AB du fluide, dans le vase M, for-
cera le fluide à monter dans le vase N, au-dessus du ni-
veau ABCDen même temps qu’il s’'abaissera dansie vase
Mau-dessous dece niveau; l'équilibre n’auralieu quelors-
quela hauteur acquise dans le vase N sera suffisante pour
contrebalancer la pression qui a lieu dans lé vase M. Sup-
posons que cette condition est remplie, et que ab soit
devenu le niveau du fluide dans le vase M, et c'd' son
niveau dans le vase N. Nommons A la hauteur de c'd',
au-dessus de cd, pris dans le plan horizontal du niveau
ab. D’après ce qui précède, cest cette hauteur À qui
contrebalance la pression de l'atmosphère ; ainsi la pres-
sion exercée sur la surface cd, par le fluide dont la
hauteur est À, étant 9gh (cd), ou simplément dgh, en
rapportant cette pression à l’unité de surface, si nous
désignons par ! la pression de l'atmosphère, également
rapportée à l’unité de surface, nous aurons :

16... = gh,

16. Cettg expression conduit à plusieurs conséquences
remarquables. On voit d'abord qué l'élévation du
fluide ne dépend ni de l’étendue de la surface qui re-
coit la pression atmosphérique, ni de la forme des va:
ses dans lesquels le fluide est contenu, mais seulement
de la deusité de ce fluide, et qu'elle est eu raison in-
verse de cette densité, La pression de l’atimosphère sur

HY 95

l'unité de surface étant égale au poids de toute la co-
lonie atinosphérique, qui a cette surface pour base
(voy. 10), et la pression dgh étant également le poids
de la colonne du fluide dont cette même unité de sur-
face est la base , il suffira de connaitre çe dernier poids,
ce qui est toujours possible par l’expérience , pour cou-
naître celui de la colonne atmosphérique. Eufin, con-
naissant l'élévation due à la pression de l’atmosphère
d’un fluide quelconque , on pourra calculer l'élévation
de tout autre fluide due à la même cause, si l’on connaît
lé rapport de sa densité à celle du premier.

17. On sait, par exemple, que la hauteur du niveau
mn (PL. 43, fig. 7) de l’eau, dans le vase fermé et privé
d’air , au-dessus du niveau abcd de l’eau dans le vase
ouvert, est d'environ 10,4 mètres. Si nous prenons
douc le mètre carré pour ünité de surface , le volume
du prisme d’eau, dont la base ést un mètre carré et la
hauteur 10,4 mètres, étant 10,4 mètres cubes, et lé
poids d’un mètre cube d’eau étant de 100 kilogrammes,
le poids total du prise sera r040 Kilogrammes. Ainsi,
le poids de toute la colonne atmosphérique, qui a pour
base hôrizôntale un mètre carré, est également dé
10/0 kilogrammes.

18: L'élévation de l’eau dans le vase privé d’air va
nous faire connaître celle dé tout autre fluide. Pour le
mercure, par exemple, dont la densité, comparée à
celle de l’eau comme unité, est 13,598, A étant la hau
teur du mercure, nous aurons :

10%, 4: h::13,098 : à
D'où,
10,4

h=— 2 == 074, 70%
: 13,598 4

Telle est, en effet, la häuteur moyenne du mercure
dans les baromètres.

19. L'élévation des fluides due à la pression atmo-
sphérique est la plus grande à la surface de la terre;
elle décroit à mesure qu’on s'élève au-dessus de cette
surface, parce qu’alors la colonne d’air diminuant, son
poids diminue également. C’est sur ce décroissement
qu’ést fondée la méthode de calculer les hauteurs des
montagnes à l’aide de la différence des hauteurs baro-
méiriques (f’oy. Avrimérue). Toutes les influences at-
mosphériques qui peuvent tendre à changer le poids
dela colonne d'air, teodent également à changer lélé-
vation due-à ce poids.

20. Terminons cet aïticle en examinant les condi-
tions d'équilibre lorsqu'un corps solide est plongé dans
un fluide.

Nommons vie volume du fluide déplacé par le s0-
lide, v’ le volume dé ce solide, 4 la densité du fluide,
et 9’ la densité du solide. Les poids respectifs des vo-
lames w et v’ seront dgv et J'gv".

96 HY

Dans le cas où le corps est entièrement plongé dans
le fluide, comme alors » = +’, la condition d'équilibre

et

c'est-à-dire, qu'il faut que la densité du corps soit la
même que celle du fluide.
Si le volume du corps est plus léger que celui du
fluide déplacé, on aura :
d'gv'< dgv
le corps remontera , et la force qui le fera mouvoir sera
égale à

Jgv — d'£v

Si, au contraire, on a

d'ev' 5 dgv
le corps descendra, et la force qui le pressera sera
égale à dd.

d'gv' — dgv

Toutes ces conséquences résultent immédiatement des
principes que nous avons exposés précédemment. En
effet, le solide est poussé de haut en bas par son poids,
ou, ce qui est la même chose, par une force verticale
égale à son poids, et appliquée à son centre de gravité.
Cette force ne peut être détruite que par les résultantes
des pressions normales que le fluide exerce en tous sens
contre le solide. Ainsi la résultante générale de toutes
les pressions normales est verticale, et agit en sens in-
verse de la force due au poids du corps; d’où il suit que
les pressions horizontales se détruisent. L'équilibre ne
peut donc exister eutre un corps et le fluide dan s equel
il est plongé, que lorsque les centres de gravité du
corps et du fluide déplacé sont sur la même verticale,
et que lorsque le poids du liquide déplacé est égal au
poids total du corps.

Ces principes trouveront ailleurs de nombreuses ap-
plications. Voy. PEsanNTEUR sPECIFIQUE, Pompe, Résis-
TANCE DES FLUIDES , SYPHON.

HYPATIA , fille de Théon, mathématicien celèbre
d’Alexandrie, naquit dans cette ville vers la fin du IV°
siècle. L'histoire de la science n’a point jusqu’à ce jour
consacré la mémoire d'une femme plus remarquable
par l'élévation de son esprit et l'étendue de ses connais-
sances. Elle fut l'élève de son père, et soit que la so-
ciété des savans qui fréquentaient sa demeureeüt exercé
quelque influence sur sa jeune raison, soit qu’elle fût
née avec des dispositions pour les études sérieuses, rares
parmi les personnes de son sexe, elle fut regardée de
bonne heure à Alexandrie comme un de ces phénomènes
d'intelligence dont on suit les progrès avec autant d’in-
térêt que d’admiration. Hypatia consacra à l'étude tous
les instans de sa vie, elle fit de rapides et étonnans pro-
grès en mathématiques et en philosophie, et seule dans

HY

une période de plusieurs siècles, la jeune fille se pré-
senta en maitre dans la chaire illustrée à Alexandrie par
la parole de tant d'hommes célèbres. Elle avait préféré
la doctrine de Platon à celle d'Aristote, et l'on doit
s'étonner que cette heureuse direction de ses idées nait
point influé sur ses convictions religieuses et prévenu la
catastrophe dont elle fut plus tard la victime. Comme
les philosophes de l'antiquité dont elle avait étudié les
travaux , elle voyagea pour s’instruire et vint à Athènes
suivre les cours des maîtres les plus renommés de son
temps. Elle revint ensuite à Alexandrie, où sur l’invi-
tation des magistrats, elle se livra à l’enseignement
public de la philosophie. Ses cours commençaient par
l'explication des principales vérités mathématiques; elle
se souvenait ainsi de ces paroles inscrites sur le portique
de l’école de son illustre maitre: Nul n’entrera ici s’il
n'est géomètre. (Socrats hist. lib. 7, cap. XV.)

Hypatia unissait aux graces de son sexe une vertu
sévère qui la mit à l'abri des atteintes de la calomnie et
imprima toujours le respect à la foule enthousiaste des
jeunes gens, émerveillés de sa beauté et de ses talents,
qui composaient son auditoire. Accusée par la rumeur
publique d’exercer quelque influence sur Oreste, gou-
verneur d'Alexandrie, qui avait voulu réprimer plu-
sieurs excès de zèle du patriarche Cyrille, elle fut lche-
ment massacrée dans une émeute populaire. Ainsi périt
à la fleur de l’âge cette noble jeune fille à qui il n’a
manqué que d'avoir été chrétienne, à une époque sur-
tout où le polythéisme tombait de toutes parts devant
l'Évangile. Ce fut au mois de mars 415 qu’arriva cet
événement à jamais déplorable. Hypatia était l’auteur
de nombreux écrits qui ont péri avec la bibliothèque
d'Alexandrie, il ne nous reste rien d’elle ; on sait seu-
lement qu’elle avait composé un Commentaire sur Dio-
phante, un Canon astronomique et un Commentaire
sur les coniques d’Apollonius de Perge.

HYGROMÈTRE. (Hydrod.) Instrument qui sert à
mesurer le degré de sécheresse ou d'humidité de l’air.

HYPERBOLE. (Géom.) Une des sections coniques.
Elle est engendrée par un plan qui coupe obliquement
un cône droit, de manière à pouvoir couper aussi un se-
cond cône semblable au premier, et qui lui serait op-
posé par le sommet. Cette courbe a toujours deux bran-
ches opposées, formées par les sections des deux cônes
et du plan. Telle est la courbe dont une des branches
est OEO , et l’autre LDO (pl. 19, fig. 1).

1. Pour trouver l'équation de cette courbe , nous la
considérerons dans le plan générateur, etnous prendrons
pour axe des abscisses la droite RR , section de ce plan,
par le plan principal ( Voy. Erurse). Nous supposerons
en outre, pour plus de simplicité, que le plan géuéra-
teur est perpendiculaire en même temps au plan prin-
cipal età la base du cône.

HY
Ceci posé, par le sommet E de la branche OEO, me-
nons, dans le plan principal, la droite EE parallèle à la
commune section AB de ce plan etde la base, les trian-
gles semblables DÉE, DBR, AER nous donneront

les deux proportions
DE : EE : : DR : BR
DE : EE : : ER : AR

Multipliant terme par terme, nous obtiendrons

DE’: EE ::DRXER:BRXAR

Désignons maintenant DE par 2a, EE par 2b, et pre-
nons le point E pour l’origine des abscisses. ER sera
l’abscisse du point O de la courbe, et OR l’ordonnée

de ce point; mais dans le cercle BOAOB on a OR—
BRXAR, on aura donc BRXAR = y" et de plus DR
2 a+ xet ER — zx. Ainsi la proportion ci-dessus

est la même chose que

4e : Ab? :: 2ax La: y
D'où l’on tire (1)

P? = 2 , (24x42?)

Equation qui convient évidemment à tous les points
de la branche OEO , puisque par chacun de ces points
on peut concevoir un plan parallèle à la base du cône ;
et que les intersections de ce plan avec le plan généra-
teur et le plan principal donneraient des relations sem-
blables aux précédentes. On peut encore s'assurer faci-
lement que cette équation convient a tous les points de
la seconde branche LDO, en donnant à x des valeurs
négatives. En effet , si lon fait d'abord x — — a, on
obtieut y — 0; ces valeurs répondent au sommet D de
la secoude branche. Toutes les valeurs négatives de x
plus petites que — 24, reudent les valeurs de y imagi-
naires, parce qu’il n’existe aucun point de la courbe en-
tre les deux sommets E et D. Si l’on fait ensuite x —
aa — x", la valeur y’ de y deviendra

PE]
= La(—aa-x)+ (aux )]
ou

se
Eu æ (ax + 2")

Equation que l’on obtiendrait pour tous les points de

la branche LDO , en se servant des considérations à

l’aide desquelles nous avons obtenu l’équation (1), et

en prenaut D pour l’origine des abscisses x’. Ù

2a se nomme le premier axe ou l'axe transverse de

l’hyperbole, et able second axe ou l'axe nontransverse,
Tome 11,

HY 97
Ces deux axes se nomment aussi les axes principaux.
2. Pour placer l’origine des abscisses d’une manière
symétrique par rapport aux deux branches de l’hyper-
bole, on fait choix du point milieu du grand axe auquel
ou donne le nom de centre. La relation entre les abs-
cisses x' comptées du centre, et les abscisses précédentes
æ comptées du sommet, est évidemment x'—a+x, d’où
x — x'—a; en substituant cette valeur dans l’équation
(1), elle devient

Ou, en changeant z' en x

(es. = A (2'—a)
Telle est l'équation de l'hyperbole, rapportée au centre.
L'équation (1) est celle de l’hyperbole rapportée au som-
met.

3. En remarquant qu’on peut donner à l'équation de
l'ellipse rapportée au centre (V’oy. Ezri»sE 3) la forme

æy°+bzx == ab?,
et que celle de l’hyperbole peut aussi devenir
y2—bx——œ@l,

on voit que ces deux équations ne diffèrent que par
le signe de la quantité b?, et l’on peut en conclure que,
quoique étant de forme très-différente , puisque l’une
est limitée en tous sens et l’autre illimitée, les deux
courbes doivent jouir de propriétés analogues. Nous
allons vérifier cette conclusion,

4. Dans l’hyperbole comme dans l’ellipse , toutes les
droites qui passent par le centre et se terminent de
part et d’autre à la courbe, sont divisées en deux par-
ties égales par ce centre.

Soit »M, uve ligne quelconque (PL. 43, fig. 8) me-
née par le centre O.Son équation sera

JS=MEX

m étant la tangente trigonométrique de l’angle mOp.
(Foy. AppLicarion IT, n. 9). Les points M et 2 appar-
tenant à l'hyperbole, on aura aussi pour l'équation de

ces points
b?
Can — Pr. (a? a)

et, par conséquent
b?
CS Or 27
TRE ES (x?—a)
d’où

ab

Le =

= ———
Vb—«œm

95 FY

Cette valeur substituée dans y — »%, donne

abm
YÆE -—

Vb—am

Les valeurs positives de æ et de y seront les coor- .

données OP et PM du point M, et les valeurs né-
gatives de ces mêmes quantités, les coordonnées Op et pm
du point »; et comme ces valeurs sont égales, indé-
pendarment du signe, on a

{(0p = Op, et PM — pu

Ainsi les triangles rectangles OMP, Omp sont égaux,
et l’on a MO — »710.

5. De toutes les droites qui , passant par le centre,
rencontrent les deux branches de l’hyperbole, la plus
courte est évidemment le grand axe. Cependant il est
utile d'examiner comment cette circonstance est ex-
primée dans les valeurs précédentes de x et de y.

En examinant ces valeurs, on voit que leurs grandeurs
respectives dépendent entièrement du dénominateur

commun VE — «nm , dont la grandeur elle-même
dépend de la quantité variable »e, ou de la tangente de
l'angle que fait la droite avec l'axe des x. La valeut de
VE — œm est la plus grande possible lorsque 72 = 0»
c’est-à-dire lorsque l'angle est nul ou que la droite se
confond avec l’axe. Dans ce cas, les valeurs de xet dey
se réduisent à
re, y +0

Ce sont les coordonnées des deux extrémités de

l'axe transverse. En rendant 72 de plus en plus grand,

les valeurs de Vh? — æm° , deviennent de plus en plus
petites; mais elles cessent d'être réelles, c'est-à-dire que
la droite ne peut plus rencontrer la courbe, lorsque
æm® devient plus grand que b*. La tangente du plus
grand angle que puisse faire avec l’axe une droite qui
rencontre l’hyperbole de part et d'autre et qui passe
par le ceutre, est donc déterminée par la relation

b= @m
qui donne
b
Mm=E -
a

Mais alors b— am — 0 etles valeurs de x etdey de-
viennent infinies, ce qui nous apprend qu’une droite
dont la tangente trigonométrique, de l’angle qu’elle

: : : ou ,
fait avec l’axe , est égale à - ne rencontre l’hyperbole
= ÿ

qu’à des distances infinies. Gette droite se nomme une
asymptote. (Foy. ce mot.) Comme on peut mener par
le centre O deux droites qui fassent, dans un sens op-
posé, le même angle avec l'axe, l'hyperbole a deux
asymptotes.

HY

Lorsqu'on connaît la grandeur des deux axes, la con-
struction des asymptotes ne présente aucune difficulté ;
elle se réduit à décrire les droites, dont les équations
sont

b b
= =L, Y—=—-Xx.
VER :

Ainsi, avec l’axe transverse — 2a, et la droite de
= 2b, formant le rectangle bcde (PL. 43, fig. 9), les
diagonales bd, ec prolongées seront les droites de-
mandées. (Voy. Appcicarion U, 7.)

6. Nous avons vu que l'ellipse possède deux points
très-remarquables; ce sont ses foyers. (Eczirse 5.) Cher-
chons si l'hyperbole nous offrira quelque chose d’ana-
logue.

Les foyers de lellipse ayant pour coordonnées
DE Va: PES,

comme l'équation de l’hyperbole ne diffère de celle de

l'ellipse que par le signe de b°, déterminons sur l’axe

des x deux points dont les coordonnées soient
z=EVe+b, 7y—=%o

c’est-à-dire déterminonsles points F et f(PL.43, fig. 10),

tels que

OF =+Va+i et Of=— Jai

ce que l’on peut faire très-facilement en décrivant du
centre O (PL. 43, fig.9), et avecle rayon Ob deux arcs
bf et eF, car on a évidemment

OF == Of—= Ob — 1/62 ape

Ceci fait, menons deux droites FM et f M de ces points
à un point quelconque M de l’hyperbole , et cherchons
la relation de ces droites. Ayant abaissé l’ordonnée
MP =, les deux triangles rectangles FPM, fPM,
nous donneront

FN FP + PM
FM=yP + EM
Mais FP — OF — OP=V/a LB + x, fP—/fO +

OP — x — Væ+b,et PM—y; ainsi les expres-
sions précédentes deviennent, en substituant

AS ;

sent db B2
M= (ave Hd) + 2 (ere)
i D Apa & *
= (Ve) + a (ee)

X

HY

Développant les carrés et réduisant , nous aurons

2 2\ 2? à ji AS À Di 4
Fi _(a+b?)x* + 2a va br +a

(4
xs (avV/æ+b + a)
a?

(ab) 0e x Va x b — a
ET —

a

fM=

(va ti — a}

a

ce qui donne, en prenant les racines carrées,
zV@ Er
FM = éme +a
aV/&+b°
fM— EME. SE

La somme de ces quantités reste variable à cause de
la quantité æ qu’elle renferme ; mais sa différence est :

FM — fM = 24

D'où il suit que les deux points F et f jouissent de
cette propriété remarquable que: la différence des deux
droites menées d'un point quelconque de la courbe aux
points F et j'est une quantité constante égale à l'axetrans-
verse. Ces points sont les foyers de l'hyperbole, et les
droites telles que FM et f M, sont les rayons vecteurs
de cette courbe. \

7. La propriété fondamentale dont nous venons d’ob-
tenir la déduction sert à définir l’hyperbole , lorsqu'on
la considère d’une manière indépendante de sa péné-
ration dans le cône ; on dit alors que c’est une courbe
dont la différence des distances dechacun de ses points à
deux points fixes, est égale à une ligne donnée. En par-
tant de cette définition on trouve son équation et l’on
reconnaît que la ligne donnée est l'axe transverse. Cette
propriété fournit aussi les moyens de construire facile-
ment l’hyperbole.

Soient, en effet, F, f les foyers donnés de position
sur une droite indéfinie F f, et soit 24 la différence
constante ou le grand axe de l’hyperbole qu'on veut
décrire.

Prenons à partir du point O, (Pr. 44, (fig. 1. ) milieu
de F f, deux distances OA, OB égales au deimi premier
axe a; les deux points A et B appartiennent a la courbe.

Pour obtenir d’autres points marquons sur la droite
Of, un point arbitraire L, puis des paints F, f, comme
centres, avec les rayons AL, BL, décrivons successive-
ment des circonférences qui se couperont en M ct»;
ces points appartiendront à la courbe, car, par la con-
struction, la différence des droites menées de F et de
JSaM et m est égale à la différence des rayons AL et
BL, laquelle est précisément le premier axe AB = 24.

HY 90

Réciproquement , des points f et F, comme centres,
avec les mêmes rayons, décrivons dés circonférences de
cercle ; Jes points M' et m' où elles se couperont appar-
tiendront à l’autre branche de la courbe.

En opérant de la même manière nous pourrons obte-
nir des points assez rapprochés les uns des autres pour
pouvoir ensuite décrireles deux branches de l'hyperbole.

8. Nous tirous encore, de cette même propriété des
rayons vecteurs, un procédé pour décrire l’hyperbele
par un mouvement continu.

Soient I et H (PL. 22, fig. 5) les deux foyers; si l’on
place en I, l’extrémité d’une règle IT , mobile en I, de
manière à pouvoir tourner autour de ce point , et que
l’on attache en H le bout d’un fil HRT, dont l’autre
bout soit attaché a celui de la règle IT, et si de plus la
différence des longueurs de la règle et du fil est égale
au premier axe 2a, il est évident qu'un styleR , qui glis-
sera le long du fil en le tendant et en l’appliquant con-
tre la règle, décrira par son mouvement un arc d’hy-
perbole, puisqu’àa chaque point R on aura IR—RH=—24.

9. Dans l’hyperbole, comme dans l’ellipse, on nom-
me paramètre, une droite troisième proportionnelle
aux deux axes. C’est également, dans ces deux courbes,
la double ordonnée qui passe par l’un ou l’autre foyer.
( Voy. Ecrirse, 8.) En désignant par p le paramètre
de l’hyperbole, nous aurons donc encore

p_b

a æ
et, en substituant cette valeur dans les équations (1) et
(2) elles deviendront (3)

=

Ces dernières se nomment équalions au paramètre.
La première est rapportée au sommet et la seconde au
centre.

10. Lorsque les axes 24 et 2b sont égaux, les équa-
tions de l'hyperbole deviennent (4)

V—=924ax +2
Y? = 21

et cette courbe prend le nom d’hyperbole équilatère.
L'hvperbole équilatère est, par rapport à toute autre
hyperbole, ce qu'est le cercle par rapport à l’ellipse.
11. En résolvant l'équation au centre de l'hyperbole

équilatère par rapport à x, on obtient
222 VER

expression de laquelle résulte une construction, par

points, extrêmement simple, de cette courbe,

100 HY

Divisons (Pr. 44, fig. 2) l'axe CM des y. en par-
ties égales Ca, ab, be, cd, etc., et de chacun des points
de divisions, menons des perpendiculaires indéfinies à
cet axe; prenons sur chacune de ces perpendiculaires
une partie égale à la distance de son pied au sommet
A, c’est-à-dire, faisons aa'—@A, bb'—bA, cc'—cA, etc.

les points a’, b', c', d', etc. appartiendront tous à l'hy-
perbole équilatère. En effet, si par l’un quelconque de
ces points, g' par exemple, on abaisse la perpendicu-
laire gx sur l’axe des +, on aura g'x—Cg; maisletrian-
gle rectangle CAg donne

ou

à cause de Ag — gg — Cx. Or, cette dernière égalité
est la même chose que

ms

gL—X?— «a
ainsi g'x est une ordonnée, et le point g’ appartient à la
courbe.

12. Tout ce qui a rapport au problème de mener des
tangentes aux courbes devant être exposé au mot Tan-
gente, nous nous contenterons ici de faire connaitre un
procédé particulier à lhyperbole, dont la ressemblance
avec celui que nous avons donné pour l’ellipse(7’oy. EL
LIPSE O) fait encore ressortir la grande analogie des
deux courbes.

Soit O le point de l’hyperbole où il s’agit de mener
une tangente (PL. 44, fig. 3) ; des foyers F , f, menons
les rayons vecteurs FO, /O, et prenons sur fO, Om égal à
FO. Du point g, milieu de la droite qui joint les points
Fet », menons TO; cette droite sera la tangente deman-
dée. En effet, cette droite ne peut avoir que le seul
point O commun avec la courbe, car pour tout autre

point o, en menant fo, mo,Fo, on ne peut avoir
Jo —Fo—2a— AA,

propriété caractéristique des rayons vecteurs, puisque,
si cela était, on aurait, par la construction,

Îo — om— fo —Fo=— 2a —/fm

d’où fo —0om+ fm, ce qui est absurde. Tout autre
point que O, pris sur la droite TO, ne peut donc appar-
tenir à la courbe et, par conséquent, cette droite lui s 1
tangente en O.

La construction précédente nous apprend immédia-
tement que les angles formés par la tangenteet les deux
rayons vecteurs menés au point de contact sont égaux.
Car le triangle mOF étant isocèle , et TO passant par le

5 1 4
milieu desa base mF, les angles OT et TOF sont égaux

Propriété commune avec l’ellipse.

13. On nomme hyperboles conjuguces deux hyper-
boles comme celles de la fig. 4 , pl. 44 , qui ont le même
centre et dont l’une a pour premier axe le second axe
de l’autre. Les deux courbes ayant nécessairement les
mêmes asymptotes, puisque ces droites sont données
pour l’une et pour l’autre par les diagonales du même
rectangle ACBD (foy. ci-dessus n° 5), il en résulte que
leurs branches prolongées ne se rencontrent qu’à l'infini,
puisque ce n’est qu’à l'infini qu’elles atteignent leurs
asymptotes communes.

14. Toutes les droites qui, passant par le centre, ren-
contrent les deux branches d'une hyperbole senomment
ses diamètres. Nous avons vu, n° 4, que le centre les
partage en deux parties égales.

Lorsque deux diamètres, dont l’un appartient à une
hyperbole quelconque, et l’autre à sa conjugaée, sont
tels que le premier est parallèle à la tangente menée par
l’un des points où le second rencontre sa courbe, ils
prennent le nom de diamètres conjugués. Les deux axes
forment un système de diamètres conjugués.

Si l’on prend deux diamètres conjugués pour axes des
coordonnées, les coordonnées deviennent obliques,
mais les équations ne changent pas de forme(#’oy. rRANs-
FORMATION } et l’on peut reconnaitre facilement les pro-
priétés suivantes, que nous devons nous contenter d’é-
noncer. 1° Un diamètre quelconque partage en deux
parties égales toutes les cordes mences parallèlement à
son conjugué. 2° Le parallélogramme construit entre
deux diamètres conjugués est équivalent au rectangle
des deux axes principaux. Ce parallélogramme et ce
rectangle sont dits inscrits à l'hyperbole. 3° La diffé-
rence des carrés de deux diamètres conjugucs est cgale
à la différence des carrés des axes.

Il résulte de cette dernière propriété que dans l’hy-
perbole équilatère deux diamètres conjugués quelcon-
ques sont égaux.

15. On voit d’après ce qui précède que toutes les pro-
priétés de l’eilipse se retrouvent dans l'hyperbole, sauf
de légères modifications pour quelques-unes d’entre
elles ; cependant il en existe de particulières à cette der-
nière courbe que nous devons signaler ; elles sont rela-

tives aux asymptotes.

Pour obtenir l'équation de l’hyperbole rapportée à
ses asymptotes il suffit de transformer les coordonnées
rectangulaires de l'équation.

EI
Diner)

en coordonnées obliques par les procédés connus. Sub-

ï
|

HY

stituons donc à la place de x et de y les valeurs géné-
rales (Foy. TRANSFORMATION ).

X = COSx + ycosa"
y = zsina+-ysinx"
Nous obtiendrons, après les réductions, (a)
(asina" — b2cos?'}y?

+ (2asinasinx" — 2b?cos x. cos x')ry
+ (aæsina— b’cosa ) x?

=— mb

Mais les angles «, #’ étant ici les angles que font les
asymptotes avec le premier axe, nous avons (voy. ci-

dessus, n° 5)

t k tang a’ à
D£ A—=— - = —
6 a 8 2
d’où
: b
COS a — — 3 SN = —————
Var Var
, a ASE b
COS SE
Væ+b Va+is
nous avons donc aussi
b ,. @b—æbt
asin?x—bcose! = — —
1 LA & æ +
ñ . ab— ab?
2sin?@ — be = —— — 0
a [4 (- 2 ab
à nr Ce
24 sinx.sinz! — 2b?c0s «. COS & be 0
L’équation générale (a) devient donc, en substituant ces
valeurs
a+ b?
LYi== —
4

Telle est l'équation de l’hyperbole rapportée à ses
asymptotes.Elle nous apprend que le rectangle formé en-
treles coordonnées est une quantité constante; cette quan-

a+b

tité, -, que nous désignerons par c?, se nomme

puissance de l’hyperbole.
15. Si nous multiplions les deux termes de l'équation

y = C?

par le sinus de l’angle que les asymptotes font entre
elles , cet angle étant désigné par g, nous aurons

æy sing = C?.sin

Or , le second membre de cette équation est encore
une quantité constante et le premier désigne le parallé-
logramme construit sur les coordonnées , donc tous Les
parallélogrammes construits sur des coordonnées paral-
lèles aux asymptotes sont équivalens entre eux. Al est

: i ? ab
facile de reconnaître que c? sinp— 7 > °uque cette quan-

HY 104

tité est la moitié du rectangle construit sur 1es demi-
axes.

16. Le produit xy étant une quantité constante, il en
résulte que l’ordonnée y diminue à mesure que x aug-
mente , mais que cependant elle ne peut jamais devenir
nulle; ainsi l’asymptote se rapproche continuellement
de la courbe sans pouvoir la rencontrer. C’est ce que
les expressions du n° 5 nous avaient déjà appris, en
nous montrant que ces lignes ne se rencontrent qu’à
l'infini.

17. Dans l’hyperbole équilatère a—b, et par con-
séquent

t hein
Ar

l'angle « est donc de 45° et l’angle p qui est son double
est un angle droit. On a donc alors simplement

LR I20?

etles coordonnées sont rectangulaires.
18. En combinant les équations de la tangente et de
la sécante (voy. ces mots avec l’équation

Ty = C?

on découvre les propriétés suivantes que nous devons
nous contenter d’énoncer :

La portion d'une tangente comprise entre les asymp-
totes est divisée en deux parties Cgales au point de
contact.

Cette portion de tangente est toujours égale au dia-
mètre conjugué deceluiqui passe par le point de contact.

Tous les parallélogrammes inscrits à l'hyperbole ont
leurs sommets places sur les asymptotes.

Les deux parties d'une sécante comprises entre la
courbe et les asymptotes sont égales entre elles.

19. La dernière de ces propriétés offre un moyen fa-
cile de décrire une hyperbole dont on connaît un seul
point.

Soit mle point donné (PL. 44, fig. 5) qu’on pourra
toujours obtenir par le procédé du n° 7; ayant construit
les asymptotes (n° 5 ), on mènera par le point rm des droites
dans toutes les directions possibles et à partir des points
a,b,c,d, où ces droites rencontrent l’asymptote AB,
on prendra des parties an, bn', cn", etc., égales aux di-
stances a'm, b'm, c'm, etc., du point »m à ceux où les
mêmes droites rencontrent l’autre asymptote AC; les
points n, n', x", etc. appartiendront à la courbe. Cha-
cun de ces points peut ensuite servir de la même ma-
nière pour en déterminer d’autres.

20. Nous verrons, au mot QUADRATURE, d’autres pro
priétés très-remarquables des asymptotes, comme aussi
tout ce qui concerne la surface de l’hyperbole. Il sera

102 HY

encore question de cette courbe dans d’autres articles.
PVoy. TANGENTE et RECTIFICATION. VOY. aussi POLAIRE,
pour l'équation polaire de l'hyperbole.

Hy»xrpoLes des orctres supérieurs. On donne ce nom
à toutes les courbes qui sont représentées par l'équation
Aymtn—Blatzmxr. Cette équation générale renfer-
me, comme cas particulier, l'équation Ay=B{ax+x?),
de l’hvperbole conique ou apollonienne (Foy. ce mot).

On nomme encore hyperboles, les courbes dont l’é-
quatiou, rapportée à leurs asymptotes, est de la forme
æmyn=t@"+#n, qui renferme aussi, comme cas particu-
lier , l'équation aux asymptotes, xy—c?, de l'hyperbole
conique.

LOGARITHMES HYPERBOLIQUES. (Ÿ’0Y. LOGARITHME. )

SiNUS HYPERBOLIQUES. (’oy. Sins. )

HYPERBOLOIDE ou coNoÏDE HYPERBOLIQUE.(Géomm.)
Solide formé par la révolution d’une branche d’hy-
perbole autour deson premier axe.

Pour obtenir le volume de l’hyperboloïde il suffit de

remplacer dans la formule générale
V= fry dx
(Foy. Curarure), l’ordonnée y par sa valeur prise

dans l’équation de la courbe génératrice. Or, en comp-

tant les ordonnées du sommet, cette équation étant

b
Er), (voy. HYyPERBOLE, 1), nous aurons

V — FE f ax+a)dr

dont l'intégrale est
rbx* rb?x

a 3a?

Na

Il n’y a pas besoin d'ajouter de constante, parce qu’en
faisant x —=o le solide s’anéantit.

Ainsi en désignant par À la hauteur du solide ou fai-
sant æ—h on a, pour l'expression du volume de l’hyper-
boloïde,

y __ 7bth rb2h5
a 3a°

Dans le cas de l’hyperbole équilatère, ou lorsque
a=b, cette expression devient

Y — _ (3a+-4)

d’où nous voyons qu’il existe toujours un rapport com-
mensurable entre l'hyperboloïde équilatère.et la sphère
dont le rayon est égal à sa hauteur k, En effet, le vo-
lume de la sphère qui a À pour rayon est (voy. SPRÈRE)

STATE
Vi Es

ainsi

Ce rapport nous apprend que si hk—a, c'est-à-dire, que
si la hauteur de l’hyperboloïde équilatère est égale à la
moitié de l’axe transverse de l’hyperbole génératrice,
le volume de ce solide est équivalent à celui de lasphère
qui a cet axe pour diamètre.

Nous verrons au mot QUADRATURE , comment on dé-
termine la surface des solides de révolution.

HYPOTHENUSE, (Géom,) (de re sous et de rifnus
je pose ) Nom par lequel on désigne le côté d’un trian-
gle rectangle opposé à l’angle droit. (Joy. TriAn GLE.)
L'hypothénuse jouit d’une propriété très-remarquable
dont la découverte est due à Pythagore, c’est que Le
carré construit sur cecôte est équivalent à la somme des
carres construits sur les deux autres côtés. Cette propo-

sition senomme le Théoréme de Pythagore.

HYPOTHESE. Proposition ou partie de proposition
que l’on pose comme base, ou comme point de départ,
pour en déduire des conséquences relatives à un objet
en question. Par exemple, dans la proposition : Jeux
triangles qui ont leurs trois angles égaux chacun à cha-
cun sont semblables ; l'uxrornëse dont on part est cette
égalité des angles qui sert ensuite à reconnaitre la se-
conde partie de la proposition, c’est-à-dire, la similitude
en question des deux triangles.

ICHNOGRAPHIE.( Géom.) ( de ixvos trace et de
ypugo je décris.) Plan géométrai d'un édifice ou trace
d’un objet quelconque sur le plan horizontal qui lui sert
de base. Joy. PLax.

ICOSAËDRE ( Géom.) Solide régulier terminé par
vingt triangles équilatéraux et égaux entre eux. C’est un
des cinq corps réguliers. Voy. Socrne.

IDENTIQUE. (4{g.)On nomme équation identique,
celle dont les deux membres sont les mêmes, ou se ré-
duisent à la même quantité. Telle est, par exemple,
(a+axa—x)=a—x?, quiaprès la réalisation des calculs
indiqués devient æ—x'—a—x;d'où, en faisant tout
passer dans le premier membre, @47—x?—a2+4+27=0;
c'est-à-dire o—0. Ces équations ne peuvent faire décou-
vrir que les différentes formes de la génération des
quantités , mais elles ne sauraient conduire à aucun ré-

sultat pour la solution des problèmes.

IDES. Terme du calendrier romain, Foy. CALEN-
DRIER ; 14:

IMAGE. (Opt.) Représentation d’un objet que l’on
voit soit par réflexion, soit par réfraction à l’aide d’un
appareil d'optique. (Foy, Minor, Venre.) (ay. aussi
CATOPTRIQUE.)

HY
IMAGINAIRE,. (4/g.) On nomme, assez impropre-
ment, quantités imaginaires, les racines paires des quan-
tités négatives dont la forme générale est

2m À eat
\/— A

Ces quantités n’ont, à la vérité, qu’une existence ou
qu'une réalité idéale, mais leur génération, que nous
allons examiner, n’a absolument rien de commun avec
les produits de la faculté psycologique nommée imagi-
nation.

1. Nous avons vu { ALcèore, 38 ) que les nombres
dits imaginatres tirent leur vrigine de la branche in-
verse du troisième et dernier mode de la génération élé-
meñtaire des quantités et qu’on pouvait ramener léur
considération à celle d’une racine paire de (—1) puis-

Rss 2m 2
qu’on a en général |/—A=M.\/—1, M étant la quan-

tité réelle VA. C'est donc seulement la génération de
2m
V—1, qui doit nous occuper.

Or la génération par puissance de l'unité positive ou
négalive, en prenant pour base l'unité négative, est
évidemment de la forme

(—i) = Et

Savoir (—1)"—+1,lorsque p ést pair, et (—1)“——1,
lorsqu'il est impair; g étant d’ailleurs un nombre entier
quelconque. Ainsi pour concevoir cette génération dans
la continuité indéfinie dont elle est susceptible , nous
devons considérer le nombre p commeënfiniment grand,
et alors la base (—1) deviént le facteur élémentaire
{voy ce mot) de la puissance —1. Mais pour ne nous
occuper ici que de l’unité négative, désignons par &' un
nombre impair infiniment grand, nous aurons

(—i) "=:

Qu'on ne s'étonne point de nous voir distinguer les
nombres infinis, en pairs et impairs, car si ces nombres
appartiennent à une sphère de grandeur où plutôt à
un ordré de Connaissances entièrement différent de ce-
lui des nombres finis { doy. Dirrénence, 24), la ia
SON, faculté supérieure dé l'intélligenéé, dont ils sont
lé produit, peut établir entré éux tôutes les relations
qui existent entre cés dérnièrs nombres, et ce n’est mème
qu’à l’aide de ces relations qu'elle peut arriver à son
but mathématique, celui d'apporter la dernière unité
intellectuelle dans la génération, non de la quantité
finie elle-même, mais de la connaissance que nousavons
de cette quantité.

En partant de cetté: génération indéfinie de l'unité

HY 103
négative , il devient évident que lorsqu'il s'agira de
prendre une raciue à exposant pair de cette unité , l’o-
pération sera émpossible en réalité et toutefois elle sera
possible en idée, et c’est là l'opposition transcendan-
tale , ou l’antinomie que présentent les quantités dites
imaginaires qui, ne pouvant être ni posiives ni negalives,
semblent impliquer une absurdité, démentie cependant
par l’exactitude rigoureuse de tous les résultats qu'on
obtient en les employant. En effet, et nous nous con-
tenterons ici de rapporter les propres paroles de l’au-
teur de la Philosophie des mathématiques , « on voit

» qu’en prenant une partie paire de l'exposant @', par
LA

œ , :
» exemple —- ,72 étant un nombre entier quelconque,
2m

» on aura pour la racine 2m de l’unité négative une

» partie des facteurs élémentaires (—1) du schema ( dé

» la forme universelle),(—1)*——:1, exprimée par
@" PE À

D» —-=— œ"+E , " étant le nombre entier le plus
2m 2m

r

co : ‘
» grand contenu dans —, et p un nombre impair et
2m

» plus petit que 2» ; de manière qu'après avoir pris
» "facteurs élémentaires (— 1), il restera à prendre

» une partie P_ es facteurs élémentaires du second
2m

» ordre, qui composent l’un des facteurs élémentaires
» (—i)du preinier ordre. On peut donc recommencer la
» méme opération idéale sur le facteur réstänt du pre-
» mier ordre (—1), et on peut la continuer ainsi à
» l'indéfini. Or ce sont les nombres correspondans à
» cette génération idéale possible ,et dont le caractère
» consiste précisément dans cette possibilité de généra-
» tion idéale qui forment les nombres qu'on appelle
» très-inexactement nornbres imaginaires.

» Telle est la déduction métaphysique de ces nom-
» bres vraiment extraordinaires qui forment un des phé-
» nomènes intellectuels les plus remarquables, et qui
» donnent une preuve non équivoque de l'influence
» qu’exerce dans le savoir de l’homme la faculté lé-
» gislatrice dela raison, dont ces nombres sont un pro-
» duit en quelque sorte malgré l’entendement. On voit
» actuellement que loin d’être absurdes, comme les en-
ginaires
» sont éminemment logiques , et, par conséquent , très-

» visageaient lesgéomètres, les nombres ditsima

» conformes aux lois du savoir ; et cela parce qu'ils éma-
» nent, et en toute pureté, de la faculté même qui
» donne des lois à l’intelligenee humaine. De là vient la
» possibilité d'employer ces nombres, sans aucune con-
» tradiction logique, et dans tontes les opérations al-
» gorithmiques ; dé les traiter comme des êtres privi-
» Jégiés dans le domaine de notre savoir, et d’en dé-
» duire des résultats rigoureusement conformes à la rai-
» son. (Wronski. Zntrod, à la philosoph.des math.)

404 HY

2. 1l résulte de ce qui précède que toutes les quanti-
tés dites imaginaires sont de la même nature, puisqu'elles
ne diffèrent entre elles que par la valeur de l’exposant
et qu'elles sout rigoureusement identiques dans ce
qui concerne leur génération idéale; ces quantités doi-
vent donc avoir la même forme daus leur expression,
ou pouvoir s'exprimer au moyen de l’une d’entre elles.
Il est effectivement reconnu qu’on peut obtenir l’expres.
sion algébrique d’une quantité imaginaire quelconque à

l'aide de la plus simple de ces quantités, savoir V/— 1.
C’est ce que nous allons démontrer.
La forme générale des quantités imaginaires étant

pour plus de généralité, donnons un exposant quelcon-
que » à cette quantité , et nous aurons

gi SUR NE a Rs

(=) =
Or, quel que soit À, on a toujours A— 1 — (1—A);
ainsi l’on peut mettre la quantité proposée sous la forme

d’un binome et en obtenir le développement par les
formules connues ( V’oy. Binome DE NEwron). Nous

avons donc
== (GG)
Et, par conséquent, (1)
er n —
(V=Dm =1— AGRV SI}
n(r—m)
sf TE (1—V/—1) + etc.

Mais les puissances successives (1—\/—1), (1—V/—1},
etc., qui entrent dans ce développement peuvent être
mises sous une même forme, puisque l’on a générale-
ment, p étant un nombre entier quelconque

(y Ip —1 PE 4
p(p—1)(p—2)
+ a. ce V—i
ne p—3)
ni 120904

expression dans laquelleles termes sont alternativement
réels et imaginaires, Désignant par a la somme des
termes récls

— etc.

P(p=—1), P(p—1\p—2Xp—3)
Pers ai 1.2.3:4 me

Et par b, celle des coefficiens de V/— 1, nous aurons

Vi) = ap + bp

HY

Donc, dans les cas particuliers de p=1,p=— 2
p = 3, etc., les puissances de (1 — \/ — 1
formes

ab /—1 , 2H BV, ab, V/—5, etc.

Substituant ces quantités dans le développement gé-
néral (1), il deviendra

) auront les

V=nm= rt (ab, V1)

n(n—m)

+ (ab)
Em
— etc...

Effectuant les multiplications indiquées, lesecond nom-
bre de cette égalité sera composé de deux suites de ter-
mes, les uns réels et les autres imaginaires; et désignant
enfin par A la somme des termes réels

n(n—min—2m)

nl n(n—m) 2
ND ,1.2.3

1—- a +

m 1112. 1412

as +etc..

et par B la somme des coefficiens réels de / — 1,

bsHetc.,,

n(n—m)(n—2m)
| ma2.30

n n(n—m)

D 4 b, —

m°.1.2

nous parviendrons à l'expression finale

2m L
(5) = A+BV—1
dans laquelle A et B sont des quantités réelles positives
ou négatives.

Il est donc démontré que toute quantité dite #nagi-
naïre Vs , et même que toute puissance de cette
quantité peut s'exprimer au moyen de la seule ra-
cine seconde de — 1, et que la forme de cette généra-

tion est A+ BV/— 1.

3. Nous avons reconnu ( voy. PERS AUX PUIS-
saAncEs) qu’une racine de l’unité pouvait admettre plu-
sieurs valeurs différentes, et nous avons donné (voy.
Equariow, 29) l'expression générale de ces valeurs
dont le nombre est précisément égal à celui de l’expo-
sant de la racine. Il nous reste a examiner la possibilité
de cette pluralité de valeurs; c'est ce que nous allons
faire en partant de la génération même de l'unité.

4 étant un nombre entier quelconque, y compris zéro,
ou peut représenter tous les nombres pairs, 2 4-1 tous
les nombres impairs , et nous avons

(—1}# = + r-et (—1}4ti = —1I
Une racine du degré quelconque n sera donc
VE (1)

2ERL

Va =) 27

HY

ou
,

ue
9°

Vi = (—i)9. (in

4

VE: = (—1 JP.

p'etg'désignantles restes des divisious de 24 etde 2:41
par », et p etq les quotiens de ces divisions. Or p étant
un nombre arbitraire et par suite p'et g' étant aussi des
nombres arbitraires compris entre les limites o et », il
est évident que les racines en question ont autant de gé-
nérations différentes qu'on peut prendre de nombres
différens pour p' et g'. D'abord, en commençant par
l'unité positive, si z est un nombre pair, p' doit être
pair aussi, puisque l’on a dans ce cas

2e =pntp

ne n

p' peut donc être indifféremment l’un des -nombres
2

0,2,4,6,etc., jusqu’à? —2, et comme en outre il

La ——
peut être positif ou négatif, il s’en suit que V/—-1 admet
n valeurs différentes, correspondantes aux 72 valeurs

‘

pre P : c
différentes du facteur (—1) ;; parmi ces 7 valeurs, il

LT É _—
yen a> qui sont données par les valeurs positives de p',

n ce ds
et ; Par ses valeurs négatives, c'est-à-dire, qu’on a

VHi pote
hi P2
Vi = (y. (5)

p pouvant être d’ailleurs pair ou impair. ;

En faisant p pair, (—1)? devient (1), et en le faisant
impair, (—1)7 devient (—1). Chacune de ces supposi-
tions fournit bien » valeuts pour V/+1 ; mais elles sont
les mêmes, et V/+1 n’admet que » valeurs réellement
différentes.

Si » est un nombre impair, p' peut être encore un
nombre pair quelconque plus petit que 2, positif, néga-
tif ou zéro; alors p est nécessairement pair et l’on a

Va) x
| Vis
Cé qui ne donne encore que x générations différent es
pour PH, puisque des as valeurs qui résultent de

chacurie de ces expressions, celles qui correspondent à
+ p'=0, ét à — p'—0o sont identiques et égales à
7.
Quant dux racines de l'unité négative , ilse présente
TOME I,

HY

également deux cas, savoir : lorsque l’exposant 7 est

105

pair, et lorsqu'il est impair; dans le premier, g' peut
être un nombre impair quelconque, positif ou négatif,
plus petit que x, d’où

q pouvant être indifféremment pair ou impair; dans le
second Cas, g' peut être un nombre pair quelconque,
positif, négatif ou zéro, d’où

g étant nécessairement impair. Îlest visible que dans
l’un et l'autre cas V/--1 recoit » générations diffé-
rentes.

De toutes ces valeurs des racines de l’unité positive et
négative, il n°y a évidemment de réelles que les valeurs
+ ret — 1; toutes les autres sont #raginaires. Ainsi,
lorsque 7 est pair, V1, a deux racines réelles. + x
et— 1 et 2 — 2 racines imaginaires; et V—1 a
toutes ses racines imaginaires ; lorsque n est impair,
V+ia une seule racine, + 1, réelle, et n—1, racines
imaginaires ; et V—1,a une racine réelle — 1, et
a — 1 racines. imaginaires. C’est ce que l’on reconnait
facilement à l'inspection des formes générales qui pré-

cèdent.
r' p°

4. Les quantités (—1}"et(—1) ”
jours se ramener à la forme

pouvant tou-

A BV—1
p'. Lu part
puisque (—1) * =(V—1) 7;

tuutes les racines dites imaginaires de l'unité pour-

il est évident que

ront être ramenées à la même forme, et qu’on peut po-
ser en général
(—3}. (a) =atbV 1
et
p°
1, EEE LH Re
(—1ÿ.(—2) = a—by 1
p°
les racines données par l'expression (— 1 )7(— }"
ne devront différer de celles données par l'expression
p°
(—:1} ” que dans le signe de la quantité

14

106 HY
Nous aurons également
g
(—n7. (—1) n — a'+b'y—1

’

q_ dre
(—1)7 (—i) * = a —b'\/—1

Il résulte de cette considération une propriété très-
remarquable des racines de l'unité. En effet, multipliant
terme par terme ces égalités, les deux premières don-
nent.

(a+) = (—i)7. (—i) = 1

HY

et les deux secondes
(a HD) = (—i1)9(—i1) = 1

Ce qui nous apprend 1° que le produit de deux racines
imaginaires de l’unité qui ne diffèrent que par le signe
de la quantité \/—1, est toujours l'unité; 2° que la
somme des carrés des deux quantités réelles qui entrent
dans l'expression d'une racine imaginaire de l'unité, est
toujours égale à l'unité. Propriétés caractéristiques qui
complètent la théorie de ces racines.

Il existe encore une autre espèce de quantités dites
imaginaires , que nous examinerons ailleurs. (Foy. Lo-
GARITHMES. } *

I.

IMMERSION. (45t.) Commencement d’une éclipse
ou d’une occultation. (Joy. ces mots.)

IMPAIR.(4rith.)N om que l’on donne, paropposition,
à tous les nombres qui ne peuvent être exactement di-
visés par 2; les nombres divisibles par 2 se nommant
nombres pairs.

La forme 2m—1, dans laquelle 72 est un nombre
quelconque, y compris zéro, peut représenter tous les
nombres impairs; car si l’on y fait successivement »m1—0,
m1 , 2, etc., on obtient la suite des nombres im-
pairs, 1,3, 5, 7,ietc.

IMPULSION. (Méc.) On nomme force d'impulsion;
celle qui agit sur un corps avec une vitesse finie, pendant
un instant d’une durée infiniment petite, ou du moins
inappréciable. Par exemple le coup de raquette par le-
quel on lance une balle est une force d’impulsion.

INCIDENCE. (Mcc.) Direction suivant laquelle un
corps en frappe un autre.

En Optique, on nomme angle d'incidence, l'angle
compris par un rayon incident sur un plan et la perpen-
diculaire élevée au point d'incidence. (Foy. Caror-
TRIQUE.)

INCLINAISON. Ce mot qui désigne en général laten-
dance mutuelle de deux lignes, de deux surfaces, ou de
deux corps l’un vers l’autre, reçoit diverses acceptions
particulières suivant les objets auxquels on l’applique,
ainsi:

L'incrinaisox d'une droite par rapport à une autre
droite, ou par rapport à un plan, est l'angle qu’elle forme
avec cette droite ou avec ce plan.

L'incuinaison d’une planète, en astronomie, est l’an-
gle du plan de son orbite avec le plan de l'écliptique.

L'incuinaisox d’un plan , en gromonique , est l’arc du
cercle vertical compris entre ce plan et le plan de l’ho-
TrizOon.

INCLINÉ. On nomme PLAN INCLINÉ, en mécanique ,
celui qui fait un angle oblique avec le plan de l’horizon.
Sou usage est de soutenir un corps en le mettant en
équilibre avec d’autres forces.

Si uous considérons un corps V placé sur un plan in-
cliné , il faudra, pour empêcher ce corps de glisser, en
vertu de sa pesanteur, lui appliquer une force P dont

V/

B (es

l’intensité devra varier suivant sa direction, et suivant
l'inclinaison du plan; mais il sera toujours nécessaire,
pour que l'équilibre puisse subsister, que la résultante
du poids Q du corps et de la force P soit perpendicu-
aire au plan incliné, seul cas dans lequel la résistance
de ce plan peut la détruire; il faudra donc encore queles
directions de toutes ces forces soient comprises dans un
même plan. Ainsi la direction de la force P sera dans :
un plan vertical mené par le centre de gravité du corps,
et passant par la direction de la force Q. Supposons ces
conditions satisfaites, et cherchons le rapport des forces

Pet Q dans le cas de l'équilibre.
1.Soit G (pl. 44, fig. 6) le centre de gravité du corps,
GF la verticale qui représente la direction du poids, et OP
la direction de la force P; prolongeons ces droites jusqu’à
leurrencontre en O, et de ce point abaissons Om perpen-
diculaire sur AB, section du plan incliné par le plan ver-
tical des forces. Puisque la résultante des forces P et Q
doit être dirigée suivant Om, si nous prenons sur OF et
sur OP des parties On et Op proportionnelles aux forces
P etQ, et sinous achevons le parallélogramme, O7Ep,

IN

sa diagonale OE, résultante de ces forces, sera dans la
direction de O7, et nous aurons (1)
On : Op ou Q : P :: sin pOE : sin nOE
Mais l’augle 7OE est égal à l’angle BAC d’inclinaison du
plan; ainsi l’on a
BC

Sin nOE — Sin BA — AB

ou , sin 7OE on en nommant / la longueur AB du

l ?
plan incliné et À, sa hauteur BC. La proportion précé-
Aente deviendra donc

Q:PersinpOE :#

Ainsi le rapport des forces P et Q dépend de l’angle
pOE, que la force P fait avec la perpendiculaire Om,
et cette force doit être d’autant plus grande que cet
angle s’écarte plus de l’angle droit. Lorsque la force P
est parallèle au plan incliné, l’angle pOE devient droit,
et l’on a simplement

OP 2

C'est-à-dire que, dans ce cas, la force P est au poids Q,
du corps auquel elle doit faire équilibre, comme la hau-
teur du plan incliné est à sa longueur.

2. Si nous désignons par & l'angle On'n2 que fait la di-
rection de la force Q avec la longueur AB du plan in-
cliné, par a’ l'angle POP" que fait la direction de la
force P avec cette même longueur, comme il est facile
de voir que æest le complément de 7OE, et + celui de
pOE, nous pourrons mettre la proportion (1) sous la
forme

Q:P:: cos a : cosæ

D'où nous obtiendrons (2)
Q cos « — Pcos »

pour l’équation d’équilibre sur le plan incliné.

3. Il est facile de conclure de ce qui précède que si
deux poids V et P, tenus ensemble par un lien flexible
et passant sur le sommet de deux plans inclinés, se fai-
saient équihbre, ils seraient entre eux dans le rapport

A

B C

inversedes sinus des angl es d’inclinaison de leurs plans
respectifs, ou dans le rapport direct des lon gueurs de
ceplans, c’est-à-dire qu’on aurait

V:P::sin. À CB : sin. ABC

IN 107
et

V : P:: AB : AC

4. Le frottement et l’adhérence des surfaces en con-
tact pouvant être considérés comme des forces qui dé-
truisent une partie de la force Q, modifient nécessaire-
ment, dans la pratique, les conditions d'équilibre sur le
plan imceliné, Pour en tenir compte, remarquons d’abord
que la pression exercée par le corps sur le plan incliné,
provient non seulement de la composante de Q, perpen-
diculaire en m,(Pr. 44, /ig.6)maisencore dela composante
de P, perpendiculaire au même point, et que ces deux
composantes agissent en sens inverse ; la première a pour
expression Q sin. &, et la seconde P sin +’ ; cette pression
sera donc représentée par Q sin. 4 — P sin 4’. Ainsi, en
désignant par f le rapport du frottement à la pression, la
force due à ce frottement sera

(Q sin — Psmaz)f

Quant à la force due à l’adhérence, si nous représen-
tons par + l'intensité de cette force sur l’unité de sur-
face, AY représentera son intensité pour la surface A du
corps en question.

Mais nous devons considérer deux cas dans l’action de
la force P : 1° celui où cette force doit faire monter le
corps; 2° celui où elle doit seulement l'empêcher de
descendre. Dans le premier cas, la force P doit vaincre
le frottement et l’adhérence ; l'équation d'équilibre est
donc

P cos « — Q cos « Æ (Q sin « — P sin +") f+A4
Dans le second, le frottement et l’adhérence agissent en
faveur de P , et l'équation d’équilibre est

Pcos & — Q cos x — (Q sin « —P sin x’) f— AY
D'où l’on tire, en général,

P Q (cos « E fsin «) + AY
1 cos & = j sin x’

les signes supérieurs et inférieurs répondant respecti-
vement au premier et au second cas.

Lorsque P est parallèle au plan, on a « — 0, et
P— Q(cos «+ fsin a) + AY

INCOMMENSUPRABLE. Deux quantités sont 2ncom-
mensurables , lorsqu’elles ne peuvent avoir une mesure
commune. Par exemple, le côté d’un carré est incom-
mensurable avec sa diagonale, parce que le côté étant
représenté par 1, la diagonale est représentée par V/2
et qu'il n'existe aucun nombre, quelque petit qu'il
soit, qui puisse être contenu exactement dans \/2, ou
diviser exactement \/2. De même la circonférence du

cercle est incommensurable avec son rayon.

,

108 IN

m
En général toutes les quantités de la forme vA sontin-
commurables avec l'unité lorsqu’ellesne se réduisent pas
à.des nombres entiers par l'extraction des racines (Joy.
ALGÈBRE , 28). Ces quantités prennent alors le nom de
Nombres irrationnels. Foy. IRRATIONNEL. |
INCONNUE. Nom que l’on donne à la quantité cher-

chée dans la solution d’un problème.

INCRÉMENT. C’est sous ce nom que Taylor et d’a-
près lui plusieurs géomètres désignent l’accroissement
d’une quantité variable, ou la DIFFÉRENCE de cette quan-
tité. Foy. DIFFÉRENCE.

INDÉFINI. Poy.inrini.

INDÉTERMINÉE. On nomme’ communément, en
mathématiques, quantités indéterminces où variables ,
celles qui peuvent changer de grandeur.

Un problèmeest indéterminé, quand il peut admettre
un nombreinfini de solutions différentes. Par exemple,
si l'on demandait un nombre qui soit en même temps
divisible par 2 et par3, on proposerait un problème in-
déterminé, car ce nombre peut être6, 12, 18, 24, 30,
36 etc. à l'infini.

On a donné le nom d’ Analyse indéterminée, à la par-
tie de l'algèbre qai traite de la solution des problèmes
indéterminés. d

ANXLYSE INDÉTERMINÉE. Un problème est indeter-
miné, lorsque le nombre des équations qui expriment
les conditions demandées est moindre que celui des in-
connues ; car alors il devient nécessaire, pour les résou-
dre, de déterminer arbitrairement une ou plusieurs de
ces inconnues. Si, par exemple, on demandait deux
nombres tels que la somme du double du premier et du
triple du second soit égale à 20 , en désignant ces nom-

bres par x ety on aurait l'équation

2x+3y — 30

qui est insuffisante pour la détermination des inconnues
(Foy. Equariow, 3 ) ;or, en résolvant cetteéquation par
rapport à æ, on obtient
20—3
+
2

et ilest évident qu’en donnant à y une valeur arbi-
-traire, on obtiendra toujours pour æ une valeur cor-
respondante , de mauière que ces deux valeurs donne-
ront la solution du problème, qui peut être ainsi ré-
solu d’une infiuité de manières dilférentes,, puisqu'on
peut prendre pour y tous les nombres entiers, fraction-
naires et même irratiomels positifs, ou négatifs.

Maïs si l’on posait, comme condition, que les deux
nombres æ et y fussent entiers et positif, il n’y aurait

plus que trois solutions possibles , savoir :

IN

y=2, qui donne æ—17, d'où 2.7—+3.2 — 0
Y=#, T=4, 2.4 +3.4 —920
y =6; x 1, 2.1 + 3.6 — 20

C'est proprement cettesolution, ennombres entiers po=
sitifs , des équations indéterminées, qui forme l’objet de
l'anazyse INDÉTERMINÉE. Lorsqu'il s’agit cependant d’é-
quations de degrés supérieurs au premier, la solution
générale comprend toutes les valeurs rationnelles posi-
tives et négatives qui peuvent les satisfaire.

Mais, considérée in concreto, la solution en nombres
entiers ou généralement en nombres rationnels d’une
équation indéterminée, se ramène toujours à larecherche

, nn Re
. d’une forme particulière de génération des nombres en-

tiers ou fractionnaires capables de donner ceux qui
peuvent satisfaire à l'équation. Par exemple, les deux
formes

1+3, 6 T2

dans lesquelles £ est un nombre quelconque, donneront
toujours évidemment des nombres entiers pour toute
valeur entière de t, et ces nombres, ainsi formés, seront
positifs , seulement depuis {—o jusqu’à =, car, pour
— 0, 0na

1H3—1 , 6—921—6
pour {— 17,

1+3—4, 6—ot—!
pour t==2,

14 3—76, 6—2—=2;

toute autre valeur de { donnerait des valeurs négatives.
Ces deux formes renferment donc la solution en nom-

bres entiers positifs de l’équation ci-dessus
2x + 37 = 20

solution qui repose effectivement sur les égalités

1-34
YF —= G—2t

Di=

dans lesquelles £ est un nombre entier, depuis o jus-
qu’à 2.

La recherche des formes particulières de la généra-
tion des nombres, ou, plus généralement, les propriétés,
tant de génération que de relation des nombres, con-
stituent une branche de l'algèbre nommée THÉORIE DES
nompnes , dont l'analyse indéterminée est elle-même une
partie : celle où les nombres que l’on considère dépen-
dant de la valeur des quantités au moyen desquelles ils
sont donnés, demeurent indéterminés. (Foy. Tu£oriE
DES NOMBRES. ) Le

La Théorie des nombres ou du moins l'Analyse indé-
terminée, paraît être la partie de la science générale des

IN

uombres dont la connaissance est la plus ancienne. D’a-
près quelques aperçus consignés dans l'ouvrage d'Eu-
clide, on voit que des recherches assez étendues avaient
été déjà faites, avant lui , surles propriétés dès nombres ;
et ce qui nous reste de Diophante n’est qu’un traité d’a-
nalvse indéterminée qui reuferme des questions difficiles
résoluesavecune grande adresse. [l paraïitégalement; d’a-
près une Algébre indienne, publiéeil y a peu d'années,
queles Indiens sont depuistrès-long-temps en possession
de diverses connaissances sur cette branche de la sciénce
et que dès le 12° siècle ils avaient découvert des règles
pour la solution de certaines équations indéterminées,
Quoi qu’il en soit de cette antiquité de la Théorie des
nombres, ses véritables progrès ne remontent pas plus
loin que le temps de Viète et de Buchet de Meziriac.
C’est à ce dernier que l’on doit la première solution gé-
nérale de l’équation indéterminée du premier degré.

Bientôt après, Fermat, l’un des plus grands géomè-
tres de son siècle, fit faire un pas immense à la théorie
des nombres, en découvrant un grand nombre de théo-
rèmes intéressans , dont la démonstration de quelques-
uns occupe encore les mathématiciens modernes; car,
d’après la coutume des géomètres du 17° siècle qui ca-
chaient leurs méthodes pour se proposer des défis, Fer-
mat publia ses découvertes sans les démonstrations et
parmi celles qu’on a, retrouvées dans ses papiers ; il est
à regretter que les plus importantes manquent.

Euler, dont le nom s’attache à toutes les parties des
mathématiques, ne pouvait laisser la théorie des nom-
bres dans l’oubli qui succéda tout à coûp à l’espèce
d'enthousiasme qu’elie avait excitée jusqu’à la mont de
Fermat. Oubli assez naturel alors, puisqu'il était causé
par la direction nouvelle qu’apportait aux géomètres la
découverte du calcul différentiel. Dans de nombreux
mémoires, publiés dans les commentaires de St.-Péters-
bourg, Euler a étendu nos connaissances sur les nom-
bres et on lui doit uñe foule de découvertes, parmi les-
quelles nous devonsciter la résolution générale des équa-
tions indéterminées du second degré, dans le cas où l’on
connaît d'avance une solution particulière, Enfin La-
grange, Legendre et Gauss, par leurs travaux ultérieurs,
ont amené la théorie des nombres à un degré de déve-
loppement égal à celui desautres branches de l'algèbre,

C’est Gauss particuhèrement qui a donné une forme
systématique à la théorie des nombres, en introduisant
dans la science la considération du principe de com
gruénce (voy. ce mot), dont nous exposerons ailléurs
la dédüétion philosophique (Foy. Tiréonie Dés noMants).
Nous nous bornerons, dans cet article, à faire connaître
la résolution générale de l’équation indéterminée du
second degré ; due à Lagrange; celle dé l'équation du
premier degré ayatit déjà été donnée aü mot Conénurnér,
(n° 10.) Quant aux équations des degrés supérieurs dt

IN 109

second il n’existe point encore de méthode générale :
pour les résoudre.

E. On peut toujours ramener une équation du second
degré à deux inconnues à la forme

x? — My: — N

car, cette équation entièrement complète étant ( Foy.
EqQuarion , 6.)

ax? + bxy +cy° +dx+cy +f—=o
nous pouvons d'abord l'écrire
ax? + (by +-d)x =— cp — dy —f

Multiplions ensuite les deux membres par {a et ajou-
tons de part et d'autre la quantité ( #ÿ d}°, nous
aurons

Gax+{a(by+d)x+(by+d)={(by+d)—4a(cy+er+f)

mais, le premier membre étant un carré parfait, en ex-
trayant la racine, il viendra

da 4h +4 = V](o+d} —iale tort ]
—\Ÿ7 (bs—4ac}y2Lo(bd—ae)y

+d-{4af

ainsi faisant

b—/ac = A
bd—sae — g
{af = h

et désignant de plus le radical par #, nous obtiendrons
les deux équations

2ax + by +d =
Ays + ogy he

multiplions maintenant la dernière par A, elle de-
viendra.
A:y#o9Ay+ARh — At
ou, encore,
A°ÿs%96AyEg Ah gs — AIR
c'est-à-dire ,

(Ay—-g}— At —g— Ah
faisant donc

Ay+g=u
g— Ah—B

nous obtiendrons définitivement
w—Ar=RB

ce qui est la forme en question.

En remontant à æety,ona

410 IN

d’où l’on voit que tous les nombres qui satisferont à la
transformée, donneront immédiatement la solution de
l'équation générale.

2. Les nombres v, 1, pouvant être des nombres en-
tiers ou fractionnaires, si nous les supposons réduits au

même dénominateur, ou si nous faisons en général,

F4
U—= =, t—7
la transformée deviendra
x'—Ay° — Bz°

dans laquelle x, y et z sont des nombres entiers. C’est
donc cette dernière qu’il s’agit de résoudre,

3. Nous supposerons de plus, 1° que les nombres x,
7,2 sont premiers entr’eux, ce qui est toujours possible,
puisque dans le cas où ces nombres auraient un commun
diviseur, on le ferait disparaitre en divisant; 2° que A et
B n’ont aucun diviseur carré; car dans le cas contraire,
a, par exemple, on pouvait poser À — A'x?, B— B'£;

en faisant «y — y' et Bz — z' l'équation deviendrait

= A'y'"? —hB'z"

et réunirait alors les conditions demandées.

Cela posé, il est évident que deux quelconques des
quantités æ,y,zne peuventavoir aucun facteur commun,
car si» divisait æ et y, par exemple, »? diviserait æ°
et7?, et devrait conséquemment diviser Bz?, mais »? ne
saurait diviser z*, puisque x, y, z n’ont point de com-
mun diviseur; il ne saurait non plus diviser B puisque
ce nombre n’a pas de facteur carré; donc æ ety sont
premiers entr’eux et il en est évidemment de même de
æetzet deyet z.

4. Soit donc proposée l'équation (1)

x?—Ay — B=

ayant toutes les conditions énoncées ci-dessus et dans la-
quelle nous supposerons en outre À et B positifs et
BA. Cette dernière condition est toujours possible,
puisque l’équation proposée peut se mettre sous la
forme :

x?—Bz — Ay?

c'est-à-dire, qu’on peut prendre pour second membre le
terme qui a le plus grand coefficient.

Or, si l’équation (1) est résoluble en nombres entiers,
comme les valeurs de x sont dépendantes de celles de
J, nous pourrons donner aux premières Ja forme

az =ny—By

ñ et y' étant deux quantités indéterminées. Substituant

IN

cette forme à la place de x dans l'équation (1), nous’ ob-
tiepdrons , après avoir divisé par B, (2)

mais Bet y sont premiers entr’eux, car tout diviseur
commun entre B et y* diviserait x? et nous avons vu
que x et y sont premiers entr’eux ; ainsi l'équation (2)

2

ne peut subsister si (5 n’est pas un nombre en-

tier. Faisons donc cet entier, que nous apprendrons plus
loin à déterminer, égal à B'Æ, 4 étant le plus grand
carré qui puisse le diviser et (3) deviendra (4)

B'£y—onyy + By’— 2.

Faisons dans cette dernière, après l'avoir multipliée par
B'X,

B'ky —ny! =x! , Kkz = 2
elle deviendra

pen AY? — B'z2.

transformée exactement semblable à la proposée, mais
dans laquelle B' sera plus petit que B. En effet, s’il y a
une valeur quelconque de 7 qui rende 7? — A divisible
par B, en ajoutant à cette valeur un multiple quel-
conque de B, ou en le retranchant, n° + y B— A sera
aussi divisible par B ; ainsi on peut supposer que la va-
leur de » est comprise entre les limites o et B, et même

entre les limites se étroites o et + B; doté n étant

plus petit que:B, — ie B' sera <[+B, eten même

EF
temps positif.

Si l’on avait encore B'=> A , on pourrait, en opérant
de la même manière, transformer

x'— Ay'? == B'z2
en
LUI Ay"? = B'z"

dans laquelle B” serait + B', et toujours positif. Dans
le cas où l’on aurait aussi B"©>A, on continuerait ce
système de transformation jusqu'à ce qu’on soitarrivé à
une équation

x? — A = Cr

telle que C soit plus petit que A.
Alors après avoir fait passer dans le premier membre
le terme qui a le plus petit coefficient, ce qui donne

L?=—Cz— AY

On procèdera, comme ci-dessus, à la réduction du
coefficient A, jusqu'a œ que l’on trouve une transfor-

mée

IN
A2— Cz2 = D:

dans laquelle D sera <C.

Continuant ces réductions, on parviendra nécessaire-
ment à une dernière transformée dont l’un des coefficiens
sera l’unité, car les nombres B, A, C, D étant positifs et
décroissans, doivent se terminer par l’unité. Arrivée
à ceterme , l'équation finale qui sera

x’—y* =Mz où x'—7 —My

peut se résoudre immédiatement, et sa solution fera
connaître celles de toutes les équations précédentes, et
enfin celle de la proposée.

5. Avant de procéder à la solution de l’équation fi-
nale, nous devons faire remarquer que pour passer d’une
transformée

x'?— Ay' = B'z"°
à la suivante
x"?—Ay" —B"z2

on n’a pas besoin de remplir une nouvelle condition, et
qu'ayant déjà trouvé

si l’on fait n — mB'+n', et qu'on prenne l’indétermi-
née »# de manière que n' soit <Z.: B', on aura néces-
sairement pour
n° — A
B'
un nombre entier positif plus petit que B’
0 D 8 1
6. Pour résoudre l'équation finale, que nous suppo-
serons ”

a — y? = Mz,

décomposons M en deux facteurs «, £, et concevons z
décomposé aussi en deux facteurs p et q ; nous aurons
M = 28,2 — pq, et l'équation deviendra

ay = (ar) (en = 26 pq
Nous pourrons donc poser
2HY= ap, et x —y = Big"

ce qui nous donnera

aie
2
a p?— 2
= ar
2 = pq

Ainsi les trois indéterminées seront exprimées au moyen
de deux nombres arbitraires p et g. Si les valeurs de x
et de y contenaient le facteur ! on le ferait disparaître
en multipliant à la fois x,y et = par 2

IN 111

La solution de l’équation x?—y?—Mz? comprendra
donc autant de formules particulières qu’il y a de ma- -
nières de décomposer M en deux facteurs, Par exemple,
si M—15, comme il n’y a que deux décompositions, sa-
voir r et 15, 3 et >, nous obtiendrons les deux solu-
tions suivantes de x?7—7—152?.

I Il
æ=p'+15q, x = 3p +59.
Y=P 15 ; J = 3p°—5q".
zx —2pq ,; Z = 2pq.

7- L'application de ces formules à des cas particuliers
entraîne souvent de longs calcuisque l’on peut abréger,
lorsqu'on ne veutque des valeurs entières, par un grand
nombre d’artifices ; mais nous ne pouvons nous y arrêter.
Nos limites nous empêchent également d’exposer la mé-
thode plus directe de résolution, fondée sur les fractions
continues, qui ramène la solution de l’équation.

æ'—Ay? = #t.B

à celle de l'équation particulière

Min — ET

Nous ne pouvons que renvoyer nos lecteurs à la Thcorie
des nombres de Legendre et aux Disquisitiones arith-
meticæ de Gauss. Il existe une traduction française de ce
dernier ouvrage due à M. Poullet-Delisle.

INDICTION. (Calendrier.) Cycle en usage dans le
calendrier ecclésiastique et dont l’origine n’est point
exactement connue. C’est une période entièrement arbi-
traire, qui ne repose sur aucune considération astrono-
mique , comme les cycles solaire et lunaire (Voy. Ca-
LENDRIER). Sa durée est de 15 ans.

Ca trouve l’année de l’indiction romaine en ajoutant
3 au nombre de l’année de l’ère chrétienne, et en divi-
sant ensuite par 15; le reste de Ja division, s’il y en a
un, marque l’indiction de l’année proposée; s’il n'y a
pas de reste, l’indiction est 15. Si, par exemple, on
cherche l'indiction pour l’année 1836, il faut diviser
18363, ou 1839 par 15, le reste 9 est l’indiction de-
mandée.

INDIVISIBLES. (Gcom.) On désigne par ce mot les
élémens infiniment petits, dans lesquels une figure géo-
métrique peut être décomposée.

La Méthode des indivisibles, dont le principe philo-
sophique repose sur la génération indéfinie de l’éteadue,
a été introduite dans la géométrie par Cavalieri en 1635,
dans son ouvrage intitulé : Geometria indivisibilium ;
adoptée d’abord par un grand nombre de géomètres, au
nombre desquels nous devons citer Torricelli, l'abus
qu’on en fit bientôt, en voulant l’employer dans les pro-
positions les plus élémentaires, fit ensuite mettre en
doute l'exactitude de ses principes, et, malgré son uti-

112 IN

lité incontestable et sa fécondité prodigieuse, elle ne
put échapper à l’ostracisme jeté par la prétendue philo-
sophie du dernier siècle sur toutes les considérations ma-
thématiques fondées sur l’idée de l'infini. Bien loin donc
de développer une méthode qui n’est au fond, pour
l'étendue, que ce qu'est le calcul différeutiel pour les
nombres, les géomètres modernes ont cru marcher
dans la voie du progrès, en adoptant exclusivement la
Méthode d'exhaustion des anciens, dont le procédé, pu-
rement inductionnel ne conduit à la vérité que par de
longs détours (Foy. Méruons).

INDUCTION. Jugement par lequel on conclut du
particulierau général ou des faits aux lois: Par exemple,
si, après avoir démontré, dans le casoù 72 et » sont des

nombres entiers positifs, que
an Dé ar = an+n

on en concluait que cela doit avoir lieu pour toutes les
valeurs possibles des exposans 72 et », on jugerait par
induction. Un tel procédé ne doit être employé qu’avec
les plus grandes précautions, car il existe un uombre
considérable de cas dans lesquels une expression algé-
brique dont la généralité parait appuyée sur de nom-
breuses valeurs particulières, se trouve subitement en
défaut. Telle est par exemple la formule remarquable

DH xx
qui donne unesuite de nombres premiers, en y faisant
æ—1,2,3,4,5, ctc.; elle fut présentée comme une
loi générale, et cependant elle n’est exacte que jusqu’au
quarantième terme.

L’induction, considérée comme fonction intellec-
tuelle, porte sur la transition opérée entre les facultés de
la Raison et de l'Eutendement par la faculté intérmé-
diaire du Jugement, à laquelle elle appartient. On voit
donc d’après son origine, qu’elle ne peut conduire qu’à
des résultats de plus en plus probables, mais qu’elle ne
saurait par elle-même atteindre à aucune certitude.

INÉGALITÉ. (451) Terme très-employé dans l’as-
tronomie, pour désigner toutes les irrégularités des
mouvemens des planètes. On dit première inégalité,
seconde inégalité, etc. Voy. EqQuarTioN, Luxe , PLANÈTE.

INFINI. Ce qui n’a point de bornes. Appliqué aux
quantités, ce terme désigne celles qui sont plus grandes
que toutes quantités assigoables, ou pour lesquelles il
n'existe pas de rapports avec les quantités finies. Nous
avons déjà établi, au mot Dirréeenriez , la différence
qui existe entre les quantités finies et infinies, et entre
les quantités finies et infiniment petites; comme aussi
la véritable acception du mot indefint ; nous y renver-
rons donc.

Une quantité infiniment grande, s'exprime en général

par le signe @, et une quantité infiniment petite pan 5.

IN
Par suite, ©? est infiniment grand par rapport à c,
TOR : < :
et infiniment petit par rapport à 2 ; Aussi oo repré-

sente une quantité infiniment grande du second ordre,
1

#3 une quantité infiniment petite du second ordre ;

et œset! sont également des quantités infiniment
603

grande et infiniment petite du éroisième ordre, et ainsi
de suite.

a étant une quantité finie quelconque, on à les rela-
tions.

a
C4

= 0 — œæœ voXæ—a

mais daus ce cas zéro doit être considéré comme une
quantité infiniment petite et non comme un zéro
absolu.

INFINITÉSIMAL. Le calcul infinitésimal n’est autre
chose que le calcul différentiel, traité, comme nous
l'avons fait, par la méthode des accroissemens infini-
ment petits. et non par la méthode des limites ou par
toute autre méthode indirecte.

MéruoDes INFINITÉSIMALES. /’0y, MÉTHODE.

QUANTITÉ INFINITÉSIMALE. C’est une quantité infini-
ment petite.

INFLEXION. {Géom.) On nomme point d'inflexion
dans ane courbe, le point où de concave elle devient
convexe et réciproquement:

Par exemple, le point I ou Ja courbe AT, de la pre-
mière figure, qui devient convexe par rapport à l’axe IB
de concave qu’elle était avant, est un pornt d'inflexion.

Lorsque la courbe change brusquement de direction,
comme dans la seconde et dans la troisième figure, et
rebrousse son chemin, le point où cela a lieu prend le
nom de point de rebroussement.

Les points tant d’inflexion que de rebroussement,
sont compris sous la dénomination générale de points
singuliers. Voy. Point.

INFLECTION. (Ope.) Déviation qu’éprouvent les
rayons de lumière, lorsqu'ils rasentles bords d’un corps
opaque. C’est la même chose que ce que l’on Pose
“plus communément DrFFRAGTION.

La découvérte de cette singulière propriété, qui ren-
Fefmé le seal câractère matériel qu'on peut réconnäître
dans la lumière, est due au père Grimaldi, savañt jé-

suite; le docteur Hook l’avat également reconnue ;
mais c’est à Fresnel, qu’on doit la connaissance exacte

de toutes les circonstances du phénomène.

INFORMES. {45t.) Nom que les astronomes ont
donné aux étoiles, nommées aussi sporades, qui ne se

trouvent comprises dans aucune constellation.

INSCRIT.(Géom.)Une figure est diteinserite dans un
autre, quand les sommets de tous ses angles touchent le

périmètre de cette autre.

Ainsi un polygone est inscrit dans un cercle, lorsque
tous les côtés de ce polygone deviennent des cordes
pour le cercle.

On nomme aussi Ayperbole inscrite, Vhyperbole d’un
degré supérieur, qui est entièrement renfermée dans
l'angle de ses asymptotes, comme l’hyperbole apollo-
nienne ou conique.

INTEGRAL. — Carcur inréeraz. Seconde branche
du calcul général des pirrÉRENCEs. Son objet est la con-
sidération des différences inverses, nommées aussi som-
mes ou intégrates. Voy. DirrérENCE. 16 et 49.

Ce calcul, comme celui des Différences directes, se
divise en deux parties savoir : 1°, le Calcul intégral
aux différences finies, ou, comme on le nomme com-
munément, le Calcul inverse des différences; 2°. le
Calcul inicgral aux différences infiniment petites, ou le
Calcul intégral proprement dit. Nous allons les exa-
minér successivement.

1. CALCULINTÉGRAL AUX DIFFÉRENCES FINIES, Ou Caleul
inverse des différences. Le but général de ce calcul est
d'obtenir la génération d’une différence d’un ordre
quelconque 4”r, au moyen dela différence supérieure
A+ 1623 ex étant une fonction quelconque de la variable
æ. Considérée ainsi par rapport à Am+19x, la quantité
Apx prend le nom de somme, pour des raisons que
nous verrons plus loin, et la relation de ces deux quan-
tités s'exprime par

Ampx =2[An+1@x]

Z étant la caractéristique qui désigne la somme. ( Voy.
DirFérENce. 16).

Nous avons expliqué, dans les paragraphes déjà cités
de l’article Dirrérence, le sens des caractéristiques
2, 2°, etc. et nous avons vu que les expressions ox et
A—"9x sont équivalentes. Nous supposerons donc dans
ce qui va suivre que tout ce qui a rapport à la notation
est connu.

1. Le problème de trouver la quantité gx dont on
connaît la différence Apx, peut se ramener à. celui de
trouver la différence de l’ordre général 72, de cette dif-
férence Apx. En effet , en désignant par f'(m), l’expres-
Sion de 4m [Apx], si l’on y fait m——1 on obtient im-
médiatement

TOME 414

IN Â15
A1 (A@x]— 3[apx] —f(—1)

Mais en appliquant à la quantité 49x, la loi de géné-
ration des différences (Voy. DirrérencE. 14), on a évi-
demment

e m(m—1) :
Am [Aox] = Apx—mAo(x—i) + DS Ap(x—92i) —

etc.....

à étant l'accroissement de x, dont dépend l’accroisse-
ment correspondant Azx de la fonction ox.

Faisant donc dans cette expression m——1+, nous ob-
tiendrons
S [agx]=—Apx 2 A(Qæ—i) + Ag(x—oi) + AG(x—3i) +
etc.....

D'où nous voyons que x|Ayx] désigne une véritable
somme. C’est ce qui résultait d’ailleurs d’une manière
plus générale de l'expression (d) de l'intégrale zx,
(Foy Dirr. 20).

La génération de la fonction #x est donc donnée ici
par la somme de tous ses accroissemens.

2. L'intégration des différences polynomes peut tou-
jours être ramenée à celle des différences monomes;
car :

A [ox +ey +] = Apx + Apy + A7,
or, en prenant l'intégrale des deux membres de cette
égalité, on a

gx + er + vz= 2[Apx + Aer + 492)

ou, ce qui est la même chose,

ZAoz + XAoy — 349% = 2[Apx + Apy + Az]
Ainsi nous ne nous occuperons que des différences
monomes.
Nous devons encore remarquer que tout facteur cons-

tant de la fonction variable, peut être mis hors du signe
d'intégration, ou que

3[Ayx] est la même chose que Axpx.
C’est une conséquence immédiate de ce que
A[Agx] — Ac Apt.

3. Procédons d’abord à la recherche de l'intégrale de
la fonction élémentaire æ”*; l'accroissement de x étant
toujours désigné par ts

Nous avons (Dirr. 21.)

4 A(n— 1 Lu
AL = NAN—I pen An—2j2
1.2
n(n—1)(n—2) œn=3i3
1.2.9
ec...
F 45

114 IN
En intégrant de part et d’autre, il vient
u NIUE (n— 1): D Sans
= Ai12 Ka ral
7 AT

n(n—1)(r—0)

D

+ etc. ....

as xn—3

Cetteexpression ferait connaitre l'intégrale de æ" sil'on
avait celles dex#—1, æ7—°, x"—3 etc. Car en y faisant

n—:=m, et en dégageant zx", on obtient (1)

Dm Ta LR PNEUS u
UE NS EAU OURS
_ (mad-i)à no
m m3)

ZX. x —2

1.2.9

m(m—1\m—0) .,

.3.4
+ eté.....,..

pa 3s xm—3

—l

1.2

Faisant successivement dans cette dernière m—0o,
M—1, M—)2, etc. et substituant dans chaque valeur

celles qu’on a obtenues précédemment, on trouvera

æ
ZT° = -
z
KL T2 1
ÈT = -——-7x
DE 2
3
LE ï I
Ex = > —- 2H — x
31 2 NAT
: 12: : I ;
2 = ; -— _ L' — Xi
4 È 2 2.0
2 SAT pl
Sri Li —- xite mi xù
2 Z 2 te] .
6 F
: vz £ DNS
Sn — 63-22 TÈ
z 2 .U .
LC —#eic

4. On peut obtenir l'expression générale de 27 sans
passer par les sommes 227*—1, Ex”—2, etc., en se servant
de la méthode des coefficiens indéterminés. En effet

?

nous pouvons poser

22m — Agmti EL Bon L Crm-1 EL Drm—2— etc.

car telle est évidemment la forme de la génération de ces
intégrales. Or, en prenant la différence première de
chaque membre , on trouve

I

A CEE) RE pes 1 A CDR

9

1.2.

RE —-

etC.....

mx I
B” 22 Pmetr B —— RL etc...
+ BE +

Le

sie

+ etc...

+ C

IN

comparant entre eux les termes affectés d’une même
puissance de x, on découvrira entre les coeffciens in-
déterminés A, B, C,etc., les relations suivantes, qui
serviront à les déduire facilement les uns des autres ,

B (mx) I
AAA TCENTIE
c À (1 mi mu
A n
DEA Grimm nË (nes) (m1 à
2.3.4 2-9 2
CiC— Etc

En effectuant le calcul de la partie numérique de ces
coefficiens, on obtient (2)

Tm+1 I
DPUL nee mie 2121
(mie 2
3 —1
den AMI. EU : dr —3
DS PL) 0.9 141
1 M à 3 ml
652 6: RAT ET DE 0 9. 8x HTSTEZ
5.7 : 10.0 1:
5 m9—1. 691 m1
+ - 19X7—9 : —— Li — (1
6.11 rio 220.13 1711
F DT 3Grim m5 —1
35 Te 13pn—13— 36 jee —__p5ypm—15
Z ZT
2.15 1141 80 F7 T6
86171 —1 2992779m19|—1
rates 17e 7m g 11 jl9pm—19
42.19 riëlr F1O,21 1201
H'etciinis à

nous nous servons, pour abréger de la notation des fac-
torielles (Foy. ce mot).

La différentiation d'une fonction de, quantités
constantes et variables faisant disparaître les quantités
constantes qui entrent dans son expression et qui ne sont
point facteurs des variables, il faut, en intégrant, ajou-
ter une constante arbitraire que Ja rature de la question
donne ensuite les moyens de déterminer. On a, par
exemple , À et B étant des quantités constantes,

A [AHBox] —)BAox HÉREA
Ainsi, lorsqu'il s'agit d'intégrer BAox, comme toute
trace de la constante À a disparu dans cette expression,
dont l’intégrale est
SBAgx — Bs4ox — Box
il devient nécessaire, pour compléter l'intégrale, de lui
ajouter une constante indéterminée; on écrit donc
SBAgx — Béx + constante.
Dans un grand nombre de cas cette constante peut être
zéro, mais dans d’autres elle change entièrement la va-
leur de l'iutégrale, et il est toujours essentiel d’en tenir

compte.

IN
6. L'intégration que mous venons de donner de la
fonction élémentaire x", renferme le principe de celle
de toutes les fonctions algébriques rationnelles et en-
tières, dans lesquelles la variable indépendante reçoit
uu accroissement constant. Proposons-nous, parexemple,

d'intégrer la fonction

ASHA x A 2 A ri.

nous avons

3{A,HA x +A,x+A;x| = AE t0+ A 2x!
+A,2x—HA,ExS

Ainsi mettant pour Ex°, Ex', zx”, Ex, leurs valeurs ,

nous obtiendrons

A t—3A iLGA,

EX
Oz

At—0A,710A
+ RE Æ tt pt
bu
3A3i—92À, 2
Gi

ASE
GE x*

+ constante.

SASHA ,ù+A,xt+Asx] =

7. L'intégration de la factorielle xl, lorsqu'on
prend l’accroissement de la différence égal à celui de la
factorielle, présente moins de difficulté que l'intégra-
‘tion de la simple puissance æ». Eu effet, nous avons
(Dirr. 22.)

Ami — mi(2c+i)n— vi

d'ou, en intégrant ,
demi = mi E{x+i)n il

égalité qui donne immédiatement

acné *

2ætimii = =,

, ( go ) mu
Faisant mm —1= n, et x + i = x, cette expression de-
vient définitivement (3)

(CAERL

(a+)

et telle est l'intégrale générale de la factorielle æ1,
quel que soit l’exposant » entier ou fractionnaire, positif
ou négatif.

Dans le cas de l’exposant négatif, la formule (3) de-
vient (4)

J y
DE AU —

+ constante.

È dis Œul rot) nus
(æ—ni)"\ (a—1)x—ni—i li
à cause de

5 1
, (x— nan LL Es Te et

(loy. FacronteLte 6.) Représentant, de nouveau, dans

IN 115
cette dernière la base æ — ni par x, nous obtien-
drons (5)

1 I

> — ! .
. à — + constante.

CEE CAT

Dans le cas où nous considèrerions les différences à «c-

croissemens negatifs, comme alors la différence de æ”1°

est simplement,

ADN = pnign— li

les formules (3) et (5) deviendront (6)

) ail
S'HNfE ee const.
(n—1)à 4
1 2 f
Y — — = , TR
eNTE Eden ô

Nous verrons ailleurs des applications très-importantes
de ces intégrations. (7’oy. SommAToIrE.)

8. Passons à lintégration des fonctions transcen-
dantes. La différence de la fonction exponentielle ar,
est (7)

AA — a*(ai—1)

Car on obtient cette différence en faisant varier x et en
retranchant la fonction primitive de celle qui a recu

l'accroissement (Dirr. 7), ce qui donne
Aar — at+i — ax —a® (ai — à).

Ceci posé, en intégrant les deux membres de l'égalité
(7), nous avons

a —= s f'ax(ai—1) = (ai—3)3ax
d’où (8)
ac
SAUENÉES
(ai—1)

9. Les intégrales des fonctions circulaires sinx, cos,
s’obtiendront par un procédé semblable au précédent.
Nous avons

ACOST == COs(T +1) — cos ?
et par suite (9),

À cos &æ — — 2 sin 32. sin (x+ir.)

à cause de la relation générale(7”oy. sinus)
cos À — cos B —— » sin 5 (A—B). sin (AB)

On tire de l'égalité (9),

N: < A COST
sin (Xi) = — ——.
2 sine

ce qui devient, en remplaçant æ + =ipar x,

A cos (x—i)

sinx — -
2 Sin

TS
U

a

On obtient donc, en intégrant, (10),

116

i
=, + const.

Une marche semblable, en se rappelant la relation
générale

sin À — sin B — 2 sin ? (A—B). cos :

: (AB)

nous conduirait à l'expression (11)

sin a)
Z COST =

a) const.

2 sin LE

10. La génération des intégrales du premier ordre,
conduit très-facilement à celle des intégrales des ordres
supérieurs, car Z’?x est la même chose que 2 Sr), z'ox
que x’(%9x) ou ZE E(xpx)) etc., etc. C’est ainsi, parexem-
ple, que pour obtenir Z{yx), on commence par preu-
dre l'intégrale du premier ordre qui est

a? æ
Ex —— — Er A
+R +
À désignant la constante. En intégrant cette dernière
expression, on obtient
I

> ë
EX— — B+ x + Axx° — const.

Lx? — :

" TE 3 2
ce qui donne définitivement, en effectuant les intégra-
tions indiquées

RD Ut à.

are

2 —
ZX? —

_ AT + const.

122” a+ ii

On voit que l'intégration introduit un nombre de con-
stantes arbitraires égal à celui de l’exposant de l’ordre.

11. La génération de l’intégrale de l’ordre m d’une
fonction quelconque 9, s'obtient d’une manière géné-
rale par les différentielles de cette fonction, et cette gé-
nération présente des particularités remarquables que
nous devons signaler.

Si l’on développe la fonction Aox, par la formule de

Taylor (Foy. DIFFÉRENCE , 34.) on trouve

dox C4 dox à dox ra
dx? 1.9 | dx 1.2.3

+ etc...

et, en comparant ce développement avec celui de la
fonction exponentielle e> qui est

Ar = re =

dx 1

É + etc.

: dox . :
on voit, lorsque =". i, ce qui donne

dx.

dex ü (dx) 2 a

dx (dox)’ rÈ
: —1— ; - Li Le
g dx ‘1 T dæt 1.2 ae 259

IN

que ce dernier développement ne diffère, dans sa forme,
de celui de 49x que par les exposans des puissances de
dex. Ainsi on pourra poser (12)

dex ; :

Agx =e de

— 1
pourvu que dans le développement du second membre
de ceite égalité on transporte à la caractéristique d les
exposansdes puissances de dyx.Conditionessentiellesans
laquelle l'égalité (12) n’a aucun sens; cette égalité ne de-
venant effective que par le développement du second
membre.

Lagrange a remarqué le premier que cette analogie
entre les différences et les puissances avait également
lieu pour tous les degrés, et qu’on avait en général (13)

dex ; jm
AMEX — e dE 1 |
en observant toujours qu’il faut développer le second
membre et transporter à la caractéristique d les expo-
sans des puissances de dpx.

Cette relation (13), ayant été démontrée pour toutes
les valeurs positives et négatives de l’exposant », donue
immédiatement (14)

dgx nt
dE:

ATRDX = EMEX —=

—1]

On écrit encore cette relation de la manière suivante

alors les exposans des puissances appartiennent immé-
diatement à la caractéristique d'et par la réunion de la
quantité x on forme les différentielles successives dx,
dx, etc.

12. Nous avons dü nous borner à présenter ici de la
manière la plus succincte les principes fondamentaux du
Calcul inverse des différences ; quant à l'intégration des
équations aux différences à plusieurs variables, elle en-
traîne des détails qui ne penvent trouver leur place
dans ce dictionnaire; et nous devons renvoyer au grand
Traité du calcul différentiel de Lacroix. Ë

IL. Carcuz inrÉGnaL aux différences infiniment pe-
tites. C’est particulièrement à cette branche du Calcul
des différences inverses qu’on a donné exclusivement le
nom de cALCUL INTEGRAL. Jusqu'ici les auteurs d’ou-
vrages élémentaires ont présenté le calcul des diffé-
rences finies comme entièrement distinct du calcul dif.
férentiel , tout en reconnaissant cependant queces calculs
ont de grands points de ressemblance. Cette distinction
qu’on a voulu établir entre les deux branches d’un seul

IN

et même calcul , (brauches qui ne diffèrent entre elles
que par la nature des accroïssemenrs qu’on y considère)
n’a aucun fondement; et si l’on remonte au principe
mêmede l'existence des DiFFÉRENCES des fonctions, c’est-
à-dire à la génération de ces différences, dont la con-
ception primitive est donnée pour les expressions

Différences réelles, Apx= 9 (x4+Ax)—9x
Différences idéales. dpx:=dy{x+dx)-9x

on reconnaît sans peine que les différences idéales ou
infiniment peiiles ne sauraient avoir d’autres lois géné-
rales que celles des différences réelles ou finies. Nous
avons en effet reconnu (DIFFÉRENCES), que les premières
de ces lois ne sont que des cas particuliers des secondes,
ceux où la différence Az, devient dx, c’est-à-dire de réelle,
devient idéale, et si alors les expressions se simplifient
beaucoup par leretranchement des termes qui deviennent
nuls, c’est uniquement en vertu de cette loi fondamen-
tale des quantités infinitésimales, par laquelle l'égalité
de deux quantités quelconques À et B, prises dans une
mème sphère de grandeur, ne peut être altérée par l’in-
fluence d'une autre quantité C, infiniment petite, com-
parativement avec les grandeurs de l’ordre A etB.II
en est évidemment de même des différences inverses où
intégrales et l’on peut toujours passer de l'intégrale 397

à l'intégrale h 9x, en faisant l’accroissement 2 de la va-

riable x ; infiniment petit, et en faisant disparaître de
son expression les termes affectés des puissances ?, etc,
qui sont autant de quantités infinitésimalesnulles devant
zou dx. Par exemple , si dans l'intégrale donnée n° 4,
pour la puissance x” on fait dx cette intégrale se ré-

duit à
J=

Ce que l’on peut mettre sous la forme

ME — T1
” (mHi)dx

parce que dx est considérée comme une quantité con-
stante.

Cependant il est toujours beaucoup plus court de
chercher directement la différentielle dx, que de l’ob-
tenir de la différence 4gx, en y faisant i — dx, et telle
est l'immense avantage des différences infiniment pe-
tites que la génération d’une quantité quelconque peut
être obtenue par leur moyen de la manière la plus sim-
ple possible. Nous allons donc procéder à la déduction
directe des intégrales ou à la génération des fonctions
primitives dont les différentielles sont données.

13. Soit d’abord proposée la différentielle x" dx;
puisque nousavons (Dirr. 43 )

5). del nei-idx

IN

nous obtiendrons, en intégrant les deux membres

[axy= ner

ou , les deux signes Ja dse détruisant ,

= fnadr=n f'arride,

Nous avons déjà dit que les facteurs constans peuvent se

417

mettre en dehors des caractéristiques.
Cette dernière égalité nous donne, en faisant 2—1—m

f'avaz = Eva
(m1)

Ainsi la règle générale pourobtenir l'intégrale-dex,,dx
est celle-ci : augmenter l'exposant d'une unité et diviser
ensuite par le nouvel exposant et pardx. Oa peut re-
marquer que cette expression est celle que nous ayons

obtenue ci-dessus en passant de Sr à flan.

Pour obtenir l’intégrale complète, il est nécessaire
d'ajouter au second. membre de l'égalité précédente une
quantité constante €, qui reste entièrement arbitraire,
tant qu'aucune circonstance ne vient déterminer la va-
leur que doit avoir l'intégrale pour une valeur particu-
lière de la variable z. En effet , quelle que soit la quan-
tité constante €, on a

d'C+H x] = dar = nœr—-1dx

et comme toute trace de € a disparu dans la fonction
différentielle nx"—1 dx, on voit que cette différentielle
est la même pour toutes les fonctions de la forme M—zxr,
M étant une quantité constante quelconque; ainsi et ré-
ciproquant, l'intégrale de nx"—1dx, c'est-à-dire M+zx,
peut avoir une infinité de valeurs, correspondantes à
toutes les valeurs qu'on peut donner arbitrairement à
M. Nous avons donc généralement pour l'intégrale de
xmdæx , expression

: am+i
ao... fx dx.

Si, d’après la nature de Ja question qui conduit à la

GC

différentielle x"dx , son intégrale devait s'anéantir , ou
devenir zéro , lorsque la variable æ reçoit une valeur
particulière b , cette circonstance exprimée dans (16)

= }

donnerait
bm+
Le pe ON
m1
D'où l’on obtiendrait
but:
Éd mx

118 IN

Alors la constante ne serait plus arbitraire, et l’inté-
grale complète serait , (17),

D ’ LM HI bm+1
LIT = ———
se m1

C’est par un procédé entièrement semblable que l’on
peut déterminer la valeur de la constante dans toutes les
intégrations où les intégrales doivent recevoir des va-
leurs particulières pour certaines valeurs de la variable.

14. L'expression (15) avant lieu pour toutesles valeurs
de l’exposant, il en sera de même de l'expression (16).
Dans le cas de l’exposant négatif, on a donc aussi

am
dx = —-—— C
JE fil —m+1 +

Ce qui est la même chose que

dx I
CO et

Pour les valeurs fractionnaires positives et négatives de
l’exposant , on aurait de même

mi mx
(19)... 4 gx = + C

dx m
(20)... — —— ——
/ n n—m
L Vus (m—n)x Le

L'application de ces formules ne présente aucune dif-

ficulté. Par exemple, si l’on veut intégrer la quantité

ax °dzx; en faisant dans (19), # — 4 ,m = 5, on obtient

immédiatement
9
4 LE Le 9
£ LE AE 2 5
af-xidr =a.-— = .ax:# GC
e 9

La formule (20) ferait également trouver

= Va
e xs

ZiÿE +C

15. La formule générale (16) dont (18), (19)et(20)
ne sont que des déductions, présente un cas particulier

NV — 3V/ax
3 1x à

remarquable que nous devons examiner ; c’est celui où

m—= — 1, caralors elle donne
dx 1 à
=- ét C
æ —0

10: CITE ‘ ;
= étant une quantité infiniment grande, ce résultat ne

nous apprend rien, à cause de l’indétermination com-
plète de la quantité C. Ainsi en admettant qu'il existe

IN

une fonction Ÿx de x telle que sa différentielle soit

dx ;
ZX? °u telle que l’on ait

fi aies
ZT

la formule générale (16) paraît insuffisante pour en don-
ner la génération. Il n’en est rien cependant, car si
cette fonction x existe, elle doit avoir une valeur
quelconque b, correspondante à x=0 , b pouvant être
d’ailleurs lui-même égal à zéro ; et comme par cette con-
sidération l’intégrale complète, pour toutes les valeurs
de l’exposant 72, est(17)

am+i— Jpmi+x
Jerez nn
mi

cette intégrale , dans le cas de m3 ——1, devient

dx x—b "0

Œ otnAHT ©

c’est-a-dire, une quantité indéterminée dont on peut
trouver la valeur par le procédé donné au mot Diffe-
rence, n° 47. En effet, considérant »#: comme la varia-
ble, dans l’expression générale, et différentiant les deux
termes de la fraction, on obtient, en désignant par la
caractérisque L, le logarithme naturel de la quantité qui
en est affectée ,

d[xr+i — bm+i]

ami, La.dm— bm+1.Lb.dm
dm]

dri
= 843, Lx — bm—1,Lb

ce qui devient dans le cas de » ——1

Lr—Lb

Nous avons donc aussi

ou

Lé demeurant indéterminé. Cette difficulté qui se pré-
sente dans l’application de la formule genérale (16) tient
à la nature transcendante de Ja fonction Lx, -

En partant de la différentielle

PE ue ds
x

( Voy. nirr. 31.) on aurait reconnu immédiatement

que, (21),
dx
Ye be

16. L'intégration dela fonction simple 攫r, donne
les moyens d'obtenir non seulement celle de toutes les

IN

fonctions différentielles rationnelles et entières d’une
seule variable x, mais encore celle d’un grand nombre
de fonctions différentielles irrationnelles. C’est ce que
nous allons faire voir.

Toute fonction différentielle rationnelle et entière
d’uve même variable peut se ramener à la forme

[Aæz + Bx2 + Ca? + Dx? + etc.. .\d2

or, en vertu de

Ja+Y+a+as fX+ PRE etc.

on a

VE [A+ Br Crt+Drdtetc..]d= A 7? exde

+ B æedx
+ C / xtdx
+D L AN
+ etc.
expression qui, en intégrant chaque terme en particu-
lier, devient
#+1 +:
Ax* L Br£-etc….]de =AT
J'tArt + Brs ete... lde AT + BTE

+ etc.....+ const

Il n’y a besoin d’ajouter ici qu’une seule constante ar-
bitraire, car on voitaisément que si l’on en ajoutait une
pour chaque morome leur somme serait encore repré-
sentée par une seule quantité arbitraire.

17. Les fonctions de la forme
(AL Br + Cr + Dax + etc..." dr

pourront encore être intégrées de la même manière,

puisqu’en développant la puissance om obtient une suite
de termes dont la forme générale est

Mzxrd

et, cette intégration peut avoir lieu d’aprèsles formules
(6), (18), (19) et (20), pour toutes les valeurs entières et
autres de l’exposant »7. Lorsque cet exposant est entier
et positif l’intégrale se compose d’un nombre fini, de
termes ; dans tous les autres cas, elle est représentée
par une série indéfinie.

18. Il existe quelques fonctions de la forme ci-dessus
dont on peut, à l’aide de certaines transformations, ob-
tenir l'intégrale, sans avoir besoin de développer la puis-
sance. Nous allons les examiner.

L'intégration de la fonction binone (a+bzx)"dx, est

et, par conséquent

IN 419

d’abord dans ce cas, quel que soit même l’exposant ; car
faisons a+-bx —x ce qui donne
z— a

x—=—— , et dx=

b D:

substituant ces valeurs dans la fonction donnée, nous
obtiendrons

(aba)mdr = TE

J'atieraee f°

zm+ 1

RE I )b

mettant pour z sa valeur, nous obtiendrons aéfiniti-

vement
Je (a+-bx)rdx =

19. La même transformation peut encore être em-
ployée pour la fonction plus composée ;

(a+bx) \m+i .
| (mErnb PERS

(a+ban)nan—idx
en effet, faisant a+-bx"— =, on trouve
di=d(a+bxr)=bd(x")=nbxr—tdx

et par suite.

zmdz
on jt eme X —
(a+-bar)ran—1 dx = =5
Mais
VE da chat zm+1
nb =? 7 (m+i)nb
Donc
b 1 2m
MN — 1
J'atiar) are
__ (a+bzær) }a+x
ROUES
Comme en géuéral der" — myx"—1. dyx, toutes les

foisque la quantité qui multiplie la puissance 9x"—1 sera
la différentielle de la base 9x on pourra obtenir l’inté-
grale, par des considérations semblables aux précé-
dentes, soit par exemple la fonction différentielle

(a+bx+cx}".(bHocx)dx

il est facile de reconnaître que (b+2cx)dr, ou que
bdx+oacxdx, est la différentielle de a4-bx+4-ca?, car
en faisant

=a+bx+cx

120 IN

on a

dz—bdi+icxdi

Cette fonction est douc la même chose que z"dz, et

par conséquent son intégrale est

/ ao} (ea) PEER +C

20, Lorsquelestransformations précédentes nepeuvent
avoir lieu, il faut , comme nous l'avons déjà dit ,dévelop-
per la puissance etintégrer la série résultante terme par
terme. Soit, par exemple, (a—bx*)‘dx la fonction pro-
posée; on obtient en développant

(abs id =ai.dx—hañbxt.dx+6ab?a°.dx

—/ab3x.dx+bix".dx

Ainsi, intégrant chaque terme en particulier , on trou-

vera

J'a-tx)dr= aix abri +$abxt
fi # abx'o+ bia +C

=, on aurait aussi

dx
Vi —a2

JS ne fTaersrditet. ]

Si la fonction proposée était

d’où
S 23, A,1.3.%5.4 1585-27
—— +=. LE e
t V/1— ax Dear States TEST

21. Les fonctions circulaires sinus et cosinus peuvent
dans plusieurs cas dispenser de l'intégration par série, et
fournissent alors des intégrales très-simples et très-
utiles. Rappelons-nous (rirr. 33 ) que

d' sin 3 = cos z.dz

dcosz = —sin z.dz
D'après la nature de ces fonctions on a ( Foy. Sinus)

cos’z + sin?z—1
d’où l’on tire

COSz — V/1—sinz
Substituant cette valeur dans celle de dsinz, il vient
dsinz = dz.\/1—sin?z

Faisons maintenant sinz — x, et nous obtiendrons

l'expression
pdt -
Vi
dont l'intégration donne
à dr
vi= Rest

IN

Mais z est, ici, l'arc dont le sinus est égal à æ , ainsi
où a,(22),

dx

JE

22. On peutramener à l'intégrale précédente celle de
dx

= arc (sin=x)+C

Væ— x, car en divisant les deux termes de la fraction
par a, on obtient

: : TL
et cette quantité étant composée en v COMME es

l’esten x, il en résulte

LA dx
Va—x

23. On trouverait en opérant comme ci-dessus,

. “A
= aro( sin = 2H C

(23)2ee Res —= arc (cos—x)+ C
V/1F-2?
ep. JE — arc (tang = x) + CG’

(25)... JE = arc (sin. verse — x) 4-C

Intégrales qui conduisent aux suivantes :

À — dx x
—— —= arc (cos = -
Va — x? a

TEEN

D D arc (sin. verse — 5) + C
2at— x?

€

. arc (tang = x)+ CG

Ces expressions fournissent plusieurs conséquences re-
marquables que nous allons examiner.

22. Considérons en particulier l'intégrale (24), et cher-
chons-en une autre expression en intégrant par série.
Nous avons

ce qui devient, par le développement de la puissance — 1

dx

es dx — x°dx + xidx —

a$dx + etc.

Ainsi intégrant terme par terme nous obtiendrons

dx LEA TS EC)
Rp om qi re 2 obtient

IN
d'où , en comparant avec (24)

: æ2 LUTTE ZI
arc (tang=x) = zx — 3 + F TE ka

etc.

Il n’y a pas besoin d'ajouter de constante parce qu’en
faisant x — 0, l’arc se réduit à zéro.

Cette série qui donne l'arc , au moyen dela tangente,
peut servir pour trouver la valeur de la circonférence
du cercle dont le rayon est l'unité, car on sait que l’arc
égal à la huitième partie de la circonférence a sa tan-

gente égale au rayon, faisant donc æ = 1, nous aurons
T Re : D nos
arc (tang = 1) = j? r désignant toujours la demi-cir-

conférence pour lerayon —1, et, par conséquent, (25),

Opérant de même sur l'intégrale (22), nous trouve-
rons, (26),

ORNE ADMET ! HO JE
2.4 5

arc (sin = &) =x+ _ —+

expression qui n’a pas non plus besoin de constante,
parce que l'arc dont le sinus est zéro s'anéantit, Comme
le sinus du quart de la circonférence est égal au rayon,
si l’on fait dans cette dernière expression x= 1, elle

La > ; ns
donnera la valeur de -; mais on peut obtenir une série
2

beaucoup plus convergente ,enremarquant que lerayon
d’un cercle eft égal au côté de l'hexagone régulier in-
scrit (Joy. nExAGONE) ét, par conséquent, que la moitié
du ravon est égale au sinus de la douzième partie de la
circonférence ; faisant donc Œ —3?, nous aurons

arc(sin —+) F& 5 8t

série très convergente, car il suffit de 10 termes pour
obtenir

r = 6(0,52359877..) — 3,14159262...

Valeur exacte jusqu’à la huitième décimale.
24. L'intégration par série appliquée à la fonction

dx
En nous donne encore une génération du logarithme

naturel de a4+x, que nous devons exposer. Il faut re-
marquer d’abord que, (27), :

Tong 11,

IN

en effet, représentons a + x par z, nous aurons

121

ax = 3, et d{a4x) = ds, où dx = «ds

UE dz
ainsi ——-

a+-x GE

, et comme d’après la formule (21),

SE=vw+c

si l’ou substitue à la place de = sa valeur, on trouve
l'expression (27).

Ceci posé, puisque Æ — (abx)-1dx, on a

(a+x)-1dx — = dx —= dx + Ede—ete.

dont l'intégrale est

dx x 3% Fe di
Je re LE" UE D + C

nous avons donc aussi

x?
"ns etc...—+ C

[44 24

Pour déterminer la constante nous remarquerons que
lorsque x—o, cette équation devient La —0+-C. Sub-
stituant cette valeur de C, il vient

L(a4x) =La+”

développement que nous avons trouvé ailleurs, pour le
cas de a —1, d’une manière bien différente ( Way. nir-
FÉRENCE 37.)

25. Passons aux fonctions différentielles fractiornaires
plus composées que les précédentes , etconsidérons d’a-
bord la fonction

Aardx
a-+oxy
Si nous faisons a--bx=—7, nous trouverons

a tx =
= —, td =

substituant , la fonction proposée deviendra

,imultipliant le

16

ainsi, développant la puissance (5—a)"

IX

résultat par d= et divisant eusuite chaque terme par

122

bm+izn, on aura une suite de monomes à intégrer, et
après l'intégration on remplacera z par sa valeura+bx.
L'exemple suivant va éclaircir ce procédé: soit la
fonction proposée

Axrdx

(aLbzx)
ici , l’on a m—2, n—1, et la fonction en z devient

A(z—a)dz

b?z

Nousavons donc, en développant la puissance,

A(z—a}dz _ Azdz 2Andz

b°z OR b

Aadz
b23

Intégrant d’après les règles (16) et (21) les monomes

A 2A« Aa? dz
TRS Sa LE
nous obtiendrons
A(z—aÿds Az? 9Aaz A&@
‘. Bz _ oh aa & -Ls + C

Remettant pour = sa valeur, nous aurons définiti-
vement

Axdz A
Ér-= Ë (aLbx} — 2a(a+bzx)
+ æL(at-bs) | + C

26, Toutes les fonctions de la forme

Axmdx LBardx + Cxrdx + ete...
ar}

pouvant se décomposer comme il suit

Az (lx Bcdx Crrdz
(a+bzx )# + (abz }r 4 (air + etc.

leur intégration s'effectuera en opérant sur chaque
terme en particulier, comme nous venons de le faire
ci-dessus.

27. Si nous désignons par U et V des fonctions ra-
tionnelles et entières dont la forme générale est

Aa + Bx£ + Cx7 L Dr LH etc...

la forme
Udz
=

IN

représentera toutes les fonctions différentielles ration-
nelles et fractionuaires.

Nous devons d’abord remarquer que le plus grand
exposant de x dans U peut toujours être supposé plus
peut, au moins d’une unité, que le plus grand expo-
sant de x dans V; car dans le cas contraire une simple
division pourra changer l'expression al en R + LE R

V ? V ?
désignant le quotient et V' Le reste de cette division; on
aurait donc alors

Mais R étant une fonction entière et rationnelle , son
intégration peut s'effectuer par les principes exposés ci-
V

dans laquelle le plus grand exposant de x est moindre

dessus ; il ne reste donc qu’à trouver l'intégrale de

dans U' que dans V.
Pour intégrer les différentielles de cette forme, il faut

décomposer ya Jractions partielles « en se servant

d’un procédé que nous allons indiquer et qui est fondé
sur la méthode des coefficiens indéterminés. Proposons-
nous pour exemple la fonction

(a +bax)dx

dix —x

Il faut d'abord décomposer le dénominateur en ses fac-
teurs du premier degré, ce qui ne présente ici aucune
difficulté, puisqu'on a

ax = a(a—x) = à(e—x\a+x)

Cette décomposition, fondement de toute l’opération,
met la fraction sous la forme

aber
a(a—x)(a+x)

et , représentant par A, B, C, des quantités indétermi-
nées, nous pouvons poser (28)

a +br + Br, CG
æ(a—x)\a+x) x Tax ‘ a+x

Réduisant les fractions du second membre au même
dénominateur , il vient pour leur somme,

Aa—Azx°+Bax+Bzr+Cax—Cr?
LES x{a—x)(a4x)

quantité dont le dénominateur doit être identique avec

IN

celui de la proposée. Égalant donc entre eux les coeffi-
ciens des mêmes puissances de x, on aura
B—A—C—b, Ba+Ca=o, Aa =a.

La dernière équation donne Aa, et cette valeur sub-
stituée dans les deux premières nous fait trouver ensuite

mettant les valeurs de A, de B et deC dans légalité (28),

on trouve
(a°+-bx’)dx =, CRE _ (a+b)dx
aax—x’ (a—x) 2(a+x)
donc, en intégrant
Êee _. = alx — fe ie) p —x)
us an La+a) + C

= abx—{(a+b)LV/a—2x? + C

27. L'intégration des fonctions différentielles ration-
nelles et fractionnaires repose donc sur la décomposition
des fonctions fractionvaires en fractions partielles, décom-
position quirepose elle-même sur celle du dénominateur
de la fraction en ses facteurs du premier degré. Lors-
que cette dernière décomposition peut s'effectuer linté-
gration n’a aucune difficulté et l’on peut toujours opé-
rer comme nous venons de le faire; dans le cas cepen-
dant où tous les facteurs du premier degré sont inégaux ;
car si le contraire avait lieu, cette méthode ne pourrait
plus servir, ou du moins il faudrait lui faire subir des
modifications. Sans entrer dans des détails de démon-
stration quinous mèneraient trop loin ,nous allons résu-
mer le procédé qu’il faut alors employer.

—, étant la fraction rationnelle , supposons que les

V
facteurs premiers de V soient (x—a),
etc., ou que l’on ait

(x—b), (æ—c)

2 Lee
VV (æ—a(x—b{a—c\x—d).. etc.

si parmi ces facteurs, il s’en trouve d’une part »2 égaux
entre eux, de l’autre, et que lesautres soient inégaux;
si, par exemple, on a

2 s U
TT (a—ayr (a —b}r.(& (a—c\x—d).. \.. etc

IN
on formera les fractions partielles
AHBx+Cx? Voie Mari
(x—a)r
A'+HB'x+C'a...+M'ar-ti
(œ—b}
B" (a

xz—d ze

ES
ho
O1

us

A"
À
LX—C

, CC.

dans lesquelles A, B, C, etc, A’, B', C'etc, A”, B”,
C”, etc. seront des coefficiens indéterminés, dont on
trouvera la valeur en réduisant toutes ces fractions au

même dénominateur et en prenant leur somme qui doit

être identique avec En égalant les coefficiens des

Le)
v'
mêmes puissances de x , dans le numérateur de cette
somme et dans U, on formera les équations de condi-
tionsnécessaires pour la détermination des quantités À,
B,C, etc.

On peut encore, ce qui est plus simple, substituer aux
fractions dont les numérateurs sont composés , une suite
de fractions simples et dont les dénoininateurs procè-
dent par puissances décroissantes depuis l’exposant 7e
ou À jusqu’à 1 ; c’est-à-dire qu'on peut remplacer les
deux premières fractions ci-dessus par les deux suites de

fractions
A B ALU ue RDNT
mt (x—a)r—1 En ms usqu gene
A' B' C' : ,,, M

a — = ! ’! Pa
(æ—b)}" + (bi T Gp êtes Nes A

Eclaircissons ce procédé par un exemple. Soit à inté-
grer la fonction
__æ’dx
ax — a ax+a?

!

pour trouver les facteurs premiers du dénominateur,
remarquons en général que si ces facteurs sont (x—a),

(x—8), (x—d), puisqu'on doit avoir
DD — ax? — DR + = (x—a\x—fP)(x—0)

les quantités «, £, d ne sont autre chose que les racines

de l'équation

L—ax mx + ai = 0

€
( Poy. Equariow, 15). Ainsi pour trouver les facteurs

premiers de V, dans la forme générale = il faut faire

V—o et chercher les racines de cette équation. Dans le
cas qui nous occupe il est facile de recannaîitre qu'une
des racines est a, car en faisantæ=a@ , le premier mem-

bre se réduit à zéro, æ—a sera donc un des facteurs du

124 IN IN
premier degré de 2—ax—cæx+ta; ainsi divisant de Lacroix. Occupons-nous de l'intégration des fonc-

cette quantité par x—a, le quotient æ*—æ?, qui est tions irrationnelles.

immédiatement décomposable en (x—a)(x+a), fera Le procédé fondamental de cette intégratiou consiste

connaitre les deux autres. Nous ayons donc à transformer les fonctions irrationnelles en d’autres qui

soient rationnelles , ou du moins en une suite de mo-

RÉ T° nomes irrationnels, car ces derniers peuvent toujours
garde (x—a)(x+a) être intégrés à l’aide des formules (19) et (20)

Soit, pour exemple,
Ainsi nous supposerons (a)
(aV/x — by cxÿjdx
4 ERA se B C
(x—aÿ(x+a) (x—a) (aa) T (x+a) En mettant cette fonction sous la forme

Réduisant le second membre au même dénominateur, 2 HS
axdx — bc“ .x'dx

nous obtiendrons pour la somme des fractions partielles
Chaque terme peut être immédiatement intégré et

A(x+a) + B(x—al(x+a) + Cx—a) comme d’après la formule (19) on a

(x—a)(x+a)
5 3 + : 4
“ x dx pe sh x Ge

Aa—Baï+Ga+(A—2Ca)x +(B+c) ET l'intégrale cherchée sera donc
(z—a)(x+a)

ou , en développant,

a\/x + eo

I œ

3 5 1

: à : 3 =

Comparant le numérateur avec celui de la proposée et J (ay x—b\/cx*)dz =
égalant entre eux les coefficiens des mêmes puissances

a. Vi +: loyer +c

de x , on obtient ces équations de conditions

! ©

Aa — Ba’ + Ce — 0
29. S'il s'agissait d’une fonction fractionnaire

A—9Ca = 0
B+C—: 3
ais—bis
d’où l’on tire HE F5 À
Ti crr
I 3 I
—— B mu (@ —
ec CE:

on réduirait les exposans fractionnaires à leur plus pe-

Soalité £ i inomi ayant trouvé que ce
au moyen de ces valeurs l'égalité (a) devient tit commun dénominateur, 8 ve 4
dénominateur est 12, on ferait

æ’dx adx us ra dx
(x—a) (x+a) ax) 5 4(x+a) x— 7", d'où dr —122"%4z
Intégrant chaque terme en particulier par les métho- €t
des précédentes , nous trouverons Le Er 1
F E T2), D 2 NL 0)
ZAR a S) ;
: (&— a} (x+#a) — 2{x—a) LR 4: L(x—a) substituant ces valeurs dans la fonction proposée, elle
deviendrait
Li
+ - Lix+a) + C
L azi—bz6 1922192 }
_y93u RL, Le
re cn S D ET

28. Nos limites ne nous permettant pas d’entrer dans
de plus grands détails sur la décomposition des fonc- ou, définitivement, en retranchant le facteur com-
tions fractionnaires en fractions partielles. Cette théorie mun %},
extrêmement importante pour le calcul intégral, doit
être étudiée dans l'ouvrage d'Euler, l’/rtroduction à 12421 — LEL ENS
l'analyse des infiniment petits, ou dans le grand traité 1+-cr

IN
Pour intégrer cette dernière, on remarquera d’abord
qu’on peut diviser le numérateur par le dénominateur;
opérant la division, il vient

12b nl

19a21—19bz4
di = --2%dz ire 21 dz
c.

1+cz
nach, 12(a0—b),,
Dr = er tuer Louis
12(ac—b) 7 ete
— C2
19(ac2—"b) 12(ac— b) 5
T c? des ct fi
ro(ac—b) ; us PC zidz
ose | c'°
12(ac°—b) , 12(ac?—b) z’dz
M remar e cor
12(ac%—b)_ 1a(ai—b)
+ A ere die cri —
12(ac°—b) dz
2e Fr pr (1+c)

Intégrant chaque terme en particulier, et remarquant

que d’après (27)

nous obtiendrons, après avoir remis à la place de z sa

1
valeur /x :
13
a\/x— Paz, 120%. 19h
4 5 Fi 14c” 13c2
Vr+cv/x
11
HORTE CE = PR
11CÂ
1° 2
LE Dre
Si x0c° 96
CIE 7
1 2 æe 12
air 87 nc?
6_ 5
di 2 4 2
Hbc Bee
4 3
ET 2 AE 2
Fer 3
2 Li
æ'i2 VAE
Pacs er

+ heL(iteyaù} #0

On opérera de la même manière dans tous les cas sem-
blables.

EN 125

30. Toutesles fois qu'ilest impossible de ramener une
fonction irrationnelle à une forme rationnelle par des
transformations convenables, il faut la développer en
série, ce qui produit toujours une suite indéfinie de
monomes intégrablés par les moyens exposés jusqu'ici.
Mais comme il est beaucoup plus avantageux d’obtenir
l'intégrale sous une forme finie, on ne doit avoir recours
à ce dernier procédé que lorsqu'il est bien constaté qu’au-
cune transformation ne peut réussir. Nous allons consi-
dérer encore quelques formes particulières des diffé-
rentielles irrationnelles auxquelles certaines méthodes
detranformations, dont nousn’avons point encore parlé,
peuvent être applicables. dx étant une fonction ratio-
nelle de +, soit, par exemple, la différentielle

px.Îx

Vatbx ter

Pour rendre cette fonction rationnelle, posons

Va+br cz 2 — xV/c+7

En élevant au carré les deux membres de cette égalité,
nous obtiendrons

a+-bxbor = cx+oxz\/c+z

d’où
nn |
PS 22V/c—b"
pas MAN) LE
(22V/c—b)
et, par suite,
Va bx+cz? = zVc+a/c—bz

22\/c—b

substituant ces valeurs dans la fonction proposée, ét
désignant par Ÿz , la fonction en z qui résulte de 4x,
lorsqu'on donne à x la valeur ci-dessus , nous aurons (28)

qui est une fonction rationnelle.

Dans le cas de px—1, on a simplement pour l’inté-
grale de la transformée

—2dz

J'ave = ÿr

d’où, remettant les valeurs, (29)

L(2zV/c—b)

à dx

Vatharae

= — Se L aVd{aLbx+er) — xV/t] —b + C

126 IN
Pour donner au moins une application de la formule
générale , proposons-nous la fonction
æ°dx
Vitaehes

ici, nousavons,
TX =X*, &a—=I1, b=2: C—=#4

par conséquent
1—2°

Ta(2t—1)

et

fon

ei) ] GE)
La transformée (28) en z, sera donc

… 42° —2i —8z +22? —
2(42%— 4247) dx,

ce qui donne, en effectuant la division,

z+ À
Dre le

quantité dont l'intégration ne présente aucune diff-

culté. On trouve pour l'intégrale totale, en opérant
terme par terme, l’expression

s’intégre par la méthode (n°27) des fractions rationnelles.
Ainsi substituant pour z sa valeur

ot e

nous aurons, dans un nombre fini de termes, l'intégrale
de la fonction irrationnelle.

dx

Vihepir

31. Lorsque le coefficient c est négatif dans la quan-

tité radicale V/a+-bx+-cx* ou lorsque la fonction que
nous venons de considérer est

IN

___ ÿx.da dx
V'a+bx—cx

la transformation précédente introduit dans l’inté-
grale des quantités dites imaginaires (Voy. ce mot.) En
effet , dans le cas le plussimple, celui degx=r, la fonc-
tion transformée (28) est

et son intégrale étant

VALLE

an Cd

Va-tbx—cz*
= Les L EC V=c+acx |

Cette intégrale peut être ramenée à un arc de cercle
par une autre transformation très-simple. Faisons

b
Œ=U + a

Nous aurons

variean= [e+o(ut 2)-d(ut OT

hs
= [a+ —aw |
et, par suite
LE = _du
v'a+bz—ex: vf se 4e ]
4C

TT — du
IE LV EEE)
u? ]
En remarquant que cette dernière expression est de
la forme

avr

4£ac

et que l’on a( Foy. n° 21)

adu

af —
V/1— cu?

=A.arc (sin=au)

IN
on en conclura (31)
dx I L 2cu
VE Var = Ve arc (sin = VE Era
; : 2cx—b
— ve vs = VE -Hac

+ constante.

I 20x—b
= — atr(ces re)

+- constante.

La comparaison des deux valeurs si différentes que
nous venons d'obtenir pour l'intégrale de

dx
Vakbx—cx*

fait connaitre quelques propriétés singulières des quan-
tités dites imaginaires, car en désignant par # l'arc dont

le cosinus est <
2cx—b
VE + jac
ou, posant
2cx—b
OS = ni —,
VE + fac
d’où

+

on peut donner à l'intégrale /ogarithmique la forme ( h)

= L (cosu+sinpl/—1)+C

tandis que l’intégrale circulaire est simplement

En effet, pour donner à l'intégrale (30) la forme (32),

b ,
mettons y ue à la place de x, elle deviendra

V=rL
de

SA (- tâee

c w). V—1 +acu|

ce qu’on pourra transformer en (a)

here

Lars (pins) vi

427

Ainsi , puisqu'on a

2cu

VE+ac VB +ac
Cr

l'expression (a) se réduit à

— COSp.,

(2cx—b}\i
7 bLac

==sin/.

VE L [VEFiae (eos + sine |

Ve

— L(Vb+ 4ac)+ = L(cosu+sing\/—1

et comme il y a un terme constant, en l’ajoutant à la
constante arbitraire on obtiendra la forme (32)
Nous avons donc

= Ve L (cosp-+-sinpy/—1}-C”

C” représentant la quantité constante qui résulte des
constantes arbitraires des deux intégrales. Mais cette
constante est zéro, car en faisant l’arc —o; il vient

cos p—1, sing—0 , et cette dernière expression donne
o—0+4-C” , d'où C’=o

Nous avons donc définitivement, en multipliant les
deux termes par y/e et par V/—1, l'expression remar-
quable (33)

pV—i=L(cosu+sinul/—1)

32. Si l’on fait dans cette expression #—1r, + étant la
demi-circonférence du cercle dont le rayon est l'unité ;
comme alors cosir—0 et sinir—1 ; elle devient

LrV/—1 =L(y — 1}
ce qui nous donne nne des générations idéales du loga-
rithme de la quantité dite imaginaire \/—1.

Cette même expression (33) ramène à la construction
théorique des fonctions sinus et cosinus; car, e étant
la base des logarithmes naturels, on a en général

eLx=u
Ainsi
/ . Va < —_—
eL(cosu+sinx )=cosp+-sinp\/—1

et par conséquent

eV —1—cosutsing y —1
( Voy. Sinus.)

198 IN

33. Avant de passer à l'intégration des fonctions trans-
cendantes, nous devons encore examiner les cas où la
fonction binome

P
æmdx(a+bar)r

peut devenir rationnelle; cette fonction étant d’un
usage fréquent.

D'abord sons rien diminuer de sa généralité nous pou-
vons supposer! que les exposans 2 et n sont des nombres

entiers, car, daus le cas contraire , si l’on avait, par

exemple,
Ep
xs serrer x4)9,
1516 ru+st 5
la somme des fractions - et —, étant —— - ; on ferait
s [74
a—2*, d’où il résulterait
Ve
zrudx(a bzst}

ce qui est la forme supposée. On peut aussi toujours re-
garder » comme positive puisqu'on transforme

Pa
a dx (a+bx")

en
P
—2—"dz(a+-bz")7

par la substitution de la place de =.”

in

Ceci posé, donnons, pour plus de simplicité, la
P

forme æ-idx(a-Lbær) Ÿ , à la fonction binome et fai-

:sons
a+ bx"— 71
alors
e
(a+-bxr)7—2p
et l’on trouve

n

|
1] |

LR
NA

a là
Lr

On obtient donc , au lieu de la différentielle pro-

posée, (34)
d'a Der ne
nb

: . CE , [272
qui devient évidemment rationnellelorsque — est un
LA

nombre entier.

IN
Une autre transformation , due à Euler , va nous faire
connaître une nouvelle condition qui, à défaut de celle
que nous venons de trouver, permet de réndre ration-
nelle la fonction binome. Posons

a+-bar = 221

d'où

«
. a a

SU ÉD Tu

(27—by
m le

an. an ,q.2471dz
an —= DE dx — = — ——————
m
re
(27—b}" #(27—b)"

et nous obtiendrons la fonction transformée (35)

m P

a quzp +9 ids

- - … 1
laquelle devient rationnelle si ie est un nombre

entier.

Soit , par exemple , la fonction binome,

ici m—1=5, d'où m=6; n=3, p=4, g=5; ainsi

He == — », nombre entier, Substituant ces valeurs dans
n
la première transformation (34), il vient

5 ,[2—a\ 5

=. 28 dd = z23dx—az$dx)

7 "() EE

dont l'intégrale est

CRE
Remettant à la place de 3 sa valeur \/a+ bx*, on a

donc
| LÉ ad (a+ bx3)s 2 2e AV
— à afa + bay
CG
Si la fonction proposée était 1 —$
zidr(a+ bx°)

Chtmé alorsp—1 ,g=3, n—3,m—1—4, d'oum= 5

IN
m D

Sa n’est pas un nombre entier, et la première trans-
n

: ; : nm
formation ne peut être employée. Mais on a LE =
5
3
dans la seconde transformation (35) on obtient

1 . se .
+3= 2, nombre entier; ainsi, substituant ces valeurs

æ.25dz

= (—b)
expression qu’on peut intégrer par la méthode des /rac-
tions partielles (voy. n°27) et dans l'intégrale de laquelle
il faudra remettre ensuite la valeur de z, savoir :

DD

VHS
34. L'intégration de la fonction binome dont nous
uous occupons, ne pouvant s’obtenir d’une manière gé-
nérale sans avoir recours aux séries, et les cas où il est
possible d'appliquer l’une ou l’autre des transformations
précédentes étant très limités, il est important de sim-
plifier l'opération en la décomposant de manière à faire
déperdre une intégrale compliquée d'une autre plus
simple. Le procédé qu’on emploie alors se nomme n-
tégration par parties, et il est fondé sur la loi des diffé-

rentielles d’un produit de fonctions variables

d'{Fx fx] = Fa. dfx + fx.dFx

(Voy. DiFFÉREN CE.)
L'intégration des deux membres de cette égalité
donne
Fx.fr = [Xz. De [Sr dx
d’où

JVedfr=Fe.fe.— [pedta

Ainsi lorsqu'une fonction différentielle quelconque Jantn=: dr.Xr-

gx.dæ pourra se décomposer en PQdx, P et Q étant
deux fonctions de x; si l’on peut intégrer la différen-
tielle Qdx , en désignant par V son intégrale , on aura

JP =PV— f° Var

ce qui ramène l'intégrale générale à l'intégrale parti-

| culière ff VdP

35. Pour appliquer cette méthode, donnons à la fonc-
tion binome la forme

ann, qi dx (a+ ban p
Toue 11,

EN i29

l’exposant p étant toujours un nombre fractionnaire
quelconque ; faisons
am=n — P,an—idx(a + bar = dV
d’où { Voy. le n°19)
(etre

nb(p+1)
D'après la formule (36), on a
am, (aHban)p+s

a an, Qu—idx (a+baxr) = HET

a+bxrp ti
nb(p+i)

Représentant, pour abréger, (a+-bxr) par X, cette
dernière expression deviendra

, am—n,Xp+t1
am—1 dx, XP = ——
nm—n

Fi
Or,ona

far. XP+1 — Jam-ndeXv x
=a f'an-rde.Xr

en

.d (æm-n)

+

5 Janin: dx.XP+1

et par suite (37)

fen-rar Xr= dm Xp+i—a(m—n) f xm-n-1dx.XP
b(pn+m)

L'intégrale de x"—1 dx. Xp, se trouve donc ainsi ra-
menée à celle de x-"—1 4x. XP ,et en opérant de la
même manière, on ramenerait cette dernière à celle de
am—in—1 dx. XP, et ainsi de suite.

36. Si dans la formule (37) on change #2 en mn etp
en p—1, elle devient

a, XP—a(m—n) /fx"-1dx.Xp-1

b(pr+m)

Mais en observant que
1 |
" am—idx, Xp f'am—idr, Xp—1,X

=afaxm-idx Xp—-1+b famtn-idx, Xp—1
On obtient (38)
J'en-dexr= x.XPHpnafa"rdx PTT
pri+m
Seconde formule de réduction qui fait dépendre l'inté-
grale de æ"—1 dx. XP, de celle de xm—1 dx. Xr—1.
37. Appliquons ces formules à l'intégrale
1 dx

5 V'1— 2

IN

nous avons X—1—2?, a—1, b=—

450

nr tp: ;

substituant dans (37), nous w'ouverons
TEEN 12

m2 am idx
Vi — mi + f Vi

En vertu de cette mème expression , nous aurons suc-

am dx

cessivement

m—h fr" ds
m3) V/1i—x
Lie amd
Ts Ve Vi x
m—8
MT

etc—=elc

Substituant chacune de ces intégrales dans celle qui
la précède, et remplaçant 7—1 par 2, nous obtien-

drons l'expression générale

IX
[mt 1

m1 sfr s) = 102 = 0

cette dernière intégrale disparaît. Donc, dans le cas de
m, nombre pair, l'intégrale générale dépend d’un are
de cercle, ét dans le cas de rm impair, ellé est immédiate-
ment donnée par une suite de termes algébriques.

Par exemple, pour m—5, d'où y—2, on a

= Vin /isi+ if,

+. 6 L- arc (sin — x)+C

42

xx Me UE Ne

rer te Vars Pa 38. Les formules (37) et (38) cesseraient d’être applica-

rire 8 bles si les exposans 72 et p étaient négatifs, car alors ces

rec 5 exposans augmenteraient au lieu de diminuer, Dans

ce cas on renverse les formules de la manière suivante :

(m3) | ym—y Où tire de (37)
nr 4 Er
A DT Roue aies fam-idx.Xr
Ç a(m—n)
(m—i)e-il-2 m—ap+i | |
+ matrice ÿ et l’on substitue 72 à la place de » ; il vient (39)

|
en — + constante. PR et en ame D'une |
am
& étant un nombre entier quelconque. : .
Ainsi prenant 1 den faniéfe quevi=3e220 7 lorsque Par une semblable transformation (38) donne (40) |
m est pair, et que —2p—1 , lorsque #2 estimpair; la = pmXp+ 1 {mnnp)fem1deXp+i }
dernière intégrale de laquelle dépend la valeur de cette JE ER mi (pHnna

expression , sera : pour 72 pair

(m—1) 577 dx
me 124 3
m el cs Vi Æ
et pour 7x impair,
ee xdx
(mr) 2 Ve =
mi ; LEE

Or, dans lé premier cas , on a (voy. n° 21)
= da.
Via

et dans le second , le coefficient de l'intégrale se rédui-
sant à zéro, puisque l’on a, (v0y. FAGTORIELLE, 2) pour

—=arc(sin — à!)

le dernier factenr de son numérateur,

Ainsi dans le cas de 72 ou de p négatifs ,onseservira des
formules (39) et (40) : c’est-à-dire de (39) lorsqu'on vou-
dra diminuer l’exposant de x , et de (40), lorsque la ré-
duction dévra porter sur celui de X. On ne doit em-
ployer les formules (38) et (40) que dans le cas où l’expo-
sant de X est plus grand que l’unité.

Lorsque dans l’une des formules (37) , (38), (39), (40)
le dénominateur s'évanouit, la formule devient illusoire,
mais alors la différentielle proposée se réduit à un mo-
nome ou à une fraction intégrable parles procédés expo-
sés précédemment.

39. Nous allons procéder à l'intégration des fonctions

transcendantes , c’est-à-dire, des fonctions de la forme
ox. ( Lx)rdx, ox (sin x)dx , ox (aï)dx

9x étant une fonction élémentaire de x.

IN
La méthode de l'intégration pur parties nous offre en-
core ici le moyen de ramener les intégrales de ces fonc-
tions à d’autres plus simples. Eu effet, prenons pour
exemple la fonction logarithmique

ad. (Lx)
et posons

LEE

mix = dV, d'où V —
aædx = dV, d’où Arr

Alors en faisant (Lx}'—P, la formule (36), (n°

conduit à (41)
m N 13 Va, x” n+1 (Læ)" m Rs
{3 dx. Lx} = EE mere D fe dx (Lxh—1

expression qui fait dépendre l'intégrale proposée d’une

34),nous

intégrale plus simple, puisque la puissancede Lx est di-
minuée d’une unité. Donc, dans le cas où » est un nom-
bre entier positif, comme cette dernière formule donne
immédiatement lessuivantes, en y changeant successive-
ment en n—1,71—92, etc.

amMHi(Lx)-r n—1

f° Las, m1 7 mi

aæm+3(Lx)"-3 n—2
DL] rl à
fs HA ES

à
xm dx(

Lx) Pa,

re To \n=—3.
a"dx(Lx}—;
etc.—etc.

on pourra toujours, en diminuant 2 jusqu'à ce

qu'il devienne zéro, ramener l'intégrale générale à

, ÎF endre que de Ï intégrale particulière raz,
laquell t pl me —
e es sim ex nt © ne
m1

La formule générale qu’on obtient par la substitution
de chaque intégrale dans celle qui la précède est

S° xmdx (Li)

els

—

mi Lx a) pu

(L FaLeTh

n(n—1)
(+1)
ñn n(n—1)(n—2)(Lx Lx)r—3

Vi Gi) Si
+ etc...

nl —1
‘(wu) A

—+- constante

e

—(Lrÿ—2

+ (ir.

Lx)r-n

Danse cas de =3, on a

EN

Tm+Fi

ma (UE

; 7 xmdx(Lx) =

3.2.1 |
(mi)

+c

La série se prolonge à l’infini, lorsque » est fraction-
naire, et l’on peut encore l’employer ; mais quand n est
négatif, il faut renverser l’expression générale (41),
comme nous l’avons fait ci-dessus (n° 38), et l’on a

alors (42)

xndx
( Lr}e- I

Tn+1
- (r— 1)(La)r—t

2zmdx
(Lx)

m1

n—1

d’où l’on tire, en supposant que » soit un nombre en-
tier

Vase vmi+i
Læpi (r es Læyi—t
(m+i)æm ti

(ri) —2 à

CER RE

nl EL !

(m+r)aæm+s
freins 3) ) (Lx)r—2

— etc...

F __- £ 4e

Cette intégrale dépend donc, en dernierlieu, de cellede

ne
"2, dont nous apprendrons plus loin à trouver la
valeur.

Nous devons faire observer que lorsque m=——1, la

formule (41) n’est plus applicable : mais l'intégrale s’ob«
tient alors facilement par une des transformations ensei-

; re
gnées ci-dessus; car en faisant Lr—u, d'ou = du,

comme d’après (16)

”
SE = Le se

Pour la même valeur — 1 , de #?, la formule (43),
donne

ur+ L
urdu = ——

n+-1

on à

(Lr)r+1 + C

dx I
AUR emS TC
etes (a—i1) Lx) &
quantité dont la partie variable devint infinie, lorsque
n—1, Ici, encore, l'intégrale peut être obtenue en faisant
Lx=u , parce qu’on la transforme en
du

12

IN

152

et qu’on obuent ainsi

Jah nu +uont

+
4o. Pour intégrer les fonctions exponentielles, il faut
se rappeler que (voy. DirFéRENCE. 39)

d (a) = ax, La.dx

expression qui fournit

l FN LC a:
azdx = C4) d où f artdx — LT const.

41. En opérant l'intégration par parties , sur l'inté-
grale J'exar, de laquelle dépend l'intégrale géné-

vale /'Païdr, lorsque P est une fonction rationnelle

et entière, on obtient : pour x positive (43)

art en
aan dx = —— — — fs aan dx
f° La La

et pour celui de 7 négative (44)

at dx
1 x" nr past TI

42. Ces expressions, comme celles des numéros précé-

‘atdx
val — j

dens,conduisent à des développemens dont nous devons
nous contenter designalerles particularitésles plus impor-
tantes. Lorsque rest un nombreentier positif, (43) donne
toujours dans un nombre fini de termes l’intégrale de
la fonction exponentielle , sans la faire dépendre d’au-
cune autre intégrale ; mais lorsque x est un nombre en-
tier et négatif, ce qui conduit à l’expression (44), l'inté-
grale générale dépend de l'intégrale particulière (45)

Le
Z

dont la valeur, comme celle de l'intégrale du n° 39, (46)

xd
Vire
ne peut être obtenue qu'a l’aide des séries.
43. Pour obtenir la génération de ces deux intégrales
particulières, remplaçous dans la fonction aïx"dx, a*
par son développement (voy. LocariTames),

Lay «2
1.2.3

ami Es a).x = + Lo: +. x? -+ ( + etc.

nous trouverons, Cn intégrant ensuite chaque terme en
particulier,

ns) Rke Mat CORE

IN -

Certe série qui donne, pour toutes les valeurs posiuives
de à l'intégrale dela fonction exponentielle générale, doit

recevoir une modification dans le cas de » négative, il

xt
faut y remplacer le terme —

—n+nr

est alors obteuu par l'intégration de

, par Lx. Car ceterme

dx
LRTUTE

ri dx == Lx
L x

En ayant égard à cette particularité, on obtient, en

qui donne

faisant 7=——1,

fre Vespe ——

44. Ledéveloppement de l'intégrale (45), nous con-
duit à celui de l'intégrale (46), eu ramenant cette der-

_

3 at etc. + C

nière à la forme plus simple fe, ce que l’on fait en

posant z”+1=—z, car on a alors

RATE dz Lz
AT =——- = ——
m1 m+i1
et, par conséquent,
SE dz
Lr' Ar

Supposons maintenant z=a*", il en résulte (voy. Lo-

GARITHME)

_ L(az:') NU: La,

d'où
, Lz Heniae
r'=p, set Ex — Er LLz—LLa
op a donc
az dx" Je dz
: x J I:

et, en substituant toutes ces valeurs dans le développe-
ment précédent, on obtient

dz I per

es
ELLE Er

RUE + +etc.+C
LLa se trouve compris dans la constante C.
45. Eu observant que, d’après l'expression (22),
on a
dx

Vi

[are (sin=x:)]|

on voit que l'intégrale d’une fonction

ox.dx. arc (sin = x)

IN
qui contient un arc de cercle, peut tonjours être

obtenue facilement par le procèdé de l'intégration
par parties, lorsque ex.dx est une différentielle élé-

mentaire, car en faisant vi px.dx—U,et arc(sin—x)—=V

ce procédé donne

fex-dz. arc (sin = x) —=U. arc (sin = 2) fUav

= U. arc (sin—r)— Î =:
1—Z2?

La dernière intégrale est comprise dans celles traitées ci-

dessus.
Soit, par exemple, #x.dx=xdx , il en résulte
Tm+1
U— we xmdx = ———
m1
et par suite

arc arc (sin=x).x xm+1

fæäs.a arc (sin=zx)=

SET
I *xm+idx
mg Vi lu

46. Quant aux différentielles qui ne contiennent pas
l'arc immédiatement , mais son sinus, ou son cosinus,
ou sa tangente, etc., en partant des différentielles pri-
mitives (Dirr. 33)

d sinx = cos x.dx
d cos x = — sin æ.dx

desquelles on déduit

dsinmx — m cos mx .dx
d cos mx = — msinmx.dx e
mdx
d'tang mx — — ——
(cos mx)
mdx
d'cot mx = = ———-
(sinmx)
: msinomx.dx
d'séc mx = ——
(cos rx)

mcosmx.dx
dcosécmx = — —
(snmnx 35

on trouve

pif dx cosmx
fe dx sin mx

dx

ee (cos ». mx) )

dx

(sin mx)

JE sinnx
(cos mx}

Lé :

7 sin mx + CG
: cos mx + C
Pre Re
‘>

08 x + C
I

— COS 7

m © 1x + C

I
= séc mx + C

IN 133

dx.cos mx ARTS
= "— — —cosécnx + C
(sin mx)* m

msin mx

HE

Ces six intégrales donnent les moyens d'obtenir celles
de toutes les fonctions rationnelles et entières desinus et
de cosinus.

47. Proposons - nous, par
(cos x)"dx. Nous avons (Voy. Sinus.)

exemple, d'intégrer

1 1
(cos arr cos mx C0 (m—2)x

#1)

m(m—

-

cos (n—4)x+etc.

Ainsi, remplaçant (cos x)" par son développement, nous
aurons une suite de termes de la forme

Adzx. cos(m—p)xr

dont l'intégration s'effectuera par la première des for-
mules précédentes.
Si m—4, on trouve

(cosx)i—

lcosiz + 4cos 2x + 6coso + 4 cos (—2)x
+ cos(—#)x |

ou, à cause de cos o==1, et decos (—ux)=cosux

(os = | 2 cos4x + 2.4 cos 2x 6 |
et, par suite,

Ja dx(cosx) =f [s cos4x. da: cos2xr. dx + = aux]

ea De 3
= = si0 4x + sin2x+ æ+C
gain fe-F sine id
S'il s'agissait d'intégrer (sinx)* dx, on procéderait
d'une manière aualogue, en développant (sinx)” par la
formule connue (Foy. Sinus.)
48. Examinons le cas le plus général, savoir :
(sin x}m. (cos x)" dx;
m pouvant être paire ou impaire, désignons-la par
2m dans le premier cas, et par 2-1 dans le second, la
fonction à intégrer sera alors

(sinx)2m(cos x}dx , ou (sinx)?"+1,(cosx)"dx.
Or, (sinx)"=— (sin*z)" = (1 — cos’x)", ainsi
(siox)2m(cos x)" dæ= (1 — cos x)" (cosx)" dx
—=(cosr)"dx — m(cosx)"+2dx

tie Ë Décoste}" +4dx

+

—etC,,.:

ee

134 IN
expression dont on intégrera le second membre terme
par terme , par le procédé précédent.

On a aussi

(sinx}im+1.(cosx)dr. = sinx.(sinx)?"(cosx) dx
=(1--cos x)". (cosx}".sinxdx
= — (1—cosr)7.(cosx)r.dcosæ

Faisant donc cosx=—7, on changera le second membre
de cette expression en

— (1 —2:)n.28 de,

qu’on intégrera terme par terme, après avoir développé
la puissance.

On peut aussi appliquer immédiatement l'intégration
par parties à ces sortes d'expressions. |

49, Toutes les intégrales prises en laissant la quantité
variable æ entièrement indéterminée , se nomment
intégrales indéfinies , elles doivent , ainsi que nous l’a-
vons dit, renfermer une constante arbitraire pour être
complètes, mais lorsqu'on détermine la variable ou que
du moins on lui assigne des limites, l'intégrale prend
alors le nom d'intégrale définie. Par exemple; si l'inté-
grale complète de la fonction 9x.dx est

ferais +cC

fx désignant la fonction variable résultante de l’intégra-
gration, et que cette intégrale doivent s’évanouir pour
la valeur x—a ; la constante arbitraire se trouve dé-

terminée par l'équation

o = fa+C, d'où C = — fa

et l'intégrale devient

fre dx fr ja

Il est évident que sous cette forme, l'intégrale n'est
plus que la différence entre la valeur de la fonction fx
lorsque x—a, et celle qui résulte, pour cette fonction,
de toute autre valeur de x ; pour x==b , on a alors

EL L — fa

Or, si l’on s'arrête à cette valeur b de >, on dit que
l'intégrale sf ax.dx doit être prise depuis x=a, jus-

qu'à x—b, où que l’intégrale commence lorsque x—a,
et finit lorsque x—b. Ces deux valeurs de x, a et b se
nomment, dans ce cas, les Zmites de l'intégrale.

La valeur de l'intégrale définie se trouve doncen cal-
culant successivement ce que devint la fonction variable

fr, de l'intégrale indéfinie fx+-C, peur les valeurs li-

IN

mites x—a, x—b, ét en rétranchant ensuite le premier
résultat du second. On n’a plus besoin d’ajouter de con-
stante arbitraire puisqu'elle est éliminée par la sous-
traction.

Pour indiquer une intégrale définie prise entre les li-
mites a et b, on se sert généralement aujourd’hui de la
notation de Fourier, qui est

b
oh @x.dx
LL

Euler a employé celle-ci, dans ces ouvrages,

f'exdz [° - À

qui est moins simple,
Il résulte de cette notation que si 4, b, c sont trois va-
leurs différentes de x telles que cb, ba, on a

J''ex.dr = foxdx+ fl ezar

car cette égalité est la même chose que

Je—fa=fb—fa+ fe —fb = fc — fa

50. L'expression générale de l'intégrale définie

b
sx px.dx

se tire facilement du théorème de Taylor ( Foy. nirr.
34) car, en désignant toujours par fx la fonction varia- «
ble de l'intégrale indéfinie :

A | J'axdr = fe + C

on a, en vertu de ce théorème, lorsqu'on augmente x
d’une quantité 7,

dfz m., dfz nm

ft) 2e fie SEP CIE €
d'où (a)

Farm) fe = EM CREME + etc
Mais

gx.dx = dfz
et par suite
=, dyx dfr dex_dfr 21
EE dr? dx* 7 du”

Ainsi substituant ces valeurs dans (a) et faisant x—«
et m—b—a on obtiendra (47)

= x (b— + dox( b—a)

Re 2

Fe te.

IN

le point placé sur + indiquant la valeur 4 qu'il faut don-
ner à cette variable après les différentiations.

On trouverait une autre expression de la même inté-
grale en partant de fx fx m) et en faisant ensuite
æ==b, et m—=b— a. Elle est (48)

4 (
JS gr dxr=pX

Le point placé sur # indique ici qu’il faut faire æ—b,
après les différentiations.
5r. Les séries (47) et (48) sont en général d'autant plus

b—a)

dex(b—a)
CAP EL

d'où (b—a)
dx?‘ 1 a

convergentes que la différence b—a est plus petite; lors-

que cette différence est trop considérable of peat la par-

tager en ut nombre quelconque de parties susceptibles de
foriner des différences suffisamment'petites, et énsuité on
calcule ä part la valeur de l'intégrale relative à chacune
de ces différences; mais tous ces détails sortent de no-
tre plan, et nous devæns terminer ici ce qui concerne
l'intégration du premier ordre, en faisant connaitre la
formule remarquable de Jean Bernouilli ,au moyen de
laquelle l'intégrale d'une fonction différentielle quel-
conque #x.dx est donnée par les différentielles succes-
sives de la fonction »x.

La fonction diffirentielle x.dx étant décomposée
en ses deux facteurs gx et dx, 8i l’on intègre le second,
on a, par le procédé de l'intégration par parties,

[exdx— ox. - ['xdez

et, par suite, en vertu du même procédé,

4 dox >, dox . a
J > dre [ ads ia es f à

Ÿ dex

dx

DURE ‘der . I ,dex
1 dx J dx: = a de fe Fr:
d'or D’ 1 dog 1 ; diex
DA RE AP Se, EN CEA LE Es
J'= CEE ET ds sr ar n MES

dipæ ? 4 Sp:
NÉS LR T di =; pds up Ds =
etc: = etc. ...

Substituant successivement chacune de ces valeurs
dans la précédente, on obtiendra (49)

æ _déx æ |dex x
ezdr=ex. Te FA ei:

Pour que l'intégrale soit complète, il faut ajouter une
constante à ce développement.

52. Une fonction quelconque différentielle de l’ordre
m, est représentée par

ga. dxr

IN 455

Ainsi en désignant par /x , l'intégrale de cette fonction,
ou a l’équation

dmfx — çx.dx"

et, pour obtenir la valeur de fx ; il faut effectuer 72 in-
tégrations successives sur la fonction @gx.dx", car on a

dm—1 fr — [exam
ages f_ f'etdxm
dm—3fx = #4 ne N: ex.

etc. — etc.

évidemment

d’où l’on voit qu’à chaqne intégration on diminue d’une
unité l'ordre de la différentielle de fx, et qu'après »:
on obtient

Jx = [îexdrr

Si, par exemple, la fonction proposée était xx,

opérations,

une première intégration donnerait

fade dx fade sde nd À dx? .C

parce qu’on considère dx, comme une quantité con-
stante ; C étant d’ailleurs la constante arbitraire. Inté-

grant une seconde fois on trouverait

am+ tx xri+2
ax [| mn + Gax »|= een Xmn+2)

+ dx.Cx + dx.C,

ét, enfin, intégrant une troisième fois, on obtiendrait

xm+2dx

J en Xn+2)
Ke am+3
7 (mHim+o\m+3)

-+Cxradx +C'dxr | —

+, Ca4-C'a-C

C', C’ étant les constantes arbitraires introduites par les
deux. dernières intégrations, On a donc, en dernier lieu

33
fre
L

53, On ramène les intégrales des ordres supérieurs à

axm+3

! ’ nu
PS ee re LE EL

celles du premier ordre, par le procédé si fécond de

l'intégration par parties, en opérant commeil suit, Soit

[sx.dx — 0

on aura

436 IN
RE ETT
mais
ed =fes— fade,
— feeds frsxdx.
ainsi

J'exde =2 f'exdr — ['a.exd.

A l’aide de cette valeur, on peut trouver ensuite
celles de tous les autres ordres d’intégrales, car la sub-
stituant dans

feras up dz f "exdr.

il vient

J'edee [ad ['sxde— fax [rx

mais

n ‘xdx a grdx= "2 LL gxdx — : ve a'exdx
| ‘dx af xpxdx= x 4 zpxdx — À x'exdx

et, par conséquent,

J 'exds =i[e 'erdeac feat

Z'@xdxr ]

En continuant de la même manière on formerait ce
tableau : (50)

Je gxdx = Dé exdx
PES J'ai ‘à szdx |
L'on fe fotos
+ f'rrxdx ]
J'ai frise fonte
+3x f'eradr— VE apxde]

etc.-—

etc.

Et, en général,

—(m—1 )27—2 "A xpxdx
+R f'orprdz

+eu..…. |]

J1 ne faut pas oublier d’ajouter à chaque intégrale une
constante arbitraire , parce que ces constantes sont af-
fectées de diverses puissances de x, et demeurent irré-
ductibles entre elles. Par exemple pour intégrer par ces
formules la fonction x”4x*, on fera, dans la troisième,
gxz=x", et on trouvera en effectuant les intégrations.

LMI
fi ne TS

xmn+2 L
J'=-xmaz = f'+ Er re e

æm+i ps
J= x dr= fx de Ps + C'

substituant ces valeurs dans la formule, il viendra

A a | 1 xrm+3 Pt .
n grd [EE + Ca EE PL OE
axm+3 ,
Li MES |

ou

xm+3

1 2__C' 1h»
VE dx? fe ED lac e C'z+:C ;
parce que

TES 2x +5

m3 (mines)

Cette valeur de l'intégrale en question est identique

am+3 axm+i
m+1 m+2

avec celle que nous avons trouvée dans le numéro pré-
cédent, car le signe de la constante C' est arbitraire, et
C” ou + C” désignent également une constante arbitraire.

Nous nous contenterons de cet exemple qui nous pa-
rait suffisant pour indiquer l'emploi des formules (50) et
nous passerons à l'intégration des fonctions de plusieurs
variables, dont nous devons donner au moins une idée
pour compléter, autant que nos limites nous le permet-
tent, l’exposition du calcul intégral.

54. Nous avons vu (ptrr. 51) que la différentielle to-
tale, d’une fonction de plusieurs variables indépen-
dantes , est égale à la somme des différentielles prises
pour chaque variable en particulier comme si toutes les
autres étaient constantes. Par exemple, x étant une

IN
A]
fonction quelconque des deux variables x et}, sa dif-
férentielle est

pee 5 dy

du =

_ désignant la dérivée différentielle par rapport Alp
dx
et LE la dérivée différentielle par rapport à y.

SA

En comparant cette forme avec une fonction diffé-
rentielle à deux variables (51), :

Pdx +Q dr,

dans laquelle P et Q sont des fonctions primitives quel-

conques de æ et de y, on reconuait que ceute fonction
différentiellene saurait être la différentielle totale d’une
fonction primitive w,à moins que l’on w’ait

du du
et, par suite, Ù
du dQ du
dy — dxdÿ' dx — dy.dx
Mais
d'u du
dz.dy — dy.dx

car la dérivée du second ovrdre prise par rapport aux
deux variables æet y , c’est-à-dire, prise en différen-
tiant d’abord par rapport à l’une des variables, et en-
suite en différentiant par rapport à l’autre, est la méme
quel que soit l’ordre qu’on ait suivi dans les différen-
tiations ; on a donc aussi, (52)

dP __dQ

dy dx’
équation de condition qui fera connaître si une différen-
tielle à deux variables est la différentielle totale d’une
fonction primitive de ces variables, car cette circon-
stance ne peut avoir lieu si l’équation (52) n’est pas pos-
sible, ou si la dérivée différentielle de P prise par rap-
port à y, n'est pas égale à la dérivée différentielle de
Qprise par rapport à x,

55. Lorsqu'une différentielle à deux variables est to-

tale son intégration ne présente aucune difficulté , car
puisqu'on peut alors Mes

du
AT P;'e di = Pdx

On a, en intégrant cette dernière égalité, par rapport à

x, (53)
u—= f Pdx + Y
YŸ étant une fonction dey, et tenant lieu de la constante
arbitraire qu’il faut ajouter à chaque intégrale.
Pour déterminer cette fonction, prenons les dérivées
TOM Ale

y et comme si æ était constant,

EN

différentielles des deux membres de (53) par rapport à

157

nous aurons

du afldz, _‘dY
GO dy
Or, puisqu'on a D = 10,
dfPdx , dY
ce qui donne
Cle Q dfPdx.
dy ANA dy: ?

en intégrant cette dernière expression par rapport à,

: VE d'fPdx

d’où l’on conclut définitivement (54),
#

on obtient

d/ |

u= jras+ f&[e— à

Telle est donc l'intégrale complète de la fonction
Pdx+Qdy.

56. Soit, par exemple, à intégrer la fonction
ydx + xdy —2xdzx.

Pour nous assurer, avant tout, si cette fonction est une

différentielle totale, mettons-la sous la forme
(y —2x)dx + xdy,
et, comparant avec (51), nous aurons

P=y—o2x, Q—=x;

or,
dP_ do) dr, ddr,
dy dy dy dx dx l
Q
Ainsi qe ao ; et conséquemment, (y—2x)dx + dy
dy dx

est une différentielle totale.
Maintenant pour obtenir l'intégale, nous avons

JPdx _ Jty—2x)dz= fydx —2/[fxdx.

= YX— PE
dfPdæ |: dyx— æ?) _ ado
dy ca dy À dy —
d di Püz
D — —— = L—% = 0. :
ay

J'dy,.|o]=0, ou = constante.
donc

u—= Xy — 2? constante.
48

158 IN

57. L'intégrale (54) peut être mise sous la forme,

u— fra + [a [o— _. de

en partant du théorème

à l’aide duquel on peut différentier sous le sigue /°

par rapport à une autre variable que celle à laquelle il se
rapporte.

Ce théorème, dû à Leibnitz, peut se démontrer, par
les propriétés des dérivées différentielles, de la manière
suivante ; posons

fx = N

nous aurons

uüN
Max = dN,etM—-—
dx
en prenant les dérivées par rapport à y, nous obtien-
drons

dM __@N
dy — Tax. dx. dy
mais , puisque
ŒN __ @N
dx.dy dy.dx

on a aussi, ce qui n’est qu’une autre forme des mêmes
dérivées

aN aN
a[&] +
dy TT dx
donc
dN
dM dé]
dy dx

Intégrant par rapport à x , et remettant pour N sa va-
leur, on obtient
dM pe
de — Mao
dy dy

58. Un second exemple nous paräit suffisant pour

IN

mettre dans tout son jour l'emploi de la formule (54).
Soit la fonction différentielle

(2? +y°)dx + xydy
Va +9"
nous poserons
pes MR Oo MEUl
Vatp Vr+ty

et, pour nous assurer d'abord si la fonction proposée

est une d fférentielle totale, nous calculerons les déri-

a
vees dy de ; nous trouverons
dP _2{x+y")y —Cx+9)y
dy — V2 + +7 =
dQ _(+r)y—xy
de VE

et, après les réductions,

ap __4Q Led
dy dx VE +)

Opérant donc les calculs indiqués dans la formule(54),
nous aurons

re
n Væ+y
…. = f 2x? dr
Vase

Or, intégrant le premier terme du second membre par

dx

Y'dx
Va +
la formule (37), on trouve

dx

® ox dx
ie Ven

Ainsi, retranchant les intégrales qui se détruisent, on a

seulement
[Paz =xVe +7
Prenant la dérivée différentielle def” Pdx parrapport
, quiest
dfPdx XY
dé Ve+r

on voit que le terme

Sale fée

TU | ; ae 1
se réduit à zéro , et par conséquent que l’intégrale de
mandée est

VE

IN

ou plutot
xV/x+y: + C,
car la réduction à zéro de la fonction f dYdy , nous

apprend que la fonction Y ne renferme pas de variable,
c’est-à-dire qu’elle est constante.

Une simple extension de la méthode précédente
suffit pour obtenir l'intégrale de toute différentielle to-
tale, quel que soit le nombre des variables indépendan-
tes de la fonction primitive. Nous ne pouvons nous ar-
rêter aux détails.

59. Toute fonction différentielle, égalée à zero, four-
nit ce qu’on appelle une équation différentielle. La forme
générale d’une telle équation est (55)

A,dy9+A,dyn—1dx+A ,dy"-2da? & etc....Andx" = 0

lorsqu'elle ne renferme que des différentielles du pre-
mier ordre.

Les équations différentielles du premier ordre sont
dites du premier degré, du second degré, etc., d’après la
plus haute puissance des différentielles qu’elles contien-

nent ; ainsi
Ady + A dx —0

est une équation du premier ordre et du premier de-
gré ;,

A,dy° + A,dydx + A;,dx° —0,

une équation du premier ordre et du second degré ; et
ainsi de suite.

Ilen est de même des équations différentielles des
ordres supérieurs, c’est-à-dire de celles qui contiennent
des différentielles d’un ordre au-dessus de premier ; ou
les classe, non-seulement par rapport au degré de l’or-
dre, mais encore par rapport à celui des puissances des
différentielles.

60. Résoudre une équation différentielle , c’est trou-
ver la relation primitive qui existe entre les vrriables
dont elle contient les différentielles ,ou l'équation pri-
mitive dont elle est dérivée. Cette résolution qui dé-
pend généralement de la résolution des équations dites
algébriques, est soumise à toutes les difficultés que pré-
sentent ces dernières, et ne peut être effectuée que
dans un petit nombre de cas particuliers dont nous
allons nous occuper.

Lorsqu'une équation dn premier ordre et du premier
degré est ramenée à la forme

Xdx + Ydy = 0,

X étant une fonction de æ qui ne contient pas y, et Y

IN

une fonction de y qui ne contient pas x, sa résolution

159

ou son intégration ne présente aucune difficulté, car

2 [xdr+ a] of Xe + 7 vas

et comme les deux termes du second membre de cette
égalité s’intègrent par les méthodes précédentes , on a

VAT + fNar= GC;

C désignant une constante arbitraire.
Si l’on avait, par exemple :
3xidx + 27*dy = 0,

on obtiendrait immédiatement

Ainsi le premier moyen qui se présente pour résou-
dre l’équation du premier ordre
A,dx + A dy =0,
dans laquelle A, et A; sont des fonctions quelconques
de æetde y, est de la ramener à la forme.

Xdx + Ydy — o.

Gr. Cette transformation d’une équation différentielle
se nomme séparation des variables; on l’exécute sans
difficulté dans les équations de la forme

Ydx + Xdy = 0,

puisqu’à l’aide de la division on obtient

dx, dy
x ne NIET
dont l'intégrale est
Ax dy
UD M mr

Par exemple, si l'équation proposée est

daV ip — dyVi—ax= 0,

elle se transforme en

et l’on a

ou (voy. n. 21)

arc (sin =x)— arc (sin y):= arc (sin = c);

140 IN
ce qui donne l'équation primitive
c'—x'+y'=0o
en désignant par x’, y’, c', les arcs dont les sinus sont x,

yetc.
62. Dans toute équation de la forme

XY dx + X'Y'dy = 0.

on peut encore facilement séparer les variables, puis-
qu'en divisant successivement par Ÿ et par X'on la
transforme en

X Y'
x dx + Y dy = 0.
Soit, par, exemple l’équation
(ay + xp) dx + (xy°—xy)dy 0,

on trouve

au
(x?Lx)dx + (y—1)dy = 0.

ce qui donne

J'e+adr+ [nec

et, par conséquent, en effectuant les intégrations,

pee + y = C
62. En général, lorsque A, et À, sont des fonctions

homogènes de x et de y, la séparation des variables
dans l’équation

A,dx + A,dy = 0

ne présente aucune difficulté ; il suffit d'y remplacer y
par le produit x, = étant une variable augllaire, car
les fonctions A,, A; deviendront généralement de la
forme

Zn, L'xm

dans laquelle Z et Z' sont des fonctions de la seule va-
riable z; ainsi l'équation proposée deviendra

Zaxmdx + Z'xmdy
ou, divisant par x”,
Zdx + Z'dy = o

Mettant à la place de dy sa valeur zdx + xdz, tirée de
l'équation y = x, cette dernière devient

Zdx 4 Z'(zdx + xd:) — 0

résultat auquel on peut donner la forme

dx Z'dz
PR AE ET IT

IN
Prenons, pour exemple, l'équation homogène
oxy dx + (y? — x°)dy = 0
En faisant y = x, nous avons
203, D=r— Ai

et l'équation transformée devient

Mais, par la méthode des fractions partielles (voy. n° 27)
où à
(z'—1)dx _ 2747

Â2+i) 142% 23

Ainsi, la transformée devient

2zdz
ie Lo

CERTES

=0

et l’on obtient, en intégrant,
Lx + L(r + 2) —Lz — Le
ce qui revient à
1—+2°)x
E [= | sr.
et donne , en passant des logarithmes aux nombres,

c+

Z

x

72

Remettant pour z sa valeur ,on a doncdéfinitivement
LH

Se men “À

63. Les équations différentielles du premier ordre et
du premier degré qui peuvent être ramenées à la
forme

dans laquelle P et Q sont des fonctions quelconques de
æ seule, présentent une solution générale très-remar-
quable. En effet, si l’on pose

Y —=uz, d’où y = udz + zdu
, v 2

u et = étant des fonctions arbitraires de x, on obtient,
en substituant,

udz EL zdu + Puzdx = Qux
Mais on peut faire (a)
udz + Puzdx = 0,

ce qui donne (b)
zdu = Qdx

IN

De l'équation {a) on tire , en divisant par w, ct en sé-
parant les variables

Π+ Pdro

d'où, en intégrant,

L=— fPar

or
" Lz
e 0
ainsi
— fPdx
3 —e€e

Substituant cette valeur de 3 dans l'équation (b), on

trouve
—fPdx
e du = Qdx
d’où
SPax
du = e .Qdx
et

je. Par qnc

On a donc enfin (55)

J=u2= 0e eo + C )

Pour montrer l'application de cette formule propo-

sons-nous l'équation
dy +? dx — x"dx
SE
qui se ramène à la forme prescrite

dy Je nn
dx + ga tr

“Nous avons ici

I dx
P= Q= 77, « Par = 1 —=Lz ,

par suite

fPdx Lx

= =zr,cC

€. =e
JPdx 1112 Li TRE
vs Qui S ere :
et, de là,
1 a+?
RE + C

64. Si une équation différentielle était toujours le ré-
sultat immédiat de la différentiation d’une équation

IN 141
primitive, son intégration ne dépendrait que de
considérations analogues à celles du n° 55, mais il
arrive le plus souvent que la différentielle n’est pas
complète, et alors on est forcé d’avoir recours à la
séparation des variables, qui ne peut généralement
s'effectuer que dans le cas où la forme de l'équation dif-
férentielle est une de celles que nous venons d’exami-
ner (n° 61, 62,63). Il serait donc très-important de
pouvoir ramener toute équation différentielle à être une
différentielle totale; malheureusement ce problème
n’est soluble que dans certains cas particuliers, et nous
devons nous borner ici à faire connaître ses conditions
générales.

En différentiant l'équation primitive

=e€,
V4

on obtient l'équation différentielle immédiate ( Foy.
DIFF, 20)

ydx—rdy
ÿ”

0,

et, par la suppression du facteur y*, l'équation médiate

ydx — dxy — 0.

Cette dernière ne présente plus la condition d’inté-

grabilité (52), car en faisant P —yet Q——x, on à
ep NS ssvoiraiQuia lapin.
dy dy 7 de Tirdæu Topo a

tandis que cette condition se trouve nécessairement dans

l'équation immédiate, et qu’en faisant P — RSR TS
DE Ji
Fe
== T 73? on à
dP 1 dQ ï
SR CNET ME

On voit donc que l’intégrabilité de l'équation
ydx—xdy=0
ne 1 .
dépend de la restitution du facteurs , €t il en est de

même de toute équation différentielle du premier de-
gré; une telle équation est toujours susceptible de de-
venir une différentielle totale, par le moyen d’un fac-
teur, lorsqu'elle répond à une équation primitive. La
détermination de ce facteur est l’objet d’une méthode
due à Euler. (Foy. le Calcul intégral d'Euler, ou le
grand traité de Lacroix.)

65. L'équation du premier ordre et d’un degré quel-

conque pouvant se ramener à la forme

AN Lys 1
CE) a (HT racine (HE)

142 H\
Re sus dy Fe ; |
si l’on y considère. comme l’inconnue, et qu'on dé-

signe par 4,, &,, &,, €lC., An, Ses 7 TaCInes, ON aura
les z équations du premier degré :

dy y dy
—_— 4, = — —4a —=0 , 7 —4d;=0, etc.,....
dx Tr L : u

et l'intégrale de chacune d’elle sera en même temps l'in-
tégrale de la proposée.

66. L'intégration des équations du second ordre n'a
point encore été ramenée à des lois générales, et le pe-
tit nombre de solutions particulières connues jusqu'ici
ne peut êtreexposé dans cet article. Il en est nécessaire-
ment de même des équations de tous les autres ordres.

Mais , si la résolution théorique des équations diffé-
rentielles est encore si peu avancée, il n’en est pas ainsi
de leur résolution technique , ou, comme on le dit com-
munément de leur résolution par approximation, cette
dernière est complètement donnée par une formule de
développement très-remarquable, due à M. Wronski.
(Foy. Réfutationde la théorie des fonctions analytiques.
Page 31.) Nous devons ajouter qu'on doit encore au
même savant une solution théorique des équations aux
différences du second ordre. ( oy. Critique des fonc-
tions generatrices.)

Pour l’histoire du Calcul Intégral, voyez, dans ce
dictionnaire, le mot MarmÉmariques. Voy. aussi Par-
TIEL , pour ce qui concerne les équations aux différences
partielles.

INTERËT. (Arith. et Ale.) — L'intérêt de l'argent
est une redevance périodique payée par celui qui em-
prunte un capital à celui qui le prête.

L'intérêt d'une somme quelconque s’estime ordinai-
rement sur 100 fr. de capital, et pour une période
d’une année, — Si l’emprunteur paye annuellement
3, 4, 5, etc. francs pour chaque 100 fr., on dit que le
taux de V'intérêt est de 3, 4, 5, etc. pour cent, et on
écrit 3, 4, 5, ec. ps, lo:

Autrefois, au lieu d'indiquer l'intérêt d’une somme
100 fr., on donnait la somme qui rapportait 1 fr. de
rente-par an ; ainsi, par exemple, si 20 fr. rapportaient
1 fr. par an, on disait que le placement était fait au de-
nier 20 , de même si 18 fr. rapportaient 1 fr., le place-
ment était dit être fait au denier 18 , etc. — Le denier
20 représente évidemment l'intérêt de 5 fr. pour 100 fr.
de capital, le demer 18 celui de fr. 5, 55 172 pour
100 fr., etc. ; une simple proportion indiquera toujours
quel intérêt pour 100 fr. représente un denier quel-
conque.

Le mode de rapporter le taux de l'intérêt à un capi-
tal de 100 fr. plutôt qu’à une autre somme est une
conséquence de l'introduction en France du système

HY

décimal , il est commode dans le commerce ; mais pour
le but que l’on se propose ici, il est plus convenable de
rapporter l'intérêt de l’argent à l'unité d’argent, au
franc, de sorte qu’au lieu de dire que 100 fr. rappor-
teut 2, 3, 4, 5, etc. fr. , nous dirons que 1 fr. rapporte
fr. 0,02, fr. 0,03, fr. 0,04, fr. 0,05, etc.; en général,
nüus désignerons par r l'intérêt de x fr. par an.

L'intérêt est simple ou composé. L'intérêt simple est
celui qui se paye à la fin de chaque année jusqu’au rem-
boursement de la somme prètée.

Si l’on prête, par exemple, 1000 fr. pendant 10 ans,
au taux de fr. 0,05 pour 1 fr., soit 5 p.°7,, l’intérèt
annuel sera de 5o fr. — Cet intérêt n’augmentera pas
avec les années, et le capital prêté ne variera pas non
plus.

L'intérêt composé est celui qui, au lieu d'être payé
chaque année, s'ajoute au contraire à la somme em-
pruntée, de sorte qu’a la 2° année l'intérêt devra être
calculé, non plus sur le capital primitif, mais sur ce
capital augmenté des intérêts qui étaient dus à la fin de
la 1° année , et ainsi de suite.

Par exemple, le capital placé étant 1000 fr., le taux
d'intérêt pour 1 fr. étant fr. 0,04 , soit 4 p.°,, l’em-
prunteur devrait 40 fr. d’intérèt à la fin de la 1° année;
mais, au lieu de les payer, il les ajoute au capital mille
francs, et au commencement de la 2° année il doit donc
fr. 1040.

A la fin de la 2° année, il devra les intérêts de 1040 fr.
et non plus de 1000 fr. seulement ces intérêts se mon-
tent à fr. 41,60, et, au lieu de les payer, il les ajoute
encore au capital 1040 fr.; au commencement de la
3° année, il se trouve par conséquent devoir fr. 1081,60,
et ainsi de suite.

Comme on le voit , le capital croît d’année en année,
et par suite les intérêts croissent aussi ; l'augmentation
du capital est due à l’intérêt du capital primitif qui lui
est ajouté annuellement et aux intérêts de ces intérêts,
lesquels sont également convertis chaque année en capi-
tal. — Ce sont les intérêts des intérêts du capital primitif
qui font que celui-ci croit dans une progression géomé-
trique, comme on le verra ci-après, et non dans une
progression arithmctique.

De ces définitions découlent deux conséquences im-
portantes :

1° L'intérét simple est proportionnel au capital
placé, car un placement de mille francs, par exemple,

peut être considéré comme étant la réunion de mille

placemens différens de 1 fr.

Donc, si C représente le nombre de francs contenus
dans le capital placé, r l'intérêt de 1 fr. dans l’unité de
temps (une année, par exemple), et ? la rente produite
par le capital C en un an, nous aurons

Gr:

IN

Et si le placement est effectué pour x années, nous
aurons, en désignant par p la somme de toutes les
rentes annuelles, c’est-à-dire r . 2

(1) Pa - Cr.

Connaissant trois des quatre quantitésp, #, C ;r, cette
équation (1) donnera immédiatement la quatrième.

> Les valeurs, au bout de z années, de deux capi-
taux différens placés à intérêts composés pendant ce
temps, sont proportionnelles aux capitaux primitifs.

Car si l’on suit d'année en année ce que deviennent
deux capitaux C et C' placés de cette manière, on aura
à la fin de chaque année des sommes proportionnelles
aux capitaux du commencement de l’année que l’on
considère, en un an en effet l'intérêt ne peut être que
simple; or, si les capitaux produits à la fin de l’année
sont constamment proportionnels aux capitaux du com-
mencement de cette année , l’on trouvera, par une suite
de rapports égaux, que les valeurs, au bout de x années,
des deux capitaux primitifs Cet C’ seront entr’elles dans
le même rapport que Cet C.

J1 résulte de ces deux conséquences que les calculs des
intérêts reposent essentiellement sur le principe de la
proportionnalité, c’est pourquoi nous établirons toutes
les formules sur ce principe.

1. Puisque 1 fr. placé à l'intérêt r pendant un an,
devient 1—r à la fin de l’année, la valeur de 1+-r placé
de même sera donnée par la proportion :

1t1Hri:itbrix= (1+r}.

de même si l’on veut savoir quelle serait la valeur de
(1+-r)3 au bout d’un an, on fera la proportion :

tiiri: (rt Hrrix—(r1+r),

et en général (1+#7r)r—1 deviendra (1+4r)" au bout d’un
an,

L'on conclut de là que un fr. placé à intérêt com-
posé pendant » années, à l'intérêt r, deviendra au bout
de ce temps (1+-r)", (2).

La comparaison des valeurs successives 1+r, (1+r) ,
(147)... qu’acquiert 1 fr. d'année en année, mon-
tre que son accroissement se fait en progression géo-
métrique et non en progression arithmétique.

Exemple. On demande quelle somme aura produite
1 fr. placé à intérêts composés pendant dix ans, le taux
de l'intérêt étant fr. 0,045 pour 1 fr., soit 4 + p.°/,,
l’on aura 1—r—1,045, n—10, d’où

(ir = (,045)'o = 1,55297.

ainsi 1 fr. aura produit fr.1,55, en négligeant les der-
nières décimales.

Pour savoir ce que deviendrait une somme quelcon-
que a placée à intérêts composés pendant » années,

IN 145

nous ferons, en vertu de la 2° conséquence, la propor-
tion

1:(itrhiia:x —=a(itr)".

en appelant donc p la valeur de a à la fin des n années,
nous aurons l’équation

(3) p = a(1+r}.

Exemple. On demande ce que produira une somme
de 4688 fr. placée à intérêts composés pendant vingt
ans, au taux de 0,0375 pour 1 fr., soit 3; p.°,..

L’onaici

p = 4688 (1,0375) ”.

Or,

20 Log (1,0375)... 0,3197622.

log 4688...... 3,6709876.

Somme..... 3,9907408. .. 9789, 25.

donc les 4688 fr. produiront fr. 9789, 25.

Connaissant trois des quatre quantités p,a,r, n con-
tenues dans l’équation (3), on obtiendra la 4° au moyen
de l’une des formules suivantes déduites de cette for-
mule (3); savoir (4),

p = a(i+rr.
lee

Gr

__ logp.—loga

log(i+r)
Log{1 +7) — LOpE RE He,

nm.

2. Au licu de demander ce que devient 1 fr. placé à
intérêts composés au bout de x années, l’on peut de-
mander quelle somme il faudrait placer aujourd'hui à
intérêts composés, au taux r, pour recevoir 1 fr. à la
fin de n années.

Cette question est au fond la même que celle qui a
donné lieu à la formule (2), elle en diffère seulement
en ce qu’elle se rapporte à d’autres nombres; une sim-
ple proportion avec l’expression (14-r)" doit donc nous
en donner la solution, et nous dirons si 1 fr. est la va-
leur actuelle de (1+4r)" dans nr années , quelle est la va-
leur aussi actuelle de 1 fr. payable dans 7 années, c’est-
à-dire

(tr: an scrs:æ— — = (14)
/

Et si l’on demandait ce qu’il faut placer immédiate-
ment pour recevoir une somme & après z années, l’on
ferait la proportion

Li(ibrhni: aix —(1#r)r,
En appelant e cette valeur actuelle, l’on aura

(5) e = a{i+r) —"

124% IN

Cette formule (5) est l’éxpression de ce que l'on
appelle l'escompte dans le commerce, elle est identi-
que avec la seconde des formules (4); car elle exprime
la même chose.

On voit par la manière dont elle a été établie que les
questions d’escompte ne sont autre chose que des ques-
tions d'intérêts rapportées à d’autres nombres.

1° exemple. Quelle somme faut-il placer aujourd’hui
pour recevoir 7843 fr. dans 14 ans, l'intérêt de 1 fr.
étant 0,0388, ou l'intérêt de 100 fr. étant 3,83. On
a ici :

a (ir) = 7843 (1,0388)—"4.
(}e
7843 — 3,8944822.
14. dog 1,0388 — 0,2314472.

log

Différence. .. 3,6630350... 4602,94.

Ainsi il faudrait placer aujourd’hui fr. 4602,94.

2° exemple. Cherchons par la formule (5) ce que va-
lent actuellement 100 fr. payables dans un an, l'intérêt
étant 0,05 , pour x fr. , soit 5 p. 070.

On aura

a (1+r)-" = 100 (1,05)—1

eten effectuant les calculs, on trouve e — fr. 95, 238,
ou environ fr. 95, 24.

On voit par là que le commerçant qui, comptant
l'intérêt à 5 p. o7o, estime à 95 fr. la valeur actuelle de
100 fr. payables dans un an , commet une erreur de 24
centimes environ; sur 10000 fr. l'erreur serait de 24 fr.

On peut bien dire sans doute que tous les commer-
cans agissant de même, ils’établit une compensation, et
qu’en définitive personne ne perd rien : cela peut être,
mais il n’en est pas moins vrai qu’un tel mode d’es-
compte est le résultat de l'ignorance où de la cupi-
dité ; cela devrait suffire pour le faire abandonner.

Le plus souvent les intérêts d’un capital se payent
par semestre, et non point par an, cette condition ne
modifie pas la formule de l'intérêt simple, mais les for-
mules de l'intérêt composé sont changées, si l’on con-
vient que les intérêts d’une somme lui seront ajoutés
tous les six mois, au lieu de l'être tous les ans.

L'intérêt de 1 fr. par an étant 7, au bout de six mois

k r ;
il n’est que - , et en l’ajoutant au capital 1 fr., la somme
2
, - mr,
placée pendant ie second semestre sera LE alla
Tr
fin du second semestre, la somme 1 = - sera devenue
2
TN . . r\?
1 + 5 Jo à la fin du troisième trimestre( 1 + -
2 2

3
r ; Ê
sera devenu (: + =) , etc.; mais en cumulant les in-

térêts pendant 7 années , il y aura eu 2» placemens d’in-
térêts , et par conséquent au bout des x années, 1 fr,

deviendra
. r 2n
GE)

Une somme a placée à intérêts composés pendant #
années , les intérêts étant capitalisés tous les 6 mois, de-

viendra donc
TNA
ARE :
( +)

La valeur actuelle d’une somme a payable dans »
années , les intérêts pouvant s'ajouter au capital par

semestre , serait
) #9 —212
a( 1+- j
( +)

En cherchant par exemple le produit, au bout de 30

(9)

ans , d’une somme de 1000 fr. placée à intérêts compo-

sés à 4 p. oo, ét les intérêts étant capitalisés tous les 6
mois, On trouve

1000 (1,2)? * 50 — fr. 3281.

Et en cherchant ce que serait ce produit en capitali-
sant les intérêts par année, on trouve, formule (3)

.1000 (1,04)%°— fr. 3243, 40.

Ainsi donc, la capitalisation des intérêts par semestre,
au lieu de lêtre par an, produit, dans cet exemple,
fr. 37,60 de plus par mille francs.

La différence serait de 3760 fr. sur un capital de
100,000 fr.

Une telle différence, quoique répartie sur un inter-
valle de 30 ans, est trop sensible pour qu’on la néglige
encore long-temps.

Le taux de l'intérêt ayant une tendance continuelle à
diminuer, la différence qui vient d’être signalée aura
uñe importance toujours plus grande, et l’on finira sans
doute par en tenir compté, soit dans les emprunts de
l'État , Soit dans les emprunts entre particuliers.

Quant aux autres questions que l’on peut rencontrer
sur l’intérêt, voyez les mots AnnuiTé, ViaGer, Rem-
BOURSEMENT.

INTERPOLATION. (4/g.) Opération dont le but
est de déterminer la nature d’une fonction dont on
connaît seulement quelques valeurs particulières.

Si nous considérons une fonction quelconque d’une
variable æ, par exemple ax+b, nous voyons qu’en
donnant successivement à la variable les valeurs dé-
terminées o , 1,2,3, etc., nous obtenons une suite de
valeurs particulières. Ainsi

IN

pour æ — 0 la fonction devient : b,
El a+ b,
Li &a+Db,
Ce) goa+b,
CECI étonne

Or, la totalitc des valeurs de cette fonction se trouve
entièrement déterminée par sa nature même puisqu'en
donnant à æ une valeur quelconque la réalisation des
calculs , constituant cette nature, fait toujours connaître
la valeur correspondante de la fonction. Lors donc que
la nature d’une fonction est connue, toutes ses valeurs
particulières se trouvent déterminées , et pour obtenir
une de ces valeurs il est absolument inutile de considé-
rer les autres. Mais, au contraire, si l’on connaissait
seulement les valeurs particulières

b,a+b,4a+b,oa<+b;,etc....

correspondantes aux valeurso, 1,2%,3, etc. de la va-
riable æ, d’une fonction inconnue ox, et qu'on voulut
trouver toute autre valeur de cette fonction inconnue,
celle par exemple qui doit correspondre à x=+, et qui
se trouve, conséquemment , entre b et a+b, il faudrait
partir des valeurs connues pour obtenir la valeur de-
mandée. Cette opération qui se nomme #nterpolation,
parce qu’on intercale des termes intermédiaires entre
une suite de termes donnés, revient donc, en dernier
lieu, à la détermination de la nature de la fonction in-
connue, ou du moins à la détermination d’une forme
générale qui embrasse la totalité des valeurs de cette
fonction.

Pour examiner la question dans toute sa généralité ,
supposons qu'aux valeurs particulières

> Try À, Lys Lys CLC.
d’une variable x , correspondent les valeurs
MX NC Xe Xi etc.

d’une fonction inconnue »x de cette variable.
Si les valeurs æ,, æ , x, , etc., sont équidifférentes ,
LI 4
c'est-à-dire, si l’on a

TL, —. XL, —=

LIL NE

Ltd) —)E
étés — etc,

nous aurons aussi, en considérant x, Comme une va-
riable qui reçoit successivemf pt un accroissement À,

X,—X,+HAX,
X, = X,<+ 24X, + 4x,
Xj =X, + 34X, + 34%X0 + AX,
ei =relc.
TOME 11,

IN 1445

el, en général, pour un indice quelconque 2, (voy.

Dirrérences 34),

PAS

ete +” 2x vibes

mm m—)

+ —

——AX, + etc...

T2 9

+ v 2 à L
Ainsi, X étant ce gpe devient Ja fonction #x, lorsqu'on
yfaitx = x,+ m£Ë, si nous posons m£ — 3, d'où

m — A nous obtiendrons l'expression

1
ù
PS
LA
|

QU, + Xe + FAX

— Es —25)
22

AX,— etc.

ou , simplement (a)

rex ax EE : Jarx, FEEDS vec ete.

en faisant +, +: = x.

Il est facile de voir que l'expression (a) embrasse la
totalité des valeurs de la fonction x, car en donnant
à æ une valeur déterminée x", la relation x +z= x",
donne z=x'— x, et en substituant x'—x, à la place
de 3 dans le second membre de cette expression, on
obtient la valeur de vx correspondante à xx"

Pour montrer les applications de cette formule, pro-

posons-nous la suite,
1, 3, 6,10, 1h; 21,,28, etc:
correspondante aux indices

01,23 dur e09 ,6,1etcs

Nous avonsici,æ,—=0;x,+1z—
XS = Ï, D'ART X, =

LAOUZ—D: ET, et

6x —"T0, etc.

Ainsi :
AX XX —
MX —X,—0oX + X,—1
AX0—=X, — 3X, + 3X: — X, = 0.

Toutes les différences des ordres supérieurs au second
se réduisant à zéro , la formule («) devient par la substi-
tution des valeurs précédentes

a(x—1)

gx = 22 +—
Lip

2
G: 17 , , * x NU
Si l’on demandait, par exemple, le terme correspon-

, et l’on trouverait

RD: ! I
dant à l'indice -, on ferait x —-
2

}

19

146 IN | IN à

09 . . mt x) (223).
?X Re — 19 + 5" T2, (Ex) &,— x) Gr — 7 JA à

LAS : conne etc er che
Lorsque la fonction inconnue n’est point une fonction

entière et rationnelle, on ne peut parvenir à une diffé- d’où l’on conclutcette élégante formule d’interpolation,
rence 4" X, — 0, et alors la série qui ppue IS second Queà Lagrange , (b),
membre de l'expression (a) se prolonge à l'infini. Dans :

; NE RES
cecas, on ne trouve les valeurs cherchées que d’une pure. (ca, (a—:\x—1:).. cs x.
= Ur x D sien} É \To— 3
manière approximative; mais, lorsque la série est (rot, (to—x,) (Tor). .
« . , .
Lover M be DS va | À
très-conv FREVUES, il Li d ui I SAGE bre de terme si CH) (ee) mor ue
pour obtenir une approximation suffisante, et on peut a a)e re)"

encore l’employer très-avantageusement. ?
: 1< « : G—Lo}(X—%,)(L—%;)....
Maintenant, considérons ie cas où les valeurs parti- + 0) A a LE 5
ET CE RE

culières de la variable x

x Ace EP ONE de
Do, Li L y La, LA, CC Sr Res) Fee = À:

ne sont point céquidifférentes. Puisque nous pouvons etc. ...
poser en général
px =a+bx+cx + dr + etc.

etque X,, X,, X,, etc. représentent les valeurs de ox

Appliquons cette formule à la suite
4,20, 35, 5j

correspondante aux indices

lorsqu'on y fait x=Xo, X=X:, X=X,, etc., nous avons |

1, 3; 4, 6,

donc aussi

- et, proposons de trouver le terme qui répond à lin-
dice 5

Nous avons, dans cet exemple,

x. = a + a he ne + re — ete.
X3= a + br, + cr + ex + etc. ma 3, mu 410
ctc...... X, —=4,X, —00,X, —35,X,—8/

équations à l’aide desquelles on peut obtenir les coeff- et, d’après la formule (b),

ciens indéterminés à, b, ce, 4, etc. Maïs, sans avoir re-
, ; . SLR : : PNA
cours à la solution un-peu compliquée de ces équations, RC “4 (—6) 4
BE 3j 6)

(@—1){5—4(x—06) .

observons que la forme de la fonction +x devant être
telle qu'on ait ox—X., lorsquex = x; ox — X,

lorsque x = x; etc., etc. ; nous pouvons poser égale- LA (3—1)8—4)6—6).
ment | F (æ—1)(%—3)x—6) 3
gx =X, fx LX fix + K. fx LX, fr etc. (4—1)4—3) (4—6)
en prenant pour fx, fix, fx, f.x, etc. des fonctions RE nr a
de x qui deviennent (6—1)(6—3)(6—4) da
Li ES = 0, fx = 0,/f5% = 9, etc. En réalisant les calculs on trouve, après toutes les

réductions,

lorsque æ = x;

JE=0, fx = 1, fx = 0, f57 = 0, etc. ve É r-turrt]
lorsque x == x; Ge:
Jo 0, fx = 0, f2 —'1, fr —"0, etc. Ainsi faisant x=5, on obtient 9x—56. Tel est donc
le terme qui répond à Pindice 5.

Il existe plusieursautres formules d’interpolation pour
lesquelles 1 nous devons renvoyer à l’ouvrage de Lacroix,
Traité des di iffér ns et des séries. Ces formules servent

lorsque r=,; ct ainsi de suite.
Ces conditious qui peuvent être remplies de plusieurs
manières différentes, le sont.évidemment si l’on fait

D C2) x rx), particulièrement dans l’astronomie où l’on a continuel-
Gr) Er Nos) © Jement besoin d’intercaler des termes entre des suites
(xx. (xx, )(x—x:)..... de nombres ou d'observations dont la marche n’est pas
Lee er Je... égale ni le progrès uniforme. Quant aux principes phi-

À! IN

losophiquesde cetteopération inventée, en premier lieu,
par Briggs pour calculer les logarithmes , voyez {a
première section de la Philosophie de la Technie dë
M. Wionski.

INTERSECTION: (Géom.) On nomme point d'in-
tersection, le point où deux lignes se coupent, et
ligne d'intersection, la ligne où deux surfaces se coupent.

L’intersection de deux plans est une ligne droite. Voy.
Prin.

IRRADIATION. (Ope.) Expansion ou débordement
de lumière qui environne les astres et qui les fait pa-
raître plus grands qu’ils ne sont. L'effet de cette irra-
diation est quelquefois si considérable , que Tycho Brahé
estimait le diamètre de Vénus douze fois plus grand
qu’il ne paraît dans les lunettes, et Keppler l’estimait sept
fois trop grand. Depuis l'invention des lunettes et sur-
tout depuis celle du micromètre de Huygens, on a sur
la grandeur apparente des astres, des notions beaucoup
plus exactes. Les lünettes, en faisant paraitre les objets
mieux terminés diminuent considérablement la quantité
de J'irradiation.

+ IRRATIONNEL. (4/g.) On nomme nombres irra-
tionnels, les nombres engendrés par la seconde branche

de l’algorithmedes puissances vc == A(Voy. ALGÈBRE,
n° »8.), lorsque ces nombres sont incommensurables
avec l’unité (Foy. IncommensuragLe.) Poy. Racine.
IRRÉDUCTIBLE. (Alg.) V’èy. cAs IRRÉDUGrIBLE.
IRRÉGULIER. (Géom. ) Les solides irréguliers sont
ceux quinesont pointterminés par &es surfaces égales et
semblables. (7/oy. Sozipes.) On nomme aussi figures
. irrégulières celles dont les angles et les côtés ne sont pas
respectivement égaux entre eux. (Ÿ’oy. Porxconr.)
ISOCÈLE. (Géom. ) Un triangle prend le nom d’#0-
cèle lorsque deux de ses côtés sontégaux.
Dans tout triangle isocèle ABD, À
les angles B et D, opposés aux côtés \
égaux, sont égaux, et la perpendi-
culaire AC, abaissée du sommet A
sur la base BD, partage cette base
en deux parties égales, ainsi que

l’angle au sommét A.
R C D

ISOCHRONE. ( Méc. et Géom. (de vos égal et de
æpbvos, temps.) Épithète que l’on donne aux choses qui s’o-
pèrent dans des temps égaux. Par exemple, les vibrations
d’unpendule sontisochrones, si ce pendule demeure tou-
jours de la mémelongueur, et s'il décrit toujours des arcs
égaux , parce qu’alors ses vibrations se font toutes dans
des temps égaux. Si les vibrations se faisaient dans la

LS 447
cycloïde, elles seraient encore isochrones quoique le
pendule décrivit tantôt de grands, tantôt de petits
arcs. ( V’oy. Penpuze et Taurocaront. )

Ligne isochrone. (Foy. APPROCHES ÉGALES.)

ISOMERIE. ( {{s. \ Terme employé jadis pour dé-
signer l'opération par laquelle on délivre une équation
des fractions qui se trouvent dans ses termes. Vo

TRANSFORMATION.

ISOPÉRIMÈTRE, (Géom.) On nomme figures iso-
périmètres celles dont les contours ou périmètres sont
égaux. {

De toutes les figures isopérimètres régulières la plus
grande est celle qui a leplus grand nombre de côtés ou
d’angles. C’est pourquoi le cercle , qui peut être consi-
déré comme un polygone régulier d’un nombre
infini de côtés, a une aire plus grande que celle de
toutes les autres figures qui ont un contour égal au
sien, Par la même raison la sphère a un volume plus
grand que celui de tous les autres solides qui ontune
surface égale à la sienne,

Si des figures isopérimètres ont un même nombre de
côtés, la plus grande en superficie est celle dont tous les
angles sont égaux. Considérons par exemple un rectan-
gle dont le périmètre est a, si nous désignons par x sa
hauteur, sa base sera <a—x et son aire sera exprimée
par (La—x) x, (voy. Aie). Cette aire variant de gran-
deur d’après celle de x, nous trouverons son maximum
en égalant à zéro la différentielle de (4a—x)x ( voy.
Maxima ).

Or

d [£ax — a] = Fadx — 2%dx

d’où

AR-ALE pa
Ia —2% =0,CtX— za.

Mais le rectangle dont la hauteur est égale au quart
de son périmètre est un carré, ainsi de tous les rectan-
gles isopérimètres le carré est le plus grand,

La théorie des figures isopérimètres , traitée en pre-
mier lieu par Jacques Bernouilli, fut l’occasion d’une
grande discussion, entre lui et son frère Jean, dont on
trouvera les détails aux articles biographiques de ces il-
lustres géomètres. Cette théorie, développée ensuite
par Euler dans plusieurs mémoires insérés parmi ceux
de l'Académie de St-Pétersbourg et surtout dans son
bel ouvrage intitulé Methodus inveniendi lineas eurvas
ete., a été l’occasion de la découverte du Calcul des Va-

riations. Foy. VARIATION.

148 JA

d.

JALON. (Gcom. prat.) Bäton droit, ferré en pointe
à l’un de ses bouts, qui sert à prendre des alignemens.
Voy. ARPENTAGE.

JANVIER. (Cal) Mois dédié à Janus par les Ro-
mains et placé par Numa au solstice d'hiver. C’est le
premier de l’année, depuis l'ordonnance de Charles IX.
Ila 31 jours, et c’est vers le 19° ou le 20° deses jours
que le soleil entre dans le signe du Verseau. Foy. Ca-
LENDRIER.

JAUGE. On nomme ainsi une règle graduée, qui
sert à mesurer la capacité de toutes sortes de tonneaux
et à déterminer la quantité de liquide qu’ils contien-
nent. :

Jauger est donc l’art de trouver la capacité d’un vase.
Si les tonneaux étaient toujours de forme régulière, il
n’y aurait qu’à appliquer ici les règles ordinaires de la
géométrie; mais comme cela n'arrive jamais , il a fallu,
pour la pratique, arriver à certaines règles empiriques
qui donnent une approximation suffisamment rigou-
reuse, pour les usages ordinaires de commerce.

Ainsi en Angleterre Hutton , Oughtred, et en France
Dez, ont donné des formules plus où moins exactes.
Voici celle de Hutton : On prend,

39 fois le carré du diamètre à la bonde,

25 fois le carré du diamètre du fond,

26 fois le produit de ces diamètres.

On multiplie la somme de ces trois quantités par la
longueur du tonneau, et on divise le produit par 114.
Le quotient indique le nombre de pouces cubes que
contient le tonneau.

La règle proposée par Oughtred, consiste à prendre :
1° la surface du cercle du fond; 2° deux fois le dia-
mètre du bouge ou cercle à la bonde; ajouter ces nom-
bres et multiplier la somme par le tiers de la longueur
du tonneau ; le produit donne la capacité du vase.

M. Dez, dans un article très-détaillé de lÆrcyclo-
pédie méthodique (jaugeage), donne la formule sui-
vante :

Prenez la différence entre le diamètre du bouge et
celui desbases, puis les ? de cette différence etretranchez-
les du grand diamètre, vous aurez le diamètre d’un cer-
cle qu'il faudra évaluer, puis vous multiplierez par la
longueur du tonneau.

Si l'on exprime donc par V le volume, et que l’on
fasse Z la longucur du tonneau, D le diamètre du
bouge, d celui du fond, &« leur différence D — 4, on
aura :

A
114

; HuTTON...... Le

Oucrren. V — 0, 2618 2. (2D°2+4°)
Dez....... V = 0,854 L.(D—5a)

La jauge, instrument avec lequel on prend toutes ces
mesures , est de diverses formes : on a 1° Ja jauge brisée
ou jauge diagonale, 9° la jauge à crochet, 3° la jauge à
ruban. Cette dernière est un ruban gommé, divisé en
234 centimètres et au moyen duquel on prend les di-
mensions extérieures du vase, d’où l'on conclut sa capa-
cité en déduisant l’épaisseur du bois.

Les deux autres sont des règles à quatre faces, dont
chacune a 9 millimètres de large en hautet 6 en bas, et
portent sur deux faces des graduations avec des numéros
de 5

grés font un hectolitre. L'autre face qu’on appelle

en 5. Chaque degré indique un décalitre, 10 dé-

côté-faible, ne sert qu'aux barils de 15 à 30 litres; ici
chaque degré équivaut à 1 litre.

On introduit la règle diagonalement par la bonde,
jusqu’à ce qu’on rencontre le fond dans sa partie la
plus basse, afin d'obtenir la plus grande distance obli-
que de ce fond au centre de l’orifice, au-dessous du bois.
On note le chiffre qu’indique la règle : on la reporte de
l’autre côté, pour s'assurer que le trou de la bonde est
exactement au milieu de la pièce; s’il y avait une dif-
férence, on prendrait la demi-somme des deux résultats,
et on aurait le nombre de décalitres que contient le
tonneau.

On voit que la règle introduite par la bonde et allant
rejoindre l'angle formé par le fond et le côté du
tonneau représente l’hypothénuse d’un triangle rec-
tangle, dont la demi-longueur de la futaille est un côté
horizontal et le diamètre du fond un côté vertical : car
on suppose que le tonneau a la forme d’un cylindre,
dont la jauge traverse ainsi obliquement la demi-capa-
cité.

L'importance du jaugeage des futailles comme
moyen exact de l'assiette de l'impôt, a fait chercher
tous les moyens possibles de perfectionner ces instru-
mens. Le détail des essais faits par Pellevilain et M. Al-
louard, bien que très-recommandables, ne peuvent pas
trouver place ici; on le trouvera dans le manuel des
employés de l'octroi de Paris.

JET D'EAU. (Hydrol.) Filet d’eau qui jaillit avec
violence par l'ouverture d’un tuyau.

L'eau qui jaillit et s'élève en sortant du tuyau , ne le
fait qu'en vertu de sa chute , c’est-à-dire, parce qu’elle
sort d’un réservoir supérieur et qu’elle a acquis une
vitesse égale à celle d’un corps pesant qui serait tombé
de toute la hauteur du niveau du réservoir au-dessus

JE

de l'orifice du tuyau. (Voy. HypropynamiQue 3.) Or,
suivant les lois de la chute des corps (voy. AGCÉLÉRE),
un corps qui tombe perpendiculairement acquiert à la
fin de sa chute une vitesse capable de le faire remon-
ter à la même hauteur d’où il est tombé; et cela arri-
verait en effet pour le filet d’eau qui s’élèverait jus-
qu’au niveau du réservoir dont il sort, s’il ne rencon-
trait plusieurs obstacles. Lie premier de ces obstacles
est le frottement de l’eau contre les parois intérieures du
tuyau ; elle ne descend pas par conséquent avec toute
la vitesse due à la chute, et la vitesse finale étant
moindre que celle qui aurait lieu sans ce frottement,
l'eau s’élance avec moins de rapidité et ne peut s'élever
à une hauteur égale à celle de sa chute. Un second
obstacle est celui que présente le poids des particules
de l’eau qui retombent après s'être élevées aussi haut
que possible et qui, rencontrant celles qui montent,
leur donnent une impulsion en sens inverse. Aussi
Torricelli a-t-il remarqué qu'un jet d’eau monte plus
haut , lorsqu'il est dirigé obliquement à l'horizon , que
quand il lui est perpendiculaire. Enfin un troisième
obstacle est la résistance de l’air, au travers duquel le
jet d'eau est contraint de passer ; cette résistance est si
considérable que le diamètre du jet s’élargit à mesure
qu'il monte, au point de devenir 5 ou 6 fois plus grand
que celui de l'ouverture de l’ajutage; ce qui augmente
éucore la résistance de l'air par l'augmentation de sur-
face que l’eau divisée lui présente.

L'expérience a appris que la différence entre la hau-
teur du réservoir et celle à laquelle le jet s’élève, est
sensiblement proportionnelle au carré de cette der-
nière hauteur; c’est-à-dire , qu’en désignant par À et L’
les hauteurs de deux jets, les différences de ces hau-
teurs avec celles des réservoirs seront entre elles comme
BR? : h°?. Ainsi en admettant, d’après Mariotte, qu’un
jet d’eau fourni par un réservoir dont la hauteur est
5 pieds 1 pouce, s'élève à 5 pieds, on trouvera que
pour qu'un autre jet d’eau s'élève à 15 pieds, il faut
que son réservoir ait une hauteur de 15 pieds 9 pouces;
car d’après cette règle, les différences entre les hauteurs
des jets et celles des réservoirs doivent être dans le rap-
Portde UE r0= D Eh210 — 1x - 0:

Ce rapport des diminutions des hauteurs exige que
l'ouverture des ajutages ait au moins 26 ou 27 milli-
mètres de diamètre; car si cétte ouverture était plus
petite, les résultats des calculs ne s’accorderaient plus
avec l'expérience.

Quelle que soit la direction d’un jet, la dépense
d’eau qu’il fait est toujours la même, pourvu que l’aju-
tage et la hauteur du réservoir au-dessus de l’ajutage
soient les mêmes: C’est une conséquence nécessaire de
la pression égale des fluides en tous sens.

Lorsque l'ajutage se dirige obliquement à l'horizon ,

JO 449

la force de projection et la pesanteur de l’eau font
que le jet décrit sensiblement une parabole, dont
l'amplitude est d’autant plus grande, que la hauteur
du réservoir est plus considérable ; car elle y est pro-
portionnelle. Lorsque l’ajutage se dirige horizontale-
ment , le jet décrit une demi-parabole.

Les jets d'eau s'élèvent d'autant plus haut, que les
ouvertures des ajutages sont plus grandes; parce que
de deux jets d’eau qui, veuant du même réservoir,
sortent de leurs ajutages avec des vitesses égales, le plus
gros éprouve moins de frottement relativement à Ja
quantité d’eau qui passe, et qu'ayant plus de masse il a
plus de force pour vaincre les obstacles. Cependant
quoique les gros jets s'élèvent plus haut quelespetits,
ils ne dépensent pas proportionnellement plus d’eau que
ces derniers; car la dépense est comme le produit de
l'aire de l'ouverture de l'ajutage par la vitesse au sortir
de l’ouverture , et cette vitesse est à peu de chose près
la même pour l’un et pour l’autre, abstraction faite
des frottemens.

Pour que les gros jets s'élèvent plus haut que les pe-
tits, il faut cependant que les tuyaux de conduite
soient assez gros pour fournir les eaux avec une abon-
dance suffisante ; car s'ils sont fort étroits l'expérience
prouve que les petits jets s'élèvent plus que les gros. 11
faut donc que le diamètre du tuyau de conduite ait une
certaine grandeur par rapport à celui de l’ajutage,
pour que le jet s'élève à la plus grande hauteur où il
puisse atteindre. Si donc l’on compare deux jets d’eau
différens et que l’on veuille que chacun s'élève à sa plus
grande hauteur , il faut que Les carrés des diamètres
des tuyaux de conduite soiententre eux en raison com-
posée des carrés des diamètres des ajutages et des raci-
nes carrées des hauteurs des réservoirs. On a trouvé
que pour un ajutage de Glignes de diamètre, et un ré-
servoir d’une hauteur de 52 pieds, le diamètre du
tuyau de conduite doit être environ de 39 lignes. Avec
ces données on peut calculer pour toutes autres circon-
stances le diamètre des tuyaux de conduite. Foy. l'Hy-
drodynamique de Bossut, et les œuvres de Mariotte.

JET des bombes. Foy. Barsrique.

JOUR. (4s4.) Durée de la révolution apparente du
soleil autour de la terre. Foy.Cazenpaien, n° 1; et Equa-
TION DU TEMPS.

JOVILABE. (45st.) Instrument propre à trouver les
configurations ou les situations apparentes respectives
des satellites de Jupiter. Lalande en a donné la descrip-
tion dans son traité d’Astronomie.

JUILLET. (Cal.) Nom du septième mois de l’année ,
ainsi nommé parce que les Romains l'avaient consacré à
Jules César. Foy. CazenDrren.

JUIN, (Cal.) Nom du sixième mois de l’année, C’est

460 JU

vers le 20,ou le 21 de ce mois que le printemps finit et
que l'étécommence, le soleil entrant alors dans le signe
de l’écrevisse. Foy. ARMILLAIRE et CALENDRIER.

JULIENNE (Période). loy. PÉmopE.

JUNON. (Ast.) Une des nouvelles planètes situées
entre les orbites de Mars et dedupiter; elle a été décou-
verte le 2 septembre 1804, à l'observatoire de Liliental,
par M. Harding,

L'extréme petitesse et le peu d’éclat des deux planètes
Cérès et Pallas avaient fait concevoir à M. Harding le
projet de donner une description complète de la zone
parcourue par ces petites planètes, afin qu’on ne füt
plus exposé à l'erreur d'observer à leur place quel-
qu’une des étoiles télescopiques dont toutes les régions
célestes sont remplies. En vérifiant avec soin les cartes
qu'il avait dressées, cet astronome, daus la nuit du 1°* au
2 septembre 1804, détermina la position d’une étoile
de huitième grandeur en la comparant aux étoiles des
Poissons, marquées 03 et 98 dans le catalogue de Bode.
Le 4 septembre , l'étoile avait varié de position et se
trouvait un peu plus australe etun peu plus occidentale.
Da 5 au 6, M. Harding,avec un micromètre circulaire,
reconnut un mouvement rétrograde en ascension droite
de 7’ 30”, et un mouvement de 12'42" en déclinaison
australe; l'intervalle des observations étant de 24 h. 14’
12". Le 7 etleS du même mois, ces mouvemens ayant
été vérifiés, M. Harding s’empressa d'annoncer sa dé-
couverte, et Gauss, qui avait déja calculé les orbites
de Cérès et de Pallas, détermina celui de la nouvelle
planète , à laquelle on donna le nom de Junon.

Cette planète est d’une couleur blanchâtre et ne
présente aucune trace d’atmosphère ; son diamètre est
plus petitque ceux des autres nouvelles planètes, et
elle est conséquemment la plus petite du système so-
laire. Son orbite se distingue de toutes les autres par sa
grande excentricité dont l'effet est tellement sensible,
que la planète décrit la moitié de l'orbite, qui com-
prend le périhélie, dans la moitié du temps qu’elle em-
ploie pour décrire l’autre moitié , qui comprend l’a-
phélie.

Voici les élémens de Junon, rapportés au 1° jan-
vier 1820. à

Révolution périodique. ......... 1592 j: 6008

Longitude moyenne, .:........,. 200° 16! 19”,1
Inclinaison à l’écliptique......... 1.68 oi VO
Longitude du périhéhe........:, 53 33 46,0
Longitude du nœud ascendant. :..: 191 7 40, 4
Demi-grand axe, celui de la .terrre

CAT EDR eee see eise “Sert. b.4lisst 68900go

Excentricité , en ‘parties du demi-
grand axe sscmeestlanicsnafoeut 053%
Moyen diamètre apparent ; d’après

0, 2578480

Schsoeter.s5 ab mionremiiziuarh «ere! 13% )OÏTE

JU

J n’a pas encore été possible de recontiaître si Ju-
non a, comme toutes les anciennes planètes un mouve-
ment de rotation sur son axe ; cependant les observa:
tions de Schrocter, sur le changement d’éclat de la lu-
mière qu’elle nous renvoie , rendraient assez probable
uue rotation exécutée en 27 heutes.

JUPITER. (454.) C’est la plus grande planète de no-
tre système, et après Vénus la plus brillante, quelque-
fois même son éclat surpasse celui de cette dernière,

Jupiter est la cinquième planète dans l’ordre des dis-
tances au soleil, par rapport aux anciennes planètes,
mais c’est en réalité aujourd’hui la neuvième, en comp:
tant les quatre nouvelles récemment découvertes. On la
désigne par le caractère 2£:

Cette planète, qui est près de 1500 fois plus grosse
que la terre, et dont la révolution autour du soleil
s'exécute dans une période de 4332). 14h. 18'+est
cependant celle dont le mouvement de rotation est le
plus rapide, car elle tourne sur elle-même en 9 h. 55’
50". Par suite de l’extrême vitesse de ce mouvement,
et conime conséquence du système de la gravitation uni-
verselle; Jupiter est considérablement aplati vers ses
pôles ; des mesures, prises avec un soin extrême, don:
nent pour le rapport du diamètre équatorial au diamiè-

tre polaire, celui des nombres 103 : 160 ; l’aplatisse-

ment est donc égal à =?

107

du diamètre équatorial, ou à
peu près à +, tandis que celui de la terre n’est que

300"

Le disque de Jupiter présente toujours des bandes ou
zones , dont nous avons déjà parlé au mot BanDes DE
Jupiter, et qui lui donnent l'aspect représenté par la
Jigure 2, planche 18. Elles furent découvertes par les
pères Zuppi et Bartholi savans jésuites , ét observées en-
suite en 1660 par Campani, avec un télescope à réfrac-
tion construit par lui-même.

Jupiter est accompagné de quatre petites planètes ou
satellites , qui sont, par rapport à lui, ce qu’est la lune
_par rapport à la terre. Ces satellites invisibles à l'œil,
et par conséquent inconnus des anciens astronomes,
ont été découvert, par Galilée, le 8 janvier 1610. De-
puis le perfectionnement des lunettes astronomiques,
les éclipses extrêmement fréquentes de ces satellites of-
frent un moyen très-précieux pour déterminer les
longitudes terrestres. (7’oy. Loxcirupe.)

D'après les mesures les plus récentes, le diamètre
équatorial de Jupiter est 10,860 , celui de la terrre étant.
pris pour unité; il en résulte que le volume de cette
énorme planète est égal à 1470 fois celui de la terre;
mai; comme sa masse ou la quantité de matière dont
elle est composée n’est qu'environ 338 fois plus grande
que la masse de la terre (voy. Masse), sa densité com-
parée à celle de la terre, prise également pour unité,

KE
est 0,23 , c’est-à-dire qu’elle ne surpasse pas celle de
l’eau.

Voici les élémens de Jupiter, rapportés au 1°° jan-

vier 1801.

Révolution sidérale......... 4332).,5848212

Longitude moyenne......... 119° 15" 23,0
Inclinaison à l'écliptique...... 1 18 1,3
Longitude du périhélie....... 11 8 34,6
Longitude du nœud ascendant. 95 26 18,9

KE 151
Demi grandaxe, celui dela terre
étant sr... 08400 "5,2027760
Excentricité en parties du demi
grand axe. 51602 O9 LG o4B1681

L'axe de Jupiter fait un angle de 86° 54! 1 avec le
plan de l'écliptique. La plus grande distance de cette
planète au soleil, comptée en lieues de poste ou de 2000
toises, est de 213,933,505 lieues, et sa plus petite de
194,267,055 lieues; ses distances à la terre varient de-

puis 253,820,766 , jusqu'a 154,379,794 lieues.

K.

KEILL (Jean), savant mathématicien, que l’accusation
audacieuse qu'il soutint contre l’illustre Leibnitz a
rerdu célèbre, naquit à Édimbourg, en 1671. Il pu-
blia, dès 1690, un Æxamen de la théorie de la terre de
Burnet, ouvrage dans lequel il redressa avec une àpreté
de langage que tout le monde n’approuva pas, les er-
reurs de cet écrivain. Cette production qui eut néan-
moins du succès, mérita à Keill l'honneur difficile du
professorat à l’université d'Oxford , où il occupa avec
le plus grand éclat, comme suppléant, la chaire de
philosophie naturelle, en 1700. Ce fut dans le cours de
lamème année, qu’il fit paraître son principal ouvrage,
Introductio ad veram physicam, divisé en quatorze
leçons. Peu d'années après, la société royale de Lon-
dres l’appela dans son sein, et en 1710, il obtint la
chaire d’astronomie à Oxford.

Keill avait commencé sa réputation en enseignant
l'un des premiers, dans des leçons particulières, les
élémens de Newton; ce fut en prenant dans quelques
écrits, la défense de sa méthode des fluxions, qu'il
y mit le comble, et qu’il entra en lutte avec le génie le
plus puissant de son temps. (Foy. Leibnitz.) Il mou-
rut dans un âge peu avancé, en 1721. Outre son /ntro-
ductio ad veram physicam, Keïill a publié en 1718 :
Tntroductio ad veram, astronomiam, ouvrage qui a été
réimprimé plusieurs fois. On lui doit aussi une édi-
tion de l Zuclide de Gommandin, avec des additions et
des notes, Oxford, 1715 ; et un assez grand nombre de
mémoires insérés dans les Transactions philosophiques,
parmi lesquels il faut remarquer ceux qui ont pour su-
jet: 1° Recherches sur les lois de l'attraction et ses
principes physiques : 2° Réponse à un passage des
acta erudilorurm.: 3° Recherches sur La rareté de la ma-
tière et la ténuïté de sa composition, Ce sont les deux
premiers de ces écrits qui excitèrent le juste mécon-
tentement de Leibnitz, et commencèrent la célèbre
querelle scientifique qui s'éleya alors au sujet de la

méthode des fluxions et du calcul des differences, dont
nous parlons ailleurs.

REPPLER(JEan.) Cet illustre astronome, dont les im-
mortelles découvertes ont établi sur des bases inébran-
lables le véritable système du monde, naquit à Weil,
dans le duché de Wittemberg, le 27 décembre 1571.
Ceux de ses travaux qui exciteront le plus l’'admira-
tion de la postérité, furent publiés dans les premières
années du xvn° siècle, et ouvrent, pour ainsi dire, la
marche majestueuse du progrès qui signale cette mémo-
rable époque de l’histoire de la science. Nous ne pour-
rons néanmoins les considérer que dans leur ensemble, il
a été donné à d’autres de suivre dans tous ses dévelop-
pemens la pensée qui les enfanta, et d'exposer dans
tous ses détails cette vie glorieuse de Jean Keppler, si
pleine de vicissitudes cruelles et de résignation reli-
gieuse.

Des revers de famille avaient laissé Keppler sans ap-
pui dès sa plus tendre jeunesse, mais l'intérêt que les
heureuses dispositions dont il était doué, inspirèrent à
quelques personnes bienfaisantes, le fit admettre au
nombre des élèves du couvent de Maulbrunn, où il
commença ses études, qu'il alla terminer à l’université
de Tubingue. Le célèbre Mœstlin , l’un des plus savans
professeurs de cet établissement , sut reconnaitre le gé-
nie du jeune Keppler, et le dissuada de se livrer à
l'étude de la théologie, science qui menait alors à la
gloire et à la fortune, et qu'il avait embrassée avec
toute l’ardeur d’un esprit disposé à la solitude et à la
mélancolie. En 1594, il remplaça Stadt dans la chaire
de mathématiques, à Gratz, et il se dévoua depuis lors
à Ja science, dont ses découvertes ont agrandi le do-
maine, Nous ne suivrons pas Keppler dans toutes les
agitations qui ont marqué son existence : tour à tour
exilé en Hongrie, rappelé en Stirie dont les troubles le
contraignirent encore de quitter la capitale, il alla à
Prague où il trouva Tycho-Brahé, qui lui fit donner

452 KE

le titre de mathématicien impérial. Mais la faible pen-
sion attachée à cette dénomination fastueuse ne lui fut
pas même payée avec exactitude, et les besoins les plus
urgens vinrent assaillir Keppler, chargé déja d’une
nombreuse famille. Le célèbre observateur qui l'avait
accueilli , lui refusa durement, dit-on, les secours qu'il
en attendait, mais cependant il le présenta à l’empereur
Rodolphe, qui le lui adjoignit, pour l'aider dans ses cal-
culs, avec des appointemens qui ne lui furent pas tou-
jours payés avec mieux d’exactitude que ceux de ma-
thématicien impérial. La mort de Tycho vint augmenter
les affreux embarras auxquels Keppler étaiten proie, ct
cene fut qu’en 1613 qu’il parvint à toucher une partiedes
arrérages de ses pensions. À cette époque, il fut nommé
à la chaire de mathématiques de Lintz, et passa depuis,
avec l'agrément de l'empereur , au service d'Albert,
duc de Frisland ; il se retira à Sagan, où il occupa éga-
lement une chaire de mathématiques.

Ce fut au milieu de ces luttes si pénibles contre la mi-
sère, que lillustre Keppler accomplit néanmoins son
œuvre de grand géomètre. Il avait adopté le système de
Copernic, et l’on sait que dans son enthousiasme pour
lui, il demandait constamment à Dieu la grace de faire
une découverte, qui pût être la confirmation du mouve-
ment de la terre; sa prière était accompagnée du vœu de
publier immédiatement l'ouvrage , où il pourrait expo-
ser cette nouvelle preuve de la sagesse du Créateur. Ce
vœu fut enfin exaucé, et le ravissement de Keppler fut
grand, quand il eut réalisé l’espérance de toute sa vie, et
qu'il eut assigné les lois mathématiques de tous les mou-
vemens célestes. Déjà cette grande pensée s'était fait
jour dans le premier écrit qu'il publia, sous le titre de
Prodrome ou mystère cosmographique. Ce fut en vain
alors que. Tycho, à qui il envoya son ouvrage, lui con-
scilla d'abandonner ses vaines speculations pour se
livrer au calcul des observations. Il persista dans le but
admirable qu'il avait fixé à son génie, et voici en quels
termes il rend compte lui-même des détails de sa grande
découverte : » Depuis huit mois, j'ai vu le premier
» rayon de lumière; depuis trois mois, j'ai vu Je jour;
» enfin, depuis peu de jours, j'ai vu lesoleil de la plus
» admirable contemplation. Je me livre à mon en-
» thousiasme ; je veux braver les mortels par l’aveu in-
» génu que j'ai dérobé les vases d’or des Égyptiens,
» pour en former à mon Dieu un tabernacle loin des
» confins de l'Égypte. Si vous me pardonnez, je
» m'en réjouirai; si vous m’en faites un reproche, je

» le supporterai; le sort en est jeté, jelivre mon livre,‘
; ] »] »

» il sera lu par l’âge présent ou par la postérité, peu
» m'importe ; il pourra attendre son lecteur; Dieu n’a-
» t-il pas attendu six mille ans un contemplateur de
» ses œuvres ! » Il fallut en effet que Newton vint dé-
montrer la réalité de ses découvertes, pour qu’elles fus-

KE
sent appréciées. « Achevons, ajoutet-il, achevons la
» découverte commencée il y a vingt-deux aus.

Sera quidem respexit inertem ,
Respexit tamen, et longo post tempore venit.

» Si vous voulez en connaître l'instant, c’est le 8
» mars 1818. Conçue, mais mal calculée, rejetée comme
» fausse ; revenue le 15 mai, avec unenouvelle vivacité,
» elle a dissipé les ténèbres de mon esprit : elle est si

C2

pleinement confirmée par les observations, que je

croyais rêver et faire une pétition de principe. »
Keppler s’exprimait ainsi dans 7’ Æarmonique du
monde , ouvrage assez semblable à son prodrome, et
dans lequel il s'efforce d'appliquer à l'astronomie ses
idées pythagoriciennes sur les nombres et les intervalles
musicaux. Il exposa et développa depuis dans d’autres
écrits cette découverte qui excitait en lui cet en-
thousiasme d’artiste, naturel à son génie ; mais c’est
dans son Astronomie nouvelle qu’il posa les fa-
meuses lois du mouvement des planètes, dont la théorie
et l'observation démontrent si évidemment la vérité.
Nous allons voir avec l’illustre et savant Laplace, si di-
gue d’expliquer l’œuvre de Keppler, comment il par-
vint à ce grand résultat , sur lequel nous devons plus
spécialement nous arréter.

Ce fut une opposition de Mars qui détermina Kep-
plier à s'occuper de préférence des mouvemens de cette
planète. Son choix fut heureux, en ce que *’orbe de
Mars étant un des plus excentriques du système plané-
taire, et la planète approchant fort près de la terre,
dans ses oppositions , les inégalités de son mouvement
sont plus grandes que celles des autres planètes, et doi-
vent plus sûrement en faire découvrir les lois. Quoique
la théorie du mouvement de la terre eût fait disparaitre
la plupart des cercles dont Ptolémée avait embarrassé
l'astronomie, cependant Copernic en avait laissé subsis-
ter plusieurs, pour expliquer les inégalités réelles des
corps célestes. Keppler, trompé comme lui par l’opi-
nion que leurs mouvemens devaient être circulaires et
uniformes, essaya long-temps de représenter ceux de
Mars, dans cette hypothèse. Enfin, après un grand
nombre de tentatives qu’il a rapportées en détail dans
son ouvrage : de Stellä Martis , il franchit l'obstacle
que lui opposait une erreur accréditée par le suffrage
de tous lés siècles : il reconnut que l’orbe de Mars est
une ellipse dont le soleil occupe un des foyers, et que la
planète s’y meut de manière que le rayon vecteur mené
de son centre à celui du soleil, décrit des aires propor-
tionnelles au temps. Keppler étendit ces résultats à tou-
tes les planètes, et il publia en 1626, d’après cette théo-
rie, les tables rudolphines à jamais mémorables en as-
tronomie , comme avant été les premières fondées sur
les véritables lois du système du monde, et débarrassées

KE
de tous les cercles qui-surchargeaient les tables anté-
rieures. ï
Si l’on sépare des recherches astronomiques de Kep
pler, les idées chimériques dont ii les a souvent accom-
pagnées , on voit qu'il parvint à ces lois de la manière
suivante : il s’assura d'abord que l'égalité du monve-
ment angulaire de Mars n'avait lieu sensiblement
qu'autour d’un point situé au-delà du céntre de son or-
bite, par rapport au soleil. Il reconnut la même chose
pour la terre, en comparantentre elles des observations
choisies de Mars, dont l’orbe, par la grandeur de sa
parallaxe annuelle , est propre à faire connaitre les di-
mensions respectives de l’orbe terrestre. Keppler con-
clut de ces résultats, que les mouvemens réels des pla-
nètes sont variables , et qu'aux deux points de la plus
grande et de la plus petite vitesse, les aires décrites dans
un jour par le rayon vecteur d’une planète , autour du
soleil , sont les mêmes. Il étendit cette égalité des aires
à tous les points de l'orbite ; ce qui lui donna la loi des
aires proportionnelles aux temps. La suite des observa-
tions de Mars vers les quadratures lui firent connaître
* que l’orbe de cette planète est un ovale alongé dans le
sens du diamètre qui joint les points des vitesses extré-
mes ; ce quile conduisit enfin au mouvement elliptique.

Sans les spéculations des Grecs sur les courbes que
forme la section du cône par un plan, ces belles lois se-
raient peut-être encore ignorées. L'ellipse étant une
de ces courbes, sa figure oblongue fit naître dans les.
prit de Keppler la pensée d'y mettre en mouvement
la planète de Mas; et bientôt, au moyen des nom-
breuses propriétés que les anciens géomètres avaient
trouvées sur les sections coniques, il s’assura de la vérité
de cette hypothèse. L'histoire des sciences nous offre
beaucoup d'exemples de ces applications de la géomé-
trie pure et de ses avantages ; car tout se tient dans la
chaîne immense des vérités, et souvent une seule obser-
ation a suffi pour féconder les, plus stériles en appa-
rence, en les transportant à la nature dont les phéno-
mènes ne sont que les résultats mathématiques d’un
petit nombre de lois immuables.

Le sentiment de cette vérité donna probablement
naissance aux analogies mystérieuses des pythagoriciens:
elles avaient séduit Keppler, et il leur fut redevable
d’une de ses plus belles découvertes. Persuadé que la
distance moyenne des planètes au soleil et leurs révolu-
tions devaient être réglées conformément à ces analo-
gies , il Les compara long-temps, soit ayec les corps ré-
guliers de la géométrie, svitavecles intervalles du temps.
Enfin,après dix-sept ans d’essais imutiles, ayant eu l'idée
de comparer les puissances des distances, avec celles
du temps des révolutions sidérales il trouva que les
carrés de ces temps sont entre eux, comme les cubes
des grands axes des orbites; loi très-importante qu'il

TOME II,

KE 4535
eut l’avantage de reconnaître dans le système des satel-
lites de Jupiter, et qui s'étend à tous les :ystèmes de sa-
tellites.

Après avoir déterminé la courbe que les planètes
décrivent autour du soleil, et découvert la loi de leurs
mouvemens , Keppler était trop près du principe dont
ces lois dérivent, pour ne pas le pressentir. La recher-
che de ce principe exerça souvent son imagination ac-
tive ; mais Je moment n’était pas venu de faire ce der-
nier pas, qui supposait l'invention de la dynamique et
du calcul infinitésimal. Loin d'approcher du but, Kep-
pler s’en écarta, mais au milieu de ses nombreux écarts,
il fut cependant conduit à des vues saines sur la gravi-
tation universelle, dans l'ouvrage où il présenta ses
principales découvertes.

« La gravité, dit-il, n’est qu’une affection corporelle
et mutuelle entre les corps , par laquelle ils tendent à
s’unir.— La pesanteur des corps n’est point dirigée vers
le centre du monde, mais vers celui du corps rond dont
ils font partie; et si la terre n’était pas sphérique, les
graves placés sur les divers points de sa surface, ne tom-
beraient point vers un même centre. — Deux corps
isolés se porteraient l’un vers l’autre. comme deux ai-
mans , en parcourant, pour se joindre, des espaces réci-
proques à leurs masses.'Si la terre et la lune n’étaient
pas retenues à la distance qui les sépare , par une force
animale, ou par quelque autre force équivalente, elles
tomberaient l’une sur l’autre, la lune faisant les 5 du
chemin, et la terre faisant le veste, en les supposant éga-
lement denses. —- Si la terre cessait d’attirer les eaux
de l'Océan, elles se porteraient sur la lune, en vertu
de la force attractive de cet :astre. Cette force qui s’é-
tend jusqu’à la terre, y produit les phénomènes du flux
et du reflux dela mer. »

Le mélançe de ces grandes idées avec une foule d’er-
reurs et de spéculations chimériques, distingue spéciale-
ment les ouvrages de Keppler dont l'imagination ar-
dente et rèveuse se complaisait dans les conjectures les
plus hardies et les plus arbitraires. Tout semble bizarre
et inattendu dans les inspirations irrégulières de ce gé-
nie original et pzpfond. Conduit par l’aualogie aux dé-
couvertes les plus sublimes , cette voie se ferme tout à
coup pour lui, et l’on s'étonne qu’il n’ait pas appliqué
aux comètes les lois du mouvement elliptique ; suivant
lui ces corps célestes ne sont que des météores engen-
drés dans l’éther. Ces bizarres contradictions furent sans
doute la cause pour laquelle les astronomes du temps
de Keppler, Descartes lui-même et Galilée, qui pou-
vaient tirer le parti le plus avantageux de ses lois, ne
paraissent pas en avoir senti l'importance.

L’astronomie et les autres branches des sciences ma-
thématiques doivent néanmoins à Keppler des travaux
d’un ordre supérieur , qui auraient encore fait beaucoup

20

KE

pour sa gloire sansles grandes découvertes sur lesquelles

154

nous avons du insister. Ses ouvrages sur optique sont,
entre autres, pleins de choses neuves et intéressantes. [l
y perfectionne le télescope et sa théorie: il y explique
le mécanisme de la vision, inconnu avantlui: il y donne
la vraie cause de la lumière cendrée de la lune, L’inven-
tion importante des logarithmes attira aussison attention
et l'honneur de lavoir fait connaître à l'Allemague lui
appartient tout entier. Mais nous apprécierons mieux ce
caractère d’universalité très-remarquable dans la vie
scientifique de Keppler en parcourant rapidement la
liste de ses pricipaux ouvrages. Le plus important de
tous est sans contredit : Ï. Æs/ronomia nova, seu phy-
sica cælestis tradita commentaris de motibus stellæ
Martis, etc., Prague, 1609, in-folio. C’est dans ce
mémorable écrit que Keppler a expliqué ses lois des
mouvemens des planètes. IT. 44 vitellionem para-
lipomena, seu astronomiæ pars optica , ib. 1604, in-
4°. IT. De stell& nov& in pede serpentart, etc. , ib.
1606, in-4° il ajouta à cette observation de l'étoile qui
parut tout à coup, en 1604, das le pied du serpen-
taire , une dissertation sur la véritable année de la nais-
sance de Jésus-Christ qui parut à part , en allemand, à
Strasbourg, 1613, in-4° et traduite en latin à Franc-
fort, 1614, in-4. IV. Phœnomenon singulare seu Mer-
curius in sole, Leipzig, 1609, in4°.

Keppler prétendait daus cet écrit,avoir vu, en 1607,
la planète de Mercure sur le disque du soleil, mais il
reconnut depuis l'erreur qu’il avait commise en prenant
pour cette planète une tache du soleil, Narratio de ob-
servalis à se quatuor Jovis satellitibus, etc., Prague, 1610,
Keppler confirme dans cet écrit la découverte que Ga-
lilée avait récemment faite de ces petitsastres. VI. Diop-
trica, 1b. 1611, in-4°. VII, Nova stereometria daliorum
vinarium, Lintz, 1615, in-folio. C’est un traité de jau-
geage fort savant; Keppler y présente sur l'infini des
vues qui ont influé sur la révolution que la géométrie
a éprouvée à la fin du dix-septième siècle, et c’est sur
elles que Ferinat a dû fonder sa belle méthode des #axi-
miset minimis. VIIT. Æpitome astronomiæ copernicanæ,
Lintz, 1618, 1621, 1622, in-8°. Cetouvrage, dit Mon-
tucla, contient l’exposition du système de l’univers , les
raisons sur lesquelles Keppler l’établit, et une foule de
conjectures hardies, dont les unes ont été vérifiées &ans
la suite et dont les autres sont le produit d’une imagina-
tion ardente et exaltée. Il tenait en effet encore à sespre-
mières idées archétypes et harmoniques ; il en donna
une preuve nouvelle dans l'ouvrage suivant :1X. /Zar-
monices mundi, libri V, geometricus, architectorius,
harmonicus, psychologicus et astronomicus, Lintz,
1619, in folio. Cet ouvrage est en effet une suite etun
développement de son mysterium cosmographicum .

le premier livre qu'ileût publié, et, par conséquent, il

KE
\

renferme des hypothèses aussi peu fondées, Mais si les
écarts d'une imagination hardie et étavée d’une foule
de connaissances profondes en tout genre peuvent for-
mer un spectacle intéressant et curieux , c’est dans ce
livre qu’il faut le chercher. X. De cometis libri WI.
Aug. Vind. 1619, in-4°. XI. Æyperaspistes Tychonis
conträ Scip. Claramontium, Francfort, r625 in-4°. Cet
écrit offre la défense de Tycho et de Galilée contre
les attaques. du péripatéticien Claramonti, de Pa-
doue, XIT. Joh. Keppleri et Jacobi Bartschii tabulæ
manuales ad calculum astronomicum, in specie ta-
bularum rudolphinarum , compendiosè tractandum
mirè utiles, etc., Strasbourg, 1700, in-19, XIIL. Æpis-
tolæ ad Joh. Kepplerum scriptæ insertis ad easdem res-
ponsionibus Kepplerianis, Leipzig, 19718, in-folio, pu-
blié par Hansch. XIV. Tabulæ rudolphineæ, etc. Ulmæ,
1627, in-folio. Kepplercrut devoir donner à ses tables
astronomiques le nom de l’empereur Rodolphe IT, son
protecteur. Nous n'avons pas besoin de rappeler de
quelle importance et de quelle utilité ce grand travail a
été pour l'astronomie. Keppler a publié un grand nom-
bre d’autres ouvrages dont on trouve le liste dans le
supplément du dictionnaire de Joecher; nous avons cru
devoir les passer sous silence ainsi que ceux de ses écrits
où il semble sacrifier aux préjugés de son temps en fa-
veur delastrologie judiciaire. Nous devons faire remar-
quer néanmoins quesous ce rapport la faiblesse de Kep-
pler 4 pas du moins un caractère systématique, il était
trop éclairé pour attacher quelque importanceaux vaines
spéculations de cette fausse science. En effet, dans les
éphémérides qu'il publia de 1616 à 1636 , l’illustre Kep-
pler a prissoin de mettre sa mémoire à l'abri d’une pa-
reille accusation en riant lui-même des prédictions d’as-
trologie que, suivant l’usage, il ne put se dispenser d’y
insérer. Il faut, disait-il, que la sœur bâtarde nourrisse
Ja sœur légitime.

Keppler vécut dans lindigence; il supportait avec
une sublime résignation les misères de cette vie, mais
les privations de sa famille déchiraient son cœur. Le
sentiment de tristesse profonde que lui inspirait sa posi-
tion se fait jour dans la plupart de ses écrits ; mais
cette grande voix qui demandait du pain aux hommes,
en échange des vérités qu’elle venait annoncer, netrouva
point d’écho dans le monde. C’est même à une circon-
stance qui se rattache à son malheur et à l’état de gêne
où il vivait qu'on doit attribuer sa mort. Il avait été à
Ratisbonne pour solliciter le paiement de ce qui lui
était dû, il fit la route à cheval et il arriva malade,
excédé de fatigue, rongé d'inquiétude dans cette ville,
où il mourut le 15 novembre 1620, dans un âge peu
avancé. Il fut enterré dans le cimetière de Saint-
Pierre, et c'est seulementen 1808 qu'un monument qui
rappelle son génie et sa gloire lui fut élevé par les soins

LU

“ KI
du prince primat Charles Théodore Dalberg. Il est

placé dans le jardin botanique de Ratisbonne, à peu
de distance de l’humble terre où repose Keppler.

KILO. (de yéo, mille.) Mot dont la réunion avec
celui qui exprime une unité quelconque de mesure,
dans le système métrique français, compose le nom de
mille de ces unités. Ainsi kilogramme , signifie mille

grammes ; kilomètre, mille mètres, etc. (7’oy. Mesure.)

KIRCHER (Arnawas le père), l’un des plus savans
religieux qui aient illustré l’ordre de Jésus, naquit le
2 ‘mai 1602, à Geysen, petit bourg d'Allemagne. Peu
d'hommes ont uni, comme le père Kircher, à des con-
naissancesaussi étendues en mathématiques, en physique,
en histoire naturelle, en philologie , un esprit aussi cré-
dule et aussi disposé à poursuivre avec l’ardeur louabie
que doit seule inspirer la recherche de la vérité, les ré-
sultats chimériques d’expériences merveilleuses. Cet
homme célèbre semble appartenir, autant par son éru-
dition prodigieuse que par la naïveté de ses préjugés,
à cette vénérable lignéede savans des 15° et 16° siècles,
dont les erreurs étranges et le savoir réel forment dans
leurs écrits un mélange bizarre qui nous parait inexpli=
cable aujourd’hui. Néanmoins la critique moderne a

peut-être été trop sévère envers le père Kircher; ses

KI 455
écrits forment une immense bibliographie et dans ceux
qui sont le moins estimés on rencontre toujours des ap-
perçus neufs et hardis et surtout un savoir qui n’a été
commun à aucune époque. Les connaissances mathéma-
tiques y tienuentune grande place, elles forment la base
des principaux. Nous nous bornerons à citer les titres
des plus remarquables de ces productions, qui ont eu
leurs jours de gloire et de succès. Ars magna lucis et
urbreæ in X libris digesta , Rome, 1645-1646; Amster-
dam, 1671, in-folio. C'est un traité d'optique et de
gnomonique qui renferme des choses fort intéressantes.
L’auteur y donne la description d’un assemblage de mi-
roirs plans qu'il avait construits d'après celui d’Archi-
mède ; il y parle aûssi de plusieurs de ses inventions,
en général plus curieuses qu’utiles, et parmi lesquelles
est la lanterne magique, dont on croit généralement
qu’il fut l'inventeur. Il. AMusargia universalis, sive
ars magna consonis et dissorciin À libris digesta, Rome,
1650, 2 volumes in-folio. III. Mundus subterraneus ,
in quo universæ naluræ majestas et divitiæ demonstran-
tur , Amsterdam, 1664, 2 volumes in-folio. Primitiæ
gromonicæ , catoptricæ , etc. — Phonurgia nova, etc.
— Arithmologia , seu de occultis rnumerorum mystertis,
etc. — Organum mathematicum, etc. Le père Kircher
est mort à Rome Le 28 novembre 1680.

L.

LAGNY (Tomas Fanrer DE), habile mathématicien,
naquit à Lyon en 1660. Destiné au barreau par ses
parens, la lecture de l'Æuclide du P. Fournier et l41-
gébre de Jacques Peletier lui inspirèrent un attrait in-
vincible pour les mathématiques, à létude des-
quelles il se dévoua dès lors avec une sorte de pas-
sion. Son amour pour la science et ses espérances de
gloire, qui reposaient sur ses travaux, l’amenèrent à
Paris à l'âge de dix-huit ans. Comme beaucoup d’hom-
mes estimables qui perdent au fond des provinces un
temps précieux à inventer des choses connues depuis
long-temps , le jeune Lagny apportait à Paris le plan
de plusieurs méthodes qui ne devaient rien moins que
lui faire ouvrir les portes de l’Académie des sciences.
Malheureusement il trouva que ses découvertes étaient
faites; mais son mérite réel le fit bientôt distinguer, et
il entra à l’Académie en 1695. Il fut ensuite nommé
professeur royal d'hydrographie à Rochefort. En 1716,
le duc d'Orléans, régent, le nomma sous-directeur de
la banque générale. Après la chute de cette institution,
il reprit avec ardeur ses travaux académiques, et mou-
rut à Paris le 12 avril 1734. Fontenelle rapporte que,
dans ses derniers momens et lorsque déjà il ne pouvait

plus connaître ceux qui entouraient son lit, Maupertuis
s’avisa de lui demander quel était le carré de r2 : il ré-
pondit aussitôt 144. À son titre d’académicien , Lagny
réunissaitceux de membre dela société royale de Londres
et de conservateur de la bibliothèque du roi. On ade lui,
outre un grand nombre de mémoires insérés dans le
recueil de l'Académie des sciences : 1° Méthodes nou-
velles et abrégces pour l'extraction et l'approximation
des racines carrées , cubiques, etc., Paris, 1691-1692,
in-4 ; 2° Nouveaux élémens d'arithmétique, et d'algèbre,
ibid., 1697, in-12; 3° la Cubature de la sphère , la Ro-
chelle, 1702, in-12 : en parlant de cet ouvrage dans
l’éloge de Lagny, Fontenelle dit que c’est un morceau
neuf, singulier, et qui proyverait seul un grand géo-
mètre ; 4° Arithmétique nouvelle (binaire), Rochefort,
1703, in-4 ; b° Analyse générale des méthodes nouvelles
pour résoudre les problèmes, Paris, 1733, in-4.

Lagny ne paraît pas avoir obtenu toute la réputation
qu’il méritait : peut-être doit-on plutôt attribuer ce ré-
sultat à son caractère plein de simplicité et de modestie
qu’au peu d'importance de ses écrits, qui ont en géné-
ral obtenu du succès. Suivant Montucla, on ne peut
s'empêcher de reconnaitre dans tous ses ouvrages beau-

coup de vues ingénieuses; mais elles ne l’ont pas mené
loin en ce qui concerne la résolution des équations , son
objet principal. Ce qu'il a produit de plus remar-
quable, ce sont ses méthodes d’approximation et d’a-
bréviation.

LAGRANGE (Josrpu-Louts). La France a le droit de
réclamer l'illustration de ce grand géomètre, comme
une partie de sa gloire moderne. Non seulementle pays
où il naquit a long-temps vécu sous ses lois et fait par-
tie de son territoire, mais encore il avait du sang fran-
çais dans les veines, et c’est dans la langue de sa patrie
adoptive qu’il a écrit et publié ses immortels travaux.
Nous n’avons ni la prétention, ni les moyens de re-
tracer dans ce dictionnaire, l’histoire de la vie et des
ouvrages de Lagrange ; l’espace nous manquerait pour
élever ce monument à sa mémoire, qui exigerait une
œuvre à part et la main d’un artiste plus forte que
celle à qui est confiée la rédaction de ces rapides notices
historiques ; il nous sera donc permis de résumer, sui-
vant la méthode que nous avons suivie jusqu'ici, les
principaux événemens de sa longue et brillante carrière,
et de rappeler seulement ses principaux titres à l'admi-
ration du monde,

Lagrange est né à Turin, le 25 janvier 1936. Son
père, trésorier de la guerre, dans cette ville, était le
petit-fils d’un officier français, passé au service d’Em-
manuel IT, en 1672, et Marie-Thérèse Gros, sa mère,
était fille d’un médecin de Cambiano, dont l’origine
était semblable. Son goût pour la science ne se mani-
festa point dès ses premières études, qu’il fit au collége
de Turin. Ce fut seulement, dit-on, durant sa seconde
année de philosophie, et après avoir lu un mémoire de
Halley, sur la supériorité des méthodes analvtiques,
que sa véritable destination se révéla à lui. Ses études
dès ce moment changèrent de direction, il s’y livra
seul et sans autre guide que son génie, avec cette: ar-
deur généreuse qui triomphe des plus graves difficultés,
et en moins de deux ans il possédait assez la science,
dans son passé comme dans ses progrès les plus récens,
pour entrer en correspondance avec les principaux géo-
anètres du temps. Il n'avait que dix buit ans, lorsqu'il
publia une lettre adressée à Fagnano, dans laquelle il
exposait une série de son invention, pour les différen-
tielles et les intégrales d’un ordre quelconque. L'année
suivante il communiqua à Euler, sa méthode, en ré-
ponse au désir manifesté par l'illustre géomètre, dans
son ouvrage sur les isopérünètres, de trouver, pour la
solution des questions difficiles que présente ce problème,
un procédé de calcul indépendant de toute considéra-
tion géométrique. Depuis dix ans, Euler avait en vain
fait cet appel aux savans de l'Europe, et ce fut, à son
grand étonnement, un jeune homme inconnu qui lui
répondit, Lagrange était alors professeur de mathéma-

LA a

tiques , à l’école d’artillerie de Turin, quoiqu'il eût à
peine dix-neuf anis, et déjà il'avait jeté les fondemens
de la haute réputation qu’il atteignit bientôt. Dans un
appendice de l'ouvrage que nous avons cité plus haut,
Euler avait présenté la découverte d’une propriété re-
marquable du mouvement dans les corps isolés, qu’on
appelle improprement, en mécanique, principe de la
moindre action. En 1756, Lagrange lui adressa encore
une nouvelle application de sa méthode, qui permettait
de généraliser ce principe et par conséquent de l’éten-
dre au mouvement des corps qui agissent les uns sur les
autres d’une manière quelconque, considération impor-
tante de son théorème, que le grand géomètre désespé-
rait lui-même de trouver.

C'est à ce beau travail de Lagrange qu'Euler donna
depuis le nom de Méthode des variations, en faisant
ressortir la gloire de l’inventeurde cette nouvelle bran-
che de la science des nombres.

A cette époque, Lagrange fonda avec le médecin-
Cigna et le chevalier de Saluces, une société savante,
à Turin, qui obtint l'approbation du roi de Sardaigne,
et l'autorisation de publier des mémoires comme les
autres académies. Ces mémoires , dont le premier vo-
lume parut en 17959; eurent un succès prodigieux ; qui
fat dû à la part considérable qu'y tenaient les travaux
de Lagrange. Le 2 octobre de cette année, Euler lui
annonça que l’académie de Berlin, dontil dirigeait la
classe des mathématiques, l'avait appelé dans son sein.
Lagrange, en 1564, remporta le prix proposé par l’a-
cadémie des sciences de Paris, pour une théorie de la
libration de la lune. Son mémoire qui présentait une
solution complète de la question proposée, contenait en
outre les premiers germes de la grande conception qui
servit de base, dans la suite, à la mécanique analyti:
que; ilfutaccueilliavecadmiration. Car, dans cette pièce
remarquable, dit un biographe de Lagrange, il mon-
trait déjà aux géomètres, toute la généralité du principe
fécond des vitesses virtuelles, et son étroite liaison avec
les autres principes de la dynamique.

A l’âge où l’on entre à peine dans le monde, sans
autre appui que des espérances trop souvent déçcues,
Lagrange avait, en Europe, la réputation d’un savant
du premier ordre. Il eut alors le vif désir de connaitre
les hommes éminens, qui avaient accueilli avec tant
d’empressement ce qu’il appelait modestement ses es-
sais, mais c'était surtout vers la France que se tour-
paient ses regards, Ses vœux ardens furent enfin satis-.
faits; il vint à Paris, où Clairaut, d’Alembert et leurs
principaux confrères le reçurent avec l'empressement le
plus flatteur. Une maladie dangereuse le forca d'y abré-
ger son séjour, et, de retour à Turin, il se livra avec
une nouvelle ardeur aux travaux qui avaient appelé sur
lui l'attention de l'Europe savante.

LA

Lagrange ’'adonna alors à de nouvelles et profondes
recherches sur le calcul intégral, les différences par-
tielles, le mouvement des fluides ét sar les méthodes
d’approximation ; dans lesquelles il introduisit de no-
tables perfectionnemens. [len fit, dans le même travail ;
une application très-importante aux mouvemens de
Jupiter et de Saturne, et y donna le premier les ex-
pressions exactes des variations de trois élémens plané-
taires, application qu’on peut regarder comme l’un des
fondemens de la belle théorie à laquelle son nom est
pour toujours attaché. En 1566, il remportait encore
le prix proposé par l’académie des sciences, pour une
théorie des satellites de Jupiter. Ce fut vers ce temps
qu'il quitta Turin, pour n’y plus rentrer. Le 6 novem-
bre de cette année, il prit possession de la place de
directeur de l'académie de Berlin, que lui offrit Fré-
dérie ; lorsque Euler, qui remplissait ces fonctions, re-
tourna à Saint-Pétersbourg, oùle rappelaient de graves
intérêts de famille, Après là mort du roi de Prusse, les
savans étrangers, qui avaient prêté à son académie
l'éclat dontellebrillait momentanément, céssèrent d’être
retenus à Berlin, et Lagrange fut sollicité par les mi-
nistrès des cours de Naples, de Toscane et de Sardaigne,
qui auraient été jaloux de s'attacher un homme d’un tel
mérite. Le célèbre Mirabeau était alors à Berlin, et ce
fat lui qui, connaissant le penchant secret qui attirait
toujours Lagrange vers la France, le décida à venir à
Paris. Il accepta les offres honorahles qui lui farent
faites par le ministre de Louis XVE, et il vint se fixer
davs la capitale de la France, en 1757. La mécanique
analytique parut en 1788, et cette œuvre de génie,
cet ouvrage qui suffirait à la gloire de Lagrange, fut
publié à une époque où la plus étrange révolution pa-
raissait Sopérer dans son intelligence. Il parut long-
temps distrait ét mélancolique, dit Delambre, dans
l'éloge dé ce grand géomètre. Souvent, dans une réu-
nion, qui devait être selon son goût, au milieu des
savans qu'il était venu chercher de si loin, parmi les
hommes les plus distingués de tous les pays qui se ras-
semblaientchaquesemaine, chezl'illastre Lavoisier, on le
voyait rêveur, debout contre une fenêtre, où rien pour-
tant n'attirait ses regards; il y restait étranger à ce quise
disait autour de lui. Il avouait lui-même qu'il avait
perdu le goût des recherches mathématiques, et qu’il
n’éprouvait plus cet enthousiasme qui se ralluma plus
tard avec tant de vivacité. Quelle est donc la cause de
cette mélancolie profoude dans laquelle le génie aime
quelquefois à s’isoler ?.…

Cependant le grand drame dé là révolution française
comméncCa, et bientôt Lagrange se trouva exposé aux
vicissitudes cruélles qui en marquèrent les différentes
péripéties. Etrange aveuglément des factions qui livra
au fer des bourreaux les hommes descience et de progrès,

LA 157
au non d’une révolation qui avait pour but de constater
le progrès! Le caractère paisible de Lagrange, quoique
son active curiosité eüt été excitéc par cette commo-
tion terrible, l’éloigna de la scène orageuse des passions
de ce temps. Il croyait peu aux prétendues améliora-
tions que les réformateurs promettaient au peaple, ce-
pendant il prit part à l’ane des innovations les plus heu-
reuses de cette époque, c’està-dire à létablissement
d’un système métrique , général et uniforme, dout la
base était prise dans la nature. En 1591, l’assemblée
nationale, sur la proposition du député Duséjour, mem-
bre de l'académie, conserva par un décret, à Lagrange,
la pension que lui avait promise Louis XVI: La même
assemblée le nomma suécessivement membre d'unecom-
mission chargée de récompenser les inventions recon-
nues ütiles et l’un des trois administrateurs de la mon:
naie, Mais il né voulut occuper ce dernier emploi que
pendant six mois, et, eh mai 1702, il épousa mademoi-
selle Hemonier, et vécut dans la retraite jusqu'en 1703,
où un décret du 16 octobre forçait de sortir de France
tous les étrangers. Malgré les malheurs qui accablaient
ce pays, Lagratige redoutait ce moment d’une sépara-
tion qu’il aurait regardée conime un exil. Mais Guyton-
de-Morveau obtint du comité de salut public un arrèté
qui mettait l’illustre auteur de la Mécanique analytique
en réqtisttion pour continuer dés calculs sur la théorie
des projectiles ; et il le conserva ainsi à la France qu'il
aimait tant! Avant que des jours meilleurs se levassent
sur notre pays désolé, Lagrange eut la douleur de
voirimmoler ses meilleurs amis, Bailly et Lavoisier. La
moïit de ce. dernier surtout le plongea dans le deuil.
= « I ne leur à falla qu'un moment, disait-il à De-
lambre , pour faire tomber cette tête, et cent années,
peut-être, ne suffiront pas pour en reproduire une
semblable ! »

Cependant l’ordre sortit enfin du chaos révolution
naire et les actes d’un gouvernement régulier et social
vinrent raisurer la société si profondément ébranlée.
L'école normale et l’école polytechnique furent créées,
et ces établissemens , dont le dernier surtout si national
et si grand , a brillé de tant d’éclat parmi lesgloires nou-
velles de la France, comptèrent Lagrange au nombre
de leurs professeurs. La science avait retrouvé un no-
ble asile et sa voix si long-temps étouffée par les cris de
la place publique retrouva de dignes échos. Ce fut pour
lés élèves de l’école polytechnique que Lagrange repre-
nant ses anciennes méditations sur les fondemens du cal-
cul différentiel leur donna ce développement malheu-
reux qu'il consigna dans sa T'hcorie des fonctions. (7 oy«
Foxérions anatynoues.) Il est difficile de se faireuneidée
de l’euthousiasme qu'inspirait à ses auditeurs les leçons
de Lagrange ét du religieux silence qui accueillait ces
distractions profondes qu’une idée imprévue venait par

158 LA

fois lui causer. Ces jeunes hommes arders, et dévoués au
service de leur pays, emportaient au loin dans la France
et dans les camps, sur la terre étrangère, où les appelait
leur devoir , le souvenir de leur illustre maître et la
pieuse affection qu'ils lui avaient vouée. Le nom de La-
grange était alors un des plus populaires de France. A
cette époque l'institut national fut créé, Lagrange en-
core y fut le premier appelé. Le directoire , frappé du
lustre que les travaux de ce grand homme jetait alors
sur le pays, lustre qui rejaillissait sur son administra-
tion, lui décerna une de ces récompenses qui rappellent
l'héroïsme et la noble simplicité des anciennes répu-
bliqnes. Au moment où le Piémont, par suite des vic-
toires des armées républicaines, fut placé sous l'influence
française, on n’oublia pas que c'était le pays natal de
Lagrange et que son père , âgé de go ans , vivait encore
à Turin. Le ministre des relations extérieures recut l’or-
dre d'écrire au commissaire civil du directoire dans
cette ville. « Vous irez chez le vénérable père de lil-
lustre Lagrange et vous lui direz que dans les évènemens
qui viennent de se passer, les premiers regards du gou-
vernement français se sont tournés vers lui, et qu’il
vous a chargé de lui porter le témoignage du vif intérêt
qu'il lui inspire... » Le commissaire du directoire ré-
pondit qu’à l'instant même où cette lettre lui était par-
venue, il s'était transporté chez le père de Lagrange,
suivi des généraux de l’armée ct de plusieurs citoyens
distingués des deux nations. Là, après lui avoir lu la
dépêche officielle. — « Heureux père! avait-il ajouté;
jouissez de la reconnaissance de tous les amis de la vé-
rité ; je suis dans ce moment leur interprète. Jouissez du
bouheur d’avoir donné le jour à un homme qui honore
l'espèce humaine par son génie, que le Piémont s’enor-
gueillit d’avoir vu naître, et que la France est orgueil-
leuse de compter parmi ses citoyens. » — Mon fils est
grand devant les hommes, dit le vieillard, puisse-t-il
aussi être grand devant Dieu! » Peu de temps après
de nouveaux honneurs vinrent rendre un éclätant hom-
mage au génie de Lagrange. Les destinées de la France
étaient changées, et le chef de l’état, qui avait été son
collégue à l'institut, le nomma membre du sénat, grand
officier de la légion d'honneur et plus tard comte de
l'empire et grand croix de l’ordre de la réunion. Des
travaux de l’ordre le plus élevé marquent cette période de
sa vie et l’occupèrent jusqu’en 1813. C’est à cette époque
que la science eut à déplorer sa perte et ce serait ici
qu'il conviendrait d'analyser et d’exposer dans leur en-
semble les glorieux travaux et les découvertes mémora-
bles dont il l’enrichit si long temps. Mais cette étude
dépasserait les bornes de notre plan, nous ajouterons
seulement icila liste de ceux de ses écrits qui ont été pu-
bliés séparément , c’est remonter à la source d’un grand
fleuve, dont nous ayons admiré la course majestueuse.

LA

L. Addition à l'algèbre d’ Euler , eNes occupent 300 pa-
ges du deuxième volume de cet ouvrage , qui a été im-
primé à Lyon en 1754, en deux volumes in-8°, et réim-
primé en 1706.11. Mécanique analytique, in-4°, Paris,
1787, deuxième édition, premier volume en 1811,
deuxième en 1815, par les soins de MM. Prouy, Gar-
nier et J. Binet. HI. Thcorie des fonctions analytiques ,
Paris , an 5, in-4°, deuxième édition, 1813. IV, Ré-
solution des équations numériques , in-4°, Paris, an 6,
deuxième édition, 1808. V. Lecons sur Le calcul des
fonctions, Paris, 1806, 1 volume in-8°. VI. Lecons
d'arithmétique et d’algèbre, données à l’école normale.
VIL. Essai d'arithmctique politique. {1 existe en outre
un nombre considérable de mémoires de Lagrange dans
Jes collections académiques de Turin, de Berlin et de
Paris, dans la Connaissance des temps, et dans le jour-
nal de l’école polytechnique. I] a aussi laissé une grande
quantité de manuscrits que Carnot, étant ministre de
l'intérieur, en 1815, fit acquérir par le gouvernement
et donna à l'institut.

L’excès de travail, dès les premiers jours de 1813,
avait épuisé les forces de Lagrange; il ne cessa point
pour cela de donner ses soins à la révision de sa Meca-
nique; cette application hâta la marche du mal dont il
était atteint et les symptômes les plus alarmans ne tar-
dèrent pas à se manifester, Il connut le danger où il
était; « mais, dit Delambre, conservant son impertur-
bable sérénité, il étudiait ce qui se passait en lui; et,
comme sil n’eût fait qu’assister à une grande et rare
expérience, il y donnait toute son attention. Il expira
au milieu de ses amis, le 10 avril 1813 : trois jours après
ses restes furent déposés au Panthéon.

LAHIRE (Puirippe DE), géomètre distingué, l’un des
membres les plus laborieux et tes plus utiles de l'Aca-
démie des sciences, naquit à Paris le 18 mars 1640. Il
perdit, à l’âge de 17 ans, Laurent de Lahire, son père,
peintre ordinaire du roi , et qui le destinait à le rempla-
cer dans son art, dont il lui enseigna les élémens. Mais
d'autres dispositions entrainaient le jeune Lahire vers
une autre carrière, et, suivant Fontenelle, on put pré-
dire de bonne heure que le jeune peintre se changerait
en un grand géomètre. La douleur que lui fit ressentir
la perte cruelle qu’il éprouvait, et une affection physique
fort grave, le conduisirent en Italie où il s’appliqua avec
bonheur à l’étude de la géométrie. A son retour à Paris,
Désargues chargea Lahire de terminer la seconde partie
de son Traité dela coupe des pierres. Ce travail fut im-
primé à part, et fit connaître son auteur dans le monde
savant, En 1673 et 1676, Lahire publia divers traités
sur les coniques et la cycloïde qui mirent le sceau à sa
réputation, et le firent entrer à l’Académie des sciences
en 1678. Le titre d’académicien ne ralentit point son
zèle pour la science ; dès l’année qui suivitsa réception,

LA

il publia dans un même volume trois traités qui parais-
sent avoir eu pour objet le développement de quelques
points obscurs de la géométrie de Descartes ; le premier
est consacré aux sections coniques , le second aux lieux
géométriques, le troisième à la construction où effec-
tion des équations. Ce fut à cette époque que l'illustre
Colbert conçut le plan d’une carte générale du royaume
de France. Picard et Lahire furent choisis pour pré-
parer les élemens de ce beau travail ; ils parcoururent
ensemble les côtes de Bretagne et de Gascogne. En 1681,
Lahire eut ordre de se séparer de Picard et d’aller dé-
terminer la position de Calais et de Dunkerque. Il me-
sura aussi la largeur du Pas-de-Calais, depuis la pointe
du bastion du Risban , jusqu’au château de Douvres, et
il la trouva de 21360 toises. Lahire mesura ensuite sur
le bord de la mer une base de 2500 toises , qui fut le
fondement de ses triangles, et visita en 1682 les côtes de
Provence pour mettre fin à la grande entreprise de
Colbert. Dans tous ces voyages, dit Fontenelle , il ne se
bornait pas aux observations qui étaient son principal
objet ; il en faisait encore sur la variation de l'aiguille
aimantée , sur les réfractions , sur les hauteurs des mon-
tagnes, sur le baromètre. Il ne suivait pas seulement les
ordres du roi, mais aussi son goût et son envie de sa-
voir.

En 1682 , ce laborieux géomètre publia un traité de
gnomouique , qui a été imprimé en 1698 avec des aug-
mentations. La mort de Colbert interrompit tout à coup
les travaux entrepris par soh ordre pour li méridienne
commencée par Picard, et que Lahire continuait du
côté du nord, tandis que Cassini la poussait du côté
du sud. Alors Lahire fut employé par Louvois, le
successeur du grand ministre que la France venait de
perdre, à des travaux de nivellement qui avaient pour
objet d'amener à Versailles les eaux de l'Eure. Eu 1685,
l'infatigable Lahire publia dans un corps d'ouvrage le
résultat de ses études sur les sections coniques. Cette
théorie paraissait pour la première fois dans son ensem-
ble et déduite de principes simples et nouveaux; aussi
l'ouvrage de Lahire obtint-il un grand succès dans l’'Eu-
rope savante. Deux ans après, il publia des tables du
soleil, de la lune, et une méthode pour faciliter le cal-
cul des éclipses. Toutes les branches des mathématiques,
enfin, ont été l’objet des travaux de Lahire, dont on
concevra mieux l’ensemble important par la liste des
ouvrages qu’il a publiés sur les diverses matières qui en
sont l’objet.

Labhire a peu fait pour la théorie de la science, mais
les opérations qu'il a accomplies donnent une haute
idée de sa sagacité, de son amour pour le travail et de
ses talens. On ne saurait trop honorer les noms des
plus grands géomètres qui sacrifient à la gloire des hau-
tes spéculations le bonheur de se rendre utiles à leur

LA 159

pays: par des applications pratiques. Celui dont nous
venons d'exposer rapidement les travaux eut une vie
paisible, dont l'étude remplit tous les instans. Exempt
d’ambition, de mœurs douces et pures, Lahire mourut
à Paris le 21 avril 1718, sans avoir éprouvé les infirmités
qui accablent la vieillesse, aimé et respecté de tous le

hommes au milieu desquels il avait vécu. Toutes ses
journées, ajoute Fontenelle, en terminant son éloge ,
étaient d’un bout à l’autre occupées par l'étude , et ses
nuits trèssouvent interrompues par des observations
astronomiques. Nul divertissement que celui de changer
de travail ; nul autre exercice corporel que celui d’aller
à l'Observatoire, à l'Académie des sciences, à celle d’ar-
chitecture, au Coîlége royal dontil était aussi professeur.
Ila eu le bonheur que l’âge ne l’a point miné lentement
et ne lui a point fait une longue et languissante vieil-
lesse. Quoique fort chargé d'années , il n’a été vieux
qu'environ un mois, du moins assez pour ne plus venir à
l’Académie; quant à son esprit, il n’a jamais vieilli.
Voici les titres et la liste, par ordre de date, des ouvrages
de Lahire. I. Nouvelle Méthode de géométrie, pour La
section des superficies coniques et cylindriques, Paris ,
1673, in-4° fig. IL. De Cycloide opusculum ib. 1676,
in-4*. IT. Nouveaux élémens des sections coniques ;
Les Lieux géométriques; la Construction ou effection des
équations, ib. 1659, in-12. IV. La Gnomonique ou
l'art de tracer des cadrans, tb, 1682, in-12, nouv.
édit. 1698. Cet ouvrage, fort utile, et qui parut ex-
cellent à l’époque où il a été publié, a été effacé par ce-
lui de D. Bedos , sur le même sujet. V. Sectiones coni-
cæ in IX Libros distributæ, ib. 1685. VI. Tabulæ astro-
nomicæ, Ludovicimagni jussu et munificentit exaralæ,
tb. 1902, in-4°. La première partie de ces tables, comme
nous l'avons dit plus haut, avait déjà paru en 1687;
Lahire y avait joint la description d’une machine de son
invention qui montrait toutes les éclipses passées et à
venir, les mois et les années lunaires avec les épactes.
Cette machine était d’une construction fort simple, et
pouvait se mettre dans la boîte d’une pendule ; Fonte-
nelle avance que plusieurs de ces machines furent exé-
cutées, et que l’une d’elles émerveilla l’empereur de la
Chine à qui elle avait été envoyée avec plusieurs autres
curiosités d'Europe. Quant aux Tables astronomiques ,
elles eurent un grand succès, quoiqu’un nommé Lefèvre
en disputât la propriété à Lahire qui les traduisit en
français; mais elles re furent imprimées ainsi qu’en
1735. Elles furent aussi traduites dans toutes les langues
de l’Europe; les tables de Halley les ont cependant fait
oublier. VIT. Z’Ecole des arpenteurs, avec un abrégé
du nivellement, Paris, 1689 in-8°. nouv. édit. 1692,
1728. VIII. Traitc de mécanique où l'on explique tout
ce qui est nécessaire dans la pratique des arts, b. 1655.
in-12, Cet ouvrage qui avait le mérite d’être complet,

460 . LA

et qui d’ailleurs était un traité de cette branche de la
science, remarquable pour ce temps , était accompagné
d'une dissertation sur les épicycloïdes, et leur usage
dans la mécanique. On s'étonne que ce travail ait fourni
à Bossut l’occasion de déprecier le caractère etle talent
de Lahire, dans un livre d’ailleurs peu estimé {/Zist. des
Mathématiques). Get écrivain prétend que Lahire était
connu pour un médiocre géomètre: cette assertion est
tout à fait arbitraire, etelleest démentie par les travaux
estimables de l’auteur du Traité de Mécanique, dont il
est ici question. On trouve encore dans l’Académie des
sciences un grand nombre de mémoires de Lahire qui a
été l'éditeur du Traité du Nivellement, par Picard , et
du Traité du mouvement des eaux ; par Mariotte.

LALANDE (Joseru-Jérôme LE Français pe), l’un des
observateurs modernes les plus renommés, naquit à
Bourg, en Bresse, le 11 juillet 1732. Peu d'hommes
de génie ont atteint le degré de célébrité où cet astro-
nome est parvenu, célébrité populaire, encore aujour-
d'hui en France, où le nom du modeste et illustre abbé
La Caille w’est guère connu que des persennes qui s'oc-
cupent de science. Si Lalande n’a faitaucune grande dé-
couverte qui justifie sa réputation , ses nombreux et es-
timables travaux ne méritent pas moins d'être signalés,
lors même qu'ils n'auraient eu pour résultat que de
vulgariser les connaissances astronomiques, et d’en ré-
pandre le goût en France. |

Lalande fut élevé par des parens picux, et il eut,
à Lyou, pour professeur de mathématiques, le Père Bé-
raud. Soumis, dès son enfance , aux pratiques les plus
minutieuses de la dévotion, et composant, dans son
enfance , des romans mystiques , il est devenu plus tard.
un des plus fervens et des plus audacieux apôtres de la
secte encyclopédique. Quoiqu'il eût révélé de bonne
heure une intelligence remarquable, ses goûts parais-
saient le porter plutôt vers les études littéraires que vers
les hautes spéculations de la science , lorsque la grande
éclipse du 25 juillet 1545, qu’il vit observer , à Lyon,
par le Père Béraud, décida de ses dispositions pour
l'astronomie. Ses parens, peu touchés des espérances
de gloire que le jeune Lalande concevait déjà , crurent
pouvoir le détourner d’un penchant qu’ils regardaient
comme funeste, en l’envoyant à Paris où il fut mis eu
pension chez un procureur. Mais ce procureur demeu-
rait dans l'hôtel de Cluni, où Delisle avait établi un
observatoire que les travaux de Messier avaient rendu
célèbre. Lalande fit son cours de droit et devint avocat
pour plaire à ses parens qu’il aimait, et il suivit le cours
de Messier , et devint astronome pour satisfaire ses pro-
pres goûts. Il parait que le cours de Messier était sou-
vent désert, et que Lalande était à-peu-près son seul
auditeur ; aussi le vieux professeur s’attacha-t-il à lui,
s'efforça-t-il de développer les dispositions heureuses

| à LA

+.
qu’il lui avait reconnues. Presque aussitôt, Lemonnier,

à qui l’on doit la mesure d’un degré au cercle polaire ,
ouvrit un cours de mathématiques, et distingua La-
lande parmi ses éièves, Il ne tarda pas à réaliser toutes
les espérances qu’il avait fait concevoir à ses deux
maitres qui se firent une sorte de petite guerre pour se
l’attacher uniquement. Lemonnier eut le crédit de se
faire remplacer par son protégé pour la détermination
de la parallaxe de la June qui devait s'effectuer à l'ob-
servatoire de Berlin, suivant les avis de La Caille qui
désirait que des observations faites en Europe établissent
une concordance utile aux progrès de la science, avec
celles qu’il allait recueillir au cap de Bonne-Espérance.
Le jeune Lalande, heureux d'être chargé d’une telle
mission , partit pour Berlin , muni de toutes les instruc-
tions, des recommandations et des iustrumens néces-
saires ; il fut présenté à Frédéric qui l’accueillit avee
intérêt. Peu de temps après, Lalande, que sa jeunesse
n'avait pas empêché d’être chargé d'une mission impor-
tante, et qu’on regardait comme un prodige, fut recu
membre de l’Académie de Berlin. Cette circonstance le
mit en rapport avec Euler, dont il eut le bonheur de
recevoir des leçons ; mais il se lia en même temps avec
tous les philosophes de Frédéric, et ce fut au milieu
d’eux qu’il perdit les sentimens religieux dans lesquels
il avait été élevé. Avant de retourner en France, il pu-
blia, dans les acta eruditorum, les détails de sa mission
sous ce titre : 1. Delalande astronomi regii de obser-
vationibus suis Berolinensibus, ad paralaxin lunæ defi-
ciendam, epistola (1752). Eu 1553, Lalande, à peine
âgé de vingt ans , entra à l'Académie des sciences. Soir
travail sur la lune devint l’occasion de sa liaison avec
La Caille; mais cette liaison déplut à Lemonmier, son
maitre, et depuis ce temps ils furent ennemis.
Esquissons rapidement maintenant les travaux de
Lalande, parvenu si jeune aux honneurs académiques.
Une de ses occupations les plus coustantes, fut la théorie
des planètes , qu’il chercha toute sa vie à compléter par
l’observation. A l’occasion de deux passages de Vénus,
dont l’époque approchait, il développa la méthode de
Delisle pour représenter , sur une carte géographique,
l’heure de l'entrée et celle de la sortie de cette planète,
pour les différens pays de la terre, et signala une er-
reur commise à ce sujet par Halley, qui avait toujours
recommandé aux astronomes l'observation de ce phé-
nomène. Lalande s’occupa beaucoup aussi de gnomoni-
que, et il a exposé toutes les méthodes relatives à l’art .
de construire les cadrans , dans l’article de l’encyclopé-
die consacré à cette matière. Successeur de Maraldi
pour la rédaction de la Connaissance des Temps, La-
lande introduisit dans cet ouvrage un grand nom-
bre d'améliorations, et y a exposé des méthodes
nouvelles dont il donne l’explication dans son exposi-

LA

tion du calcul astronomique. En 1764 , il publia la pre-
mière édition de son grand 7raite d’ Astronomie , ou-
vrage utile et le plus complet qui eût paru dans notre
langue , et qui était digne , sous beaucoup de rapports,
du succès qu’il obtint. C'est Lalande qui fournit à Clai-
raut les calculs qui servirent à ce géomètre pour déter-
miner d'avance les élémens de la comète de 1759. À
cette époque, une terreur panique s’empara de tous les
esprits. Lalande avait examiné la question de savoir si
les perturbations que les attractions planétaires impri-
maient à la marche des comètes, ne pouvaient pas atti-
rer les orbites de ces astres de manière à faire qu’elles
puissent couper celle de la terre en un point. I devait
lire à l’Académie son mémoire intitulé : Réflexions
sur les Comètes qui peuvent approcher de la terre.
Cette lecture n’eut pas lieu, et le bruit se répandit
aussitôt dans le public que Lalande prédisait positive-
ment dans cet écrit un prochain cataclysme. La ter-
reur fut au comble, et le lieutenant de police fut obligé
de faire imprimer le mémoire pour désabuser le peuple
de Paris. Cette circonstance et beaucoup d’autres à-peu-
près semblables n’ont pas peu contribué à populariser le
nom de Lalande.

En 1998, Lalande publia ses Réflexions sur les
éclipses de soleil, qui contiennent quelques remarques
nouvelles et importantes sur les circonstances de ce phé-
nomène,. Il fut, en 1580, l'éditeur des leçons élémen-
taires d'astronomie de La Caille, et publia successive-
ment un grand nombre d'ouvrages et d'articles dans les
recueils scientifiques, jusqu'en 1793, où parut son
abrégé de Navigation historique, théorique et pratique
avec des tables horaires, calculées par madame Lalande,
sa nièce. Ila donné ensuite : Un abrégé d'astronomie ;
L'Astronomie des dames ; Catalogue de mille étoiles ctr-
cumpolaires ; Mémoire sur la hauteur de Paris au-
dessus du niveau de la mer ; Traité de la sphère et du
Calendrier; Histoire céleste francaise, et enfin, Biblio-
graphie astronomique, ouvrage plein d'érudition et
d'une utilité incontestable pour l'histoire de la science.

Nous avons omis à dessein dans cette énumération
succincte des écrits de Lalande, les ouvrages Ctrangers à
l'astronomie, et dont il a publié un grand nombre. La
plupart se ressentent malheureusement de la mauvaise
direction de ses idées prétendues philosophiques, et les
progrès de la raison les ont fait tomber dans un oubli,
dont nous ne contribuerons pas à les tirer.

La vie de Lalande, depuis son entrée à l'Académie,
est trop connue pour que nous croyions devoir en rap-
peler les particularités. Son amour pour la célébrité
le jeta souvent dans d’étranges idées, Il voulait à toute
force qu’on s’occupät de lui, et il ne négligeait aucun
des moyens qui peuvent attirer sur un homme l'atten-
tion d’un public plus disposé à s’émerveiller d’une

TOME,

LA 161

bizarrerie qu’à honorer le véritable talent. Malgré les
graves erreurs où l’entrainèrent son caractère, et les
tristes principes qu'il puisa dans la société des encyclo-
pédistes, Lalande eut des vertus et se montra toujours
honorable dans la vie privée. Il ne cessa pas de vénérer
ses parens et de chérir sa ville natale , où sa mémoire
sera long-temps honorée. Il mourut à Paris, avec un
calme digue de plus nobles convictions philosophiques,
le 4 avril 1807, après avoir entendu la lecture des jour-
naux, et ordonné de sang froid toutes les dispositions
nécessaires à ses funérailles.

Si, dit Delambre, l’auteur de son éloge académique
et son biographe, Lalande n’a point renouvelé lascience
astronomique dans ses fondemens comme Copernic et
Keppler, s'il ne s’est point immortalisé comme Brad-
ley par deux découvertes brillantes, s'il n’a point été
au même degré que La Caille, un observateur et un
calculateur exact, si enfin il ne fut à tous égards qu’un
astronome du seconä ordre, il a été le premier de tous
comme professeur. Plus qu'aucun autre, il a su répan-
dre l'instruction et le goût de la science. Tel fut en
effet Lalande, et la postérité ne changera rien à ce ju-
tement bienveillant, maïs juste.

LAMBERT (Jeax Henri), mathématicien distingué
et l’un des plus savans écrivains du xvine siècle, naquit
à Mulhausen, le 29 août 1728. Ce fut un de ces hom-
mes simples et modestes qui , avec des talens supérieurs,
passent inconnus dans le monde, mais qui laissent après
eux un long sillon de lumière qui perpétue leur mé-
moire, pour laquelle la postérité s'éprend un jour d’un
généreux et juste intérêt. Les historiens modernes des
mathématiques mentionnent à peine le nom de Lam-
bert , et ce nom, si célèbre en Allemagne, serait à peu
près inconnu à la Fsance, à laquelle il n’est point étran-
ger, si un savant lexicographe n'avait récemment vengé
cet inconcevable oubli dars une notice remarquable.
Nous sommes heureux de pouvoir emprunter à ce cu-
rieux travail les traits principaux de l’esquisse rapide
que nous allons tracer.

La famille de Lambert était du nombre de celles
que la funeste révocation de l’édit de Nantes bannit de
la France. Son père était un pauvre tailleur chargé
d’une nombreuse famille, que son travail pouvait à
peine nourrir, Le jeune Lambert, qui manifesta de
bonne heure les plus heureuses dispositions, put à peine
profiter des moyens d'instruction gratuite qu'offrait le
collége municipal de Mulhausen pour y faire quelques
premières études sur les principes des langues latine et
française. Cependant Lambert se destinait lui-même à
l'enseignement, afin de s'imposer comme une obliga-
tion l'étude qu'il aimait, et ce fut absolument seul qu'il
acquit bientôt des connaissances assez élevées pour en-
ter à Bile, en qualité de secrétaire, chez le docteur

21

162

LA

Jselin, conseiller du margrave de Bade. fl n'avait alors
que dix-sept ans. Cette circonstance et la simplicité de
caractère qui le distinguait, ont donné quelque vrai-
semblance à diverses anecdotes recucillies par les bio-
graphes allemands et dont il est le héros. On dit que
présenté à Frédéric, le prince lui demanda avec ce ton

brusque qu'il affectait : Que savez-vous? — Tout, ré-

poudit Lambert. — Comme:t l'avez vous appris? —
De moi-même. -- Vous êtes donc un autre Pascal? —
Oui.

Quoi qu'il en soit, Lambert put du moins, dans sa
vouvelle situation, disposer d'une bibliothèque, et il
se livra avec ardeur à l'étude de la philosophie, du
droit public et des sciences mathématiques, où un heu-
eux instinct lui fit trouver des exemples clairs ct cer-
tains à l'appui de la théorie qu'il s'était créée pour la
recherche de la vérité ; mais il Jui manquait de pou-
voir conférer de vive voix avec des personnes instrui-
tes sur Jes objets de ses lectures, et de trouver eufin
des contradicteurs et des conseils éclairés dans les ma-
tières difficiles dont il s'occupait. Une heureuse circon-
stance Je plaça enfin daus cette position favorable; il
fut chargé de l'éducation du petir-fils du comte Pierre
de Salis, homme d'état distingué par son instruction. Il
travailla avec une nouvelle ardeur, et ce fut dès lors
qu'il s'occupa à la fois de physique , de mécanique,
d'astronomie et des sciences littéraires, dans lesquelics
il devait diriger ses élèves. C'est aussi à cette époque
qu'il commença à sentir sa vocation d'écrivain, et
qu’il se fit connaître ensuite par la publication de quel-
ques articles scientifiques dans les journaux de ce pays,
et qu'il prépara deux de ses principaux traités : la Lo-
gique algébrique et l'Organon. Les honticurs académi-
ques commencèrent à récompenser cette incroyable ac-
tivité d'esprit qu'il avait déployée et les talens qu'il
révélait. En 1556, Lambert entreprit avec ses élèves
divers voyages en Europe; il put voir les savans les
plus illustres de son temps, et entretint depuis lors avec
eux une correspondance active. Il vint enfin à Berlin
en 1764 : sa réputation l'avait précédé dans cette ville,
et vers la fin de cette année il y devint membre de la
célèbre académie fondée par Frédéric. Tl reçut de ce
prince de fréquens témoignages d'estime et d'intérêt,
et ses bienfaits Jui procurèrent une existence honorable
. Le 25 septembre dé cette année, Lam-

jusqu’en

177"
113

bert mourut à Berlin à l’âge de 49 ans, avec une belle
renommée, qui est deveuue populaire en Allemagne.
Durant cette vie trop courte, et dont nous regrettons
que les exigences de notre plan ne nous aient pas per-
mis de faire micux connaître les particularités, Lambert
a composé un nombre considérable d'ouvrages, mais
nous ne parlerons ici que de ses travaux mathémati-

ques, dont les théories et l'application ont été égale-

LA

ment l’objet de ‘es études, Tous ses éerits sont dominés
par cette idée, que les mathéinatiques sont susceptibles
d'applications plus nombreuses qu’on ne le croit com-
munément : aussi Lambert s'étaitil fait remarquer
conime l’un des plus universels des géomètres applica-
teurs.

Dans le champ de la théorie, Lambert a produit de
profondes recherches sur les diviseurs dés nombres , sut
les fonctions coutinues, sur la théorie des parallèles, sur
la trigouométrie; il a donné la fraction continue du
binôme qui porte son nom et qui a obtenu le double
honneur et d'avoir été prise pour thème par Euler
et d'avoir été l’objet d'un travail de Lagrange, et la
démonstration célèbre de l'incommensurabilité de rap-
port de la circonférence au diamètre. Dans le champ
des applications, il perfectionne les mesures géodési-
ques , il simplifie les pratiques de la perspective ; c'est
seulement pour cederniertravail qu'il est mentionné par
Momtucla. En astronomie, les recherches de Eambert
ne sont pas moins remarquables; en s’occupant des
orbites des comètes, il découvre le rapport qui existe
contre le temps qu’emploie l’astre à parcourir un arc
de son orbite, la corde de cet arcet les deux rayons
vecteurs extrêmes; rapport dont l'expression simple et
élégante a recu le nom de théorème de Lambert.

Nous devous répéter que nous n'avons fait ici qu'é-
noncer les traits les plus remarquables des principaux
travaux de Lambert, qui sont exposés dans les ou-
vrages stivaus : [. Perspective libre, Zurich 1759,
1773, 2 vol. in-8°. IT. Photometria, sive de gradibus
duminis colorum et umbræ, Augsbourg , 1560, 1 vol.
in &°. III. Znsigniores orbitæ cometarum proprictates,
ib. 1-61. IV. Lettres cosmologiques, (en allemand )ib,
1-61. V. Echclles logarithmiques , (en allemand) ib.
1561, Novum organon, Leipzig, 1763, 2 vol. in-89.
VI. Supplementa tabularum logarithmicarum , el trigo-
nomtcerum, Berlin, 19750. VIL Hygrométrie, Aups-
bourg, 15730. VIIL. Beytrage zur mathematic, re-
cueil de mémoires intéressans sur toutes les parties des
mathématiques, où l’on trouve la Logique algébrique,etc.
Bern 1565 à 1752. IX. Pyrometrie, (en allemand)
ouvrage posthume, Berlin 15509. Nous omettons à re-
gretun grand nombre d'écrits de Lambert, moins im-
portans et qui appartiennent plus aux sciences physi-
ques qu'aux mathématiques. Ce savant très-remarqua-
ble a aussi fourni un grand nombre de mémoires inté-
ressans aux nova acta eruditorum, aux archives de
Hindinbourg, aux mémoires de Berlin, aux mémoires
de l’Académie de Bavière ,aux acta helvetica, etc. , etc.
De 1981 à 1587, on a publié à Berlin la correspon-
dance scientifique de Lambert. (J. N. Lambert, Deu-
tscher-Gelchrier Briefwechsel.)

LAME ÉLASTIQUE. (Géom, et méc.) La courbe

LA

formée par une lame de ressort fixée horizontalement
par une de ses extrémités à un plan vertical et chargée à
l'autre extrémité d'un poids qui la fait ployer, a été
considérée pour la première fois par Jacques Bernçuilli,
qui lui a donné le nom de courbe élastique.(F'oy. Mé-
moire de l Acad. des sciences, 1703.) Depuis, plusieurs
géomètres se sont occupés de ce problème, et l'on en
trouve diverses solutions dans le tome 3, des Âlérn. de
S1-Pctersbourg.

Jean Bernouilli a démontré, dans son Æssai sur une
nouvelle théorie de la manœuvre des vaisseaux, que
cette courbe est la même que celle que formerait ua
huge parfaitement flexible , fixé horizontalement par
ses deux extrémités, et chargé d'un fluide pesant. Pour
trouver son équation , il établit en principe : 1° que le

poids tendant exerce sur chaque point de la lune une

force proportionnelle à sa distance ; 2°

que la courbure
dans chaque point est eu raison inverse de la force qui
tend. Ainsi en prenant la ligne de direction du poids
tendant pour l’axe des y, et le point d'applic:tion de ce
poids pour l'origine ; si nous désignons par P, le poids
ou la force qui cowbe la lame, lé moment de cette
force sera Px, et ce moment doit faire équilibre à
l’élasticité de la lame au point x, y ; donc en désignant
l’élasticité absolue de la lame par b, comme elle est cu
raison iuverse du rayon de courbure à ce point, et con
séquemment proportionnelle à

À & vi .
(lo. CoursurE.) nous aurous l'équation

dy

PT— di

où 2'Edelry

_ (dæ+dr);
multipliant les deux membres par dx, et intéyraut en-
suite, en prenant dx pour une quantité constante, nous
obtiendrons
TL? bdy
2 VASE)
e étant une constante arbitraire.

Dégageant enfin dy de cette équation, il vient

Lelle est l'équation de la lame-élastique. On ne peut

LA 165
l'intégrer qu’en développant eu série son second mem-
bre. Pour tous les détails ultérieurs, nous devon; ren-

voyer à la mecanique de Poisson, où la courbe élasti-

tique est traitée avec beaucoup de clarté et de grand
développemens,

LANDEN (Joux), célèbre géomètre anglais, né en
Janvier 1719 à Peakirk, près Peterboroug , ei mot le
15 janvier 1590 à Milton. La publication d'un ouvrage

ayant pour tre: Alathématlical lucubrations, com-

mença la réputation européenne de ce savant, déjà
connt avantageusement, en Anglewrre, par un mé.
moire sur diverses propriéiés du cercle et des courbes
coniques , inséré dans les Transactions philosophiques
de l'année 1754. Cet ouvrage, qui renferme une foule
de beaux théorèmes, concernant la rectification des
hynes courbes, lasommation des séries, l'intégration des
équations différentielles, et plusieurs objets des hautes
mathématiques, fut bientôt suivi d’autres travaux im-
pertans au nombre desquels bous devons particulière-
ment mentionner un mémoire intitulé : Specinen oj 4

new method of comparing curvilineal areas. (Foÿ.

Transac, phil, 1565). Elu en janvier 1966, membre de
£ S9 16 ë rOvuic AC :Dnares anqaen nec s'endormit
la Sociét vale de I lres, Land

pas dans le fauteuil académique, et ses recherches
postérieures sur la sonunation des series convergentes
et sur les lois du z7ouvement de rotation, lui assiguent
un rang distingué parmi les mathématiciens de ce
XVII siècle , si fertile en grands géomètres.

Landen n'est guères connu en France que par une
découverte géométrique très-singulière ct très-inatten-
due : c’est légalité d’un arc hyperbolique à deux arcs

elliptiques assignables; vérité démontrée depuis d’une

I
mauière beaucouy plus simple par Legendre, (Foy.
son Mémoire sur /es transcendantes ellipuques) ; et par
sa tentative de substituer à la zacthode des fluxions,
jusqu'aiors suivie scrupuleusement par Îes géomètres
anglais, une autre méthode, purement algébrique
ou élémentaire, qu'il nomme analyse résiduelle. Suivant
cette méthode, eu lieu d'employer les différences
infiniment petites des quantités variables, Landen con-
sidère des valeurs différentes de ces quantités qu'il égale
ensuite après avoir fait disparaitre le facteur, que cette
égalité reud nul. (Foy. The residual analysis a new
branch of the algebrie art, 1564). Cette analyse rési-
duelle, dout les procédés embarrassans et compliqués
fout perdre au calcul différentiel ses principaux avan-
tages mathématiques, savoir Ja simplicité et l'extrême
facilité des opérations, doit être rangée aujourd'hui
parmi toutes ces méthodes indirectes qui ont voulu
usurper, dans ces derniers temps, la place du calcul
infinitésimal et dont toute la valeur repose sur ce qu’el-
les empruntent implicitement, à leur insu, aux princi-

pes supérieurs de ce calcul.

LA

Lanuden (A/emoirs, > vol.),

104

Le dernier ouvrage de
publié la veille de sa mort, contient, entr'autres objets
importans, l’explication et la cause d'une erreur com-
mise par Newton, dans la solution du célèbre pro-
blème du mouvement deséquinoxes. (Foy. Précesston.)
On sait que D'Alembert a donné, le premier, la réso-
lution rigoureuse et complète de ce grand problème,
(Voy. D’Aremeenr.)

LANTERNE MAGIQUE, (Opr.) Instrument d’op-
tique très-connu, à l’aide duquel on fait paraître en
grand sur une muraille blanche , des figures peintes en
petit avec des couleurs transparentes sur des morceaux
de verre mince. Elle a été inventée par le P. Kircker,
jésuite.

Cet instrument se compose d'une lanterne ordinaire
a laquelle on ajoute un tube renfermant deux verres
lenticulaires dont la propriété est d'écarter les rayons
qui partent de l'objet, de les rendre divergens, et par
conséquent de projeter sur la muraille opposée des ima-
ges beaucoup plus grandes que les objets. Ce tuyau est
adapté de manière qu’on peut y introduire les verres
peints entre les lentilles et la lumière renfermée dans la
lanterne. La fig. 1, pl. 45, rend sensible cette con-
struction. Musschenbrock, dans ses Æssais de ph) sique,
et l'abbé Nollet, dans ses /econs de physique, se sont
occupés en détails de la lanterne magique, dont le per-
fectionnement n'a point paru à Euler indigne de son
attention. oy. Nouveaux commentaires de St-Péters-
bourg, tom. 3.

LAPLACE (Pierre Simox,, l’un des plus illustres
géomètres modernes, est né le 23 mars 1749, à Beau-
mont-en-Auge, d'une famille de pauvres et laborieux
cultivateurs. C’est donc à son génie seul qu'il a dû et
ses succès dans la science, et le rang social élevé où il
est parvenu. Les travaux immortels qui ont signalé sa
carrière , ont dû faire rechercher la source où il puisa
les hautes connaissances à l’aide desquelles il les ac-
complit. Malgré l'obscurité qui environne ses premières
années, obscurité sur laquelle cet homme célèbre avait
la faiblesse de se montrer fort discret, on le retrouve
de bonne heure , se distinguant au milieu de ses condis-
ciples, par une aptitude supérieure à l'étude de toutes
les branches du savoir, que lui rendait plas facile la
mémoire prodigieuse dontil était doué. Ses premiers
succès cependant furent dans les études théologiques.
Il traitait avec talent ct une sagacité extraordinaire,
les points de controverse les plus difficiles. On ignore
comment il passa des discussions philosophiques à
l'examen et à la connaissance des problèmes de la haute
géométrie, mais nous avons trop souvent démontré,
dans le cours de cet ouvrage, la liaison intime qui existe,
en principe, entre ces développemens de la raison,

our partager l’étonnement que cette circonstance de la
! ü

LA

vie de Laplace a pu causer à d'autres. Dès l'instant où
cette dernière science eut fixé son attention , 1l s’aban-
donua sans réserve à l'impulsion de sou génie, etcomme
Lagrange, avec lequel il a eu dans sa carrière scientifi-
que plusieurs points de ressemblance, il ne tarda pas à
s'approprier les connaissances les plus élevées des ma-
thématiques. Il se sentit à l’étroit dans sa province, il
brüla du désir de voir et d’entendre les grands maitres
que possédait alors la France, et il vint à Paris.

Peu de savans ont été constamment plus heureux que
Laplace, dont la vie n’est marquée par aucune de ces
vicissitudes qui ont entravé la marche des plus beaux
génies. Il adressa à D’Alembert, qui l’accueillit avec em-
pressement , une lettre remarquable sur les principes
de la mécanique, et ce célèbre géomètre qui venait de
désigner Lagrange à l'attention du roi de Prusse, ou-
vrit aussitôt la carrière au jeune Laplace, en le faisant
nommer professeur de mathématiques à l’école mili-
taire de Paris.

On nous permettra de négliger quelques détails de la
vie et des travaux de Laplace, pour nous occuper de
ceux de ses ouvrages qui ont le plus contribué à sa
haute renommée et qui sont ses véritables titres à l’im-
mortalité. Possédant déjà les connaissances les plus éten-
dues dans la science des nombres, il avait résolu plu-
sieurs questions principales de l'astronomie théorique ;
cette science sublime devint le but à peu près unique
de ses efforts et de ses travaux. Il avait conçu un plan
immense digne de son génie, c'était de refaire la
théorie du ciel, en coordonnant les grands systèmes,
en réformant les erreurs dont elle avait été l'objet, en
exposant enfin les causes encore inconnues de quelques
phénomènes importans. C’est à cette pensée, qui rem-
plittoute la vie de Laplace, que la science doit la AZc-
canique céleste, ouvrage admirable que Fourier a spi-
rituellement nommé l’almageste de ce siècle, mais qui
l'emporte sur celui de Ptolémée, de toute la différence
qui existe entre l’état actuel de la science et les élémens
d'Euclide. Laplace avait reçu de la nature toute la force
de géuie, toute la persistance que pouvaient exiger une
entreprise de cette étendue. Non seulement il a réuni
dans son almageste du xvui siècle tout ce queles sciences
mathématiques et physiques avaient déjà posé d’incon-
testable, et qui sert de fondement à l'astronomie, mais
il a ajouté à cette branche du savoir des découvertes
capitales, qui lui sont propres et qui avaient échappé
à ses prédécesseurs.

Ainsi, l'on observait dans les mouvemens de la lune
une accélération dont on n'avait pu découvrir la cause.
Les premières recherches de Laplace sur l’invariabilité
du système solaire, et son explication de l’équation sé-
culaire de la lune, ont conduit à cette solution. Il avait
d’abord examiné si l’on pourrait expliquer l'accéléra-

LA

tion des mouvemens lunaires, en supposant que l’action
de la gravité n’est pas instantanée, mais assujétie à une
transmission successive comme celle de la lumière.
Mais il ne put découvrir la véritable cause par cette
voie. Enfin, il donna, le 19 mars 1787, à l'Académie
des sciences, une solution claire, inattendue de cette
difñculté, et prouva très-distinctement que l’accéléra-
tion observée est un effet nécessaire de la gravitation
universelle. Cette grande découverte éclaira ensuite
les points les plus importans du systèmé du monde. En
effet, la même théorie lui fit connaître que si l’action
de la gravitation des astres n’est pas instantanée, il
faut supposer qu’elle se propage plus de cinquante mil-
lions de fois plus vite que la lumière, dont la vitesse
bien connue est de soixante-dix mille lieues par se-
conde. Il put conclure encore de sa théorie des mouve-
mens lunaires, que le milieu dans lequel les astres se
meuvent, n’oppose au cours des planètes qu’une résis-
tance pour ainsi dire insensible, car cette cause affec-
terait surtout le mouvement de la lune, et elle n’y pro-
duit aucun effet observable. La discussion des mouve-
menslunairesa été féconde en conséquencesremarquables,
On peut en conclure maintenant, par exemple, que le
mouvement de rotation de la terre sur son axe est inva-
viable. La durée du jour n’a point changé de la cen-
tième partie d’une seconde, depuis 2000 années, Mais
une conséquence encore plus frappante, est celle qui
se rapporte à la figure de la terre; car la forme même
du globe terrestre se reflète dans certaines inéga-
lités du cours de la lune. Ces inégalités n'auraient point
lieu, si la terre était parfaitement sphérique. Oa peut
déterminer la quantité de laplatissement terrestre,
par l'observation des seuls mouvemens lunaires, et les
résultats que l’on en a déduits, s'accordent avec les me-
sures effectives qu'ont procurées les grands voyages géo-
désiques à l’équateur, dans la région boréale, dans
l'Inde et diverses autres contrées; ainsil’observation et la
théorie concourent également à donner un degré de
certitude irréfragable à l'appréciation de ces divers phé-
nomènes célestes. Tel est en général le caractère et le
résultat des beaux travaux de Laplace, à qui l'on doit
l'étonnante perfection où sont parvenues les théories
modernes.

Les recherches de Laplace sur l'équation séculaire de
la lune, et sa belle découverte de l’invariabilité des
distances moyennes des planètes au soleil, avaient été
précédées de la découverte non moins importante et non
moins difficile de la cause des grandes inégalités de
Jupiter et de Saturne. Les vitesses augulaires moyennes
ou plutôt les moyens mouvemens de ces deux planètes
sont tels que cinq fois celui de Saturne est à peu près
égal à deux fois celui de Jupiter. Suivant les calculs de
Laplace, ce rapport produit, dans les élémens des or-

LA 465

bites des deux planètes, ces variations considérables
dont les périodes embrassent plus de neuf siècles, et
qui sont la source des grands dérangemens observés
par les astronomes. Le mouvement moyen de Saturne
éprouve une inégalité dont la période est d'environ
cent dix-neuf aus, et dont la quantité qui diminue par
degrés insensibles, était, en 1750, de 48’ 44"; le mouve-
ment moyen de Jupiter est soumis à une inégalité cor-
respondante , dont la période est exactement la même,
mais dont la valeur, affectée d’un signe contraire , est
plus petit dans le rapport de 3 à 3. C’est à ces deux
grandes inégalités jusqu'a présent inconnues, dit La-
place, qu'on doit rapporter le ralentissement apparent
de Saturne ct l’accélération apparente de Jupiter.

Les mouvemens moyens de ces deux planètes don-
uent lieu à d’autres inégalités périodiques que Laplace
a fait connaître. Il a également donné une théorie com-
plète du mouvement des satellites de Jupiter, dans l’ex-
position de laquelle on trouve ces deux théorèmes très-
curieux : l'un, que le moyen mouvement du premier
satellite, plus deux fois celui du troisième, est rigou-
reusement égal à trois fois celui du second ; l’autre, que
la lougitude moyenne du premier satellite, moins trois
fois celle du secoad , plus deux fois celle du troisième,
est exactement et constamment égale à 180 degrés. On
sait que c’est d’après les théories de Laplace, que De-
lambre a calculé ses tables pour les mouvemens de Sa-
turne et de Jupiter.

Ce caractère d’investigation scrupuleuse et de noble
persistance à envisager sous tous les points de vue les
questions les plus difficiles, pour arriver à leur solution,
distingue éminemment tous les travaux de Laplace; il
brille surtout d’un éclat particulier dans son Analyse
des probabilités. Là, il avait à s'exercer sur une science
toute moderne, dont l’objet souvent méconnu a pu
donner lieu à de fausses interprétations, mais dont les
applications sont susceptibles d’une immense étendue.
Le génie de Laplace féconda cette branche nouvelle
de la science des nombres. Né tout à coup dans la pensée
féconde de Pascal, le calcul des probabilités avait été
cultivé par Fermat et Huygens; Jacques Bernouilli
avait le premier exposé sa théorie, dont les perfection-
nemens successifs étaient dus à une heureuse découverte
de Stirling, aux recherches d'Euler et de Lagrange.
Laplace en réunit et en fixa les principes, mais en les
développant et en se les appropriant, pour ainsi dire,
par une foule de considérations heureuses et nouvelles.
C'est dans cet ouvrage, l’un des monumens les plus
précieux de la vie scientifique de Lagrange, qu'il
exposa sa Théorie des fonctions gencratrices, grande et
belle doctrine dont l'utilité est incontestable, et à laquelle
un savant et célèbre géomètre ne reproche en résultat,
dans la critique qu’il en a faite, que l'extension trop

166 LA

grandeetl’autorité trop absolue qu'on a voulu lui donner.

Ce rapide évoncé des principaux travaux de Laplace,
dont les ouvrages sont d'ailleurs si répandus, doitsuffire
au but qui nous est imposé, celui de caractériser le
génie des grands géomètres. Nous u’entrerons point
nou plus dans les détails de la vie politique de cet
homme célèbre, quoiqu’elle ait servi de texte à bien
des accusations souveat plus passionnées que justes. Nous
devons seulement ajouter qu'aucun des honneurs pu-
blics, doit il s'était reudu si digne par sa supériorité et
l'éclat de ses talens, n’a manqué à sa persoune. Membre
de l’fostitut lors de la création de ce corps scientifique p
il fat, après le 18 brumaire, appelé un moment au
ministère de l'intérieur : « Géomètre du premier rang,
a écrit depuis Napoléon à propos de cette circonstance,
Laplace ne tarda pas à se montrer administrateur plus
que médiocre; dès son premier travail, nous reconnü-
mes que nous nous étions trompés. Laplace ne saisissait
aucune question sous son véritable point de vue; il
cherchait des subtilités partout, n'avait que des idées
problématiques, et portait eufiu l'esprit des énfiniment
petits dans l'administration. » Napoléon peut avoir eu
raison, sans que l'illustration de Laplace en soit dimi-
nuée en rien; mais 1} faut avouer qu’il Ÿ a une contra-
diction manifeste entre ce jugement sévère de l’em-
pereur et les fonctious publiques dont il accabla l'illustre
savant qui en est l’objet. En effet, Laplace eut un siége
au Sénat , et fut nommé vice-président de cette assem-
blée. On doit rappeler ici que le calendrier Grégorien
fut rétabli, sur son rapport; il fut ensuite g'and-officier
de la Légion-d'Houneur, grand-offcier de l’ordre de la
réunion, comte de l'empire, et, sous la restauration,
pair de France , avec le titre de marquis. Laplace ap-
partenait aussi à toutes les grandes Académies de l'Eu-
rope. Il a conservé, jusque dans un âge très-avancé, la
mémoire extraordinaire qui l'avait fait remarquer dès
sa première jeunesse. L’orgueil excessif qu’on lui a re-
proché , qui n'était peut-être qu'une estime fondée de
lui-méme, une juste appréciation de son mérite élevé,
ne se montra pas en lui, du moins à cette heure suprême
où l’homme peut se dépouiller librement de toutes les
illusions qui l’ont abusé long-temps. Les personnes qui
assistaient à ses derniers instaus , lui rappelant les titres
de sa gloire et ses plus éclatantes découvertes, il répon-
dit : — « Ce que nous connaissons est peu de chose; ce
que nous ignorons est immense. » Laplace mourut à
Paris le 7 mars 1827. Son éloge a été prononcé par
Fourier , à l'Académie des sciences , où sa perte laissait
un grand vide. On a de lui: I. Théorie du mouvement
de La figure clliptique des planètes, 1784, in-4°.
IT. Théorie des attractions des spheroïdes et de la figure
des planètes, 1785, in-4°. IT. Æxposition du système

du monde, 1596, 2 vol. in-8°; 1799, in-4°; 1813, in-4°,

LA

5° édit. revue par l’auteur; 18924, in-4°. IV. Traité de
mécanique céleste, 1798, 2 vol. in-4°; tome n1 1803,
tome 1vV 1805, tome v 1825 V. T'hcorie analytique
des probabilités, 1812, in-4°, 3° édition; 38920, in-4°,
VI. Æssais philosophiques sur les probabilités, 1814,
in-8°; 5 édit. 1825. VIT. Précis de l'histoire de l'astro-
nomie , 1821, in 8°. VIT Quatrième supplément à la
théorie des probabilités, 1825, in-4°. Laplace a fourni
en outre un grand nombre de mémoires insérés dans le
recueil de l'Académie des sciences, et dans le journal
de l'école polythecnique.

LATITUDE. (Géographie.\ On donne ce nom à la
distance d’un lieu terrestre à l'équateur de la terre, me-
surée sur le méridien de ce lieu. C’est, en d’autres termes,
l'arc du méridien d’un lieu intercepté entre ce lieu et
l'équateur.

Pour fixer la position d'un point sur une surface, 1l
est en général nécessaire de le rapporter à quelque ligne
tracée sur cette surface, et dont la position soit fixe et
donnée; ainsi, en Géographie, on choisit comme ligne
fixe l'équateur de la terre qui est un grand cercle ima-
g'oaire situé à égale distance des deux pôles et qui se
trouve conséquemment dans le plan de l'équateur de la
sphère céleste (Voy. ArmiLLatRE); on imagine ensuite que
par chaque point de la surface de la t rre passe un graud
cercle perpendiculaire à l'équateur, ce cercle qui passe
aussi par les pôles se uomme le méridien du point ter-
restre, et il correspond au méridien céleste, c'est -à-
dire, au grand cercle de la sphère céleste qui passe
par les pôles de la sphère et par le zénit du point, On
choisit en outre un méridien déterminé qu'on nomme le
premier méridien, et auquel on rapporte tous les autres
en mesurant leur distance à celui-ci sur l'arc de f’équa-
teur compris entre eux. Alors la position d'un point
quelconque de la surface de la terre se trouve entière-
ment déterminée, lorsqu'on connait 1° la grandeur de
l'arc du méridien compris entie ce point et l'équateur,
ce qui est la latitude du point ; 2° l'arc de l'é‘juateur
compris entre le méridien du point et le premier méri-
dien, ce qui est la longitude de ce point. (Foy. Loxer-
TUDE.)

‘H/

Si nous représentons par EAP Ie méridien terrestre

LA

d’un point À de la surface de la terre, et par HZH' le
méridien céleste correspondant ; Z, déterminé par une
perpendiculaire TZ à l'horizon rationnel HH”, sera le
zénith de À ; et si TP’ représente l'intersection du plan
de l'équateur avec celui da méridien, l'arc AE, distance
du point À au point E où le méridien terrestre ren-
contre l'équateur, sera la latitude de À ; mais cet arc AE
mesure l'angle P'TZ, lequel peut être aussi mesuré par
l'arc ZP' du méridien céleste compris entre le zénith Z
et le point P' de l'équateur céleste; ainsi les arcs AE et
ZP' auront le même nombre de degrés, d’où il suit que
la latitude exprimée eu degrés est égale à l'arc du méri-
dien céleste compris entre le zénith et l'équateur, égale-
ment exprimée en degrés. La recherche de la latitude
d'un pointterrestreseréduit donc, en dernier lieu, à celle
de la distance du zénith de ce point à l'équateur céleste,
Or, en désignant par P l’un des pôles de la terre, et par
EL’ le pôle céleste correspondant, l'arc PE" compris entre
ce pôle et l'équateur, est égal au quart de la circonfé-
rence, ou, ce qui est lamème chose, cest un angle de 90°
sexagésimaux ; il en est de même de l'arc ZH' compris
encre le zénith et l'horizon, ainsi

P'E—=7H

retranchant de ces deux arcs l’arc ZE’ qui leur est com-

mun, On a
P'E'=— ZE'=7ZH' ZE", ou P'Z —=E'H'

D'où il suit que la latitude d'un lieu terrestre est égale
à la hauteur du pôle au-dessus de l'horizon de ce lieu.

La connaissance de la latitude des lieux est de la plus
grande importance en géographie, navigation et astro-
nomie, Nous avous vu au mot Haureur DU PÔLE, par
quels procédés on pouvait la déterminer.

Comme le nombre de degrés de l'are du méridien se
compte à partir de lé juateur, on distingueles latitudes
en septentrionales et méridionales , selou que les lieux
auxquels ellesse rapportent sont situés dans l'hémisphère
septentrional où dans l'hémisphère méridional. La
latitude est toujours de la même désignation que le pôle
élevé au-dessus de l'horizon.

LATITUDE, (4st) On nomme Zatitiute d'un astre,
en astronomie, sa distance à l’écliptique , mesurée sur
l'arc du grand cercle qui passe par cet astre et par les
pôles de l’écliptique. D'où l'on voit que les latitudes as-
tronomiques sont très différentes des latitudes géogra-
phiques. Nous avons déjà expliqué l'usage des divers
cercles de la sphère céleste qui servent à fixer la position
des astres ; nous renverrons donc aux mots ARMILLAIRE
et CATALOGUE.

Larrrupe GéoceNTRIQUE. C'est la latitude d’une pla-
nète, telle que nous la voyons de la terre.

Comme le soleil parait se mouvoir dans l'écliptique

LE 167

même, 11 n’a jamais de latitude, ou sa latitude est de 0°.
Mais les planètes en ont une qui varie depuis 0°, c’est à-
dire, dans les points où leurs orbites coupent l’éclipti-
que , jusqu'à une grandeur égale à l'inclinaison du plan
de leurs orbites par rapport à celui de l’écliptique. C'est
ce qui a fait imaginer le Zodiaque, bande ou zône de la
sphère céleste qui contient les orbites des planètes. (Foy.
ZODIAQUE.)

LariTupe nÉLiocenraiQuEe. C’est la latitude vue du 50-
leil, ou telle qu'elle serait si l'observateur était placé au
centre du soleil. Cette dernière est toujours la même
lorsque la planète se retrouve dans le même point de sou
orbite, tandis que la latitude géocentrique varie avec le
changement de position de la terre par rapport à la pla-
nète.

Les latitudes des étoiles n’éprouvent d’autres altéra-
tions que celles qui sont causées par l’aberration de la
lumière (Foy. AsrnrATION), et par une petite variation
nommée séculaire, due à un déplacement extrêmement
lent de l'écliptique. (Foy. PerrurvatTion.)

LEIBNITZ (Gonrrroi Guirraumr). À l'époque où
ce grand homme apparut sur la scène du monde, d'im-
menses progrès avaient, depuis un siècle, amené les
sciences mathématiques à un degré de juissance et de
perfection tellement supérieur, qu’elles semblaient avoir
atteint le dernier développement de ls raison humaine.
Cependant ces hautes sciences ne présentaient point
encore un ensemble systématique, et, quoique l'idée
de l'infini eût déjà été introduite, dans leurs considéra-
tious les plus élevées, par quelques-uns des hommes
de génie dont les travaux en avaient agrandi le do-
maine; comme leurs recherches avaient été isolées, les
vérités qu'ils avaient mises dans le mondeétaientdemeu
rées, pour ainsi dire, individuelles. Il s'agissait donc
alors de généraliser ces vérités, et c'est à ceute grande
œuvre que Leibnitz vint glorieusement concourir. Les
sciences théorétiques se trouvaient à peu près dans le
même état, et quoique le rationalisme de Descartes eût
porté un coup terrible aux subtilités impuissantes de la
scolastique, quoique cet illustre philosophe eût ap-
porté dans la spéculation un principe réformateur et
vivifiant, il s'en fallait de beaucoup que la philosophie
eutété amenée à un point de vue systématique déduit
des deux principes de la réalité : l'être et le savoir, ou,
si l’on aime mieux , des deux bases transcendantales de
la connaissance, l'esprit et la matière, Le système phi-
losophique de Leibnitz vint mettre la raison dans cette
voice d’un développement nouveau, d'où est sortie l’é-
col& moderne avec sa tendance vers Pabsolu. Sous ce
double rapport, l'histoire des travaux de Leibnitz
appartient à celle de l'esprit humain, et il n'est point
de nom plus grand que le sien parmi ceux qu'elle dé-
signe a l'admiration et aux respects du monde, Ce

168 LE

grand et beau génie, dont nous allons rapidement es-
quisser la vie scientifique, se trouvait encore à l’étroit
dans les vastes régions des mathématiques et de la phi-
losophie , et son savoir encyclopédique a été appliqué
à d’autres objets dans lesquels: il a apporté cette supé-
riorité de vues admirables qui distingue ses produc-
tions. Mais c’est seulement comme géomètre et comme
philosophe que nous devons le considérer dans ce ra-
pide résumé biographique, c’est seulement dans les
rapports qu'ils ont avec ces deux grands caractères de
son génie, que nous devons nous cfforcer de présenter
l'énoncé de ses brillans travaux.

Leibnitz est né à Leipzig le 3 juillet 1646. Il fut placé
par sa mère à l’école de Saint-Nicolas de cette ville,
car il n'avait que six ans quand il perdit son père, sa-
vant professeur en droit. Il apprit rapidement les prin-
cipes des langues anciennes qui servent de base à l'in-
struction, et alla passer ensuite un an à l’université de
léna; de retour à Leipzig il se livra avec ardeur à l’é-
tude des sciences mathématiques et philosophiques , et
déjà son génie se manifesta dans les premières recher-
ches dont ces sciences furent l’objet pour lui. Il passait
ses journées dans un bois voisin de sa ville natale, mé-
ditant sur la philosophie de Platon et d’Aristote, dont
il avait approfondi l'esprit et dont il voulait concilier
les doctrines. A vingt ans, Leibnitz fut reçu docteur en
droit, en suite d’une dispense d’âge que lui accorda
l’université d’Altorf. Une place de professeur extraor-
dinaire de cette science lui fut offerte par les maîtres de
cette institution, mais il préféra se rendre à Nurem-
berg , qui était alors le séjour d’un grand nombre de
savans et de littérateurs. Ce fut dans cette ville qu'il
eut l’occasion de connaître le baron de Boinebourg,
chancelier de l'électeur de Mayence. Ce personnage,
frappé du mérite du jeune Leibnitz , lui conseilla vive-
ment l'étude de l'histoire et de la jurisprudence, et lui
exprima le désir de le voir se fixer à Francfort, où il
lui promit l'appui et les faveurs de son souverain.
Leibnitz suivit ces conseils, et c’est à Francfort qu’il
fit paraître sou premier ouvrage; c'était une méthode
nouvelle pour apprendre et pour enseigner la juris-
prudence. {Nova méthodus, etc. 1667).

C'est de cette époque que date pour Leibnitz cette
vie laborieuse et féconde, marquée par la production
d’une foule d’écrits remarquables. 11 voulut alors visi-
ter la France, qui attirait les regards et l'admiration de
l'Europe, par l'éclat de ses victoires et le mérite des
savans qu’elle avait vus naître ou qu’elle avait appelés
dans son sein. Son protecteur Boinebourg lui procura
les moyens de satisfaire ses désirs en le chargeant d’ac
compagner son fils à Paris. Ce fut dans cette ville que
le jeune Leibnitz vit le célèbre Huygens, et qu'il se
livra plus particulièrement à l'étude des mathématiques,

LE

Il passa ensuite en Angleterre, où il fut accueilli avec
autant de faveur qu'à Paris, et où il se Jia avec les
hommes célèbres qui disputaient alors à la France la
palme des sciences. Leibnitz revint à Paris, qu'il ne
quitta qu'après un séjour de quinze mois, et se rendit
en Hollande auprès du duc de Brunswick, qui l'a-
vait pris sous sa protection après la mort de son pre-
mier bienfaiteur, et lui avait fourni généreusement les
moyens de prolonger son séjour en pays étranger.

Leibnitz n'avait que vingt-huit ans quand il revinten
Allemagne, et déja toutes les branches du savoir avaient
été l’objet deses investigations ; déjà ses nombreux écrits
attestaient une telle universalité de connaissances, une
telle supériorité de talens, qu'il n’était pas permis de
conjecturer dans quelle carrière il devait acquérir plus
d'illustration, ni celle vers laquelle il était plus particu-
lièrement entrainé par son génie. Accueilli avec la plus
grande distinction dans tous les pays qu’il avait visités,
en relation avec les hommes les plus distingués de l'Eu-
rope , il était dès lors en possession d’une renommée que
les travaux de son âge mür devaient rendre immortelle.
Nous nous attacherons seulement à ces hautes manifesta-
tions de son génie.

Les premiers essais du calcul différentiel furent pu-
blies par Leibnitz dans les Actes de Leipzig du mois
d'octobre 1684. Le mémorable écrit qui contient les
principes de cette sublime découverte est intitulé : No-
va Methodus pro maximis et minimis, itemque tangen-
tibus, que nec fractas, nec irrationales quentitates mo-
ralur et singulare pro illis calculi genus. On x trouve,
comme ce titre l’exprime, la méthode pour différencier
toutes sortes de quantités rationnelles, fractionnaires, ra-
dicales, et l'application de ces calculs à un exemple fort
compliqué, qui indique la voie pour tous les cas. Il
donna quelque temps après les premiers principes du
calcul intégral dans un écrit intitulé : De Geometriä re-
condité et analysi indivisibilium atque infinitorur:.

Il est certain que ces choses nouvelles dans la science
étaient répandues dans les journaux d'Allemagne avant
que Newton eût encore rien publié qui püt faire con-
naître que de son côté il était parvenu à de semblables
méthodes. Ce fut sur la fin de l’année 1686 qu’il mit au
jour son livre immortel des Principes , dans lequel est
exposé le calcul des Flurions (Foy. ce mot). Les travaux
de Jean Bernouilli et de l'Hôpital contribuèrent à éten-
dre le calcul différentiel eta en faire comprendre la haute
importance aux géomètres. Mais lorsque cette grande
découverte commença à porter ses fruits, la question
de savoir à qui appartenait la gloire de l'avoir proposée
le premier, de Leibnitz ou de Newton, fut tout-à-coup
soulevée, et donna lieu à une polémique célèbre , dont
nous allons résumer les principales circonstances.

Leibnitz a raconté lui-même l'histoire de ses études

LE

mathématiques, de ses premiers essais, eufin du dève-
loppement complet de ses pensées dans cette branche
élevée du savoir. Dès l’âge de seize ans, il avait composé
sur l’art des combinaisons un petit traité dans lequel il
s’occupait déjà des différences des nombres, dont la suc-
cession forme desséries régulières. Cet ouvrage n’a point
été publié, mais il est intéressant d’en remarquer l'ob-
jet et d'étudier dans sa marche la grande découverte de
l'illustre géomètre, dont le germe était déposé dans ces
premières méditations du jeune étudiant. Leibnitz, oc-
cupé spécialement d'histoire et de philosophie, ne donna
pas d’abord beaucoup de suite à ses recherches d’arith-
métique. En 1673, époque de son voyage en Angleterre,
il se lia avec un géomètre nommé Oldenbourg , auquel
il crut devoir confier les premiers résultats de ses tra-
vaux. Il s'agissait de la constante, soit exacte, soit ap-
prochée, des nombres auxquels on finit toujours par ar-
river lorsqu'on prend les différences successives des ter-
mes d'une série numérique , puis la différence de ces
différences , et ainsi de suite un nombre suffisant de fois.
Mais il apprit que ces résultats qu’il croyait nouveaux,
avaient déjà été publiés en France. Il s’empressa de se
procurer l’ouvrageoüils étaient consignés. Dans unelettre
à Oldenbourg , il fit remarquer ce qu’il croyait bien lui
rester encore de sa découverte, et annonça qu'il était en
état de sommer par les mêmes principes toutes les pro-
gressions composées de termes qui ont pour numérateur
l'unité, et pour dénominateurs des nombres figurés d’un
ordre quelconque.

La découverte d’une autre propriété des nombres
qu'il communiqua également à Oldenbourg , ne fut pas
plus heureuse : on lui apprit qu’elle avait déjà été faite
par Mercator , mathématicien allemand , qui l'avait pu-
bliée dans sa Logarithmotechnica. Leibnitz repassa en
France à cette époque et y apporta ce livre. Excité par
le peu de succès de ses premières tentatives, il se livra à
de nouvelles méditations sur cet objet, et il trouva une
série infinie de fractions qui exprimaient la surface du
cercle, comme Mercator avait trouvé le moyen d’ex-
primer celle de l’hyperbole, Huygens , à qui Leibnitz
communiqua sa découverte, fut frappé de son impor-
tance , et Oldenbourg , auquel il se hâta d’en faire part,
l'eu félicita sincèrement, en le prévenant néanmoins
dans sa réponse qu’un nommé M. Newton, de Cam-
bridge, paraissait avoir trouvé, de son côté, des métho-
des nouvelles, mais non encore publiées, pour obtenir
les longueurs et les aires de toutes sortes de courbes, et
par conséquent du cercle parmi toutes les autres. Cela
n’ôtait rien au mérite de la série de Leibnitz ; mais cette
série avait déjà été trouvée par Gregory, géomètre écos-
sais, qui l'avait communiquée à Collins. Ce fait ne fut
counu de Leïbnitz que plusieurs années après. Newton
lui-même le félicita de la marche qu'il avait suivie,

TOME 11,

LI

comme d’uue nouveauté d'autant plus remarquable,

109

qu'il connaissait, disait-l, trois méthodes différentes
d'arriver à ce résultat, de sorte qu’il s'était peu attendu
qu’on en trouvât une quatrième. Encouragé par ce pre-
mier succès, Leibnitz poursuivit avec ardeur ses spécu-
lations sur les différences des nombres, qui lui sem-
blaient si fécondes, et ce fut ainsi qu’il fut amené à la
découverte du Calcul différentiel (Foy. ce mot).

Nous n’entrerons pas plus avant dansles détails de cette
discussion. Ce fut, pour ainsi dire, une guerre scienti-
fique nationale , dans laquelle les savans anglais reven-
diquaient avec une chaleur qui les rendit trop souvent
injustes envers Leibnitz, les droits de Newton à la dé-
couverte du calcul différentiel. Mais pourquoi a-t-on
cherché à rabaisser ces deux grands hommes, en les pré-
sentant nécessairement comme ayant abusé l’un et l’autre
de confidences qui leur auraient inspiré la même idée
et les auraient ainsi rendus plagiaires l’un de l’autre ?
Leur génie n’a til donc pu se rencontrer en ce point ?
Leibnitz et Newton étaient également dignes par leur
génie, également appelés par leur savoir et leurs pro-
digieux talens, d’apporter dans la science ce principe
quia été si fécond en grands résultats. À la rigueur,
tous deux pourraient, s’il est permis de s'exprimer
ainsi, se partager cet honneur, sans que la gloire de l’un
ou de l’autre en fût diminuée. Néanmoins , si une telle
question pouvait être tranchée par des dates , il n’y au-
rait pas de doute que l’antériorité ne fût en faveur de
Leibnitz. Mais pourquoi n’auraient-ils pas conçu simulta-
nément cette haute pensée? Tous deux l’ont d’ailleurs dé-
veloppée sous un point de vue différent, et c'est une
circonstance qui domine toute cette discussion; elle a
été passée sous silence par tous ceux qui s’en sont fait
les historiens. Admettons donc que Newton et Leibnitz
aient les mêmes droits à se prévaloir de la découverte du
calcul différentiel; il est évident que Newton n'a
aperçu dans sa théorie qu'une méthode de calcul qui
devait faciliter la solution des hauts problèmes géorné-
triques , qu’en d’autres termes, c’est dans un sens con-
cret qu'il en a conçu l’application. Mais Leibnitz a saisi
dès le principe la nature abstraite de ce calcul, il en
a embrassé le sens philosophique, et sous ce rapport ,
il n’y a aucun moyen d'établir entre lui et son illustre
compétiteur un parallèle raisonnable. (Foy. Dirr., 52.)

Il existe entre le génie de Descartes et celui de Leib-
oitz, un point de conformité plus facile à établir, c’est
que dans ces deux grands hommes, quoiqu'ils aient créé
deux écoles rivales, les systèmes philosophiques et ma-
thématiques sont rigoureusement unis et ne paraissent
être que les déductions d'un seul et même principe.
Tous deux ont voulu que les mathématiques emprun-
tassent de caractère

la philosophie Île transcen -

dantal et l'autorité de ses plus hautes spéculations, et

99
=.

170 LE
que la philosophie se soumit, dans la recherche de la
vérité, à la précision des mathématiques, et qu’elle re-
vêtit ses énoncés du caractère d'évidence et de certi-
tude qui distingue dans leur application les propo-
sitions de cette science. Impatient, suivant Brocker ,
de voir la métaphysique dégénérer dans les écoles en
vaines subtilités, Leibnitz conçut son plan général de
réforme, à commencer par la notion de substance qu’il
regardait comme le principe et la base de toute science
réelle. Ce grand homme expose ainsi l’idée fondamen-
tale de sa doctrine métaphysique. « Pour éclaircir l’idée
de substance, il faut remonter à celle de force ou d'éner-
gie , dont l'explication est l’objet d’une science parti-
culière , appelée dynamique. La force active ou agis:
sante n’est pas la puissance nue de l’école; il ne faut pas
l'entendre, en effet, ainsi que les scolastiques , comme
une simple faculté ou possibilité d'agir, qui, pour être
effectuée où réduite à l'acte, aurait besoin d’une excita-
tion venue du dehors, et comme d’un stémudus étranger.
La véritable force active renferme l’action en elle mé-
me : elle est entcléchie, pouvoir moyen entre la simple
faculté d'agir et l’acte déterminé ou effectué : cette éner-
gie contient ou enveloppe l’effort, et se porte d’elle-
même à agir sans aucune provocation extérieure.
L'énergie, la force vive, se manifeste par l'exemple
du poids suspendu qui tire ou tend sa corde; mais quoi:
qu’on puisse expliquer mécaniquement la gravité ou la
force du ressort, cependant la dernière raison du mou-
vement de la matière n’est autre que cette force impri-
mée dés la création à tous les êtres, et limitée dans
chacune par l'opposition ou la direction contraire de
tous les autres. Je dis que cette force agissante est in-
hérente à toute substance qui ne peut être ainsi un
seul instant sans agir, et cela est vrai des substances
dites corporelles , comme des substances spirituelles.
La est l’erreur capitale de ceux qui ont placé toute
l'essence de la matière dans l'étendue ou même dans
l'impénétrabilité, s’imaginant que les corps pouvaient
être dans un repos absolu; nous montrerons qu'aucune
substance ne peut recevoir d’une autre substance la
force même d'agir, et que son effort seul , ou la force
préexistente en elle ne peut trouver au dehors que des
limites qui l’arrêtent et la déterminent. » Leibnitz ex-
pose ensuite ses théories si remarquables sur les idées et
les monades. Suivant sa doctrine, il existe des idées
indépendantes de l'expérience, qui ont leur unique
source dans l’esprit humain lui-même ; les idées sont
obscures ou lucides, confuses ou coordonnées. Confuses,
elle dérivent des sens ; coordonnées , elles appartien-
nent à l’entendement seul.

Le principe de non contradiction est la pierre de
touche de la vérité; on y arrive par l’analyse, en ré-
duisant le composé à ses élémens. Les vérités contin-

LE

gentes sont prouvées par le principe de la raison suffi-
sante, laquelle nous mène à une cause absolue placée
hors de la série des êtres contingens. Les idées qui se
rapportent aux objets extérieurs à l’ame, sont en har-
monie avec ces objets, autrement elles ne seraient
que des illusions. La raison suprême des principes né-
cessaires est en Dieu, source de toute vérité, néces-
saire et éternelle. Il y a des monades primitives, infi-
nies , et des monades limitées qui se distinguent entre
elles par la puissance et la qualité de leurs perceptions.
Les monades sans perception sont les corps inertes; les
animaux des monades n’ayant qu’une perception con-
fuse; les êtres rationnels, les esprits, des monades à
perception distincte: Dieu les reuferme toutes, ii est la
mouade absolue. (L. F, Schon). Ce système philoso-
phique que nous ne pouvons exposer ici dans tous ses
développemens excita, disent tous les biographes de
Leibnitz, tous les historiens de la science , un enthou-
siasme universel. Il a été en Allemagne le principe
d’un grand et beau mouvement intellectuel auquel
l'humanité a dû successivement Kant, Fichté et Schel-
ling.

La vie de Leibnitz est semée de peu d’événemens.
Nous avons rapporté ceux de sa Jeunesse , et énoncé
quelques-uns des immenses travaux qui ont illustré sa
carrière. Cet homme extraordinaire est sans contredit
un de ceux qui ont le plus honoré l'intelligence hu-
maine, et ila laissé dans le monde un nom qui ne
mourra jamais. Îl succomba à une couite maladie le
14 novembre 1716, à l'âge de soixante-dix ans. Un mo-
nument, construit en forme de temple, lui a été élevé
aux portes d'Hanovre; on ylit cette simple et élo-
quente inscription : Ossa Leibnitit. (Voyez la vie de
Leibnitz, par Brucker, et son éloge, par Fonte-
nelle.)

C’est aux soins de Louis Dutens qu’est due la collec-
tion la plus étendue des œuvres de Leibnitz: Go. Gal.
Leibnitii opera omnia. Genève 1763. 6 vol. in 4°. Le
troisième volume est consacré aux mathématiques; la
philosophie est dans le second.

LEMME. (de x«p£avv, j'admets.) Proposition pré-
liminaire qu’on établit pour servir à la démonstration
de quelque autre proposition, quoiqu’elle n'ait cepen-
dant qu’un rapport indirect avec le sujet de cette der-
nière, et qu’elle ne soit employée que subsidiairement,
soit pour la démonstration d’un théorème , soit pour la
solution d’un problème.

LEMNISCATE. (Géom.) Nom d’une courbe qui a la
forme d’un 8, et dont le comte de Fagnano {voy. ce
mot) s’est particulièrement occupé.

Si nous prenons À pour l’origine des coordonnées, et
que nous désignions AP par æet PN pary, l'équation
de la lemriscate sera

LE

ay = 2V ax
a désignant la ligne constante AB ou AC.
Cette équation, à laquelle on peut
donner la forme æy° — ax? — x,
nous apprend que la courbe est une
ligne du quatrième ordre, et qu’elle est
quarrable (Foy. QUADRATURE), Car son

élément est
» qe
yax = - dxV'&—x
a

dont l'intégrale complète est (Foy. Ix-

TÉGRAL, 10)

a:
+ 3 ‘
ainsi en faisant z—a, on obtient pour l'aire de la par-

tie BNA , la valeur _ l'aire totale est donc — le,

Une ligne droite telle que mg peut couper la lemnis-
cate en 4 points, »m,n,p,q. Le point A est considéré
comme double (Foy. Murripre). Il existe d’autres cour-
bes, et la cassinoïde est de ce genre, qui ont la forme
d’un 8 ; mais celle-ci est la plus simple.

LENTILLE. ( Dioptrique. ) On donne particulière-
ment ce nom à un morceau de verre taillé en forme de
lentille, c’est-à-dire, doublement convexe, et dont la
propriété est de faire converger les rayons de la lumière
qui passent au travers, de manière à les réunir en un
seul point qu’on nomme le foyer de la lentille. Par ex-
tension , on a coutume d'appeler verres lenticulaires où
lentilles tous les verres sphériques que l’on classe ainsi
qu'il suit : (Voy. fig. 2, PL. 45.)

1° Plan convexe, verre dont une surface est plane
et l’autre convexe : A, présente sa section ou son profil.

2° Convexe-convexe , ou doublement convexe, B.

3° Plan concave, C.

4° Doublement concave, D.

Il existe une autre classe de verres lenticulaires dont
l’une des surfaces est convexe, tandis que l’autre est con-
cave: tel est E; mais ceux-ci prennent le nom de Ménis-
ques. (Voy. ce mot.)

Les verres convexes ont seuls la propriété de faire

| converger les rayons lumineux ;les verres concaves , au

contraire, les rendent divergens. Nous allons examiner
ces deux classes de verres.

Lentilles convexes. Si l’on expose à la lumière du so-
leil un des verres des formes A ou B, et que l’on reçoive

|
| sur une surface les rayons lumineux quile traversent, ces

rayons projettent sur la surface une image lumineuse
dont la grandeur varie selon que cette surface est plus

| ou moins près du verre. Ainsi, en supposant qu’on ait

d’abord placé la surface très-près du verre, et qu’on

LE 454

l'en éloigne ensuite peu à peu, oufivoit l'image lumi-
neuse augmenter successivement d'éclat, tandisqu’elle
diminue de grandeur jusqu’à ce qu’elle occupe le moin-
dre espace possible; au-delà, la lumière s'affaiblit et
devient divergente.

Le point où l'image lumineuse est la plus petite pos-
sible se nomme le foyer, et sa distauce à la surface du
verre, tournée de son côté, prend le nom de distance
focale.

La distance focale est la même, quelle que soit celle
des surfaces qui reçoit les rayons lumineux , lorsque le
verre est symétrique ; mais les verres non symétriques,
c’est-à-dire, ceux dont les surfaces sont différentes, ont
deux distances focales. Cependant la différence entre
les deux distances focales d’un même verre, est toujours
une quantité très-petite.

On désigne particulièrement sous le nom de surface
antérieure du verre , celle qui est tournée vers l'objet
qu’on regarde, et sous celui de surface postérieure, celle
qui est tournée du côté de l'œil.

L’effet le plus remarquable des verres convexes est de
grossir les objets, et c’est sur cette propriété qu'est fon-
dée la construction des lunettes ; il résulte de la double
réfraction que subit un rayon lumineux dans son pas-
sage au travers de la lentille, cette double réfraction
réunissant sous des angles plus grands les rayons de
toutes espèces, soit parallèles, soit convergens, soit di-
vergens. Par exemple ( pl. 45, fig. 3) les rayons paral-
lèles bD, bE, qui sans la réfraction ne se réuniraient
jamais, en traversant la lentille DE, se réunissent en f';
les rayons convergens AD, 4«Ë, dont le point de con-
coursest eng, par l'effet de la lentille se réunissent en h,
en faisant un angle DAE plus grand que Aga; et enfin
les rayons divergens cD, cE qui, sans la réfraction,
iraient toujours en s’écartant, vont se réunir en g : la
portion cc de l'objet paraît donc sous l'angle Aga et
par conséquent de la grandeur Aa.

L'image de cet objet paraît derrière la lentille dans
un endroit plus éloigné que celui où l'objet est placé.
Cela vient de ce que lesrayons de chaque faisceau, par-
tant de chaque point de l’objet, deviennent par les ré-
fractions moins divergens , et ont par là leur point fictif
de réunion plus éloigné. Le point B (fig. 4, pl. 45) vu
au travers de la lentille paraît donc en b. Mais pour que
l’image de l'objet soit vue derrière la lentille, il est né-
cessaire que cet objet soit placé plus près de la lentille
que le foyer des rayons parallèles. Car si l’objet était en
B (fig. 5, pl. 45) plus loin que ce foyer, les rayons de
chaque faisceau, en arrivant à la surface de la lentille,
étant trop peu divergens , deviendraient , en latraver-
sant, parallèles ou même convergens, et n'auraient pas
de point fictif de réunion; on ne verrait donc point
l'image derrière la lentille. Toutefois, si ces rayons de-

172 LE

venaient convergens, l'image pourrait se faire voir en
deçà de la lentille, entre la lentille et l'œil. Supposons
O, (fig. G, pl. 45) le foyer des rayons parallèles de la
lentille DE, et AB un objet placé au-dela ; les faisceaux
derayons AF, BD, partant de chaque point , étant trop
peu divergens, en arrivant à la lentille, deviennent con-
vergens à leur passage et vont tracer en ab une image
renversée, qu'un œil placé en F peut apercevoir.
Cette image est nécessairement renversée, parce qu’il
n’y a que les rayons qui se soient croisés entre l’objet et
la lentille qui puissent ensuite converger au même œil.
C'est cette image et non le corps lui-même qui est
l’objet immédiat de la vision, au travers d’une lunette.
(Foy. ce mot.)

Les lentilles faisant entrer dans l’œil beaucoup de
rayons qui n’y entreraient pas sans elles , nous font voir
les objets avec plus de clarté et nous offrent ainsi un
moyen précieux de remédier à la faiblesse de la vue;
cependant l'usage des lunettes simples ou besicles pré-
sente de graves inconvéniens qui ne peuvent être évités
qu’en partie, et en employant des verres bien purs et
parfaitement taillés.

Le grossissement des lentilles est d'autant plus consi-
dérable que la distance focale de ces verres est plus pe-
tite. On leur donne le nom de loupe quand la distance
focale est au-dessus de 6 lignes et ne dépasse pas quel-
ques pouces, et on les appelle microscopes simples, ou
lentilles microscopiques , lorsque la distance focale est
inoindre que 6 lignes.

Lentilles concaves. Un verre de cette espèce, pré-
senté au soleil, transmet sur une surface opposée une
image lumineuse qui paraît diverger comme si elle
provenait d’un point situé dans la concavité du verre,
Ce point se nomme le foyer négatif, et sa distance à la
surface qui reçoit la lumière, distance focale négative.
Les objets vus à travers une telle lentille paraissent
plus petits et plus proches ; aussi ne s’en sert-on isolé-
ment que pour les bésicles destinées à corriger le
vice de l’organe de la vue, nommé myopie.

Pour résoudre tous les problèmes qu’on peut se pro-
poser sur les verres lenticulaires, il suffit de déterminer
les relations géométriques qui existent entre les rayons
des surfaces, les distances focales et le rapport de ré-
fraction de l’air dans le verre. C’est ce que nous allons
faire, en considérant une lentille quelconque MN (fig. 7
pl. 45), dont nous supposerons différentes les cour-
bures MAN et MBN de ses surfaces.

Soit R le centre de la surface postérieure MAN , etr
celui de la surface antérieure MBN, la droite qui passe
par ces points sera l’axe de la lentille.

Si d’un point quelconque F de l’axe on imagine un
rayon lumineux Fg qui rencontre le verre en g, et que
du point g on mène gr, cette droite sera la normale au

LE

point g; et comme le rayon réfracté fait avec la nor-
male un plus petit angle dans le verre que dans l'air
(voy. RérracrioN), soit gh sa direction dans le verre,
par le point k, où il sort du verre, menons la nor-
male AR, et comme il doit s’écarter de cette normale,
représentons par hf sa direction au sortir du verre; f
sera donc le point où le rayon lumineux, deux fois ré-
fracté , rencontrera l'axe.

Remarquons d’abord que puisque tout angle exté-
rieur d’un triangle est équivalent à la somme des deux
angles intérieurs opposés (ANGLE n° 9); les angles de
la figure nous donnent les égalités suivantes :

Feg = gr + grF
S'hp —hfR+ AR/,
d'où
Fgg + fhp = 8Er + 85€ + AfR + AR.

On a aussi
grf + ARf = gOR = Ohg + Ogk.

Maintenant, si nous remarquons que la courbure des
arcs MAN, MBN doit être toujours très-petite, pour
que les verres puissent donuer des images distinctes,
nous verrons que les angles aigus de la figure sont aussi
toujours très-petits ;, et qu'on peut substituer à leurs
rapports celui de ieurs sinus sans erreur sensible ; aivsi,
en admettant que le rapport constant qui a lieu entre
le sinus d'incidence et celui de réfraction de l'air dans
le verre soit x : 1, nous pourrons poser

Fgq : Ogh::n:1
fhp: Ohg':in:1
ce qui donne

Fgg + fhp : Ogh + Ohgiin:1,
et, par conséquent , en vertu des égalités précédentes ,
gEr + grE HR AfR + ARS: gif + hRf::n:r.
En composant les rapports on obtient (a),
gEr + hfR : grf HhRf:: n—1 11.
Or, tous ces angies étant très-petits ; et les arcs Bg et

Ah pouvant être considérés comme des droites perpen-

diculaires à l'axe, on a sensiblement

gFr proportionnel à son sinus. — .
BR fiat Aa Eur 2 does Ée

Ainsi substituant ces rapports dans la proportion (a)

elle devient

LE
Be Ah Be , Ah
HBdoa Dai AR 0 0)
et fournit l'égalité (b)
Bg(n—:) Ah(n—1) __ Bg Ah
NUS T ad) LU7

Désignons maintenant par R le rayon AR de la sur-
face postérieure; par r celui Br de la surface anté-
rieure , par a la distance FB, et par x la distance /A.
Remarquons de plus que l’on a, à très-peu près, Bg —
Ah, car les points g et À sont presque coïncidens à
cause de la très-mince épaisseur du verre. Substituant
dans (b), nous obtiendrons définitivement l’équation
très-simple, (c),

TN— 1

n—1
F

I L

qui, quoique approximative , est suffisante pour toutes
les applications.

Si le verre est convexe-convexe régulier on a R=r;
s'il est plan convexe on aR—=x,our—= x; sil est
concave-concave , R etr sont négatifs; et enfin s’il est
plan concave, l'un des rayons négatifs R ou r est infini.
Ainsi la formule (c) se rapporte à toutes les espèces de
verres lenticulaires.

Si nous supposons le rayon incident Fg parallèle à
l'axe, circonstance que l’on exprime en faisant FB ou

I .
a=œe,ona”—0,et la formule (c) devient

la distance x, où se coupent, après les réfractions, tous
les rayons parallèles à l'axe, est ce que nous avons
nommé la distance focale; en la désignant par /, elle
se trouve donc déterminée par l'expression (d),

Fe. Rr
_ (—ijR+r

Ainsi, connaissant le rapport de réfraction de l'air
dans le verre et les rayons de courbure des surfaces de
la lentille, on pourra toujours calculer la distance fo-
cale f, et, généralement, trois des quatre quantités f,
n, Ret r étant données, l'expression (d) fera connaître

la valeur de la quatrième.
S'ils’agit, par exemple , d’une lentille convexe-con-
vexe symétrique, en verre commun pour lequel on a
17)

n = —

(voy. Rérracriow), comme alors R == r, la for-

mule devient

ue R. LS

Toni) 102

LE 173
c'est-à-dire que la distance focale est plus petite que le
rayon de courbure de la douzième partie de ce rayon.

Si la lentille est plan convexe, l'un des rayons R ou
r est infini et l'expression (d) devient.

R R 11
oi) n0-6

Dans ce cas, la distance focale est donc, à peu près, le
double du rayon de courbure.

On trouverait de la même manière pour la lentille

nn 11
concave-concave symétrique, f=— R , etpourlalen-
I

tille plan concave, f — — T R.

La distance focale des verres convexes peut être dé-
terminée , par expérience, en exposant la lentille aux
rayonssolaires , et en mesurant la distance de sa surface
postérieure à l'image projetée sur un plan qu'on avance
ourecule, jusqu’à ce que cette image soit la plus petite
possible. Ayant aiasi mesuré la distance focale, le rayon
de courbure se trouve déterminé par les formules pri-
cédentes. P’oy. Lunerre, Menisque, TÉLEscoPE et VERRE.

LETTRE DOMINICALE. ( Cal.) Voyez Caren-
DRIER, 24.

LEVANT. (454) C'est la même chose qu'Orient ou
Est. Voy. ARMILLAIRE, 12.

LEVÉ DES PLANS. (Géom. prat.) C'est la partie
de l’Arpentage (voy. ce mot) qui a pour objet de re-
présenter en petit, sur le papier, la figure et les pro-
portions d’un terrain.

Après avoir déterminé, par des mesures prises sur
le terrain, la grandeur et les relations angulaires de
toutes les lignes droites par lesquelles on lie entr'elles
ses diverses parties, ce qui se réduit en résumé à for-
ment un faisceau de triangles, il s’agit de construire
sur le papier une figure semblable, c'est-à-dire, un
faisceau de triangles dont les angles soient respective-
ment égaux aux angles des triangles du terrain, et dont
les côtés soient proportionnels à leurs côtés. Les som-
mets des angles se rapportant généralement aux points
principaux du terrain, ces points se trouvent ainsi
fixés sur le papier, et pour avoir une représentation
fidèle de l’ensemble, il suffit ensuite de dessiner les ob-
jets en employant des traits plus ou moins vifs, des
couleurs, des ombres et d’autres signes conventionnels
capables de donner à chaque détail son caractère dis-
tinctif.

En faisant abstraction de ce qui appartient à l'art du
dessin, le levé des plans, réduit à son élément primitif,
n’est donc que la construction, sur le papier, d'un
triangle semblable à un triangle donné , opération qui
ne présente aucune difficulté. Foy. PLan.

Pour figurer de suite les détails d'un plan , on se sert

174 LE

d’un instrument nommé planchette, dont l’usage rend
inutile la mesure des angles et présente, sous ce rap-
port, d'assez grands avantages, lorsqu'il s'agit d’un
terrain de peu d’étendue. Foy. PLANCuETrTE.

LEVER. (45t.) Première apparition d'un astre au-
dessus de l'horizon, lorsqu'il passe de l'hémisphère infé-
rieur à l'hémisphère supérieur par l'effet du mouve-
ment diurne apparent de la voûte céleste.

Comme l'horizon sensible dépend de l'élévation du
lieu où l’on se trouve (voy. Horizon) , l'heure du Zever
apparent d'un astre varie Lon seulement par rapport
aux divers points de la surface de la terre , lesquels ont
tous des horizons différens, mais encore en raisén de
la hauteur du lieu qu'on occupe au-dessus de cette sur-
face ; il faut donc tenir compte de toutes ces circon-
stances si l’on veut calculer l'heure du lever apparent.
On nomme lever astronomique, celui qui s'effectue à
l'horizon rationnel ; la connaissance de ce dernier fait
trouver aisément celle du lever apparent.

Pour calculer l'heure du lever astronomique d’un
astre , pour un lieu dont la latitude est donnée, il suffit
de connaître la déclinaison de cet astre. Mais comme la
déclinaison des planètes varie à chaque instant, par
suite de leur mouvement propre, et que celles qu’elles
ont au moment de leur lever ne peut être déterminée
que par l'heure de ce lever, qu’il s’agit précisément de
trouver, on est forcé de prendre à peu près cette dé-
clinaison et d'en déduire l'heure approchée du lever ;
avec cette heure approchée, on calcule une déclinai-
sou plus exacte qui sert enfin à faire connaitre l'heure
demaudée avec une approximation suffisante. Nous
allons éclaircir cette théorie.

Soit ACB l'horizon rationnel du lieu (PL. 45, fig. 8),
et C, la position de l’astre à l'horizon ; soient, de plus,
Z le zénith, P le pôle, et CP l'arc du cercle de déclinai-
son de lastre. L'angle APC sera l’anle horaire de l’as-
tre, et sa mesure, prise sur l’équeteur, est ce qu’on
nomme l'arc semi-diurne ; cet arc réduit en temps , à
raison de 15° par heure, exprime la moitié de la du-
rée qui s'écoule entre le lever et le coucher de l’astre.

Le triaugle PAC étant rectangle en À, donne (Joy.
TRIGONOMETRIE. )

Mais l'arc AP == 180°— PB, et PB est la latitude du
lieu; l'arc PC est le complément de la déclinaison de
l'astre ; ainsi désiguant par à la latitude , par 9 la décli-
naison, et par À l’arc semi-diurne , on a

Cos k°=< BR8(180 2)

à ?

LE
or, tang (180 — à) = — tang À, tang (90 — à) = cot d

L : | Bie.e
= ———,substituant, on obtient définitivement
tang À
— Cos h = tang à. tang d,
ou (a)
Cos (180°—h) = tang À. tang à
à cause de — cos h == cos (180° — A).

Supposons qu'il s'agisse de calculer l'heure du lever
du soleil, à Paris, le 1° juillet 1836. On trouve dans la
Connaissance des temps de 1836, que la déclinaison du
soleil est à rridi, de

» FE"

3° 10° 54”,8 le 30 juin.

©

différence 3° 54", 8.

23 7 o,ole 1 juillet.

La variation en 24 heures étant soustractive, nous en
ajouterons le quart 58°,7 à la déclinaison du premier
juillet à midi, et nous aurons ainsi la déclinaison de six
heures du matin, déclinaison qui ne peut différer de
celle du moment du lever que d'une très-petite quantité.
La latitude de Paris, à l'Observatoire, étant de
48° 50' 13", nous ayons donc

2— 23 7 58°,7
a — 48 50 13

Mettant ces valeurs dans la formule (a), et opérant par
logarithmes, il vient

Log. tang à — 9,6306480

Log. tang à — 0,0583418

Log. cos (180°—A) — 9,6889898

D'où 180° — h — 60° 44° 55", et k = 119° 15° 5”.

Réduisant en heures cette valeur de l'arc semi-diurne,
elle devient À — 54 57" 0",3. 11 faudra donc au soleil une
durée de temps égale à 74 57" 0",3 pour se rendre de
l'horizon au méridien ; ainsi comme il est midi ou 12
heures lorsque le soleil est au méridien , il sera 12 —}
ou 4! 2° 59,7, au moment du lever.

Avec cette première valeur approximative, on peut
calculer plus exactement la déclinaison, et obtenir en-
suite l'heure du lever d’une manière plus précise. C’est
ainsi qu'ayant trouvé, à l’aide de la proportion

eV 548 2 750 Sim 7,8,

que la variation de déclinaison est, en 7* 57" 0”,3, de
117,8; on obtient, en ajoutant cette quantité à la dé-
clinaison du midi, 1° juillet, à = 23°8'17,"8, pour
la déclinaison du moment du lever. Recommençant en-
suice les calculs avec cette valeur, il vient

Log. tang 9 — 9,6307592

Log. tang à = 0,0583418

Log. cos (180*—h) == 9,6891010

LE

D'où, 180° — À — 60° 44' 26" ; et h — 119° 15” LA ce
qui donne en temps h — 7% 57" 2"; aiusi l'heure du le-
verest : 4! 2' 58".

Cette heure est l'heure solaire vraïe ; on la réduit , si
l'on veut, en temps moyen, à l’aide de l'équation du
temps (Voy. ce mot).

Lorsqu'il s’agit de la lune ou des planètes, on emploie
de même dans l'équation (a)la déclinaison de l’astre au
moment approché de son lever que l’on trouve en calcu-
lant d’abord l'heure du passage âu méridien (7’oy. Pas-
sAGE), et en en retranchant 6 heures, longueur moyenne
de l’arc semi-diurne. Les calculs font connaître une pre-
mière approximation de cet arc semi-diurne, et par suite
l'heure du lever, en retranchant l'arc semi-diurne de
de l'heure du passage au méridien. A l’aide de cette pre-
mière valeur de l'heure du lever, on calcule plus exacte-
ment la déclinaison , et en recommençant toute l’opéra-
tion , on obtient l'heure vraie du lever de l’astre avec
uue exactitude suffisante.

Les heures du /ever et du coucher des astres qu’on
trouve dans la connaissance des temps sont celles du Le-
ver et du coucher astronomiques apparens , C'est-à-dire,
du moment où les astres apparaissent à l'horizon ra-
tionnel ; ce moment diffère toujours de celui où les as-
tres sont réellement à l'horizon, à cause de la parallaxe
et de la réfraction dont les efrets opposés diminuent
d’une part etaugmentent de l’autre la hauteur des astres,
c’est ainsi, par exemple, que le soleil est encore environ
de 34’ au-dessous de l'horizon, lorsqu'il semble se lever,
et que la lune est de 21° au-dessus. Pour tenir compte
de ces circonstances, supposons qu’au moment où l’astre
apparait à l'horizon rationnel il soit réellemeut en D;
l'arc CD que nous désignerons par # étant égal à la dif-
férence des effets de la parallaxe et de la réfraction,
c'est-à-dire ,

æ = réfr. horiz. — parall. horiz.
L’angle horaire qu'il s’agit de calculer est donc en réa-

lité ZPD et non ZPC. Or dans le triangle DZP nous
connaissons les trois côtés , savoir :

ZD = ZC + CD — 90° + +,

PD — compl. de la déclinaison de l'astre — 90° — À,
Nous aurons donc pour la valeur de l'angle horaire k,
l'expression (b),

sing. cos(u—7)

sin?
d cos d. cos À

g étant un angle auxillaire, déterminé par la relation

2u = À + go — 9.
Appliquons cette formule à l'exemple ci-dessus. Nous
avons d’abord : réfraction horizontale — 33! 45”, paral-

laxe horizontale du soleil = 8”, et, par conséquent ,

LE 475
m — 33 45" — 8" — 3337". Puisque nous savons en
outre que la déclinaison du soleil est à peu près de23°8",
nous trouverons g — 58° 7 59"; u — æ = 5734 14";
et, en réalisant les calculs;
Log. sin p —
Log. cos{(u— x) —

9:9290491
9057293799
Compl. log. cos 9 — 0,0364043

Compl. log. cos x — 0,1816303

Somme... — 19,8764686

Demi-somme... == 0,9382343 = Log.sin£,

d’où k == 120° 19° 20" — en temps 8h 1 17". Retran-
chant cette valeur de 12 heures , on a 3 58 43" pour
l'heure vraie du lever du soleil , le premier juillet 1836.
L’équation du temps étant à cette époque de + 3° 18",
l'heure du lever en {emps moyen est 3.2". On ne pousse
pas l’exactitude de ces sortes de calculs plus loin aue
les minutes , à cause de l'incertitude de la valeur de la
réfraction horizontale, et parce que la connaissance de
l'heure du lever des astres ne sert guère qu’à faire sa-
voir si un astre est au-dessus de l'horizon au moment
d’un phénomène d’occultation où d’éclipse.

Les formules (a) et (b) peuvent également servir à
trouver l'heure du coucher, car cette heure est égale à
la somme de l’arc semi-diurne et de l'heure du passage
au méridien,

LEVIER. (Mec.) Verge de fer, de bois ou de toute
autre matière résistante, qui sert à soulever des far-
deaux (Foy. PI. 45, fig. 9), ou, plus généralement ,
au moyen de laquelle une puissance aidée d’un point
d'appui soutient une résistance.

Où considère, en statique, le levier comme une ligne
droite ou courbe inflexible, et sans aucune pesanteur
qui détermine les positions de la puissance, de la résis-
tance et du point d'appui. Dans la pratique, la pesan-
teur du levier fait partie des forces mises en action,

comme nous le verrons plus loin.

On distingue trois sortes de leviers. Le Levier du pre-
mier genre est celui dans lequel le point d'appui C est
placé entre la puissance P et la résistance R.( PI. 45,
fig. 10.) Le levier du second genre est celui dans lequel
la résistance R est placée entre le point d'appuiet la
puissance P. (Fig. 11.) Enfin le /evier du troisième genre
est celui dans lequel la puissance P se trouve entre le
point d’appui et la résistance Q. (Fig. 12) Les distan-
ces du point d’appui aux extrémités du levier se nom-
ment les bras du levier.

Pour trouver les conditions d'équilibre dans lelevier,
considérons d’abord un levier droit (Fig. 13) AB, placé
sur un point d'appui C, et aux extrémités duquel sont
appliquées deux forces P et Q qui agissent dans les di-
rections parallèles AQ , BQ. Ces deux forces seront
évidemment en équilibre, si leur résultante CR passe

176 LE

par le point d'appui et se trouve détruite par la r'ésis-
tance de ce point ; or, la résultante de deux forces pa-
rallèles (voy. Panauzire et Résurranre), coupe la
droite qui joint leurs points d'applications, en parties
réciproquement proportionnelles à ces forces ; ainsi,
pour qu'il x ait équilibre, la droite AB doit être partagée
de cette manière au point C, et l’on a la proportion

P:O$rAC CR;

c'est-à-dire que, dans le cas d'équilibre , la puissance et
la résistance sont en raison inverse de leurs bras de le-
vier.

Les forces PetQ , pouvant toujours être représentées
par des poids, la charge que supporte le point d'ap-
pui est exprimée par la somme P+4+Q, lorsque les
poids agissent dans le même sens. Cette charge est seu-
lement égale à l’excès du plus grand poids sur le plus
petit , lorsque les forces agissent en sens contraire,
comme dans les leviers du second et du troisième gen-
res. Dans tous les cas , le point d'appui doit être capa-
ble de résister à la charge.

Dans le /evier courbe (Fig. 14), la condition d’équili-
bre consiste toujours en ce que la résultante des forces
qui lui sont appliquées passe par le point d'appui, et
soit détruite par la résistance de ce point. Ainsi en
abaissant du point d'appui C, les perpendiculaires Cg
et Cp sur les directions AQ et AP des forces, directions
qui doivent être dans un même plan, on aura

P:Q ::0Cg : Cp.

Donc dans l'équilibre d’un levier quelconque, la puis-
sance et la résistance sont en raison inverse des perpen-
diculaires abaïssées du point d'appui sur leurs direc-
tions.

1! résulte de cette proposition que quelle que soit la for-
me d’un levier, on peut toujours le supposer remplacé
par un levier coudé gCp , formé par les perpendicu-
laires abaissées du point d'appui sur les directions des
forces , et considérer les points g et p où ces perpendi-
culaires viennent tomber, comme les points d’applica-
tion des forces , alors les bras du levier seront les per-
pendiculaires elles-mêmes, et l’on pourra dire généra-
lement , que les deux forces qui se font équilibre sont
en raison inverse de leurs bras de levier.

Pour avoir égard au poids du levier , il faut le con-
sidérer comme une force S, appliquée au centre de
gravité G (Fig. 13), et alors la résultante des trois forces
parallèles P, Q, S, devant passer par le point d'appui
C, on a pour l’équation d'équilibre, (a),

Q X AC—S X CG + P X CB.

La charge du point d'appui devient P+Q LS.
Si l’on se proposait de déterminer la valeur d’un

LI
poids P, qui étant appliqué à l'extrémité B du plus
grand bras de levier CB — a , doit faire équilibre à un
autre poids Q , appliqué à l’autre bras AC — b ; le poids
du levier, qu’on suppose homogène et partout de mé-
me épaisseur, étant S ; comme le centre de gravité est
alors au milieu du levier, et que conséquemment

CG—AG—AC= + (a+b)—b— on aurait,en vertu

de (a),
bQ = aP + ss
d'où (b),
b a—b
rs a | aa ?

ainsi plus le bras a sera grand comparativement au bras
b, et plusle poidsS du levier, supposé toujours le même,
concourra avec le poids P pour faire équilibre au poids
Q. Il est doncessentiel dans les applications de tenir
compte du poids du levier ; si nous supposons, par
exemple, que le levier soit une barre de fer homogène
d'un poids de 8 kilogrammes et d’une longueur de 2
mètres, que son plus long bras soit de 15 décimètres ,
son plus petit de 5 décimètres, et qu’il s'agisse de faire
équilibre à un poids Q de 40 kilogrammes agissant à
l'extrémité du petit bras, nous aurons a—15,b :=5,
Q= 40, S—8, et par suite, en mettant ces valeurs
dans (b),

15—5

5
Pr 0 30

8—10+ 2%,

: ; : D

C'est-à-dire qu’un poids de 10 3 kilogrammes est suf-

fisant, dans ces conditions , pour faire équilibre à un

» P q

poids de 40. Si l’on n’avait pas tenu compte du poids

F

5 1

— 40=13, =
15 * 243

mes, valeur beaucoup trop grande. Ce n’est que

du levier on aurait eu P — Lkilogram-

lorsque les poids P et Q sont très-grands par rapport à
celui du levier qu’il est permis de négliger ce dernier.

Tout ce que nous venons de dire pouvant s’appli-
quer sans difficulté aux leviers du second et du troisiè-
me genres, nous ajouterons seulement que dans lelevier
du premier genre, la puissance peut être ou plus grande,
ou plus petite ou égale à la résistance, que dans le
levier du second genre la puissance est toujours plus
petite que la résistance, et qu'enfin dans le levier du
troisième genre la puissance est toujours plus grande
que la résistance.

LIBRATION. (454) Oicillation apparente de l’axe
de la lune, dont l'effet est de nous rendre visible un
peu plus de la moitié de sa surface.

La lune employant autant de temps à tourner sur
son axe qu’elle en met à achever sa révolution périodi-

LI

que autour de la terre, nous présente toujours la même
face. Il résulte de là qu’un observateur , qui du centre
de la terre regarderait la lune, verrait à peu près con-
stamment le même disque de la lune , terminé par une
même circouférence : celle qui résulterait de l’intersec-
tion d’un plan mené perpendiculairement par le centre
de la lune au rayon visuel qui le joint au centre de la
terre. Mais l'observateur étant placé à la surface de la
terre, le rayon visuel mené au centre du globe lunaire
rencontre successivement divers points de la surface de
la lune, depuis le moment du lever jusqu'a celui du
coucher de cet astre, et ne coïncide avec la ligue des
centres, que lorsque la lune est au zénith de l'observa-
teur. Lors donc que la lune se lève, le point de sa sur-
face où tombe le ravon visuel qui tend à son centre est
plus haut que le point où passe la ligne des centres, et
l'on voit par conséquent une portion de l'hémisphère
occidental de la lune, que l’on ne verrait pas du centre
de la terre; mais on perd en même temps de vue une
portion de l'hémisphère oriental qu'on verrait du cen-
tre de la terre. Par la même raison, lorsque Ja lune se
couche, l’on voit une portion, de son hémisphère
oriental , qui ne serait pas visible du centre de la terre,
et l’on cesse de voir une égale portion de son hémi-
sphère occidental. Ce phénomène semble produittpar
un mouvement d’oscillation de la lune sur son axe, ct
c’est ce qui lui a fait donner le nom de libration, d'un
mot latin, qui signifie balancer.

Ce balancement, qui n’est en réalité qu’une illusion
optique, se nomme la Lbration diurne , il est égal à la
parallaxe horizontale de la lune.

Outre la Lbration diurne, il existe encore deux autres
librations qui proviennent : 1° de l'inclinaison de l'axe
de la lune sur l’écliptique, 2° des inégalités du mouve-
ment de la lune dans son orbite. La première, que l’on
nomme libration en latitude, à été reconnue par Galilée,
auquel on doit aussi la découverte de la Lbration diurne,
et la seconde, nommée Zibration en longitude, a été
découverte par Hévelius et Riccioli.

La lbration en latitude a pour effet de nous rendre
visibles alternativement les parties de la surface lunaire
voisine des pôles; elle est occasionée par l’inclinaison
de l’axe de la luue sur son orbite; car selon que cet axe
nous présente sa plus grande ou sa plus petite obliquité,
il doit nous découvrir successivement les deux pôles de
rotation du sphéroïde lunaire. Cette libration est peu
-considérable parce que l’équateur de la lune diffère peu
du plan de son orbite.

La libration en longitude, où dans le sens de l’équa-
teur lunaire, est la plus grande de toutes; elle résulte
de ce que le mouvement de rotation de la lune sur son
axe est uniforme , tandis qne celui de sa révolution pé-
riodique autour de la terre ne l’est pas. Ainsi, comme

TOME 11,

LI AT
la lune emploie le même temps pour tourner sur elle-
même que pour décrire son orbite, dans le quart du
temps de sa révolution périodique elle fait le quart
d’un tour sur son axe, mais elle ne parcourt pas exac-
tement le quart de son orbite; la portion de l’orbite
parcourue est tantôt plus grande et tantôt plus petite
que le quart, selon qu’elle se trouve vers le périgée
ou l'apogée. Ces inégalités nous fonr successivement dé-
couvrir vers sa partie orientale et Vers sa partie uvci-
dentale des portions de sa surface que nous n’aperce-
vions pas auparavant.

Où doit à Dominique Cassini la première explication
satisfaisante du phénomène dela Zbration, dont la théo-
rie complète a été donnée par Lagrange dans un mé-
moire qui remporta le prix proposé par l’Académie des
sciences, pour l’année 1763.

LICORNE. (4st.) Nom d’une constellation méridio-
pale située entre le grand etle petit chien {(#oy. PL. 0),
et près d'Orion. C’est une des onze constellations qu’Au-
gustin Royer a ajoutées aux anciennes dans ses cartes ;
elle fut formée en 1635 par Bartschius.

LIEU GÉOMÉTRIQUE. (Géom.) Ligne droite ou
courbe dont la construction sert à résoudre un problème
géométrique. (Ÿoy. APPLICAT. DE L’ALG. A LA GÉOM.)

Les anciens nommaient lieux plans ceux qui se ré-
duisent à des droites ou à des cercles; et lieux solides,
ceux qui demandent des paraboles , des hyperboles ou
des ellipses.

Lieu d'une planète. (Ast.) C'est ordinairement sa
longitude.

LIEUE. Ancienne mesure itinéraire. ( Foy. Mr-
TRIQUE. )

LIGNE. (Géom.) Étendue qui n’a qu’une seule di-
mension , la longueur. (Foy. Norioxs PRÉLIM. 2; et
GÉOMÉTRIE.)

LIGNE. Nom que l’on donne souvent à l'équateur par
abréviation de ligne équinoxiale.

LIMBE. (45t.) Bord extérieur du soleil et de la lune.
On donne aussi ce nom au bord extérieur gradué d’un
cercle ou de tout autre instrument de mathématiques.

LIMITE. (4{g. et Géom.) Expression dont on se sert
en mathématiques pour désigner la grandeur dont une
quantité variable peut approcher indéfiniment, mais
qu’elle ne peut surpasser.

Si l’on considère, par exemple, deux polygones, l’un
inscrit et l’autre circonscrit à un cercle, il est évident
que le premier est plus petit que le cercle, et que le se-
cond est plus grand. Or, si l’on augmente successivement
le nombre des côtés de ces polygones , le polygone in-
scrit deviendra de plus en plus grand, et le polygone
circonscrit deviendra de plus en plus petit, sans cepen-
dant qu’ils puissent jamais, le premier devenir plus
grand , et le second devenir plus petit que le cercle. Le

25

178 LI
cercle est donc la Limite de l'augmentation du polygone
inscrit et de la diminution du polygone circonscrit.

S'il s’agit d'une expression algébrique V'a—x: dans
laquelle x est une quantité variable, on voit que sa va-
leur est d'autant plus grande que celle de x est plus pe-
tite, et que cette valeur ne peut surpasser V/4* ou a; «
est donc la limite de Var.

La Méthode des limites a été presque généralement
adoptée par les mathématiciens modernes pour servir
de base au calcul différentiel, et dans le but de se dé-
barrasser des infiniment petits dont la conception ne leur
paraissait ni assez claire, ni assez rigoureuse. Nous
croyons avoir déjà suffisamment démontré le peu de
fondement de la prétendue inexactitude qu’on a cru dé-
couvrir dans les principes fondamentaux du calcul de
l'infini, et nous allons seulement examiner en passant si
ceux de la méthode des limites sont plus clairs et plus
rigoureux.

Désignons par y une fonction quelconque de la va-
riable x, x? par exemple, et supposons que y devienne
+’, lorsque x reçoit un accroissement À, nous aurons

donc
F'=(a+h) = 2x hr +
Si de cette équation nous retranchons l’équation primi-
tivey=x*, il restera.
Y'—ÿ = 32h + 3x +

et en divisant par X

+ = 32 + 3xh +R,

or y'— y étant l’accroissement de la fonction y corres-
pondant à l'accroissement À de la variable x, il est évi-

’
dent que”? est le rapport de l'accroissement de la
fonction y à celui de sa variable x. Ainsi considérant le
second membre de la dernière équation, on voit que ce
rapport diminue d'autant plus que À diminue et que
lorsque À devient nul , ce rapport se réduit à 3x*.

3x? est donc la limite du rapport? ; c'est vers ce
terme qu'il tend lorsqu'on fait diminuer 4, et lors-
qu’enfin k= o,ona
F'—Y 9 2
—— = 92".
h
C'est de cette manière, et nous n’avons fait que citer,
que les auteurs modernes de traités sur le calcul diffé-
rentiel parviennent à l'expression dela valeur des déri-
vées différentielles d’une fonction, car de l'équation
précédente ils passent ensuite à celle-ci :

LI

ce quileur donne eufu la différentielle : dx’) = 3x°dx.
Mais en suivant la marche de l'opération qui nous
a conduit à

car lorsque À — 0, on a aussi y — y — 0. Nous som-
mes doncarrivés à considérer le rapportde deux quanti-
tés zulles, conception qui n’est ni plus claire, ni plus ri-
goureuse que celle du rapport de deux quantités infini-
ment petites. Bien plus , l'équation
!

TT Rs
n’a aucun sens si 2 est un zéro absolu, car alors la varia-
ble ne reçoit pas d’accroissement, et conséquemment
aussi la fonction y, et le rapport de deux accroisse-
mens qui n’existent ni réellement ni idéalement, n’a
absolument aucune signification.

; : 110 , :
On prétend que l'équation = = 3x2 ne présente rien

«ce “ . 0
de difficile à concevoir , parce que le symbole — peut
0
représenter toutes sortes de quantités. IL est vrai que
ce prétendu symbole à cette propriété, mais quelle
analogie peut-il exister entre les quantités de la forme

A(x— an
B(x—a)"

. : OU PSS: SUR :
qui deviennent - , c’est-à-dire seulement indétermi-
0

nées lorsque x — a et le rapport de deux quantités
nulles, non parce qu’elles ont un facteur commun qui
devient zéro, mais nulles par elles-mêmes ?

La valeur de la fonction

3x h+3xh +
D

= 32° + 3xh +

est bien réellement 3x°, dans le cas de A—o, mais
pour arriver à l'égalité («),

Y'—Y 32 h43xh hs
LOTS h

il a fallu supposer que A a une valeur quelconque diffé-
rente de zéro , car si k est zéro (x + A)’ est simplement
x, et iln’y aplusaucun moyen de déduire cette égalité.
Comment se fait-il donc que l'égalité (a), obtenue uni-
quement dans l'hypothèse de k, quantité différente de
zéro , subsiste encore lorsqu'on détruit l'hypothèse sur
laquelle elle est établie ?

LI

C’est cependant sur ce rapport inconcevable de deux
quantités nulles, non relativement comme le sont les
quantités infiniment petites par rapport aux quantités
finies (x0y. Dirr., 24), mais »ulles absolument, c’est-
à-dire de vrais zéros réels et absolus, que se trouve fon-
dée la méthode claire et rigoureuse des limites ! Quelle
profonde métaphysique!

Liurres des racines des équations. On donne ce nom
à deux nombres dont l’un est plus grand qu’une des ra-
cines d'une équation, et l’autre plus petit. C’est sur la
recherche de deux tels nombres qu'est fondéela résolu-
tion des équations numériques. (Joy. APPROXIMATION.)

On démontre, dans tous les Ælémens d’ Algèbre, que
si deux nombres p et g substitués à la place de x dans
une équation numérique d’un degré quelconque X —0,
dounent deux résultats de signes contraires , ces deux
nombres comprennent au moins une racine réelle de la
proposée.

Ainsi, en prenant pour exemple l'équation

x—2x—5=o,
si nous substituons successivement à la place de x la suite
des nombres naturels 0, 1, 2, 3,4, etc., en les prenant

tant positivement que négativement, nous trouverons,
désignant par X le premier membre, que pour

x—0,onaX—— 5; x— o,onaX —— 5.
Li, X=— 6,z—— 1, X = — 4,
Li 2), X—=— 1,x—— 2, X=— 9.
Ti —3, X= +16; x——3, X = — 26
æ = 4, X=+5r;x—— #4, X = — Gi.
etc... etc... etc. etc.

et nous en conclurons qu’il y a une racine réelle positive
comprise entre 2 et 3.

Pour diminuer le nombre des substitutions, il est im-
portant de connaître une limite supérieure à toutes les
racines, plus cette limite sera rapprochée de la plus
grande racine, mais on aura besoin de substitutions.
Voici le procédé donné par Newton pour déterminer la
limite supérieure la plus petite possible en nombre en-
tier. Soit X — o l'équation proposée, si l’on forme la
suite de fonctions dérivées

dX x dx

7, etc.
jusqu’à ce que l’on parvienne à une fonction du premier
degré, le problème sera ramené à trouver pour x le

plus petit nombre qui rende toutes ces fonctions posi-
tives.

Prenons pour exemple l'équation
| 2i— 3x — 3x + 4x —5—0o,

nous aurons

Li

X = xi— 3x — 32 + nx — 5,

dX
me —= fa — 9x — Gr +4,
dX
sde = 62 — 97 — 3,
dx
23de h%—3,

En commençant par la dérivée du premier degré,
il est évident que tout nombre positif plus grand que o,
mis à la place de x le rend positif, et que 1 est le plus
petit de ces nombres.

Substituant 1 dans la dérivée du second degré, on
trouve un résultat négatif, mais 2 ou tout autre
nombre plus grand donne un résultat positif.

2, substitué dans la dérivée du troisième degré,
donne un résultat négatif, mais 3 ou tout autre nom-
bre plus grand que 3, donne un résultat positif.

3, substitué dans la fonction primitive X, donne un
résultat négatif, et l’on s'aperçoit aisément que 4, ou
tout nombre plus grand, donne un résultat positif.

Ainsi 4 est le plus petit nombre qui puisse rendre
en même temps toutes les fonctions positives. Donc 4
est la limite supérieure des racines positives de la pro-
posée, et comme c’est d’ailleurs la limite la plus petite
en nombres entiers, il s'en suit qu'il y a une racine
réelle positive comprise entre 3 et 4.

Pour obtenir la limite supérieure des racines néga-
tives, on transforme l’équation proposée X := 0, en
X'— o en faisant æ — — x’, et comme les racines
positives de la transformée donneront les racines néga-
tives de la proposée en les prenant avec le signe —,
la limite supérieure de ces racines positives sera en
même temps, en lui donnant le signe —, la limite su-
périeure des racines négatives de l’équation X — 0.

Lorsqu'on est parvenu à connaître la valeur d’une
racine réelle à moins d’une unité près, on peut ensuite
obtenir cette valeur avec tel degré d’approximation
qu’on peut le désirer en employant les méthodes ex-
posées au mot APPROXIMATION.

La recherche des limites des racines réelles des équa-
tions a été l’objet d’un grand nombre de travaux consi-

gnés dans tous les traités d’Algèbre.

LINÉAIRE. On désigne souvent sous le nom d'é-
quation lineaire , les équations du premier degré, parce
que l’inconnue n’y est élevée qu'à la première puis-
sance, et que l’on nomme généralement quantités L-
néaires celles qui n’ont qu’une seule dimension. (Poy.
ce mot.)

LOGARITHME. (4/g.) On nomme en général Lo-

garithme d'un nombre, l'exposant de la puissance à
laquelle il faut élever un certain nombre invariable

180 LO

pour produire le premier nombre. Par exemple si 2 est
le nombre invariable ou la base des logarithmes, l’ex-
posant 3, qui exprime la puissance à laquelle il faut
élever 2 pour obtenir 8, est le logarithme de 8.

Le nombre invariable, pris pour base , étant entiè-
rement arbitraire, il existe un nombre infini de systè-
mes différens de logarithmes; le système dont on se sert
habituellement ou celui des tables ordinaires, a pour
base le nombre 10. Cependant il existe entre deux sys-
tèmes quelconques de logarithmes, des relations fixes
et déterminées, et les propriétés de ces nombres sont
les mêmes dans tous les systèmes,

Soit & un nombre quelcouque, x l’exposant de la
puissance à laquelle il faut élever «& pour obtenir un
nombre variable z, nous aurons l'égalité (1)

at = 2Z

dans laquelle a sera la base du système des logarithmes
æ,etzx le logarithme de z.

Nous verrons plus loin que, pourvu que æsoit un
nombre différent de l'unité, il existe toujours un nom-
bre x capable de satisfaire à l'égalité (1) quel que soit z.
Mais il faut nécessairement que a diffère de l'unité, car
toutes les puissances de l'unité étant elles-mêmes l’unité,
le second membre de (1) dans le cas de a = 1, serait
toujours l'unité, pour toute valeur de x, et ne pour-
rait conséquemment engendrer tout autre nombre.

Nous allons d’abord exposer les propriétés fonda-
mentales des logarithmes, puis nous examinerons la
nature particulière de ces quantités et le rang qu’elles
occupent dans la science des nombres.

1, La base a étant un nombre quelconque différent
de l’unité, on a toujours & = 1. (Voy. ALGÈBRE 24.)
Ainsi, dans tout système de logarithmes, le logarithme
de l'unité est égal à zéro. Comme on à aussi a = à, il
en résulte que dans tout système de logarithmes , ce-
lui de la base est l'unité.

2. Si nous désignons par æ et x' les logarithmes des
nombres z et z', les égalités

at =;3
! a |
af —=3

étant multipliées terme par terme, fournissent
a x ar = 2,2

mais (4lg. 20) at X a°'— art", ainsi

ar+x' = 72.3,

Or, x +x'est le logarithme du produit z.z', donc le
logarithme du produit de deux nombres est égal à la
£ (a
somme des logarithmes de ces nombres.
Il est facile d'étendre cette propriété à un nombre
quelconque de facteurs, puisqu'on a généralement
a*.a*',.ar", ax"

., etc. = ar+rl+a"+r" Loc,

LO

On peut donc poser en principe , que Le logarithme
d'un produit quelconque est égal à la somme des loga-
rimes de tous les facteurs.

3. En divisant terme par terme les égalités at 2,

!

ax"— 7", on obtient (Arc 923)
a z
_ = az—x! — —
az z' 1

d’où il résulte que /e logarithme du quotient de deux
nombres est égal à la différence des logarithmes de ces
nombres.

4. Si l’on élève les deux membres de l'égalité at =2,

à la puissance »2, on obtient (Ac. 26)
(ar)" = ar = 2m,

Ainsi, #22 est le logarithme de la puissauce z", donc le
logarithme d’une puissance est égal au logarithme de
la base de cette puissance multiplié par son exposant.

5. On trouverait de même

C'est-à-dire que le logarithme d’une racine est égal
à celui du nombre divisé par l’exposant.

6. Ce sont les quatre propriétés fondamentales pré-
cédentes qui rendent l'usage des logarithmes si précieux
pour la réalisation des calculs, parce qu’eiles donnent
les moyens d'exécuter avec beaucoup de faalité les
opérations élémentaires, en ramenant les plus compli-
quées à de plus simples. Il ne faut évidemment pour
obtenir ces avantages que pouvoir connaitre dans tous
les cas les logarithmes qui répondent à des quantités don-
nées et réciproquement, C’est là le but des tables de
logarithmes qui présentent les nombres dans une co-
lonne et les logarithmes correspondaus dans une autre.

7. Dans le système des logarithmes vulgaires ou ta-
bulaires, la base étant 10, on a, en désignant par Log.
le logarithme ,

10° — 1, ou Log. 1 = 0
10 — 10, Log. 10 = 1
16% — 100, Log. 100 = 2
10? — 1000, Log. 1000 — 3
10 — 10000, Log. 1000 = 4
etc.... etc....

D'où l’on voit que tous les logarithmes des nombres
compris entre 1 et 10 sont plus petits que l’unité; que
ceux des nombres compris entre 10 et 100 sont plus
petits que 2 ; que ceux compris entre 100 et 1000 sont
plus petits que 3, et ainsi de suite.

Ces logarithmes des nombres intermédiaires entreles
puissances entières de la base sont, comme nous le ver-
rons plus loin, des quantités incommensurables qu’on

LO

a coutume d'exprimer approximativement par des frac-
tions décimales, et ils sont d'autant plus exacts qu'ils
sont exprimés par un plus grand nombre de chiffres.

Si l’on voulait trouver par exemple le logarithme
de 5, nombre compris entre 1 et 10, on pourrait opé-
rer de la manière suivante, en partant d’une des pro-
priétés fondamentales des logarithmes. Soient, en gé-
néral, deux nombres y, z dont les logarithmes sont
respectivement x et u; savoir: æ —= Log y , u = Log z.
D'après ce qui précède (2)

Tru
Log. V/y2 — + Log.y:— ee

Ainsi le logarithme du nombre moyen proportionnel
entre y et z est égal à la moitié de la somme des loga-
rithmes de y et de z. Or v étant un nombre compris
entre y et z on peut toujours insérer entre y et z uu
assez grand nombre de moyens proportionnels pour
que l’un d’entre eux ne diffère de v que d’une quan-
tité aussi petite qu'on voudra, et qu'on puisse alors le
prendre pour # sans erreur sensible ; et comme les lo-
garithmes de tous ces moyens proportionnels se trou-
vent donnés facilement en vertu de l’expression (2), on
aura de cette manière celui de v. Faisant doncy —1,
Z = 10, nous trouverons pour le moyen proportionnel
entre 1 et 10

ViXio= V/10 = 3,162277,

en nous bornant à six décimales dans l'extraction de la
racine. Mais Log. 1 — 0,Log. 10—1:1, et de plus

041
2

Log. VixXio =

— 0, b00000; c’est - à - dire

Log (3,162277) = 0, 500000. Remarquant maintenant
que le nombre 5 dont on veut connaître le logarithme,
est compris entre 3, 162277 et 10, on cherchera de nou-
veau un moyen proportionnel entre ces derniers nom-
bres, ce qui donnera

VLioX3,162277]= V/(31,62277] = 5,623413
et l’on aura pour le logarithme de ce moyen

10,5 u
= = 0,750000.
2

Log. (5,623413) —

Remarquant de nouveau que 5 est compris entre les
nombres 3, 162277 et 5, 623413, dont les logarithmes
sont connus , on cherchera comme ci-dessus un moyen
proportionnel entre ces nombres, ainsi que le loga-
rithme de ce moyen, eton poursuivra l'opération jus-
qu’à ce que l’on soit parvenu à déterminer un moyen
proportionnel qui soit exactement égal à 5 dans les li-
mites qu’on a choisies ,c’est-à-diré, ici, qui n’en diffère
plus que dans la septième décimale : le logarithme ccr-

LO 181

respondant sera le logarithme demandé, Voici le ta-

bleau de toute l'opération :
Nombres. Logarithmes.

1, 000000 , 0, 0000000

10, 000000 , 1, 0000000
3, 162277, 0, 5000000
5, 623413, 0, 7200000

&

216064 , 0, 6250000

4, 869671, 0, 6875000
5, 232091 , 0, 7187500
5, 048065, 0, 7031250
4, 958069 , 0, 6953125
5, 002868 , 0, 6992187
4, 980416, 0, 6972656
4 991627, 0, 6052421
4, 997242 , 0, 6987304
5, 000052, 0, 6989745
4; 998647 , 0, 6988525
4, 999350 , 0, 699135
4 999707 ; 0, 6989440

0, 6089592
0, 6089668
0, 6959707
0, 6989687
0, 6989697

4, 909876,
4, 099063 ,
5, 000008,
4, 099984 )
4; 999997 ;
5, 000003, 0, 6989702

5, 000000 0, 6980700.
; » VOU97

Ainsi, après 22 extractions deracines , on obtient enfin
un dernier moyen proportionnel égal à 5 d'où l’on a
Log 5 — 0, 698700 à très-peu près. C'est à l’aide de
ce procédé très-long et très-laborieux que les premières
tables de logarithmes ont été calculées; mais on a
trouvé depuis des méthodes beaucoup plus expéditives
et beaucoup plus commodes,

8. Quelle que soit au reste la méthode qu’on emploie
pour trouver les logarithmes , on se borne toujours à
calculer ceux des nombres premiers, les autres s’obte-
nant ensuite par desimples multiplications ou additions.
En effet le logarithme de 5, par exemple , fait connai-
tre immédiatement ceux de 25, 125, 625, etc., c’est-
à-dire ceux de toutes les puissances de 5, puisqu'on a
généralement

Log. (5) = m Log. 5.

De même, connaissant les logarithmes de 2 et de 3,
on a ceux de tousles produits formés des facteurs 2 et 3,

puisque
Log.{2X 32] = m Log. 3 + » Log.2,
ét ainsi de suite.
9. Reprenons maintenant l'égalité fondamentale

at = 3

482 LO

dans laquelle x — Log z; si l’on fait successivement
æ=vu,1,9, 3, 4, 5, 6, 7, etc.

il en résulte

== 2 3 5 6 7
= 1,4, 4°, aÿ, af, a°, af, a, etc.

d’où l'on voit que toutes les valeurs de = plus grandes
que l'unité, sont produites par des puissances de la base
a, dont les exposans sont positifs, entiers ou fraction-
naires , et que la valeur de z est d'autant plus grande
que celle de x est elle-même plus grande.

Si l’on fait ensuite

T—O,—1,—2,—3,—4,—5,—06,— 7, etc.
on trouve

ï 1 ï ï I
æ' &°' a" a
C'est-à-dire que toutes les valeurs de z plus petites que
l'unité, sont produites par des puissances de a, dont
les exposans sont négatifs entiers ou fractionnuires, et
que la valeur dez est d'autant plus grande que celle de
æ est plus petite, abstraction faite du signe.

10. Il résulte de ces considérations que puisque les
logarithmes tant positifs que négatifs, dont les valeurs
croissent depuis zéro jusqu’à l'infini correspondent à
tous les nombres entiers et fractionnaires positifs, ceux
des nombres négatifs ne peuvent avoir qu’une existence
idéale, car il n'existe pour x aucune valeur réelle qui
puisse donner

A —— 7

a étant un nombre positif. Les logarithmes conduisent
donc à de nouvelles quantités imaginaires (voy. ce mot)
dont nous reconnaitrons plus loin la nature.

11. La base a d’un système de logaritkmes étant don-
née, il sera toujours possible de calculer les logarithmes
de ce système par un procédé semblable à celui que
nous avons employé n. 7, pour la base 10; ainsi nous
pouvons admettre que tant que z est positif il existe
une valeur réelle pour x qui rend la quantité exponen-
tielle ar égale à z ; ce qu’il importe maintenant, c’est de
reconnaître la nature de cette valeur réelle de x, afin
de savoir si les logarithmes ne sont qu’une simple
combinaison des opérations ou des algorithmes élémen-
taires de la science des nombres, ou s'ils ne constituent
par eux-mêmes un algorithme élémentaire d’une na-
ture distincte. Pour cet effet, 2 étant un nombre quel-
conque, prenons la racine »2 ième des deux membres
de l'égalité

at = =

LO

nous aurons
Ll

(Va) +2"

le radical \/ désignant seulement les racines réelles,
et l’exposant fractionnaire les racines quelconques
réelles ou imaginaires. Car la base a doit rester con-

staute , et c’est seulement la‘fonction x qui doit corres-
1

pondre aux différentes racines 277.
Or, on peut obtenir facilement le développement de

mi

la quantité (V/a)* en la mettant sous la forme

ETIE

car, d’après la formule du binôme (v0y. ce mot), on a

[Van] 1e)

X(X—1)

—— (ai)

2

+ J.
L —— (V/a—i1)3

+ etc.....

d’où l’on tire.

= m
mm

; Eat ee m

— (V/a—1} + etc.

Mais si la quantité arbitraire 2 est infiniment grande,
m
V'a—1 sera une quantité infiniment petite, puisque fa

1
puissance a® ne diffère de l'unité que d’une quantité

m
infiniment petite, et, par conséquent , (\/a — 1}
m

(V'a—1), etc., seront des quantités infiniment petites
des second. troisième, etc. ordres qui ne peuvent in-
fluencer en aucune manière la relation des quantités

ll

_ m
z"—1et(V/a—1), considérée dans sa réalité. (Foy.
Dirr. 24.)

On a donc rigoureusement , dans ce cas,

1

ske ©

z® —1—=x(V/a—i)
d'où
: ei

29 —: 2? — 1

=. Lt
L2=— —, ou Logz= .
V'a—1 Va—i

Telle est donc la nature de la quantité en question
Logz. « Cette expression est évidemment celle de la
génération théorique primitive de cette fonction : c’est
l’idée ou la conception première proposée par la raison

LO

à l’entendement, pour être réalisée dans le domaine
de l'expérience. » — « Or, cette fonction est évidem-
ment une fonction dérivée élémentaire, parce qu’elle
implique, dans son expression des exposans énfints ,
qui font sortir les puissances qui leur répondent de la
classe des puissances ordinaires, susceptibles d’une
signification immédiate. En effet, en remontant à la
source transcendantale, on trouve que les puissances or-
dinaires qui répondent à des exposans finis, sout des
fonctions intellectuelles 2mmanentes , ou des fonctions
simples de l’entendement, et que les puissances qui
répondent à des exposans infinis ne sont possibles que
par l’application de la raison aux fonctions de l’enten-
dement que nous venons de nommer, et sont ainsi des
fonctions intellectuelles supérieures , et nommément
des fonctions transcendantes , ou des conceptions de la
raison, des idées proposées par cette faculté intellec-
tuelle suprème. »

« Ils’ensuit que les fonctions appelées LoGARITHMES
sont des fonctions algorithmiques ÉLÉMENTAIRES, parmi
les fonctions algorithmiques possibles pour l’homme, et
que la Tu£onte pes Locarirames forme une des bran-
ches nécessaires de l’algorithmie.» (Wronski. Zntroduc-
tion à la Phil. des Math. , page 12.)

12. L'expression
20,

ra

= ——
V/a—1

doit contenir, comme expression théorique primitive ,

(3).... Logz—

le principe de toute la théorie des logarithmes, et il est
en effet très-facile d’en déduire les propriétés fonda-
_ mentales que nous avons précédemment exposées ;
nous nous contenterons ici d’en tirer uue expression
| technique , ou de développement ; qui puisse servir à
| l’évaluation numérique des logarithmes.
_ D'abord, on a généralement, À étant une quantité

quelconque ,

|

{

| AD = [r4+(An—1)] ©"
et par suite

E DD
ME + ane @r) (A1)

1.2

1 Li 1
| nr es
| + —— SC SUR LE (An—a1), H etc.

| ce qui se réduit à

1
AD —

Li
Es (an) {Ana} + etc.

LO

En vertu de cette dernière expression, p et g étant

155

deux quantités arbitraires, nous aurons de même

= I I
20 = 1 LE AE, (gp —1} + etc.

LI
Rs er
« rte 1) Er À 1} + etc.

et, par conséquent,

L
Si 1
2 —1 To (aP—r1) — 4 (—i) etc...

a? 1 — DGA (e—1) (ar) eue]
d’où enfin (4)
g (&—1)— (Pi) + (ar—1) — etc,

Logz = ” ; — :
p (a7—1)—<#(a7— x ) + (a7—1) —etc.

Ainsi, comme les quantités p et q sont arbitraires, on
peut toujours les choisir telles que 27 — 1 et a7 — 1
soient de très petites fractions et conséquemment rendre
très-convergentes les suites qui composent le numéra-
teur et le dénominateur de la valeur de Log z, de ma-
nière qu’il suffise d’un petit nombre de termes pour ob-

tenir cette valeur très-approchée.

13. La valeur de la base & entrant comme partie
constituante dans celle du logarithme, il se présente le
problème de déterminer si parmi toutes les valeurs ar-
bitraires qu’on peut choisir pour cette base il n’en existe

point une qui rende l’expression du logarithme la plus
simple possible. Or, si nous observons que xA— 1,

et Va — 1 étant des quantités infiniment petites, leurs
produits par Ja quantité infiniment grande + seront des
quantités finies, et que l'expression (3) peut se mettre
sous la forme (5)

il est facile de voir que s’il existait un nombre a, tel

que l’on püût avoir © (Va — 1) =, la base a dis-
paraîtrait de l'expression du logarithme qui deviendrait
pour ainsi dire indépendant de cette base; et l’on au-
rait alors pour l’expression théorique des logarithmes

de ce système, le plus simple de tous, (6)

Logz = 0 (39 1).

La question se réduit donc à savoir s'il existe un
nombre a capable de donner l'égalité

Or, de cette égalité on tire

a=(i+4)

et, en développant le binôme,

m(æ—1) 1
1.2

C + 5) =1+0 s+

m(m—1)(o—2) 1:
= ——“{, ——, etc.
3 (e] +

1.2.

+

Ce quise réduit à
D re Re. D, poto
(+3) LEP LET 1:29 1.250064 |

ou,
a —2,718291828459045 etc.

IL existe donc effectivement un nombre réel capa-
ble de donner légalité en question, et en prenant ce
nombre, 2,71828... pour base d’un système de loga-
rithmes, l’expression théorique de ces logarithmes
sera (6'e

Nous désignerons dorénavant ces logarithmes, qu'on
nomme naturels, par la caractérisque L; ainsi nous
aurons en général pour les logarithmes naturels (7)

e® 1)

Zz —=

et pour les logarithmes d’un système quelconque, dont
a est la base, (8)

1} = =—

ei a à PE

D'où l’on voit que connaissant les logarithmes natu-
rels, on obtient ceux d'un système quelconque en les

. 5 I
multipliant par la quantité constante. Cette quan-
a

tité constante, qui est l’unité divisée par le logarithme
naturel de la bise du système en question, se nomme
le module de ce système.

14. aet b étant les bases de deux systèmes de loga-
rithmes, puisqu'on a généralement, en désignant le
premier système par Log et le second par Log,

Lz z
Log: , Logz =

Lb'
on en déduit

LO

C'est-à-dire que Le rapport des logarithmes d'un méme
nombre, pris dans deux systèmes différens , est une
quantité constante. Propriété qui lie tous les systèmes
et donne le moyen facile de passer de l’un à l'autre.

15. En partant de l’expression théorique (7) on peut
obtenir les générations théoriques et techniques d’un
nombre au moyen de son logarithme; en effet on
trouve d’abord, pour la première, (9)

z= (1 + Lz. 8)

et pour la seconde, en développant le binôme,

PRES ; ” 1 2 se he >\3 :.
2=1+: + (Lz) +3 (Le) — etc
Si nous faisons = égal à la fonction exponentielle ax,

comme L (ax) — x La, nous obtiendrons, en substi-
tuant,

(Laÿ x?

1.2

+ are + etc.

15904

az — 1 +

(La).x

expression dont nous avons fait usage ailleurs. (Foy.
JnrEcraL, 43.)

16. Pour compléter la théorie des logarithmes, il
nous reste à généraliser les expressions théoriques (7)
ec (8) pour les rendre immédiatement applicables à tous
les cas possibles des valeurs positives et négatives réelles
ou imagivaires d’un nombre z.

La génération d’un nombre négatif au moyen de
l'unité négative, étant de la forme

(—1ÿ.A ,

dans laquelle p est un nombre impair quelconque,
cherchons d'abord la forme la plus générale de la géné-
ration par puissance (—1)f de l'unité négative, c’est-à-
dire celle qui comprend toutes les détermipations réelles
etidéales, ou #maginaires, de cette génération, Or, en
vertu de la théorie des sinus (voy. ce mot), g étant un
nombre quelconque, on à

P

(=1) = cos © +sin 7 V—:
b l

(Foy. Equarion, 28); ainsi, lorsque # est infiniment
pT

grand , comme alors est une quantité infiniment pe-

tite, le sinus est égal à l'arc et le cosinus égal au
rayon, c’est-à-dire, ici, à l'unité; cette expression de-
vient donc

” ER PNR
(SSI HV Er,

D'où, (10)

LO

(ra)

(—1) = (1 +prV= 1.5)

Maintenant, = étant un nombre positif quelconque,

nous avons d’après (0)

ainsi multipliant terme par terme les expressions (10) et
(9) il viendra

Cr TES)

= [i+ L (ri +1)"
Substituant cette valeur à la place de = dans l’ex-
pression (7), et désignant par la caractéristique 1! le
logarithme naturel et général, tandis que L désigne
seulement le logarithme naturel réel du nombre posi-
tifz, nous obtiendrons définitivement, (11)

L'[(—1).2] — prV/—1 + Lz.

Il résulte de cette loi, que lorsqu'il s’agit du loga-
rithme d’un nombre négatif, p étant un nombre impair
quelconque et ne pouvant être zéro, le second mem-
bre est une quantité idéale ou 2maginaire ; c’est-à-dire
que Le logarithme d'un nombre négatif est une quan-
tité imaginaire, et se réduit à la quantité primitive
V—1, comme toutes les quantités dites imaginaires.
(Foy. ce mot.)

S'il s’agit du logarithme d’un nombre positif, alors »
doit être considéré comme un nombre pair quelconque,
y compris zéro; et alurs ce logarithme admet une rnfi-
nié de valeurs , correspondante à l’infinité de valeurs
arbitraires qu’on peut donner à p, mais parmi toutes
ces valeurs il n’y en a qu’une seule de réelle, celle qui
répond à p— 0.

Ce que nous venons de dire des logarithmes natu-
rels, s'applique nécessairement à ceux de tous les autres
systèmes.

17. On peut aisément de l'expression (11) passer à
une expression plus générale d’un système quelconque,
en prenant pour base un nombre positif ou négatif,
réel ou idéal; mais la considération d’une base réelle et
positive suffit à toutes les applications, et nous nous y
bornerons ici.

Uu corollaire important de l'expression {r1) est,
qu’en faisaat successivement p — 0, 2 1, on obtient

L'(Hz)= Lez, L'(—i)e = prV—r
et, par conséquent, en vertu de cette même expression
L'[(—i) 2] = L'(—1) + L 3,

D'où l’on voit que le théorème très-simple L (—x) —
TOME 11,

LO 185

Pi) x, mis en doute par Kramp (#naly. des refr.

ast.), est entièrement lié à la nature des logarithmes

ctrentre dans l’objet même de leur théorie.

18. La forme de toute quantité dite znaginaire,
étant

5 mm sit AN
3 = «4 | BV I
(Foy. Imaciwarme), il est facile de voir qu’on à

1

NE» #(: ik

HEURES
= 1+3 [Les ICE) - (0) +e.|)
+ > | V1. (6 (5) +ere.]]

Or, d’après le développement (4) on a

TCHACEOÈUE

et l’on peut en outre remarquer, pour abréger les

va}

expressions, que

HR OUT

est le développement de l'arc dontla tangente est égale

Pr > : ; ;
à= (voy. Taxcenre. l’oy. aussi Inrécrar, formule (24))
ainsi

5 LL(a+B)+V/—5. arc | tang — Ê

87 —= ve +, V— anf — A

Substituaut cette valeur dans (7) il viendra (12)

L(a+8V—1)

TD

il.

Le logarithme d’une quantité wmaginaire est donc

=24L(e +8) H\/—71. arc | tang ==

également imaginaire et se réduit encore à la simple
racine V/—1.

19. Si l’on veut obtenir la loi fondamentale, la plus
générale de la théorie des logarithmes naturels, il faut
de l'unité négative (10)

introduire la génération

dans (12), et cette dernière loi devient enfin (13),
L' 4 (1e. HV) |

4 L (a+) +V—1 Lex +arc [rune =? |

24

[506 0

Expression dans laquelle x et y sont des quantités
réelles et positives et 7 toujours la demi-circonférence
du cercle dont le rayon est l'unité.

En donnant aux quantités x et y les valeurs parti-

culières x—0,y =1,0ona

1
L(æ+y?) = Li =o, are| tanf =; | —+r)
Ù
et, par suite,

L' fa =) = 4 Va

2

d'où l’on obtient simplement dans le cas de p = 0

L'Vi —=2rV 1
Nous sommes parvenus à cette dernière expression
par un procédé bien différent. (Foy. InréGrar, 23.)

On en tire aussi

génération idéale du fameux nombrer, trouvée, en
premier, par Jean Bernoulli. Il est facile de déduire
de (13), toutes les expressions singulières de ce nom-
bre +, obtenues par le comte de Fagnano.

20. Revenons sur les considérations pratiques des
logarithmes. Les logarithmes ordinaires, où qui ont
pour base le nombre 10, outre les propriétés qui leur
sont communes avec ceux de tout autre système , en
ont une bien précieuse dans l'arithmétique décimale,
et c’est ce qui les a fait choisir pour les tables usuelles ;
comme on exprime les logarithmes de tous les nombres,
excepté ceux des puissances entières de 10, avec des
décimales , les logarithmes des nombres contenus entre
1 et 10 seront eux-mêmes contenus entre © et 1; CCUxX
des nombres de 10 à 100 seront entre 1 et 2 et ainsi de
suite, On voit donc que chaque logarithme est composé
d’un nombre entier et d’un nombre fractionnaire déci-
mal ; et l’on connaît immédiatement ce nombre entier,
auquel on donne le nom de caractéristique, car il est
toujours moindre d’une unité que celui des chiffres du
nombre correspondant au logarithme; par exemple la
caractéristique où le nombre entier qui entre dans le
logarithme de 5348 est 3 parce que 5348 est compris
entre 1000 et 10000. Ainsi connaissant un logarithme
on sait toujours d'avance de combien de chiffres son
nombre est composé, comme on connait toujours la
caractéristique du logarithme de tout nombre proposé.
C’est pour cette raison que les grandes tables des loga-
rithmes ordinaires, ne contiennent que la partie déci-
male des logarithmes.

Si les fractions décimales de deux logarithmes sont

égales entre elles, avec une caractéristique différente,

LO

c'est qu'alors les deux nombres correspondans sont en-
te eux dans le rapport de l'unité à la puissance de 10,
dont l’exposant est la différence des caractéristiques,
et que ces nombres sont identiques par rapport à la
valeur de leurs chiffres pris isolément; par exemple, les
nombres qui ont pour logarithmes 4, 2092737 et
7, 2092727, sont 16191 et 16191000; ceux des loga-
rithmes 3, 6517624 et 0, 6517624 sont 4485 et 4, 485.
La seule fraction décimale fait donc trouver les chiffres
du nombre correspondant, et la caractéristique indi-
que combien de chiffres on doit donner au nombre en-
tier vers la gauche; les chiffres séparés vers la droite
expriment des fractions décimales. Ainsi ayant trouvé
qu’un logarithme dont la fraction décimale est 8228216,
correspond, dans les tables, au nombre 665, on aura

pour ce nombre, d’après les diverses caractéristiques :

Logarithmes. Nombres.

0, 9228210 6, 65
1, 0228210 66, 5
2, 8228210 665,
3, 6228210 6650,
4, 5228216 66500,
5, 8220216 665000,
etc. etc.
Si la caractéristique devenait — 1, —2, — 3, etc.,

le nombre deviendrait 0, 665 ; 0, 0665 ; 0,00665 , etc.
Mais tons ces détails se trouvent exposés dans les ins-
tructions qui accompagnent les tables de logarithmes.

21. Nous devons signaler, en passant, une difficulté
qui paraît se présenter dans l'usage numérique des loga-
rithmes et qu’on peut aisément éluder, Si l'on voulait
opérer la multiplication de deux quantités Aet—B,
en se servant des logarithmes de ces quantités, on au-
rait

Log & + Log (—B) = Log (—AB)

et comme Log (—B) est une quantité imaginaire, il
semble au premier aspect que Îles tables ordinaires sont
insuffisantes pour faire connaitre le produit — AB.
Il n’en est rien cependant, car ce produit, considéré
dans sa seule grandeur , indépendammert de tout signe
de facteurs A et B , est toujours AB; ainsi il suffit d’a-
pérer comme si les quantités A et B étaient toutes deux

positives, et l’on a alors
Log A + Log B. — Log AB ;

puis lorsqu'on a trouvé le produit AB, à l’aide de son
logarithme, on lui donne le signe qui lui convient. On
agirait de même pour un nombre quelconque de fac-
teurs.

22, La découverte ou plutôt l'invention des loga-
rithmes est due au célèbre Jean Napier ou Néper , ba-

LO

ron écossais ct géomètre très-distingué, dont les travaux
eurent principalement pour objet de rendre les calculs
numériques plus faciles et plus prompts. La manière
dont il envisagea d’abord ces fonctions importantes
présente quelque analogie avec celle dont Newton con-
sidéra la génération de ses fluxions, car il les déduisit
de la comparaison des espaces décrits par deux points
qui se meuvent sur des droites indéfinies, l’un avec une
vitesse constante, et l’autre avec une vitesse accélérée.
Ces espaces donnent naissance à deux progressions : la
première, arithmétique, la secon£e, géométrique, et
les propriétés des deux espèces de rapports qui les con-
stituent conduisent précisément aux propriétés fonda-
mentales des logarithmes, c’est-à-dire que les termes de
la progression arithmétique sont les logarithmes des
termes correspondans de la progression géométrique.

Après s'être formé cette idée des logarithmes, et avoir
compris tout le parti qu’on pouvait tirer de tels nom-
bres pour abréger les calculs, il restait à Néper à les
trouver, et c'était là le plus difficile. Il y parvint en
intercalant, comme nous l’avons fait n. 7, une suite de
movennes proportionnelles géométriques entre Îles
termes principaux de la progression géométrique, et
une suite de moyennes arithmétiques entre les termes
correspondans de la progression arithmétique. Les lo-
garithmes auxquels il parvint par ce procédé se trou-
vèrent être les logarithmes naturels, nommés aussi lo-
garithmes hyperboliques ; parce qu’ils représentent les
aires de lhyperbole équilatère entre les asymptotes,
celle du carré inscrit étant prise pour unité. (f’oy.Qua-
DRATURE.)

Néper publia sa découverte en 1614, dans un ou-
vrage intitulé : Logarithmorum canonis descriptio, seu
arithmeticarun: supputationum mirabilis abbrevia-
tio, etc. Comme son principal objet était de faciliter les
calculs trigonométriques , alors si longs et si laborieux,
ses logarithmes n’y étaient appliqués qu'aux sious dont
il donnait les logarithmes pour tous les degrés et mi-
putes du quart du cercle. Sa méthode de construction
n'était point décrite dans ce premier ouvrage, seulement
il promettait de la donner. Il mourut en 1616, avart
de pouvoir remplir sa promesse; mais son fils, Robert
Néper, publia cette année même l’ouvrage posthume
de son père, sous le titte de Mirifici logarithmorum
canonis constructio , ctc. On y trouva d’abord le déve-
loppement de la méthode employée par Néper pour
wouver les logarithmes, puis l'indication des change-
mens que des réflexions ultérieures l’avaient engagé à
faire dans son système de logarithmes. Néper proposait
de choisir pour les deux progressions fondamentales,

1, 10, 100, 1000, 10000, etc.
h, etc.

LO

de sorte que le logarithme de 1 étant o, celui de:r0

IST

soit r, etc. C’est le système des logarithmes ordinaires
ou tabulaires.

Néper eut heureusement un digne saccesseur dans
Henri Briges, professeur du collége de Gresham. A
peine Néper eut-il publié son prêmier ouvrage , que
Briggs alla le trouver à Édimbourg pour conférer avec
lui. Il fit même deux voyages, et était sur le point d'en
faire un troisième, lorsque la mort de Néper vint
rompre son projet. Néper lui avait fait part de son in-
tention de changer la forme de ses logarithmes, ou,
pour mieux dire, Briggs avait eu concurremment avec
lui la même pensée. Néper lui en avait recommandé
l'exécution avec instance : aussi Briggs y travailla avec
tant d’ardeur, que dès 1618 il publia une table des lo-
garithmes ordinaires des mille premiers nombres sous
le titre de Logarithmorum chilias prima, comme un
essai du travail plus étendu qu'il promettait. Ce travail
devait consister en deux immenses tables, l’une conte-
nant tous les logarithmes des nombres naturels, depuis 1
jusqu’à 100000, et l’autre ceux des sinus et tangentes
pour tous les degrés et centièmes de degré du quart du
cercle. Ce zélé et infatigable calculateur exécuta une
partie de ses projets, car il publia à Londres, en 1624,
sous le titre d’Arithmetica logartthmica, les logarithmes
des nombres naturels depuis 1 jusqu'à 20000, et de-
puis 90000 jusqu’à 100000 : ils v sont calculés avec qua-
torze décimales. Cette table est précédée d’une savante
introduction, où la théorie et l’usage des logarithmes
sont amplement développés. On y voit la naissance des
méthodes d’interpolalion (voy. ce mot), ainsi qu'un
grand nombre de considérations neuves et ingénieuses.
A l'égard de la seconde table, Briggs l’avait assez avan-
cée, mais la mort le prévint et i'empêcha de l’achever.
Ce fat Henri Gellibrand qui la termina, et la publia
sous le titre de Trigonometria Britannica (Londres,
1033).

Nous ne devons pas omettre ici un autre coopérateur
zélé de Briggs. C’est Gunther, professeur comme lui au
collége de Gersham. Tandis que Briggs travaillait avec
ardeur à sa grande table des logarithmes, Gunther calcu -
lait avec une ardeur égale , et d’après les mêmes prin-
cipes, celle des logarithmes des sinus et des tangentes ;
et dès 1620 , il publia, pour l'utilité des astronomes, sa
table de logarithmes pour tous les degrés et minutes du
quart de cercle sous le titre Canon of triangles. Les lo-
garithmes y sont exprimés en septchiffres. Ces tables de
sinus et tangentes logarithmiques étant les premières
qui aient paru, méritent à Gunther l'honneur d'être as-
socié à Briggs, ainsi que Gallibrand.

On a trop d'obligations, dit Montucla, à qui nous
empruntons ces détails, à ces premiers promoteurs de

la théorie des logarithmes , pour ne pas jeter quelques

LO

fleurs sur leurs tombeaux, en faisant connaître leurs

155

personnes et leurs travaux.

L'invention des logarithmes fut accueillie avec em-
pressement par tousies savaus de l'Europe; mais c’est à
Képler et au libraire hollandais Vlacq qu'on a le plus
d'obligation à cet égard. Képler non seulement jeta une
grande clarté sur la théorie de ces nombres, en la fondant
uniquement sur celle des rapports géométriques, admise
de tout temps, mais il calcula encore des tables parti-
culières adaptées au calcul astronomique alors en usage,
et pour correspondre à ses tables rudolphines qu'il allait
publier. Vlacq, non content de réimprimer l’Ærithme-
üca logarithmica de Briggs, dès son apparition, en
donna une traduction française , la même année 1658,
après y avoir rempli la lacune laissée par Briggs, depuis
20,000 jusqu’à 99,000 Les logarithmes de Vlacq sont cal-
culés jusqu’à ouze décimales. Ce Libraire mathématicien
donna dans la suite, c'est-à-dire, en 1636, un abrégé de
ces tables, lequel était devenu le manuel trigonométri-
que le plus commun jusqu'au temps où de nouvelles
tables plus correctes ont été publiées.

En Iualie, Cavalleri parait être le premier qui ait ac-
cueilli les logarithmes, Il publia à Bologne, en 1632,
des tables très-étendues, dans lesquelles se trouvent les
logarithmes des sécantes et des sinus verses. La France
doit ses premières tables à un anglais, Edmond Win-
gate, qui vint les publier à Paris en 1624. Mais si les sa-
vans français se bornèrent à cette époque à profiter des
travaux des étrangers, ils ont depuis concouru d’une ma-
nière active au perfectionnement des tables de logarith-
mes, et celles qui portent le nom de Cailet, publiées
par Firmin Didot,sont aujourd’hui ce qui existe de plus
complet et de plus exact dans ce genre. On peut voir le
détail des améliorations successives de cet cuvrage dans
l'avertissement mis en tête.

Pendant que l'usage des logarithmes s’étendait de plus
en plus,etque les tibles acquéraient, par leurs éditions
successives, de notables perfectionnemens, sous le rap-
port de l'exactitude typographique, la théorie faisait
peu de progrès, car ce n’est qu’en 1668 que Mercator
donna la première série qui représente la valeur du lo-
garithme d’un nombre quelconque, ou la première gé-
nération technique connue des logarithmes naturels.
Cette série est la suivante :

Dan TS ED Ce.
L (1-42) = ES Lu A Fe etc...

Mercator la déduisit de la quadrature de l'hyperbole.
Elle est un cas particulier de l'expression (4).

Pour calculer les logarithmes à l’aide de cette série, il
faut prendre pour x des nombres fractionnaires ; plus ils
sont petits, plus la série est convergente, et moins il faut
de termes pour obtenir des valeurs suffisamment ap-

LO
>

5

prochées. Par exemple, si l’on faitx= -, elle donne

: I | 6 I Li
L-=:—— a —
5 T5 REA gious fee

et en réduisant les termes en fractions décimales, il suf-
| . sn 0
fit des dix premiers pour avoir L 5

trouvera de même les logarithmes de tous les nombres

= 0,182321. On

qui surpassent peu l'unité, et par leur combinaison mu-
tuelle on tirera ceux des nombres entiers. Car ayant le

| C santé : ;
logarithme de Es et celui de 5 on aura celui de 2, puis-
€

que
d'Avant pire)
5 3 5 3
9 16
— "#0? L —
+ 9
F9 2,16 ;
BA ag — Lo

|
À RS ;
Ayaut celui de 2 et celui de 4 on trouvera facilement

celui de 10, puisque

’
Li +3L = L}+Lo

»

le]

Sr ed )
pH LB LE x8
Lio

et ainsi de suite. Pour passer, après, deslogarithmes na-
turels, aux logarithmes ordinaires, on multipliera les
premiers par le #20dule où par la quantité constante
1
Lio

, dont la valeur est

0, 43429 44819 03251 82765, etc.

On a trouvé, depuis Mercator, des séries bien plus
convergentes et d’autres procédés beaucoup plus expé-
ditifs ; mais la sienne marque le premier pas du progrès
dans la théorie des logarithmes, quoique Newton eût
déja découvert cette même série, ainsi que plusieurs
autres, avant la publication qui en fut faite par Merca-
tor, dans Logarithmotechnica ; car Newton n'avait en-
core communiqué ses travaux sur les logarithmes que
dans ses lettres à Oldenbourg, dont le public n’avait
pas connaissance.

Jacques Grégory fut le premier qui, marchant sur les
traces de Newton et de Mercator , ajauta à la théorie des
logarithmes. On lui doit particulièrement les deux séries
suivantes, très-remarquables, au moyen desquelles on
obtient immédiatement les logarithmes des tangentes et
sécantes , sans avoir besoin de chercher les sécantes et

LO

les tangentes naturelles. Soit a l'arc, r le rayon, g le
quart de cercle, on a

a’ ai aÿ 17 a
. sécante a = —+ —— EL — —— etc.
Logeisé PRETTY DUTY CRUE
3 5
€” e Gr e?
Log. tangente &« — e + 6e T'oari + Éntor —+ etc.

dans la dernière série , e — 24 — q. Pour faire usage de
ces séries, il faut exprimer les arcs en parties du rayon.

Bientôt après, Halley,Craige, Taylor, Côtes et beaucoup
d’autres émirent sur la théorie des logarithmes des idées
très-ingénieuses, que nous sommes forcés de passer sous
silence; mais ce fut Euler qui, sortant enfin des considé-
ratious géométriques ou purement arithmétiques, établit
la théorie algébrique de ces fonctions sur celle des fonc-
tions exponentielles, d'où elles tirent en effet leur ori-
gine. On lui doit les lois fondamentales (7) et (8). Quant
aux lois (11) et (13), elles appartiennent à M. Wronski
qui a définitivement classé les logarithmes parmi les fonc-
tions dérivées élémentaires. ( Voy. PniLosoputE DES
MATH.)

Nous ne pouvons entièrement passer sous silence une
discussion quis'éleva entre Leibnitz et Bernouilli, et en-
suiteentre Euler et D'Alembert, au sujet des logarithmes
des nombres négatifs. Leibnitz et après lui Euler sou-
tenaient que les nombres négatifs n’ont point de loga-
rithines réels, tandis que Bernouilli et D'Alembert pré-
tendaient le contraire. Les argumens des deux partis
étaieut particulièrement fondés sur la nature de la courbe
nommée logarithmique (voy.ce mot). Ce fut Euler qui,
sinon résolut, du moius trancha la question, en rame-
nant les logarithmes à des fonctions circulaires. La loi
fondamentale (11) qui embrasse toutes les valeurs posi-
tives et négatives du nombre z, donne complètement
raison à Leibnitz et à Euler.

LOGARITHMIQUE. (Géom.) Courbe transcendante
quitire son nom de ce que ses abscisses peuvent être
considérées comme les logarithmes de ses ordonnées.

Soit AM l'axe des x (fig. 1, PL. 47). Prenons AP=1,
AB=x, BD—y, nous aurons, pour l’équation de la
courbe,

æ= a.Ly,ou x—Lyre,

la caractéristique L désignant le logarithme naturel et

la quantité a le module du système dans lequel AB, AC,

AD , etc., sont les logarithmes de BQ , CR, DS, etc.
Dans cette courbe, la soutangente est constante , car

l'expression générale de la soutangente est (voy. ce
mot.)

XI
dy

et l'on obtient, en différenciant l'équation x=4ly ,

LO

Joe d’où 7e

189

dx

= 4.

ainsi la soutangente est toujours égale au module.

Il est facile de voir que l'axe AM est asymptote à la
courbe.

Cette courbe, quiaété traitée par les plus habiles ma-
thématiciens dans le but d'examiner la nature des loga-
rithmes, offre peu d'intérêt aujourd’hui, que la théorie
de ces fonctions est entièrement connue.

LOGISTIQUE. (Gcom.) Nom que l’on a donné d’a-
bord à la logarithmique et qui n’est plus en usage.

On nomme Logarithme logistique , excès du loga-
rithme ordinaire de 3600”, sur le logarithme d’un nom-
bre de secondes. Le principal usage des logarithmes lo-
gistiques est de pouvoir calculer plus promptement, par
leur moyen, le quatrième terme d’une proportion dont
le premier est 60 minutes ou 3600”, ce qui arrive con-
tinuellement dans l’astronomie. On n’a qu’une seule ad-
dition à faire, parce que dans les tables de ces logarith-
mes, celui de 3600” est o.

LONGIMÉTRIE. (Géom.) Partie de la géométrie
pratique qui a pour objet la mesure des longueurs ou
des distances, soit accessibles , soit inaccessibles.

La longimétrie , ainsi que v’altimetrie et la planime-
trie ne sont que des subdivisions de l’arpentage, et ces
diverses dénominations ont beaucoup vieilli.

LONGITUDE. (Géographie.) Distance du méridien
d’un lieu terrestre à un méridien qu’on regarde comme
le premier. Cette distance se mesure par l'arc de l’équa-
teur intercepté eutre les méridieus. (Joy. Larirune.)

Le choix du premier méridien étant entièrement ar-
bitraire, les géographes de chaque nation sont loin de
s'être accordés sur ce point; ce qui, du reste, est assez
indifférent; car ilest évident qu’on connaîtra la longitude
d’un point de la terre lorsqu'on connaîtra la position de
son méridien par rapport au méridien de tout autre point
déterminé. Ainsi les longitudes rapportées, par exem-
ple, au méridien de Londres, pourront être facilement
rapportées au méridien de Paris, parce que la distance
équatoriale ou la différence de longitude de ces deux
méridiens est connue.

Comme nous l'avons déjà dit plusieurs fois, la position
d’un point sur la surface de la terre est entièrement dé-
terminée lorsqu'on connait sa latitude et sa longitude ;
mais si la latitude peut toujours être trouvée sans diff
culté , il n’en est pas de même de la longitude dont la
recherche forme le problème le plus important de la
géographie mathématique, et surtout de la science de la
navigation. Dès les premiers temps de l'astronomie, on
a reconnu que la question de déterminer la différence
de longitude entre deux points de la terre, revenait à
celle d'observer les heures différentes qui ont lieu à ces
deux points dans le même instant.

490 LO

En effet, comme il est midi pour un point de la terre,
lorsque le soleil passe à son méridien, deux points ter-
restres quelconques ne peuvent avoir la même heure,
dans le méme instant absolu, s'ils n'ont le même méri-
dien, car si le premier est à lorient du second , il est
midi pour lui avant l’autre; tandis que, s'il est à l'occi-
dent, lorsqu'il est midi pour ui, il est déjà plus de midi
pour l’autre. Or, si l’on sait, par exemple, que, dans
l'instant où il est midi pour le premier, il n’est encore
que 10 heures du matin pour le second, on peut en
conclure que le soleil met une durée de temps de deux
heures pour se rendre d’un méridien à l’autre. Mais le
soleil, exécutant sa révolution diurne en 24 heures, ou
parcourant en 24 heures un cercle parallèle à l'équateur,
parcourt en > heures la douzième partie de ce cercle,

c'est-à-dire, un arc égal à
1

= de 360°, savoir un arc de
30°, donc les deux méridiens ont des longitudes qui dif-
fèrent de 50°, car l'arc du cercle parallèle décrit par le
soleil, et qui se trouve compris entre les méridiens a le
mème nombre de degrés que l'arc de l'équateur iuter-
cepté entre ces méridiens, puisque deux méridiens
quelconques coupent nécessairement l'équateur et tous
les cercles qui lui sont parallèles en parties proportion-
nelles. Donc si l’on choisit pour premier méridien celui
oùil est 10 heures, on dira que la longitude du point
terrestre qui a le second méridien est de 30° et qu’elle
est occidentale. En faisant un choix inverse, la longi-
tude sera toujours de 30°, mais celle sera orientale.

La question de la longitude, envisagée sous ce point
de vue, se réduit donc à déterminer l'heure qu’il est
sur le premier méridien, au moment d’une heure ob-
servée, qu'on à sur un autre, question devenue si cé-
lébre sous le nom de PRonLimME DES LONGITUDES.

Quoique nos limites ne nous permetteut pas d'entrer
dans tous les détails que mérite cet important problème,
nous allous essayer de donner au moins un aperçu des
diverses méthodes proposées pour sa solution. La pre-
mière idée qui se présente est derégler une bonne montre
sur l'heure du premier méridien, ou de tout autre dont
la position par rapport au premier est connue, et de Ja
transporter aux lieux dont on veut avoir la longitude.
L'heure de ces lieux, trouvée aisément par l'observation
dela hauteur du soleil ou d’une étoile (voy. Heure),
comparée à celle que marque la montre, au moment de
l'observation , fera connaître la différence des heures, et
par suite celle des longitudes. Mais ce moyen si simple
et aujourd'hui si praticable , grace aux immenses per-
fectionnemens de l'horlogerie, était tout à fait illusoire
pour les premiers navigateurs ; les instrumens à marquer
l'heure, déjà très-inexacts sur la terre, le devenaient
encore bien plus sur la mer; il était donc impossible de

onserver à bord l'heure du lieu du départ, même pour

LO

de grossières approximations ; et l'on dut, dés l'origine,
demander aux phénomènes célestes des procédés plus
sûrs pour déterminer les longitudes.

Nous ne nous arréterons pas à l'observation des éclip-
ses, phénomènes trop rares pour qu'ils puissent être
utiles aux marins, mais nous devons mentionner celle
des mouvemens propres de la lune, car elle est le fonde-
ment de la meilleure méthode connue aujourd'hui. Le
mouvement propre de la lune étant assez rapide pour la
faire changer sensiblement de place dans un temps assez
court , les distances de cet astre à une ou plusieurs étoi-
les fixes varient à chaque instant, Ainsi, ap'ès avoir
observé le lieu de la lune dans le ciel en le comparaut à
celui de ces étoiles, dont la position est donnée , il ne
s’agit plus que de calculer, par les tables du mouvement
de la lune, l'heure à laquelle elle doit se trouver daus
ce lieu , pour le pays où les tables ont été construites, et
comparer ensuite cette heure avec celle de l’observa-
tion.

Telle est à peu près Ja méthode proposée par divers
astronomes du XVI siècle, comme Appian, Munster,
Oronce Finé, Gemma Frisius et Nouius. On fut loin
d’e retirer alors les avantages qu’elle semblait promet-
tre, à cause de l’imperfection de la théorie de la lune
dont on ne connaissait que les deux premières inéga-
lités.

La détermination des longitudes en mer, était trop
essentielle aux progrès de la navigatien pour que les
souverains n’y prissent bientôt un grand intérêt. Le roi
d'Espagne , Philippe IT, voulant encourager les mathé-
maticiens à s’en occuper, proposa une récompense de
cent mille écus à celui qui pourrait résoudre le problème;
et les Etats de Hollande, au commencement du XVII‘
siècle, promirent un prix de trente mille florins.

Beaucoup de personnes tournèreut alois de ce côté
leurs penséesspéculatives. Guillaume le Nautonnier, sieur
de Castelfranc, prétendit, vers 1610, avoir mérité les
récompenses promises, en indiquant la déclinaison de
l'aiguille aimantée comme un moyen infaillible de trou-
ver les longitudes. Il crut avoir découvert deux pôles
magnétiques fixes, vers lesquels l'aiguille aimantée se
dirige perpétuellement. Ces deux pôles diamétralement
opposés étaient, selon lui , situés à 23° du pôle boréal
et du pôle austral, sur un méridien peu éloigné de celui
de l'ile de Fer. Lorsqu'on se trouvait sur un méridien
coupant perpendiculairement celui sur lequel étaient les
pôles magnétiques, la déclinaison était la plus grande
qu’elle pût être sur cette latitude, et elle était nulle au
contraire lorsqu'on était sur le méridien de ces pôles. Ce
n’était donc plus qu’une question trigonométrique que
celle de déterminer la longitude et la latitude d’un lieu
de la terre , la déclinaison de l'aiguille étant connue , et
vice versa. Les pôles magnétiques du sieur de Castel-

LO

franc n’existaient malheureusement que dans son ima-
gination. Cependant son erreur ne fut pas infructueuse,
car plus tard , Halley après avoir rassemblé un nombre
prodigieux d’observations de la déclinaison de l'aiguille
aimantée, construisit une carte magnétique que de nou-
velles observations ont perfectionnée, et dont les marins
se servent maintenant dans certains cas.

Nous ne pouvons mentionner une foule d’autres
tentatives plus ou moins ingénieuses, mais sans aucun
résultat. Une, qui fit grand bruit dansle temps et qui fut
le sujet d’une grande querelle, est celle de J.-B. Mo-
rin , professeur royal et astronome français ; elle con-
sistait dans l'usage des observations de la lune, d’une
manière beaucoup plus savante et mieux raisonnée que
celle des astronomes qui avaient eu, avant lui, la
même idée, Morin proposa en 1635 sa découverte au
cardinal de Richelieu ; et le ministre pénétré de l’utilité
de l’entreprise, nomma des commissaires pour l’exami-
ner et lui en rendre compte. Leur rapport ne fut pas fa-
vorable , et quoique en réalité les moyens proposés par
Morin , moyens très-rigoureusement et très-savamment
établis fussent à peu près les mêmes que ceux dont on
se sert actuellement , il ne recueillit de ses travaux que
de longues tribulations ; cependant en 1645, le car-
dinal de Mazarin lui fit une pension de 2000 livres.

Eu 1714, le parlement d'Angleterre ordonna un co-
mité pour l’examen des longitudes. Newton, Whiston
et Clarke y assistèrent. Newton présenta un mémoire
dans lequel il exposa différentes méthodes propres à
trouver les longitudes en mer, et les difficultés de cha-
cune. La première est celle d’une horloge ou d’une
montre qui mesurerait le temps avec une exactitude
suffisante ; mais, ajoute-t-il, le mouvement du vaisseau,
les variations de la température, les changemens de la
gravité en différens pays de la terre, ont été jusqu'ici
des obstacles trop grands pour l'exécution d'un pareil
ouvrage. Newton exposa aussi les difficultés des métho-
des où l’on emploie les satellites de Jupiter et les obser-
vations de la lune, Sa conclusion était qu’il convenait de
passer un bill, pour l’enconragement d’une recherche si
importante.

Ce bill, qui passa à l’unanimité, contenait les dispo-
itions suivantes : une récompense de 10000 livres ster!.
‘250000 fr,) était promise à l’auteur d’une découverte
ou d’une méthode, pour trouver la longitude à un degré
près (25 lieues communes de France). Cette récom-
ense devait s'élever à 15000 livres, si l’exactitude
ilait à deux tiers de degré, et enfin à 20000 livres
| 500000 fr.) si la méthode pouvait faire trouver la lon-
zitude à un demi-degré près.

Ces magnifiques promesses, firent arriver à Londres ,
lean Harrison ; alors simple charpentier dans une pro-
Lri ? 2 c- A [A a

iuce d'Angleterre ; mais dont tous les goûts étaient

LO 191
portés vers l'horlogerie ; sans autre secours que son gé-
nie et son talent naturel, il visa d’abord à la plus haute
perfection et dès l’année 1726, il était parvenu à cor-
riger la dilatation des verges de pendule, de manière
qu'il fitune horloge, qu’il dit n’avoir jamais varié d’une
seconde par mois ; vers le même temps il construisit
une autre horloge destinée à subir le mouvement des
vaisteaux sans perdre sa régularité. Après avoir expé-
rimenté lui-même dans plusieurs voyages l'exactitude
de sa machine, Harrison crut pouvoir s'adresser aux
commissaires des longitudes ; il fut accueilli et reçut
en 1737, des secours propres à les mettre en état de
suivre ses vues, de sorte qu'en 1739 il produisit une se-
conde machine qui, soumise à de nouvilles expériences,
fit espérer qu’on pourrait obtenir les longitudes dans
les limites exigées par l’acte du parlement, En 1741,
Harrison présenta une nouvelle machine, supérieure
aux deux premières et beaucoup plus petite; mais ce
ne fut qu’en 1773, et malgré beaucoup d’oppositions et
de débats, qu’il reçut enfin le complément des 20000 liv.
sterl., dont diverses parties lui avaient été successive-
ment livrées pendant le cours de ses longs travaux.

En France, Berthoud et Leroy, encouragés par le ré-
cit des succès d'Harrison, entreprirent de construire des
horloges-marines , et ces deux grands artistes résolu-
reut chacun de leur côté le problème, en produisant
des instrumens aussi exacts que ceux du mécanicien au-
glais.

On sait que Îe gouvernement français, tout en favo-
risant les travaux de ces hoinmes de génie, n'imita point
la générosité du gouvernement anglais. Ce dernier,
non content des 20000 liv. ste:l. qu'il avait donuées à
Harrison, assigna en même temps une récompense de
3000 liv. sterl. à l'illustre Euler, une autre de 5000 liv.
aux héritiers de Tobie Maver, en reconnaissance des
tables lunaires qu'ils avaient dressées, et promit
une nouvelle récompense de 5000 liv. sterl. à ceux qui
feraient dans la suite des découvertes utiles à la naviga-
tion.

La découverte des instrumens à réflexion, fit dès
1746, revenir à la mesure des distances lunaires, et les
perfections successives de la théorie de la lune et de tous
les mouvemens célestes ont eufñin amené cette mé-
thode à un degré d'utilité, si non supérieur , pour les
marins, du moins égal à celui des montres-marines.
Les navigateurs employent concurremment aujourd'hui
ces deux méthodes. Nous allons exposer la première,
la seconde est suffisamment expliquée par ce qui pré:
cède.

Le but de la méthode des distances lunaires est de
faire connaître la distance vraie de la lune au soleil ou
à une étoile pour un instant quelconque, afin d'en con-
clure l'heure que l’on comptait à cet instaut sur le pre-

492 LO

mier méridien ; on se procure l'heure du lieu , qui cor-
respond au mêmeinstant, par une observation dela hau-
teur du soleil ou d’une étoile ; ces deux heures étant
connues, leur différence réduite en degrés est égal à la
longitude.

Lorsqu'on n’a pas de montre-marine, ni de montre à
seconde, l'observation des distances ex'ge le concours
de trois observateurs ; tandis que l’un d’eux mesure la
distance du bord de la lune à celui du soleil ou à une
étoile , les deux autres doivent prendre les hau-
de par

ce moyen, la distance et les deux hauteurs sont don-

teurs de ces astres au - dessus l'horizon ;
nées par trois observations simultanées. Mais lorsqu'on
possède une moutre à secondes, il suffit d’un seul ob-
servateur, ce qui est toujours préférable, Alors en te-
nant compte de l'heure où l'observation de la distance
a été faite, on peut calculer les hauteurs qui ont lieu en
cet instant, par plusieurs observations successives des
hauteurs dont les différences font connaître le mouve-
ment en hauteur, en les comparant aux différences des
heures de ces observations. Ces observations ayant fait
connaître la distante apparente, on calcule la distance
vraie en dégageant les hauteurs de l'influence de la ré-
fraction et de la parallaxe. Puis cette distance vraie,
rapportée au premier méridien, détermine l'heure de
ce méridien.

Pour faciliter les calculs à l’aide desquels on obtient
l'heure du premier méridien par la distance lunaire,
la connaïssance des temps, ainsi que les diverses éphé-
mérides contiennent maintenant des tables qui donnent
les distances du centre de la lune au soleil, aux pla-
nètes et aux principales étoiles, de 3 heures en 3 heures,
en temps moyen du premier méridien. L'introduction
de ces tables simplifie considérablement les opérations
dont les détails ne peuvent trouver place dans ce dic-
tionpaire.

LONGITUDE. (454) Arc de l’écliptique compris
entre le premier point du signe du Bélier ou de l’équi-
noxe et le cercle qui passe par un astre et par les pôles
de l’écliptique. (Joy. Larirune et Caraioqur.)

Le soleil est le seul astre dont on puisse trouver im-
médiatement la /ongitude , en observant sa hauteur au-
dessus de l'horizon au moment de son passage au mé-
ridien. Cette hauteur retranchée de celle de l'équateur,
fait connaître la déclinaison du soleil, et cette déclinai-
son est le troisième côté d’un triangle sphérique rectan-
gle, dont les deux autres sont les arcs de l'équateur et
de l’écliptique compris entre le point équinoxial et le
méridien. Or dans ce triangle on connaît, outre la dé.
clinaison et l'angle droit, l’angle de l'équateur et de
l'écliptique ou l'inclinaison de l’écliptique ; ainsi on
peut calculer aisément les deux autres côtés dont l’un,
l'arc de l'équateur, est l'ascension droite du soleil, et

LO

dont l’autre, l'arc de l’écliptique, est sa longitude.
Quant aux planètes et aux étoiles il faut préalablement
trouver leurs ascensions droites et leurs déclinaisons, et
ensuite la résolution de deux triangles sphériques fait
connaître leurs latitudes et leurs longitudes. Toutes ces
questions d’astronomie sphérique ne réclament d'autres
secours que les principes élémentaires de la |trigonomé-
trie,

LONGOMONTANUS (S£évemnus), disciple de Ty-
cho-Brahé, est connu dans la science par desobserva-
tionsestimées, par destables du mouvement des planètes,
et surtout par un traité d'astronomie, dans lequel il a
exposé ses idées sur un système mixte du mouvement
de la terre, assez peu connu, malgré sa bizarrerie.
Longomontanus paraît avoir eu pour but de concilier
les doctrines de Ptolémée et de Copernic avec celles de
Tycho, son maître, qu’il admettait plus particulièrement
avec quelques restrictions. Ainsi, comme ce célèbre ob-
servateur , il attribuaitun mouvement annuel au soleil ;
mais pour expliquer la succession des jours et des nuits,
il faisait tourner, comme Copernic, la terre sur ellc-
même en vingt-quatre heures, d'Occident en Orient.
Ses autres hypothèses, contraires pour la plupart aux
plus simples notions d’une saine physique, ne méri-
tent pas d’être rapportées. Le système de Longomon-
tanus a eu peu de partisans ; il fut produit à l’époque
où l’immortel Keppler s'élevait à la connaissance des
lois générales des mouvemens célestes, et où par con-
séquent de nouvelles erreurs ne pouvaient plus entra-
ver la marche de la scienee.

Longomontanus, né en 1662 à Langberg, en Dane-
mark, est mort professeur d’astronomie à Copenhague,
en 1647. L’Astronomia danica, son principal ou-
vrage, imprimé pour la première fois en 1621, a eu
plusieurs éditions.

LONGUEUR. L'une des trois dimensions de l’é-
tendue. Foy. Dimension.

LOZANGE. ( Geom.) Parallèlogrammes dont les
quatres côtés sont égaux sans que ses angles soient
droits; on le nomme encore Ruomse. Voy. PARrALLE-

LOGRAMME,.

LOXODROMIE.(Navig.) Ligne qu’un vaisseau dé-
crit sur mer en faisant toujours voile avec le même
rhumb de vent. C’est une courbe qui coupe tous les
méridiens sous un angle constant. Son nom est dérivé
de AcËes oblique, et de decues, course.

La loxodromi nommée aussi ligne loxodromique,
est une espèce de spirale logarithmique qui tourne au-
tour du pôle, qu’elle ne rencontre qu'a l’infini. Woy.
SPIRALE.

LUCIFER. (45r.) Nom que les auteurs latins don-'
naient à là planète de Vénus lorsqu'elle paraît le matin

|

LU

avant le lever du soleil. Comme cette planète parait
sur l'horizon quelque temps avant le soleil aux épo-
ques où elle est plus occidentale que cet astre, les
poètes l'avaient nommée Lucifer, c'est-à-dire, qui
apporte la lumière. On la nommait Aesperus, qui si-
gnifie le soir, lorsqu'elle est visible après le coucher du
soleil.

LUMIÈRE. (Opt.) Principe transcendant de l’U-
nivers matériel, qui se manifeste particulièrement
comme cause de la visibilité. La nature de ce principe,
son action immédiate daus les phénomènes physiques
et chimiques, ne sont point notre objet; nous n'avons à
le considérer que dans lesseuls phénomènes de la vision,
phénomènes dont les lois mathématiques constituent la
science à laquelle on a donné le nom d’Optique. Nous
ne nous arrêterons donc point à rechercher avec Des-
cartes et Euler, si la lumière est un fluide extrémement
ténu dont les mouvemens ondulatoires agissent sur
l'organe de Ja vue comme les vibrations de l'air sur
celui de l'ouie; si, d’après l'opinion de quelques an-
ciens, elle émane de l'œil, ou si, d’après celle de New-

LU 495
caiemin en ligne droite, mais sa nouvelie direction fait
un angle avec sa première. Les lois de la Zuraière re-
fractée sont l'objet de la proprrique. (Way. ce mot.)

4° Uu rayon lumineux qui arrive sur la surface polie
d’un corps opaque est renvoyé ou réfléchi daus une di-
rection déterminée. Les lois de la lumière réfléchie
sont l'objet de la carorrrique. (Foy. ce mot.)

5° La transmission de la lumière n’est point instan-
tanée. On doit à Roemer la connaïssance de sa vitesse
qui, selon le jugement que nous en pouvons porter,
est parfaitement uniforme. L’astronome danois fut
conduit à cette découverte en remarquant que Îles
temps calculés des éclipses des satellites de Jupiter
diffèrent d'autant plus des temps observés que cette
planète est éloignée de la terre. D'après cette donnée
on a pu calculer que la lumière parcourt en 15 mi-
nutes de temps le diamètre de l'orbite de la terre,
c'est-à-dire un espace équivalent à 47416 fois le rayon
de la terre. Elle parcourt donc en une seconde, environ

52 et —- ravons terrestres, ou 335 940 565,7 mètres.
Toi re ‘

Il est démontré que malgré cette prodigieuse vitesse,

ton, elle vieut des objets: toutes ces hypothèses n'in-“dix millions de fois plus grande que celle du boulet

flucnt en rien sur les lois très-simples de son mouve-
ment , et nous laisserons les physiciens se perdre dans
le champ des suppositions où aucun principe philoso-
phique supérieur ne leur sert encore de guide.

Les corps en état d'ignition, la flamme, le soleil et
les étoiles fixes répandent de la lumière autour d’eux ;
ces objets sont dits lumineux par eux-mêmes. D'autres,
au contraire, ne font que réfléchir la lumière qu’ils ont
recue des premiers, on les dits éclairés. La lumière
pénètre à travers tous les gaz, la plupart des liquides
et plusieurs corps solides. Les corps qui laissent ainsi
passer la lumière, prennent le nom de transparens,
tan is qu'on nomme corps opaques ceux qui la retien-
nent et l'empêche de parvenir à notre œil, Les lois
principales des mouvemens de la lumière sont les sui-
vantes :

1° La transmission de la lumière s'effectue toajours
en ligne droite, dans un milieu transparent et homo-
gèue. Cette ligne droite se nomme rayon.

2° De chaque point d’un corps lumineux par lui-
même, les ravons se dispersent vers tous les côtés où
l'on peut tirer des lignes droites dans le milieu trans-
parent. Chaque rayon lumineux suit son chemin en
ligae droite jusqu’à ce qu'il arrive à un milieu d’une
nature différente, et alors il subit un changement de
direction suivant la constitution matérielle de ce second
milieu.

:3° Un rayon lumineux qui entre dans un milieu plus
rare où plus dense que celui qu'il vient de traverser, se
brise on éprouve une réfraction. I coitinue bien son

Toue 11,

qui sort d’un canon, la lumière emploie au moins
trois ans pour parvenir de l'étoile la plus proche jus-
qu'à nous, encore cet éloignement inconcevable ne
donne aucune approximation de la distance de l’astre,
il donne seulement une limite en decà de laquelle il ne
peut se trouver d'étoiles fixes.

Les divers articles qui traitent des lois du mouve-
ment de la lumière et auxquels nous devons renveyer,
sont OpPTiQuE, DioPTRiIQUE, CATOPTRIQUE , VERRE,
Lexricce, Minoir, RérrAcTION et Vision.

LUMIÈRE CENDRÉE. Voy. Lune.
LUMIÈRE ZODIACALE. loy. ZopracaLr.

LUNAISON.

deux nouvelles

(Ast.) Espace de temps compris entre
lunes consécutives; c'est ce que l’on

nomme aussi le »20i$ lunaire. Voy. Luxe.

LUNE. (45t.) Planète secondaire qui accompagne
la terre et autour de laquelle elle décrit une orbite
elliptique dans une durée de 7 jours.

Les phénomènes que nous présente cet astre sont
très-variés, Sa lumière est plus pâle que celle du so-
leil; on n’en reçoit aucune chaleur sensible. Elle
éprouve dans son étendue, et dans son éclat, des
changemens périodiques auxquels on a donné le nom
de phases. Si l'on observe la lune lorsqu'elle passe au
méridien au milieu de la nuit, son disque paraît en-
tièrement lumineux, sa forme est arrondie et bril-
lante ; alors elle se lève quand le soleil se couche et ré-

25

194 L

ciproquement, Si on continue de l'observer pendant
plusieurs jours, on la voit peu à peu perdre de sa lu-
mière. La partie éclairée de son disque diminue de lar-
geur; en même temps elle se lève plus tard; et lorsque
son disque est réduit à un demi-cercle, elle ne paraît
plus que pendant la dernière moitié de la nuit. Quel-
ques jours après, ce n’est plus qu’un croissant, dont les
pointes sont tournées vers l'Occident, c’est-à-dire,
vers le côté du disque le plus éloigné du soleil, Alors,
elle ne se lève que peu d’instans avant cet astre; le
croissant diminue de jour ca jour, la lune devient tout-
à-fait obscure : elle se lève avec lesoleil, et on cesse
de l'apercevoir. Après avoir été invisible pendant
trois ou quatre jours, elle reparaît le soir à l'Occident
peu de temps après le coucher du soleil; ce n’est d’a-
bord qu'un filet de lumière, qui s’'agrandissant peu à
peu , prend en quelques jours la forme d’un croissant ,
dont les pointes sont tournées à l'Orient, c’est-à-dire
du côté opposé au soleil. Les jours suivans, la lune
s'éloigne de plus en plus du soleil, son disque s'agrandit
et elle reprend enfin sa forme arrondie er brillante,
pour diminuer de nouveau et représenter successive-
ment et dans le même ordre les mêmes phénomènes.
La période de ces phases est d'environ 29 jours et
demi.

Ces phénomènes, bien avant qu’on ait pu les expli-
quer, offraient une mesure si naturelle du temps, qu’on
ne doit pas s'étonner de voir, dès l'enfance des sociétés,
les phases de la lune servir à régler les assemblées, les
sacrifices, les exercices publics, cofin le Calendrier. Le
mois des anciens n'est que cet intervalle de temps
écoulé entre deux nouvelles lunes, que l'on appelle
aussi lunaison ou révolution synodique de la lune. En
grec les mots lune, wiya, €t Mois, my, pyyos Ont une
analogie marquée. Cependant la nature même de ces
changemens devait bientôt conduire les premiers ob.
servateurs à la connaissance de leur cause, car on ne
pouvait raisonnablement s’en rendre compte, qu’en
supposant que la lune est un corps opaque , obscur par
lui-même et qui brille d’un éclat étranger. Il était en
effet impossible d'admettre que son disque est à moitié
obscur et à moitié lumineux, et qu’il nous présente
successivement chacune de ses moitiés, puisque lors-
que ce disque n’est qu'en patie lumineux, la partie
obscure n’est pas tout-à-fait invisible elle est encore
éclairée d’une faible lumière qu'on nomme lumière
cendrée ; et qui permet d’y remarquer les mêmes sinuo-
sités et les mêmes taches que dans les instans où la lune
est entièrement lumineuse, Il devenait donc évident par
l'observation que la lune nous présente toujours la
même face cet que les variations de ses phases résulte de
ses différentes positions à l'égard du soleil dont elle ne
fait que nous réfléchir la lumière.

LU

La figure 8, PI. 98, peut faire facilement compren-
dre toutes les circonstances des phases de la lune. Lors-
que cet astre est complètement lumineux et qu’il passe
à minuit au méridien, le soleil est sous l'horizon au
méridien opposé, ainsi la terre étant en T, la lune est
en L, et le soleil S éclaire entièrement la surface
qu'elle nous présente; c'est alors pleine lune, Lorsque
au contraire Ja lune et le soleil se lèvent en même
temps sur lharizon, la lune est en O, et sa face éclairée E
étant toujours nécessairement tournée vers le soleil,
elle nous présente sa face obscure et nous ne l’aperce-
vons pas; c’est alors nouvelle lune. Dans toutes les autres
positions intermédiaires elle nous présente des parties
plus ou moins considérables de sa surface éclairée, ce
qui lui donne successivement les formes G&, N,R,ou
celles d’un croissaut, d’un demi-cerele, etc.

Si l'orbite de la lune était dans le même plan que
celle du soleil, ou que l’écliptique, toutes les fois que
la lune serait en L, il ÿ aurait nécessairement intercep-
tion des rayons solaires par le globe terrestre, et la lune
devrait cesser d’être visible pendant tout letemps qu’elle
mettrait à traverser le cône d'ombre projeté par la
terre dans l’espace. Comme aussi lorsqu'elle est en OL,
elle devrait à son tour nous intercepter les rayons so-
laires, et faire disparaitre le soleil à nos regards pendant
quelques instans. Ces phénomènes, connus sous le nom
d’Eclipses (voy.ce mot), devraient donc se présenter
à chaque pleine lune et à chaque nouvelle luue, tandis
qu'ils n'arrivent qu'à des époques éloignées. Ainsi l’'or-
bite de la lune doit se trouver dans un plan différent de
celui de Pécliptique. Les observations ont prouvé que
le plan de l'orbite lunaire formeavec celui de l’écliptique
un angle de 5° 8° 487. Get angle, que l’on nomme l’in-
clinaison de lorbe lunaire, est sujet à de petites varia-
tions en plus et en moins, qui nous apprennent que
l'orbite lunaire n’a point une position fixe dans l’espace.

On donne le nom de nœuds aux deux points où l’or-
bite de la lune coupe le plan de l'écliptique, et parti-
culièrement de xœud ascendant à celui où la lune passe

pour aller du sud au nord de l'écliptique, etde nœud |

descendant, à celui qu’elle traverse pour aller du nord
au sud. Les astronomes marquent le premier par le si-
‘gue Q, et le second par le signe ü. Les éclipses ne peu-
vent avoir lieu que lorsque la lune se trouve dans ces
nœuds, où du moins très-près, aux époques où elle est
pleine ou nouvelle. (Ÿoy. Ecrirses.)

Les phases de la lune reçoivent diverses dénomina-
tions d’après les distances angulaires qui ont lieu entre
le soleil et la lune à leur apparition. Aïnsi on nomme
opposition, le moment de la pleine lune, et conjonction,
celui de la nouvelle. L'opposition et la conjonction se,
nomment ensemble les syzigies; quand la lune est éloi-
guée d'environ 90° du soleil ou de la moitié de la dis-

LU

tance qu'il y a entre la conjonction et l’opposition, on
dit qu’elle est dans son premier quartier; lorsqu'elle est
à la moitié de la distance entre la conjonction et l’op-
position on dit qu’elle est dans son dernier quartier :
le premier et le dernier quartier se nomment ensemble
les quadratures. On donne encore le nom d’octans aux
quatre positions intermédiaires C, I, Y, X, situées à
égales distances des syzigies et des quadratures, Cestle
premier octant, T, le second, Y, le troisième et X le
quatrième.

La lune est celui de tous les astres dont les mouve-
mens sont les plus irréguliers, ou da moins celui dont
les irrégularités sont les plus sensibles. Nous ne pou-
vonsici qu'indiquer les points principaux desa théorie.

L’'orbite que la lune décrit autour de la terre est uuc
ellipse, variable dans ses dimensions, dont la terre oc-
cupe l’un des foyers. Elle la parcourt dans une période
moyenne de 27 j. 7h. 43" 115; c'est ce que l’on
nomme sa révolution sidérale. Comme pendant cet es-
pace de temps, lesoleil, parson mouvement propreappa-
rent, s’estavancé sur l’écliptique dansle même sens quela
lune , il faut pour que la lune puisse le rattraper et
redevenir nouvelle, qu’elle décrive en sus d’une cir-
conférence entière de la sphère céleste, l'arc excédant
décrit par le soleil. Cette révolution d'une nouvelle
lune à uneautre nouvelle lune exige donc plus de temps
que la révolution sidérale ; sa durée moyenne est en
effet de 29 j. 12 h. 44' 2”, 8. On la nomme revolution
synodique. Nous avons dit que l'orbite lunaire n'était
point fixe dans l’espace, et ceci est une conséquence
naturelle du mouvement de translation de la terre au-
tour du soleil; mais les variations de cette orbite ne
résultent pas seulement de ce qu’elle est emportée par
la terre , que la lune es forcée de suivre , elle éprouve
encore dans ses dimensions et dans l’inclinaison de son
plan par rapport à celui de l'écliptique, des change-
mens nombreux qui rendent le cours de la lune très-
difficile à suivre et sa théorie très. compliquée. D'abord,
si l’on observe de mois en mois les points où l’éclip-
tique est coupée par la lune , on trouve que les nœuds
de son orbite sont dans un état continuel de rétrogradu-
tion sur l’écliptique, ou qu’ils ont un mouvement en
sens inverse du mouvement apparent de la sphère cé-
leste. Ce mouvement présente une vitesse moyenne de
3° 10", G par jour, de sorte que dans une période de
6793 j., 39 solaires moyens, environ 18 ans £, , le nœud
ascendant a parcouru la circonférence entière de l'éclip-
tique. Si ce mouvement était uniforme , il suffirait de
connaitre , par l'observation, la position ou la longi-
tude des nœuds de Ja lune à une époque déterminée
pour pouvoir en déduire cette longitude pour une autre
époque quelconque ; mais il est sujet à plusieurs iné-
“ galités et se rallentit en outre de siècle en siècle. Ce

Li 195

déplacement des nœuds nous montre que l'orbite de la
lune n’est pas rigoureusement une ellipse rentrant sur
elle-même, et nous la fait apparaître comme une espèce
de spirale indéfinie. Sans tenir compte de cette circon-
stance , l'axe de l’ellipse change sans cesse de direction
dans l’espace, de manière que la distance de la lune à la
terre varie suivant une loi qui ne s'accorde pas exacte-
ment aveccelle du mouvement elliptique. Ce phénomè-
ne,connu sous le non derévolution des apsides de lalune,
s’effectue dans une période de 3232 j. 5353, c'est-à-
dire que l'axe de l'orbite lunaire décrit environ dans
g années, une révolution complète dirigée dans le
même sens que le mouvement propre de la lune. L’ef-
fet sensible de cette révolution est de faire continuelle-
ment changer le lieu de l’apogée et celui du périgée de
l'orbite lunaire ; changement qui n’est point uniforme ,
mais dont les irrégularités ne deviennent sensibles que
dans un grand intervalle de temps.

Le mouvement apparent de la lune sur la sphère cé-
leste se trouve donc compliqué de plusieurs mouvemens
particuliers, et pour s’en former une idée distincte, il
faut considérer cet astre comme décrivant autour de
la terre une ellipse qui a un double mouvement de ré-
volution ; l’un dans son propre plan et en vertu duquel
le grand axe tourne autour de son centre de l’ouest à
l'est, l’autre d'oscillation du plan lui-même.

Les inégalités qui résultent de cette combinaison de
mouvemens ont été entrevues de tout temps par les
astroncmes, On a donné aux quatre principales les noms
d'équation de l'orbite, d’évection, de variation et
d'équation annuelle. Nous allons les exposer successi-
vement, et expliquer comment on peut fixer à l'avance
la marche de la lune malgré sa bizarrerie et son irrégu-
larité. à

L'équation de l'orbite ou l'équation du centre , n’est
que la différence entre le mouvement inégal de la lune
dans son orbite elliptique ct le mouvement moven,
égal et uniforme, qu’on lui suppose dans une orbite cir-
culaire pour pouvoir trouver son lieu vrai. Nous avons
exposé au mot ANOMALIE, comment on peut passer du
mouvement circulaire au mouvement elliptique en
cherchant l'anomalie vraie au moyen de l’anomalie
moyenne : or, la différence de ces anomalies est préci-
sément ce qu’on nomme l'équation de l'orbite. C’est la
quantité qu'il faut ajouter ou retrancher de lanomalie
moyenne pour avoir l’anomalie vraie. Pour la lune

2

Levy pe

la plus grande équation de l'orbite est de 6° 17° 54", 5.

L’évection est une inégalité qui affecte l'équation de
l'orbite et qui la rend plus petite qu’elle ne devrait
l'être vers les syzigies, et plus grande vers les quadra-
tres. Ele résulte du changement de dimension de l'or-
bite luvaire et particulièrement des variations de l’ex-

ceutricité qui, entrant Comme partie constituante dans

196 LI

le calcul de l’anomalie vraie, rend cette anomalie varia-
ble. Après une lougue série d'observations, on a trouvé
qu'on peut assez bien représenter cette inégalité en la
supposaut égale au sinus du double de la distance angu-
lire du soleil à la lune , moins la distance de la lune
à son périgée. Son maximum est de 1° 18° 2", 4. L’e-
vection a été découverte par Ptolémée, c’est ce que
l’on nomme seconde inégalite de la lune.

La variation, où troisième incgalité de la lune, a été
découverte par Tycho-Brahé, elle disparait dans les sy-
zigies et dans les quadratures, et elle est plus grande
possible dans les octans ; sa valeur est alors de 1°18°2",4.
c’est une inégalité dont la période est d’une demi-révo-
lution synodique ; elle est proportionnelle au sinus du
double de la distance anguïaire de la lune au soleil.

L'équation annuelle, dont le maximum est de

11! 10 +0;

est la dernière des inégalités que les obser-
vations seules ont fait découvrir ; elle fut indiquée par
Tycho-Brahé, et suit exactement la même loi que
l'équation du centre du soleil, avec unsigne contraire.

L’evection , la variation et l'équation annuelle au-
raient été pendant bien long-temps les seules inégalités
connues du mouvement de la lune, si la théorie n'était
venue au secours de l'observation pour démêler d’abord
les causes de ces phénomènes, et pour faire découvrir
d’autres inégalités, qui, par leur complication et leur
petitesse, devaient demeurer insensibles, Parmi ces
dernières, qu'on doit considérer comme autant de cor-
rections à faire aux précédentes, il en est une qu'on
nomme l'équation séculaire, et dont la découverte, due
à Laplace, a beaucoup contribué aux perfectionnemens
des tables luuaires. Les autres se nomment perturbations.

Lorsqu'on a dressé des tables de toutes ces inégalités,
le lieu de la lune à un instant donné se trouve aussi fa-
cilement que celui du soleil. On suppose à la lune un
mouvement régulier et circulaire qui donne le r#ouve-
ment moyen et le lieu approché, puis on corrige celieu
en lui ajoutant l'équation du centre; l'évection, la va-
rialion , l'équation annuelle, l'équation séculaire et
les perturbations (voy Tavres), et l'on obtient le lieu
vrai ou la longitude de la lune.

Sila lune n'était soumise qu'à la force attractive de
la terre et qu'aucune autre force ne vint la troubler
dans l’ellipse que cette force centrale lui ferait décrire,
il suffirait de l'équation du centre pour réduire le mou-
vement circulaire égal et uniforme , qu'on prend pour
point de départ, au mouvement réel elliptique, et au-
cunce des inégalités dont nous venons de parler ne pour-
rait se manifester, mais l'attraction étant universelle et
réciproque entre tous les corps matériels , la lune ne
subit pas seulement l’action de la terre, elle éprouve
encore celle du soleil et des planètes , et cette dernt're,

selon qu'el'e agit dans le même sens, eu dans un sens

[h

opposé de la premicre, rapproche où éloigne la lune de
la terre, et change conséquemment la forme de son
orbite. C’est en considérant toutes les circonstinces des
diverses positions que peuvent prendre entreux les
corps de notre système solaire que la théorie peut de-
vancer l'observation et donner la construction systéma-
tique de ce système par l'équilibre des corps célestes,
mais ce grand problème est bien loin d’être résolu , ce
n'est jusqu'ici qu’en faisant concourir l'observation
avec les résultats fragmentaires obtenus de la loi new-
tonienne, qu’on peut perfectionner les tables de la lune
et représenter ses mouvemens d'une manière sinon
exacte, du moins assez approchée pour la pratique.
Pour résumerles élémens de la lune il nous reste à men-
tionner ses diverses révolutions; ce sont: 1°. la révolution
synodique, où le retour en coujonction; 2°. la révolution
sidérale , ou le retour à la même longitude comptée
d’un équinoxe fixe, ou àla mème étoile ; 3°. la revolu-
tion tropique, ou le retour à la même longitude comptée
de l’équinoxe mobile; 4°. la revolution anomalistique, ou
le retour au même point de Pellipse, et 5°. enfin, la
revolution draconitique , où le retour au même nœud.
Toutes ces révolutions éprouvent par suite des irrégu-
larités du mouvement de la lune des variations dans
leurs durées. Voici leurs valeurs moyennes en temps

solaire moyen :

Synodique. . ..29j.33058857215;ou29j.1%".44" 27,87

Sidérale.......27, 32106 1423 27 7 43u1,5
Tropique . . ...27. 32158 2418 27, 07 433 4;17
Anomalistique..27, 55459 950 27 13 18 37,4
Dracoaitique... 27, 21222 22 27 5 536,0
Ë . ; ‘déral — 3232).,575343
Révolutions dupérigée. |" ol 22197904
tropique — 3231, 4751
a — 6796 j., 279
Révolutions du nœud../synodique — 346, GigS51
\éropique = 6785, 5982

La lune décrit, par son mouvement propre vers
l'est,
En longitude, pour 24 heures moyennnes :
13°, 17639639 , ou 13° 10’ 35”, 027.
En anomalie, pour 24 heures moyennes :

13°, 0649917, ou 13°3"52",97012.

Le mouvemeat relatif de la lune au soleil = 12°, 19075
par jour.
En rapportant les élémens à l’époque du 1‘ jan-

vier 1901,0na

Distance moyenne de laterre.......... 59", 982172
0548442

20 ro!

Longitude moyenne du nœud..,...... 137 93

Exceutricité en parties du demi grand axe 0,

“
Li
17 54

Longitude moyenne du périgée....... 266° 10° 5,2
Lougitude moyenne de la lune........ 118 17 8,3

Jnclinaison moyenne de l’o bite.......

La distance moyenne à la terre est exprimée en rayons
équatoriaux de laterre.

Outre sa révolation autour de la terre, la lune tourne
encore sur son axe d'Occident en Orient , et elle em-
ploie à faire cette révolution exactement le même temps
qu’elle emploie pour sa révolution tropique. C'est ce
qui est cause qu'ellenous présente toujoursia mème face:
en cfret, il est impossible qu'un homme , par exemple,
parcoure la circonférence d'un cercle, en tenant con-
stamment le visage tourné vers le centre , sans faire en
même temps un tour sur lui-même. L'axe de la lune
fait avec le plan de l'écliptique un angle de 88° 29° 49",
etil en résulte que L:s pôles lunaires deviennent alter-
nativement visibles ct invisibles pour nous, selon les
diverses positions que cet astre occupe au-dessus Ou au -
dessous de l'échptique. C'est ce phénomène qu'on ap-
pelle dbratron en latitude. (Voy. Lisrarion.)

La lune étant tantôt plus près et tantôt plus éloignée
de laterre, doit nous paraitre tautôt plus grande et
tautôt plus petite; et vu effet, son diamètre apparent
varie avec sa distance ; ses valeurs sont :

Plus grand diamètre apparent... 33°51,1
+. 31.20: 5
Plus petit diamètre apparent..... 20 21, Q

Moyen diamètre apparent.....

Quant à sa parallaxe , voy. ParALLAxE.
La forme de la lune est celle d’un sphéroïde aplati
vers ses pôles, dont le rayon moyeu est égal à 0,273,

4)

ou-—,en prenant le rayon moyen de la terre pour
unité. Si nous supposons ces deux corps sphériques , le
rapjort de leurs volumes sera égal au cube du rapport
de leurs rayons, c’est-à-dire à a , ou ee , d'où il ré-

S 1331 49
sulte que le volume de la lune est environ la quarante-
neuvième partie du volume de la terre, On a trouvé
par la théorie de l'attraction . que la masse de la lune

L
est —-

GX ” celle de la terre étant prise pour unité, Ce
3 £

J
rapport est beaucoup au-dessous de ko La masse de Ja
9

lune comparée à celle de la terre, n’est donc point
daus la proportion de son volume, et par conséquent
sa densité est moindre que celle du globe terrestre. Cette
L
densité est donc 4".
68,4?
la densité de la terre.

ou à peu près les trois quarts de

Quoique nous ne connaissions qu'un peu plus de la
moitié de la surface de la lune, la constitution phvsi-

que de cet astre cit beaucoup mieux connue que celle

LI

d'aucun autre corps céleste. La face qu'elle présente

{97

constaminent à la terre est couverte d’un nombre con-
sidérable de montagnes, dont quelques unes u’ont pas
moins de 800 mètres de hauteur, élévation prodi-
gieuse pour une si petite planète. Ces montagnes sont
presque toutes exactement circulaires et présentent des
caractères volcaniques, maisil n'est pas bien constaté
qu'on ait vu sortir des flammes de leurs cratères, quoi-
que ce fait ait été annoi cé par quelques observateurs,
La surface de la lune présente encore de vastes régions
parfaitement de niveau, et dont leterrain est semblable
à nos terrains d’alluvion; ces parties plus obscures que
les autres ont reçu le nom de mers, quoique leurs appa-
rences soient inconcihiables avec l'existence d'une eau
profonde. Rien sur cette planète singulière n'indique
l'apparence d’une vegétation, ni d’aucuues modifica-
tious dues à l'influence des saisons, et malgré toutes les
hypothèses faites sur son atmosphère ; on n'a jamais vu
de nuages circuler sur son disque. Si la lune est hubitée,
les êtres qui s'y trouvent n'ont point d’analogues parmi
ceux que nous pouvons Concevoir, Car sans air, Sans
eau et sans végétation la vie animale n’est pas possible.

Nous avons donné PL. 18, fix. 3, une carte de lalune,
voici les noms des taches : les cluffresse rapportent aux
montagnes et les lettres aux parties basses ou prétendues
mers :

1, Grimaldus, 20, Hermes.

o, Galileus. 27. Possidonius.
28. Diouisus.
29. Plinius.

3. Aristarchus.
4. Kevlerus,
5. Gassendus, 30. Catharina , Cyrillus,

6. Schikardus.
7. Harpalus.

8. Heraclides.
9. Lansbergius.
Reiuoldus.
Copernicus.

10.

12. Helivou.
Capuanus.
14. Bulialdus.
15. Eratosthenes.
16. Timocharis,
17. Plato.

18. Archimèdes.
19. Jusula sinus medii.
20. Pitatus.

21. Tycho.

22. Eudoxus.
23. Aristoteles.
24. Manihus.

25. Meuelaus.

Theophilus.

33. Fracastorius,

32. Piomontoriumacutuu,
Censorinus.

33. Messala.

34. Promontorium Somnii.

35. Proclus.

36. Cleomedes.

37. Sucllius et Funerius.

38. Petavius.

39. Langrenus.

4o. Taruntius.

A. Mare Humorum.

B. Mare Nubium.

C. Mare Imbrium.

D. Mare Nectaris,

E. Mare Tranquillitatis.

F. Mare Serenitalis.

G. Mare Fæcunditatis.

H. Mare Crisium.

La lumière que nous réfléchit la lune n'est accompa-

195 LU

gnéed’aucune chaleursensible, nonseulement dans l’état
où elle nous arrive, mais encore étant concentrée dans
un très-petit espace par le moyen d’un miroir concave.
Ce que l'on nomme lumuère cendrée, n’est que la lu-
mière du soleil réfléchie par la terre sur la lune , car la
terre vue de la lune présente tous les phénomènes des
phases, et de même que nous avons clair de lune, la
lune a aussi clair de terre.

ACCÉLÉRATION DE LA LUNE , 10ÿ+ ACCÉLÉRATION,

AGE DE LA LUNE. C’est le nombre des jours écoulés
depuis la nouvelle lune. Pour toutes les autres parties
de la théorie de la lune. Joy. Ecrins, Excenrrierrt,
Cazenprier , LiBRATION, PARALLAXE, SÉLÉNOGRAPHIE.

LUNETTE. {D'op.) Instrument d'optique, com-
posé d'un ou de plusieurs verres, quia la propriété
de faire voir distinctement des objets qu’on n’aperce-
vrait que confusément, où même point du tout, :à la
vue simple.

Les lunettes les plus simples sont celles que l’on
nomme bésicles ; elles sont composées d’un seal verre
pour chaque œil. Les lunettes à plusieurs verres, ou
lunettes d'approche, ne s'empleient généralement que
pour un seul œil; elles se composent d'un tube aux
extrémités duquel sont placés des verres lcuticufaires,
Les grandes lunettes d'approche prennent encore le
nom de télescopes; cependant cette dernière dénomi-
nation ne s'applique, en français, qu'aux instrumens
formés par des miroir:. (Foy. Técescope.)

L'invention des /esicles, assez généralement attri-
buée à Roger Bacon, parait être plus ancienne et sem-
ble remonter au milieu du douzième siècle, mais celle
des lunettes d'approche est beaucoup plus récente; elle
ne date que du commencement du XVII°. Ce fut,
dit-on, le hasard qui les fit découvrir à un fabricant
d’instrumeus d'optique de Midlcbourg, nommé Jansen.
Galilée raconte, dans le Nuncius sydereus, publié au
mois de mars 1610 , que le bruit s'étant répandu qu'un
Hollandais avait construit une lunette, par le moyen de
laquelle Les objets éloignés paraissaient très-proches , il
en chercha la raison et parvint à en faire une sembla-
ble. Avant placé aux deux extrémités d'un tube de
plomb, deux verres plans d’un côté et sphériques de
l’autre , mais dont l’un avait un côté concave et l’autre
un côté convexe , il vitles objets trois fois plus près
qu’à la vue simple. Galilée s'occupa activement alors à
perfectionner cette invention, à laquelle il dat ensuite
ses plus curieuses découvertes astronomiques. On a
nommé cette espèce de lunette Télescope de Hollande
ou de Galilée, à cause deson origine.

Dans toutes les lunettes d'approche, le verre qui re-
cueille immédiatement la lumière de l'objet se nomme
verre objectif, les autres prennent le nom d’oculaires,

et sont comptés en partant de l'objectif et venant à

LU

l'œil : premier oculaire , second oculaire, etc. La lu-
nette de Galilée n’a qu’un seul oculaire, c'est, comme
danstoutes les autres lunettes inventées depuis, un verre
de divergence (voy. Lexrie), dont le foyer est très-
rapproché, tandis que l’objectif est un verre de con-
vergence. Ces verres doivent être disposés de manière
que l’image renversée des objets, produite par l'objec-
tif w’atteigne pas tout à fait le foyer postérieur de l’ocu-
laire ; cette image se trouve alors redressée par l’ocu-
laire, et l’on aperçoit les objets tels qu'ils sont réelle
ment , mais plus grands.

L'espace que l’on peut embrasser en regardant à tra-
vers une lunette , et qui est nécessairement circulaire,
se nomme le champ de la lunette : on mesure ce champ
par l'angle sous lequel l'œil simple l’apercevrait, Quant
an grossissement des objets il est égal, pour leur dia-
mètre apparent , au rapport de Ja distance focale de
l'objectif à la distance focale de l'oculaire. Le champ
de la lunette de Galilée étant très-petit, cet instrument
ne peutservir à de très-grands grossissemens, c'est ce
qui fait qu'elle ne s'emploie maintenant que comme lu-
nette de poche.

Képler construisit ses télescopes en employant pour
oculaire un verre de convergence d'un foyer très-rap-
proché. Comme ce dernier verre ne redresse pas l'image
renversée produite par l'objectif, il s'ensuit qu'avec ce
télescope, le meilleur encore de ceux qu’on connaisse
maintenant, on voit les objets renversés ; ce qui , du
reste, est parfaitement indifférent pour les obser-
vations astronomiques. On ne peut obtenir un grossis-
sement très-considérable, qu’en donnant à la lunette une
longueur incommode,

Pour redresser les objets dans le télescope de Ké-
pler, il suffit de placer entre lobjectif et l’oculaire
d’autres verres convexes. La lunette prend alors le nom
de lunette terrestre. Elle fut invevtée au commence-
ment du dix-septième siècle par le jésuite Rheita. La
théorie de tous ces instrumens est fondée sur celle des
verres lenticulaires et ne présente aucune difficulté.

(Poy.Lenrire.Voy. aussi AcuromaTiQUE et TÉLEscoP£.)

LUNISOLAITE. Se dit, en astronomie, de ce qui
a rapport à la révolution du soleil et à celle de ja lune,
considérées ensembie. Le cycle lunaire de 19 ans est la
première de toutes les périodes lunisolaires. (77. CaLex-
prier, 6.) La période de 18 ans 10 jours, ou de 223 lu-
paisons ramène les éclipses dans le même ordre. (Foy.
Ecuipse, 30.)

Quelques auteurs ont donné le nom d’annce luniso-
laire à la période nommée dionysienne, de Denys-
le Petit, qui ramène les nouvelles lunes aux mêmes
jours du mois, et chaque jour du mois au même jour
de la semaine. (Foy. Pémopr.)

LU

LUNULE. (Géom.) Figure plane en forme de crois-
sant, terminée par deux arcs de cercle qui se coupent
à ses extrémités, Quoique la quadrature du cercle entier
soit impossible géométriquement (voy. Cencur et
QuanraTure), On a trouvé celle de quelques-unes de
ses parties; parmi ces quadratures partielles nous de-
vous mentionner la première de toutes, due à Hippo-
crate de Chio; sa célébrité est, du reste, son plus grand
mérite.

Soit (PI. 48, fig. 2) un triangle isoscèle rectangle
ABC, sur l'hypothénuse AB, décrivons le demi-cer
cle AnCoB; et sur les deux côtés AC et CB de l’angle
droit décrivons pareïllement les deux demi - cercles
AmC, CpB. Les surfaces des cercles étant eutre elles
comme les carrés de leurs diamètres, nous aurons en dé-
signant par S la surface du demi-cercle AxCoB, et par
s , les surfaces égales des demi-cercles Az2C , CpB

|
SiSS:: AB: AGE BC
mais, d’après la propriété du triangle rectangle,

2

—— 2 ——2
AB — AC+BC, donc on a aussi S — $ + s—25s, ou

LU 1499

s— + S. Or, en abaissant la perpendiculaire CD,
CrAD est la moitié du demi-cercle $ , ainsi le demi-
cercle $ on AmC est égal à CrAD , retranchant de ces
deux figures l’espace commun AC, il reste d’une part
le traingle ADC, et de l’autre la /unule AmCnA : l'aire
de cette lunule est donc équivalente à celle du trian-
gle.

On trouve d’autres propriétés curieuses des lunules
dans les Récréations math. d'Ozanam. Moivre, dans les
Transactions phil., n. 265, s'est accupé des solides

formés par leur révolution.

LYNX. (451) Constellation boréale formée par Hé-
velius, pour rassembler les étoiles sporades, compri-

ses entre la grande Ourse etle Cocher. (Foy. PI. 0.)

LYRE. (45t.) Constellation boréale, dont la princi-
pale étoile qui est de première grandeur se nomme
Vega. C'est une des anciennes constellations de Ptolé-
mée. Elle est située entre Hercule et le Cygne. (Foy.
PI. 0.)

ME.

MACHINE. On donne généralement ce nom à tout
ce qui sert à transmettre l’action d’une puissance sur une
résistance. C’est un instrument simple ou composé, des-
tiné à produire du mouvement, de manière à épargner
ou du temps dans l’exécution de l'effet, ou de la force
dans la cause.

Les machines se divisent en machines simples et ma-
chines composées. On compte ordinairement sept 77a-
chines simples auxquelles toutes les autres machines
peuvent se réduire, ce sont : la machine funiculaire,
le levier, le treuil, la poulie, le plan incliné, le coin et
la vis. (Voy. ces divers mots.) On pourrait réduire ces
sept machines aux deux premières, et même à l’une
seulement de ces deux premières ; mais on a la coutume
de considérer les cinq dernières comme simples,

Les machines composées sont celles qui sont formées
par la combinaison de plusieurs machines simples. Leur
nombre est illimité.

Les sept machines simples étant le sujet d'autant
d'articles particuliers, nous ne considérerons ici que
l'effet général des machines composées, dont nous al-
lons exposer en peu de mots les principes rationnels. Ce
qui suit pourra donc s'appliquer à toutes les machines
connues, comme à toutes celles qu’on pourra inventer
par la suite.

Quelle que soit la complication d’une machine, on

peut toujours la définir un corps qu'on interpose entre
deux ou plusieurs puissances pour transmettre l'action
de l'une à l’autre, suivant telles ou telles conditions,
d'après l'objet qu'on a à remplir.

Ce corps intermédiaire peut toujours être considéré
comme dépouillé de sa masse, et comme un assemblage
d’une multitude de points liés par des fils, au moyen
desquels l'action se transmet de proche en proche d’une
puissance à l’autre, soit que cette masse soit en effet
très-petite par rapport aux forces qui lui sont appli-
quées , soit que l’on envisage les forces motrices et d’i-
nertie propres à cette masse comme de nouvelles forces
qui lui sont extérieurement appliquées, et dont on tient
compte dans le calcul comme de toutes les autres.

Ceci posé, il est important de distinguer l'effet d'une
machine en équilibre de celui d’une machiné en mou-
vement, parce qu'il entre dans cette derniére un élé-
ment de plus que dans la première; savoir : la vitesse
du point d'application des forces mises en action. Dans
le cas de l'équilibre, on a seulement à considérer l'in-
teusité de ces forces, mais dans celui du mouvementil
faut en outre tenir compte du chemin que chacune doit
parcourir. Ainsi, par exemple, une force qui exerce
son action sur un poids à l’aide du plus long bras d’un
levier, produit deux effets de nature différente, sui-

vant qu’elle doit simplement soutenir ce poids ou

200 MA

qu’elle doit l'élever à une certaine hauteur, car dans le
premier cas une force très-petite peut bien soutenir en
équilibre un poids très-considérable ; mais s'il s'agit de
l'élever à une hauteur donnée, il faut qu’elle descende
d’une hauteur d'autant plus grande , que son bras de
levier est plus long (voy. Leviex), et qu'elle est consé-
quemment plus petite par rapport au poids.

L'effet d’une puissance appliquée à une machine en
repos est donc simple, et peut s’évaluer par le poids
qu'ille soutient; mais celui d’une puissance appliquée à
une machine en mouvement est composé, el son éva-
luation doit s'effectuer non-seulement par le poids
qu’elle meut, mais encore par la hauteur à laquelle elle
l'élève. C’est eufin le produit de ce poids par cette hau-
teur qui mesure l'effet de la puissance dans une machine
en mouvement.

Il résulte de ces considérations que dans le cas d'é-
quihibre la machine peut décupler, centupler l'effet de
la puissance , tandis que dans la machine en mouvement
l'effet est invariable, quelle que soit la composition de
cette machine, et toujours égal au produit de la puis-
sance par le chemin qu'elle parcourt. En modifiant la
machine, on pourra bien diminuer là puissauce, mais
on augmentera le chemin qu'il faut qu'elle parcoure,
et rice versd, de sorte que l'effet est constamment le
méme.

Si nous désignons par P la puissance ou la force sol-
licitante, par R le poids ou la force résistante, par H la
hauteur à liquelle il faut élever R, et par k, celle dont
P est forcé de descendre, ou le chemin qu'il doit par-
courir pour produire l'effet demandé, nous aurons l’é-
quation (1)

Ph—RH,

laquelle est indépendante de toute composition particu-
Bière de machine.

Muis en désignant par V la vitesse supposée uniforme
de la lorce P, et par T le temps qu'elle emploie pour
décrire À, en vertu de cette vitesse, comme l’espace par-
couru est égal au produit de la vitesse parle temps (roy.
Mouvement), nous avons h — VT; ainsi, substituant
dans (1), il viendra (2)

PVT— RH,

Maintenant , et par la même raison , si, en employant,
soit la même machine, soit toute autre, on voulait pro-
duire le même effet RH, au moyen d'une autre force
P', mue avec une autre vitesse V', pendant un temps
T", on aurait pareillement

P'V'T'— RH
et par suite, d’après (2)
PVT—=P'V'T

Ainsi, si l’on veut, par exemple, que P' ne soit que

MA

la moitié de P, c'est à-dire, si l’on veut éleverle même
poids R à la méme hauteur I, en employaut uve force
moitié plus petite, il faudra ou que V' devienne double
de V, ou que T’ devienne double de T, ou enfin qu’en
général V'T" devienne double de VT. De là, on peut
déduire ce grand principe, que tous les constructeurs de
machines ue doivent jamais oublier : dans toute machine
en mouvement, on perd toujours ou temps ou en vitesse
ce qu'on gagne en force.

Il résulte encore de ce qui précède qu'ilest impossible
d'inventer une machine par laquelle, avec le même
travail, c'est-à-dire , la méme force et la même vitesse
employées pendant le même temps, on puisse élever le
poids douné R à une plus grande hauteur que H, où
un poids plus grand à la même hauteur, où eufin le
même poids à la même hauteur, dans un temps plus
court.

C’est donc tout à fait en pure perte qu'on croirait
pouvoir à l’aide de leviers arrangés d’une certaine ma-
rière, mettre un agent, quelque faible qu'il soit, en
état de produire les plus grands effets. Cetté erreur, dans
laquelle ne tombeut que trop souvent des personnes
auxquelles on ne peut refuser de certaines connaissantes
en mécanique, provient uniquemeut de ce qu’on s’ima-
gine qu'il est possible d'appliquer aux machines en mou-
vement ce qui n’est vrai que pour le cas d'équilibre; de
ce qu’une très-pelite puissance, par exemple, peuttenir
ea équilibre un très-grand poids, ou croit qu'elle pour-
rait de même élever ce poidsaussi vite qu'on voudrait,
et c’est la ce qui ne peut arriver. Si l’on considère qu'une
petite puissance ne détruit jamais une plus grande que
par le concours où par Ja résistance d'un ou de plusicurs
points d'appui, où comprendra que l'effet n’est pas plus
disproportionné à la cause dans les machines en repos
que dans les machines en mouvement.

La description des machines composées n’entre pas
daus notre plan , vous renverrons donc pour tout cequi
les concerne à l'ouvrage de M. Borgnis, le plus complet
en ce geure, Mécanique appliquée aux arts. Leur
théorie doit être étudiée dans l'Æssai sur la composttion
des maclines, de MM. Lanz et Betancourt. On peut
consulter aussi avec fruit la A/écanique de Bossut. Mon-
tucla, dans le troisième volume de son /Zistoire des
mathématiques, a donné un catalogue étendu des divers
ouvrages qui contiennent la construction des machines
les plus curieuses et les plus importantes des anciens et

des modernes , jusqu’à l’aunée 1802.

s»

MACLAURIN (ou plutôt MAC-LAURIN, Cou),
mathématicien distingué , naquit en 16y8, à Kilmod-
dan, en Ecosse. La lecture des £lémens d'Euclide a
donné à la science un grand nombre d'hommes celè-
bres, dont elle a pour ainsi dire éveillé le génie. C’est

MA

auss: la connaissance de ce célèbre ouvrage, qui décida
de la carrière et de l'illustration de Maclaurin. Il n'avait
encore que douze ans, lorsque le hasard le fit tomher
entre ses mains, il le lut avec tant d'application et de
succès, que sans le secours d’un maitre, il fut en peu
de jours en état d'expliquer les six premiers livres.
Depuis cette époque, Maclaurin se livra avec ardeur à
l'étude, et put en 1717, l'emporter, après un concours
de dix jours, sur un grand nombre de compétiteurs et
obtenir la chaire des mathématiques au college d’Aber-
deen. Il n'avait que vingt-deux aus quand il publia son
Traité des Courbes, production remarquable et qui
fut honorée de l'approbation de l'illustre Newton.
Cet homme immortel avait une telle estime pour les ta-
leus de Maclaurin, qu'il fit les frais de son traitement ,
lorsqu'il fut adjoint à Grégory, à l'université d'Edim-
bourg. En 1940, Maclaurin partagea avec Daniel Ber-
nouilli et Euler, le prix proposé par l'Académie des
sciences de Paris, pour le meilleur mémoire sur le
flux et le reflux de la mer. On trouve daus ce mémoire
ane démonstration remarquable de la figure de laterre;
ce géomètre quis’était rapidemeut acquis une brillante
réputation, promettait à la science une carrière utile et
glorieuse, mais chargé en 1545, de foitifier à la hâte la
ville d'Edimbourg, menacée parles partisans des Stuarts,
il se livra à cette opération avec uu zèle qui fut funeste
à sa santé ; et oblige de fuir à l'approche des insurgés,
il mourut à York, le 14 juin 1746. Il a laissé : L. Geo-
metria organica seu descriptio linearum curvarum uni
versalis, Londres, 1720, in-4°. C’est l'ouvrage dont
nous avons parlé plus haut, Quelques propositions de
Newton, dit Montucla, furent pour Maclaurin le germe
de la belle théorie, qu'il établit dans ce livre: non
seulement il y démontre les théorémes de ce grand
homme; maisil y en ajoute un grand nombre tous
plus remarquables les uns que les autres. En prenant
plus de pôles ; ou en faisant mouvoir les points de ren.
contre des côtés des angles donnés , sur diverses cour-
bes, il en résulte la description de courbes d'ordres
de plus en plus relevés : il y résout aussi généralement
un problème, que Newton jugeait lui-même de la
plus grande difficulté, celui de décrire, par un
procédé semblable, une ligne d’un ordre supérieur
w'ayant aucun point double. Il, Traité des Fluxions ,
Edimbourg, 1742, in-4”, (en anglais). Cette théorie du
calcul differenuel a été traduite en français, par le
P. Pezenas, Paris, 1749, 2 vol. in-4°. Maclaurin avait
composé deux autres ouvrages importans, qui n’ont
été imprimés qu'après sa mort. Ce sont : 1° Traité
d'Algèbre, etc., imprimé plusieurs fois en Augle-
terre et traduit en français par Lecozic, Paris, 1753,
in-4°. On ne p ut, suivant Montucla, rien ajouter à la
clarté de cet écrit, à son élégance et à sa précision; et
TOMEIT,

MA

l'on y trouve d’ailleurs plusieurs propriétés particulières

201

des nombres , qui ’avaient été énoncées avant lui par
aucun géomètre. À la suite de cet ouvrage se trouve
un Traité des principales propriétés des lignes géomé-
triques. 2° Æxposition des découvertes philosophiques
de Newton (en anglais), publiée par Patrice Murdoch,
à Londres, 1748, in-4*, L'éditeur a fait précéder cet
ouvrage d'une notice sur la vie et les écrits de Maclau-
rin; il a été traduit en français, par Lavirotte, Paris,
1749, in-4° , et en latin, parle P. Falck, jésuite,
Vieune , 1701. Les Transactions philosophiques con-
tiennent un grand nombre de mémoires de Maclaurin

sur divers sujets mathématiques.

MAIRAN (Jean-Jacques Donrous be),

cien et membre distingué de l'Académie des sciences ,

mathémati-

né à Beziers, en 1678, connu dès 1713, par un Heémoire
sur les variations du baromètre et des dissertations sur
la glace et les plosphores, travaux courounés par l’A ca-
démie de Bordeaux , il fut reçu en 1-18 à l'Académie
des sciences, où il lut successivement un graud nombre
de mémoires sur diverses questions scientifiques. On re-
marque parmi ces documens qui ont été imprimés,
ceux sur la cause du fruidet du chaud, sur La rotation
de la lune, sur les forces motrices et sur La reflexion
du corps méritent d'être signalés. C'est dans cette der-
nièie dissertation que Mairau a recherché la nature de
Ja courbe apparente que forme une surface plane,
comme celle d'un bassin, vue au travers de !&22 qui la
couvre. Eu 1521, Mairan fut chargé avec Varignon, de
donner uue nouvelle méthode pour le jaugezge des
navires. Cet académicien, quia joui pendant sa longue
carrière d’une considération digne du mérite Le plus
élevé, n’a néanmoins laissé que des travaux peu impor-
tans. On trouve ses mémoires dans le rec eil de l'Aca-
démie des sciences et daus le Journal des savans. T
mourut à Paris, à l'âge de 03 ans, le 20 février 1591
Eu 1540 il avait remplacé Fontenelle, en qualité de
secrétaire perpétuel de l’Académie des scieuces, il était
également membre de l'Académie francaise,des sociétés
royales d'Edimbourg et d'Upsal, de l'Académie de
Pétersbourg et de Finstitut de Bologne, On a de lui :
I. Dissertation sur la glace, Paris, 1749, in-10.
Il. Traité physique et historique de l'aurore boréale ,
Paris, 17

31, in-4°. III. ÆVoge des acailémiciens de
, # >

, RS : À JE:
l’Académie royale des sciences, Paris, 1749, in-17.

MANFREDI |Eusracur), célèbre géomètre et astro-
nome italien , naquit a Bologne le 20 septembre 1654.
Il annonça de bonne heuredes dispositions remarquables
et une circoustance intéressante pour l'histoire de la
science se rattache à ces premières mamifestations de
son caractère ct ses talens, Il réunissait chez lui ses com-

26

202 MA

pagnons d’étude, leur répétaitles leçons des professeurs,
éclaircissait les difficultés qui avaient pu les embarras-
ser , et hâtait ainsi la rapidité de leurs progrès. L'Insti-
tut de Bologne, qui a jeté un grand éclat dans la science,
tire son origine de cette Académie d’enfans. Manfredi
s'est signalé par ses travaux en gnomonique, en astrono-
mie, en géométrie et surtout eu hydrostatique. Il avait
été nommé en 1704, surintendant des eaux, et il rem-
plit dignement ces fonctions si importantes dans un pays
où le débordement des rivières occasionne de fréquen-
tes vicissitudes dans les délimitations des propriétés. Ses
ouvrages mathématiques sont : I. £phemerides motuum
celestium ab anno 1715 ad annum 1925, cum introduc-
tone et varüs tabulis, Bologne , 1715 — 1725, 4 vol.
in-4°. L'introduction de cet ouvrage est fort estimée et
a été souvent imprimée à Porto. Il, De novissimis
circà siderum fixorum errores observationibus epistola,
tb. 1930, in-4°. Dans cet écrit où Maraldi à consigué
ses observations sur les tentatives faites pour démontrer
la parallaxe des fixes, on remarque avec étonnement
que par égard pour les préjugés de son pays, il n’a pas
osé affirmer le mouvement de la terre. IT. ?e transitu
mercuri per solem, ib anno, 1723, in-4°. IV. Liber de
gnomone meridiano Bononienst, deque observationibus
astronomicis eo instrumento peractis, tb. 1736, in-4°.
V. Instituztonti astronomiche, 1b. 1749, in-4°. Eustache
Manfredi est mort à Bologne, le 15 février 1739.

MANFREDI (Gasrier), son frère ,

le 25 mars 168r, s'est également distingué dans la même

né à Bologne,

carrière ; à l’âge de 24 ans, il publia un traité des équa-
tious du premier degré qui obtint un grand succès. Il
succéda à son frère, en 1636, dans la place de surin-
tendant des travaux hydrostatiques, et mourut à Bolo-
gne , le 13 octobre 1761. On a de lui : I. De construc-
tione æqualionum differentialium primi gradüs, Pise,
1707, in 4°. II. Considerazioni sopra alcuni dubii che
debbono esarminarsi nella congregazione dell acque.

Rome, 1730, in-4°.

MAPPEMONDE, Carte géographique qui représente
les deux hémisphères du globe terrestre. (Foy. PI, 35
et 36.) C’est une projection stéréographique (Foy. ce
mot) sur un plan que l’on imagine passer par le centre
de la terre perpendiculairement à la droite menée de

ce centre à l'œil.

MARALDI (Jacours-Pnirirre), astronome distingué,
naquit à Pierinaldo , petite ville du comté de Nice, le
21 août 16065. Il était le neveu du célèbre Cassini, qui
l'appela auprès de lui à Paris, quand il eut fini ses études
et révélé les plus heureuses dispositions pour les mathé-
matiques. Il s’attacha particulièrement à l'astronomie, et
forma le projet de donner un nouveau catalogue des

MA

étoiles fixes. L’assiduité qu’il apporta au travail altéra
sa santé; mais il ne cessa point ses observations dont il
communiquait facilement le résultat. Membre de l’Aca-
démie des sciences, il fut occupé en 1700 à la prolon-
gation de la méridienne, et à la levée des grands trian-
gles, jusqu’à l'extrémité des Basses-Alpes. En 1718, il
contribua avec d’autresacadémiciens à terminer la grande
méridienne du nord. À ces voyages près, dit Fontenelle,
qui a composé son éloge, il passa sa vie renfermé dans
l'Observatoire , ou plutôt dans le ciel d'où ses regards et
ses recherches ne sortaient point. Les travaux de Ma-
raldi sont du nombre de ceux qui méritent toute l’estime
des savans, mais qui attirent peu de gloire sur leur au-
teur. Il mourut sans avoir pu achever son catalogue,
qui est demeuré manuscrit, le 1° décembre 1729. On
trouve dans le recueil de l’Académie des sciences un
nombre considérable d’observæions astronomiques de
Maraldi. Ses observations météorologiques ont été con-
tinuées après sa mort par Jean-Dominique Marazpt, son
neveu, né à Pierinaldo, en 1709, nommé adjoint-astro-
nome en 1731, associé à l’Académie des sciences en 1740,
ensuite peusionnaire et vétéran de ce corps savant, et
mort le 14 novembre 1788. Dominique Maraldi à eu la
plus grande part à la confection dela carte des triangles
qui ont servi de base à la grande carte de France qui
porte le nom de Cassini. Parmi les nombreuses obser-
vations astronomiques qu’il a données dans le recueil de
l’Académie des sciences, an remarque un Mémoire sur
de mouvement apparent de l'étoile polaire vers les pôles
du monde, et des dissertations intéressantes sur les Satel-
dites de Jupiter. C'est aussi à ses soins qu'on doit l’im-
pression du Cœlun australe de Lacaille, son intime

ami,

MARÉES. (Phy. math.) Mouvement alternatif jour-
nalier des eaux de la mer, qui couvre et abandonne
successivement ses rivages.

Deux fois par jour l'Océan se soulève et s’abaisse par
un mouvement d’oscillation régulier. Les eaux montent
d’abord pendant environ six heures; elles inondent ainsi
lesrivages et se précipitent dans l'intérieur desfleuves,jus-
qu'à de grandes distances de leur embouchure: cemouve-
mentsenommele flux. Après être parvenues à leur plus
grande hauteur, elles restent quelques instans en repos,
c'estle moment de la haute mer. Peu à peu elles com-
mencent à descendre par les mêmes périodes qu’elles
avaient suivies dans leur accroissement , en abandonnant
les lieux qu’elles avaient couverts. Ce mouvement se
nomme le reflux ; il dure à peu près six heures ; lorsque
les eaux sont arrivées aleur plus grande dépression, elles
restent un instant en repos, c’est le moment de la basse

mer, puis le flux recommence , et ainsi de suite.

Les anciens avaient déjà conclu des phénomèn

MA

marées qu’elles sont produites par le soleil et la lune,

*

mais c'était une simple conjecture dépourvue de toute
espèce de preuves, et l’on peut dire que jusqu’à Des-
cartes , personne n'avait entrepris de donner une expli-
cation détaillée de ce phénomène. S'ilne fut pas donné
alors à ce grand homme de dévoiler la cause de ces mou-
vemens singuliers et de les soumettre au calcul, il a du
moins le mérite d’avoir ouvert la carrière. C’est à New-
ton qu'était réservée la gloire de pénétrer ce mystère, qui
n’est qu'une conséquence nécessaire du système de la
gravitation universelle et qui peut même, au besoin, lui
servir de vérification ou de preuve à poslertort,

La théorie des marées a été complètement traitée par
Maclaurin, Daniel Bernouilli, Euler et D'Alembert , et
l’on doit à Laplace une formule générale pour trouver
la hauteur de la mer à tout instant donné. Nous allons
essayer d'expliquer cette théorie, sans sorur des limites
qui nous sont prescrites.

Les eaux de la mer, par leur mobilité en tous sens,
peuvent recevoir des mouvemens isolés, et doivent né-
cessairement s'élever lorsqu'une cause extérieure agit
sur elles pour les attirer. Or, la terre ne tourne autour
du soleil que parce que la force attractive du soleil la re-
tient dans son orbite, mais cette force s'exerce en raison
inverse du carré des distances, et par conséquent son
action sur les eaux placées à la surface de la terre, tour-
née de son côté, est plus forte que celle qu’elle exerce
sur le centre de la terre, c’est-à-dire, que ces eauxsont
plus attirées que le centre, et doivent constamment s’é-
lever vers le soleil sous la forme d’une protubérance.
Dans le même moment, à la région diamétralement op-
posée , le même phénomène doit avoir lieu, par des
causes inverses; en effet les eaux s’y trouvent plus éloi-
gnées du soleil quele centre de la terre, et étant moins
attirées que ce centre, restent en arrière. D’un côté, c’est
donc l’eau de la mer qui s'élève vers Le soleil , de l’autre
c'est la terre qui s'élève plus que les eaux. Deux protu-
bérances aqueuses opposées s’avancent donc à mesure
que la terre tourne sur elle-même pour se trouver sans
cesse dans la direction de la ligne qui joint le centre de
la terre à celui du soleil. Ces masses, par leur mouve-
ment progressif, envahissent les rivages, tandis qu’au
contraire à 90° de distance en longitude, les eaux s’a-
baissent pour alimenter le flux. L'action du soleil doit
donc produire dans le cours d’une révolution de la terre
sur son axe, deux marées ou deux flux et deux reflux
chaque jour.

Ce que nous venons de dire pour le soleil s'applique
exactement à la lune et, quoique la masse de cet astre
soit très-petite, sa proximité de Ja terre rend son action
presque triple de celle du soleil. La lune doit donc pro-
duire aussi deux marées par jour; mais les eaux de la
mer se trouvant soumises à deux actions simultanées ,ne

MA 205

présentent pas quatre marées chaque jour, parce qne
les actions se compensent, et selon qu’elles concourent ou
conspirent, c'est seulement leur somme ou leur diffé-
rence qui agit, de manière qu’il ne peut jamais y avoir
que deux marées.

Ainsi, à la nouvelle lune, les deux astres agissent à
peu près dans la même direction et dans le mème sens,
la marée effective est la somme des marées lunaire et so-
laire; à la pleine lune, les deux astres agissent encore
dans la même direction, et quoique leurs actions soient
en sens inverse , comme elles tendent l’une et l’autre à
élever les eaux en même temps, la marée effective est
encore la somme des deux marées. Dans les quadratures,
au contraire, la haute mer funairearrive en même temps
que la basse mer solaire et réciproquement, et alors la
marée effective n’est plus que.la différence des marées
solaire et lunaire. Quant aux autres situations relatives
du soleil et de la lune, la marée de l’un des deux astres
ne tend qu'à avancer ou retarder , accroitre ou dimi-
nuer celie de l’autre, selon les positions que la résultante
des deux forces se trouve avoir. Les distances de la terre
à la lune et au soleil étant variables, les actions de ces
astres le sont également, et conséquemment aussi la
grandeur des marées.

Si leseaux de la mer n’étaient , comme toutes les par-
ticules de la matière, douées de cette force d'inertie
par laquelle les corps en mouvement conservent l’im-
pression qu’ils ont reçue, l'heure de la haute mer de-
vrait toujours être celle du passage de la lune au méri-
dien , mais il n’en est poiut ainsi, et l’inertie des eaux
retarde non seulement la haute mer, mais diminue en-
core son élévation. Pourse rendre compte de ce phéno-
mène, il suffit de supposer un instant la terre en repos,
et de faire abstraction de l’action du soleil dont la force
pour élever les eaux est beaucoup moindre que celle de
Ja lune , alors l’eau s’élèvera du côté de la lune; que
l’on conçoive maintenant que la terre reprenne son mou-
vement et tourne en emportant cette eau élevée par
la lune : d’une part, l’eau tend à conserver l’élévation
qu’elle a acquise; de l’autre, elle tend à perdre succes-
sivement une partie de cette {lévation en s’éloignant
de la lune, et comme ces deux effets se combattent,
l'eau transportée par le mouvement de la terre, se
trouvera plus élevée à l’orient de la lune qu’elle ne de-
vrait être sans ce mouvement, mais cependant moins
élevée qu’elle ne l'aurait été sous la lune si la terre
était immobile. Le mouvement de la terre doit donc en
général retarder les marées et diminuer leur élévation.
Outre cette cause de retard, il en est plusieurs autres
dont il est nécessaire de tenir compte dans les évalua-
tions numériques : ce sont la configuration des rivages ,
la direction des courans et la puissance des vents.

Le retard dù à la configuration des rivages, ou aux

MA

circonstances de la localité, est ce qu'on appelle l'éta-

204

blissement du port, €’est un retard constant pour cha-
que port de mer en particulier, mais qui varie d'un
port à l’autre. Les marins ont des tables de ce retard
pour chacun des ports Les plus fréquentés. IT leur est
important de connaitre l'heure de la marée, car on ne
p'ut souvent entrer où sortir d'un port, qu’au moment
où la haute mer s'établit.

Le retard dû au mouvement de la terre et à la résis-
tance des eaux, est constamment de 36 h.; il est uni-
versellement constaté que la marée d’un jour quelcon-
que est déterminée par les circonstances où se trou-
vaient le soleil et lalune, un jour et demi avant. Ainsi sa-
chant par exemple, que la nouvelle lune du mois de no-
vembre 1836 a lieu leo, à 1 h.44' du soir, on connaitra
l’époque de la plus grande marée, qui correspond à
cette nouvelle lune, en ajoutant 36 h. à 1h. 44°, ce qui
fait 33 h. 44, et renvoie conséquemment cette marée
au 10 novembre à 1 h.44' du soir. Il faut bien com-
prendre qu'il s'agit ici du lieu dont la lune traversera
le méridien, le Q novembre à 1 h.44' du soir, ct
que pour avoir l'heure réelle de la haute mer, il faut
ajouter à 1 h. 44" du soir, l'heure de l’etablissement du
port de ce lieu.

Les jours de la nouvelle et de la pleine lune, lin-
stant de la plus grande action des deux astres est ce-
lui du passage de la lune au méridien, et il en esten-
core de même lors du premier et du dernier quartier;
mais dans Îles antres positions, cet instant précède ou
suit le passage au méridien sans cependant s’en écarter
jamais beaucoup. C’est l'heure de cet instant qu'il faut
déterminer pour chaque lieu en particulier et à la-
quel'e il faut ajouter ensuite 36 h., plus l’heure de
l'établissement du port de ce lieu; la somme est l'heure
de la haute mer.

La détermination générale de linstant de la plus
grande action, est donnée d’une manière approxima-
tive suffisante par cette formule de Daniel Bernouilli
{Voy. Prix de l'Académie pour 1740): soient x le
temps, exprimé en degrés, qui s'écoule entre le passage
de la lune au méridien du lieu et l'instant de la haute
mer, 9 l’arc de distance en ascension droite du soleil et

de la lune , on aura

in 2 = /[i (45)

À étant une quantité déterminée par la relation

4 sino—7r

A = .
25119. coso

En prenant un are auxillaire ÿ, tel que l’on ait

1 5 —4 sine
. = ip d +
À = tang Ÿ == 5—— ——.
! 1 Sin 9 COsS

MIA
d’où ,

ER .
tang. 4 — 2. bee À

Sin 29

Cette formule peut se réduire à
sin & = sin (45° —+ 4), ainsi « = 45° — 4 4,

On tient compte immédiatement des 36 heures de
retard eu remarquant que dans cet intervalle , la lune
s’avance d'environ 19°, et qu'il suffit ainsi de changer ®
enp— 19° +1, ou en o —20°, comme le fait Bernouilli
pour employer un nombre rond, alors les formules de-
viennent

2,54 cos2/9—20°)

lang d— sue Rp

sin2 9—%0°)
po
45 —+ 4

et «converti en temps donne, d’après son signe, le retard

a =

ou l'avance de la haute mer sur l'heure du passage de
la lune au méridien.

Ces formules dont on peut tirer une table très-com-
mode pour la pratique, dounent des résultats numéri-
ques sensiblement d'accord avec les faits observés, quoi-
que plusieurs élémens très-importans y soient négligés.
Laplace, en considérant toutes les circonstances omises
par Beruouilli, est parvenu à une formule, sans doute
plus exaete, mais tellement compliquée, que la lon-
gueur des calculs qu’elle entraîne la rend d'un usage
trop difficile, et comme en outre on n’a jamais besoin
de connaitre l'heure de la pleine mer qu'a quelques
minutes près, puisque plusieurs circonstances acciden-
telles, comme la direction et la forme des vents, appor-
teut souvent des variations plus cousidérables, on se
contente généralement dela formule de Bernouilli, tout
en employant dans son usage d:s valeurs plus précises
que celles qu’il donne dans sa table. On trouve dans
l'Annuaire du bureau des longinudes, deux petites tables
très commodes et des exemples de calcul auxquels nous
reliverrons.

La hauteur des marées se mesure en prenant pour
terme de comparaison la moyenue entre la haute et la
basse mer, c’est cette hauteur moyenne qu’on exprime
par l'unité ; comme elle est différente d’après les loca-
lités, pour rendre les résultats du calcul applicables un
lieu particulier, il faut préalablement décerminer la va-
leur de l'unité de hauteur pour ce lieu, ce qui ne peut
se faire que par une lougue suite d'observations. C’est

ainsi que l’on a trouvé,

Unité de hauteur. Unité de hauteur.

Port de Brest...... 3,"21/Port de St-Malo... 5,"08
Lorientie 20, 24| Audierne. . 2, 00
Cherbourg. 2, 70! Croisic.... 2}:65

Granville. .

6, 35! Dieppe. ... 2, 87

EE

MA

La formule dont on se sert pour calculer la hauteur
de la marée ne se rapporte qu'aux marées syzigies, ou
aux plus grandes marées, les seules, au reste, où il peut
être important de connaître lahauteur absolue des eaux,

elle est due à Laplace; la voici :

z— A0 (à cos D + 31'?cos?D').
103

Det D’ sont les déclinaisons respectives du soleil et de
la lune à l'instant de la syzigie, À est égal à l'unité divi-
sée par le rayon vecteur du soleil ; la valeur moyenne de
ce rayon étant 1, et # est la parallaxe horizontale ac-
tuelle de la lune divisée par 51” 1” qui en est la valeur
moyenne. C'est à l’aide de cette formule qu'on donne
chaque année dans la connaïssance des temps, les hau-
teurs des marées syzigies; il suffit ensuite de multiplier
ces hauteurs par l'unité de hauteur d’un lieu, pour
avoir la hauteur absolue de la mer. Trouvaut, par
exemple, que pour la nouvelle lune de septembre 1836,
la hauteur de la marée est 0,93, si l’on veut connaître
l'élévation des eaux dans le port de Brest, on multi-
pliera 0.93, par l'unité de hauteur à Brest, c'est-à-dire,
par 3,21 ; le produit 2,"9852 sera l'élévation deman-
dée. On voit qu’elle sera au-dessous de la moyenne. En
géuéral a étaut l'unité de hauteur d’un port, exprimée
en mètres ou en toute autre mesure, az sera la hauteur
de la mer dans les marées syzipies.

La plus grande valeur de z, est 1, 178 et sa plus pe-
tite o, 67.

MARIOTTE (Eome), l’un des savans les plus remar-
quables du dix-septième siècle, et l’un des premiers qui
aient introduit en France la physique expérimentale, est
né dans les environs de Dijon, à une époque qui n’est
pas connue. Il avait embrassé l'état ecclésiastique, et était
prieur de Saint-Martin-sous-Beaune, lorsqu'àa l’époque
de la foudation de l'Académie des sciences, il fut appelé
à en faire partie. Plus physicien que géomètre, Mariotte
a confirmé par des expérieuces mulupliées la théorie du
mouvement des corps et celle de l'hydrostatique qui sont
dues au génie de Galilée, Les ouvrages de Mariotte, qui
mourut le 12 mai 1684, ont été recueillis en 2 volumes
in-4°, publiés a Leyde en 1717, etréimprimés à La Haye
eu 1740.0n ytrouve,entreautres dissertations fort utiles
et fort savantes, un Traité du Mouvement des eaux , un
Traité du Nivellement, un Traité du Mouvement des
pendules, et un Traité de La Percussion, dans lequel il
a établi, par le raisonnement et l'expérience, les vraies
lois du choc des corps, qui avaient été proposées, mais
sans démonstration.

MARS. (454.) Nom d’une des planètes de notre sys-
tème, c’est la quatrième dans l'ordre des distances au
soleil, On la représente par le caractère ©,

MA 205

Cette planète, dont la lumière est rougeâtre et paraît
toujours trouble, ce qui indique l'existence d’une atmos-
phère, exécute sa révolution autour cu soleil dans une
période de 686). 23 h. 30° 39". Quoique plus éloigné
du soleil que la terre, Mars est beaucoup plus petit que
la terre , car son diamètre n’a pas plus de 1603 lieues,
de 2,000 toises, et son volume est à peine la sixième
parte de celui de la terre. On distingue cependant, sur
cette petite planète, des contours qui semblent indiquer
des continens et des mers. La fig. 1, PL. 18, représeute
Mars tel qu’ou l’a observé à Slough, avec un télescope
d’une grande puissance. Les parties qu’on peut regar-
der comme des coutinens se font distinguer par une cou-
leur rouge qui provient probablement de la teinte
ocreuse du sol, tandis que les parties que nous compa-
rons à des mers paraissent verdätres. Ces taches qui
tranchent s“insi sur la lumière toujours rutilante que
nous renvoie la planète ne sont pas constammert visi-
bles, mais lorsqu'on le; voit, elles présentent toujours
la même apparence. [1 parait hors de doute que Mars
est environné d'une atmosphère dont les nuages cachent
ou découvrent alternativement ces taches. On en remar-
que de très-distinctes situées vers les pôles et d’un blanc
très-brillant qui a fait supposer qu’elles étaient formées
par de grand amas de neige. Cette conjecture paraît
d'autant plus probable que ces taches dist araissent lors-
qu'elles ont été long-temps exposées au soleil, tandis
qu'elles atteignent au contraire leurs plus grandes di-
mensions après les nuits deshivers polaires.

Le jour et la nuit se succèdent sur cette planète à
très peu près comme sur la terre, car la durée de sa
rotation sur elle-même est de 24 h. 30° 21", 3. Son vo-
lume étant représenté par 0,17, et sa masse par o, 13,
sa densité moyenne est 0,77; le volume, la masse et la
densité de la terre étant l'unité; ainsi sa densité se rap-
proche assez de celle de la terre, pour fire supposer
que tout s'y passe à peu près comme sur la terre.

En prenant pour unité de mesure la lieue de poste
ou de 2000 toises, les dimensions de l'orbite de Mars

sont , d’après Delambre :

Grandiaxe}s sou cs socio cie once crc se co 120 5451920 leucs.
Excentricilé. . pin co asie 00 vase ice se 5 566 806
Plus grande distance au soleil, ..,......,.., 069 339 856

Plus petite distance au soleil, ......,....... 09 206 064

Cete planète s'éloigne de la terre jusqu'à la distance

de 105 227 117 lieues , et s'en approche jusqu’à celle
de 14 318 803 lieues, Voici ses élémens , rapportés au

er

janvier 1801.

Demi grand axe, celui de la lerre élant 1... ,... 1,5236923
0,(933070
0,5170000
Période sidérale moyenne, en jours sol. moyens... 686).,9795458

151: 6°,2

E\xcenlricilé en parties du demi grand axe...
Diamètre équalorial, celui de la terre élant 1...

Inclinaison à l'écliplique, ..,,,,,.. nets ee

206 MA
Longitude du nœud ascendant... ss... 48° 0’ 57,5
Longitude du périhélie,, es sssssss cesser... 832 23 90,6

Longitude moyenne de Pépoque... ... ss... 04 22

Mars ne présente pas de phases complètes comme
Mercure et Vénus, mais son moyen diamètre apparent
qui west que "7 dans ses coujonctions, augmente
jusqu’à »9">, dans ses oppositions. Sa parallaxe est
près du double de celle du soleil. Le mouvement de
Mars, vu de la terre, parait quelque fois rétrograde ,
inais ce phénomène qui lui est commun avee toutes les
planètes plus éloignées du soleil que la terre, sera ex-
posé au mot PLanère, ainsi que toutes les inégalités

réelles où apparentes de son cours. (7 oy. Passacr.)

MARS,

C’est vers le21 de ce mois que le soleil entre dans le

(Calendrier.) Troisième mois de l’année.

signe du bélrer, et que le printemps commence. (Foy.

CALENDRIER et ARMILLAIRE.)

MASKELYNE Névir),astronomeroyald’Augleterre,
et l’un des principaux observateurs du XVITI' siècle, na-
quit à Londresen 1732. Ledésir de se livrer spécialement
à l'astronomie lui fut, dit-on, inspiré par la vuedel’éclipse
de soleil de 154$, qui fut de dix doigts à Londres. C’est
dans ce but qu'il étudia dès lors avec ardeur la géomé-
tie, l'algébre et l'optique. Il se lia avec Bradley, et cal-
cula, d’après les observations de ce grand astronome,
la table des réfractions, qui a été seule employée pendant
un grand nombre d'années. Maskelyne a peu fait pour
la théorie de la science , mais il a fait beaucoup pour le
perfectionnement des instrumens et des méthodes d'ob-
servation. En 1565, il avait remplacé Bliss à l’observa-
toire de Greenwich ; là, pendant quarante-sept ans, il
observa le ciel avec des soins ct une exactitude, dont il
existait peu de modèles. Il a noté scrupuleusement, et
avec une précision remarquable, les instans positifs du
passage des astres au méridien; il s'était imposé la loi
de les observer tous aux cinq fils de sa lunette; on lui
doit, pour les quarts de cercle, les secteurs et les autres
instrumens astronomiques, unesuspension du fil à plomb,
beaucoup meilleure ct qui est aujourd’hui généralement
adoptée. On lui doit encore la mobilité qu’il sut donner
à l’oculaire pour l’amencer successivement vis-à vis cha-
cun des fils de la lunette, et de se prémunir ainsi contre
toute parallaxe; et enfin exemple qu'il donne le premier
de diviser une seconde de temps en dix parties. Ces obli-
gations, déjà si importantes, ne sont pas les seules que
l'on ait à Maskelçne ; jusqu’à lui, toutes les observations
restaient enfouies dans les observatoires où elles avaient
été faites, et perdaient toute l'importance qu’elles peu-
vent avoir dans l'intérêt de la science, Il obtint du con-
seil de la Société royale de Londres, que toutes ses ob-
servations seraient imprimées par cahiers, et d'années
en années. Maskelyne s’est beaucoup occupé de déter-

MA

miner l’attraction des montagnes. Il fit choix, pour ses
expériences, d’une montagne dans le comté de Perth,
en Écosse, Il en conclut que la densité de la montagne
devait être à peu près moitié dela densité moyenne de
la terre , et que la densité de la terre doit être environ
quatre à cinq fois celle de l’eau. Ces résultats s'accordent
à peu près avec ceux que Cavendish a obtenus par d’au-
tres moyens que ceux employés par Maskelyne. Cet as-
tronome est mort le 9 février 1811, dans un âge avancé.
Il a publié divers mémoires dans les Transactions phi-
losophiques et dans le Nautical almanach qu’il a créé.
On a encore de lui : L. British mariner's guide, Lond.
1503 ; IL. Tables requisite to be used svith the nautical
ephemeris, Lond. 1781. Maskelyne est aussi l'éditeur
des tables lunaires de Mayer. (Foy. ce mot.)

MASSE. La masse d’un corps est la quantité réelle
de matière qu’il contient,

La rnasse peut être très-petite quoique le volume soit
très-grand , cela provient des vides ou interstices nom-
mées pores, qui séparent les molécules des corps.
Comme la pesanteur appartient également à toutes les
parties de la matière, il est facile de connaitre la masse
d’un corps par son poids, et de comparer par ce moyen
les masses de plusieurs corps. Par exemple, si un corps
a un poids double ou triple de celui d'un autre, il a
aussi une masse double ou triple.

Le rapport de la masse d’un corps à son volume est
ce qui constitue sa densité, (Foy. ce mot.)

Masses pes PLANÈTES. Les masses des planètes qui ont
des satellites peuvent se trouver assez facilement, au
moins par approximation , de la manière suivante : soit
T, le temps de la révolution sidérale de la planète au-
tour du soleil, & sa moyenne distance, 7 la masse de
la planète et M celle du soleil, on a (07. Révoruriow)

3

DE mt
D (: — +:
Mi M

Soit maintenant, 4 le temps de la révolution sidérale
d’un satellite autour de sa planète, «' sa moyenne dis-

tance et 7" sa masse , On à aussi

S
2ra'° un
= EE ne 0
m= [UP
» 3j: « : f , ce 7 t 7 mn
En négligeant les très-petites fractions ; ML

équations deviennent

3 3
2ra'°

Te, t=—.,

2 ms

divisant terme par terme on obtient

MA
OO)

d'où, en prenant la masse du soleil pour unité,

= ()

C’est avec cette formule qu’on a pu obtenir une pre-
mière approximation des masses de Jupiter, de Saturne
et d'Uranus. Celle de la terre, dont la valeur est la plus
importante, puisqu'elle doit servir à déterminer ensuite
comparativement la masse du soleil prise pour unité,
a été calculée d’une manière plus rigoureuse, par une
méthode que nous allons exposer. Connaissant l’espace
qu'un corps parcourt librement pendant la première se-
conde de sa chute à la surface de la terre, on peut
d’après la loi de l'attraction calculer l’espace qu'il dé-
crirait dans le même temps sil était transporté à une
distance égale à celle de la terre au soleil; mais d’un
autre côté on peut aussi calculer l’espace que la terre
décrit en une seconde pour se rapprocher du soleil, car
cet espace est le sinus verse de l’arc qu’elle parcourt dans
son orbite pendant une seconde {voy. CENTRAL et Gra-
viré) ; or, l’espace décrit par le corps transporté à la
distance du soleil est à l’espace décrit par la terre, comme
la force d'attraction de la terre est à la force d'attraction du
soleil, ou comme la masse de la terre est à celle du soleil,
puisque l’attraction est en raison directe des masses.

Les masses de Vénus et de Mars qui échappent aux
deux méthodes précédentes ont été estimées par les
perturbations qu’elles produisent dans les mouvemens
de la terre. Enfin la masse de Mercure a été déduite de
sa densité, dans l'hypothèse que les densités des planè-
tes sont réciproquement proportionnellesàäleurs moyen-
nes distances du soleil, hypothèse qui satisfait assezexac-
tement aux densités respectives de la terre, de Jupiter
etde Saturne. Quant aux masses des planètes secondai-
res ou satellites, celle de la lune a été déduite du phéno-
mène des marées (vay. ce mot), et les masses des satel-
lites de Jupiter ont été calculées d’après les perturba-
tions qu'ils exercent les uns sur les autres.

Toutes ces masses se trouvent au mot ELÉmens.

MATHÉMATIQUES (de pudyris, science, dis-
cipline). Ce nom, qui ne s'emploie plus aujourd’hui
qu'au pluriel, parce que les diverses parties de la
science qu’il désignait dans l’origine, ont reçu des dé-
marcations précises, ou sont devenues autant de scien-
ces particulières, montre dans son étymologie, la
SCIENCE, limportance et l’idée noble et juste que les
anciens attachaient déja aux connaissances auxquelles
on l'avait donné.

La mathésis, où la science, était en effet chez les

MA 907

Grecs la réunion de toutes les connaissances évidentes
et certaines; quelques notions d’arithmétique, de géo-
métrie, d'astronomie, de musique, et, pius tard, de
mécanique et d'optique, constituaient son ensemble ;
ce ne fut qu'après de longs travaux que chacune de ces
parties reçut assez de développement pour constituer
une branche à part. Nous n’examinerons point ici,
comment cette séparation a pu s’effectuer, ct par quel
progrès rapide s’est élevé le vaste et majestueux édifice
des mathématiques modernes, cette partie historique
de la science est sinon traitée, du moins indiquée suffi-
samment dans notre INTRODUCTION, ainsi que dans un
grand Bombre d'articles particuliers, et nous devons
nous borner ici à considérer la science elle-même.

Les modernes ont défini les mathématiques eu géné-
ral, la science des rapports des quantités, cette défi-
nition est vicieuse ou du moius très-incomplète, car
pour pouvoir s'occuper du rapport des quantités, il
faut préalablement que ces quantités existent ou soient
engendrées ; or les lois de la génération des quantités
rendent seules possibles les lois de leur comparaison ou
de leurs rapports, et forment ainsi la partie la plus essen-
tielle de la science. Une définition plus exacte, quoi-
que plus ancienne, est celle qui fait simplement les
mathématiques, science des quantités ; mais elle est Join
de donner une idée précise de la haute importance de
leur objet. Cependant, toute restreinte que puisse pa-
raître cette dernière défiuition, nous allons essayer de
montrer, en la développant, qu’elle renferme impli-
citement la conception de Pobjet des mathématiques,
et qu’elle est conséquemment meilleure que celle
qu'on a voulu lui substituer.

La quantité, prise en général, est une loi formelle
de l'Entendement, en vertu de laquelle nous conce-
vons successivement le même objet comme un où plu-
sieurs, unilé Où multitude, C'est-à-dire comme formant
un ensemble composé de parties. En examinant avec
attention Îles #ntuitions que nous avons des objets sensi-
bles, nous reconnaissons facilement que la représeuta-
tion des parties rend seule possible et précède néces-
sairement celle du tout. Par exemple, nous ne pouvous
nous représenter une ligne, telle petite qu’elle soit
sans la décrire par la pensée, c’est-à-dire, sans en pro-
duire successivement toutes les parties d’un point à un
autre et sans par là rendre enfin sensible cette intui-
tion. Il en est de même de toutes les parties du temps,
même de Ja plus petite. Nous ne nous la représentons
que par la progression successive d’un instant à un au-
tre , d’où résulte enfin un ensemble de parties du temps,
une quantité de temps déterminé.

D'après cette loi, tous les phénomènes du monde
physique, considérés dans leur jorme; sont perçus d'abord

comme des agrégats de parties données primitivement,

208 MA

ou comme des ensembles susceptibles de plus et de
moins, d'augmentation et de diminution ; tous ces phé-
nomènes sont donc des quantités; et, par conséquent,
la scence Des QuanTiTÉs embrasse l’universalité des
phénomènes Où LES LOIS DE LA FORME DU MONDE PH-
sique. Tel est en efet l'objet élevé des mathématiques.

Pour mieux préciser cette déduction, remarquons
que l’espace et le temps, ces conditions primordiales
du monde physique, sont eux-mêmes des quantités ;
parce qu'aucune de leurs parties ne peut être l’objet
d’uue intuition sans être renfermée dans des limites, des
points ou des instans ; de telle manière que cette partie
n’est encore qu'un espace ou qu'untemps, ctque l'espace
nese compose que d'espaces, le temps que de temps. Or
les phénomènes du moude physique, savoir les objets
extérieurs et les représentations intérieures que nous
en avons, nous apparaissent nécessairement dans le
temps et dans l'espace, car ce sont les intuitions pures
du temps et de l’espace qui servent de base à toutes les
intuiuons que nous avons des objets, et particulière-
ment Le temps pour tous les objets physiques en géué-
ral, et l'espace pour tous les objets physiques exté-
rieurs; le temps er l’espace sont donc les formes du
monde physique, et cest en les considérant alusi,
c’est à-dire, non ce qu'ils sont en eux-mêmes, abstrac
tion faite des objets, mais comme appartenant aux ob-
jets, où aux phénomènes physiques dounés à posteriori,
que le plus grand métaphysicien de notre époque a si
bien défini les mathématiques: LA SCIENCE DES Lois
DU TEMPS ET DE L'ESPACE:

A l’aide de cette définition ou de cette détermina-
ion de l’objet général des mathématiques, il nous de-
vient facile de donner la classification des diverses
branches de cette science. Observons d’abord que Îles
lois du temps et de l'espace peuvent être considérées
en elles-mêmes, et dans les phénomènes physiques
auxquels elles s'appliquent. La considération 2x con-
creto de ces lois est l’ebjet des MATHÉMATIQRES PURES;
leur cousidération ir abstracto, celui des MATHÉMA-
TIQUES APPLIQUÉES.

Occupons-nous d'abord des mathématiques pures,
dont les autres dépendent nécessairement. D'après ce
qui précède, leur objet général est la quantité consi-
dérée daus le temps et dans l’espace, or la loi formelle
de quantité appliquée au temps, donne la succession
des instans, où le xomene, c’est-à-dire la conception
de l'unité synthétique de la diversité d'une intuition
homogène; appliquée à l'espace, elle donne la concep-
tion de la conjonction des points ou de l’éri noue. Les
nombres et l'étendue forment donc deux détermina-
tions particulières de l'objet général des mathémati-
ques pures, et donnent ainsi naissance à deux bran-

ches distinctes de ces sciences. La première est l’aLco-

MA

RITHMIE, Où la science des nombres ; la seconde, la GEo-
MÉTRIE Ou la science de l'étendue.

Nous avons donné, au mot Géométrie, la classifica-
tion des diverses sciences dont se compose cette bran-
che fondamentale des mathématiques pures; il nous
reste à donner ici celle des diverses branches de |A
gorithmie, que nous n'avons fait qu'indiquer dans les

Notions préliminaires, et au mot Algèbre.

L’Algorithmie se divise en deux branches principales
dont l’une a pour objet les nombres considérés en gé-
néral, ou les lois des nombres, c’est l'aLcisre, et dont
l'autre a pour objet les nombres considérés en particu-
liers ou les faits des nombres, c'est l'ArtramÉrTiIQUE.
(Foy. ALc. et Amir.)

Les faite des nombres étant subordonnés à leurs lois ,
l'arithmétique n’a d’autressubdivisions que celles qu’elle
emprunte de l'algèbre ; nous ne nous occuperons donc
que de cette dernière.

1. Les nombres pouvant être envisagés sous le rapport
de leur coustruction ou de leur génération, et sous celui
de leur relation ou de leur comparaison , nous aurons
deux espèces de lois distinctes, savoir : les lois de la ge-
nération des nombres, et les lois de la comparaison «es
nombres.

>. La génération des nombres se présente à son tour
sous deux aspects différens ; d'après le premier, la géné-
ration d'un nombre est donnée par une construction
individuelle et indépendante qui fait connaître sa na-
ture ; d'après le second, la génération de tous les uom-
bres est donnée par une construction universelle, qui
fait connaitre leur mesure ou leur évaluation; par exem-
ple, l'expression x — y/a nous donne la nature du

nombre +, tandis que l'expression équivalente (7)
1 + (a 1) la + à 3 — etc
— . 8 { —1 PT Lie — etc...

porte sur la mesure du nombre x, et nous donne son
cvaluation. Or, la forme Va se rapporte uniquement
aux nombres qui sont les racines d’autres nombres, c’est
donc un mode individuel de génération, tandis que la
forme À + Ba + Ca etc., à laquelle se réduit l’ex-
pression (») peut se rapporter à un nombre quelcon-
que, c’est donc un mode universel de génération.

Ce que nous venons de dire des deux aspects sous les-
quels se présente la génération des nombres peut éga-
lement s'appliquer à leur comparaison , ainsi la réunion
de tous les modes individuels et indépendans de la gé-
nération et de la comparaison des nombres forme une
branche particulière de l'algèbre, et la réunion de tous
les modes universels de cette génération et de cette com-
paraison forme une autre branche. M. Wronski, à qui
l'on doit cette importante distinction , nomme la pre-

MA

mière TaronE, et la seconde Trcnnie. Nous conserve-
rons ces dénominations.

3. La théorie de l’Algèbre a donc pour objet les lois
individuelles et indépendantes de la génération et de
la comparaison des quantités numériques. Or, parmi
ces lois il faut distinguer celles qui constituent les é/&-
mens de toutes les opérations numériques possibles , de
celles qui constituent la réunion systématique de ces
élémens. Ainsi, trois algorithmes , ou trois modes pri-
mitifs élémentaires de génération se présentent d’abord,

leurs formes sont
Lors AE B—C, 2... AX B=C;,53.:: AC,

et ils engendrent successivement les nombres entiers,
les nombres fractionnaires, les nombres trrationnels ;
et, de plus, nous conduisent aux nombres dits imagi-
naïres , en remarquant la fonction différente du non:-
bre B, dans les deux branches A 4 B—C,C— B—A
du premier algorithme, fonction qui porte sur la qua-
lité de ce nombre et lui donne un état positif et négatif.

4. Ces algorithmes primitifs essentiellement différens,
sont donc les élémens de la science, qui ne peut tirer
que d'eux seuls les matériaux de ses constructions en
les faisant dériver de leurs combinaisons ; mais parmi
tous les algorithmes dérivés , dont le nombre est indé-
fini, il en est deux dont la dérivation est nécessaire,
pour la possibilité même de la science, et que cette né-
cessité fait ranger dans la classe des algorithmes élémen-
taires , ce sont, la NumÉRATION et les FACULTÉS.

La numération a pour objet la génération d’un nom-
bre, par la combinaison des deux premiers algorith-
mes , en resserrant ces algorithmes composans entre des
limites données , de manière que l'on puisse néanmoins
obtenir, dans tous les cas, la génération complète du
nombre proposé. Sa nécessité se manifeste particulière -
ment daus l'arithmétique qui ne serait pas possible sans
cet algorithme (voy. Anirn. 10, et NumérarIow) et sa
forme générale est

Agx + Box + Cox + Do,x + etc.

A, B,C, D, etc., étant des quantités indépendantes
dexet@r,g:x, @:x, etc. des fonctions quelconques
de x liées entre elles par une loi.

Les facultés, dont la forme générale est
PT PT PT PT PT... ELC.

ont pour objet la génération d’une quantité numérique,
par la combinaison des deux derniers algorithmes élé-
mentaires,enresserrant de même lesalgorithmes compo-
sans entre des limites données. Sa nécessité se manifeste
dans l'algèbre, particulièrement pour la génération
de certaines quantités transcendantes qui ne serait pas
possible sans cet algorithme. (Foy. Facurrés.)
TOME I,

MA 209

5. La numération et les facultés sont liées entre elles
par le second algorithme primitif qui entre comme
partie constituante dans leur composition , et établit
conséquemment entre ces algorithmes dérivés une es-
pèce d'unité qui permet de passer de l’un à l’autre, La
transition de la numération aux facultés est opérée par
les Locarirumes, et celle des facultés à la numération ,
par les fonctions dérivées nommées Sinus et Cosinus.
(Joy. ces mots et PuiLosopnie pes maru.) Les logarith-
mes et les sinus terminent définitivement le système de
tous les algorithmes élémentaires.

6. M. Wronski a donné aux trois algorithmes primi-
tifs

AHB=C; AVE =C L'EC,

les noms respectifs de sommation , reproduction, et
graduation; nous nous servirons dans ce qui va sui-
vre, de ces dénominations, sans lesquelles nous se-
rions obligés à chaque instant d'employer des péri-

phrases.
7- Avant de passer à la réunion systématique des al-

gorithmes élémentaires primitifs et dérivés, procédons
à la déduction des objets de la comparaison élémentaire
des nombres. La relation réciproque des nombres, con-
sidérée dans toute sa généralité | consiste dans l'égalité
ou l'inégalité de ces nombres ; mais l'égalité, dans sa
simplicité élémentaire, n’a d’autres lois que celles de
l'identité, et ne peut former l'objet d'une considération
particulière, il nous reste donc seulement à nous occu-
per de l'inégalité.

Or, l'inégalité de deux nombres peut être euvisagée
selon la relation des quantités À ou B avec C dans cha-
cun des algorithmes primitifs, et c’est cette relation qui
prend le nom de Rarronr. Nous avons donc, pour les

rapports de sommation
C—A—B, C—B— A ;

pour les rapports de reproduction

C C
x =.B, p —A;
et pour les rapports de graduation
OR One pee 7

Log. A

mais les deux relations des deux premières espèces de
rapports étant les mêmes, et la première de la troisième
espèce étant identique avec celles de la seconde, il
n'existe réellement que trois rapports différens , et
même on ne lient compte que des deux premiers,

C

—A—8B
C—A B, +

=. B,

Le
1

210 MA

auxquels on donne les noms de rapport arithmétique ,
et de rapport géométrique.

Deux rapports égaux, arithmétiques ou géométriques,
constituent une proportion (voy. ce mot), et une suite

de rapports égaux, dontles termes moyens sont les

[ ALGORITHMES THEORIQUES primitifs.

MA

mêmes, forme une progression (voy.ce mot). La théorie
de la comparaison élémentaire des quantités a donc pour
objet les rapports, les proportions et les progressions.

Nous résumerons toute la partie élémentaire de la
théorie de l'algèbre dans le tableau suivant :

ADDITION.
SOMMATION.

SOUSTRACTION.
MULTIPLICATION.
REPRODUCTION.

Division.

( PUISSANCES
GRADUATION.

GENÉRATION, (l RACINES.
NUMÉRATION.
r ! , + Immédiats.
THÉORIE DE L'ALGEBRE. * ALGORITHMES THEORIQUES dérivés. + FACULTÉS.
Partie élémentaire. . LOGARITHMES.
ES Médiats.
SINUS
Relation d'inégalité. — ÉGALITÉ,
COMPARAISON.
| Relation d'égalité. — RAPPORTS,

8. La réunion des algorithmes élémentaires, qui forme
la partie systématique de la théorie de l'Algèbre , n’est
pas une simple combinaison de ces algorithmes comme
dans la formation des algorithmes dérivés; c’est une
véritable réunion systématique, d’après laquelle les
quantités numériques reçoivent de nouvelles détermi-
naisons et de nouvelles lois dans leur génération et dans
leur comparaison. Sans remonter ici aux principes phi-
losophiques de cette réunion, qui ne sont point notre
objet (l’oy. Par. des Maru.), nous allons exposer com-
ment elle se manifeste dans la science. |

Si nous envisageons deux algorithmes élémentaires
comme concourant à la génération d’une quantité, nous
pourrons considérer cette génération de deux maniè-
res : 1° comme étant donnés indistinctement par l’un
et par l’autre de ces algorithmes , 2° comme étant opé-
rée par l'influence distincte de l’un de ces algorithmes
sur l’autre. Par exemple, soit

m—A+B, m—C

la double génération d’un nombre 77, au moyen des
deux algorithmes primitifs élémentaires de la somma-
tou et de la graduation ; la réunion de ces deux géné-
rations, AB — CP, si elle était généralement possible,
nous permettrait de considérer indistinctement chacun
de ces algorithmes primitifs comme pouvant donner la
génération d’un nombre 2, et toutes les fois que nous
aurions »—A+B, nous pourrions conclure qu’il
existe une autre génération équivalente du même nom-
bre 5»1—CD, ou réciproquement. Or, une telle iden-
tilésysiématique de génération n’est pas possible pour
les algorithmes primitifs élémentaires, qui sont indé-

RAPPORT ARITHMETIQUE.

RAPPORT GÉOMÉTRIQUE.

pendans les uns des autres, et les circonstances particu-
lières où l’on peut avoir; soit ALB = CP , soit AB
—EXF;soitEXF — CP, ne peuvent jamais permettre
de considérer généralement la génération d’un nombre
comme donnée indistinctement par l’un et par l’autre
des algorithmes qui entrent dans chacune de ces réu-
nions.

Mais si les algorithmes primitifs élémentaires ne
peuvent, dans leur réunion, donner lieu à une identité
systématique, il n’en est pas de même des deux algo-
rithmes élémentaires dérivés; la zuméralion et les fa-
culs. En donnant au premier de ces algorithmes la
forme

Ac At + Av? + Ar Æ etc... + Auto
et au second la forme

(x + a) (x + a,) (x Has)... (x Has).

ilest prouvé, que si l’on a, pour la génération d’une
quantité quelconque or,

ox = À, + A,x + A,x?+etc... + Aro
on aura aussi (voy. EQuariox 15, 16 et 17),
gx =(ætra.) (24ra,) (+25). (æ4au)
et réciproquement. De sorte que lon a généraleinent,
pour l'identité en question, l'expression (x)

À, + A, -H A xt + etc... + Auto
(x + @ x + ass. (x + au)

Les quantités Ac, A,, À,, se trouvent déterminées
par les quantités 4, a,, as etc,, ou réciproquement.

ER

MA

Or, les lois de la détermination de ces quantités les unes
au moyen des autres, forment une partie distincte et
essentielle de l’Algèbre; on lui a donné le nom de
Tu£ontE DES ÉQUIVALENCES.

Dans son éntroduction à l'analyse des infiniment pe-
uits, Euler a démontré les deux belles équivalences,

trouvées par Jean Bernouilli,

br x Al
a à = - (Ci
SINT—X NET PAU OT QU :

OC

x? æxi xf

—_—— — ——— ——, +... etc.
1.2 139,944 ‘12.3.4.5.0 “

eLil en a tiré plusieurs conséquences très-remarquables

COS XL —=I—

pour la sommation des séries infinies.

9. En examinant maintenant la seconde manière sui-
vaut laquelle le concours de deux algorithmes élémen-
taires peut opérer la génération des quantités, on voit
facilement que ces deux algorithmes devant être consi-
dérés comme distincts l’un de l’autre ; il en résulte,
pour leur réunion , une diversité systématique , qui se
manifeste de trois manières; 1° par l'influence de la som-
mation dans la génération des quantités où domiue la
graduation ; 2° par l'influence de la graduation dans la
génération des quantités où domine la sommation; et 3°
par l'influence réciproque de la sommation etde la gra-
duation dans Ja génération des quantités où dominent
l'un et l’autre de ces algorithmes.

10. L'influence de la sommation ; dans la génération
des quantités où domine la graduation, a lieu lorsqu'on
considère les fonctions d’une ou de plusieurs quantités
variables comme exprimant la génération par gradua-
tion des quantités numériques, tandis qu’on envisage
la variation de ces quantités par rapport à la sommation.
Par exemple 9x, étant la génération par graduation
d’une quantité quelconque , si æ varie par addition ou
soustraction , c’est-à-dire, devient æ + 4 ou æ — A, la
variation correspondante de px sera due nécessairement
à l'influence de l’algorithme de la sommation. C’est
cette variation qu’on nomme en général DIFFÉRENCE ,
et les lois qui la régissent forment l’objet de la TuéontE
DES DIFFÉRENCES.

Les élémens de la sommation pouvant être considérés

comme réels ou édéals, c'est à-dire comme finis, ou én-

Jiniment petits, la théorie des différences a deux bran-

ches qui sont : le carcur pes nirrénences , et le caLcur.

DIFFÉRENTIEL, Si l’on envisage, en outre, les élémens de

MA 211

la sommation comme #2dcterminés, on a le CALCUL prs
varraTIONs. ( W’oy. Dirr. et VaniATION. )

11. Le second cas de la triple diversité systématique,
que nous examinons donne naissance à un calcul nou-
veau dont l'importance pour l’algorithmie n’est pas en-
core développée, quoiqu'il en constitue une partie né-
cessaire. Cependant ce calcul a cela de remarquable,
que sa découverte u’est point le résultat d’un problème
à résoudre , ou d’un besoin manifesté par la science ,
mais qu’elle a été obtenue à priori parle géomètre dont
nous suivons les principes dans cette classification, et
qu'elle résulte deshautes déductions philosophiques qu'il
a données de toutes les branches de l’algorithmie. La
seule application qui ait encore été faite de ce calcul est
la détermination de la forme et de la nature des racines
des équations. Sans nous prononcer sur l'utilité dont il
pourra devenir un jour , nous croyons que l'exposition
que nous en allons faire ne sera pas sans intérêt pour nos
lecteurs.

Si l’on considère les fonctions d’une ou de plusieurs
variables, comme exprimant la génération par somma-
tion des quantités numériques , on peut évidemment et
sous un point de vue opposé aux différences , envisager
Ja variation de cesquantités par rapport à la graduation.
Par exemple, soit y une fonction 9x de la variablex, ou
soit

= x;

Si nous concevons que æ varie , par un accroisse-
ment que reçoit son exposant , l'exposant de y recevra
un accroissement correspondant , de manière qu’en dé-
signant par yx l'accroissement de l’exposant de x et
par y celui de l’exposant de y, nous aurons

PF = pute).

Ainsi divisant ces valeurs dérivées par la valeur pri-
mitivey = 9x, il viendra (0)

(&'+yæ)

y = ?
px

et ce sera l'accroissement par graduation de la fonction

9%, correspondant à un accroissement pareil de la va-

riable +.

Or, cet accroissement par graduation est nécessaire-
ment soumis à des lois particulières dont l’ensemble
forme l’objet d’un calcul particulier. C’est ce calcul que
son auteur, M. Wronski, a nommé CALCUL DES GRADES ,
en désignant par le nom de grades les quantités y+, y.

Les grades pouvant être considérés co 1me finis, ou
comme infiniment petits ; le calcul des grades à donc
comme le calcul des différences , deux branches parti-
culières ; la première sera le calcul des grades finis , ou

simplement le calcul des grades, et la seconde le cateil

212 MA

des gradules, eu nomment gradules les grades infini-
ment petits.

Pour avoir l'expression générale du grade et du gra-
dule d’une fonction quelconque au moyen d’autres al-

gorithmes counus , faisons dans (0)
LT'TÈ = L + ë

et prenons £ pour laccroissement des difrérences qui

vont nous servir à exprimer les grades; nous obticn-

drons
uv _ PTHE) px +Ë)— px
J'Y = 2x 1 + gx
_ 1 Ay(x + ë)
P24
ou (p)

cn #8)

. px

Or, d’après la théorie des différences, Fx étant une
fonction quelconque de x ; et la caractéristique L dési-
guant les logarithmes naturels, dont e exprime la base,

on a
Fæ
ALFx=LFr— LF(x—£) = L_—
Et F(x—#)
d'ou l'on tire
se Fc Ex—F(x—2)
ACER EE. A
| Dre ii F{a—#)
AFx
ef - .
F F (T—)

et, par suite
AFxr=F(x—?).(eAlEr 1),
En vertu de cette expression , on a donc
Ap(x+Ë) — ge. (eAbrle—#_.;)
Substituant cette veleur dans (p), nous trouyerons (y )

yo = AL: (æ+)

et, prenant les logarithmes des deux membres de cette
derniere égalité,

4 = aLg(x + à),

d'où définitivement, remplaçant y par ox

Telle est l'expression générale du grade d’une fonc-
tion æ. Lorsqu'il s’agit du gradule, la quantité £ est in-
finimeut petite et la différence devient une différen-
ticlle , on a simplement alors

la lettre latine g désignant les gradules.

En partant de cette dernière expression on trouve
pour les gradules des fonctions élémentaires les expres-
sions générales suivantes :

g(x”!) — gx

1
gx = ——. px

LLzx
g(a*) = Lx.gx
: æLzx.cot.x
rSinx = px
8 Lsinx ‘?
æbx.tangx
gCOEX = — —"" D, gx

Ce ne sont là que les gradules du premier ordre, car
il faut remarquer que les grades et les gradules admet-
tent comme les différences et les différentielles , tous les
ordres possibles, positifs ou négatifs; mais nous ne pou-
vous entrer dans de plus grands détails ; ce qui précède
est suffisant pour donner une idée exacte de la nature
de ce nouveau calcul, et nous devons renvoyer ceux de
nos lecteurs qui voudraient l’approfondir à l'introduc-
tion à la philosophie des mathématiques ; où il est ex-
posé dans tout son ensemble.

13. Il nous reste à examiner l'influence réciproque de
la sommation et de la graduation dans la génération des
quantités où dominent l’un et l'autre de ces algorithmes.
Cette influence qui ne peut se manifester que dans les
nombres déjà produits par leur génération et non dans
cette génération elle-même, est l'objet de la rH£oRIE p£s
NOMBRES.

La théorie desnombres nepeutavoir, comme celle des
différences, deux branchescorrespondantaux parties finies
ct infiniment petites qu'on peut cousidérer dans cette
dernière, puisque l'influence systématique qui fait son ob-
jetues’exerce quesurles nombres donnés par leur géné-
ration; mais elle admet aussi la considération de la deter-
mination et de l’indeétermination de ces nombres, c’est-
à-dire, qu’on peut envisager les nombres, comme don-
nés par eux-mêmes où immédiatement, et comme donnés
par d’autres nombres ou médiatement. Dans le premier
cas la théorie prend le nom de Tu£ortE DES NOMBRES
DÉTERMINÉS, et dans le second celui de Tu£oniE DES Nom-
BRES INDÉTERMIN#S. C’est cette dernière qu'on nomme
vulgairement ANALYSE INDÉTERMINÉE. ( V’oy. INDÉrER-
MINE.) L

Remarquons, pour mieux fixer l’idée qu’on doit at-
tacher à l’objet de la Théorie des nombres, que l’algo-
rithme de la sommation nous fait concevoir les nombres
comme des agrégations d'unités, tandis que celui de la

MA

graduation, ainsi que celui dela reproduction, apportent
dans leur nature la considération de l’existence des fac-
teurs. Ces deux caractères distinctifs, réunis dans un
méme nombre, constituent l'influence systématique ré-
ciproque qui fait l’objet de la théorie en question, et cette
réunion ne peut se présenter que comme une diversité
systématique, puisque par leur nature essentiellement
différente les algorithmes primitifs ne peuvent jamais
donner indistinctement la génération d’un nombre. Or,
en considérant, d’une part, un nombre donné comme
formé par l'addition de plusieurs quantités et,de l’autre,
comme formé par le produit de plusieurs facteurs, ces
quantités et ces facteurs sont nécessairement liés par des
lois particulières qui régissent la possibilité de cette dou-
ble génération. Ce sont précisément l’ensemble de ces
lois dont se compose la théorie générale des nombres.
(V’oy. NomBres.)

14. La comparaison systématique des quantités nu-
mériques a nécessairement pour objet, comme la com-
paraison élémentaire, l'égalité ou l'inégalité qui peut
exister eutre ces quantités, mais en ayant égard aux nou-
velles déterminations de leur nature apportées par leur
génération systématique. Par exemple la génération
d’une fonction quelconque gx d’une variable x, étant
(r);

pr=A,+A;x A,z Æ A,c + etc.

si l’on y joint la considération de l’équivalence entre
cette génération par sommation, et celle par graduation
qui doit aussi avoir lieu (s)

Diversité dans la reu-
nion des algorith-
mes élémentaires. .

GENERATION. «
THEORIE |

de
L'ALGÈBRE,
Partie systématique,

COMPARAISON. .
| Relation d'inégalité : INEQUATIOXS

15. Procédons maintenant à la déduction des diver-
ses parties de la TecuniE pe L'ALGèsre, et, d’abord,
précisons l'objet général de cette branche essentielle de
l'algorithmie,

Dans la rnéonts, la génération ou la construction des
quantités est donnée immédiatement par des algorith-
mes sirples ou composés qui ne peuvent faire connaître
que la nature de ces quantités, mais non leur détermina-
tion numérique ou leur valeur comparative à une unité.
Cette valeur ne peut jamais être donnée qu'accidentel-
lement par la théorie de l'algèbre, et seulement dans le
cas où les opérations dont la réunion constitue la nature

Influence partielle,

Influence réciproque des algorithmes primitifs opposés

MA 213
px = (x+ax +a,)(x + a,(x+a,)....etc.

et si l’on remarque que lorsque un quelconque des fac-
teurs de cette dernière devient zéro, ce qui la rend elle-
même zéro, la première doit aussi devenir zéro en y
donnant à la variable x la valeur qui rend le facteur zé-
ro , On verra que cette circonstance est généralement
exprimée en donnant à l'égalité (r) la forme (1)

0 — Ac Aix+ A x? + A,x—+ etc.

relation qui implique nécessairement la même relation
avec zéro des facteurs de la fonction de graduation (s),
considérés séparément, c’est-à-dire, que la variable x du
second membre de l'égalité (4 reçoit des valeurs déter-
minées, dont le nombre est égal à celui des facteurs (s),
qui réduisent à zéro cesecond membre. L'égalité (1) n’est
donc plus une simple identité, on la nomme alors Équa-
ion , et la théorie des équations forme la partie princi-
pale de la comparaison théorique systématique de l'al-
gèbre.'(Foy. Equarion.)

L'inégalité des quantités reçoit également, en la consi-
dérant sous la circonstance de la réunion systématique
des algorithmes opposés , un caractère particulier qui la
rend INÉQUATION ; mais comme les iñéqualions n’ontune
signification déterminée, qu'au moyen des relations d'é-
quations, on peut considérer toute la théorie de la com-
paraison systématique comme se réduisant à la Taronx
DES ÉQUATIONS.

Nous terminerons ici tout ce qui a rapportaux diverses
branches de la partie systématique de la ruromx de

l’alyèbre, en les réunissant dans le tableau suivant.
)

Réelles : CALCUL DES pir-
| LÉRENCES.
Déterminées. ….
De la somination dans
la graduation :
DIiFFERENCES.

Idéales : CALCUL DIFFÉ-
RENTIEL.

Indéterminces : CALCUL DES VARTATIONS.

De la graduation dans la sommation, GRADES, (Voy n,11.)

lHEORIE DES NOMBRES.

Identité dans la réunion des algorithmes élémentaires : ÉQUIVALENCES,

{ Relation d'égalité : EQuATIONS (de différences, de congruences , d'équivalences }.

d’une quantité , et donne sa génération, peuvent s'effec-
tuer par l'application des procédés primitifs ou des six
règles élémentaires de la science (l'addition, la multipli-
cation, l’élévation aux puissances, et leurs procédés in-
verses). Par exemple, soit une quantité #1, dont la gé-

nération est donnée par l'expression

2
m=\/5

Cette génération ne nous fait évidemment connaitre
immédiatement que la nature , ou la construction pri-

mitive de la quantité #7, et ce n’est qu’en lui appliquant

MA

le procédé de l'extraction des racines que nous pouvons

déterminer sa valeur numérique.
m=—%2,23000.:.:

Or, dans tous les cas où cette application des procédés
ou des règles primitives ne peut s'effectuer d’une ma-
nière immédiate, la valeur des quantités n’est plus don-
née accidentellement, et cependant la détermination
de cette valeur est exigée impérieusement pour la pos-
sibilité de la science. Ilest vrai cependant que lorsqu'un
mode quelconque particulier de génération , ou qu’une
fonction particulière est donnée, on peut, par l’appli-
cation des lois générales de la génération systématique
des quantités, obtenir les lois particulières de la généra-
tion élémentaire de cette fonction, et ces lois particu-
lières peuvent à leur tour servir à la détermination de
la nature primitive de la fonction , et par suite à la dé-
ter mination de sa valeur. Mais une telle détermination
théorique ne saurait avoir de loi générale, et chaque
fonction particulière exige nécessairement une déter-
termination particulière, de sorte que le nombre des
fonctions, où des modes différens, dont la génération
des quantités peut être produite par la combinaison des
algorithmes simples ou composés, étant indéfini , cette
détermination est elle-même adéfinie et conséquem-
ment 2mposstble dans toute l'étendue de la génération
systématique des quantités. [l se présente donc le pro-
blème nécessaire d’une génération secondaire, différente
de la génération primaire que donnent les algorithmes
simples où composés de la théorie élémentaire de l'al-
gèbre. Or cette génération secondaire, devant embras-
ser dans tous les cas la détermination numérique des
quantités, doit être UNIVERSELLE, c’est-à-dire, doit pou-
voir s'appliquer indistinctement à toutes les quantités,
La Technie de l'algèbre a donc pour objet général la

génération et la comparaison universelles des quanti-

tés.

Avant de passer à la recherche des algorithmes capa-
bles de donner cette génération universelle, faisons re-
marquer la différence caractéristique quiles distingue dès
l'abord desalgorithmes théoriques; ces derniers, formant
des procédés de construction, sont pour ainsi dire iden-
tiques avec les quantités mêmes qu'ils produisent, tan-
dis que les premiers devant former des procédés d’éva-
Juation, sont indépendans des quantités qu’ils évaluent.
En un mot les algorithmes théoriques font partie de la
nature même des quantités, tandis que les algorithmes
techniques doivent être indépendans de cette nature et
se rapportent évidemment à une Jin, à un but à attein-
dre, étranger à la nature des quantités. Cette fin ou ce
but qui apparaît dans les procédés de la Tecunie, la sé-
pare complètement de la rnfoniE , et ne permet pas de

confondre ensemble, comme on l'avait toujours fait,

MA

ces deux branches si distinctes de la science. La théorie
est proprement la partie spéculative de l’algorithmie ,
tandis que la technie en est la partie pratique, ou, pour
mieux dire, présente un caractère d'action, un art
(rtxwr) (Voy. la Philosophie de la Technie, 1° sec-
tion.)

16. La génération secondaire qui fait l’objet princi-
pal de la technie de l'algèbre, devant présenter la dé-
termination numérique des quantités, ne peut évidem-
ment avoir lieu que par l'emploi arbitraire des algo-
rithmes primitifs élémentaires, puiqu’en dernier lieu
l'évaluation numérique d’une quantité se réduit à Ja
réalisation des opérations primitives données par ces
algorithmes. Mais les deux algorithmes dérivés immé-
diats, la numeration cetles facultés, nous offrent la pos-
sibilité d’obtenir la génération d’une quantité quel-
conque, par le moyen des limites arbitraires dont ils
sont susceptibles; aiasi, pour obtenir la génération se-
condaire en question, il faut pouvoir, à l’aide d’une
fonction arbitraire, transformer, au moyen des algorith-
mes primitifs, toute fonction théorique, donnée immé-
diatement ou médiatement, en fonctions de numéra-
tion ou de facultés. Cette fonction arbitraire sera dans
sa plus grande généralité la quantité qu’on nomme
dans les applications de l'arithmétique, mesure où unité
de l'évaluation des quantités.

Or, la transformation de toute fonction théorique
en fonctions de numération ou de facultés, par l’em-
ploi d’une mesure arbitraire suivant laquelle elle doit
être évaluée, exige évidemment r'ne détermination de
la relation qui se trouve entre cette fonction et la fonc-
tion arbitraire servant de mesure, c’est-à-dire la déter-
mination du rapport géométrique de ces fonctions,
car c’est généralement sur ce rapport quese fonde l’o-
pération arithmétique nommée mesure. De plus, la gé-
nération secondaire qui fait l’objet de la transforma-
tion dont il s’agit, devant être opérée par l'emploi des
algorithmes primitifs, cette transformation doit être
subordonnée à la forme de l'algorithme employé. Ceci
posé, si nous désignons par Fx, une fonction quel-
conque d’une variable x, et par x une fonction arbi-
traire servant de mesure , ou dans laquelle la fonction
Fzx doit être transformée, l'opération de cette trans-
formation en fonctions de numération ou de facultés,
aura les forines respectives

Fx = A Lor,et Fx = A X œT,

A étant une quantité dépendante ou indépendante de x
et æx une quantité dépendante de la mesure 4x.

17. Occupons-nous d’abord de la fonction de numé-
ration. Pour qu'on puisse généralement décomposer
Fx,en deux quantités À et æx, telles que x soit

dæns tous les cas comparable avec la mesure 9x, il faut

MA

nécessairement que 4x devienne zéro lorsque gx le
devient, car sans cela le rapport de ces deux fonctions
ne pourrait devenir l’objet d’une détermination géné-
rale. Ainsi la quantité À doit être telle que

lorsque la variable x reçoit la valeur qui rend 9x —0,
et, par conséquent, pæ = 0, d’où il suit que cette
quantité est indépendante de x.

Maintenant le rapport des quantités x et 9x étant

si nous ne considérons en premier lieu que le rapport

È px RE
direct -— nous aurons, en le désignant par Fix,
pa

et cette fonction F,æx qui doit avoir dans tous les cas

une valeur déterminée, pourra subir une transforma-
tion ultérieure.
F:x — B + PL

d,æ étant une quantité toujours comparable avec ox,
c'est-à-dire qui devient zéro lorsque #x = 0 , et B une
quantité telle que l’on ait dans le même cas

F;x = B,

Exprimant de nouveau par F,x le rapport direct
des quantités q,x et 9x, nous pourrons transformer la

fonction F x, en
Fx—C+ax,

et en poursuivant successivement ces décompositions,
nous trouverons, en rassemblant les résultats,

Fx = A + x

DX = (B + mx).px

MT = (C + p,x).px

P,@ = (D + 4:x).ox
ctc. — etc.

et, en substituant,

Fx = À + Bpx + Cox) + D(or) + etc.

ce qui est la forme générale de ce qu’on appelle séries ,
du moins dans le cas simple où les transformations
s'effectuent avec la même mesure vx.

18. Si nous opérons les mêmes transformations en

L GE :
nous servant du rapport inverse D NOUS obtiendrons

MA 215

successivement,

Fr= À + œx ; TE

L

DE .
Ex —=B'+vx ; É LR Fæx

? DT T— a
px
Fr C'£hoæs 2 — Fr
LA : TT :
etc. = etc.
D'où, en substituant ,
Fx = À + ox
B'+ ox
C' + ox
D'+ etc

ce qui est la forme générale de ce qu’on appelle frac-
tions continues , également dans le cas simple d’une
même mesure @x.

Les séries et les fractions continues sont donc les
deux branches particulières de la classe générale des
procédés techniques qui dépendent de l'algorithme de
la numération.

19. Reprerons maintenant la seconde forme de
transformation

Fr = A X x,

qui répond à l'emploi de l'algorithme des facultés. Ici
la quantité À peut être réellement dépendante ou indé-
pendante de la variable x, et les transformations de ce
second cas diffèrent essentiellement de celles du pre-
mier, où cette quantité À est nécessairement indépen-
dante de x, c’est-à-dire une quantité constante. En con-
sidérant la quantité A comme dépendante de x, elle
doit être telle qu'étant réduite à zéro par une valeur
particulière de x, cette même valeur rende Fx égaie à
zéro, afin que la fonction æx ait une valeur finie. Ainsi
cette quantité À étant généralement comparable avec
Fx, forme elle-même la mesure de cette fonction ; dé
signant donc par fx la fonction arbitraire A, la pre-
mière transformation deviendra

Er fa ons

et les autres transformations seront

PL = fix X ME
Di il X &,x
Bof TiX sr

cic. CtCoose

Les fonctions arbitraires fx, fx, fit, étant respective:
ment prises pour la mesure des fonctionsæ,x,p,x,,+, etc.

216 MA

Substituant donc chacune de ces transformations dans
celle qui la précède, on obtiendra la génération tech-
nique.

Fr=fi. fit, fr fire.

le nombre des facteurs étant indéfini. Ce qui est la forme
générale des produites continues. (Foy. ce mot.)

20. Lorsqu'au contraire la quantité A est indépen-
dante de x, la transformation

Fr=AX ar,

n'est visiblement possible que par l'emploi de l’algorith-
me des facultés, en rendant les facteurs indépendans de
la variable, Ua a alors la forme générale

Fr—(ÿ2)"""

z et Ë étant deux quantités données, Ÿz désignant une
fonction de z, déterminée convenablement, et gr la
fonction arbitraire de x prise pour mesure, car de cette
manière tous les facteurs finis Ÿz, 4{2HE), J(=Ha28),etc.,
formant la faculté, sont indépendans de la variable x.
C’est la forme générale des facultés exrponentielles.

Les series, les fractions continues, les produites
continues et les facultés exponentielles, forment donc
les objets de la partie élémentaire de la technie et con-
st'tuent quatre algorithmes techniques primitifs, à l'aide
de chacun desquels on peut obtenir la génération tech-
nique ou l'évaluation numérique d’une fonction quel-
couque. Ce sont les lois fondamentales de ces quatre
algorithmes dont l’ensemble compose la partie éle-
mentaire de la génération technique.

21. Les quatre algorithmes techniques primitifs que
nous venons de déduire et qui forment les deux classes
de génération technique, dépendantes de l'emploi de
la numération et des facultés, ou, dans son principe,
de l'emploi de la sommation et de la graduation, ne
peuvent par leur combinaison que reproduire les algo-
rithmes théoriques, de manière qu’il n’existe point pro-
prement, quant à la forme de génération, d’algorithmes
techniques dérivés. Cependant en ayant égard au procédé
direct ou inverse que l’oa peut suivre dans la détermi-
nation de la fonction Fx, pour obtenir sa génération
technique , il se présente une classe particulière d'algo-
rithmes techuiques dérivés qui forme ce que l’on appelle
les méthodes d'interpolations. (Foy. INTERPOLATION. )
En effet, il entre dans les séries, daus les fractions con-
tinues , et dans les facultés exponenticlles, des quantités
constantes dont la valeur résulte des déterminations
particulières de la fonction proposée Fx , que ces algo-
rithmes doivent évaluer. Or, pourvu que ces détermi-
nations particulières soient connues ou du moins puis-
sent être obtenues à l’aide de circonstances données, il

devient toujours possible en suivant un procédé inverse,

MA

d'évaluer généralement la fonction Fx, à laquelle se
rapportent les déterminations particulières qu’on aura
employées. C’est ce procédé inverse qui est l’objet de
l'INTERPOLATION.

22. La réunion systématique des algorithmes techni-
ques élémentaires ne peut consister que dans la forme
générale de ces algorithmes, et cette forme générale est
nécessairement la forme primitive de toute la science des
nombres. Sans entrer ici dans des développemens qui
nous sont interdits, remarquons que la forme générale
des séries est

Fx — A + Box + Cox H Dox H etc. ..

ce qui se réduit en principe à un agrégat de termes de
la forme (2)

Fr = », + 9, +, + +, + + etc...
que celle des fractions continues

Fr — À +or

B+oxr

C+ox

D — etc.

se ramène pareillement à un agrégat de termes de la
forme (voy. Conrinu. 30),

Fr — D ++,+o + + D, —+ etc.

et, qu'enfin les formes générales des produites continues
et des facultés exponentielles, en supposant que la mul-
tiplication des facteurs soit effectuée , deviennent eu-
core des agrégats de termes semblables à (+). Ainsi tous
les algorithmes techniques élémentaires peuvent être
ramenés à un agrégat de termes, et c'est donc dans cctte
forme que se trouve leur réunion systématique, c’est à-
dire que l'algorithme technique systématique, qui doit
réunir tous les algorithmes élémentaires et embrasser
tous les procédés techniques, doit se présenter lui-même
sous cette même forme (2).

Si nous désignons par ©, 9,, O,, des fonctions ar-
bitraires de la variablex, prises pour la mesure, fonc-
tions qui peuvent être liées par une loi, ou n'avoir en-
tre elles aucune liaison, et par A,,A,, À,,etc., des
quantités indépendantes de x, nous aurons pour là
forme de la génération technique sytématique en ques-

tion , l'expression générale (5).
Fi = A: + A,0; LH A,0, + A,0, + etc.

Cette loi, dont la généralité absolue s'étend sur toute
l’algorithmie, puisqu'elle embrasse l'application même,
indépendante et immédiate des algorithmes primitifs
et opposés de la sommation et de la graduation, a été

|

MA

nommée par M. Wronski, à qui elle est due, rot su-
PRÊME OU UNIVERSELLE. (Joy. Puir. DE LA TECHNIE.)
23. Jusqu'ici nous n'avons considéré la technie de
l'algèbre que sous le point de vue de la génération
des quantités ; il nous reste à la considérer sous celui
de leur relation ou de leur comparaison. Cette relation,
qui porte généralement sur l'égalité ou sur l'inégalité
des quantités, doit se présenter ici avec les caractères
de fin ou de but, qui distingue la technie de la théo-
rie; ainsi en ne tenant compte que des égalités, parce
qu’elles sont les conditions des inégalités, la compa-

MA 917
raison technique consiste dans la formation universelle
des égalites et dans leur transformation ou résolution
c’est-à-dire dans la resolution universelle des équations.
Les lois respectives de cette formation et de cette solu-
tion forment, les premières, la partie élémentaire de la
comparaison technique, et les secondes, la partie sys-
tématique de cette même comparaison. C’est ce que
M.W ronski a nommé le canon algorithmique et le pro-
blème universel. Telles sont donc enfin toutes les par-
ties intégrantes de la recunie de l’algorithmie ; leur en-
semble peut former le tableau suivant :

Générale : SERIES.

Par sommation.
Particulière : FRACTIONS CONTINUES.

Génération technique PRIMITIVE,

GENERATION.

Partie élémentaire.
TECHNIE

de
L'ALGÈBRE.

COMPARAISON,
GENERATION,

Partie systématique,
COMPARAISON,

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES. D’après la déduction
philosophique que nous avons donnée de l’objet géné-
ral des mathématiques , on voit que leur application est
universelle, et qu'il doit exister autant de branches
différentes des mathématiques appliquées, qu'il peut
exister de sciences différentes pour le savoir humain.
Où comprend même que ces sciences n’acquièrent un
degré plus ou moins grand de certitude qu’en vertu de
cette application, et suivant que leurs lois fondamen-
tales s’'appuyent plus ou moins sur des lois mathémati-
ques. Nous n'avons pas besoin sans doute de faire re-
marquer qu'il s’agit ici des sciences proprement dites,
c’est-à-dire, des sciences dont l’objet est réalisable dans
l'espace et dans le temps, car la certitude des sciences
philosophiques dérive d’une toute autre source; appelées
par leur nature à donner l'explication des lois des mathé-
matiques , elles ne peuvent évidemment tirer leur va-
lidité de ces mêmes lois,

Cette application universelle des mathématiques ne
peut être soumise à une classification déterminée , qu’en
remarquant d’abord que, parmi tous les objets des
sciences humaines, on peut distinguer ceux qui sont
dounés par la nature ou par l’ensemble des phénomènes
physiques, de ceux qui sont donnés par l’art, ou sont
les produits de l’action de l’homme. Nous aurons donc
pour point de départ : 1° l'application des mathémati-
ques aux objets de la nature, ce qui forme les sciences
dites Puysico-marnémariques; 2° l'application des ma-
thématiques aux objets de l’art; ce qui forme une
classe de sciences qu'on pourrait nommer Pracmarico-
MATnÉMATIQUES.

LE Scences Puysico-Mamnémariques. La matière ,

TOME I,

Construction de toutes les égalites

j Gén : FACULTES EXPONBNTIELLES,
Par gradualion.
| Particulière : PRODUITES CONTINUES,

Génération technique DERIVEE ; INTERPOLATION,

: CANON ALGORITHMIQUE,

LOI SUPRÈME OU UNIVERSELLE,

Résolution de toutes Les équations : PROBLÈME UNIVERSEL.

abstraction faite de sa nature, nous apparaît comme
quelque chose de mobile dans l’espace ; or, dans un
mouvement il y a deux choses distinctes à considérer,
savoir : les lois qu'il suit en s’effectuant, et les forces
motrices qui le produisent. Cette considération partage
les sciences physico-mathématiques en deux branches
principales, dont la première a pour objet général les
lois des forces motrices , c’est la MÉcaniQue, et dont la
seconde a pour objet général les lois du mouvement.
Cette dernière, qui se compose, comme nous allons le
voir, de plusieurs autres branches ou sciences très-im-
portantes, n’a point reçue de dénomination en fran-
çais.

La mécanique se divise en quatre branches particu-
lières, dont les deux premières ont pour objet l’équili-
bre des forces motrices des corps solides et fluides; ce
sont : la Srarique et l'Hyprosrarique; et dont les deux
secondes ont pour objet l’action des forces motrices des
corps solides et fluides ; ce sont : la Dynamique et l'Ilx-
DRODYNAMIQUE.

Les lois du mouvement peuvent être considérées
1° en elles-mêmes ou #x abstracto ; 2° dans les objets ou
in concreto. Les lois du mouvement abstrait forment
l'objet d’une science à laquelle on n’a point encore
donné de nom en france, parce qu’on l’a confondue
avec la dynamique; d’après plusieurs mathématiciens
allemands, nous la désignerons sous celui de Paoro-
NOMIE (de @opæ dr'ansport et de yomos lois). Les lois du
mouvement concret forment l’objet de plusieurs scien-
ces, qui sont: 1° l’IvprauriQue, ou la science du
mouvement des fluides; 2° la PneumariQue, ou la
science du mouvement des gaz; 3° l’AsrroNomIE, ou

28

218 MA

la science du mouvement des corps célestes; 4° l'Orri-
QUE GÉNÉRALE, ou la science du mouvement de la Zu-

mière ; et 5° enfin, l'ACOUSTIQUE, ou la science du

Lois des forces
motrices:
MECANIQUE.

Equilibre des forces.

Mathématiques appli-
quées aux objets de
Ja nature :

SCIENCES PHYS1CO-
MATHEMATIQUES,

Action des forces.

Lois du mouvement.

Pondérables.

Lois du mouvement
concr#t, considéré
dans les objets...

Impondéra-
bles.

IT. Sciences Pracmarico-MatnémarTiques, On ne
peut établir ici une classification déterminée, parce
que les diverses branches de l'application des mathéma-
tiques aux arts, soit physiques, soit intellectuels, sont
aussi indéterminées que le sont ces arts. Voici les prin-
cipales :

ARPENTAGE, BALISTIQUE ,

ARCHITECTURE, CuroONOLOGIE,
Navicarion, GNOMONIQUE,

FORTIFICATION, GÉODÉSIE, etc,

Pour les développemens on doit recourir aux arti-
cles de ce dictionnaire, qui traitent en particulier les
sciences que nous venons de mentionner.

MAUPERTUIS (Prerne-Louis Moreau pr), né à
Saint-Malo, le 17 juillet 189. Les travaux de ce géo-
mètre ne sont ni assez nombreux, ni assez importans
pour lui mériter une place distinguée dans l’histoire de
la science ; cependant il a été jugé avec trop de rigueur,
en france surtout , où l'esprit a si souvent raison contre
le savoir, et nous devons du moins rappeler les titres
estimables et réels qu'il avait acquis à l’estime des corps
savans qui l'admirent dans leur sein. Maupertuis, qui
quitta de bonne heure la carrière militaire pour l'étude
des sciences et des lettres, fut en France un des pre-
miers promoteurs des doctrines de Newton, etil est assez
remarquable que Voltaire, alors son ami, étudiait sous
ses auspices ce système qu'il a prétendu mettre à la
portée de tout le monde, mais que la nature de son ta-
lent et de ses études ne lui permettait ni de comprendre,
ui d'exposer, par conséquent, pour l'instruction des
autres. Dès 1723, Maupertuis était membre de l’Aca-
démie des sciences, et il fut chargé de diriger en cette

qualité la commission scientifique qui , plusieursannées

Des corps fluides :

mouvement du son. Le tableau suivant va compléter

cette classification, en la présentant d’une manière plus
systématique.

Des corps solides : STATIQUE,

HYDROSTATIQUE (de l'a ir en particulier AEROSTATIQUE).

Des corps solides : DYNAMIQUE.
Des corps fluides : HYDRODYNAMIQUE.

Lois du mouvement abstrait, ou considéré en lui-méme : PHORONOMIE.

Solides. (On ne distingue pas cette branche de la dyna-
mique.)

Terrestres, ... Liquides : HYDRAULIQUE.
Fluides.......

ls : PNEUMATIQUE.

Célestes : ASTRONOMIE.

Directe : OPTIQUE, proprement dite.
! Vision immé-
| Propagation diate. Par réflexion : CATOPTRI-

de Ja lumtere: QUE.

OPTIQUE
GENERALE,

Indirecte

Par réfraction : DIOPTRI-

QUE.
Vision médiate : PERSPECTIVE.

\ Propagation du SON : ACOUSTIQUE.

après, fut instituée pour mesurer un degré du méridien
au cercle polaire. 11 parla peut-être de la part qu’il prit
à cette célèbre opération avec peu de modestie, et de
manière à diminuer le mérite de ses collaborateurs
Clairaut, Camus , Lemonnier et l'abbé Outhier ; mais ce
travers d’esprit ne saurait en rien déprécier ses travaux
comme géomètre dans cette difficile et dangereuse opé-
ration, achevée courageusement sous un climat où le

thermomètre descendit de 25 à 37 degrés.

Dans son Essai de cosmologie, que Maupertuis pu-
blia lorsqu'il était président de l’Académie de Berlin,
il proposa plusieurs hypothèses nouvelles dans la théorie
du mouvement , entre autres le principe de la moindre
action, découverte qui lui fait honneur, mais qui lui
atüra une des plus violentes querelles qui ait jamais
troublé le repos d’un savant. Kænig, qui entreprit de
discuter la valeur de ce principe, avait tort; mais Vol-
taire, qui était devenu l'ennemi de Maupertuis, et qui
l’attaqua sous le ridicule pseudonyme du docteur Aka-
kia, avait aucun titre pour intervenir dans un pareil
différent. Cependant il accabla Maupertuis sous le poids
de ses sarcasmes, et le principe de la moindre action,
que ce spirituel écrivain s’inquiétait fort peu de com-
prendre, cette idée qui eût honoré un génie plus élevé
que celui de Maupertuis, fut ridiculisée au point d’a-
buser les géomètres eux-mêmes, qui se gardèrent long-
temps de l'énoncer. La postérité, plus juste, n’aura
qu'un profond mépris pour l'ignorance du géomètre
Voltaire, et le principe de la moindre action sauvera le
nom de Maupertuis de l'oubli où doit aller se perdre
l'injurieuse diatribe du docteur Akakia. Maupertuis,
qui eut le tort grave de se faire courtisan et de négliger
la science qui lui avait ouvert un rapide chemin à la
fortune, a néanmoins publié un grand nombre d'écrits,

MA

qui ont été réunis sous letitre de : OEuvres de Mauper-
tuis, Lyon, 1768, 4 vol. in-8, on remarque dans ce
recueil : 1° Balistique arithmétique, 2° Essai de cosmo-
dogie, 3° Discours sur la figure des astres, 4° Élémens
de géographie, 5° Relation d'un voyage fait par ordre
du roi au cercle polaire, 6° enfin Mémoire sur la moin-
dre quantité d'action. Maupertuis, dont la santé avait
été altérée par les chagrins que lui avait causés sa que-
relle avec Kænig et Voltaire, mourut à Bäle le 27 juil-
let 1959, chez les fils du célèbre Jean Bernouilli.

MAUROLYCO (Francois), l’un des plus savans géo-
mètres du xvi° siècle, et désigné dans l’histoire de la
science sous les divers noms de Maurozic, Maurozteus,
ManuzLo, naquit à Messine, le 19 septembre 1494, d’une
famille grecque originaire de Constantinople. Il n'eut
d'autre maître que son père dans les sciences mathéma-
tiques, dont il s’est occupé toute sa vie avec cette per-
sévérance et cette activité dans les recherches qui distin-
guent les savans de son époque. Nous ne croyons pas
devoir rappeler le petit nombre de particularités qui
nous ont été conservées, et qui ont marqué sa longue
carrière. Maurolyco vécut comblé d’honneurs et en-
touré de l’estime publique dans cette noble et enthou-
siaste Jtalie, qui a toujours des couronnes pour le génie.
Ses travaux sont nombreux et très-remarquables pour
l'époque où ils furent accomplis. Toutes les branches
des mathématiques furent l’objet de ses recherches et
de ses méditations. On lui doit des traductions accom-
pagnées de commentaires des plus grands géomètres de
l'antiquité. Il est l’auteur de travaux originaux sur les
sections coniques, et La Hire a développé sa méthode
dans le traité qu’il a publié sur cette importante bran-
che de la géométrie. Les travaux de Maurolyco sur
l'optique et la gnomonique ne sont pas moins dignes
d'attention. Il parvint à une extrême vieillesse, et mou-
rut dans les environs de Messine le 21 juillet 1575.
Voici la liste de ses principaux ouvrages, qui peuvent
encore être consultés avec fruit par les géomètres :
I. Traductions latines de Théodose, de Ménélaus,
d’Autolycus, d’Apollonius, etc. ; II. Cosmographia de
form&, situ, numeroque cælorum et elementorum, etce.,
Venise, 1543,in-f°; III. T'heoremata de lumine et umbrä
ad perspectiva radiorum incidentium, Venise, 1575,
in-4 : on doit à Clavius une seconde édition de cet ou-
vrage , auquel il a attaché des notes ct des remarques,
Lyon, 1613; IV. Admirandi Archimedis syracusani
monumenta omnia quæ exstant, Palerme, 1685, in-
folio. Cet ouvrage est plutôt un commentaire ou une
imitation d’Archimède, qu’une traduction littérale des
œuvres de ce grand géomètre.

MAXIMA et MINIMA. (4/g. et Géom.) On dési-
gne sous ces noms Îles plus grandes et les plus petites

MA

valeurs d’une fonction de quantités variables; et les

219

procédés à l’aide desquels on détermine ces valeurs for-
ment la Méruone DES maximis et minimis, Si, par
exemple, fx désigne une fonction quelconque de la
quantité variable x, et que & soit une valeur particu-
lière de x, qui rende la valeur de la fonction fr la
plus grande ou la plus petite possible, sera le #27axt-
mum où le minimum de fx.

Pour considérer là méthode des maxtnis et minimis
d'une manière purement algébrique, remarquons que
si fx devient un maximum en x faisant x — à, toute
autre valeur de x plus grande où plus petite que «,
substituée à la place de x , doit donner pour fx une va-
leur plus petite que celle qui résulte de x = 4, et que
si, au contraire fx, devient un m2rnémum par cette va-
leur a de x , toute autre valeur plus grande ou plus
petite que a, doit donner pour /x une valeur plus
grande que celle qui résulte de x — a. C'est-à-dire que
dans le cas du maximum on doit avoir (1), L étant une
quantité quelconque ,

Ja > f{(a+h),
et dans celui du zxinimum,
fa <flath}).

Or, c'est la déterminetion de cette valeur a qui est
l'objet principal de la méthode en question.

En remarquant que l'objet général du carcuL Des
DIFFÉRENCES est précisément la génération des accroisse-
mens que subit une fonction par suite des accroisse-
mens que recoivent ses variables, il est facile d'en con-
clure que la méthode des maximis et minimis n’est
qu'une application des procédés de ce calcul, et que ces
procédés employés d’une manière convenable doivent,
dans tous les cas, faire obteuir la détermination de la
valeur particulière de la variable, qui rend une fonc-
tion proposée un maximum Où un minimum , lorsque
cette fonction est susceptible de telles valeurs. En effet,
si nous supposons fr, parvenue à un tel état de gran-
deur qu'elle ne puisse plus recevoir aucune variation
en plus où en moins, sa différentielle dx, qui est
l'expression générale de la variation qu’elle peut subir
eu plus ou en moins par suite de la variation infini-
ment petite qu’on fait éprouver à la variable +, doit

être zéro , ainsi (>)
dfx— 0

est l'équation de condition du maximum ou du mini-
mum,cetla valeur de x, s'il en existe, qui peut satis-
faire à cette équation, est celle qui rend la fonction
proposée un maximum ou un minimum.
Proposons-nous, par exemple, de trouver une valeur
de x, qui rende la fonction 24x — &' un maximum

220 MA

ou un minimum; en différentiant cette fonction, nous

avons

d(2ax — x?) — sadx — 2rdx
et, par conséquent, l'équation de condition est

oadx — 2xdx = 0

ou, simplement, en divisant les deux membres par dx,
24— 2X —0

d’où l’on tire x = a. Cette valeur substituée dans la
fonction proposée la rend égale à «7.

Pour savoir maintenant si a? est le maximum ou le
minimum de la fonction 2ax — x°, substituons suc-
cessivement dans cette fonction a+ h,eta--},à la
place de æ, } étant une quantité quelconque, nous

aurons pour résultats les deux valeurs

&— le

ab h)— (a+; =

2a(a— })—{(a—h} = —/}

lesquelles étant toutes deux plus petites que & , nous
fost connaitre que a? est un maximum.

Les conditions (1) qui distinguent le maximum du
minimum, donnent lieu à une considération générale
uès-1mportante, en ce qu'elle abrège d'abord les opé-

rations ct qu'eusuite, elle sert à reconnaitre la possi-
bilité même de l'existence des maxima et minima dans
cette considération: si

Faylor

ou obtieut (01. Dirr. 34) les deux
(EC 1

une fonction proposée. Voici

Fou développe par la formule de les fonctions

fix+)et fix—h),

expressions

3 | x h d'jx Le d'fx L°
PT ES Ce M QE Re Pie M
ERA de 1 T der. 7 dx 1.2.3 es
dfx h dfxh à dé he
Ce à QE dx 1 “dxt 1.2 7 dx 1.2.8 Es SD

Maintenant, d'après les conditions (1), pour que fx
soit un maximum où un minimum, il faut que ces deux
développemens soient tous deux plus petits ou tous
deux plus grands que fx, ce qui d’abo#d ne peut avoir
généralement lieu qu’autant que l’on donne à x une

dfx

valeur qui rende “=

Re ce qui est la condition (1);
71:

et qu’ensuite cette même valeur de æ, mise dans
fi
de
cas, et positive dans le second. En cffet, on peut tou-
jours supposer la quantité arbitraire A assez petite pour

, rende cette quantité négative dans le premier

que chacun des termes de ces développemens soit plus
grand que la somme de tous ceux qui le suivent et,
alors, le signe qui doit affecter une telle somme est

MA

nécessairement Île même que celui de son premier

dfx h

terme. Or le signe de ; Étant positif dans le pre-

mier développement et négatif dans le second, la
somme de tous les termes, à partir de celui-ci, sera
pareillement positive dans le premier développement
et négalive dans le second, de sorte que si le terme

df x dfx

—, ou son coefficient
dx

Fri ; n’est pas zéro, fix +h)
sera plus petite que fx, et fx — h) plus grande, c’est-

à-dire qu’il ne pourra y avoir ni maximum ni miui-

mum. Mais si . — 0, les développemens ci-dessus
€
se réduisent à
dfx hk fx
Aix +) = fx Fe . + LE 103 + CHTÉE
. dfe l dfz
pen fe + EE Her ra + ee

et, alors, le signe de la somme de tous les termes qui

suivent fx, devant être le même que celui du pre-

‘ dfx k : d'fx :

mier, —- -—, ou de son coefficient, ——, si
ARE 1,2 dat

x + h) et fix — h) seront tou-

tes deux plus grandes que fr, ce qui est le cas du mi-

coefficient est positif /{x

nimum , tandis que s'il est négauf, f(x + h) et /\x—h)
seront toutes deux plus petites que fx, ce qui est le
cas du maximum.

Si nous avons, par exemple, fr = ax — xi, en
prenantles deux premières dérivées différentielles nous
t'ouvous

df: AE : PA
nn Sax? — 4x
/E]
PÉE a Gax — 192.
dx?

La premitre, égalée à zéro, donne l’équation

3ax? — 4x — 0,

: ae 3
qui peut être satisfaite par les valeurs x—0, etæ =;4;
k
substituant ces valeurs dans ia seconde elle donne

æfx
Pour x = 0, r
3 fr _ 9e
AU Tr Lu

3 ; ;
la valeur -a, répond donc au maximum de la fonc-

tion ax? — xi.
Lorsqu'une valeur de la variable x, fournie par l’é-

dfx
quation dfx = 0, rend in — elle ne peut cor-

MA

respondre à un maximum ou à un minimum qu'autant

d'fax à difx
_ — 0, alors le sigue de ce

détermine la nature de la valeur de la fonction fx,
c’es-à-dire, que cette quantité est un maximum si

qu’elle rend aussi

æ LS mn -
7, est négatif, et un minimum dans le cas con-

traire, En général, lorsque la première dérivée diffé-
rentielle, qui ne s’évanouit pas en substituant à la place
de x les valeurs données par l'équation dfx —0, est
d'ordre pair, il y a maximum si cette dérivée est néga-
tive et minimum si elle est positive.

Appliquons cette théorie à quelques problèmes nu-
mériques et géométriques. Soit d’abord la fonction

fx = 3x — bix + ec

on trouve en différentiant

2 = ox? — bi
dx ga

dfx

—— = LE H

7 182 x

la première dérivée égalée à zéro, donne

gæx —bi=o, d'ou x'= —
ge

el

LC
ces deux valeurs de x étant mises successivement dans
la seconde dérivée la rendent

2

+ Ga, pour x —
— 6ab, pour à = —.—

la première peut donc rendre la valeur de la fonction
proposée un minimum, et la seconde ; un maximum;
et nous avons

Ji

2b6 ;
= CH -_ — maximum.
ga

fe =

C— —- = minimum,
94

Problème. De tous les triangles construits sur une
méme base et qui ont le mémé périmètre, déterminer
celui dont la surface est la plus grande.

Désignons par & la base commune, par 2p le péri-
mètre, et par x l’un des deux autres côtés ; le troisième
côté sera 2p —a— x, Or l’expression de la surface
d’un triangle quelconque à l’aide de ses trois côtés est

S= VIpip—a)(p—b)(p—c)|,

MA

p désignant la moitié du périmètre et a, b, c chacun

291

des côtés (voy. TRiANGLE); nous avons donc ici (3)

S = V{p(p—a) (p—x)(a+z—p)].

Réalisant la multiplication des facteurs du secoud
membre, il viendra

S = V/[2apt — &p° — pi
+ (ep — ap + ap}
— (p° —ap}x*]
Ainsi , faisant pour abréger :
2ap} — @p? — pi = A
æp—3ap +2p = B
p°— ap = C.

la fonction dont il s’agit de trouver le maximum sera
, L
S = [A + Br — Cr
et l’on obtiendra en différentiant

Bdx—2Crdx

aV1A+Bx—Cr|

Divisant par dx, et égalant à zéro la dérivée, il vient

B— Cr —0,
D'où

, &p— 3ap° +°2p°

p— ap

Le côté x doit donc être égal à la moitié du péri-
mètre diminué de &, c’est-à-dire que les deux autres
côtés doivent être égaux et que le triangle cherché est
isocèle.

On peut obtenir ce même résultat d’une manière
beaucoup plus expéditive en employant un procédé
indirect de différentiation que nous allons faire con-
naître, parce qu'il est applicable généralement aux
fonctions composées de facteurs.

Elevons à la seconde puissance les deux membres de
l'égalité (3), elle deviendra

S= p(p—a)(p—x)(a+x—p);

renons maintenant les logarithimes naturels des deux
6

membres de cette dernière, nous aurons

oLS = Lp +L(p—a)+L(p—x) + L(a+ x—p);

222 MA

différentions, en remarquant que Lp et L(p—a) sont
des quantités constantes , nous trouverons

dx
a+x—p

dS __—dx

ER p—x

+

et, pour la dérivée différentielle,

ds _S 1 D
= + si ,

Lt «2
égalant à zéro, nous aurons

d'où

Il est facile de tirer de cette proposition, comme
corollaire, que de tous les triangles isopérimètres ,
celui qui a la plus grande surface est équilatéral.

Nous ne pouvons entrer dans plus de détails sur
l'importante méthode de maxima et minima; ce qui
précède contient ses principes fondamentaux , mais leur
développement doit être étudié dans les ouvrages sur
le calcul différentiel. Foy le grand traité de Lacroix.
Voy. aussi la géométrie de Simpson pour les maxima
et minima des figures géométriques.

MAYER (Tome), l’un des plus célèbres et des plus
grands astronomes modernes, naquit le 17 février 1923
à Marbach, dans le royaume de Wurtemberg. Ses com
mencemens furent pénibles, mais, comme tous les hom-
mes que le génie de la science appelle à une grande re-
nommée , il lutta noblement contre tous les obstacles et
fournit une courte mais glorieuse carrière. L'histoire
de sa vie est celle de ses traveaux. Son premier ouvrage
parut en 1745, c'est un traité des courbes pour la cons-
truction des problèmes de géométrie. Mayer le compo-
sa dans l'espoir d'obtenir du service dans l'artillerie ; il
publia la même année un atlas mathématique, c'est une
suite de soixante tableaux dans lesquels sont représen-
tées toutes les parties de la science. Depuis cette époque
Mayer s'occupa plus spécialement d’astronomie et il
contribua beaucoup à la publication des mémoires de
la société cosmographique de Nuremberg qui ont eu
de la célébrité sous ce titre : kosmographische nachric-
then und sammlungen. On remarque davs le volume
publié en 1750, ses observations et ses calculs de la li-
bration de la lune. La méthode nouvelle qu’il employa
dans cetterecherche importante est adoptée aujourd’hui
par tous les astronomes , et ou lui doit la précision qui
distingue les tables astronomiques les plus récentes.

En 1751, Mayer se fixa à Gaœttingue où il fut chargé
de la direction de l'observatoire. C'est là qu’il se livra,
avec un zèle soutenu , aux observations et aux trayaux

MA

astronomiques qui ontillustré son nom. Il entreprit de
vérifier les points fondamentaux de l’astronomie, les
réfractions , la position des étoiles , et principalement
de celles du Zodiaque ; son catalogue zodiacal contient
998 étoiles , dont une grande partie ont été observées
jusqu’à 26 fois. Ce fut également à l'observatoire de
Geœttingue, riche de précieux instrumens dus à la muni-
ficence du roi d'Angleterre que Mayer acheva ses tables
du soleil et ses excellentes tables de la lune , qu’il corri-
gea avec le plus grand soin jusqu’à sa mort qui eut lieu
le 26 février 1762. On sait que sa veuve envoya ces ta-
bles à Londres pour concourir aux prix des longitudes,
qu’elles obtirrent une récompense de 5,000 livres ster-
lings et que le soin de les publier fut confié à Maskeli-
ne. Les œuvres de Mayer devaient être publiées par
Lichtemberg, astronome de Gættingue etson ami, mais
un seul volume parut en 1775. Il contient divers mé-
moires qui attestent tous à unhaut degré le génie de ce
jeune et illustre astronome.

On y remarque un projet pour déterminer plus exac-
tement les variations du thermomètre et une formule
pour assigner le degré moyen de chaleur qui convieut
à chaque latitude et les temps de l’année où doit arriver
la chaleur la plus grande et le plus grand froid ; une
méthode facile pour calculer les éclipses de soleil; elle
a beaucoup d’analogie avec celle de Keppler. Un assez
grand nombre d'écrits et de mémoires scientifiques de
Mayer ont été publiés à Past, nous citerons entr'autres :
Description d'un nouveau globe de la lune ; Nurem-
berg 17950.—Réfractions terrestres id. 1750.— Descrip-
tion d'un nouveau micromètre. — Observation de l'é-
clipse de soleil en 1748.—Conjonction de la lune et des
étoiles, observées en 1747 et 1748.—Preuves que la lu-
ne n'a point d'atmosphère.— Mémoire sur la parallaxe
de la lune et sa distance à La terre déduite de la lon-
gucur du pendule à secondes.—Inclinaisons et décli-
naïisons de l'aiguille aimantée , déduite de la théorie. —
Inégalités de Jupiter. (Voyez mém. de l'académie de
Gattingue et l'éloge de Mayer par Kaestner.)

MÉCANIQUE. Science des lois de l'équilibre et du
mouvement, ou, plus exactement, science des lois des
forces motrices. C’est une des branches fondamentales
des mathématiques appliquées. (Voyez Marnrma-
TIQUES.)

Le nom de mécanique, qui dérive du grec pngærn,
machine, indique suffisamment que, dans l’origine,
cette science n'avait pour objet que des connaissances
pratiques sur le jeu et l'emploi des machines; mais ilen
a été ici comme pour la géométrie, la dénomination
est restée malgré l'immense extension de la science et
sa complète transformation. Aujourd’hui, on désigne
sous le nom général de MECANIQUE l’ensemble de toutes

MA

les sciences qui se rapportent , soit à l'équilibre ou au
mouvement des corps, soit aux lois abstraites ou con-
crètes du mouvement , soit aux lois des forces mo-
trices, soit à la construction ou à l’usage des machines.
C'est une vaste réunion de connaissances théoriques et
pratiques, dont les premières forment la mecanique
rationnelle , et les secondes la mécanique pratique où
appliquée. Cettedernière seule se rapproche de la mé-
canique des anciens.

C’est à Newton qu'est due la division de la mécanique
en rationnelle et en pratique , et indépendamment des
belles et nombreuses découvertes dont il a enrichi cette
science, on peut dire qu’il en a changé la face dans son
célèbre livre des principes par la manière nouvelle dont
il l’a présentée. Nous devons faire remarquer en pas-
saut qu’il n’a pas été aussi heureux dans les considéra-
tions philosophiques qui servent de base à sa division,
car il a prétendu que la géométrie n’est fondée que sur
des pratiques mécaniques. Cette confusion de principes
a pourtant excité l’admiration des grands philosophes de
l'Encyclopédie !

Quoique les anciens eussent porté la construction des
machines à un degré surprenant de perfection , ils n’en
ont connu que très-tard les principes théoriques. Les
écrits d’Aristote nous prouvent que ce philosophe, et
conséquemment tous ses prédécesseurs, n’avaient que
des idées confuses ou fausses sur la nature de l’équi-
libre et du mouvement. Les véritables principes de
l'équilibre ne remontent pas plus haut qu’au temps
d’Archimède, et c’est ce grand géomètre qui en a posé
les lois élémentaires dans son livre De æqui ponderan-
tibus On lui doit, outre la théorie du /evrer et celle des
centres de gravité qui se trouvent exposées dans cet ou-
vrage , les théories du plan incliné, de la poulie et de la
vis. Depuis Archimède jusqu’à Stevin, c’est-à-dire jus-
qu'au commencement du xvi‘ siècle, nous voyons bien
apparaître de grands mécaniciens , où plutôt de grands
constructeurs de machines, mais nous n’apercevons
aucun progrès dans la théorie, qui semble demeurer
stérile entre les mains inhabiles des successeurs de l’il-
lustre mathématicien de Syracuse.

Piès de vingt siècles s’écoulent, et pendant ce long
intervalle la science impuissante ne peut franchir le
cercle étroit des propositions d’Archimède; mais enfin
un progrès se manifeste, un nouveau principe est pro-
duit, principe fécond en conséquences de tout genre,
c'est le famenx parallélogramme des forces, sinon
formulé exactement, du moins indiqué par Stevin.
Bientôt après, la théorie du mouvement varié, incon-
nue aux anciens, prend naissance entre les mains de
Galilée ; les lois de la communication du mouvement,
ébauchées par Descartes, sont établies par Wallis,
Wren, et surtout par Huygens, qui devient, par sa

MA 223

belle théorie des forces centrales, le précurseur de
Newton. Les découvertes se succèdent alors avec rapi-
dité, les théories se développent, les procédés de calcul
s'étendent, et, comme pour racheter les vingt siècles
perdus, deux siècles suffisent pour constituer toutes les
branches de la mécanique générale.

Nous avons déjà signalé, dans un grand nombre
d'articles, l'immense révolution scientifique commencée
au xvn° siècle et les travaux prodigieux dus au xvin‘;
ainsi, pour éviter les répétitions, nous nous contente-
rons d'exposer dans ce qui va suivre les notions préli-
minaires de la mécanique, en renvoyant pour les détails
aux articles spéciaux.

1. Le mouvement d’un corps est sa présence succes-
sive en divers lieux de l’espace.

2. La cause quelconque en vertu de laquelle un corps
est mis en mouvement se nomme force.

3. La direction d'une force est la ligne droite qu'elle
tend à faire décrire au point matériel auquel on la con-
coit appliquée.

4. Deux forces sont égales lorsqu'elles produisent le
même effet, ou si, étant appliquées en sens contraire
l’une de l’autre à un même point matériel, elles se font
équilibre.

5. Deux forces égales agissant dans le même sens
peuvent être considérées comme une seule force. On dit
alors que cette dernière est double. En général, on peut
prendre une force quelconque c1mme unité de compa-
raison , et alors une force est double, triple, etc., selon
qu’elle est formée par la réunion de deux , trois, etc.,
forces égales chacune à l’unité. Les forces deviennent
ainsi des quantités mesurables , et on peut les représen-
ter par des lignes ou par des nombres.

6. Lorsque plusieurs forces sont appliquées à un
même corps, il peut se présenter deux cas distincts :
ou elles se détruisent complètement, et le corps de-
meure en repos, ce que l’on nomme alors équilibre, où
ces forces ne font que se modifier réciproquement , et
le corps se met en mouvement.

La recherche des conditions de l'équilibre est l'objet
d’une branche de la mécanique que l’on nomme Sra-
TIQUE, celle des conditions du mouvement est l’objet
d’une autre branche que l’on nomme Dyvamique. Lors-
qu'il s’agit des corps fluides, les recherches des condi-
tions de l'équilibre et du mouvement forment deux
sciences particulières qui ont reçues les noms d'Hypro-
STATIQUE et d'HyxproDYNAMIQUE.(’oy. ces divers mots.)

7. Un corps qui, pendant des durées de temps éga-
les, parcourt toujours des espaces égaux, est dit se mou-
voir uniformément; son mouvement se nomme 71ou-
vement uniforme. Si, au contraire, peodant des durées
égales, il parcourt des espaces inégaux, son mouve-
ment prend le nom de mouvement varié.

224 MA

Si, de deux corps qui se meuvent uniformément, le
premier décrit dans le même temps un espace plus grand
que celui du second, il est ditse mouvoir avec plus de
vitesse. Sa vitesse sera double, si l'espace qu’il parcourt
est double de celui que parcourt le second, triple, si
l’espace est triple, et ainsi de suite. On nomme donc vi-
tesse, dans le mouvement uniforme, le rapport de l’es-
pace parcouru au temps employé à le parcourir. Ainsi,
pour un corps qui parcourrait 6 mètres en 8 secondes,

; Le , 6
l'expression numérique de la vitesse serait, en pre-

nant le mètre pour unité de longueur, et la seconde
pour unité de temps. Or, en considérant que le quo-
tient de cette division exprime l’espace parcouru en une
seconde, on voit que la vitesse n’est que l’espace par-
couru dans l’unité de temps.

Si nous désiguons par E l’espace, par V la vitesse et
par T le temps, nous aurons l'égalité

:
Fr

qui renferme toutes les relations de ces trois quantités

dans le mouvement uniforme.

9. D'après les définitions du mouvement, on voit
que la vitesse est uniforme dans le mouvement uni-
forme , et qu’elle est variée dans le mouvement varié.

Pour mesurer cette dernière, on considère une durée
infiniment petite pendant laquelle on peut toujours re-
garder Je mouvement comme uniforme, et l’on appelle
alors, pour chaque instant, vitesse du corps, le rap-
port de l’espace infiniment petit parcouru dans cet
instant à la durée infiniment petite de ce même instant.
Ainsi désignant respectivement pare, v et 1, l’espace,
la vitesse et le temps, nous aurons pour l'expression
de la vitesse

de
vb = dt
de et dt étant les différentielles de e et de £.

10. Lorsque la vitesse augmente pendant la durée
d’un mouvement varié, le mouvement est dit accéléré;
dans le cas contraire, il est dit retardé. Si la vitesse
augmente ou diminue toujours en temps égaux de

de quantités égales, le mouvement est uniformément
accéléré où uniformément retardé.

11, La vitesse se distingue en vitesse absolue et vi-
tesse relalive. La vitesse absolue d’un corps est sa vi-
tesse réelle eteffective , celle qui sert à mesurer la quan-
tité dont il s'approche ou s'éloigne des objets qui sont
considérés comme fixes dans l’espace. La vitesse rela-
tive de deux corps, au contraire, est celle qui sert à
mesurer la quantité dont ces corps se rapprochent ou
s’éloignent l’un de l’autre dans un temps donné.

MA

12. L’intensité de la force qui meut un corps, se me-
sure par la vitesse du mouvement, ou par l’effet
qu’elle produit. Ainsi quand les vitesses communiquées
à un même mobile et dans un même temps, sont
connues, leur rapport fait connaître celui des forces.

13. En considérant les forces, abstraction faite de
leur nature, comme proportionnelles aux effets qu’elles
produisent, on voit que si deux forces, agissant sur
deux mobiles différens, produisent la même vitesse,
celle qui aura mis en mouvement le mobile dont la
masse est la plus grande sera plus grande que l’autre ;
elle sera double si la masse est double, triple si elle est
triple, etc. En général le rapport des masses donnera
celui des forces lorsque les vitesses sont égales.

14. Tes forces étant proportionnelles aux vitesses
lorsque les masses sont égales, et aux masses lorsque
les vitesses sent égales, sont donc proportionnelles aux
produits des masses par les vitesses, lorsque les masses
et les vitesses sont inégales.

Ainsi la mesure générale d’une force est le produit
de la masse du corps qu’elle meut par la vitesse. Pour
éviter la considération abstraite de force , on a nommé
le produit qui la représente, quantité de mouvement.

D'Alembert a ramené toutes les questions qui se
rapportent à l’action des forces motrices, à de simples
questions de statique à l’aide d'un beau théorème,
dont on trouvera l'exposition au mot quantité de mou-
vement.

Voyez Mouvemenr, Force, CENTRAL, STATIQUE, Hy-
DROSTATIQUE, HYDRODYNAMIQUE. V’oy. aussi MAcuine,
Levier, BALANCE, PLAN INGLINE, etc. , etc.

MÉCHAIN (Pirrre-Francois- ANDRE) , astronome
moderne, né à Laon, le 16 août 1744, mort en Espa-
gne le 0 septembre 1805. Ce membre distingué de
l'Académie des sciences a dévoué sa vie à des travaux
obscurs, mais estimables, et qui sont peu susceptibles
d'analyse. Ce dévoüment si rare, et qui promet peu de
gloire à ceux qui en acceptent les modestes conditions,
mérite du moins d’être signalé dans l'histoire de la
science. Méchain , amené à Paris par son amour pour
la science, y vivait dans le plus grand dénüment, lors-
que Lalande eut occasion de le distinguer et d'apprécier
ses talens ; il le fit nommer astronome hydrographe du
dépôt des cartes de la marine. Il s’occupa iong-temps
aux calculs des observations que le marquis de Chabert
faisait depuis viugt aus dans la Méditerranée, et se li-
vrait la nuit à des observations astronomiques, dont
Lalande publiait les résultats. Il se donna plus spécia-
lement à la recherche des comètes : non-seulement il en
a découvert plusieurs, mais encore il en a déterminé
les élémens avec assez de précision pour qu'on puisse Les
reconnaître un jour et constater la périodicité de leur

ME

marche. 11 en découvrit deux en 1581, dont il calcula
aussitôt les orbites. Il suivit assidument, et calcula le
cours dans diverses paraboles de la planète d'Uranus,
récemment découverte par Ierschell, et que les astre-
nomes prirent quelque temps pour une comète; Mé-
chain démontra le contraire, en la traitant le premier
comme une planète et en lui donnant une orbite circu-
laire. En dix-huit ans, Méchain a découvert le premier
jusqu’à onze comètes, dont il a calculé les orbites; il a
concouru, avec Cassini et Legendre, à constater la po-
sition relative des Observatoires de Paris et de Green-
wich, et quand l'assemblée constituante décréta léta-
blissement d'un nouveau système de mesures, fondé
sur la grandeur du méridien terrestre, Méchain fut l'un
des deux astronomes choisis pour cette opération, qui
devaient déterminer les différences terrestre et céleste
entreles parallèles de Dunkerque et de Barcelonne. C’est
de la partie qui s'étend de Rliodès à Barcelonue qu’il fut
chargé. Cette opération et les observations trigonomé-
tiques qui en furent l: conséquence ont rempli le reste
de sa vie. Méchain fut à la fois un observateur exact et
un calculateur infatigable. Il n’a rien publié à part que
les volumes de la Connaissance du temps, de 1586 à
1794. Ses travaux se trouvent dans les suites de cet ou-
vrage et dans la Base du système métrique décimat,

dont la rédaction est due à Delambre.

MEMBRE. (4/g.) Ou dünne ce nom , dans une éga-
lité, aux parties séparées par le signe —. Ainsi dans

A—B—M,A+B, est le premier membreet M le second.

MÉNÉLAUS, géomètre grec de l’école d'Alexandrie,
vivait vers l’an 80 de notre ère. Il est l’auteur d’un ou-
vrage divisé en six livres sur le calcul des cordes, qui
a été perdu, On a de lui trois livres intitulés : Sphérique,
dont l'original grec est également perdu, mais dont
on possède deux traductions, l’une arabe, l’autre hé-
braïque. C’est sur le premier de ces textes qu'a été fuite
l'édition gréco-latine, à laquelle on à joint les Sphe-
riques de Théodose, et qui a été publiée à Gxford en
1707, Sous ce litre : Theodosi sphæricorum, libri tres ;

Menelaï alexandrini sphæricorum , libri tres

MEÉNISQUE. (Opi.) Verre lenticulaire concave d'un
côté et convexe de l’autre, Nous avons donné au mot
lentille une formule générale pour trouver le foyer des
verres ; on l’appliquera sans difficulté aux verres mé-
nisques , en faisant l’un des rayons négatif.

MERCATOR (ou plutôt Nicoras Kaurrmann), cé-
lèbre géomètre du XVII° siècle. On sait peu de chose
sur sa vie. Né dans le Holstein, il s'était déjà fait con-
naître par quelques ouvrages , lorsqu'il passa en Angle-
terre en 1660, Il fut l’un des premiers membres de Ja
société royale de Londres. Il vint ensuite en France, où

TOME 1,

ME 295

ses connaissances en hydraulique le firent employer à
la construction des fontaines de Versailles, et il mourut
à Paris en 1687. Voici les titres de ses principaux ou-
vrages : L Cosmographia sive descriplio cœli et terræ,
Dantzig, 1651, in-8 ; I. Rationes mathematicæ , Co-
penhague, 1653, in-4; FI. De emendatione annu& dia-
uibes duæ, quibus exponuntur et demonstrantur cycli
solis etluncee, etc., ib., in-4 ; IV. Hypotkests astronomica
nova, et consensus ejus cure observatéonibus , Londres,
16064, in-folio; V. Logarithmotechnia, sive methodus
construendi logarithmos nova ; cui accedit vera qua-
dratura hyperbolæ, et inventio summeæ logarithmorum,
ib.,1068-1674; VE. Znstitutiones astronomiceæ, tb., 1656,
nov. édit., Padoue, 1685, in4 ; VIL Æuclidis elementa
geometrica novo ordine ac methodo ferè demonstrata,
curn introductione brevi in geometriam , etc., ib., 1678,
in-24. On a encore de Mercator des Mémoires intéres-
sans insérés dans les Transactions philosophiques du
temps. Son principal ouvrage est la Logarithmotechnia,
qui lui assure une place parmi ceux qui ont reculé les
bornes de la géométrie. Dans cet ouvrage, dont il a été
question à l'article Eeisnirz, en cherchant à appliquer
à l'hyperbole les règles de l'Arithmétique des infinis de
Wallis, Mercator découvrit une suite qu’il appliqua à
la construction des logarithmes.

MERCURE. (45e) Nom d’une des planètes de notre
système solaire, la prem'ère dans l’ordre des distances
au soleil. On la désigne par le caractère &.

Mercure décrit autour du soleil une orbite elliptique
très-alongée dont l'excentricité dépasse le cinquième de
la distance moyenne. Il exécute sa révolution sidérale
dans une période d'environ 88 jours, en tournant sur
son axe à peu près en 24 heures, comme la terre; mais
il est tellement enveloppé par les rayons solaires,
qu'il n'offre à la vue qu'un disque étincelant de lu-
mière et qu'il est impossible d’v découvrir aucune ta-
che sur laquelle on puisse établir des conjectures
pour déterminer sa constitution physique. Cependant
cette planète, comme toutes les autres, ne nous parais-
sant lumineuse que parce qu’elle nous renvoie les rayons
du soleil , ct de plus, son orbite étant entièrement ren-
fermée dans celle de la terre, on doit prévoir qu’elle
se trouve souvent, par rapport à nous, dans des situa-
tons telles, que son hémisphère éclairé ne puisse être
aperçu qu'en partie, où méme soit entièrement invisi-
ble; enfin, Mercure doit nous présenter des phases
comine la ne ; et c'esten effet par l'observation suivie
des variations des cornes de ces phases que Schræœter a
déterminé la durée de la révolution de cette planète sur
son axe.

Le diamètre de Mercure comparé à celui de la terre
ext dans le rapport des nombres o,39et1, et consé-

9

226 ME
quemment le rapport des volumes de ces corps est en-
viron celui de o, 06 à 1. La masse de mercure, déduite
de la théorie de l'attraction étant exprimée par 0, 18,
celle de la terre prise pour unité, on en conclut que sa
densité moyenne est à celle delaterre, comme 2,78 est à
1 ; d’où il suit queles matériaux qui composent ce petit
globe ont une pesanteurspécifique movenne supérieure
a celle du plomb et même du mercure ; car la densité
moyenne de la terre est à peu près égale à cinq fois
celle de l’eau. Nous ne connaissons aucune autre parti-
cularité touchant cette planète, qu’on croit cependant

environnée d’une atmosphère.

Voici ses élémens rapportés au 1°° jauvier 1801.

Demi-grand axe, celui de la terre étant r, 0,3850081

Excentricité en parties du demi grandaxe. 0, 2055149
Périodesidér. moy. en jourssolairesmoy. 87j.9692580

o

Tuclinaison de l'orbite sur l’écliptique. .. 0" 9,1
Longitude du nœud ascendaut,......, 4
Longitude du périhélie.............. 74 21 46, 9
166 0 45, 6
Diamètre, celui de la terre étant 1..... 0,308

.

Lougitude moyenne de l'époque.

Révolution sur son axe.........,..... 24h 5'28"3

En prenant pour terme de comparaison la lieue de
2000 Loises, on voit que la distance moyenne de Mer-
cure au soleil est de 15 185 465 lieues ; que sa plus pe-
tite est de 12 064 G24 , sa plus grande de 18 306 306;
et que ses distances à la terre varient entre les limites
extrêmes de 55 193 567 et 20 264 433 lieues. Son dia-
mètre a 1225 lieues.

Quelquefois Mercure passe devant le disque du soleil
et nous présente un phénomène analogue à celui des
éclipses de cet astre par la lune ; mais à cause de son
extrême petitesse, il nous apparait seulement alors com-
me une petite tache qui ne peut être observée qu'au té-
lescope. La première observation de cette espèce a été
faite par Gassendi, en 1631, le 5 novembre, à Paris ;
mais depuis on l’a fréquemment renouvelée. Le pro-
chain passage de Mercure sur le soleil aura lieu en mai

1845. (Foy. Passace pe Mercure Er pE VENUS.)

MÉRIDIEN. (Ast.) (Du latin, rreridies, milieu du
jour.) Grand cercle de la sphère céleste qui passe par le
zénith, le nadir et les deux pôles du monde. Ce cercle,
qui est perpendiculaire à l'équateur, divise la sphère eu
deux parties égales ou hémisphères , dont l’un se nom-
me oriental et l’autre occidental, { Foy. ArmLLAIRE.)

En géographie , on nomme méridien terrestre un cer-
cle terrestre, correspondant au méridien céleste, qui
passe parles pôles de la terre et qui se trouve dans le
mème plan que ce dernier. C'est proprement l’intersec-

tion de la surface de la terre par le plan du méridien.

ME

Voyez au mot Loncrrupe, l’usage des méridiens pour
la détermination de la position des lieux terrestres,

MÉRIDIENNE ov LIGNE MÉRIDIENNE.Lignetra-
cée sur une surface quelconque dans le plan du méridien
ou, plus exactement, commune section du plan du méri-
dien et d’une surface quelconque.

La macridienne est d'une utilité indispensable dans
l'astronomie , la gnomonique, la géographie, etc., et
d’un usage fréquent dans la vie civile. Son exacte dé-
termination est de la plus haute importance , aussi a-t-
on inventé pour l’obtenir , des instrumens particuliers
et diverses méthodes. Nous avons déjà fait connaître au
mot GNOMONIQUE ; un procédé très-simple pour décrire
uue méridienne; nous allons exposer ici quelques
moyens plus exacts,

L'étoile polaire n’étant éloignée du pôle que d’envi-
ron deux degrés, elle désigne toujours à peu près le
nord , en quelque temps qu’on l’observe; mais si l’on
choisit l'instant où elle est au méridien,quand on s’y trom-
perait mème de quelques minutes, on aura par le moyen
de cette étoile, la direction du méridien avecune grande
précision. Il suffira d'élever un premier fil à plomb,
dont le pied désignera un des poiuts de la méridieune
sur la surface horizontale ou inclinée, sur laquelle on
veut tracer cette ligne; puis un second fil à plomb placé
à quelque distance du premier, et qu’on écartera à droite
ou à gauche jusqu’à ce que l'étoile polaire soit cachée par
les deux fils, donnera un second point, etil ne s'agira
plus que de tracer une droite qui passe par ces deux
points. En faisant cette opération deux fois, quand l’é-
toile est le plus à l’orient et le plus à l'occident, et pre-
nant le milieu, on aura exactement la méridienne.

Avec un seul fil à plomb, en marquant exactement
deux points de l'ombre que ce fil projette aux rayons
solaires, à deux momens différens où le soleil se trouve
à la même hauteur au-dessus de l'horizon, on peut
former un angle qu’il suffit ensuite de partager en deux
parties égales par une droite qui est la méridienne.
L'opération est alors d'autant plus exacte que les hau-
teurs égales auront été observées le plus près du mé-
ridien et avec des quarts de cercle bien divisés, et
que le plan sur lequel on aura marqué les points d’om-
bre, sera parfaitement horizontal. Une fois la méri-
dienne tracée sur un plan horizontal, il devient facile
de la faire passer sur un plan quelconque incliné, dé-
clinant, etc., puisqu'il suffit d’en obtenir la projection
par des perpendiculaires élevées au plan horizontal
sur deux de ses points.

Lorsqu'on a tracé provisoirement une méridienne
par un des moyens ci-dessus, en plaçant dans son plan
un quart de cercle porteur d’une lunet(e, on peut la
rectifier en observant les passages au méridien des
astres, et en comparant les temps des observations avec

ME
ceux que donnent les éphémérides; mais il faut alors
avoir une bonne pendule dont la marche soit bien
connue. (7/07. l’ Astronomie de Lalande.)

Méripienne du temps moyen. C'est une courbe en
forme de 8, qu'on trace autour de la ligne de rnidi
d'un cadran solaire, et qui indique le midi en temps
moyen pour chaque mois de l’année. On trouve sa

construction dans tous les traités de gnomonique.

MERSENNE (Mon), religieux de l’ordre des Mi-
nimes, tient un rang distingué parmi les géomètres du
XVII" siècle, moins peut-être par la nature et l’éclat
de ses propres travaux, que parce qu'il servit d'inter-
médiaire et de correspondant à tous les savans de son
temps, et qu’il mérite l'estime et la reconnaissance de
la plupart des hommes célèbres de cette mémorable
époque. Il naquit, en 1588, à Oizé, dans le Maine. Ce
fut au collége de La Flèche, où il vint terminer ses
études commencées au collége du Mans, qu'il rencontra
Descartes et que, saisi d'admiration pour ce sublime
génie qui se révélait déjà par la hardiesse et l’éléva-
tion deses vues, il contracta, avec ce grand homine,
une de ces rares amitiés fondées sur une estime réci-
proque, et que ne peuvent modifier ni le temps, ni la
différence des carrières. Mersenne, doué d’une piété
sincère, se voua à la vie religieuse, mais sans cesser de
se livrer à l'étude des sciences. Il fit plusieurs voyages
en Hollande et en Italie, et établit dès-lors ces diverses
liaisons avec les savans qui nécessitèrent de sa part une
correspondance si utile aux progrès des sciences. Il dé-
fendit chaleureusement Descartes contre ses détracteurs;
il le réconcilia avec Fermat, et il osa se prononcer
contre les injustes sévérités qui désolaient la vieillesse
de Galilée, en publiant, en France, le Traité de Né-
canique de cet homme à jamais célèbre. C’est aussi au
père Mersenne que la France dut la connaissance des
belles découvertes de Toricelli sur le vide ; expériences
qui, répétées depuis au Puy-de-Dôme par Pascal et
Périer , sont devenues la base de la physique moderne.
Le caractère et le savoir de ce religieux lui donnèrent
un grand ascendant sur ses contemporains, et ont at-
taché son nom à toutes les discussions, à tous les progrès
scientifiques de son temps. Il mourut à Paris, le

er
1

septembre 1648, à la suite d’une maladie pour la-
quelle d'ignorans médecins lui firent subir une doulou-
reuse opération.

Voici ce que dit delui Baillet, l'historien de Descar-
tes : « Mersenne était le savant du siècle, qui avait le
meilleur cœur, On ne pouvait l'aborder sans se laisser
prendre à ses charmes : jamais mortel ne fut plus en-
vieux pour pénétrer les secrets de la nature, et porter
es sciences à leur perfection. Les relations qu’il entre-
tenait avec tous les savans , l'avaient rendu le centre de

ME

tous les gens de lettres; c’est à lui qu’ils envoyaient
leurs doutes, pour être proposés, par son moyen, à
ceux dont on en attendait les solutions... Sa passion
d'être utile ne se borna point à sa vie, et il avait or-
donné aux médecins de faire l'ouverture de son corps,
afin qu'ils pussent apprendre la cause de sa maladie. »
Mersenne est auteur d’un grand nombre d’écrits qui
n'intéressent pas toutes les sciences mathématiques.
Nous citerons seulement les principaux de ceux qui s'y
rattachent : 1. Cogitata physico-mathematica, in quibus
tam naturæ quèm artis effectus admirandi certissimis
demonstrationibus explicantur , Paris, 1644, in-4°.
IL. Universæ geometriæ}, mixtæque mathematicæ
synopsis, ib. in-4°, 1644. Parmi les diverses pièces que
contient ce recueil, on trouve un traité d'optique, et un
traité de catoptrique, qui ont été publiés en français.
IT. De mundi systemate, partüibus et motibus ejusdem ,
ex arab. latinè cum ZÆgid. Roberval notis, Paris, 1644,
in-19. IV, Les mécaniques de Galklée, traduites de
l'italien, Paris, 1634, in-8°. V. Harmonie universelle,
contenant la thcorie et la pratique de la musique , eic.,
Paris, 1636, in-folio. Cet important ouvrage est de-
venu fort rare. I’auteur en avait publié un abrégé en
latin, où se trouvent des figures d’instrumens omises dans
le texte français : A1. Mersenni, harmonicorum libre
XIT, Paris, 1636, in-folio.

MESSIER. (4st.) Nom d'une constellation boréale
introduite à l’occasion de la comète de 1774. (Foy.
CONSTELLATION.)

MESURE. Quantité prise pour terme de comparai-
son et qui sert à évaluer la grandeur d’autres quantités
de même nature.

Mesurer, c'est déterminer le rapport qu'il y a entre
l'objet dont on vent connaître la grandeur, et l'unité de
comparaison. Ainsi ayaut, par exemple, adopté pour
unité une longueur déterminée, telle que le mètre, on
connaîtra la longueur d’une ligne quelconque lorsqu'on
saura combien elle contient de mètres ou de parties
de mètre.

L'unité de mesure doit toujours être de la même
nature que les objets qu’elle sert à mesurer, c’est-à-
dire, la mesure des lignes est une ligne; celle des sur-
faces, une surface; celle des solides, nn solide, etc.
Si en géométrie où mesure les angles par des arcs de
cercle, c’est que ces arcs sont proportionnels aux an-
gles, et que de cette manière il y a toujours un angle
sous-entendu pris pour unité. (Joy. ANGLE, 14.)

Considérées sous le rapport des usages civils ou com-
merciaux, les mesures se divisent en mesures de Lan-
gueur, de superficie, de capacité et de pesanteur. Chez
tous les peuples ces diverses mesures ont toujours eu

des rapports entre elles; mais le système le plus sim-

298 ME

ple et le pius élégant est le système primitif des mesu-
res égyptiennes, dont l'invention est attribuée à Mer-
cure, ministre du roi Osiris. L'unité lincaire était la
coudee royale, longueur prise dans les dimensions du
corps de l’homme; le cube de la demi-coudée don-
nait unité de volume; ce cube, rempli d’eau, l'unité de
poids; et enfin ce poids, en argent, l’unité monétaire.

Pour construire leur coudée, les Égyptiens avaient
pris pour point de départ la largeur des doigts de la
main, en déterminant probablement une largeur
moyenne conservée ensuite comme étalon fixe. Quatre
de ces largeurs moyennes, ou celle d’une main, le pouce
excepté, formaient le palme ; trois palmes ou la distance
entre l'extrémité du petit doigt et du pouce, lorsque la
main est ouverte le plus possible, composaient l'erpan,
et deux empans ou la distance du coude à l’extrémité
du grand doigt, formaient la coudce naturelle plus pe-
tite que la coudée royale de quatre doigts où d'un
palme.

L'origine de la coudée royale paraît être l'usage qu'on
a dû nécessairement faire de la longueur du pied pour
mesurer les dimensions des terrains, avant d’avoir des
mesures artificielles. Elle est, en effet, le double du picd
naturel qui est de 14 doigts, à partir de l'extrémité du
talon à celle du gros orteil. La coudée naturelle était
employée aux usages les plus ordinaires ; mais la coudée
royale était consacrée à tout ce qui avait un but d’uti-
lité générale, comme la mesure des routes, des terrains,
etc. L’étalon en était déposé dans les temples, et confié
à la garde des prêtres.

Le système métrique égyptien conservé dans toute sa
pureté par les Hébreux après leur sortie d'Égypte, subit
ensuite de grands changemens chez les Grecs, les Ro-
mains, les Arabes et les Persans. Mais il cst facile de re-
connaître qu’il est la souche commune des systèmes de
mesures de ces peuples, et qu'il s’est propagé, ainsi mo-
difié, dans les diverses contrées de l'Europe, où l’on re-
trouve encore aujourd’hui ses traces.

Les recherches les plus exactes entreprises de nos jours,
pour trouver le rapport de ces mesures primitives avec
nos mesures usuelles ont donné les résultats suivans :

millimètres,

Le toist (Liebe. etrece nee TO 7
Le palme (choryos), de 4 doigts.......... 75

L'empan (tertô), de 12 doigts............, 295

Le naliwrelle où de 24 doigts 450
La coudée (erah)| : A MR
royale où de 28 doigts... 525

Les Grecs prirent pour unité linéaire les deux tiers
de la coudée naturelle où 16 doigts, et ils lui donnèrent
le nom de pied (roÿs). C’est sur cette unité que Phidon
d'Argos, selon Pline, on Palamède, selon Aulugelle,

forma la série suivante de mesures :

ME

metres.
Le doigt (däxrunes)................... 0,01855
Le palme (d'üpor, ou munuisrs),........, 0,07
Le PIED (govs) ee eee 0,3

La coudée (räxvs), d'un pied et demi...

0
Le pas (Siuu umhou), de deux piedsetdemi 0,75
7

Le double pas, de 5 pieds (Säua dimrobr).. 1,15
La brasse (opyvix), de 6 pieds.......... 1,8
La perche (aaæiva), de dix pieds........ 3
La petite chaine (ue), de 6o pieds... 18

La grande chaïne (xhthper), de 100 pieds. 30

La stade (crudier), de Goo pieds......... 180

Un carré de 100 pieds de côté formait, chez les Grecs,
l'unité principale des mesures agraires ou de superficie.
On lui dounait le nom de pléthre, æAtéper, Le pied cube
servit aussi de point de départ pour les mesures de ca-
pacité sous le nom de métrètès, merprrus ; la centième

partie de ce pied cube fut nommée cofyle, xorvxa

et 72 cotvles formèrent l'amphore, tugootvs, dont la
44

grandeur est de 19 litres et +.
100

Le poids de l’eau contenue dans une amphore devint
l’unité des mesures de pesanteur. C’est le talent,
réhayrey; et enfin ce même poids en or, en argent ou
en cuivre, avec ses subdivisions, composaient les #207-
naies.

Solon réforma plus tard les poids et les monnaies, en
employant le pied cube d’eau tout entier, pour repré-
senter le poids d’un nouveau talent que l’on a désigné
sous le nom de grand talent attique. A s'établit ensuite
des différences entre les mesures des diverses provinces
grecques ; mais leur origine commune fut toujours le
pied de 16 doigts égyptiens.

Les Romains trouvèrent en Italie les mesures des
Grecs partout en usage, etilsies conservèrent, du moins
quant au fond ; car ils adoptèrent une classification plus
méthodique, en divisant chaque unité soit linéaire, soit
de capacité, soit de pesanteur, en douze parties, sub-
divisibles chacune en 24 autres. C’est ainsi que Île pied
grec de 16 doigts égyptiens fut partagé en 12 onces que
les modernes ont nommées pouces. Cependant le pied
romain est un peu plus petit que 16 doigts égyptiens, et
il paraît s'être conservé, sans aucune altération, pendant
toute la durée de la république, celle de l'empire, et
dans les premiers siècles de la féodalité.

Le système métrique des anciennes nations de l’Asie
n'estencore quele système égyptien légèrement modifié;
mais celui des Arabes, quoique fondé sur la coudée,
diffère par l'unité fondamentale du doigt dont la lon-
gueur n'est pas celle du doigt égyptien. Le doigt arabe
se composait de six grains d'orge mis à plat et en travers,

ME
et le grain d'orge se divisait en six crins de cheval. 4
doigts formaient le palme, 4 palmes le pied, et deux
pieds la grande coudée hachémigne. C’est la l'origine des
mesures actuelles de la race mahométane.

Le système des anciennes mesures françaises date seu-
lemeut de Charlemagne qui le substitua au système ro-
main davs toute l'étendue de la monarchie. Le pied de
ce prince, nommé pred-de-roi ou pied-de-Paris, parait
étre une copie altérée de celui des Arabes; il se divisait
en douze pouces, et le pouce en douze lignes. Six pieds
formaient une {oise qui se trouve être exactement le pas
des Arabes. Quant à toutes les autres mesures, elles dé-
rivaient également des mesures arabes.

Ces mesures subirent bientôt de notables altérations ,
car, déjà sous le règne de Charles le Chauve, chaque
grand feudataire de la couronne avait introduit dans ses
domaines des modifications conformes à ses intérêts. Les
uns avaient augmenté la grandeur des mesures pour ti-
rer un cens plus considérable de leurs vassaux, tes autres,
au contraire, l'avaient diminuée pour attirer sur leurs
possessions un plus grand nombre d’habitans. Ce fut vai-
nement que plusieurs souverains tentirent successive-
ment de remédier à ce désordre et de ramener les me-
sures de province à celles de Paris , il fallut le bras de
fer du gouvernement républicain pour opérer l’urgente
réforme si long-temps et si hautement réclamée. Aujour-
d’hui, l’ensemble des mesures françaises compose le sys-
tème le plus complet, le mieux lié et en même temps
le plus simple qui ait jamais été inveuté, et sa supério-
rité sur ceux de toutes les autres nations ne peut être
mise en doute un seul instant, quoiqu'il soit malheu-
reusement avéré que sa base est inexacte.

Ce fut le 8 mai 1790 que l’assemblée constituante
rendit un décret d’après lequel le Roi de France devait
engager le Roi d'Angleterre à réunir aux savans français
choisis par l’Académie un nombre égal de membres de
la Société royale de Londres, pour déterminer en com-
mun la longueur du pendule simple qui bat la seconde
à la latitude moyenne de 45° et au niveau de la mer.
Cette longueur devait être prise pour l'unité des mesures
que ces nations devaient ensuite propager dans tous les
états civilisés. Les évènemens politiques ne permirent
pas cette réunion, et la commission des académiciens
français, craignant que le choix du pendule à 45° ne füt
repoussé par les peuples qui n’ontpascette latitude, vou-
lut choisir une base plus large et véritablement univer-
selle, en prenant pour unité la dix millionième partie
de la distance de l'équateur au pôle, ou du quart du
méridien terrestre. Ce choix présentait en outre un
avantage particulier, c'était le rapport simple et naturel
qui s’établissait entre les mesures géodésiques et les arcs
célestes, et qui devait faciliter la pratique du pilotage
entièrement fondé sur ce rapport. Mais, pour obtenir

ME 229

la longueur de l'unité de mesure, il fallait déterminer
la figure de la terre plus exactement qu’elle n’était en-
core connue , et mesurer les degrés du méridien avec
une précision supérieure à celle des mesures déjà opérées.
Cet immense travail n’effraya point nossavans; Delambre
et Méchain furent chargés de mesurer la méridienne de
Paris, depuis Dunkerque jusqu'à Barcelonne, opération
qu’ils accomplireut activement, au milieu des scènes san-
glantes de la plus hideuse de nos périodes politiques,
tandis que Brisson, Borda, Lagrange, Laplace, Prony et
Berthollet élevaient l'édifice du nouveau système en
créant une unité provisoire basée sur les mesures de
Lacaille. Cette unité, sous le nom de mètre, fut fixée à

L4
443 lignes et _ de la toise de Paris.

Ce ne fut qu’en 1799 que la France fit un nouvel ap-
pel aux nations ses alliées, et qu’une vaste commission
fut formée pour réaliser définitivement toutes les parties
du système métrique en les subordonnaut à uue préten-
due valeur définitive du mètre, fixée à 443lis 295936.
Cette commission se composa de Borda, Brisson, Cou-
lomb, Darcet, Delambre, Haüy, Lagrange, Laplace,
Lefèvre Gineau, Méchain et Prony, pour la France ;
Reneæ et Van Swiuden, pour la Hollande; Balbo et plus
tard Vassalli-Eandi, pour la Savoie; Bugge, pour le
Danemarck ; Ciscar et Pedrayès, pour l'Espagne, Fab-
broni, pour la Toscane; Franchini, pour la République
Romaine; Multedo, pour la République Ligurienue; et
enfin Trallès, pour la République Helvétique.

Le 22 juin 1999, le résumé des travaux de cette Com-
mission fut présenté par Trallès au corps législatif,
ainsi que les étalons types, mais ce ne fut cependant
qu'a dater du 2 novembre 1801, que le système métri-
que définitif devint légal et exclusif.

On à signalé tout récemment quelques erreurs qui se
sont glissées dans les mesures de Delambre et de Mé-
chain, et ce dernier lui-même avait déjà reconnu avant
sa mort une inexactitude qu’il ne crut pas devoir révé-
ler, craignant sans doute de compromettre, et trop tard,
tout le travail de la méridienne. Il semble résulter ,
d'autresmesures effectuées depuis en différens lieux, que
la longueur du mètre dit définitif est un peu trop pe-
üte, et qu’en la fixant à 443li3-,30, on approcherait
beaucoup plus près de la vérité. Cependant nous pen-
sons que l’idée de prendre pour unité une partie du mé-
ridien est plus brillante que raisonnable ; car il faudrait
d'abord, pour rendre cette mesure universelle, que tous
les méridiens fussent rigoureusement égaux, ce qui, jus-
qu'a présent, est loin d’être démontré. La figure de la
terre ne parait pas régulière, et toutes les tentatives fai-
tes pour coordonner les valeurs connues des arcs de di-
vers méridiens n’ont encore produit aucun résultat vé-
ritablement satisfaisant.

250 ME

Cependant, en considérant le »ètre, non comme une
partie aliquote rigoureuse de la distance invartable de
l'équateur au pôle, mais seulement comme une partie
aliquote de la distance moyenne de cet équateur, quelles
que soient les inégalités du globe terrestre et la variété
des distances qu’elles peuvent entrainer, on peut conce-
voir qu'il sera possible un jour d'obtenir cette unité
moyenne avec un haut degré de précision; ce qui peut
seul réaliser la grande et belle idée d’un système de me.
sure basé sur les dimensions du globe, liées elles-mêmes
par les observations astronomiques à tous les axes des
orbites planétaires, et aux dimensions de l'univers. Au
reste , la valeur du mètre actuel se trouve établie d’une
manière invariable par sa comparaison avec celle du pen-
dule à seconde , et comme le choix d’une unité de me-
sure est entièrement arbitraire, et qu’il suffit de pouvoir
toujours retrouver la grandeur exacte de cetté unité,
toutes les inexactitudes que nous venons de signaler ne
vicient en rien notre admirable système métrique dont
le premier mérite repose évidemment sur la liaison et
les rapports simples de toutes ses parties.

Le mètre est donc l'unité fondamentale: c’est, comme
nous l'avons déjà dit, la dix millionième partie du quart
du méridien terrestre, ou, rigoureusement, c'est une
longueur dont le rapport avec celle du pendule qui bat
la seconde au 45° degré de latitude, est 0,993977, c’est-
à-dire qu'en prenant le mètre pour unité, la longueur
du pendule est égale à 0",993077. Ce qui fournit un
moyen facile de retrouver ce mètre en tout temps.

Un carré dont le côté est de dix mètres, et qui ren-
ferme conséquemment une superficie de cent mètres
carrés, est l'unité des mesures de superficies ou des
mesures agraires. On nomme cette unité are.

Un cube dont le côté est la dixième partie du mètre,
est, sous le nom de litre, l'unité des mesures de capa-
cité; c'est la millième partie du mètre cube,

Le mètre cube appliqué au mesurage des bois de
chauffage prend le nom de stère

Le poids d’un volume d’eau pure, au 72aximum de
densité, quiremplit un cube dont le côté a pour lon-
gueur la centième partie du mètre, est l'unité des me-
sures de pesanteur. On le nomme gramme.

Enfin, pour les monnaies, l'unité est le franc, pièce
composée de neuf parties d'argent sur une de cuivre,
et dont le poids est de 5 grammes.

En employant les noms de ces unités de mesure com-
me racines et les faisant précéder des mots : myria (dix

mille), kilo (mille), hecto (cent), déci (dixième), cent

(centième), mille (millième), on forme successivement
toutes les autres mesures usuelles qui sont des multi-
ples ou des sous-multiples décimaux des unités primiti-

ves, et dont voicile tableau.

ME

RAPPORTS AVEC LE MÈTRE.

NOMS SYSTEMATIQUES;

MESURES ITINÉRAIRES ET DE

LONGUEUR.

Myriamètre. ...:.......[10000 mètres.

Kilometre:. 1.527252. ]:1000
Hectômèétre. .:.....0.. 100.
Décämétre. . ..:.:550.. 10.
Métre: 2: tiiisanss 1.
Décimètré: :.....::55.. 0,1.
Centimèêtré. 5.:.:°:...:4 0,01.
Millimètre." :55.:::..:: 0,001.

NIESURES AGRAIRES,

Hectare................[10000 mètres carrés.

ATÉS sis se soie des st 100.

Centiare; 2135556 ruse: I.

MESURES DE CAPACITÉ:
Pour les liquides.
Décalitre.......
DLHeR ENT SP
Délire: :15..°

........|10 décimètres cubes.

........ [3 de décimètré cube.
Pour les matières sèches.

Kilolitré.ssssvousrstecé ; mètre cube.

Hectolitre..............! 66 décimètres cubes.

Décalilre.ssssvenesnches Td.
Litré..s8

10

MESURES DE SOLIDITE.

Stère..:.. Mètre cube.

ésnvrecetsesiss

Décistère..........:....|1 de mètre cube.

Poips.

Millier..,.............. 11000 kilogrammes (tonneau
de mer).

Id;

Kilogramme. .........../Poids d’un décimètre cube
d’eau pure à la tempéra-
ture de 4° au-dessus de la

Quintalsss sets ses sejetéiee)]) 500

glace fondante.
Hectogramme........,..|100 grammes.
Décagramme.. .........| 10.
Gammes. Dress 1
Décigramme............| 0,1.

Depuis 1812 on a permis l’usage de certaines déno-
minations anciennes trop populaires pour espérer de
les voir abandonnées de sitôt, ainsi :

> mètres font une {oise dont le sixième est le pied
nouveau.

G décimètres font une aune.

Le huitième de l’hectolitre est un boisseau.

Un demi-kilogramme ou 500 grammes fout une livre,

laquelle se subdivise en onces, gros ; etc.

ME
Mais il ne faut pas confondre ces mesures employées
dans toutes les transactions commerciales avecles an-
ciennes mesures portant les mêmes noms et expressément
prohibées. Les rapports de ces anciennes mesures avec

les mesures métriques sont les suivans :

Mètres.
1 toise de Paris......... 1, 94904
1 pied , + de la toise..... 0, 32484
1 pouce, À du pied..... 6, 02707
i ligne, ;; de pouce. ..., 0, 00256

Grammes.

1 livre, poids de marc. 489, 505547

1 once, ; dela livre.. 30, 59
gros, ; de lalivre. 3, 82
grain, ;, dugros.... 0, 53

On trouve dans l'Annuaire du bureau des longitudes
des tables de conversion de toutes les mesures anciennes
en nouvelles et réciproquement. Nous nous contenterons
ici de faire connaître les rapports du mètre avec les me-
sures linéaires des peuples anciens et modernes.

ANCIENNES.
Mètres.
Perse... Parasange de 10000 coudées royales. 5250
Schæne, de 20000 id.,...,... 10500
Stathme, de 40000 id.....,... 21000

Egypte... Grandechaïne ou Plèthre de 100 pieds, 36
Stade, de Goopieds.......,,..,. 210
Homes. HAE Rae tnt et AT 219

Chine... Tchang ou perche....,..,,.,.... 3,2
Li..de 180 perches;e. :: ensosesp 570

Péuden lee nuits ann 2100
Thsan, de 8 pôu.............., 46080

MopERNes.
Meétres.

Ansterdam....ZL'aune.t,.... eu ee s160 O5 0003
Berlin..........L'aune ancienne... .. ..... 0, 0677

L'aune nouvelle. . .......... 0, 0669
Cologne... , LAURE. . ..sressges sas vs Op 9702
Constantinople. Grande mesure... ......,... 0, 6691
» 6479
Cia aeclss cie 0210277

PÉLLICUESTITE A tei01 » splacs iore ©
Copenhague... Aune.. .
MNESde san sise AUNES ere rotete ostelereleteiste siens s O3: DOÛD
Ferrare....... Brasse pour la soie....,.... 0, 6344

Brasse pour le cotonet lefil.. 0, 6736
HIOnENCe se - se DUSSER eee ele ss aelestes 0 0OÛ 2
MIRALCTON D ere AUIES s s eve e so ces chias ee e00) 070
GÉRÉS ete PAIE. «+

Genève....... Aune.

Éd cote PRO 2100
A RP DRE 0 ET
Hambourg... .. Aune de Hambourg... ...... 0, !

Aune de Brabaut........... 0, 6914
HANONIE RANCE: se 10e - son eneeee eine O3 DO4O
CITÉS et RATE ere eeroraie sise s muets ste mine

ME 251
Lisbanng::,.. Fare. sa serres ues3se l:.0020
Londres....... Fard impérial........,... O, 9144
Pole ouperch.(5,5 yards)... 5, o2g1
Mile (1760 yards)........1609, 3149

Le pied anglais, divisé en r2

pouces , est le tiers du yard,
1l-Vauts ss esse: 013048
Lucques. ..... Brasse...,..............: 0, 5051
Madrid....... Vare aune de Castille. ....... 0, 8480
Milan. ... 0, 5949
Mupich.2,s. AUNE: sexe doses uvre e aus 076330

Ses en gs sue s ce 2 COÛT

es sm DRASS En 4 sine sente g ee see

Naples........ Canne. ...
Palérmeisuss ce Cane a sion une semer ses ls OR 29
Pétersbourg. .. 4rchène.............,,.,. 0, 7115
Ribäiss se sonner s sense eueseses 00402
ROME: sv: CaNNer se ses ssesogsessses. 1) 0020

Brasses sue nessts este Où DID
Stockholm... AUnNG ie se sega se rss s1e8s 03, 0097
Stuttgard. . .... AURC. ssscesseseesseesese © 6143
Murin:2 seu Ras Moiescashrdts 0600
LAURE See secsase ei 0 2010

Weimar....... Aune...

Varsovie, ...
esse ire 0 0010
o, 6534
Brasse desoie............. 0, 6387

Venise. ...:... Prassedélainé... cs...

Vienne........ Aune de Vienne........... 0, 9792
Aune de la Haute- Autriche. . 0, 7997

Zurich ss... 1AURe. see 0, 6oot

MÉTHODE. Règle particulière que l’on suit pour
acquérir des connaissances.

Ea Mathématiques ; on désigne spécialement sous le
nom de Aéthodes , les propositions auxiliaires ou Îles
procédés à l’aide desquels on parvient aux propositions
définitives. Par exemple, si pour démontrer le théorème
de l’équivalence entre la surface du cercle et le produit
de sa circonference par la moitié de son rayon, on con-
sidère successivement des polygones réguliers inscrits et
circonscrits et qu'on s'élève par degrés approximatifs
jusqu’à la surface du cercle , on se sera servi de la mé-
thode indirecte des anciens, nommée A/ethode d'exhaus-
tion. Tandis que si l’on considère immédiatement le
cercle comme un polygone régulier d’un nombre indé-
fini des côtés pour en conclure l'expression de la sur-
face, où aura employé la méthode des indivisibles.

La classification des méthodes mathématiques et la na-
ture de la certitude que comporte leur application n’a-
vaient point encore été l'objet de recherches philo-
sophiques avant la publication de l'ouvrage si remar-
quable de M. Wronski, sur la Philosophie de l'infini.
Ce géomètre, dont les travaux commencent une ère
nouvelle pour les mathématiques ; a porté dans l’exa-
men des méthodes ces hautes considérations philosophi-
ques auxquelles il a rattaché la science dans ces diyers

232 ME

ouvrages. Nous ne pouvons mieux signaler l'extrême
importance du point de vue supérieur où il s’est placé,
qu'en rapportant ici textuellement ses principaux ré-
sultats.

Après avoir établi, de la manière la plus rigoureuse,
que l'infini est non seulement un instrument exact des
recherches mathématiques, mais encore qu'il est l’élé-
ment le plus important des vérités mathématiques elies-
mêmes, et, qu’en un mot, ce n'est que per l'infini qu'est
possible la science des mathematiques, M. W ronski par-
tage les méthodes mathématiques en deux classes dont
la première se compose des méthodes qui ne contien-
vent qu'énplicttement Vidée de l'infini; et la seconde
des méthodes infinitésimales où des méthodes qui
contiennent explicitement infini. Ces dernières sont
celles qui remontent jusqu'aux premiers élémens de la
génération des quantités, et qui, conséquemment, nous
présentent le plus haut degré d'intérêt.

u Or, dit-il, nous avous deux facultés intellectuelies
distinctes qui peuvent nous conduire, plus ou moins
exactement, jusqu’à ces premiers élémens de la géné-
ration des quantités : ce sont le Jugement et la Raison. »

» Le Jugement, comme faculté de transition de l'Eu-
tendement à la Raison, peut, par une espèce d’anticipa-
tion sur cette dernière, découvrir plus où moins rigou-
reusementles déterminationsde l'infini dans les élémens
dela génération des quantités. La Raison, comme faculté
de l'iufint, crée elle-même ces détermivatuiens indéfi-
nies dans les élémens de la génération des quantités. —
Ainsi, en nous servant ici de Ja faculté du Jugement,
les méthodes fondées sur cette faculté ne peuvent que
pRÉsUMER les premiers élémens de la génération dont
il est question ; taudis qu'en nous servant de la faculté
de la Raison, les méthodes fondées sur cette dernière
faculté REPRODUISENT OÙ DÉTERMINENT elles-mêmes ces
élémens. C’est pour cela que nous nommerons les pre-
mères mréthodes présomptives. et les dernières me-
thodes déterminatives. — Telle est donc la première
division à priori des méthodes mathématiques qui con-
tiennent expiicitement l'idée de l'indéfini, — Procédors
à leur subdivision. »

» Daus les méthodes présomptives, qui sont fondées
sur la faculté du Jugement, il paraît d'abord, en ne
s’attachant qu'à la diversité des fonctions de cette fa-
culté, qu’on pourrait procéder par deux voies diffé-
rentes; car les fonctions en quelque sorte rationnelles
du Jugement, celles qui portent sur la transition entre
Ja Raison ct l’Entendemeut, sont de deux espèces: l’in-
duction et l’analogie. Ces méthodes présomptives pré-
senteraient donc, sous ce dernier point de vue, deux
espèces particulières : les unes fondées sur l'induction,
que, pour cela, nous nommerons nethodes induction-

nelles ; les autres, fondées sur l'analogie, que, pour

ME

cette raison , nous nommerons , du moins problémati-
quement, méthodes analogiques. Mais un peu de ré-
flexion suffit pour reconnaitre que les dernières de ces
méthodes, les méthodes analogiques, ne sauraient
exister. En efiet la fonction intellectuelle, nommée
analogie, sur laquelle se trouveraient fondées ces mé-
thodes, porte essentiellement sur la spécification et
non sur la généralisation de nos connaissances, c’est à-
dire que cette fonction sert proprement à descendre
de la Raisou à l'Entendement, et non à remouter de
cette dernière faculté à la première; de sorte que, par
le moyen de cette fonction intellectuelle, on ne saurait
nullement remonter aux premiers élémens de la géné-
ration des quantités, ce qui est l’objet général des mé-
thodes infinitésimales. Il ne reste donc de possibles,
parmi les méthodes présomptives, que les seules
méthodes inductionnelles, — Poursuivons cette déter.
mination. »

« Les méthodes inductionnelles peuvent être em-
ployées 1°. dans la géométrie, en portant sur l'idée de
l'indéfini, appliquée à l’espace, et 2°. dans l’algorithmie,
en portant sur l’idée de l'indéfini, appliquée au Temps,
qui est le principe des Nomgres. — Il s'ensuit que ces
méthodes, considérées par rapport à leur but, forment
deux branches distinctes : la méthode inductionnelle
geometrique et la méthode inductionnelle algorithmi-
que. »

» Or, la méthode des anciens , connue sous le nom
de »#ethode d'exhaustion , dont il paraît que nous de-
vons la découverte à Archimède, n’est évidemment
autre chose que la méthode inductionnelle géométri-
que que nous venons de déduire de principes à
priori. »

Avant fait remarquer que, d’après la nature de la
faculté intellectuelle qui agit dans cette méthode,
dont le but est de remonter aux élémens indéfinis de
l'étendue, elle ne peut, par elle même, conduire qu'à
des vérités présomptives, d'une probabilité de plus en
plus grande, mais qu’elle ne saurait conduire à des ré-
sultats rigoureux ou atteindre à la certitude; M.Wronski
montre eusuite que la méthode inductionnelle algo-
rithmique est la méthode d'approximation proprement
dite, méthode dont nous avons exposé ailleurs le carac-
tère distinctif. (Foy. Aprpnoximarion.) Nous ne le sui-
vrons pas dans les développemeus, et nous passerons à
ce qu'il dit des méthodes infinitésimales déterminatives.

» Nous avons déjà vu plus haut, par la déduction de
ces méthodes, qu’elles sont fondées immédiatement
sur l'emploi de la Raison elle-même. Il s'ensuit que les
résultats auxquels conduisent les méthodes détermina-
tives dont il s’agit, sont d’une rigoureuse exactitude.
— C'est là le caractère distinctif de ces méthodes; et il
ne nous reste pour les connaître complètement, qu’à

ME
fixer à priori les différentes voies par lesquelles la rai-
son peut remonter aux premiers élémeus de la généra-
tion des quantités, car ces différentes voies sont Gvi-
demment ce qui constitue la spécification des méthodes
dent nous parlons. »

» Or, comme il ne s'agit ici que de la seule fonction
de la raison qui produit l'idée de l'indéfini, il est d’a-
bord clair que les différentes voies dont il est question,
ne sauraient être fondées sur la différence des fonc-
tions de cette faculté supérieure. De plus, il s'ensuit
que la première spécification de ces voies de la raison,
si elle est possible, doit être fondée sur la différence
de l'emploi eur de la raison, dans la production de
l'idée de l’indéfini, et sur l'emploi de cette faculté
RÉUNIE à l’entendement : de là résulterait une division
des méthodes infinitésimales déterminatives dont il
s'agit, en méthodes directes et en méthodes indirectes.
Cette division a lieu réeilemert, parce que le double
emploi de la Raison, sur lequel se trouve fondée cette
division, a lieu effectivement. »

« Lies méthodes directes qui portent sur l’emploi pur
de la raison dans la production de l'idéc de l'indéfini ,
se subdivisent naturellement en celles qui remontent
aux élémens indéfinis de l’espace ou de l’étendue, et en
celles qui remontent aux élémens iadéfais du rEmrs
ou des nombres. Les premières formeut la méthode
conpue sous le nom de A/cthode des indivisibles, et les
dernières constituent le Calcul différentiel... »

»—Confondant les applications céomérriQues du calcul
différentiel avecla nature même de ce calcul, qui est pu-
rement ALGORITHMIQUE , comme à l'occasion de la mé-
thode d’exhaustion des anciens, les géomètres ont cru,
encore ici, que la méthode des indivisibles et le calcul
différentiel étaient identiques; et c’est, en effet, en se
fondant sur cette prétendue identité, qu'ils se sont ima-
giné que la vraie découverte du calcul différentiel re-
montait à la découverte de diverses méthodes particu-
lières des indivisibles. C’est une erreur : la méthode des
indivisibles et le calcul différentieltiw”oat de commuu que
l’idée de l’indéfini qui eu est le fondement; mais ces deux
méthodes diffèrent essentiellement dans leur nature pro-
pre de méthodes : l’une porte sur l’indéfini de l’espace
ou de l'étendue, et l’autre sur l’indéfini du temps ou de
nombres; ce qui certainement est toute autre chose, et
exige des procédés essentiellement différens. Pour s’en
convaincre, il suffit de considérer àx abstracto , comme
on le doit, d’une part la génération purement algorith-
mique des fonctions différentielles, et de l’autre part, la
génération purement géométrique des élémens dits in-
divisibles, »

Nous abandonnerons encore ici les développemens

Tong 11,

ME

pour passer aux méthodes indirectes qui, ainsi qu'on

255

vient de le voir plus haut, se trouvent fondées sur
l'emploi de la Raison réunie à l'Entendement , daus la
production de l’indéfini.

» — Dans la réunion de ces deux facultés intellec-
tuelles , l’idée de l’indéfini, considérée objectivement,
comme sur de l'Enteudement, se transforme en idée
de la conriNuITÉ; et considérée subjectivement comme
moyen de l'Entendemeut, elle se transforme en idée de
la DISCONTINUITÉ INDÉFINIE, Ainsi, les méthodes indirec-
tes dont il s’agit, doivent, suivant cette double déter-
mination de l’indéfini, se subdiviser en deux classes ;
les unes fondées sur la loi de continuité, et les autres
sur Ja loi de discontinuité indéfinie. »

» La première classe de ces méthodes est facile à re-
connaître : c’est, en effet, la méthode connue sous le
nom de Â/ethode des limites ou des premières et der-
nières raisons. — Quant à la seconde classe, il faut,
pour la reconnaître, savoir d’abord que la disconti-
nuité indéfinie qui en est le fondement, donne, en
fait d'algorithmie, la sommation indéfinie qui consti-
tue l'algorithme technique des séries (voy. Pair.
pes maru.)\; de sorte que, dans la détermination de la
suite indéfinie des termes formant ces fonctions, doi-
vent entrer nécessairement les premiers élémens de la
génération des quantités qui sont l’objet des séries. Et,
en effet, comme on le sait par le théorème de Taylor
et généralement par notre loi des séries, les fonctions
formant les coefficiens sont des fonctions différentielles
ou infinitésimales. Ainsi, la secoude classe de méthodes
dont il s'agit, doit évidemment porter sur les coeffi-
ciens du développement des fonctions en séries; et,
comme on peut le reconnaitre maintenant avec facilité,
cette seconde classe de méthodes n’est autre que la mé-
thode convue généralement sous le nom de A/éthode de
dérivation, et particulièrement sous le nom de Theorie
des fonctions analytiques.

» Cette déduction

savoir, de la méthode des limites et de la méthode de

des deux dernières méthodes,

dérivation, fixe immédiatement leur véritable carac-
tère. On voit en effet que par suite de cette déduction,
le caractère commun de ces méthodes consiste en ce
qu’elles n’atteignent l’indéfini que dans son RÉSULTAT
(dans son application à l'Entendement), et non dans son
principe (dans la Raison elle-même). De là vient essen-
tiellement qu'à la vérité, ces méthodes peuvent rem-
placer le calcul différentiel, mais qu'en elles-mêmes,
elles ne sauraient être conçues ou expliquées que par le
calcul différentiel, »

Les méthodes infinitésimales primitives se trouvent

donc résumées dans le tableau suivant,

30

ME

ME

Ascension aux élémens indefnis de l'espace ou de
{

l'étendue. — METHODE D'EXAUSTION.

Par Ja fonction nommée induc-

[Ascensien aux élémens indeéfnis,

par Ja faculté du Jugement.

| METHODES PRESOMPTIVES.
{
\

Ascension aux élémens indéfinis,

TABLEAU
des
MÉTHODES INFINITESIMALES
PRIMITIVES.

par la faculté de la Raison.

METHODES DETERMINATIVES.

tion,

METHODES INDUCTIONNELLES.

Ascension aux élémens indéfinis du temps eu des

nombres. — METHODE D'APPROXIMATION,

\ u s
Par la fonction nommée analogie, — METHODFS ANALOGIQUES(elles sont impossibles.)

} Ascension aux élémens indéfinis de l'espace ou de

l'étendue, — MÉTHODE DES INDIVISIBLES.

y Par l'emploi pur de la raison,

MÉTHODES DIRECTES.

Ascension aux élémens indefinis du temps ou des

nombres. — CALCUL DIFFERENTIEL.

, Objectivement, comme but de l'entendement; par
Ja loi de continuité. — MÊTHODE DES LIMITES OU

DES PREMIÈRES ET DERNIERES RAISONS.

Par l'emploi de la raison

réunie à l'entendement,

METHODES 1NDIRECTES.

Telles sont donc, comme le dit M. Wronski, les
seules méthodes infinitésimales primitives qui soient
possibles. Toutes les autres méthodes infinitésimales ne
peuvent être que des méthodes pÉrivées de celle-ci,
ou des méthodes £rronfes. Dans la première classe,
celle des méthodes infinitésimales dérivées, se rangent
l'application ou l'usage infinitésimal de la Aethode des
coefficiens indétermines (par exemple, la déduction
que nous avons donnée par cette méthode du théorème
de Taylor) (voy. Corrriciens), l'Analyse résiduelle de
Landen, et même la Methode des fluxions sous la
forme de laquelle Newton avait d’abord présenté son
nouveau calcul. Dans la seconde classe, celle des mé-
thodes erronées, se trouvent le calcul des évanouts-
santes, le système de compensation des erreurs de
Carnot, et même la théorie des fonctions analytiques
de Lagrange, en la considérant dans son but d’'expli.
quer le calcul différentiel.

METON, astronome de l'antiquité, est surtout cé-
lèbre dans les fastes de la science par le cycle lunaire
de 19 ans, qui porte son nom. En l'an 430 avant Jésus-
Christ, Meton avait observé un solstice à l’aide d’un
gnomon qu'il avaitélevé sur l’une des placesd'Athènes.
Ptolémée à conservé cette ancienne observation, et
s’en est même servi pour établir la longueur de l’année
solaire. La découverte du cycle de 19 ans, qui ramenait

Subjectivement , comme moyen de l'entendement
par la loi de discontinuité indéfinie, — MÉTHODE

\ DE DERIVATION,

la nouvelle lune au même jour de l’année solaire , était
une déçouverte assez importante dans ces temps reculés
pour immortaliser son auteur. Cette gloire a été dis-
putée à Meton, on en a fait tour-à-tour honneur à Phaï-
nus, à Geminus, à Philippe et à Callipe, auteur in-
contesté d’une autre période astronomique ; mais il pa-
rait certain qu'Euctemon, compatriote et ami de Meton,
est celui des astronomes de son temps qui a eu la part
la plus réelie à celui de ses travaux auquel il doit sa re-
nommée. Meton, né à Athènes, vivait dans le v° siècle
avant Jésus-Christ.

MÈTRE. Base de notre système métrique. (7oy.
Mesure.)

MICROMÈTRE (de wixpe, petit, et de persos , me-
sure). C’est un instrument que l’on place dans un téles-
cope au foyer de l’objectif, et qui sert à mesurer de
très petits angles ou de très-petites distances, comme
les diamètres des planètes. Sa description se trouve
dans tous les traités d'astronomie.

MICROSCOPE. (Opr.) (de pixpes, pelit et de s0740,
j'examine). Appareil de Dioptrique, qui sert à grossir
les objets. Il y a deux espèces de microscopes , le sim-
ple et le composé.

Le microscope simple est formé d’une seule et uni-
que lentille ou loupe très-convexe; le microscope

MI

composé est un tube terminé par deux verres dont l’un,
l'objectif, a une distance focale très-petite et dont l’au-
tre, l’oculaire, a une distance focale plus longue. C’est
l'inverse du télescope, Quelquefois cet instrument ren-
ferme plusieurs oculaires.

Le microscope soLaiRE n’est qu’une application de la
lanterne magique ; il est composé d’un miroir qui re-
çoit les rayons du soleil, et auquel on donne une incli-
naison telle qu'il le réfléchit parallèlement à l'horizon
sur une grande lentille; cette lentille réunit les rayons
sur un objet transparent renfermé dans un tube, au-
devant duquel est un microscope simple. Les rayons
qui partent de l’objet, divergent ensuite en traversant
le microscope, et vont peindre en grand, sur un mur
blanc placé à quelque distance, l’image de l’objet. Cet
appareil doit être établi dans une chambre obscure, de
manière que le miroir se trouve en dehors et qu'aucun
rayon lumineux, autre que ceux qui traversent le mi-
croscope, ne puissent y pénétrer.

Le microscope à gaz, qui depuis quelques années
excite la curiosité du public, est simplement un mi-
croscope solaire éclairé par la flamme d'une combinai-
son de gaz en état d’ignition.

MIDI. (454.) C'est le moment où le centre du soleil
se trouve dans le méridien. { P’oy. ÉqQuarion pu Temps.)

On nomme quelquefois le sud le rridi. (Foy. Sun.)

MILIEU. Nom que l’on donne en physique aux
corps au travers desquels d’autres corps peuvent semou-
voir; l'air par exemple est le zailieu dans lequel se
meuvent les corps terrestres, les hommes et plusieurs
animaux ; l’eau est le milieu dans lequel se meuvent les
poissons ; les corps transparens sont les milieux au
travers desquels la lumière se meut.

MINIMUN. (4{g.) Voy. Maximum.

MINUTE. {Géom.) C'est la soixantième partie d’un
degré. (Joy. ce mot.)

MIROIR. (Catop.) Corps poli , susceptible de réflé-
chir les rayons de la lumière. (7’oy. Caroprrique.)

MIXTILIGNE. (Géom.) On donne ce nom aux figu-
res terminées en parties par des linges droites et en
parties par des lignes courbes.

MOBILE. (Yec.) Un mobile est tout ce qui peutètre
mis en mouvement. C’estle terme général dont onse sert
en mécanique pour désigner les corps que l’on conçoit
soumis à l’action des forces motrices.

MODULE. (44g.) C'est le rapport constant qu'il y a
entre le logarithme d’un nombre pris dans un système

quelconque, et le logarithme naturel de ce même nom-
bre. l’oy, Locanrame.

MOINS. Mot que l’on remplace en algèbre, par le

MO

signe — , qui désigne une soustraction. Ainsi, A—B,

200

signifie À moins B.

MOIS. C’est la douzième partie de l’année. (Woy.

CALENDRIER.)

MOIVRE (Asranam), géomètre distingué, naquit en
1667, à Vitry en Champagne. Il se livra de bonne
heure , mais secrètement, à l'étude des mathématiques,
science que son professeur particulier plaçait fort au-
dessous de la connaissance du grec. Il fit ensuite ses
cours de philosophie à Saumur et à Paris; et son père,
cédaut enfia à ses iustances, lui donna Ozanam pour
professeur de la science vers laquelle il était entrainé
par d'heureuses dispositions naturelles. La révocation
de l'Édit de Nantes força Moivre à s'expatrier ; il passa
en Angleterre, où il vécut du produit de l'enseigne-
ment des mathématiques, auquel il fut obligé de s’a-
donner. La lecture du célèbre livre des Principes de
Newton lui fit entrevoir sous un jour tout nouveau la
science, dont il croyait avoir atteint les plus hautes vé-
rités. Ce livre devint pour lui l’objet de nouvelles et
laborieuses études. Il commença alors à se faire connai-
tre par des mémoires sur diverses branches des mathé-
matiques, que Halley communiquait à la société royale
de Londres , au sein de laquelle il fat admis en 1697.
Newton lui-même, dont il se proclamait le disciple,
l’honora de son amitié, et Leibnitz, qui eut occasion de
le voir en Angleterre , fit d’inutiles démarches pour lui
faire obtenir une chaire dans l’une des universités d’Al-
lemagne. Moivre fut, quelques années après, désigné
parmi les commissaires choisis par la société royale de
Londres pour prononcer sur la contestation élevée entre
Leibnitz et Newton au sujet du calcul intégral. Ce fut
vers ce temps que Moivre publia son traité du calcul des
probabilités. Nous exposerons ailleurs la méthode qu’il
a suivie dans cette branche intéressante de la science
des nombres. (Foy. Prosamirirés.) Moivre parvint à une
extrême vieillesse; il mourut le 29 novembre 1754, à
l’âge de quatre-vingt-sept ans. Peu de temps avant sa
mort, l'Académie des sciences de Paris l'avait reçu au
nombre de ses membres; il faisait partie de celle de
Berlin. Il existe dans les 7'ransactions philosophiques
de nombreux mémoires de Moivre. Il a laissé en outre :
1° The doctrine of chances, Londres, 1716, 1738,
1956 : cette dernière édition posthume du Traité des
probabilités de Moivre est la plus complète ; 2° Miscel-
lanca analytica de seriebus et quadraturis, Londres,
1730, in-4, ouvrage remarquable, dans lequel Moivre
a déposé le recueil de ses découvertes et des méthodes
qu'il avait employées pour y parvenir; 3° Annuities on

lives (des rentes à vie), 1b., 1724, 1742,

1720, in-8.
Moivre a revu et publié la traduction latine de l'op-

tique de Newton.

250 MO

MOMENT. {(Hcce.) Où nomme généralement, en sta-
tique, moment d'une force le produit de cette force par

une droite.

Il y a différentes espèces de momens ; suivant la na-
ture de la droite qui sert de facteur. Ainsi, lorsque le
moment d'une force est rapporté à un plan ou à une
droite, ce facteur est la perpendiculaire , abaissée du
point d'application de la force, sur le plan ou la droite;
lorsque le z#70ment est rapporté à un point, que l’on
nomme alors centre des momens, ce facteur est la per-
pendiculaire abaissée du centre des momens sur la di-
rection de la force.

La théorie des momens forme une partie importante
de la statique. (Joy. ce mot.)

MONGE (Gaspar), l’un des plus célèbres et des plus
savans géomètres modernes, naquit à Beaune en 1546.
L'histoire de la science ne retrace que peu de carrières
marquées par autant de travaux, d'activité et de succès
que celle de cet illustre professeur, dont le nom sera à
jamais populaire en France. Le père de Monge n'était
qu’un pauvre marchand forain, mais c'était en même
temps un homme de bon sens qui ne négligea rien pour
l'instruction de ses trois fils que des dispositions commu-
nes entrainaient vers les scieuces, La supériorité que ma-
nifesta bientôt le jeune Gaspar et la célébrité qu’il a de-
puis acquise ont fait oublier ses deux frères, dont l’un a
été examinateur de la marine, et l'autre professeur d’hy-
drographie à Anvers. Du collége des Oratoriens, de
Beaune, où il reçut les premières notions des mathéma-
tiques, Monge fut envoyé à celui de Lyon, tenu par les
religieux du même ordre, pour y achever ses études. A
seize ans, il prit place à côté de ses maitres, et occupa
une chaire de physique. Un offcier supérieur du génie
avant vu le plan de Beaune, que Monge avait levé sur
de larges dimensions, sans le secours des instrumens les
plus indispensables , le recommanda au commandant de
l’école de Metz, fondée pour les officiers de cette 4rme.
Malheureusement les institutions du temps ne permet-
taient point à Monge d’y être reçu comme éiève. L’hum-
ble naissance et la pauvreté de ce jeune homme déjà si
remarquable, étaient des obstacles alors invincibles.
Néanmoins il consentit à y entrer comme élève conduc-
teur de travaux, et dessinateur. Le génie de Monge s’in-
dignait de l'obscurité à laquelle le condamuait les pra-
tiques spéciales auxquelles il était destiné. Mais dans
cette situation même, il ne tarda pas àtronver un moyen
de débuter avec éclat dans la carrière des découveites.
Aux longs calculs que nécessitait une opération de déf-
lement, il substitua une méthode géométrique et géné-
rale, non moins sûre, mais plus expéditive, pour arriver
à la solution du problème. Il n'avait alors que dix-neuf

aus, et Bossut, qui prefessait les mathématiques à Mé-
? 4

MO

zières, l'accepta pour son suppléant, et bientôt après il
remplaca l'abbé Nollet dans sa chaire de physique. Dès
ce moment, le jeune Monge, maître de son avenir et
délivré désormais des conditions bumiliantes qui avaient
entravé ses premiers pas dans la carrière, s’'abandonva à
toutes les inspirations de son génie. Il ÿ a entre lui et
l'illustre Leibnitz ce point de conformité que tous deux
dédaigoant de suivre dans les livres de leurs devanciers
ou de leurs contemporains la marche de la science, s’ex-
posèrent à se voir eulever ou disputer la priorité des vé-
rités qu'ils avaient recueillies. Ainsi Monge découvrit la
production de l’eau par la combustion de l'air inflam-
mable, sans savoir qu’il avait été prévenu par Cavendish
dans cette importante découverte. Il se livrait en même
temps, à cette époque, à des recherches curieuses sur
les gaz, l'attraction moléculaire, les effets d'optique,
l'électricité, la météorologie, et jetait en mathématiques
les premiers fondemens de cette doctrine neuve et fé-
conde, qui a reçu le nom de Géométrie descriptive, et
dont la production est un de ses principaux titres à l’ad-
miration de la postérité.

Le génie de Monge était essentiellement synthétique,
c'est le caractère de ses ouvrages et de ses découvertes.
Tout abréger pour toutembrasser d’un coup d'œil, tout
résumer pour exprimer tout dans une pensée, telle est
la formule constante qu’on le voit employer dans ses tra-
vaux. Uae telle disposition d’esprit lui rendait presque
désagréable l'exposition écrite de ses recherches scienti-
fiques; et ce fut la nécessité dese faire des titres aux hon-
neurs académiques qui le détermina d’abord à publier
divers mémoires sur le calcul intégral. Ce fut seulement
en 1780 que Monge, déjà célèbre, fut nommé membre
de l’Académie des sciences. Cet esprit ardent et fier, qui
avait eu à souffrir dans sa jeunesse de l'injustice des pré-
jugés et des vices des institutions vieillies de son pays,
accepta, avec l’enthousiasme qui le distinguait, les espé-
rances que la révolution française inspira quelque temps
aux meilleurs esprits. Nous n'avons point à nous occuper
ici de la carrière politique de Monge, quoique l’homme
public n’eût jamais fait oublier en lui le savant, et il
nous suffira de dire que dansles grandes circonstances où
se trouva la France, quand Monge fut appelé au pou-
voir, ilse montra constamment digne des respects qui
entourent sa mémoire, aujourd’hui que le temps com-
mence à effacer les fâcheuses impressions de l'esprit de
parti. Il n’est pas vrai que Monge ait coopéré par aucun
vote à la mort de Louis XVI. Nommé ministre de la
marine lors de l'insurrection du 10 août, il l'était en-
core au moment de cet évènement douloureux, et c’est
seulement comme membre du gouvernement qu'il dut
concourir avec ses collègues à l'exécution de l'arrêt de
la Convention. Mais les actes personnels de ce savant , à

cette désastreuse époque, le lavent d'ailleurs complète-

MO

ment des injustes accusations que ses fonctions politiques
lui attirèrent plus tard, en le montrant digne, sous tous
les rapports, de la reconnaissance de la France. C'est à
son activité et à son génie que la république dutle réta-
blissement de la marine; et d’ailleurs, désabusé de bonne
heure des espérances qui l'avaient entraîné dans le mou-
vement de la révolution , il donna sa démission au mois
d'avril 1793. Monge s'empressa néanmoins de répondre
à l'appel que la Convention fit aux savans, quand le ter-
ritoire de la France fut menacé d’une invasion euro-
péenne. Il a contribué pour une grande part à ce dé-
ploiement extraordinaire de force, qui fera l’étonnement
de la postérité et qui sauva alors le pays de malheurs
plus grands que ceux qu’il eut à supporter. Monge pas-
sait les jours et les nuits dans les manufactures d'armes,
les fonderies, les foreries, les poudrières, à surveiller
les travaux, à en simplifier l'exécution. C’est dans cette
période de sa vie, dont l’activité est presque incroyable,
qu'il trouva les moyens de publier l'art de fabriquer
Les canons, une instraction sur la fabrication de l'acier,
et enfin sa Géométrie descriptive. C’est à Monge qu’on
doit le rétablissement de l'instruction publique en
France, c'est par son influence et d’après ses plans que
furent successivement fondées les écoles Normale et Po-
lythccnique. C’est à son expérience des procédés méca-
niques qu’on doit le déplacement des chefs-d’œuvre de
l'Italie, qui vinrent orner les Musées de la France. Ces
travaux si divers, et dont les résultats étaient si faciles à
apprécier, acquirent à Monge une grande influence po-
litique, et à son nom une popularité éclatante; deux fois
à cette époque il fut porté comme candidat au Direc-
toire. Mais alors l'enthousiasme de Monge avait changé
d'objet ; et il s'était attaché au jeune conquérant de l'I-
talie, avec une sincérité qui ne se démentit jamais. Il fit
partie de l'Institut d'Egypte; et , après s'être distingué
dans cette mémorable expédition, par son zèle pour la
science, il revint paisiblement reprendre sa place de pro-
fesseur à l’école Polytechnique dont les élèves le sa-
luèrent du titre de père. Ce fut pour lui un chagrin bien
amer que l’organisation militaire qui changea, sous Na-
poléon, l'esprit etle but de cette glorieuse institution.
Monge lutta vivement , dans cette circonstance, contre
la volonté de son héros, et, ne pouvant triompher de
son obstination, il abandonna son traitement de profes-
seur aux élèves peu favorisés de la fortune, que des ré-
glemens absurdes auraient éloignés de l'école. L'’admi-
ration de Monge pour Napoléon ne fut point une de ces
palinodies honteuses et serviles qui font tant de ta-
ches dans l’histoire moderne. Son caractère noble et
désintéressé ne se démentit jamais, et ce fut au nom
de leur ancienne amitié que l’empereur parvint à
triompher de son abnégation et à lui faire accepter les
honneurs dontill’accabla. Monge futsuccessivement pro-

MO 9257

mu à la dignité de sénateur, à celle de comte de Peluse,
il reçut le cordon de grand-officier de la légion d'hon-
neur et de la Réunion, et fut pourvu d’un riche majorat
en Westphalie, La chute de l'Empire, la dis'ocation
de l’école Polytechnique, le bannissement des conven-
tionnels, la radiation aussi injuste qu’arbitraire de l'In-
stitut, le frappèrent au cœur; il tomba dans une pro-
fonde mélancolie, et ne fit plus que mener une existence
pénible etsouffrante jusqu’au 28 juillet 1818, où il mou-
rut vivementregretté de ses nombreux amis, et empor-
tant dans la tombe l’estime de ses ennemis politiques.
Les bornes qui nous sont imposées ne nous ont pas per-
mis de donner plus de développemens à ce rapide énoncé
de la vieet des travaux de Monge ; il est heureusement
de ce petit nombre d'hommes dont le nom rappelle l'il-
lustration , et qui, faisant partie des gloires d'un pays,
n’a besoin que d’être prononcé. Monge a publié séparé-
ment : I. Traité élémentaire de statique, Paris, 1786,
in-8, 46. 1819, 5° édition. If. Description de L'art de
fabriquer les canons, Paris, an ur, in-4°. HT Zecons de
géométrie descriptive, Paris, an nt, id. 1813, in-8°, 3°
édit. IV. Application de l'analyse à la géométrie des
surfaces du premier et du deuxième degré, 4° édit., Pa.
ris, 1809 in-4°. On trouve dans la Collection des savans
étrangers, et dans les Mémoires de l’Institut et de l'A-
cadémie des sciences, de nombreux mémoires de Monge
sur les diverses branches des sciences mathématiques et
physiques. (Joy. l'Eloge de Monge, par Bertholet, et
Essai historique sur les services et les travaux scientifi-
ques de Monge, par le baron Dupin.)

MONOCORDE.(Acoust.) Instrument composé d'une
seule cord: sonore dont les anciens se servaient pour
déterminer les rapports numériques des sons. Nous

avons donné ces rapports au mot HanmoxiQue.

MONOME. (Alg.) Quantité composée d'une seule
partie ou d’un seul terme, comme «a, ax, a’bx, etc.

(Foy. BinomE.)

MONTUCLA (Jan Ériennr). Ce savant historien
des sciences mathématiques , naquitàa Lyon en 1925, il
fit ses études au collége des Jésuites ea cette ville, et s'y
distingua de bonne heure par son application à l'étude
et l'éclat de ses progrès. Il manifesta surtout des dis-
positions remarquables pour la science dout il entreprit
plus tard d'écrire l’histoire , et pour la langue étran-
gère qu'il apprenait avec une merveilleuse facilité.
Montucla était d'une famille pauvre, il demeura orphe-
lin à seize ans, et vint à Paris pour perfectionner son
éducation. Dans un âge si tendre, l'étendue de ses con-
naissances et la bienveillance de son caractère, appelè-
rent sur lui l'intérêt de plusieurs savans, tels que d'A-
lembert, Cochin, Leblond etc. : leurs conseils et leur

258 MO

appui lui furent également utiles. Admis à la rédaction
de la Gazette de France, journal qui avait alors une
grande célébrité littéraire, et désormais à l'abri du be-
soin, il commença à rassembler les matériaux de son
Histoire des mathématiques, ouvrage aussi vaste qu'im-
portant, que son érudition et ses connaissances appro-
fondies des théories les plus élevées de cette science, le
rendaient apte à accomplir : la première édition parut
en 1758. On admire dans ce livre l'étendue des recher-
ches et la clarté avec laquelle sont exposées les décou-
vertes successives opérées dans les sciences. Néanmoins
le plan général de l'ouvrage , le meilleur et le plus
complet que nous possédions encore sur cet intéressant
sujet, n’est pas à l'abri de tout reproche. Peut-être le
récit est-il trop souvent interrompu par de longues dis-
sertations et des expositions de théorie dont l’auteur
avait seulement à constater l’origine, la marche et les
progrès. Il serait à désirer aussi qu’un pareil travail se
fit remarquer par des aperçus généraux plus philoso-
phiques, et une classification plus chronologique et plus
méthodique des faits. Il est aussi intéressant qu’instruc-
tif, eneffet, de suivre les développemens de l'esprit
humain dans leur ensemble; et la grande leçon qui doit
ressortir de ce merveilleux tableau, est beaucoup moins
facile à saisir, quand on est obligé de remonter le cours
des siècles pour chacune des branches du savoir. Mon-
tucla travaillait à la seconde partie de cet ouvrage,
quand après de longues vicissitudes, il mourut à Ver-
sailles le 18 décembre 1799. Ce fut Lalarde qui se char-
gea de terminer l'œuvre de Montucla , et il faut avouer
qu’il n’a pas toujours été aussi heureux que son ami; les
deux derniers volumes auxquels il a eu quelque part,
sont très inférieurs aux deux premiers, sous tous les
rapports. Néanmoins, l'Histoire des mathématiques de
Montucla, restera comme un rare monument d’érudi-
tion et de savoir, en attendant que cet important sujet
soit de nouveau traité par quelque habile écrivain qui
ne recule pas devant les difficultés sans nombre d’un pa-
reil travail. Montucla était membre de l’Académie de
Berlin et de l'Iustitut depuis sa création. Outre l’ou-
vrage dont nous venons de parler, onadelui :I. His-
toire des recherches sur la quadrature du cercle, Paris,
1954,in-12. IL. Récréations mathématiques d’Ozananm,
nouv, édit., 1778, 4 vol. in-8°. (Ce titre porte, par M.
C. G. F. ce qui signifie Chanla, géomètre forésien ;
c’est le nom d’un petit domaine queles parens de Mon-
tucla avaient possédé dans le Forez.) Fay. le deuxième
volume de l'Histoire des mathématiques, en tête du-
quel est le portrait de Montucla et un extrait de son
éloge, par Savinien Leblond.

MOTEUR. On donne ce nem à tout ce qui produit
un mouvement, Dans une montre, par exemple, c’est le

MO

ressort qui est le moteur; dans une horloge, c'est le

poids; dans un moulin, c’est l’eau ou le vent, etc.

MOUFFLE. (Méc.) Machine composée d’un assem-
blage de poulies, dont les unes sont fixes et les autres
mobiles , qui sert pour élever de grands fardeaux. Nous
en donuerons la théorie au mot Pour.

MOUVEMENT. (Méce.) Etat d’un corps dont la dis-
tance par rapport à un point fixe change continuelle-
ment. (Ÿoy. MECANIQUE.)

La matière inorganique n'étant pas susceptible de dé-
terminations intérieures , tout mouvement suppose
une force extérieure qui le produit ; comme aussi
toute interruption de mouvement suppose une force
contraire qui le détruit, car la matière ne peut par elle-
même changer son état. Cette persévérance des corps
matériels dans leur état de repos ou de mouvement ,
est fondée sur la loi d'inertie , laquelle ne résulte pas
seulement de l'indifférence de la matière pour un état
quelconque , mais bien des forces primitives qui la
constituent. (Foy. NATURE.)

Tout mouvement peut être considéré sous le rapport
de sa direction, c'est-à-dire, sous le rapport de l’espace
décrit comme tendance vers un même point. Si le corps
en mouvement n’obéit qu’à une seule force ou à plu-
sieurs semblablement dirigées, il se meut d’un mouve-
ment simple , et sa direction est une ligne droite. Si le
mouvement est produit par l'action simultanée de plu-
sieurs forces différemment dirigées, il devient composé
et s'exécute suivant une direction moyenne entre toutes
celles des forces concourantes , et cette direction est en-
core une ligne droite lorsque le rapport des forces ne
change pas pendant toute la durée du inouvement ; mais
si ce rapport varie, la direction varie elle-même; le
mouvement s'effectue alors dans une ligne courbe ou
suivant des portions de lignes droites, formant ensem-
ble des angles plus ou moins obtus. Pour rendre ceci
plus sensible, considérons un point matériel À , soumis
à l’action de deux forces ; dont l’une tend à lui faire
prendre la direction AM , et l’autre, la direction AN.
(PI. 47, fig. 2.) Si nous représentons par AC l'intensité
de la première force ou l’espace qu’elle tend à faire par-
courir au point À dans l’unité de temps, par AD, l'in-
tensité de la seconde force, et que nous construisions le
parallèlogramme ABCD, la direction réelle du point À
sera la diagonale AB, dont la grandeur représentera en
même temps l'intensité de la force unique que l’on peut
supposer remplacer les deux forces en question. (Foy.
Force.) Or, si le rapport des deux forces primitives est
invariable, le point À continuera à se mouvoir dans la
direction AP, c’est-à-dire toujours en ligne droite : mais
si, au contraire ; le rapport des forces varie et qu'au

EE

MO

poiut B, l'intensité de la première forceétant toujours
BC' on AC, celle de laseconde devienne BD', on devra
considérer, à ce point B, le point matériel comme sou-
mis à l’action des deux forces BC’ et BD’, ou seulement
à celle de leur résultante BB', ainsi la direction du
mouvement qui avait lieu suivant la droite AB se bri-
sera en B pour devenir BB' et ainsi de suite. Il devient
donc évident que dans le cas où le rapport des deux for-
ces changerait à chaque instant , la direction varierait
également à chaque instant et que l’espace décrit serait
une ligne courbe ; ce que nous venons de dire pour
deux forces s'applique sans difficulté à un nombre quel-
conque de forces.

Le mouvement en ligne courbe ne peut donc jamais
être l’effet d’une seule force : il ne suffit pas même qu'il
yen ait plusieurs qui agissent en même temps, il faut
encore que ces forces changent de rapports entre elles.

Mouvemenr unirorme. C’est celui dont la vitesse est
toujours la même, c’est-à-dire , dans lequel des espa-
ces égaux sont décrits dans des temps égaux. — Les
forces qui produisent de tels mouvemens sont elles mê-
mes uniformes.

Mouvement vari£. C’est celui dont la vitesse varie ou
dans lequel des espaces inégaux sont décrits dans des
temps égaux. De tels mouvemens sont produits par des
forces dont l'intensité varie. (Foy. AccÉLÉRE.)

Mouvement RECTILIGNE. Celui qui s’effectue en ligne
droite.

MouvemeNT cuRVILIGNE. Celui qui s'effectue en ligne
courbe.

MOUVEMENT CIRCULAIRE, (W’oy. CENTRAL.)

MOUVEMENT DE ROTATION. (f’oy. Rorarion.)

Mouvement ABsOLU et RELATIF. (Ÿ’oy. MECANIQUE.)

En astronomie, le mouvement reçoit diverses quali-
fications telles que diurne, annuel, horaire, sidéral, etc.
(l’oy. ces mots.)

MOYEN. En astronomie, ce terme s'applique à tou-
tes les quantités qui sont également différentes , ou qui
tiennent le milieu, entre les plus grandes et les plus pe-
tites valeurs dont se trouvent susceptibles les mêmes
objets. Ainsi on dit le mouvement moyen, le lieu
moyen , la parallaxe moyenne, le temps moyen, l'ano-
malie moyenne, le diamètre moyen, etc. (Foy. PLa-
nère, et les divers articles qui se rapportent à ces mots.)

Moyen PROPORTIONNEL OU MOYENNE PROPORTIONNELLE,
(Ælg.) Lorsque dans une proportion le conséquent du
premier rapport est égal à l'antécédent du second, la
quantité commuñe qui forme ces deux termes prend le
nom de moyenne proportionnelle ; arithmétique ou
géométrique, selon la nature de la proportion. Foy.
ProponTIoN.

Moyenne Et EXTRÈME RAISON. On dit qu'une quantité

MU 259

est partagée en moyenne et extréme raison, lorsqu'une
de ses deux parties est moyenne proportionnelle géomé-
trique entre la quantité entière etson autre partie. (}o7.
ArPL. DE L'ALG.A LA GEOM. ; 14.)

MULLER (1Ean), géomètre et astronome célèbre du
xv'siècle, plus connu sous le nom de ReciomoNTaAnus,
naquit au village d'Unfind, près Kænisberg, ville de
la Saxe Hildburghausen, le 6 juin 1436. Il fit ses études
à Leipzig, où son penchant pour l'astronomie se mani-
festa de bonne heure; à quinze ans il partit pour Vienne
où Purbach, enseignait avec éclat cette science à l'Uni-
versité de cette ville. Le jeune professeur eccueillit
avec intérêt le jeune disciple, qui se présentait à lui
avec des connaissances déjà assez étendues, pour qu’il
pût l’associer bientôt à ses travaux. Ils observèrent en-
semble quelques éclipses et une conjonction de mars,
qui leur donna l’occasion de réformer quelques erreurs
des tables alphonsines. Le cardinal Bessarion avait de-
mandé à Purbach un abrégé de l’Æ/magiste, en langue
latine; cet astronome attachait aussi lui-même une
grande importance à ce travail; mais il mourut tout-à-
coup à l’âge de trente-neuf ans, laissant à Muller sou
disciple et son ami, le soin de continuer cette entre
prise. Ils avaient dù faire ensemble le voyage d'Italie,
pour s’y fortifier dans la connaissance de la langue
grecque ; car c'était à cette époque que les savans de la
Grèce, après le désastre de leur patrie, cherchaient de
Italie : Muller

voyage. C’est dans ce pays qu'il entreprit ce nombre

toutes parts un refuge en fit seul le
prodigieux de travaux scientifiq ues qui étonnaient l’ima-
gination par la multiplicité des connaissances et l’acti-
vité sarhumaine qu'ils supposent dans leur auteur. Le
simple énoncé des ouvrages de Muller, dépasserait de
beaucoup les bornes de cette notice : il noussuffira, pour
attester les services qu'il a rendus à la science, de don-
ner la liste de ceux qui ont été imprimés. Purbach et
Regiomontanus sont incontestablement les régénéra-
teurs de l'astronomie moderne; et si la mort ne les eût
frappés tous deux à la fleur de l’âge, il est probable que
la réformation complète de cette science eût été le ré-
sultat de leurs travaux. Tous deux avaient reconnu les
impossibilités et les invraisemblances des hypothèses de
Ptolémée, ils avaient médité profondément sur la sim-
plicité majestueuse du système de Pythagore ; mais la
gloire de reconnaître le mouvement de la terre et d’eu
faire la base de l'astronomie, était réservée à un au-
tre. Au nombre des services que Regiomontanus a ren-
dus à la science, il ne faut pas oublier la fondation de
la célèbre imprimerie qu'il fonda à Nuremberg, et
qu'il trouva le temps de diriger , sans cesser de se li-
vrer à l'observation et à la rédaction de ses écrits. Cet

illustre savant, à peine âgé de quarante ans, mourut à

240 MU

Rome le 6 juillet 1476, laissant inaccomplis une foule de
grands desseins, dont la seule pensée honore son géuie.
IL fut enterré au Panthéon, Voici d’après Delambre,
la liste la plus complète qu’on ait publiée des écrits de
Jean Mulier, L Joannis Regiomontani ephemerides

astronomica, ab anno 1475, ad annum 1506, Nurem-
berg, in 4°. IL. Disputationes contra Gherardi cremo-
nensis in planetarum theoricas deliramenta ib. 1474,
in-folio. ALL. Tabula magna primi mobils cum usé
muluiplici, rationibusque certis, tb. 1475. IV. Fun-
damenta operationum quæ fiunt per tabulam genera-
lem, Neubourg 1555. V. Kalendarium novum, Nu

remberg, 1476 in-4". Voy. relativement à ce calendrier,
l'Histoire de l'astronomie au moyen âge par Delam-
bre, qui eu donne dans cet ouvrage une description dé.
taillée et curieuse.) VI. Tabulæ directionum præfec-

VA

435 in-4°.

tionumque, Venise 14 (Réimprimé depuis
plusieurs fois avec une table des sinus, etc. VIT."47-
manach ad annos 18 ab anno 1489. VII. J. R et
Georgii Purbachii epitonia in almagestum Ptolemeær,
Venise, in folio, 1496. IX. Æphernerides incipientes
ab anno 1473, Venise, 1498, in-4°. X. Tabulæ eclp-
sium Purbachi ; tabulæ primi mobilis à Monteregis, ib.
in folio 1515. XI. Problemata XVI de cometæ longrut-
dine, magnitudine et loco vero, Nuremberg 1531.
XII. Problemata XXIX sapheæ nobilissimt instru-
menti à J. de Monteregio, ib. 1534. C'est la descrip-
tion d’un instrumeut que Muller appelle saphie et qui
ressemble beaucoup à l'analemme. XIIT. Observationes
30 annorum à Joann. Regiomontano et B. Falthero
Norimbergæ habitæ.…. scripta clarissimi mathematici
de torqueto, astrolabio armillari, reguld magn& Pto-
lemaïca, baculoque astronomico , ib. 1544 im-4°. Snel-
lius a donné, avec quelques changemeas dans le titre,
une édition plus correcte de cet ouvrage. Leyde, 1618.
XIV. De triangulis planis et sphericis libri VF unà
cum tabulis sinuum, sans date, etc. (Foy. vie de Regio-
montanus par Gassendi.)

MULTINOME. (Alg.) (Foy. PoLyNome.)

MULTIPLE. (44) Un nombre qui en renferme un
autre comme facteur est dit multiple de cet autre.
Aivsi 8 est multiple de 4 ; 15 est multiple de 5, etc. Es
général , si l'on a M — P.Q,M est multiple de P ou
de Q.

Un por MULTIPLE, en géométrie, est un point com-
mun d’intersection de plusieurs branches d’une même

courbe qui se coupent. {F’oy. Poixr.)

MULTIPLICANDE. Nom que l'on donne en arith-
métique à l’un des deux facteurs qui entrent dans un
produit, c'est celui qui est considéré comme devant
être multiplié par l’autre.

MULTIPLICATEUR. Nombre par lequel on multi-

MU

plie un autre nombre qui reçoit le nom de multipl-

cande. (Foy. Murripricariox.)

MULTIPLICATION. {4/g.) Une des six opérations
élémentaires fondamentales de Ja science des nombres.
Elle a pour objet de trouver le produit de deux fac-
teurs. (Foy. Norioxs PRÉLIM. 3.)

1. Considérée dans son origine et d’une manière pu
rement arithmétique, la multiplication est un procédé
de calcul à l'aide duquel on obtient la somme de plu-
sieurs nombres égaux d’une manière plus prompte que
par l'addition de ces nombres. En examinant une telle
addition , par exemple :

848484848240,

on voit que la somme 40 est formée de 5 fois le nombre
8, c'est-à-dire qu’elle est entièrement déterminée par
les deux nombres 5etS. De même, l'addition successive
de 634, neuf fois avec lui-même donnant 5706, il e:t
évident que ce dernier nombre cst encore entièrement
déterminé par les deux nombre 634 et 9. Or, trouver
d'une manière directe le nombre quise trouve ainsi dé-
terminé par le concours de deux autres nombres, sans
passer pour une addition successive, c’est proprement
le but de la multiplication. Alors, on ne dit plus que
8 ajouté cinq fois à lui-même donne 40 pour somme, où
que 634 ajouté neuf fois à lui-même donne 5706 pour
somme, mais que 8 zauliplié par 5 donne 40 pour
produit, ou que 624 mudüplié par Q donne 5506 pour
produit. Examinons donc comment le procédé suivi
dans l'addition pourra nous conduire au procédé qu'il
faut suivre dans la multiplication, ce dernier ne pou-
vaut être qu’une généralisation du premier. Pour cet

effet, ayant écrit, comme il suit, neuf fois 634 ,

634
634
634

634
634
634

Somme — 5706

et procédant à l'addition , nous remarquerons que, la
colonne des unités n’étant composée que d'un même
chiffre 4, au lieu de dire 4 et 4 font 8, 8 et 4 font 12,
12 et 4 font 16, etc., on pourrait dire tout de suite neuf
fois 4 font 36, et alors écrire 6 sous la colonne des unités
et retenir 3 pour ajouter à la somme dela colonne des
dixaines. Par la méme raison, au licu d’effectuer succes-

1|
l
|
|

MU

sivement l'addition des chiffres de la colonne des dixai-
nes, on peut dire tout de suite neuf fois 3 font 27, ce
qui, avec 3 de retenus, font 30 ; ainsi posant zero sous la
colonne des dixaines, on retiendra de nouveau 3 pour
ajouter avec les centaines dont la somme peut de même
s'obtenir immédiatement en disant zeuf fois 6 font 54
et 3 de retenus , 57, qu'on écrit pour terminer l'opéra-
tion. On pouvait donc se dispenser d’écrire neuf fois le
nombre 634 ; il suffisait de l'écrire une seule fois, en
plaçant 9 au-dessous pour iudiquer la nature du procédé
que nous venons de suivre; on aurait eu simplement, de

cette manière ,
634
9

Produit, = 53oû

2. Ce procédé que nous étendrons plus loin à des
nombres quelconques, suppose que l’on connait immé-
diatement nerf fois 4, neuf fois 3 et neuf fois 6, ou,
généralement , les produits des nombres simples entre
eux , c’est-a-dire les produits des nombres 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7,8, 9. Ainsi il faut d’abord construire ces produits
simples , car sur cette construction seule repose la pos-
sibilité du procédé abrégé d’addition qui constitue la
muliplication.

Le premier moyen qui se présente à l'esprit pour
construire le produit de deux nombres simples tels que
5 et 4, est d'ajouter 5 quatre fois à lui-même, la somme
20 de cette addition,

5+5+5+5— 0,

étant une fois fixée daus la mémoire on n'aura plus be-
oin de recommencer cette opération. Ainsi il ne s'agi-
rait donc que de construire, une fois pour toutes , tous
les produits de deux à deux des chiffres simples de no-
tre système de numération, ou de tout autre système
dont on voudrait se servir. Mais il existe un moven
plus simple de former ces produits les uns au moven
des autres, en procédant comme il suit :

Ayant écrit les neuf chiffres simplesde notre système
de numération sur une même colonne horizontale , on
ajoutera successivement chacun de ces chiffres à lui-
mème et on écrira les résultats au-dessous, sur une se
conde colonne , ce qui donnera

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2410 8, 10,-12, 14, 10,10:

Chaque nombre de cette seconde colonne sera le pro-
duit du chiffre correspondant de la première par 2.

En ajoutant successivement chaque chiffre de la pre-
mière colonne avec le nombre qui lui correspond dans
la seconde, on formera une troisième colonne qui con-

TOME 1

Le 241

tiendra évidemment les produits de; chiffres de la

première par 3.

/

3, 6; 9; 18:27:24; 27:

En ajoutant successivement de nouveau chacun des
chiffres de la première coloune avec le nombre qui lui
correspond dans la troisième, on formera une quatrième
colonne qui coutiendra les produits par 4 de ces chif-
fres simples, Continuant toujours de la méme mamicre,
on construira définitivement la table suivante, dans la-
quelle tous les produits de deux à deux des chiffres sim-

ples se trouvent réunis.

[HI GE
clælalsls

Il résulte visiblement de la construction de cette table,
attribuée à Pythagore, que pour trouver le produit de
deux chiffres simples 7 et 8 par exemple, il faut com-
mencer par chercher 7 dans la première colonne hori-
zontale et descendre verticalement jusqu’à la huitième
colonne horizontale; le nombre 56 que l’on trouve au-
dessous de 7 dans cette huitième colonne est le produit
de 7 par 8. On aurait obtenu le même résultat en pre-
nant d’abord 8 dans la première colonne et en descen
dant à la septième, parce que 8 multiplié par 7, ou 7
multiplié par 8 sont la mème chose. (Foy. ALGEBRE, 7.
3. Les produits des nombres simples étant ainsi con-
ous , rien n’est plus facile que de faire une maultiplica-
tion. Soit par exemple à multiplier 48654 par 5; nous

aurons , en nous servant des désignations consacrées,

48654...... mulliplicande.

5...... mulliplicateur.

243270...... produit.

C'est-à-dire, qu'après avoir écrit 5 sous 48654, on dit:
’ il } L

5 fois 4 font 0, je pose o et retiens ; 5 fois à font 25

+ >] ;
et > de retenus font 27, je pose 7 et retiens 2; 5 fois 6
font 30 et 2 de retenus font 32 , je pose 2 et retiens 3;
Je?
5 fois 8 font 40 et 3 de retenus font 43, je pose 3 et re-
tiens 5 ; enfin, 5 fois 4 fout 20 et 4 de retenus font 24, je
, Ll il bJ

pose 24. D'où il résulte que 5 fois 48654 est égal ü
243270.

o1

242 MU

4. Pour multiplier un nombre quelconque par 10, il
suffit d'écrire un zéro à sa droite, c'est ainsi que 48X 10
devient 480. La raison de cette règle est évidente , car
chacun des chiffres qui composent le nombre proposé
étant reculé d’un rang vers la gauche acquiert une va-
leur relative dix fois plus grande que celle qu’il avait,
et par conséquent le nombre lui-même devient dix fois
plus grand ou se trouve multiplié par 10. Par la même
raison , pour multiplier par 100, ou par 1000, ou par
10000 , etc. , on écrit à la droite du multiplicande,
deux, ou trois, ou quatre, ou etc. , zéros. Donc

48 X 100 — 4800, 48 X 1000 — 48000, etc.

5. Si l’on avait à multiplier 54 par 30 , on multiplie-
rait simplement 54 par 3 et l’on placerait un zéro devant
le produit 162 , qui deviendrait ainsi 1620, car il est
évident qu’en opérant de cette manière, le nombre 54
se trouve multiplié par 30, puisque 1620 est 10 fois 162,
qui est trois fois 54, ou 10 fois 3 fois 54, c’est-à-dire 30
fois 54.

On aurait de même 54 X 300 — 16200, 54 X 3000
— 162000, etc., et ainsi de suite. En général, pour mul-
tiplier par un chiffre simple précédé d'un nombre quel-
conque de zéros, on fait d'abord l'opération comme si
le chiffre n'exprimait que des unités; et ensuite on écrit
à la droite du produit autant de zéros qu'il y en a
avant ce chiffre.

6. Lorsque le multiplicateur contient plusieurs chif-
fres significatifs , l'opération se complique, mais le pro-
cédé se dérive encore facilement de celui de l'addition.

Pour multiplier, par exemple, 5634 par 425, il faut
remarquer que cette opération est la même chose que
celle d’ajouter 5634, 425 fois à lui-même ; or, prendre
425 fois 5634 , c’est comme si on le prenait séparément
4oo fois, 20 fois et 5 fois, et qu’ensuite on ajoutàt les
trois sommes partielles pour obtenir la somme totale ou
425 fois 5634. Multiplier par 425 revient donc à mul-
tiplier successivement par 5, par 20 et par 400, et l’on
opérera de la manière suivante :

5634
425
28170
112680
2253600

2394450

Après avoir écrit 425 sous 5634 , on commencera par
multiplier par 5 et on écrira le produit en le formant
comme ci-dessus, n°3. On multipliera ensuite par le
chiffre à des dixaines, mais comme, d’après ce qui pré»
cède, il faut écrire zéro devant ce produit , on écrira
d’abord o à la colonne des unités, et ce n’est qu’à la gau-

MU
che de ce zéro qu’on placera le produit de 5634 par 2,
ce qui rendra ce produit, non celui de 2, mais bien celui
de 20. Eufin, on multipliera 5634 par le chiffre 4 des
centaines, en écrivant préalablement deux zéros à
droite. On aura donc

5634 X 5:= 28190
5534 X 20 — 112680
5634 X 400 — 2253600

et la somme de ces trois produits donnera
5634 X 425 — 2394450.

7. Sans nous arrêter davantage aux exemples parti-
culiers, nous pouvons conclure que la règle générale
de la multiplication est :

1° Ecrire le multiplicateur sous le muliiplicande.

2° Multiplier successivement tous les chiffres du mul-
tiplicande par chaque chiffre du multiplicateur, ce qui
donne autant de produits partiels que le multiplicateur
a de chiffres.

3° Faire précéder d'un zéro le produit partiel du
chiffre des dixaines du multiplicateur, de deux zéros
le produt partiel du chiffre des centaines ; de trois
zéros , celui du chiffre des mille , etc. , etc.

4° Ecrire tous ces produits partiels les uns au-dessous
des autres, de manière que les chiffres de niéme espèce
se correspondent, c'est-à-dire, que les unités soient
sous les unités, les dixaines sous Les dixaines , etc.

5° Additionner tous les produits partiels. La somme
sera le produit demandé.

8. Ou peut indifféremment prendre pour multipli-
cande l’un quelconque des deux nombres proposés puis-
qu’en général

AXB—BXA;

ce qui fournit un moyen de vérifier les calculs ou de
faire ja preuve de la multiplication. Il suffit eu effet ,
pour cette preuve, de recommencer l'opération en pre-
nant pour nouveau multiplicateur le nombre qu’on
avait d’abord pris pour multiplicande; on est assuré de
l'exactitude des calculs si les résultats sont identiques.
Nous avons donné au mot ARITHMÉTIQUE, une autre
preuve tirée des propriétés du nombre 9, dont ontrou-
vera la déduction au mot NEUF.

9. Tant quele multiplicande et le multiplicateur sont
des nombres abstraits, le produit est lui-même un nom-
bre abstrait, et il est parfaitement indifféremment de le
considérer comme le résultat de la multiplication du
multiplicande par le multiplicateur ou comme celui
de la multiplication du multiplicateur par le multipli-
cande, en intervertissant l’ordre de ces facteurs : mais
il n’en est pas de même lorsque le multiplicande est
un nombre concret ou qu’il désigne une espèce d’ob-

MU

jets déterminée, car dans ce cas le produit doit tou-
jours être de cette même espèce; par exemple, 3 mè-
tres multipliés par 4, ou 4 fois 3 mètres font 1a rne-
tres; 8 kilogrammes mulupliés par 5, font 40 Æïlo-
grammes, ete. , etc. On peut bien toujours dire in-
différemment 3 fois 4, ou 4 fois 3; 8 fois 5, ou 5 fois
8; les produits sont toujours les mêmes ; mais, comme
ces produits doivent être de la même nature que les
multiplicandes, il devient nécessaire de ne pas perdre
de vue quels sont les véritables multiplicandes, et le meil-
leur moyenest de ne pas intervertir l’ordre des facteurs.

10. Siles facteurs sont tous deux des nombres con-
crets , la nature seule de la question peut faire connaître
de quelle espèce doit être le produit. Soit, par exemple,
proposé de multiplier 3 mètres par 4 francs. Ce pro-
blème énoncé de cette manière ne présente aucun sens,
car il ne nous indique nullement à quelle espèce d'unité
doit se rapporter le produit 12, de 3 par 4. Mais si
l’on demande ce que coûteront 3 mètres, à raison de
4 francs le mètre , on voit que le produit demandé doit
ètre un nombre de francs, ou que 4 francs est le multi-
plicande, c’est-à dire le nombre qui doit être pris 3
fois ; car 3 mètres ne font ici que nous indiquer le mal-
tiplicateur abstrait 3. Dans ce cas, le produit 12 exprime
12 francs.

Au coutraire , si l’on demandait combien on doit
avoir de mètres pour 4 francs, 3 mètres coûtant 1 franc,
le sens de la question exige que le multiplicande 3 mè-
tres soit pris autant de fois qu’il y a d’unités dans 4
francs, c’est-à-dire 4 fois ; 4 francs ne fonc dont ici que
nous indiquer le multiplicateur abstrait 4, et dans ce
cas le produit 12 exprime des mètres.

Où voit combien il devient important de ne pas con-
fondre dans les applications le multiplicande avec le
multiplicateur.

11. Murripsicarion Des FRACTIONS. Pour multiplier
une fraction par une autre, il faut former séparément
le produit des numérateurs de ces deux fractions et le
produit de leurs dénominateurs; le premier produit
sera le numérateur de la fraction du résultat et le se-
cond son dénominateur. Par exemple :

3,5 3X5 15

ET 6 EX 75%
Les raisons de cette règle sont exposées à l’article AL.-
GÈBRE, D, 17.
12. Quand il s’agit de fractions décimales, l'opération
se simplifie parce que les dénominateurs sont sous-en-
tendus, car au lieu d'écrire

NE de 24 12
10 © 100 10X100 1000 ?

MU 2435
on à simplement
0,3 X 0,04 — 0,012;

ce qui revient a multiplier les nombres décimaux 3 et 4
comme s'ils étaient des nombres entiers, et à donner en-
suite au produit le rang qu'il doit avoir; ici ce produit
doit exprimer des millièmes.

La règle générale pour multiplier deux nombres
quelconques composés d’entiers et de décimales ou seu-
lement de décimales, consiste à opérer la multiplication
comme si l’on avait à faire à des nombres entiers, sans
porter aucune attention à la virgule qui règle le rang
des chiffres décimaux. Lorsque la multiplication est
achevée on retranche du produit, sur la droite, autant
de décimales qu'il yen a dans les deux facteurs pris
ensemble, Si l’on a, par exemple, 56,34 à multiplier
par 0,425, on supprime les virgules et l’on multiplie
5634 par 425, comme aa numéro 6, ce qui donne pour
produit 2394450. Mais en supprimant la virgule dans
les deux facteurs on a rendu le premier cent fois plus
grand, et le second mille fois plus grand ; pour réduire
donc, à sa juste valeur, le produit qui en résulte et qui
se trouve nécessairement cent mille fois trop grand, il
faut le rendre cent mille fois plus petit, ce qui s’exécute
en plaçant une virgule de manière qu’elle sépare cinq
chiffres décimaux : savoir autant qu’il y en avait dans
les deux facteurs ensemble. Le véritable produit est
donc 23,94450.

En suivant cette règle, il arrivera souvent que le
produit aura moins de chiffres significatifs que l’on aura
de décimales à retrancher. Dans ce cas, on y suppléera
eu écrivant à la gauche du produit, assez de zéros pour
qu'après avoir retranché le nombre des décimales or-
donné par la règle, il reste encore un zéro pour dési-
guer la place des unités. Ainsi, dans le cas où les nom-
bres proposés seraient 0,5634 et 0,0425, après avoir
obtenu le produit 2394450, en les considérant comme
des nombres entiers, il faut retrancher huit décimales
conformément à la règle. Comme il n'y a que sept chif-
fres, on ajoutera deux zéros à la gauche du produit et
l’on obtiendra 0,02394450 pour produit véritable des
deux fractions proposées.

13. Murripricarion compLExE. On donne ce nom à
la multiplication qu’il s’agit d'effectuer sur des nom-
bres composés d’entiers et de fractions ordinaires. Il se
présente deux cas : 1° un seul des facteurs est complexe ;
2° les deux facteurs sont complexes. Nous allons les
examiner successivement.

1° Soit à multiplier 22h 32’ 45”, par 36. 32 minutes
et 45 secondes sont des fractions de l’unité qui est ici
l'heure.

On peut multiplier séparément 23, 32 et 45 par 36,
ce qui donnera trois produits partiels, dont le premier

224 M
exprimera des heures, le second des zainutes et le troi-
sième des secondes. On aura de cette manière

X 36 —
32° X 36

36 — 10620" ;

l

mais comme l'unité à laquelle on rapporte le produit est
l'heure , il faut réduire en heures les nombres 1152 mi-
nutes et 1620 secondes. Réduisant d’abord 1620” en
minutes , ce qui se fait en divisant par Go, nous avons
1620" — 27, ainsi le nombre des minutes devient
1152 +27 = 11709. Réduisant, maintenant, 1179° en
heures, ce qui se fait encore en divisant par 60, nous
trouvons 1179 — 19" 39". Ainsi ajoutant 19" à 502",
nous avons définitivement 811" 39' pour le produit de
22h 32° 45", par 36.

On exécute encore la même opération en prenant ce
qu’on nomme les parties aliquotes du produit de l’uni-
té; ce qui dans certains cas , est beaucoup plus expéditif
que de former les divers produits partiels et de les ré-
duire ensuite. Nous ne pouvons indiquer ce procédé
que par un seul exemple. Proposons-nous de multiplier
14 livres 15 onces 5 gros, par 26.

14liv. p)onc. gros.

26

34

28
Pour 8 onces... 13
Tank es 0 8
WA Sr Sata 4

Ts Elo pére bat C0
Pour4 gros.... © 13

dB, 8 des 0 3 1159

Produit.... 389liv. Gone. agros.

Après avoir disposé l'opération comme il précède,
on commencera par former le produit de 14 par 26;

puis pour multiplier par 15 onces on remarquera que
[=
= 19, : , : + Set à
15 onces sont d’une livre, c’est-à-dire qu'il faut
16

multiplier 26 par

Mais 10 se décompose en 8 + 4

FR

gaca . a: 15
+ 2 + 1; ainsi au lieu de multiplier par 6" 2 peut

| S 2
multiplier d’abord par “, ensuite par +, — et
P P 16 P 16 16
; D insi ]
—,; or — sont la raoitie d’un 1 s "O-
16? 56 e e livre, ainsi le pro

k Bts ”
duit de =& doit être la moutié de celui d’une livre ; ce

dernier étant simplement 26 on en prendra la moitié

qui est 13, et on écrira 13, en le faisant correspon-

MU

dre avec les chiffres de même espèce du produit de 26
de 4 :
14. Pour multiplier maintenant par 6° puisque
1

L hi 8 .
= est la moitié de = 0n prendra la moitié du der-
) 10

nier produit 13, ce qui donnera 6 livres 8 onces,

étant encore la

| Sr
qu'on écrira comme il est fait. 16°
3

L
moitié de Fe on prendra de nouveau la moitié du
1

dernier produit, 6 liv. 8 onces, ce qui donnera 3 liv.
4 onces. Eufin pour multiplier par la dernière fraction

. 1 ARR :
de livre TG 0 prendra encore la moitié du produit
16

2 Les ; x ;
de 16 ©! la moitié de 3 liv, 4 onces, qui est 1 liv. 10
onces. On aura de cette manière quatre produits par-
: . 15 È
tiels dont la somme formerale produit de FT da de 15

onces. Passant à la fraction 5 gros, on remarquera que 5

Ne)

ros sont
6 8

d'une once , ce qui peut se décomposer en

, L
à + gi mais le produit de 26 par + d'une once doit

8

être la moitie de celui de 26 par une once , que nous
avons trouvé être 1 liv 10 onces, on prendra donc la
moitié de 1 liv. 10 onces, et l'on écrira, pour 4 gros.
o liv. 13 onces. Pour terminer l'opération il faut en-

ue = :
core multiplier par 8 d'once; mais : est le quart de

I
8
à dont le produit est de o liv. 13 onces, on prendra
donc le quart de ce dernier produit qui est 3 onces 2
gros, puis additionnant tous les produits partiels on
trouvera 389 liv. 6 onces 2 gros, ce qui est le produit
demandé.

> Sile multiplicande et le multiplicateur sont tous
deux complexes, on peut encore opérer la multiplica-
tion par la méthode des parties aliquotes ; mais il est

généralement plus simple de réduiie ces deux facteurs
en deux nombres fractionnaires simples. Soit par exem-

ple3 + = _ . a multiplier par 4 += + ; Rédui-

sant ces deux quantités chacune en une seule fraction,

on trouvera (v0y. ADDITION) ;

à D) 5.102054 ue 155 st

TES PE HS an

; 1 3 154832 4 6 _4a

É+i+i= st st
lonérat | à Itipli 81 2
et opération sera ramenee à mu Ip er 6 par 8 ,

ce qui donne d’après le numéro 11

Pour abréger les calculs il faut toujours , dans les ré-
ductions, obtenir le plus petit commun dénominateur.

Proposons-nous encore de multiplier 2i 18h 15° 22"
par 3° 15’ 16”. On réduira le multiplicande en secon-
des de temps, et le multiplicateur en secondes de degré,
et comme, d’une part, un jour vaut 86400"; une
heure, 3600”; et une minute, 60”, on trouvera

2 X 86400 — 172800"
18 X 3600 — 64800
15 X 60” — 900
22
oj 18h 15 23" — 238522".

d'autre part; comme un degré vaut 3600" et une mi-
nute 60”, on aura

3 X 3600” — 10800”

15 X 6o — 900
16
315110, —417107

ainsi l'opération sera ramenée à multiplier 238522"
par 11716. Une fois le produit trouvé, ce produit de-
vant être des secondes de temps, on le réduira en ni-
nutes, heures et jours , en le divisant successivement
par 60.

14. MurripLicaTiON ALGÉSRIQUE. Le produit de a par
b s'exprime, comme nous l’avons déjà dit par

a X b, ou par a.b, ou enfin par &b.

Celui de a par b+ c, s'exprime par æb + ac, car a
devant être ajouté b +c fois à lui-même, en le prenant
d’abord b fois et ensuite c fois, on a deux produits par-
ticls ab , ac dont la somme ab + ac est a pris b+c fois.
Ainsi

aX(b+c)= ab+ be.

Le produit de deux binomes a+b, cd est ac +
ad+ be+ bd, c'est-à-dire, la somme des produits de
deux à deux, des termes qui les composent.

En effet, faisant a +b —m, on a

m X (c+d) — mc+ md

et, remettant a—-b à la place de 2,

(ab) X (cd) = (a-Hbe + (ad
= ac+bc + ad+bd.

Le produit de deux trinomes a + b+c,d+e+f
sera pareillement égal à

ad+ ae af+-bd + be+bf+cd+ce+tf,

DbX a =

CS Ce —

MU 245
c'est-à-dire, à la somme des produits de deux à deux
des termes qui composent ces trinômes. On le démon-
trerait comme ci-dessus.

En général, le produit de deux polynomes quelcon-
ques est égal à la somme des produits de deux à deux
de tous les termes qui les composent.

15. Pour multiplier deux quantités alzébriques l’une
par l’autre on les dispose de manière que leurs termes
soient le plus possible dans l’ordre alphabétique, et
qu'ils soient ordonnés par puissances décroissantes ( de
gauche à droite) d’une même lettre, lorsqu'une même
lettre se trouve dans plusieurs termes élevée à des puis-
sances différentes. On multiplie ensuite tous les termes
du multiplicande par chaque terme du multiplicateur
en suivant pour les signes des produits partiels les rè-
gles données. (Foy. ALcèsre, n.g.) L'addition de tous
ces produits donne le produit général demandé.

On demande le produit de a+%

ar a—b, c’est-à-dire, le produit de la somme de deux
P ? ? L

Exemple 1°",

quantités quelconques par leur différence. On aura

Produit... & — b°

Les deux produits partiels -H ab ,— ab se détruisant,
le résultat 4°— b° nous apprend que la somme de deux
nombres mulüplice par leur différence donne la diffe-
rence des carrés de ces nombres : ce qui est une pro-
priété générale ou une Lor des nombres.

Exemple 2°. Multiplier ab — 2ab° + 3b°? par a —
3ab + b°, D'après la règle il faut former les produits
partiels,

ab X a, — oœbh X &, 3b X
DbX —3ab, — 22h X — 3ab, 305 X —3ab
dbX b, — 24h X bn, 303 X b°

Or, en réduisant tous ces monomes à leur plus simple
expression, On a
ab, —aa@lX ut ——2atbt,30X a —3al3
QIX —3al—— Bail, —2a x —3ab+Gabt,30 X—3ab—=gali
aB3, —aa XL audi, XX —365
et, comme on peut exécuter immédiatement ces réduc-
tions, l'opération s'écrit

ab — 2ab + 3b°

a — 3ab +b

ab — 2aib + 3ab5
— 3aïb3 L Gaÿb? — oabi
+ ab —2ab$ +30

Produit, a°b—5aib+nab43ab3—2abi—oabi+30

246 MU
Pour ordonner ce produit suivaut les puissances de a,
où lui donne la forme

ab — 5aïbr + qab? + (3b—2b1)a? — ab +3.

16. Nous terminerons cet article en examinant la
composition du produit de plusieurs binomes dont les
premiers termes sont les mêmes, tels que x +a, x+4b,
z+ce, etc., composition dont nous avons fait usage
ailleurs. (Foy. Equariox et FacronerLe.)

Si nous désignons par À la somme des seconds termes
a, b,e, d, etc., que nous supposons au nombre de "1;
par B, la somme des produits de deux à deux de ces
seconds termes ; par C, la somme de leurs produits de
trois à trois , ete... Et, enfin, par M, le produit de

tous ces seconds termes, nous aurons (1)

(x+a) (x4b) (x+c)..... (x+m) =
am + Ami Bons + Cr etc... +M,

Où est conduit à cette forme générale, par analogie , en
formant les produits successifs :

(æ+a) (x Hd) = 27 + (a+b)x + ab
(x +a)(x+b\x+c)=2x + (a+b+c)asHab+ac+bc)x
+ abc

etc. =! elc.

Ainsiil s’agit de démontrer que cette composition a
généralement lieu. Pour cet effet, admettons que l’éga-
lité (1) soit rigoureusement vérifiée dans le cas de m
facteurs, et multiplions ses deux membres par un nou-
veau binome æ+, uous obtiendrons

(x+a) (x+#b) (ac)... (24m) (æ4n) =
ati Am Brn—i EL Crr—ibetc...+Mx
— na nAXMm IE nBrn—2+ etc. ..+nM =
TMHIL A + n)anL(B+nA)xm—i HR C+HnB)r”Hetc.

Or, en examinant ce dernier produit, on reconnaît ai-
sément que An est la somme des 724-1 seconds ter-
mes des binomes ; que B+47A est la somme des pro-
duits de deux à deux de ces »4-1 seconds termes ; que

NADIR. (4st.) Point opposé au zénith. (Foy. Ar-

MILLAIRE.)

NAPIER (Jean). -- Nérer ou Nrpair, baron écossais,
célèbre par la découverte des logarithmes , naquit en
1550. Nous possédons peu de détails biographiques sur
ce géomètre , qui, dédaigneux des avantages que pou-
vaient lui procurer son rang et sa fortune, passa dans

MY

C+nB est la somme de leurs produits de trois à trois
et ainsi de suite; et qu'enfin »M est le produit de tous
ces seconds termes. Ainsi le produit de m+4-1 binomes
suit la même loi que celui de » binomes, et il suffitque
cette loi soit vraie pour deux binomes pour qu’elle le
soit généralement. Donc, etc.

Mucripricarion par Locarirames.(f’oy.Locarirame.)

MURAL. (45st.) Quart de cercle placé exactement
davs le plan du méridien et attaché à un mur pour plus
de solidité. Il sert à observer les hauteurs méridiennes
des corps célestes.

MUSCIDA. (45t.) Nom d’une étoile placée sur la
bouche de Pégase et marquée « dans les catalogues.

MYDORGE (CLaups), savant géomètre, né à Paris
en 1585. L'amitié dont l’honora Descartés, et les nom-
breux sacrifices qu’il a faits dans l'intérêt surtout de
l'optique et de la dioptrique, lui ont acquis plus de cé-
lébrité que ses travaux. C’était un homme d’une nais-
sance distinguée dans ce qu’on appelait alors la noblesse
de robe, et qui cultivait les sciences dans les vues les
plus nobles et les plus désintéressées. Ce fut Mydorge
qui fit tailler pour son illustre ami des verres parabo-
liques, hyperboliques, ovales et elliptiques, dont il
avait lui-même tracé les formes avec une exactitude re-
marquable; ces verres furent d’une grande utilité à
Descartes pour expliquer les différens phénomènes de
la vision. Il dépensa d’ailleurs des sommes considéra-
bles, que divers biographes portent à 300,000 livres,
pour faire fabriquer des verres de lunette, des miroirs
ardens et pour diverses expériences. Mydorge mourut
en juillet 1647, laissant un grand nombre de manuscrits
qui ont été égarés durant les troubles de la Fronde, On
a de lui: 1° Examen des récréations mathematiques
(du P. Laurechon, jésuite, publiées sous le pseudonyme
de H. Van Essen), Paris, 1630, in-8 ; 2° Prodromi ca-
Loptricorum et dioptricorum , sive conicorum , libri IF,
priores , Paris, 1639, in-folio. Le père Mersenne a in-
séré cet ouvrage dans son recueil intitulé : Universæ
geometriæ, eic.

N.

la retraite une vie entièrement consacrée à l'étude. On
sait seulement qu'après avoir fait ses étudès à l’univer-
sité de Saint-André, il voyagea en Europe et s’occupa
beaucoup de théologie avant de se livrer aux recher-
ches qui le conduisirent à la découverte des logarith-
mes. Nous exposons ailleurs la théorie de cette brillante
découverte, qui a été si utile aux progrès dé l’astro-
nomie, de la géométrie pratique et de la navigation.

NA

(foy. Locartrames.) Napier mourut le 31 avril 1615.
Ses ouvrages mathématiques sont : I. Rabdologiæ, seu
numerationes per virgulas libri duo, Londres, 1617,
in-12°, IL. Mirifici logaritimorum canonis descriptio,
Edinbourg , 1614, in-4*. Napier ne donna pas dans
cet ouvrage la doctrine sur laquelle est fondée la table
des logarithmes; ce fut son fils qui en publia l’explica-
tion ; car il mourut sans jouir du succès qui attendait
sa découverte, et même avec la crainte qu’elle ne füt
rejetée par les mathématiciens. Ces deux ouvrages réu-
pis ont été publiés à Lyon, en 1620 , sous ce titre:
Logarithmorum canonis descriptio , etc., et Mirifica
logarithmorum constructio , etc. On doit encore à Na-
pier deux formules générales pour la solution des trian-
gles sphériques rectangles et les analogies qui portent
son nom.

NATURE. Lois de la nature. Malgré les immenses
travaux dont la nature a été l’objet , le sens de ce mot
n’a point encore été fixé d'une manière définitive, et il
est loin de correspondre à une conception déterminée.
En effet, !cs uns entendeut par nature, l'ensemble
des êtres créés , les lois qui les gouvernent, l’ordre qui
se manifeste dans l'univers, en un mot, l'uvivers lui-
même ; les autres comprennent sous ce nom , la force ,
l'intelligence active qui a tout établi, tout créé et qui
conserve tout, D'après l’inepte svstème du naturalisme,
la nature est le principe aveugle et fatal de l'organisa-
tion du monde : la marIÈRE ; d'après celui du dcisme ,
c’est l'esprit universel et intelligent, le créateur éternel :
Dre.

Notre but étant ici de poser les principes qui rendent
possible l'application des mathématiques à la physique,
ou de donner la déduction philosophique des Lois «le la
nature , il nous devient essentiel d'attacher à ce mot ra-
ture une siguification plus précise et qui se rapporte
directement à l’objet que nous avons en vue, Nous dis-
tinguerons donc dans la production des phénomènes de
l'univers deux causes distinctes, deux puissances actives
différentes : l’une nécessaire, incessamment agissavte
et soumise à des lois fixes qui lui sont imposés ; l’autre
libre, spontanée et n’agissant qu'en vertu de ses propres
déterminations. La première se manifeste généralement
dans la nécessité de tous les phénomènes physiques; la
seconde, sur laqueile repose en dernier lieu la possibi-
lité de la première, se manifeste particulièrement dans
la liberté des actions humaines, image sensible de la
spontanéité absolue de l'intelligence suprême. Or, toute
puissance au moyen de laquelle une chose arrive dans
l'univers se nomme causalité; ainsi en ne considérant le
monde physique que sous le rapport de ses lois néces-
saires, nous entendrons dorénavant par le mot nature,
la causalité non intelligente qui régit les phénomènes

NA 247

physiques donnés à postériori, c’est-à-dire, par l'expé-
rience.

Tout phénomène physique repose sur un mouvement,
car la natière , base et substratum de toutes les intui-
tions que nous avons des objets sensibles, n’a d’autre ca-
ractère général que le mouvement. La science de la na-
ture doit donc être aussi considérée comme une théorie
pure et appliquée du mouvement; et pour obtenir, s’il
est possible, une déduction à priori de ses lois fonda-
mentales , il devient nécessaire d’analyser l’idée de la
matière en général, sans avoir égard à ses caractères
particuliers, Mais une analyse quelconque n’est complète
qu’autant qu’elle est faite d’après les lois de l'Entende-
ment, lois qui règlent toutes les déterminations dont
l’idée générale de l’objet en question est susceptible ;
ainsi nous devons examiner le mouvement sous le qua-
druple rapport de /a quantité, de la qualité, de La rela-
tion et de la modalité; d'où résultent les déterminations
suivantes, Le mouvement peut être considéré :

1° Comme quantum, par rapport seulement à sa
composition sans aucune qualité du mobile, — Consi-
dération phoronomique.

2° D’après la qualité qui est essentiellement propre
a la matière comme force motrice originelle, — Consi-
dération dynamique.

3° D'après le rapport mutuel du mouvement de la
matière et de sa qualité. — Consideration mécanique.

4° D'après le rapport du mouvement ou du répos de
la matière avec notrepropre manière extérieure d'aper-
cevoir. — Considération phénomeénologique.

Voici les résultats de cette analyse due à l’illustre ré-
formateur de la philosophie et qui forme l'objet d’un
de ses plus beaux ouvrages. (Kant. Métaphysique de la
nature.)

Idées fondamentales et principes de la phoronomie.

I. La matière est le mobile dans l'espace. L'espace
mobile lui-même est l’espace matériel ou relatif, L’es-
pace immobile dans lequel il faut en dernier lieu con-
cevoir le mouvement, est l’espace pur ou absolu.

I. Le mouvement d’un objet est le changement du
rapport extéricur qui existe entre cet objet et un espace
donné. Le repos est au contraire la présence perma-
uente dans un même lieu.

JIL. Construire un mouvement composé, c’est repré-
senter à priori dans l'intuition un mouvement en tant
qu'il naît de deux ou de plusieurs mouvemens donnés
dans un seul mobile.

IV. Chaque mouvement comme objet d’une expé-
rience possible peut être considéré, à volonté, comme
mouvement du corps dans un espace en repos, ou comme
repos du corps dans un espace qui se meut en sens con-
traire avec une égale vitesse.

V. La complication de deux mouvemens partant

LR

248 NA

d’un seul et méme point, ne peut être conçue qu'autant

qu'on se figure que l'un d'eux s'opère dans l'espace

absolu , et l’autre avec la même vitesse, mais dans une

direction opposée, dans l’espace relatif.

Idées fondamentales et principes à priori de la dyna-
mique.

1. La matière est le mobile en tant qu’elle remplit un
espace, ou qu'elle résiste à tout mobile qui teud à pé-
nétrer, par son mouvement , dans cet espace. L'espace
qui n'est point ainsi rempli est l'espace vide.

IT. La matière ne remplit pas son espace par sa seule
existence, mais par une force motrice particulière. En
effet, la pénétration dans l’espace est un mouvement ;
la résistance est le mouvement en sens contraire, lequel
suppose conséquemment une force motrice.

III. La matière n'a que deux forces motrices : l'at-
tractive et la répulsive. La première est la cause qui fait
qu'une autre matière se rapproche d'elle. La seconde est
celle qui produit l'éloignement d’une autre matière.
Nulle force autre que ces deux la n’est possible, parce
que tout mouvement d'une matière par rapport à une
autre ne peut consister qu'en attraction ou répulsion.

IV. La force par laquelle la matière remplit son es-
pace est la force d'extension (de répulsion). Cette force
est susceptible de degrés de plus en plus grands ou de
plus en plus petits à l'infini, c'est-à-dire qu’on ne peut
considérer aucun de ces degrés comme le plus grand ou
le plus petit.

V. Comme au-dessus de toute force d’extension don-
née, il peut s’en trouver constamment une plus grande, il
existe aussi pour chacune une force compressive (d’at-
traction) qui peut la refouler dans un espace plus étroit.
Mais comme il n’y a pas aussi de force qui soit la plus pe-
tite de toutes,une matière peutbien étrerefouléeà l'infini,
mais elle ne peut jamais être entièrement pénétrée ou
anéantie. L'impénétrabilité de la matière, qui croît en
proportion du degré de compression , est relative, mais
celle qui repose sur la supposition que la matière comme
telle, n'est point susceptible de pénétration, s’appelle
impénétrabilité absolue. La plénitude de l’espace par
l'impénétrabilité absolue peut être nommée mathéma-
tique, ct celle par l'impénétrabilité relative peut porter
l'épithète de dynamique.

VI. La matière est divisible à l'infini, et elle est
divisible en parties dont chacune est à son tour matière.
Cette divisibilité est une suite des forces répulsives de
chaque point matériel dans l'espace. L'espace en lui-
même ne peut être que distingué à l'infini, mais il ne
saurait être mu, ni en conséquence divisé physique-
ment. Mais en tant que chaque espace rempli de ma-
tière est mobile par lui-même, et en conséquence divi-
sible;, la divisibilité physique de la substance se règle
d’après la divisibilité mathématique de l’espace àl'infini.

NA

VIT. Outre la force d'extension ou de répulsion, la
force d'attraction appartient encore à la possibilité de
la matière. Si la matière ne possédait que la première
de ces forces, ses parties se fuiraient à l'infini. Il faut
donc qu’elle en possède une autre qui prescrive des
bornes à l'extension. Mais réciproquement la simple
force attractive ne suffit pas pour la possibilité de la
matière, car sans la force répulsive qui vient lui im-
poser des bornes, la matière se resserrerait à l'infini
par l'effet de la seule attraction, c’est-à-dire qu’elle se
réduirait au point mathématique. Toute matière ré-
sulte donc de la synthèse de deux forces opposées,
celle d’extention et celle d'attraction. Kant prétend qu'il
n'est pas possible d'expliquer ultérieurement la possi-
bilité de ces forces radicales, la nécessité de leur associa-
tion et la possibilité de la matière elle-même; ce qui est
rigoureusement vrai tant qu'on demeure renfermé
dans les limites de la Raison temporelle de l'homme.

VII. Le contact, dans l’acception physique du mot,
est l'action immédiate et la réaction de l’impénétrabi-
lité. Quandun: matière agit sur une autre sans contact,
c’est une action à distance, Comme cette action à dis-
tance est aussi possible sans la coopération de la matière
intermédiaire, on l'appelle action immédiate à dis-
tance, Ou action sur une autre matière à travers le
vide.

IX. L’attraction essentielle à toute matière, est l’ac-
tion immédiate de cette matière sur une autre à travers
le vide. Eneffet, l'action de Ja force attractive, qui
renferme elle-même une raison de la possibilité de la
matière, est indépendante de tout contact Il faut
qu'elle ait lieu, mème sans que l’espace entre les ma-
tières soit rempli. C'est donc une action à travers le
“vide.

X. En tant qu'une matière ne peut agir immédiate-
ment sur une autre que dans la surface commune de
contact, elle a une force de surface; mais en tant qu’elle
agit immédiatement sur la surface de contact à travers
le vide, clle a une force de pénétration. Or l’action
primitive est une force de pénétration. Elle s'étend
donc de chaque partie de la matière dans l’espace du
monde à toutes les autres jusqu'a l'infini. Une autre
matière ne peut s'opposer à la propagation de son ac-
tion par la raison que c’est une forme de pénétration,
et elle ne saurait renfermer en elle-même aucune cause
de limitation, parce qu'elle ne peut jamais devenir
une force la plus petite de toutes.

Idées fondamentales et principes de la mécanique
métaphysique.

I. La matière est le mobile, en tant qu'elle a comme
telle , la force motrice.

II. La grandeur du mouvement qui, estimée phoro-
nomiquement, ne consiste que dans le degré de vitess#,

NA

ne peut être appréciée mécaniquement que par la quan-
tité de matière mise en mouvement et par sa vitesse en
même temps.

III. La quantité de matière ne peut, comparée à
toute autre, être estimée que par la quantité du mouve-
ment dans une vitesse donnée. En effet, comme la
matière est divisible à l'infini, la quantité d’aucune ma-
tière ne saurait être déterminée immédiatement par le
nombre de ses parties. Si on compare la matière don-
née avec une autre similaire , la quantité en est pro-
portionnelle à la grandeur du volume. Mais il est ques-
tion ici de la comparer avec toute autre matière, et
alors il devient impossible d’en estimer la quantité si
l’on fait abstraction de son mouvement. Il faut toute-
fois admettre que la vitesse du mouvement des matières
à comparer est égale.

IV. Il existe trois lois fondamentales pour la mécani-
que métaphysique.

1° Dans tous les changemens du monde physique , la
quantité totale de la matière demeure la même sans
augmentation ni diminution. — Loi des substances.

Cette loi s'applique seulement à la matière comme
objet du sens externe et non aux objets du sens interne,
comme on l’a souvent prétendu à tort.

2° Tout changement de la matière a une cause exté-
rieure. — Loi d'inertie.

La matière, comme simple objet de sens extérieurs, n’a
point d’autres déterminations que des rapports exté-
rieurs dans l’espace et ne peut, en conséquence, subir
des changemens que par le mouvement. Ce mouvement
et ses variations doivent avoir une cause. Or, cette cause
ne peut être intérieure, parce que la matière n'a pas
de cause interne de détermination et qu’elle persévère
conséquemment dans son état de repos ou de mouve-
ment, sans pouvoir par elle-même modifier cet état.
Donc, tout changement d’une matière dépend d’une
cause extérieure. Cette loi do it seule porter le nom de
loi d'inertie, car l’inertie de la matière ne consiste point
en ce qu’elle persiste dans sa place, puisque c’est là une
action, mais en ce qu’elle est sans vie ou manque Lola-
lement de causes intérieures de détermination.

VI. Dans toute communication de mouvement l’ac-
tion et la réaction sont constamment égales et opposées
une à l’autre. — Loi d'antagonisme.

Il résulte de cette loi que tout corps, quelque grande
que soit sa masse, doit être mobile par le choc de tout
autre , quelque petites que soient la masse et la vi-
tesse de cet autre, car il doit toujours résister au mou-
vement,.

Idées fondamentales et principes de la phénoméno-
logie.

L. La matière est le mobile en tant que, comme telle,
elle peut être un objet de l'expérience.

TOME

NA 249

IL. Le mouvement en ligne droite d'une matière par
rapport à un espace empirique , n'est qu'un simple at-
tribut possible, pour distinguer le mouvement opposé
de l’espace absolu, Le même mouvement est impossible
quand on le suppose sans aucune relation avec une ma-
tière hors de soi. Ce priucipe repose sur ce qu’à l’égard
du mouvement comme objet de l'expérience , il est
identique que le corps dans l’espace absolu, ou celui-ci
au lieu de celui-là, soient imaginés en mouvement; mais
ce qui est indécis par rapport à deux attributs opposés,
n’est possible qu’à l'égard de l’un d’eux ; en outre, le
mouvement est une relation et ne peut conséquemment
être objet de l'expérience, qu’autant que les deux choses
en corrélation le sont; or, l’espace pur et absolu n’est
point objet de l'expérience. Donc, le mouvement en li-
gne droite sans relation à un mouvement corrélatif op-

- posé, c’est-à-dire comme mouvement absolu, est impos-

sible.

IT. Le mouvement circulaire d’une matière est un
attribut réel de cette matière pour la distinguer du
mouvement opposé de l’espace. Car le mouvement cir-
culaire, comme tout mouvement en ligne courbe, est
un changement continuel de la relation de la matière,
par rapport à l’espace extérieur. C’est donc un commen-
cement continuel de nouveaux mouvemens. Cependant
en vertu de la loi d'inertie, le corps, à chaque point
du cercle éprouve une tendance à continuer son mou-
vement en ligne droite, et il agit d’une manière con-
traire à cette cause extérieure. Il développe donc ici
une force motrice contre la cause extérieure, Mais le
mouvement de l’espace comparé à celui du corps
n’est que phoronomique et n’a point de force, Ainsi,
quand on dit que le corps ou l’espace se meut dans une
direction opposée, c'est un jugement disjonctif par le-
quel dès qu’un des membres, le mouvement du corps,
est établi, l’autre, le mouvement de l’espace, est exclus.
Donc, le mouvement circulaire est réel.

IV. Dans tout mouvement d’un corps, qui fait que
ce corps est mu par rapport à un autre, un pareil mou-
vement opposé de ce dernier corps est necessaire. D'a-
près la troisième loi de la mécanique, la communica-
tion du mouvement des corps n’est possible que par la
communauté de leurs forces motrices primitives, et cette
communauté n’est elle-même possible que par le mou-
vement mutuel opposé et égal. Le mouvement des deux
corps est donc réel. Mais comme de plus la réalité de
ce mouvement ne dépend pas de l'influence des forces
extérieures, et succède immédiatement et inévitable.
ment à l’idée de la relation de la chose mue dans l'es-
pace à toute autre chose rendue mobile par-là, le mou-
vement de cette dernière est nécessaire.

NATUREL. (4lg.) On nomme nombres naturels
52

2

250 NA

ceux qui composent la suite des nombres consécutifs
. 5

1; 2; 3, 4, 9; 6, PE

Les logarithmes naturels sont ceux dont la généra-

el6:

tion est donnée d’une manière indépendante de leur

base. (Foy. Locarirumes.)

NAVIGATION. Art de diriger un vaisseau sur la
mer ct de déterminer toutes les circonstances de sa route.
On divise la navigation en cabotage et en navigation
hauturière. Le cabotage consiste à diriger un vaisseau
le lotg des côtes , sans perdre la terre de vue ; il porte
essentiellement sur des connaissances de fait ou d’expé-
rience. La navigation hauturière est celle qui s'exécute
en pleine mer ; elle exige des connaissances théoriques
dont l’ensemble prend le nom d’astronomie nautique.
Voyez le Traïtéde Navigation de Bouguer ; celui de
Bezout; le Traité d’Astronomie nautique de M. de
Rossel, joint à l’ Astronomie physique de Biot; le Traité
de Navigation de Dubourguet (approuvé par l'Institut),
l’Aèrcge de la Navigation de Lalande; et le Recuerl
des tables utiles à la navigation , traduit de l'anglais,
de Villiam Norie, par M. Violaine.

NAVIRE. ( 454.) Nom d'une des 48 constellations de
Ptolémée. (Foy. CoxsreLLATIOx.)

NAUTIQUE: Se dit de ce qui a rapport à la naviga-
tion. L’astronomie nautique est l'astronomie propre
aux marins.

NÉBULEUSES. (451.) Etoiles ou amas d’étoiles qui
apparaissent comme de petits nuages blanchäâtres.

C’est à W. Herschel qu’on doit la classification la
plus complète des phénomènes variés désignés sous le
nom commun de nébulosités. Avant les observations de
ce célèbre astronome , on crovait généralement que
toute nébuleuse était formée par la réunion d’un grand
nombre d'étoiles situées à des distances si considéra-
bles, que leur lumière propre se confond par l’effet de
l'irradiation, et n’offre plus à l’œil qu'une faible lueur à
peu près uniforme. (oy. Éroires.) C'est en effet ce
qui a généralement lieu pour les grandes nébuleuses et
particulièrement pour la voie lactée. Mais outre ces
nébulosités, qui se résolvent à l’aide du télescope en
des amas d’étoiles distinctes, il en est d’autres qui ont
un caractère tout différent et qui paraissent résulter de
corps particuliers dont la nature ne nous est point en.
core connue. Telle est, par exemple, la nébuleuse pla-
cée entre les étoiles 5 et y de la Lyre; elle présente
l'aspect d’un anneau solide, ovale et apiati, terminé
d’une manière très nette et offre une grande ressem-
blance avec les planètes. Deux autres nébuleuses, encore
plus singulières, sont les 27° et 51° du catalogue de
Messier. La première consiste en deux corps brillans
ronds ou un peu ovales, unis par un col de même na-

NE
ture et enveloppés d’une légère atmosphère lumineuse,
La seconde présente un globe large et brillant entouré
d’un double anneau situé à une distance considérable
du globe.

Herschel divise les nébuleuses en trois classes : 1° armas
d'étoiles globulaires ou irréguliers dans lesquels les
étoiles peuvent être nettement discernées; 2° nébu-
leuses résolubles, qui semblent ne pouvoir résulter
que d’une agglomération d'étoiles et qui se résoudraient
probablement en étoiles distinctes, si l’on avait des
télescopes d’une puissance amplifiante suffisante ; 3°
nébuleuses proprement dites, c'est-à-dire qui ne peu-
vent se résoudre en étoiles distinctes. Cette dernière
classe comprend les nébuleuses planétaires, les nébu-
leuses stellaires , et les étoiles nébuleuses. Voy.le petit
Traité d'astronomie de sir John W. Herschel, tout

récemment traduit en français.

NÉGATIF, (4/g.) On

titcs négatives celles qui

nomme généralement quan.
sout affectées du signe —.,

moins. (Poy. ALGÈBRE, 2 et 3, et PaiLosopmiE.)

NÉOMÈNIE. (Ast.) Nom que les anciens astrono-

mes donnaient à la nouvelle lune, de véto et de w#v#.
NÉPER. Voy. NAPIER.

NEUF. (4rih.) C'est le dernier ou le plus grand des
nombres simples de notre échelle de numération, Sa
position, dans cette échelle, lui donne plusieurs pro-
priétés particulières très-utiles pour la pratique de cer-
tains calculs. Nous allons exposer les principales, celles
qui l'ont rendu célèbre chez les arithméticiens arabes
(voy. ARITHMÉTIQUE), et qui excitent encore la curio-
sité des personnes étrangères à la théorie des nombres.

1. La somme des chiffres qui expriment un mulli-
ple de 9, est elle-méme égale à 9 ou à un multiple de9.
Pour démontrer généralement cette propriété, repré-
sentons par a, b,c, d, etc., des nombres simples
quelconques de notre système de numération, c'est-à-
dire, des nombres depuis o jusqu'à 9, et alors la-
forme (1)

ao” bio: + etc... + pro+g

pourra représenter tous les nombres quelconques
plus grands que 9. (Foy. Ecmezce et NumÉRATION.)
Mais 9 étant le dernièr nombre simple , nous avons
10=0Q9 + 1, et en substituant dans (1), cette forme de-

vient (2)
apr} (or eten. rt PO TD ESe

En examinant cette dernière, on voit qu'oua en gé-

néral

(149) = 149.4,

NE

A, exprimant la somme de toutes les quantités qui mul-
üplient 9 dans le développement de la puissance g du
binôme 1 + 9; ainsi nous pouvons encore donner à la
forme (2), la forme (3)

A(1+9Am)+Hb(1 + om) + etc... + p(1 +9) 7.

Effectuant les multiplications, nous avons deux suites

de termes dont la première est

a+b+c+d+etc...+p+ag,

et la seconde

94Am + 9bAm—i + etc. à + 9p

Représentant donc par M la somme des chiffres sim-
ples a,b,c,d,etc., et par N la somme de toutes les
quantités qui multiplient G, dans la seconde suite , nous
obtiendrons définitivement pour la forme générale

d’un nombre quelconque, l'expression (4)

oN+M;

or, cette expression est évidemment divisible par 9,
si M est lui-même divisible par 9; ainsi la propriété
que nous examinons est une conséquence nécessaire de
ce que g est le dernier chiffre de notre échelle numé-
rique, et cette propriété appartiendrait également au
dernier chiffre simple de tout autre système de numé-
ration.

2. Il résulte encore de la forme générale (4), que
pour trouver le reste de la division par Oo d’un nom-
bre qui n’est point exactement divisible par 9, il suffit
de chercher le reste de la division par 0 de la somme
des chiffres qui composent ce nombre. Ceci est assez
évident pour se passer de développement.

3. Voici une seconde propriété sur laquelle on a
fait un grand nombre de commentaires. Si l’on ren-
verse l'ordre des chiffres qui expriment un nombre
quelconque, la différence du nombre direct et du nom-
bre renversé, est toujours un multiple de 9. Par exem-
ple 53 — 35 = 18 ou 2 fois 9; 534 — 435 — 99, ou
11 fois 9 , etc. En effet puisque, M désignant la somme
des chiffres d’un nombre quelconque, la forme de ce
nombre est

oN+M,

pour tout autre nombre composé des mêmes chiffres
on aura

9P+M,
et la différence des deux nombres sera
ONFM—9P—M—9N—7r

c’est-à dire un multiple de neuf.

NE

Ainsi la propriété en question est beaucoup plus gé-

951

nérale et peut s'énoncer ainsi, la différence de deux
nombres exprimés par les mémes chiffres est toujours
un multiple de 9. Par exemple en partant du nombre
1724, et en formant tous ceux qui peuvent résulter des
permutations des chiffres qui le composent, on trouve
1724 — 1274 = 450 ou 50 fois 9;
1724 — 1247 = 477 ou 53 fois 9, etc., etc.

La preuve dela multiplication, dite preuve par 9,
que nous avons exposée au mot ARITHMÉTIQUE, est
fondée sur les propriétés 1 et 2. Il suffit de la forme
générale (4) pour en comprendre les raisons sans au-
cune difficulté.

NEWTON {Isaac). Parmi les noms glorieux de ce
petit nombre d'hommes privilégiés dont le génie à ou-
vert des voies nouvelles à la science et rapproché l'esprit
humain de sa destination , en surprenant les lois éter-
nelles qui président à l’organisation de l'univers, en ex-
pliquant les phénomènes merveilleux qui s’en déduisent,
en portant enfin la lumière dans les plus profonds mys-
tères de la création, celui d’Isaac Newton doit briller
d’un éclat immortel. Ces grandes et fortes organisations
sont rares dans lemmonde. L’enthousiasme etl’admiration
qu'excitent leurs travaux ne sigualent que de loin en
loin leur apparition dansles siècles. Ces travaux sublimes
relient entre celles les races humaines divisées par les
climats, les légi lations et les mœurs. L'intelligence qui
les accepte vient déposer de la majestueuse unité de
l’homme. L'orgucil des nationalités peut à son gré se
manifester dans l'histoire sociale et faire honneur à un
seul peuple de la gloire qu’un homme s’est acquise par
de belles actions. Cette gloire est restreinte, en effet,
comme les circonstances dont elle sortit, comme le but
qu'elle atteignit. Mais l'histoire de la science, considé
rant l'esprit humain dans l’ensemble de ses œuvres, ne
saurait admettre un préjugé démenti par le caractère
d’universalité qui distingue le génie. Les faits du savoir,
comme les intelligences dont ils émanent, appartiennent
à l'humanité.

Ce futle 25 décembre 1642, à la fin de l’année durant
laquelle la postéritéavait commencé pour l'illustreGalilée,
que Newton naquit, à Woolstrop, dans le Lincolnshire,
en Angleterre. Son génie l'a placé dans un rang bien
supérieur à celui que peuvent procurer des titres héré-
ditaires ; mais il était d’unenoble famille etqui possédait
depuis deux siècles la seigneurie de ce bourg. Il avait
perdu son père de bonne heure etce fut sa mère qui eut à
veiller à son éducation. On l’envoyaàdouzeans à l’école
de Grantham, oùil fit ses premièresétudes. Quandil eut
appris tout ce qui pouvait constituer alors l'éducation
d’un gentilhomme campagnard , sa mère le rappela au-

près d’elle et voulut sppliquer aux affaires domestiques

252 NE

l'intelligence précoce qu'il avait montrée. Mais le jeune
Newton ne remplit pointles vues de sa mère, son pen-
chant pour l'étude l’arrachait aux occupations vulgaires
auxquelles on voulait l'appliquer, on prononca dès lors
qu'il ne ferait jamais rien qu’un savant, et on le renvoya
à sa chère école de Grantham, objet de ses vifs regrets.
Peu de temps après, il entra au collége de la Trinité de
Cambridge où l'on pense que c’est seulement à cette épo-
que qu'il commença à étudier les mathématiques. Les
progrès étonnans qu'il fiten peu de temps dans ces hau-
tes sciences annoncèrent ce qu’il serait un jour. De la
rapide lecture d'Euclide , il passa à la géométrie de
Descartes et à l’arithmétique des infinis de Wallis. Une
fois qu’il fut entré en possession de la science, son génie
ne s'arrêta point sur les traces de ces grands maîtres, il
s'élança avec eux dans la voie des découvertes. Avant
l’âge de vingt-sept ans, Newton était en possession de
son Calcul des fluxions et de sa T'heorie de La lumière.
Ilcommença à exposer cette dernière découverte dans
ses Lectiones opticæ, dont il publia le précis dans les
Transactions philosophiques. I s'occupa aussi de mettre
en ordre son traité des fluxions, mais les objections qui
lui vinrent de toutes parts alarmèrent cet esprit médita-
tif et paisible; et jaloux de son repos, redoutant par-
dessus tout les querelles littéraires, qu’il eût mieux évi-
tées sans doute en publiant plus tôt ses découvertes, il
ue se pressa point de les mettre au jour. Le docteur
Barrow dont il était le disciple et l’ami se démit en sa
faveur de la place de professeur de mathématiques à
l'université de Cambridge. C’est de cette époque de sa
vie que datent les travaux qui ont à jamais illustré son
nom, et surtout ce livre sublime et célèbre des Principes,
qu'il publia à la sollicitation de Halley et sur les instances
de la Société royale de Londres. L'université de Cam-
bridge dont il avait défendu avec zèle les priviléges at-
taqués par le roi Jacques IT, le choisit pour son repré-
sentant à la célèbre Convention de 1688 et au Parlement
de 1701. Newton participa ainsi à la régénération so-
ciale de son pays. Il fut successivement nommé direc-
teur de la monnaie et créé chevalier de la reine Anne,
Mais la faveur à laquelle il se montra le plus sensible
fut son élection à la présidence de la Société royale, qui
eut lieu en 1703. Il continua sans interruption à porter
ce titre honorable jusqu'à la fin de sa longue et glorieuse
carrière.

Tels sont en peu de mots les événemens les plus
importans de la vie de Newton, ses travaux doivent
tenir une plus grande place dans son histoire. Nous ne
croyons pas devoir rappeler ici la discussion pénible à
laquelle donna lieu le calcul des fluxions ; nous avons
exposé ailleurs cette théorie (Foy. FLuxtows) et la més-
intelligence dont elle fut le prétexte entreles deux plus
beaux génies de cette époque (Voy. Leipxrrz). Nous

NE
exanunerons dans leur ensemble les découvertes de
Newton, en analvsant lelivre des Principes où elles
sont rassemblées.

Il était reservé à ce grand homme, dit notre illustre
Laplace , de nous faire connaître le principe général des
mouvemens célestes. La providence , en le douant d’un
profond génie, prit même soin de le placer dans les
circonstances les plns favorables. Descartes avait changé
la face des sciences mathématiques, par l'application
féconde de l'algèbre à la théorie des courbes et des
fonctions variables. Fermat avait perfectionné la
géométrie, par ses belles méthodes des maxima et
des tangentes. Wallis, Wren et Huygens venaient de
trouver les lois de la communication du mouvement.
Les découvertes de Galilée sur la chute des graves, et
celle d'Huygens sur les développées et sur la force
centrifuge, conduisaient à la théorie du mouvement dans
les courbes. Keppler avait déterminé celles que dé-
crivent les planètes et il avait même entrevu la gravi-
tation universelle. Enfin Hook avait très bien vu que
les mouvemens planétaires sont le résultat d’une force
primitive de projection, combinée avec la force attrac-
tive du soleil. Mais la science attendait encore le génie
qui devait coordonner dans un seul système ces puis-
santes idées et fixer la loi de la pesanteur , de la géné-

alisation et du rapprochement de ces grandes décou-
vertes. Telle fat l'œuvre de Newton. Voici, d’après le
savant géomètre que nous venons de citer, comment il
y parvint.

La pesanteur des corps au sommet des plus hautes
montagnes, à très peu près la même qu’à la surface de
la terre, lui fit conjecturer qu’elle s'étend jusqu'a Ja
lune, et que là se combinant avec le mouvement de
projection de ce satellite, elle lui fait décrire un orbe
elliptique autour de la terre. Pour vérifier cette con-
jecture , il fallait connaître la loi de diminution de la
pesanteur. Newton considéra que si la pesanteur ter-
restre retient la lune dans son orbite, les planètes
doivent êtres retenues pareillement dans leurs orbes
par leur pesanteur vers le soleil, et il le démontra par
la loi des aires proportionnelles aux temps; or, on sait
qu'il résulte du rapport constant trouvé par Keppler,
entre les carrés des temps des révolutions des planètes
et les cubes des grands axes de leurs orbes, que leur force
centrifuge, et par conséquent leur tendance vers le
soleil, diminuent en raison du carré de leur distance
au centre de cet astre ; Newton supposa donc la même
loi de diminution à la pesanteur d’un corps, à mesure
qu'il s'élève au-dessus de la surface de la terre. En par-
tant des expériences de Galilée sur la chute des graves,
il détermina la hauteur dont la lune abandonnée à elle
même descendrait sur la terre dans un court espace de
temps. Cette hauteur est le sinus verse de l'arc qu’elle dé-

\E

crit dans le même intervalle, sinus que la parallaxe lu-
paire donne en parties du rayon terrestre; ainsi pour
comparer à l'observation la loi de la pesanteur réci-
proque au carré des distances, il était nécessaire de
connaître la grandeur de ce rayon. Mais Newton n'ayant
alors qu’une mesure fautive du méridien terrestre
parvint à un résultat différent de celui qu'il attendait ;
et soupçonnant que des forces inconnues se joignaient
à la pesanteur de la lune , il abandonna momentanément
ses idées. Ceci se passait, suivant Pemberton, le contem-
porain et l'ami de Newton, qui nous a transmis ces dé-
tails, en 1666. Quelques années après il reprit ses re-
cherches et il reconnut au moyen de la mesure que Pi-
card venait de faire d’un degré du méridien, que la lune
était retenue dans son orbite par le seul pouvoir de la
gravité supposée réciproque au carré des distances.
D'après celle-ci, il trouva que la ligne décrite par les
corps dans leur chute est une ellipse dont le centre de la
terre occupe un des foyers. Considérantensuite que Kep-
pler avait reconnu que les orbes des planètes sont pareil-
lement desellipses au foyer desquelles le centre du soleil
est placé, il eut la satisfaction de voir que la solution
qu'il avait entreprise par curiosité, s’appliquait aux plus
grands objets de la nature.

Ainsi c'était au moyen du rapport entre les carrés des
temps des révolutions des planètes, et les cubes des axes
de leurs orbes supposés circulaires quele graud Newton
était parvenu à la loi de la pesanteur. Il démontra que
ce rapport a également lieu dans les orbes elliptiques,
et qu’il indique une égale pésanteur des planètes vers
le soleil , en les supposant placées à la mème distance
de son centre, En généralisant ensuite ses recherches,
Newtonfit voir qu'un projectile peut se mouvoir dans
une section conique quelconque , en vertu d’une force
dirigée vers son foyer et réciproque au carré des dis-
tances : il développa les diverses propriétés dans ce
genre de courbes ; il détermina les conditions néces-
saires pour que la courbe soit un cercle, une ellipse,
une parabole ou une hyperbole, conditions qui ne dé-
peudent que de la vitesse et de la position primitive des
corps. Quelles que soient cette vitesse, cette position et
la direction centrale du mouvement, Newton assigna
une section conique que le corps peut décrire, et dans
laquelle il doit conséquemment se mouvoir. Ces re-
cherches appliquées au mouvement des comètes lui
apprirent que ces astres se meuvent autour du soleil
suivant les mêmes lois que les planètes , avec la seule
différence que leurs ellipses sont très allongées, et il
donna les moyens de déterminer par les observationsles
élémens de ces ellipses. La comparaison de la grandeur
des orbes des satellites et de la durée de leurs révolu-
tions, avec les mêmes quantités relatives aux planètes,

lui fit connaître les masses et les densités respectives

255

NE

du soleil et des planètes accompagnées de satellites
et l'intensité de la pesanteur à leur surface. En consi-
dérant que les satellites se meuvent autour de leurs
planètes, à peu près comme si les planètes étaient
immobiles, il reconnut que tous ces corps obéissent à
la même pesanteur vers le soleil. L'égalité de l’action
à la réaction ne lui permit pas de douter que le soleil
pèse vèrs les planètes, et celles-ci vers leurs satellites ;
et même que la terre est attirée par tous les corps qui
pèsent sur elle. Il étendit ensuite cette propriété à toutes
les parties de la matière, et il établit ces principes, que
« chaque molécule de matière attire toutes les autres
« en raison de sa masse et réciproquement au carré de
« sa distance à la molécule attirée. »

Ce n’est pas là une simple hypothèse, mais un prin-
cipe supérieur, conséquence nécessaire des lois obser-
vées dans les mouvemens célestes; principe fécond
d’ailleurs dont Newton vit découler l'explication des
grands phénomènes du système du monde. En considé-
rant la pesanteur à la surface des corps célestes, comme
la résultante des attractions de toutes leurs molécules,
il trouva cette propriété remarquable et caractéristique
de la loi d'attraction réciproque au carré des distances ,
savoir : que deux sphères, formées de couches con-
centriques et de densités variables suivant des lois
quelconques, s’attirent mutuellement, comme si leurs
masses étaient réunies à leurs centres: ainsi, les corps
du système solaire agissent à très-peu près comme autant
de centres attractifs, les uns sur les autres et même sur les
corps placés à leur surface; résultat qui contribue à la ré-
gularité de leurs mouvemens, et qui fit reconnaître à ce
grand géomètre la pesanteur terrestre, dans la force par
laquelle la lune est retenue dans son orbite. Il prouva
que le mouvement de rotation de Ja terre a du l’aplatir
à ses pôles, et il détermina les lois de la variation des
degrés des méridiens et de la pesanteur à sa surface. Il
vit que les attractions du soleil et de la lune font naître
et entretiennent dans l'Océan les oscillations que l'on
y observe sous le nom de flux et de reflux de la mer.
Il reconnut que plusieurs inégalités de la lune et le
mouvement rétrograde de sesnœuds sont dus à l’action
du soleil. Envisageant ensuite lerenflement du sphéror-
de terrestre à l'équateur, comme un système des atellites
adhérens à sa surface, il trouve que les actions combi-
nées du soleil et de la lune tendent à faire rétrograder
les nœuds des cercles qu’ils décrivent autour de l'axe de
la terre, et que toutes ces tendances , en se communi-
quant à la masse entière de cette planète, doivent pro-
duire, dans l'intersection de son équateur avec l’éclip-
tique, cette rétrogradation lente que l’on nomme Pre-
cession des Équinoxes.

Telles sont, en résumé, les découvertes principales
que Newton expose dans le livre des Principes. Mais 1!

254 NE

n’est pas inutile de faire remarquer qu’à l'exception des
grandes lois qu’il y détermine, la plupart de ses théo-
ries n’y sont qu'ébauchées, et que leur perfectionnement
a été l’œuvre de ses successeurs. Mais cet ouvrage, dans
lequelil a si bien établi d’ailleurs l'existence du principe
général qu'il a découvert, ne restera pas moins dans le
monde comme l’une des productions les plus étonnantes,
la plus originale peut être de l'esprit humain.

Ilest évident que la loi d'attraction renverse une des
hypothèses de Descartes ; mais on chercherait vainement
dans lelivre des Principes l'exposition d’une philosophie
contraire à celle de l'illustre auteur du discours de la
méthode. On ne comprend donc pas aujourd'hui com-
ment il put s'établir une lutte entre les idées auxquelles
on a donné le nom de Cartésianisme et les découvertes
purement scientifiques qu'on désigne sous le titre de
Philosophie Newitonivnne. Serait-ce, comme l'ont pré-
tendu des esprits fort supérieurs du reste, que la mé-
thode d’induction que suivit Newten détruisait la su-
périorité de toute méthode à priori, et que conséquem-
ment il faudrait en revemir à l'observation comine à la
source unique et absolue de toutes nos connaissances ?
Mais, outre qu'il sera toujours étrange de conclure
d'une méthode à un principe , oublie-t-on que l’immor-
tel Newton n’a pu baser ses inductions que sur des prin-
cipes ou des découvertes antérieures à ses recherches,
et établis par cette méthode à priori que le philoso-
phisme du XVIII®* siècle s’obstina à nier. Nous re-
grettons de ne pouvoir donner plus de développement
à ces considérations générales, et il nous suffra d'ajouter
que, dans le domaine des réahtés qu'elle explore, la
science adopte la vérité indépendamment des moyens
employés pour la rechercher. Si la destination de
l'homme est en effet la découverte de la vérité, la
Providence a dû multiplier le nombre des voies qui
mènent à elle, afin que toutes les intelligences pussent
contribuer à cette œuvre sublime.

Le Traité d'optique de Newton est après lelivre des
Principes un des écrits les plus remarquables de ce
grand homme, les plus digues de son géuie original et
profond. Mais l'espace nous manque pour en donner
ici une idée plus précise ainsi que des uombreux et ad-
uirables travaux dont cet illustre géomètre a enrichi
la science : nous ne pouvons qu'en frire la rapide énu-
mération bibliographique.

Le grand ouvrage de Newton parut pour la pre-
mière fois a Londres, en 1687, in-4°,sous cetitre : Philo-
sophiæ naturalis principia mathematica. Le livre inti-
tulé Systemata mundi, qui r'est qu'un précis de la
troisième paitie du précédent ouvrage, destiné à en
rendre la doctrine plus accessible, ne fut publié qu’en
d’ail-

leurs aux traités spéciaux de bibliographies ceux de

1531, par les soins de Hallev, Nous renvovons

NE
nos lecteurs qui désireraient connaître le nombre d’édi-
tions et les traductions en diverses langues qui ont été
faites de cet immortel écrit.

En 1904 , Newton publia à Londres, en anglais, son
Traité d'optique ; il était accompagné de deux autres
traités en latin : De quadratura curvarum, et Enume-
ratio linearum terlit ordinis. En 1706, Ssmuel Clarke
donna une nouvelle édition de cet ouvrage avec la tra-
duction de l'optique en latin.

En 1707, parut l’Arithmetica universalis , eten 1511
Newtou publia de nouveau ses deux traités De quadra.
tura, etc. avec ceux qui portent ces titres : Analysis per
quantitalum series , fluxiones ac differentias, etc, et
Methodus differentialis.

Après lui parurent ses Lectiones opticæ , qu’il ne faut
pas confondre avec le Traité d'optique dont nous avons
parlé plus haut, et enfin sa Méthode des fluxions et des
suites infinies, qui est un de ses premiers ouvrages,
mais qui ne fut publié qu’en 1706, en anglais. par les
soins du docteur Colson. Buffon en a donné une traduc-
tion française. Les œuvres complètes de Newton ont
été publiées à Londres en 1770, par les soins de Hors-
ley, sous ce titre : Isaac NEuTONT opera quæ extant
omnia. Commentarirs illustrabat Samuel Horsley , 44.
EL. L. D. R.S.S. Lond. 1779. in-4° 5 vol.

Le grand Newton, qui jouit durant sa longue vie de
la plus heureuse santé, mourut le 20 mars 1727, âgé
de quatre vingt-quatre ans et trois mois. Sa patrie, où
le culte des grands hommes est si noblement pratiqué,
lui voua les honneurs funèbres les plus remarquables.
Son corps fut transporté à l’abbaye de Westminster et
placé sur un Et de parade, les plus grands seigneurs se
disputèrent l'honneur de porter les coins du drap» mor-
tuaire, et unc foule immense «le citoyens anglais assista
dans un religieux silence à cette cérémonie. Ce fut
néanmoins la famille de Newton qui lui fit depuis éle-
ver un tombeau. On v dit l’épitaphe suivante qui ré-
sume la plus belle vie que Dieu ait pu accorder à un
homme.

H. S. E. Isaacus Newtonus, eques auralus, qui

animi vi prope diviné, planetarum motus, figuras,
cometarum semilas, oceanique æslus, sua mathesi
lucem præferente, primus demonstravit. Radiorum
lucis dissimilitudines , colorumque indè nascentium pro-
prietales, quas nemo antè suspicalus eral, pervesti-
gavit. Naturæ antiquitatis, S. scrip. sedulus, sagax,
Jfidus, interpres, Dei O. M. majestatem philosophiä
aperuit , evangelii simplicitatem moribus expressit. Sibi
gratulentur mortales tale tantumque exstitisse hu-
mani generis decus.

Natus XXT december. 4. D.MDCXLII; obiit martis
XX, MDCCXFVI. (1327. V.S.) Les dernières phrases
decette épitaphe font allusion à la Chronologie des:

NI

anciens royaumes corrigés, qui, malgré les critiques
de Férat, est demeurée un des ouvragesles plus remar-
quables qui existent sur cette matière, et à un ouvrage
d'Exégèse de la vieillesse de Newton, Observations sur
Daniel et l’ Apocalypse ; écrit mal jugé en France et
qui n’était ridicule que pour la secte antireligieuse qui
avait osé s’étayer un moment du vénérable nom de
Newton.

NIVEAU. (Arpentage.) lustrument employé pour
mener une ligne parallèle à l'horizon, et pour trouver
la différence des hauteurs de deux endroits. Il y a plu-
sieurs espèces de niveaux.

Le niveau d'eau, le plus simple de tous, est com-
posé d’un tuyau rond de cuivre ou de toute autre ma-
tière susceptible de contenir de l’eau, long d’environ
un mètre sur 30 à 35 millimètres de diamètre. Il est
recourbé en équerre par les bouts pour y recevoir
deux tuyaux de verre de 80 à 100 millimètres, que
l'on fait tenir avec de la cire et du mastic. Il y a par-
dessous une viole attachée au milieu, pour placer l’in-
PI. 47, fig. 3.) On y

verse de l’eau ordinaire ou colorée par un des bouts

strument sur son pied. (Foy.

jusqu'à ce qu’il y en ait assez pour paraître dans les
deux tuyaux de verre.

Ce niveau est très-commode pour niveler de moyen-
nes distances, parce qu’il n’est pas nécessaire que l’eau
soit égalementéloignée des extrémités des deux tuyaux
de verre; d’après la propriété des liquides, la ligne
visuelle qui passe par les deux surfaces apparentes de
l’eau, est toujours horizontale.

Le niveau d'air (P1. 43, fig. 4), est un tube de
verre bien droit et d’égale grosseur et épaisseur par-
tout. On le remplit, à quelques gouttes près, d'esprit
de vin ou autre liqueur non sujette à geler, puis on le
ferme hermétiquement à la lampe d’émailleur. Cet in-
strument est exactement parallèle à l'horizon lorsque la
goutte d’air s'arrête justement au milieu; car, daus
toute autre situation, la goutte d’air plus légère que
les gouttes de liqueurs court vers l'extrémité la plus
élevée pour remplir le vide.

C’est ce niveau d’air simple qui sert de base à tous
les niveaux composés, montés sur des pieds et garnis de
pinnules ou de lunettes. (Fig 5, 6.)

Le niveau à perpendicule est composé de deux rè-
gles jointes à angles droits et dont l’une porte un fil à
plomb. (PI. 47, fig. 7, 8et 9.) Le niveau des macons
(fig. 10) est un instrument de cette espèce.

NIVELLEMENT. Branche de la géométrie pratique
qui a pour objet de mesurer la différence des niveaux
des points terrestres, ou de faire connaître combien un
point de la surface du globe est plus près ou plus loin
du centre qu’un autre point.

NI 255

D’après les lois de l’hydrostatique (voy. ce mot), la
surface d’une eau tranquille comme celle d’un lac ou
de la mer, lorsqu'elle est calme , est uue surface sphé -
rique dont les points sont également éloignés du centre
de la terre. Cette surface est ce qu’on nomme couche
de niveau.

Quoique la terre ne soit point exactement une sphère
et qu'il ne soit pas par conséquent rigoureux de consi-
dérer comme des arcs de cercles les lignes que l’on
mesure sur sa surface, daus les opérations ordinaires de
nivellement, on peut sans erreur sensible ne tenir au-
cun compte de son applatissement vers les pôles. Ce
n'est que lorsque les points dont il faut aéterminer la
différence des niveaux sont situés à de très-grandes dis-
tances les uns des autres qu'on a besoin, pour plus
d’exactitude, de faire entrer cet aplatissement dans
les calculs.

On dit que deux points sont de niveau entre eux
lorsqu'ils sont également élevés au-dessus, ou également
abaissés au-dessous , d’une couche de niveau, c'est-à-
dire, de la surface d’une eau parfaitement tranquiile.
Par exemple si BE représente la surface de la mer, les
deux points À et D seront de niveau lorsqu'on aura
AB— DE. (P2. 47, fig. 9.) L'arc AD se nomme alors
ligne de niveau vrai.

Une droite comme DF perpendiculaire à la ligue
d'aplomb DE, du point D, ou tangente à la ligne de
niveau AD, se nomme ligne de niveau apparent. C’est
la ligne horizontale qui passe par le point D et que
l’on détermine à l’aide d’un niveau (roy. ce mot).

La ligne de niveau vrai et celle de niveau apparent
s'écarteut d'autant plus l'une de l'autre, qu’elles sont
prolongées d'avantage ; ainsi deux points d’une même
ligne horizontale ne sont jamais rigoureusement de
niveau. Cependant, comme dans de petites distances la
courbure de la terre est insensible, on peut preudre la
ligne de niveau apparent pour la ligne de niveau vrai
tant que la distance des objets ne dépasse pas 2 à 300
mètres; au delà la différence ne peut plus être négli-
gée.

Pour déterminer la différence des niveaux de deux
points terrestres tels que E et D (Pr. 67, fig. 11) qui sont
visibles l’un de l’autre, on établit à l’un de ces points,
E par exemple , un niveau d'eau ou tout autre qui fait
conuaître la ligne de niveau apparent BC; à l’autre
point D, on place une règle CD portant une feuille de
fer-blanc carrée divisée en deux rectangles par une
droite, et dont l’un est blanc et l’autre noir. Ce carré ,
que l’on nomme la mire, peut glisser dans une rainure
pratiquée sur la règle, L’observateur, placé au niveau ,
indique au porteur de la règle, par des signes conve-
nus, qu'il faut hausser où baisser la mire jusqu'à ce

qu’il voie la ligne de séparation des rectangles bien evac-

256 NI

tement dans le rayon visuel BC’. On mesure ensuite la
hauteur de ce rayon visuel au-dessus des points E et D,
et la différence de ces hauteurs est la même que celle
des niveaux, en supposant toutefois que la distance BC
n'est pas plus grande que 300 mètres, Pour plus de
facilité, la règle qui porte la mire est divisée en milli-
mètres et fait ainsi connaitre immédiatement la hau-
teur CD.

Si les points sont très-éloignés ou ne sont pas visibles
l’un de l’autre , on choisit des points intermédiaires , et
à l’aide de plusieurs opérations semblables à celle que
nous venons de décrire on détermine la différence des
niveaux de ces points et des points proposés , d’ou l’on
peut ensuite conclure celle de ces derniers. En choisis-
sant des stations qui ne soient pas distantes de plus de
2 à 300 mètres on n’a pas besoin de tenir compte de la
différence de la ligne de niveau apparent avec celle de
niveau vrai.

Lorsque les points, quoique visibles, sont situés à une
très-grande distance l'un de l’autre et qu’on ne veut
faire qu’une seule opération , il faut diminuer la hau-
teur de la mire de la quantité qui résulte de l'élévation
du niveau apparent au-dessus du niveau vrai, quantité

que l’on détermine de la manière suivante.

Soient (PI. 47, fig. 12.) À un point de la surface de
la terre, AB la ligne de niveau apparent et AD la ligne
de niveau vrai; BD sera l'élévation du niveau appa-
rent au-dessus du niveau vrai. Or, d’après les propriétés
du cercle (voy. ce mot), la tangente AB est moyenne
proportionnelle entre la sécante entière BE et sa partie
extérieure BD, ainsi on a

BE

AB :: AB : BD

d'où

ee
PRE Epooh

Mais BD est toujours très-petit par rapport au diamètre
ED dela terre, et l'on peut poser, sans erreur apprécia-
ble dans la pratique,

donc le haussement du niveau apparent au-dessus du ni-
veau vrai est égal au carré de la distance horizontale des
deux points divisé par le diamètre de la terre. C’est
avec cette formule qu’on a dressé la table suivante :

a ————_—_—_—_—_———…————

NI
ÉLEVATION

Du niveau apparent au-dessus du ni-
veau vrai.

DISTANCES
Entre les points à niveler.

metres, m

100 0, 0008
200 0, 0031
300 0, 0071
400 0, 0126
500 0, 0106
600 0, 0283
700 0, 0385
800 0, 0503
900 0, 0636
1000 0, 0795
1100 0, 0950
1200 0, 1131
1300 0, 1327
1400 0, 1539
1500 0, 1767
1600 0, 2011
1700 | 0, 2270
1800 0, 2545
1900 0, 2835
2000 0, 3142

Eu remarquant que les haussemens du niveau appa-
rent au-dessus du niveau vrai sont entre eux comme
les carrés des distances horizontales , ce qui résulte de
la formule ci-dessus, on peut prolonger facilement
cette table, ou trouver les valeurs comprises entre celles
qu’elles contient.

Nous devons faire remarquer que ces haussemenus ne
sont pas en réalité aussi grands que le calcul les donne
à cause de la réfraction dont l'effet est de faire paraître
les objets plus élevés. Cet effet qui est justementle plus
grand possible dans la ligne horizontale est cause que
le niveau apparent se trouve plus bas qu’il ne devrait
être et diffère d'autant moins du niveau vrai; mais la
quantité de cet abaïssement ne devient sensible que pour
des distances qui dépassent 900 mètres, et l’on n’en tient
compte que dans les nivellemens qui demandent une
grande exactitude. En désignant par k le haussement
qui correspond à une distance quelconque, et par a
l'abaissement du à la réfraction, pour cette même dis-

tance , on a à trés-peu près
a = 0, 16 4.

Ainsi pour une distance de 1600 mètres, l’abaissement
est |

0, 16 X 0,2011 — 0, 032156,
|

ou 0,0322. Retranchant cette valeur du haussement que
donne la table, il reste 0", 1680 pour l'élévation du ni-
veau vrai. Poy. Les Traités de Nivellement de Picard,

NO

de Lahire et celui, plus complet, de Puissant. Woy.
aussi le Traité de ? Arpentage de À. Lefèvre.

NOCTURNE. (4st.) C’est l'opposé de diurne, ou ce
qui a rapport à la nuit.

Are nocturne. Arc que le soleil décrit ou paraît dé-
crire pendant qu’il est au-dessous de l'horizon.

Arc semi-nocturne. Portion de cercle comprise entre
la partie inférieure du méridien et le point del’horizon
où lesoleil se lève ou se couche. (707. Diunwe.)

NOEUDS. (4st.) Points où l'orbite d’une planète
coupe l’écliptique. (Foy. Lune et PranÈres.)

NOEUD. (Géom.) Figure ovale formée par l'intersec-
tion des branches d’une courbe. (Foy. Point sINGULIER.)

NOMBRE. (4/g.) Ce mot dans son acception vul-
gaire désigne une collection d’unités dela même espèce.
(Foy. ARITHMÉTIQUE et MATHÉMATIQUES.)

Les nombres se distinguent en entier, fractionnaire ,
rationnel, irrationnel, abondant, amiable, abstrait, con-
cret, figuré, parfait, polygonal, premier, etc. (Foy. ces
divers mots.)

Tuéone pesnomsres. Une des branches fondamentales
dela Théorte de l' Algèbre, (Voy. Marnémariques 13.)

Nous avons dit que la théorie des nombres à pour
objet la double considération quise présente dans leur
nature et nous les fait concevoir comme une agrégalion
d'unités, où comme un produit de facteurs, c'est-à-dire,
comme étant donnés par l'algorithme de la sommation

A+B—C,
ou par ceux de la reproduction et de la graduation

AXB=C,! AB —c.

Le premier de ces algorithmes apportant précisément
dans les nombres la considération de l'agrégation des
unités, et les deux derniers celle de l'existence des fac-
teurs.

Mais en nous bornant à ce double caractère général
de somme et de produit , soit M un nombre donné en
même temps par les générations

M—A<+B,M=CXD;
nous aurons nécessairement (a)

A+B=CXD,

et cette égalité exprimera l'influence systématique et
réciproque des deux algorithmes primitifs dans la géné-
ration du nombre M. Or, les lois de cette influence ré-
ciproque sont évidemment celles qui lient les quantités
A, B, G, D, et rendent possible la double génération en
question. Nous allons donner, d’après M. Wronski, la
déduction de ces lois.

1. Soient %:,n,, n3, 71, etc., des nombres quelcon-
ques positifs ou négatifs, faisons d’abord

TOME ls

NO 257
n,+n+n,+n,+etc... +Ln, = N,.
Si nous formons avec ces mêmes nombres tous les pro
duits différens qui peuvent résulter en les combinant
m à mn sans permutations, la somme de tous ces produits
sera une fonction de N,, et nous pourrons la cousidé-
rer comme le développement de la puissance

(nr, +n,+n+n,+etc....+n,)"
en remplaçant dans ce développement les coefficiens m,
m{m—1) 1. NT —
——-— etc., par l'unité. M. Wronski désigne par la
2
caractérisque N cette fonction particulière de gradua-
tion, qu’il nomme simplement, du nom de cette lettre,
fonction aleph et qu’il écrit
N [Nul
Nous avons de cette manière,
N LV = n, nm,
Nan, = n/Lnon,+n nn
etc. etc.
Nn,+n+f = mn, En nn nn, +n;n,
nf nn dns +ninn,

etc. etc.

2. D'après la construction des fonctions alephs on a,
n désignant un nombre quelconque (b),

NINo+npe=KINo + NN. Jr Le NN]
etc... Hi [N.]-+Hnr.

En effet, en prenant simplement la puissance »2 du
binome N, + 7%, nous avons
MINI A
(Notre) =NiemtnN in = no E pee,
DE Te
ou bien en substituant à la place de N,, le polynome que
cette quantité représente

{(a+n, Ln,+etc..+n.)+n}r=
Ça, n, +4n,+ etc...)
+ m(n,+n,+......s +no)ron

+ ii (ain... 4m)
+ etc...

Or, pour avoir le développement final de la puissance
du premier membre de cette dernière expression, il ue
faut plus que développer les puissances du polynome(c),

n,+n,+n;+n+ etc. ...+n

qui se trouvent dans le second membre, mais la fonc-
tion NIN,—+-2/" est égale à ce développement après
qu’on a ôté les coefficiens, on a donc en définitive l’ex-
pression (b), puisque les développemens des puissances
du polynome(c) pris sans les cocfficiens sont les fonc-
tions alephs

NN}, NINo}" 1, NINoJnretc.

3. Si nous désignons par #, l'un quelconque des

D3

258 NO
nombres #,,n,, n;, etc., nous aurons évidemment en
vertu de (b)

NON = NEN em Jr mp NN np
+0 p NN — npj"—23 etc.
= NINo— np] np {NN — np]
HN No—npl—s + 70, N[No—nr)"—3
—+ etc... }
= NINo—np}" + 7, NIN7 1

et pour tout autre nombre »,, pris également parmi les
nombres n,, n,,n,, etc.

NN = NN on} n NON an,
ce qui nous donne la relation générale ,
Nan) NON = NN nn NN ar
et définitivement (4),
NNo— np) NINo— nf = (n7—np).NINIT—1.

Telle est l'expression de la relation qui existe entre la
génération par sommation et la génération par gradua-
tion au moyen des nombres #,,n,,»,, etc. C'est la loi
fondamentale de toute la théorie des nombres. On voit
qu’elle se réduit en effet à la forme («)

4. En établissant entre deux quelconques », et », des
nombres arbitraires n, n,+n,+etc...—+n, =N,, la
différence (7, — n}) égale à, 3, 4.5, etc., on aura,
d’après cette loi, pour la forme primitive de la généra-
tion de tous les nombres composés respectivement des

facteurs 2, 3, 4, 5, etc., l'expression (e),
NENo— np} —KINo— 29];

mn étant un nombre entier positif quelconque. — C’est
Jà l'origine absolue des facteurs dansles nombres entiers.

« Ceux des nombres premiers, dit M. Wronski, qui
ne sont pas compris sous Ja forme (e), si ce n’est dans le
cas où la différence (n77—np) est égale à l'unité, et qui
cependant se trouvent comme les autres dans la suite
naturelle des nombres, c’est-à-dire, dans la suite pro-
duite par la génération consécutive par summation, et
nommément par l'addition consécutive de l'unité, sont
ceux qu'on appelle nombres premiers. — On voit main-
tenant quelle est la nature de ces nombres, et quel en
est le caractère distinctif; on voit que ce caractère est
purement xégatif et qu'il consiste dans l'exclusion de
ces nombres hors des limites de la forme primitive (4)
que nous venons de trouver pour la génération possi-
ble des nombres composés de facteurs, à l'exception du
cas insignifiant où la différence (ny—np) est égale à l’u-
nité. — C'est de ce caractère négatif ou d'exclusion que
vient l'impossibilité d'exprimer, d’une manière géué-
rale, les nombres qu’on appelle premiers, c'est. à-dire

NO

l'impossibilité de soumettre ces nombres à une loi :
ce sont leurs opposés, les nombres composés de facteurs
dont le caractère distinctif est positif qui peuvent être
soumis à des lois, et par conséquent recevoir une ex-
pression générale; et c’est cette expression que nous
veuons de déduire de la loi fondamentale des nombres.»

6. Il est facile de reconnaitre, en examinant les deux
quantités

NINo—2,]" NN [No— nl
qui concourent à la génération des uombres composés
du facteur (2,—ny), que ces quantités sont construites
d'une manière identique, et qu'iln’existe entre elles au-
cane différence de génération. C’est cette identité de
formation qui est le principe premier de la congruence
des nombres (v0y. ConcnuEnce) et donne lieu à l’ex-
pression générale de cette congruence ,
NINo— = NINo— nl", [module =(ng—n»)];

sur laquelle reposent conséquemment toutes les propo-
sitions de la Théorie des nombres. (Foy. Wronski , In-
trod. à la Phil. des Math.) Foy. Coxenuence et INDÉ-
TERMINÉ.

Nowvne n'on. C'est celui qui exprine l’année cou-
raute du cycle lunaire. (Foy. CALENDRIER, 27.)

NONAGÉSIME. (45t.) Point de l'écliptique éloigné
de 90° des sections de l’écliptique avec l'horizon. C’est
le point de ce cercle le plus élevé au-dessus de l’hori-
zon daus un moment donné.

NONES. Nom que l’on dounait à certains jours du
mois daus le calendrier romain. (Foy. CaLeNpriEr, 14.)

NONIUS. {Voy. VEnNiEr.)

NORD. (454.) Un des quatre points cardinaux. (or.
CanpiNaux.)

NORMALE. (Géom.) C'est la même chose que per-
pendiculaire, mais on se sert plus particulièrement de
ce mot dans le théorie des courbes. (7’oy. PerPenDicu-
LAIRE €t SOUS-NORMALE.)

NOTATION. (4lg.) Représentation ou signe exté-
rieur qu’on emploie pour désigner les quantités numé-
riques. Par exemple, la manière d'écrire l’exposant au-
dessus de la base, dans 4”, pour désigner la puissance
de cette base, est une notation.

NUIT. (45t.) Espace de temps pendant lequel le s0-
leil est au-dessous de l'horizon.

NUMERATEUR. (4/g.) Nom del’un des deux nom-
bres qui servent à exprimer une fraction. (Woy. Frac-
TION.)

NUMÉRATION. Génération de tous les nombres au
moven de certains nombres que l’on considère comme
simples ou comme donnés immédiatement. (Voy. Arita-
MÉTIQUE, 11.)

Comme ilest impossible d’avoir la conception immé-
diate d’use pluralité indéfinie d’uuités numériques, 1l

KO

est essentiel, pour la possibilité de l’arithinétique , de
déterminer médiatement cette conception. Or, cette dé-
termination ne peut évidemment avoir Jieu que par
une combinaison des algorithmes élémentaires primi-
fs, sur lesquels repose en dernier lieu toute la science
des nombres, combinaison qui constitue l'algorithme
élémentaire dérivé de la Numérariox. (707. Maiué-
MATIQUES , 4.)

Eu combinant ensemble les deux algorithmes primi-
tif de la sommation, et dela reproduction, on obtient
une génération dérivée, dont la forme générale est (a),

A,.M+A,.N+A:.O+HA,.P+ etc.
À, À,, A3, etc. , désignant des uombres donnés par la
sommation, où par l'addition successive de l'unité avec
elle-même, et M, N,O, P, etc., des nombres sembla-
bles, mais liés entre eux par une loi, afin que cette géné-
ration ait une forme déterminée.

Mais pour que cet algorithme soit susceptible de ré-
soudre, dans toute son étendue, la question qui nous oc-
cupe, il faut qu’on puisse resserrer les deux générations
composantes entre des limites arbitraires, et obtenir
néanmoins la génération complète d’une quantité quel-
couque. C’est ce qui a lieu en effet.

Ainsi considérant comme donnés immédiatement une
certaine quantité »: de nombres A, A, A,,etc.,et
preuant pour les nombres M ,N,O, ctc., la suite des
puissances progiessives du nombre limitant #, ce qui
est la loi la plus simple qui puisse lier ces quantités,
nous aurons pour la génération d’un nombre quelcon-
que X, suivant le cas le plus simple de l'algorithme (a),
l'expression (b),

X = A,mP+ A,mP—i A ,mp—2+ Amp etc.

Mais pour sortir du point de vue général, prenons
dix pour limite, c’est-à-dire considérons comme sim-
ples les dix quantités

0, 152,0, #23 6 7; 5,9,

2

et nous aurons pour la génération du nombre X,
X = A,10P + A,107—1HA;107—1—2 etc.,

les quantités A:, A», A3, etc., étant quelques-uns des
nombres simples 0, 1,2,3, etc.

Dans l’arithmétique , on sous entend les puissances
107, 10P—1, etc. , et les rangs qu’on fait occuper aux
nombres simples o , 1,2,3, etc., ne sont qu’un moyen
de tenir compte de ces puissances, C’est ainsi qu’on
nomme dizaines, les nombres de l’ordre 10'; centaines,
ceux de l’ordre 10*, etc. Par exemple, en écrivant
comme daus l’arithmétique la quantité X

XL. <UANUA SAND AS!
À, serait les unités; A,, les diraines; A3, les centai-
nes, etc. Supposons pour rendre l'application encore
plus sensible que la génération du nombre X soit,

)

NO 259
2.103,10 +0,10 +5.10+7.10°
on écrirait
X = 23957.

Et, alors, 2 exprimerait 2 unités de l’ordre 104, ou 20000,
ou 2 dixaines de mille; 3 exprimerait 3 unités de l’ordre
10, ou 3000 ou 3 mélle; O,0 unités de l’ordre 10*, ou 900,
où O centaines ; 5, 5 unités de l’ordre 10', ou 70, ou 7
dizaines; et enfin 7, 7 unités primitives. On énonce-
rait la quantité X en disant qu’elle égale vingt-trois
mille neuf cent cinquante-sept unités. (Voy. ARiTHMÉ-
TIQUE, 11.)

Il nous reste à démontrer que la génération d’un nom.
bre entier quelconque est toujours possible au moyen
de l'algorithme (b), quelle que soit la limite me : ce qui se
réduit à prouver que la détermination des nombres
A:, À:, A3, etc. est possible dans tous les cas,

Or, X étant un nombre entier, soit , s’il est possible,

X = Acrn° + Am HA m°ÆA;m+ A ,mi+-etc…..
Eu divisant les deux membres de cette égalité par rx

ona
e en + Asm° — Am Asm+etc.,
mm
ou, simplement
X 7 À, r
nm — X:+ on X,, reste À,.
X, représentant Am + A,m — etc.
Il suit de là que A, estle reste de la division de X par
m. Divisant de nouveau les deux membres de l'égalité ,
X: — Au + Ami + Asm+ Asm$ H etc.,

par 71, il vient

X, A,
Te + Aumn° + As + Am etc.,
ou
X

_ CA De = X, , reste À, ,

7 né

en désiguant par X, la quantité A,m° + Am: etc.

Le nombre À, est donc le reste de cette seconde divi-
sion. Potrsuivant de la méme manière jusqu’à ce qu’on
arrive à un dernier quotient plus petit que 72, les restes
des
À;, A3, etc.

Voici le tableau de ce calcul :

X — Aurn° H Am LL A;,m + A,m etc.

divisions successives seront les autres nombres

mt nr

== Ac -t- Airm° Aa etc... | ee X,;, reste À.

X A {

1 — A ,m°—LA sm te. = X $ Le
= = +- jan + etc | » reste À
ty £ :

= {+ | Asm°+Aim+ etc... [= X;, reste As.
nt mr
> Ch .
= — + |A um®-Asm+ etc... [= À, reste As.
IH nt
etc. etc.

2600

La détermination des membres A,,A,,A,,etc., est
donc toujours possible , etil est, conséquemment, vrai
qu’un nombre entier quelconque X peut être donné
par la génération dérivée en question, quelle que soit
Ja limite 72.

Comme les nombres entiers servent ensuite à expri-
mer tous les autres , on voit que l'algorithme (b) ren-
ferme implicitement la solution générale del’importante
question qui nous a conduits à déterminer sa na-
ture.

Nous avons donné au mot EcuEcre AntrnmEriQue le
procédé pour passer d’un système de numération à un
autre ; cet article est le complément de ce qui précède.
(Foy. aussi BiNAIRE.)

OB

NUMÉRIQUE ou NUMÉRAL., Ce qui a rapportaux
nombres.

Le calcul numérique est celui qui s'effectue sur les
nombres représentés par des chiffres, à l’aide de la nu-
mération ; tandis que lecalcul algébrique est celui qu’on
effectue sur les nombres représentés d’une manière gé-
nérale par des lettres.

NUTATION. (454.) Oscillation périodique de l’axe
du globe terrestre, causée principalement par l’attrac-
tion de la lune, et dont l'effet est de produire un mou-
vement apparent dans les étoiles fixes. Ce phénomène,
découvert par Bradley, étant lié à celui de la précession
des équinoxes, nous renyerrons l'exposition de sa théorie
au mot PRÉCESSION.

©.

OBJECTIF. (Diop.) On nomme verre objectif le
verre d’une lunette ou d’un télescope qui est tourné
vers l’objet. (Foy. Luxerre.)

OBLIQUANGLE, (Gcom.) Nom que l’on donne aux
triangles dont tous les angles sont obliques, c’est-à-dire,
aigus ou obtus. Ce mot a vieilli.

OBLIQUE. (Géom.) Une droite est oblique par rap-
port à une autre droite, lorsqu'elle ne lui est pas
perpendiculaire. {l en est de même par rapport à un
plan.

Deux plans qui forment un angle différent d’un droit
sont olliques l'un par rapport à l’autre.

On démontre, dans les élémens de géométrie, que de
toutes les droites que l’on peut mener d’un point à une
droite ou à un plan, la plus petite est la perpendiculaire,
etque, de deux obliques, la plus grande est celle qui ren-
contre la droite ou le plan à une plus grande distance
du pied de la perpendiculaire. Par exemple, si du point
À (PL. 47, fig. 13et 14.) on mène les droites AE, AD,
AF, AG, etc. , la plus petite de toutes ces droites sera
la perpendiculaire AD ; et de deux obliques, telles que
AF et AG, inégalement éloignées du pied de ja per-
pendiculaire, la plus grande sera la plus éloignée AF.

Les obliques qui s’écartent également, comme AE et
AF sont égales. (Foy. PERPENDICULAIRE.)

OBLIQUITÉ. Position d’une droite ou d’un plan qui
sont obliques par rapport à une autre droite ou un autre
plan.

OBLIQUITÉ DE L'ÉCLIPTIQUE. (Voy. EcuiprTiQue.)

OBLONG. (Géom.) Epithète que l’on donne à toute
figure plus longue que large. Ainsi un rectangle dont

les quatre côtés ne sont pas égaux ou qui n’est point un

carré est un rectangle oblong. Une ellipse est une figure
oblongue, etc. Un sphéroïde oblong est la même chose
qu'un sphéroïde alongé. (Foy. ce mot.)

OBSERVATION. On donne ce nom, en astrono-
mie , aux mesures, prises avec les instrumens convena-
bles, des distances angulaires des astres, de leurs hauteurs
méridiennes, de leurs mouvemens, etc. , etc.

OBSERVATOIRE, Lieu destiné aux observations
astronomiques, et qui renferme les instrumens nécessai-
res à ce genre d'observations.

Le premier observatoire qui fut établi en Europe est
celui que Guillaume IV, Landgrave de Hesse-Cassel, fit
bâtir en 1561. Nousavons dit que T'ycho-Brahé en avait
fait construire un à ses frais dans la petite île de Huène,
vers 1582. L'exemple donné par le prince et le géomè-
tre fut bientôt suivi généralement, et toutes les nations
civilisées s'empressèrent à l’envi d'établir des observa-
toires. Celui de Paris fut commencé en 1664, par l’or-
dre de Louis XIV , etachevé en 1672. On y remarque
une espèce de puits qui va du haut de la plate-forme
jusqu’au fond des caves, et dont on s’est servi pour des
expériences sur Ja chute des corps.

L'observatoire de Greenwich , près de Londres, de-
venu si célèbre par les nombreuses observations qui y
furent faites par Flamsteed , ne date que de 1676.

Voici, d’après les calculs les plus récens, les positions
des principaux observatoires actuellement existans ,
rapportées au méridien de celui de Paris. Cette tableest
particulièrement utile pour ramener les longitudes
comptées de ces observatoires aux longitudes comptées
de Paris , les seules dont il soit fait usage dans les ou-
vrages français.

OB OB 264

POSITIONS GÉOGRAPHIQUES DES PRINCIPAUX OBSERVATOIRES

Par rapport au méridien de l Observatoire de Paris.

NOMS DES VILLES.

EEE né)

Aberdeen (Ecosse). ............................. | & 96 6.0 | ob 17 44”
| Abo (Russie). ...................es.essssssse B:N:| 19:56 4548 ler 191 47
Altona (Allemagne). ............................ .N 7 36 18.E | o 30 925
| Armagh (Angleterre). .................... dress :N 1,8 58 35.0. 0. 35. BE
Berlin (Allemagne)... ....,..s....s.....sss... AN. |. xr 3:.30.E.| 0: 44 14
# Bremen. (i4d).................... tr eue .N 28 30.E |o 25 54
| Bude (Hongrie). ............................... IN |:16 42 52.E |r 6 5:
__ Bushey Heath (Angleterre). .......... RER IE .N > 40 36.0 | o 10 42
| Cambridge MA) sers see tro none see .N 2.414, 1:31:O {ro : <8:. 58
Cap de Bonne-Espérance. ..... Set uueste Sense 28 |-16.-8: 12.EB4lir 4° 13
Christiana (Norwége).................. Pare sre ee CN 8 24. 31.E | 0 33: 38
Copenhagen (Danemarck) .,....,.....,.......,... .N | 10 14 20.E |0o 4o 57
Gracovie(Gallicié)s.n2 dors santneenean N:l:27 . 89:- 45.E:| vx 0 + 3%
Dorpat (Russie) esse soon IN. | 04 153-013 Ent 3 33
Dublini(frlande) 540: su 8 ot SE Hdoise Det tre .N| 8 41 52.00 34 47
Pdinbourp (Ecosse) ses. siasmsesscememhees .N 5….:3. 15:00:10. 45 I
Hiorence (Ltalie)s 4e -asonsectaiee state NN: :8..55 -60.E 0: 85 4
Genève (Suisse)....,..... Lorna es Nr IN, l Sax 48 sr. Elo jañ 9
GotliAllemagnielisen sf. Susdos as use sue .N | :.8.::23, 43.E. lo. 33,1: 35
Gottinpuc (1) Messe eut 41e fire *N | 7 36 30.E | 0. 30, 96
Grenwich (Angleterre) sniaei4t eat tte se a force: dioiete N |: 2: -20 24.0 lo: - 0 22
Kensinpton (7) enr osdenNe das cases -N| 2 32 4.0 |o 10 8
Konisbergi(Allemagne),$on ist 2e ele at os orere NS arte gtty4o E' Er =ljot 39
Madras" (DRdeS eee se tirs ue nr de de se D.N | 97 56 57.E | 5 11 48
Manheim (Allemagne). ..,.................. .N |°6. . 7 30.E.| 0 24 30
Marseilel(ElanCe).. 2 52e si. ee e5 ee ec: N°30 13004.F 1.0: .n12: 248
MUONIERNERS LE SUIS NO RAA AIR NA lnsnaen à : NN] 6 50 56.E|o 27 4
Modènefltalie). .....7.....,.. 92m 44 38 53.N | 8 35 18.E |o 3,4 91
Munich (Allemagne). . ..................... 48 8 45.N | 9 16 18.2 |o 3; 5
Naples (Italie): 42 2 24m. le à notéauas.e ce. ce &o 51 55.N | 11 55 30.E | o 47 42
Nicolaief}(Russie) sise sut nimes entrain à. 4 46 58 21.N | 29 38 24.E |: 58 34
OxfordifAngleterre)#et.ts 21. 440: aan An 7 à 51 45. 39.N | 3 35 46.0 |o 14 923
Padoue (tale) PR RE M TL us do... 4D, 240 L3-N,)-94 ,91 44.0 38 7
Palerme (22.)! 484 = 2 ie. EE NT ET 38 6 44.N |11 1 0.E | o 44 4
lord non ce SR LI pe: 452,50 1 493-N°1" 07-00: 0: 0 00
Pétersbourg (Russie). . .... ONE conti esstiera ls 9.26 :38r.N | 27: 58. 34:E.|-r Or :"54
Bertsmouth (Angleterre)... sis . ur fe cit set mire 50 48 "3.N | 3 26 16.0 Lo 13» #5
Erague (AHemagne) >. hs 4e sat fd entame ed ea 5o 5 "19-N:] 12° --5: ? oE>| 0:48, 20
Malo. ste cnpat titles 41 55 54.N|10 8 18.E]|0o 40 33
DE HÉlÉRP ES Bla cesiere da dCi ER RE t af, 15 55 26.5 8 3 prorOito 32: 72
AP Le VEUVE) TPS NNRRMENT PR PSE PTS CET 45 He D NA I ear 2,8 | OÙ 210 25
MO ne ue tone here bruit cha a als at 4526 _: 82N 1,8 :.38 -90:.2.1:0::.34 3h
Vienne (OUemagne) rat er ne ce ae 48 12 36.N | 14 2: 30.2 |.'0 56 + 10
Viviers (Obs. de M. Flaugergues). ........ “és. 44 29 zI.N | 2 20 50.ËE |o 9 23
NV ilna (Ross M a nn nn à ES us ge un , 1:54 41 o.N 22 579 36.E | r 31, 50

262 OB
OBSTACLE. (WMéc.) On donne ce nom à tout ce qui
résiste à une puissance qui le presse, Ainsi, un corpsen

repos qui est rencontre par un corps en inouvement et
qu uothifie

obsticte, Le frott met ds pièces dont se composent

dé cuit ou du moine

les machines est un obstacle pour la force qui les met

eu jeu, ete. , ste. (Joy. Cuoc )

OBTUS. (Geéom \ Ua angle obtus est un angle plus

grand qu'un augle droit, (Foy. ANGLE.)

OBTUSANGLE. (Géom.) Nom que l’on donne aux

triangles qui ont uu angle obtus. (Foy. TriANGLE.)

OCCASE. (4st) L'amplitude occase est la même
chose que l’amplitude occidentale. (Voy. AMPLiTUDE.)

OCCIDENT ou OUEST. {Ast.) Partie de l’horizon
où le soleil se couche. On donne aussi principalement
ces noins au point où le soleil se couche le jour de l’équi-
noxe, c’est-à-dire, au point où l’équateur coupe l'hori-
zon. Pris dans ce sens restreint, l'occident vrai est un
des quatre points cardinaux.

Le soleil ne se couchant pas deux jours de suite au
même point, on distingue l'occident d'cté de l'occident
d'hiver, et ces deux-ci de l'occident vrai. Le premier
est le point de l'horizon où le soleil se couche lorsqu'il
entre dans le signe de l’écrevisse, le jour du solstice
d'été. Le second est celui où le soleil se couche lorsqu'il
entre dans le signe du capricorne , le jour du solstice
d'hiver, (Voy. ARMiLLAIRE.)

OCCIDENTAL. Ce qui a rapport à l'occident.

OCCULTATION. ( 451.) Nom par lequel on désigne
l'éclipse d’une étoile ou d’une planète par la lune ou
par toute autre planète. (Voy. Ecuirse.)

Les occuliations offrent, comme les éclipses, un
moyen précieux pour obtenir la longitude des lieux ter-
restres. Ces phénomènes se prédisent d’une manière
semblable à celle des éclipses du soleil et de la lune,
mais ils ont l'avantage d’être beaucoup plus communs,
puisqu'il ne s'écoule pas un seul instant sans que Ja lune
ne passe devant quelqu'étoile fixe et ne nous intercepte
sa lumière ; aussi, la connaissance des temps indique-
t-elle pour chaque jour les occultations qui sont suscep-
tibles d’être observées.

Les occultations des planètes par d’autres planètes
sont plus rares que celles des étoiles fixes ; mais ellesser-
vent au moins à démontrer très-sensiblement que les
planètes sont placées à des distances inégales de la terre
et du soleil: car celle qui est occultée par une autre est
nécessairement plus loin que celle qui produit l’occul-
lation.

OCTAËDRE. (Geéom.) Un des solides réguliers. Il

ce mouvement, estun

OC
est terminé par huit triangles équilatéraux égaux. (Voy.
PoLyEpre et Souipes.)

OCTANT. (457.) Nom d’une constellation australe
introduite par Lacaille. (Voy. Consrercarion.) Elle est
représentée par un oct{ant ou quartier de réflexion.{Voy.
QUARTIER.)

Oa donne aussi le nom d’octant à certaine phase de
la lune. (Foy. Luxe.)

OCTAVE. (4coust.) Consonnance de deux sons, dont
l’un fait le double des vibrations de l’autre dans le même
temps. (Foy. HarmoniQue.)

OCTOBRE. (Cal.) Nom du dixième mois de notre
année , c'était le huitième de l’ancienne année romaine.
(voy. Cazenpnirr.) C'est le 22 ou le 23 de ce mois que

le soleil entre dans le sigue du Scorpion.

OCTOGONE. (Géom.) Polygone composé de huit
côtés et de huit angles. (J’oy. Froure et Porxcoxe.)

Un octogone régulier est celui dont tous les angles et
tous les côtés sont respectivement égaux. On décrit fa-
cilement cette figure en divisant un cercle en huit arcs
égaux , car les huit cordes de ces arcs forment les huit
côtés de l'octogone régulier.

Le côté de l’octogone régulier inscrit dans un cercle
est donc la corde de l'arc de 45° : ainsi en menant des
rayons aux sommets de la figure, l'angle au centre est
un angle de 45°. Les huit angles aux sommets valant en-
semble 180° X [8—2] —

135°. Si l’on prend le ravon du cercle pour unité, la va-
P ÿ P ;

1080°; chacun d'eux est de
leur du côté sera exprimée par

Vr=Val= e

c désignant ce côté. Pour tout autre rayon r, on au-

rait pareillement
V{a-v2}.r==e.
La surface est donnée par l'expression

2fiHV]le =S,

S désignant cette surface.

Pour construire un ociogone régulier sur une ligne
donnée , on peut employer le procédé suivant : aux
extrémités À et B (PI. 48, fig. 1.) de cette ligne , éle-
vez les perpendiculaires indéfinies AF , BE ; partagez
les angles droits mAF , nBE en deux parties égales par
des droites AH et BC, et prenez AH et AC égale l’une et
l’autre à AB. Menez HG et DC parallèles à AFet CD,
et chacune égale à AB. Enfin des points G et D avec un
rayon égal à AB décrivez des arcs de cercle qui cou-
pent AF et BE en Feten E. Joignez les points GetF,
FeE,E et D; l’octogone sera construit.

OM
OCULAIRE. (Diopt.) On donne ce nom à celui des

verres d’une lunette, d’un télescope ou d’un micros-
cope composé qui est tourné vers l'œil. Ce nom sert à
le distinguer de l'objectif : verre tourné vers l’objet.
(Voy. LuneTTE.)

ODOMÈTRE. (Arp.) Instrument qui sert à mesurer
les distances par le nombre des pas que l’on fait pour
les parcourir.

L'odomètre est, en général, composé, comme une mon-
tre, de plusieurs roues qui engrènent les uns dans les
autres, et font mouvoir avec beaucoup de lenteur des
aiguilles qui indiquent les divisions d’un cadran gra -
dué, Get instrument qu'un homme porte dans son gous-
set où que l’on fixe à une voiture est misen jeu par
une chaine dont l’un des bouts est attaché à la jambe de
celui qui le porte, ou bien à un levier sur lequel le
mouvement des roues agit. On peut connaître de cette
manière le nombre des pas qu’on a faits, ce qui peut ser-
vir à évaluer la distance parcourue. L'odomètre, déjà
connu du temps de Vilruve, a reçu de nombreux per-
fectionnemens, maison ne peut guère espérer une
grande exactitude de l'emploi de semblables instrumens.

OEIL ARTIFICIEL. Appareil d'optique dont les
parties essentielles ressemblent à celle de l'œil, et qui est
destiné à rendre sensibles les phénomènes de la vision.
(Voy. Visiox.)

Il consiste en une sphère creuse (PL. 48, fig. 14.) d'en-
viron un décimètre de diamètre, percée de deux ouver-
tures circulaires , i’une en C, de » centimètres de lar«
geur,, et à laquelle on place un verre convexe-convexe
qui fait l'office du crystallin ; l'autreen HL, de G cen-
timètres. On adapte à cette dernière un tuyau HK,
dans lequel un autre tuyau EGDF peut avancer ou re-
culer au besoin; à l'extrémité EG est attaché un papier
huilé ou un verre plan dépoli. C’est cette pièce qui re-
présente la rétine sur laquelle les objets viennent se
peindre dans l'œil naturel.

Pour voir l'effet de cette machine, on tourne l’ou-
verture C vers un objet, et on recule ou on avance le
tuyau mobile jusqu’à ce que, regardant par l'ouverture
DEF, on voie l’objet représenté sur le verre dépoli.
L'image de cet image vient s'y tracer dans une position
renversée de la même manière qu’elle se tracerait sur
la rétine. On varie la construction de cet appareil, qui
n’est au fond qu’une espèce de chambre obscure.

OLYMPIADE. (Chronologie.) Période de quatre
années qui servait aux Grecs à compter leurs années.
(Por. Ene, 4.)

OMBRE. (Opt.) Espace privé de lumière par l'in-
terposition d'un corps opaque.

Dans un milieu homogène, la lumière se propageant

OM 263

en ligne droite et dans tous les sens, l’ensemble des
rayons qui partent d’un point Inmineux occupe entiè-
rement l’espace, si aucun corps pe se présente pour les
arrêter dans leur direction. Mais s’il se trouve daus cet
espace an corps opaque, les rayons qui le rencontrent
sont arrêtés, tandis que les autres continuent de se pro-
pager. Il existe donc au-delà du corps opaque une par-
tie de l’espace qui ne reçoit pas de lumière, et c’est
cette partie qui constitue ce que l’on nomme l’ombre
du corps. Dans le langage ordinaire, et dans la perspec-
tive, on entend proprement par ombre, non l'espace
entier privé de lumière par l'interposition d'un corps
devant un foyer lumineux, mais bien la projection de
cet espace sur la surface qui la reçoit. C’est ainsi que
l'ombre absolue des corps, exposés aux rayons du soleil,
se trouve projetée sur la surface de la terre et forme
l'ombre particulière de ces corps.

La théorie des ombres est une partie très-importante
de l'optique; elle est le fondement de la gnomonique
et de la théorie des éclipses, dans l'astronomie. Nous
allons exposer ses principes généraux.

1. Tout corps opaque jette une ombre dans la même
direction que les rayons de lumière , et dans la partie
opposée au foyer lumineux, Sile foyer lumineux ou le
corps opaque chargent de place , l'ombre en change
également.

2. La grandeur de l'ombre dépend des grandeurs
relatives du foyer lumineux et du corps opaque.

Lorsque le corps opaque est plus petit que le foyer,
les dimensions de l'ombre diminuent d'autant plus
qu'elle s'éloigne davantage du corps, et dans ce cas
l'ombre se termine ou est finie.

Lorsqu’au contraire le corps opaque est plus grand
que le foyer, les dimensions de l'ombre deviennent de
plus en plus grandes à mesure qu'elle s'éloigne du corps,
et dans ce cas l'ombre s'étend à des distances infinies.

Si le corps et le foyer sont d'une même graudeur,
l'ombre s'étend bien encore à une distance infinie
mais elle est partout de la même largeur.

La figure 2, pl. 49, représente ces trois circon-
stances.

3. En supposant que le corps opaque soit sphérique,
on voit que dans les deux premiers cas l'ombre est un
espace conique ; mais le sommet du cône est du côté du
foyer lumineux, lorsque ce foyer est plus petit que le
corps, tandis qu'il est opposé au foyer, ou de l’autre
côté du corps, lorsque le corps est plus petit que le
foyer. Dans le troisième cas , l'ombre est un espace cy-
lindrique.

Nous avons vu (Ecuipse, 23) comment on peut dé-
terminer la longueur finie du cône d'ombre projeté
dans l'espace absolu par un corps opaque, qu'éclaire

264 oM

un foyer lumineux d’une grandeur supérieure à celle
de ce corps.

4. Lorsque l'ombre absolue, projetée dans l’espace
absolu, est renconirée par une surface quelconque, sa
trace sur cette surface forme l'ombre relative. C’est seu-
lement cette dernière qu’on a besoin de considérer dans
la perspective,

On distingue deux sortes d’ombres relatives, l’om-
bre droite et l'ombre renversee. La première est celle
que jette un corps sur un plan horizontal auquel il est
perpendiculaire; la seconde, celle qu’il jette sur un
plan vertical.

5. En considérant un corps opaque AB (P£.49, fig. 3
perpendiculaire sur le plan horizontal MN et éclairé par
le soleil, l'ombre droite de ce corps sera AC , dont la
longueur est déterminée par le rayon lumineux DBC
qui rase l'extrémité B du corps. On trouve, par les
propriétés du triangle rectangle BAC, que le rapport
entre les longueurs AC et AB de l’ombre et du corps
est le même que celui des sinus des angles ABC, BCA ;
et, comme le sinus de ABC est la même chose que le
cosinus de BCA , et que de plus l'angle BCA est l’angle
de hauteur du soleil au-dessus de l'horizon, l'on a donc,

en désignant par À cette hauteur (1)

sin À.

AC : AB ::cos A:

Ainsi lorsque cos À = sin h, ce qui arrive lorsque
le soleil est élevé de 45° au-dessus de J'horizon, l’om-
bre droite du corps est égale au corps même; elle est
plus grande tant que cos À est plus petit que sin h?
c’est-à-dire depuis o° où elle est infinie, jusqu’à 45° ; et
elle est plus petite tant que cos k est plus grand que
sin A, c’est-à-dire depuis 45° jusqu'à la plus grande
hauteur du soleil au-dessus de l’horizon, hauteur qui
varie suivant les saisons et d’après la position des lieux.

S'il s'agissait de calculer la longueur de l'ombre
droite, celle du corps étant donnée et vice versa , on se
servirait des expressions

AGE AB.cosh _ AB z
sin tang À
jpan ec Rs ee
cos h

qui se déduisent de la proportion (1)

Les premiers géomètres se servaient de l’ombre
droite pour mesurer la hauteur des corps, ou du rap-
port de cette ombre avec la hauteur connue du corps
pour trouver la hauteur du soleil; mais cette méthode
est sujette à plusieurs difficultés à cause dela penombre
dont nous parlerons plus loin.

6. Si MN (PI. 49, fig. 4) est un plan vertical, l’om-
bre AC projetée sur ce plan par un corps AB sera
l'ombre renversce de ce corps. En menant les lignes

oM

droites qui sont tracées dans la figure , on voit que l’ex-
trémité C de l’ombre est déterminée par le rayon lumi-
neux BC qui rase l'extrémité B du corps, et que l’on a
angle ACB = complément de l'angle BCD — comple-
ment de A. Or dans le triangle rectangle ABC on
trouve

AC : AB :: sin ABC : ACB

::sinA cos A,

Ainsi l’ombre renversée suit pour sa longueur des lois
inverses de celle de l'ombre droite.

On se servait jadis de l'ombre renverseée pour mesurer
les hauteurs lorsque l’ombre droite était trop longue.

7. Si le corps lumineux n'était qu’un point, et que
rien dans l’espace ne réfléchit la lumière, l'ombre por-
tée par un corps opaque sur une surface placée der-
rière serait parfaitement noire , puisqu’aucun rayon ne
pourrait y arriver ni directement ni indirectement.
Cette ombre serait donc d’un noir absolu , parfaitement
égale dans toute son étendue, et se terminerait brusque-
ment à son contour qui serait une ligne parfaitement
nette et prononcée. Mais il ne peut en être jamais ainsi,
car tout corps lumineux a des dimensions finies, et le
contour de l’ombre, loin d’être tranché brusquement,
présente une dégradation insensible entre le noir et la
clarté.

Pour rendre raison de ce phénomène, considérons
un corps sphérique AB (PI. 40, fig. 6), éclairé par un
point lumineux; que nous supposerons placé à une dis-
tance infinie de ce corps, afin que nous puissions sup-
poser les rayons parallèles; les rayons MA et MB qui
rasent la surface du corps déterminent la limite de
l'ombre qui, étant projetée sur une surface EF, aura
son contour parfaitement net et tranché, Mais tout au-
tre point lumineux du même foyer enverra également
des rayons parallèles NA et NB (fig. 7 ) qui seront les
limites d’une autre ombre ABN'N', dont une partie
AN'M' recevra les rayons parallèles du premier point
lumineux , tandis que la partie BN'M'de la première
ombre recevra à son tour les rayons parallèles du se-
cond point lumineux. L’ombre totale ABM'N' sera donc
composée d’une partie entièrement noire ABM'N'et
d’une autre partie , qui enveloppe celle-ci, dont l’obs-
curité ira en décroissant depuis AM' et BN' jusqu’a AN
et BM'. Cette ombre totale projetée sur un planEF,
n'aura donc pas son contour terminé d’une manière
franche.

C’est cette ombre incomplète qui accompagne ct en-
toure toutes les ombres que l’on nomme penombre, ce
qui signifie presque ombre.

8. Pour trouver l’ombre d’un corps, il faut donc ima-
giner que chaque point du foyer lumineux est le sommet
d’une espèce de pyramide ou de cône de rayons qui

ON

viennent raser le corps, de manière qu’on ait autant de
pyramides qu'il y a de points dans le corps lumineux.
L'ombre parfaite sera contenue dans l’espace commun à
toutes ces pyramides, car il est évident que cet espace ne
recevra aucun rayon lumineux. Toutes les autres por-
tions d'espaces, qui ne recevront pas des rayons de quel-
ques points, mais qui en recevront de quelques autres,
seront dans la pénombre ; et cette pénombre sera plus
ou moins dense à divers endroits, selon qu’il tombera
en ces endroits des rayons d'un nombre plus ou moins
grand de points du corps lumineux.

10. C’est l'incertitude que jette la pénombre dans la
limite de l'ombre qui a fait imaginer de placer à l’'extré-
mité des styles des cadrans solaires et des gnomons, des
plaques percées d’un petit trou rond. Ce trou projette
un petit espace lumineux dont la marche indique celle
du soleil d'une manière plus précise que la marche de
l'ombre. Voy. pour l'application de la théorie des om-
bres à la perspective, le Traité de Perspective de
Priestley; celui d'Optique de Lacaille, la Géométrie
descriptive de Monge, et la Science des Ombres de
M. Dupain.

ONDÉCAGONE. (Géom.) Figure qui a onze côtés et
onze angles. (Voy. Porxaone.)

ONDULATION ou ONDE. Mouvement oscillatoire
ou de vibration que l'on observe dans un liquide et qui
le fait alternativement hausser ou baisser , comme les
vagues de la mer. C'est ce que, d’après Newton, on a
nommé onde.

Si le liquide est uni et en repos,et qu’on vienne à
opérer une pression sur une partie de sa surface , le
mouvement d’ondulation se multiplie par des cercles
concentriques au point touché; c’est ce que l’on peut re-
marquer en jetant une pierre sur la surface d’une eau
tranquille. La cause de ces ondulations circulaires, c’est
qu’en touchant une partie du liquide on produit une
dépression à l'endroit du contact. Par cette dépression,
les parties environnantes sont poussées successivement
hors de leurs plans et montent et retombent alternati-
vement jusqu’à ce que l'équilibre soit rétabli.

On se sert aussi du inot ondulation pour désigner le
mouvement qui s'opère dans l'air lors de la production
d’un son (voy.Acousrique); et de là l'expression d'onde
sonore. La propagation de la lumière est expliquée au-
jourd’hui par quelques physiciens, en supposant des
ondulations et des ondes lumineuses, semblables aux
ondulations et aux ondes sonores. Ce système est dû à
Huvyghens , qui en a exposé les fondemens dans son
Traité de la Lumière, publié en 1690.

Les lois du mouvement des ondes daus les liquides
ont été données par Newton, à la fin du second livre de

Tous 11,

265

OP

ses principes. Avant ce grand hoiume, aucun géomètre
ne s'était occupé de cette théorie, qui, depuis, est de-

veuuc l’objet de plusieurs travaux estimables.

OPHIUCHUS. (45st.) Constellation boréale nommée

aussi SERPENTAIRE.

OPPOSÉS, (Geom.) On nomme angles opposés par
le sommet, ceux qui sont formés par deux mêmes
droites, qui coupent et qui sont situés d’une manière in-
verse. (Ÿ’oy. ANGLE.)

Deux cônes opposés sont deux cônes semblables qui
ont leurs sommets au même point et dont les axes for-
ment une seule ligne droite.

Les Ayperboles opposées sont les sections opposces fai-
tes par un même plan sur deux cônes opposés.

OPPOSITION. (4st.) Aspect ou situation de deux
astres éloignés l’un de l’autre de la moitié d’un cercle de

la sphère céleste. (Foy, AsP£cr.)

OPTIQUE. Branche des mathématiques appliquées
qui a pour objet général la vision, en tant qu’elle ré-
sulte de la propagation de la lumière.

L'optique générale comprend l'optique proprement
dite, la catoptrique, la dioptrique et la perspective.
(Foy. Mara. 4pr1.)

Les premières traces des connaissances théoriques con-
cernant les diverses branches de l'optique se trouvent
dans l’école de Platon. Ces connaissances se bornaient à
la propagation de la lumière en ligne droite et à la
propriété qu'elle a de se réfléchir en faisant un angle
d'incidence égal à l'angle de réflexion. Cependant long-
temps auparavant on savait construire des miroirs de
métal, et du temps de Socrate l'usage des verres ardens
était déjà assez commun pour qu'Aristophane y ait fait
allusion dans une des scènes de sa comédie des Nuées.

On croit qu'Empédocle est le premier qui ait écrit
systématiquement sur la lumière, mais le plus ancien
ouvrage que nous connaissions est un traité en deux
livres attribué à Euclide; le premier livre traite del’op-
tique proprement dite, et le second de la catoptrique.
Quant à la dioptrique, elle était alors inconnue. Cet ou-
vrage est si rempli d'erreurs, qu'on a mis en doute s’il
est réellement d'Euclide , quoiqu'il soit certain que cet
habile mathématicien ait écrit sur l'optique. Montucla a
très-bien prouvé qu’en admettant l'origine au moins
douteuse de l'optique d'Euclide, ce livre ne nous est
parvenu que défiguré.

D'Euclide à Ptolémée , l'optique fit des progrès sen-
sibles. On doit à l’auteur de | Æ/nageste un traité très-
étendu sur cette science, traité que l’on a cru long-

a été retrouvé il v a uuce

temps perdu, mais qui \
vingtaine d'années dans une bibliothèque de Pa

91

266 OP

D'après le mémoire lu par Delambre à l'Académie des
sciences au sujet de cette découverte inespérée, il pa-
rait que non seulement Ptolémée connaissait la réfrac-
tion de la lumière, mais qu’il avait déterminé d’une
manière assez exacte le rapport de l’angle d'incidence à
celui de réfraction. Au reste, la substance de ce traité
nous était déja connue par l'optique d’Alhazen , qui
n’en est qu’un commentaire.

Alhazen, astronome arabe du onzième siècle , est de-
venu particulièrement célèbre par un Traité d'Optique,
divisé en sept livres, dans lequel on trouve le premier
essai de théorie qui ait paru sur la lumière réfléchie et
réfractée.

Après avoir fait l'application du principe de l'égalité
des angles d'incidence et de réflexion aux différentes
sortes de miroirs plans, sphériques, concaves et con-
vexes , Alhazense livre à un grand nombre de recher-
ches sur les phénomènes de la réfraction. Il observe
d’abord que si un rayon lumineux passe d’un milieu
dans un autre qu'il puisse pénétrer , il continue à se
mouvoir en ligne droite, lorsqu'il tombe perpendicu-
lairement à la surface qui sépare les deux milieux ; mais
que s’il tombe obliquement, il se détourne de sa pre-
mière direction , s'approchant ou s’éloignant de la per-
pendiculaire à la surface de séparation des milieux, se-
lon que le premier milieu est moins ou plus dense que
le second. Par exemple, dans le passage oblique de
l'air dans le verre, le rayon lumineux s'approche de la
perpendiculaire , tandis qu’il s’en éloigne au contraire
dans le passage du verre dans l'air. Alhazen évalue en
outre le rapport des angles d’incidence et de réfraction
pour le passage de l’air dans le verre ou du verre dans
l'air, et les nombres qu’il trouve diffèrent peu des vé-
ritables.Quant aux réfractions astronomiques, il fait voir
que les rayons lumineux venant des corps célestes doi-
vent se briser ou changer de direction, en entrant dans
l'atmosphère, à laquelle il donne des limites , et que ce
changement de direction doit faire paraître les astres
plus élevés au-dessus de l'horizon qu'ils ne le sont en
réalité. Alhazen indique dans la réfraction des rayons
solaires la véritable cause des crépuscules.

En 1270, Vitellion , géomètre polonais, publia un
traité d’optique dans lequel il ne fit guère que classer
dans an meilleur ordre les matières traitées par Alha-
zen ; nous pouvons en dire autant des ouvrages de Ro-
ger Bacon. Ce n’est que vers le milieu du seizième siè-
cle que l’optique a commencé à former une véritable
science.

Maurolicus est un des premiers qui ait ouvert la voie,
Dans son ouvrage intitulé Photismi de lumine et umbrd,
il fait plusieurs remarques curieuses sur la mesure et la
comparaison des effets de la lumière, sur les différens
degrés de clarté qu'un objet opaque recoit des corps

OP

lumineux, selon qu’il est plus ou moins éloigné, et sur
plusieurs autres phénomènes intéressans. S'il n’a pas
toujours rencontré la vérité, on lui doit du moins des
indications qui ont épargné beaucoup de fausses tenta-
tives à ses successeurs. Maurolicus a très-bien résolu la
question proposée par Aristote : pourquoi l’image du
soleil reçue à travers un trou quelconque, estsemblable
à ce trou à une petite distance , mais devient toujours
circulaire à une grande, Phénomène sur lequel les
anciens et Aristote lui-même n’avaient débité que des
réveries.

Jean-Baptiste Porta, gentilhomme napolitain, con-
temporain de Maurolicus, prépara la découverte du
mécanisme de la vision , par son invention de la Cham
bre obscure. Dans son livre intitulé Aagia naturalis, il
remarque qu’on peut considérer le fond de l’œil comme
une chambre obscure , mais il ne donne aucune suite à
cette idée vraie et heureuse, dont quelques années
après Keppler s’empara pour achever la solution com-
plète du problème. C'est dans son Astronomiæ pars op-
tica, ouvrage qui contient des remarques d'optique très
intéressantes , que ce puissant génie a donné la
théorie de la vision.

En 1637, la dioptrique de Descartes vient changer la
face de la science en lui apportant avec sa loi fouda-
mentale : le rapport constant des sinus des angles d’in-
cidence et de réfraction, une foule de propositions
neuves et utiles, au milieu desquelles il s'en trouve
cependant de très-douteuses et même d’absolument
fausses, comme la propagation instantanée de la lu-
mière. On a reproché à Descartes d’avoir emprunté à
Snellius, sans lui en faire honneur, la dépendance réci-
proque des deux angles d'incidence et de réfraction. Il
est vrai qu’on a trouvé dans les manuscrits laissés par
Suellius que ce savant avait reconnu, par expérience,
que les cosécantes des angles d'incidence et de réfrac-
tion demeurent toujours dans un rapport constant ;
mais quoique Descartes ait habité la Hollande peu de
temps après la mort de Snellius, il n’est pas prouvé
qu'il ait eu connaissance de ses manuscrits, et l’on doit
convenir dans tous les cas que le rapport des sinus
substitué à celui des cosécantes est beaucoup plus com-
mode pour le calcul et présente des avantages auxquels
on doit de belles découvertes ultérieures.

L'ouvrage de Descartes tourna vers l'optique les vues
et les recherches de plusieurs savans, et bientôt toutes
les branches de cette science recurent de nouveaux dé-
veloppemens. En 1663, Jacques Grégory publia son
Optica promata, qui contient diverses propositions cu-
rieuses sur la théorie, et des vues ingénieuses pour le
perfectionnement des instrumens, dont les plus impor- |
tans étaient déjà inventés. Eu 1667 les Zecons d'opti- |
que de Barrow, et en 1678, le traité de la lumière de

OP

Huygens contribuèrent encore à étendre le domaine de
l'optique que l’on pouvait enfin croire entièrement ex-
ploré, lorsqu'en 1706 le Traité d'optique de Newton
vint prouver qu’on n’avait fait jusqu’alors que parcou-
rir ses contours.

En effet on connaissait depuis long-temps les princi-
pales propriétés de la lumière, sa réflexibilité , sa ré-
frangibilité, sa chaleur quand elle est réunie au foyer
d’un verre ardent; mais on était loin de supposer
qu’elle püt jamais être décomposée; Newton est le
premier qui ait pénétré et révélé ce grand secret qui
est venu compléter toutes les théories et rendre raison
d’un grand nombre de phénomènes demeurés jusqu’a-
lors inexplicables.

La lumière n’est point, comme on le croyait avant
Newton, une substance pure et homogène; chaque
rayon lumineux est composé de sept rayons primitifs,
différens en couleurs, en réfrangibilité et en réflexi-
bilité. Ces rayons primitifs sont le rouge, l’orangé, le
jaune, le vert, le bleu, le pourpre ou l’indigo et le
violet. Newton les sépara par l'expérience suivante ,
aujourd'hui devenue vulgaire, En introduisant, par un
très-petit trou, les rayons du soleil dans une chambre
obscure, et en leur présentant obliquement l’une des
faces d’un prisme triangulaire de verre , dont l’axe est
perpendiculaire à celui du faisceau de rayons, on ob-
serve que ce faisceau se brise , ou change de route en
entrant dans le verre, traverse le prisme en ligne droite,
repasse dans l’air en se brisant de nouveau , et va for-
mer sur un carton blanc, éloigné de 15 ou 18 pieds, une
image oblongue, où l’on distingue clairement sept ban-
des colorées, suivant cet ordre de bas en haut : rouge,
orangé, jaune, vert, bleu, indigo, violet. Le faisceau
entier est donc composé de sept rayons qui ont des ré-
frangibilités différentes. Le rayon rouge est le moins ré-
frangible de tous, comme s’écartant le moins de la per-
pendiculaire à la face d’émergence du prisme; la ré-
frangibilité augmente progressivement pour les autres
rayons, jusqu’au rayon violet qui est le plus réfrangible.
Si l’on place un nombre quelconque de prismes à la
suite du premier, et que le faisceau les traverse tous , il
y aura de nouvelles réfractions ; l’image peinte sur le
carton se renversera ou se redressera; mais les sept
bandes colorées subsisteront toujours inaltérablement
les mémes et conserveront toujours entr’elles le même
ordre de situation.

Les objets qui nesont pas lumineux par eux-mêmes ct
que nous n’apercevons que parce qu'ils sont éclairés
nous semblent rouges, orangés, jaunes, etc. , selon qu’ils
nous renvoient des rayons rouges, orangés , etc. La
couleur blanche est formée par le concours de tous les
rayons ; un objet ne nous parait noir que parce qu’il
absorbe les rayons qu'il reçoit et il n’est visible que

261

OP

par le reflet des rayons qui viennent des objets circon-
voisins, Dans tous les cas, il se fait une perte de rayons,
lesquels demeurent dans les interstices de l’objet, ou sont
dispersés de côté et d’autre.

Ua rayon de lumière qui passe obliquement d’un mi-
lieu dans un autre se brise ou se réfracte, et s'approche
ou s'éloigne de la ligne droite menée au point d’entrée
perpendiculaire à la surface de séparation selon que le
premier milieu est moins ou plus dense que le second;
et l’effet est d'autant plus sensible , que les densités des
deux milieux sont plus différentes ; mais le rapport du
sinus de l'angle d'incidence au sinus de l’angle de ré-
fraction demeure toujours le même pour toute sorte
d’obliquités : il change seulement de valeur quand les
deux milieux comparatifs viennent à changer.

Les sept rayons primitifs ayant différentes réfrangi-
bilités, quand on parle en général de la réfraction d'un
faisceau de lumière qui comprend tous les rayons, il
s’agit de la réfraction moyenne : c’est à peu près celle
du vert. Souvent on n’a besoin que de cette réfraction
moyenne ; quelquefois il faut avoir égard aux différen-
ces de réfrangibilité de tous les rayons, comme dans les
lunettes achromatiques. (Foy. ce mot.)

Newton explique en détail tousles phénomènes de la
lumière, etson Traité d'optique a fait époque dans cette
science , comme son livre des Principes dans l’astro-
nomie physique. Quelques-unes de ses expériences fu-
rent d’abord contestées , parce qu’on les répétait mal.
Il luiest seulement échappé dans cette multitude de
faits, d'observations et de raisonnemens, de légères
méprises qui ne portent aucune atteinte au fond de
l'ouvrage.

Pendant cinquante ans, des géomètres célèbres, mar-
chant sur les traces de Newton, s’appliquèrent à déve-
lopper et à soumettre au calcul les lois de la réfraction
et de la réflexion de la lumière, sans qu'aucun physi-
cien osät porter une main téméraire sur les principes
posés par ce grand homme; ce ne fut quen 1747,
qu'Euler, dans le but de remédier à la dispersion des
couleurs produite par la réfraction des verres de lunet-
tes, chercha la loi de cette dispersion, et fut conduit à
des résuliats différens de ceux de Newton. Nous avons
raconté ailleurs la discussion qui s'établit à ce sujet entre
Euler et Dollond , discussion à laquelle on doit l’inven-
tion des lunettes achromatiques et l’un des plus beau*
ouvrages d'Euler, sa Dioptrica. Il fut donc reconnu
que Newton s'était trompé dans une de ses expériences,
mais en même temps il fut démontré que la loi d'Euler
était fausse, et c'est pour réparer cette erreur qu’il
entreprit un travail qu’on n'aurait peut-être point sans
cela. Dans cet ouvrage, Euler a ramené à des formules
générales et cependant très-simples la théorie de l’aber-

ration de réfrangibilité et celle bien plus difhcile de

265 OP

l'aberration de sphéricité. Depuis, Klugel a exposé Îles
théories d'Euler d’une imauière abrégée mais extrème-
ment claire dans son livre intitulé Aralytisch Dioptrik,
Leipzick, 1778. Ces deux ouvrages sont ies sources où
doivent être puisées désormais toutes les connaissances
théoriques d’optique.

Dans ces derniers temps, la science s’est enrichie
d’une foule de belles expériences sur les propriétés de
la lumièreet dela découverte d’une propriété nouvelle,
celle de sa polorisation , faite par Malus. Mais ces dé-
tails sortent de notre plan. Joy., pour l’histoire de la
science , l’Aistoire de l'Optique, par Priestlev, et pour
sa théorie, les Zraités d’Optique deSmith, de Priestley,
de Lacaille, etc., et dans ce dictionnaire les mots Ca-
TOPTRIQUE , LunETTE, LUNIÈRE, LENTILLE, PERSPECTIVE,
Técescore, RérracTION, RÉFLExI0N, Vision , etc.

OpriQue, prisadjectivement, se ditde cequi a rapport
à la vision ; ainsi :

L'axe oprique est un rayon qui passe par le centre
de l'œil et qui fait le milieu du faisceau de rayons qu’on
imagine partir d’un point quelconque d’un objet. Ce
faisceau se nomme lui-même cône optique.

Inégalités orriques. Se dit, en astronomie ; de toutes
les irrégularités apparentes dumouvement des planètes.

Pinceau oprique. C’est l'assemblage des rayons par
le moyen desquels on voit un point ou une partie d'un
objet.

Lieu oprique. C’est le point du ciel où nous apparaît
un astre ; il diffère toujours du lieu vrai à cause de la

réfraction et de l’aberration de la lumière.

ORBE ou ORBITE (454) Ligne courbe qu’une pla-
nète décrit dans l’espace par son mouvement propre.

On se sert quelquefois du mot oRte pour désigner le
corps même d’un astre; c’est ainsi qu’on dit l’orbe du
soleil , l’orbe de la lune, etc., mais plus généralement
orbe est syuonyme d’orbite.

Depuis les découvertes de Keppler, on sait que les
orbites des planètes sont des e/lipses dont le soleil oc-
cupe l’un des foyers. (Foy. PLranÈres.)

OnniTe des comètes. (/’oy. Couire.)

-ORDONNÉE. (Géom.) Droite qui sert à déterminer
la position d’un point.(f’oy. Anscisse et App. DE L'ALG.

A LA GÉOM. II. 2.)

ORDRE. En géométrie, on distingue divers ordres
de lignes correspondant aux degrés des équations qui les
représentent. Les lignes droites, dont l'équation ne s’é-
lève qu'au premier degré, composentle premier ordre;
les sections coniques, le second ordre ; et les autres
courbes sont dites lignes du troisième ordre, du qua-
trième ordre, etc. , suivant que leurs équations sont du

troisième degré, du quatrième degré, ete. On nomme

OR

aussi courbes du premier oritre les lignes du second or-
dre, parce qu'elles forment en effet le premier ordre
des lignes courbes ; dans ce sens une courbe d’un ordre
quelconque x est une ligne de l’ordre n +1. (Foy.
Counr.)

En algèbre , les quantités infinitésimales se classent
aussi par ordre ; ainsi, on dit une différentielle du pre-
mier ordre, du second ordre, etc., une quantité infint-
ment grande du premier ordre, du second ordre, etc. ,
une équation différentielle du premier ordre, du se-
cond ordre , etc. (Foy. Dirr. et Inrini.)

ORDRE. {Architecture.) Rapport des diverses par-
ties qui composent une colonne et son entablement.

Les anciens se sont servis de cinq ordres d’architec-
ture qu’on appelle Toscan, Dorique , onique, Corin-
thien et Composite. Foy. Arcnirecrune et la planche 3,
où ces cinq ordres sont représentés avec leurs propor-
tions.

ORGANE. Dans la mécanique pratique où appliquée ,
on nomme organes mécaniques les parties constituantes
d’une machine.

ORGANIQUE. (Géom.) La description organique
des courbes est la méthode de les tracer sur un plan
par un mouvement continu et à l’aide d’instrumens par-
üculiers. De tous les instrumens employés pour décrire
des courbes, le plus simple estle compas, quisert pour
les circonférences de cercle; c’est aussi le seul admis
dans la géométrie élémentaire, Nous avons indiqué di-
vers instrumens et divers moyens inventés pour la des-
cription de certaines courbes aux mots compas, COn-
choide, ellipse, hyperbole et parabole, etc. Il existe
sur ce sujet un ouvrage de Malaurin , intitulé Geoine-
ra Organica. (Foy. aussi l'Arithmeétique universelle de
Newton, et les Sections Coniques du marquis de l'H6
pital.)

ORIENT. (4st.) C’est la même chose que l’est ou le
levant.{Voy. ARMILLAIRE, 11 et 12.)

Le vrai point d'est ou d’orient est celui où le soleil se
lève aux équinoxes, c’est-à-dire, quand il est sur l’é-
quateur , ou qu’il entre dans les signes du bélier et de la
balance.

L'orient d'été et l'orient d'hiver sont les points où le
soleil se lève le jour du solstice d'été etle jour du sol-
stice d'hiver, Ils correspondent au jour le plus long et
au jour le plus court de l’année.

ORIENTAL. Se dit de tout ce qui a rapport à lorient
ou de toute chose située du côté de l'orient.

ORIGINE. (Géom.) Point de l'axe d’une courbe
d'où l’on commence à compter les coordonnées, (Foy.

ce mot.)

OR
ORION. (451) Une des plus grandes et des plus

brillantes constellations. Celle dont on part pour recon-
naître presque toutes les autres. (l'oy. CONSTELLATION.)

Elle est principalement composée de sept étoiles dont
quatre forment un carré , et dont les trois autres sont
placées au milieu en ligne droite. Ces dernières se nom-
ment la ceinture ou le baudrier d'Orion; on les appelle
aussi les (rois rois, le bâton de Jacob ou le räteau. La
constellation d'Orion renferme 78 étoiles dans le cata-
logue britannique.

ORRERY. (45st.) Instrument qui représente le mou-
vement des astres. Ce nom lui vient parce qu'il fat con-
struit dans l’origine pour le comte d'Orrérv. (Foy. PLa-

NÉTAIRE.)

ORTHOGONAL. (Géom.) On donne ce nom à tout
ce qui est à angles droits, c’est la même chose que rec-
tangulaire. Par exemple, les coordonnées d’un point
sont orthogonales ou rectangulaires lor-que les abscisses

et les ordonnées sont perpeudiculaires l’une sur l'autre.

ORTHOGPRAPHIE. (Géom.) (de épées , droit et de
ypé?s , je décris. } Représentation de la face d’un ob-
jet, comme celle d’un édifice, d'après le rapport géo-
métrique de toutes ses parties, c’est-à-dire, en leur don-
uant, dans le dessin, des hauteurs et des largeurs pro-
portionnelles à celles qu’elles ont en réalité. (Foy.Prax.)

On nomme, eu astronomie, PROJECTION ORTHOGRAPHT-
que de la sphère, la représentation sur un plan de dif-
férens points de la surface de la sphère , faite en sup-
posant l'œil à une distance infinie et dans une ligne
perpendiculaire au plan. De cette manière, chaque
point de la sphère se projette sur le plan par une ligne
qui lui est perpendiculaire. (Joy. ProsecrTioN.)

ORTIVE, (4st.) Epithète que l’on donne à l’ampli-

tude orientale d’un astre. (#07. AMPLITUDE.)

OSCILLATION. {Acc.) Mouvement d’un corps pe-
saut suspendu par un fil ou par une verge à un point
fixe autour duquel il décrit un arc ou exécute des vibra-
tions.

L’axe d’oscillation est la droite, parallèle à l'horizon,
qui passe par le point de suspension. (Foy. Cenrre
d’oscillation.)

OSCULATEUR. (Géom.) On nomme rayon oscula-
teur d’une courbe, le rayon de la développée de cette
courbe, et Cercle osculateur, le cercle décrit avec ce

rayon. (Voy. CounnurE, DÉVELOPPÉE et RAYON.)

OSCULATION ou BAISSEMENT.. Terme parlequel
on désigne, dans la théorie des développées, le contact
d’une courbe avec le cercle décrit sur le rayon de sa
développée ; le contact se nomme point d'osculation,

OÙ 269

On nomme encore point d'osculation le point d’attou-
chement de deux branches d'une courbe qui se touchent

sans se couper. (Foy. Point.)

OVALE. (Géom.) Figure curviligne oblongue, ren-
fermée dans une seule ligue courbe rentrante ou fer
mée,

L'ovale est généralement une figure irrégulière plus
étroite par un bout que par l'autre, ce qui la détiogue

de l’e/Aipse qui est une ovale regulière.

OUGTHRED (Guiiraumr), mathématicien anylais
du XVIT° siècle, est l'auteur de quelques ouvrages esti-
mables d’algèbre et de géométrie, que les progrès de la
science ont fait tomber dans l'oubli, mais qui, à l'époque
où ils furent publiés, eurent le plus grand succès. La
plupart ont été suivis long temps dans les universités
de la Grande-Bretagne, comme des livres classiques. A
cette époque où l’illustre Viète venait de faire faire un
si grand pas à la science des nombres, Ougthred
composa plusieurs traités, dans lesquels il s’est
attaché à développer l'application de l'algèbre aux pro
blèmes géométriques, la construction des équations ,
la formation des puissances et les formules pour les sec-
tions angulaires. Ses travaux, qui annoncent un savant
cousciencienx et distingué, ne renferment rien de très-
remarquable sous le rapport de l'invention; ils laissèrent
la science dans l’état où Viète l'avait amenée, Ougthred
était né en 1573: la joie qu'il éprouva en appreuant la
résolution du parlemeut qui rappelait Charles IL lui
causa un tel saisissement qu’il en mourut en 1669. Son
principal ouvrage : Clavis geometrica , a été imprimé
plusieurs fois, mais il est devenu très rare et on le
trouve à peine indiqué dans les recueils bibliographi-
ques. Les autres écrits d'Ougthred réunis sous le titre
d'Opuscula mathematica , et publiés pour la première
fois en 1667, ont eu également plusieurs éditions.

OURSE. (451.) La grande ourse (PI. 9, fig. 1.) est
la plus remarquable des constellations boréales et la
plus ancienne qui ait été formée. On la nomme aussi le
grand chariot.

On y distingue principalement sept étoiles, dont
quatre forment un carré et les trois autres une espèce
de queue ; c'est de cette forme que vient le nom de
chariot. En s’alignant sur les deux étoiles de l'extrémité
du carré opposée à la queue, on découvre, en remon-
tant, l'étoile polaire, laqueile appartient à une autre
constellation tout-à-fait semblable à la grande ourse,
mais plus petite et dans une situation renversée. Cette
dernière se nomme la petite ourse , l'étoile polaire est à
l'extrémité de sa queue.

OUVERTURE, (Opt.) Quantité plus ou moins

270 PA
grande de surface que les verres des lunettes et des téles-
copes présentent aux rayons de lumière. Plus l'objectif
d’une lunette a d'ouverture, plus l'instrument a de
clarté, et plus l’oculaire a d'ouverture, plus l'instrument
a de champ. (/’oy. Lunerre.)
OXIGONE. (Géom.) C'est la même chose qu’acu-
tangle. (Foy. ce mot.)
OZANAM (Jacques) ,
pauté de Dombes, professeur de mathématiques et auteur

né en 1640, dans la princi-

d’un grand nombre d'ouvrages élémentaires, est surtout
connu aujourd’hui par ses Récréations mathématiques
qui offrent aux jeunes gens un attrait qu'ils ne trou-
vent pas dans des productions d’un ordre plusélevé, Ce-
pendant Ozauam fut regardé danssontemps comme un
géomètre distingué, Il avait appris seul les mathémati-
ques, pour lesquelles il avait une sorte de passion et
qu'il fut obligé d'enseigner pour vivre. Il publia en
1687, un Traité des lignes du premier ordre, expliquées
par une méthode nouvelle, où l’on trouve en effet, quel-
ques propositions remarquables, Il est également l'au-
teur d'un 7rauc d'Algèbre, dont l'illustre Leibnitz a
parlé avec éloge dans son Commercium epistolicum
avec Bernouilli. Ce grand homme y remarque l’expo-

PA

sition de quelques méthodes algébriques utiles dans la
réduction des quantités irrationnelles. Ozanam était déjà
parvenu à un âge avancé lorsqu'il entra à l’Académie
des sciences, où, dit Fontenelle, il voulut bien prendre
la qualité d'élève, qu'on avait dessein de relever par
un homme de son âge et de son mérite. Montucla, qui,
sous un pseudonymei, a donné une édition des Récréa-
tions mathématiques d'Ozanam , ne lui a consacré dans
son histoire des mathématiques que quelques lignes
iusignifiantes. Cependant si les travaux de ce géomètre
ne le placent pas sur la même ligne que quelques-uns
de ses illustres contemporains , on doit du moins con-
venir qu’ils ont été utiles à la science dont ils ont con-
tribué à répandre le goût et l’étude. Outre les ouvrages
dont nous venons de parler, Ozanam qui est mort à
Paris , le 3 avril 1717, est encore auteur d’une Table
des sinus, tangentes et sécantes et des logarithmes , que
son utilité pratique a fait estimer fort long-temps, et
qui , suivant Fontenelle, offre plus de correction et
d’exactitude que les tables d'Ulacq, de Pitiscus et même
de Henri Briggs. Il a également publié un Dictionnaire
des mathématiques ; ouvrage incomplet et que les pro-
grès de la science ont dù faire oublier.

P.

PACCIOLI (Lucas, plus connu en {Italie sous le
nom de Fra Luca pr Borco), moine franciscain et l’un
des plus savans mathématiciens du XV® siècle, est né à
Borgo-san-Sepolchro, dans le grand duché de Toscane.
Il est le premier géomètre dont les ouvrages aient été
imprimés, et sous ce rapport seul son nom mériterait
d’être signalé dans l'Histoire de la Science , si d’ailleurs
ses travaux n'étaient fort remarquables pour l’époque où
ils furent composés. Le frère Paccioli avait voyagé dans
l'Orient avant la chute de l'empire grec, et il avait pu
y satisfaire son goût pour les mathématiques, en étu-
diant ces sciences dans les livres des anciens géomètres ,
alors à peu près inconnus en Europe. Après avoir en-
seigné l’arithmétique et la géométrie à Naples et à Ve
nise, il vint à Milan, où le célèbre Ludovic Sforce, dit
le More, fonda pour lui une chaire de mathématiques,
que Paccioli occupa avec éclat, et où ses cours furent
suivis par un nombre considérable de disciples. Ce fut
à cette époque qu'il traduisit Euclide, ou plutôt qu’il
revit entièrement l’ancienne traduction de Campanus
de Novarre, dont la version était incorrecte et qui avait
cru souvent pouvoir substituer ses propres idées à celles
du grand géomètre de l'école d'Alexandrie. Cet ouvrage
n’a été imprimé qu'en 1509. Il est probable que ce fut
également à Milan que Paccioli composa sa Summa

arithmetica, geometria, proportionti è proportionalità,
qui est son principal ouvrage et en même temps l’un des
livres les plus curieux dont la publication ait signalé
les avantages de l'imprimerie naissante. La première
édition fut faite à Venise, en 1494, elle est in-folio , et
elle est devenue d’une telle rareté, que peu de biblio-
graphes peuventse vanter de lavoir eue sous les yeux.
La seconde édition, que quelques savans ont pu voir, est
de 1523, elle aété imprimée par Paganino di Paganini,
de Brescia, ir T'usculano sulla riva del laco Benacente,
suivant le titre qui est fort développé en termes ambi-
tieux, d’après l'usage du temps , et qu'on nous permet-
tra de ne désigner que par les premiers mots. La Summa
arithmetica, geometria, est divisée en deax livres, dont
l'un est consacré à l’arithmétique et l’autre à la géomé-
tie. Ce qu'il y a de plus remarquable dans la première
partie, où brille d’ailleurs une grande érudition, c'est
que Paccioli y consacre plusieurs chapitres à l'algèbre,
qu'il appelle l'arte maggiore. Nous avons déjà eu l’occa-
sion de parler de cette partie des travaux mathémati-
ques de Paccioli, (Foy. Azcèere.) En 1508 il parut à
Venise un autre ouvrage de ce religieux, qui est devenu
aussi rare que tous ceux qu'il a écrits; il est intitulé
Libellus in tres partiales tractatus divisus, etc. , ce sont
trois traités sur les polygones et les corps réguliers, et

PA

sur l'inscription mutuelle de ces corps les uns dans les
autres. Enfin, on doit encore citer de Paccioli, son li-
vre De divina proportione, etc.; il donne ce titre de
Proportion divine à la division dela ligne en moyenne et
extrême raison, dont il expose treize effeti ou utilités.
Le reste du livre est consacré à des représentations per-
spectives de diverses figures géométriques. Cet ouvrage,
qui parait être le second qu’ait composé Paccioli, ne fut
également imprimé qu’en 1509, à Venise, par l'éditeur
de la Summa.

Nous possédons peu de détails biographiques sur cet
ancien géomètre, on ignore l’époque précise de sa nais-
sance et de sa mort, mais la reconnaissance de la posté-
rité doit s'attacher à sa mémoire, à cause de l'influence
que ses travaux ont exercée sur la renaissance des scien-
ces mathématiques, à cette époque remarquable , où il
s’opera dans l'esprit humain une réaction si heureuse. Si
la science a à inscrire dans ses fastes quelques-uns de ces
noms glorieux qui excitent l'admiration du monde, elle
ne doit point oublier ces hommes modestes et laborieux
dont les recherches ont ouvert la carrière à des génies
plus brillans. Montucla est à peu prèsle seul écrivain
moderne qui ait parlé avec quelques développemens
de Paccioli, ou plutôt de Lucas de Burgo, comme nous
disons en français, nous renvoyons à son ouvrage les
lecteurs qui désireraient connaître ces détails intéres-
sans , dont nous n'avons pu extraire que cette courte
notice.

PAIR. (Arith.) Un nombre pair est celui dont on
peut prendre exactement la moitié où qui est un multi-
ple de 2.

Si l’on représente par m» l’un quelconque des nom-
bres naturels o , 1,2, 3,4, etc., la forme générale de
tous les nombres païrs sera 2m. Zéro est toujours consi-
déré comme un nombre pair, parce qu’il devient nom-
bre impair en lui ajoutant l’unité.

On nomme encore pairement pair un nombre pair
dont la moitié est aussi un nombre pair , tandis que ce-
lui dont la moitié est un nombre impair se nomme pai-
rement impair. Par exemple, 12 est un nombre paire-
rement pair, et 14, un nombre pairement impair.

PALLAS. (454) Nom dela nouvelle planète décou-
verte par Oblers, en mars 1802, etsituée entre Mars et
- Jupiter, (Foy. Crrës et Juno.)

Cette planète est à peu près de la même grandeur que
Cérès, elle offre un aspect nébuleux qni indique l’exis-
tence d’une vaste atmosphère , et elle se distingue de
toutes les autres par la grande inclinaison de son orbite,
car tandis que tous ces corps décrivent des orbites dont
les inclinaisons sur le plan de l’écliptique ne dépassent
pas quelques degrés. Celle de Pallas s'élève à près de 35°.

PA

Voici ses élémens rapportés au 1°" janvier 1820.

271

Demi grand axe, celui de la terre étant 1... 2,7728860
Excentricité en parties du demi grand axe.. 0,2416480
Période sidérale moyenne en joursmoy. 1686 j,5388000
34° 34'55",o
172 39 26, 8
1
108 24 57,9

Inclinaison à l’écliptique................….
Longitude du nœud ascendant...
Longitude du périhélie.….….. 121

DENTELLE EEEEEEE

Longitude moyenne de l’époque...
PANIER (anse de). Joy. Ans.

PANTOGONIE. (Géom.) Nom donné par Jean Ber-
nouilli à une espèce de trajectoire qui, pour chaque
différente position de son axe, se coupe toujours elle-
même sous un angle constant. (Woy. OEuvres de J.
Bernouilli. Tome 11, page Goo.)

PAON. (4st.) Nom d’une constellation située dans

l'hémisphère austral. (Foy. ConsrELLATION.)

PAPPUS, géomètre d'Alexandrie, et l’un des der-
niers maitres de l'illustre école de cette ville, vivait
dans le IV° siècle de notre ère. C’est grace aux travaux
de cet habile et célèbre commentateur que nous pos-
sédous quelques renseignemens sur les principaux ma-
thématiciens de l'antiquité et sur leurs écrits, déjà ra-
res à l’époque où il en fit l’objet de ses recherches. En
ce temps-là la civilisation ancienne touchait à ses der-
niers Jours; les hommes du Nord se ruaient de toutes
parts sur le monde romain et commencaient le chaos
au sein duquel le monde chréuen et la civilisation mo-
derne allaient s’élaborer lentement. L'école d’Alexan-
drie, abandonnée aux disputes littéraires et théologi-
ques, ne jetait plus que des lueurs incertaines, comme
un flambeau qui va s’éteindre, et les mathématiciens,
en petit nombre, qui avant la fondation de l’école de
Proclus à Athènes, y réunissaient encore autour d'eux
quelques rares disciples, étaient loin d’imiter leurs il-
lustres devanciers et de s’élancer sur leurs pas dans le
champ des découvertes. Les siècles de décadence, ainsi
que le remarque avec beaucoup de sagacité l'historien
des mathématiques, sont annoncés par les commenta-
teurs et les annotateurs. L'école d'Alexandrie en comp-
tait alors beaucoup; mais Pappus , au mérite qu’exige
la formation des grandes collections, joignait évidem-
ment des connaissances supérieures, et le génie qui les
met en œuvre. Ses Collections mathématiques, emprein -
tes de ces diverses qualités, forment le livre le plus cu-
rieux et sans contredit le plus utile pour l’histoire de la
science que le temps ait pu épargner. Le but de Pappus
semble avoir été de rassembler en un corps plusieurs
découvertes éparses, d’éclaircir et de suppléer en une
foule d’endroits les écrits principaux des mathémati-

ciens les plus célèbres, c’est ce qu'il a accompli à l'égard

272 PA

surtout d’Apollonius, d’Archiméde, d’'Euclide et de
Théodose, par une multitude de lemmes et de propo-
sions, dont ils supposaient la connaissance ; on trouve
das cet ouvrage la plupart des tentatives des anciens
sur les problèmes les plus célèbres, tels que la duplica-
tiou du cube, et la trisection et la multisection de
l'angle. Comme nous l'avons déjà dit, Pappus ne se
borua pas à réunir ces matériaux précieux pour l’his-
toire de la science , ilest souvent original et profond
dans les recherches qui lui sont propres. Telle est,
etre autres, l’idée claire et précise qu'il expose de l’u-
sage du centre de gravité pour la dimension des figu-
res, idée que Guldin a présentée comme une décou-
verte qui lui appartenait, et dont Pappus a évidem-

ment fourni les premières notions.

Ses Collections mathematiques, que les géomètres
modernes consultent encore avec intérêt, sont dues aux
travaux de Commandin, qui a traduit cet ouvrage au-
quel il a ajouté beaucoup de notes. El ne parut qu'après
Ja mort de ce mathématicien, grace à la protection
généreuse de François Marie, duc d'Urbin, sous ce
titre: Pappi Alexandrini Collectiones mathematicæ à
Federico Commandino in la'inum versæ et commenta-
riis illustratæ, Pisauri 1588, in-f. Il y a eu en 1589 à
Venise une seconde édition de cet ouvrage, et une autre
donnée en 1660, par Manolessi. Halley qui, dans l’é-
dition du livre de Sectione rationtis d’Apollonius, qu'il
a publiée, a également donné le texte grec de la pré-
face du septièmelivre de Pappus, déclare que l'édition
de Commandin est préférable à toutes les autres.

PARABOLE. (J'éom.) Luc des sections coniques.
Elle est engendrée par un plan qui coupe un cône droit
parallèlement à un de ses côtès. Telle est la courbe
KGAIL :PI. 48, fig. 3.) formée par l’intersection de la
surface du cône droit COD et du plan parallèle au côté
OC. Eu supposant le cône prolongé à l'infini, comme
le plan ne peut jamais rencontrer le côté, on voit que
la parabole à deux branches indéfinies.

1. Pour trouver l’équation de cette courke dans le
plan générateur, prenons pour axe des x la droite
AB , intersection de ce plan et du plan principal COD;
et par un point quelconque H, de l'axe, concevons un
plan parallèle à la base du cône; sa section EGFTI sera
un cercle (voy Cône). Supposons de plus le plan géné-
rateur perpendiculaire au plan principal, afin que les
intersections! EF et BI soient perpendiculaires l’une
sur l’autre, et menons dans le plan principal AM pa-
ralléle à EF.

Désignons AH par +, GH par y, OE par a et AM —
EH par à. Ceci posé, les triangles semblables MOA,
AHF, dosnent

PA
AM : MO :: FH: AH
Dir. EH: ex

d'ou

FH

I
8

Mais eu considérant FH dans le cercle EGFI, nous
avons (CERCLE 18)

FH : GH :: GH : EH

FH: (y #45 y. 220b
ce qui donne
ed
FH — 5°

Ainsi égalant les deux valeurs de FH, nousobtiendrons

el

J'elle est l'équation de la parabole.
2. Les quantités a et b étant constantes, désiguons
” 4 s b?
par p leur troisième proportionnelle, ou faisons p — 5
l'équation précédente deviendra (a)

°=pe

forme ordinaire de l’équation de la parabole,
3. Considérons maintenant cette courbe comme tra-
cée sur un plan et cherchons ses principales propriétés.
En examinant son équation, on voit d’abord que pour
chaque valeur dex on a deux valeurs de y égales et de

signes contraires,
T=+VPr, ty —=— Vpxr,

ce qui nous apprend que les deux branches de la courbe
sont exactement semblables ou symétriques.

A . . . L
On voit aussi facilement qu’en faisant x — gp» on a

= ES
J =\/? ES,

C'est-a-dire que l'ordonnée qui passe par le point où
ï , A O7:
L'= Z p, est égale à la moitié du facteur constant p ;

ainsi la double ordonnée est égale à p.
Cette droite constante p qui entre dans l'équation de
la courbe, se nomme le paramètre et le point de l'axe
- 1 :
oùx— , p, prend le nom de foyer.

4, Le foyer de la parabole jouit de propriétés analo-

PA

gues à celles des foyers de l'ellipse eu de l'hyperbole.
La principale est que si de ce foyer on mêèue une droite
à un point quelconque de la courbe, cette droite, qu'on
nomme rayon vecleur, aura une différence constante
avec l’abscisse correspondante. En effet, soit F (PL 40,
fig. 1), le fover de la parabole MAN, meuons le
rayou vecteur Fy et l’ordonnée xy, le triangle rectan-
gle Fxy nous donnera

Ey = Fr + ay
mais en désignant Fy par 3, nous avons aussi
Fx =Ax—AF=x7— SDS et xÿ — Ÿ*—=pPT;
d’où

(+

Î

| L
= PR EEE EX

: 1 1
= HEOPT + EP

= (x + »)

et, par conséquent,
z-+ : t
3=x-+;p, etz—X—=;p
4 i
Ainsi La difference entre le rayon vecteur et l'abscisse
estloujours cgale au quart du paramètre.
5. Il résulte de cette propriété que si l’on prolonge
D x " ; ; :
VPaxe d’une quantité Af — AF — pps que l'on mène la
droite PQ perpendiculaire à l'axe, tous les points de la
parabole seront également éloignés de cette droite et
du foyer , car en abaissant d’uu point y de la courbe une
perpendiculaire yZ sur PQ, cette perpendiculaire égale
af; mais
xf = Ax + Af
—= Ax + AF

Î

L
F2 +>P=5,
3

donc xf = Zy = 2. Lorsqu'on considère la parabole
d’une manière indépendante du cône, on part de
cette construction pour trouver son équation. On la
définit alors , une courbe dont tous Les points sont à
égales distances d'une droite donnée de position et d'un
point fixe également «donné. La droite PQ prend le nom
de directrice.

6. La directrice et le foyer d'une parabole étant don-

nés on peut aisément construire cette courbe par points
de la manière suivante :

TOME IT,

PA 975

Soit Pg la directrice et F le foyer (PI. 49, fig. 1.) par
le point F on mènera sur FQ une perpendiculaire in-
définie B/'; on partagera Ff'en deux parties égales et le
point du milieu A sera le sommet de la parabole. Pour
obtenir d'autres points, on élèvera en un point quelcon-
que æ de Bf la perpendiculaire y'y, puis de F comme
centre avec un rayon égal à fx on décrira un arc de
cercle qui coupe la perpendiculaire en deux points y"
et y. On aura ainsi deux points de la courbe; et en ré-
pétant cette opération on pourra en obtenir autant
qu’on pourra le désirer.

7. On peut également décrire la parabole par un
mouvemeut continu d’une marière très-simple. Ayant
fixé une règle BD (PL. 10, fig. 6.) sur la directrice, on
attachera au foyer F le bout d’un fil égal en longueur
au côté EC d’un équerre , à l'extrémité C de laquelle
on attachera l’autre bout du fil, On tendra le fil contre
l’équerre avec une pointe ou un crayon, et en faisant
glisser léquerre le long de la règle la pointe décrira une
branche de la parabole. Pour tracer l’autre branche, on
renversera la position de l'équerre. C'est cette con-
struction qui a fait donner le nom de directrice à la
droite DB; elle e:t assez évidente pour se passer de dé
veloppemens ultérieurs.

8. En comparant la génération de la parabole dans le
cône avec celle de l’ellipse, on reconnait sans peine que
cette dernière courbe se rapproche de la première à
mesure que son grand axe augmente et qu'elle finit par
se confondre avec elle lorsque ce grand axe devient in-
Gniment grand. Cette circonstance est exprimée dans
l'équation de l’ellipse rapportée au sommet ct au para-
mètre ,

?
VI Ê (2ax—x"),

(voy. Erirse, 8), car lui donnant la forme

: px?
2 == 2NL — —
J / FE

elle se réduit à

Y°=2PX,

DT? ,
f = devient
a

lorsque & est rnfiniment grand, puisqu'alors
infiniment petit. Xi 2p exprime la même quantité
que nous avons désignée par p daus l'équation de
la parabole, c'est-à-dire , la double ordonnée qui
passe par le foyer, ou le paramètre.

9. Il eu est de même de l'hyperbole : son équation

rapportée au sommet ct au paramètre étant

)
ya == À (2ax +2)

(voy. HYrERBOLE, Q,, ou

Yi = 2pX + LE

«a

274 PA
elle se réduit à celle de la parabole

Y? = 2pT
lorsque a devient infiniment grand; et dans ce cas , le
centre, le second sommet et la seconde hyperbole dispa-
raissent, ou sont situés à l'infini.

11. Quoique le problème des tangentes doive être
traité ailleurs dans toute sa généralité, nous allons faire
connaitre ici un procédé très-simple semblable à ceux
que nous avons donnés pour l’ellipse et la parabole. Soit
Q le point où l’on veut mener une tangente. (Pl. 40,
fig. 5.) Après avoir abaissé la perpendiculaire QP sur
la directrice et mené le rayon vecteur FQ , on joindra
les points F et P par une droite FP qu'on partagera en
deux parties égales au point g ; par les points g et Qon
mènera une droite g Q ; ce sera la tangente demandée.
En effet, cette droite ne peut avoir que le seul point Q
commun avec la courbe, car si de tout autre point O
on mène OP, et la perpendiculaire OS à la directrice ,

on a
PO OS,
mais FO = PO, donc aussi
FO > OS,

et, par conséquent, le point O est hors de la courbe.

12. Il résulte de cette construction, que si l’on pro-
longe PQ, les angles FQg et RQO sont égaux. Propriété
qui trouve son application dans la catoptrique, et qui
nous apprend que tous les rayons lumineux qui partent
du foyer d'un miroir parabolique sont réfléchis paralle .
lement à l'axe. C’est ce qui rend l'emploi deces mi-
roirs si utile pour projeter la lumière à de grandes di-
stances,

13. Onnomme diamètre, dans la parabole, toute
droite parallèle à l'axe; ce nom lui vient de ce qu’elle
divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles
à la tangente du point où elle rencontre la courbe. En
prenant pour axes des coordonnées une telle droite et
la tangente correspondante, on a des coordonnées obli-
ques, mais l'équation ne change pas de forme. (Foy.
TRANSFORMATION DES coonDonvÉEs, Joy. aussi PorairE
pour l'équation polaire de la parabole.)

Parasore des ordres supérieurs. On donne encore le
nom de paraboles à diverses courbes qui diffèrent es-
sentiellement de la parabole ordinaire, conigue , ou
apollonienne que nous venons d'examiner. Voici les
plus remarquables.

PanaroLE biquadratique. C'est une courbe du troi-
sième ordre, ayant deux branches infinies et qui est gé-

néralement exprimée par une de ces trois équations :

TL ="

2... Rx jh — by?

3 ET me
JS... 22 = y — (b+c)) + be

PA
l'équation 1 représente la courbe de la fig.4, pl. 48 ;
l'équation 2, celle de la fig. 5 ; et l'équation 6, celle de
la fig. 6. Dans toutes ces figures on a AP —x, QP + y
AB— b,AC—c; a est une certaine quantité donnée.
ParanoLe cartésienne. Courbe du second ordre ex-
primée par l’équation

ty = ax + bys Lex + d:

elle a quatre branches infinies, savoir : deux hyperboli-
ques et deux paraboliques. (Foy. PL. 48, fig. 7.)

Panasore cubique. C’est aussi une courbe du second
ordre ayant deux branches infinies dirigées en sens in-
verse. (PI. 45, fig. 8.) Son équation générale est

y —ax + bat + cx +d,

mais quand à , c et d sont chacun zéro, cette équation
se réduit à

4 = ax

c'est celle de la figure citée. On la nomme première
parabole cubique.
Si l'équation est

73
J°= ax,

la courbe se uomme seconde parabole cubique. En gé-
néral, y” —ax* est l’équation de la m ième parabole cu-
bique.

Paranoces divergentes. Nom donné par Newton à
une espèce de cinq différentes lignes du troisième or-
dre ou courbes du second ordre exprimées par l’équation

= ax) + bat + cx + d;

la première est une courbe en forme de cloche ayant
une ovale à sa tête. (PI. 47, fig. 9.) Elle correspond au

cas où l’équation

ax + be + cz + d=0

a trois racines réelles et inégales.

La seconde (fig. 10), a un point conjugué ; elle
correspond au cas où les deux plus petites racines de
cette même équation sont égales.

La troisième (fig. 11) est celle qui se rapporte à
l'égalité des deux plus grandes racines.

La quatrième (fig. 12) a lieu lorsqu'il n’ya qu’une
seule racine réelle.

Enfa, la cinquième répond au cas des trois racines
égales. L'équation peut se réduire alors à y? —ax*. C’est
la seconde parabole cubique.

Arcs vararoriques. Ce sont les arcs ou les portions
de la courbe. (Foy. REcTIFICATION.)

PARABOLOÏDE ou CONOÏIDE PARABOLIQUE.
Géom.) Solide formé par la révolution d’une parabole

PA
autour de son axe. Pour le volume de ce solide, voy.
CuBATURE.
On donne aussi quelquefois Le nom de paraboloïles

aux paraboles des degrés supérieurs.

PARACENTRIQUE. (ape près et de x:yrper, centre.)
Le mouvement paracentrique est celui qui s'effectue en
se rapprochant d’un centre.

La courbe isochrone paracentrique est celle qu’un corps
pesant parcourt pours’approcher ou s'éloigner également
en temps égaux, d’un centre ou d’un point donné. Le
problème de trouver cette courbe fut proposé par Leib-
nicz aux antagonistes du calcul différentiel qui ne pu-
rent le résoudre. C’est une généralisation de celui de la

courbe aux approches égales, (Foy. ApPrOCKEs.)

PARALLACTIQUE. (454) Se dit de ce qui a rap-
port à la parallaxe des astres.

L’angle parallactique est celui qui est formé au cen-
tre d’un astre par son vertical et son cercle de déclinai-
son. Ce nom lui a été donné parce qu'il sert à calculer
la parallaxe.

Triangle parallactique. C’est le triangle formé par
le rayon de la terre et les deux droites mences de ses
extrémités au centre d’un astre. L’angle de ces deux
droites est l’angle de la parallaxe ou la parallaxe elle-
même.

Règles parallactiques ou parallatiques. Xnstrument
dont Ptolémée se servit pour observer la parallaxe de
la lune.

PARALLAXE. (451) (rapananuk:s.) Ce mot qui si-
gnifie diversité d'aspect , désigne la différence entre la
position d'un astre vu de la surface de la terre ct celle
qu’il aurait, vu de son centre.

Soit C le centre de la terre, (PI. 49, fig. 8) À un
| point de sa surface, et P un astre. L’angle APC formé
, parles rayons visuels AP et CP est la parallaxe. Si
l’astre était situé à une distance infinie par rapport à la
grandeur du rayon AC de la terre, comme le sont les
étoiles fixes, ces rayons visuels deviendraient parallèles
et l'angle APC s’évanouirait, mais si la distance est
comparable avec le rayon AC, l’angle APC conserve
une grandeur sensible, et sa détermination conduit,
ainsi que nous le verrons plus loin, à la détermination
de la distance de l’astre.

Le lieu d’un astre sur la sphère céleste étant le point
de cette sphère où nous le projetons par Île rayon vi-
suel mené de l'œil à son centre , il devient évident que
l'effet de la parallaxe est de nous faire généralement
paraître les astres , qui en ont une , moins élevés sur
| l'horizon qu'ils ne le sont en effet, ou qu’ils le pa-
raîtraient vus du ceutre de la terre. En effet, de ce cen-

‘re l’astre P paraîtrait en 2 sur la sphère céleste, tandis

210

PA
que du point À de la surface, cet astre nous parait, au-
dessous, en 1.

À mesure qu'un astre s'élève au-dessus de l'horizon,
l'angle APC devient de plusen plus petit, et il s’anéan-
tit enfin si l’astre parvient au zénith, car alors les deux
rayons visuels se confondent dans la droite C2". Cet an-
gle est le plus grand possible lorsque l’astre est à l'hori-
zon ou en P'; on le nomme alors parallare horizontale.
Dans tous les autres cas il prend le nom de parallaxe
de hauteur.

La parallaxe horizontale et la distance de l'astre au
centre de la terre sont deux quantités tellement liées en-
semble qu'il suffit de connaître l’une pour avoir l’autre.
En effet, lorsque l’astre est à l'horizon, en P', le trian-
gle P'AC est rectangle et donne

1 : sin AP'C :: CP’: AC,

mais CP’ est la distance de l’astre, AC le rayon de la
terre et AP'C la parallaxe ; ainsi désignant respective-
ment par d, r et p ces trois quantités, on obtient

: F
1.,.. SIN pP —
F d
r
2... d = ——
sin p

On passe de la parallaxe horizontale à la parallaxe de
hauteur en remarquant d'abord que pour une position
quelconque, P, de l’astre au-dessus de l'horizon le
triangle PAC donne

sin PAC : sin APC :: CP : AC.

Or, PAC — P'AC + PAP", ou PAC —90° + h en dé-
signant par 4 l'angle PAP’, c'est-à-dire, la hauteur ho-
rizontale de l’astre; ainsi désignant en outre par p' la
parallaxe de hauteur APC, cette proportion est la
même chose que

sin (oo + À) : sinp':: dir
d’où

, Sin (go+ h).r r
M cos À 7

sin p
Nous aurons donc aussi
3....sinp —=cosh.sinp
r : ;
en mettant pour 1 sa valeur sin P (x).
[£

L’angle p étant généralement très-petit , on peut dans
les expressions 1, 2,3, substituer p à son sinus sans er-
reur sensible.

Pour éviter les irrégularités dont paraîtrait affecté le
lieu d’un astre, vu en même temps par différens obser-
vateurs de divers points de la surface de la terre; et ren-

dre toutes les observations comparables, on est convenu

210

PA

de les rapporter au centre de Ja terre supposée sphéri-
que. Ainsi ce que l'on nomme leu vrai d'un astre est
le lieu va de ce centre, tandis que le lieu apparent est
celui qui est vu de la surface et se trouve compliqué de
Ja parallaxe.

La détermination exacte de la parallaxe d’un astre
est donc d'autant plus importaute que non seulement
clle fait connaître sa aistance , mais encore qu'elle est
essentielle pour réduire le lieu apparent au lieu vrai;
aussi les astronomes ont-ils cherché de tout temps des
méthodes pour obtenir cette détermination.

Ilest un procédé très-simple et qui ne diffère en rien
de celui par lequel on calcule la distance d’un objet
inaccessible en l'observant des deux extrémités d'une
baise connue, c’est de mesurer sous le même méridien
céleste, à des distances connues, et au méme instant
les hauteurs horizontales d’un astre, ou se: distances au
zénith. Pour éclaircir eette méthode, supposons deux ob-
servateurs placés l’un en À et l'autre en B (PI. 50, fig. 5),
observant en même temps les distances d’un astie P
à leurs zéniths respectifs Z et Z', et désiguons par %,
et z' ces distances qui sont les complémens des hauteurs
horizontales : d'après ce qui précède, p étant toujours
Ja parallaxe horizontale, la parallaxe de hauteur pour

l'observateur A sera, en la désignant par p'

ra]

p' = cos(90—:). p, oup'=sinz.p

et celle de l'observateur B, en la désignant par p”,
sera parcillement

p'=sinz".p
Nous avons donc

f EE { «1 LA n 2" À
p'+p"=p {sin z<+sinz}

Mais p' est l'angle APC et p' l'angle CPB, ainsi p' +
p" est égal à Pangle APB, qui se trouve donné per
l'arc AB du méridien terrestre compris entre les ob-

servateurs. En effet soit cet arc du méridien ou

l'angle ACB au centre de la terre; comme les quatre
angles du quadrilatère PACB sont équivalens à quatre
angles droits nous aurons

2 + p'+ p" + PAC + BPC — 56c°
De plus
PAC = 180° — ZAP — 180° —z,
PBC — 160° — PBZ' = 180° — =!
Substituant, nous obtiendrons
PARC ANE ré

et par conséquent

ha p {sinz+sin :'}

d'où enfin

Sin Zz

Cette méthode sert de base à plusieurs autres pour les
quelles nous somines forcés de renvoyer aux Ouvrages
spéciaux.

La terre n'étant pas exactement sphérique , la paral-
lsxe horizontale d'un astre ne peut être la même pour
tous les observateurs plscés sur sa surface, puisque la
valeur de cette parallaxe dépend de celle du rayon de
la terre qui est variable. Par exemple, à l'équateur, où
le ravon terrestre est le plus grand, la parallaxe hori-
zontale sera la plus grande, tandis qu’au pôle où le
rayon terrestre est le plus petit la parallaxe horizontale
sera Ja plus petite; dans tous les lieux iutermédiaires la
valeur de la parallaxe sera également intermédisire
epltre ses deux extrêmes. Îlest bien entendu que ces
diverses valeurs se rapportent à une même distance de
l'astre à la terre, car lorsque cette distance change il en
résulte nécessairement d’autres variations de grandeur
dans la parallaxe. Lorsque la distance est la même es
parallaxes horizontales sont entre elles dans le rapport
des rayons terresires, car p ct p'étant les parallaxes
correspondant aux rayons r et 7" nous avons d’après (1)

!

r ; 7
PS; et p — ps]
D'eu
P:p' A 4
Ce qui donne
' Le 3
Po PR

Or, en désignant par À la latitude d'un point de la

surface de la terre, et prenant r’ pour le rayon de ce |

poiut et r pour le rayon de l'équateur, on a à très-peu
près (vor. TERRE)

r ;

— = Ii —asint À

F
a étant l’aplatissement de la terre. Ainsi la parallaxe
horizontale p' pour ur lieu dont la latitude est à, est
donnée par la parallaxe équatoriale horizontale à l’aide

de l'expression
P' =p(i—a. sin? à) == p— ap sin? À

Excepté pour la lune, dont la parallaxe est très- :
grande, Ja différence ap sin? à est une quantité trop
petite por qu'il soit nécessaire d'en tenir compte.

La parallaxe horisontale du soleil est celle qu'il était
le plus intéressant de trouver, car elle nous apprend
quelle est la distance du soleil à la terre et par suite

PA

quelles sont les distances de tontes les autres planètes
au soleil et à la terre. Cependant sa détermination ne
pouvant s'effectuer par aucune des méthodes applica-
bles autres corps célestes, elle n’est point encore con-
nue avec une parfaite exactitude. La connaissance des
temps la suppose égale à 8”, 8 dans sa valeur moyenne,
ce qui paraît un peu trop grand, car il résulte des ob-
servations des passages sur le soleil, calculées par
M. Encke, que cette parallaxe moyenne ne dépasse pas
8",5776. C’est à l'aide des paralla*es des planètes plus
voisines de la terre, telle que Mars et Vénus, lorsqu’el-
les sont en opposition avec le soleil, qu’on peut cal-
culer la parallaxe du soleil : les parallaxes étant tou-
jours dans le rapport des distances et ce rapport dépen-
dant, d’après la loi de Keppler, de la durée connue des
révolutions périodiques, nous exposerons plus en dé-
ail cette méthode au mot Passacr.

La parallaxe d’un astre ne fait pas seulement con-
naître sa distance à la terre ; elle sert encore pour dé-
terminer son volume en la comparant à son diamètre
apparent. En effet le diamètre apparent d’un astre est
un arc du cercle décrit avec sa distance à la terre prise
pour rayon; et ce diamètre apparent fait connaitre le
diamètre réel lorsque la distance est connue, puisque
les grandeurs des arcs semblables de deux cercles diffé-
rens sont entre elles comme les rayons. Ainsi p dési-
gnant le diamètre apparent d’un astre en parties de la
circonférence dont le rayon est l'unité, le diamètre
réel, ou le diamètre exprimé en parties de la dis-
tance à laterre, sera pd; mais d’après (1) d — s: done
en désiguant par 2R le diamètre réel d’un astre, on a

2 net
Bepide 2p

expression qui nous apprend , en lui donnant la forme

R _k

Tr 9p.

que le rapport du rayon d'un astre à celur de la terre
est égal au diamètre apparent de cet astre divisé par le
double de sa parallaxe horizontale. Torsqu'on connaît
le diamètre réel d’un astre, on connaît aussi son volume
en le supposant sphérique (voy. SpnÈre), et comme
d’ailleurs les volumes de deux sphères sont entre eux
comme les cubes des rayons, il suffit des valeurs des
rayons pour pouvoir comparer les volumes des astres
à celui de la terre, considérée aussi comme sphérique.

Les parallaxes horizontales des astres, leurs diamè-
tres réels et leurs distances à la terre oa leurs rayons
vecteurs, sont donc des quantités tellement hées entre
elles qu’il suffit d'une seule de ces quantités pour trou-
ver les autres,

PA 2TT

La parallaxe sbaissant généralement le lieu vrai des
astres, n’altère pas seulement leur hauteur horizontale,
elle altère aussi leur angle horaire et leur distance au
pôle. Les changemens qui en résultent pour ces deux
élémens forment ce qu'on appelle la parallaxe d'as-
cension droite et la parallaxe de déclinaison. Ces deux
dernières se déduisent aisément de la parallaxe hori-
zontale.

La plus grande de toutes les parallaxes est celle de la
lune, sa valeur varie depuis G1' + jusqu’à 54'; la pa-
rallaxe horizontale moyenne, ou celle qui répond à la
distance moyenne de la lune à la terre, est de 57°. Eu
mettant cette valeur dans l'expression (2), on trouxe

pour la distance moyenne

d

Ainsi cette distance estun peu plus de 60 fois le rayon
terrestre. Cependant nous devous faire observer que
les dimensions de l'orbite lunaire n'étant pas constan-
tes, la distance moyenne ainsi que la parallaxe hori-
zvntale moyenne varient elles-mêmes. C’est ainsi, par
exemple, que dans les élémens, de la lune rapportés au
premier janvier 1801 (voy. Lune) la distance moyenne
est seutement de 59 , 952 rayons terrestres.

Les plus grandes parallaxes horizontales de divers
corps célestes ont été déterminées comme il suit :

: 7.
Soleil sms or < #8";95
Mercurer "uma: 14, 58
Ménuss ie 47 UT «7, à 29, 16
Marsa #1 0 rest 17, 50
JapitéL eue raeBenete 2, 08
Saturnesi:i.s scans aol; 097
Uianus ans eau ane 0% T5

PARALLAXE ANNUELLE de l'orbite de la terre. On dé-
signe sous ce nom la différence entre le lieu d’un astre
vu de la terre et son lieu vu du soleil. Elle sert à calcu-
ler la longitude géocentrique d'une planète par Île
moyen de sa longitude héliocentrique. |

PaRALLAXE MENSTRUELLE. Petite inégalité que pro-
duit dans le heu vrai du soleil l'attraction de la lune
sur la terre.

Panazraxe des étoiles fixes. Comme les distances des
corps célestes sont déterminées par le moyen de leurs
parallaxes, toutes les méthodes possibles ont été mises en
usage pour trouver celles des étoiles fixes, mais leur
distance est si immense que , non seulement elles n’ont
aucune parallaxe par rapport au rayon terrestre, mais
même par rapport au diamètre entier de l’orbite de la
terre, L'angle des deux rayons visuels qui se rendent
des deux extrémités du grand axe de cette orbite à l'é-
toile la plus proche en apparence , est entièrement in-

278 PA

sensible, car s'il s'élevait seulement à une seconde il
pourrait être découvert par les instrumens modernes.
Or, si une étoile avait une parallaxe d’une seconde , sa
distance serait d'environ sept millions de nullions de
lieues; nous sommes donc certains que l'étoile la plus
proche de nous est encore située à une plus g'ande dis-
tance, quelque énorme que puisse paraitre celle-ci,
(l'oy. Eroire.)

PARALLÈLE. (Geom.) Deux lignes sont dites pa-
rallèles , lorsque étant situées dans le même plan elles
ne peuveutse rencontrer, même en les supposant pro-
longées indéfiniment.

Deux droites qui, dans un même plan, convergent
l'une vers l’autre ou ont des directions différentes étant
suffisamment prolongées, se coupent toujours en un
point, et la différence de leurs directions constitue ce
que l’on nomme un angle (vay. ce mot); mais si ces
droites ne convergent pas, c'est-à-dire, si elles ont une
mème direction, il devient évident qu’en les prolon-
geant indéfiniment elles ne peuvent jamais se rencon-
trer, car la différence de leurs directions étant rulle,
elles ne sauraient former un ang'e. On peut donc défi-
nir les droites parallèles des droites qui ontune mé-

me direction.

Les plans parallèles sont également des plans qui ne
peuvent jamais se rencontrer étant prolongés à l'infini.

Lorsque deux droites parallèles sont coupées par une
droite transversale, elles forment avec cette dernière
plusieurs angles dont les relations ont été déterminées
au mot ANGLE, O.

Dans l'optique, on nomme rayons parallèles ceux
qui partent d’un point lumineux situé à une distance
iufinie de l'œil. C’est en observant que deux droites,
dont le point de concours est très-élo'gné, deviennent
sensiblement parallèles, que quelques géomètres ont
défini les parallèles des droites qui concourent à l'in-
fini. Cette définition est vicicuse; d'après leur nature,
les parallèles ne concourent pas plus à l'infini qu’au
fini, et si l'on peut en réalité considérer comme pa-
rallèles les droites dont l'angle est infiaiment petit,
c'est parce que cet angle, ou la différence infiniment
petite des directious des droites, n’a aucune valeur
comparable avec les quantités réalisables dans le champ
de l'expérience, c'est-à-dire, avec les grandeurs suscep-
tibles d'être l'objet d'une intuition sensible.

Dan; l'astronomie où donne le nom de cercles pa-
rallèles à tous les cercles formés par les intersections
de la sphère céleste avec plusieurs plans parallèles entre
eux, ainsi :

Les PanaLLices de déclinaison sont de petits cercles
de la sphère parallèle à l'équateur.

PA

Les ParariËLEs de latitude sont les petits cercles
parallèles à l’écliptique.

Les PanaLzLèLces de hauteur où almicantarats, des
cercles parallèles à l'horizon.

En géographie, les Parazrëres de latitude sont les
petits cercles de la sphère terrestre parallèles à l’équa-
teur terrestre.

PARALLÉLIPIPÈDE. (Gcom.) Prisme dont la base
est un parallélogramme, ou polyèdre terminé par six
parallélogrammes dont les opposés sont parallèles et
égaux.

Lorsque fes parallélogrammes sont des rectangles, le
parallélipipède est dit rectangle. Si ces rectangles sont
des carrés égaux, le parallélipipède prend le nom de
cube où d'hexaèdre régulier. (Fey. So11nx.)

PARALLÉLISME. (Geéom.) Etat de deux objets pa-
rallèles. En astronomie, on nommé parallélisme de
l'axe de la terre la propriété qu'a cet axe de me point
changer de direction pendant toute la durée de la ré-
volution annuelle de la terre autour du soleil. C'est
cette situation constante de l'axe de la terre par rap-
port au plan de l'écliptique qui produit le changement
des saisons. (Ÿoy. Tenne.)

PARALLELOGRAMME. ( Géom.) Figure plane
terminée par quatre droites et dont les côtés opposés
sont parallèles.

Cette figure prend le nom de rectangle (voy. ce
mot) lorsque ses quatre angles sont droits.

Oa lui donne aussi le nom de losange ou rhombe
lorsque ses quatre côtés sont égaux sans que ses angles
soient droits.

Elle prend enfin le nom de carre où quarré lorsque
ses quatre côtés sont égaux et ses quatre angles droits.
(Voy. Quarné.)

Les propriétés principales des parallélogrammes sont
les suivantes.

Soit ABCD (PI. 50, fig. 10) une telle figure. D'après
la définition, les côtés opposés AB, CD et AD, BC
sont parallèles entre eux ; ainsi en joignant les sommets
des angles opposés À et C, B et D par des droites AC,
BD , ces droites, que l’on nomme les diagonales,
partageront , chacune eu particulier, le parallélo-
gramme en deux triangles égaux. En effet si nous con-
sidérons les deux triangles ABD , BCD, formés par la
diagonale BD, nous voyons que ces triangles ont un
côté commun BD et que leurs angles sont respective-
ment égaux chacun à chacun; car les angles ADB et
DBC sont alternes internes, et il en est de même des
angles ABD et BDC. (Foy. Axaze 6.) Ces triangles ont
donc un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun
à chacun, et sont conséquemment égaux (voy. Trian-

PA

GLE); on a donc aussi AB — CD, AD = BC et l'angle
DAB — l'angle DCB. Il en est de même des deux
triangles ACB, ADC formés par la diagonale AC.

Nous pouvons donc conclure immédiatement que:

1. Les côtés opposés et les angles opposés d’un pa-
rallélogramme sont respectivement égaux.

>. Les deux angles adjacens à un même côté sont
supplément l’un de l’autre ou leur somme est équiva-
ente à celle de deux angles droits.

3. Les deux diagonales d’un parallélogramme se
coupent respectivement en deux parties égales.

A ces propriétés nous ajouterons la suivante, démon-
trée au mot Aire.

4. L’aire d'un parallélogramme est égale au produit
de sa base par sa hauteur , ou, plus généralement, au
produit d’un quelconque de ses côtés par la perpendi-
culaire qui mesure la distance de ce côté à son opposé.

Les conséquences de cette dernière sont :

5. Deux parallélogrammes de même base sont entre
eux comme leurs hauteurs.

6. Deux parallélogrammes de même hauteur sont
entre eux comme leurs bases.

7: Deux parallélogrammes quelconques sont entre
eux dans le rapport composé de leurs bases et de leurs
hauteurs.

Les parallélogrammes offrent encore une propriété
très-remarquable que nous nous contenterons d’énon-
cer parce qu’elle n’est qu'un corollaire d’une propriété
appartenant à tous les triangles, et dont la démonstra-
tion sera donnée au mot /riangle.

8. La somme des carrés des deux diagonales d'un
parallélogramme est équivalente à la somme des carrés
des quatre côtés.

PARALLÉLOGRAMME DES FORCES. (Poy. Force.)

PARALLÉLOGRAMME DES VITESSES. (Voy. VITESSE.)

PanazréLocnamme de Newton. Règle imaginée par
Newton pour trouver les premiers termes de la série,
en x qui donne la valeur de y lorsque ces deux varia-
bles entrent dans une équation algébrique donnée.
Voy. Newton , Méthode des séries infinies ; Maclaurin,
Algèbre ; et Cramer, 4nalyse des lignes courbes. (Foy.
dans ce dictionnaire le mot Séme.)

PARAMÈTRE. (Gcom ) Ligne droite constante qui
entre dans les équations des sections coniques. C’est
la double ordonnée qui passe par un foyer. (Foy. Er.-
LSE, HypErroLe, Pananozr. )

On nomme encore généralement paramètre, la con-
state qui se trouve dans l'équation d’une courbe quel-
conque. Par exemple, dans la courbe dont l’équation
est yŸ = axy + 4ar, a est le paramètre et représente
une ligne donnée,

Ce mot, dérivé de ape égal et de pérpes mesure ,

PA 279

indique que la ligne qui le porte détermine les dimen-
sions de Ja courbe.

PARFAIT. (4rithm.) Les anciens arithméticiens dé-
signaient sous le nom de nombre parfait celui qui est
égal à la somme de toutes ses parties aliquotes. Tel est
6 dont les parties aliquotes sont 1 , 2 et 3; tel est en-
core 28 dont les parties aliquotes sont 1, 2, 4,7 et 14.

Euclide a démontré que si 2 — 1 est un nombre pre-
mier , le produit

Q1—1 (an — I )

estun nombre parfait. (Foy. Élémens d'Euclide, \iv. 9.)
C’est d’après cette forme que l’on trouve

2. (2:—2) = 6
2. (23—1) = 28
24; SL —= 496

) — 8128
2", nu 1)— 33550336
216, (217—1) = 8589869056
28,(29—1)— 137438691328

—1

20, (231—1) — 2305843008139952128

lesquels sont tous des nombres parfaits. Le nombre
2%—1, qu'Euler assure être premier, est le plus grand
nombre premier connu jusqu'ici, et par conséquent
a%(ah— 1) est le plus grand nombre parfait qui ait en-

core été découvert.

PARTIEL, Dirrérences PARTIELLES. { Calcul inte-
gral.) L'intégration des équations aux différences par-
tielles est une branche importante du calcul intégral ,
car les problèmes physico-mathématiques les plus utiles
conduisent à de telles équations. On attribue générale-
ment sa découverte à d'Alembert qui y fut amené par
ses recherches sur les cordes vibrantes; mais avant lui,
Euler avait intégré complètement une équation aux
différentielles partielles ( Aemoires de Pétersbourg,
tom. 7.) , et quoique les premières applications de ce
calcul soient dues à d'Alembert et forment un de ses
plus beaux titres de gloire, il est hors de doute que
l'idée première appartient à Euler. Ce grand géomètre,
ramené parles travaux de d’Alembert à cette branche
de la science des nombres qu'il paraissait avoir oubliée,
a encore eu l'avantage d'en présenter les résultats sous
une forme beaucoup plus simple, et qui a été adoptée
par tous les mathématiciens.

Nous avons déjà dit (Drrr. et Inrécrar) que la diffe-
rence partielle d'une fonction de deux ou de plusieurs
quantités variables est la différence de cette fonction

prise en faisant varier seulement une des variables. Par

280 PA

exemple, plie, ») étant une fonction des deux variables

xety, la différence
plx+ar,y) — #27),

prise en considérant y comme une quantité constante
est la différence partielle de gx, y) par rapport à x. De

méme
g(e, + Ar) — #2, 7)
est la différence partielle de o(x, :

y) par rapport à y.
Ces différences partielles s'expriment généralement

par la notation

(ED; x (2) Ay
Ax / ay J *"

Lorsqu'il s'agit des différentielles on a également

(ED ar (ED a,
dx
pour les différentielles partietles de a fonction ÿ( (x, )
prises respectivement par rappoit à. æ et par rapport
à:

1. On nomme équation aux différences partielles,

toute équation dans laquelle se trouvent les quantités

Ag(x, y)
Az

Ap(x, 9)
AY

AT, J)5X, Y-

combinées d’une manière quelconque avec des quantités
constantes; ou, plus généralement, w étant une fonction
des variables æ,7, 3, etc., toute équation qui renferme

Au Au Au
U, Ty V3 Ty CLC. de e Fra Zz ,

etc.

Si les différences sont infiniment petites, les équations
sont dites aux différentielles partielles. Le cas des dif-
férences infiniment petites, est encore le seul pour le-
quel on ait trouvé des résultats généraux que nos limi-
tes nous permettront seulement d'indiquer.

a. u étant toujours une fonction de plusieurs varia-

bles , et sa dérivée différentielle prise en ne fai-

du
PF
sant varier que æ , si nous désignons par P une fonction
quelconque de ces mêmes variables, mais qui ne ren-
ferme pas # , l'équation

du

r pue Le
sera une équation différentielle partielle du premier
ordre. C’est la plus simple de toutes.

L'intégration de cette équation ne présente aucune

difficulté, car en la multipliant par dæ on peut lui don-

ner la forme

PA

de dx = Pdx,
dx

d'où en intégrant par rapport à x seulement
u— f Pdx +C.

Ici, G n'indique pas une simple constante arbitraire,
mais une fonction entièrement arbitraire de toutes les
variables, autres que æ , que renferme la fonction «.
Si par exemple, cette fonction u ne renferme que deux
variable x et y , l'intégraie de l’équation

sera
u—= fPdx + fy

fy étant une fonction arbitraire de y et de quantités
constantes.

3, Lorsque P contient u, l'équation proposée rentre
dansle cas des équations différentielles à deux varia-
bles ; mais occupons-nous tout de suite du cas le plus
général des équations différentielles partielles du pre-
nier ordre et du premier degré. Soient P, Q, R des
fonctions qui renferment les variables w, æ et y la for-
me (1)

du du
7. = R

répond évidemment à ce cas général, Faisons pour
abréger
du
dx

= du
=D ; ce 9
l'équation (1) deviendra (2)

Pp + Qg=R,
et l’on en tirera
R—Q
PT P 2

Or la différentielle totale de u est (voy. Dirr., 51)

du = e dx ee

du

= pdr + 42

Substituant la valeur de p dans cette différentielle to-
tale ,ilvient (1)
Pdu — Rdx = q (Pdy — Qdx)

Maintenant il se présente deux cas : 1° le premier mem
bre Pdu—Rdx ne renferme que les variables u et x, tan-

dis que la fonction Pdy — Qux ne renferme que les

PA

variables 3 et x; 2°. Ces deux quantités renferment
l’une où l’autre, ou tous les deux à Ja fois les trois va-
riables &, x, y. Dans le premier cas, st nous désignons
par z le facteur qui rend Pdu — Rdx une différentieile
exacte, et par &' celui qui produit le même effet sur
Pdy — Qux (Foy. IxtécraL, 64) , nous aurons en dé-

signant par Met N ces différentielles exactes ,
& P

Pdu— Rdx = = dM

Pay — Qdx — & dM

ct l'équation (2) deviendra

d’où , en multipliant par z et en intégrant,

M= / Sa,

mais pour que le second membre soit intégrable il faut

ga

que soit une fonction quelconque de N; posons

i
0

qe

donc RE ?(N) et nous aurons
M = J'y (N)AN = #N),
? désignant une fonction arbitraire.
Ainsi, pourintégrer l'équation différentielle partielle
Pp + Q7 =R,
il suffit d'intégrer les deux équations auxiliaires.
Pdu — Rdx — 0
Pdy — Qdx — 0
et en désiguant par M l'intégrale de la première et par
N celle de la seconde, on a

g(N) étant une fonction arbitraire de N.

4. Proposons-nous, pour exemple, l'équation (3)

Jdu = 0
ydy + zdx = 0

dont les intégrales sont

TOME,

PA 251

d'ou

(+)

ou simplement
n = 99 + 2)

La nature de la fonction arbitraire désignée par la
caractéristique ne dépend que des conditions parti-
cuhères du problème qui conduit à l'équation (3). Prise
dans toute sa généralité, l'intégrale de cette équation
embrasse toutes [es fouctians possibles de 3° + 27.

5. Lorsque les fonctions
Pdu — Rdx
Pdy — Qdx
renferment les trois variables # , æ et y, on ne peut Îles

intégrer isolément ; mais il est encore possible de ra-

mener l’équation (2) er une autre (4),
dM — ?N'AN

qui soit une différentielle exacte, car en considérant M
et N comme renfermant à la fois u, æet},on a pour

les différentielles totales de ces quantités

de + id + PE du
m de dy 4° du,
ce qui rend l’équation (4),
Sa c++ # ee L du —
?iN) Ê dx + x, dy + La du] :

mais celte dernière doit s’accorder avec (2): ainsi tirant

de l'une et de l’autre la valeur de du, conime on a

4Q
LL — gdy — F dx sl su
en AN dM ’ dN dM
! Feu dy dy nd Fan dx dx ne
TT UNS AM 0, AN va à
? du du NE CR

, +, AN dM
FN à
OZ
1 ss dN dd!
»'(N)
du du

36

289 PA

AN dM

#(N) > —
R—3Q ‘dx dx
pp... dN dM:

AVE"

D'où l’on obtient, en éliminant g, l'équation finale

1x) SN dM
dx dx
QI 4N dM1 R[,N4dN avr
Laon] DT '

On peut, à cause des deux fonctions inconnues Met
N, partager cette équation en deux autres, en éga-
lant séparément à zéro la partie indépendante du fac-
teur 4'(N), et celle qui est multipliée par ce facteur. On

19

a ainsi
dM QdM, R dM_
TP TP
aN QaN RAN
D ibpatpu

système d'équations dont l'intégration donnera les fonc-
tions Met N.

6. Dans un grand nombre de cas on peut se dispenser
d’avoir recours à ces équations, soit en éliminant une
des quantités différentielles, soit en introduisant une
nouvelle quantité indéterminée, ou soit enfin, en faisant
concourir ces deux moyens. Nous ne pouvons entrer
dans ces détails pour lesquels ainsi que pour les équa-
tions des ordres supérieurs au premier, il faut consulter
le grand Traité du calcul différentiel de Lacroix. Voy.
aussi les Mémoires de Berlin, pour 1747, 1748, 1750,
1763 et 1774 ; et ceux de l’Académie des sciences, pour

1787.

PAS DE VIS. (Mec) On désigne sous ce nom la por-
tion de la spirale qui correspond à chaque révolution
entière de la vis. (Foy. Vis.)

PASCAL ( Braisr. ) L’admiration profonde que les
écrits polémiques de cet homme célèbre excitent en-
core en France , et partout où l’on sent le prix d’un
grand tilent dont de grandes vertus rehaussent encore
l'éclat, s’est étendue à toutes les productions de cet esprit
original et profond. La haute opinion qu'on s’est faite
de Pascal aussi bien comme philosophe et géomètre que
comme littérateuretapologiste dela religion chrétienne,
est tellement accréditée qu'il peut paraître audacienx
d'examiner sur quels fondemens elle repose. La plupart
de ses biographes, même ceux qui, sous quelques rap-
ports, se sont montrés des adversaires implacables de ses
opinions , n'hésitent point à lui assigner dans l’histoire

ue la science une des places les plus éminentes où le

PA

génie puisse aspirer. Il y a plus de sentiment que de
raison dans ce jugement. Sans doute cette noble et pure
intelligence dans ce corps frêle et souffrant , cette rare
fermeté unie à tant de douceur et de bienveillance, ce
talent fier et élevé qui semblait vouloir se dévouer aux
applaudissemens de la foule en s’'enveloppant de tant de
modestie et de simplicité, cette merveilleuse enfance ,
cette jeunesse si active et laborieuse , cette tristesse rê-
veuse qui domine le cours sitôt arrêté de cette vie vouée
au travail et à la souffrance , enfin tout ce qu’il y a de
beau , d’extraordinaire , de touchant dans le caractère ,
l'organisation et le génie de Pascal sera toujours digne
du plus vif intérêt , de l'attention la plus sérieuse. Ce-
pendant quand on ne craint pas de comparer Pascal à
notre grand Descartes, de l’assimiler aux hommes qui,
comme lui, ont ouvert à l'esprit humain la carrière sans
limites où il est aujourd'hui engagé , on s’exagère évi-
demment l’importanceréelle des travaux de cet illustre
écrivain. Nous ne venons point toutefois chercher à
rabaisser cette renommée si belle et si nationale , mais
les intérêts de la vérité nous paraissent supérieurs à
toutes les considérations qui auraient pu nous faire ac-
cepter sans examen les jugemens dont les productions
du génie de Pascal ont été l’obict.

Blaise Pascal naquit à Clermont , capitale de la pro-
vince d'Auvergne, le 19 juin 1623. Son père , Étienne
Pascal, président à la couv des aides de cette ville, était
un homme d’un mérite remarquable. Il fat le seul mai-
tre du jeune Blaise, son fils unique. Cet enfant montra,
dès l’âge le plus tendre, une intelligence prodigieuse qui
ajouta peut-être à l'intérêt et à la sollicitude dont il était
l'objet. En 1637, il vendit sa charge et vint à Paris pour
se livrer avec plus de succès à l’éducation de ses enfans,
car le jeune Blaise avait deux sœurs , et la mort de leur
mère imposait à Etienne Pascal des devoirs dont il com-
prit l'étendue et qu’il remplit avec une religieuse affec-
tion. Ilétait déja lié avec quelques savans de cette épo-
que tels que Mersenne, Roberval, Mydorge, qui se réu-
nirent fréquemment chez lui et le jeune Pascal ne tarda
pas à s'asseoir parmi ces hommes distingués par leur sa-
voir et leurs vertus, moins comme un écolier dont on
accueille avec intérêt les heureuses dispositions que
comme un maitre dont on reçoit les avis. On sait que
cette société intime, qui avait des relations et des cor-
respondances avec tous les savans de l'Europe fut le ber-
ceau de l’Académie des sciences.

Le père de Pascal, qui s’occupait beaucoup de ma-
thématiques , n'avait point cru devoir initier son fils à
l'étude de ces hautes sciences avant qu’il eùt acquis des
connaissances générales qu’il jugeait d’une utilité plus
indispensable à son âge. On assure néanmoins que le
jeune Pascal âgé de douze ans, sans autre guide que son
intelligence et le penchant qui l'entrainait vers l’étude

PA

que luiavaitinterdite momentanément la prudence peut-
être exagérée de son père, parvint à se créer une géo-
métrie en donvant aux figures qu'il traçait des défini-
tions particulières, mais qui exprimait naïvement ses
idées. Ainsi pour lui les lignes étaient des barres et les
cercles des ronds , et tel est l’enchaîinement logique et
nécessaire des premières vérités géométriques que le
jeune Pascal parvint à découvrir, en suivant leur pro-
gression , la trente - deuxième proposition d'Euclide,
c'est-à-dire que la somme des trois angles d'un triangle
est égale à deux droits. Les témoignages les plus honc-
rables ont attesté la réalité de ce faitqui paraïîtrait moins
inconcevable si l'on réfléchissait à l'influence que les
conversationsdes amis deson père avaient dü exercer sur
l'intelligence , d'ailleurs si supérieure , de Pascal. Cette
particularité historique , dont il est difficile de vérifier
l'exactitude , puisque Pascal n’a pas jugé à propos de
nous révéler plus tard le procédé qu’il employa , nous
inspire du moins une réflexion qui ne paraîtra point
déplacée ici. C'est que tout système absolu d'éducation
est vicieux. On ne peut guère diriger que des intelli-
gences ordinaires, mais on doit laisser leur libre spon-
tanéité aux intelligences qui révèlent de bonne heure
leurs sympathies et leurs tendances. Il n’y a aucune rai-
son pour appliquer la raison précoce d’un enfant à un
objet du savoir plutôt qu’à un autre, etil ÿ a beaucoup
de danger à contrarier des dispositions dominantes, ex-
clusives dans un jeune esprit. La sollicitude du père et
du maître doit moins s'attacher à suivre un plan systé-
matique d'instruction qu’à reconnaitre ces dispositions
énergiques, dans lesquelles se trouve l'avenir d’un en-
fant.

Quoi qu’il en soitle père de Pascal, dit madame Périer
sa sœur , à qui nous devons une histoire de sa vie, fut
épouvanté de la pénétration de son fils et il eut du
moins la sagesse de renoncer aussitôt au plan d'éducation
qu’il s'était tracé pour lui. Dès cemoment le jeune Pascal
putselivrerautrement que das la solitude deson génie à
l'étude des mathématiques, et bientôtil fut admis dans
la société dont nous avons parlé et consulté sur tous les
objets qui s’y traitaient. A l’âge de seize ans , dit Mon-
tucla , il composa un traité des coniques où tout ce
qu’Apollonius avait démontré était élégamment déduit
d’une seule proposition générale. Mersenne parle avec
éloge de ce traité dans son //armonia universalis , et
Descartes ne pouvant croire qu'il fût l'œuvre d’un enfant
de seize ans l’attribua à Pascal père où à Désargues.
L'opinion de ce grand homme n’était peut-être pas
dénuée de fondement. Néanmoins c'est à peu près de
cette époque que datent les travaux scientifiques de
Pascal , dont nous devons nous occuper exclusivement
en négligeant les particularités biographiques de sa vie
qui ne s’y rattachent pas d’une manière intime.

PA

La machine arithmétique est, dans l'ordre chronologi-
» 6

285

que, la première production importante du génie de Pas-
cal. Son père, quiavaitété nomméintendant de Rouen, lui
faisait faire tous les calculs qu’exigeaient les opérations
dont il était chargé. Ces calculs ne pouvaient être fort
compliqués, mais ils suggérèrent à Pascal l'idée de sou-
lager les calculateurs qui viendraient après lui, etilse
livra à la construction de sa machine avec une persévé-
rance et une ténacité auxquelles on attribue l'état de
santé malheureux dans lequelil vécut depuis. [l'est pro-
bable, en effet, que les recherches fatigantes auxquelles
il dut se livrer dans l'âge où le corps acquiert ses déve-
loppemens , contrarièrent la nature et altérèreut sensi-
blement sa constitution. Sons le double rapport decette
triste conséquence et du pea d'utilité et d'importance
de la machine arithmétique, on doit regretter que Pas-
cal ait employé à cette invention un temps si précieux
dans sa vice.

Le triangle arithmetique que Pascal fit connaître en
1654 mérite une plus sérieuse attention. Pascal y fut
amené par le désir de donner la solution de quelques
problèmes sur les jeux de hasord , qui lui avaient été
soumis. Les nombreuses applications auxquelles cette
combinaison arithmétique se prêtait, inspirèrent à Pas-
cal de nouvelles recherches sur la théorie des jeux, qu’on
peut regarder comme les premiers fondemens du calcul
des probabilités, devenu une branche importante de la
science desnombres entre les mains des grands géomètres
qui l'ont étendu et perfectionné après Pascal. (Foy.
ProBArILITÉS. )

Pascal avait adressé en 1654, à la Société dont il fai-
sait partie et qu'il appelait l'Académie des mathémati-
ques, une nombreuse série d'ouvrages mathématiques
qu'il méditait et dout il vous serait inutile de rappeler
ici les titres, d'autant plus que des événemens doulou-
reux ne lui permirent pas de réaliser les espérances
qu'il donnait alors à ses amis. Cette nomenclature rap-
portéeavecsoin par tousles biographes de Pascal prouve
seulement que presque toutes les branches de la science
étaient devenues l'objet de ses méditations. Mais à cette
époque, onsaitqu'entrainé par des chevaux fougueux, il
fat sur le point de perdre la vie dans la Seine ou sa voi-
ture fut entrainée et que cet accident acheva de ruiner
sa santé déja si délicate. Il cessa long-temps de s’occu-
perdes mathématiques etses liaisonsavec Port-Royal au-
tant que les dispositions d'esprit dans lesquelles le pla-
çaient ses habitudes de dévotion, le firent lutter dans la
querelle du jansénisme et du molinisme dont on a beau-
coup trop parlé. Quoique tous les écrits publiés par
Pascal sur les matières théologiques qu'il eut alors à
traiter Jui aient acquis la plus brillante renommée , nous
n'hésiterons point à dire que la vérité n'était nullement

intéressée dans cette discussion puérile malgré son ca-

PA

ractère religieux, et qu'on doit gémir de l'entrainement

284

qui arracha Pascal à la scieuce pour le jeter dans cette
polémique qui serait oubliée depuis long-temps sil
s'était venu lui prêter lap;ui de son éloquence.

Ce fut néanmoins vers la fin de sa vie et lorsque déjà
il était en proie à toutes les souffrances qui en avancè-
rent le cours qu'il s’occupa du problème dela cycloide,
qui eut trop de célébrité et dont l'histoire est trop
connue pour que nous la rappelions ici. (Foy.CxcLoïne.)
Après avoir proposé aux géomètres , sous le nom de
Dettouville , la solution de divers problèmes relatifs à
cette courbe que Mersenne avait connue et désignée sous
le nom de roulette sans énoncer aucune de ses proprié-
tés, Pascal publia son Arstoire de lu routette appelce au-
trement trochoide ou cycloïde. Cet ouvrage fort re-
marquable produisit une grande sensation parmi les
géomètres du temps, mais les admirateurs enthousiastes
de Pascal + chercheraient vainement les élémens du cal
cul différentiel qui ne sont pas plus dans cette produc-
tiou célèbre que dans lathéorie desmaxima et minima
de Fermat.

On sait que la physique doit à Pascal la fameuse ex-
périence du Puy-de-Dôme , qui constata la théorie sur
la pesanteur de l'air émise par Toricelli, Il faut ajonter
que Descartes a réclamé dans une lettre la priorité de
l'idée de cette expérience qui a été décisive en rui-
nant le vieux principe de la philosophie de l’école sur
la prétendue horreur de la nature pour le vide, et qu:
a eu plusieurs conséquences heureuses pour les progrès
de la science.

La philosophie de Pascal qui n’a aucun caractère sys-
tématique est entièrement développée dans le célèbre
et beau livre des pensées ,où l'on trouve malheureuse-
ment quelques idées sur la vanité des sciences peu con-
formes à la raison et peu dignes aujourd'hui d’un exa-
mensérieux.

Commenous l'avons fait pour les grands hommes dont
nous avons rapidement rappelé les titres à l'admiration
du monde , nous n'avons pu énoncer ici que les princi-
paux travaux de Pascal, On peut voir maintenant que
si le génie de cet homme célèbre fat remarquable, il est
loin cependant de s'être élevé à la possession complète
d'une de ces grandes découvertes qui font époque dans
l'humanité et dans l'histoire dela science. Pascal cessa
de vivre le 19 août 1662. Voici le texte des écrits scien-
üfiques qu'il a publiés, nous omettrons néanmoins ceux
qui tenaient toute leur importance des circonstances au
milieu desquelles ils parurent. 1. Essai pour les coni-
ques, 1640. 1. Traité du triangle arithmétique. WI.
Traité des ordres numeriques er De numericis ordini-

bus tractatus; réunis in-4°, Paris, 1665, IV. Problemata

PA

de cyeloide proposita mense junii, 1658. V. Histoire
de la roulette, etc. VX. Propriété du cercle, de la sp'rale
et de la parabole. VX. Nouvelles expériences touchant
le vide, 1647. VIE. Traité de l'équilibre des liqueurs,
suivi du Traité de la pesanteur de la masse de l'air.
Voxez, pour les autres travaux de Pascal qui sont en
graud nombre, les recueils bibliographiqueset le: diver-

ses biographies de cet illustre écrivain.

PASSAGES sur Le soleil. (Ast.) Les planètes dites
inférieures (07. PLaxÈre.), Mercure et Véuus, dont
les orbites sont renfermées dans celles de la terre, doi-
vent, dans certaines circonstances , nous présenter un
phénomène analogue à celui des éclipses du soleil par
la lune, c’est-à-dire qu’elles doivent nous cacher mo-
mentanément une partie du disque du soleil. C’est ce
phénomène auquel on a donné le nom de passage sur
le soleil, parce que la planète nous apparaît alors com-
me une petite tache qui traverse le disque solaire.

Les passages de Mercure et de Vénus se calculent à
peu près comme les éclipses; on voit aisément qu'ils ne
peuvent avoir lieu que lorsque ces planètes sont en con-
jonction avec le soleil, et que de plus elles se trouvent
très près de leurs nœuds, ou dans l'écliptique, ear si
Jeur latitude surpasse le demi-diamètre du soleil, elles
passent à côté de cstastre, et il ne peut y avoir d'éclipse
ou de passage sur le soleil.

Keppler est le premier qui ait annoncé les époques
des passages , mais ses tables n'avaient point encore un
degré suffisant d’exactitude pour rendre ses prédictions
certaines , et il en est quelques-unes qui ne se sont pas
vérifiées. C'est à Halley qu'on doit la théorie complète

de ces phénomènes ; ce grand géomètre , en indiquant
. ?

les passages de Vénus qui devaient avoir lieu er 1561
et en 1569, eut encore la gloire d'apprendre aux astro-
nomes ies conséquences qu’ils en pourraient tirer pour
la détermination de la parallaxe du soleil. Quoiqu’un
homme comme Halley appartienne à humanité tout
entière, nous devons rappeler ici, qu’à cette occasion
il pria la postérité de ne point oublier que c'était un
anglais qui avait eu cette idée. Nous allons faire com-
prendre la haute importance du procédé ingénieux

qu'il a trouvé.

Lorsque Vénus nasse entre la terre et le soleil, et se
projette eur le disque de cet astre avec l'apparence
d'une tache noire, son mouvement propre, combiné
avec le mouvement apparent du soleil lui fait décrire,
sur le disque solaire une ligne droite qui semble une
corde de la circonférence de ce disque. Cette corde
u’est pas la même observée de différens points de la
terre, car, à cause de la parallaxe de Vénus, les divers
observateurs ne rapportent pas la planète aux mêmes.
points du disque du soleil, et conséquemment la corde

PA

parcourue paraît d'autant plus grande qu’elle est plus
près du centre.

Soit en effet, la terre en T (PI. 50, fig. 2), le soleil
en S et Véuus en V; du centre de la terre on verrait
Vénus en v, sur le prolongement du rayon vecteur TV,
et cette plauète dans ses positions successives paraîtrait
décrire la ligne avb; mais des points o et o', dela sur-
face terrestre, on verrait Vénus en v'et env”, et elle pa-

727

raîtrait décrire les cordes a'v'b', a”v'b". Ces cordes étant
inégales seront décrites dans des durées différentes, et
couséquemment la durée d’un passage observé d'un
lieu terrestre o ne sera point égale à la durée du même
passage observé d'un autre lieu 0’. Mais cette diffé-
rence tient à la différence qui existe entre la parallaxe
du soleil et celle de Vénus, donc on pourra conclure
cette dernière différence de la première.

D'un autre côté, par la ibéorie des mouvemens el-
liptiques, on connaît, pour l'époque des observations, les
rapports des distances de Vénus et du soleil à la terre,
et comme ces rapports donnent, en les renversant, ceux
des parallaxes (voy.ce mot), il devient facile de dé-
terminer les deux parallaxes, car désignons par 72 la
distance de la terre au soleil, par » celle de la terre à
Vénus. par p la parallaxe du soleil, et par 7 celle de
Vénus, nous aurons

min ir :p;
d’cù nous tirerons
M—NInIiT—-pPip;,
mais la différence 7 — p des parallaxes est donnée par
le résultat des observations : ainsi en désignant cette

quantité connue par 4, nous avons définitivement

PAS
et par suite

LUI

nl

mn

Les distances mn et n soit connues en parties de la dis-
tance moyenne de la terre au soleil prise pour unité.
C’est seulement lorsque la parallaxe est déterminée qu'il
devient possible de mesurer ces distances avec le rayon
de la terre, et conséquemment de pouvoir les compa-
rer avec nos mesures ordinaires.

Le passage de Vénus sur le soleil, en 1769, fut attendu
avec la plus vive impatience par les astronomes qui en-
treprirent de longs voyages pour aller observer ce phé-
nomère sur des points différens et dans les circonstan-
ces les plus favorables. Toutes les nations européennes
concoururent alors à la découverte de la vérité, avec
une unanimité d'efforts qui ne s'est malheureusement
pas reproduite. Le résultat fit voir que la parallaxe du

PA

soleil déduite de celle de Alars était trop grande et que

285

sa valeur ne dépasse pas 8”,6.

Eu combinant deux à deux toutes les observations,
on trouve que la différence des parallaxes était alors de
21”, 25 ; à ce moment le rayon vecteur de la terre était

1,01515, et celui de Vénus 0,72019 ; on avait donc

m=1,01515,n — 0, 28805,

et par conséquent

0, 28596

non
) = (21,25 5 À
ü ol 1,0191)

= 8",4556,

mais cette valeur de la parallaxe est relative à la dis-
tance où se trouvait le soleil lors des observations; pour
la ramener à la distance moyenne prise pour unité on
ala proportion
1: 1,01615 :: 8°,4556 : (8,4556) X (1,01515)
puisque les parallaxes sont en raison inverse des dis-

tances , et l’ou trouve définitivement

p = 8,58.

Nous avons dit (roy. Pararraxe) qu'il résulte des cl-
-6
y

culs de M. Encke, que la valeur d2p estégale à 8”,5
ce qui diffère très-peu de celle-ci.

Vénus se retrouve en conjonctiou tous les 584 jours
environ, c’est-à-dire, au bout d’un an ct 510 jours à
peu près, or pendant cet intervalle , la terre a fait une
révolution entière, plus 216° environ. Ainsi, à chaque
révolution, la longitude héliocentrique de la terre et
celle de Vénus sont augmentées de 3 signes 6°; au
bout de cinq conjonctions , les longitudes seront augr-
mentées de 1980° — 3 X 360, c’est-à-dire qu'elies sont
redevenues les mêmes que la première année. Mais 5
conjonctions arrivent dans l'intervalle de 2920 jours
qui font 8 années communes de 365 jours; ainsi au bout
de huit ans les conjunctions reviennent au même jour
et au même endroit du ciel à très-peu près, et lorsqu'un
passage a eu lieu , on pourrait en attendre un autre
huit ans après, si d’une conjonction à l’autre la lati-

24"; en 16 ans elle croit

tude ne croissait pas de 20 à
de 4o à 48°, ce qui surpasse de beaucoup le diamètre
du soleil et rend conséquemment impossibles trois pas-
sages successifs pour trois conjonctions successives ; il
s'écoule alors un intervalle de 105, 113, 121, 233 ou
243 ans. De toutes ces périodes, celle de 243 ans est la
meilleure, Delambre a indiqué une période de 1052
ans, qu'il soupçonnait pouvoir ramener tous les passa-
ges dans le même ordre; d’après ses calculs, les passa-
ges à venir de Vénus sur le soleil arriveront dans les
années

1854, le 8 décembre.

1880, le 6 décembre.

286 PE
2004, le 7 juin.
2012,]e 5 juin.
2117, le 10 décembre.
125, le 8 décembre.
2247, le 11 juin.
2255,le 8 juin.
2360 , le 12 décembre.

2368, le

2490, le

10 décembre,
12 juin,

2498, le
2603, le
2611, le
2733, le
2741, le
2846, le
2864, le

Q juin.

15 décembre.
13 décembre.
15 Juin.

12 juin.

16 décembre.
14 décembre.
2984 , le 14 juin.

Les passages de Mercure sont beaucoup plus fréquens
que ceux de Vénus, mais ils sont loin de présenter le
même intérêt, carils ne peuvent servir à la détermi-
nation de Ja parallaxe du soleil : cette planète étant
trop près du soleil pour que la différence des parallaxes
soit bien sensible. Les périodes qui ramènent ces passa-
ges sont de 6, de 7. de 13, de 46 et de 263 ans. Les plus
prochains auront lieu :

Le 8 mai 1845.
9 novembre 1548.
11 novembre 1861.
4 novembre 1868.
1578.
7 novembre 1881.

6 mai
9 mai 1891.
10 novembre 1894.

PASSAGE au meridien, culmination. C'est le mo-
ment où un astre est le plus élevé et à distances égales
de l’orient et de l'occident. L'observation de ces passa-
ges est l'opération fondamentale de l’astronomie. { Foy.
ASCENSION DROITE.)

On se sert pour observer le passage des astres au mé-
ridien d’un quart de cercle mural ou d’une lunette mé-
ridienne, nommée aussi instrument des passages.

PÉDOMÈTRE ou COMPTE PAS. C’est la même
chose que l'OnomErrx.

PÉGASE. (4s.) Constellation boréale qui contient
89 étoiles dans le catalogue britannique. Elle est située
près des Poissons. (Foy. PI. o).

PÉLEÉCOIDE (Geom.) (de r:xsxvs hache, et de sid0s
forme.) Figure curviligne en forme de hache renfermée
entre deux quarts de cercle renversés et un demi-cercle.
Telle est la figure ABCDA. (PI. 50, fig. 3.)

PA

L'aire du pélecoude est équivalente au carré ABCD, et
au rectangle AEFC : propriété analogue à celle des /unu-
les, mais qui est évidente par la construction seule de

la figure.

PELL (Jean), géomètre Anglais du XVII° siècle. Il
composa, à 19 ans, un traité sur l'usage des cadrans,
ctentretint une correspondance avec le savant Henri
Briggs sur les logarithmes, Il acquit assez de célébrité
pour être appelé, en 1631, à remplir une chaire de
mathématiques à Amsterdam. En 1646, il accepta celle
du collége de Bréda, que le prince d'Orange venait de
fonder. Olivier Cromwel l’envoya, en 1654, comme
agent diplomatique, auprès des cantons protestans de
la Suisse. Sous la restauration de Charles IT il entra
dans les ordres et fut pourvu de la cure de Fobbing,
dans le comté d'Essex ; il fut depuis chapelain de l’ar-
chevêque de Canterbury. Malgré ces titres qu’il ne re-
cherchait pas, Jean Pell, continuellement distrait de
ses devoirs publics par ses études et ses travaux mathé-
matiques , se laissait voler son revenu, et manquait des
choses les plus nécessaires à la vie ; il passa même quel-
ques années en prison comme débiteur insolvable. Né
en 1610, à Southewark, dans le comté de Sussex, Pel],
à qui l’on doit de nombreux écrits, mourut en 1686.
Voici les titres de ses principaux ouvrages, oubliés
maintenant pour la plupart : 1. Modus supputandi ephe-
merides astronomica (quantum ad motum solis at-
tinel), paradigmate ad ann. 1630 accommodato, 1630.
IT. Clé de la stéganographie de Jean Tritheim, 1630.
UT. Lettre à Edouard Wingate sur les logarithmes,
1631. IV. Histoire astronomique d'observations des
mouvemens et apparences célestes, 1634. V. Eclipticus
prognoïtica (art de prévoir les éclipses par le calcul),
1634. VI. Réfutation du discours de Longomontenus,
de vera circuli mensurdä , 1644. VI. Idées des mathe-
matiques, Londres, 1651 : ouvrage curieux et quiattira
à son auteur une grande réputation, à laquelle il dut les
diverses fonctions auxquelles il fut appelé. Ce livre a
été réimprimé dans les philosophical collections de
Hooke. VIII. Table des carrés de tous les nombres,
depuis x jusqu’à 10000, 1672, in-folio.

PENDULE. (Mec.) Appareil composé d’un corps so-
lide suspendu à l'extrémité d’un fil inflexible attaché
par son autre extrémité à un point fixe, autour du-
quel il peut tourner librement. Tel est le corps A
(PI. 50, fig. 4), suspendu par le fil AB au point fixe B
de manière à pouvoir osciller lorsqu'on le met en
mouvement.

Le point B prend le nom de centre de mouvement
ou de suspension et la ligue MN, parallèle à l'horizon,
celui d'axe d'oscillation.

Quand le centre de gravité du corps, le fil (compris,

PE

est dans la verticale AB, le penduleest en équilibre ;
si on l'écarte de cette position pour amener, par exem-
ple, le corps A au point C et qu’on l’abandonne ensuite
à l'effet de la pesanteur, il descend de C en A par un
mouvement accéléré et la vitesse acquise au point A le
fait remonter en D jusqu’à ce qu’il ait successivement
perdu tous les degrés de cette vitesse; arrivé en D,
après avoir décrit AD— AC, il n’éprouve plus que
l'effet de la pesanteur et redescend eu A pour remonter
ensuite en C en vertu de la nouvelle vitesse acquise par
la chute ; il continuerait ainsi indéfiniment à osciller de
C en Det de Deu C, sans la résistance de l’air et le
frottement du point d'appui qui concourent pour ren-
dre à chaque oscillation l’arc de montée plus petit que
celui de descente, ce qui finit par ramener l’équilibre.

Quoique l'amplitude des arcs d’oscillations diminue
ainsi successivement, le temps pendant lequel ils sont
parcourus, reste sensiblement le même et ne dépend
que de la longueur du pendule, d’où il suit qu’un
pendule dont la longueur est constante est l'instrument
le plus propre à mesurer des temps égaux. Galilée,
qui le premier a fait des recherches sur le mouvement
du pendule, s’en est servi avec beaucoup de succès
pour ses observations et ses expériences. Mais la ma-
nière dont il en fit usage exigeait des soins multipliés,
car il fallait ranimer le mouvement rallenti à chaque
instant par la résistance de l'air et compter les vibra-
tions l’une après l'autre pour en avoir la somme.

L'application qu'Huygens a faite du pendule aux hor-
loges est une de ces idées ingénieuses qui valent de
grandes découvertes. Les horloges sont animées par
un ressort ou par un poids qui met en mouvement
plusieurs roues, par le moyen desquelles les aiguilles
parcourent les divisions du cadran. Pour empêcher ce
mouvement de s’accélérer il était retenu jadis par un
modérateur dont l’action était loin d’être uniforme.
C'est à ce modérateur imparfait qu'Huygens a substi-
tué le pendule, en l'adaptant à la pièce d'échappement
qui est celle qui règle le mouvement de toutes les roues,
afin que ses vibrations, dont la durée est toujours
égale, tant que sa longueur demeure la même, pussent
rectifier les petites irrégularités de la machine.

Les osciliations d'un même pendule dans des arcs
plus ou moins grands n'étant point rigoureusement
égales, Huygens chercha une courbe d'oscillation dans
laquelle il füt absolument indifférent que Je pendule
mesurât de grands ou de petits arcs, et, comme la cy-
cloïde a précisément cette propriété, pour la substituer
au cercle il rendit flexible la partie supérieure AB de la
verge du pendule AC et placa de chaque côté du cen-
tre À (PI. 50, fig. 5) une portion de cycloïde AM et
AN dont le cercle générateur G avait pour diamètre la

, moitié de la longueur du pendule AC. D’après cette

PE

construction , lorsque le pendule est en mouvement,

287

la partie flexible AB de sa verge est forcée de s'enve-
lopper sur les portions de cycloïde AM et AN, ce qui
oblige le corps C à décrire l'arc MCN et non pas l’arc
de cercle ECF ; mais l’arc MCN est un arc de cycloïde,
car la développée d’une cycloïde est elle-même une
cycloïde. (Voy. Déverorrre.) Or d'après la nature de
cette courbe le pendule qui s’y meut arrive toujours
dans des temps égaux au point C le plus bas, quelle
que soit la hauteur d’où il commence à tomber: de
manière que toutes ses vibrations, grandes ou petites,
sont parfaitement isochrones ou d’égale durée. Huygens
a donné toute la théorie des pendules qui oscillent en-
tre deux demi-cycloïdes, dans son /Zorologium oscilla-
torium, ouvrage qui renferme en outre l'indication
de toutes les applications pratiques.

L'appareil d'Huvgens, très-difficile à construire, ne
fut pas longtemps en usage parce qu’on remarqua
bientôt que le cercle et la cycloïde se confondent dans
la partie inférieure p q , de manière qu’en ne faisant
décrire au pendule que des arcs d’une très-petite am-
plitude, il est parfaitement égal de lui faire faire ses os-
cillations dans le cercle ou dans la cycloïde, et c'est en
effet le parti qu'on a pris depuis dans l'horloge-
rie.

La pesanteur étant la cause des vibrations du pen-
dule, on comprend aisément qu’en supposant sa lon-
gueur constante la vitesse de ces vibrations devra varier
si la force de la pesanteur varie; or, cette force n’est
pas la même sur tous les points de la surface de la terre,
et le pendule vient encore nous offrir un moyen pré-
cieux pour mesurer son intensité. C'est à Richer que
l’on doit cette connaissance, Etant allé en 1672 à
Cayenne, par ordre du roi, pour y faire des observa-
tions , il remarqua qu’un pendule d'une longueur con-
venable pour battre les secondes à Paris, mesurait à
Cayenne des temps plus longs. Pour lui faire battre les

: ; . 1
secondes à Cayenne, il fallut le raccourcir de 1 ligne :

longueur beaucoup plus considérable que celle qu'il
pouvait avoir acquise en se dilataut par la chaleur du
climat. Il devient donc iscontestable que les corps
tombent plus lentement vers l'équateur que vers les
pôles, ou que la force de la pesanteur diminue en
allant des pôles à l'équateur, ce qui est une suite néces-
saire de la rotation de la terre sur son axe et devien-
drait, à défaut d’autres, une preuve physique de cette
rotation, (Foy. Graviré.)

La théorie complète du pendule exige des détails
qu'il nous est impossible de donner, et pour les-
quels nous renverrons au Traité de Mécanique de
Poisson, où cette théorie est traitée avec beaucoup de

clarté. Nous allons essayer d'en faire connaître les

286 PE

points principaux en partant, comme Iavgens, des lois
du mouvement des corps pesans dans la cycloïde.

1. Un pendule physique ou pratique se nomme gé-
néralement pendule compose. Pour comparer plus fa-
cilement entre elles les durées des oscillations de divers
pendules composés, on a imaginé un pendule idéal,
qu'on appelle pendule simple , et auquel on peut tou-
jours ramener tous les autres. Celui-ci consiste en un
poiat pesant, suspeudu à l'extrémité d’uu fil dénué
de pesanteur, inflexible, inextensible et attaché par
son autre extrémité à üu point fixe qui w’oppose au-
cun obstacle au mouvement. C’est du pendule simple
dont nous allous d'abord chercher les propriétés.

2, Déterminons préalablement le temps de la descente
d'un point matériel pesant, mis en mouvement par
l'action de la pesanteur, le long d’un arc QD de cyloïde.
(PL 50, fig. 6.) Pour cet effet, tirons la ligne QP per-
pendiculaire au diamètre CA du cercle générateur,
et décrivons sur PD comme diamètre, la demi-circon-
férence POD. Menons de plus toutesles droites qu'on

voit dans Ja figure #t faisons
CD = °a,PD — oret PN — x.

Nous aurons ainsi, en supposant l'arc Sr infiniment
petit, Na= dx, et de plus ND = or — >. Le point P
est pris ici pour l’origine des abscisses.

Si nous désignons par { le temps que le mobile em-
ploie à parcourir Farc QM, dtexprimera le temps du
peut arc My; et comme la vitesse acquise en parcou-
raut l'arc QM est la même que celle que le mobile ac-
querrait en tombant de la hauteur PN = x, cette vi-
Lesse sera comme la racine carrée de cette hauteur, ou
égale à V/x. (Foy. AGcéLÉRE.) Or, ia tangente MT au
point M est parallèle à la corde HD , donc les triangles
Min et HDN sont semblables et dounent

Mn : mf:: HD : DN,
mais par la nature du cercle HD — CD XDN, d'ou
HD : DN :: V/CD : VDN.

On a donc aussi

M2 : nf :: VCD Ê V2 ;
ou
Nbn : dx :: V/2a : V{2r—x)
ce qui donne
Mum — de ou
Vor—x)

Le temps le long de Min étant dé et la vitesse y/x, on

à encore

PE

Mm = d.\/x;
ainsi
lx\/2a
de. ee
di.yx Vür=æ)
de _ dx .\/2a Æ

V'x. V{er—x)

RATE

rV/@rx—x)

La différentielle Oo de l'arc de cercle PO étant (voy.

RECTIFICATION)

rdx

si nous substituons cette valeur dans la dernière de dt,

dPO —

nous obtiendrons

dPO.y'2a
à

dt =

et, en intégrant,

PO. V/24a

LE

telle est l'expression du temps cherché le long de l'arc

QM.

Si nous désignous maintenant par T le temps de la
descente le long de l'arc QD , l'arc PO deviendra la
demi-circonférence POD , que nous exprimeronus pare

et nous aurons alors

=

c.V/2a
TU

*

Ainsi, comme \/24 est une quantité constante, le

C

temps T est proportionnel à = ; donc les temps le long

e

de différens arcs cycloïdaux sont toujours comme le
rapport de la demi-circonférence d’un cercle à son
rayon, c'est-à-dire que ces temps sont égaux et qu'un
point matériel qui se meut le long d’une cycloïde par
l’action de la pesanteur, dans un milieu sans résistance,
parvient au point le plus bas D dans le même temps
soit qu'il parte de À de Q ou de A.

Eu exprimant par 7 la demi-circonférence dont le

LA c :
rayou est l'unité, nous ayons = Pa l'expression

précédente prend la forme
Tr A\/28 ,

mais 4 \/2a représente la moitié de la vitesse que la
mobile acquerrait en tombant le long du diamètre
CD = a , si nous désignons donc par Z' le temps le

long de ce diamètre, nous aurons

PE
a = ET'X V/24

et

2.24

T'= —— —=,9\/2a

V'aa V
d'où

JE LI

T' = 473

c’est-à-dire que le temps, le long d’un arc quelconque
de cvcloïde est au temps de la chute libre d’un mobile
le long du diamètre du cercle générateur dans un rap-
port constant égal = +7.

3. Cousidérons actuellement un pendule simple AB
(PL. 50, fig. 4.) décrivant un petitarc EA qui se confond
avec un arc de la cycloïde dont AB serait le double du
diamètre du cercle générateur; d’après ce qui précède
le temps de la chute de E en A est à celui de la chute
libre d’un mobile le long de + AB dans un rapport con-
stant =? 7. Or, si nous désignons par g, l’espace que
la pesanteur peut faire parcourir librement à un mobile
dans une seconde de temps , nous savons que le temps d'
pendant lequel ce corps parcourrait un espace ! AB—*

est exprimé par

(voy. AccÉLéRE, formule 9), ainsi le temps, pendant

lequel sera décrit le petit arc EA, sera

et le temps d’une oseillation entière de E en [ sera, en
le désignant par T, (a)

VA

V?8

T=7r

4. Pour un méme lieu terrestre où la force de la pe-
santeur, représentée par le double de l'espace qu’elle fait
parcouri# aux corps pendant la première seconde de
leur chute, c’est-à-dire, par 2g, est constante, la durée
T' des oscillations d’un second pendule d’une longueur

h' serait aussi

vh'
V28 "

on aurait donc, à cause des facteurs constans ,

T''
se D

Ré GB RARE V4 RES VS LEA

ce qui nous apprend que Les durées des oscillations de
deux pendules sünples de longueurs différentes sont
entre elles dans le rapport des racines carrées de ces
longueurs.

TOME 11,

PE

5. La force de la pesanteur étant connue dans un

280

lieu donné, il est facile de trouver pour ce même lieu
la longueur du pendule simple dont les oscillations s’ef-
fectuent dans une seconde de temps et que l’on nomme
pendule à secondes.En effet, le temps T devant être 1”
on a, d’après la formule (a)

VA

V8

I=T.

d’où (b)

1
i

6. Réciproquement , lorsque la longueur du pendule
à secondes est connue, on tire de (b) la valeur de la
force de la pesanteur (c)

c'est à l'aide de cette expression , qu'ayant trouvé à
l'observatoire de Paris, par des expériences très-déli-
cates, 0”, 69384 pour la longueur du pendule simple à
secondes, on ena conclu 2g = 4”,8088. Ainsi, à Paris,
les corps qui tombent librement dans le vide décrivent
4,0044 pendant la première seconde de leur chute.

7. Lorsqu'on connait la durée des oscillations d’un
pendule simple d’une longueur quelconque , il est fa-
cile de déterminer celle du pendule à seconde , puis-
qu’en désignant par À cette dernière on a, d’après le

numéro 4,
tu Ti: Wh:N/h
d’où (d)

8. La résistance de l’air n’a aucune influence sensible
sur la durée des petites oscillations du pendule, puisque
les différens arcs cycloïdaux sont exactement parcourus
daus le même temps, elle ne peut que diminuer l’am-
plitude de l'oscillation. Ce n’est que lorsque les arcs
d’oscillation deviennent assez grands pour ne plus pou-
voir être confondus sans erreur avec des arcs de cycloïde
que la résistance du milieu peut avoir une influence
sur la durée, mais nous ne pouvous entrer dans ces
considérations.

9. Un pendule simple tel que la théorie le suppose
ne peut exister réellement , mais une petite masse
compacte suspendue à un fil très-mince peut en tenir
lieu , en remarquant que ce que l’on nomme alors la
longueur d'un tel peudule est la distance entre le point
de suspension et le centre de gravité de la petite masse.
Tous les pendules composés peuvent être ramenés au
pendule simple en déterminant leur centre d’oscillation
(voy. ce mot) ; car leurs vibrations ont la durée de cel-
les du pendule simple dont la longueur serait égale à

me
2!

290 PE

la distance du point de suspension au centre d’oscilla-
tion du pendule composé.

10. Nousdevons faire remarquer que l’expression (a)
de la durée des oscillations d’un pendule simple n’est
rigoureuse que pour un arc cycloïdal , si l'arc circulaire
n’est pas très petit, on ne peut plus le confondre avec
l'arc cycloïdal et la valeur de T devient (d),

A AO IE)

do NOËL

a étant le sinus verse de la moitié de l'arc d’oscillation.

Eo prenant pour unité le temps d’une oscillation in-
finiment petite, qui est toujours le même, les accroisse-
mens de durée seront :

Pour un arc de 60°, de 0,01675
1 À

o L
30°, o0,00426
20°, 0,00190
10°, 0,00012

5°, 0,00003

on voit que pour un arc de ° la différence est à peine
sensible. Au dessous de 5°, l'arc circulaire est le même
que l'arc de cycloïde et la formule (d) se réduit à (a).
Nous verrons aux mots PEsanTeur ct Terre quel-
ques applications de la théorie du pendule.
PENDULE BALISTIQUE. (Foy. BaLiSTiQUE.)

PENOMBRE. (Op.) On donne ce nom à l'ombre
faible qui entoure l’ombre parfaitement noire projetée
par un corps qui intercepte les rayons lumineux. (Foy.
Ombre.

PENTADÉCAGONE. (Géom.)(Voy.QuixnÉcaGonr.)

PENTAGONE. (Géom.) Figure terminée par cinq
lignes droites,et par conséquent composée de cinqangles
et de cinq côtés. Lorsque les angles sont égaux entre eux,
ainsi que les côtés, le pentagone est dit régulier.

La propriété la plus remarquable des pentagones re-
guliers, c’est que le carré de leur côté est égal à ja
somme du carré du rayon du cercle circonscrit et du
carré du côté du décagone inscrit dans le même cercle.
En effet, soit ABCDE (PI. 50, fig. 5), un pentagone
inscrit dans un cercle , si nous partageons l'arc AGB en
deux parties égales AG, GB , et que nous menions les
cordes GB et AG, ces cordes seront les côtés du déca-
gone inscrit; menons de plus les rayons OA , OB, OG:
l'angle au centre AOB sera égal aux quatre cinquièmes
d’un angle droit, et par suite chacun des angles OAB,
OBA à la base du triangle AOB sera égal aux trois cin-
quièmes d'un angle droit.

PE

Partageons l'angle GOB en deux parties égales par la |

droite OH et menons Gr. Nous aurons deux triangles

isocèles semblables GB et AGB qui nous donneront

Br : GB :: GB : AB,

d’où
GB — Bm X AB.
D'autre part le triangle AOm est isocèle, car l’an-
gle AOmn est égal aux trois cinquièmes d’un angle droit
et conséquemment égal à l'angle OAB ou OA, donc

aussi ce triangle est semblable au triangle isocèle AOB
qui a Les mêmes angles à la base, et l’on en tire

Am : AO :: AO : AB,

d’où

AO — Am X AB,

ajoutant cette égalité à la précédente, nous aurons

GÈ — AO — Bm X AB + An X AB — (Ami+-Br) X AB
= AB,
ce qui est le théorème énoncé.

Cette propriété fournit un moyen facile d'inscrire un
pentagone régulier dans un cercle donné. Sur le diamè-
tre AB (PI. 50, fig. 8) du cercle, ayant d’abord élevé
du centre la perpendiculaire DC, on déterminera le

point F milieu du rayon DB, puis de ce point comme :

centre avec la distance CF, comme rayon, on décrira
l'arc CE, la corde de cet arc sera le côté du pentagone.
En effet, si du point F comme centre avec FD, comme
rayon, nous décrivons l'arc DG, CG sera la plus grande
partie du rayon partagé en moyenne et extréme raison,
c’est-à-dire le côté du décagone inscrit ; mais CG = ED,
ainsi EC, dont le carré, par la propriété du triangle
rectangle, est égal à la somme des carrés de ED et de
CD, ou à la somme des carrés du côté du décagone et du
carré du rayon, est le côté cherché du pentagone.

S'il s'agissait de décrire un pentagone régulier sur une
droite donnée, à l'extrémité de cette droite AB (PI. 50,
fig. 9), on élèverait une perpendiculaire BC égale à sa
moitié, puis on mènerait AC, qu’on prolongerait en D,
en faisant CD — BC; de A et de B comme centres avec
la distance BD , comme rayon, on décrirait des arcs de
cercle qui se couperaient en O, et de ce point avecle
rayon AO ou BO, on décrirait un cercle sur la circon-
férence duquel il ne faudrait plus que porter cinq fois
le côté AB pour décrire le pentagone demandé.

En prenant pour unité le rayon du cercle circonscrit
la surface du pentagone régulier a pour expression

5/10 + 21/51.
PERCUSSION. (/ec.) Action d’un corps qui en

PE
frappe un autre. Nous avons donné les lois générales de
la percussion au mot Cuoc.
Percussion des fluides. (Voy. Résisrance.)

Centre DE PERCUSSION, (W’oy. CENTRE.)

PÉRIGÉE. (4st.) Point de l'orbite du soleil et de la
lune, où ces astres sont le plus près de la terre; c’est

l'opposé d’apogce. (Foy. ce mot.)

PÉRIHÉLIE. (454) Point de l'orbite d’une planète
où elle est le plus près du soleil. (Foy. APnéLiE.)

PERUOVE. (4st.) Nom donné par quelques astro-
nomes au point de la plus petite distance des satellites
de Jupiter à cette planète, ou à l’abside supérieure de

leurs orbites.

PÉRIMÈTRE. (Géom.) C'est le contour ou l’éten-
due qui termine une figure ou un corps.

Les périmètres des surfaces sont des lignes ; ceux des
solides sont des surfaces. Quand les surfaces sont circu-
laires , le périmètre prend le nom de périphérie ou de

circonfcrence.

PÉRIODE. (454.) Espace de temps qu’une planète
ou un satellite met à faire sa révolution entière dans son
orbite. (Woy. PLANETE.)

Pénione , en chronologie | désigne un intervalle de
temps par lequel les années sont comptées. (Foy. Ero-
QUE.)

PÉRIODE DYONISIENNE Où VICTORIENNE. Elle est formée
par le proûuit de 28 et de 19, ou des cycles solaire et
lunaire; c’est un intervalle de 532 ans qui ramène les
nouvelles lunes et la fête de Pâques au même jour de
l’année julienne. Ses dénominations lui viennent de ce
qu’elle à été proposée par Victorius, et que Denys-le-
Petit s’en est servi plus tard. Elle n'est plus d'aucun
usage.

PÉwIODE JuLIENNE. Espace de 7989 ans, pendant le-
quel il ne peut se trouver deux années qui aient les
mêmes nombres pour les trois cycles solaire , lunaire
et d’indiction. Elle est composée du produit de ces cy-
cles ou de celui des nombres 28, 19 et 15.

Cette période a été proposée, en 1583 , par Scaliger,
comme une mesure universelle en chronologie ; elle est
aujourd'hui très-employée, La première année de l'ère
chrétienne répond à l’année 4713 de la période julienne,
ainsi pour trouver à quelle année de cette période cor-
respond une année proposée, il suffit de lui ajouter
4713. C'est ainsi que l’on trouve que la présente année
1536, est l'année 6549 de la période julienne.

PÉRIODE CALDÉENNE. C’est la fameuse période de 18
ans et 10 jours qui ramène les éclipses de soleil et de
lune dans le même ordre. (7oy. Ecrrrses, 30.)

Pémops, Luni-solaire de Louis-le-Grand. Cycle de

PE 291
11600 ans qui ramène les nouvelles lunes au même jour
et presqu’à la même heure de l’année grégorienne.Cette
période a été proposée par Cassini dans ses règles de
l'astronomie indienne.

Il existe encore plusieurs autres périodes qui ont eu
quelque célébrité, mais les progrès de l’astronomie, en
les rendant inutiles, les ont fait oublier. On peut con-
sulter sur ce sujet l’art de vérifier les dates.

PÉRIODIQUE. Epithète que l’on donne à tout
mouvement, cours ou révolution qui s'exécute d’une
manière régulière, en recommençant toujours la même
période. Par exemple, le mouvement périodique de la
lune est celui par lequel elle accomplit sa révolution
autour de la terre dans l’espace d’un mois lunaire.

En arithmétique, on nomme FRaGTiONs PÉRIODIQUES
les fractions décimales qui sont composées par la répéti-
tion à l'infini d’une période de mêmes chiffres, comme

0, 555555535555.... à l'infini.
0, 34 34 34 34 34 34.... à l'infini.
0, 728 758 758 758..... à l'infini.

On tombe sur de semblables fractions lorsqu'on veut
réduire en fraction décimale une fraction ordinaire
dort le dénominateur contient des facteurs autres que
2 et 5, seuls nombres commensurables avec 10. Pour se
rendre compte de cette circonstance, il ne faut que se
rappeler le procédé de réduction donné au mot Dicrmar.

N ., ; ;
Eau effet, M étant une fraction réduite à sa plus simple

expression , c'est-à-dire telle que ses deux termes N et
M w’ont aucun facteur commun, pour trouver les chif-
fres décimaux on multiplie N par une puissance # de 10
capable de rendre N.10# divisible par M; si la division
peut s'effectuer exactement, on a une fraction décimale
sous une forme finie égale à la fraction proposée; c'est
ainsi, par exemple, que

s devient DC = 17), d’où e FA

4 nt 4 100

Mais si, quelque grand que l’on prenne p, la division

= 070%

de N.10 par M ne peut s'effectuer exactement, l'opé-
ration peut se prolonger à l'infini, et l’on a une fraction
décimale d’un nombre indéfini de chiffres, laquelle est
toujours périodique , comme nous allons le voir.
Lorsque le dénominateur M est de la forme 2,5",
ou ne renferme pas d’autres facteurs que 2 et 5, on
peut toujours prendre y assez grand pour que 104, et,
par conséquent N.10# soit exactement divisible par
2m5n, car 104 = 2/52 ; ainsi en faisant seulement x égal

au plus grand des exposans met n.

292 PE

devient un nombre entier,savoir Gun sim >n et 2,

sin —m, on a donc dans le premier cas

N.ro" e N N.5n—u
NN +10 N,5m-", d'où — = -
2,51 on, ha 107?
et dans le second
N.107 : N N,ou—-m
_— — N.2r—", d'où = —.—,
2m L NL a"t,)!t 1 07

d’où il suit que la fraction décimale a toujours un nom-
bre fini de chiffres.

Lorsqu’au contraire, le dénominateur renferme d’au-
tres nombres premiers que 2 et 5, on peut lui douner
la forme

pos 5" ,

p étant un nombre premier, ou plus généralement y
étant le produit de tous les nombres premiers autres que
2 et 5 qui entrent daus ce dénominateur ; et il devient
évident que N.10/ ne peut jamais devenir exactement
divisible par p.2"*.5" quel que soit # puisque N n'est
point divisible par p. Cependant, quoique la division
de N.10/ par p.2".5", où celle de N par M, puisse
alors se prolonger à l'infini en donnant à # des va-
leurs de plus en plus grandes ou, ce qui est la mème
chose, eu ajoutant des zéros à chaque reste successif ,
ces restes successifs ne peuvent admettre que N—1,
valeurs différentes, car ils ne peuvent être que 7,2,
3,4, etces.s. N—t. Ainsi, dans le cours de N divi-
sions, on retombera nécessairement sur un des restes
déjà trouvé, et en partant de ce reste, on reproduira
les mêmes décimales au quotient, jusqu'à ce qu'on re-
trouve une seconde fois le même reste, et ainsi de
suite à l'infini. La fraction décimale formée par une telle
division indéfinie sera donc une fraction périodique.
On nomme fractions périodiques simples où compo
sées , celles dont la période commence immédiatement
après la virgule où au premier chiffre décimal. Les
fractions périodiques simples sont celles dont la période

n’a qu’un seul chiffre, comme

sur se s'UCe

+ etc:

Les fractions périodiques composces sont celles dont la

période a plusieurs chiffres, comme

0, 37 37 37 37 37 37--.-..-elc.
0, 7954 7094 7054-.-......€tc.

On nomme fractions périodiques mixtes, les fractions
périodiques dans lesquelles la période ne commence à
se manifester qu'après plusieurs chiffres décimaux ;

comme

PE

Parmi toutes les questions qu'on peut se proposer sur
les fractions périodiques, la plus hnportante est celle
de retrouver les fractions ordinaires qui leur donnent
naissance. Cette question fait connaitre une propriété
uès remarquable du nombre get des nombres composés
de ce chiffre tels que 99, 999, 9999, etc. C'eit qu'en
divisant une quantité quelconque par un quelconque
de ces nombres, plus grand qu'elle, on produit une
fraction périodique, dont la période a ioujours le mé-
me nombre de chiffres que le diviseur. De plus, cette
période est formée de la quantité divisée elle-même,
précédée s'il est nécessaire , d’un nombre suffisant de

zéros pour la compléter. Par exemple :

= O0, 9299999999)... etc.
9
p>
Ù _ Fr e F
= — 0, 0 05 05 09 00......€lc.
99
5 RTE
7 — 0, 005 005 005 0095.....C0tc:
999
etc. etc.
7)
EL =o,35757 15-75 75:::...etc.
: À J À 4 4
99
75
1 A ñ ñ h 5
—<- — 0, 099 079 079 072 0 Se se ELC:
099 CA 1 7 Î 7
etc. etc.

Eu esaminant les nombres formés du chiffre 9, on

recounait que

9 = 10 — ll
09 —: 107 —"1
999 — 10? VI
etc. — etc.

d'où l'on voit que la forme générale de ces nombres est
104 -— 1. Ainsi on peut démontrer Ja propriété de ces
nombres, en observant que N étant un nombre quelcon-
que, etr1o/—1un nombre plus grand , on à

N
TEE — N.(1o/—1)—1
c'est-à dire
N N N N

N
ARRET + etc.

10°/ 10

car, il résulte de cette décomposition une suite infinie,

ë . Ja répétition d’une même péri d ei
composée par la répétition e mè période =

laquelle, écrite sans dénominateur, comme c’est l’usage
pour Îles fractions décimales, est simplement N, ou oN,
ou ooN , selon que N est composé de x, où deu—1;

ou de # — 2, cluffres, etc.

PE
D'après cette génération des fractions périodiques,
pour les ramener aux fractions ordinaires . il suffit de
preudre la période pour numérateur, ct de lui douner
pour dénominateur un nombre composé d'autant de
chiffres o qu'il y a de chiffres dans la période. C'est de

cette manière qu’on trouve que la fraction périodique

0, 714285 514265 714285 ...etc.

est égale à la fraction ordiuaire

714255
999099

ea

qui se réduit à

1

Ce qui précède est suffisant pour transformer toute
Jraction périodique mixte en fraction ordinaire, car en
examinant d’abord le cas le plus simple, celui où les
chiffres qui précèdent la période sont tous des zéros, et
en prenant pour exemple

0, 000 52 52 52 52 52..,.etc.

ilest évident qu'en avançant suffisamment la virgule ,

on ramène cette fraction à une fraction composée

0, 52 52 5259/9959 594. etc:
; , 11002 : ne :
qui est égale à — ; mais en avançant ici la virgule
99
de quatre rangs on a rendu la proposée dix mille fois
LE

DR PES :
—, dix mille fois plus
99

petit, ce qui s'exécute en plaçant 4 zéros à la droite de

plus grande, il faut donc rendre

99, et l’on Re pour la fraction ordinaire de-
990000

manudée. Ainsi dans ce cas simple, la période forme en-

core le numérateur de la fraction ordinaire, et le déno-

minateur est composé d'autant de Go qu'il y a de chif-

fres dans la période, précédés d'autant de zéros qu’il

s’en trouve avant la première période.

Toute fraction périodique mixte se ramène au cas
précédent en la décomposant en deux autres fractions.
Par exemple s'il s'agissait de

0, 35 23232393..,. etc,

on pourrait la considérer comme la somme des deux
fractions

0, 35

0, 00:23 23:93:23. :!, ‘etc:
dont la dernière réduite en fraction ordinaire est

23
9900
La proposée est donc égale à
35 23

100 9900

ce qui donne, en réduisant au même dénominateur,

PE 293
35X 09 +23 _ 3488

9900 9900

35 X 99 Fr 23

9900 9900

La règle générale est donc de multiplier les chiffres
qui précèdent la période par un nombre composé d’au-
taut de 9 que la période a de chiffres, d'ajouter en-
suite la période au produit et de donner à la somme,
pour dénominateur, le nombre par lequel on a multi-
plié, précédé d'autant de zéros qu'il v a de chiffres
avant la première période.

En appliquent cette règle à la fraction périodique
mixte

0, 030 50 50 50 50 50 50 50.... etc.

nous la trouverons égale à

030 X 99 + 50
99000

3020

]

99000

Wallis parait être le premier qui se soit occupé des
fractions périodiques, devenues ensuite l'objet des re-
cherches de Euler, Lambert et Robertson. Il existe sur
toutes ces recherches un mémoire très-curieux de Jean
Bernouilli, inséré dans le tome IL des Nouveaux mc-
motres de l'Académie des sciences de Berlin.

PÉRIPHÉRIE (Géom.\ Contour d’une figure curvi-
ligne. C’est la ligne courbe qui la termine. La peripherie
d'un cercle prend le nom particulier de circonfcrence.

PERMUTATION.

fait dans les partics d’un méme tout pour obtenir les

(4lg.) Transposition que l’on

divers arrangemens dont elles sont susceptibles. Par
exemple, un groupe de lettres tel que abcd, étant
donné, en faisant varier les positions primitives de ces

leitres comme il suit
abdce, adbc, bacd, cabd, etc.

ces nouveaux groupes seront les permutations du pre-
mier.

La théorie des permutations trouvant de nombreu-
ses applications dans la science des nombres, nous
allons exposer ses principes généraux.

Une seule lettre a ne peut avoir qu’un seul arrange-
ment, mais deux lettres a et b admettent deux arran-
gemens différens ou deux permutations, puisqu'on
peut placer à avant ou après b, ce qui donne

ab, ba

Pour trouver tous les groupes de permutations dont
trois lettres a, b, c sont susceptibles, on place successi-
vement devant chacune d'elles les nermutations des
deux autres, ainsi qu'il suit

a lbe, cb}
b{ac, ca}

e {ab, ba}

294 PE
et en réunissant ensuite chaque lettre aux groupes cor-
respondans, on a les six permutations

abc, acb, bac, bca, cab, cha:

Le nombre des permutations de 3 lettres est donc
égal à 3 fois celui des permutations de 2 lettres, ou égal
3 52

Les groupes des permutations des quatre lettres 4,
b,e, dse forment de la même manière en plaçant
devant chacune de ces lettres les permutations des trois
autres de la manière suivante

a { bed, bdce, cbd, cdb, dbc, deb}
b |acd,adc, cad, cda, dac, dca\
c |abd, adb,l'ad, bda, dab, dba}
d {abc, acb, bac, bca, cab, cha}
ce qui donne, en réunissant chaque lettre aux groupes
correspondans, les 24 permutations
abcd, abde, acbd, acdb, adbc, adcb
bacd, bade, bcad, beda, bdac, bdca
cabd, cadb, chad, chda, cdab, cdba
dabc, dacb, dbac, dbca, deab, dcba
Le nombre des permutations de 4 lettres est donc égal
à 4 fois celui de 3 lettres ou à 4 X 3 X 2.

Comme, en général, pour former tous les groupes
dés permutations de 72 leitres, il faut placer devant
chacune d’elles les permutations des »—1 autres, il de-
vient évident que le xombre des permutations de m2
lettres est égal à 2 fois celui des permutations de 772—1
lettres. Ainsi désignant généralement par Pr le nombre
des permutations de 72 lettres, nous avons

Ph
Ps = (ra—3) PP;

= 7, PF

Pi (n1—9) Pn-3

etc.

I

etc. ,
Pn-n = (mr) Prin:
et, en substituant chacune de ces valeurs dans celle qui
le précède
Ph = om (m3) (m—2)...(mn) Pn-n:
ou (a)
Pam (m—i) (m—2)..., 3.2.1
en faisant
h = m1; d'où Pur: = Prin: = Pi; 1
Si l’on demandait par exemple le nombre des per-

mutations de 8 lettres, on ferait m = 8, et la formuie
(a) donnerait

P:Z=6.7.6.5.4.3.2.1 — 40320

PE

Ce qui précède suppose que toutes les lettres sont
différentes, car si l’une d'elles devait être répétée plu-
sieurs fois, le nombre des permutations diminuerait,
car un froupe aa n'ayant point de permutation, trois
lettres a, a, b qui en admettraient six si elles étaient
différentes, n’en ont plus que trois aab , aba, baa.

Il faut considérer en général que si sur 72 lettres,
une se trouve n fois, les changemens de place de ces x
lettres entre elles n’apportent aucun changement dans
les groupes où elles se trouvent, tandis qu’en les sup-
posaut toutes différentes, chacun de ces groupes se
trouverait fournir autant de permutations différentes
que » lettres peuvent en admettre, Ainsi pour avoir le
nombre total des permutations de »2 lettres dont 7 soit
la même, il faut diviser le nombre total des permuta-
tions de 72 lettres par celui de » lettres ; on a donc pour
ce nombre l’expression

m (m1) (m—o2).....3.2.1
n(n—1)...3.2.1

ou simplement

ali

pit
en nous sérvant de la notation des factorielles. (Joy.
ce mot.)

Si les »72—n autres lettres étaient les mêmes, il fau-
drair encore diviser l’expression ci-dessus par le nom-
bre des permutations de 72 —n lettres, car tous les
groupes qui différaient entre eux par les arrangemens
de ces »m—n lettres deviennent identiques et se rédui-
sent à un seul. Donc

J'l

nil, quil

est l'expression générale du nombre des permutations
d’un assemblage composé de deux lettres dont lune
se trouve répétée n fois et l’autre »3—n fois. C’est sur
cette expression qu'est fondée la démonstration que
nous avons donnée du Binome de Newton (voy ce
mot ).

Où peut aisément conclure que le nombre des per-
mutations d’uu assemblage de 72 lettres, dont une pre-
mière entre 72 fois dans l'assemblage, une seconde o
fois, une troisième p fois, une quatrième g fois etc.,
est égal à

qali

aelr,1o0lt.1211,19ltetc.

me étant n + 0 p + g+ etc.

L'accroissement très-rapide du nombre des permuta-
tions, lorsque celui des objets augmente , a donné nais-
sance à un problème curieux de probabilités; on s’est
demandé si depuis que l’on joue au jeu de cart

PE

nommé le piquet, tous les arrangemens possibles des
32 cartes avaient pu se présenter, Comme les 32 cartes
sont toutes différentes, le nombre de leurs permutations
ou de leurs arrangemens différens, est 13211 —

263 130 836 933 693 530 167 218 012 160 000 000

Ainsi en supposant que deux rrilliards ou deux mille
rullions de joueurs jouassent {oo coups de piquet par
jour, et en admettant en outre qu'aucun arrangement
pese reproduise , il leur faudrait plus de dix-huit mille
milliards de millions de siècle pour épuiser toutes les
permutations possibles des 32 cartes.

PERPENDICULAIRE. (Gcom.) Ligne droite qui
en rencontre une autre de manière à former avec cette
dernière des angles droits. (Foy. Nor. pré. 31.)

Deux lignes droites qui se coupent n’ont.que deux
relations possibles : elles sont ou obliques où perpen-
diculaires l’une par rapport à l’autre. Ces deux relations
fournissent plusicurs théorèmes fondamentaux de la
géométrie élémentaire que nous allons exposer.

1. De toutes les lignes droites que l’on peut mener
d'un point à une droite , la perpendiculaire est la plus
courte.

Soient AB la droite donnée et C le point. (PI. 50,
fig. 11.) De ce point abaissons la perpendiculaire CD
et menons une oblique quelconque CE. Le triangle
ECD étant rectangle en D, l'angle CED est plus petit
que l’angle CDE, et conséquemment le côté EC est plus
grand que le côté CD. (Foy. Triance.) Comme ou
peut en dire autant de toute autre oblique, il en résulte
que la perpendiculaire est la plus courte de toutes les
lignes que l'on peut mener d’un point à un autre,
aussi sert-elle à mesurer la distance du point à la ligne.

2. De deux obliques qui partent du même point d'une
perpendiculaire, celle qui s’écarte le plus de son pied
est la plus longue.

Considérons les deux obliques CE, CF (méme fig.) ;
nous avons CF => CE, car l'angle FEC extérieur par
rapport au triangle rectangle CED est plus grand qu’un
angle droit, tandis que l’angle CFE intérieur au trian-
gle rectangle FDC est plus petit qu’un angle droit;
donc dans le triangle ECF le côté CF est opposé à un
plus grand angle que le côté CE.

3. D'un point pris hors d'une droite on ne peut lu
mener que deux obliques égales, l'une d'un côté et l'au-
tre de l’autre.

Car une troisième oblique serait plus ou moins écar-
tée du pied de la perpendiculaire, et serait conséquem-
ment plus ou moins longue.

4. Deux obliques égales s’écartent également du
pied de la perpendiculaire. C'est une conséquence de
ce qui précède, car on ne peut supposer le contraire
sans tomber dans des contradictions.

PE 295

5. 82 une droite est perpendiculaire sur le milieu d'une
autre droite, tous ses points sont à égales distances des
deux extrémités de cette autre.

En effet, si d'un point quelconque de la perpendi-
culaire on mène une oblique à chacune des extrémités
de la droite, ces obliques seront également écartées du
pied de la perpendiculaire et seront conséquemment
égales, donc ce point de la perpendiculaire, et l’on peut
en dire autant de tous les autres , est également distant
des deux extrémités de la droite.

6. Comme deux points suffisent pour déterminer la
position d’une droite, il résulte de la proposition pré-
cédente que pour élever nne perperdiculaire sur le
milieu d'une ligne donnée, il suffit de déterminer deux
points également distans des extrémités de cette ligne;
ce qui s'exécute de la manière suivante. Soit AB (PI.
5o fig. 12) la droite donnée, du point A, comme centre,
avec un rayon plus grand que la moitié de AB on dé-
crira au-dessus et au-dessous de cette ligne deux ares
de cercle, puis du point B avec le même rayon on dé-
crira deux autres arcs de cercles, coupant les premiers
aux points C et D. Ces points étant par cette construc-
tion également distans de À et de B, la droite CD
qu'on fera passer par ces points sera perpendiculaire
sur le milieu de AB, On peut employer la même con-
struction pour diviser une droite en deux parties éga-
les.

Si la droite donnée était située de telle manière
qu'on ne püt décrire des arcs de cercle au-dessus et
au dessous, après avoir décrit les arcs qui se coupent
en C, on changerait de rayon, et de A et de B avec une
autre ouverture de compas on décrirait les arcs qui se
coupent en D’. Les points C et D’ détermineraient aussi
la position de la perpendiculaire.

7. S'il s'agissait de mener à une droite une perpendi-
culaire d’un point donné D (P]. 5o fig. 13) on tirerait
d'une manière quelconque l’oblique DC, puis du mi-
lieu F de cette oblique on décrirait avec sa moitié
comme rayon le demi-cercle CED. En joignant les
points E, D, on aurait la perpendiculaire demandée.
Eu effet, d’après la propriété du cercle (voy. ANGLE 19)
l'angle CED est droit.

8. La construction précédente peut servir pour éle-
ver une perpendiculaire à l'extrémité d’une droite don-
née, car en supposant le point E être cette extrémité,
il suffit de prendre à volonté un point F et avec la
distance EF de décrire un cercle, Du point C où le cer-
cle coupe la droite on mène le diamètre CD, ce qui
détermine le second point D de la perpendiculaire.

Une droite est dite perpendiculaire à un plan lors-
qu'elle est perpendiculaire à toutes les droites que l'on
peut mener dans ce plan du point où elle le ren-
contre.

206 PE

Un plan est perpendiculaire à un autre plan, quand
une droite, menée dans l’un des plans, perpendiculaire à
leur commune section, est perpendiculaire à l'autre
plan.

Dans la Théorie des courbes, la perpendiculaire à
la tangente d’un des points d’une courbe se nomme
perpendiculaire à la courbe où normale. Cette dernière
dénomination est la plus en usage (Foy. Sous-xor-

MALE.)

PERPENDICULE. Nom que l'on donne au fil qui,
dans une équerre, est tendu par le plomb et donne la
direction de la perpendiculaire à l'horizon. (Foy. Ni-
VEAU.)

TERPÉTUEL (Mouvement). Mouvement qui se
perpétue indéfiniment sans le secours d'aucune cause
extérieure , où action nouvelle qui vienne le ranimer.

Aucune machine, quelqu'ingénieuse qu'elle soit, ne
peut produire un tel mouvement à cause du frottement
des parties qui finit toujours par absorber lemoment d’ac-
tivité des forces vives initiales.

La recherche du mouvement perpétuel est, comme
celle de la quadrature du cercle, Voccupation des gens
qui n'ont aucune connaissance des lois de la mécanique

et des principes de la géométrie.

PERSÉE. (454) Constellation boréale composée de 59
étoiles dans lecatalogue britannique. Elle estsituée entre
Andromède et le Cocher {voy. pl. 9), et renferme une

belle étoile de seconde grandeur nommée Ælgenib.

PERSPECTIVE. Une des branches de l'Optique gé-
nérale ( voy. Ovrique }. C'est l'art de représenter sur
une surface plane des objets visibles dans leurs situa-
tions respectives, selon les différences que le degré d'é-
loignement met entr'eux , et tels, enfin, qu'ils seraient
vus à travers un plan transparent placé entr'eux et
l'œil.

La perspective se divise en spéculative et en pratique.
La première est la théorie des différentes apparences
des objets suivant les positions diverses de l'œil qui les
regarde. La seconde e:t l'art de les représenter sous une
forme semblable à celle que nous leur voyons.

On distingue encore la perspective pratique en /r-
neaire eteu aérienne, selon q'elleconsidèreseulementla
forme des objets ou les nuances des couleurs de leur sur-
face. L'art d'appliquer les couleurs et de représenter les
diverses parties des objets d'après la manière dontils sont
éclairés est du ressort de la peinture. Nous n'avons à
nous occuper ici que des principes de la perspective li-
néaire.

1. Pour se former uneidée exacte de la perspective, il
faut s’imaginer que des lignes droites se rendent de l'œil
à tous les points visibles de la surface des objets, en

PE
traversant un plan transparent placé entre l'œil et cés
objets ; les interecctions de ces droites avec le plan dé-
termineront sur ce plan une suite de points qui offriront
en petit la représentation des objets. Le plan transparent
prend le nom de tableau. On le conçoit généralement
perpendiculaire à l'horizon,

2. D'après ce qui précède, les deux premiers principes
de la perspective sont :

I. Tout ce qui est représenté sur un tableau doft étre
assujett à un seul et méme point de vue.

IT. La perspective d'un point quelconque est à l'en-
droit indiqué du tableau où son plan est traversé par le
rayon visuel qui va de l'œil à ce pcint.

On nomme point «ie vue le pointoù aboutit la droite
tirée de l'œil perpendiculairement au plan du tableau.

3. La perspective d'une droite, qui étant prolongée
ne passerait pas l'œil, est l'intersection du plan du ta-
bleau par le plan d'un triangle rectiligne dontla droite
originale serait la base, ctles deux rayons menés de ses
extrémités jusqu'à l'œil seraient les côtés. Il suffit de
connaitre les points qui forment la perspective des deux
extrémités d’une droite pour avoir la perspective de
cette droite.

4. La perspective d'une figure plane se compose des
perspectives de ses côtés, car les rayons visuels menés
de l'œil à tous les points de cette figure formeat une
pyramide dont elle est la base et qui a son sommet dans
l'œil; mais la figure formée sur le tableau par l'inter-
section de son plan et de cette pyramide est la perspec-
üve de la figure originale : donc cette perspective a pour
côtés les perspectives des côtés dela figure originale.

5. Il résulte de cette proposition que la perspective
d'un polygone ne peut être une figure semblable à son
original, à moins que ce polygone ne soit parallèle au
plan du tableau, car les sections d’une pyramide par un
plan ne sont semblables à la base que lorsque le plan cou-
pant est parallèle à cette base.

G. La perspective d’un solide est une figure plane,
composée des perspectives de toutes ses faces visibles.

7. Le problème fondamental de la perspective con-
siste à trouver la perspective d'un point, car c’est évi-
demment aux perspectives des points que se ramènent
celles deslignes, des surfaces et des solides. Mais la posi-
tion d’un point dans l’espace absolu étant déterminée
par ses distances à trois plans donnés de position, (voy.
A»pLicarion) dans la Perspective on prend pour ces
plans : 1° Celui du tableau, que nous considérons comme
vertical ou perpendiculaire à l'horizon; 2° Un plan pa-
rallèle à l'horizon qui passe par l'œil et qu'on nomme
plan horizontal; 3° Un plan perpendiculaire aux deux
premiers, qui passe aussi par l'œil ct que l'on appelle
plan vertical. Soit, par exemple, ABCD (PI. 51 fig. 1.)
le plan du tableau , IKLM sera le plan horizontal et

PE

EFGH, le plan vertical; Vol sera placé en « à l'intersec-
tion de ces deux derniers.

L'iutersection ST du plan horizontal et du plau du ta-
bleau se nomme la ligne horizontale du tableau, et l'in-
tersection QR du plan vertical avec le plan du tableau
se nomme la ligne verticale du tableau.

Le point de vue est le point o intersection de la ligue
horizontale et de la ligne verticale,

Ceci posé, occupons-nous de la solution du problème
fondamental dont voici l'énoncé :

ProBLimE FONDAMENTAL. Ætant donnés de position
le plan d'un tableau, le lieu de l'œil et un point der-
rière le tableau, trouver sur le tableau son point de
perspective.

Soit Z le point donné dont on demande le point de
perspective z sur le tableau. De ce point Z abaissons
sur le plan horizoutal une perpendiculaire ZX, et sur le
plan vertical une perpendiculaire ZM; par le point X
menons XY perpendiculaire au plan vertical, et par M
menons MY perpendiculaire au plan horizontal, Il est
évident que ZXYM est un rectangle dont le plan est
parallèle au plan du tableau. ZX où MY mesurent la
distance du point donné Z au plan horizontal, ou sa
hauteur au-dessus du niveau de l'œil; ZM ou XY me-
surent la distance du point 3 au plan vertical, ou la
quantité dont ce point est à gauche par rapport à l'œil.
La portion Yo de la ligne du point de vue OP mesure
la distance du rectangle ZXYM au plan du tableau, et
par conséquent celle du point X à ce même plan. Le
point X étant supposé donné de position les trois dis-
tances ZM, ZX, Yo sont dounées de grandeur.

Du lieu O de l'œil urons les droites OX, OZ, OM
et nous aurons une pyramide quadrangulaire OZMYX
qui se trouvera coupée en zm0x par le plan du ta-
bleau. Donc, zmox sera la perspective du rectangle
ZMYX, comme le point z est la perspective du point
Z. De plus, la base de cette pyramide ou le rectangle
ZMYX étant parallèle au plan du tableau, l'intersec-
tion zmox sera un rectangle semblable à ZMYX. Or,
à cause des triangles semblables Oom, OYM, on a la
proportion

Oo : OY :: om : MY

et de plus, à cause de la similitude des rectangles
om : MY :: 2m: ZM

Donc, Oo est à OY, comme un côté quelconque du
rectangle zmox est au côté homologue du rectanple
ZMYX. On tire de ces rapports les deux règles ou ana-
logies suivantes qui renfermeut la solution numérique
générale du problème.

1° La distance Oo de l'œil au plan du tableau, ce
que l'on nomme le RAYON PRINCIPAL, est à cette distance
Tour 11,

PE
augmentée de celle de l’objet au plan du tableau,

comme la distance du point de perspective à la ligne

297

verticale est à la distance de l'objet au plan vertical,
C'est-à-dire ici

Oo : OY — Oo+oY :: 2m: ZM

2° Le rayon principal est à ce méme rayon augmenté
de la distance de l'objet au plan du tableau , comme la
distance du point de perspective à la ligne horizontale
est à la distance de l'objet au plan horizontal. C'est-à-

dire ici

Oo : : ZX

: ZT

8. Pour donner un exemple de l'application de ces
règles, supposons l'œil éloigné de 80 décimètres du ta-
bleau sur lequel on veut déterminer le point de perspec-
üve d’un point original éloigné de 160 décimètres du
plan du tableau, élevé de Go décimètres au-dessus du
niveau de l'œil et placé sur la gauche à 120 décimètres
du plan vertical.

Soit ABCD (P1.51r, fig. 2), le cadre du tableau donné,
que nous supposons rectangulaire. Déterminons sur le
tableau le point o vis-à-vis duquel nous voulons que
l'œil soit placé, et faisons passer par ce point o, qui est
alors le point de vue du tableau , une droite QR per-
pendiculaire aux deux bords AB et CD, ainsi qu'une
droite ST perpendiculaire aux deux autres bords AD,
BC. Ces droites seront la verticale et l'horizontale du
tableau.

Résolvons ensuite les propositions

Ro : 804160 :: x : 60
80 : 804160 :: y

: 120

elles nous donneront x—20, y—40; x est la distance
du point de perspective à la ligne verticale, et y celle
du même point à la ligne horizontale. Prenons donc
sur l'horizontale, et à sa gauche, une partie om—20 dé-
cimètres, et sur la verticale une partie o7—/40 décimè-
tres; des points 72 et z meuons les droites 772 et nz
perpendiculaires respectivement à l'horizontale et à la
verticale, leur point de rencontre z sera le point de
perspective demandé. En effet, ce point est situé à
20 décimètres de la verticale et à 40 de l'horizontale.

9. On peut résoudre le même problème par une
construction purement graphique que nous allons faire
convaitre, parce qu’elle sert de base à la plupart des
procédés que l’on enseigne dans les traités de perspec-
tive.

Soit ABCD (PI. 51, fig. 3 et 4) le plan du tableau,
QR sa ligne verticale, et ST sa ligne horizontale , o le
point de vue et Z un point donné. Faisons passer par
le point Z un plan de niveau MN qui sera conséquem-
ment parallèle à la ligue horizontale ST, Soit EF l'in-

20

298 PE
tersection de ce plan par le plan vertical qui passe par
QR, et DC son intersection par le plan du tableau.

Du point Z abaissons sur BC la perpendiculaire ZT,
qui mesure la distance de ce point au plan du tableau,
le point [ se nomme le point d'incidence; uürens du
point de vue o au point d'incidence une droite of;
portons la distance ZI sur DG de I'en 7’; et prenons
sur l'horizontale ST une &istance 6O éyale au rayon
principal ou à la distance de l'œil au plan du tableau}
joignons O et Z' par la droite OZ’. Le point z où OZ
coupe ol cst la perspective demandée.

Four le démontrer merons par le point = la droite
sq, perpendiculaire à DC, ainsi que la droite zp perpen-
diculaire à QR. Les triangles 010 et Z'zl sont sembla-
bles et comme de plus 25 et = sont les hauteurs respec-

uves de ces triangles, nous avons
00 : ZT :: 25: zq
d'où
00 : 00 LzT:: 25: 25 + zq

or, cO ZT = 00 ZI, 25 +zg = 57 = 0R ; donc
cette dernière proportion est la même chose que (a),

00 : 00 + ZI ::z5:0R

C'est la première analogie du n°7, puisque ok est la
hauteur de l'œil au-dessus du niveau de l'objet, et par
conséquent la distance de l’objet au plan horizontal.

Nous trouverons de même la seconde analogie en
remarquant que les triangles égaux o0pz et 0zs sont sem-
blables au triangle oRI et donnent

op: oR :: pz: RI
ou

z$ : OR ::pz : RI

à cause de op = 75. Donc aussi, en vertu du rapport
commun entre cette proportion et la proportion (a),

00 : 00 + ZI :: pz : RI

ce qui est la seconde analogie du n° 5. La construction
que nous venons de donner renferme donc en effet la
solution générale du problème,

Pour opérer ces constructions, on agit comme dans
les problèmes de la géométrie descriptive en supposant
le plan du tableau rabaissé sur le plan de niveau, ce

f

qui donne les fig. 3 bis et 4 bis. La première se rap-
porte au cas où le point donné est au dessous du niveau
de l'œil, et la seconde au cas où il est au-dessus.

Nous pouvons procéder maintenant à l'exposition des
principales méthodes de la perspective pratique.

10. Mcthode du treillis perspectif. Cette méthode
est fondée sur la construction d’un carré ABCD (PI. 51,

fig. 5), qui représente le champ original du tableau,

PE
c'est-à-dire tout l’espace de terrain que les objets que
l'on veut représenter doivent occuper. Ce champ se
nomme aussi le plan géométral. On divise ce carré en
plusieurs autres carrés les plus petits qu'il est possibie,
que le bord inférieur du tableau est

et l'on suppose

posé sur le côté AB du carrré. Ceci posé, ayaut mené
sur le plan du tableau la ligne horizontale ST à la hau-
teur qu'on juge convenable, on tire la ligne verticale
QR, selon qu'on veut placer le spectateur vis-à-vis le
milieu ou vers un des côtés du tableau , en sorte que
o est le point de vueet cR la hauteur de l'œil au-
dessus du terrain.

Par le point o on mène à toutes les divisions du côté
AB les droites oA , oh, oN, oP, oB; puis on porte le
rayon principal, qu'on détermine selon qu'on a jugé à
propos d’éloigner l'œil du tableau, de part et d'autre
du point o sur la ligne horizontale, prolongée s’il est
nécessaire, comme en O et en O'; de ces deux points
on tire aux mêmes divisions du côté AB, les droites
O4, OM, ON, OR, OP,O0Bet O'A, O'M, O'N,
O'R, OP,OB, puis on joint les points d’intersec-
tions de ces droites par les lignes 11, 22, 33, 44, 55 ct
de; ce qui forme un assemblage de trapèzes renfermés
dans le trapèze AdcB qui est la perspective du carré
ABCD et de tous ses petits carrés. C’est ce trapèze AdcB
qu'on nomme le treillis perspectif.

On reconnait aisément que AdcB est la perspective
du carré ABCD, en observant que le point A cest le
point d'incidence du point D et que la ligne AB est
égale à la distance AD du point D au plan du tableau,
d’où il suit, d’après le n° 9, que le point d’intersection
des lignes oA et OB est la perspective du point D. Il
en est de même de tous les autres points du carré
ABCD. .

11. Les droites Ad, Me, Nf, Ri, PÆ4, Be dont les
divisions inégales représentent les divisions égales des
droites AD, ME, NF,RI, PK et BC se nomment les
échelles fiyantes des longueurs, parce qu’elles servent
à dégrader les dimensions des objets, à mesure que les
parties de ces ebjets s'éloignent du plan du tableau ; et
les parallèles 11,22, 33, ctc., se nomment les échelles
fuyantes des largeurs et des hauteurs, parce qu’eïles
servent à dégrader les largeurs etles hauteurs des objets
à mesure qu'ils s'éloignent du plan du tableau.

12. Puisque le treillis perspectif représente sur le ta-
bleau le terrain compris dans le carré ABCD, il est
évident que si on dessine dans ce carré le plan des
objets qu’on veut mettre en perspective sur le tableau,
de manière que les divisions de ce carré servent d'é-
chelles au plan, il sera facile de mettre ce même plan
en perspective. Car s’il s'agissait, par exemple, de met-
tre en perspective un carré posé sur le terrain oblique-
ment par rapport au tableau, on le dessiuerait dans le

PE

carré ABCD (PI. 51, fig. 6) en lui donnant la situation
oblique qu'il a sur le terrain, puis on marquerait daus
le treillis perspectif les points o, 72, mm, 1, correspon-
dans aux sommets du carré ONMI, et placés, dans les
petits trapèzes du treillis correspondans aux petits
cariés du plan géométral, d’une manière semblable à
celle dont les points O, N, M, et I sont placés dans les
carrés. En menant par ces points les droites on, nm,
mi, io le quadrilatère onmi sera la perspective du
carré ONMI.

13. Sice carré ONMI était la base d’un cube qu’on
voulüt mettre en perspective, il faudrait des points 0,
n, m, à élever lhorizontale des perpendiculaires
0H, 2Q, mP et :E, et comme le cube doit avoir
pour hauteur le côté du carré,on mesurerait ce côté en
prevant pour échelle la droite AB et ses subdivisions ;
admettons, pour exemple, que le côté OT contienne
trois côtés des petits carrés ou trois des subdivisions de
AB, il faudra donner à chacune des perpendiculaires
trois fois la longueur du trapèze où est son pied, ce
que l’on fait en prenant avecun compasles longueurs de
ces trapèzes, de manière à tenir ses pointes dans la droite
qui passerait par le pied de la perpendiculaire parallè-
lement à AB. Les hauteurs perspectives des côtés du
cube étant ainsi déterminées, on tirerait les droites
HQ, QP, PFet FH, et l’on aurait la perspective du
cube.

14. On doit remarquer que dans ces opérations le
carré où plan géométral est censé derrière le tableau
par rapport à l’œil, et qu’ainsi 11 faut dessiner dans ce
carré vers AB ou du côté du treillis les objets qu'on
veut représenter sur le devant du tableau, et vers CD
ceux qui doivent paraître éloignés.

15. Lorsque sur une des faces planes d’un objet
qu'on met en perspective ou même sur deux ou plu-
sieurs faces planes parallèles quelconques, il y a plu-
sieurs droites paralièles entre elles, telles que sont les
moulures des ornemens d'architecture, il faut pour
abréger et en même temps pour opérer plus exacte-
ment, déterminer leur poiut de concours perspectif,
qu'on appelle alors leur point accidental. Or lorsque
ces parallèles sont en même temps deslignes de niveau,
ce qui est le cas le plus ordinaire, leur point accidental
est dans la ligne horizontale; de sorte qu'ayant la pers-
pective d’une seule de ces parallèles, il suffit de la pro-
longer jusqu’à la ligne horizontale et le point de ren-
contre est le point accidental de toutes les parallèles :
car puisque l’on suppose que toutes ces lignes sont de
niveau, le rayon tiré de l'œil parallèlement à ces lignes
est de niveau et par conséquent couché sur le plan
horizontal; donc il ne peut rencontrer le tableau que
dans la ligne horizontale.

Avant ainsi la position »m de la perspective de la

PE 299

droite originale NM, on la prolongera jusqu'à ce
qu’elle rencontre en R la ligne horizontale suffisam-
ment prolongée. Ce point R sera le point accidental
de la droite originale OI et celui des deux côtés de
la base supérieure du cube qui sont parallèles à NM
et à OI. Il en est de même du point L, où doivent
aboutir les perspectives des parallèles ON, IM et de
leurs correspondantes dans la base supérieure du cube,

Si les parallèles originales n'étaient pas des droi-
tés de niveau, il faudrait avoir la perspective de deux
d’entre elles; et les ayant prolongées du côté vers
lequel ces perspectives s’inclinent, jusqu’à leur point
de rencontre, ce point sera le point accidental de toutes
les autres.

16. Cette pratique est fondée sur ce que deux droites
parallèles originales semblent toujours concourir vers
un même point, cé dont on peut s'assurer en regar-
dant une allée d'arbres dont les deux côtés sont paral-
lèles, et, par conséquent, sur ce que les perspectives
de ces droites doivent égalément tendre à concourir
sur le tableau. Or l'œil doit voir par un même rayon le
point de concours des deux lignes originales et celui
de leurs perspectives; donc le point de concours des
deux lignes de perspective est dans le point du tableau
où son plan est traversé par la droite qui va de l’œil
au point de concours des deux lignes originales. Mais
le point de concours apparent de deux parallèles ori-
ginales étant infiniment éloigné de l'œil, la droite tirée
de l'œil à ce point leur est parallèle; denc le point de
concours des deux droites originales est au point du
tableau où son plan, prolongé s'il est nécessaire, est
rencontré par une droite tirée de l’œil parallèlement à
ces droites originales.

Cependant , si les droites originales sunt en même
temps parallèles au plan du tableau, comme la droite
tirée de l’œil à leur point de concours apparent ne peut
rencontrer le plan du tableau, puisqu’alors elle lui est
parallèle, ces draites ne peuvent avoir de point de con-
cours sur le plau du tableau, et leurs perspectives doi-
vent être des lignes parallèles. Aïnsi en supposant,
comme nous l’avous fait jusqu'ici, le tableau posé verti-
calement ou d'aplomb, Æs perspectives de toutes les
druites verticales originales sont des droites verticales ;
les perspectives de toutes Les droites horizontales ou de
niveau et en méme temps parallèles au plan du tableau,
sont des droites posées de niveau sur le tableau ; et les
perspectives de toutes les droites originales parallèles
au tableau et inclinees à l'horizon, sont des paral!èles
inclinees de La méme quantité sur le tableau.

Toutes les autres parallèles semblent concourir.

17. Dans la pratique de la perspective ; l'usage du
treillis peut être particulièrement utile lorsqu'on se pro-

pose de faire un petit tableau et que les objets qu'on

300 PE

veut y représenter doivent présenter leurs faces sous
différentes obliquités. Mais lorsqu'il s’agit de grands ta-
bleaux et surtout si l’on doit y peindre un grand nom-
bre d'objets éloignés les uns des autres, comme on ne
pourrait construire un assez grand carré ou plan géomé-
tral, le treillis devient insuffisant. Cependant si l’on en
pouvait faire un assez grand pour contenir tous ces ob-
jets, en diminuant leurs dimensions de la moitié, du
tiers où du quart , ou en général dans un rapport exact
quelconque , on pourrait les mettre en perspective sur
un treillis, puis les copier sur le tableau en doublant,
triplant, quadruplant, etc. , toutes les lignes tracées sur
ce treillis, et l’on aurait une perspective d’autant plus
exacte, qu'il aurait fallu moins augmenter les dimen-
sions prises sur ce treillis.

18. En faisant un devis exact de toutes les dimensions,
positions et distances de tous les objets qui doivent en-
trer dans le tableau , on peut encore se passer des petits
carrés du plan géométral. Car, ayant divisé le bord
du tableau en autant de parties égales qu’on jugera né-
cessaire, dont chacune représentera un centimètre,
un décimètre, un mètre, ou en général une des mesu-
res sur lesquelles le devis aura été réglé , mesure qui
prend le nom de module, on fera un treillis sur ces di-
visions et on regardera chaque trapèze comme un es-
pace d’un »cdule carré, On pourra donc arranger tous
les objets sur ce treillis, selon le devis qu’on en aura
fait.

19. Pour remplir le vide qui est sur les côtés du
treillis perspectif, on peut prolonger les droites de, 55,
44,33, etc. , de part et d'autre jusqu'aux bords du ta-
bleau (PI. 51, fig. 5), et après avoir continué aussi de
part et d'autre les divisions égales de la ligne de, on ti-
rera du point de vue o des droites par tous les nouveaux
points de divisions, Ces droites formeront avec les pro-
longemens de 55, 44, etc. , de nouveaux trapèzes qui
seront les perspectives de nouveaux petits carrés, qu’on
décrira si l’on veut, à côté de ceux du grand carré ABCD,
ce qui augmentera je champ du plan géométral.

20. Perspectives sans treillis. Dans cette méthode,
comme dans la précédente, on sappose que le plan de
Ja base de chaque objet original est dessiné dans toutes
ses proportions, à la distance du bord du tableau selon
laquelle on veut qu’il en paraisse éloigné, Supposons
qu'il s'agisse d’un prisme pentagonal, et que AB étant le
bord du tableau, la base de ce prisme soit en EFGHI.
(PL 51, fig. 7.)

On tirera sur le plan du tableau la ligne verticale
QR , et on la prolongera au-delà de l’objet original;
puis on prendra sur l'horizontale SP, oO égale au
rayon principal, d’un côté et d'autre du point de vue 0,
s’il est nécessaire. Sur un des bords du tableau , par
exemple, vers le coin B,on prendra BC égale à la hau-

PE
teur que doit avoir le prisme original, et du point P de
laligne horizontale onmènera la droite PC. Le triangle
PCB indiquera, comme nous allous le voir, la dégra-
dation des hauteurs.

Ayant trouvé sur le tableau, par le procédé du n° 9,
les perspectives e, f,g, h, à, des points E,F,G,H,1,
on élèvera sur ces perspectives les perpendiculaires : D,
eN, fM, gL, AK, en donnant pour longueur, à
chacune de ces lignes, la partie interceptée dans le
triangle PCB de la droite qu'on mène de son pied
parallèlement à AB. Ainsi, la hauteur de Ja per-
pendiculaire menée au point e sera cp, et de même
pour toutes les autres. Des extrémités D,K,L,M,N,
tirant ensuite les droites qu’on voit dans la figure, on
achèvera la perspective demandée du prisme pentago-
nal dont EFGH est la base.

21. On peut encore ici faire un devis exact des di-
mensions des objets et de leurs distances respectives, et
construire à part des triangles pour la dégradation des
hauteurs. Toutes les remarques que nous avons faites
sur la méthode précédente s'appliquent également à
celle-ci.

22. Perspective par le chässis perspectif. Cette mé-
thode, qui renferme les deux précédentes, ieur est pré-
férable pour l'exactitude.

Ayant choisi sur le tableau (PI. 51, fig. 8) un point o
pour être le point de vue, on y fera passer la ligne ho-
rizontale qu’en prolongera de part et d'autre aussi loin
que possible. Oa tirera aussi la ligne verticale QR, sur
laquelle on prendra, depuis le point de vue o, vers
Q ou vers R, une partie o C égale au rayon principal.
Du point C comme centre avec une ouverture de com-
pas à volonté, la plus grande et la meilleure, on dé-
crira ur arc de cercle ED d'environ Go à 70 degrés,
puis on le divisera de degrés en degrés , ou pour le
moins de 10 en 10 degrés, en partant du point E.
Par le centre C, on mènera des droites à chaque point
de division , prolongées jusqu'a leur rencontre avec
la ligue horizontale MIT qui se trouvera de cette ma-
nière divisée à la droite de la verticale. Pour qu’elle
le soit dans toute son étendue , on portera ces divisions
de l’autre côté du point o , comme cela est fait dans la
figure.

23. Comme il est évident, d’après la construction,
que ces divisions, comptées à partir du point 0, sont les
tangentes des angles formés au point C, dont le rayon
ou sinus total est Co , on peut encore trouver plus exac-
tement ces divisions en faisant une échelle particulière
ab divisée en tant de parties égales qu'on voudra,
pourvu que 10 de ces parties soient précisément égales
au rayon principal, et qu'une de ces parties soit subdi-
visée en dix autres, et ces dernières encore en dix , ce
qui donne une échelle en millièmes parties du rayon

PE
principal. À l'aide de cette échelle et de la table des
tangentes naturelles, il sera facile de marquer sur la
ligne horizontale toutes les divisions nécessaires.

24. Ceci fait, sur le bord iuférieur AB du tableau,
en partant d'une des extrémités ct allant vers l’autre,
on marquera autant de parties égales AT, LIT; IT, 1TT;
HL,IV, etc., qu'on voudra, lesquelles sont destinées à re-
présenter les mesures où modules des dimensions des
objets originaux. Depuis l'extrémité S de la ligne hori-
zontale , on prendra sur son prolongement une partie
SM égale au rayon principal, et du point M on mènera
des droites à tous les pointsde divisions T, IT, IL, IV, ctc.,
l'intersection de ces droites avec le côté ou montant AF
du tableau donuera autant de points de divisions qu’on
cotera 1, 2,3, 4, etc., et qu'on portera sur l’autre
montant BG.

25. Eofin, sur le bord inférieur AB du tableau et de
part et d'autre du point R, on marquera des divisions
égales à celles qui auront servi à diviser les montans
AF et AG, et on les cotera 1,2, 3,4, etc. Et même
pour une plus grande commodité, dans la pratique, on
marquera ces mêmes divisions de part et d'autre du
poiut Q

Le

sur le bord supérieur FG du tableau. Le ta-
bleau ainsi divisé prend le nom de chdssis perspectif.

Dans ce châssis, les divisions de la ligne horizontale
servent à placer les perspectives des lignes de niveau,
posées obliquement par rapport au plan vertical. Les
divisions des montans sont des échelles fuyantes des
longueurs ou des éloignemens des objets au plan du ta-
bleau ; et les divisious des bords inférieur et supérieur
sont des échelles de front, c’est-à-dire, des parties des
objets qui sont parallèles au plan du tableau.

26. Pour bien comprendre l’usage des chéssis pers-
pectifs, il est essentiel de se rendre compte de sa con-
struction et, pour cet effet, il faut imaginer 1° que le
centre C soit ralevé au-dessus du point de vueo, de
manière que le plan du triangle rectangle CoH soit per-
pendiculaire au plan du tableau. Il est évident alors
que le point C est le point où l'œil doit être placé , et
que les degrés de l'arc ED, dont le centre est dans
l'œil, sont propres à mesurer les angles d'obliquités, par
rapport au plan vertical , des lignes originales situées
dans le plan horizontal : on peut donc marquer sur la
ligne horizontale les points où aboutissent tous les
rayons tirés de l'œil à chacun de ces degrés. 2° Imagi-
nant de même que SM soit relevé perpendiculairement
sur le plan du tableau , de manière que l'angle o SM
soit droit ; qu’en même temps la droite AB soit relevée
perpendiculairement au même plan du tableau, mais du
côté opposé à l'œil, et qu'ainsi le plan de toutes les
droites tirées de M aux divisions de AB soit perpendi-
culaire au plan du tableau, AF étant l’intersection com-

mune de ces deux plans, il est clair que les divisions de

PE sU{

AB marquent alors les éloignemens ou distances au
plan du tableau mesurées sur le terrain. Par exemple,
AI marque un module de distance au-delà du tableau,
et conséquemment Ar, sur le côté AF, est sa perspec-
tive ; car les triangles rectangles semblables M1S et Ar,

donnent
AI: MS::Sr:A1,
d'où
AI: AI+LMS::S1:S1 + Ar,

ce qui est identique avec la première analogie du n° 7.
Ilen est de même des autres divisions.

27. On voit, d'après ce qui précède , que si l'on ne
pouvait prolonger facilement le plan du tableau pour
avoir assez de divisions sur les montans , on pourrait
trouver ces divisions par un calcul facile; et c’est le parti
qu'il faut prendre lorsqu'on a un grand tableau à tra-
cer, En voici un exemple.

Soit le rayon principal oC de 10 modules , et la hau-
teur de l'œil au-dessus du plan du terrain de6 modules.
Pour avoir toutes les distances Si, S2, S3, etc., en sup-
posant que l'intervalle de ces divisions doive être d’un
module , on aura ces proportions

10 + 1:10::6: Sr —= 5,45
10 + 2:10 :: 6: S2 — 5,00
10. 32 10.5: 6: 83 — 461
10 + 4 :10::6:S4 — 4,29
10 + B:10::6:S5 — 4,00
10 + 6:10:: 6: SG —= 3,75
10 + m'a ront O7 23,53
10 + 8:10::6:S8 — 3,33
10 + Q:10 6: Sgr —1316
10 + 10 : 10 :: 6 : Sio — 3,00
10 + 17 : 10 :: 6 : Srr — 2,86
10 + 12 : 10 :: 6 : S19 = 2,73

etc: etc.

Ainsi par le moyen d’une échelle divisée en parties dé-
cimales dont la distance de la ligne horizontale au bord
inférieur du tableau contiendra 6,00 dans cet exemple,
il sera très-aisé de marquer exactement sur les montans
du tableau toutesles divisions dont on aura besoin.

28. Avant d'exposer les usages du chdssis-perspectif,
nous devons rappeler ici quelques-unes des lois géné-
rales de la vision. Si l’on suppose qu'un spectateur ait
placé son œil à l'égard du tableau, comme il le doit
être, pour considérer la perspective lorsqu'elle sera
tracée, et qu’il regarde au travers de ce tableau qu'on
imagine transparent comme une glace , tout ce que le
cadre du tableau lui permet de voir, dans un terram
indéfini, libre, uni et de niveau comme une vaste plai-
ne, il est évident qu'il doit voir le terrain terminé

302 PE

par une ligne de niveau, qui est confondue dans la cir-
conférence d’un cercle qui parait séparer le ciel de
la terre, et dont l'œil est le centre : ce cercle est l'horizon
céleste, Or, la perspective de la portion visible de ce
cercle doit être une ligne droite. Car, puisque ce cer-
cle où horizon a son centre dans l'œil, les rayons qui
vont de l'œila tous les points de sa circonférence visi-
ble forment un plan; leur intersection avec le plan
du tableau est donc l'intersection de deux plans , la-
quelle ne peut être qu'une droite ; et il est évident que
c'est la ligne horizontale du tableau qui est la perspec-
tive de cette portion visible de l'horizon céleste, et
que les divisions de la ligne horizontale sont les pers-
pectives des degrés de ce cercle.

29. De ce que l'œil est le centre de l'horizon céleste ,
il suit que si deux droites originales, placées sur un plan
de niveau qui passe par l'œil du spectateur, sont incli-
nées l’une à l’autre, de sorte que le sommet de l'angle de
leur inclinaison soit dans l'œil même, les degrés de
l'horizon céleste, et par conséquent les divisions de la
ligne horizontale du tableau, sont propres à mesurer
cet angle, ct à représeuter l'inclinaison de ces deux
droites.

Puisque tous Îes plans parallèles entre cux doivent pa-
raitre se réunir à une distance infinie de l'œil, le plan
du terrain eten général tout plan de niveau paraît s’in-
cliuer vers le plan horizontal qui passe par l'œil, pour
se confondre avec lui dans la circonférence de l'horizon
céleste ; il suit ge La ligne horizontale du tableau est
la ligne oùse rencontrent toutes les perspectives de tous

les plans de niveau.

Tous les plans de niveau sur lesquels sont posées les
parties des objets propres à être dessinés, sont à une
distance finie les uns des autres, tandis que la circon-
férence de l'horizon céleste est à une distance infinie
de l'œil : l'intervalle entre ces plans est donc infini-
ment petit à l'égard de la distance de l'œl au lieu où
ils paraissent se réunir : donc tous les plans de niveau
qui passent à une distance finie au-dessus ou au-dessous
de l'œil sont, par rapport à la circonférence de l’hori-
zou céleste, et par conséquent par rapport à la ligne
horizontale du tableau, comme un seul et même plan
couché sur celui de l'horizon céleste où confondu avec
le plan horizontal qui passe par l’œil : la perpendiculaire
ou verticale tirée de l'œil sur tous ces plans de niveau,
et qui mesure leur intervalle réel, est comme un point
confondu avec le centre de cet horizon.

Ainsi un angle quelconque formé par deux droites
sur un plan de niveau, se trouvant situé dans la verti-
cale qui passe par l'œil, est, à l'égard de la circonfé-
rence de l'horizon céleste, ou de la ligne horizontale du
tableau, comme s’il était dans l'ail même; ét par con-

PE

séquent les divisions de la ligne horizontale sont encore
propres à la mesurer, et à en donner la perspective.

Enfin les différens objets à la portée de l'œil et des-
tinés à être dessinés sur un tableau, sont à une distance
finie les uns des autres et par rapport à l'œil, tandis
que la circouférence de l’horizon céleste en est à une
distance infinie : donc tous les points qui forment les
parties de ces objets, doivent censés infiniment proches
les uns des autres et de l’œil, et par conséquent tous
les angles que font entre elles, sur des plans de niveau ,
les droites qui terminent les faces et les côtés des ob-
jets doivent être censés au centre de l'horizon céleste , et
mesurables par les divisions de la ligne horizontale.

30. Il résulte de ces considérations 1° que les divi-
sions de la ligue horizontale sont propres à mesurer et
à représenter en perspective tous les angles qui sont
dans un plan de niveau quelconque.

2° Que pour mettre en perspective un angle original
quelconque, il faut chercher sur le tableau le point de
perspective du sommet, et tirer de ce point deux droites
qui aboutissent aux divisions propres à marquer les de-
grés de cet angle , ou qui aboutissent aux mêmes divi-
sions de la ligne horizontale, auxquels eussent abouti
deux rayons tirés de l’œil parallèlement à chaque côté
de cet angle.

3° Que si de tant de points C, D, E, qu'on voudra
(PL. 52, fig. 1), pris sur le champ du tableau on tire
deux droites à deux mêmes divisions À et B de la ligne
horizontale, les angles ACB, ADB, AEB seront les
perspectives d’angles originaux égaux entre eux et dont

le nombre des degrés qui les mesure est égal à celui des

divisions comprises entre À et B. En effet, puisque
AC, AD, AE aboutissent à un même point accidental
A , elles sont les perspectives de trois parallèles (n° 15) :
de même les trois droites BC, BD , BE sont les pers-
pectives de trois parallèles ; or, des parallèles qui ren-
contrent d’autres parallèles ne peuvent former que des
angles égaux entre eux.

4° Qu'une droite comme AD ou AE tirée sur le ta-
bleau d’un de ses points quelconques D ou E, et abou-
tissant à un point À de la ligue horizontale est la pers-
pective d’une ligue originale couchée sur un plan de
niveau, et inclinée au plan vertical, du côté où est le
point A, d'une quantité exprimée par le nombre qui
marque le degré où est le point A : par exemple, AD et
AE sont les perspectives de deux droites de niveau, qui
déclinent de 10 degrés à droite du plan vertical.

Nous pouvons donner maintenant la solution des
principaux problèmes que présente la pratique de la
perspective par le chdssis.

31. D'un point donnéT) (PI. 52, fig. 1) sur un tableau,
mener une droite perspectivement parallèle à une droite
donnée en perspective comme EF.

PE

Prolongez EF jusqu'à ce qu’elle rencontre la ligne
horizontale en quelque point B et menez BD. Ce sera
la parallèle demandée.

32. Faire à l'extrémité E d’une droite donnée en
perspective EF , et posée originalement sur un plan de
niveau, un angle dans le méme plan d'un nombre
donné de degrés.

Prolongez EF jusqu'à sa rencontre en B avec la ligne
horizontale, Depuis ce point B, comptez sur les divisions
le nombre de degrés demandé du côté où l’angle
doitêtre, comme de Ben A, et tirez AE.

Si le nombre des degrés demandé était plus grand
que celui contenu entre B et o, on prendrait à la gau-
che du point de vue o le nombre de degrés suffisant
pour le compléter avec celui contenu de B en 0.

S'il fallait au contraire construire l'angle à la droite
du point B, et siles divisions de la ligne horizontale
n'étaient pas suffisantes , on prendrait depuis B vers la
gauche un nombre de degrés égal au supplément de
l'angle demandé, comme depuis B jusqu’en A, et par
les points AetE, on tirerait une droite AEG qui
donnerait l'angle perspectif demandé FEG.

33. D'un point D (PI. 52, fig. 2) donné sur une
droite CE , mise en perspective, élever une perpendicu-
laire perspective à cette droite.

Ce problème revient au précédent. Ayant prolongé
CE jusqu’à la ligne horizontale en B, il faut prendre un
point À tel qu'il y ait 90°, depuis B, sur les divisions et
tirer AD.

34. D'un point donné sur un tableau mener pers-
pectivement une perpendiculaire à une droite donnée.

Soit CE (PI. 5, fig. 2) la droite donnée, et F Île
point donné, Ayant prolongé CE jusqu'à la ligne ho-
rizontale en B, prenez un point À éloigné de 90° du
point B; par les points A et F faites passer la droite
AD, elle sera la perpendiculaire demandée.

35. Etant données les distances au plan du tableau
et au plan vertical d'un point original placé sur le
terrain, trouver son point de perspective.

Par les divisions des montans qui marquent la dis-
tance donnée au plan du tableau menez une droite;
puis menez une seconde droite du point de vue au
point de la division de la base, ou bord inférieur du
tableau, qui marque la distance du point original au
plan vertical. L'intersection de ces droites donnera le
point de perspective cherché. Par exemple si la dis-
tance au plan du tableau était de 4 modules, et la
distance au plan vertical de deux modules à gauche,
le point de perspective serait en Gr.

Si: le point donné n'était pas sur le terrain, mais
élevé au-dessous, ou, enfoncé au-dessous , comme dans
un fossé, il faudrait imaginer une droite tirée de ce
point original perpendiculairement sur le terrain , la-

PE 505
quelle mesure alors la hauteur ou l'abaissement da
point par rapport au terrain, et comme cette perpen-
diculaire est en même temps parallèle au plan du ta-
bleau et au plan vertical, le point du terrain auquel
cette perpendiculaire aboutit , est à la même distance à
l'égard de ces deux plans que le point original. Il faut
donc, comme ci-dessus, déterminer sur le tableau la
perspective du point du terrain où la perpendiculaire
aboutit, et y ayant fait passer une droite parallèle à la
ligne verticale, il faut en déterminer perspectivement
la longueur, selon la distance du point original au plan
du terrain, ce que nous allons voir plus loin; et l’ex-
trémité de cette perpendiculaire sera la perspective du
point original donné.

36. Mettre en perspective une droïte originale donnce
de grandeur et de position sur le terrain.

Soit la longueur de la ligne donnée de 2 modules.
2) doit être
éloignée du plan vertical de 2 modules et du plan du

Si l’une de ses extrémités G (PL. 52, fig.

tableau de 4, on cherchera, par le procédé précédent,
la perspective G de ce point; mais pour trouver celle
de l’autre extrémité, il se présente trois cas.

1° La ligne originale est parallèle au plan vertical.
Supposons que son extrémité G doive être la plus pro-
che du tableau ; puisque la ligne a deux modules de
longueur, l’autre extrémité doit être éloignée du plan
du tableau de 6 modules. Tirez du point G au point de
vue une droite Go et par les points 6 des montans une
droite qui coupe Go en un point L, ce po'nt est l’autre
extrémité cherchée.

Si le point G devait être l’extrémité la plus éloignée
du tableau , on ôterait» de 4 et par les points 2 des
montans On mènerait une droite dont l'intersection
avec Go prolongé serait l'extrémité demandée.

2° La ligne originale est parallèle au plan du tableau.
Alors, ou elle a son extrémité G la plus proche da plan
vertical, ou cette extrémité en est la plus éloignée;
dans le premier cas l’autre extrémité est à 2—2 mo-
dules du plan vertical, c’est-à-dire au point X de la
ligne verticale; dans le second cas , cette extrémité est
à 2 + 2 modules du plan vertical, et il faut tirer la
droite o{ du point de vue à la quatrième division du
bord inférieur , le point A" est alors la perspective de-
mandée.

3° La ligne originale est oblique au plan du tableau
et au plan vertical. Supposons qu’elle doit décliner de
20 degrés à droite du plan vertical. Par le point G
tirez une droite au 20° degré de la ligne horizontale à
la droite du point de vuc; prenez GX peripective-
ment égale à la droite donnée, c’est-à-dire, de 2 mo-
dules, puis du point À menez une droite qui puisse
couper G 20 et qui aboutisse en même temps en Q au
degré de la ligne horizontale où est marquée la moitié

504 PE

du complément de l’angle dont la ligne origimale est
oblique à l'égard du plan vertical, c’est ici 35° moitié
de 70° complément de 20°. L'intersection de G 20 et
de ÀQ donnera en [ la perspective de l'extrémité de la
ligne demandée. En effet en analysant cette construc-
tion on voir qu'on a mis en perspective un triangle
isocèle GKI, dont les côtés perspectivement égaux sont
GK et GI.

On peut encore résoudre le problème en construi-
sant sur un plan à part ou en calculant par la trigono-
métrie un triangle rectangle dont la droite originale
serait l’hypothénuse et dont un des angles serait égal
à l'angle d’inclinaison par rapport au plan vertical,
car on trouverait, par la valeur du côté opposé à cet
angle, de combien l'autre extrémité de la ligne origi-
nale donnée est plus ou moins éloignée du plan vertical
que n'est le point G; du point de vue o ayant tiré
0G2, on prendrait alors sur les divisions du bord in-
férieur du tableau la quantité 2m, dont l'extrémité I
de la ligne cherchée est originalement plus près ou
plus loin du plan vertical; et ayant tiré au point de
vue la droite 10, son intersection avec G20 donnerait
en I le point cherché.

37. Diviser une ligne donnee en perspective en un
nombre donne de parties égales.

Soit PQ (PI. 52, fig. 3) la ligne donnée qu’il faut di-
viser en 4 parties égales. Par un point S quelconque
p'is sur Ja ligne horizontale, tirez pur les extrémités P
et Q deux droites ST et SD jusqu’au bord inférieur du
tableau. Divisez l'intervalle DT en quatre parties éga-
les TA, AB, BC, CD, et tirez SA, SB, SC; la ligne
donnée se trouvera divisée en parties égales aux points
a, b,c; carilest évident qu’elle se trouve interceptée
entre des parallèles originales ST, SA, SB, SC, SD
(voy. n° 15)et que ces parallèles sont également éloi-
gnées entre elles puisqu'elles coupent TD en parties
égales. Donc elles couperont aussi PQ en parties pers-
pectivement égales.

Pour plus d'exactitude il faut choisir le point S de
manière que ST diffère le moins possible de SD.

38. S'il fallait diviser PQ en parties inégales entre
elles, mais dont les rapports soient déterminés, on di-
viserait TD en parties proportionnelles à celles-ci, et
en tirant du point S des droites aux points de division,
elles couperaient PQ aux points demandés.

39. Il résulte de tous les problèmes précédens qu’on
peut mettre sur le châssis le plan perspectif d’un objet
d’après le devis de ses angles et de ses côtés. L’exécu-
tion en sera plus prompte et souvent même plus exacte,
en y employant les positions et les longueurs de diffé-
rentes diagonales qu’on imagine sur le plan original et
dont le calcul est tiès-facile lorsqu'il s’agit de polygo-

PE

nes réguliers, Voyons actuellement ce qui concerne les
hauteurs perspectives des objets.

4o. Mettre en perspective des droites perpendiculati-
res au plan horizontal ou, ce qui est la méme chose ,
mettre en perspective les rayons de hauteur.

Supposons qu'il s'agisse d'élever du point Q (PI.

52, fig. 3) une perpendiculaire à l'horizon haute de

; 1 ; :
6 modules Par le point de vue 0, où par un point
2

quelconque pris sur la ligne horizontale , et par le point
Q tirez une droite OF jusqu’au bord inférieur du ta-

bleau en F. Elevez au point F une perpendiculaire

EF à ce bord inférieur, faites-la de 6 modules pris
2

sur les divisions de ce bord et portée de Fen E, tirez
0E; l'intersection de cette dernière dioite avec une
perpendiculaire QT à la ligue horizontale menée du
point Q donnera en [le sommet de la ligne cherchée.
En effetolF et oE sont les perspectives de deux lignes
de niveau parallèles entre elles (voy. n° 15) et par con-
stquent les droites FE et GI qu'elles interceptent sout
originalement égales entre elles.

4x. Diviser les lignes perspectives des hauteurs en
parties égales ou inegales dans un rapport donne.

Les lignes perspectives des hauteurs étant parallèles
au plan du tableau, se divisent en parties égales par
les procédés de la géométrie élémentaire, car les pers-
pectives des parties égales des droites originales sont
elles-mêmes égales. Il en est de même pour les parties
inégales; elles sont proportionnelles à leurs perspectives.

42. Déterminer sur le tableau le point accidental des
parallèles qui sont inclinées à l'horizon, et données de
position.

Puisque les parallèles sont données de position, si l’on
imagine un plan vertical qui passe par chacune d’elles,
il est évident que tous les plans verticaux seront aussi
parallèles entre eux et qu’on connaîtra la position qu'ils
auront à l’égard du plan vertical du tableau. Or, ou ils
seront parallèles à ce plan vertical, ou ils seront posés
obliquement à son égard d’une quantité donnée.

43. I. Si les plans verticaux sont parallèles au plan
vertical du tableau, le point accidental cherché est dans
la ligne verticale du tableau, au-dessus ou au-dessous du
point de vue , d’une quantité égale au nombre des de-
grés du complément de l'inclinaison de ces parallèles à
l'égard de l'horizon, pris depuis le point de vue sur les
divisions de la ligne horizontale. Le point accidental est
au-dessus du point de vue, si l’inclinaison de ces lignes
écarte leur sommet du plan du tableau, et au-dessous
si elle l’en rapproche.

44. Supposons qu'il s'agisse de mettre en perspective
un parallélipi pède rectangle dont les faces soient incli-
nées à l'horizon de 39°, et appuyé parallèlement au

PE

plan vertical, contre un plan perpendiculaire à l'hori-
zon ; comme si c'était une solive. (PI. 53, fig. 4.) IL est
clair 1° que les côtés qui terminent les faces du parallé-
lipipède sont des parallèles inclinées à l'horizon de 39”,
et que les plans verticaux dans lesquels on suppose ces
côtés, sont paralièles au plan vertical du tableau. 2° Que
les plans des bases du parallélipipède sont aussi inclinés
à l'horizon d'une quantité égale à 51°, complément de
39°, à cause des angles droits qui sont aux angJles soli-
des du parallélipipède. 3° Que parmi les huit lignes
qui terminent les deux bases, il ÿ en a quatre parallèles
à l'horizon ; savoir : celle qui est couchée sur le terrain
et sa parallèle AB, DC, et celle qui est appuyée sur
le mur et sa parallèle ab, de; les quatre autres ad, be,
AD, BC, sont inclinées à l'horizon de 39°. D'où l’on voit
qu’il faut trouver dans la ligne verticale deux points
accidentaux, l’un T au dessus du point de vue, pour les
droites Aa, Bb, Ce, D qui terminent les faces, et
dout l’inclinaison écarte leur sommet du plan du ta-
bleau , et l’autre P au-dessous du point de vue S pour
celles AD, BC, ad, be qui terminent les bases, et dont
l'inclinaison les rapproche du plan du tableau. Il faut
donc prendre sur les divisions de la ligne horizontale
uue droite égale au complément de 51e, c'est-à-dire, à
la tangente de 39°, et la porter de S en T, et une ligne
égale au complément de 39°, et la porter de S en P; la
figure rend le reste sensible.

45. IT. Siles parallèles données sont dans des plans
verticaux qui fassent un augle avec le plan vertical du
tableau , comme si l’on supposait que le parallépipède
de l’exemple précédent dût être appuyé sur un plan qui
fit, avec le plan vertical, un angle 30°, ou, ce qui est la
même chose, qui eût une obliquité de Go° à l'égard du
plan du tableau ; alors il faudrait trois points acciden-
taux, l’un en T (PI. 52, fig, 5), pour les côtés qui ter-
minent les faces, l'autre en Q, pour les côtés de la
base qui sont appuyés les uns sur le terrain et les autres
sur le mur , et pour leurs parallèles; et le troisième en
P, pour les côtés de la base qui ne touchent le terrain
ou le mur que par une de leurs extrémités, et pour leurs
parallèles.

46. [n’y a aucune difficulté pour le point acciden-
tal Q des lignes qui sont couchées sur le terrain , il doit
toujours être dans la ligne horizontale, au point qui
marque leur obliquité à l'égard du plan vertical. Mais
pour trouver chacun des deux autres , voici le procédé.

Prenez sur la ligne horizontale VQ la tangente VE
du complément de l’inclinaison des faces à l'horizon,
portez-la de O en F sur une perpendiculaire élevée du
point de 45°, Joignez VI qui coupera en R la perpendi-
culaire DT, élevée du point D où est marqué le com-
plément de la déclinaison des faces à l'égard du plan
vertical; portez OF de D en K ; joïguez KR, faites

TOME I,

PE 205
DT — KR,etle point accidental cherché sera en T.
On trouve de même le point P.

47. Pour démontrer ce procédé, il faut concevoir
qu'une droite inclinée à l’horizon de 39 degrés , par
exemple, étant prolongée à l'infini , irait aboutir dans
le cielen un point élevé de 30° au-dessus de l'horizon :
ce point est situé sur un petit cercle de la sphère céleste
parallèle à l'horizon qu’on nomme almicuntarat (voy.
ce mot). Or, puisque la ligne horizontale du tableau est
la perspective de l'horizon céleste , 4 perspective d’un
almicantarat est une hyperbole , dont le sommet est
dans la ligne verticale, et dont le demi-axe principal est
égal à la tangente de la hauteur de ce cercle au-dessus
de l'horizon. C'est-à-dire que le demi-axe principal est
égal à la partie de la ligne horizontale, comprise depuis
le point de vue, jusqu’à la division qui marque le nom-
bre des degrés de la hauteur. Le second demi-axe de
cette hyperbole est le rayon principal.

Eu effet, un cercle céleste parallèle à l'horizon est la
base d'un cône optique dont le sommet est dans l’œil ,
etla base du cône opposé est un almicantarat, également
abaissé au-dessous de l'horizon. Que A, par exemple
(PL 52, fig. 6), soit le lieu de l'œil; que ABH représente
le plan de l'horizon céleste confondu avec le terrain ou
plan géométral à une distance infinie du point A ; que
PT représente le plan du tableau ; MEG l’almicantarat
élevé au-dessus de l'horizon de la quantité mesurée par
l’angle HAE, et KANI l’almicantarat au-dessous de
l'horizon ,il est clair que les deux cônes opposés étant
coupés par le plan du tableau PT, parallèlement à leur
axe CL, les sections »SM, Nsn, sout deux hyperboles
(voy. Hyrgrroze), dont le point de vue B du tableau
est le centre, AD ou SB le demi-axe priucipal, et AB
le demi second axe.

D'où l’on voit quesi par le point C (PI. 52, fig. 5),
qui marque sur le plan vertical une hauteur de 30° ,
ayant fait VC— VE, on fait passer une hyperbole CT,
dout VG et VO soient les demi-axes , elle sera la pers-
pective de l’almicantarat de 39°, et que le point acciden-
tal qu'on cherche doit se trouver dans cette hyperbole
à l’eudroit où elle est rencontrée par la perpendiculaire
élevée du point D. Il reste donc à démontrer que, par
la construction enseignée ci dessus (n° 46), on a trouvé
le vrai lieu du point T,

Soit VO — b, VC ou KD ouOF—a, VD = y, DT
ou KR — x. À cause des triangles semblables VDR,
OVF, ona

OV

: OF VD. : DR ;

ou

donc

ou

(&—@)

équation de l'hyperbole rapportée à ses axes principaux.
Aiïosi x ou DT est bien une abscisse d’une hyperbole
dont VC et VO sont les demi-axes conjugués.

Il est évident que VF est l’asymptote de l'hyperbole
CT ; de sorte qu'ayant le point T de l’almicautarat de
39°, il est facile de décrire l'hyperbole entière qui est la
perspective de cet almicantarat.

48. Cette méthode, qui est très-praticable lorsque les
inclinaisons des lignes originales n'excèdent pas 50 à 60
degrés, exige, lorsque ces inclinaisons sont plus grandes,
des développemens de lignes sur le plan du chässis qui
sont fort incommodes. On est même souvent alors forcé
de se passer de point accidental, et de déterminer cha-
que ligne inclinée en particulier , en cherchant par la
trigonométrie ou par une opération graphique dont
nous donnerons plus loin un exemple le point du ter-
rain où répond l’aplomb du sommet de chaque ligne
inclinée, et la longueur de cette ligne aplomb, puis en
mettant ce point et cette longueur en perspective.

49. Si, dans l'expression

_ æb — ay:
E B

trouvée ci-dessus, on remarque que a est la tangente de
l'inclinaison des parallèles données, inclinaison que nous
désignerons par 1; qu’en outre, y est la tangente de l’o-
bliquité du plan vertical du tableau à l'égard du plan
vertical des parallaxes , obliquité que nous désignerons
par O, et qu’enfin b est le rayon ou sinus total R ; cette
formule devient

tang? I

x = fr? + (tang O). Re

mais on a en général (voy. Sinus.),

(sécante}* = (rayon)? + (tangente)*

ainsi cette dernière expression donne

tang?I I
É- , OUX = sec RG

x? = sec? O.
R

ou enfin

j R.tang I
cos O
RP:
< desecO— ———.
à cause de sec Te

On a donc cette analogie : comme le cosinus de l'o-
bliquité du plan vertical du tableau , à l'égard des plans
verticaux sur lesquels sont situées des parallèles origi-
nales inclinces à l'horizon, est à la tangente de cette
inclinaison, ainsi le rayon est à la distance de la ligne
horizontale du tableau au point accidentalde ces paral-
dèles.

50. D'où l'on voitque si, par tousles degrés marqués
sur la ligne horizontale , on tire des perpendiculaires,
elles seront autant de perspectives de grands cercles de
la sphère, perpendiculaires à l'horizon , ce que l’on
nomme des cercles verticaux, propres à mesurer par
leurs degrés toutes les inclinaisors possibles des droites
situées obliquement à l'horizon et au plan vertical. La
ligne verticale du tableau est elle-même un de ces
grands cercles, qu’on peut comparer au méridien de la
sphère céleste. Si donc on voulait diviser en degrés tous
ces verticaux perspectifs , il est clair que la ligne verti-
cale aurait des divisions égales à celles de la ligne hori-
zontale ; et qu'a l'égard des autres verticaux, on les di-
viserait aisément par le calcul de l’analogie précédente.

51. Sans avoir recours au calcul, on peut opérer gra-
phiquement cette division de la manière suivante. Soit
OQ (PL. 52, 6g.7) la ligne horizontale, SB la ligne ver-
ticale, et OY le vertical qu’il s’agit de diviser ; portez le
rayon principal de O en Q , et portez de O en M la dis-
tance OS de ce vertical au point de vue. En regardant
la ligne verticale du tableau comme le méridien, la dis-
tance OS se nommerait, en astronomie, l’azimuth (voy.
ce mot), du vertical à diviser. Joignez M et Q; et du
point Q comme centre avec le rayon QO décrivez l'arc
de cercle ON. Du point N, abaissez sur OQ la perpen-
diculaire NL, laquelle est évidemment le cosinus de
l'azimuth, puisque OM en est la tangente, etNL le sinus.
Portez LQ de Q en P, à l'opposé du point O. Faites pas-
ser par P la perpendiculaire PR, sur laquelle portez de
part et d'autre du point P, cemme en t{,u, x, etc., les
divisions prises sur la ligne horizontale depuis S'. Par
le point Q et par les points 4, u, x, etc., tirez des droi-
tes qui donneront les points T, V,X, etc., des divisions
demandées. Car P{ étant, par exemple, la tangente de
10° dont le rayon est OQ, les triangles rectangles sem-

blables QOT , QP+, donnent
QP : P£ :3 QO : OP,

ce qui est identique avec l’analogie du numéro précé-
dent.
52. Lorsqu'on à uu grand nombre d'objets à mettre

P

en perspective , il faut préalablement calculer à quelle

res)

distance du tableau on doit supposer les objets qu'on
veut représenter sur le devant, pour qu’il soit possible
de les faire entrer en entier sur le tableau. Ce calcul est
fondé sur la proportion :

La hauteur du tableau est au rayon principal, com-
me la hauteur de l’objet est à La distance de l'œil où il
J'aut le placer, pour que sa hauteur puisse étre repré-
sentée tout entière dans le tableau.

Supposons, par exemple, que AB (PI. 52, fig. 8) est
l'objet le plus proche et le plus élevé, sa hauteur étant
de 16 modules , letableau TR ayant 5 modules de hau-
teur, et le rayon principal TO étant de 10 modules, il
est évident qu'on a

RE ; TO :: AD : AO.

Par le calcul on trouve AO — 52 modules, et par con-
séquent AT = AO — TO — 22 modules. Il faut donc
éloigner le tableau de22 modules de l’objet pour que cet
objet puisse s’y voir tout entier. La place de cet abjet
se nomme alors le devant de la scène.

53. Il ne suffit pas d’avoir trouvé la distance du de-
vant de la scène, car il est essentiel d'examiner si, d’a-
près cette distance , le tableau est assez large pour com-
prendre tous les objets qu’on veut représenter sur ce
devant.

On peut s'assurer de cette circonstance par la pro-
portion :

La distance de l'œil à l'objet, trouvée ci-dessus, est
au rayon principal, comme la largeur du devant de la
scène est à la largeur que doit avoir le tableau pour la
contenir.

Car soit AB (PI. 52, fig. 9) la largeur du devant de
la scène , égale à 48 modules ; soit en O le lieu de l'œil,
éloigné de AB de 32 modules — OC ; soit enfin, DE
la largeur du tableau. Or, pour que tout le devant de
la scène puisse être contenu dans le tableau, il faut
que les rayons OD et OE qui vont de l'œil aux bords
du tableau tombent aux extrémités A et B de ce de-
vant de scène; ainsi les triangles ODE et OAB étant
semblables, et OC, OF étant les hauteurs de ces trian-
gles, on a

OG : OF :: AB: DE

ce qui donne, en substituant les nombres proposés,
DE — 15 modules. Il faut donc que le tableau ait 15
modules de large pour contenir le devant de la scène
tant en Jargeur qu’en hauteur. Mais si le tableau n’en
avait, par exemple, que 12, alors, pour lui faire con-
tenir tout le devant de la scène, il faut l'éloigner da-
vantage des objets, ce qui peut se faire par cette pro-
portion, qui est l'inverse de la précédente :

La largeur du tableau est au rayon principal,
comme la largeur du devant de la scène est à la dis-

PE SOT
tance de l'œil où il faut placer ce devant pour le faire
entrer tout entier dans de tableau.

54. Après avoir ainsi déterminé avec exactitude la
distance du devant de la scène, le premier soin à pren-
dre est de trouver sur le tableau la position de la ligne
horizontale et celle de la ligne verticale, Pour cet effet
on choisit le point du devant dela scène vis-à-vis du-
quel on veut que l'œil du spectatenr soit placé. Ce
point est donc à une certaine distance d’un des bords
du devant de la scène, et à une certaine hauteur aw-
dessus du terrain. Ces distances étant mesurées, les
deux proportions suivantes font connaître la position
des lignes horizontales et verticales.

1. La distance de l'œil au point choisi sur te devant
de la scène est au rayon principal, comme la distance
du point choisi à une des extrémités du devant de la
scène est à la distance de la ligne verticale au bord du
tableau, placé du mème côté que celte extrémité.

II. La distance de l'œil au point choisi est à la hau-
teur de ce point au-dessus du terrain, comme le rayon
principal est à la distance de la ligne horizontale au
bord inférieur du tableau. |

La démonstration de ces deux analogies est trop facile
pour que nous croyions devoir nous y arrêter.

55. Si le devant AB de la scène (PI. 52, fig. 10) n’était
pas parallèle au plan DE du tableau, comme si l’on vou-
lait représenter une façade de bâtiment vue un peu
obliquement , et que cette façade remplit exactement
la largeur du tableau, les calculs préparatoires devien-
draient un peu plus compliqués , mais on peut les évi-
ter en faisant différens essais, c’est-à-dire, en mettant
en perspective les quatre points des extrémités de cet
objet , et en réglant les dimensions du tableau sur celles
du trapèze perspectif que donnent ces quatre points.
Voici du reste ces calculs préparatoires.

Le point F étant celui par lequel on veut faire passer
le plan vertical, on calculera la grandeur des lignes AL,
FM, AHet FH, soit par les procédés de la trigonomé-
trie, soit à l’aide d'une échelle, en les construisant sur
un plan bien exact. Faisant OP = r, DE = tet PE=x;
æ sera la distance de la ligne verticale au bord du ta-
bleau , et cette valeur trouvée par le calcul servira en-
suite à calculer tout le reste. Les triangles semblables
BGL , OPE donnent

OP : PE :: BL : LG,
ou

se dc fi 2
:

en désignant encore BL par b, Faisant aussi FM = HL
= d'ete AH = f, les triangles semblables HGO , PEO

donnent
PE : OP :: HG : HO

b
à cause de HG = HL — LG = d — — Enfin, les

triangles semblables AHO, PDO donnent

DP : OP :: AH : HO

ou

Égalant les deux valeurs de HO , on a l'équation

7e

LA FT dx

qui devient,"en faisant disparaitre les dénominateurs ,

me UE nu

drt
3 =0»

dr—bt—fr
b —A,

ce qui donne , en faisant pour abréger

connaissant ainsi æ ou PE, on aura PD etensuite PF,
puisque PF = HO Æ HF -— OP; on connaîtra donc la
distance du point de vue P du tableau, au point F du
devant de la scène , par où le plan vertical doit passer.

56. Quant à la position de l’œil et à sa hauteur, nous
devons remarquer que dans les tableaux ordinaires ,
destinés à parer un appartement, il est à propos
de supposer l'œil élevé de 7 à 8 pieds au-dessus du
terrain ou plan géométral, excepté lorsqu'on a un
grand nombre d'objets à représenter sur un terrain,
comme serait le tableau d’un jardin; car alors il est
nécessaire d'élever l’œil de sorte que les parties ne
soient pas trop dégradées par la perspective et qu’on
puisse les distinguer sans confusion. Ces sortes de per-
spectives se nomment & vue d'oiseau.

Ainsi on ne doit s’astreindre à placer l'œil à la hau-
teur ordinaire d’un homme comme de 5 pieds à 5 pieds
; » que dans les perspectives qui sont faites pour être
vues de très loin , et pour paraître une continuation
du terrain sur lequel le spectateur est placé. Telle serait
un bout de galerie alongée par un tableau de perspec-
üve, ou un tableau mis au fond d'un jardin. Dans les
perspectives de décorations de théâtre , on doit suppo-
ser l'œil placé vers le milicu de l'amphithéätre, et à la

PE

hauteur de trois ou quatre pieds au-dessus du niveau
de cet amphithéitre , afin que le terrain mis en perspec-
tive paraisse une continuation non interrompue du par-
quet du théâtre.

57. La longueur du rayon principal doit être aussi
choisie de manière que les perspectives des objets n'aient
pas leurs parties trop raccourcies et trop défigurées.
Lorsque le tableau ne doit pas être vu de loin et qu’il
n’est pas assujéti à une certaine place fixe, on peut se ser-
vir de cette règle : le rayon principal ne doit pas étre
plus court que la moitié de la diagonale du tableau, ni
plus long que cette diagonale , lorsqu'on veut que tous
les traits des principaux objets soient finis. Mais dans
les grandes perspectives, comme dans celles des décora-
tions de théâtre, qu’on doit supposer hors de la portée
ordinaire de la vue, et dont par conséquent les traits ne
doivent qu’être dessinés grossièrement et non pas finis,
on doit placer l'œil à la distance que la situation du lieu
indiquera.

58. La théorie des ombres est un objet essentiel de la
perspective pratique, mais elle appartient plus particu-
lièrement à la perspective aérienne, et les considérations
géométriques qu’elle peut présenter ne sont que des
conséquences immédiates des principes que nous avons
exposés au mot Omere ; nous devons donc nous conten-
ter de renvoyer à cet article, ainsi qu'aux divers éraites
de perspectives où cette matière est traitée avec tous ses
développemens. Ce qui précède renferme l'exposé
complet des procédés et des principes de la perspective
linéaire. Nous en verrons encore quelques applications
au mot ProsEcTIoN.

59. Les règles générales de la perspective lineaire
paraissent avoir été connues des anciens, quoiqu'il ne
nous soit rien parvenu d’eux sur ce sujet, car il est cer-
tain, d’après un passage de Vitruve, que Démocrite et
Anaxagore s’occupèrent des décorations de théâtre et
des moyens de les mettre en perspective, après qu’Aga-
tharque eut exécuté le premier de telles décorations ;
mais cette science a été recréée par les modernes , et
c’est à Albert Durer et à Pietro del Borgo que nous de-
vons ses principes fondamentaux. Eu 1600, Guido
Obaldi fit paraitre le premier traité systématique de
perspective ; ouvrage très-bien fait et qui servit depuis
de modèle à une foule d'auteurs. Plus récemment Des-
chales, Lamy, S'Gravesande, Taylor et Ozanam publiè-
rent des traités que n’ont point fait oublier les métho-
des modernes dont nous parlerons au mot STÉRÉOTOMIE.
On doit à Lacaille un traité d'optique dans lequel la
perspective se trouve traitée d’une mamière très-claire
et où nous avons puisé la matière de cet article. Nous
indiquerons à nos lecteurs la théorie des ombres et de la
perspective de Monge, ajoutée à la cinquième édition de
sa Géométrie descriptive, et le dessin linéaire appliqué

PE

aux arts, de M. Thierry. loy. aussile 7rarté de Pers-
pective de Lavit, et celui de J.-B. Cloquet.

PERTURBATION. (454) Inégalité dans le mouve-
ment des planètes produite par l'attraction mutuelle
de ces corps.

Si chaque planète n'obéissait qu'à l’action du soleil,
son mouvement s’exécuterait dans une ellipse dont la
forme serait constante et chacune des périodes de ce
mouvement serait exactement la même que celle
qui la précède et que celle qui la suit. Mais, l'attraction
étant universelle et réciproque entre toutes les parties
de la matière, chaque planète éprouve incessamment
l’action de toutes les autres; et il doit nécessairement
résulter de cette action, qui varie sans cesse, d'après
le changement des directions et des distances, des varia-
tions dans les courbes ou les orbites parcourues. C’est a
ces variations qu’on a donné le nom de perturbations.

Les masses des planètes, comparées à celle du soleil,

étant d’une extrême petitesse , leurs attractions mutuel-
les sont très-faibles par rapport au pouvoir central qui
les force à circuler autour de cet astre, et les effets de
ces attractions ou des forces dites perturbatrices sont
proportionvellement très - petits. Ce n’est générale-
ment que dans un long intervalle de temps que ces ef-
fets deviennent sensibles, et il a fallu toute la perfec-
tion des instrumens modernes et des procédés d’obser-
vations pour reconnaître quelques-unes de ces pertir-
bations, dont cependant l’existence se trouve démontrée
à priori par la science.
” La théorie des perturbations forme aujourd'hui le
point le plus élevé de ce qu’on appelle la mécanique
céleste, et celui sur lequel se sont réunis les efforts des
plus grands géomètres. Malgré tous leurs travaux , le
problème fondamental de cette théorie n’est encore
que posé, car sa solution complète exige des intégra-
tions d’équations différentielles qui dépassent les moyens
actuels de la science des nombres. Nous allons faire
connaître les points principaux de ce problème.

D’après l’extrême petitesse des forces perturbatrices
et des effets qu’elies produisent, on peut, sans crain-
dre d’erreur dans les résultats, estimer chaque effet
séparément , et comme si tous les autres n’existaient
pas ; car, d’après un principe de mécanique , si de très-
petites forces agissent simultanément sur un système
matériel, l'effet total des forces combinées est la somme
des effets que chaque force produirait séparément , au
moins tant que leur action n’aura pas altéré d’une ma-
nière sensible les relations primitives des parties du sys-
tème. Ainsi, pour évaluer les influences perturbatrices
de plusieurs corps compris dans un même système,
lorsqu'un de ces corps a une prépondérance très-grande
sur tous les autres , nous pouvons nous contenter d’é-

PE

valuer isolément l'influence de chacun de ces corps en

009

particulier , sans nous occuper de la combinaison de ces
influences entre elles, combinaison qui ne peut altérer
les relations originales du système que par l'accumula-
tion de ses effets pendant des périodes d’une immense
durée. De cette manière, quel que soit le nombre des
corps qui composent le système, le problème est ramené
à la considération de trois corps : un corps central ou
prédominant , un corps troublant et un corps troublé ;
ces deux derniers changent de rôles selon qu'il s'agit
de déterminer le mouvement de l'un ou de l'autre.
C'est la détermination des lois de ce mouvement qui
forme l’objet du problème devenu si célèbre sous le
nom de PROBLÈME DES ‘TROIS coups.

Soit S le corps principal (PI. 53, fix. 1)et T'et P les
corps respectivement troublé et troublant. Représen-
tant par ATBA l'orbite que le corps T décrirait sans la
force perturbatrice, et, en supposant que ce corps se
trouve en T à une époque donnée, soit TT’ l'arc qu'il
parcourrait dans l'instant suivant s’il n’était pas troublé
par l’action du corps P, dont CPDC représente l’orbite
située dans un autre plan que l'orbite ATBA , mais qui
coupe le plan de cette dernière, suivant la ligne des
nœuds EF, Menons au point T' une tangente à l’are
TI", cette tangeute irait couper la ligne des nœuds
en R. Ceci posé, comme l’action de P sur S et
sur T agit suivant les directions PS et PT, quine sont
ni l’une ni l’autre dans le plau de l'orbite ATBA ; cha-
cun de ces corps sera sollicité à sortir de ce plan, mais
d’une manière inégale , parce que les droites PS et PT
ne sont ni égales ni parallèles, et que le corps P attire
inégalement les corps S et T, d'après la loi générale dela
gravitation, C’est donc par la différence des attractions
que l’orbite primitive ou relative de T autour de S se
trouve changée, et si l’on continue de rapporter le mou-
vement de T autour du point S comme à un centre
fixe , la portion perturbatrice de l'action de P sur T
obligera T à dévier du plan ATBA , et à décrire non
plus l’arc TT", mais un arc TL, situé au dessus ou au-
dessous de TT" selon la prépondérance des forces avec
lesquelles P sollicite S et T.

Or, Ja force perturbatiice qui agit suivant la direction
PT peut être considérée comme décomposée en deux
autres, dans le plan du triangle STP, savoir : en une
force qui agit dans la direction ST et qui tend à accroi-
tre ou à diminuer, selon les cas, l'attraction de S sur T,
et en une seconde force qui agit dans la direction TM,
parallèle à SP, et qui rapproche ou éloigne T de M,
selon les cas. Ainsi, comme la composante de la force
perturbatrice, dirigée selon ST, est comprise dans le
plan ATBA, elle ne saurait tendre à faire sortir T de
ce plan; c’est donc l’autre composante seule dirigée
selon TM qui peut produirecet effet. Il est bien en-

510 PE

tendu que nous considérons ici ces composantes d’une
manière relative, en regardant le point $ comme fixe,
et en rapportant à L toute l’action de la force pertur-
batrice.

Maintenant , pour nous rendre compte de l’effet que
doit produire la force dirigée selon TM, remarquons
que, d’après la configuration que présente notre figure,
cette force tire T vers M, et comme TM parallèle à SP
tombe du côté de l'orbite de P, ou au-dessous de celui
de T, en regardant le premier comme plan fondamen-
tal ,ilest évident que l'arc T4, décrit par T dans son
mouvement troublé, tombe au-dessous de TT", et si on
prolonge cet arc, c’'eit-à-dire si on lui mène une tan-
gente au point £, cette tangente £V ira couper le plan
de P en un point V, situé en arrière de R , de manière
que la droite SVP’ qui sera l'intersection du plan STV
avec celui de l'orbite de P, et qui sera conséquemment
la nouvelle ligne des nœuds, viendra tomber en
arrière de la ligne primitive des nœuds SF. Ainsi, par
suite de la perturbation qui fait décrire l'arc T£ au lieu
de l'arc TT’, la ligne des nœuds aura rétrogradé de
l'angle FSV. Nous regardonsici comme directs les mou-
vemens de T et de P.

Mais conservant toujours la même situation, si
nous supposons que Pest à la gauche de la ligne des
nœuds , au lieu d’être à droite comme dans la figure, il
est facile de voir que la composante selon la direction
TM tendra à soulever T, que T£sera au-dessus de TT"
et que la ligne des nœuds avancera au lieu de rétrogra-
der. L'action de la force perturbatrice a donc pour effet
d'imprimer à la ligne des nœuds un mouvement oscil-
latoire , et suivant que dans l’ensemble de toutes les
situations relatives possibles de T et de P , la somme
de toutesles quantités de rétrogradation sera plus grande
ou plus petite que celle de toutes les quantités d’avan-
cement , le nœud aura finalement retrogradé où avancé.

Outre cette variation de la position des nœuds, il ré-
sulte encore des considérations qui nous ont amenés à
la reconnaitre, que l'orbite de T doit éprouver des mo-
difications dans sa forme et dans son inclinaison sur
celui de P, car tantôt l’action de la force perturba-
trice rapproche ou éloigne T deS , tantôt elle l'élève
au-dessus du plan de son orbite primitive ou l’abaïisse
au-dessus de ce plan. Cette orbite éprouve donc des
changemens continuels, mais ces changemens sont pé-
riodiques, c'est-à-dire, que dans un certain intervalle
de temps les dimensions et l’inclinaison primitives se
reproduisent pour varier ensuite de nouveau.

L'action générele de la force perturbatrice fait donc
décrire au corps T une orbite dont deux parties ou
deux élémens successifs ne sont pas compris dans le
même plan, ce qui rend cette orbite une courbe à dou-

ble courbure , et le phénomène de la diminution ou de

PE

l'augmentation de son inclinaison sur l'orbite de P est
intimement lié avec celui de la rétrogradation ou de la-
vancement de la ligne des nœuds. Cependant s’il s’agis-
sait de calculer ces perturbations, dont ce qui précède
n’est destiné qu’à démontrer la nécessité, il faudrait re-
marquer que la question est beaucoup plus compliquée
que nous ne l'avons présentée jusqu'ici, car l'orbite de P
est elle-même variable par suite de l’action perturba-
trice de T sur P, et le mouvement deses nœuds, par
rapport à l'orbite de T, se combine à celui des nœuds
de l'orbite de T, par rapport à l'orbite de P,; de telle
manière que le déplacement final de l'intersection des
plans primitifs résulte de la combinaison de toutes les
variations respectives. Bien plus, pour obtenir le mouve-
ment définitif de l'orbite d’une planète, il ne suffit plus
de considérer seulement l’action perturbatrice d’une
autre planète, mais il faut combiner deux à deux tou-
tes les planètes qui composent le système solaire et avoir
égard à la situation variable des plans de toutes les or-
bites.

Si l’on considère le plan de Pécliptique comme un
plau fixe, on trouve que les nœuds de toutes les or-
bites des planètes ont, sur ce plan, un mouvement final
rétrograde extrêmement lent, car le plus rapide de
tous ne s'élève pas à un degré par siècle. Ce mouve-
ment rétrograde s'effectue pour chaque planète dans
une période de temps plus ou moins longue, à l’expi-
ration de laquelle le nœud se retrouve dans la même
situation qu’il avait à l’origine, tandis que l’inclinaison
de l’orbite qui a diminué pendant une partie de la pé-
riode s’accroit pendant l’autre partie, de telle sorte
qu'après uue révolution complète du nœud l’inclinai-
son a repris sa yaleur originaire.

Il résulte des recherches de Laplace que, par cela
seul que les planètes se meuvent dans le même sens,
dans des orbites peu excentriques et peu inclinées les
unes sur les autres, les perturbations sont périodiques
et renfermées dans d’étroites limites; en sorte que le
système planétaire ne fait qu’osciller autour d’un état
moyen, dont il ne s’écarte jamais que d’une petite
quantité : ainsi les orbites des planètes ont toujours été
et seront toujours à peu près circulaires, et il est im-
possible qu'aucune planète ait été primitivement une
comète.

L'écliptique elle-même changeant de position dans
l'espace, il était nécessaire , pour évaluer la variation
totale de l’inclinaison des orbes planétaires, de rappor-
ter ces orbes à un plan invariable; c'est ce qui a conduit
Lagrarge à la découverte du beau théorème suivant:

Si l’on multiplie la masse de chaque planète par la
racine carrée du grand axe de son orbite, et par le

carré de la tangente de son inclinaison à un plan fixe,

PE

La somme de ces produits sêra constamment la méme,
sous l'influence de leurs attractions mutuelles.

Ainsi la stabilité du système planétaire doit être re-
gardée désormais comme assurée, du moins en ce qui
concerne les inclinaisons des orbites. (Foy. PLanÈre et

PRÉCFSSION.)

PESANTEUR. (Méc.) Force en vertu de laquelle
tous les corps tombent à la surface de la terre lorsqu'ils
ne sont pas soutenus.

Le mot pesanteur signifie la même chose que gra-
vité, mais ce dernier motse rapporte en général à tous
les corps de l'Univers , tandis que le premier s'emploie
plus particulièrement pour les corps du globe terrestre.

Pendant long-temps on a confondu la pesanteur et
le poids des corps, et l’on croyait que les corps avaient
une tendance à tomber d’autant plus grande qu'ils
avaient plus de masse. Cela était à la vérité assez vrai-
semblable, car on voit journellement qu’un corps peu
dense, comme uue plume, tombe moins vite qu’un
corps plus dense , comme un morceau de plomb. Mais
ce plus ou moins de vitesse n’est pas proportionnel au
poids, et il ne fallait qu’une expérience bien simple
pour renverser celte grossière théorie dont on se con-
tenta pendant tant de siècles, sous l'autorité d’Aristote.

Galilée est le premier qui ait imaginé de faire tom-
ber d’une même hauteur des corps de différens poids,
et de comparer avec ces poids les vitesses de leurs
chutes. Ayant trouvé que les vitesses ne sont jamais
proportionnelles aux poids ctque, de deux corps égaux
en poids, celui dont le volume est le plus grand tombe
moins vite que l’autre, il reconnut que la différence
des vitesses ne pouvait provenir que de la résistance de
l'air qui agissait avec plus de force sur celui des deux
corps qui présentait le plus grand volume, et il finit
par conclure que tous les corps , de quelque nature
qu'ils fussent, doivent tomber également vite, en fai-
sant abstraction de la résistance de l’air. Nous avons
donné aux mots ACCÉLÉRATION, AGCÉLÉRE et GALILÉE,
l'histoire de cette grande découverte qui vint chan-
ger la face de la physique, ainsi que les lois de la chute
des corps; nous nous contenterous donc ici de résumer
ces lois qui sont en même temps celle de la pesan-
teur.

1° La force qui fait tomber les corps agit dans une
direction toujours perpendiculaire à l'horizon ; 2° elle est
constamment uniforme et agit également à chaque
instant; 3° les corps tombent vers la terre d’un mou-
vement uniformément accéléré; 4° leurs vitesses sont
comme les temps de leur mouvement; 5° les espaces
qu'ils parcourent sont comme les carrés des temps;
6° enfin, l’espace qu'un corps parcourt en tombant
pendant un temps quelconque est la moitié de celui

PE o11
qu'il parcourait pendant le même temps d’un mouve.
ment uniforme avec la vitesse acquise.

Le poids d'un corps et sa pesanteur sont denc des
choses qu’il est important de ne pas confondre, quoi-
que ces expressions soient synonymes dans le langage
ordinaire ; en effet, la pesanteur d’un corps est la force
qui le sollicite à descendre, et son poids est la somme
des parties pesantes qui sont contenues dans le même
volume ou le produit de sa masse par la pesanteur. La
pesanteur appartient également à toutes les parties
d’un même corps: cette force n’augmente ni ne di-
mioue par leur réunion ou leur séparation; mais le
poids d’un corps change, comme la quantité de matière
qui le compose, On peut donc dire de deux corps de
différens poids, qu'ils ont la même pesanteur, car l’un
et l’autre tendent de haut en bas avec la même vitesse.

Les observations de la durée des oscillations du pen-
dule ont prouvé que la pesanteur n’est pas la mêmesur
toute la surface de la terre, mais que l'intensité de cette
force varie de telle man'ère qu’elle est la plus grande
aux pôles et la plus petite sous l’équateur; phénomène
qui prouve le mouvement de rotation de la terre sur
son axe. Car chaque point de la surface de la terre dé-
crivant un cercle, et ce cercle étant d'autant plus grand
qu'il est plus près de l’équateur, les corps qui sont
placés à la surface acquièrent une force centrifuge d'au-
tant plus considérable qu’ils décrivent de plus grands
cercles dans le même temps , et comme la force cen-
trifuge (voy. ce mot) agit en sens inverse dela force
centrale de la pesanteur, elle diminue nécessairement
les effets de cette dernière.

En prouvant l’identité de la force qui retient les pla -
nètes dans leurs orbites avec la pesanteur (voy. Arrrac-
TION et GravirÉ), Newton a prouvé que la pesanteur
doit diminuer à mesure qu’on s'éloigne du centre de la
terre; cette diminution, insensible pour de petites hau-
teurs, peut cependant être reconnue par l'expérienc®,
car Bouguer et La Condamine, ayant fait osailler un
pendule au pied et sur le sommet d’une des montagnes
des Cordillières, ont trouvé que la durée des oscilla-
tions était plus grande au sommet qu’au pied.

PESANTEUR SPÉCIFIQUE. Poids que pèse un
corps sous un volume donné, comme, par exemple, uu
décimètre cube. Plus un corps a de poids sous ce volume
déterminé, plas sa pesanteur spécifique est grande. Par
exemple, le platine est de tous les corps terrestres celui
qui a la plus grande pesanteur spécifique , parce qu’un
décimètre cube de platine a plus de poids qu’un déci-
mètre cube de toute autre substance. (Foy. Dexsiré.)

PÉSE-LIQUEUR. (Mec.) (Foy. ArÉomÉrrE.)

PESON. (HMet.) Espèce de balance nommée autre:
ment BALANCE ROMANE. (Foy. ce mot.)

212 PI

PHASES. (45) On donne ce nom aux diverses ap-
parences que présentent la lune et les planètes selon les
différentes manières dont elles nous renvoient la lumière
du soleil, Ce mot vient du grec Dao, je brille.

Les phases les plus remarquables sont celles de la
lune, nous en avons donné l'explication au mot Lux.
Vénus et Mercure offrent des phases exactement sem-
blables à celles de la lune, mais on ne peut les observer
qu’à l’aide du télescope. Mars a aussi des phases incom-
plètes , et il en est de même, à un moindre degré , des

planètes plus éloignées.

PHILOLAUS DE CROTONE, philosophe pythago-
ricien, vivait vers l’an 450 avant notre ère, Il est le
premier des disciples de Pythagore qui ait enseigné pu-
bliquement le mouvement de la terre; et c’est pour
cela que Boulliau a donné le titre d’Astronomte Philo-
laïque à son traité des astres, écrit d’après cette hypo-
thèse. On a peu de détails sur la vie de Philolaus; on
sait seulement qu'il avait composé un grand nombre
d’écrits qui ont été perdus. Platon faisait tant de cas de
son traité sur la physique que, suivant Diopène Laërce,
il l’acheta de ses héritiers au prix énorme de dix mille

deniers ou cent mines.

PHILOSOPHIE DES MATHEMATIQUES. Don-
ner à priori la déduction de tous les principes des ma-
thématiques , de ses diverses branches , des lois fonda-
mentales qui les régissent, expliquer les phénomènes
intellectuels qu’elles présentent , démontrer la nécessité
de ces phénomènes ; apporter enfin l'unité systématique
dans ces hautes sciences en leur offrant pour base de la
certitude qui les caractérise une certitude supérieure et
absolue, tel est l’objet de la philosophie des mathéma-
liques.

Mais pour atteindre un but si élevé, la PuirosopmiE
doit d'abord se poser elle-même comme science, et
prouver qu’assise sur une base désormais inébranlable,
elle peut enfin réaliser son idé:l : LA LÉGISLATION DE LA
RAISON nuMaAINE. Cependant si l’on jette un coup d'œil
critique sur les divers systèmes qui prétendent encore
de nos jours usurper en France le nom de philosophie,
on voit bientôt que loin de pouvoir fonder les mathé-
matiques, il n’en est pas un qui soit capable de s'élever
au degré de certitude de ces sciences. Est-ce au rraté-
rialisme aveugle qui nie l'intelligence par l'intelligence,
étouffe la spontanéité de la raison sous les entraves des
sens, et divinisele hasard, que nous pourrons deman-
der la solution de tant de grandes questions ? Ou , sans
nous arrêter à cet ignare système qui ne peut rien
expliquer, remonterons-nous au sensualisme, dont il
n’est que la plus grossière conséquence, pour réclamer
quelques rayons de lumière ? Voici sa réponse.

PH

« L'algèbre est une langue bien faite et c’est la seule;
rien n’y parait arbitraire , Panalogie qui n’échappe ja-
mais conduit sensiblement d'expression en expression.
L'usage ici n’a aucune autorité. [ne s’agit pas de par-
ler comme les autres, il faut parler d’après la plus
grande analogie pour arriver à la plus grande précision ;
et ceux qui ont fait cette langue, ont senti que la sim-
plicité du style en fait toute l'élégance; vérité peu con-
nue dans nos langues vulgaires.

» Dès que l'algèbre est une langue que l’analogie fait,
l’analogie qui fait la langue, fait les méthodes ; ou plu-
tôt la méthode d'invention n’est que l’analogie même.

» L’analogie : voilà donc à quoi se réduit tout l’art
de raisonner, comme tout l'art de parler; et dans ce seul
mot nous voyons commentnous pouvons nous instruire
des découvertes des autres, et comment nous pouvons
en faire nous-mêmes. » — Or, une science bien traitée
n’est qu’une langue bien faite, »

» Les mathématiques sont une science bien traitée
dont la langue est l'algèbre. Voyons donc comment
l'analopie nous fait parler dans cette science, et nous sau-
rons comment elle doit nous faire parler dans les autres.»
(Condillac, la Langue des Calculs.)

Quelle est donc cette analogie prodigieuse , érigée
en critérium de la vérité? Quel rang occupe-t-elle par-
mi les fonctions de l'intelligence? Sur quel principe
repose la certitude de ses procédés ? Voilà des questions
préliminaires qu'il était important de traiter, car ayant
pour butnon seulement d’expliquer les mathématiques,
mais encore d'amener toutes les autres sciences à leur
degré d’exactitude, l’auteur aurait dû commencer par
prouver la puissance de l’analogie qui devait opérer de
si belles choses, et qui finit par produire de mauvais
élémens d’arithmétique et d’algèbre. C’est cependant au
livre insignifiant de /a Langue des Calculs que se ré-
duisent toutes les tentatives de l’école de Locke sur la
philosophie des sciences !

Si, dégoûté du sensualisme et de ses interminables
dissertations sur les langues, nous tournons nos regards
vers des systèmes sinon plus nouveaux, du mois plus
récemment produits, est-ce à la psychologie transcen-
dante de ce qu’on nomme l’école française, au Pan-
theisme des Saint-Simoniens, ou bien à cette doctrine
écossaise, pour laquelle un directeur de l'instruction
publique voulait créer des chaires dans nos colléges ,
que nous irons demander la philosophie des mathéma-
tiques? Certes, la psychologie transcendante et le mo-
derne panthéisme n’ont rien à faire dans des questions
réellement scientifiques , et quant à la doctrine écos-
saise , qui n’est encore que le sensualisme amené à son
dernier développement , Reid nous apprendra, entre
autres choses merveilleuses, que si l’homme était réduit
au seul sens de la vue, il ne pourrait connaitre que l'é-

PI

tendue superficielle à deux dimensions , et prendrait
pour des lignes droites ce qui serait réellement des arcs
de grands cercles tracés sur une surface sphérique dont
le centre serait dans son œil. Les triangles qu’il consi-
dérerait comme rectilignes pourraient avoir deux angles
ou mème les trois angles droits ou obtus. Ainsi la géo-
métrie d’un tel homme serait toute différente de la n6-
tre : deux de ces lignes qu'il prendrait pour droites se
rencontrant, par exemple, toujours en deux points, la
notion de deux droites parallèles serait contradictoire
pour lui.

Au milieu de tant d’aberrations intellectuelles , doit-
on donc désespérer de la philosophie ? Pourra-t-elle ja-
mais s'élever jusqu’à la noble tâche qui lui est imposée
pour conquérir enfin le rang supérieur qu’elle doit oc-
cuper parmi les sciences, et sans lequel elle n’est qu’une
connaissance vaine et méprisable? A l'aspect d’un si
grand nombre de tentatives infructueuses, lorsqu'il
semble que l'esprit humain v’ait fait, depuis la plus
haute antiquité , que tourner dans un cercle sans issue ,
le doute est si naturel, que l'indifférence du public fran-
çais pour toutes les grandes questions philosephiques ne
saurait nous étonner.Et cependant, depuis un demi-siècle
une révolution inattendue, immense, s’est opérée dans
le domaine du savoir, une voie nouvelle s’est ouverte !
Au moment où le découragement s’emparait des pen-
seurs les plus profonds, un homme s’est levé tout-à-
coup ; d’une main ferme et sûre il a porté le scalpel de
l’aua'yse dans les facultés de l'intelligence ; les a cir-
couscriles dans le champ de leur action; a tracé leurs
contours, déterminé leurs lois; et, nouveau Copernic,
a crié à la foule étonnée : c’est en transportant hors
d’elle ce qui se passe en elle, que la raison humaine
tombe dans toutes les illusions iuconciliables qui font
son désespoir. La voix puissante de cet homme n’a
point jusqu'ici trouvé d’échos en France, et dans ce mo-
ment, où la postérité a commencé pour lui, lorsque
le nom immortel d'Emmanuez Kanr n'est prononcé
qu'avec respect dans tout le nord de l'Europe, c'est à
peine si quelques protestations timides osent s'élever
contre les fausses idées que l’on semble avoir pris plai-
sir de répandre sur sa doctrine, et sur tous les travaux
dont elle a été la base ou le point de départ.

Ainsi pendant que la France, livrée à la stérile logo-
machie des disciples de Condillac, se précipitait dans
l'arène périlleuse des réformes politiques , où, privée
de principes supérieurs, elle ne pouvait que marcher
d'expérience en expérience, chèrement payées de son
sang et deses trésors, l'Allemagne accomplissait une ré-
forme toute pacifique dont les résultats devaient être
bien plus importans. Kant avait produit sa Puicosornie
TRANSCENDANTALE. La physique, le droit, la morale, la
pédagogique, receyaient de ce grand hommeleurs prin-

TOME JL,

PI

cipes métaphysiques et fondamentaux. Ses émules, les

515

Fichte, les Schelling, les Hégel , s'étaient élancés dans
des régions supérieures. Le véritable problème de la
philosophie, la CERTITUDE ABSOLUE, était posé et étudié
sous toutes ses faces; l’arsozu lui-même, ce principe
inconditionnel de toute réalité, était reconnu et signalé
dans la conscience transcendante de l'homme; enfin,
la tendance de l'humanité vers ce but suprème de l'in-
telligence était établie d’une manière positive.

Tous ces grands travaux demeuraient complétement
iguorés de la France, et le nom de Kant y était à peine
connu par l'ouvrage de Villers (Principes fondamen-
taux de la philosophie transcendantale) ; lorsque
M. Wronski publia, en 1811, son /ntroduction à la
philosophie des mathématiques, qu'il se contenta de
présenter alors comme une application de la philosophie
de Kant. Nous croyons nous rappeler que le résultat
immédiat de cette publication fut le retrait d’une pen-
sion que l’auteur recevait de la Russie ! Les géomètres
ne firent pas à cette production si remarquable un ac-
cueil plus flatteur que celui de M. l’ambassadeur
russe; ils prétendirent qu’elle était inintelligible, ce qui
est vrai relativement, et de la cominenca la longue lutte
qui s’établitentre l’auteur et l’Institut de France ; lutte
dans laquelle MT. Wronski abusa peut-être un peu trop
de sa supériorité.

Pour comprendre parfaitement l'Zatroduction à la
philosophie des mathématiques, était sans doute essen-
tiel de connaitre les principes philosophiques qui lui
servent de base, et que l’auteur n’a point encore révélés.
Mais, sans remonter à l'absolu, auquel ces principes
paraissent se rattacher, on pouvait néanmoins , à l’aide
des simples notions de la philosophie transcendantale,
saisir complétement toutes les parties du magnifique
système qu'il présente, pour pouvoir l’embrasser dans
son ensemble et admirer l'unité qu’il apporte dans les
mathématiques, unité qu’on tenterait vainement d’y in-
troduire par tout autre moyen. Nous ne doutons nulle-
ment que si à l’époque de son apparition les idées de
l'école allemande eussent été plus répandues, le sort de
cet ouvrage n’eût pas été le même : le silence forcé ou
convenu des géomètres n'aurait pu du moins, pendant
vingt ans, le condamner a l'oubli, et nous ne serions
pas les premiers à signaler au monde, dans un ouvrage
consacré aux mathématiques , l'importance d’une doc-
trine dont le dernier résultat se traduit par la loi uni-
verselle qui régit ces sciences.

Déjà plusieurs fois, dans le cours de notre dictionnaire,
nous avons essayé de faire connaitre la direction nou-
velle que cette philosophie est venue imprimer aux
sciences mathématiques qui, malgré tousles travaux des
géomètres, n'offraient, avant elle, qu’un assemblage de
parties sans liaisou systématique. On à pu comparer

10

514 PH

l'édifice régulier qu'elle aélevé, avec le chaos inextrica-
ble qui résulte des prétentions métaphysiques des ma-
thématiciens matérialistes, prétentions qui tendent
non seulement à comprimer l'essor de la raison vers
les régions supérieures du savoir , mais qui méconnais-
sent entièrement , en outre, la nature des parties trans-
cendantes de la science des nombres , de cette science
par excellence qui embrasse en dernier lieu toutes les
mathématiques. Les tableaux que nous avons donnés
successivement (voy. Maru.) présentent l’ensemble sys-
tématique complet et achevé de l’algèbre, et nous avons
suivi pour la déduction des parties qui les composent,
l’ordre établi dans l’Zntroduction à la philosophie des
mathématiques. Y\ nous suffirait donc ici, pour donner à
cette déduction la certitude philosophique, d'expliquer
comment elle résulte à priori de l’application des lois de
l'intelligence à l’objet général de la science des nom-
bres : cette tâche est au-dessus de nos forces. Elle exi-
gerait pour être rigoureusement accomplie une connais-
sance approfondie de la doctrine absolue qui a conduit
M. Wronski à toutes ses découvertes; doctrine dont
nous ne connaissons malheureusement que quelques ré-
sultats , les plus grands, à la vérité, et les plus profonds
de tous ceux auxquels le génie de l'homme ait pu pare
venir jusqu’à ce jour (roy. le Prodrome du Messia-
nisme, Paris, 1831 , chez Treuttel et Würtz) ; mais qui
ne laissent qu’entrevoir à notre faible intelligence le
champ inconnu des vérités qui les a produites. Cepen-
dant, nous savons que nos lecteurs atteadent avec impa-
tience un aperçu de cette philosophie des mathémati-
ques , dont les points que nous avons signalés jusqu'ici
ontexcité chez plusieurs d’entre eux une admiration
qu'ils nous ont exprimée; et si nous ne pouvons répon-
dre , comme nous le désirerions , d’une manière entiè-
rement satisfaisante à cette attente, elle nous impose
l'obligation de tenter d’éclaircir, autant qu'il est en no-
tre pouvoir , sinon les principes philosophiques eux-
mêmes, du moins les résultats purement mathématiques
qui en dérivent. Nous allons donc commencer par poser
quelques-unes des notions fondamentales de la philoso-
phie transcendantale et donner l'explication des termes
consacrés dans cette philosophie. Il nous serait impossi-
ble de nous faire comprendre sans ce travail prélimi-
naire.

1. Toute connaissance suppose nécessairement deux
élémens distincts , 1° une faculté dans laquelle elle se
produit; 2° un objet auquel elle se rapporte. Cette fa-
culté, partie essentielle de l'intelligence, est ce qu'il
nous importe le plus d'examiner ici. On la nomme en
général Cocxiriow.

2. Pour déterminer la nature de la cognition, il faut
rechercher, avant tout, de quelle manière ce que nous

appelons connaissance parvient à notre esprit.

PH

D'abord, les objets agissent immédiatement sur nous,
et de leur action immédiate résultent en nous des 7n-
tuitions qui sont des représentations de telles ou telles
choses.

En second lieu, nous rassemblons plusieurs de ces in-
tuitions, nous les coordonnons en établissant entre elles
certains rapports ou certaines liaisons qui ne sont plus
contenues dans l'impression simple et immédiate des
objets.

Ces deux différentes manières d'acquérir des con-
naissances nous montrent évidemment que la cognition
a deux fonctions essentiellement différentes , ou qu’elle
se divise en deux facultés unies entre elles, à la vérité,
de la manière la plus étroite, mais qu'il importe de dis-
tinguer et de considérer séparément.

3. Ainsi, nous possédons originairement en nous-
mêmes 1° la faculté de recevoir des impressions immé-
diates des objets sensibles, et cette faculté qui n’est que
passive se nomme SensigiLire; 2° la faculté de réunir et
de coordonner ces impressions diverses, et cette faculté,
qui est active, se nomme INrecLecr.

Par exemple, l'impression simple que fait sur nous
un objet quelconque , un arbre par exemple , sans que
nous ayons besoin pour cela de réunir les impressions
partielles de branches, de feuilles, etc. , ni de les rap-
porter à ia perception générale d'arbre, ce qui exige
déjà l'action de la faculté active , cette impression im-
médiate , disons-nous, nous la devons à la sensibilité ;
tandis que si nous comparons deux arbres ensemble et
que nous considérions l’un comme plus grand que l’au-
ue, ce rapport de grandeur que nous établissons entre
ces objets est l'ouvrage de l'intellect.

4. La faculté passive est nécessairement simple puis-
qu'elle n’est destinée qu'à recevoir, mais la faculté active
nous présente plusieurs modes d'action qui vont nous
permettre de la subdiviser en plusieurs facultés. 1° Nous
rassemblons quelques-unes de ces perceptions immédiates
qui nous sont fournies par la sensibilité, nous les réu-
nissons en les rapportant à une conception, c’est-à-dire,
en les classant sous une perception générique ou com-
mune à plusieurs choses. Par exemple, la perception
générale ou conception de diamant contient en elle les
perceptions plus particulières de blancheur, d'éclat, de
transparence, de dureté, et enfin de toutes les qualités
qui caractérisent le diamant : ainsi, pour acquérir cette
perception générale , il a fallu réunir toutes les per-
ceptions particulières en une seule, ce qui ne peut être
que l'ouvrage de la faculté active. 2° Nous rassemblons
diverses conceptions en une conception générale, pour
en tirer, comme d'un principe , des conséquences par-
ticulières. La faculté à l’aide de laquelle nous formons
des conceptions individuelles se nomme ENTENDEMENT.
La faculté des conceptions universelles se nomme Raïsow.

PH

5. Mais puisque nous pouvons nous #lever des con-
ceptions individuelles de l’entendement aux concep-
tions universelles de la raison, et redescendre de celles-
ci à celles-là, nous ayons donc encore une troisième fa-
culté intermédiaire servant à opérer la transition de
l’une de ces facultés à l’autre, Cette troisième faculté se
nomme le JUGEMENT.

L’intellect est donc une faculté triple qui se compose
de l'entendement, du jugement et de la raison.

6. D'après ce que nous venons de dire, on voit que
toutes nos connaissances commencent par des intuitions
ou perceptions particulières, qu’elles deviennent des per-
ceptions générales ou conceptions individuelles par
l’action de l’eutendement, et qu’elles s'élèvent enfin
au rang de conceptions universelles par l’action de la
raison. Ainsi l'entendement emprunte à la sensibilité
la matière deses perceptions, comme la raison emprunte
à l’entendement la matière de ses conceptions.

Pour que ces diverses facultés soient mises originai-
rement en œuvre, il est nécessaire que les objets agis-
sent sur notre sensibilité, puisqueles impressions qu’elle
en reçoit sont les seuls matériaux primitif; sur lesquels
l’entendement et la raison puissent s'exercer ; mais il
faut bien se garder de conclure, comme l’école de Locke,
que ces facultés elles-mêmes doivent naissance à ces
impressions; car pour que ces dernières aient lieu il faut
qu’il se trouve précédemment en nous une faculté pro-
pre à les recevoir. Ainsi l’eau donts’imbibe une épon-
ge, la lumière qui pénètre le verre dans toute sa sub-
stance, supposent dans l'éponge et dans le verre une
faculté passive, une disposition antérieure à se laisser
pénétrer par l’eau et la lumière ; disposition dont la
préexistence est si nécessaire que, sans elle, l'ascension
de la liqueur dans l'éponge et le passage de la lumière
à travers le verre sont également impossibles et dans le
fait et dans la supposition. Cette vérité incontestable par
rapport à la sensibilité qui est une faculté passive , doit
se faire encore bien mieux sentir par rapport à l’enten-

dement et à la raison qui sont des facultés actives.

7. Outre ces grandes facultés fondamentales dans les-
quelles se subdivise la cognition, il en est encore plu-
sieurs autres que nous devons signaler pour compléter
l'aperçu psychologique de cette faculté de connaître.
Nous avous dit (4) que l’entendement réunissait les per-
ceptions de la sensibilité pour les ramener à une per-
ception générale ; or, cette réunion ne peut être ef-
fectuée qu’au moyen d’une faculté qui rapproche les

diverses perceptions partielles appartenant à un objet

PH 515

sensible; car, sans ce rapprochement, jamais les per-
ceptions partielles ne pourraient être considérées
comme appartenant toutes ensemble à la perception
d’un tout, et par conséquent elles ne pourraient jamais
être ramenées à l’unité, c’est-à-dire elles ne pourraient
jamais former une perception générale. Cette faculté
intermédiaire entre la sensibilité et l’entendement est

lImaGINATION.

8. Mais quelque rapide que soit cette liaison de par-
ties, elle ne peut cependant s’exécuter tout à la fois :
elle doit être successive. Quelque promptitude qu’on ait
acquise d’ailleurs par l'habitude de lier ses perceptions,
il est néanmoins impossible de rapporter à la concep-
tion complète d’un tout toutes les différentes parties
dont il est composé, saus parcourir successivement tou-
tes ces parties, il faut donc à mesure qu’on passe d’une
perception à une autre que chaque perception précé-
dentese reproduise continuellement dans l’entendement,
afin de pouvoir saisir enfin, dans une seule conception,
la série entière des perceptions que fournit la considé-
ration successive des parties. La faculté qui opère cette
reproduction est la Mémoire.

On comprend assez généralement la mémoire dans

l'imagination sous le nom d'imagination reproductive.
6 5

9. Le travail de la mémoire serait encore insuffisant
si, à chaque reproduction des perceptions précédentes,
nous m’étions intérieurement convaincus que ce qui est
reproduit est précisément le même que ce qu'avait pro-
duit d’abord notre imagination. Il faut donc encore
pour cela une autre faculté, et cette faculté se nomme

Conscience.

Nous devons faire remarquer ici que la conscience
n’est pas une simple faculté de intelligence, elle est
proprement la base du 10 humain, le principe premier
sans lequel il n’existerait pas pour lui-même. En effet,
ce n’est que par la conscience qu’il a de lui-même que
le moi se distingue de tous les objets avec lesquels il est
en relation. C’est par sa conscience qu’il sait qu’au mi-
lieu de l'iufinie variété des modifications qu'il subit, il
demeure constamment et invariablement lemême. Sans
la conscience le r101 ne serait pas possible ; comme aussi
aucune connaissance ne serait possible pour le zzoi, si

elle ne se manifestait à sa conscience.

La classification des diverses facultés dont se com-
pose la cognition étant notre point de départ, nous
la résumerons dans le tableau suivant, en y joignant les
fonctions particulières que remplissent chacune des fa-

cultés actives dans le jeu de leur action.

=. pH PII
«)
, Cognition passive, — SENSIBILITÉ. Faculté desintuitions ou perceptions particulières,
Fonction instrumentale, — COMPARAISON.
Faculté des conceptions
individuelles, PERCEPTIONS.
ENTENDEMENT., : |
Fonctions finales,
| PROPOSITIONS.
J Pôles opposés. . . , . +
Péles opposés,
| Fonction instrumentale. — DÉDUCTION.
Faculté des conceptions
universelles. PRINCIPES,
\ PAISON.
Fonctions finales.
: : CONSEQUENCES,
1e gnilion aclive,
INTELLECT.
FACULTÉ Fonction de neutralisation de l'entendement et de Ja raison, —
de connaitre, { Faculté intermédiaire JUGEMENT SUBSOMPTIF.
servant à réunir Jes
= deux facullés oppo- Transitio > Jl'entendement à i
COGNITION. des ou done te Transition a l'ent . ment à la raison
transition de June à | Fonction de transition ou des faits aux lois, — INDUCTION.
Jautre, entre J'entendément et
JUGEMENT. la raison,
\
JUGEMENT RÉFLECTIF, f Transition de Ja raison à J'entendement
ou des Jois aux faits. — ANALOGIF.
Anticipation sur l’activité intellectuelle où transilion‘entre Ja sensibilité et Vintelleet, — IMAGINATION. Cette faeulté comprend la
MÉMOIRE, C1 on la nomme alors IMAGINATION REPRODUCTIYE, tandis qu'on l'appelle IMAGINATION PRODUCTIVE quand on la con-
sidère dans sa fonction de l'association des idées,

/

10. fl résulte de ce qui précède qu’il y a deux sources
principales d’où découle toute notre connaissance. La
première consiste dans ces facultés originairement inhé-
rentes à notre être dont nous venons de reconnaitre
l'existence, et auxquelles on peut donner le nom de
cognition pure, parce qu’elle habite antérieurement
en nous , indépendamment de toute impression des ob-
jets; la seconde est l'expérience, résultat de l'application
de notre cognition aux objets.

De ces deux soufces différentes découlent naturélle-
ment deux espèces différentes de connaissances : l’une
originaire et primilive que nous puisons en nous-mêmes
après que l'expérience a mis en action notre faculté de
connaître ; l’autre dérivée et empruntée de l'expérience
avec laquelle elle est liée, quoiqu’elle ne s’acquière,
comme la première, qu’au moyen de la cognition pure.
Ces deux espèces de connaissances s'appellent, la pre-
mière connaissance pure, l'autre connaissance d'expé-
rience, Où Connaïssance empirique.

11. Quoique l'expérience soit le véhicule qui met
d’abord en action les ressorts de notre cognition et que
toute espèce de connaissance, soit pure, soit empirique,
ue puisse s’acquérir antérieurement à l'expérience, il
ne faut pas tomber dans l'illusion de lui rapporter la
connaissance tout entière comme à son unique source ;
car il est évident qu’une fois mise en action, la cognition
peut produire des actes de connaissances sans le secours
de l'expérience, et bien plus sans la connaissance
pure, l’acquisition de la connaissance empirique serait
absolument impossible pour nous, puisque celle-ci ne

doit qu’à la première la suite, l’ordre , l'enchainement ,
toutes choses essentiellement requises pour former ce
que nous appelons connaissance, et sans lesquelles elle
ne pourrait ni exister, ni être conçue. Pour connaître,
il faut nécessairement concevoir, c’est-à-dire, rassembler
en un seul tout diverses perceptions ; or, ce rassemble-
ment est un acte qui n’est point dû à l'expérience, mais
qui ne peut être effectué que par un agent antérieur à
l'expérience, par la cognition ou la faculté de connaitre
qui est originairement en nous. Cette réunion, cet en-
chainement de perceptions diverses a donc lieu en
nous-mêmes; les modes de cette réunion sont donc aussi
en nous ; et ce n’est point dansies choses de l'expérience,
mais dans nous-mêmes, qu’il faut les chercher et en sui-
vre les traces. Par conséquent, la connaissance que
nous acquérous de cesmodes ou manière de concevoir ,
de réunir des perceptions, ne peut aucunement décou-
ler de l'expérience. Elle est uniquement due au fond
qui subsiste originaïrement en nous, à notre cognition
même, développée à l’occasion de l'expérience. Elle est
donc une connaissance primitive et pure.

12. Toute connaissance d'expérience est donc le ré-
sultat de la combinaison de deux matériaux différens
dont l’un provient uniquement de l'expérience et l’au-
tre de la connaissance pure. Elle dépend donc de cette
dernière sans que celle-ci à son tour dépende en aucune
manière de l'expérience. Ainsi, pour arriver à connaître
plus à fond ja nature de la cognition, il faut, dans
l'examen de ses trois facultés principales , la sensibilité ,
l’'entendement et la raison, dégager la connaissance que

ph

nous avons par le moyen de chacune d’elles, de tout ce
qui est emprunté de l'expérience comme hétérogène et
puisé dans une source étrangère : ce qui restera ne
pourra appartenir qu’à la cognition pure, et sera une
connaissance pure. Tel est le problème que Kant s'est
proposé dans sa Critique de la raison pure.

13. Dans toute connaissance d’expérience , l'élément
fourni par l'expérience se nomme la Marière de la con-
naissance, et l'élément fourni par la connaissance pure
se nomme la Forme dela connaissance. Ces deux élémens
ont des caractères distinctifs qui ne permettent pas de
les confondre. En effet , la matière est toujours coxrTin-
GENTE, tandis que la forme est toujours NÉCESSAIRE.
C’est ce que nous allons mieux faire comprendre cu re-
commençant l'analyse de la cognition sous le rapport
de la connaissance pure.

14. La disposition de la cognition à être affectée par
les objets, à recevoir des impressions et à éprouver des
sensations , la sensibilité en un mot, se nomme aussi ré-
ceptivité. L'effet de la sensation est la représentation
de l’objet, ou l'intuition.

La sensibilité est dite externe ou interne, selon qu’elle
est affectée par un objet réel hors du sujet pensant, ou
par les modifications et les changemens qui s’opèrent
dans ce même sujet, comme les désirs, les sentimens,
etc., etc.; l’objet qui agit sur la sensibilité s'appelle
phénomène. La matière de l'intuition est ce qui modifie
la sensibilité et correspond à la sensation; sa forme est
le rapport, l’ordre, l’ensemble que nous apercevons
dans la matière. La forme n'étant pas donnée par l’objet
puisqu'elle n’est pas sensation, appartient uniquement
à la nature de la sensibilité; c’est une connaissance ou
intuition pure; elle est à priori ou antérieure à l’objet ;
elle est necessaire, parce que, sans elle, l’intuition des
objets ne serait pas possible, Ainsi, quand on détache
de la représentation d’un corps ce que l’entendement en
conçoit, comme la substance, la force, la divisibilité, etc.,
et ce que la sensation en reçoit comme la dureté, la cou-
leur, etc., il reste encore quelque chose de l'intuition em-
pirique, savoir : l'étendue et la figure.Ces deux qualités
appartiennent à l'intuition pure qui a lieu à priori dans
l'esprit, comme une pure forme de la sensibilité.

15. Les impressions produites par les objets sur la
sensibilité ne peuvent se faire que d’une manière con-
forme à l’organisation intérieure, ou au mode d’affec-
tibilité propre à cette faculté, c’est-à-dire, suivant cer-
taines règles ou lois constantes et invariables de cette
faculté, auxquelles sont assujéties nécessairement et sans
exception toutes les impressions que nous recevons des
objets, et par conséquent aussi toutes nos ivtuitions. Il
est clair, d’après cela, que ce qui constitue l'essence
de notre sensibilité même n’est autre chose que l’en-
semble de ces lois nécessaires, existant en elle originai-

pi 917

rement et antérieurement à toute impression actuelle
desobjets sur nous. Ainsi, pour découvrir ces lois im-
muables qui déterminent constamment, uniformément
et sans aucune exception, la manière dont nous sommes
affectés par les objets sensibles, il faut distinguer d’abord
ce qui, dans la multiplicité des intuitions, nous affecte
de diverses manières, de ce par quoi nous ramenons
cette variété de perceptions à l'unité, sous certains rap-
ports et suivant certaines règles constantes , uniformes ,
générales et nécessaires. Or, il nous est absolument im-
possible de nous représenter les objets, d’en avoir une
intuition sensible, s’ils ne sont distans les uns des autres,
c’est à-dire, s'ils ne sont placés dans l’espace. Nous ne
pouvons également apercevoir leur existence que si-
multanément ou successivement, c'est-à-dire, dans le
temps. L'espace et le temps sont donc la condition de
toutes les intuitions, savoir : l’espace pour les objets ex-
térieurs, et le temps pour tous les objets en général. En
eflet, l’espace etle temps sont si intimement liés à toutes
nos perceptions , que l'imagination même ne peut se
représenter des êtres qui en soient dépouillés , et que
nous ne pouvons les séparer des objets sans anéantir en-
tièrement ces objets, tandis qu’on peut dans la pensée
anéantir tous les objets, sans qu'il soit possible de dé-
truire l’espace et le temps qui restent attachés et néces-
saires au sujet pensant. L'espace et le temps sont donc
les lois générales ou les formes de la sensibilité.

16. L'espace et le temps étant des conditions néces-
saires pour l'intuition des objets sensibles, les attributs
qui leur conviennent doivent aussi convenir aux objets,
et les jugemens qu’on peut porter sur leurs propriétés
doivent être nécessairement applicables aux objets eux-
mêmes. C’est ce qui explique l'évidence, l’universalité,
la nécessité des propositions mathématiques ainsi que
leur application à tous les phénomènes de l’univers.

Cette théorie de l'espace et du temps se nomme
l'Esthétique transcendentale.

17. Si nous étions réduits à la seule faculté passive
de recevoir des impressions des objets, toutes nos per-
ceptions resteraient isolées, sans liaisons, inactives ; nous
n’aurions point proprement de connaissances, car con-
naïlre consiste précisément pour nous à être en posses-
sion de conceptions auxquelles nous puissions rapporter
les perceptions simples et immédiates. La connaissance
commence donc dans l’entendement; c’est cette faculté
qui s'empare des matériaux épars fournis par la sen-
sibilité et qui les amène à l’état de conceptions suivant
les lois qui lui sont propres.

L'action de l’entendement a lieu par des jugemens;
car réunir plusieurs perceptions en une seule pour dé-
terminer ce qu’est un objet, ou ramener plusieurs phé -
nomènes de la même espèce à une même conception

sous laquelle ils sont tous compris, c’est juger. Ainsi,

918 PH

en remontant des perceptions simples aux perceptions
génériques, de celles-ci aux conceptions générales, et
de ces dernières à d'autres plus générales encore, c’est
en toujours réunissant et toujours généralisant que
l’entendement parvient à se composer un tout, un sys-
tème de counaissances,.

Mais cette réunion, cette généralisation ne peut s’o-
pérer que conformément aux lois fondamentales qui
constituent la nature de l’entendement. Il a nécessaire-
ment des règles dont il ne peut s’écarter dans ses opéra-
tions, et qui doivent exister antérieurement à l’appari-
tion des phénomènes qui lui sont offerts par la sensibi-
lité; car c'est à l'existence seule de ces lois que nous
sommes redevables de la possibilité de concevoir ou de
penser ; et de même que l'intuition empirique est im-
possible sans l'intuition pure, une conception empi-
rique , ou qui se rapporte à un objet donné dans l’expé-
rience, est impossible sans une conception pure. Les lois
de l’entendement sont appelées formes de la pensée
par opposition aux phénomènes qui en sout la 77a-
tière.

18. Pour reconnaître et déterminer les lois de l’en-
tendement , il s'agirait donc ici de rechercher ce qu'il y
a de necessaire dans les conceptions, puisqu’ainsi que
nous l'avons déjà fait voir , cette partie nécessaire dans
une connaissance empirique est précisément la conuais-
sance pure. Mais il se présente an moyen plus prompt
et plus sûr de procéder; puisque l’entendement n’agit
que par des jugemens, et que les conceptions pures sont
autant de lois primitives et fondamentales qui rendent
seules ces jugemens possibles, il est évident que la forme
de tous les jugemens ou la manière dont l’entendement
juge doit être aussi déterminée par ces conceptions
pures et fondamentales. Élies doivent donc se retrou-
ver dans les modes de tous les jugemens possibles.
Ainsi, pour connaitre les formes ou règles primitives
de l’entendement , il ne s'agit que de rechercher celles
des jugemens,

19. En faisant abstraction de l’objet sur lequel le
jugement est porté ou de la matière du jugement, et
en ne considérant que la manière dont il est formé,
l'on obtient la forme, ce qui est l'élément nécessaire.

Or, nos jugemens se divisent en deux classes, dont
l’une comprend les jugemens qui servent à déterminer
les objets, et l’autre ceux qui se rapportent au mode de
leur existence. La première classe se compose des ju-
gemens de quantité et de qualité ; la seconde, de ceux
de relation et de modalité,

Chacun de ces jugemens peut être formé de trois
manières différentes.

Par un jugement de quantité, nous pouvons consi-
dérer l’objet comme ne faisant qu’un ensemble, une

PI
totalité, où comme formant plusieurs, où enfin comme
unilé.

Par un jugement de qualité, nous considérons l’ob-
jet comme possédant un attribut, ou comme étant
privé de cet attribut, où enfin nous déterminons l’ob-
jet en énonçant un attribut qu'il n'a pas, ce qui établit
une limite dans la généralité des objets, d'un côté de
laquelle les objets ont certaines qualités , tandis que de
l'autre ils sont privés de ces mêmes qualités.

Par un jugement de relation, nous concevons : 1° le
rapport d’un objet comme substance à un autre qui
n’est qu'un accident du premier; 2° le rapport d'un
objet comme cause avec un autre comme effet de cette
cause; 3° le rapport de deux ou de plusieurs objets
comme existant ensemble, comme ayant une récipro-
cité d'action.

Par un jugement de modalité, nous concevons l'ob-
jet comme possible, où comme existant réellement,
ou enfin comme nécessaire.

Les formes des jugemens, et conséquemment les
conceptions pures et primitives, ou, comme les nomme
Kant, les Caréconss de l’entendement sont donc :

TABLE DES CATÉGORIES.
I. — De quantité.
1. Unité; 2. Pluralité; 3. Totalité.
IL, — De qualité.
4. Réalité; 5. Privation; G. Limitation.
III. — De relation.

7. Substance et accident; 8. Causalité ou loi de
cause et d'effet ; 9. Communauté ou loi d'action et de
réaction.

IV. — De modalite.

10. Possibilité et impossibilité; 11. Existence et
non existence ; 12. Nécessité et contingence.

C'est aa moyen de ces douze catégories ou concep-
tions pures que la pensée lie les objets isolés, perçus
par la sensibilité, et qu’elle apporte l'unité dans nos
connaissances.

20. Il est important de remarquer que, dans chaque
classe, la dernière catégorie est produite par la réu-
nion des deux autres sans pourtant qu’elle en soit pour
cela dérivée, car cette réunion exige ur acte particu-
lier de l’entendement. Ainsi, par exemple, la caté-
gorie de totalité n’est rien autre chose que la plura-
lité prise ccmme unité; la limitation est la réalité avec
privation; la communauté est la causalité d’une sub-
stance qui détermine une autre substance ; enfin la
nécessité n’est que l'existence donnée par la possibilite.

Les deux premières classes de catégories, la quan:
tité et la qualité, ont été nommées par Kant catégories
mathématiques, parce qu’elles sont applicables aux
choses susceptibles d'augmentation extensive ou inten-

PH
sive ; les deux dernières, distinguées d'ailleurs des pré-
cédentes en ce qu’elles ont des formes correspondantes
qui leur sont opposées, ont reçu le nom de catégories
dynamiques, parce qu'au moyen de ces catégories
l'entendement conçoit non les objets eux-mêmes, mais
ce qu'ils sont dans leurs rapports, soit entre eux, soit

avec l’entendement.

21. Ces formes pures ou lois de l’entendement sont
d’une nécessité rigoureuse et ne peuvent être, par
conséquent, dérivées de l'expérience où tout est contin-
gent. C'est par elles que commencent toutes nos autres
conceptions, sans qu’il soit possible de remonter plus
haut. Elles se retrouvent dans tous les modes de la
pensée, au point que ce n’est que par elles et confor-
mément à elles qu’il est possible de penser.

Toutes les autres conceptions pures de l’entendement
ne sont que dérivées de ces lois fondamentales et résul-
tent de leur réunion soit entr’elles, soit avec les modes
de la sensibilité pure. Par exemple, de la catégorie de
causalité, naissent les conceptions pures dérivées de

force, de passion; de celle de communauté, les idées de
présence, de résistance; et ainsi de suite.

22. Les catégories forment, conjointement avec les
lois de la sensibilité, le temps et l'espace , l'ensemble
des conditions qui rendent possible pour nous l’ac-
quisition de toute connaissance pure ou empirique.
Pour penser il faut un objet, une matière de la pensée,
et cette matière est fournie à l’entendement par la sen-
sibilité, au moyen de ses propres formes. Ce sont les
perceptions diverses de la sensibilité dont l’entende-
ment s'empare, qu'il réunit, en leur appliquant ses
formes primitives, et qu'ilélève enfin à l’état de pensée
ou de conception. L'objet a d’abord été perçu; par le
résultat de ce travail il est concu ; nous avons sa con-

naissance.

Ainsi il y a deux conditions pour que la connais-
sance d’un objet soit possible : premièrement, l’éntui-
tion par laquelle l’objet est donné et nous apparaît
comme phénomène: secondement, la conception par la-
quelle est pensé un objet qui correspond à cette intui-
tion. Or, la première condition, celle sous laquelle
seule les objets peuvent être perçus, sert réellement
dans l'esprit de fondement à priori aux objets, car
tous les phénomènes s'accordent nécessairement avec
cette condition formelle de la sensibilité, puisqu'ils ne
peuvent être perçus et donnés empiriquement que par
elle ; et, comme les conceptions pures précèdent la con-
ception empirique et sont à priori les conditions sous
lesquelles seulement un objet quelconque , avant même
d’être perçu, est cependant pensé comme objet, il en
résulte que toute connaissance empirique des objets
s'accorde nécessairement ayec les conceptions pures, et

PH 19

que ces dernières sont les conditions à priori , le fonde-
ment de toute connaissance expérimentale.

23. Les lois de l'entendement sont donc des concep-
tions pures qui prescrivent à priori des lois aux phéno-
mènes et par conséquent à la nature, comme ensemble
de tous les phénomènes, Ainsi ce n’est pas la nature
qui impose ses lois à l'intelligence, mais c’est au con-
traire l'ENTENDEMENT QUI DONNE NÉCESSAIREMENT DES
LOIS AUX OBJETS.

24. Dans toute subordination d’un objet sensible à
une conception pure, la représentation de l’objet doit
ressembler à la conception, être d’une nature analogue à
la sienne, Il faut que les marques distinctives , les attri-
buts qui composent cette conception se trouvent dans
l’objet même, c’est-à-dire, que la conception doit con-
tenir ce qui est représenté dans l’objet à ranger sous
cette conception, car c’est là précisément ce que signi-
fie la proposition : qu’un objet est contenu sous une
conception. Ainsi la conception géométrique pure de
sphère, par exemple, ne s'applique aux objets globe ou
boule que parce que la rondeur qui est connue dans
la conception pure peut être perçue dans les concep-
tions empiriques.

Cependant les conceptions pures de l’entendement
sont entièrement différentes des intuitions empiriques
et même des intuitions sensibles en général, et ne
peuvent jamais se trouver dans une intuition. Il est
donc important de rechercher comment s'opère la su-
bordination des intuitions aux conceptions pures, et
par conséquent l'application des catégories aux phé-
uomènes.

25. Pour rendre possible l'application d’une caté-
zorie à un phénomène, il doit y avoir un terme moyen
qui ressemble en partie à la catégorie, en partie au
phénomène. Cette représentation moyenne doit être
d’une part intellectuelle et pure, et de l’autre sensible.
Tel est le caractère de ce que Kant nomme le schéma
transcendantal.

Par exemple, l’idée de polygone est un schéma,
car aucune image ou représentation empirique ne peut
être adéquate à la conception de polygone en général,
jamais elle n’atteindrait la généralité de la conception ;
elle ne pourrait représenter qu’un triangle, ou qu'un
carré, où qu’un pentagone , etc., tandis que l’idée de
polygone renferme en soitoutes ces fgures.

26, Toutes nos idées ont pour base un schéma, et
non pas des images de l’objet, car aucune image de l’ob-
jet ne peut entièrement coïncider avec l’idée pure. L'i-
mage est le produit de l'imagination empirique; le
schéma, au contraire, est un produit de l'imagination
pure, c'est le procédé général à l'aide duquel on peut
donner une image à une idée. Ainsi quand on dispose
trois points l’un après l'autre ... on a une image du

520 PH

nombre {rois ; mais lorsqu’au contraire on conçoit seu-
lement un rombre en général, qui peut être alors ou
trois, où cent, où mille, etc., cette pensée est plutôt la
représentation d'une méthode pour représenter en une
image uue multiplicité, conformément à une certaine
conception, que pour présenter cette image même.

27. Le schéma est l'application des formes de l’en-
tendement aux formes de la sensibilité et nommément
au temps qui embrasse tous les objets, tant extérieurs
qu'intérieurs. Il y a donc autant de classes de schémas
qu'il y a de classes de catégories.

1° Le schéma de quantité est l’idée de l’addition suc-
cessive des parties homogènes du temps, c’est la syn-
thèse ou la production du temps même : Le nompre.
Un. — Plusieurs. — Tout.

2 Le schéma de qualité est la réa LITE de l’exis-
rence, dans le temps, de ce qui correspond en général à
une sensation : Être dans le temps. — Ne pas étre, ou
absence d'existence ans le temps. — Transition du
degré d'intensité d'une sensation à sa disparition.

3° Leschéma de relation est le rapport des phéno-
mènes entre eux dans le temps, Où ORDRE DU TEMPS.
Substance, principe invariable et durable dans le temps.
— Causalité, succession régulière dans le temps. —
Connexité, existence simultanée dans le temps.

4° La schéma de modalité est ie mode d’Exisrence des
phénomènes dans le temps. Possibilité, idée d’un objet
pouvant exister dans un temps quelconque. — Exis-
tence , idée d'un objet existant dans un temps donne.
— Nécessité, idée d'un objet existant toujours dans le
temps.

Les schémas sont les vraies et seules conditions qui
peuveut donner aux catégories un rapport avec les
objets, et rendre les phénomènes susceptibles d’une
liaison universelle dans l'expérience. Ce sont des con-
ceptions tout à la fois pures et sensibles. Lorsqu'une chose
limite un schéma, il en résulte une image, et cette image
devient un objet lorsqu'elle est rapportée à une sensa-
tion.

C'est de cette manière que les principes premiers des
sciences se produisent dans l'esprit de l’homme, et se
trouvent réalisés ensuite dans la nature.

28. Nous avous dit (4) qu’outre la sensibilité et l’en-
tendement nous sommes doués d’une troisième faculté
supérieure aux deux autres. En effet, indépendamment
des représentations d'objets donnés par l’activité de l’en-
tendement, nous en avons encorc d’autres qui présen-
tent un caractère essentiellement différent. Nous lions
les conceptions de l’entendement comme ce dernier
avait lié les perceptions de la sensibilité, et nous en ti-
rons des conclusions et des idées d’objets qui ne peu-
vent être réalisées dans l'expérience ; nous sommes en-
trainés vers l'infini, l'assoLc ; nous remontons sans cesse

PH
de conséquence en conséquence, de principe en princi-
pe, vers une condition tellement générale et incondi-
tionnelle, qu’elle ne puisse plus dériver d'aucune autre.
Tout ce travail intellectuel suppose nécessairement une
faculté capable de l’opérer, et c’est cette faculté supré-
me que l’on nomme la Raison.

29. Cette faculté a , comme l’entendement, un usage
purement formel ou logique, car elle tire des con-
clusions , elle déduit des conséquences; mais elle a
aussi un usage réel, puisqu'elle renferme en elle-même
de certaines conceptions et de certains principes qu’elle
n'emprunte ni des sens, ni de l’entendement.

Si l'on peut définir l’entendement, la faculté qui ra-
mène les phénomènes à l’unité par le moyen des règles,
la raison est alors la faculté qui ramène à l’unité les
lois de l’entendement par le moyen des principes. Elle
ne concerne jamais immédiatement l'expérience ou un
cbjet quelconque , mais l’entendement, pour donner
l'unité à priori, par des conceptious universelles, aux
connaissances diverses de cet entendement , unité qu’on
peut nommer rationnelle et qui est d’une tout autre
espèce que celle qui peut dériver de l’entendement.

30. C’est en analysant l'usage logique de la raison que
nous parviendrous à reconnaitre son usage réel, comme
l'usage logique de l’entendement, dans la formation des
jugemens, nous a conduits à reconnaitre ses lois (19). Or,
cet usage logique est de déduire un jugement, par voie
de conclusion , d’autres jugemens donnés. C’est ce qui
établit le raisonnement. Par exemple, dans ce raison-
nement : tous les corps sont pesans ; l'or estun corps;
donc l'or est pesant; la conclusion l'or est pesant est un
produit de la raison.

Dans tout raisonnement, on pense d'abord une règle
(la majeure) par lentendement. En second lieu, on su-
bordonne une connaissance à la condition de la règle
(la mineure) par le moyen du jugement pur. Evfin, on
détermine la connaissance par la propriété énoncée dans
la règle (conclusion), par conséquent à priori, par la
raison. Le rapport que représente la majeure comme
règle entre une connaissance et ses conditions constitue
donc trois espèces de raisonnemens correspondant aux
trois espèces de jugemens qui expriment le rapport des
connaissances dans l’entendement, savoir : les jugemens
de modalité. Nous avons donc 1° le raisonnement catc-
gorique ; 2° le raisonnement hypothétique, et 3° Le rai-
sonnement disjonctif.

31. L'usage logique de la raison nous révèle les lois de
la raison pure , car 1° le raisonnement ne considère pas
des intuitions pour les soumettre à des règles comme le
fait l’entendement avec ses catégories, mais bien des
conceptions de jugement. L'unité rationnelle qu’elle
apporte n’est donc pas l’unité d’une expérience possible.
2° La raison cherche la condition générale de son juge-

PH

ment , de la conclusion, et le raisonnement n’est autre
chose que la subordination de sa condition à urie règle
générale. Mais cette règle est exposée, à son tour, à la
même recherche de la raison, et la condition de la
coudition doit être poursuivie aussi loin que possible.
Ainsi le principe propre de la raison dans son usage lo-
gique est de trouver à la connaissance conditionnelle de
l’entendement un principe inconditionnel ou absolu,
au moyen duquel son unité est accomplie.

L'acte de la raison dans cette ascension continuelle vers
l'absolu suppose donc un principe que l’on peut énon-
cer de la manière suivante : le conditionnel étant donné,
avec lui est donnée la série entière des conditions, et
par conséquent aussi l’ënconditionnel, compris dans la
totalité de ces conditions.

Ceprincipe complet, inconditionnel, ayant sa source
dans l’essence même de la raison, est la conception pure
et première de la raison pure et le fondement de toute
unité rationnelle.

32. De ce premier principe résultent différentes pro-
positions à l'égard desquelles l’entendement pur n’a
aucune connaissance, puisqu'il se rapporte seulement
aux objets de l'expérience possible dont la connaissance
et la liaison sont toujours conditionnelles ; et quoique
l'absolu puisse devenir applicable aux objets de l’en-
tendement, à l’aide de la faculté du sucemenr, qui
sert de lien ou de transition entre elle et la raison, et
qui participe ainsi de ces deux facultés opposées, cepen-
dant les propositions fondamentales résultant de ce prin-
cipe suprême de la raison pure, par rapport à tous les
phénomènes , sont ranscendans ; c'est-à-dire qu'aucun
usage empirique de ces propositions principes ne pourra
jamais lui être semblable.

33. L'idée de l’inconditionnel peut être rendue rela-
tive detrois manières, en l’appliquant 1° au sujet qui
conçoit, au 7701 pensant; 2° aux objets sensibles , aux
phénomènes; et 3° aux choses en général, De là trois
différentes classes auxquelles se rapportent toutes les
conceptions de la raison où toutes les des de la raison,
comme Kant les nomme, savoir : l'unité absolue du
sujet pensant ; l'unité absolue de la série des conditions
du phénomène ; et, enfia, l'unité absolue des conditions
de tous les objets de la pensce en général.

Le sujet pensant est l’objet de la psychologie ; l'ensem-
ble des phénomènes, l'univers, celui de la cosmologie;
et la condition absolue de tout ce qui peut être pensé,
Pêtre des êtres, Dieu, est l’objet de la {héologie.

I y à donc en général trois sortes d'idées de la raison :
idées psychologique, cosmologique et théologique.

34. Ces idées ou conceptions pures de l'ame, de l'uni-
vers, de Dieu ,sont indispensables à la raison pour met-
tre de l’union dans les conceptions de l’entendement
et porter ainsi notre connaissance à son plus haut

Tous n,

PH 521

degré d'unité. Mais l’existence des choses auxquelles ces
idées sont relatives ne peut être ni démontrée, ni RÉFU+
TÉE par aucun argument valable ; la logique ordinaire
est ici tout-à-fait insuffisante. Pour que de semblables
questions puissent être traitées d’une manière satisfai-
sante, par la raison spéculative , il faudrait nécessaire-
ment que cette raison eût réalisé l'absolu qu’elle postule
et sans lequel elle ne peut les aborder que pour tomber
dans des contradictions inconciliables.

C’est en considérant la raison dans son usage prati-
que, que Kant s’est élevé vers la région absolue du sa-
voir de l’homme, et qu'il a enfin placé le dogme con-
servateur de l'existence de Dieu hors des atteiutes du
sensualisme et à l'abri de ses prétendues preuves.

35. Il résulte de ce que nous venons de dire que Îles
idées dela raison pure ne sont pas constitutives, c’est-
à-dire qu'elles ne fournissent pas d’objets qui augmen:
tent la sphère de nos connaissances ; elles sont seule-
ment régulatives , C'est-à dire, elles servent à produire
l'unité synthétique dans les connaissances. Elles ne sont
pas des idées des objets, mais des idées de l'unité abso-
lue de toutes les règles de l’entendement , sans lesquel-
les toutes nos connaissances ne seraient qu'un agrégat
sans harnionie et sans unité.

La raison pure est donc, par rapport aux phénomènes,
une faculté régulative, tandis que l'entendement est une
faculté constitutive. Cette remarque est de la plus haute
importance pour la philosophie des sciences.

Ainsi le principe de totalité absolue : lorsque le
conditionnel est donné, toute La série des conditions est
aussi donnée, n'établit pas la série totale des condi-
tions, comme objet donné en lui-même, mais il sert seu-
lement de règle, et dit que, dans les phénomènes, il faut
remonter d’une condition à l’autre sans qu'aucune con
dition doive être regardée comme la dernière.

36. Nous avons déjà dit que la faculté de juger, con-
sidérée en particulier, renferme le principe d'union des
deux autres facultés actives; pour compléter les notions
philosophiques dont nous avons besoin ici, il nous reste
à ajouter quelques mots sur l'usage logique et la nature
de cette faculté.

Le Jucgmenr est la faculté de distinguer si un objet
peut être ou non rangé sous une règle, ou la faculté de
considérer le particulier comme contenu dans le général.

37. Il se présente deux cas : ou le général, la règle,
le principe est donné, alors le particulier lui est facile-
ment rapporté; ou c’est seulement le particulier qui
est donné, et le jugement cherche le général auquel
il doit être soumis. Dans le premier cas, la faculté est
déterminante, elle prend lenom dejugement subsomptif;
dans le second, elle est réfléchissante et prend le nom de
jugement réflectif.

38. Le jugement subsomptif a ses principes dans les

41

PH

catégories qui établissent les lois transcendantales pour
les appliquer aux cas particuliers de expérience ; il
embrasse les douze jugemens dont nous avons abstrait

ces catégories, et qui portent les noms suivans :

I. — Jugemens de quantité.

1. Jugemens individuels; 2. pluriels; 3. individuels.
IL. — Jugemens de qualité.

4. Jugemensaffirmatifs ; 5. négatifs; 6. déterminatifs.
UT. — Jugemens de relation.

7. Jugemens catégoriques; 8. hypothétiques ; 0. dis-
jonctifs.

LV. — Jugemens de modalité.

10. Jugemens problématiques : 11. assertoriques ;
12. apodictiques.

39. Le jugement subsomptif, en général, est la fonction
de neutralisation de l’entendement et de la raison.

Le jugement réflectif est la fonction de transition
entre l’entendement et la raison. On le nomme saduc-
ton lorsqu'il remonte de l’entendement à la raison, ou
des faits aux lois, et analogie lorsqu'au contraire il
redescend de la raison à l’entendement, ou des lois
aux faits.

4o. Le but de ia faculté réfléchissante étant de trouver
le général lorsque le particulier est donné, il lui faut né-
cessairement un autre principe que les catégories pour
établir l'unité de toutes les règles particulières empi-
riques, et pour les soumettre à un principe suprême.
Ce principe ne peut pas être fourni par les catégories ,
qui sont les lois générales pour la nature, et non les
lois particulières pour tel objet, ou pour tel cas. Il ne
peut non plus être fourni par l'expérience, car il ne
serait pas universel. Il faut donc qu'il soit à priori, ou
qu'il ait sa source dans la faculté même du jugement.

41. Mais avant de rechercher ce principe pur du ju-
gement , nous devons faire observer que tous les juge-
mens, toutes les comparaisons exigent la réflexion, c’est-
a-dire la distinction de la faculté de connaitre à la-
quelle se rapportent les conceptions données. On nomme
réflexion transcendantale Yaction de mettre en rap-
port la comparaison de la représentation en général
avec la faculté de connaître dans laquelle elle s'accom-
plit, et de distinguer si les choses sont comparées en-
tre elles comme appartenant à l’entendement pur ou à
l'intuition sensible. Or, les rapports suivant lesquels les
conceptions peuvent s’appartenir mutuellement dans un
certain état de l'esprit, sont les rapports : 1° d'identité
et de diversité; »° de convenance et de répugnance ;
3° d’interne et d’externe; et 4° enfin de déterminable
et de détermination, ou de matière et de forme.

42. Les quatre conceptions pures, avec leurs oppo-

sées ,sur lesquelles ces rapports sont fondés, prennent

pH
le nom d'idées réflexives : 1] est important de ne pas
les confondre avec les catégories, car elles ne servent
qu'a indiquer le rapport des idées données, dont on
connait l'origine; tandis que les cattgories servent à la
synthèse des objets.

43. Les faux systèmes ne se produisent dans l’intelli-
geuce humaine que par défaut de réflexion transcen-
dantale ; car, dans la simple comparaison ou réflexion
logique, on n’a point égard à la faculté de connaître à
laquelle appartiennentles représentations données , que
l'on traite alors comme homogènes par rapport à leur
siége dans l'esprit, Cependant, lorsqu'il s’agit de savoir,
si les choses mêmes sont identiques ou diverses, d'accord
ou en désaccord, etc., comme les choses peuvent avoir
un double rapport à notre faculté de connaître, savoir
a la sensibilité et à l'enteudement, et comme la manière
dont elles s'appartiennent réciproquement dépend né-
cessairement de leurs rapports avec ces facultés, c’est la
réflexion transcendantale seule qui renferme le principe
de la possibilité de la comparaison des choses entre elles.

44. Kant vomme amplubolie la confusion produite
par la réflexion logique, lorsqu’elle compare des repré-
sentatious dont le siége intellectuel se trouve dans des fa-
cultés différentes, c’est-à-dire lorsqu’elle confond l’objet
intellectuel avec le phénomène. La prétendue inexacti-
tude du calcul différentiel repose sur une amplubolie,
dont nous avons ailleurs signalé l’origine. ( Foy. Dirr.
24.)

45. Dans tous ses actes, le jugement réflectif suppose
un but, une finalité; car les lois empiriques de la na-
ture n'auraient aucune unité possible, et même les di-
verses facultés de l'intelligence ne pourraient concourir
d’une manière harmonique à la production d’une con-
naissance , si d’une part ces lois n’étaient soumises au
principe suprême de la concordance avec un but, etsi, de
l’autre, chacune de ces facultés ne pouvait être considé-
rée à la fois comme but èt moyen, par rapport aux
autres. Le principe pur et à priori du jugement est
donc la concordance ou la conformité du but; on le
formule en ces termes : Tout dans la nature a son but,
rien n'estinutile. Comme les idées pures de la raison,
son usage est régulatif (35).

46. Pour aborder maintenant la philosophie des ma.
thématiques , il nous reste à expliquer quelques termes
employés dans la philosophie transcendantale :

1° Tout ce qui se rapporte à l'objet même d’une con-
naissance prend le nom d'objectif.

2° Ce qui se rapporte à la faculté de connaître prend
celui de subjectif.

3° On nomme en général immanent ce qui existe
sous les conditions du temps, et /ranscendant ce qui est
au delà de ces conditions. Ce qui est engendré hors des
conditions du temps, mais trouve néanmoins son appli-

PH
cation dans le temps, se nomme franscendantal. Va
connaissance empirique des objets est 2mmmanente; les
lois de l’entendement sont transcendantales, et les idées
pures de la raison sont éranscendantes.

Tous les renvois que nous ferons à l'introduction à
la philosophie des mathématiques seront indiqués par
le mot #ntrod. placé entre parenthèses, avec l'indication
de la page.

47. Dans toute connaissance , nous devons distinguer
le contenu ou la matière de l'objet pensé d’avec sa forme
ou sa determination. La matière appartient proprement
à l’objet et constitue ce qu'il y a en lui de dcterminable,
son essence ; la forme appartient à la faculté de connai-
tre, c’est elle seule qui rend possible la détermination
de l’objet ou sa connaissance.

Ainsi, l’ensemble de tous les phénomènes, le monde
physique, la narure doit également nous présenter, dans
la connaissance que nous en avons, deux objets dis-
tincts, la matière et la forme. La matière, l'essence
même du monde phvsique, est l’objet général de la
PuysiQque; et la forme, la manière d’être de ce monde,
est l’objet général des MATRÉMATIQUES.

Or, la forme de tous les phénomènes physiques et
couséquemment la forme générale de la nature, qui ré-
sulte de l’application des lois transcendantales dela sensi-
bilité aux impressions que nous recevons des objets (15),
est le temps, pour tous les objets physiques en général ,
et l’espace, pour les objets physiques extérieurs. Ce
sont donc les lois du temps et de l’espace, en considé-
rant ces derniers non subjectivement, ce qui est l’ob-
jet de l’esthétique transcendantale (16), mais objective-
ment, c’est-à-dire comme appartenant au monde phy-
sique donné à posteriori, qui font le véritable objet des
mathématiques.

48. Cette détermination primitive de l’objet des ma-
thématiques est donnée par une branche de la philoso-
phie qu’on nomme l’architectonique et dont le but est
de coordonner nos connaissances en systèmes, La déter-
mination ultérieure de cet objet appartient à la PAïlo-
sophie des mathématiques.

« Cette dernière philosophie a pour but l'application
des lois pures du savoir, transcendantales et logiques,
à l'objet général des sciences dont il s’agit, à l'objet gé-
néral tel que nous venons de le déterminer ; et elle doit
ainsi , suivant cette idée, déduire, par une voie sub-
jective, les Lois premières des mathématiques, ou leurs
principes philosophiques. — Les mathématiques elles-
mêmes partent de ces principes, et en déduisent par
une voie purement objective, sans remonter jusqu'aux
lois intellectuelles , les propositions dont l’ensemble fait
l’objet de ces sciences.»

« Pour mieux approfondir la nature de la philoso-
phie des mathématiques, il faut savoir (ce que nous

PH 593

venons d'expliquer précédemment ) qu'il existe pour les
fonctions intellectuelles del’homme des lois déterminées,
Ces lois transcendantales et logiques caractérisent l’in-
telligence humaine, ou plutôt constituent la nature
même du savoir de l’homme. Or, en appliquant ces
lois, prises dans leur pureté subjective, à l’objet géné-
ral des mathématiques, à la forme du monde physi-
que, il en résulte, dans le domaine de notre savoir,
un système de lois particulières, qui régissent les fonc-
tions intellectuelles spéciales portant sur l’objet de cette
application, sur le temps et l’espace. — Ce sont ces
lois particulières qui constituent les principes philoso-
phiques des mathématiques, principes que nous avons
nommés, — Il faut encore remarquer que, suivant cette
exposition de la philosophie des mathématiques, cette
philosophie donne en même temps l’explication des
phénomènes intellectuels que présentent les sciences
mathématiques : en effet, l’ensemble de ces sciences
forme un certain ordre de fonctions intellectuelles, et
ces fonctions sont de véritables phénomènes; de ma-
nière que les lois de ces fonctions, qui sont en même
temps les lois de ces phénomènes , contiennent la con-
dition de la possibilité de ces derniers, et donnent par
là leur explication philosophique. » ( Zntrod. pag. 2.)

49. La philosophie des mathématiques présente trois
parties distinctes. 1° L’Architectonique des mathématr-
ques, c'est celle qui donne la déduction des différens
objets particuliers distincts et nécessaires de ces sciences,
ou le contenu , la matière de nos connaissances mathé-
matiques. 2° La Méthodologie des mathématiques , c’est
celle qui présente les différentes manières d'envisager
les objets mathématiques, les différens modes intellec-
tuels de leur connaissance; elle porte essentiellement
sur la forme cognitive. 3° Enfin, la Métaphysique des
mathématiques, c'est celle qui a pour but les lois ob-
jectives des objets mathématiques ou les lois que reçoi-
vent ces objets par la cognition de l'homme.

L'architectonique et la méthodologie portent sur le
point de vue subjectif de la philosophie des mathémati-
ques, et la métaphysique sur le point de vue objectif de
cette philosophie.

La déduction que nous avons donnée, au mot ma-
THÉMATIQUES, de toutes les branches de ces sciences et des
divers objets distincts et nécessaires dont elles s’occu-
pent, est fondée sur l’architectonique des mathémati-
ques. Nous renverrons pour tous les détails à cette dé-
duction même , que ce qui va suivre éclaircira.

La méthodologie des mathématiques dont le but est
la détermination des différentes méthodes qu’on doit
suivre dans les différentes branches de ces sciences, re-
pose sur des principes purement logiques. Sa partie la
plus importante a été traitée au mot MÉTRODE.

Quant à la métaphysique des mathématiques, elle

324 PH

forme la partie principale de la philosophie de ces
sciences; elle a pour but les lois de l’objet même des
mathématiques, lois qui en sont les principes premiers
ou philosophiques. C’est à la métaphysique, aidée de
l’architectonique, qu'appartiennent toutes les détermi-
nations ultérieures de l'objet des mathématiques et la
déduction de ses lois fondamentales.

5o. Remarquons d’abord , comme nous l'avons déjà
fait (Maru.), que les lois du temps et de l’espace peu-
vent être considérées en elles-mêmes, ou bien dans les
phénomènes physiques auxquels elles s'appliquent ,
c'est-à-dire, #2 concreto ctir abstracto. Dans le premier
cas , elles font l’objet des MarménaTiQuESs APPLIQUÉES, et
daus le second, celui des Marnémariques pures. Mais la
considération concrète dépend nécessairement de la
considération abstraite: nous n'avons donc à nous occu-
per icique des MATHÉMATIQUES PURES.

51. Pour obtenir les déterminations ultérieures de
l’objet général des mathématiques, il faut, d’après (26 et
27), appliquer à cet objet général les lois transcendan-
tales du savoir , afin d'engendrer les schémas qui seuls
peuvent servir de bases aux idées particulières que nous
pouvons nous former de cet objet. Or, en appliquant
au temps, considéré objectivement, la première des
lois de l’entendement, la quantité, prise dans toute sa
généralité, il en résulte le schéma du vomerr; et cette
même loi, appliquée à l’espace, considéré aussi objecti-
vement, donne le schéma de l’ÉrENDUE (v0y. Marn.).
Les zombres et l'étendue sont donc deux déterminations
particulières de l’objet général des mathématiques :
elles donnent naissance aux deux branches fondamen-
tales de ces sciences : l’ALGortTamIE ou Îla science des
nombres, et la GÉomérmiE ou la science de l’étendue.
Le temps étant la forme de tous les objets en général,
et l’espace la forme des seuls objets extérieurs (15),
toutes les considérations générales de la science des
nombres peuvent s'appliquer à celle del’étendue : ainsi
ce que nous allons dire des subdivisions de la première
de ces sciences devra s'entendre également de la se-
conde que nous allons abandonner ici pour plus de sim-
plicité.( Foy. GÉOMÉTRE. )

FE

52. L’algorithmie présente d’abord deux branches

distinctes, correspondant aux deux manières de considé-

rer subjectivement une quantité mathématique : ces
deux branches sont la Tuéonte et la Trcunie. La pre-
mière a pour objet la nature des quantités, c’est-à-dire,
ce quiest, dans l'essence de ces quantités ; elle est fon-
dée sur la spéculation, fonction du savoir cù domine
l’éntellect. La seconde a pour objet la mesure des quan-
tités, c'est-à dire, ce qu'il faut faire pour arriver à l’é-
valuation de ces quantités ; elle implique la conception
d’une Jin ou d’un but, et se trouve fondée en dernier

lieu sur la volonté, faculté de l'action. D'après leur

PH

origine transcendantale, ces deux branches sont dis-
tinctes et nécessaires.

53. Ces deux branches de l’algorithmie se subdivisent
elles-mêmes en deux parties distinctes. En effet : —
« Les différentes fonctions intellectuelles dépendent dela
différence contingente qui se trouve dans les facultés
intellectuelles, mais , quelle qu’en soit la diversité, la
co-existence de ces fonctions n’est possible que par une
identité où par une unité nécessaire des différentes fa-
cultés dont elles dépendent. Cette unité nécessaire a sa
source transcendantale dans le principe même du sa-
voir, dans la conscience {o) qui sert de base à la possi-
bilité des facultés intellectuelles, et qui les lie par la loi
de l'identité, en les considérant subjectivement , ou par
celle de l'unité en les considérant objectivement. —
Ainsi, en appliquant les facultés intellectuelles à l’ob-
jet général des mathématiques, il doit en résulter d’a-
bord des fonctions intellectuelles mathématiques, dif-
férant entre elles et dépendant des facultés intellectuelles
différentes, et ensuite des fonctions intellectuelles ma-
thématiques, formant la liaison des premières, et dé-
pendant de l’unité transcendantale qui se trouve entre
ces facultés intellectuelles, — Le premier ordre de ces
fonctions intellectuelles mathématiques constitue évi-
demment les élémens de toutes les opérations mathé-
matiques possibles; le second ordre de ces fonctions
constitue la reunion systématique de ces élémens. » ( 1n-
trod. pag. 5.)

C’est en appliquant ces cousidérations philosophiques
aux deux branches de l’algorithmie, la {héorie et la
technie, qu'on trouve que ces deux branches ont né-
cessairement chacune deux parties distinctes : l’une
qui a pour objet les ÉLÉMENS NÉCESSAIRES des opérations
mathématiques, qui appartiennent à ces branches res-
pectives ; l’autre, qui a pour objet la RÉUNION sYSTÉMA-
TIQUE de ces opérations élémentaires.

Examinons d’abord la première partie de la thcorie
de l’algorithmie ou la THÉORIE ALGORITHMIQUE ÉLÉMEN-
TAIRE.

54. Le but de cette partie de la science des nombres
est, d’après ce qui précède, la détermination de la na-
ture de tous les algorithmes élémentaires possibles, en
les considérant chacun séparément ou d’une manière
indépendante des autres. Or, deux algorithmes élé-
mentaires, primitifs et essentiellement opposés , savoir,
la sommarion etla crapuarion, dont les formes respec-
tives sont

A+B—C,A =C
se présentent dans cette partie élémentaire. Ils ont cha-
cun deux branches particulières, l’une progressive,
l’autre régressive , savoir : l'addition et la soustraction
pour le premier, et les puissances et les racines pour
le second.

PH

« Ces deux algorithmes primitifs sont, pour ainsi
dire, les deux pôles intellectuels du savoir humain,
dans son application aux quantités algorithmiques. —
Dans la sommation , les parties de la quantité sont dis-
continues et extenstves ; elles ont proprement le carac-
tère de l’agrégation (per juxta positionem). Dans la
graduation , les parties de la quantité sont au contraire
continues, ou du moins considérées comme telles, et
sont en quelque sorte intensives; elles ont, de cette
manière, l’aspect du caractère de la croissance (per iatus
susceptionem). — Ces deux fonctions algorithmiques de
notre savoir, qui ont chacune leurs lois particulières,
sont entièrement hétérogènes, et il est impossible de
les déduire l’une de l’autre. — Voici leur déduction
métaphysique, ou du moins leur principe transcen-
dantal : la première, la fonction intellectuelle de la
sommation , est fondée sur les Lors constitutives de l’en-
tendement (35); la seconde , la fonction intellectuelle
de la graduatiou , est fondée sur les Lois régulatives de
la raison. »

« La neutralisation de ces deux fonctions intellec-
tuelles et, par conséquent, des deux algorithmes élé-
mentaires qui leur répondent, produit une fonction
intermédiaire à laquelle correspond un algorithme
également intermédiaire, tenant de la sommation et de
la graduation : nous nommerous cet algorithme rEPRo-
pucrion. — Ses deux branches, progressive et régres-
sive, sont la multiplication et la division. — Ce troi-
sième algorithme élémentaire qui, considéré sous le
point de vue métaphysique, se rapporte essentielle-
ment à la faculté du jugement (5 et 36), doit encore,
à cause de son origine, être considéré comme algo-
rithme primitif. »

« Ainsi, la théorie algorithmique présente trois al-
gorithmes élémentaires et primitifs. Leurs origines
se rapportent aux trois facultés primitives de notre
intellect (4), l’entendement , le jugement et la raison.
Les lois de ces trois algorithmes, fondées sur les lois
respectives de ces trois facultés primordiales de notre
intellect, sont, ainsi que la nature même de ces algo-
rithmes, essentiellement différentes, et ne sauraient,
dans toute leur généralité, être dérivées les unes des
autres. — Il n’existe donc et il ne peut exister pour
l'homine d’autres fonctions algorithmiques que celles
qui sont ou immédiatement fondées sur ces trois algo-
rithmes primitifs, ou dérivées de ces algorithmes. »
({ntrod. , page 7.)

Avant de nous occuper des algorithmes dérivés,
étudions un peu plus en détail les trois algorithmes pri-
mitifs, fondement de toute la science.

55. Pour ce qui concerne, en premier lieu, l'algo-
rithme primitif de la sommation, nous devons faire
observer que ; d’après son origine, il constitue en quel-

PH 525
que sorte la matière de toute fonction algorithmique
possible , car c’est l’entencdement qui constitue les objets
de nos convaissances; l'application ou l'emploi des au-
tres facultés intellectuelles ne peut influer que sur la
forme des fonctions algorithmiques, dont les élémens
(le conténu ou la matière) sont toujours donnés par
l'algorithme primitif de la sommation,

Le schéma de cet algorithme, qui résulte de la con-
ception générale de son objet (agrégation ou réunion
de parties), est (a)

A+B—=C
qui implique nécessairement le schéma réciproque (b)
C— B— A.

C’est sur ces deux schémas que se trouvent fondées res-
pectivement l’addition et la soustraction.
Or

give, il en résulte uue considération importante sur

, ces deux schémas étant identiques dans leur ori-
la fonction particulière de la quantité B, dans les deux
relations réciproques (a) et (b). Cette fonction ; consi-
dérée en elle-même et abstraction faite des opérations
d'addition et de soustraction , se présente , dans la pre-
mière de ses relations, avec le caractère d’une faculté
d'augmentation, tandis que dans la seconde elle se
présente avec le caractère d’une faculté de diminu-
tion. |

Cette diversité de la fonction du nombre B dans les
deux relations en question est un produit de l'application
de la seconde loi de l’entendement, celle de qualité, aux
quantités algorithmiques, et c’est de cette application
que résultent pour les quantités deux états différens
nommés état positif et état négatif. Ainsi, dans la pre-
mière relation , Best une quantité positive, et, dans la
seconde, B est une quantité négative. (Foy. ALGirRE, 2.)

L'état positif et négatif des nombres porte donc
essentiellement sur leur QUALITÉ; tandis que les opéra-
tions d’addition et de soustraction ne portent que sur
leur quanrirÉ. C’est parce que, jusqu'ici, on a con-
fondu ces deux points de vue si distincts, qu'on est
tombé dans tant de contradictions au sujet des zombres
négatifs.

56. L’algorithme de la reproduction consiste dans la
neutralisation intellectuelle des deux algorithmes pri-
mitifs et opposés, la sommation et la graduation. C’est
le moyen de remonter du premier au dernier, fondé
sur la faculté du jugement , faculté intermédiaire entre
l’entendement et la raison, qui serveut de fondemens
respectifs aux algorithmes opposés.

Le schéma de cet algorithme, qui résulte de sa con-

ception générale , est

AHA+HAHAXHA...,8B fois = C

320 PH

les nombres À, B, C étant donnés entièrement par
l'algorithme de la sommation; car, pour concevoir
cette génération, pour en former la première concep-
tion, ilest nécessaire que les nombres A et B soient
donnés par le seul mode connu jusqu'ici de génération
des nombres: la sommation; et alors le nombre C,
comme produit par une génération de sommation, est
encore un nombre entier où un nombre donné par
l'algorithme de la sommation.

» Mais lorsque cette conception est formée, l'in-
fluence régulative de la raison, qui se manifeste déjà
dans l'algorithme de reproduction dont il est question ,
introduit dans la génération des nombres A, Bet C,
une détermination nouvelle et particulière, qui satisfait
d'une part, au caractère d’agrégation, à la disconti.
nutté de génération algorithwique, dominant dans l’al-
gorithme primitif de la sommation et, de l’autre part,
au caractère de croissance, à la continuité de génération
algorithmique, dominant dans l'algorithme primitif
de la graduation. Or c’est cette détermination particu-
lière de la génération des nombres À, Bet C, dans la-
quelle se trouve la neutralisation des deux algorithmes
primitifs et opposés, qui forme la Loi fondamentale
de la théorie de la reproduction. — Le schéma de cette
loi est (c)

AXB—C

où l'on suppose que parmi les trois nombres A, B,C,
deux quelconques de ces nombres peuvent être donnés
par l'algorithme de la sommation, ou bien, ce qui re-
vient au même, que À, ou B, étant donné ainsi, le
nombre C peut représenter tous les nombres formant
la suite produite par la génération de sommation. »
(Zntrod., page 160.)
Le schéma (c) implique le schéma réciproque (4)

et c’est sur ces deux schémas (ce) et {d) que se trouvent
fondées respectivement la multiplication et la divi-
sion.

Les nombres C et B pouvant être des nombres quel-
conques donnés par l'algorithme de la sommation, la
génération du nombre A, suivant le schéma récipro-
que (4), recoit dans certains cas un caractère particulier,
une détermination plus intellectuelle, qui place ce
nombre hors de la suite des nombres entiers, Ce carac-
tère particulier, dû à l'influence régulative de la raison
qui commence à se manifester dans l'algorithme de la
reproduction, est ce qui distingue les nombres nommés
nombres fractionnaires. (Foy. ALGèrar, 12.)

Quant à la fonction particulière du nombre B dans
les deux relations réciproques (c) et{d), elle porte en-

PH
core sur la conception de la qualité el consiste dans
l'état positif ou négatif de l'exposant de graduation de
ce nombre.

57. Nous avons dit (54) que l'algorithme de la gra-
duation est fondé sur les lois régulatives de la raison.
Ce sont ces lois qui viennent apporter la dernière
unité intellectuelle dans nos connaissances (53) ; sans
l'influence régulative de la raison, la science des nom-
bres ne serait pas possible, car nous serions réduits au
seul algorithme de la sommation dont l’objet et les lois
sont identiques. Or le schéma purement algorithmique

de la graduation, est {e)
A — C

dans lequel A, B, C peuvent être des nombres quel-
conques. Mais d'après la conception générale de l'ob-
jet de cet algorithme, conception qui repose sur l’idée
de continuité indéfinie, et nous préseute un nombre
quelconque comme engendré par la multiplication suc-
cessive et indéfinie d'un autre nombre par lui-même ,
nous voyous que le schéma (e) est fondé sur le schéma

philosophique (f),

(: + . z 1 "11

En effet, cette forme, qui porte essentiellement sur
une génération indéfinie , et qui par conséquent impli-
que l'idée de l'absolu , est évidemment la seule forme
possible sous laquellenous pouvons concevoir, au moyen
de l'algorithme élémentaire et primordial desommation,
qui est un produit de l’entendemert, la continuité indi-
Jinie de la génération d'un nombre que demande la
raison. C’est évidemment sur cette génération du nom-
bre mn que se fonde la possibilité algorithmique d'un
exposant quelconque de ce nombre, entier, fraction-
naire ; positif, négatif ou zéro. (Zatrod, pag. 163.)

Nous voyons ici se manifester d’une manière évidente
la nature de la raison , de cette faculté supérieure. dont
toutes les conceptions où idées pures sont doutes d'uni-
versalité absolue et qui tend sans cesse vers l’incondi-
tionnel (30). Son principe suprême introduit dans la
science des nombres les idées transcendantes de nom-
bres infinis et infiniment petits, sans lesquelles il lui se-
rait impossible d'apporter la dernière unité intellec-
tuelle , non dans la génération des nombres eux-mêmes,
mais dans la génération de la connaissance que nous
avons de ces nombres. Comme la science serait impos-
sible sans les lois régulativesde la raison , on peut juger
du tact philosophique des géomètres qui ont voulu ban-
nir l'infini des mathématiques.

Le schéma (e) donne le schéma réciproque (g)

PH

et c’est sur ces deux schémas identiques que sont fon-
dées les puissances et les racines.

Les nombres C et B peuvant être des nombres quel-
conques, la génération du nombre A suivant le schéma (g)
reçoit en certains cas une détermination nouvelle et
plus intellectuelle encore que celle qui, dans la théorie
de la reproduction, donne naissance aux nombres frac-
tionnaires. En effet, d’après (f), le schéma philosophi-
que de cette génération est (A)

ee)
B
1
À = (: + w. 5)

Or, avec la possibilité de la génération intellectuelle
du nombre À, on voit dans ce dernier schéma que la
génération sensible de ce nombre, en la considérant en
général , est nécessairement éndéfinie. C'est cette géné-
ration indéfinie, provenant de l'influence régulative et
intellectuelle de la raison dans le domaine sensible de
l’eutendement, qui est le caractère distinctif des nom-
bres nommés nombres irrationnels. (Introd. pag. 164.)

Quant à la fonction particulière du nombre B dans
les deux relations réciproques (e) et (g), elle est vérita-
blement la même que celle du nombre B dans les deux
relations réciproques (c) et (d) de la reproduction. Elle
consiste dans la qualité positive ou négative de l’expo-
sant de graduation de ce nombre.

Les relations réciproques (e) et (g) présentent un cas
singulier, c’est celui où, C étant un nombre négatif,
B est un nombre pair. Ilen résulte que la génération du
nombre À implique dans ce cas une opposition iutel-
lectuelle où une antinomie, comme on le dit dans la
philosophie transcendantale. — « Cette antinomie pro-
vient de ce que le schéma philosophique (f) qui est le
principe ou le fondement de la possibilité de l’algorith-
me de la graduation, ne porte que sur la génération de
la quantité du nombre », laquelle, prise en général, est
réellement susceptible d’une continuité indéfinie ; tandis
que la qualité de ce nombre, comme produite essentiel-
lement et exclusivement par l'algorithme de la somma-
tion, implique nécessairement la discontinuité qui est
le caractère de ce dernieralgorithme, c’est-à-dire qu’elle
implique nécessairement l'opposition discontinue de l'é-
tat positifà l'état végatif du nombre ». Et, en effet, lors-
qu'il s’agit d’un nombre négatifC, produit par la géné-
ration de graduation A", ou ne peut, en supposant le
nombre A réel, considérer indifféremment l’exposant B
comme un nombre pair ou impair, parce que ce serait
supposer, à la génération du nombre négatif C, une
continuité indéfinie qu’il n’a point réellement. — Tou-
tefois ce qui n’est pas possible en réalité, dans le do-
maine sensible de l’entendement , l’est au moins en
idée, dans le domaine intellectuel de la raison ; et cette

PH 327

dernière faculté ne se désiste point, autant qu’il est en
elle, de ramener toutes les fonctions algorithmiques à
Ja loi de continuité indéfinie, ou, en général, à la loi de
l'absolu. » (Zntrod. pag. 165.)

Les nombres correspondans à la génération idéale

2n

Ve

sout ceux que l’on nomme très-inexactement nombres
imaginaires. (Foy. IMAGINAIRE.)

58. Passons aux fonctions algorithmiques dérivees.
Nous avons dit(Maru. 4) qu'il en existe deux seulement
dont la dérivation est nécessaire, et que cette nécessité
fait ranger au nombre des algorithmes élémentaires.
Peu de mots suffiront ici pour compléter leur déduc-
tion.

Les trois algorithmes primitifs paraîtraient admettre
quatre dérivations nécessaires correspondantes aux qua-
tre manières différentes dont ils peuvent être combinés
entre eux , en les prenant d’abord deux à deux , et en-
suite tous les trois. Mais en considérant , en particulier,
la nature de ces algorithmes, on voit aisément que la
combinaison de l’algorithme dela sommation avec celui
de la graduation se trouve déjà dans l’origine de l’al-
gorithme de reproduction; de sorte qu'il ne reste de
combinaisons réellement différentes, que celles de l’al-
gorithme de la reproduction avec les algorithmes res-
pectifs de la sommation et de la graduation. Ce sont ces
combinaisons qui produisent les deux algorithmes élé-
mentaires dérives que l’on nomme la NuMÉRATION et
les rACULTES. (Foy. Maru. 4.)

59. Ces deux algorithmes dérivés viendraient clore
la partie élémentaire de la théorie de l'algorithmie,
s'il ne se trouvait dans la nature de la numération et des
facultés le principe d’une conséquence ultérieure et
également nécessaire. Ce principe consiste en ce que la
reproduction, qui est commune à ces deux algorithmes
dérivés, établit entre eux une liaison, une espèce d’u-
nité ; d’où résulte , comme conclusion nécessaire , la
proposition, du moins problématique, de la transition
de la théorie de la numération à celle des facultés, et
réciproquement de la théorie des facultés à celle de la
numération. Les schémas de ces deux questions néces-
saires, qui doivent définitivement terminer le système
de tous les algorithmes élémentaires possibles pour
l'homme, sont :

1° Transition de la numération aux facultés ,

ox, + px, + pr, etc. = fr, .x,.æ,. etc.);

2° Transition des facultés à la numération ,

PL, PT PT. CLC, = px, x, + x, + etc,)

en désignant par æ1, æ,, æ:,etc., des quantités varia-

328 PH

bles quelconques, et par la caractéristique ? les fonctions
inconnues respectives qui peuvent répondre à ces ques-
tions. {/ntrod. pag. 10.)

Go. Pour la première de ces deux questions, il est évi-
dent d’abord que la fonction, dont il s'agit, est l'ex-
posant d'une quantité donnée qui forme, avec cet expo-
sant, la valeur de la quantité variable; car à étant une

quantité constante, si l’on à

on aura aussi
Lt ur etc. =afTi.afts.nfts etc. =dftitrertsrytelc.

et conséquemment

pri + ox, + px, + elc. = 9x, xx. etc.)

Il ne reste donc qu’à découvrir la nature de cette fonc-
tion 9, et à savoir si elle est une fonction dérivée éle-
mentaire, où seulement une combinaison des autres
fonctions élémentaires. Or, la nature transcendante de
cette fonction , qui constitue les LOGARITHMES, nOuS ap-
prend qu’elle est une fonction dérivée élémentaire.
(Foy. LoGaRITRMES, 11.)

61. Quant à la seconde des deux questions (56) pro-
posées par la nature même de notre savoir, il est encore
évident que les fonctions exponentielles, qui appartien-
nent entièrement à l'algorithme de la graduation, lui
répondent d'une manière complète. En effet, si a et mr
sont des quantités constantes, on aura la fonction expo-
uentielle

px — amx

qui donve
PL, pa, pr etc. = anti, amv gnr ele, — amxi+ti+x3 tete.)

et, conséquemment ,

ox +x,+x,+ etc.)

Ainsi, en cousidérant les fonctiors exponentielles

PT, .PX,.pT3. EC.

dans toute leur généralité , la seconde des deux ques-
tions rationnelles dont il s’agit, la transition des facul-
tés à la numération, ne donnerait lieu à aucun algo-
ritbme nouveau. Il ue pourrait donc s’en trouver ici que
dans le cas particulier où l’exposant 77 recevrait une va-
leur qui placerait les fonctions exponentielles hors de
la classe des puissances ordinaires et susceptibles d'une
signification immédiate. Ce cas a lieu effectivement lors-
que l'exposant »1 est imaginaire , et particulièrement
lorsqu'on a m—\/— 1. (Introd. pag. 15.)

G2. Pour déterminer la nature de la fonction trans-
cendante

9x = ai

PH

observons que nous avons en général, z étant un
nombre quelconque et Lz son logarithme naturel ,

] Li

s—1+". Li + 3(Lz) + etc.

1.2.

(Foy. LoGarirame, 15), et par conséquent , (i)

L’a -
dt —-— 2, \/—1+-etc.

1.2.3

= La — 2
EE Va . 2

en faisant arx#—1 2, d'où xV/—1.Le —Lz.

L'expression {i) se trouve composée de deux suites,
l’une réelle, l’autre imaginaire. En désignant par Fx
la première de ces suites et par fx la somme des cocffi-

ciens de V/—1 , on a

: La}.x! | (La)t.xri (La)6.x6
pen naar 4 (Lait, (La FA
Fr . TES Le TETE or

: (Laÿ.z3 (La).x° (Laÿ.27

XL — L X — — —= : à
PERMET RES Pia ES No

Ainsi la nature de la fonction #x en question sera
donc:

or —= Fx — fx V—1

dans laquelle les deux quantités Fx et fx sont deux
fonctions déterminées de x, susceptibles de valeurs
réelles,

Maïs à cause du double signe + du radical qui entre
d’unemanière générale dans les fonctions yx, on a les

deux relations
Fz + fe. \/—1
Fa — fa.y —1

atxf 1

a =

lesquelles donnent

Fx

I

2

fat + ai |

SJ

Îl

VE Lara — a]

Tellessont donc définitivement les fonctions nouvelles
susceptibles de valeurs réelles, qui sont impliquées dans
la fonction #x en question. La dernière de ces fonctions
est ce qu’on appelle sinus et la première ce qu’on nom-
me cosinus. ( Pour plus de détails, voy. Sinus.)

Ainsi les fonctions nommées en général sinus sont
des fonctions algorithmiques élémentaires ; et la Taro-
RIE DES sinus forme une des branches nécessaires de l’al-
gorithmie.

63. Jusqu'ici nous n’avons considéré la théorie algo-
rithmique élémentaire que sous le point de vue trans-

PH

cendantal , point de vue qui sert à découvrir la gencra-
tion méme des quantités ; il nous resterait donc à lenvi-
sager sous le point de vue logique, mais comme ce der-
nier ne sert à découvrir que la relation réciproque des
quantités, relation qui ne peut avoir ici de lois particu.

|Péles opposés, fon-

0

| dés sur les facultés
opposées de l'en-

tendement et de la

raison.

Algorithmes

théoriques

PH
lières, nous renverrons à ce que nous en avons dit,
Mau. 7,
taire dans le tableau suivant qui présente les principes

et nous résumerons toute la théorie élémen-

philosophiques de celui que nous avons donné à l’arti-

cle et au numéro cités.

Progressive. — ADDITION.

Génération discon-

p Nombres positifs.

linue,

SOMMATION,
SOUSTRACTION.

Nombres négatifs

Progressive. — PUISSANCES,
Génération conli-
nue.

Nombres ralionnels,

GRADUATION.

Régressive, Réels,

RACINES, Normbres

Irrationnels,

fimaginaires,

Progressive, — MULTIPLICATION,

Neutralisation des algorithmes opposés,

primitifs.
fondée sur
Génération, |
| jugement,
(point de vue |
transcendantal.)
CONSTITUTION
ALGORITHMIQUE.
fmmeédiats,

. THÉORIE

de

Algorithmes
théoriques
L'ALGORITHMIE. dérivés,

Partie

élémentaire,
| Médiats.

Rélatiôn ; Relation d'égalité, — EGALITÉ,

(point de vue lo-
gique.)
COMPARAISON

AUGORITHMIQUE, |, Ka j
telation d'inégalité, — RAPPORTS,

TOME IT,

REPRODUCTION

/

|

la faculté intermédiaire du

Nombres entiers

Régressive,

\ DIVISION.

D 4

: :

1 Nombres fonctionnaires,
Combinaison de Ja reproduction avec la sommation, == NUMÉRATION,
Combinaison de Ja reproduction avecla graduation, = FAGULTES,

— LOGARITHMES

lransition de la pumération aux facultés

lransition des facultés à Ja numération

Rapport de sommation. — RAPPORT ARITHMÉTIQL LE

Rapport de reproduction. RAPPORT GÉQMÉTRIQUE,

>
[E]

550 PF

64.» En reportant nos regards, dit M. Wronski
({ntrod., page 29), sur les principes dont nous avons
dérivé tous les algorithmes élémentaires, nous verrons
facilement que la possibilité de ces différens algorithmes
consiste dans la dualité intellectuelle que présentent les
théories de la sommation et de la graduation; c’est-à-
dire, en remontant plus haut, qu’elle consiste dans
l'opposition des lois constitutives de l’entendement
desquelles dérive l'algorithme primitif de Ja somma-
tion et des lois régulatives de la raison, desqueiles dé-
rive l'algorithme de la graduation. Mais cette espèce
de polarité inteilectuelle, si je puis m’exprimer ainsi,
qui se trouve dans l'application du savoir humain à la
détermination des lois des quantités algorithmiques,
doit évidemment se rencontrer dans toutes ces quantités,
car le principe de cette application est le même pour
toutes les quantités algorithmiques en général. Il en
résulte dans ces quantités considérées objectivement,
non une simple neutralisation ou combinaison, mais
une véritable réunion systématique des deux fonctions
intellectuelles qui ont pour objet les deux algorithmes
primitifs et opposés, la sommation et la graduation.
Cette réunion systématique introduit, dans les quan-
tités alsornhmiques, de nouvelles déterminations de
leur nature, de nouvelles lois théoriques; et ce sont
ces lois qui font l’objet de la partie systématique de la
théorie algorithmique. »

« Mais on peut ici se placer dans deux points de vue
différens pour considérer la réunion systématique dont
il s’agit: dans l’un, quiest le point de vue transcen-
dantal, on découvre l'influence de cette réunion sur
la génération méme (la coustitution) des quantités algo-
rithmiques; dans l’autre, qui est purement un point
de vue logique, on découvre l'influence de cette réu-
nion sur la relation réciproque (la comparaison) de ces
quantités. — Sous le premier aspect , la réunion systé-
matique dont il est question donne lieu, dans la gé-
nération des quantités algoritlimiques, à une unité trans-
cendantale entre les deux algorithmes primitifs, la som-
mation et la graduation; unité dont les lois forment
l’objet de plusieurs branches séparées qu'on pourrait
nommer en général THÉORIE DE LA CONSTITUTION ALGO-
RITHMIQUE. Sous le second aspect, cette réunion donne
lieu, dans la relation des quantités algorithmiques , à
une unité logique entre les deux algorithmes primiufs,
la sommation et la graduation; unité dont les lois for-
ment épalemeut l'objet de plusieurs branches séparées
qu'on pourrait nommer en général THÉORIE DE LA
COMPARAISON ALGORITUMIQUE. »

» La réunion de deux algorithmes peut générale-
ment être euvisagéc, ou comme dversité sYstémati-
que, ou comme identité systématique : dans le premier

cas, ces deux algoritlines sont considérés comme dis-

PH

tincts, l’un de l’autre, dans la génération d’une quan-
üté algorithmique ; dans le second cas, ces algorithmes
sont considérés comme indistincts l’un de l’autre, dans
la génération d’une telle quantité. — Or, les deux al-
gorithmes primitifs étant considérés par rapport à la
génération des quantités, sont entièrement opposés
dans leur nature, et ne sauraient, par cette raison,
concourir iudistinctement à la génération d’uue quan-
üté;ilsne peuvent donc, dans leur réunion, donner
lieu qu’à une diversité systématique. Mais les algorith-
mes dérivés immédiats, la numération et les facultés,
qui touchent à la neutralisation des deux algorithmes
primitifs opposés, et qui sont même liés par cetie neu-
tralisation, par l'algorithme de la reproduction, peu-
vent concourir indistinctement, du moins par l'usité
de leur liaison, à la génération d’une quantité ; ces
deux algorithmes dérivés doivent donc préseuter dans
leur réunion une véritable identité systématique. »

Nous avons donré, MaruémariqQues, n° 8,9, 10,
11 et 12, la déduction des diverses parties qui compo-
sent la consriTurion et la comparaison de la ru£ontE
ALGORITHMIQUE, €t nous devons nous contenter ici de
renvoyer à cet apercu, dont les détails nous entraîne-
raient trop loin.

65. Passons à la TECHNIE DE L'ALGORITHMIE, cette se-
conde branche fondamentale de la science des nombres,
dout nous avons exposé l'origine intellectuelle (32) et
dont nous avons reconnu les diverses parties au mot

os

Marmémariques, n° 15, 16, 17,18, etc.

Ea examinant les différens algorithmes élémentaires
et systématiques qui composent la théorie de l’algo-
rithmie, on reconnait sans peine qu’ils sont autant de
procédés intellectuels constituant immédiatement la
génération primitive ou la construction des quantités
algorithmiques et qu’ils sont indépendans de toute con-
ception de fin ou de but ; de sorte que la théorie de l’al-
gorithmie n’est qu'une simple spéculation fondée sur la
faculté de l’intellect en général. Mais nous avons vu
(Math., 15) que, outre la génération primaire donnée
par les algorithmes théoriques , la science des nombres
serait impossible sans une génération secondaire qui
embrasse tousles modes de la génération algorithmique,
en réduisant les formes primaires à des formes secon-
daires équivalentes, c’est-à-dire en donnant dans tous
les cas l'évaluation ou la mesure des quantités,

Ainsi, quoique cette réduction ne puisse être opé-
rée que par le moyen des formes primaires mêmes,
puisqu'il ne saurait exister aucun autre procédé possi-
ble, elle n'est cependant pas contenue explicitement,
ni même implicitement, dans ces formes primaires de
génération, car alors elle ne serait pas nécessaire.
Cette réduction sort donc du domaine de la spécula-
ton alzorithmique régie par linreccecr et constituant

PH

la théorie de l'algorithmie ; elle forme une espèce
d'action algorithmique, étant évidemment une fin ou
un but propre de la voronrk; et comme telle, cette ré-
duction présente un procédé artificiel , un art (7x1).
et constitue ce que nous nommons Technie de l’algo-
rithmie (Wronski. Philos. de la Technie). De plus,
comme nous avons vu aussi que les procédés de la tech-
nie étaient universels, mous pouvons définir cette
branche de la science des nombres en disant qu’elle a
pour objet l'UNIVERSALITÉ DANS LA GÉNÉRATION DES
QUANTITÉS.

C'est en raison de cette universalité des algorithmes
techniques élémentaires qui se résume en un seul algo-
rithme technique systématique, que M. Wronski a pu
se proposer d’embrasser par UNE SEULE LOT toutes les
diverses lois possibles de la génération des quantités,
c'est-à-dire toute la science des nombres et conséquem-
ment toutes les mathématiques, car l’algorithmic forme
évidemment l'essence de ces sciences. Cette loi supréme,
qui couronne l'édifice des mathématiques , élevé par
la philosophie, a été présentée, en 1811, à l'Institut
de France, et ce corps savant, par l’organe de La-
grange et de Lacroix, ses commissaires , eu a reconnu
l’universalité en ces termes: « Mais ce qui a frappé
vos commissaires dans le mémoire de M. Wronski,
cest qu'il tire de sa formule toutes celles que l’on con:
naît pour le développement des fonctions, et qu’elles
n’en sont que des cas très-particuliers. »

66. La forme de cette loi suprême, marquée /£),
Maru., 22, se trouvant identique avec le principe
premier et le plus simple, l'algorithme primitif et pri-
mordial de la sommation, il en résulte que le système
entier de nos connaissances algorithmiques se trouve
complètement achevé. Notre but n'ayant été que de
faciliter l'étude des ouvrages de M. Wronski, et de
faire entrevoir l'importance d’une philosophie qui
vient enfin expliquer et compléter la science du géo-
mètre , cette science qui règle les substances de l'Uni-
vers, nous devons maintenant renvoyer aux ouvrages
eux-mêmes. Si les grandes choses qu'ils contiennent
sont encore méconnues, elles n’en sont pas moins pro-
duites, et M. Wronski peut s’écrier, comme Keppler,
je livre mes ouvrages, ils seront compris par l'âge pré-
sent ou par la postérité, peu m'importe; Dieu n'a-til
pas attendu six mille ans un contemplateur de ses
œuvres.

PHOENIX. (454) Constellation méridionale, située
entre l'Eridan et le poisson austral. (7/07. PI. 10.)

PHONIQUE (de guy», voix, son). Nom donné à
la science des sons, nommée plus communément 1cous-
TIQUE. (Woy. ce mot.)

PI
PHORONOMIE ( de @:s4, mouvement et de veuos,

loi). Science du mouvement considéré en lui-même ou

Do

in abstracto. (Voy. Mécanioue et MouvEmENT.)

PHYSICO-MATHEMATIQUES. (Foy. Marnémi-

TIQUES APPLIQUEIS.)

PICARD (Jeux, et Prenre. suivant quelques biogra-
phes) , célèbre astronome du xvu' siècle, et l’un des
huit premiers membres de l'Académie des sciences , est
né à La Flèche le 21 juillet 1620. On ne possède que
quelques vagues renseignemens sur son origine et son
éducation ; l’auteur de l’Aistoire critique de la décou-
verte des longitudes semble insinuer que Picard était le
jardinier du duc de Créqui, losqu'un astronome de ce
temps, Le Valois, le prit avec lui et l’initia à la con-
naissance des élémens de la science , dans laquelle il fit
de rapides progrès. Vraie ou fausse, cette anecdote,
avancée dans un esprit de dénigrement aussi injuste que
déplacé, n’est qu'honorable pour la mémoire de Pi-
card, à qui l'astronomie pratique, comme la théorie
de la science, doivent une foule de découvertes ingé-
nieuses et utiles qui n'ont pas peu contribué à leur
avancement. Quoi qu’il en soit de la jeunesse de Pi-
card, on le retrouve à l’âge de vingt-cinq ans prêtre et
prieur de Villé, en Anjou, observant l’éclipse de soleil
du 25 août 1645 avec Gassendi, auquel il succéda dans
la chaire d’astronomie du collége de France. La me-
sure d’un degré du méridien pour arriver à une con-
naissance exacte de la figure et de la grandeur de la
terre, dut être l’un des premiers objets qui excitèrent
la sollicitude de l’Académie des sciences. Les travaux
de Suellius et de Riccioli sur cette importante opéra-
tion étaient les seuls documens de quelque valeur scien-
tifique qu'on possédät alors; mais les résultats obtenus
par ces deux géomètres différaient par des quantités si
grandes, qu’il était impossible de ne pas penser que
l'un des deux au moins avait commis une grave erreur.
Il existait donc alors un doute complet sur la grandeur
même approchée du degré terrestre. L'abbé Picard ,
déjà célèbre par des observations importantes et des
inventions utiles, fut choisi par l’Académie pour re-
commencer cette mesure dans les environs de Paris. Il
entreprit et exécuta, dans les années 1669 et 1650,
cette grande opération dont nous avons déjà eu l’occa-
sion de parler dans beaucoup d'articles de ce diction-
naire. Nous ajouterous seulement ici qu’en suivant le
procédé qu'avait employé Suellius, Picard apporta
dans son travail des soins extraordinaires et nouveaux
dans les opérations de l’astronomie pratique. Il avait
un secteur de dix pieds de rayon scrupuleusement vé-
rifié dans tous les degrés qui devaient servir à sa me-

sure. Cet instrument était garni d’un excellent téles-

PI

| . : a <
cope avec des fils se croisant au foyer de l’oculaire. I:

992

mesura ainsi à Amiens et à Malvoisine la distance d’une
étoile de Cassiopée, qui passait à moins de dix degrés
du zénith de l'un et de l’autre lieu , et il trouva leur
différence de latitude de 1°22'.55”. Quant à sa mesure
trigonométrique, tous les angles de ses triaugles farent
vérifiés, et deux mesures réitérées de sa base, faites
avec tout le soin dont Picard était capable, ne lui don-
pèrent qu'une différence de deux pieds; la première
avait été de 5602 toises 5 pieds, et la seconde de
5663 toises 1 pied. C’est ce qui le détermina à prendre
un milieu et à le fixer à 5663 toises. De tous ses calculs
cufia, Picard tira la conclusion que la distance inter-
ceptée entre les parallèles d'Amiens et de Malvoisine
était de 78850 toises ou 57060 toises par degré. La
même opération, exécutée depuis avec des instromens
plus perfectionnés et à l’aide de méthodes supérieures
indiquées par les progrès de la science, a sans doute
démontré quelques inexactitudes dans le travail de Pi-
card; mais, malgré cette imperfection, peut-être iné-
vitable, la mesure d’un degré terrestre, à laquelle
Picard a donné son nom, n’en demeurera pas moins cé-
lèbre dans l'histoire de la science, comme un monu-
ment remarquable de la première tentative heureuse
qui ait été faite pour connaître la mesure exacte de la
terre. Gn sait que ce fut à l'aide de la mesure du degré
de Picard que Newton put réussir das les calculs qu’il
avait une première fois tentés sans succès pour recon-
naître la force qui retient la lune dans son orbite. Cette
opération eut escore pour résultats d’appeler l’atten-
tion des astronomes sur des mouvemens que l’on dé-
signe aujourd'hui par les noms de nutation et d’aber-
ration, et dont on m'avait pas le moindre soupcon.
L'honneur de trouver les causts et d'expliquer ce
double phénomène était réservé à Bradlev.

Dès lan 1669, dit Delambre, Picard avait lu à
l’Académie un mémoire substantiel , dans lequel il tra-
çait le plan d’une astronomie perfectionnée par ses in-
ventions et celles de Huygens ; il v donnait les moyens
de déterminer directement, et tout à la fois, les ascen-
sions droites du soleil et celles des étoiles. Ces movens
n'étaient au fond qu'une application particulière de la
méthode générale des hauteurs correspondantes, qu'il
avait d’ailleurs introduite le premier dans l'astronomie
pratique , en fournissant de plus la correction dont elle
a besoin quand la déclinaison de l’astre vient à varier
dans l'intervalle des deux hauteurs égales qu’on a obser-
vées. Par ces moyens, Picard avait annoncé qu'il fixe-
rait les momens précis des solstices avecla même exac-
titude que ceux des équinoxes. Le premier , il observa
la longueur du pendule simple qui battrait les secondes,
et il demanda que les observations fussent répétées en
différens climats pour savoir si cette longueur était par-

PI
tout la même, après avoir averti que la seule dilata-
tion des métaux suffisait pour la faire varier avec la
température de l'atmosphère. Picard recommanda aussi
l'observation des réfractions en différentes saisons et
celle des diamètres : il en donna lui-même des exem-
ples fréquens.

Auzout futle collaborateur et l’ami de l’abbé Picard.
On les associe avec raison dans l'invention du micro-
mètre, l'application du télescope au quart de cercle et
l'invention de la lunette d’épreuve. Dans la vue de
rendre plus sûrement utiles les observations de Tycho-
Brahé, Picard fit le voyage d'Uranibourg pour déter-
miner plus exactement la longitude et la latitude de cet
observatoire célèbre ; enfin, c’est à Picard que la France
doit d'être devenue la patrie adoptive de l’illustre Cas-
siui; c'est aussi à ses plans et à son influence qu’elle
doit la construction de l'Observatoire. Malheureusement
le jeune astronome que Picard , usant de son crédit au-
près du grand Colbeït, avait fait venir d'Italie, ne tarda
pas à faire oublier le mérite etles honorables services de
son protecteur, Ce fut lui qu’on nomma directeur de
l'établissement dont Picard avait eu la première idée,
et bientôt les plans et les projets de cet astronome dis-
tingué furent délaissés pour les brillans travaux du
compétiteur qu'il s'était donné dans son amour pur et
désintéressé pour la science. A la suite d’une chute
qu’il avait faite dans une observation difficile, Picard
fut dangereusement blessé; il fanguit encore durant
quelques années , et mourut à Paris le 12 juillet 1682,
et 1054 suivant Condorcet. Picard a publié : [. La me-
sure de la terre, Paris, 1651, in-folio. II. Voyage
d'Uranibourg, ou observations astronomiques faites en
Danemarck. HE. Observations astronomiques faites en
divers endroits du royaume. — Observations faites à
Bayonne, Bordeaux et Royan, pendant l’année 1680.
IV. Traité du nivellement : C'est l'ouvrage publié par
Lahire. V. La pratique des grands cadrans par le cal-
cul. NI. Zragmens de dioptrique. VIL. Experimenta
circù aquas affluentes. VIT. De mensuris. IX. De
mensurà liquidorum et aridorum. Picard a composé les
cinq premiers volumes de la Connaïssance des temps,
de 1679 à 1653. Cet illustre académicien, qui avait
consacré sa vie à de si nombreux et si utiles travaux,
était tombé vers la fin de sa carrière dans un oubli dont
les biographes modernes se sont fait un devoir de ven-
ger sa mémoire. « Picard, dit Condorcet, fut le maître
de Roemer , dont il devina le génie, et auquel il pro-
cura la protection de Colbert et les bienfaits de
Louis XIV. Le premier, il aperçat le phosphore qu’on
voit dans la partie vide du baromètre, lorsqu'on y
agite le mercure, Dès 1680, il n’était plus en état d’exé-
cuter par lui-même les grands travaux dont il avait fait
agréer le projet à Colbert, et il termina ea 1684 une

PI

carrière toute remplie d’occupations utiles, qui lui don-
nent plus de droits à la reconnaissance des hommes qu’à
la gloire, et dont les fruits s’étendront au-delà de sa

mémoire. »

PIED. Nom d’une ancienne mesure linéaire, la

sixième partie de la toise. (Voy. Mesure.)

PIGNON. (Méc.) Nom que l’on donne aux petites
roues dentées, qui dans un engrenage transmettent le

mouvement d’une pièce à une autre.

PILE. (Géom.) Amas de corps placés les uns sur les
autres.

Ainsi, dans l'artillerie on nomme pile de boulets ou
de bombes une collection de ces corps arrangés les uns
sur les autres, et l’on a des formules particulières de
calcul pour trouver le nombre des boulets d’une pile.
Nous ferons connaître ailleurs ces formules qui dépen-
dent de la théorie des progressions. (Voy. Procnes-

SION.)

PINGRÉ (Azexanpre-Gui), astronome célèbre du
18° siècie, fit ses études à Senlis, chez les génovéfains,
et entra dans cette congrégation à l’âge de 16 ans. Il y
fut long-temps professeur de théologie, et l’on attribue
à des désagrémens que lui occasionnèrent ses opinions
dans la querelle du jansénisme, le parti qu'il prit à un
âge déjà avancé, de se livrer à l’étude et aux recher-
ches d’une science bien différente de celle dont il s'était
occupé jusqu'alors, et dans laquelle il ne tarda pas à
acquérir une réputation distinguée. Diverses observa-
tions, et entre autres celle du passage de Mercure, en
1953, lui valurent le titre de correspondant de l’Aca-
démie des sciences. Peu de temps après, il fut successi-
vement nommé chancelier de l'Université et bibliothé-
caire de Sainte Geneviève ; on lui conféra aussitôt le
titre d’associé libre de l’Académie. Pingré composa ,
d’après les idées de l’astronome Lemonnier, dont il était
l'ami, un état du ciel, pour les années 1754 à 1957;
c'était un almanach nautique, fondé sur la méthode des
angles horaires de la lune, et calculé sur les tables des
institutions astronomiques, Cette méthode n’a point
obtenu la même confiance que celle proposée par La-
caille vers la mêmé époque, et qui a été adoptée dans
le Nautical almanach , de Londres, dans la connaïs-
sance des temps, ct dans toutes les éphémérides ,
sans exception. Pingré recommença tous les calculs que
Lacaille avait faits pour le tableau des éclipses visibles
en Europe, pendant les dix-huit premiers siècles de
l'ère chrétienne, inséré dans l'art de vérifier les dates, 1
étendit ce travail au calcul des éclipses des dix siècles pré-
cédens. Cette vaste entreprise, dont l'utilité immédiate
n’était pas bien évidente, a eu pour résultat de démontrer
l'insuffisance des anciennes périodes pour le calcul des

PL

éclipses futures. Pingré fit preuve de la même patience

203

et du même zèle scientifique, dans les trois voyages qu'il
entreprit pour essayer les montres marines de Ferdi-
nand Berthoud et de Leroi. A la fin de 1560, il partit
pour l’île Rodrigue, où l’année suivante il observa le
premier passage de Véuus; en 1769, il ebserva le sc-
cond à Saint-Domingue, En 1783, il publia la cometo-
graphie, le plus important de ses ouvrages, et le seul
probablement qui restera. Ex 1786, il fit paraître une
traduction du poème astronomique de Manilius. Pingré
possédait une vaste instruction ; il était très-versé dans
les langues anciennes, et la bibliothèque Sainte Gene-
viève lui offrait d’ailleurs les moyens de vérifier tous
les textes qu'il avait à citer. Aussi sa comeétographie
est l’ouvrage le plus complet qu’on ait publié sur cette
matière ; il n’y manque aujourd’hui que les théories et
les méthodes dont la production est postérieure à sou
travail. Pingré avait aussi calculé toutes les observations
astronomiques du dix-septième siècle, eu remontant
jusqu’à Tycho. Cet ouvroge était peut-être plus curicux
qu’utile ; l'assemblée constituante en ordonua l'impres-
sion, mais les événemens politiques du temps ne permi-
rent pas de l’achever. Cet astronome, qui était né à
Paris, le 4 septembre 1911, y est mort, membre de
l'Anstitut, le 1° mai 1796, à l'âge de quatre-vingt-quatre
aus. On doit à Pingré de nombreuses et importantes
observations dont Lalande à donné le détail dans la
bibliographie astronomique ; il est l'auteur de beru-
coup d’écrits maiatenant oubliés, et nous citerons seu-
lement de lui : Cométographie, où Traité historique et
théorique des comètes. Paris, imp. roy., 1783, 2 vol.
in-4°.

PINULES. (Géom.) Nom que l’on donne à deux
petites pièces de cuivre , minces et rectangulaires, éle-
vées perpendiculairement aux deux extrémités de l'ali-
dade d'un demi-cercle, d’un graphomètre ou de tout
autre instrument semblable. Elles sont chacune percées
d’une fente qui règne de haut en bas. C’est par ces
fentes que l’on vise un objet lorsqu'on veut placer lali-
dade dans la direction de cet objet.

Dans les instrumens destinés à relever les angles, on
a généralement substitué aujourd'hui le télescope aux
pinules.

PISTON. (/ydr.) Cylindre de bois ou de metal qui
se meut dans un corps de pompe pour soulever l'eau,
(Foy. Pomve.)

PLAN. (Géom.) Surface sur laquelle une ligne droite
sé peut appliquer en tous sens, de manière à coincider
exactement avec elle. (Joy. Surrace.)

Eu géométrie et en astronomie, on emploie fort
souvent ce mot pour faire concevoir des surfaces ima-

ginaires qui sont supposées couper des corps solides,

= pr

294

PL
C’estsur cela qu’est fondée toute la théorie de la sphère,
et la formation des courbes nommées sections coniques.

Dans le nivellement, on nomme plan de niveau un
plan horizontal où parallèle à l'horizon.

Angle vran. C'est l'angle formé par deux plans qui
se coupent. On le mesure par l’angle rectiligne de deux
droites perpendiculaires à l’un des points de l’intersec-
tion des plans et dirigés l’un dans un plan et l'autre
dans l’autre.

Triangle vvax. On donne ce nom au triangle formé
par trois lignes droites, par opposition au triangle
sphérique qui résulte de l'intersection de trois arcs de
cercle.

On nomme, en optique, verre ou miroir PLAN celui
dont la surface est plane. (Foy. LENTILLE.)

Un lieu vLan , en géométrie, est un terme employé
par les anciens géomètres pour désigner un lieu géo-
métrique, à la ligne droite ct au cercle, par opposi-
tion au lieu solide qui était une parabole , une ellipse
ou une hvperbole. (oy. Lixu.) Ils nommaient aussi
problème pLaAN celui qui peut être résolu géométrique-
ment par la ligne droite et le cercle. (Foy. PROBLÈME.
PVoy. aussi Coxsreucrion.)

PLAN INCLINÉ. (WMec.) (Voy. INcuINÉ.)

PLAN. (Geom. prat.) Représentation d’un objet en
petit sur le papier, faite en conservant à toutes ses par-
ties les rapports de grandeur qu’elles ont réellement.

Dans l'arpentage, on appelle lever un plan Y'art de
décrire sur le papier les différens angles et les différen-
tes ligues d’un terrain dont on a pris les mesures avec
un graphomètre où un instrument semblable et une
chaine, (Foy. ARPENTAGE et LEVÉ DES PLANS.)

Cette construction s'exécute par le moyen de deux
instrumens, le rapporteur et l'échelle (voy. ces mots).
A l'aide du rapporteur on coustruit sur le papier les
divers angles que l’on a observés sur le terrain ; puis à
l'aide de l'échelle on donne aux côtés de ces angles des
longueurs proportionnelles à celles que l’on a mesurées.
De cette manière on a sur le papier une figure exacte-
ment semblable à celle du terrain.

S'il s'agissait, par exemple, de lever le plan d’une
route ABCDE (PI. 46, fig. 1) sur un terrain dont on
veut en outre avoir la position des points F, G, H,1,
K , après avoir mesuré la longueur des droites menées
de ces points aux endroits sinueux du chemin, ainsi
que les angles que ces droites forment entre elles, on
tracera sur un papier, d’une dimension convenable,
d’abord une droite af (PI. 46, fig. 2), qui représentera
la droite AF du terrain, et dont la longueur sera pro-
portionnelle à celle de cette dernière, c’est-à-dire qu’elle
devra contenir autant d’unités de l'échelle qu’on aura
choisie, que AF contient de mètres, si l'échelle repré-

PL

sente des mètres. Aux points 4 et f on fera les angles
fah et afb égaux aux angles observés FAH et AFB, puis
on donnera aux lignes ah et fb des longueurs propor-
tionnelles à celles des lignes AIT et FB. Les points b ct
L se trouvant ainsi déterminés, on mènera ia droite bh,
et en la mesurant sur l’échelle on devra lui trouver une
longueur proportionnelle à BH, ce qui offre un pre-
miermoyen de vérification pour la construction des
angles. Ceci fait, aux points f et b on construira les an-
gles bfe, fbi, égaux aux angles BFC, FBI, et l’on don-
nera aux côtés fe et bi les longueurs qui leur convien-
vent, ce qui déterminera sur le papier les points c et à
situés d’une manière semblable aux points C et I
du terrain ; on tirera cé et l’on continuera de la même
manière pour déterminer les autres points d, g,e, k.
En faisant passer une ligne courbe par les points &, b,
ec, d,e, on aura le plan du chemin. En général tout
l'art de lever les plans se réduit à construire sur le pa-
pier des polvgones semblables à ceux qu’on a faits sur
le terrain, ce qui peut toujours s’exécuter comme nous

venons de l'indiquer.

PLANCHETTE. (Arp.) Instrument qui sert à lever
les plans, et avec lequel on obtient sur le terrain même
le plan qu'on demande, sans avoir besoin de le con-
struire à part.

Cet instrument consiste en une planche rectangulaire
de bois bien sec, ayant environ 12 à 15 pouces en carré,
montée sur son genou et sur un pied à trois branches.
(PI. 46, fig. 4.) On place dessus une feuille de papier
qu’on arrête par le moyen d’un chässis qui s’emboîite
juste autour de la planchette. On se sert, pour tracer les
lignes, d’une règle ou alidade en cuivre, munie de
deux pinules et quelquefois d’une lunette d'approche,

Pour indiquer au moins l'usage de la planchette,
supposons qu’il s'agisse de lever le plan d’un terrain
ABCDEF (Fig. 3). Ayant placé l'instrument dans l’inté-
rieur de ce terrain, de manière que sa surface soit bien
horizontale, on dirigera successivement l’alidade daus les
directions des points À, B, C, etc. , auxquels on placera
des mires, s'il n’y a pas à ces points des objets qui en
puissent servir, comme des arbres, et on aura le soin de
la faire constamment tourner autour d'un point gchoist
convenablement sur le papier. À chaque alignement
on tirera le long de l’alidade, en partant du pointg,
une ligne au cravon; puis après avoir mesuré sur le
terrain, avec la chaîne, les distances du pied de la plan-
chette à tous les points d’alignement, on donnera aux
lignes tracées, à partir du point g, des longueurs pro-
portionnelles à ces distances, à l’aide d’une échelle. On
déterminera ainsi immédiatement les points a, b, c, d,
e, f du plan qui représentent les points A, B,C, D,
E, F du terrain, et en joignant ces points deux à deux

PL

par des droites ; la figure abcdef sera le plan du terrain
proposé.

Tous les traités d'arpentage contiennent un grand
nombre de détails sur les usages de la planchette.

PLANETAIRE. (454) Instrument qui représente les
mouvemens des planètes, soit par des cercles , comme
dans les sphères mouvantes, soit par de petits globes
qui tournent autour d’un centre.

Les planétaires les plus célèbres sont ceux de Huy-
gens, et celui qu’on a nommé orrery, parce que lord
Orrery le fit construire le premier et en répandit l’u-
sage en Angleterre. On peut voir un planétaire plus
moderne et plus parfait à la bibliothèque royale.

Planétaire, pris comme adjectif, se dit de tout ce qui
a rapport aux planètes.

Système planétaire. C’est l’ensemble de toutes les
planètes, principales et secondaires, qui se meuvent
autour du soleil.

Heures planétaires, Ce sont les heures inégales nom-
mées aussi antiques ou judaiques, dont on comptait
12 eutre Île lever et le coucher du soleil, et 12 entre le
coucher et le lever suivant.

Jours planétaires. Les anciens rapportaient chacun
des jours à une planète, de manière que les sept planè-
tes qui leur étaient connues présidaient à la semaine.
Les noms modernes des jours de la semaine sont déri-
vés des noms des planètes. (Joy. SEMAINE.)

PLANÈTE. (Ast.)(de æaurnles) errant.) Corps céleste
que l’on nomme aussi étoile errante, pour la distinguer
«des étoiles fixes.

Les planètes se classent en planètes principales et
planètes secondaires.

Les planètes principales, ou planètes proprement
dites, sont des corps qui décrivent autour du soleil des
orbites elliptiques ; on en connaît onze maintenant qui
sont : Mercure , Vénus, la Terre, Mars, Junon, Pal.
las , Cérès, Vesta, Jupiter, Saturne et Uranus. (Voy.
ces divers mots.)

Les planètes secondaires se nomment plus particuliè-
ement satellites; ce sont des corps qui tournent autour
d’une planète principale comme centre, de la même
manière que les planètes principales tournent autour du
soleil. On en connaît jusqu'ici dix-sept , savoir : un sa-
tellite de la terre, la lune; quatresatellites de Jupiter ,
sept satellites de Saturne, et quatre satellites d'Uranus.
(Foy. SarezLirEs.)

Mercure et Vénus se nomment encore planètes infe-
rieures, parce que leursorbites sont comprises dans celle
de la terre; par la raison opposée ; toutes les autres pla-
nètes prennent le nom de planètes supérieures.

Les mouvemens apparens des planètes présentent des
particularités très-remarquables , qu'aucun système as-

1

PL 355
tronomique n'avait pu expliquer d'une manière entic-
rement satisfaisante, avant les découvertes de Keppler.
Quelquefois on les voits’avancer rapidement de l’ouest
à l’est, perdre ensuite peu à peu leur vitesse apparente,
sembler s'arrêter, puis revenir en arrière avec une vi-
tesse qui semble croître d’abord et ensuite décroitre,
s'arrêter de nouveau dans leur mouvement rétrograde
et recommencer à marcher de l’ouest à l’est. Le mou-
vemeut direct de l’ouest à l’est étant toujours plus
grand que le mouvement rétrograde, elles finissent par
parcourir ainsi toute la sphère céleste,

Pour expliquer ces mouvemens bizarres, les anciens
faisaient tourner les planètes dans des cercles dont les
centres tournaient eux-mêmes sur d’autres cercles, au
centre commun desquels la terre était placée. C'était
un échafaudage de cercles , qui s'augmentait à chaque
nouvelle irrégularité que l'observation faisait reconnai-
tre et dont la complication peut faire excuser le mot re-
proché au roi Alphonse comme une impiété. (Jo).
ALPUONSE.)

On sait aujourd’hui que la terre, ainsi que toutes les
planètes , tourne autour du soleil, et ces mouvenens
incxplicables ne sont que des apparences produites par
la combinaison très-stinple des mouvemens réels.

Comme nous avons consacré un article à chaque pla.
nète, nous résumerons seulement ici ce qui leur est
commun.

1. Toutes les planètes décrivent autour du soleil des
orbites , qui sont des ellipses peu excentriques , et qui
ont toutes un foyer commun où se trouve le soleil.

2. Les carrés des temps périodiques des révolutions
des planètes sont entre eux dans le même rapport que
les cubes de leurs moyennes distances au soleil,

3. Les aires décrites par le rayon vecteur d’une pla-
nète en temps égaux sont toujours égales.

Ces trois lois portent lenom de Lois de Keppler, parce
qu'on doit leur découverte à ce grand homme. Elles
sont le fondement de toute l'astronomie théorique ;
c’est par leur moyen que Newton a pu s'élever au sys-
tème de la gravitation universelle. (Foy. ce mot.)

Les mouvemens des planètes sont assujétis à un grand
nombre de petites inégalités qu'on nomme perturba-
tions. (Foy. ce mot.) Ainsi, les nœuus de leurs orbites
out tous , sur l’écliptique , des mouvemens rétrogrades,
c'est-à dire en sens contraire des mouvemens propres ;
et les inclinaisons des orbites éprouvent, soit entre
elles, soit par rapport à l’écliptique, des variations dont
les périodes sont extrêmement longues. (Voy. Révoru-

TION , voy. aussi ELémexs, Densité et Massx..)

PLANIMÉTRIE. (Géom.) Partie dela géométrie pra-
tique, qui a pour objet la mesure des surfaces. (Voy.
AIRE.)

350 PL

PLANISPHÈRE. (Ast.) Projection de la sphère et
de ses divers cercles sur une surface plane. (Voy. Pro-

JECTION.)

PLATON. Ce grand homme, à qui la postérité et
l'histoire ont conservé le titre de divin, que lui décerna
la Grèce enthousiaste et poétique, naquit dans l’ile d'É-
gine, le septième jour du mois de thargélion, dans la
troisième aunée de la LXXXVIIL olgmpiade (an 430
avant J.-C.). Ariston, son père, descendait de Cadmus
et Périctyone ; sa mère descendait d’un frère de Solon.
Une aussi illustre origine, et surtout l'admiration qu’ex-
citèrent son éioquence et son génie, inspirèrent dans
l'antiquité les fables ingénieuses sur sa naissance et sa
jeunesse, qui y furent si long-temps accréditées.

Il est impossible , sans doute, de parler de Platon,
sans énoncer au moins le vaste et sublime système phi-
losophique qu'il apporta dans le monde. Disciple de So-
crate, qui avait réformé la philosophie corrompue par
les sophistes, en la fondant sur la connaissance de soi-
méme, Platon ue reproduisit pas seulement, dans ses
immortels écrits, la doctrine de son illustre maitre; son
géuie créateur s'éleva jusqu'aux conceptions les plus
sublimes où puisse atteindre l'esprit humain. L'école à
jamais célèbre qu'il créa sous le titre d'Académie devint
une source féconde d’où s’élancèrent ces torrens de lu-
mières qui illustrèrent la civilisation antique. Sans en-
ter dans l'exposition systématique de la philosophie de
Platon, qui a donné lieu, mème de nos jours, à des in-
terprétations si diverses, et souvent si misérables, on
peut dire que la société antique n’a point produit de
système plus complet et d’où se déduise une morale
plus auguste, L'idée de l'unité de Dieu et de l’immaté-
rialité de l’ême, placée par Platon comme la base théo-
rétique de toute connaissance, nous explique l’admira-
tion des pères de l'église et des premiers chrétiens pour
cet homme extraordinaire. Platqn fat le fondateur de
la philosophie rationnelle, comme Aristote le fonda-
teur de la philosophie expérimentale. Ces deux principes
sont en réalité les seuls d’après lesquels la raison peut
s'élever à la connaissance des grands problèmes que sa
destination est de résoudre. L'histoire de l'esprit hu-
main, au milieu des systèmes sans nombre qu'elle a à
exposer, ne montre en résultat qu’une lutte perpé-
tüelle entre les doctrines de Platon et celles d'Aristote,
qui sont du moins le point de départ de toute spécula-
ton philosophique. Mais ce n’est point sous ce rapport
que nous avons à mentionuer ici les travaux de Platon ;
nous ne chercherous pas davantage à reproduire même
les principales circonstances de sa vie, qui ne sont igno-
rées de personne.

Le divin Platon ne partagea point l'opinion de son
maître sur les mathématiques; ce fut pour s’instruire

PL

dans ces sciences qu’il entreprit de longs voyages, et il
en fit la base de son enseignement philosophique. Son
école, qui précède de quelque temps celle d'Alexandrie,
fat le berceau des découvertes mémorables qui se ratta-
chent aux premiers progrès de la science. Celles des
sections coniques, des lieux géométriques, et de leur
application à la résolution des problèmes indéterminés,
illustrèrent surtout l’école dont il était le fondateur, et
ce n’est pas sans fondement que plusieurs écrivains de
l'antiquité ont pu les lui attribuer, quoiqu'il ne paraisse
pas avoir composé aucun ouvrage purement mathéma-
tique. Ce fut du temps de Platon que le problème de la
duplication du cube acquit de la célébrité, et sa solution
devint un des objets des recherches de son école. Nous
avons déjà consacré des articles aux plus célèbres disci-
ples de l’Académie, et nous avons eu l’occasion de parler
de ces découvertes. ( Joy. Ancurras, Eunoxe, etc. )
Platon appartient ainsi à l’histoire de la science, moins
par ses propres travaux que par l'impulsion qu’il donna
à l’étude des mathématiques, et par le nombre considé-
rable de géomètres distingués dans l'antiquité qui se
formèrent à son école. Nous regrettons que les bornes
de notre plan ne nous permettent pas de donner à cet
énoncé trop succinct des services que Platon a rendus à
la science et à l'humanité tous les développemens qu'il
mérite. Nous n'avons pu qu’inscrire ce grand nom dans
les pages de cet ouvrage tout spécial, pour qu’on ne püt
nous accuser d’avoir oublié, en remontant le cours des
siècles, dans les fastes de la science, le philosophe qui fit
écrire sur la porte de l’Académie : Nul n'entrera ici s'il
n'est géomètre. Platon, qui ne contracta jamais le lien
conjugal, mourut la première année de la CVIII® olym-
piade (an 347 avant J.-C.). Les diverses éditions et tra-
ductions de ses œuvres qui nous sont parvenues en
entier seraient le sujet d’un article bibliographique im-
portant, Voyez à cet égard les recueils spéciaux , et
entre autres la Bibliotheca Græca, de Fabricius , et la
Bibliotheca Bussaviana.

PLATONIQUE. Corps PpLAToNIQUEs. Ce sout ceux
que l’on nomme autrement Solides réguliers. (Voy. So:

LIDES.)

PLÉIADES. ( 4st.) Nom que l’on donne à un assem -
blage d’étoiles situées sur le dos du taureau. Les an-
ciens en comptaient sept , mais il n’y en a plus mainte-
nant que six de visibles à l’œil nu.

PLEINE LUNE. ( 454.) Phase de la lune dans {la-
quelle elle nous présente toute sa moitié éclairée. (#07.

LUNE.)
PLÉIONE. (45st.) Nom d’une des pléiades.

PLUS, Ce mot, représenté en algèbre par le signe +;

PO
indique l’addition. Ainsi 4 + 5 signifie 4 plus 5, ou
l'addition de 4 avec 5.

PNEUMATIQUE. Science qui a pour objet les lois
du mouvement des fluides élastiques. (Foy. Air, «rMos-

puËrEe, Hypropynamique et Mar. Arrr.)

POIDS. (Mec.) Effort avec lequel un corps tend à
descendre. Cet effort est proportionnel à la quantité de
matière que contiennent les corps, car il est produit par
la force de la gravité qui agit également sur toutes les
molécules de la matière. Un corps a donc d’autant plus
de poids, ou est d'autant plus lourd, qu’il renferme plus
de matière propre.(Foy. Densité, Graviré et PEsan-
TEUR.)

Le poids des corps est employé, en mécanique,
comme force propre à produire le mouvement. Dans
ce cas, les corps qui servent de moteur, par leur effort
pour descendre, se nomanent eux-mêmes des poids ;
tels sont les poids d’une horloge.

On donne encore, en particulier, le nom de poids
aux corps qui servent à mesurer ou à peser le poids
comparatif de toutes les substances. (Foy. Mrsunr.)

POINT. (Géom.) Élément transcendant de l’éten-

due. On ne peut le concevoir d’une manière sensible

que comme la limite d’une ligne. (Foy. Norroxs PRELI-
MINAIRES, 22.)

Lorsqu'on considère une ligne comme composée
d’une infinité de points , ce que l’on est forcé de faire
à chaque instant dans la théorie des lignes courbes, il
faut se représenter le point comme une étendue infini-
ment petite, evil est alors, par rapport aux lignes, ce
qu’est une quantité infiniment petite par rapport aux
quantités numériques finies. Ce n’est pas une étendue
quelconque, quelque petite qu’on puisse la supposer,
comparable avec l'étendue réelle ou finie, c’est une idée
donnée par la raison pour ramener à lunité la connais-
sance que nous avons de cette étendue finie.

C’est ainsi, qu’en attachant au point sa véritable signi-
fication, nous pouvons définir la ligne droite , une li-
gne dont tous les points ont une méme direction; et la
ligne courbe , une ligne dont la direction change conti-
nuellement d'un point à l'autre. Définitions qui carac-
térisent d’une manière exacte la nature essentiellement
différente de ces lignes.

Points siveuciens. On donne généralement ce nom
aux points d’une courbe dans lesquels elle offre quel-
ques circonstances remarquables , comme ceux où de
concave elle devient convexe. (Voy. INFLEx10N.)

Toutes les circonstances du cours d’une ligne étant
données par l'équation qui la représente ; c’est en exa-
minant la marche de ses ordonnées qu'on peut recon-
naître si elle possède des points singuliers et quelle

TOME Il,

PO DST
est la nature de ces points. En effet, si, en faisant croi-
tre successivement l’abscisse, nous voyons l’ordonnée
croître d’abord puis ensuite décroître , nous pourrons
en conclure que la courbe, qui s’éloignait en premier
lieu de l'axe des æ, arrivée à un certain point, cesse de
s'écarter de cet axe et s’en rapproche au contraire. Or,
à ce certain point la valeur de l’ordonnée devant être
la plus grande , il suffit pour reconnaître ce cas , d’exa-
miner si la valeur générale de cette ordonnée est suscep-
tible d’un maxémun ; comme dansle cas contraire, c’est-
à-dire , si la courbe, après s'être rapprochée de l’axe
des x , s’en éloigne, il suffit, pour déterminer le point
où le changement s’effectue, de chercher la valeur mi-
nimum de l’ordonnée.

Par exemple, proposons-nous l’équation

b
y = = Vbar— 2]

Ea faisant x — 0, nous avons y — 0, ce qui nous ap-
prend d’abord que la courbe passe par l’origine. Main-
tenant cherchons si y est susceptible d’un maximum ou
d’un minimum. Nous aurons (voy.Mixima) en différen-
tiant l’équation proposée

dy 2b(a — x)

dx dE: AV/9ax — x?

et, par conséquent, pour la condition du maximum ou
du minimum,

ob(a— x) à

aV'2ax — x°

d’où

IL est facile de voir, sans chercher la seconde dérivée
différentielle, que cette valeur de x répond à un ma-

ximum. Substituée dans l'équation , elle donne
À == b.

Ainsi, depuis æ — 0 jusqu'à — a, les valeurs de y
croissent de o à b; et en donnant à æ des valeurs plus
grandes que a, celles de y deviendront plus petites que
b. Si l’on fait x — 24, on trouve y — 0:

ILest donc visible que la courbe coupe l’axe des x en
deux points ; et comme les valeurs de y croissent d’une
manière régulière depuis o jusqu'à , et décroissent
ensuite dela même manière depuis » jusqu’à o , il en
résulte que cette courbe est parfaitement symétrique.
C’est en effet une moiiié d’ellipse.

Mais cette valeur maximum qu’on trouve ici pour
l’ordonnée d’une courbe , nous apprend seulement que
le point de la courbe auquel elle se rapporte est plus
éloigné de l’axe que ceux qui le précèdent et que ceux

15

558 PO

qui le suivent; elle ne nous indique pas si ce point est
un point ordinaire comme + dans la figure 2, pl. 55,
ou un point de rebroussement comme x dans la fig. 3.
Pour reconnaître un point singulier, il devient donc
nécessaire d'examiner plus à fond la marche croissante
ou décroissante des ordonnées.

Or, lorsque la courbe tourne sa concavité vers laxe
des x, il est facile de voir que, dans la portion dont tous
les points s’éloigaent de plus en plus de cet axe, les ac-
Par
exemple , en faisant croître l’abscisse AP (PI. 53, fig. 4)

croissemens des ordonnées vont en diminuant.
des quantités égales PQ et QR , l’ordonnée Pr, devient
Qz et ensuite Ro, c’est-à-dire qu’elle croit successive-
ment de bnet de do. Mais bn est plus grand que do ;
car si du point »? on mène la tangente xc, cette tangente
rencontrera l’ordonnée Ro prolongée en un point €,
hors de la courbe; et comme, en supposant l'arc mn infi-
niment petit, on peut considérer z2ne comme une seule
ligne droite, les deux triangles mb, ndc sont égaux
et l’on a nb — cd; ainsi puisque cd est évidemment
plus grand que do , on a aussi bn => do. Il est donc vrai
que les différences infiniment petites dy, vont conti-
nuellement en décroissant tant que la courbe s'éloigne
de l'axe desx , c’est-à-dire que les différences secondes
ou les dy sont négatives. Le contraire a nécessairement
lieu dans la portion æN (fig. 2) qui se rapproche de
l'axe. Ainsi au point + , les d'y deviennent positives
de négatives qu’elles étaient auparavant.

Les mêmes circonstances se reproduisent d’une ma-
nière inverse lorsque la courbe tourne sa convexité vers
l'axe des æ. En effet, on voit à l'inspection de la figure
5, et par les considérations précédentes, que les ordon-
nées successives Pi, Qn, Po ont des différences crois-
santes , car do est plus grand que de, et par conséquent
plus grand que bn, c’est-à-dire que les dy vont en crois-
sant, ou que les différences secondes d'y sont posilives.
Daus la portion de courbe qui se rapproche de l’axe des
æ, comme æN (fig. 3), ces secondes différences devien-
nent donc négatives.

Il résulte, d’abord, de ces propriétés, que si la courbe
a un point d'inflexion x (fig. G ets), c’est-à-dire un
point où de concave elle devienne convexe, et ice
versa, les différences secondes d'y deviendront à par-
tir de ce point æ, positives de négatives qu'elles
étaient avant, si les ordonnées vont toujours en crois-
saut; ou négatives de positives, si les ordonnées vont
toujours en décroissant, Or, une quantité variable ne
peut changer de signe sans passer par zéro ou par l'in-
fini, donc au point x on a

dy —=0o,ou d'y = ©,

Il en serait de même pour le point x des courbes
(fig. 2et 3), mais les ordonnées deviennent décrois-

PO

santes à ce point , tandis que dans celui des courbes
(fig. 6 ets), elles continuent de croître. On pourra donc
distinguer le point d’inflexion de celui de rebrousse-
ment, en ce que l’ordonnée du point d’iuflexion n’est
ni un 22axinmuun , Di un minimum, tandis que celle du
point de rebroussement est l’un ou l’autre.

Quelques exemples vont éclaircir cette théorie. Pro-
posons-nous de trouver le point d’inflexion de la courbe

dont l’équation est
a = y +)
une première différentiation nous donne

2&x.dx
dy — \

a +r)

et, une seconde,

7

(onyx Gé xd

dy —

en considérant dx comme constant.

En égalant cette seconde différence à zéro, nous ob-
tenons, après avoir fait disparaître les facteurs et le
dénominateur communs

ouai — ha xt — Gr —o,
d’où, en divisant par a + x,
da — 6x? = 0

équation qui donne

LT =

Cette abscisse est celle d’un point d’inflexion ; car en
substituant sa valeur dans celle de dy, le résultat ne de-
vient pas zéro; ce qui nous apprend que l’ordonnée
correspondante n’est ni un #aæémunm, niuu PNEU :
condition du point de rebroussement. Faisant donc AC

(fig. 8) égale à la moyenne proportionnelle entre a

I ,
et - 4, l’ordonnée correspondante CD rencontrera la
9

courbe au point cherché.
Cherchons maintenant le point de rebroussement de

la courbe dont l'équation est
y =a— bx—c)

nous avons d’abord

et ensuite

PO

En égalant cette dernière valeur à o, on n’en peut
rien conclure pour la valeur de æ, mais en la faisant
égale à & onentire x —c. C’est l’abscisse d'un point
de rebroussement ; car, en la substituant dans dy, on
trouve EE æ,ce qui nous apprend que l’ordonnée
correspondante est un #7aximum. La courbe de l'équa-
tion proposée est celle de la fig. 3.

Pour distinguer un point de rebroussement, tel que
celui dont nous venons de nous occuper, du point x de
la courbe fig. 2, il faudra reconnaître la nature de Ja
courbe en discutant les valeurs de y aux environs de
ce poiut.

Où nomme eu général pornts multiples ceux où plu:
sieurs branches d’une même courbe se réunissent ou se
rencontrent, et particulièrement points doubles, tri-
ples, etc., selon le nombre des branches.

Pour examiner les caractères auxquels on peut re-
connaître ces points, soit nom'zn'm (PI. 53, fig. 0)
une courbe dont deux branches au moins se coupent
au point o. l est évident que pour chaque abscisse
AP — x, il répond, excepté au point o,un certain
nombre de valeurs Pm, Pr’ pour Fordonnée y, c’est-
a-dire que l'équation de la courbe devant être telle qu'à
chaque abscisse répondent plusieurs ordonnées, les
diverses ordonnées du point o sont égales entre elles.

De même Ay étant l'axe des ordonnées, ü faut qu'a
chaque ordonnée Ag, répondent généralement plusieurs
abscisses gn", qn', gn, èt que ceiles qui répondent aux
branches qui do vent se rencontrer deviennent égales
à ce point de rencontre.

Donc si l’on représente par a la valeur de x et par b
celle de y qui conviennent au point multiple, l’équa-
tion de la courbe doit être telle que lorsqu'on mettra
a pour x on trouve pour y autant de valeurs égales à
b qu'il y a de branches qui passent par le point mul-
tiple, et que lorsqu'on y mettra » pour y, on trouve un
même nombre de valeurs 4 pour x.

Il suit de Jà que la forme générale de l'équation
d’une telle courbe est (1)

À (æ— ay LB (x—a}"—1 (y—b)

+ C(x—a) m2 (y—b} + ete... LE Z (y—b)e — 0
m, exprimant le degré de multiplicité du point en
question , et À, B, C, etc., étant des fonctions quel-
conques de x et de y.

En effet, si l’on fait x — à, l'équation se réduit à

Z (9 —b}n = 0

équation qui à 7» racines y = b; et si l'on fait y —b,
elle devient
A (x— a)" — 0

équation qui à également 72 racines x — «.

PO 3359

Or, en prenant les différentielles successives de l’é-
quation (1), il est visible que celle de l’ordre »: ne
contiendra plus aucun terme affecté des facteurs x—a ,
æ—b; tandis que toutes celles des degrés inférieurs
contiendront nécessairement ces mêmes facteurs. Donc,
lorsqu'il y a un point multiple les différentielles pre-
mières, secondes, etc., doivent s’anéantir toutes lors-
qu'on y fait x = a et x — b, excepté celle dont l’ordre
est marqué par 72.

Il en résulte 1° qu’au point multiple on ne peut avoir
la valeur de la dérivée : exprimée autrement que par
2 si ce n’est par la dernière équation différentielle;
2 qu’on obtient la dernière équation différentielle en
différentiant la proposée 2 fois de suite.

Ainsi pour trouver les valeurs de x et de y qui ré-
pondent aux points multiples dans les courbes qui ont
de tels points, il faut différentier l'équation de la courbe,
en tirer la valeur de . , et égaler ensuite séparément
à zéro le numérateur et le dénominateur de cette quan-
üté. Pour s'assurer ensuite s’il existe véritablement un
point multiple, on substituera les valeurs trouvées pour
æ et y dans l'équation de la courbe ; car dans ce cas elles
doivent satisfaire à cette équation.

Pour connaitre ensuite le degré de multiplicité du
point, on différentiera successivement l’équation de la
courbe jusqu'à ce que la substitution des valeurs trou-
vées n’anéantisse plus tous les termes de l'équation dif-
férentielle. Alors le nombre des différentiations qu'il
aura fallu faire pour arriver à ce résultat sera le nom-
bre de multiplicité du point.

Proposons-nous, par exemple, de trouver, s’il y en a,
les points multiples de la courbe dont l'équation est

Ji — axy* + bxi = 0.
On obtient en différentiant
4y°dy —2axydy — aydx+ 3bxdx =0,
d’où

dy 4y°—2axy
dx 3bx? — ay?

faisant donc

4ÿ$ — 2axy = 0, 3bxt — ay — 0
la première équation donne
J=0,ety—=+:Vax.

La valeury — 0, substituée dans la seconde équa-
tion donne 3bx— 0 , d’où x — 0. Or, les deux valeurs

x —0,7=—=0 satisfont à la proposée ; ainsi la courbe

540 PO
a un point multiple dans l'endroit de ces valeurs, c’est-
àdire à l’origine des coordonnées.

Quant à la seconde valeur y —ÆV/ax , en la substi-

tuant dans 3bx? — ay? — 0, ona
3bx2 — +@xX —=0

qui donne

mais les valeurs y — 4V/ax etx — 0, ou y —:V/ax

a ; ; ' rs à
ne satisfont pas à la proposée; ainsi il

et x—= —
6
; À . ; _ at
n’y a d'autre point multiple que celui qui est à l'origine.
Pour connaître le nombre de multiplicité de ce point,
différentions une seconde fois la proposée, en considé-

rant dx et dy comme constants, nous obtiendrons
19y2.dy—2ax.dy?—o2ay .dxdy— 2aydxdy + 6bxdx?

dont tous les termes s’anéantissent en faisant x = 0 et
3 —0. Différentions une troisième fois, nous aurons

24y dy} — 2adxdy"— 2adzdy — sadxrdy + 66dx*
qui se réduit à
GbdxŸ —- Galxdy?

en faisant æ —0, y — 0. Comme cette différentielle
troisième ne s’anéantit pas , le point en question est un
point triple. La forme de la courbe à laquelle il appar-
tient est celle de la fig. 10.

La théorie des points singuliers contient encore un
grand nombre de cas remarquables pour lesquels nous
devons renvoyer à l'Analyse des lignes courbes de Cra-

mer, et au Traité de calcul différentiel de Lacroix.

POISSONS. (451.) Nom du douzième signe du zodia-
que, marqué X , et d’une constellation composée de
113 étoiles, dans le catalogue de Flamsteed. Des deux
poissons qui forment cette constellation, l’un est appelé
septentrional et l'autre méridional.

POISSON AUSTRAL. (451) Constellation méri-
dionale qui renferme une étoile de première grandeur
nommé fomalhaut. Elle est composée de 14 étoiles dans
le catalogue de Flamsteed.

POISSON VOLANT. (4se.) Petite constellation mé-
ridionale introduite par Bayer. (Foy. CoxsrrLLarton.)

POLAIRE, (454.) Se dit en général de tout ce qui
a rapport aux pôles du monde.

L'étoile polaire est la dernière étoile de la queue de
la petite ourse, elle fut ainsi nommée par les premiers
observateurs qui remarquèrent que le ciel parait tour-
ner autour du point qu’elle occupe. Elle est en effet

PO
si près du pôle, que le petit cercle qu’elle décrit est
presque insensible , de sorte qu'on la voit toujours vers

le même point du ciel; cependant la distance de cette

étoile au pôle change annuellement. (Joy. Pnicession.)

On nomme cercles polaires, deux petits cercles de la
sphère voisins des pôles. (Foy. ARMILLAIRE, 21.)

En géométrie , lorsqu'on rapporte une courbe à un
point fixe d’où l’on fait partir toutes les ordonnées, l’é-
quation qui exprime la relation entre ces ordonnées et
leurs distances angulaires à l’axe prend le nom d’Équi-
TION POLAIRE, parce qu’on considère ce point fixe comme
un pole. ‘

Pour fixer les idées , considérons une courbe MN
(PI. 53, fig. 12), etun point arbitraire P, pris pour pôle.
Si de ce point on mène d’abord une droite AB qui re-
présente l'axe, puis des ordonnées Px, Px', Px”, etc. ,
à tous les points de la courbe, il est évident que si l’on
établit une relation générale entre une ordonnée quel-
conque Px et l'angle xPB qu’elle fait avec l’axe, cette
relation ayant lieu pour tous les points de la courbe,
représentera cette courbe tout aussi bien que celle qui
peut exister entre ses coordonnées rectilignes.

Les ordonnées particulières Px, Px' etc., prennent
le nom de rayons vecteurs. Ces rayons et les angles
qu'ils font avec l’axe se nomment coordonnées polaires.

Lorsqu'on connait l'équation d’une courbe en
coordonnées rectilignes, on peut aisément trouver son
équation en coordonnées polaires et vice versa. Nous
allons indiquer le procédé de cette transformation.

Soit MN (PI. 55, fig. 13), une courbe quelconquerap-
portée aux axes coordonnées AX , AY faisant entre eux
un angle quelconque , et dont l'équation soit

SET) —0;

f désignant une fonction quelconque des abscisses x et
des coordonnées y. Soit de plus P le point pris pour
pôle et AB l’axe des coordonnées polaires.

Désignons par «et b les coordonnées rectilignes’ du
point P, c’est-à-dire faisons AC —a, et CP — D; et
par «, l'angle des axes AXet AY.

Du point P, menons les droites PX'et PV" parallèles
aux axes, et le rayon Pz ; désignons ce rayon vecteur
par =; l’angle =PB qu'il fait avec son axe, par v,et
l’angie BPX' par £.

Nous avons
AD ou æ — AB + CD = «a + PE
DZ ou y = DE + Es — b + Ez.

Or, on a dans le triangle zPE. (//oy. Tricoxow.)

PE : Pz
£z : Ps

:: sin PzE : sin PEz
:: sin zPE : sin PEz

PO

d’où l’on tire

Pz—smPzE
sinPEz =

3.Sin(a—8—v)

Sin x

Ez — F2: sinzPE .2.sin(v+5)
sinPEz 4

sin x

et, par suite , (1)

z.sin (2—f85—+v)

x = a +

ait
En substituant ces valeurs der et y dans l'équation
J (x,Y) = 0, on obtiendra l'équation polaire.

Si les axes sont rectangulaires, comme alors x — 90°,
les formules deviennent simplement (2)

—a—+z.cos(v+6), y = b+ z.sin(v+5)

Elles se simplifient encore si l’on prend l’axe polaire
parallèle à l’axe des x, car on a dans ce cas& — 0, et
elles deviennent (3) :

æ—=a+z.cosv, y b+7z.sine.

Enfo, si l’on prend pour pôle l'origine même des coor-
données rectangulaires , ces formules se réduisent à (4)

D —= 3,005V ,Y —7.Sin V',

puisque a et b disparaissent.

Pour montrer l'application de ces formules, propo-
sons de trouver les équations polaires des sections co-
niques , rapportées à leurs foyers comme pôles.

Le foyer de la parabole étant situé sur l'axe, à une
distance du sommet égale au quart du paramètre, nous
avons pour cette courbe, p désignant le paramètre

1
de DS

et, par conséquent , d’après (3)
Lil .
PE St + zcosv, y — z.sin v.

Mais l’angle v doit être compté à partir de l’origine ; il
est donc réellement le supplément de celui qui entre
dans ces formules, et l’on doit ychanger cos v en — cos v.
Opérant ce changement et substituant les expressions
précédentes dans l'équation de la parabole (Voy. ce
mot)

f} = px
on trouve

: 1
2? .Sin?v — 10 — p:.3.C0S v

PO 74

ou
1
(1 — cos’v) 2° + pz cos v LP = 0.

En résolvant cette équation du second degré, on ob.
tient ces deux valeurs de z

La valeur positive se rapporte à l'une des bran-
ches et la valeur négative à l’autre , en considérant
comine positifs les ravons vecteurs situés d’un côté de
l’axe, et comme négatifs les rayons vecteurs situés
du côté opposé. Mais sans tenir compte de la situation
du rayon vecteur, la première valeur de z peut donner
à elle seule tous les points de la parabole, en faisant va-
rier » depuis o jusqu’à 360°.

Dans l'hyperbole, dont l'équation rapportée au centre
est

dx =bar—æb,

la distance du foyer au centre étant égale à V/a°,+b°
(voy. Hypersorr); si nous désignons cette distance

ar C, nous aurons d’après les expressions (3)
) 19
LT =C—2C0$V, y —7.sinv,

en donnant à cos v le signe — , pour la même raison
que ci-dessus. Ces expressions substituées dans l'équa-

tion de la courbe, donnent après toutes les réductions

ct — a c_— a

a + b. cos v

I

a —C. cos

La discussion de ces valeurs montre qu’elles se rap-

q P
portent aux quatre branches del’hyperbole. Nous avons
donné au mot Erurse, l'équation polaire de l’ellipse ,

en la déduisant de considérations directes.

POLE. On donne ce nom, en astronomie, aux deux
extrémités de l’axe sur lequel la sphère céleste parait
tourner ; et, en géographie , aux deux extrémités de
l'axe de rotation de la terre. En général, les pôles
d’un grand cercle d’une sphère sont les deux points de
la surface de la sphère également éloignés de tous les
points du cercle. Ainsi :

Les pôles du monde ou les pôles de l'équateur sont
éloignés del’équateur de 00°. L’un se nomme pôle arcti-
que, septentrional, borcal ou pôle-nord ; c'est celui qui
est élevé au-dessus de notre horizon. L'autre se nomme
pôle antarctique, méridional austral, ou pôle-sud. Les
pôles de la terre portent respectivement les mêmes
noms que les pôles célestes auxquels ils correspondent.

Les pôles de l'écliptique sont éloignés des pôles de

PO

l'équateur d'une quantité égale à l'inclinaison de l'é-

519

cliptique.
Le zénith et le nadir sont les pôles de l'horizon.
L'est et Fouest sont les pôles du méridien. (Foy.

ARMILLAIRE.)

POLEMOSCOPE. ( Op.) Appareil d'optique par le
moyen duquel on peut voir des objets cachés à la vue
directe.

Cet instrument, inventé en 1637, par Hévélius, a été
nommé polémoscope, des mots grecs #eaxsmes combat,
groztw , jevois; parce qu'on peut s’en servir à la
guerre, daus les sièges, pour voir ce qui se passe dans
le camp de l'ennemi.

La principale pièce du poleémoscope est un miroir
incliné (PI, 53, fig. 11) placé au fond d’une boite, ou-
verte vis-à-vis du miroir qui renvoie à l’œil du spec-
tateur l’image ab d'un objet AB, qu'on ne pourrait
voir sans le secours de l'instrument, à cause des obsta-

cles qui se reucontrent entre cet objet et l'œil.

POLLU*. (454) Nom donné généralement à la par-
tie postérieure de la constellation des gémeaux ;et en
particulier à la belle étoile de seconde grandeur que

renferme cette partie.

POLYÈDRE. (Géom.) (de reads , plusieurs, et de
(d'ideæ, base). Corps terminé de toutes parts par des
surfaces planes. Ces surfaces se nomment les faces du
polyèdre, et l'intersection commune de deux faces adja-
ceutes prend le nom de coté ou d’aréte.

Les polyèdres, comme les polygones , reçoivent di-
verses dénominations d’après le nombre de leurs faces,

ainsi

Un polyèdre qui a guatre facesse nomme {étraèdre.
CRT e mosedes secs MERLHCOrE:

So se ces s .. hexaëdre.

huil. ..... oCtaèdre.

douze............. dodécaëdre.

vingl.. ... ........icosaèdre, etc.

Le tétraèdre est le plus simple de tous les polyèdres,
car il faut au moins quatre plans pour renfermer un es-
pace solide.

Ou nomme sommet, dans un polyèdre, tous les
points où plusieurs faces concourent et forment un ar-
gle solide. On démontre que le nombre des sommets ,
ou celui des angles solides, est toujours égal au nombre
des arétes, moins celui des faces, plus deux. Quant
au nombre des arétes, il est évidemment égal à la moi-
tié de celui des côtés de toutes les faces polygones qui
composent la surface du polyèdre. Si l’on désigne par
Fle nombre des faces d’un polyèdre, par A, celui de

PO

ses arêtes ; et par S , le nombre de ses angles solides, on
aura donc l'expression S = À — F + ».

Où appelle polyèdre régulier celui dont toutes les
faces sont des polygones réguliers égaux, et dont tous
les angles solides sont égaux entre eux. Il ne peut v
avoir que cinq polyèdres réguliers, savoir : trois, for-
més par des triaugles équilatéraux , qui sont le tctraë-
dre, l’octaèdre et l’icosaëècdre réguliers ; un terminé par
des carrés, l’hexaèdre régulier où cube; et eufin un
terminé par des pentagones , le dodécaèdre régulier. W
est impossible de former des polyèdres réguliers avec
des polygones dont le nombre des côtés surpasse cinq,
parce que la somme des angles plans qui composent un
angle solide est nécessairement plus petite que quatre
angles droits : d'où il suit nécessairement qu’on ne
peut former un angle solide avec des angles d’hexa-
goues dont trois équivalent à quatre angles droits , et
à plus forte raison avec les angles plus grands des autres
polygones. (Voy. Souine et RéGuLirr.)

POLYGONE. (Géom.) (de onvs plusieurs, et de
yava , angle) V'igure plane terminée par des ligues
droites. (Foy. Nor. PRÉLIM. , 37.)

Où nomme, en particulier,

Triangles....1les polygones de trois côtés.

Quädrilatères::..::.:....... quatre:
Pentagones...............+ Ciug.
THémagones Ssserseecsessscs LSiX;
Heptagones......:..ss:4s5:. ‘sept.
Octogoness.sss ssesessstesss huit:
Ennéagones sis. sussssss.s. neuf,
Décägones sssssesésasecsase dif
Ondécagones assises. l'ôn2e
Dodécagones....,.......... douze.

Les polygones qui ont plus de 12 côtés n’ont pas reçu
de noms distinctifs, sauf celui de 15 côtés qu’on nomme
pentadécagone où quindecagone.

Les propriétés principales de ces polygones étant
exposées dans les articles qui leur sont consacrés, nous
allons rechercher ici celles qui sont communes à tous
les polygones.

1. Si d’un point pris dans l’intérieur d’un polygone
on mène des droites aux sommets de tous ses angles,
il est visible qu’on formera autant de triangles que ce
polygone a de côtés. Par exemple, du point O, pris
arbitrairement dans la pentagone ABCDE, menant les
droites OA, OB, OC, OD et GE, on forme cinq
triangles qui ont chacun pour base un des côtés du
pentagone (PI. 53, fig. 14).

Or, il est évident, que la somme de tous les angles
à la base de ces triangles est la même que celle des an-
gles du polygone, puisque les premiers ne sont formés

PO

que des parties de ces derniers; mais la somme des
angles à la base des triangles est égale à autant de fois
deux angles droits qu’il ya de triangles, moins la
somme des angles aux sommets; ainsi,comme cette der-
nière, composée de tous les angles autour du point O,
est équivalente à quatre angles droits (voy. AxcLe), il en
résulte que la somme des angles d’un polygone quelcon-
que est équivalente à autant de fois deux angles droits,
moins quatre, que ce polygone a de côtés. Si nous dé-
signons donc par 77 le nombre des côtés d’un poly-
gone quelconque , la somme de ses angles sera expri-
mée par (a)

m. 180° — 360°, ou par (m2 — 2) 180°.

2. On nomme angle extérieur d'un polygone, l’an-
gle formé entre un côté quelconque et le prolongement
du côté adjacent, tel est l'angle EDF (PL. 53, fig. 15).
En prolongeant tous les côtés d’un polygone, on
forme autant d’angles extérieurs qu’il y a de côtés, et
la somme de tous ces angles, quel que soit le polygone,
est toujours équivalente à quatre angles droits. En effet,
chaque angle extérieur EDF, ajouté à l'angle intérieur
qui lui correspond CDE,, fait une somme équivalente
à deux angles droits; ainsi la somme de tous les an-
gles , tant extérieurs qu'intérieurs, vaut autant de fois
deux angles droits qu’il y a de côtés; mais la somme
des angles intérieurs équivaut à autant de fois deux
angles droits, moins quatre, qu'il y a de côtés, donc
la somme des angles extérieurs équivaut à quatre angles
droits.

3. On nomme polygones réguliers ceux dont tous les
angles et tous les côtés sont respectivement égaux. On
obtient la valeur d’un angle de ces polygones en divi-
saut la somme des angles (m—2). 180° par le nombre
m des angles. C’est de cette manière qu’on trouve que
l'angle de l’hexagone régulier est égal à

(6—2) 180° ñ
En — !, 180° — 120°

6 6

4. Les polygones réguliers peuvent être inscrits ou
circonscrits au cercle. Cette propriété que nous avons
démontrée au mot Cercre, 13 et 15, est fertile en con-
séquences importantes que l’on peut résumer comme il
suit.

5. Si l’on partage en deux parties égales tous les an-
gles d’un polygone régulier , les droites qui feront ces
divisions, concourront toutes àun même point au milieu
du polygone ; ce point est le centre du cercle inscrit ou
circonscrit. De cette manière le polygone sera divisé en
triangles isoscèles égaux entre eux et dont le nombre
sera égal à celui de ses côtés.

G. Si aux points de milieu de tous les côtés d’un po-
lygone régulier, on élève des perpendiculaires, ces

PO

perpeudiculaires concourront encore au centre du

545

cercle qu'on peut inscrire ou circonscrire au poly-
gone.

7. Si l’on divise la circonférence d’un cercle en un
nombre quelconque de parties égales et qu’on tire des
cordes d’un point de division à l’autre, on formera un
polygone régulier inscrit au cercle.

8. De même si l'on divise la circonférence d’un
cercle en un nombre quelconque de parties égales, et
qu’à chaque point de division on mène une tangente à
ce cercle, ces tangentes, en se coupant deux à deux,
formeront un polygone régulier circonscrit au cercle.

9. Tous les polygones réguliers d’un même nombre
de côtés sont semblables entre eux.

10. La perpendiculaire abaissée du centre sur les
côtés d’un polygone régulier, se nomme l’apothème ;
c’est le rayon du cercle inscrit dans le polygone, ou
du cercle auquel le polxgone est circonscrit, T/apo-
thème est la hauteur commune de tous les triangles
isoscèles dans lesquels on peut partager le polygone en
mepant des droites du centre à tous les sommets.

Tout polygone régulier étant composé d'autant de
triangles isoscèles égaux qu'il a de côtés, et la surface
de ces triangles étant représentée par la moitié du pro-
duit de sa base, ou du côté du polygone par l’apo-
thème, la surface totale de tous les triangles, c'est-à-
dire la surface d’un polygone régulier quelconque est
égale à la moitié du produit de sou périmètre par son
apothème.

11. Les périmètres de deux polygones régulier d’un
même nombre de côtés sont entre eux dans le rapport
des rayons de leurs cercles inscrits ou de leurs cercles
circonscrits.

12. Les surfaces de deux polygones réguliers d’un
même nombre de côtés sont entre elles comme les car-
rés des rayons des cercles inscrits ou circonscrits.
13. La valeur du côté d’un polvgone inscrit étant
donnée, on peut trouver facilement celle du côté du
polygone circonscrit d’un même nombre de côtés,
comme aussi la valeur des côtés des polvgones inscrit
et circonscrit d’un nombre de côtés double , à l’aide des

expressions

CT
Nés —

«a
2... © —= V/[2r.(r-a)]

; 4r.(r—a)
A
€ =

dans lesquelles c est le côté du polygone donné, 4 l'a-
pothème de ce polygone, r le rayon du cercle, c' le
côté du polygone inscrit d’un nombre de côtés double ,
C, celui du polygone circonscrit d’un même nombre de
côtés, et C' le côté du polygone circonscrit d'un nom-

bre de côtés double.

544

PO

La valeur de l’apothème est donnée par l'expression

Pour démontrer ces expressions, soient BC le côté
du polygone iescrit (PI. 54, fig. 1), EF celui du po-
lygone circonscrit, et AB et GH ceux des polygones
inscrit et circonscrit d'un nombre double de côtés.
Menons du centre les droites que l’on voit dans la fi-

gure, et nous aurons à cause des triangles semblables

IBC, IEF
BC: EF :: ID: IA :: ID : IC
d’où
EÉ Le
ce qui est l’expression (1).
Le carré de AB est égal au produit du diamètre du

cercle par le segment correspondant (cercle n° 17) AD ;
or AD — AI — ID — IC — ID, ainsi

AB=V/}2.1C (IC — ID)]

c’est l'expression (2).

Eofin, les triangles BDA, IAH sont semblables,
parce qu'ils sont tous deux rectangles DBA et AIH sont
égaux, ayant chacun pour mesure la moitié de l’arc AC;
ainsi Ou a la proportion

BD : AD :: AI : AH,
d'ou
\H AD X AI ŒC—TD).IC
D + BC

ou , à cause de AH = + GH,

4 1C. (1C—1D)

GH = po N
c'est l'expression (3).

Quant à la valeur de l'apothème, on la tire du trian-
gle rectangle IBD. |

14. Les triangles IMA, IBA , IEA , ayant une même
hauteur AM , sont entre eux comme leurs bases IM,
IB, IE; mais IA , qui est égal à IB, est moyenne pro-
portionnelle entre IM et IE, donc le triangle IBA est
moyen proportionnel entre les triangles IMA ou IBD
et IEA ; or ces triangles IBD, IBA, IEA sont entre
eux comme les polygones dont ils font partie, donc a
surface du polygone inscrit d'un nombre double de côtés
est moyenne proportionnelle entre les surfaces des poly-
gones inscril el circonscrit.

15. Le côté de l'hexagone inscrit étant égal au rayon
(voy. HExAGoNE), celui de l'hexagone circonscrit sera,

PO

en substituant dans l'expression (1) la valeur de l’apo-
thème

>

2r

vs

V + ee L 7?

Mais le périmètre de l'hexagone étant égal à six fois
sou côté, on a pour la surface de l'hexagone inscrit

L6r.Vr— ir —3,r,.y/3

4

et pour celle de l'hexagone circonscrit, dont l’apothème
est égale au rayon du cercle

or,
3
VS PR NC ET

Donc la surface de l'hexagone inscrit est égale aux
trois quarts de la surface de l'hexagone circonscrit.

16. D'après le théorème du numéro 14, la surface
du dodécagone inscrit est égale à

V/Hrv x Save

c'est-à-dire à trois fois le carré du rayon.

3r2 ,

17. Le triangle, le carré, le pentagone et tous les po-
lygones qui résultent en doublant successivement le
nombre de leurs côtés, ont été jusqu'à ces derniers
temps les seuls accessibles à la géométrie élémentaire ;
mais Grauss a fait voir dans ses disquisitiones arithme-
ticæ, que cette géométrie pouvait encore embrasser
ceux de 17, de 257, de 40097 côtés, et généralement
ceux dont le nombre des côtés est un nombre premier
comprissous la forme générale 27 + 1.(F0y. l'ouvrage
de ce grand géomètre, on la Théorie des nombres de
Legendre.)

Nomeres PoLYGONESs. On désigne généralement sous ce
nom une suite de nombres formés par l’addition succes-
sive des termes d’une progression arithmétique qui
commence par l’unité , par exemple :

1, D, 0; 19: 17712720 ietc:,

étant une telle progression , les sommes consécutives
de un, deux , trois, etc. , termes de cette progression,
ou

1, 6,19, 20,145, 66, 01; etc,
sont des nombres polygones.

Suivant que la différence de la progression arithmé-
tique est 1, ou 2, ou 3, ou 4, ou etc. Les nombres poly-
gones prennent les noms particuliers de nombres trian-
gulaires, quadrangulaires , pentagones, hexagones, etc.

PO

C'est ainsi que considérant les progressions arithméti-

ques :
1, 2, de Ho D) 0, y di O;.10, etc:
1,09, 0, 15 O7 UE 135 10.17; 10; LC:
l, 4 7; 10, 19, 10, 109, 22%, 99, 26, etc:
1,5, 010, 13,119, 27,25, 20, 33,37, ete.
1,167 11,116, 2x, :26:131,/306, 41,740) etc:

leurs sommes consécutives donnent :

Nomb. triang. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 928, 36, etc.
Nomb. quad. 1, 4, 0, 16, 25, 36, 49, 64, etc.
Nomb. pentag. 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, etc.
Nomb. hexag. 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, etc.
Nomb. heptag. 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 145, etc.

La dénomination de zombres polygones semble avoir
été donnée à ces nombres parce qu’ils peuvent être re:
présentés par des figures particulières. Ainsi, les nom-
bres triangulaires ont cette propriété qu’on peut dispo-
ser en triangle autant de points qu’ils contiennent d’uui-
tés, en prenant un point pour le plus petit triangle; de
même les points indiqués par les nombres quadrangiu-
laires où carrés peuvent être disposés en carrés, en
prenant un point pour le plus petit carré, etc, Par

exemple, on a

, noie ; etc,
Ty Sn 6 etc.
. « etc.
lo | 4, | , ; | etc.

Si nous exprimons par 72—2 la différence de la pro-
gression arithmétique , les nombres polygones qu’elie
produit seront de l’ordre »2 gones, et pour cal-
culer celui de ces nomures qui répond au rang x, ou
dont l'indiceest 7, nous aurons l'expression générale(a),

Gu—on = (in —4)»

2
cette formule représentant la somme des » premiers
termes de la progression arithmétique. (/oy. Proc.)
Nous avons donc en particulier, en désignant par x
le # ième nombre polygone, pour les

Nombres triangulaires. x

2
CAIT ES era es ee == TL
2
J72— HN
pentagones.. x = —
à 2
4n—on
hexagones.. x — “—-
{ e]
etcir 5. EC

TOME 1,

PO D45
L'indice d’un nombre polygone, ou le rang qu'il
occupe dans la série, se nomme sa racine. Fermat, dans
une de ses notes sur Diophante, a donné plusieurs rè-
gles particulières pour trouver la racine d’un nombre
polygone donné, sans avoir recours à l'extraction de ia
racine carrée que comprend l'expression générale ,

= 4LEV/ox(ni— 2) — (om —4)}]

QI — /,

qu’ou tire de (a).
Les sommes consécutives des nombres polygones
sont appelées nombres pyramidaux.(Voy. PYxraminar.)

POLYGONOMETRIE. Branche de la géométrie
qui a pour objet les polygoncs en général, comme la
trigonométrie a pour objer les triangles en particulier.

Cette extension des règles de la trigonométrie est due
à l'Huillier qui a publié à Genève, en 1789, un traité
sur ce sujet. Nous devons citer le beau théorème sui-

vant qu'on trouve dans cet ouvrage.

Si nous désignons para, b, c, d,etc., les côtés
consécutifs d’un polygone quelconque et par À , B,C,
D, etc., les angles également consécutifs, de manière que
A est l'angle formé par les côtés a ct b ; B, l'angle formé
par les côtés bet c, etc, nous aurons pour le double de

la surface du polygone, l'expression
a. bsinA—a.csin(A+B) + a.d.sin(A+B+C)— etc.

—+b.csinB—b.dsin(B+C)+b.e.sm(B+4+C+D)— etc.
+e.dsinG—c.esin(G+-D)+c.f.sn(C+D+E)— etc.

dans laquelle tous les côtés doivent être combinés deux
à deux , excepté le dernier ou celui qui vient rencon-

trer a. Par exemple, pour un quadnilatère, on a

a.b.5in A
— &.c.sin (AB)
+ b.csinB

2 fois la surface — !

Pour un pentagone

a.b.sin A
— a.c.sin (A+B)
+ a.d.sin (A--B+-C)
+- b.c.sir B
— b.d.sin (B+-C)
\+c.d,sin C.

2 fois la surface = (

Foyl'Haillier, Traité de poli gonome

546 PO

POLYNOME. (A4/g.) (de mors, plusieurs, et de
vouÿ , part). Quantité algébrique composée de plusieurs
parties ou termes distingués par les signes + et — ,
comme À + B—C+D+etc. Lorsqu'il n'y a que
deux termes, le polynome prend le nom de binome,
et celui de trinome quand il y en a trois, etc. (Foy. Bi-

NOME et TRINOME.)

POLYPASTON. (ée.) Nom donné par Vitruve à
une machine composée de plusieurs poulies qu’on nom-
me aujourd'hui mouffle. (Foy. POur1E.)

POMPE. {Méc. hydraul.) Machine hydraulique des-
tinée à élever l'eau. On distingue trois espèces princi-
pales de pompes : la pompe foulante, la pompe aspi-
rante et la pompe tout à la fois foulante et aspirante.

Pompe foulante. Elle se compose d’un cylindre creux
(PL 40, fig. 11) plongé dans l’eau du réservoir infé-
rieur et dont le prolongement, au-dessus de la surface
de l’eau, communique, soit directement, soit par l'in-
termédiaire d'un rayon de décharge, avec le réservoir
supérieur, ou avec l'endroit où l’on veut élever l’eau.
Dans la partie inférieure de ce cylindre, qu’on nomme
corps de pompe, est un piston P, dont la tige est solide-
ment attachée à la traverse inférieure d’un châssis mo-
bile qu'on fait monter et descendre alternativement par
le moyen d’un levier. La tête du piston est percée d’un
trou recouvert par unesoupape S qui s’ouvre de bas en
haut. En S', un peu au-dessous de la surface de l'eau, est
un diaphragme percé d’un trou recouvert par une sou-
pape qui s'ouvre également de bas en haut.

Pour concevoir le jeu de cette pompe, il faut suppo-
ser le piston placé au plus bas de sa course. Alors l’eau
du réservoir, par sa propre pression, ouvre les soupa-
pes S et S', et pénètre dans le corps de pompe où elle
tend à se mettre de niveau avec l’eau extérieure, Quand
elle a atteint ce niveau, ou à peu près, les soupapes se
ferment par leur propre poids, et si alors on élève le
piston, la soupape inférieure S reste fermée , mois la
soupape supérieure S's’ouvre, et l’eau contenue dans
le corps de pompe entre les deux soupapes est forcée de
s'élever au-dessus du niveau du réservoir. En abaissant
le piston, la soupape S' se ferme et empêche l’eau qui
est au-dessus de descendre, tandis que la soupape Ss’ou-
vre, et la partie du corps de pompe comprise entre les
deux soupapes se remplit d'eau. Ainsi, par le jeu alter-
natif du piston, le tuyau supérieur se remplit d’eau
de plus en plus, et cette eau finit par arriver au réser-
voir supérieur,

À

A l’aide de cette pompe, on élève l’eau à telle
hauteur qu’on peut le désirer; il suffit d’avoir la force
motrice nécessaire. L’effort du piston, quand il foule,

PO

est, abstraction faite des frottemens et autres résistan-
ces , égal au poids d’une colonne d’eau dont la surface
du pistou est la base, et dont la hauteur est la distance
verticale du niveau du réservoir inférieur à la surface
supérieure de l’eau dans le tuyau montant,

Pompe aspirante. Elle se compose d’un corps de
pompe (PI. 40, fig. 13), ouvert par le haut, et à la par-
tie inférieure duquel est adapté un tuyau qui plonge
dans l’eau du réservoir, et que l’on uomme wyau d’as
piration. À la réunion du tuyau d'aspiration avec le
corps de pompe estune soupape S' destinée à permettre,
en se soulevant, à l’eau d’entrer du tuyau d'aspiration
dans le corps de pompe, et à l'empêcher, en s’abais-
saut, d’en sortir par la même voie. Dans le corps de
pompe est un piston percé d’un trou recouvert d'une
soupape S, et dont la tige est attachée à l’extrémité
d’un levier, dont le jeu fait monter et descendre alter-
nativement le piston.

Quand le piston s'élève, il fait le vide dans le corps
de pompe, l’eau monte dans le tuyau d’aspiration par
l'effet de la pression atmosphérique, et alors la sou-
pape S est fermée et la soupape S' ouverte. Quand le
piston descend, la soupape S' est fermée, la soupape S
est ouverte, l’eau élevée au-dessus de S' passe au tra-
vers du piston et se trouve soulevée par lui à l'ascension
suivante.

La hauteur de la colonne d’eau qui mesure l'effort
du piston est égale à la différence des niveaux des ré-
servoirs supérieur et inférieur.

Comme c’est la pression de l’air qui fait monter l’eau
dans cette pompe, et que cette pression ne peut soutenir
une colonne d’eau que d’environ 32 pieds de hauteur,
ou 10°, 4 (voy. HynrosraTIQUE, 17), il est nécessaire
que le tuyau d'aspiration ait une longueur verticale
moindre que 32 pieds.

Pompe aspirante et foulante. Elle est composée com-
me la précédente d’un corps de pompe et d’un tuyau
d'aspiration (PI. 41, fig. 9) avec une soupape S' placée
à leur jonction. Le corps de pompe est ouvert par le
haut, mais le piston n’est pas percé; il est également
mis en jeu par un levier. Vers le bas du corps de pompe
est adapté un tuyau montant, garni d’une soupape S
dans sa partie inférieure ; sa partie supérieure commu-
nique avec le réservoir où l’on veutélever l’eau.

Lorsque le piston monte, la soupape S est fermée,
la soupape S' est ouverte, et l’eau est aspirée dans le
corps de pompe ; lorsque le piston descend, la soupape
S' est fermée, la soupape S est ouverte, et l’eau est re-
foulée dansle tuyau de décharge.

L'effort exercé sur le piston est ici, quand il monte,
égal au poids d’une colonne d’eau dont sa surface est
la base , et dont la hauteur est la distance de la surface

PO

de l’eau dans le tuyau montant au niveau du réservoir
inférieur. Quand le piston descend, son effort est le
poids d'une colonne d’eau dont la hauteur est la dis-
tance de la surface de l’eau dans le tuyau montant à la
surface inférieure du piston.

Les pompes aspirantes ont l'avantage de n’étre point
noyées dans le réservoir inférieur. On peut, comme on
le voit dans la fig. 12, pl. 40, réunir cet avantage à
celui de fouler de bas en haut, en élevant d’abord l'eau
dans une bâche placée à une petite hauteur au -dessus
du réservoir inférieur, d’où elle est reprise par uve
pompe foulante. On peut encore remplir le même ob-
jet plus simplement en employant la disposition indi
quée fig. 6. pl. 42. Quand le piston P descend, les
soupapesS et T sont fermées, et il y a aspiration par la
soupape S'. Quand ce piston monte, la soupape S' est
fermée et l’eau est refoulée de bas en haut. On trouve
toujours plus avantageux dans la pratique de faire fou-
ler de bas en haut que de haut en bas.

La disposition des tuyaux et soupapes pour le jeu des
pompes peut être variée de beaucoup de manières ,
mais il faut distinguer principalement celles qui ont
pour objet d'imprimer un mouvement continu à l’eau
contenue dans le tuyau montant. Ce but se trouve natu-
rellement atteint quand le même tuyau montant com-
munique à deux ou plusieurs corps de pompe, où les
mouvemens simultanés des pistons ont lieu en sens con-
traire. On peut aussi obtenir ce mouvement continu
eu employant (Pl, 42, fig. 5) un seul corps de pompe
et deux pistons , dont l’un descend pendant que l’autre
monte. Enfin, on peut n'avoir , comme dans la figure 4,
qu’un seul corps de pompe et qu’un seul piston. Quand
le piston P monte, il aspire par la soupape T qui est
ouverte, ainsi que la soupape S qui laisse passer l’eau
soulevée sur la tête du piston. Quand il descend, il as-
pire par la soupape T' qui est ouverte, etrefoule de bas
en haut l’eau qui passe par la soupape S'.

On ainventé dans ces derniers temps une nouvelle
espèce de pompe aspirante à jet continu d’une extré-
me simplicité. L’usage de cette pompe, connue sous le
nom de pompe de Dietz , est aujourd’hui trop répan-
du pour que nous croyions devoir en donner la descrip-
tion.

Nous ne pouvons entrer dans plus de détails sur ces
machines, pour la théorie desquelles on doit consulter
la Nouvelle Architecture hydraulique de Pronvy. Voy.
aussi un mémoire de Borda, Académie des sciences ,
1768 ; le tome premier des Principes d’Hydraulique
de Dubuat , etle Traité des Machines d'Hachette.

PORISME, (Géom.) Motdont les anciens se
pour désigner certaines propositions géométriques et
dont la signification s'est perdue, D’après Pappus , le

servaient

PO S4T
porisme n’est ni un théorème ni un problème propre-
ment dit, mais une invention, comme, par exemple, de
déterminer le centre d’un cercle donné. M. Wronski a
proposé ({ntrod., pag. 220) de consacrer ce mot porisme
aux propositions techniques, dont les objets sont neces-
saires, en laissant à celles dont les objets sont seulement
possibles le nom de problèmes. Ainsi, faire passer une
circonférence de cercles par trois points donnés, est un
problème, tant que l’objet de cette proposition n’est pas
démontré comme possible ; tandis que déterminer le
centre d’un cercle est un porisme. Cette signification des
porismnes est parfaitement conforme aux définitions que
nous ont laissées les anciens , définitions dont les mo-
dernes ont si complètement méconnu l'esprit, que Sim-
son confond les porismes avec les véritables problèmes,
et que d’Alembert, ce qui est un peu plus grossier, ne
les distingue pas des lemmes, avec lesquels ils n’ont
rien de commun.

PORISTIQUE. Quelques auteurs nomment #ethode
porisique la manière de déterminer par quels moyens
et de combien de façons différentes un problème peut
être résolu.

POTRA (Jeax-Bapnisre), né à Naples, vers 1550, a
long-temps été considéré comme l’un des plus illustres
savans que l'Italie ait produits, durant le siècle à ja-
mais célèbre de la renaissance des sciences et des lettres.
La plupart des biographes ont accepté aveuglément les
éloges qu’il recut de ses contemporains, et dont un exa-
men plus scrupuleux de ses travaux et des services qu'ils
ont pu rendre à la science a démontré l’exagération.
Cette circonstance nous paraît justifier le rapide exposé
que nous allons présenter de sa vie et de ses ouvrages.
Jean-Baptiste Porta appartenait à une noble etancienne
famille qui ne négligea rien pour développer les heu-
reuses dispositions dont il était doué. Ses progrès dans
les études classiques et dans les langues anciennes fu-
rent rapides et remarquables. Plus tard il voyagea en
Europe , dans le but d'acquérir des connaissances nou-
velles, eu se fortifiant dans celles qu’il possédait déjà.
À son retour dans sa patrie, il fonda successivement
l'académie des Etiosi et celle de’ Secreti, qui fut suppri-
mée par le pape, sous le prétexte que ses membres s’y
occupaient d’arts i{icites. Porta s’adonnait à des re-
cherches physiques et d'histoire naturelle; il était doué
d’une imagination vive, d'un grande pénétration cet
d'une certaine audace, que sa position sociale lui in-
spirait peut être autant que son génie; il possédait enfin
une érudition remarquable : c'en était assez, dans les pré-
jugés de son temps, pour le faire accuser de se livrer à
de chimériques ou plutôt impossibles sciences. On doit
à Porta, qui appliqua souvent avec bonheur les con-
naissances étendues qu'il avait en mathématiques à

248 PO

l'explication des grands phénomènes de la nature, la
découverte de la chambre obscure, ainsi qu'un grand
nombre d'expériences d'optique très-curieuses. Il ap-
procha peut-être plus que Maurolico, de la vraie théo-
rie de la vision, et a composé un grand nombre d’écrits
sur les miroirs plans, convexes, concaves et leurs di-
vers effets. Wolff et plusieurs autres écrivains mettent
avec raison au rang de ses plus belles découvertes celle
du télescope ; mais il n’est point l’inventeur de ce puis-
sant instrument. On a pu lui attribuer l'honneur d’une
sibelle production , d’après un passage de sa Magie na:
turelle, dans lequel il parle de l'effet des lentilles con-
caves et convexes; mais nulle part il n’a indiqué la ma-
nière de les placer dans un tube, jamais il n’a essayé
de fabriquer cet instrument; il parait n’en avoir eu
qu'une idée vague , empruntée peut-être à Roger Ba-
con , dont il était trop instruit pour ne pas connaître les
secrets. Porta, géomètre et physicien, quoiqu'il parta-
geût la croyance de quelques-uns de ses plus illustres con-
temporains , dans les chimères de l'astrologie judiciaire
et la puissance des esprits; quoiqu’on trouve dans ses
ouvrages toutes les puérüités bizarres qu’on remarque
d'ailleurs avec étonnement dans les écrits les plus esti-
més de son temps, n’a pas moins rendu de grands ser-
vices à cette branche des sciences physiques, qui a pour
objet les phénomènes de la vision. Îl mourut à Naples,
le 4 février 1615. Nous citerons seulement ceux de ses
écrits qui se rattachent aux sciences mathématiques.
1. Magiæ naturalis libri XX, Naples, 1589, in-fol.
C’est le plus important des ouvrages de Porta, il a ob-
tenu l'honneur de nombreuses éditions et traductions :
parmi beaucoup de faits insignifians compilés sans cri-
tique , on v trouve des observations intéressantes sur la
lumière, les miroirs, les lunettes dont il a perfectionné
la fabrication, enfin sur la statique , l’hydrostatique et
la mécanique. IL. De refractione optices parte libri IX,
Naples, 1593, in-4. IT. Preumaticorum libri tres; cum
duobus libris curvilinorum elementorum, Naples, 1601,
iu-4. Cet ouvrage traite spécialement des machines hy-
drauliques : sa dernière partie, consacrée à la géométrie
curviligne, a été réimprimée à part à Rome, en 1610.
IV. De munitione Bibri tres, Naples, 1608 , in-4. C'est
un traité des fortifications. { Joy. pour les détails biblio-
graphiques relatifs aux travaux de Porta, l'Æistoire de
La littérature de Tiraboschi.\

PORTE-VOIX. (Mec.) Tustrument en forme de
trompette, en fer-blanc ou en cuivre, à l’aide duquel
on augmente beaucoup l'intensité du son et on le porte
à de grandes distances.

Quoiqu'on rapporte qu’Alexandre faisait usage d’un

semblable instrument pour parler à son armée, c’est

PO

au chevalier Samuel Moreland que l’inveution du
porte-voix est généralement attribuée.

Kircher a prétendu avoir fait des porte-voix avant
Moreland ; mais tout ce qu’il dit et tout ce que d’autres
ont rapporté sur des instrumens acoustiques antérieurs
à celui de Moreland concerne plutôt les correts acous-
tiques que les porte-voir.

D'après Lambert (Mem. de Berlin, 1963), la forme
la plus convenable à donner à un porte-voix est
celle d’un cône tronqué , parce que, d’après les prin-
cipes de la catoptrique qu’on peut appliquer au son
par analogie, les rayons sonores sont réfléchis par les
parois, de manière qu'après une ou plusieurs réfrac-
tions ils deviennent parallèles à l’axe ou du moins peu
divergens. Toutes les figures qui, en s’élargissant,
tournent leur convexité vers l’axe, doivent être reje-
tées, parce qu’elles répandent le son par tout un hé-
misphère ; ces sortes de figures sont bonnes pour les
instrumens de musique, où il importe de répau-
dre le son aussi uniformément qu'il est possible; mais
les porte-voix sont destinés à diriger le son vers l’en-
droit où l’on veut se faire entendre. Ainsi la courbure
doit être telle qu’elle tourne sa concavité vers l’axe ,
sans cependant devenir parallèle à l’axe, ou se rétrécir
après s'être élargie jusqu’à un certain point. Car si la
surface devient parallèle à l'axe, elle commence à pro-
duire l’effet d’un cylindre, et si elle converge vers
l'axe, elle fera l'effet d’un cône renversé. Un porte-voix
parabolique, où l'embouchure doit être dans le foyer,
ferait moins d'effet qu'un porte-voix conique de la
même grandeur.

Cependant il résulte des expériences d’Hassenfratz
(Journal de Physique, tome LVI, p. 18), qu’un porte-
voix muni d’un pavillon, ce qui est une petite pièce
qui tourne sa convexité vers l’axe et que l’on place à
son extrémité, porte le son à une distance presque
double que lorsqu'il n’a pas de pavillon.

Quant aux tuyaux simplement cylindriques, il est
évident qu'ils ne peuvent servir de porte-vorz , car les
rayons sonores se dispersent en tous sens en sortant par
leur extrémité. Le seul effet qu'on peut obtenir par un
tel tuyau consiste à faire entendre à une de ses extré-
mités le son produit à l’autre sans le moindre affai-
blissement ou même encoreun peu plus sonore. Au
moyen d'un tuyau d’un diamètre partout égal, deux
personnes placées aux deux extrémités pourront trans -
mettre et recevoir des paroles à une distance très-consi-
dérable. Mais pour transmettre le son à l’air libre à une
grande distance, il est nécessaire que le tuyau s’élar-
gisse du côté où se dirige le son.

L'application des lois de la catoptrique aux effets des
porte-voix ne parait pas rigoureusement exacte , car,
aiusi que l’a observé Chladui, la réfraction de la lu-

PO

uière dépend de chaque point de la surface, mais
l’action du son dépend de la forme générale des sur-
faces contre lesquelles il s'appuie, et l'effet n’est pas
changé par de petites inégalités de ces surfaces. La lu-
mière ne se répand que dans des lignes droites, mais
le son, par de nouveaux centres des rayons sonores ,
se répand dans toutes les directions possibles. Il paraît
donc que ces changemens de la direction du son res-
semblent plutôt aux mouvemens des ondes sur la sur-
face de l’eau , qui, après être arrivées à un obstacle,
forment des ondes secondaires, qui se répandent enfin
sur toute la surface de l’eau, et dont le centre est à la
même distance au-delà de l'obstacle que le centre des
ondes premières est en deçà.

On trouve quelques remarques intéressantes d'Euler,
sur les porte-voix, dans son mémoire De motu aeris in
tubis, inséré dans le tome XVI des Nov. oct, ac. Petrop.

POSIDONIUS. Ce philosophe stoïcien , contempo-
rain de Pompée et de Cicéron, qui s’honorèrent de son
amitié , s’est rendu célèbre dans cette période de l’anti-
quité par ses connaissances et ses recherches en géomé-
trie, en astronomie, en mécanique et en géographie.
Il paraît avoir possédé un savoir encyclopédique , puis-
qu’il avait écrit sur toutes ces matières élevées. Malheu-
reusement ses ouvrages sont entièrement perdus, et
l’on n’a pu recueillir de lui que quelques fragmens
épars dans les livres de Cléomède et de Strabon. On
attribue à Posidonius une détermination de la grandeur
de la terre, qui, autant par le résultat que par la mé-
thode à l’aide de laquelle elle fut entreprise, ne peut
être considérée que comme une des premières tenta-
ives de la science pour arriver à la solution de ce pro-
blème important. C’est à l'époque de Posidonius qu’on
fait remonter la connaissance précise du flux et du re-
flux de la mer. Ce fut cet ancien géomètre qui recon-
nut la loi de ce phénomène, qui, par ses rapports
évidens avec les mouvemens du soleil et de la lune,
appartient à l’astronomie, et dont Pline le naturaliste a
donné une description remarquable par son exacti-
tude.

Posidonius était né à Apasnée, il avait étudié à
Alexandrie et ouvrit son école à Rhodes. C’est à peu
près tont ce qu'on sait de sa vie. Les biographes, sans
aucune raison plausible, distinguent deux Posidonius,
dont l’un eût été philosophe et l’autre mathématicien ;
mais d’après le témoignage des anciens historiens , et
entre autres de Cicéron , qui l'appelle son maitre et son
ami (De nat. deorum, liv. I et II), on ne peut dou-
ter qu'il n’y ait eu qu’un seul personnage célèbre de ce
nom. Ce qui nous reste de Posidonius a été recueilli
sous ce titre : Posidonit Rhodi reliquiæ doctrinæ, col-
legit aique illustravit James Bake, etc.

PO 549

POSITIF, (4{g.) Une quantité positive est celle que
l'on conçoit toujours avec une fonction d'augmentation,
on Ja nomme ainsi par opposition avec les quantités

négatives, (Voy. N£carir et PaiLosopuie, n° 55.)

POSITION. (454, L’angle de position d'un astre est
l'angle formé à son centre par ses cercles de latitude et
de déclinaison. Cet angle entre comme élément dans
plusieurs calculs astronomiques.

En arithmétique, on doune le nom de fausse post-
tion à une règle d’un usage très-géuéral. Nous l'avons

exposée sous ce dernier nom.

POULIE. (Aec.) Une des six machines considérées
comme simples en mécanique. C’est un corps rond,
plat, mobile sur un axe et creusé en gorge, sur sa sur-
face courbe, pour recevoir une corde. La poulie est
faite en bois ou en métal , et son axe est supporté par
une barre de fer recourbée que l’on nomme chape.
Elle sert à élever des fardeaux.

On distingue deux sortes de poulies, la poulie fixe et
la poulie mobile. La poulie fixe est celle dont la chape
AC (PI. 54, fig. 2) est tenue par un point fixe , et la
poulie mobile est celle dans laquelle le fardeau à élever
est attaché à la chape (fig. 3).

Dans la poulie fixe, la puissance P , qui agit à l’ex-
trémité de la corde , quelle que soit sa direction, doit
être égale à la résistance Q pour lui faire équilibre, car
si l’on prolonge les directions des forces P et Q jus-
qu'à leur point de concours O , ce point O appartien-
dra à la résultante des deux forces; mais cette résul-
tante, dans le cas des forces égales, partage l'angle
MON en deux parties égales; elle passe donc aussi par le
centre C de la poulie et se trouve détruite par la résis-
tance de ce centre. Ainsi la poulie fixe n’aide point la
puissance, mais elle est avantageuse en ce qu’elle
permet de changer sa direction et d'employer consé-
quemment cette puissance selon la direction la plus
favorable au développement de la force. Par exemple
un cheval qui ne peut tirer verticalement, mais qui
tire horizontalement avec beaucoup de force, peut être
employé à élever un poids en changeant la direction
verticale en horizontale par le moyen d’une poulie.

Si l’on fait attention que la puissance et la résistance
agissent toujours aux extrémités des rayons dela poulie,
on pourra la considérer comme l'assemblage d'une in-
finité de leviers fixés autour du même point d'appui C
et dont les bras sont égaux. C’est cette égalité des bras
CM et CN qui fait que dans le cas d'équilibre la puis-
sance est égale à la résistance.

Pour la poulie mobile (fig. 3) supposons que la corde
qui l'entoure est attachée par une de ses extrémités au
point fixe Q, et que la puissance P est appliquée à
l’autre extrémité. La résistance du point fixe Q con:

350. PO

court donc ici avec la puissance P pour soutenir le
poids R; et dans le cas d'équilibre, le rapport de la

puissance à la résistance est donné par la proportion
P:R::A0 :AB

La poulie mobile est donc d'autant plus avantageuse à
la puissance que la soutendante AB est plus grande que
le rayon AO. Le cas le plus favorable est celui où AB
est le diamètre de la poulie; ce qui arrive lorsque les
cordons QA et PA sont parallèles; on a alors
* P:Q :: rayon : diamètre :: 1 : 2

c’est-à-dire que la puissance est la moitié de la résis-
tance.

La poulie est principalement utile quand il y en a
plusieurs réunies ensemble.

Cette réunion donne le moyen d’élever des fardeaux
énormes avec une très-petite puissance, comme nous
allons le montrer.

Le poids étant suspendu à la chape de la poulie C
(PI, 17, fig. 3), concevons cette poulie embrassée par
une corde attachée au point fixe D, par une de ses
extrémités, et à la chape d’une seconde poulie G par
son autre extrémité. Concevons encore cette seconde
poulie supportée par une corde, d’une part attachée
au point fixe E, et de l’autre à la chape d’une troisième
poulie, et ainsi de suite jusqu’à la dernière poulie qui
sera embrassée par une corde attachée d’un côté à un
point fixe et de l'autre à la puissance Q. Si l'équilibre
subsiste entre ces poulies et qu’on désigne par T, T",
T" les tensions des cordes FA , RIT, QN, etc., on aura,
en ne supposant que trois poulies et en désignant par
R le poids ou la résistance

Æi s Ross: soncs2i2

AE: ea 0
d’où

T" é

; I _
La puissance est donc seulement 8 de la résistance.

Elle ne serait que s'il y avait quatre poulies ;

1

239
Ë ES | F4 1

s’il y en avait cinq; et en général — pour un nom-
. 2

bre x de poulies. Nous supposons ici les cordons pa-

PR
rallèles entre eux, ce qui est la disposition la plus fa-
vorable.

A l’aide d’une poulie fixe X, qu’on nomme poulie
de renvoi, on change la direction de la puissance sans
augmenter ni diminuer son intensité, sauf cependant la
résistance des cordes et le frottement.

On nomme mourFLE une machine composée de plu-
sieurs poulies disposées sur une même chape : on as-
semble (PI. 39, fig. 2) une mouffle mobile avec une
mouffle fixe; de sorte qu'une même corde, tirée par
une force P, embrasse tour à tour les poulies. La
mouffle mobile porte un poids qu’il faut ajouter à celui
de la mouffle même, comme on doit ajouter le poids
d’une poulie mobile à celui qu’elle entraîne, pour trou-
ver les conditions d’équilibre.

Dans la disposition de la figure, on peut considérer
le poids Q comme soutenu par 6 cordons égaux qui

1
portent chacun G

doit être la sixième partie de la résistance, En général,

de ce poids; ainsi la puissance P

la puissance est égale à la résistance divisée par le
nombre des cordons qui aboutissent à la mouffle mo-
bile.

La résistance des cordons et le frottement des axes
modifient beaucoup les conditions d'équilibre, et il
est essentiel d’y avoir éyard dans le calcul des forces ;
mais ces détails se trouveront ailleurs. (7’oy. Treutit..)

PRÉCESSION DES ÉQUINOXES. (45.) On donne
ce nom, ou simplement celui de PRÉCESSION, au mou-
vement insensible par lequel les points équinoxiaux se
déplacent continuellement sur l'écliptique en mar-
chant en sens inverse de l’ordre des signes.

Ce mouvement, qui résulte de l’attraction du soleil
et de la lune sur le sphéroïde applati de la terre, se
manifeste par un mouvement apparent de toutes les
étoiles fixes dont les longitudes croissent d’environ 50”
par année. C’est à Hipparque qu’on doit la connaissance
de la PRÉCESSION, mais c’est Newton qui a eu la gloire
d’en découvrir et d’en expliquer les causes.

Si la terre était parfaitement sphérique, l'attraction
du soleil et de la lune agirait également sur les diverses
parties de sa surface, et il n’y aurait pas de précession.
Les équinoxes répondraient toujours aux mêmes points
de l’écliptique, et les longitudes des étoiles seraient
invariables, du moins en n’ayant point égard aux au-
tres causes de perturbations. Mais la terre étant renflée
vers l’équateur, l’action du soleil et de la lune agit sur
celte partie avec plus d'intensité que sur les autres, et
teud continuellement à détourner le plan de l'équateur
terrestre de sa direction. Les résultats de cette action
sont d'imprimer à l'équateur un mouvement circulaire
autour de l'axe de l’écliptique , auquel correspond en

PR

même temps un mouvement conique de son propre
axe autour de ce dernier ; de sorte que les pôles de lé-
quateur tournent autour des pôles de l’écliptique , non
en décrivant un cercle, mais bien une courbe ondulée
ou épicycloïdale, parce que, dans ce mouvement,
l'axe de l'équateur se rapproche et s'éloigne alternati-
vement de celui de l’écliptique.

C’est ce balancement de l’axe de la terre dont l'effet
est de faire varier l’inclinaison de l’écliptique que l'on
nommé NUrATION, Îl se manifeste par une augmenta-
tion et une dimivoution progressives des déclinaisons des
étoiles, dont la quantité est d’environ g’en plus ou en
moins, et dont la période est de 18 ans. Cette période
est aussi celle de la révolution des nœuds de la lune.

Newton avait bien entrevu le balancement de l’axe
terrestre , mais il n'avait tenu compte que de l’action
du soleil, et la Nurarion qui en résulte, dont la période
est de six mois, et à peu près insensible. Bradley qui, le
premier, remarqua la variation des déclinaisons des
étoiles, eut l’heureuse idée de comparer la période de
ces variations avec celle de la révolution des nœuds
lunaires, et de montrer ainsi la liaison de ces phéno-
mènes. Ce ne fut que quelques années après la décou-
verte de cet illustre astronome que d’Alembert en
donna la théorie en ramenant la nutation lunaire au
principe de l’attraction universelle.

Le rapport moven des actions solaires et lunaires
dans le phénomène de la précession parait être celui de
> à 5. Cependant il reste quelque incertitude à cet
égard , due à celle où l’on est encore sur la masse exacte
de la lune. (Voy. le Mémoire de Poisson, sur le mouve-
ment de la lune autour de la terre. Tome x11 du Recueil
de l'Acad. des sciences.)

La précession des équinoxes a pour effet général de
faire décrire au point du bélier pris pour origine des
longitudes un arc de l’écliptique de 50”, 1 par an; et
comme ce mouvement s'effectue en sens inverse du
mouvement apparent du soleil, le point équinoxial
vient à la rencontre du soleil qui n’a conséquemment

que 350° 59° 9", 9 à faire sur l’écliptique pour se re-
à : L : 1
trouver à l’équinoxe. L’équinoxe arrive donc 20’ 3

de temps plus tôt qu’il n'aurait fait sans ce mouvement
du nœud, et par conséquent l’année tropique, ou le re-
tour du soleil au même nœud, est plus courte que l’an-
née sidérale où que le retour du soleil à la même
étoile, de 20’ 3

Si le mouvement du nœud était uniforme, le point
équinoxial parcourrait le cercle entier de l'écliptique
dans une période d'environ 25867 ans, mais la pré-
cession éprouve des inégalités qui changeront dans la
suite des siècles l'étendue de cette période, Depuis

PR 551
l'invention du zodiaque , les points équinoxiaux ont ré-
trogradé d’environ 30 degrés, de sorte que les signes
ne correspondent plus avec les constellations dont ils

portent les noms. (Foy. BaLance.)

PREMIER. On donne le nom de NOMBRES PREMIERS
à ceux qui ne sont pas composés de facteurs ou qui ne
peuvent être divisés que par eux-mêmes et par l'unité.
Tels sont les nombres 1, 3, 5,5, 11, etc.

Ces nombres ont été l’objet de beaucoup de recher-
ches depuis les temps les plus reculés jusqu’à nos jours,
mais toutes les tentatives faites pour trouver une loi ou
expression qui puisse les embrasser généralement sont
demeurées sans succès; on a seulement découvert une
foule de particularités curieuses pour lesquelles on doit
consulter la Théorie des Nombres de Legendre. Era-
tosthènes à imaginé un procédé très-simple , au moyen
duquel on reconnait les nombres premiers ; nous l’a-
vons exposé au mot Crise. En voici un autre , non
moins général.

Si A est un nombre premier il n’existe que le carré

A—:

de

qui, lui étant ajouté, donne pour somme un

carré parfait. Par exemple :

5—1\?

5+( _

2
DA D)
+; +) =

etc.

5+4= 9 = 5

9 = 16 = 4°

5 He

I

11 + 25 = 36 — 67

CÉCis ro 2 1e

CE

Ainsi, pour reconnaître si un nombre A est premier,

il faut lui ajonter successivement les carrés de tous les

< ; , ÀA— à
nombres naturels depuis 1 jusqu'à —-, et si aucune
‘»

des sommes, à l'exception de la dernière, n’est un carré
parfait, on sera assuré que ce nombre est premier.
Voici un exemple de calcul pour le nombre 17e

carrés. sommes,
179 1, = 18
17 + 4 =
17 + 9 — 926
17 16, =. 33
17 + 25 = 42

3

eo
©
cr
O0

592 PR

Ainsi aucune des sommes, excepté la dernière, celle de
— 1

17 + (=), n'étant un carré parfait, 17 est uu

nombre premier.

Oa peut simplifier le calcul en ajoutant successive-
ment à la première somme les différences des carrés ou
la suite des nombres impairs 1, 3, 5, 7,9,etc.; on ob-

tiendra de cette manière :

ns
Î
œ

18 + 3 — 21
21 + 5 — 26
26 + 7 — 33
33 + 9 — 42
42 Hi — 53
53 L 13 — 66
66 + 15 — 81 — 9

Ce qui réduit l’opération à une addition successive.
Proposons-nous de déterminer si ot est un nombre
premier. Eu opérant comme ci-dessus, nous aurons

g1 +1 —= 01
92 +3 — 95
95 +5 — 100 — 10°

Il n’y a pas besoin de poursuivre le calcul, car la troi-

sième somme étant un carré parfait, celui de 10, g1,ne
peut être un nombre premier.
La dernière égalité qui revient à

91 + 9 = 100, ou 91 + 32 — 10°

peut servir à déterminer les facteurs de 91, caron en
tire
2— 3 — (1043) {10—3) — 13 X 7.

91 — 10

On peut se rendre compte de la propriété sur laquelle
est fondée cette méthode, en remarquant que si l’on a

A+ B'=C;,
on doit avoir aussi
A = C? — B: — (C+B) (C—B).

Ainsi, Cet B étant des nombres entiers, C4-B et C—B
sont aussi des nombres entiers, et À, se trouvant formé
par le produit de ces derniers, ne peut être un nombre
premier que dans le cas où C—B=—7+, ce qui donne

est donc le

C+B=A et B— Be, le carré de

seul dont la somme avec A puisse être un carré parfait,
lorsque A est un nombre premier.

=) est le plus

grand carré qui, ajouté à A, puisse former un carré
parfait et, par conséquent, que l’on n’a pas besoin ,

Ilest visible, en outre, que (

PR

dans l'opération précédente,
A—1

2

d'essayer les carrés des

nombres au-dessus de

Fermat a laissé plusieurs théorèmes curieux sur les
nombres premiers; voici le principal : si » est un nom-
bre premier et x un nombre quelconque non divisible
par n, la quantité x —1—1 sera divisible par n.

Un autre théorème non moins célèbre est celui de
Wilson :
3.4 20e 2.

par n. Cn a été publié par Waring, dans ses Wéditations

sin est un nombre premier, le produit 1.2.

(n—1) augmenté de l'unité, sera divisible

algéb. ; mais ni lui ni Wilson n'avaient pu le démon-
trer ; c’est Lagrange qui en a donné la première dé-
monstration. (Nouv. Mémoires de Berlin, 1751.)

Si les produits de la forme 1.2.3.4.5.6... (n—1)
n'augmentaient pas avec une extrême rapidité, à me-
sure que le nombre des facteurs augmente, le théo-
rème de Wilson offrirait le procédé le plus simple et
le plus direct pour reconnaître si un nombre est pre-
mier ou s'il ne l’est pas, car il suffit d'ajouter une unité
au produit 1.2.3.4.5... (a—1) cet de diviser ensuite
par 2: lorsque la division peut s'effectuer exactement,
n est un nombre premier; dans le cas contraire n est
composé ; mais le produit r.2.3.4.5... (n—1) atteint
si promptement une grandeur énorme que ce procédé
devient bientôt impraticable, En effet, pour les nom-
bres 13 et 17, qui sont de très-petits nombres, il faut

déja former les produits
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12 — 4790016c0
ER

1.2,3.4.5.6.7.8.9.10.11.12...16 — 20922789888000

On tire de ce théorème les deux suivans, également
remarquables :

I. Tout uombre premier #, compris sous la forme
4mæ+1, divise exactement la quantité

(r. 34...) +1 |

I. Tout nombre premier », de la forme 41 +5,
divise exactement la quantité

n—1\?
(re2.3.4.... ) — 1
2

exactement l’une ou l'autre des

Ainsi z doit diviser
deux quantités

Fist

152.0s4ecce

+ 1

Q

nn À

Dee teen

2

Comme on a très souvent besoin de connaitre si un
nombre est premier, surtout dans la recherche des fac-
teurs numériques , la table suivante, qui contient les
nombres premiers depuis 2 jusqu’à 50009, ne peut
manquer d’être utile dans beaucoup de cas.

TOME I,

1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1063
1009
1097
1091
1003

PR

TABLE

Des noïnbres premiers jusqu'à 5000.

585

1001
1607
1600
1613
1619
1021
1027
1037
1657
1063
1007
1009

1001
1007
1013
1931
1033
1919
1091
1073
1979
1987
1993
1997
1999
2003
2011

2017
2027
2029
2039
2093
2003
2060
2081

2053
2087
20509
2099
2111

2113
2129
2131

2137
2141

2143
2153
2161

2699
2707
2711
2713
2719
2729
2731
2741
2719
2753
2767
2777
2759
2791
2897
2701
5803
2819
2933
2837
2843
2591
2897
2807
2879
2007
2897
2903
2909
201 5
2927
2939
2093
2057
2003

2969
2071
2009
3001
3071
3019
3023
3037
3041
3049
3o06t
3007
3079
3083
3089
3109
3119
3121
3137
3103
3167
3169
3181
3157
3191
3203
3209
3217
3221
3229
3251
3253
3257
3259
3271
3299
3301
330

3313
3319
3323
3329
3331

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3589
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3917
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3031
3043
3947
3907

3989
4007
4003
4007
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4019
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4027
4049
4051
4057
4073
4079
4091
4093
4099
4uit
4127
4120
4133
4159
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4157
4159
4177
4201
421t
4217
4219
4229
4231
4241
4243
4253
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SERRE SEE © GC uw D CE Co CO GER R RD
NO ER D © ©
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EE

QT O1 Or Qt Cr Cr

RER EEE

4909
4919
4931
4933
4937
4945
4951
4957
4907
4969
4973
4987
4993
4099
5003
5009

554 PR

PRESSE. (cc. prat.) Machine construite en Fer ou
en bois, qui sert a comprimer les corps.

La presse commune est composée d'une vis de pres-
sion E (PI. 28, fig. 7), dont la tête porte sur une plan-
che unie O, et qui tourne dans son écrou placé à la
partie supérieure d’un bâti ABDIT. Les corps que l’on
veut presser étant posés sur la partie inférieure du bâti
et recouverts de la planche O, on tourne la vis au
moyen d’un levier E qu’on introduit dans un trou fait
à sa tête. Cette action forcela planche O à descendre et
lui fait comprimer de plus en plus les corps qui sont au-
dessous.

Presse nypraAuLiQUE. Cette presse, dont l'action est
si puissante, est une idée de Pascal mise en pratique
par le mécanicien anglais Bramah. Elle consiste en
deux forts cylindres métalliques D et EF (PL 13, fig. 5)
de différens diamètres; chacun de ces evlindres est
muni d’un piston ; le piston du cylindre F correspond
a un bras de levier sur lequel agit le moteur qui doit
opérer sur cette machine. Le piston du cylindre D est
surmonté d’une plaque en fonte sur laquelle on place
les objets que l’on veut comprimer. Ce cylindre, dont
la hauteur surpasse celle du premier, est placé dans un
cadre de fer très-solide, dont la partie supérieure, pa-
rallèle à la plaque de fonte, sert de plan réacteur, de
sorte que la compression est produite parle rapproche-
ment de la plaque du piston à ce plan ; les deux cylin-
dres communiquent par un tuyau horizontal E, Le cy-
lindre extérieur £°, immergé dans une bâche remplie
d’eau, est muni de deux soupapes, par l'une desquelles
l’eau entre dans le cylindre, et elle sort par l'autre.
Lorsque l'agent moteur soulève le levier et le piston
qui y est attaché , la première s'ouvre et la seconde se
ferme; le contraire arrive lorsqu'il s’abaisse. C'est la
pression opérée sur l’eau que renferme ce cylindre qui
se transmet au piston du cylindre D et presse la plaque
A en faisant remonter le piston. (Foy. Iyipronrna-
MIQUE, 14.) On trouve une description détaillée de
cette importante machine dans le volume de la Meéca-
nique appliquée aux arts, de Borgnis, qui a pour
titre: Machines employées dans diverses fabrications.

PRESSION. (A/éc.) C’est la force d’un corps qui agit
sur un autre où sur un obstacle quelconque sans choc.
On désigne cette action sous le nom de force morte.

(Foy. Force.)

PREUVE. Terme d'arithmétique qui signifie uve
opération par laquelle on vérifie l’exactitude des résul-
tats d’un calcul. (’oy. les diverses opérations élémen-

taires et le mot Nzur.)

PRIME, Mot qui exprime lamême chose que minute,

c'est-à-dire, en géométrie, la soixaitième partie d’uu
degré. On désigne les minutes ou primes par le signe

(}, ainsi 45"

signifie 45 primes.

On se sert encore très-souvent des signes ('), (”),
("), etc., qui désignent les zninutes, secondes, tierces,
pour faire représenter par une même lettre des quan-
tités différentes; par exemple a, a', a", a", etc., qu'on
prononce &«, «& prime, a seconde, etc., désignent sim-

plement des quantités différentes entre elles.

PRINTEMPS. (4s4.) Une des quatre saisons de
l’année, Il cominence lorsque le soleil, s’'approchant de
plus en plus du zénith, a atteiut une hauteur méri-
dieune moyenne entre sa plus grande et sa plus petite ;
c'est-à-dire lorsqu'il est arrivé au point où l’échptique
coupe l'équateur où au point de l'équinoxe; et il finit,
lorsque le soleil, continuant de s’approcher du zénith , a
atteint sa plus grande hauteur méridienne, c'est à-dire,
lorsqu'il est arrivé au point du solstice où l'été com-
mence, Dans notre hémisphère, le printemps commence

vers le 21 mars, lorsque le soleil entre dans le signe du

Bélier; c'est alors l'automne pour l'hémisphère austral;
réciproquement quand l'automne commence pour nous,
c'est le printemps pour cet hémisphère opposé. Les
jours qui sont Cgaux aux nuits, au moment de l’équi-
noxe, croissent depuis ce moment jusqu’au dernier
jour du printemps qui est le plus grand de l’année.
Cette saison est plus longue d'environ 4 jours que l’au-
tomne et que l'hiver, parce que le soleil est plus long-
temps à parcourir les signes septentrionaux que les mé-

ridionaux. (7/07. Saisons.)

PRISME, (Géom.) Corps compris entre deux faces :
polygonales égales et terminé latéralement par des faces
parallélogrammes, (Foy. Norioxs PRÉL. , 49.)

Les faces polygonales égales et parallèles se nomment
les bases du prisme et la distances de ces bases ou la
perpendiculaire abaissée de l’un sur l’autre est sa hau-
teur. Le prisme est droit ou oblique selon que ses arêtes
latérales sont perpendiculaires aux deux bases, ou
qu'elles font un angle oblique avec elles. Toutes les
arêtes latérales sont égales.

La hauteur du prisme droit est donc égale à chacune
des arêtes latérales, ou égale au côte du prisme. La
hauteur du prisme oblique est toujours moindre que son
côté.

Un prisme a autant de faces latérales que ses bases
ont de côtés. Si les bases sont des polygones de » côtés,
le nombre total de ses faces sera 7 2, celui de ses
sommets sera 2#, et celui deses arûtes sera 3».

Un prisme est dit triangulaire (PI. 53, fig. 17),
quadrangulaire, pentagonal , hexagonal (PI. 53,
fig. 16), etc. , selon le nombre des côtés de chacune de

PR

ses bases. Ses angles solides ne sont jamais composés
que de trois angles plans, quel que soit le nombre de
ses cotés.

On démontre que tous les prismes de même base et
de même hauteur sont équivalens entre eux, et que le
volume d’un prisme quelconque est égal au produit de

l'aire d’une de ses bases par sa hauteur. (/'oy. SaL1pE.)

PROBABILITÉ. Si toutes nos connaissances entrai-
naient la certitude comme le font les propositions des
mathématiques pures, uos jugemens détermineraient
toujours une conviction pleine et entière touchant leur
objet, et cette conviction serait valable pour la tota-
lité des êtres raisonnables, mais il n’en est point ainsi.
La plupart de nos connaissances ne sont que de simples
croyances plus où moins fondées, plus où moins pro-
bables; de là l'impossibilité où nous nous trouvons si
souvent de les faire partager aux autres.

Le premier degré de la connaissance est la conjecture :
elle détermine l'opinion; le second degré est la con-
viction: elle détermine la foi, et eufin le troisième
degré est la certitude: elle détermine la science. L'opi-
nion n’est souvent qu'un jeu de l'imagination sans le
moindre rapport avec la vérité, et qui n’a de raison
suffisante ni objective ni subjective, c’est-à-dire ni
daus l’objet de la connaissance, ni dans le sujet con-
naissant, La foi a toujours une raison suffisante sub-
jective. La science a une raison suffisante subjective et

objective; elle est certitude pour tout le monde.

Dans les questions spéculatives, l'opinion etmême la foi
ne méritent aucun assentiment, puisqu'elles ne peuvent
être communiquées aux autresavec la mème intensité, Il
serait absurde, par exemple, d'opineren mathématiques
pures , il faut savoir ou s'abstenir. Mais dans les ques-
tions pratiques, la foi peut atteindre le but plus ou
moins heureusement. Par exemple, un médecin exa.
mine les symptômes d'une maladie grave, il juge,
parce qu'il ne peut pénétrer jusqu’à la cause première
et cachée, que cette maladie est une gastro-entérite ou
toute autre chose, et, d’après la foi qui résulte en lui de
son jugement , il ordonne certains remèdes. Un autre
médecin aurait peut être mieux rencontré. Mais quoi
qu'il en soit du rapport des moyens avec le but réel à
atteindre, ce rapport est toujours fortuit; la for qui
sert de fondement à l'usage de ces moyens est une foi
fortuite; si le butest atteint, ce n’est pas nécessairement,
c’est par nasarD; le jugement n’a pas déterminé l’ac-
tion par sa GERTITUDE, mais seulement par sa PRobABI-
LITÉ,

Or, si la certitude n’est susceptible que d'un degré,
car elle est ou elle n’est pas, la probabilité est suscepti-
ble de degrés à l'infini, puisqu'elle peut se rapprocher

PR 555

ou s'éloigner d'autant plus de la certitude que le juge-
ment pratique se fonde sur des connaissances plus ou
moins réelles; la probabilité peut donc se mesurer;
comme telle les lois des nombres lui deviennent appli-
cables; et cette application forme l’objet d’une branche
des mathématiques appliquées qu’on nomme carcuL
DES PROBABILITÉS.

Le calcul des probabilités a pris naissance entre les
mains de Pascal et de Fermat, à l’occasion de quelques
questions sur les jeux de hasard; développé ensuite
par Jacques Bernouilli et appliqué aux événemens
moraux et politiques, étendu par Montmort, Moivre
et Daniel Bernouilli à une foule de questions impor-
tantes, ilest devenu enfin, par les travaux de Condor-
cet, de Lagrange et de Laplace une science féconde
dont les résultats n’ont pas été sans influence sur les
progrès de la civilisation. Nous allons exposer d’abord
les notions élémentaires de ce calcul, que nous éclair-
cirons par des exemples pris sur les jeux les plus con-
nus, et nous indiquerons ensuite quelles applications

importantes peuvent en être faites.

1. Lorsqu'un événement doit nécessairement arriver,

on dit qu'il est certain.

Lorsque au contraire il existe des causes qui peuvent
empêcher son apparition, sans cependant que l’action
de ces causes soit nécessaire, on dit qu’il n’est que pro-
bable.

L'événement est plus ou moins probable selon que
le nombre des causes qui peuvent le produire surpasse
celui des causes qui peuvent l'empêcher,

>. On nomme probabilité mathématique le rapport
qu'il y a entre le nombre des causes qui peuvent pro-
duire l'événement et le nombre total des causes tant
favorables que contraires.

S'il s'agissait, par exemple, de tirer une boule blan-
che d'une urne qui enrenfermät quatre de cette cou-
leur, il est évident que la sortie de cette boule blanche
serait certaine; mais si l’urne ne contenait qu’une
seule boule blanche et que les trois autres fussent cha-
cune d’une couleur différente, la sortie de la boule
blanche ne serait plus que probable ; et comme il y
aurait alors quatre événemens également possibles et
qu'un seul de ces événemens donne le résultat deman-
dé, la probabilité d'obtenir ce résultat serait donc le
quart du nombre des événemens possibles , et on l’ex-
L
É

S'il s'agissait pareillement d'exprimer la probabilité

primerait par la fraction

de tirer une boule blanche d’une urne qui renfermât
huit boules dont six blanches et deux noires, on remar-
querait que sur huit événemens également possibles six
peuvent amener le résultat demandé, et l’on dirait que

2272

59 PR

la probabilité d'amener une boule blanche est égale
6

8"

La certitude mathématique est donc exprimée par

à

l'unité, et la probabilité par une fraction. Si cette frac-

É.. ;
tion est plus grande que - il ya plus de raisons pour
2

croire à l'apparition de l'événement que pour en dou-
ter, et vice versa. Ainsi, dans le premier exemple où la
I

4

la sortie d’une boule blanche, et dans le second, où la

probabilité est, , il ya plus de chances contre que pour

ue 6 .
probabilité est g il y a plus de chances pour que con-

tre cette sortie. Cependant quelle que soit la probabi-
lité, l'événement demeure toujours indéterminé, et son
apparition ne peut donner lieu qu’à un pari, comme
nous le verrons plus loin.

3. L'expression fondamentale du calcul des probabi-
lités, savoir : le rapport du nombre des cas favorables
à celui de tous les cas possibles, suppose nécessairement
que les divers cas sont également possibles, car s'ils ne
l’étaient pas, il faudrait prendre en considération cha-
cune de leur possibilité respective, et alors la probabi-
lité serait la somme des possibilités de chaque cas favora-
ble.

Par exemple, pour exprimer la probabilité d’ame-
ner au moins une fois eroix en deux coups, au jeu de
croix ou pile, il faut considérer qu’il peut se présenter

quatre cas également possibles, (a)

1, Croix au premier coup et pile au second,
2. Croix au premier coup et croix au second,
3. Pile au premier coup et croix au second.
4. Pile au premier coup et pile au second.

Or, les trois premiers cas sont favorables à la sortie
dont on cherche la probabilité ; ainsi cette probabilité
est donc égale à

I FE 1 + 1 3
40 os MT
Si l’on demandait, dans la même hypothèse , la proba-
bilité d'amener dans les deux coups d’abord croix et
ensuite pile; comme il n’y a qu’un seul cas qui présente
ce résultat, cette probabilité serait exprimée par
À

Tout le monde sait qu’on nomme Jeu de croix ou pile,
la projection dans l'air d’une pièce plate dont on nomme
l’une des faces croix et l'autre pile; après sa chute, la
force apparente est celle qui gagne.

4. La probabilité du concours de plusieurs événe-
mens se nomme probabilité composee : on l’obtient en
multipliant l’une par l’autre les probabilités simples

de chaque événement, Par exemple, daus le cas précé-

dent, en remarquant que la probabilité d'amener croix
: +.
au premier coup est, puisqu'il n’y a que deux chances,

et qu’ensuite la probabilité d'amener pile au second coup
I | à

est encore 3” Puisque pour ce second coup il y a en

core les deux mêmes chances, on conclura que la pro

babilité composée d'amener croix au premier coup et

pile au second est comme nous l'avons

2 2

vu immédiatement à l'inspection du tableau (a).

une 1 Pre nu.
En général etant la probabilité simple d’un événe-

s } per or
ment, et P Ja probabilité simple d’un autre événement,
ÿ

es ; n
la probabilité composée de leur concours sera — X Le
LL q

; mn, : TA
De même, — étant toujours la probabilité simple
mn

ni non n° rs
d’un événement — X - ou — sera la probabilité de
In 772 mn?
se : . n° ,
son arrivée deux fois de suite; —, celle de son arri-
m

vée 1roïs fois de suite , etc.

5. C’est ici le lieu de remarquer que chaque évéue-
ment incertain donne naissance à deux probabilités
contraires, savoir : la probabilité que cet événement
arrivera et celle que cet événement n’arrivera pas. Par
exemple, dans le cas de l’urne renfermant quatre bou-
les de différeutes couleurs, la probabilité d’amener la
1

4

contraire à cet événement est n puisqu'il y a trois évé-

boule blanche en un seul tirage est- , et la probabilité

nemeus contraires à la sortie demandée.

6. La somme des probabilités contraires et favorables
d’un événement est donc toujours égale à l'unité. C'est
parce que cette somme renferme tous les cas possibles
qu’on dit que la certitude mathématique est exprimée
par l'unité (2).

7. Nous pouvons récapituler ce qui précède dans les
trois propositions suivantes qui renferment tous les élé-
mens du calcul des probabilités.

I. La probabilité simple d'un événement s'exprime
par une fraction dont le nominateur est le nombre des
cas favorables à la production de cet événement , et le
dénominateur, le nombre de tous les cas tant favorables
que contraires.

IT. La probabilité composée du concours de plusieurs
événemens est égale au produit des probabilités simples

de ces événemnens.

IT. La somme de la probabilité favorable et de la

PR
probabilité contraire d’un événement est toujours égale
à l'unité.

Il résulte de cette dernière proposition que l’une quel-
conque des probabilités favorable ou contraire étant
donnée, en la retranchant de l’unité, on obtient l’autre.

8. S'il est quelquefois assez difficile de pouvoir ap-
précier la probabilité simple d'un événement, il l'est
encore bien davantage de pouvoir apprécier la pro-
babilité composée, et c’est là surtout où il est im-
portant de considérer la question sous toutes les faces,
car la moindre erreur dans l'évaluation de la possi-
bilité de chaque résultat particulier en entraîne néces-
sairement une dans le résultat final. C’est ainsi que d’A-
lembert prétendait que la probabilité d’amener au
moins une fois croix en deux coups, que nous avons

2
3

sonnement il fondait son calcul : Si l’on amène croix

3 à de à
trouvée (3) être > , m'était que ,. Voici sur quel rai-
+

du premier coup, le jeu est fini, et si l’on amène au con-
traire pile , il faut jouer le second coup qui amènera
croix ou pile ; ainsi il ne peut arriver que l’un de ces
trois événemens

lis CTOIX
2... Pile et croix.

3... Pile et Pile.

Et commeil y en a deux qui font gagner le pari, la pro-

babilité est donc 3

me possibilité à ces trois événemens, et cet argument
victorieux par lequel d’Alembert croyait renverser de
fond en comble le calcul des probabilités ne prouve
que sa précipitation et sa légèreté habituelles. En effet,
avant de commencer le jeu , la probabilité d'amener

. L'erreur consiste à supposer la mê-

à : 1 ; PMR
croix au premier coup est » et celle d'amener pile d’a-

bord et croix ensuite est É (3); ainsi, la probabilité d’a-
mener au moins une fois croix en deux coups est donc

I 1 3
D Là
comme nous l’avons déjà trouvé,

9. Si l’on demandait quelle est la probabilité d'amener
au moins une fois le point de six en jetant deux fois
successivement un dé ordinaire, il faudrait pareille-
ment considérer tous les cas possibles qui peuvent ré-
sulter de ces deux jets, et la somme des cas dans les-
quels se trouve le point de six divisée par la somme
Lotale des cas serait la probabilité demandée. Or, les
deux jets successifs peuvent amener indifféremment une
des trente-six combinaisons suivantes des points du dé:

PR JD
lie 2e 2,1 4,1. Hi 6,1
1,24 2,92 1002 de Hidtoe 0e 0,2
139602 Dis. dde 9 5,3 6,3
Lboss Dies 354 bikes Biâore 654
1 Bos 2,Dsne 3,5%: 4,5::215,5202.6,9
1,0::: 2,0%%z: 3,6 Â6::: 5,0::410,6

et comme dans ces 36 cas, tous également probables, il
y ena 11 qui contiennent le point de 6, la probabilité

11
est donc —.
36

Pour calculer cette probabilité sans être obligé de
former le tableau précédent , il faut remarquer que la
probabilité simple d'amener le point de six en un seul

£zn : crées F D. 4 04
jet étant 6 la probabilité contraire est 5; ainsi, si l’on

s'était proposé le problème inverse de trouver la pro-
babilité de ne pas amener le point de six en deux jets
successifs, on aurait cette probabilité en formant (4) le

ee 5 5 5
produit des deux probabilités simples 6 X 8 = &
Donc > étant la probabilité de ne pas amener le point

de six en deux jets successifs, celle de l’amener (7) sera
donc

10. Le tableau ci-dessus nous montre combien le
nombre des chances augmente avec le nombre des coups
joués, car en jetant le dé une seule fois il n’y a que six
cas possibles, tandis qu’en le jetant deux fois de suiteil
s’en présente 6 fois 6 ou 36.

On peut voir de même facilement qu’en jetant le dé
trois fois de suite le nombre des cas possibles deviendra
G fois 36 ou 216, puisque chacun des 36 cas des deux
premiers jets peut se combiner avec les six cas du troi-
sième. Pareillement le nombre des cas de quatre jets
sera 6 X 216 — 1296; celui des cas de cinq jets 6 X
1296— 7776, etc. , et en général le nombre des cas
possibles qui résulte de m jets successifs sera égal à 7x
fois 6 multiplié par lui-même, ou à la ième puissance
de 6. Si l’on désigne par À le nombre total des chances
tant favorables que contraires d’un événement, en une
seule épreuve, celui des chances en 7»? épreuves succes-
sives sera donc égal à A”.

11. Si l’on demandait la probabilité d'amener au
moins une fois le point de six en trois , quatre et cinq
jets successifs d’un même dé, en trouverait facilement
en calculant ces probabilités, comme ci-dessus , par le
moyen des probabilités contraires :

En 4 jets,

Eu 5 jets,

5\5 3625
ne (a) 7 4i5r

Or, en examinant ces divers résultats, on voit que la

L
7 en

probabilité d'emener le point de six qui n’est que 6

3625
415

il faut donc en conclure que la proba-

un seul jet, devient en cinq jets , c’ést-à-dire plus

=
J

grande que 6?
ù

bilité augmente avec le nombre des épreuves, et qu'il
est possible d'approcher aussi près de l'unité ou de la
certitule qu'on voudra, en augmentant suffisamment le
nombre d'épreuves.

Ainsi, quelque peu probable que soit d’abord un
événement, te}, par exemple, que le tirage d’une boule
blanche d'uneurne quien coutient 40 noires et une seule
blauche , en multipliant le nombre des tirages on peut
lui donner la probabilité qu'on voudra ; ilest, du reste,
sous-entendu qu'après chaque tirage on remet dans
V'urne la boule tirée pour conserver toujours le même
nombre des chances primitives. En effet, si l’on cher-
che ce que devient cette probabilité dans une série de
100 tirages, on trouve, en l’exprimant en fractions déci-
males qu’elle deviento,91536, c’est-à-dire plus grande

1
que a

et par conséquent déjà assez près de la certitude.
Car la probabilité favorable pour la sortie de la boule
: L je,»
b'arche est, en un tirage, de -— et la probabilité con-
AT

/
: 40 : Fe. :
traire de - . En 100 tirages la probabilité contraire (10)
41
; HON 100 , ne
devient (&) , et par conséquent la probabilité favo-
41

rable

foN100
40 :
= () = 0,91526.

En augmentant encore le nombre des tirages, on pourra
rendre la probabilité d'amener la boule blanche aussi
peu différente de la certitude qu'on pourra le désirer.

12. C’est cette considération qui a fait naître le pro-
blème suivant :

PR

Déterminer le nombre des épreuves nécessaires pour
que la probabilité d'un événement soit cgale à une
quantité donnée.

Par épreuves , nous entendrons toujours les jets suc-
cessifs d'un même dé, ou les tirages de numéros ou de
boules d'une urne dans laquelle on les remet après
chaque tirage pour que les conditions restent les mêmes.

Ce problème se résout encore par la considération de
la probabilité contraire, car, d’après ce qui précède, la
probabilité de ne pas amener le point de six, en un seul

; : , D .
jet, est égale à et dans un nombre x de tirages eile
)

5\x
devient ( ?
vien 6) ;

est alors

de sorte que la probabilité favorable

20)

c'est cette quantité qu’il faut égaler à la probabilité
qu'on veut avoir, ce qui donnera une équation dont
on tirera la valeur de x. Supposons par exemple, qu’on

; : : ; LL
demande combien il faut de jets pour avoir — de pro-
2

babilité, on posera

PO

@'=

cette équation, quine peut se résoudre qu’à l’aide des
,

d'où

Dim

logarithmes, donne

L>—-Lr

Pie 0,3010300
re

__0,0791825 ?
19

ou à peu près 4.
Ainsi il faut 4 jets pour que la probabilité d'amener

le point de six, au moins une fois, soit égale à
D L
Si l’on voulait que cette probabilité fût 30 poserait

JT 2
1 — (à) D=.3
(Q æ 2 I
| => = >
>) CE

et, opérant par logarithmes

d'où

L3—Lr

PAC __ 0,47712125
°T L6—L5

0,0791829

ce qui donne un peu plus de 6.

PR

+ . : k: | 2 4 ;
En 7 tirages on aura donc un peu plus que 3 € pro-

babilités, et en 6 tirages un peu moins.

15. Pour mettre dans tout son jour la manière dont
le nombre des épreuves multiplie les chances , considé-
rons les arrangemens cu les combinaisons dont plusieurs
objets sont susceptibles entre eux. Trois objets, par
exemple, A, B, C peuvent donner les neuf arrange-
mens suivans (voy. Comsinaison et PEnmuraTioN) en
les combinant 2 à 2:

A,A BA CA
A,B B,B C,B
A;C° B;G "GC

Or, si ces trois objets étaient trois boules placées dans
une urne et qu'on en fit deux tirages successifs en re-
mettant dans l'urne avant le second urage la boule tirée
au premier, il est évident que les deux tirages amè-
ueraient un quelconque des neuf arrangemens ci-dessus
et que la probabilité particulière à chacun d’eux est ex-

+ 2
primée par la fraction -

Où voit également que si l’on demandait la probabi-
lité d'amener deux boules différentes A et B dans les
deux tirages, sans avoir égard à l’ordre des sorties,

.. 1 2
cette probabilité serait - — — - puisqu'il y a deux
P re SAT

combinaisons À,B et B,A qui satisfont à la question.

De même, s'il s'agissait d'exprimer la probabilité
d'amener en deux tirages deux boules différentes sans
les désigner, on voit que cette probabilité serait

I 1 I I I 1 am:

M Ty one 0
puisqu'il y a six arrangemens AB, BA, BC, CB, AC,
CA qui remplissent la condition demandée.

Eofin, tous les problèmes qu’on peut se proposer, soit
sur Ja probabilité absolue de chaque chance , soit sur
la probabilité relative d’une chance par rapport à une
autre , se trouvent ainsi résolus par la simple inspec-
tion de ces arrangemens.

15. S'il s'agissait de trois épreuves, il faudrait former
tous les arrangemens 3 à 3, et l’on aurait (b)

AAA BBB CCC
AAB BBA CCA
ABA BAB CAC
AAC BBC CCB
ACA BCB CBC
ACB BCA CAB
ABC BAC CBA
ABB BAA CAA
ACC BCC CBB

PR 599
Pour 4 épreuves on formerait les arrangemens 4 à 4et
ainsi de suite. Or, si l’on considère chaque arrangement
précédent comme exprimant un produit de trois lettres,
leur somme n’est évidemment que le développement
de la puissance du trinome A + BC, car ce déve-
loppement (07. Bixome et ELÉvATrION) se compose de
tous les produits que l’on peut former en arrangeant
3 à 3 les termes A, Bet C; et, en comparant ce déve-
loppement

(AL BC) — A3 3A2B-L3AB: + B3
+ 3A2C + GABC+ 3B°C
+ 3AC: + 3BC:

1e

avec le tableau (b), il devient visible que ses coeffi-
ciens numériques nous donnent immédiatement le nom-
bre des arrangemens particuliers de chaque combinaison
particulière. Ainsiles termes A, B?, C' ont l'unité pour
coefficient, parce que chacun des groupes AAA, BBB,
CCC n’admet point de permutation ; leterme 34/B,
a 3 pour coefficient, parce que le groupe AAB admet
les trois permutations AAB, ABA, BAA, permutations
qui expriment toutes le même produit, etc. L'inspec-
tion des coefficiens du développement de la puissance
peut donc nous faire connaître la probabilité de chacun
des arrangemens sans que nous ayons besoin de les for-
mer, ce qui, dans beaucoup de cas, deviendrait impra-
ticable. Ainsi, le nombre total des arrangemens étant
ici 27, nombre égal à la somme des coefficiens numéri-

ques

1H3+L3+HIH3+HGLS LG ES 1 — 27
Ja probabilité de chaque arrangement en particulier

L DE « Je
est — ; celui d’un arrangement où entre 2 fois À etune
27
À

fois B, sans avoir égard à l’ordre des sorties, est :

3
4
celui d’un arrangement où entre à la fois A, B, C,
sans avoir égard pareillement à l’ordre des sorties, est
6 es :
— , et ainsi de suite.
27
À

16. Il résulte de ces considérations que si nous dési-
gnons en général par a le nombre des chances d’un
événement À et par b le nombre des chances d’un autre
événement B, dans une seule épreuve, (a + b}* sera le
nombre total des chances dans un nombre »2 d'épreu-
ves, et le développement de cette puissance offrira
toutes les chances qui se rapportent à chaque cas parti-
culier. Ainsi, dans ce développement

m(m—1)

(a —- b}n = an + mam—1b + pe Verre l'am—21b?
1,2

+ etc..... mabm—: L bm

360 PR

le premier terme a” indique le nombre des chances
qui, sur un nombre »2 d'épreuves , donnent 7 fois de
suite l'événement A; le second terme ma”—1b, in-
dique le nombre de chances qui donnent y1—1 fois
le premier événement A et une fois le second B,
sans tenir compte de l'ordre de leur apparition, et ainsi
de suite.

Lo divisant donc chacun de ces termes par le nom-
bre total des chances qui est (a + b}", on aura les
probabilités de chacune des successions d’événemens
simples auxquelles ils se rapportent.

Il suffit presque toujours de considérer le terme gé-
néral du développement, qui est (c)

m(m—im—2)....(m—u #1)
1.2.3.4.5.. 4e

- amp be

pour résoudre les divers problèmes qu’on peut se pro-
poser, et c’est ce que nous allons éclaircir par des
exemples.

17. Probléme 1. Déterminer la probabilité d'amener
en 5 épreuves successives au jeu de croix ou pile, 5
fois croix et conséquemment 3 fois pile.

Nous avonsici mn — 8; faisant donc p — 3, le terme
général (c) devient

8.7.6.5.

4 5 3—h 523
BR a a .b—56a"b

ainsi, comme nous avons d’ailleurs a —1,b=—1,ce
nombre de chances est donc simplement égal à 56.
Mais le nombre total des chances est

donc la probabilité demandée est eu
256

Problème X. Déterminer la probabilité d'amener 8
fois de suite croix en 8 épreuves.

Dans cet arrangement pile ne devant pas se montrer,
nous ferons # — 0; ainsi, ayant toujours »# —8, le
terme général (c) devient aÿ — 1 , à cause dea—1,

et la probabilité demandée est ES Il n'y a évidem-
ment sur les 256 chances qu'une seule pour l’événe-
ment en question.

Problème II. On demande la probabilité d'amener
au moins une fois le point de six en jetant 4 fois un dé
ordinaire.

Le nombre des chances favorables au point de six à
chaque tirage étant 1, et le nombre des chances con-
traires étant 5, nous aurons a — 1, b—5,et de plus
m—= 4. Mais ici il faut former tons les termes qui con-
tiennent la chance 4, car dans l'énoncé de la question

on considère non seulement les cas qui ne présentent

PR |
qu'une seule fois la face 6, mais encore ceux qui la
présentent 2 fois, 3 fois, 4 fois. Ces termes sont

ai + 4aÿb + 6a°b? + 4abs
d'où, en évaluant,
1 + 20 + 150 + 500671

or, le nombre total des chances est (1 + 5) — 64 —
671

1206 ?

1206 ; donc la probabilité demandée est c’est-

A . I
a-dire un peu plus que -.
2

Dans tous les cas semblables il sera beaucoup plus
simple de considérer la probabilité contraire , car dans
le développement

(a + D = ai + 4a6 + 6 b° + Lab + bi

qui renferme tous les cas possibles, on voit que le
terme b*, qui ne contient pas a, exprime justement le
nombre des chances contraires au cas que l’on consi-
dère, et qu’ainsi
bi
(a+ bi
est la probabilité que ce cas n’arrivera pas; donc la

probabilité favorable (7) sera immédiatement donnée
par légalité

c'est-à dire, ici par

- Dr

comme nous l'avons trouvé directement.

625 _ GJr
1206 1296

Si l’on avait demandé la probabilité d'amener une
seule fois le point de 6 en 4 jets, on n’aurait eu besoin
que de considérer le terme du développement qui con-
tient une seule fois la chance d'amener 6. Ainsi faisant
dans(c), m--u—1,d'oùp = m—1—=3,onaurait

eu

.3.2
1229

=

Ab = At. 1500

C1

et, par conséquent la probabilité serait nv

Problème IV. Déterminer la probabilité d'amener
deux fois le point de six, en jetant 5 fois un dé ordi-
naire.

Comme nous n'avons à considérer dans ce cas, que
les seules combinaisons qui contiennent 2 fois le point

PR

de six , nous ferons dans le terme général (ce) a 1,
b=5, m—5ex—=3,etil deviendra
7

= 1250.
.2

OMOE

|

5

La probabilité demandée est donc SA puisque le

mn

777
nombre total des chances est (15) = 5776.

16. S'il s'agissait des probabilités relatives à plus de
deux événemens, on désignerait par a, b,c,d,etc.,
le nombre des chances relatives à chacun des événe-
mens, et par »2 le nombre des épreuves; le terme gé-
néral du développement de la puissance

(a+b+c+d+etetc....)"

répondrait également à toutes les questions.
Ce terme général est (voy. ELévarion)

mm) (mi—2).....1

arbreidr. etc.
(1.2..n)(1.2..p)(1.2..g)(.2..r)etc.

dans lequel on a

n+p+qg+r+s+Hetc.... —m.

17. En comparant entre elles les probabilités respecti-
ves des divers événemens composés qui peuvent arri-
ver dans un nombre donné d’épreuves, on reconnaît
sans peine que le plus probable de ces événemens est
celui dans lequel les nombres des événemens simples
sont entre eux dans les rapports de leurs chances primi-
tives. En effet, d’après le tableau (b), si les trois évé-
nemeus À, B,C ont chacun la même probabilité dans
une seule épreuve , en trois épreuves ils pourront for-
mer un quelconque des 27 événemens composés du ta-
bleau, mais parmi ces 27 événemens composés

1 seulement se compose de trois fois A,
HR Ce chrecrsesendenttois fois,
Tee Ie cetnaeieis te e MUC TTOÏS 10IS CO,
3 se composent de deux fois À et une fois B.
3.......... de deux fois A et une fois C.
3 .......... de deux fois B et une fois A.
3.......... de deux fois B et une fois C,
3 .......... de deux fois C et une fois A.
3 .......... de deux fois C et une fois B.
6 de une fois À, une fois B, une fois C.

Ainsi l'événement composé le plus probable, relative-
ment à chacun des autres, est celui quirenferme A, B, C.

Pour mettre cette proposition importante dans tout
son jour, considérons seulement deux événemens A et
B dont les chances respectives sont a et b; d'après (16),
en un nombre m d'épreuves, le nombre des chances de
l'événement composé qui renferme À, z2 — p fois ct

TOME 1,

PR

o01
B, y fois, est
mm)... (m—p +41)

TT amp, br;
Or, en supposant que le nombre des chances favorables
à chaque événement simple A et B est le même, ou que

a—b, la quantité précédente se réduit à

an—t,a!

m{m—1) (m—2)....(m—p+41)
RE UT

et comme le facteur an—# a" — a" est le même dans

chaque terme , la grandeur des termes dépend particu-
lièrement du coefficient

mm—i) (ni)... (mp4)
Pa21 9e Bocoele ?

c'est-à-dire que l'événement composé qui a le plus de
chances est celui dont le coefficient est le plus grand.

Mais si l’on examine la formation des coefficiens des
puissances successives du binome (a+-b)

(a+ b} = a +oab +

(a+ D} = à +3eb+ 3ab +

(a HD = ai + Lab + Ga?b? fab5 L Di

(a+ D) = a + 5añb + 1oab? + 104 b5 + Sabi+
etc. — etc.

On reconnait que dans les puissances paires le terme du
milieu est celui qui a le plus grand coefficient, et que
dans les puissances i mpairesles deux termes consécutifs
du milieu ont des coefficiens égaux et plus grands que
tous les autres; ce sont donc les événemens composés
qui répondent à ces coefficiens qui ont la plus grande
probabilité relative. Ainsi, en prenant pour exemple
le jeu de croix ou pile, jeu auquel on peut ramener
tous ceux qui présentent deux événemens opposés à
chances égales, les événemens composés les plus pro-
bables seront, en 2 épreuves, une fois croix et une
fois pile; en 3 épreuves, 2 fois croix et une fois pile,
ou 2 fois pile et une fois croix ; en 4 épreuves 2 fois
croix et2 fois pile, etc. ; ce qui conduit à la proposi-
tion du n° 17, du moins dans le cas où les événemens
simples ont le même nombre de chances.

18. Si en augmentant le nombre des épreuves, la
probabilité de l'événement composé qui renferme cha-
que événement simple dans le rapport du nombre des
chances est toujours , relativement, plus grande que la
probabilité de tout autre événement composé, il n’en
est pas de même de sa probabilité absolue ; cette der-
nière diminue à mesure que le nombre des épreuves
augmente ct peut devenir aussi petite qu’on le vou-
dra, en multipliant suffisamment les épreuves.

46

502 PR
Par exemple, en 4 épreuves le nombre des chances
de l'événement composé qui renferme 2 fois croix et
fois pile étant égal à 6, la probabilité absolue de cet
6 0
événement est — — —;en6 épreuves le nom-
Qi +i} 10
bre des chances de l'événement composé qui renferme
3 fois croix et 3 fois pile est égal à 20, et sa probabi-
lité absolue est RE — =: en 5 épreuves la pro-
(1 +) 64? :

fois croix et de 4 fois pile est égale à

babilité de 4
70

256"

ner autant de fois croix que pile diminue successive-

d’où l'on voit que la probabilité absolue d'ame-

6 0 70
16° 64° 256"

viennent de plus en plus petites. Pour 100 épreuves

ment, puisque Îles fractions etc. , de-

cette probabilité se réduit à euviron =

Cette diminution de la probalité absolue résulte de
l'augmentation du nombre des événemens composés
due à l'augmentation du nombre des épreuves; ainsi,
tant que nous ne considérons qu'une seule classe de ces
événemens composés, nous ne devons pas nous étonner
de voir diminuer sa probabilité. Demander d'amener
5o fois crorx et 50 fois pile dans 100 épreuves, c’est
demander un seul événement parmi 101 qui peuvent
se présenter.

Les 100 autres sont à la vérité moins probables que
celui-ci, eu les considérant chacun en particulier, mais
leur ensemble doune une probabilité contraire qui sur-
passe de beaucoup la probabilité favorable à la sgrtie
de 50 croix et de 5o piles.

Si nous considérons d’autres classes d'événemens
composés, nous verrons leur probabilité absolue dé-
croître bien plus rapidement encore à mesure que le
nombre des épreuves augmente. En effet la probabi-
lité d'amener 2 fois plus de croix que de piles, qui en 3

; ; , 3 ! 15
épreuves est égale à =, devient —
Le) 64

34
512?

en G épreuves ;

en 9 épreuves, etc. Celle d'amener 3 fois plus de

2

croix que de piles est, en 4 épreuves, égaleà -t; en
, [ ü 16?

25

5 épreuves, à 556” etc. En général, plus le rapport du
nombre des croix à celui du nombre des piles s'éloigne
de l'unité, dans un événement composé, et plus la
probabilité absolue de cet événement décroit rapide-
ment quand on augmente les épreuves.

19. Tout ce que nous venons de dire pour le cas où
les événemens simples À et B ont le même nombre de
chances, s’étend à celui où ces événemens ont des

chances différentes ; c’est-à-dire que l'événement com-

PR

posé le plus probable relativement à tous les autres,
est encore celui dans lequel le nombre des événemens
À est à celui des événemens B dans le rapport des pro-
babilités simples de ces événemens, et que la proba-
bilité absolue d'un événement composé décroit d’au-
tant plus rapidement, d’après l'augmentation du nom-
bre des épreuves, que les événemens simples s’y trou:
vent dans un rapport qui diffère plus de celui de leurs
probabilités respectives. Ces propositions se démon-
rent par l'examen des valeurs que prennent successi-
vement les termes du développement de {a +b), en
donnant à l’exposant 77 des valeurs de plus en plus
grandes. Nous ne pouvons nous y arrêter.

20. Revenons un moment sur les arrangemens dont
divers objets sont susceptibles, en les disposant par
groupes, car cette méthode si simple est celle qui peut
jeter le plus de jour sur les probabilités composées. II
résulte de ce qui précède que les arrangemens 7» à m
de deux objets A et B représentent tous les événemens
qui peuvent arriver en 72 épreuves et qui sont com-
posés de deux événemens simples, ayant le même

nombre de chances. Par exemple, les arrangemens
?

Auf
AAAA AAAB AABB ABBB BBBB
AABA ABAB BABB
ABAA ABBA BBAB
BAAA BABA BBBA
BAAB
BBAA

nous offrent les 16 événemens composés, ayant chacun
ï . re :

=G pour l'expression de leur probabilité respective,
16

qui peuvent être produits indifféremment en quatre
épreuves successives au eu de croix ou pile; À dési-
gnant ici croix, Ct B pile, ou plus généralement A et
B étant deux événemens simples opposés également
probables.

Or, en considérant isolément chacun de ces événe-
mens composés, aucun n'est plus probable que les au-
tres et celui qui donne 4 fois À de suite : AAAA , a ri-
goureusement la même probabilité que celui qui donne
deux fois À et ensuite deux fois B: AABB, ou que
tout autre. Mais si l’on ne tient plus compte de l’ordre
dans lequel À et B peuvent se présenter, on voit que
l'événement composé qui contient 2 fois A et 2 fois B
a six fois plus de chances que celui qui contient A qua-
tre fois, ou que les probabilités respectives de ces évé-
6 I

el

nemeus sont entre elles comme & 6
10

On peut donc ainsi réunir en une seule classe plu- !

sieurs événemens composés très-différens, pour com- !

PR
parer la probabilité de l'apparition de l’un quelconque
de ces événemens avec chacun des autres en particulier
ou bien encore avec la probabilité de leur ensemble.
C'est de cette manière que l’on trouve que la probabi-
lité d'amener deux fois A et deux fois B est à celle d’a-
mener trois fois À et uue fois B comme Gest à 4; et
encore, que cette même probabilité est à celle d’un
événement quelconque, qui nerenferme pas 2 fois À est
2 fois B, comme 6 est à 10. Si l'on ne faisail que deux
classes d’événemens , l’une qui renfermaät tous ceux où
se trouvent à la fois les deux évésemens simples À ct
B , et l’autre ceux où ne se trouvent que l'événement

A ou l'événement B , ces deux classes opposées auraient
4

un, : 1
pour leurs probabilités respectives …
1

et 5 c'est-à-
dire qu’elles seraient entre elles comme 14 est à 2, ou,
ce qui est la même chose, comme 7 est à 1. On aurait
donc sept fois plus de chances en pariant pour la pre-
mière classe que pour la seconde. Il s’agit toujours ici
de 4 épreuves, car si l’on augmentait le nombre des
épreuves, ce rapport augmenterait d'une manière très-
rapide. Par exemple pour cing épreuves le nombre
des événemens composés qui ne renferment que À ou
Best toujours2, tandis que celui de tous les autres
devient 30; pour six épreuves ce dernier devient 62;
pour 3 épreuves 126, etc. Ainsi la probabilité d’un évé-
nement quelconque de la première classe est à la pro-

babilité d’un événement quelconque de la seconde

en 4 épreuvescomme 7:1

Dre seniee seems TO LT

OMS nes sense OÙ 01
Tosccocsosooess 63 :1
etc. etc.

La seconde classe d'événemens devient donc de moins
en moins probable, et l'on peut, eu multipliant sufli-
samment le nombre des épreuves, reudre la probabilité
de la première aussi près de la certitude qu’on le voudra.

Nous obtiendrions encore le méme résultat en don-
nant plus d'extension à la seconde classe d'événemens ;
par exemple, en lui faisant embrasser tous les événe-
mens composés qui contiennent une seule fois A ou une
seule fois B. Nous aurions donc alors deux classes oppo-
sées, dont la première renferme tous les événemens

dans lesquels entrent au moins 2 fois À et au moins 2 fois

B, et dont la seconde renferme tous ceux dans lesquels

À ou B n’entrent qu'une seule fois ou n’entrent pas du
tout.

Le nombre des chances respectives de chaque événe-
ment composé étant donné par le coefficient du terme
qui représente cet événement (15), dans le développe-
ment du binome (a-b)" , nous voyons immédiatement

qu’en 4 épreuves ces chances étant

PR 563
ai + Ab — Gaïhr + 4ab° + bi

la première classe comprend 6 chances et la seconde 10.

Qu'en 5 épreuves les chances devenant

a + ab + 104 br + 104 b} + 5abi +0

la première classe comprend 20 chances etla seconde 12.
Qu'en 6 épreuves les chances devenant

a + Gab + 15aib? L'oo 5 + 15a7bi LE Gab5 + B6

la première classe comprend 50 chances et la seconde
14, etc.

La probabilité d’un événement quelconque de la
première classe est donc à la probabilité d'un événe-

ment quelconque de la seconde

en 4 épreuves, comme 3 : 5
D a et en MD 20
Oisissenrsonmas 200

ClCass as à etc.

DROIT AN

d'où l’on voit que la probabilité de la première classe
d'événemens devient de plus en plus grande compara-
tivement à celle de la seconde, et qu’en multipliant
suffisamment le nombre des épreuves on peut la ren-
dre aussi grande qu’on le voudra.

21. En général, quelque extension que l’on puisse
donner à la seconde classe d’événemens, comme le
nombre de ses chances est donné par la somme des
coefficiens des premiers et des derniers termes des puis-
sances du binome, tandis que celui des chances de la
première classe est donné par la somme des coefficiens
des termes du milieu ; qu’en outre le nombre des ter-
mes de la seconde classe reste toujours le même, tan-
dis que celui des termes de la première classe s'accroît
continuellement par l'accroissement du nombre des
épreuves, il est évident que la probabilité absolue de
la première classe pourra toujours devenir aussi grande
qu'on pourra le désirer en augmentant le nombre des
épreuves.

On ne doit pas perdre de vue que ce que nous nom-
mons ici la première classe des événemens composés
est formé de la réunion des termes dont la valeur est
la plus considérable avant et après le terme du milieu,
le plus grand de tous dans les puissances à exposant
pair, et avant et après les deux termes égaux du mi-
lieu , les plus grands de tous dans les puissances à expo-
sant impair.

22. Les considérations précédentes nous conduisent
à l'importante proposition de Jacques Bernouilli, dont
voici l'énoncé :

On peut toujours assigner un nombre d'épreuves tel,
qu'il donne une probabilité aussi approchante de la

564 PR

certitude qu'on le voudra, que le rapport du nombre
de répétitions du méme événement à celui des épreuves
ne s'écartera pas de la probabilité simple de cet éve-
nement, au-delà des limites données, quelque resserrées
qu'on suppose ces limites.

Pour éclaircir la question , supposons que l’événe-
nent dont il s’agit est celui d'amener croix au jeu de
croix ou pile ; la probabilité simple de cet événement
étant : , nous avons à démontrer qu’en augmentant suc-

cessivement le nombre »2 des épreuves, il y a une pro-
babilité toujours croissante, c’est celle d'amener croix

‘ nr ;
un nombre x de fois, tel que _ diffère aussi peu qu'on

I
le voudra de -.
2

" ONE ne
Prenons pour limites +et=. En cinq épreuves toutes
) J

les chances possibles sont

a + Saïb Æ 104? + 10ab5 Æ Sabi + b°

et comme nous n'avons à considérer ici que les événe-
mens qui renferment croix au moins 2 fois et au plus
3,le nombre des chances de ces événemens est donné
par la somme des termes

104 + 10@b5 — 20

puisque a = 1etb—1.

20 20 5

En 5 épreuves la probabilité est donc = = = :.
P P 2° 32 8

7 : , 3
Considérons maintenant 10 épreuves, comme les 3 de

2 à
10 sont 6, etles = , 4, nous avous à embrasser tous les
2

événemens dans lesquels se trouvent au plus 6 croix et
au moins 4 piles , événemens dontle nombre des chances
est donné par la partie

2r1o0abi + 252ab5 + o1oatbt
du développement du binome (a +4), Ce nombre

des chances est donc 672, et la probabilité cherchée

; G72 G72 5
r te ES ç a
devient ST jo nombre plus grand que 8°

Pour 20 épreuves, comme les = de 20 sont 12, et

Et ©

©]

les 50 8, nous aurons à considérer, dans le développe
ment de (a + b)°°, la partie
12597040? + 1650960a"b9 + 184756abi
+ 16796oab11 EL 12595oab"2

qu nous donne 572616 pour le nombre des chances.

PR
La probabilité demandée est donc

772616 _ 96577

270 131072

nombre plus grand que Hi
1024

Pour 100 épreuves, la probabilité devient environ

96

Seed

et elle peut ainsi se rapprocher à l'infini de l’unité
100

ou de Ja certitude. Si l’on choisissait des limites plus
; 3 2 ne RE L
rapprochées que : et 5° la probabilité croiîtrait moins
5

rapidement, mais elle se rapprocherait encore à l'infini
de l’unité.

La démonstration générale de la proposition de Ber-
nouilli exige des détails qui ne peuvent trouver place
ici.

23. Avant que le calcul des probabilités formät un
corps de doctrine , il était généralement convenu, dans
les jeux de hasard , que la mise de chaque joueur devait
être proportionnelle au nombre des chances qu’il a de
gagner ; c’est-à-dire, par exemple, qu’un joueur qui
pariait pour la sortie d’une face désignée dans le jet d’un
dé ordinaire, contre un autre joueur qui prevait en
sa faveur les cinq autres faces, ne devait déposer au
jeu que la cinquième partie de cequ’y mettait son adver-
saire. La justice de cette convention, qui parait d’a-
bord toute naturelle, devient bien plus évidente lors-
que le calcul nous démontre qu’en multipliant indéfini-
ment les épreuves , chaque événement simple doit arri-
ver dans le rapport de sa probabilité, et qu’ainsi celui
qui parie pour une des faces du dé doit à la longue ren-
contrer juste une fois sur six , ce qui finit par compenser
exactement la perte et le gain, condition nécessaire de
tout pari équitable. Mais si le simple bon sens est suff-
sant pour régler la mise des joueurs, dans les jeux dont
les chances sont peu nombreuses et facilement détermi-
nables, il n’en est point ainsi pour les jeux très-com-
pliqués, et même pour les diverses conventions dont les
jeux simples sont susceptibles. Comme ce sont les ques-
tions de cette espèce qui ont donné naissance au calcul
des probabilités, nous crovons devoir leur consacrer
quelques mots.

On nomme règle des partis la règle d’après laquelle,
si un jeu est interrompu avant le coup final, le partage
de la somine déposée par les joueurs doit être fait en-
tre eux. Pour que ce partage s'effectue d’une manière
équitable, chaque joueur doit nécessairement recevoir
une somme proportionnelle à la probabilité qu'il a de
gagner le dernier coup qui n’est pas joué. Voici le plus
simple des problèmes auquel s'applique la règle des
partis :

Dans un jeu de hasard composé de deux chances

PR

parfaitement égales, deux joueurs, jouant à qui aura
gagné le premier trois coups se séparent sans terminer ,
lorsque le premier en a gagné deux et le second un; on
demande comment ils doivent partager lu mise ou l’en-
jeu.

Ce problème fut proposé à Pascal et à Fermat par le
chevalier de Méré , qui n'avait pu le résoudre. Rober-
val y échoua aussi quoiqu'il füt un autre géomètre que
ce chevalier, dont on ne connaît aujourd'hui que les
faux raisonnemens sur les probabilités , rapportés dans
une des lettres de Pascal, Voici la solution de ce der-
nier.

Lorsque deux joueurs, dit Pascal, ont déposé leurs
mises, c’est-à-dire, qu'ils ont abdiqué la propriété pour
en remettre la décision au sort, et qu'après quelques
coups ils veulent se séparer sans attendre la fin du jeu,
il est évident que, s'ils étaient égaux en points, ils au-
raient l’un et l’autre une égale espérance de gagner,
un droit égal sur la somme déposée; ils devraient donc
la partager également. Mais si avant le dernier coup
qui lesa mis but à but, ils eussent voulu se séparer, le
joueur le plus avancé en points eàt pu dire : Si je perds
le coup prochain, nous sommes but à but; et en ces-
sant alors le jeu j’emporterai la moitié de la mise totale;
voilà donc déjà une moitié de cette somme qui m’appar-
tient, quel que soit l'événement du coup qui va suivre ;
ce n’est donc que l’autre moitié de la somme qui va être
mise à la décision du sort; ainsi le coup que nous al-
lons jouer pouvant m'être également favorable ou con-
traire, j'ai droit à la moitié de cette moitié, ce qui,
joint à la moitié déjà acquise, fait les trois quarts de la
somme déposée.

La solution de Fermat est plus directe et donne une
méthode pour se diriger dans les questions semblables.
Au point où en est la partie, dit-il, il est évident qu’elle
sera terminée en deux coups au plus. Voyons donc
quelles seront toutes les différences alternatives de gain
ou de perte qui peuvent arriver en deux coups; le pre-
mier joueur peut d’abord les gagner tous deux , ou per-
dre le premier et gagner le second, ou gagner le pre-
mier et perdre le second, ou les perdre tous deux ;
ainsi toutes ces alternatives peuvent être exprimées par
les différentes combinaisons des lettres & et b prises
deux à deux, et qui sont aa, ab, ba, bb. Or, de tous ces
coups ou combinaisons de gain et de perte, ilyena
trois favorables au joueur le plus avancé, et leur

nombre total n’est que de quatre; ainsi la probabilité

qu'il a de gagner est j? tandis que celle de son adver-

PR A 1: : :
saire n’est que de ;; ils doivent donc partager la mise

totale dans le rapport de 3 à 1, ou le premier doit en

prendre les trois quarts et le second un quart.

PR 565
La considération des probabilités composées , dont
Moivre fit usage le premier d’une manière générale dans
sa Doctrine of chances, résout plus facilement encore
cette question. Eu effet, sil était joué une partie de plus et
que le premier joueur la gagnät, il aurait la mise totale;
ainsi, comme le jeu est égal, il a d’abord une probabilité
ARE | :
de _;sil ne gagnait pas cette partie, chacun des deux
5 ;
joueurs avant alors gagné deux parties, la suivante décide-
rait leursort; mais la probabilité que cette dernière partie

RS L san , ,
sera jouée est, ainsi la probabilité qu’elle sera gagnée
3

I " .
- — ,,et de même
4

AR ï
par le premier joueur est = x
2 à

pour le second. Donc le premier joueur a pour sa proba-

Vu 1 .
bilité totale de gagner - + — ;, tandis que le
D

I
Fa
4 4
I
second a seulement -.
4
Si l’on supposait trois joueurs et qu’au premier man-
quât un point , au second deux et au troisième trois ;

en raisonnant de la même manière , on trouverait que
I
3
devant être terminée en trois coups au plus, la proba.

la probabilité simple pour chacun étant + et la partie

bilité totale de gain pour le premier serait

I RO D
3 +3 | 373 3 437%. 7,27

RS 2 I
elle dusecond 2.4 +2.2 =
celle du secon 3 °3 +3 3 37
et celle du troisième 3 d 3 7 3 — _

Ainsi il faudrait partager la mise de manière que le
. a: IC 7 ins
premier eût les “Je second les Z, le troisième
27 27
1
27°

24. Jusqu'ici nous avons considéré le nombre des

le

chances qui donnent un événement comme entièrement
connu, et nous avons déterminé à priori la probabilité
de cet événement; nous allons maintenant supposer
que ce nombre est inconnu, et que l’on n’a pour déter-
miner la probabilité de l'apparition future de l'évéue-
ment que l'observation de ses apparitions antérieures.

Pour éclaircir ce nouveau point de vue, prenons
l'exemple, donné par Condorcet, d'une urine qui ren-
ferme 4 boules, dont les unes sont blanches et les au-
tres noires, mais dont on ignore combien il y en a de
chaque espèce. Supposons qu’en 4 épreuves, après cha-
cune desquelles la boule tirée a été remise dans l'urne ,
afin de conserver les mêmes conditions, on ait amené
trois boules blanches et une noire, et proposons-nous
de trouver la probabilité d'amener une boule blanche
dans une cinquième épreuve.

566 PR
Or, nous pouvons supposer que l'urne contient ou

3 boules blanches et x noire, ce qui donne a=3, b—1
Un

en désignant par a le nombre inconnu des boules blan-
ches, et par b celui des boules noires.

Mais d’après (15) le nombre des chances de l'événe-
ment composé de la sortie de 3 boules blanches et d’une

boule noire est
4 &b

Ainsi substituant dans cette expression les valeurs de
a et de b relatives à chacune des hypothèses, nous ob-
tiendrons le nombre de chances qui, dans chacune de
ces hypothèses, appartient à l'événement composé que

nous considérons, Nous aurons ainsi

et l'hypothèse qui donne le plus grand nombre de
chances est aussi celle qui est la plus probable, puis-
qu'elle s'accorde le mieux avec la possibilité de l’évé-
nement observé.

Puisque les trois hypothèses embrassent tous les cas
possibles , une d’entre elles a nécessairement lieu ; ainsi
la somme de leurs probabilités doit être égale à l’unité,
et comme, dans cet exemple, ces probabilités sont pro-
portionnelles aux nombres 27, 16, 3, dont la somme

est 46, elles se trouvent exprimées par les fractions
Le |
27 16 5

467 467 46°

Pemarquons maintenant que pour tirer une boule blan-
che , duns une nouvelle épreuve, la probabilité de la

97

p'emière hypothèse étant E ,et celle d'amener une
4 )

boule blanche, dans cette hypothèse, étant 7 la pro-

4

ne te 27.0

babilité du concours de ces deux événemens est 46 X 3°

On à de même pour le tirage d’une boule blanche dans

. 16 2 ses

la seconde hypothèse -, €t dans la troisième

4 4
" :

s 3 1 é Mo iS >
hypothèse, — X —. Ces trois probabilités 27 X >;,
: 46 4 46 ” 4

D. 3 1
= y doivent s'ajouter, car elles se rap-
36% 3 46 * 4 ie Do

portent à la même unité qui représente la certitude, et
elles sont par conséquent trois parties de la probabilité
demandée.

On a donc pour la probabilité de la sortie d’une
boule blanche au cinquième tirage

27 3 16 2 3 l 116

46 X 3 — 184

On trouverait de la même manière pour celle de la
sortie d’une boule noire

I 16
X 4 + 6 X

+
|
X

3 3 65
VA
4

En analysant la marche que nous venons de suivre,
on verra qu'elle repose sur les trois principes suivans :

I. Les probabilités des hypothèses établies sont pro-
portionnelles aux nombres des chances que ces hypo-
thèses donnent pour les événemens observes.

IT. Les probabilités des diverses hypothèses se for-
ment en divisant le nombre des chances de l'événement
composé, calculé dans chaque hypothèse, par la
somme des chances dans toutes les hypothèses.

UT, La probabilité d'un nouvel événement simple
s'obtient en formant la somme des produits des proba-
bilités des hypothèses par celles de l'événement prises
dans chaque hypothèse.

25. On peut, d’après les principes précédens, con-
struire des formules générales applicables à tous les cas
particuliers , et déduire ensuite de ces formules les lois
des probabilités à posteriori. Mais ces formules, d’ail-
leurs très-compliquées , exigent l’emploi du calcul inté-
gral , et leur déduction dépasse nos limites. Nous pou-
vons seulement signaler leurs principales conséquences,

Supposons, dans le cas de l’urne contenant quatre
boules , qu’on ait fait quatre nouveaux tirages et qu’on
ait encore amené trois boules blanches et une noire;
alors nos données sont un événement composé de la
sortie de six boules blanches et de deux boules noires,
dont le nombre des chances est (15).

Es ah.

1.2

Donnant successivement à a et b les valeurs correspon-
dantes à chacune des hypothèses, nous obtiendrons les

trois nombres
204125 708 1,» 252)

et comme la somme de ces trois nombres est 27822, les

probabilités des hypothèses devienuent

20412 7158 252
7822 Ÿ 27822 ‘ 27822

En les comparant avec celles qui résultent des quatre

premières épreuves :

27 16 9

46" 46° 46°

on voit que la probabilité de la première hypothèse,

PR

celle de trois blanches et une noire, est devenue beau-
coup plus grande , tandis que les autres ont diminué.

Douze tirages, qui amèneraient neuf blanches et
trois noires, feraient encore croître la probabilité de la
première hypothèse et diminuer celle des autres ; et
enfin , en admettant que dans un très-yrand nombre de
tirages le rapport des sorties des boules blanches à celles
des boules noires füt celui de 3 x 1 , ou n’en différät
que de très-peu , l'hypothèse de trois boules blanches
et une noire dans l'urne acquerrait une valeur d’au-
tant plus grande ou différerait d'autant moins de la
certitude que le nombre des épreuves serait plus grand,

Ceci résulte naturellement de la proposition fonda-
mentale de Bernouilli, car puisque en multipliant les
épreuves, la probabilité d'obtenir chaque événement
simple dans le rapport du nombre de ses chances peut
devenir aussi grande qu’on le voudra , il s'ensuit que ,
dans toute série d’événemens simples donnée , le rap-
port du wombre d’apparitions d’un des événemens au
doit différer d’autant
moins de Ja probabilité simple de cet événement que le

nombre total des événemens

nombre total des événemens est plus grand. Ainsi, en
admettant que dans cent épreuves on ait tiré soixante-
quinze boules blanches et viugt-cinq noires, l'hypo-
thèse qui donne pour probabilité simple à la sortie

m5 3
blanche ——— ou -

100 4

degré de probabilité; ce degré augmente si, sur deux

d'une boule acquiert un grand

cents épreuves , on amène cent cinquante boules blan-
ches , et il finirait par arriver à l’unité ou à la certitude,
si le nombre des épreuves devenant infini, celui de la
sortie des boules blanches en était toujours les trois
quarts.

Ce résultat, qui se démontre d’une manière très-
rigoureuse , est d'une haute importance dans le calcul
des probabilités à posteriori , il prouve qu’on peut tou-
jours désigner un nombre d'observations tel que la
probabilité simple qui en résulte , pour un événement
dont on ne connaît pas le nombre des chances, ne s’é-
carte pas de la probabilité exacte de cet événement au-
delà de limites données , qaelque resserrées qu'elles
soient; et c’est sur lui que reposent les théories sur la
vie humaine, les tontines, les assurances, les rentes
viagères , la probabilité des témoiguages , celle des ju-
gemers par jury, etc.

26. Le problème des rentes viagères est celui qui
montre de la manière la plus évidente l'utilité du calcul
des probabilités , car constituer une rente viagère sur la
tête d’un homme d'un âge donné, c’est stipuler avec
lui qu’on reçoit son argent sous la condition qu'on lui
en paicra l'intérêt légal avec un surcroît d'intérêt à
imputer sur le capital, et qui soit tel qu’à sa mort il se
trouve entièrement remboursé, intérêts et capital.

PR 567
Ainsi, le problème se ramène à la détermination du nom-
bre d'années qu’a‘probablement à vivre un homme d’un
âge connu ; mais cette détermination ne peut être effec-
tuée qu'à posteriori; car ce n’est que l’observation qui
peut nous apprendre combien sur un nombre d’hom-
mes qui naissent en même temps, 1l y eu a qui parvien-
nent à l'âge le plus avancé ; et, d'après ce qui précède,
il est nécessaire d’avoir un très-grand nombre de ces
observations pour parvenir à des résultats d’une pro-
babilité suffisante. Ces questions seront traitées ailleurs.
(Foy. Vie et Vracrr ; Voy. aussi AssuRANCE et ToxrinE.)

27. Les applications du calcul des probabilités aux
questions judiciaires et politiques ont été traitées par
Condorcet, dans son Essai d'applcation de l'analyse
aux decisions qui se donnent à la pluralité des voix.
Cet écrit remarquable contient des conclusions que les
législateurs ne sauraient trop méditer.Dans notre impos-
sibilité de donner plus d’étendue à cet article, nous de-
vons au moivs indiquer à nos lecteurs les sources prin-
cipales où ils peuvent puiser. Ce sont : l’Ars conjer-
tandi de Bernouilli ; l’Æssai d'analyse sur les jeux de
hasard de Moutmort; The doctrine of chances de
Moivre ; l'Essar sur la probabilité de la vie humaine de
Deparcieux ; les Recherches sur les rentes, les emprunts,
les remboursemens, etc. de Duvillard ; le Traité elémen-
taire du calcul des probabilités de Lacroix; et enfin
la Théorie analyrique des probabilités de Laplace, ou-
vrage jusqu'ici le plus complet et le plus profond.

M. Poisson, qui s’est beaucoup occupé de la théorie
des probabilités, a lu dernièrement, à l'Iostitut , un mé-
moire qui parait contenir des vues nouvelles et des lois
très-importantes. La haute réputation de ce géomètre ,
un des premiers de notre époque , fait désirer vive-
ment la prompte publication de cet écrit.

PROBLÈME. Proposition dans laquelle on se pro-
pose un but à atteindre, comme, en géomctrie, de
construire une certaine figure , et, en algèbre, de trou-
ver un nombre qui satisfasse à certaines conditions,

(Foy. Résozuriox.)

PROCLUS, chef de la secte néo-platonicienne, est
célèbre dans l'histoire de la science pour avoir trans-
porté à Athènes l’enseignement supérieur des mathé-
matiques , qui jusqu'alors avait été le partage de l’école
d'Alexandrie. Cet événement eut lieu vers le milieu du
cinquième siècle de notre ère. Ce philosophe, qui,
comme l'illustre maître dont il professait les doctrines,
plaçait avec raison les mathématiques au premier rang
des connaissances humaines, n’a point fait de décou-
vertes remarquables dans ces sciences, mais il contribua
du moins, à une époque de décadence, par ses travaux
et ses leçons, à en perpétuer l'éclat quelque temps en-

568 PR

core. Tous les ouvrages de Proclus nous out été con-
servés; ceux qui ont pour objet les mathématiques
n'offrent aujourd'hui qu’un intérêt secondaire; ce sont
deux livres intitulés : Du mouvement, imprimés d’a-
bord à Bäle, en grec (15371, in-5), ensuite traduits en
français par Forcade et imprimés à Paris (1563). Cet
ouvrage n’est qu’une reproduction des théories d’Aris-
tote en physique. IT. Des scholies ou commentaires sur
le premier livre des Élémens & Euclide. Padoue, 1560,
in-folio, traduction latine de Barocci. II. Traité de la
sphère, imprimé par Alde à Venise, 1499, in-folio. Ce
n’est que Ja reproduction à peu près littérale de lou-
vrage de Geminus sur le même sujet. IV. Et enfin : Po-
sitions astronomiques ou plutôt Æxposition des hypo-
thèses astronomiques de Ptolémée. Bâle, 1540, in4,
traduction française de l'abbé Halma, Paris, 1820. C'est
plutôt un abrégé qu'un commentaire de l’4/mageste.
Les ouvrages philosophiques de Proclus sont plus im-
portaus et ont un caractère plus prononcé d'originalité
et de talent. Un écrivain moderne, à qui l’on doit déjà
une version des principaux écrits de Platon, en a ré-
cemment publié une traduction française dont nous
avons point à apprécier le mérite.

On croit que Proclus, né à Xante ou à Constanti-
nople, le 8 février 412, est mort à Athènes, où il re-
çut des honneurs funèbres qui rappellent l’enthou-
siasme de la Grèce antique pour les hommes de génie,

le 13 janvier 454.

PROCYON. (454) Nom d’une étoile de la première

grandeur renfermée dans la constellation du petit chien.

PRODUIT. (4ig. et Arith.) Résultat d’une multipli-
cation. (Voy. ce mot.)

PROFONDEUR. (Geom.) Une des trois dimensions
des solides; on la nomme autrement hauteur. (Foy. ce

mot.)

PROGRESSION. (4/g.) Suite de nombres en pro-
portion continue, c’est-à-dire , dont chacun est moyen
proportionnel entre celui qui le précède et celui qui le
suit. (Woy. Maru. 7 et Proronrion.)

Une progression est dite arithmétique où géométri-
que selon que le rapport qui règne entre ses termes est
arithimétique ou géométrique. Nous allons examiner ces
deux classes de progressions.

PROGRESSION aArITaMÉTIQUE. Une suite de termes
comme

2,4: 070, 105112 ,N74, etc.

qui croissent par différences égales se nomme progres-
sion croissante ; et une suite comme

275 26% 25:, 24; 23,292, 91, etc.

PR

qui décroïssent pat différences égales ; se uomme pro-

gression décroissante.
1. Représeutons par
a, bc; d; ef; .e,th,etc.
une progression arithmétique quelconque croissante ou
décroissante. Si 9 représente la différence constante ,
nous aurons

a — b—5û

si la progression est décroissante, et

si elle est croissante. Dans le dernier cas, auquel on peut
ramener le second en renversant l’ordre des termes, on
a, d’après la nature de la progression

b— a—= ù
Ce — b = à
d—c—=û
e—d—0
ct. — etc.

ou encore

Îl
Ci

a +9

I

C

(l

c+o0 d

d+Li—e
etc. — etc.
On tire de ces dernières :

b=a+i
c=a+i+i
d=a+i+i+o)
e=a+i+i+o
etc. — etc.

c’est-à-dire, que chaque terme est égal au premier plus
autant de fois la différence qu’il y a de termes moins un
avant lui.

Uue progression croissante peut donc s'exprimer en

général par (a)
La, a+9,a+Hod, a+39, a+ 49, etc... a H(n—1)d

n étant le nombre des termes. Cette expression a l’a-
vantage de rendre sensible la construction des termes.
2. Quant aux progressions décroissantes , on voit aisé-

ment qu’on peut leur donner aussi la forme générale

a, a—9,a—2,a—30,a—4ÿ,etc.…. a(n—1)d.

Ainsi la forme (a) peut embrasser les deux cas en fai-

sant 9 positif ou négatif.

b]
PR
3. Dans une progression arithmétique quelconque,

croissante ou décroissante , que nous désignerous par
—— jy Ai À Ajy jy An, CC... Ame

deux termes quelconques a», am—n pris à égales dis-
tances des deux termes extrêmes &,, et &n, forment avec

ces extrèmes la proportion
An — dj = Am — Ann.

En effet, on a

An = 6€o + no
amn = @, + (min)
Am 4, + M
d’où
An— 4 = 4, + ni — a, = ni
Un— Am=n = 4 + MN — a, — (mn) = nd

et, par conséquent , ax — 4, = Am— Am-n.

4. On tire de cette égalité à, + an — an + Gm-n,
c’est-à-dire que la somme de deux termes quelconques
d’une progression arithmétique, pris à égales distances
des extrèmes , est toujours égale à la somme de ces
extrêmes.

Si la progression avait un nombre impair de termes,
celui du milieu serait moyen proportionnel entre les
extrêmes, et la somme des extrêmes serait le double de
ce terme moyen.

5. Il résulte de cette propriété que la somme de tous
les termes d’une progression arithmétique est égale à la
moitié du produit de la somme des extrêmes multipliée
par le nombre des termes.

Car, en renversant l’ordre des termes de la progres-
sion

— Go is À y A, , CÙC... Am, Am
on a

— Am m1, Am—oy CC. Ar y Co

et en ajoutant les termes correspondans de ces deux
suites , on a les sommes égales

a-am = di — ami = 43 + Am) = etc. = Am—1 +- &i
= Am + &o-

Or, en additionnant toutes ces sommes, on aurait évi-
demment pour résultat deux fois la somme de tous les
termes de la progression : ainsi, puisque ces sommes sont
égales et qu’elles sont au nombre de »? +1, en multi-
pliant par rm + 1 une quelconqued'entre elles, on aura
la somme générale, Donc (4, + a).(m-H1) étant cette
somme générale, on a pour celle de la progression , en
la désigoant par S, l'expression (b)
TONE HI,

PR

209

nl ;
S = (+1) (as + Gm),
ce qui est la proposition énoncée.

6. Appliquons cette formule à trouver la somme des
seize nombres en progression arithmétique,

153, 5,759 115 13, 15,17, 19, 21, 23, 25, 273 29, 51.

Nous avonsici à, = 1, 4m = 31, m—1—16et 9 — 2.
Substituant dans (b), nous obtiendrons

6.32 .
. 161 +31) — SEE = 256

on opèrera de même dans tous les cas particuliers.

7. Si dans l’expression (b) on substitue à la place de a
sa valeur a, + md, elle devient
mim+1) ;

————<*

s L——=] \ 0
S = (m+41) a :
formule qui donne la somme des termes d’une progres-
sion arithmétique au moyen du premier terme, de la
différence et du nombre des termes.

8. Les trois formules
Am = Ao + MO

S — : (mai) (& —+ am)

/ I N
S = (m+1) @& + : m(m+-1)0

renferment la solution de toutes les questions qu’on peut
se proposer sur les progressions arithmétiques.

En désignant par » le nombre des termes qui est ici
m1, le dernier terme a »—1 pour indice, et on peut
donner à ces expressions les formes suivantes, sinon plus

simples du moins plus caractérisées

(ec)... an=3 a, +(n—1)d

$ L
(d).55.258 = -n(a,+an—:)
2
, : ‘ae :
(éléseees © na +: n(n—1)9

9. On tire de l'expression (1) les trois égalités

/ \,9
do = An—i — (MI J9

n—=—— + :,

dont la

gression au moyen du dernier, de la différence et du

nombre des termes ; dont la seconde donne la différence
47

première donne le premier terme d’une pro-

570 PR

au moyen du premier et du dernierterme, etdu nombre
des termes ; et dont, enfin, la troisième donne le nom-
bre des termes au moyen du premier et du dernier
terme , et de la différence.

10. Les applications de ces formules ne présentant au-
cune difficulté , nous nous contenterons d’en présen-
ter un seul exemple.

On demande d'insérer cinq moyens proportionnels
arithmeétiques entre les deux nonibres 2 et 14, ou, ce qui
est laméme chose, on demande cinq nombres u, v,x,
J,3%, tels qu'on ait la progression

2 0 z, 14
2 UV Ty Vs Z5 14e

Il est visible que la question se réduit à trouver la dif-
férence de la progression, car si l’on connaissait cette
différence, on formerait les termes demandés, u, v, x,
Y; =, en l'ajoutant successivement une fois, deux
fois, etc. , au premier terme 2. Ainsi, le premier et le
dernier terme étant connus ainsi que le nombre 7 des
termes , eu substituant ces valeurs dans la seconde ex-
pression du n° O, on trouvera

La progression sera donc
+ 2; 4, 6, 5, 10, 12, 14,

et, par conséquent, les cinq moyens proportionnels de-
mandés sont 4 ,6, 8, 10, 12.
11. On tire également de la formule (d) les trois

expressions
2S$— na,
An —= =
2S— Nan ;
G, = =
n
25
n = ——
An +4

qui servent respectivement à trouver le nombre des ter-
mes , le premier et le dernier terme, lorsqu'on connaît
deux quelconques de ces quantités et la somme.

12. La formule (e) fournit encore les trois expres-
sions

ay = S— -(n—i))
n 2

5 — AS—na)
n(n—1)

nr —=

__ 240 \/ [SH |

in : :
à l’aide desquelles on peut obtenir ie premier terme,

PR
la différence ou le nombre des termes à l’aide de deux
quelconques de ces quantités et de la somme.

13. Ce qui précède renferme la théorie complète des
progressions arithmétiques simples ; mais on doune en-
core le nom de progressions arithmétiques à des suites
de termes croissans ou décroissans par différences iné-
gales , dont la considération est très-importante. Voici
la génération de ces suites. Soit

+ A,A+HD,A—Lo2D,A<+3D, etc... À + (n—1)D

une progression arithmétique ordinaire. En formant les
sommes successives de deux, trois, quatre, etc., de ses
termes, on obtient une suite de nombres dont les secondes
différences sout constantes , savoir :

termes. 1° diff. 2° diff.
À

2A+D , AD,

3A+3D, A+2D, D.
4A+G6D , A<+3D, D.

5Aæ10D, A+4D, D:
etc. etc. etc.

Cette suite de termes se nomme progression arithméti-
que du second ordre.

De même, en prenant les sommes successives de deux,
trois, quatre, etc., termes d’une progression du second
ordre, on obtient une suite de termes dont les troisièmes
différences sont constantes :

termes. 1 diff. 2° diff. 3° diff.
À
3A+ D, A+ D.
6A+ 4D, 3A+ 3D, A+D.
10A—H10D, 4A+ 6D, AD, D.
15A+o20D, 5A<+HioD, AH3D, D.
etc. etc. etc. etc.

et que l’on nomme progression arithmétique du troi-
sième ordre. On peut, en poursuivant de la même ma-
nière, former des progressions d'ordres de plus en plus
élevés, eten général on nomme progression de l'ordre n,
celle dont les différences constituent une progression de
l’ordre n—1, ou dont les x ièmes différences sont égales.

14. En partant de la progression ordinaire, ou du

premier ordre,

Sn, 25 3,143 5, 0, 7,18, 0, etc.

formée de la suite des nombres naturels, on obtient
pour les progressions des ordres suivans :

PR
6,: 10;, 15, 28, 36,
3° ordre. 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, etc.

4° ordre. 1, 5, 15, 35, 50, 126, 210, 330, 495, etc.

29 ordre 3,3; 21, 45, etc.

Les nombres de ces suites prennent le nom de nombres
figures. (Foy. ce mot.)

Si l’on désigne par »2 le rang ou l’indice d’un terme,
on trouve pour l'expression générale du terme dece rang,
c’est-à-dire, pour ce que l’on nomme le terme general
de la suite,

Nombres naturels. ......... ne

: : mm
Figurés du 2° ordre........ Lens

1.2
Figures du 3° ordre...,.... r(m-}1) (m2)
1.959
Figures du 4° ordre AOREOUEEANErS)
8 eee REA
etc. etc.

En général, le terme du rang »2 dans la suite des nom-
bres figurés de l’ordre » est

m(m-1)(m42)(m+43)...(m4n—1)

1:093064 6044

Nous verrons ailleurs comment on obtient ces termes
généraux, (Joy. SommarTorre.)

D'après la formation de ces suites , il est évident que
le terme général d’une quelconque d’entre elles exprime
la somme des »1 premiers termes de la suite précédente.
Par exemple :

mm + 1)

1.2

est la somme des »2 premiers termes dela progression
des nombres naturels ;

m(m+1) (m2)

12.9

est la somme des » premiers termes de la progression
des nombres figurés du second ordre, et ainsi de suite.
Comme on nomme terme sommatoire d’une suite de
termes l’expression générale de la somme d’un nom-
bre quelconque de ces termes , nous pouvons dire que
le terme général d'une suite de nombres figurés est en
même temps le ferme sommatoire de la suite de l’ordre
immédiatement inférieur.
L'expression (e)

LL.
S = na, + = n(n—1)9

peut se nommer le terme sommatoire d'une progression
du premier ordre, dont le premier terme est 4, et la

Pi

différence 9. En faisant dans cette expression a, = 1 et

oi

2 — 1, nous obtenons pour le terme sommatoire de la
suite des nombres naturels

2 —1) 2—
S = nr + = n(n—1) = 2n-n(r 2— ee
5 2

n(n+1)
>

ce qui est identique avec le terme général des nombres
figurés du second ordre. Car m et n désignent égale-
ment ici le nombre des termes. Ces remarques étaient
indispensables pour ce qui va suivre.

15. Désignons par À,, A,, A2, À,, etc... A», une
suite de nombres formant une progression arithméti-
que du second ordre; désignons encore par D,, D’,
D", etc, les différences consécutives À — A, À, —
A, , etc., et enfin par D, la différence constante des
premières différences D,, D, D", etc., ou D'—D,
D,'—D\, etc., nous aurons de cette manière les trois
suites de nombres

À; A; Ans A. À. A. etc
D,, D, D", D, D”, etc.
D,, D,, D, D, etc.

liées entre elles par la loi de formation du n° 12.
Or, en vertu de la construction même de la progres-
sion du second ordre, on a les égalités suivantes

A, =A,—+D,
As PDA LD LD =A LED SL D
A;=A,+D, =A, +D, + 2D,—A,—+ 3D, + 3D,
A,—A,+D," =A,+D,+3D— A, + 4D, + 6D.
A;—=A,;+D"—=A,+D,+4D— A, + 5D,+roD,

ss LC: ss soin DE

Il est visible que le terme A, aura pour expression gé-

nérale ( f)

(m—1) (m—2)
1.2

D.

A + (—i) D, +

car, dans la suite des valeurs destermes À, A,, A,, etc.,
les coefficiens numériques de D, sont les nombres natu-
rels 1,2, 3, 4, etc., et comme cette suite ne commence
qu’au second terme de la progression ; le coefficient de
D, dans le » ième terme, est le terme m—1 de la suite
des nombres naturels. En outre les coefficiens numéri-
ques de D, sont formés par l'addition successive de
ceux de D; ces coefficiens sont donc la suite des nom-
bres figurés du second ordre; mais ils ne commencent
à paraître qu’au troisième terme de la progression,

c'est-à-dire que le cocfficient numérique du terme A,

J12

PR

est le nombre figuré du second ordre du rang M—
il faut donc substituer #—2 à m1 dans l'expression géné-
rale de ces nombres, et l’on obtient en effet pour le
terme général de la progression du second ordre l’ex-
pression ci dessus.

16. La somme d'un nombre quelconque 72 de termes
d'une telle progression étant nécessairement égale à la
somme de toutes les quantités qui composent ces ter-
mes, ona

A,+A,+A,+A, + A, LA; —+Hetc.... LA»
A,+ A: +etc...)+(r1+2+etc...mr—i)D,

+ (1 +34+64etc... is PP Vpn,

mais nous avons d’abord A, + A + A, — etc...
= À, De plus, la somme des nombres naturels de-
puis 1 jusqu'à #2—1 est le nombre figuré du second or-
m(m—1)

1.2
des nombres figurés du second ordre depuis le premier

dre du rang m—:, c’est-à-dire, ; et lasomme

(m1) (m—0)

1 jusqu’au »1—2 ième , - est le nombre

T1
figuré du troisième ordre du rang 1—2 , c’est-à-dire
M (11— 1) (n—2)

1.2.3

Ainsi, désignant par S la somme des »2 premiers ter-
mes de la progression en question , nous aurons (g)

m(m— m(m—1) (m—2)

S= mA, + Li + 7 ——

1.2.9

D,

Une marche exactement semblable nous ferait
trouver pour le terme général d’une progression du
troisième ordre lexpression (A)

A, (m—i)D, jte Es SLE 14
Qn—1)(m—92) (m—3)
+ os D,

À, désignant le premier terme de cette progression, D;
la première des différences premières, D, la première
des différences secondes et D, la troisième différence
constante.

On obtiendrait également pour la somme d’un nom-

bre 72 de termes de cette progression le terme somma-
toire (£) L
mm 1) 1) (m—0)

IRON
Pr : ENS

.2 I

= MA, + ——

+

PR
La déduction de ces formules ne présente aucune
difficulté.

18. En général, la progression arithmétique de l’or-
dre # a pour tcrme général, (k)

mi (m1 )3—1
A, TI \ + Se
A; +(m—i) D, pet D, + —3 3
m—i)"—1
+ etc.... (st) = D}
121
t, pour terme sommatoirce ()

À m2 —1 m3 1 D ma —\ D |
mA, + er Far + ar D: eLCE re
NU + 1 —1
ve Ecru D;

12 +11

À, désignant toujours le premier terme, et D,, D,, D;
les différences successives.

Appliquons ces formules à quelques questions.

19. On demande la somme des carrés des nombres

impairs 1, 3, 5,7, Q, 113; ces carrés sont

25, 49, 81, 11

13 9;

En prenant les différences consécutives de ces nom-
bres on trouve la suite

dont les différences
5, 8, 8, 8

sont égales. Les nombres proposés forment douc une

progression du second ordre. Ainsi dans la formule {g)

n° 15, faisant A, = 1, D, —8,D, —8, nous obtien-
drons
6.5 6.5.4 -
S = 6: — 8 2.8 — 256
» 6.) + . DE CRT 8 Le

20. On demande l'expression générale de la somme
des carrés des nombres naturels :
30, etc...

Nous avons ici À, — 1, D

nn
NO, 10, 29;

— 3; D: Substi-
tuant ces valeurs dans la formule (g), elle devient

— 2:

3m (m—1)

+

2m(m—1)(m—2)

12.9

= mn +

ce (m—3) (m—2) + qe (m—1) + 6m]

1.2.

m(m+i)(2m+ ir)

1.2.3

Ainsi , pour avoir, par exemple, la somme des 10

carrés

PR
1, 4, 9, 25, 36, 49, 64, 8r,
on fera »m — 10, et la dernière expression donnera

10.11.21

ses 1:29 mu

385 est donc la somme demandée.
»1. Trouver l'expression générale de la somme des

croisièmes puissances des nombres naturels :

1, 8, 27, 125, etc.
Les premières différences sont

Jr 19 37, 61, etc.
les secondes

12, 18, 24, etc.

et les troisièmes

6, 6, etc.

Les troisièmes différences étant égales, les nombres
proposés forment une progression du troisième ordre ;
—7,D =12et D, =6, et
substituant ces valeurs -dans la formule (i) on aura

ainsi faisant A — 1, D

1

12 (m—1) (m—2)

1.2 1.2.3

ï
S

SL me m—3)
EE

Réduisant tous les termes au même dénominateur 4,
la somme des numérateurs peut se mettre sous la
forme
mf4 + 14 (m—1) + 8 (m—1) (m—2)
+ (m—1) (m—2) (m—3)]

Développant les produits et réduisant, on obtient dé-
finitivement

CEE [ (mm + à

4 1.2

Ainsi, par une particularité assez remarquable, la somme
des troisièmes puissances des 72 premiers nombres na-
turels est égale au carré du nombre figuré du second
ordre, du rang 7.
S'il s'agissait donc de la somme des 6 cubes
1, 8, 27, 64, 125, 216

on ferait »m —6, et la formule donnerait

22. Le problème de trouver le nombre des boulets
qui composent une pile se réduit à la sommation des

PR 315
termes d’une progression du second ordre. Ces piles
ont ordinairement pour bases un triangle équilatéral ,
un carré, où un rectangle. Si l'on désigne par 7 le
nombre des boulets d’uu côté de la base, la somme des
boulets des piles triangulaires et quadrangulaires est

donnée par les expressions

Pile triangulaire — (r + Je n +2)
Pile quadrangulaire — uen nor + 3)

La somme des boulets des piles rectangulaires est,
en désignant par » le nombre des boulets de la lon-
gueur de la base, et par » celui des boulets de la lar-
geur de cette base,

m(m+i)(3n— m<+i)

6

Pile rectangulaire =

PROGRESsIONS GÉOMÉTRIQUES. Une progression géomé-
trique est, comme nous l'avons déjà dit, une suite de
nombres dont chacun est contenu dans celui qui le pré-
cède autant de fois qu’il contient celui qui le suit, ou
vice versa. Telles sont les suites

2 1: 2:4:8 : 16 : 32 : 64 :
2 2187 : 729 : 243 : 81 : 27: 9:
La première est une progression géométrique crois-
sante, et la seconde une progression géométrique de-
croissante.
gne =.
On nomme rapport de la progression le rapport,

On les désigne l’une et l’autre par le si-

toujours le même, de deux termes qui sesuivent.
1. Soit

= A, Ni, € 1 © Às : A, etc... Ây

une progression géométrique quelconque. Son rapport
sera

A,
A

et elle sera croissante si r est un nombre entier , et de-
croissante, s'il est une fraction.
Ona, par la construction même de cette progres-

sion , la suite d’égalités

A, = Aï r

A3s—=A,r—= Arr

A,= A ShR—= AI TT

A,—= Air—= A,

TP T

etc. = etc.

et, en général

DT4 PR
Am = Amir =A rrriress ir = A, rm—i

Ainsi la forme absolument générale d’une progression

géométrique est

A rs APS As À hisser

.. L

sous cette forme, toutes les propriétés d’une telle pro-
gression devienvent sensibles.

2. Dans une progression géométrique, deux termes
pris à égales distances des deux extrêmes À, et A, .r#—1
forment avec ces extrêmes une proportion dont ils sont
les moyens, c’est-à-dire que, À étant un nombre en-
tier plus petit que »2 et, par conséquent, A.7" et
A..rm—n—1 deux termes situés à égale distance des

extrêmes, on a la proportion

Ait Anse se A PRERE Le, Arme
en effet on a
A,rn , À,rm—1
À =7 , et A pan = mm,

Mais dans une proportion {voy. ce mot) le produit des
extrêmes étant égal à celui des moyens, onaici

A, ba A,rm—1 — A, rn X7r Am—n—1

D'où l’on peut conclure que Ze produit des deux termes
extrémes d’une progression géométrique est égal à celui
de deux termes quelconques pris à des distances égales
de ces extrémes. Propriété analogue à celle des pro-
gressions arithmétiques du premier ordre (4).

3. Le rapport du premier terme d'une progression
géométrique à un autre terme d’un rang 7 est le même
que celui des puissances n— 1 des deux premierstermes.
Ainsi le terme du rang nr étant A,.7—1, on a

A; : Art :: (A it : (Ari
Cette propriété est encore évidente, car

(AP pri

A,n—1

Ainsi faisant successivement »7 — 1,2, 3, 4, etc., et
désignant, comme en premier lieu, le rang des termes
par des indices, nous aurons

Ar An 0 À AS
AGE AN ES A1 ASS
LAS A rEASS
ANS As AS CAS
etc. etc.
: © Am 3 AMI + A mx

4. Proposons-nous de trouver l'expression générale

PR
de la somme d'un nombre quelconque de termes d’une
progression géométrique.
Une telle progression

se As AS 03 SAUT A EL. Àx

n’est que l'expression abrégée de la suite des rapports
égaux

À, : À = A,:A;—A,:A,— A, A, =etc,

Or, dans une suite de rapports égaux, la somme des
antécédens est à la somme des conséquens dans ce même
rapport commun (voy. Proporrion); on a doncici:

(A,+A,+ etc... Am-;):(A,+A,+ etc....+A )
À À, ;

mais À, A + A; etc... + A; est la somme des
termes de la progression moins le dernier A, et A, +
A; A,—+etc... + A, est la somme des mêmes termes
moins le premier A. Désignant donc cette somme par
S , la proportion ci-dessus devient

(S—A») : (S—A;)::A,: A

2

d’où l’on tire

Pour rendre cette expression indépendante du second
terme A,, nous ferons observer que A, — A,r, eten

substituant nous obtiendrons

À, .Amr—A À,

A,(Amr—A;)
Asr—A, Ar)

se =

et définitivement (a)

Amr— À À

F1

S —

Donc, pour trouver la somme des termes d’une pro-
gression géométrique ,£/ faut multiplier le dernier terme
par le rapport, retrancher de ce produit le premier
terme et diviser le reste par le rapport diminué d'une
unité,

5. Par exemple, pour avoir la somme des dix termes
de la progression croissante,

rs0: 4:86: 16: 32: 64: 198: 296": 5ra,

dont le rapport est 2, on fera, dans l'expression (a),

A, =1, Ân = 512, r —2,et ou trouvera:
512.92—1
D — — 1025.
2—1

Si la progression était décroissante, on pourrait con-

PR

sidérer le premier termecomme étant le dernier, et le
dernier comme étant le premier : alors la formule ne
change pas, car il est évident qu’il faut toujours prendre
pour A» le plus grand des extrêmes et pour A, le plus
petit. Seulement il devient nécessaire de renverser le
rapport, C'est-à-dire de faire . = r, au lieu de F
ir:

Ainsi, si l’on demandait la somme des huit termes

ce : Earr TI : Le po Es . +
NM ES 16 Bar 64 ‘Lao8r © 250!
on ferait An — : Ai — RE r — 2, et l’on aurait
L 1
2— ——.
s — ? 256 1. _ 255
hear L T6 250

6. L'expression (a) nous donne le moyen de sommer
toute série indéfinie dont les termes forment une pro-
gression géométrique décroissante. En effet, pour avoir
la somme de la série

I pee
5G + 3 + etc... à l'infini,

on remarquera que le dernier terme devant être infini-
1

. . . I
ment petit , il suffit de faire A» — st A =g,et

r— 2; en substituant ces valeurs on obtient

7 : A 1 ;
en faisant disparaitre æ dui n’a aucune valeur devant

2.2. (Voy. Dirr., 24.)

Dans le cas où les termes de la série seraient alterna-
tivement positifs etnégatifs , tels que

I 1 I

1 1 us te
es + 3 LE + etc... à l'infini,

on pourrait toujours la considérer comme la différence
de deux séries géométriques,

G+ g+ ns — — + etc... à l'infini.)
ï LI ( if . »._
= (G + + + ë + 566 + etc … à l'infini).

Or, la somme de la première est

PR 515
I 1
4 —
1 ? b SE ?,
it
celle de la seconde
1 l
VA
-4 =
UE ee
4—i 3.”

ainsi, la somme demandée devient

S =Ss sr — ? 1 1
US Se HN 0
7. Si, dans l'expression
Se Am — À; .
re—1

on substitue à la place de A» sa valeur Asrm--1, elle
deviendra (b),

se à Ci

uS —=

F— 1

Au moyen de cette dernière on peut trouver la somme
d’une progression géométrique dont on connait le pre-
mier terme, le rapport et le nombre des termes.

Lorsque la série est décroissante, le rapport est une
fraction plus petite que l'unité, et l’ou donne à l’ex-
pression (b) la forme (c),

: A(1—rm
Sn)
Ir
“. ; , à Ir
ces deux formes sont d’ailleurs identiques, puisque per
rx
TI"

8. La division de 7°— 1 par r — 1 reproduit les ter-
mes dont S exprime la somme, et peut servir au besoin
de démonstration à l’expression (b). En effet, ou trouve,
en opérant la division,

rm:

— < _—2 13 A L 3 2
=. pr 1 + pm + rm etc. 1 +7 +r+r,

d’où

A (rm) ;
pepe =A;+A;r+ Ar + Air + etc... + A rai,

9. Proposons-nous de trouver la somme d'un nombre
quelconque de termes de la progression géométrique
décroissante

_d I 1 I 1 I à
st zr: — — = — : elc.
3 * 6 ra 24 45 96
qe TI I 1
Le ravpor* étant 4: - = -—- nous ferons À, = -
092 62

PR

1 | :
-, et substituant dans (c), nous obtiendrons
2

Pour avoir, par exemple, la somme de 8 termes, nous

ferons m —8, et nous trouverons

s 2 I
re 1 — 3)

On voit ici facilement que plus on prend de termes

510
708

poire. 2
et plus - diminue, et qu’en faisant » = , la somme
27 1

de la série, continuée à linfini, est rigoureusement

(a) .. Am — AÀ,,rm—i,
: Am.r—A
(b). . S —= +
À (rm—
(c). :S- = < là n)
É T— 1

renferment la solution de tous les problèmes qu’on peut
se proposer sur les progressions géométriques.

o

On tire de la première : 1

Am
À = —— ;
rm—i
expression qui sert à calculer le premier terme au moyen
du dernier, du rapport et du nombre des termes; 2°

expression qui sert à calculer le rapport par le premier
terme , le dernier et le nombre des termes. Et, 3°

LogAn—LogA;
Logr

M —=

+ 1.

expression qui fait connaitre le nombre des termes au
moyen des logarithmes du premier terme, du dernier et
du rapport.

L'application de ces formules ne présentant aucune
difficulté, nous nous contenterons d’en donner un seul
exemple.

Insérer entre 2 et 128 cing moyens proportionnels
géométriques, ou trouver cinq nombres, u, V, &,ÿ,2,
tels que l’on ait (d)

= 2 UMR TES): 2 1a0.

Il est évident que si le rapport de la progression était

PR

connu , on obtiendrait les termes demandés eu multi-
pliant successivement le premier terme 2 par cerapport ;
c’est donc ce rapport qu’il s’agit de trouver. Or, nous
connaissons ici le premier terme A; — 2, le dernier
terme Am — 128 et le nombre des termes »% = 3;
ainsi , substituant ces valeurs dans la seconde des trois

expressions précédentes, il viendra

6 6
128 1/6
| Er — —— = 64 = 2.
VE f
Nous aurons donc u — 2.2, v — 2.2, x — 0.2},
Y = 2.21, 3 —2.2°, et, par conséquent la progres-
sion est
0:4:8:16 : 64 : 128.

La propriété que nous avons démontrée ci-dessus au
n° 3, nous offre, pour résoudre le même problème,
un moyen que nous devons signaler. D’après cette pro-
priété, la progression (d) fournit la proportion

6

96 :
DRE

29.128

2 : 1928 ::

d’où auf — 9°,128, et u° — 4096 , ce qui

donne
6
L'—= V/096 — As

Ainsi le premier moyen est 4. Mais connaissant le pre-
mier et le second terme, on connait le rapport qui est

sn ainsi on peut former les autres termes, comme

nous venons de le faire.
11. La seconde formule (2) nous fournit également
les trois expressions

Ar — Amn.r— S(r—1)
à, = St a.
F
= S—A:
MSA:

qui servent a trouver respectivement le premier terme,
le dernier, ou le rapport lorsque deux de ces quantités
sont données avec la somme. La déduction de ces for-
mules est évidente.

La troisième formule {c) répond encore à quatre ques-
tions différentes, puisqu'elle contient aussi quatre indé-
terminées ; mais à l'exception du cas ‘où l'on demande
S , ce quiest celui de la formule (c) elle-même, et du
cas où l’on demande A;, ce qui fournit l'expression

S(r—1)

À, —
T1

,

les applications de cette formule présentent des difficul-

PR

tés quinese rencontrent pas dans les précédentes ; par
exemple, s'il s'agissait de trouver le rapport r,on ne

pourrait y arriver qu'en résolvant l'équation(e),

A,rm— Sp — A, —S$S

ou

JU =

S
ru r + Ado te

qui est du degré m1. Supposons que l’on demande le
rapport d’une progression dont le premier terme est 1
et la somme des 10 premiers termes égale à 1023, on
aurait à résoudre l'équation

1023
— r

10

1023
de

I L

— 1—=0,

ou
r°—1023r 1022 — 0.

Ici l’on peut aisément, par la méthode des racines com-
mensurables (voy. Racine), trouver la racine r— 2, qui
satisfait à la question ; mais si le rapport n’était pas une
quantité rationvelle , ce qui peut arriver, en prenant
une somme et un premier terme arbitraires , l'équation
(e)ne pourrait admettre qu’une solution approximative.
Dans le cas où l’on demanderait le nombre m» des ter-
mes , il faudrait résoudre l'équation exponentielle (voy.
ce mot)
S(r—1) + A

mn, =
A»

ce qui donnerait, en employant les logarithmes ,

LA am em 20
p Logr EL

nt

Soit, par exemple : S=— 1093, r—2, A: =1

aura

ME 2 —_—-— ——= —————

3,010300
= = — = 1]
0,301030

12. Pour donner un exemple de l'accroissement ra-
pide que recoit la somme des termes d’une progression
géométrique croissante, quand on augmente le nom-
bre de ces termes , on raconte l’anecdote suivante, qui
donne au moins un fait de calcul assez remarquable,
L'inventeur du jeu des échecs, pressé par son roi de
réclamer une récompense digne de sa découverte, après
s’en être défendu longtemps , se fit apporter un échi-
quier, et dit au prince d’ordonner qu’il lui füt délivré
un grain de blé pour la première case, deux pour la
seconde, quatre pour la troisième , et airsi de suite en
doublant toujours jusqu’à la soixante-quatrième, Cette
demande parut d’abord beaucoup trop modeste au roi,

TOME 1},

PR 517
mais quand on eut calculé le nombre total des grains de
blé , il vit à sa grande surprise que ses trésors et même
que ceux de tous les rois de la terre n’étaient pas suffi-
sans pour remplir sa promesse. En effet, il s’agit ici
d’avoir la somme des 64 premiers termes de la progres-
sion croissante 1: 2:4: 8:16:32: etc., on a donc
A—i1,r=2etm — 64; substituant ces valeurs
dans (c) on trouve
1(204— 1)

{=
2—1

S =

élevant 2 à la soixante-quatrième puissance et retran-
chant l'unité du résultat, on a

S = 18 446 944 073 709 551 615.

Or, pour contenir un pareil nombre de grains de blé
il faudrait environ 01522 greniers, ayant chacun une
lieue carrée de surface sur 20 pieds de hauteur. En ne
portant qu’à 2 francs le prix du pied cube de blé, la
valeur de chaque grenier serait de 518 400 000 francs,
et leur valeur totale

47 445 004 800 000 francs ;

Somme que tous les budgets modernes réunis sont loin
d'atteindre.

PROJECTILE. (Meéc.) Nom que l’on donne à tout
corps jeté par une puissance quelconque, et dans une
direction quelconque. Une pierre que l’on jette avec la
main ou avec une fronde, une bombe ou un boulet
lancé par l'effort de la poudre, sont des projectiles.

La théorie du mouvement des projectiles est la base
de cette partie de l’art militaire à laquelle ou a donné
le nom de Balistique. (Voy. ce mot.)

PROJECTION. (Mcc.) Action d'imprimer du mou-
vement à un projectile. On a discuté pendant bien
long-tempssur les effets de la force de projection, etles
anciens philosophes ne savaient comment expliquer la
continuation du mouvement dans un projectile après que
la cause qui l’a mis en mouvement a cessé d'agir. C’est
Descartes qui , le premier, a fait voir que cette conti-
nuation de mouvement est une suite de l'inertie de la
matière, laquelle, n’ayant point de détermination ou de
force interne , ne peut par elle-même changer son état
et demeure soit en repos, soit en mouvement, tant
qu’une cause extérieure ne vient agir sur elle. (Foy.

NATURE.)

PROJECTION. (Gcom.) Représentation sur un plan,
donné de position, d’une figure située dans l’espace
hors de ce plan. C’est la trace déterminée par les inter-
sections des droites que l’on peut mener de tous les
points de la figure sur le plan,

A8

PR

Si toutes les droites, menées des divers points de la

518

figure sur le plan, sont perpendiculaires à ce plan, la
projection est dite orthogonale. Si toutes ces droites
concourent au contraire vers un même point, la pro-
jection est dite centrale. a b (PI. 55, fig. 1)estla pro-
jection orthogonale de la droite AB sur le plan MN, et
ce d(PI. 55, fig. 2) est la projection centrale de la droite
CD sur le plan MN. Dans ce dernier cas, le point o,
où concourent toutes les droites dont les intersections
avec le plan MN déterminent cd, se nomme le centre
de projection. La théorie des projections est l’objet
général de la GÉOMÉTRIE DEscRIPTIVE. (Ÿ’oy. ce mot.)
Les projections centrales sont le fondement de la pEr-
SPECTIVE. (’oy. ce mot.)

La PROJECTION de la sphère sur un plan est une re-
présentation des différens points de la sphère et des
cercles tracés sur sa surface, qui est principalement en
usage dans la construction des mappemondes et des
cartes géographiques. On la divise ordinairement en
projection orthographique et en projection stéréogra-
phique. |

La PROJECTION orthographique est celle qui est faite
sur un plan qui passe par le centre de la sphère, l'œil,
ou le point de concours des droites projectives, étant
supposé à une distance infinie sur la droite qui passe
par le centre perpendiculairement au plan.

La PROJECTION stéréographique est celle qui est faite
sur le plan d’un grand cercle de la sphère, l’œil étant
supposé au pôle de ce cercle.

A ces deux espèces de projections on peut ajouter la
PROJECTION gnomonique qui est celle où l’on suppose
l'œil au centre de la sphère. (Voy. GNomonIQuE.)

Dans la projection orthographique, les droites pro-
jectives ne concourant qu’à une distance infinie, sont
parallèles entr'elles, et comme le point de concours est
sur une perpendiculaire au plan dé projection, toutes
ces droites sont aussi perpendiculaires’ à ce plan. Les
lois de cette espèce de projection sont donc les mêmes
que celle des projections orthogonales (voy. Descrir-
TIVE) ; ainsi :

1° Une droite perpendiculaire au plan de projection
se projette par un seul point qui est celui où elle coupe
ce plan.

2° Une droite oblique au plan de projection se pro-
jette par une droite dont les extrémités sout détermi-
nées par les perpendiculaires abaissées des extrémités
de cette oblique sur le plan.

3° Si la droite projetée est parallèle au plan de pro-
jection , sa projection lui sera égale. Dans tous les autres
cas, sa projection sera une droite plus petite qu’elle.

4° Une surface plane perpendiculaire au plan de
projection se projette par une simple ligne droite qui
est l'intersection commune du plan de cette surface et

PR

du plan de projection. Par conséquent tout cercle dont
le plan est perpendiculaire au plan de projection , et
qui a son centre sur ce plan, se projette par son dia-
mètre. Tout arc, d’un tel cercle, dont une des extré
mités répondrait perpendiculairement au centre com-
mun de la sphère et du plan de projection, se projette
par son sinus. Le complément de cet arc se projette par
son sinus verse.

5° Un cercle parallèle au plan de projection se pro
jette par un cercle égal, et un cercle oblique à ce plan
se projette par une ellipse.

La projection orthographique de la sphère est em-
ployée en astronomie pour construire et résoudre les
triangles sphériques avec la règle et le compas, lorsqu'on
n’a pas besoin d’une extrême précision ; nous en avons
donné un exemple au mot AnaremmE. Cagnoli, dans
son traité de trigonomeétrie , a consacré un chapitre à ces
constructions.

Dans la projection stéréographique , les droites pro-
jectives concourant à un point de la surface de lasphire,
la projection est centrale ; elle est donc soumise aux lois
de la perspective ; ainsi :

1° Tout grand cercle CABD (PI. 55, fig. 3) qui
passe par le centre o de l'œil se projette par une droite
CD. Cette droite est le diamètre de la sphère, on la
nomme ligne des mesures.

2° Tout petit cercle AGBH dont le plan est parallèle
au plan de projection se projette par un cercle agbh.

3° Tout petit cercle ABCD ( PI. 55, fig. 4) oblique
par rapport au plan de projection se projette encore
par un autre cerete abcd.

4° La projection d’un grand cercle oblique ABCD
(PI. 55, fig. 5) est un cercle BGFE dont le centre se
trouve sur la ligne des mesures. La distance de ce cen-
tre au centre de la sphère est égale à la tangeute de
langle d’inclinaison du plan du cercle oblique sur le
plan de projection.

5° Les diamètres des cercles de projectiou sont égaux
à la moitié de la somme des tangentes de la plus grande
et de la plus petite distance des cercles projetés au
pôle du plan de projection, lorsque les cercles pro-
jetés entourent ce pôle; et ils sont égaux à la diffé-
rence de ces mêmes tangentes lorsqu'ils ne renferment
pas ce pôle.

6° Les angles que font sur la surface de la sphère les
cercles projetés sont égaux à ceux que font leurs projec-
tions respectives sur le plan de projection.

La projection stéréographique sert principalement
pour la construction des mappemondes ou cartes qui
représentent la surface d’un hémisphère entier du
globe terrestre. Telles sont les cartes planches 35 et 36.
On prend ordinairement pour plan de projection le
plan d’un méridien, et alors les pôles de la terre sont

PR

deux points du cercle principal de projection, et les
divers méridiens sont représentés par des arcs de cercle
passant tous par ces pôles. Lorsqu'on prend le plan de
l’équateur pour plan de projection, le pôle est au cen-
tre du cercle principal de projection qui représente
l'équateur terrestre, et les divers méridiens sont repré-
sentés par les rayons de ce cercle. On nomme les cartes
construites sur ce principe #appemondes polaires.
(Foy. STÉRÉOGRAPHIQUE.)

La projection centrale des figures géométriques sur
un plan donne naissance à un grand nombre de consi-
dérations importantes sur les relations qui existent
entre ces figures et leurs représentations projectives.
Nos limites ne nous permettent pas d'aborder ce sujet
pour lequel on doit consulter le traité des propriétés
projectives des figures , de M. Poncelet.

PROPORTION. (4lg.) Égalité de deux rapports.
(Foy. nor. PRÉLIM. 16 et RAPPORT.)

La proportion se nomme arithmétique ou géométrique
selon que les rapports qui la composent sont arithmé-
tiques où géométriques.

1. PRoPORTION ARITHMÉTIQUE. Si deux nombres A
et B ont la même différence que deux autres nombres
Cet D, l'expression de cette relation d'égalité (a)

A—B—C—D
que l’on écrivait jadis

A'BECDE,

est une proporlion arithmétique.

Le premier et le dernier terme de la proportion
prennent le nom d’extrémes , et le second et le troi-
sième celui de moyens.

En ajoutant aux deux membres de l'égalité (a) la
quantité B + D, elle devient (c)

A+D—C+B
c’est-à-dire que dans toute proportion arithmétique la
somme des extrêmes est égale à la somme des moyens.

2. Cette propriété fondamentale donne le moyen de
calculer un des termes de la proportion à l’aide des
trois autres, car de (c) on tire :

A=C+B—D ,
B—A+LD—C,

C—A+D—RB
D—C+B—A

ce qui nous apprend: 1° que l’un quelconque des
moyens est égal à la somme des extrémes diminuée de
l'autre moyen ; 2° que l’un quelconque des extrémes
est égal à la somme des moyens diminuée de l’autre
extrême.

3. Dans une proportion arithmétique, la différence
des antécédens est égale à celle des conséquens, c’est-
à-dire , que si on a la proportion

PR 319

A—B—=C—D
on à aussi

A—C—B—D
ce qui est évident. En général, toutes les propriétés des
proportions arithmétiques se déduisent des lois simples
de légalité et sont identiques avec ces lois.

4. Lorsque dans une proportion arithmétique les

moyens sont épaux comme (4),

A—B—B—C

la quantité B prend le nom de moyenne proportion-
nelle.

On obtient la valeur d’une moyenne proportionnelle
entre deux nombres donnés, en prenant la moitié de
la somme de ces nombres. En effet, on tire de l'égalité

(d)

BSALC dot 2 =ètS

5. PRoPoRTION GÉOMÉTRIQUE. Ces proportions ont des
propriétés analogues à celles des proportions arithméti-
ques. Avant d’en donner la déduction , nous devons
faire observer que c’est plus particulièrement aux rap-
ports et aux proportions par quotient que les termes
rapport et proportion s'appliquent ; de sorte que lors-
qu'on parle d’une proportion sans spécifier sa nature
on entend toujours parler d’une proportion géométrique.
Déjà on a proposé de substituer les dénominations de
proportion par différence et de proportion par quotient à
celles de proportion arithmétique et de proportion géo-
métrique, qui sont véritablement inexactes en ce qu’elles
ne se rapportent pas à la définition de leur objet ; mais
sans rien préjuger sur les changemens qui deviennent
nécessaires dans la nomenclature des mathématiques,
nous désignerons simplement ici une proportion géo-
métrique par le seul mot de proportion.

6. Lorsque le rapport de deux nombres A etB, c'est-
à-dire le quotient de la division d’un de ces nombres
par l’autre , est égal au rapport de deux autres nom-
bres C et D, l'expression de cette relation d’égalité

À C
Bitte D
qu’on écrit aussi habituellement (4),
À © B:::G:D;
ce qui se prononce À est à B comme Gest à D, estune
proportion.

Le premier et le dernier terme A et D se nomment
les extrémes, et les deux autres les moyens. À est le
, D
premier antécédent , G le second ; B estle premier con-

séquent, D le second.

7. En réduisant les deux membres de légalité

580 PR

au même dénominateur, elle devient
A XD _ Cx B
BXD BX D°

ce qui donne, en retranchant le dénomiuateur commun,
A XD—C X B.
Cette dernière égalité nous apprend que dans toute pro
portion le produit des extrémes est égal à celui des
moyens.
8. On tire immédiatement de cette égalité les quatre
expressions suivantes :

"1 C RP C LR
D B

AXD CXB

=". ) — =

F C 1 A

desquelles il résulte : 1° que l’un quelconque des ertré-
mes est égal au produit des moyens divisé par l'autre
extréme ; 2° que l’un quelconque des »10yens est éyal
au produit des extrémes divisé par l'autre moyen.

La règle de trois , en arithmétique , est fondée sur ces
relations. (Foy. Trots.)

9: Dans toute proportion

A:B::C:D
le rapport des antécédens est égal à celui des consé-
quens ; c'est-a-dire qu’on a

À, > C;: B;:D,.
Car la proportion étant mise sous la forme
A __C
BD;

si l'on multiplie les deux termes de cette égalité par la

5 D :
quantité =, on obtient

A.B

B:C"

GE A __B
DONS Cp

Dans toute proportion, on peut donc changer les
moyens de place, ou, encore, mettre les extrèmes à la
place des moyens sans la détruire. Les quatre termes
sont toujours en proportion, seulement le rapport
n’est plus le même.

Les mathématiciens désignaient jadis ces changemens
dans l’ordre des termes d’une proportion par des noms
particuliers ; ainsi, ils nommaient alternando ou per-
mutando la transposition des moyens entre eux, et in-
vertendo , le renversement des rapports qui a lieu lors-
qu'on met les extrèmes à laplace des moyens. De cette
manière, la proportion fondamentale étant

A:B::C:
On a : aliernando. À : C :

D
:B:D
et, invertendo....B : A :: D : C.

PR

10. Evo combinant ces propriétés générales avec celles
des rapports (voy. Rarrorr), on obtient facilement tous
les changemens qu’on peut faire subir aux quatre termes
d’une proportion fondamentale sans la détruire. Voici
ces changemens : M étant un nombre quelconque et

À. Bi: C3 D

étant toujours la proportion primitive, on a

componendo.À+B:B::C<D:D
A—B:B::C—D:D
AXM:B::CXN:D

dividendo. ..

A GC
ARS AR
(A+B.M) : B :: (C+DM) : D

(A—B.M) : B :: (C—DM) : C,
(A+C) : (B4D) :: C: D
(AC) : (BHD) :: (A—C) : (B—D)
lCs ss etc...

On prouve que la proportion subsiste toujours par
l'égalité du produit des extrêmes à celui des moyens qui
a lieu dans ces diverses modifications de la proportion
fondamentale,

11. Les produits des termes correspondans de deux
proportions forment une nouvelle proportion; c'est-à-
dire qu'ayant les deux proportions (m),

À : B:4C:0D
E:F::G:H
on a aussi

ANNE : BXF: CX 6: DH
En effet, R étant le rapport de la première propor-
tion, et R' celui de la seconde, on a évidemment
AO ELNBIN OF RINR'
CXPGED CHERE
La dernière proportion a donc un rapport composé de

celui des deux proposées. Si l’on avait trois, ou en gé-
néral un nombre quelconque de proportions

A:B::C:D

Es F5G H

L': Ki LD :°M

NO Pr0

etc... ‘etc.s
On aurait de mème

AXEXIXNXetc.:BXFKXKXO Xetc.
:: CXGXLXPX etc : DXHX MX QX etc.

PR

Dans le cas de l'égalité de tous les facteurs qui entrent
dans chaque produit, on aurait, en désignant par m le
nombre des proportions ,

Am : B"”

1:12 Ci: Dr,

Ainsi, lorsque quatre nombres sont en proportion À
toutes les purssanres de même degré de ces nombres
sont aussi en proportion. Il est évident qu'on peut en
dire autant des racines.

Eu comparant les deux proportions primitives (72),
on voit aisément qu'on à encore

A B GT D
BEC.
d'où il suit que les quotiens des termes correspondans
de deux proportions sont aussi en proportion.

12. Lorsque les deux m1cyens sont égaux, comme
dans la proportion

AnceB st B :0G:

la quantité B se nomme moyenne proportionnelle en-
tre À et C. Sa valeur est égale à la racine carrée du
produit des extrèmes. En effet, on a (q)

BX B —.A:X CG,
ct, par conséquent ,
B=VAXC

On nomme proportion continue celle dans laquelle
chaque moyen est une quantité moyenne proportion
pelle aux deux termes entre lesquels il est placé. Par
exemple

2 : & :: 8 : 16

estune proportion continue, parce qu'on a

2

2: 4:43: 8 ct 4 : 8 :: 8 : 16.

13. Si l’on a une suite de proportions qui aient un

rapport commun, telles que

A:B::M:N
GC: D:::M : N
Ba t:eM.,: IN
G2:H::M:N
etc efc.

ce qui donne

A:B::C:D::E:F::G:H::etc.....::M:N.
la somme de tous les premiers antécédens et la somme
de tous les premiers conséquens auront entre elles ce
même rapport commun.

En effet de

A:B::C:D

on tire

(A+C): B+D;::C:D

PR 581

à la place du rapport C:D, substituant dans cette
dernière proportion le rapport E : F qui luiest égal,
elle deviendra

(A+C):(B+D)::E:F
et l’on en tirera encore

(ASCHE):(B+D4+F: "EL

substituant dans celle-ci à la place du rapport E:F

on trouvera de même

le rapport égal G : H,
(A+HCHELG):B+D+<F+N)::G:H

et ainsi de suite. On a donc en général

(AHCHE + G—etc.) : {B4HD+F+H<+etc.) :: M: N.

14. On donne le nom de PROPORTION HARMONIQUE à
celle qui a lieu entre trois nombres, tels que le rapport
du premier au troisième est égal au rapport des diffé-
rences qu’il y a entre le second et les deux autres. Par
exemple les trois nombres 2, 3, 6 sont en proportion

harmonique, parce qu’on a
2:6::3—2:6—3,0u2:6::1:3

En général , si les nombres A, B, C donnent la propor-
tion
A:C::B—A:C—B

ces nombres sont en proportion harmonique. Le second
aombre B prend le nom de moyen harmonique. On ob-
tient sa valeur, lorsque celles des deux autres nombres
sont données, en divisant le double produit de ces nom-
bres par leur somme. En effet on tire de la proportion
ci-dessus

A (C—B)—C(B— A), où AC— AB — BC— AC
ce qui donne

2AC

B(A+C)=AC;@B= LE

15. Les anciens se sont beaucoup occupés des pro-
priétés des moyennes proportionnelles, tant arithméti-
ques que géométriques et harmoniques. Pappus, dans
ses collections, en mentionne plusieurs au nombre
desquelles se trouve la suivante : si 4, b, € sont trois
nombres tels que b soit moyen proportionnel arithmé-
tique ou géométrique ou harmonique entre les deux
autres, on aura dans le cas du moyen

arithmétique.... a:a::a—b:b—c
géométrique..... a:b::a—b: b—c
harmonique. .... a:c:i:a—b:b—c

Cette expression des trois différens moyens propor-
uonnels à l’aide de la seule proportion géométrique
est remarquable par son élégance, On tire aisément de

582 PR
chacune de ces proportions la valeur du »20yen qu'elle
renferme. Ces valeurs sont en effet :

. ne a b

Moyen arithmétique... b — En
Moyeu géométrique... b = V/ac
. 2ac

Moyen harmonique.... b — :

L a + C

Poy. les mots HanmoniQue et CONTREHARMONIQUE.

PROPORTIONNEL se dit de ce qui a rapport à
une proportion ; ainsi ou dit des parties proportion-
nelles, des échelles proportionnelles , etc. , etc.

Le problème de trouver géométriquement deux
moyennes proportionnelles entre denx ligues données, est
célèbre depuis la plus haute antiquité, c’est le même que
celui de la duplication du cube (voy. ce mot), comme
nous allons le faire voir. Suien! x et y les moyennes
proportiounelles demandées eutre un nombre aet son
double a, ou soit la propoirtiou continue

a: XL! T'Y: Y:24

D'après les propriétés des progressions géométriques ,
on a (voy. Proc. GÉOM. n° 3)

d:xi::a:1a
d’où

Ainsi a et x étant respectivement les côtés de deux
cubes, comme ces solides sont entre eux dans le rap-
port des troisièmes puissances de leurs côtés (voy. So-
LIDEs), le cube dont le côté est x sera le double de
celui dont le côté est a. [! ;'agit donc de trouver la valeur
de x ou de la premicre des deux moyennes propor-
tionnelles entre a et 24.

La solution géométrique de ce problème ou la con-
struction de la ligne x est impossible sous les condi-
tions exigées par les anciens, c’estéh-dire à l’aide seule-
ment de la règle et du compas, car la valeur de x tirée

3 3
de l'expression précédente est x = Voa = aV2, et

l’on ne saurait construire des quantités irrationnelles
du troisième degré sans avoir recours à d’autres cour-
bes que le cercle, dont les intersections avec des lignes
droites ne peuveut fournir que la construction de ce
qu’on nomme lieux du premier ordre. (Voy. Aprzica-
TION, 6.) Après avoir reconnu que la géométrie élé-
mentaire était insuffisante dans ce cas, les mathémati-
ciens grecs s’efforcérent à l’envi de chercher des pro-
cédés plus relevés. Plusieurs trouvèrent des courbes
très-ingénieuses, telles que la conchoïde et la cissoïde
(voy. ces mots) ; d’autres imagiuèrent des instrumens ;

PR

et Platon, le premier instigateur de tous ces travaux,
s’y distingua particulièrement en inventant l’instru-
ment très-simple que nous allons faire connaitre. C’est
une équerre GRM (PI. 27, fig. 2) qui porte à l’un de
ses bras GR une règle mobile PS disposée de manière
à pouvoir glisser le long de ce bras sans cesser de lui
être perpendiculaire.

Pour trouver avec cet instrument deux moyennes
proportionuelles entre deux lignes quelconques don-
nées AB et BC, après avoir mis ces deux lignes à an-
gles droits au point B, on les prolonge indéfiniment
vers R et P. Cette préparation étant faite, on place
l'angle de l’équerre en un point R, tel que sa branche
RM passant par l'extrémité À de la ligne AB, son autre
branche RG coupe le prolongement BP en un point
P,où la règle mobile PS étant amenée passe par
l'extrémité C de la seconde ligne BC, ce que quelques
tâtonnemens feront découvrir; dans cette position, les
deux lignes BR et BP sont les deux moyennes propor.
tiounelles demandées. En effet, le triangle ARP étant
rectaugle en R et la droite RB perpendiculaire sur
l'hypothénuse PB de ce triangle, on a

AB : BR :: BR : BP

De même, letriangle RPC est rectangle en P et la droite
PB perpendiculaire sur son hypothénuse; on a donc

aussi
BR : BP :: BP : BC
donc

AB : BR :: BR : BP :: BP : BC

Descartes a laissé bien loin derrière lui tous les an-
cieos qui se sont occupés de la duylication du cube ;
sans parler de l’élégante solution qu’il donne de ce
problème dans sa géométrie, nous allons décrire l'in-
strument qu’il a inventé pour trouver, sans aucun tà-
tonnement, non seulement deux moyennes propor-
tionnelles, mais encore tel nombre que l’on en veut.

Cet instrument est une espèce de compas composé de
deux règles AB et BC mobiles autour d’une charnière
B (PL. 27, fig. 3). Sur ces règles sont disposées plusieurs
équerres, suivant le nombre des moyennes proportion-
nelles que l’on cherche: il faut trois équerres pour
deux moyennes, quatre pour trois, cinq pour quatre,
et ainsi de suite. Chacune de ces équerres touche l’an-
gle de sa voisine, comme on le voit aux points f g, À,
mm, 0. Les branches dp, fs, gt, hx, my, ou, etc. , peu-
vent glisser snr les règles AB et BC; par conséquent
les autres branches df, fg, dg, hm, etc., étant forcées
de se mouvoir, si l’on arrête la première équerre fdp
au point d sur la règle BC, en ouvrant l’angle ou le
compas ABC, l’équerre pdf fera glisser sa voisine g/fs
sur la règle AB; l’équerre gfs chassée chassera l’é-

PT
querre Agt sur la règle BC, et ainsi de suite; de sorte
que par le même mouvement toutes ces équerres se
poussent et se chassent en même temps, et lorsqu'on
ferme entièrement le compas, c’est-à-dire lorsque les
deux règles AB et BC se touchent, tous les points 0,m,
g, h, f, d, viennent se réunir au point a.

Pour obtenir à l’aide de cet instrument deux moyen-
nes proportionuelles entre les droites données BD et
BH , il suffit de transporter la plus petite BD sur la
règle BC de B en 4, et la plus grande BH, sur la règle
AB de B en À ; ceci fait, on pose l’angle de la première
équerre au poiut d'où on la fixe , puis on ouvre le com-
pas jusqu’à ce que la troisième équerre Agt passe par
l'extrémité À de la plus grande des deux ligues don-
nées ; dans cette position , l'instrument montre les deux
lignes B/ , Bg, qui sont les deux moyennes proportion-
nelles demandées. Il est facile de voir à l'inspection
des triangles rectangles formés par les côtés des équerres
et ceux du compas qu’on a

Bd : Bf :: Bf : Bg :: Bg : BA.

Si lon demandait trois moyennes proportionnelles
aux deux ligoes BD et BM, il faudrait employer quatre
équerres ; alors on transporterait la plus petite ligne de
B end, et la plus grande de B en "2 ; on fixerait la
première équerre en d, et l’on ouvrirait le compas
jusqu’à ce que la quatrième équerre passe par l’extré-
mité "1 de la plus grande Br des deux lignes données.
Dans cette position, les trois lignes Bf, Bg, BA, seraient
les trois movennes proportionnelles demandées. Il est
évident que cet instrument s'étend à tel nombre de
moyennes proportionnelles que l’on voudra.

PROPOSITION. C’est, en mathématiques, une vé-
rité avancée et qui doit être démontrée, ou wne opéra-
tion proposée et qui doit être exécutée. Dans le premier
cas, la proposition prend le nom de théorème, dans le
second celui de problème.

PROSTAPHERÉSE. (45£.) C’est la même chose que

l'équation du centre.

PTOLÉMÉE (Czaune, Kaævdies Nrexigeaios), L'anti-
quité, frappée de l’ensemble majestueux du système
complet d'astronomie que présente l’almageste, et ou-
bliant le génie et les travaux d'Hipparque, proclama
l’auteur de ce livre célèbre le plus grand astronome qui
eût jamais existé, et lui décerna souvent dans son ad-
miration le titre de divin. Durant de longs siècles, cette
opinion fut respectée comme une vérité historique in-
contestable, et la science demeura renfermée dans
l'almageste. Sans doute Ptolémée a été loué avec trop
d'exagération , sans doute ses travaux ont été acceptés
loug-temps avec trop de confiance comme le dernier et

PE 383
le plus sublime effort de l'esprit humain dans la science
astronomique ; mais les progrès étonnans qui ont dé-
truit ses principales hypothèses ne sauraient entière-
ment le dépouiller de sa gloire, et 1e système astrono-
mique auquel son nom est attaché n’en demeure pas
moins l’œuvre la plus ingénieuse et la plus admirable
qu’on puisse considérer en dehors de la vérité. La cri-
tique historique a également objecté avec raison que ce
système n’était point la pensée unique et spontanée de
Ptolémée , mais au contraire le résultat des travaux et
des recherches de toute l’antiquité ; on ne peut cepen-
dant dénier à ce grand homme l'honneur de quelques
découvertes importantes que nous allons signaler, et
d’ailleurs il aurait toujours rendu à la science un émi-
nent service , et son mérite serait encore incomparable
quand il n'aurait fait que coordonner les travaux des
astronomes qui l’avaient devancé, en en formant un
grand tableau systématique qui a servi de base à la
science durant quatorze siècles! Ptolémée doit donc
apparaître dans l’histoire de la science comme un de
ces beaux et rares génies dont les errcurs mêmes ne
peuvent atténuer l'éclat,

On a cru long-temps que Ptolémée était né à Péluse;
d’après le témoignage de quelques anciens écrivains,
on s’accorde aujourd'hui à penser, sans cependant l'af-
firmer, qu’il était né à Ptolémaide, en Égypte, et
qu’il vécut dans le milieu du second siècle de notre ère.
Mais outre qu’il reste encore quelques incertitudes sur
le lieu véritable de sa naissance, il est impossible d’en
déterminer l’époque précise, non plus que celle de sa
mort. Ce n’est pas une des singularités les moins frap-
pantes de l'histoire, que l'absence complète de tous
les renseignemens biographiques sur un homme dont
la célébrité a été si grande. Aussi ses travaux nous oc-
cuperont-ils plus que les événemens de sa vie; mais
nous croyons devoir surtout nous attacher à donner une
idée précise de son système du monde, el nous sui-
vrons l'exposition claire et remarquable qui en a été
faite par le savant Laplace.

Une des découvertes les plus importantes de Ptolé-
mée est celle de l’évection de la lune. Avant Hipparque,
on n’avait considéré les mouvemens de cet astre que
relativement aux éclipses, dans lesquelles il suffisait
d’avoir égard à son équation du centre, surtout en
supposant avec cet astronome l'équation du centre du
soleil plus grande que la véritable, ce qui remplaçait
en partie l’équation annuelle de la lune. Il paraît
qu'Hipparque avait reconnu que cela ne représentait
plus le mouvement de la lune dans ses quadratures,
et que les observations offraient à cet égard de grandes
anomalies. Ptolémée suivit avec soin ces anomalies, il
en détermina la loi, et ilen fixa la valeur avec beau-
coup de précision, Pour les représenter, il fit mouvoir

584 PT

la lune sur un épicvcle porté par un excentrique dont le
centre tournait autour de la terre, en sens contraire du
mouvement de lépicycle.

Ce fat dans l'antiquité une opinion générale, que le
mouvement uniforme et circulaire, comme le plus par-
fait, devait être celui des astres. Cette erreur s’est main-
tenue jusqu’à Keppler qu’elle arrêta pendant long-temps
dans ses recherches. Ptolémée ladopta: et plaçant la
terre au centre des mouvemens célestes, il essaya de
représenter leurs inégalités dans cette hypothèse. Que
l’on imagine en mouvement ; sur une première circon-
férence dont la terre occupe le centre, celui d’une cir-
conférence sur laquelle se meut le centre d’une troi-
sième circonférence , et ainsi de suite jusqu'a la der-
nière que l’astre décrit uniformément. Si le rayon d’une
de ces circonférences surpasse la somme des autres
rayons, le mouvement apparent de l’astre autour de la
terre sera composé d’un moyen mouvement uniforme
et de plusieurs inégalités dépendantes des rapports
qu'out entre eux les rayons des diverses circonférences
et les mouvemens de leurs centres et de l’astre. On peut
donc, en les multipliant et en déterminant convena-
blement ces quantités, représenter toutes les inégalités
de ce mouvement apparent. Telle est la manière la plus
générale d'envisager l'hypothèse des épicycles et des
excentriques, Car un excentrique peut être considéré
comme un cercle dont le centre se meut autour de la
terre avec une vitesse plus ou moins grande, et qui de-
vient nulle s’il est immobile. Les géomètres avant Pto-
lémée s'étaient occupés des apparences du mouvement
des planètes dans cette hypothèse, et l’on voit dans
l'aimageste que le grand géomètre Apollonius avait
déjà résolu le problème de leurs stations et de leurs
rétrogradations. Ptolémée supposa le soleil, la lune et
les planètes en mouvement autour de la terre dans cet
ordre de distance : la Lune, Mercure ,Vérus, le Soleil,
Mars, Jupiter et Saturne. Chacune des planètes su-
périeures au soleil était mue sur un épicycle dovt le
centre décrivait autour de la terre un excentrique dans
un temps égal à celui de la révolution de la planète. La
période du mouvement de l’astre sur l'épicycle était
celle d’une révolution solaire, et il se trouvait toujours
en opposition au soleil lorsqu'il atteignait le point de
l'épicycle le plus près de la terre. Rien ne déterminait
dans ce système Ja graudeur absolue des cercles et des
épicycles; Ptolémée n'avait eu le soin que de connaitre
le rapport du rayon de chaque épicycle à celui du cer-
cle décrit par son centre. Il faisait mouvoir pareille:
ment chaque planète inférieure sur un épicycle dont le
centre décrivait un excentrique autour de laterre ; mais
le mouvement de ce point était égal au mouvement s0-
laire, et la planète parcourait son épicycle pendant un
temps qui , dans l'astronomie moderne, est celui de sa

PT

révolution autour du soleil; la planète était toujours en
conjonction avec lui, lorsqu'elle parvenait au point le
plus bas de son épicycle. Rien ne déterminait encore ici
la grandeur absolue des cercles et des épicycles; les as-
tronomes antérieurs à Ptolémée étaient partagés sur les
rangs de Mercure et de Vénus dans le système plané-
taire. Les plus anciens dont il suivit l'opinion les imet-
taient au-dessous du soleil ; les autres plaçaieut les astres
au-dessus ; enfin quelques Égyptiens les faisaient mou-
voir autour du soleil.

Telles sont les hypothèses auxquelles on a donné le
nom de système de Ptolémée. H n’est pas de notre sujet
d’entrer ici dans la discussion dont elles ont été l'objet
tant de fois, ni de démontrer combien il eût été facile
en apportant quelques modifications à cesystème, telles,
par exemple , que l'hypothèse des Égyptiens, d'en re-
connaitre les erreurs et de se rapprocher davantage du
véritable système du monde. Les successeurs de Pto-
lémée se coutentèrent de rectifier par de nouvelles ob-
servations les élémens déterminés par cet illustre astro-
nome sans rien changer à ses hypothèses. L’almageste
contenait en outre la description de tous les instrumens
nécessaires à l'observation des astres : cet ouvrage , qui
renfermait ainsi l’histoire de la science, et la science
de ces temps tout entière, est le mouvement scienti-
fique et littéraire le plus précieux que l'antiquité
nous ait légué.

Ptolémée coufirma le mouvement des équinoxes dé-
couvert par Hipparque , et outre l’almageste il a écrit
d'autres ouvrages qui ne nous sont pas tous parvenus.
Il a rendu de grands services à la géographie en ras-
semblant toutes les détermiuations de longitude et de
latitude des lieux connus , et en jetant les fondemens de
la méthode des projections pour la construction des
cartes géographiques. Il a fait un traité d'optique dans
lequel il expose avec étendue le phénomène des réfrac-
tions astronomiques. On lui attribue encore la compo-
sitiou de divers ouvrages sur la musique, la chronolo-
gie, la gnomonique et la mécanique. En considérant la
nature et l’étendue des travaux de Ptolémée, il est im-
possible de ne pas lui assigner un rang distingué dans
l'histoire de la science, et de s'étonner de l’enthou-
siasme dont sa personne et ses écrits ont été si long-
temps l’objet. Nous l'avons dit en commençant, on ne
sait rien de positif sur la vie de Ptolémée; il résulte
seulement d’un écrit philosophique qui lui est attribué,
et qui a été traduit et publié par Boulliau (Traité du
jugement et de l'empire de l'ame, Paris, 1660) que ce
grand homme demeura quarante ans dans les Pières ou
ailes du temple de Canope , et qu'il y grava sur des co-
Jonnes les résultats de tous ses travaux avec cette in-
scription : Au dieu sauveur, Claude Ptolémce consa-
cre ses élémens et ses hypothèses mathématiques, Les

PU
ouvrages de Ptolémée ont été traduits dans toutes les
langues et réimprimés souvent. Nous citerons ici les
éditions les plus estimées des principaux d’entre eux, à
part le plus considérable de tous, auquel nous avons
consacré un article spécial. (Foy. ÉCOLE D'ALEXANDRIE
et AzmaGEsTE.) Î. Ptolemæt opera omnia, præter geo-
graphiam latine versd. Bäle, 1541, in-folio. L'omission
exprimée dans le üitre n’est pas la seule qu’on remarque
dans cette collection, où nese trouve ni le Planisphère
ni l’Analemme. U. Ptolemcæus de annalernmate, cum
Frederict commandini commentario. Rome, 156»,
in-4, 20. 1552, in-4. I. Prolemæus planispherium ,
sphera atque astrorum cælestium ratio, natura et mo-
tus. Bäle-Venise, 1536-1558. IV. Piolemaæt de hypo-
thesibus planetarum ; procli sphæra. Londres, 1620,
in-4. V. Piolemcæi liber de apparentiis inerrantium.
Paris, 1630, in-folio. VI. Gcographia. Amsterdam,
1618, in-folio , avec les cartes de Mercator. Lyon,

1535.

PUISSANCE. (4/g.

(Foy. ELÉVATION AUX puiss.)

PUISSANCE. (Méc.) Force capable de soutenir ou
de vaincre un effort. Les mots force et puissance ont
à peu près la même acception en mécanique, seule-
ment le mot force désigne plus généralement toute
cause de mouvement, tandis que le mot puissance dési-
gue une force appliquée à une machine. Les puissances
sont ordinairement des hommes, des chevaux, des
poids, etc.

Une puissance, comme toute force en général , se
mesure par son effet ou par la quantité de mouvement
qu’elle produit. (Foy. l'once, Mouvemenr et Macuixe.)

On donnait jadis le nom de PuissaNCES MÉCANIQUES
aux six machines simples , le levier, le plan incliné, la
poulie, le coin, la vis etle treuil. Cette dénomination
inexacte n’est plus employée dans les ouvrages mo-

dernes.

PURBACH (ou plutôt PEURBACII Gronezs), le
maitre et l'ami du célèbre Jean-Muller { Regiomonta-
nus) et l’un des restaurateurs des sciences mathémati-
ques au quinzième siècle, naquit en Allemagne, dans
un village dont il prit le nom, en 1423. Il fat le dis-
ciple de Jean de Gmunden qui ensciguait l’astronomie
dans l’université de Vienne; mais le disciple a fait ou-
blier le maître. Le jeune Purbach puisa néanmoins dans
ses leçons le goût qu'il eut toujours pour cette branche
de la science. Après un voyage en Europe, entrepris
dans le but de profiter des connaissances de ceux qui
cultivaient l'astronomie, Purbach revint à Vienne, où
il succéda à son maître. Sa renommée était dès-lors
assez grande pour qu'il fût sollicité d'occuper les chaires
de Bologne et de Padoue; mais les bienfaits de l’em-

TOME I,

PU 585
pereur Frédéric IT le fixèrent à Vienne. Deux choses
parurent alors importantes au jeune professeur pour
üirer la science astronomique de l’état où celle se trou-
vait après tant de siècles d'ignorance et de barbarie:
l'exposition d’une bonne théorie du système de l’uni-
vers, et des observations faites avec plus de soins et de
précision, dans le but de confirmer ou de corriger les
hypothèses des anciens ; car déjà l'esprit de critique'et
d'investigation se faisait jour dans quelques grandes
écoles de l'Europe, et annoncait une ère de rénovation
et de progrès. En conséquence, Purbach entreprit de
donner une version plus exacte de l’almageste, le meil-
leur ou plutôt le seul grand ouvrage systématique qu’on
possédât alors sur l’astronomie. Ce fut à cette époque
que le jeune Jean Muller vint à Vienne, et fut accueilli
par Purbach comme celui-ci l’avait été par Jean Gmun-
den. Il est difficile de séparer les noms de ces deux
hommes de génie qu’une mort imprévue enleva tous
deux, si jeunes encore, à la science, qu’ils remirent dans
lb voie du progrès, et à la gloire de proclamer le vrai
système du monde que leurs communs travaux de-
vaient infailliblement leur faire découvrir. En effet,
déja Purbach avait imaginé de nouveaux instrumens et
rectifié ceux qui avaient servi aux observations des an-
ciens. Déjà il avait tiré de grands avantages de sa ma-
nière d'observer, et il avait pu corriger diverses parties
des hypothèses de Ptolémée, en introduisant de nou-
velles équations dans les mouvemens des planètes. Il
avait mesuré plus exactement les lieux des fixes dont
la connaissance est si nécessaire pour les mouyemens
célestes. Enfin il avait dressé plusieurs tables pour ai-
der les astronomes dans leurs calculs.

Parbach fut encore l’auteur de plusieurs inven-
tions gnomoniques, on lui doit aussi la production
d’un instrument connu dans la géométrie pratique sous
le nom de quarré géométrique : parait être le premier
qui ait employé le fil à plomb pour marquer les di-
visions On
Murrxn) que Purbach, cédant enfin aux instances du

d’un instrument. a vu ailleurs (voy.
cardinal Bessarion, était sur le point de partir pour
Rome avec Regiomontanus, afin de s’y perfectionner
dans la langue grecque, et de pouvoir donner une ver-
sion plus exacte de l’almageste., Regiomontanus fit seul
ce voyage, Purbach mourut tout-à-coup à Vienne, en
1461. On lui éleya dans cette ville un tombeau dont
l’épitaphe atteste les regrets que causèrent sa perte, en
rappelant les nobles espérances qui se rattachaient à
son telent. On a de Purbach: Theoricæ novæ planeta-
rum, cum notis Reinoldi etc. , 1580 , in-8. — Quelques
observations d'éclipses, que Willebrord Snellius a pu-
bliées; des tables des éclipses pour le méridien de
Vienne(1514).—Un livre du quarrégéométrique(r514).
A la suite de sa table des éclipses se trouve le catalogue
49

PY
des manuscrits qu’il a laissés. Grassendi a écrit la vie de
Purbach.

980

PYRAMIDAUX. (4lg.) Nompres prramipaux. Ce
sont des nombres formés par les sommes des nombres
polygones , comme ceux-ci sont formés par les sommes
des nombres en progression arithmétique. (Foy. Pozx-

GONE.)

Soit, par exemple, lasuite des nombres triangulaires,

156,6, 10, 195 21, 98, 36, Et,

en formant les sommes successives de 1,2, 3,4, ete.
termes, on a la suite

1, 4,10, 20, 35, 56, 84, 120.

de nombres pyramidaux.

On nomme en particulier #riangulaires pyramidaux,
carrés pyramidaux, pentagones pyramidaux , etc., les
nombres engendrés par les nombres tiangulaires, car-
rés, pentagones, etc. Mais généralement 6n appelle
du nom simple de pyramidaux les nombres ci-dessus
1, 4,10, etc., formés par l'addition des nombres
triangulaires, 1, 3,6 , etc. Le terme général de cette
suite est

n(n + 1)(n + 2

1.2.3

(Foy. Ficuré ,'Pozvcoxe et Procression.)

PYRAMIDE. (Gcom.) Solide, ayant pour base un
polygone quelconque, et dont toutes les autres faces
sont des triangles qui concourent dans un seul point
nommé le sommet de la pyramide.

Telle est (PI. 54, fig. 6) la pyramide SABCDE, ayant
pour base le pentagone ABCDE, et pour sommet le
point S.

La perpendiculaire SF abaissée du sommet sur le
plan de la base est la hauteur de la pyramide.

Une pyramide est dite triangulaire (PI, 54, Ag. 7),
quadrangulaire (Fig. 11), pentagonale (Fig. 6, 8 et 9),
hexagonale, etc., etc. , selon le nombre des côtés de sa
base. Elle est régulière, lorsqu’ayant pour base un po-
lygone régulier, sa hauteur, ou la perpendiculaire
abaissée de son sommet , tombe sur le centre de ce po-
lygone.

Les principales propriétés des pyramides sont :

1. Une pyramide quelconque est le tiers d’un prisme
de même base et de même hauteur.

PY

1. Deux pyramides de même base et de même hau-
teur sont équivalentes.

3. La section d’une pyramide par un plan parallèle à
sa base est un polygone semblable à cette base. Les aires
de la base et de la section sont entre elles comme les
carrés de leurs distances au sommet.

4. Les pyramides qui ont des bases équivalentes sont
entre elles comme leurs hauteurs.

5. Les pyramides de même hauteur sont entre elles
comine leurs bases.

6. Deux pyramides quelconques sont entre elles com-
me les produits de leurs bases par leurs hauteurs.

7. Le volume d'une pyramide est équivalent au pro-
duit de l’aire de sa base par le tiers de sa hauteur.

9. La surface d'une pyramide régulière, sans y com-
prendre la base, est équivalente à la moitié du produit
du périmètre de sa base par son apothème.

On nomme apothème d'une pyramide régulière la
droite menée perpendiculairement du sommet commun
à la base dans une face triangulaire.

9. Toute pyramidetriangulaire peut être inscrite dans
une sphère.

10. On nomme pyramide tronquée la portion d'une
pyramide comprise entre sa base et un plan qui la coupe
parallèlement à cette base.

Si l’on désigne par A l'aire de la base, par & l'aire
de la section, et par 2 la hauteur de la section au-des-
sus de la base, le volume de la pyramide tronquée est
représenté par la formule

LE + Via + a h.
(Foy. Sozine.)

PYRAMIDOIÏDE,. (Géom.) Solide ressemblant à une

pyramide.

PYTHAGORE. Les travaux de cet illustre philoso-
phe signalent une époque remarquable dans l’histoire
de l'esprit humain, Néanmoins aucun de ses ouvrages,
si toutefois il en a jamais écrit, n’est venu jusqu’à nous;
sa biographie méme a été le sujet des disseutimens les
plus vifs parmi les écrivains de l'antiquité, soit qu'ils
appartinssent à des écoles rivales, soit qu'ils fussent
attachés à ses doctrines, déja cependant modifiées ou
perverties par l'esprit de secte. La mémoire des na-
tions, la tradition plus fidèle à ce beau génie, nous a
heureusement transmis avec le souvenir des actes prin-
cipaux de sa vie, celui des découvertes scientifiques qui
lui sont communément attribuées et qui certainement
prirent naissance au sein de l'illustre école d'Italie,
dont il fut le fondateur. D'ailleurs les anciens histo-

PY

riens m’étaient peut-être pas à même de comprendre la
mission de Pythagore, car tel est le nom qu'il convient
de donner au passage sur la terre de ces hommes privi-
légiés qui paraissent n'être venus que pour indiquer au
monde des voies nouvelles, en donnant une forme ra-
tionnelle aux vagues pressentimens de l'avenir qui doi-
vent agiter les sociétés dans l’enfance. Il est remarqua-
ble que dans l’âge historique de la fatalité (roy. V'Ix-
TRODUCTION ) toutes les tentatives qui ont pour objet
la vérité ont un caractère d’individualité qui en atté-
nue la puissance ; et ce n’est que lentement que les pré-
jugés se retirent dévant elles, et que le germe de pro-
grès qu’elles contenaient se developpe dans l'humanité.
En laissant de côté la prétendue civilisation de l'Égypte
et de l'Inde, dont l'histoire est mêlée à tant de fables,
Pythagore doit être considéré comme le premier sage
de l’ancien monde qui ait apporté, dans la morale
comme dans la science, un principe supérieur, qui dans
l’une a été confirmé par le christianisme, dans l’autre
par d’étonnautes découvertes. En effet, la plus simple
expression de ses doctrines est la philosophie, le spiri-
tualisme et l'abstraction ou l'infini dans la science des
nombres et celle de l'étendue. Pourquoi ces sublimes
doctrines ne sont elles pas devenues, comme la législa-
tion de Moïse, la base absolue de la croyance et du sa-
voir, chez les nations déjà éclairées où elles furent pro-
duites? La solution de cette question, comme les
considérations qui nous ont amenés à la poser, appartien-
nent à la philosophie de l'histoire; nous ne pouvons
que les énoncer ici. ( Joy. Géomérrie et Puicosopnte
DES MATHÉMATIQUES. )

On ignore l’époque précise de la naissance de Pytha-
gore, mais il résulte de toutes les controverses aux-
quelles cette question historique a donné lieu que ce
grand homme vivait vers la fin du sixième siècle avant
J.-C. Les témoignages de l'antiquité diffèrent égale-
ment sur le lieu où il naquit, mais la plus commune
opinion est qu’il reçut le jour à Samos. Cette île était
alors dans un état florissant; elle étendait au loin ses
relations commerciales, et il est permis de croire que ce
fut d’abord en accompagnant Mnésarque , son père,
qui exerçait le négoce, que Pythagore contracta le
goût des voyages qu’il entreprit depuis dans un but
plus élevé. Sans doute, doué comme il l'était d’un es-
pritélevé, d’un amour ardent pour la vérité, possé-
dant toute l'instruction qu'il était alors permis d'acqué-
rir, Pythagore dut profiter, dans ses longs et nombreux
pélerinages, d’une foule de connaissances qu’il trouva
chez des peuples plus anciens en civilisation que ses
compatriotes, Mais il serait absurde d'attribuer à cette

source les idées philosophiques et les découvertes dans

L A Les , , . “ .
l'arithmétique, la géométrie et l'astronomie qui n’ap-

partiennent qu'à son génie. La science ne se perd pas;

PY

ce produit de la raison humaine survit aux civilisations

S8T

mêmes qui le virent se constituer sous sa forme systéma-
tique. Ce qui nous est resté de la science des Chaldéens,
des Égyptiens et des anciens Indiens, ne permet pas de
penser que Pythagore y ait puisé les connaissances aux-
quelles il doit son immortalité. (Voy. ASTRONOMIE 1. 2.)
Quoi qu’il en soit, de retour dans sa patrie, Pythagore
euseigua quelque temps à Samos la géométrie et l’ari-
thmétique, et il passa ensuite dans la grande Grèce où
il établit cette école à jamais célèbre, dont l’organisa-
tion a plus d’un rapport avec les monastères des pre-
miers siècles du christianisme. Sa réputation de sagesse
et de savoir, lui attira une foule de disciples qui de-
vinrent les législateurs et les chefs des états florissans
de cette partie de l'Europe. Les vérités mathématiques
formaient la branche la plus essentielle de l’enseigne-
ment de Pythagore. À part la découverte de la pro-
priété du triangle rectangle, c’est-à dire la démonstra-
tion du carré de l’hvpothénuse, on attribue avec raison
à ce philosophe une foule de théories alors nouvelles,
en géométrie, dont la vulgarisation a singulièrement
contribué aux progrès de la science. Il résulte des dif-
férens rapports des écrivains de l'antiquité qui nous ont
transmis ses opinions , qu'il avait les idées les plus justes
sur les points fondamentaux de l'astronomie : ainsi il
enseignait à ses disciples la distribution de la sphère cé-
leste, l'obliquité de l’écliptique, la sphéricité de la
terre et celle du soleil, la cause de la lumière de la
lune, celle des éclipses de ces deux astres, et enfin le
mouvement de la terre. Pythagore apprit encore à ses
disciples à regarder comme des astres aussi anciens que
l'univers, qui font leur révolution autour du soleil,
les comètes, objet de terreur pour le vulgaire. Il faut
recounoitre que quelques unes de ces idées, déjà avan-
cées par Thalès, ne peuvent être considérées comme des
découvertes de Pythagore, mais acceptées par lui et
faisant partie d’un système complet : elles déposent du
moins de la perspicacité de ce grand homme et de son
amour pour la vérité, Pythagore et l’école qu’il a fondée
attachèrent sans doute une importance presque puérile
à l'influence des nombres, mais les découvertes impor-
tantes et réelles qui leur sont dues doivent faire ou-
blier ces doctrines mystiques qu’on leur reproche et
dont d’ailleurs nous ne pouvons aujourd'hui bien ap-
précier la véritable portée ; aussiles meilleurs esprits n°y
ont-ils vu que desemblèmes dont nous avons perdu l’ex-
plication. Pythagore détermina les rapports mathémati-.
ques des intervalles musicaux , et donna ainsi naissance,
dit Montucla, à une quatrième branche des mathéma-
tiques, c'est-à-dire, à la musique. On sait qu'il exista
dès-lors deux sectes de musiciens dont l’une, qui recon-
naissait Pythagore pour chef, se distinguait par cette
détermination calculée de l'harmonie des sons de l’au-

D88 QU

w
tre , à la tite de laquelle se place Aristoxène, qui pré-
tendait au contraire que les sons étaient seuls juges

des rapports harmoniques.

Les incertitudes qui règnent sur la naissance de Py-
thagore se reproduisent au sujet de sa mort; on sait
seulement qu’elle arriva vers l'an 500 avant J.-C. Quel-
ques historiens justifient, sans le vouloir, ce grand
homme d’avoir enveloppé la vérité de voiles qui ont
fini par la dérober entièrement aux regards des peuples,
en assurant que, malgré cette réserve, on s’alarme des
innovations qu'il introduisait, des vérités hardies et
contraires aux croyances religieuses de son temps qu'il
exposait, et que de sou vivant il vit éclater la persécu-
tion qui s’attacha à son école. Suivant quelques auteurs,
Pythagore eut pour épouse Théano, céltbre elle-même
dans l’histoire de la philosophie; suivant d’autres, elle
était sa fille. On cite, parmi ses fils, Télange, qui fut le
maître d'Empedocle, et Arimneste, qui fut celui de
Démocrite, (Foy. l'Hist. de la Philosophie de Bourz,
et celle de TENNEmAN.)

PYTHÉAS, de Marscille, astronome ct géographe
de l'antiquité, et le premier qu'aient produit les Gau-
les, vivait vers le commencement du quatrième siècle
avant Jésus-Christ. On sait, à n’en point douter, que,
par ordre des magistrats de sa patrie, il entreprit un

OÙ

voyage vers le Nord; Ja description qu'il fit de l’île
qu'il appelait Fhulé, description dont Pline et Strabon
nous ont conservé quelques fragmens, prouve qu'il a
visité les côtes de l'Islande. Mais tout ce qu'on rapporte
des autres travaux de Pythéas se réduit à des conjec-
tures fondées sur des rapports inexacts ouincomplets de
quelques anciens écrivains. Ainsi, suivant Cléomède,
astronome contemporain de Posidonius, Pythéas serait
l’auteur d'une observation remarquable de la hauteur
du soleil au solstice d'été, faite à Marseille à l’aide d’un
gnomon d’une hauteur considérable, Cette observation a
d’ailleurs de lacélébrité pour avoir servi aux astronomes
modernes à démontrer la diminution de l’obliquité de
l'écliptique, avant que ce phénomène eût été constaté.
Suivant ITipparque, cité à ce sujet par Strabon, ce fut
Pythéas qui enseigna le premier aux Grecs que l'étoile
polaire n’était pas au pôle même, et qui leur donna des
indications plus exactes sur la situation de cette étoile.
Eufiu, suivant Plutarque et Pline, Pythéas serait le
premier astronome qui aurait reconnu la liaison qui
existe entre le phénomène des marées et le mouvement
de la lune. On attribuait dans l'antiquité à Pythéas la
composition de plusieurs écrits; celui de tous, dont on
doit le plus regretter la perte, est sans contredit la
narrationde son voyage maritime qui serait aujourd'hui
d'un grand intérêt pour l'histoire de la géographie.
(f'oy. GNomox.)

à

QUADRANGLE. (Géom.) Nom par lequel les an-
ciens désignaient une fgure rectiligne qui a quatre
angles et quatre côtés. Une telle figure se nomme au-
jourd’hui un quadrilaière. (Foy. ce mot.)

QUADRANGULAIRE, (Geom.) Se dit , adjective-
ment, d’une figure qui a quatre angles.

QUADRATIQUE. (4/g.) ÉQUATION QUADRATIQUE,
C'est ce que l’on nomme simplement aujourd'hui cyua-
tion du second degré.

La forme générale d'un telle équation est

A xt +Azx+A,—o

L | 5
( Por. EqQuariox, 5.) En divisant les deux membres

se À A
par A, et faisant = À, + — B, on ramène cette
A6

forme à la suivante non moins générale (m)

z + Ax+B—0

)

dont le premier nombre doit être équivalent au pro-
L

duit de deux facteurs du premier degré x—a, x—b,
d'après ce qui a été démontré au mot Équario, 15,
c'est-à-dire que l'égalité (me) entraine l'égalité corres-
pondante (7)

(x—a) (x—b) — 0

dans laquelle & et » sont les racines de l'équation du
second degré.

Résoudre une équation du second degré c'est trou-
ver les valeurs a et b qui satisfont à cette équation, ou,
pour mieux dire, qui, substituées à la place de x dans le
premier membre, le réduisent à zero. fl existe trois pro-
cédés différens pour arriver à ce résultat.

1. Nous avons vu (Houariow, 17) que le premier
coefficient À est égal à la somme des racines prise avec
un signe contraire, et que le second coefficient B est

égal au produit des racines, ou que

A—— (a+ b)
B = ab

Or, en élevant les deux membres de la première éga-

QU

lité à la seconde puissance et en multipliant par 4 ceux

de la seconde, on obtient

A = @ + ab + b:

4B — 4ab
Retranchant la seconde égalité de la première, il vient
A— 4B= @ — vab+b — (a — by

ce qui donne

VIA —4B]=a—b
Ainsi on a donc d’une part

a+b=—A

et de l’autre

a—b= VIA — 4B]

Mais quand on connait la somme ct la difference de
deux quautités, on obtient la plus grande de ces quan-
tités en ajoutant la moitié de la différence à la moitié
de la somme, et la plus petite, en retranchant la moitié
de la différence de la moitié de la somme (voy. Équa-
TION, 10); donc nous avons ici

LS VAT)
La fr]

elles sont les expressions générales des valeurs des

a =

b —

racines de l'équation du second degré en fonctions des
coefficiens de cette équation. Comme a ou b substitucs

à la place de x davs

x Ax +B—o

réduisent le premier membre à zéro, on réunit ces

deux valeurs sous la forme (p)

: [a _ «|

En prenant la racine carrée de A? — AB, nous au-
rions dü placer, d’après le principe connu, le double
signe + devant le radical; mais soit que l’on prenne
ici le signe L ou le signe — , les valeurs de a et de b
ne différent entre elles que par le signe du radical, ce
qui ne change 1ieu à la double valeur de x, puisque
les racines & et D entrent d’une manière symétrique
dans la composition de l'équation.

2. On arrive à l'expression (p) par un autre artifice
de calcul, en faisant disparaître le second terme Ax de
l'équation

x? + Ax + B—o

ce qui la ramène à la forme

QÙ 589
æ'+M=o

sous laquelle une simple extraction de racine carrée
sufüt pour faire obteuir les deux valeurs de æ, car on
a immédiatement

m——M,etrzx—+V M.
Cette transformation s'effectue en posant
T—=Y— M,

y étant une nouvelle inconnue et 72 une quantité arbi-
traire qu’on détermine de manière à faire disparaitre le
second terme de l'équation. En effet, substituons y — »4
à la place de x, nous aurons

(y—m} + A(y—m) + B =

et, en développant,

0;

J — 2my + ne
+ Ay — An)—= 0

+ B
Ainsi , 72 étant arbitraire, nous pouvons faire À — 2m
—0, ce qui réduit l'équation précédente à
J° + (nn — Am +B)=o,
d’où l’on tire
°=—m+Am—B,ety = + V[—n?+ Am — B].

: 1 ;
Mais À — 9m — o donne 7» — à A; substituant cette

valeur de 72 dans celle de y, on trouve

= eV/fivris
4 2

. 1 è .,
Donc, puisque x =y—m—y— A, on a définiti-
2

—:A +\/Tr- in]

3. Le troisième procédé de résolution consiste à ren-

vement

TX =

dre le premier membre de l'équation un carré parfait ,
et il est fondé sur les considérations suivantes :
Ea faisant passer le terme tout connu B dans le se-

cond membre, l'équation devient (q),
x? -|- Ax =—B ;

et, sous cette forme , le premier membre peut toujours
être considéré comme contenant les deux premiers

590 QU
termes de la seconde puissance d’un binome x 4+p, car
on a en général,

(x +py = 2x + px p?,

[
el, par conséquent, en prenant p — A j
»

a* + Ar

représente x? + 2px. On complétera donc le carré en
. , on TL .

ajoutaut à x? —+- Ax la quantité p* ou h A’, ce qui est

la même chose. Mais pour ne pas détruire l’égalité (4),
il faut ajouteraussi cette quantité à son second membre,

et l’ou a

ou

Prenant la racine carrée des deux membres, il vient

A — +\/T A? 3 |
4
= + VAE _ sn |
2
et, comme ci-dessus,

Pr AVAL)
2 2

4. La valeur des racines de l'équation générale du

+

Ble

second degré (r)
a? + Ax + B—=o

est donc donnée par l’expression (s)

e=-}as 1 /Ts 4]

etilsuffit, pour obtenir ces racines, de substituer dans (s)
les valeurs données des quantités À et B, et de réaliser
ensuite les opérations indiquées. L'exemple suivant est
suffisant pour montrer la marche des calculs.

Déterminer deux nombres dont la somme soit 10 et
de produit 24. Si nous désignons par æ l’un de ces
nombres, l’autre sera 10— x, et nous aurons par la na-
ture du problème

æ.(10— x) — 24, ou 10 x — x? — 24 ,
ce qui, ramené à la forme (r), nous donne l'équation
ZX? — 10% +24 — 0;

comparant avec (r) , nous avons À = — 10, B — 24, et
par suite

QU

TOP e
LA LL Too gai] =5+ ï
2 2

Les deux valeurs 6 et 4 doivent donc satisfaire à la ques-
tion proposée. En effet, comme leur somme est 10, elles
sont elles-mêmes les deux nombres demandés dont le
produit est 24.

5. En discutant les valeurs que peut donner l’expres-
sion (s), d’après celles des coefficiens À et B , on trouve
facilement 1° que les deux racines sont toujours réelles
etinégales si B est négatif ou, dans le cas de B positif,
si 4B est plus petit que A’ ; 2° que les deux racines sont
imaginaires si, B étant positif, on a 4B->A? ; et 3° que
les deux racines sont réelles et égales si le radical dispa-
rait ou si, B étant positif, on a A° — 4B. Nous ne nous
arrêterons pas à cette analyse qu’on trouve dans tous les
ouvrages élémentaires.

QUADRATRICE. { Géo.) Nom donné à différentes
courbes transcendantes dont la plus ancienne et la plus
remarquable est celle qui fut inventée par Dinostrate ,
pour la quadrature du cercle.

Si l’on divise le quart ac d’une circonférence de cer-
cle (PI. 54, fig. 5) en plusieurs parties égales as, sg,
gr, vu, etuc, et qu'ayant mené de chaque point de di-
vision un rayon au centre D du cercle, on divise le
rayon ab en un mênte nombre de parties égales ad,
dt, th, kr, et rb; les parallèles au rayon be, menées
par les points d, {,k, r de ces dernières divisions,
couperont les rayons bs, bg, be, bu en des points 72,
n,p,4q, qui appartiendront à la quadratrice de Di-
nostrale.

D'après cette construction, l'arc as est au quart de
circonférence asc comme l’abscisse ad est au rayon &b ;
faisant donc l’arc as — =, le quart de circonférence
asc — «& , l'abscisse ad — x, etle rayon ab —r, nous
aurons

d’où

rz —= ax

équation de la quadratrice.

Pour trouver le point o où la quadratrice coupe le
rayon be , supposons br infiniment petit; l'arc ue sera
aussi infiniment petit et pourra être considéré comme
une partie infiniment petite de la tangente au point c ;
alors les triangles rgb et ucb seront semblables et don-
neront

bo: rq 93 ue: br

mais en supposant br'infiniment petit on a rg — bo;
donc
be : bo

:: ue : br.

De plus, par la nature de la courbe

uc : br :: asc : ab,
donc
be : bo :: asc : ab
ou
r : bo air
ce qui donne
rt
bo——,
a

c'est-à-dire que bo esttroisième proportionnelle au quart
de la circonférence et au rayon.

Ainsi, si l’on pouvait trouver géométriquement le
point o, on trouverait aussi géométriquement la lon-
gueur du quart de la circouférence, et en quadruplant
on aurait la longueur de la circonférence entière, d’où
dépend la quadrature du cercle (voy. ce mot). Mais
cela est impossible, car en supposant 7q infiniment pro-
che de bc, cette droite ne peut couper le rayon Lu lors-
que le point w se confond avecle point c, parce que rq
étant parallèle à be est alors parallèle à bu, ou plutôt
parce que rq se confond alors avec bu et be.

Ea tirant par le point s, sæ, perpendiculaire au rayon

ab, on a deux triaugles semblables qui donnent
bx : bs :: bd : bm,

mais bx — cosz et bd = r — x; ainsi cette proportion ,

en faisant bn = y, est la même chose que
COSZ: Ti: TX: Y
d’où l’on tire

r(r—x)
cosz

. : 73 .., F
substituant à la place de x sa valeur à tirée de l’équa-

tion (4), on obtient définitivement cette autre équation
de la quadratrice

: EE (a—2)r

TS = .

aæcosz

Lorsqu'on fait dans cette équation 3 — a, y devient
égal à bo, et comme alors a— zx — o et cos 3 —0, ce
qui donne

o

Die

il faut, pour trouver la valeur de y, différentier les deux

termes de la fraction. (Foy. Dire, 47) On obtient de

cette manière
(a—z)r"

— dz.r rà

—asiu z.d3

«a COS z a sin z

et par conséquent en faisant 3 = a, d’où sinz = 1,

QU 591

7?
y où bo = —
[44

comme nous l’avons trouvé ci-dessus.

QUADRATURE. (Géom.) Transformation d’une
figure géométrique en un carré qui lui soit équivalent
ou, plus généralement, mesure de la surface d’une fi-
gure géométrique quelconque.

La quadrature des figures rectilignes se réduit à dé-
composer ces figures en triangles. La somme des aires
des triangles qui composent une figure est égale à l’aire
de la figure, que l’on peut d’ailleurs transformer tou-
jours en un carré équivalent par les procédés de la
géométrie élémentaire (voy. Aire). Nous avons donné
au mot PoryconomérmiE l’expression de Paire d’un
polygone quelconque.

La quadrature des figures curviligues est un des ob-
jets de la géométrie dite analytique. Quoique les an-
ciens aient fait un graud nombre de recherches sur cette
matière, particulièrement pour la quadrature du cer-
cle, comme ils n'avaient aucune méthode générale pour
aborder ces questions transcendantes, leurs découvertes
se bornent presque exclusivement à la quadraiure de la
parabole obtenue par Archimède; ce n’est que vers le
milieu du xvn' siècle que Wren, Brouncker, Huygens
et Neil trouvèrent les moyens de quarrer divers espaces
curvilignes, et que Mercator, ramenant ce problème
au calcul algébrique, eut la gloire de donner, le pre-
mier, la série qui exprime en même temps la quadra-
ture de l'hyperbole et la valeur des logarithmes natu-
rels. Il paraît probable que Newton avait déjà appliqué
son calcul des fluxions à la quadrature des courbesavant
les découvertes de Mercator, mais la priorité de la pu-
blication appartient à ce dernier.

Depuis le pas immense que la découverte du calcul
différentiel a fait faire à la science des nombres, toutes
les méthodes particulières ont été remplacées par une
méthode générale aussi simple qu’élégante, dont nous
allons donner l'exposition.

1. Si nous désignons par S l'aire d’une figure quel-
conque, le problème général des quadratures se réduit
à trouver la différentielle de S, car cette différentielle
étant connue, en l’intégrant, on obtient la valeur deS,
puisque

J'TAS] = 8

(voy. Dirr., 49) ; dS est ce qu’on nomme l'élément de
l'aire.

Pour obtenir cette différentielle, considérons l’es-
pace APQ (PI. 55, fig. 5) compris entre l’abscisse AP,
l'ordonnée PQ et la portion AQ d'une courbe quelcon-
que; si l’abscisse AP — x creit d'une quantité PP’,

que nous supposerons infiniment petite ou égale à dx,

592 QU
l'ordonnée PQ — y deviendra P'Q'= P'm + mQ— y
+ dy, et l'aire APQ = S$ croitra du trapèze élémen-
taire PQQ'P';

ou la différentivlle de l'aire S. Or, l’aire d’un trapèze

c'est donc ce trapèze qui est l'élément

(rar. Axe, 1v) est égale à la moitié du produit de sa
hauteur par la somme de ses bases parallèles ; nous avons

donc ici

[re + PQ X PP

D +5 +]

= ydx + ‘

puisque — dydx est une quantité infiniment petite du
2

second ordre qui n’a aucune valeur comparable avec la
quantité infiniment petite du premier ordre dx.
Lu intégrant les deux termes de l'égalité (a) on ob-

tient
S = /ydx + C

C désignant une constante arbitraire que la nature de
chaque problème particulier donne les moyens de dé-
terminer.

Ainsi, pour quarrer une figure curviligne quelconque,
il suffit de tirer de l'équation de la courbe la valeur
de y, de la substituer dans l'expression (1) et d'intégrer,
Nous éclaircirons plus loin cette méthode par des exem-
ples.

2. Nous avons supposé, dans ce qui précède, les
coordonnées rectangulaires, ce qui est généralement
suffisant puisqu'on peut toujours transformer un sys-
tème quelconque de coordonnées en coordonnées rec-
tangulaires; mais il est utile dans certains cas particu-
liers d’avoir la différentielle de l'aire en coordonnées
obliques ou polaires et nous devons, avant de passer
aux applications, chercher les expressions de cette diffé-
rentielle.

Soit donc APQ (PI. 55, fig. 6) une aire comprise en-
tre les coordonnées obliques AP, PQ et la portion de
courbe AQ, et soit » l'angle QPX que font entre elles
ces coordonnées. Lorque AP croît de PP'= 4x, l'aire
APQ croit du trapèze PP'Q'Q, lequel est composé du
parallélogramme QPP'x et du triangle QmQ', nous
avons donc

dS — QPP'm + QmQ'

mais l'aire du parallélogramme QPP'» est égale au
produit des côtés PQ et PP' multiplié par le sinus de

QU

l'angle de ces côtés (voy. l'aiconomérmr), c'est-à-

dire qu’on a
QPPm — PQ X PP'sino — ydx.sins ;

et l'aire du triangle QmQ' est égale au produit de ses
côtés Que etz1Q" multiplié par le sinus de l'angle QmQ",

supplément de Pangle +. Nous avons donc ici
dS = jäx.siuo + dydx.sin
ou, simplement ,
(Bass dS = ydx.sin »

en retranchant la quantité iufiniment petite du second
ordre dydx.sins. Intégrant les deux membres de l’éga-
lité (b), nous obtiendrous, pour le cas des coordonnées
obliques

IL......S — sin fydx + C.

Soit maintenant l'aire APQ comprise entre l'axe PA,
le rayon vecteur PQ — : et la portion de courbe AQ.
Supposons que l'angle APQ — # du rayon vecteur avec
l'axe croisse de l'angle infiniment petit GPP' = dy,
l'aire APQ croîtra du triangle élémentaire PQQ', et le
rayon vecteur PQ deviendra PQ' = z + dz. Le trian-
gle élémentaire PQQ' est donc la différentielle de l’aire
APQ , mais lasurface de ce triangle est égale à

FQ X PQ' X sin du — = 2(z + dz)du

I
2

puisque sin du — du. Nous avous par conséquent

dS — . z° du + = 3 dd
2 2
ou
= ul
(c).......dS —= -z7du.

2

Intégrant les deux membres de cette égalité il vient

S — : Ja + C>

3. Pour première application de l'expression géné-
rale (1), prenons la parabole M'AM (PI 55, fig. 8) et
cherchons la grandeur de l’aire AQP, comprise entre
l'axe , la courbe et l’ordonnée PQ = y. L'équation de
la parabole étant y? = px (roy. ParABOLE) , nous en

tirous y=V/px, et substituant cette valeur de y dans (D),

w !

il vient
S— fax.V/pr + C.
Il s’agit donc d'intégrer dæx.\/px ou V/p.xidx. L'in-

tégrale demandée est (voy. INTÉGRAL , 14)

Vr fadi= Vos =5 x Vrz

OÙ

L’aire se réduisant à zero lorsqu'on fait x —0, on à
G —\Q:
Comme V/px == y, nous pouvons poser
: 2
S = 3 XV
ce qui nous apprend que l'aire de l’espace parabolique
APQ est égale aux deux tiers du rectangle APQB con-
struit entre les coordonnées. L'espace curviligne AmQB
est donc égal au tiers du mème rectangle.
Si nous menons la droite AQ , nous aurons un trian-

x

gle rectangle APQ qui sera la moitié du rectangle APQB,
: ; : un: PRE
et dont l'aire sera par conséquent égale à Cd Ainsi ,

retranchant ce rectangle de l'aire AmQP , il nous res-
tera pour l’aire du segment parabolique AQy2

2

I I
3 TZ mé Li |

ce segment est donc la sixième partie du rectangle
APOQB ou le quart de l'aire parabolique APQ.
4. L’équation du cercle rapportée au centre étant

VE ENG NL?

dans laquelle & est le rayon, elle nous donne y —
VA — 2], et par suite («d)

S= J'V/a —2]dx + C.

En appliquant à cette expression les procédés d’inté-
gration exposés au mot Inrécraz, 36, on obtient immé-

diatement ; par la formule marquée (38),
S' — Ë TV — x + Le arc sin A +C
D > a

Pour déterminer la constante C, rernarquons que l’aire
S est celle qui est comprise entre l'axe des ordonnées
ED, l’abscisse AP , l’ordonnée PQ et l'arc DQ (PI. 55,
fig. 9) ou l'aire DAPO, elle est donc zéro lorsque x—0,
ainsi CO = 0.

L’aire du quart de cercle DCA est donnée par l’ex-

pression précédente en y faisantæ = AC — a; elle est

I
S == Br,
Â

car arc [sin —1| — : Fr , 7 désignant toujours la de-
mi-circonférence du cercle dont le rayon est Punité. La
surface entière du cercle est donc — «x, résultat connu
par la géométrie élémentaire, mais qui fait dépendre
la quadrature du cercle de la rectification de la circon-
férence , rectification impossible sous une forme finie.
(P'oy. QuaDrar, pu CERCLE.)
En intégrant l'expression (4) par série, on obtient
TOME I,

QU 595
Re ï DES *S 3x7
“: (a — ax)" dx= ax — ne 7
2.3a 2.4.5.a3 4.6.7 a°
— etc...

Cette quadrature indéfinie du cercle est due à Newton.

5. La quadrature de l'ellipse conduit comme celle
du cercle à une série indéfinie qu’on obtient sans diffi-
culté ; aussi nous ne nous y arrêterons pas. Nous remar-
querons seulement que l'équation de l'ellipse rapportée
au centre étant (voy. ÉLLrrse 3.)

2

P =, (a—x)

æ

sa quadrature dépend de

tandis que celle du cercle dont le rayon est 4, c’est-à-
dire égal au demi-grand axe de l’ellipse, dépend de

JVie-aax.

L’aire de l’ellipse est donc à celle du cercle comme

b S
— pl V/la— x']dx est à Vie ax ou comme

«a

b |
— est à 1. On a donc
«a

| . b 3 b
aire de l'ellipse — - K aire du cercle = - #r—abr.
a a
6. La quadrature d'une hyperbole dont les demi-axes
principaux sont « et b se ramène de la même manière
à celle de l'hyperbole équilatère dont le demi-axe est
a; car les équations de ces courbes sont, en comptant
les abscisses du sommet ,
UE |
= Ÿ (are), parte
a°
et, par conséquent, leurs quadratures dépendent des
expressions

ef VLez + 2°]dx , [Vue + x°]dx ;

«a
l'aire de l'hyperbole non équilatère peut donc se trou-
: b ; re
ver en multipliant par — celle de l’hyperbole équila-
a

tère, Quant à cette dernière , on ne peut l’obtenir que
par logarithmes ou par série ; par le premier procédé
ou a

JV bar taie À (a +2) ar +2
Se læ. Log [pere

«a

0

594 où
et, par lesecond,

: Laits = Po 2? 3

ù DAL--L IdX —= a«X| 5x — — > —-

SV/lrax-+x | ; ÉPE AT

3xi
+ _—> —cetc.....
4.6.9 a

7. La quadrature de l’espace asvmptotique compris
entre une branche d'hyperbole et son asymptote fournit
des particularités remarquables que nous devons signa-
ler; soit CBD (PI. 55, fig. 10) une hyperbole renfermée
entre ses asympiotes AE, AF qui font entre elles un an-
gle quelconque , son équation rapportée aux asympto-
tes comme axes est

XY — C°
p' C* .
(voy. Hsrervorr, 15). Elle donne y — 53 valeur qui,
étant mise dans l'expression (II), car ici les coordonnées
sont obliques , fournit

2 ‘ AxX
S = €?.sin w f _
Le

d'où
S — c? sin w. Log x + C.

Log désignant le logarithme naturel de x. Pour dé-
terminer la constante C , supposons que Paire à quarrer
soit l’aire POMB comprise entre Fordonnée PB au som-
met de la courbe et une autre ordonnée quelconque
QM, cette aire devant s’anéantir lorsqu'on fait x — AP,
désignons AP par x et nous aurons

o — c° sin . Logrr + C
d'où

C——csinv. Log
l'intégrale complète est donc

S == c’sino.Logx — c? sin. Log;
mais AP — PB —c; ainsi, prenant AP pour l'unité,
cette dernière expression devient
S = sin vw .Log Le

Donc, en considérant sin w comme le z20dule d'un sys -
tème de logarithmes que nous désignerons par la carac-

téristique L, comme nous avons sin +. Logx — Lx (voy.
LoGanirumE) et par suite

SU;

il en résulte que les espaces asymptotiques o, PQYB,
PRNB, PSOB, etc., correspondant aux abscisses AP,
AQ , AR, AS, etc., sont les logarithmes de ces abs-
cisses. Dans le cas de l’hyperbole équilatère l'angle » des
asymptotes est droit et sin w— 1, on à alors

Qi
S= Logz ,

c'est-à-dire que les aires asymptotiques sont, daus l'hv-
perbole équilatère, les logarithmes naturels des abscisses
correspondantes, C’est de là que vient le nom de loga-
rimes hyperboliques donné aux logarithmes naturels.
Oa voit que chaque hyperbole non équilatère donne
un système particulier de logarithmes dont le module
est égal au sinus de l'angle des asymptotes. Le module
des logarithmes ordinaires étant 0,4342945, si l’on fait

tR

sinw — 0,4342045,

w

où trouve que les asymptotes de
l'hyperbole, qui répond à ces logarithmes, font entre
elles un angle de 25° 44 25", 9.

8. L’équation aux asymptotes de l’hyperbole équila-
tère devenant

ÆXY = 1

lorsqu'on prend ce = 1, si l’on remarque que chaque
abscisse AQ , AR , AS, etc. , est composée d’une partie
constante AP — 1, on pourra remplacer æ par 1 +x,
et cette équation sera alors
1

1x?

substituant cette valeur de y dans (IT), on aura
: L
, où S ==
1x

Développant le binome {1+æx)--1, on obtient

=

(i+x)y = 1, d’où y —

,
ax

S=sine fe

à cause de sin = 1.

dx — xdx + x dx — x'dx + etc...]

LE PA MERS PAT
S = Logl(i+x) =x — its + Lu: — Cic...

c’est la série de M. NMercator.

9. Les exemples que nous venons de donner indi-
quent suffisamment la marche qu'il faut suivre pour
la quadrature des surfaces planes ; celle des surfaces
courbes exige d’autres principes que nous allons
exposer. Cousidérons un solide 77CEy" formé par la
révolution de l'aire MAx'y' autour de la droite BX,

QU

pendant quele plan deMAx'y" décrit le solide, la courbe
my'décritsa surface courbe latérale, et en particulier l'arc
infiniment petit yy' décrit la surface latérale d’un cône
tronqué dont la hauteur est xx'=— dx; cette dernière est
l'élément ou la différeutielle de la surface convexe du so-
lide. Or, la surface convexe d'un côue tronqué est égale à
la moitié du produit de son côté par lasomme des circon-
Ainsi celle du

cône élémentaire tronqué dont il s’agit est égale à la

férences de ses bases (voy. CÔNE, 7).
moitié de l’arcélémentaire yy' multipliée par les circon-
férences des cercles que décrivent les rayons æy etx'7".
or, (x'y').27 (voy.
CErcLE). si nous désignons par ds l'arc élémentaire 7",

Mais ces circonférences étant (xy)
par y l'ordonnée xy, par y+-dy l’ordonnée x'y' et par
S la surface convexe du solide, nous aurons

nee = ds [y 42% + (y—dy).2r]

—= 9yrds
ou

ÉO)....... dS = 2yrV/[dx?+-dy?]

en remplaçant l’arc élémentaire ds par son expression
v'[dæx+dy°] eu fonction des coordonnées rectangulai-
res Bz —x,xy — y. (Voy. RecriricarTion.)
L'intégrale de l'expression (f)
IV......S — 27 /fyV{[dz+dy] + C
donve la quadrature de toutes les surfaces de révolution.

o. Pour montrer l'application de la formule IV,
supposons que la courbe 72y est une parabole et qu’on

veuille trouver l’aire de la surface convexe du parabo-

loïde tronqué yDC. L’équation de la parabole y?=—px
donne

9yd hLy2dy?
de 27 SLA fus 24 4Y A
P P

cette valeur substituée dans (IV) réduit cette formule à

arf» VAE [er] = fra w+r +p°

=à[& +r|

ainsi,

s= & [or +r]+

La constante Cse détermine, en remarquant que l'aire
demandée commence à l’ordonnée Am, et par consé-
quent que l’intégrale doit s’'évanouir quand on y fait y
= «a, en désignant Arr par &, on a donc

= [ia +r| ee

d’où

595

et, par suite,

x 3
S— Gp | Lo” + = [ée+r fl

En donnant à y une valeur déterminée b, on aura la
surface convexe d’un tronc de paraboloïde compris en-
tre y — aet y = b. Si l'on avait demandé la surface du
paraboloïde entier qui commence à y = 0 , comme
l'intégrale doit s’évanouir pour cette valeur de y, on au-
rait eu

— SP+C, d'où C = —°
J

- D?.
Ge

Ainsi la surface convexe du paraboloïde est

= Lu +r| —p}.

1, La surface de la sphère étant engendrée par la
révolution de la demi-eirconférence d’un de ses grands

cercles autour de son diamètre , prenons l'équation du

cercle rapportée au sommet qui est =
J?= 24x — x?
cctte équation fournit
2adx—2xdx (a—x) dx
dy = nn
> F
a—x} dx?
dy? — ( ) —

#.

substituant cette valeur dans (IV), il vient

27 F4 V/[e+ ee)

or / Vi + (a—x)] = 27 /f adx

à cause de

J+(a—x} = p+ae—oax+e = y'+ae — y = e.

Nous avons donc

S = 2rax + C.
Comme l’origine des coordonnées au sommet , l'inté-
grale doit s'évanouir lorsque x — 0, ainsi C = 0, et
l'on a simplement

S = 97ax.

Pour avoir la surface entière de la sphère, il faut la
prendre depuis æ = 0 jusqu'à x = 24; faisant dans
cette dernière expression æ = 24, il vient

\ f
S= 4@r,

396

c'est-à-dire que la surface totale de la sphère est égale à

QU

«

quatre fois celle d’un de ses grands cercles.

12. La formule IV n’étant applicable qu'aux solides
de révolution, il faut pour tous les autres déterminer
l'expression particulière de l'élément de leur surface,
ce qui exige des méthodes dont l'exposition ne peut
trouver place ici. Nous allons seulement indiquer, pour
terminer, comment on obtient l'élément de la surface
du cône oblique

Soit ASB un cône oblique, dont SE est la hauteur
(PI. 55, fig. 11). Par le centre C de la base de ce cône,
faisons passer un plan SAË, qui la coupe suivant un de
ses diamètres AB; prenons un arc infiniment petit >2n,
et menons sur la surface du cône les droites Sr et Sn, le
triangle Sn sera l’élément de la surface. Menons de
plus la tangente Tr, que nous prolongerons sur le
plan de la base de manière à pouvoir lui abaisser une
perpendiculaire SD du sommet S. Cette perpendicu-
laire sera la hauteur du triangle élémentaire Sran et
l'aire de ce triangle sera (72),

Menonsles autres lignes de la figure et désignons par a
le rayon AC de la base ; faisons de plus CE — 2, SE ==
a, CP—x,et Pr —7y. L'angle CT étant droit, et
Pra une perpendiculaire abaissée du sommet de cet
angle sur l’hypothénuse TC du triangle TC, nous

avons
CP : Cm :: Cm : CT

d’où
Cm a?
SP CP x”

mais les triangles semblables TC, TDE

CL Cr’: "TE.-;"ED,
ou
a ose op.up +
see De

Donc le triangle rectangle SED nous donne

sD=\//[r + ee il!

Nous avons d'autre part l’arc élémentaire 27 , dont
, ARC ” ” NS ONT EUE e
l'expression générale est V'dx + dy, et comme il
s’agit ici d’un arc de cercle, prenons la valeur de dy°
dans l'équation rapportée au centre

ce ce | | , .
nous AurONS , en ja substituant dans cette expression ,

QÙ
adx
mn — —— ,
a? — x?
donc, définitivement, ù

adx

_ = V/[r+ |

Tel est l'élément de la surface du cône oblique.

ds

QUADRATURE DU CERCLE. (Gcom.) Aucun
problème géométrique n’est plus célèbre et plus popu-
laire que celui de la quadrature du cercle ; les tentati-
ves innombrables dont il a été l'objet, les folies aux-
quelles il a donné lieu, l'importance outrée qu'on Jui
a attribuée, tout concourt à donner un grand intérêt à
son histoire ; aussi l'historien des mathématiques ,
Montucla, ne s’est pas contenté d’en faire le sujet d’un
supplément à son grand onvrage, il l’a encore traité
en particulier, etson Âistoire des recherches sur la
quadrature du cercle n'est pas le moins curieux nile
moins utile de ses travaux.

Quarrer le cercle c’est trouver le côté d’un carré qui
lui soit égal en surface, ce qui ne présenterait aucune
difficulté si l’on pouvait décrire géométriquement ,
cest-ï-dire, avec la règle et le compas, une ligne
droite égale à sa circonférence; car il est démontré
que la surface du cercle est équivalente à celle d’un
triangle rectangle quiaurait pour base cette ligne droite
et pour hauteur le rayon, et comme le côté d’un carré
équivalent à un triangle est moyen proportionnel en-
tre la moitié de la base et la hauteur du triangle, il
s'ensuit que le problème se réduit à trouver la gran-
deur de la circonférence d’un cercle dont le rayon est
donné, ou, plus généralement, à trouver le rapport du
rayon ou du diamètre à la circonférence , puisque ce
rapport est le même dans tous les cercles.

Archimède est le premier géomètre qui ait fait con-
naître une valeur approchée de ce rapport, ou du moins
il est le premier qui ait trouvé deux limites entre les-
quelles ce rapport est contenu. Ayant inscrit et circon-
scrit au cercle un polygone de 06 côtés, il montra que
la circonférence étant plus petite que le périmètre du
polygone circonscrit et plus grande que celui du poly-
gone inscrit, cette circonférence devait être plus pe-

3 10 10 a
tite que 3 et et plus grande que 3 et Re le diamè-
€ n

= 4

, ; a 10

tre étant pris pour l'unité ; l'erreur en prenant 3 et —,
70

ce qui donne le fameux rapport de 3 à 22, est moin-

I F *
dre que -—- du diamètre.
497

Long-temps après, et pour réfuter un quadrateur
du cercle dont le rapport tombait probablement dans
les limites d'Archimède, Adrien Métius trouva celui

QU

de 113 à 355 qui est beaucoup plus rapproché que ce-
lui de 7 à 22, puisqu'il ne dépasse le véritable que de
3

——— du diamètre auplus.Nous avons déjà dit au
10000000

mot Crrcre que le rayon étant pris pour l'unité, la demi-
circonférence est exprimée par 3, 1415920535... etc.,

L

approximation portée jusqu’à 153 décimales exactes,
ce qui dépasse de beaucoup tous les besoins du calcul
qui, dans les recherches les plus délicates, peut se
contenter de 10 décimales. On peut donc regarder le
rapport du rayon à la demi-circonférence comme une
quantité connue, et mème beaucoup plus exactement
connue que bien d’autres dont on fait un usage jour.
nalier; car personne ne s'est amusé à calculer ÿ/2, par
exemple, jusqu’à la 155° décimale,

Lambert, dans les Mémoires de Berlin, 1561, etaprès
lui, Legendre, dans ses Élémens de geometrie, ont
démontré que la circonférence est incommensurable
avec le diamètre, ce qui établit l'impossibilité absolue
de trouver deux nombres entiers qui puissent exprimer
leur rapport, nombres, du reste, dont la découverte,
si elle était possible, ne présenterait qu’un simple inté-
rêt de curiosité. Il reste donc seulement à savoir si l’on
ne pourrait exprimer ce rapport soit par un nembre
irrationnel simple, soit par une combinaison de nom:
bres irrationnels, et, dans ce dernier cas, s’il ne serait
pas possible d’en effectuer la construction géométrique,
car des nombres irrationnels peuvent très-bien se con-
struire géométriquement tant qu’ils ne dépassent pas le
second degré. Ainsi, le rayon étant l'unité, en dési-
goant, comme c’est l'usage, par r la demi-circonfé-
rence , il s’agit de déterminer la zature ou l'expression
théorique du nombre 7; mais nous avons déjà vu
(CERCLE, 34) que cette expression théorique primitive

est
I I

— 0 }:,
— 1

AH iv)
ire ft +V V

donc les radicaux qui entrent dans la génération de ce

nombre sont d’un ordre #nfini, et il ne peut être, par
conséquent, réalisé dans le domaine des objets sensibles
par aucune construction numérique ou géométrique
finie.

L'erreur principale de ceux qui se livrent à la recher-
che de la quadrature du cercle, et il y a encore beau-
coup plus de gens qui s’en occupent qu’on ne pourrait
le croire, c’est de supposer qu'il doit nécessairement
exister une ligne droite égale en longueur à toute ligne
courbe donnée, ce qui n’est pas plus vrai que de sup-
poser qu'il existe nécessairement un nombre entier ou
fractionnaire égal à une racine detout nombre donné. En
effet, la conception d’une ligne courbe repose en principe
surune génération continue de l’espace, de la même ma-

QU 307
nière que celle d’une racine repose sur une génération
continue des nombres, taudis que les conceptions d'une
ligne droite et d'un nombre entier reposent sur une
génération dscontinue. Ainsi, et comme à l'exception
des cas particuliers et contingens où la racine générale
nt

v A est un nombre entier, cette racine est un nombre
d’une nature supérieure qui sort entièrement de la
classe des nombres entiers et ne peut être exprimée par
eux, à l'exception du très-petit nombre de lignes cour-
bes rectifiables (voy. Rrcriricarion), c'est à dire qui
sont égales à des lignes droites; la ligne courbe en gé-
néral est d’une nature supérieure où transcendante qui
sort entièrement de la classe des lignes droites et quine
peut être représentée par elles. La génération conti-
nue des lignes courbes se manifeste surtout dans les
courbes rentrantes en elles-mêmes et particulièrement
dans le cercle où cette coutinuité indéfinie de généra-
tion est au plus haut degré. Cet aperçu , au défaut de
l'expression citée plus haut de +, qui décide complète-
ment la question, est suffisant pour montrer l’inutilité
de toutes recherches ultérieures sur la quadrature du
cercle, problème résolu aujourd’hui de toutes les ma-
nières possibles et sur lequel ne peuvent plus s'exercer
désormais que des personnes entièrement étrangères à

la géométrie.

QUADRATURE. (454) On donne ce nom aux points
de l’orbite d’une planète qui sont à égale distance de
ceux de la conjonction et de l'opposition. Par exemple
la lune est dans les guadratures, lorsqu'elle se trouve
dans l’une des deux positions MAQZ (PI. 98, fig. S)
également éloignées de la conjonction O et de l’opposi-
tion L. (Foy. Lux.)

QUADRILATÈRE. (Géom.) Polygone de quatre
côtés et de quatre angles.

On nomme en particulier quarre le quadrilatère
dont les quatre côtés sont égaux et les quatre angles
droits; rectangle, celui dont les quatre angles sont

droits, sans que les côtés soient égaux ; /ozange ou

- rhombe, celui dont les côtés sont égaux sans que les an-

gles soient droits ; parallelogramme, celui dont les côtés
opposés sont parallèles ; etenfin trapèze, celui qui n’a
que deux côtés parallèles, (Foy. ces divers os.)

Dans tout quadrilatère Va somme des quatre angles est
égale à quatre angles droits. Ceux dont la somme des
angles opposés est égale à deux angles droits peuvent
être inscrits dans le cercle, et la somme du rectangle
construit entre leurs côtés opposés est équivalente au

rectangle des deux diagonales.

QUADRILLON. (Arüh.) Mille willons. (Foy. Ani-
TUMETIQUE, 16.)

598 QU

QUADRINOME. ( Alg.) Quantité composée de
quatre termes comme a +-b + ce + d.

QUADRIPARTITION. Partage en quatre parties

d’un nombre ou d’une figure géométrique.

QUANTITE. Toutce quiestcomposé de parties ou tout
ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution.
Le nombre est une quantité numérique ; l'étendue, une

quantité geométrique. (Foy. MATHÉMATIQUES.)

QUANTITÉ DE MOUVEMENT. (/cc.) Nom que
l'on donne au produit de la masse d’un corps par sa vi-
tesse, Ce produit représente l'intensité de la force qui
meut le corps, de sorte que la quantité de mouvement est
la mesure de la force motrice. (Foy. MÉcaniQuE, 14.)

Les questions de Dvyriamique se ramènent aux consi-
dérations simples de l’équilibre à l’aide du principe de
d’Alembert, dont voici l'énoncé : si lon considère un
système de points matériels liés entre eux, de manière
que m2, mm, mm", etc., représentant leurs masses, p, v’,
v’,etc., sotent les vitesses respectives que ces masses
acquerraieut , dans le cas où elles seraient libres, par
l'application de forces déterminées, tandis qu’en vertu
de leur liaison elles reçoivent les vitesses effectives u,
u',u", etc. , les quantités de mouvement perdues ou ga-
gnées dans le système doivent toujours se faire équilibre.

Lan effet, si nous désignons par p, p', p', etc., les
vitesses perdues ou gagnées par les masses »2, m',
m", etc., par suite de leur liaison, w et p seront les com-
posantes &e », w'et p' celles de s', etc. ; on peut donc à
la place de v, »’, v”, etc. , substituer les vitesses

u et p composantes de #

u'et p' composantes de v’
u" et p' composantes de v”
etc.

etc. etc.

et alors les quantités de mouvement qui entrent dans
le système, considéré comme libre, et qui sont »w,

m'v', m'v", etc., deviendront

mu, mu, m'u, etc.

mp, m'p', m'p", etc,

Mais puisque, d’après l'hypothèse, lorsque les masses mm,
m', m", etc., ue sont plus libres, ces quantités de
mouvement doivent se réduire à

mu, m'u', m'u, etc.

il en résulte que les quantités de mouvement mp, r1p',
"p", etc., doivent alorsse faire équilibre. Or, 2p, mp
np", etc., sont les quantités de mouvement perdues
et gagnées.

Puisque la force mv est la résultante des deux forces
nu et mp, et qu'en général il y a toujours équilibre

PR

entre trois forces dont l’une serait égale et directement
opposée à la résultante des deux autres, les trois Forces
mu, mp et — mv doivent être en équilibre. Ainsi, en
considérant à son tour 7?p comme égale et d’un signe
contraire à la résultante des deux autres forces, il faudra
que — mp soit la résultante de 140 et de — mv, ou,
ce qui est la même chose, que z1p soit la résultante de
— muet de H nv. Par la même raison z'p' est la ré-
sultante de — m'u' et de + m'v'"; mp" celle de — mn'u"
et de + m"v", etc. Donc toutes ces forces mp, m'p',
mp", etc. , se faisant équihbre, il y a aussi nécessaire-
ment équilibre entre les forces av, m'v" me", etc. , et
les forces — mu, — mu, — mu", etc. ; c'est-à-dire
qu'ily a équilibre entre les quantités de mouvement mw,
m'v', m'v", etc. , imprimées aux mobiles et les quan-
tités de mouvement qui ont effectivement lieu, chacune
de ces dernières étant prise en sens contraire de sa di.
rection. Ce second énoncé du principe de d’Alembert a
l'avantage de rendre les équations d'équilibre indépen-
dantes des vitesses perdues où gagnées p, p', p", etc.

Appliquons ce principe à quelques problèmes de Dy-
namique.

1. Déterminer la vitesse commune qu'auront après
leur choc deux corps durs À et a qui se meuvent dans
le méme sens.

Soient V la vitesse de A, v celle de à et x la vitesse
commune cherchée, Après le choc la vitesse v devenant
æ, la vitesse perdue par A est V — x, tandis que la
vitesse gagnée par a est — v. Ainsi les quantités de
mouvement dues à ces vitesses perdues et gaynnées de-
vant se faire équilibre, et ces quantités de mouvement
étant A(V—x), a(x—v), nous avons

A(o—x) = a(x—v)

d’où

(Foy. Cnoc, 1.)

2. Déterminer le mouvement de deux corps Q et P (PI.
30, fig. 1) qui, étant attaches l’un au cylindre et l'autre
à la roue d’un treuil (voy. ce mot) le tiennent en équi-
libre.

Les corps Q et P, étant sollicités par la pesanteur,
dont nous représenterons la force par g , s'ils étaient li-
bres, auraient dans l'instant d£ la vitesse gd; soient
donc dv et dy' les vitesses effectives de ces mobiles ;
gdt — dv sera la vitesse perdue par le corps Q et gdt—
dv' la vitesse perdue par le corps P, ainsi les quantités
de mouvement perdues seront

Q(gdi—dv), Pigdt—dv)

et ces quantités doivent se faire équilibre à l’aide du
treuil. Or, la condition d'équilibre, dans cette machine,

QU

est que les forces soient en raison inverse des rayons où
elles sont appliquées; désignant donc par r le rayon du
cylindre et R celui de la roue, nous aurons

Q(gdi—dv) : P(gdi—dv') :: R:7r
d'où

Qrigdt—ds) = PR(gdt—dv')

Mais, d'autre part, les vitesses dv et dv' sont en sens
contraire l’une de l’autre, et, par la nature du treuil,
elles sont entre elles comme les rayons, de sorte qu’on

a aussi
Rdv + rdv — 0

Combinant cette équation avec la précédente, on trouve

dv — Or Le PÉ: gdt
a de,

Les coefficiens de gdt, dans l’une et dans l’autre de ces
valeurs, étant des quantités constantes , on voit que les
mouvemens des corps Q et P sont uniformément variés
et qu'ils ne diffèrent de celui d’un corps pesant, libre
dans sa chute, que par l'intensité de la force accéléra-
trice.

QUARRÉ ou CARRÉ. (Geom.) Quadrilatère dont
les quatre côtés sont égaux et les quatre angles droits.

La surface d’un quarrése trouve en multipliant par
lui-même le nombre qui exprime la longueur de son
côté. (Foy. Aire.)

La diagonale d’un quarré est incommensurable avec
son côté, car, d’après la propriété du triangle rectangle,
la seconde puissance de cette diagonale est égale à la
somme des secondes puissances de deux côtés du carré,
ou, ce qui estla même chose, égale au double de la se-
conde puissance du côté. Ainsi, désignant par A le côté
et par B la diagonale, on a

B? — 24°, d'oùB:= y2A— AV,

la diagonale d’un quarré est donc à son côté dans le
rapport de 1 à V/2.

En Algèbre , la seconde puissance d’un nombre se
nomme encore le quarré de ce nombre , comme on dit
aussi la racine quarrée , pour la racine seconde ; ces
dénominations, empruntées de la géométrie, sont
d’un usage général. Quelques auteurs emploient l’ex-
pression d'équation quarrée , pour équation du second
degré où équation quadratique (voy. QuanrariquEr).
Les anciens géomètres nommaient quarré quarré la

QU 399

quatrième puissance d’un nombre; par exemple, af
était pour eux un quarré quarré.

Depuis quelque temps l’usage s'établit d'écrire le mot
quarré avec un c : carré, ce qui lui fait perdre ses rap-

ports d’étymologie avec quadrature.

QUARRÉ MAGIQUE. (4rith.) C’est un quarré di-
visé en cellules, dans lesquelles on dispose une suite de
nombres en proportion arithmétique , de telle manière
que les sommes de tous ceux qui se trouvent dans une
même bande horizontale, verticale, où diagonale, soient

toutes égales entre elles. Tel est le quarré suivant

où l’on trouve 4 +3 +8 —9+ 5 +1 =9 + 73 +6—
K+O+2= 345 += 8+r+6—4 +546
=2+5+8— 1,5.

L'origine des quarrés magiques parait se rattacher à
quelques idées superstitieuses de l'antiquité. Cependant
Emmanuel Moscopule, auteur grec du XIV' siècle, et
le premier qui les ait fait connaître , s’est contenté de
les présenter comme une curiosité arithmétique. Au
commencement du XVII siècle, les difficultés que pré-
sente la construction de ces quarrés les fit étudier par
Bachet de Meziriac, Frénicle, Lahire et plusieurs autres
qui obtinrent des résultats assezremarquables, mais dont
tout le mérite consiste dans l’adresse des arrangemens ,
car c’est un simple jeu qui ne peut conduire à rien d’u-
tile. Lahire a consigné ses recherches sur ce sujet dans

les Mémoires de l’Académie pour 1505.

QUARRER. On dit quarrer un nombre pour expri-
mer qu’on le multiplie par lui-même.

Quarrer une figure géométrique cest trouver un
quarré dont la surface soitégale à la sienne. (Joy. Qua-

DRATURE.)
QUART. (4rith.) Quatrième partie d’un tout.

QUART DE CERCLE. (Géom.) Arc de 9o° degrés
ou quatrième partie de la circonférence. C’est la mesure
d’un angle droit.

Quanr pe cereLe. C’est un instrument astronomique
qui sert à mesurer la hauteur d’un astre au-dessus de

l'horizon.

QUARTIER DE RÉDUCTION. (Nas.) Quarré de
carton partagé en plusieurs petits quarrés par des lignes
paralleles à deux de ses côtés contigus, dont l’un repré-

sente la ligne nord et est, l’autre la ligne est et ouest.

400 QU

Il ya de plus des arcs de cercles décrits du sommet de
l'angle qui représente le centre avec des rayons qui for-
ment huit rumbs de vent ; un fil partant du mème cen-
tre s'étend sur les degrés intermédiaires entre chaque
air de vent. À l’aide de cet instrument on s'épargne la
peine de tracer ou de calculer les triangles dont on a

besoin pour résoudre les problèmes de navigation.

QUARTIER ANGLAIS. (Nav.) Instrument dont on
se servait pour prendre eu mer la hauteur des astres, et
que le quartier de réflexion à fait abandonner. On en
trouve la description dans les anciens traités de navi-

gation.

LA

QUARTIER DE RÉFLEXION , OCTANT. (Ast.)
C’est le plus parfait des instrumens qu'on ait imaginés
jusqu'ici pour observer en mer les hauteurs et les di-
stances des astres ; il est du à Halley. Sa construction et
son usage sont fondés sur la propriété qu’ont les rayons
lumineux de se réfléchir sur les miroirs plans en faisant
un angle de réflexion égal à celui d'incidence.

Si AB et CD (PL 56, fig. 1) sont deux miroirs plans
et qu'un rayon de lumière venu suivant la ligne OE
rencontre la surface du miroir AB, il seréfléchiraenE,
de manière que sa nouvelle route sera EF; arrivé en
F sur la surface du miroir CD, il se réfléchira de nou-
veau par la droite FS , et parviendra à un œil placé
dans la direction de cette droite, après avoir ainsi formé
l'angle SAË égal à l'angle BEF et l'angle EFC égal à
l’augle EFO. Imaginons maintenant que l’on fasse tour-
ner Je miroir CD autour du point F, d’une quantité
angulaire quelconque CFC'; il est évident que, l'angle
d'incidence du rayon EF devenant plus petit, l’angle
de réflexion deviendra également plus petit, et par con-
séquent le rayon réfléchi ne sera plus FS , mais FS' qui
fait avec FS un angle FSF", double de celui que fait la
direction actuelle du miroir avec sa direction primitive,
c’est-à-dire double del’angle C'FC. En effet l’angle EFS
compris entre le rayon incident EF et le rayon réfléchi
SE vaut deux angles droits, moins la somme de l'angle
d'incidence et de l'angle de réflexion , ou moins le dou-
ble de l'angle d'incidence ; donc si, par le mouvement
du miroir, l'angle d’incidence diminue ou augmente
d’une certaine quantité, l'angle compris entre l'incident
et le réfléchi augmentera au contraire ou diminuera du
double de cette quantité. Ainsi, si nous supposons qu’un
œil placé en Osur la droite OE voie l’objet S à l’aide
des deux miroirs AB et CD, en vertu desdeux réflexions
que le rayon SE éprouve en F et en E, il ne pourra
voir le même objet parvenu en S' qu’autant que le mi-
roir AB, conservant la même situation, on fera tourner
le miroir CD d’une quantité CFC' moitié de l'angle
S'FS compris entre les deux positions de l’objet. C’est
d’après ces principes que l’octant est construit.

QU

La figure > de la planche 56 représente cet instru-
ment. BAC est un demi-quart de cercle dont l'arc BC
est divisé en go parties. Au centre À, et perpendicu-
lairement au plan de l'instrument , est placé un miroir
plau fixé à l’alidade AD et mobile avec elle autour du
centre, À quelque distance de A est placé perpendicu-
lairement et d'une manière fixe sur le côté AB un petit
miroir plan de glace dont il n’y a qu’une partie qui soit
étamée , savoir, la partie inférieure ; l’autre partie est
transparente et sert à voir directement l'horizon auquel
on vise à l’aide d’une pinnule ou d’uve petite lunette
qu’on place sur le côté AG , de manière que son axe
répoude, sur le miroir, au milieu de la ligne qui sépare
la partie étamée de la partie transparente. La position
du miroir K et celle du miroir A doivent être telles,
que lorsque l’alidade AD tombera sur le rayon AC, qui
va au point zéro de la graduation de l'arc BC, A soit
parallèle à K..

Pour prendre la hauteur d'un astre avec cet instru-
ment, il faut le tenir verticalement et viser à l’aide de
la lunette au terme de l'horizon, puis faire descendre
l'alidade de C vers B jusqu’à ce qu'on voie arriver
l'image de l’astre sur la partie étamée du petit miroir et
qu’elle se place sur une même ligne avec l'horizon vu
par la partie non étamée; alors l’angle CAD parcouru
par l’alidade , et par conséquent par le miroir D , est
précisément la moitié de l'angle de hauteur HAS ; et
comme l'arc BC de 45° est divisé en 60 parties, quisont
par conséquent d’un demi-degré chacune, il s'ensuit
que l’on a immédiatement le nombre de degrés de la
hauteur HAS par celui des demi-degrés de CD.

Cet instrument a été beaucoup perfectionné depuis
Halley.

QUEUE DU DRAGON. (451.) Nom que l’on donne
au nœud descendant de la lune ; on le représente par
le signe 5.

QUINDÉCAGONE. (Géom.) Polygone de quinze
côtés et de quinze angles. (Foy. Porxcoxe.)

L’angle au centre d'un quindécagone régulier étant
de 24 degrés , on peut inscrire cette figure dans un
cercle en portant le côté de l'hexagone et celui du déca-
gone dans le cercle, de manière qu’ils soient des cordes
partant d’un même point de la circonférence, car la
différence de l'arc de l'hexagone à celui du décagone est

précisément un arc de 24°.

QUINTAL. ({7ét.) Poids de cent livres, dans l’an-
cien système des mesures françaises. Aujourd'hui le

quintal métrique vaut cent kilogrammes.

QUINTILE. (4st.) L'aspect guintile est la position
de deux planètes distantes l’une de l'autre de 72° ou

RA
d’un cinquième d’un grand cercle de la sphère céleste.
(Foy. Asrecr.)

QUINTUPLE. (4rith.) Se dit d’une quantité cinq fois

RACINE, (4/g.) Base d’une puissance, ou nombre
qui successivement multiplié par lui-même produit une
puissance. Si À, par exemple, multiplié par lui-même
un certain nombre de fois produit B, A sera la racine
de B, et nommément la racine seconde dans le cas de
A X A—B; la racine troisième dans le cas de À X A
XA—B,eten général la racine mième dans le cas
de A” — B.

On désigne une racine par le signe V/ qu’on nomme
un radical, en mettant à sa partie supérieure le nom-

bre qui indique le degré de la racine et qu'on nomme

3
l’exposant ; par exemple V/B désigne la racine troi-
sième de B. Lorsqu'il s'agit de racines secon des où car-
rées, on n'écrit pas l’exposant qui est sous-entendu,

de sorte que VB signifie racine carrée de B.
L'opération par laquelle on trouve la racine d’une
quantité proposée se nomme ex/raction des racines.
(Foy. ce mot. Foy. aussi, pour la nature des racines
en général, ALcivre, 28, et Imacinaine.)
RAGINES DES ÉQuATIONS. On donne encore le nom de
racines aux valeurs des quantités inconnues qui entrent
dans les équations, Par exemple l'équation

x'—5x+<6—=o

admettant les valeurs x = 2 etx = 3,2et 3 sont ses
racines.

Nous avons vu (ÉQuariow, 16) qu'une équation sd-
met autant de racines différentes qu'il y a d’uuités dans
le nombre qui marque son degré.

On divise les racines des équations en deux classes,
celle des racines réelles et celle des racines imaginai-
res. Les racines réelles sont commensurables ou incom-
mensurables ; dans le premier cas, on peut obtenir leurs
valeurs par la méthode die des racines commensura-
bles ; dans le second cas, il faut avoir recours aux r6-
thocdes d'approximation, sauf les cas très-peu nombreux
où ilest possible d’avoir directement l'expression
théorique des racines. Nous allons indiquer les divers
procédés à l’aide desquels on trouve les valeurs des
racines d’une équation.

1. RaGINES commensurances. Dans toute équation à
une seule inconnue, le terme absolu, c’est-à-dire celui qui
ne contient pas l’inconnue, étant égal au produit de tou-
tes les racines (voy. ÉQuariox, 17),est exactement divi-
sible par chacune de ces racines. Ainsi, lorsqu'une ou

Toux 1.

RA 401

plus grande qu’une autre. Ainsi 30 est quintuple deG.

QUOTIENT. (4rith.) Résultat de la division d’un
nombre par un autre, (Voy. Division.)

hi.

plusieurs de ces racines sont des nombres entiers, on
pourra toujours obtenir leurs valeurs cn cherchant,
parmi tous les diviseurs exacts du terme absolu, quels
sont ceux qui satisfont à l'équation. Dans l'équation ci-
dessus

2 — 5x +G—o

le terme absolu 6 a pour diviseurs 1, 2, 3, G, et il est
facile de voir, en substituant successivement chacun
de ces nombres à la place de x, soit avec le signe L,
soit avec le signe —, que les deux diviseurs L 2 et
+ 3 sont les racines de cette opération.

Lorsque le terme absolu contient un très-grand nom
bre de diviseurs, ces substitutions entraînent des cal-
culs prolixes qu'on abrège, d’abord en n’essayant que
ceux des diviseurs qui se trouvent compris entre les li-
mites des racines, et ensuite en faisant usage, au lieu
des substitutions successives, d’un procédé dont nous
allons faire connaître les principes.

2. Soit l'équation générale

æm + Agm—i HE Ban: L etc... Pr + Qx2
+ Rx +S = 0.

a éiant un nombre entier positif où négatif, s’il est une
racine de cette équation , en Île substituaut à la place

de +, on doit avoir

am + Aan—si Æ Ban-: L etc... Pa + Qa
+ Ra +S —o.

D'où, en divisaut le tout par à et transposant

— —Anm—-1—Aaqn—2— Ban—s élc: 52% Pa —Qa—R

ain

Transposant R dans le premier membre, et divisant de

nouveau le tout par a, il vient

«a e
—__—_—© — am ans —Ban-k—etc.. —Pa—Q

a
et comme le second membre est nécessairement un
nombre entier, le premier l’est aussi. Transposant Q
dans le premier membre et divisaut encore le tout

Nous aurotis

par t,

RA

———— — —— ai A an-iBan—s—etc D —P
a

et le premier membre sera encore un nombre entier.

Continuant de la même manière, c’est-à-dire transpo-

sant successivement tous les termes du second membre

dans le premier, et divisant par & après chaque trans-

position, le résultat de la (ni—1) ième division sera de
la forme

U

——œ—a—A

a

et celui de la zuïène deviendra

HER
VC

—— = —— ]

4

Cette dernière égalité nous indique la dernière condi-
tion à laquelle il faut que a satisfasse pour qu’il soit
racine de l’équation.

Ainsi en remarquant que toutes les divisions doivent
pouvoir s'effectuer exactement, si a est une racine de
l'équation, on peut en conclure cette règle générale.

3. Pour reconnaître si un diviseur a du dernier terme
d’une équation est racine de cette équation, il faut,
après avoir divisé le dernier terme par ce nombre,
ajouter au quotient le cocfficient de x, diviser ensuite
la somme par a, ajouter au nouveau quotient qui doit
être un nombre entier le cocfficient de x’ et diviser la
nouvelle somme par «a; ajouter encore à ce dernier
quotient le coefficient de x? et diviser la somme par
a,etc., etc. Continuer ainsi jusqu'au coefficient de
æ"—1 qui, étant ajouté au dernier quotient, doit pro-
duire une somme , laquelle divisée par à doit donner
— 1 pour quotient. Tout nombre qui satisfera à ces
conditions réunies, c’est-à-dire qui donnera à chaque
division un quotient entier, sera racine de l'équation,
et ceux qui manqueront à une seule de ces conditions
ne pourront être des racines.

4. Dans l'application de cette méthode il faut remar-
quer que lorsqu'il manque des termes à l’équation sur
laquelle on opère, il faut les remplacer en leur don-
nant zéro pour coefficient.

5. Prenons pour exemple l’équation

x — 4x? — 11% + 30 — 0.

Les diviseurs de 30 étant 1,2, 3,5, 6, 10,15, 30,onles
écrira sur une mêmeligne horizontale tant avec le signe
+ qu'avec le signe — , puis au-dessous de ces divi-
seurs on écrira les quotiens du dernier terme 30, divisé

par chacun d'eux , ainsi qu'il suit :

RA

39 45 10 6 5 3 2 1— 1— 9— 3— 5— G—10—15—30

4 2 3 5 G 10 15 30—30-—15-—10— G— 5— 3— 2— 1

On ajoutera ensuite à chacun de ces quotiens le coeffi-

cient — 11 de x, ce qui formera une troisième ligne
—10 —9— 8—G—5— 1+ 4+419—N1—96—21—17—16—14—13—12

dont on divisera chaque nombre par le diviseur auquel
il correspond ; ces divisions forment cette ligne de quo-

tiens
. SUR ET. 540 à

dans laquelle on n’écrira que les quotiens entiers, tous
les autres devant être abandounés. Enfin, on ajoutera
à ces quotiens le coefficient — 4 de x? , ce qui formera
une cinquièmeligne

» D» p—D—5 n—92 » »+ OL 3 » » » » »

dout on divisera tous les nombres par les diviseurs

correspondans, en abandonnant de nouveau ceux
quine peuvent être divisés exactement; ces derniers
quotiens

» —1 »— À » » »— 4 5» » » » »

nous apprennent que les racinws de l'équation sont — 3,
c )
+ 2 et + 5.

G. On peut toujours se dispenser de faire entrer les
diviseurs + 1 et — 1 dans le calcul général, car leur
substitution à la place de + dans l'équation réduisant
le premier membre à la suite des coefficiens, il suffit
d’une simple addition pour s'assurer directement si ces
deux nombres sont racines de l’équation. Dans l’équa-
tion que nous venons de traiter, en faisant æ — 1, il
vient

1—4— 11 +30 — 16
et, en faisant æ = — 1,
—1—4+11+4530—=36,

d’où l’on voit immédiatement que ni l’un ni l’autre de
ces nombres ne satisfait à l'équation.
7. Traitons maintenant l'équation

ai 5x — 3x7 — 35x — 28— 0;
la substitution de + 1 et de — 1 à la place de x donne

1H 5— 3 — 35 — 28——57
1—5—3+135—928—0;

d’où l’on voitque — 1 est uneracine. Mais alors au lieu
d'appliquer la méthodeà l’équation proposée, il devient
plus simple de l’abaisser d’un degré, au moyen de la
racine connue ; Car puisque 4 —— 1,x —- 1 est un
diviseur de cette équation, et en opérant la division, on

aura pour quotient l'équation du troisième degré qui

pe

RA

contient les trois autres racines de la proposée. Ce quo-
tient donne

a} + 4x? — 7x — 28 = 0.

Essayant d’abord -H 1 et — 1 , on trouve
1+4—7—28 — — 30
—1+4+7—28— — 18

donc aucun de ces nombres n’est racine. Or, les autres

> 4 7) 14, 28 ;
les calculs dont voici le tableau :

diviseurs de 28 étant 2 on exécutera

28, 14, 7 4, 2 2— 4—7,—14,— 925

Ah; D 4, — 7 —14, +4,47, 4,+ 2,+

— 8,— 9; —it;—14, #21, + 7, 0,—3,— 5;— 6
Da CD NES, D », O0, », », »
», >, », », 3, », +4, », », »
LE », ») », », D— 1, D», Ds »

Il en résulte qu'il n’existe qu’une seule racine commen-
surable x = — 4. Nous devons faire remarquer en pas-
sant qu’on doit toujours considérer o comme un nombre
dont le quotient entier est o, quel que soit le diviseur.

Connaissant la racine — 4, si l’on divise l’équation
du troisième degré par x +4, on obtiendra l'équation
du second degré qui renferme les deux autres racines
de la proposée ; cette équation est

X° — 7 =
dont les racines sont æ = + V/7 et x = —\/5; ainsi
les 4 racines de la proposée sont x = — 1,4 —=—#4,
x =+V/7,x——\/7 et cette équation est la même

chose que le produit
x +1) (x+44) (x+ V7) (à—V/7) = 0

8. Pour appliquer la méthode des racines commen-
surables àtoute équation proposée, il faut préalablement

la ramener à la forme
at + Ami Æ Bam—z Æ etc... + Rx + S —

dans laquelle la plus haute puissance x’: a l’unité pour
coefficient , et tous les autres coefficiens A, B, C, etc. ,
sont des nombres entiers, y compris Zéro; car, sous cette
forme , les racines commensurables de l'équation ne

peuvent être que des nombres entiers. En effet, s’il exi-
stait une fraction ÿ ui püt être racine de cette équa-
tion , enla substituant à la place de +, on aurait

art

Rue

an—

dima
Le + B -— D LU etc... + R ÿ T9=0.

Ainsi, multipliant tous les termes par b—1 et les trans

RA 405
posant dans le second membre, à l'exception du pre-
mier terme , on obtiendraïit

at

ss Aan—1 — Ban—: — etc... — Ra —5s

mt

a soi :
et comme F: est une fraction ct que par conséquent F

est aussi une fraction, le second membre de cette égalité
devrait être également une fraction, ce qui est impossi-
ble, si les coefficiens À, B, C
entiers.

3, etc., sont des nombres

9. Is’agit donc de ramener toute équation, à coeffi-
ciens fractionnaires, à la forme en question , ce qui ne
présente aucune difficulté. Soit, pour fixer les idées, l’é-
quation du /{° degré

& 4 ge 3 ee 5 … #,
notant tpe TIRE 0e

On divisera d’abord toute l'équation par le coefficient
de x‘, ce qui la ramènera à la forme

puis en réduisant toutes les fractions au même déno-
minateur, on obtiendra

chfhh Ë ebdhk gbdfr bidfl _
Ta adfhk” # adfhk + adfuk . adfhk ds.
ou , simplement (a)
P La nie se
AR 4 re + ML EL

Prenant maintenant une nouvelle inconnue y et faisant

æ —="*-,ontrouvera, en substituant ,
HE dE AC
mi Fa mm mm m

puis, en divisant le tout par /nf

, Î î
P:nr .mi 3 gen” mi y Fr S.n
— = 0
J° ss nt, mm 4 “ mn D mn sa 71

équation dont tous les coefficiens sont visiblement des
nombres entiers , et qui donne, en retranchant les fac-
teurs communs (b)

Yi + py + qu + renvy + sm = 0

chacune des racines de cette dernière, divisée par 2,
donnera une des racines de la proposée.

10. In examinant l'équation (a) et sa transformée (b),
on voit qu'on peut immédiatement passer de l’une à
l'autre en multipliant le second terme de (a) par le dé-

404 RA

nominateur commun 72, le troisième par 7#°, le qua-
ième par re et le cinquième par at; d'où l'on peut
conclure cette règle générale.

Après avoir fait disparattre le coefficient du premier
terme et réduit tous les autres coefficiens au méme dé-
nominateur, on muliipliera chaque terme par ce deno -
minaleur commun élevé & une puissance dont l’expo-
sant est Le nombre des termes précédens, puis on chan-
gera x en elles racines de l'équation en y divisées par
le dénominateur commun seront celles de la proposée.

11. Appliquons cette règle à l'équation

3xi — 1 x + ma —7x+2—0,
divisant tout par 3 et réduisant ensuite au même dé-

nominateur, il vient

4

ni À 3 14 #2 14 : =
pe +- — — +
si (e) ch ds 6 : 6 °

0

multipliant le second terme par 6, le troisième par 36,
le quatrième par 216, et le cinquième par 1096, ou,
ce qui revient au même et ce qui est plus simple, re-
tranchant le dénominateur commun 6, et multipliant le
second terme par 1, le troisième par 6, le quatrième
par 36 et le cinquième par 216, la transformée en y

sera
Si — 7 +84 7° — 5047 + 864 — 0

Pour traiter cette dernière par la méthode des racines
commensurables, substituons d’abord +
qui donne

1— 7 +64 — 504 + 864 — 438
1 + 7 + 84 + 5o4 + 864 — 14

Aïosi ni r,ni— 1 ne sont racines de cette équa-
tion. Les autres diviseurs de 864 étant 2, 3, 4, 6,8,

P AJ ya LE DR PQ RE Les
12, 10, 15, 24; 32, 50, 45, 24 7°

288, 432, 864, pour éviter les calculs inutiles il faut

, 96, 108, 144, 216,
v’essayer que ceux de ces nombres qui ne dépassent pas
les limites des racines tant positives que Dégalives ;
limites que nous allons appreudre à déterminer.

12. On nomme lite supérieure des racines positives
A'une équation tout nombre positif qui surpasse la plus
grande des racines positives de cette équation, comme
aussi on nomme dite supérieure des racines négatives
toat nombre qui surpasse la plus grande des racines né-
gatives. Une limite supérieure est donc susceptible d'une
infinité de valeurs, et la question est de trouver la plus
petite possible de ces valeurs.

Il est d'abord évident que tout nombre qui, mis à la
plice de x dans une équation, rend son premier terme

glus grand que la somme de tous les autres, est une li

RA

mite supérieure des racines positives , car sa substitu-
tion donnant pour résultat un nombre positif, et la
substitution de tout autre nombre plus grand donuant,
à plus forte raison, un résultat positif, il ne peut y
avoir aucune racine positive qui le surpasse, Or, pour
trouver un nombre capable de rendrele premier terme
d'une équation plus grand que la somme de tous les
autres, prenons le cas le plus défavorable, celui où
tous les termes à partir du second sont négatifs,

comme

an — Ami Barnt—i—etc...—Qx— Rx —S —=0o,

et cherchons quel est le nombre qui, mis à la place de x,
peut donner

am > Agm—i EL Ban—a Letc... +Qx +HRxr—S.

Si nous désignons par M le plus grand de tous les cocf-
ficiens, il est visible que tout nombre substitué à x,
qui pourrait satisfaire à l'inégalité (4)

am > Mani Man: L etc... + Ma? + Mr + M

satisferait, à plus forte raison, à l’inégalité proposée :
ainsi Occupons-nous d’abord de cette dernière,

Les termes du second membre de l'inégalité (#) for-
ment-une progression £éométrique dont M peut être
considéré comme le premier terme, x le rapport et
m le nombre des termes ; on à donc, pour leur somme

(roy. Proc, Géo. , 5), l'expression

Î

et par conséquent l'inégalité ({) peut être mise sous la
forme

Si nous faisons æ — M, le premier membre devient
M et le second

Mi

ir M—1: ?

Mri+ Lt

< M—:

quantité plus grande que M”, car en effectuant la di-
vision, on trouve

Mm+i—r
M—1

— Mn + Mit Mr—2 + BIC.

Mais en faisant x — M +- 51, ce second membre devient

et comme le premier est alors{M + 1)", on a évidem-

ment

(M + 1} > (M +- 1} = Je

RA

Ainsi, M+1,oule plus grand coefficient négatif
augmenté de l'unité, substitué à la place de x, rend le
premier terme de l’équation plus grand que la somme
de tous les autres ; ce plus grand cocfficient ainsi ag-
menté est done une limite supérieure des racines positi-
ves de l'équation.

13. Commeil est rare qu'une équation ne renferme
pas quelques termes positifs autres que le premier, la
limite que nous venons de trouver est ordinairement
beaucoup trop grande, et l'on doit s'attacher à la dimi-

nuer le plus possible. Soit

æmAxm—i LE Ram + etc... — Man-n— Nym—n—-:i
—etc...— Qx—S—=0

une équation dont les premiers termes sont positifs, et
dent le premier des termes négatifs Mæ”—" est celui du
rang n+-1; supposons que tous les autres termes sont
négatifs, et de plus qu'ils aient tous le plus grand coeff-
cient M, alors tout nombre qui mis pour æ reudra

am >> Mann Mann etc... +Mx+M

rendra à plus forte raison æ” plus grand que la somme
de tous les autres termes de la proposée. Nous pouvons
donner à cette inégalité la forme

AM-N HIT

T—I

aæm => M.

en prenant la somme des termes de son second membre.
Or, en posant

æm — M ,d’oùux—V M = M

M' substitué à la place de x ne peut satisfaire à l’inéga-
lité, mais M'+ 1 y satisfait, car le premier membre
devient (M'+r)" ou (yÿ/M+1}*, tandis que le second
devient

(M'+1 MNT A — 7
Mi

ce qu'on peut mettre sous la forme

— M'i—: CM'H aan pi ;]

M' ; ,
Fe n—1(M + 1} — M n—i
“quantité évidemment plus petite que (M'+1)".
Donc YM+1, c'est-à-dire La racine du plus grand

coefficient négatif, du degré marqué par le nombre des
termes qui précèdent le premier terme négauf, est, en
l'augmentant de l'unité, une limite supérieure des ra-
cines positives de l'équation.

Lorsque le second terme de l'équation est négatif, il
faut faire » = 1, et l’on retombe sur la limite obtenue

n
précédemment. On prend toujours pour y/M le nombre

entier le plus près de la racine.

TA 105

14. Quant aux limites supérieures des racines négati-
ves, comme on rend négatives les racines positives d’une
équation et vrce versa, en v substituant — x à la place
deæ, il faut, après avoir fait cette substitution dans
toute équation proposée, déterminer, par les moyens
que nous veuons d'exposer, la lite supérieure des ra-
cines positives de la transformée ; cette limite prise avec
le signe — sera une limite des raciues négatives de la
proposée.

15. Appliquons cette théorie à l'équation du n° 11.

pi — 7 + Bay” — y ++ 864 = 0.

Le second terme étant négatif, la limite supérieure deg
racines positives est le plus grand coefficient négatif 504
augmenté de unité, de sorte que nous sommes forcés
ici d'essayer tous les diviseurs plus petits que 505, c’est
ä-dire tous les diviseurs de 864 moius un seul, 864 lui-

même, Substituant — y à y, la proposée devient
JS + 7 + 84° + Soky + 864 — 0,

équation qui n’a aucun terme négatif, et dont par con-
séquent la limite des racines positives est zéro, car en y
substituant zéro ou tout autre nombre plus grand à la
place de y, on obtient toujours un résultat positif, ce
qui indique qu'il n'y a pas de racines positives, et par
conséquent que la proposée n'a pas de racines négatives.
D'après la règle de Descartes (voy. Stan), l’'inspec-
tion seule de la variation des signes + et — 1 dans les
termes de la proposée suffirait pour faire reconnaitre
l'absence des racines négatives. Ces considérations ré-
duisent à 20 le nombre des diviseurs qu'il faut essayer,
mais ce nombre est encore assez grand pour faire dési-
rer un procédé d'exclusion à l’aide duquel on puisse le
diminuer, Eu voici un très simple dû à Newton.

Substituez successivement + 1 et — 1 à la place
de x dans la proposée, ce qui vous donnera deux ré-
suliats. Nous les désignerons, le premier par P et lese-
cond par Q.

Tout diviseur qui, diminué de l'unité, ne divise pas
P et qui, augmenté de l'unité, ne divise pas Q, ne peut-
étre racine de l'équation.

Si la réciproque de cette proposition était vraie, c’est-
ä-dire si tout diviseur qui satisfait à ces conditions était
par cela seul une racine, où aurait un procédé aussi
prompt que simple pour reconnaitre les racines com-
mensurables; mais il n’en est pas ainsi, et tout ce que
l’on peut demander à cette règle, c'est de faire connaître
les diviseurs qui ne peuvent être des racines ; il faut
ensuite soumettre les autres à la méthode indiquée.

Cette règle est fondée sur ce que 4, étant une racine

de l'équation générale

a + Ami Æ Bzm-2 L etc... + Rx +S = 0

406 RA

son premier membre est exactement divisible par x—a,
ce qui donne l'identité

ao Acom—i + Barre Æ etc... + Res
— (x—a) (ami A'um—2 + etc. ++ 5)

A',B', etc., étant des nombres entiers. Or, comme cette
identité est indépendante de toute valeur particulière de

x, si l'on y fait x — 1 , on doit avoir encore
1H A+B—etc.. .HR+S — (1—a) (14 A'#etc... +5")
d’où

14 A-+B+ etc...+R+S

1— a

1—-A'H etc...+s".

Ainsi, puisque le second membre de cette égalité est
un nombre entier, il duiten être autant du premier, et
1 A+ B<+Hetc... +R+S doit être exactement
divisible par 1 — & ou par & — 1 , en changeant les
signes.

Eau substituant — 1 à la place de x, on verrait de
même que le résultat est exactement divisible par — 1
— a, où para 1; d'où il résulte la règle précédente.

16. Nous avons vu (11) que la substitution de + 1
dans l'équation qui nous occupe donne pour résultat
438, et que celle de — 1 donne 1460, le premier étant
le plus petit ; nous nous en servirons d’abord et nous
le diviserons successivement par 2—1,3— 1,4 — 1,
G6— 1, etc... jusqu’à 216 — 1 seulement; car il est
évident que les autres diviseurs de 864, savoir, 288
et 432, se trouvent tout naturellement exclus. En opé-
rant ces divisions, on trouve que les seuls nombres 2—1,
3— 1 et 4 — 1 divisent exactement 438 ; ainsi tous les
diviseurs autres que 2, 3 et 4 se trouvent déjà exclus :
mais ceux qui nous restent doivent encore , en les aug-
mentant de l'unité, diviser exactement 1460 ; opérant
donc ces divisions et rejetant les nombres qui ne don-
ment pas des quotiens exacts , il ne nous reste définiti-
vement que les facteurs 3 et 4 auxquels il faut appli-
quer la méthode indiquée n° 3. Voici le calcul :

+ + 4
+- 288, + 216
-— 216, — 288
— 792, — 72
+ 12, + 12
+ sus
ÿ a Ro 4
— I, — 1

3 et 4 sont donc tous deux racines de l’équation en y,

et comme & — et 4 sout deux racines de l’é-

quation proposée en x.

Pour obtenir les autres racines, divisons l'équation en
y pary—3,et ensuite par y—4, où immédiatement
par (9—3) (yÿ—4) = y — y + 12;0n obtient l’é-
quation

+72—0o

qui fournit les deux racines imaginaires y —+ 1/99,

— — V—572. Les quatre racines de la proposée en x
sont donc définitivement

2 _— ue —
3 TZ = +V—2,x—=—V —2.

17. On peut immédiatement appliquer les méthodes
précédentes aux équations de la forme

Par + Qui + Rai etc... Ux + V — o

lorsque P, Q ,R, etc. sont des nombres entiers, sans
avoir besoin de faire disparaitre le coefficient P du pre-
mier terme Px”: ; il faut seulement observer que dans
l'opération sur les diviseurs de V, le dernier résultat
qui indique qu’un diviseur est racine, doit être — P
au lieu de — 1. En effet, reprenons les transformations
du n° 4, en les effectuant pour mieux fixer les idées

sur l'équation du quatrième degré,
Pari + Qu + Ra E Sx LT —o;

a étant une racine entière de cette équation, nous
avons

T = — Pai — Qu — Ra — Sa;
ainsi divisant successivement par & et faisant passer dans
le premier membre après chaque division le coeff-
cient qui devient isolé, nous aurons la suite d’opéra-

tions
UE
a
Ent
— = — Pa —Qa—R
a
Lys
EN +R
(4 ——Pa—Q
«a
Des
—— +R
+
EE
a

18. Prenous pour exemple l'équation

RA
19 zi— 68 x} + 97 x° + 7x —30—0

dont le dernier terme 30 a pour diviseurs 1, 2, 3, 5, 6,
10, 15, 30. La substitution de + : et de — 1 donne
d’abord

12 — 68 + 97 +7 — 30— 18

12 + 68 + 67 — 7 — 30 — 140

puis, en appliquant la règle du n° 15, on trouve queles
facteurs à essayer se réduisent à + 3, — 2. Voici le
calcul :

#

+ 3,

— 10, + 15
— 3, + 22
— I, — 11
+ 96, + 66
32, + 43
— 36, — 111
— 12, »

l'équation proposée n’a donc qu’une seule racine entière
quiest + 3. En la divisant par x — 3, on obtient l’é-
quation

19 x — 322 + x Lio —0o

qui renferme les trois autres racines de la proposée.
Cette dernière pouvant encore contenir des racines
commensurables, non plus entières, mais fractionnaires,

5 à : Y
on fera disparaitre le coefficient 12 en posant x = —
12

,

et l’on obtiendra une transformée en y,
JF — 32 x° + 12x Li4ho— 0

qui, étant traitée comme ci-dessus, fournira les racines
> —=8,y7—3oey —06, d'où l’on conclura que les
racines de la proposée sont,

5,8, 46 ous, 2, 5
1212 12 >
19. Si une équation proposée renfermait des racines

entières égales, les méthodes que nous venons d’ex-
poser ne feraient trouver qu’une seule de ces racines,
et ce n’est qu’en abaissantle degré de l'équation par la
division , lorsque cette racine serait connue, qu’on
pourrait, en opérant de nouveau sur l'équation réduite,
trouver une autre de ces racines égales, et ainsi de
suite. Soit par exemple, l'équation

2 — 19 x — 34 a Li2xz+ 40 — 0.

Les facteurs de 4o sontr, 2,4,5,8,10, 00 ct 40;
æais comme le second terme manque, on doit observer

que le premier terme négatif n’est que le troisième de

RA 407

l'équation, et qu’on a ainsi pour la limite des racines
» eq
L «
positives V/34 + r ou 7, et pour celle des racines né-
gatives — V/19 — 1, ou — 6, il suffit donc d'essayer
les facteurs 2, 4, 5 et— 2 ,—#4,— 5. Les calculs

cffectués, en observant de tenir compte du coefficient o

de x, on trouve une seule racine + 2.

Divisant l’équation proposée par x — », il vient
ti xi—bx —04x—20—0

équation qui fournit encore, par l'application des mêmes
procédés, une racine x = 2. Divisant de nouveau par

æ— 2, on trouve

XL x —7x—10 —o
qui fournit également une racine x = 2. Enfin, une
troisième division par + — 2 donne l'équation

2 —x—5—=o

qui n’a plus de racines commensurables. En la résolvant
par la méthode du second degré (voy. Quannarique),
on obtient enfin les 5 racines de la proposée, et l’on

voit que cette équation est identique avec
(x—2)(x—o) (x—2) (ox Han) (ox—r 210.

Les racines égales commensurables s'obtiennent tou.
jours sans difficulté en opérant comme nous venons
de le faire; mais il n’en est pas ainsi des racines égales
incommensurables, dont la présence daus une équation
complique les difficultés de la recherche des autres ra-
cines incommensurables. Nous allons indiquer la théorie
des racines égales , en général.

20, RaGINES ÉGALES. Si nous désignons par X —0,
une équation d'un degré quelconque et que a soit une
de ses racines , nous savons que X doit être exactement
divisible par le binome æ — a. De plus, en désignant
par X'le quotient de cette division, nous savons encore
que si la racine a se rencontre deux fois dans l’équa-
tion X — 0, æ — a devra diviser exactement X',
et qu'en désignant le quotient de cette dernière divi-
sion par X”, X” sera exactement divisible parx— a,
si a est trois fois racine dans X — 0, et ainsi de suite.

Ainsi, dans le cas d’une racine double, les deux équa-
tions

X:=0), Xi 10
doivent subsister en même temps, c’est-à-dire être sa-
tisfaites par une même valeur de æ, tandis que si X
n’a pas de facteur double, il est impossible d’avoir en
même temps X —oet X'— 0. De même, si X à un

facteur triple , les trois équations
X—=60,X —0, XX —0

doivent subsister en même temps.

408 RA

Ceci posé, examinons la forme du quotient X',qu'on
obtient en divisant X parle binome x — &, et, pour

cela , posons
X = 2 + Ami Ban? Letc...+Qx'ÆRx+s.

En opérant la division jusqu'à ce que l’on trouve un

reste qui ne contieune plus +, ce reste qui est
an + Aan—1 + Barn—: + etc... + Qa un Ra + S 5

ou ce que devient X lorsqu'on y met à à la place de x,
se réduit évidemment à zéro lorsque a est racine de X :
mais nous n'avons à considérer ici que le quotient dont

les termes sont :

LMI

+ (Aa) am

+ (B+HA aa) am—3

+ (C+Ba+ Aura) xm—4

+ (D+Ca+BatAa ai) m5
+ eic......etc.

Or, si a est une racine au moins double de l'équation
proposée, il faut que ce quotient soit lui-même divisi-
ble par x — a et qu'il se réduise à zéro, en mettant a à
la place de æ, où x à la place de a.

La substitution de x à la place de a donne à ce quo-
tieut la forme

AMI

+ ami LE Ami

+ ani + Axm—s LE Bym—3

+ anti + Ami Æ Bam-3 L Crn—k

+ etc. + etc.

+ anti LR Agm—a D Bani—3LCim-h etc. LOx+R.

et, comme le nombre des termes du quotient est 2, ce

quotient est la même chose que
MAMA LE Gui) Axm—t 4 (n—0) Bam-3 L etc...
+ »Qz +R.

21. On voit aisément que cette fonction est ce que
devient la fonction proposée X, lorsqu’après avoir
multiplié chacun de ses termes par l'exposant de la
puissance de x qu'il contient, on le divise par æ. Ainsi,
désignant encore par X' le quotient de la division de
X par x—a, après qu’on y a substitué æ à la place de
., on obtiendra directement X', sans avoir besoin de
recourir à la division, en dérivant ses termes des ter-
mes de X commeil vient d’être
X était

dit, Par exemple, si

@i + pri + qu + res
X' serait

&xi + 3pxr + 242 + r.

Il faut observer que le terme absolu s est le cocfficient

renfermer

le produit de ses facteurs doubles ;

des autres. De cette manière

tique avec le

fonction X, en passant à l’état X',

donc être que O.P*.

X, cette dérivée sera, par la même raison, P.Q7,R3.etc.

multiplié par quelque autre

ces deux fonctions ne pourront avoir de diviseur com-

mun plus grand que P.Q7.R'.S1.

dont la dérivée sera Z' — Z,

et ainsi des autres.

suit immédiatement, on aura

RA

de x°, etqu’en multipliant par o ce terme disparait,
de sorte que la règle de dérivation est générale.

22. Désignons maintenant par » le nombre, et par

N le produit des facteurs simples et inégaux que peut

la fonction X ; par o le nombre et par O
par p le nombre

er par P le produit de ses facteurs ériples, et ainsi

la fonction X sera iden-
produit N.0:.P#.Qi. etc.

Comme la dérivée X'est ce que devient le quotient

de la division de X par le facteur simple x — 4, après

qu'on y a mis à à la place de a, il est évident que la

perd tous ses facteurs

simples , et que ses facteurs doubles ne se trouvent plus
dans X' que comme facteurs simples , ses facteurs tri-

ples comme facteurs doubles , et ainsi de suite.

La fonction dérivée X' est donc égale au produit

O.P:.Q'.Rï.etc., muluplié par quelque fonction ra-
tiounelle de x , que nous désiguerous par X,, et dont
les facteurs égaux où inégaux seront différens de tous

ceux de la fonction X.

Le plus grand facteur commun entre X —

N.O2.P5.Qi.R. etc. et X'=X,.0.P:.Q. etc, ou le
plus grand commun diviseur entre X et X' ne peut

Q'.R1. etc. Ainsi, en désignant

par Ÿ ce plus grand commun diviseur, qu’on obtient
par les procédés indiqués au mot COMMUN PIVISEUR, On

aura

Y=O.P2Qf:RA."elc;

23. Y'désiguantla dérivée de Y, comme X' celle de

fonction rationnelle de Y,

que nous désignerons par Y,, et dont les facteurs seront

différens de tous ceux de Y. Ainsi avant

Y=O:P:,Q07, Rec, =: PO Re rctC.

gne par Z ce plus grand commun diviseur, on aura

etc. , et si l'on dési- |

Z= P.Q.R:.Si. etc. |
.Q.R’.S5. etc. |

24. Poursuivant de la même manière, aussi long-

|
|
temps que la fonction dérivée n2 scra pas réduite à
l'unité, on aura les égalités suivantes :

N.O02.P5.Qi.R5.etc. = X
O. PQ: Ri.etc. — Y
P. Q.R.ctc. = Z
Q%R'retc. —=Ù

Rete. 1

1

Divisant chacune de ces équations par celle qui la

RA

N'0B Oct

ÿ
OPIOSRPeEC: 2%
P.Q.R.cte. =
QRete. = ©

etc. — elc.

Enfin, divisant de nouveau chacune de ces dernières
par celle qui la suit, on trouvera

X.Z

2 cnell
Y.U

m ©
ZVrirrus

=!

elc "etc:

équations à l’aide desquelles on obtient, à part, le pro-
duit des racines simples, celui des racines doubles,
celui des racines tripées, etc. de toute fonction ration-
nelle proposée.
24. Proposons-nous, pour mortrer l’application de
+
ces formules, de trouver les facteurs multiples de la
fonction X = x9 + 22 + 27 + Ga Æ 9x — 2x1 3x
2x? — 12% —8.
La dérivation donne X'= 9x° + 16 7 + 5x + 36x°
+ 55ai — 8x + ox + 4x — 12; et en cherchant le
plus grand commun diviseur entre X et X', on trouve

Y=ai+Lai Lx + 3x +.
On a donc aussi

Y'= 4 + 32 + 9x + 35

cherchant de nouveau le plus grand commun diviseur
entre Ÿ et Y', on obtient

Z=x+x,

dont la dérivée est Z' — 1. Le plus grand commun di-
viseur entre Z et Z' estdonc U = 1, ct l'opération est
terminée.

Substituant ces valeurs de X, Y ,Z, U dans les
équations précédentes ; on trouve, pour le produit des
facteurs simples de la proposée,

Nz-ax+E v—o;
pour celui de ses facteurs doubles,
O=x— x +;

TOME II,

RA 409
et pour celui de ses facteurs triples
P=x+ 1.

L'’équation proposée est donc identique avec le pro-
duit

(x? + m—0).(x — 240) (xt) = o,
et en réduisant N et O en leurs facteurs du premier
degré, ou en résolvant les équations N:=o, O=o,

on voit que les neuf racines de la proposée sont :

I I

— I 1

ST nr un.
1 1 — 1,1 —

T = — - V—3,, 2 — -L-\—7,x——1
SHnaMe 7 > RE et 4 7; ;

LX—=—I, X—=—1

25. RACINES INCOMMENSURABLES. Lorsqu'une équa-

tion d’un degré supérieur au quatrième ne ren-
ferme ni racines commensurables, ni racines égales,
ou qu'après l’avoir dégagée des unes et des autres de
ces racines , son degré dépasse encore le quatrième,
il n’existe aucun moyen direct connu d'obtenir ses raci-
nes, et il faut alors avoir recours aux méthodes d’ap-
preximation. Nous avons fait connaître au mot approx1-
marion les procédés par lesquels on arrive à la con-
naissance des valeurs approchées des racines réelles
incommensurables, procédés souvent préférables pour
les équations des troisième et quatrième degrés aux
expressions théoriques des racines qui se compliquent
souvent de quantités imaginaires (voy. Cas 1RRÉDUGTIGLE).
Nous indiquerons donc seulement ici la marche qu’il
faut suivre dans la recherche des racines imaginaires.

Soit toujours

am Ami LE Bar: Het... + Par HQxHS = 0

une équation du degré 77.

Si cette équation reuferme des racines imaginaires ,
comme la forme de toute quantité dite zmaginaire(voy.
ce mot)est a+ b\/—1, substituons a +b Vs à la

place de æ , et nous obtiendrons
(@ + bV/—iÿr Æ Aa by —1m + etc...
HQ (a+ b—1) +S — 0.

En développant les puissances des binomes et en
désignant par M la somme des termes réels, et par N

celle des termes où se trouve V/—1, nous parvien-

drons à l'égalité
M-NV—1= 0

qui ne peut évidemment subsiste moins que Fon

Wait séparément

410

M=.0:, N —=0:

Mais ces deux équations de condition contiennent les
indéterminées a, b, combinées avec les cocfficiens de
la proposée ; ainsi, en éliminant a cutre ces équatious,
on obtiendra une équation finale qui ne contiendra
plus que b. Cette quantité étant trouvée, soit directe-
ment, soit par approximation, en substituant sa valeur
dans M ou dans N, on obtiendra une équation qui fera
connaître a. On sait d'ailleurs que si la proposée a une
racine égale à «Hb\/—1, elle en a une autre a«—b\/—1.
(Foy. Equariox.)

Les calculs compliqués qu'entraine la recherche des
racines imaginaires peuvent être simplliés par divers
procédés, pour lesquels nous devons renvoyer au bel

ouvrage de Lagrange, sur les Æquations numériques.

RADIAL. (Géom.) Counves rADIALES. Quelques au-
teurs désignent sous ce nom les courbes douties ordou-
nées partent d’un seul point, comme la SpraaLe. (roy.
ce mot) par la transformation des coordonnées rectan-
gulaires ou obliques en coordonnées polaires. (Joy. ce
mot.) Toutes les courbes pourraient être considérées

comme des courbes radiales.

RADICAL. ({ 4{g.) On donne le nom de radical au
signe V/ par lequel on désigne les racines des quantités,
et par suile on nomme quantités radicales, celles qui

3 5
sont affectées de ce signe. Ainsi V/a, V/b, V/(a +),
etc., sont des quantités radicales. (/'oy. Raune et

Exrnacrion.)

RAISON. (4/g.) Résultat de la comparaison de deux
quautités, soit que l'on considère l’excès de l’une sur
l'autre, ou combien de fois l’une contient l'autre.
Dans son acception mathématique ce mot est le syno-
uyme de rapport. ( Foy. Rapronr.)

RAMUS ( Pierre 14 Ramie, plus connu sous le nom
de), mathématicien, et l’un des savans les plus remar-
quables de son siècle, naquit vers l'année 1510, dans un
village du Vermaudois où ses parens étaient venus ca-
cher leur misère, La vie de ce malheureux marivr de la
vérité, qui fut aussi célèbre par ses talens que par ses
malheurs, renferme plusieurs de ces graudes leçons
que l’histoire ne saurait passer sous silence sans man.
quer à sa haute mission. Aucune existence d'homme,
voué aux paisibles travaux de la science, ne fut trou-
blée par de plus grandes infortunes et ne se termina
d’une manière plus funeste, D'une part, en effet, la vie
de Pierre de La Ramée offre un grand et noble exem-
ple de ce que peut une volonté ferme, unie à un es-
prit sérieux et élevé, et d'autre part les adversités qui

en marquèrent le cours rappellent énergiquement les

RA

meurs et les préjugés de son temps; sous ce double
rapport elle est d’un grand intérêt dans l’histoire de la
science, et nous croyons devoir en retracer Îles princi-
pales circonstances, quoique depuis long-temps les tra-
vaux de Ramus soient à peu près oubliés.

La famille de ce savant était noble, et d’origine fla-
mande, mais elle avait été réduite par les chances
de la guerre au plus affreux dénûüment. Le jeune
Pierre ne put recevoir aucune éducation, et il fut
occupé dès l'enfance à garder des troupeaux. Mais à
l’âge de huit ans, tourmenté déjà du désir de con-
gaître et de s'instruire, il s'enfuit et vint à Paris, ou
nulle pitié généreuse n'accucillit cette jeune et souf-
frante iutelligence. Deux fois la méme tentative lui
réussit aussi mal. Enfin un de ses oncles consentit à
payer quelques mois de sa pension dans une école où
l'enfant acquit, avec une étonnante célérité, les pre-
miers élémens du savoir. Alors Ramus revint à Paris,
ctil entra comme domestique au collége de Navarre,
inimolant ainsi les préjuges de la naissance et du rang
au désir de s'iustruire. Il profita si bien des leçons des
professeurs er des entretiens des écoliers, qu’en peu de
temps il fit de grands progrès dans la connaissance des
langues et des littératures anciennes. L'humble servi-
teur des régens du collége de Navarre ne tarda pas à
quitter sa livrée pour entrer en lice avec ses maitres. Il
fit successivement ses humanités et sa rhétorique, et
après avoir suivi le cours de philosophie, il se présenta
pour recevoir le degré de maître ès-arts. Doué d’un
esprit juste et d'une raison élevée, Ramus avait senti
de bonne heure l'insuffisance et la frivolité de Ja philo-
sophie de l’école, evil o:a prendre avec ses juges l’en-
gagement de montrer qu’Aristote n’était point infail-
hble. Cette nouveauté excita un intérêt général, on
accourut en foule pour jouir de la confusion de ce
jeune audacieux, mais son succès fut complet. Ce fut
depuis ce jour que Ramus résolut d'examiner à fond
les doctrives du phitosophe de Stagyre, et de réformer
sous ce rapport les études scholastiques. Le moyen qui
lui parut le plus convenable pour atteindre ce but fut
de remplacer par les mathématiques les stériles discus-
sious de l’école, et bientôt après il attaqua de front
l’aristotélisme. Mais le moment n’était pas venu encore
de briser l'antique chaine sous laquelle se courbait l'in-
telligence humaine. La tentative de Ramus fut consi-
dérée comme une impiété et sa nouvelle logique et ses
remarques sur Aristote suscitèrent contre lui des enne-
mis implacables, et l'exposèrent à des persécutions
inouies. Ramus fut obligé de prononcer devant le par-
lement l'apologie des mathématiques, mais Aristote
triompha de cette étrange épreuve, et demeura long-
temps encore en possession de l’aveugle adoration des

écoles. Un 2rièt déclara Ramus (émcéraire, arrogant et

PA

impudent d'avoir réprouveé et condamné le trailé et
art de logique, recu de toutes les nations: la même
décision souveraine supprima ses ouvrages, comme
contenant des choses fausses et étranges, et lui défen-
dit d'enseigner ou d'écrire contre Aristote sous peine
de punition corporelle.

Depuis ce temps la vie de Ramus fut une lutte per-
pétuelle contre les préjugés et les aveugles passions
de l’école. La sentence qui le condamnait fut affichée à
la porte de tous les coiléges, et il eut à supporter tou
tes les indignités et tous les outrages que le fanatisme
de l'ignorance peut inspirer, Éloigné ainsi de la chaire
où il avait commencé à exposer ses principes et ses
idées, Ramus se livra à l'étude des mathématiques
avec tout le zèle dont une ame forte comme la sienne
pouvait être capable. Ce fut à cette époque qu'il pu-
blia de nouveaux élémens d'arithmétique et de géomé-
trie, dans un ordre différent de celui d'Euclide, qu'il
avait le malheur de désapprouver, dominé peut-être
malgré lui par ses idées sur les anciens, complètement
erronées sur ce dernier point. Comme nous l'avons dit
plus haut, les travaux de Ramus en mathématiques,
qui doivent spécialement nous occuper, sont complè-
tement oubliés et méritent de l'être. Mais on ne peut
oublier que le premier, en France, cet homme extra-
ordinaire indiqua le rang que ces hautes sciences doi-
vent tenir dans l’instraction, et que le premier aussi
il attaqua avec quelque succès, malgré les malheurs
personnels qui en furent pour lui la conséquence, la
tyrannie de l'autorité magistrale d’Aristote, et qu'il
prépara ainsi la voie à la grande révolution intellec-
tuelle dont notre grand Descartes commença la réalisa-
tion dans des temps plus heureux.

Après une longue suite d'étranges vicissitudes, Ra-
mus, de retour à Paris, fut une des victimes de la Saint-
Barthélemy. On l’égorgea dans le collége de Presles,
où il avait repris ses fonctions de professeur de mathé-
matiques et d’éloquence. Par son testament, qu'il avait
fait en 1568, il léguait au collége de maitre Gervais
une somme de cinq cents livres pour l'entretien d’un
professeur de mathématiques. Ramus est l'auteur d’un
nombre considérable d’écrits, parmi lesquels nous cite-
rons seulement: Præmium mathematicum , etc. Paris,
1267: c'est l'apologie qu'il prononça devant le parle-
ment; et Ærithmeticæ, libr£ tres, ibid. 1555, ouvrage

qui n'a point obtenu l’approbation des géomètres.

RAMEAU. { 4st.) Constellation boréale introduite
par Hévélius pour rassembler quelques étoiles informes
ou sporades voisines de la constellation d’Hercule, Le
Rameau est situé dans le milieu de l'espace qui est entre
la Lyre et le Serpentaire, et placé dans la main d’'Her-
cule. (Joy. PI, 9.)

RA AM

RAPPORT. (4rith. et Alg.) Relation de deux quan-
utés inégales. Deux quantités quelconques considérées
dans leur relation réciproque élémentaire sont égales
ou inégales (Foy. MATHÉMATIQUES , 7); la relation
d'égalité n’a d’autres lois que celles de l'identité, mais
la relation d’inégalité peut être l’objet d’une eonsidéra-
tion particulière, parce qu’elle implique diversité, et
c’est la détermination de cette diversité qui constitue la
THÉORIE DES RAPPORTS,

En remontant aux principes de la génération élé-
mentaire des quantités, il est visible que les différens
rapports consistent dans la différence des générations
primitives élémentaires ; ainsi ces rapports sont :

1° La relation des quantités À ou B avec C, dans
l'algorithme élémentaire de la sommation AHB—C.

2° La relation de ces mêmes quantités dans l’algo-
rithme de la reproduction AXB—C.

3° Etenfin celle de ces quantités dans l'algorithme

de la graduation A

Les expressions de ces trois classes de rapports, con-
sidérées en général, sont donc, pour le rapport de
sommalion :

CREER CLR Es

pour le rapport de reproduction

CL, où ©

et pour le rapport de graduation

Log C LL _.
Log A PVC

mais les deux relations des deux premières classes étant
les mêmes, et la première de la troisième classe étant
identique avec celle de la seconde, il n'existe propre:
ment que trois relations d’inégalités essentiellement
différentes.

Nous pourrons donner aux trois classes de rapports
qui peuvent exister entre deux nombres quelconques
Met N, liés par un troisième P, les formes :

1° Rapport de sommation {nommé rapport arithmec-
tique, ou rapport par différence).

M[I]JN,;ouM—N—P
2° Rapport de reproduction (nommé rapport géo-

métrique, où rapport par quotient).

M :N,ou = P

N

3° Rapport de graduation (nommé par quelques
géomètres allemands rapport de saltation).

M {)N,;ouM—P

A RA
Les signes [:], :, (:) désignant ces trois classes de rap-
ports.

Les deux nombres comparés ensemble se nomment
les termes du rapport. Le premier terme prend le nom
particulier d’antécédent, et le second terme celui de
conséquent. Ici M est l’antécédent et N le conséquent.

RapPORT ARITHMÉTIQUE. Les propriétés de ce rapport
ne sont que des conséquences directes des lois de Pi-
dentité et ne peuvent donner lieu à aucunes lois par-
ticulières; c’est ainsi, par exemple, que le rapport ou
la différence des deux nombres M et N ne change
pas lorsqu'on augmente ou qu'on diminue ses deux
termes d’une même quantité Q, car P désignant tou-
jours ce rapport, on a évidemment

(MHQ—(N + Q=P , et(M— Q)—(N—Q)=P
d’où
M (JN = (M + Q) [IN + = (M — Q) 1 (N—Q

Ilest de même évident 1° qu'on augmente le rap-
port P, de deux nombres M{[:]N, d’une quantité Q,
en ajoutant cette quantité à l’antécédent M ou en la
retranchant du conséquent N , puisque ayant

M—N—P
on à nécessairement

M+Q—N—<PHQIMÈ(N—-Q)—P+O.

2° Qu'on diminue ce même rapport P de la quantité
Q en retranchant cette quantité de l'antécédent M ou

en l’ajoutant au conséquent N, car
(M—Q)—N—=P—-Q,M—(NLQ)—P+LQ

Rarronr GÉOMÉTRIQUE, Ce rapport jouit par sa con-
struction de toutes les propriétés des fractions ; ainsi,
d’après ce qui a été dit, ALGÈBRE, 13:

1° Un rapport géométrique ne change pas lorsqu'on
multiplie ou qu’on divise ses deux termes par une
même quantité.

2° En multipliant l’antécédent ou en divisant le con-
séquent on zzultiplie le rapport.

3° En divisant l’antécédent où en multipliant le con-
séquent on divise le rapport.

à =. x M
En effet M : N étant la même chose que

Not
on a

MXQ _. M:Q
Joe FxXQ Pi N:Q = P

M X Q M
2... ES X® y:0 =PXQ
: M:Q _P _M __p
LL. N Q' NXQ Q

RA

Rapport DESaLTATION, Nous n'avons parlé de ce dei-
nier rapport que pour compléter les différens modes
des relations possibles entre les quantités, mais il n’est
d’aucun usage dans la science des nombres.

Lorsque plusieurs rapports d’une même classe sont
égaux, leur comparaison donne lieu à une égalité qui

prend le nom de Prororriox. (Voy. ce mot.)

RAPPORTEUR. Instrument dont on se sert pour
tracer sur le papier des angles d'une grandeur déter-
iminée, ou pour mesurer les angles construits sur le
papier.

Le rapporteur est un limbe demi-circulaire (PI. 56,
fig. 4), divisé en 180 degrés, et fait de cuivre, d’ar-
gent, ou de quelque autre matière semblable. Celimbe
se termine par une règle dont le côté supérieur AB est
son diamètre. Au milieu de AB est une petite entaille
O qu’on nomme le centre du rapporteur. On fait aussi
des rapporteurs en corne transparente, mais ils sont
moins justes que les rapporteurs en métal.

Pour tracer sur le papier, avec cet instrument, un
angle d’un nombre de degrés donné , par exemple, de
50°, on place son centre O sur le point qui doit être le
sommet de l'angle, puis après avoir fait coïncider le
diamètre AB avec le côté OB donné de l'angle, on
marque, avec une aiguille, un point vis-à-vis de la di-
vision du limbe qui correspond à 5o° ; en tirant ensuite
par ce point et par le centre une droite PO, on a l’an-
gle POB de 50.

S'il s'agissait de mesurer un angle POB construit sur
le papier, on placerait le centre O au sommet de lan-
gle et le diamètre AB sur l’un de ses côtés; l'endroit
où le limbe serait coupé par l'autre côté OP, indique-
rait le nombre de degrés que contient POB.

RATIONNEL. Terme en usage dans plusieurs bran-
ches des mathématiques, avec des sens différens.

L'horizon rationnel est celui dont le plan passe par
le centre de la terre; on lui donne ce nom par opposi-
tion avec l’horizon sensible où apparent, parce qu’il ne
peut être que conçu et non vu. L’adjectif rationnel
dérive ici de raison, faculté de l'intelligence.

Quantité rationnelle, c'est celle qui ne renferme au-
cun nombre incommensurable. Dans ce cas, rationnel
dérive de raison pris dans le sens de rapport.

RAYON. (Géom.) Distance du centre d’un cercle à
sa circonférence. D'après la définition ou la génération
du cercle, tous ses rayons sont égaux. Un rayon est la
moitié du diamètre. (Foy. Cercre.)

Ravox oscuzareur. C’est le rayon du cercle qui passe
par trois points infiniment proches d’une courbe quel-
conque. Ce cercle se nomme cercle osculateur de la
courbe, et son rayon, rayon de courbure, ou rayon os-
culateur, (Foy. Courrune et Déverorpée.} On peut

RA

obtenir directement l'expression différentielle du rayon
osculateur d’une courbe quelconque de la manière sui-
vante: soit Br ce rayon, (PI. 56, fig. 5) et mm un arc
infiniment petit, commun au cercle osculateur et à la
courbe AM. Menons les droites qu’on voit dans la
figure, et du centre B décrivons l’arc po infiniment
petit. Les triangles mm'n et opq seront semblables,
étant rectangles l’un en net l’autreeno, et ayant de
plus les angles égaux m'mn, opq; ils donnent la pro-

portion
mn : MN :: pq: po
d’où
mm X po
Ex mis à

mais pq est l'accroissement que reçoit Ap lorsque la
normale mp devient m'q, C'est-a-dire lorsque l’arc Ar
croit de rm", ainsi pq est la différentielle de Ap; et
comme de plus Ap est égal à l’abscisse Ap', plus la sous-
normale p'p, en désignant Ap' par x et mp' par y, nous
avons (voy. SOUS-NORMALE)

pq —= d(x — sous normale) — = d(z se

et par suite

d (z + 2) —= mimi po —

dx an

V'(dr+dy)
__ dx

. PO
en remplaçant l’arc mm par son expression

V/(dz? + dy?)

(Foy. RECTIFICATION.)
Dégageant po, il vient

ax af — HT

arte al dx
à VIe dy]

Or, en supposant dx constant,

Yd dx°+dydy+ydy
| Er ANENT

d [+ +
Ainsi , substituant dans po , on trouve

‘as dz°+dy+yd'y
Via

Maintenant , les triangles semblables mBm', pBo don-
nent

mm — po: mm :: mB—pB : mB

et, comme »B—pB = mp — normule, d'où (voy.
SOUS -NORMALE)
mBp Vider)
dx

et que de plus

RÂ 415
pans detdp+ydy
mm —po = \/[dx?+dy] — Vide dy]
: sy
Vide +dyi'
cette proportion nous donne
JV Idx+dy]
Vds: +dy] ae
mB — a
me
Vide +
ce qui se réduit définitivement à (1)
___ (dx"+-dy') ÿ
1 didy
en désignant par » le rayon de courbure.
Si n'avions pas supposé dx constant, nous aurions

obtenu

(4x dy°)*
D — ; ———_—
; dyŒx—dxd:y

Le signe — de l'expression (1) est relatif à la position
de & que l’on cousidère comme positif lorsque la courbe
tourne sa concavité vers l’axe des x ; en effet, dans ce
cas dy est négatif, et ÿ devient positif. Lorsqu’au con-
taire la courbe tonrue sa convexité vers l’axe des x,
l'expression (1) doit être affectée du signe + , comme
nous l’aurions trouvé en construisant notre figure avec
ces conditions : ainsi les expressions générales du rayon

osculateur sont

der (+)

L'MEE 702

0 si —

FT dydx—drdy

Voyezau mot Coureure les applications de ces formules.

On arrive à ces expressions du rayon osculateur
d’une manière plus générale et plus élégante par la
théorie du contact des courbes, mais nous devons ren-
voyer aux traités de calcul différentiel et particulière-
ment à celui de Lacroix.

Rayon vecreur. Ligne droite qui va du fover
d’une courbe à un point de son périmètre. C’est, en
astronomie, la droite tirée du centre d’une planète au
centre du soleil, ou plus généralement la droite tirée
du centre d’un astre à son centre de révolution,

Rayon visuer. Ligne droite suivant laquelle l'œil
se dirige en visant un objet au travers des pin-
nules d’une alidade ou au travers d’une lunette dans les

opérations de la géométrie pratique.

414 RE
REBROUSSEMENT. {Géom.) Le point de rebrous-

sement est celui dans lequel une courbe change brus-
quement de direction et retourne en arrière. #'oy.

Poinr SINGULIER.

RÉCIPROCITÉ. ( 4{g.) Legendre, dans sa théorie
des nombres, nomme loi de réciprocité uue propriété
remarquable des nombres premiers qui consiste en ce

Verne}
que si met» sont deux tels nombres, le reste de m2 ?

mt —A

divisé par à sera toujours égal au reste de n * divisé
par 72, sim el n ne sont pas tous deux de la forme
4 x +3, où sera égal à ce dernier reste pris négative-
meutsi/z et n sont tous deux de cette forme. Ces restes
sont d'ailleurs constammeut égaux à + 1 où à — 1.

l'oy. Legendre, Théorie des nombres, ILI° partie.

RÉCIPROQUE. ( A/g.) Deux quantités sont reécipro-

ques l'une de l’autre lorsque leur produit est l'unité.

Ainsi x est réciproque dejA., +: est réciproque de sl
ct ainsi de suite. En général, on obtient la réciproque
d'une quantité quelconque en divisant l'unité par cette
quantité.

Deux quantités sont en raison réciproque où inverse
de deux autres lorsque leur rapport est réciproque de
celui de ces derniers. Par exemple, A et B seront en
raïson réciproque de C et D si l'on a

lorsqu'il s'agit de rapport, on se sert plus communé-
ment du mot inverse que du mot réciproque.

Où nomme encore Proposition réciproque celle dans
laquelle les donnees sout les conclusions d’une autre
proposition et ace versa. Ainsi la proposition : la droite
menée du sommet d'un triangle isocèle au milieu de sa
base est perpendiculaire à cette base, est la réciproque
de la proposition : a perpendiculaire abaisse du som-
met d'un triangle isocèle sur sa base partage cette base
cn deux parties cgales.

RECTANGLE. (Géom.) Figure rectiligne de quatre
côtés dont les quatre anglessont droits.

Un rectangle est aussi un parallélogramme, parce
que ses côtés opposés sont parallèles. Foy. ParaLLÉLo-
GRAMME.

La surface d'un rectangle étant égale au produit de
sa base par sa hauteur, c'est-à-dire , au produit de deux
de ses côtés contigus (voy, Aire), on a donné le nom
de rectangle au produit de deux lignes quelconques de

graudeurs differentes, et c’est de cette manière que

RE

pour exprimer, par exemple, que dans le cercle la se-
conde puissance d'une tangente est égale au produit de
la sécante entière par sa partie extérieure, lorsque ces
deux lignes partent d'un même point, on dit que le
carré de la tangente est égal au rectangle compris en-
tre la sécante et sa partie extérieure,

lectangle se prend encore adjectivement comme

daus triangle rectangle, roy. Triancre.

RECTANGULAIRE. (Géom.) Se dit généralement
des figures qui out des angles droits, et de tout ce qui
est à angles droits. Les coordonnées rectangulaires
d’une courbe sont celles qui sont perpendiculaires en-
tre elles.

Les anciens, avant Apollonius, nommaient la para-
bole

considéraient cette courbe que dans un cône dont la

section rectangulaire du cône, parce qu'ils ne

section par l'axe était un triangle rectangle au sommet

du cône.

RECTIFICATION. {Ceom.) Rectifier une courbe,
c'est trouver une ligne droite égale à un arc de cette
courbe. Les espèces de courbes exactement rectifiables
sont en petit nombre, mais lorsque le problème n’ad-
met pas de solution exacte on prut toujours obtenir une
solution approchée avec tel degré d’approximation
qu'on peut le désirer.

La première rectification d’une courbe fut obtenue
par Van-Heuract à l’aide de constructions géométri-
ques très-compliquées, c’est celle de la seconde para-
bole cubique. Wallis, dans son traité sur la cissoïde,
réclame la priorité de la découverte pour son élève
Guillaume Neil, mais comme les méthodes employées
par ces géomètres sont différentes, il paraît probable
qu'ils sont arrivés au même résultat sans avoir rien em-
prunté l’un de l’autre.

Ce n’est que depuis la découverte du calcul différen-
tiel que le problème de la rectification des courbes a
été complètement résolu et que l’on est parvenu à
mesurer une ligne courbe quelconque; car rectifier
une courbe ou mesurer sa longueur à l’aide d’une ligne
droite prise pour unité de mesure, c’est exactement
la même chose. Lorsque l'arc de courbe n’est point in-
commensurable avec l'unité de mesure, on obtient le
nombre exact qui exprimesa longueur; dans le cas con-
traire, l'expression de ce nombre cst toujoursdonnée par
une série qui permet d’en approcher indéfiniment. Nous
allons exposer la méthode extrêmement simple, qui
porte aujourd'hui le nom de rec‘ification des courbes.

1. On trouverait aisément la longueur d’un arc de
courbe donné, si l’on connaissait la différentielle de
cetarc; car en désignant par s cette longueur et en
admettant que ds soit connu, on aurait immédiatement

RE
J'Ids] RE
Aiosi le problème est ramené à trouver l'expression de
la différentielle d’un are de courbe donné.

Or, quelle que soit la courbe dont AQ (PI. 55, fig. 5)
est un arc, si nous supposons que cet arc croisse d’une
quantité infiniment petite QQ', comme alors l’abscisse
AP devient AP'et l’ordonnée PQ devient P'Q', si
neus menons (ya parallèle à l'axe des abscisses, nous
aurons un triangle rectangle QnQ' dont les trois côtés
sont respectivement les différentielles de l’absaisse, de
l’ordonnée et de l'arc, savoir : Qm = PP’, différen-
tielle de AP; Q'm, différentiele de PQ, et QQ", dif-
férentielle de AQ. Nous avons donc, en désignant l’abs-
cisse par æ, l’ordonnée par y ct l'arc par s
Va +dy).

dsa = dx? Ldy», d'où ds =

Telle est l'expression générale de la différentielle
de l'arc en fonction des coordonuées rectangulaires.
Ainsi, l'équation d’une courbe quelconque étant donnée
ils'agit d’en tirer la valeur de «4x: ou de dy, de la
substituer dans cette expression et d'intégrer ensuite.
C'est ce que les exemples suivans vont éclaircir.

2. Problème 1. Rectifier la circonférence du cercle.
Eu comptant les abscisses de l'extrémité du diamètre,
l'équation de cette courbe est
Y* = 24AT — x,

ou obtieut en différentiant

2ydy = 2adx — oxdx
d'ou
PR
F Ç

3°

En remettant pour y’ sa valeur, on a définitivement

Si l’on substitue maintenant cette valeur de dy? dans
l'expression générale de ds , elle devient
(a—2x)

ds — 71 dx + —— a ee |

adx SE
Æ Ver) — ada(2ax— x")
(aax —

ona donc

= fdx(2ax—x") * + constante.

Cette intégrale ne pouvant être obtenue sans une forme

finie , il en résulte que la circonférence du cercle n’est

RE 415
pas une courbe rectifiable ; ce que nous avons déjà vu
ailleurs. (Foy. QRADRATURE DU CERCLE.)

a |
Eu développant (24x—x°) en série et en inté-
g'ant ensuite terme par terme , on obtiendra la série
qui donne la valeur d’un arc de cercle en fonction du
rayon a , et on déterminera ensuite la constante d'après
la position de l'arc; si cet arc commence à à l’origine ou
doit être o lorsque x — 0 , la constante sera o.
L'équation du cercle rapportée au centre y2 = a —
x? conduit à une série plus simple. L'expression qu'il
faut intégrer est alors

s = afdx(a: 2) g + const.

et en prenant l'intégrale depuis x = o jusqu’à = a,
ce qui donne l'arc égal au quart de la circonférence, on
trouve

1 etc:

x circonf, —=a + = ee. n rt

Le rayon & étant pris pour unité, cette expression de-

vient

I I 3 3:5 3:57

nas tapant tatoo
3. Problème I. Rectifier l’ellipse. L'équation de

cette courbe rapportée au centre étant

UE :
= (a—x')
a
on en tire
b biz Celx 2
dy?
ay”
et par suite
dx\ lai —(a— lb? r?|
AS — —
ay (a— x)

Faisons pour plus desimplicitéle demi-grand axe a 1,

comme & — b'est le carré de l'excentrité, que “ous
désignerons par e (voy. Ecripse), il viendra 4° — b? =

1—Ù3— e, et l'expression précédente se réduira à

deV/(1 —es

v(i—x

ds —

(1—e2x) étant développé en série, il faut intégrer

l'expression

dx 1 mi se ONE ;
—— — I——C%2— exi— 1: e°x"— eLlc
J V(1—2x) du 2.4 2:4:0

Axrdx
dont tous les termes sont de la forme f= — =
V(i—x)

416 RE

ce qu'on effectuera par les procédés indiqués INTEGRAL,
37. On obtiendra de cette manière, en désignant par

M l'arc dont le sinus — x , qui est donné par

Er es — arc (sin =)
: (1— x?

x. V/1—e xs ee
JE —=M+-e aviæ —:

vVi—-x

4 2.4 /
1:3
se |
2.4
+ etc........ —+ const
En faisant æ — a — 1, cas où l’on a const — oet
1 |
M— - 7, onobtient pour la valeur du quart de l’el-
2
lipse
1 Ti Vir1:9 1.1.1:3.3.5, sé
Tr |1— E— —- 5x €” — ic.
2 DR) 2.92.4.4 2.2:9:9%0:0

série très-convergente lorsque lexcentricité e est une
petite fraction.

4. Problème IN. Rectifier les paraboles des divers
degrés représentées par l'équation y = px, dans la-
quelle » est un nombre quelconque entier ou fraction-
paire.

Cette équation fournit dy = npx"—1dx, d'où

Vde+dy |] = da\/[i + n'prar 3],

Aiusi l’arc parabolique est exprimé par (a),

JU + n°p°x2—2] z

intégrale qu’on peut obtenir sous une forme finie, lors-
que l’exposant 2n—2 est égal à l'unité ou s’y trouve
contenu un nombre exact de fois. (Foy. InrécraL, 33.)

Dans le cas de 22 —2 1,ce quidonnen = -,
2

3
la courbe est donnée par l'équation y — px*, ou y°—

pex}, c'est la seconde parabole cubique, et Von obtient
our l'expression de son arc, compté à partir de l’ori-
I l

À

Nous avons dit que cette courbe est la première qui ait

gine Où Z — 0,

8

27 p°

Je +9 re)

été rectifiée.

n ll Fa
Si nous POSONS 24 — 2 — 2 In désiguant ui HON\-
2

RE
2m 1

bre entier, nous aurons n = ——"-
om
= p?ximi correspondra à une infinité de paraboles

rectifiables.

, et l’équation y?"

toutes exactement Quant aux autres, il
n’est possible de les rectifier que par approximation.

L'équation de la parabole ordinaire ou conique est
y = pa*; faisant donc nr — 2 dans l’expression (a),
nous obtiendrons en intégrant par parties.

RUE sde
=a(1+4p x SE pre

= x (1+4p?x)s

JU + pa fidx =

Ve ap LE A à à +4p°æ)]
+ const.

Oa supprimera la constante si l’on compte Parc pa-
rabolique à partir du point où x = 0.

5. Problème IV. Rectifer la cycloïde. L'équation de
cette courbe est (voy. CxcLoïpe)

x — arc (sin = V/[2ry —7°]) — V/2ry — 7°],

En observant que le sinus qui entre dans cette expres-

sion est pris dans le cercle générateur dont le rayon est

r, on obtiendra par la différentiation
nr

dx = RAR

Vory — y°

Elevant à la seconde puissance et substituant à dx* sa
valeur, dans ds == \/{dx? + dy*), il vient

dont l'intégrale est

dy

Var — — 2V/.{ar(2r—y)] + const.

V'ory—y

Pour interpréter ce résultat, remarquons que la par-
tie variable de l'intégrale s’évanouit lorsqu'on fait
y =2r,et, par conséquent, que si l’on compte l'arc
cycloïdal àlpartir de ce point, iln°y a pas besoin d’ajou-
ter de constante. On a donc pour la valeur absolue de
l'arc compris entre ce point, milieu de la cycloïde, et
le point dont l’ordonnée est y,

oV/{2r(2r—7)].

Or, dans la figure6 , pl. 50, si lon considère l’are

cycloïdal DM, on voit que la partie BN du diamètre

de cercle générateur est égal à l’ordonnée du point M,

RE

ainsi posant BD = 2r et BN — y, il est facile de recon-
naître que la corde DH est égale à

VIBDXDN] = V/{or(2r—p)
donc
arc cycloidal DM — 2DH.

En faisant y — 0 , cet arc est la moitié de la cycloïde,
et la corde devient le diamètre du cercle gévérateur ;
ainsi, /« cycloide entière ADC est égale à quatre fois
le diamètre du cercle générateur.

6. Lorsque l'équation des courbes est donnée en coor-
données polaires , il faut employer la différentielle de
l'arc exprimée en fonction de ces mêmes coordonnées ;
cette expression est

ds = Vd= +zd"],
z désignant l’ordonnée , et v l'angle de cette ordonnée
avec l’axe.

En effet, nous avons vu (POLAIRE) que pour passer des
coordonnées rectangulaires à des coordonnées polaires,
il fallait poser les équations

x—=aæ%zcos(v+#f$), y — b+zsin(v+5).
Ainsi, différentiant ces expressions, nous aurons
dx — dz.cos(v+8) — z.sin(sv+5).dv
£) + z.cos(v+£).dv.

Elevant chacune de ces égalités à la seconde puissance

dy = di.sin (v

et ajoutant, il vient

da + dy: = [cos (v +B)+ sin? (e+ B)]d2?
—[cos’(v + 8)+ sin? (v+£)1e dv
etenfin ,
dx+dy = d:+=4dv
à cause de cos? (v+-5) + sin’ (v+5) = 1.
Nous dounerons ailleurs des exemples de l’applica.-
tion de cette dernière formule. (Foy. Srinare.)

RECTILIGNE. (Géom.) Terme qui s'applique aux
figures terminées par des lignes droites.

RÉCURRENTE. (Alg.) On nomme, en général,
série récurrente, toute série dans laquelle chaque terme
est formé par un certain nombre de termes qui le
précèdent , d’après une même loi. Telle est, par exerm-
ple, la suite des nombres

1}23; 45.7, 11, 16, 27, 43, etc.
dont chaque terme est égal à la somme des deux termes
qui le précèdent immédiatement ; telle est encore
1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, etc.

dont chaque terme est formé par celui qui le précède
TOME 11,

RE 417

de deux rangs, ajouté au double de celui qui le pré-
cède immédiatement.

Ces séries, considérées pour la première fois par
Moivre, dans ses Miscel. analyt. et dans sa {octrine
of chances, sont engendrées par le développement de
toute fonction fractionnaire rationnelle, et on les classe
par ordres selon le degré du polynome qui forme le dé-
nominateur de la fraction. Ainsi, la série qui résulte
du développement de

a
P+qz ?

est dite récurrente du premier ordre ; celle qui résulte
de
a+bx
p+qa+re*

se nomme rccurrente du second ordre; et ainsi de suite.

Dans une série récurrente de l'ordre 72, les m pre-
miers termes sont indépendans les uns des autres, et la
loi de génération ne commence à se manifester que dans
le m+iième terme qui est alors formé, ainsi que tous
ceux qui le suivent , par la somme des »2 termes précé-
dens, multipliés chacun par des quantités constantes,
dont l’ensemble se nomme l’échelle de relation.

Pour éclaircir cette théorie, examinons en particulier
la formation des séries récurrentes du second ordre.
Posons

a+bx
p+gx—+rx

= À + Br + Ca? + Dai + etc...

et déterminons les coefficiens À, B, C, D, etc. par la
méthode des coefficiens indéterminées. (Voy. Corrri-
crexs.) En multipliant les deux membres de cette éga-
lité par p+qgx—+rx?, et trausposant ensuite tous les
termes dans le second membre, nous obtiendrons

(#7 + Bpix + Cpla + à + Eplai + etc.

0 = }—at A9 +84 Cl Dql
— b + Ar Br! Cr
ce qui donne les équations
Ap—a — 0, d'où À 2°
P
Bp+Ag+b = 0, b = --{ À 4. a
Cp+Bg+-Ar — 0, = ere "a,
P P
| r
Dp+CyBr= 0, D=-1c—75,
Ep+Dq+Cr = 0, P—=27De-0
P V4
elc... elc

A18 RE
On voit d'abord que les deux premiers coefficiens À
B s’obtiennent sans aucune loi, et, qu’à partir du troi-

sième, chaque coefficientest formé dela somme des deux

ni . te r
précédens, multipliés respectivement par — me ;
P P
c'est-à-dire le cofficient qui précède de deux rangs par
r = . q
—-, et celui qui ne précède que d'un rang par — À.
P

Ils’ensuit que les cocfficiens A, B, C, etc. forment eux-
mêmes une serie récurrente du second ordre dont

l'échelle de relation est
r q
P P
Maintenant, si nous examinons chaque terme de la

série, nous {rouverons que

le 3° est — TBr3 —? Aæ,ou—” a'A— Tx.Br
P P P P

le 4° — + Cri — . Bz', —_wBx— 7 x.Cxr
P P P P

les —7Dzri — "Cri, —’xCx—Tx.Dxt
P P P P

etc. etc. etc.

Ainsi, chaque terme de la série, à partir du troisième ,
est égal à la somme des deux précédens, multipliés res-
pectivement par

Ontrouverait de la même manière que dans l4 série

récurrente qui résulte du développement de la fraction

a+bx+ce
p+gr+r2+sx 3?

chaque terme, à partir du quatrième, est égal à la
somme des trois termes qui le précèdent, multipliés
respectivement par

et ainsi de suite. Si, pour plus de simplicité, on prend
p=1, ce que nous allons faire dorénavant , l'échelle

— gq;, et
celle des termes : — 5x7, — rx°, — gx. Généralement,

de relation des coefficicns est — 5, —7r,

on n’a besoin que de considérer l'échelle de relation
des coefficiens.

Il résulte donc de tout ce qui précède , que l'échelle
de relation des coetficiens de la série récurrente engen-
drée par une fraction dans le dénominateur = 1 +

qe + rat + sx H etc... za,

est.

RE
— 2, etc... —s,—r, —4q;,

c'est-à-dire que cette échelle se compose de Ja suite des
coefficiens mêmes de ce dénominateur prise en sens
inverse etavec des signes contraires. Ainsi, lorsque par
la division on aura obtenu les »2 premiers termes de la
série, on pourra la continuer indéfiniment au moyen de
l'échelle de relation.

Les deux problèmes principaux qu'on peut se propo-
ser sur les séries récurrentes sont de déterminer leur
terme gencral et leur terme sonmatoire (voy. TERME);
nous allons indiquer leur solution.

Soit proposée la série récurrente
A + Bx + Ca’ + Dxi + Ext L etc.

due au développement de la fraction

a+ bx + ca + etc... + mxm—t

1— qu— rx — etc... —({x"

et dont l'échelle de relation est ++, etc... +,
+ r, + g. Si l'on décompose cette fraction en fractions
partielles,

—— + P + 7 +

I—ax I = Ye

vw
Le)

- te.
à +- etc

1— à

et qu'on développe chacune de ces fractions partielles
en série récurrente du premier ordre, on aura la suite
des séries

a, + bix + ex + dix + ext Hetc...

a, +bx + c,x? + date xi+ete...

a, + b,x + c,x? + d,xÿ +e,ti+ etc...

a, + dix + xt + dixÿ + eiri + etc...

ét. ssss CC.

dont la somme sera évidemment égale à la série propo
sée. Ainsi

A—a +a,+a,+a,—ba,+ etc...

B—b+Lb +b, +b, +b, + etc...
C=c+c,+e,+e, +, +etc...
D—d +4 +d,+d, + d,+etc...
etc. — etc..,..

etilest visible que le coefficient du terme général de
la série proposée se trouve égal à la somme des coeffi-
ciens des termes généraux de toutes les séries partielles. |
Or la décomposition des fractions rationnelles en frac-
tions partielles ne conduit pas seulement à des frac-

r

tions partielles de la forme

, Mais encore à des
I—ax

la forme nu
(1—ax)#

fractions de

; il devient donc cs-

RE
sentiel d'examiner les séries qui résultent de ces frac-

tions.

N
D'abord la fraction s donne la série
— "1, n

M + Max + Max + Maxi + Maixi + cte.
dont le terme général est Mo—1x—t1, m étant l'in-
dice du rang des termes.

La fraction an —

Rep engendre la série
— ax

M Max + 3Max + 4Maxs + 5Maai etc.

dont le terme général est mMan—iam—t,

La fraction donne la série

M
(1—ax)
M + 3Max + GMax° + 10Max + 15Mzixi + etc.

Man—igm—1

Le: m(m+ 1)
dont le terme général est —
1.

— donne la série

En général, la fraction -
(xx)

ui
\F

M+uMax +

1) utu 1) y)
Max LaaL si L 232? »tc.
ue Max + S Mz'x'+etc

dont le terme général est

mim+1)(m+2)...(m4p—2) Méusse
120 -e0-eselu 1) à

Donc toutes les fois que la décomposition d’une
fraction rationnelle pourra s'effectuer en fractions par-
_—_, on pourra toujours dé-
a—axp °° P ]
terminer le terme général de la série récurrente engen-
drée par cette fraction. C’est ce que nous allons éclaircir

üelles de la forme

par des exemples particuliers.
Exemple X. Trouver le terme général de la série
récurrente produite par le développement de la frac-

tion

Cette série est
1+ox+2x ox +6xiLrox+a2xt + ot, etc.

dans laquelle le coefficient de chaque terme, à partir
du troisième, est égal à la somme des deux qui le pré-
cèdent, multipliés respectivement par + 2, +1

Les facteurs du premier degré, du dénominateur 1 —x
— 22? étant 1+x, 1—2x, posons

419

RE
et tirons de cette égalité la valeur de P et de Q, nous
trouverons (voy. INréGrAL, 27).

2 ll

RE

Or les termes généraux des séries engendrées par

I L
2 3

I +x I —o
sont, d’après ce que nous venons de voir,

2 \m—1 ï :
_ — ni — MmM— =
(—1) .T ;

3
Ainsi le terme général de la série proposée est

QM—I, MI

}
à

É (—1)-1+ 3 ges Jens

ou

2m—12 (— TJ 1 mi
RC CS x

En faisant successivement dans cette expression
m=—:1,2, 3,etc., on obtiendra les termes successifs 1,
ox 9?,etc. de la série, sans avoir besoin de les con-
struire les uns à l’aide des autres.

Exemple W. Trouver le terme général de la série
qui résulterait de la fraction

1—x— x a

En décomposant cette fraction on obtient

I 1 I
ANR re Ne
Ga) (it He) (12) a I—X 1x

Le terme général demandé est donc

Ù I Ll
mi y — == tt L'AI—I
3 ME — 4 ami A 1) x

I — 1

2m +1 + (it
4

d’où résulte la série
1 x or? Ho Æ Bi + 3x5 + 4x + 4x7 +etc...
La recherche du terme général d’unesérie récurrente
est donc fondée sur la décomposition de la fraction gé-
nératrice en fractions partielles , décomposition d’une
grandeutilité dans le calcul intégral, et qui se réduit en
dernier lieu à la détermination des facteurs du déno-
minateur. Cette question est par conséquent soumise à
toutes les difficultés de la résolution des équations. La
recherche du terme sommatoire donne lieu à deux pro-
blèmes différens; ou l’on demande le véritable terme

sommatoire, c’est-à-dire celui qui donne la somme d'un

420 RE

nombre quelconque de termes d'une série récurrente
proposée, ou l’on demande seulement la somme de
tous les termes , C'est-à-dire, la fraction génératrice de
la série. Nous traiterons seulement ici ce dernier cas,
qui est le plus facile; le premier sera examiné ailleurs.
(Voy. SommaToirE.)

Pour fixer les idées, soit
À + Bx + Cr’ + Dr L Exi + etc...

une série récurrente du troisième ordre, dont l'échelle
de relation est

+r, +4, + p.

Cette échelle nous fait immédiatement connaître le dé-
nominateur de la fraction génératrice

1— px — qui — rx;

ainsi le numérateur deyant être de la forme

a+ bx +

cx?, posons

a+ bx + cx°

1— pX —qX— rx

— À + Br + Cx + etc...

et la méthode des coefficiens indéterminés fera

trouver les relations

nous

a = À
b = B — pA
c = C — pB — gA;

donc la fraction demandée cest

A + (B—pA)x + (C—pB—gA)x
1 — px — qu? — rx?

soit, pour exemple, la série du troisième ordre

1— 02 + 33 — 102 + o2xt — Six — etc.

L’échelle de relation est — 3, +2, —7r,et, par
conséquent, le dénominateur, 1 + x — 2x? + 3x;
comme nous avons en outre À —1,B—=—92,C—3,
en substituant ces valeurs dans la formule, nous trou-
verous pour la fraction génératrice de cette série

I—Z— x?
14x22 nt

Si la série était du quatrième ordre et son échelle de

relation 45, +Ær,—+g,—+ p., une marche sembla-
ble nous ferait trouver pour les indéterminées a, b, €,
d, de la fraction génératrice

a + dx + ca? + da

1 —pX — q2° — TX — sx

les expressions

RE

a = À
— B — pA
c—= C—pB — A

d= D — pC — 4B — rA

La loi générale de ces déterminations est facile à saisir.

Daniel Bernouilli a tiré de la théorie des séries ré-
currentes un procédé très-ingénieux pour obtenir par
approximation les racines des équations numériques
d’un degré quelconque. Nous avons exposé ce procédé
au mot APPROXIMATION ; il nous reste ici à faire connai-

tre les principes sur lesquels il est fondé : soit

a + bx + ca + dx? + ext 4-etc.

1— pa —qr— rx — sx — 1x" — etc.

la fraction rationnelle dont le développement est la sé-
rie récurrente

AL Br Cat + Dai + Ext + Fax — etc.

D'après ce qui précède, les coefficiens A, B, C,
D, etc. de cette série, sont déterminés par les ex-
pressions.

A=a
B = pA + bd
C= pB +gA+c
D = pC + qgB +rA + d
E = pD + gC+7rB+ sALe
etc. — etc.
et son terme général se trouve par la résolution de la

fraction génératrice en fractions partielles dont les dé-

nominateurs sont les facteurs du dénominateur
1 — pr — qu? — rx — etc.

Supposons que la décomposition de la fraction ra- |
tionnelle en fractions partielles donne la suite |

a! b' c'

+ +

d' :

+ + etc.

1—ax 1—fx I—yx 1—0x

(a'am—t + b'Em—1 + c'ym—2 +- dJ'm—1 + etc.) æ—1

Si nous désignons par P le coefficient de æ#—1, et par

alors le terme général de la série récurrente sera
Q,R, etc. ceux des puissances suivantes, la série pren-

dra la forme

A+Bx+CrHetc...+Pan-1+ Qu Ranm+itetc….

Ceci posé, remarquons que les puissances des nombres
inégaux deviennent d’autant plus inégales les unes par
rapport aux autres que ces puissances ont des exposans

RE
plus grands; ainsi en admettant que # soit un nombre

plus grand que tous les autres 8, y, d, etc., et que 7
soit un très-grand nombre, on aura à peu près

P — a'xn—1 s Q = dam

D'où

Q
P

Donc, lorsque la série récurrente aura été prolongée
très-loin, le coefficient d'un terme quelconque divisé
par le coefficient du terme précédent donnera à peu
près la valeur de «, et cette valeur sera d’autant plus
approchée que les coefficiens employés pour l’obtenir
appartiendront à des puissances plus grandes de x.

Mais 1—4x est un facteur du premier ordre du dé-
nominateur 1—px—qx — etc. de la fraction ration-
nelle, et lorsqu'on connaît un tel facteur on connait
aussi une racine de l'équation (a)

1 — px — qu? — rx — sui — etc... = 0

—

savoir æ— -, donc puisqu'on trouve par la série ré-

&

currente le plus grand nombre #, on obtient en même

ue : . I ”,
temps par cetle séric la plus petite racine - de l’équa-
x
tion (a)

Si l'on fait x — -—, l'équation devient (b)

CRE

CALE pz—1 = qza—2 — ram—3 — etc... —0

dont la plus grande racine est 3 — x.

Ainsi en admettant que l’équation (b) ait toutes ses ra-
cines réelles et inégales entre elles, on trouvera la plus
grande de la manière suivante : Prenez à volonté des
nombres @, b, c, d, etc., et avec ces nombres et les
coefficiens de l'équation proposée formez la fraction
rationnelle

a+ bx + cx? + dx + etc.

1 — pi — qu? — ra — sxi— etc.

ou, ce qui revient au même, prenez à volonté les »2
premiers termes d’une série récurrente et formez les
suivans avec l'échelle de relation.

etc... +s,+r, +9, +p

prolongez suffisamment cette série; le quotient du
coefficient de l’un de ses termes par le coefficient du
terme précédent donnera la valeur approchée de la
plus grande racine.

Par exemple, soit à trouver la plus grande racine
de l'équation

A? — 3x — 1 —0.

RE 41

formons la fraction
a + bx
1 — 3x — 2°
dont le développement, en supposant 1 et 2 pour les
deux termes, donne la série récurrente

1, 2, 7, 23, 76, 251, 829, 2738, etc...

Nous aurons dunc pour la valeur approchée de la ra-
cine demandée

Or, la plus grande racine de l’équation proposée est

LT - +

= + 2V13— 3, 3027756...

d’où l’on voit que la valeur trouvée est exacte jusqu'à
la cinquième décimale. Fn calculant un terme de plus,
dans la série, ce terme, qui est 9045, fournit une va-

leur encore plus approchée, car on a

Euler a exposé cette méthode en détail dans son
Introduction à l'analyse des infiniment petits, et La-
grange en a fait le sujet d’une des notes de son Traité
de la résolution des équations numériques. Nous de-
vons renvoyer à ces ouvrages.

RÉDUCTION. C'est, en général, dans la science des
nombres, la conversion d’une quantité eu une autre
quantité équivalente exprimée plus simplement. Par
30ab?

15a°b

facteurs communs aux deux termes.

exemple se réduit à 2ab en retranchant les

Quelques auteurs ont distingué les réductions, pure-
ment arithmétiques, en ascendantes et descendantes.
La réduction ascendante est celle qu’on opère lorsqu'on
exprime en unités d’une plus haute désignation une
quantité donnée en unités d’uue désignation inférieure.
Telle est la réduction de 120 secondes en 2 minutes. La
réduction descendante est le contraire, telle est celle de
24 pieds en 4 toises. Ces deux espèces de réductions
s’effectuent toujours ; la première par des divisions et
la seconde par des multiplications. Comme elles sont
d’un usage habituel dans les calculs, nous allons en
donner quelques exemples.

1. Réduction ascendante. Pour réduire une quantité
donnée, dont les unités sont d'une désignation quel-
conque, en une autre d’une désignation supérieure , il
faut préalablement connaître le rapport qu'il y a entre
les unités de chacune de ces désignations ; ainsi, par

exemple, pour réduire 155 schellings en livres ster-

+
19

2 RE

lings , il faut savoir qu'un «chelling est la vingtième
partie d'uve Livre sterling, ou qu'une livre vaut 20
schellings, car ce rapport étant connu, une simple di-
vision suffit pour opérer la réduction. Eu effet, autant
de fois 20 est contenu dans 155, autant de fois 153

schellings valent de livres sterlings, et comme ici
= 7, reste 15

on trouve, en effectuant la division, que 155 schellings
équivalent à 7 livres, plus 15 schellings.

S'il s'agissait de réduire 2563” en minutes, comme
la minute vaut 60”, on diviserait 2565 par 60, et l'on
trouverait

2565

, 5
: 2, reste 49
600 bé 4

/

d'où 2565" — 42° 45"

5”. Et de même pour tous les cas.

2. Reduction descendante. Lorsqu'une quantité est
exprimée en unités d'une désigaation quelconque
et qu’on veut la réduire en unités d’une désignation in-

férieure

,

il faut évidemment la multiplier par le
nombre qui exprime combien la première unité con-
tient de fois la seconde ; car, en admettant qu’une unité
de la première désignation soit équivalente à 72 unités
de la seconde, A unités de la première désiguation se-
ront équivalentes à 72 fois À unités de la seconde dé-
signation: ainsi, s’il s'agissait de réduire 7 livres ster-
liugs en schellings, on multiplierait 7 par 20, comme s'il
s'agissait de réduire 42° en secondes ; on multiplierait
42 par 60, et de même pour tous les cas.

Les reductions numériques ne sont donc jamais que
de simples changemens de forme, et la quantité primi-
tive est toujours équivalente à la quantité réduite. Il
n’en est pas de même dans les réductions geéomeétri-
ques, comme nous allons le voir.

Répucrion des fractions à leur plus simple expres-
sion. (Foy. COMMUN DIVISEUR.)

Réoucriox. ( Geom.) Réduire une figure géomé-
tique, c’est faire une figure seuiblable dont les dimen-
sions soient plus petites. La levce des plans ne se com-
pose que de cette espèce de réduction, car son objet
principal est de tracer sur le papier l'image en petit de
ce qui est sur le terrain.

Pour réduire le quadrilatère ABCD (PL. 56, fig. G.), il
s’agit donc de construire un quadrilatère plus petit et
semblable abcd; ainsi avant tiré une droite ab qui soit
la moitié, le tiers , le quart , ou en général une partie
quelconque du côté AB , on fera aux points a et b des
angles égaux aux angles À et B, puis où donnera aux
côtés ab et be des longueurs qui aient le même rappoit
avec AD et BC, que ab avec AB ; on mènera ensuite
la droite de, et le quadrilatère réduit abcd sera con-
struit,

RE

La réduction des figares géométriques s'effectue prin-
cipalement par la réduction de leurs côtés ; ainsi il est
nécessaire de construire préalablement des échelles
(Foy. ce mot.) , ou de se servir du compas proportion-
nel. Cet instrument est composé de deux branches
(PI. 25, fig. 5 ) terminées en pointes à leurs deu x extré-
mités et réunies par un axe mobile, que l’on fixe à l’aide
d'une vis (2). Des divisions gravées sur l’une de ses
branches indiquent le point où il faut fixer l'axe pour
qu’en prenant la longueur d’une droite avec deux des
pointes l’ouverture des deux pointes opposées donne
la longueur de la droite réduite. Si l’on veut, par exem-
ple, que les côtés de la figure réduite soient le tiers de
ceux de la figure donnée , on règle le compas de ma-
nière que l’ouverture des plus petits bras soit le tiers
de celle des grands bras.

On réduit encore une carte, un dessin ou une figure
par le moyen du treillis, c’est-à-dire en divisant l’ori-
ginal , ainsi que le papier sur lequel on doit faire la co-
pie, en petits carrés par des lignes droites, puis en des-
sinant dans chaque carré du papier ce qui se trouve
contenu dans le carré correspondant de l’original. Le
nombre des carrés doit être nécessairement le même
dans les deux figures; seulement on fait ceux de la
seconde plus petits ou plus grands, selon qu'on veut
que la copie soit plus petite ou plus grande. La figure
3 de la planche 56 donne un modèle de cette réduc-
tion.

R£pucrion des angles au centre de la station. Dans
les opérations de l’arpentage, il arrive souvent qu’on
ne peut placer exactement le graphomètre au centre
des objets pris pour points d'observation, et l’on est
alors obligé de réduire les augles observés pour les ra-
mener à ceux qu’on aurait trouvés si l'instrument eût
été placé au centre. Cette opération qui ne présente
aucune difficulté est décrite dans tousles traités d’arpen-
tage.

RÉDUCTION 4 L'écuiprique. (Ast.) C’est la diffé:
rence de l'arc NP, compris entre le lieu P d’une
planète (PI. 56, fig. 3 ) et son nœud N, avec l'arc NR
de l’écliptique, intercepté entre le nœud et le cercle de
longitude de la planète. L'angle d’inclinaison de l’or-
bite étant donné, ainsi que l’arc NP, on trouve celte ré-
duction en calcuiaut, dans le triangle sphérique NRP, le
côté NR, qu'on retranche ensuite de NP.

RÉELLES. (QuanriTés nÉELLES.) En algèbre, ce sont
les quantités qui ne contiennent point de racines paires
de quantités négatives. On les nomme ainsi par oppo-
sition avec les quantités dites imaginaires, qui se com-
posent précisément de telles racines. ( Foy. Imacr-
NAIRE.)

RE
RÉFLÉCHI. ( Optique.) On donne ce nom à tout
rayon lumineux qui a éprouvé un changement de di-
rection par la rencontre d'un obstacle impénétrable

pour lui. (Foy. Rérrextow.)

RÉFLEXIBILITÉ. Propriété qu'ont certains corps
de rejaillir, lorsqu'ils rencontrent dans leur mouve-
ment un obstacle insurmontable. La reflexibilité est le
caractère distinctif des corps élastiques.

Newton a découvert le premier que les rayons de lu-
mière qui sont de différentes couleurs ont différens
degrés de réflexibilité. Il résulte d’autres expériences
que les rayons les plus réflexibles sont les plus réfran-
gibles.

RÉFLEXION. (Méc.) Mouvement rétrograde d’un
mobile occasionné par la résistance d’un obstacle qui
l'empèche de suivre sa première direction et le fait
rejaillir après le choc. La cause de ce changement de
direction est le ressort ou l’élasticité des corps, car si
les corps n'avaient point de ressort, il n’y aurait point
de reflexion. Les corps élastiques sout donc les seuls
qui soient susceptibles d’un mouvement réfléchi, mais
comme ils n’ont pas tous le même degré d’élasticité, les
résultats de la théorie mathématique de Ja reflexion ne
doivent être considérés que comme des approximations
lorsqu'il s’agit de corps autres que la lumière, l'air et les
gaz. (Woy. Cnoc.)

Les lois de la réflexion de la lumière font l’objet de
la Carorrrique. (Foy. ce mot.)

REFLUX. Joy. Manées.

RÉFRACTION. ( Méc.} Changement de direction
d’un mobile qui passe obliquemeut d'un milieu dans un
autre, qu'il pénètre plus ou moins facilement.

Si on lance dans l'air, par exemple, une balle A
(PI. 56, fig. 8) de manière qu’elle aille frapper obli-
quement en B la surface MN d’une pièce d’eau ; cette
balle, en pénétrant dans l’eau, ne continuera pas à se
mouvoir dans la direction AF, mais elle se détournera
pour prendre une direction BE, qui fera un angle avec
la première au point de contact des deux milieux ; de
sorte que la direction primitive paraîtra comme brisée
au point B; d’où vient le mot de réfraction.

Ce phénomène est produit par les résistances iné-
gales que les milieux d’une densité différente opposent
au mouvement d'un mobile; on peut aisément l'expli-
quer à l’aide des considérations suivantes.

Lorsqu'un corps solide , mis en mouvement , passe
d’un milieu daus un autre, comme de l’air dans l’eau
ou de l'eau dans l'air, ces milieux n'étant pas égale-
ment pénétrables pour lui, par la différence de leurs

densités, l’un lui opposera plus où moins de résistance

RE 425
que l’autre, et ce plus ou moins de résistance qui ne
pourrait que ralentir ou augmenter la vitesse du mo-
bile, sans changer sa direction , s'il rencontrait perpen-
diculairement la surface de contact des deux milieux,
doit nécessairement le faire dévier de sa direction pri-
mitive, s’il rencontre obliquement cette surface de con-
tact. En effet, soit MN (PI. 56, fig. 9.) la ligne de sé-
paration des deux milieux, et CIT une perpendiculaire
à ceîte ligne; tout corps mu suivant cette perpendicu-
laire continuerait à se mouvoir dans la direction CH,
car en pénétrant dans le second milieu, que nous sup-
poserons ici le plus dense, la résistance qu'il aura à
vaincre ne pourra évidemment que diminuer sa vitesse
sans changer sa direction, puisque cette résistance agit
dans le sens même de la perpendiculaire ; mais si le mo-
bile se meut suivant la droite AB, oblique par rapport
à MN, on peut décomposer ia force qui le met en mou-
vement en deux autres, l’une parallèle à MN, et l’autre
perpendiculaire à cette même droite; or, au moment
où ce mobile pénètre dans le second milieu, la force
qui agit selon la perpendiculaire se trouve diminuée
par la résistance plus grande du milieu : ainsi en ad-
mettant que les forces primitives soient représentées
par BM et BH, de manière que sans l'influence du se-
cond milieu le mobile parcourrait la diagonale BG en
ligne droite avec AB ; si la force diminuée est repré-
sentée par BE, le mobile parcourra la diagonale BF,
c’est-à-dire qu'il s’écartera de sa première direction en
faisant avec la perpendiculaire CH un angle FBH plus
grand que l'angle d'incidence ABC. Le contraire arri-
verait si le mobile passait d’un milieu plus dense dans
un autre moins dense.

La réfraction dépend donc de deux conditions essen-
tielles et sans lesquelles elle n'aurait pas lieu. La pre-
mière est le passage d'un mobile d’un milieu dans un
autre plus où moins résistant, la seconde est l’obliquité
d'incidence du mobile. Si donc le mobile passe obli-
quement d’un milieu rare dans un plus dense, d'un
milieu moins résistant dans un plus résistant, il se ré-
fracte en s’éloigaant de la perpendiculaire à la surface
de contact des deux milieux, c’est-à-dire en faisant son
angle de réfraction plus grand que son angle d’inci-
dence. Tandis que si le mobile passe obliquement d’un
milieu dense dans un plus rare, d’un milieu plus ré-
sistant dans un moins résistant , il se réfracte en se rap-
prochant de la perpendiculaire et en faisant son angle
de réfraction plus petit que son angle d'incidence.

Les rayons de la lumière qui passent d’un milieu
dans un autre se comportent comme les corps matériels
en ce qu’ils éprouvent une réfraction, mais cette ré-
fraction s'effectue d’une manière entièrement oppo-
sée.

Rérnacrion de la lumière. La déviation qu'éprouve

424 RE
un rayon de lumière qui passe d’un milieu dans un au-
tre se prouve par une expérience très simple. Si dans un
vase à parois non transparentes et rempli d’eau on place
au fond, en C (PI. 56, fig. 10 ), une pièce de monnaie, et
qu’on s'éloigne de manière à avoir l’œil en A dans la direc-
tion BA du rayon réfracté BC , on apercevra la pièce de
monuaie dans la direction AB, comme si elle était placée
en D au fond du vase ; mais si on ôte l’eau du vasé, en
laissant tout le reste dans les mêmes conditions, on ne
pourra plus apercevoir la pièce métallique.

On formule en ces termes la loi générale de cette re-

fraction de la lumière :

Lorsqu'un rayon lumineux passe obliquement d'un
milieu transparent dans un autre, il s'écarte de sa
direction primitive et subit une réfraction. Si par le
point d'incidence où le rayon rencontre le second mi-
lieu, on concoit une ligne perpendiculaire à la surface
réfractante, le rayon en se refractant s'approchera de
cette perpendiculaire, si Le milieu où il entre est plus
dense que celui qu'il quitte; et, au contraire, s'il est plus
rare, il s’en écartera.

Supposons que O (PI. 56, fig 11 ) soit le point où le
rayon de lumière RO passe d’un milieu dans uu autre,
soit que la surface qui sépare les deux milieux se trouve
plane comme MN, ou concave comme AB, ou enfin con-
vexe comme CD; supposons en outre que le milieu le
plus rare soit au-dessus de la surface de séparation, et
le milieu le plus dense au-dessous; si l’on élève en O
la droite EF perpendiculaire à la surface de séparation,
et qu'on imagine un plan qui passe par RO et EF, le
rayon réfracté OL reste bien aussi dans le même plan,
mais l’augle LOF qu'il fait avec la perpendiculaire EF
est plus petit que l'angle ROE que fait le rayon incident
RO avec cette même perpendiculaire.

Si du point O comme centre et avec un rayon arbi-
traire on décrit le cercle EGFL, et que des points Get L
où le rayon incident et le rayon réfracté coupent sa
circonférence on mène les droites GP et LQ perpen-
diculaires à EF, ces droites seront les sinus des angles
d'incidence et de réfraction ROE, LOF. Or, Descartes
a découvert que ces sinus ont toujours un rapport in-
variable, quel que soit l’angle d’incidence, les deux
milieux où la lumière se meut restant les mêmes. (Voy.
Ovrique.) Ce rapport constant du sinus d'incidence au
sinus de réfraction est la loi fondamentale de la diop-
trique; on l’énonce ainsi :

Lorsqu'un rayon lumineux passe d'un milieu dans
un autre, ilest réfracté de manière que le sinus de
l'angle d'incidence et celui de l'angle de réfraction
sont entre eux dans un rapport constant.

Les physiciens nomment ce rapport Le rapport de
réfraction. As ont aussi la coutume de désigner les an-

RE

gles ROE ; LOF d’après le nom du milieu où ils sont :
l'angle dans l'air, l'angle dans l’eau, dans leverre, ete.

Les rapports de réfraction les plus importans sont
ceux qui existent entre l'air et le verre, l’air et l’eau.
Le dernier est à peu près celui de 4 à 3; quant au pre-
mier, il varie selon la nature du verre; ainsi entre l'air

: , 3
et le verre commun il estenviron -, ou plus exacte-
2
I , 155
ment 1, entre air etle crown glass —, et entre
100

ï F 58
lairet le flint glass sl
100

Rérnacrion Armosraémique. Déviation qu'éprouvent
les rayons lumineux émanés des astres, en traversant
notre atmosphère, et par laquelle ces astres nous pa-
raissent plus élevés au-dessus de l'horizon qu'ils ne le
sont en effet.

Supposons T (PI. 56, fig. 12) la terre, € le lieu
d'un observateur, et A un astre quelconque d’où part
un rayon de lumière. Ce rayon suivra une ligne droite
jusqu’à ce qu'il rencontre l'atmosphère terrestre en P ;
là il commencera à subir un changement de direction,
et pénétrant successivement dans des couches d’air de
plus en plus denses, eu approchant de la terre, il vien-
dra frapper l'œil de l’observateur en C après avoir dé-
crit dans l’atmosphère une ligne courbe PC. Mais
comme l'observateur ne peut juger de la situation de
l’astre sur la voûte céleste que par l’impression qu’il a
reçue, au lieu de le rapporter au point A il le rapportera
au point À'de la droite CA’, suivant laquelle l’astre a
fait impression dans son œil; donc il verra l’astre plus
élevé qu'il n’est réellement.

Les détours successifs qu'éprouve uu rayon de lu-
mière, en pénétrant dans l'atmosphère, se font tou-
jours dans un même plan vertical ; ainsi la réfraction
n’a pas d’autre effet que de faire paraître les astres plus
élevés qu'ils ne le sont. Aussi voyons-nous le soleil, la
lune, etc., au-dessus de l'horizon, tandis qu’ils sont
encore au-dessous ; et en général le lever apparent des
astres précède toujours leur lever réel, tandis que leur
coucher apparent ne s'effectue qu'après leur coucher
réel.

Les anciens avaient remarqué les effets de la réfrac-
tion, mais comme ils n'avaient aucun moyen de les
mesurer , ils les négligèrent toujours dans leurs calculs
astronomiques. En 1583, Tycho Brahé reconnut qu’elle
surpassait 30° à l'horizon et il entreprit de calculer
une table pour les différentes hauteurs au-dessus de
l'horizon, mais Dominique Cassini est le premier qui
ait proposé une hypothèse propre à calculer les ré frac-
tions pour toutes les hauteurs, et la table qu’il en dressa
était déjà d'une exactitude remarquable.

Picard reconnut , en 1669, par des hauteurs méri-

RE

diennes da soleil, que les réfractions sont plus considé-
rables en hiver qu’en été; il les trouva aussi plus
grandes la nuit que le jour. Depuis on a observé que
celles de la zone torride sont plus faibles que celles de
nos climats; d’où l’on peut conclure que les réfractions
dépendant , en général, de l’état de l'atmosphère, doi-
vent être plusou moins considérables, à mesure que
l'air devient plus ou moins dense, et que leurs varia-
tions doivent suivre celles du baromètre et du thermo-
mètre.

Les différences desréfractions occasionnées par la dif-
férence de la température de l'air, peuvent être négli-
gées dans les calculs nautiques qui n’exigent pas une
grande précision; mais leur irrégularité, dans le voi-
sinage de l'horizon où les vapeurs, l'humidité de l'air
et les vents sont plus variables que daus les régions
plus élevées, doit faire éviter, autant qu'il est pos-
sible, d'observer les astres lorsqu'ils sont trop près de
leur lever ou de leur coucher.

Les hauteurs correspondantes du soleil ou d’une
étoile sont des moyens très-propres à faire connaitre
la quantité de la réfraction. Si l’on observe, par exem-
ple, avec un bon instrument la hauteur du soleil à G
heures de distance du méridien le matin et le soir , et
qu'on la trouve de 9°, tandis qu’en cCalculant cette
hauteur observée on ne la trouve que de 8° 54'; la
différence 6’ entre l'observation et le calcui sera la
quantité de réfraction à g° de hauteur apparente, c’est-
à-dire qu'a cette hauteur Je soleil paraitra plus élevé
de G' qu'il ne l’est eu réalité.

C'est à l’aide de cette méthode qu’on a reconnu d’a-
bord que la réfraction horizontale, la plus grande de
toutes les réfractions astronomiques, est d’environ 33'
dans les zones tempérées, et de 27" dans la zone tor-
ride. On s’est convaincu ensuite, par un grand nom-
bre d’expériences , que la réfraction diminue à mesure
que la hauteur augmente et qu’elle est nulle au zénith.

Après avoir observé avec soin les réfractions à divers
degrés de hauteur, on s’apeiçut enfin que depuis le
zénith jusqu’à 80° degrés environ, elles suivent à peu
près le rapport des tangentes des distances au zénith;
et Bradley, guidé par les recherches de Simpson sur
cet objet, fit voir le premier que Les refractions sont
proportionnelles aux tangentes des distances au zénith,
diminuées de trois fois la réfraction. C'est-à-dire qu’en
désignant par r la réfraction correspondante à la di-
stance au zénith z, on a

r= À. tang[z—3r]

À étant une quantité constante pour un même état
de l'atmosphère ou pour une même pression et une
: même température,
TOME HI.

RE A
D'après les expériences de MM. Biot et Arago, la

Le

€

valeur de ce coefficient est 60”, 666 à la pression at-
mosphérique de 0”, 56 et à la température de la glace
foudante, de sorte que la formule de la réfraction, en
y modifiant le coefficient de r qui esttrop petit, de-
vient

r — 60”, 666 tang[z:—3, 25r|

Cette formule, indépendante de toute hypothèse sur
la constitution de l'atmosphère, n’est valable que pour
des hauteurs horizontales qui dépassent 10°; mais lors-
que le rayon lumineux fait avec l’horizon un angle
moindre, il devient indispensable d'introduire dans la
théorie des réfractions la loi que suit la densité de l’air
à diverses hauteurs, et comme cette loi n’est point en-
core suffisamment connue, on ue peut considérer que
comme des approximations les résultats obten us par les
géomètres ; jusqu'ici les formules de Laplace sont les plus
exactes de toutes celles qui ont ététrouvées; c’est d’après
ces formules que les tables suivantes ont été calculées.

L'usage de la première est très-facile lorsqu'on néglige
la température et la pression, comme le font très-
souvent les navigateurs ; on y cherche le nombre qui
correspond à la hauteur donnée diminuée des unités
de minutes et de secondes, puis on interpole les
parties négligées eu partageant proportionnelleiment la
différence qui correspond à 10° de variation de hau-
teur, Soit par exemple à trouver la réfraction qui a
de 12° 34° 18". La table donne
2, pour 12° 30'; et la différence entre 12° 30"

hivu à la hauteur

/! yo"
#4 17;

et 12° 40 étant 3°, 4, on posera
10! 54010 488. 37,4 11@

ou, approximativement ,

Ton 4 NS NOTA à dir", 407
On a donc
pour 159 30: ste 4 197,0
pour h,3.... — 1, 46

réfraction... ..... 4!15", 74

La partie intercalaire est toujours négative, puisque
la réfraction diminue à mesure que la hauteur aug-
mente.

Ainsi, comme il faut retrancher la réfraction de la

hauteur apparente pour avoir la hauteur vraie, un as:

tre qui nous paraîtrait à 12° 34° 18" de hauteur aurait

pour hauteur vraie 12° 34° 18° — 4! 15", 7, ou 12° 30"

nn
2 . 0.

+20 RE

lABLE DES RÉFRACTIONS ATMOSPHÉRIQUES.

Baromètre , 0",76 et thermomètre centigrade, 10°.

Haul. : : Difr. Haut. Réfractio Difr. Haut, xéfracli Diff. Haut. | Réfrac- Diff. |$
xéfra s fractions. à éfraclions. = M s :
appar, RÉRONSUE p. 10 fappar. ou [p.10 appar. | p. 107. | appar. | tions. | p. 10’.
tement me | mn a MR (l
D M M. S s. D M.| M. S. $, D. M S. S. S. $ \
£ 124,0 14 3. 49,8 ra 39,
0: ‘o*|.33. 11850: 1 7-70. 177 sh LS 1 3. 49, 2,53 39 = l
10 31 to. |. 7. 19,2 | 0° 19 3. 34,3 3m,
: 105,0 / 0,0 . : 2,28 2.
0 30 ’ 20 | 7 63 197: 10 3. 20,6
; e | 97-3 = 6 Ke 9,0 3 85 2,02
0 | 28. 80,8 | 30 | 77 |8: 7 sel 458%
ko | 27. 8: 6 4o | 6. 49,6 9 8 2. 57,6 165
fl C
20 | 25 : 4 5o | 6. 41,9 D 19 | 2 477! 48
AR: : +
1. Oo | 24. 7D4 | 8, 0 |6. 34,4 | 7 20 | 2. 38,8
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20 ne A / 39,5 20 : 4: 8 92,7 ns 1 44 8 0,73
30 10. 135,4 37,4 90. |.9% :39:0 EE 20 . Le ? 0,70
Ë | ’ ETES | x ;
40 15. 36,0 86 go | 5 30,3 | 5,3 30 1e . 0,65
20 1e 0,9 32,8 20 D 002)3 0 5,2 21 1. 22 0,60
3. o | 14. 98,1 10. 0 | 5, 19,8 32 1 1
Le 30,0 91
10 | 13 57,5 28.8 10 | 5. 14,7 so 33 ;
20 | 13. 25,5 de so | 5. 9,7 4 34 5
30 | 13 1,3 de 30 | 5 4,0 55 35 5
2. 356) 7] 4015 o3| 0 | 36 l
40 12. 99,0 nr 0.129 0, A :
50 | 12 11,3 2419 50 | 4 55,0 3 3
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£. o|11. 45,3 Deco | 4 5159 9
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10 FT 20,0 505 10 4. 47,6 4,0 79 »° 0,42 9,2
oo |'11 6,1 , 20 | 4. 43,6 |; 42 1. 9,3 0,40 8,2
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30 10. 40,7 13.4 20 4 39,0 4 9 »9 0,38 7,2
4o | 10. 25,3 : is ho | 4 35,7 | 3 : 42 1. 4,6 0,37 6,1
5o | 10. 10,9 Re 5o | 4. 31,8 38 43 1. 2,4 035 :
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9: 920 17,2 CR
30 9 ne 13,7 f : 7 SE 51 se 547 0,31
40 8. 95.5 5510 4o | 4. 195, 30 ni + 92,4 5.36
Fr » fi. 0 ; F ’ 14 / f 6 ,
50 0. 42,9 nr 50 | 4. 10,6 ae 49 0. 0, 0,29
G. o | 8. 29,9 PS one rot 5o | o. 48,9 ?
11,8 SI 0,28
8. 15 p 10 ; 4,4 51 o. 47,2 e
10 5 1 LES 4 +4 | 3,0 = ane 0,27
20 fe) 6,6 * 20 | 4. 1,4 02 o. 45,5 :
= D MO 11,0 | È 3,0 : 0,26
30 LE 55:6 10 6 30 3 58,4 2.0 53 O. 43 9 6
F : e EUR At F/ PSM ,2
| 40 m: 149,0 50 3 no | 3 55,5|, d 54 0°. 42,3 6125
3 50 7. 34,7 7 50 52,6 | ‘à 19 0. 40,8 dé
“| / RUr 0.9 ; 1 Q | 2 5 5G 200 0,29
ä | 7: [e] Te 24,0 14. 0 19,9 J . 9;

AMOMÈTRE
Facteur. Baromèlre. Facteur DT Facteur.
Centigrade. Réaumur.
|
PO.
27. 71 | 0. 957 — 20 — 16,0 1. 125
74 985 18 14,4 1. 118 f

7> 989 16 12,0 I. 100
02 090 14 11,2 I. 100
55 0ÿ2 12 9,6 I. O9I

89

95

27. OÙ

20. 00

of
08 | 1. 000 6 4,8 1. O64
11 ot 5 4,0 k:- 000
r5 03 4 3,2 1. 056
19 A 3 2,4 1. 052
22 où 2 1,0 I. 048
26 07 — 1 — 0,5 1. 044
30 [En 0 0,0 1. 040
de
33 09 + 1 + 0,8 1. 035
37 | 1. o10 » 1,0 14. OT
41 12 3 2,4 1. 027
770 44 | 1. 013 A 3:92 1. 023
771 45 14 5 4,0 fi - (O19
72 52 16 6 4.5 1. O1
773 56 17 7 5,6 1. O12
974 59 15 n] 6,4 I 008

|
779 03! 115.020 9 7,2 1. 004
770 67 21 10 0,0 1. 000
977 70 y ? 11 © 8 Oo. 006
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779 vi 25 13 10,4 0. 95)
fl 97: 7 81 1. 0206 14 1192 re) 99 »
| 4 { 55 27 > 12,0 0. 81
É 2 970 782 89 20 16 12,0 0. 077
j L ( 8: 92 30 17 13,0 0. 974
97 54 + 90 91 18 14,4 0. 971
} 5 ’ 3 5 9. 00 | 1. c33 20 16,0 0. 064
À ) 780 04 34 22 17,6 0. 056
| 7 se 75 07 35 24 19,2 0. 949
k 74 D 934 75: 11 37 26 20,8 0. 042
k È 4 ) À ;: 15 15 38 +- 30 24,0 0. 029
P a = EE Era UNSS VO LE = ue

4258 RE

Lorsqu'on veut des valeurs précises, il faut corriger
la réfraction moyenne , donnée par la table , d’après
les hauteurs du baromètre et du thermomètre au mo-
ment de l'observation. Cette correction s'effectue au
moyen de la seconde table, qui pour chaque division
du baromètre et du thermomètre fournit les facteurs
par lesquels il faut multiplier la réfracion moyenne
pour obtenir celle qui est due à l'état de l'atmosphère.
Supposons, par exemple, qu'au moment d'une obser-
vation le baromètre soit à 0°, 555 et le thermomitre
à + 16°, en cherchant dans la table où trouve à côté
de 0", 355 le facteur 0,993, et devant + 16° le facteur
0,964, C'est donc par ces deux facteurs, ou ce qui est
la même chose par leur produit 0,057 qu'il faut multi-
plier la réfraction moyenne.

Comme les deux facteurs dus à la pression et à la
température donnent un produit qui diffère toujours
très peu de l’unité , ce produit étant mis sous la forme
1 x, x et toujours très-petit, etalors on simplifie l'o-
pération en multipliant seulement par x la réfraction
moyenne ; le produit pris avec lesigne de x est la cor-
rection qu'il faut ajouter à la réfraction moyenne, Nous
allons donuer uu exemple de tous ces calculs.

Quelle est la hauteur vraie du bord supérieur du
soleil, la hauteur apparente étant 9° 23° 30". Le ba-

romètre marquant 0", 741 et le thermomètre + 15°

La table des réfractions donne pour

DPPO reset 5

OjDrersdoacee. 10, OÙ

Réfraction moyenne. ....

Baromètre 0", 341. . facteur = 0, 075

Therm. + 13°....... facteur — 0, 959

Produit + 0, 964
ou 1 — 0, 036

Réfraction moyenne...... 338",4

Facteurs sons

es Se

Corrections srtitinrssas 419"%9
Réfraction corrigée . .... 326”,2 — 5" 26", 2
Hauteur apparente — 0° 25! 30”

Réfragts 1:46 0. 9100,

Hauteur vraie. ... — 9° 20° 15”, 8

Les astres paraissant plus élevés sur l'horizon qu'ils
ne le sont en réalité, leur lieu apparent diffère toujours
de leur lieu réel , sauf le cas où ils sont au zénith, de
sorte que leurs latitudes, longitudes, ascensions droites
et déclinaisons se trouvent altérées d’une petite quan-
tité qui preud le nom de réfraction en latitude ; où en

RE

longitude , ou etc. Lorsqu'on connait la réfraction en
hauteur, qui est celle dont nous venons de nous occu-
per, on c«lcule facilement les autres par la résolution
d’un triangle sphérique. Foy. pour la théorie des ré-
fractions la mecanique celeste de Laplace , et un ou-
vrage t'ès-remarquable de Kramp sur les réfractions
astronomiques.

Les crépuscules sont encore des phénomènes produits
par la réfraction des rayons solaires. Lorsque le so-
leil est au-dessous de l'horizon et que ses rayons réfrac-
tés par l'atmosphère ne font encore que raser la terre
sas parvenir à l'œil, la réflexion que leur font éprou-
ver les molécules de l'air rend leur lumière visible, de
sorte que le jour commence quelque temps avant le le-
ver apparent du soleil, comme il ne finit que quelque
temps après son coucher. Dans nos climats, les crépus-
cules commencent ou cessent lorsque le soleil est au-
dessous de l'horizon d’euviron 18°. Le crépuscule du

matin se nomme l'aurore.

RÉFRANGIBILITÉ. Propriété qu'ont les rayons de
la lumière de se réfracter en passant d’un milieu dans
unautre.,

RÈGLE. (Géom.) Instrument très-simple fait en gé-
néral d’un bois dur et qui sert pour tracer les lignes
droites.

La règle est très enusage dans tous les arts mécaniques
et graphiques ; on s’assure de son exactitude en traçant
par son moyen une ligne sur le papier, puis on la ren-
verse de manière que le bout qui était à droite soit à
gauche, à l’extrémité de cette ligne, et vice versa, et
l’on trace de nouveau une ligne en faisant rouler une
pointe de crayon le long de son côté. Si la règle est juste,
les äeux lignes tracées doiventse confondre et ne former
qu'une seule droite.

RÈGLE. (Arith.) Opération que l’on exécute sur des
nombres pour obtenir un résultat. Les opérations ou les
règles primitives de l'arithmétique se nomment : l’addi-
tion , la soustraction, la multiplication, la division ,
l'élévation aux puissances et l'extraction des racines
(voy. ces divers mots), Toutes les autres règles naissent
de la combinaison de celles-ci. (Foy. AzLrAGE, Compa-
GNE, Éscomprte, Fausse posirion, INTÉRÈT, RÈGLE DE

TROIS, etc.)

REÉGLE, (45.) Nom d'une constellation méridionale
introduite par Lacaille; elle est située avec l’équerre
au dessous de la queue du scorpion.

RÉGULIER. (Géom.) Une figure régulière est celle
dont tous les angles et tous les côtés sont respectivement
égaux.

Le triangle équilatéral et le quarré sont des figures

RE

régulières. Tous les polygones réguliers peuvent être
inscrits et circonscrits au cercle. (Foy. Cercre et Pory-
GONE.)

Un solide régulier est un corps terminé de tous côtés
par des surfaces planes, qui sont des polygones réguliers
égaux entre eux, et dont tous les angles solides sont
égaux. (Joy. Soie.)

Il n'y a que cinq corps réguliers, savoir : l'hexaèdre
ou le cube, le tétraèdre, 'octaëdre, le dodécaëdre et l’i-
cosaèdre, (Voy. PoLYÈDrE.)

Ces cinq solides réguliers peuvent être inscrits dans
une sphère (voy.ce mot), et si l’on désigne par rle rayon
de la sphère, les dimensions des solides inscrits seront
exprimées par les formules suivantes :

COLE Se ner

à:

Tétraèdre... (Surface. .....

Volume, ..

œIC HO Di
“
<
Lee)

Coté...

;
:
©

Hexaèdre, .. { Surface. .....

Volume. ....

Octaèdre. ..{ Surface...... 71/3

Volume.....—r1/3

Coté: vont

Dodécaëdre , { Surface. ..... —

Volume.,....
216

_.

Ko TT Re
ote V1
: ä 57
Icosaèdre. ..(Surface...... . r21/3
Volume. .... 7! ri\/3

On pourra comparer ces dimensions avec celles de
la sphère en remarquant que si l’on désigne par x la
demi -circonférence dont le rayon est l'unité, on a pour
la sphère dont le rayon est r

Circonférence d’un grand cercle. 27r
Surface d’un grand cercle. ..... #r°

RE 429

Surface de la sphère. ..,...,., 4rr°
Volume de la sphère........., 37

(Voy. Sruëre.)

RÉGULUS. (451) Nom d’une étoile de première
grandeur située dans la constellation du lion.

RENARD. {4st.) Constellation boréale introduite
par Hévelius. (Foy. CoxsrecLariow.)

RÉPERCUSSION. Terme de mécanique qui signifie

;
la même chose que RÉFLExI0N.

RESECTE. (Gcom.) Nom que les anciens géomètres
donnaient à la partie de l’axe d’une courbe comprise en-
tre le sommet de la courbe et le point où l’axe est ren-
contré par une tangente.

RESIDU. (Alg.) Ce mot, dont la signification ordi-
paire est la même que celle de reste, a été employé
par Gauss pour désigner les nombres dont la diffé-
rence peut être divisée exactement par un autre nom-
bre, pris pour terme de comparaison, et qu'il nomme le
module. Par exemple si rm» divise la différence des deux
nombres a et b, chacun de ces nombres est résidu de

l'autre par rapport au r20dule m. (Foy. CoNGRUEN CE.)

RÉSISTANCE. (Méc.) On donne généralement ce
nom à toute force qui agit en sens contraire d’une au-
tre dont elle détruit ou diminue les effets.

Les résistances peuvent être classées d’après la na-
ture des corps résistans et les diverses circonstances
daus lesquelles ils sont placés. Ainsi on peut consi-
dérer :

1. La résistance entre les surfaces de deux corps con-
tigus. {Foy. ADuésion ct FROTTEMENT.)

2. La résistance entre les molécules contiguë; des
corps soit solides, soit fluides.

3. La résistance que les corps solides opposent à la
pénétration. (Foy. Prreussiow.)

4. La résistance que les fluides opposent aux mou-
vemens des corps qui y sont plongés.

La théorie mathématique de la résistance des fluides,
si importante pour les constructions navales, est encore
malheureusement peu avancée, et jusqu'ici les efforts
des plus grands mathématiciens ont été insuffisans pour
l'établir d’une manière, non pas même rigoureuse, mais
seulement satisfaisante. D'après Newton, on avait géné-
ralement admis que cette résistance est dans le rapport
composé du carré de la vitesse du corps en mouve-
ment, de l'étendue de la surface du fluide qui résiste
et de la densité du fluide; mais un grand nombre
d'expériences, faites principalement en France, ont

450 RE

prouvé que ces principes sont incertains. Ils ne s’accor-
dent à peu piès avec les faits que pour les vitesses
moyennes; Inals pour les vitesses très-prandes el très-
petites ils s'en écartent beaucoup. Pay. sur ce sujet la
mécanique d'Euler , l'{/ydrodynamique de D. Ber-
nouilli, le Traité d'artillerie de Robios, le Mémoire
de Borda (Mermoïres de l'Acad., 1763), et les travaux
de d'Alembert, Condorcet et Bossut. Foy. aussi dans
ce Dictionnaire, pour a résistance de l'air, Parucle

BALISTIQUE.

SoLiDE DE LA MOiNDRE Risisrance. C’est un des plus
simples de cette classe de problèmes nommés les #s0pe-
rümètres. M fut proposé en premier et résolu par New-
ton; depuis il a été traité par Euler, Simpson , Emer-
son, Lacroix (/'oy. le tome 1 du Grand Traité du
calcul diff. de Lacroix) et Maclaurin.

Voici la figure de ce solide : soit DNG (PI. 57,fig.1),
une courbe telle que si d’un point quelconque Non
mène uue tangente NG et que d’un point donné F on
tire à cette tangente la parallèle FR prolongée jusqu’à
ce qu'elle rencontre l'axe eu R, l’ordonnée MN soit à
GR comme GR° est à 4BR X BG. Le solide décrit
par la révolution de cette courbe autour de son axe
AB et qui se meut dans un fluide de A vers B, trou-
vera moins de résistance que tout autre solide circu-

laire de même base.

RÉSOLUTION. Pris dans son sens général, ce mot
désigne la division ou la séparation de quelque quantité
composée en ses parties constituantes.

La aigèbre, la nésozurion des équations est la dé-
termination des valeurs des quantités inconnues dont
ces équations sont composées. (Joy. ÉqQuarioxs. Foy.
aussi APPROXIMATION €t RACINE.)

Résolution se prend encore dans le sens de solution :

résoudre un problème, c’est en donner la solution.

RESTE. (4/g.) Nom que l'on donne à la quantité
que l’on produit lorsqu'on retranche une quantité
d'une autre. (Foy, SousrrAGTION.)

RESTITUTION. (454) On donnait jadis ce nom à
la période qu’on croyait ramener tous les événemens
dans le même ordre: apocatastase, (Foy. ce mot.)

On s'en sert aussi quelquefois pour exprimer le re-
tour d'uue planète à son apside.

RETARDATION. ({ Aéc.) Ralentissement du mou-

vement d’un mobile. Ce mot est peu usité.

RETARDATRICE. (#éc.) La force retardatrice est
celle qui retarde le mouvement d’un corps; telle est la
pesanteur d’un mobile lancé de bas en hautet dont le
mouvement est continuellement retardé par l’action

RE

que cette pesanteur exerce sur lui dans une direction
contraire, Les lois des forces retardatrices se dédui-
sent de celles des forces accélératrices par un simple
changement du signe de certaines valeurs dans les
équations du mouvement. (foy. Accécénarion et Ac-

CÉLÉRE.)

RÉTICULE. (454) Instrument composé de plusieurs
fils et qui se place au foyer d’une lunette pour mesurer
les diumètres des astres ou pour observer les différences
de leurs passages.

Lacaille a donné le nom de RÉrICULE à une des con-
stellations qu'il a formées dans l'hémisphère boréal. Elle

est située entre l'Hydre et la Dorade.

RETOUR DES SUITES. (41g.) Méthode qui a pour
objet d'exprimer en série, procédant suivant les puis-
sances progressives d’une varjable y, la valeur d’une
autre variable x, lorsque y est donné par une série qui
procède suivant les puissances de x. C'est-à-dire, ayant
la série (1)

y = ax + ba? + ex + dri Lex + etc.

le retour de cette série consiste à trouver les coefficiens
A,B,C, D, etc. de cette seconde série (2)

x — Ay + By? + Cp + Dyi + Ex’ + etc.

qui donne x par y.

La solution de cet important problème, proposé pour
la première fois par Newton dans son Analysis per cqua-
tiones, peut s'obtenir d’une manière assez simple par la
méthode des coefficiens indéterminés, car en formant
les puissances successives des deux membres de l’équa-
tion (>), on trouve

z = Ay+B+Cÿ + Dh +HEy +etc.
a = ......A42/4 92ABy+ »ACyi + 2ADy* + etc.
+ 2BCy° — etc.
2 esse... Ay5 + 3AByi+ 3A°Cy'+ etc.

+ 3AB:y— etc.
ES ie LU

—- etc.

— B’y 1

»
DL" = eve sas 000 s see eo eusiareiehelehels ee ee

A 1 2

etc. cic.

Si l'on substitue maintenant ces valeurs de æ,2?, 25, elc.
dans l'égalité (1), on obuent

RE

y=aAy+aBly+aC |y5+aD lyi+ aE+etc

HA’ HobABl +obAC| + obAD| ec.
+cA5 —+-LB: + 20BC! +etc.
+2cÀB + 3cA°C] +ctc.

+dAi | en 3cAB°! “etc.

+ /ASB etc.

eAï| —etc.

+
etc.

ou bien, en faisant passer y dans le second membre,
o—{aA—1)y—+(aB+A?)y+(aC+2bAB+-caA "5 etc

Ainsi, puisque cette égalité doit avoir lieu, quelle que
soit la valeur de y, on a séparément

a—1 — 0
aB+bA’ = 0
aC+-28AB+-cA% — 0
etc. ctc.

équations de conditions à l’aide desquelles on pourra
obtenir les valeurs des coefficiens À, B, C, etc. en fonc-
tions des coefficiens donnés a, b, ce, d, e, etc. Le calcul
des neuf premiers de ces coefficiens a été effectué par
Philippe Rubbiani qui s’est assuré par des épreuves
multipliées de l'exactitude de son travail. Voici ces va-
leurs, elles peuvent servir de formules générales pour
retourner une série, de quelque forme qu’elle soit (3),

ee
a

b

Be 3

Arr
C= ;; [» ac]

D =" |—5054-5abe—«d]

E — 3 [r4bi— 21ab°c + Ga bd + 3@c— ie]
Fe (—400+8habie—18abd—8a be t-çañbe
—raicd—aif]
CG _ (132 D — 33oabic + 120 bd +180 & be
— 36aÿbre— 72 aSbcd + 8aibf — 19 a5cs
+ Baîce + {aid — ag]
H'=—= _ [—42907+# 1287ab°c— 405 & bid— 090 x be?

+ 165abe + /95abcd— {Sail f+3165a5bcs
—90 afbce — 45 ab 9 bg — 45 aïcd

+ 9 a cf + 9 a°de — ah |

DEA _
RE 251
1 ee me SR
I - [1430b$—5005abtce+00 a L'4d4 »0052bie?
ai
—gibabie —. 986oabSed + osoat 5
— 1 {304 lc? + GGoaibce + 33oab'd:
—55abg+66oafbed—rroabef—1 oabde
+ 1oafbh + 55aîci — 55a@ cd — 55a°c’e
+ 1oafcg + 1oafdf + 5Saîe — ai]
K = (Ctcisescsisontee

Appliquons ces formules au retour de la série
PA EL O0 D NT CE
x = 1 + = Lx +—- (Lx) +- 3 (Le) FE etc

qui donne un nombre au moyen de son logarithme.
(Foy LocariTHME, 15.)
Ea la mettant sous la forme
seb 7 a+ 7 fe) (Let)
x 1.2 1:23 1.2.3.4
+ etc.

Nous aurons ici

etc.

FREE

AE 19
120

LI
ab se

et nous obtiendrons par la substitution de ces valeurs
dans les formules précédentes ,

ï I ï 1
on ir de ét gr etc.
d’où

I il L :
Lr—(x—1)— È (@—1) + 10. (a—i)i + etc.

Prenons encore pour exemple la série connue

3 5 -

TX x?

: D
sinx = x — -
1 1.2.3.4.5

DINAN ITE etc.
1.2.3.4.5.6.7 Li
Nous ferons, en observant que les puissauces paires

dex manquent,

ï 3
A=1,B=0o,C= ==, D
3-0 3.5.
I = 0, G— 7 ’ A0 1—= Te tc
2.4.06.7 2.4.0.8.9
D'où
sin'æ 3 sin°x

452 RE

Les formules (3) ont l'inconvénient de ne pas faire
conuaître la loi des cocfficiens de la série générale de
retour, eton ne peut les considérer que comme les
tableaux , d’ailleurs très-utiles, des opérations qu’il faut
faire pour obteuir les valeurs numériques de ces coeffi-
ciens dans les cas particuliers. Nous considérerons ail-
leurs le retour des suites d’une manière plus directe

et plus générale. (Foy. Série.)

RÉTROGRADATION. (Afce.) Action par laquelle un
corps se meut en sens contraire desa direction primitive.
En astronomie, on donne ce nom au mouvement
apparent des planètes par lequel elles semblent quel-
quefois reculer dans l’écliptique et se mouvoir dans un

sens opposé à l’ordre des signes.

RÉVOLUTION. (Ast.) Se dit de la durée du temps
qu'une planète emploie à faire le tour de la voûte cé-
leste. (Voy. Périonr et PLAnETE.)

REYNEAU (Cuanzes Le Père), géomètre distingué,
naquit en 1626, à Brissac en Anjou, et entra à l'âge de
vingt ans dans la congrégation de l'Oratoire, à Paris.
Si l’on ne sait rien de ses premières années, durant les.
quelles ilne se distingua que par son application à l’é-
tude et par sa piété, le reste de sa vie, entièrement
consacré aux devoirs du professorat, à la prière et à la
composition de deux ouvrages de matémathiques,
n'offre aucune particularité plus remarquable. Le Père
Reyneau professa successivement la philosophie à Tou-
lon et à Pézenas, et les mathématiques au collége d'An-
gers. Il remplit durant vingt-deux ans ces dernières
fonctions avec beaucoup d'éclat et de succès, et entra
à l’Académie des Sciences comme associé libre. Le Père
Reyneau mourut à Paris, le 24 février 1528. Les deux
ouvrages dont il est l’auteur sont : T1. L’Analyse démon-
trée ou manière de résoudre les problèmes de mathéma-
tiques, Paris, 1705, 2 vol. in-4°; sf édit, ib. 1936, 2 vol.
in-4°. Cet ouvrage présente un recueil intéressant des
principales théories de Descartes, de Leibaitz, de New-
ton, des Bernouilli et de tous les grands géomètres du
xvu' siècle, démontrées, suivant Foutenelle, avec plus
de clarté et d’exactitude. L’ Analyse démontrée obtint
uu grand succès lors de sa publication, mais peut-être
cet ouvrage élémentaire ne mérite-t-il pas les éloges
un peu exagérés que lui donne l'écrivain dont nous ve-
nons de parler. Il. La Science du calcul des Gran-
deurs en général, ou Élémens de mathématiques, Pa-
ris, 1714. 1 vol. in-4°. Le Père Reyneau ne publia que
ce volume; le second, qui parut en 1735 ct qui fut
imprimé tel qu'on le trouva dans les papiers de l'au-
teur, fut mis au jour par le Père Mazières, connu
dans les sciences par un prix qu’il remporta à l’Acadé-
mie en 1720.

RH

RHEITA (Le P. Anroine-Mante Scnynir DE), ca-
pucin né en Bohème vers la fin du xvi‘ siècle, célèbre
par ses connaissances et ses travaux mathématiques. Il
avait une grande réputation comme théologien et
comme prédicateur, mais l’étude des mathématiques,
et surtout de l'astronomie, occupait tous ses loisirs. En
1642 et 1643, il était à Cologne, où il fit des observa-
tions astronomiques; il crut voir cinq nouveaux satel-
lites de Jupiter, et il fit hommage de cette découverte
au pape Urbain VIIT en donnant à ces étoiles, qu’on à
reconnues depuis pour être celles du verseau, le nom
d’Astres urbanoctaviens, Le Père Rheita a été plus heu-
reux dans ses recherches en optique. Le premier il a
construit la luvuette astronomique actuelle, à quatre
verres convexes, dont l’un a le nom d’ocularre, et les
trois autres d'objectifs. Képler, qui avait proposé a
priori ce genre de télescope, n’était point parvenu à
le construire. Le Père Rheita est également l'inventeur
du binocle, qui fut perfectionné par le Père Chérubin.
( Foy. ce mot.) Mais il est surtout célèbre par une ten-
tative malheureuse contre le système de Coperuic. Celui
qu'il proposa pour le remplacer n’est en réalité que le
système de Tycho-Brahé retourné. Des idées fort bi-
zarres à ce sujet sont exprimées dans le seul ouvrage
que nous citerons de lui, et quia pour titre : Ocu-
lus Enoch et Eliæ, sive radius sidereo mysticus , An-
vers, 1645, en deux parties in-f°, fig. Le Père Rheita
est mort à Ravenne en 1660.

RHETICUS (Joacumm Gronce, plus connu sous le
nom de), célèbre mathématicien et astronome, na-
quit le 16 février 1514, à Feldkirch, dans le pays des
Grisons, en latin Rhætia, d’où lui est venu le nom
sous lequel il est généralement désigné dans l'histoire
de la science. Les circonstances qui se rattachent à sa
naissance et à son éducation sont demeurées inconnues.
On sait seulement qu'il était professeur de mathéma-
tiques à l’université de Wittemberg au moment où Co-
pernic produisit ses découvertes sur Île système du
monde. Il abandonna aussitôt sa chaire pour aller suivre
les leçons de cet homme célèbre, il devint son ami et
le premier de ses disciples qui osât proclamer comme
une réalité scientifique un système que son auteur n’a-
vait présenté que comme une hypothèse; mais le temps
n’était pas encore venu où les vieux préjugés du monde
devaient tomber devant la vérité, et malgré le zèle de
Rhéticus et les généreux efforts des savans qui prirent
en main après lui cette noble cause, ce ne fut que
vers Ja fin du xvu siècle que le système du mouve-
ment de la terre fut enseigné sans contradiction. Rhé-
thicus, à qui la science doit de nombreux et d’estima
bles travaux, et qui le premier introduisit les sécantes
dans la trigonométrie,mourut à Caschau, le 4 décembre

RI

1576, âgé par conséquent de G2 ans. Il a successivement
produit : I. Narratio de Libris revolutionum: Copernici,
Dantzig, 1540, in-4°. Cet ouvrage, qui est à la fois
l'exposition et la défense du système de Copernic, est
rédigé sous la forme d'une lettre adressée à Shoôncer,
: géomètre contemporain ; il a été réimprimé plusieurs
fois. IL. Orationes de Astronomidi et Geographiä et de
Physicä, Nuremberg , 1542, in-4°. Ce livre est de-
venu très-rare. IL. Opus Palatinum de triansulis, in P.
ou plutôt Thesaurus mathematicus, titre qui fut donné
par Barthélemi Pétricus à la seconde édition, publite
par les soins de ce savant en 1610. C'est un ouvrage
extrêmement curieux. Voyez la Bibliographie astrono-
mique pour plus de détails des particularités intéres-
santes qui s’y rattachent. Montucla dit de cette produc-
tion qu’elle est en effet un vrai trésor et un des monu-
mens les plus remarquables de la patience humaine.

RHOMBE. (Géom.) Quadrilatère dont les quatre
côtés sont égaux, mais dont les angles sont inégaux.
On le nomme plus communément LozancE.

RHOMBOIDE. (Géom.) C'est la même chose qu'un

PARALLÉLOGRA NME.

RICCATI (Vixcenr DE), géomètre célèbre, fils du
comte Jacques Riccati, que l'Italie met au raug de ses
principaux mathématiciens, naquit le 11 janvier 1507
a Cactel-Franco, dans l’état de Trévise. Son père fut
son premier maître, et à l’âge de 10 ans il entra dans
l’ordre des Jésuites, dont il devint bientôt l’un des
mewbres les plus distingués par ses lumières et ses ta-
lens. Le Père Riccati fut envoyé par ses supérieurs à
Bologne où, pendant trente-cinq ans, il professa de la
manière la plus brillante les branches élevées des ma-
thématiques. Chargé de surveiller en même temps le
cours des fleuves dans le Bolonais et l’état de Venise,
il fit exécuter sur le Veno, l'Adige, le P6 et la Brenta,
des travaux qui révélèrent en Jui un habile ingénieur.
Les Bolonais et les Vénitiens firent frapper des médail-
les pour perpétuer le souvenir des services du Père
Riccati et attester leur reconnaissance. Il mourut dans
sa patrie, où il s'était retiré après la dispersion de son
ordre, le 17 janvier 1975. Nous citerons parmi ses ou-
vrages les plus remarquables et les plus estimés : [. Dia.
“logo dove ne’ congressi di più giornate delle forze vive
et dell aziont delle forze morte si tien discorso; Bo-
logne, 1749, in-4°. IT. De usu motts tractorii in con-
structione œquationum differentialium commentarius ,
ib. 1952, in-4°. LI. De seriebus recipientibus sum-
mun generalem algebraticam aut exponentibilem ,
ib. 1956, 2 vol. in-4°, On recherche encore avec inté-
1èt le recueil des épuscules du P, Riccati, publié sous

ToNE

RI
ce titre : IV. Opuscula ad res physicas et matheïmati-

cas pertinentia, Lucques, 1757-72, 2 vol. in-4°.

RICCATI (Le courre Jourpain), frère du précédent,
fat à la fois mathématicien, architecte et musicien ; son
nom a de la célébrité en ftalic. El est surtout connu par
un Traité sur les cordes vibrantes, qui est fort estimé.
Le comte Riccati, né à Frévise en 1509, est mort dans
cette ville en 1790.

RICCIOLI (Jean Bapmisre), l'un des plus célèbres
astronomes du XVII siècle, malgré ses erreurs, et l’un
des plus savans hommes de la société de Jésus , naquit
à Ferrare, eu 1598. [1 embrassa, dès l'âge de seize ans,
la règle de saint Eynace , et fut voué parses supérieurs,
si habiles à discerner le génie particulier de chaque
membre de leur ordre, aux utiles fonctions du profes-
sorat. Après avoir long-temps professé les belles-lettres,
la théologie et ce qu’on appelait alors la philosophie,
il s'adonna spécialement à l'étude de l'astronomie. A
cette époque, l'Allemagne, dans le premier zèle de la
réformation, rejetait la correction du calendrier parce
qu’elle venait de Rome, et l’église romaine repoussait
avec la même opiniâtreté et le même aveuglement
toutes les découvertes des savans allemands, comme

infectées d'hérésie. Le père Riccioli fat chargé par ses

supérieurs de démontrer la fausseté du système de Co-
perpic et des doctrines de Keppler. Ge savant avait
trop de fagacité pour ne pas comprendre toutes les dif-
ficultés de i

,

étrange mission dont il devait s’acquiiter ;
aussi, dit l’auteur de l'Æfistoire de L' Astronomie moderne,
Riccioli attaqua ce système par tous les argumens quil

put imaginer,

croirait entendre un avocat chärgé d’office d’une mau-

mais, à Ja manière dout il en parle, on

vaise cause et qui fait tous ses efforts pour la perdre.
Il convient, par exemple, qu’envisagé comme une sim-
ple hypothèse, le système de Copernic est le plus beau,
le plus simple et le micux imaginé. Néanmoins, dès
qu'il ne l’acceptait pas, il fallait lui en substituer un
autre, ét comme ceux de Ptolémée, de Tycho où du
père Rheïta (vor. ce mot) n'étaient déjà plus soutena-
bles, il en proposa un nouveau. Il exposa ses idées à cet
égard , dans un écrit qu’il intitula 4/magestum novum :
nous ne le suivrons pas dans l'explication de ce système
qui ne peut être considéré aujourd'hui que comme un
simple objet de curiosité. Mais le père Riccioli jeta
dans ce livre les fondemens de la réforme complète de
l'astronomie. IL avait compris que la véritable mesure
de la terre devait servir de base, à ce grand travail
dans leque! devaient être corrigées les méthodes ei les
doctrines défectueuses que nous avaient laissées les an-
ciens, Aidé par les missionnaires que les jésuites avaient
dans toutes Les parties du monde, il put composer un

ou

454 RO

système général et uniforme de métrologie, que cepen-
dant des erreurs peut-être inévitables alors ont dû faire
oublier depuis. Le père Riccioli qui fit de nouvelles et
excellentes observations sur la lune, sur les satellites de
Saturne, et à qui l’on doit en général des travaux fort
utiles aux progrès de l'astronomie et de la géographie,
mourut accablé d’ans et d’infirmités, à Boulogne, le 25
juin 1661. Ceux de ses principaux ouvrages qui inté-
ressent les sciences mathématiques , sont : [, 4{mages-
Lum novum , astronomuam vetereni nova que comn-
plectens ; Bologne, 1651, 2 vol. in-folio. I. Astrono-
mia reformata ; ib., 1665, 2 vol. in-folio. Cet ouvrage
n’est que le complément du précédent, il renferme
un grand nombre d’observations et moins de théories
susceptibles de discussion. IT. Geographiæ et hydrogra-
pliæ reformatæ, libri xu, ib., 1661 ,in-folio. Ce traité,
rempli de savantes recherches, a jouilong-temps de l’es-
time des savans ; il peut encore être consulté avec fruit,

RIGEL. (451) Nom d’une étoile de première gran-
deur, située dans le pied occidental d'Orion.

ROBERVAL (Gizres Personne ou PERSONNIER DE).
L’un des plus célèbres géomètre du XVII' siècle, ilna-
quit vers l’an 1602, au sein d’une famille pauvre et
obscure, dans le petit village de Beauvoisis, dont il prit
le nom. Aucun biographe ne nous fait connaître par
quels moyens il put faire ses études et se livrer à son
goût pour les sciences. Baillet, lui-même, se tait à cet
égard, quoique cet historien de Descartes ne réglige
point ces sortes de recherches en parlant des adversai-
res de son illustre héros. Quoi qu’il en soit, on voit d’a-
bord Roberval assister, comme Descartes, dans le seul
but de satisfaire sa curiosité de géomètre, au siége de
La Rochelle. Il revint à Paris en 1629 et s’y lia avec
le célèbre père Mersenne , et fut successivement nommé
professeur de philosophie au collége de maître Gervais
et à la chaire de mathématiques fondée dans cet éta-
blissement par le malheureux Ramus. On ne doit point
oublier que, suivant les intentions du fondateur, cette
chaire se mettait au concours tous les trois ans : Rober-
val l’emporta constamment sur tous les prétendans et
la garda toute sa vie.

On doit regretter que cet homme de génie ait perdu
tant de temps en vaines discussions, dans lesquelles il
n'eut presque jamais le bon droit de son côté. Il lutta
contre Cavalleri, Descartes et Torricelli, dans des cir-
constances que nous ne pouvons qu'indiquer. On ne
peut douter que Roberval ne füt depuis long-temps en
possession d’une méthode géométrique à l’aide de la-
quelle il pouvait résoudre les problèmes les plus diff-
ciles, lorsque Cavalleri publia sa Méthode des indivi-
sibles, et lui ravit l'honneur qu’il pouvait espérer de

RO

sa découverte. La lettre que Roberval écrivit au géo-
mètre italien pour réclamer la priorité de cette inven-
tion, est remarquable par les exemples qu'il cite de
l'emploi fréquent qu'il avait autérieurement fait de
cette méthode, Il y avoue ingénument qu’il la gardait
en secret avec le plus grand soin pour se procurer une
supériorité flatteuse sur ses rivaux, par la difficulté des
problèmes qu’elle le mettait en état de résoudre. Ro-
berval fut donc justement déçu dans ses espérances,
car il est indigne d’un homme de génie de faire un
mystère de ses découvertes par un motif aussi frivole.
Roberval était aussi l'inventeur d’une autre méthode
fort ingénieuse pour les tangentes, quoique inférieure
à celles de Fermat et de Descartes. Il portait la pré-
somption et l’orgueil jusqu’à être jaloux du dernier de
ces grands hommes, et il prit contre lui la défense de
l'écrit que Fermat venait de publier sur les questions
de maximis et minimis, en osant reprocher à Descartes
de ne lavoir critiqué que parce qu'il ne l'avait pas en-
tendu. On sait que Descartes écrasa Roberval de tout le
poids de sa supériorité en adressant la solution du
problème de la tangente des cycloïdes au P. Mersenne,
auquel il avait écrit qu’on avait bien tort de faire tant
de bruit pour des choses si faciles. Roberval avait,
comme tous les géomètres francais, inutilement cherché
la solution de ce problème, et il crut se venger de
son illustre adversaire en attaquant sa géométrie. On
doit, pour la gloire de ce mathématicien, oublier les ob-
jections sans fondement et sans force qu’une passion
aveugle lui dicta contre cette production immortelle.
Nous n’entrerons pas dans les détails de sa dispute avec
Torricelli. On sait que Roberval avait résolu plusieurs
problèmes de la cycluïde, découvertes que le célèbre
inventeur du baromètre réclama, peut-être avec peu
de justice, en faveur de Galilée son maïtre, dont les
titres à l’immortalité n'avaient pas besoin de cette
gloire. Roberval, qui est encore l'inventeur de la
classe des lignes courbes auxquelles son nom est de-
meuré attaché, mourut au collége de maitre Ger-
vais, le 27 octobre 1675, à l’äge de 73 ans. Malgré son
humeur capricieuse et emportée, Roberval eut beau-
coup d’amis, parmi lesquels on cite Gassendi et le père
de Pascal. Le géomètre Gallois, un d’eux, publia ses
productions dans le Recueil des divers ouvrages de
mathématiques et de physique des membres de l'Aca-
démie des sciences, 1600, in-f°. Ce sont: Observations
sur la composition des mouvemens et sur le moyen de
trouver les tangentes des lignes courbes ; — Projet d’une
mécanique , traitant des mouvemens composés ; — De
recognitione æquationum, de geometric& planarum et
cubicarum æquationum resolutione ; — Traité des indi-
visibles; — De trochoïde ejusque spatio ; — Epistolæ
ad Mersennum et Torricellum., Roberval était membre

|

RO

de l’Académie des sciences depuis sa formation ; outre
les mémoires que nous venons de citer, on a de lui:
I. Traité de mécanique des poids soutenus par des puis-
sances sur les plans inclinés à l'horizon, in-f° de 36
pages, publié par Mersenne, à la suite de son Traité
de l'harmonie. XI. Aristarchi Sami de mundi syste-
male, partibus et motibus ejusdem lbellus cum notis.
Paris, 1644, in-12. III. Et, enfin, Nouvelle manière de
balance inventée par A. de Roberval. (Journal des sa-
vans de 1670.)

ROBINS ( Bensamin). Membre de la Société royale
de Londres, et l’un des ingénieurs les plus distingués
de l'Angleterre, il naquit à Bath, en 1707, de parens
quakers. Son goût pour les sciences mathématiques et
physiques l’éloigna de la carrière à laquelle sa famille
le destinait, et il dut songer de bonne heure à tirer un
parti utile de son instruction. Le docteur Pemburton,
auquel il communiqua un de ses mémoires mathéma-
tiques , devint son protecteur et le produisit dans le
monde. À l'âge de vingt ans, il donna une démonstra-
tion de la dernière proposition du Traïté des Quadra-
tres de Newton, qui fut jugée digne d'être insérée
dausle volumedes Transactions philosophiques de 1727,
et ce fut sur la fin de cette année que la Société royale
l’admit au nombre de ses membres. Il se mesura l’an-
née suivante avec l'illustre géomètre Jean Bernouilli,
à l’occasion de la question des Forces vives. Robins
s’est surtout rendu célèbre par ses recherches dans l’art
des fortifications et la balistique. Créé pair sous le nom
de comte d'Orford , après avoir été un des membres les
plus influens de la chambre des communes, Robins,
malgré ses occupations politiques, ne cessa point de
travailler au progrès des branches de la science qui
avaient été l’objet particulier de ses études. Malheureu-
sement il mourut bien jeune encore , le 29 juillet 1957,
aux Indes orientales, dont il avait été nommé iugé-
nieur. Les œuvres philosophiques et mathématiques de

obins ont été recueillies et publiées avec une notice
sur sa vie, par son ami le docteur Wilson; Londres,
1761,2 vol. in-8°, Outre les Nouveaux principes d'ar-
tillerie (New principles of gunnery ), on y trouve les
divers mémoires qu’il a publiés dans les Transactions
philosophiques et l'écrit intitulé : État présent de la
république des Lettres, publié au mois de mai 1728.
On sait que cet ouvrage est une réfutation des théories
Leibnitienne et Bernoullienne.

ROËMER (Oraus), célèbre astronome, né à Co-
penhague le 25 septembre 1644, fut amené en France
par Picard, en 1672, lors du voyage que fit ce savant
à Uranibourg ; Roëmer y était alors occupé à classer
sous la direction de Bartholin les manuscrits laissés por

RO 255

Tycho-Brahé. Le jeuneastronome danois fut parfaitement
accueilli à Paris, nommé professeur de mathématiques
du dauphin, et peu de temps après membre de l’Acadé-
mic des sciences. Il ne tarda pas à prouver avec éclat
combien il était digne de ces honneurs. En 1675, il expo-
sa, dans un mémoire à l’Académie, la théorie du mouve-
ment progressif de la lumière et la mesure de sa vitesse.
Cette importante découverte, à laquelle il avait été con-
duit par une suite d'observations des éclipses des satellites
de Jupiter, est devenue son principal titre à la célébrité.
Rappelé à Copenhague par son souverain, et promu aux
honneurs de la première magistrature de sa ville natale,
il ne cessa pas, malgré les nombreuses fonctions dont il
était chargé,de s'occuper dela sciencequi luidevaitle plus
brillant progrès. Roëmer recherchait particulièrement
la parallaxe des étoiles fixes qui devait Famener à une dé-
monstration positive du mouvement de la terre. Depuis
dix-huit ans , il avait recueilli de nombreuses observa-
tions à cet égard , et il se disposait à en publier le ré-
sultat, quand il mourut de la pierre, le 19 septembre
1710. Ses manuscrits ont été perdus dans l'incendie de
l'Observatoire de
tobre 17928, mais

Copenhague, qui eut lieu le 20 oc-
on trouve quelques mémoires de ce
grand astronome dans le Aecueil de l’Académie des
sciences, tomes VI et X. (Woy. l'éloge de Roëmer par

Condorcet.)
ROMAINE. (Hce.) Foy. Baraxc.

ROSE DES VENTES. (Nav.) Voy. Boussoze.

ROTATION. {Hec.) Mouvement d’un corps autour
d’une ligne droite qui prend le nom d’axe de rotation.

En géométrie, ce mot signifie la révolution d’une sur-
face autour d’une droite immobile, et l’on conçoit cette
révolution comme engendrant un solide. (Foy. Ex-
GENDRER.)

Rorarion pEs pLANèrEs. Mouvement par lequel le
soleil et les planètes tournent sur leur axe d’occident en
orient. (Foy. Souerc et les divers noms des planètes.)

ROUAGE. (Jéc.) Machine composée de plusieurs
roues destinées à produire un effet quelconque par

leur combinaison.

ROUE. (AMec.) Corps rond et ordinairement plat,
de bois, de métal ou autre matière, et mobile sur un
essieu ou axe.

La roue est une machine simple d'un grand usage
qui entre dans un grand nombre de machines compo-
sées, telles que les horloges, les moulins, etc. On
considère deux espèces de roues : les unes tournent
toujours dans le même lieu sur un axe qui est fixé à

leur centre, et dont les pivots tournent dans des

250 RO

trous qui servent d'appui, comme les roues des hor-
loges, des moulins, des tournebroches, etc.; ces sortes
de roues recoivent le mouvement ou le transmettent
par certaines parties saillantes qu'on réserve ou qu'on
ajoute à leur circonférence et qu’on nomme dents, ehe-
villes, vannes, etc. Les roues de la seconde espèce,
roulant sur leur circonférence, portent leur centre et
l'axe ou l’essieu qui le traverse dans une direction pa-
rallèle au plan ou au terrain qu'elles parcourent :
telles sont les roues des voitures. Ces sortes de roues ont
donc deux mouvemens ; l'un de leur centre qui s’a-
vance en ligne droite, et l'autre de toutes leurs parties
qui tournent autour de ce centre.

Les roues peuvent être généralement considérées
comme des assemblages de leviers, et leur théoriese dé-
duit aisément de celle de cette machine. Ainsi les roues
de la première espèce agissent comme des leviers du
premier genre et servent à égaler l’action de puis-
sances très-différentes les unes des autres; à transmettre
Ie mouvement ; à changer la direction, et à faire varier
la vitesse dans la puissance et dans la résistance; tandis
que les roues de la seconde espèce agissent générale-
ment comme des leviers du second genre. La théorie
des roues étant liée à celle du rrEuIL, nous renverrons
à ce dernier mot.

Rove uypeauLioue. Machine mue par la percussion
d’une eau courante et destinée à transmettre le mouve-
ment à d'autres machines quelconques.

Une roue hydraulique est une roue de la première
espèce dont la circonférence est garnie de palettes
qu'on nomme aubes, ou de cavités qu'on nomme auges.
Ces aubes ou ces auges étant frappées par l'eau font
tourner la roue ainsi que son axe, lequel , à l’aide d’un
engrenage, transmet le mouvement aux machines qu'on
veut mettre en: action.

La théorie des roues hydrauliques étant d’une haute
importance pour les établissemens industriels qui se
servent de ces moteurs, nous allons exposer ici ses prin-
cipes fondamentaux.

1. Roues verticales placées dans un courant d'une
largeur et d'une profondeur indéfinies.

Dans une roue verticale, placée dans un courant
d'une largeur et d’une profondeur indéfinies, l'aire
des aubes exposées au choc du courant peut varier à
la volonté du constructeur, Plus cette aire sera grande,
plus la quantité d'action transmise par la roue pourra
être considérable. L’aire des aubes étant donnée , on
peut établir divers rapports entre leur vitesse et celle
du courant. Les questions qu'on peut se proposer dans
l'établissement d’un moteur de ce genre sont: 1° con:
uaitre en fonction de la vitesse du courant, de celle
des aubes et de leurs dimensions , la quantité d'action

qui peut être transmise par la roue; 2° déterminer la

RO

vitesse de la roue de manière à rendre cette quantité
d'action la plus grande possible.
Nommant

=
re

l'aire de la partie de l'aube plongée dans l’eau quand

cette aube est verticale,

V la vitesse circulaire du centre de cette aire,

m la vitessse du courant,

P l'effort exercé par le courant, tangentiellement à Ja
circouférence passant par le centre de l’aire Q ;

I le poids de l'unité de volume du fluide,

pv}

2e
D

l'aube et du courant,

h — Ja hauteur due à la vitesse relative de

K. un coëfficient numérique, à déterminer par l’ob-
servation.

Observant que l’action du courant sur le segment de
la roue plongée dans l’eau est semblable à celle qui au-
rait lieu sur un corps de la même figure que ce seg-
ment, lequel serait mu dans le sens du courant avec la

vitesse V, on doit avoir

£ v—=V :
P=K 10 ( — = K 19 4.
20

Le coefficient K peut varier suivant le nombre des
aubes que porte la roue, leur figure et leur disposi-
tion, leur hauteur comparée à celle du rayon, etc.
On déduit de la pour l'expression de la quantité d'ac-
tion transmise dans l'unité de temps

(—VPV

PV—KTne

La faisant varier V, et supposant que cette variation
laisse K constant, la valeur de PV deviendra un maxi-

mum quand on aura

£ v /
+ RQ, PT K nn
27 28 9

r ll « 7
V=rc d'ou PV
3
2. Il paraît que‘le nombre K demeure sensiblement
constant quand vet V varient, lorsque les aubes plon-
gent entièrement dans l’eau. Quand elles ne plongent
qu’en partie, KR augmente probablement un peu ; quand
V diminue par rapport à v , la valeur de V correspon-

dante au maximum d'effet serait alors un peu plus :
: I
pete que = v.
Ô
Les tentatives faites pour évaluer K, en estimant:

les actions exercées sur les aubes d’après fes principes,
des anciennes théories de la résistance des fluides, ne
peuvent conduire qu’à des résultats entièrement illu-
soires et erronés. La valeur du coefficient K ne peut |
être déterminée que par des observations faites sur des

RO

roues, et il ne paraît pas nécessaire que ce genre d’ob-
servations soit fait très en grand. Les expériences con-
nues ne donnent pas sur ce sujet des résultats suffisam-
ment précis et assurés. Pour les roues à aubes, telles
qu'on les construit communément , la valeur de K pa-
raît étre comprise entre 2, à et 3.

Cette valeur peut être augmentée par une disposi-
tion plus avantageuse de la roue. Il ne faut pas que la
3 ou plutôt de ;
de son rayon. Les aubes doivent avoir au moins 0”, 33

roue plonge dans l’eau de plus de

de hauteur. Elles doivent être espacées d’une quantité
au plus égale à leur hauteur. Elles doivent être incli-

nées en avant , et former avec le rayon un angle égal

nt : I
à + de l’angle droit quand la roue plonge de
2
1 Las 1e ,
ou de - de son rayon, et un angle moitié moindre si
5 y

-
8

avantage à leur donner une légère concavité du côté

la roue plonge de + du rayon. On doit trouver de

où l'eau les frappe.

3. Roues verticales destinées à transmettre l’action
d'un courant ou d'une chute d’eau d’une capacité don-
née.

Quelque variée que soit la disposition de ces roues,
l'action de l’eau sur elles offre généralement les cir-
constances suivantes. Avant de frapper les aubes ou les
augets fixés à la circonférence de la roue, l’eau a par-
couru une partie de la hauteur de sa chute et acquis
une vitesse. Cette vitesse est plus grande que celle de
la circonference de la roue. Après avoir frappé les au-
bes, l’eau a pris leur vitesse avec laquelle elle parcourt
le reste de sa chute, et qu’elle possède encore à l’in-
stant où, étant parvenue au bas de la chute, elle cesse
d’agir sur la roue. Nommant
H la hauteur totale de la chute,

h la portion de la chute parcourue par l’eau, avant
qu’elle ne frappe les aubes ou les augets,

m la masse de l’eau fournie par la chute dans l'unité
de temps,

E le volume de cette eau,

I le poids de l'unité de volume du fluide,

A l'aire moyenne de la section transversale de la veine
d’eau qui agit à la circouférence de la roue,

V Ja vitesse uniforme de la circonférence de la roue

passant par l’axe de cette veine, on a

mg == TE = nov.

P l'effort qui s'exerce, par suite de Vaction de l’eau,
dans le sens de cette circonférence,
S la longueur de l'axe de la circonférence susdite com-

prise entre le point où l’eau frappe les aubes et le

RO

point le plus bas où elle quitte la roue,

z Ja distance verticale de ces deux points,

p le poids du volume d’eau que déplace la portion
susdite de la circonférence de la roue, en plongeant
dans l’eau contenue dan; le coursier.

Supposant le mouvement de la roue uniforme, en
observant qu'à l'instant où l’eau frappe les aubes ou
augets elle perd subitement la vitesse Vogh—V; qu'à
l'instant où elle quitte la roue elle posside ja vitesse V ;
on a

Force vive acquise par le système dans l'unité de
temps... TA

Force vive perdue par l'effet du choc miV2gh—\):
Quantité d'action imprimée dans le mème temps...
mgH—PV

Egalant la somme des forces vives acquises et perdues

ns cesser

au double des quantités d'action imprimées, il vient,
pour l'expression de la quantité d'action transmise
dans l'unité de temps

PV = mg (H—h) + m (V/2gh — V) V.

Oa peut disposer des quantités À et V, et on doit le
faire de manière à rendre PV le plus grand possible. Ou

satisfera d’abord à cette coudition, en faisant

Vogh , d'où PV = mg(l — . h).

2

I
V __—

2

Il faudra ensuite supposer

h—0o, d'où V—o, ct PV = mg.H.

D'où il résulte 1° que le maximum d’effet a lieu
quand la vitesse des aubes ou augets est la moitié de
celle de l’eau qui les frappe; 2° que ce maximum est
d'autant plus grand que cette vitesse est plus petite ;
3° que la limite théorique est la quantité d'action re-
présentée par la chute de l’eau.

Cette théorie établie, examinons successivement
les principales dispositions connues pour les roues ver-
ticales.

4. Roues en dessous. Ce qui caractérise ce genre de
roues est que l’eau frappe les aubes après avoir par-
couru toute la hauteur de la chute, et avec la vitesse
due à cette hauteur (PI. 39, fig. 10) on a alors AH,

et

PY

m(V/2gH—V JAH
Le plus grand effet a lieu quand

V =! gl", d'où PV = mg.H.

> 2

Ainsi, la vitesse des aubes doit être la moitié de celle de

458 RO

l'eau qui les frappe, et la limite théorique de la quan-
tité d'action transmise est la moitié de celle représentée
par la chute de l’eau.

Les observations et expériences faites sur ce genre
de roues ont appris 1° que la vitesse des aubes doit être

seulement les £ de celle de l’eau qui les frappe, 2° que
la quantité d'action transmise à la roue était seulement
le 3 de celle représentée par la chute, On a donc dans
la pratique :

géneralement

PV — 3 m(V28H—V) v

PV = 2 Vas —VIV
>1Q
PV — — (V/28H—V)V:

dans le cas du maximum d'effet,

5
PV == mg H, P =3— V2
PV P— 5 Vel
PV — 10H V2gH, P =; noH

Q a ici la même signification qu’au n° 1.

Ces formules ne représenteront d’aillears exactement
l'effet obtenu qu'autant que les dispositions admises se-
ront réalisées. Les principales conditions à remplir sont
1° que la vitesse de la veine d'eau, quand elle vient
frapper les aubes, soit véritablement celle due à la
chute (on v parviendra en évasant l'entrée de l’orifice
et mettant peu de distance entre cet orifice et les aubes) ;
2° que les aubes soient contenues dans un coursier
qu’elles remplissent exactement, et aient une hauteur
suffisante pour quela veine d’eau ne passe pas pardes-
sus. On trouvera de l'avantage à les disposer conformé-
ment à ce qui a été dit n° 2.

5. Roues de côté. Ge sont celles où l’orifice qui donne
l’eau est placé à une hauteur intermédiaire entre le
hautet le bas de la roue. Leur établissement doit être
assujéti aux résultats du n° 2.

Leur vitesse devrait être la moindre possible , mais
l'expérience apprend que la vitesse de la circonférence
d’une roue hydraulique, pour que cette roue marche
régulièrement, doit être au moins d'environ un mètre

RO

par seconde. Il faut régler les dimensions de l’orifice
et la charge sur son centre , de manière que la vitesse
del’eau , quand elle frappe les aubes , soit double de la
vitesse de ces aubes.

Les roues dont il s’agit (PI. 39, fig. 9.) peuvent être
disposées de deux manières différentes : 1° l'eau peut
être reçue dans des augets portés par la roue; 2° elle
peut agir sur des aubes se mouvant dans un canal ou
coursier concentrique à la roue, que ces aubes remplis-
sent exactement. Dans le premier cas, le poids de l’eau
qui agit sur la roue est entièrement supporté par elle,
en fatigue la charpente et augmente le frottement. Dans
la seconde disposition, qui paraît préférable (surtout
quand la hauteur de Ja chute est petite), la plus grande
partie du poids de cette eau est portée par la paroi du
coursier. Mais il arrive alors qu’une portion de la cir-
conférence de la roue plongeant dans l’eau, v perd un
poids égal à celui du volume d’eau qu’elle déplace ,
dont l’action diminue celle que le courant exerce sur la

roue.

6. Roues en dessus. On désigne ainsi les roues qui re-
çoivent l’eau sur leur sommet(Pl. 40, fig. 1). Elles la re-
çcoivent ordinairement dans des augets, quelquefois en-
tre des aubesse mouvant dans un coursier concentrique,
comme il vient d'être dit. L'emploi des augets paraît
convenir dans le cas ou il y a une très-petite quantité
d’eau, et une grande hauteur; et l’autre disposition
dans le cas contraire. L'établissement de la roue est
d’ailleurs assujéti aux mêmes considérations théoriques
rappelées dans le numéro précéden!. Les observations
et expériences indiquent que la quantité d'action trans-
mise à la roue est les $ de la valeur donnée par la
théorie.

Le calcul des roues de côté et des roucs en dessus,
lorsque l’eau est reçue dans des augets, se fera au
moyen des formules suivantes :

Dans le cas général ,

PV — S [men + msi vi ]

Le)

J

PV = i [Er +Vas VV]
Dans le cas du maximum d'effet,
ave

T J VS)
Vr=—= V8; h = cs

PV = À (mime).

RO

Lorsque la roue est contenue dans un coursier, on
aura, pour le cas général,

PV = mg H—h) +m(V2gh—N)V—p : V
nE , — : 3
PV = 1h) + — (V2gh—V)V — p : V
8
pour le cas du maximum d’effet,
. 1 -— 2V:
Vi ;Vash, h mr

PV = mg—mV—p °V.

PV = nE (H — _ SE VS

CHR)

Pour avoir égard aux pertes d’eau qui ont lieu autour
des aubes, il faudra supposer une dépense d’eau un
peu plus grande que la valeur de E introduite danses
formules.

Les augets doivent avoir une figure particulière, qui
les rende propres à admettre l’eau facilement, et à la
conserver lonug-temps (voy. les notes du tom. 1°’ de
l'Architecture hydraulique de Bélidor, p. 415). Quand
la roue se meut dans un coursier, les aubes doivent le
remplir exactement , être un peu inclinées en avant
sur le rayon, saillir au-delà des jantes de la roue (afin
que ces dernières ne plongent point dans l’eau) au-delà
d’un tambour. On diminue l'effet des pertes d’eau en
laissant prendre à la roue une vitesse plus grande.

7. Des roues horizontales destinées à transmettre l’ac-
tion d’une chute d'eau d’une capacité donnee.

Les dispositions des roues horizontales sont plus va-
riées que celles des roues verticales. Leur théorie n’est
pas susceptible comme celle de ces dernières d’être ren-
fermée dans une seule formule générale.

Roues horizontales mues par le choc de l'eau. Consi-
dérons une roue horizontale (PI. 39, fig. 11) dont la
circonférence est garnie de palettes inclinées faites en
forme de cuillères, qui reçoivent le choc d’une veine
d’eau jaillissant hors d’un tuyau ou d’une buse; suppo-
sons le mouvement de la roue uniforme, et nommons :
IH la hauteur AC de la chute,

V la vitesse horizontale circulaire du point C de la pa-

lette rencontrée par l'axe de la veine d’eau ,

À l'angle DOM, inclinaison de la palette sur l'horizon,
9 l'angle de l’axe de la veine d’eau avec la normale à la

surface de la palette en C,

P l'effort exercé tangentiellement àla circonférence pas-
sant par le point C, par suite de l’action du courant,

m, E,n, g, ayant les mêmes significations que ci-
dessus,

RO 459

On a : vitesse de la palette estimée perpendiculaire -
ment à sa surface.

V sinA.

Vitesse perdue par l’eau , par l’effet du choc,

V2gH .cos9— Vsin à.

Vitesse conservée par l’eau, après le choc, et quand
elle cesse d’agir sur la roue,

VLgH.sin 02 V’sin’à].

D'où force vive acquise par le système dans l'unité de
temps ,

m(2gH .sin?9-E Voisin’).

Force vive perdue par l'effet du choc,

m(V/28H.cos0—Vsinà},
Les quantités d’action imprimées sont
P
mg.H—PV.

Egalant la somme des forces vives acquises et perdues

au double des quantités d'action imprimées, il vient
PV =m(y2gll.cos —Vsina)Vsinà,

pour l'équation du mouvement de la roue.

La roue doit être disposée de manière à rendre cette
expression de PV un maximum. On voit d'abord que
l’on doit avoir

0—0,

c’est-à-dire que la veine d'eau doit choquer perpendi-

culairement les palettes ; d’où
PV = m(V/2gH—Viin à,Vsin à.

On devra faire ensuite

d'où

PV = = mgll, où PV =; nE.ll.

Le mouvement de la roue doit être réglé de manière
que la vitesse ait la valeur ci-dessus. La quantité d’ac-
tion transmise est alors théoriquement la moitié de
celle qui représente la chute. On voit que, la vitesse de
l'eau demeurant la même, on peut faire varier la vi-
tesse de la roue sans cesser d'obtenir le maximum d’ef-
fet, en variant l'inclinaison des palettes.

On n’a pas sur les roues de cette espèce d'expériences
spéciales qui fassent connaître avec certitude la quantité
d’action'qu’ellestransmettent. On peut présumer qu'elle

440 RO

est à peu près la même que pour les roues verticales
considérées n° 4, et qu’il y aurait aussi de l’avantage à
donner à la roue une vitesse un peu au-dessous de celle
que la théorie indique ; l'établissement de la roue se
ferait aussi d’après des formules analogues à celles du
numéro cité.

8. Roues hor/zontales mues par le choc et par La pres-
sion de l'eau. On suppose une roue dont la circonfé-
rence est garnie de palettes courbes. La veine d’eau BC
(PI. 30, fig. 10), quiarrive suivant une directioninclinée,
choque perpendiculairement le haut de ces palettes,
coule entre elles, et sort de la roue à leur extrémité in-
férieure D. La veine d'eau est supposée, pendant son
mouvement dans la roue, demeurer à la même distance
de l'axe. Nommant

FH la hauteur totale de la chute,

h la portion AC de la chute parcourue par l’eau avant

qu'elle n'entre horizontale; on a alors

è : — re : :
PV=mising/2gh + V2 (1h) — : V(i+sin9)] V.

On devra faire ensuite

sin OV/2gh+V/2g Hi h)

V —
1 +sin’ÿ ;

ce qui donnera

m {sin

agh 4/28 M—h)} ;
2(1+-s1n"6)

PV —

faisant varier L, on aura, pour la valeur qui répoud au

maximum ,

d’où

[sin G\/2gH\

PV— m U

Eafñiu, faisant varier 9, on aura, pour la valeur qui

répond au maximum
sn 0—=1,

valeur qui conduit aux suivantes:

Ainsi, pour obtenir le maximum d'effet, 1° la veine
d’eau , eu entrant dans la roue, doit être dirigée hori-
zontalemeut; 2° la hauteur qu'elle a alors parcourue
doit être la moitié de la hauteur de la chute ; 3° la vi-
tesse de rotation du point de la roue où l’eau entre doit
être égale à celle de l'eau, en sorte qu’il n’y ait point de

RO

choc. Le maximum d'effet est théoriquement la moitié
de la quantité d’action que représente la chute. Cette
roue n'offre donc aucun avantage sur celle du numéro
précédent.

9. Roues horizontales mues seulement par La puis-
sance de l’eau. Conservant toutes les dénomipations du
numéro précédent, on supposcra les aubes tellement
formées que la veine d’eau entrant dans la rouene les
choque point , mais s’introduise entre elles tangentiel-
lement à leur courbure, Ou supposera toujours que cette
veine d’eau demeure pendant son mouvement à la
même distance de l'axe de la roue. Comme ici il n’y a
point de choc, il s’agit seulement de connaître la force

vive dans la roue. Nommons donc

V la vitesse circulaire horizontale de la roue, à l'en-
droit où l’eauentre dans laroue,

9 l'angle ACB que forme la direction de la veine d'eau
avec la verticale,

@ l'angle que la tangente DE, au point le plus bas de
la palette, forme avec la verticale,

P l'effort exercé, par suite de l’action du courant, tan-
gentiellement à la circonférence passant par le point

où l’eau entre dans la roue,

m,E,1n,g ont les mêmes significations que ci-dessus.
La vitesse que perd l’eau, par l'effet du choc, à son

entrée dans la roue, est, comme ci-dessus,
V'2gh—Vsin9.
Après ce choc, l’eau n’a plus aucune vitesse relative
dans la roue; mais en y parcourant la hauteur I—X,
elle acquiert la vitesse relative Vs). Cette der-

nière se décompose en une vitesse verticale —
cos? V/28 H—),

sineV'2 Se (H — pe
Quand l’eau quitte la roue, sa vitesse sertieslé ne s’ul-

et en une vitesse horizontale

tère point, mais sa vitesse horizontale cffective se trouve
de la
quantité V. La vitesse effective de l’eau est donc alors

plus petite que la vitesse horizontale relative

VLcose. 2g(H—A) + (sing\/2g(—A)—V}:]

d’où l’on conclut : force vive acquise par le système dans
l'unité de temps,

m{cos’e.2g Ah) + (sinoy/2g H—4)—V}]
force vive perdue par l'effet du choc
m(\/28 ogh—Vsin9)

La somme des quantités d'action imprimées est
T
mg.H—PV,

l'équation du mouvement de la rouc est donc

RO

PV=: m {aVsin0 V/ogh — Vr(1 sin 0)

+ osin ». VW/2g(Hi—h) |

quantité qu'il faudra rendre la plus grande possible,
eu réglant les valeurs de,9,V et. On voit d’abord
qu'on doit faire sing = 1.

Conservant toutes les dénominations précédentes ,
nommons de plus

# la vitesse angulaire de la roue,

r la distance à l'axe d’un point quelconque delaroue,
2 la distance à l'axe du point où l’eau entre dansla roue,
r' la distance à l’axe du point où l’eau sort de la roue.

On verra comme ci-dessus que la vitesse relative avec
laquelle l’eau commence à couler le long de l'aube est

V/[cos* 0.9gh H (sin 0\/2gh—v'r}],

la force vive que l’eau possède à cet instant {en ne con-
sidérant que son mouvement relatif dans la rouc), est

mfcos 0.2gh + (sin9 y2gh—vr')].

Pendant que l’eau est contenue dans la roue, sa force
vive doit augmenter d’une quantité égale au double des
quantités d'actions qui lui sont imprimées par la gravité
et par la force centrifuge. La quantité d'action impri-
mée par la gravité est mg(11—h). Celle imprimée par
la force centrifuge est
#

r

I
mdrr —

= — mw(re — 7?)

LS

b

Par conséquent la force vive de l’eau doit devenir

m[cos’0.2gh

+ (sin9/o2gh — vr'}] + 2mg(ll — h)
| mere) :

ou
m(2gH—ovr'sin0y/2gh + var"),

Sa vitesse effective, à l'instant où elle quitte la rouc est
donc, en supposant sa direction horizontale ,

VS — ovr'sin0y/ogh + #27] — or".

La force vive qu’elle possède alors est égale à 72 mul-
tipliée par le quarré de la vitesse. Egalant cette force
vive à 2mgI—2P.4", on a

Por" =m À vr'sin0y/ 2gh—v7r"2
+ 7 V/L2gH—ovr'sin0\/2gh + ver" |},
Cette valeur de la quantité d’action transmise à la

rouesera la plus grande possible, ct égale à la qantité
TOME II,

RO 441

d'action #2g.H fournie par la chute d’eau, si la vitesse
effective de l’eau, au sortir de la roue, est nulle , ou si
l’on a

VLgll — ovr'sin\/2gh + wr"] — pr" =

0;

d'où

Cette valeur de V est celle qui rend nulle la vitesse
effective de l’eau au sortir de la roue.

Des trois quantités V,0, L, il y en a deux arbitraires.
La troisième étant réglée conformément au résultat
précédent, la plus grande quantité d’action possible se
trouvera transmise À la roue.

La valeur théorique de cette quantité d’action est
celle même représentée par la chute d’eau.

10. Les roues où l’eau ne choque point les aubes
peuvent donc, d'après la théorie, transmettre une quan-
tité d’action double de celle que pourraient transmet-
tre les roues où l'aube est choquée. Il y a lieu de présu-
mer que l'avantage est au moins aussi considérable dans
la pratique. On n’a point encore publié d'expériences
suffisamment exactes sur les roues de ce genre. Pour
que l’eau entre dans la roue sans choquer les aubes,
elles doivent être tracées comme il suit. BC (PI. 57, fig 1)
représentant la vitesse effective \/25h de l’eau quand
elle entre dans la roueen C, les composantes horizon-
tale et verticale de cette vitesse sont AB, AC. Por-
tant la vitesse V en BF, CF représentera le vitesse rela-
tive avec laquelle l’eau commencera à couler le long de
l'aube. Cette ligne marque la direction de la courbe de
l'aube en C. La figure de la courbe entre le point C et
le point inférieur D où sa direction doit être horizon-
tale , est indifférente.

On pourrait même se dispenser de mettre des aubes
dans la roue. Il suffirait que le fond offrit des orifices,
dent l’eau sortit suivant une direction horizontale , et
en sens contraire du mouvement de rotation.

11. Considérant toujours la roue dans l'hypothèse du
n° 4, où l'eau ne choœue point les aubes, exami-
nons ce qui aurait lieu si l’eau, en descendant dans la
roue, s'apprachait ou s'éloignait de l'axe de rotation.

La vitesse de l’eau, quand elle entre dans la roue,

est V/2gh équivalente à la vitesse verticale cos 0V/25h
ct à la vitesse horizontale sin0\/2gh. L'eau commence
donc à couler le long de l'aube avec la vitesse relative

V/Icos0.2gh + (sin0W/2gh—V}].

L'eau descendant dans la roue de la quantité H—, sa
vitesse relative, quand elle arrive à l'extrémité infé-
rieure de laube, est due à la hauteur

o6

442 RO

_ [cos0.2gh+ (sinfl/2gh —V}] + H—a:

c'est-à-dire que cette vitesse est

VLgH—a2Vsinl/2gh+ V:].

Elle équivaut à la vitesse verticale

cos V/[2gH—2Vsin6l/2gh + V:],

et la vitesse horizontale,
sin gV/{28H—92V sin 0y/2gh+V>].

Quand l’eau quitte la roue, sa vitesse horizontale effec-
tive est plus petite que la vitesse relative de la quantité
V,et par conséquent la vitesse effective de l’eau est
alors

V'{ cosp(2gH—2 Vsino\/2gh + V?)
+ (singV/Lgl — 2Vsins|/2gh+ V:|—V}}.
La force vive possédée par l’eau est égale à » multi-

pliée par le quarré de cette vitesse.
La somme des quantités d’action imprimées étant

mg. H— PV,
où a donc pour l'équation du mouvement de Ja roue,
PV = mV {sin6l/2gh—V
+ sin gV/{28H —2Vsin 6V/2gh + V:]}
Il faut déterminer», 0, V et h, de manière à rendre

cette expression de PV un maximum. On voit d’abord,
comme dans le numéro précédent, qu’on doit supposer

snp—1,

ou que l’eau sorte de la roue suivant une direction ho-
rizontale, On aura

PV = mV {sin6l/2gh — V
VD — 2 Vsin OV2gh+V]};

et en faisant varier V,on trouve pour la valeur cor-
respondante au maximum,

Ne tie
sinGV/2gh ?
valeur identique à celle trouvée pour V dans le n° 0.
Ainsi, quand l'eau en se mouvant dans la roue s’ap-
proche ou s'éloigne de l’axe, cette circonstance n’a
aucune influence sur les conditions de l'établissement
de la machine. Il faut toujours donner la même vitesse

d’où PV = mg.H

de rotat on au point de la roue où l’eau entre.
12. La théorie des diverses espèces de roucs horizon-

RO

tales connues, ou qui pourraient être proposées, est
comprise dans les résultats des numéros précédens. Le

o

u° O se rapporte aux rouessemblables à celles des mou-
lins du Basacle, décrites par Bélidor. Le n° 11 montre
que les roues construites sur le même principe que la
Danaïde de M. Manoury Dectot { c’est-à-dire où l’eau
entre à la circonférence de la roue et en sort près de
l'axe), offrent les mêmes propriétés et doivent être éta-
blies d’après les mêmes conditions que les précédentes.
Ces conditions conviennent aussi aux roues où l’eau en-
tre près de l’axe et sort à la circonférence, disposition
qui constitue les roues à réaction proprement dites.
Dans ces dernières, la roue a souvent toute la hauteur
de la chute et l’eau y entre avec une vitesse sensible-
ment nulle, Ona alors y/2gh —0 , d'où v æ @ : ainsi
le maximum d’effer a lieu quand la vitesse de la roue
est infinie.

13. Le même résultat peut être obtenu par un autre
procédé qui s'applique plus directement aux roues à
réaction où l’eau entre par-dessous; supposons une roue
tournant dans l'air ou plongée dans l’eau du réservoir
inférieur, dans l'intérieur de laquelle l’eau arrive par
le centre, et à la circonférence de laquelle sont des ori-
fices, disposés de manière que l’eau sorte horizontale-
ment, et en sens contraire du mouvement de rotation.
Admettons que l'aire de ces orifices est très-petite par
rapport aux sections du réservoir supérieur, que leur
entrée est évasée, et que l’eau n’éprouve dans les con-
duits qui l’amènent dans la roue aucun changement

brusque de vitesse. Nommons :

H la hauteur de la chute ou la différence de niveau des
réservoirs supérieur et inférieur ,

V la vitesse circulaire horizontale de la roue, au centre
des orifices d'écoulement,

la vitesse angulaire de la roue,

r la distance à l'axe d’un point quelconque de la roue,

R la distance des orifices à l'axe,

P l'effort exercé, par suite de l’action du courant, tan-
gentiellement à la circonférence passant par le centre
des orifices.

m, E, n,g ayantles mêmes significations que ci-dessus.
Si la roue était immobile, la pression contre les ori-

fices étant due à la hauteur H, l’eau sortirait des orifices
avec la vitesse Vos. La roue étant en mouvement,
la force centrifuge cause, à l'endroit où les orifices sont
placés, une pression excédante représentée par l’action
de cette force sur une colonne horizontale dont la
longueur comptée à partir de l’axe est R. Cette pres-
sion est exprimée par

SA

laquelle est due à la hauteur —
2g
orifices est donc due en totalité à la hauteur

. La pression contre les

V?
H+ —,
+ à

et par conséquent la vitesse relative avec laquelle l’eau
en sort ; est

V2 + V:.
L'eau quitte donc la roue avec une vitesse effective

Vas E VV,

et une force vive
m\/284 + VV}.
La quantité d’action imprimée est toujours
mg — PV.

Ainsi l'équation du mouvement de la roue est

S.

SACROBOSCO (Jran DE), né à Holyrood, dans le

Yorskshire, vers le commencement du xn°

siècle, est
célèbre dans l’histoire de la science comme l’auteur du
premier traité d'astronomie que l’Europe ait possédé,
indépendamment des anciens, Sacrobosco fit ses études
à l’université d'Oxford, et vint ensuite à Paris, où ses
connaissances en mathématiques, supérieures en effet
pour son temps, lui attirèrent une grande réputation ;
il mourut dans cette dernière ville en 1226. Le livre de
ce savant, qui pendant près de quatre cents ans a été
suivi dans les écoles, est intitulé : De Spherd mundi;
ce n’est qu'un abrégé de l’{lmageste et des commen-
taires des astronomes arabes. Cet ouvrage entièrement
oublié comme production scientifique, n’est plus con-
sidéré que comme un objet de curiosité, et il est d’ail-
leurs trop connu pour que nous ne nous bornions pas à
ajouter ici qu’il a eu de nombreuses éditions durant le
xvif siècle, et qu’il est un des premiers livres que l’im-
primerie ait reproduits. Melanchton, à la suite d’un
traité de la sphère, imprimé à Wittemberg en 1508, a
donné un autre écrit de Sacrobosco, qui a pour titre :

De anni ratione, sive de computo ecclesiastico.

SAGITTAIRE, (451) Nom du neuvième signe du
zodiaque qu’on indique par cette figure »#, et d’une
constellation appelée aussi centaurus , taurus, chiron,

phillyrides, (Voy, AnmiLLalnE, 15.)

SA
PV = myagl HVi— NV) V,
\

445

comme on le trouverait en faisant k— 0 dans l’expres-
sion du n° 9. Cette quantité sera la plus grande possible,
etégale à la quantité d’action mg.H fournie parla chute
d’eau , quand la vitesse effective de l’eau au sortir de la
roue sera nulle, ou quand on aura

V'L2gH + V1] — V= 0", d’où V = @œ.

Voyez, pour les détails, l'Architecture hydraulique
de Prony, et les Recherches expérimentales de Smea-
ton , traduites par M. Girard. M. Poncelet, à qui on
doit plusieurs expériences hydrauliques très-importan-
tes, a proposé une nouvelle roue à aubes courtes, dont
les effets sont supérieurs à ceux des autres roues du
même genre. (Voy.son Mémoire sur les roues hydrau-
liques.)

ROULETTE. (Gcom.) Nom de la courbe plus con-
nue sous celui de CycLoïpe. (Foy. ce mot.)

SAISONS. (4st.) Parties de l’année solaire divisée
relativement à la position de la terre par rapport au
soleil. On distingue quatre saisons qu’on nomme le
printemps, l'été, l'automne et l'hiver. (Foy. ces divers
mots.)

SALOMON pe CAUS. Nous avions cru devoir ren-
voyer ici cet article biographique, dans l’espoir que
nous pourrions nous procurer quelques renseignemens
moins vagues que ceux que nous possédions sur cè ma-
thématicien. Notre espérance a été trompée en grande
partie : Salomon de Caus n’était connu dans l’histoire

de la science que par un Traité de Perspective, qui
n'aurait pas sauvé son nom de l'oubli ; mais les perfec-
tionnemens de la machine à vapeur , et l'importance
que ce puissant moteur a acquis dans l’hydrodynami-
que , a dû faire chercher à qui l'humanité était rede-
vable d’une telle découverte. On trouve dans un ou-
vrage de Salomon de Caus, intitulé Les raïsons des
Jorces mouvantes, avec diverses machines tant utiles
que plaisantes , Francfort, 1615, in-4°, la première
exposition scientifique de la théorie des machines à va-
peur. En effet, l’auteur partant de ce théorème : « l’eau
montera, par aide du feu, plus haut que son niveau »,
explique avec beaucoup de lucidité tous les avantages
qu'on pourrait tirer en mécanique de l'application de
ce moteur, Il donne même l'idée d’une machine de ce

4% SA

genre. Cette production à précédé de plusieurs années
la publication des idées du marquis de Worcester sur
1e même sujet, et il n'y à pas de doute que Salomon
de Caus n’eût sur lui l'avantage de la priorité. Cet in-
génieur était né à Blois vers Ja fin du xvi° siècle; il fut
long-temps au service de l'électeur Palatin. C’est à peu
près tout ce qu'on sait sur ce savant auteur d’une dé-
couverte immense et dont notre siècle s’est emparé

avec un succès si remarquable.

SATELLITE. (454) Nom que l’on donne aux pla-
nètes secondaires qui font Icur révolution autour d’une
planète principale et qui l’accompaguent dans la révolu-
tion qu’elle fait elle-même autour du soleil.

Les satellites décrivent autour de leurs planètes
principales, comme centre, des ellipses, en observant
les mêmes lois que ces planètes principales dans leur
mouvement autour du soleil. La lune est le satellite de
la terre. Mercure, Vénus et Mars n’en ont point, Ju-
piter en a quatre, Saturne septet Uranus six.

Les quatre satellites de Jupiter ont été découverts
par Galilée en 1610, peu de temps après l'invention
des lunettes; leurs orbites «ont dans des plans presque
exactement coïncidens avec l'équateur de Jupiter, ou
parallèles à ses bandes. Cct équateur étant peu incliné
sur l’écliptique, il en résulte que les orbites des satel-
lites nous apparaissent comme des lignes presque droi-
tes, le long desquelles ils semblent osciller, tantôt pas-
sant devant Jupiter et éclipsant de petites parties de
son disque ; tantôt passant derrière et étant éclipsé par
lui. Ces éclipses, qui fournissent à l'astronomie un
moyen précieux pour la détermination des longitudes
terrestres, ont conduit Roëmer à l'importante décou-
verte du mouvement progressif de la lumière, (Foy.
Lumière.)

Les satellites de Jupiter ont, comme la lune, un
mouvement de rotation sur eux-mêmes, dont la durée
est parfaitement égale à celle de leur révolation autour
de la planète, à laquelle, conséquemment, ils présen-
tent toujours la même face. Tout ce qu'on sait de leur
constitution physique, c’est qu’ils ont accidentellement
sur leurs surfaces où dans leurs atmosphères des taches
obscures d’une grande étendue. Nous avons mentionné
ailleurs la relation très-singulière découverte par La-
place, entre les mouvemens moyens des trois premiers
satellites. (oy. Larrace.)

Les sept satellites de Saturne ont été découverts,
savoir : le sixième en 1655 par Huygeus; le septième
en 1671 par D. Cassini, qui découvrit eusuite le cin-
quième en 1672, et le troisième et le quatrième en
1684; les deux premiers ont été aperçus pour la pre-
mière fois par Herschel en 1:89. Ces corps, que leur

extrème éloïguement reud diificiles à étudier, sont

SA

moins connus que les satellites de Jupiter. Le plus éloi-
gaé de la planète est le seul sur lequel on ait constaté
un mouvement de rotation qui s'effectue dans le même
intervalle de tenps que sa révolution périodique ; l'ana-
logie d'accord avec la théorie ne permet pas de douter
qu'il en soit de même pour les six autres.

La satellites d'Uranus, découverts par IHerschel en
1799 et 1797, sont encore bien moins connus que ceux
de Saturne, et même l'existence de quatre d’entre eux
est mise en doute par plusieurs astronomes; mais les
deux qui ont été généralement observés présentent la
singularité d’un mouvement en sens inverse de tous les
autres corps du système solaire, car tandis que tous ces
corps accomplissent leurs révolutions et allant d’occi-
dent en orient, ces deux satellites, dent les plans des
orbites sont presque perpendiculaires à l’écliptique, se
meuvent d’orient en occident.

SATURNE. (4st.) Une des planètes de noire sys-
tème, la dixième dans l'ordre des distances au soleil.
On la désigne par le caractère D.

Ce vaste globe, dont Ies dimensions égalent presque
celles de Jupiter, puisque son diamètre n'a pas moins
de 31434 lieues de 2000 toises, présente des particu-
larités très-remarquables; outre qu’il est accompagné
de sept lunes ou satellites, il est entouré de deux an-
neaux solides, plats, larges et très-minces, qui ont
tous deux le même centre, celui de la planète, sont
couchés dans un mème plan, et sont séparés l’un de
l'autre par un très-petit intervalle sur tout leur con-
tour, tandis qu’il règne entre eux et la planète un inter-
valle beaucoup plus considérable, Les dimensions sui.
vantes de ces carps extraordinaires ont été calculées
d’après {es mesures micrométriques du professeur
Struye. Elles sont exprimées en lieues de 25 au degré,
Licues.
63850.

56223.

Diamètre extérieur de l'anneau extérieur.
Diamètre intérieur du même.......,...
Diamètre extérieur de l’anneau intérieur.
Diamètre intérieur du même........... 42488.
Diamètre équatorial de la planète. ....., 28664.
Intervalle entre la planète et l’anncau inté-

TIBLIS ER EAN dass re nreire re Ut MOD IZe
Intervalle des anneaux......,........ 645.

Epaisseur des anneaux, au plus........

Le disque de Saturne est recouvert de bandes ob-
scures, à peu près semblables à celles de Jupiter, mais
plus larges et moins bien marquées. L’anneau est un
corps opaque dont l'ombre se projète sur le corps de la
planète, ainsi qu'on peut le voir dans la figure 5 de la
planche 18. Oa a reconnu que l’axe de rotation autour

duquel tournent en mème temps, avec des vitesses dif-

SA
férentes la planète et les deux anneaux, est perpendi-
culaire aux anneaux, lesquels correspondent par con-
séquent aux régions équatoriales de Saturne. La durée
de la rotation de la planète est de 10! 18", celle de la
rotation des anneaux est de 10 29! 17”.

Dansle cours de l'orbite que Saturne décrit en 30
années autour du soleil, les diverses situations qu’il
prend par rapport à la terre font disparaître quatre fois
l'anneau, qui présente à ces époques sa seule épaisseur
et nappérait plus que comme une ligne droite très-
déliée, dépassant le disque des deux côtés, et dont la
finesse est telle qu'il faut des télescopes d’un pouvoir
aplfiant extraordinaire pour pouvoir lapercevoir.
(Foy. ANNEau.)

Le volume de Saturne est 887 fois plus grand que
celui de la terre, et sa masse est représentée par le nom-
bre 101, celle de la terre étant prise pour unité. Il
suit de ces valeurs que la densité de Saturne comparée
à celle de la terre est environ 0, 11; c’est-à-dire que
les matériaux constitutifs de cette immense planète ont
une densité bien au-dessous de celle de l’eau et très-
peu supérieure à celle du liége,

Voici les élémens de Saturne, rapportés au premier
janvier 18or.

Jours.

Révolution sidérale moyenne. .., 10709, 2108174
Longitude moyenne........... 135°20'6”,5
Inclinaison à l'écliptique......., 2 29 35,7
Longitude du périhélie......... 89 929,8
Lougitude du nœud ascendant... 111 637.4
Demi grand axe, celui de la terre

CTANE Meteo tre se oo osent : 0)2807 001
Excentricité en parties du demi

HAN AXCS ose e eus sectes O7 0D0TDOD
Diamètre équatorial , celui de la

ELAND DE ss sas sseneesse

9; 987

La plus grande distance de Saturne au soleil, comp-

tée en lieues de 2000 toises est, d’après Delambre, de.

3095214317 lieues, et sa plus petite de 3132091102
lieues ; ses distances à la terre varient depuis 313291102

lieues jusqu'a 43510158 licues.

SAUNDERSON (Nicoras), savant mathématicien
anglais, naquit en 10682, à Thurloton, dans le comté
d’Yorck. Il était encore au berceeu lorsque la cruelle
maladie, dont la précicuse découverte de Jenner pré-
serve les générations modernes, le priva entièrement
de la vue. Malgré cette douloureuse affliction, le jeune
Saunderson ne tarda pas à manifester des dispositions
remarquables à s'instruire, que ses pareus, malgré leur
peu de fortune, s’empressèrent de seconder. Son gé-
nie pour Les mathématiques se révéla au sortir de l’école

de Pennistou, où il apprit les langues anciennes ; son

SA 225
père fut son premier professeur d’arithmétique, et les
progrès qu'il fit dans les principes de Ja science, appe-
lèrent sur Jui l'intérêt de maitres plus distingués. Ri-
chard West et le docteur Nettleton l’eurent successi-
vement pour élève, Admis en 1707 à professer au col-
lége de Christ-Church, à Cémbridge,-en qualité de lectu-
rer, il ouvrit son couts par des leçons d'optique, et
c'était une chose assez extraordinaire qu'un aveugle
expliquät avec une netteté remarquable les doctrines de
Newton sur la lumière et les couleurs, et discouüt
avec bonheur sur la théorie de la vision, sur l’efiet des
verres concaves et convexes, et sur le phénomène de
l'arc-en-ciel. Eu 1911, Saundersoa, dont la réputation
égalait celle des principaux géomètres de l'Angleterre,
fut élu professeur de mathématiques à l'université de
Cambridge, où il mourut le 19 avril 1339. Ce célèbre
aveugle a laissé des É‘lémens d'Algèbre qui sont encore
fort estimés. [ls ne parureut qu'après sa mort, et furent
imprimés à Cambridge en 1740 (2 vol. in-8° avec por-
trait). Cet ouvrage a été traduit en français par De
Boncour (Ainsterdam, 1756, 2 vol, in-4°), On trouve
dans le premier volume la description d'une michine
propre à faire les opérations d’arithmétique, et que le
seul sèns du toucher suffit pour diriger. Saunderson a
encore laissé des commentaires sur le livre des Prin-
cipes de Newton, etun traité du calcul des fluxions qui

a été publié en 1556.

SAUVEUR (Josxrn), géomètre célèbre du xvn°
siècle, naquit à la Flèche le 24 mars 1650. Ce savant à
qui l'on doit Acoustique musicale, branche nouvelle
des sciences physico-mathématiques, fut muet jusqu’à
l’âge de sept ans. L’organe de la voix ne se développa
chez lui qu'avec une extrême lenteur, et ne fut jamais
bien libre, non plus que celui de l’ouïe. Il naquit avec
le génie de la mécanique, et Fontenelle, dans son éloge,
dit « qu'il était l’ingénieur-des autres enfans, comme
Cyrus devint le roi de ceux avec qui il vivait, Sauveur
apprit à peu près seul Îles mathématiques, et en 1696
il fut nommé membre de l’Académie des scieuces. Il
était alors un géomètre distingué, mais ce ne fut qu'a-
près avoir reçu cette juste récompeuse de son mérite,
qu'il produisit sa découveite principale de lF'Acous-
tique musicale. Elle est exposée dans divers mémoires
insérés dans le recueil de l’Académie dés sciences et in-
titulés : Déterminalion d'un son fixe, détails sur les
expériences par les batiemens. 1702. — Application
des sons harmoniques à la composition des jeux d'or-
gue, 1707. — Methode générale pour former Les sys-
tèmes tempérés de musique, et choïx de celui qréon doit
suivre, 1711, — Table générale des :ystèmes tempeércs
de musique, 1713. — Rapport du son des cordes d'in-

strumens de musique aux flèches des courbes, etnou-

446

velle détermination des sons fixes. Sauveur est mort

SC

à Paris, le 9 juillet 1716.

SCALÈNE. (Géom.) (de cases, boiteux.) Nom
d’un triangle dont les trois côtés sont inégaux. (Joy.

TRIANGLE.)

SCÉNOGRAPHIE, (Persp.) (de vxx», Scène, et de
ypapu, je décris.) Représentation d’un corps en per-
spective sur un plan, avec toutes ses dimensions tel qu’il
apparaît à l'œil. La scénographie est la même chose
que la perspective proprement dite, (Voy. Prrsrrc-
TIVE.)

SCHEAT pe Pécase. (4st.) ou Skar. Nom d’une
étoile de seconde grandeur de la constellation de Pé-
gase. Elle est marquée £ dans les catalogues.

SCHEINER. ( Curisropne.) Savant jésuite, né à
Schwaben en 1575, et mort en 1650. Le père Scheiner,
à qui l’on doit, outre de très bons ouvrages sur l’opti-
que et sur la gnomonique, l'invention du pantographe,
ou de cet instrument par lequel on copie un dessin en
faisant varier ses dimensions, est particulièrement cé-
lèbre par sa découverte des taches du soleil, Etant à

tome professeur de mathématiques , il raconte, dans

uue lettre adressée le 12 novembre 1611 à Velso, séna-
teur d'Augsbourg, que sept à huit mois auparavant, re-
gardant le soleil au travers d’un télescope, il aperçut
sur son disque quelques taches noirâtres ; que d’abord
il y fit peu d'attention, mais qu’ensuite il reconnut
qu’elles avaient un mouvement progressif sur le soleil
et qu'enfineiles disparurent entièrement au mois d’oc-
tobre. Velso rendit compte äe cette observation à Gali-
lée, et on juge par sa lettre, qui est des premiers jours
de l'année 1612, qu'on était persuadé en Allemagne
que Galilée avait déjà vu la même chose. Quoi qu’il en
soit, le père Scheiner continua d’observer les taches du
soleil et il contribua alors plus que personne à faire
connaitre leurs mouvemens apparens.

SCHOLIE. (de syeñe , note.) Ce mot est très en
usage dans la géométrie pour désigner une remarque
faite sur quelque proposition.

SCINTILLATION. (454.) Espèce de tremblement ou
de vibration qu’on observe dans la lumière des étoiles
fixes. |

Le diamètre apparent des étoiles fixes, même les
plus brillantes, étant d'une grandeur inappréciable par
aucun de nos instrumens, les moindres molécules de
matière qui passent entre elles et nous les font paraître
et disparaître alternativement, ce qui produit cet état
continuel de tremblement auquel on a donné le nom

or
SE

de scintillation, et qui sert à distinguer les étoiles des

planètes. Dans les pays où l'atmosphère est moins char-

gée de vapeurs que dans nos climats, cette scintillation

est moins sensible.

SCIOPTIQUE. (de oxiœ, ombre, et de orrepa, je
vois.) Nom de l’instrument nommé autrement œil arti-
Jiciel. (Foy. ce mot.)

SCIATÉRIQUE. {Géom.) Le télescope sciatérique
est un cadran horizontal muni d’une lunette pour obser-
ver le temps vrai pendant le jour et la nuit. Il a été in-
venté par Molineux , qui a publié à ce sujet un livre
contenant une description de cet instrument et la ma-
nière de s’en servir.

SCORPION. (454.) Nom du huitième signe du z0-
diaque , désigné par le caractère M4, et d’une constella-
tion composée de 35 étoiles, au nombre desquelles se
trouve une belle étoile de première grandeur nommte
Antarés.

SCRUPULE,. (454) C'est la même chose que doigt.
(Voy. ce mot.)

SÉCANTE. (Géom.) On donne généralement ce

nom à toute ligne qui en coupe une autre.

Dans la trigonométrie, une sÉcaNTE est uneligne droite
tirée du centre d’un cercle et prolongée jusqu'a ce
qu’elle rencontre une tangente au même cercle. Par
exemple, la ligne AD (PI. 57, fig. 3) tirée du centre A
jusqu’à ce qu’elle rencontre la tangente BD , se nomme
une sécante, et, particulièrement, la secante de l'arc CB,
ou de l’angle CAB mesuré par cet arc.

La sécante ÉF de l'arc EC, complément du premier
arc CB, prend lenom de cosecante de cet arc CB. En
général, la cosécante d'un arc est la même chose que
la sécante du complément de cet arc.

Les rapports qui existent entre la sécante d’un arc et
son sinus se trouvent aisément de la manière suivante.
Menons le sinus CG, les deux triangles ACG, ABD se-
ront semblables et fourniront la proportion

AD : AC :: AB : AG.

Or, AD est la sécante de l'arc CB, AG le cosinus du
même arc , et ABet AC les rayons du cercle; ainsi,
désignant par x l’arc CB, et par r le rayon du cercle,
cette proportion peut s’écrire :

SCC Le 7 HOT COS,
d'ou (1)
»
" t à
SCT = ——--
cosx

En prenant le rayon du cercle pour unité, on a simple-

I
ment, sËc —=——.
cosx

|

SE
Les triangles semblables AEF, ATIC, fourniraient de
la même manière (2)
: 7°
COSÉC — ——.
cosx
Ainsi la sécante et la cosécante d'un arc sont entièrc-
ment déterminées par son sinus et son cosinus.
Si l’on divise l'égalité {1) par légalité (2) il vient

séc x sin æ

cosécæ

cos x ?

c’est-à-dire que le rapport entre la sécante et la cosé-
cante d’un arc est le même que celui du sinus et du co-
sinus de cet arc.

Toutes les propriétés des sécantes peuvent donc se
déduire de celles des sinus, comme aussi leurs valeurs
particulières , correspondantes aux valeurs particuliè-
res de l'arc æ, dépendent des valeurs des sinus. Nous
exposerons la théorie de ces lignes dans toute sa géné-
ralité au mot Sinus.

SECONDE. Soixantième partie d’une minute , soit
dans la division du cercle soit dans celle du temps.

SECTEUR. (Géom.) Partie d’un cercle comprise en-
tre deux rayons et l'arc intercepté. Telle est la figure
ACB. (PL. 55, fig. 4.)

L’aire d’un secteur de cercle est à l’aire totale du cer-
cle dans le rapport de son arc à la circonférence. Ainsi
connaissant l'arc AC que nous désignons par a, et le
rayon AB que nous désignons par r, comme la circon-
férence dont le rayon estr est égale à 27r (voy. cercle),
et que l'aire du cercle est rr°, nous aurons pour l'aire
du secteur ACB.

secteur ACB —

Lorsque l’arc «a est donné en degrés, il faut l’exprimer
en mêmes unités que le rayon; supposons, par exemple,
qu’on demande la surface d’un secteur dont l’arc est de
32° 30', dans un cercle de 5 mètres de rayon. Onre-
marquera d’abord que le rapport de l’arc en question à
la circonférence est le même que celui de 32° 30' à 360»,
ou que celui des nombres 1920 et 21600, en réduisant
tout en minutes ; ainsi, si l’on connaissait en mètres
la longueur de la circonférence, on aurait celle de l’arc
également en mètres, en multipliant la longueur de la

: ; 1920 à ;
circonférence par le rapport pe , mais puisque le
21000

rayon est 5, la circonférence est 27 X5 , ou à peu près
10X 3,1415= 31,415, ct l'on a pour la valeur de
l'arc du secteur en mètres ,

1020

: 31,415 —2",902:
1600 X »4 »79 »

SE 441

l'air du secteur est donc

!
nt, CATTES

=. (2,792). 5 — 6,980.

On nomme secteurs semblables, les secteurs de deux
cercles différens dont les rayons comprennent des an-
gles égaux.

Dans toutes les courbes qui ont des foyers , l'espace
compris entre deux rayons vecteurs et l'arc intercepté
prend aussi le nom de secteur. Il y a donc des secteurs
elliptiques, paraboliques, hyperboliques , etc.

SEcTEUR AsTRONOMIQUE. C’est un instrument qui sert
à mesurer la distance d’un astre au zénith.

SECTION. (Gcom.) Endroit où des lignes, des
plans, etc. s’entrecoupent.

La commune section de deux lignes est un point,
celle de deux surfaces est une ligne, et particulièrement
une ligne droite lorsque les surfaces sont planes,

Oa nomme aussi section, la ligne ou la surface formée
par la rencontre de deux surfaces, ou d’une surface et
d’un solide.

Lorsqu'on coupe une sphère d’une manière quelcon-
que par un plan, la section est toujours un cercle. (Foy.
SPRÈRE.)

La section d’un cône par un plan est un cercle , une
ellipse , une parabole ou une hyperbole, selon la posi-
tion du plan. (Voy. ces divers mots, et ConiQue.)

SEGMENT p’ux cencre. (Gcom.) Partie d’un cercle
comprise entre une corde et l'arc qu’elle soutend.

Comme toute corde partage un cercle en deux parties
et qu’elle soutend conséquemment deux arcs différens ,
chaque corde se rapporte à deux segmenrs. On nomme
petit segment celui qui est plus petit que le demi-cer-
cle, et grand segment celui qui est plus grand. Si la
corde était un diamètre, les deux segments seraient des
demi-cercles.

On obtient l'aire d’un petit segment de cercle ArnC,
(PI. 57, fig.5), en calculant l'aire du secteur BA7»2CB,
celle du triangle ACB, eten retranchant la seconde de
la première. S'il s'agissant du grand segment AC, on
ajouterait au contraire letriangle ACB au secteur BAXCB.

Un segment est dit capable d’un angle donné , lors-
que tous les angles dont les sommets sont sur son arc
et dont les côtés passent par les extrémités de sa corde
sont égaux à un angle donné. (/oy. Caraucx.) Ces an-
gles sont d’ailleurs toujours égaux entre eux, puisqu'ils
ont pour mesure la moitié du même arc. (/’oy. Axcrr.)

SEGMENT D'UNE spnène. Partie d’une sphère comprise
entre un plan qui la coupe et la portion de sa surface
située d’un côté ou de l’autre dece plan. Si le plan cou-

pant passe par le centre, il y a deux segmens égaux qui

448 SE
sont chacun la moitié de la sphère ; dans tous les autres
cas , il y a également deux segmens, mais l'un est plus
petitet l’autre plis grand que la moitié de la sphère,
(foy. Sruëre.)

Où désigne encore sous le nom de segment des par-
ties des figures curvilignes.

SÉLENOGRAPUHIE. (451) (de seaws, lune, et de
yp«ws, je décris.) Description de la June.

Quoique la selenographie n'existe comme science
que depuis l'invention des lunettes, les anciens avaient
déjà proposé sur la nature de la lune des hypothèses
très-remarquables dont quelques unes se trouvent con-
firmées de nos jours, Arnsi, PDémocrite enseignait que
les taches n'étaient autre chose que des ombres formées
par la hauteur excessive des montagnes de la luue et
qui, iuterceptant le passage de la lumière, dans les
parties moins élevées de cette planète, où les vallées,
formaieut ces ombres ou taches que nous observons.
Plutarque fut encore plus loin, car il conjectura que la
lune devait avoir daus sou sein des mers ou des ca-
vernes profondes ; il disait que les grandes ombres que
l'on aperçoit sur le disque de cette planète étaicut cau-
sées par de vastes mers quine pouvaient pas réfléchir une
paques,
ou par des cavernes ext:émement étendues et pro-

lumière aussi vive que les autres parties plus o

foudes, dans lesquelles les rayons du soleil étaient 4b-
sorbés. Il croyait en outre que la lune ne pouvait être
habitée parce qu’elle n'avait ni nuages, ni pluies, pi
vents, Ct par conséquent ni plantes, ni animaux.

Ën comparant ces idées avec les résultats de l'étude
approfondie des astronomes modernes, on pe peut
qu'admirer cette prodigieuse faculté que possède le gé-
nie, de pressentir la vérité.

Lorsque Galilée eut construit des lunettes d'approche
en 1609, il vit tout de suite que la lune avait des mon-
tagnes et des cavités, et dès lors les astronomes s’occu-
pèrent à l'envi de décrire les parties de ce corps sin-
gulier. En 16/47, Hévélius fit de rette description le su-
jet d’un grand ouvrage intitulé Sé/énographie, où la
lune cest représentée dans toutes ses phases et sous tous
les points de vue. Depuis, Riccioli, Cassini, la Hire,
Lambert et Herschei ont successivement perfectionné
les cuites de la lune, et l'on peut considérer aujourd’hui
ces cartes comme plus exactes que nos meilleures cartes

géographiques. (voy. Luxe).

SEMAINE. ( Chronologie.) Durée composée de sept
jours.

Sept jours naturels où astronomiques composent une
semaine, etse distinguent entre eux par les noms connus
de toutie monde : dünanche, lundi, mariti, mercredi,

jeudi, vendredi etsamedi, Suivant le rapport de Moïse,

SE
les semaines doivent leur origine à la création du monde,
parce que Dieu l’a achevée en six jours, et qu’il s’est re-
posé le septième. Quant aux noms des jours qui les com-
posent, nous les avons reçus des anciens astronomes, qui
avaient consacré les jours de la semaine aux principales
planètes; savoir : le premier, au soleil, qu’ils nommaient
Dies solis , et que les chrétiens ont appelé jour du sei-
gneur, Dies dominica, en français dimanche; le second,
à la lune, appelé pour cette raison Dies lunæ, eu fran-

çais Andi; le troisième, à Mars, nommé Dies martis,

eu français mardi; le quatrième, à Mercure , appelé

Dies mereurii, en frauçais mercredi; le cinquième, à
Jupiter, nommé Dies jovis, en français jeudi; le
sixième, à Venus, nommé Dies veneris, en français
vendredi; et enfin le septième, à Saturne, appelé Dies

saturni, en francais samedi.

SEMBLABLE, {(Géom.) On nomme figures semblu-
bles, les figures dont les angles sont égaux et dont les
côtés sont respectivement proportionnels. (7'oy. Simi-

LITUDE.)

SEPTENTRION. {451.) Région du ciel qui est du
côté du pôle arctique. Le septentrion se nomme aussi
le nord, c'est le côté opposé au midi ou sud. De ce nom
vient l’épithète de septentrional qu'on donne à tout ce
qui est situé dans l'hémisphère arctique ou boréal, com-

me signes septentrionaux , latitude septentrionale, etc.

SÉRIE. (4/g.) Suite de nombres comne À + B
+ CH D+HE + etc., à l'infini, liés entre eux par une
loi.

Lorsque par l'addition successive des termes d’une
série on approche de plus en plus d’une même quantité,
la série est dite convergente; telle est la série numé-
rique

I

Ter 1 I M ate
= : L = _ . a l'inf
OL QUE L ML POLE LR: Bu à l'infini,

dont la valeur s'approche d'autant plus de 1 qu'on
prend un plus grand nombre de termes.

Lorsqu’au contraire par l'addition successive des ter-
mes d’une série on obtient des quantités qui diffèrent
entre elles de plus en plus, la série est dite divergente ;
Telle est

1—2<4—8<L:16—32464— 128+etc... à l'infini.

Nous avons vu au mot convenGEent les moyens de
transformer toute serie divergente en série conver-
gente, Ct nous avons donné au mot MATHÉMATIQUES , 16
et 17, la déduction philosophique de l'algorithme des
séries qui embrasse, comme nous le verrons plus loin,
toutes les mathématiques modernes ; ici nous allons con-

sidérer cet algorithme sous le point de vue le plus

SE
général et avec tons les développemens que réclame
son extrême importance.

1. Rappelons-nous d’abord 1° que la génération
technique d'une quantité diffère essentiellement de sa
génération ‘théor. ique ; en ce que cette dernière donne
la nature même de-H quantité ; tandis que-la première
ne donne que sa z2esure ou son évaluation ; 2° que la
génération {ec hnique d une quantité consiste part ticu-
lièrement, pource qui concerne les-scries, en une trans-
formation de la fonction , donnant la génération théo-
rique de cette quantité, en fonctions de sommation où
en fonctions de la forme À + B,

2. Désignons par:Fy une fonction quelconque de la
variable x ct, pour examiner les divers cas de l’éva-
luation ou de la génération technique de la quantité
représentée par Fx, prenons simplement la variable x
elle-mème_pour la r'esure à l'aide de laquelle iks’agit
de tranformer cette quantité en fonctions de somma-
tion. Or nous avons vu (M ATH, 17, que la forme néces-
saire de la transformation en question est

Fr = A L ox

À étant une quantité indépendante de la mesure, et x
une fonction de x, dépendante de cette mesure, ou
plutôt mesurable par elle généralement ; ainsi, là me:
sure étant ici æ, dx doit être telle qu’elle devienne

zéro lorsque x = 0, pour que Te rapport Re

pr
x

ne devienne pas indéfinis Si nous désignons par un

point placé sur x la valeur zéro de cette variable, nous
f | O9 1 I 101

at?

aurons dont

À = Ex =
Mais puisque la fonction bx est comparable dans tous
les éas avéc la variable x, nous pouvons poser ”

L'or 2
+

= Fix sy |
A

et la fonction F,x ayant nécessairement une valeur dé-
terminée, nous pouvons de nouveau la transormer en

L 239
— B + »,x

B'étant uné quänitité indépendante de x et ,x une
fonctioti de: +, généralement mesurable par x. Nous
aurons évidemment dans le cas dex — 0,

B= Fri ;

ct, comine nous pouvons poser aussi
TOME I,

SE 419

et que la fonction F,z a, dans tous les cas, une valeur
déterminée , nous aurons pour troisième transformation

F,.x C + P2T , L

dans laqueile

Poursuivant de la même manière, nous obtiendrons,
en réunissant les résultats

Fx — À + vx
pæ
= Fix = B +x
HA
DT. s
Tu F & A — C p,T
æ : di
P,T
Le = sx =D + P:ZX
&
p,T
3 — F,x = E +- Pix
T
etai etc. — etc.
d'où j9
Fr — A +or
dx — Br + xx
az = Cr + xx ae
dr = Dr, + xx
DiX = Ex + L'P,T
etc. = etc.

ce qui donne, en substituant chacune de ces quantités
dans celle qui la précède (a),

Ex — A+ Bz + Ca + Dai + Ext etc...
Telest le cas le plus simple de la transformation en
série de la fonction Fx.

3. Avant de passer à la détermination généralé des
quantités À, B, C, D, etc., donnons quelques exemples
de cette génération technique des quantités, pour en
mieux faire comprendre l'esprit et la généralité, Soit
donc |

Ex=

a
MH

Nous aurons

450 SE SE

À =F#.- æ Ps L Va+r-vVa

: PS ee _—

T1 ZT

et comme
; 4, 0 .
Mois cette quantité devenant - en faisant x — 0, mul-
. 0

tiplions ses deux termes par Va+x-\/a, il viendra

ilvient
a a am—atm—x) a+-x)—a
DL—= ——- — — — Ha) EX — see —— = CEA A
mx ma _ mim+x) x(V/a+x+V/a) V'atztya
D ax | ainsi
mn(in-x)
I
à B=F LU
Maintenant Fri 2V/a°
Pr — maintenant
a mn + x)
et ll 1
: Pix = Fix BB —
D er Vatz +V/a.….2Vs
UD
ainsi, = à M8 MVietra
2VaV/a+r+y a
a a
xt = x B—=— eS
Si E mm-x) Fi ne L
7 ova[vatxtya]
al m+x)—am? ax
mm) m(m+x) Donc
; Par suite fre
2 2V/alV'a+x + val
: DT a
Po = et et
Æ D'AUTE 2) d
d'où BE = — —
5 SaV/a
; a
Ci Ex" =. 0 : J À Us
nr n trouverait, en continuant de lamême manière ,
Continuant de même on trouvera c— L_._ Die :
7 32a*\/a? H 1284 \V/a °
D=—+,E=<,E .
RS = De nee ce qui donne pour la génération technique demandée :
Donc on a définitivement 2
u X—= 4 -x—etc.
Var V'a + a Eve ii 32a°
«a « « «a « x «a
= = — — X À — A — D LE pi ou
MH M re a mn na? He CS
ee I I
d 3
. | a+zx = V/al1 PER RE 2 EL —— x — etc.
Supposons maintenant Ver PAR 24 Sa? LAS à 324? ]

As 4. Reprenons la transformation du n° 2, et procé-
LE Re — AL : ; . : so » .,

\ dons à la détermination générale des quantités A, B,
nOUS auras C, D, etc. Nous avons d’abord A = Fx ; quant à la
valeur de B, elle est donnée par les relations

A=Fi=Va,ctorc = Fr A = Vatx — Va PY
DER re
L

et, comme — — er NOUS (OUVei0ns so
. or, br = Fa — À, ainsi

Nous avons vu (DirréRENCE , 47) que pour obtenir la
)

AIT . : € _
valeur des quantités qui deviennent - , pour certaines
0

valeurs de la variable qu'elles contiennent , il faut dif-
férentier leur numérateur et leur dénominateur ; ainsi,

appliquant cette règle , nous obtiendrons

CEE
dx
D'autre part
G= FE x,

ou , en substituant les relations précédentes,

Fi—A—Bÿ .: o

L? 0

différentiant deux fois de suite le numérateur et le

dénominateur, il vient

Ex
1.242

(EE

on trouvera de méme pour D

Fix —A br C2 0

d (eo

D —

L
et, en prenant les différentielles troisièmes

Br

1.2,34Xx5

D —

Procédant toujours de la même manière, on obtien-
dra :

etc.—= etc.

et il est évident que le coefficient du +41 ième ter
me de la série sera
dE
aie dors

Substituant donc ces valeurs des cocfficiens A, B, C,

D, etc., dans la série élémentaire (a) elle deviendra

QT
sa

19

dE RS EE xs

à Se æ dFx
ET M

1.°

formule connuesous le nom de T'hcorèmeile Maclaurin,

et qui n’est qu'un cas particulier de celui de Taylor.

(Toy. DirrérENce , 34 et 56.)

5. Examinons maintenant la déduction technique des
séries, en prenant pour mesure une fonction arbitraire
ox de la variable x. D'après ce qui a été dit ci-dessus

et Maruë., 17, dans la transformation générale
Fr — A + PX ;

la fonction æx doit devenir zéro lorsqu'on donne à æ la
valeur qui rend gx — 0, afin que le rapport

dx

COR 4

ne devienne pas indéfini et soit toujours déterminable.
Si nous désignons donc par un point placé sur æ la va-
leur de cette variable qui rend 9x =o; nous aurons
d’abord

K= FX,
faisons
D.
kr — F;x
px

et décomposons F,x en
Fx=B<+ax,

P,æx étant une fonction exactemeut mesurable par gr,
c'est-à-dire qui devient zero lorsque 9x — 0 ; nous au-

rons donc aussi
B=F;,£.
et par conséquent

. o% Exä—A o
Du

p à CRE 0
Prenant les différentielles premières, nous obticudrons

dEx

=

(0e . .
“- par Fæ, et faisant

Désignant
| 22

FC +- Pzx,

dans laquelle æ,+ doit être généralement mesurable par
q ÿ
9x ou doit devenir zéro quand ox = 0, nous trouye-

TONnsS

GT,

492
et, par suite,

LE 2

(px) 0

Da

HR ru

ga gx

Prenant les différentielles secondes du numérateur et
du dénominateur, nous obtiendrons

KDE» —Bdex]

I
SET

je P,T ,
Désignons —- par F,x, et décomposons F,x en
px

F,x = D + dx

la fonction æ,x devant ètre zéro lorsque où = 0; nous

aurons de même

©
Il
mi

ëS.
v

et, par conséquent,

D'= Pa = Pi Abri
gx (px)
_ PianBi=Chi} 0
: (px) 2

ce qui nous donnera , en prenant les différentielles troi-
sièmes du numérateur et du dénominateur,

dFi—Bdoi—Cdiox].

3

En poursuivant de là même manière et substituant
ensuite les résultats les uns dans les autres, nous aurons

définitivement Ja série (/)
Fr = A + Por + Cox? + Dox + Eoxi + etc.

dont les coefficiens À , B, C, D, etc. sont

A=Fr
D dei

7 dx

Ê PE DES de

Cr 7 NE: Ou

PAR OL” see
De 191 (do x) LEFr-Bd'yx—Cdox]
ce HCAN (dE ir Bio Cdioi?—Ddiox]
etc: etc.

On pourrait, en substituant successivement les unes
dans les autres les valeurs de ces coefficiens, obtenir
feurs expressions isolées où indépendantes, mais on

SE

m’arriverait pas par ce procédé à l'expression générale
de ces coefficiens,. qui est proprement la loi de cette
série. Nous verrons plus loin quelle est cette loi, ici il
ne s'agissait que d'établir la possibilité dé la forme /b)
des séries. Cette série (b) est celle Paoli. (Foy. Dire, 41.)

6. Pour obtenir la forme la plus générale des séries ,
preuons la suite des fonctions arbitraires

PL Pr 9 Pal QT Pal) GC.

et changeant de inesure à chaque transformation suc-
a

cessive de la fonction proposée Fx, nous aurons de

cette manière :

Fr = À + Pr

dx 5 ; |
de — ET —.B + P,x
PT

D — Fr = C P,x
Pix Tia
DT ;
= Pr=D+axr
9,7 ” ;

D,x d E
—— ET = Li Mr
Dix ÿ F Ù
EC. t—'elc, —="eIc.

ct, en substituant ces expressions les unes dans les

autres (c),
Fr = A + Box L Cor.oix HE Doro x.o,x — etc...

Or, d’après le principe de ces transformations, la
fonction æx doit devenir zéro lorque ox = 0; ainsi

désignant par 2 la valeur de x qui rend 9t — 0, of à

De mème ,x devant être zéro lorsque »,x = 0 , si
nous désiguons pare, la valeur de æ quirend'æ= 0,

ous auron;i + gr

et, par conséquent,

tee dx) _. Flu, )=— A
? (2) pe)

dx devant épalement être zéro lorsque #.r — 0,
désignant ‘par z, la valeur correspondante de x, mous

trouverons

et, par suite,

c Li (2)

LR (a) F(,)h-Bfa)

CAC) gu(s) CICR ET NC) SIRET

SE

On trouverait de la même manière

F(z,)—A—B. 23) — C. 943) A a)
pla). 9 (23). qÂc3)

D —

et ainsi de suite. La loi de formation de ces coefficiens
les uns au moyen des autres est évidente.

La série (c) embrasse toutes les séries possibles; là
Toi elle-méme de cette série, c'est-à-dire l'expression
générale de ses cocfficiens A, B, C, D; etc., est due à
M: Wroônski,
ques que nous vénous dé donner.

ainsi que toutes lés déductions tethni-

7. Si l'on donne aux fonctions arbitraires ÿ%, pæ,
p,x, ete. les déterminations

px y a), qiet2f), p(æ4-38), etc:

les produits de ces fonctions seront les facultés de la
fonction arbitraire 9x (voy. Facuré), et la série (c)
prendra la forme (4)

Fr = A + B.or + Cor EL D.9x3 PE ,gx4t+ etc.

qui est le cas principal ou fondamental de la forme gé-
nérale (c), celui auquel on peut ramener tous les autres.
(Foy. Wronski. Philos. de la technie, 2° sec.) Les
cocfficiens A, B, C, D, etc., sont (d)

A = Fx
AFX
B = ——
A9Xx
ç = Pise Fax
FOI Aer ADN
{uw Dee A'park AFx]
D = — Ne
è gs
E spi a à]
re A ORSE, Aipile
Ctc. —/£tc:

Le point placé sui indiquant qu'il ‘faut donner à
cette variable, après avoir pris les différences, la va-
léür ‘qui rend 9x 0, ét la caräctéristique dy dési-
pnant des sonimes Combinatoires dont nous ällons indi:
quer la formation. L'accroissement des différences, qui
doivent être prises en faisant varier xen He est ici
le même que celui À des facultés.

5.Soient X;, X,, X,, etc., plusieurs fonctions d’une
quantité variable , M. Wronski nomme somme combi-
naloire et exprime par la lettre hébraïque schin, ainsi
qu'il suit

VAGX, AUX ACXs, cn 4PX]

SE

la somme des-produits des différences de ces fonctions

455

composée de la manière suivante. Ayant formé avec
les exposans a, b,c,d,....p des différences toutes

les permutetions possibles, on donne ces exposans, dans

chaque. ordre de leurs permutations , aux différeuces

consécutives qui composent le produit

AX:.4X,.AX.....AXæ

en donnant de plus aux produits séparés formés de

SE

cette manière ». le signe positif lorsque le nombre des
variations des, exposans a,b,c,etc., considérés dans
jeur ordre alphabétique ,. est nul au pair, et le signe
négatif lorsque ce nombre de variations est impair;

LeTe

eufin on prend la somme de tous ces produits séparé s.
On a ainsi, par exemple,

WEUX,] = àX,

TO TO AT 0 T0 TO ro

VPLACX AUX. AcX] — AUX AUX. AcX3 —

Le — AaX,ACX AUX, +
SOU MOMUE À
— AUX, A X AXE.
JE AY,

— ACX,.A0X, .AGXS

. AëX, . AUX 3 —

etc... etc,

La formation de ces sommes combinatoires est ana-
logue à celle des valeurs des inconnues données par les
équations du premier degré. (Voy: Éduarrons 15, 15,
et 13.)

9: En appliquant, cette loi de construction des fonc-
tions V? aux expressions (d), c’est-à-dire en faisant les
exposaus à, b, c, d, etc. égaux respectiveme nt 1:12,

3,4, etc., on voit que ces Ckpréssiüns sont identique

avec
A = Fà
ir AE S
BLUE
i A
CG = Mex sf ï
AoT . 4où

__ Aïga r d'ou2lf ASF à
7 Apx: EUR ENT
AT pra MT x

AO A PRIE A RE

P
SE
62. An 28: AT

pes

A6. d'où

A'bx' Mo RE: APE #1

AUTLT A CODEN TA 59

/ »

10. Ces expressions des coefficiens À, B, C, D, etc.,

;

peuveut être simplifiées en observant qu'on a
Amognle = 0 :

toutes les fois que l’exposant » de la faculté est plus
grand que lexposant #7 de la différence, car alors le
facteur 9x entre dans tous les termes de la différence
qui devient nulle conséquemment, puisqu'il faut don-
ner à æ, après les différentiations, la valeur qui rend
ui _ pl è )

En retranchant des expressions (d) les parties qui
deviennent nulles, et en désignant les cocfficiens A, B,
C, D, etc. par A4, A1, A,, A3, etc. pour mieux indi-
quer leurs rangs ; nous aurons d'une part la série fon-

damentale (e)
Fx = A, + As.qxilé As.ox2E + A3.925 +- etc.

et de l’autre les expressions ( f)

A, —=EFx
LL +
Ai nt AFx
Aypx
Lox
3 —= Je Fr AFx. 7
Aa Ag
L \ : Ax Ë
_J AFx A4 Fxr.—
À Aoxs | ” A’prië
+ AFx (ARS Lie m2
* AGX A1 T2.5

L Aiox3 ë

= œ—— {Ai —\Fzx, ee

A Apte æ Apr DE

V{A'ox2E, Afox3li]
2Fx, 1 en
Re M2 8, ApadE
EN pr De Apr. Apx3j] |
Apx. A'px°l « Apx3

AS — etc.

et eu général

L : APe LH AE
Ay= me AFx—Ar—1Fr,. ? —
Ù AepxlE |

AP IOXHT— 118

VEAm ox u—2lt, APR I ]

LAr—FX,

Aou —2lE, Ab 1DdC/— 1 E

SE

MAPS DU PE AU a Nip Ut
— ASE EE —
AOL SE, Aou alf, Af—lor#—

On ne doit pas oublier de faire égal à £ l'accroisse-
ment, dont dépendent les variables et de donner à la
variable, x après avoir pris les différences, la valeur
qui rend 9x = 0.

11. Les expressions (f) sont les expressions 1mme&-
diates où indépendantes des coefficiens AÀ,, A, À etc.,
et comme telles elles présentent la Loi de la série- géné-
rale (e) qui embrasse toutes celles que l’on connait jus-
qu'ici pour le développement des fonctions. Mais si
lon veut faire dépendre les coefficiens en question les

uns des autres, on obtient les expressions suivante

‘éminémment simples (g)

A = FY
A — SEX
RUES Aya ji
LITE L AFx — À,.A%0%
A, = Po | L À, A'pa |
ed ri : li Es
À, = —; {ASF À Ab — A px
Los |
I Sue ; ee 5 .3
À, — — AiF A ot —A ,Aox? F— AA 0x |
Alex 1 >
etc.— etc.

Dans sa Philosophie de la technie, M. Wronski a dé-
duit cette loi générale des séries de sa loi supréme,
dont elle n’est qu'un cas particalier; s’il ne nous est
pas possible de faire connaître ici cette déduction,
nous ferons du moins connaitre la démonstration très-
simple qu'il en a donnée dans sa réfutation de la théo-

rie des fonctions analytiques de Lagrange,

12. La forme générale des séries étant (e)
Ex = A ,+4A;.pmtitA, 21 A;.oxi it etc.

prenons les différences successives des deux membres
de cette égalité, et nous aurons la suite indéfinie d’éga-
lités

A'Fx=A, .Agx+A, . APxæ? J-A5 Apx HA, Aoxi ‘Letc.

AFxA, , Ar + A. N'omtlt HE A3. AoxEE A. Moxit
etc.

AFr=A,.Aox+ As. Aout EL A,,A 078 EE Ai, Aioxhlf

2 M ctc.

SE
AfFx=A,.Aioz+ À .Afoxté Æ As, Afoxi ERA; Moxté
—+ etc.

etc. — ctc.

Or, ces égalités étant indépendantes de toute, valeur
particulière de x, si nous donnons à cette variable la
valeur qui rend #x — 0, elles subsistéront toujours,
mais comme alors les différences dont lexposant est
plus petit que celui de la faculté deviennent zero, ces
égalités se réduiront à (4)

AFx — A,.A9x

A'Fx = A,.Aor+A,.Aox1À
AFx == A. ApxA, At EPA. Anse

AiFxz Ar, A6x HA, Aer? i Ars A Cros AA iomé
| | ) ’

etc. "etc.

En effet, la différence de l’ordre #2 d’une faculté
gænt, en prenant cette différence par rapport à l’ac-
croissement accroissement

et en considérant cet

comme négatif, est (roy. DiFFÉRENCE, 14)

; a. TE. 2 PUMA)
AmOxnE — pxni— . ? (x—£) + ia :

) PÉC Se 6 sl (—i), pix—mÈ ë
Ainsi comme on a (v0y. l'ACULTÉS)

pér—mEME = pximEé).olr—meitEé).pax—mEtoe)..

pr —mËt(n— 1)é)

le facteur 6x se trouvera contenu dans ‘la faculté

g(x—m£E"® lorsque » sera plus grand que ‘mi. Donc ce
facteur entrera dans tous les termes de la différence

arex" et, par conséquent, en donnant à x Ja valeur'qui

rend 9% = 0, on a généralement, lorsque r => 72,
Am px =,0.

Remarquons maintenant que la première des éga-
lités (2) donne d’abord immédiatement

AT:
A de ee
Ag

et ensuite que cette première égalité: est la même
chose que

AFx = A:.A9x un A3.40x? È

puisque Aÿx° — 0. Comparant cette dernière avec la
seconde égalité

SE
AFF =: Ar. A\'ox + À; Mox?i

405

on peut les considérer toutes deux comme deux équa-
tions du, premier degré entre les inconnues A, et A, ;
ainsi construisant la valeur de A, d’après la règle cou-
uue (voy. ÉqQuarTio®, 1°) on aura

Aox.AFx—4ox.dFx

A = Re
AT. A°0225—A'0x . Aox2E

ce qui est la même chose que (vo. ci-dessus, n.8).

AT Diee dem]

De même, puisque A971Ë—0, 49x30, A1 —0,
les trois premières des égalités (2) sont identiques avec

les trois équations
Fa = A1,49x7 + A:.4px2 — AÀ,.Apxi:
AFx —= À:: gx +A, . AO x2ÈH A. Aa
FERENY ApdLA, : Mog1E As. Mot
faciles dabbent

Werder. AFx]

À3 — je ——— ——>
ViA'er. A 0x2, A0x3E]

Eo continuant de la même manière, on verra, nou
par induction, comme le fait observer M. Wrou:ki,
mais par le principe même de la formation de ces quan:

tités, qu'on aura en général

TL eT gite, Axe HE A6F x]
is .. VLA'ex .A'oxti AB igrb—t F. Apoxb#]

# étant un indice quelconque.

Mais comme il faut faire or — 0, après avoir pris les
différences, la somme combinatoire, qui forme le déno-
minateur.de l'expression générale , se réduit à son pre-
mier terme, car, dans tous les autres, la permutation
dés-exposans des différences introduira des différences
AoxrE dans lesquelles» sera plus petit que # et qui
conséquemment se réduiront à zéro, On a donc simple-
ment L

V'[Aïpx .A@x2Ë...Ab—1@xmpr1lf, Apt] —
— Apr. Au... Au—i@xu—iE, Angault
et la loi générale de la série est, ainsi que nous l'avions
posée, (2)

€
_ V'IA'px.A'px? ,... Ab—1@rt—1 F.APFx]
Apr. Aa... ,.Al—1@xm—115, ARQærE

456 SE

Quant aux expressions zrédiates (g) des cocfficiens
A:, A2, À des mêmes AS (UbRE
une simple transposition.

13. Les expressions simplifiées (f) contiennent en-
core, après le développement des fonctions Ÿ, des
termes qui se réduisent à zéro , mais on peut s'éviter la

, etc. on les tire

peine de les construire en développant ces fonctions
d’après le procédé d'exclusion indiqué par M. Wronski,
dans une note placée à la fin de sa philosophie de l'in-
fini. V'expression générale (f) prend alors une forme
très-élégante dans laquelle il n’entre plus que les termes
isolés construits avec les différences de la fonctionFx et
des facultés gx ; @x25, etc: , ‘ét formant ainsi les élé-
mens de la loi fondamentale des séries. Nous sommes
forcés de rénvoyer pour les détails à ‘la Philosophie" ide
la technie, deuxième section. À ; |
14. La loi fondamentale des séries étant maintenant
connue, nous allons en déduire les principales lois par-
ticulières trouvées par différens géomètres pour le dé-
D' abord dans le. ças,
quelque sorte primitif, où l’accroissement + est pre
ment petit, c'esta-dire lorsque £& où Az est simplement
dx , les différences deviennent des différentielles, et la

veloppement des fonctions.

suite des facultés
px, x, qui, pxii, etc.
devient la suite des puissances ordinaires ;

XL, PAT, Pa, pi, etc.

alors la forme générale (e) des séries se réduit à à ()

Fr — Ac A:.@x HA,.ox n A:.@x) + etc.

dont le premier coefficient À, est toujours FF ou ce que
devient Fx lorsqu'on donne à la variable x la valeur

qui rend @x — 0. Le cocffcient général (à ) devient (2)

_! Pidiogn. dpx..
6 dpx.d'ox.,

.dp—1prh1. déFx]
‘ .dér@ar x dégr#

expression dans laqueile il faut toujours donner à x.la
valeur correspondante à gx — 0, après les différentia-
tions.

Or, en retranchant les termes qui s’évanouissent par

cette valeur de x, on a
dpx — d@x
gx = 1.2 dx)

Œexi= 1.2.3,(dpx)
digri= 1.2.3.4.(dpx)i

.3.4.5.(dex).
da 0 |

a

& etc =

SE

et, en général,
dégxb — 1v\1.(dpx)v;

le dénominateur de l'expression (L) est donc la même
chose que

(1).(n2).(1,243).(1.2.8.4).(1.2.3.4..2) (dex) +2+5...+8

ip)
= (LISTES A). (dox) 27
f

et cette expression elle-même se réduit à

À — VId'@x.d'ox".dpx….. a iqatrt. dé

ù pu+i)

(r.12lr,13lr, 141...

Nous ayonc donc pour les coefficiens particuliers A, ,
A:,A,,etc., la suite de valeurs (72)

À = Fx
A V[dFx] dEx
db dpi ddr
oise -4Tx]
À, —
Lu: 2) .( (dgxy
A Ldigx.d’'ox.diFx]
Lo TN 12 #4,2).(1.2.3). (dgx)
L'[d'ex.dox1.d'gx". dix]
A: — _ = =
1.2).(1.2.3).(1.2.4).(dpx)
etc.— etc.

dans lesquelles il faut faire 9x=0 après les différentia-
tions, et commeon a d''ox" —0, toutes les fois que x
est plus grand que 2, on retranchera, en formant les
fonctions , tous les produits dans lesquels la permu-
tation des exposans des différentielles amènera de tel-
les quantités.

15. Les expressions (2) et particulièrement l’expres-
sion générale (l) présentent la oc de la série primi-
tive (À), loi qui n’était point connue avant M. Wronski,
car toutes les formules qu’on avait trouvées jusqu'à
lui pour les cocfficiens A,, À,, A,,etc , ne faisaient
qu'indiquer une suite d’opérations propres à arriver à
la détermination de ces coefficiens , mais ne donnaient
pas les derniers termes mêmes ou les élémens dont se
compose cette détermination, comme le font les expres-
sions (1), après qu’elles sont développées suivant le
procédé d’exclusion donné par ce géomètre. Par exem-
ple, les coefficiens de Paoli que nous avons fait con-
naître , DirréRENcE, 42, expriment uniquement le.
système des différentiations successives qu'il faut faire.

subir aux fonctions Lx et @x, sans indiçaër en aucune
manière la loi qui régitles élémens de ces cocffciens.
Toutes les autres expressions de ces mêmes coefficiens,
obtenues par Euler, Burmian, Arbogast et Kiamp, ne
présentent encore que leur génération relative et non
leur génération absolue donnée seulement par les for-
mules précédentes.

16. En faisant de même £ — dx, dans les expres-

sions médiates (g) elles deviennent (x)

Ac — Fx
A, = -— dFx
Ar — dex TC
— ï { À TE # |
À: — FETE ETC) Dés re)
un
Br hoaerl A, d'px—\.d'ox |
a
Pan el A APE
— A;dida?
etc:—;ctc,

formules très-simples à l'aide desquelles on peut calcu-
ler, les uns au moyen des autres, les cocfficiens de la
série primitive (X) et dont nous avons donné une autre
déduction au n° 5. Il faut toujours faire 9x0 après ies
différentiations.

17. Si dans la série générale (4) on prend simple-
meut x — a pour la fonction arbitraire @x , & étant

une quantité quelconque , cette série deviendra (0)
Fr= A,—+ A,.(x—a)+ A:(x—a) + As(x—a) etc.
et comme alors & est la valeur de x qui rendx—a — 0,
si l’on observe que

dm (x—a}r — 0

toutes les fois que » est plus grand que #2, on trouvera
pour les coefficiens , en substituant & à x avrès les dif:
férentiations (p),

A, —"\$a
pere
da
TRE 1 dVa
x 2 da
I DEFa
A5 — Se +
> UOTE) da
AT |

TOME I,

L'or

Le
à
c
=

1 deFa

| ER
da

Prenant une nouvelle quantité arbitraire 2, et faisant
a x(1—2), on aura Fa —F{x—x2), et si l’on dési-

gne , comme Lagrange, par des accens ,,”

,",etc.,
les dérivées différentielles de la fonction Fa, on ob-

üuendra
T3 APS

Fr = F(xxz) + ++ Fa—xz) + —— F'(x—xz)

1.2

PA AU

+ os E"(x—23) + etc. etc.

formule de développement obtenue par Lagrange, dans
sa théorie des fonctions analytiques ; c’est la plus gé-
nérale de toutes celles qui se trouvent dans cet ouvrage.

18. Eu faisant dans les expressions (0) et (p) &æ =zet
æ— 3—=i,d'oùx—3+#+71,ontrouve

dFz i @Fz à ŒFz à
Male, ==" : etc.
F(+)=F:+ dz AE dz? 10:44, aan

<

c’est le théorème de Taylor.

19. Dans la loi de la série générale (4) il faut connai-
tre, pour obtenir les valeurs des cocfficiens A, , A,,
A,,etc., la quantité x donnée par l'équation dx — o.
M. Wronski fait disparaitre cette difficulté en obtenant
immédiatement de sa loi suprême la détermination des
cocfficiens pour une valeur quelconque déterminée de
la variable x. Nousne pouvons donner ici que ses résul-
tats. ;

Si l’on prend pour x une valeur arbitraire quelcon-
que a et que l’on forme les quantités

ZE, = Fa
-VFa dFa

Fe 102

=, — Lld'a.d'Fa]_

x nn —

rule, 121 (dpa)i+?

V[doa.d'$æ.dFa]
TOR EI EN .(dpahi+2+3

etc.—= etc.
Les coefüciens de la série générale

Fx = As + A:.@x + A,.9x° + À:.9x5 H etc.

seront

+ etc.

4 =, ga + etc.

Ào — Eo — £,-Ÿa +- a ga? D =, a
Ar = :,—2z0a—+ 3z,.qa —

A, = z=,—3=pa—+ Gzipar — 10 3:.qa + etc.

8

438 SE
À, —E, — 45, a+ 102:.@a— 20 =,.gaÿ + etc.
elci—"'eic.
vb Tr rit
Ap=si— . Eupr.ga— ee « Eute. Qu?
CR

20, En observant que, quel que soit le mode de dé-
termipation qu'on emploie pour arriver aux valeurs
des coefficiens A,, A:, À, ,etc., ces coefficiens sont iu-
variables, et conséquemment que les diverses expres-
sions qui les donnent sont nécessairement identiques
quant à leur valeur, on voit que les expressions précé-
dentes sont équivalentes aux expressions(z), et comme
dans celles-ci le premier cocfficient A, est Fix, c’est-à-
dire ce que devient la fonction Fx , lorsqu'on donne à

æ la valeur qui rend #x —0, il en résulte qu’on a

E, — E.@a +i,.qa —z:pai + etc,
Ainsi, ayant une équation quelconque

; 2) 1 Î
0 = 9x

la génération technique de toute fonction quelconque
Fx de l'inconnue x de cette équation sera

ir
Fx = Fa — 04. ——
s doa

re Lid'ea.&Fa]
ie 121. d(ga)i+2

, Wd'oa.d'oa.d'Fu]

— pa”. -
ÿ

, 121,131, d(oa)i+2+3
+ etc.

daus laquelle & est une quantité arbitraire. Si la fonc-
tion demandée Jx est inconnue + elle-même, cette
dernière expression devient (q),

&

= Q0 ——- — qe, —

, V[doa.d'o].da
‘ae, 13lte(dpa)i+2+3

bon. d'va?. diva]. da
19,141, (dpa)i+2+341

=
w

série qui sera d'autant plus convergente que ga sera
preche de zéro, ou que a différera moins de la racine x

de l'équation où — 0.

SE

21. Pour donner au moins un exemple de l'applica
tion de ces formules , pr'oposons-nous de trouver une
des racines de l'équation

LI — 92 — 90 — 0.

Ea substituant successivement dans cette équation 0, 1

)

2, 3, etc. à la place de, on reconnait qu’une des racines

est eutre 2 et 3, mais plas près de 3 que de 2; pre-

nous donc a = 3 et nous aurons

Qu

dpa
d'pa
pa =
d'ga =

25da

Gada? — 18da°

(3a°—0)da —

Gda 3

(9)

toutes les autres différentielles deviennent zcro.

Nous aurons en outre

2Qa.d'ea + o(dpa} — 1286da
29a.d'éa + Gdpa.d'ga — 2712da

doat — 2$a.dpa
do —

de =

etc: a. — etc:

Substituant ces valeurs dans la formule (4), nous obtien-

drons
a = 5 |
da da Ë
ga, da TT 25.da 25
, œa.da _ 18d 9

"o.(dga) 2

.(25)das (25

donr.d'oa.da

gas Ldpa diga’]da _ da.lea.da.
As —= 7 _

12.(dpa)

19.(25).das 1 19.(25)5.da

18.9712.daî G.1286da°

7 12.25). da° T 12(25)°. daÿ
gr
(25)°
etc = etc...
d’où
ï € II
Bd ee “: = — cite,
29 195025 2441406235

La somme de ces quatre preiniers termes donne

valeur exacte jusqu’à la sixième décimale,

æ

Plate
= 2,929404 FE)

SE

22. D'après ce que nous avons dit ci-dessus sur l’in-

variabilité des coefficiens de la série générale,

Fx

A, +A,.0x + AÀ,.@x° L A,px, + etc.

si l’on se rappelle que les expressions de ces cocfficiens

sont, d’après Paoli (voy. Dirr., 42),

1 dA, en dA,
7 3 dox

dEx 1 dA,
dx 7 #4. 2 doa

A ENT Ar— 5" CC,

A = Te EX

À x 1 T R 2 é PF SA ES |
tentes ll
CC" etc.

AE jp ps 4 L. : A. FL fe] |]

En comparant avec l'expression générale (/) on découvre
le théorème suivant (r) :
1 1

0 Lt L: 5 2 à (r*] heal —
suit dx dox dox do x

d'ox der. doxs....dr—pxv-1.drEFx]
dex dx’. dors... deroxv1 ,deFx

,

qui va nous permettre d’attacher leur véritable signi-
fication aux expressions trouvées jusqu'ici pour Îles
coefficiens de la série générale en question.

D'abord , il est évident que les expressions de Paoli,
et généralement le premier membre de l'égalité (r), ne
font qu’indiquer les moyens de déterminer les quanti-
tés À, ,A,, À:, etc. , tandis que le second membre de
cette égalité présente le résultat des différentiations
successives et donne immédiatement les derniers termes
de la détermination des quantités À, À, , A;, etc. En
un mot, le premier membre offre l’origine de la déter-
mination des coefficiens et le second la Jr de cette dé-
M. Wronski donne-tal le
d'expressions initiales aux expressions (g'), et celui

termination. Aussi nom
d'expressions finales aux expressions (m). Ce sont ces
expressions finales qui présentent la première exten-
sion réelle donnée à la science depuis Taylor, car sous
la forme imparfaite où inachevée (q') la formule de
Paoli west qu’un corollaire de celle de Taylor, et tout

SE 459
ce qu’on a tenté depuis pour développer ces expres-
sions imparfaites est resté bien loin de la loi (7), qui
donne enfin la détermination des coefficiens de la série,
moyennant les derniers termes ou les élémens mèmes
qui entrent dans cette détermination.

Il est vrai, dit M. Wronski, qu'il entre encore dans
les expressions (m2) les différentielles des puissances de
la fonction wx, savoir : les différentielles de la forme
dmpx" et non simplement les différentielles immédiates
dgx, d'ox, d'ox, etc, constituant les véritables der-
niers termes ou élémens dont il s’agit; mais cela n’est
ainsi que pour abréger ces expressions finales, car la
loi qui donne les différentielles dox", moyennant les
différentielles élémentaires dx, d'ox, etc. est connue.
(Foy. Phil. de la technie, deuxième section, page 35.)
En effet, par unesimple application de la loi fondamen-
tale du calcul différentiel (voy. Dirr., 27), on obtient (s)

PE

dpiox.dpor dPox.. .dprox
PI pa + +
1P11,1P2l1, pu,

dmpxr —= vall, Agr.

l'abréviation Agr. désignant l’agrégat des termes cor-
respondans à toutes les valeurs entières des exposans
pi,p2,p3, etc., données par l'équation indétermi-

née (4),
m = pi + pr + p3 + pi... +pn,

dans la solution de laquelle il suffit de ne prendre pour
ces exposans pi, p2, p3, etc., que des nombres entiers
et positifs plus grands que zéro, afin de négliger immé-
diatement les produits qui deviennent zéro par la valeur
gx = o qu'il faut donner à gx après les différentiations,

23. Nous devons indiquer, en passant, le procédé très
simple de Hindenburg , pour résoudre en nombres en-
tiers positifs plus grands que zéro l'équation indéter-
minée ({) ou pour décomposer un nombre 77 en 7
nombres plus petits.

On écrira l'unité 7 — 1 fois de suite , et en dernier
lieu le nombre »2— #7 + 1, ce qui forme la première
solution, Parcourant ensuite les nombres qui forment
cette combinaison , de même que ceux des combinai-
sons suivantes, de la droite à la gauche , on s'arrêtera
dans chacune à celui qui se trouve inférieur de deux
unilés au moins au dernier nombre sur la droite ; on
augmentera d’une unité le nombre auquel on se sera ar-
rêté ; et conservant tous ceux qui se trouvent à sa gauche,
on remplacera par ce même nombre, ainsi augmenté
d’un , tous ceux qui sont à sa droite, excepté le dernier
à la place duquel il faudra mettre chaque fois le com-
plément des autres , c’est-à-dire, ce qu’il faut ajouter à
leur somme, pour trouver le nombre 7». Eu observant
cette règle on passera avec la plus grande facilité d'une
combinaison à l’autre : la dernière sera celle à laquelle

la règle ne pourra plus être appliquée.

:
à460 SE

Proposons-nous , par exemple, de partager le nom-
bre 10 en cinq parties; en appliquant la règle, vous ob-

tien drons les sept combinaisons suivantes :

Le même nombre 10 résultera de
autres des cinq manières qui suivent :

Tssssoeels 15 Ë5 EE D 5
Débats nls 301 7, 9 4
Diese 4 Hit 015 3, 3
Bsssses 1, 1, 3, 2, 2, 3
asstensn T5 Ty. 23 9, ©, ©

24. D'après ce qui précède, s’il s'agissait d'obtenir
l'expression de la différentielle d°x5 en différentielles
primitives de la fonction gx , qu’on doit égaler à zéro
après les différentiations, on commencerait par décom-
poser 6 en 3 parties , ce qui offrirait les trois combi-
naisons entièrement différentes ,

G—ir+tr+4s,
G—r+2+3,
G—=2+2+Le.

Puis, pour appliquer ces valeurs à la formule (s), on for-
merait d'abord les produits

der. dox .d'ox

1,1.141 ?

dex.deor.dor
nr et

dex.d'ex.dox

1211,12)1, 121

Mais ces produits ne sont pas les seuls dont la réunion
forme la différentiell: demandée, car la première solu-
tion 1 + 1 + 4 de l'équation indéterminée

E:

An ;
G=pm+pi+p3

admet trois permutations, savoir :

!

# P /
DAS RE E de Euh

SE

et ans Ja formule (s) il faut donner aux exposans pr ,
p?,p3.etc., les valeurs qui satisfont à l'équation (1) en
les permutant de toutes les manières possibles. Ainsi,
chacun des produits ci-dessus doit setrouver répété au-
tant de fois que les exposans des différences admettent
de permutations, c’est-à-dire que le premier doit être
multiplié par 3, le second par 6, et le dernier par.
(Foy. Peruurarion.) On aura donc

3dox. dox. divx Gder.d'oxr.d'ox

dors — 16.

1.1,141 1.12/t,15l1

dex.d’et.dox

+

HRLER Ci

ou, après les réductions,
d'ex—00(doxY .dior+36odox. der. d'ex +00 (d'or).

Pour dYx5, on obtiendrait de la même manière ,
d'abord

1 Li +3
5=1+Lo+o

Qt
I

combinaisons qui admettent chacune 3 permatations ;

et ensuite

- (3dox.dox.d'ozx
51e | 24 PL. de

. 3dyx.dox.d'ox]
de v — 1° | t

1.120.12lt À|

T4 121
—= 60 (dex}.d'ox + 00 dyx.(dox}.

25. Parmi les géomètres qui se sont occupés du déve-
loppement des fonctions en série , nous devons citer
particulièrement Euler, Burman, Arbogast et Kramp.
Où doit à Burman une génération relative très-remar-
quable des coefficiens de Paoli que nous devons faire
connaitre.

a étant la valeur de x qui rend ox —0o,ona

çdEx _
es L
x—a\? dEx
La JE = a — |
dox dox ra) —
d + . dx TA)

etc., ctc.

indice (x = a) indiquant qu'il faut faire x — a, après

NI
SE
les différentiations. En vertu de ces expressions la série

générale (4) devient (&)

, x— IF» |
PAR ET ([x—a dEa
À nl Où dx PAP
j X—a \ dEx
Le He
de. (x=a)
s\ ne dEx
+, . ee dx
dx (x)

+ etc...

On peut éviter la difficulté attachée à la détermina-
tion de la quantité a qui rend wa —- 0, en prenant pour
wx la fonction (fx—fa) dans laquelle désigne une
fonction quelconque, eta une quantité arbitraire ; alors

la série (u) sera

X—a

Ja —fa

Ex}

"T —= Fa

fax —fa 1e

1 dx | (ra)

x—a? dEx
SE LE LC Jx—fa ‘dx | |
| à C | («=4a)
Cp E) 2 Lol ; ge]
De a De
TROP de De)

— etc., etc.

Eu examinant ces formules de développement, on

comme nous l'avons annoncé , que le coefficient

e dEx
es Gi IC nd

JT

voit,

général

(x=4)

ne présente qu'une génération relative de la quantité

Ü
qu'il représente, car cette génération dépend des dif-

, ’ : rh eme
férentielles de la fonction auxiliaire ———, différentiel-
px

les dont la loi n’est pas connue. Quoi qu’il en soit , la
formule de Burman est supérieure à celles trouvées par
d’autres géorètres , et on peut la considérer comme
une transition entre les expressions initiales de Paoli
et les expressions finales de M. Wronski.

26. La belle formule de Lagrange, employée princi-
palement pour Le retour des suites, west qu’un cas par-

ticulier de celle de Burman , celui où la fonction 4x est

SE 461
TT, En effet de la relation
JE
RE
NE en
on tire
. x—a
Je =

formule identique avec celle trouvée par Lagrange,
pour obtenir le développement d’une fonction quel-
conque d’une variable x donnée par l'équation

x=a+yfxr,

car en désignant, comme lui, les dérivées différen-

CET

tielles par les accens ", ”, "etc., et remplaçant de plus

ox par y, l'ex{ression précédente devient

y?
D y (fa.F'a) L = (far. F'a)
Ex = Fa+ y(fa.F'a) 4 SU l'a)

en (fa .F'a) + etc.

c’est-à-dire l'expression dont Lagrange a donné une dé-
duction dans sa Théorie des fonctions, et qu'il a ap-
pliquée au retour des suites dans la note XI, de sa
Résolution des équations numériques.

27. Dans les formules de développement de Kramp
et d’Arbogast,
des coefficiens des puissances d’un polynome auxi-
différentielles de

les coefficiens sont donués en fouctions
liaire formé avec les la fonction
Ex, qu'il s'agit de développer, et celles de la fonction
gx prise pour mesure. Nous ne pouvons reproduire
ici ces formules, dont la déduction nous entrainerait
trop loin et qui ne représentent d’ailleurs que des pro-
cédés indirects. La prodigieuse extension que D.

Wronski a donnée à la théorie des séries, le haut degré

SE

de perfection de ses formules, la généralité absolue de

462

ses résultats et la clarté inattendue qu’il a jetée sur la
métaphysique obscure de cette branche si importante
de l’algorithmie, ne permettent plus aujourd’hui de
citer les résultats des calculs de dérivations autrement
que pour l'histoire de la science.

outes les lois précédentes s'étendent avec facilité
aux cas de plusieurs variables dépendantes ou indé-
pendantes, mais nous ne pourrions entrer dans ces dé-
tails sans dépasser les limites très-étroites qui nous sont
imposées; nous devons donc renvoyer aux traités de
calcul différentiel, pour ce qui concerne le théorème
de Taylor, et à la Philosophie de la technie de M.
Wrouski, pour les lois universelles dues à ce savant.
Nous traiterons ailleurs de la somination des séries.
(Foy. Soymarion.)

28. L'emploi des séries ne remonte pas plus haut
que le XVIT siècle, et Mercator parait être le premier
qui s’en soit servi pour obtenir la génération d’une
quantité cherchée; mais Newton et Leibnitz doivent
être considérés comme les fondateurs de cet algorithme :
Newton, par la découverte de son célèbre binome,
Leibnitz, par ses travaux sur un grand nombre de sé-
ries numériques dont il enseigna à trouver la somme
et dont il signala l'importance. Cependant on ne doit
pas oublier qu’un des moyens employés par Archimède
pour quarrer la parabole consiste dans la sommation
d'une progression géométrique décroissante continuée
à l'infini.

Les essais de Leïbnitz, publiés en 1682 et 1653, en-
gagèrent les géomètres à s'occuper des séries ; les deux
illustres frères Jean et Jacques Bernouilli s’excitèrent
bientôt au mème genre de recherches en se faisant part
de leurs découvertes mutuelles, et lorsque Taylor eut
produit son théorème, ces grands géomètres et ensuite
Euler s'élevèrent à des questions; qu’on avait crues jus-
qu’alors inabordables.

C'est au théorème de Taylor, dit M. Wronski, dans
sou Prodroime «du messianisme, que commencent pro-
prement Îles mathématiques modernes, dont Euler,
muni de ce puissant instrument a fixé pour ainsi dire,
à lui seul, toute la sphère, — « Aussi loin que pouvait
s'étendre l'application du théorème de Taylor, direc-
tement Gu indirectement , aussi loin Euler a dévoilé
la vérité, — On ne sait trop ce que l’on devrait désirer
le plus, qu'Euler eût employé son génie à accomplir
si parfaitement l'édifice d’un autre, ou qu'il l'eût em-
ployvé à poser les fondemens à un édifice plus vaste
encore. Toujours est il certain que, commencant à seu-
tir l'insuffisance du théorème de Taylor, ce grand
géomètre préluda à un nouveau mode de génération
universelle, dont nous parlerons dans l'instant (les

fractions continues},

SE

« Cette insuffisance se faisait surtout sentir dans la
résolution des équations infinies ou dans ce que les géo-
mètres nommaient retour des suites. — Pour y suppléer,
Lagrange, éclairé par ces travaux de l'Europe savante,
fit la découverte de son fameux théorème, qui, à cet
égard complète le système de Taylor, et qui, à d'autres
égards, est déjà supérieur au théorème de ce dernier,
lequel ne se trouve plus être qu'un cas particulier du
théorème de Lagrange.

» Ce fut ainsi que se développa insens blement ce
majestueux système de savoir qui, sans contredit, cest
un des plus beaux titres de l'humanité, comme il est
un de ses plus puissans instrumens. — Mais ce qu'il y a
ici d’admirable, c'est que faisant abstraction de Newton
et de Leibnitz, fondateurs de ce système, on trouve
que les derniers résultats se concentrent dans trois
points principaux : 1° le théorème de Taylor, comme
principe de la génération des quantités, lorsqu'elles
sont données immédiatement où par leurs fonctions ;
2° le théorème de Lagrange, comme principe de la
génération des quantités, lorsqu’elles sont données mé-
diatement où par leurs équations; et enfin 3° la réali-
sation de ce système par Euler, et la éransition opérée
ainsi de l’un à l’autre de ces deux théorèmes, par un
lien téléologique.

» C’est là effectivement à quoi se réduit cet immense
recueil de savoir mathématique qui est la propriété
présente de l'humanité. — Quiconque mécopnaitrait
cette réduction précise et générale, ne saurait se flatter,
ce nous semble, d’avoir approfondi la science dont nous
parlons. Eu effet tout s’y concentre ainsi, d'une ma-
nière explicite, ou du moins d’une manière implicite :
il n'existe aucuue proposition mathématique conuue
qu'on ne puisse ramener à l’un des trois points que
nous venons de signaler.

» Mais pour mieux apprécier cet état présent des
mathématiques il faut, enremontant ainsiaux principes,
découvrir le principe unique qui doit nécessairement
servir de base à ce système. Nous pouvons nous borner
ici à indiquer ce principe; et pour cela nous observe-
rons que l'ensemble des mathématiques modernes, de-
puis Leibnitz et Newton, cousiste dans la génération
universelle des quantités par le seul algorithme de la
SOMMATION INDÉFINIE, qui constitue les séries.

« Tout ce que donne le calcul différentiel, ce grand
» instrument de la période moderne des mathémati-
» ques, ne sert en effet que pour arriver à cette uni-
» verselle génération algorithmique par sommation in-
» définie : car le très-petit nombre d’intégrations théo-
» riques qu'on a pu obtenir mérite à peine d'être
» mentionné; et l’unique moyen des géomètres mo-
» dernes, pour arriver dans tous Îles cas à la connais-
sance des quantités ; consiste notoirement dans l’em-

LA

SI
» ploi, direct ou indirect, de cet algorithme » (Put.
de la technie, 2° section, page 633.)

Nos lecteurs ont pu voir aux mots MaruémarTiQuEs
et Puirosopuie que les séries ne sont pas le seul algo-
rithme technique qui donne la génération universelle
des quantités, et les paroles que nous venons de citer
nous serviront à faire mieux comprendre au mot
Técaxre la réforme que M. Wronski veut opérer
dans la science.

SERPENT. (4st.) Nom d’une constellation boréale
qui contient 6{ étoiles dans le catalogue de Flamsteed.
Ce serpent est représenté entre les mains d’Ophiucus

ou du serpentaire, autre constellation.

SESQUI. Expression employée par quelques an-
ciens auteurs pour désigner un certain rapport, ainsi :

SESQUI-ALTÈRE, C’est le rapport de deux quantités
dont l’une contient l'autre une fois et demie.

SESQUI-DOUBLE, c’est le rapport de deux quantités
dont l’une contient l’autre deux fois et demie.

SEsQuiI-TISRCE, c'est le rapport de deux quantités
dont l’une contient l’autre trois fois et demie.

SEXAGESIMALE. {4rith.) On nomme fraction
sexagesimale celle dont le dénominateur est une

4

= 5 -—; —, etc.
60 360 21600?

puissance de Go. Par exemple,

sont des fractions sexagésimales.

La division sexagesimale est également celle qui
s’opère par des puissances de Go; ainsi la division du
cercle en 360 degrés, qui comprend les subdivisions
da degré en Go minutes, celles de la minute en 60 se-
condes, etc. est une division sexagésimale.

SEXTANT. (Géom.) Nom que l’on doune à la

sixième partie d’un cercle.

SEXTANT. (45) Instrument composé d’un arc de
Go° ou de la sixième partie d’un cercle, avec des lu-
neltes à angles droits et qui sert à prendre la hauteur
des astres.

Sexranr est encore le nom d’une constellation bo-
réale introduite par Hévélius entre l'Hydre et le Lion.

SIDÉPAL. (Ast.) (de sidus, étoile.) Ce qui est re-
latif aux étoiles, comme année sidérale, révolution
sidérale , temps sideral, ete. (Voy. Axxée et Temps.)

SIGNE, (413.) On donne particulièrement ce nom
aux caractères + plus et — moins, qu'on met au de-
vant des quantités et qui indiquent soit l’état positif
ou négatif de ces quantités , soit les opérations d'addi-
tion ou de soustraction qu’on doit effectuer,

65

da

SI

Le signe radical est le caractère V/ par lequel onin-

dique les quantités radicales ou les racines. (Foy. Pa-
CINE et Rapicar.)

SIGNE. (45e) Un signe est la

l’écliptique ou du zodiaque. (Foy.

douzième partie de
ARMILLAIRE, 19.)

On compte les signes à partir du point équinoxial,
c’est-à-dire, de l'intersection de l’écliptique et de l'é-
quateur. (Foy. Zonraqur.)

SIMILITUDE. (Geom.) Relation de deux figures
ou de deux solides semblables. (Foy. ‘Frraxeze et
SOLIDE.)

SIMPSON (Tuomas) , mathématicien anglais, cé-
lèbre par l'importance et le nombre de ses productions,
naquit à Bosworth, dans le comté de Levcester, en
1710. Ses parens étaient d’honnêtes industriels, peu
disposés à aventurer le temps et l'argent nécessaires à
son instruction. Ils lui firent seulement apprendre à
lire et à écrire; mais les heureuses dispositions de
Simpson et l’active curiosité qui le portait à lire tous
les ouvrages qui lui tombaient sous la main triomphè-
rent de ces exigences de famille qui ne cessent d'être
insurmoutables que pour les hommes de génie. Sa vie
fut agitée, et nous laissons aux biographes ordinaires
le soin de rapporter les diverses anecdotes dont il fut
le héros. Nous devons nous borner à dire que parvenu,
à force de travail et de mérite, à occuper une place
du xvin* siècle

parmi les géomètres

distinguée :

Simpson devint professeur à l’Académie royale mili-
taire de Wolwich, où il composa ses principaux ou-
vrages, parmi lesquels nous citerons : I. Nouveau

Taité des fluxions, 17937, in-4°. Traité sur la nature
et les lois de la probabilité, etc., 1540, in 4°. IT. Traité
sur les annuiïtés et lestontines, 1742, in-S°. IV, Disser-
tations mathématiques sur divers sujets de physique et
d'analyse, 1743, in-8°. V. Doctrine des fluxions; 2 vol.
in-8°. On a aussi de Simpsou un Traité de géométrie,
un Traité d'algèbre, et un grand nombre d’autres
écrits qui attestent ses connaissances et son aptitude
pour toutes ces branches des sciences mathématiques.

Il est mort le 14 mai 1561.

hématicien écos-

SIMSON (Rorenr.) Célèbre ma
sais, est né en 1687 à Kiston-ITall, dans l'Aryshire. Il
fat d’abord destiné à l’état ecclésiastique ; mais envoyé
à l’université de Glascow, les progrès remarquables
qu’il y fit dans les sciences et les lettres l'appelèrent à
d’autres destinées. Comme la plupart des hommes de
géuie dont l’histoire de la science a conservé les tra-
vaux, c’est presque seul que le jeune Simson parvint à

Ja connaissance des branches les plus élevées des

er

464 1
sciences mathématiques. Son seul matñtre fat Eux ide,
dont un exemplaire des Élemens toiba par hasard
entre ses mains; son génie fit le reste. Devenu profes-
seur de mathématiques au collége de Christ's-Hôpital,
il occupa pendant cinquaute ans ces uules et honorables
fonctions, et ses ouvrages ont jusufié la renommée
qu'il ne cessa pas d' mériter. I mourut le 1°° octo-
bre 1961. Pia plupart de ses ouvrages, où ne porteut
pas son nom, où out été imprimés après sa mort par
les soins du comte de Stanhope , son disciple et son
ami. Les écrits qu'on sttribue généralement à Simson
sont : [. Deux propositions générales de Pappus, mé-
moire inséré dans le volume XXXIE Des transactions
philosophiques, 1723. Il. Sur l'extraction des racines
approtimalives des ombres par séries infinies, volume
LXXII de la mème collection, 1553. HE, Des sections

5. } Î

coniques, Londres, 1735. in-4°. IV, Loci plani & Apol-

lonius , rétablis. 1740, in-4°. Elémens d’'Euclide , tra-
duits en anglais, 1750, in-4°, Le comte Stanbope fit
imprimer après l4 mort de Simson un grand vombre
d’écrits scientifiques de ce géomètre, parmi lesquels
on distingue : Sections déterminées & Apollonius ; —
Traié sur les prismes ; — Traité sur Les dogarithmes ;
— Sur les limites des quantités et rapports ou propor

tions; — et eufin Problèmes géométriques.

SINUS. (4lg. et Géom.) On nomme, en trigono-
métrie, siaus d’un arc, ou sinus de l'angle dont cet arc
est la mesure, la perpendiculaire abaissée d’une des
extrémités de l’arc sur le diamètre qui passe par l'autre
extrémité. En algèbre , les staus , comme les Zogarith-
mes, forment un algorithme théorique élémentaire.
(Voy. PaiLosopnir, 62.)

Jusqu'au commencement du xvin* siècle les sinus,
ainsi que les autres quantités qui en dépendent, mal-
gré leur extrême importance dans les calculs astrono-
miques, n'avaient été considérés que d’une manière
purement géométrique. C'est à Frédéric - Christian
Maver, luu des premiers membres de l'Académie de
St-Pétersbourg, que l’on doit les théorèmes fonda:
mentaux de la théorie algébrique des sinus, théorie
qui est devenue entre les mains d'Euler une des par-
ties les plus importantes de la science des nombres.
Nous allons commencer par quelques notions géomé-
tiques sur Ja nature des sinus, puis nous exposerons
leur théorie dans toute sa généralité, en la fondant sur
des cousidérations purement algébriques et sans rien
emprunter à la géométrie.

1. Soit DB (PI. 55, fig. 6) un arc quelconque de
cercle ; si de son extrémité D on abaisse sur le diamètre
AB, qui passe par son autre extrémité B, la perpen-
diculaire DE, cette perpendiculaire sera le sinus de

Parc DB, ou eucore le sinus de laugls DCB dont Parc
DB est la mesure. ,

Il est facile de voir, d'après cette coustrnction , que
le sinus est d’autont plus grand que l'arc se rapproche
plus du quart de la circonférence, car en faisant croître
DB jusqu’à ce qu'il devieine FB, la perpendiculaire
DE croit également jusqu'à ce qu'elle devienne FC ;
c'est à dire , le rayon du cercle ; le quart de Ja circon-
férence ou l'angle droit dont il est la mesure a donc
pour sinus le rayon : on nomme celui-ci sinus total.

Lorsque l'arc est plus grand que le quart de la cir-
conférence, son sinus devient plus petit que le rayon,
l'arc GB , par exemple , où l'angle GCB a GH pour
sinus,

Si l’on observe que GIF est cn même temps le sinus
de l’aic GA supplément de GB , on en conclura que de
sinus d'un arc où d'un angle est égal au sinus du sup-
plément de cet arc ou de cet angle. En désignant donc
par sin À Je sinus d’un arc À, et en supposant la circon-

férence divisée en 360 degrés, on a l'identité
sin À = sin(160° — A).

2. Depuis o degré jusqu’à 90°, les sinus croissent donc
depuis o jusqu'au rayon du cercle et depuis 60° jusqu’à
180°, ils décroissent depuis le rayon jusqu’à 0. Eu dési-
gant par R le rayon du cercle, on exprime ces circon-
stauces par les égalités

sin o — 0,sin 90° —RkR, sin 180° — 0.

Tous les angles dont on se sert dans la trigouométrie ,
et par conséquent tous les arcs qui leur servent de me-
sure ne dépassant jamais 180°, si l’usage des sinus se
bornait à cette branche de la géométrie, on n'aurait pas
besoiu de considérer les sinus des arcs plus grands que
la deni-circouférence ; maïs dans les nombreuses appli-
cations algébriques de la théorie de ces quantités et
même dans les applications géométriques on emploie
très-fréquemment des arcs non seulement plus grauds
que la demi-circonférence, mais encore qui compren-
nent plusicurs circonférences ; nous devons donc, sans
sortir de la géométrie , examiner l'expression des sinus
de tels arcs.

Remarquons que pour un arc BFAP plus grand que
la deini-circonférence AFB la perpendiculaire abaissée
de l’une des extrémités P sur le diamètre AB qui passe
par l'autre extrémité A est la droite PO, située par rap-
port à ce diamètre en sens inverse de tous les sinus des
arcs compris entre 0° et 190°; ainsi, pour teuir compte
de cette situation inverse, il faut donner lesigue — , ou
considérer comme négatifs les sinus des arcs depuis 180°
jusqu’à 36o°, puisque ces sinus serout tous dans une po-
sition opposée à ceux des arcs depuis o° jusqu’à 180°.

Quant à la grandeur absolue de ces mêmes sinus, il est

SI

facile de voir qu’elle croît, de 180° à 250° depuis 0, jus-
qu’au rayon, et que de 250° à 360° elle décroit depuis

le rayon jusqu’à o. Les limites extrêmes sont donc
Sin 180° — 0, sin 250° = — R, sin 360 — 0.

Si l’arc devient plus grand que la circonférence en-
tière, par exemple, s’il devient BFAPIBD , son sinus
DE redevient positif tant que cet arc ne dépasse pas
une circouférence et demie, puis de nouveau négauif
quand cet arc est compris entre une circonférence ct
demie et deux circonférences. Il est facile de voir que,
mn étant un nombre quelconque et æ un arc plus petit
que 360°, on a généralement

sin (72.360° +- x) == sin x

3. Mais en considérant comme négatifs les sinus qui
tombent au-dessous du diamètre AB on doit aussi con-
sidérer comme négatfs les arcs qui appartiennent à la
demi-circonférence APIB ; ainsi en remarquant que les
deux arcs égaux et de signes contraires BD et BI ont
des sinus égaux et de signes contraires DE et EI, on

pourra conclure généralement que
sin (—x) = — sin x.

Il résulte de ces notions élémentaires que quel que
soit l'arc x son sinus peut toujours être exprimé par le
sinus d’un arc plus petit que le quart de la circonfé-
rence affecté d’un signe convenable. Nous reviendrons
plus loin sur ces déterminations.

4. Le sinus d’un arc B qui est le complément d'un
autre arc A prend le nom de cosinus de l’arc A. Par
exemple, l'arc DF (PL. 57, fig. 7) étant le complé-
ment de l'arc DB, son sinus DG est le cosinus de
l'arc DB, En désignant généralement sous le nom de
complément d'un arc À ce qui reste lorsqu'on retran-
che cet arc d'un quart de la circonférence ou de 90°,
on a la relation

cos À — sin (90° — A)

dont on peut déduire toutes les expressions des cosi-
nus sans avoir besoin de recourir aux constructions
géométriques. Par exemple, faisant successivement
A — 0, 90°, 180°, 270°, 360° on obtient, d’après ce
qui précède,

cos o — sin (90°—0) == sin 90° = R
cos 90° =— sin (g0°—00°) —sin o = 0
cos 180° — sin (g0°—180°) — sin (—go°) = —R
cos 270° = sin (90°—270°) — sin (—180°) — 0
cos 360° — sin (90°—360°) —: sin (—270°) —

c'est-à-dire que depuis o jusqu’à 90° les cosinus décrois-
TOME 1,

SI 465

sent du rayon à 0, que de 90° à 180 ils croissent de o
au ravon; qu'ils décroissent de nouveau de 180° à 270°
depuis le rayon jusqu'à o, et qu’enfin de 2730° à 360
ils croissent de o au rayon. De plus ils sont negaliss
entre go° et 270°.

Pour interpréter géométriquement ces résultats, il
suffit de considérer comme positifs tous les cosinus
situés à la droite du diamètre FH et comme négatifs
tous ceux situés à sa gauche. On voit alors qu'on a
généralement

cos (—x) — cos æ

5. Le sinus et le cosinus d’un même arc sont liés en-
tre eux par une relation très-simple qui permet tou-
jours de considérer comme connue la grandeur de
l’une de ces lignes lorsqu'on connait la grandeur de
l’autre. En effet dans le triangle rectangle CDB (PL. 57,

fig. 7) on a
CE* + DE° = CD°

or, CE — GD — cosinus de l’arc DB, DE — sinus de
l'arc DB, et CD est le rayon du cercle. Désignant donc
l'arc par x et le rayon par R, on obtient

(sin x)? + (cos x}? — R°
ce que l’on peut encore écrire de cette manière (a)
sin.x + cos’ .x — Ra.

Si l’on se rappelle maintenant que les autres lignes
trigonométriques telles que les tangentes, sécantes,
cotangentes et cosécantes (voy. ces mots) sont liées
aux sinus et cosiaus par des relations également très-
simples, on verra que la THÉORIE DES siNus comprend
les théories de toutes ces lignes.

6. La différence EB entre le rayon CB et le cosinus
GD = CE prend le nom de sinus verse de l'arc DB,
comme on nomme aussi cosinus verse de ce même arc
DB le sinus verse GF de son complément. On a ainsi
généralement

R — cos À

= R — sin A

sin. verse À

cos. verse À

relations qui font dépendre les valeurs des sinus et
cosinus verses de celles des sinus et cosinus simples que
l'on nomme aussi quelquefois sinus et cosinus droits
pour les distinguer des premiers.

7- Avant d'exposer la théorie générale des sinus,
nous allons encore déduire de la géométrie leurs théo-
rèmes fondamentaux ainsi que leurs expressions théo-
riques primitives, cette déduction nous donnera ensuite
les moyens de reconnaitre l'identité qui existe entre
les lignes wr'igonométriques et certaines fonctions don-
nées par la nature même de la Science des nombres.

29

466 SI

Soient donc (Pr. 57, fig. 8) un arc DL que nous dé-
siguerons par b etun arc AL que nous désignerons
par a; il est facile de voir en tirant les lignes de la
figure, dans laquelle DL == LB, qu'on a

DQ — sin (a+-b), BR — sinfa—b),
CQ — cos (ab), CR — cos (a—b)

et de plus

DO — sin b, LN —sina, CO —cos b, CN — cos a.

Ceci posé, les triangles semblables CLN et COM don-
nent

CL : CO :: LN : OM
d'où

sin &. cos b

AG 0 R

Gi EN

R étant le rayon CL du cercle. Les triangles sembla-
bles CLN, DGO, donnent aussi

CL : CN :: DO : GD
d'où
CN X DO cos a, sin à
SE

or, OM = GQ et OM + GD — GQ + GD =DQ,
donc (b)

sin a. cos b + cos a. sin b
R

: sin (a + b) —
De plus
OM — GD = GQ — GD — GQ — GP — PQ —BR,
ainsi on a encore (b)

sin a. cos b—cos &. sin b

sin (a—b) — Sun :

Maintenant les triangles semblables CLN, COM
donnent

CL : CO :: CN : CM
d’où

CN %X CO

cos a. cos b

M —
M CL R

et les triangles semblables CLN, DGO donnent
CL : LN :: DO: GO
d’où

co — LN x DO sin a. sinb

Cr R

SI
Mais CM + GO = CM MR = CR et CM — GO
— CM — QM— CQ, donc (c)

: . cos 4. cO05 à — sin a. sin b.
cos (a + D) — + ce
La

cos a. cos b + sin a. sin D

K

cos (a—b) —

Ce sont ces expressions (b) et (c) des sinus ct cosinus
de la somme et de la différence de deux arcs, au moyen
des sinus et cosinus de ces arcs qui forment les théo-
rèmes fondamentaux dont les géomètres font découler
toute Ja théorie des sinus.

En prenant pour unité le rayon du cercle, ce qui
n'ôte rien à la généralité des résultats, on a simple-
ment (d),

\

sin a,cos b + cos a.sin à.

sin (ab) —

cos (ab) = cos a.cos D sin a.sin b.

8. L'expression (a) devient
sin?,.æ cos .æ = I

dans le ces de FR — 1. Or, pour trouver les facteurs

du premier degré du premier membre de cette égalité,
si l’on pose l'équation
sin? Z COST = 0,
on trouvera
COST = — SiuxT

cosx = Æ \/[— sinx] = Æ sinr.\/—1
ce qui donne les deux facteurs du premier degré

cosæ + sinæ\/—1, cosæ—sinx|/—1,
d'où
(cosx—sinal/—1).(cosx—sinx\/—1)=sin?.x+cos.x

et, par conséquent (e),

(cosx + sinxV/—1).(cosx—sinx\/—1) =1,

expression d'une haute utilité quoiqu’elle soit compli-

quée de la quantité dite imaginaire \/—1.
9. Si l’on forme le produit de deux facteurs sembla-
bles

cos sin æ.\/—1, cosz + sinz.y/—1
on trouve
(cosxsinx.y/—1).(co52+sinz.\/—:1)
—cosx.cosz —L cosx.sins|/—1

+ co:s.sinx.V/—1 — siux.sinz

SI

= COS L.COSZ — SIDT.Sin z

+ (cosx.sinzÆcosz.siniæ).\/—1
Or, on a en vertu des expressions (d),
COS x. 053 — sin .sins = CO$ (x+-2)
cosæ.sinz + cosz.sinx = sin (x+47)
ainsi,

(cosxæ + sinæ.l/—1).(cosz + sin 2V/—1)
— cos (x+-<) + sin (x+3)/—1

On obtiendrait de la même manière

(cosæ—sinx\/—1).(cosz—sinz,\/—1)
— cos (æz) — sin (x—2)/—1
d’où l’on voit que la multiplication de tels facteurs s’ef-

fectue par la simple addition desarcs qu'ils renferment.

Si lon fatx—z,ona
(cosx + sinx \/—1) — cos 2x + sin2x. V—I
et par suite
(cosæ+sinx.\/—1)

(cosx+sinx.\/—1}*

etc.

— cos 3x + sin3z.\/—1
= cos 4x + sinix.\/—1

etc.

En général (f),

(cos +sinx.y/—1}" = cosmx + sin mx V=1 .
Il est facile de voir qu’on a aussi (g)

(cos æ — sinx .V/—1)" — cos mx — sin mx .y/—1.

10. Eu prenant d'une part la somme, et de l’autre
la différence des deux égalités (f) et (g), on obtient

pour les valeurs de sin 2x et de cosr2x les expres-

sions
: cos Lsina/— 1 nr —(cosx—sinx \/— 1"
Sin XL — (cosx+sinal/—1} (c SX—SINT.\/—1)
2V—1
cosx+sinx\/— 1)" + (cosæ—sinx.\/— 1)"
Cos 7x ( 2 À am Le Mmx.\/—1)

n |

Or, si l’on considère l’arc æ comme infiniment petit,
il se confond avec son sinus, etl’ona

SIT == L; COS D — 11.

Ainsi, faisant 72 infiniment grand , pour que le produit

mx soit une quantité finie que nous désignerons par %,

SI 467

nous aurons € =, = Ctlesexpressions précédentes
nt

deviendront
G+HE VD —(—gV—)
OZ = ——"" ur
2V/—1
> Ce)

Mais e étant la base des logarithmes naturels on a (voy.
LoGariTumE, 13),

ee É.

et, par conséquent, v étant une quantité quelconque

d=(t+n)
ou
= +) :

car on peut s'assurer, en développant les binomes

Le)

HR) Hier,

que ces binomes sont identiques. Faisant donc P=3.\/—i
nous obtiendrons

sinz

cos 7

Telles sont les expressions théoriques primitives des
quantités sin 3 et COSZ ; expressions qui nous dévoilent
la nature transcendante de ces quantités. Euler, à qui
elles sont dues, les a obtenues par le procédé indirect
que nous venons d'employer,

11. Abandonnons maintenant toutes données géomé-
tiques et reportons-nous à la partie élémentaire de la
théorie de la Science des nombres où, par la nature

méme de notre savoir , nous sommes conduits à recher-

468 SI

cher s'il existe une fonction & des quantités variables
di, Æ,, &, etc. , capable de donuer l'égalité (à) ,

PL, PT, pas. etc. = p(X, + x, + xs + etc...)

Nous avons vu (PuiLosopuie, Gr) que ceite question né-
cessaire dépend de la fonction transcendante

daus laquelle & est une quantité arbitraire, et qu’en dé-
signant par Fx et fr deux autres fonctions de la même
variable x, dont les valeurs sout données par les expres-

sions (hi),

(La}.x? (La)i.xi (Lay. xi
nat Ut = te.
D ich. 1.2 La 1.2.9.4 1.2.5.4.5.6 ve
(La)#.x3 , (La).x (La. x7
LA. L———-; RE — tc.
dr 1.2.9 1.2.3.4.5 PRE RCA RS °

dans lesquelles La désigne le logarithme naturel de «,
on a pour la nature de la fonction gx

gx — Fr +- fx . V5,

et que de plus les expressions théoriques primitives de
ces fonctions Fx et fx impliquées dans la fouction @

qui satisfait à l'égalité hypothétique (à) sont (1)

Fx
2

MR Di |

mx. Re en à |
# | Î

C’est la seconde de ces fonctions, fx, que nous dé-
signerons gévéralemeut sous le nom de sinus, et c’est
la première Fx que nous désignerons sous celui de
cosinus, Ou voit ici, comme pour les logarithmes, que
la base à étant arbitraire on peut former une infinité de
systèmes différens de sinus et de cosinus. Ce n’est qu’en
prenant pour a la base des logarithmes naturels qu'on
obtient le système usuel des sinus naturels ou du cercle,
comme cela devient évident en comparant les expres-
sions (2) avec les expressions (4) d'Euler. Pour toute
autre valeur de &, le système des sinus correspoudans
se rapporte à une ellipse dans laquelle p désignant le
premier axe et 4 le second, on a

Nous nommerons donc généralement séaus elliptiques

les sinus donnés par les expressions générales (2), pour

SI

les distinguer des sinus hyperboliques dont nous parle-
rons plus loin, en faisant observer que la variable x
est alors le double du secteur compris entre le prem'er
axe de l’ellipse et le rayon vecteur mené de son centre
à l’un des points de sa circonférence.

12. Les expressions () étant les expressions théori-
ques primitives des sinus elliptiques renferment impli-
citement , comme nous allons le voir, toutes les pro-
priétés caractéristiques de ces fonctions.

En prenant les secondes puissances des deux mem-

bres des égalités (2), on trouve

CSS CURE nd)
fx} = — 3 Chsbdn: a VI :|

d’où

(x + (fx)

c’est la propriété fondamentale, ou plutôt la liaison
du sinus et du cosinus d’une même quantité x.

Cette propriété jointe à la forme de la fonction gx

gx = Fr + fr. V1

peut faire supposer que la fonction ? ou

oi

est une racine zmaginaire de l'unité dans Île cas de x—1
et généralement une puissance de l'unité pour toute
autre valeur de x, car nous avons vu (ÎMAGINAIRE, 4)

que les racines raginaires de l'unité sont de la forme

a+b\/—+,
les quantités a et b donnant l'égalité

+ br :.

= Ê D;
Pour nous assurer si effectivement F4 est unera-

cine déterminée de l’unité, ce que rendent probables les
circonstances que nous venons de signaler, désignons

par 7 l’exposant, s’il existe, capable de donner (71)

CT) =:

et voyons si r peut admettre une valeur réelle.

Les racines quatrièmes des deux membres de l’éga-
lité (m?)sont, en ne considérant que les racines imagi-
naires ,

ati

Or,

Prenant les logarithmes des deux membres de cette

dernière égalité, on trouve

LU + V1) Li)

d'où l’on tire (7),

Appliquant aux logarithmes compris dans cette
expression le développement connu (voy. Loca-

RITUME, 22) , on obtient

LV) = Vi (Vi) + 3 (Vi) etc.

ce qui donne en développant les puissances de y—1,

8 I I I I
Et 1 Lin 2 ni FT — — etc......

9

ou, définitivement,

L’exposant # est donc un nombre réel, et la quantité

V4 est effectivement une racine déterminée de

l'unité.

Il résulte de cette circonstance que les sinus et co-
sinus ont une génération périodique, car puisque
nous ayons

VE

= I ,

nous avons aussi ,

SI 469

m =;
a à 0 —=

mn étant un nombre entier quelconque positif, négatif ou
zéro , et par suite
VTT! . Can) V—1 |

avi mr\/=1
a°V sr id es

Les fonctions Fx et fx ont donc pour expressions gé-
nérales,
I

+(x+mr)\/— n En |

Fx — se 13

fe = = at e+mnr) Vi (mn :

d’où l'on voit que Fx et fx ont des valeurs périodiques
comprises entre les limites de

13. Le nombre + qui entre d'une manière si impor-
tante dans la théorie des sinus étant

A
I

2
Le” 3, 1415926 , etc.

sa valeur est liée à celle de la base a , et il est facile de
reconnaître que lorsque cette base est celle des logarith-
mes naturels, cas où La — 1, et

r=2.(3,1415926,etc.),

ce nombre + exprime la circonférence du cercle dont le
rayon est l’unité. Dans ce même cas, les sinus sont les
sinus du cercle qu'on emploie en géométrie , les seuls
sinus elliptiques dont les géomètres se svient occupés.

14. M. Wronski est le premier qui ait considéré la
théorie des sinus sous le point de vue général que nous
venons d'exposer : on avait cru jusqu'ici que ces fonc-
tions tiraient leur origine de la géométrie, mais il ré-
sulte évidemment de ce qui précède que cette origine
est purement algébrique, et que lors même que les
sinus ne se retrouveraient pas dans la géométrie, ils
n’en existeraient pas moins dans l’ilgèbre dont ils for-
ment , comme les puissances , les logarithmes , etc.,
une partie essentielle entièrement indépendante de
toute considération géométrique.

15. Désignons, comme en premier lieu, par les abré-
yviations sinx et cosæ , le sinus et le cosinus naturels
d'un nombre x , et quittons le point de vue général
pour ne nous occuper que de ces sinus, dont la base

cæay

470 SI
est représentée par la lettre e. Nous aurons de cette
manière :
9x — cos & + sin V/—1
et puisque, par la nature de la fonctions, l'égalité 4),

qui est notre point de départ , se trouve complètement

satisfaite, cette égalité, ou plutôt celle-ci (a)

(cosr, + sinæ:.l/—1).(cosx, + sinx,.|/—1).
(cosæa + sinx,. y—1).etc. ......—
cos(x x +ir,Hetc.) +

+ sin(ribx,ait etc). /—1

est la loi fondamentale de la théorie des sinus. C’est
d'elle en effet que nous allons déduire toute cette
théorie.

16. Remarquons d’abord que si, dans les expres-
sions théoriques primitives ,

< . Ee Pi due —2V—1

ne = | on

COST —= L Le zV—1 y 1 |
2

on fait x négatif, on aura

sin(—2) = let in |
2V—1
= — es + xV—1 — xV—1
2V—1 : _. |
= — sinx
cos(—x) — : | CE aV—1 + aV/—1 |

Dim

| + ZV/—1 Vs

cos T.

Ainsi le sinus d’une quantité négative est négatif,
tandis que son cosinus ne change pas de signe.

Ceci posé, dans la foi fondamentale (0), ne considé-
rons que deux facteurs et faisons 1 x, 2: =5,
nous aurons

(cosx + sinx\/—1). (cosz + sinz|/—1) =
cos(æ + 2) + sin(xz)/—r

Or, en effectuant la multiplication, le premier mem-
bre de cette équation donne

SI
(cosx H sinx Vi . (cosz H sinz V—i) —= COST . COST
+ cosx.sinz.\/—1 cosz. sinx\/—1 — sinx.sinz
Nous avons donc aussi

cor Hz) + sin(x Æ 3j. V/—1 =cosr.coss—siux.sinz
+ (cosx.sinz—coiz.siræ).|/—1

Égalant séparément les parties réelles et les parties
imaginaires de cette dernière égalté , nous obtien-

drous (p)

sin(x+z)—sinx . cosz + co:x . sinz

siDz

COS(x+-<) == COST . COSZ — Sinr.

principes dérivés considérés comme les théorèmes fon-
damentaux de la théorie des sinus , et que nous avons
déduits ci-dessus, n. 7, de considérations géométriques.

Si dans ces deux égalités on fait z négatif, elles de-
viennent (g),

sin(æ—2) = sinx . COSz — cosx . sinz

Cos(x—z) — cosx. cosz + sinx. sinz

17. Les théorèmes (p) et (9) admettent plusieurs com-
binaisons qui fournissent un grand nombre de consé-
quences utiles pour les calculs où il entre des sinus,
Nous nous contenterons de rapperter iciles plus remar-
quables.

En prenant d’une part la somme et de l’autre la dif-
férence de chacune des égalités (g) avec chacune des

égalités (p), on obtient

. ler : D: :
sinx.cosz — :: sin(æ+z) + — sin(x—:2)
D ) 3 ;

: L ’ Dés LEA
Z. = — SID(X+2Z) — - SIMX—3
sin Z. COST he n(æ+z) 3 SK )
1 N A DE

COST. COST — > Cos(T—2 x cos(x +2)

e

: : I ; ’
sint.sinz — — COST —Z) — : cos{x +2)

formules au moyen desquelles on peut transformer un
produit en une somme et vice versa.

Lorsqu'on veut faire usage de ces expressions pour
transformer une somme en produit, il faut leur donner
une forme plus simple, ce que l’on effectue en faisant
x+z = p,a—z—=q, d'où

p+9

Lu =; 23 — ET,

2 2

Substituant ces valeurs, on obtiendra :

SI :

sinp+sing == 2 sin 2 (p+g).e0s s (p—9)

> sin

T I
à (p—q).cos : (p+Q)

sinp—singq

|
&

cos p - cos q cos è (p+-9).cos = (p—)

== 2 COS

COS p -- CO5 4 (p+q).sin : (p—9)

El

expressions d'un grand usage dans les calculs trigono-
métriques et dont on peut tirer, en les combinant, une
foule de théorèmes.

18. Au moyen des principes précédens et de leurs
conséquences les plus immédiates, on peut construire
pour les sinus des tables semblables à celles des loga-
rithmes, avec cette différence que les valeurs des sinus
seront comprises entre certaines limites, puisque ces
valeurs ont une génération périodique. Jusqu’à présent,
les sinus n'ayant été considérés que comme des lignes
géométriques, les tables dont on se sert ont été calcu-
lées pour les arcs da cercle, et au lieu de présenter les
sinus des normbres, elles présentent les sinus des parties
de la circonférence exprimées en degrés; mais on peut
facilement exprimer tout nombre donné en degrés et
réciproquement, En effet , la circonférence du cercle
dont le ravon = 1 , étant supposée divisée en 360 de-
grés, ce nombre 560, qui est purement conventionnel,
remplace 7 dans le calcul des sinus et donne le moyen
de réduire en degrés un nombre quelconque; de plus, à
cause de la périodicité des valeurs de sin + et de cosx,
nous avons (2 et 12).

sin (ir + x) = sin x

cos (mr + x) = cos x

m étant un nombre entier quelconque, y compris o;
ainsi comme 717 + x peut représenter tous les nom-
bres entiers et fractionnaires , en supposant x+<77, pour
trouver le sinus d’un nombre donné À, il suffira de
chercher celui du reste de la division de A par r; c’est-
à-dire que les sinus de tous les nombres sont donnés par
ceux des nombres au-dessous de r. Nous verrons même
plus loin qu’il suffit de considérer les sinus et les cosinus
T

ii

Ceci posé, æ exprimant un nombre plus petit que +,

des nombres compris entre o et

exprime conséquemment une partie de la circonférence,
et pour réduire cette partie en dégrés, il ne s’agit
que de connaître son rapport avec +, car r, ou la cir-
conférence, étant supposé partagé en 360 parties, au-
tant æ contiendra de ces parties, autant il vaudra de

nt ea T :
dégrés, Soit donc = = n, on aura aussi
æ

Pré

[x] désignant x exprimé en degrés du cercle. Ainsi

r __ 360°

[x] = 360: = .

et l’on voit que l'opération se réduit à multiplier x par
le facteur constant

360°

T

= 58°,8873..

qui est l’arc égal au rayon ou à l’unité.
On a réciproquement

c'est-à-dire que lorsqu'une quantité est exprimée en de-
grés, pour avoir sa valeur en nombres naturels, il faut

la multiplier par le facteur constant
—— 0,017453...

19. Ilest maintenant facile de s’assurer que le sinus
d’une quantité quelconque peut toujours s'exprimer
par le sinus ou le cosinus d’un nombre moindre que

I :
r r, en les prenant avec un signe convenable; car 7
désignant ici la circonférence entière on a, d’après les
numéros 2 et 3,

Si ©, +— 0: CDS OÙ "1
. 1

SmM-r—I!, cos - &— 0
4 4

Re T 3

sm-7r—0, COS = r—— 1
2 2

ns 3

oh int de + EE

sin x —O, COSr —I

:
4

une quantité plus petite que +, toutes les valeurs de x

mais z désignant une quantité plus petiteque ; 7, et x

sont comprises sous les formes

T T T 3r
ri ie D RE Re

et en vertu des expressions (p) et (q)

4

=) = sin 2 .C053 — COS -; .sinz
1

+

472 SI
sio (7 - :) = sin © .cosz + cos — .sinz
4 4 4
sin(T + :) — sin - .cosz + cos - .sinz
\2 2 4

3x ._ x 3F .
sin (£ + :) —= sin oi —H cos .sinz
4 4 4

En subitituant dans ces égalités les valeurs précédentes

5 T . FT , 0
de sin j+ sin, etc.,ona définitivement
4 2
. FT
sin (7 — :) — co5z
4
siu(7 — =) = cosz
+
sin (7 + :) — — sinz
. [37
sin PA —= — Cosz

Pour se servir des tables des sinus, il faut que le nom-
bre = soit exprimé en degrés , et l’on ne doit pas oublier
qu’alors

CR |

20. Il résulte des considérations précédentes que la
construction des tables des sinus et cosinus se réduit à
celle des sinus et cosinus des nombres compris entre 0

et 7 ou des arcs compris entre o° et go°, et comme on

a de plus, x étant un nombre de degrés compris entre
o et 42°,

sin (45°4x) = c0s(90°—45°—x) = cos(45°—x)

SI
cos(45°x) — sin(go—45—x) = sin(45°—x)

il suffit de calculer les sinus et cosinus des arcs depuis o
jusqu'a 45°.

Pour donner au moins une idée de ces calculs, ob-
servons d’abord qu’en faisant a —e, e étaut toujours
la base des logarithmes naturels, on a Le = 1 , etque
les expressions (À) nous donnent immédiatement, pour

la génération technique des sinus et cosinus ,

3 5 7
| x F, x?
SIDT = X— L STE = + etc
1.9:9 1.2.3.4.5 PR AN: 7 US
3 n 6
F z x
COST — 1— —- es = etc.
n UL 12:34 1.2.3.4.5.6 F.

formules dans lesquelles x désigne une quantité quel-
conque. Si x est un arc donné en degrés et parties de
degrés , il faut avoir sa valeur en parties du ravon ou
de l'unité; ainsi, pour rendre l'usage de ces formules
plus facile, nous supposerons que l’arc x est au quart
de la circouférence ou à go° comme m:n, ce qui
nous dounera

mt
x = 90°, eten nombres z — —,
n

‘ mt :
substituant donc 7 'j+z, en mettant pour

SE
QE]

sa valeur connue, et calculant les coefficiens jusqu’à 22
décimales, on obtiendra :

sin( 7 °
— ,90
[72 9

Fe + 3,5707903265948966192313
nm PE NET Cafe
5 à 0,6459640975062462536558
m°
Æ 0,07060926262461670451205
m7 Kr.2E2,Q0

ee Li 0,0046817541353186881007
719
= UE 0,0001604411847873598219
nm? = »

a 0,0000035988432352120853
m3 -

PE 0,0000000569217292190793
m° An O ME

— 55 + 0,0000000006688045 109812

SI

—_— , 0,0000000000060660935311

+ 0,0000000000000437700547

0,0000000000000002571423
F2
0,00000000000000000 12299

0,0000000000000000000052

— Cl soso vero senesse ses see

OS Ê [y
Ca re
LA 9

1,0000000000000000000000

Et,

m?

me 1,2337005501361698273543
mi ae eos
r 0,2536695079010480 136366
me ae PE L

EC 0,020803/4807633529608731
mi S n

+ 5 -0,0009192602548394265802

« Ç S
: {0 er à: 9 ñ
ps 0,0000252020423730606055
mr?
ae + 0,0000004710874778818172
m4 . =
Eure 0,00000000638660308370919
n° _.—
+ TE 0,00000000006565063 1 1498
m'$
RE 0,000000000000229/4 {00201
ma1° …
Te * 20000000000000034 377392
mm? :
ons 0,0000000000000000183600
mt

| “yi ‘ °:0000000000000000000821
m6

ar: 1 0,0000000000000000000003

L . “ #
Comme on n’a besoin de calculer les sinus et cosinus
TOME I

SI 4TS

Rs ; LC #
que depuis o jusqu’à 45°, la fraction 7 <ratoujours plus

- I FE x
petite que —, et ces séries seront très-convergentes, de
#2

sorte qu'il suffira d’un petit nombre de termes, surtout
s’il n’est pas nécessaire d'exprimer les sinus par beau-
coup de décimales.

Si l'on demandait, par exemple, le sinus de l’arc de
27" avec dix décimales, on poserait d’abord, pour avoir

nr
la valeurde —,
rè
ne sm 5ÿ'
— .90° — 27, d'où — = —
LD n 90°
et, en réduisant 90° en minutes,
m 7
s
— 1 = 0,00.
n 5400 L

substituant cette valeur dans la série du sinus, il suffit
des deux premiers termes pour obtenir

sin 27 —0,0078539736.

Dans la division centésimale du cercle, le quart de
la circonférence est de 100°, et pour employer les for-
mules précédentes , au lieu de faire l’arc proposé égal à

m ; A m ee ;
UE il faut le faire égal à —.100°, Ainsi, s’il s’agis-
2 ñ

sait de calculer, selon cette division, le sinus de l'arc
de27', ou, comme on l'écrit alors, le sinus 0°,27, on

ferait

m ; 2 NUE 0,27 -

— , 100° = 09,2 d’où — — — 0,009
n »?7 » n 100 re

et les deux premiers termes de la série fourniraient

sin (0°,27) —= 0,00424113652.

Depuis la découverte des logarithmes par Néper, la
plupart des tables de sinus ne contiennent plus, au lieu
des sinus eux mêmes, que leurs logarithmes, ce qui est
d’une très grande utilité dans la pratique des calculs ;
mais comme, en prenant le rayon du cercle égal à
l'unité, tous les logarithmes de: sinus auraient été né-
gatifs, on a fait ce rayon égal à 10000000000 ou, ce
qui est la même chose, on a multiplié par 10000000000
les sinus naturels calculés pour le rayon = 1. Ainsi,
dans les tables usuelles, le logarithme du rayon est 10,
et ce rayon, qui entre dans presque tous les calculs, ne
peut pas être négligé; mais cette considération n’en-
trainant aucune difficulté, nous pouvons nous conten-
ter de renvoyer aux explications placées en tête des ta-
bles de Callet.

60

ATX SI

or. Les expressions théoriques primitives (2) des
sinus et cosinus elliptiques deviennent indépendantes
de la base à , lorsque cette base est la même que celle
des logarithmes naturels, c'est-à-dire, lorsque le sys-
tème correspondant des sinus est celui des sinus natu-
rels ou circulaires. En effet, puisque d’après le numéro

12 On à
T\/—1
a 6 = I

et qu’en faisant a —e, La = 1, ce qui fait disparai-
tre a de la génération des fonctions sinus et cosinus , il

vient aussi

I
T

Vi =] F— (1) T

a étant un nombre entier arbitraire, positif, négatif ou
zéro. Substituant cette valeur dans les expressions (2),

elles deviennent (r),

me

sin æ == 1 œ |
max mx
I ee. mu

cos © — Lits : |

Il est facile de reconnaître, sous cette forme, que
les fonctions des sinus et cosinus, considérées dans toute
leur généralité, admettent une infinité de valeurs diffé-
rentes pour chaque valeur de la variable x , correspon-
dantes à l’infinité des valeurs différentes qu'on peut
donner au nombre arbitraire 72. Ce n’est que lorsque
m = 1 que les sinus sont ceux qu'on trouve dans la
géométrie. Pour ce cas simple et particulier on a (s) :

Æ. FT

; æ suis

sin &æ — — LT .
2V/—1

œ

| cs =.

cos & = | FL: =)

22, Il ne sera peut-être pas inutile de montrer com-
ment on peut tirer des expressions théoriques (s) les
générations techniques des sinus et cosinus. Pour cet
effet, remarquons que , quelles que soient les quantités
aetz,on a généralement, pour le développement de

la fonction exponentielle a’,

SI
La caractéristique L désignant le logarithme naturel
de a. (Poy. LocanTumr, 15) Or, en appliquant ce dé-

ZT HA

veloppement aux exponentielles 17, 1 7,on trouve

abus ur Che
He nee

1.2.3°
ce qui donne, en substituant dans (s),

= CO

æ

sinx—

(Li

x 5
6)

+a....|

HO O

Or, comme ces expressions dépendent non des raci-

Cost —1 je LL

nes réelles, mais bien des racines tnaginaires de l’unité,
dont le logarithme imaginaire est généralement (voy.
LocariTumes 17)

= mrV/ — I

faisant doncLi = r\/ — 1, pour ne considérer, comme
ci-dessus , que les valeurs qui répondent à m»m—1,
nous obtiendrons définitivement

3 5
æ x
sin X = X — = —— — etc,
1.2.3 La 152,340
de æxi
COŒT=I— —— ——;— —etc.
1.2 Li 16279,4

23. Reprenons le principe fondamental (0) de la

théorie des sinus, et faisons x = x, — 2: = 2x3 = x,

—etc.; en désignant par 72 le nombre des facteurs du

premier nombre, nous obtiendrons (é)

(cos æ + sin x. WV—i1}"=cos mxbsin mx. V—1
et, dansles cas de sin x négatif, (u)

(cos æ — sin &. V—1)"=cos mx — sin mx. VM—1

D'où, prenant la somme et la différence des égalités

(#) et (u),

cosnx =; (cosx-sinx. V1)" (cosx-sin.æ/—1}"

SI

SiNMX = = — -——

ns = | (cosx+sinay/—1)"—

— (cosx—sinx.\/—1)" |

Si l’on développe les binomes par la formule de New-
ton , il viendra, toute réduction faite (v)

sinmx —=m(cosx)"—1,siDx

m{m—1)(m—2)
1.2.3

(cosx}"—3. (sinx)?

Fe ee ren m— 4) (cosx m5. (sin)

— etc.

tm

x}

cosmx — (cosx)" — -

m(m—1 1)(2—2Ym—3)

Va 1:9:9,4

(cosx }"—4.(sinx) À
— etc.

formules qui donnent le sinus et le cosinus de l'arc
multiple en fonctions du sinus et du cosinus de l’arc
simple.

24. En faisant dans ces formules »—2 on obtient

sin 27 —= 2 COS X.Ssin X

cos 2x7 = (cos x) — (sin x)°

; : 1 :
et, si l’on pose 2% — z, d’où x — 3 ces dernières

deviennent
. 1! dE
sin Zz —2.C0s-2.5in -2
2 2
1 21
cos z — (cos—z)— {sin -z)2
2 2

Ces expressions trouvent de nombreuses applications.
25, Si l’on remarque que l’on a, d’après la nature
mème des sinus (12)

La} H(sinlzh} =:

(cos à =

et que l’on compare cette égalité avec celle que nous
venons de déduire .

COSZ —

égalités qui conduisent aux suivantes (z)

sin 22 = =: VIr+sinz] — Vlr sine]
cos! 3 = EVirsinz] + = Vi-sinz]

26. Les formules précédentes fournissent les moyens
d’exprimer sous une forme finie les sinus des multiples
de 3°, les seuls qu'on puisse assigner ainsi. Nous al-
loos donner ces expressions qui sont particulièrement
utiles dans la théorie des polygones et dans les problè-
mes mécaniques.

En faisant d'abord = — Go°, on a cos 90° — 0, et
substituant dans (x) on trouve

L I
cos 45° = sin 5 I
4 Li 2 V2

On sait que le côté de l'hexagone inscrit ou que la
corde de 60° est égale au rayon du cercle; or la corde

de 6o° est le double du sinus de 30°; ainsi sin 30°

1 : I
—-, et par conséquent cos 60° — “ Cette valeur du
2

cosinus de 60° nous va faire connaître celle du cosinus
de 30° qui est la même chose que le sinus de 60°. Nous
avons en effet

RE I 1 11_V3
cos 30° — +i set,
V3

sin 60° —"—-,

et, conséquemment , =

Ces valeurs peuvent nous donner immédiatement
celles des sinus de 15° et de 75° en employant les théo-
rèmes fondamentaux (4), car en vertu de ces théorèmes

on a

sin 15°=sin (45°—30°)—sin {5°.cos 30° —cos 45° .sin 30,

1.
"2 an b.

cos 15° — cos 45°—30)—cos 45°.cos 30°+-sin 45°.sin 30,

1 V3 I VER |
V2: 2 Fa nn | ht)

Le sinus de 18° est la moitié de la corde de 36° qui

est le côté du décagone inscrit. Lorsque le rayon = 1,

ce côté est (voy. DÉcacoxi

SE
V5—1

2

sin 18° — 7 (V5—1)

d'où

; Î
cos 180: \/[1—sin?. 18°] — aa VÉEEVS)

On peut tirer de ces valeurs celles des sinus de 4°,
27°, 36°, 54°, 63°, 72°, 81°, ct par suite toutes celles
dont nous allons présenter le tableau,

sin 3e = LÉ on) — VE V5
sin = — R (VE) + À VG-V5)

din gs (V5H) — 7 VG-V5)

sin no = — KE (50 + VOUS)
sin 15° — ae (V3—1)

sin 18° — £ (V5—1)

sin one = — Et EE 515)
sin age = VE (V5) = VE

sin 27 = 0 (W5—1) + à VEHVS)

sin 30° — =:

sin 33e = ME + VE Vos
sin 36° — Ts VÜ5—V5)

sin ge = KE (5) — VE V5
sm ar = — à (VE) + NT vos)

sin 45° — ve

SI
sin 48° — (V—1) + se 54/5)
4/2

sin Sre — VTT V5 ee / 5

V2 (V5+1) + VA5—V/5)
sin 54° =; (5H)
sin 5e = NT (bn) + VER 55)
sin Go° — Ve
: ANAL) I |: _
sin 63° — RAS (V/b—1) + ns V5+75)
; I
sin 66° — ë (V5+1) + non V5—V/5)
; /3 3
sin 69° = ns (V5+1) + + KT VE—v5)
sin 72° = ut v(o+v5)
Sin, 75 # (31)
; : 1
sin 78° — s V ) + 2 VI5+V/5)
sin 81° — be EH) + 3 VE—V5)
sin 84° — $ (541) me ve VE V5)
ne ” Sn) + vous)
sin 00° — 1

27. Les séries (u) et (v), qui donnent le sinus et le
cosinus d’un arc multiple »#x en fonctions des sinus et
cosinus de l'arc simple x, renferment chacune à la fois
ces sinus et cosinus, et l'on peut se proposer d'obtenir
la même génération au moyen des fonctions du seul si-
nus où du seul cosiuus de x. Nous allons indiquer les
procédés par lesquels on a résolu cette question.

Observons d'abord que z étant un nombre quelcon-
que dont le sinus est donné, nous pouvons obtenir la
génération de z en série, en prenant sinz pour mesure,

car nous devons avoir généralement

3 — À, + A, sin z + À, (sin z) + À, (sin z) + etc.

puisqu'il est toujours possible de développer une fonc-

SI

tion quelconque en série, procédant suivant les puis-
sances progressives d’une autre fonction arbitraire des
mêmes variables (voy. SÉRiE). Or, en faisant dans la loi
fondamentale (A) des séries Fx = z et yx = sinz, et
construisant les différentielles qui entrent dans cette loi,
on obtient pour les coefficiens A., À,, A,, etc., les va-

leurs
A0 À, 1, A0, A5 = 3 A —0,
= gd A mg AE 0
À D À 04e

ES 1.3
2, 2.4.5

expression que nous avons déduite ailleurs par un autre
procédé. (’oy. RETOUR DES SUITES.)

Ceci posé , si dans la formule du n° 20 on fait x==72,
il viendra

n°.25

PE ie

n$.2

SIN NZ = NZ — ——
1.2.9

n1.77

D Un TN ss

et si dans cette dernière on substitue les valeurs de z,
z?, 2°, etc., tirées de (y), on obtiendra, après toutes les
réductions, (z)

n(n—1)

2,3.

sinz = 7 sinz

(sinz)

n( (r—1)r2—09)
1 2.3. A 5

+

{sinz)

n(r—1)n°— De?
1:2.3.4.9

—(sinz)7+etc.

Opérant de la même manière pour le cosinus de n3, on
trouvera (4)
nn (n°

== mb —— fsinz\2
COS 727 — 1 rx (sine) TRS

nn —{\(n—16),. Fe
" 1.2.3.4.5.6 Gin)

Cnat(ri4)(nt—16)(e 3—36)

1.2.3.4.5:6.7.8

(sinz}$ Æ etc.

La série (z) a visiblement un nombre fini de termes,
lorsque # est un nombre entier impair, et un nombre

..

SI ATT

indéfini de termes dans tous les autres cas. Cependant
lorsque » est entier et pair, on peut la transformer en
une autre série dont le nombre des termes se réduit à

n EE SANTE :
3, mais qui est multipliée par cosz ou V/[1—sin’z]. En
L

effet, désignons par S le second nombre de cette série,
nous aurons l’identité

cosz _ S.|/[1—sin?z]
VEi—sin:]

et en divisant S par le développement de \/[1—sin?z],

sinnz —S.

Cosz

nous obtieridrons (z')

n—{
sinnz—V/[1—sin?z]. | nsinz — aide à où sinÿz
» 216
D 10) ju
2.9.4.

1.294

série qui se compose d’un nombre fini de termes, lors-
que » est pair.

La série (+) se termine toujours quand x» est entier et
pair, et dans tous les autres cas elle est indéñnie. Mais
en opérant sur elle comme nous venons de le faire pour
la série (z), on la transforme en (+')

vi

2

cosnz —\/[1—-sinz]. tn sin?z
“IN

12.93.42

5.6.7.8
elc.....sosss.ese

dont le nombre des termes est fini lorsque x est entier
etémpair.

28. Si l’on veut avoir des séries qui procèdent par
les puissances de cosz , il faut substituer dans les précé-
dentes 90°—3 à la place de z, et l’on obtient, mais seu-
lement dans le cas où 7» est un nombre entier, savoir :

Pour n, nombre émpair

: ; n° —1
sinnz—#\/[1—cos.z].{ 1 —- cos”.3
(r2—1)(n—0)
+: ET cosf.z
1-2,304,

(1 N n ?—9)(n—25) 5)

Lie 213.456
Melcs ets bihte Es sus velf

cos .z

SI

ni)

Ccosnz n.COosz — - COS”,

nn —1)n—0) »

LATE ME)
a — —25) à >
1.269439 Fe
HEC sense 00 ns near)

Le signe + a lieu lorsque » est de la forme 4m+-7,
et le signe —, lorsqu'il est de la forme 4m—1 ; » étant
un nombre entier positif quelconque y compris zéro.

Pour x, nombre pair

A a(n—4)
sinnz—="# —Cco$s?z n. COST — — 7 cosÿ.z
! vi 1l 1.2.
n(n— 2—16)
—— 4e + cos .3
19:91:40
nn —/){n—16)(n—36
+ 4) ) — l'aos 3
1:258:4.0:6.7

Le signe + a lieu lorsque # est de la forme 4m+2,
et le signe —, lorsqu'il est de la forme 47.

n° ne 4)
cosnz =: HE À 1 — — cos?.7 cosi,z
12 hs 23.4
n°( 2—_/\{36 :
_nGË—4)(n 16) Pre
1:2:0:4+0.0
HelCiimenngisnschse “see so

le signe + a lieu lorsque 7—4m, et le signe — , quand
n=4m—)2.

29. Les formules qui expriment les puissances des si-
pus et cosinus d'un arc simple en fonctions des sinus et
cosinus des arcs multiples ne sont pas moins importan-
tes que les précédentes. Comme elles trouvent de nom-
breuses applications dans le calcul intégral, nous allons
donner leur déduction. Nous savons que

xV/—1 Fu nul

Ty —1
y — 4, et nous aurons

xV/—1

posons € —p, €

d'une part p.qg=1 , et de l’autre cosx— = (p+9) ;
2.cosx=(p—+) ; ainsi

2.cos,.x = (p+g) = (g+p}

SI
et conséquemment,
cosr.æ = (p+q)" + (gp)

développant les binomes, nous obtiendrons

on+1,

21, cos, x = pr+qn + npq (pr—3+qn—2)
n(n—1)

PTS prie)

ee —1)1—02)

as PP Ji

+ etc.

or, pq = pq" = pÿq = etc. — 1, ct l'on a en général

pr+qr =

—— |

cosarÆsinury/—1 + cosux — sinex\/—1
2COSUX

donc

n n(n—1
2COSMX —= COX + L cos (2—92)x +2 cos(r—/4)x

n(n—1)(n—2)
ER — cos(z—6)x

+ + etc.

En partant de l’expression théorique primitive du si-
nus, On trouverait, par une marche semblable , lorsque
nest un nombre pair,

, ñ
on sinr.x = {cosnx — cosfn—2)x
I

n(n—1)

+

cos(r—4)x

nn 2)cos(n n—6)x

IEC so. see

et lorsque » est un nombre émpair,

on—1, sinr + {sinnx NE sin(n—2)x
/\
—4,%

n(n-—1\n—2)
1.2.3

nu etc. }

Le signe Æ a lieu lorsque » est un multiple de 4 dans
la première formule, et lorsque »—1 est un multiple de
4 dans la seconde formule.

30. Examinons maintenant les fonctions qui résultent
du rapport des sinus et cosinus comparés soit entre eux,
soit avec le rayon ou l'unité. Nous avons vu (SÉCANTE
et TAnGENTE) qu’on a généralement (5)

== cotangente x

SI

Li %
—— —= sécantex,
cost

LL ,
—— —= cosécantex

T
Il nous reste donc seulement à déduire des propriétés
des sinus celle des tangentes et des sécantes.

is : T :
Dans les cas généraux où x est o, ou ;., > Dr il

FI
+

est facile de voir qu'on a, + désignant toujours la cir-
conférence du cercle dont le rayon est l'unité,

lang. oO

T
tang.

CDI
8
Oil

tan = =
= =

mi: Da ,T
Ainsi, pour les valeurs des arcs depuis o jusqu’à > , les

: NE R ,T :
tangentes croissent de o à l'infini, de 4 à — elles dé-
2
. FA . , »s T -
croissent de l'infini à zéro ; passé À elles deviennent

3

Ft F , 3r ; TM
négatives et de= à F elles croissent de o à l'infini;

3x

enfin de n à r elles décroissent de nouveau depuis l'in-

fini jusqu’à zéro , étant toujours négatives.
On trouverait de la même manière en désignant par

col, séc er cosec; les cotangentes, sécantes et cosécantes,

cot o — œ@, Séé 0 — 1, COSÉC., O —
T ,. T ,

cot > — O, SÛC ; — Q, COSÈc — — 1
ñ 4
T , , T

cot — = — %, séc —=—1, COoSéc - —
2 2
37 87 , 3T

cot — — O0, SÈC—— ——@, COSCC— = —I
ñ 4 4

cot x — ©, SÉCT == I, COSÉC r ——

SI 479

Il résulte de ces expressions que les tangentes et les
cotangentes des arcs depuis o jusqu’à 7 peuvent repré-
senter tous les nombres positifs et négatifs, depuis 0
jusqu’à l'infini, propriété très-importaute et qui reçoit
de nombreuses applications. Quant aux sécantes etaux
cosécantes , elles peuvent également représenter tous les
nombres positifs et négatifs , mais seulement depuis
l'unité jusqu’à l'infini,

3r. Ces fonctions ont, comme les sinus, la propriété
de pouvoir toujours être représentées par celles d’entre
elles qui se rapportent au premier quart du cercle, en
les prenant avec un signe convenable , car en partant
des expressions primitives (8), il est facile de voir
qu’on a d’abord en général , æ étant plus petit que +,

tang (mr+bx) =tangx, séc(mr +x) = sécx,

cot (rx + x) —=cot x, coséc(mnr+-x)—= coséc * y

Li

et , ensuite, æ étant plus petit que ;,

+12

T TT .
tang( à + x ) = — cotx, séc(T + x }=—cosécæ,

S
E]
CS)
TN
D'A

+ x )=-+tangr, (T4 }=+ sec ro,
ung( + x) —=— cot x, sé( + )= — cosécr,
cot F + z)= —tangx, coséc (7 +i )= — sé x,
ouf +z)=+ cot æ, coséc ( +z)= — cosécæ,

co( +<) = —tangx, coséc (+=) — séc x.
4 1

On a en outre les relations fondamentales,

tang (F — :) —cotx , séc(? — z)= coséc «x.
4

Toutes les autres propriétés et relations de ces fonc-
tions étant, comme les précédentes, des conséquences
directes de celles des sinus et cosinus, leur déduction
ne présente aucune difficulté ; aussi nous allons nous
contenter de rapporter les formules les plus usuelles.

32. En partauttoujours des expressions primitives (8),
si l’on veut obtenir l'expression de la tangente de la
somme de deux arcs 4 ct bd, on trouve

sina.cosb + cosa.sinb
7 cosa.cosb —sina.sinb

480 SI

et en divisant tout le second membre par cosa.cusb ,

sina.cosb , cosa.sinb

cosa.cosb ” cosa.cosb

tang (a+) =

sin a. sub

cosa.cosh
ce qui se réduit définitivement à (y),

tanga + tangb
1—tanga .tangb

tang(a+b) =

Si au lieu de diviser par cos 4.cosb on avait divisé
par sina.sinb, on aurait obtenu

cot a + cot b

cota.cot b—1

tang(a+b) —
‘ On trouverait de la même manière :

tang a — tangb cotb — cota

tang(a—b) — 1taug a.tangh — 1-cota.cot b

cos T I
sinæ taugæ

Si l’on remarqué qu’en général cotx —
on pourra conclure immédiatement

1—tanga.tangh cota.coth—1
tanga — taugb cota + cotb

cot (ab) —

1tanga.tanghb _ cota.coth+r

D) — _— _
ÉOH(Y==D) taug a — tang b cotb =— cota

33. En employant de semblables opérations, on

trouvera encore

sin(a-b) tang a—tang b cotb+cota

sin(a—b) tanga— tangb 7 coth—cota
cos(a+b) coth.—tanga _ cota—tangb
sin(a—b) cotb+tauga cota+-tangb

et, enfin, combinant les tangentes avec les formules (p),
on découvrira les théorèmes importans qui suivent,

sina—+-sinb

sine — sin b

sin£{a+b).cos!(a—b)
cos+ (a+b).sin+(a—b)

tang + (a+-b)
tang+ (a—b)

sina+ sinb sinE(aLb) #

ce Go febf à à MEME
sina—sinb _ cosz(a—b) : ;
cosb—cosa sint(a—b) — cotz (ab)

SI

mi)

cos +(a— b)

cost (a+b)

sina—sinb

cosa+-cosb =, tag (a—b)

sina—sinb

cot+(a+b)

cosb-—cosa siut(a+é) —
cosa+cosb _ cosz(a+-b).cos+(a—b)
cosb—cosa 7 sin+(a+-b).siu +(a—b)

taugi(a—b)

34. A l’aide de la formule (;), on peut construire
la tangente d’un arc multiple en fonctions de la tan-
gente de l'arc simple, car en y faisant d’abord ab,
on trouve

2tanga
ta

tang 24a

Puis, comme cette même formule donne générale-
ment (9),

tang(a--ma) —
gt L ) 1—tanga.laug/ra

faisant m— 2, il vient, après la substitution de la va-

leur de tang2a,

3tanga—tanp*.a

cu 1—3tang.a

faisant »2— 3 dans (d), il vient encore , après la sub-
stitution de la valeur de tang 3a, et les réductions,

4 tang a — }tangÿ.a
1— Gtaug’attangt.a

tang 4a =

Eu opérant toujours de la même manière, on obtien-
drait les expressions de tang 5a , tang Ga, etc. ; mais il
n’est pas facile par ce moyen de découvrir la loi de ces
expressions , pour lesquelles nous allons remonter à
l'expression théorique primitive des tangentes.

35. Si l’on substitue dans la relation primitive tangæ

sin x

SE. les expressions théoriques (4) du sinus et du
S

cosinus, il vient

; SAVE x

V1 Vo ;

tangx

Telle est l’expression théorique primitive de la fonc-
tion tangæ. Elle fournit en posant x = 72, (+)

9Mmz\/—
rt QE

Ï I

V—1 É 22 — 1 :

tangmnz =

SI

Or, nous avons vu (11) que

eV = cosz + sinz V—:
V—1

divisant la première de ces égalités par la seconde, on

trouve

= 22V—1 cosz-fsinz .\ 5 V—1

——— 1
cos —siuz. \/—1
et, en divisant les deux termes du second membre par

cosz ,

1+tangz. Ver
KV]

22Z\/—-1
€ V ——
1—tanu9z

Cette dernière égalité élevée à la puissance 72 donne

AMV —1
: V

Der r

1—tangz\/—1

Ainsi, substituant cette expression dans (£) et faisant

pour abréger tangz = {, il viendra

I CR (it — 1}

Lang 713 — ——

CV + (a

développant les binomes et réduisant, on obtiendra dé-

finitivement l'expression générale ,

n°3
M ang, tr tang”.z—ctc.

Intangz—

1 Fe
ner: Es li

TE -tang. 4z— etc.

36. La génération technique en série de la tangente,
au moyen de l’arc, a beaucoup occupé les géomètres.
Le premier moyen qui se présente estde substituer dans
la relation primitive

tang x —

| les séries (n° 20) qui donnent le sinus etle cosinus, etd’o-
pérer la division ; on obtient de cette manière :

9 n 62
ta — ALT | ER 17 * _ mn
ii SUD Le TE RATE à
1382
en a te, 1
nr 3:3.5.5,7.9.11 SA 5

TOME il,

SE 481

mais ce procédé très laborieux ne fait pas connaître la
loi de la série, tandis qu’une application très-simple
de la méthode des coefficiens indéterminés va nous ren-
dre cette loi manifeste.

Puisque les puissances paires de æ manquent dans

cette série, posons
tang x = Ax + Br’ + Cx° + Dr + Ex + etc.

et comme cost. tangx —sin x, en substituant, dans cette
dernière égalité, les développemens aux fonctions, nous

aurons :

(Ax+-Bri+Cx°+etc...).(1— —— + —— ra )=
x +3 x?

RS Pan nat

Effectuant la multiplication des facteurs du premier
membre et égalant ensuite les coefficiens des mêmes
puissances de æ dans les deux membres, nous obtien-

drons

À —
I

seen
1.2 1.2.3
B A 14

RE arte

D c B_ À _ ne
1.2 1.2.3.4 3.4.5.6 1.2.3.4.5.6.7
D B

fee 2. RER

etc. — etc:

En divisant la série du cosinus par celle du sinus, il
vient
cotx = : 5 =
RTS
ce qui fait connaitre la forme de la série de la cotan-
gente, et alors si on pose
1 ' ' 15 +
cotx = À’. -— + B'x + Cas + D'x° + L'a7 + etc.
KA
la méthode que nous venons de suivre nous fait décou-
vrir la loisuivante qui lie les coefficiens A", B'; CO‘; etc:
6L

A = r
D
1.2.9 1,2
B' A' 1
PERS ini tious
; C' B' ÂA' I
Gad oo ados ado
D' B'
pores se = 7e
142.3 1.2.3,4.5 1.2.3.4.5.6.7
A'
7 1.2.3.4.5.6.7.8.9
__
1.2.3.4.5.6.7.8
etc, — etc.

37. Les séries précédentes étant connues , il devient
facile, par la méthode du retour des suites (voy. ce
mot), de trouver celle qui donne la génération de Farc
au moyen des puissances progressives de la tangente ;
série que l’on peut aussi obtenir par une simple appli-
cation de la loi fondamentale des séries ; mais le procédé
le plus simple est celui d'Euler que nous allons faire
connaître. La caractéristique L désignant les loga-
rithmes naturels, on sait que (voy. Locarrrume)

Lio)=s Pr TT

>

en faisant æ négative, on a aussi

— — etc.
6

d’où, retranchant la secondeégalité de la première ,

Lido) ele) er [FE] —0|:+ a Eee}

ceci posé, nous avons

F à

1 : ——
COS 2+-sint.\/—1
et, en prenant les logarithmes ,
Æ.V/—1 = Licosx + sinxy/—1
et encore ,
— æ V—1= L(cosæ—sinr.y—1)

retranchant Ja seconde égalité de la première, il vient

SI
z=—— L[ He VE

2V/— cosæ—sinx. W—1

or,

cosæ-sinæ .\/—-1 _itangæe.V/—1

cosæ—sinx. V—1 1—Lanpæ . Ver

Ainsi, substituant, à la place de #, tangx.\/—1 dans
’ 1 ;
le développement de L tro obtiendra

3 5 L
tang'r tang° x tang7x
à lbs pe Fe 12

3 + ÿ — + etc.

Ÿ 7

æ=tang x

38. La série que nous venons de déduire conduit à
celle que Leibnitz a donuée pour la valeur de Ja cir-
conférence du cercle, car, en observant que la tangente
de l'arc de 45°, ou de la huitième partie de la circonfé-

rence, est égale au rayon, si l’on y fait tangx—1, ce qui

T

rend æ — g' elle devient
I 1 I I I 1
ST = Is: —-+-—— +et
p” : 375 dt. FT at

On reconnait que la tangente de 45° est égale à l’u-
nité en partant des valeurs. (7/07. u° 26)
I 1
H Fo ho —
= —5, COS 4AD° — Te
sin 45 s, 4 73
d'où
sin 45° \/2

cos 453 V2

tang 459 —

39. En combinant, comme nous venons de le faire,
les valeurs des sinus de la table du n° 25, on peut ob-
tenir les expressions finies des tangeutes ; voici celles de
ces expressions qui peuvent être employées avec avan-
tage ; les autres sont trop compliquées pour être

utiles.
tang 15° = 2 — \/3
8 — 2
tang 19 = V/ [: |
30° = —
tang 50° — VV
taug 36° — V/ [5 — 21/5]
tang 45° = 1

tang

tanÿ
taug 72° —

tang

SI

La construction des tables des tangentes ne demande
qu'une suite de divisions lorsqu'on a déjà construit cel-
les des sinus et cosinus ; on peut aussi les calculer direc-
tement par les formules précédentes, mais ces détails ne
peuvent trouver place ici.

Quant aux sécantes, lorsqu'il s'en rencontre dans les
calculs, on les ramène aux sinus à l’aide des relations
primitives.

1

; L ’
SécT — ——, COSÉCT = ——
cosæ sinx

comme on ramène aussi les sinus-verses aux sinus par les

relations

sin, VErSe & — 1 — COS Z, COS. VOIS & — I— Sin

Nous devons renvoyer, pour tous les détails de cette
théorie, à l’{ntroduction à l'analyse des infiniment pe-
tits d'Euler, et à la Trigonométrie de Cagnoli.

4o. Pour terminer ce qui concerne les sinus cireu-
laires, nous allons donner la déduction des expressions
générales des différentielles de ces fonctions, en partant
des expressions théoriques.

Va À
j

2V/—1

sinx :

1 Le
COX — à [AV + VS

Rappelons-nous d’abord que la différentielle pre-
mière d’une quantité exponentielle az est (Foy. Dirr.
32.)

d[a’] = a:.La.dz

d’où il résulte pour la différentielle de l’ordre m2 l'ex-
pression

dma=] — a. (Lay". dim
Dans le cas de a =e, on a La = 1, et par suite,

dm[e:] — ezdz"

Si nous faisons z = 4\/—1, nous aurons aussi visi=
blement

xV/—1 e\/ nu Lau
an e V | — VA Neon

xV/—1

—=(—1,".c (V/—1)". dam

dm [ cl

Ainsi (u)

disinx = —

SI 485

{ az V — 1

| € RÉ TV . de”

dmcosx =" PEN
ai)

Or, nous avons vu, n° 10, que 7 étant la circonférence
du cercle dont le rayon est 1, on a

ef -
donc

MRry y

—V—1 _.

: 4 =(y/—1"

mr =
VV —:
e 4 =(—1)".(V/—1y"

substituant dans (y) ces valeurs des puissances de V—1.

il viendra

MR, ,—“-
: ï x4+—- —1
disinx = —— FE iV
2V/—1 6
mr _
D dE He TP | <
IT =
ï (æ+— Vi
dmcosx = = (F 4 w
2 e

c’est-à-dire, en vertu des expressions mêmes dont nous

sommes partis,

d'siux

| mr
— sin x + —- ) dx"!
L

d'icosx

= cos : La + T )- do

Ces belles expressions sont dues à M. Wronski, qui a
fait également connaître la loi des difiérentielles succes-
sives de la tangeute. Nos limites ne nous permettent pas
de rapporter cette dernière. (Voy. Philos. de la Technte,
2° sect., page 451.)

4r. En remontant aux principes dont nous sommes
partis pour déduire la théorie algébrique des sinus,
on voit que la question aui est l’objet de cette théorie
est complètement satisfaite par la fonction exponentielle
générale

Re — ( am Ye

et que le cas particulier où lon prend mr = V/—1 ct
a —e west en réalité que le cas le plus simple des

fonctions transcendautes aux elles la trausiuon de Je

454 SI

numéralion aux facultés donne naissance. En effet, non-
seulement on peut former une infinité de systèmes dif-
férens de sinus en prenant pour la base & des quantités
arbitraires; mais la valeur V1, que nous avons choi-
sie pour »2, afin de faire sortir la fonction &#* de la
classe des puissances susceptibles d’une détermination
immédiate, est la plus simple des racines dites imagi-

naires que l’on peut employer pour obtenir ce résultat.

2n
En prenant par exemple la racine générale y/Ær,
l'expression fondamentale

2n
\Ex z
gx = (a )
conduirait à des fonctions transcendantes d'ordres de
plus en plus élevés, dont nous ne pouvons ici que signa-
ler l'existence.

Mais pour compléter au moins la partie élémentaire
de cette théorie, il nous reste à examiner les fonctions
qui résultent du cas en quelque sorte primitif où »—1+,
et où l’on prend le signe + sous le radical, c’est-à-dire,
le cas où l’on a

ex= ( ave ÿ

Alors la fonction gx n’est plus une fonction dérivée éle-
mentaire dans le sens que nous avons attaché à cette
expression, puisqu'elle rentre dans la classe des puissan-
ces ordinaires, mais elle n’en a pas moins des propriétés
très-remarquables qui doivent la rendre l'objet d’une
considération particulière.

42. Si l’on remplace V/—1 par V/—+1 dans la déduc-
tion que nous avons donnée (Puirosopme, 62) des ex-
pressions théoriques primitives des sinus et cosinus
elliptiques, et si l’on observe en outre que +1 —#r,
on obtiendra pour la nature de la fonction 4x

gx = Fa + fe. +1

les deux fonctions Fæ, fx offrant les relations

Fz + fx
Fx — fx

at=

I

ax

qui conduisent aux expressions théoriques primitives de
ces dernières fonctions, savoir :

Fx — : (are
Je = : Late a)

La dernière de ces fonctions est ce qu’on nomme sinus
hyperbolique , et la première, ce qu’on nomme cosinus

SI

hyperbolique. La quantité variable x est le double du
secteur compris entre le premier axe et le rayon vecteur
mené du centre au point de la combe dont l'abscisse
est égale à Fx et l’ordonnée égale à fx.

Es prenant les secondes puissances de ces expressions,
on obtient pour la liaison des sinus et cosinus hyperbo-
liques

Ex} — (fxP = 1.

4x. Si lon prend pour la base a lenombre e, base des
logarithmes naturels, on obtient le système des sirus
de l'hyperbole équilatère , système qui correspond à
celui de l’ellipse équilatère ou du cercle. Ainsi dési-
guant par les caractérisques sh. et ch. les sinus et cosinus
de l'hyperbole équilatère, nous aurons pour les expres-

sions théoriques primitives de ces fonctions (»)

er — ex
SR TL —
2
er Lex
ch. == ns
2

Il nous reste à démontrer qu’on retrouve effectivement
de telles quantités dans la géométrie.

42. Soit BC (PL. 57, fig. 9) une hyperbole équilatère
dont le demi-axe transverse AB = 1. AC étant un rayon
vecteur quelconque, si l’on compte les abscisses du
centre À , AD sera l’abscisse et DC l’ordonnée qui cor-
respondent au secteur hyperbolique ABC, ou, respecti-
vement, le cosinus et le sinus de ce secteur.

Pour obtenir d’abord l'aire de ce secteur, observons
qu’elle est égale au triangle ADC diminué de l’aire hy-

perbolique BCD, ou qu’on a
ABC — ADC — BCD.
Cette égalité donne, en prenant les différentielles,
d(ABC) — d(ADC) — diBCD).
Or, désignant AD par x, et DC par y, nous avons
ADC = ZAD XDC—+x.V/(x—1),

car l'équation de l'hyperbole équilatère dont le demi-
axe transverse est l'unité est = æt—1. (Woy.Hx-
PERBOLE.) Il en résulte

: ox dx —dx
d(ADC) — Her

d'autre part (voy. QuaprATURE) ,
d(BCD) = ydx = dx, V/(x—1).
Ainsi

SI
dx

ABC) =)

Intégrant les deux membres de cette dernière égalité, il

vient
ATAE "
2.ABC = Je = Lx+y(x—1)].

L désignant le logarithme naturel. Ainsi, exprimant
par zle double du secteur ABC , nous aurons l'égalité

2 = L{xy/{x—:)]

d’où, passant des logarithmes aux nombres,

e = x + V/(x—1).

En faisant z négatif, nous aurons évidemment en-

core
ex —\/(x—1)
ces deux dernières égalités étant la même chose que
TE à
ET LT —Y

on en tire

Y —

ou, comme ci-dessus ,

(lc
sh2— :
>

ch.z —

es + ere
5 ë

En faisant = négatif, on a généralement
Sh.(—x) = —sh.z, ch.(—z) = ch.z.

43. D'après la nature de ces fonctions, leur loi fon-
damentale est donc

(ch.æ, Æsh. x;).(ch.x:+sh.x,).(ch.x;sh.x).….etc.
= ch(ti+2,#xs+ etc...) + sh.(æ, +, +x, + etc...)

et c’est de cette loi qu’on doit déduire toutes leurs
propriétés.

D'abord dans le cas de x, — Li =élin=T,
sinous désignons par 72 le nombre des facteurs du
premier membre, il viendra

(ch.æ + sh.x }® = ch. mx + sh.mx,

eten faisant x négative

SI

(ch.x— sh. x)" =: ch. mx —sh, mx

485

expressions semblables à celles des sinus circulaires et
dont on peut déduire les séries qui donnent le sinus et
le cosinus hyperboliques du secteur multiple en fonc-
tions des sinus et cosinus du secteur simple.

44. x etz étant deux secteurs différens, on a , d’après
la loi fondamentale,

(ch.x+sh x).(ch.z+sh.z) — ch.(x+2) H sh.(x+=)
(ch.x—sh.x).(ch.z—sh.z) = ch.(x+47) — sh.(x+2)

Si, d’une part, on ajoute ces égalités ensemble et
que, de l’autre, on retranche la seconde de la première,
on obtiendra , après avoir développé les produits,

Sh.(t+z) = sh.x.ch.z + ch.x.sh.z

ch.(æ+z)= ch.x.ch.z + sh.x.sh.

LA]

ce qui donne, en faisant z négatif

LS]

sh.(æ—:) —sh.x.ch.z — ch.x.sh.

ch.(x—z) = ch.x.ch.z — sh.x.sh.z

ces théorèmes sont analogues à ceux des sinus circu-
laires.
45. A la valeurx — o correspondent, dans les expres-

sions primitives , les valeurs

sh.x —0o, ch.x=1

et il est facile d’en conclure qu’à partir de o jusqu’à
l'infini. pour la valeur du secteur, le sinus hyperbolique
croit de o à l’infénret le cosinus de l'unité à l'énfêni, ce qui
rompt la ressemblance entre les sinus hyperboliques et
les sinus circulaires. On a d’ailleurs encore les autres
fonctions dérivées

5 —= tang | æ Ne D, ©
ch.x D6"YP-%; ch.æ aie

ch. t.hv eu = ëc. hv .
she — Cothyp.x, = —— coséc. hyp.x ;

mais comme la théorie de toutes ces fonctions ne pré-
sente aucune difficulté, nous ne nous y arrêterons pas.
Nous devons seulement faire remarquer que dans les
siuus elliptiques , en général , la variable représente
aussi un secteur ; si, dans le cercle, et par suite dans les
sinus circulaires, cette variable exprime un arc, c’est uni-
quement parce que dans cette dernière figure les sec-
teurs sont proportionnels aux arcs.

46. L’analogie du cercle avec l’hyperbole équilatère
conduit naturellement à la considération des sinus Ay-
perboliques ; comme à celle de la liaison qui existe en-

486 SO

tre les logarithmes naturels et les sinus circulaires,
mais la théorie purement algébrique que nous venons
d'exposer a seule le mérite de montrer l’origine de ces
fonctions importantes qui viennent clore la partie théo-
rique élémentaire de la science des nombres et tracer
la ligne de démarcation entre les algorithmes élémen-
taires, fondemens de toute conception mathématique,
et les combinaisons de ces algorithmes, combinaisons
dont le nombre est indéfini. C’est à Euler qu’on doit
les premiers développemens de la théorie des sinus cir-
culaires, théorie qu'il a pour ainsi dire épuisée dans
son beau mémoire, Subsidiurm calculi sinuum , inséré
dans le tome V des Nouv. Mém. de St-Pétersbourg.
Quant aux sinus hyperboliques, il parait qu’on doit à
Lambert leur introduction dans la science; c’est lui du
moius qui, dans ses observations trigonométriques
(Voy. Mém. de l' Acad. de Berlin, 1568), a mis dans
tout son jour l'extrême ressemblance qui existe entre
les sinus et cusinus du cercle et les coordonnées de
l'hyperbole; il la démontre par un parallélisme exact
et presque uue identité entre les formules des sinus,
cosinus et tangentes circulaires , selon Îles différens cas
ou rapports des arcs circulaires, et celles des sinus, co-
sinus et tangentes hvperboliques dans les cas analogues
aux différens rapports des secteurs hyperboliques. On
lui doit même des tables de sinus et cosinus hyperboli-
ques et l’idée première d’une trigonométrie hyperboli-
que devant suppléer aux cas où la trigonométrie cir-
culaire est insuffisante pour la solution de divers pro-
blèmes astronomiques. Ces aperçus ingénieux n'ont
point encore reçu d'applications importantes.

SIPIION ou SYPHON. (Héc.) Instrument très-sim-
ple et très-connu dont on se sert spécialement pour
transvaser les liquides. Il consiste en un tube recourbé
de verre ou de métal, et dont une branche est plus
longue que l’autre. On plonge la branche la plus courte
dans le vase qui contient la liqueur, puis on aspire l'air
dans l’autre branche. Alors l'écoulement commence et
ue finit que lorsque l'extrémité de la courte branche ne
plonge plus du tout dans la liqueur. Nous avons ex-
posé au mot Ain les causes du jeu de cet instrument.

SIRIUS. (45t.) Nom de la plus brillante des étoiles
fixes. Elleest située dans la gueule du chien. Les Arabes
la nommaient aschère, scerce, alhabor, aliemini, lalaps,

les Grecs séipios, asipoxvuy, et les Latins canicula.

SOLAIRE. (454.) Se dit adjectivement de ce qui a
rapport au soleil. (Foy. SouxiL et Système. Voy. aussi
ANNÉE.)

SOLEIL. (454.) Corps sphérique, lumineux par lui-
même, centre et régulateur des mouyemens de la terre
et des autres planètes.

SO

Le soleil, source principale de la chaleur et de la
lumière, et, comme tel, principe vivifiant de tout ce
qui végète, est pour nous l’astre le plus important de
l'Uuivers. L’éclat de ses rayons est insupportable pour
l'œil nu , et ce n’est qu’en les affaiblissant par l’interpo-
sition d'un verre noirci à la fumée qu'il devient possi-
ble de le fixer ; il nous apparaît alors comme un disque
plat, illusion d'optique que le raisonnement redresse
bientôt lorsqu'on sait que cette apparence est celle de
tous les corps ronds vus de très-loin. Projeté sur la
voûte céleste, ainsi que la lune, et d’une grandeur ap-
parente qui diffère peu de celle de ce dernier astre,
On pourrait imaginer au premier aspect que les distan-
ces de la terre à ces deux corps sont à peu près les
mêmes, mais ce serait une nouvelle illusion, car la
distance moyenne du soleil à la terre est environ 400
fois plus grande que celle d8 la lune.

En examinant le soleil avec des télescopes d’un pou-
voir amplifiant suffisant et garnis de verres colorés, on
découvre souvent sur son disque des taches noires d’une
forme irrégulière et entourées d’une espèce de bor-
dure moins sombre. Dans l'intervalle de quelques
jours et même de quelques heures, ces taches s’élar-
gissent ou se resserrent, changent de forme et dispa-
raissent entièrement; les plus persistantes semblent tra-
verser le disque du soleil, ce qui demande à peu près
14 jours. Arrivées à l’un des bords , elles cessent d’être
visibles pour se remontrer 14 jouis après vers le bord
opposé. Ces phénomèves ont fait conjecturer au célèbre
Herschell que le corps du soleil est un noyau obscur
et solide dont quelques parties sont mises à découvert
par suite des oscillations de l'atmosphère lumineuse qui
l'entoure. Dans cette hypothèse, qui paraît réunir le
plus de probabilités, les taches seraient le corps même
du soleil, et leur mouvement apparent de translation
serait causé par la rotation du soleil sur son axe. C’est
en effet par l'observation de la durée uniforme de la
marche révolutive de toutes les taches qu’on a pu con-

clure que le soleil tourne sur lui-même dans une pé-

riode de 25 jours et demi. Delambrela fixe à 25i,01154,
mais on ue peut regarder cette question comme déter-
minée avec uue précision suffisante.

Quelquefois, dans le voisinage des grandes taches, on
observe de larges espaces couverts de raies bien mar-
quées, plus lumineuses que le reste. Ces raies se nom-
ment facules ; on peut les considérer comme les sommets
de vagues immenses dans les régions lumineuses de lat-
mosphère. Fréquemment des taches se forment près des
facules, lorsqu'il n’y en avait pas auparavant. Les taches
ne se manifestent que dans une région qui ne s'étend pas
à plus de 3 degrés de part ct d'autre de l’équateur so-
laire ; circonstances qui s’accordent parfaitement avec

l'origine que nous venous de leur assigner, car c’est né-

SO

cessairement vers l'équateur solaire , où le mouvement
de rotation est le plus rapide, que l'atmosphère doit
éprouver les plus violentes agitations.

Les anciens, dont le génie a devancé sur beaucoup de
points la marche lente des observations, ont bien pu
conjecturer que les planètes sont des corps semblables à
la terre et susceptibles comme elle d’être habités par
des êtres organisés ; mais comme ils ont cru que le soleil
était un globe de feu, l'imagination de leurs poètes pou-
vait seule le peupler de créatures sans analogues parmi
nous. Aujourd'hui, si cette question ne peut encore ad-
mettre une solution satisfaisante, il est au moins possi-
ble de la discuter sans paradoxe , car les observations
modernes fournissent des argumens que la raison peut
employer.

Ainsi, en admettant, avec Laplace, que le noyau
même du soleil est embrasé et que les taches ne sont
que de vastes éruptions de feux faiblement représentées
par nos volcans terrestres, on ne peut supposer qu'il
renferme rien de vivant sous les conditions de notre
existence physique ; cependant , si lon croit pouvoir
conclure , d’après d’assez fortes inductions, que la tem-
pérature de la surface visible du soleil est plus élevée
que toutes les températures produites artificiellement ,
soit dans les fourneaux, soit par des procédés chimiques,
il ne s'ensuit pas nécessairement que le corps du so-
leil doive être dans un état d’ignition. Et, d’après l'hy-
pothèse d'Herschell, qui pense que les couches lumi-
neuses de l'atmosphère sont soutenues fort au-dessus du
noyau solide par d’autres couches nuageuses ; séparées
elles-mêmes du noyau par un milieu élastique transpa-
rent, il se peut que les couches nébuleuses soient
douées d’un pouvoir réflecteur assez considérable pour
protéger le corps du soleil contre le rayonnement de la
lumière émanée des couches supérieures. Alors rien
n’empêcherait de supposer que ce globe immense est
habité par des êtres sinon entièrement semblables à
l'homme, du moins vivans d’une vie subordonuée aux
conditions de la sienne.

L'hypothèse qu’il règne dans la masse du soleil une
chaleur très-intense est celle que l’on croit générale-
ment la plus probable, et l’on se fonde sur ce que,
d'après le peu de densité de cette masse, les parties
centrales doivent être douées d’une grande élasticité
pour pouvoir résister à l'énorme pression qu’elles sup-
portent. Cependant on pourrait objecter que la densité
connue du soleil est seulement la densité moyenne de
| son noyau et de son atmosphère réunis, et, par consé-
quent , que si cette atmosphère, comme tout porte à
le croire, s’étend à une grande distance autour du

noyau, ce noyau, dont les dimensions sont inconnues ,
{ peut avoir une densité égale et même supérieure à celle
) de la terre.

SO 287

Toutes ces hypothèses , on doit le reconnaitre, sont
beaucoup plus ingénieuses que bien fondées, et c'est
tout à fait gratuitement qu'on admet la haute tempéra-
ture de l'atmosphère lumineuse du soleil, car de ce que
les rayons solaires produisent la chaleur, il n’est rien
moins que philosophique de conclure que le soleil lui-
même est en ignition. L'eau qui enflamme la chaux vive,
l'acide sulfurique qui allume l’allumette dite origénée,
ne sont point eu ignition et développent néanmoins le
principe inconnu du feu que renferment ces corps. La
plupart des combinaisons chimiques nous présentent
également le phénomène d’une production de chaleur
très-intense, quoique la température des substances
qui agissent les unes sur les autres soit très-basse. Il
en est ainsi des rayons solaires : les faits nous démontrent
clairement qu'ils concourent au développement de la
chaleur en se combinant avecle principe calorifique des
corps exposés à leur action , mais que c'est à cette com-
binaison seule que la chaleur est due et qu'on ne doit
pas plus l’attribuer uniquement aux rayons qu'aux corps
seuls eux-mêmes, Ces considérations doivent nous faire
rejeter comme un jeu de l'imagination tous les calculs
par lesquels on a cru déterminer la température des
diverses planètes ; température que l'on a supposée
plus où moins élevée suivant la distance au soleil, tan
dis qu'il suffit de certaines modifications dans les atmo-
sphères pour rendre la température moyenne uniforme
dans tout notre système. Mais quittons le champ des hy-
pothèses physiques qui n'offre encore rien de bien sa-
tisfaisant, et abordons celui des phénomènes astronomi-
ques où tout est précis , déterminé et certain.

Le soleil est le plus considérable de tous les corps cé-
leites ; son volume surpasse de beaucoup la somme des
volumes de toutes les planètes ; placé au fover commun
des ellipses que ces corps décrivent autour de lui, il
paraît avoir, outre son mouvement de rotation sur lui-
même, un mouvement de translation dans l’espace qui
l'emporte , avec tout notre système planétaire , vers la
constellation d'Hercule. (Foy. Eroire.)

La révolution annuelle de la terre autour du soleil
produità nos regards un mouvement apparent du so-
leil suivant l'orbite même que parcourt la terre. En
effet, par suite du mouvement de la terre, le rayon
mené de notre œil au centre du soleil change continuel-
lement de direction et va marquer daus le cel, parmi
les étoiles, un point sans cesse différent. Ainsi, dans
le cours d’une révolution complète, le soleil nous paraît
avoir décrit d'occident en orient un grand cercle de la
sphère céleste. Outre ce mouvement apparent qu’on
nomme le mouvement propre du soleil, cet astre en a
encore un autre qui n'est pas plus réel ; c’est le mouve-
ment commun, dù à la rotation de la terre sur son axe,

en vertu duquel tous les corps célestes semblent tour-

188 SO

ner en 24 heures d’orient en occident autour de la terre.
On peut se représenter Ja combinaison de ces deux
mouvemens en imaginant un cercle qui tourne autour
de son centre de droite à gauche, tandis qu'un point
placé sur la circouférence , et qui participe du mouve-
ment général , se meut de gauche à droite sur cette
circonférence.

Comme toutes les apparences dues au mouvement de
la terre sont plus importantes pour l'astronomie et pour
les sciences qui en dépendent que ce mouvement réel
lui-même, on a particulièrement besoin de connaitre
à chaque instant le Leu du soleil, c'est-à-dire, le point
du grand cercle de la sphère céleste où le projette le
rayon visuel mené de notre œil à son centre ; aussi dans
la théorie on suppose que la terre est immobile au foyer
de l’ellipse que le soleil semble parcourir , et l'on trans-
porte à ce dernier les vitesses variables du mouvement
de notre globe. Nous nous conformerons à cet usage
dans ce qui va suivre.

L'orbite dusoleil n’est pasle grand cercle de la sphère
céleste que cet astre paraît décrire, quoique cette or-
bite et ce grand cercle soient désignés par le même nom
d’écliptique ; c’est une ellipse située dans le plan de ce
grand cercle, et dont il est facile de déterminer les di-
mensions relatives, car le diamètre apparent du soleil
variant continuellement de grandeur, il en résulte que
cet astre est tantôt plus près et tantôt plus éloigné de
la terre. On sait que le plus grand diamètre apparent
(voy. ce mot) est de 32° 35”,6, etle plus petitde 31° 31".
Ainsi, d’après les lois de l'optique , les distances de-
vant être en raison inverse des diamètres, si nous dési-
gnons par D la plus grande distance du soleil à la terre,
et par dla plus petite distance , nous aurons

Ea représentant donc la plus grande distance par le
nombre 1955, 6, la plus peute sera représentée par le
nombre 1801, et, par conséquent, la distance moyenne
par 1923, 3 ; ou, divisant ces trois nombres par 1923,3,
on aura, pour représenter respectivement la plus grande,
la moyeune et la plus petite distance les nombres

1,016994 ; 1,00000 ; 0,983206.

Îlest aisé d'en conclure qu’en prenant pour unité le
demi-grand axe de l’ellipse, le demi-petit axe est égal
à 0,999858, et l’excentricité à 0,0167094.

Les rapports précédens ne nous apprennent rien
sur les dimensions absolues de l'orbite solaire , l'obser-
vation seule de la parallaxe peut déterminer ces dirnen-
sions ; or, on sait (voy. PararLaxt) que cette parallaxe

est d'environ 8”, 6, et parsuite quela distance moyenne

SO

du soleil à la terre n’est pas moindre de 23984 fois la
longueur du demi-diamètre de la terre, ce qui fait à peu
près 34000000 de lieues.

Cette importante donnée nous fait encore connaître
les dimensions propres du soleil, qui se déduisent im-
médiatement de sa distance et de l'angle qui mesure
son diamètre apparent. Le diamètre réel de cet astre
est de 320000 lieues, ou près de 4 fois la distance de la
terre à la lune. Si l’on veut comparer les dimensions
du soleil à celles de la terre, on trouve que le demi-

diamètre solaire est au demi-diamètre de la terre

Ro]

comme 111 - està 1, et que le volume de ce globe

=

b

prodigieux équivaut à 1384472 fois celui de la terre.

La masse da soleil , déduite de la théorie de l’attrac-
tion, est représentée par le nombre 354036, la masse
de la terre étant prise pour unité. En comparant la
masse au volume, on obtient la densité (voy. ce mot);
ainsi la densité moyenue du soleil est à celle de la terre
comme 0,2243 est à 1.

Si l'orbite du soleil était un cercie et s’il le parcou-
rait d’un mouvement uniforme, il suffirait de connai-
tre sa situation à un instant déterminé pour pouvoir
calculer ensuite sa situation à un autre instant quelcon-
que, mais il n’en est point ainsi; l'observation montre
que la vitesse de son mouvement est continuellement
variable; par exemple, vers le 31 décembre, il par-
court en 24 heuresunarc de 1° 19", 9 tandis que, vers le
1° juillet, l'arc qu’il décrit dans le même intervalle de
temps n’est que de 0° 57" 11”, 5. Il faut donc savoir ré-
duire le mouvement moyen et uniforme que l’on prend
pour base des calculs au mouvement réel et inégal;
c’est ce que les astronomes font avec facilité à l’aide des
tables du soleil où se trouvent toutes les circonstances
de ces divers mouvemens. Nous ne pouvons ici qu'in-
diquer la base de ces opérations.

La durée d’une révolution complète du soleil ou son
retour à la même étoile, ce qu'on nomme l’année si-
dérale, étant de 365) 6h 9! 10", 95 — 365, 2563544,et
pendant cette durée le soleil parcourant les 360° de
l'écliptique, si sa vitesse était uniforme il parcourrait
en un jour 598", 33022. Ainsi connaissant le lieu du
soleil sur l’écliptique un jour donné, ce qu’on appelle
l’époque, on aurait son lieu pour tous les jours suivans
en ajoutant 59 8” 33022 par chaque jour écoulé à par-
tir de l’époque. Le lieu obtenu de cette manière ne
serait pas le véritable, mais il servirait à le trouver en
réduisant le mouvement circulaire au mouvement ellip-
tique, comme nous l'avons exposé au mot anomalie.
On prend ordinairement pour époque minuit, temps
moyen, qui sépare une année de la précédente, c’est-à-
dire, le minuit qui finit le 31 décembre et commence
le 1° jauvier; le lieu moyen ou, comme on le

SO

nomme, la longitude moyenne äu soleil, étant connue
pour cet instant, il est facile de calculer cette longi-
tude moyenne pour un jour et un instant quelconques
de l’année. La différence entre la longitude moyenne
et la longitude du périgée de l'orbite solaire donne
l'anomalie moyenne, et cette dernière sert à calculer
l'équation du centre, ou ce qu'il faut ajouter à la lon-
gitude moyenne pour obtenir la longitude vraie. Il
est en outre nécessaire de tenir compte des perturba-
tions qui résultent de l’attraction des planètes, pertur-
batious dout les effets sont calculés dans les tables.
D'après les derniers travaux de M. Bessel, la longi-
tude moyenne du soleil à l'époque pour l’année 1500

+ Test

280° 2335" 525 27",605844.T + 0",0001221505. T°
—M

T désigue le nombre des années au-dessus de 1800;

pour avoir M ou divise T par 4 et suivant que le reste
de la division

est o on a M = 59° 5”. 330

1... M == 14 47, 083
2.....M — 29 34 166
IL EN 21 248

Selon le même savant, pour l'époque de 1800 + T, la
longitude du périgée est

279° 30° 8", 39 + 61”, 5171. TL 0,0002035065. T7

Lorqu’on connait la longitude vraie on peut calculer
aisément l’ascension droite et la déclinaison (voy. ces
mots) en résolvant un triangle sphérique.

Voyez pour ce qui a rapport ausoleil les mots ANNE,
Cauenprier, ÉcuipriQue, ÉQuarioN pu TEMPS, PARAI.-
LAXE, PassaGEs, PErTURBATIONS, SYSTÈME et ZopracALE.

SOLIDE. (Géom.) Etendue qui a les trois dimen-
sions, C'est-à-dire, longueur, largeur et épaisseur. C'est
étendue de tous les corps que l’on désigne souvent
aussi par le nom de solides.

Tout corps terminé par des surfaces planes s'appelle
solide potyèdre ou simplement polyèdre (voy. ce mot).

De tous les solides terminés soit par des surfaces
courbes, soit par des combinaisons de surfaces planes
cet courbes, la géométrie élémentaire ne cousidère que
les trois corps nommés cône , cylindre et sphère. (Foy.

ces mots.)

On nomme généralement solide de révolution tout
(solide que l’on peut concevoir comme engendré par la
révolution d’un plan de figure quelconque autour
d’un axe. Le cône droit, le cylindre droit et la sphère
sont des solides de révolution.

TOME I,

59 489

Pour comparer les solides entre eux et déterminer
de combien l’un est plus grand que l’autre, il est né-
cessaire de les rapporter à une unité de mesure; or
cette unité doit être elle-même un solide, car l'unité
prise pour terme de comparaison entre deux gran-
deurs quelconques de même nature ne saurait être
d'une uature différente de celle de ces grandeurs. C’est
ainsi que pour mesurer les lignes on choisit une ligne,
etque pour mesurer les surfaces on choisit une sur-
face. (Foy. Arme.)

La grandeur d’un solide, ou ce qu'on nomme son
volume ne peut donc être détermiué qu’en compa-
Le cube

(voy. ce mot) étant le corps régulier le plus simple et

rant ce volume à un autre volume connu.

le plus facile à construire, c’est celui qu’on a choisi
pour servir d'unité. Ainsi on connait le volume d’un
corps lorsqu'on connaît le nombre de fois qu'il peut
contenir le cube pris pour unité. Dans notre système
métrique lPunité des solides est le cube dont le côté a
un »2ètre de longueur.

Pour nous rendre compte de cette manière de mesu-
rer, supposons que le cube abcdefg (PI. 57, fig. 10) est
l'unité de mesure, et proposous-nous de déterminer le
volume du parallélipipèderectangle ABCDEFG. Le côté
ef du cube étant l'unité üinéaire, portons cette unité
sur les côtés EF et FG de la base du parallélipipède, et
supposons pour plus de simplicité que le eôté EF con-
tienne G fois exactement cette unité et que le côté
EG la contienne 5 fois. La surface de la base du paral-
lélipipède sera donc exprimée par 6GX5 = 30, c’est-à-
dire, elle contiendra 30 fois la base du cube, car cette
base west autre chose que l’unité de surface (voy.
Aire). Sur chacun des 30 carrés de la base EG on peut
placer le cube abcdefg ; et si l’on suppose encore que
la hauteur AE contienne 4 fois l'unité linéaire, il de-
vient visible qu'en superposant sur ces 30 cubes une
autre couche de 30 cubes, puis sur ceite seconde une
troisième, et sur celte troisième une quatrième , ces 4
couches Îde 30 cubes rempliront exactement le parallé-
lipipède, de sorte que son volume sera représenté par
le nombre 4X30 = 120. Si le cube abcde/g a pour
côté un zaètre , ou si c’est le mètre cube, le volume du
parallélipipède sera donc de 120 mètres cubes.

En revenant maintenant sur l'opération qui nous a
fait trouver le nombre 120, nous voyons qu’il a fallu
mesurer, avec l'unité linéaire , les trois dimensions du
parallélipipède; savoir, sa longueur EF, sa largeur FG
et sa hauteur ou épaisseur AE; qu’en multipliant la
longueur par la largeur nous avons obtenu le nombre
qui exprime l'aire de la base et qu'enfin en multi-
pliant cette aire par la hauteur, il en est résulté le
nombre qui exprime le volume. Nous pouvons donc
en conclure, car le raisonnement serait le même quels

62

ET

490 SO

que soient les nombres qui expriment les mesures li-
néaires des dimensions, que le volume d'un paralléli-
pipède rectangle esr égal au produit de ses trois dimen-
sions , ou, ce qui est la même chose, au produit de sa
base par sa hauteur.

Oa démontre dans tous les traités de géométrie que

1° Un parallélipipède quelconque est équivalent à
un parallélipipède rectangle de méme hauteur et de base
équivalente.

2° Un parallélipipède quelconque peut toujours étre
décomposé en deux prismes triangulaires équivalens
entre eux,

3° Deux prismes quelconques dont les bases sont
équivalentes et qui ont méme hauteur sont équivalens.

4° Deux pyramides quelconques qui ont des bases
équivalentes el des hauteurs égales sont équivalentes.

5° Une pyramide triangulaire est Le tiers d’un
prisme de méme base et de méme hauteur.

IL résulte de ces propositions que :

1° Le volume d'un parallélipipède quelconque est
égal au produt de sa base par sa hauteur.

2° Le volume d'un prisme quelconque est égal au
produit de sa base par sa hauteur.

3 Le volume d'une pyramide quelconque est égal
au tiers du produit de sa base par sa hauteur.

Le cylindre pouvant être considéré comme un prisme
dont la base est un polygone régulier d’un nombre in-
défini de côtés, et le cône comme une pyramide dont
la base est également un polygone d’un nombre indé-
fini de côtés, on peut encore conclure que :

1° Le volume d'un cylindre est égal au produit de
sa base par sa hauteur.

2° Le volume d'un cône est égal au tiers du produit
de sa base par sa haueur.

Quant au volume de la sphère, voyez Srnère.

Ce qui précède est suffisant pour mesurer le vo-
lume de tout solide qu’on peut décomposer en prismes
ou en pyramides, Les corps dont les surfaces sont rem-
plies d’inégalités offrent des difficultés souvent insur-
montables , mais on se contente d’obtenir approxima-
tivement leurs valeurs à peu près de la même manière
qu’on obtient l'aire des figures dont les contours sont
très-irréguliers. Cependant lorsqu'il s’agit de corps très-
petits, les physiciens emploient le procédé suivant, sus-
ceptible d’une grande exactitude.

Où prépare un vase cubique ou parallélipipède d'une
capacité connue, et après l'avoir rempli d’eau on y
plonge le corps qu'on veut mesurer, En plongeant,
ce corps chasse un volume d’eau égal au sien; par
conséquent en mesurant le volume de cette eau ainsi
chassée, on a celui du corps. Mais comme il serait diffi-
cile de recueillir exactement l’eau qui tombe du vase,
on dispose ordinairement sur sa hauteur une échelle

SÙ
dont les divisions font connaître le volume de l'eau
comprise entre le fond et chacune d'elles; ainsi après
avoir plongé le corps et fait écouler l'eau qu'il déplace
on le retire, ce qui occasionne un vide égal en volume
à l’eau écoulée ou au corps. Les divisions de l'échelle
fout connaitre immédiatement ce volume.

Pour la mesure du volume des solides de révolution,
voy. CUBATURE.

Souines semeLasces. Ce sont ceux dont les volumes
sont différens, mais dans lesquels la relation des li-
mites est la même. Par exemple deux polyèdres sont
semblables lorsque tous leurs angles solides sont égaux
et semblablement placés, et que leurs faces situées de
la même manière sont semblables.

Deux polyèdres semblables sont entre eux comme les

cubes de leurs côtés homologues.

ANGLE sOLIDE. C’est celui qui est formé par les iu-
tersections de plusieurs plans qui se rencontrent en un
même point; ce point est le sommet de l’angle. Les di-
vers sommets des polyèdres sont des angles solides.

Deux angles solides sont égaux lorsque les angles des
plans qui les forment sont égaux et semblablement
placés.

ProsiÈème soupe. Les anciens donnaient ce nom aux
problèmes qui conduisent à une équation du troisième

degré.

SOLIDITÉ. (Géom.) Quantité d'espace occupée par
un corps solide. La solidité et le volume sont la même
chose.

SOLITAIRE, (451) Nom d’une constellation méri-
dionale introduite par Lemonnier. Elle est située entre
la balance , le scorpion et l'hydre.

SOLSTICE. (454) Moment où le soleil est à sa plus
grande distance de l’équateur et arrivé à l’un des tro-
piques. On lui a donné ce nom, de solis statio, parce que
le soleil quand il est proche du tropique paraît, durant
quelques jours, conserver à très-peu près la même
hauteur méridienne, et que la durée des jours avant
et après le solstice est sensiblement la même. Le sol-
stice arrive deux fois chaque année , savoir le 20 ou 21
juin, jour auquel le soleil arrive au premier point du
signe du cancer ou de l’écrevisse, qui est le point où
l'écliptique touche le tropique du cancer, et le 20 ou
21 décembre, jour auquel le soleil arrive au premier
point du capricorue, qui est le point de l’écliptique qui
touche le tropique du capricorne. (Foy. ARMILLAIRE.)
C’est le premier de ces jours qui commence notre été;
aussi le solstice qui lui correspond se nomme le so/stice
d'été. L'autre est celui où commence notre hiver ; c’est

pourquoi le solstice correspondant est appelé so/stice

SO
d'hiver. Le contraire a lieu pour les habitans de l'hé-

misphère méridional.

SOLUTION. C'est en mathématique la réponse à
une question ou la quantité qui satisfait aux conditions
d’un problème. (foy. Résozuriow.)

SOMMATION. ( 4/2.) Opération qui a pour but de
trouver la somme d’une suite de termes dont on con-
naît la loi. Elle est particulièrement l’objet d’une bran-
che de calcul nommée calcul sommatoire.

Nous avons nommé, d’après M. Wronski, dans nos
articles Maruémariques et Paicosopmir, algorithme de
la sommation le premier mode élémentaire de la gé-
nération des quantités, dont la forme générale ou
schématique est À + B —C.

SOMMATOIRE. Calcul sommatoire. (Alg.) Bran-
che de l’algèbre qui a pour objet la sommation des
termes des séries ou de toutes autres quantités liées
par une loi.

Les premiers essais de sommation des séries parais-
sent dus à Leibnitz; on les trouve dans un mémoire
intitulé: De proportione circuli ad quadratum cir-
cumscriplum in numeris rationalibus, et publiés dans
les Actes de Leipsick pour 1682. Cet écrit, qui ren-
ferme un grand nombre de propositions très-curieuses
et alors très-inattendues, attira l'attention des géomè-
tres sur ce geure de recherches dont limportance se fit
sentir de plus en plus, et bientôt le ca/cul soinmatoire
fut considéré comme une branche particulière de la
science des nombres. Il n’est en réalité qu'une applica-
tion du calcul des différences. Nous allons exposer ici
ses lois généraies.

1. Soient À, B, C, D, etc. , une suite de quantités
quelconques que nous pouvons toujours considérer
comme les valeurs successives d’une fonction Fx, dans
laquelle x reçoit successivement un même accroisse-
ment £ , c’est-à-dire, supposons qu’en posant Fr — A,
nous ayons Fix+Ë) — B, F{x+oë) —
la nature des différences (voy.

G , etc. D'après

ce mot) nous aurons

donc
AFx = AA = F(rtz)— Fr = B— A
AFx(+£) = AB = F(x+o0ë) — F(x+2) =C— B
AF(xboé) = AC = F(x+438) — F(x+oi) = D —C

etc. — etc.

En prenant l'accroissement £ négatif, nous aurons

AA — À —B
AB — B—C
AC—C—D
etc. — etc.

491

et, par suite

MA — AA — AB = À — 9B+C
AB — AB — AC —B — °C + D
#C—= AC— AD—C—-0D+HE
etc. — etc,

AA = AA — #B — À — 3B + 3C — D
AB — AB — 4C — B — 3C + 3D —E
AC — AC — AD = C — 3D +3E —F

etc, —= etc.

Il estfacile, en poursuivant ces constructions, de con-
clure , par induction, qu’on a généralement (a)

ArA— A —nB Fous

Cette formule est identique avec celle que nous avons
donnée (Dirr., 14) pour l'expression de la différence de
l’ordre 7 d’uue fonction quelconque ex.

2. La formule (a), subsistant pour toutes les valeurs
de l’exposant », devient, lorsqu'on fait » négatif

A-nA = A+ nB+ TT ee CR

série qui ne peut s'arrêter qu'autant que les termes
A ,B,C, etc. s'évanouissent quelque part eux-mêmes.

Or, la différence à exposant négatif A—" est la même
chose que la somme de l’ordre n; ainsi l’expression pré-

cédente peut encore s’écrire (b)
\
AA LB et C+ sait MEp Fe
® Re

ce qui forme le théorème fondamental d’où dépendent
toutes les sommations d’un ordre quelconque.

Ainsi pour trouver la somme de la série qui forme
le second membre de l’expression {b), il n'y a qu'à
trouver l'expression générale de la dilférence A'"A et
mettre dans cette expression — 7» à la place de + ».
Supposons, par exemple, que les quantités A, B,
C, D, etc., soient les termes consécutifs de la progres-

sion géométrique 1, r, 7°, 7°, ri, @lC., On aura

A =
AA— I —7r
MA — I — 97 + nm = (17)
AA — 1 — 3r + 3 — 7 = (17)
etc. — etc.

et, en général ,
AA — (1—r)"

292 SO

Faisant » négatif, il vient donc

(241)

Qi—r)-r = 1 + nr
1,2

C'est en effet ce que donne le binome de Newton, dans
le cas de l’exposant négatif.
3. En faisant 2 — 1 , les expressions précédentes

donnent
A-iA=y;A—ALBLC+LDHE + etc.

c'est-à-dire que A—1A est la somme de tous les termes
proposés. On obtiendra donc cette somme en faisant
n— — 1 dans l'expression de la différence A'A,

4. x désignant l'indice des termes d’une série, on
nomme {erme sommatoire une fonction de x, dans la-
quelle, si on substitue successivement à la place de x
les nombres 1, 2, 3, 4, etc., on aura la somme d’au-
tant de termes que le nombre substitué aura d’unités.

Exprimons par A, , A:, A;, A:, etc. , les termes suc-
cessifs d’unesérie dont le terme général est Ax, et par
doit être tel

Sr le terme sommatoire de cette série. Sx

qu’on ait
S = À,
S; = À, + A;
S, — À; + A; + A,
etc. — etc.

== À, ASE Adi SR

D'après cette construction on a

Sr + Az = Sx
d’où
= AS;

l'accroissement d’où dépend la différence étant r.
En prenant la somme ou l'intégrale de l'égalité

ASx-1 = Az,

on obtient

Sx—1 — SA»x + const.

et par suite (c)

SA + Az L const.

LT

Ainsi , le érme sommatoire s'obtient en ajoutant à
l'intégrale finie du terme féénéral ce terme général lui-
méme.

5. Appliquons ce théorème à la sommation des nom-

SO

bres figurés, Soit d’abord la série des nombres naturels
9, elc.

æ désignant toujours l’indice des termes, le terme gé-
néral est simplement +, et l'on a
Se = 2x + x + const.

Or, l'accroissement des différences de x étant l'unité ,

, : 1 :
Ex est égale à D (Foy. Inrécraz, 3), d’ou
: 1 I x(x +1
DZ ns XL? — " Æ e T = ( 2)
2 2

il n’y a pas besoin d’ajouter de constante parce que =x
doit être o lorsque x — 0.
Ce terme sommatoire est en même temps le terme

général de la série des nombres triangulaires

1, 35 0 10, 15, 20, 28, 36, etc.

car on sait que cette série est formée par les sommes suc-
cessives des termes de la série des nombres naturels.
Nous obtiendrous donc le terme sommatoire de Ja série
des nombres triangulaires, en faisant dans (c)

Lo æ(&+#1)
2 Li

Ainsi, comme (INTriGRAL, à)

Éiane — 22 Lex] =

1 5 —° vies SN Up,

3% æ + at +; LES CR
nous aurons ICI

3 x(x+i aix H3x(x +
Sex 2x2 + CR DE nr en)
2-3 De) 2 2.3
__ 2{x+1\x+2)
2

iln’y a pas besoin d'ajouter de constante.

Ce terme sommatoire est aussi le terme général de la
série des »ombres pyramidaux ou de la série des nom-
bres figurés de troisième ordre ; ainsi, en opérant dela.
même manière, nous trouverons pour le terme semma- …

toire de cette dernière série l’expression

æ(c+1)x+2)x +3)

7 0.3.4

SO
d'où l’on pourra déduire le terme sommatoire de la sé-
rie des nombres figurés du quatrième ordre, et ainsi de
suite.
Pour considérer ce problème dans toute sa généra-
lité, proposons-nous de trouver le terme sommatoire

de la série dont le terme général est

dx) x +20)... (x + (u— 1)
added p

ou simplement
bi
au
en nous servant de la notation des factorielles. (Foy. ce
mot.)
Nous avons vu (Dirr., 22) que la différence pro-
gressive de l’ordre x de la factorielle æ#W est

AXE — pli £ in, (x+ni)r-nli

faisant donc dans cette expression 7 —— 1 ,nous ob-

tiendrous

A—igali — Sri =

Ainsi, désignant simplement le terme sommatoire cher-
ché parS , il viendra

æHli
AL

(x —ir+ilé

ETAT PE ET

(aie titi + (ua), dei

(pæ+r)é.aiplt :

Mais (x — pti = (x—i).æet et x — 1 + (u+i)i
= x + pi; de plus (x+ui).xri = xmtii; doncon
a définitrvement

x +il

TER

+ const.

En faisant dans cette expression = 1, et supprimant
la constante, on en tire les termes sommatoires de tou-
tes les séries de nombres figurés. Il suffit pour cela de
faire # égal au nombre qui indique l’ordre de la série.

6. On peut déduire très-facilement des formules pré-
cédentes le terme sommatoire de la série générale in-
verse de celle que nous venons de traiter, c’est-à-dire ,
de la série dont le terme général est

AE:

# 1.2.3.4....u _
a+) + ou)... (ru)

Tr à
En effet, si dans 2x on fait # négatif, on obtient

1 (x —i)-v+ilé
mi)

OT Te

Ex—pli =

(ei

sO 495

ou

Le I

Gœ—pujBé (ip. (a pie

substituant dans cette dernière expression x à x—wi,
elle devient

T L
s _—
à

CHE

(im. œu—ili

Le terme sommatoire de la série proposée est donc

LEAE 1ult
ET LT
ou, en réduisant (d)
il
S — + const.

ei Qu 1). (ai) it

S'il s'agissait de la série inverse des nombres trian-
gulaires ou figurés du second ordre {e)

I I Le x t
— , —, etc.
15° 20° 28°

on ferait = 2,etl’on aurait, Zétantégalàt,

comme on doit avoir S — 1 lorsque + = 1, on a pour

déterminer la constante l'équation
1.2
1—— —— + const.
1+1

d'où , const. = 2, et par suite

Ses on 2

æ+1 +1
Cette valeur de S se réduisant à 2 lorsque x est infini,
on voit que la somme totale de la série (e) prolongée à
l'infini est égale à 2.

L'expression (d) ne peut servir pour obtenir le terme
sommatoire de la série inverse des nombres naturels ,
car en y faisant p — 1, le facteur 1 — 1 rend sa partie
variable infinie. Cette série est du genre des séries dites
harmoniques, qui ont été regardées pendant long-
temps comme l’écueil de l'algèbre. Nous allons indi-
quer un procédé très-ingénieux , dû à Kramp, à l’aide
duquel on peut sommer toutes les séries harmoniques.

7- Considérons la série de factorielles coutinuée jus-
qu’à l'infini

ar + (ar) + (a—onir + (a—3rrr + etc...

494 SO

elle nous fournira les différences,

Aanr = an — (arr = nr.an-ir
dan — nin—i)r.an—2lr

Aanr = n(n—1) (n—o0)r.an—3lr

etc. — etc.

Ainsi, comme il faut ici considérer comme négatif l'ac-
croissement des différences, nous aurons en général ,

(voy. Dirr., 22)

Aearnir nëli ré. .an-pir

et en faisant p — 1

c’est-à-dire, d’après le n° 3, que la somme de la série
añ+ir

G+i)r

Si l’on considère le terme du rang m+1, savoir
la somme des

en question est, à l'infini, égale à

(a—mr}tr comme le premier de la série ,
termes de cette même série depuis (a—r)"} jusqu’à
l'infini sera

(a—mr)n+itr

(a+-i)r

et, par conséquent, la somme des #7 premiers termes,
c'est-à-dire , depuis a”! jusqu’à (a— mr + rjnir inclusi-

vement , sera égale à

(nier (a—mr +].

[an+ LT

Si l'on veut prendre le dernier terme pour le premier
etrenverser la série, on posera a— mr+r—=x, d'où
a— x+mr—r, et l'on aura pour la somme de la
série des 72 factorielles

ænr + (x—rnir Æ (x+oar)rir etc.

l'expression

(ec +mr-nnr

LS [ca-mrrns ir == (x—rn+ 1 1

si l’on substitue — x à + n, cette expression devient

I [ I 1
(a—i}r (æ—nr)—ir ue =

et elle représente alors la somme des 2 fractions depuis

, jusqu’à

(œ—nrr (= nr+mr=rnnr

Remplaçant x—nr par la seule lettre x et » — 1 par
n, on trouvera donc la somme des "2 fractions, depuis

SO

Eee 1 ; ;
my jusqu'à ar et égale à (f),

I Ë … I
nr anir |

et si l’on prend la somme de ces mêmes fractions à l'in-
fini, elle aura une valeur finie, égale à

I
nr.œnr |

c’est ainsi que l’on trouve, par exemple, que la somme

des fractions

+3 ANRT Sort ete... à l'infini,

, ST ;
est égale à -. Que la somme des fractions

2

I

' I
RCE 7-10

—etc. à l'infini.

1
oo it lo — 16

, ul .
est égale à “4 Et ainsi des autres.

Lorsqu'on fait » infiniment petit les factorielles de-
viennent de simples puissances et l’on a d’un côté la

série harmonique,

I 1 À 4 I
Se En aus lee Vo

tandis que de l’autre l’expression ( f) de ses 77 premiers
termes se complique d’une quantité infiniment petite et
devient indéterminée. Mais nous avons vu (FAcuLTEs)

la série

z+-mr

qu’en désignant par A

EE cree 03 —+- etc.

r}
fe x+mr LC (xmr) *@Hmr)
dans laquelle 8,, 9,, 8:, etc. sont les nombres de Ber-

nouilli, on a

Dir

(x + mr)”

SUR ER
er |

Nous aurons donc aussi, en supposant 7 infiniment
petit,
I

ae © — 1 — nlogt+n. A,

Li
ne + Logan) À

SO

et en substituant ces valeurs dans ( f) x disparaîtra. On
obtient de cette manière pour la somme des 72 premiers
termes de la série harmonique , l'expression (g)

1 x + mr r r
-{ Lo (= A- — À ———
r | ë x + æ x+mr

La fonction Ay égale à 4.7 + 0.7 + 0,.7° + etc.
esttrès-convergente lorsque y est une petite fraction, et

il suffit des deux premiers termes 6,ÿ -F #7? ou

1 1 58
r(: + ip Jeour en trouverla valeur avecsept décima-
2

1 . D
les exactes, pour peu que - soit au-dessous de—. Ainsi
è 2 10

pour rendre ce procédé parfaitement applicable à tous
les cas, il faudra calculer à part les dix premiers ter-
mes de la série, les ajouter ensemble, et employer en-
suite les formules pour trouver la somme des autres.
(Foy. Kramp. 4rith. universelle.)

Par exemple, on demande la somme des cent pre-
miers termes de la série 1 + : + ; - h + etc.

La somme des 10 premiers termes de cette série est

2 +

à déterminer la somme des go autres.

2341

2520

, ou, en décimales, 2,9289082, reste donc

On fera dans (g) x = 11,7 —1 et m—9o, et la
somme demandée sera exprimée par

réalisant les calculs, on trouve

Log 101 — 4,6151205
Log 11 — 2,3978953
AE 0,0461433

ï
A——— 0,0045124.
101 ) 4 4

PL D LL.
La somme des termes depuis K jusqu'à -——, sera
Le 100

donc 2,2588561 et celle detousles 100 termes5,1838243.

Jean Bernouilli a démontré le premier d’une ma-
nière Lrès-ingénieuse, mais indirecte, que la somme
totale de cette série est une quantité infiniment grande,
vérité que d’autres géomètres ont démontrée depuis par
d'autres procédés et qui paraissait alors très-singulière
en ce que les termes vont continuellement en décrois-
sant. Pour obtenir la somme de toute série harmonique

continuée à l'infini, il faut dans l'expression (g) faire

SO 495

De mu

m—=%,et comme alors log

} devient infini

tandis que A7 - reste fini et que A—— 7. disparaît, il

ns

en résulte que a somme de toute série harmonique,
continuée à l'infini, est elle-méme infinie.

5. Dans les formules précédentes, la valeur numé-
rique de la fonction désignée par Ay, est tout aussi
difficile à obtenir que celle de la somme dont elle fait

: | L
partie, lorsque y n’est pas moindre que — et l’ex-
10

pression (g) serait d’un faible secours si celle n’of-
frait elle-même un procédé très-simple pour trouver
Ay quel que soit y. En effet 2 étant un nombre aïbi-
traire, si l’on fait m — 10 et x —1 et qu'on désigne
par S la somme des 10 fractions

Ll

LE

1 + + + etc...

I 1 Lt
1+r Li

on aura en vertu de (g)

S — Log(r + 10r) + Ar — À.

el

I
r

d’où l’on tire (h)

Ar = r5—Log(: + 10r) + A= …

Ainsi, r étant un ombre quelconque, on obtiendra la

valeur numérique de Ar à l’aide de celle de A,

1+ior
que les deux premiers termes de la série suffisent pour
faire connaître avec sept décimales.
Proposons nous par exemple de trouver avec sept
décimales la valeur numérique de 44. Nous cherche-
t

: É À
rons d’abord la somme des 10 fractions 1, :, -, etc...
2 9

3 ce qui nous donnera S — 1, 6262894. Nous calcu-

lerons ensuite

r 14 — L

4 :
_— + \—0,0495737
Non 41 2 a. 20499797

4 (+ Li

“6:

quant au logarithme naturel de 1 + 10r ou de 41, les

tables donnent 3,7135821 ; ainsi substituant toutes ces

valeurs dans (2) nous obtieudrons définitivement
A4 —2,8411592.

Cherchons pour second exemple la valeur numéri-

VA
que de À 3" Nous avons d’après (4),

14

prets Lo + 4
"ETS + nu E:

496 S0.

4

Le produit; S désignant la somme des fractions

[9

4 Î
À etc. juequ'a À
Vus To. JS 39

, il viendra en réali-

4
37

I EH

39 = 3,

3

/ 13
4 > _.
plus A, —0,0{72325 ; etcemme Log 1 —0 625578,

43 3 d

sant les calculs 1135340. Nous trouverons de

A

4
i— 0,79817809.

9. Si la somme de toute série harmonique, conti-

il en résultera A

nuée à linfiniest une quantité infiniment grande , la
différence de deux séries harmoniques continuées toutes
deux à l'infini, st toujours une quautité finie. En effet,

d'après ce qui précède, la somme de la série

r r r r 1 qe: e
à = = _— etc. à l'infini
æ r T+r x—+or “à x+5r La .

est

x+mr r
Log ( - #) + A .

et celle de toute autre série harmonique

r

TS + etc. à l'infini,

His
»!
x |

est également

Log (

mn étant une quantité infiniment grande.

mr à
: e FA

La différence de ces deux séries, ou la série (?),

r r r r Le r ra
= — - _—— — — — — c.
X Z x+r 2+r x-2r Z— 23
aura donc pour somme (4)
3 r r
Log - A - —A-,
8x Là æ z

Cette dernière expression donne les moyens de déter-
miner avec la plus grande facilité les valeurs numéri-
ques d’uve infinité de fonctions très-importantes. Nous
l’appliquerons seulement à la série remarquable ,

4
Fe + etc.

—-
GUESS

IE
+

qui exprime, comme on le sait, le rapport du dia-
mètre à la circonference.

Nous avons icir—#4,x—1,2—3; ainsi , substi-

SO

tuant dans (4), et désignant par 7 la valeur de la série,

nous aurons

r = Log 3+A4— a à

mais
Log 3 = 1,0986123
A4 = %,8411502
3,9397719
4
A3 — 0,7951789
Donc, r == 3,1415926

Il faudrait ajouter ensemble près de 100000 termes de
cette série pour obtenir une valeur de 7 aussi appro-
chée que celle qui résu'te de ce calcul si simple.

10. Ce n’est que dans un très-petit nombre de cas
qu’on peut obtenir soit le terme sommaloire , soit la
somme entière des séries sous une forme fiuie , et l’on
voit que le problème général de la sommation des sé-
ries se ramène à celui de transformer une série donnée,
dont la convergence n’est pas assez rapide pour faire
connaître sa valeur numérique, en une autre série
équivalente , dont la convergence soit telle qu'il suffise
d'un petit nombre de termes pour déterminer sa
valeur. Considéré de cette marière, ce problème a été
l'objet des travaux des plus grands géomètres, et nous
regrettons de ne pouvoir faire couuaitre les transfor-
mations ingénieuses à l’aide desquelles Moivre, Stir-
liug , Euler, Herman, Maclaurin, Lagrange , Simpson
et tant d’autres l’ont résolu de diverses manières. Nous
croyons cependant devoir exposer un procédé singuliè-
rement commode, dû à Hutton, pour sommer, par ap-
proximation, toutes les séries dont les termes sont
alternativement positifs et négatifs.

Après avoir réduit en fractious décimales les dix à
douze premiers termes de la série proposée, on les écrit
les uns au-dessous des autres, ce qui forme une colonne
que nous désignerous par A. A côté de la colonne A
on en forme une seconde B composée successivement
du premier terme de A, de la somme des deux pre-
miers , de celle des 3 premiers et ainsi de suite. Une
troisième colonne C se forme ensuite en prenant la
moyenue proportionnelle arithmétique entre les deux
premiers termes de B, puis entre le second et le
troisième et ainsi de suite. Une quatrième colonne D
se compose, de la même manière, des moyennes pro-
portionnelles entre les termes de C. Enfin, on continue
ces colonnes de moyennes proportiounelles, jusqu’à ce

qu'on parvienne à une dernière colonne qui ne contien-

SO
dra plus qu’un terme. Ce dernier termesera uue valeur
approchée de la série, d'autant plus exacte qu'on aura
employé un plus grand nombre de termes. Avec dix
à douze seulement on obtient ordinairement six à sept
décimales exactes. Voici un exemple de ces calculs sur

la série traitée ci-dessus :

Hs =

qui est une de celles dont la convergence est la plus
Li

4

lente, Nous savons d’ailleurs que - r — 0,782398...

À B c
+ 1,000000 1,000000 . D
RAR 0,833333 -
— 0,333333 0,666667 0,500000

— 0,200000
— 0,142857
+ o,11rrit
— 0,090909
+ 0,056023
— 0,066667
+ 0,0556524
— 0,052032
+ 0,047690

0,866667

0,513092
0,760460
0,808150

0,76006067
0,7922358
0,779365
0,789466
0,792473
0,797001

0,783080

0,750992
0,757301
0,794415
0,782969
0,785037
0,752040
0,702220

Arrivé à la colonne D, l'inspection de ses valeurs
montre que les derniers termes convergent plus rapi-
dement que les premiers ; alors, pour abréger, on se
contentera de continuer le calcul sur les quatre derniers
termes , ce qui donnera

D E
0,785037 0.-85338 F G
4 70) € ST .

0,785640 a 0,785350 953

a 0,709 ss 0,79990
0,755228 Rae: À 0,785409 »199997

2 0,785904 d :
0,785240

Ja valeur G est exacte jusqu'à la cinquième décimale.
En prenant quelques termes de plus cet plus de décimales
on approcherait davantage.

Ce procédé peut s'appliquer avec succès à des séries
même divergentes. La célèbre série hyper-géomeétrique
d'Euler, 1— 142 — 6 + 24 — 120 + etc., traitée
de cette manière, donne 0,5963473 + etc. pour sa
somme.

11. Considérons maintenant le problème de la som-
mation des séries d’une manière plus générale, et, dési-
gant par fx une fonction quelconque de la variable æ,
proposons-nous de trouver la somme où du moivs la
série sommatoire de la suite,

Ja + f(x —7) + f(x—2r) 1 fx —3r) + etc.

TOME Il,

s0 497
En vertu du théorème de ‘Laylor, nous aurons
Jx = fx
dfx pr d'fx 7
X—r) = fx — APTE nr p
ñ - Ja dx 1,” da he2 es
E) dix 2r fx 4r°
(x—0r) = fx — * - - — etc.
Sa : FR de 1 + dx? 1.2 Re
Ufæx 37 d'fx or
Jlæ--3r) = fx — Ta + P etc.

da? 1.2

Si nous retranchons chacune de ces égalités de celle

qui la précède, il viendra

| dfx
Shot ri
, dfx r d'fx 3 . fr. ri
TN = . r ES RS
MER dx 1 dax? vu das" 1.2.3 ds

LD

a
à

S

|

©

A
FR

Opérant de même sur ces dernières pour avoir les
secondes différences ; puis sur celles-ci pour avoir les
troisièmes différences, et ainsi de suite, on tiouvera en

rassemblant les résultati,

dfx 1 dfx 1 GSfT
ee nel = Ses = = 73 — ctc.
ie de 4 2 dx* / Mas dx

14 — etc.

fx — 7 — etc.

difx 10 d'fx , 65 d'fx
fx — — 4 — AE Se —— 19 — etc.
SA 7 dxi … 5 dx° FT E.6 da
CIC. == Ctc.

En examinant les numérateurs des cocfficiens numé -
riques de ces expressions, On voit qu'ils sont identique-
ment les mêmes que ceux des développemens des fac:
torielles (voy. ce mot) à exposans négatifs , car ils sont
formés, comme ces derniers, par les différences pre-

65

493 SO |

mières, secondes , troisièmes, cte., des puissances des
nombres naturels 1, 2, 3,4, etc. Désignant donc, comme
nous l'avons déjà fait par (mn) le coefficient général
de la factorielle dont l'exposant est m2, et par (m'/n)
celui de la factorielle dont lexposant est —1», nous
aurons évidemment pour la différence de l’ordre »2 de
la fonction fx l'expression

drfé n _

dx" :

(m'T) dm+if

A L É . JA
Mi dant

Amfa —

(r'13)

dn+3fx
7 (mEimto)m+3) dant

OC rene stosamescrestte

m3

Si nous faisons #2=—— 1, le second membre de cette éga-
lité exprimera la somme de la série proposée (roy. ci-
dessus, n° 4), et comme le coefficient numérique (»2'1n)
devient (#/n) lorsqu'on change le sigue de 72, nous
trouverons, en désignant par 5 la sonne des fonc-
tions (/)

Je + Jar) + fear) + Jon) + ete.

1 Qi) (
S= f frax + . + fx —

11) dfx
0.1. |

(173) fx
0.1.2 dx?

+

(74)

Ô, 1:28
A O

Le coefficient (m7n) devenant zéro toutes les fois que
mest plus petit que 7 (voy. Facronerres, 14) les
quantités

(ii) (Gi) (173) (174)

etc.
6: ? Oo ? o ” 0 ?

: ; te , 0
sont de l’espèce de celles qui se réduisent à — pour cer-
0

taines valeurs de la variable qu’elles renferment, ct

elles sont comprises sous la forme générale

( m 1)

FI —1

car elles sont en réalité ce que devient cctte expression
dans le cas de m2 — 1. Ainsi on obtiendra leur valeur,

en considérant m1 comme la variable, et en difftrentiant

:
SO

le numérateur et le dévominateur (voy. Dirr., 47), ce

qui donnera généralement

dim In)

dm

Ces coefficiens numériques sont donc, dans le cas de
m —1, les dérivées différentielles des coefficiens de la
factorielle du degré ». Nous allons procéder à la déter--
mination de ces dérivées différentielles dont l'impor-
tancese manifeste encore dans un grand nombre de
questions intéressantes.

12. Si dans le développement de la factorielle géné-
rale gr, nous faisons pour plus de simplicité «a = 1,

nous aurons (v0y. IACTORIELLES , 14)

pur 1 + (mir + (mlo)r + (m13)r + ete.

les coefficiens (71), (m2), etc. , ayant les valeurs (b\
dans l’article cité.

En considérant »7 comme une quantité variable,
nous obtiendrons, en différentiant les deux membres :
de cette égalité , (m2)

d(mr) =7r.diml1) + r.d{ml2) + r°.d(ml3) + etc.

Ainsi, en développant d’une autre manière d{r1r)en
série procédant suivant les puissances progressives de r,
la comparaison des coefficiens pourra nous offrir
l'expression particulière des différentielles d{mli),
d(mlo), etc.

Or, si nous désignons par n l’accroissement infiniment
petit ou la différentielle de 2, l'accroissement corres-

pondant subi par la factorielle est

nier — qair
mais nous avons (FACTORIELLE, 3)
MALE LIDE—S LIU (inrrir

dont le premier facteur vrir se réduit à 1=—nAr, à cause
I .
de n = +, (voy.Facurrés) et dont le second (1+r}"lr,

étant développé, donne

(arr = (ire (Tr). ar er
— (2) (1Hnr)n—e rt etc.

Xemarquons maintenant que le développement de la.
puissance générale (r4nr# se réduit à ses deux pre-
miers termes 1-unr, en négligeant les termes affectés

des quantités infiniment petites des ordres supérieurs

SO
#,n,etc., et, par conséquent, que l’on peut donner
a cette dernière égalité la forme

(r+arpnr = (ibn). {a+ (mli).r4(ml2).r Letc.}

— mir. {(mli)}4o(ml).r43{ml3).r+ etc. }
Désignons maintenant par fl lasérie
(mi) + 2{mD2).r + 3(inT3).r° + 4{mIf).75 + etc.

etl’expression quenous venons de trouver seraidentique
Ï q

avec
(rHnrVair = (ir) arr mare TI

= Lire (nr nr — 73, TI)re

multipliant cette dernière par 1—zAr, nous aurons dé-
fivitivement, en retranchant le terme affecté de la
quautité infiniment petite du second ordre »?,
LAHNT — yn r (inr)rtr
= LATE Cr ART POI re, LOT, AN
Ainsi, retranchant 17 de part et d’autre et rempla-

çant x par dm, nous obtiendrons pour la différen-
tielle de la factorielle 117

demi) = (mr. ami 7 It — vir, ar). dm

Si nous remplaçons dans cette expression les quantités

#7, Il et Ar par leurs développemens

ar = 1 +(mli).r + (D) .r2 + (m13).7r5 + etc.

HO =(ali)#a(mD).r+3(ml3).r + A{RIDrS + etc.
AT =g,.r+ Our HO. HO, ,ri + etc.

Nous trouverons, en effectuant les produits et en ordon-
nant selon les puissances de r,

d(imr) = 4,r.dm-A,r -dm+Asrdm+Airidn + etc,
es quantités A,, A:, A5, etc. étant

1=7M—0,

A,=(m—1—0,).(mT1)—0,

Aa (3 —0,). (mm D) —0,. (mli)—0,

= (ri—3—0,), (13) —9, (mL) —0,(mL1)—09,
(m4 —0). (m1) —02.(m13) —03(m 12) —0(m1s) - 05

tc.= etc.

S0

Coimparant ce dernier développement avec le pre-

499

mier (72), on voit que d{mli)—A..dm, dim[>)—A,.dm,
diml3)=A;.dm, ete., ce qui donne pour la dérivée dif-
férentielle du coefficient général (»1#) l'expression (x)

d(mm Tu)

D CC
— 0:.(mlu—53)
— 0,.(mlu—4)

li. ss.
— Vi1.(mli)

— y

On ne doit pas oublier que dans cette expression tous
les termes affectés des nombres de Bernouilli à indices
impairs, excepté le premier %, disparaissent parce que
tous ces nombres sont zero.

13. Si dans l'expression précédente nous faisons
m1, toutes les quantités (m1), (m£2), etc. devien-
nent o , et l’on a simplement

dm Tu)
"= — 0,
dim di
d’où, en général,
(11u) 0,
L 8
: . ., Gi) , I
sauf la première quantité . qui est 1 — 0, — _
: > 143
Les autres sont donc, JE 0, : ) ——0;=0,
! 15) 1/6 117
(EPP LEO PRES er ei
o 0 0 0
(148)
— — H, etc., etc.
o

Substituant ces valeurs dansla série sommatoire (4), elle
devient (o)

dfx 1

CE CIO ARTS dfr
RAT 150

DL Lerqy. UP
S = nf Je de fe +0.

dx 1

d fx r°
fr PR etc.
Dee

dans laquelle les nombres 0, , 0, %, etc. ont les valeurs

connues
ï I ï I
= + —, = — ——,06— "À —— 05 — — —- etc.
d'à 12° 120 Le 152. 240

(Joy. FAcuLTÉS, 10.)

500 Ss0

14. S'il s'agissait seulement d'obtenir la somme des

m premiers termes de Ja série, depuis x jusqu’à

JS (æ—(m—i)r), il faudrait évidemment retrancher
de S la somme des termes depuis /{x—mr) jusqu’à
l'infini; or, cette dernière somme, en la désignant par

S', et en faisant pour abréger x — mr =, est

e

=? [Sd +! fe +0 LT + ete.

Ainsi, la somme demandée, ou le terme sommatoire de re f2. ds

la série, peut étre mis sous la forme (p),

TOP Les |

df rf dfi
dx — |

(A

15. La suite décroissante
fe + fa —r) + fr—or) + ete... jusqu'à flx—mrtr)

est, en faisant x—mr—7, eten prenant le dernier terme
pour le premier, la même chose que la suite croissante

FH) (star) 45437) + etc. jusqu’à f'(zHmr).

Ainsi pour obtenir la somme des 2 premiers termes de
la série croissante

Ja fer) Hfiaar) + Ret3n) + ft) Lete.,
c'est-à-dire, des termes depuis f: jusqu’à flzHonr 7)
inclusivement, il suffit d'ajouter à l'expression (p) le

terme /z et de retrancher le terme f{z4mr) = fx ;
cette expression devient alors (y)

Le fra] + 11]

or [Æ ” dE

dx dz
Da Tdfx dfz
La 25 (É |

Se EC sn st 08

L 16. Appliquons cette dernière formule au cas remar+

SO
quable où la fonction f désigne une puissance quelcon-
que des variable æ et z, c’est-à-dire, au cas où l'on de-
mande l'expression de la somme des »2 puissances
zu + (z4r) Æ (aHor)r + etc. jusqu'à .(2+4mr—r)r

Nous avonsici æ —2z + mr, et

241 à a+ (z mr) +1
= — 4 fx.dx _—_ =
m+1 +1 +1
d' fi
. = I Th = prit, (z nr),
n pe
az"

Substituant ces valeurs dans (g) il viendra pour la
somme demandée (r)

I

ru)

Lens +1 — 2043] : [z4— (24 mr)r]
+- p.0,,r [(sHmn)ti — zu]

pu—3)(u—

_—— «0.7 mr) Ju st —3
+ RTS (as J
pu—i)(u—2((u—3) (2-4) ; y 5
‘ — =— Üc. nr) nt
+ 1.2.3.4.5 PIE J
+ etc....... ses .
17. Si l’on faitsuccessivement dans (r)u — 1,0,

u = 3 ,etc., cette expression fera connaître la somme
des 72 nombres en progression arithmétique ,

3 + (547) + (sHor) + (2457) +... (str--r)

la somme des carrés de ces nombres, celle des cubes, etc.
Dans le cas deu — 1, (r) se réduit à

— [(sHnr) — 2] + à [z— (24m) |] =

omr.7+nr
2r

mr omrzmr—mr

2r

2

e m[224mrr],

c’est-à-dire que la somme des termes d’une progression

arithmétique est égale à la moitié du produit du nom-

bre des termes par la somme du premier et du dernier

termes, Vérité connue d’ailleurs. (Foy. Proc. ariTu., 8.)
Dansle cas de y — 2, on trouve, pour la somme des

carrés de ces mêmes nombres, l’expression

SO

m Ve
5 CG Æ On Gr.z (om) mn 1) 77]
Dans le cas de x == 3, on a pour la somme des cubes
L \ \
se [Gr (ours (2er) ]
UE : =

et ainsi des autres.

15. Faisons dans l'expression générale (r)z—o ct
r—1,elle nous donnera pour la somme des #2 pre-
miers tcrmes de la série des puissances

cu in Hop + 3 L'irbLetc.. L (mis
l'expression particulière

UE:
NTI 0, me 4,0 mt

b

uiu—3){u—0)
+ 1)w—2) 0,.me—3
1209

/

nu )\u—2)\x—3)(2—4)

+

9. m—°

dans laquelle le terme + (—1)7.9, 41 résulte des con-
stantes introduites par les intégrations. En désignant
généralement par M{m), la somme des puissances », on
trouve successivement

Mim), — m
M(m): 2

Z

ne — Om

I

Min):

|

3
LM — mn? + 20,

Min Emi — 6m + 30,n0

etc. etc.

valeurs que nous avons employées à l’article Facurrés.

19. On peut appliquer les formules générales à la sé-
1ie réciproque des puissances

I T

Fer À

+

ï L
Gone À Gare À ae

(z

En faisant . négatif, on obtient pour la somme de cette
série continuée à l'infini

A

2/4

HN | 2
> 1 F x

1.2.9.4.9

La convergente de cette série sommatoire dépendant
du rapport de la différence r au premier terme z, on
pourra la rendre aussi grande qu'on le voudra, en cal-
culaut à part la somme d'un certain nombre de termes

de la série proposée, par exemple, depuis y J'squ'à
I . ; ; ..

———— , puis en appliquant la formule à la somme

(zur —r,#

L

des autres depuis jusqu'a Piofioi, Faisant

(z+ar
zæ+mr = x, cette dernière somme sera {s),

x 1

j— CCC:

(u—1)xr—1,r Fe D
(£

Proposons-nous, pour exemple, de trouver la valeur

numérique de la série réciproque des carrés

continuée à l'infini. Nous avonsiciz = 1,7 1,20,
La somme des neuf premiers termes est 1,5307631 ; et
comme æ = 3 + mr = 1 + Q — 10, les termes

de la série (s) deviendront

premier (erme — 0,1000000

second terme 0,0050000

troisièmeterme —

0,0001666

quatrième terme — 0,0000003

Ainsi on peut négliger les autres, si l'on ne demande pas
plus de sept décimales. Ajoutant la somme 0,1051669
de ces quatre termes avec celle des neuf termes de la
série, on aura définitivement 1,6449349 pour la somme
de la série réciproque des carrés, continuée à l'infini.

20. On peut encore déduire de la formule (7) l'ex-
pression générale du logarithme naturel d’une facto-
riclle quelconque ar, expression très-utile dans un
grand nombre de cas.

La factorielle &* 7 étant identique avec le produit

a(a-r) (ar)... (amr—r)
on a d’abord évidemment
Log(an") = Loga + Log(a+r) + Log(a+2r) + ete...
+ Logla-tmr=r)

502 S0
mais on a aussi généralement, quelle que soit la quan-
tité æ ,

Logxz = æ(x° — 1)

(Foy. Locanrrumes, 6) ; désignant donc, pour faciliter
l'impression, par 7 la quantité infiniment petite =, ce

: + Li
qui rendra réciproquement © = —

, la somme des lo-
n

garithmes prendra la forme

1
Log(ar”) —-} an + {a+ri+etc..….(arnr—r) —m
n |
Appliquant à cette suite la formule {r), en observant
qu'on a généralement
z — 1 + x Logz,

Ll

lorsque r = 5, on trouvera pour les trois premiers

termes de la série sommatoire

— m + i[(e +r).Log(a-mr)—aLoga |

—- Log (Æ,.

Quant aux termes suivans, si l’on désigne par la ca-
ractérisque ®% la fonction de x dounée par la série (9),

I £ I
dx = x + 3 ne + 3 GX + 5 a + etc.

se r
leur somme totale sera exprimée par ® ——— —
a+ mr

Le logarithme demandé sera donc (u)

Log(anr) — — m +- =: [(a+mr)Log(a+mr)—aLoga]

Li a-+mTr
nr

21. Si l'onfait a — 1, ce qui rend ces formules plus
simples sans en diminuer la généralité, il vient (v)

Log(1#r) = mr — À Log(1+mr)

2

r
LD ——— —
1+ar "

SO

expression dont on peut tirer les moyens de calculer
facilement la valeur numérique de la fonction &r,
quelle que soit la quantité r, En cffet, prenons à volonté
le nombre 72, il suffira de le supposer égal à 6, 8 ou

9 tout au plus; nous aurons (x)

r

Ew77

I mr
r

Dr—=— mn + [E — :] Log(r+nr) +

— Log (11)

s à r ; ;
et la fonction ——, dont le développement pré-

1+ 72
sente une série tellement convergente ; que les deux
premiers termes suffisent dans presque tous les cas pour
déterminer sa valeur, fera connaitre celle de «y.
Cherchons pour exemple la valeur numérique de r.
Ayant icir—1, prenons 2—40, et nous aurons, à
cause 191 — 362880 = 720 X 504,

BI = — 9 + 2 . Log 104 d — Log (362880).

ss ji Li I
La fonction æ — est 9,. — 0. —— etc... et
10 ‘ro +3 1000 +

I

comme ÿ, = :
12

Re
. et —— + il suffit de ces deux

premiers termes pour nous faire connaitre

I
D— — 0,008330)
10

avec sept décimales exactes. Nous avons d'autre part :

Log(191)— 12,8018275

Log io == 2,3025851

J c Fm
. Log 10 — 21,8745584
à l’aide de ces données on obtient définitivement
1 — 0,0810615.
Se
Prenons pour second exemple 3° Faisant le nombre

arbitraire #2 — 6, la formule (y) donne

CI

d ? — — 6 2 5 9 11 13
v =— 6-7 Log5+ 0 — Log É LE |

et l’on trouve en réalisant les calculs 23 = 0,0538141.

22, Les formules (x) et (v) ont le grand avantage de

SO

faire obtenir avec facilité les valeurs numériques des
factonielles à exposans fractionnaires, factorielles qui
peuvent servir à donner la génération d’une foule de
quantités transcendantes, Proposons-nous pour exem-

4x

ple la factoricile remarquable 1°, Nousavonsicia=1,

L , . . . .
F1, = —; ainsi, substituant dans (v), il viendra
Ls

LL

3 2
Log(i® )= — = + Log = +4 go)

voici le calcul :

Log 3 — 1,0986123
0,6931472

Log 2

Log” — 0,405/4651

0,0548141

0,4602702

0,081061

0,3792177

— 0,5000000

L

Logti®l) — — 0,1207823

le nombre qui répond à ce logarithme étant 0,886227 ,
nous en conclurons

0,886227

Ce nombre estla moitié de la racine carréede3,1415206,
ou du nombre qui exprime le rapport du diamètre à la
circonférence. Nous avons démontré en effet que

Lye = (r LR

(voy. Cencrr, 33); or, en vertu du théorème (voy.
FAcroRIELLE, 2)

anir = (a+-{(m—i)r}rir

on a évidemment

(ef) JC

23. Euler a obtenu, pour les séries réciproques des
puissances des nombres naturels, des expressions sin-

gulières dépendantes du nombre # = 3,1415926. Il à

SO 905
trouvé que la somme de toutes les séries continuées à
l'infini et représentées sous la forme générale

I l 1 1 I
Pur Vgn Dr T5 & + etc

est toujours dans un rapport commensurable avec #7.

lorsque » est un nombre pair. Cette somme pour

n— 2,est....... ——— . T°
’ 1,2.3
2? I F
NM Liinoseusese — ri
FA 142:94460 3
6 24 Ÿ
n = séodsaesce - ——— T°
1.2.3.4.5.6.7 3
6 3
M OL. saone ———, LT
D 0
2° 9 10
= 10e reset ————— 57
Leds des dese DE ‘9
240 6ot
R = Ido — ——— . —<—=. 7x"?
Tededesesseld 109
, 27? 1
RE DE RP .5=. m4
L Indidarsesc la
2 214 361
LR Te ——— ET
122.3... 17 15
216 4386
A LR SE yat
lDcdss es 10 21
18
2 1222277
h.= 20. sise = — . .722
MO PRES 55
220 854513 2
Nn = DBerrosrouo.s = . — . T°°
1251 31
2% 1181820455 ;
A RCD DOOROD e ——— . mi
x21E 27
7
224 697792 :
= tee ne ee - JOUET
127 I
La série très-irrégulière des cocfficiens
tr Ur03 51601 :
I rs ——%, etc.
+31 \ BY Sbwroat

se représente dans d’autres circonstances. (7’oy. Euler,
Introd. analy. infinitorum.)

24. La sommation des séries présente un grand nom-
bre de particularités qui ne peuvent trouver place

dans cet article ; nous devons nous borner maintenant

SO

à indiquer à nos lecteurs les sources où ils doivent

_
504

puiser. Ce sont : le calcul différentiel d'Euler; l'ana-
dyse des refractions astronomiques de Kramp ; Miscel.
analyt. de Moivre; Methodus differentialis de Stir-
ling; De sertebus infinie. de Jacques Bernouilli; Théorie
des jeux de hasard de Montmort; Meditationes analyt.
de Warivrg ; Mathematical dissertations de Simpson ;
Lucubrations de Landen: etle Traité des différences

et des scries de Lacroix.

SOMME. (44g.) Nom que l’on donne à la quantité

résultante d'une addition. (Foy. ce mot.)

SOMMET. (Gcom.) On désigne généralement sous
ce nom le point le plus élevé d’une figure géomé-
trique.

Le sommet d'un angle est le point commun des deux
lignes qui le forment.

Le sommet d'un triangle est ordinairement le som-
met de l'angle opposé au coté que l’on considère
comme sa base.

Le sommet d'un solide est le sommet de l'angle so-
lide opposé à sa base. Dans un polyèdre le sommet de
chaque angle solide est considéré comme un sommet
du corps.

Le sommet d'une courbe est en général le point où

la courbe coupe l'axe des abscisses.

SON. (Acoust.) Résultat du mouvement vibratoire
des corps transmis aux nerfs acoustiques , ou forme dont
les organes de l'ouie revètent les sensations qui leur
sont propres. (/'oy. ACOUSTIQUE.)

Les vibrations d'un corps élastique, causes premiè-
res du son, se communiquent à toutes les matières im-
médiatement contijuës et par suite à toutes celles qui
se trouvent en contact avec ces premières. Pour qu'il
y ait sensation d’un son, il faut qu'il existe une conti-
nuation de matière quelconque entre le corps vibrent
et l’oreille. L'air atmosphérique est ordinairement le
milieu qui transmet l'impression des vibrations aux
organes de l’ouie, mais toutes les matières liquides ou
solides peuvent remplir la même fonction.

La propagation du son, considérée sous le point de
vue de la vitesse avec laquelle il parvient à l'oreille, à
été l’objet des recherches d’un grand nombre de savans;
ils se sont accordés à reconnaître que dans cette propa-
gation le mouvement est toujours uniforme, c'est-à-
dire que les espaces parcourus sont proportionnels aux
temps. Des sons forts ou faibles, comme aussi des sons
graves et aigus, sont propagés de la même manière et
avec la même vitesse. Quant à cette vitesse elle-même,
les évaluations sont très-différentes. Roberval l'estimait
à 560 pieds par seconde de temps, Mersenne à 1474 ;
Duhamel à 1338, Newton à 968, et Derham, Flams-

SO
teed et Halley à 1142 pieds. Cassini de Thury a trouvé
par une longue suite d'expériences fuites sous diverses
conditions atmosphériques que la vitesse moyenue du
sou est de 1038 pieds de roi par seconde; ce qui dif-
fère peu des résultats de Derham, ea le pied de roi
est au pied anglais dans le rapport de 16 à 15. Dausles
expériences faites avec beaucoup de soin par le major
Muller, à Groningue, la vitesse s'est trouvée de 1040, 3
pieds de roi par secoude. Plusieurs autres observa-
tions ont fait adopter pour la vitesse moyenne du sou

dans l'air atmosphérique le nombre de 1042 pieds ou
, L , : , :
333 mètres par seconde. D'après cette donnée lin.
2

tervalle eatre la lumière qu'on voit presque instanta-
uément etle son peut servir à évaluer approximati-
vement la distance dans une explosion quelconque,
comme le serait par exemple un coup de canon.
Plusieurs géomètres asilingués et particulièrement
Poisson (Journal de l'école potyt., tome vit) ont tenté
de déterminer théoriquement la vitesse du son. Le ré-
sultat de ces recherches est qu’en désignant par d la
densité de l'air et par gh son élasticité égale à la pres-
sion de la colonne barométrique de mercure dont la

hauteur est À etla gravité g, la vitesse du son est

gh
d°

Le calcul donne à peu près 288 mètres par seconde,
ou environ un sixième de moins que les expériences.
Cependant Poisson et Biot ont montré que si l’on fait
cutrer daws le calcul, suivant une idée de Laplace, le
développement de chaleur qui se fait dans chaque com-
pression de l'air et qui augmente l'élasticité, les résul-
tats de la théorie peuvent concorder avec ceux des ob-
servations. D'après les recherches de Biot sur la pro-
pagation du sou par les vapeurs, cette propagation est
en effet toujours accompagnée d'un développement de
chaïeur. (Woy. Memoire de la société d’ Arcueil,
tome ©.)

La vitesse du son daus l'air atmosphérique n’est Mmo-
difiée que par ce qui produit un changement dans l'é-
lasticité spécifique de l'air, c’est-à-dire, par ce qui
fait varier le rapport de l'élasticité absolue à la den-
sité. Telle est par exemple l'expansion de l'air par la
chaleur, qui augmente l'élasticité spécifique en dimi-
nuant la densité, pendant que la pression reste la
même. Aussi d'après les observations de Bianconi
(Comment. Bonon. ; vol. 11), la vitesse est plus grande
en été qu'en hiver. L'intensité du son, et le degré de
hauteur, n’influent pas sur sa vitesse. Sur les hautes
montagnes et en général à une grande élévation la vi-
Lesse est la même que dans l'air inférieur. La direction

SO

même suivant laquelle le son est produit, n'apporte
d'autre modification que celle de son intensité ct l’on
entend, par exemple, un coup de canon après le même
intervalle de temps, quel que soit le côté vers lequel il
est tiré. On a aussi observé la même vitesse dans un
temps de brouillard ou de pluie que dans un beau
temps.

La distance à laquelle un son transmis par l'air est
encore perceptible à l'oreille ne peut être l’objet d’au-
cune évaluation moyenne, car elle dépend de son in-
tensité et par conséquent de toutes les circonstances
contingentes qui peuvent contribuer à modifier cette
intensité, telles que la direction des vents, les échos , les
montagnes, etc. On cite des exemples où l’on a entendu
des sons à de très-grandes distances : à un siége de
Gênes les coups de canon se firent entendre à une
distance de 90 milles d'Italie. (Zransactions philos.
n. 113.) Chladni rapporte qu'étant à Wittemberg il
entendit distinctement les coups de canon de la bataille
d’Iéna, à une distance de 17 milles d'Allemagne (28
lieues), moins par l'air, à la vérité, que par les chran-
lemens des corps solides, car il appuvyait son oreille
contre un mur.

Voyez pour la théorie de la propagation du son:
Euler, De motu aëcris in tubis ; le même, Recherches
sur la propagation du son; Lagrange, Rech. sur La
nature et la prop. du son, tome 1 des Mém. de Turin;
Riccati, Delle corde owero fibre elastiche, Bologne
1767; Young, Enquiry into the principal phænomena
of sounds an musical strings, 1784; Lambert, Sur la
vitesse du son, Mém. de Berlin, 15065; Trembley,
Observations sur le mouvement des fluides, Mém. de
Berün, 1801; d'Alembert, Traité de l'équilibre et du
mouvement des fluides ; Chladni, Traité d'acoustique;
Poisson, Sur La théorie du son, Journal de l'école
polytec., tome vu. Voyez aussi dans ce dictionnaire

les mots : AcousriQue , Ecuo et Porrevoix.

SOSIGÈNES. L'un des astronomes de l'école d'A-
lexandrie, qui furent appelés à Rome par Jules César,
pour opérer la réforme du calendrier. Il n’est connu
dans la science que par la part importante qu’il prit à
ce travail, ct l’on ignore absolument le lieu et l’épo-
que de sa naissance, Ce fut lui qui détermina César à
adopter l’année solaire; il négligea les fractions de la
limitation de cette année par Hipparque, et il la fixa à
trois cent-soixante-cinq jours six heures ; c’estle calen-
drier de Sosigènes que César fit adopter par le monde
romaiu et qui a reçu le nom de Julien. (Foy. GazEn-
DRIER.)

SOTHIAQUE., (454) La période sothiaque ou cani-
culaire est une ancieune période de 1460 aus , qui ra-
TOME Al

SO 505
menait le commencement des saisons aux mêmes jours
de l’année égyptienne,

SOUNORMALE, (Geom.) On donne ce nom, dans
la théorie des courbes, à la partie de l'axe comprise en-
tre le pied de l’ordonnée et celui de la normale,

Soit AC une branche de courbe rapportée à l’axe
AM (PL 53, fig. 11):si; par un quelconque de ses points
C dont CP est j’ordonnée, on lui-mène la tangente CT,
puisqu'on tire de ce même point C une perpendicu-
laire CD à la tangente, la partie PD de l’axe intercep-
tée entre l’ordonnée CP et la perpendiculaire ou la
normale CD sera la sounormale.

On peut obtenir l'expression générale de la sounor-
male dans une courbe quelconque, de la manière sui-
vante: Menons d’abord une autre ordonnée P'C'pro-
longée jusqu’à ce qu’elle rencontre la tangente, et ensuite
la droite C2 parallèle à l'axe. Le triangle rectangle CPD
sera semblable au triangle rectangle Cr2C' et nous aurons

CP : PD :: Cm: Cm
d'où
CP X Cm

) —
ÈS Cm

Si nous supposons maintenant que PP’est infiniment
petit ou la différentielle de l’abscisse AP, C'”2 sera la
différentielle de l’ordonnée, et en faisant CP = y,
C'm= dy AP=x, On PP'= dx il viendra (a)
sounormale = Ydy
dx
expression qui fera connaître la valeur de la sounor-
mule dans une courbe quelconque en y substituant les
valeurs de dy et de dx tirées de l'équation de la courbe.
Proposons, pour exemple, de chercher la valeur de
la sounormale daus les sections coniques. L'équation du
cercle, rapportée au sommet, étant

J? = 2x — x?
on en tire, en différentiant ,
2ydy —2adx — 2xdx
d’où

dy __ ax

di +
substituant cette valeur dans (a) il vient
sounormale = a — x

Dans le cercle, la sounormale est donc toujours égale à
la différence entre le rayon et labscisse.
L'équation de la parabole y? = px fournit

64

506 SO
dy P
di 2Y°
d'où
sounormale = £

ainsi dans cette courbe la sounormale est constante et
égale à la ruoitié du paramètre,

+ ; db?
L’équation de l’ellipse 3° — — (2ax—2x*), donnant

ba— x)
= ——, on en conclut
dx æYy

b? .
sounormale = —(a—x)
a?

Enfin, de l'équation de l’hyperbole y? eu (2ax+x),
[24

on tire de la mème manière

b°
sounormale — (a+x).
«a
Les mêmes triangles rectangles qui nous ont fourni
l'expression générale de la sounormale peuvent nous
donuer celle de la normale, car ils offrent encore la
proportion
CP : CD :: Gm : CC'
d’où
CPYXCC’

Cr

CD —

Or, CC' est, dans l'hypothèse de PP’ infiniment
petit, la différentielle de l'arc de la courbe dont l’ex-
pression est \/{dx°+dy?) (voy. Recriricariox); ainsi
cette égalité est la même chose que

2V (+ dr)

normale —

En substituant dans cette expression la valeur de la
seconde puissance de la dérivée différentielle de l’or-
donnée d'une courbe, on aura la valeur de la normale.
Pour le cercle, la dérivée différentielle de J, considé-
rée comme fonction de +, étant

dy
noie

et, par suite

normale

Vl®—(e—x)]

VI2axz—a—(a—x)]

I

Va = a

c’est-à-dire que la normale, dans le cercle, est constante
et égale au ravon. On sait en effet que la perpendicu-
laire menée à une tangente quelconque et au point de

contact passe par le centre.

SOUPAPE. (Héc.) C'est le nom générique qu’on
donne, dans les machines, à de petites portes destinées
à permettre et à empêcher alternativement le passage
de l’eau ou de tout autre fluide.

SOURD. (4rith.) Un nombre sourd est le même
qu’un nombre érrationnel où incommensurable, comme !
V/2. Ce mot a vieilli.

SOUS-CONTRAIRE. (Geéom.) Deux triangles sem-
blables ont une position sous-contraire lorsqu’ayant

un sommet commun, leurs bases ne sont pas parallèles,

Tels sont, par exemple, les deux triangles rectangles
ABC, ADE. (PI. 57; fig. 2.)

SOUS-DOUBLE. (4rith.) Une quanuté est sous-
double d'une autre, lorsqu'elle est sa moitié. Ainsi 4
est sous-double de 8, comme 8 est double de 4.

SOUS-DOUBLE. (Arith) Deux quantités sont dites
en raison sous-doublée de deux autres lorsque leur
rapport est égal à celui des racines carrées de ces deux

autres. Par exemple si l'on a la proportion
A:.B :: N/G:: \/D

on pourra dire que les quantités A et B sont en raison
sous-doublée des quantités C et D.

SOUS-MULTIPLE, (4le.) Toute quantité contenue
un nombre exact de fois dans une autre quantité est un
sous-multiple de cette dernière. 3, par exemple, est
sous-multiple de 12. Tous les facteurs d’un nombresont

ses sous-mulliples.

SOUSTRACTION. (Arith. et Alg.) Une des opéra-
tions fondamentales ou des règles primitives de la
science des nombres. Elle a pour objet de construire un
nombre qui soit égal à la différence de deux nombres
donnés.

La soustraction est l'inverse de l'addition, car or doit
toujours se représenter le plus grand des nombres pro-

50
posés comme prodait par l'addition du plus petit avec
le nombre inconnu qu'il s’agit de trouver; par exem-
ple, chercher la différence des deux nombres 30 et 12
est évidemment la même chose que chercher le nom-
bre dont l'addition avec 12 donne 30 pour résultat.
Aiusi, désignant ce dernier par x, on peut dire indif-
féremment 30 moins 12 est égal à x, ou 30 est égal à
12 plus æ. H résulte de cette considération que le pro-
cédé qu'il faut employer pour faire la soustraction doit
être l'inverse de celui qu'on suit dans l’addition; en
effet, pour obtenir la différence des deux nombres85634,
85887, ou pour retrancher 85634 de 86587, on doit
raisonner ainsi : 89887 peut être considéré comme
formé par l'addition de 85634 avec le nombre cherché
et alors ses unités, ses dixaines , ses centaines, etc. sont
composées de la somme des unités, des dixaines , des
centaines , etc., des deux nombres ajoutés ensemble ;
donc en retranchant les unités de 85634 de celles de
89887, il doit nécessairement rester les unités du nom-
bre cherché, et en retranchant les dixaines de 85634 des
dixaines de 89885, il doit rester les dixaines de ce
même nombre cherché, ainsi de suite. On peut aisé-
ment conclure, comme règle générale, que pour

il faut

cher les unités du premier de celles du second,

retraucher un nombre d’un autre, retran-
puis les dixaiues du premier des dixaines du second,

les centaines des centaines, etc. , etc. Bien en-
teudu qu'il s'agitici de nombres entiers dont les unités
sont de même nature; car, par la même raison que
deux kilogrammes et deux mètres ne peuvent former
un ensemble auquel on donne le nom de quatre , ilse-
raitimpossible d'évaluer la différence de deux nombres
dont les uvités seraient d’une nature différente.

Pour effectuer une soustraction on écrira donc les
deux nombres proposés l’un sous l’autre, en plaçant le
plus petit sous le plus grand et en faisant correspondre
les unités, les dixaines , les centaines, etc., de l’un avec
les unités, les dixaines , les centaines, etc., de l'autre,
comme il suit

39587
655634

Teste. 4293

f A

puis, commençant par les unités, on dira : 4 ôté de 7
reste 3, qu’on écrira dans le rang des unités ; passant
aux dixaines, on dira : 3 ôté de 8 reste 5, qu'on écrira
dans la colonne des dixaines; passant aux centaines , on
dira de même: G ôté de 8 reste 2, qu’on écrira. Pour les
mille, on dira : 5 ôté de 9 reste 4, qu’on écrira encore ;
et enfin, pour les dixaiues de mille, on dira: 8 ôté de
8 reste 0, qu’on se dispensera d'écrire parce qu'il n’y
a plus rien à mettre après.

Ainsi, 4253 est le résultat, ou, comme on le nomme,

SO 507
le reste de la soustraction de 85634 de 89887, et ce
nombre 4253, ainsi trouvé , est nécessairement celui
dont l’addition avec 89634 forme 85887. L'addition de
4253 avec 85634 est le moyen de vérifier la soustrac-
tion, car si l’on ne s’est pas trompé dans cette dernière
opération, on doit, en additionnant, reproduire 89887.

Ilarrive souvent, lorsqu'on retranche un nombre
d’un autre, que le chiffre inférieur dans une colonne
est plus grand qne le chiffre supérieur, et alors on est
forcé d’empruntersur le chiffre supérieur, à la gauche de
celui sur lequel on opère , une unité, qui, valant dix
unités pour la colonne en question, donne alors le
moyen de retrancher le chiffre inférieur. C’est ce qu'un
exemple va rendre sensible.

Soit par exemple 6586 à retrancher de 14543; après
avoir écrit ces nombres l’un sous l’autre comme il est
prescrit

14743
9886

reste..... 4557

on opérera de cette manière : 6 étant plus grand que 3,
où sjoutera à 3 une dixaine qu'on empruntera sur le
chiffre 4 des dixaines, puis on dira: G ôté de 13 reste 7,
qu’on écrira dans la colonne des unités. Passant aux
dixaines, on ne dira plus : 8 ôté de 4, puisqu'on doitse
rappeler que le chiffre supérieur 4 est diminué d’une
unité par l'emprunt qu'on vient de faire, mais on dira :
8 ôté de 3 , et comme on ne peut encore retrancher
5 de 3, on ôtera 8 de 13, en empruntant de nouveau
une unité du chiffre 7 des centaines, unité qui vaut dix
dixaines. Arrivé à la colonne des centaines et remar-
quant que le chiffre supérieur ne vaut plus que G, et
qu'ilest plus petit que le chiffre inférieur 8, on em-
pruntera une unité sur le chiffre des mille et on dira :
8 ôté de 16 reste8. Enfin, arrivé à la colonne des mille,
comme il ue reste plus que 3 mille, on prendra le chiffre
1 des dixaines de mille et on terminera en disant : 9
ôté de 13 reste 4. Le nombre cherché est donc 4853.
On peut voir encore facilement ici qu’en opérant ,
comme nous venons de le faire, nous avons exactement
suivi une marche inverse de celle par laquelle on for-
merait lenombre 14743 par l'addition des deux nombres
9886 , 4857, car après avoir ajouté les deux chiffres
d’une même colonne il faudrait reporter la dixaine de

la somme sur la coloune suivante.

S'il se trouvait un zéro dans les chiffres supérieurs
ou même plusieurs zéros de suite, on procéderait comme
il suit :

1° Soit à retrancher 258169 de 360584

SO
360584

resle.... 102119

Ayant généralement le soin de marquer d’un point les
chiffres sur lesquels on emprunte pourse rappeler qu'ils
sont diminués d’une unité, on dira : 9 ôté de 14 , reste
5; 6 ôté de reste 1 ; 4 ôté de 5 reste 1; 8 ôté de 10
reste 2 ; 5 ôté de 5 reste o ; et 2 ôté de 3 reste 1. Le
résultat de l'opération est donc 102115.
2. Soit à retrancher 3985678699 de 5800430608.
5800430608
3985978699

reste. ... 1514451909

Le premier chiffre 8 des unités étant plus petit que
le chiffre inférieur 0, et le chiffre suivant des dixaines
étant Oo, il faut emprunter üue unité sur le chiffre G
des centaines, mais cette unité vaut dix dixaines ct,
comme on n’a besoin que d’une seule dixaine, on en
laissera neuf au rang des dixaines, et l’on dira seulement:
9 Ôté de 18 reste Q. Passant aux dixaines, et se rappe-
lant qu'on a laissé 9 surle zéro, on dira: 9 ôté de o reste
o. Le chiffre 6 des centaines supérieures ne valant plus
que 5 , on empruntera encore une dixaine sur le chiffre
suivant o , et à son défaut sur le chiffre d'ensuite 3,
laissant alors Q surleo , car c’est absolument la même
chose que si on empruntait immédiatement 1 sur 30, il
resterait 29; on dira donc : 6 de 15 reste; 8 deg
reste 1; 7 de 12 reste 5 ;9 de 13 reste 4, mais pour ce
dernier comme il a fallu emprunter 1 sur 800, il reste
aux chiffres supérieurs 700, c’est-à-dire que les deux o va-
lent chacun 9 et que le 8 ne vaut plus que 3 ; on poursui-
vra donc en disant: 5 ôté de o reste 4; 8 Ôté de orester;
9 êté de 17 reste 8; et enfin 3 ôtéde 4 reste 1. Et avant
écrit bien exactement chaque reste dans la colonne
dont il provient, on aura définitivement le nombre
1814451909 pour le reste général.

Ces exemples suffisent pour mettre la règle danstout
son jour.

La soustraction, comme l'addition, se divise en simple
et en complexe, la soustraction simple est celle qu’on
opère sur des nombres entiers, la soustraction complexe
est celle qu'on opère sur des nombres composés de
parties entières et de parties fractionnaires, Nous venons
de traiter la première , nous allons maintenant exami-
ner la seconde.

SOUSTRACTION COMPLEXE. Deux quautités composées
d’unités de diverses dénominationsétant données, trou-
ver leur différence, tel est le but de cette opération.

SO
Le procédé qu’il faut suivre étant une conséquence de
celui de l'addition des quantités complexes , il suffira
d'un seul exemple pour le faire comprendre. Soit
3% 24"21" à retrancher de {0° 30' 10"; ayant écrit les

nombres proposés comme il suit :

TOC ss 5]

C'est-à-dire , en plaçant exactement les unités de même
espèces les unes sous les autres , on commencera par les
unités de la plus petite dénomination et l’on dira : 1 ôté
de 10 reste 9 qu’on écrira dans le rang des secondes ;
passant aux dixaines de secondes, comme il ne reste
rien au chiffre supérieur à cause de l'emprunt qui vient
d’être fait, on empruntera une unité sur les 30 minutes,
laquelle unité vaut 6o secondes où 6 dixaines de secon-
des; ainsi on dira: 2 de G reste 4, et l'on aura pour pre-
mier reste partiel 49”; on passera aux minutes dont il
ne reste que 29, et l’on aura pour second reste partiel
5"; enfin on passera aux degrés et l’on trouvera pour
troisième reste partiel 5°; le reste général sera donc
Ge 5° 49".

SOUSTRACTION DES FRACTIONS. Si les fractions ont le
méme dénominateur, on opérera la soustraction sur les
numérateurs, et on donnera au reste le dénominateur
commun. Dans le cas contraire ; on commencera par
réduire les fractions au même dénominateur, puis on

opérera comme il vient d’être dit. Par exemple, si

7
ment 8 de 11, et on donnera au reste 3 Ie dénomina-

V « Û s . 5 IT s x , 1 Il
on veut retrancher -—— de — , on retranchera simple-
1

teur 17; on aura de cette manière

8

S'il s'agissait de retrancher _
4

11 RE
de Gr 00 réduirait ces
16

fractions au même dénominateur, ce qui se fait en mul-
tipliant les deux termes de chacune par le dénomina-
teur de l’autre, puis on ferait la soustraction sur les

numérateurs. On aurait ainsi

Il 5

16 17 e 272 27:

(voy. Fracriox.) Fa soustraction s'opèresur les fractions
décimales de la même manière que sur les nombres en-
üers ; il suffit de compléter par des zéros le nombre des
chiffres décimaux dans les deux quantites proposées ,
ct de procéder comme s’il n’y avait pas de virgule. On
place ensuite la virgule avant le premier chiffre des en-
tiers, s'il va des entiers, ou à leur défaut avant le zéro

SO
qui tient leur place; soit par exemple à retrancher
d’une part 0,75 de 0,90357, et de l'autre 21,4538675
de 29,35. Voici les opérations :

0,99357 29,3200000

CYR
0,72000 21,4338075
0,12357 7,8901325

SOUSTRACTION ALGÉBRIQUE. Opération par laquelle on
retranche une quantité exprimée par des lettres d’une
autre quantité exprimée de la méme manière.

Cette opération peut toujours se ramener aux règles
prescrites pour l'addition en changeant le signe de la
quantité qu'on veut soustraire. Par exemple, pour re-
trancher a—bæ+-c, de 2a+b—e, il faut nécessairement
retrancher toutes les parties qui composent la première
de ces quantités des parties qui composent la seconde;
ainsi 1l faut successivement retrancher de2a+ b—c,
a —bet+e,il faut donc écrire

2a Hb— c—a—(—b) — (+0)

mais —(—b) = + bet—(Hc) = —e, donc la quan-
lité précédente est la même chose que

2a+b—c—a+b—e,

ce qui se réduit par l'addition et la soustraction des ter-
mes de même désignation à

a + 2b —- 00.

La règle est donc de disposer les quantités données
comme sion voulait faire une addition, puis de changer
tousles signes des termes de la quantité qu’on doit sous-
traire. [l ne reste plus en réalité qu'à opérer une simple
addition d’après les règles prescrites pour cette opéra-
tion. S'il s'agissait par exemple de soustraire Sb — ga
+Gd — e de 5h — a + 3c— Ad, on changerait les
signes dela première quantité , ce qui donnerait, en
écrivant les termes dans l'ordre alphabétique ,

— a + 7b + 3c — 4d
+ 9a — 65b — Gd + e

b + 5c — 1od+e

somme. + 8a —

La somme 8a — bb 3c — 10d+e est le reste de la
soustraction ou la différence des quantités proposées.
(Foy. AppiTiox et ALGÈDRE, 3.)

SOUSTRACTION DES NOMBRES IRRATIONNELS. Ou ne peut
généralement que l'indiquer parle signe — ; par exem-
ple, pour soustraire |/2 de 1/5, on écrit W/5--V/2 ; ce
n’est qu'en évaluant ces nombres par approximation
qu’on peut ensuite obtenir approximativement leur dif-
férence, Dans tous les cas où il est possible d'opérer des

50 509

L
transformations capables de ramener ces nombres a
n'être que des multiples d’une même quantité irration-
nelle, leur différence peut s'obtenir d’une manière

exacte, car on a évidemment

m m mn
M.V/A—N.VA—(M—N)V/A.
Cependant cette opération est plutôt une réduction
qu’une véritable soustraction , car la valeur numérique
du reste n’est connue qu'après l'extraction de la racine,

Quoi qu’il en soit, on trouve de cette manière
VaI8—V8 = 3V/2—021/2 = Va
V27—-V12= 3V/3—2\/3 — 1/3

3 3 3 3 3

VA45—V5 =3V5- \/5 — 01/5

3 3 3 3 3
1054 —\/32a = 3aV/4{a—8y ka = (3a—S)V/4a

SOUS-TRIPLE. (4/g.) Deux quantités sont en rai-
son sous-triple quand l’une est contenue trois fois dans

l’autre. Par exemple, 2 est sous-triple de G.

SOUS-TRIPLÉE. (4/g.) Un rapport sous-triplé est
le rapport des racines cubes. Ainsi a et à sont en raison

sous-triplée de e et d, si l’on a

Es 3
a:b::Vc: VAd
SOUSTYLAIRE. (Gnom.) Ligne droite perpendi-
culaire au style ou gnomon d’un cadran solaire, et

placée dans un plan perpendiculaire à celui du cadran.

SOUTANGENTE. (Géom.) Partie de l’axe d’une
courbe interceptée entre l’ordonnée et le point où la
tangente rencontre l'axe.

TC (PI. 57, fig. 11) étant tangente à la courbe AC,
au point C, si on mène l’ordonnée CP , la portion TP
de l'axe comprise entre le pied de l'ordonnée et le
point T où la tangente coupe l’axe sera la soutangente.

Le problème célèbre de mener des tangentes aux
courbes se réduit, comme nous le verrons mieux ail-
leurs (voy.TANGENTE), à celui de trouver la soutangente,
car une fois le point T déterminé il suffit de faire pas-
ser une droite par les points T et C. Avant mené l’or-
donnée P'C'ettiré la droite Cr? parallèle à l'axe, les
deux triangles rectangles CPT et CC’ sont semblables

et donnent
CP: TPE: CriNnCn
d'où
np = 206"
Cn

Ea supposant PP = Cyr infiniment petit, on a Cm—4x,
C'=dy, et par conséquent (a),

510 SP

’ dx
soulangente —= —.
£ dy
Pour avoir la valeur de la soutangente, il faut donc
: , dx …,
substituer dans cette expression la valeur de 7, Urée
y
de l'équation de la courbe.
Pour la parabole, par exemple, on tire de son

; , dx 2 ; ;
équation ÿ?—=pxr, — — —,ct l'on a en substi-
dy P

tuant
2y?
soulangente = ——
P

ce qui se réduit, en remplaçant y? par sa valeur px, à
plaçant y ;

soutangente — 2x,

c’est-à-dire que la soutangente , dans la parabole , est
double de labscisse; ce qui fournit un moyen très
simple de mener des tangentes à cette courbe. { Foy. Tax-
GENTE.)

SOUTENDANTE. (Géom.) Nom que l’on donne
quelquefois à la corde d’un arc de cercle. (Foy. Corne.)
SPARSILES., (454.) Les étoiles sparsiles, sporades ou
informes, sont celles qui ne se trouvent comprises dans

aucuue constellation, (Foy. Ixronue.)

SPECIEUSE. ArtramMériQUE spécreuse. Nom que les
auteurs des siècles derniers donnaient à l'algèbre , parce
que les quantités y sont représentées par des lettres que

les premiers algébristes nominaient species , espèces.

SPECTRE COLORE. (Opt.) Nom que l’on done à
l'image oblongae et colorée du soleil, dont les rayons
passent par l'angle d’un prisme dans une chambre obs-
cure, (Foy. OrriQue.\

SPHÈRE. (Géom.) Solide terminé par une seule sur
face uniforme dont tous les points sont également éloi-
gnés d’un point pris dans l'intérieur du solide et qu'on
nomme son centre. On peut le concevoir comme en-
gendré par la révolution d’un demi-cercle autour de
son diamètre ; alors ce diamètre se nomme l’axe de la
sphère et ses deux extrémités prennent le nom de pôles.

Les propriétés principales de la sphère sont les sui-
vanies :

1. Toutes les sections de la sphère par un plan sont
des cercles. Si le plan passe par le centre, la section est
dite un grand cercle. Tous les grands cercles de la
sphère sont égaux.

2. Le volume d’une sphère est équivalent aux deux
tiers de celui du cylindre circonscrit, c’est-à-dire, du
cylindre dont la base est un grand cercle et qui a l'axe
pour hauteur, Il est encore équivalent à un cône ou
une pyramide qui aurait pour base la surface entière
de la sphère, et pour hauteur la moitié de son axe ou
son rayon.

SP
3. La surface de la sphère est équivalente à quatre
fois celle d’un de ses grands cercles. Elle est, par con-
séquent, encore équivalente à Ja surface d'un cercle
qui aurait pour rayon l'axe ou le diamètre de la
sphère.
4. Toutes les sphères sont des figures semblables.

F

5. Les volumes de deux sphères sont entre eux
comme les cubes des rayons ou des diamètres.

On nomme segment sphérique toute portion de
sphère séparée par un plan, et zone sphériqueune partie
de sphère comprise entre deux plans coupans et paral-
lèles entre eux.

Si nous désignons par r le rayon d’une sphère , par
c la circonférence d’un de ses grands cercles, par S sa
surface et par V son volume, 7 désignant toujours le
rapport du diamètre à la circonférence , où la demi-
circonférence dont le rayon est 1, les propriétés pré-
cédentes donneront lieu aux expressions

Pour les évaluations numériques, en remplacant + par
sa valeur 3,1415926, etc., on peut employer les for-
mules

(12,56637).7*,

S — S— (0,3183.)c°
V = (4,18839).r",

V = (0,01688)c3

Quant aux segmens et aux zones sphériques, en con-
servant les dénominations précédentes et en désignant
de plus par R le rayon de la base d’un segment et
par À sa hauteur, par R et R'les rayons des deux ba-
ses d’une zone et par 2 sa hauteur, on aura les formu-

les suivantes :

Seginent sphérique
surface — (6,283185).rh
volume =1(0,523590).(3R°4 + h°)
—= (0,523509). (cr — 2h)
Zone spherique

surface == (6,28318).rh

volume = (1,570796).(R2 + R'2 + 3%)

Les rapports entre la sphère, le cône et le cylindre

circonscrit ont été trouvés par Archimède, comme

nous l’avons dit ailleurs. Une particularité très-remar-
quable, c’est que le rapport des volumes de la sphère et

du cylindre est le même que celui des surfaces de ces

corps, c'est-à-dire, 2 : 3.

SPHÈRE ARMILLAIRE. (Woy. ARMILLAIRE.)

SP

Spuène, en astronomie, c'estcet orbe immense ou
étendue concave qui entoure notre globe et auquel les
étoiles fixes semblent être attachées. Le diamètre de la
terre est si petit quand on Île compare au diamètre de
la sphère céleste que le centre de cette sphère est par-
tout où l’on se place. Dans tous les temps et dans tous
les lieux, quelle que soit la position de la terre dans
l'espace et celle des observateurs sur sa surface, on a
toujours les mêmes apparences de la sphère, c’est-à-
dire que les étoiles fixes paraissent occuper le même
point sur la surface de cette sphère. Notre manière de
juger de la situation des astres est de concevoir des
ligues droites tirées de l'œil ou du centre de la terre
au centre de l'astre, et qui continuent jusqu’à cequ’elles
coupent cette sphère ; les points où les lignes se termi-
uent sont les lieux apparens de ces astres. Pour déter-
miner ces lieux, ou a imaginé différens cercles fixes aux-
quels on les rapporte. (Foy. ARMILLAIRE.)

SPHÉRIQUE. (Géom. et ast.) Se dit en général de
tout ce qui a rapport à la sphère. Un triangle sphcrique
est une partie de la surface d’une sphère comprise entre
trois arcs de grands cercles de la sphère qui se coupent
deux à deux. Les propriétés de ces triangles sont l’ob-
jet de la wrigonomctrie sphérique. (Foy. Taicono-

MÉTRIE.)

SPHÉROIDE. (Géom.) Solide engendré par la ré-
volution d’une courbe ovale autour de son axe. Si l’o-
vale est régulière’, ou si c’est une ellipse, le sphéroïde
se nomme aussi e/lipsoïde.

Où nomme sphcroile allongé celui qui est engendré
par la révolution de l’ovale autour de son grand axe,
et sphcroïle aplati celui qui est produit par la révo-
lution autour du petit axe. La figure de la terre parait
être celle d’un sphéroïde aplati. (Voy. Terre.)

Quand on a l’équation de l'ovale genératrice, on
peut aisément obtenir la surface etle volume du sphé-
roïde par les méthodes exposées aux mots Cuvarure et
QUADRATURE, ;

SPIRALE. (Géom.) Ligne courbe d’une espèce cir-
culaire qui s'éloigne de plus en plus d’un point, que
l’on nomme son centre, tout en tournant autour de lui.

On distingue diverses espèces de spirales, parmi les-
quelles la plus célèbre est celle de Conon; elle est par-
ticulièrement connue sous le nom de spirale d'Archi-
mède, parce que ce grand géomètre découvrit le pre-
mier ses propriétés. Nous allons exposer la construc-
tion de quelques-unes de ces courbes.

SrinALe D'ARGHIMÈDE. Imaginons que lerayon AC du
cercle C (PI. 57, fig. 12) se meut uniformément autour
du centre de manière que son extrémité À décrit la
circonférence dans le même temps qu'un point, parti

SP o11
du centre, parcourt d’un mouvement uniforme le
ravon AC; le mouvement de ce point, en considérant
sa trace sur le plan du cercle, engendrera une courbe
Crmn'm'm"A qui est la spirale d'Archimède.

Après une première révolution du rayon CA, on
peut en imaginer une seconde pendant laquelle le
point continue à se mouvoir sur son prolongement, de
manière à parcourir une longueur égale à AC pendaut
cette révolution; et après cette seconde, une troisième,
puis une quatrième et ainsi de suite, ce qui donne le
moyen de prolonger la spirale à l'infini.

Pour décrire cette courbe par points, on divisera la
circonférence du cercleen parties égales, en 10 par exem-
ple, puis on divisera le rayon AB en 10 parties égales,
et ayant mené par chacun des points de division p, p',
p' etc., de la circouférence les rayons cp, cp', cp" etc.,
on portera sur le premier rayon Cp, de C en »?, une
des 10 parties du rayon AC; sur le second ravon Cp',
on prendra Cm’ égal à 2 dixièmes du rayon; sur le
troisième rayon Cp”, on preudra Cr" égal aux 3 dixiè-
mes du rayon, et ainsi desuite.Les points »2,m',m", etc.
appaitiendront à la spirale.

D'après la construction de cette courbe, le rapport
entre un quelconque de ses rayons vecteurs Czetle rayon
AC du cercle est le même que celui de l'arc correspon-
dant Ap'x à la circonférence entière; ainsi désignant
par = le rayon vecteur, par r ceiui du cercle, par c sa
circouférence et par v l'arc Ap'x, on aura

3iriivioe
d’où

Telle est l'équation de la spirale d’Archimède. En ob-

r se , EL:
servant que —est une quantité constante égale à —,
€ 27

r exprimant le nombre 3,1415026 etc., on peut don-
ner à cette équation la formule plus simple z = av, en

T
se rappelant que a— —.

La rectification de cette courbe ne peut être obte-
nue que par approximation, car en substituant dans
l'expression

ds = V/[dz + 2.4],
de laquelle dépend la rectification des courbes expri-
mées en coordonnées polaires (voy. REcrIFICATION, 6),
les valeurs de z’ et de dz’ tirées de 3 — av, on trouve
ds = V/[a ds + a wdw]
= adv.V/[1 +]

expression qui ne peut s'intégrer que par les séries ou

512 SP
les logarithmes, et qui dépend évidemment de la recti-
fication de la parabole. (Foy. Recrir., 41.)

La quadrature de la spirale dépend de celle du
cercle et ne peut être obtenue aussi que par approxima-
tion, mais e le présente une particularité remarquable

que nous devons signaler. Substituant dans l'expression

I LL
: Æ z°«dv
20

de la quadrature des courbes rapportées à des coordon-

générale

CE —

nées polaires la valeur de de prise dans l'équation

a fra

2 = av, il vient

1 ii I
S — + a ve? VE —
à 2

1
— ga vs + const
)

En prenant l'aire à partir de l’origine et remplacant a?
P P 8 plaç

1
par sa valeur : —
La

4m
comprise entre la courbe et le ravon vecleur corres-

on a donc pour l'aire de la spirale

pondant à l'arc », l'expression

vi

S =

2

az
247

Si l'on prend pourunité le rayon r du cercle, sa cir-
conférence € sera exprimée par 2r, et si alors on fait
l'arc # égal à 97, on aura pour l'expression dela surface

ul

entière Crom'm'm'm'zA, S = 7. Or, dans ce cas
ÿ ] ,

D

comme il s’agit d'unités carrées, 7 représente la sur-
face du cercle ; ainsi La surface de la spirale est le tiers
de celle du cercle.

A s’agit simplement ici de la spirale de la première
révolution où, comme on la nomme, de la première
spire. Pour les autres spires, il faut remarquer qu’à
chaque nouvelle révolution du rayon du cercle il re-
passe sur les aires tracées par les révolutions précé-
dentes, de sorte que ces aires s'ajoutent les unes aux
autres ; ainsi, si l’on demandait l'aire qui se ter-
miue à la 72 ième révolution, il ne faudrait pas prendre
l'intégrale depuis # = 0 jusqu'à v — 27, mais bien de-
puis v= (n—1).2r jusqu'à v — 7.97. On trouve de
cette inanière

D —(m—3))

S = 5 — Fe

n

2

m désignant le nombre des spires. Ainsi , on a pour 2
14

spires, S = £r; pour 3, S — 3 T3 pour 4,

ls

SP
_

celle du cercle circonscrit correspondant qui est suc--

S'—

r;'etc. En comporant chacune de ces aires avec

cessivement +, 47, Or, 167 etc., on voit que l'aire de
seconde révolution est au cercle circonscrit comme
7 : 13, que celle de troisième révolution est au cercle
circonscrit comme 19 : 27, Cic. Rapports trouvés par
Archimède à l’aide de constructions géométriques si
compliquées que Viète a mis en doute leur exactitude,
et que Bouillaud a avoué ingénument qu'il ne lesavait
jamais bieu comprises. Si l’on prend la différence entre
l'aire de deux révolutions et l'aire d’uue seule révolu-
tion, on obtient pour l'aire de la seconde spire consi-
dérée isolément 27; et en opérant de la même manière,
ou trouve que les aires des troisième, quatrième, etc.,
spires sont respectivement 4r, Ôr, 87, etc.; d'ou ré-
sulte, en général, que l'aire de la »2 ième spire, c’est-à-
dire, l'aire comprise entre la surface de la (r7—1) révo-
lution et la 72 ième révolution, estégale à (mi—1) fois
l'aire de la seconde spire. Propriété trouvée encore par
Archimède.

SPIRALE LOGARITHMIQUE Où LOGISTIQUE. Elle diffère
de la spirale d'Archimède en ce que ses rayons vecteurs
Cm, Cm', Cm, etc., au lieu de croître en progression
arithmétique, croissent en progression géométrique.

SPIRALE PARABOLIQUE OU HELICOÏDE. Si l’on imagine
que l'axe d’une parabole commune où apollonienne
est roulée sur la circonférence d’un cercle (P1.24, fig. 7),
l'origine étant au point B, toutes les ordonnées de la
parabole Cr, Dr, Eo, etc., concourront vers le centre A
et la courbe B#2FA qui passe par les extrémités de ces
ordonnées sera l'hélicoide.

En désignant par z un rayon vecteur Am, par v l'arc
de cercle correspondant BC, et par p le paramètre de
la parabole , la nature de cette courbe sera exprimée
par l'équation 2° = pv.

Sprinae de Pappus. Courbe formée sur la surface
de la sphère de la même manière que celle d’Archi-
mède est engendrée sur un plan; c’est-à-dire qu'un
quart de grand cercle est supposé tourner uniformé-
ment autour de son rayon, tandis qu’un point le par-
court uniformément et décrit une ligne courbe sur la
surface de la sphère. Cette spirale est évidemment une
courbe à double courbure.

On a considéré encore une foule d’autres spirales
pour lesquelles nous devons renvoyer à l’Aistoire de
l'Acad. des sciences , 1704.

SPIRIQUES. (Geéom.) Les lignes spiriques sont des
courbes inventées par Perseus, et qui résultent de la
section, faite par un plan, du solide engendré par la ré-
volution d’un cercle autour d’une de ses cordes, ou
d’une de ses tangentes, ou même de quelque ligne exté-

ST

rieure. Ces courbes, d’une forme très-singulière, n’ont
été l’objet d'aucune recherche ultérieure, (Foy. Montu-
cla, Hist. des Math., tom. 1.)

SPORADES. (Foy. SrarsiLes et INrormEs.)

STATIONNAIRE. (454) On dit qu’une planète est
stationnaire lorsqu'elle paraît rester pendant quelque
temps au même point du zodiaque. C’est une illusion
d'optique produite par la combinaison des mouvemens
réels de la terre et de la planète.

STATIQUE. (Math. appl.) L'une des branches fon-
damentales de la mécanique. Elle a pour objet les lois
de l'équilibre des forces qui meuvent les corps.

La statique se divise en deux parties dont l’une con-
sidère l'équilibre dans les corps solides, et l’autre l’équi-
libre dans les corps fluides. La première conserve plus
particulièrement le nom de statique, la seconde prend
celui d’hydrostatique, (voy. Maru. apps. , Mécanique,
et les divers articles qui concernent les machines sim-
ples : Levier, PLan iNGLIXE, Pouzre, Treuiz, Coix, Vis.
Voy. aussi Force, CENTRE DE Graviré et Fyprosra-
TIQUE.)

STATISTIQUE. (Math. appl.) Scieuce moderne qui
a pour objet la description des forces productives d’un
pays, l'inventaire de ses richesses , le mouvement de
sa population, en un mot, tous les documens de l’éco-

nomie politique.

STÉRÉOGRAPHIE. Art de dessiner la figure des
solides sur uu plan. C’est la perspective des solides.
(Woy. PERSPECTIVE.)

STÉREOGRAPHIQUE. (Projection.) (Persp.) La
projection stéréographique est celle dans laquelle on
imagine œil à la surface de la sphère. Nous avons
donné au mot projection les principales propriétés de
celle-ci qu'on emploie principalement pour la con-
struction des mappemondes.

Notre intention était d'exposer ici les procédés deces
constructions, mais la nécessité où nous nous trouvons
de ne pas dépasser les limites fixées à ce dictionnaire
nous force à renvoyer nos lecteurs aux ouvrages spé-
ciaux. (Voy. le Traité de Topographie de Puissant.)

STÉRÉOMÉTRIE. (Géom.) (de ertgebs , solide et de
æirpey, mesure.) Partie de la géométrie qui a pour ob-

jet la mesure du volume des corps, (Foy. Soin.)

STÉRÉOTOMIE. (4rch.) Art de couper les pierres
selon les différens usages auxquels elles sont destinées
dans les constructions de l’architecture.

STIRLING (James) Géomètre anglais d’un très-
TOME IN

SU

gand mérite, naquit à Oxford , vers la fin xvn' siècle,
et fit ses études à la célèbre université de cette ville, IL

515

n’était encore qu’étudiant lorsqu’il publia son premier
ouvrage sur les ligne; du troisième ordre, et dans le-
quel il démontra que Newton avait omis quelques-unes
de ces lignes. Ce livre est intitulé : Sinæ tertit ordinis
neutoniancæ , sive illustratio tractatiüs Neutont de enu-
meratione linearum tertii ordinis, Oxford , 1517, in-8°.
Stirling fat peu de temps aprèsadmis dans le sein de la
société royale de Londres. On a de ce géomètre: Hetho-
dus differentialis, sive tractatus de summatione et inter-
polatione serierum infinitorum, Londres, 1730, in-4°.
Dans cet écrit, Stirling, tout en adoptant les principes
de Moivre sur la théorie des séries, ajoute beaucoup à
ses découvertes. Figure de la terre et sur les variétés
de la gravité à sa surface, mémoire qui a été imprimé

dans les Transactions philosophiques, vol. 53.

STONE (Epmoxp), géomètre écossais, né vers la fin
duxvusiècle. Il était fils d’un jardinier du duc d’Argvyle.
Comme tous les hommes de génie, il triompha des dif-
ficultés qui s’opposaient à ses goûts dans l'étude des
mathématiques. On dit qu'il parvint à apprendre, sans
le secours d'aucun maître, le latin, le français et les élé-
mens de la science, vers laquelle le portaient ses pen-
chans. Le duc d’Argyle ayant trouvé dans les mains de
son jardinier un ouvrage de Newton, dont celui-ci
parcourait un commentaire, s’empressa de lui donner
des maitres, sous lesquels il fit de rapides progrès. Il
vint à Londres, où il avait été devancé par sa renom-
mée, et où la société royale l'admit parmi ses membres.
Malheureusement Stone fut obligé pour vivre de don-
ner des répétitions et de se mettre aux gages d’un li-
braire ; il ne put soutenir la réputation que lui avaient
méritée ses premiers ouvrages. Il fut rayé de la liste
des membres de la société royale, et mourut daus la
misère en 1768. Outre quelques mémoires insérés dans
les Transactions philosophiques du temps, on a de Stone:
I. Méthode des fluxions, tant directes que inverses, Lon-
dres, 1730, in-{°. Cet ouvrage a été traduit en français,
par Bondet, sous le titre d'Analyse des infiniment pe-
dits , etc. Paris, 1735 , in-4°. IL. Dictionnaire des ma-
thématiques, 1726—1743, in-8°. HI. Some reflexions ,
Londres, 1766, in-8°.

SUBLIME. Les géomètres du siècle dernier dési-
gaoaient sous le nom de géométrie sublime Yapplication
du calcul infinitésimal à la géométrie.

SUBSTITUTION. (4/g.) Remplacement, dans une
formule algébrique, d'une quantité par une autre qui
lui est égale, mais qui estexpriméc d’une autre manière.
Si l’on a par exemple, 3° — y [ar — (2x + b2)], et

69

x = —, en remplaçant dans la première expression

cd . .
æ par — , on aura, par substitution ,
2

= Vle-(e+b)] = (8).
SUCCESSION des signes. (Ast.) On donne ce nom à
l’ordre dans lequel les signes du zodiaque sont parcourus
par le soleil, savoir : le bélier, le taureau, les ge-
meaux, etc. Tous les mouvemens des astres qui ont lieu
selon la succession des signes sont dits m#ouvermens di.
rects ; ceux qui ontlieu en sens iuverse sont dits z7ou-

vemens rétrogrades, (Poy. Siaxes et ZopraQuE.)

SUD. (454) Un des quatre points cardinaux. On le
nomme aussi le zaidi. (Foy. ces mots.)

SUITE. (4/g.) (Foy. Sérix.)

SUPERFICIE. (Géom.) C’est la même chose qu’aire.
Ainsi, pour désiguer l'étendue renfermée par les trois
côtés d’un triangle, on dit indifféremment la superficie
ou l'aire d’un triangle, (oy. Aire.)

SUPERPOSITION. {Géom.) Méthode de démons-
tration qu'on emploie dans la géométrie élémentaire
pour démontrer l'égalité ou l'inégalité de deux figures.
Elle consiste à supposer les deux figures appliquées
l'une sur l’autre , de manière que deux de leurs parties
qu’on sait être égales coincident ou se confondent ; puis
on examine, par les directions desautres parties, si elles
doivent égalementse confondre. Lorsque toutes les par-
ties des deux figures coïncident exactement , on en con-
clut que ces figures sont égales.

SUPPLÉMENT. (Géom.) On nomme supplément
d'un angle ce qui lui manque pour valoir deux angles
droits, comme on nomme supplément d'un arc ce
qui lui manque pour valoir une demi-circonférerice.
On dit aussi que deux angles dont la somme est égale
à deux augles droits, ou que deux arcs dont la somme
est égale à une demi-circonférence, sont supplément
l'un de l’autre. Le supplément d’un angle ou d’un arc

de 120° degrés, par exemple , est un angle ou un arc
de 60°.

SUPPUTATION. (4rüh.) C'est l’action de comp-
ter ou d'évaluer la grandeur des quantités numériques
en effectuant les diverses opérations de l’arithmétique.

SURFACE. (Géom,) Etendue qui n’a que deux di-
mensions, longueur et largeur; on peut la considérer
comme la limite des solides. ( Fay. Nor. rrÉr., 20,)

Les sui faces sont planes ou courbes. La surface plane,
qu'on nomme simplement plan, est celle sur lequelle
on peut appliquer exactement une ligue droite dans

tous Les sens ; il n’y a parcomséqueut qu'uneseule expice

SU
de surface plane. La surface courbe est celle sur laquelle
on ne peut appliquer exactement une ligne droite dans
tous les sens ; il existe une infinité d'espèces différentes
de surfaces courbes.

L’intersection de deux surfaces qui se rencontrent est
une ligne dont la nature dépend de celles des surfaces
et de la manière dont elles se coupert. Cette ligne est
toujours droite lorsque les surfaces sont toutes deux
planes.

1. SURFACES PLANES. Deux plans appliqués l’un sur
l’autre coïncident exactement dans toutes leurs parties
et se confondent.

Lorsque deux plans se coupent, leur inclinaison res-
pective prend le nom d'angle plan; cet angle se me-
sure par l'angle que font entre elles les deux droites
menées dans chacun de ces plaus au même point de la
commune intersection et perpendiculairement à cette
intersection. Lorsque cet angle est droit les plans sont
perpeudiculaires entre eux.

2. Deux plans sont parallèles entre eux lorsqu'ils ne
peuvent se rencontrer en les supposant prolongés indé-
finiment.

Les intersections de deux plans parallèles par un
troisième plan sont des droites parallèles entre elles.

3. Une droite est parallèle à un plan lorsqu’en fai-
sant passer par cette droite un second plan qui coupe le
premier, l'intersection des deux plans est parallèle à la
droite,

4. Une droite est perpendiculaire à un plan lorsqu'elle
est perpendiculaire à toutes les droites que l’on peut
mener sur ce plan et qui passent par le point d’inter-
section.

5. La situation d’un plan, dans l’espace, est déter-
minée par celles de trois de ses poiuts, car par trois
peints donnés on ne peut faire passer qu’un seul plan.
Il est bien entendu que ces trois points ne doivent pas
être en ligne droite.

Ainsi deux lignes droites qui se rencontrent , deux
lignes parallèles entre elles, un arc de courbe quelcon-
que décrit sur un plan, déterminent sa position parce
qu’il en résulte toujours trois points qui ne sont pas en
ligue droite.

Toutes les relations qui peuvent exister entre les
plans et les lignes droites sont l’objet de la géométrie
élémentaire ; elles se déduisent sans difficulté des rela-
tions des lignes droites menées sur un même plan.

6. Dans la géométrie dite analytique (Foy. Arrur-
cariox), On rapporte la position d’un plan dans l’espace
à trois autres plans qui se coupent deux à deux et qu’on
nomme plans coordonnées. La relation qui existe entre
les distances d’un point quelconque du plan aux trois
p'ans coordonnés est l'équation de ce plan; équation
qui est toujours du premier degré et de la forme

SU
Ax + By + Cz + D—o, A, B,C, D étant des quan-

tités constantes et x, y, z représentant les distances va-
riables.

Toutes les questionsrelatives au planet à la ligne droite
daus l’espace se résolvent par la combinaison des équa-
tions du plan et de la droite. (P’oy.les Traités d'appl.
de l'algèbre à la géométrie.)

7. Sunraces courses. Les seules surfaces courbes que
l’on considére dans les élémens de géométrie sont les
surfaces latérales du cylindre et du cône droits et la sur-
face de la sphère. (Foy. Cône, Cyrinpre et Sruère.)

Les surfaces courbes , en général, sont un des objets
de la géométrie dite analytique; on les représente par
l'équation qui exprime larelation générale des distances
d’un quelconque de leurs points à trois plans coordon-
nés. Ainsi F désignant une fonction quelconque des
variables x, y, z, l'équation Fix, y, z) = o sera l’équa-
tion d’une surface, savoir: l'équation d'un plan si elle
est du premier degré, et l'équation d’une surface courbe
si elle passe le premier degré.

Les surfaces courbes se classent, comme les lignes,
d'après le degré de leurs équations; ainsi on dit une
surface du second degré, du troisième degré, etc., se-
lon que l’équation qui la représente est du second, du
troisième , etc., degré. La surface de la sphère, celle du
cylindre, du cône, les surfaces engendrées par la révo-
lution d’une section conique sont des surfaces du se-
cond degré. Voy. Biot. Essai de géométrie analytique ;
Bourdon, Appl. de l'alg. à la géométrie; Boucharlat,
Théorie des courbes et des surfaces du second ordre ;
Leroy, Analy. appl. à la gcométrie des trois dimensions;
Monge, Mém. del Acad. savans étrangers, tome IX.
Quant à la mesure des surfaces, Joy. Aire et Quapra-

TURE,

SYMÉTRIQUE. (Gcom.) Polyèdres symétriques.
Nom donné par Legendre à deux polyèdres qui, ayaut
une base commune, sont construits semblablement lun
au-dessus du plan de cette base, l’autre au-dessous, avec
cette condition que les sommets des angles solides homo-
logues soientsitués à égales distances du plan de la base,
sur une même droite perpendiculaire à ce plan. Ces
polyèdres ont toutes leurs parties semblables en
sens inverse comme un objet et son image vue dans un
rniroir plan.

Deux polyèdres symétriques sont égaux en volume.
(Foy. Legendre. Géométrie.)

Fonction symétrique. On donne ce nom, en algèbre,
à toate fonction de plusieurs quantités dans laquelle
ces quantités entrent d’une manière tellement identi-
que, qu'on peut changer Jeur ordre ou les permuter
l'une à la place de l’autre sans changer la valeur de la

fonction, Par exemple, si l’on a les quatre quantités

sY TE
a, b,c, d indépendantes eutie elles, leur somme
a + b Le + d, ja somme de les nuisances
an + br Her L dr, ceile de leurs produits deux à
deux ab+ ac + ad + le + bd +ed,etc., etc. sont
des fonctions symétriques de ces quetre quautités.

Toutes les fonctions symétriques des mêmes quan-
ütés ont entre elles des relations déterminées qui per-
mettent de les exprimer les unes au movyen des autres,
ce qui fournit plus'eurs théorèmes très-importans pour
la théorie des équations. Nous aliens donner Ja déduc-
tion de celui de ces théorèmes qu'on peut considérer
comme le fondement de la théorie des fonctions symé-
triques.

Soicnt m quantités a, b,c,d,e, etc. ; désignons
d’une part par À, leur somme, par À, la somine de leurs
produits deux à deux, par A;, celle de leurs produits
trois à trois, elc., et en général par A, celle de leurs
produits de p à w; désignons d'autre part par Si la
somme de ces IèmeS quantités , par S, la somme de
leurs secondes puissances , par 5, celle de leurs troi-
sièmes puissances, etc., et en général par S4 ceile de
leurs puissances du degré p.

Ceci posé, æétant une quantité variable quelconque, si
nous formons le produit des g facteurs (1+ax), (14+bx),
({1+ex) , etc. nous aurons évidemment (voy. Murri-

PLICATION, 10)
(i+ax).(1+bx).(14ex). (1 dæ)...ete. =
= 14 A0 + À 7 + Asa + etc... .—+ Aux

Ainsi, désignant pour abrégerle second membre de

cette égalité par X et prenant les logarithimes naturels,
LX = L{ibax) + L(i4-bx) + Lex) + etc.

Or, on & généralement, (voy. LocaniTumEs)

72 53 +. 75
PR TONNES TT
Lis) — 3 Z + 3 PS etc.
ct, par conséquent ,
L{iax) == ax —- a + LA — Laixi + ctc.
à A ADS 4
I PRE 1
ñ px) = bx— - bar - bas — - bixi + etc.
L(ibx) = ba ! bar + gb +
; 1 — dd. è
Lfitox)—=cx— -cx + Sox — 7 cat etc.

2 9 4
L(i+dx) —dx— dx . L'dixi + etc.
“ NES 2 3 4
etc. — etc.

La somme de ces logaridhmes sera donc égale à

; We DM RUE Ebuse 2s
Si X— S,.x’+ > De L— > Die vit — SX? — ct
2 D 4 |

et l'on aura généralement

516 SY

Re I r à nie
LX=S,.x — S,.x° +3 Ss.x— 7 Si.xi + etc.
2 4
égalité qui devient, en différentiant ses deux membres,

dx. .

XLR = Si S,.x + Six —S,.a HÆ S;.xi— etc.

Mais nous avons d’autre part, en remettant à la place
de X le polynome qu'il représente et en effectuant la
différentiation ,

dX

TL = A, HoA x Æ 3A,n1 Æ {Aix — etc.

Il en résulte donc définitivement

Art2A,xH3A,2tfAir +5 ,rietc.
1HA 2% A ,23H A 3x A ri bete. un

= S, —S5,.x +S;.x — Si.axi HS,.xi— etc.

Maultipliant le second membre par le dénomiuateur
du premier etégalant ensuite les coefficiens des mêmes
puissances de x, on obtient (a),

S; = À,

S, = AÀ,.S: — 2A

S3 — A1.S, — À,.S: + 34;

S, = A,.53 — À,.5, + A:.S; — 4A,;
etc. — etc.

Ces expressions importantes ont été données pour la
première fois, sans démonstration , par Newton dans

son Arüh. universelle.

: = 1
Si nous remplaçons, dans la polynome X , + par —,
=

ct si nous égalons le résultat à zéro, nous aurons l’équa-

tion
xM + Ati HA ,xt—2 Æ etc... LA, —o

dont les racines seront — &, —b,-—c, etc. Ainsi les
expressions (a) fournissent les moyens d'obtenir succes-
sivement la somme des racines, celle de leurs carrés,
celle de leurs cubes, etc. d’une équation dont les cocf-
ficiens sont connus.

Toutes les autres fonctions symétriques que l’on peut
former avec les y quantités a, b ,e,d,etc., s'expri-
ment sans difficulté à l’aide des sommes de puissances
Sr, S2, S3, etc. , d'où résulte le théorème que toute
Jonction symétrique rationnelle et entière des racines
d'une équation peut, sans que l'or connaisse ces raci-
nes , être évaluée au moyen des coefficiens de l'équa-
tion. Nous ne pouvons entrer dans les détails de cette
théorie dont Lagrange a fait la base d’une méthode

SY
pour obtenir l'expression théorique des racines des
équations du troisième et du quatrième degré. Cette
méthode, comme toutes celles connues jusqu'ici, échoue
aux équations du cinquième degré.
En prenant à la place des quantités 4, b, c, d,etc.,

la suite des nombres naturels 0,1, 2,3 , etc, jusqu’à
mR— 1, et en exprimant alors généralement Sy par
Mn et Ay. par (my), on tire des expressions (a) les

relations

(ali) = Min),
DOUTE M{m),.(mli) — Mi(m),
3(m13) = Mn),.(ml2) — M{n',.(mli) + Mn),

dont nous avons fait usage ailleurs. (Foy. Facurrés, 18.)

SYNERONE {de xpovos, temps, et de cw ensemble.)
On se sert de ce mot en mécanique pour désigner les
mouvemens qui s'exécutent en même temps et daus un
mème intervalle de temps.

Jean Bernouillia nommé courbe synchrone une courbe
telle que plusieurs corps pesans égaux entre eux,
partant d’un même point et décrivant des courbes, arri-
vent aux difrérens points de celle-ci dans le même
temps et dans le plus petit intervalle de temps possible.

(Voy. les actes de Leipsik, 1697.)

SYCHRONISME. Expression dont on se sert pour
désigner l'identité du temps pendant lequel plusieurs
choses se font,

SYNODIQUE. (45st.) Nom qu’on doune aux révolu-
tions des planètes considérées relativement à leur con-
jonction avec le soleil; de sorte que le temps qui s’é-
coule entre une conjonction et la suivante s’appelle re-
solution synodique. La révolution synodique de la lune
se nomme particulièrement mois synodique.

Cette expression vient du mot synode, de cvrodes ,
assemblée, qu'on donnait aux conjonctions des astres
dans l’ancienne astronomie.

SYNTHÈSE. Méthode de raisonnement qui procède
du connu à l'inconnu par voie de composition, au en
partant des élémens pour arriver au composé. Elle est
l'inverse de l'analyse qui procèdepar voie de décompo-
sition en redescendant du composé aux élémens. (Foy.

ANALYSE.)

SYSTÈME. Dans le sens général, ce mot désigne un
ensemble de connaissances dont les diverses parties sont
liées entre elles et dépendent d’un seul principe. C’est
de cette manière qu’on dit un système de philosophie,
un système d'astronomie, un système de physique, etc.

SY

La réunion des vérités qui concernent un des objets du
savoir humain ne mérite proprement le nom descience
que lorsqu'elle présente une unité systématique ou
qu’elle forme un système. Le grand but de la raison est
de découvrir le principe suprême d’où dérivent les
principes généraux des diverses sciences, et de s’élever
à la connaissance du système absolu qui doit enfin coor-
donner et établir définitivement toutes les vérités.
(Voy. Puirosopute.)

Sysrème, en astronomie. Les astronomes désignent
sous le nom de système du monde toute hypothèse
sur l'ordre et l’arrangement des parties qui composent
l'univers, à l’aide de laquelle on peut expliquer les
phénomènes ou apparences des corps célestes.

Les plus célèbres systèmes du monde sont, dans l'or-
dre chronologique, celui de Ptolémée, celui de Coper-
nic et celui 7ycho-Brahé. Le système de Copernic
n’est plus aujourd’hui une simple hypothèse, dont le
premier mérite est d’être d’accord avec les faits, c’est
une vérité appuyée de démonstrations géométriques
rigoureuses et qui participe de la haute certitude des
vérités mathématiques. Nous allons exposer en peu de
mots les particularités de ces divers systèmes.

Sysrime de Ptolémée. Ge système , dans lequel on
suppose la terre immobile au centre de l'univers,
compte parmi ses adhérens : Platon, Eudoxe , Aristote,
Hipparque, Sosigènes , Vitruve, Pline, et enfin Ptolé-
mée, dont on luila donné le nom parce que l'Almageste
de ce grand astronome est le seul ouvrage détaillé qui
nous soit parvenu surles connaissances astronomiques des
anciens. Ptolémée place les planètes autour de la terre
dans cet ordre : la Lune Ç , Mercure ©, Vénus Q ,
le Soleil @ , Mars S , Jupiter Z” et Saturne DH. Telest
l’arrangement de la fig. 2, pl. 9.

On doit s'étonner que Ptolémée ait rejeté l'hypothèse
des Egyptiens, rapportée par Macrobe, qui faisaient
tourner Mercure et Vénus autour du soleil. Cette hypo-
thèse , représentée PI, 6, fig. 1 , s’accordait beaucoup
mieux que lasienne avec les apparences du mouvement
de ces planètes , et elle avait été adoptée par plusieurs
de ses prédécesseurs, au nombre desquels nous devons
citer particulièrement Vitruve, qui l’expose dans le
neuvième livre de son architecture.

Dans ce système de la terre immobile, toutes les pla-
nètes, toutes les étoiles fixes, tournent en 24 heures au-
tour de la terre , et l’on ne peut qu'être épouvanté de
l'effroyable rapidité de leurs mouvemens, car le Soleil
doit parcourir plus de 2500 lieues en une seconde de
temps, Saturne plus de 24000 lieues dans le même in-
tervalle. Quant aux étoiles fixes placées près de l’équa-
teur, en leur accordant une parallaxe sensible, elles de-
vraient parcourir plus de cinq cents millions de lieues
en une seconde !

SY 517

Sxsrème de Copernic. Ce système, dans lequel la terre
ainsi que toutes les autres planètes tournent autour du
soleil, a été entrevu dès la plus haute antiquité. Quel-
ques auteurs, entre autres Diogène de Laërce, attribuent
à Philolaus, disciple de Pythagore, l’idée de faire
tourner la terre autour du soleil , mais il parait que ce
philosophe n’a eu que le mérite d’avoir le premier divul-
gué les enseignemens du maître, car Eusèbe affirme po-
sitivement que Philolaus avait le premier exposé par
écrit le système de Pythagore; Plutarque nous apprend
que Timée de Locres, aussi disciple de Pythagore,
avait eu la même opinion ; etque lorsqu'il disait que les
planètes étaient animées et qu'il les appelait les diffé-
rentes mesures du temps , il entendait « que le soleil et
» la lune, et les autres planètes servaient à mesurer le
» temps par leurs révolutions, et que la terre ne devait
» pas être imaginée toujours stable dans le même lieu,
» mais mobile et dans un mouvement circulaire, comme
» Aristarque de Samos et Séleucus l'ont enseigné de-
» puis. » (Plutarque, tom. 2.)

Get Aristarque de Samos vivait environ trois cents
ans avant J.-C. , et fut un des principaux défenseurs
du mouvemeut de la terre. Archimède dans son livre
de Arenario dit «qu’Aristarque, écrivant sur ce sujet
» contre quelques philosophes de son temps, avait
» placé le soleil immobile dans le centre d’une orbite
» qu’il faisait parcourir à la terre par un mouvement
» circulaire. » (Voy. ARISTARQUE.)

Théophraste a écrit une histoire de l'astronomie qui
n’est point parvenue jusqu’à nous, mais dans laquelle se
trouvait rapporté, d’après une citation de Plutarque,
que Platon, qui avait toujours enseigné que le soleil tour-
nait autour de la terre, revint de cette erreur dans un
âge plus avancé, et se repentit de n'avoir pas placé le
soleil au centre du monde, comme le lieu qui convenait
le plus à cet astre , et d’y avoir placé la terre contre
l'ordre le plus naturel.

On ne peut douter que toutes ces idées ne servirent
de guides à Copernic, lorsqu'il entreprit d'établir un
système du monde plus conforme à la réalité des phé-
nomènes que celui de Ptolémée , ébranlé chaque jour
par les observations , mais ce serait étrangement mé-
connaître ce que la science doit à ce grand homme , si
l’on supposait, comme ses détracteurs ont voulu le faire
croire, qu’il n’a fait que reproduire une vérité oublice
depuis long-temps. Il y a certes bien loin de l'opinion
des anciens dépouillée de preuves, et qu’on peut seule-
ment considérer comme un pressentiment de la vérité,
aux immenses travaux par lesquels Copernic entreprit
de lui donner une base solide ; car, ainsi que nous l’a-
vons dit ailleurs , Copernic consacra toute sa vie aux
observations et aux études qui devaient confirmer ses
découvertes, et il n’entreprit d’en exposer l’ensemble

018 SY
que lorsqu'il eut acquis la certitude complète de leur
vérité. (Joy. Copernic.)

Les principaux traits du système de Copernic étant
rapportés dans l’article que nous venons de citer, nous
nous contenteroos d'en exposer plus bas l’ensemble au
mot système solaire.

Sysrème de T'ycho-Brahe. Regardant comme un très
grand argument contre le système de Copernic quel-
ques passages de l’Ecriture Sainte qu’il avait assez mal
interprétés, Tycho-Brahé, trop bon observateur pour ne
pas reconnaitre que toutes les planètes tournent autour
du soleil , entreprit de substituer au système de Ptolé-
mée, désormais insoutenable , un système mixte dans
lequel il place la terre immobile au centre de l'univers.
Autour de la terre tourne d’abord la Lune, puis le so-
leil , autour duquel tournent Mercure, Vénus, Mars,
Jupiter et Saturne, dans des orbites qui sont empor-
tées avec lui dans sa révolution autour de la terre. Cet
arrangement, qui satisfaisait très-bien à tous les mouve-
meus apparens connus alors , exige la même rapidité
de mouvemens que les hypothèses de Ptolémée et des
Egvptiens, et ne peut plus d’ailleurs aujourd'hui s’ac-
corder avec le phénomène de l’aberration. (Voy. ce
mot.)

SYSTEME SOLAIRE. On désigne maintenant sous ce nom
l'ensemble du soleil et des corps qui lui sont subordon-
nées. Le soleil est placé au centre de gravité du système

ah
autour duquel il tourne lui-même, tandis que toutes
les planètes circulent autour de lui dans l’ordre suivant:
1 Mercure, 2 Vénus , 3 la Terre, 4 Mars, 5 Vesta,
6 Junon, 5 Cérès, $S Pallas, o Jupiter, 10 Saturne,
11 Uranus. (Voy. ces divers mots.)

Outreleur mouvement de translation autour dusoleil,
toutes les planètesontun mouvementde rotation surelles
mêmes, C’estce mouvement de rotation dela terre, dont
la durée est de 24 heures , qui produit l’appareuce d’un
mouvement général, en sens inverse, de toute la sphère
céleste, comme c’est le mouvement de translation de
la terre qui produit ces apparences bizarres des stations
et des rétrogradations des planètes , que les anciens as-
tronomes trouvaient inexplicables, et dont ils ne pou-
vaient se rendre compte que par un échafaudage de
cercles tournant les uns sur les autres sans aucune cause
raisonnable, (Foy. TERRE.)

Les diverses particularités du système solaire font
l’objet de plusieurs articles auxquels nous devons ren-
vovyer. (Ÿoy. ATrRACrION , GR AVITÉ, PLANÈTE, PERTUR-
BATION ; voy. aussi les articles consacrés à chaque pla-
nète et Couire.) L'ensemble du système solaire est re-
présenté pl. 0, fig. 3.

SYZIGIES. (45) Terme dont on se sert pour indi-
quer la conjonction et l'opposition d’une planète avec
le soleil. Ce terme s'emploie plus particulièrement en

parlant de la lune. (Foy. Luxe.)

1°

TABLE. On désigne généralement sous ce nom, en
mathématiques, une suite de nombres arrangés métho-
diquement soit pour faciliter l'évaluation numérique
d’une fonction de quantités variables , soit pour donner
immédiatement cette évaluation. C’est ainsi, par exem-
ple, qu'on nomme fable ie Fythagore la suite des
produits de deux à deux des nombres naturels
1,2, 3,4,2,6,7,8,9, produits essentiels et sans les-
quels on ne pourrait effectuer la multiplication des au-
tres nombres. (Joy. MULTIPLICATION.)

Lorsqu'une table renferme particulièrement la suite
des valeurs qu’on obtient pour une fonction en donnant
des valeurs successives à la variable de cette fonction,
on la dispose sur deux colonnes dont la première con-
tient les valeurs de la variable, et la seconde les valeurs
correspondantes de la fonction. Par exemple, si la fonc-
tion 9x désigne le logarithme naturel ou Ayperbolique
de x, en faisant successivement x—1,x—2,x=3, etc.,
ct en calculant d’après les procédés connus (voy. Loca-

RTHMES), les valeurs qui en résultent pour x ou loga-

rithme x, ou formera une table des logarithmes natu-
rels en disposant ces valeurs comme il suit :

Nombres. Log. naturels.
1 0,0000000
2 0,6931472
3 1,0980123
A 1,3862943
5 1,6094359
6 1,7917594
7 1,9459101
5 2,0794415
a] 2,1972245

10 2,3025851

Les tables les plus importantes pour l'astronomie et
les sciences qui s’y rattachent sontles tables des logarith-
mes des nombres et des sinus, elles sont comprises par-
mi les tables dites astronomiques qui servent à calculer
les lieux et les mouvemens des astres. Avant la décou-
verte des logarithmrs, les astronomes se servaient pour

TA

leurs calculs des tables des sinus naturels, dont les plus
étendues sont celles de Rheticus, publiées en 1613, par
Pitiscus. ( f’oy. sur ce sujet une note de M. de Pronvy,
insérée dans les Afém. de L'Institut, et intitulée : Æclair-
cissemens sur un point de l'histoire des tables trigono-
métriques.) Ce grand travail suffirait pour immortali-
ser son auteur si l'histoire de la science ne devait encore
le citer parmi les premiers propagateurs du véritable
système du monde. (Foy. Ruericus.)

Ce que nous avons ditau mot Locanirnme sur les
principales tables logarithmiques , publiées jusqu'à ce
jour, nous dispense de parler ici de ces tables devenues
l'instrument universel des calculs astronomiques ct géo
désiques, mais nous ne pouvons passer sous silence de
vastes tables manuscrites à la construction desquelles
se rattache une anecdote très-curieuse, et dont la publi-
cation intéresse l'honneur national. Voici le fait + lors-
que le gouvernement francais eut décrété l’établsse-
ment d'un nouveau système métrique , il devint néces-
saire de composer des tables trigonométriques pour la
division du quart de cercle en 100 degrés, comme
aussi de rapporter à cette division toutes les autres ta-
bles astronomiques. M. de Prony, alors directeur du
cadastre, fut chargé de cet immense travail, etilne lui
fut pas difficile de reconuaître que, même en s’associant
trois ou quatre habiles coopérateurs , la plus grande
durée présumable de sa vie ne lui suffirait pas pour
remplir ses engagemens. Dans le momeut où il était le
plus préoccupé de cette difficulté qui lui paraissait in-
surmoutable, M. de Prony vit sur l’étalage d’un li-
braire la belle édition anglaise de Smith, faite à Lon-
dres en 1776; il ouvrit le livre au hasard et tomba sur
le premier chapitre qui traite de la division du travail
et où la fabrication desépingles est citée pour exemple.
A peine avait-il parcouru les premières pages, que par
une espèce d'inspiration il conçut l'espérance de mettre
les logarithmes en manufacture comme les épingles. 11
faisait en ce moment à l’École Polytechnique des leçons
sur une partie de la science liée à ce genre de travail,
le calcul des différences et ses applications à l’interpo-
lation. Il alla passer quelques jours à la campagne et re-
vint à Paris avec le plan de fabrication qui a été suivi
dans l’exécution.

Quand on saura que ces tables , terminées dans un
court espace de temps, embrassent dix-sept grands vo-
lumes in-folio , on pourra se faire une idée de ce tra-
vail qui forme Ze monument de calcul le plus vaste et le
plus imposant qui ait jamais été exécuté ou concu.
(Rapport fait à l'Institut sur ces tables par Lagrange,
Laplace et Delambre.) On trouve dans l'avertissement
placé en tête des tables de Callet a nomenclature des
différentes parties de cette belle opération, qui n’est
point encore publiée malgré l'offre faite, il y a quel-

TA 519

ques années, par le gouvernement anglais au gouver-
nement français d'imprimer ces tables aux frais com-
muns de la l'rance ct de l'Angleterre, De tels monu-
mens assurent cependant à la mation chez laquelle ils
sont créés, un des genres de glo re qu’elle doit le plus
ambitionner ; il est infiniment à regretter qu’on laisse
enfouie , en manuscrit, une production jugée sans égale
par les Lagrange, les Laplace, et qu'on s’obstine ainsi
à courir les chances de son irréparable perte, qui peut
être occasionnée par un de ces accidens dont on a mal-
heureusement tant d'exemples.

Les tables astronomiques proprement dites sont des
suites de nombres qui indiquent les situations et les
mouvemens des astres ou qui servent à les calculer. Les
plus anciennes de cette espèce de tables sont celles
que Ptolémée a données dans son Almageste, et qui
furent ensuite rectifiées et augmentées par Alphonse,
roi de Castille, en 1252, voy. Arpuoxse, Depuis la re-
naissance des sciences en Europe, et particulièrement
depuis la restauration du véritable système du monde
par Copernic, le nombre des tables astronomiques a
toujours été en croissant , et le degré de perfection où
elles ont été portées ne peut qu'exciter l'admiration.
Nous allons indiquer succinctement, dans leur ordre
chronologique les plus remarquables etles plus estimées
de ces tables.

Copernic, après trente ans d'observations et de calcul,
publia une nouvelle collection de tables des mouvemens
célestes en 1543, dans son ouvrage à jamais mémorable
De revolutionibus orbium celestium. Ces tables furent
successivement corrigées et augmentées par les observa-
tious des autres astronomes, et devinrent les plus cor-
rectes de toutes celles qui parurent avant la publication
des célèbres tables rudolphines, ouvrage de Tycho-
Brahé et de Képler. Ces dernières furent publiées en
1627 à Lintz.

Les tables rudolphines, réimprimées à Paris en 1650,
servirent de modèle à un grand nombre de tables dont
les auteurs s’efforcèrent de rendre la forme plus com-
mode. Telles sont entre autres :

Christiani Reinharti, tabulæ astronomicæ, 1630.
Philippi Lansbergii , tabulæ motuum, etc., 1632.
Ismael Bouillau, astronomia philolaica, 1645.
Marie Cunitz, urania propitia, 1650.

B. Riccioli, tabulæ novæ astron., etc., 1665.

Les tables de Strect, surnommées tables carolines ,
publiées d’abord à Londres en 1661, puis à Nuremberg
en 1705,out été considérées pendant long temps comme
les plus parfaites ; elles ont été employées généralement
jusqu’à la publication des tables de Lahire, dont la su-
périorité était tellement incontestable que tous les
astronomes en adoptèrent l'usage,

590 TA

Les tables de Lahire parurent en 1687, et la suite
en 1702, sous le titre de tabulæ astronomicæ Ludovici
magni. Le premier rang leur fat enlevé par les tables
que Cassini donna, en 1740, dans ses élémens d'astrono-
mie.

Les tables de Halley, publiées à Londres en 1749, et
à Paris en 1959, par les soins de Lalande, remplacèrent
à leur tour celles de Cassini et demeurèrent les plus par-
faites jusqu'à la publication des tables de Lalande en 1771.

Outre les tables dont nous venons de parler, nous
devons encore en mentionner quelques autres, comme
les tables du soleil de Lacaille ; les tables de La lune de
Mayer, publiées par le bureau des longitudes , et les
tables de La lune de Charles Mason, qui servent aux cal-
culateurs du nautical almanack. Les tables les plus
modernes, en France, sont les tables du soleil de De-
lambre ; celles de La Lune de Burckhard ; les tables de
Jupiter et de Saturne de Bouvard, et les tables de lalune
suivant la division centésimale du cercle, par M. le ba-

ron Damoiseau.

TABLEAU. (Persp.) Surface plane sur laquelle on
projette l’image d’un objet. (Voy. PERSPECTIVE.)

TACHES. (45st.) On donne ce nom aux endroits ob-
scurs qu'on remarque sur le disque lumineux du soleil,
de la lune et de quelques plauètes. ( ’oy. Jupiter,

Luxe, Mars , SATUBNE et SOLEIL.)

TANGENTE. (Géom.) Ligne droite qui touche un
cercle ou toute autre ligne courbe, de manière à n'avoir
qu’un seul point commun avec la courbe. Ce point se
nomme le point de contact.

Dans la géométrie élémentaire, on ne considère que
les tangeutes du cercle dont la propriété principale est
d’être perpendiculaires aux rayons menés aux points
de contact. Pour démontrer cette propriété à l’aide des
seules propositions exposées dans ce dictionnaire, con-
sidérons la droite CD qui touche au point C, le cercle
ECB (PI. 53, fig. 13) ; menons au point de contact le
rayon AC, et par le centre A faisons passer une sécante
quelconque ED. I a été prouvé (CErcrE, 20) que le carré
de la tangente CD est équivalent au rectangle formé
entre la sécante entière ED et sa partie extérieure BD,
c’est-à-dire que l’on a

CD = ED X BD.
Or, les trois droites AC, AE, AB étant égales comme
rayons d’un même cercle, nous avons
ED = AË + AD — AD + AC
BD — ED — EB — AD — AC

ainsi,

Nr
Le

CD = (AD + AC) X (AD — AC) = ÂD —

TA
d’où
AD — AG CD
Ainsi AD est l’Aypoténuse d’un triangle rectangle dont
ACet CD sont les deux autres côtés ; donc l’angle ACD
est droit, et par conséquent la tangente est perpendicu-
laire au rayon mené au point de contact.

Le problème de mener d'un point donné une tan-
gente à un cercle se réduit donc, lorsque ce point ap-
partient à la circonférence, au problème très-simple
d'élever uue perpendiculaire à l'extrémité du rayon,
que l’on mène préalablement du centre au point donné.
Lorsque le point donné est situé hors du cercle, le pro-
bième ne présente encore aucune difficulté, car si D
(PL 57, fig. 14) est ce point et A le centre du cercle,
après avoir mené la droite AD et décrit sur cette droite
comme diamètre un demi-cercle DCA., le point C où ce
demi-cercle coupe le cercle donné sera le point de con-
tact, et en menant la droite DC cette droite sera la tan-
gente demandée. En effet, si l’on mène le rayon AC,
on voit que l'angle DCA est droit. (AneLe 10.) Il ré-
sulte de cette construction que d’un point donné hors
d’un cercle on peut toujours lui mener deux tangentes
égales AC et AC".

Parmi les propriétés des tangentes du cercle, on doit
remarquer les deux suivantes : I. Si de divers points de
la circonférence d’un cercle (PI. 55, fig. 15) on lui mène
des taugentes CD, C'D', CD”, etc. , et qu'on prenne
CD = C'D' — C’D" — etc. , tous les points D, D',
D". etc., appartiendront à la circonférence d’un cercle
décrit du mème centre À. IE. Si trois cercles A,B, C,
ont des tangentes communes (PI. 55, fig. 16), les points
d'intersection M, N, D, seront en ligne droite.

Quant aux tangentes des autres courbes, voyez plus
loin methode des tangentes.

Tancewre , en trigonométrie , c’est une droite qui
touche l’extrémité d’un arc et qui est limitée par la sé-
cante qui passe par l’autre extrémité. Telle est, par
exemple, la droite BD (PI. 57, fig. 3) ; cette droite est
dite la tangente de l'arc BC, ou encore la tangente de
l'angle CAB qui est mesuré par cet arc BC.

La tangente EF de l'arc EC, complément de l'arc
CB, prend le nom de cotangente de l’arc CB. En géné-
ral, la cotangente d’un arc est la même chose que la
tangente du complément de cet arc.

On trouve sans difficulté, de la manière suivante, les
rapports qui existent entre la éangente d’un arc et son
sinus, Menons les droites que l’on voit dans la figure, et
remarquons que les deux triangles semblables ADB et
ACG donnent la proportion

AB : BD :: AG : GC

Or, en désignant l'arc CB par x, nous avons BD=tangx,

TA

sin æ, et, deplus, AB est le

AG = cos x, CG
rayon du cercle que nous représenterons par r, la pro-

portion précédente est donc Ja même chose que

r : tangæ :: COSÆ : sinx
d’où (a)
: r,sin &
ang X — —_
ë cos æ

En prenant le rayon du cercle pour unité, on a simple-

sin x
ment tang © —

cos &°
Les triangles semblables AEF, AHC fourniraient de
la même manière

r,Ccosxr
cot x —

sinx

Comparant ces expressions de la £angente et de la cotan-

gente d’un même arc, on en tire la relation générale

7

tangæ. cotx

Toutes les propriétés des tangentes dépendant de cel-
les des sinus, nous renverrons au mot sinus pour la théo-
rie de ces lignes.

Mérnope pes rancenrTes. C’est la méthode de mener
des tangentes aux courbes, ou de déterminer la gran-
deur de la tangente et de la soutangente, lorsque l’équa-
tion de Ja courbe est donnée. De toutes ses découvertes
en géométrie, celle que Descartes estimait le plus est la
règle générale qu’il a donnée pour la détermination des
tangentes des courbes. « C’est ici, dit-il, le problème le
plus utile et le plus général, non seulement que jesache,
mais même que j'aie jamais désiré de savoir en géomé-
trie. » Ce problème sert en effet aux déterminations les
plus importantes de la théorie des courbes , et la solu-
tion de Descartes, quoique remplacée aujourd’hui par
les méthodes plus promptes et plus commodes fournies
par le calcul différentiel, n’en doit pas moins marquer
dans l’histoire de la science comme une invention très-
ingénicuse, et d’ailleurs comme la première de ce
genre.

La méthode de Descartes
vant : soit AEN (pl. 58, fig. 1) une branche de courbe
rapportée à l'axe AM. D'un point C de l’axe soit décrit

repose sur le principe sui-

un cercle qui coupe la courbe au moins en deux points,
B et b, desquels les ordonnées communes à la courbe et
au cercle seront BP et bp. Imaginons maintenant que le
rayon de ce cercle décroît, son centre restant immobile;
il est évident que les deux points B et D se rapproche-
ront et finiront par se confondre en E, lorsque le cercle
ne fera plus que toucher la courbe à ce point. Alors le
rayon CE mené au point de contact L, sera en même
TOME I,

TA 521
temps normale à la droite qui serait tangente au cercle
et à la courbe à ce même point E. Ainsi le problème de
déterminer la tangente d’une courbe se trouve ramené
à celui de trouver la position de la normale qu’on lui
tirerait d’un point quelconque pris sur l'axe. Pour ré-
soudre ce dernier, Descartes recherche d’une manière
générale quels seraient les points d’intersection de la
courbe avec un cercle décrit d’un rayon déterminé, et
d’un point de l’axe comme centre. Il parvient à une
équation qui, dans le cas de deux intersections, doit
contenir deux racines inégales qui expriment les dis-
tances des ordonnées de ces intersections au sommet de
la courbe, Mais si ces points d’intersection viennent àse
confondre, alors les deux ordonnées se confondant, leurs
distances deviennent la même, et l'équation doit avoir
deux racines égales. Il faut donc déterminer les coeff-
ciens de l'équation, de manière à ce qu’elle ait deux ra-
cines égales, et c'est à quoi Descartes parvient en com-
parant l'équation proposée avec une autre équation fic-
tive du même degré, où il y a deux valeurs égales ; ce
qui lui donne la distance au sommet de l’ordonnée abais-
sée du point de contact. Ceci une fois déterminé, le reste
s'en déduit sans difficulté, comme nous allons le montrer
par un exemple.

Soit ABEN une parabole ; désignant AC par a, AP
par æ, et lerayon CB du cercle par r, nous aurons CP
— a— x. Or, puisque l’ordonnée BP = y, appartient
en même temps au cercle et à la parabole, on aura dans
le cercle

fP=nr—CP=nr—(a— x)
et dans la parabole
Re

p désignant le paramètre de cette dernière courbe. On a
donc aussi

1 (a — x} = pr

d’où, en ordonnant par rapport à «, on tire l’équa-
tion

a — (2a = px +a — 7 —=0

Cette équation, étant du second degré, admet deux va-
leurs pour +, qui correspondent aux distances A P et Ap;
car nous aurions trouvé absolument la même chose en
partant de l’autre intersection et en prenant l’ordonnée
bp. Il s’agit maintenant de déterminer le rapport des
grandeurs a, p, r, de manière à ce que BP se confonde
avec bp, et que le cercle touche la parabole en dedans.
Pour cet effet, formons une équation fictive du second
degré, dont les deux racines soient égales entre elles, ce
quise réduit à développer la puissance (x — ”) = 0,
car l'équation qui en résulte æ? — 2x + m'=0n

66

599

Le Al
22 l'A
évidemment ses deux racines égales à »2. Mais en com-
parant avec la précédente, on voit que celle-ci ne peut
avoir ses deux racines égales, à moins qu’on n’ait les re-

lations 2m = 2a— p, et nn a — 7. La première

condition nous donne, à cause de x = m,
2x == 24 — p, d'Oùup = 2a—2%,eta—X—= Ep.

Or, par l'égalité des racines, x est devenu AQ, et con-
séquemment a — x = AC — AQ—CQ. Ainsi, dans la
parabole, CQ, ou la sounormale, est égale à la moitié du
paramètre. La valeur de la sounormale étant une fois
connue, on en tire aisément celle de la soutangente, ainsi
que les valeurs de la xormale et de la tangente. Quelle
que soit la courbe proposée, on parviendra toujours,
par ce procédé, à l'expression de la sounormale.

Outre cette méthode des tangentes qu'il a exposée
dans sa Géométrie, Descartes en donne une autre, dans
sa correspondance, dont les principes sont peu différens.
Il conçoit une ligue droite qui tourne autour d'un cen-
tre sur l’axe prolongé de la courbe. Elle la coupe d’abord
en un certain nombre de points ; mais à mesure qu’elle
s'éloigne où se rapproche de Paxe suivant les circon-
stances, les poists d’intersection se rapprochent et coïn-
cident ; enfin elle touche la courbe proposée, Pour dé-
terminer la situation qu’a la courbe dans ce dernier cas,
Descart-s procède à peu près comme dans sa première
méthode. Il recherche d'abord l'équation générale, par
laquelle cette ligne étant inclinée sous un angle donné
avec l'axe, on trouverait ses points d’intersection avec
la courbe. Ensuite, par le moyen d'uue équation fictive
qui a deux racines égiles, il détermine cette inclinaison
à être celle qu'il faut pour que la ligne soit taugente,
Enfin il tire de là l'expression de la soutangente.

Une autre méthode des tangentes, non moins célèbre
que celle de Descartes, est la méthode de Fermat, dans
laquelle on a prétendu trouver l’origine du calcul diffé-
reutiel. Voici le principe sur lequel elle est fondée.

Si la ligne BD (PL. 58, fig. 2) est tangente à une courb2
ABBb, il est évident que toute autre 6rdonnée que BC,

comme dc par exemple, la rencontrera hors de la courbe
. . . er) 4 Es .

en un point e, Ainsi le rapport de BC à ec, qui est le

- + | EE |

même que celui de DC à De, sera plus petit que celui

de BC à Be, ou que celui de AC à Ac, en prenant une
parabole pour exemple ; mais si l’on suppose que ce rap-
port soit le même, et que la distance Cc s’anéantisse, les
points b et B se confondront, et l’on aura une équation
qui, traitée de la même manière que dans la méthode des
maœimis et minimis, donnera le rapport de CD à CA, ou
de la soutangente à l’abscisse, Fermat, comme on le voit,

faisait dépendre sa méthode des tangeutes de sa méthode
des maximis.

TA

Les méthodes de Descartes et de Fermat recurent suc-
cessivement divers perfectionuemens par les travaux de
Sluze, Hudde, fluygens, etc., quenousne pouvons expo-
ser ici. Cependant nous crovous devoir dire encore un
mot sur la méthode des tangentes, de Brrow, dont l’a-
ualogie avec la méthode que l'on tire du citcul ditféren
tiel est beaucoup plus frappante que celle qu'on a pré-
tendu reconnaitre entre cette méthode et la méthode de
Fermat. Barrow considère le triangle différentiel QQ'
(PI 59. fig. 19) formé par la différence »Q" des deux
ordonnées infiniment proches PQ et PQ", leur distance
Qm et le côté infiniment petit QQ' de la courbe. Ce
triangle est semblable au triangle TPQ formé par l’or-
donnée, la tangente et la soutangente, Il cherche donc,
pour l'équation de la courbe, le rapport qu'ont ensemble
ces deux côtés Qm et Q'm, ce qui lui fournit une équa-
tion de laquelle il tire Le rapport de la soutangente a
l’'ordonnée, en népligeant les quautités iofinimeut pe-
tites.

Un exemple va faire comprendre ce procédé. Soit la
courbe proposée une parabole dont l'équation est 3? —
PT; désignons, comme Barrow, par e l'accroissement
Qu, ou PP’ de Pabscisse AP = x, et par a Paccroisse-
ment correspondant Q'm de l'ordounée PQ = y. Or,y
devenant y + a, et x devenant æ + e, l'équation de la
parabole donne

J° +2ay + & = pr +pe
Retranchant de cette dernière les termes égaux 3?—px,
il vient
2ay + & = pe;

a étant infiniment petit, son carré a* peut être eutière-

ment négligé, et il en résulte simplement
e 2y

d4V == -pe d'où 2
24ÿ = pe, d'ou = à

Mais le rapport des quantités a et e est le même que ce-
lui de l’ordonnée y où BP à la soutangente TP, donc

RE
vd P
ainsi

soutangente = << = —=— =

c’est-à-dire que dans la parabole, la soutangente est égale
au double de l’abscisse,

Cette règle ne diffère évidemment de celle du calcul
différeutiel que par la notation, car elle est représentée,
en dernière analvse, par la formule

Us

soutangente
a

TA
ce qui est identique avec la formule différentielle

Fa dx +

dy

soutangente —=

Il existe aussi une grande ressemblance entre la manière
dont on prend la différentielle d’une quantité, et celle
qu'emploie Barrow pour trouver le rapport des lettres
e, a, et l’on ne peut s'empêcher de reconnaître qu'il a
touché de très-près au calcul différentiel. Mais la na-
ture des idées qui ont couduit Leibnitz et Newton à la
découverte de ce calcul, ne permet pas de supposer qu’ils
aient rien emprunté de Barrow.

Le problème des tangentes, considéré dans toute sa

généralité, dépend de l'expression (a)

Jdx
soutangente =", —

dy

(voy.SOUTANGENTE). Car en substituant dans cette expres-

Û (CE RE : on :
sion la voleur du rapport a tiré de l'équation de la
dy

courbe, on obtient dans tous les cas la valeur de la sou-
tangente. La grandeur de la tangente, comprise entre le
point de contact et celui où elle coupe l'axe des x, est
donnée par la formule (D)

tangente = y VAI + a
dy?

ce dont on peut s'assurer facilement en remarquant
(PL 59, fig. 11) que la soutangente TP, l'ordonnée CP
ct la tangeute TC forment un triangle rectangle.

Nous allons donner quelques applications de ces for-
mules.

1. L'expression (a)se rapporte à des coordonnées æ et y
rectangulaires, et il faut lui faire subir une modification
pour la rendre applicable aux courbes exprimées en
coordonnées obliques ou polaires, si l'on ne veut trans-
former ces dernières coordonnées. Le cas des coordon-
nées obliques ne présentant aucune difficulté, nous nous
contenterons d'examiner ici celui des coordonnées po-
laires.

Soit MN (PI. 58, fig. 4) une branche de courbe dont
le pôle est en A, désignons par z un rayon vecteur quel-
conque, AO, et par v l’arc ZQ qui mesure la distance an-
gulaire de ce rayon vecteur à l’axe fixe AZ. Prenons
maintenant une droite quelconque AX pour axe des ab-
scisses rectangulaires, et abaissons du point O, OP per-
pendiculaire à cet axe; le pôle étant pris pour origine,
AP sera l’abscisse, et PO l’ordonnée du point O, nous
désignerons ces droites à l'ordinaire par æ et y. Dési-
guous de plus par m2 l'arc Zn qui mesure la distance an-

gulaire de axe polaire AZ à l'axe des abscisses AX, ct

TA

alors l'arc rQ, qui mesure l’angle PAO, sera représenté

525

par » — m. Ceci posé, le triangle rectangle APO nous
fournit les deux relations (voy. TRriIGONOMETRIE)

1 :sin( — m :: AO : OP ::5:7
1:cos(v — m):: AO : Ap ::2:
d'où
ZX — 2. COS(— mm , y — 2. sin(v—1I)

Différentiantces deux expressions, et substituant dans(a)
à la place de y, dx et dy les valeurs qui en résultent, nous
obtiendrons, pour l'expression générale de la soutangente

PT, l'expression (c)

dz.cos(v—m)—2.dv.sin(v—m)
dz.siu(v—m)#2.dv.cos(v—m)

soutangente—zsin(v—1m).

2. En observant que la soutangente PT est comptée
ici sur une droite AX dont la position est entièrement
arbitraire, on pourra simplifier considérablement cette
expression en déterminant la position de cette droite, de
manière qu'elle soit, dans tous les cas, perpendiculaire au
rayon vecteur du point de la courbe que l’on considère.
En effet, si l'arc Q — v — m devient un quart de cir-
conférence, on à d’abord sin (» —m) —= 1, cos (v — 7)
= 0 ; de plus, l’ordonnée PO se confond avec le rayon
vecteur AO, et la soutangente PT devient AT’. On a
donc simplement dans ce cas, en ne tenant pas compte du
signe, (d)

z.dv

dz

soutangente —=

Pour coustruire la tangente d’une courbe polaire à l’aide
de cette expression, on mènera par le pôle une droite
AT" perpendiculaire aa rayon vecteur, puis on portera
sur cette droite de À en T' la valeur de la soutangente
donnée par la formule, et la droite menée par les points
T'et O sera la tangente demandée. Quant à la grandeur

de cette taugente, on a évidemment

OT’ = VIA + AT

z°.dv
langenle = z\/ | 1 + ! |
dz

Les signes dont les valeurs de la tangente et de la sou-
tangente peuvent être affectées indiquent la position de
ces lignes à la droite ou la gauche de l’origine.

3. Proposons-nous, pour exemple, de déterminer
l'expression de la soutangente dans la spirale d’Archt-
mède. équation de cette courbe étant (voy. SrimaLE),

‘

524 TA
on en tire
dv
d: — us
or

ce qui donne, en substituant cette expression de dz

dans (d),

soutangente = 7*,9r.

ou, encore,

L
soutangente = SA .
T

Ilrésulte de cette dernièreexpression que lorsquev—2r,
c’est-à-dire, lorsque le point dont on demande la tan-
gente est le dernier de la première spire, la soutangente
est égale à 27 ou à la circonférence rectifiée du cercle
circonscrit. Après un nombre de révolutions exprimé
par m, l'arc v est 2m , et la soutangente devient
omr , Cest-à-dire zx fois la circonférence 2m7, où
fois la circonférence dont le rayon est 77. Comme nous
avons pris pour unité le rayon du cercle circonscrit à la
première spire, 217 exprime la circonférence du cer-
cle circonscrit à la mime spire. Ainsi la soutangente
du dernier point de la me spire est égale à 72 fois
la circonférence du cercle qui embrasse les »2 spires.
Cette belle propriété avait été découverte par Archi-
mède.

4. La considération de l'angle que fait la tangente
avec l’axe des abscisses, conduit à plusieurs particula-
rités importantes que nous devons signaler; mais re-
marquons, auparavant, que la définition vulgaire de
la tangente, savoir : une droïte qui touche une courbe
en un point sans la couper, n’est exacte que pour les
courbes du second degré, car dans toutes les courbes
qui de concaves deviennent convexes , telle par exem-
ple que la courbe MN (PI. 57, fig. 19), la tangente d’un
point À peut très-bien couper la courbe en un point B
et encore en d’autres points. La tangente doit donc être
simplement définie: Ze prolongement de l'élément de
la courbe, car en considérant le point de contact
comme une ligne droite infiniment petite ou comme
l'élément de la courbe, la tangente est en effet la droite
qui coïncide avec cet élément. C’est pourquoi l'angle
que fait.avec la tangente une droite menée au point
de contact est pris pour l’angle de cette droite avec la
courbe, et que l’on dit indifféremment que la normale
est perpendiculaire à la tangente ou qu’elle est perpen-
diculaire à la courbe.

Dans le triangle rectangle CTP (PI. 57, fig. 11)
formé par la tangente CT, la soutangente TP et l’or-
donnée CP, l'angle T de la tangente avec l’axe peut
toujours être obtenu à l’aide des relations qui existe
entre les côtés. On a d’abord

TA
lsstansl:: TP CP

tang. désignant la tangente trigonométrique del’angle T.
Cette proportion donne
CP

tang T — TP

et, comme SLR dy
d TP Cm dx'

il en résulte qu’on a
généralement pour l'expression de la tangente trigono-
métrique de l'angle fait par la tangente d’une courbe
avec l'axe des x
dy
tanpT—",
6 dx

expression qui pour toutes les valeurs de x ou de y fait
counaitrel’angle T.

5. Parmi les diverses valeurs que peut admettre
l'angle T, les plus remarquables sont celles qui répon-
dent aux cas où la tangente est perpendiculaire ou pa-
rallèle à l’axe des abscisses. Dans le premier, l'angle T
étant droit sa tangente trigonométrique est infiniment

dy

grande (voy. Sinus), et l’on a © —#, d’où dx = 0;

dx
dans le second, l'angle T est nul et sa tangente trigo-
ne , dy 2
nométrique est zero ; On a donc alors —10, d'ou

dy = 0.

Ainsi, pour déterminer le point d’une courbe dans
lequel la tangente est perpendiculaire à l’axe des x , il
faut tuer de son équation la valeur de dx et l’égaler à
zéro , ce qui fournira une équation qui fera connaître
l’abscisse ou l’ordonnée de ce point. En égalant de la
même manière à zéro la valeur de dy tirée de l’équa-
tion de la courbe , on déterminera les coordonnées
du point où la tangente est parallèle à l’axe. Prenons
pour exemple le cercle dont l'équation rapportée à l’ex-
trémité d’un diamètre est

Y = 272 — XL?

On tire successivement de cette équation

T—X ydy
.dx, dt = ==,
T—) D.

dy =

T—2

la première égalité donne dx — 0,our—x —0,

d'où x=r; or, à la valeur de x — r correspondent
deux valeurs de y, savoir: y —=r ety = —7r, ainsi
dans les deux points du cercle dont les ordonnées pas-
sent par le centre, la tangente est parallèle à l’axe, ce
qui est d’ailleurs évident. La seconde égalité donue

dy .
Jar | — 0 ou y —0; et comme à cette valeur de y
V—T,

das ——

TA
correspondent deux valeurs de x, savoir : æx—=oet
æ=— or, il en résulte qu'aux deux points où ces valeurs
ont lieu la tangente est perpendiculaire à l'axe. Ces
points sont l’origine et l’autre extrémité du diamètre.
G. En appliquant ces considérations à la parabole co-
nique, on tire de son équation , y° = px, les valeurs

>ydy
Ep de = 2

dx
dy = on
ce qui donne, d’une part, p —oet, de l’autre, y—0.
Mais la valeur p — 0 qui résulte de l'hypothèse dy — 0
est absurde , puisque le paramètre p n’est point une
quantité variable , ainsi on ne peut supposer dy =0,
et il n'existe conséquemment aucun point de la courbe
dont la tangente soit parallèle à l'axe. La seconde va-
leur y — 0 nous apprend que la tangente du sommet
de la parabole est perpendiculaire à l’axe.

7: L’équation générale d’une ligne droite étant (voy.

APPLICATION, 11, 6),
y =ax + b

Si nous voulons lui faire exprimer la condition que la
droite touche une courbe quelconque en un point dont
les coordonnées sont x’, y', il faudra remarquer qu’à ce
point cette équation devient

A = ax + b ;
et, en outre, que la tangente trigonométrique a doit
être égale à

'
_ pour que la droite soit tangente. Les

conditions du contact sont donc

' dy"
ou en déduit (f)
r__ dy |
pr = À (es

Telle est l'équation de la tungente.

On tire immédiatement de l'expression (f) l'équa-
tion de la normale, car cette dernière ligne étant per-
pendiculaire à la tangente au point x'y' son équation
est (voy. Arrz. Il, 15), (g),

, dx ;
A (x—x').

L'emploi des équations (f) et (g) est souvent plus
commode que celui des expressions qu'on pent tirer des
formules générales (a) et (b) ci-dessus, et des formules
de l’article Souvonmaze. Eu y faisant y — 0, pour

TA

déterminer l'intersection des droites avec l’axe des x,

925

on obtient pour la tangente

'ax'
gg =) F
dy
et pour la normale,
"dy
x— x Er
dx

Or, pour interpréter ces résultats, remarquons, dans la
figure 11, PI. 57, que l'abscisse æ , de la tangente, au
point d'intersection T est AT, quantité qui doit être
prise négativement , parce qu’elle est à la droite de

l'origine A, tandis que l’abscisse æ' du point de contact

Cest AP ; ainsi x—x' = — AT— AP—— PT, d'où
‘d: "
PT ou soutangente — Léa
dy

Quant à la normale, l’abscisse + de son point d’intersec-
tion avec l'axe est ici AD , tandis que l'abscisse x’ du
point de contact est toujours AP, nous avons donc
æ—x — AD — AP — PD, d'où

y'dy'

PD ou sounormale — +
Ces expressions de la soutangente et de la sounormale
sont identiquesavec celles que nous avons précédemment
trouvées.

8. Les équations (f) et (g) sont particulièrement utiles
dans les cas où l’on peut se proposer, soit de mener une
tangente à une courbe d’un point donné hors de la
courbe , soit de mener une tangente assujétie à certai-
nes conditions, comme d’être parallèle à une droite
donnée de position , ou de faire un angle donné avec
l'axe des x, etc. , etc. En général, toutes les fois qu'il
s’agit de déterminer le point de contact et non de par-
tir de ce point, l'emploi des équations est plus direct et
plus élégant que celui des expressions de la soutangente
et de la sounormale., Nous avons montré ailleurs com-
ment on tire de ces équations le moyen de déterminer
les asymptôtes des courbes. (/’oy. Asymrrrôes.)

MÉTHODE INVERSE DES TANGENTES. On désigne sous
ce nom la méthode de trouver la nature ou l'équation
d’une courbe par quelqu’une de ses propriétés, comme
par le moyen de sa soutangente, ou de sa tangente, ou
de sa normale, etc. La première question de ce genre
fut proposée par Beaune, l'ami et le commentateur de
Descartes. Comme sa solution dépend généralement de
l'intégration d’une équation différentielle du premier
ordre, les premiers géomètres qui se sont occupés de
ces équations avaient appelé méthode inverse des tan-

gentes , la partie du calcul intégral dont elles sont

526 TA

l’objet ; mais cette dénomination vicieuse n’est plus
en usage, Nous allons développer, dans quelques exeni-
ples, les artifices de calcul à laide desquels on peut
remonter à l'équation d’une courbe quand on connaît
seulementune de ses propriétés caractéristiques.

2. Trouver l'équation de la courbe dont la soutangente

D”
est == ss
«
. : . ; ydx
L'expression générale de la soutangente étant ra £
dy

posant l'équation

2 _ ydx
a dy

,

uous en Lirerons

et, en intégrant,

ÿ'—= a,
TS j ] : .
équation d’une parabole dont le paramètre est a.

2. Trouver la courbe dans laquelle la sounormale est

une quantité constante égale à m.

; 3 Ve : «dy
L'expression gévérale de la sounormale étant TOY :
i dx
posons
dy
m —=" )
dx
Nous en tirerons mdx — ydy, et, eu intégrant, mx
, »

= +, où 32 = 2mx. La courbe est douc encore une
parabole dont le paramètre est on.

3. Trouver la courbe dont la normale est constante
et égale à n.

Eu égalant n à l'expression générale de la normale

(vu. SounonuaLrE) , on a

équation dont on Lire

ydy
dx = =
Ve — 7]
et
= #
= Jydn—p) =(e—-y)
ou, définitivement,
J'=nr —xt,
équation d’uu cercle dont le rayon — 7.

4. Trouver la courbe dans laquelle la différence en-
: la sounormale et l'abscisse est constante et = a.

TA
La condition demandée étant exprimée par
ydy

in — Ta;

dx
nous en tirerons
Jdÿ = adx + xdx,

et, en intégrant,

Lt x
3) —ax+ix,
ou

—=2ax + x,

équation d’une hyperbole équilatère rapportée au som-
met et dont l'axe — 24.

5. Etant donné une infinité de paraboles coniques :
AM, Am, etc. qui ont toutes leur sommet au point À,
(PI. 57, fig. 18) mais dont des paramètres sont dlifférens,
trouver une courbe ON qui les coupe toutes perpendi-
culairement.

Menons une taugente TO à la parabole AM, au point
d'intersection O, et de ce même poiut une tangente OQ
à la courbe demandée. D'après la nature da problème,
QO sera normale à la parabole AM, et la coutangeute
TP dela parabole sera en même temps sounormale de
la courbe cherchée. Or la soutangeute d’une parabole
est égale au double de l’abscisse, ainsi il ne s’agit plus
que de déterminer Ja courbe ON dout la sounormale
soit égale à 2x. Mais TP étant pris en sens inverse de
PQ, nous ferons 2x négatif et nous poserons

d'où
ydy + 2xdx = 0.

fntégrant, nous aurons
LI
tac
2

c désignant une constante arbitraire.
Cette expression mise sous la forme (k)

= #t(c—x).

nous montre que la courbe cherchée est une ellipse
dont c est le carré de la moitié de l'axe des æ, et dont le
carré de la moitie de l’autre axe est double de c. Nous
u’avons considéré qu'une seule des paraboles, maisil
est évident que la courbe de l’équation (4) les coupe
toutes de la même manière.

6. Trouver la courbe dont la tangente est constante
et = 4.

La valeur générale de la taugente étant

Cette équation, dont on ne peut obtenir l'intégrale
sous uve forme finie, est celle d’une courbe nommée
tractrice (voy. ce mot).

-. Déterminer la nature de la courbe dans laquelle
l'aire comptée à partir du sommet et compris entre
l'arc, l'abscisse et l'ordonnee est égale aux deux tiers du
rectangle de l'abscisse et de l'ordonneée.

L'expression générale de J'aire d’une courbe étant ,

(voy. Quaprarure) /ydæx, nous avons ici
Jydz = 3x.y
d'où l'en tire en différentiant
ydx = %axdy + Sydx

c qui donne
Lydx = +xdy ou ydx = 2xdy

qu'on peut mettre sous la forme

Oo obtient en intégrant

Log y = + Logx= Log\/x

et, en passant des logarithmes aux nombres 3=Vaz,
d'où 3* — x, C'est l'équation d’une parabole conique

dont le paramètre est pris pour unité.

TARTAGLIA ou TARTALEA (Nicoco), géomètre
italien du XVI siècle, auteur d’un grand nombre d’é-
crits mathématiques qui ont joui long-temps d’une
grande célébrité , et plus connu aujourd'hui dans
l'histoire de la science par ses démêlés avec Cardan au
sujet de la résolution des équations du troisième degré,
dout l’un et l’autre se sont attribué la découverte. Le
véritable nom de ce géomètre est Nicolo. I était né à
Brescia d’une famille pauvre et ohscure. Obligé d'aider
ses parens dans les humbles et pénibles travaux qui
étaient leur seule‘ressource , et que la mort de sonpère
vint rendre plus précaire encore , il était déjà avancé
en âge qu'il ne savait pas même lire, Le surnom de Tar-
taglia ou de Tartaléa lui fut donné à cause de quelques
blessures qu'il reçut à la tête, lors du sac de Brescia

TA

par les Français, blessures qui le rendirent bègue. Sauvé

bar
597

de ce fächeux accident, Tartaglia apprit à lire on
iguore omment, mais il avoue lui-même dans un de
ses ouvrages (Quesitio ed invenziont diverse) qu'il fut
obligé de voler son maître pour apprendre à écrire, Ce
géomètre, dont l'enfance et la jeuncsse furent si mal-
heureuses, a négligé de faire connaitre par quel moyen
il parvint à triompher de tant d'obstacles et à acqué-
rir enfin les connaissances importantes et élevées qui
l'ont rende si célèbre. Après s'être fait un nom dans
sa patrie, il devint profeseur de mathématiques à
Venise où il vécut dans l'intimité des principales fa-
milles de cette république.

Nous avons rapporté ailleurs, avec quelques détails,
l'histoire de sa querelle avec Cardan, à propos de la
solution des équations du tro sième degré, découverte
dont la gloire est restée à ce deruier, peut être injuste-
ment ; nous croyons inutile de revenir ici sur cette épo-
que d’ailleurs intéressante de la vie de Tartaglia. (Voy.
Carpan et Equations.) Les autres principaux travaux
mathématiques de ce géomètre sont : I. Nuova scienza
cioè invenzione , nuovamente trovata, utile per Cias-
cuno speculation matematico bombardiero , ed altri,
Venise, 1507, in-4°, souvent réimprimé. IL Æuclide
diligentemente rassetato ed all integrita resulto, se-
condo le due traduzioni di Campano ez Gamberto,
Venise 1543, in-1°. Cette première traduction d’Eu-
clide, en italien, a été souvent réimprimée. LE. 4rchi-
medirs opera emenduta, 1543, in-4°. IV. Quesiti ed in
venzioni diverse. Venise, 1550, 155r, in-4°, avec un
supplément.V.Generaltrattato de” rumerte misure,etc.
Venise, 1526. VI. Tratatto di aritmetica, ib. 1556. in-4°.
VII. Archimedis de insidientibus aquæ, libri duo, ib.

1565, in-4°.

TAUREAU. (454) Nom du second signe du zodiaque
marqué ©, ainsi que d’une constellation qui lui a donné
son nom. On remarque particulièrement daus la con-
stellation du taureau, composée de 141 étoiles dans le
catalogue de Flamsteed, une belle étoile de première
grandeur, nommée aldébaran ; où la désigne quelque”
fois encore sous le nom de l'œil du taureau. Deux amas
de petites étoiles situés l’un sur le dos et l'autre sur le
front du taureau ont reçu les noms de pléiades et de
hyades.

TAUTOCHRONE. (Mec.) (de ruvlos, méme, et de
zpovos | temps). Expression dont on se sert pour dési-
gner des effets dont la durée est la même, c'est à dire,
qui commencent et qui finissent en temps égaux.

Les vibrations d’un pendule, lorsque leur amplitude
est très-petite , sont des vibrations tautochrones. (Foy.
PENDULE.)

Counse TAUTOCHRONE. Courbe dont la propriété est

528 TA

telle que si de l’un quelconque de ses points on laisse
tomber un corps pesant le long de sa concavité , il arri-
vera toujours au point le plus bas dans le même inter-
valle de temps.

La nature de cette courbe a beaucoup occupé les géo-
mètres du dernier siècle, et c'est une des plus brillantes
découvertes de Havgens d’avoir reconnu que, lorsque
le milieu daus lequel descend le corps pesant n'offre
point de résistance ; la tautochrone est une cvcloïde. Les
ingénieuses applications, faites par Huygens, de cette
propriété de la eyvcloïde à la construction des horloges
ont plus contribué à la perfection de ces utiles instru-
menus que tout ce qu'on avait fait jusqu'alors. (Foy.
PEexocre.)

Lorsqu'on veut tenir compte de la résistance des mi-
lieux, le problème de la tautochrone devient un des
plus difficiles de la mécanique, nou seulement par la
complication que cette résistance apporte dans les éva-
luations de la vitesse, mais encore parce que la loi
qu’elle suit dans les différens milieux est entièrement
inconnue. En supposant la résistance proportionnelle à
la vitesse, Newton a trouvé que la tautochrone est en-
core une cycloide , mais cette hypothèse n'est point ap-
plicable physiquement , car la résistance qu'éprouve un
corps mu dans un fluide est , dans certains cas, assez
sensiblement proportionnelle au carré de la vitesse pour
qu'ou ait cru pouvoir adopter généralement ce dernier
rapport. Euler et Jean Bernouilli sont les premiers qui
résolureut le problème, daus l'hypothèse de la résistance
en raison du carré de la vitesse , ils furent suivis par
Fontaine , dont la solution présente l'avantage de pou-
voir s'appliquer à diverses hypothèses de résistance ,
et enfin Lagrange, dans un mémoire inséré parmi ceux
de l’académie de Berlin , 1765, semblait avoir épuisé
la matière, lorsque d’Alembert reprenant la question
sous une autre face, parvint à une formule d’une très-
grande généralité qui donne la solution du problème,
pour le cas où il s'agirait de faire les temps comme une
fonction quelconque de l'arc ; ce qui renferme le tau-
tochronisme même comme un cas particulier. (Vo;
Euler, Mém. de l’'Acad. de Fétersbourg , tom. 1v, et
Mécanique, tom. n. Jean Bernouilli, Mém. de L Acad.
des sciences , 1730. Fontaine, Mém. de l’ Acad. des
sciences, 1736. Lagrange, Mem. de Berlin, 1765et 1770.
D'Alembert, Mem. de Berlin, 1765.)

TAYLOR (Brook), célèbre géomètre anglais, naquit
le 15 août 1635, à Edmonton, dans le comté de Midd-
lesex. Dès l’année 1508, Tavlor se révéla au monde
savant par un mémoire sur Les centres d'oscillation,
qui a été publié depuis dans les 7ransactions philoso-
phiques. La société royale de Londres, l'admiten 1712

7
au nombre de ses membres, et il présenta immédiate-

TA
ment à cé corps savant divers mémoires remarquables
sur l'ascension de l’eau entre deux surfaces planes,
sur les centres d’oscilation et sur le célèbre problème
de la corde vibrante, dont nous avons parlé ailieurs.
Ces

travaux aussi cousciencieux que profonds, attirèrent

diverses productions, qui étaient le fruit de

à Taylor une haute considération dans la société royale,
qui le nomma son secrétaire. L'ouvrage le plus impor-
tant de ce géomètre est sans contredit le livre intitulé :
Methodus incrementorum directa et inversa; c'est
dans cet ouvrage, où Taylor a posé les lois principales
du calcul des différences finies, que se trouve la célèbre
formule à laquelle on a donné le uom de Théorème de
Taylor. (Voy. Dirr.)

Taylor, à qui l’on doit d’ailleurs une foule de propo-
sitions aussi neuves qu'originales, dans toutes les bran-
ches de la science, mourut encore dans la force de l'âge,

le 29 décembre 1751.

TÉLESCOPE. Instrument d'optique, composé de
plusieurs verres, ou de verres et de miroirs réunis, et
qui a la propriété de faire voir distinctement des objets
éloignés, qu’on n’apercevrait que confusément ou
même qui seraient invisibles à la vue simple.

Nous avonsrendu compte au mot Luxerrer de l’inven-
tion de cet instrument admirable dont l’influence sur
les progrès de l’astronomie s’est déjà fait sentir d'une
mauière si remarquable , et dont les perfectionnemens
futurs nous permettront sans doute un jour de péné-
trer plus avant dans les merveilles des cieux. Nous al-
lons donner ici une description succincte des diverses
espèces de télescopes.

Les télescopes ont recu différentes dénominations
d'après le nombre et la forme de leurs verres et leurs
usages particuliers , tels sont le £élescope de Galilée
ou de Hollande , le télescope astronomique, le téle-
scope terrestre, le télescope aérien, le télescope achro-
matique , et le télescope de réflexion ou dioptrique et
catadioptrique. Les cinq premiers compris, sous le nom
général de télescopes de réfractions, sont plus particu-
lièrement nommés lunettes en français; leur théorie
reposant sur les mêmes principes, l'exposition que nous
allons faire de celle du télescope astronomique suffira
pour donner une idée exacte des effets de ces instru-
mens.

TéLescope AsrronomiqQue. Lunette composée de deux
verres convexes ou plan-convexes, dont l’un sert d’ob-
jectif et l’autre d’oculaire, placés aux deux extrémités
d'un tube , et éloignés l’un de l’autre d'une distance
égale à la somme de leurs distances focales. L'objectif C
(PI. 58, fig. 3), plan convexe des deux côtés, est un
segment de sphère dont le rayon est plus grand que

TE

celui des segmens de sphère qui composent l'oculaireD,
convexe des deux côtés.

La distance CD des deux verres étant égale à la somme
de leurs distances focales, leurs foyers répondent aux
mêmes points où se forme l’image ab de l’objet. Ainsi
les pinceaux lumineux qui, partant de chaque point
d’un objet très éloigné AB, doivent être considérés
comme parallèles entre eux, arrivant à l'objectif C,
vont se réunir au foyer F de ce verre où ils forment
l'image ab de l'objet , laquelle est renversée, parce
que les rayons qui viennent des extrémités de l'objet se
sont croisés en passant par l’objecuif C. L’oculaire D
étant placé au-delà du foyer F du verre objectif à une
distance FD égale à celle de son propre fover, les pin-
ceaux lumineux, après avoir formé l’image, éprouvent
en traversant cet oculaire une nouvelle réfraction qui
les fait converger vers un point E , et l’œil étant placé
à ce point reçoit ces rayons de la même manière que si
l’objet lui-même au Jicu de son image était placé au
foyer F. Il en résulte que l’image ab devient l’objet
immédiat de la vision et que l'œil la voit sous l’angle
GEH , lequel est d'autant plus grand que la distance
focale CF du verre objecuf est plus grande, et que celle
FD du verre oculaire est plus petite. Or, la grandeur
apparente d’un objet, d'après laquelle nous jugcons de
sa distance , étant proportionnelle à l'angle visuel sous
lequel il uous apparaît, l’objet AB paraîtra d’autant
plus grand et d'autant plus près de l'œil que cet angle
GEH sera plus grand.

Ce.télescope augmente donc le diamètre apparent
d’un objet autant de fois que la distance focale du verre
objectif contient la distance focale du verre oculaire, de
sorte que si cette première distance est, par exemple,
vingt fois plus grande que la seconde , le diamètre
apparent de l’objet deviendra vingt fois plus grand, ou,
ce qui est la même chose, ce diamètre sera vu au travers
du télescope de la grandeur qu’il ie serait à la vue sim-
plesi l’objet n’était placé qu’à la vingtième partie dela
distance où il est réellement de l'œil, On peut énoncer
ce phénomène de la manière suivante : /e diamètre ap-
parent d'un objet, vu par le télescope, est à son diamè-
tre apparent à la vue simple, comme la distance focale
de l'objectif est à la distance focale de l’oculaire.

La distance focale d’un verre plan-couvexe étant à
peu près égale au double du rayon de la sphère dont
ce verre est un segment, et la distance focale d’un verre
convexe des deux côtés différant peu du rayon de la
sphère dont les deux segmens qui le composent , sup-
posés égaux entre eux , font partie; on peut aisément
déterminer la distance de l'objectif à l’oculaire d'un té-
lescope, ou ce que l’on nomme la longueur du téles-
cope, d’après la nature des verres qu'on veut employer
à sa construction (voy. Lenrirre ;) comme aussi le

TOME I,

| 4

TE 529
grossissement qu'il fera éprouver aux objets, c’est-à-
dire son amplification (voy. ce mot).

Le télescope que nous venons de décrire a recu le
nom d’astronomique, parce qu’on ne s’en sert que pour
les observations astronomiques où il est parfaitement
indifférent de voir les objets droits ou renversés. En
lui ajoutant deux autres verres nommés aussi oculaires,
on fait éprouver aux rayons lumineux de nouvelles ré-
fractions qui redressent l'image, et l’on a alors le téles-
cope terrestre. Voyez ce que nous avous dit sur ce sujet,
et sur le télescope de Galilée, au mot LuxÉTrE.

TéLesco?e AËRIEN. Ce télescope, inventé par Huygens,
ne diffère du télescope astronomique que par la ma-
nière de monter les verres, lesquels n’étant pas placés
dans un même tube permettent de donner à l'instrument
une longueur qu’on ne pourrait obtenir avec unseul tube
sans le rendre très-incommode et très-difficile à manier.
Ilse compose d'un mât AB, (PI. 58, fig. 4) planté vertica-
lement , dont la longueur est celle que devrait avoir le
tube du télescope. Ce mât est aplani d’un côté sur le-
quel on fixe deux règles parallèles entre elles et éloi-
gnées l’une de l’autre d’un pouce et demi (40 + milli-
mètres) , de sorte qu’elles forment une rainure Gu haut
en bas du mât, laquelle doit être tenue un peu plus
large en dedans qu’en dehors. Au haut du mät est une
roulette À, qui tourne sur son axeet sur laquelle passe
une corde G deux fois aussi longue que le mât. Cette
corde, de la grosseur du petit doigt, sert à élever l’ap-
pareil qui contient l’objectif ; elle est garnie à son
extrémité en H d'un contre-poids égal à celui de l’ap-
pareil. Une pièce de bois, longue de deux pieds, cst
ajustée dans la rainure qu'elle peut parcourir dans
toute sa longueur en glissant fibrement mais sans jeu ;
à son milieu sont fixés deux bras L,/, qui soutiennent à
angle droit un autre bras E, lequel porte une espèce
de fourchette F, dans laquelle se meut librement un
tube IK, auquel est fixé le verre objectif, Le tube JK
est porté sur une règle de bois qui le déborde de 8 à
10 pouces, et à laquelle est attaché un fil de soie dont
l'autre extrémité tient à l'appareil de loculaire. Ce
second appareil se compose d'uu tube Q fort court,
fixé sur une règle QV qui est posée sur un axe R que
l'astronome tient dans sa main ; l'extrémité V de la
règle reçoit le bout du fil de soie qui s’enroule sur une
petitecheville, de manière qu'on peut le ralonger ou
le raccourcir à volonté. Le tube Q renferme l'oculaire
qu’on recouvre d’un cercle percé d’un très-petit trou au
milieu, afin d’écarter les rayons lumineux divergens
qui pourraient fatiguer l'œil. Enfin , un support X est
placé sur le sol pour que l'observateur, en appuyautson
bras dessus, puisse tenir ferme l'oculaire.

Tel était le grand télescope d'Huvygens avec lequel il
découvrit l'anneau de Saturne et un de ses satellites.

Où

5950 TE

Son objectif avait une distance focale de 12 pieds, et
son oculaire une de trois pouces. Il se servit aussi d’un
télescope de 23 pieds de longavec deux oculaires joints
ensemble, ayant chacun un rayon de courbure de 9
lignes,

Le télescope achromatique est la même chose que le
télescope astronomique ordinaire rendu plus parfait
par la substitution des verres achromatiques aux verres
ordinaires.

TéLescors DE RÉFLEXION. Le premier inventeur de
cette espèce de télescope est le père Mersenne ; mais les
objections que lui fit Descartes, sur le plan de cet in-
strument qu'il lui avait soumis, l’empéchèrent d’en
poursuivre l’exécution. Vingt ans après, en 1663, Jac-
ques Gregory donna, dans son optica promota , la des-
cription d’un télescope de réflexion, et vers le même
temps, en France, Cassegrain proposa un instrument à
peu près semblable. Cependant sil est incontestable
que Newton n’a point eu le premier l’idée de linstru-
ment auquel on a donné son nom, il est tout aussi in-
contestable qu’il a le premier surmonté les difficultés
contre lesquelles Gregory et Cassegrain échouèrent, et
que non seulement il lui était réservé , par ses immor-
telles découvertes, de prouver les avantages du téles-
cope de réflexion , mais encore qu'il en coustruisit un,
d’un peu plus de six pouces de long, avec lequel :ül
pouvait lire de plus loin qu'avec une bonne lunette
d'approche ordinaire de quatre pieds. Ce succès de
Newton, malgré tout ce qu'il était permis d’en espérer,
n’excita pas d’abord l’émulation des opticiens, car ce
ne fut qu’en 1719 que Hadley parvint à construire
deux télescopes deréflexion de 5 pieds!> pouces anglais,
qui réussirent si bien qu’on voyait par leur moyen les
satellites de Jupiter et de Saturne aussi distinctement
qu'avec un télescope de 123 pieds. Hadley s'étant en-
suite réuni à Bradley et a Molineux, dans le but de
perfectionner les moyens de construction et de fourrir
aux plus habiles artistes anglais des procédés assez
éprouvés pour leur ô’er la crainte de se ruiner en essais
infructueux , cette noble association réussit si complè-
tement, qu'après avoir communiqué le résultat de ses
recherches à Scusset, habile opticien, et à Hearne, ingé-
nieur pour les instrumens de mathématiques, les téles-
copes de réflexion devinrent d’un usage aussi répandu
que celui des télescopes ordinaires. Nous ne devons pas
oublier que trois opticiens français, Paris et Goni-
chon, asociés , et Passemant ont eu le courage de
tenter la construction des télescopes de réflexion, et
qu’ils ont réussi sans aucun des secours qu'avaient eus
les opticiens anglais. Les premiers télescopes de Pariset
Gon'chon furent achevés vers 1933, et ceux de Passe-
mant un an ou deux après.

Télescope de Newion. 11 se compose d’un tube

ABCD (PI. 20, fig. 3), au fond duquel est un grand
miroir concave GIT de métal, vis-à-vis duquel et dans
son axe on place un miroir plan KA aussi de métal,
d’une figure elliptique et incliné de 45° à l’axe du tube.
Ce miroir plan doit être situé entre le grand miroir
concave et son fover, et à une distance de ce foyer qui
soit égale à la distance du centre de ce petit miroir au
foyer d’un verre oculaire O , lequel est placé dans un
petit tube latéral.

D'après cette disposition , les faisceaux lumineux EG
et FH qui viennent de l’objet surle grand miroir GH,
et qui après leur réflexion iraient dessiner une image
renversée z2n au fover de ce grand miroir, sont reçus
par le petit miroir plan KÆ et réfléchis vers locu-
laire LL. Comme les miroirs plans ne changent rien à
la position des rayons de lumière qu'ils réfléchissent,
l’image en sq sera renversée comme elle l’eût été en
mn.

L'amplification de ce télescope est égale au nombre
de fois que la distance focale du grand miroir contient
celle de l’oculaire.

L'oculaire du télescope de Newton étant placé sur le
côté rend cet instrument très-incommode pour obser-
ver les astres près du zénith. Comme il est aussi très-
difficile de trouver l'objet, on met sur le corps du té-
lescope une petite lunette ordinaire qui a beaucoup de
champ et dont l'axe est parallèle à celui de l'instrument.
Cette lunette, qu’on nomme un trouveur, sert à placer le
télescope dans la direction de l’objet qu’on veut obser
ver.

Télescope de Grégory. Celui-ci se compose de deux
miroirs concaves et d’un ou deux verres oculaires con-
vexes ou plans convexes,

Le grand miroir concave LL de métal, percé d’un
trou circulaire à son centre X, est placé au fond d’un
tube ouvert (PI. 20 , fig. 4) ; vis-à-vis de ce miroir et
vers l’autre extrémité du tube on place un second mi-
roir concave EF de métal , parallèle au grand miroir,
unpeu plus large que l'ouverture X de ce miroir, £t
dont la concavité fait partie d’une sphère beaucoup
plus petite que celle sur laquelle est formé le grand mi-
roir. Ce petit miroir doit être placé au-delà du foyer du
grand miroir à une distance telle que son propre fover
ne coïncide pas avec le foyer du grand miroir, mais
qu'il en soit éloigné d’une quantité égale à la troisième
proportionnelle entre les distances focales respectives
des deux miroirs. À l'extrémité du grand tube, à la-
quelle est placé le grand miroir, et vis-à-vis le trou cir-
culaire de ce miroir , on ajuste un autre petit tube
MSSN dans lequel on place un et plus généralement
deux verres oculaires MN, SS.

Dans cet instrument, les rayons lumineux qui vien-
nent de l’objet, après avoir été réfléchis par le grand

ee

sh um

TE

miroir LL, vont peindre à son foyer G une imsge ren-
versée KI de l’objet au-delà de laquelle ils deviennent
de nouveau divergens. Reçus par le petit miroir EF,
cesrayons sont réfléchis convergens vers les oculaires,
et devenus encore plus convergens par leur passage au
travers de l’oculaire MN, ils vont dessiner en ZZ une
image en sens contraire de la première KH; c’est cette
dernière image qui, placée par la disposition des verres
au foyer du second oculaire SS, devient l’objet immé-
diat de la vision.

L'amplification de ce télescope est égale au carré de
la distance focale du grand miroir, divisé par le pro-
duit des distances focales du petit miroir et de l’ocu-
laire

La plus grande difficulté à vaincre pour obtenir de
bons télescopes de réflexion est la construction des mi-
roirs métalliques dont la courbe doit être d’une exac-
titude rigoureuse et le poli d’une excessive perfection.
Ces miroirs sont faits d'après Hadley, avec un alliage
de deux parties de cuivre, d’une de laiton et d’une
d’étain. Passemant composait les siens de 20 parties de
cuivre, 9 d’étain et 8 d’arsenic. On les polit avec
l'éméri etla potée d’étain. De toutes les compositions,
celle qui est la plus blanche, la plus dure et qui réfléchit
le mieux la lumière est un alliage de 32 parties de cui-
vre, 15 d’étain, unc de laiton, une d'argent et une
d’arsenic. Mais elle n’est pas bonne pour les très-grands
miroirs, parce qu’elle est trop cassante. Les miroirs de
platine sont supérieurs à tous les autres.

Les télescopes de réflexion doivent à Herschell un de-
gré de perfection incomparable avec tout ce qu’on avait
fait avant lui. Lorsqu'il commença de s'occuper de la
construction de ces instrumens , on n’en faisait pas
dont l'amplification pût surpasser 400 fois le diamètre
de l’objet; il obtint promptement une amplification
double, triple et quadruple de celle-ci, et parvint
même à construire un télescope newtonien de 7 pieds
qui grossissait 2000 fois. Le plusremarquable des instru-
mens construits par Herschell est son grand télescope
dont le roi d'Angleterre voulut supporter tous les frais;
nous l’avons représenté dans la PI. 20, fig. 5, tirée des
Transactions philosophiques , de 1795, où il y en a
une description de 65 pages avec 19 planches. On voit
dans notre figure le massif circulaire I,1,1, sur lequel
tourne la machine sur 24 rouleaux , 12 intérieurs et 12
extérieurs, par le moyen de deux cabestans ; ce massifa
44 pieds de diamètre et 3 de fondation. Le pied formé
de 4 échelles de 49 pieds qui supportent les moufles
par le moyen desquels on élève le tube A ; la place de
l'observateur en C près de l’oculaire du télescope; E et
D deux chambres de 12 pieds qui contiennent le pen-
dule etle petit mouvement; vers la chambre E, les
crics ; il y en à pour monter la galerie B, pour avancer

TE
E

la culasse où est le miroir, pour monter le télescope et

5e

pour le tourner. La culasse avance sur deux demi-cer-
cles de fer et deux crémaillères, La machine entière
tourne sur un axe au centre. Tout est énorme dans
cette machine, le miroir a4 pieds d'ouverture et pèse
1955 livres poids de marc. Elle est placée à Slough, dans
une cour de 160 pieds.

Cette immense entreprise fut commencée à la fin de
1985, et terminée au commencement de 17587. Mais ce
ne fut que le 27 août 1589 qu'Herschell fut entière-
ment satisfait de son instrument ; le lendemain 28 il
découvrit un sixième satellite de Saturne. Ce télescope
n’a qu’un seul miroir, et l’oculaire est disposé de ma-
nière à s'appliquer immédiatement à la première image
focale. Son pouvoir d'amplification augmente de plus
de 6000 fois le diamètre apparent des objets.

Ce serait peut-être ici le lieu d’examiner les avantages
et les inconvéniens des divers télescopes dont nous ve-
nons de parler, mais ces détails s’écartent de notre pla
et d’ailleurs la place nous manque. Il a été question
dans d’autres articles des lunettes achromatiques. (Foy.

ACHROMATIQUE.)

TEMPS. Intuition pure et invariable qui accompa-
gne toutes nos intuitions des objets tant externes qu’in-
ternes, et sans laquelle ces intuitions ne seraient pas pos-
sibles. (7oy. Puicos. DEs Maru., 15.)

Le temps se mesure, en astronomie, par les mouve-
mens appareus du soleil ; la révolution diurne de cet
astre, ou Ja partie du temps écoulée entre deux de ses
passages consécutifs au méridien, forme le jour; sa ré-
volution périodique, ou le nombre des jours qui s’écou-
lent entre l'instant où il occupe un point quelconque
de l’écliptique, et celui où il est de retour au même
point, après avoir parcouru l’écliptique entier, forme
l’année. ({Voy. ANNÉE et CALENDRIER.)

On distingue le temps en temps civil et en temps as-
tronomique. L'usage des astronomes était jadis de pla-
cer le commencement du jour au moment du passage
du soleil au méridien , de sorte que le jour dit astrono-
mique se compte d’un midi à l’autre, mais cet usage est
maintenant abandonné, et le commencement du jour est
généralement fixé à minuit.

Le temps astronomique se distingue en temps solaire
vrai et moyen, et en temps syderal. Le temps solaire
vrai est celui qu’on mesure par la révolution diurne du
soleil, il se compte donc en jours solaires vrais qui sont
inégaux entre eux ; le temps solaire moyen est celui
qu'on mesure par une révolution diurne du soleil dont
la durée est moyenne entre les plus grandes et les plus
petites révolutions diurnes de cet astre; il se compte
ainsi en jours solaires moyens égaux entre eux. Le temps

552 TE

sidéral se mesure par le jour sidéral qui est la durée

d’une révolution diurne de la sphère des étoiles fixes.
Le temps civil est la même chose que le temps solaire

moyen. (Ÿ’oy. pour les détails EQuarion pu Temps et

Heure.)

TERME. (4/g.) Partie distincte d’une quantité réu-
nie aux autres par les signes + ou —. Par exemple,
si une quantité est exprimée par Ax + By + C,Ax,
Bret C sont les termes de cette quantité.

Une quantité qui n’est composée que d’un seul terme
comme À , ou Àx,ou Axy, etc., prend le nom de
monome. On lui donne le nom de binome lorsqu'elle
est composée de deux termes, comme AB, ou A+Bx,
ou x?+xy, etc. Et en général on la désigne par le
nom de polynome , quand elle est composée de plu-
sieurs termes. (Foy. Porvxomr.)

On donne encore le nom de fermes aux quantités
que l’on compare entre elles pour former des rapports.
Si l’on a, par exemple , À : B=7»7, À et B sont les
termes du rapport 72. De même, si les quantités

À, B, C, D forment la proportion
AB: Ga: D,

ces quantités seront les £ermes de cette proportion, sa-
voir : À , le premier terme; B, le second terme , etc.
(Foy. Prororriox.)

TERRE. En astronomie, c’est une des planètes
principales qui composent le système solaire , la troi-
sième dans l’ordre des distances au soleil, et qui décrit
autour de cet astre une orbite elliptique comprise entre
les orbites de Vénus etde Mars. Les astronomes la dési-
gnent par le caractère &. En géographie , c’est le
globe que nous habitons, composé de parties solides et
de parties fluides.

La théorie de la terre a été considérée de tout temps
comme une des branches les plus importantes des
sciences physiques, ou du moins comme celle qui se
rattache le plus intimement à l'existence matérielle de
l’homme. On ne peut douter que les premiers efforts de
cet esprit d'investigation qui distingue l’être raisonnable
n'aient du se porter particulièrement sur la demeure
qui lui estimposée. Attaché par sa nature à cette de-
meure qu'il peut bien parcourir, mais qu’il ne peut
quitter, son premier besoin intellectuel était d’en recon-
nairre la forme, d’en déterminer les limites, d'en étudier
lesaccidens. Aussi dès la plus haute antiquité des ten-
tatives furent faites pour mesurer les dimensions de la
terre qu'on avait déjà reconnue être un globe ou un
corps sphérique situé d’une manière isolée au sein de
l’espace absola; et, si les résultats de ces premières me-
sures ne peuvent même pas passer aujourd'hui pour une

approximation grossière, nous n'en deyons pas moins

TE

admirer le génie de ceux qui ont ébauché un problème
dont toutes les forces réunies de la science moderne ne
sont point encore capables de donner une solution rie
goureuse.

La sphéricité ou la forme ronde de la terre se mani-
feste par plusieurs phénomènes physiques faciles à
observer, Telle est, par exemple, la ligne circulaire qui
termine l’horizon de tout spectateur dont la vue n’est
point bornée par des montagnes ou des inégalités de
terrain. En effet, lorsqu'on est au milieu d’une vaste
plaine et qu’on regarde autour de soi il semble qu’on
occupe le centre d’un cercle qui a pour circonférence
la ligne où l'atmosphère paraît se confondre avecle sol.
À mesure que l’on marche on découvre une portion nou-
velle de terrain , du côté vers lequel on se dirige, tan-
dis que l’on cesse d’en apercevoir une portion égale du
côté opposé ; mais il semble toujours que le point que
l’on occupe est le centre d’une circonférence déterminée
par la rencontre du sol avec l'atmosphère. Le même
phénomène se remarque au sommet d’une haute mon-
tagne , seulement la circonférence de l'horizon visible
est d'autant plus grande qu’on est plus élevé, et, quelle
que soit l'étendue du terrain qu’on découvre, il affecte
toujours une forme circulaire. Or, il est évident que de
telles apparences ne pourraient avoir lieu si la surface
de la terre, abstraction faite des inégalités du terrain,
n'étaient pas une surface convexe dans tous les sens.
C’esten mer surtout que cette courbure est le plus sen-
sible. Tout le monde sait aujourd'hui que, lorsqu'un
vaisseau commence à apercevoir la terre, les premiers
objets visibles sont les parties les plus élevées du sol ou
le sommet des édifices. Par exemple, de l'extrémité A
d’un mât (PI. 35, fig. 4) on découvre le sommet B'd’un
édifice avant qu'il soit possible d'en voir le pied D, que
cache encore la convexité des eaux.

La forme ronde de l’ombre de la terre dans les éclip-
ses de lune est un autre phénomène qui prouve sa sphé-
ricité, et l’on dut s’en servir comme d’un moyen de
démonstration dès qu’il fut avéré que ces éclipses ont
pour cause le passage de la lune au travers de l’ombre
projetée par la terre. (Joy. Ecrivse.) Mais sans recourir
à de tels argumens , qui supposent déja des connais-
sances astronomiques assez étendues, il suffit des phéno-
mènes de l'horizon visible et des différens aspects que
présente la voûte céleste lorsqu'on change de lieu sur
la terre , pour démontrer clairement que la terre est
un corps sphérique. (Foy. VouTE cÉLESTE.)

Les premiers observateurs s’aperçurent donc bien
vite de la figure ronde de la terre, qu'ils durent dès
lors considérer comme une sphère parfaite, car les iné-
galités de sa surface, comparées à son volume , sont à
peine appréciables, mais la mesure de ses dimensions
leur offrit des difficultés insurmontables, quoique le

x

SR ÈEEe

DE

problème se réduise en dernier lieu, dans cette hypo-
thèse de la terre exactement sphérique, à la détermina-
tion de la grandeur d’une partie aliquote d’un de
ses grands cercles. Nous avons dit ailleurs que la posi-
tion d’un point de la surface de la terre est entièrement
fixée lorsqu'on connaît sa longitude et sa latitude, et que
tous les points qui sont situés sur le même méridien
terrestre ont la même longitude (voy. Larrrupr, Lon-
GITUDE et MÉRIDIEN), tandis que leurs latitudes sont
différentes ; ainsi on peut aisément compreudre que,
pour trouver la longueur d’un méridien, il suffit de
mesurer la distance de deux de ses points , ou, ce. qui
est la même chose, l’arc compris entre ces points, car
le rapport de cet arcau méridien entier est toujours
donné par le nombre de ses degrés qui est égal
à la différence des latitudes des deux points. Sup-
posons , par exemple, qu’en partant d’un point A,
dont la latitude est de 24 degrés , nous ayons tracé sur
la terre une ligne méridienne qui passe par un autre
point B, dont la latitude est de 25 degrés ; la distance
du point À au point B, ou l’arc du méridien terrestre
compris entre À et B, sera donc de un degré, et sera
par conséquent la trois cent soixantième partie d’un
grand cercle entier de la terre. Ainsi, pour obtenir la
grandeur de ce cercle en mesures usuelles telles que le
mètre ou la toise, il ne nous restera plus qu'a mesurer
avec un métre ou une {oise la distance des points A ct
B, et à multiplier par 360 le nombre de mètres ou de
toises que nous aurous trouvé, Quelque simple que pa-
raisse cette opération, elle exige, pour être exécutécavec
une précision capable de donner une approximation
suffisante, des moyens de calcul et des iustrumens dont
les anciens étaient dépourvus, et présente en outre des
difficultés que ce qui va suivre fera connaitre.

La première estimation dela grandeur de la terre est
rapportée par Aristote dans son livre de Cœlo ; 11 y dit,
chapitre IV, que les anciens mathématiciens ont trouvé
que la circonférence de la terre est de 400000 stades.
Mais , comme il w’explique nullement la longueur du
stade dontil est question, et que, si l'on veut entendre le
stade des Grecs en usage dans son temps, il en résulte pour
leäegré terrestre, composé de 1111 + stades, une valeur
à peu près double de celle que nous donnent les mesures
nouvelles ; on doit plutôt considérer cette estimation
comme une conjecture vague que comme une véritable
mesure. Cependant, lors de la grande querelle des an-
ciens et des modernes, on a prétendu que les Chal-
déens sont les anciens mathématiciens dont parle Aris-
tote , et que la longueur de leur stade était de 51 toises
10 pouces, d'où l’on a conclu que les anciens avaient
mesuré la terre avec autant d’exactitude que les mo-
dernes. Malheureusement pour cette prétention passa-
blement ridicule, la longueur de 51 toises 10 pouces

TE 939

ne résulte pas de la restitution des mesures chaldéennes
à l’aide d’autres mesures contemporaines, mais bien
de l'hypothèse gratuite que les 1111 3 stades du degré
terrestre sont équivalens aux 57060 toises trouvées par
Picard pour la longueur du degré qu’il a mesuré.

Une mesure de la terre plus authentique est celle
d'Ératosthènes; ayaut mesuré l’arc du méridien com-
pris entre Syène et Alexandrie , et l'ayant trouvé de
7° s,ilen conclut que la circonférence de la terre avait
250000 stades, ce qui donne au degré terrestre 694 ÿ
stades. Si l’on admet que le stade employé par Era-
tosthines est Le stade égyptien, son évaluation du degré
serait trop faible d'au moins 20000 toises, tandis que si
l'on suppose qu'il se servit du stade olympique, elle est
trop forte d'au moins Gvoo toises. Au reste, il parait
qu'Eratosthènes ne mesura pas la distance d'Alexandrie
à Syène, et qu'ilse contenta de l’estimer à 5000 stades ,
d’après la commune appréciatiation des voyageurs. Il se
trompa en outre en supposant ces deux villes sous le
même méridien , Syène est à plus de 3 degrés à l'est
d'Alexandrie.

Nous passerons sous silence uneautre mesure dela terre
teutée par Posidonius, et qui ne présente aucune exacti-
tude , pour arriver à la première tentative exécutée
avec des moyens réellement scientifiques; c’est la me-
sure d'un degré du méridien opérée par les astronomes
arabes sous le règne de l'illustre Khalyfe El Mamoun.
Ce prince , ayant résolu de mesurer la terre plus exac-
tement que n’avaient fait les anciens, envoya des ma-
thématiciens habiles dans une vaste plaine de la Méso-
potamie appelée Singiar ; là ils se divisèrent en deux
bandes dont l’une alla vers le nord et l’autre vers le
midi, en mesurant, chacune la coudée à la main, une
ligne méridienne géométriquement alignée. Ils s’écar-
tèrent aiusi les uns desautres, jusqu’à ce que, mesurant
Ja hauteur du pôle, ils se fussent éloignés d'un degré
du lieu de leur départ, après quoi ils se réunirent et ils
trouvèrent pour la valeur du degré terrestre, les uns
56 milles et les autres 56 milles * , le mille étant com-
posé de {000 coudées. Après avoir discuté leurs mesures,
ils adoptèrent la derniere,

La coudée dont il est ici question est, d’après Albu-
feda , la coudée noire qui comprenait 27 doigts, dont
chacun était de la longeur de six grains d'orge mis côte
à côte, tandis que d’après Almassoudi, autre auteur
arabe, cette coudée aurait été établie, par le Khalyfe,
de 27 doigts longs de 5 grains d'orge. Almassoudi pré-
tend en outre que le degré terrestre fut fixé à 27 milles.
D'après les expériences que Théveuot rapporte dans
la relation de son voyage d'Asie, il faut 144 grains
d’orge pour former l’étendue d’un pied et demi de Fa
ris ; ainsi, en adoptant cette évaluation qui n’est rien

moins que rigoureuse, le degré mesuré par les Arabes

554 TE
aurait été trouvé de 63750 toises selon Albufeda, et de
53193 toises selon Almassoudi.

Jusqu'au commencement du XVILsiècle, on demeura
sans aucune mesure de la terre sur laquelle il füt possi-
ble de faire quelque fonds, mais la tentative ingénieuse
de Fernel (voy. ce mot) engagea plusieurs astronomes
à y procéder enfin d’une mauière plus géométrique et
plus exacte. Snellius entra le premier dans la carrière ,
et sil s'est trompé dans le calcul de ses triangles, ce qui
lui fit trouver pour la longueur du degré une quantité
moindre que celle qui résulte en réalité de son opéra-
tion, il lui reste la gloire incontestable d’avoir inventé
la méthode employée ensuite par les astronomes de
toutes les nations , méthode dont nous allons donner ici
une explication pour l'intelligence de ce qui va suivre.

Désignons par À, B,C, D, etc. (PI. 58, fig. 5), une
suite de lieux éminens comme des montagnes, des
tours, des clochers , au travers desquels doit passer la
méridienne. Ayant relevé avec un bon instrument les
angles que fontentre elles leslignes tirées de ces objets
les uns aux autres, et formé par ce moyen une suite de
triangles liés entre eux, qui se termine aux extrémités
de la ligne à mesurer, on mesure l'angle que fait un
des côtés de ces triangles avec la méridieune, ce qui
donne le moyen de déterminer la nosition de tous les
autres côtés par rapport à cette ligne. Ceci fait , on me-
sure, daus quelque endroit commode, comme une plaine,
une longue base LM et par des opérations trigonomé-
tiques on en conclut la longueur d’un côté d'un des
triangles voisins, AB par exemple. Ce côté étant une
fois connu, il est facile de calculer la longueur de tous
ceux de la suite des triangles, et, par leur position con-
nue avec la méridienne, les parties de cette méridienne
Ab, Bc, Cd, etc., comprises entre les parallèles passant
parA,B,C,D, etc. On a par l'addition de toutes ces
parties la longueur de l'arc du méridien compris entre
les parallèles des lieux extrêmes. Il ne reste donc qu’à
mesurer la différeuce en latitude de ces lieux extrêmes,
et l’on connait par la à quelle portion du méridien ré-
pond la longueur trouvée d’où l’on conclut la longueur
du degré et celle de la circonference. Pour plus grande
exactitude et comme moyen de vérification , on doit
détermiuer à l'extrémité de la suite de triangles, oppo-
sée à la base , une nouvelle base comme NO, et si la
valeur mesurée de cette nouvelle base est la même que
celle qui résulte du calcul , en la liant avecun dernier
côté HI, on est assuré qu'il n’y a d'erreur nulle part,

C’est par cette méthode que Snaellius mesura un
arc de 1° 11° 30° sur la méridienne de Berg-op-/oom,
mais, ainsi que nous l'avons dit, il se trompa dans
ses calculs, ce qui luifit estimer le degré terrestre à
53021 toises. La mort l’empêècha de rectifier son erreur
dont il s'était aperçu, et ce fut Muschenbroek, entre les

TE
mains duquel ses manuscrits tombèrent , qui calcula de
nouveau tous les triangles de Snellius, d'après les cor-
rections qu'il y avait faites; il trouva par ce moyeu
57033 toises pour la valeur du degré.

Cette rectification de la mesure de Snellius n'eut
lieu qu'après la célèbre mesure opérée par Picard ; dans
l'intervalle, Riccioli avait entrepris une opération sem-
blable, d’autres savans s'étaient également livrés à de
grands travaux sur le même sujet, mais tous leurs ré-
sultats étaient tellement discordans que l'Académie des
sciences crut devoir s'occuper sérieusement de cette
question intéressante, et qu’elle chargea Picard, déjà
célèbre par plusieurs observations très-délicates, de
mesurer de nouveau un degré terrestre dans les envi-
rons de Paris. Il l’entreprit et l’exécuta dans les années
1669 et 1670. Cette mesure, opérée avec un degré de
précision jusqu'alors inconnu, fixa la longueur du degré
terrestre à 57060 toises. On a signalé depuis quelques
légères erreurs dans les opérations , mais il est rigou-
reusement prouvé qu'elles peuvint entrainer tout au
plus une différence d’une trentaine de toises sur Ja lon-
zueur du degré. On ne doit pas oublier que c’est en
recommençant, avec le degré de Picard , tous ses cal-
culs abandonnés sur la foi d'une fausse évaluation du
degré terrestre, que Newton a été mis sur la voie de ses
immortelles découvertes, (707. Gravit.)

La France venait de donner au monde savant la pre-
mière détermination véritablement approchée de la
graudeur de la terre, lorsque tout à coup la question
vint se représenter sous une face nouvelle et bien autre-
ment compliquée. Le roi sur la proposition de l'Acadé-
mie des sciences, ayant envoyé Richer à Cayenne pourdi-
verses observations astronomiques, ce savant remarqua
que son horloge retardait tous les jours d’environ deux
minutes et demie sur le temps moyen, quoiqu'il eût
donné au pendule la même longueur qu’en France , et
il fut obligé pour la régler de raccourcir ce pendule
d'une ligne un quart. L’anncnce de ce phénomène
excita l’étounement des as ronomes et on le regardait
comme très douteux lorsque, quelquesannées après, Va-
rin et Deshayes, envoyés en divers lieux de la côte d’A-
frique et de l'Amérique pour y observer, remarquèrent
le même fait dans les lieux voisins de l’équateur; la
quantité dont ils furent forcés de raccourcir leur pen-
dule fut encore plus considérable que celle de Richer.
Ces observations ne permettant plus de douter que la
longueur du pendule à secondes ne variät sous les diffé-
rentes latitudes, Huygens, qui par sa belle théorie des
forces centrales eût pu annoncer le phénomène à priori,
en rechercha les causes et recennut promptement que
la principale résidait dans la rotation de la terre sur son
axe(voy. Pexpuce). Mais ce qu’il ya de vraiment re-
marquable dans son travail, c’est qu’il fut conduit par

TE

la suite de ses réflexions à conclure que la terre n’est
point exactement sphérique, comme on l'avait cru jus-
qu'alors, mais qu’elle est aplatie vers les pôles et ren-
flée sous l'équateur. Il tenta même de calculer la quan-
tité de laplatissement ou la différence entre le dia-
mètre de l'équateur et celui des pôles et la trouva

ï

égale à 25, c’est-à-dire, qu’en prenant le nombre 578

pour représenter le diamètre équatorial, celui des pôles
serait représenté par 57.

Dans le même temps, Newton, par une application
de sa nouvelle théorie de la gravitation , arrivait à
la même couclusion, seulement il fixait la quantité de
laplatissement à +, ce qui diffère beaucoup moins
des évaluations modernes.

Dass l'hypothèse de la terre aplatie, un seul degré
est insuffisant pour déterminer ses dimensions, et il de-
venait d’ailleurs intéressant de mesurer plusieurs de-
grés pour comparer les résultats de l'expérience à ceux
de la théorie. Ces considérations frappèrent le gouver-
nement français, toujours prêt à favoriser le progrès des
sciences, et il ordonna que non seulement la mesure de
Picard serait vérifiée, en y employant tous les moyens
nouveaux que la perfection sans cesse croissante des in-
strumens et des théories avaient fait découvrir, mais
eucore que la méridicnne serait prolongée à travers la
France jusqu'à Dunkerque vers le nord, et jusqu'à
Collioure vers le midi ; ce qui comprenait une étendue
d'environ 8 degrés. Lahire fut chargé de la partie du
nord, et Dominique Cassini de celle du midi : il résulta
de toutes ces opérations que la longueur moyenne du
degré terrestre en France était de 57051 toises. Persua-
dés par un singulier paradoxe géométrique que si la
terre est un sphéroïde aplati vers les pôles , les degrés
terrestres doivent diminuer de longueur en allant de
l'équateur vers les pôles, et ne setenant peut-être pas
assez en garde contre les illusions que ce préjugé pou-
ait faire naître, les auteurs de ces nouvelles mesures
trouvèrent que les degrés terrestres diminuaient de
longueur du midi au nord , et se hâtèrent de publier
ce résultat avec d'autant plus de confiance qu'ils
croyaient par là confirmer laplatissement de la terre
regardé alors généralement comme très - probable.

Pendant plusieurs années on demeura convaincu que
les observations s'accordaient avec la théorie, du moins
quant à la conséquence générale, mais enfin les géo-
mètres vinrent ébranler cette confiance en démontrant
rigoureusement que cet accord prétendu des observa-
tions et de la théorie reposait sur un faux raisonne-
ment et que, bien loin d’aller en décroissant de l’'équa-
teur au pôle, les degrés d'un sphéroïde aplati vers
ses pôles devaient aller en croissant à partir de l’équa-
teur, Le paralogisme géométrique sur lequel l’erreur
se trouvait fondée est trop spécieux pour que nous n’en

TE 5355
donnions pas ici la solution, car il est encore beaucoup
de personnes qu’il pourrait séduire puisqu’il a pu trom-
per des mathématiciens très imstruits.

Si laterre était une sphère parfaite, le méridien ter-
restre serait une demi circonférence de cercle, et en le
divisant en 180 degrés égaux, les rayons tirés des
points de divisions au centre de la sphère formeraient
180 angles égaux, chacun d’un degré. Ces rayons, pro-
longés indéfiniment, diviseraient en 180 degrés égaux
le méridien céleste, de sorte que les divisions du mé-
ridien terrestre seraient exactement correspondantes à
celles du méridien céleste. Réciproquement, si l'on
supposait d'abord le méridien céleste divisé en 120 de-
grés égaux, les droites, menées des points de divisions
au centre de la terre, diviseraient le méridien terrestre
en 150 degrés égaux. Tout ceci est évident, Or, on ne
connaît le nombre des degrés d’un arc du méridien
Lerrestre que pr celui de Parc correspondant du mé-
ridien céleste : si deux points A et B, par exemp'e, du
méridien terrestre sont situés de telle manière que le
zéuith du point À soit éloigné du zénith du point B
de la quantité d’un degré, ou que ces deux zéniths in-
terceptent un arc d’un degré sur Île méridien céleste,
la distance de ces deux points sera d’un degré terrestre,
Où sait que le zénith d'un point de la terre est à l’ex-
trémité de la verticale élevée de ce point, ou, en d’au-
tres termes, qu'il est l'intersection du méridien céleste
par la perpendiculaire élevée du point en question sur
la surface de la terre, c’est-à-dire, sur le plan tangent
à ceite surface que l’on conçoit passer par le point.
Ainsi c'est uniquement l’angle formé par les verticales
de deux points de la sui face de la terre qui détermine
l’arc du méridien compris entre ces points, et s’il est
très-vrai que dans le cas d’une sphère parfaite toutes
les verticales concourent au centre, il n’en est plus de
même déns le cas d'un sphéroïde aplati , comme aussi
les degrés de ce sphéroïde ne peuvent plus être égaux
entre eux et sont nécessairement plus grands dans la
partie aplatie. C’est ce que nous allons rendre évi-
dent.

Soit ACDB (PI. 58, fig. 6) une ellipse dont AB est le
grand axe et CD le petit; supposons que de chacun des
points mr, n, 0, p, etc. de l'arc AC on ait mené des per-
pendiculaires aux tangentes à la courbe, dont ces points
sont les points de contact, les intersections de toutes
ces perpendiculaires engendreront la courbe EFGHI
qui sera la développée du quart d’ellipse AC (voy. Dé-
VELOrȃE), et chacune de ces perpendiculaires sera le
rayon du cercle osculateur où le rayon de courbure du
point de l’ellipse auquel elle répond. Ceci posé, il est
évident qu’en considérant la demi ellipse CAD comme
un méridien terrestre, les zéniths des divers points m,

n,0,p, etc. se trouveront sur le prolongement des

556 TE

perpendiculaires de la courbe à ces points. Ainsi, pour
ne considérer que les arcs extrêmes, les zéniths des
points C et r seront sur le méridien céleste en Z et Z',
et les zéniths des points À et »1en Z"et Z"; maintenant
si les arcs célestes ZZ' et Z'Z" sont égaux et chacun d’un
degré, les angles des verticales savoir, Z'EZ" et ZIZ’
seront égaux et les arcs terrestres A7 et Cz seront
chacun d’un degré terrestre. Mais ces arcs Am et Cz
pouvant être considérés comme appartenant à des
cercles dont les rayons sont 72E et CI, leurs longueurs
sont proportionnelles à celles de ces rayons, puisqu'ils
sont chacun la même partie aliquote de la circonférence
dont ils font partie. Donc l'arc d'un degré terrestre
Am, situé dans la partie allongée de l’ellipse, est plus
petit que l'arc d'un degré terrestre Cz situé dans la
partie aplatie, et il en résulte rigoureusement que, si
la terre est aplatie vers les pôles, les degrés terrestres
du méridien doivent être plus petits vers l'équateur
que vers les pôles ou doivent aller continuellement en
croissant à partir de l'équateur.

Voici maintenant la cause de l'erreur dont nous
avons parlé. Ne remarquant pas que les perpendicu-
laires à l’ellipse ne sont pas comme celles du cercle
qui concourent au centre, pour déterminer les degrés
de l’ellipse, on décrivait sur son axe AB (PI. 58, fig. 7)
un cercle qu'on divisait en degrés, après quoi l’on tirait
des rayons aux points de divisions , et comme l'angle
d’un degré GCB vers la partie allongée intercepte un
arc elliptique EB plus grand que l'arc EF intercepté
par l'angle d'un degré ICH vers la partie aplatie, on
en concluait que l'aplatissement de la terre vers les
pôles entrainait un décroissement des degrés terres-
tres à partir de l'équateur.

Il suffisait de signaler une telle erreur pour qu’elle
fût immédiatement reconnue , et les auteurs des nou-
velles mesures se trouvèrent dans l'impossibilité de re-
pousser les démonstrations qu’on leur opposait. Mais
ne voulant pas abandonuer des observations qu'ils re-
gardaient comme très-certaines, ils se virent enfin con-
traints d'avancer que la terre était un sphéroïde
allongé vers les pôles. De nouvelles mesures prises en
1733 et1734, non plus sur le méridien, mais sur un
cercle de latitude, semblèrent devoir fortifier cette
singulière conclusion, et pendant l’espace d’environ
quarante ans la terre demeura , pour la France, un

sphéroïde alongé malgré Huygens et Newton.

TE

On ne peut prévoir combien de temps encore ce
scandale scientifique aurait duré si le gouvernement
français n'avait enfin pris à cœur les objections que
quelques géomètres renouvelaient de temps en temps
contre un système qu'ils ne pouvaient concilier avec
les lois de l’hvdrostatique. Ils soutenaient qu’en suppo-
sant même que les observations faites en France eussent
toute l'exactitude possible, les différences entre les de-
grés consécutifs étaient trop petites pour être parfaite-
ment saisies, et qu’il était impossible de rien conclure
de raisonnable avant d’avoir mesuré des degrés en des
endroits très-éloignés les uns des autres. Des opérations
nouvelles furent donc ordonnées , et, pour qu’elles fus-
sent décisives on se décida à faire mesurer uu degré
près de l'équateur et un autre près du cercle polaire.

Godin, Bouguer et La Condamine partirent en 1935
pour le Pérou, et l’année suivante Maupertuis, Clai-
raut, Camus et Lemonnier, auxquels se joignirent
l'abbé Outhier, correspondant de l’Académie, et l’as-
tronome suédois Celsius, allèrent en Laponie. Les
premiers, par suite de toutes les difficultés qu'ils ren-
contrèrent dans leur voyage, ne purent revenir en
France qu'environ sept ans après leur départ; les se-
conds ne restèrent que seize mois absens. Tout ce que
nous pouvons dire ici de ces belles expéditions, c’est
qu'elles résolurent la question en faveur de l’aplatis-
sement des pôles et que les Cassini eux-mêmes eurent
le noble courage, après avoir vérifié toutes leurs an-
ciennes mesures, de reconnaître publiquement qu'ils
avaient commis quelques erreurs et que leurs nouveaux
travaux concouraient à p'ouver que la terre est un
sphéroïde aplati vers les pôles. La longueur du degré
du méridien, mesuré à l'équateur, fut trouvée de
56753 toises, et celle du degré en Laponie, sous une
latitude moyenne de 66° 20°, de 57422 toises. C'est
dans la vériñcation des degrés de la France, faite par
Cassiui de Thury, aidé de Lacaille, qu’il fut constaté
que la toise dont Picard s'était servi n’était pas la
même que celle qui fut employée au Pérou et qui est
devenue le module de toutes les mesures prises plus
tard pour la détermination du mètre.

En rassemblant les résultats des opérations dont nous
venons de parler, ainsi que de quelques autres, exécu-
tées par des astronomes étrangers, à peu près vers le
même temps, nous aurons le tableau suivant :

TE

LONGUEURS
des

DEGRÉS EN TOISES.

LATITUDE
du

MILIEU DU DEGRÉ:

Ou 167 56753
330 16 À 57037
39 12 56888
43 I 56979
44 44 71024
45 0 57028
45 57 56881
48 43 57086
49 25 57069
66 20 59422

NOMS

DES OBSERVATEURS.

ge né 0

Bouguer, Godin, La Condamine , au Pérou.
Lacaille , au Cap.

Mason et Dixon , aux Etats-Unis.

Boscovich et Maire, Etats-Romains.

Beccaria, en Piémont.
Cassini de Thury, Lacaille, France.
Lisganig, Hongrie.

Id.
Picard (corrigé), France.
Maupertuis, Lemonnier, Suède.

Tous ces degrés sont dans l'hémisphère boréal, sauf
le second mesuré par Lacaille dans l'hémisphère aus-
tral. Nous devons faire observer en outre que l’exac-
titude des observations de Lisganig a été mise en
doute.

Si l’aplatissement de la terre vers les pôles résulte
positivement de ces mesures, il n’est guère possible
d’en rien conclure sur la nature de la courbe du méri-
dien ni sur la quantité de l’aplatissement, car en les
combinant deux à deux, pour en déduire le rapport des
axes de l’ellipsoïde supposé, on obtient des résultats en-
tièrement discordans. Par exemple le degré du Pérou
comparé à celui du cercle polaire donne pour lapla-

:

tissement -+- ,

tandis que, comparé avec le degré de

31

Picard , il donne ;?-; le degré austral comparé à celui

de l'équateur doune ;,. Euler (4cad. de Berlin, 1752),
en discutant ces résultats, a trouvé que les degrés du
Pérou, de la Laponie, et le degré austral se concilient
assez heureusement avec la figure elliptique et donnent

un aplatissement de 5, mais le degré de la France
se refuse absolument à cette conciliation.

Les différences qui se font remarquer dans ces rap-

TOUL IE,

ports ont fait penser que les méridiens de laterre n’é-
taient pas des ellipses , ni même des courbes semblables.
La mesure de Lacaille, du degré austral, mesure
faite avec la plus stricte exactitude, semble annoncer en
outre que l’aplatissement est plus considérable dans
l'hémisphère austral que dans l'hémisphère boréal. Dans
la grande mesure des douze degrés opérée par Delambre
et Méchain, pour l'établissement du nouveau système
métrique français (voy. Mrsure), on remarque dans
un certain nombre de ces degrés une marche irré-
gulière , des sauts brusques, qui s’écartent de la figure
elliptique. Cependant on ne fera guère d’erreur bien
sensible en considérant la totalité d’un méridien
comme elliptique : c’est du moins ce qui résulte des me
sures les plus nouvellesexécutées par les savans anglais,
sur des bases plus larges et avec les précautions les plus
minutieuses.

Comme nous ne pouvons entrer dans les détails de ces
opérations, nous allons , pour terminer tout ce qui a
rapport aux mesures des degrés terrestres, réunir dans
un tableau, en les exprimant en mètres, celles que l'on
regarde comme les plus exactes.

6S

538 TE TE
AMPLITUDE | LATITUDE | LONGUEUR NOMS

CONTRÉE. de du du . +
L'ARC MESURÉ. | MILIEU DE L'ARC.|DEGRÉ EN MÈTRES. PET CREER

oo mm mm

Suède. 1° 37 19” 66° 20' 40” 111 498 Syanberg.

Russie. 3 35 où 58 17 37 111 362 Struve.

Angleterre, 3 57 13 D2 35 45 111 241 Roy, Kater.

France, S 20 00 46 52 02 INT 911 Lacaille , Cassini.

France, 12 22 13 44 51 02 111 105 Delambre , Méchain.

Rome. 2. Q47 42 59 00 111 025 Boscovich.

Etats-Unis. 1 28 49 39 12 00 110 580 Mason , Dixon.

Cap. 13 19,9 33 18 30 111 103 Lacaille.

Inde. 15 57 40 16 08 22 110 653 Lambton , Everest.

Inde. 1 34 56 1909 21 110 644 Lambton.

Pérou. 3 7 35 1 31 00 110 282 Bouguer, La Condamine.

L'ensemble de ces mesures donne les dimensions gé-
nérales suivantes pour le globe terrestre :

Diamètre équatorial... 12554863 mètres.

Diamètre polaire... 12712251

Différence où aplat.….. 42612
Ainsi le rapport des deux diamètres de la terre est à
peu près celui de 298 à 299 , ou l’aplatissement est un
peu plus grand que ,1:.

Ce dernier résultat s'accorde trop exactement avec
ceux qu’on obtient par d’autres moyens, dont nous
allons parler, pour qu'il soit hors de doute que les di-
mensions de la terre sont connues aujourd’hui à un
degré satisfaisant d’approximation. En effet, nous
avons dit que, depuis l'expérience de Richer, il avait
été généralement reconnu que le pendule à secondes
varie de longueur sous les différentes latitudes et que
la cause principale de cette variation est la rotation de
la terre sur son axe, rotation qui doit donner aux
corps situés à la surface une force centrifuge dont l'effet
est de neutraliser une partie de la force de la pesanteur,
en vertu de laquelle ces corps tendent vers le centre.
Or, le mouvement d’un pendule est produit par la chute
du corps pesant qui le compose , et, toutes choses éga-
les d’ailleurs, la vitesse de la chute doit être évidem-
ment d'autant plus grande que la force qui la déter-
mine a plus d'intensité. Nous avons vu autre part (voy.
Pexpure) que c’est la vitesse acquise dans la chute qui
force, par la résistance du point de suspension, le pen-
dule àremonter, de sorte que la durée d’une oscillation
est intimement liée avec l'intensité de la force de la
pesanteur et donne les moyens de la déterminer com-
parativement. Mais la force centrifuge due à la rota-

tion de la terre et qui agit en sens inverse de la pesan-
teur est nécessairement la plus grande à l'équateur, et
doit aller continuellement en décroissant de l’équateur
vers le pôle, puisque les cercles décrits dans la même
durée de 24 heures par les divers points d'un méridien
terrestre sont d'autant plus petits que ces points sont
plus près du pôle, où la force centrifuge devient nulle.

Ainsi, dans le cas où la terre serait une sphère par-
faite, comme à tous les points de sa surface la force de
la pesanteur serait la même , les modifications de cette
force constante , par l'influence des diverses forces cen-
trifuges, dont les corps placés à ces points sont animés,
suivraient exactement les lois de l’accroissement régu-
lier de la force centrifuge , depuis le pôle où elle est
vulle , jusqu’a l'équateur où elle est la plus grande; et,
d’après la théorie des forces centrales, connaissant le
nombre des vibrations d’un pendule, d’une longueur
invariable , sous une latitude donnée et pendant une
durée quelconque , on pourrait calculer exactement le
nombre des vibrations qu’il exécuterait pendant la
même durée de temps sous toute autre latitude. Mais
si la terre n’est point une sphère parfaite , les résultats
de l'expérience ne pourront plus s’accorder avec ceux
du calcul, et cette différence produite par l'influence
de la forme particulière de la terre peut devenir,
comme nous allons le voir, un moyen de déterminer
cette forme.

La pesanteur ou la gravité d’un corps, abstraction
faite de la force centrifuge, résulte, comme nous l’avors
dit ailleurs, de l'attraction de la terre; cette attraction
n’est pas une force simple , mais une force composée
produite par les attractions réunies de toutes les parti-

TE
cules de matière dont la terre est composée, car l’attrac-
tion en général n’est pas une tendance de la matière à
se porter vers un centre particulier, mais c’est une pro-
priété que possèdent toutes les particules matérielles de
marcher à la rencontre les unes des autres, et de presser
coutre l’obstacle qui s’opposerait à cette réunion. Donc,
si la terre était une sphère parfaite, l’attraction qu’elle
exercerait sur un corps placé à sa surface au pôle ou à
l'équateur serait toujours la même par une raison de
symétrie, tandis qu’il est évident que si la terre a une
toute autre figure , la même symétrie n’existant pas, le
même résultat ne peut plus avoir lieu. Un corps situé
sous l'équateur et un second corps parfaitement égal
situé au pôle d’un sphéroïde aplati, se trouveront dans
des conditions géométriques essentiellement différentes
par rapport à la masse de ce sphéroïde, et il en résultera
nécessairement une différence dans les forces attractives
qui agissent sur les deux corps. Sans entrer dans de plus
grands détails, on voit assez clairement quela force de la
pesanteur ne peut être constante sur tous les points d’un
méridien elliptique et qu'elle doit aller en décroissant
du pôle où elle est la plus grande jusqu’à l'équateur où
elle est la plus petite.

Il ya donc sur le sphéroïde aplati deux causes qui
concourent à diminuer l'intensité de la force de la pe-
santeur, et conséquemment qui tendent à modifier la
vitesse d’un même pendule qu'on transporte en des
lieux différens. L'influence de l’une de ces causes, la
force centrifuge, étant connue, si la modification totale
est donnée par les expériences , il devient alors possible
de déterminer l'influence de la seconde cause, et
comme celle-ci dépend en dernier lieu de la dif-
férence des deux axes du sphéroïde , le pendule vient
done offrir un moyen précieux pour trouver cette dif-
férence ou la quantité de l’aplatissement de la terre.

D’après de nombreuses expériences faites sur la lon-
gueur du pendule à secondes , sous toutes les iatitudes
accessibles à l’homme, la différence totale de la pesan-
teur à l’équateur et au pôle est -?-de la pesanteur au
pôle; ainsi, comme la quantité dont la force centrifuge
diminue la pesanteur à l'équateur est seulement -!-
(voy. CenrraL), la différence de ces deux fractions, ou
5553 6st la diminution de Ja pesanteur due à l'aplatisse-
ment de la terre, ce qui donne -!- pour la valeur de
cet aplatissement. M. Mathieu , par la comparaison des
six mesures absolues du pendule, opérées sur la méri-
dienne lors des grands travaux du nouveau système
métrique, a conclu un aplatissement de —"

298713

Le problème de la figure de la terre n’a pas moins
occupé les géomètres que les astronomes , et tandis que
ces derniers s’efforçaient de le résoudre à l'aide d'opé-
rations longues et pénibles, les premiers ne craignaient
pas de l’aborder directement et demandaient sa solution

19 ne

TE 559
à une théorie encore dans l'enfance. Si jusqu'ici les
théoriciens paraissent avoir été moins heureux que les
expérimentateurs, on ne doit pas oublier que c’est la
théorie qui a signalé la première l’aplatissement du
globe terrestre , et que c’est d’elle seule que l'on doit
attendre l’éclaircissement d’une question liée si intime-
ment à la construction mécanique de l’univers. Nous
avons dit plus haut que la découverte de l’aplatisse-
ment de la terre avait été faite en même temps par
Huygens et Newton ; comme le premier avait une idée
beaucoup moins exacte de la cause et de la mesure de
la pesanteur que Newton, son évaluation ne peut être
mentionnée aujourd'hui que pour l'histoire de la
science; cependant comme la base de son raisonnement
est exactement la même que celle sur laquelle Newton
fonde une évaluation très-différente, nous croyons de-
voir l'indiquer ici.

Qu'on imagine deux canaux tirés l’un du centre de la
terre à un point de l'équateur , l’autre du même centre
au pôle et rempli l’un et l’autre d’un même fluide. Ils
seraient égaux en longueur, si la terre était en repos ;
mais la rotation de la terre diminue daus le premier de
ces canaux le poids de chaque particule de fluide de
la quantité de la force centrifuge que produit la rota-
tion dans chacune d'elles. D'un autre côté, cette force
centrifuge croît pour chaque particule en raison de sa
distance au centre, c’est-à-dire, arithmétiquement. On
a donc une somme de poids égaux, dont le plus éloigné
est diminué de tout l'effort de la force centrifuge, tan-
dis que le plus voisin du centre n’éprouve aucune dimi-
nution et que les poids intermédiaires en reçoivent de
proportionnelles à leurs distances au centre ; ainsi le
poids total éprouve une diminution qui est la moitié de
ce qu'elle serait si toutes les parties qui le composent
étaient à la plus grande distance. Or, dans ce dernier
cas, la diminution serait de =, car à l’équateur la force
centrifuge est + de celle de la gravité; ainsi le canal
étendu du centre à l’équateur éprouvera une diminu-
tion de poids égale à /a moitié d'un deux cent quatre-
vingt neuvième, C'est-à-dire, +=, et par conséquent
pour contrebalancer celui qui est étendu du centre au
pôle et sur lequel la rotation ne produit aucune dimi-
nution de poids, il devra avoir + de longueur de
plus. Donc le rapport du demi-axe, ou rayon polaire,
au rayon équatorial doit être celui des nombres 578 et
579, d'où il résulte {= pour la quantité de l’aplatisse-
ment.

Mais la gravité sur la terre étant le résultat de l’attrac-
tion mutuelle de toutes les parties de la terre en raison
inverse des carrés deleurs distances respectives, les par-
ticules plongées dans l'intérieur d’une sphère pèsent
moins vers le centre que celles qui sont situées à sa sur-

face , et il en est de même dans un sphéroïde peu dif-

540 TE

férent dela sphère. Ainsi en considérant, comme Huy-
gens, deux canaux qui se font équilibre, Newton tient
compte de cette diminution de tendance ou de pesan-
teur vers le centre qui résulte pour chaque particule
de sa situation dans l’intérieur de la sphère, et larend
plus sensible à l'effet de la force centrifuge, d'où résulte
un plus grand alongement du canal équatorial. Quant
à la détermination de la quantité de cet alougement,
les moyens directs de calcul manquant à Newton, il y
parvint par une méthode détournée , mais très ingé-
nieuse, ettrouve que le demi-axe étant représenté par
230, le rayon équatorial le sera par 231,c’est-a-dire que
l’aplatissement est —.

Lorsque les mesures de Cassini, qui paraissaient con-
tredire la théorie de Newton, eurent fait soutenir l’o-
pinion opposée d’un alongement vers les pôles du
sphéroïde terrestre , plusieurs grands géomètres repri-
rent en sous œuvre toute celte théorie, et, partant
toujours de la considération des deux canaux en équi-
libre et de l'hypothèse que la terre avait été dans l'ori-
giue une masse fluide homogène, ils essayèrent de trai-
ter le problème par des méthodes directes de calcul,
Stirling (Trans. philosoph., 1735), que nous devons
citer le premier parmi ceux qui se livrèrent à ce genre
de recherches , découvrit un théorème très-élégaut au
moyen duquel il arrive à une évaluation de l'apiatisse-
menttrès peu différente de celle de Newton. Suppo-
sant un sphéroïde homogène engendré par la révolu-
tion d’une ellipse autour de son petit axe, Surling exa-
mine quelle doit être la direction primitive ainsi que
la quantité de la pesanteur à chacun de ses points. Frou-
vant que, dans un pareil sphéroïde en repos, une parti-
cule ne saurait rester sur la surface sans rouler du côté
des pôles, et qu’ainsi un fluide , dont serait recouvert
un tel sphéroïde à une petite profondeur , ne pourrait
demeurer en équilibre, il conclut que ce sphéroïde
doit avoir une rotation sur son axe pour que les corps
pesans tendent perpendiculairement à sa surface et il
détermine la vitesse du mouvement. Le calcul fait voir
à Stürling qu’alors la force moyenne de la pesanteur sera
à la force centrifuge, en un point quelconque , comme
le produit du diamètre moyen par le sinus total est au
produit des + de la différence des axes de l’ellipsoide
par le cosinus de la latitude. C'est-à-dire qu’en dési-
goant par D le diamètre moyen, pare la différence des
axes , par R le rayon des tables des sinus, et par À la la-
titude d’un point terrestre , le rapport de la force
moyenne de la gravité à la force centrifuge sera pour
ce point

5D.R

4e.cos à

Pour un point situé à l'équateur on à à = 0,

TE

cos à — 1; ainsi, prenant le diamètre D qui est alors
le diamètre équatorial pour unité, le rapport de la
5

Ze 0r on
4e
sait que la dernière est sous l’équateur ;;- de la pre-

gravité à la force centrifuge est à l'équateur
mière ; donc

— 289, d’où e — EG

5

4e

I résulte de cette différence que si l’on représente le
diamètre équatorial par le nombre 1156, le diamètre
polaire le sera par le nombre 1151, c’est-à-dire, que
ces diamètres sont entre eux comme ces nombres ou,
plus simplement, comme les nombres22get 230, et que
la quantité de l’aplatissement est >, ce qui ne dif-
fère que d'une manière peu sensible du nombre -
trouvé par Newton à l'aide de sa méthode indirecte.
Sürliüg venait à peine de publier son théorème que
Bouguer, Maclaurin etsurtoutClairaut se livrèrent à un
nouvel examen de la question en employant diverses
hypothèses sur la composition de la terre et les densités
de ses couches concentriques, Clairaut démontra que,
quelle que soitla variation qui existe dans les densités des
couches terrestres, laplatissement doit être plus petit
que :5, , qui répond au cas de l’homogénéité , et en
cela il se rapproche des expériences qui nous font éva-
l'aplatissement de la terre. D’Alembert,

LUE:
a Jo0

luer
Euler, Lagrange et Laplace vinrent ensuite généraliser
de plus en plus la question en apportant les moyens
puissans de calcul dont ils ont enrichi la science, et
nous pouvons dire que tout ce qui était alors humaine-
ment possible a été fait par ces illustres géomètres.
Mais malgré tant d'efforts le problème demeure encore
sans solution, car les données physiques manquent
complètement, et aucune des hypothèses aveclesquelles
ona voulu l’attaquer n’est revêtue d’une probabilité assez
élevée pour qu’on puisse s’y abandonner avec confiance.
Pour être traité d’une manitre directe et rigoureuse ,
ce problème exigerait qu’on connût la nature des forces
élémentaires et primitives de la matière, ainsi queles lois
que suivent ces forces dans leur équilibre pour coustituer
lestrois états distincts de gazéite, de fluidité et de solidité
sous lesquels la matière nous apparait; sans cette con-
naissance, toutes Îles tentatives que l’on voudrait faire
dans le but de reconnaitre et d’expliquer la forme des
corps célestes en général et de la terre en particulier
pe pourront jamais conduire qu’à des résultats hypo-
thétiques dont l’expérience seule peut constater le plus
ou le moins de valeur, puisque la construction de ces
corps, par l'équilibre de la matière, dépend évidem-
ment de la construction de la matière elle-même.
Nous devons donc plus particulièrement jusqu'ici nous

TE
en tenir, pour l'évaluation de l’aplatissement de la
terre, aux résultats de la mesure des degrés du méridien
et des observations du pendule, et adopter le nom-

bre -=

=, comme celui qui représente le mieux cet apla-

tissement.

Quoique le nombre ,!, soit assez considérable lors-
qu'il s’agit des dimensions absolues du globe terrestre,
il est presque impossible d’en tenir compte dans la
construction des sphères qui servent à le représenter,
car pour un sphéroïde dont le demi grand axe aurait ,
par exemple, 6 décimètres, l'aplatissement ne serait
que de 2 millimètres, et une si petite quantité
serait entièrement insensible à la vue, si l'on par-
venait à la représenter avec exactitude. Il en est de
même, à plus forte raison, des montagnes dont la plus
hautene dépasse pas de beaucoup, en ligne verticale, la
longueur d’une lieue marine de 20 au degré; le diamè-
tre de la terre contenant environ 2292 de ces lieues,
on ne pourrait représenter une telle montagne sur un
globe de 6 décimètres de diamètre que par une saillie
à peine sensible au toucher , mais entièrement insensi-
ble à l'œil, On peut donc continuer à représenter la
terre par une sphère parfaite, car les aspérités de sa
surface comparées à son volume sont beaucoup moins
considérables que les petites aspérités qui se rencon-
trent sur la peau d’une orange.

Si le problème de la figure de la terre est encore
compliqué de difficultés insurmontables, il n’en est pas
de même des questions relatives aux mouvemens dont
ce globe est animé. Ici la marche de la science est
certaine, ses procédés sont rigoureux et la théorie et les
faits viennent se prêter un mutuel appui. Nous savons
eufin que la terre n’est pas immobile au centre de l’Uni-
vers, comme on l’a cru pendant si long-temps, mais
qu’elle est douée de deux mouvemens distincts dont l’un,
sous le nom de mouvement diurne, est une rotation
sur son axe qu’elle effectue en 23! 56 4", et dont l’au-
tre, sous celui de mouvement annuel, est une révolu-
tion autour du soleil qu’elle accomplit dans la durée
d’une année. Les diverses particularités de ces mouve-
mens ayant été déja l’objet de plusieurs articles, nous
devons nous borner ici à en présenter le résumé.

La terre décrit autour du soleil une ellipse dont il
occupe l’un des foyers, et qui est située dans le plan de
lécliptique. Ce mouvement est prouvé théoriquement
comme une conséquence nécessaire des lois de la gravi-
tation universelle (voy. Arrracrion et Graviré), et il
se manifeste empiriquement dans le phénomène de
l’aberration de la lumière ( voy. Asrrrarion ). Sa du-
rée périodique, qui détermine celle de l'année, est de
3651 54 48° 51"; pendant ce temps le soleil, par une
illusion optique, nous parait parcourir l’écliptique
d'Occident en Orient,

TE 544

La moyenne distance de la terre au soleil ‘étant sup-
posée de 100000 partiss, l’excentricité de son orbite,
c'est-à-dire, la distance d’un des foyers de l'ellipse à son
centre, est de 1679 de ces paities (voy. Excenriicrré);
ainsi lorsque la terre est à sou aphélie, où au poiut de
son orbite le plus éloigné du soleil, sa distance de cet
astre est de 101679 parties, et lorsqu'elle est à sou pé-
rihélie elle en est distante de 98321 de ces mêmes
parties. Sa plus grande distance est donc à sa plus pe-
lite à peu près comme 30 est à 29.

Le mouvement de rotation de la terre sur son axe
s'effectue d'Occident en Orient dans un intervalle de
23h 56" 4". Comme dans cet intervalle la terre s'est
avancée sur son orbite et que sa situation a changé par
rapport au soleil, un même méridien terrestre ne se
retrouve coïucider avec le soleil qu'après une rotation
eutière plus une petite partie de la rotation suivante,
de sorte qu’en rapportant au soleil la rotation de la
terre sur son axe, la durée de cette rotation est de
24 heures. C’est ce mouvement qui produit l'illusion
d’uu mouvement en sens inverse du soleil, des planètes
et des étoiles fixes. Dans son double mouvement de
rotation et de translation, la terre conserve toujours
son axe dans une même direction : on nomme cette
circonstance le parallélisme de l'axe de la terre. La ro-
tation de la terre se manifeste dans l'expérience par la
diminution de la pesanteur à l’équateur et par la dévia-
tion de la chute des corps, (Foy. DÉviaTioN.)

Le centre de la terre ne quitte jamais le plan de
l’écliptique avec lequel son axe fait un angle de 20 de-
grés et demi. Cette inclinaison étant constante, du
moins à fort peu de choses près, il en résulte que le
soleil ne répond jamais perpendiculairement deux
instans de suite au même point de la surface de la
terre. C’est ce qui occasioune le changement des sai-
sons , ainsi que nous allous le faire voir.

La terre, dans sa révolution aunuelle autour du s0-
leil, ayant son axe de rotation AB (PI. 54, fig. 12) in-
cliné sur le plan de l’écliptique, a son mouvement de
rotation dans le plan de l’équateur EQ , de sorte que
chaque jour le soleil doit paraitre décrire un cercle pa-
rallèle à cet équateur. Mais ces cercles changent conti-
nuellement , car lorsque la terre est en Y, le soleil ré-
pond perpendiculairement à l’équateur et semble ce
jour-là décrire l'équateur lui-même, tandis que, lors-
que la terre est en Y, le soleil répond perpendiculaire-
ment au cercle du tropique MN, qu'il doit alors parai-
tre décrire. Dans les positions intermédiaires de la terre,
le soleil semble parcourir des cercles intermédiaires
entre l'équateur et le tropique. De & à 2 l'effet est
tout opposé; le soleil, après avoir paru décrire le tropi-
que MN, décrit chaque jour un cercle quise rapproche de
l'équateur jusqu’à ce que, la terre étant en >, il répond

542 TH

de nouveau perpendiculairement à l'équateur. Deen
% les cercles décrits sont entre l'équateur et l’autre tro-
pique TC, qui semble être décrit le jour où la terre
arrive au point %. Enfin de % en Y le soleil répond
successivement aux cercles intermédiaires entre TC et
EQ , et lorsque la terre, après une révolution, est de
retour dans le signe du bélier, l'équateur semble être
de nouveau décrit par le soleil.

Dans les deux positions extrêmes où le soleil répond
perpendiculairement à l'équateur, la durée du jour est
égaleà celle de la nuit; dans toutes les autres ces durées
sont inégales. L’inspection de la figure montre que les
plus grands jours ont lieu pour un hémisphère lorsque
lesoleilrépond à son cercle tropique. Dans nos contrées,
le printemps commence lorsque la terre est dans la b1-
lance, et que par conséquent le soleil nous paraît dausle
signe du bélier. Il en est de même pour toutes les au-
tres saisons , la terre se trouve réellement dans le signe
opposé diamétralement à celui quelesoleil paraît occuper.
La distance de la terre au soleil n’influe en aucune ma-
nières sur la chaleur des saisons , car c’est pendant l'hi-
ver que la terre parcourt la partie de son orbite où se
trouve le périhélie.

Voyez, pour tout ce qui a rapport à la terre, les mots
Précession, Nuration, PErTungariox, ANNÉE et SOLEIL.
Quant aux ouvrages que l’on doit consulter au sujet de
la détermination de sa figure, voici la liste des princi-
paux : Maupertuis, de La figure de la terre. Bouguer,
Jigure de la terre. La Condamine, mesure des trois pre-
miers degrés. Cassini, méridienne de Paris vcrifiée.
Clairaut, théorie de la figure de la terre. D'Alembert ,
recherches sur différens points du système du monde.
Lagrange, Mém. de Berlin, 177%. Laplace, mécanique
céleste.

TETE pu pracon. (4st.) Nom que l'on donne au
nœud ascendant de la lune ; on l'exprime par le carac-
tère Q.

TÉTRAGONE. (Géom.} Polygone de quatre côtés ;
on le nomme plas communément guadrilatère. (Foy.
ce mot.)

TÉTRAËDRE. (Gcom.) C'est un des cinq solides ré-
guliers. Il est compris sous quatre faces qui sont des
triangles équilatéraux égaux. (Voy. Pozxèpre et Récu-
LIER.)

TÉTRAPASTON. (Méc.) Nom que les anciens don-
naient à une machine composée de quatre poulies.
(Foy. Pour.)

THALES (de Milet). C’est à l’époque de la fonda-
tion de l’école ionienne, où ce célèbre philosophe exposa
ses doctrines et ses travaux , qu’il faut placer le com-

TH
mencément de la première période de l’histoire au-
thentique de la science, et celle des développemens ra-
tionnels de l'esprit humain; les connaissances vagues, les
notions incomplètes que pouvaient posséder , avant ce
temps, quelques nations, dont on a voulu reculer le
berceau et la civilisation dans un passé sans limites ne
constituaient point la science. Il fallut, pour mériter ce
nom aux premières tentatives de l'intelligence, qu'el-
les fussent vivifiées et agrandies par le génie brillant de
la Grèce. Thalès doit l’immortalité acquise à son nom
à ses heureux et nobles efforts pour initier sa patrie à
ce grand mouvement des idées qui, depuis lui, n’a pas
cessé d’agiter le monde et de guider l'esprit humain de
découvertes en découvertes,

Les historiens de l'antiquité et Diogène Laërce, qui
fut spécialement le biographe de Thalès, fixent l'épo-
que de la naissance de ce grand homme à l’an 640 avant
J.-C. Suivant un grand nombre d’historiens, ce père
de la philosophie grecque était Phénicien et ne vint
à Milet, qu'étant déja avancé en âge, mais le nom
de cette dernière ville est demeuré attaché au sien, et
nous nous conformons à l’usage, car ceci est fort im-
portant pour Fhistoire de la science, à laquelle Thalès
appartient spécialement. Son esprit ardeat et appliqué
à l'étude des grands phénomènes de la nature lui fit
prendre en pitié, dit-on, les connaissances qu'il était
possible d'acquérir dans son pays, et il résolut d'aller
chercher en Egypte des enseignemens plus élevés et plus
dignes de son génie. Ce qu’on a dit de Thalès, où l'a
dit depuis de Pythagore et de Platon. Mais il est au
moios extraordinaire que ces hommes, divinités par la
Grèce, dans son poétique enthousiasme pour les nobles
et grandes choses qu’ils lui révélèrent, rapportèrent tous
de l'Egypte un savoir que les prêtres si savans de ce
pays n'avaient pas même acquis plusieurs siècles après.
En effet, Plutarque rapporte que le roi Amasis fut dans
l'admiration de voir Thalès mesurer les pyramides ou
les obélisques par leur ombre, c’est-à-dire, probablement
par le rapport qui existe entre les corps verticaux et
leur ombre projetée sur un plan horizontal. Cette opé-
ration, dit l'historien des mathématiques, est la première
ébauche connue de cette partie de la géométrie qui
mesure les grandeurs inaccessibles par les rapports des
côtés des triangles. Thalès était donc, au moins sur ce
point, plus avancé que ses maîtres, Pythagore rapporta
du même pays des idées sur le mouvement de la terre
que, plus de mille ans après, Ptolémée n’annonça en
passant dans l’Almageste que comme une vieille erreur de
l'astronomie des Grecs, et dont l'Egvpte s'était toujours
bien gardée. Platon, qui appréciait les connaissances ma-
thématiques, n’était pas lui-même un grand géomètre,
dans le sens pratique de l'expression ; mais it révéla à

l'Egypte un grand nombre de problèmes géométriques

TH
enseignés depuis long- temps dans les écoles de la
Grèce.

Quoi qu’il en soit de cette particularité historique sur
laquelle nous avons insisté à de-sein dans plusieurs ar-
ticles de ce dictionnaire, ce n’est du moins qu’au retour
de ses voyages que Thalès fonda l'école d'Touie, dont
l'étude des mathématiques prenait le principal ensei-
gnement. Ea faisant l’histoire spéciale de chaque bran-
che de la science, nous avons eu soin de remonter à l’o-
rigine des connaissances et des premières recherches
dont elles furent l’objet , et nous avons par conséquent
mentionné la part qne ces travaux de Thalès eurent à
leur production ou à leur perfectionnement. (Foyez
ECOLE D'ALEXANDRIE, ARITHMÉTIQUE,ASTRONOMIE. GÉOME-
TRE, etc.) Thalès n’a point laissé d’écrits ou plutôt ceux
qu’il a dûcomposer n’ont pu traverser l’abîme des temps
et venir jusqu’à nous. On lui a attribué, peut-être avec
raison , la plupart des doctrines principales qui furent
enseignées après lui dans l’école dont il fut le fonda-
teur, doctrines parmi lesquelles il faut distinguer la
géométrie, plusieurs découvertes sur les propriétés du
triangle et du cercle, et en astronomie la sphéricité de la
terre et la vraie cause des éclipses de lune et de soleil.
Thalès mourut dans un âge fort avancé, durant la

LVITI olympiade.

THÉODOLITE, (Géodeésie.) Instrument dont on se
sert pour mesurer les argles dans les opérations géodé-
siques. Son nom à été formé de #:owa voir, et de odos
distance.

Il existe plusieurs espèces de théodolites, mais tous
ces instrumensse composent en général d’un cercle gradué
sur lequel tourne une alidade sui montée d’une lunette.
Cette lunette est disposée de manière à pouvoir s'élever
ou s’abaisser, et la qiantité dont sa direction diffère de
celle de la ligne horizontale se trouve indiquée sur un
demi-cercle vertical. De cette manière , lorsque l'instru-
ment est placé dans le plan de l'horizon, on peut mesu-
rer tous les angles horizontaux et verticaux. La figure 7
de la planche 46 représente un théodolite.

THÉODOSE, géomètre célèbre de l'antiquité , né
dans la Bithynie, suivant Vossius, dont l'opinion a été
adoptée par tous les historiens de la science, est aussi
nommé quelquefois Théodose de Tripoli , et confondu
ainsi avec un philosophe sceptique de ce nom, qui
vivait à la fin du dixième siècle de notre ère. Théodose
le géomètre, contemporain des astronomes Sosigènes et
Géminus de Rhodes, existait ainsi cinquante ans avant
l'ère chrétienne, Parmi ceux de ses travaux qui sont ve-
nus jusqu'a nous, on doit citer un Traité de la sphère,
qui a conservé à son auteur un rang distingué dans l’his-
toire de la science, Cet ouvrage est divisé en trois livres,

TH 540
dont les deux premiers offrent un exposé systématique
des vérités trouvées avant Théodose dans cette branche
de la science. Le troisième livre renferme plusieurs pro-
positions fort remarquables, et d’une difficulté assez
grande pour qu’elles aient été l’objet des commentaires
de Pappus, Montucla regarde cet ouvrage de Théo-
dose comme un des plus précieux monumens de la
géométrie ancienne, Un astronome moderne en porte
un jugement fort différent et très-sévère. Cependant
le Traité de La sphère de Théodose a été long-temps un
ouvrage classique en astronomie; traduit en arabe, il
fut traduit ensuite de cette langue en latin par un géo-
mètre italien et imprimé à Venise en 1518. Le texte
grec a été publié, avec une version latine, par J. Pena,
mathématicien français, et imprimé à Paris en 1558.
Cet ouvrage a été successivement l’objet d’une étude
sérieuse de la part de Maurolycus, de Clavius, du père
Mersenne, d'Isaac Barrow, etc. Les autres opuscules
de Théodose offrent aujourd'hui peu d'intérêt. On ne
sait rien sur cet ancien géomètre, Sirabon (Lib. XIT)
nous apprend seulement qu’il avait deux fils qui culti-
vaient les mathématiques avec succès.

THÉON, d'Alexandrie, l’un des plus illustres maîtres
de cette grande et célèbre école, vivait durant la se-
conde moitié du IV° siècle de notre ère, et il est l’un
des derniers géomètres qui maintinrent , à Alexandrie,
l'éclat que l'étude des sciences mathématiques y avait
si long-temps jeté. Il observa , en 365, des éclipses de
lune et de soleil ; mais il nous laissa ignorer les moyens
qu'il employa pour les calculer, Les seuls ouvrages qui
nous restent de lui sont : un Commentaire sur Les élé-
mens d'Euclide, et un autre sur | A/mageste. Peut-être
Théon est-1l moins célèbre dans l’histoire de la science
par ses travaux, fort estimables d’ailleurs et qui ont
loug-temps exercé la patience des plus savans commen-
tateurs, que comme père de la savante et malheureuse
Hypatia. On croit géaéralement que c’est pour elle et
pour son fils Epiphane qu’il avait composé les ouvra-
ges dont nous venons de parler, Voy. Hyxparra et Ecore
D'ALEXANDRIE,

.

THÉORÈME., C'est, en mathématiques, une propo-
sition qui énonce une vérité concernant la nature ou les
propriétés d’un objet; par exemple, la proposition : la
somme des trois angles d'un triangle est équivalente à
celle de deux angles aroits est un Théorème.

Un théorème est toujours une proposition synthéti-
que, car il ajoute à la connaissance que nous avons déjà
de l’objet des déterminations nouvelles de sa nature, il
n’est donc jamais évident par lui-même comme un
axiome qui est une simple proposition d'identité, et

demande une démonstration pour devenir certain.

644 TH

THÉORIE. Ce mot, qui est à peu près le synonyme
de spéculation, s'applique généralement à tout ensemble
de connaissances purement spéculatives, c’est-à-dire qui
reposent sur des principes une fois posés et dont la com-
binaison peut conduire à la découverte d’autres con-
naissances indépendamment de lexpérience. Dans les
arts, la théorie est considérée comme l’opposé de la pra-
tique où de l'exécution, parce que cette dernière exige
une certaine habileté qui ne peut être que le résultat de
l'expérience. Quant au véritable sens du mot TAcorie,

en mathématique, voyez l’article suivant.

TECHNIE (de sy» art). Mot employé par M.
Wronski pour désigner les branches des mathémati-
ques qui ont pour objet spécial la mesure ou l’évalua-
tion des quantités.

Dans la déduction philosophique à priori de toutes
les parties de la science des nombres, donnée par
M. Wron:ki (/ntrod. la Ph. des Math.), ce savant
montre qu’une quantité mathématique peut être envisa-
gée sous deux points de vue essentiellement différens et
fondés l’un et l’autre sur la nature même de l’intelli-
gence humaine. D'après le premier de ces points de vue,
on découvre la nature particulière ou la construction pri-
mitive d’une quantité. D'après le second, on découvre sa
mesure où son évaluation numérique. Nous avous déjà
(roy. Maru. 15 et Pair. 65) exposéles différences carac-
t ristiques de ces deux manières de considérer les quan-
ütes. Ainsi nous pouvous nous contenter ici de les rap-
peler par un seul exemple. On sait que la base des lo-
garithmes naturels ou hyperboliques est un nombre
tronscendaut dont la valeur est dounée par la série in-
définie (a)

I I I I I
LE 1 he 1.2 A 1.2.3 F WAV QUE 12.340 LL

de sorte qu’on obtient cette valeur par l'addition suc-
cessive des termes qui la composent, ce qui fournit
des évaluations d'autant plus approchées qu'on emploie
un plus grand nombre de termes. Mais la quantité
2,715281828450... etc., à laquelle on parvient par ce
moyen, nous fait bien connaitre la valeur numérique ou
le rapport de la base des logarithmes naturels avec
l'unité, mais non ce qu'est cette base elle-même, sa
nature ou sa construction primitive ; et, cependant,
c’est cette construction primitive opérée par l’entende-
ment qui crée la quantité en question , lui donne une
forme particulière, distincte de celles de toutes les au-
tres quantités, et la rend ainsi susceptible d’une évalua-
tion numérique. Or, la nature dela base des logarith-
mes naturels (roy. LoGarirames , 13) est donnée par
l'expression (b)

TH

C+2y

qui, à son tour, nous fait bien connaître l'opération
transcendante de la raison dans la construction primi-
tive de cette base , mais non les moyens d’en évaluer
la grandeur numérique; de sorte que ce n’est que par
une détermination secondaire , c’està-dire , par une
transformation opérée sur l'expression (b), qu’on peut
parvenir de cette expression à l'expression (a), qui fait
connaitre ces moyens d'évaluation et découvrir légalité

1 \Ÿ I I I I
Gel ent Taser a CURE
dont les deux membres sont essentiellement hétérogènes.

La nature et la mesure des quantités mathématiques
sont donc deux objets distincts et nécessaires des mathé-
matiques en général, et dans chacune des branches de
ces scieuces il devient essentiel de distinguer ce qui ap-
partient au premier de ces objets de ce qui appartient
au second.

Appuyé sur ces principes incontestables, M. Wronski
donne lenom de théorèmes aux propositions qui ont
pour objet la nature des quantités mathématiques , et
celui de r1ethodes aux propositions qui ont pour objet
la mesure de ces quantités. Le système des théorèmes
forme aiusi, en général, la TuiontE MATHÉMATIQUE, et le
système des méthodes, la TECHNIE MATHÉMATIQUE.

Lu nous rapportant à ce que nous avons dit, Marux-
MATIQUES 2, 12, 16, 17, 18, 10, 20 et 21; et Par-
LOSOPHIE 22, 65; nous pourrons encore défiuir la
Taéonte et 'la TEcunEe mathématiques de la manière
suivante :

La thcorie mathématique a pour objet les modes dis-
tincts et indépendans de la génération et de la com-
paraison des quantités. La Zechnie mathématique à
pour objet les #70odes universels de cette génération et
de ceite comparaison.

Nous allons présenter ici l'ensemble dela Technie de
la science des nombres tel qu'il a été donné par M.
Wronski dans ses divers ouvrages.

1. Une fonction théorique quelconque Fx étant don-
née, la transformer en fonctions de numération ou de
Jfaculés, tel est le but général de la technie. Les deux
formes générales de cette transformation, déduites Ma-

THÉMATIQUES 16, sont
Fr=A<+Lox, et Fr— A.

dont la première se rapporte à la transformation de la
fonction Fx en fonctions de numération , et la seconde
à la transformation de cette même fonction Fx en fonc-
tions de facultés.

2. En partant de la première forme générale

TH
Fx = À + ox,

et en désignant par &x la fonction arbitraire qui doit
servir de m2esure à l'évaluation proposée de la fonction
Fx, on reconnait que la transformation en question est
opérée par les deux algorithmes techniques primitifs
connus sous les noms de séries et de fractions continues.
La déduction de ces algorithmes techniques ayant été
donnée (Maru., 17 et 18), nous rappellerons seulement
ici leurs lois générales, du moins dans le cas, en quel-
que sorte primitif, où l’on conserve la même mesure
yx à chaque transformation particulière.

3. Coustruisous avec les différentielles des divers or-
dres de la fonction proposée Fx et de sa mesure wx,
les quantités

ATX

À; —

AE Videx.dFx]
* 1.(1.2). (dpx)

AE Pid'ex.d'oi?.diE x]
— 1.(r2). (1.2.3). (deal
Didier .d'ox?.dox5.d\F x

2 dE 1(1.2).(1.2.3).(1.2.3.4). (dpx)r

etc. —=1eic.
et, en général,
Ldiex.d'oi?....dt—1ox8\.drF x]
Ap = —— ———————— rs

pl+1)
(rertls.xôlt, 143... .x#h).(dpx) ?

dans lesquelles le point placé sur la variable x indique
qu’il faut donner à cette variable, après les différen-
tiations, la valeur qui rend ox — 0. Quant aux fonc-
tions désignées par la caractéristique { , nous avons
expliqué leur construction au mot Série, 8.

À l’aide de ces quantités, la génération de la fonc-
tion Fx en série est
Fr — A,+A:.ox HA pu A..ox + Ai.oxi + etc.
quelle que soit la fonction arbitraire x.

4. Avec les quantités A, À,, À,,etc., dont nous
venons de donner la construction , construisons mainte-
nant de nouvelles quantités

D: "AS
B, — AÀ,.A, — A,.A
B, — A,.A, — A,.A,

By = A, Au1— À .
TOME II,

G: —= F,.E, _—… Ec.F,
RES Re À
Ge= FE, —E,.F

s éisete es ee Se ss ele s d'os +6

etc. — etc.

et, formons ensuite les quantités générales

Co HA;
= AN
A,
= ——
: A,
B;
Ah = ———
s AA,
Ci
«d =
ñ A,.B:

[FR]

Qc

Qc

546
&;
ee FE;
ne Ti
F,
FERME,
Ga
LES 7
ns
FAR. Ce
etc, — etc.

dont la loi est manifeste.
A l’aide de ces dernières quantités, la génération

technique de la fonction Fx, en fraction continue, est

Fx = @ + &.9x

1 + a,.vx

1 + 43.90%

1 + a.ox
1 + etc.

expression que l’on peut encore mettre sous la forme

EF : a, + 9x

Di + ox
b,+sx
b; +ox
b, + etc.
en faisant
I Y 4 I
= —, b = —— = _, D = ———., etc,
D: AD e 4::be bs 43.05 ai. b,? sis
et, en général ,
I
by — 2
ÊT aubus

Nous avons exposé ailleurs la déduction et la démon-
stration de ces lois. (7’oy. Fracrions conTINUES et SÉ-
RIES), et nous n'avons sans doute pas besoin de faire
observer ici qu’elles donnent d’une manière générale
ou universelle la génération technique d’une fonction
quelconque Fz d’un variable x , à l’aide d’une fonction
entièrement arbitraire 9x de la même variable, Les dé-
tails dans lesquels nous sommes entrés mettent daus
tout son jour l'importance des algorithmes techuiques
primitifs des séries et des fractions continues , ainsi
nous ne nous y arrêterons pas davantage pour procéder

TH

à la déduction des algorithmes qui répoudent à la se-
conde forme de transformation ; ces algorithmes n’ayant
point été l’objet d’articles particuliers réclament quel-
ques développemens.
5. Dans la seconde forme générale de transforma-
tion (c)
Fr —AX ox

la quantité À peut être indifféremment considérée
comme dépendante ou comme indépendante de la va-
riable æ, et c’est ce qui rend les transformations effec-
tuées suivant cette seconde forme essentiellement dif-
férentes de celles de la première forme. Examinous d’a-
bord le cas où le facteur A est fonction de Fr.

Lorsque le facteur A est dépendant de x, ce facteur
est lui-même la mesure générale de la fonction Fx, de
sorte qu'il doit être tel que la valeur de x qui rend
Fx = o le rende aussi zéro , afin que le rapport

Fx

+
ne devienne pas indéfini et, par conséquent, que la
fonction x qui est l'expression de ce rapport puisse être
déterminée dans tous les cas. Cependant il est impor-
tant de remarquer que la fonction de x qui forme le
facteur A reste indéterminée quant à sa nature, quoi-
qu’elle soit déterminée par rapport à sa valeur, d’après
la circonstance que nous venons de signaler, et que l’on
peut ainsi faire dépendre cette fonction d’une fonction
quelconque arbitraire 9x prise pour mesure.

Désignons donc par f.x la fonction représentée gé-
néralement par À et dépendante dela mesure ox, et
nous aurons suivant la forme (c) la première transfor-
mation

Fa = fix K dx

Observons maintenant que la fonction fx doit être
pécessairement de la forme 9x — , y, désignant ici
la valeur qui résulte pour la fonction arbitraire 9x
lorsqu'on donne à x la valeur qui rend Fx = 0; car
le rapport

ET
Xe"
ou la quantité æ,x, se trouve de cette manière parfaite-
ment déterminable dans tous les cas.

Ainsi, comme tout ce que nous avons dit pour la
fonction Fx s'applique exactement à la fonction %,x
et que nous avons évidemment, pour seconde transfor-

mation, toujours suivant la forme (c),
PT = fix X P,X

le facteur f.x, dépendant de la mesure yæ, doit être

nn nt

TH

aussi de la même forme wx — y,, y, étant la valeur de
gx lorsqu'on donne à la variable x la valeur qui rend

Pæ —0, cette seconde trausformation donnera

ou
Fr
(QX — Jo) (9 — 1)

Br —

Opérant sur la fonction æ,r comme nous l’avons fait

sur les fonctions Fx et x, en posant de nouveau
DL—= fit X DT;

la fonction fix sera de la forme ox — y, y, étant la va-
leur de gx qui correspond à la valeur de x donnée par

la relation &,x — 0, et nous aurons

d’où , encore,

Fx

BEEN on à
(97—Y0) (p2—7,) (px —7:)

et la quantité @,x sera déterminable pour toutes les

valeurs de æ.
Procédant de la même manière dans l'évaluation gé-

nérale des fonctions successives
DT > Bill y Pal PT, PT, etc.

Nous obtiendrons évidemment pour un indice quel-

conque y la valeur (4)

os tte
(pay) (T7). + (ex —Y#)

Ty

Mais dans cette évaluation successive des fonctions
PT, P,X, g:%, etc. il est visible par la forme même (d)
de ces quantités qu’on épuise de plus en plus l'influence
de la variable x dans la fonction Fx, de sorte que l’on
doit nécessairement arriver, du moins à l'infini, à une
quant té œax telle que l'influence de la variable x y soit
nulle ou du moius infiniment petite. Donc, en dési-
gnant seulement par æ, cette dernière quantité, que
lou doit considerer comme une constante, nous aurons
définitivement, en vertu de la formule (4), l’expres-
sion (e)

Fr=0u{ (9x7) (pt—:) (gx —7,). . (px vu) }

Telle est, surtout lorsque y est infini, la génération
technique ou l'évaluation de la fonction Fx parle
moyen du troisième algorithme technique élémentaire

TH DAT

que M. Wronski nomme Propuires continues, La va-
leur de la constante d, pourra toujours être déterminée
par la relation particulière que donne l'expression gé-
nérale (e) dans le cas de toute valeur déterminée de x.

6. La détermination des facteurser—7,,px—Y, , etc.
qui donne en produite continue l'évalution d’une fonc-
tion quelconque Fz, doit toujours être obtenue à l’aide
de cette fonction et de sa mesure arbitraire 9x, mais la
loi de cette détermination ou la Zoi fondamentale de
l'algorithme technique des produites coutinues n’est
point encore donnée, M. Wrouski avait annoncé qu’il
la ferait connaitre dans une suite de sa Philosophie de la
technie; cette suite n’a point été publiée.

A defaut de cette loi fondamentale nous ferons ob-
server que toute fonction Fx pouvant être développée

en une série (f)
Fx = A, + A;ox+A,022 + À;ox$ A pxi etc.

procédant suivant les puissances progressives d’une
fonction arbitraire yx, cette série égalée à zéro forme
une équation d’un degré infini qui admet un nombre
infini de valeurs pour la fonction gx (voy. Marué-
MATIQUES, 8). Ainsi désignant par ye une de ces valeurs
de #x et par x, la valeur de x qui lui correspond,
nous aurons d'une part Fx,— 0 et de l’autre le se-
cond nombre de l'expression (f) ou l’équation du de-
gréinfini sera exactement divisible par le facteur g%—7;,
et plus généralement par le facteur

ME — We

mn, étant une quantité constante. Opérant cette division

nous trouverons
À, + À,px A ,ga? + A:px5 + Apxietc... =

(9x — miye) (B,—+ Bic + B:px* + Box + etc...)

en posant
A: m,Bo
B =— 4° , B. = — A: + m:Bo
0} UTP TuŸo
B = — A+. Æ a B = — Bitte ni
L M Ÿo nu

etc., etc.......

4 nee
Or, en désignant par ÿr, 9,5 33 €tC. à l'infini les au-
tres racines de l'équation infiuie, comme nous aurons

évidemment

Ac Apt + A,px* + Ang + Aipri + etc... =
(mex—m, Yo) (mp —may,) (NX —mays) ve, etc.
Nous en conclurons

Er = M{(p2—ye) (pt—7,) (exp). ++}

545 TH
M désignant le produit des quantités constantes 72,,
n:, 113, etc.

Ainsi, lorsque par la nature de ja fonction Fx, l’é-
quation Fx — © aura un nombre infini de racines et
qu’on pourra connaître ces racines, on obtiendra immé-

diatement les valeurs y, y:,7,. etc. qui résultent
pour ex de la substitution successive de chacune de ces
racines à la place de x et l’on parviendra à l'évaluation
de la fonction Fx en produite continue. C’est ce que
l'exemple suivant fera mieux comprendre.

7. Soit sir æ la fonction de x qu’il s’agit d'évaluer
en produite continue au moyer de la mesure géné-

rale ox. En posant l’équation
sin x — 0

on voit que cette équation est satisfaite lorsqu'on donne
à æ la valeur

TZ =Imr, Car Sin 727 —= 0

m étant un nombre entier quelconque et rla demi cir-
conférence du cercle dont le rayon est l’unité (voy. Sr-
nus), æ admet donc un nombre indéfini de valeurs cor-
respondant à tous les nombres entiers positifs et négatifs

que l’on peut prendre pour m, et la valeur générale y

de ox est

Je = pur).
Faisant donc successivement 5 = 0,2 =1;um—=—1;,
p—=2,p—— 72, etc. nous aurons (g)

sin x M{(ex—g(o)) (px —#(r)) (px —4(—7)) X

Ne

(x—var)) (pi—p(—2r
Pour déterminer la constante M donnons uve valeur
quelconque déterminée a à la variable x et nous ob-
tiendrons
sin &
M ——————_—_—_—_—_—_—_—_———————————

(ga—y(o)) (pa—(r))(pa—+( 5)... etc.)

Ainsi, substituant cette valeur dans (g), il viendra

sin & ox—9(r)

X

sin & — .(ex—?(0))

ga—(0) ga—?(")
gx)

pa—?(—1)

X
YT—9 (27
oa—w(2r)

ex? —2r)
2a——2T

NX sise etc

X

TH

a étant une valeur arbitraire si l’on fait « — 0 , le pre-
mier facteur

sin a

ga— (0)

AC) . é
se réduit à > etpour obtenir sa valeur, il faut prendre

les différentielles de son numérateur et de son dénomi-
nateur par rapport à la variable a (voy. DiFrÉRENCES 47).
Ontrouve de cette manière

sin a cos &
ga— lo) — CARS ces
da da )
à cause de cos a — cos o — 1. Remettant donc x à la
place de a et marquant par un point placé sur cette va-
riable, à, la valeur o qu’il faut lui donner après la
différentiation , nous aurons définitivement (h)

| 1 ; : Pa —@(r)
Las es + (740). on gr)
dx )
px—?{—x)
? 0, — P(—5) à
gx— pla)
X y (o)—#(25). à
PCA idees LelC:

8. L désignant le logarithme naturel, si nous pre-
nons L(1-næx) pour la fonction arbitraire gx formant
la mesure de l’évaluation, nous trouverons

(+) = ie De

et, par suite, (4)

1x
L 1+ nr,
7 LG+nr)

L (CE ar

sinæ =>. L(14n2) .

inr

L (: \ionz)

* 7 Lion)
DO osserssese etc.

Tant que la quantité arbitraire 7 a une valeur finie, les
facteurs de la produite continue renferment des quanti-

c ; I
tés dites imaginaires , mais si l’on fait n = 37, comme

on a généralement (voy. LoGARITHME)

TH

LR) = co (Rp) ei) x

et, par conséquent ,

l'expression (i) devient dans ce cas

sun a (s EN) (Ne

C’est la première produite continue découverte par
Jean Bernouilli. L’élégante déductiou que nous venons
d’en donner appartient à M. Wronski. (Foy. Phil. de
de la technie, première section.)

9. Il existe une autre espèce de produites continues
dans lesquelles les facteurs forment une progression

arithmétique ; telle est, par exemple, la produite

2.4.6.8.10.12.14. etc... à l'infini.

Leur forme générale

(+7) (x+or) (x43r) (244)... à l'infini,

nous montre qu’elles sont identiqnes avec la factorielle

mir
T

lorsque m — %. M. Wronski les nomme produites
continues factorielles.

Ces produites factorielles ne peuvent généralement
donner des valeurs déterminées que dans leurs rap-
ports, et c’est ainsi que Wallis, qui les a considérées le
premier, a trouvé pour le uombrer, ou la demi-cir-
conférence dont le rayon est l’unité , expression re-
marquable

1 2.2.4.4.6.6.8.8.10.10. etc.
1335.05

.1e7e04 Or. etc.

On nous saura gré sans doute d'indiquer ici le moyen
d’obtenir le rapport de ces produites factorielles.

m+nir
pouvant

être décomposée en factorielles à exposans monomes

10. La factorielle à exposant binome a

des deux manières suivantes (voy. FAcrORELLES, 3)

m+nlr mir nr
a = &@ .(a+mr)

m+nr nr mir mn
a = a .(a+nr) ,

il en résulte l'égalité

TH 549
cmir nir nr m1
a .(akmr) —= a .(a+xr)
d’où l’on tire
mr nr
a _ a
mr nr
(a+nr) (a+-mr)
p

Si nous faisons dans cette dernière n = © et m —

A

il viendra (À)

Ale 5
; a. 18
.. (x+p)

car la base a nr devenant infinie, l’accroissement
fini r n’exerce plus aucune influence sur les divers fac-
teurs de la factorielle (a+-nr)”#r qui se réduit alors à
uve simple puissance.

Pour toute autre base b et tout autre accroissement s,

nous trouverons de Ja même manière

ainsi divisant l'égalité (4) par cette dernière, nous ob-

tiendrons
q P |
Fe Ad s rl
a (b + q) {æs) a
se FE Ds DE 71
re ; z
(a +} (œr) dl

ce rapport ne peut admettre des valeurs finies qu'autant

qu'il existe entre les quantités p, q, r,$, la relation

€ s }
gr=sp, où ? _
mais dans ce cas, en faisant © — Ê =, 0ona
æ|r as mr
a .(b+3g) + a
7 æœfs + Pr — D. : mis
b .(a+p)

Lorsque les accroissemens s et r sont égaux ; ce qui en-
train : l'égalité des quantités p et 4, cette dernière for-
mule se réduit à

&\r œ |r PL
a__(bæ+p) a”!
TT æir œkr — Pl
b .(a+p) rade

ce qui est la même chose que (4),

550 TH

a(b-+p) (ar) (b--p+r) (ar) (b+p+ar). etc
bla+p) (br) (a+ p+r) (br) (a4-p+or)...etc.

11. Appliquons ces formules à la produite continue
de Wallis,

a —=2, b—= 1, P=Xx: T—2,
d’où
12
: a”
enr

Pour simplifier cette expression, observons que (voy.

FAcroriELLE) ,

Nous aurons donc d’abord, en substituant (7),

ET

L:
ZT

mais on a généralement ,

amir ami-r= a.(a—(m—i)r}mir

et, par conséquent ,

GG = 3
d’où l’on tire
AL: I
A =— TE
2(3)°
substituant dans (m1) , il viendra
11 (Eee
pre QT

ce qui donne defimtivement, en prenant la racine
carrée des deux membres de cette dernière égalité,

yil—1

3Vr= (6 ;

c’est la belle expression de Vandermonde. (Voy. CEn-
CLE, 33.)

12. Éxaminons maintenant le second cas de la trans-
formation générale ,

TH |

celui où la quantité A est indépendante de la variable

æ, La condition de cette transformation est évidem-
ment remplie par l'emploi de l'algorithme général des
facultés , sous la forme générale (0),

Fr = (Jx);xt

z et À étant deux quantités données, 4x désignant une
fonction de z déterminée d’après la nature de la fonction
Fzx, et yr étant la fonction arbitraire qui sert de me-
sure ; car suivant cette génération technique de la fonc-
tion Fx , tous les facteurs 4x, 4{x+ 2) , L(x-HË), etc.,
formant la faculté, sont indépendans de la variable x.
Cette génération (0) constitue le quatrième et dernier
algorithme technique, élémentaire, primitif, auquel |
M. Wronski a donné le nom de facultés exponentielles.

Dans le cas particulier où la mesure est la simple va-
riable x, l’évaluation de la fonction Fx peut être gé-
néralement opérée sous la forme (p),

Fr — Fo). ge 1h

Fz

le point placé sur z indiquant qu’il faut donner à cette
variable auxiliaire là valeur zero. En effet , nous avons

d’après la nature des facultés,

A Fi). F().F(245)...F(2+a—i).F(2+x)
2.F(2+1).F(242).F(243)..F (2x)

F(z+2x)

Fz

ainsi la forme (p) se réduit à

Fr = Fo). A

pe

et en faisant z — 0, ona l'identité

Fx |
Fi = F{o). = — Fr. {
Fx (0) Fo)

Mais la formule (p), qui se réduit à une simple identité
lorsque x est un nombre entier, reçoit une significa-
tion déterminée , et son second membre n’est plus

identique avec le premier , lorsque æ est un nombre
fractionnaire, irrationnel , ou imaginaire. Alors , en |
développant la faculté qui le compose, au moyen de la
loi fondamentale des facultés (v0y. FAcuLTEs, 17), on
obtient pour la fonction Fx, des développemens entiè-
rement différens de tous ceux qui résulteraieut de l’em-

ploi des trois autres algorithmes techniques. Nous ne |
pouvons entrer dans plus de détails sur cet algorithme

TH

des facultés exponentielles dont la loi fondamentale
n’est point encore connue.

13. Les quatre algorithmes techniques élémentaires,
les séries , les fractions continues , les produites conti-
nues et les faculiés exponentielles sont les seuls algorith-
mes primitifs possibles. Mais il existe encore une classe
d’algor thmes techniques dérivés qui forme ce qu’on
appelle les Méthodes d'interpolations, et qui appartient
ainsi à la partie élémentaire de la technie de l’algorith-
mie. Nous ve les mentionnons ici que pour compléter
cette partie élémentaire , et nous renverrons anx arti-
cles où nons en avons déja parlé (voy. Marnémari-
QUES, 21, et INTERPOLATION) , pour aborder immédia-
temeut la partie systématique de la technie.

Nousavons vu (Marm., 22, et Paicos., 65) qu’il existe
un algorithme technique systématique qui embrasse tous
les algorithmes techniques élémentaires, et par consé-
quent toute la science des nombres ; cet algorithme con-
stitüe la cor suprÊme de M. Wronski. Quelle que soit
l'extrême importance de cette loi, comme nous l'avons
déjà signalée plusieurs fois dans le cours de ce dic-
tionnaire , nous devons nous borner ici à donner son
exposition.

Soit Fx une fonction quelconque de la variable x,
cette variable étant dépendante ou indépendante d’au-
tres variables, et soient Q,, Q,, Q,, etc., des fonctions
quelconques arbitraires de la même variable +, au
moyen desquelles il s’agit d'opérer la génération uni-
verselle de la fonction Fx. Faisons ©, = 1, et cons-
truisons une suite de quantités &,.#,, etc. de la ma-
nière suivante :

% = FX
__ WA Fr] AFx
T la] — 4%

[a:0,.4Fr]

__ Wfaro,.410,.A5F x]

7 VEA"0,.470,.450;[

etc. —= etc.

et, en général, pour les indices autres que zéro.

SR REA Se on
es fonctions désignées par la caractéristique } étant
celles dont nous avous euseigné la construction. (Foy.
SÉuiE 8.)

Coustruisons, en second lieu , une autre suite de
quantités ,

TH 551

Dp}e = ,

Dh): — Va'o;] — 20
p W|Ar0,] Ao,

7 à. Ÿ [aïo,.a0,]
Ph = pp ao 0]

dUÿ L V[4'0,.420,.430/]
Ph = pan. à0, 450]
etc. —= etc.

et en général , pour les indices autres que zéro,

__ W'a'os.a0 A0,. ,Ap—10,_,.AQ,]
V[ar0,.4%0,.4/03..48—104 5 APO;]

D(p)p.

Avec ces dernières quantités formous les quantités gé-
nérales suivantes ,

eh = — +)

eh bp) (pe du 2)t

Yu} =— (043), — (2), .0(u43) a+ r
Vu 4 3)u4

Va dut n— (pe): (4-4 aa

—Y(p), F d(u+4) b+ 2— VU . o(u+4a+s

etc. etc.

construisons enfin la quantité générale,
Au = ut V(phie eur Y(u) .Euta À Yip}s.Eu+3 + etc.

dans laquelle le point placé sur les fonctions y et E in-
dique une valeur quelconque déterminée de la variable
x, et nous aurons pour la génération universelle de la

fonction Fx,
Fr—A,.9,—+HA:.0:+ A,. 0, + A,.03 + etc.

Telle est dans sa plus grande simplicité, la lot supréme
des mathématiques, M. Wronski en a donné dans la
première section de sa phil. de la technie, une dé-
monstration très remarquable sous le rapport des procé-
dés entièrement nouveaux qui y sont emplovés. Nous
devous renvoyer, pour tous les détails, aux ouvrages de

ce savant.

THERMOMÈTRE. (Phys. méc.) (de &éeurs, chaud,
et de pérgoy mesure) Instrument destiné à mesurer les
accroissemens et les dimiuutions de la chaleur des sub-
stances qu’on éprouve par son moyen,

La première invention de cet instrument, qui re-
monte à la fin de xv1° siècle, est attribuée à un Hol-

992 TH

landais nommé Drebbel. 11 fu perfectionné ensuite
par les académiciens de Florence dans le xvu° siècle,
mais ce n’est que long-temps après que Farenheit, à
Dantzick, et Réaumur en France, découvrireut en
même temps les priscipes exacts de sa construction.

Le thermomètre le plus en usage maintenant est
celui qu'on nomme thermomètre «le Deluc, parce que
ce célèbre physicien en a fait l'objet d’un grand nombre
de recherches. L'appareil dont il se compose et que
nous allons décrire ne diffère pas de ceux de Farenheit
et de Réaumur.

Ayaut pris un tube de verre MN (PI. 58, fig. 8), bien
exactement calibré, qui porte à l’une de ses extrémités
N une boule de verre NO, où chauffe cette boule, l’ex-
trémité M du tube étant ouverte , afin de dilater l’air
qu'il renferme , puis on le renverse et on le plonge par
le bout M dans un verre plein jde mercure. À mesure
que l’air intérieur se condense en se refroidissant, le
mercure monte dans le tube par la pression extérieure
de latmosphère. Quand le tube et une partie de la
boule sont remplis de mercure, on retourne l’instru-
ment et on ferme hermétiquement l'extrémité ouverte
à la lampe d’émaillear. Cette première construction
étant faite, on plonge la boule dans l’eau bouillante et
alors le mercure en se dilatant monte dans le tube jus-
qu’à un point B qu’on appelle point d'ébullition et
auquel il demeure constamment tant que la boule de
verre reste dans l’eau bouillante. On plonge ensuite la
boule dans la glace fondante , le mercure descend jus-
qu’à un point À où il demeure constamment fixé tant
que la glace n’est pas entièrement fondue. Ce point A
se nomme point de congélation naturelle. La distance
AB, entre les points ainsi déterminés, se nomme la dis-
tance fondamentale, c'est elle qui sert à construire
l'échelle d’après laquelle on estime les degrés de la
chaleur selon le plus ou le moins de hauteur de la co-
lonne de mercure. Ainsi, après avoir attaché le tube
sur une petite planche, on divise la distance fondamen-
tale AB en 80 parties égales et l’on continue de mar-
quer des divisions égales au-dessous de A et au-dessus
de B, aussi loin que le tube peut s'étendre. En A on
marque zéro et l’on commence à compter de ce point
soit en allant vers le haut ou vers le bas. Dans l'usage
populaire du thermomètre les degrés au-dessus de zéro
se nomment les degrés de chaleur, et les degrés au-
dessous les degrés de froid.

Le thermomètre dit de Réaumur renferme de l'esprit
de vin coloré au lieu de mercure , mais son échelle est
la même que celle dont nous venons de donner la
construction. C’est Réanmur qui, le premier, marqua o
le point de congélation et 8o celui d’ébullition.

Le thermomètre de Farenheïit est de mercure comme
celui de Deluc, seulement les échelles sont différentes :

TH

la distance fondamentale AB y est divisée en 180 parties
ou degrés et le zéro se trouve placé au-dessous de A à
une distance égale à 32 de ces parties, oe sorte que le
point de congélation naturelle est marqué 32° et celui
d'ébull tion 212°. Le point zero de ce thermomètre,
se nomme point de congélation artificielle , parce qu’il
correspond à un degré de froid obtenu par un melange
de neige et d'ammoniaque.

D'autres physiciens ont adopté des échelles diffé-
rentes parmi lesquelles nous devons particulièrement
distinguer celle du thermomètre suédois dit {hermo-
mètre de Celsius, adopté par les chimistes français sous
le nom de thermomètre centigrade. La distance fonda-
mentale étant divisée en 100 parties égales, le point
d'ébullition est marqué 100° dans ce thermomètre et le
point de congélation naturelle 0.

Le thermomètre à mercure de Celsius, ou centi-
grade, et celui de Réaumur ou plutôt de Deluc, sont les
seuls dont les savans francais font usage. Les Anglais
emploient le thermomètre de Farenheit. On peut aisé-
ment trouver la correspondance des degrés de ces di-
vers instrumens, ou réduire le nombre des degrés
indiqués par un de ces thermomètres aux nombres des
degrés indiqués par les autres , dans les mêmes circon-
stances, à l’aide des relations très-sinples qui suivent.

Soit R le nombre de degrés sur l’échelle de Deluc
ou de Réaumur , F celui de l’échelle de Farenheit et C
celui de l'échelle centigrade. On a

1°. Pour convertir les degrés Réaumur en degrés
Ferenheit :

Ee
4

2°. Pour convertir les degrés Farenhcit en degrés
Réaumur :
+

5

3°. Pour convertir les degrés de Réaumur en degrés
centigrades et vice versa :

DR :
re —= C ss EE -—= ER.
4 2
4°. Pour convertir les degrés de Farenheit en degrés
centigrades et vice versa :

5(F—32)

ic
= C, 2

5 & +32—=F

On doit observer, dans l'emploi de ces formules, de
donner le signe + au nombre qui exprime les degrés
dans une échelle quelconque, lorsque ces degrés sont
au-dessus du zéro de l’échelle, et le signe — lorsque
les degrés sont au-dessous du zéro. Proposons-nous,

TH

L
par exemple, de trouver les nombres des degrés qui
correspondent, dans les thermomètres de Deluc et de
Celsius, à 25° du thermomètre de Farenheit. Faisons

F—25 et nous aurons

54253) _ eo _ _3

AO) 4e 1

8
9 a 9° 9 9

c'est-à-dire que 25° du thermomètre de Farenheit cor-

ï 1 j pue
respondent à 3° - au-dessous de zero du thermomètre
[e

de Deluc, et à 305 au-dessous de zéro du thermomètre
9

5 $ 2846 1e Bec L f
de Celsius. S'il s'agissait de réduire — 10°- Réaumur
en degrés centigrades et en degrés de Farenheit, on

. 4 e . I
trouverait de la même manière, en faisant R—— 10

Sir less t k

D'où il suit que 10° —, au-dessous de zéro, du ther-
re)

I

momètre de Deluc équivalent à 9° —, au-dessous de

=

zéro, du thermomètre de Farenheit et à 12° _ au-
dessous de zéro du thermomètre centigrade.

La construction des thermomètres, pour rendre ces
instrumens comparables entre eux , présente des diffi-
cultés et exige des précautions minutieuses dont il faut
voir les détails dans les traités de physique.

Tnenmomèrre À AIR. Il consiste en un tube MNO
recourbé en N (planche 58, fig. 9) et terminé par une
boule O. La boule est remplie en partie avec de l'air;
le reste de l’espace contient du mercure, qui s'élève à
peu près Jusqu'à la moitié de la partie la plus alongée
du tube. Lorsque l'air est chauffé en O, il se dilate et
le mercure s'élève ; lorsque l'air est refroidi, il redes-
cend. Tel était en principe le thermomètre de Drebbel.

Dans le thermomètre à air de Lambert, la distance
fondamentale entre les points de congélation naturelle
et d'ébullition, déterminée comme nous l’avous indiqué
ci-dessus, est divisé en 370 parties.

Il y a uue autre sorte de thermomètre à air dont on
se seri pour mesurer de très petits changemeris de tem-
pérature. Il se compose, ainsi qu'un thermomètre or-
dinaire, d’un tube de verre terminé par une boule
creuse, mais, au lieu d’y introduire du mercure, on se

TOME II,

555
contente de séparer l'air intérieur de l’air extérieur
pour connaître les variations de température par les
changemeus de volume de l'air intérieur. Pour cet
effet, on prend la boule dans la main afin d’échauffer
un peu l'air qui s’y trouve renfermé; cet échauffement
l'avant dilaté et en ayant chassé une partie, on met à
l'orifice une petite goutte d'esprit de vin coloré, puis
on laisse refioidir l'instrument en retirant la main.
L'air intérieur se contracte en se refroidissant , et la
petite goutte de liqueur entre dans le tube où elle
monte et descend suivant que la masse d’air intérieur
se dilate ou se ressrrre.

Lorsqu'au lieu d’un tube terminé par une seule boule,
on se sert d’un tube qui porte une boule à chacune de
ses extrémités et dans lequel on a introduit par un très-
petit trou, que l’on f-rme ensuite, une goutte d'esprit
de vin coloré, l’instrument prend le nom de Turrmo-
scope. La bulle colorée n’est alors influencée que par
la différence de température des deux masses d'air
qu’elle sépare et indique cette différence de tempéra-
ture par la position qu’elle occupe dans le tube.

THERMOSCOPE. (Phys. méc.) Instrument destiné
à faire connaître les changemens qui arrivent dans l'air
par rapport à la chaleur et au froid. On le confond
souvent avec le thermomètre. l’oy. ci-dessus Tarrmo-

MÈTRE À AIR.

TIERCE. (Gcom.) Nom que l’on donne à la soixan-
tième partie d’une seconde dans la division sexagési-
male du cercle. (Foy. ANGze 15.)

On nomme aussi tierce la soixantième partie d’une
seconde de temps. {Voy. Heure.)

Les tierces, soit de degré, soit d'heure, se marquent
par trois petits traits ” placés à la droite du chuffre
qui en exprime le nombre, et un peu au-dessus : par

exemple 14", signifie 14 tierces.

TOISE. (Arp.) Mesure linéaire divisée en 6 parties
nommées pieds et qui n’est plus en usage en France

depuis l’établissement du mètre. (Voy. Mesure.
f 7

TOISÉ. (Arp.) On a donné ce nom, d’après celui
de la toise, qui était jadis l’unité des mesures linéaires,
à la partie de la géométrie pratique qui a pour objet la
mesure des surfaces et des solides. (Foy. Soripe et

SurFACE.)

TOPOGRAPHIE. (Arp.) (de rores lieu et de
yp&®o je décris) Description de quelque lieu parti-
culier ou d'une petite portion de la terre. La topogra-
pluie est à la géographie ce que la partie est au tout.

TORRICELLI (Evaxceuisra). Aussi grand géomè-
è 70

TO
tre que célèbre physicien , naquit le 15 octobre 1608 à
Modigliana, dans la Romagne, suivant Beneventori, et

+ 684

à Piancaldoli, dans le diocèse d’Imola, suivant Lastrie.
Il fut élevé à Faen za, où il étudia les mathématiques au
collége des jésuites, et il révéla de bonne heure une
étonnante aptitude pour ces hautes sciences. Un de ses
oncles, religieux de l'ordre des Camaldules, par les
soins duquel il recevait les bienfaits d’une excellente
éducation, l’envoya à Rome dans la pensée que le jeune
gcomètre trouverait plus facilement les moyens d’y
développer son précoce talent. Torricelli devint dans
cette ville, Pami de Castelli, ce disciple chéri de l’illus-
tre Galilée, qui lui communiqua les travaux de son
maître. Torricelli publia bientôt un traité remarquable
sur la chute accélérée des corps et la courbe décrite par
les projectiles. Dès ce moment il prit place parmi les
géomètres distingués de ce temps, fertile en beaux gé-
nies, et il entra en relation avec les Roberval, les Fer-
mat, les Mersenne, les Pascal, et s’occupant des diffé-
rens problèmes qui exerçaient alors la sagacité et le
zèle laborieux des mathématiciens, il donna la solution
de ceux qui avaient arrêté les plus habiles , tels que le
fameux problème sur l’aire et le centre de gravité de la
cycloïde. Nous ne croyons pas devoir entrer dans l’exa-
men des discussions et de la polémique, trop souvent
violentes, auxquelles donnèrent lieu ces luttes scienti-
fiques entre tant de nobles rivaux de gloire et de sa-
voir.

La découverte qui assure au nom de Torricelli une
glorieuse immortalité, est celle du baromètre, dont la
science a fait depuis de si nombreuses et de si utiles
applications. Comme Pascal, qui illustra cette décou-
verte par les célèbres expériences du Puy-de-Dôme,
Torricelli mourut à 39 ans. La perte de Galilée, quoi-
que ce grand homme fût parvenu aux limites com-
munes de la vie humaine, lui avait causé un profond
chagrin, et cette tristesse profonde qui semble être la
compagne inséparable du géuie, ne l’abandonua pas
depuis le jour où avec Viviani il avait fermé [es yeux
à son illustre maitre. Les OZuvres géométriques de
Torricelli ont été imprimées à Florence en 1644, in 8,
On trouve dans le tome 111 des Mémoires de l'Acadé-
mie des sciences, la lettre qu’il écrivit à Roberval sur
le centre de gravité de la parabole et sur divers autres
problèmes dont il donna la solution. Ses manuscrits
ont été long-temps conservés à Florence dans la biblio-
thèque du palais de Médicis.

TOUCAN. (45/.) Nom d’une constellation méridio-
nale située entre le phénix et l’hydre. (Foy. Coxsret-
LATION.)

TOUCHANTE. (Gcom.) Ligüe droite qui touche

h 7
’

rpE
TE
en un point une ligne courbe, On lui donne générale-

ment aujourd’hui le nom de tangente. (Poy. Tax-
GENT:.)

TRACTION. (Hec.) Action d’une force qui tire un
corps mobile à l’aide d’un fil, d’une corde où de tout
autre intermédiaire, Par exemple le mouvement d’un
chariot tiré par un cheval est un mouvement de trac-
tion, et l'effort du cheval pour le faire mouvoir est une
force de traction.

TRACTRICE. (Geom.) Ligne courbe dont la pro-
priété principale est d’avoir toutes ses tangentes égales
entre elles.

On lui a donné le nom de tractrice parce qu’on peut
la concevoir comme engendrée par l'extrémité d’un fil
que lon tire par son zutre extrémité le long d’une
ligne droite. (Foy. les Mémoires de l'Académie, 1536.)

TRAJECTOIRE ORTHOGONALE. (Géom.) Nom
sous lequel on désigne une ligne courbe qui coupe à
angle droit toute une famille d’autres courbes. :

Le problème de trouver une telle courbe fat indi-
qué, pour la première fois, par Jean Bernoulli à
Leibuitz, et devint l’occasion de la découverte faite par
ce dernier d’une méthode particulière pour difiérentier
sous le signe de lintégration. Cette différentiation, que
Leiboitz nomma decurva in curvam, parce que Ja
quantité quiest constante dans une même courbe de-
vient variable dans une suite de courbes du même
geure, se résume en un théorème dont nous avons
donné, Ixrécrar, 57, la démonstration. Proposé en-
suite comme défi aux géomètres anglais, ce problème
acquit au commencement du XVIII® siècle une célé-
brité qne l’on pourrait trouver fort au-dessus de son
importance réelle, si les immenses progrès de la
science, à l’époque où tous les géomètres s’exerçaient
à l’envi sur de semblables questions, ne venaient attes-
ter que dans la chaine immense des vérités il n’en est
aucune qui doive demeurer stérile. C’est en 1715,
dans les Actes de Leipsick, que se trouve formulée en
ces termes l'attaque de Leibnitz: Trouver la trajectoire
orthogonale d’une suite de courbes de méme nature,
ayant méme axe et méme sommet; par exemple,
d'une suite d'hyperboles de méme sommet et de méme
centre.

La question fut promptement résolue non-seulement
par divers géomèties anglais, mais encore par Nicolas
Bernouilli, fils de Jean, qui débutait alors dans la car-
rière des mathématiques, et Leibuitz fut obligé de se
concerter avec Jean Bernouilli pour ajouter au pro-
blème fondamental de nouvelles conditions capables
d’en multiplier les difficultés. Jean Bernouilli indiqua

TR

alors cette question : Sur un axe donné comme sommet
décrire une suëte de courbes dont la propriété soit telle,
que Le rayon osculateur soit coupé par son axe en une
raison donnée, et ensuite construire La trajectoire qui
coupera cette suite de lignes à angles droits. Xl entrait
en outre dans les conditions du problème de le rame-
ner au moins à une équation différentielle du premier
degré susceptible de construction, au moyen des qua-
dratures.

Cette dernière question, beaucoup plus compliquée
que la première, fut successivement résolue par Tay-
lor (Transact. phil. , 1717), Nicolas Bernouilli , fils de
Jean (Actes de Leipsick, 1718, 1720), Nicolas Ber-
nouilli, fils de Jacques (Actes de Leipsick, 1719) et
Herman. La solution de Jean Bernouilli, qu'il avait
communiquée à Leibnitz en lui adressant le problème,
se trouve dans le tome 11 de ses œuvres; elle est re-
marquable par son extrême élégance. Il prouve que si
le rapport du rayon osculatenr à sa partie interceptée
entre l’axeet la courbe est représenté par celui de 1 à x,
l’équation de la courbe ayant la propriété demandée,

sera
pu: vi æ'dx
Y TA V/(a7—x2")

ce qui est l’équation d’un cercle si x = 1, et celle d’un
cycloïde si r = +. En effet le rayon osculateur de la
cycloïde est partagé en deux parties égales par l’axe, et,
dans le cercle le rayon osculateur n’est autre que le
rayon même du cercle, et, par conséquent, est égal à la
partie de ce rayon intercepté entre l’axe et la courbe,

Pour donuer au moins une idée de la solution du pro-
blème des trajectoires orthogonales, considérons une
infinité de courbes #n, m'a", m'n", etc. (PL. 58, fig. 10),
formées par une loi commune et qui sonttoutes coupées
à angles droits par une courbe CD. Il est évident que
si du point O où l’une de ces courbes 727, par exemple,
est coupée par CD, on mène la droite OT tangente à
mn et la droite OQ tangente à CD , ces droites seront
perpendiculaires l’une sur l’autre, de sorte que la tan-
gente de l’une de ces courbes est normale à l’autre et
réciproquement. Ayant menée l’ordonnée OP — y, ainsi
qu'une autre ordonnée infiniment proche po’, menons
encore la droite OQ parallèle à l’axe, et nous aurons
dans le triangle rectangle o'Or à cause de la perpendi-
culaire Og sur l’hypothénuse o'r,

gr : Og :: Og : 0'q,

or, en considérant OP comme l’ordonnée de la courbe
CD , gr est l'accroissement infiniment petit ou la dif-
férentielle de y, car pr— OP — — gr; comme en con-
sidérant OP seulement comme l’ordonnée de la courbe
mn , 0'q est la différentielle de OP ou de y; de plus

TR 059
Og = Pp=Ap—AP—x—+ dx x =dx. Ainsi,
désignant — gr par — dy et o'q par dy', pour ne pas
confondre ces deux différentielles, la proportion ci-des-
sus est la même chose que

dy' : dx :: dx : — dy,
pr — — de
dy" = — FA

Ceci posé, ia sounormale PT dela courbe ED a pour
expression générale en qu'il faut prendre négative-

ment parce qu’elle est située en sens inverse de la sou-
normale PQ de la courbe 727 , et cette sounormale PT
est en même temps la soutangente positive de 7nn.
Ainsi, cherchant à l’aide de l'équation de la courbe don-
née mn , l'expression de la soutangente PT, en égalant
MU HSE À 5 4
cette expression à —"7" ou formera l'équation qui fera
connaître la courbe CD. Ou bien, ce qui est plussimple,
cherchant la valeur de dy' que nous supposerons —
Mix , et faisant

cette équation donnera celle de la courbe. Il faut ob-
server dans l’un et l’autre procédé d’éliminer le para-
mètre ou la constante de léquation de la courbe mn
afia que la trajectoire AB se rapporte à l’une quel-
conque des courbes »1n, m'n', etc., c’est-à-dire à toutes
en mème temps. Les exemples suivans vont éclairer
cette théorie.

1. Soient les courbes AM, An, etc. (pl. 57, fig. 18),
une infinité de paraboles du même ordre, ayant même
sommet et dont p est le paramètre qui varie d’une pa-
rabole à l’autre. ,

L’équation des paraboles de tous les ordres étant
J = pri, x
différentions en regardant p comme constant, il viendra
mym—x dy! = pa-1,.dzx
d'où
ETS
ce qui donne la valeur de p—1,

my"m—1,dx
a

pr 1 ven

956 TR

mais, ea vertu de l'équation des paraboles, pa—1 — VA _
donc

J" __ mym ti. dx

z dj —
ou

Jdy = — mxdz ,
et en intégrant

J=— mx? + C

donnant à la constante arbitraire C la forme "14°, pour

,: : ñ .
rendre } ecquaiion SV melrique > HOUS aurons
2 = mnt 72)
J° =7m(a x};

ce qui est l'équation d'une ellipse appollouienne dont
le demi-grand axe = a et le deini-petit axe — a\/ne.
Aiust prenant AN—a, ei élévant au poiut A la per-
1 AB — aV/12
AN et AB nous décrivons l’ellipse NOB, cette courbe

peudiculaire , Si sur ls deux deimi-axes
coupera toutes les paraboles AM, Az, etc., à angles
droits.

2. Soient maintenant une infiuité de cercles AMB,
Amb, Am'b', etc. (PI.58, fig. 11) qui aient un même
sommet A, mais différens diamètres. Représentons le
diamètre par 2p, l’équation de ces cercles rapportée au
sommet À sera

J2 = 2PX — x?

dont la différentielle, en regardant p comme constant
est

L

2ydy" = 2pdx — 2xdx ,

d’où
— x)dx dx?
dy = ET És nu
ce qui donne
_ y 27dx
RTE dy

or, d’après l'équation du cercle,

ainsi

ou
dy —
ty TZ 4 es

Intégrant cette expression il vient

Ce qui se réduit à
& = Cy — 7,

équation d’un cercle qu’ou peut construire comme il
suit : Ayant élevé une perpendiculaire d’une grandeur
arbitraire AC, au sommet À, sur cette droite comme
diamètre on décrira le cercle EOA. Ce cercle coupera
ious les cercles proposés à angles droits.

Cette méthode est générale lorsque les courbes pro-
posées sont algébriques, mais lorsqu'elles sont trans-
cendantes elle réussit rarement, er il faut alors avoir
recours à d’autres procédés , dout l'exposition ne peut
trouver place ici. Voyez le Mémoire de Nicolas Ber-
uouilli : Exercitatio geometriva de trajectoriis ortho-

gonalibus , eic. âctes de Leipsuk, 1720.
Tasecroine rÉcIProQuE. Nom donué par Jean Ber-
nouilli à une courbe AB (PI. 55, fig. 12) qui-était pla-
cée dans une position reuversée comme CD, coupe
toujours sa première situation AB sous un angle con-
staut, lor-qu'on la fait mouvoir parallèlement à elle-
même. Parmi toutes les courbes qui ont cette propriété,
on distingue la Cycloïde et la Logarithmique. La Cy-
orthogonale, et la

cloïde est une trajectoire réciproque

Logarithmique uue trajectoire réciproque orthogonale

ou oblique , selon diverses circoustances.

TRAJECTOIRE. (#éc.) Nom que l’on donne à la
courbe décrite par uu mobile soumis 4 l’action de for-
ces accélératrices. T Île est la route que parcourt un
corps pesant lancé obliquement dans l'air.

Avant les sublimes découvertes de Newton, toute
la théorie des mouvemens curvilignes se réduisait à
ce que Galilée avait enseigné sur la courbure du
chemin des projectiles, dans l'hypothèse d’une force
accélératrice constante agissant dans des directions pa-
rallèles , et à ce que Huygens avait appris sur les forces
centrales dans les mouvemens circulaires. Armé de Ia
puissance nouvelle qu’il avait su puiser dans la science
des nombres , Newton envisagea le problème du mou-
vement curviligne d’une manière bien autrement géné-
rale qu'on ne l'avait fait jusqu’à lui; non seulement il
parvint à assigner les lois su'vant lesquelles il s'exécute,
mais il eut encore la gloire d’en former la base du sys-
tème physique de l’univers. La première partie de son
célèbre ouvrage des Principes de la Philosophie natu-
relle est employée à l’exposition de ces lois, dont nous
allons essayer de faire comprendre l'importance et la
fécondité,

1. On sait que lorsqu'un mobile est lancé dans une
certaine direction et avec une certaine vitesse par l’ac-

tion d’une de ces forces qui agissent instantanément et

TR

laissent ensnite le mobile se mouvoir librement, il doit
décrire une ligne droite et continuer à se mouvoir à
l'infini dans la même direction et avec la même vivesse,
si rien ne vient troubler son mouvement. Muis si, ou-
tre l’action de cette force instantanée , il est soumis à
l'action d’une autre force qui agit constamment sur lui
ét dans une direction différente de la première, il sera
évidemment contraint de se détourner à chaque instant
de cette première direction , et il décrira une courbe
qui variera suivant l'intensité et la directiou de la
force qu'il éprouvera à chaque point, et suivant la
vicesse et la direction primitive de sa projection. Tout
cela a déjà été exposé ailleurs. ( oy. Mouvement. )
2. Supposous douc qu’un point matériel projeté dans
fa direction de la droite BM (PI. 58, fig. 13) éprouve
l'effet d’une force accélératrice qui l’attire ou le pousse
vers un point fixe À. Eu vertu de l’action cumbinée
des deux forces qui le metteut en mouvement il dé-
crira la courbe BN, dont il s'agit de détermiuer la ua-
ture. Pour cet effct, imaginons le point parvenu en z
sur sa trajectoire, et prenant B pour origine du mou-
vemeut, menous la droite AX, sa perpendiculaire
AY, et le rayon vecteur Az. Si nous considérons AX et
AY comme les axes des coordunnées de la trajectoire,
l'abscisse du point z séra AP et son ordonnée sera Pz.
Maintenant désignons par 4 l'intensité de la force ac-
célératrice à l’unité de distauce , et comme il nous
suffit ici d'examiner le cas où cette force agit en raison
inverse du carré de la distance , son intensité à la dis-

tance Az — 3 sera = La force ‘- agissant dans la di-
z° 3

rection Az ses composantes Pz et Qz parallèles aux
axes seront

É cos AzP , Le . cos QzA
T :
u _ ct ses cause de

Pz'E æ
cos AP, cos QzA —

et comme ces composantes tendent évidemment à di-
minuer les coordonnées æ et y, il faudra leur donner
le signe —. ;

Or, l'équation fondamentale du mouvement variable

’£)
accéléré est & — rs (voy AccÉLÉRÉ), nous avons donc
ici (a),
dx re px dy y
dE TT D de Ta

de étant toujouts l'élément du temps.
3. Pour obtenir une intégrale première de ces deux

TR 527.

équations, multiplions la première par y, la seconde
par æ èt retranchons ensuite la seconde de la première
il viendra

dr y _
dar “de?
et, en multipliant par ds
dx e dy me
7 Æxr Jp 0

intégrant par parties et réduisant on trouvera (b),

y dzx—axdy
— C0
dt

c étant une constante que nous déterminerons plus
loin.

4. Nous obtiendrons une autre intégrale première en
multipliaut la première des équations (a) par 24x, la
seconde par 2dy, et en preuant ensuite leur somme.
On trouve d’abord de cette manière ,

2dx.dx+ody.dy 2u(xdx + ydy)
— Ù ann des auf

mais le second membre de cette dernière égalité conte-
nant les trois variables + , y,z, on peut le simphfier en
observant qu’on à la relation x*+-7° = z? d’où l’on tire
eu différeutiant 2xdx + 2 ydy = 2343. Ainsi cette éga-
lité est la même chose que

2dx.dx+odydy 2udz
pp res rs —

et l’on trouve en intégrant (c)

dx +dy: °p

de 2

+b=o

b désignant une constante.

5. En éliminaut dt entre les équations (b) et(c) on
obtiendrait l’équation de la trajectoire , mais les expres-
sions deviennent plus simples en rapportant cette
courbe à des courdonnées polaires, Par exemple, comp-
tant l'angle du rayon vecteur à partir de l'axe AB , et
désignant cet angle, ou AB, par @ on aura x = 2,cos9,
y =2.sin® , d'où =

dx

dy

dz.cos à — z.sin 9.d@
dz.sin @ + 3.cos.d@

substituant ces valeurs de x, y, dx, dy dans les équa-

tions (b) et (c) elles deviennent

isrdd = cit

558 LR
Fe ds += d@ RAIN
de? 3
éliminant dé, on obtient
dz? C2 ou
ss , <: Pen
zi. d@? 3? 3 + 9

pour l'équation différentielle de la trajectoire.
G. On peut simplifier cette équation, ce qui facilite

son intégration , en observant que si l'on pose

Substituant, elle devient

>? TH er our + bee

Résolvant cette dernière par rapport à do on a

c.dr

Qs VLer—b—cr]

ce que l’on peut mettre sous la forme

u—c?r

pl

Intégrant cette dernière égalité, on obtient

—c?r
® = w + arc Cr ne
p—bc? ”]
& étant la constante arbitraire,

Réciproquement on aura

Re 46

VIs be]

COS (p—«) —

et, en remettant - 2 la place der,

uz — V/[u? — be?].cos(D — w).z — «2 = 0.

Telle est définitivement l'équation polairé de la trajec-
toire dans l'hypothèse d’une force accélératrice agissant
en raison inverse du carré de la distance.

7- Si l’on remarque qu’à cause de l’angle arbitraire »
on peut changer le signe de cos (9 —), car cela revient
à augmenter + de deux angles droits, et qu’on a, après
ce changement , eu tirant la valeur de z, (d),

c*

mEVIr =]. cos (D—%)"

TR

la forme de cette valeur indique que la trajectoire est
une section conique, ce dont on peut s'assurer facile-
ment en examinant les équations polaires de ces cour-
bes. Mais en transformant les coordonnées polaires en
coordonnées rectangulaires, cette vérité devient encore
plus manifeste.

8. Menons par le point A, centre de la force accélé-
ratrice les axes rectangulaires AX' et AY", et supposons
que l’axe A X’fait avec l’axe AX des coordonnées polaires
un angle XAX' = »; désignons par x' et y’ les coor-
données du mobile rapportées à ces nouveaux axes , et
coinme le rayon vecteur 3 fait avec l’axe AX’ un angle

zAX"' == @ — w , nous aurons

’ ’

L'—= 2e C0(P—&), y = 2%

n(p—2), z = V/{x°+7"]

substituant dans (d), nous aurons après toutes les réduc-
tions (e),

p7'"+ be x = ci — 20%". \/u—be?

équation qui appartient à l’ellipse, à l'hyperbole ou à
la parabole selon que la constante b est positive, néga-
tive ou nulle. En outre, comme d’après cette équation
le rayon vecteur V/{x'2+7"°] peut s'exprimer sous forme
rationuelle en fonction de l’abscisse x’, il en résulte ,
d’après la théorie des sections coniques, que l’origine
des coordonnées x’, y', ou que le point A , centre de
la force accélératrice , est dans les trois cas l’un des
foyers de la courbe.

9. Il est donc rigoureusement démontré qu’un point
matériel attiré vers un point fixe en raison inverse du
carré des distances , décrit une section conique dont ce
point est un des foyers. La nature et les dimeusions de
la courbe dépendent des constantes arbitraires bete,
et ce n’est que par les conditions initiales du mouve-
ment qu’on peut déterminer ces constantes, et par con-
séquent la courbe elle-même. Mais il nous suffit ici
d’avoir établi cette proposition générale.

10. Reprenons maintenant l’équation (b) pour en ob-
tenir la signification de la constante c. En intégrant

on obtient (e),

J'Uydz — xdy]= ct + c'

c' étant une nouvelle constante arbitraire,

Observons que ydx étant l'élément d’une surface
courbe (v0y. QuADRATURE) , nous pouvons supposer
que cette surface est comprise entre les abscisses + —0
etx — AP, alors l'expression /ydx sera représentée
par l'aire NAPZ. Si nous retranchons de cette aire le

triangle APZ, il nous restera,

secteur NAZ = aire NAPZ — triangle APZ

ou

TR
secteur NAZ = fydx — “

différentiant, il vient après les réductions,

dx —%xd
d(secteur NA?) Re ame AR

Intégrant de nouveau, on aura
2 secteurs NAZ — f{ydx— xdy]
Ainsi l’équation (e) revient à { f)
2 secteurs NAZ = ct.

Nous supprimons la constante c' parce que nous pou-
vons supposer que le temps commence lorsque le sec-
teur est nul. ’

Faisons e — 2A, il viendra simplement

secteur NAZ —A.t,

ce qui nous apprend que la surface du secteur décrit
par le rayon vecteur est proportionnelle au temps que
le mobile emploie à parcourir l'arc de la courbe. Cette
propriété est connue sous le nom de principes des aires.
Découverte par Keppler dans les mouvemeus des pla-
nètes autour du soleil, il était réservé à Newton de
la démontrer comme une conséquence de l’attraction
que cet astre excrce sur tous les corps qui circulent au-
tour de lui. (Foy. A1RES PROPORTIONNELLES.)

11. En faisant £ — 1 dans l'équation { f) elle devient :
> secteurs NAZ — c, ce qui fait reconnaître que la
constance c exprime le double du secteur décrit dans
l'unité de temps.

12. Le cas où le mobile décrit une ellipse étant Te
plus important, reprenons l’équation (e), et comme elle
exprime cette courbe lorsque à est positif faisous seule-
ment, pour simplifier, \/(#°—bce?) — m, elle devien-
dra (g),

By" + box? = ci — 2cmx"

et comme elle donne

VIRE À . V{e—bx— mx]

On voit que toutes les ordonnées rectangulaires positi-
ves sont égales aux ordonnées rectangulaires négatives
correspondantes , ce qui indique que l’axe AX' ne peut
être que le grand ou le petit axe de la courbe. IL est
donc nécessairement le grand axe puisqu'il renferme le
foyer.

Cette circonstance nous permet de simplifier encore
l'équation (g) en la rapportant au centre de l’ellipse.
Pour cet effet, faisons x' = x + « ct disposons de

L4 Al

TR 559
l’indéterminée & de manière. qu’elle fasse disparaître le
terme affecté de x’ qui ne doit pas se trouver dans
l’équation au centre. Faisant douc cette substitution, il
vient, après avoir divisé par €?, (h),

Ê .ÿ? + br + 2ba [x + be
+ 2m +omia( — O0);

— cc?

égalant à zéro le coefficient de x, on a

Cette valeur introduite dans (4) change cette équation
en (:),

2

L* , m
PPT c'—0,

b
H — 2 b 2 ELLE p° .
mais m— V/(p?--bc), ainsi po dre (ë) se
réduit à
p° la Re trs
nn + b.x a

et, en faisant disparaître les dénominateurs, on obtien-
dra ,
bps.y"? Æ ber,xs — cu — 0.

Dans cette équation, l’origine des coordonnées est au
centre, et par conséquent on peut obtenir les valeurs
du grand et du petit axe, en supposant alternative-

ment y'—0 et x — 0. On trouve en faisant x = 0 ;

je WE
HT b

et en faisant y' — 0,

et comme alors æ exprime le demi-grand axe et y’ le
demi-petit axe , on a donc

2 2 su PU c?
demi grand axe — Das demi petitaxe — 77

mais 7 désignant la demi-circonférence du cercle dont
le rayon est l'unité , l’aire d’une ellipse dont À et B
sont les demi-axes principaux est xAB (voy. Quapna-
TURE); ainsi l’aire de l’ellipse décrite par le mobile est
égale à

BA

OV7A

560 TR

ce qu’on peut mettre sous la forme

Or, nous avons vu (10) qu’en désignant par £ le temps
quele moble met à décrire le secteur NAZ, l’équa-
tion ( f°) donnait

2 secteurs NAZ

Lorsque le temps £ devient celui d’une révolution en-
tière du mobile, le secteur NAZ devient Ja surface
enuère de lellipse , et l'on a par conséquent dans ce

cas, en désignant par T le temps de la révolution com-

plète ,
3
D Em = (£ :
Ve. b
ou bien
T2 p
Vu
en vommant D le demi grand axe de lellipse.

b

Pour un autre mobile soumis à la même force accélé-
ratrice attirant vers le même point, mais qui décrirait
dans le temps T' une autre ellipse dont le demi grand
axe serait D’, on aurait aussi, évidemment,

, "2% À
==. D:
Ve
ainsi —_- étant une quantité constante on a
LE
3 3
LT: D = D!°
ou
T2: T'=:: DS : D

c’est-à-dire.que les carrés des temps des révolutions de
deux mobiles qui décrivent des ellipses autour d'un
même foyer, et par l’action d’une même force, sont en-
tre eux comme les cubes des demi grands axes de ces
ellipses.

13. Nous pouvons résumer la théorie précédente en
trois points principaux : 1° Tout mobile qui, ayant un
mouvement initial de projection , est soumis à l’action
d'une force accélératrice , variable en raison inverse du
carré de fa distince, décrit autour du centre de cette
force, comme foyer, une courbe conique ; 2° tout mo-
bile qui, sous l'empire des mêmes couditions se meut
sur uue courbe conique , la parcourt de manière que

les aires décrites par son rayon vecteur sont propor-

TR

tionnelles aux temps employés à les décrire ; 3° lors-
que plusieurs mobiles décrivent des ellipses autour d'un
foyer commun , par l’action d'une même force , les
carrés des temps de leurs révolutions sont eutre eux
comme les cubes de leurs moyennes distances.

Ces lois du mouvement curviligne étant celles que
Keppler a déduites de l’expérience pour les mouve-
mens des planètes autour du soleil , Newton en a conclu
que ces planètes sont soumises à l’action d’une force
qui réside dans le soleil et qui agit en raison inverse
du carré des distances; et c’est ainsi qu'après avoir dé-
couvert d'abord que l’action de la pesanteur s'étend
jusqu’à la lune (voy. Gravirr) , et force cet astre à cir-
culer autour de la terre, il a pu s'élever jusqu’à recorni-
paître l’universalité de cette force, et lai faire régir tous
les mouvemens planétaires. Mais pour légitimer cette
conclusion, il rie suffit pas de prouver l'identité de ces
mouvemens avec ceux qui résultent d'une hypothèse
sur la nature de la force qui les produit , il faut encore,
en partant de leurs lois empiriques, c’est-à-dire de leurs
lois constatées d’une manière expérimentale, pouvoir
déterminer la nature de cette force ; c’est ce que nous
allous faire ici, pour rassembler tous les documens du

système de la gravitation universelle.

14. Les trois lois de Keppler, constatées à posteriori,
sont :

1° Les planètes se meuvent dans des courbes planes
et leurs rayons vecteurs décrivent, autour du centre du
soleil, des aires proportionnelles au temps.

2° Les trajectoires ou les orbites des planètes sont des
ellipses dont le centre du soleil occupe un foyer.

3° Les carrés des temps des révolutions des planètes
aulour du soleil sont entre eux comme les cubes des
grands axes de leurs orbites, ou comme les cubes des
moyennes distances, Je demi grand axe étant la même
chose que la moyenne distance.

Ces trois lois concernent le mouvement du centre de
gravité de chaque planète ; ainsi nous considérerons ces
corps comme de simples points matériels mobiles, et
tout ce que nous dirons sur la position ou la vitesse
d’une planète devra se rapporter à son centre de gra-
vité.

15.Soit F (PI. 58, fig. 14) le foyer de l'orbite elliptique
d’une planète, occupé par le centre du soleil, et soit M,
le point de l’ellipse où se trouve la planète à un instant
donné. Désignons le demi grand axe AO par a, le demi
petit axe CO par b, la distance du centre O au foyer F
par e, et le rayon vecteur FM par z. Si nous comptons
pour plus de simplicité l'angle du ravon vecteur à partir
du grand axe et que nous désignions cet angle MFB
par?, la grandeur du rayon vecteur en fonction de cet
angle sera

us a+ e. cos ©

car telle est l'équation polaire de l'ellipse. Mais pour
diminuer le nombre des quantités constantes, mettons

cette équation sous la forme (4),

a? —e?
a + e.co5?

0 ms

en nous rappelant que à = a° — e?, (Voy. Ervrse.)

Ceci posé, observons que , si après avoir décrit l'arc
My infiniment petit, et que nous pouvons par consé-
quent considérer comme uue ligne droite, il n'existait
aucune force qui vint influencer la planète, elle conti-
nuerait à se mouvoir dans la direction de la droite Mr
et arriverait en m’ après un intervalle de temps déter-
miné. Ainsi puisque la planète infléchit sa route et qu’au
liéu de parcourir la droite #2m' elle parcourt l’arc de
courbe run , il faut de toute nécessité qu’elle soit sou-
mise à l’action d’une force accélératrice , et il est facilé
de reconnaître , d’après le principe des aires égales dé-
crites par le rayon vecteur dans des temps égaux, que
cette force agit constamment dans la direction du rayon
vecteur, ou de la droite tirée à chaque instant du foyer
F au point de la courbe occupé par la planète.

La force accélératrice dont nous venons de rencon-
naître l’existence est donc située au foyer F, c’est-à-
dire, au centre du soleil, et nous ne pouvons considérer
son action que comme celle du soleil lui-même sur la
planète. Prenons maintenant pour axes rectangulaires
des coordonnées FX'et FY, ou le grand axe de l’ellipse
et sa perpendiculaire au foyer, désignons Fg par x et
Mp par y, et observons que puisque la force accéléra-
trice, que nous désignerons par R, agit dans la direction
MF, ses composantes parallèles aux axes des coordon-
nées seront dans les directions Mp et Mg, et qu’en re-
présentant.cette force par le rayon vecteur FM, Mp et
Mg représenteront les composantes elles-mêmes. Or,
nous avons

Mp = FM X cos (FMp)
Mg=EFM X cos (FMg)

Ainsi les composantes de la force R sont : R. cos(FMp),

etR.cos (FMg}ouR.” : Re car

M F
NE en FM « EM Nr
vou:
cos (FM) == _. =?

{mais la courbe étant concave vers le soleil, l’action de la
De TOME I.

}

ie
Et

TR 561

force, ainsi que celle de ses composantes , tendent à

diminuer les coordonnées # et y ctil faut prendre les
. a Fd :
expressions R.— et R - avec le signe — .
16. L’équation générale d’une force accélératrice va-
riée étant © mede
de”?

de la force, et e l’espace qu’elle fait parcourir dans le

dans laquelle » désigne l’intensité

temps £ (voy. AGcÉLÉRÉ), nous aurons donc pour les
équations du mouvement de la planète,

Si nous multiplions la première de ces équations par
2dx , la seconde par 2dy, et que nous les ajoutions, il
viendra .

2dx.dx+ody.dy

5R [1
— 98, Rs

Z

ce qui se réduit à
odx.dx+ody.dy B.d
ai, 7 2R. de,
en observant que 4+ys = 22, d’où xdx<+ ydy = zdz.
Intégrant cette dernière expression , il vient (!)

d désignant une constante arbitraire.

Mais nous avons aussi æ — :,c059, y = #,sino,

d’où l’on tire
da? + dy2 = de? + 7. de.

Ainsinous pouvons donner àl’expression (?) la forme (m)

ds + 2 .dy
M D — 2fR.dz

17. Pour éliminer de cette dernière équation le
temps df, remarquons que l'aire infiniment petite FM

décrite dansle temps dt par le rayon vecteur FM peut

être confondue avec l’aire d’un secteur circulaire, ayant
FM ou z
a donc pour expression +

pour rayon et Mr» ou dy pour arc. Cette aire
z*.d? (voy. Secteur); et si
nous désignons par c le double de l’äire décrite par le
rayon vecteur dans l’unité de temps ; nous aurons en
vertu de la première loi de Keppler (7),

z?.dp — c.dt.

18. Tirant de l'équation {#) la valeur de de et la subs-
tituant dans l'équation (m), il viendra (0)
71

Cette équation serait celle de la trajectoire si la force
R était donnée en fonction de 3. Doncen la comparant
avec l'équation (4) on doit pouvoir obtenir la détermi-
nation de cette force. Reprenons donc l'expression

da — e

&

ae . cos?

et mettons-la sous la forme

« e.cosc «a
— a+ ? = - ee

a?—e?

In

En Ja différentiant nous obtiendrons

La e.sino.do
AR ae j
ou à
1 dz e.sin®
…— = — _
z* de a —e?

ce qui donne, en élevant au carré (p),

1. dr e°.sin’9 e(1—cos’?)
er dy EE (a—e?) Te (a?—e}
e> e2. COS?
Fee ee
Or, l'équation (x) donne
a?— €?
— — 4 —= €.coSw
d’où, en élevant au carré,
(a —e*} 2a(a—e')
PR RER RL ES es dé 2
C?.C0$9 = —— + a

Z 2

et, en divisant par (a°— €°)?

e?,cOS’®" I 24

(&—e? 2 (a?—e*)
L

substituant dans (p) , on obtient

I
—

a?

|

|

|

|

|
um

(ax)

dans l'équation (0),

elle devient

(a?—e?)cs

2ac? L
A (a?—c 2j

(a—e&)

—b— JSR.dz

pu 4

PI
Li

d'où l'on tire en différentiant

ou , simplement (p),

en faisant

p étant une quantité constante, il résulte de l’expres-
sion (p) que l'intensité de la force R, en vertu de la-
quelle une planète décrit une orbite elliptique autour
du soleil , est eu raison inverse du carré de son rayon
vecteur.

19. Pour savoir mainteuant si la quantitég, qui expri-
me l'intensité de la force à l’unité de distance, et qui
est donnée en fonction des quantités a, eet ec, dont les
valeurs changent pour chaque planète, varie elle-même
en passant d’une planète à une autre, représentons par
T le temps de la révolution d’une plauète autour du
soleil , alors cT sera le double de l’aire décrite pendant
ce temps par son rayon vecteur ou le double de l'aire
entière de l’ellipse, et, comme cette aire est égale à

ra.y/a—e!, nous aurons

d’où

Toute autre planète, dont a’ serait le demilgrandaxe,
T' le temps de la révolution et p' l’intensité de la force .

accélératrice à l'unité de distance , nous donnerait évi-

demment de la même manière

PE 4r°.a
=:

Mais en vertu de la troisième loi de Keppler,

‘

T2: T':: a: a

donc

et, conséquemment up". Ainsi l'intensité de la force ac-
célératrice, qui retient les planètes dans leurs orbites,

TR

est la même pour tous ces corps, à l’unité de distance,
et elle ne varie de l’un à l'autre qu’à raison de leurs
distances, de sorte que s'ils étaient placés en repos
autour du soleil, à des distances égales, ils tombe-
raient vers lui avec la mème vitesse; d’où il résulte
que la force qui les sollicite pénètre chacune de leurs
molécules et qu’elle est proportionnelle à leur masse.

20. Les lois de Keppler conduisent ainsi directement
à la connaissance de la force qui retient les planètes
dans leurs orbites, et l’on voit que cette force est la
même que celie qui fait tomber les corps à la surface
de la terre : la Prsanreun. (V’oy. ce mot.) De plus, les
mouvemens des satellites autour de leur planète princi-
pale étant assujettis aux mêmes lois, chaque planète
principale est par rapport à son système de satellites ce
qu’est le soleil par rapport à tous les corps, planètes et
comètes qui circulent autour de lui. La pesanteur est
donc une force qui réside dans toutes les particules ma-
térielles des corps ; c’est par son action que ces parti-
cules tendent incessamment à se réunir ou s’attirent
mutuellement, et Newton s’est élevé à la connaissance
d’une des lois fondamentales du moude matériel en
signalant l’ATTRAGTION UNIVERSELLE, en raison directe
des masses et en raison inverse du carré des distances,
comme un principe de la nature. Nous avons reconnu
ailleurs l'existence de cette attraction en la déduisant à
priori de l'idée même de la matière. (Foy. Narure.)

21. Une analyse plus profonde des effets de la force
de la gravité prouve que la troisième loi de Keppler
n’est qu’une approximation, car l'intensité de cette
force à l’unité de distance n’est pas rigoureusement la
même pour chaque planète. Nous croyons devoir indi-
quer ici les modifications que cette circonstance apporte
dans la comparaison du rapport des cubes des distances
moyennes avec celui des carrés des temps des révolus
tions; modifications dont la plupart des auteurs de
traités de mécanique et d’astronomie ne tieunent pas
compte.

La force de la gravité agissant en raison directe des
masses, prenons pour unité l'intensité de cette force
exercée à l’unité de distance par l’unité de masse ; la

force du soleil qui agira sur un corps placé à cette unité:

de distance sera donc exprimée par la masse entière M
de cet astre; mais la masse de la planète que le soleil
attire étant 72, en vertu de la loi d’antagonisme (voy.
Narune) , cette planète réagira sur le soleil et produira
un effet exprimé par m3; et comme les deux forces M
et m tendent à rapprocher les deux astres l’un de l’au-
tre, leur effet sera Le mème que si la force M + 72 était
concentrée dans le soleil et agissait sur la planète à l’u-
nité de distance. Ainsi désignant par p l'intensité de la
force de la gravité à l'unité de distance, nous aurons
l'identité

TR 563
e=M +m

Pour toute autre planète dont la masse est 72", nous

aurous de même
= M + m

u' désignant l’intensité de la force à l’unité de distance;
et l’on voit que y n’est point égal à we’

Substituant donc à la place de w, M + m, dans l’ex-
pression du numéro 19, nous aurons pour la planète

me, (4)

pa 2T _
VM+rn
et pour la planète m'
1 2 pr
VMm

ce qui donne
(M + m). Te : (M +). T2 :: DS : D

Ce n’est donc qu’en considérant les facteurs M + "2 et
M + mn! comme égaux entre eux qu'on retrouve la
troisième loi de Keppler; mais l'erreur qui en résulte
est presque toujours insensible , car la quantité

diffère très-peu de l’unité, parce que les masses des pla-
nètes sont très-petites comparativement à celle du so-
leil.

22. En mettant l'expression (g) sous la forme

ip: m\—2
RQ A
M* Fu

on obtient , en développant le binome et en négligeant

les termes affectés des puissances de la très-petite quan-
UE

[TLC NS

M .

expression dont nous avons fait usage pour déterminer
les masses des satellites. (Foy. Masse.)

23. Il résulte encore de la théorie de Newton que
l'ellipse n’est pas la seule trajectoire que peuvent dé-
crire des corps planétaires soumis à l’attraction du so-
leil, et quoiqu’on n’ait point encore observé jusqu’à ce
jour de mouvemens hyperboliques, il est probable que
certaines comètes se meuvent dans des trajectoires hy-
perboliques , de sorte qu'après une apparition dans la
sphère d’activité du soleil elles doivent la quitter pour
jamais, Si, comme tout concourt à le prouver, chaque

Fr

564 IR

étoile fixe est le centre d’un système planétaire particu-
lier, de telles comètes sont le lien de tous les systèmes
et l’unité la plus majestueuse se révèle dans l’ensemble
de l'Univers.

24. Les trajectoires des planètes ont lieu dans le vide,
ou du moins le milieu dans lequel les planètes se meu-
vent ne fait éprouver aucune résistance sensible à leur
mouvement, Jl n’en est point ainsi des trajectoires des
projectiles à la surface de la terre, et le problème de
déterminer la courbe que décrit un corps pesant daus
un milieu qui résiste présente des difficultés que la
science moderne n’à pu encore entièrement surmonter.
Cette question a déja été examinée dans plusieurs arti-
cles de ce Dictionnaire et particulièrement au mot

BALisTiQuE, auquel nous renverrons.

TRANSCENDANT. On donne ce nom à tous les pro-
duits de la raison humaine qui ne peuvent être réalisés
sous les conditions du temps et de l’espace. ( Voy. Pur-
LOSOPHIE, 46.)

En mathématiques, on nomme quantités transcen-
dantes celles dont la génération théorique implique
l'infiui, et dont il est conséquemment impossible d'ob-
tenir la valeur numérique autrement que par approxi-
mation. Tels sont, par exemple , le nombre 7 dans la
théorie des sinus, et le nombre e dans celle des loga-
rithmes, c’est-à-dire, la circonférence du cercle dont le
rayonestr, et la base des logarithmes naturels. Tels
sout encoreles différentielles , les quantités dites ima-
ginaires et même les sinus et les logarithmes dans tous
les cas où ces nombres w’admettent point une expres-
sion numérique finie. En général, toute quantité qui
renferme dans son expression théorique primitive des
élémens indéfinis ou üraginaires est une quantité trans-
cendante.

Les équations transcendantes sont celles dans lesquel-
lés il entre des quantités transcendantes. (Joy. Equa-

TION, 44.)

TRANSFORMATION. {4/g:) Changement de forme
que l’on fait subir à une expression algébrique sans al-
térer sa valeur. Par exemple, ayant l’expression

am + Dm
ai bt

si l’on observe que le dénominateur peut être considéré
comme le produit des deux facteurs a? Æ b? et a — b?,
parce que(a? 4 b?) (a? — b?) — af — bi, et que le nu-
mérateur est aussi le produit de deux facteurs » et
(a: + D), en retranchant le facteur commun aux deux
termes de la fraction {(@&?+- 4:), on transformera lex«
pression proposée en cette autre plus simple :

TR

717

ait br
Les transformations qu’on peut opérer sur les équa-
tions forment une partie très-importante de leur théo-
rie. Comme nous avous déjà vu (Equarion) que toute
équation algébrique du degré 2 peut être, ramenée à
la forme générale (a)

x" + ÀA;xœm—1 + Adi —elc. Am] + D — 0;

nous comprendrons les transformations ultérieures sous
les quatre propositions suivantes :

1. Transformer l'équation générale (a) en une autre
qui ait un terme de moins.

Faisons x = y + u, y représentant l’inconnue de
l'équation demandée et w une quantité arbitraire qu’il
s’agit de déterminer de manière à remplir la condition
imposée. Substituaut y Hu à la place de x, l'équa-
tion (a) devient, après avoir développé les diverses
puissances du binome y + u, et ordonné les termes
par rapport aux puissances de y, (b),

mini ur

Pnau |ym—1
+A,

m2 etc. Hunt

A sum
—-A,um—2

— etc.

ss...

Am: u
| ee

de
+ (ni 1)A,u
+ À:

= 0

Maintenant, puisque la quantité w est arbitraire, on
peut égaler à zéro un quelcorique des coefficiens de
cette équation, ce qui fera d’abord disparaître le terme
affecté de ce coefficient et donuera ensuite le moyen
de déterminer la valeur de « ; de sorte qu’en substituant
cette valeur dans l’équation transformée ellen’aura plus
que des coefficiens déterminés.

S'agit-il par exemple de faire disparaître le second
ternie, On posera

; mit + À:
d’où l’on tircra
A:

{12

puis substituant dans (b) cette valeur de u, l'équation (b)
prendra évidemment la forme )

pm + Baye + Biyms 2 etc. + Bn1y + Ba = 0

et les racines de cette dernière feront connaître celles

de la proposée par la relation AT TS

Cette transformation particulière étant une des plus
usuelles, nous ferons observer qu’elle s'effectue en rem-
plaçant la variable x de l'équation proposée par une
autre variable diminuée du coefficient du second terme
divisé par le nombre qui exprime le degré dé l'équation.
Soit, par exemple

23 — 5x? +3x —7—=0

l'équation dont il s’agit de faire disparaître le second
terme— 5x2; nous-ferous ; parce que le-coefficient à
[4

Ve Bb
est négatif, æ=—y + 3, et nous trouverons
3

204 120

= (r+: 2) = Ji + Sr + ++
5\2 ñ [<

5e —5(r+;) — ef 1

+3 = +445) = . +45

17) Æ ss — x 7)
ce qui nous donnera, en prenant les sommes des coef-
ficiens,
; 26 232

S'il s'agissait de faire disparaitre le troisième terme
de l'équation générale (a) , il faudrait poser

m ne

+ Dans u +A,=0
et l’on aurait ainsi une équation du second degré à ré-
soudre pour obtenir la valeur dé v.. La disparition du
troisième terme conduirait de même à une équation du
troisième degré ; et, en général, celle du terme affécté
de la puissance æ—" à une équation du degré nr. De
sorte que si l’on voulait faire disparaître le dernier ter-
me, où aurait à résoudre une équation du même degré
que la proposée.

2. Transformer une équation en une autre dont les

. racines soient plus grandes ou plus petites que celles de
la proposée, d'une quantité donnée.

Cette transformation s'effectue de la même manière
que la précédente, car il est évident que si à la place
de x dans l'équation générale (a) on substitue y Hd, d
étant une quantité déterminée, on obtiendra une équa-
tion en y dont chaque racine différera d’une des racines
de l’équation (a) dela quantité + 4, Proposons-nous ,
par exemple, de transformer l'équation

TR 565
x? — 5x? + 8x —4 — 0

en une autre, dont lés racines soient plus petites que
l'unité. Posons x = ÿ + Le
La proposée deviendra

Gi) 57 + 17 +S(y HD 0,

et l'on obtiendra, après avoir développé les binomes et
ordonné par rapport aux puissances de y,

PP +r= 0;

équation dont une racine et, évidemment y — 0. En di-
visant par y, il reste l'équation du second degré

2 —9y + 1 =0,

dont les racines sont y = 1ety 1. Ainsi les trois
racines de la transformée sont 0, 1 et 1, et par consé-
quent celles de la proposée 1, 2 et 2.

3. Transformer l'équation générale (a) en une autre
dont Les racines soient un multiple ou un sous-mulliple
déterminé de ses racines.

Dans le cas du multiple, soit g le facteur donné. Po-

sons gx — y d'où x—" et substituant © à la place de

æ, l'équation (a) devicudra

CTI PE de

D
on +A } gi

gs ne etc. Ar do 2 Àm = ©

"qm—2

multipliant tout par g”#, l’équation demandée sera

PH Are QUI An GYM À etc... Am. qi et y
| + Ang = 0

Les racines de cette dernière , divisées pat g , don-
neront celles de l'équation (a).
Dans le cas du sous-multiple, q étant toujours le

L x 1
facteur donné, posons : =}, d'où æ= 4y,et nous

obtiendrons , en substituant ,
gym + Ag ip À ,qgm—iym—2 Let c...Am—1q)
+ Am = 0

qui, étant divisée par 9”, donne ha transformée

A: JA A Am
2! — Er ie m—1,
SEE per lutte FD Pete SVT 9m a Le

Les racines de celle-ci multipliées pâr g feront connaître
celles de la proposée.

4. Transformer l'équation (a) en une autre dont les
racines soicni de signes contraires.

566 TR

Pour opérer cette transformation, il suffit évidem-
ment de faire x = — y, car l'équation en y aura pour
racines négatives les racines positives de la proposée et
vice versa. Mais en substituant — y à la place de x, les
termes affectés des puissances impaires de — y chauge-
ront seuls de signe. Ainsi il est facile de voir que pour
rendre négatives les racines positives d’une équation
proposée , et positives ses racines négatives, il faut sim-
plement changer les signes des termes affectés des puis-
sances impaires de x. Si l’on avait par exemple l’équa-

tion
xŸ— 4x + 3x — 8x +9—=0,

en donnaut le signe — aux termes qui renferment
des puissances impaires de æ , on aurait une trans-

formée
— x + 4x + 3x + 8x+9—o

dont les racines seraient égales, mais de signes contrai-
res à celles de la proposée. Comme en changeant tous
les signes l'équation ne varie pas, cette dernière est la

même chose que

2 — 4x — 3x? — 5x — 9 — 0.

D'où l’on voit que lorsque l'équation est de degré im-
pair on change le signe de ses racines en changeant le
signe de ses termes affectés des puissances paires de x.
On doit alors considérer le terme absolu comme affecté
de x°.

Nous avons employé plusieurs autres transformations

aux mots EziminaTion, Equarion et Racine.

TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.
(Géom.) C'est l'opération par laquelle on change les
axes des coordonnées d’une ligne ou d’une surface, et
par conséquent ces coordonnées elles-mêmes.

La transformation des coordonnées est une des opé-
rations les plus importantes de la géométrie dite ana-
lytique ; elle facilite la recherche des propriétés des
courbes , en donnant les moyens de les exprimer par
les équations les plus simples , et fait souvent reconnai-
tre immédiatement certaines de ces propriétés qu’on
ne pourrait découvrir que très- difficilement par d’au-
tres moyens. Le but de cette transformation est énoncé
dans la proposition générale suivante : L’cquation
d'une courbe , rapportée à deux axes quelconques,
étant donnée, trouver l'équation de la méme courbe
rapportée à deux autres axes. Nous allons traiter la
question dans tous ses détails.

Soit MON (PI. 58, fig. 15) une courbe quelconque
dout l’équation y—Fx est rapportée aux axes AX et
AY, et saïent A'X' et A'Y' deux nouveaux axes donnés

TR

de position par rapport aux premiers, Les coordonnées
AP et PO d’un point O de la courbe, suivant les pre-
miers axes, étant désignées par x et y, et les coordon-
nées A'P'et P'O' du même point, suivant les derniers
axes, étant, désignées par z'et y', il s’agit de trouver
l'expression de xet de y en fonctions de x'et de y",
car les valeurs de x et y en x'et y’ étant connues, il
suffit de les substituer dans l'équation y — Fx pour
avoir l’équation de la courbe exprimée en z'ety', et
conséquemment rapportée aux axes A'X' et A’.

Or, la position du second système d’axes étant connue,
menons par le point A", BY" parallèle à AX et A'X" pa-
rallèle à AX. Faisons AB — a, A'B —b ; l'angle
X'A'X"— «a, l'angle Y'A'X" = a’, .et l'angle Y”'A'X”
= YAX — $. Eu menant PE parallèle à AX et P'C
parallèle à AY, nous aurons, (a),

AP — x — AB + BP — a + A'C + CD
PO == ÀA'B+OD— + CP'+EO,
mais les triangles A'CP', OP'E donnent (voy. Teicoxo-
MÉTRIE) .
1-0. AG APE Sin AMPIG ASIN CP!
CP’ :.A'P" : : sin P'A'C : sin AYCP'
.. PES 'OPE: sin POP sin PO

n°... EO&-:OP": ::sin OP'E £: sin P'EO

ou, ce qui est la même chose,

1°... A'C : x! :: sin(B—c):sinB

d'où à
im T'-Sin(£—x)
7 Ge sin 5 LS
oo CRE: Sisinte #1SinE
d’où
, _ T'-Sinæ
ee sin G
30,,.. PE : ÿ° :: sin(B—«) : sin B
d'où
ee. y'-sin(B— x)
nome De
4... EO : ÿ':: sine : sinf
d’où
__ y'.sina
EO sin £

Substituant les valeurs de A'C, CP', P'E, EO dans
les expressions (a) de x et de y, nous obtiendrons

TR
sut 205 a+ ERP ER En
PT NE ALES

sin

Ces valeurs de x et de y, substituées dans l’équation
de la courbe, transformeront cette équation en une au-
tre équivalente, qui ne contiendra plus que les varia-
bles x',y', et qui sera conséquemment rapportée aux
nouveaux axes ÀA'X', A'Y"’,

Eu donnant aux droites a et b et aux angles & et a
des valeurs convenables, il est facile de déduire des
formules générales (1) et (2) toutes les formules parti-
culières correspondantes à toutes les positions des
nouveaux axes. Ces formules particulières comprennent
quatre cas principaux que nous allous indiquer.

I. L'origine n'étant pas la méme , les nouveaux axes
sont parallèles aux anciens. Dans ce cas , les nouveaux
axes sont A'X", A'Y' et l’on a «x —0, x — B ; d’où

sin(f—a) = sinf, sin(f—-x'") — 0, sin — 0, sina'— sinf

Les formules (1) et (2) deviennent alors simplement

SSL — LEA
Hess V— y ÉD:
IT. Les premiers axes étant rectangulaires, les se-
conds sont obliques. Alors 6 = 90°, et l’on a
sinB = 1, sin(f—c) — cos &, sin{B—x') — cos x’

et les formules deviennent

5.... x = x'cosa + y'cosx +a
6.... y = x'sina— y'sina 4 b
II. Les deux systèmes d'axes sont rectangulaires.
On a dans ce cas
B= 90°, «= 90° + &, sinf = 1, sin(B—a) — cos «
sin(B—a') = cosx' = cos(90°H 4) = — sine, sinx' = cos &
ce qui donne
Tous = L'COS a y'sin « + a
8....7 = x'sinæ + y'cos « + b
IV. Les premiers axes sont obliques et les seconds
sont rectangulaires. Alors «' = 90° + « ; d’où
sinæ'=— cos &, Sin (f — x) — sin (B — 90° — x)
= — sin[90° — (B—2)] = — cos(2 — a)

et les formules deviennent

aie pl œ sin(B—a)==y" COS(B— x)

TR
æ'sinæ +-y'cos «
sin p

QC
©
1

10 = D +

Dans toutes ces formules, a et b sont les coordonnées
de l’origine des nouveaux axes par rapport aux an-
ciens ; ainsi en faisant a — o ct b — 0 , on exprimera,
dans les quatre cas ci-dessus, la circonstance que l’on
veut seulement changer la direction des axes sans dé-
placer l’origine. Si l’on fait seulement a — o , la nou-
velle origine sera placée sur l’axe des y, comme, si l’on
fait seulement b — 0 , elle sera placée sur l’axe des x.

Nous allons montrer par un exemple comment on
peut employer ces transformations pour simplifier
l'équation d’une courbe. L’équation générale du cercle
rapportée à des axes rectangulaires est (voy. AprLica-
TION, 24)

Re EE AQU EU ADR QUE IpE je 20

dans laquelle r désigne le rayon , p la distance du cen-
tre à l’axe des y et g la distance du centre à l'axe des x.
Pour rapporter cette équation à d’autres axes rectangu-
laires, substituous à la place de x et de y les valeurs
données par les expressions (7) et (8), l'équation trans-
formée sera

x + 2[(a—q) cosa Æ (b—p) sinz]x'
+ y? — a[(a—g) sin & — (b—p) cosz]y!
+ HU + pq —0ag — bp

== 0

Cette équation est à la vérité plus compliquée que la

proposée, mais il y entre trois quantités arbitraires «,
bet « dont on peut disposer à volonté pour la simpli-
fier. Or, ilest facile de voir qu’en faisant a=get
b—p non seulement les termes affectés de x’ et de LA

disparaissent, mais qu’elle se réduit à

x +ys—rm—0o

à cause de g? + «° —2q", bp? = op? et de 2aq =29°
2bp = 9p?.

Or, en faisant a = q et b — p, on à transporté l’ori-
gine au centre du cercle; ainsi l'équation du cercle rap-
portée au centre est la plus simple de toutes. De plus,
cette équation est toujours la même, quelle que soit la
position des axes, pourvu qu'ils soient rectangulaires,
car l'angle « reste indéterminé.

La transformation des coordonnées rectilignes en
coordonnées polaires a été traitée au mot Porarre.

TRANSPOSITION. (44g.) Expression dont on sesert
pour désigner le changement de place que l'on fait
éprouver à un terme d’une équation en le transportant
d’un membre dans l’autre, Si l’on a par exemple l’équa-
tion x + 4x +8 — 16, et que l'on fasse passer le

568 TR

terme 8 du premier membre dans le second, ce qui
rend l'équation x° + 4x — 16 —8, on aura opéré une
transposition. l'équation ne change pas, par de telles
transpositions, pourvu qu’on observe de changer le signe
des termes déplacés. (Foy. EQuaTi0N, 1.) |

TRANSVERSALE. (Géom.) Se dit en général de

toute ligne qui en coupe d’autres.

GÉOMÉTRIE DES TRANSVERSALES. En adoptant la division
de chacune des deux branches fondamentales des ma-
thématiques en Taéome et Trecunte (Foy. Marnémi-
TIQUES et Puirosopmte ), les propriétés des transversales
et leur usage pour la solution des questions géométri-
ques se trouvent naturellement classées dans la partie
technique de la géométrie générale et constituent une
branche élémentaire de cette TECHNIE GÉOMÉTRIQUE,
dont l’objet général est comme nous l'avons dit ailleurs,
la génération et la comparaison universelles de l'étendue,
… À l’aide de cette classification, fondée à priori sur la
nature même de l'intelligence humaine, chaque branche
de la géométrie générale reçoit un but fixe et déterminé
qui ne permet plus de la confondre avec les autres, et
l’on peut enfin reconnaitre l’unité systématique qui rè-
gneentre toutes ces branches , unité sans laquelie une
réunion quelconque de connaissances ne peut former
une véritable science. Or, en partant des principes qui
servent de base à la déduction que nous avons donnée,
au mot Marnémariques, des diverses branches de la
science des nombres, il est facile de reconnaître que la
science de l'etendue se divise également en plusieurs
branches nécessaires et que laméthode des transversales
est une de ces branches. Nous allons essayer de complé-
ter ici l'aperçu qui se trouve au mot GÉOMÉTRIE, en
indiquant le parallélisme intellectuel qui résulte, entre
les parties de l’algèbre et celles de la géomctrie, de leur
commune origine.

T. La génération de l'étendue, comme celle des nom-
bres, se présente sous deux aspects différens, un zrdi-
viduel' qui nous fait connaître la nature particulière de
l'espèce d’étendue engendrée , l'autre universel qui se
rapporte à l’evaluation de cette étendue. Par exemple,
si nous traçons sur un plan trois droites qui se coupent
deux à deux, nous formerons une étendue nommée
triangle , lequel sera équilatéral, isocèle on scalène,
suivant les relations d'égalité ou d’inégalité que nous
aurons établies entre ses côtés. Dans chaque cas, nous
devrons donc considérer une étendue d’une nature par-
ticulière et distincte donnée par les circonstances de sa
génération, Si, au lieu de nous borner à cette construc-
tion individuelle, nous considérons les trois lignes droi-
tes d’une manière générale, c’est-à-dire en les rappor-

tant à des axes coordonnés, et en les exprimant par

CO

ER

leurs équations, la seule condition que ces droites se:

coupent deux à deux nous conduira à la génération du
triangle général ou schématique (voy. Puirosopme, 25),
dont nous pourrons obtenir l'évaluation par des procé-
dés universels ; ainsi les relations qui existent entre
l'aire du triangle , ses angles et ses côtés, se trouveront
fixées de la manière la plus générale. Ces deux aspects
différens sous lesquels nous pouvons envisager la géné:
ration de l’étendue établissent nécessairement, dans là
géométrie, deux branches essentielles et distinctes, dont
l'une doit avoir pour objet la réunion de tous les modes
individuels et indépendans de là génération et de Ja
comparaison de l’étenduë , et J’autre, tous les modes
universels de cette génération et de cette comparaison.
La première formera la Tn£onte GÉOMÉTRIQUE et la se-
conde la TECHNIE GÉOMÉTRIQUE.

2. Examinons d’abord la théorie séométrique etrermar-
quons qu’il faut distinguer, avant tout, parmi les modes
individuels et indépendansde la génération deV’étendue,
ceux qui constituent les é/émens de toutes les construc-
tions géométriques possibles de ceux qui coustituent la
réunion systématique de ces élémens. Or, le premier
mode élémentaire qui se présente pour la génération de
l'étendue , est la LIGNE proiTE :° c’est une étendue qui
n’a qu’une seule dimension, et dont toutes les parties
ont une même directiou. La ligne droite est évidem-
ment le principe primitif de toute étendue, l’élément
nécessaire sans lequel on ne pourrait la concevoir ;
toutes ses parties sont semblables, ou plutôt sont elles-
mêmes des lignes droites; son caractère général est ce-
lui de l'agrégation, et elle est enfin pour la géométrie
ce qu'est l’algorithme de la sommation pour l’algèbre.
Un second mode élémentaire opposé vient nous pré-
senter à son tour une génération tout à fait différente :
c’est la ziene course ; l'étendue qu’elle engendre n’a
encore qu’une seule dimension, mais sa direction varie à
chaque point; de sorte que, considérées dans toute leur
généralité, la nature de Ja ligne courbe et celle de la
ligne droite sont entièrement hétérogènes, et il est im-
possible de déduire l’une de ces lignes de autre. Pour
remonter à. l’origine intellectuelle de ces lignes, nous
dirons que la première, la ligne droite, où se manifeste
la discontinuité, est un produit de l’entendement, et
que la seconde, la ligne courbe, où se manifeste la con-

tinuité, éstun produit de la raison.

Comme moyen de transition de la ligne droite à la
ligne courbe, un troisième mode primitif de génération
vient enfin nous’ présenter l'ANGLE ; C’est une étendue
qui n’a toujours qu’une seule dimension , mais dont la
direction varie de l’une de ses parties à l’autre. L’an-
g'e est un produit de la faculté du jugement et forme,
en vertu de son origine intellectuelle , la neutralisation

TR

des deux modes primitifs et opposés de la génération
de l'étendue.

La ligne droite, l'angle et la ligne courbe, tels sont
donc les élémens primitifs de la génération de l'étendue,
et ilne peut exister pour l'intelligence aucune espèce
d’étendue que celle qui se trouve immédiatement fon-
dée sur ces trois élémens , ou qui est dérivée de leur
combinaison,

3. La combinaison des trois modes primitifs, que nous
venons de signaler, donne naissance à l’étendue déri-
vée nommée surFrAcE , laquelle a deux dimensions ; et
par la réunion systématique des surfaces et des lignes on
engendre l'étendue nommée solide, laquelle a trois di-
mensions. Ces déductions sont assez évidentes pourque
nous ne croyions pas avoir besoin de nous y arrêter.

Les lignes, les surfaces et les solides sont les objets
nécessaires de la théorie géométrique, et par conséquent
ceux de toute la géométrie générale.

4. Le but de la technie est, comme nous l'avons dit
plusieurs fois, la construction universelle des quantités
soit numériques , soit géométriques, à l’aide d’autres
quantités arbitraires de même espèce prises pour 7e-
sures ; elle exige donc l'emploi de rioyens propres à
parvenir à cette construction universelle. Or, pour ce
qui concerne la géométrie, ces moyens peuvent
être de deux natures différentes ; les uns, comme
moyens prènulifs, sont puisés dans les lois de l’étendue
elle-même ; les autres, comme z20yens dérivés, sont ti-
rés de l'application des lois générales des quantités à
l'étendue, Les moyens primitifs ou géométriques sont
les intersections des lignes et leurs projections ; les
moyens dérivés ou algébriques sont la construction des
rapports et la réduction de toute espèce d’étendue à
l'étendue primitive et discontinue : la ligne droite , à
l’aide des coordonnées; chacun de ces moyens est l'objet
d'une branche particulière de la géométrie. Ainsi la
génération technique de l’étendue par le moyen de l'in-
tersection des lignes est l’objet de la cÉomÉTRuE pes
TRANSVERSALES; cette génération, par le moyen des
projections , est l’objet de la GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE ;
et, enfin, cette même génération, par le moyen élémen-
taire de la construction des rapports , et par le moyen
systématique des coordonnées, est le double objet de la
GÉOMÉTRIE dite ANALYTIQUE. (Voy. GÉOMÉTRIE.)

5. La géométrie des transversales a été réunie pour
la première fois en corps de doctrine par Carnot, dans
son ouvrage intitulé géométrie de position; mais
l'emploi de ces lignes ne paraît pas avoir été entière-
ment inconnu des Grecs , car il résulte des notes de
Pappus sur le livre, malheureusement perdu, des
Porismes d'Euclide, que ce grand géomètre s'était
servi dans cet ouvrage des intersections des ligues et de
certaines constructions générales, pour obteuir la solu-

TOME

TR 569
tion deplusieurs problèmes très-compliqués. Plus tard,
Ptolémée, dans son /mageste, a fait un usage direct des
transversales sphériques pour résoudre quelques pro-
blèmes d'astronomie. Quoi qu'il en soit des notions plus
ou moins étendues que les anciens ont pu avoir sur cette
partie technique de la géométrie , elle ne date parmi
nous que de l’ouvrage de Carnot, et ses développemens
sont entièrement dus aux géomètres de notre époque.
Nous allons faire connître les propositions fondamen-
tales des transversales rectilignes, et nous indiquerons
quelques-unes des nombreuses applications qu’on peut
eu faire à la géométrie pratique.

6. Prorosrriox I. Les trois côtés d’un triangle étant
prolongés indéfiniment, si on mène une transversale qui
des coupe tous trois, on aura sur chaque côté deux
segmens tels que le produit de trois d'entre eux, non
contigus, est égal au produit des trois autres.

Eu effet, soit ABC (PI. 58, fig. 16) un triangle quel-
couque, et M, N, O les points où la transversale coupe
ses côtés ou leurs prolongemens. Chacun de ces points
sera l’origine des deux segmens formés sur chaque côté
par la transversale, Par exemple , pour le côté AB, les
segmens seront MA , MB ; pour le côté AC, les seg-
mens seront NA , NC; et pour le côté BC , les segmens
seront OB, OC. Ceci posé, par le sommet de l’un des
augles du triangle, À par exemple, menons une paral-
lèle au côté opposé BC, et qui rencontre en D latrans-
versale ; les triangles semblables MAD , MBO donne-
ront

MA : MB :: AD : BO

on aura encore, par les triangles semblables NAD, NCO,
NGC: : NAr ::. OG :; AD.

Multipliant ces deux proportions terme par terme, puis
formant le produit des extrêmes et celui des moyens de
la proportion résultante, on obtiendra, en retranchant

le facteur commun AD , (a)
MA.NC.OB — MB.NA.OC

C’est la proposition énoncée, car les trois facteurs de
chaque produit sont des segmens uon contigus.

7. Corollaire 1. Lorsque la transversale devient pa-
rallèle à l’un des côtés du triangle, on doit considérer
le point où elle le rencontrait comme situé à l'infini ;
alors les segmens qu’elle déterminait sur ce côté sont
tous deux infiniment grands et par conséquent égaux
Supposons donc que la fransversale soit parallèle à AB,

et nous aurons

MA=— MB — 00 3
retranchant ces facteurs égaux de. l'égalité, (a), il vieut

79
12

TR

NC.OB = NA.OC

ou,
NA : NC :: OB : OC.

Ainsi, dans ce cas, les deux points de division N et O
déterminent sur les côtés AC et CB des segmens pro-
portionnels, et il en résulte que toute transversale pa-
rallèle à La base d'un triangle coupe les deux autres
côtés , prolongés s’il est nécessaire en segmens propor-
tionnels.

S. Corollaire 2. Si la transversale passait au milieu
d’un des côtés, de BC, par exemple, on aurait
OB = OC, et l'égalité (a) donnerait

MA : MB :: NA : NC.

D'où il résulte encore que toute transversale qui passe
au milieu de la base d'un triangle coupe les côtés en
_segmens proportionnels.

9. Prorosrrion IL. 8% d’un point quelconque D pris
sur le plan d'un triangle ABC (PL. 55, fig. 17 et 17 bis),
on mène, sur chacun des côtés, une transversale qui
passe par le sommet de l'angle opposé , on obtiendra
sur chaque côté, prolongé s’il est nécessaire, deux seg-
mens tels que le produit de trois segmens non contigus
est égal au produit des trois autres.

Les segméns sont ici, soit que le point D soit pris dans
l'intérieur du triangle ou qu’il soit pris au dehors, MA
et MB pour le côté AB ; NA et NC pour le côté AC ;
OB et OC pour le côté BC. Or, en considérant seule-
ment le triangle ABO comme ayant ses trois côtés
coupés par la transversale CM, nous avons, en vertu de
la proposition précédente ,

AM.OD.BC — MB.AD.OC,

de même, en considérant seulement le triangle ACO
comme ayant ses trois côtés coupés par la transversale
BN , nous avons par la même raison ,

AD.NC.OB — AN.OD.BC.

Multipliant ces deux égalités terme par terme, et re-
tranchant les facteurs communs, il vient (b)

MA.NC.OB — MB.NA.OC,

ce qui est la proposition énoncée.

10. Corollaire 1. Si l’une des trois transversales, OD
par exemple, passe par le milieu du côté opposé au
sommet de l'angle dont elle part, on aura

OB— OC
et l'égalité (b) se réduira à
MA.NC — MB.NA,

ou, ce qui est la même chose, à la proportion

TR
MA : MB :: NA : NC,

c'est-à-dire, que dans ce cas, les deux autres transversales
déterminent des segmens proportionnels sur Les côtés
qu’elles coupent. Donc si l’on meuait une droite par les
points Met N, cette droite serait parallèle à BC, car
elle formerait un triangle AMN qui serait semblable au
triangle ABC (voy. Triancre), puisque ces deux trian-
gles auraient un angle égal compris entre descôtés pro-
portionnels.

Il résulte de ces considérations la proposition sui-
vante : {a base d’un triangle étant partagée en deux
parties égales par une droite ürée du sominét; ‘si d'un
point quelconque de cette droite on abaisse ,- sur cha-
cun des autres côtés, une transversale passant par le
sommet de l'angle opposé , les points où ces transÿer-
sales rencontreront les côtés, ou leurprolorigement, ap-
partiendront à une droite parallèle à la base.

11. Corollaire 2. Supposons qu’une des trois trans-
versales, DC par exemple (PI. 58, âg. 18), soit parallèle
au côté AB opposé au sommet de l'angle par lequel elle
passe ; les deux segmens MA et MB deviendront inf-
niment grands, et l’on aura MA — MB, ce qui rendra
l'égalité (b)

NC.OB — NA.OC,
d’où
NA : NC :: OC : OB,

c’est-à-dire, encore, que les points d’intersection O etN
des transversales déterminent sur les côtés AC et BC
des segmens proportionnels. Donc si par cès points O et
N on fait passer une transversale ON , elle partagéra le
côté AB en deux parties égales (u° 8); et, conséquem-
ment, |

Si d’un point quelconque d’une droîte parallèle à La
base d’un triangle on abaisse sur chaque’ côté une
transversale passant par le sommet de l'angle opposé,
les points où ces transversales réncontrent les côtés où
leur prolongement déterminent une droite qui pûrtage
la base en deux parties égales.

12. Les propositions I et II sont les fondemens de
toute la géométrie des transversales rectilignes. Non
seulement elles donnent les moyens de résoudre la plu-
part des problèmes géométriques à l’aide de la règle
seule sans employer les arcs de cercle, maïs leur appli-
cation à l’arpentage rend inutile, dans üh très: grad
nombre de cas, l'emploi des instrumeus pour mesurer
les angles et n’exige que celui des jalons. Les questions
suivantes vont donner dés éxemples de ces diverses
applications. F

Propième 1. Par un point donné M (PI. 55, fig. 15)
mener une parallèle à la droite donnée BC. (

Ayant pris à volonté sur BC deux parties égales

TR

BO et. 0G, on mènera les droites CM et BM , et l'on
prolongera BM jusqu’à ce qu’elle rencontre en un point
quelconque À la droite OA, menée d’une manière
arbitraire par le point O, milieu de BC. On joindra
les points À et C par la droite AC , puis de l'extrémité
B ou fera passer une droite BN par le point d'intersec-
tion des droites MC et OA ; le point N où cette droite
rencontre AC appartiendra à la parallèle demandée, et
le problème sera résolu en menant MN.

Cette construction repose sur le premier corollaire
de la secoude proposition (n° 10).

Proezème 2. Partager une droite donnée DC en deux
parties égales (PI. 58, fig. 18). Ayant mené une droite
AB parallèle à DG, on tirera vers un point quelcon-
que O les droites DO et CO qui coupent cette parallèle
en À et en B. Puis par ces points et par les points Det
C on fera passer les transversales AG et BD; la ligne
ON , menée du point d’intersection des transversales
au point O , divisera DC en deux parties égales. (Co-
rollaire 2. Prop. I, n° 11.)

Proezème 3. Mesurer sur le terrain une ligne inac-
cessible AM (PI. 58, fig. 16). On prendra sur l’aligne-
ment de AM un poiit quelconque B, puis d’un autre
point O pris arbitrairement sur le terrain, on fera pas-
ser par le point B une droite BO qu’on prolongera ar-
bitrairement jusqu'en C. Ayant ensuite marqué le point
N où les alignemens MO et AC se coupent, on mesurera
NA, NC, AB, OB et OC, et la longueur de AM
sera donnée par l'expression (Prop. 1, n. 8.)

MA.NC.OB — MB.NA.OC.

En effet, à cause de MB == MA + AB, cette expression
donne

MA.NC.OB — MA.NA.OC + AB.NA.O0C
d’où
NA.OC
MA = AB. Re OR NALOC:

Prosème 4. Prolongér sur le terrain une ligne droite
AB (PI. 58, fig. 16) au-delà d'un obstacle , placc en À,
qui ne permet pas de prendre un alignement.

On choisira hors de AB un poiut C d’où l’on puisse
découvrir les deux points AetB, puis on marquera
sur les alignemens CA et CB les points N etO, tels
que la droite NO puisse rencontrer AB sans être arrêtée
par l'obstacle. Désignant par M le point de rencontre
qu'il s’agit de déterminer, et considérant AB comme une
transversale qui coupe les côtés du triangle NOC , on
aura d’après la proposition I

MN .AC.BO — MO.AN.BC
ou

Qc
un
em

TR
MN.AC.BO = (MN4-NO).AN.BC

ce qui donne

AN.BC

MN = NO .: C0 AN.sc

Avant donc mesuré les cinq lignes NO, AN, BC, AC,
BO, et calculé la longueur de MN, on prendra , sur
l'alignement de ON , cette longueur deN enM,etle
point M ainsi déterminé sera sur l'alignement de AB.
Un secoud point du même alignement, déterminé de
la même manière, permettra donc de prolonger AB au-
delà de l'obstacle.

13. Nous devons nous borner à ces exemples d’appli-
cation qui donnent une idée suffisante de tout le parti
qu’on peut tirer des transversales ; mais nous regrettons
de ne pouvoir signaler l'extrême facilité avec laquelle
la considération technique de ces lignes fait découvrir
certaines propriétés des figures géométriques , qui exi-
gent des considérations théoriques très-compliquées.
Nous ne pouvons également nous occuper ici des trans-
versales curviligres pour lesquelles on doit recourir aux
ouvrages de Carnot : Géométrie de position et Essai
sur la théorie des transversales. On doit à MM. Servois
et Brianchon des applications très - ingénieuses des
transversales rectilignes. MM. Chasles et Lamé se sont
servis des transversales pour démontrer les propriétés
des surfaces du second ordre ; et l’on trouve enfin dans
le Journal de l'Ecole Polytechnique et dans les Annales
des Mathématiques un grand nombre de questions
dont la solution atteste la fécondité et la simplicité des
procédés techniques qui résultent de l'emploi de ces
lignes. (Voy. ces ouvrages et l’ Application de la théorie
des transversales, par Brianchon, ainsi que les Solutions
peu connues de différens problèmes de géométrie pra-

tique, par M. Servois. )

TRANS VERSE. On nomme AxE TRANSVERSE, en ge0-
métrie , Vaxe principal d’une section conique , celui qui
passe par le foyer de la courbe. Dans l’ellipse, c'est le
plus grand des diamètres, dans l’hyperbole c’est le plus
petit. Dans Ja parabole il est, comme tous les autres
diamètres, indéfini en longueur.

TRAPÈZE. (Géom.) C’est un quadrilatère qui a deux
côtés parallèles. (Foy. QuaDriLATÈRE et AIRE.)

TREUIL ou TOUR. (Méc.) Machine composée d’un
cylindre et d'une roue qui ont le même axe et qui font
corps ensemble. (PL. 12, fig. 3.) L’axe commun a ses
deux extrémités placées sur des appuis E, F. Autour du
cylindre s’enroule une corde D à laquelle est attaché le
fardeau qu’on veut élever. On imprime à la roue À un
mouvement de rotation sur l'axe ; elle fait tourner le

572 TR

cylindre , la corde s’enveloppe, et par-là on élève le
fardeau. Le mouvement est donné à la roue soit à l’aide
d’une corde qui est enveloppée sur cette roue et qu’une
puissance tire , soit à l’aide de chevilles, comme dans
la figure, dont on la garnit, et auxquelles on applique
des forces. Quelquefois au lieu de roue on se sert de
deux leviers qui traversent le cylindre.

L’axe du cylindre peut être indifféremment horizon-
tal comme dans le weuil proprement dit, la grue (PI.
12, fig. 4), ete, ou‘vertical, comme dans le cabestan
(PL. 12, fig. 5); les conditions d’équilibre sont toujours
les mêmes. Pour reconnaître ces conditions, dépouil-
lons le éreuil de tout appareil extérieur et ne considé-
rous qu’un cylindre AB (PI. 30, fig. 1.), dont l’axe re-
pose sur des appuis À et B et qui porte une roue 7». La
résistance Q ou le fardeau à soulever sera appliqué à la
corde 2Q qui s’enroule sur le cylindre , et la puissance
P sera appliquée à la corde 2P qui s’euroule sur la roue.
On voit que la puissance et la résistance tendent à im-
primer au cylindre deux mouvemens en sens inverse ,
et que ces deux forces agissent comme si elles étaient
appliquées chacune directement à l’extrémité d’un bras
de levier dont la longueur est égale, pour la résistance,
au rayon du cylindre, et pour la puissance, au rayon de
la roue. Il est donc facile de conclure, d'après la théorie
du levier, que, pour qu'il y ait équilibre, la puissance
doit £tre à la résistance comme le rayon du cylindre
est au rayon de la roue. Ainsi l'effet utile de cette ma-
chirie est d'autant plus grand que le rayon de la roue
est plus grand par rapport à celui du cylindre.

Mais, pour tenir compte des frottemens qui sont as-
sez considérables dans le treuil, soit A un tourillon (PI.
39, fig. 15) tournant dans le palier MN, et R7n la ré-
sultante des pressions quis'exercent sur cetourillon. Par
l'effet du mouvement de rotation, le tourillon se place
daus le palier de manière que la tangente »2P, au point
de contact, fait avec R2 un angle égal au complément
de l’angle du frottement ; de sorte qu’en désignant par
JS le rapport du frottement à la pression , on a

Tee I
tang.pmR = =, sin pnrR=——-.
5h Vi +:
La pression normale exercée en #1 sera donc
ht
Vi+:

p désignant le rayon du tourillon; et la résistance du
frottement dirigée suivant la tangente pm sera

nf p.
Vi:

«

laquelle doit être introduite dans le système avec les

TR

autres forces qui se font équilibre autour de l’axe A du
tourillon.

L'application de ces considérations au treuil peut ser-
vir d'exemple pour le calcul de l'équilibre dansles ma-
chines de rotation. Reprenons done le treuil de la fig. 1,
PI. 39, et désignons par

R, le rayon delaroue mm,

r, le rayon du cylindre,

e et p', les rayons destourillons A etB,

d, le diamètre de la corde soutenant le poids Q ,

P; la distance mA ,

g, la distance »A,

7, la longueur AB du cylindre,

à, l'angle de la direction de la force P avec la verti-
cale,

M, le poids du cylindre et de la roue, dont le centre
de gravité est supposé dans l’axe du treuil,

g, la distance de ce centre de gravité au tourillon A,

N et N'les efforts exercés respectivement sur les tou-
rillons A etB,

0 et 6’, les angles des directions de ces efforts avec
la verticale.

n,n'et p les constantes qui entrent dans l'expression de
la résistance des cordes et que l’on détermine par
expérience pour chaque espèce de corde. (Joy.
Conpe.)

JS, le rapport du frottement à la pression.

Faisons en outre, pour plus de simplicité,

Ceci posé , décomposons d’abord toutes les forces en
d’autres qui leur soient parallèles et qui soient appli-
quées à chaque tourillon. Puis décomposons chaque
force fournie par P en deux autres, l’une horizontale et
l’autre verticale. Nous aurons de cette manière :

force verticale appliquée en À

l-q
n

=M.TE+Q. PE .c0s à
force horizontale appliquée en À
—P Er .SinA,
d
force verticale appliquée en B
=M.$4+Q.T+ PP cos a

force horizontale appliquée en B

=.P ,sina

TR
D'où nous tirerons
N= ; V{IM(8) +Q (9
+2M (8) +Q (gl. P(lp).cos à
HP (pr }
N'=; V{IMe+Qsl
+2[Mg+Qg].P.cosx + P:p° }

P(Z—p}sina
Tr aN nor
re P.p.sina
sin 0 — ANTT

En outre l'équation d'équilibre du treuil sera
de. s
PR = Qr+/f' (No No) ++ n'Q)

laquelle donnera la valeur de P, après qu’on aura rem-
placé N et N° par leurs valeurs tirées des expressions
précédentes.

Si les rayons des deux tourillons pet p' sont égaux,
ces formules se simplifient et l’on peut se dispenser, pour
évaluer l'effet du frottement , de calculer séparément
les pressions N et N'. La somme de ces pressions est

NN = {MH Q 20 + Q) P. cos à + P° |

et l'équation d'équilibre devient

PR = Qrtp JV {M Q ME QP. cosx-P'}
+T mn Q

Dans le cas où la force P serait verticale, on aurait
À —= O0 et cos À

1. L’équation d'équilibre devient

alors
PR Qrt-p.f' (M4 Q+P) + T (nr Q

C’est en négligeant les effets du frottement et ceux de
la raideur des cordes qu’on a simplement

PR =Qr),

c’est-à-dire, la proposition que la puissance est à la ré-
sistance comme le rayon du cylindre est à celui de la
roue.

Dans cette machine on peut, comme nous l’avons
dit, augmenter autant qu'on voudra l'avantage de la
puissance sur la résistance , en faisant croître le rayon
de la roue sans augmenter celui du cylindre. On peut
encore produire le même effet en employant plusieurs
treuils liés entre eux par des cordes qui aillent de la

TR 575
roue de l’un au cylindre de l’autre. Dans ce cas, en
faisant abstraction des frottemens , il est facile de voir
que pour qu’il y ait équilibre la puissance doit être à
la résistance comme le produit des rayons de tous les
cylindres est au produit des rayons de toutes les roues.

Au lieu d'employer des cordes, on peut encore, pour
lier les treuils, füre usage d’un autre moyen qui ne
change rien aux conditions d'équilibre. On arme la cir-
couférence de chaque roue de dents saillantés égale-
ment espacées , et l’on creuse dans chaque cylindre des
rainures capables de les contenir. Puis où rapproche
les treuils de manière que les dents des roues engrèvent
dans les rainures des cylindres, de sorte qu’en faisant
tourner l’un des treuils sur son axe tous les autres soient
inmis en mouvement. Un tel système prend alors Ie nom
de roues dentées , et lou donne celui de pignons aux
cylindres. Les figures 4 et 10 de la planche 17 repré-
sentent des systèmes de roues dentées. Dans tous les
systèmes semblables, a puissance est à la résistance
comme le produit des rayons de tous Les pignons est au
produit des rayons de toutes les roues.

Voyez, pour la théorie des engrenages, le Traïte clé-
mentaire des machines de M. Hachette, le tome 4 du
Cours de Mathématiques de Camus , et le tome r de
l'Architecture hydraulique de Bélidor.

TRIANGLE, (Géom.) Figure limitée par trois droi-
tes ou côtés qui se coupent deux à deux.

Si les trois côtés du triangle sont des lignes droites,
ou le nomme triangle rectiligne; s'ils sont des lignes
courbes, triangle curviligne; et enfin triangle mixtiligne
si Les uns sont des lignes droites et les autres des ligues
courbes.

Les triangles formés sur la surface de la sphère par
l'intersection de trois de ses cercles prennent le nom
de triangles sphériques.

La théorie des triangles rectilignes étant une des
parties les plus importantes de la géométrie, nous
allons présenter ici son ensemble.

1. Les triangles, comme toutes les autres figures
géométriques, doivent être considérés sous le rapport
de leur construction ou de leur géneration et sous celui
de leur relation réciproque ou de leur comparaison. Le
triangle rectiligne, en général, est une étendue plane
terminée ou circonscrite par trois droites qui se cou-
pent deux à deux. Ces trois droites se nomment les
côtés du triangle, et comme deux droites qui se coupent
forment un angle il en résulte qu’un triangle a trois
angles ; c’est de cette circonstance qu'il tire son nom,

Dans tout triangle il y a donc six choses distinctes :
trois côtés et trois angles; et la différence qui existe
entre un triangle et un autre triangle ne peut résulter
que de la différence de leurs côtés ou de leurs angles,

574 TR
Les divers rapports que peuvent avoir respectivement
entre eux les côtés et les angles d’un même triangle
déterminent sa nature. Selon ces divers rapports les
triangles reçoivent des dénomivations particulières.
Ainsi lorsque les trois côtés d’un triangle sont égaux, on
le nomme triangle équilatéral; lorsque deux seule-
ment de ses côtés sont égaux, on le nomme #riangle
isocèle; et si ses trois côtés sont inégaux, il reçoit le
nom de triangle scalène. Telle est la classification des
triangles considérés par rapport à leurs côtés.

Par rapport aux angles, on nomme triangle rectan-
gle celui dont un des angles est droit; triangle obtus-
angle celui dont un des angles est obtus, et triangle

acutangle celui dont les trois angles sont aigus.
£ & &

2.Onnomme indifféremment sommet d’un trianglele
sommet d’un quelconque de ses angles ; et alors le côté
opposé à cet angle prend le nom de base. La distance
du sommet à la base se nomme la hauteur du triangle.
Comme on mesure généralement la distance d’un point
à une droite par la perpendiculaire abaissée de ce
point sur cette droite, on dit encore que la hauteur
d’un triangle est la perpendiculaire abaissée du sommet
sur la base. On prend ordinairement pour base d’un

triangle isocèle le côté inégal aux deux autres,

3. La somme de deux des côtés d’un triangle est tou-
jours plus grande que le troisième côté. Cette propriété
est évideute et résulte de la notion primitive que la
ligne droite est la plus courte entre deux points.

Les trois côtés d’un triangle n’ont point d’autre rela-
tion générale que celle d’être assujétis à cette condition.
Leur somme peut être une quantité quelconque varia-
ble à l'infini, et sur une même droite on peut construire
une infinité de triangles différens dont les deux autres
côtés n’ont entre eux aucun rapport nécessaire de gran-
deur. Il n’en est pas de même des trois angles; leur
somme est une quantité constante toujours égale à la
somme de deux angles droits.

4. L'égalité de la somme des trois angles de tont
triangle à deux angles droits est une proposition fon-
damentale dont nous n'avons à exposer ici que les con-
séquences, l'ayant démontrée ailleurs (voy. ANGLE, 8).
Il en résulte, 1° qu'un triangle ne peut avoir qu’un
seul angle. droit et à plus forte raison qu’un seul angle
obtus; ° que les trois angles d’un triangle sont counus
lorsqu'on en connait deux seulement, car il suffit, pour
obtenir le troisième, de retrancher la somme des deux
angles connus de celle de deux angles droits; 3° que

ans.un triangle rectangle la somme des deux angles
igus est égale à un angle droit. Il suffit donc aussi de
connaître un de ces angles pour que l’autre soit immé.-
diatement connu ; 4° eufin, que lorsque deux des augles
d'un triangle sont respectivement égaux à deux, des

TR

angles d’un autre triangle, les troisièmes angles sont
égaux.

5. Les propriétés les plus importantes qui résultent
de la construction même des différens triangles et con-
stituent leur nature font l’objet des théorèmes suivans.

Tuéorème. Dans un triangle isocèle les angles oppo-
sés aux côtés égaux ou, comme on le dit, les angles à la
base, sont égaux.

Soit BAC un triangle
isocèle dont les côtés
égaux sont AB et AC.
Si avec AB comme
rayon on décrit un cer-
cle, ce cercle passera
nécessairement par l’ex-
trémité C du côté AC,
de sorte que le côté BC

en deviendra une corde. Ceci posé, menons lé rayon
AD qui partage l’arc BDC en deux parties égales, et
concevons le cercle replié en deux sur lui-même sui-
yant la droite AD; l'arc DC,se confondra alors avec
l'arc AD,
tombera sur le point B., Ainsi, non seulement MC
coïincidera avec MB, mais encore AC avec AB, puisque

et comme ces arcs sont égaux, le point G

les extrémités de ces diverses, droites se confondent.
Donc l’angle ACM est égal à l'angle ABM. Donc les an-
gles à la base d’uu triangle isocèle sont égaux. La réci-
proque de cette proposition se démontre sans difficulté.

7- Il résulte de cette démonstration plusieurs consé-
quences importantes que nous devons Signaler. 1° Puis-
que les deux triangles AMC,et AMB se confondent, les
angles au point M, c’est-à-dire, les angles AMB et AMC
sont égaux; ainsi ces angles sont droits (AnGze, 1).
2° Les angles BAM et MAC sont égaux. 3° Enfin BM est
égal à MC. Donc, la droite qui partage en deux parties
égales l'angle au sommet d'un triangle isocèle est per-
pendiculaire à sa base, et partage en outre cette base
en deux parties égales.

8. Une conséquence directe du théorème précédent,
c'est que les trois angles d’un triangle équilatéral sont
égaux. En effet deux quelconques des angles d’un tel
triangle sont égaux entre eux, puisqu ‘ils sont opposés a
des côtés égaux ; ainsi les trois angles sont égaux.

9- Taéorèue. Lorsque dans ur triangle deux angles
sont inégaux, le plus grand des deux est opposé au plus
grand côté, et réciproquement. ‘

Soit dans le triangle ABC (P1.58, fig. 22) l'angle
BCA plus g grand que l'angle BAC, le côté AB sera plus
grand que le côté BC. En effet, l'angle BCA étant plus
grand que l angle B AC; on peut supposer une droite, CD
menée de manière à faire avec le côté AC un augle

DCA égal i à l'angle L BAC. Alors le tiaugle ADC ayant,

TR
hi gl jo oct nil ‘ \ À loge
deux angles égaux sera isocèle (6) et les côtés AD et CD
seront égaux ; mais on à

CD -- DB => BC
et, par conséquent, puisque CD — AD
AD + DB > BC

donc AD plus DB ou AB est plus grand que, BC.

La réciproque devient évidente.

o. Ce qui précède est suffisant pour nous permettre
d'aborder la comparaison théorique des triangles. Or,
cette comparaison peut s'effectuer sous trois conditions
différentes. 1° Les triangles comparés sont tels que,
l'étendue de leur surface étant la même, la relation de
leurs limites soit aussi la même; 2° ou bien, l’ét ndue
de la surface étant encore la même, la relation des
limites est différente; et 3° enfin, l’étendue de la sur-
face étant différente la relation des limites est la même.
Dans le premier cas, les triangles sont dits coincidlens ;
dans le second ; équivalens, et dans le troisièmé , sem-
blables. La coïncidence, Yéquivalence et la similitude
forment .en général les trois parties de la comparaison
géométrique.

11. Coincipence. Deux triangles peuvent coincider
ou sont égaux lor sque trois des six parties qui les consti-
tuent et au nombre desquelles il doit se trouver au
Hioins un côté Sont égales entre elles. Cette proposition
générale de la coïncidence des triangles fournit les théo-
rèmes suivans :

«19, Tuéorème. Deux triangles qui ont un angle

égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun,
sont égaux dans toutes leurs parties.
.: Soient ABC etabc (P1. 58, fig. 19) deux triangles dans
lesquels l'angle À ,est égal à l'angle a , le côté AB égal
au côté ab et le côté AC égal au côté ac. Ces deux trian-
gles peuvent coïncider.

Car si l’on imagine le triangle abc transporté sur le
triangle ABC de manière que l'angle & se confonde
avec l’angle À, alors le côté «b prendra la direction du
côté AB,
tombera sur le point B. De même, le côté ac prendra

et comme ces côtés sont égaux le point b

la direction du côté AG et, à cause de l'égalité de ces
côtés, Le point e tombera sur le point C. Mais puisque les
extrémités du côté be se trouvent ainsi confondues avec
celles du côté BC, ces côtés eux-mêmes ne peuvent que
coïncider, et il en résulte que les deux triangles coïnci-
dent dans toutes leurs parties. Donc ces deux triangles
sont égaux ét les angles B et b, C et c ainsi que les côtés
BC et bc sont respectivement égaux entre eux.

13. Turonème, Deux triangles qui ont un côté égal

adjacent à deux angles égaux chacun à chacun sont
cgaux.

TR D75

Soient BC et bc (PI. 58, fig. 19) les côtés égaux et
Betb,C et cles angles égaux. Si l’on transporte le
triangle abc sur le triangle ABC de manière que le
côté be se confonde avec son égal BC, il est évident
que, puisque l'angle b est égal à l'angle B, le côté ba
prendra la direction du côté BA et que le point a devra
tomber quelque part sur cette direction. De même
l'angle c étant égal à l'angle C le côté ca prendra la
direction du côté CA,
tomber quelque part sur la direction de CA. Mais ce

et le point à devra également

point a devant tomber en même temps sur les deux
côtés BA et CA ne peut tomber qu’au point À qui leur
est commun; ainsi les deux triangles coïncident exac-
tement et sont égaux dans toutes leurs parties.

14. Tuéorème. Deux triangles qui ont leurs trois
côtés égaux chacun à chacun sont égaux.

Soient les triangles (PL. 58, fig. 19) ABC et abc dont
les trois côtés sont respectivement égaux, savoir :
AB — ab, AC —
gie abe sous le triangle ABC (PI. 58, fig. 20) de manière

ac, BC — bc. Transportons le trian-

que les deux côtés égaux be et BC coïncident et que les
autres côtés égaux AB et ab ; AG et ac soient adjacens,
Le point a tombera quelque part en a'et letriangle abc
prendra la position 4'BC. Si nous joignons lés points A
ét a" par la droite Aa’, les trianglès ABa' et ACa' se-
ront lun et l’autre isocèles, puisque par hypothèse
AB = Ba'et AC — Ca’. Donc les angles à la base dE ces
triangles sont respectivement égaux, c’est-à-dire ,

augle BAa'— angle Ba!'A

angle CAa' = angle Ca’A

mais les deux angles BAa' et CAa' qui composent l’an-
gle À étant égaux aux deux anglés Ba'A et Ca'A qui
composent l’angle a, ces angles À et a’ eux-mêmes sont
égaux, ou, ce qui est la même chose, les angles À et a des
triangles ABC et abc sont égaux. Donc, en vertu du
théorème du n° 12, les deux triangles ABC ct abe
sont égaux.

15. Tuéorème. Deux triangles rectangles qui ont l'hy-
pothénuse et l’un des angles adjacens égaux chacun à
chacun sont éraux.

La Somme des trois anglés de tout triangle étant équi-
valente à célle de deux angles droits (voy. Ancrx 8),
deux triangles rectangles ne peuvent avoir deux de
leurs angles aigus égaux sas que les deux autres le
soient aussi. On peut donc considérer les triangles pro-
posés comme ayant un côté égäl adjacent à deux angles
égaux chacun à chacun ; ainsi la proposition énoncée se
trouve démontrée par le théorème du n° 13.

‘16. Tu£onème. Deux triangles rectangles qui ont deux
cotés égaux chacun à chacun sont égaux.

Nous ayons seulement à examiner le cas où les côtés

576 TR

égaux chacun à chacun sont l'hypothénuse et l’un des
côtés de l'angle droit ; car lorsque ces côtés égaux sont
ceux de l’augle droit l'égalité des triangles résulte du
Soient donc ABC et abc (P1.58 ,

fig. 21) deux triangles rectangles dans lesquels les

théorème du n° 12.

hypothénuses BC et be sont égales, ainsi que les côtés
AC et ac.

Du point O , milieu de l’hypothénuse CB, décrivons
avec CO pour rayon une demi-circonférence de cercle
CMAB; cette demi circonférence passera par le point À
puisque l'angle CAB est droit (AnGLe 19). De même, du
point o milieu de cb avec oc pour rayon décrivons une
demi-circonférence qui passera par le point a. Or, ces
deux demi-circonférences sont égales puisqu'elles ont
des diamètres égaux ; ainsiles arcs CMA , cma souten-
dus par des cordes égales AC, ac, sont égaux (CERGLE 5}
mais les angles CBA et cha ont pour mesures les moitiés
de ces arcs (ANGLE 17) ; donc ces angles sont égaux.

Les troisièmes angles C et c des triangles proposés
sont donc aussi égaux, et l’on peut simplement consi-
dérer ces triangles comme ayant un angle égal compris
entre deux côtés égaux chacun à chacnn , d'où résulte
leur entière égalité d'après le théorème du n° 12.

17. Tuéonime. Deux triangles qui ont deux côtés et
l'angle opposé à l'un d'eux égaux chacun à chacun
sont égaux, si l'angle opposé à l’autre côté est de méme
nature dans les deux triangles.

Soient ABC et abc deux triangles (PI. 57, fig. 20.)
dans lesquels les côtés AC et ac, CB et cb sont égaux
ainsi queles angles A et à opposés aux côtés CB et cb.
Ces triangles seront égaux si les angles B et b opposés
aux côtés AC et ac, sont de même nature, c'est-à-dire
s'ils sont tous deux aigus ou tous deux obtus.

Car, en abaissant des points C et « sur les côtés AB
et ab, prolongés s’il est nécessaire , les perpendiculaire
CD et cd, on formera deux triangles rectangles CDA et
cda qui sont égaux (15), comme ayant leurs hypothé-
nuses AC , ac égales ainsi que tous leurs angles ; l’an-
gle aigu A étant égal à l'angle a , l’autre angle aigu
ACD est égal à l'angle acd (4).

Il est facile de voir que les deux triangles rectangles
CBD , cbd sont aussi égaux (16), car ils. ont leurs hy-
pothénuses CB et cb égales par hypothèse, et de-plus
leurs côtés CD et cd sont égaux , comme appartenant
aux triangles égaux CDA , cda.

Mais, le triangle abc est formé de la somme des deux
triangles rectangles acd, cdb, si l'angle b est aigu, et de
leur différence, si l’angle b est obtus, et le triangle ABC
est également formé de la somme des deux triangles
rectangles ACD , CDB, si l’angle B est aigu, ct de leur
différence si cet angle est obtus. Donc lorsque ces an-

gles B et à sont tous deux aigus ou tous deux obtus, les

TR

triangles ABC et abc, étant la somme ou la différence
de triangles égaux , sont égaux.

18. Equivazexce. Deux triangles , et, en général,
deux polygones quelconques sont dits équivalens, lors-
que l’étendue de leur surface ou leur aire est la même,
quoique la relation de leurs limites sait différente. Dans
ce cas, les deux figures transportées l’une sur l’autre ne
peuvent plus coïncider, et il faut avoir recours à d’au-
tres procédés de raisonnement pour pouvoir démontrer
l'égalité des surfaces. Or, nous avons établi (voy. Aire)
que :

1° La surface d’un triangle est équivalente à la moi-
tié de celle d'un rectangle de méme base et de meme

hauteur.

2° L'aire d'un rectangleesl représentée par le produit
de sa base et de sa hauteur.

Les conséquences de ces deux propositions forment
les théorèmes suivans que nous pouvons nous contenter
d’énoncer.

18. Tuéorème. Deux triangles de méme base et de
méme hauteur sont équivalens.

19. Tuéorème. L’'aire d’un triangle est égale à la
moitié du produit de sa base par sa hauteur.

20. Turorème. Deux triangles de méme base sont
entre eux comme leurs hauteurs.

21. Tarorème. Deux triangles de même hauteur sont
entre eux comme leurs bases.

292. Tuéonème. Deux triangles quelconques sont en-
tre eux comme les produits de leurs bases et de leurs hau-
teurs.

23. Ces théorèmes forment la base de toute l’équiva-
Zence des triangles dont les diverses propositions peu-
vent en être déduites avec facilité. Ainsi, par exemple,
on démontre que Le carré construit sur l'hypothénuse
d'un triangle rectangle est équivalent à la somme des
carrés construits sur les deux autres côtés, à l’aide de
l’équivalence qui existe entre le triangle et la moitié du
rectangle de même base et de même hauteur. Comme
nous démontrerons plus loin, d’une autre manière, cette
célèbre propriété du triangle rectangle et qu’il nous est
impossible d’ailleurs de rapporter en détail toutes celles
des triangles, nous terminerons cette partie de la com-
paraison géométrique par exposition du théorème sui-
vant , essentiel pour ce qui va suivre.

24. Deux triangles qui ont un angle égal de part et
d'autre sont entre eux comme les produits des côtés
qui forment ces angles.

Soient ABC et abc deux triangles dont les angles A
et a sont égaux. Prenons sur le côté AB une partie Ba’
égale à ba et sur le côté BC une partie Bb" égale

TR
à be, et menons la droite a'£'. Le triangle Ba'£' sera
égal au triangle abc, car ces deux triangles ont un an-
gle égal compris entre deux côtés égaux chacun à cha-
cun (12). Ceci posé, B
menons la droite Ab"
et remarquons que
les deux triangles
Ba'b' et BAP' ayant

méme hauteur sont

entie eux comme
leurs bases (21), ce

qui donne

:: AB ::

AB£' : Bad’

mais les deux triangles BAC et AB" ont aussi même
hauteur, et donnent par la même raison

BAC : AB :: BC : B£’.

Donc, multipliant ces deux proportions terme par

terme, on obtient
BACYX AB": ABL'XBa'b' : : ABXBC : a'BXB4"'.

Ainsi, retranchant du premier rapport le facteur com-
inun ABZ', ét remplaçant Ba'4' par son égal bac, ct
a'BX BD" par abXbc il vient

BAC : bac : : ABXBc : abX bc,

ce qui est la proposition énoncée.

25. SimiLiTuDE. On nomme triangles semblables cèux
qui ont leurs trois angles égaux chacun à chacun, et
dont les côtés homologues sout proportionneis. Par cô-
tés homologues on entend les côtés opposés à des angles
égaux. Lés propositions principales de la sémnilitude des
trianglés sont les suivantes :

26. Taéorème. Deux triangles qui ont leurs trois àn-
gles égaux chacun à chacun sont semblables.

Soient ABC et abc deux triangles dans lesque!s l’an-
gle À est égal à l'angle a , l’angle B égal à l'angle b et
l'angle C égal à angle €. Ces triangles ont leurs côtés
homologues proportionnels, et sont par conséquent
semblables.

En effet, puisque les an- B, b
gles À et a sont égaux, les
triangles ABC et abc sont
entre eux comme les pro- d # 4 ©
duits des côtés qui forment

ces angles (24), et l’on a
A €!

ABC : abc :: ABXAC : abX ac;

mais On à aussi, à cause de l'égalité des angles Beth,
TOME II,

TR
ABC : abc : : ABXBC : abX bc,
et, à cause de celle des angles Cet ©,
ABC : abc : : ACXBC : acXbc.

Les premiers rapports étant les mêmes dans ces
trois proportions, où en conclura successivement

ABXAC : abX ac : : ABXBC : ab Xbc
ABXBC : abX bc : : ACXBC : acX be.

Divisant lesantécédens de ja seconde proportion par AB,
et les conséquens par ab ; puis les antécédens de la se-
conde proportion par BC et les conséquens par be, on
aura

AC : ac :: BG : bc

AB :°ab :: AC : ‘ac
c’est-à-dire, la suite de rapports égaux

AB : ab :: AC : ac :: BC : bc.

Donc les côtés homologues des triangles ABC et abc
sont proportionnels, et ces triangles sont par conséquent
semblables,

27. Corozvaire E. Deux triangles qui ont leurs côtes
respectivernent parallèles sont semblables.

Car, soient les deux trian- B b
gles ABC , abc dont les côtés
AB et ab, ACet ac, BC ct

be sont parallèles, les an- P2E |
gles À eta, Bet b,Cetc Ë
étant formés par des côtés A NH CiEsn oO

parallèles , il est facile de voir, en prolongeant les côtés
comme ils le sont dans la figure, que ces angles sont
réspectivement égaux.Eneffetles deux angles À et a sont
chacun égal à l'angle ro comme correspondans (an-
GLE, 6), et les deux angles C et c sont chacun égal à
l'angle o par là même raison. Donc À —a, C—cet
par suite (4) B = 4.

28. CoroLLairE El. Deux triangles qui ont leurs

côtés resp eclivement perpendiculaires sont semblables.

Soient ABC et abc deux triangles dont les côtés AB
et ab, BG et bc, AG et ac sont respectivement per-

o

STS TR

pendiculaires, Jes angles de ces triangles sont égaux
chacun à chacun. Car, menant du point B la perpendi-
culaire Bm au côté BC et la perpendiculaire Br au
côté AB, ces perpendiculaires seront parallèles aux
côtés ab et be du triangle abc, puisque ces côtés sont
eux-mêmes perpendiculaires à BC et AB. L’angle 2Bre
sera donc égal à l’angle b. Mais les deux angles AB,
CBmsontégaux comme droits, et, sion leur retranche de
chacun l’angle commun CBn, il reste les deux angles
égaux ABCet xBm; donc l'angle ABCest égal à l'angle b.

Menant de même au point À les droites Ap et Ao,
la première perpendiculaire sur AC et la seconde sur
AB , ces droites seront parallèles aux côtés ac et ab du
triangle abc, et l'angle oAp qu’elles forment sera égal
à l'angle a. Mais si des deux angles droits oAB, pAc on
retranche l’angle commun pAB, il reste les deux angles
égaux oAp, BAC; donc l'angle à est égal à l'angle
BAC. Donc les trois angles du triangle abc sont respec-
tivement égaux aux trois angles du triangle ABC.

29. On doit observer que dans les triangles dont les
côtés sont respectivement parallèles ou perpendiculai-
res, les angles égaux sont formés par deux côtés parallè-
les ou perpendiculaires chacun à chacun.

30. Corozraine II. Deux triangles isocèles qui ont
l'angle du sommet égal de partet d'autre sont semblables.

En effet, la somme des angles à la base étant la même
dans ces deux triangles, ces angles sont égaux chacun à
chacun, puisqu'ils sont chacun la moitié de cette som-
me {5). Donc deux tels triangles ont leurs trois angles

égaux chacun à chacun.

31. Lemmr. Sÿ dans un triangle quelconque on mène
une parallèle à l'un des côtés, elle partagera les deux
autres côtés en parties proportionnelles | et de plus son
rapport avec le côté parallèle sera le méme que celui
d'une quelconque des parties opposées avec le côté cor-
respondant.

Soit le triangle ABC (Fig. ci-dessus , n° 26) ; si on
mène la droite de parallèle au côte AC , on formera le
triangle Bde semblable au proposé, car ces deux trian-
gles ont leurs trois angles égaux chacun à chacun, sa-
voir : l'angle C commun et les angles À et Bde, B et
deB égaux comme correspondans. Nous avons donc
(26)

AC : de : : BC : Be : : AB : Bd

ce qui est la seconde partie de la proposition.
En ne considérant que les deux derniers rapports

AB : Bd :: BC : Be
on a, dividendo (voy. Prororrio», 10),

AB — Bd : Bd : : BC — Be : Be,

ou

TR
Ad : Bd : : Ce : Be

c’est la première partie de la proposition.

On démontre la réciproque de ce lemme par une ré-
duction à l’absurde, savoir : « lorsqu'une droite coupe
deux côtés d’un triangle en parties proportionnelles ,
elle est parallèle au troisième côté. »

32. Turorème. Deux triangles qui ont un angle égal
de part et d'autre, compris entre des côtés respective-
ment proportionnels, sont semblables.

Soient ABC et abc, figure ci-dessus n° 26, deux
triangles dans lesquels les angles B et à sont égaux et
les côtés AB et BC. qui forment l’angle B, proportion-
nels aux côtés ab et be qui forment l’angle b. Prenant
sur AB une partie Bd égale à ab et sur BC une partie
Be égale à àc et menant la droite de, le triangle Bde
sera égal au triangle abc (12), puisque par construction
ces deux triangles ont un angle égal compris entre deux
côtés égaux chacun à chacun. Mais on à par hypo-
thèse

AB : ab :: BC : bc.

donc on a aussi

AB : Bd :: BC : Be

et, par conséquent (31), la droite de est parallèle à AC.

Aiosi le triangle Bde, ou son égal abc, est semblable
à ABC.

33. Turorème. Deux triangles qui ont leurs trois
côtés proportionnels sont semblables.

Soient ABC, abc (même figure) deux triangles dans
lesquels on ait

AB : ab :: AC : ac :: BC : bc

prenant sur AB, Bd — a et sur BC, Be — bc, et menant
de, les deux triangles ABC et Bde seront semblables,
puisqu'ils ont l'angle G commun et que lescôtés Bdet Be
qui forment cet angle, dans le triangle B4e, sont, par
construction, proportionnels aux côtés AB et BC qui
le forment dans le triangle ABC. On a donc

AC : de :: AB : Bd
ou, parce que Bd = «b,

AC : de :: AB :
Or, par hypothèse,

AC : ac

ab

:: AB : ab

Ainsi, comparant cette proposition à la précédente,
de — ac. Les deux triangles abc et Bde ont donc leurs
trois côtés égaux chacun à chacun et sont par consé-
quent égaux (14); mais le triangle Bde est semblable au
triangle ABC , donc aussi le triangle abc est semblable
à ABC,

TB
34. Parmi toutes les propositions qui dérivent de ces
théorêmes fondamentaux , nous démontrerons encore

les suivantes dont nous avons fait plusieurs fois usage
dans le cours de ce Dictionnaire.

Tuéorëme. Dans un triangle rectangle, si du sommet
de l'angle droit on abaïsse une perpendiculaire sur
l'hypothénuse, cette perpendiculaire partagera le trian-
gle en deux autres qui lui seront semblables.

Soit le triangle ABC rectangle en B, abaissons du
sommet de l’angle droit la perpendiculaire BD sur Phy-
pothénuse AC, nous formerons deux triangles, égale-
ment rectangles, ABD , BDC, qui seront semblables en-
tre eux et au proposé ABC.

Eu effet, les deux triangles ABC et ABD étant tous
deux rectangles, l’un en Betl’autreen D, et ayant l’angle
À commun, ont leurs trois angles égaux chacun à cha-
cun (4), et sont par conséquent semblables (26).

Les deux triangles ABC et BDC, également tous deux
rectangles, l'un en B et l’autre en D, et ayant l'angle C
commun , ont leurs trois angles égaux chacun à chacun.
Ces triangles sont donc semblables.

Eufiu les triangles ABD et BDC étant chacun sem-
blables au triangle ABC sont semblables entre eux.

35. La comparaison des côtés homologues de ces trois
triangles conduit à des conséquences très-importantes.
Oa a évidemment

A D Le)
1° Pour les triangles ABC , ABD,

AC : AB :: AB : AD.

a° Pour les triangles ABC, BDC,
AC :_ BC :: BG : DC.
3° Pour Les triangles ABD , BDC,
AD : BD :: BD : DC.

Les deux premières proportions nous apprennent
d’abord que dan; le triangle ABC «chaque côté de l’an-
gle droit est moyen proportionnel entre l’hypothéause
et le segment adjacent. » Il résulte de la dernière que
«la perpendiculaire abaissée sur l’hypothénuse est
moyenne proportionnelle entre les deux segmens qu’elle
détermine, »

36, Les proportions 1 et 2 donnent

D

BC — AC X DC

Si l’on ajoute ces égalités, il vient

AB-LBC — ACXAD-HACXDC— ACX(AD+DC)

ou

AB + BC — AT,
c'est-à-dire que «le carré de l'hypothénuse est équi-
valent à la somme des carrés des deux autres côtés.
C’est le célèbre théorème de Pythagore que l’on dé-
montre par des constructions géométriques, dans l’équi-
valence des figures.

37. Ce n’est pas seulement dans le triangle rectan-
gle qu’il existe une relation déterminée entre les carrés
des côtés, il en est de même dans tous les triangles,
seulement cette relation diffère selon la nature des
triangles. Considérons, par exemple, le triangle ACB
de la figure 20, pl. 57, obtus en B, et sur la base AB
duquel, suffisamment prolongée, on a abaissé la per-
pendiculaire CD; cette perpendiculaire détermine
deux triangles rectangles ACD, BCD, dont les hypothé-
nuses sont AC et CB , et, d’après ce qui précède, on a

AC — AD LCD
CB — ÉD

—
substituant dans la ‘première égalité la valeur de C
donnée par la seconde , il vient

AC'= AD +CB—BD
mais AD — AB + BD et par suite

AD'— AB + BD + 2AB X BD
substituant de nouveau cette valeur de AD' dans celle

de AC ; on obtient

AC = AB + BD + 2AB X BD,

c'est-à-dire que « le carré d’un côté opposé à un angle
obtus est équivalent à la somme des carrés des deux au-
tres côLés et du double du rectaugle formé entre l’un
de ces côtés et le segment déterminé sur son prolouge-
ment par la perpendiculaire abaissée de l'extrémité de
laure. »

Si au lieu de considérer le triangle ACB obtus en B,
on avait considéré le triangle ACB aigu en B, et dan,

580 TR
lequel la perpendiculaire CD coupe le côté AB en deux
segmens intérieurs AD, DB, on aurait eu AD — AB

— BD, ei par suite

AC = AB + CB — AB X BD

c’est-à-dire que «le carré d’un côté opposé à un angle
aigu est équivalent à lasomme des carrés des deux au-
tres côtés drminuée du double du rectangle formé entre
l'un de ces derniers côtés et son segment adjacent à l’an-
gle aigu. » Lequel segment est toujours déterminé par
la perpendiculaire abaïssée de l’extrémité de l'autre de
ces côtés.

Ainsi dans tout triangle le carré d’un côté est plus
grand , égal ou plus petit que la somme des carrés des
deux autres côtés suivant que l’angle opposé est obtus,
droit ou aigu.

Les triangles rectilignes sont les seuls dont on s’oc-
cupe dans la géométrie élémentaire. Nous examinerous

ailleurs les triangles sphériques. (Joy. Triconomérri£.)

TRIANGLE BORÉAL. (4st.) Nom d’une constellation
située au-dessus du Bélier. À côté de cetteconstellation,
qui est une des 48 de Ptolémée, Hévélius en a formé
une nouvelle qu’il a nommée le petit triangle. Dans l’hé-
misphère austral il existe aussi une constellation qui
porte le nom de ériangle. (Foy. CoxsTELLATION.)

TRIANGLE ARITIMETIQUE. On donne ce nom

à l’arrangement en forme de triangle des nombres figu-

rés des divers ordres. (Joy. Fiaur£é.) Pascal à fait un

traité sur les propriétés, aujourd’hui insignifiantes, du
r 1 riangle arithmétique.

TRIANGULAIRE. Se dit adjectivement de tout ce
qui a rapport aux triangles. On nomme nombres trian-
gulaires une espèce de nombres polygones dout les uni-
tés peuvent être disposées en forme de triangle. (Foy.
PoLxcoxess.)

TRIDENT. (Géom.) Courbe du troisième ordre
nommée aussi parabole de Descartes. Le nom de trident
lui vient de sa forme. (foy. l'analyse des lignes courbes
de Cramer.)

TRIGONOMÉTRIE (de spiywros, triangle , et de
gérpor , mesure). Branche de la géométrie générale qui
a pour objet la mesure des triangles ou la détermina-
tion de quelques-unes de leurs parties par le moyen des
auires,

La érigonomeétrie est une science d’une très-haute im-
portance pour l'astronomie, la navigation, l’arpeatage,
la gnomonique, etc., et l’on ne peut douter que les
mathématiciens de toutes les époques ne s’en soient oc-

TR

cupés; cependant son origine est des plus incertaines.
Quoiqu’on ait des indices que les Égyptiens n’ont point
ignoré ses principes élémentaires , ce n’est que chez les
Grecs qu’on retrouve ses premières traces. On doit à
Hipparque , d’après le rapport de Théon , un traité en
douze livres sur les cordes des arcs du cercle, qui pa-
raît un véritable traité de trigonométrie ; mais le plus
ancien ouvrage existant sur ce sujet est le Traité de la
sphère de Théodose.

Les grands perfectionnemens apportés dans la trigo-
nométrie par les travaux de Néper et surtout par la théo=
rie des sinus due à Euler en font presque une science
toute moderne , dont nous allons résumer les proposi-
tions fondamentales.

La trigonométrie se divise en rectiligne et en sphé-
rique. La trigonométrie rectiligne considère les trian-
gles reculignes ou ceux qui sont formés sur un plan
par l'intersection de trois droites, et la trigonométrie
sphérique considère les triangles sphériques ou ceux
qui sont formés sur la surface de la sphère par l'inter-
section de trois grands cercles.

I. TriconomÉrriE RECTILIGNE. Trois des six choses
qui composent un triangle, au nombre desquelles doit
se trouver au moins un côté, étant données, détermi-
ner les trois autres, tel est le problème général de la
trigonométrie. La solution de ce problème général re-
pose sur un très-petit nombre de principes qui pei-
mettent d’embrasser sans difficulté tous lus cas particu-
liers. Examinous d’abord, comme les plus simples , les
triangles rectangles, et soit ABC un tel triangle. Si
nous prenons sur le côté AB une partie AD pour re-
présenter le rayon du cercle dont la circonférence doit
servir à mesurer les angles et qu'avec ce rayon nous
décrivions Parc DE, cet arc sera la mesure de l'angle À,
et si l'on mène les perpendiculaires FE et DIT, la pre-
mière sera le sirus et la
seconde la tangente de
cet ac DEF où de l’an-
( va.
et Tancewre). Or les

gle A SINUS
troistriangles rectangles
AEF, ADH, ABC sout

semblables entre eux

(voy. Triancre, 26) et

dounent, savoir :
Les triangles ABC, AEF
AG ; BC: AE SRE
Les triangles ABC, ADI |
AB: 8G SR: PA

mais AF — AD = rayon du cercle — R, EF = sin A,

4

TR

DH = tang A, ainsi ces deux proportions peuvent en-
core s’écrire

1... AU 2 DONS

AB : BC :5R

sin À

Diese : tang À

1. La première de ces proportions donne Île prin-
cipe fondamental suivant : € Dans tout triangle rec-
tangle, l’hypothénuse est à l’uu des deux autres côtés
comme le rayon est au sinus de l'angle opposé à ce
côté. »

>. De la seconde proportion résulte cet autre prin-
cipe foudamental : « Dans tout triangle rectangle un
des côtés de l'angle droit est à l’autre côté comme le
rayon est à la tangente de l'angle adjacent à ce premier
côté. »

3. Le ravon que nous avons exprimé ici par R est
celui des tables des sinus; ou peut pour plus de sim-
plicité le faire égal a l'unité, et alors les deux propor-

tions donnent

BC — AC. sin À
BC — AB. tang À

ce que l’on peut énoncer ainsi :

1° L'un quelcouque des côtés de l’angle droit est
égal à l'hypothéruse multipliée par le sinus de l'angle
opposé à ce côté.

2° L'un quelconque des côtés de l’angle droit est
égal à la tangenté de l'angle aigu qui lui est adjacent
multipliée par Pautre côté.

Comme dans tout triangle rectangle l’un des angles
aigus est le complément de l’autre, on peut remplacer
dans ces relations le sinus de l'angle opposé par le co-
sinus de l'angle adjacent et la tangente de l’angle adja-
cent par la cotangente de l'angle opposé.

4. Nous ferons observer ici que dans toutes les for-
inules trigonométriques où l'on a fait le rayon égal à
l'unité il devient essentiel de rétablir ce rayon lorsqu'on
veut réaliser les calculs numériques en se servant de ta-
bles des sinus calculées pour un rayon déterminé. Or,
ce rétablissement du rayon des tables est l’objet d’une
règle très simple qui consiste à rendre homogènes tous
les termes des formules. Par exemple l'expression

BC — AC.sin A

en vertu de laquelle une ligne est égale au produit de
deux lignes, lequel produit représente une surface ,
serait un véritable non-sens géométrique, s’il n’était pas
sous-entendu qu’elle est identiquement la même chose
que l'expression

BC .R — AC.sinA

dans laquelle R représente l'unité, Or, lorsque cerayon

TR

n’est plus l'unité, comme c’est le cas des tables trigono-

581

métriques où il est 10000000000 ; on le rétablit dans
les formules en rendant tous les termes de même dimen-
sion ou homogènes. C’est ainsi qne l'expression
sin? À = 1 — cos’ À
devient
sin? À — R? — cos? À
par le rétablissement du rayon ; et que l'expression

C.cos B
b2

a = b sin À —

devient
__ b.sinA R.C.cosB
& esp JE STE

par le même moyen. (Joy. Dimexsrow.)

5. Tous les problèmes qu’on peut se proposer sur Îe
calcul des parties inconnues d’un triangle rectangle par
le moyen des parties données se réduisent aux quatre
cas suivans :

1° cas. On connait l’hypothénuse et un autre côté.
Désignons par a, b, c, les trois côtés du triangle, et par
A, B, C, les angles respectivement opposés à ces côtés ;
prenons À pour l'angle droit, et conséquemment a pour
l’hypothénuse.

b étant le côté donné avec l'hypothénuse a, on aura
pour déterminer l'angle B la proportion

a :b::R:snB,
ce qui donne, en employant les tables de logarithmes et
en se rappelant que Log R = 10,

Log.sin B = 10 + Log b — Log a
Connaissant l'angle B,on a immédiatement C—90°—B8.
Quant au troisième côté c, on peut le calculer directe-
ment par la propriété connue (voy. Triancce, 36)

a = b? + ©, d’où c — V/[a°—b]
et l’on a, ense servant des logarithmes ,

Log c —+ { Log(a+b) + Log(a—b) }

On peut encore trouver ce côté, après que B est déter-
miné, par la proportion

B'EEE R'lcot B
d’où
Loge = Logb + Log.cot B— 10.
T° cas. On connait les deux côtés de l'angle droit.
On aura l’angle B par la proportion
c:b::R:tang B

d'où

582 TR

Log.tangB— 10 + Logb — Log c

L’angle C sera donné par la relation C = go° — B.
Quant à l'hypothénuse, comme la propriété directe
a V/[b?+c"] ne se prête pas facilement au calcul lo-
garuthmique, il sera plus simple de l'obtenir par la pro-
portion

a:b::R:sinB
qui donne, lorsque l’angle B est connu,
a = 10 + Logb — Log.sin B.

TI cas. On connaît l'hypothénuse et un angle aigu.
Ici les trois angles sont donnés et les côtés bet c se

calculeront par les formules
Logb — Loga + Log.sin B — 10
Log c — Loga + Log.sin C — 10

IV° cas. On connaît l’un des côtés de l’angle droit,
b par exemple, et un angle aigu.

Les trois angles sont encore donnés, et l’on aura
l'hypothéuuse et l’autre côté par les proportions

snB:R::b:4a
R':tangC::b:c

ou par les égalités correspondantes

a — 10 + logb— sin B
c = log b + log tang C — 10

Nous croyons inutile de donner des exemples numéri-
ques de l’emploi de ces formules.

6. La résolution des triangles obliquangles repose
également sur deux principes fondamentaux dont
voici l’énoncé :

1° Dans tout triangle rectiligne les sinus des angles
sont entre eux comme les côtés opposés à ces angles.

2° Dans tout triangle rectiligne le carré de l’uu quel-
conque des côtés est égal à la somme des carrés des
deux autres côtés, moins deux fois le produit de ces
deux côtés et du cosinus de l'angle qu’ils forment.
(On suppose le rayon égal à l'unité.)

Pour démontrer le premier prin-
cipe, cousidérons un triangle quel- | \
conque ABD, du sommet duquel
nous abaisserons sur la base la
perpendiculaire AC. Cette per-
pendiculaire forme deux triangles
rectangles ACD, ACB, dans lesquels G D

ona, d’après ce qui précède (1)
AB : AC ::R :sin B
AD : AC :: R : sin D

TR
Or, les moyens de ces deux proportions étant respecti-
vement égaux, les extrêmes donnent

AB : AD :: sin D : sin B

En abaissant la perpendiculaire du sommet de l'angle
B sur le côté AD, on trouverait de la même manière

AB : BD :: sin D : sin A

On a donc généralement

AB : AD : BD :: sin D : sin B : sin A.

Si, au lieu de tomber dans l’intérieur du triangle, la
perpendiculaire tombait en dehors, on aurait visible-
ment les mêmes résultats.

Quant au second principe, on a, d’aprèsun théorème
démoutré ailleurs (voy. TrianeLe, 37),

AD — AB+ BD — 2BD X BC

mais le triangle rectangle ABC donne (3) BC —
AB X cosB; donc, en substituant,

AD — AB + BD — 2BD XABXcosB.

Il est facile de voir que si l'angle B était obtus, cas où
la perpendiculaire tombe hors du triangle, on obtien-
drait encore le même résultat.

7. Ea désignant par a, b, c, les trois côtés d’un trian-
gle rectiligne quelconque, et par A, B, C, les angles
qui leur sont respectivement opposés, nous aurons les
deux principes fondamentaux

:: sinA : sinB : sinC

......07 = 0? — b? — 2ab.cosC

(a) ta Enbe: ce

(2)

desquels nous allons déduire la solution de tous les cas
particuliers.

Nous feronsobserver en passant que, pour tenir compte
du rayon des tables dans la seconde expression , il faut
rendre ses termes homogènes, et qu’elle devient alors

ce = a? + js — 200

8. On peut encore ramener à quatre tous les cas par-
ticuliers de solution des triangles en général.

I" cas. Deux côtés «& et b sont donués avec l'angle A
opposé à l’un d’eux.

Pour trouver d’abord l’angle B opposé à l’autre côté
b , on aura la proportion

a : b :: sinA : sinB,
et, par logarithmes,

Log.sinB = Logb + Log.sinA — Loga.

TR

On doit observer ici que les tables trigonométri-
ques ne donnent jamais pour l'arc correspondant
à un sinus donné qu'un arc moindre qu’un quart dela
circonf-rence, et que ce sinus peut indifféremment cor-
respoudre à cet arc ou à son supplément, parce qu'on
a généralement sinM — sin (180° — M}. Il devient
doucessentiel de savoir quelle doit être la nature de l’an-
gle B cherché , car s’il est aigu sa valeur est directe-
ment donuée par les tables, tandis que s’il est obtus il
faut prendre le supplément de l’arc des tables. Or, si l’on
ne connaissait pas directement la nature de cet angle, on
pourrait la déterminer dans certains cas à l’aide des
cousidérations suivantes: si l’angle donné A est obtus ,
B doit être aigu; si l'angle donné À étant aigu, le côté
2 est plus grand que b, l'angle B ne peut être qu’aigu.
Ce n'est donc que lorsque A est aigu, et a plus petit
que b, que B peut être obtus et qu’il y a indécision.

L’angle B étaut connu, on aura l'angle C par la rela-
tion C — 1809 — À — B, puis on calculera le troisième
côté C par la proportion

sinA :'sinG :: &æ':c.

IT cas. Un côté a est donné avec deux angles.

Le troisième angle se trouve donné médiatement et
l’on calcule les deux autres côtés par les proportions

sinA : sinB :: à : b
sinA : sinC::a:c
ou par les égalités correspondantes
Logb — Loga + Log.sinB — Log.sinA
Logc — Loga + Log.sinC — Log.sinA.

III cas. Deux côtés a et b sont donnés avec l’angle
compris C.

Pour trouver d’abord les deux autres angles, il faut
observer que leur somme est connue puisqu'elle est
égale à 180° — C, et que le problème se réduit ainsi à
chercher leur différence, parce que deux quantités dont
on connait la somme et la différence se déterminent par
une règle très-simple. (Foy. Equariow, 10.)

Or, en vertu du principe(m), nous avons

a : b:: sinA : sinB
d’où, par composition de rapport ,

a+b:a—b::sinA + sinB : sinA— sin B

,
mais On sait que (voy. Sinus, 33)

sinA + sinB __ tang;(A+-B)
siuA—sinB tang L(A=B)

Donc, en substituant, on a la proportion

a+ b:a—b::tang:(A+-B):tang : (A—B)

TR 585
au moyen de laquelle on pourra calculer la demi -diffé-
rence = (A—B). Connaissant cette demi-différence, on
aura le plus grand des angles, en l’ajoutant à la demi-
somme et le plus petit en la retranchant.

On simplifie les calculs en observant que

tang S(AÆHB)=tang? (180° — C) — tang(go® —1C)
= coti C

Ainsi , en désignant la demi-différence Z(A—B) par 4,
il vient

Aprèsavoir calculé l’angle A par cette formule, on trouve
ensuite À et B par les relations

A go°—1C+A
B — 90° — + C —A4
Nous supposons a=>b d'où À > B.

Les angles À et B étant ainsi déterminés, on aura le
troisième côté c par la proportion

sinA :sinC::a:c.
IV® cas. Les trois côtés sont donnés.
En vertu du principe (») l'angle C opposé au côté «
sera donné par l'expression

a + br —c

cos C —
2ab

qu’il s’agit de transformer en une autre plus commode
pour le calcul. Or, on a généralement (voy. Sinus, 25)

2 sin? 22 — 1 — COSZ
et, par conséquent, ici
) »

æ+Hb—c

2ab

2sin ?C—1:—

2ab—a—h Les
2ab E

(eHa(c-Hh—a)
zub

d’où

sin : C — 2 [TEE]

Si nous désignons par s la demi-somme des trois côtés
a+-b+c, nousaurons

C+a—b—=2s—92b, c4b—a—2s—a

et la dernière expression prendra la forme

sin + C — 4 [=]

que l’on peut aisément calculer par logarithmes.

584 TR

On aura évidemment de même pour les deux autres
angles À et B les expressions semblables

B — VAE)

On peut trouver d'autres formules analogues pour ré-

sin

vi

soudre la question. Par etemple, en partant del'expres-

sion connue (vOy. SINUS, 25)

® co$ Lz — 1 + cosz

on à

aab+a+b—c?
2ab

ar dt

2ab

(Ho (atb— 9

2ab

cos! C — VE

Cette dermère expression doit'être préférée à la précé-

d'ou enfin

dente lorsque l'angle C est très-obtus.
En multipliant l'expression de cos ; C par celle de
sin! C.eten observant que asin ! C.cosi OC — sin C

(voy. Sinus , 24), on obtient encore :

inC= + VHsis—a)(s—b)(s—c) ]
ab

formule moins simple que les deux autres, mais non

moins remarquable.

9. Il nous reste à donner la détermination de l'aire du
triaugle par le moyen de quelques-unes de ces parties.
Pour cet effet, rappelons-nous que l'aire d’un triangle
quelconque est égale à la moitié du prôduit de sa base
par sa hauteur. Ainsi, en désignant cette aire par S et
preuant pour exemple le triangle de la figure précé-
dente, nous aurons

S — : BD X AC,

mais le triangle rectangle ABC donne AC =AB.sinB ;
donc, en substituant ,

S —1 BD X AB X sin B

c'est-à-dire que « l'aire d’uu triangle est égale à la

TR

moitié du produit de deux quelconques de ses côtés et
du sinus de l’angle qu’ils forment.
En reprenant les notations précédentes nous aurons

S — + ab. sin C

Si dans cette expression nous substituons celle de sin C
trouvée dans le numéro précédent, il viendra

S = V/[s(s—a) (s—b) (5 —c)]

formule qui donne l'aire du triangle par le moyen des
trois côtés ét que nous avons démontrée ailleurs d’une
manière directe (voy. APPLICATION, 20).

Dans le cas où l’on connaîtrait seulement un côté c
et les deux angles adjacens A et B, l'aire serait donnée
par la formule

San c.sin À, sin B

mA ne 0
qu’on obtient en cherchant l'expression de la hauteur
du triangle en fonction de la base et des angles adya-
cens.

10. Pour donner quelques exemples de l'application
de ces formules, proposons de déterminer les angles
d’un triangle dont les trois côtés ont pour longueurs
Posant à —

données 1200m, 860” et 780". 1200”,

b = 860", c — 7807, nous trouverons successivement
s=ha+b+c)=1420,5—a—220,s—bz=-560 $—c—640
Observons maintenant que pour rendre la formule
; (s—a) (s—b)
sin ?C— ——— ———
: LA [ ab

calculable par logarithmes il faut rendre ses membres
homogènes en y introduisant le rayon R des tables; or

cette formule est la même chose que

2e) (s—b)

sin’ + C
< ab

dont le premier membre a deux dimensions, tandis que
la dimension du secoud est nulle; il faut donc la met-

tre sous la forme

(s—a) (s—b)
ab

sin? 1 c—R:.
et l’on a, en employant les logarithmes , à cause de
log R— 2 log R = 20,
log.sin C1 (20+-log(s—a)+log (—6)—log a—logk

Voici le calcul

TR
log R? — 20,0000000
log (s—a) — 2,3424227

log (s—b) — 2,7481880

1° somme,.... — 25,0906107
©

log a— 3,07918r2
logb— 2,9344984

6,0136796

2° somme.....

25,0906107

6,0136796

1° somme. ....
2° somme.....

Différence...
moilic ou log sinic— 9,5354655

19,0769311

D'où + C == 20° 12’ 47", 4, et C = 40° 25" 34”, 8.

On peut ne faire qu’une seule addition en se servant
des complémens arithmetiques (voy. ce mot), mais il
faut alors avoir le soin de retrancher de la dernière ca-
ractéristique autant de dixaines qu'on a employé de
complémens. Voici le calcul de l'angle B fait de cette

mauière. On a ici
log sin: B—1{20+-log (s—a)+log (s—c)—log a—logc]

et par suite

20 20,0000000

log (s—a) = 2,3424227

log (s—c) = 2,8061800
compl. log a — 6,9208188
compl. log b = 7,1079054

somme..... 39,1773269

— 20,

19,1773269
moitié ou log sin : B — 9,5886634

d'où 2 B— 22° 49! 14", 7, et B = 45° 38' 29", 4.

On voit qu’en calculant cette formule par les comple-
mens arithmétiques on peut se dispenser de tenir
compte du rayon, car on retranche à Ja fin les
deux dixaines que ce rayon y introduit.

Connaissant les angles C et B on peut obtenir l’an-
gle À en retranchant leur somme de 180°; mais il vaut
mieux calculer directement cet angle, ce qui donne un
moyen de vérification, puisqu'on doit trouver ensuite

TOMK Il,

989

TR
A + B + G— 180°. Appliquant la même formul

on a

log (s—b) — 2,7481880
log (sc) — 2,8061800
compl, log b — 7,0655016
compl. log c = 7,1079054

19,7277750
moitié oulog. sini A — 9,8638875

somme....

d'où 4 À = 46° 57’ 57,9 et À — 93° 55! 55”, 8.

Rassemblant ces résultats et prenant leur somme, on
trouve

45 38 29,

4
C0 95 34, 8

’ 72

$0MME...« 180° O0! 0

11. Supposons maintenant que dans le même trian-
gle on connaisse seulement les côtés a et b avec l’angle
compris G et que l’on veuille calculer les autres par-
ties.

On a donc a = 1200, b — 860" et C = 40° 25"
34", 8. Pour déterminer lesangles A et B nous emploie-
rons la formule du IJI° cas

—b
tang a="—". cot -C
ac

dans laquelle À = : (A—B).
Les membres étant homogènes il n’y a pas besoin
d'introduire le rayon et en prenant les logarithmes on a

log. tang A — log (a—b) + log cot ? G — log (a+b)

or, a—b=— 1900 — 860 — 340, a H-b — 1200 + 860
= 2060, ; C— 20° 12° 47”, 4; ainsi réalisant les cal-

culs indiqués, on obtiendra

log (a—?) — 2,5314789

log. cot LC — 10,4339289

SOMME... 12,0654078

log (a+-b) 3,3138672

diff. ou log tang A

9,6515406

d’où A = 24° 8' 43", 12. A l’aide de cette valeur de 4,

on obtient

? 0 '
B — 90° — ,

586 TR
Ces valeurs de A et de B ne diffèrent de celles obtenues
ci-dessus que dans les centièmes de secondes , et cette
différence résulte d’une part des limites des tables des
logarithmes, et de l’autre de ce que nous nous sommes
bornés dans les calculs précédens aux dirièmes de se-
conde.

Pour obtenir maintenant le troisième côté C , nous
nous servirons de la proportion

snA:snC::a:0c,

et nous trouverons

Loga=— 3,0791812
Log..sin C— 9,8118%97
somme...... 1%,8910700
Log sin À = 99989764

diff. où Logc— 2,8920945

d’où c— 780 mètres. -
12. La surface du même triangle en fonction des côtés
aet bet de l’angle compris C étant (n° 9),

= E ab.sin C
Pour la reudre homogène, commeS, exprimant une
: : , ab sin G
surface, a 2 dimensions, nous poserons S = À —

ou, par logarithmes ,
LogS — Loga + Loge + Log.sin CG — Log2 — 10.

On trouvera, en réalisant les calculs,

Loga = 3,0791812
Logb— 2,9344984

Log.sinc = 9,8118897

somme,... 13,8255693

Log2+10— 10,3010300

5,5245303

diff. ou LogS —

d’où S — 334610 mètres carrés, à un dixième de mètre
carré près.

13. Pour obtenir la même surface à l’aide des trois
côtés, il faut employer la formule

S = V[s.(s—a) (s—b) (s—c)]

qui donne, en logarithmes,

LogS=; { Logs+Log(s—.)+Log(s—b)+Log's—c)}
Onaic $— 1420, S—a = 220, s — b = 560,

S— c—=640, et l’on trouve en réalisant les calculs

TR

Logs— 3,1222873
Log(s—a)— 92,3424227
Log(s—b) — 2,7481880
Logls—c) — 2,8061800

SOMINE. ...... 11,0490780
moitié où LogS — 5,5245390

d'où , comme ci-dessus, S — 334610 mètres carrés.

IT. TricONOMETRIE SPHÉRIQUE. On... pomme #rian-
gle sphérique toute partie de la surface d'une sphère
limitée par trois arcs de cercle tracés sur çe ie, surface ;
mais on ne considère généralement que ceux de ces
triangles qui sont formés par des arcs de grauds cer-
cles.

Les côtés des triangles sphériques sont de cette ma-
nière des arcs qui appartiennent à des cercles égaux et
on les évalue en degrés, minutes, etc., tout comme
leurs angles, lesquels se mesurent par l FE on r'es-

pective des plans des côtés qui les forment:

14. Tous les plans des grands
cercles d’unesphère passant par son c
centre, On peut sc représenter un
triangle sphérique ABC comme ja
base curviligne d’une pyramide
triaugulaire dont le sommet O est
au centre de la sphère, alors Les À A
côtés AC, AB, BC du triangle sont j
respectivement les mesures des angles plans qui com-
posent l'angle solide du sommet de la pyramide et les
angles du triangle sont les mêmes que ceux des faces
de cet angle solide.

15. Comme l'angle de deux plans se mesure par l’an-
gle rectiligne de deux droites perpendiculaires à l’un
quelconque des points de l'intersection des plans et
menées l’une dans un plan et l’autre dans l’autre, on
peut dire, généralement, qu’un angle sphérique est le
même ae l'angle rectiligne formé par les tangentes de

ses côtés à leur point d’intersection ou au sommet.

16. La somme des angles plans qui composent un
angle solide étant toujours moindre que quatre ‘angles
droits, il en résulte que la somme des trois côtés d’un
triangle sphérique est toujours plus petite qu’ uné cir-
conférence entière, ou que360°, en adoptant la division
sexagésimale du tte la seule encore généralement

en usage. (

17. Il n’en est pas de même des angles d’un triangle

FI . dé )
sphérique que de ceux d’un triangle rectiligne, non
seulement leur somme n’est pas constamment égale ‘à

deux angles droits, mais encore elle dépasse toujours

L]
TR
cette quantité, de sorte que la connaissance de deux
angles est insuffisante pour déterminer le troisième.

La somme des trois angles d’un triangle sphérique
varie entre les limites de deux et de six angles droits,
c'est-à-dire, qu'elle est toujours plus grande que, 180°
et plus petite que 540

18. Lorsqu'un triangle sphérique a un de ses angles
droits, il prend le nom de {riangle rectangle, comme on
nomme aussi Aypothénuse le côté opposé à cet angle.
Mais un triangle sphérique peut être doublement et
triplement rectangle , ‘et ilen résulte alors les particu-
larités suivantes,

Si les trois angles d’un triangle sphérique sont droits,
les plans des grands cercles qui le forment sont respec-
tivement perpendiculaires l’un sur les deux autres,
alors les trois angles plans qui composent l’angle solide
du sommet de la pyramide (14) sont droits, et consé-
quémment les trois côtés du triangle sphérique sont
des quarts de circonférence. Ainsi lorsque les trois an-
gles ont chacun 95°, les trois côtés ont aussi chacun 90°,
et tout est déterminé dans le triangle.

Si deux angles seulement sont droits, le plan de leur
côté commun est perpendiculaire à la fois sur les plans
des deux autres côtés, de sorte que l’angle solide au
sommet de la pyramide se trouve composé de deux
angles plans droits et d’un troisième angle égal au troi-
sième angle du triangle sphérique. Dans ce cas donc
les côtés du triangle sont respectivement égaux aux
angles qui leur sont opposés, et tout se trouve encore
déterminé.

19. Connaissant trois des six choses qui composent
un triangle sphérique , déterminer les trois autres, tel
est le problème général de la trigonométrie sphérique ;
il ne diffère de celui de la trigonométrie rectiligne
qu’en ce qu’il n’est pas besoin que parmi les trois cho-
ses données se trouve au moins un des côtés. Les divers
cas qu’il présente peuvent être embrassés par une seule
formule dont la déduction ne présente aucune diff-
culté.

Soit ABC un trian-
gle sphérique quel-
conque, et O le centre

7
2
_ De
7

S

2

de la sphère sur la-

"4

quelle il est tracé. Du

centre O, menons par

\

les sommets du trian-

gle les droites indé-
finies OF, OE et OD.
Prénons OF à vo-
lonté , et du point F
menons sur OF deux CE \ ;
‘perpendicalairesl'une À

TR 587
FE dansle plan de AOB, et l’autre FD dans le plan de

AOC. Ces perpendiculaires, prolongées suffisamment,
rencontreront OE et OD en des points E et D que

s
$

nous joiudrons par la droit DE.
D'après cette construction, l’angle DFE des deux
perpendiculaires mesure l'angle des plans AOC et AOB;
il est donc le même que l'angle A du triangle sphéri-
que.
Mais dans les triangles rectilignes FDE, ODE on

a (7)

cos EFD _ FE+FD—DE

TOR T7 FE.

cos EOD GE + OD—DE
M sobesue EC: DE

0
Prenant dans la seconde expression la valeur de DE et
la substituant dans la première, il viendra (p)

OE.0D.cos EOD — OF. R
cos EFD — ———-— FE ED

en observant que
OE'—FE'= OF, OD — FD =0F

Représentons maintenant par À, B, C, les trois an-
gles du triangle sphérique , et para, b,c, les côtés

opposés, et remarquons que
EFD=A, EOD=—BC=—a, FOD—AC=—bh, FOE—AB=c
Ceci posé, les triangles rectilignes fournissent

OE : FE ::R : sinFOE :: R : sinc
OD : FD :: R: sinFOD :: R :
OF : FE :: cosFOE : sinFOE :: cose : since

sin D

:: cosb : sinb

OF : FD :: cosFOD : sinFOD
ainsi
R.FE R:: _ TE R2.FE.FD
de ‘sinc ? T snb xd'où OË.OD == sin b.sinc
OF = FE. CSC OF — I D0e, d'où
sin c sin b

—» FE.FD.cosc. cosb
EF = -——-
sinc.sinb

substituant dans l’expression (p), il vient

R.c cosb.cosc

sinb.sinc

FR .cos a

COSA—= ——— —
sinb.sinc

ou simplement, en faisant R —1 (4),

988 TR

cos a—cos b.cos €
cos À = — :

sinb.sinc

On obtiendraitévidemment, pour les deux autres an-
gles Bet C, les expressions semblables (9),

cosb—cosa.cosc
cos B — —— —

sina.sin €

cos c—cos a.cosb

cos C —

Or, considérant comme inconnues trois des six quanti-
tés qui entrent dans ces expressions, On a ainsi trois
équations qui suffisent dans tous les cas pour obtenir
leur déternduation complète.

20. Avant de passer aux applications , tirons de ces
formules la relation qui existe entre les côtés et les an-
gles opposés. Dans l’expression fondamentale ( vor.
SINUS, 30)

sin À = V/[1—cos’A]

si l’on substitue la valeur de cos’A prise dans l’expres-
sion (g) ,il vient

: sin’b.sin?c — (cos a — cos b.cos c)
sinA — a ——— —
sin*b.sin?c

Observant que sin°&.sin’c = (1—cos’b) (1 —cos’c), et

développant les produits, on obtient

à x
sin À = ————

rire Vi — costa — cosb — cos?c
» ,51

+ 2c08a.cosb.cos c ]

et, en divisant les deux membres par sina ,

sinA ï
= = —-— \/[r — cosa — cos'b
sina.sinb.sinc
— cos’c + 2 cosa,cosb.cos c |
ou simplement
sinA
sina

en désignant par M le second membre.
Opérant de la même manière sur sin B et sinC, on
trouverait

sinB sinC M
sinb * since ?
d’où
sinA _ sinB sinC
sina sinb sinc’

c'est-à-dire, que es sinus des angles sont entre eux
comme les sinus des côtés opposés. Propriété analogue
à celle des triangles rectilignes.

TR

21. Pour appliquer les principes précédens aux trian-
gles sphériques rectangles , nous supposerons que A est
un angle droit, et par conséquent que a est l’hypothé-
nuse : or, Bet C représentant les deux autres angles
que l’on nomme obliques pour les distinguer de l’an-
gle droit, quoiqu’ils puissent être droits eux-mêmes,
nous avons, d’après la dernière proposition,

sin À : sin B :: sina : sinb
sin À : sinC :: sina:sinc ;
ou, parce que À étant de 90°, sin A —R,
R : sinB ::
R : sinC ::

sina : sinb

sing : Sinc ;

d’où il suit que dans tout triangle sphérique rectangle,
le rayon est au sinus d'un angle oblique comme le sinus
de l’hypothénuse est au sinus du côté opposé à cet angle.

Ainsi deux de ces trois choses, l'hypothéause, un an-
gle oblique et le côté qui lui est opposé, étant données,
il suffira de résoudre cette proportion pour déterminer
la troisième. Oa a donc pour les trois cas qui se présen-
tent ici les expressions

sinB — R.sin b
sina

: . R.sinb

ANT 3

nr sina.sinB

NÉE COQ

dans lesquelles B représente l’un quelconque des deux
angles obliques.

22. Lorsque À = 90°, on a cos A 0, et l’expres-
sion (g) devient

cosa — cos b.cos c

sinb.siuc
d'où

cos a — cos b.cos c — 0, cos æ = cosb.cos c.

Eau rétablissant le rayon, la dernière égalité devient

R.cos a — cosb.cosc ,
ce qui est la même chose que la proportion

R : cosb :: cosc : cos a.

Ainsi, « dans tout triangle sphériquerectangle, le rayon
est au cosinus d’un des côtés de l’angle droit, comme
le cosinus de l’autre côté est au cosinus de l’hypothé-
nuse.»

Deux des côtés d’un triangle sphérique rectangle

TR

étant donnés, on peut donc toujours déterminer le
troisième.

23. Si dans légalité cosa = cosb.cosc nous substi-
tuons la valeur de cosc,

cosc — cosa.cos b + sin a.sin b.cos C

tirée de la troisième des expressions (y), nous obtien-
drons

cosa = cos a.cos b+sina.sin b.cos c.cos C
ce qui donne, en transposant cos a.cos'b ,
(1—cos’b) cosa — sina.sinb.cos b.cos C
et, en divisant par sina.sinb,

—cos’b).
(Rene —= cosb. cos C

siu a.sin b

à cosa _
Or, 1—cos"b — sin°b et — — = cota , ainsi cette der-
sina
uière égalité se réduit à
sin b.cota — cosb.cos C,
ce que l’on peut mettre sous la forme

sinb
cos

cos C
cota ?

d'où enfin,

tang b — tang a.cos C.
En rendant cette égalité homogène, elle devient

R.tangb = tang a.cos C,
et donne la proportion
R : cosC :: tanga : tangb,

c’est-à-dire, « dans tout triangle sphérique rectangle
le rayon est au cosious d’un angle oblique comme la
tangente de l'hypothénuse est à la tangente du côté
adjacent à cet angle.

24. On déduirait par des procédés semblables trois au-
tres principes nécessaires pour la résolution des triangles
sphériques et dont voici les énoncés :

1° Le sinus d’un angle oblique est au cosiaus de l’au-
tre angle oblique comme le rayon est au cosinus du côté
opposé à cet autre angle oblique.

2° Le rayon est à la tangente d’un angle oblique
comme le sinus du côté adjacent est à la tangente du
côté opposé.

3° La taugente d’un angle oblique est à la cotangente
de l’autre avgle oblique comme le rayon est au cosinus
de l'hypothénuse,

À l'aide de ces trois principes et des trois précédens ,

deux quelconques des cinq choses qui composent un

TR 589

triangle sphérique rectangle étant données (nous ne
tenons pas compte de l’angle droit qui est toujours con-
nu), On pourra calculer les trois autres. Nous devons
faire observer que lorsque la valeur de la quantité cher-
chée est donuée par son sinus seulement , comme le
même sinus correspond à deux angles supplémens l’un
de l’autre, il faut pouvoir déterminer la nature de cet
angle par les grandeurs des autres données, saus cela le
choix eatre ses deux valeurs demeure entièrement in-
certain. C’est ce que l’on nomme les cas ambigus ou
douteux. Is sont indiqués dans le tableau suivant qui
présente l’ensemble de la solution des triangles sphéri-
ques rectangles.

TABIEAU

De tous les cas de solution d'un triangle sphérique
rectangle.

L'hypothénuse est représentée par a , les deux côtés
obliques par bet c, et les deux angles obliques qui leur

sont respectivement opposés par B et C.

Données. Cherchées. Formules.
Bb. 1........ sinb* = sina.sivB*
a, B { © 2...,....tange — tanga.cosB
C. 3........cotC — cosa.tangB
Carr, Bsccetrese SINC == SIN Z:5in Gt
a,C 4 Bb 5........tangh = tanga.cosC
B. 6........cotB — cosa.tangC
cosa
b. 7........cosb = ——
cos c
B. : 8:52. % c05B — tang c-cota
: siuc*
C 9........ sinC* = ——
È sin a
cosa
Ce IOeerssres COS = ——
ces
C. 11......,, COSC = tangb.cota
. sin b*
Bin. SRB —=
Siu 4
3 FE sinc
, Mrs SIN —
ne siuC
b. 14........sinb — tangc.cotC
A
: .0sC
D: I In Br —
cos €
, > sinb
ose SIN = -—
a. 10. sin SE
© 17e... sinc = tangh .cotB
RAT B
8 sinC =
CRD rss cc PR
a. 19........ Cota == cosB.cotc
c,B { b. 2a0........tangh— tangB.sinc
C. 21.400. cos C = sinB.cosb

390 TR
a. 22........ cote — cosC.coth
D, G-4 ©. 23........ tangc — tangC.sinb
B.:94.:...6.. C0SB — siuG,co54
a. 95......., COS = cosb.coc
b, ce B. 26........cotB — sinc.co:b
Co AL PCOLCE "cote -s1n0
a. 28........ cos = cotB.cotG
cosB
= b. 29........c0osb = —
B, C 9 É sinC
cosC
D: I07 PS ICO
{ siuB

Pour calculer ces formules par les logarithmes, il
faut les rendre homogènes en y introduisant le rayon,
ce qui se fait en divisant par R les seconds membres
qui sont des produits, et en multipliant par R ceux
qui sont des yuotiens.

Les arcs mirqués d’un astérisque sont de même na-
ture. Par exemple la formule sin £*— sin a. sin B*
indique que l'arc b cherché est plus grand ou pius petit
qu'un angle droit, selon que B est lui-même plus grand
ou plus petitque g0° Dansles trente cas possibles ilu’yen
a donc réellement que six de douteux. Cette indication
est fondée sur ce que dans toat triangle sphérique rece
tangle un angle oblique et le côté qui lui est opposé,
sont toujours de la même espèce, c'est-à dire, tous deux
ples grands où tous deux plus petits que go°.

En exanivant le tableau précédent on voit que les
trente cas qu'il présente se réduisent aux cinq cas géné-
raux suivans dont les douncées sont :

1. L'hypothénuse et un angle oblique.

2. L'hypothénuse et un côté oblique.

3. Les deux côtés obliques.

4. Un côté oblique et un angle oblique.

5. Les deux angles obliques.

On peut même encore embrasser ces cinq cas géné-
raux par une analogie ou proportion très-élégante due
à Néper, et nous devons nous étonner que les auteurs
modernes des traités de trigonométrie ne fassen! pas
meution d’un piiucipe qui a l'avantage de ramener
toute la solution des triangles sphériques rectangles à
un seul cas général que son élégante symétrie permet
de graver facilement dans la mémoire. Voici ce prin-
cipe.

Dans un triangle chaque partie est nécessairement
comprise entre deux autres qui lui sont ou immédiate-
ment conjoin(es où qui en sont scparées par celles-ci.
Le côté & par exemple est compris entre les deux an-
gles conjoints B et C ou bien entre les côtés 4 et c, sé-
Parés par ces angles conjoints. Chaque côté a donc ainsi
deux angles pour parties conjointes et deux côtés pour

parties séparées , tandis que chaque angle a deux côtés

TR

Pour parties conjointes et deux angles pour parties
séparées. Mais quand il s’agit d'un triangle rectangle il
pe faut pas tenir compte de l'angle droit, et en appli-
quant cette subdivision des parties conjointes et des
parties séparées , on doit considérer les cinq parties de
ces triangles ; autres que l'angle droit, liées imméditate-
ment entre elles comme si l'angle droit n'existait pa:.
De cette manière chaque côté de l'angle droit a pour
parties conjointes l'angle oblique adjaceutet l’autre côté,
et pour parties séparées, l'hypothénuse et l'angle
oblique opposé. En général a, b, €, étaut toujours les
trois côtés, et B, C les angles obliques, les parties con
jointes et les parties séparées de chacune de ces cinq

parties sont :

conjointes. suparces.

Pour a..... B, G::.: b, c
bank Gc35. 4 a, L
Cie D'IDi.c.r a, C

Si

BB. Che C,
(CE

Voici maintenant la loi entièrement générale qui
lie toute partie comprise à ses conjointes ct à ses séparces.

Le c’sinus d’une partie comprise est toujours égal au
produit soit des cotangen’es des partie. conjointes ,
soit des sirus des parties séparées.

Quard les côtés de l’angle droit interviennent dans
la formule il faut au lieu de ces côtés employer leurs
complémens, et dès lors à leurs sënus, cosinus ct cotan-
gentes substituer Îeurs cosinus, sinus ct tangentes.
Ainsi pour le côté a, par exemple, les parties con-
jointes dontient

cosa = cotB.cotC
et les parties séparées
COS —= COS. cosc.

Ea appliquant de même ce prircipe à toutes [es par-
ties, on obtiendra dix équations qui fourniront les
trente formules de la table, en prenant successivement,
dans chacune, pour inconnue, une des trois quantités

qu'elle renferme.

25. Tous les cas de la solution des triangles sphéri-
ques en général peuvent être ramenés à quatre cas gé-
néraux essentiellement différens qui sont:

1° Les trois côtés sont donnés.

2° Deux côtés sont donnés avec un angle.

3° Deux angles sont donnés avec un côté.

4° Les trois angles sont donnés.

Nous allons les examiner successivement.

26. Les trois côtés &, b, c d’un triangle sphérique

TR
quelconque étant donnés, on déterminerait un des an-
gles, À par exemple, à l’aide de l'expression fonda-
mentale (9)
cosa-- cosh.cosc
sinb.sinc

cos A —

Mais comme cette formule est peu commode pour le
calcul logarithmique, on doit lui faire subir une trans-
formation. Substituons cette valeur de cosA dans l’ex-

pression
2 sin? £ À — 1 — cos À
nous aurons

cosa — cosb .cosc

2sin LÀ = 1I— - -
à sinb.sinc

“SIND nee cosc

Mais sinb.sinc + cosb .cosc — cos(b—c) (Sinus, 16), ct
ia en général (SiNUs, 17)

cosg — cosp = 2 sin+ (p+g).sin : (p— 9)
Ainsi,
cos b— c) —cosa == 2 sin (a+b—c).sin ; (a — b +c)

et, par conséquent ,

RUE \/ 15 2 (a+b—c).sin 3 (a—b+c)
FEES | sinb.sinc

Eu rendant cette formule homogène et prenant les lo-

garithmes, il vient

LA = 104;
+ Log ;

.sin £

{ Lag.sin ? (@+ b — c)
(a — b + c) — Log — Loge}

Comme on peut désigner successivement chacun des
angles par À , en faisant le côté opposé = a et les deux
autres — b, — c, on pourra évidemment calculer de

la même manière les trois angles du triangle.

27. Deux côtés a et à étant donnés avec un angle,
la détermination des deux autres angles et du troisième
côté dépend de la position de l'angle connu qui peut
être soit opposé à l’un des côtés connus, soit compris
entre ces deux côtés. Ce cas général se subdivise donc
en deux cas particuliers.

I. Soient donnés les côtés 4 et bavec l’angle A op-
posé à l’un d'eux. La détermination de l'angle B opposé
au côté b est tirée de la proportion (20)

sing : sin® : : sinA : sinB,
d’où
; sinb.sinA
snB — -
sin a

TR 591
ce qui peut être calculé directement parles logarithmes.

Pour déterminer l'angle G, il faut obtenir une rel1-

tiou entre les côtés a et 2 et l’angle compris C, à l’aide
des expressions fondamentiles (g).

Or, la première et la dernière de ces expressions
étant mises sous la forme

cosA .sinb.sinc — cosa — cosb.cosc

cosC.sinb.sina == cosc — cosb.cosa,
si on élimine cosc entre ces deux équations, il vient
cosA .sinc + cosC.sina — cosz.cosb ;

puis mettant dans cette dernière la valeur de

sina.sinc

sin c — =
sin À

tirée de la proportion fondamentale

sina : sinc : : SinÀ :

sinC,

on obtient (r)
cotA.sinC +- cosC.cosb — cota.sin/

ce qui est la relation demandée. Pour pouvoir tirer de
cette expression la valeur de l’angle GC, il faut avoir re-
cours à un artifice de calcul en déterminant un angle
auxiliaire + tel qu’on ait

tangp = cosb.tangA ,

car cet angle étant connu , on a

ta
tang À — LU 2 _sing
cosb cosb. cosy
ou
o5b.
BCE c cos y
sin ÿ

Substituant cette valeur de cot À dans (r), ceute équa-
tion devient

cos à
siu @

cosp.sinC sin ÿ.cosC:! = cota.sinb

mais (Sinus, 16), cosy sin C + sin y. cos C
donc définitivement

= sin(C++),

tangb. sin @

Eu EE) = aug a

expression qui fait connaître la valeur de C +9 et
par conséquent celle de C.
Aivsi, pour nous résumer, les données étant a, betA,

on commencera par Calculer $ à l’aide de la relation
Log tango = Log cosb + Log tang A — 10,

puis on trouvera la somme C++ par celle-ci

592 TR
Log sin (C++) = Log tangb + Log sing — Log.tanga.

Quant au troisième côtéc, on le calculera par la
proportion entre les sinus des angles et les sinus des
côtés opposés qui donne

sin a.sinC

sinc = ——
sin À

II. Soient donnés les côtés a et b avec l'angle com-
pris C.
En tirant de l'équation (r) la valeur de cotA , on a

co' a.sin b — cos C.cos b
sin C

cot À —

qui pourrait servir à calculer l'angle A à l’aide d’uu
angle auxiliaire. Comme aussi pour calculer l’argleB,
également à l’aide d’un auxiliaire, on aurait l’équa-
tion semblable

cosb.sina — cos C.cos a

cotB — CT —

mais il est beaucoup plus prompt de se servir, dans ce
cas, des formules connues sous le nom d'analogies de
Néper et dont nous parlerons plus loin. Elles donnent
ici

tang & (A+-B) = cot + C. rs
çp Sini(a—b
tang ? (A—B) = coti CR

Ayant donc calculé par ce moyen la demi-somme
: (AHB) et la demi-différence À (A — B) des angles
AetB, on a immédiatement l'angle A, en ajoutant
cette demi-différence avec cette demi-somme, et l’angle
B en retranchant la demi-différence de la demi-somme.
Les angles À et B étant connus, on calculera c par

la proportion
snA : snC::a:0c,

ou bien on le déterminera directement en tirant cosc
de le troisième des expressions (g) , ce qui donne

cosc = cos a.cosb Æ sin a.sinb.cos C.
Faisant donc choix d’un angle auxiliaire &, tel que

tango — cos ue

on aura, en opérant comme ci-dessus,
cos b

Cosc = ——— , cos (a—),
cos?

Il est toujours utile de calculer les mêmes parties

TR

d’un triangle de deux manières différentes , quand ce
ne serait que pour vérifier l'exactitude des résultats.

28. Deux angles et un côté étant donnés, il se pré-
sente encore deux cas particuliers : 1° Le côté est ad-
jacent aux deux angles, 2° il est opposé à l’un d’eux.

I. Soient donnés les angles A et B avec le côté adja-
cent c.

Les deux autres côtés a et b peuvent être aisément
calculés par les analogies de Néper ;

: os+ (A—B
tang+(a4-b) =tang;c. Érress
sin 2(A—B)
sin -(A+B)

tang+ (a—b) = tang ce.

qui donnent leur demi-somme et leur demi-différence.
Quant au troisième angle C, ayant pris un angle
auxiliaires, tel que

cosc.tang B
cot? = — R —
on aura
cos C = cos B. lea 2

sin y

Connaissant les côtés a et b, on peut aussi calculer cet
angle C par la proportion

sin a : sinc :: sin À : sinC.

II. Soient donnés les angles A et B avec le côté a op-
posé à l’un d’eux.
Pour calculer le côté b, on a la proportion

sin À : sinB :: sina : siné,

On calculera le côté c par la formule

tangB.sin ?
tang À

sin (c—) =

dans laquelle l'angle auxiliaire? est donné par la re-
lation #

cos B.tang a

tango — PRE me
Enño, le troisième angle C sera calculé par la for-

mule

cos À. cos?

SEE UC.)

sin (C—?) = KR
dans laquelle l'angle auxiliaire g résulte de la relation

cosa.tang B
cot? — ER =

29. Les trois angles étant donnés, pour déterminer le
côté a, par exemple, ona la formule (s)

TR
/ — cos? (A + B4-C).cos:
É | sin B.sinC

qu’on peut également appliquer aux deux côtés bet c

sinta

: (B4-C—A) A

à l’aide de la remarque que nous avons faite (26) sur
la formule qui donne ux angle par les trois côtés.
Quant à la déduction de cette formule, on la tire des
expressions fondamentales (g) par des transformations
analogues à celles que nous avons déjà employées dans
ce qui précède, transformations que facilite extrême-
ment la cousidération des propriétés du triangle po-
laire, dont les auteurs des traités de trigonométrie font
un grand usage. Voici quel est ce triangle polaire :
ABC étant un triangle sphérique quelconque, imagi-
dont les sommets
A', B', C' soient les pôles des grands cercles dont les
côtés a, b,c du triangle ABC font partie; alors les

nons un second triangle A'B'C',

sommets À ,B,C de celui-ci seront respectivement les
pôles des côtés a', d', c' du triangle A'B'C", et 1] est fa-
cile de voir 1° que les angles A', B', C' du triangle po-
laire A’B'C/ sont les supplémens des côtés a, b, c du
triangle ABC ; 2° réciproquement que les angles AB, C
du triangle ABC sont les supplémens des côtés a’, b', c
du triangle polaire A'B'C. On a donc ainsi

A'—180°-—a, B'— 180°—,C'—180°—C, a'—180°—A,
b'— 180°—B, c'—180° — C.

Ces relations donnent les moyens de transformer très-
facilement les expressions fondamentales (4), comme
nous allons en dunuer un exemple.

L'expression (g) appliquée au triangle A'B'C' devient

cosa'—cosb'.cos c’

cosA' — - -
sin b'.sinc'

*

ainsi, mettant à la place de A’, a’, b', c' leurs valeurs
ci-dessus , il vient

8 cos{180°—A\—cos(180°—B).cos(180°—C)
AL M 7 sin(180°—B).sin(180°--C)

Or, en général, cos(180°—x) — — cos x, sin (180°—:x)
= sinx; donc cette dernière expression est la même
chose que (1)

cosA cos B.cos C
suB.smC

cosa =

on obtiendrait de la même manière,

cos B + cos A. cos C

cosb 7 sin A.sinC

cos C + cos A .cos B

FRE 7 sinA.siuB

formules qui donnent les côtés en fonctions des angles
TOME 11,

TR 593
comme les formules (g) donnent les angles en fonctions
des côtés. On peut à la vérité déduire directement ces
dernières formules des expressions (g), mais d’une ma-
nière beaucoup moins simple.

Maintenant il est évident qu’en opérant sur l’expres-
sion () comme nous l'avons fait au n° 26 sur l'expres-
sion (g), nous obtiendrons la formule (s).

dont nous avons fait
27 et 28, se déduisent aisément des ex-
pressions (g) ; on les préfère à l'emploi des angles auxi-
liaires dans tous les cas où elles peuvent être em-

30. Les formules de Néper,
usage aux n°°

ployées, et elles sont en effet plus directes et plus élé-
gantes. L'emploi de l'angle auxiliaire rend inutile la
considération de la perpendiculaire à l’aide de laquelle
on ramèue Ja solution d’un triangle obliquangle à celle
d’un triangle rectangle, et l’ensemble de cettesolution
se trouve assez complètement donné dans ce qui pré-
cède pour nous dispenser de le résumer dans un ta-
bleau. Il existe encore un grand nombre de formules
particulières dont l'application peut faciliter la solu-
tion de certains cas, surtout lorsque quelques parties
du triangle proposé sont très-petites par rapport aux
autres, mais nous devons renvoyer à la Trigonometrie
de Cagnoli; c’est le traité le plus complet qui existe
sur cette branche importante de la géométrie,

Comme pour les triangles rectangles, toutes les fois
que la quantité cherchée est donnée par son sinus il y
a indécision dans le choix qu’on peut faire des deux
arcs qui lui répondent, cependant on diminue beau-
coup le nombre de ces cas douteux par les trois règles
suivantes :

° Si la somme de deux côtés est moindre que 180”,

l'angle opposé au plus petit est aigu;

2° Si la somme de deux côtés est plus grande que
180°, l'angle opposé au plus grand est obtus ;

3° Quand la somme de deux côtés est égale à 180°,
la somme des angles opposés est de même égale à 180°.

Il faut en outre faire scrupuleusement attention aux
signes des lignes trigonométriques, qui sont positives
ou négatives selon la grandeur des arcs auxquelles elles
se rapportent; par exemple, si le résultat d’un calcul
donne cosA — — m, et qu’à la valeur »2, abstraction
faite du signe, réponde dans les tables des sinus un
arcæ,comme, généralement, cos (90° + z) —=— cosz,
l'arc À n’est point alors — +, mais bien — 90° + «. Il
faut consulter l’article sinus pour tout ce qui concerne
les signes. Quant à la réalisation des calculs numériques,
elle s’effectue de la même manière que pour les for-
mules de la trigonométrierectiligne ; ainsi nous pouvons
nous contenter d'en présenter un seul exemple.

31. Connaissant les latitudes et longitudes de deux
villes, on demande 11 grandeur de l'arc du grand cércle

594 TR
terrestre qu’elles comprennent, ou, ce qui est la même
chose, leur plus courte distance.

Soit A la ville-de Paris, dont la longitude est o et la
latitude 48° 50° 13”, et B la ville de Marseille, dont la
longitude est 3° 1" 54"et la latitude 43° 17 50". Imagi-
nons un triangle sphérique formé par le pôle boréal et
les deux lieux A et B. Dans ce triangle on connaît
l'angle au pôle qui est la différence en longitude des
deux points À et B , etles deux côtés compris AC et BC
qui sont les complémens des latitudes des points A et B.
On a donc, en se servant de la notation consacrée :

CG = 3° 1°.54
L b=go° — 48° 50' 13" = 41° 9' 47°
a—= 00° — 43 17 50 — 4642 10
et il s'agit de calculer le côté c.

Ce problème rentre dans le 11° cas du numéro 27;
ainsi i] faut d’abord calculer un angle auxiliaire » par la

formule
cosC.tangb
ange = —" 2
ce qui donne
Log.cosG = 9, 9993918

Log .tangb — 9, 9416582

19, 9410500

10, 0000000

Log .tange — 9, 9410500
d’où == 41° 7! 24”.

Substituons cette valeur de # dans la formule

054 ' ;
" cos (a—v),

et, comme a —=— 5° 3%" 46", nous aurons

Log cos — 9, 8767024
Log cos (a—?)— 0, 9979380

19, 8746404

Log.coss— 9, 8769654

Log cosc — 9,9976750

ce qui fait connaître c — 5° 55 24".

Eu prenant pour la longueur du degré terrestre
celle du degré moyen de la France, qui est 111108
mètres (voy. TEnnx), on a donc 658130 mètres pour Ja
distance de Paris à Marseille.

On tiouye dansle 7raité de géodésie de M. Puissant

»

TR
toutes les formules trigonométriques employées dans
la géodésie et l'astronomie. Nous renvyerrons donc,
pour les détails, à cet ouvrage ainsi qu'a celui de Ca-
gnoli déjà cité.

TRILATÈRE. Se dit, en géomctrie, d'une figure
qui a trois côtés. Ce mot n’est plus usité : une telle

figure se nomme un triangle.

TRINOME. (4{g.) Quantité composée de trois ter-
mes (voy. Porynome).
TRIPARTITION. Partage en trois parties égales

d'une grandeur quelconque (voy. Tnisecriow).

TRIPLÉ. On nomme raison criplee le rapport qu'il
y a entre les cubes de deux nombres.
Il ne faut pas confondre une raison triplée avec une

raison triple, car cette dernière n’est que le rapport

d’un nombre à un autre qu'il contient trois fois.

Par exemple, le rapport de 3 ar est une raison tri-
ple, tandis que celui de 8 à 1 est la raison tuiplée des

nombres 2 et 1.

TRISECTION. Division d'une grandeur en trois
parties égales.

Ce terme est spécialement consacré en géométrie
pour désigner la division d’un augle en trois parties
égales, problème devenu très-célèbre parce qu'il ne
peut être résolu géométriquement, c’est-à-dire avec
la règle et le compas. On peut comparer le problème
de la trisection de l'angle à ceux de la duplication du
cube et de la quaitrature du cercle sur lesquels on s’est
exercé vainement pendant deux mille ans, en voulant
les faire dépendre de conditions incompatibles avec
leur nature. La solution de celui-ci dépend d'une
équation du troisième degré qu’on peut construire par
diverses courbes. Voyez à ce sujet un ouvrage de

M. Garnier, intitulé Trisection de l'angle.

TRIPASTON. Nom que les ancieus donnaient à une
machine formée par l’assemblage de trois poulies (voy.

MourriE).

TROCHOIDE. Nom de la courbe plus générale-

ment connue sous celui de CycLoïpe.

TROIS. Rècze DE rois. Opération de l'arithmé-
tique qui consiste à calculer un des termes d’une pro-
portion au moyen de trois autres.

La règle de trois se compose d’une multiplication et
d’une division, et ne présente d'autre difficulté que
celle d'établir convenablement la proportion entre les
quantités que l’on veut comparer; car, une fois cette
proportion établie, si le terme cherché est un moyen, on
l'obtient en divisant le produit des extrêmes par le

ee +

TR
moyen connu, et, si c'est un extrême, en divisant le
produit des moyens par l'extrême connu (voy. Proro-
SITION).

Pour établir une proportion entre quatre quantités,
on doit observer 1° de composer chaque rapport de
quantités de la même espèce ; 2° de n’égaler entre eux
que deux rapports directement égaux, c’est-à-dire, dont
l’un ne soit pas l'inverse de l’autre. Avec cette atten-
tion il n’est pas nécessaire de s'occuper de la place
qu'occupe le terme cherché dans la proposition, et
toutes les considérations de règle de trois directe et de
règle de trois inverse, dont les auteurs de traités d’arith-
métique compliquent la question, deviennent complè-
tement inutiles.

Les deux questions suivantes vont indiquer la mar-
che qu'on doit suivre dans tous les cas.

1. 30 aunes d’étoffe ont coûté 55 fr. 50 c., on de-
mande combien coûteront 55 aunes de la même étoffe?

Plus il ya d’étoffe, plus le prix doit être considérable;
ainsi les nombres d’aunes doivent être en rapport di-
rect des prix qu'ils coûtent. Désignant donc par x le
prix cherché, on dit : le rapport de 30 aunes à 55 au-
nes est le même que celui de 55 fr. 5o c., prix de 30
aunes à x, prix de 55 aunes; ainsi, posant la propor-
tion

30 :

DER ENS NDOELT,

il s’agit de calculer un extréme. On a donc

réalisant d’abord la multiplication, puis divisant le
produit par 30, on trouve x — 1017 fr. 35 c. 55 aunes
coûteront donc ro1 francs 55 centimes.

2. Un certain ouvrage a été terminé en 5 jours par
8 ouvriers, on demande combien de teinps mettront
11 ouvriers, travaillant de la même manière, pour
terminer le même ouvrage ?

Ici, plus il y a d'ouvriers, moins de temps il faudra ;
ainsi le rapport du nombre des ouvriers, c’est-à dire
des nombres 8 : 11 est l'inverse de celui des
jours de travail ou de celui des nombres 5

celui
: x; il faut
donc renverser ce dernier rapport et écrire la propor-
tion

MES D RECRUE

il s’agit alors de calculer un moyen, et l’on a

multipliant 5 par 8 et divisant le produit 40 par 11,

on trouve x =— 3 _ , C'est-à-dire qu’il faudra 3 jours

TR 595
et environ 7 heures aux onze ouvriers pour exécuter
l'ouvrage que 8 ont terminé en 5 jours.

On reconnait que les choses comparées sont en rap-
port direct lorsque l'accroissement des unes détermine
l'accroissement des autres; dansle cas contraire, c’est-à-
dire lorsque l'accroissement des unes entraîne le dé-
croissement des autres, le rapport est inverse, et il faut
le renverser, comme nous venons de le faire, pour po-
ser la proportion.

Lorsque la solution d’une question exige le concours
de plusieurs proportions, la règle prend le nom de
règle de trois composée; cependant, en composant les
rapports, on peut toujours la ramener à une règle de
trois simple, C’est ce que l’exemple suivant fera com-
prendre.

20 ouvriers travaillant 8 heures par jour ont creusé
en 12 jours un fossé de 200 mètres cubes, on demande
combien de jours ils mettraient pour creuser un fossé
de 350 mètres cubes, en travaillant 10 heures par jour?

En analysant cette question, on reconnaît, avant tout,
que puisque le nombre des ouvriers ne varie pas, il ne
doit pas entrer dans les rapports, et qu’on peut consi-
dérer le travail comme opéré par un seul homme.
Ainsi, en ne considérant pas d’abord la différence des
heures de travail, et en désignant par x le nombre des
jours qu’il faudrait pour creuser 350 mètres cubes, on
voit que ce nombre doit être plus grand que 20, car
plus il ÿ a d'ouvrage, plus il faut de temps, toutes cho-
ses égales d’ailleurs : le rapport entre les travaux est
donc directement égal à celui des temps pendant les-
quels on peut les exécuter, et l’on a la proportion

200:;::350 ::5512: 20

d’où l’ontire

ST —— Te

Donc, si ces ouvriers travaillaient le même nombre
d'heures chaque jour, il leur faudrait 21 jours pour
creuser le fossé de 350 mètres cubes ; mais ce n’est plus
8 heures qu'ils travaillent par jour, comme dans le
premier ouvrage, c’est 10 heures ; il est donc évident
que, puisqu'ils travaillent plus long-temps chaque jour,
il leur faudra moins de jours. Ainsi, désignant par y le
nombre des jours dans cette dernière condition, ce
nombre doit être à 21 dans le rapport inverse des nom-
bres d'heures 8 : 103 c'est-à-dire qu’on a la seconde
proportion

d'où l’on tire

CAGE VOTE 8
CES PT: 16:

ue : : <" 8
ainsi le nombre des jours cherché est 16 +

596 TR

Examinons maintenant comment, en composant les
rapports, on aurait pu se dispenser de résoudre deux
proportions. Travailler 8 heures par jour pendant 12
jours, c’est la même chose que travailler pendant 12
fois 8 heures ou 96 heures; de même travailler 10 heu-
res par jour pendant x jours, c'est travailler pendant
æ fois 10 heures ou 10 x heures : les temps des travaux
sont donc 66 et 10x; et, comme ces temps sont en rap-
port direct des ouvrages, on a la proportion

200 :, 350 :: 96: 10 x,

de laquelle on peut tirer la valeur de l’extréme 10 x,
et qui donne

mais puisqu'on connaît la valeur de 10 x, en la divi-
sant par æ on aura celle de x; ainsi

comme ci-dessus.

IL n’est aucune règle de trois composée qu’on ne
puisse ramener de la même manière à une règle de
trois simple.

TRONQUEÉ. (Géom.) On nomme pyramide tron-
quée et cûne tronqué une pyramide et un cône dont on
a retranché la partie supérieure. (Foy. Cône et Pyra-
MIDE.)

TROPIQUES. (45) Nom de deux petits cercles de
la sphère céleste parallèles à l'équateur et passant par
les points solsticiaux. (Foy. AnMILLAIRE, 19.)

TSCHIRNHAUSEN (EurenFrniEn WALTHER DE),
gentilhomme allemand qui s’est rendu célèbre par ses
travaux géométriques et ses découvertes en dioptrique,
est né le 13 avril 1651, dans une terre de la Haute-
Lusace qui appartenait à sa famille. Son éducation fut
conforme à la haute position sociale de ses parens, et
il acheva ses études à l'Université de Leyde. Jeune en-
core, Tschirnhausen servit quelque temps en qualité de
volontaire, mais il ne tarda pas à se livrer entièrement
à l'étude des sciences, pour lesquelles il avait mani-
festé de bonne heure une prédilection et une aptitude
particulières. Dans un des voyages qu'il fit à Paris , il
révéla ses talens par la communication qu'il fit à l’Aca-
démie des sciences d'un mémoire sur le phosphore.
Peu de temps après il fit connaître sa découverte des
verres brülans qui ont retenu le nom de caustiques de
Tschirnhausen. Successivement associé et membre de
l’Académie des sciences, il se distingua par la continua-
tion de ses travaux en dioptrique et inventa le miroir

TR

convexe des deux côtés, qui a été si utile à l’avance-
ment de cette branche de la science. En 1901 il vint à
Paris pour prendre part aux travaux de l’Académie et
présenta à l’une des séances de ce corps savant : une
méthode pour trouver les rayons des développées, Les
tangentes, les quadratures et Les rectifications de plu-
sieurs courbes, sans y supposer aucune grandeur infi-
niment petite. I\ n’est pas inutile de faire observer ici
que Tschirnhausen, dont les counaissances en géomé-
trie étaient d’ailleurs remarquables , pensait que la mé-
thode des infiniment petits n’était point nécessaire à la
science, et qu’on pouvait facilement y suppléer par
des procédés beaucoup moins compliqués. C'est dominé
par cette idée erronée qu'il soumit à l’Académie, en
1702, un nouveau mémoire dans lequel il proposait une
Methode pour trouver les touchantes des courbes mé-
caniques, sans supposer aucune grandeur infiniment
petite. Ces Mémoires, qui excitèrent l’attention des
géomètres , sont au moins fort curieux. Fschirnhausen
mourut en Saxe le 11 octobre 1708.

TYCHO-BRAHÉ,. Ce grand observateur , dont les
travaux ont été si utiles aux progrès de l'astronomie
moderne, naquit le 13 décembre 1546, dans la terre de
Kaudstorp, en Scanie, d’une famille illustre de Dane-
marck. Comme tous les hommes de génie, il révéla de
bonne heure le goût qui l’entraïoait vers l'étude de la
science qu’il devait un jour illustrer. Dès qu'il eut ac-
quis assez de connaissances en mathématiques, il se livra
avec ardeur, maisen secret, à l'observation des astres,
occupation que ses nobles parens trouvaient frivole et
indigne d’un homme de sa naissance. Malgré le rang
élevé où la providence l'avait fait naître , on sait que
Tycho-Brahé ne put échapper dans sa patrie aux per-
sécutions que la calomnie et l’envie suscitent trop
souvent au mérite qui s'acquiert par de laborieuses
études, et qu’il fut enfin obligé d'accepter l'asile que
lui fit offrir l’empereur Rodolphe IT.

Tycho-Brahé a apporté de notables améliorations
dans la théorie de la lune ; ou lui doit la découverte de
deux nouvelles inégalités, la variation et l'équation an-
nuelle ; on lui doit d'avoir déterminé avec beaucoup
de précision l'inégalité principale de l’inclinaison de
l'orbite lunaire, par rapport au plan de l’écliptique.
Le premier, ce célèbre astronome introduisit dans le
calcul astronomique l'effet de la réfraction. Il proposa
les premiers élémens de la théorie des comètes, qu’on
persistait à regarder comme de simples météores, mal-
gré les considérations à priori si remarquables de Sénè-
que , sur les mouvemens propres de ces astres.

Au malheur d'avoir méconnu le véritable système du
monde, Tycho-Brahé ajouta le malheur plus grand pour
sa mémoire d'en proposer un qui n’était ni celui des

2 om A

0

UN

Egyptiens, ni celui de Ptolémée, ni celui de Copernic,
mais qui empruntait à chacun d'eux quelque chose.
(Foy. Sysrëme.) Cette hypothèse qui était au moinsiu-
génieuse à une époque où les vraies lois du mouvement
n'étaient pas révélées, et qui supposait dans son auteur
des connaissances extraordinaires en astronomie, est au-
jourd’hui oubliée, ou du moins l'exposition des idées
sur lesquelles elle repose ne sert qu’à démontrer avec
plus d’évidence la réalité du mouvement de la terre.

Une des gloires de Tycho-Brahé est d'avoir été le
maitre et le protecteur de l’immortel Keppler, qui,
malgré son respect pour lui et l'admiration que lui cau-
saient ses nombreux et utiles travaux , sut se préserver
de ses erreurs , tout en s'appuyant sur ses observations,
pour démontrer les lois générales du mouvement des
astres.

Tycho Brahé mourut à Prague, le 14 octobre 1601.
On voit encore dans une église de cette ville le monu-
ment qui fut élevé en son honneur, et où ses dépouil-

UN 597
les mortelles furent déposées avec une poinpe extraor-
dinaire. Il n’a laissé qu’un petit nombre d'écrits, dont
les principaux sont : 1. As{ronomiæ instauralæ mecha-
nica, Wandesburg, 1598, in-folio ; Nuremberg, 1601.
IT. Progymnasmata , Uraniemborg, 1583-1589, 2 vol.
in-8. C’est dans ce dernier ouvrage que Tycho-Brahé
a consigné ses observations sur la théorie de la terre et
sur celle des comètes. III. Æpistolarum astronomica-
rum libri duo, Francfort, 1610, in-4°. IV. Oratio de
disciplinis mathematicis, Copeuhague, 1610, in-8°. Les
observations de Tycho ont servi de base aux Tabulæ
Rudolphinæ , données par Keppler, et à toutes les au-
tres tables célestes, publiées depuis le commencement
du XVII® siècle ; elles ont été recueillies avéc soin par
ses disciples et publiées sous ce titre : Jistoria celestis
XX libris, 1666. Voyez l'oraison funèbre de Tycho-
Brahé, par Jessenius, Nembourg , 1601, in-4°, et la
vie de ce grand astronome, écrite par Gassendi, Paris,
1654, in-4°.

U.

UNIFORME. (Méc.) Le mouvement uniforme est
celui d'un mobile qui parcourt des espaces égaux en

temps égaux. (Foy. MouvemEnT.)

UNITÉ. Quantité prise pour terme de comparaison
entre des objets de même nature , et que l’on considère
individuellement sans avoir égard aux parties dont elle
peut être composée. (Foy. ARITHMÉTIQUE, 2.)

UNIVERSEL. Capran univenses. (Gnom.) De tous
les cadrans portatifs et qui n’ont pas besoin d'être
orientés, celui-ci est le plus simple et le plus facile à
construire. Ayant décrit, sur un carton, avec un rayon
arbitraire AC, une circonférence de cercle (PI. 42,fig. 8),
on la divise en douze parties égales, puis on joint
deux à deux les points de division par des lignes paral-
lèles qui deviennent les lignes horaires de la figure. A
l'extrémité À du diamètre AS perpendiculaire à toutes
ces lignes, on mène la droite AB, qui fait, avec le dia-
mètre AS, un angle BAS égal à la latitude du lieu pour
lequel on veut construire le cadran, puis on prolonge
cétte ligne jusqu’à ce qu’elle rencontre la droite BC qui
passe par le centre. Au point d’intersection B, on mène
à AB une perpendiculaire, sur laquelle on marque, à
la droite et à la gauche du point B,; les points d’inter-
section que pourraient déterminer toutes les droites
menées du point À, et faisant avec AB des angles de
1,2, 3, 4, etc. degrés. Par exemple, la droite AD qui
fait avec AB un angle BAD de 10 degrés, détermine la
division marquée 10. instrument étant achevé comme

la figure l'indique , on tire à sa partie supérieure une
droite parallèle au diamètre AS, puis ou place aux
deux extrémités de cette droite, et perpendiculairement
au plan du cadran , deux pinules percées toutes deux
d’un trou circulaire, afin qu’ou puisse viser une étoile,
ou dont une seule C porte un trou, si l’on veut ne se
servir que du soleil; l’autre doit être alors croisée par
deux lignes dont le point d’intersection correspond au
trou de la première.

Pour se servir de ce cadran , on adapte aux divisions
supérieures un fil DM qui porte un plomb à son extré-
mité inférieure, et dans lequel est enfilée une petite
perle qu’on peut faire glisser à volonté. Ayant donc
fixé, à la division qui correspond à la déclinaison du
soleil, l'extrémité supérieure du fil, et placé la perle
de manière qu’en tendant le filet le faisant passer par
le point A, la perle couvre ce point, on présente ver-
ticalement l'instrument aux rayons du soleil, en tour-
nant du côté de cet astre la pinule C , de manière à ce
que le rayon lumineux qui passe par le trou de cette
pinule tombe sur le point correspondant de l’autre pi-
nule. Alors le fil DM prend, par le poids de son plomb,
une position verticale, et la perle M marque l'heure
par sa position sur les lignes horaires. Par exemple,
dans la figure elle coupe la ligne marquée V, VII, et
elle indique ainsi V heures après midi, ou VIL heures
avant , car les chiffres du haut marquent les heures du
soir, et ceux du bas les heures du matin : quand la perle
tombe entre deux lignes elle indique les instans inter
médiaires. On péut aisément estimer à l'œil les frac-

598 VA

tions d'heure, et d’ailleurs rien n'empêche de multi-
plier les ligues horaires. En divisant le cercle-en 24 par-
ties, on a les ligues horaires de demi-heure en demi-
heure, et sinsi de suite.

Avec deux pinules trouées par lesquelles on vise une
étoile, le fil étant fixé à la déclinaison de l’étoile, on
trouverait de la même manière l'heure de cette étoile,
qu'on réduirait ensuite en heure solaire par la diffé-
rence des longitudes du soleil et de l'étoile,

URANOGRAPHIE. Partie de l’astronomie qui a
pour objet la description du ciel. On nomme les cartes
célestes, cartes uranographiques.

URANUS. (451) Nom d’une planète de notre sys-
tème solaire, la plus éloignée du soleil de toutes celles
qu’on connaît jusqu'a ce jour. Elle a été découverte par
Herschel, le 13 mars 1581.

Nommée d’abord georgium sidus (l’astre de Geor-
ges), en l'honneur du souverain dont la protection
éclairée avait encouragé les travaux de lastronome,
on la désigna ensuite par le nom d’Herschel, mais
l’amour de l’analogie a fait généralement adopter celui
d'Uranus. Le disque de cette planète , qu'on ne peut
apercevoir qu'avec de bons télescopes, est d’un éclat
uniforme et ne présente aucune tache discernable, de
sorte qu’on ne connaît point encore la durée de sa rota-
tion.

VANDERMONDE,, géomètre distingué , et l’un des
plus remarquables de ceux qui ont déterminé quelques
progrès dans la science durant la seconde moitié du
xvin siècle, naquit à Paris en 1735. Cet homme, d’un
génie si supérieur , a été oublié par la renommée,
comme ses travaux et ses découvertes par les géomètres
quis’en sont prévalus. Il était fils d’un médecin de
Landrecies ; il fitses études à Paris, où il étudia les ma-
thématiques, pour lesquelles il révéla de bonne heure
la plus heureuse disposition, sous la direction de Fon-
taine et de Dionis du Séjour. Il eut l’occasion, dans la
société de ces hommes célèbres, de se lier avec la plu-
part des membres de l'Académie des sciences, par qui
son mérite fut bientôt apprécié, et en 1771 il fut appelé
à siéger dans le sein de cette illustre compagnie, Dès ce
momentil prit une part active à ses travaux, et publia
successivement un grand nombre de mémoires fort re-
marquables sur diverses brauches de la science. Mal-
heureusement il n’a publié aucun traité important par
son étendue, et la plupart de ses productions sont
éparses dans les recueils scientifiques du temps. Parmi
celles qui lui ont le plus mérité les éloges que nous ve-

VA

Le diamètre d'Uranus est de 13,934 lieues; son vo-
lume est 77 fois plus grand que celui de la terre , et sa
masse est 19,8, celle de la terreétant 1. La densité de
cette planète est donc à peu prèso,26, et ne diffère que
de très-peu de celle du soleil.

Uranus décrit son orbite autour du soleil dans la lon-
gue période de 30658 j. 713 , environ 84 ans. Sa plus
grande distance du soleil est de 587 661 512 lieues de
2000 toises, et sa plus petite de 717 418 832licues ; sa
de la

667 204 515 lieues.

distance terre varie entre 826875 829 et
Voici les élémens d'Uranus au premier jauvier 1801.
Demi grand axe, celui de la terre étant 1. 19,1823900
0,0466794
Diamètre équatorial, celui de la terre étant 1. 4,3320000
30686 j., 8208296
0°46:28",4

72 59:35, 3

167 31 16,1

177 48 23, 0

Excentricité en parties du demi grand axe.

Période sidérale moyenne......,..
Iaclinaison à l’écliptique..........
Lougitude du nœud ascendant. ....
Lougitude du périhélie........,...
Longitude moyenne de l’époque...

Uranus est accompagné de six satellites qui présen-
tent une particularité remarquable dans leur mouve-
ment. (Voy. Sarezrires.) Ils ont tous été découverts
par Herschel, le second et le quatrième le 11 jau-
vier 1787, et les quatre autres dans les années 1790 et
1794. Ces derniers n'ont point été revus depuis.

V.

nons de donner à sa mémoire, on cite ses travaux sur /a
résolution des équations, sur les irrationnelles , sur
l'élimination des inconnues, dans les quantités algébri-
ques. Nous devons dire aussi qu’on n’a point assez atta-
ché d'importance à son ingénieuse théorie des Puissan-
ces du second ordre; qui, reproduite plus tard par
Kramp, sous le nom de Factorielles, et généralisée en-
suite par M. Wrouski, sous celui de Facultés, est ap-
pelée à exercer une grande influence sur l’avenir de la
science. (Foy. Facroriezzes.) On doit aussi à Vander-
monde une théorie remarquable sur la composition
musicale, ei l’on trouve dans les anneles de chimie
l’Avis aux ouvriers sur la fabrication de l'acier, com-
posé ,;en 1793, par ordre de la convention nationale,
auquel il concourut avec Monge et Berthollet. Nous
regrettons de dire que l'imagination vive et exaltée de
ce savant géomètre l’entraina dans la plupart des ex-
cès que commirent, au nom de la liberté, les hommes
qui, durant les jours les plus désastreux de la révolution
française, semblèrent prendre à tâche de faire exécrer
le principe pour lequelils combattaient. Vandermonde,
qui avait été nommé professeur d'économie politique à

_

VA

l'école normale, fut compris parmi les savans qui , en
1795, firent partie de la première classe de l’Institut. Il
mourut à Paris, le 1‘ janvier 1996; ce fut le célèbre

Carnot qui lui succéda.

VAPEUR. Macuines À vapeur. Appareils mis en jeu
par la force élastique de l’eau vaporisée, et dont la des-
tination est de communiquer le mouvement à toute es-
pèce de machines.

L'emploi de la vapeur comme force mécanique ne
remonte pas à plus d'un siècle : son application aux
machines locomotives date seulement de 1802, et déjà
cet agent a exercé sur les progrès de l’industrie une
influence qui ne permet plus de leur assigner des limi-
tes. Aujourd’hui, mus par la vapeur, des milliers de
métiers façonnent à vil prix les étoffes les plus pré-
cieuses, d'énormes fardeaux parcourent avec une ef-
fravante célérité les chemins de fer qu’elle a servi à for-
ger, et l'Océan, devenu tributaire de sa puissance , se
voit sillonné en tout sens par des vaisseaux que ne peu-
veut plus arrêter niles courans , ni la tempête.

Toutes ces merveilles , accomplies dans un si court
espace de temps, ne sont cependant qu’une faible par-
tie de celles que l’on doit espérer d'une force modifa-
ble à l'infini et susceptible d’être appliquée dans tous
les temps et dans tous les lieux. Aussi pouvons-nous
auuoncer, sans Lémérité , qu’un jour viendra où, deve-
nuele moteur universel, la vapeur poussera la charrue,
creusera les mines, épuisera les eaux stagnantes, et rem-
placera enfin le bras de l’homme dans tous les travaux
grossiers et pénibles. Peut-être la verra-t-on encore
diriger dans les airs ces légers aérostats , maintenant
l’objet d’une curiosité stérile, et appelés dès lors à chan-
ger les relations commerciales des peuples.

La conquête d’un agent si puissant est un trop beau
titre de gloire pour que nous devions nous étonner de
la voir réclamée avec tant de véhémence par la nation
qui, jusqu’à cette époque, en a fait les plus nombreuses
applications ; mais quels que soient, sous ce dernier
rapport, les justes titres de l'Angleterre à la reconnais-
sance du monde civilisé, ses prétentions exclusives sont
inadmissibles , et nous croyons devoir constater ici les
droits de la France, établis d’ailleurs de la manière la
plus positive , par M. Arago, dans sa notice sur les
machines à vapeur, insérée dans l’ Annuaire du bureau
des longitudes de l'année 1829 , et reproduite dans
celui de cette année avec de nouveaux argumens qui
n’admettent pas de réplique. Nous allons seulement
poser la question, les chiffres répondront ensuite.

Toute invention technologique peut être considérée
sous trois points de vue différens : 1° sous celui du
principe théorique qui lui sert de base ; 2° sous celui de
sa conception primitive; et 3° sous celui de sa réalisa-

VA 999
tion définitive ou de sa construction matérielle. La dé-
couverte du principe théorique précède nécessairement
la conception de la machine, comme cette conception
précède elle-même sa réalisation. Si ces trois élémens
distincts ne sont pas l’œuvre d’un seul homme, la prio-
rité scientifique appartient évidemment à celui qui a
découvert le principe, mais la priorité technologique,
qui constitue le véritable titre à l'invention, appartient
à celui qui a concu la machine. La réalisation de cette
machine, ses divers perfectionnemens, les moyens
nouveaux employés pour lui faire atteindre son but,
quels que soient l’habileté et le génie qu’ils ont pu exi-
ger, ne constituent que des titres secondaires, capables
de donner à leursauteurs une part plus ou moins grande
dans la gloire de l'invention, mais qui ne sauraient ja-
mais détruire le tire principal.

En appliquant ces considérations aux machines à va-
peur, on reconnait d’abord que la force mécanique de
la vapeur de l’eau a été signalée par Aristoteet employée
pa: Héron d’Alexandrie, 120 ans avant l’ère chré-
tienne , pour mettre en mouvement un appareil de son
invention ; de sorte que la découverte du principe
théorique qui sert de base à ces machines semble se rat-
tacher aux premiers progrès des sciences physiques,
quoique l'application industrielle de la force de la va-
peur ait une origine bien plus récente. Cette applica-
tion industrielle se trouve indiquée pour la première
fois d'une manière authentique dans l’ouvrage de Sa-
lomon de Caus, intitulé lesRaisons des forces mouvantes,
etimprimé à Francfort en 1615. Cv n’est qu’en 1663
qu’une application semblable fut signalée par le mar-
quis de Worcester, dans son ouvrage : Century of in-
ventions. L'idée émise par le marquis de Worcester,
d'élever l’eau à l’aide de la vapeur, est identiquement
la même que celle de Salomon de Caus publiée qua-
rante-huit ans auparavant. Ainsi, jusqu’à ce que des
documens irrécusables soient produits pour constater les
droits d’un autre inventeur, il w’est pas possible de re-
fuser, dans la question des machines à vapeur, la prio-
rité scientifique à Salomon de Caus.

En 1688, Papin a donné, dans les Actes de Leïpsick,
la description d’une machine dont il est important de
bien comprendre les effets pour se rendre compte de
ceux des machines à vapeur actuelles. Qu'on imagine
un cylindre vertical (PI. 30, fig. 4 ) ouvert à sa partie
supérieure, et dont la partie inférieure, exactement
fermée , porte une soupape susceptible de s'ouvrir de
bas en haut. Qu'on imagine en outre un piston mobile P
qui se meut librement dans le cylindre, tout en le bou-
chant hermétiquement. Si la soupape est ouverte, les
pressions extérieure et intérieure de l'air atmosphérique
se faisant équilibre , le piston P dexcendra dans le cy-
lindre, mais seulement en vertu de son propre poids,

600 VA

etil suffira d’un effort très-peu supérieur à ce poids
pour faire remonter le piston jusqu’au haut du cylin-
dre. Parvenu ainsi à l'extrémité de sa course , si l’on
ferme la soupape et qu’on abandonne le piston à lui-
même , la résistance de l'air intérieur l’empéchera de
redescendre , tandis qu’il est évident que , si par un
moyen quelconque , on anéantit tout à coup l'air
intérieur, la pression de l’air extérieur, agissant sur le
piston avec tout le poids de la colonne atmosphérique
dont il est la base, le fera nécessairement descendre; et
sion le suppose attaché à l’un des bras d'un levier
dont l’autre supporte un poids Q égal à celui de la co-
lonue atmosphérique , il entrainera évidemment ce
poids dans sa chute.

Imaginons maintenant qu’à l'instant où le piston tou
che le fond du cylindre on ouvre la soupape, l’atmo-
sphère, par sa pression égale en tous sens, viendra agir
sous le piston et fera équilibre à la pression qui agit
dessus : alors non seulement le poids Q le fera remonter
à l'extrémité supérieure du cylindre; mais, abstraction
faite de ce poids, il suffira, comme nous l'avons dit
plus haut, d'un très-petiteffort pour produire cet effet.
On pourra donc soulever toujours le piston avec une
petite force, tandis que sa descente pourra entrainer
les plus grands poids. En effet le poids de la colonne
atmosphérique est égal à celui de la colonne de mer-
cure de même base à laquelle elle fait équilibre , c’est-
à-dire à celui d’une colonne de mercure de 56 centimi-
tres de hauteur (28 pouces 4 ligne). (Foy. Hyprosrari-
Que, 17.) Donc, en admettant quele piston ait un mètre
de diamètre, le poids de la colonne atmospnérique
qui agit sur lui est égal au poids d’un cylindre de
mercure dontle volume est r.(07,5}?.(0"76) mètres cubes
(voy. Gyrinpre), ou 0,5969 mètre cube; et comme les
poids du mètre cube de mercure = 13598 k logram-
mes, celui du cylindre de mercure sera de 8117 kilo-
grammes : ainsi chaque descente du piston pourra sou-
lever 8117 kilogrammes.

Parmi les divers moyens proposés par Papin pour
produire le vide sous le piston , celui de la vapeur de
l’eau est indiqué, comme le plus efficace, dausson Re-
cueil de diverses pièces touchant quelques nouvelles in-
ventions, imprimé à Cassel, en 1695 : et l'on trouve de
plus, dans cet ouvrage, la description d'un petit appa-
reil que Papin avait construit quelques années aupa-
ravant, appareil qui présente la première réalisation
matérielle des machines à vapeur; car de l'eau renfer-
mée dans le cylindre même y est vaporisée et conden-
sée, eu, par cette action alternative, fait successivement
monter et descendre le piston.

En comparant les dates citées jusqu'ici avec celles des
inventions dont nous allons parler, il résulte rigoureu-
sement que la conception primitive de la machine à

VA

Yapeur, dite »27achine atmosphérique , appartient à
Papin.

La priorité scientifique et la priorité technologique
étant ainsi assurées à deux français, Salomon de Caus
et Papin, notre impartialité nous fait un devoir de dé-
clarer que là se borne la part que la France peut ré-
clamer dans l'invention des machines à vapeur, et
qu'arrivés à la réalisation définitive de ces machines ,il
ne nous reste plus à citer que des noms anglais.

C'est en 1705 que Newcomen et Cauley, simples ou-
vriers à Darmouth, dans le Devonshire, réalisèrent
complètement l’ingénieuse idée de Papin, du mouve-
ment d’un piston daus ur cylindre par l’action alterna-
tive de la vapeur, et leur machine connue sous le nom
de machine de Newcomen ou de machine atmospheri-
que est la première dout les services réels ont commencé
la nouvelle ère de l’industrie. Sept ans auparavant, en
1698 , le capitaine Savery avait construit une machine
sur les mêmes principes; mais ses tentatives n'ayant eu
qu’un succès incomplet, il fuit par s'associer avec New-
comen et Cauley pour l'exploitation de la patente qui
leur fut concédée. Nous allous indiquer succinctement
la disposition et le jeu, tant de la machine de Newco-
men que des principales machines perfectionnées con-
struites depuis.

Dans la machine de Newcomen (PI. 40, fig. 4), le pis-
ton P et le poids Q sont attachés à deux chaînes suspen-
dues au bras du balancier AB. Quand le vide est fait
sous le piston P, la pression atmosphérique maintient
ce piston au bas du cylindre où il se meut. La vapeur
fournie par une chaudière extérieure venant à affluer
sous le piston , Le poids Q descend librement quand la
tension de |a vapeur fait équilibre à la pression atmo-
sphérique. Le piston étant arrivé au haut de sa course,
un jet d’eau foide condense la vapeur dans le cylindre,
le vide se forme et le piston redescend.

Cette machine, ne pouvant que soulever un contre-
poids et le laisser retomber alternativement, n’a été em-
ployée qu'à mouvoir des pompes. La condensation faite
daus le cylindre même a l'inconvénient d’y causer un
refroidissement considérable qui diminue la force
élastique de la vapeur affluente.

Les premières machines de l'illustre James. Watt,
dont les nombreuses inventions sont autant de progrès
pour l'emploi de la vapeur, datent de 1769. Elles dif-
fèrent de la précédente en ce que le cylindre est fermé
par le haut et que ce n’est plus la pression atmosphéri-
que qui fait descendre le piston. Pour le faire baisser
quand le vide est formé sous lui, on fait affluer la va-
peur par la soupape m1. (PL. 40 , fig. 5.) Parvenu au
bas de sa course, on fait alors affluer la vapeur par la
soupape ». Le piston étant également pressé sur ses
deux faces, remonte par l’action du contre-poids Q.

En

VA

On condense ensuite la vapeur sous le piston et le jeu
recommence, — Le couvercle du cyliudre est percé à
son centre d'un trou circulaire garni d’étoupes grasses
au travers desquelles passe la tige du piston.

Cette machine qui ne peut, comme celle de New-
comen, que soulever un contre-poids et le laisser re-
tomber, offre d’ailleurs un grand perfectionnement
dans les circonstances de la condensation, laquelle ne
se fait plus dans le cylindre principal, mais dans un
autre cylindre nommé condenseur, plongé dans une
cuve d’eau froide et dans lequel un robinet qu'on re-
ferme ensuite laisse passer la vapeur; de cette manière
le cylindre principal se trouve constamment maintenu
à la température de la vapeur.

Pour faire produire à sa machine un autre genre de
travail que l'élévation de l’eau par le moyen des pom-
pes, Watt substituait 3 la chaîne BQ une verge mé-
tallique BC (PI. 40, fig. 8) qui, agissant sur une ma-
nivelle, imprimait un mouvement de rotation à un
axe chargé d’un volant. Cette transformation du mou-
vement alternatif en mouvement circulaire et continu
fut indiquée pour la première fois par M. K. Fitzgerald
(Transactions de la Société royale, 1758); mais Watt
la réalisa et l’introduisit généralement par l'invention
d’une manivelle spéciale nommée roue planétaire ou
mouche. Comme la vapeur n'agit sur le piston que
pendant sa descente, pour régulariser l’action exercée
sur Je volant on place en B un contre-poids égal à la
moitié de la force avec laquelle le piston est poussé.

L'objet des secondes machines de Watt, dites à dou-
ble effet, étant de supprimer le contre-poids B et de
donner au piston une forcé ascendante égale à sa force
descendante, il devenait nécessaire, 1° que la vapeur
füt condensée alternativement de chaque côté du pis-
ton ; 2° qu’en montant, le piston püt pousser l’extré-
mité À du balancier au moyen d'une verge rigide qui
se maintint toujours exactement verticale. Après avoir
tenté divers moyens de remplir cette dernière condi-
tion, Watt a employé ce qu'on nomme le parallélo-
gramme, combinaison de verges (PI. 40, fig. Q) unies
par des articulations telle que l’extrémité supérieure
de la verge du piston, sans cesser de pousser le balan-
cier, décrit une courbe très peu différente d’une ligne
droite. Quant au jeu du piston, la vapeur affluente
par le haut du cylindre le fait descendre pendant que
le bas seul est mis en communication avec le conden-
seur ; arrivé au terme de sa course, le haut du cylindre
est mis seul à son tour en communication avec le con-
denseur, et la vapeur affluente par le bas fait remonter
le piston. Deux robinets, dont l’un s'ouvre pendant
que l’autre se ferme, produisent cette condensation al-
ternative.

Le principal perfectionnement apporté à ces machi-

TOM 11

VA 601

nes a été de faire produire le mouvement de rotation
immédiatement par la tige du piston sans l'intermé-
diaire d’un balancier. Le mouvement alternatif du
piston imprime un mouvement circulaire alternatif à
l'axe C (PI. 40, fig. 7), lequel porte un levier qui par
le moyen d’une manivelle fait prendre à l'axe du vo-
lant un mouvement continu.

Une autre invention très-ingénieuse de Watt est
celle d'empêcher l'accélération du mouvement du pis-
ton en mettant à profit la force expansive de la vapeur
avant sa condensation. Pour cet effet, il interrompt la
communication de la chaudière avec le corps de pompe
quand le piston a parcouru les deux tiers de sa course;
le tiers restant est alors parcouru par la force qui résulte
de l’expansion de la vapeur introduite; de sorte que
le mouvement du piston devient sensiblement uni-
forme, et l’on évite ces chocs brusques qui causent
des ébranlemens nuisibles à la machine. Cette applica-
tion de la detente de la vapeur, qui a fait donner le
nom de machines à détente aux appareils dans lesquels
elle est employée, constitue un des progrès les plus im-
portans des machines à vapeurs à condensation.

Nous n’avons parlé jusqu'ici que des pièces princi-
pales qui composent une machine à vapeur, mais sil
ne nous est pas possible de décrire en détail les moyens
mécaniques, successivement perfectionnés , employés
jusqu’à ce jour, soit pour produire la vapeur, soit pour
la transmettre ct régulariser son action , la description
suivante d’une machine construite d’après le système de
Watt va suppléer à ces détails et faire comprendre
le mécanisme général de ces appareils.

CD (PI. 22, fig. 1) est la chaudière dans laquelle l’eau
est convertie en vapeur par la chaleur du foyer D.
Elle est quelquefois faite de cuivre, mais le plus sou-
vent de fer, son fond est concave et on fait circuler la
flamme le long des côtés. Dans quelques-unes la flamme
est couduite par des tuyaux à travers l’eau , de manière
que la plus grande surface possible soit exposée à l’ac-
tion du feu. Quand les fourneaux sont construits de la
manière la plus judicieuse, huit pieds carrés de la sur-
face de la chaudière recevant l'action du feu ou de la
flamme peuvent convertir un pied cube d’eau en va-
peur dans l’espace d’une heure; la vapeur produite
dans la chaudière est environ 1800 fois plus rare que
l’eau et elle est conduite par le tuyau à vapeur CE dans
le cylindre G où elle agit surle piston g et communique
le mouvement au grand balancier AB. Mais avant de
décrire le mode de transmettre le mouvement, nous
devons parler de l'ingénieuse méthode employée par
Watt pour alimenter régulièrement la chaudière avec
de l'eau et la maintenir au même niveau OP, circon-
stance absolument nécessaire pour que la quantité et
l'élasticité de la vapeur dans la chaudière soient tou-

56

602 VA

jours les mêmes. La bâche w placée au-dessus de la
chaudière est fournie d’eau par la citerne à eau chaude
h au moyen de la pompe z et du tuyau f. Au fond de
cette bâche x est ajusté le tuyau ur qui est immergé
dans l’eau OP et est recourbé à son extrémité infé-
rieure afin d'empêcher l'entrée de la vapeur. Un sup-
port courbé ud', attachéau côté de la bâche, soutient le
petit leviera'b' quise meut autaur de d' comme centre.
L’extrémité b' de ce levier porte au moyen du fil mé-
tallique b'P une pierre P qui est suspendue juste au-
dessous de la surface de l’eau dans la chaudière, et l’au-
tre extrémité a'est liée par le fil de fer a'u avec une
soupape au bas de la bâche & qui ferme le haut du
tuyau ur. On voit qu’à mesure que l’eau diminue dans
la chaudière par l’émission de la vapeur la pierre P
doit descendre en proportion. Mais en descendant elle
soulève le bras du levier d'a", la soupape du tuyau ur
s'ouvre et introduit dans [a chaudière une quantité
d’eau égale à celle qui s’est évaporée. Une nouvelle éva-
poration fait de nouveau plonger la pierre, la sou-
pape s'ouvre et l’eau entre de nouveau, et ainsi en con-
tinuant.

Afin de connaître la hauteur exacte de l’eau dans la
chaudière, deux robinets k£ et Z sont employés; le pre-
mier descend jusqu'à une petite distance du niveau
de l’eau et le second un peu au-dessus de ce niveau.
Si l’eau est à la hauteur convenable, en ouvrant le ro-
binet À, il sortira de la vapeur et le robinet / donuera
de l'eau, en conséquence de la pression de la vapeur.
Mais si l’eau sort par les deux robinets, il y en a trop
dans la chaudière, et si la vapeur sort par les deux,
c’est l’eau qui manque. à

Comme la chaudière serait en danger d’éclater si la
vapeur devenait trop forte, on y place une soupape de
sureté æ qui est chargée de manière que son poids
ajouté à celui de l'atmosphère puisse excéder la pres-
sion de la vapeur arrivée à une force suffisante. Dès
que la force expansive arrive à un degré qui pourrait
mettre la chaudière en danger, sa pression devenue
plus forte que celle du poids et de l'atmosphère fait
ouvrir la soupape et la vapeur s'échappe jusqu’à ce que
l'équilibre soit rétabli, En ouvrant la soupape de süreté
on peut arrêter la machine. On emploie quelquefois ce
moyen : alors on fixe une chaîne au levier de Ja sou-
pape, la chaine passe sur deux poulies et vient aboutir
à portée de l’ouvrier qui en la tirant fait ouvrir la sou-
pape.

Du dôme de la chaudière part le tuyau à vapeur CE
qui porte la vapeur dans le haut du cylindre G au
moyen de la soupape a, et daus le bas de ce même cy-
lindre par la soupape c. La branche du tuyau qui s’é-
tend de a à c est enlevée dans la fig: 1°°, afin de faire
voir la soupape b; mais elle est distinctement visible

VA

dans la figure 2, qui est une vue latérale des
tuyaux et des soupapes. Le cylindre G est quelque-
fois renfermé dans une enveloppe de bois, pour em-
pêcher qu'il ne soit refroidi par Pair ambiant , et quel-
quefois dans une enveloppe métallique, afin de l’entou-
rer de vapeur amenée du tuyau EC par le tuyau EG,
en tournant un robinet. Mais il n’y a aucun avantage
à employer ce dernier moyen, la consommation de va-
peur estla mème. Après que la vapeur qui a été admise
au-dessus du piston g par la soupape a et au dessous
parla soupape ce a rem:li le but qu’on se proposait, d’a-
baisser et d’élever le piston, et conséquemment le grand
balancier AB, elle s'échappe par les soupapes d’é-
coulement à et d, fig. 1 et >, et se rend dans le
condenseur z où elle est condensée en eau par le
moyen d’une injection. L'eau émise dans le conden-
seur est emportée avec l’air qu’elle contient dans la
citerne à eau chaude À par la pompe à air e qui fonc-
tionne par la verge du piston TT, attachée au grand
balancier AB. De la citerne à eau chaude L, cette eau
est portée par la pompe z et le tuyau f dans la petite
bäche w , afin d'alimenter la chaudière. La pompe g,
mue par le balancier, amène l’eau qui sert à Pinjection
dans le condenseur #, et son excédant recouvrant la
pompe à air la défend de l'air extérieur. Les soupapes
d'introduction et d'expulsion de vapeur a, b,c, d,
sont ouvertes et fermées par des tringles 4M ,dM, cN,
bN, qui sont mues par la tige T1 du piston de la pompe
à air. Toutes ces tiges traversent une boîte à cuir solide-
ment fixée aux couvercles des cylindres, et elles sont
tournées et polies avec soin. L’extrémité V de la tige R
est fixée à un mécanisme qu’on appelle le paralléio-
gramme, et qui est construit de manière à ce que la tige
VR puisse toujours monter et descendre dans une posi-
tion verticale ou perpendiculaire,

Afin de convertir le mouvement alternatif du balan-
cier en mouvement circulaire, Watt fixa une tringle
forte et inflexible AU à l'extrémité du grand balancier;
à l'extrémité inférieure de cette tringle il fixa une
roue dentée U attachée de manière à ne pas touruer
sur son axe. Cette roue eugraine dans une autre sem-
blable S dont elle ne peut se séparer , de sorte que dans
le travail la première tourne autour de la seconde. On
appelle cet appareil le soleil et la planète. Sur l’axe de
la roue S est placé le grand volant F qui régularise le
mouvement du balancier. Cet appareil a été abandonné
par Watt, dès qu’il a pu y substituer une manivelle
pour laquelle on avait pris un brevet avant lui.

Après avoir décrit les différentes parties de la ma-
chine, ilest bon de voir sa manière de fonctionner :
supposons que le piston est en haut du cylindre comme
il est représenté dans la figure (PI. 22), et que la sou-
pape supérieure d'introduction « soit ouverte, ainsi

VA

que la soupape inférieure d’expulsion d , tandis que les
soupapes opposées c et b sont fermées ; alors la vapeur
de la chaudière jaillira par le tuyau CE et la soupape a
dans la partie supérieure du cylindre, et par son élas-
ticité chassera le piston jusqu’en bas. Mais quand le
piston g est amené au bas du cylindre , l’extrémité B du
grand balancier est tirée en bas par le parallélogramme
TV : son autre extrémité A s'élève, et la roue U ayant
parcouru la demi-circonférence de S aura poussé en
avant le volant F et fait mouvoir tout le mécanisme qui
en dépend, Quand le piston g a atteint le bas du cylin-
dre, la tige TI de la pompe à air rencontrant le coude
M de la tige de la soupape a l’a fermée, et aussi la sou-
pape d’expulsion d, tandis que par la reucontre de
l’autre coude N elle a fait ouvrir la soupape d’expulsion
betla soupape d’introduction c; en conséquence, la va-
peur qui-est au-dessus du piston se précipite par la sou-
pape d'expulsion b dans le condenseur z, où elle est
coudensée en eau par le jet qui arrive au milieu, tan-
dis que dans le même temps une nouvelle quantité de
vapeur de la chaudière arrive par la soupape ouverte c
dans le cylindre et force le piston de remonter, lequel
faisant élever une extrémité du grand balancier et
abaissant l’autre , force la roue U de parcourir l’autre
demi-circouférence de S , et fait faire une autre révo-
lution complète au volant et au mécanisme qu’il met en
mouvement. Et l'opération peut continuer aïnsi tant
que la machine est en bon état.

Les machines de Néwcomen et celles de Watt n’exi-
gent pas que la vapeur qui les met en jeu exerce sur le
piston une force supérieure à la pression de l’atmo-
sphère , les premières machines dites à haute pression
sout dues à MM. Trevitheck et Vivian, qui obtiarent
en 1802 une patente dont l’objet principal est le trans-
port des voitures sur les chemins de fer, La machine de
Trevitheck n’offre pas de combinaisons essentiellement
différentes de celle à double effet de Wait, quant à la
manière dont le mouvement du piston est produit et
transmis à l’axe du volant. Mais Ja vapeur y est em-
ployée tout autrement, car après avoir agi sous une
pression qui surpasse souvent cinq fois celle de l’atmo-
sphère , elle s'échappe dans l’air sans être condensée,
Cette combinaison permet de renfermer la machine
dans un moindre espace et de la rendre plus /egère,
tout en lui faisant développer uné, force supérieure ;
conditions essentielles pour pouvoir l'appliquer comme
moteur aux voitures et autres machines de transport,

D'autres machines à haute pression , dans lesquelles
la vapeur est condensée après son action , et qui, par
conséquent, ne sauraient être appliquées aux appareils
locomoufs , ont été construites en 1804, par M. Woolf.
Ces machines, qui se sont beaucoup multipliées en
France , offrent les perfectionnemens suivans : 1° La

VA 605

chaudière est formée de trois cylindres en fer fondu
très-épais , dont la plus grande partie de la surface re-
çoit l’action du feu ; elle est beaucoup plus durable
que les chaudières en tôle ou en cuivre laminé des an-
ciennes machines. 2° Les pistons sont entièrement en
fer fondu. Les pièces en contact avec le cylindre sont
des segmens mobiles, dont les joints se croisent et qu’un
ressort presse contre la surface du cylindre. Ces pistons
sont bien préférables aux anciens formés de filasse pé-
nétrée de graisse qui retenaient mal la vapeur ou occa-
sionnaient un grand frottement. 3° La vapeur est reçue
successivement dans deux cylindres de diamètres iné-
gaux. Elle est formée sous la pression de quatre atmo-
sphères et agit d’abord sousle petit piston. Elle passe en-
suite dans lesecond cylindre et agit à la fois sur les deux
pistons pendant le reste de la course commune, puis
elle se rend dans le condenseur où elle est anéantie.
L'invention des deux cylindres, qui a pour but d’em-
ployer simultanément les deux actions dues à la pression
et à la dilatation de la vapeur, appartient à Hornblower
et date de 1781.

Les machines à vapeur avaient déjà exercé leur puis-
sante influence sur l’industrie bien avant qu’on se fût
occupé de la détermination des lois qui régissent leur
force motrice , car ce n’est qu’en 1790 que deux sa-
vans français, Prony et Bétancourt, entreprirent enfin
d'évaluer cette force d’une manière générale dans ses
degrés variables d'intensité. La formule par laquelle
Prony représenta les résultats des expériences , faites
daus une étendue de quatre atmosphères, a suffi pen-
dant long-temps aux besoins industriels, et ce n’est que
trente aus après que d’autres savans français et anplais
traitèrent la même question entre des limites beaucoup
plus éloignées. En 1824, le gouvernement français
ayant engigé l’Académie des sciences à s'occuper de re-
cherches expérimentales sur les lois de la force expan-
sive de la vapeur d’eau à différentes températures.
cette société nomma une commission composée de
MM. Arago , Dulong , Ampère, Girard et de Prony.
MM. Arago et Dulong, spécialement chargés de l’exé-
cution des expériences , s’acquittèrent de cette tâche
longue, pénible et périlleuse, de manière à mériter la
reconnaissance du monde savant. Après avoir créé des
appareils très- supérieurs à tous ceux imaginés jus-
qu’alors , ils ont pu vérifier la loi de Mariotte jusqu’à
vingt-sept atmosphères, et constater par le fait les tem-
pératures correspondantes aux tensions de la vapeur,
depuis une jusqu'à vingt-quatre atmosphères. Ces
beaux résultats sont consignés dans le rapport de
M. Dulong , lu à l’Académie le 30 novembre 1829,
et publié en 1831, dans le tome x des Mémoires de
l'Institut. Des expériences semblables faites par le pro-
fesseur Arzbelger, à Vienne, ont donné des résultats

602 VA

qui ne diffèrent de ceux de MM. Arago et Dulong
que dans les températures très-élevées. Nous allons, au-
tant que nos limites nous le permettent, indiquer les
principes sur lesquels on fonde l'évaluation de la force
réelle d'une machine à vapeur.

La mesure d’une force mécanique qnelconque con-
siste dans la détermination du poids que cette force peut
élever à une hauteur donnée, prise pour unité, dans
un temps donné, également pris pour unité. Par exem-
ple, le mètre étant l'unité de hauteur et la seconde sexa-
gésimale l'unité de temps, une force capable d'élever
100 kilogrammes à un mètre, dans une seconde, sera
double de celle capable d'élever 50 kilogrammes dans
le même temps, ou moitié de celle capable d'élever
200 kilogrammes en une seconde , à un mètre de hau-
teur. Ainsi pour comparer deux forces dont l’une peut
élever un poids p à une hauteur À dans une seconde, et
dont l’autre peut élever un poids p' à une hauteur h'
dans le même temps, on doit observer que l’intensité
de la première force est représentée par le produit ph,
celle dela seconde parle produit p'h', et, par consé-
quent, que le rapport de ces forces est le même que
celui des quantités ph et p'h', ou Fe Danslorigine, on
a pris la force du cheval pour terme de comparaison de
la force des machines à vapeur, et de là vient l'habitude
que l’on a encore aujourd’hui de désigner par un nom-
bre de chevaux la force présumée d’une machine, mais
ce terme de comparaison est beaucoup trop vague pour
qu’on n’en ait pas reconuu bien vite l'insuffisance; aussi
a-t-on successivement proposé deux unités abstraites
qui atteignent toutes deux le même but. La première,
sous le nom de dynamode, est la force susceptible d’éle-
ver unpoids de 1000 kilogrammes à un mètre de hau-
teur en une seconde de temps ; la seconde , sous celui
de dyname , est la force capable d’élever un poids de
75 kilogrammes à la même hauteur et dans le même
temps. Cette dernière unité représentant , à très-peu
près, la force moyenne d’un cheval, on doit désirer
de la voir généralement adopter, parce qu’elle joint à
l'avantage d’une détermination précise celui de ne pas
trop s’écarter des usages reçus.

En prenant le dynamode pour unité, voici, d’après
M. de Prony (voy. Annales des mines, tom. vu, 1830),
comment on peut calculer l'effet d’une machine à va-
peur à détente et à un seul cylindre. Soient :

Diamètre dupiston........... NC ee
Surface de sa base...

Î
N © ©

Longueur de sa course totale .

Partie de cette longueur que le piston parcourt

sans détente...

CORP C RCE

VA
L]
Durée d’une course totale. ............ deco ET
Nombre d’atmosphères mesurant la tension de la
vapeur dans la chaudière. ................ = a

Nombre d’atmosphères mesurant la pression con-
stante qui s'exerce sur une des bases du piston
en sens contraire de son mouvement........ — @

Nombre d'atmosphères représentant la pression
moyenne du piston considérée dans l'étendue
d'UNECOUTSE... 2.20 sue es e-a-ce

Pt |
Poids dont l'élévation à 1 mèire dehauteur, dans
une seconde de temps, représente l'effet utile
dela machine... : secs: ss eee —,Q
Nombre de kilogrammes mesurant la pression
d’une atmosphire sur une surface de 1 mètre
Care — 109304 kil, 5... senti fi

En faisant abstraction de la perte de force due aux
frottemens ou autres circonstances de la construction de
la machine, ce qu’ou nomme les déchets de l'effet utile,
on aura pour les efforts exercés sur le piston dans l’é-

tendue d’une course, 1° a atmosphères dans la pre-

Kz

res, dans la seconde partie où la détente a lieu, Z étant

A «QU :
mière partie K'Z de cette course ; 2° atmosphè-

l’espace parcouru depuis l’origine de la course, et la
pression étant supposée varier dans cette seconde par--
tie suivant la loi de Mariotte. 3° — a’ atmosphères dans
l'étendue entière de la course.

Prenant les sommes respectives des produits de ces
efforts par les élémens d’espaces parcourus, la première

, Z Z
de o à K° l4 seconde de K

on a pour la somme totale, toutes réductions faites ,

à Z; la troisième de 0 à Z;

r a '@ '
Z KC +LK)— a

la caractéristique L désignant le logarithme naturel.

Ce produit est proportionnel à l'effet utile, dû à une
course , en faisant toujours abstraction des déchets, et
son second facteur donne la pression moyenne qui a
ainsi pour valeur

RU HLR)— «7°.

Poar introduire dans cette formule la correction re-
lative aux déchets qui diminuent le produit de la ma-
chine, on a considéré la somme de ces déchets comme
égale au produit de la pression a qui a lieu dans la
chaudière, par un nombre z plus petit que l’unité, et
dont l'expérience doit donner la valeur. La pression
moyenne , exprimée en atmosphères , sera donc

4 = FE (HER) — a '— a

VA
ou (1)

9 [ 1+Lk

TRE 2]

Pour avoir cette expression moyenne en poids absolus,
il faut la multiplier par la surface Q de la base du pis-
ton, et par le poids I qui mesure la pression d’une at-
mosphère sur une surface d’un mètre carré, et pour
compléter l'évaluation de l'effet utile en y introduisant
le rapport de l’espace parcouru par le piston au temps,

110Z
il faut en définitive multiplier g par le facteur TT

ce qui donne pour la valeur de Q (2)

110Z 1 + LK ;

Si l'on remarque qu’on a Q — #.(+D }.(voy. CEn-
cLe, 31), ou © — (0,:853982).D* et, par conséquent ,
no —(10334Kil.,5).(0,7853382). D'—(81:16kil.,68). D";
on peut donner à l’équation précédente la forme (5)

__ (81 La LA 1+LK ,
none mes
Soit maintenant, u le nombre des courses nécessaire

pour donner un dynamode , on aura

à — (0,001). AZ | a FRS — ] —«|

Le poids (4)

anZ a [ES - «| 72

dont l'élévation à un mètre de hauteur représente l’ef-

fet mécanique résultant d'une course du piston, corres-

F

: a Les
pond à la dépense d’un volume + de vapeur prise à la

tension qu’elle a dans la chaudière; pour trouver le
poids qui, élevé à un mètre de hauteur, représenterait
l’effet mécanique résultant de la dépense d’un mètre
cube de cette vapeur, il faut multiplier l’expression (4)
par

mètre cube.

1 K
Ti 02

et le poids cherché, désigné par P, a pour valeur (5),

P=n{(i+LkK —4K)a— ak |}

La valeur de P étant liée à celle de K., si l’on con-
sidère cette dernière quantité comme la variable indé-
pendante , sa valeur tirée de l'équation différentielle

et substituée dans l'équation (5) rendra P un maximum
(voy. ce mot). Or, en différentiant l’équation (5), on
obtient

ce qui donne , en égalant à zéro (6),

Rate

aa— a"

Telle est donc la valeur que doit avoir le facteur K
pour que l'effet produit soit un maximum.

Si l’on met l'équation (2) sous la forme

__anZja = ; US
QE Re — (out a |

: : a ER
on voit que le terme soustractif 4 + a'— > se réduit

K
à zéro en y substituant à la place de K sa valeur donnée
par l'expression (6), et qu’ainsi les équations (») et (3)
se réduisent à

QG ZDue 1x
Expressions dans lesquelles il faut donner à K la va-
leur (6).

On peut tirer de ces formules la règle de calcul don-
née par Tredgold, dans son Traité es machines à va-
peur, en prenant comme il l’a fait la minute pour unité

de temps. En effet, substituant à - une vitesse v

T

portée à la minute pour uvité de durée, et désignant

rap-

alors par Q' lepoids élevé à 1 mètre de hauteur
dans une minute de temps, si nous désiguous de plus
par d le nombre de centimètres coutenus dans la lon-
gueur du diamètre du piston , et par p la pression ab-
solue que supporte chaque centimètre circulaire sur la
paroi intérieure de la chaudière , nous aurons, parce
que le nombre des centimètres circulaires contenus
dans l'aire d’un cercle est égal au nombre des centimè-

tres carrés contenus dans le carré circonscrit à ce cercle,
p = (okil,811668). a, pd = (8r16kil.,68). a .D*.

Le poids okl.,811668 mesure la pression d'une atmo-
sphère sur un centimètre circulaire. Posant enfin,
comme Tredgold , « = 0,4 et 4° — 1 atmosphère, et
substituant ces valeurs et celles de

606 VA

—= TETE" no = (okil.,8 11668). d'

dans l’équation (2) elle devient

Q' = vd p [ —0,4] — 0,81107 |

c’est la règle de Tredgold.

En observant que le nombre & d’atmosphères corres-
pond à la pression qu’exercerait une colonne de mercure
d’une hauteur — (0",76).4 , si l’on désigne cette hau-
teur par H, et qu’on fasse

G = (0,76). , « = 0,368, (0,76) — o",1

l'équation (x) devient, en substituant ces valeurs,
1 +LK
H C Le —

R (ur SE EEK)

G = 0,368) oi

formule donnée par M. Navier pour évaluer la pression
moyenne du piston dans l’étendue d’une course.

La valeur du coefficieut de correction « dépend
évidemment en partie du plus ou moins de perfection
de la machine, aussi lui a-t-on assigné des grandeurs
très-différentes. Tredgold l’a trouvé égal à 0,392 ou 0,4
en nombre rond, taudis que M. de Prony, d’après des
expériences faites avec beaucoup de soin, sur une ma-
chine très-bien construite, le fait égal à 0,15. Ces éva-
luations , si peu concordantes, font penser à M. de
Prony qu’on ne peut considérer « comme uue quantité
invariable et qu’on doit toujours, dans les projets de
machines, employer la relation donnée par l’équa-
tion (6).

La grande perte de force des machines actuelles,
dont le produit réel ne dépasse pas la moitié de la force
de la vapeur eployée, a fait chercher les moyens de
substituer à leur mouvement alternatif un mouvement
continu provenant d’un mouvement continu de la va-
peur; mais les appareils très-ingénieux qu’on a imaginés
dans ce but, tels que celui de M. Cartwrigt, et plus
récemment celui de M. Dietz , n’ont point encore pré-
senté une perfection suffisante pour les faire adopter,
et l’on s’en tient généralement aux anciennes machines
à piston. En 1829, M. Wronski a publié uu ouvrage
sur les #2achines à vapeur, dans lequel, après avoir
signalé les progrès successifs de ces machines, il annonce
avoir découvert un nouveau système d'appareils capa-
ble d'amener l'emploi de la vapeur, comme moteur
mécanique, à son plus haut degré de perfection. De-
puis, en 1835, dans un autre ouvrage, intitulé: Mou-
veau système de machines à vapeur , ce savant a fait
connaître les lois mathématiques qui servent de base à

VA

sa découverte. Nous ne pouvons que renvoyer nos lec-
teurs à ces ouvrages, qui présentent des aperçus telle-
ment neufs sur la théorie des fluides, et sur les forces
mécaniques en général, qu'il nous serait impossible
d'en donner une idée exacte sans entrer dans des dé-
tails beaucoup trop longs pour la place qui nous reste.

Voyez pour la description complète et détaillée des
principales machines à vapeur le tome 2 de la Nou-
velle architecture hydraulique de M. de Pronv; le
tome 3 de la Richesse minérale de M. de Villefosse ; le
Traité des machines

5:

à vapeur de Tredgold, traduit de
l'anglais avec des notes, par M. Millet; et le Aanuel
de l'ingénieur mécanicien, traduit de l'anglais, d'Oli-
vier Evans, par M. Doolityle.

VARIABLE. (4/g.) On nomme quantités varia-
bles les quantités qui admettent plusieurs valeurs ou
qui sont susceptibles de croître ou de décroître. On les
appelle ainsi par opposition aux quantités constantes
qui sont celles qui ne changent pas. Par exemple, dans
l'équation d’une courbe telle que y? = px, x et y sont
des quantités variables, parce qu’elles admettent des
valeurs différentes pour chaque point de la courbe,
tandis que p est une quantité constante, parce qu’elle
reste la même pour tous ces points.

VARIATION DE LA LUNE. On donne ce nom,
en astronomie ; a la troisième Imégalité de la lune, dé-
couverte par Tycho-Brahé. (Voy. Lune.)

VARIATION. Méruone Des variations. (A/g.) On
désigne sous ce nom un Calcul particulier découvert
par Lagrange, et qui forme une. des branches du calcul
général des différences.

x et y étant deux quantités variables liées par une
équation , que nous représenterous par y = pr, dans
laquelle gx désigne une fonction quelconque dex, si
l’on conçoit que la relation primitive de ces quantités
change de manière qu’on n'ait plus y = 9x, mais
y = Ÿxr, Ÿx étant une autre fonction de la variable
indépendante x, la différence entre la valeur primitive
de y et sa valeur après le changement de relation, ou
Ÿr — er, estce qu’ou nomme la variation de J. On
exprime cette espèce de différence par la caractéristi-
que d, de sorte que dy siguifie la variation de y, et que
l'on a

dy = Ÿx — px:

Pour rendre ceci plus sensible, considérons la demi-
ellipse AEB (PL. 22, fig. 12) dont Fh = y est l'or-
donnée correspondante à l’abscisse AF = x. En suppo-
sant que le petit axe de cette courbe croisse d’une quan-
tité infiniment petite et que la demi-ellipse devienne
ACB qui diffère infiniment peu de la courbe primitive

VA

AEB , à la même abscisse AF répondra une ordonnée
FC plus grande que l’ordonnée primitive Fh, d’une
quantité CA qui sera la variation de FA ou de y. Cette
différentielle particulière de y ne résulte donc plus
d’un accroissement de la variable indépendante à la-
quelle y est lié, mais du changement survenu dans la
relation primitive de ces deux quantités, et il devient
important de ne pas confondre l'accroissement de y pro-
duit par ce changement de relation avec celui que re-
çoit cette variable par suite d’un accroissement corres-
pondant de x. Cependant on voit, en définitive, que
la conception première d’une variation est identique-
ment la même que celle d'une différence, savoir : l'ac-
croissement que reçoit une quantité variable. Seule-
ment cet accroissement est déterminé comme difference,
tandis qu'il est indéterminé comme variation, et c’est
par cette considération, purement logique, que le ca!-
cul, nommé inexactement méthode des variations, cons-
utue une branche distincte du calcul des différences,

Ne pouvant donner ici une exposition du calcul des
variations, nous croyons devoir au moins faire connai-
tre le théorème fondamental qui lui sert de base. Re-
prenons donc l'expression dy = 4x — 9x, et observons
que la différence 4x — yx est nécessairement une fonc-
tion dex, et par conséquent aussi une fonction de y,
par suite de la liaison primitive qui existe entre ces va-
riables : ainsi, désignant par 4 cette dernière fouction,
nous aurons Ÿzr — 9x —#y,ou

ÉD 0

En vertu de cette loi, si nous faisons y + dy = y",
nous aurous de même ,

dy = 07;
et nous obtiendrons, en retranchant l'égalité (1) de cette
dermère
dy — dy = ÿy —0y = dôy) = ddy.

Or, dy = Xy+dy) = ày+ ddy; donc, définitivement,
ddy = dûy,

c'est-à dire, «la variation de la différentielle d’une
quantité est égale à la différentielle de la variation de
cette quantité. »

Il est facile de conclure que l’on a généralement
ddmy = dmiy
et, daus le cas de m négative, ce qui change den J',
DJ ny = Jrèy.
Il résulte de ce théorème fondamental qu'on peut

toujours transporter la caractéristique d après les carac-
téristiques d et Jet vice versa.

VA 607

Le célèbre problème des ésopérimètres (voy. ce mot)
a été l’occasion de la découverte du calcul des varia-
tions. Euler avait déjà généralisé la méthode des
mazxmiüs, sur laquelle repose la solution de ce problème.
lorsque Lagrange lui fit part des nouveaux résultats
qu'il venait d'obtenir. Avec un désintéressement dont
l'histoire des sciences n’offre malheureusement que peu
d’exemples , non seulement cet illustre géomètre s’em-
pressa de reconnaître la supériorité des procédés de
Lagrange sur les siens, mais il ue dédaiïgna pas de les
développer et de les expliquer à commencer des pre-
miers élémens. Ce fut lui qui leur donna le nom de
méthode des variations, car Lagrange, satisfai de s’être
frayé une nouvelle route, n'avait donné aucune dési-
guation particulière à son calcul, qu’il a depuis appli-
qué à de hautes questions de mécanique.

Les premiers essais de Lagrange ont été publiés dans
le tome II des Mémoires de Turin, 1762 ; et les déve-
loppemeus d'Euler, dans les Mémoires de Pétersbourg,
1764, et dans un appendice au tome HIT de son calcul
intégral. De toutes les expositions qui ont été faites du
calcul des variations, la plus claire et la plus complète
est celle qui se trouve dans le Traité du calcul différen-
tiel de Lacroix.

VARIE. Mouvemenr vani£. (Méc.) On désigne sous
ce nom tout mouvement qui nest point uniforme.
(Vey. MouvEemMEnNT.)

VARIGNON (Pierre), l’un des mathématiciens cé-
lèbres du xvn° siècle et du commencement du xvin°,
naquit à Caen, en 1654. Il étudiait la philosophie, lors-
qu’un EÉuclide Jui tomba sous la main et décida de son
avenir scientifique. Les ouvrages de Descartes, qu’il
étudia ensuite avec ardeur, le maintinrent dans ces dis-
positions en lui faisant prendre en pitié la philosophie
scholastique dont ce grand homme avait brisé pour
toujours le joug despotique. Varignon vint à Paris en
1686 avec l’abbé de St-Pierre, dont la libéralité le mit
à mème de se livrer exclusivement à ses goûts. Son
premier ouvrage fut intitulé : Projet d’une nouvelle
mécanique ; il eut un grand succès et valut à son auteur
uue place à l’Académie des sciences et une chaire au
collége Mazarin. Dans cet écrit , Varignon révèle cette
tendance de son génie qui le porta à généraliser les
problèmes mathématiques, et qui lui fit accueillir avec
enthousiasme et l’un des premiers en France la géo-
métrie alors nouvelle des infiniment petits. Ce savant
mathématicien, dont quelques principes sur la théorie
de la mécanique sont encore suivis comme une règle
fondamentale dans cette branche de la science , mourut
à Paris, au mois de décembre 1722. Ses autres écrits
sont à peu près oubliés ; on eu trouvera néanmoins la

608 VE

liste dans les Mémoires de L Academie des sciences ,

pour l’année 1720.
VECTEUR. (Joy. Rayon vECrEUR.)

VENT. Movuuixs À vent. (Mcc.) Machines mises en
mouvement par l’action du vent.

Ces machines, destinées généralement à pulvériser les
grains, se composent d’une rr7eule tournant dans une
caisse cylindrique ; et à laquelle l'action du vent est
transmise par le moven d’un volant. Ce volant est la
pièce essentielle, il est composé de quatre grandes ailes
revêtues de toile, et qui forment une espèce de croix
qui traverse le bout de l'arbre ou axe de rotation. Le
vent en frappant les ailes les force à tourner, et le
mouvement se communique à la meule à l'aide de
roues d'engrenage. Les moulins à vent paraissent avoir
été inventés en Hollande, dans le vin® ou 1x° siècle,
mais On n'a aucunes notions précises sur leur origine.

La force motrice du vent peut être également em-
ployée pour faire mouvoir des machines destinées à
d’autres usages, et dans tous les cas elle est transmise
à ces machines par le moyen des roues. On se sert pour
cet effet de roues de deux espèces : les unes ont leur
axe horizontal et parallèle à la direction du vent ; les
autres ont cet axe vertical et perpendiculaire à la di-
rection du veut. Les conditions de l’établissement de
ces deux espèces de roues sont fondées sur des considé-
rations différentes que nous allons exposer.

1. Des moulins à vent à axe horizontal. Ces moulins
sont ceux qu'on emploie presque partout et qui peu-
vent produire les plus grands effets. La roue ou volant
est formée par quatre rayons , sur chacun desquels est
placée une aile qui recoit obliquement l’action du vent.
La figure de cette aile est ordinairement rectangulaire.
Elle est formée parune surface gauche légèrement con-
cave, et dont les élémens forment avec l’axe dela roue
ct la direction du vent des angles d'autant plus grands
qu'ils sont plus éloignés de cet axe. Il est visible qu’on
augmentera toujours la quantité d'action qu’un moulin
pourra transmettre , en augmentant l'aire des ailes. La
question qu'on peut se proposer est, en supposant l'aire
des ailes ou la longueur du rayon donnée, de détermi-
ner la figure de ces ailes et la vitesse du mouvement,
par la condition que la roue transmette la plus grande
quantité d’action possible. La solution de cette question
est essenticilement fondée sur la connaissance de l’ac-
tion d’un courant d’air sur des plaques minces, ou plutôt
sur des surfaces minces légèrement concaves, qu’il frap-
perait obliquement ; et qui cèderaient à son action, en
prenant un mouvement de rotation autour d’un axe.
Comme on est eucore bien éloigné de connaître la na-
ture de l’action dontils’agit, la recherche des lois de

VE
l'établissement des moulins à vent ne peut donc être,
quant à présent , qu’une recherche purement expéri-
meutale.

2. Pour donner toutefois une idée des notionsthéo-
riques les plus plausibles qui puissent être établies sur
ce sujet, l’axe de la roue étant supposé dans la direction
du vent, nommons :

v la vitesse du vent.

y l'angle formé par le plan de l’aile avec la direction
du vent.

V la vitesse circulaire du centre de l'aile.

& Paire de l'aile.

P l'effort exercé par le vent , tangentiellement à la
circonférence passant par le centre de (1.

ï le poids de l’unitéde volume de l'air.

K coefficient numérique, à déterminer par l’obser-
vation.

On aura : vitesse du vent estimée perpendiculaire-
mentia l'aile. meeniecmse see sin ?.

Vitesse de l’aile estimée dans la même
GILECÉIONM es sen rrorstrste terre ee steel selles Vocoso.

Vitesse relative avec laquelle le vent
frappe l'aile. ................. usinp—Vcosy.

Supposons qu'ici, comme daus le choc direct, l’ef-
fort exercé est proportionuel à Ja hauteur due à la vi-
tesse relative ; on aura pour cet effort

ROSE RL ag

et pour la composante dans le sens du mouvement cir-

culaire,

P— Ka

d’où
(vsine— V cosy): V cose)
Ne - :

PV—=Kro.

Cette expression de la quantité d'action transmise doit
être rendue un maximum. En faisant d'abord varier
V, ou aura
V= ; vtang.o, d’où PV — £ Kna ee
5
faisant ensuite varier +, il vient
ne)
sing —1, d'où V =, PV — Kung; re
Ainsi l’effet maximum aurait lieu lorsque le plan de
l’aile serait perpendiculaire à la direction du vent et
la vitesse de la roue infinie. Ces résultats, par les rai-
sons énoncées ci-dessus, ne mériteut pas une entière con-
fiance , quoique beaucoup moins éloignés de la vérité
que toutes Jes autres considérations théoriques présen-
tées sur le même sujet dans divers ouyrages.

VE,

2. Les résultats fondés sur l’observation et l’expé-
rience d’après lesquels l'établissement des moulins à
vent doit être fait sont principalement dus à Coulomb.
(Mémoires de l'Académie des sciences, 1781), et à Smea-
ton (Recherches expérimentales sur l'eau et le vent,
traduction de M. Girard.) Ces résultats peuvent être ré-
sumés comme il suit :

1° Figure des ailes. Les ailes étaient supposées rec-

NUMÉROS DES ÉLÉMENS:

ANGLE FAIT AVEC L’AXE.

ANGLE FAIT AVEC LE PLAN DU MOU-

VEMENT.

La largeur de l'aile ne doit pas surpasser le + de sa
longueur. Elle en est ordinairement le ? ou le £ On
doit plutôt diminuer langle des élémens avec le plan
du mouvement que l’augmenter.

Si, renonçant à la figure rectangulaire , on veut for-
mer l’aile de manière qu'en employant la même sur-
face de toile le moulin transmette la plus grande quan-
tité d'action , la figure qui réussit le mieux en grand
est celle d’une aile élargie (PI. 40, fig. 2) formée en
plaçant à l’extrémité du rayon un barreau égal au +
du rayon, et partagé au point où il le coupe dans le
rapport de 3 à 2. Les inclinaisons des élémens transver-
saux doivent être réglées d’après la table précédente.

2° Vitesse des ailes par rapport à celle du vent. Tes
ailes étant disposées de l’une ou de l’autre manière in-
diquée ci-dessus, on doit, pour en obtenirle maximum
d’effet, maintenir leur vitesse de rotation dans un rap-
port constant avec celle du vent. Cette vitesse de rotation
à l'extrémité de l'aile doit être égale à 9, 7 ou 2, 6 fois
celle du vent. (Ce résultat, établi par Smeaton d’après les
expériences en petit, s'accorde exäctement avec les ob -
servations de Goulomb, sur les moulins de la Belgique.)

3 Quantité d'action transmise par les ailes. Les ailes
étant disposées comme ila été dit ci-dessus, et leur
vitesse maintenue par rapport à celle du vent dans le
rapport qui vient d'être énoncé, la quantité d'action
transmise est proportionnelle à l'aire des ailes. Elle
croit. un peu moins rapidement que le cube de la vi-
tesse du vent , en sorte que, la vitesse du vent deve-
nant double, il s’en faut de = que la quantité d’action
| transmise devienne octuple. Négligeant cette différence,
TOME Al,

VE 609

tangulaires ; la figure la plus avantageuse est celle de
l'aile dite à la hollandaise, offrant au vent une surface
légèrement concave et dont les élémens transversaux
ont les inclinaisons suivantes.

Le rayon de l'aile étant divisé en 6 parties, le pre-
mier élément en comptant de l’axe est désigné par r.
Celui correspondant à l’extrémité de l'aile est désigné
par 6 (les nombres expriment des degrés sexagésimaux.)

3

milieu de

6

BA extrémité.
l’aile.

ou écrira entre la quantité d’action transmise en une
seconde par une aile de moulin et les élémens de cette
quantité, l’équation
2,27 v.P —nov
laquelle, pour satisfaire aux expériences de Goulomb et
de Smeaton, doit devenir
2,27.V.P = 0,130s:.

équation dans laquelle a est l’aire d’une aile exprimée

en mètres carrés ;

v la vitesse du vent exprimée en mètres ;

P l'effort exercé sur une aile par l’action du vent, dans
le sens du mouvement circulaire , supposé appliqué

à l'extrémité de l'aile, exprimé en kilogramme ;

ñ un coefficient numérique, déterminé par l’observation.

Cette détermination néglige la considération de la
variation de la densité de l’air atmosphérique, à laquelle
on n’a pas eu égard davs les observations.

3. Les moulins à vent à axe horizontal offrent divers
inconvéniens, dont les principaux sont: 1° la néces-
sité de faire varier leur vitesse quand celle du vent va-
rie; 2° la nécessité de les orienter; 3° le danger qu’ils
courent quand la vitesse ou la direction du vent change
brusquement.

On peut remédier aux inconvéniens de la variation
de la vitesse par les moyens connus , employés pour
faire en sorte que des axes se transmettent le mouve-
ment de rotation avec des vitesses dont les rapports
puissent varier . Les moulins sont souvent disposés de
mauière à s'orienter d'eux-mêmes. On emploie à cet
effet une queue placée dans le prolongement de l'axe

CE
di

610 VE

du volant , et portant un plan vertical, sur lequel le
vent agit comme sur une grrouette. Un moyen plus
avantageux consiste dans l'emploi d'un petit moulin,
placé aussi à l'extrémité d’une queue, dans le plan ver-
tical passant par l'axe du volant. Ce moulin auxiliaire,
toutes les fois qu'il n’est pas dans la direction du vent,
fait tourner un axe , et par suite un pignon engrenant
dans une crémaillère circulaire fixe. Il en résulte le
mouvement nécessaire pour orienter le système mobile
doat le volant et le petit moulin font partie. On remé-
die aux effets de la violence du vent, en serrant la toile
dont les ailes sont couvertes. On pourrait employer des
dispositions d’après lesquelles cette manœuvre serait
opérée par le mouvement même du moulin, lorsque la
vitesse dépasserait une limite donnée.

4. Des moulins à vent à axe vertical. Les disposi-
tions de ces moulins sont plus variées que celles des
précédens. On peut distinguer :

1° Ceux dont les ailes sont formées de plusieurs vo-
lets mobiles sur des axes verticaux , lesquels présentent
leur largeur au vent quand ils doivent recevoir son ac-
tion, et leur épaisseur quand ils doivent s’y soustraire.

2° Ceux dont les ailes sont fixes et protégées dans
leur retour contre l’action du vent par une enveloppe
cylindrique. Ils doivent être orientés comme les mou-
los à axe horizontal.

3° Les moulins dits panermores , dont la surface des
ailes est une sorte de conoïde préseutant alternativement
à la direction du vent sa concavité et sa convexité. Le
mouvement est imprimé au moulin en raison de Ja dif-
férence de l’action du vent sur les deux faces des ailes.

Chacune de ces dispositions offre divers inconvé-
niens, et toutes, à dimensions égaies, ne peuvent trans-
mettre qu'une faible partie de la quantité d'action qui
serait transmise par un moulin à axe horizontal. On n’a
pas publié d'observations propres à faire apprécier exac-
tement leurs effets.

5. Parmi les moulins à vent à axe vertical , on peut
distinguer le suivant (PI. 40, fig. 3) , dont la disposi-
tion ingénieuse n’est point décrite dans les traités de
mécanique ou collections de machines connues. L’axe
passe au travers d’un cylindre vertical susceptible de
tourner, et portant à son extrémité supérieure une roue
dentée, Ce cylindre est fixe pendant que le moulin tra-
vaille. L’axe du moulin porte quatre bras. Les ailes
sont fixées sur les roues extrêmes. Ces roues ont un dia-
mètre double de celui de la roue fixe. Le diamètre des
roues intermédiaires est arbitraire. Les situations des
ailes entre elles et par rapport à la direction du vent
étant une fois fixées, le mouvement du moulin ne les
changera pas. On orientera facilement le moulin, et
on réglera l'effort qu'il pourra recevoir du vent, en
faisaut tourner le cylindre auquel la roue dentée fixe

VE
est adaptée. Cet appareil, inventé par J. Jackson, est
décrit dans le Xeportory of arts, tom. 8, 1806.

Il est reconnu que la vitesse du vent la plus favora-
ble pour le travail des moulins est de 18 à 26 pieds par
seconde. D'après les expériences de Borda, on peut
poser comme principes , 1° que les impulsions du vent
sont proportiounelles aux carrés des vitesses ; 2° qu’elles
croissent dans un plus grand rapport que les aires des
surfaces exposées à l’action du veut; 3° que la pression
du vent qui parcourt 20 pieds par seconde , contre une
surface plane d'un pied carré placée perpendiculaire-
ment à la direction du courant, est équivalente au poids
d’une livre; 4° que l'impulsion contre un plan double
en surface est plus que double du poids observé.

Voyez pour tout ce qui concerne l'emploi du vent
comme moteur mécanique : Description de l'art de
construire les moulins, par Beyer; Collection des ma-
chères approuvées par l'Académie, tomes 1 ,Get 1;
Annales des arts et manufactures, tomes 20 et 41 ; et

le Traité de la composition des machines, par Borgnis.

VENTILATEUR. (Meéc.) Appareil qui sert à renou-
veler l’air dans les lieux bas et fermés. Le ventilateur
proprement dit n’est qu’un soufflet, mais on obtient
aussi le renouvellement de l’air à l’aide de fourneaux
d'appel qui établissent un courant. Voy. les Mémoires
de l’Académie des sciences, 1768; l'Art d'exploiter les
raines de charbon de terre, par Morand; et les 4n-
nales des mines, 1802.

VÉNUS. (4st.) C'est la plus brillante des planètes
de notre système et la seconde dans l’ordre des distan-
ces au soleil. On la désigne par le caractère Q.

Vénus est située eutre Mercureet la terre. Elle décrit
autour du soleil une orbite presque circulaire dont
l'excentricité n’est qu'a peu près la sept millième par-
tie de son demi grand axe. La constitution physique
de cette planète doit se rapprocher beaucoup de celle de
la terre, car ces deux corps offrent des points frappans
de ressemblance dans leurs volumes , leurs densités et
la durée de leurs rotations.

Le diamètre de Vénus est de 3138 lieues de 2000
toises, et par conséquent diffère peu de celui de la terre.
Si pour exprimer en nombres les rapports des dimen-
sions de Vénus aux dimensions de la terre on prend
cette dernière pour unité, on trouve que le diamètre
de Vénus est 0,97 et son volume 0,93 Sa masse, dé-
duite de la théorie, étant représentée par 0,88, il en
résulte que sa densité moyenne est égale à 0,95 ou
qu'elle est à peu de chose près égale à la densité de la
terre. Véuus est en outre entourée d’une atmosphère
dont la puissance réfractive ne parait pas différer de:

VE

celle de la nôtre et sa rotation sur elle-même s'effec-
tue en 23h 21" 7”, 2.

L'orbite de Vénus étant renfermée dans celle de la
terre, cette planète nous présente les mêmes apparen-
ces que Mercure (voy. ce mot), c’est-à-dire qu’elle
semble osciller autour du soleil dont elle ne s’écarte
jamais de plus de 48°. Sa plus grande distance angu-
laire ou son élongation varie entre 45° et 48°

Vénus a des phases comme la lune. On la voit quel-
quefois passer sur le disque du soleil où elle projette
une petite tache noire. (Foy. Passage.)

Voici ses élémens rapportés au premier janvier 1801.

Demigrand axe, celui de la terreétant 1 0,7233316
Excentricité en partie du demigrand axe 0,0068607
Diamètre équatorial , celui de la terre

CLANL IT choses cienesesese 0,9750000
Période sidérale moyenne en jours

MOYENS... soso eee cet... 2245,7007869
inclinaison de l’orbite...........,... 3°923'a8”, 5
Longitude du nœud ascendant...... MTRODLLIL,E T9
Longitude du périhélie............. 199 043 59;
Longitude moyenne de l’époque...... 11 33 30,0

VERNIER, espèce de division employée dans les
instrumens de mathématiques pour obtenir les subdi-
visions exactes des degrés du cercle. On lui donne com-
muuément le nom de Nonius, mais c’est par erreur. Le
procédé de Nonius diffère complètement de celui de
Pierre Vernier, adopté aujourd’hui généralement. Tous
les graphomètres et tous les cercles destinés à la mesure
des angles portent un vernier, dont l'usage est si simple
que nous ne croyons pas avoir besoin d'en donner ici
l'explication.

VERRE ARDENT. (Opt.) Verre convexe des deux
côtés, qui a la propriété de rassembler les rayons du
soleil en un petit espace qu’on nomme son foyer. Si l’on
expose à ce foyer des corps inflammables, ils s’y em-
brasent promptement, et lorsque le verre est très grand
et qu'en même temps il fait partie d’une plus petite
sphère , on peut obtenir par son moyen un degré de
chaleur capable de fondre les métaux. (Joy. Diopri-
QuE et LENTILLE.)

VERSE. (Poy. Sinus vEnsE et COSINUS VERSE.)

VERSEAU. (45t.) Nom du onzième signe du zodia-
que , représenté par le caractère == , et d’une constel-
lation composée de 48 étoiles. Nous avons expliqué
ailleurs pourquoi lesconstellations zodiacales ne corres-
pondent plus avec les signes qui portent leurs noms.
(Poy. BALANcGE.)

VERTICAL. (Géom.) Se dit en général de ce qui

VI 611
est perpendiculaire à l'horizon, ou parallèle à la ligne
d’aplomb.

En astronomie, on nomme cercle vertical le grand
cercle de la sphère céleste qui passe par le zéuith, par
le nadir et par un point quelconque de l’horizon.
C’est l’arc du cercle vertical compris entre l'horizon et
le centre d’un astre qui mesure la hauteur de cet astre.
(Foy. HAUTEUR.)

VESTA. (45t.) Nom d'une des quatre petites planètes
découvertes depuis le commencement de ce siècle.(Foy.
C£rès, Junon et ParLas.)

Ayant déjà donné, aux mots auxquelsnousrenvoyons,
des détails historiques sur ces quatre nouvelles planètes,
nous nous contenterons ici de dire que Vesta a été dé-
couverte par Olbers le 29 mars 1807.

Vesta a l'apparence d’une étoile de cinquième ou de
sixième grandeur et peut être vue à l'œil nu lorsque le
ciel est pur. Sa lumière est plus intense et plus blanche
que celle des trois autres. Son orbite coupe l'orbite de
Pallas, mais non pas dans les mêmes points où elle est
coupée par l'orbite de Cérès.

D'après les observations de Schroeter, le diamètre
apparent de Vesta est seulement 0”,438 ; c’est la moitié
de ce qu'il a trouvé pour le diamètre apparent du qua-
trième satellite de Saturne.

M. Burckart a émis l'opinion que Le Monier avait
observé cette planète comme une étoile fixe. Il est de
fait qu’une petite étoile portée dans le catalogue de
cet astronome ne s’est plus retrouvée depuis à la place
qu'il lui avait assignée.

Voici les élémens les plus récens de Vesta. Ils se rap-
portent au premier janvier 1920.
Demigrand axe, celui dela terre étant 1 2,3678700

Excentricité en parties du demigrand

NC eee EN elec eiete cola te 0,0891300
Période sidérale moyenne en jours

IMOVENS Se Soie pre nie (loose le eleleseieiele 1325;,743100
Tnclinaison de L'OMDICAS +... ere 7° 5° g”,0
Longitude du nœud ascendant........ 109 13 19, 2
Longitude du périhélie.,..........." 240 33 24, 4
Longitude moyenne de l’époque...... 278 30 0, 4

VIBRATION. (Meéc.) Mouvement régulier d’un
corps qui oscille autour d’un centre. (Foy. Lame ÉLAs-

TIQUE, PENDULE. et OsciLLATION.)

VIERGE. (4s4.) Nom du sixième signe du zodiaque
marqué np, et d’une constellation composée de 110
étoiles. (Foy. Barance.)

612 VI

VIÈTE (François). Cet illustre et grand géomètre
naquit à Fontenay-le Comte en 1540. Nous ne possé-
dons aucuns détails sur ses premières années et sur son
éducation, et, malgré la célébrité qui est attachée à son
nom, sa vie privée est demeurée à peu près inconnue,
On sait seulement qu’il occupa à Paris des fonctions
publiques, dont les devoirs ne pouvaient le distraire
de l'étude des mathématiques. Tous ses biographes
rapportent, d’après l’historien de Thou, qu’il se livrait
avec tant d'application et d’ardeur à ses recherches
scientifiques, qu’on le vit quelquefois passer trois jours
de suite sans quitter la table sur laquelle il travaillait,
et où il prenait à peine quelques ahimens. Nous avons
exposé ailleurs (voy. ALGÈBre) les découvertes dont ce
grand homme a enrichi la science, et nous avons eu
souvent l'occasion, dans le cours de cet ouvrage, de rap-
peler ses titres à l'admiration et à la reconnaissance de
la postérité. Viète joignait à une connaissance profonde
de la science, pour laquelle ses travaux marquent une
période de rénovation et de progrès , une grande éru-
dition. On lui reproche même d’avoir trop parseméses
livres de mots grecs francisés qui en rendent la lecture
difficile; mais c'était la une habitude de son temps qui
ne saurait en rien diminuer sa gloire ni le mérite de
ses ouvrages. Cet illustre géomètre était doué d’une
perspicacité remarquable qui lui permit de faire des
applications aussi heureuses que difficiles des théories
de la science; on en cite une qui mérite surtout d’être
rapportée. Durant les longues guerres de la France
avec l'Espagne, des lettres de la cour de Madrid à ses
gouverneurs, dit Montucla, ayant été interceptées, ce
fut à Viète qu'on eut recours pour les déchiffrer. Il y
parvint en effet malgré l'extrême complication du
chiffre et l’on ne manqua pas en Espagne de l’accuser
de sortilége. Viète était un homme d’un caractère sim-
ple et modeste, ses écrits furent rares même de son
temps, car il avait l'habitude de les faire imprimer
lui-même et de n’en tirer qu'un petit nombre d’exem-
plaires qu’il distribuait à ses amis. [l mourut à Paris, à
l’âge de Go ans, au mois de décembre de l’année 1600.
Alexaudre Anderson a publié, après sa mort, quelques-
uns deses manuscrits, mais la plupart de ses écrits
réunis par François Schooten , Jacques Galius et le père
Mersenne, furent imprimés de nouveau et publiés à
Leyde, en 1646.

VIS. (Mec.) Une des sept machines considérées
comme simples. C’est un cylindre droit K (PI, 17,
fig. 6 et 7) sur la surface duquel on a creusé une gorge
eu spirale. La partie saillante se nomme le filet de La
vis, et la distance qui règne verticalement entre deux
points du filet ou la largeur de la gorge prend le nom
de pas de la vis.

VI

Lorsquele filet se termine en tranchant, comme dans
la figure 7, la vis est dite à filet angulaire. Cette con-
struction, qui donne beaucoup de force à Fa base du
filet, est préférée pour toutes les vis d'assemblages, et
généralement pour les vis en bois. Lorsque la coupe
des filets présente, comme dans la figure 6, la forme
d’un parallélogramme, la vis est dite à filet carre. On
construit de cette manière les grandes vis en fer qu’on
exécute au tour.

On nomme écrou la pièce MN dans laquelle où fait
entrer la vis, et dont la concavité renferme une rarrrre
creuse semblable au filet; lorsque la vis est entrée dans
l’écrou , la rainure est exactement remplie par le filet,
de sorte que la vis ne peut prendre d'autre mouve-
ment que de s’avancer dans le sens de sa longueur, en
tournant sur elle-même.

Dans l'usage de cette machine, l’unedes deux pièces
est fixe et l’autre est mobile; ainsi, suivant les circon-
stances, la vis est fixe et c’est l'écrou qui marche eu
tournaut autour de son axe, ou bien l'écrou est fixe et
c’est la vis qui se meut. Ces deux cas reviennent au
mème pour les conditions d'équilibre. En supposant
que la vis K soit fixe et que l’écrou MN soit chargé
d’un poids P auquel doit faire équilibre utie puissance
Q appliquée à l'extrémité d’un bras de levier, on dé:
montre, dans tous les traités de statique, qué pour
qu’il y ait équilibre il faut que la puissance soit à la
résistance comme le pas de la vis est à la circonference
que la puissance tend à décrire. Cette machine est donc
d’autant plus avantageuse que le pas de la vis a moins
de hauteur et que le point d’application de la puissance
est plus éloigné de Paxe,

La courbe régulière que forme le filet sur la surface
du cylindie fondamental se nomme une Aclice:

La vis sans Fin ne diffère de la vis ordinaire que
parce qu’elle ne se meut pas dans uu écrou et que son
action devient ainsi continue. C'est une machine dout
le cylindre tourue toujours du même sens sur des pi-
vots Bet C (PL 15, fig. 9); son filet mène en tournant
uue roue FD, dont il engrène les dents, laquelle porte
à son centre un axe cylindrique où s’enveloppe une
corde destinée à élever un fardeau. Une trè--petite
force appliquée à la manivelle AB peut enlever un
très-prand poids W.

Toutes les espèces de vis sout des machines compo-
sées du /evier et du plan incliné ; aussi leur théorie n’est
qu’une conséquence de celles de ces dernières.

VIS D'ARCHIMÈDE. (Mée.) Machine très-ingé-
nieuse propre à élever l’eau, inventée par Archimède,
Elle se compose d’un cylindre AB (PI: 15, fig. 10) qui
tourne sur deux pivots et autour duquel on a roulé en
spirale un canal creux CFHGFD. On incline ce cylin-

VI

dre à l’horizon sous un angle d’environ 45°, et l’on fait
plonger dans l’eau l’orifice G du canal. Si par le moyen
d’une manivelle IK, ou par tout autre mécanisme on fait
tourner la wis , l’eau monte dans le canal , se porte suc-
cessivement de spire en spire et va se décharger par
l’autre extrémité D du canal.

Dans cette machine l’eau monte par la même force
qui tend à la faire descendre ; c’est-à-dire, par son
propre poids. En effet, la particule d’eau qui est daus
la partie inférieure de la vis, en E par exemple, n’y
peut pas demeurer lorsqu'on tourne la vis, parce que
sa pesanteur l’oblige d'aller au point suivant, qui dans
ce moment-là se trouve plus bas que le point E, étant
passé sous la vis, mais qui en même temps se trouve
dans un point plus élevé que celui où était le point E
lorsqu'il était encore par dessous ; de sorte qu’a chaque
instant cette particule d’eau se trouve dans des points
de plus en plus élevés, et elle y est réellement
portée par sa pesanteur. Or ce que nous disons de
cette particule d’eau, on peut le dire de toutes les au-
tres ; ainsi dès que l'eau est parvenue à l’orifice supé-
rieur D, elle doit continuellement s’écouler, tant que
la vis tourne e{ que son extrémité inférieure plonge.
Ceite machine est très-utile pour élever une grande
quantité d’eau avec une très-petite force. On s’en est
servi avec un grand succès pour vider des lacs et des
étangs.

Lorsqu'il s’agit d'élever l’eau àune hauteur considéra-
ble; une seule vis n’est pas suffisante, parce que cette vis
devantêtre inclinée ne peut porter l'eau à une grande
élévation sans devenir elle-même très longue et par là
très-pesante, etsans çourir les risques dese courber et de
perdre son équilibre ; mais on peut alors, avec une
seconde vis , élever l’eau qu'une première a apportée
dans un réservoir, et ainsi de suite. Daniel Bernouilli
a donné dans son Hydrodynamique une théorie déve-
loppée de la vis d'Archimède et des effets qu’elle peut
produire. (Foy. aussi la Nouvelle architecture hydrau-

dique de M. de Prony.)

VISION. (Opt.) Sensation particulière à l'organe
de la vue, produite par l'impression des objets éclairés
sur l'œil,

Les phénomènes de la vision, ses causes, la manière
dont elle s'exécute, forment un des points les plus im-
portans de la physique pure et sont par conséquent
autant d’objets étrangers à notre Dictionnaire. Mais les
lois qué suit la Inmière dans ses divers modes de pro-
pagation constituent une des branches des mathémati-
ques appliquées nommée Optique générale, laquelle
se subdivise en plusieurs autres branches que nous
avons examinées successivement. Nous renverrons done

vo 615

aux mots DioprriQue, CATOPTRIQUE, Lumière et Or-
TIQUE:

VITESSE. (Méc.) Rapidité plus ou moius graude
avec laquelle un mobile parcourt un espace déterminé.
Par exemple, si deux mobiles parcourent le même es-
pace l’un en une heure et l’autre en deux, la vitesse du
premier sera deux fois plus grande que celle du second.

On mesure, en général , la vitesse par l’espace par-
couru dans l’unité de temps; ainsi lorsqu'un mobile
parcourt, dans cette unité, un espace double, triple, etc.
de celui qu’un autre mobile parcourt dans le mêm»
temps, on dit que sa vitesse est double, triple, etc. de
la vitesse de ce second mobile.

.

Dans le mouvement uniforme (voy. ce mot) la vitesse
est constamment la même, et comme elle fait parcourir
au mobile des espaces égaux en temps égaux , on la re-
présente par le quotient de l’espace divisé par le
temps. Si nous désignons, en effet; par E l’espace décrit
par un mobile dans uu temps T, le quotient . repré-
sente l’espace décrit dans l’unité de temps, et en dési-
E
Œ
sont identiques. Il est bien entendu que par ce quo-

nant par V la vitesse, les deux quantités V et
6 P , q

tient de l’espace divisé par le temps on entend celui
des nombres qui expriment les rapports de l'espace et
du temps à leurs unités respectives. Par exemple si
l'espace est de 8 mètres et le temps de 2 secondes, ia

3 8 DANS ;
vitesse est - — 4, c’est-à-dire, 4 mètres par seconde.

Dans le mouvement varié, la vitesse augmeute ou
diminue successivement et alors, pour la mesurer,
onprend unintervalle infinimeut petit et l’on appelle, à
chaque instant, vitesse du mobile, le rapport de l’espace
infiuiment petit parcouru dans cet instant à la durée
de ce même iustant. (Foy. AcCÉLÉRÉ.)

On distingue la vitesse en vitesse absolue et vitesse
relative. La vitesse absolue d’un mobile est sa vitesse
réelle et effective; c’est-à-dire celle qui sert à mesurer la
quantité dont il se rapproche ou s'éloigne des objets qui
sont considérés comme fixes dans l’espace. La vitesse re-
lative de deux mobiles est celle qui sert à mesurer la
quantité dont ces mobiles se rapprochent ou s’éloignent
lun de l’autre daus un temps donné. (Foy: Mouve-
MENT.)

VOIE LACTÉE. (45) Espèce de ceinture ou de
zone lumineuse qui fait le tour du ciel. (Foy. Éroir et
Nioureuse,

VOLANT. (Mce.) Nom générique qu'on donne,

dans les machines, à des parties qui ont un mouvement
très-rapide de rotation.

614 WA

On nomme volant régulateur une roue pesante que
l’on fait mouvoir avec rapidité et qui sert à maintenir
l'uniformité du mouvement lorsque le moteur ou la
résistance est de nature à éprouver des variations mo-
mentanées. L'emploi de ce moyen mécanique, généra-
lement très avantageux , est soumis à des conditions
pour lesquelles on doit consulter l'Architecture hydrau-
tique de Bélidor, tome 1, avec les notes de M. Navier.

VOLUME. (Gcom.) Espace qu'un corps occupe.
(Joy. SoLi1nE.)

VOUTE CÉLESTE. (45st.) On donne ce nom à la
surface concave que leciel nous présente et sur laquelle
tous les astres semblent situés.

L'extrême éloignement des corps célestes ne nous
permettant pas d'apercevoir les différences de leurs
distances à la terre, les rayons visuels menés de notre
œil à chacun de ces corps nous semblent tous égaux et le
ciel nous apparaît comme une surface sphérique qui
s'appuie sur le plan de l'horizon. Si l'épaisseur de la
terre ne nous empêchait pas de voir la partie opposée
du ciel, ce ciel tout entier nous apparaitrait comme

WR

une immense sphère dont nous occuperions le centre.
Tant que nous restons au même point de la surface de
la terre, nous voyons chaque jour se lever et se coucher
les mêmes étoiles ; seulement le soleil, par son mouve-
ment propre apparent, ne nous permet d’apercevoir
que celles qui se trouvent dans l'hémisphère opposé à
celui dans lequel il se trouve; mais pendant la durée
d’une de ses révolutions nous ne revoyons jamais que les
étoiles que nous avons déjà vues, et l’aspect général du
ciel demeure constamment je même. Si, au contraire,
nous changeons de lieu en nous avançant vers le Nord,
par exemple, nous découvrons de nouvelles étoiles,
tandis que nous cessons d’apercevoir vers le Midi quel-
ques-unes de celles qui s’y trouvaient auparavant. Le
même phénomène se présente en sens contraire en
allant du Nord au Sud; de sorte qu’en changeant de
licu sur la terre et marchant ainsi du Sud au Nord ou
du Nord au Sud, l'aspect général du ciel se trouve
changé. Ces apparences indiquent de la manière la plus
évidente la forme arrondie de la terre que tant d'au-
tres phénomènes rendent encore manifeste. (or.
TErnE.)

Wie

WALLIS (Jean), l’un des plus célèbres géomètres
du XVII° siècle, et le plus illustre de ceux qui, en
Augleterre, précédèrent Newton, naquit à Ashfort,
dans Le comté de Kent, le 23 novembre 1616. Après
ses premières études il s’'adonna successivement à la
théologie et à la philosophie; mais son génie l'appelait
à étudier les mathématiques, et ses progrès y furent
aussi rapides qu'importans. En 1646 il fut pourvu de
Ja chaire de géométrie, fondée à l’université d'Oxford
par le chevalier Saville ; il y professa jusqu’à sa mort.
Le principal ouvrage de Wallis est sans contredit son
Arithmétique des infinis, qui fut publié pour la pre-
mière fois en 1655. Entrant en maître dans la carrière
ouverte par Cavalleri, Fermat, Descartes et Roberval,
il fit dans ce livre une application plus spéciale encore
que celle qu'avaient tentée ces grands géomètres du
calcul à la méthode des indivisibles. Les travaux
de Wallis, qui ont été retracés dans un grand
nombre d'articles de ce Dictionnaire, marquent dans
l'histoire de la science une période de brillans progrès,
et assurent à son nom une glorieuse immortalité. La vie
de Wallis fut douce et paisible; entièrement voué à
l'étude, il se tint élo'gné des événemens politiques de
son temps et il acheva à Oxford, le 28 octobre 1705,
une carrière dont l'amour de la science avait seul rempli
le cours. On a de lui une Grammaire anglaise et un

Traité sur l’art d'apprendre à parler aux sourds e,
muets, outre un grand nombre d’écrits sur des matières
théologiques et philosophiques; mais ses véritables
titres de gloire sont ses écrits mathématiques , qui furent
réunis et imprimés peu de temps avant sa mort, sous ce
titre: Joannis FVallisii geometriæ professoris savi-
liani, in celeberrimé academiä oxoniensi, opera ma-
thematica ; Oxford, 1697—1699; 3 vol. in-f°.

WEGA. (4st.) Nom de la belle étoile de la Lyre.

WREN (Curisropnx, Le CuEvaLtEr), savant mathé-
maticien anglais, né en 1652, mort en 1723, est célè-
bre dans l'histoire de la science par ses découvertes,
ses travaux et l’universalité de ses talens. Toutes les
branches de la science ont été l’objet de ses études ; à
la fois géomètre , astronome, mécanicien et architecte,
il doit être compté parmi les hommes qui ont le plus
contribué au progrès de la science et à l'illustration
de leur pays. L'espace nous manque même pour le
simple énoncé de ses nombreux travaux; nous nous
bornerons à rappeler que le premier il trouva Ja recti-
fication absolue de la eycloïde et qu’il eut l'honneur
de concourir avec Huygens et Wallis à la découverte
des lois du choc des corps. Comme astronome, il a rectifié
ou inventé un grand nombre d'instrumeus et publié
des observations suivies sur Saturne , une théorie de

ZO

la libration de la lune et des essais pour déterminer
la parallaxe des fixes. Comme architecte, il suffit de

,

rappeler qu’il fut le constructeur de l’église de St-Paul

ZO O15

de Londres. Il a laissé de nombreux écrits dont la plu-
part se retrouvent dans les Transactions philosophi-
ques du temps.

Z.

ZÉNITH. (4s1.) Point du ciel qui répond verticale-
ment au-dessus de notre tête.

Si l’on conçoit une ligne droite perpendiculaire au
point de l'horizon qu’on occupe, le point où cette droite
rencontre la voûte céleste sera le zénith du lieu, et si
on la suppose prolongée au-dessous de l'horizon, le
point opposé du ciel sera le nadir de ce même lieu.
Cette droite pourra être considérée comme l’are de
l'horizon, et le zénith et le nadir comme ses pôles.
(Foy. ARMILLAIRE.) On voit aisément qu’un observa-
teur, à chaque pas qu’il fait, change de zénith et de
nadir de même qu'il change d'horizon.

Si la terre était exactement sphérique, notre zénith
serait le nadir de nos antipodes , et notre nadir leur
zénith ; mais cette opposition n’est réelle que pour les
lieux situés sous l’équateur et sous les pôles ; dans tous
les autres, la perpendiculaire à l'horizon ve passe pas
par le centre de la terre, et les deux points de la sur-
face terrestre qu’elle rencontre ne sont pas diamétrale-
ment opposés.

Le mot zénith est arabe et vient de semt, qui signifie
le point.

ZODIACALE. Lumière zopiacacr. Auréole lumi
neuse que l’on aperçoit dans le ciel en certains temps
de l’année après le coucher du soleil ou avant son le-
ver; sa formeest celle d’une lentille très-aplatie, placée
obliquement sur l'horizon et dont la pointe atteint très-
loin daus le ciel (voy. PI. 18, fig. 4). Elle a été remar-
quée pour la première fois par Cassini, le 18 mars
1683.

Cette lumière, blanchätre comme celle de la voie
lactée, accompagne toujours le soleil, et dans les éclip-
ses totales on l’aperçoit autour de son disque comme
une chevelure lumineuse. Elle est constamment diri-
gée dans le sens de l’équateur solaire; c’est ce qui fait
qu’elle n'est pas visible dans toutes les saisons, parce
que cet équateur est diversement incliné à l'horizon,
selon les diverses positions du soleil sur l’écliptique.
A Paris, ce n’est que dans les derniers jours de février
et les premiers de mars, qu'on peut espérer de l’aper-
cevoir au moment où le crépuscule du soir fait, c'est-
à-dire, vers 7 heures + du soir ; si toutefois le ciel est
bien pur et si la lune n'est pas sur l'horizon. La Caille

a observé que sous la zône torride la lumière zodiacale
est constamment visible et très-apparente.

D'après Mairan, la lumière zodiacale n’est que l'at-
mosphère même du soleil extrèmement allongée dans
le sens de son équateur. D'après d’autres physicieus,
c'est un anneau lumineux qui entoure le soleil de la
même manière que l’anneau de Saturne entoure cette
planète. Des hypothèses plus modernes rattachent ce
phénomène à ceux de l'électricité.

L'épithète de zodiacale a été donnée à cette lumière
parce qu’elle est toujours comprise dans la zône céleste
nommée zodiaque.

ZODIAQUE. Zône céleste d’environ 18 degrés de
largeur, qui fait le tour du ciel. Elle est partagée en
deux parties égales par l'écliptique et comprend tous
les points du ciel où les anciennes planètes peuvent
paraitre, puisque la latitude de ces differentes planètes,
soit vraie, soit apparente, n’est jamais guère de plus de
8 degrés.

L'origine du zodiaque remonte aux premiers temps
de l'astronomie ; dès qu’on eut reconnu la route appa-
rente du soleil sur la sphère céleste et qu’on eut fixé la
situation de cette route par rapport aux groupes d’'é-
toiles qu’elle traverse, on s'aperçut bientôt que toutes
les planètes alors connues ne s’écartaient jamais, dans
leurs mouvemens, que d’une petite distance à la droite
ou à la gauche de cette route, et la zône dans laquelle
ces mouvemens s'effectuent reçut le nom de zodia-
que, de £ädioy, animal, parce que les groupes d’é-
toiles ou constellations qui la composent avaient été
figurés par des animaux.

L'écliptique ou la route annuelle du soleil ayant été
divisée en douze portions égales que l’on avait nom-
mées signes, On avait aussi partagé les étoiles du zodia-
que eu douze constellations correspondantes ; de sorte
que les signes et leurs constellations portaientles mêmes
noms et, il devenait facile de reconnaître le passage
du soleil dans les différens signes, passage qui règle
l'ordre des saisons, par l'observation des étoiles des
constellations. Mais depuis l’époque où ces divisions ont
été établies, l’état du ciel a beaucoup changé. L'équi-
noxe du printemps, point où l’écliptique coupe l'é-
quateur et qui est pris pour origine des signes, a ré-

616 20

trogradé sur l’écliptique, par l'effet de Ja précession des
équinoxes {voy. ce mot), er les mêmes groupes d'étoiles
ne correspondent plus aux divisions de l’écliptique,
dont le point de départ est toujours l’équinoxe varia-
ble du printemps. L’astronomie moderne a conservé
les anciennes divisions et même les noms des douze
signes; mais il ne faut pas confondre les douze signes
du zodiaque avec les douze constellations qui leur ré-
poudaient il y a 2254 ans, car maintenant la constella-
tion du bélier se trouve dans le signe des poissons et
aiusi de suite ; tout a rétrogadé d’un signe. Voyez, pour
les noms des signes et les caractères par lesquels on les
représente, le mot ArmiLLaiRE, 15.

L'époque précise de l’inventioa du zodiaque est enu-
tièremenut iuconnue, et il parait en outre qu’il n’a pas
toujours reufermé le même nombre de constellations
qu'aujourd'hui. Cependant toutes les inductions par
lesquelles on a voulu prouver son extrême antiquité, ct
par suite celle de la présence de l’homme sur la terre,
ne reposent sur rien de fondé et se trouvent même
contredites par tous les faits géologiques et par les tra-
ditious de tous les peuples.

ZONE. (Gcom.) Portion de la surface d’une sphère
comprise entre deux cercles parallèles.

En géographie, toute la surface de la terre est divi-
sée en cinq bandes circulaires appelées zônes terrestres.
De ces cinq zônes, l’une s'étend à 23° 28" de part et
d'autre de l'équateur et a par conséquent 46° 56"

de largeur : on la nomme zône torride: elle com-

Z0

prend tous les pays situés entre les deux tropiques et
dans lesquels on peut avoir le soleil au zénith. Deux
autres de ces zônes se nomment zûnes tempérées ; l’une
est située dans l'hémisphère boréal et l’autre dans l’hé-
misphère austral. La première s'étend depuis le tro-
pique du cancer jusqu’au cercle polaire arctique, et la
seconde depuis le tropique du capricorne jusqu’au
cercle polaire antarctique. Elles ont chacune 43° 4' de
largeur et comprennent tous les pays qui n’ont jamais
le soleil à leur zénith, mais qui le voient tous les jours.
Les deux dernières zônes se nomment zônes gluciales ;
l’une est située au Nord et l’autre au Midi. La pre-
mière s'étend depuis le cercle polaire arctique jusqu’au
pôle boréal , et la seconde depuis le cercle polaire an-
tarctique jusqu’au pôle austral. Elles ont chacune 46° 56"
de largeur. Les pays qu’elles renferment ont des jours
et des nuits dont la durée comprend plusieurs révo-
lutions diurnes de la terre et est d'autant plus longue
qu'ils sont plus rapprochés du pôle. Sous le pôle même
le soleil demeure six mois au-dessus de l'horizon et six
mois au-dessous. La situation des zônes terrestres par
rapport à la direction des rayons solaires donne lieu à
plusieurs phénomènes physiques pour lesquels on doit
recourir aux traités de géographie.

ZOOLIQUE. Moteur z0o11QuE. (Aec.) (de Éüer,
animal.) Nom que l’on donne a un moteur animé. On
nomme aussi /n7achine zoolique toute machine mise
en mouvement par des homines ou par des ani-

maux.

FIN.

TABLE DES MATIÈRES

CONTENUES DANS LA SECONDE PARTIE.

L'article fortification est de M. de Lesvix, les biographies de M. A. Baineiner, de Grénoble, et les autres ariclés de

M. de MonTFERRIER.

Le premier nombre indiqué la page, le second la colonne.

Fabri
A abricius
Face

Facette
Facteur
Factorielle
acules
Facultés algorithmiques
ugliano
fausse position (règle de)
février
Fermat
Fernel
Feriart
Ferreo
igure
igurés (nombres)
une
ini
irmament
‘ixe
Flamstead
Fléau
Flèche
Fluente
luide
Flux et reflux
Fluxion
Folium
Fomalhaut
Fonction
Fontaine artificielle
Fontaine des Bertins
"ôrce
Formule
Fortification
Fourier
Foôurneau
Foyer
Fractions
Frénicle
Frottement
Frustum
Æulion
Funiculaire
Fuseau

Galilée

Gassendi

Geber (ob 9e
Gellibrand D

+ Gemeaux
+ Générateur

: Génération

22

LD: D:tR. &

SASRS

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Géodésie
Géographie
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Gérard de Crémone
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Globe

Gnomon
Guomonique
Goniométrie
Graphique
Grandeur
Graphomètre
Gravesande (S°)
Gravitation
Gravité
Grésorre de St-Vincent
Gregory
Guerike
Guillaume 1
Guldin

EH

Halley
Harmonique (proportion)
Harriot
auteur
Hasard
Héliaque
Hélice
Hélicoïde
Hélocentrique
Héliomètre
Héliostate
Hémisphère
Héndécazone
Heptagone
Hercule

Heron (d'Alexandrie)
Héron (le jeune)
Hersche!
Hétérodrome
Heure

Hévélius
Hexaëdre
Hexagone
Hipparque
Hiver
Hippocrate
Homocentrique
Homodrome
Homogène
Homologue

Hovk

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Hopital (le marquis de l)

Horaire

Hoïizon
Horizontal
Horloge
Horographie 1
Horoptère |
Horoxes

Huygens

Hÿades
Hydraulique
Hyüre
Hydrodynamique
Kdrographie
Hydrostatique
Hypatia ;
Hygrométrie

Hy perbole
Hyperboloïde
Hypothénuse
Hypothèse

Iéhnographie
Icôsaèdre
Idéntique

Ides

Image
Iiayinaires (quantités)
Jmmersion
Iñpair
Impulsion
Incidence
Inclinaison
Intliné (plan)
Incommensurable
Inconnue
Incrément
Indéfini
Indéterminé
Jdé!erminée (analyse
Inidiction
Indivisibles
Induction
Inéscalité

Jnfini
Jufinitésimal
Inflexion
Informes

Inscrit

Intégral (calcul)
Intérèt (règle d”)
Interpolation
Intersection
rradiation

ER mmNRNRRN ER =

©

CREER CR

& =

©

Di pt De Peu Pi NO NO em pe ei 2e mt N D &R & ©

&

ke

ee ee mt À

CCR

618

Irrationnel
Irréductible
Irrégulier
Isocèle
Isochrone
Isomérie
Isopérimètre

Jalon

Janvier

Jauge

Jet d’eau

Jet des bombes
Jour

Jovilabe
Juillet

Juin

Julienne (période)
Junon

Jupiter

K
Keil
Keppler
Kilo
Kircher

Lagny

Lagrange

Lahire

Lalande

Lambert

Lame élastique
Landen

Lanterne magique
Laplace

Latitude

Leibnitz

Lemme
Lemniscate
Lentille

Lettre dominicale
Levant

Levé des plans
Lever (des astres)
Levier

Libration
Licorne

Lieu géométrique
Lieue

Ligne

Limbe

Limite

Limites {méthodes des)
Limites des racines
Linéaire
Logarithme
Logarithimique
Logistique
Lougimétrie
Longitude
Longomontanus
Longueur
Lozange
Loxodromie
Lucifer

Lumière
Lunaison

Lune

Lunette
Lunisolaire (période)
Lunule

Lynx

Lyre

M

Machine

+
el
D ON = me ve me dé

M
ES

ms =
CORRE

…
Le]
D = = D D © & D

Or
= D MH

=
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1 à
30 09 mt Km D #6 49 215 D D D D 13m 00 Dm © 9 D D N D BD De R D Dm N D D D mm D D D nm D ©

199 !

TABLE ALPHABÉTIQUE.

Maclaurin
Maïran
Manfredi
Mappemonde
Maraldi
Marces
Mariotte
Mars
Maskelyne
Masse
Mathématiques
Maupertuis
Maurolyco
Maxima et Minima
Mayer
Mécanique
Me. haën
Membre
Menelaus
Ménisque
Mercator
Mercure
Méridien
Méridienne
Mersenne
Messier
Mesure
Méthode
Meton
Mètre
Micromètre
Microscope
Midi
Milieu
Minimum
Minute
Miroir
Mixtiligne
Mobile
Module
Moins

Mois
Moivre
Moment
Monge
Monocorde
Monome
Montucla
Moteur
Mouffle
Mouvement
Moyen
Moyenne proportionnelle

Moyenne et extrème raison

Muller
Multinome
Multiple
Multiplicande
Multiplicateur
Maltiplication
Mural
Muscida
Mydorge

N

Nadir

Napier ou Neper
Nature (lois de la)
Naturels (nombres)
Navigation

Navire

Nautique
Nébuleuses
Nésatif

Néoménie

Neper, voy. Napier
Neuf

Newton

Niveau
Nivellement
Nocturne

200
201
201
202
202
202
205
205
206
206
207
215
219
219
229
222
224
225
225
225

ÉenmemmN Re D = D mm & D LD

CA CT CT OS D CT ON CE CO CE CS ES CT DOS RSS CS

CRC CON ON OS CRC

Nœuds

Nombre

Nombres (théoric des)
Nombre d’or
Nonagésime

Nones

Nonius

Nord

Normale

Notation

Nuit

Numérateur
Numération
Numérique pa
Nutation

Objectif
Obliquangle
Oblique
Obliquité
Oblong
Observation
Observatoire
Obstacle
Obtus
Obtusangle
Occase
Occident
Occilental
Occultation
Octaèdre
Octant
Octave
Octobre
Octosone
Oculaire
Odomètre
OEiül artificiel
Olympiade
Ombre
Ondécagone
Ondulation
Opbhiuchus
Opposés
Opposition
Optique
Orbe ou Orbite
Ordonnée
Ordre
Organe
Urganique (description)
Orient
Oriental
Origine
Orion
Orréry
Orthographie
Ortive
Oscillation
Oscu!ateur
Osculation
Ovale
Ougthred
Ourse
Ouverture
Oxigone
Ozanam

Paccioli

Pair

Pallas

Panier (anse de)
Pantogonie
Paon

Pappus

Pa rabole
Paraboloïde

©
Le]

DRE DERN RE RE N = 7» 2

Ep &

©

BND R mm

Paracentrique
Paraïlactique
Parallaxe
Parallèle
Parallélipipède
Parallélisme
Parallélogramme
Paramètre
Parfait (nombre)
Partielles (différences)
Pas de vis
Pascal
Passages sur le soleil
Pédomètre
Pégase
Pélécoide
Pell
Pendule
Pénombre
Pentadécagone
Pentagone
Percussion

érigée
Péribélie
Périjove
Périmètre
Période
Périodiques (fractions)
Périphérie
Permutation
Perpendiculaire
Perpendicule
Perpétuel (mouvement)
Persée
Perspective
Perturbation
Pesanteur
Pesanteur spécifique
Pèse-liqueur
Peson
Phases
Philolaüs

Philosophie des mathémati-

ques
Phœnix
Phonique
Phoronomie
Physico-matlhiématiques
Picard
Pied
Pignon
Pile
Pingre
l'inules
Piston
Plan
Plan incliné
Plan (arp.)
Planchette
Planétaire
Planète
Planimétrie
Planisphère
Platon
Platoniques (corps)
Pléiades P
Pleine lune
Pléionne
Plus
Pneumatique
Poids
Point
Points singuliers
Poissons
Poisson austral
Poisson volant
Polaire
Pôle
Polémoscupe
Pollux
Polyèdre
Polygone
Polygones (nombres)

mm D ND we mm ot me on mt D D D et mm et ne KO Dei des me NO DO 0 ve où NO cod me ei Des pt (92 Nm mi 0

Dem De m ND NN = me mm ND ND ON me pm

COR CE CO CO

TABLE ALPHABÉTIQUE.

Polygonométrie
Polynome
Polypaston

Pompe

Porisme
Poristique

Porta

Porte -voix
Posidonius

Positif

F'osition

Poulie

Précession des équinoxes
Premiers (nombres)
Presse

Presse hydraulique
Pression

Preuve

Prime

Printemps

Prisme
Probabilités (calcul des)
Problème

Proclus

Procyon

Produit
Profondeur
Progression
Projectile
Projection
Proportion
Proportionnel
Proposition
Prostaphérèse
Piolenice

Puissance

Purbach
Pyramidaux (nombres)
Pyramide
Piramidoïde
Pythagore

Py theas

Q

Quadrangle
Quadrangulaire
Quadratique (équation)
Quadratrice
Quadrature
Quadrature du cercle
Quadrature (ast.)
Quadrilatère
Quadrillon
Quadrinome
Quadripartition
Quantité

Quantité de mouvement
Quarré

Quarré magique
Quarrer

Quart

Quart de cercle
Quartier de réduction
Quartier anglais
Quartier de réflexion
Queue du dragon
Quindécagone
Quintal

Quintile

Quintuple

Quotient

R

Facine

Racines des équations
Fadial

Radical

Raison

Ramus

Rameau,

Du AD NO Puel DO À Dee Det ee D Mme DO RO tee et 9 19 DO DD DO 0e N7 NS 0808 008 00 DD

D D D = m D ND D RE ND ot mm mi mt mi D D D D D D = mi 2e

DE =

CORRE

Rapport
Rapporteur
Bationnel
Rayon

Rayon osculateur
Rayon vecteur
Rayon visuel
Kebroussement
Féciproque
Rectangle
Fectangulaire
Rectification
Rectiligne
Récurrente (série)
Béduction
Réduction à l’écliptique
Réelles (quantités)
Réfléchi
Réflexibilité
Réflexion
Reflux
Réfraction
Réfrangibilité
Règle

Régulier
Régulus
Renard
Répercussion
Resecte

Résidu
Résistance
Résolution
Reste
Restitution
Retardation
Retardatrice
Réticule
Retour des suites
Rétrogradation
Révolution
Reyneau
Rheita
Rheticus
Rhombe
Phorboïde
Riccati
Riccioë

Rigel

Roberval
Robins

Roëmer
Romaine

Rose des vents
Rotation
Rouage

Roue

Roulette

Sacrobosc>
Sagiituire
Saisons
Salomon de Caus
Satellite
Saturne
Saunderson
Sauveur
Scalène
Scénographie
Scheat
Scheiner
Scholie
Scintillation
Scioptique
Sciatérique
Scorpion]
Scrupule
Sécante
Seconde
Secteur
Section
Segment

DD OO OO OMR HR Lo GW We Go

D D mm D D N° N° N Pi pme pt mt Det et D et 9 De D ON 2e ps

ARE EE bn En a a EE EEE

EEE EE dE Es RE RS EE ES ES

INIJNIJIAQ

PERDRE NmmmmN mm NM mm Dem nn DR m mm mm NN mem Nm ml DR bRR

#]

620

Sélé inographie
Semaine
Semblable
Septentrion
Série

Ser pent

su
exagésimale
Sextant
sidéral
Signe
Similitude
Simpson
Simson

Sinus PET

Sipbon
Sirius
Solaire
Solcil
Solide
solidité
olitaire
Solstice
Solution
omimi ation
ommatoire (calcul)
omme
ommet
on
Sos'gènes
Sothiaque (période)
ounormale
oupape
ourd
ous-contraire
Sous-double
Sous-doublé
Sous:multiple
Soustraction
Sous-triple
qu triplée
outylaire
Soutangente
Soutendante
Sparsiles
Spécieuse
Spatte coloré
phère
Spbérique
Sphéroide
Spirale
Spiriques (lignes)
Sporades
Stationnaire
Statique
Statistique
Stéréographie
Stéréométrie 2
Stléréotomie SG
Stüring
Sione
Sublime
Substitution
Sud ::
Suite
Superficie
Saperposition

£ Crt

Le Hobbs
& © -00 Co

SSSR RUES

463

514

on
. =
CI

TARLE ALPHAPÉTIQUE.

Supplément

Supputation
uriace
Symétrique
Fonctions symétriques
Polyèdres symétriques
Synchronisme
F nodique
ynthése
Système
Syzigies

Table
ableau
gi be
Î angente
Métl:ode des tangentes
Méthode inverse
T'artaglia
Taureau
Tautochrone
Taylor
Technie
Télescope
enps.
Terme
Terre
Tête du dragon
Tétragone
Tétraédre
TFétrapaston
Thalès
Théodolite
T'heodose
T'heon
Théorème
Théorie
Thermomètre
Thermoscope
Tiers
Toise
Toisé
Topographie
Torriceltt
Toucan
Touchante
Traction
Tractriee
Trajectoire orthogonale
Trajectoire
Transcendant
Transformation
Des équations
Des coordonnées
Transversale

Géométrie des transversales

Transverse

Trapèze

Treuil

Triangle

Triangulaire

Trident

Trigonométrie
Fectiligne avi
Spherique

FIN DE LA TABLE.

©
Len
CRC CRC CESR RE

542

CCC CERTES)
ms Co CS JUS RE D KW D

Al Ov Or Cr Or On On On On to
122
CSSS CES CR CR CRC CCC CE CE CS CCR CE CR CES Se CR CR CR CCR

Ces ee on

[a]
©
[ep]
KE

Trilatère
Trinome
Tripartition
Triplé
Trisection
Tripaston
Trochoïde
Trois (règle de)
Tronqué
Tropiques
T'schirnaus

T'ycho-Brahe

U
Uniforme
Unité
Universel (cadran)
Eranographie
Uranus.

V

F’andermonde
Vapeur (machine à)
Variable.
Variations (calcul des)
Varié

Varignon
Vecteur

Vent (inoulins à)
Ventilateur
Venus

Vernier

Verre

Verse

Verseau

Vertical

Vesta

Vibration
Vierge

Viete

Vis

Vis d’Archimède
Vision

Vitesse

Voie lactée
Volant

Volume

Voûte céleste

Wallis
Wéga
Wren

Z

Zenith

Zodiacale (lumière)
Zodiaque

Zône

Zoolique

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1922 I 16 ES = etc lisez — es t

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. 3 3 LA RDC: 3

124 2 II ax dx — bc*.x*dx., lisez ax*dx — bc. x*dx.

« . » 3 3

id. id. 16 = a. “F4 ete., lisez = : er ad etc.

id. id. 17 =4a Va Het, lisez = à say/ate etc.

< : 24 —h26 15 — m1 — Dz! 25 — AN]
id. id. 28 Len 122143 — 1297 at” dz, lisez - Le agile — ni dz.

23 — cz 3 C74 2 + cz DH ei

126 I It dx, lisez dz.

135

220

id.

id.

33

34

29

dernière ligne.

id.

dx , lisez dz.
dx, lisez di.
LH 4c, lisez b + 4ac.
(2x—b}15 (2cx —b}1+
=[:- ru) , lisez = ie] ;

à la place de z, Lisez à la place de x.

— _ (z%dx—arfdx), lisez — sn (z'*dz—az'dz).
3b* » 3b?

+ J'etc., lisez — fetc.

am. Xp—a(m—n) fxm—-1dx.Xp—1 xm.XPp—amfxm—\dx.XP—

—, dise = ———" ———"——

re, b(pn + m)
+ (m ae fo etc. , lisez + RE etc.

L
= Lx + Te + etc., lisez = Lx ee + etc.

1 I - 1
= cosmx + — cos(m—2)x + etc., lisez — cosmx+mcos(m—)x4etc

= (1—cos/ x)". (cosx)" dx — (cosx)"dx — M ré

REX | cosx)}r+4dx—etc..…, li
LS T.2 ) : ? ser

= (1—cos x)". (cosr)"dx = (cosr)rdx — m(cosx)"+2dx

+ D cosz}—hdx — etc...

: d’ 2 :
J'ex.dx = tee 7 ae _. — elc., lisez

des .2 dr" D. 3
J(æ=h) = fx ge î SE + etc., lisez
fé = PE _. a L ete, lisez
fe) = fe + = à _ ee

qui les a produites, lisez qui les a produits.
POTRA, lisez PORTA.

467 , lisez 467.

24 pieds en 4 toises , lisez 4 loises en 24 pieds.
cosp—cosq = 2c05+(p + g).sin + (p — gq), lisez
cos g—cosp = 2 sin+ (p + g).sin + (p —q).
ithm, het:

A1 = ©, lisez À; =

:
3°

nn.

se
an.

NP NE ad

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