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DICTIONNAIRE 


DES SCIENCES 


MATHEMATIQUES. 


Digitized by the Internet Archive. 
In 2010 with funding from 
University of Ottawa 


http://www.archive.org/details/dictionnairedess03mont 


DICTIONNAIRE 


DES SCIENCES 


MATHEMATIQUES 


PURES ET APPLIQUÉES, 


PAR A. S. DE MONTFERRIER ; 


MEMBRE DE L'ANCIENNE SOCIÉTÉ ROYALE ACADÉMIQUE DES SCIENCES DE PARIS, DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES 
DE MARSEILLE, DE CELLE DE METZ, ETC., ETC. 


TOME TROISIÈME. — SUPPLÉMENT. 


CONTENANT PLUSIEURS ARTICLES SUR LA Géodésie, LA Trigonomélrie et L'Astronomie, 


PAR M. LE COLONEL PUISSANT , MEMBRE DE L’ACADÉMIE DES SCIENCES, ETC., ETC., ET( 


Bruxelles, 


LIBRAIRIE MILITAIRE DE J.-B. PETIT. 


RUE MARCQ, N° 1. 


1840 


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DICTIONNAIRE 


DES 


| | 
| SCIENCES MATHÉMATIQUES 


PURES ET APPLIQUÉES. 


ABE 
ABERRATION. (4str.) Les formules d’aberration en 


ascension droite et en déclinaison énoncées dans le pre- 
mier volume de ce dictionnaire (pag. 10), bien qu’elles 
soient sous une forme très-simple, ne sont cependant 
pas celles dont les astronomes font ordinairement usage 
pour construire des tables particulières ou générales; voici 
une application fort élémentaire du calcul différentiel et 
de la géométrie aux trois dimensions qui conduit à ces 
dernieres formules de la manière la plus directe. 

Le rayon de la sphère céleste sur laquelle on projette 
Lous les astres pouvant ètre pris arbitrairement, suppo- 
sons-le égal au rayon vecteur r de la terre; supposons 
de plus que ce rayon représente la vitesse de la lumitre ; 
dans ce cas, le parallélogramme d’aberration s’étendra 
nécessairement jusque dans la région de l'étoile que 
l’on considère, et l'extrémité de la diagonale qui y est si- 
tuée marquera à touteépoque de l’année le lieu apparent 
de cette étoile. Or, cette diagonale ne différant de la dis- 
tance » que d’une quantité extrêmement petite, on 
pourra la représenter par » —E dr. 

Cela posé , rapportons la position de l'étoile à trois 
axes rectangulaires æ, y, z, dont le plan des deux pre- 
miers soit l’équateur céleste; prenons pour origine des 
coordonnées le centre de ce cercle ou celui de la terre, 
et considérons l'axe des æ comme la ligne des équinoxes ; 
enfin, désignons par À l'angle que la projection de la 
distance de la terre à l'étoile, sur Je plan des æy, fait 

Tomx 1, 


ABE 


avec l’axe des +, et par D l’angle que cette même dis- 
tance fait avec ce plan; on aura, par les principes de la 


trigonométrie rectiligne..... (1) 
ÆT=—=Y COS À. cos D, y—+r sin A. cos D, ++ sin D; 


d’où l’on tire... (2) 


tang À = CE 
Il est évident que À et D sont respectivement l’ascen- 
sion droite et la déclinaison vraies de l'étoile, et que 
pour passer du lieu vrai au lieu apparent qui en est trèse 
proche, il suflit de faire varier tous les élémens du pre- 
mier. Ainsi, en différentiant les équations (2), il vien- 
dra..... (3) 


xdy — ydx 


dA — —=, — cos ?A 
Fe 


rdr = ædx + ydy + dz. 


Maintenant soit ds le petit arc de 20'255 que la terre 
décrit en 499°2 de temps, et nommons x, 5, y les angles 
que cet élément, considéré comme rectiligne, fait avec 
évidemment, en 


les axes des coordonnées: on aura 


transportant ce mouvement dans la région de l'étoile ou 


aux confins de la sphere céleste... (4) 
dx dy dz 
dE = Coe, + = cosp, DT 


2 ABE 
Multipliant ct divisant par ds le second membre de la 
première équation différentielle (5), il viendra 


ls 
dA — = (cos B — cos & tang À) cos 2A; 


enfin, éliminant æ au moyen de sa valeur (1), laberra- 
tion en ascension droite sera... (a) 
ds 


CINE 


* cos D (cos B cos A — COS & sin A) : 


ds , : ï 
le rapport — étant celui de la vitesse de la terre à la 
F 
vitesse de la Iumière. 
La troisième équation (1) différentiée denne par le 


mème procédé 


12 — cu sin D + T° cos D. db, 
ds ds ds 
d’où 
CHE Ge 
dD — SD 0$ y — 7e sin D). 


Mais la seconde équation différentielle (3) pouvant s6- 


crire ainsi : 


il est facile de voir que l'on aura pour l'aberration en 


déclinaison... (d) 


S 
ds (LS ; 
dD==— cosycosD —— sin D (cosacos A—-cos fsin A). 
F T 


Les formules (a) et (d) renferment les angles «, £, y, 
qu'il faut éliminer. Pour cet effet, soit YBC l'équateur 
(PL 2, fig. à), VTT l’écliptique, S le soleil, Æ la terre, 
Y Je point équinoxial, FR une tangente à l'orbite ter- 
restre supposée circulaire, ST' une parallèle à cette tan 
gente, w l’obliquité de l’écliptique où l'angle EYB ; enfin 
X, Y, 2 trois axes passant par le centre du soleil et res- 
pectivement parallèles aux axes æ, y, z ments par le 
centre de la terre. Le triangle sphérique à BT' dans le- 
quel YT'= &, BT —$ et YB — 90° donne 


COs B — sin &. COS © ; 


le triangle sphérique dont les sommets sont Y, T'et le 
point où l’axe de Z rencontre la surface de la sphère 
céleste, donne 


COS + — Sin #. Sin w; 


ct dans le triangle rectiligne RTS rectangle en T, l'angle 
2ST est ce qu'on nommé la longitude héliocentrique v 
de la terre T; enfin angle 4 — go° + v. 

D'un autre côté, lorsque la terre est en T, le soleil S 
parait sur l’écliptique en S', et sa longitude que nous 


AJU 


désignerons par L= 180° — » étant introduite dans la 


valeur de & on aura 
a = L— 90°; 
ct, par conséquent, 


sin &— — CosL, cos « — sin L. 


Donc, en définitive, les formules (a) et (d) se chan- 


Me : ds CRE 
geront en celles-ci, en faisantattention que —=—20"2559 
ï ‘ 


s 20 230 
abet. en A—— 


(coswcos À cos L —Æ sin À sin E) 


aber, en D= — 20255 sin D (— coswsinAcosL 
—- cos Asin L) 


— 20/2535 sin w cos D cos L. 


Les Lables d'aberration insérées à la page 115 des ad- 
ditions à la connoissance des temps pour 1853 ont été 
calculées à laide de ces formules, où 20'255 cos » 
— 185806 et 20255 sin w — 8"0658, parce que l’obli- 
quité de Pécliptique répond à très-peu près à cectte 
tpoque. 

Quant aux nouvelles tables d’aberration et denutation 
pour les planètes dresstes par M. Puissant, qui a bien 
voulu nous communiquer cet article, voyez la Cinnaïs- 


sance des lemps pour 1816. 


NF-MOTEUR. 


FE 
ES 
—_ 
ep 
a 
PA 


(Mée.) Voy. Moraun. 


où AJUTOIR. (Mydraul.) Petit tuyau 
qu'on adapte à un réservoir ou à l’extrémité d’un tuyau 
äce conduite pour faciliter l’écoulement d’un fluide. 

L'induence des qutages sur la vitesse du fluide qui 
s'écoule et par conséquent sur sa quantité ou sur la dé- 
pense du réservoir, se manifeste d’une manitre déter- 
mince dans les trois cas suivans, lorsque l'écoulement 
s'effectue d’ailleurs à gueule bée où à tuyau plein, pre- 
mitre condition essentielle. 

1° Un ajutage cylindrique, de mème diamètre que 
lorilice pratiqué dans la paroi mince du réservoir, four- 
nit une dépense d'environ un tiers plus grande que 
celle qui aurait lieu par cet orifice. Pour tenir compte 
de celle circonstance dans la pratique, il faut calculer la 
dépense théorique de lorifice et la multiplier parle fac- 
teur constant 0,82. Ainsi, l'expression générale de la 
dépeuse théorique, pour un orifice circulaire pratiqué 
dans la paroi mince d’un réservoir à niveau constant, 
étant 

D=— (13,9146)2° (17h 

daus laquelle # désigne le demi diamètre de l’orifice, 


t la durée en seconde de l’éconlement, et h la hauteur, en 
mètres, du niveau du réservoir au-dessus du centre de 


ALT 


l'orilice (Voy. HxproDYNAMIQUE, (OM. 11, pag: 90), la 


dépense réclle par lajutage sera 


D— (11,4099) r'4/À 


formule qui donne la valeur de D en mètres cubes. Elle 


se réduit simplement à... (à) 
D—(11,40g9)r1/À 


en ne considérant que la quantité d'eau écoulée dans 


une seconde. 


Soit par exemple #— o°1 et h — 2 mètres; on aura 


D—(11,4099) (0,01) (1,41 52) —0 m. c. 161559; 


c’est-à-dire que la dépense réelle est, dans ce cas, de 
161557 centimètres cubes par seconde. 

2 Ün ajutage conique convergent (PI. 1, fig. 2) ou 
plus large à l’orifice cd du réservoir qu'à son extrémité 
ab, augmente la dépense d'écoulement dans un rapport 
encore plus grand, mais qui parait varier avec l'angle 
de convergence. Dans le cas le plus favorable, où ect 
angle est de 12 à 15 degrés, on obtient la dépense récile 
en multipliant la dépense théorique par le facteur con- 


stant 0,95. La formule générale devient alors... (2) 
D— (15,2188)r1/A 


# désignant le demi-diamètre de l’orilice cd. 

5° Les ajutages coniques divergens, c'est-à-dire ceux 
dont la plus petite base cd (PL. 7», fig. 5) est ajustte à 
l'orifice du réservoir, présentent la particularité très-re- 
iarquable de fournir une dépense réelle plus grande 
que la dépense théorique. I est reconnu qu'un tel aju- 
tage ayant en longueur neuf fois le diamètre de sa petite 
base, peut donner une dépense réelle une fois et demie 
plus grande que la dépense théorique de Porifice simple; 
on peut done employer pour calculer la dépense réelle 
la formule... (5) 


D= (20,815) rV/h 


r étant toujours le demi-diamètre de l'orifice du ré- 
ser voir. 

On pourrait construire des ajutages qui, loin d'ang- 
menter la dépense, seraient susceptibles de la diminuer 
en établissant des ren/flemens dans leur intérieur, ear tout 
ce qui peut occasionner un changement de direction 
produit dans les molécules fluides une diminution de vi- 
tesse. (Voy. ÉcouLeuexr pes rLt1prs.) 


ALTERNATIF, (Mée.) Mouvement alternatif. C’est 
celui qui présente une répétition périodique de rétro- 
gradations où de changement de direction dans un sens 
directement opposé. On le nomme aussi mouvement 


de va et vient, Tel est le moux ement d'ascension et de 


ACT 3 
descente du piston d’une pompe; celui de la marche 
d’un rouet à filer, ete., ete, 

Il n'existe que deux espèces principales de mouve- 
ment : le mouvement rectiliqne et le mouvement cur- 
viligne; mais chacun de ces mouvemens peut-être con- 
tinu ou alternatif; ainsi, dans la mécanique pratique, 
on doit considérer les quatre mouvemens généraux 


suivans : 


1... . Mouvement alternatif rectiligne. 
2. . . . . Blouvement alternatif curviligne. 
3. . . . . Mouvement continu rectiligne. 
Mouvement eontinu curviliqne. 


Parmi les mouvemens curvilignes, on distingue par- 
üculiérement les mouvemens cérculaires, comme ceux 
qui se présentent le plus fréquemment dans les machi- 
nes; par exemple, une roue qui tourne a un mouyc- 
ment circulaire continu, et un pendule qui oscille a 
un mouvement cérculaire alternatif. 

La transformation de ces divers mouvemens les uns 
dans les autres forme la partie la plus importante de la 
science des machines; nous la traiterons en détail au 


not COMPOSITION DES MACHINES. 


ALTITUDE. (Géog.) Mot consacré maintenant en 
géodésie pour désigner la troisième coordonnée géogra- 
phique d’un objet; c’est, autrement dit, sa hauteur au- 
dessus du niveau moyen de l'Océan. Ainsi la position d’un 
lieu sur la terre ou près de sa surface est parfaitement 
connue par sa latitude, sa longitude et son altitude ou 
sa hauteur absolue. 

La détermination de cette hauteur est ordinairement 
du ressort de la trigonométrie rectiligne ; mais dans cer- 
teins cas elle dépend d'observations barométriques faites 
simultanément au niveau des mers et à la station que 
l'on veut signaler géographiquement. (Voy. ALTINÈTUE, 
tome 1, pag. 03.) Souvent aussi l'altitude d'un point se 
compose de celle d’un autre point connu augmentée ou 
diminuce de leur différence de niveau, et le calcul de 
cette différence fait partie de ceux auxquels donne lieu 
toute triangulation qui forme le canevas de la carte d’un 
pays. Donnons une idée de ce nivellement trigonomé- 
rique. 

Indépendamment du relèvement des angles entre les 
objets terrestres, pour connaître, au moyen d'une base 
mesurée, leurs distances respectives, on observe leur 
hauteur ou dépression angulaire, où bien leur distance 
au zénith, quand on opère avec le cercle répétiteur de 
Borda. Alors le lieu de la station, qui est un sommet de 
triangle, se trouvant mis en comparaison avec les autres 
sommets environnans, il en résulle qu’on peut connaître 
la différence de niveau de deux sommets consécutif, 


Si, par exemple, du point À (PL x, fig. 7). sue la terre 


4 ALT 


sphérique, on observe la distance 2énithale ZAD — 9 du 
point D, et que l'arc AB compris entre les verticales 
ZC, Z'C et représentant la distance horizontale des deux 
points comparés soit; en même temps, un côté K de 
triangle, ce côté sera connu : ainsi l’on aura à résoudre 
le triangle DAB, Or, l'angle BAG = go°— £C, l'angle 
DAB — go° — (9— +C), l'angle ADB = 9 — C, et la 
base AB—K ; on a donc 


__K cos (d==+0C) 
PT ins ee CU 


ou, à trés-peu prés, 


DB — K cot d _ 


C étant l'angle des deux verticales ZC, ZC et 
R — 6566198 mètres le rayon moyen de la terre; au- 
quel cas C évalué en secondes sexagésimales à pour 


valeur — - 
R sin 1 


.. Mais il est plus exact de prendre au 
lieu de R la normale au point À de l’ellipsoïde de révo- 
lution. (Voy. TRIGONOMÉTRIE SPHÉROÏDIQUE. ) 

Cette formule suppose que la réfraction terrestre est 
insensible, mais le plus souvent la distance zénithale en 
est tellement affectée, que pour corriger leflet de ce 
phénomène sur la valeur de DB il est nécessaire de la 
z 


Re n K ; à ; 
diminuer de Ro? étant ce qu'on nomme le coclli- 


cient de la réfraction, lequel — 0,08, valeur moyenne. 
(Voy. RÉFRACTION TERRESTRE. ) 

Lorsque la distance zénithale 9’ du point À a été prise 
aussi du point D, à peu près dans les mêmes circon- 
stances atmosphériques, la formule qui donne alors la 
différence de niveau DB est celle-ci : 


ou assez exactement 
DB —K tang 5 (d — 0) 


à cause de l'extrême petitesse de C. Ainsi ces deux lor- 
mules sont indépendantes de la réfraction. 

Pour avoir maintenant laltitude du point D, il est vi- 
sible qu'il faudrait, d'après le cas de la figure, ajouter à 
la hauteur absolue de À la différence de niveau DB. 

Enfio, si d’un lieu D élevé l'on voit l'horizon T de la 
mer, ct qu'on en mesure la dépression A—3— 90", la 
hauteur absolue DB IH de ce lieu sera , à cause de la 


propriété du triangle rectangle DTC, 


H=—°R (11) ‘tang ?4A 


nñn désignant comme ci-dessus Je coellicient de la re- 
fraction, 


ANA 


L'application de ces formules est trop simple pour 
nous y arrêter; au surplus, on peut consulter à cet égard 
les traités spéciaux. 


(Article communiqué par M. Puissant.) 


ANAMORPHOSE. (Persp.) On donne ce nom à toute 
représentation défigurée d’un objet, faite sur une sur- 
face plane où courbe, qui parait régulière et exactelors- 
qu'on la regarde d’un point de vue déterminé. 

La construction des anamorphoses planes n’exige pas 
d’autres principes que ceux de la perspective linéaire, et 
s’exécule très-facilement par la méthode du treillis per- 
spectif (tom. 11, pag. 298). Ayant tracé, par exemple, 
le carré ABCD (PL 1, fig. 8) d’une grandeur arbitraire 
et l’ayant divisé en plusieurs autres petits Carrés, on y 
dessinera, dans ses proportions exactes, la figure dont 
on veut avoir une apparence monstrueuse. Ceci fait, on 
Uürera une droite ab (fig. 9), égale au côté AB du carré 
et on la divisera en un même nombre de parties égales 
que ce côté; sur le milieu « de cette droite, on mè- 
nera la perpendiculaire eA, longue à volonté, puis de 
chaque point de division @, 1, 2, 3, 4, 5, b on tirera une 
droite au point A. À ce même point À on élèvera sur 
eA la perpendiculaire AV, d’autant plus petite par rap- 
port à eA qu'on voudra rendre lanamorphose plus dif- 
forme, et on joindra les points V et b par la ligne Vb. 
Par les points d'intersections de Vb avec les lignes Aa, 
A1, A°, A5, cte., on mènera ensuite les droites ed, ef, 
gh, ete. parallèles à ab et on aura le treillis perspectif 
abed, dans lequel il n’y aura plus qu'à distribuer les 
laits de la figure tracée dans le carré ABCD, en ayant 
soin de placer proportionnellement dans chaque trapèze 
ceux qui se trouvent davs le petit carré correspondant. 
On aura de cette manière une image monstrueuse qui 
paraitra néanmoins semblable à celle du carré ABCD si, 
pour la regarder, on place l'œil au-dessus du point A à 
la distance AV. 

L'espèce de réseau ABCD, sur lequel on dessine la 
représentation exacte de l’objet, et qui peut être toute 
autre chose qu'un carré, reçoit le nom de prototype cra- 
ticulaire; sa perspective abed prend celui d'ectype cra- 
ticulaire. Le problème de décrire une anamorphose sur 
une surface quelconque se réduit évidemment à celui 
de tracer sur cette surface un ectype qui paraisse sem 
blable au prototype, Pœil étant placé au point de vue. 

Proposons-nous d'abord de tracer une anamorphose 
sur lasurface convexe d'uncône droit, etsupposons, pour 
plus de simplicité, que le eôté de ce cône soit le double 
du diamètre de sa base, Décrivons le cercle ABCDEF 
(PI. a, fig. 10), égal à la base du cône, et divisons sa 
circonférence en un nombre quelconque de parties 
égales AB, BC, CD, etc. Par chaque point de division 
menons un rayon, et après avoir divisé un de ces rayons, 


ANA 


AO par exemple, en un nombre quelconque de parties 
égales o1, 12, 25, ete. Décrivons avec les rayons 01, 0%, 
05, des circonférences concentriques. La figure ABCDEF 
sera le prototype craticulaire sur lequel il faut dessiner 
l'image exacte de l’objet dont on veut avoir l’anamor- 
phose. 

Avec un rayon oa (fig. 11), égal à quatre foisle rayon 
OA de la base du cône, décrivons un quart de cercle 
aoa'; le quart de circonférence da’ sera égal à la cir- 
conférence entière ABCDEE, et le quart de cercle ao 
sera le développement de la surface convexe du cône, 
sur laquelle, par conséquent, on pourra replier exacte- 
ment ce quart de cercle. Divisons l'arc aa en un même 
nozubre de parties égales que la circonférence du pro- 
totype, et, par tous les points de division, menons des 
droites au centre 0. Prolongeons o4' d’une quantité 0V, 
égale à l'élévation que nous voulons donner à l'œil au- 
dessus du sommet du cône, ettirons la droite Va; du 
point V comme centre; avec Vo pour rayon, décrivons 
l'arc om; divisons cet arc en autant de parties égales 
que le rayon OA du prototype, et, par tous les points 
de division, tirons des rayons qui rencontrent 04 
aux points 1, 2, 3. Du centre o avec les rayons 
o1, 02, 05, décrivons des ares concentriques, et la fi- 
gure aoa' sera l'ectype craticulaire; en le roulant sur 
la surface du cône et en plaçant l'œil à une distance 0V 
de son sommet, cet ectype paraitra exactement sembla- 
ble au prototype ABCDEF. On aura donc une anamor- 
phose conique en distribuant dans les subdivisions de 
l'ectype les projections des traits de la figure placés 
dans les subdivisions correspondantes du prototype. 

La même construction peut s'appliquer à toutes les 
pyramides régulières en opérant sur les cercles circon- 
serits aux polygones de leurs bases. 

On simplifie considérablement la construction de toute 
espèce d’anamorphose par le procédé mécanique sui- 
vant. Après ayoir percé ayec une pointe très-fine le 
prototype dans toutes ses lignes de contour, on l’expose 
à la lumière d’une bougie et on marque sur la surface 
où l’on veut décrire l’anamorphose les endroits où tom- 
bent les rayons lumineux qui passent par les trous. Ces 
endroits sont les points correspondans de l’anamorphose 
qu’on peul ensuite achever très-facilement. Le point de 
yuese trouve déterminé par la place du foyerlumineux. 

Pour rendre l'illusion plus complète, on ne doit re- 
garder les anamorphoses que par un petit trou fait au 
milieu d’un carton ou de tout autre corps opaque qui les 
isole des objets environnans. 

Les propriétés des miroirs cylindriques, coniques et 
pyramidaux , permettent encore de lracer des anamor- 
phoses qui, vues dans ces miroirs, offrent des figures 
régulières; mais nous croyons en avoir dit assez sur un 
objet de pure curiosité pour lequel on peut avoir recours 


APL 5 


à la catoptrique de Wolf ou aux Actes de Leipsik de 1512. 
On trouve dans ce dernier ouvrage la description d’une 
machine propre à décrire des anamorphoses pour les 


miroirs cylindriques et coniques. 


APLATISSEMENT. (Gé d.) C’est en général la dif- 
férence des demi-axes d’une ellipse, lun d'eux étant 
pris pour unité, En considérant la terre comme un el- 
lipsoïde de révolution aplati aux pôles, son aplatisse- 


ment ou cllipticité z a pour expression : 


a étant le rayon de l'équateur et b celui du pôle. 


L’aplatissement et l'excentricité dont le carré 


. a? — b? 


CE = ——— — 


me sont donc liés par la relation 


Cl —22— 4%", 


La valeur numérique de l'une de ces quantités se déduit 
ordinairement de la mesure de deux ares de méridiens 
situés sous des latitudes très-différentes. Par exemple , 
on sait (Voy. Recriricariox) que si } et X sont les lati- 


tudes des extrémités d’un are À du méridien, lon a 
A a(i—e)[m(i—3)—nsin(—))cos (24)... 


série dans laquelle m = 1 + je... n — À e?, 
Ainsi pour un autre are A’ terminé aux latitudes + et 


on à parcillement 
A'=a(i—et)[m(t—2)—nsin(t—%'}cos(g +1)... 


Cela posé, si l’on divise ces deux expressions l'une 


par l’autre et que, pour abréger, l’on fasse 


on aura en définitive, # étant le rapport de la circonfé- 
rence au diamètre , 


LA 
+ 
Mes = 3° Pl 
A sin # cos d — A'sin ? COS D LS ÈNe 


; AE: : : 

c'est-à-dire à peu près le double de l’aplatissement. 
Prenons pour application l’are A mesuré en France 

par Delambre et Méchain, et l'arc A’ mesuré à l'équa- 


teur par Bouguer et La Condamine. Dans ce cas 


A 55158516: 


p — 9° 065295 — re 27:40:99 
— mt nuls CC 

À — 15685? ÿ = — 0° 2° 51 

pi— IE Ÿ'— — 5 4 3a 


et l’on trouve, en opérant à l’aide des logarithmes à 


7 décimales, 


à 4 se 
6 ARE 
d’où e? —0,0654%4, et à res peu près 
= 1 
a — 0,0099222 = —— 
9210 ° 


Il est évident que e* étant trouvé, la valeur du rayon 
a de l'équateur se tirerait de lune des séries À, A° ci- 
dessus ; et enfin l’on aurait b = a Va et, C'est ainsi 
qu'ont été déterminées les dimensions de la terre. 
(Voy. Terre, tom. 11.) 
(Article communiqué par M. Puissant.) 


APPAREIL. On donne généralement ce nom, en 
mécanique, à tout système où combinaison de parties 


qui concourent à produire un effet. 


ARCHES. Foy. Powrs. 

ARÉOMÉERIE (de aczèos, léger, et de p:rpos, mesure). 
Art de mesurer la densité des liquides. 

La construction des aréomètres ou des instrumens 
propres à faire connaitre les densités relatives des li- 
quides repose sur cette loi hydrostatique : 

Un corps solide, plongé duns un liquide quelconque perd 
une partie de son poids éçale à celui du volume de ce li- 
quide qu'il déplace. 

Sans remonter à la démonstration mathémalique que 
nous ayons donnée de cette loi (tom. n, pag. 66), par- 
tons d’un fait connu de tout le monde et qui peut faire 
comprendre facilement la théorie des aréemitres. On 
sait qu'un morccau de bois flotte sur Peau tandis qu’un 
morceau de fer coule au fond: ce phénomtne résulte 
des densiits différentes de ce corps : la densité de l’eau 
étant plus grande que celle du bois et plus petite que 
celle du fer. Ainsi, lorsque le morceau de bois dent le 
volume entier pèse moias qu'un volume égal d’eau s’est 
enfoncé de menicre à déplacer un volume d’eau d'u 
poids égal à son poids total, il se lrouve soutenu par la co- 
lonne d’eau inférieure qui supportail ce poids, etne peut, 
conséquenment, descendre davantage; le fer, au con- 
traire, dont le volume pèse plus qu'un volume égal 
d’eau, ne peui jamais être soutenu par la colonne d’eau 
inférieure et doit tomber au fond du vase. Or, si lon 
plonge le même morceau de bois dans du vin ou dans 
tout autre liquide plus léger que l’eau, il est évident 
qu'il s’enfoncera plus que dans l'eau, mais qu'il flottera 
cependant encore, à moins que la densité du liquide soit 
moindre que la sienne, cas où il tombera au fond du 
vase, comine le fer dans l’eau. II résulte de ces circon- 
stances qu’on peut comparer les densités de deux liquides 
d’après les volumes qu’en déplace un même corps solide 
pour pouvoir flotter sur lun et sur l’autre. 

Supposons, par exemple, qu'un cube d’une substance 


parfaitement homogène, avant un décimètre de côté et 


ARÉ 


pesant 500 grammes, ne puisse flotter dans un certain 
liquide qu’en s’enfoncant de sa moitié, el dans un autre 
liquide qu’en s’enfoneant de ses trois quarts ; les deux 
volumes de liquides déplacés pour obtenir Péquilibre 
péserent chacun 500 grammes; mais le volume du pre- 
mier liquide ne sera qu'un demi-décimètre cube: ou 
590 centimètres cubes, tandis que celui du second sera 
de 550 centimètres cubes. On aura done en désignant 
par D la densité du premier liquide et par D’ la densité 
du second 


parce que les densités sont en raison inverse des volumes 
lorsque les poids sont égaux. (Voy. Dexsiré, tom. 1, 
pag. 424.) 

Si nous supposons, en outre, que le premier liquide 
soit de l’eau pure, dont on prend ordinairement la den- 
sité pour terme de comparaison où pour unité, cette 
proportion nous donnera 

D 00e 
r50 
et nous en conclurons que la pesanteur spécifique du se- 
cond liquide est égale à 0,6666... celle l’eau étant 1. 

Admettons maintenant qu’on ait tracé sur le côté du 
cube üne échelle graduée dont les subdivisions soient 
telles qu'on puisse connaitre immédiatement la pesan- 
teur spécifique d’un liquide par le chiffre de la subdi- 
vision qui répond à la ligne de flottaison du cube im- 
mergé, ct nous aurons un aréomètre à poids constant 
dont emploi n’exigera aucun calcul ultérieur. 

C'est à Robert Boyle qu’on doit les premiers perfec- 
tionnemens de l’aréomètre à échelle stable, construit 
d’après les principes précédens. C’est lui qui en a dé- 
crit la forme et qui a indiqué la manitre de s’en servir. 
Cet aréométre se compose d’un tube de verre eylindri- 
que (PI. 1, fig. 6) terminé par une boule soufflée de 
même substance qui, par sa dimension et la légèreté de 
son poids, fait constamment flotter tout l'instrument 
dans l’eau ; sous cette boule s’en trouve une autre plus 
petite, remplie de mercure ou de grenaille, afin de faire 
plonger davantage le centre de gravité et maintenir l'in- 
strument dans la position verticale. En place de la boule 
inférieure on allonge souvent la plus grande par en bas. 
Une échelle graduée en parties égales indique la quan- 
tité plus ou moins grande dont l’aréomètre plonge. 

La division en parties égales de l'échelle artométri- 
que, conservée dans les aréomètres usuels, tels que 
ceux de Beaumé, Cartier, Richter et autres, suppose 
que les changemens des densités des fluides sont pro- 
portionnels aux augmentations des parties plongeantes 
du tube, ce qui n’est nullement exact; aussi, les phy= 


siciens les plus distingués se sont-ils efforcés à l’envi de 


ARE 


perfectionner l'aréomètre, non seulement dans l'intérêt 
du commerce, pour lequel cet instrument ne donne que 
des évaluations incomplètes, mais encore dans l'intérêt 
de la science, qui réclame dans un grand nombre de 
cas un moyen simple et rapide d'estimer la densité des 
fluides. La difficulté de faire concorder la différence des 
parties de l’aréomètre qui plongent avec les variations 
des densités a été levée, pour la premiere fois, par 
Brisson, et nous deyons nous étonner que son procédé, 
susceptible d'atteindre une parfaite exactitude, ne soit 
pas devenu d’un usage général. Voici les principes in- 
contestables sur lesquels il est fondé. 

Désignons par D la densité de l’eau, par d celle de 
tout autre liquide, par Y le volume de la partie de l'a 
réomètre qui plonge dans l’eau, et par v la partie qui 
plonge dans l'autre liquide. Le poids du volume V d’eau 
étant égal au poids du volume » du second liquide, nous 
aurons 


MD D; d'ou \> _ 


Si nous voulons maintenant que la partie de l’instru- 


ment qui plonge dans l’eau ait un volume égal à v ou 


2 DNE RARE : TE 
à V. —-, il faudra nécessairement augmenter son poids 


d 
dans le même rapport qu’on veut augmenter le volume 
de la partie plongeante; c’est-à-dire que, si le poids pri- 
mitif qui faisait plonger le volume V est représenté par 


P, ce poids doit devenir P. = pour pouvoir faire plon= 


PDU. À : À 
ger le volume V. a; sinsi l'accroissement du poids pri- 


muitif sera 


sers LUS : | 
La quantité P. Tr représente dons le poids qu'il 


faut ajouter au poids primitif P pour que laréomètre 
descende dans l’eau à la même profondeur qu'il attein- 
drait avec le poids P dans un liquide d’une densité in- 
férieure d. 

A l’aide de ces principes, il est facile de graduer exac- 
tement l'échelle de l’aréomètre; car, faisant la densité 
de l’eau D— 1000, le poids de l'instrument étant P—1, 
pour trouver le volume dont il s’enfoncera dans un li- 
quide d’une densité égale à 990, on cherchera le poids 
additionnel nécessaire pour qu'il s'enfonce dans l'eau 
de ce même volume. Ce poids est 


1090 -— 990 10 


05 997, 10 
990 


d 990 


re ET ALLO 

Ainsi, versant dans la boule de l’aréometre —— de mer- 
990 

cure, et le plongeant ensuite dans l’eau, on marquera 


ARE 7 
d’un trait le niveau de la partie subimergée ; ce trait sera 
numéroté 990, et tous les liquides dans lesquels l’in- 
strument, avec son seul poids primitif, enfoncera jus- 
qu'à ce trait, auront une densité égale à 960, celle de 
l’eau étant 1000. On arrivera de la même maniere à la 
détermination des traits correspondant aux densités 
980, 970. 960, ctc., ct l’on aura une échelle divisée de 
10 en 10 degrés correspondant exactement avec les pe- 
santeurs spécifiques des liquides plus légers que l’eav. 
Les divisions intermédiaires seront prises proportion- 
nellement; ou, pour plus d’exectitude, en les cherchera 
per la même méthode. Quant aux liquides plus lourds 
que l’eau , cemme D — d devient négatif, lorsque d est 
plus grand que D, c’est une diminution de poids qu'il 
faut faire subir à l'instrument si l’on veut aussi indiquer 
leurs densités sur Pécheile. El est essentiel de rameneæ 
les liquides qu’on essaie à une même température ct 
principalement à celle de Peau qui a servi à la construc- 
tion de l'échelle; Brisson avait pris pour temptrature 
normale 14 degrés Réeumur. 

L'échelle de Brisson peut ©lre construite avec beau- 
coup d’exactitude en se servant d’un epparciltrès-ingé- 
nieux proposé par Montigny. Al (PI. 1, fig. 12) est une 
barre d'ivoire portée par un support mm de laiton en- 


tourant le vase rempli d’ea 


; à son exlrémilé supé- 
à à : ; ro 

ricure k, est une autre barre hn, disposée de manière 
à pouvoir glisser du haut en bas en conservant exacte- 
ment sa position horizontale. Si l’aréométre est plongé 
jusqu’au point normal, la barre Zn &oit toucher son ex- 
trémité supérieure; à mesure qu'on augmente le poids, 
l'aréomètre s’esfonce et l’on fait glisser la barre Ain, 


pour qu'elle touche encore la pointe de l'instrument ; 
L 


on marque avec un crayon les points à, Æ, ete. détermi- 
nés par la position de ka, et l'échelle se trouve ainsi 
tracée sur Al. I suflit ensuite de Ja transporter sur le 
papier qu'on met dans le tube. 

Le commerce des liquides exigeant qu’on puisse déter- 
miner aisément le degré de leur concentration, on s’est 
bezucoup occupé de la construction d'aréomètres particu- 
liersconnussousles noms populaires de pése liqueurs, pèse- 
acides, pèse-sels, péèse-sirops, ete. Tous ces instrumens ne 
sont que des aréométres à échelles en parties égales for- 
mées entre deux points fixes dont l’un correspond géné- 
ralement à l'eau pure et lautre à un mélange déter- 
miné. Dans larcomètre de Eeaumé, quiest encore le plus 
usité, les points fixes sont l’eau pure, marquée 10 sur 
l'échelle, el un mélange d’une partie de sel de cuisine 
et de neuf parties d’eau, marquée 0. Ce physicien, après 
avoir divisé en 10 parties égales l'intervalle de ces deux 
points, construisit ensuite le reste de son échelle en por- 
tant 40 parties pareilles au-dessus des premières ; de 
sorte que l'échelle porte 50 divisions égales (PL 1, 


fig. 4). Il crut pouvoir ainsi déterminer en même temps 


8 ARÉ 

le degré de rectification des boissons spiritueuses et 
leur poids spécifique; mais, comme ces deux quantités 
ne varient pas dans les mêmes proportions, il chercha 
simplement à obtenir une exacte concordance des arto- 
mètres, ce qui présente des difficultés insolubles par 
l'impossibilité de déterminer rigoureusement le degré 
de pureté et de sécheresse des sels employés. Si l'aréo- 
mètre de Beaumé était susceptible d’une construction 
toujours identique , on pourrait calculer la pesanteur 
spécifique des liquides d’après les degrés indiqués par 
cet instrument et à l’aide des pesanteurs spécifiques de 
l’eau pure et de l’eau salée. 

Beaumé est aussi l’auteur d’un aréomètre pour les li- 
quides plus lourds que l’eau. Le point où celui-ci plonge 
dans l’eau est marqué 0, et celui où il plonge dans un 
mélange de 85 parties d’eau et de 15 parties de sel de 
cuisine est marqué 15. L’intervalle de ces deux points 
est divisé en 15 parties égales, et l'échelle se prolonge 
au-delà de 15 jusqu'à 7o et plus par des subdivisions 
égales aux premières (PI. 1, fig. 5). On peut, à la vé- 
rité, peser avec cet instrument tout fluide plus lourd 
que l’eau et plus léger que le mercure ; mais il est su- 
jet aux mêmes inconvéniens que le premier. Comme 
ces deux aréomètres indiquent d’une manitre différente 
le point de densité de l’eau, qui est marqué 10 dans le 
premier et o dans le second, quelques physiciens pro- 
pesèrent, dès leur introduction , de placer générale- 
ment Je point de densité pour Feau à £éro, puis de 
choisir des degrés égaux au-dessus ct au-dessus de ce 
point. Ces propositions mobtinrent point l'assentiment 
général ; les Hollandais furent seuls jaloux d’avoir des 
aréomètres uniformes, et, en 1805, la pharmacopée ba- 
tave décida, conformément à la dernande des médecins 
d'Amsterdam, que tous les aréomètres indiqueraient 10° 
au point de la densité de l’eau, 0° dans un mélange de 
9 parties d’eau et 1 partie de sel, et qu’on porterait en- 
suile des degrés égaux au-dessus et au-dessous de 0. On 
nomme de semblables instrumens aréomètres hollandais. 

Lorsque l'usage des aréomètres de Beaumé fut de- 
venu géncral, on reconnut bientôt qu’ils ne donnaient 
pas les poids spécifiques des liquides, ct plusieurs sa- 
vans entreprirent de calculer ces derniers pour les di- 
vers degrés des aréomitres et de les réunir tous deux 
en des tables dont on se sert encore aujourd’hui pour 
passer de l’une de ces quantités à l'autre. Les travaux 
qui ont été exécutés pour cet objet ne doivent compter 
dans l'aréométrie que comme ayant signalé l’état d’en- 
fance où se trouvait alors la science. 

Nous ne déerirons pas les divers aréemctres à échelles 
stables, proposés par d’autres physiciens : quelques-uns 
de cesinstrumens,etnotamment ceux de Musschenbrock, 
Richter, Leraz-de-Lanthenée et Cartier, n’ont rien qui 


puisse les faire préférer aux aréomètres de Beaumé ; 


. 


ARE 


quelques autres sont d’une construction beaucoup trop 
compliquée, ou sont destinés spécialement à des éva- 
luations commerciales, comme l'alcoomètre centésimal 
de M. Gay-Lussac, dont l'emploi est devenu obligatoire 
par une loi. Nous dirons seulement de ce dernier qu'il 
est bien supérieur à l’aréomètre d’Atkins (PI. », fig. 1), 
qui sert en Angleterre pour lever l'impôt sur les bois- 
sons. 

Examinons maintenant une seconde classe d’arcomè- 
tres, celle des aréomètres à poids variable, bien plus 
propre que la précédente à donner des appréciations 
exactes. La construction de ces instrumens est fondée 
sur le principe que les densités des corps sont en raison 
directe de leurs poids lorsque leurs volumes sont égaux. 

Un aréomètre à poids variable se compose d’un tube 
mince terminé par une boule lestée de mercure, et porte 
à sa partie supérieure une petite coupe B (PL. 1, fig.17), 
destinée à recevoir le poids. Un petit bouton b placé 
vers le haut de la tige indique le niveau qu’on doit faire 
prendre à l'instrument dans tous les liquides où on le 
plonge. 

Désignons par P le poids total d’un tel aréométre, 
par p le poids additionnel qu'il faut placer dans la coupe 
pour la faire descendre dans l’eau pure jusqu’au point b, 
et par p' le poids additionnel qui donne le même ni- 
veau dans un autre fluide. Les volumes déplacés des 
fluides étant les mêmes et leurs poids respectifs étant 
P Ep cet P Ep, nous aurons, D et D’ étant les den- 


silés, 


D: D — (PE) MP Ep); 


d'où, en prenant la densité de l’eau pour unite, 


Supposons, par exemple, que linstrument pèse 
25 granunes et qu'il plonge dans l’eau pure avec un 
poids additionnel de 2 grammes, tandis qu'il ne plonge 
dans une eau salée qu'avec un poids de 4 grammes, 


nous aurons 


1 


= 


esant. spécif, de l'eau salée = — + TEA 
Il Ï °074 


25 + 2 LÉ 


L'instrument que nous venons de décrire, dû à Fa- 


renheit, a été perfectionné par €. Schmidt, qui le fit con- 
fectionner par lhabile artiste Ciarey. Dans sa forme 
primitive il ne donnait pas les poids spécifiques de tous 
les liquides et exigeait des caleuls. Pour éviter ces in- 
convéniens on eut d’abord recours à deux instrumens 
correspondans ; l’un pesait 800 demi-grains de Cologne 
ct, par des poids ajoutés, pouvait ètre porlé à 1200 demi- 
grains, l’autre pesait 1200 demi-grains et pouvait être 
porté à 2000 demi-grains; mais on adopta bientôt la 


ARE 


construction suivante qui est en ellet préferable. On 
attache au même corps A, en forme de poire (PI. », 
fig. 11), deux vases en verre a, remplis de mercure, de 
manière qu'avec l'un tout l'appareil pèse 700 demi- 
grains de Cologne, et avec l’autre 1200 demi-grains. 
Pour déterminer le niveau constant b, on plonge dans 
l'eau pure, à la température normale de 15° Réaumur, 
l'instrument lesté du plus petit poids et surchargé dans 
sa coupe de 500 demi-grains. Alors le poids du volume 
d’eau pure déplacé est représenté par 1000 ou par 1,000, 
et il suffit d'ajouter au poids additionnel exigé par tout 
autre liquide le nombre constant 700 pour obtenir im- 
médiatement la pesanteur spécifique de ce liquide. Par 
exemple, si un liquide ne demande que 125 demi- 
grains de poids additionnel pour faire plonger l’aréo- 
mètre lesté du plus petit poids jusqu’au niveau constant 
b, sa pesanteur spécifique sera 700-125 — 825, celle 
de l’eau étant 1000 ; ou 0,825, celle de l’eau étant 1. 
Pour les liquides dont la pesanteur spécifique sur- 
passe 1200, il faut lester l’aréomètre avec le plus grand 
poids pour qu'il ne soit pas trop surchargé à la tête et 
demeure en équilibre; la pesanteur spécifique est égale, 
dans ce cas, au poids additionnel augmenté du nombre 
constant 1200. Ainsi, s’il fallait un poids additionnel 
de 435 demi-grains pour faire plonger l’aréomètre jus- 
qu’au niveau b, le poids spécique du fluide serait 
31200 + 455 —1655, ou 1,655 par rapport à l’eau pure. 
Il est bien entendu que la température normale doit 
être exactement observée et déterminée par un ther- 
momètre appartenant à l’appareil. Il est clair qu'’outre 
les poids de demi-grains de Cologne indiqués, on peut 
choisir toute autre espèce de poids, en les partageant en 
700 et en 1200 parties de poids égaux et en faisant en- 
core pour y être ajoutés 300 et 800 autres petits poids 
égaux, afin d'obtenir avec exactitude la détermination 
du poids spécifique des liquides. Au surplus, il n’est pas 
strictement nécessaire que l'instrument pèse 500 ou 
1200 parties de poids, puisque le mesurage et le calcul 
seront également exacts, si, par exemple , l’aréomètre 
surchargé du plus petit vase rempli de mercure ne pe- 
sait que 655 ou 525 parties de poids; car il plonge- 
rait jusqu’en b dans le premier cas, surchargé de 345 par- 
ties de poids; et dans l’autre cas surchargé de 255. 
Lorsque l’aréomètre doit servir à déterminer le poids 
spécifique de liquides en petite quantité, on peut le 
rendre très-petit. La figure en forme de poire procure 
l’ayantage d'empêcher le renversement de l'instrument, 
quinemanquerait pas d’avoir lieu s'il n’était qu'un simple 
tube , parce qu’alors le poids ajouté ferait plonger pro- 
fondément le centre de gravité de l'instrument , et le 
centre de gravité de l’eau qui aurait été dérangé de sa 
place monterait au-dessus en renversant le tube. 
L’'aréomètre que nous venons de décrire sufit am- 
Tom. 11. 


ARE g 


plement pour la détermination du poids spécifique des 
liquides, parce que cette détermination n’est jamais 
cherchée que dans le rapport de l’eau comme unité. Si 
cela n’était pas, on trouverait les poids spécifiques trop 
petits, à cause de l'extrême faiblesse du poids de l’a- 
réomètre qui, pesé à l'air, perd de son poids une quan- 
tité égale au poids de l'air déplacé, laquelle quantité 
doit être ajoutée à son poids absolu. 

L'influence aérostatique de l'air sur le chapiteau et 
les parties de poids à l’aide desquelles on détermine la 
densité doit être d'autant plus observée, que ces par- 
ties, ne plongeant pas dans l’eau, sont toujours portées 
par l’air environnant. 

Il est facile de trouver la correction de l’influence 
aérostatique : soit le poids de l'instrument et le poids 
ajouté, lorsqu'il plonge dans l'eau pure jusqu’au petit 
bouton — p; le poids spécifique de l'air, par rapport à 
l’eau avec les corrections nécessaires — V; la perte de 
poids par l'influence de l'air sera — p V. Ainsi le poids 
absolu, outre les parties de poids pesées dans l’espace 
vide, est p'—p (1 + V), et comme cette correction 
affecte chaque parcelle de poids simple, les 700 par- 
celles de poids de l'instrument doivent être calcu- 
lées — 700 (1 + V), ainsi que les 500 poids ajoutés 
— 300 (1  V) pour trouver le poids spécifique de 
l’eau : ou bien il faudrait diminuer convenablement les _ 
poids ajoutés de maniere qu’on ait p—p(1—V;sin 
de ce poids était nécessaire pour plonger, le poids spé- 
cifique du liquide à éprouver serait—700 (1+-VY)—+ np. 

Cet instrument peut au besoin se passer de cette cor- 
rection. Ses avantages sont évidens, et nous ne savons 
pourquoi il n’est pas devenu d’un usage plus général, 
particulièrement pour les acides concentrés où l'emploi 
de la balance hydrostatique offre de grandes dificultes, 
à cause de leurs vapeurs. 

Les observations suivantes servent à déterminer jus- 
qu’à quel point il donne exactement le poids spécifique. 
L'aréomètre de Ciarcy pesait 500 grains de Cologne ; 
d’après Schmidt, le pouce cube de Paris, d’eau de pluie, 
pèse 1 56 ; la première quantité , divisée par la dernière, 
donne l’espace de l’eau déplacée par l'instrument plonge 
— 1,55 pouces cubes. La millième partie de cette quan- 
tité, 0,00153 pouces cubes, est égale à l’espace dont il 
plonge de plus par les parcelles de poids ajoutés. Le 
dernier espace divisé par la ligne transversale du petit 
pilier qui porte le vase, étant plus petit que 0,0025 pouces 
cub., on a ainsi PRE 66h pouces, pour la lon- 

0,00250 
gueur de la partie plongée par les parcelles de poids. Si 
on en retranche la moitié, pour l'adhésion à vaincre, 
ilreste encore 0,32 de la longueur de la partie plongée; 
et si l’on admet qu'on peut en évaluer un quart, on trou- 


2 


10 | ARÉ 


véra saus peine le poids spécifique d'un liquide jus- 
qu'à 0,00025. I résulte de là que la délicatesse de 
Pinstrument est en rapport direct avee sa grandeur ct 
en rapport inverse avec la section transversale de son col, 

Lanier a publié sous le nom d’hydrométre universel 
un instrument qui, quoique semblable à eelui-ci, est 
beaucoup plus compliqué et bien moins applicable. 
L'hydromètre thermométrique, dont Charles se servait 
pour trouver la dilatation des liquides par la chaleur, ne 
présente pasmoins deressemblance ayee cet aréomètre, il 
n’en diffère que par sa grandeur etla délicatesse de sa tige. 

Nicholson a proposé, sous le nom d’hydromètre, un 
instrument qui exige parcillement à égal volume des 
poids variables. I consiste (PI. 2, fig. 2) en un cylindre 
fermé d’en haut et d’en bas par des surfaces arrondies, 
en ferblane ; à l'extrémité supérieure, dens la direction 
de l'axe, est fixée une verge de laiton très-mince sur la- 
quelle se trouve, à un endroit déterminé, un petit anneau 
de ferblane r; le tout est surmonté par une coupe 
plite B; un fil d’archal soudé à l'extrémité inférieure 
porte un étrier, et celui-ci un cône renversé ou un go- 
det a dont l'extrémité d’en bas est surchargée d’un poids. 
S'il doit servir à trouver le poids spécifique des liquides, 
il faut déterminer son poids absolu et celui dont il est 
surchargé, pour le faire plonger jusqu’à l'anneau r du 
col, et alors il en arrive comme avec l'instrument de 
Fahrenheit, que les poids spécifiques des deux liquides 
se eomportent comme les poids absolus de l'instrument 
lorsqu'il plonge dans l'un et dans l’autre jusqu’au point 
marqué. L'inventeur Pavait aussi destiné à déterminer 
le poids spécifique des corps solides, ct Haüy le recom- 
mande surtout pour trouver le poids des minéraux. 
Dans ce dernier usage, il est inutile de connaître son 
poids absolu, et Ton opère de la manière suivante : pour 
obtenir le poids absolu du corps, on n’a qu'à chercher 
le poids ajouté avec lequel instrument plonge jasqu’à 
la marque, metlre le minéral dans la petite conpe ct re- 
tirer de ce poids ajouté jusqu'à ce que l'instrument 
plonge de nouveau jusqu'au point normal, Mettant alors 
ce corps dans le petit godet et le plongeant dans l’eau, 
il déplacera un volume d’eau égal au sien, dont il fau- 
dra mettre le poids dans la petite coupe pour rétablir le 
point normal où doit plonger Pinstrument ; le poids ab- 
solu, divisé par ce dernier, donne le poids spécifique du 
corps. Ainsi, Paréométre plongeant jusqu'au trait avec 
4oo gr. de poids ajoutés, si l’on met un morceau de 
spath calcaire dans la coupe et qu’on retire à sa place 
-290 gr. pour rétablir l'équilibre; qu'ensuite on mette le 
morceau de spath calcaire dans le petit godet, en ajou- 


{ant Q2 gr. dans la coupe, pour fäire de nouveau: plon- 


re : à 230 = 
ger l'instrument jusqu’au trait, on aura ne 27175 


2 
‘ 


pour le poids spécifique du spath calcaire par rapport à 


ARE 


l'eau, comme unité, à la température pendant l'expé- 
rience. Le volume de l'appareil et la finesse du fil d’ar- 
chal étant connus, on peut, par le caleul de Fahrenheît 
indiqué ei-dessus, déterminer Je degré d’exactitude 
qu'on doit espérer, Ces aréomiètres sont pour la plupart 
construits avec des lames de laiton ; mais il s’y attache, 
par le poli, une couche grasse qui empêche l’adhésion 
de l’eau et les rend bien moins délicats. Ces derniers in 
convéniens s’aggravent lorsque les instrumens sont en- 
duits de laque ou de vernis ; mais comme le laiton non 
verni se noireit promptement et que le vernis supprime 
l'adhésion de l’eau et la facile mobilité dans ce liquide , 
on doit se servir de l'argent et mieux encore du verre 
pour composer de bons aréomètres de cette espèce, 

Charles s’est servi d’un aréomètre semblable, qu'il 
avait approprié à son but; il le nommait aréométre- 
balance. D'après sa construction, c’est un artomètre de 
Fahrenhceit, avec un vase en verre suspendu à son ex- 
trémité et rempli de mercure. Entre les deux parties de 
cet instrument, il se trouve un crible en argent dans le- 
quel les corps solides sont placés pour trouver ce qu'ils 
perdent de leur poids dans l’eau. (PL. 2, fig. 10.) L’in- 
strument peut être renversé lorsqu'on veut s’en servir 
pour des corps plus légers que l’eau; ceux-ci le pousse- 
ront vers le haut. 

La grande exactitude de l'instrument de Fabrenheit 
permet d’arrangerconvenablement les dispositions indi- 
quées ici, tant pour les corps solides que pour les fluides. 

La balance bydrostatique de Hawksbée appartient 
également à cette classe d'artomeétress mais elle est très- 
compliquée, coûteuse et ne représente pas, malgré cela, 
un appareil artométrique complet. Elle consiste en une 
balance à bras égaux, qu'on peut hausser et baisser, avec 
une languette pendant en bas : à l’un des bras elle a un 
plateau de balance ordinaire, à l’autre un corps en verre 
de forme ronde allongée, au-dessus duquel, à la barre 
qui le porte, est adapté un second! plateau de balance. 
Pour déterminer le poids spécifique d'un liquide, on 
amène au niveau ce corps de verre avec le plateau de 
l'autre bras; on le plonge dans l’eau, et les poids à ajou- 
ter alors pour établir équilibre donnent le poids d'un 
volume égal d’eau. On plonge ensuite le corps en verre 
dans le liquide à éprouver, et les poids nécessaires à 
ajouter, divisés par les premiers, en donnent le poids 
spécifique. 

La balance proposée dès 1692 par Hooke est bien 
plus Simple et plus facile à comprendre. Elle consiste 
en un fléau délié à deux bres, une boule de verre ‘sus= 


penduepar un filtrès-fin de imétal est àl'un des côtés, et à 
l'autre un plateau de balance. L'emploi en’ esttout na- 
Ï Ï 


turel, et l'inventeur préterdavoir trouvé avécicet instru: 


1 $ 
ment ——— de sel dans l'eau. 
2000 


ARE 


La balance hydrostatique de Ramsden est préférable 
à toutes deux (PI. 1, fig. 16); elle se compose d’un le- 
xier qui porte au bras le plus court un corps en verre &, 
au plus long un poids mobile m, et qui donne immé- 
diatement et à la fois, sur deux échelles, d’une part, le 
poids spécifique, de F'autre, la valeur de lalcool en 
centièmes dans le fluide où on plonge la boule. 

Hassenfratz, dans une crilique étendue de la plupart 


des balances connues a proposé une amé- 


jusqu'alors, 
lioration qui consiste à faire donner par l’un des bras 
les dixièmes de Pautre: de plus il les a réduites en poids 
français et les a rendues universelles en substituant au 
corps en verre un pelit sceau pour la détermination du 
poids spécifique d'un corps solide. Ce dernier change- 
ment fait sortir cet instrument de la classe des aréomètres 
proprement dits et le fait ranger parmi les balances hy- 
drostatiques. 

Nous deyons indiquer aussi l'excellente balance plon- 
geante de Tralles, imitée pour ce qu'il y a de principal 
de l’aréomètre de Fahrenheit (PL 1, fig. 15). Elle con- 
siste en un corps creux À, de préférence en verre, avec 
un col mince qui plongera dans le liquide jusqu'à un 
point indiqué. A la pointe supérieure du col se trouve 
un bras deux fois replié aaaa; à l'extrémité inféricure 
de celui-ci est suspendu un petit plateau de balance avec 
les poids p, de manière que l'instrument bien établi nage 
dans le verre cylindrique B. La balance doit-elle être 
d’un usage général, on pésera le corps en verre ainsi que 
les bras, les bassins et les poids dont elle devra être 
chargée, pour que le corps en verre plonge dans l’eau, 
à la température normale, jusqu’au signe fait au col, ct 
ce poids Lotal est l’unité : celle-ci, divisée par le poids 
qui fait plonger le corps en verre dans un autre fluide, 
jusqu'audit signe, donne le poids spécifique de ce fluide 
à la température admise. Sion prend done le poids total 
de l'appareil donné plus haut pour unité, et qu’on fasse 
des parties de poids qui en donnent des 0,001", on ob- 
tiendra le poids spécifique du fluide, sans calcul. L'appa- 
reil pèse-t-il, par exemple, sans les poids ajoutés, 520 
parties de poids, de sorte qu'il faut encore ajouter 480 de 
ces parties pour le faire nager dans l’eau, le poids spé- 
cifique d’un fluide plus léger, pour lequel on enlévera 
20 parties de poids, scra — 0,980 ; et pour un fluide plus 
lourd, où il faudra ajouter 35 de ces parties, il sera 


1,095. Mais si l’on veut employer la balance à dé- 


terminer une quantité particulière ; par exemple, ce qui 
est contenu d'alcool dans l'eau-de-vic, on pourra dis- 
poser pour cet effet les poids ajoutés, et préparer, pour 
chaque exemplaire, des tableaux qui donnent d’une part 
les poids spécifiques diminuant avec le contenu du mé- 
lange et de l’autre les variations dues à la température. 
Tralles, en même temps que la description de l’instru- 
ment, donne la manière de s’en servir, Du reste on voit 


ARE 11 
ral à celui de Fah- 


renheit pour l'exactitude, l’étenduc et la finesse; infé- 


sans peine que cet instrument est ég 


ricur en quelque chose pour la commodité et la facilité 
de son emploi, mais préférable pour la modicité de son 
prix. 

Les mêmes principes ont conduit à une autre série 
d'instrumens qu'on peut employer ayee avantage : tel 
est celui de Plomberg, qui est un des plus anciens. Hse 
compose d'une bouteille de verre À (PI. 2, fig. 12), avec 
un €ol mince et un petit tube f, adapté de côté, qui at- 
teint jusqu’à la hauteur e du col et empêche que le li- 
quide renfermé ne puisse jamais s'élever au delà de cet 
intervalle très-étroit,et qui permet aussi le dégagement de 
l'air lorsqu'on introduit le liquide dans le vase. On place 
ce yase sur une balance très-exacte, puis on le remplit 
d’eau jusqu'au signe fait en e; on pèse cette eau, on vide 
ensuite le vase, on le sèche avec soin et on le remplit 
de nouveau avec le liquide dont on veut déterminer la 
densité. Ce liquide étant aussi pesé, on divise le dernier 
poids trouvé par le premier, et on obtient ainsi le poids 
spécifique du liquide comparé à celui de l'eau pris pour 
unité. Comme le col de la bouteille se rétrécit jusqu'à 
la capillarité, les volumes des fluides introduits ne peu- 
vent essentiellement différer, hors ce qui compose l'at- 
traction différente de la capillarité ; il faut aussi bien te- 
nie compte de la difficulté à rendre le vase sec et pur. 

Descroizilles apporta à eet appareil un premier chan- 
gement, peu important il est vrai, et lui donna le rom 
d'aérométritype, vu qu'il devait servir à calibrer les aéro- 
mètres de Beaunié. D'après lui, linstrument consiste en 
un verre épais gk, avec un bouchon-tampon de verre ab 
forcé dedans et qu'on fait entrer dans l'espace du verre, 
rempli de telle sorte qu'il y reste juste 100 décigrammes 
d’eau distillée. Cette quantité peut être exactement ré- 
glée dans le confectionnement de l'instrument, soit en 
amincissant un peu le bouchon, soit en enlevant un peu 
de sa surface inférieure. Le verre rempli d’eau pure est 
mis en équilibre sur une balance délicate, avec son étui 
en ferblane BB et son couvercle À, de manière à être 
exactement taré. Dans le petit tiroir de, se trouvent de 
petits poids réduits en milligrammes , et quand le verre 
est rempli d'un fluide quelconque, on le reporte sur la 
balance et l'on met de ces petits poids, soit dans Le pla- 
teau contenant l'étui, soit dans celui du verre; ce qui 


donne immédiatement le poids spécifique du liquide. 
L'inventeur n’a point tenu comple des variations de la 
température et de leur influence. 

Ramsden perfectionna cet instrument au point dè dé- 
terminer rigoureusement la température des fluides à 
peser , en y plongeant un thermomètre dont l'échelle ne 
contenait que 10 à 12 degrés français (PL 1, fig. 15). 
La bouteille de 2 à 2,9 pouces de diamètre se termine 


par un cal étroit très-bien poli de 0,5 pouces de diamètre 


12 ARE 


et couvert d'un petit carreau de verre pareillement bien 
poli; ce dernier a un petit trou rond par lequel passe 
l'extrémité du thermomètre qui atteint presque le fond 
du vase. 

On doit considérer comme une amélioration impor- 
tante que Schmeisler ait pourvu le vase d’un bouchon 
en verre dans lequel le thermomètre est également in- 
troduit au moyen d'une tige en verre. De cette manière, 
l'instrument est plus compliqué et plus difficile à con- 
struire; mais il permet d'observer les degrés du ther- 
momètre avec des fluides non transparens. Hassenfratz 
n'apporte point d'amélioration réelle en proposant ce 
fermer le vase avec un bouton en plomb percé d'un trou. 
Nagenman rejette le thermomètre; il conseille de pren- 
dre uniquement un simple vase contenant environ deux 
onces d'eau, bien poli par en haut et couvert d'un car- 
reau de verre également poli pour déterminer exacte- 
ment par cette superposition le volume du fluide. On 
pèse ensuite sur une balance délicate la bouteille -rem- 
plie et tarée auparavant, et on détermine le poids spé- 
eifique de différens liquides par le poids des quantités 
égales trouvées par ce moyen. Ainsi fait, cet instrument 
se nomme microaréomètre où aussi balance hydrostati- 
que; et Parrot démontre qu’on peut s’en servir égale- 
ment pour déterminer le poids spécifique des corps so- 
lides, puisqu’en les précipitant dans l’eau on trouve 
leur volume par la quantité d’eau déplacée. 

Enfin Meissner a proposé un dernier perfectionne- 
ment pour ces aréomètres qu'il nomme pyknomètres. I 
consiste simplement à faire un petit trou dans le carreau 
de verre qui le couvre, pour laisser ainsi une issue au 
liquide excédant quand celui-ci n’est pas de nature à 
mouiller les bords du vase et à s'étendre par-dessus. 

Il est certain que cet instrument présente, tant par sa 
délicatesse que par sa commodité, un avantage marqué 
sur tous ceux de même espèce. Mais, pourvu d'un ther- 
momeétre, le poids du vase est trop lourd eu égard au 
poids du fluide contenu, et sans thermomètre, la tem- 
pérature peut d'autant moins être détermintée, qu'elle 
est trés-facilement changée par l'écoulement du fluide 
et par la manipulation nécessaire pour l’essuyer. Il 
exige ainsi un calcul aussi étendu que l'instrument 
de Nicholson, et on doit le classer après l'aréo- 
mètre de Fahrenheit et ceux à échelle fixe. La petitesse 
de son volume ne le rend commode que lorsqu'il n'y à 
qu'une petite quantité de fluide à vérifier. Dans ce cas, 
l’on peut, pour de petites quantités, allonger des verres 
minces en pointes fines; puis, après les avoir tarés, rem- 
plir ces verres en quantité égale autant que possible à la 
même lempérature, d'abord d'eau, puis, du fluide à vé- 
rificr; fondre les pointes en les tenant simplement à la 
flamme d'une lumière; et les peser alors. On obtient 
de cette manière, pour de très-petites quantités de flui- 


AUB 


des, les poids spécifiques à peu près exacts. Pour des 
travaux en grand, on se sert également avec avantage 
de grands vases à volonté avec des cols minces; on les 
remplit à une égale température (telle qu'on lobtient, 
par exemple, par un séjour prolongé dans une cave pro- 
fonde) des liquides à éprouver; et on détermine le de- 
gré normal , pour leur rectification ou leur concentra- 
tion, en les pesant sur une balance ordinaire. 

On a encore proposé plusieurs instrumens du même 
genre, mais ils n’ont point été adoptés par les physi- 
ciens, qui ont recours à la balance hydrostatique, toutes 
les fois qu'ils ont besoin de déterminations tres-exactes, 
(Voy. Dexsrré, tom. I.) 


AUBES. (Mée.) Palettes qui garnissent la circonfé- 
rence d’une roue hydraulique pour recevoir l’action 
d’un courant d’eau. 

On distingue deux espèces de roues à aubes : les roues 
verticales et les roues horizontales. 

I. Roues verticales. Les plus simples de ces roues sont 
celles qu'on nomme roues pendantes, parce que leurs 
aubes plongent dans le courant de l’eau qui n’agit sur 
elle que par son choc. On les applique le plus commu- 
nément à l’axe horizontal des moulins sur bateaux amar- 
rés dans les rivières. La fig. 5, PI. 2, présente la coupe 
d’une telle roue, et la fig. 6 son profil. b, b, sont les 
aubes fixées à l’axe e auquel elles impriment un mouve- 
ment de rotation en sens inverse du courant de la ri- 
vitre. Cet axe transmet le mouvement à toutes les pièces 
du moulin par une roue d’engrenage ou par tout autre 
mécanisme approprié à cet effet. 

Il résulte des expériences les plus récentes, que la 
longueur des aubes ne doit pas dépasser les 28 cen- 
tièmes de la distance du centre de l’axe au centre de 
l'aube, et que ces aubes doivent plonger entièrement 
l'eau. On donne ordinairement 4 ou > mètres de lon- 
gueur au diamètre de la roue ; la largeur des aubes varie, 
selon les circonstances, de 2 mètres et demi à 5 mttres. 
On n’est pas d'accord sur le nombre des aubes qui est 
de 6 dans la plupart des moulins existans et qui pour- 
raient être certainement augmenté ayec avantage. 

Les aubes des roues pendantes sont généralement 
planes, mais il est reconnu qu’elles produiraient plus 
d'effet si elles étaient légèrement concayes du côté où 
elles recoivent le choc de l'eau. Une autre disposition 
avantageuse serait de les armer de rebords faisant saillie 
sur ce même côté; par ce moyen l’eau s'échapperait 
plus difficilement à la droite et à la, gauche de l’aube 
après l'avoir frappée. 

Comme il est prouvé (voy. Courant) que la force 
impulsive d’un courant contre les aubes d’une roue est 
plus grand, de près du double, dans un coursier (voy. 


ce mot) que dans un large canal, l'usage suivi dans 


AUB 


plusieurs pays d'établir les moulins au milieu des 
rivières et de recevoir l’action de l’eau sur deux roues 
placées des deux côtés d’un même bateau est évidem- 
ment vicieux. On obtiendrait un meilleur résultat en 
disposant une seule roue entre deux bateaux assez rap- 
prochés l’un de l’autre pour ne laisser entre eux que la 
distance nécessaire au jeu des aubes et pour leur former 
ainsi une espèce de coursicr. 

La théorie de ces sortes de roues et des suivantes a été 
exposée au motROUE HYDRAULIQUE (tom. IL. p.436); on 
trouvera les notions nécessaires pour l’apprécier dans 
ce supplément , aux mots COURANT, EFFET, FORCE VIVE Cl 
QUANTITÉ D'ACTION. 

Les roues verticales destinées à recevoir l’action d’une 
chute d’eau se composent généralement d’un axe b 
(P. 2, fig. 5 ct 4) duquel partent des bras qui l’unissent 
à la circonférence solide de la roue composée de deux 
ou trois jantes; de fortes chevilles en bois, nommées 
bracons, sont implantées dans les jantes et servent à re- 
tenir Les aubes qui sont cloutes et boulonnées sur elles. 
Quelquefois on ferme une partie de l'intervalle qui 
existe sur les jantes, d'un aube à l’autre, par une plan- 
che fixée à plat contre les jantes ; ces planches, nommées 
contre-aubes , empêchent l’eau de jaillir dans l'intérieur 
de la roue. 

De toutes les dispositions qu'on peut employer pour 
faire frapper les aubes par l’eau, la meilleure est celle 
dans laquelle le point où l’eau sort du réservoir est le 
plus près possible de l'extrémité de Paube. La vanne ff, 
qui laisse échapper l’eau, doit être inclinée comme on 
le voit dans la figure, parce qu'il est prouvé que la dé- 
pense d’eau est plus considérable avec une vanne in- 
clinée qu'avec une vanne droite. (Voy. Écouremenr). 
Lorsqu'on a besoin d’une grande vitesse, et que la chute 
est petite, on fait frapper l’eau sur la deuxième ou la 
troisième aube à partir du diamètre vertical ; alors l’eau, 
quoique enfermée dans un coursier gg (fig. 4), n’agit 
sensiblement que par son choc. Dans tous les cas, au 
contraire, où l’on a besoin d’une vitesse moyenne, le 
coursier doit être disposé de manière que l’eau com- 
mence à frapper la septième aube, à parür du diamètre 
vertical, et continue à frapper les aubes précédentes ju:- 
qu'à la quatrième : elle agit alors sur celles-ci par son 
choc, tandis que son poids agit presque uniquement sur 
la troisitme, la seconde et la première aube. L'action 
de la roue à aubes se rapproche dans ces circonstances 
de l’action de la roue à augets. (Foy. Aucers.) 

On détermine la largeur du coursier sous la roue par 
le volume d’eau qu'il doit conduire, en observant que 
la hauteur de l'eau dans le coursier, débarrassé de la 
roue, ne doit pas surpasser 25 centimètres ni être 
moindre de 15 centimétres. L’intervalle entre les pa- 
rois du coursier et le bord des aubes doit être le plus 


AUB 13 


petit possible, afin que la quantité d'eau qui y passe et 
qui n’exerce aucune action sur les aubes soit propor- 
tionnellement assez petite pour que la force du courant 
n’en soit pas sensiblement diminuée. Il ne parait pas 
possible de donner à cet intervalle moins de 15 milli- 
mètres, parce que les roues les micux faites s’affaissent 
toujours, après un certain temps, dans quelques-unes 
de leurs parties, de sorte que les aubes finiraient par 
frapper le coursier si l'intervalle était trop petit. 

La longueur des aubes, dans le sens du rayon de la 
roue, doit être environ trois fois la hauteur de la lame 
d’eau dans le coursier, sans dépasser toutefois 65 centi- 
mètres. Quant à leur largeur, elle est fixée par celle du 
coursier. On prend ordinairement pour intervalle d’une 
aube à l’autre une distance à peu près égale à leur lon- 
gueur, ce qui fait dépendre le nombre des aubes de la 
grandeur du diamètre de la roue. Lorsque ce diamètre 
est de 24 mètres, on emploie 24 aubes; 28, s'il est de 
5 mètres; 32, s’ilest de G mètres; 56, s'il est de 7 mètres; 
et enfin 40, s’il est de 8 mètres, 

La grandeur du diamètre de la roue est déterminée 
d’après la vitesse qu'on veut donner aux aubes, car 
c'est uniquement de celte vitesse que dépend l'effet 
utile de la roue. Il faut done connaitre le nombre de 
tours que Ja roue doit faire en une minute de temps, 
pour opérer l'effet auquel elle est destinée, puis on cal- 
cule son diamètre de manière que la vitesse des aubes 
soit la moitié de celle du courant. La vitesse de toutes 
les roues à aubes se mesure par le chemin que parcourt 
en une seconde le centre d'une aube. 

Il résulte de la théorie (Lom. IL, pag. 435), 1° que le 
maæimum d'effet d'une roue à aubes a lieu lorsque sa vitesse 
est la moitié de celle du courant ; 2° que le maximum, 
dans le cas où l'eau n'agit que par son choc, est égal à 
la moitié de la force vive dont l'eau est animée. 

C'est d’après ces deux principes qu'on peut juger si, 
pour une machine mue par une roue à aubes, le mo- 
teur a été employé de la maniere la plus avantageuse. 
L'effet maximum, calculé en prenant la moitié de la 
force vive ou de la quantité d'action du courant, doit 
toujours être considéré comme le terme de comparaison. 
et la roue est d'autant plus parfaite que son effet géné- 
ral ou dynamique se rapproche plus de cet effet maxi- 


mum qui à pour expression, en le désignant par E, 
BP SHS 


égalité dans laquelle P. est le poids d’eau dépensé eu 

é 

une seconde de temps et H la hauteur totale de la chute. 
Dans la pratique, l'effet théorique maximum est bien 

loin d’être obtenu, car, dans les circonstances les plus 

favorables, l'effet dynamique d’une roue à aubes à per- 

cussion ne dépasse jamais le tiers de la force totale du 


courant, et dans les circonstances ordinaires cet effet 


14 AUG 


équivaut {out au plus au quart de la force dépenste. 
Quant aux roues à pression et à percussion, comme celle 
de la figure 4, on peut estimer que leur effet maximum 
est équivalent aux six dixièmes de la force du courant. 

La grande perte de puissance occasionnée par les roues 
verticales à aubes plates, mues par-dessous, ct l'avan- 
tagé incontestable qu’elles présentent pour utiliser les 
petites chutes ont fait chercher par un. grand nombre 
de savans les moyens de les perfectionner. M. Ponce- 
let a eu l’heureuse idée de substituer aux grandes pa- 
lettes en usage de petites aubes courbes disposées de 
manière que l'eau, bien que transmise de côté, n'agit 
sensiblement que par son poids, ce qui annule théori- 
quement la perte de vitesse due au choc, et permettrait à 
la roue de recevoir toute la force de l’eau si l'aube pou- 
vait satisfaire exactement à deux conditions qui ne sau- 
raient être réalisées qu'approximativement : l'entrée de 
l’eau sans choc, et sa sortie avec une vitesse dirigée en 
sens inverse de celle que possède la circonférence de la 
roue. Cette circonstance réduit l'effet maximum réel 
des roues à aubes courbes, mais il n’en demeure pas 
moins supérieur à celui de toutes les roues à aubes or- 
dinaires : car, d’après les expériences les plus précises, 
il peut dépasser dans certains cas les trois quarts de la 
force totale du courant. M. Poncelet a publié en 1827 
un mémoire sur la théorie et l'établissement pratique 
de sa roue, dans lequel il résume toutes les améliora- 
tions produites ou tentées jusqu'alors sur les roues hy- 
drauliques , ainsi que toutes les connaissances acquises 
sur ces machines. Cet ouvrage ne saurait être trop mé- 
dité par les praticiens qui ne se laissent encore guider 
que trop souvent par une routine aveugle. 

JL. Roues à aubes horizontales. Nous avons donné, 
dans le tom. 11, la théorie de ces roues qui ne sont 
guère employées que dans le pays de montagnes où les 
courans d’eau sont rapides et abondans. Elles servent 
particulièrement pour les moulins à farine, et sont très- 
commodes en ee qu'on peut appliquer immédiatement 
la meule tournante à l'extrémité supérieure de l'axe 
même de la roue, ce qui dispense de tout engrenage. 
Le diamètre des roues horizontales est ordinairement 
de 1, Go, et leur épaisseur de 0, 20; elles portent 18 
ou 2oaubes, de 0", 4o de longueur, en forme de cuillers 
au centre desquelles l'eau vient frapper. L'effet dyna- 
mique de ces roues n’est pas moins du tiers de la force 
du courant, mais elles exigent une certaine vitesse pour 
donner une bonne mouture et ne peuvent être mises en 
jeu que par des chutes d'au moins 3 mètres. 


AUGET. (Méc.) On donne ce nom aux cavités pla- 
cées sur la circonférence d’une roue hydraulique verti- 
cale pour recevoir l’eau motrice fournie par un cou- 
rant. 


AUG 


Ces cavités, nommées aussi pots et godets, doivent 
être disposées de manière que, lorsque la roue tourne, 
l’eau dont elles sont remplies soit conservée le plus 
long-temps possible et ne s'échappe entièrement que 
lorsqu'elle sont arrivées au point le plus bas de leur 
course. 

Les roues à augets sont mues principalement par le 
poids de l'eau dont les augels sont chargés. Quelque- 
fois elles sont doubles comme celles des figures 8 et 9, 
PI. 1, où les augets sont disposés sur l’une des parties 
de la circonférence en sens contraire de celui où ils sont 
disposés sur l’autre, et elles peuvent alors tourner dans 
un sens ou dans le sens opposé suivant qu’on ouvre la 
vanne destinée à fournir l’eau nécessaire. Le canal bb 
qui conduit l’eau au sommet de la roue est percé de 
deux orifices opposés ec fermés par des vannes qu'un 
levier f fait manœuvrer, de manière que les vannes 
soient baissées lorsqu'il est horizontal, et qu'il n'en peut 
lever qu’une seule à la fois lorsqu'on l'ineline ou qu'on 
l'élève par rapport à la ligne horizontale. Les deux ori- 
fices ne sont pas directement opposés, mais correspon- 
dent aux deux parties de la roue. Les principales dispo- 
sitions des roues simples sont les mêmes, sauf que la 
roue n’est pas divisée en deux parties, qu'elle ne peut 
tourner que dans un sens, et que le canal alimentateur 
n'a qu'une seule vanne. 

Les roues à augets dans lesquelles l’eau arriveau soin 
met se nomment roues en dessus; leur diamètre doit 
être moins grand que la hauteur de la chute, afin que les 
augets ne plongent pas dans l’eau du canal de fuite on 
de décharge. Cette eau, s'écoulant dans une direction in- 
verse du mouvement de la roue, présenterait une résis- 
tance à vaincre si elle frappait les augets. 

Dans toutes les espèces de roues à augets, il est avan- 
tageux de faire entrer l'eau dans l’auget au niveau de Ja 
surface du réservoir. 

On nomme rowes par derrière celles qui reçoivent 
l’eau au-dessous de leur sommet. Leur mouvement s’el- 
fectuant en sens inverse de celui de l’eau motrice ct dans 
le même sens que la fuite dans le canal de décharge, 
on peut les laisser plonger de deux ou trois décimètres 
dans ce canal sans inconvénient, ce qui permet d'aug- 
menter la chute en baissant la roue, à laquelle on peut 
donner d'ailleurs un diamètre plus grand que la hauteur 
de la chute. 

Les roues à augets se construisent en bois ou en fonte. 
Leurs picces principales sont un arbre d (PL 2, fig. 8 
et 9) qui porte les bras destinés à soutenir la couronne. 
Cette couronne a a est composée de deux plateaux an- 
nulaires larges de 20 à 40 centimètres, el entaillés de 
mortaises dans lesquelles on place les planches ou pa- 
lettes qui, avec le fond de la couronne, exactement 
fermé par des planches transversales, forment les au- 


AUG 
gets. Le nombre des augets varie avec la grandeur du 


diamètre de la roue, d'après les rapports suivans : 


Diamètre de la roue. Nombre d'augets. 


5 5 010 Rs COM OMEN" 
RLSTE LRO PA = 
CR 2 D 
SR 70 


AR Se - OÙ 


L'eau motrice agit de deux manières différentes sur 
les roues à augets : ou sa vitesse est la même que celle 
de la roue, et alors elle agit uniquement par son poids, 
ou sa vitesse est plus grande, et alors elle agit par son 
choc et par son poids. L'expérience, d’accord avec la 
théorie, enseigne que l'effet dynamique d'une roue à 
augets est d’autant plus grand que sa vitesse est plus pe- 
üte et qu'elle diffère moins de la vitesse de l’eau af- 
fluente. Le maximum théorique de l'effet de ces roues 
est la force même dépensée; il est donc le double de 
celui ces roues à aubes. 

L'effet dynamique des roues en dessous ne diffère pas 
sensiblement de celui des roues par derrière, de sorte que 
les circonstances locales doivent seules déterminer le 
choix des constructeurs entre ces puissans instrumens 
dont l'effet utile peut s'élever aux quatre cinquièmes de 
la force motrice. (Voy. tom. IT, pag. 458, et les mots 
Counaxr, Êrrer UTILE, Force vivs ct Macnixe pYyprau- 
LIQUE. 


AUGMENTATION du diamètre de la Lune. (Astr.) 
L’angle sous lequel nous voyons le diamètre de la lune 
varie continuellement, parce qu’elle n’est pas toujours à 
Ja même distance du centre de la terre, et qu’elle est plus 
ou moins élevée sur l'horizon. Si par le centre L de cet 
astre (PI. 5, fig. 1) on conçoit deux rayons CL—r, 
OL—7r" menés l’un au centre C de la terre et l’autre au 
lieu O de l'observateur, le demi-diamètre de la lune pa- 
raîtra sous l’angle LCD du point C et sous l'angle LOD' 
du point O; faisant LCD—9, LOD'—9 et désignant 
par d ce demi-diamètre, on aura, dans les triangles CLD 
et OLD”, 


CL : LD—sin CDL : sin LCD 
OL : LD'— sin OD'L:sin LOD' 


d'où l’on tire, en observant que LD = LD'= d, 

d= r sind —7r sind’, 
parce que les angles CDL et OD'L ne diffèrent pas sen- 
siblement d'un angle droit, D'autre part, désignant par 


Z V'angle ZCL de la verticale du lieu de l'observateur 
avec le rayon CL=r, ct par Z'J'angle ZOL de cette 


r 
AZI 15 
même verlicale avec le rayon OL=r, le triangle OCL 
donnera 
r sin Z —7v'sin Z’. 
On a done 
smdg sinZ’ 
sin sinZ 
ou, sans erreur sensible, à cause de la petitesse des an- 
gles d'et d', 
d sin Z’ 
3 sin 2 
On tire de cette relation, pour la différence du demi- 
diametre apparent au demi-diamètre vrai 
sinZ'—sinZ 20 


F = sin; (72 —Z)cos;(2" +7 
sing ang in:(Z—Z)cos;(2 +2), 


d —d—0 


d étant le demi-diamitre vrai et à le demi-diamètre 
apparent. 

Soit maintenant p la parallaxe de hauteur de la lune 
ou l’angle CLO (Voy. PAnaLLAxE, dans ce volume et dans 


le tom. J1) ; on a alors Z — Z'— p, et par conséquent 


: 20 es Ye : 
d — À — sin (Z— p) Sin ; p. COS (Z — + D) 


Or, si l’on développe le second membre dans la sup- 
position que l’angie p est fort petit, et si l’on met pour 
cet angle sa valeur + sin Z', + exprimant la parallaxe 
horizontale, on aura, en s’arrélant au premier lerme de 
la série, 


a 


Ÿ — d— d sin rx. cos 2°. 


Telle est l’augmentation du demi-diamétre 9 de la lure 
pour une distance zénithale apparente Z', dont on doit 
tenir compte pour corriger les observations de l’un des 
bords de cet astre, surtout dans le caleul des longitudes 
terrestres par la méthode des distances de la lune au so- 


leil ou aux étoiles. Foy. Occurrariox. (M. Puissant.) 


AXIOMÉÈTRE. (Nav.) Instrument qu'on adaptait 
jadis sur l'avant du timonier des vaisseaux pour faire 
connaitre la position de la barre du gouvernail. On s’en 
sert peu aujourd'hui, 


AZAMUT. (4st. el Géod.) L'azimut (Foy. ce mot, 
tom, J) d’un astre qui a été observé au-dessus de l'ho- 
rizon d’un lieu fait connaitre l'aziniut d’un objct ter- 
restre, lorsqu'on a mesuré l'angle horizontal que cet 
objet faisait au même instant avec cet astre. C’est dans 
cette opération délicate que consiste l'orientation d'un 
réseau de triangles, comme celui qu’on destine à la me- 
sure d’un arc du méridien. Le thtodolite. instrument 


qui à Ja propricté de donner la projection horizontale 


16 : AZ] 

de l'angle compris entre deux objets quelconques, est 
surtout employé dans la circonstance dont il s’agit, et la 
détermination d’un azimut est d'une grande facilité en 
comparant un objet terrestre avec une étoile de première 
grandeur qui doit passer prochainement au méridien à 
peu de degrés au-dessus de l'horizon. 

Supposons, par exemple, qu'on soit muni d’une pen- 
dule astronomique ou d’un chronomètre réglé sur le 
temps sidéral, et que les lunettes de l'instrument por- 
tent chacune un réflecteur propre à éclairer les fils des 
réticules où vient se peindre la lumière de l'étoile et 
celle du réverbère placé à l'objet terrestre. On notera 
d'une part l'heure, la minute, la seconde et la fraction 
de seconde à l'instant où l'étoile traverse le fil vertical 
de la lunette supérieure, et de l’autre l'angle observé 
sur Le limbe de l'instrument. On répétera plusieurs fois 
cette opération quelques momens avant et après le pas- 
sage de l'étoile au méridien, lequel passage aura lieu à 
l'heure sidérale marquée par l'ascension droite apparente 
de l'étoile; et comme alors les accroissemens ou dimi- 
nutions de l'angle observé seront proportionnels aux 
accroissemens du temps, une simple proportion fera con- 
naitre quel était ect angle à l'instant même du passage. 

Ainsi, en admettant que par une première observa- 


tion l'on ait cu : 


temps de la pendule 642 10° angle observé 22° 30 55° 


et que l'époque moyenne et l'angle moyen de plusieurs 
observations soient: 


’ 4 


angle moyen 20°7 59,2 


; EN 
époque moyenne 690 46 ,07 


que, de plus, l'heure du passage de l'étoile au méridien 
(temps de la pendule) soit de 6:50°31",25 ; on en con- 
clura que, puisqu'il s'est écoulé 8°36",07 depuis la pre- 


BAL 

BACHE. Caisse en métal ou en bois doublée de 
plomb, destinée à contenir de l'eau. 

On nomme BACHE ALIMENTAIRE un petit réservoir, 
placé à une hauteur suffisante au-dessus de la chau- 
dière d’une machine à vapeur, et dans lequel la pompe 
alimentaire élève une portion de l’eau tiède du réfrigé- 
rant destinée à remplacer celle qui s’'évapore de la 


chaudicre. 


BALANCIER. (Mée.) Nom générique qu’on donne à 


AZI 
mière observation jusqu’à l’époque moyenne et que 
pendant cet intervalle l’azimut de l'étoile a changé de 
2°25 1°,8, la variation æ de cet azimut correspondant à 
14,82, différence entre l’époque moyenne et l'heure du 
passage, doit être donnée par la proportion 


8136',07:2°23/1,8—14,82:7 
ou, en réduisant tout en secondes, 
5a6,07:8081:,8— 1460264 


ce qui donne æ—246",44; quantité qu’il faut ajouter 
à l’azimut approché 20°7°53',2. Donc, en définitive, 
azimut du signal compté du sud à l’ouest était de 
20°21 59°, 64. 

Nous avons supposé que l'heure du passage de l'étoile 
au méridien était donnée par son ascension droite ap- 
parente, telle qu’on la trouve maintenant dans la con- 
naissance des temps, ct que l’on savait de combien la 
pendule, d’ailleurs réglée sur le temps sidéral , avançait 
ou retardait sur ce temps; mais dans le cas au contraire 
où l’on serait dépourvu d'éphémérides, il serait indis- 
pensable de faire usage de la méthode des hauteurs cor- 
respondantes (voy. ce mot, tom. II) pour déterminer 
exactement l'heure de ce mème passage. 

Telle est, en peu de mots, une des méthodes les plus 
simples pour orienter les plans d’une grande étendue; 
celles plus généralement usitées dans les grandes opé- 
rations géodésiques sont fondées sur des calculs dont le 
développement nous mènerait trop loin. Nous nous 
bornerons donc à dire qu’en comparant les plus grandes 
digressions orientale et occidentale de l'étoile polaire à 
un objet terrestre, on se procure deux angles horizon- 
taux dont la demi-somme est l’azimut de cet objet. 


(M. Puissant.) 


BAL 


un levier qui a un mouvement alternatif circulaire au- 
tour d’un axe placé au milieu de sa longueur. 

BALANCIER HYDRAULIQUE. Espèce de bascule que l’eau 
met en mouvement par son poids. 

Elle se compose d’une petite caisse en bois tournant 
sur une axe c (P. 5, fig. 2) et partagée en deux parties 
égales m, m' par une cloison ». Deux appuis fixes A et B 
empêchent alternativement la machine de se renverser. 
L'eau qui coule par le tuyau D tombe dans la partie éle- 
vée de la caisse, par exemple la partie m', et quand cette 


BAS 


partie est pleine, la caisse tourne sur son axe et vient 
s'appuyer sur l'obstacle B, versant l’eau dont le poids 
a déterminé son mouvement. L'autre partie se remplit 
à son tour, fait de nouveau pencher la caisse vers l'ob- 
stacle A et ainsi de suite. 

Ce balancier hydraulique a été imaginé par Perrault, 
qui le proposait comme pouvant appliquer une chute 
d’eau au mouvement d’une horloge. (Voy. Recueil des 
machines approuvées par l'Académie des sciences, tom. 1.) 


BARRAGE. (Méc.)Digue en bois ou en maconnerie 
qu'on établit transversalement dans un courant d’eau 
pour le forcer d'élever son niveau, soit qu’on ait besoin 
d'en dériver une portion dans un canallatéral, soit pour 
tout autre usage. 


BASCULE HYDRAULIQUE. (Méc.) Cette machine, 
composée en général de vases adaptés à l'extrémité 
d’un ou plusieurs leviers, recoit du moteur un mouve- 
ment alternatif qui lui fait verser l’eau immédiatement 
après l'avoir puisée. On en a imaginé untrès-grand nom 
bre décrites dans les œuvres de Perronct et dans le traité 
ce Borgnis sur les machines hydrauliques. La plus simple 
est une longue caisse en bois (PI. 5, fig. 5) mobile sur 
un appui O , et qu'un homme fait osciller; son produit 
ne peut jamais être très-considérable, et on ne doit avoir 
recours à de semblables machines qu’en l’absence de 
tout autre moyen. 


BASE. (Géod.) Dans les opérations de l’arpentage, la 
mesure d’une base n'offre aucune difficulté, parce que, 
bien qu’il y ait des précautions à prendre pour l’obte- 
nir avec exactitude , elle n’a pas l'importance de celle 
d’où dérive la longueur des côtés d’un réseau de trian- 
gles formant le canevas trigonométrique d’une grande 
carte. Ici la plus petite différence dans cette mesure a 
d'autant plus d'influence sur les distances conclues entre 
les objets observés que ces distances sont plus considé- 
rables. Ce dictionnaire ne comportant pas l'exposé de 
tous les soins minuticux à prendre en pareille circon- 
Stance ,nous noüs Hurnerons à indiquer en peu de mots 
de quelle manière on procède en général. 

Après avoir choisi un terrain uni, spacieux, à peu 
près horizontal et dégagé d'obstacles, on trace avec des 
piquets une ligne droite aussi longue que possible. H 
faut avoir trois fortes règles de bois de sapin d’égale 
longueur, lesquelles étant mises bout à bout représen- 
tent un certain nombre de mètres. Ces trois règles, ainsi 
juxta-posées , forment ce qu’on appelle une portée. On 
dispose chaque portée exactement en ligne droite sur 
des poutrelles soutenues par des chevalets, et on lui 
donne la position horizontale au moyen d’un niveau à 
perpendicule, afin d'éviter toute réduction à l'horizon. 

Tom. mr. 


BAS 17 


Il faut avoir l'attention, en notant sur un registre le 
nombre des portées contenues dans la base, d'inscrire 
en même temps la température qu’elles ont cu durant 
la mesure, température qui est donnée par un ther- 
momètre enchassé dans chaque règle et garanti de lac- 
tion directe du soleil au moyen d’une petite tente porta- 
tive. La moyenne des trois températures observées dans 
chaque portée est prise pour sa température moyenne. 

Supposons maintenant que la portée ait eu une lon- 
gueur de 10%, 025 à la température de 10 degrés centi- 
grades, mesurée avec une règle de fer qui ne représente 
le mètre légal qu’à la température de la glace fondante; 
et que la base ait été trouvée de 510 portées à la tempé- 
rature moyenne de 17°, 5 du même thermomètre. On 
demande la longueur réelle de cette base. 

D'abord il est évident que la portée, étalonnée à la 
température de 10 degrés, a été trouvée trop courte 
puisque le mètre de fer était trop long à cette tempéra- 
ture. Or on sait, par des expériences faites avec soin, 
que la dilatation linéaire du fer est de 0,00001784—A par 
chaque degré du thermomètre centigrade (voy. Drra- 
rATION); ainsi il est évident que la portée soumise à la 
température de 10 degrés a eu réellement pour lon- 
gueur 


10,025 (110 A)—10",025178. 


De plus s’il était constaté que la dilatation de cette portée 
construite en bois de sapin et prise pour unité de lon- 
gueur fût de 0,0000057—9 pour un degré d’accroisse- 
ment de chaleur, cette portée prise à la température de 


la base ou à 17°,5 aurait eu réellement pour longueur 


10,025178 (17,59) —10",025221 


et puisqu'elle a été contenue 510 fois dans la base, la 
longueur de cette base serait définitivement de 


10°,10232921 X 50—5112",8627; 


or, en n'ayant pas égard à la température, la longueur 
de la base serait seulement de 5111",275 c’est-à-dire 
plus petite de 1°,588 que la longueur réelle , ce qui fait 
une erreur intolérable. 

Toutefois, cette mesure effective n’est pas encore celle 
qu'on emploie pour caleuler de proche en proche les 
côtés des triangles de la chaine à laquelle elle appar- 
tient; elle doit subir préalablement une petite réduc- 
tion proportionnelle à la hauteur du sol moyen où elle 
a été prise au-dessus du niveau de la mer. En désignant 
par À cette hauteur, par à le rayon de la terre, par b la 
longueur ci-dessus de la base, et par æ ce qui doit ètre 


retranché de cette longueur, on à 


18 BÉL 


et enlin 


é Bh 
base réduite = B—%—B— —, 
P 
Par exemple, en supposant h—56 mètres, on trouve 
æ— 0",045, à cause de logo —6,80588, ct par suite 


base réduite — D1192",8157. 


Les bases de Melun et de Perpignan, mesurées par 
Delambre , l'ont été avec quatre règles de platine de 2 
toises chacune , construites d’après les idées de Borda; 
on en trouvera la description dans la base du système 
métrique décimal et dans notre Traité de géodésie. Cinq 
autres bases ont été mesurées avec trois des mêmes rè- 
gles par les ingénieurs géographes à l’occasion de la 
triangulation générale de la nouvelle carte de France. 


(M. Puissant.) 


BÉLIER HYDRAULIQUE. (Héc.) Gette machine, 
aussi ingénieuse que simple et utile, est due à Mongol- 
fier, dont l'invention des aréostats a rendu le nom po- 
pulaire. Elle a pour objet d'élever l’eau au-dessus du 
niveau de son courant. 

Le bélier hydraulique est composé, 1° de deux tuyaux, 
l'un horizontal e, nommé corps du bélier (PI. 5, fig, 4), 
l’autre vertical F nommé féte du bélier : 2° d'un réscr- 
voir d'air H;, 95° d'un tuyau d’ascension recourbé I; 
4° de deux soupapes E, G ; la première se nomme sou- 
pape d'arrêt, la seconde soupape ascensionnelle. 

Le tuyau horizontal C communique avec la partie 
inférieure du réservoir dont il s’agit d'élever l’eau ; cette 
eau arrivant dans le tuyau C, rencontre la soupape E 
ouverte ct s'échappe par son ouverture; la vitesse qu’elle 
acquiert par ce mouvement la fait bientôt agir sur la 
soupape elle-même qu’elle ferme en la soulevant, Alors 
toute la colonne d’eau qui ne peut perdre instantané- 
ment sa vitesse S'élance par le tuyau F, pousse la sou- 
pape G, pénètre dans le réservoir d’air H, et de là dans 
le tuyau d’ascension J, où la compression de l'air en H 
la force à monter. Lorsque le mouvement ascensionnel 
est épuisé, l’eau réagit dans le tuyau I, la soupape G 
retombe et se ferme, la colonne affluente ne peut plus 
retenir la soupape E qui s'ouvre en retombant, et, dés 
que celte soupape est ouverte, le même jeu recommence 
ct dure tant que le réservoir fournit de l’eau. Après un 
certain nombre de coups, l’eau parvient au sommet du 
tuyau d’ascension I et sort par un dégorgeoir. 

Le réservoir d'air H produit deux effets, éelui de di- 
minuer la violence du choc en le faisant agir sur une 
masse d'air qui est douée d’élasticité, et celui de pro- 
duire un écoulement continu. 

La petite quantité d’eau qui, à chaque coup, sort par 
la soupape E, s'écoule par une décharge J. 


BÉL 

L’el'et utile du bélier hydraulique dépasse de beau- 
coup celui de toutes les autres machines à élever l’eau 
lorsque la hauteur de l'élévation n’est pas considérable 
par rapport à la hauteur de la chute. II résulte des ex- 
périences d'Eytelwein : 1° que, si la hauteur d’ascension 
est quatre fois plus grande que celle de la chute, le bé- 
lier élève près d’un septième plus d’eau que les pompes 
nues par une roue à augets; 2° que les effets utiles de 
ces deux machines sont égaux lorsque la hauteur de 
l'ascension est six fois celle de la chute ; 3° que le bé- 
lier devient progressivement moins avantageux lorsque 
cette hauteur augmente ; 4° que le bélier est préférable 
aux pompes mues par une roue à aubes, lorsque la hau- 
teur d’ascension est moindre que douze fois celle de la 
chute. 

Pour comparer l'effet utile d’un bélier hydraulique à 
sa force motrice, il faut se rappeler que l’effet dyna- 
nique de cette dernière a pour expression Q X H, Q 
étant le volume d’eau dépensé en une seconde, et H la 
hauteur de la chute, tandis que l'effet utile obtenu est 
q X k, q représentant le volume d’eau élevé dans une 
seconde, et h la hauteur à laquelle il a été porté. En 
combinant les données fournies par l'expérience, on 
trouve que cet effet utile est assez exactement repré- 


renté par la formule empirique suivante ...… (1) 
q.h—1,20 Q(H— o,21/H.h) 


qui doit servir de guide aux constructeurs. 

La longueur du corps du bélier influe sur la quantité 
d’eau qui s'élève à chaque coup, mais on ne connait 
pas encore la longueur correspondante au maximum 
de produit. Eytelwein pense qu’elle doit être exprimée 
par Ja longueur du tuyau montant, plus le double du 
rapport de la chute à la hauteur d'ascension On ne devra 
dans aucun cas la réduire au-dessous des trois quarts de 
la hauteur d’ascension. Quant au diamètre de ce tuyau 
il doit être déterminé par la formule 


1,7V/Q 


dans laquelle Q a la même siguification que ci-dessus. 

Le diamètre du tuyau d’ascension I peut être la 
moitié de celui du corps du bélier. 

Les deux soupapes doivent être très-rapprochées l’une 
de l’autre , et le diamètre de la soupape d’arrêt ne doit 
jamais être plus petit que celui du tuyau horizontal. 

La capacité du réservoir d’air ne paraît pas exercer 
d'influence sur l’action du bélier, on la fait ordinaire- 
ment égale à celle du tuyau d’ascension. 

Proposons-nous d’établir, d’après ces principes, un bé- 
lier capable d'élever 21 litres d’eau par minute, à une 
hauteur de 12 mètres ; la chute d’eau dont on peut dis- 
poser pour cet effet ayant une hauteur de 1,50. 

La première chose à déterminer est le volume Q de 


BEL 
l’eau qu’il faut dériver du réservoir. Dégageant donc Q 


de la formule (1), nous aurons d’abord 


puis, observant que 21 litres d’eau par minute font 0,35 
litres par seconde ou 0®%,0c035, nous aurons 


H—1°,50; À—12"; = 0°*,00035 


et, par suite, 


—= = 0"*,00537 


1,20 [50 — 0,21/ (1,50 X ] 


0,00035 X 12 


Q——_— 


Tel est la volume d’eau qui doit être dépensé par se- 
conde ; on la portera à 0*,0054 pour plus de sûreté. 
Le diamètre du bélier sera donc 


1,71/(0,0054 ) —0°,15 


et celui du tuyau d’ascension 2 (0",15) —0",005. 

Si les localités le permettent, on donnera 12 mètres 
de long au corps du bélier. 

La capacité du réservoir d’air devant être égale à celle 
du tuyau d’ascension dont le diamètre est 0,065 et la 
hauteur 12°, on aura pour cette capacité 


3,1416 X (0,065)* — 0%,1 59. 


Enfin, on donnera 0",17 de diamètre à la soupape 
d'arrêt parce qu’elle est traversée par la bande de métal 
qui tient le battant E dont on fera le diamètre 0",19. 
Le poids de cette soupape ne devant pas être plus grand 
que deux fois son volume d’eau, on le fera d’un kilo- 
gramme. Le battant E devra être en laiton épais de 5 
millimètres. L’épaisseur du clapet d'ascension G peut- 
être de 7 millimètres. 

Cette belle machine n'a été employée jusqu'ici que 
pour élever de petites quantités d’eau. Le bruit qu’elle 
produit est incommode et les ébranlemens périodiques 
qu’elle éprouve la détériorent assez rapidement. Il existe 


cependant des béliers qui fonctionnent depuis plusieurs 


années, maïs leur usage se borne à satisfaire les besoins 
en eau des habitations où on les a construits, et il est 
douteux qu’on puisse jamais les utiliser pour d’autres 
usages. 


BÉLIER A TUYAU MOBILE. Cet instrument, réduit 
à sa plus grande simplicité, est un tuyau recourbé dont 
le bout inférieur plonge dans un puisard et auquel 
on imprime un mouvement de rotation très-rapide ; 
l’eau s'élève au sommet par l'effet de la force centrifuge 
qui lui est communiquée. 

On à proposé plusieurs machines de ce genre, Voy. 


BOI 19 


l'Essai sur les machines hydrauliques de Ducrest , et le 
Traité élémentaire des machines de Hachette. 


BIEF ou BIEZ. (Hydraul.) Canal élevé qui conduit 
l’eau sur une roue hydraulique. Ce nom lui vient de ce 


qu'il est ordinairement incliné ou biaise. 


BIGUE. (Méc.) Appareil composé de deux fortes 
pièces de bois réunies à leur sommet par un amarage ct 
écartées dans leur partie inférieure. Il est destiné à for- 
mer un point de suspension pour élever les fardeaux. 
On emploie dans les arsenaux de la marine des bigues 
qui ont plus de 80 pieds de hauteur. 


BOCARD. (Méc.) Machine composée d'une rangée de 
pilons en bois armés d'une tête de fer et qui sont suc- 
cessivement soulevés par l’arbre d'une roue hydrauli- 
que. Elle est employée dans les mines pour piler le mi- 
nerai. Voy. l'ouvrage de d'Aubuisson sur les mines de 


Friberg. 


BOIS. (Méc.) La question de la résistance des bois 
et, en général, des matériaux, est si importante pour 
l'architecture et la marine, qu’on ne saurait douter 
qu’elle ait provoqué l'attentiou des anciens dont les con- 
structions hardies sont encore de nos jours un sujet d’ad- 
miration. Cependant les premiers fondemens de la théo- 
rie de cette résistance n’ont été posés qu’à une époque 
bien postérieure à leurs brillans travaux, car ils sont 
entitrement dus au génie de Galilée qui, dans cette ques- 
tion comme dans une foule d’autres non moins intéres- 
santes, a su porterle premier le flambeau de la géométrie. 

La solution de ce grand homme est loin sans doute 
d'être entitrement rigoureuse, mais elle a tracéé la route 
et il a eu le mérite d’en déduire des principes incontes- 
tables dont on ne soupconnait pas même l'existence 
avant lui. 

Pour donner une idée de la nature du problème, sup- 
posons qu'un prisme quadrangulaire de bois A E (PI. 3, 
fig. 5) soit encastré dans un mur par une de ses extré- 
mités, d'une manière inébranlable , et qu’on charge de 
poids son extrémité libre E jusqu'à ce qu'on détermine 
sa rupture. La ligne AB, dit Galilée, devient un point 
appui, et chaque fibre du bois est sollicitée par le poids 
suivant un bras de levier égal à la longueur DE de la 
pièce, tandis qu’elle résiste par un bras de levier d'au- 
tant plus court qu'elle est plus proche de l'appui. La 
résistance que chaque fibre oppose à la rupture est donc 
proportionnelle à sa distance à cet appui, et il en résulte 
que la somme des résistances est à ce qu'elle serait si cha- 
cune d'elle était égale à la plus grande,comme la distance 
du centre de gravité de la figure ABCD à l'appui AB est 
à l'axe de cette figure. Quant à la plus grande résis- 


20 BOI 


tance, son rapport avec le poids est égal au rapport in- 
verse des bras de leviers DG et DE. Ainsi, les résis- 
tances de deux prismes de bois de même base sont en 
raison inverse de leurs longueurs, et il en est de même 
des résistances de deux cylindres de même base, parce 
que le centre de gravité de cette base est à son centre 
ou au milieu de son diamètre. 

Galilée conclut de cette thtorie que des corps sem- 
blables n’ont pas des forces proportionnelles à leurs 
masses pour résister à leur rupture, car les masses 
croissent comme les cubes des côtés semblables, tandis 
que les résistances ne croissent que comme les carrés 
de ces côtés. Il y a done un terme de grandeur au delà 
duquel un corps se romprait au moindre choc ajouté à 
son propre poids, ou par ce poids même, pendant 
qu'un corps semblable , mais d’une moindre masse, 
pourrait résister au sien et même à un effort ctranger. 
De là vient, dit Galilée, qu'une machine qui fait son 
effet en petit manque lorsqu'elle est exécutée en grand 
et croule sous sa propre masse. La nature, ajoute-t-il, 
ne saurait faire des arbres ou des animaux démesurt- 
ment grands sains être exposés à un pareil accident, ct 
c'est pour cela que les plus grands animaux vivent dans 
un fluide qui leur ôte une partie de leurs poids. , 

Une autre conséquence très-remarquable de cette 
théorie, c’est qu’un cylindre creux résiste davantage 
que s’il était plein; vérité qui a fait dire à Montucla : 
«C’est ce me semble pour cette raison, et pour concilier 
en même temps la légéreté et la solidité, que le nature 
a fait creux les os des animaux, les plumes des oiseaux 
et les tiges de plusieurs plantes. » Au mot nature près, 
qui n’a aucun sens, on ne peut qu’admirer cette ingé- 
nieuse appréciation de la sagesse infinie du créateur. 

L'hypothèse de Galilée sur la résistance des fibres, 
proportionnelle à leur distance du point d'appui, ne 
saurait être exacte que dans le cas où les fibres se 
rompraient brusquement sans éprouver aucune exten- 
sion, ce qui ne peut avoir lieu à cause de leur élasti- 
ticité. Mais cette circonstance, signalée bientôt par 
Leibnitz ct Mariotte, n'influe que sur les détermina- 
tions numériques et non sur les conséquences générales 
que nous venons de rapporter. 

La résistance des diverses espèces de bois varie dans 
des limites assez étendues ; elle paraît être sensiblement 
proportionnelle à leur pesanteur spécifique, et on peut 
établir que deux pièces parfaitement égales offriront des 
résistances dont le rapport sera le même que celui de 
leurs poids. La constitution physique du bois par fibres 
superposées longitudinalement rend raison de ce phéno- 
mène, car plus ces fibres sont nomibreuses dans un es- 
pace donné, plus le bois a de force ét plus sa pesanteur 
spécifique est considérable. La table des pesanteurs spé- 
cifiques donnée au mot Dexsiré (tom. 1) peut donc faire 


BOI 


connaître quels sont les bois qui, comparativement, résis- 
teront davantage, mais il ne faut pas perdre de vue qu’une 
foule de circonstances telles que les défauts du bois, les 
nœuds, la carie, les directions obliques des fibres, le de- 
gré de dessiccation, la nature du sol qui a produit les ar- 
bres, leur âge, etc., etc., sont autant de causes capables 
de modifier la résistance. 

Un physicien allemand M. Karmasch a prétendu tout 
récemment que la manière ordinaire d'évaluer le poids 
spécifique des bois et qui consiste à les peser dans l’eau, 
est défectueuse, parce que le liquide s’introduit dans les 
pores du bois et augmente son poids véritable. Il a pesé 
avec la plus grande exactitude des parallélipipèdes des 
différentes espèces de bois séchées à l'air, travaillés avec 
le plus grand soin et dont il a mesuré le volume avec une 
extrême précision. Ces morceaux avaient généralement 
de 10 à 24 pouces cubes de Vienne. Nous rapporterons 
ici quelques-uns de ses résultats, dont il a publié le ta- 
bleau en 1834 (Jahrb. de Polyt. Inst. in Wien.); ils 
pourront servir de points de comparaison pour des ex- 


périences du même genre. 


Espèces de bois. Poids spécifiques. 


Buis... + <h., 50e LRO 00e 
PEUNIET. 0 CCE PRO OTE 
Aubépines RCE ND EX 
Bouleau de Suède. . . . . . 0,799 
Pin, 0 MANN 705 
Hêtre, 0 TO mo 
Rd ne à 2: 
Bouleaus CR RO 
Pommier rt RCE 
Poirier ce RES O0 
Charme REC ECTS 
Ofvier (SoucChE) 0,656 
Frêne, + ce cer CO 00 

Dito:. : Je 0 COR U 061) 
NOÿOr. NT RU: UD 
Chêne: :-: 5:06 20000 
FEÉTÉ, + = + eve ae Re MUIO 
OMC. : +: . CO 30 
HileULe : eee EU 
Ghataienier OC CC D SON 
AUTRES Re ne et OS D 
CLEMENT 0 ce (Of 
Peuplien.® ER RRC 00 


La résistance que les bois opposent aux poids qui 
sollicitent leur rupture reçoit des noms différens suivant 
la position différente des pièces; on la nomme résis- 
tance horizontale lorsque les pièces de bois ont leurs 
fibres paralliles à l'horizon et que la charge agit verti- 
calement sur elles; résistance verticale, lorsque la 
charge pèse dans le sens des fibres et au sommet de la 


BOI 


pièce posée verticalement; enfin, adhérence des fibres , 
lorsque la pièce est suspendue verticalement et chargée 
à sa partie inféricure. Nous allons examiner successive- 
ment ces {rois cas principaux. ! 

I. Résistance horizontale. Une pièce de bois peut être 
maintenue dans une position horizontale de trois ma- 
nières différentes : 1° chacune de ses extrémités est en- 
castrée solidement dans un bati inébranlable (PL 5, 
fig. 6); 2° cette pièce est seulement soutenue sur deux 
points d'appui (fig. 7); 5° une seule de ses extrémités est 
encastrée (fig. 5). Les résistances d’une méme pièce 
dans ces trois dispositions sont entre elles comme les 
nombres 4, 2, 1, c’est-à-dire que si dans le premier cas 
elle exige un poids de {000 kilogrammes pour se rom- 
pre, il suflira d’un poids de 2000 kil. dans le second et 
seulement un poids de 1000 kil. dans le dernier. Ainsi 
la résistance étant connue dans un quelconque de ces 
trois cas, on peut aisément conclure ce qu'elle est dans 
les deux autres. 

On a üré de la théorie de Galilée la règle suivante : 
La résistance est en raison inverse de la longueur des 
Pièces, en raison directe de la largeur et en raison directe 
du carré de la hauteur. Si nous désignons done par R la 
résistance horizontalé d’un prisme quadrangulaire de 
bois dont / est la longueur, e la largeur et k la hauteur 
ou l'épaisseur dans le sens vertical, et que nous nom- 
mions p la résistance d’une autre pièce du même bois 
dont les dimensions correspondantes soient l',e', h', 
nous aurons (1) 


proportion à l’aide de laquelle, connaissant la résistance 
P d’une pièce de bois, nous pourrons caléuler la résis- 
tance R d’une autre pièce de la même espèce de bois. 
Musschenbrock, Parent, Bélidor, Buffon et Duhamel 
ont fait un grand nombre d'expériences sur la résistance 
des bois qui ont été résumées par Hassenfratz dans le ta- 
bleau suivant, très-commode pour les calculs. Les ré- 
sistances se rapportent à des pièces posées librement sur 
deux points d'appui, et toutes les pièces sont ramentes 
à la dimension de cinq mètres de longueur sur un dé- 
cimètre d’équarrissage, c’est-à-dire sur une largeur et 
sur une hauteur d’un décimètre. 


Solive de 5 mètres 
sur un décimèlre carré. 


Poids que supperte la pièce 
avant de rompre. 
EI EN M CAT kilor. 


RTE. NE OO EEE 


1077 
le «rt. 1097 
GRADE RCE... ee me os 0 094 
ICE  E. .. à 11032 
OPEN RS nu 011026 
INOISCTIENS 2 ete el à 1008 


BOI 21 


Poids que supporte la pièce 
avant de rompre. 


Solive de 5 mètres 
sur un décimètre carré. 


Pommier en 0e. 00070 
Ghâtaisner te. 0H. 1 1097 
Marronier-4#2 64 #0 1.00 091 
Sapin. . Thor ele CES 
NOEL ei ee cc D0D 
POITIERS 


Boule. ee loleierere 009 
SAC RTE SEE ice 850 
RUES NE cie 700 
Peuplier ddtalic. 586 


Pour approprier äcctie table la proportion (1), faisons 
l'—5%,e—h—0",1 ctnous aurons en substituant, 


eh* 0,1 X0,001 


rt 5 


d'où, (2) 
eh? 


R—=5000 2. — 
D 

valeur dans laquelle L est le nombre qui correspond 

dans la table à l’esptcc de bois en question. 
Supposons, par exemple, que la pièce de bois dont 
on veut connaître la résistance soit une solive de chène 
de 4 mètres de longueur sur 15 centimètres d’équarris- 
sage, on fera e—hk—0",15, [—/" ct comme dans ce 


cas p— 1026 kil. on aura 


.—-— = {328 Kilog. 


la pièce proposée ne se rompra done que sous un effort 
de 4598 kil. 

Les résistances calculées d'après cette formule sont 
généralement trop grandes parce qu'il n'y entre pas un 
élémeñt essentiel le poids propre de la pitee ; on ne doit 
donc les considérer que comme des approximations. 

Dans les expériences de Buffon, sur lesquelles on peut 
se fonder en toute confiance, le décroissement des résis- 
tances a toujours été plus grand que l'accroissement des 
longueurs. 

Un résultat pratique très-important, c’est que, la ré- 
sistance croissant d’après le carré de la hauteur, les bois 
méplats doivent toujours être posés sur leur plus petite 
épaisseur ; aussi, dans beaucoup de combles, on a rem- 
placé très-avantageusement la charpente par des plan- 
ches de 15 lignes d'épaisseur posées de champ. Nous 
ferons encore remarquer que le point le moins résistant 
d’une pièce horizontale est son extrémité libre lorsqu'il 
n’y en a qu'une de soutenue, et son milieu, lorsque les 
deux extrémités sont soutenues. Les nombres de la table 
ci-dessus se rapportent à des pressions exercées au mi- 


lieu des pièces. 


22 BOI 

Les circonstances de la fracture varient avee celles 
des positions. Lorsque la pièce est assujettie par une de 
ses extrémités, elle se brise près du point d'appui; lors- 
qu'elle est fixée par ses deux extrémités, elle se brise en 
trois endroits (PI. 5, fig. 8), au milieu et près des points 
d'appui; enfin, lorsqu'elle est seulement soutenue par 
ses extrémités, la fracture est unique et se fait au 
milieu. 

11. Résistance verticale. Une pièce de bois posée ver- 
ticalement sur sa base et chargée à son extrémité supé- 
rieure plie généralement avant de s’écraser. 

Rondelct a obtenu, de nombreuses expériences, les 
résultats suivans : 

1° Un poteau de chêne qui a plus de sept ou huit fois 
la largeur de sa base en hauteur plie sous la charge 
avant de s'écraser ou de se refouler, et une pièce de bois 
dont la hauteur serait cent fois le diamètre de sa base 
n'est plus capable de porter le moindre fardeau sans 
plier. 

2 Quand une pièce de chêne est trop courte pour 
pouvoir plier, la force qu'il faut pour l’écraser est de 
40 à 48 livres par ligne superficielle de sa base; et cette 
force pour le bois de sapin va de 48 à 56. 

3° Des cubes de chacun de ces bois, soumis à une 
forte pression, ont diminué de hauteur sans se désunir; 
ceux en chêne de plus d’un tiers et ceux en sapin de 
moitié, 

4° La force moyenne du bois de chêne, qui est de 
44 livres par ligne superficielle pour un cube, se ré- 
duit à deux livres pour une pièce de même bois, 
dont la hauteur est égale à 52 fois la largeur de la 
base. 

5° En comparant un cube de chêne avec des parallé- 
lipipèdes rectangulaires de même base, la résistance a 
décru dans les rapports suivans:: 


# 
Pour le cube dont la hauteur est 1,1n résistance étant 1 
Pour une pièce dont la hauteur est 12, elle est A 
id. o4 id. : 
id. 36 id. 1 
; : â 
id 48 id. : 
id. 60 id, _ 
. = LI 
id. LE) id. F5 


BUS 


D’après Perronet, la résistance comparative des six 
espèces suivantes de bois chargés debout est 
CRÉDE 2 0 
SAULE Eee Re ee 96 
SET O oo huanbooon 94 
PEUPLE IMC 74 
Mol de ooro coke 46 c 72 
OrME ES CERN 70 


M. Girard, à qui l’on doit un grand nombre de belles 
expériences, a reconnu que l’élasticité des bois posés 
debout, ou la résistance qu'ils sont capables d’opposer 
à la flexion, lorsqu'ils sont chargés verticalement, est 
en raison directe des largeurs, double des hauteurs et 
inverses des longueurs. 11 faut entendre ici par hauteur 
la plus grande largeur du bois. Ce savant a trouvé que 
l’élasticité absolue d'an morceau de bois de chêne d'un 
mètre cube est de 11 784 451 kilogrammes, et que celle 
d’un mètre cube de sapin est de 8 161 128 kilogrammes. 
D'après ses calculs, une pièce de bois de chêne de 1265 
mètres de hauteur sur un mètre d'équarrissage ne résiste- 
rait pas à la pression de son propre poids. Il en serait 
de même d’une pièce de sapin de 1852 mètres. 

IT. Adhérence des fibres. Il résulte, de toutes les ex- 
périences, que le bois résiste mieux à l'extension qu’à la 
compression. Le résultat moyen des expériences de 
Rondelct est que la force du bois de chène ordinaire 
est d'environ 981 kilogrammes par centimètre carré de 
la base du morceau soumis à une traction perpendicu- 
laire par ses deux bouts. Barlow estime la force du 
chène d’Angleteterre de 648 à 800 kilogrammes, tandis 
que Tredgold ne la porte qu’à 165 kilogrammes, tou- 
jours par centimètre carré. Nous ne rapporterons pas 
d’autres appréciations tout aussi différentes et qui ne 
sont propres qu’à faire sentir le besoin d’une théorie 
plus avancée. (Voy. OEuvres de Buffon, Partie expérim. 
XI mémoire; Traité de l'art de bâtir, par Rondelct; 
OEuvres, de Perronet; Traité analytique de la résistance 
des solides, par Girard.) 


BUSE. (Hydraul.) On désigne sous ce nom, soit une 
caisse qui contient de l'eau, soit le canal ou coursier 
qui conduit l’eau sur une roue hydrauliqne. 


CAM 


CAMES. (Méc.) Parties saillantes adaptées à un axe 
tournant et qui servent à imprimer un mouvement al- 
ternatif aux tiges des pilons. Telles sont les cames b, b 
(PI. 5, fig. 9) qui, ajustées sur le cylindre À, soulèvent 
alternativement le pilon B par son mentonnet m pour 
le laisser ensuite retomber. 

La courbure de la came se détermine d’après leffet 
qu'on en veut obtenir. Lorsqu'on désire que l’ascension 
du pilon seit réguliere, il faut évidemment que la courbe 
soit telle que le rayon du cylindre moteur décrive des 
arcs égaux dans le même temps que le mentonnet par- 
court des espaces égaux, condition qui se trouve rem- 
plie par la développante du cercle, comme on peut aist- 
ment s’en assurer. Soit, en effet, bn une partie de la 
développante du cercle À (PI. 3, fig. 11) rencontrée à 
son origine en b par la droite mb. Supposons que le 
cercle À tourne ayec sa développante autour de son cen- 
tre et que pendant ce mouvement la droite mo s'élève 
parallèlement à elle-même, de manière que son extré- 
mité o parcoure successivement les divers points de la 
développante ba tout en décrivant la verticale bM. Lors- 
que, par suite du mouvement de rotation du cercle À, 
la développante sera arrivée en b'n', la droite mo, sera 
en mo'et son extrémité o aura décrit bo’; de même, 
lorsque la développante sera parvenue en b'n', la droite 
mo se trouvera dans la position mo", et son extrémité b 
ayra décrit la droite bo’. Or, d’après la théorie des déve- 
loppées (Voy. ce mot, tom. I), la droite Lo’ est égale à 
l'arc bb’ du cercle A, et la droite bo’ est égale à l'arc bb’, 
car bM est tangente au cercle en b, ainsi le rapport de 
bo’ à bo’ est le même que celui de l'arc bb” à l'arc bb’, et 
ilen résulte évidemment que, si le mouvement du cercle 


-est uniforme, la droite mo décrira des espaces verticaux 


égaux pendant que le rayon Ab décrira des ares égaux. 

La construction de la développante du cercle s’effec- 
tue de la manière suivante : ayant décrit un cercle A 
(PI. 3, fig.) on portera, un certain nombre de fois sur 
sa circonférence, un arc @m 1 assez petit pour qu'on puisse 
le considérer comme une ligne droite. Par tousles points 
de division 1, 2, 3, 4, ete. on mènera des tangentes in- 
définies, puis on prendra la première m'1 égale à m1, la 
seconde m'2 égale à deux fois m1, la troisième m''3, 
égale à 3 fois m1 et ainsi de suite. La courbe passant 
par tous les points m, m', m etc. sera la développante du 
cercle A. ; 


23 


CAR 


Pour tracer le profil d’une came, on prendra le rayon 
du cercle À égal à celui du cercle primitif considéré par 
rapport au mentonnet, c’est-à-dire, égal à la distance 
qu'il y a entre le centre du mouvement ct l'extrémité 
du mentonnet lorsque le pilon est en repos; après avoir 
décrit la développante, on prendra le rayon An égal à 
la distance qu’il doit y avoir entre le centre du mouye- 
ment et l'extrémité du mentonnet lorsque le pilon est 
arrivé au plus haut point de sa course, et, avec ce der- 
nier rayon, On décrira un arc qui déterminera en 0 l’ex- 
trémité de la came mo capable de produire l'effet de- 
mandé. 

Cette manière de faire mouvoir les pilons est sujette 
à plusieurs inconvéniens dont le plus grave est le choc 
de la came contre le mentonnet au moment où elle le 
rencontre avec sa vitesse acquise ; ce qui occasionne une 
perte de force motrice. On a cherché à y remédier par 
diverses dispositions dans lesquelles la vitesse du men- 
tonnet, nulle au moment où il est saisi par la came, s’ac- 
célère ensuite progressivement, ce qui fait perdre l’a- 
vantage de l’uniformité du mouvement. Pour éviter 
aussi la déviation du pilon, qui résulte de ce qu'il est 
soulevé par un seul côté, on a essayé de le revêtir d’une 
crémaillère (Foy. ce mot) ct d’armer l’axe tournant de 
dents d'engrénage ; mais ce système est encore plus dé- 
fectueux que celui des simples cames. (Voy. Belidor, 
Archit. hydraul.; Hassenfratz, Sidérotechnie; Hachette, 
Traité des machines.) 


CARTES. (Géog. math.) La construction des cartes 
a pour objet de représenter sur une surface plane la si- 
tuation respective des divers lieux de la terre. (Voy. 
tom. F, pag. 94). 

Pour qu’une carte fût rigoureusement exacte, il fau- 
drait : 1° que tous les lieux y fussent placés dans leur 
juste position par rapport aux principaux cercles géo- 
graphiques, comme l'équateur, les méridiens, les paral- 
lèles, etc. ; 2° que les grandeurs des différens pays aient 
entr'elles les mêmes rapports que sur la surface de la 
terre ; 3° que les différens lieux fussent respectivement 
sur la carte aux mêmes distances les uns des autres et 
dans la même situation que sur la terre elle-même. Ces 
conditions ne sauraient être généralement remplies. 

Lorsque l'étendue du terrain qu’on veut figurer est 
très-petite, la portion qu’il comprend de la surface du 


24 CAR 


globe ne diffère pas sensiblement d’une surface plane, et 
il est possible de conserver aux objets les rapports exacts 
de grandeur qu’ils ontentre eux, mais lorsque cette éten- 
due est considérable, il devient nécessaire, soit d’alté- 
rer quelques-uns de ces rapports pour pouvoir conserver 
l'exactitude des autres, soit de les modifier tous, suivant 
le but qu'on se propose en construisant la carte, parce 
que la surface de la sphère n’est point développable, 
comme celles du cylindre et du cône, et qu’on ne peut, 
conséquemment l’étendre sur un plan sans qu’il en ré- 
sulte des déchirures ou des duplicatures. 
L'impossibilité de développer la surface de la sphère a 
fait adopter, pour la construction des cartes, diverses mé- 
thodes quireposent en principesur les proprittés des pro- 
jections (Voy. ce mot, tom. IT). Qu'onimagine, par exem- 
ple, un plan qui coupe la terre dans une position déter- 
minée, puis, de chacun des points de la surface courbe 
terrestre, qu'on conçoive une perpendiculaire abaissée 
sur le plan, les pieds de ces perpendiculaires reprësen- 
teront les points correspondans de la surface du globe. 
Il en sera encore de même, si, au lieu d’être perpendi- 
culaires, les droites projetantes concourent toutes à un 
même point, alors on pourra considérer ce point comme 
le point de vue d'un tableau, et les intersections des 
droites avec le plan de projection ou le plan du fableau 
seront les perspectives des points correspondans de la 
surface terrestre. Cette dernitre espèce de projection, 


nommée sléréographique, est celle qu’on emploie le 
plus particulièrement pour représenter un hémisphtre 
entier. Les cartes construites par ce moyen sont donc 
de véritables perspectives, et l’altération qui en résulte 
dans les positions respectives des objets dépend de la 
situation du tableau et du lieu qu’on choisit pour point 
de vue. 

Or, pour projeter un hémisphère, soit en totalité, soit 
en partie, on suppose ordinairement que l’œil est placé 
à l’un des points de la surface terrestre et que le plan de 
projection est celui du grand cercle dont ce point est le 
pôle, ce qui présente trois cas différens : 1° l'œil étant à 
l'un des pôles de la terre, la projection a lieu sur le 
plan de l'équateur ; 2° l'œil étant entre le pôle et Péqua- 
teur, la projection a lieu sur le plan de son horizon ; 
5° enfin l'œil étant sur l'équateur même, la projection 
s'effectue sur le plan d'un méridien. La projection est 
dite polaire dans le premier cas, horizontale dans le se- 
eond, ct on la nomme, dans le troisième, projection sur 
le méridien. On peut encore supposer l’œil placé au cen- 
tre de la terre; il en résulte une quatrième projection 
nommée centrale dont on ne fait point usage. Nous al- 
lons examiner successivement les trois premitres, 

1. Projection polaire. On reconnait aisément que lors- 
que l'œil est à l’un des pôles, la projection de ce pôle est 
le centre même de l'équateur et que les projections des 


CAR 


cercles parallèles à l'équateur sont des cercles concen- 
triques à ce dernier. Quand aux projections des méri- 
diens, elles sont évidemment des lignes droites. 

Avec un rayon AO (PI. 3, fig. 15), choisi d’après la 
grandeur qu’on veut donner à l'hémisphère, on décrira 
donc un cercle ACBD qui représentera l'équateur et on 
prendra pour premier méridien un diamètre quelconque 
AB; à partir du point À on divisera le quart de circon- 
férence AC en neuf parties égales ou de 10 degrés en 
10 degrés, puis par tous les points de division on mè- 
nera des diamètres (10)(199), (20)(200),(50)(210),etc. 
Hs serontles projections des méridiens correspondans aux 
longitudes 10°, 20°, 50°, cte., 90°. Lamème construction 
effectuée sur l’arce AD donnera les méridiens correspon- 
dans aux longitudes 100°, 110°, ete., 180°. 

Pour avoir les projections des parallèles à l'équateur, 
également de 10 en 10 degrés, on mènera par l’extré- 
mité D du dismitre CD, perpendiculaire au premier 
méridien AB, des droites B(10), D(20), D(30), etc., qui 
couperont AO en des points m, m',m', cte., et du point 
O comme centre avec les rayons bm, bm', bm’, etce.; on 
décrira des cercles qui seront les parallèles demandées. 
En effet, si l’on conçoit que le cercle ACBD tourne sur 
le diamètre AB jusqu’à ce qu’il soit perpendiculaire au 
plan de la figure, le point D deviendra le point de vue, et 
les points m, m',m', etc. seront les projections sur le 
rayon AO des intersections du premier méridien par les 
cercles parallèles à l'équateur. 

Après avoir achevé le réseau, il ne s’agit plus que d’y 
marquer la position des lieux terrestres, d’après leur la- 
titude et leur longitude, d'y tracer le cours des fleuves, 
les contours des terres et des mers, ete., ete. Dans cette 
projection, les méridiens et les parallèles se coupent à 
angles droits comme sur la sphère, mais les degrés 
égaux des méridiens y sont représentés pour des pog- 
tions de ligne droite inégales, ce qui raccourcit l’éten- 
due des terrains en allant de l’équateur au pôle. 

2. Projection sur un méridien. L'œil étant toujours 
placé au centre de l'hémisphère opposé à celui qu’on 
veut représenter est, de plus, sur l’équateur même, et 
alors la projection de ce cercle est une droite perpen- 
diculaire à l’axe du globe. - 

Soit done AB (PI. 5, fig. 12) la projection de l’équa- 
teur ; avec la moitié de celte droite, pour rayon, on dé- 
crira la circonférence APBP'; ce sera le méridien sur 
lequel on doit faire la projection. La diamètre PP’, per- 
pendiculaire à AB sera l'axe de la terre ct représentera 
en même temps la projection du méridien qui passe 
par le point de vue dont le centre O est la projection. 

Après avoir divisé comme ci-dessus l’arc AB de 10 en 
10 degrés, menons par le premier point de division 
(10), le diamètre (10)(190) et par le pôle P' tirons les 
droites P'(10), P'(190) dont la première coupera le dia- 


CAR 


mètre AB en un point m, et la seconde le prolongement 
de ce même diamètre en un point x; les points m et n 
seront les projections des extrémités du diamètre du mé- 
ridien éloigné de 10° en longitude par rapport au méri- 
dien AB; du milieu de mn, comme centre, on décrira 
donc l’arc PmP' qui sera la projection du méridien en 
question. Cette mème construction, répétée sur les dia- 
mètres (20)(200), (50)(210) etc., donnera tous les mé- 
ridiens compris dans la moitié PAP’ de l'hémisphère, et 
comme les deux moitiés sont symétriques, il suflira de 
reporter de O vers A la longueur des rayons compris de 
© vers B pour décrire les méridiens de la partie PBP. 

Les projections des parallèles à l'équateur devant pas- 
ser par les points correspondans de division (80) et 
(100), (70) et (120), etc., et leurs centres étant tous 
situés sur le prolongement de l’axe PP, on détermi- 
nera ces centres en menant du point B une droite à 
chacun de ces points; par exemple, B(40) et B(120), 
dont la première coupe l'axe en m et son prolongement 
enn;mn étant le diamètre du parallèle (40)(120), du 
milieu de cette droite, comme centre, on décrira l'arc 
(4o}m (120) qui sera la projection du parallèle demandé, 
et ainsi des autres. 

Cette projection est employée pour la construction 
des mappemondes; elle a l'avantage de représenter 
d’une manière un peu plus exacte que la précédente les 
distances des lieux à l'équateur et au premier méridien ; 
mais elle rend les degrés de l’équateur inégaux, ce qui 
raccourcit toutes les parties situées vers l'axe. On con- 
struit depuis peu de temps des mappemondes dans les- 
quelles les espaces sont moins altérés, en remplaçant 
la projection stéréographique par la projection suivante 
qui n’est plus une perspective du globe. 

Après avoir divisé en parties égales, par exemple, en 
18 (PI. 4, fig. 1), chacun des diamètres rectangulaires 
AB et PP’, on divise en 9 parties égales chacun des arcs 
AB et AP’, puis on fait passer d’une part des arcs de cer- 
cle par tous les points de division m et par les pôles 
P et P'et de l’autre par tous les points de division n 
et par les points correspondans (10), (20), ete. ; les 
premiers représentent les méridiens et les seconds les 
parallèles à l’équateur ; les uns et les autres de 10 en 
10 degrés. 

3. Projection horizontale. Dans cette projection, c’est 
l'horizon rationnel qui est le tableau, le point de vue est 
le pôle de l’horizon, et le méridien qui passe par ce 
pôle et qu'on nomme méridien principal est une ligne 
droite, sur laquelle se trouve le pôle de l'hémisphère 
représenté. 

Soit ABCD (PI. 4, fig. 2) l'horizon d’un lieu, son 
centre O sera la projection du point de vue et on pourra 
choisir un diamètre quelconque AC pour représenter le 
méridien principal. Ayant mené le diamètre BD per- 

Tom, nr. 


CAR 25 
pendiculaire AC, ainsi que le diamètre pp' qui fait avec 
AC un angle pOA égal à l'élévation du pôle au-dessus 
de l'horizon, on tirera les droites Dp et Dp' qui coupe- 
ront AC prolongé en deux points P et P' dont le premier 
sera la projection du pôle supérieur et le second la pro- 
jection du pôle inférieur. Les projections des méridiens, 
qui passeront toutes par les pôles P, P', auront en même 
temps leurs centres sur la droite MN perpendiculaire 
sur le milieu de PP’. 

Pour trouver ces centres, on décrira du point P avec 
le rayon PE le quart de cercle EQ qu’on divisera en neuf 
parties égales, si lon ne veut avoir les méridiens que de 
10 en 10 degrés; on ménera ensuite du point P à cha- 
cun des points de division une droite, qu’on prolongera 
jusqu’à ce qu’elle rencontre MN; les points d’intersec- 
tions «&, b, ce, ete., ainsi obtenus, seront les centres de 
méridiens qu’on décrira avec leurs rayons respectifs aP, 
bP, cP, etc. Le point E est le centre du méridien DPB 
perpendiculaire au méridien principal AB. 

La construction des paralleles ne présente pas plus de 
difficulté. Après avoir divisé la circonférence ABCD en 
36 parties égales à partir du point p, on mènera aux 
deux divisions également éloignées de p, des droites 
Di) et D(1'), D(2) et D(2°), etc., et les intervalles vw, 
v'u', vu’, etc., déterminés par ces droites sur le méri- 
dien AB seront les diamètres des parallèles. La projec- 
tion de l'équateur passera par les points B et D qui mar- 
quent l’est et l’ouest de la carte; une moitié seule de ce 
cercle se trouve projetée parce qu'il est coupé en deux 
parties égales par le plan de l'horizon. 

Les altérations que cette espèce de projection occa- 
sionne ne sont pas symétriques par rapport au pôle. 

4. Des projections par développement. Les construc- 
tions que nous venons d'indiquer deviennent très-em- 
barrassantes pour les cartes particulières où les rayons 
des méridiens et des parallèles sont d’une longueur con- 
sidérable, aussi les géographes préfèrent-ils dans ce cas 
les projections dites par développement à la projection 
stéréographique. On en distingue de deux espèces : les 
premières se nomment développemens coniques, les se- 
condes, développemens cylindriques. 

On sait qu'une zone sphérique d’une très-petite lar- 
geur ne diffère pas sensiblement de la surface convexe 
d’un cône tronqué, et comme cette dernière est exac- 
tement développable sur un plan, on peut obtenir, en 
opérant ce développement, une représentation d'autant 
plus exacte de la zone que celle-ci est plus étroite et se 
confond mieux avec la surface du cône. 

Considérons, par exemple, la zone sphérique dont 
ab (PI. 4, fig. 5) est la largeur, si nous imaginons un 
cône tangent au parallèle moyen M de cette zone, les 
surfaces du cône et de la zone, coïncidentes à ce paral- 
lèle, s'écarteront à sa droite et à sa gauche et en pro- 

4 


26 CAR 


jetant les lignes géographiques de la zone sur la surface 
du cône, les projections des méridiens feront entre eux 
des angles moindres que sur la sphère, et les pro- 
jections des parallèles seront plus grandes que ces pa- 
rallèles, tant à la droite qu’à la gauche du parallèle 
moyen. 

Si, au lieu d'employer le cône tangent, nous prenons 
le cône inscrit, la corde ab est alors le côté du tronc de 
cône dont la surface développée doit former la carte, 
et il est facile de voir que cette carte sera parfaitement 
exacte sur les parallèles extrêmes a et b; mais que les 
parallèles intermédiaires seront trop petits. 

Par une disposition intermédiaire entre le cône tan- 
gent et le cône inscrit, on peut encore diminuer l’alté- 
ration des parallèles, comme l’a fait Delisle dans sa carte 
générale de Russie, Ce géographe a choisi pour la sur- 
face conique représentative d’une zone, celle qui la cou- 
pait suivant deux parallèles placés chacun à égale dis- 
tance du parallèle moyen et de l’un des parallèles ex- 
trêmes. Le celte manière, les dimensions des parallèles 
communs au cône et à la sphère ne sont point altérés, et 
l'étendue de la carte diffère peu de l'étendue terrestre 
correspondante, parce que l'élargissement des parties 
inférieures se trouve à peu près compensée parle rétré- 
cissement des parties supérieures. 

Quelle que soit celle de ces dispositions qu’on veuille 
adopter, les intersections des plans des parallèles avec 
la surface conique déterminent sur cette surface les pro- 
jections des parallèles, et les projections des méridiens 
sont des lignes droites qui concourent au sommet du 
cône. Il en résulte qu’en développant la surface conique, 
les parallèles deviennent des ares de cercle dont le centre 
commun est au sommet du cône, et que les méridiens 
demeurent des droites concourantes àce sommet, ce qui 
conduit aux constructions que nous allons exposer, en 
prenant pour premier exemple le cas du cône tangent 
au parallèle moyen. 

Observons d’abord que, dans le développement, le 
rayon du parallèle moyen M (fig. 3)est la droite MO, co- 
tangente de l'angle ECM ou de la latitude de ce paral- 
lèle; ainsi, après avoir tracé (fig. 4) une ligne indéfinie 
AO, on prendra une longueur OM sur cette ligne, égale 
à la cotangente du parallèle moyen de la carte, puis du 
centre O avec OM pour rayon, on décrira un are indé- 
fini NN'; cet arc représentera le parallèle moyen de la 
carte. 

Supposons maintenant que l'amplitude de ce paral- 
lèle moyen ou que sa partie comprise entre les limites 
de l'espace terrestre qu’on veut représenter soit de 50 de- 
grés. Comme dans la sphère, le rayon de ce parallèle 
est MR, tandis qu’il est MO dans Ja carte, et que les 
nombres de degrés contenus dans deux arcs égaux sont 
entre eux dans le rapport inverse des rayons, on aura, 


CAR 


si NN représeute l'amplitude du parallèle moyen sur la 
carte, 


MR 
angle NON'— NO 50° 
Ayant done calculé le nombre des degrés de l'angle 
NON’, on construira cet angle en faisant de chaque côté 
de OA un angle égal à sa moitié. 

Pour décrire les parallèles extrêmes, on prendra sur 
l'axe AO de la carte deux parties Ma et Mb égales cha- 
cune à la moitié de la différence ab de latitude de ces 
parallèles extrêmes ; si, par exemple, cette différence est 
de 40 degrés, on prendra la longueur de 20 degrés sur 
l’échelle de la carte et on la portera de M en @& et en b, 
puis du centre commun O on décrira les ares DD’ et EE”. 

Si l’on veut que les méridiens et les parallèles soient 
distans les uns des autres de 10 degrés, on partagera 
NN'en 5 parties égales et ab en 4, puis on mènera les 
lignes de la figure. DD'E'E sera le réseau de la carte. 

C'est de cette manière qu'ont été construites la plu- 
part des cartes particulières des empires. 

Dans le cas du cône inscrit, il s’agit de déterminer 
préalablement la grandeur de AO (PL 4, fig. 5), rayon 
du premier parallèle extrême. Or l'angle O a pour 
mesure 


2 AP'— 1 BP— — : (90° AE) — : (g0°— BP) 
LAE—2DP, 


ou + lat À — : lat B, et on a dans le triangle rectangle 
AOm 


1 :sINO0—AO;: Am 


ou 


1: sin (ES ) — AO :coslatÀ, 


ve qui donne 


cos latA 5 
7 sin; (lat A— lat B)” 


AO 


le rayon de la sphère étant pris pour unité. Après avoir 
décrit une droite égale à AO, dont on déterminera la 
grandeur soit par la construction graphique dela figure5, 
soit en la calculant à l’aide des tables des sinus, on cher- 
chera l’amplitude du premier parallèle extrême sur la 
carte, d’après son amplitude sur la terre. Cette ampli- 
tude sera 


Am 
ARE 


AO 


À désignant le nombre des degrés de l'amplitude terres- 
tre. Le reste de la construction s'effectuera d’une ma- 
nière analogue à la précédente. 


CAR 


Ces principes sont immédiatement applicables à toutes 
les autres positions qu'on voudrait donner à la surface 
conique , car il s’agit uniquement de déterminer la gran- 
deur du rayon d’un parallèle commun à la surface du 
globe et à la surface conique , ainsi que l’amplitude que 
doit avoir ce parallèle sur la carte; ces deux quantités 
déterminent la grandeur de toutes les autres. 

5. Projection conique modifiée. Pour éviter l’altération 
des aires, Flamsteed a employé dans son Atlas céleste 
une espèce de projection dans laquelle le méridien du mi- 
lieu de la carteet les parallèles sont développésenlignes 
droites, tandis que tousles autresméridiens sont courbes, 
ce qui permet de représenter le quadrilatère compris 
entre deux méridiens et deux parallèles quelconques sur 
la surface de la sphère, par un quadrilatère équivalent 
sur la carte, mais ce qui présente le désavantage d’alté- 
rer considérablement la configuration des parties situées 
vers les limites de la carte. En adoptant la projection 
de Flamsteed, pour ce qui concerne les méridiens, les 
géographes ont su diminuer ses inconvéniens en ren- 
dant cireulaires tous les parallèles et les faisant concen- 
triques au parallèle moyen de la carte, dont le centre 
est sur le méridien rectiligne, et qui a pour rayon Ja co- 
tangente de sa latitude comme dans la projection co- 
nique pure. C’est d’après la projection de Flamsteed, 
ainsi modifite, que Bonne et Delisle ont construit les 
cartes des quatre parties du monde. 

Soit done OM (PI. 4, fig. 6), le rayon du parallèle 
moyen et AB ce parallèle, ayant porté au-dessus et au- 
dessous du point M, sur le méridien rectiligne MN, 
des parties Ma, ab, be, etc. égale chacune à la grandeur, 
prise sur l'échelle, de 10 degrés, où de 5 ou même de 1 
degré, suivant la distance qu'on veut donner aux paral- 
lèles, du point O comme centre on décrira les arcs 
concentriques CD, EF, etc. Nous supposerons que les 
parallèles doivent être tracés ainsi que les méridiens de 
degré en degré. 

Ceci fait, on divisera chacun de ces ares, à partir du 
méridien MN et à la droite et à la gauche de ce méri- 
dien, en parties égales entre elles et qui seront égales 
à l'intervalle d’un degré du parallèle correspondant sur 


le globeterrestre, puis on fera passer des courbes par 


toutes les divisions d’un même ordre. Ces courbes re- 
présenteront les méridiens de degré en degré. 

Les avantages de cette construction sont évidemment 
de conserver entre les parties des méridiens rectilignes 
et celles des parallèles les mêmes rapports qu'elles ont 
sur la sphère; ses défauts sont d’altérer les rapports 
des autres méridiens, mais comme elles ne commen- 
cent à devenir sensibles que loin du centre du déve- 
loppement, on doit préférer cette méthode à toutes 
les autres, d'autant plus qu'il est très-facile d'y tenir 
compte de l'aplatissement de la terre, en calculant les 


CAR 27 


degrés des parallèles pour un sphéroïde et non pour une 
sphère. 

» Vu la difficulté et souvent même l'impossibilité de 
tracer des ares de cercle d’un très-grand rayon, l'on a 
pris le parti de construire ces courbes par points, en les 
rapportant pour plus de facilité et de précision à des co- 
ordonnées rectangles. Sur les cartes gravées au dépôt 


1 
——— on y remarque le 


de la guerre, ou à l'échelle de 
50000 


méridien et les parallèles tracées de décigrade en déci- 
grade (de dixième en dixième du grade ou degré cen- 
tésimal), ces lignes ont une courbure si peu sensible, 
que les quadrilatères qu’elles forment peuvent être con- 
sidérés comme rectilignes. Ainsi, pour construire le 
canevas d’une carte, il ne s’agit que de connaître les 
coordonnées rectangles des sommets des angles de ces 
quadrilatères ; sauf ensuite, si le cas l'exige, à tracer les 
courbes des méridiens et des parallèles à l’aide d’une 
règle élastique dont l’usage est très-facile. 

» Mais le choix de l’origine des coordonnées n’est pas 
indifférent. En effet, la grande étendue des pays à figurer 
exige souvent que la carte soit composée de plusieurs 
feuilles; or, pour leur donner des dimentions agréables 
à la vue, les rendre faciles à consulter et les assujettir 
toutes au même format, on est convenu que chacune 
aurait 8 décimètres de longueur sur 5 décimètres de 
hauteur. Ainsi, en prenant d'abord pour origine des co- 
ordonnées le centre commun des parallèles , et pour axe 
des abeisses le méridien moyen de la carte qui la tra- 
verse en son milieu, ilest évident que cette origine est 
située hors de cette carte, et que souvent aussi le méri- 
dien principal est hors de la feuille à construire; il ÿ a 
donc un peu plus d'avantage à prendre pour origine le 
centre du développement, c’est-à-dire le point du mé- 
ridien rectiligne par lequel passe le parallèle moyen. 
Cependant, toutes les fois que les coordonnées des angles 
des quadrilatères excèdent les dimensions d'une feuille , 
il sera commode de transporter en outre l’origine à l'un 
des angles de la feuille sur laquelle on opère, ct de 
prendre pour nouveaux axes des coordonnées les lignes 
mêmes du cadre, qui doivent être constamment paral- 
lèles aux coordonnées primitives, c'est-à-dire, au méri- 
dien principal et à la tangente du moyen parallèle, 

» C'est de cette manière qu’on opère pour la nouvelle 
carte de France; sur cette carte, la courbure des paral- 
lèles est réglée d’après celle que prend le parallèle du 50° 
grade (45° degré sexagésimal), dont le centre est situé 
sur le méridien reetiligne de Paris, pris pour axe prin- 
cipal des abcisses ; ainsi, à la latitude de ce parallèle 
moyen, le grade du méridien vaut 1060000 mètres, et 
non loin du centre du développement, les distances res- 
pectives des lieux sont à fort peu près les mêmes sur la 
sphère que sur le sphéroïde terrestre, De là résulte Ja 


28 CAR 

possibilité de former très-aisément des cartes chorogra- 
phiques, par la simple réduction des levés, à l'échelle 
convenue ; puisque l’on conserve absolument la même 
projection, et que l’on élude les difficultés et les erreurs 
auxquelles le passage d’une espèce de projection à une 
autre espèce donne licu. » 

Les calculs nécessaires à la confection des cartes par 
ce procédé, le plus en usage aujourd'hui, sont assez 
nombreux. Ils exigent des détails dans lesquels nous ne 
pouvons entrer, et pour lesquels nous renverrons nos 
lecteurs au Traité de topographie de M. Puissant, à qui 
nous avons emprunté les trois paragraphes précédens. 

6. Développement cylindrique. Concevons qu’une zone 
sphérique soit inscrite ou circonscrite dans un cylindre 
droit, dont l’axe coïncide avec celui de la sphère, et 
que les plans des méridiens et des parallèles détermi- 
nent, par leurs intersections avec la surface convexe du 
cylindre, les lignes qui représenteront leurs projections 
sur cette surface développée. Les plans des méridiens 
couperont la surface courbe du cylindre suivant des li- 
gnes droites parallèles à l'axe, tandis que les plans des 
parallèles formeront sur cette surface des cercles paral- 
lèles égaux chacun à celui qui compose la base du Cy— 
lindre, de sorte qu’en développant la surface du cy- 
lindre, ces parallèles deviendront des lignes droites 
perpendiculaires aux méridiens. 

Dans le développement cylindrique, les méridiens et 
les parallèles sont donc des lignes droites rectangu- 
laires, disposition qui permet aux marins de tracer fa- 
cilement, sur la carte ainsi construite, le chemin qu'ils 
ont parcouru, ou de calculer celui qui leur reste à faire. 
Ces cartes, nommées cartes plates, ont été inventées par 
don Henri, infant de Portugal; elles ont le défaut d’al- 
térer les rapports de grandeur entre les degrés des pa- 
rallèles et ceux des méridiens. 

7. Cartes réduites. L'utilité de représenter les méri- 
diens par des lignes droites parallèles, dans les cartes 
marines, vient de ce que la direction d’un rhumb de 
vent coupe sous le même angle tous les méridiens qu'il 
rencontre, Ce qui fait parcourir aux vaissaux, sur la sur- 
face des mers, une ligne courbe qui ne saurait être re- 
présentée sur les cartes à méridiens non parallèles que par 
une espèce de spirale difficile à décrire. (Voy. Loxonno- 
1e.) Dès qu'on eut remarqué les défauts des cartes plates, 
on sentit la nécessité d'abandonner la projection cylindri- 
que, ou du moins de la modifier. Mercator indiqua le 
premier qu'il fallait faire croître les degrés du méridien 
d'autant plus qu'ils s’éloignent de l'équateur, mais c'est 
à Édouard Wrigt qu'est due la loi de cette augmentation, 
quoiqu'il soit d'usage de nommer projection de Merca- 
tor, la projection cylindrique altérée dont on se sert 
généralement aujourd’hui. 


Pour bien saisir le principe de cette projection , il 


CAR 
faut observer que les degrés des parallèles terrestres 
comprennent sur la surface du globe une étendue d’au- 
tant plus petite qu'ils sont plus éloignés de l'équateur 
ou que leur latitude est plus grande, tandis que les de- 
grès des méridiens sont toujours égauxentre eux et à celui 
de l'équateur, du moins en considérant la terre comme 
sphérique. Or, si l'on désigne par g la grandeur cons- 
tante du degré de l'équateur, et par la grandeur des degrés 


du parallèle dont la latitude est ), le rapport du degré du 
parallèle au degré du méridien, à la latitude }, sera 7, 


ainsi, lorsqu'on fera sur un carte tous les degrés des 
parallèles égaux au degré g de l'équateur, il faudra que 
le degré du méridien qui commence à la latitude à 
ait une grandeur æ telle que son rapport avec le degré g 


du parallèle, soit égal à ! , Où qu'on ait 
5 Ï 


JE, 
CT 
ce qui donne 
+ 
RME 
1 


Mais, en considérant le rayon de la sphère comme 
celui des lables des sinus=— 1, le rayon A m (PI. 4 fig. 5) 
d’un parallèle est le cosinus de l'arc EA ou de la latitude 
de ce parallèle ; donc 


glly 1 cos): 


car les longueurs de deux arcs d’un même nombre de 
degrés sont proportionnelles aux rayons des cercles 
dont ils font partie. Tirant de cette proportion la valeur 
de ; et la substituant dans celle de >, il vient 


c’est-à-dire que les degrés du méridien sur la carte doi- 
vent être proportionnels aux sécantes de leurs latitudes. 
Si au lieu de prendre l'intervalle d’un degré on prend 


celui d'une minute, on aura évidemment de même 


1 du méridien— 1 de l'équateur X séc ). 


Ainsi, lorsqu'on fait constamment sur la carte la mi- 
nute d'un parallèle quelconque égale à celle de l’équa- 
teur , l'intervalle de deux parallèles consécutifs, ou la 
différence de leur latitude, correspondante à une minute, 
doit être égale à 1° Xséc), } étant la latitude du parallèle 
le plus proche de l'équateur. Pour trouver l'intervalle 
correspondant à un nombre quelconque de minutes, il 
faudra former la somme de toutes les sécantes de mi- 
nute en minute, depuis celle de la plus petite latitude 
jusqu’à celle qui précède la plus grande, Par exemple, 


CAR 


si l'on veut connaître la distance qu'on doit donner sur 
la carte aux parallèles dont les latitudes respectives sont 
45° et 45° 4°. on devra former la somme 


séc 45° séc (45°1')Hséc (45° 2°) Lséc (45° 3°) 


et comme cette somme est à peu près 5,66, l’inter- 
valle cherché sera 1° X 5,66 ou 5,66 ; c’est-à-dire 
qu'il faudra donner à la partie du méridien comprise 
entre le parallèle de 45° et celui de 45° 4, cinq fois et 
demie environ la grandeur arbitraire qu’on a prise 
pour représenter dans la carte une minute de l’équa- 
teur. Les cartes construites sur ce principe se nomment 
cartes réduites ou cartes par latitudes croissantes. 

Outre que les calculs sont très-prolixes par le pro- 
cédé que nous venons d'indiquer, on ne peut compter 
sur des résultats entièrement rigoureux, car l'arc d’une 
minute diffère sensiblement de sa corde. Il faudrait, pour 
plus de précision, diviser cet intervalle en parties très- 
petites, comme en secondes , mais il est beaucoup plus 
simple, dans tous les cas, d’avoir recours à la méthode 
directe que nous allons indiquer. 

Désignons par s la longueur d’un arc du méridien 
terrestre compris entre l'équateur et le cercle parallèle 
qui a } pour latitude, ds sera l'accroissement infiniment 
petit que recoit cet arc, lorsque la latitude } croît de d); 
désignons en outre par s' la longucur linéaire qu'a, sur 
la carte réduite, l'arc s du méridien circulaire; il s’agit 
de déterminer l’accroissement ds’ qui doit représenter 
sur la carte l’accroissement correspondant ds. Or, d’a- 
près ce qui précède, une partie très-petite, prise sur le 
méridien de la carte, doit être à la partie correspondente 
du méridien de la terre, dans le rapport du rayon de 
l'équateur à celui du parallèle de l’origine de cette par- 
tie. Soit donc R le rayon de l'équateur, r celui du paral- 
léle de la latitude }, nous aurons 


ds: ds=R:r 


mais le rayon de la terre étant R, celui du parallèle est 
R cos ?, et de plus ds — Rd), donc la proportion précé- 
dente est la même chose que 


ds: Rd) — 1 : cos) 


d'où l'on tire 


et, en intégrant, 


CAR 29 


On aura donc ainsi la longueur s° qui représente sur 
le méridien rectiligne de la carte, l'arc s du méridien 
circulaire de la terre. 

Réalisant l'intégration, on obtient 


s'—R log tang + (90° à) 


il n’y a pas besoin d'ajouter de constante, parce que 
s —0, lorsque } — 0. 

Dans cette formule, s’est donné en mêmes unités que 
le rayon R de l'équateur; pour l'avoir en minutes, il 
faut faire 


et de plus, le logarithme énoncé étant un logarithme 
naturel, on ne peut se servir des logarithmes tabulaires 
qu’aprèsles avoir multipliés parle module 2,302585093. 
En tenant compte de ces circonstances, on obtient pour 
l'expression de s'en minutes, 


8 — (35457 ,746) (2,302585) Log tang (45° 1) 
7 574 Le] o Ex 


le logarithme indiqué étant un logarithme tabulaire. 
Cette forme se réduit à 


5 — (7915 ,704468) Log tang (45°+-1)) 


Si l'on veut calculer s° à l’yjde des logarithmes, on 


Ecaco (0) 


Log s — 


5,8984896 + Log (Log tang (45° +:)) 


et les opérations deviennent très-simples. Soit, par 
exemple, à trouver la longueur de la partie du méridien 
comprise entre l'équateur cet le parallèle du 48° degré 
de latitude; on fera }— 48° et on cherchera dans les ta- 
bles le logarithme de la tangente de 45° 26° — 69"; ce 
logarithme étant 0,4158226, on aura ensuite 


Log (0,4158226) — 9,6189081 
Nombre constant — 5,8984896 


Log s' — 5,5175977 


Pat 


d'où s — 3291. 

En procédant de cette manière la construction de la 
table suivante, très-utile aux marins, n’est plus compli- 
quée des interminables additions qu'ont eu à effectuer 
les premiers qui l’ont calculée. Elle renferme, de dix mi- 
nutes en dix minutes, les longueurs qu'il faut donner aux 


divisions du méridien dans les cartes réduites. 


30 


LATITUDES 


TABLE 


DES 


5 
24 | 
LATITUDF. & [Larrrunr 
= 
mme | mme 
00 (/ 0 
10 10 40 
20 20 50 
3 30 
40 40 12° C? 
50 50 10 
20 
19 C’ 60 30 
10 70 40 
20 50 50 
30 99 
40 100 139 
50 110 10 
20 
20 ç! 120 30 
10 130 40 
20 150 50 
30 150 
40 160 14° Cf 
50 170 10 
20 
3 C/ 150 30 
10 190 40 
20 200 50 
30 210 
40 220 150 Cf 
50 2:50 10 
20 
4o Cf 30 
10 10 40 
20 260 50 
30 270 
40 280 16 0 
50 290 10 
: 20 
50 CN 300 30 
10 310 40 
20 320 50 
30 330 
40 510 170 C/ 
50 350 10 
20 
60 €! 360 30 
10 370 40 
20 330 50 
30 390 
40 400 8o ç’ 
50 410 10 
20 
70 C 421 30 
10 431 40 
20 Ait 50 
30 451 
40 AGL 192 © 
50 A7I 10 
20 
8° ç” 482 30 
10 492 40 
20 502 20 
50 51 
40 522 200 Cf 
50 932 10 
20 
92 c' 542 30 
10 532 40 
20 562 50 
30 
40 210 C? 
50 10 
20 
10: GC” 603 30 
10 613 40 
20 623 50 
30 634 
40 Gif 299 cf 
50 651 10 
20 
iio C’ C6 30 
10 674 10 
20 654 50 


2 
a 
a 


590 
#00 


910 
O2! 
Get 
EN 
952 


962 


973 
953 
993 
1004 
1014 
1025 


1035 
1016 
1056 
1057 
1077 
1058 


1098 
1109 
1119 
1150 
1140 
1151 


1164 
1172 
11583 
1195 
1204 
1214 


1225 
1256 
1216 
1257 


1205 


1278 


LATITUDEe 


*#nrn9N0T 


1661 
1072 


1684 
1693 
1706 
1717 
1729 


1797 
1808 


1819 
1831 
1542 
1854 
1565 
1877 


1888 
1900 
1911 
1923 
1933 
1946 


1958 
1970 
1981 
1993 
2005 
2017 


2028 
2040 
2052 
‘2064 
2076 
2088 


2099 
2114 
2123 
2135 
2147 
2159 
2171 
2184 
2196 


5, 
z 
LATITUDF, = LATLEUD! « 
ü 
mn 
Lis o | one PREND 
340 30/ 2208 460 6 
40 2220 10 
50 2252 20 
30 
350 © | 2244 40 
10 2256 50 
20 2269 
30 2281 70 C 
40 2293 10 
50 2306 20 
6o 6 2318 so 
10 50 
20 
30 {8e C' 
40 10 
50 20 
30 
370 O/ 40 
10 50 
20 
30 499 W 
40 10 
50 20 
30 
380 ç' 2468 40 
10 2181 50 
20 2194 
30 2506 || 500 0 
40 2519 10 
50 2532 20 
30 
390 Cf | 2545 40 
10 2558 50 
20 2571 
So | 2584 | 510 ç 
40 2597 10 
50 2610 20 
30 
40: œ 2623 40 
10 2636 50 
20 2649 
30 2662 || 520 0 
40 2675 10 
50 2688 20 
30 
410 2702 40 
10 2718 50 
20 2728 
50 2741 530 C? 
40 2756 10 
50 2768 20 
50 
490 C 2782 40 
10 2796 50 
0 2809 
30 2822 || 540 (7 
40 2836 10 
50 2849 20 
30 
430 © 2863 40 
10 2877 50 
20 2890 
30 2994 550 © 
49 2918 10 
50 2932 20 
30 
449 0! 2946 40 
10 2960 50 
2 2974 
30 2988 56e C' 
40 3002 10 
50 3016 20 
30 
450 € 3050 40 
10 3044 50 
20 3058 
30 3072 570 0’ 
40 3087 10 
50 3101 20 


*uASDPKCT 


3116 
3130 
3144 
3159 
3175 
3188 


3203 
3217 
3232 
3247 
3262 
3276 


3291 


3474 
3490 
3506 
3521 
3537 
3533 


3569 


3967 
3955 
4003 
4021 
4038 
4056 


4074 
4092 
A110 
4128 
4146 
4164 


4183 
4201 
1219 


== 


LATITUDF. 


670 0” 
10 
20 
30 
40 
50 


68° C’ 
10 
20 
30 
40 
50 


4238 
4257 
4275 


4294 
4313 
4332 
4351 
4370 
4389 


4409 
4429 
4418 
4468 
4458 
4507 


4527 
4547 
1568 
4588 
4608 
4629 


4649 
4670 
4691 
4712 
4733 
4754 


4773 
4796 
4318 
4839 
4861 
4583 


4905 
4927 
4919 
4972 
4994 
5017 


5039 
5062 
5085 
5108 
5132 
5195 


3179 
5202 
5226 
5250 
5273 
5299 


5323 
5348 
5373 
5398 
5423 
5448 


CROISSANTES. 


LATITUDE, 


*un209N07 


5794 
5822 
5851 
5879 
5908 
5937 


5966 
5995 
6025 
6055 
6085 
6115 


6146 
6177 
6208 
6240 
6271 
6303 


6335 
6367 
6400 
6433 
6467 
6300 


6534 
6569 
660% 
6638 
6674 
6710 


6746 
6782 
6819 
6556 
6894 
6952 


6970 
7009 
7048 
7088 
7128 
7169 


7210 
7251 
7293 
7336 
7379 
7523 


7467 
7512 
7557 
7603 
7650 
7697 


7745 
7793 
7842 


© 7892 


7942 
7994 


804G 
8099 
8152 
8207 
8262 
8318 
8375 


8433 
8192 


LATITUDE. 


"HXOY4NONOI 


— 


8552 
8614 
8676 


8739 
8603 
8869 
8936 
gcoi 
9074 


9145 
9218 
9292 
9368 
9116 
9525 


9606 
9689 
9774 
9861 
9951 
10043 


10137 
10234 
10334 
10437 
10543 
10652 


10765 
10581 
11002 
11127 
11257 
11392 


11533 
11679 
11532 
11992 
12160 
12334 


12522 
12719 
12927 
13149 
13357 
13641 


13917 
11216 
14543 
14906 
15311 
15770 


16300 
16926 
17694 
18652 
20075 
22458 


CAR 


L'hypothèse de la sphéricité de Ja terre d’après la- 
quelle cette table est formée rend tous les nombres plus 
grands qu'ils ne devraient être, surtout dans les hautes 
latitudes ; de sorte que, si l’on voulait avoir des cartes ré- 
duites rigoureusement exactes, il serait nécessaire de 
tenir compte de l’aplatissement de la terre. Delambre a 
donné une formule extrèmement simple pour calculer 
les latitudes croissantes du sphéroïde terrestre. La voici: 
Soit w l'angle du rayon de l'équateur avec le rayon de la 
terre aboutissant au point où Ja latitude vraie est }, on 
aura 


s' — a Log tang (45°: 0); 
l'angle w étant calculé à l’aide de la relation 
z 


tang © — “ tang ). 


Dans ces formules, & représente le rayon de l'équateur 
et b le rayon du pôle. La première, transformée de ma- 
uière à donner la valeur de s' en minutes devient identi- 
que avec la formule (1), sauf ques ÿ occupe la place de). 

Pour donner au moins un exemple d’application, soit 
1— 48°, nous aurons, en supposant l’'aplatissement de 


1 
la terre = = 


304? 
d'où 


et par suite 


Log 303 — 2,4814426 
Log 304 — 2,4828735 


Log quotient — 9,9985691 


Double deceLog — 9,9971382 
Log tang 48°  — 0,0455626 
Log tang w = 0,0427007 


D'où © — 47°48" 46" et Lo — 23°54 23". Substituant 
cette dernière valeur à la place de ?2 dans la formule (1) 
et réalisant les calculs, on trouve : tang (45° ») 


—=tang 68° 54 25", dont le logarithme —0,4137068 ; et 


Log (0,4157068) — 9,6166927 
Nombre constant — 3,8984896 


Log s' = 9,9151829 


d'où l’on tire définitivement s' —3275. La valeur 5291, 
obtenue précédemment pour la même latitude, est done 
trop grande de 16’, quantité trop considérable pour qu'on 


CAR 31 


puisse la négliger sans inconvénient, comme on le fait 
communément. 

Quoiqu'il soit des valeurs des latitudes croissantes, 
voici la construction très-simple des cartes réduites. 

Supposons qu'il s'agisse de trouver le réseau d’une 
carte devant représenter la partie de l’océan comprise 
entre le 2° et le 32° degrés de longitude occidentale et 
entre le 55° et le 48° degré de latitude septentrionale. 

Après avoir tiré une droite de la longueur qu'on veut 
donner à la carte, on la divisera en autant de parties 
égales qu'il doit y avoir de degrés de longitudes com- 
pris dans la carte, c’est-à-dire en 50, qu’on subdivi- 
sera ensuite de 10 minutes en 10 minutes. Cette ligne 
ainsi divisée sera l'échelle de longitude de la carte, et 
il faudra construire à part une autre échelle de minute 
en minute pour pouvoir se servir de la table des lati- 
tudes croissantes et donner plus d'exactitude aux divi- 
visions du méridien. Sur le milieu de la premiere ligne, 
on élévera une perpendiculaire qui représentera le 
méridien du milieu de la carte, et pour graduer ce mé- 
ridien de 10 minutes en 10 minutes, on cherchera dans 
la table la valeur du 33° de latitude qu’on soustraira 
successivement de celles de 35° 10°, 53° 20'etc. jusqu’à 
48° où se termine la carte. 

On prendra à mesure , avec un compas, ces diffé- 
rentes grandeurs sur l'échelle divisée en minutes, et on 
les portera successivement surle méridien à partir de son 
origine. Cela étant fait, si lon tire par toutes les divi- 
sions de la première ligne des parallèles au méridien, 
et pour toutes les divisions du méridien des parallèles à 
la première ligne, on aura le réseau de la carte, et il ne 
s'agira plus que d’y marquer les points terrestres selon 
leur Hatitude et leur longitude. C’est ainsi qu'a été cons- 
truite la carte de la PI. 5 qui représente une grande 
partie du globe terrestre. Les lignes extrêmes horizon- 
tales sont les échelles de longitude, et les lignes extrêmes 
verticales les échelles de latitude. 

Nous n'avons sans doute pas besoin de faire observer 
que la projection des cartes réduites allonge tous les es- 
paces dans le sens des pôles, ce qui altère de plus en 
plus, à partir de l'équateur, le rapport d’étendue des 
pays. Ce défaut ne les empêche pas de présenter toute 
l'exactitude nécessaire pour la solution graphique des 
problèmes de la navigation. 

La construction des cartes destinées à représenter une 
petite étendue de terrain, et qu’on nomme cartes topo- 
graphiques , est fondée sur les principes de la géodésie, 
de l’arpentage et du nivellement ; elle exige une foule 
d'opérations de détails dont l'exposé ne peut entrer 
dans notre plan. Nous renverrons done nos lecteurs 
aux ouvrages spéciaux, et particulièrement au Traité 
de topographie de M. Puissant, qui renferme l’ensemble 
de toutes les connaissances actuelles sur cet objet. 


32 CER 
CENTRE DE PRESSION (Voy. Pression). 


CERCLE RÉPÉTITEUR. Instrument employé dans 
les grandes opérations géodésiques. Il diffère essentielle- 
ment du graphomètre à lunettes, soit par le principe 
sur lequel est fondée sa construction, soit par ses ap- 
plications à l’astronomie. C’est Borda qui, profitant 
d’une heureuse idée de Tobie Mayer, pour trouver par 
des opérations répétées le rapport d’un arc à la circon- 
férence , imagina cet instrument propre à mesurer, sur 
d’assez petites dimensions, les angles entre les objets 
terrestres, avec une précision extrème et dans un assez 
court intervalle de temps. Comme la vue du cercle ré- 
pétiteur en apprend plus qu'aucune description écrite , 
nous nous bornerons aux remarques suivantes. 


Supposons qu'une circonférence soil divisée en 4000 
parties égales, et qu'après une révolution entière un arc 
à mesurer, porté neuf fois sur cette circonférence , se 
termine sur le trait de la 5o° division, il est évident alors 
que l’espace parcouru contiendra 4050 parties et que 

; 4 = È 
l'arc proposé aura pour mesure Bod — 450 parties. 
Cet arc sera donc à la circonférence entière dans le rap- 
port de 450 à 4000, ou de 9 à 80; et l’on conçoit que 
s’il existe une petite erreur dans cette évaluation, elle 
ne doit être que la neuvième partie de celle dont pour- 
rait être affectée la mesure de l'arc simple. 

Le cercle de Borda, pour jouir de l’avantage de la ré- 
pétition indéfinie, est construit de manière que les deux 
lunettes, l’une supérieure, l’autre inférieure, sont mo- 
biles ou fixes à volonté, à l'égard du limbe, et que leurs 
axes optiques se disposent parallèlement au plan de ce 
limbe sur lequel est tracée la graduation. De là la néces- 
sité de réduire souvent à l'horizon les angles mesurés 
dans le plan des objets terrestres ; mais , pour éviter ce 
calcul, on se sert plus communément du Théodolite ré- 
pétiteur , parce que cet instrument est muni de lunettes 
plongeantes qui ont la propriété de se mouvoir con- 
stamment dans des plans perpendiculaires à celui du 
limbe et de donner, par conséquent, les angles tout ré- 
duits, lorsque ce limbe est disposé horizontalement et 
maintenu dans celte position durant l’opération. Enfin, 
le cercle et le théodolite servent aussi à mesurer le 
multiple des angles verticaux à partir du zénith, et c’est 
pour cette raison que ces angles se nomment distances 
zénithales. 

Le cercle à réflexion du mème géomètre, antérieur 
au cercle répétiteur , est pour les observations nautiques 
ee qu'est celui-ci pour les observations terrestres ; aussi 


remplace-t-il avantageusement le sextant. 


CERCLE HYDRAULIQUE (Voy. HYpROMETRES). 


CHA 

CHAINE À GODETS. (Hydraul.) Machine employée 
pour transmettre la force motrice d’une chute d’eau. 

Elle se compose de seaux en tôle c, €, € (PL. 4, fig. 7) 
suspendus à une chaîne sans fin g, g formée de barres 
de fer articulées d’une longueur égale à celle des seaux. 
L'eau amenée par un canal a est projetée par un ori- 
fice b, dans les seaux qu’elle emplit et force à des- 
cendre. Par le mouvement de la chaîne, les barres de 
fer viennent successivement s'appliquer sur les bras 
des deux roues, l’une supérieure f, et l’autre infé- 
rieure e, et impriment à ces roues un mouvement de 
rotation sur leurs axes qu’elles transmettent l’une ou 
l’autre, et quelquefois l’une et l’autre aux machines 
qu'on veut faire fonctionner. 

Cet appareil offre évidemment un emploi avantageux 
de la chute d’eau, car il la recoit presque à son som- 
met et semblerait devoir la garder jusqu’à son extré- 
mité inférieure, cependant il est peu usité parce que le 
mouvement imprimé aux axes ne peut être générale- 
ment assez rapide pour les opérations industrielles, 
vu le peu d’étendue qu’il est possible de donner aux 
roues, et que d’ailleurs les oscillations de la chaîne font 
jaillir une partie de l’eau des godets pendant leur des- 
cente, ce qui diminue la quantité d'action due unique- 
ment au poids de l’eau. 


CHALEUR. (Phys. Math.) Les applications du feu 
comme puissance motrice sont devenues si nombreuses 
et si importantes, que la théorie de la chaleur n’est pas 
d’un intérêt moindre aujouxd’hui pour la mécanique 
pratique que pour la physique; dont elle forme propre- 
ment la base fondamentale, En exposant ici les points 
principaux de cette théorie, nous croyons devoir nous 
attacher particulièrement aux résultats numériques des 
expériences qui peuvent servir à la vérifier, parce que 
l’état peu avancé de la physique rationnelle ou, pour 
mieux dire, l'absence complète de toute connaissance 
positive sur la composition intime de la matière ne per- 
met de considérer les formules obtenues par les géo- 
mètre que comme une représentation plus ou moins 
exactes des faits, entre certaines limites, et non comme 
les lois mathématiques de ces faits. 

1. La cause de la chaleur est entièrement inconnue, 
et aucune des deux hypothèses qui partagent en ce mo- 
ment les physiciens sur sa nature n’est suflisamment 
établie. Les uns considèrent la chaleur comme étant 
produite par un fluide très-subtil dont ils supposent que 
les molécules, doués d'une grande force répulsive , se 
meuvyent avec une extrême rapidité et s'accumulent dans 
les corps à mesure que l'intensité des effets de la cha- 
leur y augmente. Les autres l’attribuent à un mouve- 
ment intérieur ou vibratoire des corps, mouvement qui 
se transmet à distance par l'intermédiaire d'un fluide 


CHA 
répandu indéfiniment dans l’espace. Dans cette seconde 
hypothèse, la chaleur est propagée par le fluide comme 
le son par l'air, et les corps les plus chauds sont ceux 
dans lesquels le mouvement vibratoire s'exécute avec le 
plus de vitesse. 

Les lois physiques de la chaleur étant indépendantes 
de ces hypothèses, et l’explication des phénomènes poy- 
yant s'effectuer d’une manière beaucoup plus simple 
dans la première que dans la seconde, nous admettrons, 
avec les physiciens chimistes, uniquement pour fixer 
les idées, que le principe de la chaleur est une matière 
propre, un agent distinct de la substance des corps, 
sans rien préjuger d’ailleurs sur la nature de ce prin- 
cipe transcendant auquel on a donné le nom de ecalo- 
rique. 

2. Les sensations particulières de chaud ou de froid 
que nous font éprouver soit le contact, soit la simple 
présence des divers corps de la nature, ne peuvent nous 
donner qu’une idée très-imparfaite de la chaleur propre 
de ces corps; mais l'augmentation de leurs volumes, 
produite constamment par l'augmentation de leur cha- 
leur, nous offrele moyen de rapporter celle-ci ä une unité 
de mesure qui nous permet de comparer exactement les 
divers degrés de son intensité. 

3. On nomme température d’un corps la chaleur 
propre qu'il possède; ainsi, lorsqu'un corps s’échaufle, 
on dit que sa température s'élève, et, quand il se refroi- 
dit, on dit qu'elle s’abaisse. Deux corps ont la même 
température lorsque leur contact n'apporte aucun chan- 
gement à leur état respectif. 

Cette dernière appréciation est fondée sur ce que le 
calorique tend toujours à se répandre uniformément , 
de manière que, lorsque deux corps sont en contact, 
celui qui est le plus chaud cède de sa chaleur à l’autre 
jusqu’à ce qu’ils aient tous deux la même température. 

4. Pour mesurer les variations de température des 
corps par les variations de volume qui les accompa- 
gnent, on a fait choix de deux températures fixes fa- 
ciles à produire, et on est convenu de nommer degrés 
de température Vaccroissement de chaleur nécessaire 
pour produire un accroissement de volume qui soit une 
partie déterminée de l'accroissement général due au 
passage de la plus basse température fixe à la plus 
haute. Ces deux températures fixes sont celles de la 
glace fondante et de F'ébullition de l’eau sous la pression 
moyenne de l'atmosphère. 

En nommant, par exemple, o le degré de tempéra- 
ture de la glace fondante, et 100 celui de l’eau bouil- 
lante, nous dirons que la température d'un corps s’est 
élevée de 8 degrés, si l'accroissement du volume qui 
suit son accroissement de chaleur est égal aux de 


1 


l'accroissement total qu'il éprouverait en passant de la 
Tom. ax, 


CHA 33 


température de la glace fondante à celle de l’eau bouil- 
lante. 

5. Il suffit de connaitre la température d’un corps 
pour connaître celle de tous les autres, en les mettant 
en contact avec celui-ei ; et comme les diverses sub- 
stances matérielles sont loin de se dilater également, 
on a dû choisir une substance dont les dilatations fussent 
assez sensibles pour qu’on puisse les apprécier avec fa- 
cilité, Le mercure présente cet avantage, ainsi que les 
gaz, qui ont, en outre, la propriété de se dilater tousexac- 
tement de la mème manière; c’est donc principalement 
par les dilatations du mereure et de l'air qu'on mesure 
les variations de la chaleur, à l’aide d’un instrument 
nommé thermomètre. (Voy. ce mot, tom. 11, et TEMPÉRA- 
TuRE dans celui-ci.) 

G. Ces notions préliminaires étant posées, nous al- 
lons examiner successivement les phénomènes dus à 
la chaleur , en les divisant en deux classes dont la pre- 
mière comprendra les effèts physiques que le calorique 
produit sur les corps, et la seconde les lois de sa commu- 
nication et de sa propagation. 

7. Errers PHYSIQUES DE LA CHALEUR. Le premier effet 
général de la chaleur est, comme nous l’avons déjà dit, 
de dilater tous les corps, les solides très-peu, les li- 
quides davantage, et les gazeux dans des proportions 
beaucoup plus considérables. La dilatation des corps so- 
lides exerçant une grande influence dans presque tous 
les arts, on a dû s'attacher à la déterminer avec exacti- 
tude. Laplace et Lavoisier, à qui l’on doit une belle 
suite d'expériences sur cet objet, ont reconnu que les 
dilatations d’un même corps sont uniformes depuis 0° jus- 
qu'à 100° du thermomètre centésimal , c'est-à-dire 
qu'entre ceslimites l’accroissement du volume par chaque 
degré d’accroissement de la température est une même 
partie du volume primitif à o°. Depuis, MM. Petit et 
Dulong ont trouvé que la dilatation croît avec la tempé- 
rature, d’une manière inappréciable à la vérité, entre o° 
et 100°, ce qui confirme les résultats de Laplace et de 
Lavoisier ; mais de o° à 500° les accroissemens sont 
très-sensibles. 

8. On nomme dilatation linéaire d’un corps l’accrois- 
sement de sa longueur ou plus généralement l’acerois- 
sement d'une de ses dimensions, Son accroissement gé- 
néral de volume se nomme sa dilatation cubique. On 
obtient facilement cette dernière lorsque la première 
est connue. 

En effet, désignons par L la dilatation supposée uni- 
forme de l'unité de longueur pour un degré centésimal; 
si L représente la longueur d’un corps à la tempéra- 
tureo, Li sera l’accroissement de cette longueur par 
chaque degré de température, et 'LIlaccroissement to- 
tal dû au nombre # de degrés. La longueur du corps 
en question deviendra donc L+-# Li, à la température 

> 


34 CHA 


d', et si nous représentons cette longueur par L’ nous 
aurons la relation... (1) 


but 


dont on peut tirer la valeur d’une quelconque des qua- 
tre quantités L, L’, !, t',lorsque les trois autres sont con- 
nues. 

Si nous désignons encore par L’ ce que devient la 
longueur L äla température {’, nous aurons, en vertu de 
l'expression (1), 


L'=L (1+ 0). 
Ainsi, substituant, dans cette dernière, la valeur de L, ti- 


rée de (1), savoir : L— , nous obticndrons... (2) 


1 
(+) 
ie L'G+r 

+ HET EEE 47 05 
Cette formule permet de trouver la longueur correspon- 
dante à une température t’, lorsqu'on connaît la lon- 


gueur correspondante à toute autre température t', sans 
être obligé de passer par la longueur à o degré. 

Supposons, par exemple, que la longueur d’une barre 
de fer forgé, mesurée à la température de 10°, soit 2", 5o 
et qu'on demande ce qu’elle sera à la température de 
19°. On fera L'— 2", 50, t' —10°,  — 15°, et comme 
on sait d’ailleurs que {— 0,00122, on aura 


hs D (6,:00122) 4 L 
L — 2, 50 ie 10 (000122) — 2”, HE 


c'est-à-dire que la longueur de la barre de fer croitra 
de 15 millimètres en passant de la température 10° à la 
température 15°. 

On obtiendra, de la même manitre, les deux for- 
mules suivantes pour la dilatation cubique 


dans lesquelles V désigne le volume à la température 0, 
V'le volume à la température t', V°le volume à la tem- 
pérature £’ et v la dilatation cubique de la substance. 

La valeur de v est toujours à très-peu près le triple de 
celle de Z ou de la dilatation linéaire; car, puisque l'u- 
nité de longueur devient 1 4-1 par le passage de sa tem- 
pérature de o° à 1°, l’unité cubique dont les trois dimen- 
sions reçoivent l’accroissement /, dans les mêmes cir- 
constances, devient 


CORDES ETAT AN 


et par conséquent l'accroissement de volume qu'elle 
éprouve, v, est égal à 34 43/24 J, ou simplement à 
Sl, en négligeant les très-petites fractions 91,50, Rem- 


CHA 


plaçant donc v par 37, les formules précédentes devien- 
dront 


V'=V (14-561) 
V'— Va LÉ 
1—+5tl 
Par des considérations semblables on trouverait pour 


les accroissemens des surfaces 
s' —5s (1 + ot'l) 


gift 
ù 1 ofl 


8, 8°, s’ étant les surfaces correspondantes aux tempéra- 


$ 


tures 0, t'et t. Tout se réduit donc à connaître la dilata- 
tion linéaire de l'unité de longueur des diverses sub- 
stances. Voici le tableau des principaux résultats qui 
ont été obtenus par les plus habiles observateurs. 


DILATATION LINÉAIRE DES SOLIDES 
POUR 1° CENTÉSIMAL , DE O° à 100°. 
D’après Laplace et Lavoisier, 


re es Me te Pie: 


Flint glass anglais. 0,00081166 


Platine (selon Borda). . . . . . . . 0,00085655 
Verre de France avec plomb.. . . . 0,00087199 
Tdem ECO EC 00008072 
TM EN NC RO 00000 
TIME ET ET CET ED: 00091700 
Verre de Saint-Gobain. . . . . . . 0,00089089 
Acier non trempé. . « . . . -Æ M. 10;00107880 
Idem ECC OM 00107010 
Tdem= CCC 0; 00107000 
Acier trempé jaune recuit à 65°. . . 0,00125996 


Fer doux forgé. NN N0; 00122070 


Fer rond passé à la filière. . . . . . 0,00125504 
Orde départ SCENE EN 0 6000 
Or au titre de Paris, recuit.. . . . . 0,00151961 
Idem non recuit. . . . : . . " 0,00155155 
Cuivre. CE CREER NO 0012 20 
Tdemise MEN RO 001700 
ITEM Ne M 0 00172270 
Cuivre jaune ou laiton. . . . . . . 0,00186670 
dem. 1 + 0e ee MOOD 
den. CRM EM 08186070 
Argent au titre de Paris. . . . . . . 0,00190868 
Argent de Coupelle. . . . . . . . . 0,00190974 
Étain de Malaca.. . . . . . . . . . 0,00193765 
Étain de Falmouth. . . . . . . . . 0,00217298 
Plombs SNS MEME MO DEA 0 
D'après Smeaton. 
Verre blanc (tube de baromètre). .  0,00085333 
Régule martial d’antimoine. . , . . 0,00108393 


Acienipolie-+ +. cc) 0,00115000 


Acier trempé. « «+ ee ee o + « « 0,00122500 


ROSE RER 0 Al. à +: 1000120009 


RiSmuthe = RU. te 0001099107 


Cuivre rouge Rat Se 0 1, 0300170000 


Cuivre rouge avec ‘/, d’étain. . . .  0,00181667 


Cuivre jaune fondu. . . . . . . . . 0,00187500 


Cuivre jaune avec ‘/,, d’étain.°. . .  0,00190833 
Fil de laiton. . . . . . « + « + « + 0001933939 


Métal de miroir de télescope. . 0,00103953 


33 
Soudure, cuivre 2, zine 1 partie... .  0,00205835 
5 


CERTES É PORC" TONCIOIONNEE 5 
Étain en grain... . + . . + » 0,00248333 


Soudure blanche, étain 1, plomb 


2 parties. . . 0,00250533 
Zinc 8 parties, étain 1, un peu forgé. 0,00269167 
BE ee -0..N 1-00, 00286607 


DAC UT OL. 1, 600; 00294167 


Zine allongé au marteau de‘/,,. . . 0,00510853 


D'après le major général Roy. 


Verre entubes mu... ...01 0500077550 


Verre en verge solide. . . . . . . . 0,00080853 
Fer fondu (prisme de).. . . . . . .« 0,00111000 


Acier (erce di)..." NN Moo014 {50 


Cuivre jaune de Hambourg. . . . . 0,00185550 
Cuivre jaune anglais en forme de 

VERSER Le 6001809296 
Cuivre jaune anglais en forme d’auge 

ou canal circulaire. . . . . . . . 0,00189490 


D'après M. Trougton. 


BIatBeRe C0 te 1 0300099180 


Acier ete lcuele. 1eme 1.10 0,00118090 


Feritiré àla filière. . … … . . à . . 10,00144010 


GUERRE EU che de 10,001918980) 
Amen Rens ete: 4 110300208200 
D'après M. Wollaston. 

Palme C1... ee 0e, 6... 1000100000 
D’après MM. Petit et Dulong. 

Platine de 0° à 100°.. . . . . . . . _0,00088420 

Idem de 100° à 300°. . . . . . 0,00091827 
Merre de ON A 1002... 41: .1.: 0,00086133 
Idem de 100° à 200°. . . . . . 0,00094856 
Idem de 200° à 300°. . . . . . 0,00101084 


Hendeo A oo SE 0..." 0,00118210 


Idem de 100° à 300°. . . . . . 0,00146842 
Cuivre de 0° À 100°. . . . . . . . . 0,00171820 
Idem de 200° à 300°. . . . . . 0,00188324 


9. La dilatation des corps creux s'effectue de lamême 
manière que s'ils étaient pleins, c'est-à-dire que le vo- 


CHA 35 


lume intérieur d’un tube de verre croit dans toutes ses 
dimensions, comme le cylindre de verre qui serait ca- 
pable de le remplir; une sphère creuse d’un métal quel- 
conque se dilate de la même manière qu'une sphère 
massive de même grandeur et de même métal, etc. etc.; 
on peut aisément se rendre raison de la cause de ce phé- 
nomène, 

10. Dansles effets de dilatation des corps matériels le 
calorique développe une force qu’on peut comparer à 
toutes les forces mécaniques, et notamment à celle de 
la pesanteur, prise ordinairement pour point de compa- 
raison. En effet, s’il faut exercer sur un cube métallique 
une pression de deux mille kilogrammes pour réduire 
sa hauteur autant que la réduirait un abaissement de 1° 
de température, on peut en conclure que la force due à 
ce degré de chaleur, et qui maintenait le cube à sa hauteur 
primitive, est pour le moins équivalente à la pression de 
deux mille kilogrammes. Nous disons pour le moins 
équivalente, car la dilatation ou la contraction due au 
changement de température affecte également toutes 
les dimensions du cube, tandis que la pression du poids 
ne diminue que la seule hauteur. 

Les corps solides, et particulièrement les métaux, n'é- 
prouvant que de très-petites diminutions de volume par 
des pressions énormes (Voy. Pression), on peut juger 
que la force de dilatation ou de contraction produite par 
la chaleur est très-considérable, La limite de la force 
de contraction est évidemment l’effort capable de briser 
le corps en le tirant dans le sens de sa longueur; et 
comme une barre de fer se rompt sous un effort sufli- 
sant (Voy. Résisrance Des marTérrAUx), elle se romprait 
également par l'effet de la contraction si ses extrémités 
étaient arrêtées d’une manière inébranlable. L'emploi 
du fer dans les grandes constructions demande donc 
beaucoup de soin et ne saurait être abandonné à des 
mains inhabiles. 

11. Dilatation des liquides. Si on remplit un vase 
d’un liquide quelconque à la température 0°, et qu'on le 
place dans un bain à une température plus élevée, on 
voit le liquide déborder à mesure qu’il s’échauffe, et il 
devient facile d'estimer sa dilatation par la quantité qui 
s'est écoulée par chaque degré d’accroissement de tem- 
pérature. Par des procédés susceptibles d’une plus grande 
exactitude, mais qu'il n’entre pas dans notre plan de 
décrire, on a obtenu les résultats suivans : 


DILATATION DES LIQUIDES POUR 1°, DE o° à 100. 
LE VOLUME INITIAL ÉTANT 1. 


a Re eletene ten: 11:41 ,050400 
Acide hydro-chlorique (P. S. 1,157). « « 0,0600 
Acide nitrique (P. S. 1,40).. « « « « « « 0,1100 
Acide sulfurique (P. S. 1,85). . . . . . 0,0600 
Éther sulfurique. « 4 « 4 « os oo « « « + 030700 


36 CHA 


Huile d'olive et de lin. . . . . . . . « « 0,0800 
Essence de térébenthine. . ,: . « . « + « 0,0700 
Eau saturée de sel marin. . « . . « « + « 0,0900 
AIGCOOL sen creme etes cultes ee RRi0, 1100 
MTELCUEE re ne en la eee 0: 0100 


Ces dilatations ne sont proprement que les dilatations 
apparentes qu'on peut observer en plaçant les liquides 
dans des vases de verre; elles se trouvent ainsi compli- 
quées de la dilatation propre du vase. La dilatation abso- 
lue du mercure, pour 1°, est, d’après les belles expt- 
riences de MM. Petit et Dulong, 


Mercure de o° à 100°. . . . . . . . « 0,0180180 
Id de ro0 200 ceeps 


M PO NE oc 


0,0184931 


0,0188679 


Si l’on désigne par V le volume d’un liquide à o° et 
par V'son volume à f degré, on aura encore v expri- 
mant la dilatation de l'unité de volume donné par la 
table, 


V'=V (14) 


et pour une autre température #', le volume correspon- 
dant sera donné à l’aide du volume V', par cette autre 
expression 


eu 


+r 
Fe 


Mais on ne doit considérer les résultats numériques 


œ 


VV" 


= 


qu'on peut obtenir par ces formules que comme des 
approximations, parce que la dilatation des liquides n’est 
pas uniforme. 

12. Dilatation des gaz. Toutes les substances ga- 
zcuses se dilatent uniformément , ou d’une même 
quantité pour un même accroissement de tempéra- 
ture, et de plus elles se dilatent toutes de la même ma- 
nière, lorsque d’ailleurs la pression demeure constante 
pendant leur dilatation. M. Gay-Lussac a reconnu que, 
de o° à 100°, et sous la pression del’atmosphère, tous les 


: 1 
gaz se dilatent de 36 de leur volume par chaque degré 


du thermomètre, ou de 0,00575, le volume initial à o° 
étant 1. Depuis, Davy a constaté que cette propriété 
avait lieu, quelle que soit la pression, beaucoup plus 
grande ou beaucoup plus petite que la pression atmo- 
sphérique. Passé 100°, les dilatations comptées sur le 
thermomètre à mercure deviennent décroissantes, mais 
sur le thermomètre à air la loi est vraie pour toutes les 
températures. On.a constaté encore qu’elle avait lieu 
jusqu’à 36° au-dessous de 0. Ainsi, en désignant par V le 
volume d'un gaz à 0° et par V’ son volume à f’ degrés 
du thermomètre centésimal, on a 


VV (1+-0,00575 t') 


CHA 


ou bien encore, 
: me 1 ! 
\i==\ (ER Mar" ) = Cu 


Comme on a également pour une autre température Ur) 
V' étant le volume correspondant , 


V'—V(1o0,00375f) ; Vi: 2 (16726) 


on en conclut C 


; ,267 + t 
et V—V Au) 
{ 
formules qu’on peut employer indifféremment pour cal- 
culer le volume que prendra un gaz à une tempéra- 
ture t’ lorsqu'on connaît celui qu’il a à la température f. 
Soit, par exemple, 50 centimètres cubes le volume 
d’un gaz quelconque à 10°; si on veut connaître le vo- 
lume qu’il aura à 80°, on fera V'— 50, {' —80°, { —10° 
et on aura 


PR PN 

267 + 10 
Le volume demandé sera done de 62 centimètres, 
635 millimètres cubes. 

13. Changement d'état des corps. Lorsque l’'augmenta- 
tion de Ja température d’un corps solide ou liquide par- 
vient à une certaine limite, l’état physique du corps subit 
une altération très-remarquable : s’il est liquide, il passe 
à l’état gazeux; s’il est solide, il passe à l’étatliquide. Les 
mêmes phénomènes se reproduisent en sens inverse par 
l'abaissement de la température. Ces faits ne se pré- 
sentent cependant pas dans tous les corps, car il existe 
des solides sur lesquels la plus grande chaleur ne pro- 
duit aucun effet, et des gaz que le plus grand froid ne 
peut liquéfier et encore moins solidifier ; mais les circon- 
stances particulières qui empêchent ces corps de se com- 
porter comme les autres sont encore inconnues et se 
trouvent sans doute compliquées par l'impuissance où 
nous sommes de produire des températures assez hautes 
et assez basses. 

Les corps solides susceptibles de se liquéfier se 
nomment corps fusibles ; ceux qui résistent aux plus 
hautes températures qu'on ait encore pu produire se 
nomment corps infusibles, fixes ou réfractaires ; le nom- 
bre de ces derniers diminue chaque jour. 

14. Le passage de l’état solide à l’état liquide s’effec- 
tue toujours à une température déterminée pour chaque 
corps fusible en particulier. Demeuré solide jusqu’à 
l'instant où il acquiert cette température; il commence 
alors à fondre, et tant que la fusion n’est pas complète, 
la température demeure invariable ; quelle que soit la 
quantité de chaleur qu'on lui fournisse. Ce n’est que 
lorsque Ja dernière particule solide s’est liquéfiée qu’il 


CHA 


“devient possible de faire croître la température de la 


masse devenue fluide. Il en résulte qu’une partie du 
calorique est absorbée dans ce changement d’état ou se 
combine avec les élémens du corps de manière à de- 
yenir insensible, 

Le mème phénomène se présente dans le passage de 
l'état liquide à l’état gazeux. Le liquide parvient d’abord 
à une certaine température, où il commence à entrer en 
ébullition, et tant que la dernière molécule liquide n’est 
pas volatilisée, cette température demeure constante. 

15. On a donné le nom de calorique latent à la por- 
üon de calorique qui se trouve combinée ou dissimulée 
dans le changement d'état d’un corps. Cette portion est 
plus ou moins considérable suivant la nature du corps. 

16. La température de la fusion des différens corps 
étant importante à connaître dans une foule de cas, nous 
présenterons ici celles de ces températures qui ont été 


le mieux constatées. 


TEMPÉRATURE DE LA FUSION. 


" = 
3 S = 1 
© m mm 
NOM DES SUBSTANCES. 229 F à 
CNE EE 
cl Va Pre 
F à 
—————" 
MOCHE SE ee ce. e — 39 
Huile de térébenthine. . . . . . . — 10 
HE LC ER ENS ENE 0 
SOU 470 L'ÉRS  EUE 33,33 
Acide aGELIQUE. + =. + +. - + - 45 
DDETIDAECEE eh, - = is eme, - 49 
ÉÉROE MREORE 4oà45 


Acide margarique. . . . . + + . : 


Gixemen blanchie. . . . «+ . . .,. Gi 
GED EREMEAT ER. 0. : + + à « 68 
Acide.stéarique. … . . + . + + . . 70 
Bbosnhore ...: : …. . . . . . 45 
POÉASRMN AE US sn à = » js e 58 
SRE RU ben she ie os « » 90 
Alliage : plomb 5,étain 3,bismuths. 100 
Id. plomb 2,étain 5,bismuth 5. 100 
OR. 107 
SOURE EE IS May ad Tec ce 109 
Alliage : 5 bismuth, 1 plomb, 4 étain. 118,9 
Id étain, 1 hismuth.. . . …. 141,2 
Td..5 étain, 2 plomb.. . . . . 167,7 
Id. 2 étain, 1 bismuth.. . . . 167,7 
Id. 8 étain, 1 bismuth.. . . . 200 
PE _. . 210 
RSGUUR SERRE 256 
RO à: à 260 
 . 360 
RRMOIHEN Sr + + + “Le Sorel 452 


CHA 


[et] 
ne 


NOM DES SUBSTANCES. 


*AULAROUAd 
na 
SAau9aq 
"XAVHISHLNAI 
Sau9auq 


CUVE UD sr ee Neue 


27 » 
(DST RSoe Oo TN PE Le 32 » 
COPA SE 150 » 
ACIER ES CEE NE 150 » 
RESTO Moto todoionpte rome 150 ” 
INICRELR Eee NE ne due 160 » 
Mhnéanese ee ce ce 160 » 
Colombium se ie een 170 » 
Molybdènes rar ent 170 » 
CRLÔMEN MES 150 » 
unesténe Re ss 170 » 
ATEN PUR Eco ce Uccle » 999 
Arrenballié avec); d'Or. 700 » 1048 


Les degrés de pyromètre ne peuvent être comparés 
avec ceux du thermomètre d’une manière exacte; de 
sorte que la température de fusion de la plupart des 
métaux n’est point encore réellement connue. ( Voy. 
PYROMÈTRE et TEMPÉRATURE. ) 

15. La température du passage de l’état liquide à l'état 
gazeux, ou la température de vaporisation, dépend de 
diverses circonstances quant au même liquide. Les prin- 
cipales sont : 1° Ja pression exercée à sa surface; 2° la 
nature du vase qui le contient ; 3° la profondeur de sa 
masse. 

Dans un vase ouvert et sous la pression moyenne de 
l'atmosphère, 0”,76, l'eau bout à 100°centésimaux; mais 
dansles lieux très-élevés où cette pression est plus faible, 
le point d’ébullition estmoins haut. A l'hospice du Saint- 
Gothard, par exemple, le degré de vaporisation est seu- 
lement 92°,9, la pression atmosphérique étant 0°,586. 
On peut se rendre facilement compte de cette circon- 
stance en observant que la formation des bulles de 
vapeur a lieu primitivement sur les parois échauffées du 
vase, qu'elles s'élèvent ensuite à la surface du liquide 
en vertu de leur légtreté, et que de là elles se répandent 
dans l’espace environnant. Ces bulles doivent done avoir 
une tension égale à la pression qu’elles supportent; et 
tout ce qui peut accroître cette pression exige un ac- 
croissement de température pour être surmonté par la 
force élastique de la vapeur. 

Dans un vase fermé, on peut retarder et même em- 
pêcher totalement lébullition, parce que la vapeur qui 
se forme au-dessus du liquide exerce une pression tou- 
jours suffisante pour l'empêcher. Dans la marmite de 
Papin, on élève l’eau aux plus grandes températures 
sans la faire bouillir ; mais il faut que les parois du vase 


soient capables d’uñe énorme résistance pour ne pas se 


38 CHA 


briser sous l'effort qu'ils supportent, et l'explosion trop 
fréquente des machines à vapeur, malgré les précau- 
tions les plus minutieuses, démontre impérieusement 
la nécessité de nouvelles recherches théoriques sur les 
phénomènes de la vaporisation. 

18. Lorsqu'on vaporise de l’eau dans üne chaudière 
qui ne présente qu'une petite issue à la vapeur, la masse 
du liquide s’échauffe d'autant plus que la grandeur de 
l'ouverture est plus petite par rapport à la surface qui 
reçoit immédiatement l’action du feu. On a trouvé que, 
sous la pression moyenne de l'atmosphère, les tempé- 


ratures deviennent à peu près 


100° danslachaudière,pourunorifice 0,001 et au-dessus. 
TO CE M le 10 000 
NOTE ER EN E  0; 000! 


158 NO ER 0 00000 


la surface chauffée étant 1. 

La vapeur émise par ces ouvertures n’a pas présenté 
de différence sensible, c’est-à-dire que le poids de l’eau 
vaporisée élevée d’une chaudière ouverte, à 100° a été à 
peu près le même en une seconde de temps que le poids 
de l’eau vaporisée qui a jailli de la même chaudière, 
à 158", par une ouverture égale à la vingt-millième par- 
tie de la surface exposée à l’action du feu. 

19. La matière propre du vase exerce encore une in- 
fluence très-sensible sur le point d'ébullition. M. Gay- 
Lussac a reconnu que l’eau bout à une température plus 
élevée dans le verre et la porcelaine que dans les mé- 
taux; la différence peut aller de 1° à 1°{/,, mais la va- 
peur d’eau a toujours la même température, quelle que 
soit la nature du vase. 

20. Si la hauteur de l’eau est assez considérable dans 
un vase quelconque, elle concourt avec toutes les autres 
causes déjà signalées pour faire varier le point d’ébulli- 
tion, parce que les tranches inférieures du liquide sup- 
portent le poids des couches supérieures. Alors l'eau 
commence par s’échauffer uniformément, et l’ébullition 
se manifeste d’abord à la surface; ensuite les couches 
inférieures s’échauffent d'autant plus qu'elles sont plus 
basses, jusqu’à une certaine limite où la température 
demeure permanente, quoique croissante de la surface 
au fond. Les vapeurs se dégagent alors de tous les points 
de la masse liquide; celles qui partent du fond se refroi- 
dissent en traversant les couches intermédiaires, et elles 
sortent toutes à la température de 100°, sous la pression 
moyenne de l'atmosphère. 

Voici le tableau des températures de l’ébullition de 


différens liquides sous la pression ordinaire 0”,576. 


Éther SULLUTIQUE. + ee CE 37°, 8 
Carbure de soufre. , APN PUIS PNA ON E 47 
AICOO Rennes ET RE 7% 7 


CHA 


aupres Eee ie D cn cul 100 


Dissolution Saturée de sulfate de soude. . , . 100, 7 
Id. d’acétate de plomb. . . . 102 
Id. d’hydrochlorate de soude. 106, 9 
Id. d’hydrochlorate d'ammo- 
MAPS Poe 114, 4 
Id. denitre Me es dei Re 
Id. deitartre REC ER AT 
Id. de nitrate d’ammoniaque. 125, 3 
Id. de sous-carbonate de po- 
LECROPNOMES à à oo 0 140 


Huiïle-de térébenUnne._. . . 1. e °C 
PHOSPRORE, 4 en ace de ne 8 pas ICE 290 
SOUFRE ee. 40 4 tenere 2e joobe CPAS 
ACidelsullunque. LME ENT REC 
Huile dellins. 16e RENE EEE T0 
Mercure ss tt SL 2100 Mo EE DIU 5 00) 


20 bis. Les phénomènes que présente le passage de 
l'état liquide à l’état solide sont soumis également à deux 
conditions principales, lorsqu'ils s’opèrent uniquement 
par l’action de la chaleur. Ces conditions sont: 1° la 
permanence de température dans la masse liquide de- 
puis le commencement de la congélation jusqu’à la so- 
lidification totale, 2° le dégagement du calorique latent, 
La liquéfaction des substances gazeuses s'effectue de la 
même manière, mais elle n’est jamais entièrement com- 
plète, comme nous le verrons ailleurs, et l’espace dans 
lequel se fait la condensation demeure saturé de vapeur. 
(Foy. Vareur.) 

21. Du CALORIQUE. Après avoir esquissé, dans ce qui 
précède, les principaux effets de la chaleur sur les 
corps, il nous reste à l’étudier en elle-même ou dans 
les lois de sa communication et de son mouvement. 

D'abord, si quelques phénomènes tendent directe- 
ment à nous montrer le calorique comme une substance 
particulière ; cette substance est privée du caractère 
distinctif de la matière, la pondérabilité; car un 
corps pesé successivent à deux températures très-éloi- 
gnées l’une de l’autre ne présente aucune différence 
appréciable à nos instrumens les plus délicats. Nous 
allons bientôt reconnaitre la grande analogie qui existe 
entre la propriété du calorique et celle de la lumitre, 
autre substance impondérable que tous les efforts des 
physiciens n'ont pu matérialiser. 

22. Un corps chaud, renfermé dans une enceinte vide, 
dont l'enveloppe est à une température plus basse que 
la sienne, finit toujours par se refroidir jusqu’à ce qu'il se 
trouve en équilibre de chaleur avec les paroïs de cette 
enveloppe ; ainsi le phénomène du refroidissement des 
corps chauds n’est pas dû seulement à ce qu’ils cèdent 
de leur calorique aux corps plus froids avec lesquels ils 
sont en contact, -mais encore à ce qu'ils lancent le ca- 
lorique autour d'eux, dans toutes les directions, C’est à 


CHA 


ce calorique ainsi projeté par les corps chauds, comme 
la lumière par les corps lumineux, qu’on a donné le 
nom de calorique rayonnant. On a reconnu que : 

1° Le calorique rayonnant se meut en ligne droite ; 

2° Il se réfléchit contre les surfaces polies en faisant 
un angle d'incidence égal à l'angle de réflexion ; 

5° Son intensité varie en raison”inverse du carré de la 
distance à la source; 

4° Il traverse tous les corps solides ou fluides. 

Ces propriétés se trouvent démontrées par des faits in- 
contestables dans tous les traités modernes de physique. 

22 bis. Les corps polis réfléchissent d'autant mieux 
la chaleur que leur poli est plus parfait; mais tous les 
corps n’ont pas le même pouvoir réflecteur. Leslie a 
obtenu les nombres suivans par des expériences mul- 
tipliées. 

POUVOIR RÉFLECTEUR. 


Guivre jaunes. 
Argentan mers deele eh 90: 
Étain en feuille. . . . . . . 80 
MOIS Tete 0 pete 70 
Pibrahse A0 cé are 00 
Étain mouillé de mercure. . 10 
L'ORRS Lo IR UNE 10 
Verre huilé: . . 
Noir de fumée., + : . . . . 0 


Ces nombres ne font connaître que les facultés ré- 
fléchissantes relatives, et on doit observer que l’inten- 


sité du rayon réfléchi diminue à mesure que sa direction : 


se rapproche de la normale au point d’incidence. La 
variation d'intensité est à peu près nulle pour les sub- 
stances métalliques. 

23. La faculté qu'ont les corps chauds d'émettre la 
chaleur dans tous les sens est ce qu’on nomme leur pou- 
voir rayonnant ou émissif. Leslie a constaté que ce 
pouvoir dépend en grande partie de l’état de la surface 
des corps, et qu'il est d'autant plus grand que la surface 
est plus rude ou présente plus d’aspérités. Ce physicien 
a encore trouvé les nombres suivans pour les rapports 
des pouvoirs rayonnans des diverses substances. 


POUVOIR ÉMISSIF. 


Noinidelfumeée. "Men." Mist 
HapietiéCrires. sn. OL 98 
Mexretordinaire- we UM «5190 
Encre de la Chine. . . . . . 88 
GRACE OPA. p0. ste) 85 
MEET ESA See. tab, tu) 20 
Plomb brillant.. . . ...,. 19 
HERPOIR ES MN RS: MID 
Étain, argent, cuivre, or... 12 


CHA 39 


24. On nomme pouvoir absorbant d'un corps la pro- 
priété qu’il a d’absorber les rayons de chaleur qui tom- 
bent sur sa surface. Ce pouvoir est évidemment en 
raison inverse du pouvoir réflecteur, car tous les rayons 
qui ne sont pas réfléchis sont nécessairement absorbés, 
On a trouxé de plus que dans des circonstances égales 
les pouvoirs absorbans et émissifs d’un même corps 
sont égaux. 

29. La transmission du calorique à travers les corps 
transparens est connue depuis long-temps, mais on avait 
supposé, jusqu'aux belles expériences de Delaroche , 
que la chaleur rayonnante est toujours absorbée en par- 
tie par le milieu qu'elle traverse. Ce physicien a fait 
voir le premier que la chaleur absorbée est d'autant 
moindre que l'intensité de la chaleur rayonnante est 
plus grande, et en outre qu’un rayon calorifique qui a 
traversé une première plaque de verre est absorbé en 
moindre proportion lorsqu'il en trayerse une seconde 
et une troisième, 

Les expériences plus récentes de M. Melloni, tout 
en confirmant ces résultats, ont fait connaitre des pro- 
priétés très-importantes que nous allons signaler. Cet 
habile observateur nomme diathermanes les corps qui 
donnent passage au calorique rayonnant, ct athermanes 
ceux qui ne jouissent pas de cette propriété, 

1° La quantité de chaleur qui traverse une plaque 
diathermane est d’autant plus grande, toutes choses 
égales d’ailleurs, que le poli des surfaces est plus parfait. 

2° Le degré de transparence des corps n’a aucun rap- 
port avec leur faculté de se laisser traverser par le calo- 
rique rayonnant. Des plaques minces de mica noir ou 
de verre noir imperméables à la lumière laissent passer 
une quantité très-sensible de chaleur Une plaque de 
cristal de roche enfumée de 86 millimètres d’épais- 
seur est beaucoup plus diathermane qu'une plaque d’alun 
bien transparent d’un millimètre et demi. De tous les 
corps solides, le plus diathermane est le sel gemme, 
le moindre est l’alun. Dans les liquides, c’est le carbure 
de soufre qui laisse passer la chaleur rayonnante en plus 
grande quantité, et l’eau qui en laisse passer le moins. 

3° La quantité de chaleur qui traverse une plaque dia- 
thermane varie avec son épaisseur, mais elle diminue 
dans un rapport beaucoup moindre que celui de l'aug- 
mentation d'épaisseur. Le sel gemme fait exception, du 
moins pour des épaisseurs comprises entre 2 ct 40 mil- 
limètres ; il laisse toujours passer la même quantité de 
chaleur. 

4° La chaleur rayonnante qui traverse plusieurs pla- 
ques superposées d’une même substance est absorbée en 
plus grande quantité que si elle traversait une seule pla- 
que d’une épaisseur égale à la somme de leurs épais- 
seurs. 

5° La chaleur émise à travers un système de plaques 


40 CHA 


de même nature ou dé nature différente est toujours la 


même, quel que soit l'ordre de la succession des plaques. 


6° Les quantités de chaleur transmise sont différentes 
si les sources de chaleur ne sont pas les mêmes, quoique 
les faisceaux de chaleur dirigés sur la plaque aient d’ail- 
leurs la même intensité. Elles sont d’autant plus petites 
que latempérature propre de la source est moins élevée ; 
mais la différence est d'autant moindre que la plaque est 
plus mince. Le sel gemme fait encore exception à cette 
Loi : il transmet toujours 0,923 de la quantité de chaleur 
rayonnante, quelle que soit Ja nature de la source. 

7° Le calorique rayonnant subit une certaine modifi- 
cation en traversant une plaque diathermane qui le rend 
plus où moins susceptible d’être transmis par d’autres 
substances. 

8° Dans son passage À travers une lame diathermane 
quelconque le calorique rayonnant subit à ses deux sur- 
faces des réflexions qui lui font perdre 0,077 de son in- 
tensité primitive. Le surplus de la perte dépend de la na- 
ture de la plaque. 

6. Il résulte de l’ensemble de tous ces faits, et de 
beaucoup d’autres que nous ne pouvons rapporler, 
que le calorique rayonnant émané de différentes sources 
est formé de diverses espèces de rayons analogues aux 
rayons colorés qui forment la lumière des différentes 
sources; que les corps diathermanes sont inégalement 
perméables aux divers rayons caloriques , comme les 
corps transparens aux divers rayons de lumière; que 
l'extinction des rayons suit une progression géométri- 
que dont le rapport varie avec la nature des rayons et 
celle des corps ; et enfin, que les sources de chaleur 
émettent des rayons d'autant plus transmissibles que 
leur température est plus élevée. 

Le calorique rayonnant jouit, en outre, de toutes les 
autres propriétés de la lumière; il se réfracte et se po- 
larise dans les mêmes circonstances. 

27. Communication de la chaleur. Lorsqu'une partie 
d'un corps solide est soumise à l’action d’un foyer de 
chaleur, la chaleur se propage de proche en proche à 
toutes ses autres parties en décroissant d'intensité. Si 
l'on plonge, par exemple, l'extrémité d’une longue 
barre de fer dans un bain de plomb fondu, on sent la 
chaleur gagner peu à peu le long de la barre jusqu’à ce 
qu’elle se fasse sentir à l’autre extrémité. La température 
des diverses parties de la barre, qu’on peut supposer par- 
tagée par des sections perpendiculaires à sa longueur, 
s'élèvent toutes en même temps, de quantités inégales, 
d'autant plus petites que les sections sont prises plus 
loin du foyer de chaleur ; maïs, si le foyer est constant, 
‘cette augmentation générale des températures de chaque 
point s'arrête bientôt, et il arrive un moment où toutes 
les températures demeurent stalionnaires. 

Dans ce mode de propagation, qu’on attribue à un 


CHA 


rayonnement de molécule à molécule, la différence de 
température entre une section quelconque et l’extré- 
mité chauffée dépend principalement de la nature du 
corps ou de sa faculté conductrice, qui est très-variable 
dans les corps solides. 

Tout le monde sait qu’on peut tenir impunément un 
tube de verre ou un cylindre de charbon à une très- 
petite distance du point où ils sont incandescens , tandis 
qu'une barre métallique chauflée au rouge à l’une de 
ses extrémités manifeste une chaleur insoutenable à de 
grandes distances de cette extrémité. 

28. On a reconnu que, lorsqu'une barre prismatique 
chauffée à l’un de ses bouts par un foyer constant est ar- 
rivée au point d'équilibre où les températures de toutes 
ses parties restent stationnaires , ces températures for- 
ment une progression géométrique décroissante dans 
les sections également distantes entre elles; c’est-à-dire 
que, prenant des points dont les distances au foyer crois- 
sent en proportion arithmétique, les températures cor- 
respondantes décroissent en progression géométrique, 
suivant un rapport qui dépend de la conductibilité 
propre de la substance et du pouvoir émissif de sa sur- 
face. C’est d’après cette propriété que M. Despretz a 
trouvé les nombres suivans. 


FACULTÉ CONDUC®ÆRICE. 


Or: 7. 100,04 + HR ODNE 
Platine ee CT CR OBIIO 
Argent. de RU 7O 0 
CUITE. ee lee RO UD 
LS nm nur cu or nos 7) 
Lis ln Mie eee 3630 
ÉTAIDS ee PRESS 0 
PlOomP eee 1795 
MONMATDTE NRC ee 256 
Porcelaine. 5. 122 
Terre des fourneaux. .. 114 


29. Les procédés employés pour obtenir ces rapports 
ne permettent guère de les considérer que comme des 
approximations. M. Péclet décrit dans son Traité de 
Physique un mode d'opération propre à faire connaitre 
de la manière la plus exacte la conductibilité absolue 
des métaux, et nous devons regretter que cet habile 
physicien n’ait point exécuté, les expériences qu'il in- 
dique. 

En suivant la méthode de M. Despretz, M. Delarive 
a reconnu que, pour les bois, la conductibilité est beau- 
coup plus grande dans le sens des fibres que dans le 
sens perpendiculaire à .ces fibres. L'ordre des conduc- 
tibilités dans les deux sens s’est trouvé: alier', noyer, 
chêne, sapin, peuplier, liége 

30. Les corps réduits en filamens très-fins, ou en par- 
celles très-petiles,.sont de mauvais conducteurs de la 


CHA 


chaleur. Tels sont le coton , la laine, le duvet, la bri- 
que pilée, le sable, ete., ete. Parmi les mauvais con- 
ducteurs, le verre et surtout le charbon paraissent oc- 
cuper le point le plus bas de l'échelle. 

31. La faculté conductrice des liquides est beaucoup 
moins grande que celle des solides; ils sont générale- 
ment peu perméables au calorique rayonnant et la cha- 
leur s'y propage d'une toute autre manière que dans les 
solides. Lorsqu'on chauffe une masse liquide, par le 
bas ou par les côtés, la couche d’eau en contact immé- 
diat avec la paroi échauffée devient plus légère et s’é- 
lève à la surface ; elle est alors remplacée par une autre 
couche qui s'échaufle et s'élève à son tour, de sorte 
qu'il se forme un double courant de molécules chaudes 
qui montent et de molécules froides qui descendent. La 
propagation de la chaleur s’effectue donc par les mou- 
xemens résultant des variations de la densité, et non par 
un rayonnement de molécule à molécule; et si ce der- 
nier mode de communication existe dans les liquides, 
son influence ne peut être que très-faible. 

32. Toutes les expériences s'accordent pour montrer 
que la conductibilité des gaz est très-petite. La chaleur 
s'y propage comme dans les liquides par les mouvemens 
dus au changement de densité des parties échauflées, 
mais ces mouvemens sont d'autant plus rapides que, 
toutes choses égales d’ailleurs, les gaz sont moins denses. 
Le calorique rayonnant les traverse tous avec facilité 

35. Lois du refroidissement. Newton est le premier 
qui ait posé des principes pour le refroidissement des 
corps. Il supposa que, pour un corps quelconque, la 
perte de chaleur à chaque instant est proportionnelle à 
l'excès de sa température sur celle du milieu environ- 
nant. Ainsi, en considérant un corps isolé dans l’air at- 
mosphérique, si nous désignons par T l'excès de sa 
température sur celle de l'air, après un temps t compté 
dès l’origine du refroidissement, et par a la perte de 
chaleur qui aurait lieu dans l’unité de temps, pour une 
différence de température constante égale à un degré, 
nous aurons : 


dT —— aTdt 
expression dont on tire par l'intégration 
LogT—— at+c. 


En déterminant la constante de manière que T soit égal 
à la différence initiale de la température du corps et de 
celle de l'air, on obtient, en désignant par A cette dif- 
férence initiale qui correspond à{—0, 


LogT=—— at LogA. 


Passant des logarithmes aux nombres , il vient 


— 


A0 


e représentant la base des logarithmes naturels. 
Tou. it. 


CHA 41 


Cette loi donne le moyen de trouver très-facilement 
la température du corps à un instant quelconque du re- 
froidissement, mais elle ne se vérifie que quand la dif- 
férence initiale des températures n’excède pas 30°; au- 
dessus , les résultats sont entièrement inexacts. 

34. Quoique la loi de Newton ait été bientôt reconnue 
insuflisante , les expériences des physiciens ne jetèrent 
que bien peu de jour sur l’importante question du re- 
froidissement jusqu'au beau travail de MM. Petit et 
Dulong, couronné en 1818 par l’Académie des Sciences. 
Nous allons rapporter les résultats principaux de ce tra- 
vail, qui doit servir de point de départ pour toutes les 
recherches ultérieures. 

55. Observons d’abord qu'un corps isolé au milieu 
d’une enceinte vide ne peut se réchauffer ou se refroi- 
dir que par l'échange de chaleur rayonnante qui s'o- 
père entre sa surface et celle de l'enceinte , tandis que, 
lorsque l'enceinte est pleine d’air ou de tout autre gaz, 
à cette première cause de variation de température se 
joint celle qui provient du contact du gaz. Or on con- 
clut des observations que , quand l'excès de la tempé- 
rature d’un corps liquide sur celle de l’enceinte demeure 
constant, la vitesse du refroidissement croit en propor- 
tion géométrique, dans une enceinte vide, lorsque la tem- 
pérature de l'enceinte croît en proportion arithmétique. 

56. On entend par vitesse du refroidissement, à un 
instant quelconque la quantité de chaleur que perd le 
corps dans la première unité de temps qui suit cet in- 
stant; par exemple, si, après le temps f, le corps perd 
5° de chaleur dans la première seconde, 3° dans 
celle qui suit, ete. Nous dirons qu'après le temps t la 
vitesse du refroidissement était de 5°, et qu’elle n’était 
plus que de 3° après le temps ti". Le nombre des 
degrés perdus dans l'unité de temps est donc ici, par 
rapport à la vitesse du refroidissement, ce qu'est l'es- 
pace pour la vitesse des corps en mouvement ; de sorte 
qu’en vertu de la loi des mouvemens variés, si Ÿ dé- 
signe la température du corps après le temps t et d la 
variation detempérature correspondante à la variation dt 
du temps, on a pour expression générale de la vitesse V 
du refroidissement, en observant que la différientielle d4 
doit être prise négativement... (a) 


37. Ceci posé, si Ÿ exprime l'excès de la température 
du corps sur celle de l'enceinte et 0 la température de 
cette enceinte, nous pourrons poser, d'après ce qui 
vient d’être dit (35)... (b) 


V—f(y)at, 


f (4) étant une fonction inconnue dont il s'agit de trou- 
ver Ja nature et 4 un nombre constant. 
6 


42 CHA 


Mais, dans le cas d'une enceinte vide, la vitesse de 

froidissement n'est évidemment que l’excès du rayon- 
nement du corps sur celui de l'enceinte; ainsi , comme 
le rayonnement est une fonction de la température, en 
désignant cette fonction par la caractéristique F, les 
quantités F (2-0), F (6) exprimeront les rayonnemens 
respectifs du corps et de l'enceinte, et on aura 


V=F(Y4-6)—F (6) 


d'où l'on tire, en comparant avec (b), 


f(p= CLIS EO. 


a ——— —— 


Développant la fonction F(Y-E6) par le théorème de 
Taylor, il vient 


o : 
roy 0) # à SF, 4 cent. 
a da ! agde, k:2 
Or, quel que soit +, la fonction cherchée f (4) estindé- 
pendante de 9, donc tous les coefficiens de ce dévelop- 
pement doivent être des quantités constantes, et nous 
pouvons poser, # étant un nombre constant, 


dF(6) 
—. —= fn 
a°d9 


ce qui donne, en intégrant, 


m 8 
On a donc aussi 
m + 0 ; 
e+o= pet +e, 


et, par conséquent, 


F(4—+-6)— F (9) —=m af (at 1) — V, 


la constante C‘—C étant nulle, puisque pour £— o on 
doit avoir V—o. 

La loi du refroidissement dans le vide est donc défi- 
nitivement 


(1)... Y= ma (at — 1). 


La constante a, déterminée par les observations, a 
pour valeur 1,0077, quelle que soit la nature du corps 
refroidissant ; la constante m est un nombre variable 
pour chaque corps; sa valeur s'obtient en substituant 
dans (1) les valeurs de V, } et 0 données par une expé- 
rience. 

38. En examinant la marche employée pour obtenir la 
formule (1), on reconnait que le premier terme de son 
second membre m & a* représente la chaleur émise par 
corps et le second m 4° la chaleur absorbée. Il en résulte 
que, si le corps se refroidissait daus une enceinte vide 


CHA 


complètement privée de pouvoirrayonnant, la vitesse du 
refroidissement serait maŸ; c’est-à-dire qu’elle croitrait 
alors en progression géométrique, les différences de 
température croissant en progression arithmétique. 

39. Pour obtenir maintenant la température du corps 
à un instant quelconque en fonction de temps écoulé 
depuis l’origine du refroidissement , il suffit de substi- 
tuer dans l'expression (&) la valeur de V donnée par la 
loi (1), on obtient. 


ce qui donne un intégrant 


L 
1 d —1 
Ge = rage (106 En nn 


Cette relation fera connaître le temps nécessaire pour 
amener la température initiale au degré +, lorsqu'on 
aura déterminé, dans chaque cas particulier, le nom 
bre M et la constante C ; détermination qui s'effectue à 
l'aide de la formule même (2), en y substituant succes- 
sivement deux valeurs de : correspondantes à deux va- 
leurs de t, obtenues par l'observation. 

4o. Lorsque l'enceinte dans laquelle s’opère le refroi- 
dissement est plein de gaz, les vitesses de refroidisse- 
ment se compliquent de l’action du contact du gaz, 
mais on peut calculer aisément cette dernière dans tous 
les cas, car il est évident que la vitesse de refroidisse- 
ment qui lui est due est égale à la différence entre la 
vitesse totale et la vitesse produite par le rayonnement, 
MM. Petit et Dulong ont constaté de cette manière 

1° Que la nature de la surface est sans influence sur. 
les pertes de chaleur dues au contact seul des gaz ; 

2° Que pour un même gaz sous la même pression, 
mais à des températures différentes, les pertes de chaleur 
sont les mêmes pour les mêmes différences de tempé- 
ralure ; 

3° Que, lorsque l’élasticité du gaz varie en progres- 
sion géométrique, la. vitesse du refroidissement varie 
aussi en progression géométrique; si l’on suppose le 
rapport de la seconde progression égal à 2, le rapport 
de la première est 1,366 pour l'air, 1,501 pour l’hy- 
drogène, 1,451 pour le gaz acide carbonique, 1,415 
pour le gaz oléfiant ; 

4° Enfin, que, quelle que soit la nature du gaz, les vi- 
tesses croissent en progression géométrique, quand 
les différences de température croissent également en 
progression géométrique. En prenant 2 pour le rap- 
port de la dernière progression , celui de la première 
est 2,350. ; 


L'ensemble de toutes ces lois conduit à la formule 


(5)...0V = np 


CHA 


dans laquelle n est un nombre qui change avec la na- 
ture du gaz et les dimensions des corps, € un coefficient 
constant pour les différens corps, mais variable avec la 
nature du gaz, p la pression, Ÿ l'excès de la tempéra- 
ture, est b le nombre constant 1,233. Pour l'air, cette 


formule devient 
V — np°is : A CE 


Dans une enceinte rayonnante il faut ajouter à la va- 
leur de V donnée par (3) celle qui résulte de la for- 
mule (1). 

&1. Les formules précédentes vérifiées pour les li- 
quides dans une étendue de plus de 300° peuvent en- 
core s'appliquer à des corps solides de très-petites 
dimensions ; mais pour les autres la question devient 
d'une extrême complication, car la température des 
diverses parties n’est pas la même, et pour chacune de 
ces parties le refroidissement dépend non séulement de 
toutes les circonstances que nous venons de considérer, 
mais encore de sa position et de la conductibilité propre 
du corps. Nous ferons observer, en outre, que les tem- 
pératures doivent être mesurées sur le thérmomètre à 
air pour que les résultats calculés soient éxaëts. 

42. De la chaleur spécifique. C’est au physicien sué- 
dois Wilke qu’ést due l’importante découverte des di- 
verses capacités des corps pour le calorique. Cet ingé- 
nieux observateur sut prouver en 1792, par des expé- 
riences très-simples, que les corps de nature différente 
qui montrent une température égale au thermomètre 
contiennent cependant des quantités de chaleur très- 
inégales. Si l’on plonge, en effet, un kilogramme de fer 
chauffé à 36° dans un kilogramme d’eau à 0°, on trouve 
que la température commune de ces deux corps, après 
que l'équilibre est établi, est seulement de 4° ; et comme 
en prenant les précautions convenables, leau reçoit 
précisément autant de chaleur que le fer en a perdu, il 
en résulte que la quantité de chaleur qui a fait baisser 
de 32° la température du fer n’a élevé celle de l’eau 
que de 4°, et qu'il faut, par conséquent, huit fois autant 
de chaleur pour augmenter où diminuer la tempéra- 
ture de l’eau d’un degré que pour changer d’un degré 
la température du fer, les masses étant égales. 

43. Les quantités relatives de chaleur absorbées par 
un même poids des corps pour élever leurs tempéra- 
fures d’un même nombre de degrés se nomment cha- 
leurs spécifiques ou capacités calorifiques. Pour mesurer 
ces diverses capacités," on est convenu de les rapporter 
à celle de l’eau , prisé pour terme de comparaison, et 
on désigne sous le nom d'unité de chaleur la quantité 
de chaleur nécessaire pour élever un kilogramme d’eau 
d’un degré centésimal. 

44. La capacité calorifique d'un corps est donc d’au- 
Fant plus grande qu’il exige plus de chaleur pour éprou- 


CHA 43 


ver un changement de températufe d’un degré. Mais 
cette capacité peut être constante ou variable suivant 
que la quantité de chaleur est la même en un point 
quelconque de l'échelle thermométrique , ou qu’elle est 
différente. Par exemple, une même masse de fer a be- 
soin de plus de chaleur pour passer de 100° à 101° que 
de 0° à 1; aussi dit-on que la capacité calorifique du fer 
est variable et croissante. En général, le rapport des ca- 
pacités de deux substances est le même que celui des 
quantités de chaleur qu’elles prennent à poids égal et à 
la même température pour faire varier cette tempéra- 
ture d’une même quantité. 

Voici quelques capacités calorifiques déterminées par 
divers observateurs. 


CAPACITÉS CALORIFIQUES 


D'APRÈS LAVOISIER ET LAPLACE. 


Nom des substances. Capacités. 

AU ee ee ets ee lee cle 010009 

HO à ot or op tables OCT 

ie CE SOA RE 

Étain. De LR Snere cdi 4 1-0 030470 

Oxyde rouge de mercure.. « . « « + + « 0,0502 

Kémbattus V3, 4er tetes ete TONI FOOD 

Verre:sans plorgb. .. ......:,........ 1100/1929 

NQUIRÉ. sr cecheceeloheneter ones ste: et + MAOSTOUO 

Chaux vive, 5,1... 11... 077109 

MED OlYE- SR Cliente - 11070000 

Acide sulfurique (densité 1,85). . 0,3346 

Acide nitrique (densité 1,36). . . . 0,6614 

Solution de nitré (nitre », eau 8), . . . . o0,818% 

D'APRÈS DALTON. 

Vinaigresw . Lie RW T 4. NM 10 0;9200 

Acide nitrique (densité 1,30).. , . . , . 0,6600 

Acide hydrochlorique (densité 1,53). . . 0,6000 

Acide sulfurique (densité 1,84)., , . 0,3500 

Alcool (densité 0,81). . . . . . . 0,7000 

Éther sulfurique (densité 0,76)... . . « . 0,6600 

Elinbplass 25.01 0,1900 

Chlorure de sodium. . 0,2300 

D'APRÈS MAYER. 

Bois de pin.. . . . . . : 0,6500 
—/deichéne. (#01. 0,5700 
— de poirier.. 0,2000 

D'APRÈS M. DESPRETZ. 

Alcool (densité 0,795). : . . . . . . : . 0,628 

Éther sulfurique (densité 6,715). . : . : 0,520 

Essence de térébenthine (densité 0,872). 0,472 


44 CHA 
D'APRÈS MM. PETIT ET DULONG. 

Nom des substances. Capacités. 
Mercure 4... LICE CRD 0220 
Platines eue 2 EE El 2100000 
RE EE CAO 05 14 
ADTMOINE ER CES 0 0007 
ATCONt A Re RC 0,0557 
Zinc ER Roc Re: «0e: 010,0027 
CUITE RAT etes de ice ce 020040 
D a PC 0 0010 
Mer MNT A RM REC NEO OS 
T Ki OS CET SUD MS GR DE 01100 
BIS MUR ee CE 0,0288 
POMPES ET et Ce ete 0,0293 
Or en pedeii.n SUPER € 000208 
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D'APRÈS M. AYOCRADO. 
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45. Les nombres de MM. Petit et Dulong se rap- 
portent aux capacités moyennes entre 0° et 100°; mais 
ces messieurs Ont reconnu que les capacités calorifiques 
des corps solides augmentent avec la température; par 
exemple, ils ont trouvé pour le fer : 


CAPACITÉ MOYENNE DU FER. 


De 0° à 100°.. , ... , . . 0,1098 
De 0° à 200°.. . . . . : . 0,1150 
Deo° à 300°.. .. .... o0,1218 
De 0°à350°.. .. .... : 0,1255 


46. Outre ces résultats très-remarquables, les mêmes 
physiciens ont découvert une loi fondamentale de la 
chaleur, en admettant toutefois la théorie atomique 
de la chimie moderne, c'est que les atomes des corps 
simples ont tous exactement la même capacité pour la cha- 
leur. Cette loi résulte du fait général, que la capacité 
d'un corps simple multipliée par le poids de son atome 
donne un produit constant. 

Plus récemment M. Newmann a trouvé, par la même 
voie, ‘que la capacité calorifique des atomes des corps 
semblablement composés est la même. 


47: La capacité calorifique des gaz est beaucoup plus 


CHA 


difficile à déterminer que celle des solides, par l'extrême 
mobilité de leurs molécules, qui tendent sans cesse À 
s'échapper. On nomme capacité à pression constante la 
quantité de chaleur nécessaire pour élever la tempéra- 
ture d’un gaz d’un degré centésimal en lui permet- 
tant de se dilater sous une même pression, et capacité 
à volume constant la quantité de chaleur qui produit la 
même élévation lorsqu'on comprime le gaz à mesure 
pour que son volume ne change pas. Celle-ci est tou- 
jours plus petite que la première , parce que tous les 
gaz laissent échapper du calorique quand on les com- 
prime. 

D’après les belles expériences de MM" de la Roche ct 
Bérard, couronnées en 1813 par l’Institut de France, 
les capacités calorifiques à pression constante sont pour 
un même volume de gaz : 


Air atmosphérique. . . . 1,0000 
Hydrogène... . . . . . . 0,9033 
Acide carbonique... . . . 1,2583 
Oxygène. . « - + . + - 0,970 
Azote fee ce CP 0000 
Oxyde d'azote... . . . «+ r,3503 
Hydrogène carboné. . . 1,030 
Oxyde de carbone... . . 1,0340 
Vapeur d’eau.. . . . . . 1,9600 


la capacité du volume de l'air étant prise pour unité. 
Ces capacités pour un même poids des gaz sont : 


Celle de l'air Celle de l'eau 


étant 1. étant 1. 
AIT CARRE ERIC 1,0000 0,2669 
Hydrogène. "0  02>0/01 3,2936 
Acide carbonique. . . . . 0,8280 0,2210 
Oxygène. CAFE ICE RCE 0,8848 0,2301 
NAN dont 5 © 0e 1,0318 0,2754 
Oxyde d’azote. . . . . . 0,8878 0,2369 
Hydrogène carboné.. . . 1,5763 0,4207 
Oxyde de carbone... . . . 1,0805 0,2884 
Vapeur d'eau. 4. . . . 3,1560 0,8470 


La capacité des gaz à volume constant n'a point en- 
core été déterminée par des expériences directes, et il 
paraît sinon impossible, du moins excessivement diffi- 
cile de l'obtenir de cette manière, mais on peut la con- 
clure de la capacité à pression constante en admettant 
avec Laplace (Méc. céleste, liv. xn) qu’il ÿ a un rapport 
invariable entre les deux capacités d’un même gaz, prin- 
cipe qui du reste a été vérifié entre certaines limites. 
MM. Gay-Lussac et Welter ont trouvé pour le rapport 
des deux capacités de l'air 1e nombre 1,37244, qui s'é- 
carte assez sensiblement du nombre 1,421 déter< 


CHA 
miné plus récemment par M. Dulong à l'aide d’ex- 
périences d’une extrême délicatesse et dont l’exacti- 
tude ne laisse rien à désirer. Les autres résultats de ces 


expériences sont les suivans pour un même volume 


de gaz : 
Nom Rapport Capacités 
des des à volume constant, 
gaz. deux capacités. celle de l'air étant f. 
Air atmosphérique. . 1,421 1,000 
Gaz oxygène. . . 1,415 1,000 
Hydrogène... ... . 1,407 1,000 
Acide carbonique.. . 1,338 1,249 
Oxyde decarbone.. . 1,427 1,000 
Oxyde d'azote. . . . 1,343 1,227 
Gaz oléfiant. . .. 1,240 1,754 


48. Les conséquences tirées de ces résultats par 
M. Dulong sont extrèmement importantes ; il admet : 

1° Que les volumes égaux de tous les fluides élasti- 
ques pris à une même température et sous une même 
pression, étant dilatés ou comprimés subitement d’une 
même fraction de leurs volumes, absorbent ou dégagent 
la même quantité de chaleur; 

2° Que les variations de température qui en résul- 
tent sont en raison inverse des capacités calorifiques à 
volume constant. 


48 bis. Il est généralement admis que sous une même 
pression la capacité calorifique d'une masse gazeuse est 
indépendante de sa température. (Physique de Pouillet, 
tom.1, pag. 405).C'est ce qui résulte, en effet, de la loi de 
M. Gay-Lussac sur la dilatation uniforme des gaz. Ce- 
pendant une expérience du même physicien a fait con- 
clure à M. Péclet, dans la nouvelle édition de son Traité 
de Physique (tome 1, page 484), qu'à pression constante 
la capacité augmente avec la température. Si l'on doit 
adopter ce nouveau principe, il ne faudra plus compter 
sur la régularité des indications du thermomètre à air, 
et l’on se verra forcé de modifier singulièrement la théo- 
rie de la dilatation des gaz. 

On a fait peu d'expériences sur les changemens qu'é- 
prouvent les capacités calorifiques des gaz par suite du 
changement de pression pour un même volume de gaz 
déterminé. En opérant sur deux volumes égaux d'air 
atmosphérique, dont l’un supportait la pression moyenne 
0,758 ct l’autre une pression de 1°,0058, MM. de La- 
roche et Bérard ont obtenu 


Pression. Capacités. 
OR 7D8 0. leve! 130000 
MAODOBME NE... 01, 23096 


et MM. Clément ct Désormes ont trouvé, de leur côté, 


CHA 45 


toujours pour des volumes égaux d'air atmosphé- 
rique. 


Pression. Capacités. 
1,0058.. 1,2150 
0570807 1e TT IS DUO 
0,3790.. 0,6950 


0, 10090 10 


0,5400 


0,0950.. 0,3680 


On peut donc admettre que la capacité calorifique 
d'un méme volume du même gaz croit avec la pression 
qu'il supporte; c'est-à-dire que de deux volumes égaux 
d'un même gaz celui qui a la plus grande densité a en 
même temps la plus grande chaleur spécifique ; les den- 
sités étant proportionnelles aux pressions lorsque les 
volumes sont égaux, 

Quant aux variations de capacité calorifique qui ré- 
sultent du changement de pression à laquelle une même 
masse gazeuse est soumise, changement qui fait varier 
son volume, tous les faits les mieux constatés et toutes 
les inductions les plus rationnelles ont fait poser comme 
un principe certain que : 

La capacité calorifique des gaz augmente quand la 
pression diminue. 

M. Poisson, soumettant au calcul les données de l'ex- 
périence, a obtenu la formule suivante, qui fait con- 
naître la capacité €’ d'un gaz sous une pression quel- 
conque P lorsqu'on connaît sa capacité c sous la pression 
moyenne de l'atmosphère, 0",76 


HS /0;76N0 P 
(9 


p étant le rapport des deux capacités à pression con- 
stante et à volume constant, c’est--dire 1,372 d'après 
M. Gay-Lussac et 1,421 d’après M Dalton. 

Il résulte de cette formule que, lorsque la pression se 


réduit à 4 ou 5 millimètres, la capacité calorifique de 
l'air devient supérieure à celle de l'eau ; ce qui explique 
en partie le froid si intense qui règne dans les hautes 
régions de l’atmosphère. 

49. La connaissance des capacités calorifiques des 
vapeurs, et principalement de la vapeur d'eau, présente 
un grand intérêt depuis que cette dernière est devenue 
le plus puissant de nos agens mécaniques. Cependant 
elle n’a encore été fixée que par MM. de Laroche et 
Bérard, à l’aide de procédés sujets à beaucoup d'objec- 
tions; le nombre qu'ils ont trouvé, et que nous avons 
déjà rapporté, est 1,9000, à pression constante; la capa- 
cité semblable de l'air étant 1. I] est à désirer que M. Du- 
long publie bientôt le détail des expériences qui lui ont 
fait obtenir le nombre 1,5 pour le rapport des capacités 
calorifiques de la vapeur d'eau, à pression constante et 


46 CHA 


à volume constant. Nous exposerons au mot VarEur 
toutes les propriétés de la vapeur d’eau qu'il est indis- 
pensable de connaitre dans ses applications aux arts in- 
dustriels. 

50. Calorique de fluidité. Nous avons dit (14) qu'un 
corps solide ne pouvait devenir fluide ni un liquide de- 
venir gazeux sans qu'ils absorbassent une certaine quan- 
tité de calorique qui passe de l’état libre à l'état la- 
tent (15), et devient ainsi une partie constituante du 
corps, tant que ce corps persévère dans son nouvel état. 
Nous pouvons maintenant apprécier la quantité de ce 
calorique latent, qu'on nomme aussi calorique de flui- 
dité, à l’aide des principes qui viennent d’être exposés. 

Si l'on mêle, par exemple, un kilogramme de glace 
fondante ou à o° avec un kilogramme d’eau chaude à 75°, 
on trouve après quelques instans que la glace est entiè- 
rement fondue, et l’on a deux kilogrammes d’eau à 0°. 
Ainsi toute la chaleur que contenait l’eau a été absor- 
bée par la fusion de la glace, et ce corps n’est devenu 
fluide qu’en rendant latente la quantité de chaleur né- 
cessaire pour élever la température d’un kilogramme 
d'eau de o° à 55°. 

Le même procédé peut être employé pour mesurer 
le calorique de fluidité de tous les corps solides dont on 
connait la température de fusion (16); car, en versant 
un poids connu d’une substance, fondue à la tempéra- 
ture de sa fusion, dans une masse d’eau d’un poids et 
d'une température également connus, il est visible que, 
lorsque l'équilibre de chaleur sera établi, la tempéra- 
ture de l’eau aura subi un accroissement provenant de 
la quantité de chaleur latente devenue libre par la soli- 
dification, plus de celle abandonnée par la substance, 
devenue solide, pour se refroidir de la température de 
fusion. Cette dernière pouvant se conclure de la capa- 
cité calorifique de la substance, il devient facile de trou- 
ver la première. Soit, en ellet, P le poids du corps en 
fusion, T la température de la fusion, P'le poids de 
l'eau, y compris celui du vase qui la contient, T' sa 
température, C la capacité calorifique du corps à l’état 
solide, L' la température finale du mélange et + le ca- 
lorique de fluidité cherché; on aura 


MC (T—T") + M — M'(T'—T') 
et, par suite, 


at ES 4 ES CG 
a 


T— 


Pour être sûr, dans ces expériences, que le corps 
fondu n’ait point une température plus élevée que celle 
de sa fusion, il faut l’employer avant que la fusion soit 
devenue tout-à-fait complète, ou lorsqu'il commence à 
se solidifier. 


CHA 

Black a trouvé de cette manière que le calorique ab- 
sorbé par une masse d'étain pour se liquéfier est sus- 
ceptible d'élever la température d’une masse égale d’eau 
de 277°,77. Aucune autre expérience n'a été faite sur 
les corps métalliques. 

51. Calorique d’élasticité. On nomme ainsi le calo- 
rique latent absorbé par un liquide qui se vaporise. Il 
peut se mesurer par un procédé analogue au précédent. 

Supposons que de la vapeur d’eau bouillante soit con- 
duite dans une masse d’eau froide et s’y condense ; la 
température de l’eau froide se trouvera encore élevée 
par tout le calorique latent devenu libre lors de la con- 
densation et par l’excès de la température d’ébullition. 
On pourra donc calculer encore le calorique d’élasticité 
à l’aide de Ja formule précédente. 

L'unité prise pour mesurer le calorique latent des 
corps soit solides, soit fluides, est la quantité de cha- 
leur nécessaire pour élever d’un degré centésimal 
la température d’une masse d’eau égale en poids à 
celui de ces corps. Par exemple, lorsqu'on dit que la 
chaleur latente de la vapeur d’eau est de 550, il faut 
entendre qu’un kilogramme de vapeur renferme une 
quantité de calorique capable d'élever de 550° la tempé- 
rature d’un kilogramme d’eau. C’est de cette manière 
qu'il faut concevoir les nombres suivans trouvés par 
M. Despretz. 


CHALEUR LATENTE DES VAPEURS. 


D'eau et 551 

D'alcool. 5 208 207,7 
D’éther sulfurique. . . . 96,8 
D'essence de térébenthine. 76,8 


Le nombre de la chaleur latente de la vapeur d’eau 
trouvé par M Despretz diffère de celui qui est généra- 
lement adopté d'après les expériences de M. Gay-Lussac, 
confirmées par celles de MM. Clément et Desormes ; 
ce dernier est 550. Rumfort avait trouvé 557, Southern 
550, Watt 527, et M. Dulong 543. 

52. Deux opinions opposées ont été émises sur le 
phénomène de la vaporisation des liquides : d’après 
Southern, la quantité de calorique nécessaire pour faire 
passer un corps liquide quelconque à l’état gazeux serait 
indépendante de la température de ce corps, ou, en d’au- 
tres termes, le calorique de vaporisation serait constant, 
et par conséquent la quantité totale de chaleur renfer- 
mée dans la vapeur croîtrait avec sa température. D’a- 
près MM. Clément et Desormes, le calorique de vapo- 
risation serait, au contraire, d'autant moindre pour un 
même liquide que la température de l’ébullition serait 
plus élevée; par exemple, la quantité de chaleur néces- 
saire pour volatiliser un kilogramme d’eau primitive- 
ment à 0° étant 650, elle n’est plus que 550 pour cette 


CHA 


eau à 100°, que {do pour cette même eau à 200°, et ainsi 
de suite; de sorte qu’à 650° le calorique de vaporisa- 


tion serait nul, quoique la vapeur une fois formée ren- 
ferme toujours la même quantité de calorique d’élasti- 
cité. Les physiciens ne se sont point encore prononcés 
sur cette question, qui est d’un très-haut intérêt pour les 
machines à vapeur; mais nous pensons que l'opinion de 
Southern est inadmissible. 

53. Production de la chaleur. 11 existe deux sources 
différentes de chaleur; les unes sont permanentes, comme 
les rayons solaires, la chaleur du globe terrestre et les 
rayons stellaires; les autres sont accidentelles, comme 
les actions chimiques, la pression, la percussion, le 
frottement et les changemens d'état des corps. La théo- 
rie du développement de la chaleur, et les phénomènes 
qui en résultent d’après l’une ou l’autre de ces sources, 
sont entièrement hors de notre plan, et nous deyons nous 
borner à signaler ici les résultats qu’il importe le plus 
de connaître dans les applications de la chaleur comme 
force mécanique. 

54. Lacombustion de diverses substances est lemoyen 
le plus généralement employé pour produire la chaleur 
dont on a besoin dans les arts industriels. Le combus- 
tible est alors placé dans un foyer ou appareil particulier, 
et le corps qu’on veut échauffer est exposé à la chaleur 
rayonnante qui émane du combustible en ignition. La 
perfection de l’appareil consiste visiblement dans la plus 
ou moins grande quantité de chaleur qu’il est suscep- 
tible de transmettre, et doit s’apprécier d’après le rap- 
port entre la chaleur transmise et la quantité absolue 
de chaleur produite. On évalue cette quantité absolue 
de chaleur par le nombre de degrés dont un kilogramme 


. de combustible, élève, en brûlant, la température d’un 


kilogramme d’eau, et c’est elle qu’il importe principa- 
lement de connaître pour diriger habilement l'emploi 
du combustible, et ne pas le perdre infructueusement 
dans des appareils peu judicieux, comme on ne le voit 
que trop communément. 

D'après les expériences de MM. Clément et Desormes, 
la quantité de chaleur absolue fournie par divers com- 
bustibles est la suivante : 


Bois; environ. . . . . . . 3000° 
Charbon de terre. . . . . #000 
Charbon de bois.. . . . . 7050 
Tourbe environ. . . . . 3000 


Il en résulte qu’un kilogramme de charbon de terre 
peut vaporiser, en brûlant, 10 kilogrammes, 76 d’eau à 
la température initiale de o°, en admettant qu'un kilo= 
gramme d’eau à o° exige pour se transformer en va= 
peur 650° de chaleur (52). 

55. C’est principalement dans la production de la va- 
peur d'eau qu'on peut reconnaître l'importance de la 


CHA 4 


question que nous ayons signalée au paragraphe 52, Sup- 
posons, pour la mettre dans tout son jour, que l’eau 
d'une chaudière, primitivement à 50°, soit portée à l’é- 
bullition par 155° de chaleur communiquée, et propo- 
sons-nous de trouver la quantité de charbon nécessaire 
pour produire d’abord l’ébullition et ensuite la vapori- 
sation complète d’un kilogramme de cette eau. 

D'après Southern, la quantité de chaleur fournie par 
le combustible doit être 135°530°—685°, Ainsi, puis- 
qu'un kilogramme de charbon brûlé donne 57000°, il 


faudra pour vaporiser un kilogramme d’eau 


685 


k 
= 0 ,978 de charbon; 
7000 


ou, ce qui est la même chose, un kilogramme de char 
bon produira 


7000 


685 


— 10,219 de vapeur. 


D'après MM. Clément et Desormes, la quantité de 
chaleur nécessaire pour vaporiser un kilogramme d’eau 
à 30° étant 650°— 50° — 620°, il faudra seulement 


620 
7000 


—= 0',808 de charbon, 


et un kilogramme de charbon brûlé produira 


7000 


k 
— = 11 ,200 de vapeur. 
620 »?9 I 


Quand on considère l'énorme force vive que peut dé- 
velopper un kilogramme de vapeur, on est vraiment 
surpris que la science en soit encore à ne pouvoir opter 
entre ces deux résultats. 

56. Les nombres du n° 54 ont été obtenus par des ex- 
périences assez précises pour qu'on puisse les employer 
avec confiance comme des termes de comparaison ; de 
sorte qu'on doit évaluer moyennement à 11 kilogram- 
mes la quantité de vapeur que peut produire un kilo- 
gramme de charbon ; mais, comme il est impossible de 
recueillir dans les fourneaux ordinaires la quantité ab= 
solue de chaleur émise par les combustibles, on ne sau- 
rait espérer qu'une moindre production. Dans les chau- 
dières des anciennes machines à vapeur de Watt, un 
kilogramme de charbon brûlé vaporise seulement 6 ki- 
logrammes d'eau, tandis que dans les chaudières plus 
parfaites des machines de Woolf, il en vaporise 8 kilo- 
grammes. (Voy. Vareur.) 

Ouvrages à consulter sur les divers points de la théo- 
rie de la chaleur: Annales de Chimie et de Physique, 
tome 9, 20, 25, 40, 45, 48. Fourier, Mémoire sur la 
Chaleur ; Péclet, Traité de la Chaleur ; Poisson, Traité 
de Mécanique, 2° édit.; Théorie de la Chaleur; et les 
Traités de Physique de MM. Desprets, Pouillet et Péclet. 


FR 


48 CHA 


CHAMEAUX. (Mée.) Espèces de pontons qu’on em- 
ploie dans les ports, dont la profondeur n’est pas sufli- 
sante pour faire entrer ou sortir les vaisseaux. 

Les. chameaux présentent une application très-ingé- 
nieuse des lois de l’hydrostatique, dont on peut encore 
tirer parti pour remettre à flot les navires submergés. 
Ils ont un fond plat et fort large ; un de leurs côtés est 
concave et suit assez exactement la courbure des vais- 
seaux pour qu'il puisse s’y appliquer de manière à l’em- 
brasser dans le plus grand nombre de points possibles ; 
les autres côtés sont perpendiculaires au fond. Lorsqu’on 
veut faire sortir du port un vaisseau qui tire trop d’eau 
pour marcher seul, on adapte les chameaux à ses flancs, 
après les avoir remplis de la quantité d’eau suffisante 
pour que leur immersion soit de niveau avec la quille du 
vaisseau. Dans cet état, on les fixe solidement en faisant 
passer plusieurs cordages ou grelins sous la quille; ces 
grelins remontent dans l’intérieur des chameaux de cha- 
que côté, et vont aboutir à des treuils placés sur les ponts 
des chameaux, qui les tendent et les retiennent de ma- 
nière que les deux chameaux ne font plus qu’un même 
corps flottant avec le vaisseau. Alors on épuise l'eau des 
chameaux à l’aide de pompes; et à mesure que tout le 
système devient plus léger, par l'épuisement, il s'élève 
et finit par pouvoir manœuvrer dans le port. Quand le 
vaisseau est sorti du port, on remplit de nouveau les 
chameaux d’eau, pour rendre au vaisseau sa quantité 
nécessaire d'immersion, et enfin on les détache. La 
même série d'opérations est employée quand , au lieu 
de faire sortir un vaisseau, il s’agit de le faire entrer 


dans le port. 


CHAPELET VERTICAL. (Hydraul.) Machine des- 
tinée à élever l’eau. 

Un chapelet vertical se compose 1° d’un tuyau cy- 
lindrique de bois,'appelé buse, dont l'extrémité inférieure 
plonge dans l’eau qu'on veut épuiser; 2° d’une chaine 
sans fin, garnie de plateaux ou rondelles de cuir gras à 
distances égales. Cette chaine tourne sur une roue ar- 
mée de pointes de fer et traversée par un axe portant 
des manivelles à ses extrémités; elle est tendue à sa par- 
tie inférieure par un appareil qui permet de la diriger con- 
venablement, et elle parcourt la buse qu’elle entoure 
du dehors au dedans. Lorsque cette machine est en 
mouvement, les pointes de fer saisissent successivement 
les chaînons, et la chaîne monte; le plateau qui arrive à 
l'orifice inférieur de la buse y prend l’eau qui est au- 
dessous du précédent et l’élève avec lui jusqu’au dégor- 
geoir. Le diamètre des rondelles de cuir doit être plus 
grand que celui de la buse, pour qu’elles ne laissent re- 
tomber que la plus petite quantité possible d’eau. La 
buse a ordinairement de 4 à 6 mètres de longueur sur 
un diamètre de 0", 19 à 0”, 16. 


CHA 


Cette machine est employée pour les épuisemens où 
il faut verser l’eau à une hauteur de plus de 4 mètres; 
mais elle s’engorge facilement et elle exige un entretien 
onéreux. Boistard estime que le travail d’un homme, à 
l’aide de cette machine, est d'environ 13 à 14 mètres 
cubes d’eau élevés à 1 mètre en une heure de temps; 
ce résultat est à peu près le même que celui déduit par 
Perronet de la comparaison de vingt-deux chapelets. 
Pour comparer l'effet utile du chapelet vertical avec ce- 
lui qu’on peut tirer du travail de l’homme dans les au- 
tres machines, il faut évaluer les effets observés en 
unités dynamiques, aujourd’hui généralement admises 
(Voy. Force), c’est-à-dire les comparer à un poids de 
1000 kilogrammes élevé à un mètre. Or, le nombre 
d'heures de travail ne pouvant pas dépasser 8, avec ce 
genre de machines, qui exige une vitesse de 20 à 3o tours 
de manivelle par minute, le travail d’un homme pen- 
dant 8 heures produit l'élévation de 8X 15"-°, 63 à un 
mètre, savoir 119"*°*, 04 ou 119040 kilogrammes, sa- 
voir : 119 unités dynamiques. Ainsi, en admettant que 
l'effort exercé par l’homme sur la manivelle soit équiva- 
lent à 192 unités dynamiques (Voy. Force), il en ré- 
sulte que l’effet utile du chapelet vertical est environ 
0, 69 de la force employée. 


CHAPELET INCLINÉ. (Hydraul.) Machine qui sert 
aux épuisemens comme la précédente. Elle ne diffère 
du chapelet vertical que par ses plateaux, qui sont en 
bois et carrés, et qui se meuvent dans une buse quadran- 
gulaire. 

Le chapelet incliné entraîne une plus grande perte 
de force motrice que le chapelet vertical; aussi est-il 
peu employé. Perronet estime que la quantité d’eau éle- 
vée à 1 mètre par un homme, en une heure de temps, 
à l’aide de cette machine, ne dépasse pas 11"+°, 13. 
C’est donc une production journalière de 89 unités dy- 
namiques, et l’effet utile n’est que 0,51 de la force mo- 


trice. 


CHARNIÈRE UNIVERSELLE. (Méc.) Appareil qui 
sert à transmettre le mouvement de rotation d’un axe à 
un autre axe de position variable. Les deux axes sont 
terminés en deux branches formant un demi-cercle a et 
b (PI. 4, fig. 8), dont les diamètres se croisent perpen- 
diculairement en c. Chacun des demi-cercles, et par 
conséquent l’axe auquel il appartient, est parfaitement 
mobile autour de son diamètre; de sorte que l’un de ces 
axes ne peut être en mouvement sans faire mouvoir 
l’autre. Si l’angle des deux axes surpassait 45°, cette 
charnière simple ne pourrait plus être employée, et il 
faudrait avoir recours à la double charnière dont la fi- 
gure 9 indique suffisamment la composition. La figure 10 
représente une charnière universelle d’une autre forme 


CHE 


qu’on nomme aussi joënt universel ou joint brisé; elle 
est destinée à transmettre des forces plus considérables 
que les précédentes. L'emploi de ces diverses articula- 
tions entraine toujours une grande perte de force par le 
frottement qui résulte des pressions énormes qu’elles 
supportent. 


CHEMIN DE FER. (Mée 
solides et unies, de fer, placées dans les endroits que 
doivent pareourir les roues des voitures, pour en dimi- 
nuer le frottement et rendre le roulage plus facile. Les 
bandes de fer sont généralement désignées sous le nom 
anglais de rails, quoiqu’on ait proposé de leur appli- 
quer celui de charrières. 

Il existe en ce moment trois systèmes différens de 
chemins de fer, savoir : à orniéres élroiles, à ornières 
plates, à une seule ornière. Dans le premier système, 
le plus généralement employé, le chemin se compose 
d’un double rang de barres de fer parallèles, posées à 
demeure sur des fondations en pierre et saillantes au- 


.) Chemin garni de bandes 


dessus du sol; la distance des deux rangs est égale à la 
largeur des voitures, de manière que les roues portent 
sur les barres, où elles sont retenues par des rebords fixés 
à leur circonférence. C’est, à proprement parler, les 
roues qui sont à ornières. Dans le second système, les 
barres sur lesquelles marchent les roues sont garnies 
d’un rebord, et alors les roues ont leur circonférence 
unie ct sans aucune partie saillante. Le troisième sys- 
tème, qui n’a point encore élé exécuté sur une grande 
échelle, se compose d’une seule ornière étroite élevée 
d’un mètre environ au-dessus du niveau du sol. Les 
voitures destinées à rouler sur cette espèce de chemin 
doivent être divisées en deux caisses suspendues, des 
deux côtés de la voie, à une forme en fer portant deux 
petites roues. 

Chemins à ornières étroites. Le premier chemin de cette 
nature a été construit en 1680 pour conduire les char- 
bons des mines de Newcastle à la rivière de Tyne. Dans 
l'origine, il consistait en pièces de bois portées sur des 
madriers de même matitre; on commença par recou- 
yrir ces pièces de bandes de fer dans les endroits où 
elles étaient exposées aux plus fréquentes dégradations, 
puis on substitua bientôt généralement l’usage du fer 
coulé à celui du bois. Depuis cette heureuse innova- 
tion, les propriétaires des principales mines de houille 
de l'Angleterre et de l'Écosse firent établir des che- 
mins de fer destinés au transport de leurs produits, et 
l'on comprit bien vite les grands avantages que pouvait 
retirer le commerce de ce nouveau mode de communi- 
cation, lorsque surtout l'application de la machine à va- 
peur comme force motrice vint reculer bien au-delà de 
tout ce qu’on aurait osé espérer les limites de la vitesse 
du transport. 

Tom, ax 


CHE 49 

L'exemple de l’Angleterre, bientôt suivi par les États- 
Unis, a donné une grande impulsion à l’Europe, que la 
France n’a pas été la dernière à ressentir. Toutes les 
spéculations sont maintenant dirigées vers les chemins de 
fer avec beaucoup plus d'enthousiasme que de prudence; 
et nous pouvons craindre que les constructions dispen- 
dieuses qu’on s'apprête à exécuter sur tant de points ne 
deviennent une cause de ruine générale. Ii est reconnu 
déjà que le transport des marchandises, présenté dans 
l'origine comme le produit le plus certain des chemins 
de fer, est insuffisant pour les alimenter, et l’on est ef- 
frayé de l'immense quantité de voyageurs que réclame 
l'eniretien d’une ligne médiocre. On a calculé que le 
chemin de fer de Paris à Saint-Germain ne peut ren- 
dre 5 pour °} du capital employé qu’en transportant 
annuellement un million de voyageurs ! Que devien- 
dront tant de capitaux enfouis dans des déblais et des 
remblais stériles, si, comme le pense M. Arago, de nou- 
veaux progrès dans les moyens de locomotion sont 
non seulement probables, mais prochains ; et si, comme 
le prouvent les essais de M. Dietz et ceux d’autres per- 
sonnes, le problème d’une rapide circulation peut être 
résolu sans frais sur les chemins ordinaires ? Mais cette 
question sort du plan de notre Dictionnaire, et nous de- 
vons nous borner à indiquer, autant que le comporte 
la nature de cet ouvrage, les principales dispositions em- 
ployées dans la construction des chemins de fer. 

Ainsi que nous l’avons dit, un chemin à ornières 
étroites se compose de deux élémens distincts : de blocs 
de pierre, posés de distance en distance pour servir de 
supports, et de barres de fer placées bout-à-bout sur ces 
blocs, de manière à former des lignes continues. Lors- 
qu’on emploie la fonte de fer, les barres doivent avoir la 
forme la plus propre à les rendre susceptibles d’une 
égale résistance dans toute leur longueur ; quand on se 
sert de fer forgé, les barres sont simplement des prismes 
quadrangulaires, et on peut alors leur donner beaucoup 
plus de longueur en disposant convenablement les points 
d’appuis. 

Le premier soin à prendre est donc de niveler le ter- 
rain sur lequel on veut établir la route et d’y disposer 
les blocs de pierre, soit sur le sol même, lorsqu'il est 
assez ferme, soit sur des fondations particulières, lors- 
qu'ilest mou. Dans le premier cas, après avoir battu la 
place où doit se trouver le bloc, on le met sur un lit de 
gravier fin pour qu'il porte également dans toutes ses 
parties. La distance de deux blocs est déterminée d’a- 
près la force qu’on donne à l’ornière ou au rail. La 
longueur ordinaire des barres est d'environ 91 centi- 
mètres dans les meilleurs chemins en fonte de l’Angle- 
terre ; la figure 1, pl. 6, représente le profil d’une barre 
de fonte, la figure 2, son plan, et la figure 5, sa coupe 
transversale. Les bouts des barres se réunissent dans une 


"” 


50 CHE 


pièce de fer coulé, nommée le siége (fig. 4), qui est fixée 
sur chaque bloc de pierre; l'épaisseur au milieu en C 
(fig. 1) est d'environ 114 millimètres, et la largeur du 
bord supérieur de 50. On varie ces dimensions suivant 
le poids des chariots qui doivent parcourir les routes. 

Depuis quelque temps on préfère le fer forgé à la 
fonte, qui a l'inconvénient de se rompre sous des chocs 
médiocres. Les premières dépenses sont plus considé- 
rables, mais l’entretien du chemin est plus facile, moins 
coûteux, et les accidens plus facilement réparables. Les 
barres de fer forgé offrent un très-grand avantage, ou- 
tre l'augmentation de force qu’on obtient par leur em- 
ploi, c’est qu’on peut leur donner de grandes longueurs, 
ét diminuer par conséquent le nombre des joints, qui 
sont les parties du chemin les plus difficiles à mainte- 
nir nettes et unies. Une barre de fer EF (fig. 5) soutenue 
par quatre points d’appuis E, C, D, F, est près de deux 
fois plus forte dans son milieu C D, qu’une petite barre 
AB (fig. 6) égale à GD simplement soutenue par ses 
deux extrémités. On peut rendre la force d’une longue 
barre à peu près égale dans toutes ses parties en divisant 
sa longueur en » (fig. #), et en prenant 5 de ces parties 
pour la distance des supports du milieu. Tredgold, qui 
a fait de nombreuses expériences sur la résistance du 
fer, assure que, quelque soit le nombre des supports in- 
termédiaires, on peut rendre cette résistance sensible- 
ment uniforme en établissant entre les espaces, vers les 
bouts et ceux du milieu, le rapport des nombres 2 : 3. 

Les roues des chariots destinés à marcher sur les che- 
mins à ornières étroites sont communément garnies à 
leur circonférence de deux rebords formant une ornière 
dans laquelle entre le rail comme une languette dans sa 
rainure; mais On a reconnu que cette disposition en- 
traîne des frottemens latéraux, et on est parvenu, sinon 
à les éviter entièrement, du moins à les diminuer en 
faisant le bord des roues légèrement courbé et en ne 
leur donnant qu’un seul rebord (fig. 11 et 12). De cette 
maniere, la voiture tend d’elle-même à reprendre sa po- 
sition d'équilibre sur le rail quand elle en a été écartée 
par quelque déviation dans la direction de la force trac- 
trice. 

Le tirage des chariots sur les premiers chemins en 
fer s’effectuait par des chevaux, et on établissait pour 
cet effet une voie pavée ou ferrée entre les deux rangs 
de rails. Aujourd’hui, des machines à vapeur, dites ma- 
chines locomotives, sont exclusivement chargées de ce ti- 
rage; les voitures ou chariots qu'une machine locomo- 
tive doit entraîner se nomment waggons; on attache les 
waggons les uns à la suite des autres et à la suite de la 
locomotive par des chaînes de fer, de manière à former 
un convoi pour chaque locomotive en particulier. La 
figure 9 représente un de ces convois. 

Chemins à ornières plates. Les ornières plates n’ont 


CHE 


été employées jusqu'ici que pour des chemins de peu 
d'étendue ; elles offrent le grand avantage de pouvoir se 
placer et se déplacer très-promptement, ce qui permet 
d'en former des chemins temporaires pour un service 
passager. La figure 9 présente la coupe verticale d’une 
ornière plate B, de son support C et de la roue sans 
rebords qui se meut sur l’ornière. La figure 10 en pré- 
sente le plan. 

Le moyen employé le plus communément pour fixer 
les ornières plates consiste à les maintenir avec des cloux 
ou boulons sur des traverses dormantes en bois. Lors- 
que la route doit être permanente, on enfonce des quar- 
tiers de bois dans les supports en pierre, et on fixe l’or- 
nière avec de grands cloux enfoncés dans le bois. La 
disposition indiquée dans les figures 8 et 10 donne beau- 
coup de facilité pour mettre les ornitres en place et les 
enlever : chaque ornière est garnie d’une arête oblique 
E ou D (fig. 13) qui entre dans le bloc de pierre, de 
sorte qu'elles se maintiennent mutuellement sans qu’il 
soit besoin de les clouer. Pour faciliter leur déplace- 
ment, chaque trentième ornière d’une ligne a son arte 
perpendiculaire comme on le voit en E. La-figure 15 
montre la configuration d’un bout d’une arête; H en est 
le rebord ou le renflement droit qui maintient la roue, 
T la partie plate sur laquelle la roue tourne ; D une arête 
et K un renflement en arrière pour rendre l’ornière plus 
solide sur le bloc de pierre. 

Chemin à une seule ornière. Voici, d’après Tredgold, 
la description et les avantages de cette nouvelle dispo- 
sition : 

« L'idée de ce chemin, inventé par M. Palmer, est 
neuve et ingénieuse. La voiture est portée sur une or- 
nitre unique, ou plutôt sur une ligne de barres de fer 
élevée de g1 centimètres (3 pieds anglais) au-dessus du 
niveau du sol, etappuyée sur des piliers placés à distances 


égales et à trois mètres environ l’un de l’autre; la voi- 


ture consiste en deux réceptacles ou caisses suspendues, 
des deux côtés de la voie, à une forme en fer, ayant deux 
roues d'environ 50 pouces de diamètre. Les bords des 
roues sont concaves et embrassent exactement le bord 
convexe des barres qui forment la voie; et le centre de 
gravité de la voiture, soit qu’elle soit vide ou pleine, 
se trouve placé si fort au-dessus du bord supérieur de 
la voie, que les deux caisses restent en équilibre et que 
leur charge peut être fort inégale sans qu'il en résulte 
d'inconvyénient, la largeur dela voie qui leur sert comme 
de pivot était d'environ 10 centimètres. Les barres sont 
faites aussi de manière à pouvoir s’ajuster et être main- 
tenues droites et unies. 

» Les avantages de ce mode sont de rendre le frot- 
tement latéral moins considérable que dans le système 
des ornières étroites ; de défendre mieux le chemin con- 
tre la poussière ou toute autre matière qui peut tendre 


CHE 


à retarder la marche des voitures; enfin, lorsque la sur- 
face du terrain fait beaucoup d’ondulations, de per- 
metire d'exécuter le chemin sans être obligé de creuser 
pour le mettre de niveau, plus que cela n’est indispen- 
sable pour rendre praticable le sentier dans lequel mar- 
che le cheval qui traîne la voiture. 

» Nous pensons, ajoute Tredgold, que ce genre de 
chemin paraitra très-supérieur à tous les autres, pour 
le transport des lettres et paquets et pour toutes les voi- 
tures légères, pour lesquelles la vitesse est l’objet le 
plus important, étant convaincus qu’il est avantageux 
pour ces sortes de voitures que la route se trouve assez 
élevée pour être exempte des interruptions auxquelles 
sont exposés les autres chemins en fer. » 

Les journaux du mois d’août dernier annonçaient 
qu’on colportait dans le monde industriel le prospectus 
d’un nouveau système de chemins de fer qui doit ren- 
verser tous les systèmes connus jusqu’à ce jour. «ILs’a- 
git, disaient-ils, de voies de communication suspendues, 
n'ayant qu’un seul rail, et dispensées de tout déblais et 
achats de terrains par expropriation forcée. Ce nouveau 
système ne peut être que celui de M. Palmer, amélioré 
si l’on veut, mais dont l’idée principale est émise de- 
puis plus de douze ans. 

Nous verrons aux mots FromremenT et Vareur les cir- 
constances diverses de la locomotion sur les chemins en 
fer, dont nous n’avons voulu donner qu’une idée géné- 
rale dans cet article. 


CHEVAL. (Méc.) De tous les moteurs animés, le 
cheyal est sans contredit le plus précieux et celui dont 
les services sont les plus utiles et les plus multipliés; et 
quoique les progrès de l’industrie tendent à substituer 
partout les forces si puissantes des moteurs physiques à 
celles des animaux, la force du cheval n’en demeure pas 
moins un immense moyen mécanique, susceptible d’'ap- 
plications nombreuses et variées. Mais, pour tirer de 
cette force tout le parti possible, il est essentiel de l’em- 
ployer de manière à lui faire produire le plus grand 
effet utile avec le moins de fatigue, et par conséquent de 
connaître les modes d'application les plus favorables, 
ce que l'expérience seule peut apprendre, tout en la su- 
bordonnant cependant aux lois générales que nous al- 
lons rappeler. 

Le travail eflectué par une machine est toujours re- 
latif à la quantité d’action (Voy. ce mot) que peut four- 
nir Le moteur, Un moteur étant donné, le but principal 
qu’on doit se proposer dans son emploi est donc d’en 
obtenir la plus grande quantité d'action possible ; ainsi, 
en désignant par P leffort exercé par le moteur à son 
point d'application, effort qu’on peut toujours comparer 
à la pression d’un certain poids, par V l’espace que par- 
court ce point d'application dans l’unité de temps et 


CHE 51 


dans le sens de l'effort P, et par t la durée du travail 
journalier, PV représentera la quantité d’action fournie 
par le moteur dans l'unité de temps, PV£ la quantité 
d'action journalière, et le problème sera ramené à ren- 
dre le produit PV£ un maximum. Or, la mécanique ra- 
tionnelle nous apprend (Voy. Macnine, tome n1) qu’on 
ne peut jamais augmenter un des facteurs du produit 
PV sans diminuer l’autre, etlorsque le moteur est animé, 
il en est de même du produit PV£, dont un des facteurs 
ne peut augmenter qu'aux dépens des autres, car l'effort 
dont un animal est susceptible est d'autant moins grand 
qu’on prolonge dayantage sa durée. Il est donc essen- 
tiel de déterminer par l'expérience les relations qu'ont 
entre eux les trois facteurs P, V, #, afin de régler l’action 
de l'animal de manière à donner la plus grande valeur 
possible au produit PVt. s 

L'action des animaux en général est sujette à varier 
d’après un si grand nombre de circonstances, et les ob- 
servations connues jusqu'ici sont encoresi peu décisives, 
qu'il est impossible d'établir rigoureusement lesrelations 
des facteurs du produit PV£; mais ces observations éta- 
blissent toutefois un fait général très-important, c’est 
que la quantité d'action journalière que peut fournir un 
animal varie ayec la nature du travail qu'il fait. Des 
travaux différens peuvent ainsi ne pas causer le même 
degré de fatigue, quoique la quantité d’action soit la 
même. 

Lahire, qui s’est occupé le premier de recherches com- 
paratives sur la force des hommes et celle des chevaux, 
a observé que trois hommes, chargés chacun de 100 li- 
vres, monteront plus vite et plus facilement une mon- 
tagne un peu raide qu’un cheval chargé de 300 livres, et 
il en a conclu ayec raison que l’homme a un grand avan- 
tage sur le cheval quand il s’agit de monter, tandis que 
le contraire a lieu lorsqu'il s’agit de tirer horizontale- 
ment, Car on sait, par une expérience commune, qu'un 
cheval tire de cette manière autant que sept hommes. 
Plus tard Camus, gentilhomme lorrain, auteur du Traité 
des forces mouvantes, rechercha la meilleure disposition 
à donner aux traits des chevaux pour rendre le tirage 
plus facile, et il prescrivit de les placer horizontalement 
à la hauteur du poitrail, disposition vicieuse qui fut gé- 
néralement adoptée, jusqu’à ce que Deparcieux, par un 
examen approfondi de la question , ait fait voir que, 
pendant le mouvement de traction, des traits ainsi pla- 
cés deviennent inclinés à l’horizon, parce que le cheval 
baisse son poitrail pour se porter en avant lorsqu'il tire 
un fardeau. Pour que l'effet du tirage soit le plus con- 
sidérable, il est nécessaire, en effet, que les traits soient 
parallèles au plan parcouru ; mais cette condition ne se- 
rait point obtenue, si, dans l’état de repos ou lorsque le 
cheval ne fait aucun effort , les traits n'étaient un peu 
iaclinés à l'horizon en allant du poitrail au point d’ar- 


52 CHE 


rêt. M. de Prony, dans sa Nouvelle architecture hydrau- 
lique, a mis cette vérité dans tout son jour. 

Le tirage ayant été facilement reconnu le mode d'ap- 
plication le plus avantageux de la force du cheval, on a 
fait un grand nombre d’expériences sur l'effort de trac- 
tion dont cet animal est susceptible, et on a trouvé 
qu'un cheval de force moyenne peut produire pendant 
quelques instans une traction de 560 kil. Cette traction 
momentanée, qui varie entre 300 et 5oo kilogrammes, 
est ce qu’on nomme la force absolue des chevaux ; on la 
mesure à l’aide d’instrumens appelés dynamomètres (Voy. 
ce mot.) Lorsque l’animal doit exercer une traction con- 
tinue d’une durée de plusieurs heures, son effort moyen 

rarie du quart au cinquième de son effort absolu, sui- 
vant Ja vitesse du mouvement et le temps du travail. 

La mesure des forces par le dynamomètre n’est pas 
celle qui est généralement adoptée; on prend aujour- 
d'hui pour terme de comparaison un poids donné, 
élevé ou transporté à une distance donnée, comme un 
kilogramme, par exemple, transporté à un mètre dans 
une seconde de temps. D’aprèsles expériences de Watt et 
Boulton, la force moyenne de traction d’un cheval dans 
une journée de travail de huit heures est suffisante pour 
élever un poids de 33000 livres anglaises à la hauteur 
d’un pied anglais par minute, ou, ce qui est la même 
chose, 76 Kilogrammes à 1 mètre par seconde. Cette 
expression élémentaire de la force du cheval réduite à 
75 kilogrammes, a été proposée par M. le comte de 
Chabrol, pour servir d'unité sous le nom de dyname, 
dans l’appréciation de la force des machines à vapeur, 
et depuis on a pris l’habitude d'appeler cheval de vapeur 
la force capable d'élever 75 kil. à 1 mètre par seconde 
de temps. Ainsi, lorsqu'on dit qu’une machine à vapeur 
est de la force de 10 chevaux, on exprime qu’elle peut 
élever 750 kil. à 1 mètre par seconde. 

Il est important de distinguer la force réelle d’un 
cheval de celle qui est employée à produire un effet utile, 
car un cheval consomme tout aussi bien sa force en 
marchant sans être chargé qu'avec une charge quelcon- 
que. Dans le premier cas, tout son effort musculaire est 
employé pour transporter son propre corps, tandis que 
dans le second une partie de cet effort agit sur le far- 
deau, et c’est seulement cette dernière qui produit un ef- 
fet utile. Quand un cheval marche sans être chargé, la 
distance la plus grande qu’il peut parcourir sans éprou- 
ver un excès de fatigue capable de l'empêcher de re- 
commencer de la même manière les jours suivans, est 
évidemment la limite de la vitesse qu’il peut prendre ; 
ici il n’y a point d'effet utile, et il n’y en a même pas 
lorsque le cheval consomme toute sa force à trainer une 
voiture vide, quoiqu'il ne puisse plus se mouvoir avec 
la même vitesse. L'effet utile est encore nul si la charge 


est assez considérable pour que le cheval ne puisse lui 


CHE 


imprimer un mouvement continu. Or, entre ces limites 
de vitesse et de force, il doit y avoir un terme moyen, 
qui correspond au maximum d'effet utile, et c’est ce 
maximum qu'il est nécessaire de connaître pour tirer le 
meilleur parti de la force du cheval. 

Tredgold, qui a fait un grand nombre d'observations 
sur Ja force des chevaux, donne les évaluations suivantes 


de la plus grande vitesse qu’un cheval non chargé peut 
prendre suivant la durée de sa course. Nous les avons 
traduites en mètres. 


DURÉE PLUS GRANDE PLUS GRANDE 
DE VITESSE VITESSE 
LA MARCHE. PAR HEURE. PAR SECONDE. 
mm 
Heures. Mètres. Mètres. 
1 25657 6,55 
2 16737 4,65 
5 15079 3,80 
a 11748 5,26 
5 10621 2,90 
| 6 9656 2,68 
| 7 8850 2,16 
| 8 68388 2,92 
| 10 7403 2,06 
| 


Le même ingénieur a trouvé que la vitesse qui répond 
au maximum d'effet utile est la moitié de la plus grande 
vitesse du cheval non chargé. Ainsi, pour un cheval 
qui travaille 8 heures par jour, la vitesse ne doit jamais 
dépasser 1",16 par seconde, et 1°,65 s’il ne travaille 
que 4 heures. Le taux moyen des chevaux plus faibles 
n’est pas aussi élevé, dit-il, mais la différence doit plu- 
tôt porter sur la charge que sur le temps du travail. On 
ne doit pas perdre de vue que, d’après ce que nous avons 
exposé au commencement de cet article, l'effort exercé 
par le cheval pour produire un effet utile P doit dimi- 
nuer à mesure que la vitesse V ou que le temps é du tra- 
vail augmentent. Ainsi, en admeitant avec Navier que 
pour un cheval qui travaille 8 heures par jour à un ma- 
nège le produit PV£ ou 8PV ait une valeur moyenne re- 
présentée par le nombre 1164000, on a dans l'unité de 
temps, qui est ici une heure, PV —145500; si l’on veut 
donc que le cheval marche avec sa vitesse maximum de 
1",16 par seconde ou de 4194" par heure, il faut faire 
V— 4194, et l'on trouve pour la force correspondante 


— 55 environ, 


c’est-à-dire que la force de traction du cheval ne doit 
pas dépasser 35 kilogrammes pour qu'il puisse étre en 


CHE 


état de produire journellement le même travail. Dans 
le cas où l’on voudrait que l'effort de traction fût de 
45 K., on aurait P —45et 


La vitesse ne devrait donc pas dépasser 5233 mètres 
par heure, ou à peu près 0",9 par seconde. 

Dans le résumé qu'il a donné de ses recherches pro- 
pres et des meilleures de celles qui avaient été faites 
avant lui, sur l'évaluation des divers effets utiles qu’on 
peut tirer de la force des chevaux, Navier estime à 
27720 unités dynamiques l'effet utile d’un cheval attelé 
à une charrette et marchant au pas. Pour comprendre 
ce résultat, il faut se rappeler que l'unité dynamique se 
compose de 1000 kil. transportés à un mètre; alors la 
charge moyenne du cheval, non compris la voiture, 
étant de 700 kil. et sa vitesse de 1°,1 par seconde ou de 
3960 mètres par heure, l’espace parcouru en 10 heures 
est de 59600 mètres; or 700 kilogrammes portés à 
59600 mètres ou 39600 fois 700 kil. — 27700000 kil. 
portés à un mètre, étant la même chose, ce dernier 
nombre, ramené à l'unité dynamique, donne 27720 
unités dynamiques. 

Voici l’ensemble de tous les résultats signalés par 
Navier : 

1° Cheval transportant des fardeaux sur une char- 
rette et marchant au pas, continuellement chargé : 


Poids transporté. . . . . . . . 700 kil. 
DAÉESSEIPARSECONdE 1,1 
Durée du travail. . . . . . . . 10 heures. 
Effet utile exprimé en unités dy- 

HAMIQUES. ele 27720 


2° Cheval attelé à une voiture et marchant au trot, 
continuellement chargé : 


Pordsitransponté. WWW. 0 .0.0550kil. 
Vitesse par seconde. . . . . . 2",2 

Duréeidu travail mener nus datrhset fs 
Nombre d'unités dynamiques. . 12474 


3° Cheval transportant des fardeaux sur une char- 
rette au pas, et reyenant à vide chercher de nouvelles 
charges : 


Poids transporté.. . . . . . . 700 kil. 
Vitesse par seconde. o",6 
Durée dutrayail. . . - . . . . 10 heures. 
Nombre d'unités dynamiques. . 15120 


4° Cheval chargé sur son dos, allant au pas : 


120 kil. 
1,1 


BOIS PORTÉES Mare os e -+ à 
Vitesse par seconde. . . . . .. 
Durée durtravail 1.4. 0 


. 10 heures. 
Nombre d'unités dynamiques. . 


47952 


CHE 53 


5° Cheval chargé sur son dos, allant au trot : 


80 kil. 
2",2 


POÏdS POTTER eee een ohetie 
Vitesse par seconde. . . . . . . 


Durée dutravail.. . . . . . . . n" heures. 


Nombre d'unités dynamiques. . 4435 

6° Cheval attelé à un manége et allant au pas : 
Effortexer cé Melle ee Le. 45 kil. 
Vitesse par seconde. . . . . . 0®,9 
Durée dutravail.. . . . . .. 8 heures. 
Nombre d'unités dynamiques. . 1166 


7° Cheval attelé à un manége et allant au trot : 


HHOTÉ EXErCE cercle en 30 kil. 
Vitesse par seconde, . . . . 2 
Düréerduitravail. MN 4 his 
Nombre d'uries dyna iques. 972 


M. Minard a obtenu per la moyenne, entre neuf ex- 
périences faites sur divers manéges, 1148 unités dyna- 
miques pour l’effet utile des chevaux marchant au pas. 
Ce résultat différe si peu de ceux de Navier, que quoique 
plusieurs auteurs en aient adopté d’autres d’une valeur 
plus grande, il paraît constant que l'effort moyen du 
cheval appliqué à un manége, lorsque le tirage s'opère 
horizontalement à la hauteur du poitrail, ne peut être 
évalué à plus de 1164 unités dynamiques ; la journée de 
travail étant de 8 heures, l’effort de traction 45 kil. etla 
vitesse 1,1 par seconde. 

Le rapport entre la force de traction et la charge, sui- 
vant la nature de la route, n’est pas encore suffisamment 
connu. Sur une mauvaise route couverte de cailloux, le 
frottement peut s'élever au tiers de la charge, tandis que 
sur une bonne route payée il peut n’aller qu’à ‘/,,. Sur 
un chemin de fer bien tenu, le rapport du frottement à 
la charge ne s'élève pas à {/,,,, de sorte que la force 
motrice n’a pour ainsi dire à vaincre que le frottement 
qui a lieu sur l’essieu des roues, et qu'un seul cheval 
peut produire sur un chemin de cette espèce autant d'effet 
que 8 chevaux sur une route ordinaire. 

L'application de la force du cheval ou halage des ba- 
teaux est celle qui produit le plus grand effet utile. Dans 
les canaux du nord, cet effets’élève jusqu’à 1875000 uni- 
tés dynamiques. Mais la vitesse ne dépasse pas 0°,7 par 
seconde. Une plus grande vitesse ne produirait pas un 
effet aussi considérable, parce que la résistance de l’eau 
croît comme le carré de la vitesse. Cependant, des ex- 
périences faites en Angleterre en 1833 ont montré qu'on 
peut obtenir une très-grande vitesse sur les canaux 
sans consommer une plus grande quantité de force. 
MM. Houston et Graham, inventeurs de ce nouveau 
mode de halage, amenèrent d'Écosse, sur le canal de la 
grande jonction, le bateau en fer le Swellow, construit 
pour servir à leurs expériences, Après l'avoir mesuré 


54 CHE 


avec exactitude et chargé d’un poids équivalent à celui 
du nombre des passagers que peut contenir ce bâtiment, 
long de 21 mètres et large de 1",80, on le conduisit dans 
la partie droite du canal, à environ cinq miles de Pad- 
dington , et les chevaux furent lancés avec une vitesse 
que l’on fit varier entre 6400 et 18000 mètres à l’heure, 
on remarqua que la vitesse de 6400 à 12800 mètres oc- 
casionnait un remous et des ondulations considérables, 
mais qu’au-delà de 12800 mètres, cet effet diminuait 
progressivement. La force de traction indiquée par un dy- 
namomètre diminuait également à mesure que la vitesse 
augmentait, et les observateurs demeurèrent convain- 
cus que si la vitesse avait pu devenir plus grande, l’agi- 
tation aura fini par être insensible. 

Un fait si contraire, au premier abord, à la théorie 
admise sur la résistance des fluides, ne pouvait que pro- 
voquer les doutes des savans sur les assertions de 
M. Graham; mais M. Rennie, qui pensa d’abord qu’on 
devait attribuer cette diminution de résistance à ce que 
lebateau, marchant avec une grande vitesse, s’élevait au- 
dessus de l’eau, répéta les expériences et mit hors de 
doute cette importante particularité. Depuis, un service 
régulier de bateaux en fer est établi sur le canal d'É- 
dimbourg et de Glascow et sur celui de Lancastre, pour 
le transport des voyageurs et des marchandises, avec 
une vitesse de 16000 mètres à l'heure (environ 4 lieues 
de poste) et, disent les journaux anglais à qui nous em- 
pruntons ces détails, à un prix moitié de celui qu’on 
payait avant l’établissement de ce service. Un résultat 
si avantageux prouve évidemment que les canaux of- 
friront des moyens tout aussi rapides de communica- 
tion que les chemins en fer, lorsqu'on voudra substituer 
à la force des chevaux celle des machines à vapeur. 

On évalue communément à 14 ou 15 mètres par 
seconde la plus grande vitesse que puisse prendre un 
cheval de course dans une marche de peu de durée. 


La vitesse au galop est moyennement de 10 mètres. 
La vitesse au grand trot de. , . . . . . 4 

La vitesse au trot ordinaire de.. . . . , 3 

La vitesse au petit trot de. . , . . . . . 2,2 

La vitesse au pas de, : , :.. ..,+ 1,7 


Nous ayons donné plus haut les vitesses moyennes, 
relatives à la durée de la marche, d’après Tredgold, 
mais nous devons faire observer que les auteurs sont 
loin d’être d'accord sur ces nombres, et que, malgré 
les nombreuses recherches dont les moteurs animés ont 
été l’objet, les points les plus importans de leur théorie 
ne sont pas encore complètement éclaireis. ( Voy. 


Honue. } 


CHÈVRE. (Méc.) Appareil triangulaire dont on se 
sert pour former un point de suspension lorsqu'il s’agit 


COL 


d'élever des fardeaux. Une chèvre se compose de deux 
pièces de bois qui se touchent au sommet et sont écar- 
tées dans leurs extrémités inférieures ; ces pièces sont 
unies par des traverses et forment un triangle isocèle. 


COLONNE D'EAU. (Mydraul.) La machine à co- 
lonne d’eau, dont la première idée est due à Belidor, sert 
à transmettre la force motrice d’une chute. Elle con- 
siste en un gros corps de pompe, dans lequel se meut 
un piston qu'une haute colonne d’eau pousse alternati- 
vement vers le haut et vers le bas. 

Cette machine, perfectionnée par le célèbre Reïchen- 
bach, est une des plus ingénieuses et des plus simples 
qu’on ait encore produit ; nous emprunterons à M. Fla- 
chat le résumé qu'il a donné dans sa Mécanique indus- 
trielle, de la description complète faite par MM. Pouillet 
et Leblanc, de la machine à colonne d’eau des mines 
de Berztergarden en Bavière. 

L'objet de cette machine est de faire mouvoir des 
pompes destinées à élever l’eau salée des mines. 

La force motrice est une chute d’eau de 116 mètres 
donnant 18 litres par seconde. 

« Gette eau arrive par le tuyau a (PI. 6, fig. 2 et 3) et 
son introduction dans la machine est réglée par la valve 
b. La machine est représentée (fig. 2) au moment où le 
piston ® a terminé sa course ascendante et dans la fig. 5, 
au moment où la course descendante est finie. Nous al- 
lons d’abord examiner le premier moment. 

» La descente du piston est provoquée par la pression 
de l’eau motrice qui y arrive en descendant par le corps 
de pompe g et en passant au-dessus du piston À. Le 
piston v, piston principal, contenu dans le gros corps 
de pompe 7, 8, est lié dans le même axe avec les pistons 
æ, du corps de pompe 5, 6, eté, du corps de pompe 4. 
Le corps de pompe 5, 6 est plein d’eau, mais quand le 
piston æ descend, cette eau s'échappe par le tuyau s, et 
trouve au haut du corps de pompe g un orifice destiné à 
son écoulement. Quant au piston f, il agit sur l’eau sa- 
lée contenue dans le corps de pompe 4. Cette eau, venue 
par aspiration par le tuyau 5, étant refoulée par le pis- 
ton #, soulève la soupape 1 et monte par le tuyau 2. 

» L’axe intermédiaire entre les pistons v et £ porte 
une double branche dans l’une desquelles, w, est pratiquée 
une rainure où glisse l'extrémité s d’un levier sr q, dont 
l'axe est enr. Cette rainure est calculée de façon que 
lorsque les pistons +, ®, t arrivent à la fin de leur course, 
la rainure se termine, et pesant sur l’extrémité s du le- 
vier, s’abaisse, comme on le voitfig. 2, faitremonter l’ex- 
trémité q, et avec cette extrémité, une bielle à laquelle 
sont aitachés deux petits pistons p, %»# jouant dans un pe- 
tit corps de pompe immédiatement latéral au corps de 
pompe où jouent les pistons 7 et k. 

» Aussitôt que ce mouvement a eu lieu, le mouve- 


COL 


ment descendant du piston principal s'arrête ainsi que 
celui des pistons æ et t, qui sont solidaires avec lui. L’eau 
motrice continue d'arriver et de presser sur les pistons g 
eth ; le piston À étant plus grand que le piston g, est sol- 
licité par une force plus grande ct devrait l’entrainer ; 
mais il ne peut pas descendre plus loin qu’on ne le voit 
fig. 2, parce que la tige inférieure du piston 7 s'y oppose; 
en même temps, l’eau motrice descend par le tuyau n 0, 
passe par m, et pénétrant par un petit orifice que tenait 
fermé tout-à-l’heure le piston supérieur avant qu’il eût 
été relevé, elle vient exercer un mouvement d'impulsion 
de haut en bas contre le piston 7. Ce piston solidaire des 
deux pistons g et qui se font équilibre sous l'impulsion 
contraire de l’eau motrice, détermine leur ascension si- 
multanée, et le piston k vient fermer ainsi la communi- 
cation entre l’eau motrice et le piston principal. 

» Mais l’eau motrice trouve en même temps ouvert 
devant elle, sous le piston g; le tuyau y par lequel elle 
vient agir sous le piston + qu’elle force à remonter, en- 
traînant avec lui le piston v et le piston f. Le piston v 
chasse devant lui l’eau contenue dans le corps de pompe 
7. 8 et la fait passer dans le corps de pompe où joue le 
piston }, et où elle s'écoule par le tuyau e. Quant au pis- 
ton f, en s’élevant il aspire de l’eau salée. 

» Mais le piston vense relevant agit sur le levier srq, et 
relevant s fait baisser q; alors les deux petits pistons sont 
baissés. L'eau motriee ne peut plus entrer sous le piston 
j; ainsi qu'on le voit fig. 1 ; alors elle peut exercer son 
action sur les deux pistons g et h, et comme celui-ci est 
plus grand que le premier, il est forcé de descendre. La 
communication se trouve ainsi rétablie entre l’eau mo- 
trice et le piston principal v, et le mouvement de des- 
cente recommence. 

Le robinet d est un robinet à air : il est fermé quand la 
machine marche; quand on veut arrêter son mouvement, 
on ferme la valve a; le robinet n, l’eau s’écoule par le 
tuyau e, et l’onrend de l'air à la machine parle robinet d.» 

La figure 5 donne le plan de la pompe d’eau salée à 
la hauteur marquée dans la fig. 2 par la ligne ponctuée. 
La figure 4 donne le plan de la machine à la hauteur 
marquée sous le piston X de la fig: 5 par la ligne ponc- 
tuée. 

On voit que tout le jeu de cette machine se règle par 
deux petits pistons, et que si l’on ferme le robinet n du 
tuyau n0, l’eau ne pouvant plus arriver sous le piston ÿ, 
la machine est nécessairement arrêtée. 

Il résulte des observations faites par M. Baillet sur 
les machines à colonnes d’eau établies en Hongrie, que 
ces machines utilisent environ les 4/10 de la force mo- 
trice. Celle qué nous venons de décrire, considérée 
comme le chef-d'œuvre de Reichenbach, rend les 0,51 
de la force qu’elle reçoit. 

La machine à colonne d’eau doit être préférée aux 


COL 55 


roues à augets toutes les fois que la chute a plus de 13 
à 14 mètres de hauteur. On peut l’employer à mettre en 
mouvement un appareil quelconque en adoptant à la 
tige du piston principal; un organe qui transforme le 
mouvement de va-et-vient en un mouvement continu. 
M. Juncket a établi deux de ces machines, en 1831, 
dans un puits de la mine de Huelgoat en Bretagne. 


COLONNE OSCILLANTE. (Æydraul.) Cette ma- 
chine hydraulique a été proposée en 1812 par M. le 
marquis Manoury d’Ectot, comme offrant le moyen d’é- 
lever une portion de l’eau d’une chute au-dessus de son 
niveau. Quoiqu'on n’ait pu encore l'employer avec 
avantage, l’idée fondamentale de sa construction, qu’au- 
cune machine connue n'avait pu suggérer à son autcur, 
est trop ingénieuse pour ne pas commander l’attention. 

La colonne oscillante consiste dans ün tuyau descen- 
dant du bief supérieur R (PL. #, fig. 1) recourbé verti- 
calement à son extrémité inférieure dd. Cette extrémité 
est fermée par une plaque dans laquelle on a percé un 
orifice circulaire C qui répond à celui du tuyau B placé 
verticalement au-dessus sans être en côntact, A l’orifice 
C se trouve un diaphragme circulaire dont le diamètre 
est plus petit que celui de l’orifice et qui est posé un peu 
au-dessous pour que l’eau affluente trouvé une ouver- 
ture libre. L’eau du réservoir arrivant en dd avec une 
vitesse acquise par sa chute, tend à sortir par l’orifice 
annulaire formé par le diaphragme c et les bords dé l’o- 
rifice circulaire dd; la disposition de cet orifice annu- 
laire augmente les effets de la contraction de la veine 
fluide et forme un cône dont le sommet doit rentrer 
d’une certaine quantité dans le tuyau B, ce qui déter- 
mine la distance qui doit séparer les deux tuyaux À ct B. 
Sur le diaphragme un petit cône d’eau stationnaire, f, se 
forme ; l'eau s’élance dans le tuyau B et monte à une 
hauteur & égale à une fois et demie celle de la chute, si 
le tuyau est cylindrique ; mais s’il est conique, elle s'é- 
lève à des hauteurs plus grandes et variables en raison 
des dimensions du cône; arrivée à son maximum d’é- 
lévation elle tend à redescendre, s’introduit dans le cône 
d'eau stationnaire f, fait diverger la veine fluide, et l’o- 
blige à jaillir en dehors en forme de nappe, par l'intervalle 
qui sépare les deux tuyaux jusqu’à ce que le tuyau B se 
trouve entièrement vide ; alors les directions du jet d’eau 
se redressant, la contraction de la veine fluide a lieu de 
nouveau, et le premier effet recommence. Ce mouve- 
ment d’oscillation à lieu par des intervalles de temps 
parfaitement égaux entre eux. Sa production exige que 
la grandeur et la figure du diaphragme soient assujetties 
à certaines conditions que l'inventeur avait détermi- 
nées par l’expérience. Pour recueillir une partie de l'eau 
élevée, il faudrait couper le tuyau B au-dessous du point 
d'élévation a, alors le produit de chaque oscillation sœ 


56 COM 


rait la colonne d’eau comprise entre la coupure et le 
point a et la dépense, la colonne comprise entre cette 
coupure et l'extrémité inférieure dd. 

Cet appareil, dans lequel il n’existe aucune partie mo- 
bile, est un des plus remarquables de ceux qu’a inventés 
M. Manoury d’Ectot. 


COMMUNICATION DU MOUVEMENT. (Méc.) La 
communication du mouvement peut s'effectuer de deux 
manières différentes : par pression et par percussion. La 
première espèce de communication s’observe dans toutes 
les machines mues par des moteurs dont l’action est con- 
tinuo, tels que les animaux ou les poids qui exercent 
une traction. La seconde, dans les machines à percus- 
sion et dans celles où sont employés des mouvemens 
alternatifs où de va-et-vient. Le mouvement communi- 
qué par pression croît toujours dans l’origine par de- 
grés insensibles jusqu'à ce qu’il ait acquis toute son 
intensité, et la force vive du moteur se transmet à la ré- 
sistance sans déperdition, tandis que dans le mouve- 
ment communiqué par percussion il y a toujours une 
déperdition de force d'autant plus grande que les chocs 
sont plus violens ou queles changemens de direction et 
d'intensité sont plus brusques. 

Si l’on examine une machine mue par une force de 
pression et dans laquelle, lorsque le mouvement est ré- 
glé, les efforts exercés aux points d'application du mo- 
teur et de la résistance sont constans, on reconnaît que, 
lorsqu'elle part du repos pour commencer ä se mouvoir, 
l'effort du moteur est toujours plus grand et celui de 
la résistance plus petit qu'ils ne seront quand la ma- 
chine travaillera. Cette différence des deux forces pro- 
duit le mouvement, et la vitesse augmente peu à peu, 
comme pour un corps soumis à l’action de deux forces 
accélératrices agissant en sens contraire dont l’une l’em- 
porterait sur l’autre. À mesure que la vitesse augmente, 
l'effort de la résistance croît et celui du moteur diminue, 
et il arrive bientôt un instant où ces efforts ont respec- 
tivement les valeurs qu’il faudrait leur donner pour met- 
tre la machine en équilibre ; alors les deux forces se 
détruisent, et la machine ne se meut plus qu’en vertu du 
mouvement acquis, lequel, à cause de l’inertie de la ma- 
titre, reste nécessairement uniforme tant que la puis- 
sance et la résistance se font équilibre. 

C’est ainsi que lorsqu'une voiture chargée va partir, 
on voit les chevaux obligés d'exercer un effort très-su- 
périeur à celui qui est nécessaire une fois que la voi- 
ture est en mouvement. La même chose arrive encore 
lorsqu'on veut faire passer la voiture d’un mouvement 
plus lent {un plus rapide. 

Pour comprendre les causes de ces phénomènes, il 
faut observer qu’on ne peut mettre un corps quelconque 
en mouvement qu’en détruisant d’une part toutes les 


COM 


résistances étrangères qui s’y opposent, et de l’autre, la 
force d'inertie propre de ce corps, qui, à défaut de ré- 
sistances étrangères, le maintiendrait seule dans son état 
de repos. Dans le premier moment, le moteur doit done 
exercer un eflort égal à la somme des résistances et de 
la force d'inertie, tandis que lorsque cette dernière est 
une fois surmontée, il n’a plus besoin de développer 
qu'un effort égal aux résistances pour que le corps per- 
sévère dans son état de mouvement, en vertu de la loi 
d'inertie. 

11 faut observer que, lorsqu'il s’agit de machines, on 
doit entendre par résistance, non seulement les obsta- 
cles au mouvement qui naissent du travail que la ma- 
chine effectue, mais encore ceux qui résultent de la 
constitution physique de ces machines, tels que les frot- 
temens, la raideur des cordes, la résistance des milieux 
où les corps se meuvent. Ainsi la quantité d'action 
transmise par le moteur est toujours plus grande que la 
quantité d’action de la résistance proprement dite ou 
que l’effet utile produit par la machine. 

Si les efforts exercés aux points d’application du mo- 
teur et de la résistance ne devenaient pas constans lors- 
que le mouvement est établi, comme nous l’avons sup- 
posé dans ce qui précède , la machine prendrait un 
mouvement irrégulier qu'il est toujours avantageux d’é- 
viter. Nous verrons aux mots VoLanr et PENDULE CONIQUE 
les moyens de régulariser les mouvemens des ma- : 
chines. 

La perte de force vive qu’entraînent tous les chocs, de 
quelque nature qu’ils soient, doitles faire éviter avec soin 
dans les machines, car pour en obtenir le plus grand ef- 
fet possible, il est essentiel qu’elles soient construites de 
manière à ce que le mouvement ne change jamais que 
par degrés insensibles. Quant à celles qui, par leur na- 
ture même, sont mises en jeu par des forces de per- 
cussion comme les moulins à vent, certaines roues hy- 
drauliques, etc., tout ce que l’on peut faire de mieux, 
c’est de les garantir de tout changement subit qui ne 
serait pas essentiel à leur constitution. 

Pour tenir compte des effets des chocs dans le mou- 
vement des machines , il faut savoir que le principe de 
la conservation des forces vives qui règle le choc des 
corps parfaitement élastiques (Voy. Cnoc, tome 1.) n’a 
lieu que pour ces seuls corps, et que la perte de force est 
d'autant plus grande que l'élasticité des corps qui se 
choquent est plus imparfaite. Lorsque les corps sont 
parfaitement durs, il existe cette loi: 

La différence des forces vives, avant et après le choc, 
est égale à la somme des forces vives qu'auraient les mo- 
biles, si, après le choc, les masses se mouvaient avec les vi- 
tesses perdues où gagnées. 

Désignons par M et M'les masses de deux corps durs, 
par V et V' leurs vitesses respectives ayant Le choc et 


COM 
par v leur vitesse commune aprés le choc, nous aurons, 
(Foy. Cuoc, tom. 1)... (1) 


__MY+HNMY 
se A: ES EE 


Formule dans laquelle on donnera le signe — à l’une 
des vitesses V, V'siles corps, au lieu de se mouvoir dans 
la même direction avant le choc, se mouvaient dans des 
directions opposées. 

Or, v étant la vitesse commune après le choc, la vi- 
tesse perdue par la masse M est V— », et la vitesse per- 
due par la masse M'est V—v; nous nous servons 
généralement du mot vitesse perdue, parce que les ex- 
pressions V—v, V'—v comprennent le cas d’une vitesse 
gagnée lorsque v est plus grand que V ou V'; ainsi, dans 
le cas où les masses se mouvraient avec ces vitesses per- 
dues, la somme de leurs forces vives serait : 


M (V—0) EM (V—0) ; 


mais la somme des forces vives avant le choc est MV? 
+ M'V'? et, après Le choc, Mo? + M'v*, donc en vertu 
de la loi énoncée on doit avoir 


MV2-MV2— (MM) o = M (V—0) M (V'—0) 


Il suflit en eflet de développer le second membre de 
cette équation et d’y substituer ensuite, à la place de 
MV-—+M'V', sa valeur (M + M )v qui résulte de l’ex- 
pression (1), pour le rendre identique au premier. 

Ceci posé, admettons qu’un corps dur appartenant à 
une machine dont la masse est M éprouve un choc qui 
fasse varier instantanément sa vitesse d’une quantité fi- 
nie v, la force vive qu’il auraiten se mouvant avec cette 
xitesse v serait M”, et par conséquent la perte de force 
vive qui résultera dans Le système de l'effet du choc sera 
cette même quantité Mv?, laquelle serait produite par 
une quantité d'action égale à Mo? (Voy. Force vive). 
Telle est donc la quantité d’action consommée inutile- 
ment par le moteur. 

Si P désigne le poids du corps choqué, sa masse M 


sera exprimée par Fa g étant la force accélératrice de 


la pesanteur ou le double de l’espace que parcourt dans 
la première seconde de sa chute un corps qui tombe li- 
brement (Voy. Pons), et la quantité d’action consom- 
mée aura pour expression : 


qu'on peut évaluer en nombres. 
Dans les cas où des chocs semblables se répéteraient 
à la suite d’intervalles de temps égaux à T, il en résul- 


Ton. ur. 


COM 57 


terait une consommation de quantité d'action qui se- 
rait, par unité de temps, 


On voit, d'après ces considérations, que le perfec- 
tionnement le plus utile qu’on puisse introduire dans 
une machine, lorsque sa nature le permet, c’est de sub- 
stituer les pressions aux percussions et les mouvemens 
continus aux mouyemens alternatifs, ou du moins de 
régulariser ces derniers de manière qu’au moment des 
changemens de direction les vitesses soient Les plus pe- 
tites possible. 


COMPOSITION DES MACHINES. (Mée.) Le but 
général d’une machine est de transmettre le mouve- 
ment produit par un moteur, de manière que la force 
qu’il développe puisse effectuer un certain travail. Pre- 
nons pour exemple une des machines les plus simples, 
le treuil, et supposons qu'il soit employé pour élever à 
la surface du sol les déblais d’un puits en construction; 
le travail à exécuter est ici le transport des terres du 
fond du puits à son extrémité supérieure, et ce transport 
a lieu par un panier qui monte verticalement pendant 
que la force appliquée aux leviers A de la roue du treuil 
(PI. 12 des deux premiers volumes) imprime un mou- 
vement de rotation au cylindre EF qui fait enrouler au- 
tour de ce cylindre la corde D à laquelle est attaché le 
panier. Le mouvement produit par le moteur est donc 
un mouvement cérculaire, tandis que celui de la masse 
élevée est un mouvement rectiligne, d’où l’on voit que 
l’arrangement des diverses pièces de la machine a non 
seulement pour effet la communication du mouvement, 
mais encore sa transformation en un autre d’une nature 
différente. Ce que nous venons d'observer dans le treuil 
peut s’appliquer à toutes les autres machines; générale- 
ment, la force motrice agit dans un plan, et la résistance 
principale, celle sur laquelle se produit l'effet utile, est 
dans un autre, de sorte que le problème général de la 
composition des machines consiste à disposer convena- 
blement des organes mécaniques capables de transmettre 
et de modifier le mouvement, soit en changeant sa na- 
ture, soit en faisant varier sa vitesse, soit enfin en le 
répartissant sur divers points, 

La transformation du mouvement forme une des par- 
ties les plus essentielles et les plus importantes de la 
science des machines, car il ne faut jamais perdre de 
vue que plus on multiplie les pièces ou appareils sus- 
ceptibles de donner cette transformation, et plus on 
augmente les résistances que le moteur doit vaincre 
avant de produire l'effet utile qu'il s'agit d'atteindre ; 
les meilleures machines sont celles qui transmettent de 

8 


58 coM 


la manière la plus directe l’action de la force motrice, 
et qui ne contiennent que les pièces mobiles absolu- 
ment nécessaires pour changer suivant les besoins la di- 
rection ou la nature du mouvement. 

Tous les mouvemens qu’on emploie dans les arts mé- 
caniques peuvent être rangés en deux classes différen- 
tes : ils sont continus ou alternatifs. (Voy. ce mot.) 
Chacune de ces classes comprend trois espèces de mou- 
vemens : les mouvemens rectilignes, les mouvemens circu- 
laires et les mouvemens suivant des courbes déterminées. 

Un quelconque de ces mouvemens étant donné, le 
transformer en un autre de nature différente ou de 
même nature, tel est, comme nous l’avons déjà dit, le 
problème fondamental de la composition des machines. 
Tout appareil destiné à modifier un mouvement est un 
organe mécanique. 

Les deux classes de mouvemens présentent les vingt 
et une combinaisons, deux à deux, suivantes : 


de continu, 
rectiligne, à 

alternatif, 
Le mouvement rectiligne continu } . : continu. 
? : circulaire. « , ' 

peut étre transformé en, . . , . alternatif. 
continu. 
d’après une courbe à 

alternatif, 
continu. 
rectiligme. . ; 

alternatif. 
Le mouvement circulaire continu continu. 

4 , Circulaire MR 

peut être transformé en.. , , . alternatif, 
: : continu. 
d’après une courbe . 

alternatif. 

rectiligne. alternatif. 

Le mouvement continu d'après nne } circulaire. alternatif, 
courbe pent être transformé en continu. 
d'après une courbe ; 

alternatif, 


alternatif, 


circulaire. . , . . alternatif. 
peut être transformé en, . . . . ; ; eu 


d’après une courbe, alternatif, 


rectiligne. 
Le mouvement rectiligne altern: | ‘ 
Le mouvement circulaire M cu + «+ « . alternatif, 


peut être transformé en. . . d’après une courbe, alternatif, 
Le mouvement alternatif d’après 


une courbe peut étre transformé | d’ après une courbe, alternatif, 
Gibson dis dos 


Le problème particulier qu'offre chacune de ces com- 
binaisons a sa réciproque qui constitue un problème 
inverse. Nous allons décrire les organes les plus usuels 
inventés jusqu'ici pour la solution de ces divers pro= 
blèmes. 


S Ï. TRANSFORMATION DU MOUVEMENT RECTILIGNE CONTINU. 


1° En mouvement rectiligne continu. Les poulies et les 
moufles donnent la solution la plus ordinaire de cette 
question. Par exemple, lorsqu'on élève un poids à l’aide 
d’une corde qui passe sur une poulie fixe, la puissance 
et la résistance agissent dans des directions différentes, 


coM 

mais les Mouvemens sont rectilignes. Nous nommons 
ces mouvemens continus, quoiqu'ils se terminent au 
moment où le poids a atteint sa plus grande élévation, 
parce qu'ils s’exécutent sans aucune rétrogradation pen- 
dant toute leur durée. Les seuls moteurs capables de 
produire des mouvemens rectilignes réellement conti- 
nus sont l’air, l’eau et la vapeur. 

On range parmi les organes mécaniques capables d’o- 
pérer cette première transformation divers instrumens 
très-connus dont on se sert pour tracer des parallèles. 
Telles sont les doubles règles représentées dans les fi- 
gures 1, 2 et 3 de la PI. 8. 

Le problème de faire mouvoir une Jongue ligne 
droite parallèlement à elle-même a beaucoup occupé 
les premiers constructeurs des métiers à filer le coton 
dits mull-jennys. Dans ces métiers, les chariots qui por- 
tent les fuseaux, et qui ont de 6 à g mètres de long, 
s’éloignent et se rapprochent alternativement des bancs 
où s'opère le tirage des fils, et il est essentiel qu’ils con- 
servent le plus exact parallélisme pour que tous les fils 
soient également tendus. Ce n’est qu'après avoir épuisé 
les appareils les plus compliqués et les plus dispendieux 
qu’on a imaginé, en Angleterre, le moyen très-simple 
indiqué dans la fig. 4. aa représente le chariot monté 
sur quatre roues ; une corde cd, dont les extrémités c et d 
sont attachées à deux points fixes, vient passer sur les 
poulies bb, ainsi qu’une autre corde ef qui entoure ces 
poulies dans un autre sens, et dont les deux extrémités 
cet f sont également fixes. Les points d’arrêts 6, d, e, f, 
sont disposés de manière que les deux cordes sont par- 
tout également tendues, et que les lignes cd et ef sont 
parallèles. Le chariot étant perpendiculaire aux direc- 
tions des lignes cd et ef, ne peut se mouvoir que paral- 
lèlement à lui-même lorsqu'on applique au point d la 
puissance qui doit le mettre en mouvement. 

— Un coin e (fig. 5), qu’on fait glisser entre deux 
doubles montans b et c, au-dessous d’un autre coin f, 
que huit goupilles ou que huit rouleaux empêchent de 
s’écarter à la droite ou à la gauche des montans, tout en 
le laissant s'élever, résout encore le même problème ; 
car, à mesure que ce coin s’avance horizontalement, la 
surface du coin f monte verticalement et parallèlement 
à sa première position. Cette transformation de mou- 
vement est employée dans les pédales à sourdine du 
forte-piano. - 

— On peut se servir d’une disposition semblable pour 
transporter un mouvement rectiligne continu dans un 
autre plan que celui où il s’exécute. Supposons que le 
coin e supporte sur sa face supérieure une règle À mo- 
bile entre deux tenons. Ce coin, en glissant contre l’ex- 
trémité inférieure de la règle garnie d’une roulette, la 
forcera de monter; de manière que cette règle aura un 
mouvement rectiligne dont la direction peut faire un 


——_———— à 


COM 


angle quelconque avec celle du mouvement du coin. 
En ajoutant un troisième coin g qui fasse corps avec le 
second coin f, et lui appliquant la règle X, on pourra 
modifier à volonté la direction et la vitesse du mouve- 
ment. 

— Le Bélier hydraulique (Voy. ce mot) de Montgol- 
fier offre une ingénieuse transformation du mouvement 
rectiligne continu d’un courant d’eau, en un autre mou- 
vement rectiligne continu, qui est celui de l’eau ascen- 
dante. 

2° En mouvement rectiligne alternatif. Le cylindre 
d’une machine à vapeur, celui de la machine à co- 
lonne d'eau, et-la colonne oscillante de M. Manoury 
d’Ectot (Voy. ces divers mots), opèrent cette transfor- 
mation. Un flotteur qui monte et descend alternative- 
ment dans un yase que remplit un courant d’eau et que 
vide ensuite un syphon, en offre encore un exemple. La 
contraction et la dilatation des corps matériels par les 
yariations de la température, sont également une trans- 
formation du mouvement rectiligne continu en mouve- 
ment alternatif, dont M. Molard a fait une très-belle 
application pour redresser deux murs du Conservatoire 
des Arts et Métiers. 


3° En mouwment circulaire continu. Une poulie.qui 
tourne sur son axe lorsqu'on tire la corde qui l’enve- 
loppe, donne la solution de ce problème. Le treuil, le 
cric et la vis, produisent aussi la transformation réci- 
proque du mouvement circulaire continu en mouve- 
ment rectiligne continu. 

— M. de Prony a imaginé l’organe très-simple in- 
diqué dans la fig. 6, pour transformer le mouvement 
circulaire en un mouvement rectiligne d’une vitesse 
aussi petite qu’on peut le vouloir. / est un cylindre 
partagé en trois parties ; les deux parties extrêmes gh 
et if portent deux vis de pas égaux qui tournent dans 
les écrous a ete; la partie du milieu Ai porte une vis 
dont le pas diffère de celui des vis gh et if, et qui se 
meut dans un écrou mobile b retenu par une languette d 
dans une rainure ou patin, de manière qu’il ne peut se 
mouvoir que le long de cette rainure; à chaque tour de 
la manivelle &, l'écrou b décrit un espace égal à la dif- 
férence du pas de la vis du milieu avec le pas des vis 
extrêmes. On peut remplacer une des deux vis extrêmes 
par un axe simple, ce qui simplifie cet appareil suscep- 
tible de nombreuses applications. 

— Les roues hydrauliques transforment le mouve- 
ment rectiligne continu d’un courant d’eau en mouve- 
ment circulaire continu. Il en est de même des moulins 
à vent. La vis d'Archimède produit la transformation ré- 
ciproque (Voy. ces divers mots). 


4° En mouvement circulaire alternati f. Divers organes 
donnent la solution de cette question et de sa récipro- 
que. Tel est le balancier hydraulique de Perrault (voy. 


COM 59 


ce mot); tel est encore un secteur surmonté d’une voile 
et formant un système dontle centre de gravité se trouve 
au-dessus du centre d’oscillation parle moyen d’un con- 
trepoids ; lorsqu'il est frappé par le vent, il prend un 
mouvement circulaire alternatif dont on a fait diverses 
applications. 

— La fig. 7 représente un mécanisme très-simple 
par lequel le mouvement circulaire alternatif du le- 
vier ab imprime à la barre mn un mouvement rectiligne. 
Le levier tournant ab porte deux autres petits le- 
viers ef, de, mobiles sur leurs axes €, d, et dont les ex- 
trémités, garnies de deux petits cylindres, engrènent 
dans les dents qui garnissent les bords de la barre #n. 

— Une pompe ordinaire, mue par un levier, offre 
aussi une semblable transformation de mouvement. 
L’eau monte dans le corps de pompe par un mouvement 
rectiligne, tandis qu’on imprime au levier un mouve- 
ment circulaire alternatif. 

5° En mouvement continu d’après une courbe donnée. 
Il n’existe pas d’organe mécanique capable d’opérer di- 
rectement cette transformation ; mais on peut l’obtenir 
par la réunion de plusieurs organes; ainsi, après avoir 
transformé le mouvement rectiligne continu en circu- 
laire continu, par un des moyens indiqués ci-dessus, 
on transformera ce dernier en mouvement rectiligne 
continu suivant la courbe donnée, à l’aide des organes 
décrits plus loin au S IL. 

6° En mouvement alternatif d'après une courbe donnée. 
La solution de ce problème exige encore le concours de 
plusieurs organes. Il faut transformer préalablement le 
mouyement rectiligne continu en circulaire continu, 
puis on change ce dernier.en alternatif suivant la courbe 
donnée. 


SIL. TRANSFORMATION DU MOUVEMENT CIRCULAIRE CONTINU: 


1° En mouvement rectiligne continu. Cette question est 
la réciproque de celle du n° 3 du $ 1, et se résout à 
l’aide des organes indiqués dans ce numéro. 

2° En mouvement rectiligne alternatif. Lafig. 8, PL 8, 
indique deux moyens très-employés pour la solution de 
ce problème. Le premier consiste dans des manivelles 
brisées ou coudées, dans les coudes desquelles sont at- 
tachées des cordes destinées à faire mouvoir des poids m 
au moyen d’une poulie de renvoi; lorsque la manivelle 
tourne, les poids montent et descendent alternative- 
ment, suivant que le sommet des brisures s’abaisse ou 
s'élève. Le second moyen consiste dans un plan gn, in- 
cliné sur son axe p, et sur lequel une tige ts pose par un 
rouleau s; cette tige, mobile horizontalement, est con- 
tinucllement ramenée vers le plan pq par un contre- 
poids æ, de manière que lorsque le plan tourne son axe 
par un mouvement continu, la tige prend un mouve- 


ment rectiligne alternatif. 


60 COM 

Voici d'autres organes mécaniques importans qui 
donnent la solution du même problème. 

— ABCD (PI 8, fig. 9) est une roue qui tourne sur 
son axe c ; #m une règle mobile verticalement entre des 
tenons, et dont l'extrémité # est contrainte de s’appuyer 
continuellement sur le contour d’une courbe saillante 
qui fait partie de la surface de la roue. Pendant chaque 
révolution de la roue, l'extrémité n de la règle monte 
où descend, suivant la nature des sinuosités de la 
courbe , et fait un nombre constant d’allées et de venues 
qui se succèdent périodiquement dans le même ordre 
et avec une vitesse qu'on peut rendre uniforme ou va- 
riable, en déterminant convenablement la courbe. 
Voyez à ce sujet un mémoire de Deparcieux inséré dans 
les Mémoires de l'Académie des sciences pour l’année 1547. 

— La fig. 10 présente le cas particulier où l’on n’a 
besoin à chaque tour de roue que d’une seule allée et 
d’une seule venue ayec un mouvement uniforme. 
Comme la courbe est symétrique et que tous ses dia- 
mètres sont égaux, on peut assujettir très-simplement 
la règle par le moyen de deux boulons n, m, garnis cha- 
cun d’une poulie pour diminuer le frottement. C’est à 
l’aide de ce mécanisme qu'on rend uniforme le mouve- 
ment des pistons des pompes dans plusieurs machines 
hydrauliques. On trouve encore une application de la 
courbe en cœur dans la machine à tordre de Vaucanson. 

— ghestune roue pleine, mise en mouvement par la 
manivelle ef (PI. 8, fig. 11), et portant une cheville à 
qui glisse dans la rainure d’une règle mn. Cctte règle est 
armée à son extrémité m d’un secteur denté engrenant 
sur une barre à crémaillitre ab. Le mouvement continu 
de la roue communique un mouvement circulaire alter- 
natif au secteur, et celui-ci un mouyement rectiligne 
alternatif à la barre @b. Si l’on attache à l’autre extré- 
mité n de la règle une corde passant sur une poulie fixe 
et portant un poids, ce poids recevra également un 
mouvement rectiligne alternatif. 

En plaçant un petit cylindre q dans la rainure d’une 
autre pièce fs, de manière qu’il puisse glisser dans cette 
rainure ainsi que dans une autre pratiquée à la partie 
supérieure de la règle mn, ce cylindre prendra un mou- 
vement rectiligue alternatif par le mouvement de la règle. 

Aucun de ces trois mouvemens rectilignes alternatifs 
n’est unilorme. 

— La roue Lh de la fig. 12, PI. 8, tourne autour 
de son axe g et porte des dents sur la moitié de sa cir- 
conférence. Un châssis garni d’une erémaillière à cha- 
cune de ses faces entoure cette roue, de manitre que 
ses dents engrènent alternativement avec celles de 
chaque crémaillière. Ce châssis, qui porte deux mon- 
tans e, f, assujettis à glisser dans des tenons c, d, prend 


un mouvement alternatif par le mouvement circulaire 
continu de la roue. 


COM 


— Les pilons, dont les tiges garnies de crémaillières 
sont soulevées par des roues en parties dentées ou qui 
portent des cames, offrent une autre solution du même 
problème (Voy. Came et Pico). 

— L'organe représenté fig. 15, PI. 8, se distingue 
par sa simplicité. ff est une roue qui tourne sur son axe, 
et porte un pivot k qui glisse dans la rainure gg fixée à 
la règle aa mobile dans les tenons bb et ce. Le mouve- 
ment de la roue communique à la règle un mouvement 
rectiligne alternatif. 

Pour rendre uniforme ce mouvement alternatif, qui 
est accéléré vers le milieu des oscillations, on substitue 
à la rainure rectiligne gg une rainure curviligne tracée 
convenablement, 

— ab (PI 8, fig. 7) est un cylindre dont la surface 
porte des rainures tracées en hélice qui se croisent et se 
confondent à ses extrémités. f est une pièce saillante 
qui porte sur la rainure du cylindre, et peut glisser ho- 
rizontalement dans une autre rainure pratiquée dans la 
traverse fixe ce. En imprimant au cylindre un mouve- 
ment circulaire continu, la pièce f en prend un recti- 
ligne alternatif le long de la traverse c. 

— d (PI. 8, fig. 16), est une roue dentée qui tourne 
dans une crémaillière circulaire, au moyen d'une ma- 
nivelle ch (fig. 16 bis) et d’un axe brisé deb. Le dia- 
mètre de la roue est la moitié du diamètre intérieur ff 
de Ja crémaillière , de sorte que chacun des points de 
sa circonférence décrit une ligne droite égale au dia- 
mètre ff, pendant qu’elle tourne sur elle-même en par- 
courant la erémaillière. Un pivot placé à un point de la 
circonférence de la roue peut donc imprimer un mou- 
vement alternatif à une règle mobile autour de ce pivot 
el glissant entre des tenons. 

— Deux roues dentées À et B (fig. 14, PI. 8), en- 
grenant l’une avec l’autre et portant des pivots auxquels 
sont adaptées des règles, comme on le voit dans la fi- 
gure, produisent un mouvement alternatif dont on peut 
faire varier à lPinfini le nombre des allées et des venues, 
leur étendue et leur vitesse, par les divers rapports des 
diamètres et les dispositions des parties. 

— no est un volant qui porte à son centre un pi- 
gnon b (PI. 8, fig. 18). Ce pignon transmet le mou- 
vement à deux roues dentées e, f, de même dimension, 
ct dont les axes sont sur la même charpente horizon- 
tale aa. Ces roues sont armées de deux manivelles 
fixes cg, dh, d’égale longueur, qui portent chacune une 
tige gi et Ah, dont les bouts tournent librement et com- 
muniquent avec la grande tige m, par la barre horizon- 
tale &k qui les lie l’une à l'autre. Cette grande tige prend 
un mouvement rectiligne alternatif, pendant que le vo- 
lant tourne d’un mouvement continu. 

Si le mouvement était imprimé à la grande tige au 
lieu de l'être au volant, cet appareil donnerait la solu= 


COM 


tion du problème réciproque ou de la transformation 
du mouvement alternatif rectiligne en circulaire con- 
tinu. On voit du reste qu'il n’est qu'une application par- 
ticulière de l'organe précédent. 

5° En mouvement circulaire continu. Les engrenages 
donnent une solution très-usuelle de ce problème. Le 
mouvement d’une roue dentée est transmis à une autre 
roue dentée qui engrène avec elle, mais la seconde se 
meut en sens opposé de la première. Si l’on fait engre- 
ner une troisième roue avec la seconde , elle se mouvra 
dans le même sens que la premikre. 

— Une corde sans fin enroulée sur des poulies (PI. 9, 
fig. 1), leur communique le mouvement circulaire con- 
tinu qui est imprimé à l’une d'elles par un moteur. Il 
suffit de faire varier les diamètres pour obtenir tous les 
rapports possibles de vitesse. Ce moyen est très-em- 
ployé dans les filatures. 

— Un vilbrequin, tel que celui qui est représenté 
fig. 2, PI. Q, transforme le mouvement continu verti- 
cal de la manivelle «en mouvement continu horizontal 
de la roue À dont l’axe est armé d’une pointe f destinée 
à creuser des trous avec rapidité. La combinaison des 
deux roues forme ce que l’on nomme l’engrenage à 
équerre. 

— Un cylindre portant une vis sans fin (Gg. 4, PL. 9), 
transmet encore un mouvement circulaire à une roue 
dentée. 

— L'organe précédent transmet le mouvement dans 
un plan qui lui est perpendiculaire ; on peut encore ob- 
tenir le même résultat de la manière suivante : 

aet d (fig. 5, PI. 9), sont deux roues à gorge dont 
les plans sont perpendiculaires entre eux; ‘une corde 
sans fin qui passe par deux poulies de renvoi b et c, 
communique le mouvement de la roue @ à la roue d, ou 
réciproquement. Si la poulie horizontale d n’était pas 
fixe et pouvait glisser le long de la barre ef, elle se mou- 
vrait en allant de e vers f tout en tournant sur elle- 
même, cé qui présente une transformation appartenant 
à un autre paragraphe. 

— La transformation du mouvement circulaire uni- 
forme en circulaire varié est l’objet de plusieurs appli- 
cations importantes. Voici le moyen le plus simple de 
l'obtenir. A (fig. 5, PI. 9), est un cylindre ou tam- 
bour, et B un cône tronqué dont la surface latérale porte 
une cannelure en spirale allant de la base au sommet; 
abc est une corde dont l'extrémité & est attachée à la 
base du cône, et qui, après avoir enveloppé la spirale 
creuse , va s'attacher à la surface du tambour en c. Sile 
tambour se meut d’un mouvement uniforme, le cône 
se meut avec une vitesse variable, et vice versd. 

Cette disposition est employée dans les montres pour 
transmettre le mouvement variable imprimé au tam- 
bour A, par un ressort renfermé dans ce tambour, au 


COM 61 
cône B qui doit se mouvoir uniformément. L'inégalité 
des diamètres des spires compense l'inégalité de Ja 
force que le ressort déploie en se débandant. 

— Deux cônes tronqués a et b (fig. 8, PI. 9), dis- 
posés comme on le voit dans la figure, peuvent se 
transmettre des mouvemens variables suivant une loi 
donnée. Lorsque le cône b tourne sur lui-même et en- 
roule sur la spirale cannelée de sa surface la corde qui 
l'unit au cône 4, il présente à cette corde des spires de 
plus en plus petites, de sorte que le cône a, soumis à 
cette action, tourne d’abord avec une vitesse plus grande 
que le cône b, et finit par tourner plus lentement. 

4° En mouvement circulaire alternatif. Un marteau d 
(fig. 6, PL 9), mobile autour de son point d'appui € 
et frappé par les cames de la roue a, présente un des 
exemples les plus simples de cette transformation. 

— Dans le rouet à filer et dans la machine du remou- 
leur, le mouvement circulaire alternatif qu’on imprime 
à la marche, avec le pied, communique à la roue du 
rouet et à la pierre à aiguiser un mouvement circulaire 
continu, à l’aide d’une règle attachée d’un côté à l’ex- 
trémité de la marche et de l’autre à une manivelle. 
C'est la réciproque de la question qui nous occupe. 

— L'organe mécanique représenté dans la fig. 7, 
PI. 9,est employé dans les pompes à feu. On le nomme 
la mouche. ef est un balancier dont le mouvement est cir- 
culaire alternatif autour de l’axe d; ce mouvement se 
transmet à l’aide d’une tige ed, qui tourne librement sur 
son axe ene, à la roue dentée b, qui engrène dans une 
autre roue a fixe à l’axe du volant c; une tige en fer 
force les deux roues à se maintenir à la même distance. 

Le mouvement circulaire alternatif du balancier fait 
monter et descendre la roue b, qui se trouve ainsi forcée 
de tourner autour de la roue @ et de lui imprimer, ainsi 
qu’au volant, un mouvement circulaire continu. Quand 
le mouvement a commencé, le réciproque a lieu. 

— Les leviers qui portent le nom de leur inventeur 
la garousse offrent la solution du problème inverse. Les 
étriers ab et cd (fig. 9, PL. 9), mobiles aux points 4, €, 
sont disposés de manière que le levier, par son mouve- 
ment circulaire alternatif, force l’un d'eux à tirer sans 
cesse vers lui le crochet, tandis que l’autre échappe 
à la dent qu’il avait prise et reprend la suivante. Dans 
la fig. 10, le grand levier ab a, au-dessus et au-dessous 
de son point d’appuic, deux pattes en pieds de biche e,d, 
mobiles autour de leurs clous, et qui s'appuient sur les 
fuseaux de la lanterne f. Par le mouvement alternatif du 
levier, les deux pattes e, d, agissent tour à tour sur la 
lanterne et lui impriment un mouvement circulaire con- 
tinu. En enveloppant une corde à l'axe de la roue f, on 
pourra produire un mouvement rectiligne continu, de 
sorte que cet organe donne la transformation du mou- 
vement circulaire alternatif en rectiligne continu. 


62 COM 


— Les échappemens d’horlogerie (fig. 11 et 12, 
PI. 9), résolvent encore la même question. Il suffit 
d'examiner les figures pour se rendre compte des mou- 
vemens. 

5° En mouvement continu d'après une courbe donnée. 
Cette transformation du mouvement est employée pour 
tracer des courbes sur des surfaces planes ou cylindri- 
ques; une de ses applications les plus importantes est 
faite dans les machines qui servent à ouvrir les pas de 
vis de grande dimension. Voici les élémens de celle qui 
a été établie à Chaillot par M. Perier. 

kk (PL 9, fig. 18), est le cylindre sur lequel on veut 
tracer une hélice; fg est le cylindre qui dirige ie mou- 
vement : il est taillé en vis et porte un écrou hh, dont 
une des extrémités est armée d'un crayon ou d’une 
pointe, et l’autre d’une tige qui entre dans la rainure 
d'une traverse fixe, de manière que lorsque le cylin- 
dre f4 tourne, l’éerou marche de f en g par un mouve- 
ment rectiligne. Les axes des deux cylindres kk et fg sont 
parallèles, et ont leurs extrémités d et f garnies de roues 
dentées engrenant dans une troisième roue dentée €, 
comme on le voit dans la fig. 19. Pour nous rendre 
compte des effets produits par cette disposition, nom 
mons R le rayon du cylindre fg, R' celui du cylindre #k, 
et P le pas de vis de fg. Dans le temps que 4k fait une 
révolution, fg fait une partie de la sienne égale au rap- 


port des rayons ou à la quantité KR” et la pointe fixée 


Re R ; 
à l’écrou Ah parcourt un espace égal à P X n° est 


le pas de l’hélice tracée sur le cylindre kk. On peut donc 
donner à ce pas d’hélice la grandeur qu’on voudra, 
en déterminant d’une manière convenable le rapport 
de R à R’. 

ee Lorsqu'il s’agit de décrire une courbe plane par un 
mouvement circulaire continu, on transforme celui-ci 
en mouvement rectiligne alternatif (N° 2, $ IT) et comme 
tous les points d’une courbe plane peuvent être rappor- 
tés à deux droites coordonnées, il est facile ensuite de 
faire décrire, à la pointe d’un crayon, la courbe deman- 
dée. L'art du fourneur comporte une foule de descrip- 
tions de courbes qui ont été l’objet de deux mémoires 
de La Condamine, insérés dans les Mémoires de l'Aca- 
démie des Sciences pour l’année 1934; nous ne pouvons 
qu'y renvoyer nos lecteurs. 

6° Enmouvement alternatif d'après une courbe donnée. 
n'existe point encore de moyen direct pour résoudre ce 
problème ; mais si l’on transforme le mouvement circu- 
laire continu en cireulaire alternatif (4°), on pourra en- 
suite changer ce dernier en mouyement alternatif d’a- 


près une courbe donnée. 


coM 


S III. TRANSFORMATION DU MOUVEMENT CONTINU D'APRÈS 
UNE COURBE DONNÉE. 


1° En mouvement rectiligne alternatif. A1 faut com- 
mencer par transformer le mouvement donné en cireu- 
laire continu, puis changer ce dernier en rectiligne al- 
ternatif. Ce problème réclame donc le concours de 
plusieurs organes. 

2° En mouvement circulaire alternatif. Gette transfor- 
mation exige encore le concours de plusieurs organes; 
le mouvement donné doit être changé en circulaire 
continu et celui-ci en circulaire alternatif, d’après les 
indications précédentes. 

3° En mouvement continu d'après une courbe donnée. 
On changera le mouvement donné en circulaire continu, 
puis on transformera ce dernier en mouvement continu 
d’après la courbe proposée. 

4° En mouvement alternatif d'après une courbe don- 
née. Après avoir transformé le mouvement donné en 
circulaire alternatif, on changera celui-ci en mouve- 
ment alternatif d’après la courbe proposée. 


S IV. TRANSFORMATION DU MOUVEMENT RECTILIGNE 
ALTERNATIF. 


1° En mouvement rectiligne alternatif. On transforme 
ordinairement le mouvement donné en circulaire, et 
celui-ci en rectiligne alternatif. 

o° En mouvement circulaire alternatif. aa (fig. 15, 
PI. 9) est un levier qui se meut d’un mouvement cir- 
culaire alternatif autour de son axe b et qui porte une 
demi-circonférence ce à laquelle est attachée une corde 
sans fin, passant sur deux poulies fixes d et e. Le mou- 
vement alternatif du levier produit un mouvement rec- 
tiligne alternatif de la corde dont on a tiré parti dans 
une machine à couper les pieux sous l'eau. 

_— Le mouvement de zig-zag (fig. 17, pl. 9) employé 
dans les jouets d’enfans, a été appliqué à la construc- 
tion de pinces pour retirer des corps très-lourds du 
fond de la mer. On s’en sert encore dans les dévidoirs. 

— Aux moyen des deux chaînes be et de attachées en 
sens opposé aux tiges g et f qui glissent entre des te- 
nons, le mouvement circulaire alternatif du balancier a 
est transformé en rectiligne alternatif dans les tiges. Cet 
organe recoit de nombreuses applications dans les pom- 
pes à épuisement. 

— ac (fig. 15, pl. 8) est l'instrument connu sous le 
nom de drille, trépan ou machine à forer. Après avoir 
fait tourner l'axe ab jusqu’à ce que la corde cd soit en- 
roulée autour, autant que possible, ce qui fait monter 
la traverse de, on pose l'instrument par sa pointe sur 
l'objet qu'on veut percer, et l’on imprime à la traverse 
un mouvement rectiligne de haut eu bas qui fait tour- 
ner le trépan. A 


COM 


— La figure 13, pl. 9, représente un organe très- 
commun, c’est l’archet à forer dont le mouvement recti- 
ligne alternatif transmet à la roue d un mouvement cir- 
culaire alternatif. 

— La figure 1, pl. 10, représente le parallélogramme 
qu'on emploie dans les pompes à feu à double injection 
pour transformer le mouvement alternatif rectiligne de 
la tige du piston en mouvement circulaire alternatif du 
balancier. M. de Prony, qui a développé dans sa Nou- 
velle architecture hydraulique la théorie de cet ingénieux 
mécanisme, le décrit comme il suit : 

« Le parallélogramme abcd tient au balancier par les 
points a et c fixes par rapport à ce balancier; mais les 
côtés de ce parallélogramme peuvent changer d’incli- 


- naison les uns par rapport aux autres, au moyen de ce 


que leurs extrémités sont assemblées à charnières, c’est- 
à-dire garnies de boîtes ou colliers qui embrassent leurs 
axes horizontaux. Les axes en à et en c sont dans un 
même plan avec le centre ou axe O de rotation. 

» De plus, l'angle d du parallélogramme est toujours 
retenu à une distance constante d’un point fixe f’ au 
moyen de la verge de métal f'd, dont l'extrémité est 
également garnie d’une boite ou collier qui embrasse 
l’axe passant en d. 

» Cela bien conçu, si on imagine que l’angle b soit 
poussé ou tiré dans une direction verticale, l’effort se 
décomposera suivant ba et bd; les points a et c décri- 
ront des ares de cercle, dont le point O sera le centre, et 
le point d décrira un arc de cercle qui aura f'd pour 
rayon. Mais les courbes décrites par les points 4, e, d 
ne peuvent être ainsi fixes et déterminées sans que le 
point b ne décrive aussi une courbe pareïllement fixe et 
déterminée : or, on conçoit aisément à l'inspection de 
la figure, que, lorsque le mouvement du balancier tend 
à écarter le point b de la verticale, dans un sens, l'effet 
de la rotation de d autour de f’ est d’écarter b de la 
verticale dans le sens contraire, et que ces deux effets 
peuvent se combiner de telle manière, que la courbe 
décrite par le point b diffère si peu d’une ligne droite 
verticale, que dans la pratique on puisse la considérer 
comme telle. » 


On a proposé depuis l'invention de ce parallélo- 
gramme d’autres organes analogues, parmi lesquels nous 
devons distinguer celui de M. de Bétancourt. Nous em- 
prunterons également sa description à M. de Prony : 

* «Deux pièces de bois ab, dO (fig. 16, pl. 9) tournent 
autour des points ou centres a et O ; leurs extrémités b 
et d sont assujetties l’une à l’autre par la pièce de fer 
bc'd, avec des articulations en b et en d. Les longueurs 
ab et dO de centre en centre des tourillons sont égales ; 
la somme ab d0 de ces longueurs est égale à la dis- 
tance du point & au point O projetée sur l’horizon, ou 
mesurée horizontalement, en sorte que lorsque @b et 


COM 63 
dO sont de niveau, la ligne droite passant par d et b est 
verticale ; et comme la longueur de la pièce bd de cen- 
tre en centre des tourillons est égale à la différence de 
niveau des points a& et O, bd devient verticale en même 
temps que ab et dO deviennent horizontales. 

» Au moyen de cette disposition, si les points b et d 
ne décrivent pas des arcs d’un grand nombre de degrés 
au-dessus et au-dessous des horizontales, passant res- 
pectivement par les points & et O, le milieu c’ de bd 
parcourra sensiblement une ligne droite verticale. En 
effet, tant que b et d s’éloignent peu de l'horizontale, 
les rayons ab et dO, étant de même longueur, le point 
b s'élève ou s’abaisse, par rapport au point a, sensible- 
ment de la même quantité dont le point d s'élève on s’a- 
baisse par rapport au point O ; d’où il suit que les arcs 
décrits par les points b et d peuvent, dans ce cas, être 
censés égaux. Cette hypothèse admise, les points b et 
d doivent toujours être à la même distance d’une vérti- 
cale dont les points O et a seraient eux-mêmes égale- 
ment éloignés; donc, si c’est placé au milieu de bd, 
il doit se trouver continuellement dans la verticale dont 
nous venons de parler. Cette verticale passant par l’axe 
commun du cylindre à vapeurs et de la tige ce de son 
piston, il ne s’agit que de placer un axe horizontal au 
sommet c' de la tige qui tourne dans un collier pratiqué 
au milieu de bd, et on aura rempli la condition pro- 
posée. » 

Cet organe et le précédent résolvent le problème in- 
verse de la transformation du mouvement circulaire al- 
ternatif en rectiligne alternatif, lorsque le mouvement, 
au lieu d’être communiqué du piston au balancier, l’est 
du balancier au piston, comme cela a lieu dans les pom- 
pes à épuisement employées pour les mines, C’est 
alors le balancier mis en mouvement par une machine à 
vapeur ou par une machine hydraulique qui commu- 
nique un mouvement de va-et-vient aux tiges des pis- 
tons des pompes. Voyez, pour plus de détails, le mot 
PARALLÉLOGRAMME ARTICULÉ. 

3° En mouvement alternatif d'après une courbe. Cette 
transformation exige la combinaison de plusieurs or- 
ganes. On transforme d’abord le mouvement donné en 
circulaire alternatif et celui-ci en alternatif d’après la 
courbe. 


S V. TRANSFORMATION nu MOUVEMENT CIRCULAIRE 
ALTERNATIF, 


1° En mouvement circulaire alternatif. fd (PI V9S 
fig. 20) est une pièce élastique à l'extrémité libre de Ja- 
quelle est attachée une corde dae qui s’enroule autour 
de la roue e et dont l’autre bout est fixé à Ja pédale ou 
pas b. Le mouvement circulaire alternatif de la pédale 
en produit un de même nature dans la roue c. 

2° En mouvement alternatif d'après une courbe donnée. 


6% CON 


Cette transformation ne peut s'effectuer que par le con 
cours de plusieurs des organes du $ HIT. 


S VI, TRANSFORMATION DU MOUVEMENT ALTERNATIF 
D'APRÈS UNE COURBE DONNÉE. 


En mouvement alternatif d'après une autre courbe. 
Ayant transformé d’abord le mouvement donné en cir- 
culaire continu, on transformera celui-ci en alternatif 
d’après la courbe proposée. 

Ce qui précède peut donner une idée de la variété des 
moyens que possède déjà le constructeur de machines, 
mais nous ayons dû nous borner à signaler les plus sim- 
ples et les plus usuels ; c’est dans l'intéressant ouvrage 
de MM. Lanz et de Bétancourt, Essai sur la composition 
des machines, le premier où les divers organes mécani- 
ques aient été classés et décrits, qu’on doit puiser une 
connaissance approfondie de cette matière. Poy. aussi le 
Traité des machines de M. Hachette, et le Traité de la 
composition des machines de M. Borgnis. Voy. également, 
dans ce volume, les mots Mouvement, PENDULE, RÉGU- 
LATEUR et VOLANT. 


CONSERVATION DU CENTRE DE GRAVITÉ. 
(Méc.) Si l’on considère deux corps quelconques 
comme formant un système dont le centre de gravité 
est situé sur la droite imaginaire qu’on peut supposer 
menée du centre de gravité de l’un de ces corps ou cen- 
tre de gravité de l’autre , ce centre commun de gra- 
vité jouit d’une propriété remarquable, c’est que le 
mouvement qu'il peut avoir, selon que l’un des corps 
se meut ou que tous deux se meuyent soit dans la 
même direction, soit dans des directions opposées, n’é- 
prouve aucun changement par le choc de ces corps. 
Cette propriété, qu’on désigne , en mécanique, sous le 
nom de principe de la conservation du mouvement du 
centre de gravité dans le choc des corps, peut se démontrer 
très-simplement de la manière suivante : 

Soient M et M° (fig. 2, pl. 10) les deux corps, B et C 
les positions de leurs centres respectifs de gravité un 
moment avant le choc, et G celle du centre de gravité du 
système au même moment. Prenons un point quel- 
conque À sur la direction des mobiles, et désignons A B 
par a, AG par æ et AC par b; si nous considérons Ja 
masse de chaque corps comme étant réunie à son cen- 
tre de gravité et la masse totale du système M + M’ 
comme réunie pareillement à son centre commun de 
gravité, nous aurons en vertu de la théorie des momens 
(Voy. ce mot.) 


(MM) x = Ma+Mb 
carles masses sont proportionnelles aux poids, et M-M' 


est la résultante de M et de M’. Les quantités @, b, æ, 
variant avec le temps du mouvement, sont des fonctions 


CON 


de ce temps, ainsi, en différentiant l'équation précé- 
dente par rapport au temps f, il viendra 


dæ da db 
1 4 — —=  — == 
HN) SM THM 


. da b ; 
mais + et , représentant les vitessses des mobiles 
dx 


dt 


tème, done, nommant V, V', # ces vitesses avant le choc 


après le temps f, et — celle du centre de gravité du sys- 


et v, v', uw’ ces vitesses après le choc, nous aurons, ayant 
le choc 


et par suite 
(M+M)u—= MV+MV, 
d’où... (1) 
NV +MV 
MM 
Après le choc les vitesses étant 


= = v 8 
ee 70 


nous trouyerons de la même manière... (2) 


,_ Mo +M 
Mi 
Pour comparer maintenant les valeurs de # et de w', il 
faut observer que si les corps sont durs leur vitesse est 
la même après le choc, et que cette vitesse a pour ex- 
pression (Voy. Cnoc, tom. 1)... (3) 
MV EM 
M+M' 
— et par conséquent 


ONE EME 
MEN 


dans ce cas, 


Or la valeur (3) de v est précisément celle que nous 
avons trouvée plus haut pour #, donc u'—u, c'est-à- 
dire que lorsque les corps sont durs, la vitesse du cen- 
tre de gravité est la même après le choc qu'avant. 

Si les corps sont élastiques, nous avons : 


M'V'—MV +2 MV 


substituant ces valeurs dans (2), il vient 
,_ MY+M'V 
AR TL 


d’où l'on conclut toujours w'— u. Ainsi, quelle que soit 
la nature des corps, le principe énoncé a lieu. 


CON 


CONTINU. (Méc.) Mouvement continu. C’est celui 
qui s'effectue sans aucune rétrogradation, ou change- 
ment brusque de direction pendant toute sa durée. Un 
poids qui tombe librement se meut d’un mouvement 
continu; une roue qui tourne toujours dans le même 
sens a encore un mouvement continu, etc. On a sans 
cesse besoin dans les arts de transformer le mouvement 
continu en mouvement alternatif (Voy. ce mot) et vice 
versd, d'où il résulte plusieurs problèmes pratiques qui 
font l’objet de la composition des machines. (Voy. ce mot.) 


CONTRACTION pe LA veINE rLuIDE. (Æydraul.) On 
désigne sous ce nom l'espèce de resserrement qu’é- 
prouve un jet d’eau qui s'échappe d’un réservoir par un 
orifice, et dont l'effet est de diminuer la quantité d’eau 
qui s’écoulerait dans un temps déterminé si ce phéno- 
mène n'avait pas lieu. 

Pour rendre sensible la contraction d’une veine fluide, 
on prend un vase transparent qui porte à l’une de ses 
parois un orifice par lequel peut s’opérer l’écoulement 
de l’eau, et on mêle au liquide de la poussière fine co- 
lorée, comme de la sciure de bois ; on peut alors aper- 
cevoir, à deux ou trois centimètres de distance de l’ori- 
fice, pour une ouverture d’un centimètre de diamètre, 
les molécules liquides affluer de toutes parts, du fond 
du vase, des côtés et de sa partie supérieure, en décri- 
ant des lignes courbes convergentes vers son centre. 
Arrivées près de l'ouverture, elles s’y précipitent par un 
mouvement très-accéléré, mais la convergence des di- 
rections ne cesse pas à leur sortie, elle se prolonge à une 
certaine distance; de sorte que le jet se resserre depuis 
sa sortie jusqu’à cette distance où les molécules pren- 
nent des directions parallèles ou autres, suivant l’effet de 
leur réaction réciproque et des mouvemens imprimés. 
Le jet forme donc, dans sa partie extérieure contractée, 
un cône ou une pyramide tronquée dont la plus grande 
base est à l’orifice et la plus petite en dehors du vase, 
à l'endroit de la plus grande contraction ; c’est la sec- 
tion de cet endroit qu’on nomme, dans l’hydraulique, 
section de la veine contractée. La dépense réelle d’un ori- 
fice dépend ainsi, non de sa grandeur propre ou de son 
aire, mais bien de l’aire de la section de la veine con- 
tractée. 

Lorsque l'écoulement s'effectue par un petit tuyau ou 
ajutage (Voy. ce mot) adapté à l’orifice, les phéno- 
mènes de la contraction sont modifiés d’après la nature 
de l’ajutage. Voyez pour tout ce qui concerne la théo- 
rie de l’écoulement des eaux, le mot ÉcoutEMENT pes 
FLUIDES. 


CONTREPOIDS. (Méc.) Nom générique qu’on donne 

à tous les poids qui servent d’auxiliaires à une force 

motrice. Dans la plupart des mouvemens alternatifs, le 
Tox, a, 


COU 65 


moteur produit seulement l’abaissement du mobile, et 
élévation se fait au moyen d’un contrepoids ou vice 
versd. 


CORDE saxs Fix. (Mée.) C’est une corde dont les 
deux bouts sont réunis et qui passe sur des poulies ou 
des cylindres pour transmettre le mouvement de l’un à 
l’autre. 


CORPS pe romre. (Hydraul.) On donne ce nom, 
dans les pompes hydrauliques, à la partie du tuyau dans 
laquelle le piston se meut. 


COURANT D'EAU (Hydraul.) Nom générique d’une 
certaine quantité d’eau qui se meut avec une vitesse et 
dans une direction quelconques. 

L'eau ne développe une force motrice susceptible 
d’être appliquée aux machines que lorsqu'elle est en 
mouvement. Dans son état de repos c’est une masse 
inerte, comme tous les autres corps matériels, incapa- 
ble de servir de moteur, et qui peut rendre tout au plus 
le mouvement qui lui serait communiqué par une force 
étrangère. La pesanteur est le principe d’action de l’eau 
courante; c’est lorsqu'elle est entraînée par son poids 
d’un point vers un autre moins élevé qu’elle acquiert 
une force impulsive dont l'intensité dépend à la fois de la 
masse mobile et de sa vitesse. Les services immenses que 
ce moteurnaturel a rendus à l’industrie, avant l'invention 
des machines à vapeur, ceux qu'il est appelé à rendre 
encore, malgré ces puissantes machines, qui ne pour- 
raient le remplacer avec avantage dans toutes les locali- 
tés, nous déterminent à présenter ici toutes les formules 
pratiques les plus nouvelles qui concernent le mouve- 
ment des eaux. 

Les diverses circonstances qui accompagnent le mou- 
vement des eaux courantes dépendent de la nature du lit 
qui les renferme. Lorsque ce lit est un canal creusé par la 
main de l’homme, il présente généralement une même 
pente et une même section transversale dans toutes ses 
parties, et conduit, par conséquent, un même volume 
d’eau surtoute salongueur. Lorsqu’au contraire celit est 
irrégulier comme celui des rivières, les volumes d’eau 
de même longueur ne sont plus égaux, et la vitesse du 
courant varie avec la largeur et la profondeur des dif- 
férentes parties de son lit. Les lois du mouvement des 
eaux étant plus simples et offrant moins de diflicultés 
dans les canaux artificiels que dans les lits des rivières, 
nous examinerons d’abord ce qui concerne ces canaux. 


S I. Mouvement des oaux dans les canaux. 


1. On nomme pente absolue d'un canal la différence 
du niveau de ses deux extrémités, et pente proprement 
dite celle qui est relative à l'unité de Jongueur, Par 


9 


66 COU 


exemple, si la différence de niveau des deux extrémités 
d'un canal long de 100 mètres est de 10 mètres, sa 
pente absolue sera de 10 mètres, et sa pente proprement 


: 10 s Ds : 
dite, de —- — 0°,1, ou d'un centimètre par mètre. 
100 


Pour avoir la pente proprement dite, il suffit de con- 
naître la pente absolue d’une portion du canal ou la 
différence de niveau des deux extrémités de cette por- 
tion, car en nommant ! la longueur , d la différence de 
niveau, et p la pente par unité de longueur, on a évi- 


demment p — = 


On peut encore déterminer cette pente proprement 
dite, que nous désignerons simplement dans tout ce qui 
va suivre par le nom de pente, à l’aide de l'angle d’inclinai- 
son du courant d’eau avec la ligne horizontale. En effet, 
supposons que la droite AE (fig. 3, PI. 10) représente la 
direction de l’eau ou l’axe du courant, si par un point 
quelconque A de cette ligne nous menons une droite 
horizontale AB, et par un autre point C, une droite 
verticale CB, CB sera la différence de niveau des deux 
points À et C, et en désignant AC par / et BC par d, 
nous aurons, comme ci-dessus, pour la pente p, p — ; 5 
mais à désignant l'angle d’inclinaison BAC, nous avons 
aussi 


1: sin ?—\1::d, 


d'où sin à — -, et, par conséquent, p — sin ?. 


l , 

Sachant, par exemple, que l'angle 2 est de 5° 10', on 
cherchera dans les tables le logarithme du sinus de5°10', 
et le nombre correspondant à ce logarithme, dont il fau- 
dra préalablement retrancher 1 0 unités pour tenir compte 
du rayon des tables, sera la pente demandée. On a ici 
Log sin (5° 10°) — 8,9544991 et 8,9544991—10——2 
—- 0,9544991; le nombre qui correspond à la partie 
positive du logarithme est 9,00053, celui qui corres- 
pond à la partie négative est 100, et l’on a, en divisant 
le premier par le dernier, p — 0",09, c’est-à-dire que 
la pente est, à très-peu près, de 9 centimètres. 

2. On nomme section d’un canal et d’un courant 
d’eau en général l’aire de la section de la masse d’eau 
coulante par un plan perpendiculaire àson axe. NM per- 
pendiculaire au courant AC est la hauteur de cette sec- 
tion. En désignant la section par S, la hauteur NM par 
h, et la largeur du fond par €, on aura S—eh, si le ca- 
nal est rectangulaire ; s’il est en talus ou trapézoïdal, on 
aura S—+(e—-e) h, e’ désignant la largeur supérieure 
de la section; ou bien encore S = (e -th) h, t dési- 
gnant le talus des parois latérales ou le rapport de leur 
base à leur hauteur. 


| On nomme périmêtre mouillé de Ja section’, la partie 


COU 


de son contour qui est en contact avec les parois du lit, 
c’est-à-dire avec le fond et les côtés latéraux. Ce pé- 
rimètre, en le désignant par P, a pour expression 
P—e-+2h dans les canaux rectangulaires, et P — € 
+ oh 1/ PE à, dans les canaux en trapèze. 

3. La pesanteur étant la seule force qui agit sur une 
masse d’eau abandonnée à elle-même dans un canal, 
cette masse d’eau ne peut se mouyoir qu'autant que sa 
surface supérieure n’est point horizontale, car dans le 
cas contraire chaque molécule est également pressée 
dans tous les sens et demeure en équilibre (Voy. Hxpno- 
DYNAMIQUE, tom. 11), mais lorsque la surface supérieure 
est inclinée, une molécule quelconque prise à cette sur- 
face supporte, dans la direction du côté le plus élevé, 
une pression supérieure à celle qui la soutient de l’autre 
côté : elle doit donc se mouvoir vers ce dernier côté avec 
une vitesse due à la différence des pressions, et il en est 
de même de toutes les molécules situées verticalement 
au-dessous de cette première. On doit donc admettre 
en principe que le mouvement des molécules d'un courant 
d’eau ne provient que de la pente de sa surface. 

L'équilibre ou le mouvement d’une masse d’eau peu- 
vent exister d’ailleurs quelles que soient la forme et 
l'inclinaison du lit; il suffit pour l'équilibre que la sur- 
face liquide soit horizontale, comme il suffit pour le 
mouvement qu’elle soit inclinée. 

4. Si la force accélératrice de la pesanteur agissait 
sans aucune résistance étrangère sur les molécules li- 
quides, l’eau descendrait d’un mouvement uniformé- 
ment accéléré, et sa vitesse croîtrait à partir du point 
le plus élevé du canal jusqu’au point le plus bas ; cepen- 
dant on observe qu’à peu de distance du point le plus 
élevé l'accélération n’est déjà plus sensible, et que le 
mouvement s'effectue d’une manière uniforme sur tout 
le reste de la longueur, même dars les canaux dont la 
pente est très-grande. Ce phénomène indique que la 
résistance du lit, seul obstacle qui puisse entrayer l’ac- 
tion de la pesanteur, croît comme la vitesse due à cette 
action, à laquelle elle fait promptement équilibre, de 
sorte que le liquide ne se meut qu’en vertu de la vitesse 
acquise dans les premiers instans de l’écoulement. De là 
résulte le principe fondamental de l’hydraulique. 

Lorsque l'eau se meut uniformément dans un canal, la 
résistance qu'elle y éprouve est égale à la force accéléra- 
trice provenant de la pesanteur. 

5. On considère communément la résistance du lit 
d’un courant comme provenant du frottement de l’eau 
contre ses parois, mais les expériences de Dubuat et de 
Venturi tendent à prouver qu’elle est uniquement due 
à l’adhérence des molécules fluides entre elles et avec les 
parois du canal. « Lorsque de l’eau passe sur la surface 
d'un corps, dit M. d'Aubuisson (Hydrawl. des ingé- 
nieurs), et qu'il n’y a point de répulsion entre les deux 


COU 


substances, elle mouille cette surface, c’est-à-dire qu’une 
mince couche de fluide s'applique contre elle, elle en 
pénètre les pores, et elle y est retenue, tant par cet en- 
gagement des molécules que par un effet de l'attraction 
moléculaire. 

» C’est sur un tel revêtement ou enduit aqueux fixé 
contre les parois du canal, que coule la masse fluide 
qu'il conduit. La partie ou mince couche de cette masse 
qui est immédiatement en contact ayec l’enduit, glis- 
sant et frottant sur lui, engrène ses molécules avec 
les siennes, elle y adhère, et sa vitesse en est retardée. 
Par suite de l’adhérence des molécules fluides entre 
elles, ce retard, tout en diminuant graduellement, se 
communique de proche en proche aux couches adja- 
centes, jusqu'aux filets les plus éloignés. La masse prend 
en conséquence une vitesse moyenne, moindre que celle 
qui aurait lieu sans l’action des parois et sans la visco- 
sité du fluide. » 

6. Quoiqu'il en soit de cette théorie, il est certain 
que toutes les molécules ne se meuvent pas avec la 
même vitesse, et qu’en considérant la masse fluide 
comme composée de différentes veines ou filets, ces fi- 
lets ont une vitesse d'autant plus grande qu'ils sont si- 
tués à une plus grande distance des parois. Ainsi nous 
entendrons dorénavant par vitesse du courant, la vitesse 
moyenne de la’masse des molécules qui composent une 
même section. 

7. Dans un canal régulier, toutes les sections de la 
masse fluide mue uniformément sont égales, car il passe 
nécessairement par chacune de ces sections (Voy. Écou- 
LEMENT DES FLUIDES) un même volume d’eau dans un 
même intervalle de temps, et comme elles ont toutes 
pour base la largeur du canal, elles ont aussi une même 
hauteur, d’où il suit que la surface fluide est parallèle à 
la surface du fond du canal. La quantité d’eau qui passe 
par une section dans l'unité de temps, est ce qu’on 
nomme la dépense du canal. Si, par exemple, la section 
est de 4 mètres carrés, et que la vitesse soit de 3 déci- 
mètres par seconde, la dépense sera de 4 X 0°, 3 =—1, 2, 
c'est-à-dire qu'il passera un mètre cube et 2/10 d’eau 
dans une section par seconde. ( 

8. Chaque molécule fluide pouvant être considérée 
comme un corps qui descend sur un plan incliné en 
vertu de son propre poids, la force accélératrice qui 
meut l’eau dans le canal a pour expression gp, g repré- 
sentant la force absolue de la pesanteur, et p le rapport 
de la hauteur du plan incliné à sa base ou la pente du ca- 
nal (Voy. Accëzéré, tom. 1). C'est donc à cette quan- 
tité gp que doit être égale la résistance que l’eau éprouve 
dans le canal, d’après le principe fondamental (4). 

Or, l'expérience a montré que cette résistance est 
sensiblement proportionnelle au périmètre mouillé, au 
carré de la vitesse, plus une fraction de cette vitesse, et 


COU 67 


qu’elle est en raison inverse de la section, c’est-à-dire 
qu’en désignant par A’ et B deux facteurs constans, par 
v la vitesse, et par S et P comme ci-dessus la section et 
le périmètre mouillé, la résistance a pour expression 


ils : Sul 
A 5 (v? + Bo), ce qui donne l'équation 


gp = A (+ Bo), 


ou simplement... (a) 


p— AË (v? + Bo), 


’ 


en faisant — A. 
g 


Eytelwein a trouvé, par une longue suite d’expérien- 
ces, que les coefliciens constans A et B ont pour valeurs 


A = 0,00036554; B — 0,06638 ; 
substituant ces nombres dans l’équation précédente, elle 
devient... (1) 


nus 0,00036554 & (ut LL 0,06688 ); 


c’est l’équation fondamentale du mouvement des eaux 
dans les canaux. 

9. Si nous désignons par Q la dépense du canal dont 
la valeur estv S (7), nous aurons v =*, ce qui nous 


donnera cette seconde équation... (2), 
pS*— 0,00036554 P (Q? + 0,0664 QS), 


à l’aide de laquelle trois quelconques des quantités 
P; P, S, Q étant données, on pourra déterminer la qua- 
trième. 

10. En résolvant l'équation (1) par rapport à v, on 
obtient l'expression (3) 


— — 0,0332 +{2567 — 0,0011 | 
qui fait connaître la vitesse. 


On peut en déduire pour l'expression de la dé- 
pense. (4) 


= s| — 0,0332 + [2756 a —- 0,001 | 
ou, ayec une approximation suflisante..… (5) 
O— sh/[2r561] — 0,00332 fe 


11. Lorsque la vitesse est très-grande, la résistance 


68 COU 
est simplement proportionnelle à son carré, le terme 
Bv disparait de l'équation (a), et on a simplement. (6) 


=] À, o=ns| À 


Proposons-nous, pour donner un exemple del'appli- 
cation de ces formules, de déterminer la dépense d’un 
canal dont la section serait un trapèze ayant 2 mètres 
de largeur par bas, 6 mètres de largeur par haut, 2 mè- 
tres de hauteur et 0",0015 de pente (un millimètre et 
demi par mètre). En conservant les désignations ci-des- 
sus nous aurons 


2 6 — 05h —2; 
le talus #, ou le rapport entre la base de chaque berge 


6-2 Le 
er et leur hauteur 2, sera =: 13 ainsi 


S=—;(2+6)2 —8, P—92—+0.0p/1<1— 7,656; 
substituant ces valeurs dans la formule 3, nous obtien- 


drons 


0,0015 X 8 


D=— 0,0892 + [2756 PL Us 0,001 | 
75 
= 2,0359; 


et, par suite, Q — 8 X 2,0379 — 16,303. La vitesse 
dans un tel canal sera donc de 2",038 par seconde et la 
dépense dans le même temps de 16 mètres cubes, plus 
303 décimètres cubes. 

En négligeant le terme 0,0011 sous le radical, nous 
eussions obtenu 


0 — 92,0376 ; Q — 16,301, 


valeurs qui différent très-peu des précédentes. Les for- 
mules des grandes vitesses (6) nous auraient donné 


0,0015 X 8] 
= ESC nl En 2,0191, 


Q—'8 X 2,0191 — 16,153. 


= 


19. La détermination de la pente p qu’on doit don- 
ner à un Canal dont toutes les autres dispositions sont 
déterminées s'effectue au moyen de l'équation (1) : nous 
reproduirons pour exemple le calcul de la pente du ca- 
nal de l’Ourcq donné par M. D’Aubuisson. 

« On avait à disposer de 3%, 0188 d’eau par se- 
conde ; la navigation qu’on y projetait exigeait une 
profondeur d’eau de 1", 50 ; et pour que l’eau ne s’al- 
térât pas, au point de devenir impropre au service des 
fontaines de Paris, il lui fallait une vitesse de o®, 35 au 
moins; la nature du terrain permettait de ne donner 
aux talus que 1 ? de base sur 1 de hauteur. 

» Onaici Q —=3,0188; v = 0°,35; À = 1,50 ; et 


COU 


t— 1,50. De plus, d’après les données du problème, 
S est connu, car 


6 le sera aussi, car de l'expression S — (e - 1h) k(n° 2) 
on déduit 


S— th? 
STE 5p ; 
_ 8625 — 1,50 (50) _ 3,50: 
1,00 


par suite on aura encore 


P—etohl/2 T1 — 8,908. 


D'après cela, l'équation générale 
P 
P = 0,0005055 S (v° + 0,06658 v), 


en y substituant les quantités numériques , donne 
P — 0°,00005502; c'est la pente indiquée par les for- 
mules. 

» M. Girard, ingénieur chargé du tracé du canal, est 
arrivé à un résultat à peu près pareil. Mais il a fait ob- 
server avec raison, que les plantes aquatiques qui crois- 
sent sur le fond et sur les berges des canaux, augmen- 
tent considérablement le périmètre mouillé, et par suite 
la résistance : il a rappelé que Dubuat ayant mesuré la 
vitesse de l’eau dans le canal du Jard, avant et après la 
coupe des roseaux dont il était garni, avait trouvé un 
résultat bien moindre ayant qu'après. En conséquence, 
il a presque doublé la pente donnée par le calcul, et il l’a 
portée à 0,0001056 : la longueur du canal étant de 
96000 mètres, c’est 10,14 de pente absolue. » 

13. Les exemples que nous venons de donner mon- 
trent suffisamment la marche qu'on doit suivre pour 
déterminer l’inconnue du problème dans l’établisse- 
ment d’un canal lorsqu'il n’y en a qu’une, mais le plus 
ordinairement les seules quantités données sont p et Q, 
ou la pente et la dépense, et il s’agit de choisir la forme 
de la section qui peut remplir le plus convenablement 
l’objet qu’on a en vue. Pour les canaux creusés dans 
les terres, il est essentiel de tenir les berges inclinées, 
car sans cela elles ne pourraient se soutenir et s’ébou- 
leraient, aussi la figure du trapèze est celle qui est gé- 
néralement adoptée, et on donne aux berges une incli- 
naison de 34° au plus à l’horizon. Supposons donc qu’on 
ait une dépense de 3 mètres cubes d’eau et qu'il s'agisse 
de construire un canal dont la pente soit o",oo11 et le 
talus 1,50, les quantités à déterminer sont la largeur et 
la hauteur de la section. Or, de tous les trapèzes qu’on 
peut choisir pour la section, celui dont la surface est la 
plus grande et Le périmètre mouillé le plus petit est le 


COU 


plus avantageux, puisque la résistance que l’eau éprouve 
à se mouvoir est en raison directe du périmètre et en 
raison inverse de la section (n° 8); ce trapèze le plus 
avantageux a sa largeur moyenne, ou la demi-somme 
de ses bases parallèles, double de sa hauteur, de sorte 
que nous pouvons établir la condition + (ee) —2h, 


e-e à : : 
oue—th—2h, Ca: h (n°2); il en résulte, 


d’une part, S — 2h, et de l’autre, 
P— 2h —th2h|/C+ FA 


ou simplement P —nh, en faisant 2 — {+ 21/ #41 
— n. D'après les données nous avons ici 


— 2 —1,50 + 24/(1,50)° E 1 — 1,8028. 


Substituant les valeurs S — 2h?, P — 1,8028 k, p 
= 0,0011, et Q —53 dans la formule (2), elle deviendra 


0,0011 X 8hf — 0,00056554 X 1,8028h X 
(3: 0,0664 X3 X 2h°), 


ou 
0,0088h° — 0,0059309 - 0,0002625h, 


Divisant le tout par 0,0088 et transposant, nous aurons 
définitivement l’équation 


h5 — 0,0298hk° — 0,674 — 0, 


d'où nous obtiendrons, en la résolvant, À — 0",9501. 
Connaissant ainsi la hauteur du trapèze, nous tirerons 
la valeur de sa plus petite base de l'équation e-th—2}, 
qui donne 


e— (2—t)h=— (2— 1,50) X 0,9501 = 0°,46505. 


La section sera donc un trapèze dont la plus petite 
base devra avoir 0®,46505, la plus grande 3°,25555 et la 
hauteur 0",9301; mais ces dimensions sont celles de la 
masse fluide, et la profondeur du canal doit être un peu 
plus grande ; on lui donnera au moins 1°,20, et alors la 
largeur du fond demeurant 0°,46505, celle au niveau 
du terrain sera 4",565. 

14. La forme du trapèze est, comme nous l'avons 
dit, celle qui convient le mieux pour les canaux creusés 
dans les terres, parce qu’elle réunit à la facilité de la 
construction la solidité et l’économie, mais elle n’est 
pas la figure capable de donner à la fois le maximum 
de section et de dépense. De toutes les figures isopéri- 
mètres, le cercle est celle qui a la plus grande surface, et 
cette surface diminue à mesure que le nombre des côtés 
du polygone régulier diminue. Il en est de même du 
demi-cercle et des demi-polygones réguliers de même 
périmètre, la surface du cercle est la plus grande, et 
celle du demi-carré est la plus petite. S'il était possible 
de construire un canal dont la section fût un demi- 


COU 69 


cercle, on aurait à la fois le maximum de section et de 
dépense; mais les frais qu’entraînent une semblable 
construction lui font préférer le demi-carré pour tous 
les canaux creusés dans le roc ou revêtus de maçonnerie, 
tels que les aqueducs. Dans ceux-ci, on a donc le maxi- 
mum de section et de dépense lorsque le rapport de la 
base à la hauteur de la section est celui des nom- 
bres 2 : 1. 

On voit d’après ces considérations que le trapèze ca- 
pable de donner la plus grande dépense est celui qui, sur 
un talus { déterminé par la nature du terrain, renferme 
la plus grande surface dans le plus petit périmètre. 


1 ; 
Lorsque le talus est 1 3» Ce qui est un des cas les plus 


ordinaires, il faut donner au trapèze une largeur moyenne 
double de sa hauteur, parce qu'avec un tel rapport dans 
ses dimensions il a même surface et même périmètre 
mouillé qu’un rectangle de même hauteur dont la base 
serait égale à sa largeur moyenne, et qui, par consé- 
quent, donnerait le maximum de dépense et de section. 
En effet, si nous désignons par À la hauteur du rectan- 
gle, sa base sera 2h, sa surface 2h°, et son périmètre 
mouillé 4h; le trapèze ayant pour hauteur k et pour 
largeur moyenne 2h, a également pour surface 2° ; 
quant à son périmètre mouillé, si dans l'expression gé- 


: . 1 
nérale du n° 2 nous faisions {= 1 +3 et que nous don- 


nions à e la valeur (2-{)h qui résulte de la relation eth 
= 2h, il viendra 


(ren f( eo] 
=if$+av fer 


c'est-à-dire la même valeur que pour le périmètre 
mouillé du rectangle. Dans tous les cas où le talus se- 


: 1 : 
rait plus grand que 17, on devrait donc, pour plus 


d’exactitude, déterminer le rapport de la hauteur à la 
largeur moyenne du trapèze, de manière à obtenir le 
maximum de section et de dépense; cependant il est 
d'usage de conserver le rapport 1 : 2, et c'est ce que 
nous avons fait dans l'exemple précédent. 

15. Dans les canaux rectangulaires, la largeur devant 
être le double de la hauteur, on peut aisément la cal- 
culer, lorsque la masse d’eau qu'ils doivent conduire 
est donnée, car en nommant æ cette largeur , l’aire de 


à ol s 
la section a pour expression —æ?, et on a, par consé- 
2 


quent, v étant la vitesse et Q la dépense, 


d'où 


vtt =Q, 


Di 


70 COU 


Nous ne nous arrêterons point à donner des exemples 
de ces calculs, qui ne présentent aucune difficulté. 

16. Nous avons fait observer (n° 6) que la vitesse des 
divers filets d’un cours d’eau était d'autant plus grande 
que ces filets étaient plus éloignés des parois du canal, 
et qu'en évaluant la dépense par le produit de la section 
et de la vitesse, il fallait employer nécessairement la 
vitesse moyenne et non la vitesse particulière de tel ou 
tel filet. La détermination de cette vitesse moyenne est 
donc très-importante, et comme on ne peut mesurer 
avec facilité que la vitesse des filets supérieurs, il serait 
nécessaire de connaître la loi du décroissement qu’é- 
prouvent les vitesses à partir de la surface fluide jus- 
qu’au fond du canal, pour pouvoir évaluer avec certi- 
tude la vitesse moyenne. Dubuat a conclu, d’une série 
d'expériences faites avec beaucoup de soin, que la vitesse 
moyenne est une moyenne proportionnelle arithmétique 
entre celle de la surface et celle du fond, et que le rapport 
de ces deux dernières, entièrement indépendant de la 
hauteur de la section, est d'autant plus grand que la vi- 
tesse de la surface est plus petite. Voici les résultats nu- 
mériques de ses observations, malheureusement trop 
peu nombreuses pour être concluantes. 

Soit V la vitesse de la surface, » celle du fond et # la 
vitesse moyenne, on aura 


ù — [y Ÿ—0,165]?, 
u — (1/0 — 0,082)? Lo,0067. 


M. de Prony a tiré des expériences de Dubuat la for- 


mule 
DV E 


qui lui paraît représenter les faits avec plus d’exactitude,. 
Mais il pense que dans la pratique on peut admettre, 
avec une approximation suflisante , 


u — 0,8 V. 


Nous devons ajouter que la vitesse V est celle du filet 
fluide le plus éloigné des parois, ou la plus grande vi- 
tesse du courant. Ce filet, dans les canaux réguliers, 
est celui du milieu de la surface, c’est ce qu’on nomme 
le fil de l'eau. 


S IL. Du mouvement de l'eau dans les rivières. 


19. L'irrégularité des lits des rivières ne permet pas 
de les comparer aux canaux, où la vitesse devient 
promptement uniforme; dans ceux-cf le volume d’eau 
conduit est toujours le même, tandis que dans les ri- 
vières ce volume augmente ou diminue suivant les ya- 
riations que le lit éprouve dans sa pente et ses dimen- 
sions, et encore par l'effet des affluens qu'il reçoit. 
Lorsque la pente d’une rivière, après être demeurée 


COU 


constante sur une certaine longueur, vient à augmenter 
ou à diminuer, la vitesse augmente où diminue, et 
comme la largeur du lit ne change pas brusquement, 
il en résulte que dans le premier cas la hauteur de la 
section devient plus petite, tandis qu’elle devient plus 
grande dans le second. Ces changemens de hauteur s’o- 
pérant par degrés, la surface fluide prend une forme 
convexe quand son mouvement s'accélère, et une forme 
concave quand il se ralentit, de sorte que le fil de l’eau, 
considéré depuis la source jusqu’à l'embouchure, pré- 
sente une suite de lignes droites réunies par de petites 
lignes courbes tantôt convexes, tantôt concayes. 

Si l’on conçoit un plan perpendiculaire à la surface 
fluide et passant par le fil de l’eau, l'intersection de ce 
plan par le fond du lit offrira une ligne semblable au fil 
de l’eau, c’est-à-dire composée de parties droites et 
courbes, dont les inégalités correspondront aux inéga- 
lités du fil de l’eau, mais seront plus grandes. La fig. 4 
de la PI. 10 indique la différence des deux sections. 

On nomme contre-pente toute inclinaison de peu d’é- 
tendue opposée à l’inclinaison générale du lit, comme 
serait, par exemple, la pente offerte contre le courant 
de l’eau par un banc de cailloux disposé transversale- 
ment sur le lit d’une rivière. L'eau, en le franchissant 
par suite de sa vitesse acquise, présente une surface 
concave dans la montée et une surface convexe dans la 
descente, et sa vitesse diminue jusqu’au point le plus 
élevé de la courbe, d’où elle s'accélère en descendant. 
La résistance de l’obstacle, jointe à la pesanteur qui agit 
spr les molécules fluides, ne permettant pas à ces mo- 
lécules de s'élever au-dessus du plan général de la sur- 
face de la rivière, autant que l'obstacle est élevé lui- 
même au-dessus du plan général du lit, le fil de l’eau 
ne peut donc jamais avoir une irrégularité aussi grande 
que la section longitudinale correspondante du lit, 
comme nous venons de le dire. Dans certains cas, les 
obstacles qui se rencontrent dans le lit d'une rivière pro- 
duisent un rebroussement d’une partie du fluide contre 
le courant, c’est ce qu'on nomme un remou (Voy. ce 
mot). 

18. Les effets résultant des élargissemens et des ré- 
trécissemens des lits sont semblables à ceux des varia- 
tions de pente. Lorsque le lit s’élargit, la hauteur de la 
section diminue, mais dans un rapport un peu moindre 
que l’augmentation de largeur, parce que la vitesse di- 
minue un peu par suite de l'accroissement du périmètre 
mouillé. Lorsque le lit se rétrécit, la hauteur de l’eau 
augmente ainsi que la vitesse. On ne doit pas perdre de 
vue, pour se rendre compte de toutes ces variations, le 
principe de d'écoulement des fluides (Voy. ce mot), que 
nous allons rappeler. 


Dans toute masse fluide qui se meut sans solution de 
continuité, il passe un méme volume fluide dans ur même 


COU 


temps, par chacune des sections faites perpendiculaire- 
ment à la direction du mouvement. 


19. Les sections longitudinales de la surface fluide 
des rivières ne sont pas les seules qui présentent des par- 
ties courbes. Les-sections transversales offrent encore 
une forme remarquable dont la fig. 5, PI. 10, peut don- 
ner une idée. C’est une courbe convexe dont le point le 
plus élevé est dans le fil de l’eau, et dont l'élévation 
respective des autres points, qui va en décroissant éga- 
lement ou inégalement vers chaque bord, est d’autant 
plus grande que les filets correspondans ont une plus 
grande vitesse. 


20. La détermination de la vitesse moyenne d’une 
rivière présente de grandes dilicultés qu’on est loin 
d’avoir complètement surmontées. Lorsque la rivière 
présente une pente assez uniforme et un lit assez régu- 
lier sur une longueur assez considérable, mille mètres 
au moins, pour qu'on puisse, dans cette étendue, la 
comparer à un canal, on doit prendre le profil de plu- 
sieurs sections, mesurer la pente avec beaucoup de soir, 
et en déduire les valeurs moyennes de S et de P, qui fe- 
ront connaître la vitesse cherchée en les substituant dans 
la formule (3) du N° 10. Ce procédé, quoique approxi- 
matif, est supérieur aux mesures directes, quand il peut 
être employé. 

Lorsque les localités n'offrent pas la réunion des cir- 
constances que nous venons d'indiquer, on mesure la 
vitesse du courant au moyen de certains instrumens 
nommés hydromètres (Voy. ce mot), dont nous nous 
bornerons ici à décrire le plus simple. Qu’on imagine 
un petit morceau de bois, ou quelque autre corps d’une 
pesanteur spécifique presque égale à celle de l’eau, 
placé sur le fil de l’eau ou sur le plus fort du courant et 
abandonné à lui-même. Entraîné par le mouvement de 
l’eau, ce flotteur, ainsi qu’on le nomme, ne tarde pas à 
acquérir une witesse égale à celle du fluide environnant, 
et si l'on observe alors l’espace qu'il parcourt dans un 
temps donné, on pourra déterminer cette vitesse avec 
une exactitude suffisante. 


Les flotteurs ne peuvent faire connaître que la vitesse 
du fil de l’eau, parce qu’ils ne se maintiendraient pas 
dans la direction nécessaire si on les placait sur d’autres 
filets; mais il existe des hydromètres avec lesquels on 
mesure la vitesse d’un point quelconque de la surface 
fluide, et d'autres qui sont destinés à mesurer les vitesses 
au-dessous de la surface. Nous verrons au mot Hypro- 
NÈTRE la série d'opérations qu’exige la détermination de 


la vitesse moyenne d’une rivière au moyen de ces in- 
strumens. 


21. La connaissance de la vitesse moyenne d’une ri- 
xière est principalement nécessaire pour déterminer le 
volume d’eau qu'elle conduit ou pour jauger le cours 


CoU 71 


d'eau. Ce volume est égal au produit de la vitesse 
moyenne d’une section par son aire. 

Le jaugeage des petits cours d’eau s’effectue d’une 
manière beaucoup plus simple par un barrage que par 
les mesures hydrométriques, auxquelles on n’a eu re- 
cours jusqu'ici que pour quelques fleuves. Ce procédé 
consiste à barrer le courant par une cloison en plan- 
ches, sur le haut de laquelle on pratique un déversoir 
ou ouverture rectangulaire dont le seuil doit avoir, au- 
dessus du fond du lit, une hauteur telle que l’épaisseur 
de la lame fluide qui s’écoule soit au moins de 10 cen- 
timètres. Les formules de l'écoulement des eaux par les 
déversoirs font alors connaître la dépense, à l’aide des 
dimensions du déversoir et de la hauteur mesurée de la 
surface du courant au-dessus du seuil. Voy. ÉcouLe- 
MENT DES FLUIDES. 


22. Les affluens ou cours d’eau qui se perdent dans 
une rivière principale font varier le volume d’eau qu’elle 
conduit. Ce volume augmente nécessairement au-des- 
sous de la jonction, de sorte que la dépense n’est la 
même pour toutes les sections de la rivière qu’autant 
qu’il ne se trouve aucun affluent sur la longueur où 
elles sont prises. Cette dépense varie, en outre, par 
toutes les causes qui font varier les sources alimenta- 
trices, et on doit distinguer les divers cas des hautes, 
des moyennes et des basses eaux, qui ont lieu dans les 
diverses saisons de l’année. 

On dit que la vitesse d’une rivière est faible, lorsqu'elle 
est au-dessous de 0",50 par seconde, et qu’elle est très- 
grande, lorsqu'elle dépasse 2 mètres. La vitesse ordi- 
naire s’estime de 0",60 à 0”,90. Celle de la Seine, aux 
enyirons de Paris , est moyennement de 0°,60 à 0,65. 
La vitesse du Rhône et de la Durance s'élève jusqu’à 
4 mètres dans les fortes crues. La dépense de la Seine, 
sur une largeur moyenne de 150 mètres et une profon- 
deur de 1,50, est d’environ 130 mètres cubes d’eau 
par seconde. 


S LIT. Du mouvement de l'eau dans les conduites. 


23. On nomme conduite une suite de tuyaux joints 
exactement les uns aux autres qui sert à mener l’eau 
d’un lieu à un autre. Pour examiner le mouvement de 
l’eau dans les conduites, nous considérerons d’abord le 
cas d’un seul tuyau rectiligne et d’un même diamètre 
dans toutes ses parties. 

Soit donc BD (P1. 10, fig. 6), un tuyau incliné rece- 
vant par son ouverture supérieure EB l’eau d’un réser- 
voir M, et la versant par son ouverture inférieure CD. 
La vitesse de l'écoulement en CD sera due à deux forces 
distinctes : l’une, provenant de la pression que la masse 
fluide duréservoir exerce en EB, et l’autre, de la portion 
de la force absolue de la pesanteur qui se développe sur 
le plan incliné BG ; c'est-à-dire que le fluide entre en ER 


72 COU 


animé d’une vitesse due à la hauteur AE ou CF, et que 
cette vitesse s’augmente de toute celle qu’il pourrait ac- 
quérir par la seule hauteur FD, si les molécules fluides 
commencaient à descendre en EB sans aucune vitesse 
préalablement acquise. La vitesse finale de l’écoulement 
a donc lieu en vertu de la somme des deux hau- 
teurs GF —- ED, ou simplement de la hauteur GD de la 
surface du réservoir au-dessus de l’orifice d'écoulement. 
Nous désignerons par H cette dernière hauteur, qu’on 
appelle la charge de la conduite. 

Si les parois du tuyau ne présentaient aucune résis- 
tance au mouvement de l’eau, ce mouvement devrait 
continuellement s’accélérer, et la vitesse v’ de sortie se- 
rait (Voy. ÉcouLEMENT) 

v —|/29H. 

Mais il n’en est point ainsi : dans les conduites, comme 
dans les canaux, le mouvement devient sensiblement 
uniforme à une très-petite distance de son origine, de 
sorte que la vitesse de sortie n’est jamais celle qui cor- 
respond à toute la hauteur H. Nommons v la vitesse 
réelle de sortie et X la hauteur à laquelle elle serait due, 
nous aurons 


v? 
h=—, 
27 
et par conséquent 
dv? 
H—— 
29 


sera la portion de hauteur absorbée par la résistance et 
représentera cette résistance. 

Or, la résistance provenant de l’action des parois est 
proportionnelle à toute la surface intérieure du tuyau: 
car, dans le cas que nous examinons, l'écoulement se 
fait à plein tuyau (s’il n’en était point ainsi, la conduite 
serait un simple canal); de plus, elle est proportion- 
nelle au carré de la vitesse, plus une fraction de la simple 
vitesse , et, enfin, elle est en raison inverse de l’aire de 
la section. Si nous désignons donc par L la longueur de 
la conduite, par $ sa section, par P le périmètre mouillé 
et par A et B deux coefliciens constans à déterminer par 
expérience, la surface intérieure du tuyau sera LP, ct 
nous aurons pour l'expression de la résistance 


LP 
A (0° + Bv), 
ce qui nous donnera l'équation fondamentale... (b) 
v° LP 
H———A— (1 
ps = AS (0° +-Bt) 


M. de Prony a obtenu, pour les coefficicas A et B, 


les valeurs 


A—0,0005485 ; B—0,0/98 ; 


COU 


mais M. d’Aubuisson, en combinant des expériences 
plus récentes, trouve 


A—0,0003425 ; B—0,055. 


D’après ces dernières valeurs, l’équation fondamen- 
tale devient... (7) 4 


2 


v 
H — _ — 0,0003425 : (op? 0,055v) » 


Pour rendre cette équation plus facilement applicable 
aux cas particuliers, observons que si nous désignons 
par D le diamètre des tuyaux, nous aurons S = : rl’, 
P — xD; 7 étant le rapport de la circonférence au dia- 
mètre ou le nombre 3,1415296. Substituant ces valeurs 
ainsi que celle de g, il viendra... (8) 


H — 0,0510? — 0,00137 = (v? + 0,0055v), 


équation qui fera connaître une quelconque des quatre 
quantités H, L, D, v, lorsque les trois autres seront 
données. 

24. La dépense étant le plus ordinairement une des 
quantités données ou cherchées dans les questions rela- 
tives au mouvement de l’eau dans les conduites, il est 
utile de la faire entrer dans l'équation (8), ce qui ne 
présente aucune difficulté : car en la nommant Q, on a 


Q — vS ou Q — :rvD?, ce qui donne v — 12700. 


Substituant cette valeur de v dans (7), il vient... (9) 


2 
H — 0,08264 = — 0,00221 2 (Q°? + 0,0432 QD:), 
équation qui renferme la solution de tous les problèmes 
pratiques. On en tire pour la valeur de Q... (10) 


0,0216 450,2HD° , /o,0216LD° | 
L+37, D D (en) 


Quant à celle de D, qui est très-souvent la quantité à 
déterminer, il faut résoudre l’équation (8) par rapport 
à D en la ramenant à la forme... (10) 


Q—— 


2 
D‘—0,0000957 A RD —0, 08262 D—0,00222 8 — 0 


On peut, ce nous semble, abréger les calculs de la 
détermination de Q en résolvant d’abord l'équation (8) 
par rapport à v, ce qui donne... (11) 


_0,0275L mu Aron Pr A ) : 
L 57,2) |L—+37,2D | \L-E57,2D | 


V—=— 


car la valeur de v étant une fois connue, on a ensuite 


Q = 0,7854vD°. 


COU 


25. Toutes ces expressions deviennent beaucoup plus 
simples lorsque la vitesse surpasse 0",60, parce que la 
résistance est alors sensiblement proportionnelle au 
carré de la vitesse, ce qui permet de négliger le terme 
Bo de l'équation fondamentale (6); on a alors, d’après 
les expériences de Couplet... (12) 


2 
H—0,0510*—0,001435 _ 


et, en fonction de Q... (13) 


2 2 


L 
H—0,08274 de 0,002526 : 


la valeur de Q est simplement... (14) 


26. Le terme 39D étant très-petit comparativement 
à L, dans les grandes conduites, on peut le négliger, 
ainsi que le second terme sous le radical, et on a, avec 
une approximation suffisante, pour les petites vites- 
ses... (15) 


Q—D? [- 0,0216 us] 


et pour les grandes... (16) 
Q = 20,3 


27. Nous allons donner quelques exemples d'appli- 
cation. 

I. On demande quel volume d’eau débitera une conduite 
de 1450 mètres de long et 0®,25 de diamètre, sous une 
charge de 5,52. 

Nous avons ici D = 0,25, L=— 1450 et H — 5°,32, 
Ainsi, 

LL 37,2D — 1459,5. 


Substituant ces valeurs dans l’expression de la vi- 
tesse (11), il vient 


___ 90275 X 1450 729,92 X 5,32 X 0,25 
+ HMS | ER EI ERP TS ot 


2 (RE —) : 


d'où, après tous calculs faits, 0 — 0,788796. On a 
donc 


Q = 0,788796 X 0,7854 X (0,25)? = 0,03872. 


Ainsi la dépense demandée est de 0°°,03872. En em- 
ployant la formule approximative (15), on aurait 
trouvé 0°°,03882 ; la formule (16) donnerait 0,03842. 
: 11. On demande le diamètre d'une conduite de 800 me 

Tom. nt, 


COU 13 


tres de long qui, sous une charge de à mètres, doit me- 
ner 0%°,050. 

Nous avons H — 2, L — 800, Q — 0,05; mettant 
ces quantités dans l'équation (10), elle devient, après 
les réductions, 


DS — 0,00192D? — 0,000098D — 0,00222 — 0. 


Pour obtenir une première approximation, négligeons 
le second et le troisième terme, nous aurons 
8 ee — 
D—1/0,00222— 0,295, 

valeur trop petite, car en la substituant à la place de D 
dans l’équation, le premier terme se réduit à 0,000182. 
Faisant D — 0,295 + z et appliquant la méthode de 
Newton (Voy. ArrroxIMATION, tom. 1), nous obtien- 
drons z — 0,00496, d’où D — 0,2996. Le diamètre 
cherché est donc 0%,3, en bornant l’approximation aux 
millimètres. 

28. Lorsque les vitesses sont au-dessus de 0",60, on 
peut obtenir très-facilement la valeur de D en dégageant 
cette quantité de l'expression (16); on a ainsi 


D — 0,298] 


En employant cette dernière formule, nous aurions 
trouvé immédiatement 


5 V R\2 
D — 0,298 [ces] 0,298; 


valeur qui ne diffère pas sensiblement de la précédente. 

29. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé 
que l'écoulement s’effectuait par une extrémité ouverte 
de la conduite ; mais le plus ordinairement ces extrémi- 
tés sont terminées par des orifices plus étroits que le 
tuyau ou par des robinets, et alors la vitesse du fluide 
à sa sortie n’est plus la même que dans la conduite. Si 
nous désignons par V la vitesse de sortie par un orifice 
ou par un ajutage quelconque, la portion de la charge 
absorbée par la résistance deviendra 


H—0,051V°, 


tandis que la résistance des parois sera toujours fonction 
de la vitesse © qui a lieu dans l’intérieur, et ne cessera 
pas d’avoir pour expression 


L2 L > 
0300197 ÿ (v? —- 0,055) ; 
de sorte que l'équation fondamentale deviendra 
72 5 L y2 | 55%) 
H—0,051V°=—0,001975 (v?+0,0550). 
Or, d’après le principe rappelé dans le N° 18, les vi- 


tesses sont en raison inverse des sections : ainsi, dési- 
10 


74 COU 


gnant par d le diamètre de l'orifice et par M le coefi- 
cient de contraction qui sy applique (Voy. Écourr- 
MENT), NOUS aVOns 


NE VI +rD? & rm, 


d’où 


D? 
V— nr 
md 


et remplaçant la vitesse v par la dépense Q, 


) 
V=—=1,270 Le 
215 md 
Substituant cette valeur dans l'équation précédente, 
nous obtiendrons pour l'équation générale du mouve- 
ment... (17) 
IH — 0,08264 c@i ue 00222 L Q2 32QD° 
ODA EE 223 55 (Q —-0,0432Q ). 
Pour les vitesses au-dessus de 0°,60, cette équation 
se réduit à... (18) 
Q° LQ° 
. 


— 0,00293 


H — 0,0826 
2020 midi D 


On entire successivement... (19) 


HD° 
Q— 20,731 ME 
LE35,47— | 
An pe d' 
s TE T0 2 
DRÉRTONX H—0 0162 ? 
À md" 


— 0 556 1/ Fe 
Su an sscos | 


30. L'application de ces formules aux cas particuliers 
ne présentant aucune difficulté, nous nous contenterons 
d'en présenter un seul exemple. 

On demande la dépense qui aura lieu par un ajutage 
cylindrique adapté à l'extrémité d'une conduite longue 
de 1200 mètres et d'un diamètre de 0",2, sous une charge 
de 6», le diamètre de l’ajutage étant de o",01. 

6, D 
et le coefficient de contraction des ajutages cylindriques 


Nous avons H 6,2, L 


1200, d — 0,01, 


est 0,82. Ces valeurs donnent 


È psiulèes: 
35,47 md == 1688047 = 


et, par suite, 


Q — 20,73 pui Cr | 


1200 + 1688047 


102% 0022 


La dépense du tuyau ouvert eût été 0"°,0826975. 


M. d’Aubuisson a observé que lorsque Je diamètre 


COU 

de l'ajutage dépasse la moitié de celui de la conduite, 
la dépense ne diffère que de très-peu de celle qui au- 
rait lieu en laissant la conduite entièrement ouverte. 
Dans le cas qui nous occupe, nous trouverions D 
— 0%°,078416 en faisant d 0,12; mais il paraît 
que la différence est encore moindre en pratique qu’en 
théorie, car en adaptant divers ajutages à une même 
conduite de 0",05 de diamètre sur 424" de long, 
M. d’Aubuisson a obtenu les résultats suivans : 


Dépense avec un ajutage de 0°,01. 0,000822 
Id. id. « 0 ,02. 0,001581 
Id. id. . 0 ,03. . . 0,001720 
Id. sans ajutage- 0,001722 


51. Il nous resterait à examiner le cas des conduites 
qui présentent des coudes ct des étranglemens, c’est-à- 
dire des parties de moindre section dans leur étendue; 
mais les détails qu'exigeraient cet examen dépassent les 
limites de notre ouvrage, et nous devons renvoyer aux 
traités d'hydraulique. Nous ferons seulement observer 
d’une manière générale que toute cause qui amène soit 
un changement de direction dans le mouvement de 
Veau, soit une accélération de vitesse pour la con- 
traindre à passer par une section plus étroite, absorbe 
toujours une certaine partie de la charge totale. Les 
coudes arrondis ou curvilignes n’exercent qu’une très- 
petite influence sur la vitesse finale, tandis que les coudes 
brisés, comme le serait un coude rectangulaire , la di- 
minuent considérablement. Il est donc très-important 
d'éviter les angles dans les conduites. Quant aux étran- 


glemens et aux renflemens, on a rarement à en tenir 


compte, parce qu'une conduite bien construite ne doit 
en présenter aucun. 

Lorsque l’eau s'écoule du réservoir dans une con- 
duite principale ou de celle-ci dans un embranchement, 
il y a toujours contraction de la veine fluide, et sinous 
n’en avons pas parlé jusqu'ici, c'est que son effet est 
compris dans les coefliciens de l'équation fondamentale. 
Lorsqu'il s'agira d’une conduite secondaire, l'effet de 
la contraction se trouvera pareïllement compris dans la 
détermination de sa charge, de sorte qu'il est inutile de 
le considérer en particulier. 

Toutes les formules précédentes se rapportant à une 
conduite parfaitement unie sur toute Sa surface inté- 
rieure, on ne doit regarder les’résultats numériques 
qu’elles donnent que comme des approximations, et les 


ingénieurs sont dans l'usage de diminuer d'un tiers le. 


coefficient de la dépense. Ainsi, lorsqu'on voudra éta- 
blir une conduite, on devra déterminer les diamètres 
dans l'hypothèse que la dépense est d’un tiers plus forte 
que la dépense réelle. Si l'on a, par exemple, une dé- 
pense réelle de 0°‘,100, on mettra dans les formules 
o°,150, De même, si cn calculant une dépense on la 


COU 


trouve théoriquement de 0"°,210, on ne devra compter 
que sur une dépense réelle de + (0,210) — 0,140. 

52. Toute eau courante, soit dans un canal, une ri- 
vière ou une conduite, est animée d’une force motrice 
qu'on peut employer pour faire fonctionner les ma- 
chines. Nous n'avons examiné dans cet article que les 
circonstances du mouvement de l’eau ; nous considére- 
rons ce fluide comme moteur au mot Eau. 

Ouxrages à consulter sur les eaux courantes : Hydro- 
dynamique de Bossut; Architecture hydraulique de Bé- 
lidor, avec les notes de Navier. Nouvelle Architecture 
hydraulique de Prony ; Principes d’'hydraulique de Du- 
buat ; Essai sur le mouvement des eaux courantes de Be- 
langer; Hydrotechnie de Funk ; Idrauliea de Venturoli; 
Hydraulique des ingénieurs de d’Aubuisson. 


COURBES EXCENTRIQUES. (Méc.) On désigne 
sous ce nom des plateaux qui ont une courbure déter- 
minée, et qu’on adapte à un axe tournant pour rempla- 
cer les manivelles, dont le mouvement n’est jamais bien 
régulier. Ces organes mécaniques transforment le 
mouvement circulaire continu en rectiligne alternatif. 
(Voy. COMPOSITION DES MACHINES.) 

Supposons qu'il s'agisse de faire monter et descendre 
alternativement avec une vitesse uniforme la tige MN 
(PI. 10, fig. 7), mobile entre les tenons g, g. Ayant 
adapté à l’axe À du mouvement une courbe excen- 
trique PQ, dont nous indiquerons plus loin la construc- 
tion, on fera reposer sur son épaisseur l'extrémité de 
la tige MN garnie d'une roulette N pour diminuer le 
frottement , et il est évident qu’à chaque révolution de 
la courbe, représentée dans la figure, la tige s’élèvera 
pendant tout le temps que la roulette s’appuiera sur une 
des moitiés de cette courbe et qu’elle s’abaissera, soit 
par l'effet de son poids, soit par l'effet d’un ressort, 
pendant que la roulette s’appuiera sur l’autre moitié. 
Le point de la plus grande élévation correspondra au 
moment où l'extrémité P de l’excentrique arrivera sous 
la roulette, et le point du plus grand abaissement à ce- 
lui où le point Q se trouvera dans la verticale. 

En analysant avec soin les circonstances du mouye- 
ment qu'on veut donner à la tige, on peut toujours 
trouyer facilement la courbe capable de le produire. 
Ici, la condition à remplir étant qu’un point quelconque 
de l’excentrique décrive des arcs égaux autour du centre 
de l'axe, pendant que la tige s'élève ou s’abaisse de 
quantités égales, le tracé de la courbe est très-simple. 

Ayant pris la droite AB (PI. 10, fig. 8), égale à la 


_ distance du centre de l’axe au point de la plus grande 


élévation de la roulette, et, sur cette droite, la partie AQ 
égale à la plus petite élévation, on décrira du point A 
comme centre, avec AB pour rayon, une circonférence 
de cercle qu'on divisera en un nombre pair de parties 


COU 75 


égales, 12 par exemple; on numérotera les points de 
division 1, n, im, ete., à la droite et à la gauche de B, 
de manière que chaque demi-circonférence porte six 
numéros. Ceci fait, et après avoir mené les rayons A1, 
An, etc., on divisera BQ, qui représente une excursion 
entière de la tige, en six parties égales qu’on numéro- 
tera 1, 2, 5, etc., à partir de Q. Du centre A, avec les 
rayons AQ, A1, A2, A5, etc., on décrira successive- 
ment des circonférences, et leurs intersections avec les 
rayons de même numéro seront autant de points de la 
courbe cherchée. On voit immédiatement que tous les 
diamètres de cette courbe passant par le centre A sont 
égaux à la distance fondamentale PQ de la pointe P au 
point de rebroussement Q. 

Si, au lieu d’un mouvement uniforme, il s'agissait 
de produire un mouvement varié, d’après une loi quel- 
conque, on diviserait BQ en six parties ayant entre elles 
les rapports donnés par cette loi, et tout le reste de la 
construction serait la même. 

Les excentriques dont la courbure se détermine de la 
manière précédente ne produisent qu'une allée et qu'une 
venue dans une de leurs révolutions complètes; mais 
lorsqu'on a bien compris le principe de leur construc- 
tion, il est facile de l’étendre aux cas d’un nombre quel- 
conque d’excursions et d’incursions pendant une seule 
révolution de la courbe. 

Soit, par exemple, à décrire une excentrique ca- 
pable de produire quatre allées et quatre venues de la 
tige, égales entre elles et d’un mouvement uniforme. 
Après avoir pris, comme ci-dessus, les droites AD 
et AQ (fig. 9, PI. 10), respectivement égales à la plus 
grande et à la plus petite distance de l’extrémité de la 
tige au centre À du mouvement, on décrira une circon- 
férence avec le rayon AD et on le partagera d’abord en 
quatre parties égales; on le partagerait en six si on 
voulait six allées et six venues, et ainsi de même; on 
partagera DQ en un nombre quelconque de parties 
égales, qu'on numérotera 1, 2, 3, etc., à partir de Q; et 
du centre A, on décrira successivement des circonfé- 
rences avec les rayons AQ, A1, A2, etc. Ceci fait, on 
partagera chaque quart de circonférence en un nombre 
de parties égales double de celui des parties de DQ. 
Ici DQ étant partagé en quatre, nous partagerons chaque 
quart en huit parties égales, et nous numéroterons les 
points de division 1, 1, 11, 1V, à partir de chaque ex- 
trémité de l'arc, comme cela est fait dans la figure pour 
le quart BD, de sorte que le numéro 1v correspondra à 
la moitié de l'arc; du centre A on mènera des rayons 
à chaque point de division, et leurs intersections avec 
les circonférences de même numéro seront des points 
de la courbe. 

Deparcieux, qui s'est beaucoup ocoupé des oourhes 
excentriques, à donné dans les Mémoires de l'Académie 


76 CUL 


des sciences, pour 1747, des méthodes faciles pour les 
décrire dans tous les cas. 


COURSIER. (Hydraul.) Canal en bois ou en pierre 
qui renferme et dirige un courant d’eau. On s’en sert 
principalement pour alimenter les roues hydrauliques. 
Voy. Eau. 


CRÉMAILLIÈRE. (Mée.) Tige garnie de dents qui 
engrènent avec les dents d’une roue. 

Lorsque le mouvement de la roue est transmis à la 
crémaillière, alors il y a transformation de mouve- 
ment circulaire en mouvement rectiligne, les dents de 
cette dernière doivent présenter des lignes droites pa- 
rallèles entre elles, et les dents de la roue avoir la cour- 
bure de la développante du cercle primitif de cette 
roue. (Voy. Games.) Lorsqu'au contraire la crémaillière 
conduit la roue, ce qui transforme le mouvement rec- 
tiligne en circulaire, les flancs des dents de la roue doi- 
vent être dirigés vers son centre , et les dents de la cré- 
maillière avoir la courbure d’une eycloïde décrite par le 
cercle primitif de la roue. M. Leblanc, dans son Traité 
du dessin des machines, a donné les moyens de tracer 
toutes les espèces d’engrenages. 


CULMINATION. (4stron. et Géograph.) L'observa- 
tion de la culmination des astres n’est pas seulement 
utile pour déterminer la latitude géographique d’un 
lieu de la terre (Voy. Larirupe), elle est aussi employée 
avec succès dans les observatoires stables pour en déter- 
miner la différence de longitude ; mais il faut alors que 
l’astre observé à la lunette des passages ait un mouve- 
ment propre très-sensible d’occident en orient. Or, la 
lune seule jouit de la propriété de rendre cette méthode 
très-exacte, et c’est de la différence des temps de son 
passage au méridien de chaque lieu que l’on déduit la 
différence de leur longitude. 

Si l’un des observatoires est Paris et que L soit la lon- 
gitude occidentale de l’autre observatoire par rapport au 
premier, L exprimée en temps à raison de 15 degrés 
pour une heure, sera aussi le temps sidéral physique- 
ment écoulé entre les passages d’une même étoile à ces 
deux méridiens; et comme dans un si court intervalle 
de temps l'ascension droite apparente de l'étoile reste la 
même, il est évident qu’on a dû compter la même 
heure sidérale à ces deux stations, quoiqu’en réalité il 
se soit écoulé L heures sidérales. Mais relativement à la 
lune, dont le mouvement propre vers l’orient est très- 
rapide, le temps sidéral écoulé depuis son premier pas- 
sage jusqu'au second est nécessairement de L a heures, 
a désignant la quantité dont son ascension droite, ex- 
primée en temps sidéral, a augmenté. Cela posé, soit d 
degrés le mouvement de cet astre ‘en ascension droite 


CUL 


durant une heure de temps vrai, et m le mouvement, 
également en ascension droite, du soleil durant le même 
temps, deux quantités données dans la Connaissance des 
temps ; alors d et 15 a étant des arcs décrits par la lune 
dans les temps sidéraux 1° — m et L + a, on a cette 
proportion : 

1lHmiL+a::d:15a; 
d’où 

d(L + a) = 15a (1 + m), 


relation de laquelle on tire la différence de longitude 
LT (15 : 4) 
= Ta (2 + Mm—rxt). 


Par exemple, le 25 octobre 1830, l’on a observé à 
Paris et à Kænigsberg les passages du bord occidental de 
la lune, et l’on a eu 


A Paris, heure moyenne. . . 6:54'53",04 
À Kænigsberg.. . . : . . . 6 52 5,90 


2 47,14 
0 ,46 


Différence en temps moyen 
Réduction au temps sidéral + 


Différence en temps sidéral. 2 47",60—167",6—a. 


La Conn. des temps donne le mouvement horaire du 
soleil m — 9,583; ainsi 1 + m — 609,58 ; elle 
donne de plus 


Asc. dr. de la Œ le 25 à midi. . 310° 040” 
Id. à minuit. 316 41 57 


Différence en 12 heures. . . . . 64117 


d—55'26",42 
d= 215,76 
Facteur 1 m—d=— 5755",82 — 3455",85. 


De là en 1" vraie, 


Enfin, opérant à l’aide des logarithmes à cinq décimales, 
on a 


LE 4355",2 — 11192 '35",2. 


Telle est, d’après ces deux observations correspon- 
dantes, la longitude de Kænigsberg comptée de Paris. 
On remarquera cependant que le mouvement en ascen- 
sion droite de la lune n’étant pas rigoureusement pro- 
portionnel au temps, comme nous l'avons supposé en 
évaluant a, il conviendrait, pour plus de précision, de 
recourir à la méthode d’interpolation dans laquelle on 
tient compte des différences secondes (Voy. InterroLa- : 
TION) ; mais il suffisait ici de donner une idée de la ma- 
nitre d'appliquer les culminations lunaires à la déter- 
mination des longitudes géographiques. Nous dirons 
pourtant que les culminations comparées de la lune et 
d’une étoile en deux lieux différens, offrent un moyen 
encore plus facile d'obtenir exactement la différence de 


CUL 


longitude, parce que le calcul étant uniquement fondé 
sur la durée sidérale écoulée entre les deux passages à 
chaque station, il s'ensuit qu'une petite erreur sur la 
position de la lunette et sur l'heure de la pendule n’a 
aucune influence sensible sur le résultat cherché. On 
peut consulter à cet égard l’Astronomie pratique de 
Francœur. 

Si dans l'exemple précédent l'observation du bord de 
la lune n'avait pas été faite à Paris, on y suppléerait, en 
calculant d’abord l’heure sidérale du passage du centre 
de cet astre en cette ville, pour le 25 octobre 1830,eten 
la corrigeant ensuite du temps sidéral que le demi-dia- 
mètre met à passer au méridien, temps qui est donné 

; r 
par cette expression 
son de la lune et r son demi-diamètre ; deux quantités 
qu'on trouve dansla Connaissance des temps. 
M. Puissant. 


D désignant la déclinai- 


CULTELLATION (Géod.) On désigne sous ce nom la 
méthode de mesurer la surface d’un terrain en pente, en 


CUL 77 


le projetant par des perpendiculaires sur un plan hori- 
zontal. 

Soit, par exemple, le rectangle ABCD (PI.10, fig.10) 
dont la superficie fait partie de celle d’un coteau ; ayant 
abaissé de chacun de ses angles une perpendiculaire sur 
un plan horizontal MO, le quadrilatère MNOP représen- 
tera l’aire réellement productive du rectangle ABCD, 
telle qu’elle doit figurer dans la carte topographique de 
la contrée. 

Cette méthode ne résulte seulement pas de l’impossi- 
bilité où l’on serait de faire raccorder les parties d’un 
plan dont les unes auraient été mesurées dans le sens 
horizontal et les autres dans le sens des pentes du ter- 
rain, mais encore de ce qu’il est reconnu que les pro- 
duits de la culture d’un terrain incliné ne peuvent 
dépasser ceux qu’on obtiendrait sur la projection hori- 
zontale de ce terrain, parce que les plantes croissent 
verticalement. Voy. le Traité d'arpentage de M. Le- 
fèvre, et pour tous les détails théoriques, le Traité de 
topographie de M. Puissant. 


D. 


DAN 


DANAIÏDE. (Hydraul.) Espèce de roue à réaction 
qui reçoit l’action motrice de l’eau, inventée parM.Man- 
noury d’Ectat. Nous emprunterons sa description à 
MM. Lanz et de Bettancourt. 

« Cette machine peut être comprise, comme le dit 
très-bien M. Petit, au nombre des roues hydrauliques; 
elle se réduit à une cuve cylindrique en bois ncdd'c'n' 
(PL. 10, fig. 11) dont le fond est percé à son centre par 
un orifice circulaire rr (voy. l'élévation et la coupe (b) ). 
‘Au travers de cet orifice passe un essieu vertical de 
fer pq retenu par le haut dans un collier, et posant, dans 
sa partie inférieure, sur un pivot qui lui permet de 
tourner sur lui-même, en entraînant la cuve à laquelle 
il est fixement attaché au moyen de quatre croisillons en 
fer, dont on voit deux cc’ et ee’ dans la coupe (a), et les 
deux autres dd’ et ff dans la coupe (b). Cet essieu, di- 
rigé suivant l’axe de la cuve, ne ferme pas complète- 
ment l’orifice central rr qu'il traverse ; il laisse, au con- 
traire, tout autour de sa circonférence une couronne 
vide par où l’eau affluente peut s'échapper. Un dia- 
phragme circulaire ss fixé à l’axe vertical pq et aux croi- 
sillons cc’ et ee’, immédiatement en dessous de ceux-ci, 
partage la cuve en deux parties égales ncc'n et cdd'c 
qui ne peuvent communiquer l’une avec l’autre que par 


DAN 


la couronne vide qui reste entre le diaphragme circulaire 
et la surface intérieure de la cuve. La partie inférieure 
cdd'c' est partagée en huit cases par autant de dia- 
phragmes f, quatre desquels partent de l'axe pg vers la 
circonférence, et quatre autres n’atteignent pas l'axe, 
pour ne pas trop obstruer l’orifice rr. Ces diaphragmes, 
formés par des surfaces planes, descendent depuis le 
diaphragme circulaire jusqu’à la base de la cuve. L'eau 
arrive à la partie supérieure de la cuve par un tuyau de 
conduite B, qui se replie convenablement pour la laisser 
sortir par un orifice æ (élévation et coupe (a) ), sous la 
forme d’une nappe qui frappe tangentiellement dans 
toute la surface concave de cette partie, met la cuve en 
mouvement, descend à la partie inférieure par la cou- 
ronne vide ménagée entre le diaphragme ss et la surface 
intérieure de la cuve, s’engage dans les cases déjà indi- 
quées, et sort enfin par l’orilice rr pour tomber dans le 
tuyau de décharge R. Telle est la description et le jeu 
de cette machine, que l’auteur a exécutée avec le plus 
grand succès dans différentes manufactures. 1] vient d'y 
ajouter un perfectionnement qui consiste à substituer 
aux diaphragmes f{ à surfaces planes, d’autres dia- 
phragmes en forme de spirales qui se prolongent en 
montant jusqu’au hord supérieur nn de Ja cuye, au tra- 


78 DÉV 


vers de la couronne vide du milieu. La forme qu'il 
donne à ces nouveaux diaphragmes lui permet de sup- 
primer le rebord nn qui servait à empêcher Peau de se 
répandre au dehors; il paraît que par cette dernière mo- 
dification la perte des forces vives est diminuée consi- 
dérablement. » 

DENTS pes nours. (Voy. ENGRENAGES, tome 1, p. 530.) 

DÉPENSE v’Eau ou pe varzun. On désigne sous ce 
nom la quantité d’eau ou de vapeur employée comme 
force motrice pour produire un effet déterminé. 

La dépense d'un courant d’eau est la masse fluide qui 
passe par une de ses sections dans un temps déterminé 
(Voy. Courawr). 


DÉTENTE. (Méc.) Mécanisme qui fixe certaines par- 
ties d’une machine pendant un intervalle de temps et 
les abandonne ensuite tout-à-coup. (Voy. Roue et Son- 
NETTE.) 


DÉVERSOIR. (Hydraul.) Échancrure rectangulaire 
pratiquée à la partie supérieure d’une des parois d’un 
bassin pour donner passage au fluide dont il est rempli. 
La base de cette ouverture est horizontale et porte le 
nom de seuil. (Voy. ÉCOULEMENT DES FLUIDES. ) 


DÉVIATION. (4stron.) Lorsque l’axe optique d’une 
lunette des passages est exactement dans le méridien, 
l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages 
consécutifs, l’un supérieur, l’autre inférieur ou vice 
vers, d’une étoile circompolaire, est de 12 heures sidé- 
rales. Dans Le cas contraire, le cercle diurne que paraît 
décrire l'étoile est partagé en deux parties inégales, et 
une mire qui se trouve précisément dans là direction de 
l'axe optique dévie à l’est ou à l’ouest d’une quantité 
angulaire qu'on mesure ainsi qu'il suit : 

Soit Z (PI. 10, fig. 12}-le zénith du lieu de l’observa- 
teur, ZA le vertical que décrit la lunette en tournant sur 
son axe horizontal de rotation, P le pôle du monde; et 
supposons que l'objectif soit tourné du côté du sud. La 
déviation orientale de la lunette sera représentée par 
l'angle horizontal MCH, mesure de l’angle sphérique 
MZH, et c’est cet angle qu'il s’agit de trouver à l’aide 
de l'observation des passages dés astres A, B, B'au fil 
du milieu de la lunette. Or, en désignant par 4 la dis- 
tance polaire AP de l’astre À, par 90°—H la colati- 
tude ZP ou le complément de la hauteur H du pôle 
pour le lieu de l’observateur, et par æ la déviation MH 
ou l'angle MZ; le triangle sphérique AZP, dans lequel 
l'angle P est l’angle horaire, donne 


DÉV 


ou, à cause de tang Z = —tang x et de l'extrême peti- 
tesse de æ par supposition, auquel cas sin P—P et cos P 
— 1, à fort peu près, on a sensiblement 


P— (sin H — cot 4 cos H)æ. 


Telle est la quantité qu’il faudrait ajouter au passage 
observé pour avoir l'heure véritable du passage au mé- 
ridien, si l’on connaissait æ. 

Supposons qu'une autre étoile B ou B' ait été obser- 
vée à la lunette, on aura pareillement pour celle-ci : 


P'— (sin H — cot A’cosH)x. 
De ces deux équations semblables on tire 


æ sin (4'— A) 
sin A sin À’ 


cosH; 


P—P— + (cotA — cot4')cos H— 


et si l’on désigne par T le temps sidéral du passage de 
la première étoile au méridien, ou son ascension droite 
apparente réduite en temps; par {le temps de son pas- 
sage au vertical de la lunette, observé à une pendule 
exactement réglée sur le temps sidéral, on aura évidem- 
ment P —"T — t, et, pour la seconde étoile P—T'—#'; 
ainsi en définitive (1) 


LUS —T—(#— t)]sin 4 sin 4° 
cos H sin (4 — 4) 


Il suit de ce résultat que pour déterminer la dévia- 
tion de la lunette, bien rectifiée d’ailleurs, il suffit de 
connaître à peu près les distances polaires A, 4° et très- 
exactement la différence T' — T d’ascension droite, 
pourvu que 4'— A ne soit pas un petit arc. Cette dévia- 
tion sera orientale si & est positif, occidentale dans le 
cas contraire. Pour une seule étoile on a (2) 


(T—+) sin A  ({—T)sina. 
cos(H-E A)  cos(H-F 4)? 


mais alors la déviation est trop dépendante du temps 
du passage de l'étoile au méridien et de sa déclinaison, 
ainsi que de la marche de la pendule. à 
Les deux formules précédentes se rapportant aux 
passages supérieurs, on les ramènera aux passages infé- 
rieurs en prenant négativement sin A et cot À; et si, au 
lieu d'observer deux étoiles différentes, on observe la 
même étoile au-dessus et au-dessous du pôle, A’ se chan- 
gera en — A; la différence des passages au méridien, 
savoir T'— T, sera de 12, et l’on aura visiblement (5) 


L—=— 


ER CR DA 
2 cos H cot 4 


[aob— (4 =t)1: sin A 


TS EEE er EE 


cos H sin 2 A 


Cette dernière formule ne dépend plus de l'ascension 
droite de l'étoile ; elle donnera la déviation & avec beau- 
coup de précision, si cot A est très-grand, Ou, ce qui 
est de même, si l’on observe de préférence des étoiles 


DIS 


ctreompolaires. Delambre, à qui est due la méthode que 
nous expliquons, indique la polaire à, 8, y de la petite 
Ourse et y de Céphée, parce qu'on n’a rien à craindre 
de l’irrégularité de la pendule. On fera bien alors de 
placer la mire au nord de la station; et lorsqu'on en 
connaîtra la déviation, il sera très-facile d'orienter une 
chaîne de triangles par l’azimut d’un de ses côtés. (Voy. 
ce mot.) 

Pour donner une application de cette méthode, nous 
choisirons l'observation même par laquelle Delambre 
mesura à Paris la déviation de sa lunette, qu’il n’eut pas 
le temps de remettre sur la mire méridienne. 


@ sa : HAL QUQE +. 
Passage inférienr de la chèvre à la Innette à 19 °1 1888 — 1; 


Passage supérieur, 12 heures après, ou à. . 51870 —1; 
On avait d’ailleurs 


A 445", 1— 4850; 


de là # —+t— 12"0'0",2, et ensuite la formule (3) donne 
en temps 
._ —0',2tangA 


LT — —— 0",148; 
2 COS Il SE 


ainsi en arc © — — 2',25. 

On juge par le signe de æ que la déviation était oc- 
cidentale quand l’objectif était tourné vers le sud, 
comme nous l'avons supposé dans les formules précé- 
dentes ; elle serait au contraire orientale, si l’on suppo- 
sait l'objectif tourné vers le nord. 

(M. Puissant.) 


DILATATION. Voyez CnaLeur. 


DISTANCES LUNAIRES. (4st. Nautiq.) C’est sur- 
tout dans les voyages de long cours que les navigateurs 
font un fréquent usage des distances de la lune au soleil 
et aux étoiles , pour déterminer la longitude du lieu où 
ils se trouvent. Ces distances se mesurent au sextant, 
ou, mieux encore, au cercle à réflexion dont Borda a 
enrichi l'astronomie nautique. (Voyez Cencre Rérért- 
TEUR.) La rapidité avec laquelle la lune se meut dans 
son orbite autour de la terre fait que dans certaines cir- 
constances l’arc qui la sépare de l'étoile mise en com- 
paraison change sensiblement de grandeur dans un très- 
court espace de temps, par exemple lorsque la déclinai- 
son de l’étoile située à lorient ou à l'occident de Ja lune 
est peu différente de celle de ce satellite. Dans la Con- 
naissance des temps, et à chacun des mois de l’année, se 
trouvent calculées de 3 heures en 3 heures les distances 
vraies du centre de la lune à celui du soleil, aux princi- 
pales étoiles du zodiaque, et même maintenant au centre 
des planètes; ces distances sont telles que les verrait 
(abstraction faite de la réfraction) un observateur qui 


DIS 79 


serait placé au centre de la terre. On conçoit alors que 
si, dans un lieu dont la longitude est à peu près connue, 
l'on a mesuré une distance lunaire, et qu’on l’ait réduite 
en distance vraie, il ne s’agira plus que de déterminer, 
par un calcul d’interpolation, l'heure, les minutes et se- 
condes de temps moyen que l’on comptait à Paris lors- 
que cette distance vraie existait; puisque la différence 
entre ce temps et celui de l’observation sera celle de la 
longitude cherchée. Ordinairement la formule par la- 
quelle on convertit une distance lunaire apparente en 
distance vraie est celle de Borda ; on l’obtient ainsi qu’il 
suit : 

Soient A, E, E la distance et les deux hauteurs ap- 
parentes du soleil et de la lune; 0, €, e’ la distance et 
les hauteurs vraies de ces deux astres; enfin Z l’angle 
au zénith formé par leurs verticaux, dans lesquels leurs 
lieux vrais et apparens se trouvent respectivement. Le 
triangle sphérique dont les sommets sont au zénith et 
aux centres apparens des astres donnera 


cos À — sin E sin E' 
cos E cos E' 


COS Z — , 


celui dont les sommets sont au zénith et aux centres 
vrais des astres donnera pareillement 


cosÿ— sinesine. 
cos eos € 


cos Z = 


ainsi l’on a 


cosA—sinEsinkE  cosi—sinesine 


cos E Cos E' COS € COS €’ 
Mais À cause de 


sin E sin E = c0$ E C0 E— c0s (EE), 


sine sine — cos e cose — cos (e + €), 


la relation précédente se change nécessairement en 
celle-ci : 


cos A cos (EE) __ cos cos (ee) 


cos ecose 


cos E COSE 


d’où lon tire 


cos € cos 1 ; | , 
= 2 7 licos, ep‘) | cos »"): 
cosd SRE ÉCOSE cos A—+-cos(EE) cos(e—e) 


et si l’on a égard à ce que 


cosA-cos(r-r'}—2cosi(E-}E"À-A)cos: (EE —A4), 


cos(e-ke’}==2cos";(e+e)—1, cosd—1—25sin"0, 


on aura 


sin29—cos":(e—-e) 


cos (6 —+-E'+-A) cos (EE — A) cosecose 


cos ECOS E' 


80 DIS 


Puis, si l’on fait 


on aura enfin 
sin+5=—cos+(e—-e") cosy. 


Cette formule, la plus commode de toutes celles qui 
ont été proposées pour réduire une distance apparente 
en distance vraie, n'offre aucune variation de signe, et 
c’est un avantage qui diminue les chances d’erreur de 
calcul. Pour en faire un bon usage, il faut en recueillir 
avec soin tous les élémens dans le plus court espace de 
temps possible. Par exemple, les hauteurs des astres, 
lorsqu'on ne veut pas les déduire du calcul, doivent 
être prises par deux observateurs, en même temps 
qu'un troisième mesure la distance des deux astres. 
(Voy. les traités spéciaux.) 


APPLICATION. 


Un voyageur arrivé le 12 mai 1825 dans un lieu où 
il trouva la latitude boréale de 36°4o', et dont il estima 
la longitude occidentale de 3° 36° en temps, recueillit 
les observations contemporaines suivantes à 9" 40° du 
matin ou à 19" 4o' (temps astronom.). 


Hauteur du bord inférieur du E — 30017! 8! 
Hauteur du bord inférieur de la € = 5 59 30 


Distance des bords voisins, . . . . . 61 28 6 
Haut. du baromètre.. . 0M,73099 
Haut. du therm. centig. + 25° 


La Conn. des temps donne pour l’époque des obser- 
vations, c’est-à-dire pour 23" 16° comptées à Paris, 


Paral. horiz. de la © — ie ">; demi-diam. dela € —14/407 
Paral. horiz, du CPE _ 8, 3; demi-diam. du [e) 1) 


Il s’agit maintenant de calculer l’augmentation du 
demi-diamètre de la lune due à sa hauteur au-dessus de 
l'horizon (Voy. AuemenrarION), et l’on trouvera le demi- 
diamètre apparent de la Œ = 14 56", qu’il faut ajou- 
ter, ainsi que le demi-diamètre du €}, à la distance des 
bords des deux astres pour avoir la distance apparente 
A —61°58'53". Ensuite on aura 


Hauteur apparente du [@ CINE LEE 30017! 18 
Demi-diam. . . . . . .. oo ne 15 51 
Haut. appar. du centre. . . : E = 30 32 59 
+ parall. — réfract, . . . .. — 1 29,7 
Haut. vraie géocentr. du @ .e — 30 31 36,3 
LE | 
Haut. appar. du bord de la € 102009 30! 
Demi-diam. augmenté... . . . « . + 14 56 
Haut. appar. du centre. . . . E' = 53 14 26 
+ parall. — réfract. , .. , . . + 31 43,8 
Haut, vraie géocentr, de la Œ = 53 46 9,8 


DYN 


Connaissant tous les élémens de la formule précé- 
dente, on opérera par les logarithmes, ainsi qu’il suit : 


A — 61:1°58/531" 
E — 30 32 59 . clog cos 0,0649018 
E! — 53 14 26 . clog cos 0,2229673 

Somme m — 145 46 18 
FM ele 107 2003 log cos 9,4685558 
A—!m 10 54 16 log cos 9,9920867 
e — 30 31 36,3 . . . log cos 9,9352009 
e! — 5346 9,8. log cos 9,7716145 
Somme, ..,.. 84 17 46,1 . Somme. . . 19,4555290 
+ somme. . 9,7277035 
+sommen — #42 8 53,0 . c log cos. . 0,1299396 
log smy=— 9,857703r 
Anglew = 40 6 19,2 . log cos w — 9,8/409430 
n — 42 8 53,0. log cos. , . 9,870060f 
Sin de 97111004 

De là 


+0 =— 30056'10,95; Disrance vraie 9 —.61051/3/,5. 


On sait par la Conn. des temps que 


Le 11 mai à 910 Ja distance était de. . 6205333! 
Ler2 amidide. et." IDR 


EEE 


Ainsi, diminution en 3. . ,,.,. = 1 21 15 


D'un autre côté, 


er 102000 030 
« d — 61 52 3,5 


Side Ce ce 
Ontote mie ir 


Le reste sera.. + se v,e 0! «84e 02411, 29,9 


de là cette proportion 


soar15" : 3 :: 101/90/,5 : x — ab16/13/,6 
Ajoutantsr. ete ciel ee ee RATS 


2 — 


te — 29016 113 6 
19 40 o 


3 36 13 6 


On a l'heure de Paris, le 11. 
Mais l'heure de l'Observatoire était. . . 


Donc, LONGITUDE en temps, à l’ouest = 


Cette solution est indépendante de la figure ellipsoi- 
dique de la terre, et, en effet, il est à peu près inutile de 
tenir compte de l’aplatissement, à cause de l'incertitude 
que laissg une méthode d’observation qui présente 
souvent beaucoup de difficultés sur mer. Cependant, 
Borda a indiqué le premier comment il faudrait procé- 
der dans le cas le plus général. (Descript. et usage du 
Cercle de réflexion, p. 80.) 

(M. Puissant.) 


DYNAME. (Syst. mët.) Nom qu'on a proposé récem- 
ment de donner à l'unité de mesure des forces motrices. 
L'effet produit par une force motrice peut toujours se 
rapporter à un certain poids élevé à une hauteur donnée 


| 


re 


DYN 

dans un temps également donné (Voy. Errer); ainsi, 
en prenant le metre pour unité de hauteur et la seconde 
sexagésimale pour unité de temps, une force capable 
d'élever 80 kilogrammes à un mètre en une seconde , 
sera double de celle qui ne peut élever que 40 kilo- 
grammes à un mètre dans le même temps, et moitié de 
celle qui peut élever 160 Kilogrammes à la même hau- 
teur dans le même temps. L’habitude de comparer la 
force motrice de l’eau et de la vapeur à celle des che- 
vaux fait encore journellement désigner par un nombre 
de cheyaux la force présumée d’une machine; mais pour 
rendre le terme de comparaison exactement déterminé, 
on est convenu de nommer cheval-vapeur la force ca- 
pable d'élever 75 kilogrammes à 1 mètre en une seconde: 
c’est à très-peu de chose près la force moyenne d'un 
cheyal, de sorte qu’on a l’ayantage de ne pas s’écarter 
des anciennes évaluations, et de remplacer le vague 
qui résultait de leur emploi par une détermination 
exacte et précise. C’est donc à ce cheval-vapeur qu'on 
voudrait appliquer le nom de Dyname, qui nous pa- 
raît beaucoup plus convenable pour indiquer une unité 
abstraite. 


DYNAMIQUE. Uxiré pynamique. (Syst. mét.) Outre 
le dyname ou le cheval-vapeur, adopté comme terme de 
comparaison dans les effets des forces motrices, les mé- 
caniciens ont fait choix d’une unité particulière pour 
évaluer le travail des moteurs, c’est l'effort développé 
pour transporter un mètre cube d’eau, ou le poids de 
1000 kilogrammes, à un mètre de distance, sans tenir 
compte du temps du transport. Supposons qu’un homme 
ait tiré d’un puits profond de 10 mètres, 22000 kilo- 
grammes d’eau dans une journée de huit heures de tra- 
vail; 22000 kil. élevés à 10 mètres ou 220000 kil. éle- 
yés à 1 mètre étant la même chose, son travail sera re- 
présenté en unités dynamiques par 


220000 ne : 
Honse — 220 unités dynamiques. 


En général, P étant le poids en kilogrammes trans- 
porté dans une journée de travail, et H la distance en 


mètres où il a été conduit, le produit 


PE SH ou PH”: 


Tox. ur. 


DYN 81 
exprime le nombre de kilogrammes transportés à un 
metre, ct 


P H'" 


1000 


le nombre d'unités dynamiques qui mesure le travail ou 
l'effet utile du moteur. L’exposant km indique ici que la 
quantité PH est un nombre de kilogr. élevés à un mètre. 

Cette manière de comparer l'effet utile des moteurs 
est indépendante du temps. Le produit PH se nomme 
la quantité d'action développée pendant toute la durée 
du travail. Voy. Érrer. 


DYNAMOMÈTRE. (Méc.) Instrument au moyen du- 
quelon mesure la force de traction exercée par un moteur. 

Le dynamomètre-Régnier, ainsi appelé du nom de son 
inventeur, se compose d’un ressort d’acier abed (PI. 11, 
fig. 2); à sa partie étroite est fixé un appareil dont la 
pièce principale est un levier courbe efy ; la pointe g de 
ce levier décrit un arc gh à mesure que les deux bran- 
ches du ressort ab et cd se rapprochent l’une de l’autre, 
par suite de l'action exercée aux deux extrémités. La 
partie gf du levier s'appuie contre une aiguille mo- 
bile #k, et fait parcourir à sa pointe k un arc de cercle 
gradué dont les divisions indiquent le poids correspon- 
dant à l'effort. Pour diviser cet are, on suspend le res- 
sort par une de ses extrémités, et l’on attache à l’autre 
des poids de plus en plus grands. 

La mesure des efforts de traction s'effectue en atta- 
chant le dynamomètre par un de ses côtés à un point 
résistant, comme un mur (PI. 10, fig: 16), et le faisant 
tirer de l’autre côté par l’homme ou le cheval dont on 
veut éprouver la force. On obtient de cette manière 
l'effort absolu dont le moteur est instantanément ca- 
pable. Pour connaître celui qu’il peut produire en se 
mouyant lui-même pendant un certain temps et avec 
une certaine vitesse, on attache l’un des bouts de l’in- 
strument à larésistance, et l’on attelle le moteur à l’autre. 
Par exemple, ayant disposé un dynamomètre entre le 
palonnier d’un cheval attelé et le train d’une voiture, 
la tension de l'instrument , lorsque le mouvement sera 
établi, fera connaître l'effort constant de traction. 

Régnier est encore l'inventeur de plusieurs autres dy- 
namomètres, dont on peut voir la description dans son 
Mémoire explicatif de plusieurs machines. Voyez aussi 
le Journal de l'Ecole polytech. n° 5. 


11 


82 


EAU 

EAU MOTRICE. (Hydraul.) L'eau courante, comme 
tous les corps matériels en mouvement, est animée d’une 
quantité d'action (Voy. ce mot) dont elle peut trans- 
mettre une partie plus ou moins grande aux mobiles 
qu’elle rencontre, suivant les diverses circonstances du 
choc. Ces circonstances ne sont jamais les mêmes que 
celles du choc de deux corps solides, car celui-ci mo- 
difie dans un instant inappréciable, au moment même 
du contact, le mouvement relatif des corps, tandis que 
la percussion d’un courant d’eau ne produit son effet to- 
tal que par une suite de contacts de la part des molécules 
fluides qui se succèdent sans interruption. L'effet de ces 
contacts successifs a été justement comparé à celui d’un 
ressort qui agirait contre un obstacle en conseryant tou- 


‘ jours la même tension, et une expérience très-simple . 


a prouvé que la force impulsive d’un courant d’eau 
n'était qu'une force de pression qu’on a nommée pres- 
sion hydraulique, pour la distinguer de la pression hy- 
drostatique que l’eau peut exercer en vertu de son seul 
on fixe une 
plaque à l'extrémité du fléau d’une balance, et on di- 
rige sur elle un filet d’eau tombant d’un yase entretenu 
constamment plein; quelle que soit la force motrice du 


poids. Cette expérience est la suivante : 


filet, due à sa masse et à sa vitesse, on peut toujours 
trouver un poids qui, placé à l’autre extrémité du fléau, 
maintienne la balance en équilibre pendant toute la du- 
rée de l’écoulement. Le poids est donc égal à l’action 
du choc, et peut par conséquent la représenter. 

1. D’après les expériences de Bossut, les poids né- 
cessaires pour maintenir l'équilibre dans de semblables 
expériences varient dans le même rapport que les 
charges (Voy. Couraxr, $ 11, n° 6), sous lesquelles 
s'effectue le mouvement de la veine choquante ; ainsi, 
comme il est prouvé que le rapport des hauteurs dues 
aux vitesses de sortie, pour un même orifice, est égal 
au rapport des charges, on peut en conclure que la force 
du choc d'une veine fluide est proportionnelle à la hauteur 
due à la vitesse de la veine. 

v étant la vitesse, la hauteur correspondante est _ et 
il en résulte que la force du choc est proportionnelle au 
carré de la vitesse. 

Mais cette force doit être encore proportionnelle au 
nombre des molécules choquantes ou à la section de Ja 
veine fluide à sa sortie de l’orifice : donc, en désignant 


E. 


EAU 
par P le poids qui fait équilibre au choc ou qui repré- 
sente son action, par s la section de la veine fluide, et 
par h la hauteur due à la vitesse, on a 


P — nsh, 


ñ étant un coefficient à déterminer par expérience. 

2. En observant que sh exprime le volume d’un 
prisme dont la base est s et la hauteur h, et que, lors- 
qu'il s’agit de l’eau, le poids d’un tel prisme est égal à 
autant de fois 1000 kilogrammes que son volume con- 
tient de mètres cubes, on peut mettre l'expression pré- 
cédente sous la forme 


P — 1000 nsh; 


alors P exprime un nombre de kilogrammes, $ un 
nombre de mètres carrés, et À un nombre de mètres. 

3. La valeur du coefficient n dépend de la grandeur 
de la surface choquée et de son éloignement de l’orifice 
de sortie. 

Si l’on appliquait immédiatement la surface contre 
l'orifice, il n’y aurait plus qu’une simple pression hy- 
drostatique due au poids du prisme sh, et l’on aurait 
P — 10005h; dans ce cas n — 1. Dans tous les autres, 
le choc ne peut produire tout son effet qu’autant que la 
surface choquée a une étendue assez grande pour rece- 
voir tous les filets fluides de la veine et anéantir leur vi- 
tesse primitive ; avec ces conditions, l'expérience et la 
théorie donnent à très-peu près n — 2, et c’est pour 
cela qu’il est admis que l'effort du choc exercé par une 
veine fluide sur une surface plane en repos et exposée per- 
pendiculairement à son action, est égal au poids d’un 
prisme de ce fluide ayant pour base la section de la veine 
et pour hauteur deux fois la hauteur due à la vitesse. Ce- 
pendant toutes les expériences ne sont pas d’accord pour 
fixer au coefficient # les limites 1 et 2 qui résultent de 
ce principe. 

4. Dans le cas d’un choc oblique, on peut décom- 
poser l'effort de la veine en deux composantes, l’une 
perpendiculaire à la surface choquée et l’autre parallèle; 


cette dernière ne pouvant produire aucun effet, la pre-. 


mière seule représente l’action du choc; ainsi, en nom- 
mant à l'angle d’inclinaison de la veine fluide avec la 
surface, la composante perpendiculaire étant 1000nsh. 
sin ?, on aura 


P — 1000n5h. sin £. 


| 
| 
! 
1 


il 


” EAU 


5. En adoptant la valeur # — 2 qui a lieu lorsque la 
surface choquée détruit complètement la vitesse de la 
veine fluide, on a pour le choc direct 


P = 20008, 


expression que nous allons mettre sous une forme plus 
commode pour les cas particuliers du choc qui nous 
restent à examiner. Substituons à la place de À sa va- 


vb x 
leur —, il viendra 
2q 


1000 


Or, s étant la section de la veine fluide et v sa vitesse, 
sv exprime la quantité d’eau écoulée dans l'unité de 
temps, et 10005v le poids de cette quantité en kilo- 


10080 tb sv 
grammes, ri est donc la masse d'eau écoulée en une 


seconde, car la masse est égale au poids divisé par g 
(Voy. Pons); ainsi, désignant cette masse par Q, nous 
aurons 


PO 


Mais Qu est la quantité de mouvement de la masse Q, 
donc l’effet du choc est égal à la quantité de mouvement 
que possède la masse de fluide écoulée dans l'unité de 
temps, ce qu’il est d’ailleurs facile de conclure à priori. 

6. Examinons maintenant le cas où la surface cho- 
quée est elle-même en mouvement, et supposons d’a- 
bord que le choc est direct, c’est-à-dire que le fluide 
et la surface se meuvent dans la même direction , et que 
la surface est frappée perpendiculairement par la veine. 
Pour déterminer les effets du choc, observons qu'après 
ce choc la surface ne pourrait continuer à se mouvoir 
avec la vitesse #, qu’elle avait avant, que si on lui ap- 
pliquait une force égale et opposée au choc ; mais alors 
le fluide qui l'accompagne dans son mouvement se mou- 
vrait également avec cette même vitesse w : il aurait 
donc perdu la vitesse v—u, et sa quantité d’action, qui, 
avant le choc, était Qv, ne serait plus que Qu; le choc 
lui aurait donc fait perdre une quantité d'action r'epré- 
sentée par Q (v—u), et par conséquent c’est cette quan- 


tité d'action perdue qui mesure l’effet du choc; on a 
donc généralement 


P=Q(v Fu), 


le signe — se rapportant au cas où la direction des 
mouvemens est la même, et le signe L à celui où les 
directions sont opposées. 


100 sv 
En remplaçant Q par sa valeur TS à on a encore 


P = 10250 (v Fu). 


7: On ramène le choc oblique au choc direct, en le 


EAU 83 


décomposant, comme nous l’avons fait ci-dessus, en 
deux forces, l’une parallèle et l’autre perpendiculaire à 
la surface choquée; mais il faut tenir compte ici de la 
direction du mouvement de cette dernière. Soit, par 
exemple, AE (PI. 11, fig. 6), la direction d’une veine 
fluide qui frappe obliquement une surface CD assujet- 
tie à se mouvoir dans la direction BK, représentons les 
vitesses respectives v et w par les parties BE et BF de 
leurs directions; nommons ? l’angle ABC et + l’an- 
gle CBK; la composante de BE perpendiculaire à CD 
sera BG— BE. sin? — v sin ?, et celle de BF, égale- 
ment perpendiculaire à CD, sera BH—BF sin? —usint'; 
la vitesse perdue dans la direction BG aura donc pour 
expression BG — BH = v sin à — wsin à, et la perte 
de vitesse dans le sens BK du mouvement sera IK 
— GH. sin à — (v sin à — uw sin à) sini. L’effort du 
choc reçu par la surface CD sera donc définitivement 


10250 (v sinè— wsint)sint. 


Ce cas se présente dans le mouvement des palettes des 
roues hydrauliques horizontales. 

8. Le choc d’un courant d’eau conduit par un cour- 
sier sur les palettes d’une roue hydraulique étant à peu 
près le même que celui d’une veine fluide isolée, on 
peut l’évaluer au moyen des formules précédentes, et 
déterminer ainsi l’effort exercé sur ces palettes et qu’elles 
peuvent exercer à leur tour. Il n’en est plus de même 
lorsque la section du fluide en mouvement est plus 
grande que la surface choquée, ou que cette surface est 
entièrement plongée dans le fluide : le choc est alors 
modifié par les pressions latérales et postérieures du 
fluide, et l'évaluation de son effet se complique d’une 
foule de circonstances pour lesquelles nous devons ren- 
voyer aux traités d'hydraulique cités au môt Couraxr, 
Quant à la résistance que les fluides opposent au mou- 
vement des corps qui y sont plongés, elle fait l’objet 
d’un article spécial. Voy. RÉSISTANCE DES FLUIDES. 

9. L'usage adopté par les mécaniciens modernes étant 
de comparer la force d’un moteur quelconque au poids 
qui, en descendant d’une certaine hauteur, produirait 
le même effet sur la résistance (Voy. Force), et de l’ex- 
primer par le produit PH de ce poids et de cette hau- 
teur, la force d’un courant d’eau s'exprime également 
par PH, P étant le poids de l’eau menée par le courant 
en une seconde de temps, et H la hauteur de la chute 
ou plus généralement la hauteur due à la vitesse dont le 
courant est animé. Cette quantité PH peut être ensuite 
facilement ramenée à l’unité dynamique dont on veut 
faire choix ; car, s’agit-il d'exprimer la force du courant 
en chevaux-vapeur ou en dynames (Voy. ce mot), on a 
pour le nombre de ces chevaux 


PH 


75° 


84 EAU 


S'agit-il de l’exprimer en wnités dynamiques propre- 
ment dites de 1000 kilogrammes élevés à un mètre, on 


a (Voy. Dyxamique) pour le nombre de ces unités 


PIT 
1000 


Proposons-nous, par exemple, d'estimer la force d’un 
courant d’eau dont la dépense est 1,800 par seconde 
et dont la section a pour superficie 11,5; la vitesse 
étant égale à la dépense divisée par la section, nous 


aurons 


1,800 
D = -— 
1,9 


m 9 » 
EN oa 


et comme Ja hauteur due à cette vitesse est 


Crea 2)E PR 
ue 2(08088) A 


il ne nous reste plus à évaluer que le poids de la dé- 
pense, ce qui se réduit à la multiplier par 1000, puis- 


qu'un mètre cube d’eau pèse 1000 kil. Nous avons donc 
P — 1000 X 1,800 — 1800!, 


Ainsi, la force du courant est égal à 


2 


PH — 18008 X 0%,0754 — 1924", 10. 
/ 079% , 


En divisant cette quantité par 55, nous avons pour quo- 
tient à peu près 1,8; ce qui nous apprend que la force 
en question n’est pas tout-à-fait équivalente à celle do 
deux chevaux-vapeur. 

Pour évaluer la force du courant en unités dynami- 
ques, il faut observer que puisqu'elle est capable d’éle- 
ver un poids de 132,12 à un mètre dans une seconde, 
elle peut élever 360 fois ce poids ou 41565k à la même 
hauteur dans une heure. Divisant 41565 par 1000, 
nous voyons que le courant peut produire 41 unités dy- 
namiques et environ {/, dans une heure. 

10. Dans toutes les questions hydrauliques, il est 
beaucoup plus commode de considérer la force vive 
(Voy. ce mot) de l’eau motrice que sa force dynami- 
que, ou sa quantité d'action, exprimée par PH. La 
force vive d’un courant étant immédiatement égale à la 
masse d’eau écoulée dans l’unité de temps multipliée 
par le carré de sa vitesse, si nous désignons par M la 
masse et par V la vitesse, l'expression de Ja force vive 
sera 


MY? 
Or, pour passer de la force vive à la force dynamique 


re 2 
et réciproquement , observons que P — M, H — Fe 
2 


et par conséquent que 


PH — = MV:. 
2 


ECO 


Donc, la force vive d’un courant d’eau est le double de 
sa quantité d'action ou de sa force dynamique. (Foy. 
Fonce et QuanriTÉ p'AcrioN,) 


ÉCLIMÈTRE. (Topograp.) Petitinstrument de cuivre 
composé d’un arc de cercle gradué , d’une lunette avec 
réticule et d’un niveau à bulle d’air. Il est employé par les 
ingénieurs géographes français pour mesurer l’inclinai- 
son des rayons visuels dirigés sur les objets qui envi- 
ronnent la station et dont on veut connaître les diffé- 
rences de niveau. On l’adapte ordinairement à la bous- 
sole, afin de relever en même temps les angles que les 
rayons visuels font avec le méridien magnétique. Cet 
instrument, qui sert principalement aux opérations to- 
pographiques de la nouvelle carte de France, procure 
autant de cotes de hauteur du terrain, comptées à par- 
tir du niveau de la mer, qu'il est nécessaire pour con- 
naître les inflexions du sol et en exprimer le relief. 
Donnant immédiatement les distances zénithales des ob- 
jets observés, on a recours à la formule 


dE — K cot 9 + qK?, 


dans laquelle K est en mètres la distance horizontale 
d’un objet à la station , à la distance zénithale observée, 
q un coellicient numérique dont le log. — 2.81869, en- 
fin dE la différence de niveau cherchée, qu’on ajoute 
algébriquement à la hauteur absolue de la station, pour 
avoir celle de l’objet observé. (Voy. Azrrrupr.) 


ÉCLUSE. (Hydraul.) Nom générique d’une con- 
struction hydraulique destinée à retenirl’eau. 


ÉCOULEMENT DES FLUIDES. (Æydraul.) Nous 
avons donné, au mot HYDpRODYNAMIQUE, tom. 17, la 
théorie mathématique de l'écoulement des fluides fondée 
sur l'hypothèse du parallélisme des tranches dans leur 
mouvement vertical, hypothèse qui conduit au théo- 
rème fondamental suivant : 

La vitesse d'un fluide qui sort d'un vase par un trés- 
petit orifice est égale à celle d'un corps pesant qui serait 
tombé librement de toute la hauteur comprise entre le ni- 
veau-de la surface fluide dans le vase et le centre de cet 
orifice. 

Nous allons examiner ici les applications de ce théo- 
rème et les modifications qu'il reçoit dans la pratique, 
tout en recueillant les diverses formules empiriques 
adoptées par les hydrauliciens pour la solution des pro- 
blèmes relatifs à l'écoulement de Peau. 

Il se présente deux cas généraux : 1° le niveau de 
l’eau, dans le vase d’où sort l’écoulement, est constant; 
2° ce niveau est variable. Dans le premier cas, on doit 
concevoir qu'il arrive constamment à la surface supé- 
rieure du liquide une quantité d’eau égale à celle qui 


ÉCO 


s'écoule; dans le second, le vase ne recevant pas de 
nouveau liquide ou n'en recevant qu'une quantité 
moindre que celle qui en sort, se vide. Nous traiterons 


successivement ces deux cas. 
: 


SI. Ecoulemens à niveau constant. 


1. Le théorème dont nous venons de rappeler l’é- 
noncé est dû à Toricelli; ce célèbre disciple de Galilée 
l’a publié, en 1645, comme une conséquence de la loi 
de la chute des corps pesans, découverte par son 
maître. Voici les raisonnemens sur lesquels il l’a établi; 
nous les rapportons parce qu'ils sont indépendans de 
toute hypothèse sur le mouvement du fluide dans le 
vase : 

Si l’on perce des orifices M et N (PI. 10, fig. 14) sur 
les faces horizontales d’un vase X rempli d’eau et dont 
le niveau est entretenu constamment à la même hau- 
teur, le fluide en sort par des jets verticaux qui s'élè- 
xent, à très-peu près, jusqu’au niveau AK de l’eau dans 
le réservoir, et l'on peut supposer qu'ils atteindraient 
complètement ce niveau, si diverses causes que nous 
avons déjà signalées (Voy. Jer ’eau, tom. 11) ne con- 
couraient à diminuer la vitesse d’ascension. Mais un 
corps lancé verticalement n'’atteint une certaine hau- 
teur que parce qu'il a reçu une impulsion capable de 
lui communiquer une vitesse initiale égale à la vitesse 
finale qu'il acquerrait en tombant librement de cette 
hauteur (Voy. AccéLéré, tom. 1); donc les molécules 
fluides, en sortant des orifices M et N, sont animées des 
vitesses dues aux hauteurs MG et NH, ou, ce qui est la 
même chose, aux hauteurs du niveau de l’eau au-des- 
sus des orifices M et N. 

Désignant donc par v la vitesse de sortie et par H la 
hauteur du niveau au-dessus de l’orifice, on aura, d’a- 
près les lois de la chute des corps... (a) 


v—|/29H. 


2. Lorsqu'on adapte des ajutages aux orifices M et N 
percés dans les paroïs minces du yase, les jets s'élè- 
ent moins haut; mais on a reconnu que, pour des aju- 
tages parfaitement égaux, les diminutions de hauteur 
sont proportionnellement les mêmes, c’est-à-dire que 
si la hauteur du jet NH se réduisait d’un quart, par 
exemple, celle du jet MG se réduirait pareillement d’un 
quart. En général, m désignant le rapport entre la hau- 
teur du jet et celle du réservoir, pour un ajutage quel- 
conque, on a 


V—\/2gmH, + — V’29mH, 


H et H' étant deux hauteurs du réservoir, et v et v’ les 
vitesses correspondantes. 
On tire de ces expressions 


v:0=V/H:V/H, 


ÉCO 85 


c’est-à-dire, que les vitesses de sortie par des ajutages 
égaux sont toujours entre elles comme les racines carrées 
des hauteurs du niveau, ou comme les racines carrées des 
charges. 

3. Ces principes s'appliquent immédiatement aux cas 
où l'écoulement aurait lieu par des orifices percés dans 
la paroi du fond du vase ou dans les parois verticales, 
car la vitesse du fluide à sa sortie est évidemment in- 
dépendante de sa direction 

4. La connaissance de la vitesse avec laquelle une 
veine fluide sort par un orifice quelconque, conduit à 
celle de la quantité de fluide qui s'écoule dans un temps 
déterminé et qu’on nomme la dépense de l'orifice; en 
effet, si S représente l'aire de l’orifice, et » la vitesse, 
Sv représentera le volume d’eau écoulé dans l'unité de 
temps; car Sv est le volume d’un prisme ayant S pour 
base et v pour hauteur; ainsi, désignant par D la dé- 
pense, on aura... (b) 


— SV/29H. 


Mais cette expression repose sur deux hypothèses qui 
ne sont rigoureuses ni l’une ni l’autre ; la première, c’est 
que la vitesse de sortie est exactement due à toute la 
charge H; la seconde, c’est que les molécules de l’eau 
sortent par tous les points de l’orifice en filets parallèles : 
aussi la vitesse réelle que donne l’expérience se trouve- 
t-elle toujours moindre que celle qu’on calcule au 
moyen de la formule (b), et qu’on nomme la vitesse 
théorique. 

5. La différence qui existe entre la vitesse théorique 
et la vitesse réelle provient des directions concourantes 
que prennent les molécules fluides dans l’intérieur du 
vase en s’approchant de l’orifice, et qui opèrent une 
contraction de la veine fluide (Voy. Coxtracrio ). 
Lorsque l’orifice est percé dans une paroi mince, la 
contraction de la veine rend sa section plus petite que 
l'aire de l’orifice, ce qui diminue conséquemment la 
dépense ; lorsque l'écoulement s'effectue à plein bord , 
par un ajutage cylindrique, la vitesse de sortie est plus 
petite que celle due à la charge, il y a donc encore di- 
minution de dépense ; enfin, cette dépense peut encore 
se trouver diminuée par une double diminution de vyi- 
tesse et de section, ce qui a lieu dans certains ajutages 
coniques. Dans tous ces cas, la vitesse réelle est une 
fraction de la vitesse théorique, et l’on peut poser. (ce) 


Q—mS1/29H, 
m étant un coeflicient à déterminer par l'expérience 
pour chaque espèce d'orifice d'écoulement. S'il s'agis- 
sait de la dépense pendant un temps T, on aurait évi- 


demment 


Q—=nST 29H. 


68 : ÉCO 

6. Examinons d’abord le cas où l'orifice est percë 
dans une paroi mince, c’est-à-dire où son épaisseur est 
très-petite par rapport à son diamètre, et considérons 
en premier lieu un orifice circulaire. Ici les effets de la 
contraction sont extérieurs et peuvent être aisément ob- 
servés; on sait qu’à sa sortie de l’orifice la veine affecte 
une forme cônoïde, et qu'après avoir diminué de lar- 
geur jusqu’à une certaine distance de l’orifice, elle de- 
vient sensiblement cylindrique. La fig. 13, PI. 10, re- 
présente la forme de sa section longitudinale, depuis le 
diamètre AB de l’orifice jusqu’au diamètre le plus con- 
tracté ab ; au-delà de ab la contraction cesse, et la veine 
demeure cylindrique sur une longueur plus où moins 
grande. D'après cette forme, il est évident que la dé- 
pense réelle dépend de la grandeur de la section con- 
tractée ab; car elle se compose du volume d’eau qui 
passe par cette section dans l'unité de temps. Comme 
la vitesse de la section contractée est à très-peu près la 
même que celle qui est due à la charge, on voit qu’il 
suflirait de connaître l’aire de cette section et de la sub- 
stituer à S, dans la formule (b), pour déterminer la dé- 
pense réelle. 

7. Newton, qui a signalé le premier les phénomènes 
de la contraction, avait trouvé, par des considérations 
théoriques, que le rapport de la section de l’orifice à la 
section de la veine contractée était égal à celui des nom- 
bres [/2 : 1 ; de sorte que la section de l’orifice étantS, 
celle de la veine contractée serait 


et l’on aurait pour la dépense réelle 
— 0,71 SV/29H ; 


mais l’expérience montre que le coeflicient 0,71 est gé- 
néralement trop grand. 

8. De toutes les expériences faites pour déterminer le 
rapport des diamètres AB et ab des deux sections, soit 
entre eux, soit ayec leur distance CD, les plus décisives 
paraissent être celles d'Eytelwein, qui assignent les rap- 
ports 


AB'sabt1CD =r0!: 8775 


On peut au moins considérer ces nombres comme des 
termes moyens, Car les rapports varient avec la gran- 
deur des orifices et celle des charges. Il en résulte que 
les deux sections sont entre elles comme (10): 83, ou 
comme 1 : 0,64, ce qui diffère peu du coefficient moyen 
qu’on a obtenu par la mesure directe des dépenses. 


9. La détermination exacte des dimensions de la veine 
contractée présentant de très-grandes difficultés, il est 
beaucoup plus simple d'observer la dépense réelle d’un 


ÉCO 


orifice connu, et d'en conclure le coefficient de réduc- 
tion en le comparant avec la vitesse théorique. Pour 
donner un exemple de ce procédé, nous traduirons en 
mesures métriques une expérience de Bossut : l’orifice 
d'écoulement était un carré de 54 millimètres de côté, 
et la charge du réservoir, ou la hauteur du niveau au- 
dessus du centre de l’orifice, avait 3",81; le réservoir 
était entretenu constamment à la même hauteur par un 
trop plein. Le volume d’eau écoulé dans une’minute et 
recueilli avec soin s'étant trouvé de 74"°,6658, Bossut 
en à conclu que la dépense réclle en une seconde 
avait été 


Or, la dépense théorique est 
Sy/2gH — (0",054)° 1/2(0,8088) (3,81) — 2"°,01364. 


Ainsi, le rapport de ces dépenses , au le coeflicient de 
réduction, était 


LEE Es 0,618. 


2,013064 


Des expériences semblables ont prouvé que le coef- 
ficient de réduction est plus grand pour les petits ori- 
fices et les petites charges, mais qu’il ne s'élève guère 
au-dessus de 0,70, et descend rarement au-dessous de 
0,60. Dans les cas ordinaires de la pratique, sa valeur 
est renfermée entre les limites 0,60 et 0,64 ; aussi, on a 
adopté pour terme moyen approximatif 0,62, ce qui 
donne pour la formule usuelle de la dépense par des 
orifices en minces parois... 


Q—0,628S1/29H, 
ou, simplement, 
Q — 2,75 SH. 


Lorsque les orifices sant percés dansles parois verticales 
du vase, il faut faire H égal à la hauteur du niveau au- 


dessus du centre de l'orifice, afin que /2gH ne s'écarte 
pas de la vitesse moyenne de tous les filets de la veine 
fluide. 

La détermination de la suite des coefficiens relatifs 4 
diverses charges et à divers orifices a été effectuée en 
1826 et 1827 par MM. Poncelet et Lesbros, à l’aide d’un 
grand nombre d'expériences faites sur une échelle beau- 
coup plus large que tout ce qui avait été tenté jusqu'alors. 
Les orifices étaient rectangulaires, ils avaient tous 0°,20 
de base sur des hauteurs qui ont varié depuis 0,01 
jusqu’à 0,20. 


 ÉCO 


Voici les coefficiens déduits des observations : 


cols) 


CHARGE HAUTEUR DES ONIJFICES. 


SUR 
LE CENTRE 


DE L'ORIFICE. 0%,05 | 0,10 | 0,20 


0, 691|0, 660|0, 638 
0,685|0,659/0, 640 
0, 68210, 659 0,640 
0, 6780, 658|0, 640 
0, 67110, 657|0, 639 
0, 66710; 655|0, 638 
0,66419; 65410, 637 
0, 6600, 655|0, 635 
0, 655|0, 650/0, 654 
0,650|0,645|0, 632 
0, 647|0, 642|0, 631 
0, 6400, 630 
0,635|0,G29 
0, 632|0, 627 
0, 625|0, 623 
0,018|0, 619 
0, 615/0, 613 
0, 608|0, 6Goz 


0, 590 
0,600 
0,605 
0,609|0, 572 
0,611|0, 585 
0,615|0, 592 
0, 616|0, 598 


0,617|0, 600 


0,617|0, 602 
0, 616/0, Go4 
0,615|0, 605 
0,615|0, 604 
0, 6G11/0, 602 
0,607|0, 6o1 


0, 603|0, 6o1 


11. Lorsque les orifices ne sont pas circulaires, la 
forme de la veine fluide yarie à mesure qu'elle s’en 
éloigne et présente plusieurs phénomènes singuliers, 
mais il paraît qu’à l’exception du cas où le périmètre de 
l'orifice offre des angles rentrans, sa figure n’excrce au- 
cune influence sur la dépense, et l’on admet générale- 
ment que la dépense est la même, sous une même 
charge, pour tous les orifices dont les aires sont équiva- 
lentes. Les coefficiens précédens, quoique relatifs à des 
orifices rectangulaires, peuvent donc servir dans tous les 
cas, en considérant simplement la hauteur du rectan- 
gle indiquée à Ja tête de chaque colonne comme la 
plus petite dimension de l’orifice employé. On peut en- 
core, pour plus d’exactitude, lorsque la dimension de 
l'orifice ne se trouve pas dans le tableau, calculer di- 
rectement la dépense par la formule suivante, due à 
M. Lesbros : 


— 0,2. Log (5k).V/H | 


Lest la largeur de l’orifice, À sa hauteur, et H la charge 


ÉCO 87 


sur le centre de l’orifice. Si l’orifice était circulaire, on 
substituerait sa surface à /h et son diamètre à h. 

Cette formule n’est valable que pour les orifices dont 
la hauteur est au-dessus de 0",05. M, Lesbros en a 
donné une autre qui embrasse tous les orifices jusqu'à 
celui de 0,01 de hauteur inclusivement; la voici : 


Q= a+ 6H NES 
H' est la hauteur du niveau du réservoir au-dessus du 
bord supérieur de l’orifice, et x, 6, y, à ont les valeurs 
suivantes : 


— Il Lo,65 PAC — 0,062)? + 0,0017 
—- 0,052h — 0,0044 | 


0,00025 — 0,186(} — 0,125)? 


h + 0,00489 


2 2,48) 


0.59) 


B— 1h. 


7 0,0554 
La h— 0,115 


0,0045 
d—h Re 
h 0,028 


Nous devons faire observer que cette dernière for- 


mule n’est applicable qu'aux charges qui ne dépassent 
pas 2°,50 pour l’orifice dont la hauteur est 0°,01 et 4° 
pour toutes les autres. 

12. Quand on place un ajutage sur l’orifice d’écou- 
lement , les phénomènes de la contraction se compli- 
quent de ceux de l’attraction des parois de l’ajutage sur 
les molécules fluides ; cependant il peut arriver que la 
veine le traverse sans le toucher, et alors il ne modifie 
en rien Ja vitesse et la dépense; mais si la veine adhère 
à ses parois et que l'écoulement se fasse à plein orifice, 
ou, comme on le dit, à gueule bée, ce qui arrive toujours 
lorsque l’ajutage est un peu plus long que la veine con- 
tractée, la vitesse de la veine augmente, et la dépense 
est plus grande que celle qui aurait lieu par l’orifice en 
minces parois. L'expérience donne 0,82 pour la valeur 
moyenne du coeficient de réduction de la dépense 
théorique. On a donc, dans le cas d’un ajutage cylin- 
drique, 

D — 0,82 Sy/2gH. 
L'orifice de sortie étant le même que l’orifice de la paroi 
du réservoir, la différence entre la dépense théorique et 
la dépense réelle ne peut venir que d’une diminution 
de la vitesse due à la charge. Ainsi, en désignant par v 


celte dernière, el par u la vitesse de sortie, on a 
u — 0,82 v. 


15. Les ajutages coniques convergens, c'est-à-dire 
dont l’orifice de sortie est plus petit que l’orifice du 


88 ECO 

réservoir, augmentent encore plus la dépense que les 
ajutages cylindriques, lorsqu'ils ont toutefois des di- 
mensions convenables, car leurs effets varient avec 
l’angle de convergence ou avec l'angle que formeraient 
deux côtés opposés du tronc de cône prolongés jusqu'à 
leur rencontre. Quoique ces sortes d’ajutages soient 
presque exclusivement employés dans la pratique, on 
n'avait aucune connaissance exacte de leur influence 
sur la dépense ct sur la vitesse de l'écoulement, avant 
les expériences récentes de MM. d'Aubusson et Castel, 
publiées en 1853 dans les Annales des Mines. En voici 


les résultats moyens : 


COEFFICIENT 


he: 


de la dépense. de la vitesse, 


0,82 
0,87 
0,59 
0,91 
0,92 
0,09 
0,94 
09 
0,99 
0,94 
0,09 
0,99 
0,99 
0,92 
0,90 
0,88 
0,85 


encore 
d’Au- 


De ces expériences et de quelques autres 
faites par M. Castel, on peut conclure, dit M. 
busson (Hydraul. des ingén.) : 

» 1° Que la dépense réelle, à partir des 0,82 de la 
dépense théorique, va graduellement en augmentant 
à mesure que l'angle de convergence des côtés de l’aju- 
tage augmente, mais jusqu'à 12 ou 15° seulement, où 
son coellicient est 0,95. Au-delà elle diminue , très-fai- 
blement d’abord, comme toutes les variables, aux en- 
virons du maximum; à 20° le coefficient est encore 0,94 
ou 0,95; mais ensuite Ja diminution est bien prononcée, 
elle devient de plus en plus rapide, et la dépense fini- 
rait par n'être plus que celle qu'on obtient des orifices 
en mince paroi, les 0,65 de la dépense théorique. 

» L’explication de ces faits me paraît assez naturelle. 
Dans les ajutages coniques, la dépense théorique est al- 


ÉCO 

térée par deux causes : l’attraction des parois qui tend 
à l’augmenter, et la contraction de la veine qui tend à 
la diminuer, en diminuant la vitesse lorsqu'elle est in- 
térieure , en diminuant la section de la veine lorsqu'elle 
est extérieure. D’après les expériences de Venturi, la 
contraction intérieure semblerait devoir être constante, 
jusqu'à 20° environ, cet angle étant à peu près l’angle 
de convergence de la veine contractée, et l’on n’a pas 
de contraction extérieure ayant 12°. En conséquence, 
jusqu’à cet angle, l’attraction des parois fera seule va- 
rier la dépense; clle l’augmentera de plus en plus à me- 
sure que les parois convergeront , puisque leur distance 
à l'endroit de la plus grande contraction deviendra plus 
petite, et que l'attraction agit inversement aux dis- 
tances. Mais, au-delà de 12°, la contraction extérieure 
se manifeste et devient de plus en plus grande; peu 
après, à 20°, la contraction intérieure disparaît; et les 
phénomènes de l'écoulement se rapprochent, à tous 
égards, de ceux qui ont lieu par les orifices en mince 
paroi, orifices avec lesquels les ajutages coniques con- 
vergens se confondent sous l'angle de convergence ex- 
trème 180°. 

» 2° En suivant les coefliciens de la vitesse, on les 
voit, à partir de 0°, augmenter et à très-peu près comme 
ceux de la dépense, jusqu’à l'angle de la plus grande 
dépense; mais au-delà, pendant que ceux-ci dimi- 
nuent , ils continuent d'augmenter en se rapprochant de 
la limite qu'ils peuvent atteindre et dont ils sont déjà 
très-près à 4o° et 50°. 

» Ces faits sont encore une conséquence de la re- 
marque ci-dessus : qu’au-delà de 20° de convergence, 
les phénomènes des ajutages coniques se rapprochent 
de ceux des orifices en mince paroi; ainsi, passé cet 
angle, les coefliciens de la dépense doivent se rappro- 
cher de 0,65 et par suite diminuer, et ceux de la vitesse 
de projection doivent se rapprocher de 1 et par consé- 
quent augmenter. » 

14. Les ajutages coniques divergens, ou qui ont leur 
plus petite base ajustée à l’orifice du réservoir, sont très- 
peu employés ; ils présentent le phénomène singulier 
de donner une dépense plus grande que la dépense 
théorique. Venturi, qui a fait beauconp d’exptriences 
sur ces ajutages, a trouvé que, lorsque la longueur du 
tronc de cône est égale à neuf fois le diamètre de la pe- 
tite base, et que l’angle d’évasement ou de convergence 
vers le réservoir est d'environ 5°; la dépense réelle est 
une fois et demie plus grande que la vitesse théorique. 

15. L'expression de la dépense théorique (b) sup- 
pose que tous les filets dont la veine fluide est com- 


posée ont la même vitesse |/2gH, ou que cette 


quantité |/2H représente leur vitesse moyenne, ce 
qui n’est point exact, car la vitesse du filet moyen 
de la veine, de celui qui est soumis à la charge 


ÉCO 


moyenne H, n’est pas la vitesse moyenne de la 
veine, puisque les vitesses respectives des divers filets 
sont entre elles dans le rapport des racines carrées des 
charges. La différence entre la vitesse moyenne et celle 
du filet moyen est peu sensible quand la hauteur de l’o- 
rifice est très-petite par rapport à la charge moyenne ; 
mais elle ne saurait être négligée dans le cas contraire, 
et nous devons faire connaître les résultats théoriques 
qui se rapportent à la vitesse moyenne d’une veine fluide 
s'écoulant d’un réservoir par un orifice latéral. Soit 
donc AB (PI. 10, fig. 17) un vase rempli d’un liquide 
quelconque entretenu constamment au même niveau ab, 
et qui s'écoule par l’orifice en mince paroi cdef; la forme 
de cet orifice n’ayant aucune influence sur la dépense , 
nous le supposerons rectangulaire pour plus de facilité : 
menons les deux droites MM, mm, paralleles et égales 
à la largeur cf de l’orifice, et faisons 


HD — H, HE —H', EP — x, MM —! 


En considérant la distance Pp desdeux droites MM,mm, 
comme infiniment petite, et alors Pp est la différentielle 
de æ, toutes les molécules fluides passant par le rec- 
tangle élémentaire MmmM seront soumises à une même 
charge HP — HE L EP — H' + >, et la dépense par 
ce rectangle sera égale à son aire MM X Pp — L.dx, 
multipliée par la vitesse |/2g(H° —E x), due à la hau- 
teur H°—+ +; or, la dépense élémentaire 

eV 3Ë ET 
est la différentielle de la dépense totale par l'orifice cdef. 
Donc 


dD — Wdxy/2g(H x). 


Intégrant cette équation, il vient 
D — 4/29 fdry/H— x 
=> h/2g [er x) + cl. 


La dépense devant être nulle lorsque æ — 0, on a pour 
déterminer la constante, l’équation 


_ d’où l’on tire 
| 


Dan) un] 


dans laquelle il faut donner à æ la valeur de la hauteur 


To mi. 


ÉCO 89 


totale de l’orifice ED— HD—HE—H—H. On a 
donc définitivement... (e) 


D—E 4/2 [uv — mn | 


Telle est l’expression générale de la dépense théorique. 
15. On peut déduire de cette expression la vitesse 

moyenne de la veine fluide, en observant que l’aire de 

l'orifice est {(H—H'), et qu'ainsi, » désignant la vi- 

tesse moyenne, on a 

É 25 H/H — H'VH 

5 H— H 


v—=—= 


Pour déterminer la charge qui produit la vitesse 


moyenne, il suflit de substituer cette valeur de + dans 
2 
. AR v ’ 
l'expression générale h — d nommant H' la hauteur 


cherchée, on trouve 


He (OVER Hy/H) 
"6 Er ) 


16. Des exemples numériques vont donner une idée 


de la différence des résultats des formules (b) et (e). 

I. On demande quelle serait la dépense théorique d'un 
orifice rectangulaire de 0",5 de hauteur sur 1° de lar- 
geur, et ayant une charge de 2 mètres sur son bord su- 
périeur.. 

Ici H'—2, H— 20,5 — 2,5 et !— 1. Substituant 
ces valeurs dans la formule (e), on obtient 


D — 5 V/2g [2.5 V2,5— x] —= 37 °,299 4. 
La formule (b) donnerait, en employant la charge 
moyenne : (H+H)=2,25, 
D — 0,5 1/2g(2,25) — 5%°,5218. 


Nous ferons observer que la hauteur de l’orifice est 
à peu près le quart de la charge moyenne. 
IL. L'orifice rectangulaire ayant 0°,1 de hauteur sur 


0,5 de largeur, on demande la dépense théorique pour une 


charge de 1",05 sur le bord inférieur. 
On aH—1,05, H'— 1,05 — 0,1— 0,95 et !— 0,5. 
Ces valeurs, substituées dans la formule (e), donnent 


D — ; COTE 0 — 0.051/2,05 | 


— 0° °,221444. 


‘ 1 ; = 
La charge moyenne étant = (H + H”) = 1, la for- 
mule (b) donnerait 
D=— (0,5) (0,1) /29 — 0"°,221459. 


Ici, la hauteur de l’orifice est la dixième partie de la 
charge moyenne, et l’on voit que les valeurs calculées 


12 


90 ÉCO 


par les deux formules diffèrent d'autant moins que la 
hauteur de lorifice est plus petite par rapport à celle de 
la charge. 

17. Dans la pratique, il faut appliquer à la for- 
mule (e) un coeflicient de réduction, afin d’avoir la dé- 
pense réelle; voici ceux qui résultent dés expériences de 
MM. Poncelet et Lesbros, citées plus haut ; ds embras- 


sent tous les cas ordinaires. 


CHARGE S ORIFICES: 


SUR 


Fr 


LE CENTRE. 0",03|[0",05 | 0",10 


ame, 
o",01 0,712 
; rl 
0, 02 0, 700/0, 667|0, 644 
03 |o,695/0, 663/0,64/ 


04 0, 66110, 643 


05 0, 060!0, 645 


06 0,625|0, G11 
08 0, 628|0, 612 
10 0, 6300, 615 
13 


15 


Les cocfliciens du n° 10 donnant avec la formule (b) 
des résultats presque identiques avee ceux qu’on obtient 
des précédens avec la formule (e), on se sert habituel- 
lement de la première formule, beaucoup plus simple 
ct beaucoup plus facile à calculer que la dernière. 

18. Les lois de l'écoulement par les déversoirs (voy. 
ce mot) ou par les échancrures rectangulaires prati- 
quées à la partie supérieure d’une des parois d'un réser- 
voir ne sont que des cas particuliers de celles par les 
orifices verticaux. La charge sur la partie supérieure de 
l’orifice étant nulle, il suffit de faire H'= o dans la for- 
mule (e) pour obtenir immédiatement 


D — È L/29 . Hy/H, 
et pour la dépense réelle... (f) 
D —= m/2g. H/H, 
m étant le coefficient de réduction. 


Nous devons observer que la charge H de la partie 
inférieure de l’orifice ou du seuil du déversoir est tou- 


ÉCO 


jours plus grande que la hauteur du niveau de l’eau au 
dessus de ce seuil, parce que la veine fluide s’infléchit 
avant d’atteindre Je déyersoir. Par exemple, si AB 
(Gg. 1, PL 11) est la hauteur du niveau général du ré 
servoir au-dessus du seuil, la hauteur DB de l’eau au- 
dessus de ce même seuil sera plus petite que AB , par 
suite du mouvement des melécules fluides qui com- 
mencent à descendre en E ayant d’avoir atteint l’ori- 
fice. La quantité H de la formule (f) est donc AB et 
non DB, et dans les calculs relatifs aux déversoirs, la 
charge se mesure par la distance entre le seuil et le ni- 
veau de l’eau en repos. 


: ñ sr 2 SE 
Ceci posé, la quantité 3/29 étant constante pour 


chaque déversoir, nous Ja représenterons par y, et nous 
aurons simplement pour l'expression de la dépense 
réelle par un déversoir dont la largeur du seuil est /, la 
formule générale 


D — #{Hy/H. 


Les expériences de MM. d’Aubusson et Bidone, celles 
d’Eytelwein, et les dernières de MM. Poncelet et Lesbros 
s'accordent pour assigner au coefficient y la valeur 
moyenne 1,80, de sorte qu'on peut généralement ad- 
mettre... (g) 


D = 1,80 /HU/H. 


Nous allons appliquer cette dernière expression à la 
solution de quelques problèmes pratiques. 

. I. Ayant un bassin entretenu constamment plein par 
un cours d'eau fournissant 1"°,500 par seconde, on de- 
mande à quelle profondeur au-dessous du niveau du bas- 
sin il faut établir un déversoir qui aurait 1",60 de large, 
pour faire écouler la quantité d'eau fournie par le 
courant. 

H étant ici la quantité demandée, dégageons-la d’a- 
bord de la formule (g), nous aurons 


3 —— ——— 
a LAON. 
H LR ’ 
or, d’après la question, [= 1,60 et Q — 1,50; ainsi 


27e ne on 
mes 3° __}l=—=0!617, 
n= (re x) 0343 


Il faudra donc placer le seuil à 0%,647 au-dessous du 
niveau auquel l’eau doit être tenue dans le bassin. 

II. On demande la largeur que doit avoir un déversoir 
dont le seuil est à o®, 6o au-dessous du niveau constant 
d'une pièce d'eau pour obtenir une dépense de 2 mètres 
cubes par seconde. 

Nous avons ici H — 0,60, Q = 2, et il s'agit de dé- 


ÉCO 
terminer  L'équation (g), résolue par rapport à /. 
donne 


Re 
1,80 HUH 
Substituant les valeurs numériques, nous obtiendrons 


2 


=== = 


1,80 X 0,60 X |//0,60 


—\2h 001: 


19. Il arrive assez souvent que les réservoirs sont ali- 
mentés par des cours d’eau qui arrivent directement à 
la paroi sur laquelle est ouvert l’orifice ou le déversoir, 
l'écoulement se fait alors non seulement en vertu de la 
charge H, mais encore en vertu de la vitesse initiale 
des molécules fluides ; dans ce cas, la quantité H doit 
exprimer la hauteur entière due à la vitesse de l’écou- 
lement, c’est-à-dire, la somme de la charge sur lorifice 
et de la hauteur due à la vitesse initiale; en donnant à 
H cette signification, il n’y a rien à changer à la formule 
générale (ec) de la dépense par les orifices, mais la for- 
mule (f) des déversoirs peut présenter des diflicultés 
que nous allons éclaircir. Pour reconnaitre aisément la 
fonction particulière de chaque quantité dans cette for- 
mule, mettons-la sous la forme... (A) 


| > 40 (4u), 


et nous verrons immédiatement; qu'abstraction faite 
du coefficient de réduction m, elle se compose de deux 


facteurs généraux [H et Lu) ; dont le pre- 
mier {H exprime l'aire du déversoir, et le second 


L/2 (an) la vitesse moyenne de l'écoulement, car 
9 


la dépense se compose généralement du produit de 
l'aire de l’orifice par là vitesse moyenne du fluide: 


a est donc la hauteur génératrice de la vitesse 


moyenne, et c’est à cette seule quantité qu'il faut ajou- 
ter la hauteur due à la vitesse initiale moyenne du 


fluide dans le réservoir. Ainsi, nommant w cette vitesse, 
uariogséed bcosol D 
la hauteur qui lui est due étant da — 0,051, la for- 


mule des déversoirs devient 
Q=mHL/ [9 ( aH+ oi) |, 
ce qu'on peut mettre sous la forme 
Q=5 mag. HT onu. 


Si nous désignons maintenant par w la vitesse à la 
surface du courant, qui est la plus facile à observer, et 


ÉCO y 


si nous prénons # = 0,94 v, cette dernière formule de- 
viéndra..…. () 


Q—=:1,781Hy/H+ o;10°, 
l'expérience ayant fait connaitre que la valeur moyenne 
Suusse —- À : 
du coefMicient = my/2g est 1,58: On devra se servir de 
5 


Ja formule (+) toutes les fois que la section du'courant 
ne dépassera pas dix à douze fois {H; dans les autres 
cas, la vitesse v n’exerce aucune influence sensible sur 
la dépense, et il est inutile d'en tenir compte. 

Nous ferons observer en passant qu'il résulte dé l'ex- 
pression (4) que la vitesse moyenne de la veine fluide 


est les deux tiers dé la vitesse au seuil du déversoir. 
$ I. Ecoulemens à niveau variable. 


20. La théorie des écoulemens à niveau variable est 
beaucoup moins avancée que celle des écoulemens à 
niveau constant, pour laquelle cependant il faut inces- 
samment recourir à l’expérience. L'hypothèse du paral- 
lélisme des tranches (Voy. HxproDxNAMIQUE , (om. 11), 
qui sert de base à cette théorie, est évidemment insuf- 
fisante, car si l’on peut admettre qu’au commencement 
de l'écoulement la surface supérieure du fluide dans le 
vase s’abaisse parallèlement à elle-même, il n'en est 
plus ainsi lorsque les tranches fluides sont arrivées dans 
la sphère d'activité de l’orifice, elles prennent alors des 
directions concourantes vers cet orilice, et quand il ne 
reste plus que peu de liquide dans le vase, il s’y forme 
un entonnoir dont l’air occupe le milieu, la dépense di- 
minue considérablement, et enfin l'écoulement ne s’0- 
père plus que goutte à goutte quand la hauteur de Peau 
est réduite à quelques millimètres. Les fig. 15, PL. 10, et 
5 et 4, PL11, représentent les inflexions de la surface su- 
périeure du fluide. Ces derniers phénomènes n’ont point 
encore été soumis au calcul, mais dans la pratique il est 
rare d’avoir à considérer le cas où un réservoir se vide 
complètement, et l'on peut encore modifier les formules 
théoriques par des coefliciens de réduction déduits de 
l'expérience. 

ot. Sans recourir aux considérations théoriques dont 
nous venons de signaler le peu de valeur, et'qui con- 
duisent à des formules différentielles intégrales dans un 
petit nombre de cas, observons qu'on peut admettre 
qu’à un instant donné la vitesse de sortie par un orifice 
pratiqué au fond d’un vase prismatique est due à la 


hauteur correspondante du liquide dans le réservoir ; 
H', etc., les hauteurs suc- 


ainsi, désignant par H, HS 
de l’orifice, les 


céssives du niveau au-dessus du centre 
vitesses correspondantes de l'écoulement seront repré 


sentées par 


29H, 29H, 29h, etc., 


92 ÉCO 


c’est-à-dire qu'elles seront entre elles comme les ra- 
cines carrées des hauteurs ; l'écoulement s’effectue done 
par un mouvement uniformément retardé, et il devient 
facile de comparer la quantité d’eau qui s'écoule dans 
un temps donné avec celle qui se serait écoulée si le 
mouvement eût été uniforme. On sait, en effect, que lors- 
qu'un corps se meut d’un mouvement uniformément 
accéléré , il acquiert, dans un temps quelconque, une 
vitesse capable de lui faire décrire dans ce même temps 
un espace double de celui qu'il vient de parcourir; et, 
réciproquement, que lorsqu'il se meut d’un mouvement 
uniformément retardé, il parcourt dans un temps dé- 
terminé un espace moitié plus petit que celui qu’il au- 
rait décrit uniformément en vertu de sa vitesse initiale. 
Ainsi, en considérant le volume d’eau écoulé comme 
un prisme dont l'orifice est la base et qui a pour hau- 
teur l’espace que parcourraient d’un mouvement uni- 
formément retardé les premières molécules sorties, on 
voit que le volume de ce prisme est la moitié de ce qu’il 
aurait été si les molécules eussent conservé leur vitesse 
initiale, puisque alors l’espace qu’elles auraient par- 
couru, c'est-à-dire, la hauteur du prisme, eût été double, 

Il en résulte que le volume d'eau sorti par un orifice 
d'un vase prismatique qui se vide n’est que la moitié de 
celui qu'on aurait eu dans le même temps, si l'écoulement 
s'était effectué constamment sous la charge qui avait lieu 
à l'origine du mouvement. 

Désignons par H la charge initiale ou la hauteur du 
niveau au-dessus du fond ayant que l'écoulement soit 
commencé, par À la section horizontale ou l'aire de la 
base du vase prismatique, et par T le temps pendant le- 
quel toute l’eau dont le volume est AH s’est écoulée. 
D'après le théorème précédent, le volume d’eau qui se 
serait écoulé dans le temps T sous la charge constante H 


cût été 2AH , mais dans ces mêmes conditions la dé- 


pense est exprimée par mST1/2gH (n° 5), donc... (k) 
2AH = mST/29H. 


Telle est l'équation fondamentale de l'écoulement 
par les orifices pratiqués au fond des vases prismati- 
ques; en dégageant le temps T on a la relation... (1) 


Tr = 2H 
mS\/2g 


22. Ce qu'il importe principalement de connaitre 
Pour la pratique, c’est le temps que le niveau d’un bas- 
sin met à s'abaisser d’une certaine quantité. On peut 
l'obtenir comme il suit : soit 4 le temps pendant lequel 
la hauteur primitive H s’est réduite à H'; si nous dési- 
&nons par le temps qu'il faudrait au bassin pour se 
vider compli ‘tement à partir du moment où la hauteur 


ECO 
de son niveau est deyenue H', nous aurons, en vertu de 
la relation générale (1), 


T' _— 2 À V4 


| mS\/2g" 
et par suite + 
FM AH - oAVH 
= mS\/2g  mSV/2g" 


d’où l’on a définitivement... (m) 


2A 
© (VH- VA). 
MTS A 


D 


25. Pour donner un exemple d'application, nous 
citerons d’abord une expérience de Bossut, faite avec 
un bassin prismatique dont la section horizontale était 
un carré de 0,975 de côté, et percé dans le bas d’un 
orifice circulaire de 0",0541 de diamètre; l'ayant rempli 
d’eau jusqu’à une hauteur de 5,70, il a observé qu'après 
un écoulement de 5'6”, le niveau de l’eau s'était abaissé 
de 2,92. Prenons ces données et déterminons, aumoyen 
de la formule (m), le temps nécessaire pour produire 
un abaissement de niveau de 2",92. 

Nous avons 


A — 0,975 X 0",975 — 0"9,9506, 
S— À r (0,0541) = 0"1,0025, 
H=—5",:9, H'—5",79 — 2,92 — 0,87. 


Prenant pour le coeflicient de réduction 0,60, comme 
l'indique le tableau du n° 10, et substituant toutes ces 
valeurs dans la formule, nous aurons 


4 —= 
0,60 X 0,0025 X |/2q 


ce qui donne, en réalisant les calculs, 
— 190 —7LOR, 


résultat qui diffère peu de celui de l’expérience. On a 
observé que dans tous les cas où l’abaissement de ni- 
veau n’est pas assez considérable pour produire un en- 
tonnoir (20), la formule (mn) s'accorde très-bien avec 
les faits. 

24. S'il s'agissait de déterminer l’abaissement de ni- 
veau H — H' qui a lieu dans un intervalle donné de 
temps f, il faudrait tirer la valeur H—H de la for- 
mule (m), ce qu'on parvient à faire par une ‘simple 
transformation. Donnons à la formule (sn) la forme 


mtS\/2g 0, ne 
Sa 1 1 MA VASE 


nm 00 + 


ÉCO 
et multiplions les deux membres de cette égalité par 


VH+VH', il viendra 


re (CH VH') =H—H. 


Substituons à la place de |/H° la valeur 


tSy/29 
Va En Er 


tirée de la formule (m), nous obtiendrons.... (x) 


__mS/2g (en "SV 
h= + (vu nl 


h désignant la différence de niveau ou la grandeur de 
l'abaissement. 

25. Il suffit d'observer que le volume d’eau écoulé 
pendant le temps t est égal au prisme dont la hauteur 
est k et la base À, pour avoir immédiatement l’expres- 
sion de la dépense pendant letemps f, car ayant D —A#, 
on a aussi... (0) 


D — mtS/2g (/ de Mes), 
4A 

Nous ne croyons pas nécessaire de donner des exem- 
ples numériques. 

26. Examinons maintenant le cas où le bassin est 
alimenté par un cours d’eau qui lui fournit une quantité 
de fluide moindre que celle qui s’écoule par son orifice. 
Soit Q le volume de l’eau qui entre dans le bassin en 
une seconde de temps, et x la grandeur de l’abaissement 
du niveau dans le temps t. Pendant l'instant infiniment 
petit dt qui suit le temps ft, le niveau s’abaisse d'une 
quantité infiniment petite dæ, et par conséquent la quan- 
tité d’eau écoulée dans l'instant dt se compose : 1° du 
volume Adæ qui existait dans le bassin au commence- 
ment de cet instant ; 2° du volume Qdz reçu par le bas- 
sin dans la durée de dt. Le volume d’eau réellement 
sorti est donc Adx + Qdx. 

Mais ce même volume est encore exprimé par 


mSdt/2g(H— x), en vertu de la formule (d). Donc 
Adx + Qdx — mSdty/2g(H—x) 


faisant H — æ—H', ce qui donne — dx == dH', et dé- 
gageant dé, il vient 


dt — —AdH 


mSV/294' —Q° 


dont l'intégrale complète est... (p) 


À Le 
Ter (ns A1 V/H)+M ie 


… ÉCO 93 


expression dans laquelle la quantité M est donnée par 
la relation 


M — 2,505 Q. Log(PAC MT), 
mSV/29H — Q 


La caractéristique Log désigne un logarithme vulgaire 

Voici un exemple de l'application de cette formule 
donné par M. d’Aubusson. 

Un étang ramené à la forme prismatique a 3600 mè= 
tres carrés de superficie et 3°,50 de profondeur : il est 
alimenté par un ruisseau donnant 0°°,95 d’eau par se- 
conde; la vanne du fond, lorsque la pelle est entière- 
ment levée, a 1°,10 de large et 0,60 de hauteur. On 
demande le temps que l'étang mettra à se vider jusqu’à 
o®,10 au-dessus du bord supérieur du pertuis. (Nous 
avons fait observer que les formules précédentes ne 
sauraient rendre le temps de l’abaissement lorsque le 
niveau du fluide n’est plus qu’à une petite hauteur au- 
dessus de l'orifice de sortie. ) 

On a ici pour la charge au-dessus du centre de cet 
orifice, au moment de la levée de la vanne, 


pour la charge à la fin 


; 1 : 
H EE 0,00 — 0,40; 


de plus 
S — 1,10 X 0,60 — 0,66; 
A = 5600; 
Q— 0,95; 
M— 70 : 


par suite, 


mSV/2g — 2,046 ; 


mS\/2gH — Q 2,7105 
Log (ar) = Log —5— — 0,8962. 
mS1/ 29H" — Q 0, 9442 
D'après cela, l'équation devient 
2 X 3600 ; 
= 5 9 2,0462(1/5,2 — 1/0, 
Gogo} | 2462/3553 — 1/0,4) 
+ 2,303 X 0,95 X o,8962| 
= 7442" — 262" 
c’est le temps demandé. os 


27. Il arrive souvent dans la pratique que les bassins 
d’où l'on tire l'eau ont des formes irrégulières, comme 
o 
les étangs, par exemple; pour pouvoir appliquer les 
formules , il faut alors lever le profil des bassins, puis 
, F ; 
les supposer divisés en un certain nombre de couches 
parallèles horizontales d'une épaisseur au plus d’un 
demi-mètre; on prend la largeur moyenne de ces 


93 ÉCO 


couches sur les profils, on les multiplie par l'épaisseur 
adoptée, et on a ainsi un certain nombre de bassins 
prismatiques superposés, pour chacun desquels on dé- 
termine le temps qu'il mettra à se vider. La somme de 
ces temps partiels donne approximativement le temps 
de l'écoulement du bassin irrégulier. 

28. Lorsque l'écoulement a lieu par un déversoir, et 
que le bassin ne recoit pas de nouvelle eau, on obtient 
pour l'expression du temps t, à l’aide de considérations 
analogues à celles dont nous avons fait usage ci-des- 


sus... (p) 


EE ( Li ) 
— m2 NZ LH 
À désignant toujours la section horizontale du bassin, 
H la hauteur du niveau au commencement du temps #, 
et H' sa hauteur à la fin de ce même temps; est la lar- 
geur du déversoir. L'application de cette formule, pour 
laquelle on a généralement m— 0,61, ne présente au- 
cune difficulté. 

29. Il nous reste À considérer le cas où l’eau d'un ré- 
servoir 
bouche sous l’eau contenue dans ce second réservoir. 


s’écoule dans un autre par un orifice qui dé- 


Ici, d'après les lois de l'équilibre des fluides (Hxpro- 
STATIQUE , tom. n1), l’eau du second réservoir oppose à 
l’écoulement une résistance égale à la force qui la ferait 
s'échapper elle-même par l'orifice commun, si le pre- 
mier réservoir était vide; ce n’est donc qu’en vertu dé 
son excès de force que l’eau de ce premier réservoir 
peut pénétrer dans le second. Or, la force ou pression 
d’où dépend la vitesse d'écoulement étant représentée 
par la charge, c’est-à-dire par la hautenr du niveau au- 
dessus du centre de l’orifice, si nous nommons H la 
charge du premier réservoir à un instant déterminé et 
H' celle du second, au même instant, la vitesse d’écou- 
lement, à cet instant, sera due à la différence des char- 
ges, et on aura 


v—1/29(H —H). 


Ainsi, lorsqu'un fluide passe d'un réservoir dans un 
autre par un orifice recouvert du fluide qui est dans ce 
dernier, la charge effective sur cet orifice, ou la hauteur 
due à la vitesse de sortie, en un instant quelconque, est la 
différence de niveau des deux réservoirs à ce méme instant. 

Ce cas particulier de l'écoulement des fluides peut se 
présenter avec trois circonstances différentes: 1°les deux 
réservoirs conservent sensiblement leurs mêmes ni- 
veaux pendant toute la durée de l'écoulement ; 2° le 
niveau du second réservoir est variable, celui dupre- 
mier demeurant constant; 5° les deux niveaux sont va: 
riables. 


L-4 . 
50. Lorsque les deux niveaux sont constans , la vi- 


ÉCO 


tesse est constante et égale à1/239(H—H°), ainsi S dé- 
signant l’aire de l’orifice, la dépense dans l’unité de 
temps est 


Q — mSy/2y(H— À). 


Plusieurs expériences ont appris qu'on pouvait adopter 
pour le coefficient de réduction m le nombre 0,625, 
ainsi... (q) 


Q — 0,625S1/2gh, 


h désignant la différence des niveaux. 

51. Lorsque le premier niveau est seul constant, 
l’eau qui s'élève dans le second réservoir augmente suc- 
cessivement sa charge et diminue par conséquent la vi- 
tesse de l'écoulement; on peut donc ramener ce cas à 
celui d’un réservoir qui se vide librement dans Pair, car 
la vitesse se trouye encore ici uniformément retardée, 
mais les phénomènes se présentent dans un ordre in- 
verse, c’est-à-dire que le niveau du second réservoir 
est poussé de bas en haut par une force sans cesse dé- 
croissante égale à chaque instant à la différence des ni- 
veaux. Si nous désignons par Hla différence des niveaux 
à l’origine de l'écoulement, et par À ce que devient cette 
différence après un temps {, nous aurons évidem- 
ment... (r) 


Re — VA — 4) D 


AFS 
A étant la section horizontale du vase qui se remplit, et 
S l’aire de l’orifice. L'écoulement devant cesser quand 
les niveaux sont les mêmes, nous aurons aussi, T dési- 
gnant le temps du remplissage complet du second 
vase... (8) 


Te 


msS\/ 29 

On a de fréquentes occasions d'appliquer ces deux 
formules dans le mouvement des eaux des canaux. Mais 
il faut observer que le coefficientde réduction m, qui est 
0,625 lorsque l'écoulement s'effectue par un seul ori- 
fice, s’abaisse à 0,548 lorsque l'eau s'échappe par deux 
orifices à la fois ou par les deux pertuis d’une porte 
d’écluse. 

Le calcul du remplissage d’une écluse se divise en 
deux parties, parce que l’eau conténue dans le canal 
supérieur commence par s’écouler sans rencontrer de 
résistance, dès que les vannes sont ouvertes, et va rem- 
plir la partie du sas de l’écluse qui forme sa chute jus- 
qu'à ce qu'elle atteigne la hauteur des vannes, c'est alors 
seulement que la résistance extérieure se développe. On 
doit donc calculer le remplissage jusqu’au moment où 
l'eau s'est élevéé au centre de l’orificezpar les formules 


VA. 


ILE ER TR 


ÉCO 


de l'écoulement dans l'air, et à partir de ce moment 

jusqu’à celui où l'eau de l’écluse atteint le niveau de 

l'eau du canal par la formule (s). 

32. Lorsque les deux niveaux sont variables, ce qui 
arrive toutes les fois que les deux réservoirs communi- 
quans sont limités, que le premier ne recoit pas de nou- 
yelle eau et que le second conserve celle qui lui est 
fournie, le niveau du second réservoir s'élève à mesure 
que celui du premier s’abaisse, et l'écoulement dure 
jusqu’à ce que les deux niveaux soient les mêmes. 

Désignons par À et B les sections horizontales res- 
pectives des deux réservoirs, et par S l'aire de l’orifice 
ou la section du tuyau de communication. Désignons 
en outre par z la hauteur du niveau du premicr réser- 
voir après que l'écoulement a duré le temps t, et par y 
la hauteur du niveau de l’autre au même moment. 

- Dans l'instant infiniment petit dé qui suit le temps t, 
l’eau monte dans le second bassin de la quantité dy et 
descend dans le premier de la quantité dx; le volume 
d’eau perdu par celui-ci est donc Adæ et le volume d’eau 
gagné par l’autre Bdy. Ces deux volumes étant néces- 
sairement égaux, nous avons Adx — Bdy, ou plutôt 


(1). Ade——Bdy, 


parce que æ diminue lorsque y et t augmentent. 

Mais pendant la durée de l'instant infiniment petit dt, 
nous pouvons considérer les niveaux comme constans, 
ainsi (30) 

Bdy = mSy/2g(x— y). dt, 
et par suite 


(2)... Ad —— mSy/29{& y). dt. 


Intégrant l'équation (1) en supposant qu'à l’origine 
de l'écoulement ou lorsque 2 = H, y = ; il vient 


Ax + By— AH + Bh, 
. ce qui donne pour la valeur de y 
à y HA AR 


Substituant cette valeur dans l'équation (2), intégrant 
et déterminant la constante d’après la condition que 
æ — H lorsque { — 0, on obtient définitivement... (t) 


— mS(A+B)/2g ACER) 
_ DE). 
S'il s'agissait de déterminer le temps que le fluide 
, mettrait pour arrivér à un même niveau dans les deux 
| vases, on ferait dans cette équation 


AH + BA 
LEE 


T=Y= — 


ÉCO 95 


et elle se réduirait à....(u) 


2AB/H—% 


” mS(AB)/2g 


Dans les applications, on choisira le coefficient de 


réduction qui, dans le tableau du n° 10, se rapportera à 
la hauteur de l’orifice et à la charge initiale H. 

33. ÉCOULEMENT DES FLUIDES AËRIFORMES. Lorsqu'un 
gaz est comprimé dans un vase fermé, et qu’on perce un 
orifice à l’une des parois de ce vase, le gaz s'échappe 
par l’orifice d’une manière analogue à l'écoulement des 
liquides, et avec une vitesse qui dépend de la différence 
des pressions intérieures et extérieures et du poids spé= 
cifique du gaz. On peut donc ramener l’écoulement des 
gaz à celui des liquides, en considérant le gaz qui s’é- 
coule comme un liquide d’égale densité soumis à une 
pression équivalente à celle de la pression intérieure di- 
minuée de la pression extérieure ; de cette manière, il 
faut, pour trouver la vitesse, calculer la hauteur de la 
colonne liquide dont le poids serait égal à la pression 
qui produit l'écoulement, car cette vitesse est égale à 
celle qu’acquerrait un corps pesant en tombant libre- 
ment de cette hauteur. Proposons-nous pour exemple 
de déterminer la vitesse avec laquelle de l'air à o° de 
température s'écoulerait dans le vide sous la pression 
moyenne de l'atmosphère 0°,56. Dans ce cas, la pres- 
sion extérieure de l'atmosphère étant nulle, la pression 
qui produit l'écoulement est 0°,76; et par conséquent, 
la hauteur de la colonne liquide, d’une densité égale à 
celle de l'air, dont le poids produirait un semblable 
écoulement, doit être à la hauteur de la colonne de mer- 
cure 0,"76, qui mesure la pression en raison inverse du 
rapport de la densité de l’air à la densité du mercure. 
Or, la densité de l’air est 0,0015 , celle de l’eau étant 
1, tandis que la densité du mercure est 15,798; ainsi, 
nous ayons la proportion 


æ:0°,76 —13,598 : 0,0013, 


æ désignant la hauteur de la colonne liquide cherchée. 
On tire cette proportion : 


__ 0,76 G X 13,598 Lin 
«> 0, 0013 == 7949 ,6. 


Substituant cette valeur dans l'expression de la vitesse 


due à la hauteur æ, v — |/2gx, on obtient 


= 1/[2X 5949, 6X 9,8088] — 394,91. 


L'air s’écoulerait donc dans le vide, sous la pression 
ordinaire, avec une vitesse de 394,91 par seconde. 
34. Les densités d’un même gaz à la même tempé- 
rature étant proportionnelles aux pressions, et les hau- 
teurs des colonnes liquides, dont les poids sont équiva= 


lens aux pressions, étant elles-mêmes proportionnelles 


96 ÉCO 


à ces pressions, il en résulte qu'à la méme température, 
et quelle que soit la pression, un même gaz s'écoule dans 
le vide avec la même vitesse. 

Si l'écoulement n’a pas lieu dans le vide, mais dans 
un autre gaz , cette permanence de vitesse n’a plus lieu, 
parce qu’alors la hauteur de la colonne liquide, au 
poids de laquelle on rapporte la vitesse d'écoulement, 
est proportionnelle à la différence des pressions inté- 
rieure et extérieure, et en raison inverse de la densité 
du gaz, laquelle densité est elle-même proportionnelle 
à la somme des pressions que le gaz éprouve. 

35. En déterminant la hauteur de la colonne liquide 
de même densité qu’un gaz, et dont le poids est équi- 
valent à la force qui le ferait s’écouler dans le vide, 
en fonction de la densité du gaz, de la pression et de 
la température, on obtient cette formule générale : 


= 5944/(5 + 4(0-000575)), 


dans laquelle v est la vitesse de l'écoulement, d la densité 
du gaz à o° de température, etsous la pression moyenne 
0®,76, et t la température du gaz pendant l'écoulement. 
Il résulte de cette formule, vérifiée par de nombreuses 
expériences, que la vitesse d'écoulement des gaz dans le 
wide est en raison inverse de laracine carrée de leur densité, 
quelles que soient la pression et la température, pourvu 
que cette température soit la même pendant toute la durée 
de l'écoulement. 

56. Dans l'écoulement des gaz, la veine fluide se con- 
tracte comme dans l’écoulement des liquides, et pour 
calculer la dépense réelle, il faut employer des cocff- 
ciens de réduction qui sont, d’après M. d’Aubusson, 
0,65 pour les orifices en mince paroi, 0,93 pour un 
ajutage cylindrique court, et 0,95 pour un ajutage co- 

_ nique. Ainsi, S étant la surface de l’orifice, » la vitesse 
donnée par la formule précédente, et m le coefficient 
de réduction, on a généralement pour la dépense 
réelle D 


D — mSv. 


Lorsque les gaz s’écoulent par de longs tuyaux, la 
vitesse d'écoulement est Loujours plus petite que par des 
orifices en mince paroi. Sa diminution est d'autant plus 
considérable qu’elle est elle-même plus grande, et que 
les tuyaux sont plus longs et plus étroits. Nous ne fai- 
sons que signaler en passant ces circonstances, que nous 
examinerons ailleurs. ( Voy. PNEUMATIQUE. ) 

37. L'écoulement des fluides par un orifice produit 
sur la paroi opposée du vase une pression en sens con- 
traire qu'on peut comparer au recul des armes à feu. 
Cette pression est assez grande pour.imprimer au vase, 
g'il est suffisamment mobile, un mouvement dans une 
direction opposée au jet. C’est sur ces phénomènes 


EFF 


que sont fondées les machines hydrauliques dites à 
réaction. Nous en établirons les lois au mot RÉAcTIoN. 


EFFET UTILE. (Méc.) L'effet général d’un moteur 
est de vaincre des résistances qui se reproduisent con- 
stamment, ou périodiquement, dans une direction op- 
posée à celle du mouvement qu'il fait naître; son effet 
utile est le travail productif qu'il accomplit. 

Considérons, pour fixer les idées, un homme qui tire 
de l’eau d’un puits à l’aide de l'appareil ordinaire, c’est- 
à-dire d’un seau attaché à l’une des extrémités d’une 
corde passant sur une poulie fixe. La résistance que 
l'homme doit vaincre pendant toute la durée de l’éléva- 
tion du seau, depuis le niveau de l’eau jusqu’à la mar- 
gelle du puits, se compose : 1° du poids propre du seau; 
2° du poids de l’eau contenue dans ce seau ; 5° du frot- 
tement de la corde sur la poulie, en y comprenant ce- 
lui de la poulie sur son axe; il ne peut donc arriver au 
but proposé, l'élévation de l’eau, qu’en exerçant sur 
l'extrémité de la corde qu'il tient entre les mains un 
effort capable de surmonter ces trois résistances. Sup- 
posons maintenant que le poids du seau soit de 2 kilo- 
grammes, celui de l’eau de 11 kilogrammes, et que les 
frottemens soient représentés par 3 kilogrammes, l’ef- 
fort du moteur deyra donc être de 16 kilogrammes 
pendant toute la durée de l'ascension du seau. Nous ne 
tenons pas compte ici de l’excès de force que doit déve- 
lopper le moteur, au premier moment de la traction, 
pour vaincre l’inertie des matières, parce que dès que 
le mouvement est imprimé , il suflit au moteur de faire 
équilibre à la somme des résistances ; le mouvement se 
continuant alors en vertu de cette même inertie. (Voy. 
COMMUNICATION DU MOUVEMENT.) Or, si nous Mmesurons 
l'effet général du moteur par le poids auquel il fait équi- 
libre à chaque instant, cet effet général sera représenté 
par 16 kilogrammes, et il est évident que son effet utile 
le sera par 11 kilogrammes, car le seul produit réel de 
son travail est l’élévation de 11 kilogrammes d’eau; 
les 5 kilogrammes de surplus se trouvent absorbés en 
pure perte par des résistances étrangères à l’eau qu'il 
s'agissait de puiser. 

Le poids de l’eau élevée est ce qu'on nomme la résis- 
tanee active; celui du seau joint aux résistances du frot- 
tement, composent les résistances passives de l'appareil 
ou dela machine. Dans tout travail exécuté à l’aide d’une 
machine, il est essentiel de distinguer ces deux espèces 
de résistances, dont la dernière, celle des résistances 
passives, ne fait que consommer, sans effet productif, 
une partie plus ou moins considérable de la force que 
le moteur imprime à la machine. Un appareil méca- 
nique est d'autant plus parfait que ses diverses pièces 
ou organes sont combinés de manière qu'ils n’entrai- 
nent d'autre perte de force que celle qui est strictement 


EFF 


nécessaire pour la production de l'effet utile qu’on a en 
yue. 

L'effet d’un moteur peut toujours être comparé à 
un certain poids élevé ou transporté à une certaine 
distance dans un temps déterminé. (Voy. Moteur.) Ainsi 
l'effet qu’on peut traduire par un poids de 10 kilo- 
grammes élevé à cent mètres de hauteur, dans une 
heure de temps, est le double de celui qui peut se tra- 
duire par le même poids élevé à 200 mètres dans une 
heure, ou par le même poids éleyé à 100 mètres dans 
une demi heure, ou enfin par un poids double élevé 
à 100 mètres dans une heure. En général, P représen- 
tant le poids élevé ou transporté, et H la distance par- 
courue dans l'unité de temps, le produit PH représen- 
tera l'effet général du moteur dans l’unité de temps, 
ou ce qu’on nomme son effet dynamique. Mais ce poids 
P comprend la somme de toutes les résistances à vain- 
cre ; ainsi, désignant par P' les résistances passives, et 
par ? la résistance active, on aura P—P'—p; et par 
suite, pH représentera l'effet utile. L'emploi du moteur 
sera d'autant plus avantageux que pH différera moins 
de PH. Ce produit PH est la quantité d'action (voy. ce 
mot) développée par le moteur. 

Si nous désignons par M la masse du poids P , nous 
aurons P—My, g désignant la force de gravité. (Voy. 
Pouns.) Si, de plus, V exprime la vitesse qu’un corps 
pesant acquerrait par l'effet de la gravité, en tombant 
librement de la hauteur H, nous aurons encore 


V=V/2gH, ou V'=— 29H; 


ainsi 


ct, par conséquent, 
1 
= PH — MV°. 
2 


Mais MV? exprime la force vive (voy. ce mot) que le 
moteur communique à la machine, donc l’effét dyna- 
mique est équivalent à la moitié de la force vive déve- 
loppée par le moteur. 

Il résulte de cette considération, qu’on doit éviter 
le plus possible que la transmission du mouvement dans 
les machines s'effectue par le choc d’un organe méca- 
nique sur un autre, puisqu'il y a perte de force vive, 
toutes les fois qu'il y a choc (voy. CommuxICATION DE 
MOUVEMENT), et, par suite, diminution d'effet utile. 
(Voy. Fonce vive, Moreur, Quantité D'ACTION.) 


EFFORT. (Méc.) Voy. Moteur. 
Tom. ur. 


EMB 97 


ÉLASTICITÉ. Voy. ce mot, dans le tome, et, dans 
celui-ci, le mot FORCE ÉLASTIQUE. 

EMBRAYAGES ot EMBRÉAGES. (Méc.) Organe 
mécanique qui a pour but de suspendre ou de rendre 
immédiatement le mouvement aux diverses pièces d’une 
machine. 

Imaginons un axe AB (PL 11, fig. 5) portant deux 
poulies C et D, dont l’une € est folle, c'est-à-dire 
tourne librement autour de l’axe, et dont l’autre D est 
fixée à l’axe, de manière qu’elle ne peut tourner sans 
l’entrainer dans son mouvement; si le mouvement est 
transmis par une courroie Ou corde sans fin DE, on 
pourra, sans arrêter le mouvement de cette courroie, 
interrompre celui de l’axe AB, en faisant passer la cour- 
roie de la poulie D à la poulie C; comme on pourra 
réciproquement rendre lé mouvement à l'axe AB, en 
forçant la courroie de passer de la poulie C à la pou- 
lie D. Ce double effet se produit par un embréage FH 
qui n’est qu’un levier tournant autour d’un point d’ap- 
pui Q, et qui porte deux tenons m,n, entre lesquels passe 
la courroie. En appuyant sur l'extrémité F, on élève le 
bras QH,; la courroie retenue par les tenons dévie de sa 
position, glisse sur la poulie C qu'elle fait tourner, et 
laisse en repos la poulie D, et, par conséquent, tout 
l'appareil auquel cette poulie communiquait le mouve- 
ment. Lorsque la courroie est reportée sur la poulie D 
par le retour du levier à sa position horizontale, l'axe 
AB recommence à tourner. On peut varier à l'infini 
cette disposition, très-employée dans les filatures. 

M. de Prony a inventé une machine très-ingénieuse, 
dans laquelle l'organe essentiel est l'embréage. Nous 
empruntons sa description à M. Flachat. (Mécanique 
industrielle.) 

Une roue aa (PI. 11, fig. 6), est mise en mouvement 
paru n manégé pqr, et communique à deux roues b,c 
folles sur le même axe, et qu’elle fait tourner en sens 
inverse. L'axe qui porte ces deux roues, porte à l’une 
de ses extrémités une poulie K, laquelle porte une 
chaine; .et, aux extrémités de cette chaine, sont suspen- 
dus deux seaux qui vont alternativement puiser de l’eau 
dans un puits, et la versent dans un réservoir n. Il s’a- 
git, tout en conservant le mouvement circulaire, et 
dans le même sens, du cheval qui agit au manége, d’ar- 
river à ce que, lorsqu'un seau est parvenu au réservoir ; 
et s’y est vidé, il puisse redescendre sans que le cheval 
s'arrête et change son mouvement. Voici comment on 
ation porte deux manchons à 


y parvient. L’axe de rot 
horizontalement sur 


crémaillière qui peuvent glisser 

lui. De plus, il porte un levier mobile en r, qui se ter- 

mine à son extrémité supérieure par une forte boule en 

plomb d; et, à son autre extrémité, se bifurquent deux 

branches f et 9 ; chacune de ces branches porte sur un 
13 


98 ÉQU 
moutonnet porté sur un levier {, lequel est double, et 
dont chacune des branches est successivement soulevée 
par un nœud fait à la corde qui tient chacun des seaux, 
el un peu au-dessus du point d’attache. Lorsque le seau 
a eté soulevé jusqu’au point où il a pu se vider entiè- 
rement, le nœud arrive sous le levier et le soulève ; 
en même temps est soulevée aussi une des branches du 
levier dr, par exemple, la branche f. Cette branche étant 
ainsi soulevée, fait tourner le levier autour du point r, 
fait passer à gauche de l’arbre g la boule, et fait pres- 
ser le levier contre le manchon A, qui s'engage alors 
dans la roue b, et s’y maintient par le poids de la 
boule d. En même temps, le manchon 4 est désengrené ; 
la roue c redevient mobile, en même temps que la 
roue à devient fixe, et le sens du mouvement de rotation 
de l’axe change ainsi instantanément. 

Cette machine, quoiqu’un peu compliquée, a été 
très-utilement employée. 


ENCLIQUETAGE. ( Méc.) Appareil composé d’une 
roue à rochet (voy. ce mot), d’une griffe et d’un ressort 
qui sert à empêcher le mouvement d’un axe dans un 
sens, sans s’opposer au mouvement dans le sens con- 
traire. 


ENGRENAGE. (Mée.) On désigne sous ce nom la 
combinaison de plusieurs roues dentées qui se transmet- 
tent réciproquement le mouvement, ou la combinaison 
des roues dentées avec des crémaillères ou des vis sans 
sans fin. (Voy. Rouxs nenrËgs, Vis sANS FIN, LANTERNE, 
et le mot Excnexace dans le tome I.) 


ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. (Alg.) Les points 
principaux de la théorie des équations dites algébriques, 
c’est-à-dire des équations qui ne renferment aucune 
fonction transcendante des inconnues, ont été exposés 
dans les deux premiers volumes de ce Dictionnaire ; 
mais plusieurs articles indiqués par des renvois ayant 
été omis, nous croyons devoir présenter ici tout ce qui 
Concerne particulièrement la solution de ces équations, 
solution considérée, à juste titre, comme un des objets 
les plus importans de la science des nombres. Ce qui 
suit offrira donc tout à la fois le complément et Je ré- 
sumé des notions éparses dans notre ouvrage. 


1. La forme générale des équations algébriques 
est. ….. (a): 


æ" + Aer A,œ"?-Letc. …. A, _i2+A, —0s 


les coefficiens À,, A» À,,ele., étant des quantités con- 
Stantes, positives, négatives ou nulles; »# un nombre 
enter positif, et æ une quantité iuconnue dont il s’agit 


ÉQU 
de trouver la valeur en fonction de À,; À,, À,, etc. 
(Tome TJ, page 539.) 
Le plus grand exposant m de l’inconnue + détermine 
le degré de l'équation; par exemple, lorsquem—#, et 
que l’équation est, conséquemment, de la forme 


æ + A, + At A,x + A, —0, 


on dit qu’elle est du quatrième degré. 

L'équation est complète , lorsqu'elle renferme toutes 
les puissances de l’inconnue æ, depuis la plus élevée æ° 
jusqu’à la puissance 0, &°=—s1, sous-entendue dans le 
terme absolu À, ; elle est incomplète dans tous les autres 
cas. Ainsi 


a+ 6x — 7 —0 
est une équation complète du second degré, et 
72 +8 —0 


est une équation incomplète du troisième degré. Il est 
facile de voir que l’équation complète du degré m ren- 
ferme m1 termes. 

2. Toute quantité déterminée @ qui, substituée à la 
place de + dans une équation quelconque (a), réduit son 
premier membre à zéro, ou satisfait à la relation que 
cette équation exprime, est dite racine de l'équation. 
Pär exemple, 3 est une racine de l'équation 


a — 6x? + 114 —6—0, 
parce qu’en faisant æ—5, le premier membre de cette 
équation devient 


27 — d4 335 —6, 


ce qui se réduit à o, en retranchant la somme des termes 
négatifs de celle des termes positifs. 

Résoudre une équation, c’est trouver toutes les va- 
leurs de æ capables de réduire son premier membre à 
zéro , ou de le rendre égal au second. 

5. Il est démontré qu’une équation du degré m, est 
équivalente au produit de m binomes de la forme 


(Lu) (ea) (@Ha) (+ a). (+), 


, fr 5. ë i- 
a, @,, 4,,ete., étant des quantités entières, RER 
res, irrationnelles ou imaginaires, positives ou négatives 
(tome I, page 545), de sorte que l'égalité... (a) 


D HAT AE" + A a" Ti etc... + À, —0 | 
entraîne l'égalité correspondante... (b) 
(&æ+a,) (@+a) (a+a) (@+a).s (Ha) 0, 


d’où il résulte que tout nombre qui, mis à la place de æ, 
réduit à zéro le premier membre de l'égalité (a), doit 


ÉQU 

pareillement réduire à zéro le premier membre de l’é- 
galité (b), et réciproquement. Or, le premier membre 
de l’égalité (b) ne peut évidemment se réduire à zéro, 
qu'autant que lun de ses facteurs devienne lui-même 
zéro; mais, pour qu’un facteur quelconque æ— 44 soit 
nul, il faut faire 3— — 4, ; donc les m seconds termes 
des binomes æ—4,, æ—a,, + a,, etc., pris avec un 
signe contraire, ne sont autre chose que les m racines 
de l'équation («). 

4. L'équivalence des premiers membres des égalités 
(a) et (b) fait connaître les relations qui existent entre 
les racines d’une équation et ses coefliciens; on sait d’a- 
bord qu’une équation quelconque ne peut avoir plus de 
racines qu'il y a d’unités dans le nombre qui exprime 
son degré (tome I, page 546), et ensuite que : 

Le premier coeflicient À, est égal à la somme de 
toutes les racines — 4,, — &,, — 4,, etc., prise avec un 
signe contraire ; 

Le second coefficient A, est égal à la somme des pro- 
duits de deux à deux de ces racines. 

Le troisième coefficient À, est égal à la somme de 
leurs produits de trois à trois, prise avec un signe con- 
traire. 

Et ainsi de suite, jusqu’au dernier coefficient À,, 
qui est égal au produit de toutes les racines pris avec le 
signe qu’il a naturellement, si m est pair; et avec un 
signe contraire si #® est impair. 

Par exemple, dans l’équation 


di —2—142+2%4—0, 
dont les trois racines sont2,L3et—4,ona 
Premier coeflicient — 1 —— (+2+5 — 4); 


— 14 (2 X 5 aX 4H 5X— 4); 
Troisième coeflicient + 24 = — (2 SLR —4). 


Second coefficient 


4 bis. On distingue les racines d’une équation, en 
réelles et en imaginaires. Toute racine imaginaire peut 
être ramenée à la forme primitive 


p+qv 1, 


p et q étant des quantités réelles. 
Une équation ne peut avoir une seule racine imagi- 
naire, Car si dans le produit 


(a) (+4) (ea)... (ea), 


| dont le développement forme le premier membre de 
| l'équation (a), tous les nombres &,, &,, 4,, ete., 4n 
| étaient réels, excepté le premier, a, —=p+qV—1, 
| Ja quantité imaginaire |/ — 1 entrerait nécessairement 
dans la construction des coeficiens À, À,, A,,ete.; et ces 


coefficiens ne seraient pas des quantités réelles. Si donc 


ÉQU 99. 


l'une des racines @, est de la forme p+-q4/—x1, ildoit 
y avoir une autre racine 43. également imaginaire , et. 
telle que /—1 disparaisse du produit des facteurs 
(æ+ a) (æ— as), afin que cette quantité ne se: 
trouve plus dans le produit général. Supposons donc 
a—=p+qV— 1, au—p +q y/—à1, etcherchons 
quelle relation doit exister entre les quantités réelles 
P; 4; p, q, pour que le produit (æ—+a,) (æ—+a@) 
soit lui-même réel. Or, en effectuant la multiplication , 
nous ayons 


(@+p+ qu) (œ+p'+q 3) 
=e+{o+r+ a+ | 
+ (png +p 107 


et nous voyons que |/ — 1 ne peut disparaître, à moins 
que 


q+d'=0; pg +pq—0. 


La première condition donne g——, et, en éta- 
blissant cette relation entre q et qg', la seconde condi- 
tion se réduit à p—p—0, d’où p—p. Ainsi, toutes 
les fois qu’une équation a une racine imaginaire 
p+qv'— 5, elle en a une autre PQ 5, qui ne 
diffère de la première que par le signe du coefficient de 
/— 1; d’où il suit encore : 1° qu’une équation quel- 
conque ne peut avoir qu’un nombre pair de racines ima- 


ginaires marchant par couple semblable à p+q1/—1, 


p—qV/— 1; 2° qu'une équation de degré impair a au 
moins une racine réelle. 

5. Les racines réelles d’une équation n’ont entre elles 
aucune relation semblable à celle que nous venons de 
signaler entre les racines imaginaires; entièrement in- 
dépendantes les unes des autres, ces racines ne sont 
subordonnées qu'aux conditions qui lient leurs valeurs 
numériques aux valeurs des coefliciens (3). On les classe 
en commensurables et en incommensurables : les racines 
commensurables sont celles dont la valeur peut s’ex- 
primer par un nombre entier ou fractionnaire; les racines 
incommensurables sont celles dont la valeur ne peut 
s'exprimer que par des nombres irrationnels (voy, ce 
mot), ou par des suites infinies de nombres fraction 
naires. Nous ayons démontré (tome IT, page 405), « 
qu'une équation ramenée à la forme (a) et dont tous les 
coefliciens sont des nombres entiers, ne peut ayoir au- 
cune racine fractionnaire; les racines de telles équa- 
tions sont donc ou des nombres entiers, où des nom- 
bres incommensurables, ou des nombres imaginaires. 
Ce n’est que lorsqu'une équatiou a des coefliciens frac- 
tionnaires, ou que son premier terme a un coeflicient 


100 ÉQU 


autre que l'unité, qu'il peut y avoir des racines frac- 
tionnaires : de là le grand avantage de ramener toutes 
les équations à n’avoir que des coefliciens entiers sous 
la forme (a). Les transformations qu’on peut faire subir 
aux équations ont été exposées en détail au mot Trans- 
FORMATION, tome II. 

6. La théorie des équations présente deux problèmes 
fondamentaux réciproques l’un de l’autre, qu’on peut 
énoncer comme il suit : 

1° Étant données m quantités 4,, &,, @,, CC... Gn, 
construire les coefliciens A,, A, , À,, À,, etc... À, de 
l'équation 


TA Ze = A, æ" Tete. + At + AUS —0} 


dont ces quantités sont les racines. 
9° Étant donnés les mcoefficiens À,, A,, A,, etc... An 
de cette équation, construire ses racines &,, &,, @,, etc. 
Le premier problème ne présente aucune difficulté, 
puisqu'il ne s’agit que de développer le produit 


(2+a,) (+4) (+0) (œ+a,)... (4 a). 


Mais il n’en est pas de même du second, et jusqu'ici les 
efforts des géomètres ont été infructueux pour le résou- 
dre dans toute sa généralité. Rappelons d’abord tout ce 
que l’on sait sur la solution théorique des équations. 

7. Equations du premier degré. Ces équations, ra- 
menées à la forme générale 


æ+A,=0, 


sont immédiatement résolues en faisant passer la quan- 
tité constante dans le second membre, car on a 


æT—=— AÀ,. 


Tout se réduit donc à faire subir aux équations du 
premier degré les tranformations nécessaires enseignées 
tome I, page 540. Il ne peut y avoir de difficulté que 
lorsqu'on a plusieurs équations entre plusieurs incon- 
nues, et qu'il faut éliminer quelques-unes de ces in- 
connues pour obtenir une équation finale à une seule 
inconnue. Nous ne reviendrons pas sur ce que nous 
avons déjà dit à ce sujet (tome I), aux mots Équarron 
et ÉLIMINATION ; et nous nous contenterons de traiter ici 
les équations à une seule inconnue : la solution de toutes 
les autres dépendant de la leur. 

8. Equations du second degré. La forme générale des 
équations du second degré est... (c) 


2’+A,x+ A, —0. 


Sous cette forme, quelles que soient les quantités 
constantes À, etA,, entières ou fractionnaires, positives 


ÉQU 
ou négatives, les deux racines &,, &,, sont données par 
les expressions... (d) R 


a=—sath/[ar aa]; 


aa, —h/[ar a], 


démontrées tome IT, page 388. Ainsi, après avoir ra- 
mené une équation du second degré à la forme (c), il 
ne faut plus qu’exécuter, sur les coefficiens A, , À,, les 
opérations indiquées par les expressions (d), pour ob- 
tenir les deux racines cherchées. Supposons, par exem- 
ple , qu’un problème ait conduit à l'égalité 


82? —920%— 7; 


après avoir fait passer tous les termes dans le premier ! 
membre , ce qui donne 


8x? —920%—7—0, 


on divisera tout par 8, et l’on obtiendra, en réduisant 


20 


8 à sa plus simple expression, 


la fraction 


a —Ÿr+7— 0. 


Comparant avec (c), on aura 


5 


Be A5 


et, par suite, 


2) 19 2: 4 2 
5 D 7 5 
vive 


ou, simplement, 


Sn vu 
4 


> 4 —= 4 


UE 


1/11 étant incommensurable, on extraira la racine 
en poussant l’approximation aussi loin que la nature du 
problème pourra l’exiger; en se bornant à cinq déci- 


males, on aurait ici 
a,—2,07916, 4, —0,42084. 


Il suffit d'examiner les expressions (d) pour recon- 
naître tous les cas particuliers que peuvent présenter les 
racines des équations du second degré. On reconnaît, 


que: 
1° Les deux racines sont toujours réelles lorsque le A 
coeflicient À, est négatif. 
2° Elles sont encore réelles lorsque A, est positif; 


mais plus petit que ë AT. 


ÉQU 

5° Les deux racines sont imaginaires quand A, étant 
positif, on a Aï<4A,. 

4 Les deux racines sont égales quand A°—4 A, ; 
elles sont inégales dans tous les autres cas. 

5 Enfin, quand les racines sont réelles, elles ne 
peuvent être commensurables qu’autant que Aï—4A, 
est un carré parfait. 

9. Equations du troisième degré. Leur forme géné- 
rale est 


a HA at A,x+A,—0; 


mais, pour faciliter leur solution, on les ramène à celle- 
Close. (€) 


CSC a 


qui n’a pas de second terme (voy. tome IT, page 564). 
Les expressions générales des trois racines sont... (f) 


VIE, 


27 


comme nous l’avons démontré tome I, page 408. 
Soit, pour donner un exemple d'application, l’équa- 
tion 
27X— 


27? — 45æ 118. 


Transposant tous les termes dans le premier membre, 
et divisant par 27, nous aurons d’abord... (y) 


D AE m8. 
2 27 


dans laquelle il faudra faire ait pour faire dis- 


paraître lesecond terme. ( Voy. TRANSFORMATION, tome 2.) 
Nous obtiendrons de cette manière l'équation en x 


z'—2:—5—0, 


: | 1 
dontles racines, augmentées de gp nous donnerons celles 


de la proposée, Comparant avec les formules géné- 


ÉQU 101 


rales, nous avons p——2,q——5, et, par suite, 
ENT Et MT T 
4 1027 27 


Substituant ces valeurs dans la première des expres- 
sions (f), il viendra 


=) Er E) 


évaluant le radical carré, 


Eve) = 


ce qui nous donnera, en substituant, 


nous trouverons 


2,44002 


3 3 
a, —=V/(4:940021) +1/(0,059979). 
Opérant l'extraction des racines cubiques par le moyen 


des logarithmes, nous obtiendrons 


da —1,709110 + 0,391441 — 2,094551; 


ajoutant à cette valeur 2 3 °U0; 9933993, nous aurons dé- 
finitivement 

æ— 2,/427886, 
valeur rapprochée à 0,000001 près. Si l’on voulait une 
approximation supérieure à celle que les logarithmes 
des tables usuelles peuvent donner, il faudrait extraire 


, 645 
la racine carrée | 98 Ye un assez grand nombre 
où 


de décimales pour que l'extraction de la racine cubique 
pût en fournir ensuite la quantité exigée. 

La première racine a, de l’équation transformée 
étant obtenue, les deux autres s’eñ déduisent aisément; 


car en désignant par m la valeur numérique 1,703110 


du radical 
3 [una Cr 
Vtt) 


et par à la valeur 0,591441 du radical 


les deux racines 4, &, prennent la forme 


a UE BE (nn ss, 
— (mn) )— (nm n)1 ñ) Po 
à, = I 


102 ÉQU 


ce qui donne, en remettant les valeurs de m et de n, 


2 PORT ZT 
a, —=— 1,047275 + 0,6558541/—5, 
a, = — 1,047275 — 0,6558541/—53. 


Pour ramener ces deux racines à la forme primi- 
tive, des quantités imaginaires, il faut observer que 
V/—5 —1/5.4/—1, et multiplier 0,655834 par 1/5. 
x r Le: , e : . LL, 
Cette opération étant effectuée, nous ajouterons > à 


chaque racine, et nous aurons définitivement pour les 


trois racines de l'équation proposée (g) 


1... æ—+02,427886, 


2... & —— 0,718942 + 1,155938/—1, 

3... æ——0,713942 — 1,139381/—1. 
10. Les expressions théoriques (f) ne peuvent servir 
à l'évaluation numérique des racines des équations du 
troisième degré que dans des cas semblables à celui que 
nous venons de traiter, c’est-à-dire lorsqu'une seule 
des trois racines est réelle, IL est visible que si le coefli- 


; ANNE ; DA 

cient p était négatif, et qu’en outre = fat plus grand 
d à 

que 7%? la quantité 


serait imaginaire; alors l'expression de 4, prendrait une 
forme imaginaire, et celles de 4, et de 4, se trouve- 
raient doublement compliquées d’imaginaires, de sorte 
qu'au premier aspect, il semblerait que l'équation ne 
peut ayoir aucune racine réelle; mais on sait que toute 
équation de degré impair a au moins uneracineréelle (4); 
ainsi lorsque les expressions (f) prennent toutestrois une 
forme imaginaire, elles sont en défaut, du moins sous le 
rapport numérique; car on s'assure, en les dévelop- 
pant en série, qu’elles cachent des valeurs réelles que 
ces séries peuvent faire connaître. Dans ce cas singu- 
lier, les trois racines sont donc réelles ; cependant les 
séries qui les expriment sont, en général, trop peu 
convergentes pour pouvoir être employées avantageu- 
sement ; et ce que l’on peut faire de mieux, c’est d’a- 
voir recours aux fonctions trigonométriques, au moyen 
desquelles on peut toujours obtenir les valeurs des ra- 
cines dela manière la plusdirecte et la moins laborieuse. 
Nous allons ramener ici à leur forme la plus simple les 
formules que nous avons démontrées dans le premier 
volume, au mot CAS IRRÉDUCTIBLE. 
I cas. Si l'équation est de la forme... (h) 


a — pr +g—0, 


lement positifs soumis à la condition 4p° > 279, si 


ÉQU 


p et q étant des nombres essentiellement positifs, ettels 
qu'on ait la condition 


p° Ÿ 
M 7 747 
on calculera un are + par la relation... (à) 


SIN @— — X — : 


D 1 
5 A/R 


et les trois racines seront données par les expres- 
sions... (X%) 


an 1 
æ—=—+sin x X V/%P; 

æ — + sin (60°— 2 +) X 2/2 
æ — — sin (Go° + Ze) X/3P. 


IT- cas. p et q étant toujours des nombres essentiel- 


l'équation est de la forme... (1) 
a — pa —q—0; 


il n’y aura de changé que le signe des racines ; l’expres- 


sion (à) de sin + demeurera la même, et les expres- | 
sions (#) deviendront... (m) 
æ——sinzpX a/ À 
— 5 PA 31» 
i 1 1 
æ—— sin (Go° — >?) x AP; 


æ + sin (0° + Le) X /3P: | 


Les calculs indiqués par ces formules sont trop sim- 
ples pour que nous ayons besoin d'en donner des 
exemples ; on en trouvera d’ailleurs plus loin dans leur 
application au quatrième degré. 
11. La solution du cas érréductible des équations du 
troisième degré par les fonctions trigonométriques est 
si facile, qu’on doit toujours l’employer de préférence 
aux méthodes d’approximation, qui ne conduisent sou- 
vent aux valeurs des racines que par de longs calculs. 
On peut également se servir de ces fonctions lorsqu'il 
n’y a qu’une seule racine réelle, mais alors il peut se  p 
présenter quatre cas différens. 
T® cas. p et q étant, dans ce premier cas comme dans 1 
les suivans, des nombres essentiellement positifs, l’é- 
quation est de la forme... (n) | 


| 

| 

a + pa + qe | 
| 


ÉQU 
On caleulera un are & par la relation... (0) 


ee 1 
ans x À 


(p) 


puis un arc © par cette autre... 


3 
tang (2) = A 


et la racine réelle aura pour expression... (q) 


1 
lang 39» 


T—= — cot 20 X SP. 
IT eas. L’équation est de la forme... (r) 


2° + px — q— 0. 


Les expressions de tang ? et de tang w seront toujours 
les mêmes ; seulement la racine changera de signe, et 
deviendra... (s) 


= Cot 20 X V/5P. 
II cas. L'équation est de la forme... (t) 


&°— pr +q—0, 


et l’on a de plus 4p° < 254°. 
On fera alors... (u) 


ê 1 
* Sin ® —5,* V5 D; 


SE 
1 

tang O— BAT — pe 
2 


La racine sera donnée par l'expression... (v) 


IV: cas. La condition 4p° < 27q° ayant toujours lieu, 
l'équation est de la forme... (x) 


TL — pt — 4 — 0. 


Les expressions précédentes demeureront les mêmes , 
sauf celle de la racine qui prend le signe L et de- 
yient..….. (y) 


Nous avons appliqué ces formules (tome, page 440) 
à l'équation æ°— 2%— 5 —0, traitées ci-dessus par les 
expressions théoriques primitives des racines. Cette 
même équation ayant été traitée, en outre, au mot 


ÉQU 103 


APPROXIMATION (tome I) par les méthodes de Newton et 
de Lagrange, on peut s’assurer, en comparant les cal- 
culs que la résolution directe des équations du troisième 
degré, au moyen des fonctions trigonométriques , est 
supérieure à toutes les autres par sa promptitude et sa 
simplicité. ) 

3 


12. Lorsque Le ; et que l'équation est de la 
7 


forme 


les radicaux carrés 


/ 


disparaissent des expressions théoriques primitives (f); 
la première se réduit à 


a —11/—5 a —1—\/—5 a 
— 

a —1— EM AU 1) —5 a 
 * 


Les deux dernières racines sont donc, dans ce cas, 
égales entre elles, et d’un signe différent de la première, 
qui est positive lorsque q est négatif, et négative dans 
le cas contraire. On voit de plus que la valeur numé- 
rique absolue des deux racines égales est la moitié de 
celle de l’autre. Les formules trigonométriques du cas 
irréductible conduisent alors à la solution la plus simple 
de l’équation ; car, en observant que l’expression 


est la même chose que 


sin g — v( 2) : 


4p° 


on reconnaît que, dansle cas de 25° — 4p#, sin g—1, 


\ 1 = Ë ; : 1 
d’où p—90° et 3 ?— 90°. Mais (voy. Sixus) sin 50° —-; 


donc, substituant ces valeurs dans les expressions (4) 
et (m), on a 


10% EQU 
Les signes supérieurs se rapportant à ositif, et les 
(o} PI , 
signes inférieurs à q négatif. 
On obtiendrait également ces dernières expressions, 
qui ne font dépendre la solution de l'équation que d’une 
extraction de racine carrée, en partant de la condition 


En effet, si l’on prend la racine sixième des deux mern- 
bres de cette égalité, il vient 


ES 


mais 
el at 
: 3 o < m4 
L'E=VIL7£] Va 
donc 
vi? 
2 3 


13. I] résulte des formules précédentes, qu’une équa= 


tion du troisième degré, ramenée à la forme générale 


apr tq=—0, 


dans laquelle p et 4 sont des nombres positifs ou néga- 
tifs, peut avoir : 

1° Trois racines réelles inégales, dont deux négatives 
et une positive, ou deux positives et une négative, sui- 
vant que q est positif ou négatif. 

2° Trois racines réelles, dont deux égales et de signe 
contraire à la troisième numériquement double de ces 
premières. 

5° Enfin une racine réelle, positive si q est négatif, 
négative si q est positif, et deux racines imaginaires. 

Le premier cas a lieu lorsque p est négatif, et qu'on 
a 4p° > 257q°; le second, lorsque p est négatif et tel que 
4p—25q"; letroisième, toutes les fois que p est positif, 
ou qu’étant négatif, on a 4p° < 25q°. 

Ce n’est que lorsque l'équation est complète qu’elle 
peut avoir trois racines égales et trois racines de même 
signe. 

14. Equation du quatrième degré. Les expressions 
théoriques des racines de l’équation du quatrième degré 
sont rarement employées pour évaluer numériquement 
ces racines, à cause des longs calculs qu’elles néces- 
sitent...., Soit... (x) 


æ" + Ax? + Bx + C = 0 


EQU 
une telle équation privée de second terme, et dans la- 
quelle A, B et C sont des nombres quelconques positifs 
ou négatifs; formons avec ces coefliciens l'équation du 
troisième degré... (x) 


5% L oz (A2— 4C)z— B°—0, 


qu'on nomme la réduite; désignons par z' une quel- 
conque des racines réelles de cette réduite, et faisons, 
pour simplifier, |/x'=— a; les quatre racines de l’équa- 
tion (x) seront 


Lt. = SIC 
æ—=—-a+#1/| 4 a Hat 
Z——-4—V EU — 

y FHilitis NT 
x — Latyf-ietatl 
— jamv-ie-ia 5) 


ainsi que nous l’avons démontré, tome I, page 230. 

En observant que la valeur numérique de a peut être 
prise indifféremment avec le signe + ou avec le signe—, 
parce qu’elle provient de l’extraction d’une racine car- 
rée, et qu'il n’en résulte cependant que quatre valeurs 
différentes pour x, par suite de légalité 


qu’on obtint en faisant, dans la réduite, 4°, on peut 
adopter pour les expressions des racines les quatre for- 
mules symétriques... (f) 


résulte de l'analyse de ces formules : 1° que lorsque 
la réduite n’a qu’une seule racine réelle, la proposée 


a deux racines réelles et deux racines imaginaires; : 


2° que les racines de la proposée sont toutes quatre 
réelles ou toutes quatre imaginaires, lorsque les trois 
racines de la réduite sont réelles, savoir : toutes quatre 
réelles, si les trois racines de la réduite sont positives; 
toutes quatre imaginaires, si l’une des racines de la 
réduite est positive et les deux autres négatives. Dans 


ÉQU 
ces deux circonstances, la réduite tombe dans le cas 
irréductible , et la solution théorique de l'équation du 
quatrième degré se trouve compliquée de toutes les 
difficultés inhérentes à ce cas. 

15. Les fonctions trigonométriques, auxquelles il 
faut nécessairement avoir recours lorsque les trois ra- 
cines de la réduite sont réelles, rendant, dans tous les 
cas, les calculs moins laborieux, nous allons indiquer, 
par quelques exemples, leur application à la solution 
directe des équations du quatrième degré. 

Observons d’abord que, pour résoudre la réduite (4), 
il faut la ramener à la forme æ°—-pæ + q=— 0, et faire 
disparaitre son second terme; posons donc 


2 
no 


et, en substituant cette 1 eur dans l'équation (+), 
nous obtiendrons l'équation finale... (4) 


7 (ptc)afe +2 er) 


Celle-ci, résol-e au moyen des formules données ci- 
dessus, nous 1 era connaitre la valeur de y, et par suite 


celle de #=ÿ—> A ; faisant donc 


d=y—;A, et a=l/1—2à, 


les quatre racines (8) de l'équation du quatrième degré 
prendront la forme (9) 


Si l'équation en y a trois racines réelles, on pourra 


employer à volonté une quelconque de ces racines, les 
résultats seront identiquement les mêmes. 
16. Propasons-nous l'équation 


go iox—5—0, 
nous aurons 
== 13, B= + 19, CG = — 5, 
ce qui nous donnera 
mA AC — 48 — 11 — 56, 
PRO RE = 06 dr a8— 44 = Bo, 
7 


L'équation en y sera donc 


y —56y +800, 
Tom. ur, 


et elle tombe dans le cas irréductible, car 
4 (56)* > 27 (8o}°. 
Comparant avec le 1° cas, n° 10, nous ferons p —36, 


qg—= 80. 


105 


L SEC OU DE 20 I 
Ir Pr — ler : 
? 56 Voy/ra 5 


Réalisant les calculs par logarithmes, il viendra 


Log 20 —1,5010300  +Log 12 — 0,5395906 
r À /, » É LA ga 
Log 3—0,4771212 Log 2—0,9010300 


0,8239088 0, 8400206 


Nero pe fe 
Log 5 — 0,8259088 
Log (23) — 0,8/406206 


Différence — 9, 9832882. 


Nous augmentonsde 10 unités la dernière caractéristique, 

pour ramener les sinus naturels aux sinus des tables. 
Ce dernier logarithme étant celui de sin ?, les tables 

des sinus nous apprennent que —574° 12° 24",6. Sub- 

stituant le tiers de cet arc dans les formules (%), nous 

obtiendrons 

: 4/12 ô 

35 15 51,8) X 21/12, 

X 21/13. 

Réalisant les calculs, ce qui se réduit à trois additions, 


puisque le logarithme de 2 [/ 12 est déjà donné pat 
les calculs précédens, nous trouverons définitivement 


y = + 289898; 
VE 
y — — 6, 89898. 


Ces valeurs nous montrent que les racines de la ré- 
: 3 hé de 
duite s—y—7 A —7y—+-8 sont toutes posilives, et 
5 


par conséquent que lesracines de la proposée sont tou- 
tes réelles. Employant la plus simple des valeurs de 


Y, Y—= 4, Nous aurons 


a = 1/12 = 21/3, 


1 & S 00 
valeurs qui, substituées dans les expressions (à) avec 
celles de A et de B, donneront 


a=—\/3+V/ [s- 1+- rx] —=—V3EV F5] ? 
vibes 55 | 
14 


106 ÉQU 
Tous calculs faits, nous trouverons 


7 æ—-—+-9,858083 
8 æ — + 0,606018. 


17. Prenons pour second exemple 
A — 52° — 50% — 88 — 0. 
Ici, 
= — 5, B——50,C—— 88; 


et, par Suite, 
3 A+ QC = 5 — 55 = — 549, 


4 
3 AC — At — Bi 504 + a — 900 = — 194. 


3 L4 
ÿ° + 549y— 194—0. 

Cette équation n'ayant qu’une seule racine réelle, 
puisque le coeflicient de son second terme est positif, 
nous la comparerons à l'équation (r) du n°11, ce qui 
nous donnera, en faisant p— 349, 9 — 294. 


5 x 2| 


tang 9 = 3X 194 


Calculant d’abord isolément le dernier facteur géné- 


ral 2 #2 


racine, nous aurons 


qui entre dans l'expression de la 


Log 549. : . . . — 9,54282543 
Log 3.....— 0,47712195 
== 2, 06570418 


me 


Somme. . . . . 


Moitié . . . .: . . — 1,09285209 

Log a. . . . . . — 0,30103000 
es À 

54 
Log (7) = 1,92388209 
Maintenant 

1,93988209 

Log 349. . . . . — 2,5428a545 
es 

Somme. « + . . . 3,8767075a 


Log35......— 0,47712195 
————— 
Différence . . . . , — 3, 59958627 
Log 194. ... . . — 2,28780153 
EE SUR 


Log tang 5. . . . — 1,11178454 


= ° , 1 1 L C 
9= 85° 54 46',07, et 3 ?=42° 47 25,04. 


ÉQU 
Substituant cette valeur dans la formule (p), elle de. 
viendra 


3 
tang © — [une (42° 45 :5',04)] 
et nous fera connaître 
© —= 44" 15"45",54; 20 — 88°31 30°, 68. 


Le calcul de y se réduit ainsi à l'addition suivante : 


ice (125) re A SEA 


Log cot (88°51 50",68) — 8,4107106 
LOB YEN 10 7419007 
Retranchant 10 de la caractéristique de ce logarithme, 
pour ramener au raÿyon— 1 la cotangente des tables, il 
prendra la forme 


— 1 + 0,%445927 


et correspondra par conséquent au nombre du Joga- . 
rithme 0,7445927 divisé par le nombre dont le loga- 
rithme est 1; le premier nombre étant 5,5538, et le 
dernier étant 10, on en conclura y=—0,5255802. 

Cette valeur de y nous fournira 


x — 0,555582 . .3 — 9, 555382 
et, par suite, 
a —1/(2,555582) = 1, 598556. 


Substituant ces nombres dans les expressions (5), il 


viendra 


æ — —- 0,599278 + 1/(10, 244625), 
— +- 0,799278 + 3, 200722. 


d’où 4=— 4 etx——92,401444. Les deux autres racines 
sont imaginaires. 

18. Les équations des degrés supérieurs au quatrième 
n'ont pu être encore résolues d’une manière générale; 
mais à défaut de l'expression théorique des racines de 
ces équations, on possède des méthodes qui donnent, 
dans tous les cas, leur ‘évaluation numérique, et dont 
probablement la découverte de l'expression théorique, 
si jamais elle est faite, ne pourrait dispenser de faire 
usage. Le problème que nous allons maintenant traiter 
ne consiste plus à construire théoriquement les racines 
d’une équation au moyen de ses coefliciens, il se réduit 
à trouver les valeurs des racines correspondantes à des 
valeurs particulières données des coeficiens. Les équa- 
tions, considérées sous ce dernier point de vue, pren- 
nent le nom de nymériques. 


ÉQU 


19. Avant d'aborder la résolution des équations nume- 
riques, il nous reste à signaler une foule d'équations 
dont la solution peut toujours être ramenée à celle des 
équations des quatre premiers degrés. Telles sont, par 
exemple, les équations de la forme 


ge Aï +B—0o, 


dans lesquelles m est un nombre entier. En y faisant 
æ"— x, on les transforme en une équation du second 
degré 


3 Ar +B—o, 
dont les deux racines, qui sont généralement 


1 =— TA TU IA — 48] 


donnent, pour celles des proposées, l’expression théo- 
rique 


eÿ[-ia+ives a] 


Cette expression semblerait ne renfermer que deux 
racines; mais il faut observer que, quelle que soit la 
quantité m, 


VM—ÿ/1. M, 
égalité dont le second membre comprend #m valeurs di{f- 


m 
férentes par suite des m valeurs différentes de 1/1 
(voy. tome 1, page 547); l'expression complète de la 
racine est donc 


m 


eva V[-iativu a] 


et elle donne en effet 2m racines par la combinaison de 
chacune des valeurs de{/ 1 avec'le double signe du ra- 
dical. Par exemple, dans le cas de m—4, comme les qua- 
tre racines de l'unité sont 1,—1, 44/1, 4/1, 
les huit racines de l'équation 


œ'—+ Ag B—0o 


à 4 2 
en faisant, pour abréger, — / A—4B=P. 


ÉQU 
Les équations de la forme 
æim EL AgnLBr® + C—=o 


se ramènent à une équation du troisième degré, en fai- 
sant encore æ"—%, et celles de la forme 


107 


ais Aie Bain Cas LR 


se réduisent, par le même moyen, à une équation de 
quatrième degré, qu’elles soient d’ailleurs composées 
de tous les termes exprimés dans les formes générales , 
ou qu’il manque quelques-uns de ces termes. 

20. Nous ferons observer, en passant, que toutes les 
équations dont les exposans forment une progression 
arithmétique peuvent être transformées en équations 
d’un degré moindre ; ainsi, la résolution de l'équation. 


DA DTA DR etc... HA _ a" A —0 


dépend de celle de l'équation 
3 HAS TH A,x etc... HA _ 3 A —0o 


au moyen de la condition æ = V2 

Il existe une autre classe d'équations susceptibles d’a- 
baissement et qu’on nomme équations réciproques ; nous 
les avons traitées en détail tome I, page 555. 


21. ÉQuarIONs NUMÉRIQUES. On démontre dans tous 
les traités d’algèbre la proposition suivante, qu’on peut 
regarder comme la base de la résolution des équations 
numériques. 

Si deux nombres substitués dans le premier membre 
d'une équation, à la place de l'inconnue, donnent deux ré- 
sultats des signes contraires, ilexiste au moins une racine 
réelle de cette équation comprise entre ces deux nombres. 

S'ily a plusieurs racines comprises, leur nombre est 
nécessairement impair. 

Comme conséquences importantes, nous signalerons 
ces deux principes : 

Toute équation de degré impair a au moins une ra- 
cine réelle de signe contraire à son dernier terme. 

Toute équation de degré pair dont le dernier terme est 
négatif a au moins deux racines réelles, l'une positive 
et l'autre négative. 

22. La première proposition conduit à substituer 
successivement les nombres entiers 0,1,2,3, 4, etc., 
à la place de l'inconnue d’une équation, car, parmi ces 
nombres, si l'on en trouve qui réduisent son premier 
membre à zéro , ils seront autant de racines, et si d'au- 
tres donnent des résultats de signes contraires, on aura 
par leur moyen les valeurs des racines, à moins d’une 
unité près. Pour fixer les idées prenons l'équation 


&\ — 190 + 127 — 5 = 0, 


108 ÉQU 


et remplacons successivement +, par 0, 1, 2, 5, etc. en 
prenant ces nombres tant avec le signe —+- qu'avec le 
signe —, nous obtiendrons X, désignant, pour abré- 


ger, le premier membre de l'équation, 


Pour L—0.X—=-— 9 Poux X——1,X—=— 126 
T—1, X—— 2 æ——2,X—— 59 
æ—2,X—— 11 æ——35,X—— 66 
X—53,X—+ 6 G——4,X——+ 13 
X—4, X—+ 109 x——5,X——+0263. 


Nous ne poursuivrons pas plus loin ces substitutions, 
parce que l'accroissement rapide que prend le premier 
terme, comparativement aux autres, nous montre que 
les nombres au-dessus de + 4 et de — 5, donneront 
toujours des résultats positifs de plus en plus grands. 
En examinant ces résultats, nous voyons 1° que lé- 
quation n’a pas de racines entières; 2° qu’elle a au moins 
une racine positive comprise entre 2 et 3, et au moins 
une racine négative comprise entre — 3 et — 4. Pour 
déterminer maintenant le nombre exact de ces racines 
comprises, il serait essentiel de savoir si la proposée a 
toutes ses racines réelles, car, dans le cas contraire, 
comme elle n'aurait que deux racines réelles, on sau- 
rait immédiatement qu'il n’y a qu’une seule racine po- 
sitive comprise entre 2 et 3 et qu’une seule racine né- 
gative comprise entre—3 et—4, tandis que, si les 
quatres racines sont réelles, il peut non seulement s’en 
trouver trois positives entre 2 et 5, ou trois négatives 
entre — 3 et — 4; mais il peut encore arriver que deux 
des racines soient comprises entre d’autres nombres 
que 2 et 5 où —5 et — 4, et cela d’après cette consé- 
quence du principe précédent, qu'il ne faut jamais per- 
dre de vuc : Deux nombres qui comprennent un nombre 
pair de racines ne peuvent donner que des résultats de 
méme signe par leur substitution. C’est précisément ce qui 
se rencontre dans l’équalion que nous avons prise pour 
exemple : deux de ses racines calculées ci-dessus ( 16) 


æ—0,445277, æ — 0,606018 


sont comprises entre o et 1, 

La substitution de la suite des nombres entiers ne 
saurait done mettre en évidence toutes les racines réel- 
les d’une équation que dans le seul cas où toutes ces 
racines ont des parties entières différentes ; cependant 
lorsqu'on peut présumer que plusieursracines sont com- 
prises entre deux nombres entiers successifs, il est tou- 
jours possible de distinguer ces racines les unes des au- 
tres en faisant subir à l’équation des modifications que 
nous examinerons plus loin. Attachons-nous d’abord 
aux moyens de reconnaître l’existence de plusieurs ra- 


cines entre deux nombres entiers qui ne diffèrent que 
de l’unité. 


ÉQU 

23. Voici un principe très-utile pour se guider dans 
cette recherche : 

Lorsque des résultats successifs, sans changer de si- 
gnes, s'approchent de zéro, puis s’en éloignent, cette cir- 
constance indique un nombre pair de racines ou réelles et 
comprises entre les nombres substitués correspondant aux 
résultats les plus voisins de zéro, où imaginaires. 

L'application de cette règle aux substitutions précé- 


® dentes montre que l'équation doit ayoir deux racines 


réelles comprises entre o et1, si elle n’a pas deux ra- 
cines imaginaires, car les résultats successifs s’appro- 
chent de zéro depuis la substitution de —3 jusqu’à celle 
de 1, puis le résultat qui correspond à +- 2 s’en 
éloigne ; ces résultats sont : 


— 66, — 59, — 26, —3; — 2, — 11. 


Les nombres correspondans aux résultats les plus près 
de zéro étant o et 1, c'est done entre ces nombres que 
doivent se trouver, st elles existent, les deux autres ra- 
cines réelles de l'équation. Ainsi, quoique nousne puis- 
sions encore affirmer l'existence de ces deux racines , 
nous savons du moins qu'il n’y a qu’une seule racine 
comprise entre 2 et 3 et qu'une seule comprise entre 
—5et—{4, ce qui nous permet de poursuivre leur éva- 
Juation par les méthodes que nous signalerons bientôt. 

Il nous resterait à lever l'incertitude qui règne en- 
core sur l’existence des autres racines, mais cette ques- 
tion exige la connaissance des principes suiyans, 

24. Rècre pes sienes. Lorsque deux termes succes- 
sifs d’une équation ont des signes différens , on dit qu’ils 
présentent une variation de signes ; lorqu’au contraire, 
ils ont le même signe, on dit qu’ils présentent une per- 


manence. Par exemple, l'équation 
25 — hat + Ga — 22° — 5% —4 = 0 
rénferme trois variations et deux permanences, Savoir : 


+ x, — 4x"... une variation 
— hat, + 4x... une variation 
+ 4°, — 24°... une variation 
== 22, — 5%... une permanence 


— 5%, — As... une permanence. 


Ceci posé, voici le principe très-important dû à Descartes, 
et qui porte le nom de règle des signes. 

Le nombre des racines réelles positives d'une équation ne 
peut surpasser le nombre des variations de ses signes, et le 
mombre des racines réelles négatives ne peut surpasser ce- 
Lui des permanences. 

D'après cette règle, l'équation précédente ne saurait 
avoir plus de trois racines positives et plus de deux ra- 
cines négatives. 

25. La règle des signes, dans toute sa généralité, 
ne s'applique qu'aux équations complètes ; mais on peut 


ÉQU 


facilement l’étendre à celles dans lesquelles il manque 
des termes en rétablissant ces termes affectés du coeffi- 
cient + 0; par exemple, l'équation incomplète traitée 


ci-dessus 


D — 122? + 195 —35—0 
« 0 CR] * . “ 
devient , de cette manière, l'équation complète 
&@* + où? — 192 L 19% — 5 —0, 


et comme en prenant soit Je signe +, soit le signe —, 
du terme 02°, on a toujours trois variations et une 
permanence, on doit en conclure que la proposée ne 
peut ayoir plus de trois racines positives et plus d'une 
racine négaliye. 

26, Quand toutes les racines d’une équation sont 
réelles, la règle de Descartes fait immédiatement con- 
naître le nombre exact des racines tant positives que 
négatives ; car il est évident que le nombre exact des 
racines positives est alors égal à celui des yariations, 
et que le nombre des racines négatives est égal à celui 
des permanences, puisque le nombre total des varia- 
tions et des permanences d’une équation complète est 
égal au degré de l’équation ou au nombre total des 
racines ; mais, lorsqu'il y a des racines imaginaires, cette 
règle n'indique plus, comme l’exprime d’ailleurs son 
énoncé, que les limites du nombre des racines posi- 
tives et négatiyes, Par exemple, les signes des équations 


æ +b5x+8—o 
@ + 7x +8—0, 


qui offrent, dans chacune, deux permanences et pas 
de variations, nous apprennent bien que, si les racines 
sont réelles, elles sont toutes négatives ; mais on n’en 
peut rien préjuger sur la réalité de ces racines dépen- 
dantes uniquement de la relation des grandeurs des 
coefficiens. C’est en remarquant que dans la première 
équation (5)? 4 X 8, et que dansla seconde (7) > 4X8 
qu’on reconnaît que les deux racines de la première 
sont imaginaires et les deux racines de la seconde, 
réelles (8); on peut conclure ensuite, de la règle, 
que ces dernières sont toutes deux négatives. Il existe 
cependant des cas où la règle des signes manifeste 
l'existence des racines imaginaires : c’est lorsqu'il man- 
que quelques termes dans une équation, et qu’en les 
rétablissant avec le coelicient + o, on trouve des 
nombres différens de variations et de permanences , 
suivant qu'on prend le signe — ou Je signe —. Par 
exemple, l'équation, 


D 5æ— 11 —0 
deyient, par le rétablissement du terme qui manque, 


a + où? LE 5æ— 11 — 0, 


ÉQU 109 


Or, en n’ayant égard qu’au signe supérieur, on a deux 
permanences et une variation; tandis qu’en considé- 
rant le signe inférieur, on a trois variations ; ainsi, on 
devrait conclure du signe inférieur, si les trois racines 
étaient réelles, qu’elles sont toutes trois positives, et 
du signe supérieur, qu'une seule est positive et les deux 
autres négatives. Ces résultats contradictoires prouvent 
que les trois racines ne sont pas réelles. 

11 résulte de cette considération que, lorsqu'un terme 
manque dans une équalion, et que ceux entre lesquels il 
devrait setrouver compris sont affectés du méme signe, on 
en peut conclure que l'équation admet un couple de racines 
imaginaires. Car, dans ce cas, l’intercalation de + 0 
amène toujours une permanence de plus, et celle 
de — 0, une nouvelle variation ou vice versd. 

Cette dernière règle suit pour nous montrer que 
l'équation 


+ 8x? H 16% — 16— 0 


a quatre racines imaginaires. La cinquième est néces- 
sairement réelle. 

27. Nous signalerons encore ces deux conséquences 
de la règle des signes : 

1°. Une équation complète ou incomplète dont tous les 
termes sont de méme signe ne peut admettre aucune racine 
positive. 

2°. Une équation complète qui ne renferme que des va- 
riations de signes ne peut admettre aucuneracine négative. 

Nous ferons observer, de plus, que la partie de la rè- 
gle qui concerne les racines positives a lieu pour les 
équations incomplètes comme pour les équations com- 
plètes, c'est-à-dire qu’une équation numérique quelcon- 
que ne peut avoir plus de racines positives que de varia- 
tions de signes. 

28. La règle des signes combinée avec les principes 
des n° 22 et 25 peut mettre en éyidence, dans un grand 
nombre de cas, toutes les racines réelles d’une équa- 
tion, mais elle est très-souvent insuîMisante et les géo- 
mètres ont dû s’attacher à découvrir des principes plus 
généraux, ou du moins des procédés capables de faire 
connaître avec certitude le nombre et la nature des ra- 
cines réelles de toute équation numérique proposée; 
connaissance préliminaire indispensable pour pouvoir 
les évaluer. Malheureusement ceux de ces procédés qui 
se distinguent par un caractère de généralité sont tel- 
lement laborieux, que ce que l’on peut se proposer de 
mieux, lorsqu'on a une équation à résoudre, c’est de les 
éviter ; aussi, tout en les exposant dans cet article, nous 
insisterons sur les calculs de tâätonnement qui conduisent 
toujours au but avec plus de facilité et de promptitude. 

29. Reprenons les opérations du n° 22. Nous avons 
indiqué la substitution de la suite des nombres naturels 
0, 1,2, 5, etc., pris avec le signe — et le signe —» 


110 ÉQU 

comme le moyen de découvrir celles des racines de l’é- 
quation qui ont des valeurs entières, et celles dont les 
valeurs sont comprises entre deux nombres entiers suc- 
cessifs. Ce procédé déjà très-laborieux, lorsque les ra- 
cines entières ou que les parties entières des racines 
incommensurables'sont exprimées par plusieurs chiffres, 
serait impraticable, si rien ne limitait le nombre des 
substitutions ; il est donc important de les réduire au 
plus petit nombre possible. 

Observons que toute équation de la forme 


"Aa" Ba" +ecte.. +Mr+N—o, 


dans laquelle les coefliciens À, B, C, etc., sont des nom- 
bres entiers, positifs ou négatifs, ne saurait avoir au- 
cune racine fractionnaire (tom. n, page 401 ); ainsi, 
en ramenant une équation à cette forme, on n’a plus 
à considérer que des racines entières ou incommensu- 
rables, et c’est ce que nous supposerons qu’on a Com- 
mencé par faire dans tout ce qui va suivre. 

La détermination des racines entières étant plus fa- 
cile que celle des racines incommensurables, et facili- 
tant d’ailleurs leur recherche, c’est par elle qu’il faut 
commencer les opérations. Or, d’après la génération 
des équations (3), le terme absolu est égal au produit 
de toutes les racines, et, par conséquent , exactement 
divisible par chacune d'elles; si donc quelques-unes de 
ces racines sont des nombres entiers, elles font néces- 
sairement partie des facteurs entiers du nombre absolu ; 
ce qui montre que, pour trouver les racines entières, il 
suffit de substituer à la place de l’inconnue les seuls di- 
seurs exacts du terme absolu. 

On diminue encore le nombre des diviseurs à essayer 
en cherchant les limites des racines de l’équation; car, 
ces limites étant connues, on peut d’abord exclure tous 
les diviseurs qui les dépassent, puis en soumettant les 
autres à des essais préalables très-simples, on finit tou- 
jours par n’en plus avoir qu'un petit nombre, dont on 
peut même se dispenser de faire la substitution, au 
moyen d’un procédé définitif d'exclusion. Nous avons 
exposé au mot RACINE, tome 11, tout ce qui concerne 
les racines commensurables avec assez de détails pour 
que nous puissions nous contenter de renvoyer à cet 
article. 

Après avoir déterminé ainsi les racines entières d’une 
équation, on la débarrasse de ces racines par la divi- 
sion, ce qui la réduit à une équation d’un degré moin- 
dre et dont toutes les racines réelles, si elle en a, sont 
incommensurables. 

50. Lorsqu'une équation n’a plus que des racines in- 
commensurables, chacune de ces racines étant nécessai- 
rementcomposée d’une partie entière, qui peut être zéro, 
et d’une partie plus petite que l'unité , il faut avoir re- 
cours à la substitution de la suite des nombres naturels; 


ÉQU 

et quand on a trouvé deux nombres successifs qui don- 
nent des résultats de signes contraires, on peut en con- 
clure qu’ils comprennent au moins une racine, dont 
le plus petit de ces nombres est la partie entière. Mais 
il devient alors nécessaire de savoir s’il n’existe qu’une 
seule racine comprise, parce que s’il s’en trouvait plu- 
sieurs, elles auraient toutes la même partie entière, 
ct leur évaluation ultérieure exigerait qu’on substituât 
une suite de nombres dont la différence fût plus petite 
que leur plus petite différence, afin de les déterminer 
jusqu’à l’ordre des décimales, où elles commencent à 
prendre des valeurs différentes. Ce dernier procédé est 
encore celui qu’il faut employer lorsqu'on soupçonne 
qu’un nombre pair de racines est compris entre deux 
nombres qui donnent des résultats de même signe. 

Les racines égales, soit qu’il en existe un nombre 
impair compris entre deux substitutions dont les,résul- 
tats sont des signes contraires, soit qu'il en existe un 
nombre pair compris entre deux substitutions , dont les 
résultats sont de même signe , ne peuvent jamais être 
mises en évidence par des substitutions successives, 
parce que, quelque petite que soit la différence des nom- 
bres substitués, toutes ces racines sont comprises à la 
fois entre deux de ces nombres. La méthode des substitu- 
tions n’est donc point applicable aux équations qui ren- 
ferment des racines égales incommensurables ; de sorte 
que le premier soin à prendre après avoir débarrassé une 
équation de ses racinesentitres, c’est de la débarrasser de 
ses racines égales incommensurables. Les procédés de 
cette opération, qui donne en même temps la détermi- 
nation complète des racines égales incommensurables, 
sont exposés tome 11, page 407; nous ajouterons seu- 
lement, qu'il est inutile de les essayer sur les équa- 
tions du troisième et du quatrième degré à coefliciens 
rationnels et dont toutes les racines réelles sont incom- 
mensurables ; les premières ne pouvant jamais avoir de 
racines égales, et les secondes n’en ayant que lorsque 
leur second membre est un carré parfait, circonstance 
facile à reconnaître par une extraction de racine. On ne 
doit donc appliquer la méthode laborieuse des racines 
égales qu'aux équations des degrés supérieurs au qua- 
trième, et quant on les a ramenées à n’avoir que des 
racines incommensurables inégales, mêlées ou non avec 
des racines imaginaires, leur solution ne dépend plus 
que des principes posés ci-dessus. 

31. Prenons toujours pour exemple l'équation 


æ'— 122 +12%—3—=0 


et supposons qu'on n’a essayé les substitutions du n° 22 
qu'après s'être assuré qu’elle ne renferme pas de ra- 
cines entières. Les substitutions jointes au principe du 
n° 25 nous ont appris que cette équation a une racine 
positive dont la partie entière est 2, et une racine né= 


ÉQU 
gative dont la partie entière est — 3, ce qui suflit pour 
obtenir les valeurs approchées de ces racines avec au- 
tant de décimales qu'on peut le désirer, à l’aide de la 
méthode de Lagrange exposée, tome 1, au mot ApproxI- 
NATION. Si l’on veut employer la méthode de Newton. 
qui se trouve dans le même article, et qui est beau- 
coup moinslaborieuse, il reste à déterminer ces racines 


- ME - = : 
à près; or, en observant que les résultats des sub- 
o 


stitutions de L 2 et de +5, savoir — 11 et 6 indi- 
quent que la valeur de la racine est plus voisine de 5 
que de 2, parce que —- 6 est plus près de o que — 11, 
nous poserons æ— 2,7, et substituant cette valeur dans 
l'équation, nous obtiendrons — 4,9559; ce résultat 
étant négatif, nous montre que la racine est comprise 
entre 2,7 et 3; faisons maintenant + — 2,9, la substitu- 


tion de cenombre nous donnera pour résultat L 1,6081 5 


nous en concluerons que la valeur de la racine est entre 
; AL TU 
2,7 et 2,0, et par conséquent qu’elle est 2,8 à 35 Près. 


Il ne faut plus qu’appliquer la méthode de Newton à 
cette valeur pour poursuivre à volonté l’évaluation de 
la racine. En opérant de la même manière sur la se- 
conde racine comprise entre — 3 et — 4,_on trouvera 


sin . 1 
que sa valeur approchée à moins de et 3,9. 


Ces deux racines étant trouvées, il reste à détermi- 
ner les deux autres, qui, si elles sont réelles, doivent être 
comprises entre o et 1; pour cet effet, nous pouvons 
substituer les nombres 


0,1 0,2 0,5 0,4 etc., jusqu'à 0,9; 


si les racines sont réelles, et que leurs valeurs diffèrent 
1 à s , 2 
de 35 <u moins, nous obtiendrons nécessairement des 


résultats de signes contraires. Mais, au lieu d'opérer 
ces substitutions, il est plus simple de rendre les racines 
de la proposée dix fois plus grandes, et de substituer les 
nombres entiers 1, 2, 5, 4, et jusqu'à g; car si la trans- 
formée a une racine réelle comprise, par exemple, entre 
2 et 5, comme cette racine sera 10 fois plus grande que 
la racine correspondante de la proposée, on saura que 
cette dernière est entre 0,2 et 0,3. Cette transformation, 
qui n’exige qu’un trait de plume, a l'avantage de rendre 
les calculs plus faciles, et permet de se servir d’une 
partie de ceux qu’on a dû faire pour les premières sub- 
titutions. 

Nous rappellerons qu'on multiplie les racines d’une 
équation par un facteur quelconque m, en multipliant 
son second terme parm, son troisième par m*, son qua- 
trième par m° et ainsi de suite, tome 2, page 565. Si 
l'équation n’est pas complète, il faut tenir compte pour 
le rang des termes de ceux qui manquent. Jci, le fac- 


p. 


EQU 111 
teur étant 10, il n’y a que des zéros à écrire, et l’équa- 
tion transformée est 


Z°— 12007 12000€ — 50000 — 0. 


On trouve, en désignant toujours le premier membre 
de l'équation par X, 


Pour T— 0, X — — 350000 
T—= 1, X —— 19199 
G— 2, X — — 10884 
DO EEXE—E— 4819 
t—=4,X—=— 944 
T—5,X— + 625 
z—6, X— + 96 


Nous nous arrêterons à », puisque nous reconnaissons 
deux racines, l’une entre 4 et 5, et l’autre entre G et 7. 
Lesracines cherchéesde la proposée sont donc 0,4 et 0,6, 


« : 1 
à moins de —., 
10 


32. Proposons-nous encore l'équation résolue direc- 
tement ci-dessus (17) 


Z' — 5x — 307 — 88 — 0. 


Cette équation, traitée par la méthode des diviseurs 
(voy. Racines comuexsunagzes, tome 11), nous offre 
une, racine entière —{4, nous la diviserons donc par 
æ— 4, pour la débarrasser de cette racine, et nous ob- 
tiendrons. 


d? + Ga? + 15% + 29 — 0. 


Les signes de cette dernière n’offrent que des perma- 
nences; il en résulte qu’elle n’a pas de racines positives, 
et qu’on doit substituer seulement les nombres négatifs 
0,;—1;—2,—3, etc. Dans ce cas, pour éviter la consi- 
dération des signes, dans la construction des puissances 
des nombres substitués, on transforme l’équation en 
une autre dont les racines sont les mêmes, mais de 
signes contraires; ce qui s'effectue en changeant lessignes 
des termes qui contiennent les puissances impaires de 
æ, si l'équation est de degré pair, ou ceux des termes 


‘ qui contiennent les puissances paires de æ, æ° comprise, 


si l'équation est de degré impair. (Voy. Traxsronma- 
TION, tome IT.) La proposée devient, de cette manière, 


&+ — 42? + 15xz — 22 — 0, 


équation dont les racines positives seront les racines 
négatives demandées. 

Nous ferous remarquer que cette transformation si 
simple ramène la résolution des équations numériques à 
la recherche des seules racines positives. 


112 ÉQU 


Obseryons maintenant que la limite supérieure or- 
dinaire des racines positives est ici 1 -22— 23 (voy. 
tome II, page 404); de sorte qu'il faudrait substituer 
tous les nombres entiers depuis o jusqu’à 25, pour être 
sûr de ne pas laisser échapper quelques racines, sil 
n'existait aucun moyen de découvrir une limite plus 
resserrée ; mais le procédé de Newton, exposé au mot 
Laure, tome II, nous apprend, en lappliquant à la 
proposée, que la plus petite limite supérieure de ses 
racines positives (elle n’en a pas de négatives) est 3. 
Les seuls nombres à substituer sont donc 0, 1, 2, 5; et 
l’on sait de plus qu'il y à au moins une racine com- 
prise entre 3 et 3. Comme la recherche de la plus pe- 
tite limite supérieure est souvent très-laborieuse, nous 
indiquerons plus loin les moyens de s’en passer. 

Les substitutions effectuées donnent 


Pour 4 — 0, X — — 22 
T—=i, X —= — 712 
D — ON NN 


DO ON — ne 8, 


résultats qui n’offrent qu’un seul changement de signe. 

Si toutes les racines sont réelles, il doit donc s’en 
trouver deux entre o et 1, ou entre 1, 2, à moins qu’elles 
ne soient toutes trois comprises entre 2 et 5. La marche 
régulièrement décroissante des résultats — 22, — 14— {4 
ne pouvant fournir aucun indice susceptible de guider 
dans les recherches, on est réduit à essayer la substitu- 

= 
tion des nombres 3 sa se etc., jusqu’à 2 pr 8, 
107 10° 10 10 


et encore ce moyen n’est nullement décisif; car si la 

NS: £ 1 : 

différence des racines est plus petite que F0 les substi- 
1 


tutions ne pourront les mettre en évidence. Pour tirer 
parti de toutes les inductions, remarquons que la somme 
des trois racines, prise ayec un signe contraire, devant 
être égale au coeflicient 4 du second terme, il est im- 
possible qu'il ÿ ait trois racines comprises entre 2 et 3; 
car leur somme serait évidemment plus grande que 4. 
Il est même impossible, par la même raison, qu'il ÿ en 
ait deux entre 1 et 2. Cette circonstance, toute particu- 
lière à l'équation que uous traitons, montre que deux 
des racines sont imaginaires ou comprises entre oO et 1. 
Quant à la troisième, sa partie entière est 2; eten opé- 
rant comme ci-dessus, nous trouverons que sa valeur 


5 1 À à 
est à moins de de près 2,4, ce qui permettra de pous- 


ser son approximation aussi loin qu’on pourra le désirer 
par la méthode de Newton. En lui donnant ensuite Je 
signe — on aura une des racines de la proposée. 

Pour trouver s’il existe deux racines entre 0 et 1, on 
t'ansformera l'équation en une autre dont les racines 
soient 10 fois plus gfandes, ét si la substitution des 


ÉQU 
nombres 0, 1, 2, 3, 9 et 10, ne produit que des résul- 
tats de même signe, on en conclura, ou que les racines 
sont imaginaires, ou qu’elles diffèrent de moins qu'une 
unité; celles de Ia proposée diffèrent alors de moins 


1 
que Il faudra donc de nouveau transformer la pro- 


posée en une autre dont les racines soient 100 fois, 1000 
fois, ete, plus grandes. Mais lors même qu’on obtien- 
drait toujours des résultats de même signe, on ne pour- 
rait conclure avec certitude que les deux racines sont 
imaginaires, car elles peuvent très-bien ne commencer 
à différer qu'après un grand nombre de chiffres déci- 
maux communs si, par exemple, les deux racines 
étaient 


0,567843219, etc. 
0,567843218 ; etc. 


leur distinction par des substitutions successives entrai- 
nerait des calculs impraticables. 

Les considérations précédentes montrent suffisam- 
ment quelle serait l'utilité d’une règle capable de faire 
connaître la plus petite différence des racines d’une équa- 
tion, et combien il serait important de pouvoir déter- 
miner, dans tous les cas, le nombre exact des racines 
réelles. Nous allons examiner les moyens que possède 
aujourd’hui la science pour résoudre ces deux ques- 
tions. 

53. Équation aux différences. Désignons par &,, &,; 
æ, etc., æ, les m racines de l'équation 


Wii Mi— 1 Mi 2 £ PRE 
D + AE Ep" éte2.. LA © @ HA —0, 
et par # la valeur d’une quelconque des différences 
Ty — Los Lo — Lys Ly— Lay Ds Lo CC. 


Il s’agit de trouver une équation dont l’inconnue & ait 
pour racines toutes ces différences, dont le nombre est 
évidemment égal à celui des combinaisons deux à deux 
avec permutations des m lettres æ,, &,, æ,, ete. Le de- 
gré de l'équation demandée sera, par conséquent, 
m (m—1). (Voy. Cousmaisox , tome I.) 

Or, æy et æ, étant deux quelconques des racines 
Li Ti Ps Etc. nous avons, d’une part, la relation 
générale... (1) 


U=T,—®, 
et de l’autre, l'équation... (2) 
PAT RAF ete AG FAT 6, 


car æ, étant uné racine de la proposée; doit y satisfaire. 
L'égalité (1) donne æu=#,y—u, ct comme æy; est 


ÉQU 
aussi une racine de la proposée, on a encore l’équa- 
tion (3) 
(æ,;+u)"+A,(&+u)" "HA, (&,+u)" ete... — 0. 


La question se réduit donc à éliminer æ, entre les 
deux équations (2) et (3), et l'équation finale en w aura 
Pour racines toutes les différences des racines de la pro- 
posée. x, désignant une quelconque des racines de l’é- 
quation en x, il revient au même ; et il est plus simple 
de considérer les deux équations (4) et (5) 


es rATT D EE Ant etc. = 0) 
(+) (ou) TA (eu) ete. — 0. 
Développons d’abord la dernière, nous aurons 


2 pure M(R—1),m—2 | m(m—1) (m2) m—3 


1.2 Rome 

HAT + (n=1)A 2° Tu 1e), ET + ete. 
+ Are + (m—1)4, 2" Vu etc, 

+ A DPES +etc. 


ce que nous pourrons mettre sous la forme... (6) 
L x x" 
X +X'u + = u? + Ta.gu tete... Lun 0, 
en posant 


3 = m m—i _—2 _ 
X =a"+Az +A,r" +Ar" een uen g 


CHE Mi 2 " 
X'= mr + (mA a (m2) 2° + etc. 


ES —2 
X= mm)" + (mt) (m—2A 2" + etc. 


LL —3 
= m1) (m—2)2 + (m1) (m2) (n=3)A 2°" + etc, 


etc. — etc. 


Ces polynomes se dérivent les uns des autres en mul- 
tipliant chaque terme par l’exposant de x qu’on dimi- 
nue ensuite d’une unité. Les termes sans æ sont con- 
Sidérés comme s'ils renfermaient æ, ce qui les fait 
disparaître à chaque dérivation. 

Le terme X étant identique avec le premier membre: 


ue l'équation (4), est nul par lui-même. Ainsi l'équa- 
| tion (6) se réduit à 


: x” Xe 
PUR EUR 13% tete. + um—0o, 


| 
. ou simplement à 


LL UE 
| x X_ 1 M) 
ce + ete... Hu" 0, 
en GPnSANE tout par w. Les deux équations entre les- 
quelles il faut éliminer +, sont donc, en dernier lieu [CA 
« 


DH Az" + Ag L At" ete. = 0ù 
FA SD : 
ad AE ete... + um Lg 


Tox, Lit % 


an. 


ÉQU 113 


Sans nous arrêter aux cas particuliers, examinons 
quelle sera la forme de l'équation finale en u. Ses ra- 
cines étant les différences des racines æ,, æ,, æ,, etc., 
doivent être numériquement égales deux par deux, et 
de signes contraires, car deux racines quelconques 
T,» &,, fournissent deux différences contraires æ, —Z;, 
T,—2,. Si nous désignons donc par «, £, y, 9, etc., 
les racines positives de l'équation aux différences, ses 
racines négatives serOnt — &, —f3, — p—9%, ete., et 
elle sera équivalente au produit des facteurs 


(u— x) (ua) (u—8) (u+6) (y) Cu +5 


ou bien, en multipliant l’un par l’autre les binomes qui 
ne diffèrent que par le signe, à celui des facteurs 


(ut — 0) (ut — 6) (0 — 47) (u? — 5)... 


il en résulte que le degré de cette équation est pair, et 
qu’elle ne renferme que les termes affectés des puissances 
paires de w; sa forme est donc 


2a 2a—2 2n—4 2n— 
u + Pu eu P,u SN Pris 


6 C 
: +elc...+P _ u2+P —0o. 
n— D 


Si l’on pose #?— x, elle deviendra 


n _—| —2 = 
 +Pz HP ; HP + ete. +P _z+P 0; 


l'exposant n étant égal à SES 

Cette dernière se nomme l'équation aux carrés des 
différences , parce que ses racines z sont les carrés des 
différences w. Les calculs qu’exige la formation de l’une 
ou de l’autre de ces équations sont les mêmes, puis- 
qu’elles ont les mêmes coefficiens. Nous verrons ailleurs 
(voy. Foxcrions SYMÉTRIQUES) comment on peut cal- 
culer les coefliciens de l’équation aux carrés des diffé- 
rences d’une équation proposée, sans avoir besoin d’é- 
liminer æ entre les équations (7); il nous suffit ici 
d’avoir indiqué la possibilité de ces opérations pour 
pouvoir apprécier leur degré d'utilité. 

34. D'après la construction de l'équation aux carrés 
des différences, il est évident qu’elle ne peut avoir que 
des racines positives, si toutes les racines de la proposée 
dont elle provient sont réelles. En effet, qu’une diffe- 
rence soit x ou — #, son carré est toujours; mais 
si une différence esteal/—1, ou a-£l/—1, son 
carré est— a? dans le premier cas, et une quantité ima- 
ginaire dans le second. Ainsi, lorsqu'une équation aux 
carrés des différences offre des permanences de signes, 
on est assuré que la proposée renferme des racines ima- 
ginaires. 

35. La limite inférieure des racines positives de l’e- 
quation aux carrés des différences fait aisément connaitre 
un nombre plus petit que la plus petite différence entre 
les racines de la proposée, et lève, par conséquent, la 
difficulté que nous ayons signalée ci-dessus (52). 

15 


114 ÉQU 


Voyons d'abord comment on trouve cette limite infe- 
rieure des racines positives. 
Soit une équation quelconque 


+ pr" + ge" + etc... +t—0o, 


. à 1 b 
Si l’on fait D ou aura une transformée 


1 1 1 
PR one frotee Hb=10, 


m 
Z Z 


qui, étant ramenée à la forme ordinaire en multipliant 
tous ses termes par z", deviendra 


1 + pr + ge + ete... + tr = 0, 
ou plutôt 
RD etc. +1 # +£ ge = 0; 


transformation qui n’exige aucun calcul. Or, les racines 
de cette dernière sont égales à l’unité divisée par celles 


de la proposée, puisque x =>; donc les plus grandes 


racines de la transformée correspondent aux plus pe- 
tites de la proposée, ct vice versd; et, par suite, si { 
désigne la limite supérieure des racines, soit positives, 
soit négatives de la transformée, ; sera une limite in- 
férieure des racines de même nature de la proposée. 

Revenons à l'équation aux carrés des différences. La 
limite inférieure de ses racines positives étant un nom- 
bre plus petit que le carré de la plus petite différence 
entre les racines de la proposée, la racine carrée de cette 
limite sera, à plus forte raison, plus petite que la plus 
petite différence des racines ; de sorte qu’en désignant 
cette racine carrée par d, il est évident que la subatitu- 
tion de la suite des nombres 0, d, 20, 36, etc., à la 
place æ, dans le premier nombre de la proposée , met- 
tra en évidence toutes ses racines réelles. S'il arrivait 
que à fût plus grand que l’unité, et que cependant Ja 
substitution des nombres entiers 0, 1, 2, etc., n’ait 
pas donné autant de changemens de signes que la pro- 
posée a de racines, On serait certain que toutes celles 
qui manquent sont imaginaires. 

36. Les propriétés de l’équation aux carrés des diffé- 
rences sufliraient, comme on le voit, pour faire dispa- 
raître toutes les difficultés de la résolution des équations 
numériques, si la formation de cette équation n’était 
pas elle-même une difficulté plus grande que toutes 
les autres. Nous renvoyons au mot Foncrions symérri- 
ques pour donner une idée des caleuls prolixes qu’en- 
traîne la détermination de ses coefficiens pour des pro- 
posées seulement du troisième degré; dèsle cinquième 
degré les calculs deviennent impraticables par leur lon- 
gueur, de sorte que les indications que semble pro= 


ÉQU 


mettre cette méthode manquent précisément lorsqu'elles 
seraient réellement utiles, car les procédés théoriques 
directs permettent toujours de s’en passer pour les pro- 
posées du troisième et du quatrième degré auxquelles 
on l’applique exclusivement dans les traités d’algèbre 
modernes. Il est vraiment affligeant que, par déférence 
sans doute pour le grand nom de Lagrange, on ait cru 
devoir faire entrer la théorie de l'équation aux carrés des 
différences dans l’enseignement élémentaire. 

37. Théorème de M. Sturm. Ce théorème, dont la 
découverte est récente, offre un moyen très-simple et 
généralement praticable pour mettre en évidence toutes 


les racinesréelles d’une équation numérique quelconque. 
Soit 


A + Ba" + Cr" + ete... + Mr + N —=0 


une équation du degré m, que nous supposerons ne 
point renfermer de racines égales; les coefliciens A, B, 
C, etc. , étant d’ailleurs des nombres réels. Exprimons 
simplement par X, son premier terme, et par X,, le 
polynome 


mAg" + (m—1)Br" "+ {(m—92)Cx" "tete... +M, 


qu’on en dérive en multipliant chacun de ses termes 
par l’exposant de la puissance de + qu'il contient, puisen 
diminuant cet exposant d’une unité. Divisons XparX,, 
et comme la division ne peut être exacte, puisque 
l'équation X—0, n’a pas de racines égales, désignons 
le reste par X,; prenons — X, pour nouyeau diviseur et 
opérons la division de X, par — X, : X, étant le reste de 
celte seconde division, divisonsencore— X, , par —X, 
et ainsi de suite, jusqu’à ce que nous tombions sur un 
dernier reste qui ne contienne plus +. On voit que ces 
opérations sont les mêmes que s’il s'agissait de trouver 
le plus grand commun diviseur (voyez ce mot, tom. I, 
page 566), entre X et X,, avec cette seule différence, 
qu'il faut changer le signe de chaque reste avant de le 
prendre pour diviseur. Voici la suite des calculs. 


Équation proposée X— 0 


Polynome dérivé de Ce AE 


puis 
x x EX Xe 
Lan = ee A etc. 


Ayant ainsi obtenu lasuite des fonctions X,X,, —X,, 
—X,,—X,, ete., si l’on y substitue, à la place de æ, . 
un nombre quelconque p positif ou négatif, lesrésultats, 
considérés seulement sous le rapport de leurs signes, 
offriront un certain nombre de variations et de perma- 
nences; et il en sera encore de n.ême si l’on substitue 
ensuite un second nombre g, plus grand que p. Or, » 

La différence entre le nombre des variations de la suite 


ÉQU 


des résultats donnés par la substitution de p et le nombre 
des variations de la suite des résultats donnés par la 
substitution de q, exprime EXACTEMENT le NOMRRE des ra- 
cines réelles de la proposée qui se trouvent comprises en- 
trep et q. 

Tel est le théorème très-remarquable dont il s’agit. 

38. Obseryons que, dans la série indéfinie des nom- 
bres entiers positifs et négatifs — etc. . ..— 3, —2, 
—1,0,+L1,+0,<+53,...—<etc.,les nombres né- 
gatifs doivent être considérés comme d’autant plus pe- 
tits qu’ils s’écartent plus deo; par exemple, si les deux 
nombres substitués p et g, étaient —16 et — 2, — 16 
serait le plus petit. | 

39. On tire d’abord de ce théorème larègle suivante : 

Les fonctions X,X,,— X,, — X,, —etc., étant 
déterminées, ony ferax —— ,et l'onécrira à la suiteles 
uns des autres, sur une même ligne, les sexes des résultats 
de cette substitution ; le signe dela dernière fonction —X,,, 
qui ne contient pas x, demeure toujours le même. 

On fera ensuite x = co , et l’on écrira sur une se- 
conde ligne, au-dessous de la première, les sicxes des ré- 
sultats donnés par la substitution de cette valeur dans 
les mêmes fonctions. 

On comptera le nombre des variations qu'offre chaque 
suite de signes. La différence entre les deux nombres ex- 
primera le nombre total des racines réelles de la pro- 
posée. 

Si, au lieu de substituer — et + œ, on substituait 
la limite supérieure des racines négatives et celle des 
racines positives, on arriverait de la même maniere à 
la connaissance du nombre total des racines réelles, 
mais la substitution de — æ et - œ n’exigeant aucun 
calcul, parce qu’elle réduit chaque polynome à son pre- 
mier terme, est toujours préférable. 

Pour distinguer les racines positives des racines né- 
gatives, il suffit d’une nouvelle substitution, celle de 
æ—0; on a alors trois suites de signes correspon- 
dant respectivement aux substitutions æ =-—, 
T0, %— + ; la différence des nombres de va- 
riations des deux premières donne le nombre des raci- 
nes négatives, et la différence des nombres de varia- 
tions des deux dernières donne le nombre des racines 
positives. Par exemple, si l’on a trouvé 


Pour Z—=— 2%, — +- = + — + 5 variations, 
T—=0, + + — + + 3 variations, 
RE rnoun 


on en conclura que, puisqu'il disparait 3 variations 
dans le passage de— æ ä0, la proposée a trois ra- 
cines réelles comprises entre — æ et 0, c'est-à-dire : 
trois racines négatives; et que, puisqu'il disparait à ya= 
riations dans le passage de 0 == —- co, la proposée a, de 


ÉQU 115 


plus, 2 racines positives. Nous allons éclaircir cette 
théorie par quelques exemples. 
4o. Reprenons l'équation du n° 32, 


D — ai Le 13% — 29 — 0, 


dans laquelle la substitution de la suite des nombres en- 
tiers 0,1,2,93, etc., n’a pu mettre en évidence qu’une 
seule racine réelle comprise entre 2 et 5. Le polynome 
dérivé de son premier membre est 


32° — 8x 13 —X,. 


Pour pouvoir effectuer la division, il faut multiplier 
tous les termes de X par le facteur 3, et nous devons 
observer ici, une fois pour toutes, que l'introduction 
ou le retranchement d’un facteur commun n’a aucune 
influence sur les résultats, de sorte qu’on doit opérer 
absolument de la même manière que dans la recherche 
du plus grand commun diviseur. Le reste de cette pre- 
mière division est 46% —146, ou 25æ— #3, en re- 
tranchant le facteur commun 2. Nous avons donc, en 
changeant les signes de ce reste, —X, —— 23% + 73. 

Divisant X, par — X,, ou 32? — 8x + 13 par 
— 25% +-53, nous obtiendrons, pour dernier reste, 
—- 9452. D'où — X, —— 9432. La suite des fonctions 
est donc ici 


X = 2 — Ga + 15% — 22, 
X, = 52? — 8x + 13, 

— À, = — 250 +3, 

— X, = — 9452. 


Faisant successivement 2= — @œ, 2==0, ©=—=—+ «œ, 
et n’écrivant que les signes des résultats, nous aurons, 


Pour T—=—®, —+H+— 9 variations, 
T = Os. — + + — 2 variations, 


T—= +, + + — — À variation. 
Li 


A1 y a donc une seule racine réelle positive, car le pas- 
sage de — « à 0, ne produit aucun changement, et celui 
de o à + æ ne fait disparaitre qu’une variation. 

41. Reprenons encore l’équation du n° 22, 


TZ — 122 +19æ2—3—=0, 


dont nous savons qu’une racine est comprise entre — 3 
et— 4, deux entre o et 1, ladernière entre 2et 3. Nous 
allons voir que le théorème de M. Sturm fait immé- 
diatement reconnaitre l'existence des deux racines com- 
prises entre o et 1, que nous n'avions pu que soup- 
çonner ci-dessus, ce qui aurait entraîné beaucoup de 
calculs inutiles si le soupçon ne s'était pas trouvé fondé. 
La dérivation donne 


GT me 24 T4 19, 04 X° me GT HBS=X,, 


116 ÉQU 
le reste de la première division est 
— 6x? + 97 —3; 


retranchantle facteur commun 3 et changeant les lignes, 
nous ayons done 


22 — 5%4+1—=— X,; 


le reste de la division de X, par — X, est —17æ—+-0. 
D'où 
192 —9=— X,; 


cnfin le reste de la division de —X, par —X, est —8; 


d'où —X,=——+8. Nous avons donc, en rassemblant 
les résultats, 


X —x — 192% +1ax —3 
X,—2— 6x +3 


I 


X, = 22? — 5x +: 
— X, —= 19% —9 
—X,—+8 


Substituant successivement — æ, 0 et H œ, nous ob- 
tiendrons, 


Pour T—=—œ, 


+ — + — + 4 variations, 
æ — 0, —++— LE 3 variations 
X = + @ + + + + + O variation. 


ce qui nous apprend que l'équation proposée a ses qua- 
tre racines réelles, savoir : une négative et trois po- 
sitives. 

Pour déterminer maintenant avec exactitude entre 
quels nombres entiers chacune de ces racines se trouve 
comprise, substituons dans ces mêmes fonctions la suite 
des nombres naturels 0, 1, 2, 5, etc., tant avec le 
signe —- qu'avec le signe —, nous obtiendrons pour 
les substitutions positives, 


Pour T—O0, — + + = + 3 variations, 
T=l ———— = 1 variation, 
LT—I2, —— + + + 1 variation, 


æ 


I 
ne 
dE 
Te 
ME 
Me 


O variation. 


Nous nous arrêtons à æ— 3, parce que sa substitution 
donne les mêmes signes que celle de - œ, et qu’il en 
résulte qu’il n’y a pas de racine réelle comprise entre 
3 et + 0. 


En examinant ces suites de signes, nous YOyOons que o 
donne 5 variations et que 1 n’en donne qu’une, d’où il 
suit qu'il y a deux racines comprises entre o et 1 ; de 
même, 2 donnant une variation ct 3 n’en donnant au- 
cune, il y a une racine comprise entre 2 ct 3. 

XL est inutile ici d’opérer la substitution des nombres 
négatifs daus tontes les fonctions; comme il u existe 


ÉQU 


qu'une seule racine négative, il suffit, pour la mettre 
en évidence, d'effectuer cette substitution dans la pro- 
posée. 

42. Soit, pour dernier exemple, l'équation 


Œ° — Ga + Gt — 02° — 5x —4—= 0. 


En lui appliquant la règle (37), on obtient la suite 
de fonctions 


X = — Got + Gui — 27! — 5x — 4 
X, = 52 — 16% + 192 — 4x — 5 

= 122 — 9%° + 58x +- Go 

— X, — 412? — 58% — 108 

— X, = — 106007 — 8511 

— X, = + 5614395239. 


| 
» 


Les substitutions de — æ, o et + œ donnent 


en - — + + + 3 variations, 
x — 09 ——+<—— + 3 variation, 


T=+e, + + +- + — + 2 variations. 


La proposée n’a donc qu’une seule racine réelle po- 
silive ; les quatre autres sont imaginaires. En appli- 
quant à cette même équation une règle d’induction, 
Newton avait trouvé (Arith. univ., tome IT, cnar. 11), 
qu'elle devait avoir deux racines négatives ct une po- 


Pour T—=—X, 


sitive; on voit que sa règle est fausse. 

Pour déterminer la partie entière de la racine posi- 
tive, on substituera dans la proposée la suite des nom- 
breso, 1, 2,3 etc., ce qui donnera, 


Pour T—0 X—=— 4 
D Xe 10 
LT —= 2; = — 22 
TS, —=— 10 
xz—4, X —=-#200 


ainsi la racine cherchée est entre 3 et 4, mais beaucoup 
plus près de 3 que de 4. 

43. Limites des substitutions. Les limites supérieures 
ordinaires des racines d’une équation étant souvent de 
très-grands nombres, et les limites supérieures les plus 
petites pouvant être rarement obtenues sans beaucoup 
de calculs, il est important, pour éviter les substitu- 
tions inutiles, de savoir reconnaître si les nombres sub- 
stitués renferment ou non toutes les racines réelles, 
quoiqu’elles ne soient pas toutes en évidence. Les ca- 
racttres que nous allons indiquer, et d’après lesquels on 
devra poursuivre ou arrêter les substitutions, sont liés 
à un moyen si simple d'obtenir les résultats de ces sub- 
stitutions, qu’on doit, danstous les cas, le préférer aux 
opérations directes. Voici en quoi il consiste. 

Lorsque, dans un polynome du degré m, m étant un 
uommbre entjer, on substitue, à la place de æ, la suite 


ÉQU 


des nombres naturels 0,1, 2, 3, 4, etc., les résultats 
qu'on obtient forment une progression arithmétique de 
l'ordre m (voy. Procression, tom. IT), c’est-à-dire, une 
progression dont les différences de l'ordre m sont con- 
stantes. Pour fixer les idées, soit l'équation générale du 
troisième degré 


+ Ar + Br +C—0o; 


si nous faisons successivement 7 —0,—1, — 2, €ClC., 
nous aurons la suite de quantités . . . (a) 


re 

1+ A+ B+C 

8EVAA ob C 

27 + 9A + 5B + C 
64 + 164 + 4B + C 
125 — 25A —E 5B + C 


Gtre o 0 5 var oo QE 


Or, en retranchant chaque terme de cette suite, de 
celui qui le suit immédiatement, on obtient la nouvelle 
série de premières différences : 


1+ A+B 
7 +5A+B 
19 + 5A +B 
37 + 7A +B 
61 + 94 +B 


CIC En etc. 


Opérant de la même manière sur celle-ci, on aura pour 
la série des secondes différences : 


6 + 2A 
12 + 2À 
18 + 2A 
24 —- 2A 


etc. etc. 


Les différences de cette dernière, qui sont les différences 
troisièmes de la suite (a), sont évidemment égales entre 
elles et au nombre 6. 

Ainsi , les résultats (a) de la substitution des nombres 
naturels 0, 1, 2, 3 etc., dans le premier mèmbre d’une 
équation de troisième degré, forment évidemment une 
progression arithmétique du troisième ordre dont les 
différences constantes sont égales à 6. On reconnait ai- 
sément qu'il en serait de même si le premier terme +! 
de l’équation, au lieu d’avoir l’unité pour coeflicient, 
avait un nombre quelconque P , seulement alors les dif- 
férences constantes seraient égales à 6P. Observons 
maintenant que lorsqu'on connait la première dif- 
féreuce de chaque ordre, il n’est rien de plus facile 
que de continuer la progression. Ici, par exemple, il 
ue faut qu'ajouter G à la quatrième différence du second 


ÉQU 117 


ordre 24 2A, pour obtenir lacinquième 30-24; mais 
celle-ci, ajoutée à la cinquième différence du premier 
ordre 61—-9A—B, donne la sixième différence du pre- 
mier ordre 91 11A—+B, qui, ajoutée à son tour au 
sixième terme de la progression 125A— 5B + C, fait 
connaître le septième terme 


216 36A + 6D + C. 


Il suffit donc d’une suite d’additions pour pouvoir 
construire tous les termes de la progression (a), au 
moyen du premier terme de chaque ordre de différences, 
savoir : 


1HA+HB, 6+24, 6. 
Par exemple, pour l'équation 
a — 4m 13x—22— 0, 


on aurait, en faisant A——4,B—13, C——929, 


1HALB—=10, 6+21—=—0, 


“c'est-à-dire 


Di. 3e.Dif. ac.[Dif. are, 

+ 6] — 2 | +10 
Ces premiers termes des diverses séries font connaître 
les seconds, en ajoutant chacun d’eux avec celui qui le 


Proz. 


— 22 


précède; ainsi le second terme de la série des différen- 
ces secondes est — 2 6 — +4, celui des différences 
premières est Æ1o—2—-L8, ctenfin le second terme 
de la progression est — 22 10 —— 12. En écrivant 
toujours -6 dans la colonne des différences troisièmes, 
on obtient de cette manitre 


Diff. 3°.|Diff. 2e.[Dif.are.| Prog, 
+ 6|— 3! —+10 | —22 
+6|+4[+8|-1 
+ 6 | +10 | +12 | — 4 


+ 6 2|+8 


+ 6 


Les termes dela progression correspondent évidemment 


, 


aux substitutionsæt—0,%=—1,7—3,2—5,x—4. 


En examinant la formation des termes de ces diverses 
suites, on reconnait que lorsqu'on est arrivé à une ligne 


de termes affectés chacun du signe -, toutes les autres 
lignes qu’on pourrait former, et, par conséquent, tous les 
termes ultérieurs de la progression, offriraient nécessai- 
rement ce même signe, de sorte qu'il est impossible 
d'obtenir des variations de signes dans la colonne des 


résultats, ou des termes de la progression, au-delà de 


118 ÉQU 


la substitution à laquelle correspond cette permanence 
générale. Il ne peut donc y avoir ici de racines posi- 
tives au-dessus de 4, car 4 correspond au résultat +8, 
précédé de termes tous positifs. Nous avons donc, par 
ce procédé, non seulement l'avantage de réduire les 
calculs des substitutions aux deux opérations arithmé- 
tiques les plus simples, l’addition et la soustraction, 
mais encore celui de savoir où nous devons nous arrêter. 

On peut obtenirles résultats correspondant aux substi- 
tutions— 1,—2,—95,—etc., par une suite de sous- 
tractions, mais il est généralement plus simple, après 
avoir cherché les racines positives, de changer le signe 
des racines de la proposée et de chercher, de la même 
manière, les racines positives de la transformée; elles 
seront les racines négatives de la proposée (n° 52). 

44. Ce que nous venons de dire pour les équations 
du troisième degré s'applique à toutes les autres. Dès 
qu’on a déterminé la première différence de chaque 
ordre, les résultats des substitutions s’obtiennent par 
une suite d’additions. Pour les équations du quatrième 
degré on à 


Équation générale, gt + Art Bx+Cx+-D—0 
. +D 
176 différence première. + + «+ 1 + A+ B + C 
170 différénée seconde. + » + 14 + 6A + 2B 

ire différence troisièmes. + + 90 + 6A 


Différence 4® ou constante.. 24. 


Premier terme des résultats + + « + + + + 


Voici le tableau des calculs sur l'équation déjà traitée 
at — 19% +- 197 — 3 —0. 


Ici, A—0,B——12, C—+12, D——53,et, 


par suite, 


1 A+ B+C—:1, 
14 + 6A + 2B ——10, 
36 + 6A = 36. 


Partant de ces nombres, on trouve pour les substitu- 
tions positives, 


Difr. 4e.[Difr. 3e.[Diff. 20,[Diff. ire Résultats. 


Le4|+ 36[— 104 1] — 3 


œ—0 

z=1|<+24/+ 6o+ 26— 9] — 3 
20 a+ 84/4 861 29 2 
—5 | + 24 |+- 108[+ 17014 103] + 6 


3 est donc la limite supérieure des racines positives. 
Pour chercher les racines négatives, changeons les 
signes des racines de la proposée; elle deviendra 


Te 192 ve 19Z 0, 


ÉQU 


Nous aurons, en comparant avec les formules précé- 
dentes, 
D——3, 


A=o, C—— 19, 


1 A+ B+C—— 23, 


14 + 6A E 2B—— 10, 
36 6A — 56, 


= 12, 


ce qui nous donnera, en opérant comme il est indiqué, 


Diff. 4e.| Diff. 3e.)DifT. 2e. Diff. ure,[Résultats. 


z—0|+24|+ 36— 10[— 25] — 5 
æ—1|<+o4|+ 60+ 26|— 35| — 26 
z=0|+24|+ st 86 | — 59 
æ—3 | + 24 | 108|+ 170] 79 — 66 
æ=4 | + 24 [+ 19214 278|+ 249l + 13 


La limite des racines positives de la transformée est donc 
4,et, par conséquent, la proposée n’a pas de racines né- 
gatives au-delà de — 4. 

Nous n’ayons sans doute pas besoin de faire observer 
que tout ce que nous avons dit ci-dessus, concernant 
les changemens de signes des résultats, s'applique à 
ceux qui sont obtenus par ce procédé, c’est-à-dire , 
qu’il faut conclure du premier tableau, qu'il y a au 
moins une racine réelle comprise entre 2 et 3, et, du 
second, qu'il y a au moins une racine réelle comprise 


entre 3 et 4. 
45, Nous allons étendre les formules, qui font obtenir 


immédiatement les différences, au cas où les premiers 

termes des équations sont affectés de coefficiens, en 

nous bornant aux équations des huit premiers degrés, 

ce qui est suffisant pour les applications usuelles. La 

marche que nous allons suivre montrera d’ailleurs com- 

ment il faudrait opérer pour des équations supérieures. 
Soit... (1) 


Azt-LBaCat+Dat+latFr+ Gao tl=o 


une équation du huitième degré dans laquelle les coeffi- 
ciens À, B, C, cte., sont desnombres entiers quelconques 
positifs, négatifs ou nuls; on pourra la réduire à une du 
septième degré en faisant A—0, à une du sixième en 
faisant A—0, et B—0, et ainsi de suite. Ceci posé, si 
l'on substitue à la place de æ, les nombres entiers 0, 1; 
2,53, etc., les résultats formeront une progression arith- 


métique du huitième ordre, dont le premier terme sera 14 


En retranchant chacun des termes de cette progres- 
sion de celui qui le suit immédiatement, on formera la 
série des premières différences : progression du septième 
ordre, qui aura pour premier terme 


AHB+CHD+HE+F+6G+ 1H. 


Opérant de la même manière sur cette série des pre- 
mières différences, on obtiendra la série des secondes 
différences, dont le premier terme sera 


254A + 126B +62C—+30D—14E+6F+2G. 


Continuant de la même manière , jusqu’à ce qu’on par- 
vienne aux différences huitièmes, qui sont constantes et 
égales à 40320 A, on pourra réunir tous les résultats 
dans un seul tableau, comprenant ainsi Les élémens de 
la résolution des équations numériques, depuis celles 
du premier degré jusqu’à celles du huitième. Nous au- 
rons de cette manière R, désignant le premier terme de 
la série des résultats ou celui qui correspond à æ —0, 
et D,, D,, D,, D,, etc., les premières différences de 
chaque ordre (II). 


R—I 
D,—A+B+C+D+E+F+G+H 


1 — 2[ 127A—+ 65B451C+15D+-7E+-3F + 6] 
D,—= CI 966A-L301B-—-90C—+25D+6E+ r| 
D,= »4] 701A—550B+65C—+10D +] 


D,= 120 [: 050A—+-140B—+1 sc-+p] 
D, = po] 266 -+a1B-+-c | 
D,=5oio| san | 


D,—/03201. 


46. Pour montrer l'application de ces formules, pre- 
nons d’abord l'équation 


DS —h4rt + 4a— 22 —5x—4=0, 


dans laquelle le théorème de M. Sturm nous a fait re- 
connaître qu’il n'existe qu’une seule racine réelle posi- 
tive. Nous avons, en comparant avec la formule (I), 


A0, HB—=0, C0, D —1, 
4; F=+k, G—— 02, H——5, I——#4; 


substituant ces valeurs dans le tableau (II), nous ob- 
tiendrons 


= 1444-02 —5——6 
[1528 ae] —6 


D, — G[25—aû +4] +50 


Di »4 [104 | = + 


D, = 120. 


ÉQU 119 


Au moyen de ces différences , le calcul des sub- 
stitutions positives sera compris dans le tableau 
suivant : 


Diff. 56.1Diff. 4e.[Diff. 3e.[Diff. 2e.[Diff. are. Résultats, 


— — — — — — 


æ=0| 120 |—+ 144|+ 3o— 6|— 6| — 4 
æ—1| 120 | 264|+ 19414 24|— 19] — 10 

—=2| 120 | 384|+ 458|+ 198 12] — 22 
æ—5| 120 |+ 504|+ 822|+ 636! 210) — 10 
æ—4\ 120 | 624|+1326| 1458] + 846| +200 


Il y a donc une racine positive comprise entre 3 et 4, 
et le calcul est fini, puisque tous les signes de la dernière 
ligne sont positifs. 

Si l’on ne savait pas que cette équation n’a qu'une 
seule racine réelle, il faudrait calculer les résultats des 
substitutions négatives — 1, — 2, — 5, etc., soit en 
changeant le signe des racines, pour n’avoir que des 
additions à faire, soit en prolongeant le tableau précé= 
dent par des soustractions du côté des substitutions né- 
gatives. Lorsque le calcul des différences est un peu 
long, ce dernier moyen est préférable. Voici la marche 
des opérations : 


æ= 0, Hi20, +144, +30, — 6, —6 : — 4 
=—1, +120, + 24, + 6, —12, +6 : —i10 


la différence constante —- 120 étant retranchée de la 
différence quatrième 144, donne + 24 nouvelle diffé- 
rence quatrième; celle-ci, retranchée de la différence 
troisième H 30, donne +6, nouvelle différence troi- 
sième ; cette dernière retranchée de — 6, différence se- 
conde, donne—12, nouvelle différence seconde, qui, re- 
tranchée àson tour de la différence première —6, donne 
+6, nouvelle différence première; enfin, cette nouvelle 
différence première retranchée du résultat — 4, donne 
le nouveau résultat — 10, correspondant à z— — 1. 
Opérant ensuite sur la nouvelle ligne de chiffres comme 
nous venons de le faire sur la première, on obtiendra le 
résultat correspondant à æ —— 2, et ainsi de suite. Le 
calcul, continué jusqu’à ce que la dernière ligne n’offre 
que des variations de signes, est résumé dans ce 
tableau : 


Dif.be]Dif. 4e.[DiT. 3e.fDiff. 2e.[Dif. re. Résultats. 


a= ol120|+ 1444 30o[— 6|— 6! — & 
æ——1|120|+ 24+ 6|— 124 6! — 10 
æ=——0|190|— 96!+ 102/— 11414 120| —130 


La dernière ligne ne présentant aucune permanence 
de signes, il en résulte que l'équation n’a point de ra= 
cines au delà de — 2; car, d’après la construction des 


r. 


120 EQU 


résultats, on voit qu’il n’est plus possible d’en obtenir 
de positifs : chaque différence négative devant être aug- 
mentée par la soustraction d’une différence positive, et 
chaque différence positive devant être parcillement 
augmentée par la soustraction d’une différence né- 
gative. 

On a donc deux critériums assurés pour limiter les 
substitutions, savoir : du côté des nombres positifs, lors- 
qu’il n’y a plus de variations de signes, et du côté des 
nombres négatifs, lorsqu'il n’y a plus de perma- 
nences. 

Les substitutions n’ayant mis qu’une seule racine en 
évidence, et la marche des résultats 


— 10 


4 


—-10, 


pouvant faire soupçonner (n° 25) qu’il existe un nom- 
bre pair de racines entre les nombres + 1 et— 1, il 
faudrait essayer des substitutions intercalaires que l’ap- 
plication du théorème de M. Sturm rend inutiles. Cet 
exemple suffit pour montrer sa grande utilité. Nous fe- 
rons cependant connaître plus loin un autre théorème 
qui, bien que moins décisif, peut servir de guide dans 
un grand nombre de cas. 

47. Le but principal de la méthode des substitutions 


, L à : 1 D 
étant de déterminer la valeur des racines à re d'unité 


près, pour pouvoir leur appliquer ensuite les méthodes 
d'approximation, il nous reste à montrer comment on 
peut obtenir cette première détermination sans aucun 
des tâtonnemens indiqués ci-dessus (n°31), et qui 
peuvent devenir très-laborieux lorsque l'équation est 
d’un degré élevé. 

Partons toujours de l'équation générale (T1), qui em- 
brasse les huit premiers degrés, et supposons que nous 
ayons trouyé la valeur entière a, d’une de ces racines, 
si nous désignons par #, sa valeur plus petite que l’u- 
nité, elle sera représentée paræ — az, et en substi- 
tuant a-}-7, à la place de æ, dans l’équation (1), on 
obtiendra une équation en 7, dont une des racines doit 
être nécessairement moindre que l’unité, et comme 
nous supposons que la proposée n’a qu’une seule 
racine comprise entre a et a +-1, l'équation en z n’aura 
qu'une seule racine réelle entre o et 1; il s’agira donc 
seulement de déterminer le premier chiffre décimal de 
cette seule racine. Avant de procéder à cette détermi- 
nation, indiquons le moyen de calculer les coefficiens 
de l’équation en z, par le moyen de ceux de l'équation 
en æ. 

Or, la substitution de aL£ dans (1), nous donnera 
une équation de la forme (I) 


oz G'a Fa LE'z8+ D'a Cat 
ÆD'z + A2, 


EQU 
pour laquelle nous aurons, en effectuant le calcul des 
coefficiens, 


l'O —1+Ha +Gat +Ta +Loi +Daÿ +Ca6 +Bal+ Aa 
H' — H+2Ga-+3Fa? +4Ea +5Dai +6Ca5 +7Baô +8Aa7 
G'— G+3Fa+6Ea? -10Da3 +15Ca4+91 Bas +28 Aa8 

F' — F+4Ea+10Da2+20Ca +35Bai+56 105 

E' — E+5Da+15Ca?+35Baÿ+70aA 

D'— D+6Ca+21Ba2+51Aa 

C' — C+7Ba+98Aa? 

B' — B+8Aa 


A°—=PA" 


48. Construisons par le moyen de ces formules l'é- 
quation en %, résultante de la substitution de 3 + z, à la 
place de æ dans l'équation 


D — hr Ga — 22 — 5x —4—=0, 


dont nous savons que la racine réelle a 3 pour partie 
entière. 
Nous avons, en comparant avec (I) et (HIT), 


D=1, E=—4, F=+4, G=—2, H=—5, I=—4. 


La proposée n'étant que du cinquième degré, il faut 
retrancher des formules générales toutes les parties 
qui contiennent À, B et C. Substituant ces valeurs dans 
les formules (IIT), nous trouverons, en faisant 4a—=3, 


L——4—15— 18L108—3524+245=—10 

H'——5— 12108 —4352 +405 —+64 
=—92+56— 216+270—+88 

F4 —48 + go—+46 

E =—4+15—=+1 

D'=+1. 


L'équation en z est donc 


25 riz +462 +887 +64z—10—0; 


et, d’après la règle de Descartes, elle ne peut avoir plus 
d’une racine positive, laquelle est visiblement comprise 
entre o et 1, car en faisant z — 0, il vient un résultat 
négatif — 10, tandis qu’en faisant 3= 1, le résultat 
est positif. 

Pour trouver maintenant le premier chiffre décimal 
de cette racine, rendons les racines de l'équation en z, 
dix fois plus grandes; par ce moyen, le premier chiffre 
décimal cherché deviendra le chiffre des entiers de la 
racine, et nous pourrons l’obtenir par la substitution des 
nombres entiers 0, 1, 2, etc., jusqu’à 10, s'il est besoin. 

La transformation n’exige d'autre peine que celle 
d'écrire des zéros (n° 31), ct l'équation devient 


2 + 110% 46002 + 880007? + 
+ 6400004 — 1000000 = 0. 


ÉQU 


Les substitutions donnent 


Pour 3 —= 0; — 1000000 
z—=1;, — 267289 
Z2—=32;, + 670563. 


Ainsila valeur entière de x'est 1, et par conséquent 
la valeur cherchée de z est 0,1. Celle de æ est donc 
3,1, à moins d’un dixième près. 

Le même procédé appliqué à l'équation en z' pour- 
rait faire trouver le premier chiffre décimal de sa racine, 
ce qui donnerait les deux premières décimales de æ, et 
ainsi de suite, mais il est beaucoup plus prompt d’em- 
ployer le procédé de Newton, surtout tel qu’il a été 
modifié par Raphson. (Voy. APPRoxIMATION , tom. I.) 
Nous examinerons plus loin quelques autres modifica- 
tions, qui peuvent rendre ce procédé moins laborieux. 

49. Le procédé que nous venons d’exposer offre le 
moyen direct de séparer les racines comprises entre les 
deux mêmes nombres entiers successifs. Si l’on avait 
trouvé, par exemple, qu’une équation X—0, renferme 
deux racines entre 6 et 7, on y ferait X—6+ 2, et l’é- 
quation résultante en 7, Z — 0, aurait nécessairement 
deux racines réelles comprises entre o et 1; multipliant 
par 10 les racines de cette dernière, la transformée en 
z', L'—0, aurait, par conséquent, deux racines réelles 
comprises entre o et 10, et dont les substitutions feraient 
connaître les parties entières ; en admettant que ces par- 
ties soient 4 et #, les racines de Z seraient o, 4 eto, 7 àun 
dixième près, et l’on aurait pour les racines cherchées 
de X—0, 6, 4 et 6, 7, à moins d’un dixième près. Dans 
le cas où les deux racines de Z'=— 0, seraient comprises 
entre les deux mêmes nombres, les racines de X — 0, 
auraient non seulement la même partie entière, mais 
encore le même premier chiffre décimal, et il faudrait 
opérer sur l'équation Z— 0 comme on l'aurait fait sur 
l'équation X—0; on parviendrait ainsi à la connais- 
sance des seconds chiffres décimaux des racines cher- 
chées, et ainsi de même jusqu’à ce qu’on ait séparé 
les deux racines. 

S'il y avait primitivement trois, ou un plus grand 
nombre de racines comprises entre les deux mêmes 
nombres entiers, l'équation en z, aurait le même nom- 
bre de racines réelles comprises entre 0 et 1, et celle 
en z, le même nombre de racines réelles comprises 
entre O et 10. 

50. Nous n’ayons considéré jusqu'ici que des équa- 
tions dont la partie entière des racines était exprimée 
par un seul chiffre, ce qui nous a permis de la déter- 
W miner au moyen d’un petit nombre de substitutions; 
| mais si cette partie entière était exprimée par deux ou 
» un plus grand nombre de chiffres, quoique les procé- 
f dés indiqués soient sudisans pour Ja faire découvrir, 

| Tom, 11. 


ÉQU 121 
les calculs pourraient devenir d’une longueur rebu- 
tante, ce que l’on peut toujours éviter par de faciles 
transformations. Soit, par exemple, l'équation 


xt — 1802! — 13004? — 18000% — 140000 = 0; 


les signes nous indiquant qu'il ne peut y avoir qu’une 
seule racine positive, procédons d’abord à la recherche 
des racines négatives, en changeant, pour plus de fa- 
cilité, le signe des racines. La proposée devient alors 


x" + 180x° — 13002? + 18000% — 1/40000 — 0; 


et, en comparant avec les formules (1) et (11), nous 
ayons 


A=0, B—0, C—0, D=—0, E=1, F—180, 


G——15300, H——+18000, I=— 140000; 
d’où 


R —— 140000 


D,——+ 16881 
D,—— 1506 
D,=+ 3116 


— A 
D,=+ 24: 
Opérant sur ces différences, nous aurons 


Difr. 4e.[Diff, 3e.]Diff. ae.] Diff.ire. Résultats. 


— — — — — 


æ—0] 24 |1116|—1506|+16881|—140000 
æ— 1} 24 |+a1140]— 5go|+15355|—125119 
æ — 24 |H1164/+ 750!+14985|—107744 
æ—3| 94 |+1188|Li1914|+15735|— 92759 
æ—4| 924 |<1212|15102| 17649 — 77024 
æ—5] 924 |+1236|14514|+20751|— 59575 
æ—6| 24 |+1260!+5550|L25065|— 38644 
æ—7| 24 |+1284/+6810|+30615|— 13559 
æ = 24 |1308|+-8094[+-37425|+ 17056 


Nous découvrons donc une racine entre 7 et 8, et la 
marche régulièrement décroissante des résultats ne nous 
indique aucun couple de racines compris entre les nom- 
bres précédens, de sorte que nous pouvons supposer 
ou que la proposée a trois racines négatives comprises 
entre— 7et—8, ou qu’elle n’a qu’une seule racine 
négative et deux imaginaires. Cherchons maintenant la 
racine positive qu’elle doit nécessairement avoir. 

En procédant sur l'équation 


xt — 1807 — 13002 — 180007 — 140000 —=0, 


comme nous venons de le faire sur sa transformée, non 

seulement les dix premières substitutions n’amènent au- 

cun changement de signes dans Jes résultats, mais la 
16 


122 ÉQU 


marche des différences montre qu’on ne peut en espérer 
qu'après plus d’une centaine de substitutions. Pouvant 
supposer ainsi que la partie entière de la racine est com- 
prise entre 100 et 1000, ce serait le cas de chercher 
la plus petite limite supérieure des racines positives; 
cependant, ne voulant point ici avoir recours à ce 
moyen, observons qu’on peut rendre les racines de la 
proposée 100 fois plus petites, en y faisant æ— 100Z, 
transformation très-facile à effectuer, puisqu'elle se ré- 
duit à diviser chaque coefficient par la puissance de 100 
dont l’exposant est le nombre des termes qui le pré- 


cèdent. (Voy. Transrorwarion, tome II.) Il n’y a donc. 


en réalité que des virgules à écrire, et la proposée de- 
vient 


2—1,82— 0,132 — 0,0187-—0,0014—0, 


dont les racines, multipliées par 100, seront les valeurs 
de æ. Ainsi, les parties entières des racines z seront les 
centaines des racines x. 

Si l’on avait pu supposer que la valeur de æ fût entre 
10 et 100, on aurait fait seulement 4— 107; comme 
on aurait fait æ—1000%, si l’on avait supposé qu’elle 
fût entre 1000 et 10000. 

Appliquant à cette transformée les règles enseignées, 
nous aurons 


E= 1 R —=— 0,0014 
F=— 1,8 D,—— 0,948 
G—— 0,13 D, — +- 2,94 
H—— 0,018 D,—=—+ 25,2 

1 —— 0,0014 = ++ 24 


et, par suite, 


Diff. 4e.| Diff. 36, [ Diff.20. | Diff. tre, 


Résultats. 


0] 24 |+Lob,2lL 


z —= 2,94|— 0,948 |—0,0014 
21) 24 |+49,2| 498,14 + 1,992 |— 0,9494 
z—=2| 24 |+73,2l497,54| 130,152 + 1,0426 


Après avoir trouvé la partie entière 1 de la racine FA 
nous pourrons obtenir son premier chiffre décimal, et 
même son second et son troisième, par les opérations 
indiquées au n° 47. Ces calculs donnent 3— 1,89, et 
par conséquent æ—100%— 18%, à moins d’une unité 
près. Dans tous les cas, lorsque la racine x est connue 


ae L 
à: Prés; On peut achever de la déterminer par la mé- 


thode de Newton; puis, en la multipliant par 10, 100 
Ou 1000, Suivant qu’on a fait #—10%, — 1007, — 1000%, 
on obtient la valeur de +. 

Les deux racines réelles de ‘la proposée ont donc 
Pour parties entières — 9 et + 187. On peut s'assurer, 


ÉQU 
par le théorème de M. Sturm, que les deux autres ra- 
cines sont imaginaires. 

51. Ce qui précède renferme l’ensemble des procédés 
nécessaires pour obtenir la valeur approchée, à moins 
d’un dixième, des racines de toute équation numérique, 
par la méthode des substitutions; une fois cette valeur 
trouvée, on peut ensuite lui donner à volonté tous les 
degrés d’approximation par le procédé de Newton, dont 
nous allons rappeler le principe, afin de pouvoir lui 
appliquer une modification très-utile dans tous les cas 
où l’on peut se contenter de 3 à 4 décimales. 

a étant la valeur approchée de la racine, on substitue 
dans la proposée a x à la place de æ, et l’on parvient 
à une équation en z 


0—=M+Nz+Pz+Qz tete, 


dans laquelle on néglige tous les termes affectés des 
puissances de z supérieures à la première, on a simple- 
ment alors 


o—M-ENz, 


d’où l’on tire une valeur approchée de z 


Or, il est évident que l’erreur serait moins grande si, 
au lieu de prendre l’équation approximative 


on prenait cette autre 
o—=M+Nz+Pa; 


mais il faudrait résoudre une équation du second degré, 
et il est important de ne pas compliquer la suite des 
calculs par des extractions de racines carrées qui de- 
viendraient de plus en plus laborieuses. Voici le moyen 
très-simple employé par Halley pour éviter ces extrac- 
tions et abaisser la seconde équation au premier degré, 
sans erreur sensible. Prenons la valeur de z dans la pre- 


te et substituons-la 


mière équation, savoir : N 


comme il suit dans la seconde 
M 
—MLN:—P N” 


nous aurons, en résolvant cette dernière... (LV) 


is MN 
*= MPNN, 


valeur facile à calculer, et nécessairement plus appro- | 


AE .M 
chée de la véritable que — x 


— 


ÉQU 
La question consiste donc à obtenir les trois premiers 
coefliciens de la transformée en 3, ce qu’on peut tou- 
jours faire aisément par les formules (LIL), car la pro- 
posée étant représentée par 


0 = 1+ Hz + Ga? + Frs + Ext + Das + C26 + Bz7 + etc. 
on a 


M=—I +Ha +Ga + Fa +D& +Cat +etc, 
N — H+926Ga + 3Fa? + 4Ea3 + 5Da% + 6Caÿ +7Baë + etc. 


P = G+3Fa + 6Ea2 + 10Das + 15Caf + 21Ba$ + 28A06 + etc, 


+ Eat 


expressions dont la loi des coefficiens numériques est 
évidente, et qu’on peut, par conséquent, prolonger à 
volonté. 

Prenons, par exemple, l'équation 


a— 4? L35z—22—0, 


dont nous avons trouvé ci-dessus (n° 52) que la racine 
= 1 
réelle est 2,4 à moins de st) nous aurons, en NOUS ar- 


rêtant au coefficient F des formules précédentes, 


—=#15, 


I=— 22, =—4, F—=:; 


et, par suite, 


M=—922+13(2,4) —4 (2,4)  +(2,4)'—=— 0,016, 
N——+13—8 (2,4) +5(2,4) = —+ 11,08, 
=—4 +53 (2,4) = +3,2. 


Substituant ces valeurs dans la formule (IV), il vien- 
dra 


— 0,016 X 11,08 
z— FFM RUE —0,00144 
Ajoutant cette valeur de z à 3,4, on a æ—2,40144, 
valeur exacte, jusqu’à la dernière décimale. 

Il ne faut pas s'attendre qu’on obtiendra dans tous 
les cas 5 décimales exactes; la grande approxima- 
tion qu’on rencontre ici vient de ce que la partie 2,4 
de la racine est déjà une valeur approchée à moins de 
0,001. Cette racine est la racine négative de l'équation 
du quatrième degré, résolue par les fonctions trigono- 
métriques n° 18. Dans tous les cas, en se bornant à 3 
décimales, et en recommençant les calculs avec cette 


| première valeur de x, on obtiendra au moins six ou 
| sept décimales exactes; une troisième opération en 


donnera treize ou quatorze, et ainsi de suite. 
Appliquons encore cette formule à l'équation 


$ 
2° — 1,82 — 0,132? — 0,018Z2—0,0014—0, 


dont nous avons trouvé ci-dessus la racine positive égale 


ÉQU 123 


à 1,8, à moins de o,1. Comparant avec les formules 
générales, nous avons 


I ——0,0014 M=— —0,4550 
—— 0,018 N — +5,546 

G——0,13 P — +9,59 

F——:1,8 

E = + 1° 


Substituant les dernières valeurs dans la formule (IV) 
dont nous désignerons la variable par z', pour éviter 
toute confusion, il vient 


— (0,455) X (5,346) __ 


Fou Pptp EEE. € Eu == 8 
ET 0,455) X 059) — C4 7? 


d'où z—1,8—+ 0,078 — 1,878. Si nous faisons main- 
tenant z—1,878—y, nous obtiendrons une transfor- 
mée en y, dont la racine, calculée par la formule (IV), 
sera y——0,003321 ; d'où z—1,878— 0,009321 = 
1,874679, valeur exacte jusqu’à la dernière décimale. 
Cette valeur de z étant la’ centième partie de la racine 
de l'équation en'x du n° 50, nous avons donc; pour cette 
dernière, æ—187,4679. 

52. Théorème de M. Budan. Si l’on transforme une 
équation numérique 


—= a+ bg + ca? + dat +etc. 
en une autre équivalente 
o=a 0 (x—p) +c(æ—p) +4d'(&—p)"+ ete, 


? étant un nombre entier, il existera entre les coefficiens 
a’, b', c',etc., et ceux de l’équation primitive plusieurs 
relations importantes qui conduisent au théorème sui- 
vant : 

Si une équation en x a n racines réelles comprises entre 
o et Le nombre p, elle aura au moins n variations designes 
de plus que sa transformée en x—p, lorsque p est positi je 
et au moins n variations de moins, lorsque p est négatif. 

Quoique ce théorème nie soit pas sufisant pour faire 
découvrir immédiatement les limites de chacune des 
racines réelles, parce que, ainsi que l'ont fait observer 
Lagrange et Legendre dans leur rapport à l'Institut , il 
indique seulement qu’il peut y avoir, mais non qu'il 
doive y avoir autant de racines comprises entre 0 etp, 
que l’équation a de variations en plus ou en moins que 
sa transformée en æ—p, sa facile application le rend 
utile pour diriger les tâtonnemens, lorsqu'on veut éviter 
les calculs souvent très-pénibles que nécessite le théo- 
rème de Sturm, dont la découverte est d’ailleurs posté- 
rieure à la sienne, Deux exemples suffiront pour mon- 
trer Je parti qu'on peut en tirer, 


12% ÉQU 


En traitant ci-dessus (32) l'équation 
at at +13x—22—0, 


nous avons reconnu que dans le cas où ses trois racines 
seraient réelles, il devait y en avoir deux de comprises 
entre 0 et 1; et pour décider la question, nous avons 
eu recours plus loin au théorème de M. Sturm (40) ; 
or, en formant l'équation en æ— 1, on trouve 


(z—1)$—(x—1) +8 (x—1)—12—0, 


qui offre tout autant de variations que la proposée; d'où 
il résulte, d’après le théorème de M. Budan, qu'il ne 
saurait ÿ avoir deux racines réelles comprises entre o 
et1, et, par conséquent, que les deux autres racinesde la 
proposée sont imaginaires. 

L'équation 


d'— 122712 —3—0, 


dont nous avons découvert, par des substitutions, deux 
racines comprises entre o et 1, a pour transformée en 
T— 1 


(x— 1) +4 (m— 1) —6 (x—2)—8(x—1)—2—0, 


quine présente qu'une variation, tandis que la proposée 
en a trois; il est donc très-probable, d’après cette cir- 
constance, qu’il existe deux racines entre o et 1. Dans 
ce dernier cas, le théorème engage à des recherches 
ultérieures; dans le premier, il prouve qu’elles sont 
inutiles. 

53. Le calcul des équations transformées est si simple, 
que M. Budan l’a pris pour base d’une nouvelle méthode 
de résolution des équations numériques, recommandée 
pour l’enseignement élémentaire par le conseil de l'U- 
niversité. Nous allons en donner une idée, en l'appli- 
quant, comme point de comparaison, à quelques-unes 
des équations traitées ci-dessus par la méthode des sub- 
stitutions. 

Enseignons d’abord le moyen de passer des cocffi- 
ciens d’une équation en æ à ceux de sa première trans- 
formée en æ—1. Après avoir écrit les premiers sur une 
mème ligne, en commençant par celui du terme qui 
contient la plus haute puissance de +, et qu’on nomme 
ordinairement le premier terme, on prend les sommes 
successives de 1, de 2, de 5, ctc., de ces coefMiciens, 
jusqu’à leur somme totaie, ce qui forme une seconde 
ligne de nombres dont chacun représente la somme du 
nombre correspondant de la première ligne, avec tous 
ceux qui le précèdent. Par exemple, pour l'équation 
précédente du troisième degré, on aura 


Cocficiens. ; 4 1415 — 909 
Sommes LT, à AD 10 ee 295 


ÉQU 
opérant ensuite sur la seconde ligne comme on l’a fait 


sur la première, mais sans tenir compte du dernier 
nombre — 22, on obtient 


Sommes ames, 1—9 + 8; 


celle-ci, traitée de la même manitre, donne, toujours 
sans tenir compte du dernier nombre, 


Sommes 3més, 1 — 1; 


Lé 


et enfin la dernière somme, ou la somme 4°, est simple- 
ment 1. L'ensemble du calcul est ainsi : 


Coefliciens. . 


.1—4 +415 — 99 


Sommes 116, 1-— 3 +10 — 22 


1—2—+8 


| 


Sommes 2m6s, 
Sommes 3mes, 


Sommes 4mes, 1. 


Les derniers chiffres de chaque ligne sont les coefi- 
ciens de la transformée en æ— 1, savoir : celui de la der- 
nière ligne, le coefliçient du premier terme, celui de 
l'avant dernitre, le coeflicient du second terme, et ainsi 
de suite. 

Lorsque l'équation n'est pas complète, il faut rem- 
placer les coefficiens des termes qui manquent par 0; 
ainsi, pour l’équation ci-dessus du quatrième degré, 
on a: 


Coefliciens., . 1 + 0 — 12 + 12 — 3 


1Hi—i1i+i—2 
12 — 9 —8. 
Sommes 3me8, 1 +3 —6 

Sommes 4mes, 1+4 


Sommes 5mes, 1, 


Sommes 1re8, 


Sommes 265, 


» 


ce qui donne pour les coefficiens de la transformée en 
DT— 1,1, +4, —6,—8,— 2. 

Cette détermination des coefliciens de la transfor- 
mée en æ— 1, repose sur les propriétés des polynomes 
dérivés. M. Budan en a fait l’objet de la proposition 
suivante : 

Un polynome quelconque , procédant suivant les puis- 
sances entières et positives d’une quantité x, depuis le 
degré m jusqu'au degré o, se transforme en un autre 
polynome d'éqale valeur, procédant suivant les mêmes 
puissances de (x—1) dont les coefficiens respectifs, à 
commencer par celui du dernier terme, sont : 

1° La somme première de tous les coefficiens dupolynome 
donné; 

2° La somme seconde de tous les coefficiens, hormis le 
dernier ; 


ÉQU 

3° La somme troisième de ces coefficiens, excepté les deux 
derniers, et ainsi de suite. 

La règle est nécessairement la mème pour passer du 
polynome en æ— 1 au polynome en æ—2, de celui-ci 
au polynome en æ-—3, et ainsi de suite. Par exemple, 
ayant 


Équatiou entr. + at + 0x — 192? + 19x — 3 —0, 


Équation eu (aies (x—1)t + 4(2—1 D —6(a—i J—8(x— 1)—2—0;, 


on obtiendra l'équation en (æ—2) en formant les 
sommes des coeficiens d’après la règle indiquée, 


1+4—6—8—2 


1H5—1—9—11 
1+6+5—4 
up 12 

1 +8 


Sommes 5mes 1, 


Coefliciens. . . 


Sommes 1res, 
Sommes 2mes, 
Sommes 3mes, 


Sommes 4mes, 


Cette équation est donc 
(x—2)i28 (x—92)" +19 (x—0) —{4(x—2) —11=0. 


Ceci posé, il est facile de comprendre son applica- 
tion à la recherche de la partie entière des racines réelles 
d'une équation. Voici le principe fondamental de la 
méthode. 

Étant donnée une équation en x du degrém, on se 
procurera ses transformées successives en (x—1), (x—2), 
(x—3), et ainsi de suite, jusqu'à cequ'on parvienne à 
une transformée en (x—p}) dont les coefficiens soient 
tous de même signe. è 

Cette dernière transformée ne pouvant point avoir de 
racine positive (d’après la règle de Descartes), le nombre 
entier p est une limite de la plus grande valeur positive 
de l'inconnue. 

Lorsque le dernier coefficient d'une transformée en 
(x—m) est de signe contraire au dernier coefficient de 
la transformée suivante en (x—m—1}), la proposée a 
une ou plusieurs racines en nombre impair dont la va- 
leur est comprise entre m et m1. 

Cette dernière proposition est une conséquence de 
la construction des coeliciens, car il est évident que 
le dernier coeficient d’une transformée en æ—p, p 
étant un nombre entier positif quelconque, est égal au 
résultat qu’on obtiendrait en substituant dans la propo- 
sée p à la place de +. 

On ne peut découvrir par ce procédé que les racines 
positives d’une équation; mais en changeant le signe 
des racines, il devient applicable aux racines négatives 

Soit, pour premier exemple, l'équation 


Dh 190 +- 19% —3—=0, 


ñ - 

EQU 125 
nous aurons, en cherchant d’abord les racines posi- 
tives : 


Cocficiens des équations : 
CR To ie Pole telle 1 + O—19—L19— 3 
1+ 4— 6— 8— 2 
1 8—Li2— h— 11 


1 + 19 + 42 + 48 + 16. 


Tous les coefficiens de la transformée en æ—53 étant 
positifs, on doit en conclure qu’il n’y a pas de racines 
positives au-dessus de 3; de plus, le changement de 
signe des deux derniers coefficiens — 11 et + 16, an- 
nonce qu'il existe au moins une racine réelleentre 2 et 3; 


en (ti). « « 
en(æ—2). + . . 


cu (x— 3). ele 


et enfin la perte de deux variations dans le passage de 
æ à æ— 1 indique qu’il peut y avoir deux racines com- 
prises entre o et 1, ce que fait soupçonner d’ailleurs la 
marche des derniers coefficiens —3,—2,—11, d’a- 
près la proposition du n° 22, puisque ces coefliciens 
sont identiques avec les résultats des substitutions, dans 
la proposée, des nombres 0, 1, 2 et 3. | 
Changeant les signes des puissances impaires de æ, 
pour chercherles racinesnégatives,la proposée deviendra 


D — 19% — 19% — 5 —0; 


et en procédant comme ci-dessus, on obtiendra 
Coefficiens des équations : 

1+ 0—12 — 

1+ 4— 6— 

1—+ 8—12— 98 — 59 

119 + 42 + 

1—+ 16 + 84 + 148 + 13 


Il existe donc une racine entre 3 et 4, c’est-à-dire que 
la proposée a uneracine négative entre — 3 et— 4. Les 
variations de signes montrent que cette racine est seule, 
car il n’y a qu’une seule variation perdue dans Je pas- 
sage de æ à æ—4,. 

Pour découvrir les deuxracines probables entre o et 1, 
nous poserons 
équation en z 


EN T—=—X + « 
en(t—1).. + . 
en (T—2).. : « 
en(z—3). . . . 


en(z—#4). « . 


10Z —= %, ce quinous donnera une 


2° — 12002 + 120007 — 50000 — 0, 


dont les racines sont 10 fois plus grandes que celles de 
l'équation en x; en lui appliquant la méthode, il viendra 


Cocflieiens des équations : 

ent + +... .« 1 0—1200-12000—50000 

14 4—1194+ 9604— 19199 

1 8—1156 ++ 5252— 10784 
: 


en (z—1). 


En (Z2—2). + « 


en (z—3). : 1—19— 1146 G908— 4719 
en (z—4). - 1—16— 1104 + 2646— 954 
en (2—5). . 1 20—1050+ 490 605 
en (eG) I 042008 PNG ENEM6E 
em(z-gh ee 1—+28— 0906— 5458— 2459 


126 ÉQU 


L'équation en x, a donc deux racines comprises l’une 
entre 4 et 5, et l’autre entre 6 et 7; d’où il résulte que 
les racines cherchées sont zæ— 0,4, et æ —0,6, à moins 
d’un dixième près. C’est ce que nous avions trouvé pré- 
cédemment. 

Soit encore, pour exemple, l'équation du n° 46 


D — Gt Æ Ya — 00 — 5x —4= 0; 
Coefficiens des équations : 


1 + 4— 2— 5— 4 


EH Les see 

enfr—1} : . 1H 1— 2— 4— 8— 10 
en(æ—2). . - 1—+ 6H 1294 6G— 13— 29 
en(z—3). . . 1—+11+ 46+ 88 64— 10 
en(x—4) : « 1416100302 427200 


La transformée en æ—{4 ayant deux variations de 
moins que la proposée; on pourrait supposer qu'il y a 
deux racines comprises entre o et 4, mais ilne peut 
y en avoir qu'un nombre impair entre 3 et 4, indiqué 
par le changement de signes; ainsi il n’existe qu’une 
seule racine positive entre ces limites, et comme on sait, 
en outre, que deux résultats de même signe ne peuvent 
comprendre qu’un nombre pair de racines, on voit que 
la marche irrégulière des résultats—/4,—10,—22,—10, 
accuse seulement l'existence d’un nombre pair de ra- 
cines imaginaires. 


Coeflciens des équatioos : 


144 44 2— 54 4 
1+9—+ 30 +48 EL 32 HLaio 


CUT —= — Le « 


en(t—i) + « 


Ce dernier résultat prouve que la proposée n’a pas 
de racines négatives au-delà de — 1, et nous présente 
un cas où le théorème est en défaut, car la transfor- 
mée enæ— 1 a deux permanences de plus que l'équation 
en æ, ce qui annoncerait deux racines comprises entre 
o et 1, qui n'existent pas. 

54. On voit, d’après ces exemples, que la méthode 
de M. Budan donne la détermination de la partie en- 
tière des racines incommensurables avec une extrême 
facilité, puisqu’elle n’exige d’autres opérations arithmé- 
tiques que l'addition et la soustraction ; cependant 
comme, à part le calcul des différences (45), qui n'est 
jamais bien pénible, la méthode des substitutions se 
réduit pareillement à des additions et des soustractions, 
dont le nombre est toujours beaucoup moindre que dans 
la méthode de M. Budan, cette dernière lui est infé- 
rieure sous le rapport de la promptitude, surtout lors- 
que le degré des équations est élevé, que leurs coeffi- 
ciens sont de grands nombres, et qu’il est nécessaire de 
construire neuf à dix transformées. 

M. Budan applique encore son procédé à la déter- 
mination approchée de la partie dés racines incommen- 


ÉQU 


surables plus petites que l’unité, mais nous ne pouvons 
entrer dans les développemens qui seraient indispensa- 
bles pour l'intelligence des opérations, et nous devons 
renvoyer à son ouvrage (Nouvelle Méthode pour la ré- 
solution des équations numériques), qui renferme plu- 
sieurs remarques très-ingénieuses, propres à faire dis- 
tinguer les racines imaginaires des racines réelles dans 
les cas douteux. 

Pour faciliter les applications de son théorème, il 
nous reste à montrer comment l’on peut passer d’une 
équation en æ à sa transformée en æ—p, sans être 
obligé de calculer toutes les transformées intermé- 
diaires. Soit 


0—1+ Hx + Ga? + Fri Ext etc. 


une équation d’un degré quelconque; posons a—p+#y, 
nous obtiendrons une équation en y 


0=1 + H'y+ G'y + F'y LE'yt + etc. 
dont les coefliciens seront donnés par les formules (HIT) 
en faisant a —p; or, cette équation est la transformée 


demandée, car la relation æ—p y donne y=æ—p; 
ainsi, écrivant æ— p à la place de y, on a 


0=]l' + H'(x—p) +G'(x—p)' +etc…. 


Supposons, par exemple, qu'après avoir trouyé (50) 
que l’équation 


d* + 180% — 13002! 18000 4— 140000 = 0 


a un nombre impair de racines comprises entre 7 et 8, 
on veuille en fixer le nombre exact qui peut être 1 ou 3, 
puisque les signes présentent trois variations; on caleu- 
lera les coefficiens de la transformée en æ — "7, à l’aide 
des formules (IT), puis, au moyen de ceux-ci, on cal- 
culera, par le procédé indiqué, Îles coefficiens de la 
transformée en æ— 8, ce qui donnera 


Coefficiens des éqations. : 


14-208 —+onr4—or632— 15559 
1+-209—+ 2983530615 17056. 


Ainsi, comme il n’y a qu’une seule variation de perdue 


en (T — 7)- . à 


en(æ— 8). « « 


dans le passage de æ— 7 à æ —8, ou de tæ'4àæ'— 1 


(z' exprimant æ—), il ne peut y avoir plus d’une 
racine comprise entre ? et 8. Ici, l'inspection seule de 
l'équation en (x — 7) montre qu’elle ne peut avoir 
plus d’une racine positive comprise entre o, 1, et, par 
conséquent, que la proposée n’en a qu’une entre s et 8, 
car cette équation ne présente qu’une seule variation de 
signe. 

55. Fourier a donné, dans son Analyse deséquations, 
un théorème qui, bien que différent, par son énoncé, 
de celui de M. Budan, est identiquement le même. Si, 


| 
| 


ÉQU 


comme il le paraît, la découverte de ces théorèmes a 
été faite à peu près dans le même temps par ces deux 
géomètres, on ne peut du moins refuser la priorité de 
la publication à M. Budan. (Voy. les ouvrages cités.) 

Voyez, dans ce Dictionnaire, pour ce qui concerne 
les autres procédés de la résolution des équations nu- 
mériques , l'ingénieuse méthode de Bernouilli (tom. I, 
page 116), démontrée tom. II, page 420, et le beau 
développement en série des racines d’une équation dû 
à Euler, tom. II, page 458. Voyez aussi les articles 
APPROXIMATION, ÉQUATION, Limite, RACINE, et TRans- 
FORMATION. 


ÉQUATIONS »# conprriow. ( Astronom. et Géod. ) 
Les tables astronomiques, comme celles des planètes 
et de la lune, dont la construction repose essentielle- 
ment sur la théorie de l'attraction universelle, ont 
acquis de nos jours un grand degré d’exactitude ; ce- 
pendant, comme les principaux élémens qui entrent 
dans cette construction sont empruntés des observa- 
tions, celles-ci, quelque parfaites qu’elles soient, ne 
sauraient l'être toutes que dans un cas tout-à-fait for- 
tuit, parce qu'elles sont très-délicates à faire, même 
dans les circonstances les plus favorables : aussi remar- 
que-t-on souvent entre les tables et les résultats d’un 
grand nombre d'observations recueillies à des épo- 
ques éloignées de celle qui a servi de point de départ, 
de petites différences qui sont alors regardées comme 
exprimant les erreurs des tables. C’est ainsi qu’en dé- 
terminant, par exemple, le lieu du soleil à une épo- 
que quelconque de l’année, la longitude observée peut 
différer d’une seconde et plus, de la longitude calculée 
par les formules de la mécanique céleste. De la, la né- 
cessité de corriger de temps à autre les élémens des 
tables particulières à chacun des astres; mais il est né- 
cessaire pour cela de connaître les rapports que l’ana- 
lyse mathématique établit entre eux, afin d'y avoir 
égard dans la recherche des corrections dont ils sont 
susceptibles; corrections qui doivent être faites de la 
manière la plus avantageuse. Cette recherche s'effectue 
à l’aide de la méthode des équations de condition. 

D'abord, si dans l'équation qui exprime la dépen- 
dance qu'ont entre eux les élémens ou constantes À, 
B, C;... on remplace ces élémens respectivement par 
A+», By, C—z,…. (les quantitésæ, y, z,... dé 
signant par supposition de très-petites corrections) ; si 
ensuite on fait tous les développemens nécessaires, il est 
clair qu’en vertu de l'hypothèse, l’on pourra négliger les 
puissances supérieures de æ, y, z,. . . et représenter 
le résultat par cette équation linéaire 


ac Æby+cz +... —=m. 


En supposant donc que les coefficiens @,b,e,: 5:57 


EQU 127 
aient été donnés par une première observation, et que 
l'on ait eu par une seconde observation 


d'a +by+czt... =m, 


et ainsi de suite, en sorte que leur nombre surpasse de 
beaucoup celui des inconnues, il restera à les résoudre 
par l’un des procédés suivans. 

1° L'idée qui se présente en premier lieu pour com- 
biner ces équations successivement, de manière à en 
obtenir d’autres qui soient favorables à la détermina- 
tion de chaque élément, c’est de les ajouter ensemble, 
ou de les soustraire les unes des autres, selon qu'il 
résultera d’autres équations où le coefficient numéri- 
que de l’erreur due à cet élément sera le plus grand 
possible, tandis que ceux des autres élémens jouiront 
de la propriété contraire. On conçoit facilement, en 
effet, que ce but sera atteint par ce moyen : ainsi, en 
appliquant le même procédé à chacun des autres élé- 
mens, on parviendra à former autant d’équations spé- 
ciales qu’il y aura d’erreurs à déterminer. Telle est , en 
peu de mots, la méthode dont le célèbre astronome 
Tobie Mayer a le premier fait usage pour perfection- 
ner ses tables de la lune, et qu’on pourrait employer 
également dans toute recherche physico-mathématique, 
où il s’agit de représenter un grand nombre d’observa- 
tions par des formules résultant d’une théorie connue. 

2° Il est cependant une autre méthode non moins 
générale, et qui conduit d’une manière plus directe 
et plus sûre aux valeurs les plus probables des incon- 
nues; c’est celle que Legendre a imaginée, et qu'il 
a nommée Méthode des moindres carrés, dans son Mé- 
moire sur la Détermination de l'orbite des comètes. 

Supposons toujours æ, y, z,... les corrections des 
élémens, et représentons par e, &', e,... les erreurs 
commises dans les observations successives; on aura 


e = ax by cz +. 
s—az+v'y+cz +... 
= gx + b'y+cz +... 


DC ce! 1 dottog ce 


équations qui seront en même nombre que les obser- 
vations, mais en plus grand nombre que les inconnues. 
Cela posé, si on fait la somme des carrés de toutes ceser- 
reurs, et que pour abréger l’on désigne s?-Le'?L3E... 
par u; que l’on fasse a? —+ a? + … E(a°), 
ab + ab +... — (ab), et ainsi de suite, on aura 


différentiant successivement cette expression par rap= 


128 ÉQU 
port à æ, y, etc., et égalant chaque différentielle à zéro, 
l'on aura 


D sub) + 2(b)x + S(bc)y.. = 0, 


y = Ua) + 2e + 2(6 y. = 0: 


Il résulte de là, que pour former l'équation du mi- 
nimum par rapport à l’une des inconnues, il faut mul- 
tiplier tous les termes de chaque équation de condi- 
tion par le cocflicient de l’inconnue dans cette équa- 
tion, pris avec son signe, et égaler à zéro la somme de 
tous ces produits. Il ne reste plus alors qu’à résoudre 
les équations résultantes par les moyens connus. 

Cette méthode, comme l’on voit, consiste en quel- 
que sorte à prendre le centre de gravité des observa- 
tions que l’on compare, pour trouver les valeurs les 
plus probables ; mais Laplace a démontré par sa savante 
théorie des Probabilités, qu’elle est en outre la plus 
avantageuse entre toutes celles que l’on pourrait pro- 
poser; ainsi, sous ce rapport, elle mérite la préférence 
sur celle de Mayer, malgré la longueur des calculs nu- 
mériques dans lesquels elle entraine, et dont il est im- 
possible de s'affranchir entièrement quand le nombre 
des équations de condition est un peu grand. 

L'application suivante, choisie en géodésie, indi- 
quera suffisamment au lecteur la marche qu’il y aurait 
à suivre dans d’autres cas. 

Il a été démontré, au motRecriricarion (Supplément), 
que les longueurs M, M(, M, M° des degrés des 
méridiens, croissent à très-peu près comme les carrés 
des sinus des latitudes }, x, X°, °, correspondant 
respectivement à leurs milieux; si donc e, el'), &°), «, 
expriment les erreurs dont ces mesures peuvent ètre 
affectées, l’on aura ces quatre équations de condi- 
tion (1): 

à M —2z—ysinn —e 
MO 3 — y sin — 
MO — 5 —ysinn® — 0 


(3) 


(3 . (3) 
M — z — ysin’}? sh, 


dans lesquelles 


CHR] 


æ A T - 
==. = a; 5 ——— a(1—0 
y 180 * ? 186 201— €), 


a étant le rayon de l'équateur, e? le carré de l'excen- 
tricité des méridiens, et x — 3,1415926, le rapport de 
a circonférence du cercle au diamètre. 


que, de plus, le rayon de l'équateur est 


ÉQU 
D'un autre côté, par les mesures géodésiques ct as- 
tronomiques, on a trouvé 


à l'équateur. M —110582",1;,) —— 1°31° 0°,5 
dans l'Inde: + M = 110628 ,6;X°°=-+L13 631,0 
en France. + MU)=—= 121191 25 QE +45 418,1 
en Suède. + M — 111489 ,1 ; X°) = + 66 20 10,3. 


Ainsi, les équations (1) deviennent 


110582,1 — 7 — Y.0,00070 — 8 
110628,6 — 3 — y.0,05144 = e 
111191,2 — 37 — y. 0,50125 —& 


111489,2 — x — y. 0,83890 


vw 


et se réduisent, en vertu de la condition du minimum, 
à ces deux-ci : 


443830,4 — 4% — y. 1,39229 — 0, 
— 155000,4 + 3. 1,39229 + y. 0,95765 — 0; 


d'où l’on tire 
— 1089",036; z— 110576%,054 ; 


et comme l’aplatissement « a pour expression 


180 


a=-—. %(1 + 26), 
T 
on trouve 


Log a — 6. 8046357, 
a— 6577284"; 


a — 0,0032831 , 
1 


a —=x—-— 


304, 8 ; 
enfin les erreurs les plus probables sont 
+08; = 6m; + 60,8; 38,6. 


Mais, vu l'extrême précision des mesures de France et 
de l'Inde, les erreurs probables dont elles paraissent 
être affectées doivent plutôt être attribuées à ce que la 
terre, bien qu’aplatie aux pôles, n’est pas rigoureuse- 
ment un ellipsoïide de révolution. 


(M. Puissant.) 


ÉQUATION pes RAUTEURS CORRESPONDANTES. (Ast.) Si 
le soleil décrivait constamment le même parallèle par son 
mouvement diurne apparent autour de la terre, l’heure 
de son passage au méridien serait, comme à l'égard des 
étoiles, la demi-sopame des temps des observations de 


ÉQU 

l'un de ses bords faites à la même hauteur au-dessus de 
l'horizon, avant et après la culmination. Mais cette 
circonstance n'ayant lieu sensiblement qu'aux époques 
des solstices, il est généralement nécessaire d'appliquer 
à l'heure du passage déterminée comme on vient de 
le dire une petite correction de quelques secondes due 
au mouvement de l’astre en déclinaison, ou à ce que 
les deux angles horaires observés ng sont pas égaux. 
Cette correction du midi approché pour connaître le 
midi vrai se nomme équation des hauteurs correspon- 
dantes ; on la détermine ainsi qu'il suit : 

Soient T,T' les heures à la pendule où au chrono- 
mètre, lorsque le soleil était à la même hauteur des deux 


côtés du méridien ; le midi approché sera 


comptant, bien entendu, les heures consécutivement 
comme si la pendule marquait les vingt-quatre heures 
du jour. Soit en outre H la latitude du lieu, D la décli- 
naison boréale du soleil S; et supposons que l’obser- 
vation soit faite entre le printemps et le solstice d’été; 
enfin désignons par Z le zénith, et par P le pôle élevé. 
Cela posé, le triangle sphérique ZPS donnera 


cos ZS — sin H sin D+-cosH cosDcosP, 


et, à cause du mouyement du soleil en déclinaison, D et 
l'angle horaire P varieront en même temps. Différen- 
tiant donc cette équation en regardant les deux autres 
quantités comme constantes, et tirant ensuite la valeur 
de dP, on aura 


cos H cos D sin P : 


Dans cette expression différentielle, dP et dD sont des 
ares censés donnés en secondes de degré; mais il con- 
vient d’avoir le premier en secondes de temps, et il 


suffit pour cela de changer dD en _ puisque 1" de 
1 


temps correspond à 15° de l'équateur. 


On à donc 
1,  dD /tang H 
: ap = ( TIME tang D cot r). 


Lorsque la déclinaison boréale augmente, dD est 
positif, et l’angle horaire du soir P' est P —- dP, celui 
du matin étant désigné par P. Si donc m est le midi 


a pi 


approché — A 61 38et M le midi vrai, on aura 


T=M—P,T—=P+dp LM; 
partant 

_T+T | 1 

M ra out 
Tome x 


EXC 129. 


et enfin 
ne . 1 
midi vrai, M = m— = dP. 


Ainsi, en retranchant du midi approché la quantité 
1 , . 3. . L à 
= dP trouvée ci-dessus, ou l'équation des hauteurs cor- 


respondantes, on a le midi vrai, lequel sera d’autant 
mieux connu, que l’on aura pu recueillir le même jour 
vers neuf heures du matin et trois heures du soir un 
plus grand nombre d'observations de ce genre. 

On remarquera que la variation dD est le changement 
en déclinaison pendant l'intervalle des deux observa- 
tions correspondantes, variation qu’il est facile d’éva= 
luer, puisque la Connaissance des temps la donne pour 
24". On la prendra positivement lorsque le soleil mon- 
tera vers le zénith, et négativement dans le cascontraire. 
De plus, si D est australe, tang D sera négative. Dans 
tous les cas, l'angle horaire P sera, en temps, la dif- 
férence du midi approché à la première observation. 
Ce calcul, qui s'effectue à l’aide des logarithmes à 
5 décimales, est trop simple pour nous y arrêter; mais 
il faut faire bien attention au jeu des signes algébriques. 
Delambre a donné, pour abréger l'opération, une table 
des facteurs de dD. (Astron., tome I, p. 576.) 

L'observation de deux passages consécutifs du soleil 
au méridien fait connaître l'avance ou le retard de la 
pendule en 24" de temps vrai, et par suite en 24" de 
temps moyen. (Voyez ces mots.) 

(M. Puissant.) 


ÉQUILIBRE. ( Stat.) Lorsque plusieurs forces agis- 
sant sur un même corps matériel se détruisent de ma- 
nière que leurs actions simultanées ne communiquent 
aucun mouvement au corps, on dit que ces forces se 
font équilibre ou qu’elles sont en équilibre. Les lois de 
l'équilibre des forces forment l’objet de la Srarique , 
l’une des deux branches fondamentales de la MÉcaxIQuE 
(tome IT, page 217). 

Les limites qui nous étaient imposées pour nos deux 
premiers volumes nous ayant à peine permis d'indiquer 
les propositions principales de la statique, nous avons 
dû lui consacrer dans ce supplément une suite d'articles 
liés entre eux par des renvois. Ainsi, tout ce qui con- 
cerne la nature et la mesure des forces se trouve aux 
mots FORGE, QUANTITÉ DE MOUVEMENT, QUANTITÉ D'ACTION ; 
ce qui a rapport à leur composition est traité au mot 
Résucranre ; et Les lois de leur équilibre sont exposées 
aux mots Momexs et VITESSES VIRTUELLES. 


EXCENTRIQUE. Voyez COURDES EXCENTRIQUES. 
EXCÈS SPHÉRIQUE. ( Géod.) Les triangles que 


l'on forme sur Ja terre, dans les opérations qui ont 
/ 


130 EXT 


pour objet la mesure d’un arc de méridien, ou le levé 
géométrique d’une contrée, ne peuvent, à cause de 
la longueur de leurs côtés, être considérés comme rec- 
tilignes; car ces côtés, en tant que la terre est sphé- 
rique, sont des arcs de grands cercles compris entre 
leurs extrémités. Ainsi, dans ce cas, la somme des trois 
angles horizontaux de chaque triangle surpasse deux 
angles droits de plusieurs secondes, abstraction faite 
toutefois des erreurs d'observation. C’est cette petite 
différence, due à la courbure du globe, qu'on nomme 
excès sphérique. On 
SPHÉROÏDIQUE un exemple du calcul de cet excès, et son 


verra à l’article TRIGONOMÉTRIE 


usage pour évaluer l'erreur commise dans la mesure 
des trois angles d’un grand triangle. 


(M. Puissant.) 


EXTRACTION DES RACINES. ( 4/9. ) La théorie 
et le procédé de l'extraction des racines, la plus la- 
borieuse des six opérations arithmétiques élémentaires, 
sont exposés dans le premier volume, page 574; nous 
ferons seulement connaître ici quelques méthodes ap- 
proximatives , capables de faire obtenir les racines des 
quantités irrationnelles avec un plus grand nombre de 
décimales exactes que n’en peut donner l'emploi des 
tables ordinaires des logarithmes. 

La plus directe de ces méthodes consiste dans les 
développemens en séries pareillement enseignés tome I, 
page 579. On a pu voir que de tels développemens ex- 
priment la valeur exacte de la racine, par la totalité 
de leurs termes, et qu’il est ainsi possible d'approcher 
indéfiniment de cette valeur en prenant un nombre de 
termes de plus en plus grand. Mais la sommation des 
termes d’une série entraîne souvent des calculs pro- 
lixes qui, lorqu’elle est très-peu convergente ; ne sont 
guère’ moins laborieux que le procédé élémentaire, 
déjà si pénible pour les racines du troisième degré; et 
l’on a dû chercher les moyens d’obtenir une approxi- 
mation plus facile et surtout plus prompte. Le procédé 
suivant est dû à Halley, qui l’a fait connaître dans les 
Transactions philosophiques de 1694 ; il ramène toutes 
les extractions de racines à celle d’une racine carrée. 

Soit N, un nombre entier ou fractionnaire , dont il 
s’agit d'extraire la racine du degré m; désignons par 
a la racine m"° de la plus grande puissance m"° conte- 
nue dans N, ou de la puissance m"° immédiatement 
plus grande que N , de manière qu’en désignant par b 
la différence entre N et 4® on ait 


ni m m m 


VAN = Va + b où UN = V/a" — b. 


Par exemple, si l’on avait N — 30 et m— 2, comme 
le plus grand carré contenu dans 30 est celui de 5, et 


EXT 
que le carré immédiatement au-dessus de 30 est celui de 
6, on aurait : 


V/30 = 1/25 L 5 ou 1/30 — 1/36 — 6. 
Nous poserons généralement 


mi m 


VN =V/a E b 


en considérant be comme pouvant être positif ou négatif, 
suivant la facilité qui peut en résulter pour les calculs. 
Ceci posé, nous avons pour les diverses valeurs de 
l'exposant m, plus grandes que 2 


Va+0 lat 


je tvfe Ge 
Ven = pets |, 


V/{a: +b) 


Re 


1 


Va +0 =ga+v|3 


6 
+0 Sa +] + ce 
etc. — etc. 


et, en général 


et] 
(m1) m(m a 
Pour montrer l'application de ces formules, propo- 
sons-nous de trouver avec 10 décimales la racine qua- 
trième de 17. 
Le premier point est de se procurer une valeur ap- 


prochée de la racine, ce qui esttoujours facile au moyen 


des logarithmes. Ainsi, le logarithme de 17 étant 
1, 2504489, son quart est 0, 5076192, et le nombre 


4 
correspondant à ce quart, valeur approchée de V/17; 
est 2,030, Faisons a — 2,05, et élevons 2,05 à la qua- 
trième puissance, nous trouverons 


— 16,98181681, 


ce qui nous donnera, à cause de a* +b=—17 


b = 0,01818319. 


substituant ces valeurs dans la formule des racines qua- 
trièmes , il viendra 


4 


0, eee | 


3 = (250%) +vf (1209) + GT 1209] 


er = 


EXT 
Or, 


G (1200) —= 0,4578 9797 9779 7999 7777 


0, 01818319 
ER LE 3540 5291 7242 1 

PR 007 Ho Vogue pates 
ajoutant ces deux nombres, nous aurons pour la quan- 
tité comprise sous le radical 


0, 4586 1318 5069 5020 7748 , 
dont la racine carrée est 
0, 6772 0985 15; 


ajoutant enfin à cette dernière quantité 
i (2,03)—1, 3533 5335 35, 
nous aurons définitivement 


V19= 0, 0305 4318 48, 


valeur exacte jusqu’à la dernière décimale. Si nous 
avions pris la première valeur approchée de la racine 
avec 5 ou 6 décimales, nous aurions pu en obtenir 
18 ou 20 par ce procédé, et ainsi de suite. 

Quelque facile que soit l’extraction d’une racine car- 
rée, la nécessité d'exprimer la quantité radicale par un 
nombre de chiffres à peu près double de celui qu’on 
veut avoir à la racine rend le procédé de Halley très-la- 
borieux, et nous pensons qu’on pourrait le remplacer 
avantageusement par une application de la méthode 
de Newton pour les racines des équations (voyez Ar- 
PROXIMATION tom. I), en modifiant cette méthode comme 
nous allons le faire. 

Soit toujours N un nombre quelconque et a sa ra- 
eine approchée de manière que 3 exprimant une frac- 
tion, on ait 


d'où 
N=— (a+ 2). 
Développant le binome, nous aurons 


N— a" ma"= ee, 


D mi # +ete., 


ce qui nous donnera l'équation 


m(m— 
DA 


02 (a — N) + me" UE a RE co 


EXT 131 


Négligeant tous les termes affectés des puissances de 7, 
supérieures à la première, il viendra simplement. 


1 


04 —N—+ma 3%; 
d’où 


N pu. a 
Mn 10? 
[44 


I 


et, par conséquent, . « . (1) 


=a4— 


Appliquons d’abord cette formule à la racine carrée 
de 2, en prenant pour première valeur approchée 4 — 
1,4; nous aurons 


(054) 
2 (1, F7) 


= 1,4 HUE = 1414, 


V/2= (1,4) +2 


valeur exacte jusqu’à la quatrième décimale. Prenons 
maintenant & — 1, 414, la formule nous donnera 


2 à (414) 
V2 = 1,414 + 2,828 


0,000604 


DR ST tar 


— 1,4142155, 


valeur exacte jusqu’à la septième décimale. En posant 
a = 1, 414 2155, une nouvelle application de la for- 
mule donnerait seize décimales exactes. 


= 
Évaluons maintenant |/17, afin de comparer cette 
méthode avec celle de Halley, et prenons, comme ci- 
dessus, 4 — 2, 03, nous aurons 


ai — 16,98181681; a — 8,505427, 


et par suite 


0, P1820829 
5,461508 


V17= = 2,03 Dr: 


= RC 


dont les six décimales sont exactes. En faisant a = 2, 
0305, une nouvelle opération donnerait dix décimales 
exactes, comme on pourrait en obtenir quatorze en 
prenant a = 2, 050 543. Ge procédé est si facile dans 
son exécution, qu’à défaut de tables des logarithmes, 
on doit le préférer à tous les autres, même lorsqu'on 
peut se contenter de 5 ou 4 déeimales. Soit, par exem- 
ple, à trouver la racine cubique de 325 , à moins d’un 
millième prés; sa valeur entière étant entre 6 et», 


mais beaucoup plus près de 7 que de 6, car 6° = 216 


132 EXT 
et 5 — 545, nous ferons a— 7, et comparant avec la 


formule (1) nous aurons 


3 —_— 325 — 543 o) 
325 — 7 == 77 L = / —— 
3 X 49 147 


7 — 0,12 — 6,88. 


Le calcul ne pouvant fournir généralement que le dou- 
ble des chiffres exacts pris pour première valeur appro- 
chée, nous ferons maintenant a —6,8 , et la formule nous 
donnera 


3  … 325 — (6,8), 
VC 
10,568 
UE 


= 6,8 + 0,075 — 6,85, 


FAC 

FACTORIELLES. (Alg.) L'évaluation numérique 
des factorielles à exposans fractionnairesest un des points 
principaux de la théorie de ces fonctions que nous n’a- 
Yons pu qu'indiquer tom. 1, page #, en donnant leur 
développement général. Nous allons exposer ici, outre 
les moyens ingénieux découverts per Kramp, pour 
n’obtenir que des développemens convergens , plusieurs 
procédés particuliers au moyen desquels on peut cal- 
culer très-promptement les valeurs des factorielles , 
lorsque leurs bases sont liées par certaines conditions 
avec la base d’une autre factorielle dont la valeur est 
connue. 

1. Nous avons démontré qu’on a généralement , 
m et n étant des nombres réels quelconques, 


(a) au (a+ (m—1}r)"!—" 


a" = (a—(m—i)r}mie 
(2)... ge Eee a (a mr) pen: (a+nr)"!", 


(3)... a 


mr 
mile 


ACC 


(Voyez Facrontezces, tome II.) 
De plus, comme conséquences immédiates de l’ex= 


pression (5), et à cause de «°"—1, 


"mel 125 1 


(a— mr)" 


cette dernière expression fournit les huit transformaa 


EXT 


valeur dont toutes les décimales sont exactes. Si l’on 
voulait connaître ultérieurement cette même racine 
avec 5 décimales, il serait inutile de faire a — 6, 855, 
car en prenant seulement a— 6, 87 on obtiendrait, 


par le même procédé 38 = 6,85534. Pour se 
borner aux calculs strictement nécessaires, on ne doit 
prendre dans les valeurs approchées qu’un nombre de 
chiffres moitié de celui qu’on veut obtenir, comme on 
doit s'arrêter dans les divisions, dès que le nombre des 
chiffres du quotient est le double de celui des chiffres 
de la valeur approchée qu’on a employée. Dans cer- 
tains cas la division peut fournir une décimale exacte, et 
même deux de plus querce nombre; mais dans le doute 
on fera toujours bien de n’en pas tenir compte. 


F. 


FAC 
tions suivantes, par le passage des accroissemens po- 
sitifs aux accroissemens négatifs, en faisant varier les 
signes de metder 


mi animal Mesetelafnt à 
(K5) bac & 7 (am (a—r)"— 
(Oe GR 
(a+mr)" TT (a+r) 
(5). grip onerlee ve que oies 
(a-mr) ""  (a—r) 
(BE) eee 


= (dm (a ne ‘à LE 
2. Si nous faisons, dans la loi (2), m—n= p, nous 
pourrons en tirer 


pæ—eir 


Go. = (an) : 
a 


expression qui montre que le rapport de deux facto- 
rielles de même base et de même accroissement est ra- 
tionnel toutes les fois que la différence des exposans 
est un nombre entier. On a, par exemple, dans le cas 
de p = L etm—Z. 

4 4 


4 ue 


ne tt) 


Noûs ferons observer généralement que toute fac- 


= +. 


FAC 


torielle dont l’exposant est un nombre fractionnaire 
plus 


une factorielle de même base et de même accroisse- 


grand que l'unité peut toujours être ramenée à 


ment, ayant un exposant plus petit que l'unité. Soit en 
effet : une fraction dans laquelle p>q, désignant par 


m le quotient entier et par n le reste de la division, de 
manière que 


1 dE 
IE 1e q 


ou bien encore 


n 


LE : 
dv il (a+) F, 


Ainsi, dans le cas de ne “e il vientm—1,n—1, ct 


4 


par conséquent, 


ou 


al — al (a+gr). 


3. Le produit de deux factorielles de même base 
et de même accroissement ne peut, dans aucun cas, 
se réduire à une seule factorielle; mais, lorsque les 
accroissemens sont de signes différens, on obtient une 
réduction très-utile dans une foule de cas. Nous avons, 
d’après la loi (2), . . . (a) 


wlr mt 


(a—mr)" —=(a—mr) . a 


Or, en vertu de (1), 


mile 


—=(a+r)" 


et il est facile de voir que 


(a—mr) 


ic T D Een nn 


a(a+r) 


Multipliant donc d'une part les deux membres de l'é- 


(a— mr). 


galité (a) par a, et de l’autre les divisant par (a—mr), 


il viendra 


(a mr) a mir mlr 
Dot se =) ON ES 
= mr 


FAC 133 


Mais 


2m—i|c 


(a mr)" = (a—mr).(a—mr+r) ; 


donc 


Ho) ana 


=a. (a—mrtr)" 


2 1 
Si, par exemple, m — 300 aurait,quels que soient aetr, 


4. Une autre réduction trés-utile est la suivante, 


are 


Gi). aa = a; 


facile à vérifier; car d’après (3), 


Î—mli a 


a = —— 


UE 


et d’après (1), 


(a— (1 —m) DD =a"", 


Ainsi, lorsque la somme des accroissemens étant o, 
la somme des exposans est 1, le produit de deux fac- 
torielles de même base est égal à cette base. On a par 
exemple 


5. Lorsque la somme des exposans est zéro, ainsi 
que celle des accroissemens, on a cette nouvelle ré- 
duction, 


(1 2) 2. Fe 2 (24 e) 


En effet, (6), 


mr a 
©; 
(a+) 
mais 
al=a.(atr)""#let(atr)" = (a-r)"T"(a-mr) ; 
donc 


La(a-r)"T" 
(am). ( (En EU 


me mr 


a 
"a+ 


134 FAC 


6. La factorielle à exposant pair a°"!" peut toujours 


’ x 2 2 
se décomposer en deux facteurs 4", (a+r)""*, dont 


le premier exprime le produit des facteurs de rangs 
impairs 


a (a+ ar) (a +-4r) (a+-6r) … (a+ (am—a)r), 
et dont le second exprime le produit de tous les fac- 
teurs de rangs pairs 


(ar) (a+-5r) (a+-5r) (apr). (a+-(om—i)r); 


ce qui est évident, et donne la relation générale 


PE An m{?r, 


(13)... a (a+r) 


Si l’exposant était de la forme 3m , m aurait encore 


See. 2 3r miär, 


(14)... a (a an" (a ar) 


et ainsi de suite. 

7 Nous avons vu (tome 11, page 9) qu’on peut 
donner à une factorielle une base ou un exposant quel- 
conques, au moyen de ces relations que nous ne ferons 
que rappeler 


(5). 


De A 
69... "= (À) 


Ces deux transformations reposent en principe sur la 
construction 


(7). = (&b)" ”, 

évidente par elle-même , tant que l’exposant m est un 
nombre entier, quels que soient les signes des quan- 
tités a,b, metr, mais qu’il n’est permis d'étendre 
généralement aux cas des valeurs fractionnaires de m 
que lorsque b est un nombre positif. En effet, b étant 
négatif, l'égalité (17°) prend la forme . . . (a) 


b".a 


Ce a = a, 

abstraction faite des signes de a etder, qui n’exercent 
aucune influence sur la nature du facteur (—b)®, du- 
quel dépend précisément la possibilité de cette con- 
struction. Or il est certain que l'égalité (a) ne peut 
avoir lieu qu’autant que son premier membre est une 
quantité réelle, parce que toute factorielle à base et 
à accroissement positifs ou négatifs est une quantité 
essentiellement réelle, dont on peut toujours évaluer 
la grandeur, comme nous le verrons plus loin; mais 


FAC 


le facteur (— b)", et par suite le premier membre (—b}® 
a"! n'est généralement une quantité réelle que lors- 
que l'exposant m est un nombre entier ; donc cette éga- 
lité n'est vraie généralement que pour la suite des va- 
leurs entières positives ou négatives de m. Ainsi, s’il 
est permis d'étendre par induction l'égalité (17) aux 
valeurs fractionnaires de l'exposant #, dans le cas de 
b positif, il est impossible de lui accorder une sembla- 
ble extension dans le cas de b négatif; de sorte qu’en 
faisant usage, soit de cette construction, soit de toutes 
les transformations qui en dérivent, il est essentiel de 
n’introduire ou de ne retrancher dans les bases des 
factorielles aucun facteur susceptible de changer les 
signes de ces bases; on ne peut donc généralement 
poser, quel que soit m, comme l'avait fait Kramp, 


| 


mais bien 


ml 


= a". (—1) 


a 

Si ce géomètre eût fait usage de cette dernière trans- 
formation , la seule vraie dans tous les cas, il ne serait 
pas tombé sur les résultats absurdes qu’il a signalés et 
dont nous parlerons bientôt. 

8. Procédons maintenant à l’évaluation numérique 
des factorielles, en signalant d’abord, les relations qui 
existent entre celles qui ne diffèrent que par leurs bases. 
Nous avons, en vertu de la loi fondamentale (2), l'i- 
dentité 


; 
a” (a+mr)"” Es" (anr)"", 


dont on tire l’expression générale 


(a (a+nr) nr)" mbr 


(18)... (a-mr)" = a ‘, 


à l'aide de laquelle, connaissant la factorielle a", l’éva- 


: rene 
luation de la factorielle (a—-mr) se réduit à des mul- 
tiplications tant que m est un nombre entier. Le seul 
cas important étant celui de # fractionnaire, nous fe- 


rons ñ — g ce qui donnera à l’expression (18) la 


forme 


(19)... (am)! 


plus propre à faire connaître toute son impbrtance. 
Dans le cas, par exemple, de 


FAC 


factorielle dont la valeur connue est 0,886227 .…, 
1 , s G 
ou sr r exprimant le rapport, de la circonférence 


au diamètre — 3,1415926 ..., on aurait 


arm (5) 


mi 


1 
ml|l à V5 


et comme 1m peut représenter tous les nombres 


entiers en faisant successivement m—0, M—1, 


m=—2, etc., cette relation suffit pour évaluer toutes 
1 
les factorielles de la forme a?” dans laquelle a est un 


nombre entier ; faisant donc 1+m=—a, d’où m—a—1, 
et observant que 


ce qui nous donnera dans les cas particuliers de a — 2, 
a—3, a—4;"etc. 


1 

2 = UE 

1 

Se Sabah 

a Du 

gi 55.7 1 
«FT 

1 

SONO OU 

L mes al 

etc. — etc. 


On pourra évaluer de la même manière la factorielle 
1 


|" 
a. dans tous les cas où l'accroissement r sera un fac- 
teur exact de la base 4, car on a généralement 


FAC 133 


1 
LE 
Soit, par exemple, la factorielle 12° , la décompo- 
sition en facteurs donne 


et, par suite, 


1 
5l° SEL ET 
12 = 1/3 . TA dore 


: 1 
9. Cette évaluation des factorielles à exposant = s'ap- 


plique facilement aux accroissemens négatifs, car nous 
avons, d’après (10), 


1 
et, pour toutes les factorielles de la forme @n°l , 


b—112 


1 
2 b.2 3 
(br) =Vr. Br V7 
On a donc, par exemple, 
et 2 
F5 
Tr 
lt 2.2 3 
CUS Cr 
esl=t : 3254 237 
à POS: (WT 
gi ha. 1.26 03 
A = C2 F ONF jai 
SET, (3 
etc. —etc 
et, encore, 
M, 
2 ART 
5? OR EURE 
se dE GT AT 4 
etc. = etc. 


10. Il résulte des deux expressions générales (b) et 
1 ; 
(c) que, quoique les factorielles à exposant = et à ac- 


croissement + 1 ou — 3 Soient irratiopnelles pour 


136 FAC 


toutes les valeurs entières de leurs bases, le rapport de 
deux de ces factorielles, de même accroissement, est 
toujours une quantité rationnelle, ainsi que le produit 
de deux factorielles d’accroissement de signes contrai- 
res. En effet, m et # étant deux nombres entiers, nous 
avons, en vertu de (b), 


7l 1 m—{12 
V7 
m—1l2* Won? 
2 
ca nu —1,2 
nt 8 A 
PRE 
2 


1] 
pet ni? gui 
n 
Par exemple, 
1 
al " 
Ro mb 
|! 
2 
1 
gl 
ER Cr 
ia TS a 
3° 
1 
1e 


1 m—112 
Um msmm 2 
m = gui V7 
? 
1 : ar 2 
= Fhiem 0720 
ge —V/7 


EE | 
m 2 | ; AR RUE 
mn n=112à 
Re ny 
n 


En 

El DE rONENS 
Lo. 

2 

Apt 

2 4 2.3.5 _5 
LM ON DAS LA ÿ 

m2 

3 

DIE 

UE OA gplou 
DES o Ye CHSE 8 
ci 


FAC 
On peut mettre d’ailleurs les expressions (d) et (e) 


sous une forme plus simple, en opérant les réductions 


suivantes, fondées sur la loi (7) 


n— 1,2 
= _—m 
an (242(m—i)) TZ Qu) 


m—1[2 


nr (3Ha2(n—1)) "= Gate te 


1 


Some 


elles deviennent ainsi... (f). 


ul 
mn (ami 
| i (om To. 
n 
et 
m° | __n. (om+ a 


Quant aux produits des factorielles, dont les accrois- 
semens ont des signes différens, il est évident qu’on a, 
en partant des mêmes valeurs, ….. (4). 


—1,2 gm—12 
ne 9/13 


LES 
z|! j| 1 — TE qu t 


m n 


n. (2m) "À 


o— m|2 


(em-+a)e 


Dans le cas particulier dem—2,n=—=53, on aurait, 
par exemple: 


Toutes ces formules s'appliquent sans difficulté aux 


ir 
factorielles comprises sous les formes générales (mr)? (i 
L'hu 
(mr)? : 
11. Les factorielles à accroissement + 2 ou — 9 de 


1 AA fe I ae 
l'ordre ; peuvent être évaluées au moyen de la quantité 


transcendante |/7, non seulement lorsque leurs bases 
sont des nombres pairs, ce qui rentre dans les formules 
précédentes, mais encore lorsque ces exposans sont des 


FAC 


nombres impairs. Si l’on fait dans l'expression (18) 


= L elle deviendra 


He LG)" Éb, 


(+ 2m) = à 


Or 12m représente tous les nombres impairs; 
1 12 
ainsi il reste seulement 4 trouver la valeur de 1* . Ob- 
servons, pour cet effet, que nous avons d'après (13): 


2m|1 m|2 m2 
Mme 2 


ou 


ie 2 
à cause de 2°! 


donne 


? ' 
et, en faisant m— -, 


1 
{4 3 
substituant à 1° sa valeur = V/r; il vient 


rl V2 
V7 
et, par suite, ….. (h), 
2e my? 
"ea 472 
(1 + am) RCA VER 


Pour passer de ces factorielles à celles dont l’accrois- 
sement est négatif, on a, d'après la loi (10), 


a ssh Der jogao Le 
d'où ste 
1e 2 ie x 
(+ 2m) ee re 
To, au. 


FAC 137 


Ces formules (h) et (?) s'appliquent aisément aux 
factorielles de la forme 


dans lesquelles le facteur « est un nombre impair. Si 
l'on avait, par exemple, la factorielle 


li 
6 : 
on la ramènerait d’abord à la forme 


V7 sl 


Puis, en comparant avec (h) et en posant m—1, on 
obtiendrait = Fra 


sua 


LR: 
OT Er 


2 + 
V2 
12. Toutes les factorielles de l'ordre =: auxquelles on 


peut donner, par des transformations convenables , les 
accroissemens:1 Où 2, positifs ou négatifs, peuvent être 
évaluées par les moyens précédens, pourvu toutefois 
que leurs bases demeurent des nombres entiers posi- 
tifs; dans tous les autres cas il faut avoir recours au 
développement général dont nous avons donné la dé- 
duction tome I, p. 10. Ce développement est... (k). 


a" = d'A at 'rH Aa" ri LA a" bete. 


dont les coefîficiens A,, A,, A,, etc., ôht pour expres- 
sions générales 


Eu a), 


1.2 NE 
Cm OPA CC 
Ke  _ : = De, 
qa, = Run) A, djaternaMati=f) (rstt) A, + 
SEE er? LE) A 8 
gp (es nas 0), 
etc, = etc 


18 


138 FAC 
En général, 
(aie av) 
2. nl EST SD u2 <a 


(C7 
er UN 


1 
Dans le casde m=— eQ on 3, par exemple, 


1 1 
À, = — Ge = — 8 
1 1 
À, = + 2 = + 128 
5 5 
21 21 
PAT a 1 0 2 T0B2peS 
ODA ANS ROUE 
L a! 262144 
869 869 
A, TT PTE + F0450% 
39325 39325 
DST | 55564 
NU 554877 
» 27 2147483648 
URLS 28717403 A 28717403 
ji 21e 17179869184 
etc. = etc. 


Ainsi, les valeurs de toutes les factorielles de l'ordre = 


sont données par la série 


1 

1° T Le dr D 
a —a{i—> RQ 5 — 

Ba 158 ol CEA a ct... |. 

Cette série n’est rapidement convergente que lorsque 

Ja grandeur de a dépasse de beaucoup celle de r; mais 

nous allons voir qu'on peut obtenir dans tous tés cas des 


FAC 


séries convergentes à volonté. La loi fondamentale (2) 


donne la relation générale ..….(l) 
nie 
mr a myr 
= ———— (atnr 
(a+-mr)"" Le 


qu'on peut employer pour faire dépendre l'évaluation 


de a"! de celle de (aH-nr)"", au moyen d’un nombre 
mie 


arbitraire n. En effet,développant la factorielle (a-nr) 
par la loi (#), il vient 


nt" = (ann Dita + 
— À, Ta nn) + clous. |. 


faisant, pour abréger, 
r — 
a<nr E 
et, substituant ce développement à la place de la facto- 
rielle dans la relation ({), on aura .…..(m) 


g"" = a"(a+nr)" 


(aim) 


nouveau développement dont le facteur général est fa- 


1 + A,g+ Ag + Ag + etc. k 


cile à calculer, et qu’on peut toujours rendre très-con- 
vergent en donnant au nombre arbitraire n des valeurs 
convenables. 

Dans tous les cas où il sera possible de choisir le 
nombre # de manière que la puissance (a—-nr)" soit un 
nombre entier, l'évaluation du facteur général n’exigera 
que quelques multiplications et une division. Pour bien 


faire comprendre cet artifice, supposons que la valeur 
1 


:l 1 
de la factorielle 1° ne soit pas connue, et qu'il s'agisse 
q 5 


’ : : 1 

de la déterminer ; on aurait alors a=1,r—1,m—= F0 

1 

et il s'agirait de donner à n une valeur telle que (1+n) . 

fût un nombre entier; or, la suite des carrés des nom- 

bres naturels étant 1, 4, 9, 16, 25, etc., on voit qu'on 

peut faire n—53, ou n—8, où n— 15, ou etc. ; la se 
conde valeur donnant pour q 


fraction assez petite pour rendre la série très-conver= 
gente, on peut adopter cette valeur, qui donne 


1 
ÿ|! 0 © ao LP 5 1 
O7 nf 8 gl 128 81 1 100 740 


= ù GE IN. . 
3708 0601 — 26a14" 59089 |  j" 


FAC 


Pour éviter les fractions dans le calcul du facteur gés 
néral, on remarquera que 


1 GE 3 sit gel 
CORTE 


ce qui permettra de lui donner la forme 


Retranchant les facteurs communs et réalisant les cal- 
culs, ce facteur général deviendra définitivement 


DE __ 32768 
MMM T7 0, 364651 
Si l’on veut se contenter de huit décimales exactes 


1 

LE 

d , il suflira de prendre avec neuf 
décimales la somme des six premiers termes de la série, 
et, comme ces termes réduits en décimales sont 


pour la valeur de à 


— 1, 000 000 000 
— 0, 013 888 888 
—- 0, 000 096 450 
—+- 0, 000 006 698 
— 0, 000 000 098 
— 0, 000 000 025 


on trouvera, pour cette somme, 
— 0, 986 214 157, 


quantité dont le produit par le facteur général est la 


valeur de la factorielle proposée. Effectuant les calculs, 
on obtient 


5l ‘ 
1°! — 0,88622692. 


13. Pour rendre le développement (m) applicable 
aux cas des accroissemens négatifs, il faut prendre # 


négatif, afin que la quantité (a + nr) soit toujours posi> 
tive, et que la puissance (a+ nr)" ne puisse jamais 
devenir imaginaire, ce développement devient ainsi 


air 
ne (Haut at.) 


Aer 


la quantité q étant 


r 
Œ ee a —, 
3 Ta ur 


FAC 139 


On évite la considération des exposans négatifs dans 
le facteur général par les transformations suivantes, 
fondées sur la loi (6) 


—1| 1 Le 
+ 
al =r 2AMIURE | 
ren (a—mr+r)" 


et, en faisant g négatif dans la série, on cbtient l’expres- 
sion générale ....(n) 


mir (a mr) + (ann) 
MC EE Vita 
+49 — A, get. Ê 
dans laquelle 
r 
= TEA 


1! 


1 
Prenons pour exemple la factorielle 1°, nous au- 


1 : . 
FONSG = 1,71; ME ) et faisant, comme ci-dessus 


n=— 8, il viendra 


(a—mr+r)" =( 


ofr OU m 
(a+r)"=2", (a+ nr)" =ÿ9=5, 
d'où 
ue AE 5 - 5" pb. 
21 PETER = 
] là +5 RE 81 1024 729 


21 1 
7 32708 ° 6561 + 262144° 5904 TRE LE ! 


Nous trouverons, en développant le facteur général, 


ce El is a 
ont da EE Ca sos 


et, comme la somme des six premiers termes de la série 
est par suite des changemens de signes 1, 013 978 567, 
nous aurons définitivement 


ol __ 36465 


32:68" 1,013978569 = 1, 128 379 15. 


14. Lorsque la base a est négative, le développement 
théorique (k) se complique de quantités imaginaires, 
pour toutes les valeurs fractionnaires à dénominateurs 

airs de l'exposant, que la quantité arbitraire n permet 


140 FAC 


d'éviter dans les développemens techniques (m) et (n). 
On peut se rendre raison de ces circonstances en obser= 
yant que le développement théorique devient alors 


ml: m r ie r° 
(—a)"=(— a)". IAA see À Es + etc. }, 


ce qui implique la décomposition … 
L 
a)". _ F5 L1 


ad" -(- 


généralement que pour les valeurs en- 
tandis que la décomposition 


qui n'est vraie 
titres de lexposant m, 


Ha" = (aa 
s 


alieu pour toutes les valeurs possibles de cet exposant; 
or, dans les développemens techniques, la factorielle 
décomposée est 


(anr)"" = (a nr)" h “ A,qg—+A, q° + ct. |, 


dont la base, qui dans le cas de a négatif est nr—a, 
- peut toujours être considérée comme positive à cause 
du nombre #, auquel il suffit pour cela de donner une 
valeur nr © a; au moyen de cette condition nr Da; 
les développemens techniques sont toujours récls et font 
connaître: la valeur numérique des factorielles à bases 
négatives. Faisant donc a négatif dans (m) et dans (n), 
on aura les deux expressions (0), 


Ca)" (r (ar —a)" 


a" = A 
( a) (mr—a)" r 1+ VE À, Ch 
Fe Se | 
{ mr 0m)". (nr— a)" 
{—4) oec iiGe-diT F5 Data 
— 4,4 ec. | 
pour lesquelle; 
RUE 
Dire 


Er me par exemple CB)TA : Faisons ar- 
bitrairement n— 10, ce qui nous donnera 


FAC 


La somme des cinq premiers termes de la série 
étant 1,013598588, et le facteur général développé 
devenant 


(1). 3. 7. ab MX 23. 271. 514 
1 PT TE 5. 29. 75 3 37; 


on pourra, pour effectuer le calcul par logarithmes, 
former plusieurs produits partiels, comme il suit : 


LE 


Dog T7 à o15508568, 


(—3) 71105. 1073 


et l'on obtiendra 


(3) =), 479358. 


15. La seule partie vraiment laborieuse de l’évalua- 
tion d’une factorielle çonsiste dans la détermination des 
cocfficiens A,, AÀ,, À,, etc., de la loi (k); car les 
expressions qui donnent ces coefficiens deviennent 
assez difficiles à calculer pour les exposans fraction- 
naires. Kramp a découvert plusieurs procédés abré- 
viatifs dont voici le plus simple. 


: , , : m 
L’exposant de la factorielle étant représenté par si 


calculons d’abord la suite des nombres entiers 


M — m(n—m) 

A = n(n—+m)—5(n—m) 

B — A+ on(n—+m) D: 

C = 5(n—m) B—n(n<+m) (5 A+ont 

D — 5C—n(n+m)(20BLo4n) | 

E — p(n—m) D—n(nm) (35 C—140 n?A—80 n°). 


Nous nous arrêtons à ces six termes, parce:qu'il suffit 
généralement de cinq à six coefliciens pour évaluer toute 
factorielle proposée avec huit à dix décimales exactes, 
A l’aide de ces quantités, les six premiers coefficiens 
deviennent 

M 
{ on? 

MA 
2.5.1? 

(n—m)"". MB 
26,8, n5. 


(n—m)". me 
27? . 32. 5.n° 


Ce nm)". MD 


25.33.52. nv 


e 
| 


, 


œ 
LL 
Il 
&. 
[=] 
ei | 
æ 
La! 
LT 
SJ 
LA 
L = 
: 


: ee om 1 
expressions très-faciles à calculer. Soit — — 3 nous 
n 
aurons M— 1, n =, et nous trouverons 


M=—2, A=o, B—24, C—:64, D—— 7560, 
E——2/4800; 
Substituant ces valeurs dans les expressions des coef- 


ficiens, nous obtiendrons pour les six premiers coef- 
ficiens du développement de toute factorielle à expo- 


sant L 
3 
1 £ 11 
dr 6 A = + 37 
"" 
À, = 0 AE S 
10 1870 
= Ty Aer: 
Ainsi 
ds 
CT] MERE 1 10 3 114 7 
- De AL ire — 77 q°— etc. 


3 


Cette série, substituée dans les développemens tech- 


niques, servira à évaluer toutes les factorielles de la 
} ; 


forme & , en donnant à q les valeurs convenables. ! 

Il est presque toujours plus prompt de calculer le 
logarithme d’une factorielle que sa valeur directe; mais 
nous n’entrerons ici dans aucun détail sur ce sujet 
traité tome II, page 501; ce qui précède suffit com- 
plètement pour mettre en état de trouver la valeur nu- 
mérique d’une factorielle quelconque, et nous devons 
signaler au moins les principales applications qui ont 
été faites jusqu'ici de la théorie de ces fonctions. 

16. Les factorielles dont lexposant est infiniment 
grand, exprimant des produits composés, d’un nombre 
infini de facteurs toujours croissans en grandeur, ont 
nécessairement des valeurs infiniment grandes, quels 
que soient d’ailleurs leurs bases et leurs accroissemens ; 
mais ces valeurs, tout impossible qu'il soit d'exprimer 
leurs rapports avec les nombres finis, n'en ont pas 
moins entre elles des rapports qu’on peut toujours dé- 
terminer, et qui, dans certains cas, sont exprimables 
| par des nombres finis rationnels ou irrationnels. Nous 
avons démontré, tome IL, page 549, que le rapport 
des qratre factorielles à exposans infinis 


a GE" 
KT o (a+ p) Ar 


FAC 141 


se réduit à celui des deux factorielles 


multiplié par le facteur 


qui peut être infiniment grand, fini ou infiniment petit, 


q D 


suivant que st plus grand, égal ou plus petit que : 


Dans le cas de IE on a ainsi la réduction très-im= 


portante ....(p), 


= 1 
en GE, (A el 
PAG ET A 
qui devient simplement, dans le cas de p—q,r—58....(q) 


P}, 


a" On) "ques 
DEEE (a + p) re . 3 


expression qui revient encore à ....(r) 


a (bEp)(a-tr)(b+-p-+r) (a-t2r) (b-+p-+ar) ete. 
b (ap) (b+r) (a+p+r) (bar) (a--p+-2r) ….etc. 


P 


LE 
© | 


Sous cette forme, le premier membre de l'égalité est 
connu sous le nem de produite continue, et constitue un 
mode particulier de génération des quantités introduit 
dans la science par Wallis. Avant de signaler les con- 
séquences très-importantes de laréduction (g), il ne sera 
peut-être pas inutile de montrer comment on peut ob- 
tenir l'expression la plus simple du rapport des deux 
factorielles, équivalant à une produite continue; soit 
d’abord la produite 


14... à l'infini. 


Comparant avec (r) et posant a= 2, b = 1, nous 


142 FAC 


aurons p— 1, fr —4; ainsi cette produite est équiva- 
lente au rapport 


1/4 


Le 


qu'il s’agit de réduire à sa plus simple expression. Or, 
d’après les lois (2) et (5), 


4 — 14 ls 2 
2 —2.(2+44) — 2.6 ren 
A1 
2 
214 ET lé 
1"! —1 Qa+4) =li. sl = — 
ral 
2 
Donc, 
i 3 
4 —| 4 
Re: 
er |]P CE Te 
HT 
Mais (19) 
3 36 1% 3 sfuns 
ist de Ur > HAL 
«l D'UA CEMUE Cote Aer ; 
et de plus, d’après (11), . 
31, 3 
Te 1 A 
1 ET D. 1 ie 
gi =: OT 


ns Us 
2 sir Lai 
ÉDRRRTE 


Ce rapport n’est plus susceptible d'aucune réduction 
ultérieure dans sa forme de factorielle; mais la loi (13) 
nous donne le moyen d'obtenir sa valeur exprimée en 
irrationnelles ordinaires. En effet, d’après cette loi 


al = 12 : 2? sam 177 mit 


el par suite 


Mais 


2m|{ 


ml 
RUE = (1 4m) 


= ça)" 


FAC 
Ainsi 
Ke (em (Gm)* T° 
or 9" Pa de s. 


D'où nous avons la relation générale 


‘ : 1 : 
Faisant dans cette expression m—;, elle devient 


4 


ee 


HO AIO. - etc, 


17. Prenons pour second exemple la produite con- 
tinue 


5 el Al A8317 RO ASE, etC 


4.8 -uoeH4 16/0) "2a2 "etc. 


Nous avons ici a—5, b—4, p—5, r—6, ce qui 
nous donne, pour la valeur de la produite, le rapport 


sole gl 1 
Fi al Te 


divisant les deux termes de ce rapport par 1/2, il dee 
vient, en le désignant par M, 


L'accroissement 3 des factorielles nous montre qu’il est 
possible de le simplifier encore au moyen de la décom- 
position (14), en vertu de laquelle on a généralement 


3mft wf3 m3 _ml3 
\ 10 20000: 


FAC 
et, par suite, 
3m1/t 3m 
m8 _ 1 ns = 1 l 
7 ME TE) 7 g" mi mil » 
ou simplement .…..(t) 
eue. (Cm) res 
ME ee 
à cause de 
ui 1 ÿ : 
mm Di |— 
7 = (4m) = (on); 
1 


« 1 . ASS 
faisant m = = dans la relation (t), il viendra 


3 
1 _ 
7/3 2 
= : 
V3 T° 
et, substituant cette valeur dans celle de M, nous au- 
1 
à l Sn 
rons, en observant que (n°3)1° , 1 =, 
2 
M = 4 Ge 


d’où, enfin, 


OC NO IONTLAON (ONE OR 


V5 = 4:8.10.14. 16. 20.22... 

18. On pourrait obtenir par des transformations sem- 
blables, et seulement à l’aide des propriétés fondamen- 
tales des factorielles, l'expression théorique primitive 
d'une foule de produites continues; maïs ces recherches 
n'ont d'autre utilité que de faire vérifñer à posteriort, 
peur les exposans fractionnaires de ces factorielles, les 
constructions qui ne sont réellement démontrées que 
pour leurs exposans entiers ; car il existe, comme nous 
allons le voir, entre les factorielles et les fonctions cir- 
culaires, des liaisons qui permettent d'évaluer les pre- 
mières au moyen des secondes, et vice versd. 

Jean Bernouilli a découvert le premier la génération 
des fonctions circulaires en produites continues données 
par les élégantes expressions 


SATA 
cosæ— (1%) (142 (5) (+2). etc., 


dans lesquelles + est un nombre quelconque et r le rap- 
port de Ja circonférence au diamètre ou le nombre 


sine af 


FAC 143 


3,1415926... Nous en avons donné une déduction 
tome If, page 548. Pour pouvoir les réduire à des 


: mr 
rapports de factorielles, supposons le nombre x — n° 


ce qui leur donnera la fcrme ordinaire des produites 
continues numériques, savoir : 


. M m — 
sin TM (2n—m onm\ /4n—m 4n-m ré 
2n 2n\ 2n 2n qn qn 


po RES (=) (+) F") (EE). es 
2n n n 5n 5n 


Comparant avec la formule générale (r), nous au- 
rons, pour les sinus, en ne tenant pas compte du pre- 


: mr 
mier facteur —, 
an 


d—an—m, b—=2m,.-p—=m, r=In; 
d'où 
a 2n 
. Mr mx (2n—m) 
(21)... sin — — CS =, 
an 2n ve] 2 


- a 
(en)" - 


Les nombres m et n étant arbitraires, nous pouvons, 


1 , : 
en faisant n — —, donner à cette expression la forme 
2 


plus simple 


(i—m)"" 


(22)... sin mr = mr. Der 


et comme pour tout autre sinus, sin fr, nous avons 


également 
se (1—n)" 1 
sin fr LE TRS. 
on peut en conclure 
nli m|l 
sin Mr m 1 .(1—m) 
sin fr no a"! (in) 


Opérant sur le second nombre de cette égalité les 
réductions suivantes : 


u —111 il 
Mao (arm) 5 sect im)" 
= 9 
LL — n)" CET (a n)"! 
ot" _— mj—i 
F= ni _nl—1 
La 
1—mt ni 
Er m 1 
Ta ini =mli 
—m—n) lt 
PM 
DE _1—=m—nll à 


144 FAC 


nous aurons. définitivement cette égalité de rapports 
simples 


sin mr ml 


sin nr 


(23)... 


no" "TT à 


19. Signalons avant de poursuivre une conséquence 
remarquable de l'expression (21), Si l’on entire la va- 


1 
leur de #7 et qu'on y fasse m— 3 On à, à cause de 


1 
71 
Multipliant les deux termes du rapport par () 


et observant, d’une part, que 


et de l’autre que 


on obtient 
d'où 


valeur que nous avons supposée connue dans ce qui 
précède, parce que nous l'avons déterminée, tome I, 
page 213, par des considérations très-différentes, mais 
dont nous obtenons ainsi une déduction directe. 

20. La produite continue du cosinus, comparée avec 
l'expression générale (r), fournit Les valeurs 


=h—m, b=n, p—=m, r—2n; 


ce qui donne 


= 2a 
Mr _(n—m)" 
05 —— — ee 
2n [2 
2n 


FAG 


1 
ou, plus simplement, en faisant n—-, 
2? 


(24)... cos mr = 2 


On tire évidemment de cette valeur pour le rapport 
de deux cosinus quelconques cos mr, cos nr, 


nil wi 
1 1 
: —) .[-—m 
COS Mr 2 2 
——— = > ——— 
COS nr AE 


21. Les expressions (22) et (24) du sinus et du co- 
sinus conduisent à celles des tangentes, cotangentes, 
sécantes et cosécantes, d'où résultent plusieurs rap- 
ports très-utiles, dont on peut encore augmenter le 
nombre en tirant des deux produites continues, dont 
nous sommes partis, deux autres expressions du sinus 
et du cosinus. Voici le fait, si l’on met dans ces pro- 
duites n — m à la place de m»m, comme on a généra- 
lement 


elles fournissent les deux nouvelles produites con- 
tinues 


EC 
SR OR À a) (5) (Es (in etc. 


n n 5n 


La première, en faisant a = n + m, b=en, 
p—n—m, r=2n, se réduit à 


n—m Qn 
me LL (n=m)r (am) he 
COS —— 
on 2h Eu 
(an) 


‘ét la seconde donne, en faisant 4 = m, b =n. 


. MU 
ON 


FAC 


a 1 
ou plus simplement, en prenant n = -, 
2 


1 jm 
LL m 
, PMR) 
(25)... cos mr —[-+m)r. -—— — 
2 ot 
2 
1 
mit 
m 


(6). sin mr — 


Re 
G) 


On peut encore déduire directement ces expressions 
. 1 ; 
: 2 rs ant —— 1 à la pla 
de (22) et de (24) en y substituant Sec M la place 


de m pour changer les sinus en cosinus, et récipro- 
quement. 
22. La combinaison des expressions (24) et (26) 


fournit 
| 1 
1 mi ÿ "Il 
. = .m 
Sin Mir 2 
— = tang Mr = — = —— , 
COSMr ur 


(HT 


en observant que 


Mt 


23. C’est principalement de cette expression (25) 
que Kramp a tiré les résultats absurdes dont nous avons 
parlé ci-dessus (n° 7); supposant à tort que la décom- 
position s 


El 
2 


devait avoir lieu pour toutes les valeurs positives et 

négatives de la base 4, et, par conséquent, que le rap- 

port des factorielles art a est toujours 
Tom. 11. 


FAC 


145 


égal à celui des puissances (La), ar, puisqu’en 


admettant cette décomposition on a 


Hoathoimee, 
ET 


yat GT, 


il avait été conduit, à sa grande surprise, à cette évi- 
dente fausseté : ù 


Le 
ni 


cm? 


tang Mr —= 


D'après ce que nous avons vu, la seule décomposi- 
tion générale possible pour les bases négatives est 


1e 
(— a) = a À (— 3) la , 
de sorte que le rapport des factorielles (4 a)"+", 


(— a)" est réellement, pour toutes les valeurs de 
l’exposant # 


CONS PRET LEP EURE TE 
ee a)" C 


SEE Le M 
2 2 2|Tm 
+ m m + 1) 
tang Mr — en) = ele 
23 2 ln 
(—m) m .(—:) 
Lune 


ce qui est parfaitement exact pour toutes les valeurs 


de m, et se réduit à 


I 


tang Mr 


Faisant om— 1 — n, on obtient la nouvelle expression 


très-élégante 


L a 7-0) PE M 2) EE 
(28)... tang |) — ee 


146 FAC 


l ; 
Soit, par exemple, # — — 3 ct, par conséquent, 


n 1 1 
Lait — 7, Cas dans lequel on a la valeur connue, 
2 


tang 57 = tang 6o° = 1/3; le rapport des factorielles 


devient 
pr Lla 
(+) | Ô al ie 
J 2 
1 LONPRCE : els | 
(+5) () 
or 
2e "es 
7 1 (i +6) rl = UTE 
a 
ainsi 
ee 
Cl ut 
Dpe CRE ; 
1 
(+3) 
—\\/2. ol 720 sai 
1 i 
= 9; os PP. 


donc 


Cette déduction peut servir au besoin de vérification 
pour toutes les transformations que nous avons em- 
ployces. 

24. Nous venons de voir que les rapports des sinus 
et des cosinus sont toujours réductibles à des rapports 
de factorielles. Cherchons maintenant dans quels cas le 
rapport de deux factorielles peut se réduire à celui de 
deux sinus. Reprenons l'expression (25) en lui donnant 
la forme 


sin Mr mo IT 1m 1 


Sin Nr  pi-drimali? 


A] x 

FAC 
dans laquelle g est un nombre entier quelconque. Dé- 
composant le second membre en facteurs, il deviendra 


mil F (m+-q) {+ i—m—n]tl 
(n +q)— — 4 + ment? 


d’où, en passant des exposans 


négatifs aux exposans 


positifs , 
sin mr mt. (KE TRE 
sin Tr n°? qli : (mE D'ou 


ou bien encore, en retournant aux accroissemens po- 


sitifs 


: HS w. 
Sin Mr Cr FL (i— —m)" {+mLut 


sin nr 


La décomposition des deux factorielles non dévelop- 
pées peut s'effectuer de deux manières différentes; sui- 
vant là première, on a 

IL q—1lt 
+ MU men 


sin Mr 
& rt 
Ces (2 


MAG 


Sin nr 
et, suivant la seconde, 


sin tr __ ml. _ my". ( (g—+m) =" 


—n) in, M. (g—En)innt 


sin Nr 


Si nous comparons ces deux expressions avec le rapport 
général 
a°!! 


pri ? 


nous verrons que toutes les fois que a Æ b + p sera 
unnombre entier et pair, la première pourra se réduire 
à un rapport de sinus, et que la même chose pourra 
être faite par la seconde, lorsque a +-b + p sera un 
nombre entier et impair. Posant donc 


a + b + p — 24, nombre pair entier, 


la première expression nous donnera ....(t) 


F'Gblue — sin (g—a) * 
PE (ga) 2 ge sin (g—b) r° 


et faisant 
a+b+p—=2q — 1, nombre impair, 


nous tirerons de la seconde ..…..(u) 
g".G—b+g)" sm(a—g)r 


pe (a+ 09 +) 


a! (b— 
wi (a 


FAC 


25. Toutes les produites continues pouvant se réduire 


pit 


a : 
au rapport =; les expressions 
pl 


moyen d'exprimer immédiatement ces produites par un 
rapport de sinus, dans tous les cas où les trois quan- 
tités a, b et p satisfont à l’une des conditions prescrites. 
Quelques exemples vont montrer l'utilité de ces for- 


mules. Soit la produite continue 


D'après la formule (r) cette produite est équivalente 


au rapport 


qui est identique avec 


Faisant a — à 


somme de ces nombres est un nombre pair 


D 


b—= 


BALE ré 
GT 6 La 


Prenant donc 2q — 2, d’où q — 1, l'expression (t) 


donne pour la valeur de la produite 


(5 sin 
_6 CRE: 
Ne td 


x. TT UT : 
à cause de sin Foi et de sin - = sin 30° — 


6 
(voyez Sixus, tome 11, page 476). Donc 


DOS 7.11% 13.17. 19. 20 . etc. 


. 21 . etc. 


La première produite continue que nous avons traitée 
… ci-dessus (n° 16) nous a donnée pour sa valeur 


| 


(4) et (w) donnent le 


D on reconnait que la 


CRE 


FAC 147 


Ramenant les factorielles à l'accroissement 1 , ce rap- 
port devient 


Et comme on à = Fe r +: = 1,n0mbre impair, l’ex- 


pression (a) nous + en y faisant 9 = 0, à cause 
de la condition a+ bp 2q+1, 


1 T 
À É sin = ; 
= =—— = ————|/2 
rl 4 r sin 45 (4 
: sin ñ 


C’est ce que nous avons trouvé par les propriétés des 
factorielles. 
La produite 


GRGLUE2 NA 1. 18.924. 24....etc. 


… 19 29: 24 voue Et@e ” 


présente une particularité remarquable. Sa valeur est, 
d’après (r), 


5 1 LS 
Posant a = 1, b=Z, P= ER OAI a TE; 


d'où g — 1. Substituant ces valeurs dans (t), il vient 


(=) 


5 
6 sin sin (1—i)z 
Lg 


Cette dernière quantité est du nombre de celles qui se 
0 SORT 
présentent sous la forme 5° Mais ici le facteur nul est 


en évidence, car sin 07 —0r, et l’on a, par conséquent, 


1 I 
=. OT US 
6 6 1 
re 
O0 . Sin 90 SIn 90 J 


: H M 
à cause de sin 30° = Fe Telle est, en effet, Ja valeur 


148 FAC 


de cette produite trouvée par Euler (Zatrod. in Analys. 
infinit.). 
26. Passons à d’autres applications. La factorielle à 


base binome 
a+" 
se développe en une suite 


m ie — D a" 


CES RSA b+ —— on 


m (m — 1) (M — 2) mer L 
are ri Pal pie, 


NO NoE 
dont le terme général est 


1 
m ambre | ur, 


RTE 


ainsi que nous l’avons démontré, tome F, page 227, 
pour toutes les valeurs de l’exposant m. Ce développe- 
ment remarquable, qui renferme le binome de Newton 
comme cas particulier, celui où r = 0, peut être mo- 
difié de diverses manières. 

Posons, pour plus de simplicité ....(v) 


DIE bd", 


GHD = ET @ 


Ja caractéristique > indiquant la somme de toutes les 
quantités qu’on peut former avec le terme général en 
y faisant successivement p—0, p— 1, p—2, etc. 
Le développement s’arrête de lui-même, comme celui 
du binome de Newton, toutes les fois que l’exposant m 
est un nombre entier positif; il peut s’arrêter encore, 
lorsque m est un nombre entier négatif, si b et r sont 
de signes contraires, et si, de plus, b est un multiple 
de r; dans tous les autres cas le développement prend 
un nombre infini de termes. 

Substituant à la place de @, dans l'expression (v), la 
quantité æ— nr +-r, nous aurons 


1 


(a—mr ++)" = 27 


a (mr er) AU, 
et, par conséquent ....(x), 
ES æ | — Fe 
(a+ b)" = (a — ur)" GE ARE 
à cause de 


(a—mr tr) = (amor (ni) TT, 


(an) de (den 4 (gs )r) TE, 


FAC 


Divisant les deux membres de (æ) par & 


, il viendra 


GED 2 nt 


c'est-à-dire ....(y) 


(a+b)"— m(m—31) b" 
Cent e 1 + er ir D DS 
a a 


m (m— 1) (m— 2) 


+ —— = a etc...) 


1.2.9 a 


développement dans lequel on peut varier à volonté 
les signes de &, de b, de m» et de r. Nous allons voir 
que, sous cette forme, le binome des factorielles donne 
immédiatement la valeur de plusieurs classes d’inté- 
grales définies. 

27. Faisons b et r négatifs, et observons que pour 
un nombre entier quelconque y nous avons générale- 
ment la décomposition (n° 7) 


(= Dj (eh) pt 


le développement deviendra 


(G=DEESS , DCE 
TT a TS TE 
m (m— à) (m— 2) D" 
na Po ar nor 


Ceci posé, divisons les deux membres de cette dernière 
égalité par b, et faisons a=b+r, nous obtiendrons 
le développement particulier 


SAR Le eus ii.) ee 
bn bd DEF Re UE Er 
_m m (mm — 1) (mn. (m2) 


AO je 


en 


m(m—1)(m—2)(m—35) 1 


de M br 


— etc... 


dont le nombre des termes sera infini pour toutes les 
valeurs fractionnaires de m. 
Or ce dernier développement est, comme on le 


. sait, celui de l'intégrale 


fe (a 2)" dx, 


prise entre les limites 4—0 et æ=1;, donc ....(z) 


mlr 


i 
b—1 r\m ee ée _ 
h æ (1—x)" da — OL ET 


= - ss NET 


ee ce 


FAC 


. 1 
Soit, par exemple, b=—1, r— MS à on aura 


Passant des exposans négatifs aux exposans positifs, ct 


de l'accroissement a l’accroissement 1, il viendra 


Ce qui nous apprend, en comparant avec l'expres- 
sion (22) que 


28. Reprenons l'expression générale (y) et rempla- 
çons l’exposant m par e en donnant le signe — à cet 


exposant ; prenons de plus 7 négatif, cette expression 
deviendra 


ee “ 
CORTE TE Lu 
= GRO at qe à" 
a 
__p(p+ 29) (p+5g) 
RS = CIC. , 
1186 2. 9. (1 


le premier membre étant identique avec 


Si nous faisons a—p + q, r —q, et que nous di- 
visions de part et d'autre par a—r —p, nous ob- 
tiendrons 


Pb+p)" 


Dans Le cas de d infiniment grand, les factorielles du 


FAC 149 


développement se réduisent à de simples puissances, 
et le premier membre devient 


Posant b—qt", multipliant de part et d'autre par t", 
et transformant le premier membre « 


P|« EE 
GI q 
Des (2) 

= P \4/ 
p.q 


PËr 
1 é) {? wTriI " DT 
p \ DETENTE") 
PL 
1-3.50 59) 
FAT 
Tia. 4 (p +49) 
etc... 


dont le second membre est le développement connu de 
l'intégrale 


1 ; 
J Det. 


Ainsi, pour = ©, la valeur de cette intégrale est 


fre. a=: @) 
o P \ 


Nous ne nous arrêterons pas aux expressions particu- 
lières qui résultent des valeurs déterminées de p et q; 
il nous suffit ici d’avoir montré la grande utilité des 
factorielles , et la facilité avec laquelle on peut obtenir, 
par leur moyen, la génération d’une foule de quantités 
transcendantes. Frappé de cette utilité, signalée pour 
la première fois par Kramp, Legendre s’est livré à des 
recherches très-étendues sur lexpression des intégrales 
définies en factorielles, ce qui lui a fait découvrir plu- 
sieurs relations importantes; mais nous ne pouvons 
deviner pourquoi il s’est imaginé de changer la déno- 
mination de factorielles en celle de fonctions gamma, et 
de remplacer la notation si commode de Kramp par 
la notation 


r(n+i1) = nr(n), 
qui masque complètement l’analogie des factorielles et 
des puissances en faisant perdre de vue l’origine de ces 


premières fonctions. 


150 FAC 


29. Plusieurs géomètres étrangers se sont occupés 
récemment du développement des fonctions en séries 
de factorielles croissantes, problème embrasse dans 


toute sa généralité par la loi... (x). 


gx = À, + A,œ + Na = NS =F Al + etc. , 


dans laquelle :æ désigne une fonction quelconque de la 
variable æ, z l’accroissement des factorielles, et dont 
les coefficiens À,, À,, À, etc. sont... (8). 


À, — ??;, 
A9T 
IEEE 
1x 
A'pT 
AN 
2 1.2.2? 


et en général 


A px 
Au = —— > 
17 
le point placé sur æ indiquant qu’il faut faire æ —0, 


après avoir pris les différences par rapport à z. Nous 
avons donné (tome I, page 557) une démonstration de 
cette loi, qui n’est d’ailleurs qu’un cas particulier de 
la loi universelle des séries (voy. Série, tome IT). Nous 
ferons observer, au sujet des expressions (8), que les 
différences doivent être formées en considérant l’accrois- 
sement 3 comme négatif, 6’est-à-dire qu’au lieu de 
faire 


AT = Q(tHE) — 97, 
il faut faire 
AP = qe — p(x—x%). 
Si l’on voulait former les différences de la première 
manière, on devrait faire z négatif dans le développe- 
ment (4). Nous appliquerons seulement cette loi à la 


fonction æ", dont le coeflicient général du dévelop- 
pement 


se présente sous une forme singulière et très-élégante. 
La différence de l’ordre & de la fonction æ® est, 


FAC 
d’après la construction générale des différences (tom. F, 
page 449); 


Faisant dans cette expression générale æ—0, elle 
prendra la forme 


LR 78m mi m | m 
MCD) fete), 


(=) 
RS 


__eGe1)—2)(p—5) 
FLAN T4 


Ainsi, divisant les deux membres de cette égalité 
il . . 
DATE LE x”, nous aurons pour l'expression du coelf- 


cient général du développement de +" 


etC-—1ELC 


A (tte), Her 


pe all a 2 


F 


(u—2)(u—2) 
es 


e(e—1)(—2) (p—5) ,n 
oO A 4 


+ etc. . . 


SRE ON MONO AE) 


et, conséquemment , le développement lui-même 


sera... (y). 


1 m m 3 ,m—3 
er Lee 5 Je .z 


1 m m 
+ [is 4.3 — 


On a, par exemple, dans le cas dem—#4 
4 3 Qz 2 25 4 
D = — m8 pat À — 62" 3 Te 


Tant que » est un nombre entier positif, le:dévelop- 
pement (4) se compose d’un nombre fini de termes —m; 
dans tousles autres cas, le nombre des termes est indéfini. 


FIG 


On voitque, dans ce casdem,;nombre entier positif, la suite 


e(u—1) Pet (2) mi 


=. 3 


TD 2, = 
È 1:2 1.29 
__ far) (2) (5), te 
16020 Uf À; ee 


se réduit généralement à zéro pour toutes les valeurs 
de y plus grande que #, et que pour la valeur p —M" 


m |f 


elle est équivalente à 1 

La nature de cet ouvrage nous interdit de plus grands 
détails sur la théorie des factorielles et sur les applica- 
tions dont elles peuvent être l’objet; mais nous croyons 
en avoir dit assez dans cet article et dans le cours de 
nos deux premiers volumes pour rendre évidente la 
nécessité d'introduire ces fonctions dans l’enseignement 
élémentaire. Ceux de nos lecteurs qui désireraient ap- 
profondir la matière doivent consulter l'Analyse des 
Réfractions astronomiques de Kramp. Voyez aussi, dans 
ce volume, le mot FRACTION CONTINUE. 


FIGURE DE LA TERRE. (Géod.) C’est par la théorie 
et l'expérience que les géomètres et les astronomes, 
depuis Newton, se sont guidés dans la recherche dif- 
ficile de la véritable figure du globe que nous habitons. 
L'histoire de leurs travaux en ce genre ayant été l’objet 
d’un article assez étendu de ce dictionnaire {voy. Terre), 
il nous suflira de rappeler les principaux résultats des 


‘ 


dernières opérations géodésiques qui ontété faites, prin- 
cipalement en France , parce qu’elles ne laissent aucun 
doute sur les irrégularités de la terre, bien que sa sur- 
face, considérée dans son ensemble, affecte, à très-peu 
près , la forme d’un ellipsoïde de révolution. 

1. Une longue chaîne de triangles partant de Green- 
wich, dirigée dans le sens même de la méridienne de 
Dunkerque, et terminée à l'ile de Formentera, em- 
brasse un are de plus de 12 degrés, dont la longueur, 
toutes corrections faites, a été récemment trouvée de 
730552 tois,, 4. En divisant cet arc en quatre parties, 
dont les points de division soient Dunkerque, Panthéon 
et Montjouy, on a le tableau suivant. 


LATITUDES ARCS MESURES 
STATIONS. l 
OBSERVEES. EN TOISES. 


Greenwich . . | 51° 28° 40,00 


202410 ,0 

Dunkerque . . | 51 2 8 ,50 41 59 

s 124044 ,8 
Panthéon. . . | 48 50 49 ,57 2:66 

Montjouy. . . | 41 21 46 ,58 28 00 ch 

Formentera. . | 58 59 56 ,11 159675 ,6 


FIG , 151 


Selon Delambre, cet are total serait seulement de 
790,451', 5; mais ce célèbre astronome ignorait, dit 
M. Puissant, que l’on eût commis une erreur de 
68 toises en moins dans l'évaluation de l’arc compris 
entre les parallèles de Montjouy et de Formentera, 
(Nouv. Desc. géom. de la France, tom. I, p. 55). Il 
crut d’ailleurs que les bases de Melun et de Perpignan, 
de près de 12000 mètres chacune, s’accordaient, à un 
tiers de mètre près, et cependant il est maintenant 
constaté par la triangulation générale de la France que 
ces deux bases présentent une discordance de 1°,8, 
quand ou substitue à ceux des triangles de la méridienne 
de Dunkerque, qui sont d'une forme un peu insolite, 
d’autres triangles mieux conditionnés. M. Puissant, 
ayant eu égard à ces deux circonstances, a dressé le 
tableau suivant : 


MOYENNES. 


CHANGEMENT| LATITUDES 
POUR 1°. 


,8 


111091 


n 
= 
= 
E 
a] 
A 
21 
ol 
A 
n 
A 
el 
= 
1 
© 
CA 
© 
2 


selon Delambre. 
111018 ,0 
110991 ,6 


corrigées. 
Se PE ES ee | 
\ 
? SU £ k 
Déc Ë 
111060 ,9 ! 
111026 ,7 


20 


OBSERVÉES. 
"50,11 


12 90, 


Là 
ot 


LATITUDES 


43 


ê 
38 


inthéon. . 


2 
Formentera, . 


Dunkerque. 
Carcassonne . 
Montjouy. . 


P 


STATIONS. 
ee me noue 


On voit que le décroissement des degrés, en allant 
du nord au sud, est loin d'être régulier, et qu'il se 
manifeste même un léger accroissement à partir de 
Montjouy, où Delambre a signalé une anomalie de près 
de 4” dansla latitude (Base du Systèmemét.). Néanmoins 
l'arc entier ci-dessus étant combiné avec celui de l’équa- 
teur, mesuré, en 1742, par Bouguer et La Condamine, 


FIG 


15 


19 


on obtient un aplatissement de LL (voyez Recrrrica- 
mon), lequel s'accorde merveilleusement avec celui 
qui dérive d'une inégalité lunaire en latitude et en lon- 
gitude, dépendante de la figure entière de la terre, et 
découverte par lillustre auteur de la Mécanique cé- 
leste. 

Si nous prenons maintenant la méridienne de Bayeux, 
située à l’occident de celle de Dunkerque, elle nous 
offrira les résultats suivans, également extraits de la 
Nouv. Descript. géom. de la France, tome II. 


LATITUDES 
STATION > 
OBSERVEES. 


LATITUDES 


É| Chaulieu. . .|, 


f | Angers 


& La Ferlanderie..|, 
f Tour de Borda.|! 


| 


Le long de cette ligne, les deux premiers degrés sont 
sensiblement égaux; ainsi, dans cette partie, Paplatis- 
sement est à peu près nul; mais ensuite il s'opère un 
changement tellement brusque en passant au 5° degré, 
que la terre semble être allongée. 

Voyons enfin la méridienne de Sedan, mesurée pa- 


reillement par les ingénieurs-géographes. On a ces ré- 
sultats : 


LATITUDES | 2 
STATIONS. p 
OBSERVÉES. | 2 


CHANGEM. 

POUR 1°. 
LATITUDES 
MOYENNES. 


À Longeville . . [48 
111233m,0 47° 45'51" 


—75,0 
Q[11115 ,8 AP oNTbe 
111010 ,8|  ? |44 26 41 


BBréri, . . . « .146 
A Montceau. , . .145 3 
Il 


B Marseille. . . .[43 8 ,52 


Arc lotal...|604289 ,7 


Quoique les longueurs des degrés décroissent du 
nord au sud et accusent un fort aplatissement, ceperi- 
dant elles ne sont nullement en rapport avec l'hypothèse 
d'un ellipsoïde de révolution, puisque le décroisse- 


FIG 
ment, qui devrait être à peu près de 18" par degré, à 
notre latitude, est d’abord de 75", et ensuite de Go”. 
2. Lorsque l’on compare les latitudes observées en 
différens lieux de la France avec celles des mêmes lieux 


’ : 1 NS ,. 
calculées avec un aplatissement de -——, ainsi qu'il est 
309 


indiqué à l’art. TRIGONOMÉTRIE SPHÉROÏDIQUE, ON re- 
remarque des différences qui ne peuvent résulter en 
entier ni de l'hypothèse d’aplatissement ni des erreurs 
d'observations. Par exemple : à Puits-Berteau, près de 
Bourges, la latitude astronomique de ce point et sa la- 
titude géodésique sont identiques ; mais au signal de la 
Ferlanderie, près de Saintes, la latit. géod. excède de 
5°,8 la lat. astron. À Évaux, la différence entre ces deux 
latitudes est de 6,9 ct en sens contraire. À la tour de 
Borda, près de Dax, les deux déterminations astrono- 
mique et géodésique s'accordent entre elles. Enfin, 
dans la plupart des lieux où l’on a observé et conclu la 
hauteur du pôle, il existe des anomalies qu’on ne sau- 
rait attribuer qu’à la déviation du fil-à-plomb produite 
soit par l’effraction de quelque montagne, soit parce 
que la densité du terrain aux environs de la station est 
plus grande ou plus petite que la densité générale de 
la croûte terrestre. Ainsi il est incontestable que la fi- 
gure de la terre, dans toute la partie du sol français, 
explorée géodésiquement, est irrégulière ; ce qui nous 
semble mériter d’être signalé aux géologues. 

D’autres exemples encore plus frappans de l’effet des 
attractions locales se présentent en d’autres contrées de 
l'Europe. En eflet, en Angleterre, le capitaine Mudge 
trouva, à Cliston, que la déviation était de 10°. En 
Italie, M. Plana signala, il y a peu d'années, une 
anomalie de 47”,8 dans la petite amplitude céleste de 


1°7/27" qui sépare Andrate de Mondowi. 
3. Les mesures d’ares de méridiens ne sont pas les 


seules propres à la détermination de la figure de la 
terre; on les combine avantageusement avec les me- 
sures d’ares de parallèles, lorsque celles-ci sont accom- 
pagnées de bonnes observations de longitudes. (V. Rec- 
TIFICATION.) La méthode que l’on suit à cet égard, de 
préférence aux phénomènes des éclipses des satellites 
de Jupiter, des occultations d'étoiles par la lune, etc. , 
est celle des signaux de nuit produits par l’inflamma- 
tion de Ja poudre à canon; parce que leur apparition 
subite et instantanée des stations dont on veut connaître 
la différence en longitude ayant lieu au même instant 
physique , à cause de la prodigieuse vitesse avec laquelle 
la lumière se propage, il en résulte que, si le temps ab- 
solu à chacune de ces stations est parfaitement connu, 
la différence des heures des observations sera celle des 
méridiens. Mais malheureusement une erreur d’une 
demi-seconde de temps sur le résultat en produit une 
de 7 secondes et demie de degré sur l’amplitude me- 


FIG 


surée, et c’est ce qui fait que la mesure des longitudes 
pour de petites distances est une opération extrèmement 
délicate, et bien moins susceptible de précision que la 
détermination des latitudes, qui peut être rendue pres- 
que indépendante du temps. Néanmoins cette méthode 
des feux, essayée dès 1740 par Cassini de Thury et 
Lacaille, a-eu, il y a un petit nombre d’années, un 
plein succès en France et en Italie par le concours si- 
multané d'ingénieurs-géographes français et de savans 
italiens. En voici les résultats selon M. Puissant. 

L'arc de parallèle, à la latitude de 45°43'12", compris 
entre l'Océan et la mer Adriatique, est de 1210673",9 ; 
son amplitude astronomique de 1"2°9",78. Cet arc se 
compose de sept parties qui, étant soumises à la règle 
des moindres carrés (voy. ce mot), donne pour le de- 
gré moyen 77897",8. Celui du méridien, déduit de la 
distance ci-dessus de Greenwich à Formentera, est de 
111191",25, à la latitude moyenne de 45°4'18"; et la 
combinaison de ces deux degrés étant faite par le pro- 


. : : 1 
cédé de calcul connu, on obtient l’aplatissement SE 
247 


c’est-à-dire celui de l’elipsoïde osculateur en France. 
4. Les longueurs du pendule à secondes, quoique 
moins influencées que celles des degrés du méridien 
par les causes perturbatrices de la régularité de la 
terre, sont cependant sujettes à des anomalies qui dé- 
voilent ces causes lorsqu'elles agissent avec une cer- 
taine énergie. Cette vérité ressort de la comparaison 
des observations faites en différens lieux ; et, pour citer 
un fait à l’appui, nous dirons, d’après le capitaine 
Sabine, que l'accélération du pendule se manifeste gé- 
néralement sur les terrains volcaniques, et le retard sur 
lesterrains sablonneux et argileux. (Bulletin de la Société 
de Géog., n° 50, pag. 247.) Toutefois en faisant un 
choix des meilleures observations recueillies jusqu’à 
présent, et traitant les longueurs du pendule qui en dé- 
rivent par la méthode des moindres carrés, afin d’at- 
ténuer autant que possible les erreurs d'observation, 
M. Mathieu trouva qu’en prenant pour unité la longueur 
du pendule à l'équateur, évaluée aprèslui à0",99102557, 
son accroissement, depuis ce cercle jusqu’au pôle est 
égal au produit de 54 dix millièmes par le carré du 
sinus de la latitude, c’est-à-dire que généralement 


= 1  0,0054 sin ?}, 


valeur correspondante à l’aplatissement 


365 (V. Per= 


DULE COMPOSÉ. ) 
D'autres savans, qui ont discuté de leur côté une 
plus grande masse de nouvelles observations, pensent 


, : 1 
qu’elles donnent l’aplatissement 385 On peut con- 


sulter à ce sujet un article très-intéressant du Pulletin 
Tom, nr, 


FON 153 


scientifique de M. Ferrussac, tom. VIT, pag. 52, et un 
excellent mémoire de M. Baïly, inséré dans les Trans- 
actions philosophiques de 1832. 

L’accroissement des longueurs du pendule, de l’équa- 
teur au pôle, est sensible, même sur les divers points 
de la méridienne de France, suivant de nombreuses 
observations faites avec un appareil de Borda par 
MM. Arago, Biot et Mathieu, et dont voici les résul- 
tats, déduits du calcul le plus rigoureux. 


= = 


LONGUEURS 

; HAUTEURS 
LATITUDES. s 

ABSOLUES. 


STATIONS. du pendule à seconde 


de temps moyen. 


Formentera. 


196" 
Bordeaux. . £ (a 
Paris... 65 
Dunkerque. 


ere 


0 999453 
0 :993849 
0 ,994080 


Ces longueurs sont réduites au vide et au niveau de 
la mer. Il serait facile d’en conclure par l’interpolation 
la longueur du pendule à secondes, sur les côtes de 
France et à 45 degrés de latitude. Celle-ci et l’arc du 
degré du méridien, dont le milieu répond à la même 
latitude, serviront, dit Laplace, à retrouver nos mesures, 
si, par la suite des temps, elles viennent à s’altérer. 
(Exposit. du Syst. du Monde. ) 

(M. Puissant.) 


FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
DANTES. 


Voyez TRANSCEN- 


FONCTIONS SYMÉTRIQUES. (Alg.) La théorie 
des fonctions symétriques a recu, de son application à la 
recherche des racines des équations, une importance 
qui nous engage à compléter ici les notions élémen- 
taires que nous en avons données, tome IT, pag. 515. 
Désignons toujours, comme nous l’avons fait dans l’ar- 


ticle cité, par S,, la somme des puissances 

as be en + ds Len p fe, ete. 
d’un nombre quelconque de bases a, b, ce, d, ete., 
inégales et indépendantes entre elles, et représentons 
par la quantité générale À. la somme des produits dif- 
férens qu’on peut former en combinant ces bases » à m. 
Nous aurons, entre les quantités S,, et A, les relations 


déjà démontrées..…. (a) 


etc. = etc. 


154 FON 


au moyen desquelles, connaissant les sommes de pro- 
duits, on peut trouver les sommes de puissances, et 
vice versd. Il nous reste à montrer que toutes les fonc- 
tions symétriques des bases 4, b, c, d, etc., peu- 
vent être exprimées par les sommes de puissances 
Si Spo 939 Etc 

1. Rappelons d’abord qu’on donne en général le nom 
de fonction symétrique à la somme des produits diffé- 
rens entre eux et compris sous la forme 


abc" d', etc. 


qui résultent tant de la combinaison des bases 4, b, 

ce, d, etc.,.que de la permutation des exposans p, q, r, etc. 

Pour fixer les idées, considérons seulement trois bases 

a, b, c; la fonction symétrique à termes d’une seule 
_ base et, par conséquent, d’un seul exposant p sera 


abc; 


la fonction symétrique à termes de deux bases et de 
deux exposans p,q sera 


ab a et + br ef 


+ at br at br + bic”; 


et enfin la fonction symétrique à termes de trois bases 
sera 


æ@bte + aîbre + a bret 
— aber + atb' cr + aber. 


En général, unnombre quelconque de bases et d’expo- 
sans étant donné, on formera la fonction symétrique 
correspondante en combinant d’abord les bases entre 
elles pour former des groupes d'autant de facteurs qu'il 
y a d’exposans, puis on affectera chacun de ces groupes 
primitifs des exposans en les permutant entre eux de 
toutes les manières possibles; de cette manière, chaque 
groupe primitif de combinaison fournira autant de 
termes différens de la fonction que les exposans ad- 
mettent de permutations. Proposons-nous, par exem- 
ple, de construire une fonction symétrique avec les 
quatre bases 4, b, ce, d et les deux exposans p, g; les 
combinaisons 2 à 2, donnant des produits différens des 
quatre lettres 4, b, €, d, sont 


ab, ac, ad, bc, bd, cd, 


affectant chacun de ces groupes primitifs des permuta- 
tions p, q et q, p des deux exposans p el q, nous aurons 
pour la fonction symétrique demandée 


æ@ DE ac + a ds + be + bdt + © di 
Eu asbr + asc? — ad + bte? - ds + «Te, 


FON 


Si l’on demandait la fonction symétrique des quatre 
mêmes bases a, b, c, d, et des trois exposansp,q,r, 
il faudrait former toutes les combinaisons 3 à 3 sans 
permutations des lettres @, b, e, d, ce qui donnerait les 
quatre groupes primitifs 


abc, abd, acd, bed. 


Les permutations des exposans étant au nombre de 
Six, Savoir : 


pqrs prq 
gpr; arp 
YPY> NP» 


le premier groupe fournirait les six termes 


@bter + ab'et + atb'e' 
+ aber arbre + aber; 


et comme chacun des autres groupes donnerait égale- 
ment six termes distincts, la fonction cherchée se trou- 
verait composée de vingt-quatre termes. 

>. Les divers termes qui composent une fonction 
symétrique ayant tous la même forme, nous pouvons 
représenter ces fonctions par un quelconque de leurs 
termes, en lui donnant une caractéristique particulière. 
Si nous adoptons, par exemple, la caractéristique fs 
fa désignera toutes les fonctions symétriques dont les 
termes ne comprennent qu’une seule-base ; fa'b', celles 
dont les termes comprennent deux bases; fa”bte', les 
fonctions à termes de trois bases, et ainsi de suite. Cha- 
cun des termes pouvant être considéré indifféremment 
comme le terme général, les quantités fa’bt, [bref, 
fact, etc., représenteront des fonctions identiques ; 
mais nous nous réglerons toujours sur l’ordre alphabé- 
tique, tant pour les bases que pour les exposans ; cet 
ordre étant le plus propre pour déterminer immédiate 
ment la composition de la fonction. 

5. Ceci posé, désignons par m le nombre total des 
bases a, b, c, d, etc., et par n le nombre de ces bases 
contenues dans chaque terme d’une fonction symé- 
trique, ou, ce qui est la même chose, le nombre des 
exposans p, q,r, 8, etc., m lettres admettant un nombre 
de combinaisons # à n représenté par (voy. COMBINAI- F 
sox, tome I) 


PRES 


et chaque groupe de combinaison fournissant par la 
permutation de » exposans un nombre de produits dif- 
férens représenté par (voy. PEenmurarion, tome 1) 


1. 2.9 + Ge Dette 


il en résulte que le nombre des termes d’une fonction 
symétrique à termes de nr bases est égal à 


m (m— 1) (m— 2) (m—5) ...… (m—n+i1), 


le nombre total des bases étant m, et tous les exposans 
étant d’ailleurs inégaux. 

4. Il est plus simple de désigner les fonctions symé- 
triques par le nombre des exposans, puisque ces expo- 
sans déterminent la construction de leurs termes; nous 
nommerons done, dans ce qui va suivre, fonction symé- 
trique à n eæposans la fonction composée de termes de , 
facteurs, affectés chacun d’un exposant différent. 

5. Lorsque plusieurs exposans sont égaux, le nombre 
total des termes d’une fonction symétrique n’est pas le 
même que dans le cas de tous les exposans inégaux. 
Par exemple, la fonction symétrique à deux exposans 
inégaux, p et q, des trois bases a, b, ce, qui est géné- 
ralement 


il ab ab HE @ et br et, 
+ a" bat Lber, 


diffère essentiellement de ia fonction symétrique à deux 
exposans égaux 


CE br ar cœ— bre, 


parce que, d’après la définition même (1) des fonc- 
tions symétriques, ces fonctions ne se composent que 
des seuls produits différens qu’on peut former par la 
combinaison des bases et la permutation des exposans. 

6. 11 est toujours facile de trouver le nombre des 
termes d’une fonction symétrique à plusieurs exposans 
égaux, en supposant d’abord tous ces exposans iné- 
gaux, puis en divisant le nombre des termes que donne 
cette supposition par le nombre des permutations qu'ad- 
mettraient les exposans égaux s’ils étaient inégaux. Ob- 
servons, en effet, que, dans le cas particulier de trois 
exposans inégaux, P; 4, Y, la fonction symétrique, 
quel que soit le nombre des bases, se compose de 
termes primitifs de la forme 


a bc", 

dont chacun produit cinq autres termes 
a° bc, 
atbe', 
atb"c, 
a be, 


Ë b! © $ 


FON 159 


par la permutation des exposans. Or, si deux de ces 
exposans deviennent égaux, g etr, par exemple, les 
permutations différentes se réduisent à 


P;:q;q; 4 P;4 >; 4: P; 


et chaque groupe primitif de bases abe ne donne plus 
que trois termes distincts 


le nombre total des termes est donc alors la moitié de 
ce qu'il était dans le premier cas. De même, si les trois 
exposans p, q, r devenaient égaux, les six termes ré- 
sultant de chaque groupe primitif de bases abe devien- 
draient pareillement égaux; de sorte que, dans ce der- 
nier cas, le nombre des termes de la fonction symé- 
trique ne serait plus que le sivième du nombre des 
termes qu’elle avait lorsque tous les exposans étaient 
inégaux. On voit aisément que l'égalité d’un nombre 
quelconque d’exposans fait disparaître de la fonction, 
pour chaque groupe distinct de bases, autant de termes 
que ces exposans admettaient entre eux de permuta- 
tions, et, par conséquent, que le nombre des termes de 
la fonction réduite est égal au nombre des termes de la 
fonction primitive, divisé par le nombre des permuta- 
tions des exposans égaux. 

En général, si la fonction symétrique des m bases 
a,b,c, d, ete., a y exposans égaux à p, y égaux à q, 
£ égaux à r, etc., le nombre total des exposans étant 
toujours #, le nombre de ses termes sera 


__ m(m—:) (m—2) (m— n +1) 
Ilan ex taie maire etes 


Soit, par exemple , à déterminer le nombre des termes 
de la fonction symétrique représentée par le terme 


fe b? c? de, 


et dans laquelle le nombre total des bases est 6, fai- 
sant m—6, n—=5, p=3, g=92, T1; nous au- 


général 


TONSp— 1,»—2,E#—2, et, par suite, 


6.5.4.3.a 
1.72 


— 560. 
1.1.2. < 


sera le nombre des termes demandé. Si tous les expo- 


sans étaient égaux, c’est-à-dire si le terme général était 


LA 
| æb'ed'e, 


156 FON 


quel que soit p, différent de o, le nombre des termes 
de la fonction se réduirait à 


7. Ce qui précède fait connaître ce que devient une 
fonction symétrique quelconque lorsqu'on introduit 
dans ses exposans des relations d'égalité. Si l’on fait, 


par exemple, p —q, dans la fonction ....(b) 


ab get a di + Bret + br di + cd 
+ as br — atcr + as dr Æ bre bd + cd, 


elle prend la forme 


a br + æ@ €? + a d + me +- bd + ed? 
+ @b + are + a de + ber + bd + cd, 


qui renferme deux fonctions symétriques égales entre 
elles, et dont le terme général est ar br; ilest donc vi- 
sible ici que l'hypothèse p — q réduit la fonction faf bt 
à »far br. Or désignons par P le terme général d’une 
fonction symétrique quelconque, par P' ce que devient 
ce terme général lorsqu'on rend égaux entre eux quel- 
ques-uns de ses exposans inégaux, et représentons par M 
et M'les nombres respectifs des termes des deux fonc- 
tions symétriques [P, fP'; M étant nécessairement un 
multiple de M', faisons de plus M — M'Q. Observons 
maintenant que l'hypothèse qui transforme le terme 
général P en P' laisse subsister tous les termes de la 
fonction fP, qui cesse seulement d’être symétrique, 
parce que le nombre de ses termes différens se trouve 
réduit dans le rapport de Q à 1, ou, ce qui est la même 
chose, parce que chaque terme différent se trouve ré- 
pété Q fois; mais la somme des termes différens est 
précisément la fonction symétrique fP'; donc l'hypo- 
thèse qui transforme le terme général P en P' réduit la 
fonction symétrique fP à QSP’. Ainsi, pour trouver ce 
que devient une fonction symétrique fP, lorsqu'on y 
rend plusieurs exposans égaux, il suffit de chercher le 
facteur Q égal au nombre des termes de [P divisé par 
le nombre des termes de SP’. 

Proposons-nous, par exemple, de déterminer ce que 
devient la fonction symétrique ...(c), 


fe b'eïd'e, 


quand on y fait g—p. Le nombre des termes de cette 
fonction est, m désignant comme ci-dessus (e) le nombre 
total des bases, 


M (m_E1) (nm — 2) (m—3) (m— 4) 
1.2 É 


FON 


L'hypothèse g— p donne au terme général la forme 
@ b' er d'e, ce qui conduit à la fonction symétrique 


fa bred'e, 


dont le nombre des termes est 


mm (mn — 1) (m— 2) (m — 3) (m— 4) 


Ainsi 


La fonction symétrique proposée se réduit donc à 
3 far b° cr d'e par la valeur p donnée à q. 

Si dans la même fonction symétrique (ec) on faisait 
p—4q—7#, ce qui donnerait au terme général la forme 
æbaæde, on aurait pour le nombre des termes 
de fæ bæde 


TOOLS or 1” 


c’est-à-dire que la fonction (ec) deviendrait dans ce cas 


—— —— æbæde. 
Enfin, dans la supposition de p—q=—r—1, la fonc- 
tion (ec) se réduirait à 


8. L'égalité à zéro d’un ou de plusieurs exposans 
d’une fonction symétrique réduisant à l'unité tous les 
facteurs affectés de ces exposans, introduit encore des 
termes égaux dans la fonction, qui cesse conséquem- 
ment d’être symétrique, tout en conservant le même 
nombre de termes. Si l’on fait, par exemple, g —0 
dans la fonction symétrique (b) du n° y, elle devient 


a + a + ar + br HE Dr + er 
Lure +de +de, 


s[e+u+e ta]. 


Une marche semblable à la précédente va nous faire 
trouver dans tous les cas ce que devient une fonction 
symétrique par l’évanouissement de quelques-uns de 
ses exposans. Désignons toujours par P le terme géné- 
ral d’une fonction proposée, et par M le nombre de 
ses termes : soit P’ ce que devient P par l’évanouisse- 
ment d’un nombre quelconque de ses exposans ; soit M' 
le nombre des termes de la fonction symétrique fP”, et 
soit enfin M— M'R. La fonction non symétrique dont 
le terme général est P° étant composée, comme [P; 


FON 


de M termes parmi lesquels M' seulement sont diffé- 
rens entre eux, chacun de ces derniers doit évidemment 
se trouver répété R fois, c’est-à-dire que la fonction 
symétrique fP se réduit à RP" par la valeur o donnée 
aux coefliciens. 

Supposons, pour exemple, que l’on fasse p—0 ct 
g= 0 dans la fonction symétrique 


fe bretd'ef, 


dont le nombre total des bases est 12. Cette supposi- 
tion réduit le terme général de la fonction à la forme 
d'ef; ou, pour conserver l’ordre alphabétique, à la 
forme a" b°e, et la fonction se réduit elle-même à 


R fa b'c. 


Il s’agit de trouver la valeur de R. Le nombre des 
termes de la fonction proposée est, d’après (7), 


NORD LOI ON O7 


celui de la fonction fa’ b'e est 
LA 
12.11.10. 
Ainsi 


RU 110 9.8.7 
1:24. 12:11.10 


La fonction proposée devient donc 252 fa’ b'e par la 
supposition p—0, q—0. 

Soit encore la fonction faïbedef, dans laquelle l’ex- 
posant p devient o, et qui se réduit, par conséquent, à 


R acde 


En supposant le nombre total des bases —m, le nom- 
bre des termes de la fonction proposée est 


m(m—1)(m— 2)... (m—5); 

celui des termes de la fonction symétrique fabcde est 
m(m— 1) (m—2) .…... (m—4). 

D'où 


R=" (m—1) (m—2) (m—3) (m—4) (m—5) 
m(m—1)(m—2) (m—5) (m—4) 


—= m5. 


La onction proposée se réduit donc à (m—5) fabede. 
Si tous les exposans s’évanouissaient à la fois, la 
fonction se réduirait au nombre même de ses termes : 
puisque chacun de ces termes deviendrait une simple 
unité, Ainsi, dans le cas de p=—0, g—0, r=0, 


FON 157 


s—0, etc. , le nombre des bases étant toujours m, on 


feu. 
farm (m— 1), 


fure —m(m—1)(m—2), 


etc1—\etc: 


aurait 


9. Les fonctions symétriques les plus simples sont 
celles qui ont tous leurs exposans égaux à l'unité ; 
comme elles sont alors les sommes des produits des 
bases combinées 1 à 1, 2 à 2, 5 à 5, etc., on peut tou- 
jours les considérer comme entièrement connues. En 
effet, étant données m bases a, b, c, d, e, etc., si l’on 
forme le produit des m binomes 


(@— a) (x — bd) (&—c) (æ—d) .…... (&—m), 
dont nous représenterons le développement par 
TL" — A, DH A, a — À, dt etc. E(—1)"A;, 


on aura, d’après la théorie de la multiplication (t. IH, 


p. 246), s 
J a — AUS 


fa TA 
for — À,, 
furca —"A%, 


etc. —'etc: 


On peut donc encore considérer comme entièrement 
connues les fonctions à un seul exposant fa”, puis- 
qu'elles sont identiques avec les sommes de puissances 
que nous avons désignées généralement par S,, , et dont 
nous avons rapporté les expressions en À, ; À, , À,, etc., 
au commencement de cet article; au reste, nous allons 
donner une déduction très-élémentaire de ces expres- 
sions. 


10. La fonction fa" représentant la somme 
a + 0 Her HE da Len L etc., 


et la fonction fa la somme 


Gb c+ de etc. 


il est évident, le nombre des bases étant le même dans 
les deux fonctions, que le produit de ces deux fonc- 
tions comprendra, d’une part, la somme de toutes les 
puissances de la forme a"+1, et de l’autre. la somme 
des produits de deux facteurs de la forme @ b. c’est-à- 


dire qu’on a 


Jex) a — fett+ fes 
LA 


158 FON 


Le produit de la fonction fa" par la fonction fab, 
qui représente la somme des produits deux à deux des 


bases 


ab ac + ad + be + bd + etc., 


comprendra pareillement, d’une part, la somme de 


tous les produits de la forme a"+'b, et de l'autre, la 


somme de tous les produits de la forme a"be; d’où 


fes X | = far: b + | a“ bc. 


Le produit de la fonction fa" par la fonction fabc, 


qui représente la somme des produits trois à trois 


abc - abd + abe + bed + etc., 


donne tout aussi évidemment lieu à la relation 


| a — fe+: be + [ «bed, 


1] 
[oc K 
Le 


et ainsi de même. Nous pouvons donc poser, comme 
résultant immédiatement de la construction même des 


fonctions symétriques , la suite d’égalités ..….(d) 


fe. fe = [ati + 1 a" b 
; [ a” = [a+ . a” bc, 


a" — [ avt be + [ a“ bed, 


fotea : | ai — IC bed + f " bede, 


te. "ete: 


Ces relations étant indépendantes de la valeur de 
l’exposant m, nous n'avons qu'à remplacer successive- 
ment 2 par M —1, M—2,1Mm — 3, etc., pour en tirer 
les nouvelles relations ..….(e) 


fe = [ ; fe — [er b, 
fenfefes-fe fesfer 
Je = fs . fer — fo és + fac far == 
a®—bcd, 
fe = [a ñ lé — [a des + [aie fe 
— farea : Je te le bcde, 


etc —= etc. 


FON 


Si nous faisons m — 1 dans la première de ces éga- 
lités, m— 2 dans la seconde, m — 3 dans la troisième, 
et ainsi de suite, et si nous observons (8) que les fonc- 
tions symétriques 


fe ; J a“—"b, J a“? bc, fe—rea, Je bede, 


se réduisent respectivement par ces valeurs à 


ps (ei) fes (ea) [abs (==) fabe, 


(u—4) | abcd. 


# désignant le nombre total des bases, nous parvien- 
drons aux expressions ....(f) 


fe = fr. 

fe fo. fe—2 fo, 

fe Il «fe far. fa +5 Jar, 

fe fe. Je far. fa + fonc. fa fav, 
fe Je Je 
De: = f abed.. [a+5 il ae 


qui, par un simple changement de notation , nous don- 
nent les expressions de Newton 


le 


& 


| 


I 


Di 1 As 

S, — À, S, — 2A,; 

S,== A,S, — A,S, + 3A, , 

S, = À, S, — A,S, + A,S, — 4A,, 

S, = A, S, —A,S, +A, S, — A, S, + 5A,, 


etc. ele: 


11. Pour procéder maintenant à l'évaluation des fone- 
tions symétriques far b1, fa’ bïe, etc., par le moyen 
des sommes de puissances fa" ou S,, examinons la 
nature des produits qui résultent de la multiplication 
de ces sommes de puissances les unes par les autres. Il 
est d’abord visible que le produit des deux sommes 


a + br + cr + d He H ete... 
ai bi Hot + di H 61 ete... 


dans lesquelles le nombre des bases est le même, doit 
contenir 1° tous les produits deux à deux de la forme ar b5, 
qui composent la fonction symétrique [a b1; à° tous 


FON 


les produits à une seule base de la forme 4° +3, qui com- 
posent la somme de puissances fa’+1 ou S,:,: nous 
pouvons donc poser sans autre démonstration ....(q) 


fe X fe =— fe+ q + [a b. 


D'où (x) 


fe b1— fe 5 Je — for: 


= Sp. Sy — Spto 


Dans le cas des exposans égaux p —q, comme la fonc- 


tion far b3 se réduit (6) à 2 fa br, on a (à) 


: 1l ab (S,) —S,. 


12, Le produit des trois sommes de puissances fa, 
fa*, fa’ doit contenir, d’après ce qui précède, le pro- 
duit de [a+ par fa, plus le produit de far b1 par fa’; 
or le produit de faf+ par fa’ est en vertu de l’expres- 
sion (g) 


fersx fe fer fer 


Quand au produit de [ab par fa, comme il ne peut 
contenir que des produits partiels des formes 


a+ br, abitt, aber, 


et que chacun de ces produits ne peut s’y trouver 
qu’une seule fois, on a visiblement 


Joux fee far+ font fase 


Donc, en rassemblant ses résultats .…..(k) 


Je x [ee x fa— Jets+ + fat + 
+ fartus+ fat + f œbté 


d’où l’on tire 


Je bTe* = [fe . [a ;: [a — IC b' — [a +rpt— 


— far farti, 
Mais, d’après (h), 


ferez fat fe forte, 
fat = far ? Je — fat, 
fat = [arts 5 fe fat. 


fe bte: a= | æ «far. 


FON 159 


Ainsi, on a définitivement ....({) 


mn > 7 
j abs" = fe : fe ; J a — fe +1 | a — 
+ L] 
| æœ+r | a far. IC _— à fartstr; 


ou, encore, .... (mi) 


fere=s,. ShSe se tte D SAGE 
— Satee Sp— 2 Sppgtre 


Dans le cas de p—q—r cette expression se réduit 


.….(n) 


J a br €? — & [ss — 


et, dans le cas seulement de g= r, elle devient (o) 


Sp + Sp + 25, | , 


1lc/c Q G 
fove: [sS'—25.+ Sy — Soge S,+aS4u 


13. Des considérations semblables nous feraient trou- 
ver pour le produit des quatre sommes de puissances 
[æ, [as, fa’, fa’, l'expression 


ferve + fatrète | @+brer 
+ fartire+ fat c + fartrires 


+ fetes ar+rhitsL | @+sb1+r 
+ fartitit farter+ @+:+sh1 
+ fait + fete farsre di: 


d'où l’on tire ..…..(p) 


fe. [a fers fe. 1 
— [arr fa .fe—far. fe. fe 
« — fast. | (a. É fe 
fer fe fu fe fers 
— fa. far + fer. Je + 


+ 9 fartir. [a+ [ œ+Tts, [a + 
t L' e La 


L] 


— 


d'— 1] aire, [ a. 
La 


L 2] » 
fata far fa 
Le 


L U 


L 
+2 | atr+s, 
La 


— 6 | m+i+r+s, 


160 FON 
Si l’on fait p—g—7r—s, la fonction à quatre ex- 
posans deviendra 24 far bed’, et l’on aura 


fes {(fr fe (fe) + 
sf) + or. es fe 


ce qui revient à .…..(q) 


a k 2 ë 
fevoa= rs) —6s,.(s,) +3(s..) de 


SES © —68,}, 


- 


en employant la notation des sommes de puissances. 
Les cas d'égalité de deux ou trois exposans peuvent se 
ürer sans difficulté de l'expression générale (p). 

14. Nous ne nous arrêterons pas à l'évaluation des 
fonctions de cinq ou d’un plus grand nombre d’expo- 
sans, qui ne présente d’autre difficulté que la prolixité 
des formules; ce qui précède suffit aux applications 
dont les exemples suivans vont donner une idée. 

Exewpse I. On demande la relation qui doit exister 
entre les coefficiens de l'équation du troisième degré pour 
que la somme de deux racines soit égale à zéro. 

Soit l’équation générale 


D — À, + A,x— À, —=0; 


réprésentons les racines par @, b, c; les sommes de ces 
racines, prises deux à deux, étant «a Æb, a +0, 
bc, il s’agit de déterminer entre À,, À,, À, une 
relation telle qu’on ait 
(a+ 0) (a+ 0 (+0 = 0: 
développant le produit, il vient 
db + ae + be HE ab? + ac? + bc? + sabc, 


c’est-à-dire 


fer + sabc. # 


Comparant avec la formule (A), on a 


fé = S,.S, — S,. 
Mais, d’après les expressions générales (a) 
S,—=A,,S,—=A,S, — 2À,,5,—=A,S,—A,S X 31,; 
ainsi 


Si 92 —=(4,) — 2A,A, » S, Cr (A,)—53A,A, +54, ; 


FON 


et, par suite, 
fr — À,A, — 5A,; 


observant que 2abe = 2A, , il vient définitivement . 


(a+-b) (a+-c) (b+c) = A,A, — A,. 


La relation demandée est donc 


AA, — A, —0, 
ou 
AVASETAS 


Il en résulte que toute équation complète du troisième 
degré, dans laquelle le produit des deux premiers coef- 
ficiens est égal au troisième, a deux racines égales et 
de signes contraires, lorsque toute foiselle offre des va- 
riations de signes. A 
Exepze Il. On demande quelle relation doit exister 
entre les coefficiens d'une équation du quatrième degré 


m'— Ati LA,x — A,zHEA, —0, 


pour que le produit de deux de ses racines soit égal au pro- 
duit des deux autres. 

Désignons les quatre racines par @, b, c, d, leurs 
produits, deux à deux, étant 


ab, ac, ad, be, bd, cd, 
les seules différences susceptibles d’être zéro sont 
| ab—cd, ac-— bd, ad—bc; 
d’où résulte l’équation 
(ab— cd) (ac—bd) (ad— be) = 0, 


dont il faut exprimer le premier membre en fonction 
des coeliciens A,, À,, À,, À,. 

Le développement des produits montre que ce pre- 
mier membre est identique avec 


[ abcd — far 5 


faisant trois coefliciens égaux à l’unité et le quatrième 
égal à 3 dans la formule (p), substituant 2 à la place 
de p dans la formule (x), et remplaçant les sommes de 
puissances par leurs valeurs en sommes de produits, 
on trouvera, toutes réductions faites, 


J de 1. ab?ét = (A,)'A, — (A); 
ce qui donne pour la relation demandée 


(A 1)'A = (A,)°. 


FON 


Ainsi, toute équation complète du quatrième degré, 
dans laquelle le carré du troisième coefficient est égal 
au produit du carré du premier coeflicient par le der- 
nier, a des racines telles que le produit de deux d’entre 
elles est égal au produit des deux autres. 

ExewpLe LIT. On demande une équation dont les racines 
soient les carrés des racines d'une équation quelconque du 
troisième degré, 


T'— A2 +A,z—A,—=0. 


Désignons par a, b, ce les racines de la proposée; 
celles de l'équation cherchée seront a, b?, c?; et si 
nous représentons cette équation par 


%—A 7 LA /z— A; —=0, 


le premier coefficient A,’ sera a? + b? + c? ou fa?; le 
second A,’ sera la somme des produits deux à deux de 
&, b?, c? ou fa*b?; et enfin le troisième coeflicient A,” 
devant être égal au produit de toutes les racines, sera 
a'b?e? — (A,). Nous aurons donc les relations 


À, = [a EU = [ét » À, — (A,)°. 
Soit, pour exemple particulier, la proposée 
ai —72+6—=0, 
nous ayons ici 


A,—=0 ,;, A —=—79,A,—=—06. 


Substituant ces valeurs dans les expressions (a), nous 
trouverons 


S,—0 , S,—16 , S,j——18 , S, —98; 


ce qui nous fait connaître, d’après la formule (+), 


- J Ab (5:) is) 98. 


Donc 


Ainsi l’équation 
25 — 142 LL 495 — 56 = 0 


a pour racines Les carrés des racines de la proposée, On 
Tom. 


FON 161 


formerait de la même manière équation aux puissances 
quelconques des racines de toute équation proposée, 
quel que soit son degré. 

Exempze IV. Une équation du troisième degré étant 
donnée, on demande de construire avec ses coefficiens les 
coefficiens d'une autre équation, dont les racines soient 
les carrés des différences des racines de la proposée. 

Soient a, b, c les trois racines de l'équation ; 


@— A, + A,%— À, —0, 


Nous savons (v. Équatiows, n° 33) que l'équation deman- 
, à nee NEO) en je 
dée aux carrés des différences sera du degré ae 


ainsi, nous pourrons la représenter par 
3 2 , , 
T'—A,& +A,%x—A, =0. 


Observons que si les sommes de puissances des ra- 
cines de cette dernière étaient connues, il serait facile 
d’en déduire les valeurs des coefficiens cherchés A, À, 
A,', à l’aide des relations générales (a), car ces rela- 
tions donnent pour les valeurs des sommes de produits 
en sommes de puissances, les expressions... (r) 


3A, —S,A,— SA, +5, 
GA, =S,A, — S,A, +S,A, —$, 
SA; = SA, — SA, +S,A, — SA, +S,; 


etc. —tetc. 


Or, les racines de cette équation devant être les carrés 
des différences des racines 4, b, e de la proposée, sont 
représentées par 


(ab) , (ac) , (b—c. 


Ainsi, désignant par S,' leur somme, par S,° la 
somme de leurs carrés, et par S,' celle de leurs cubes, 
on à 


S = (a— 0) + (a— 0) + (b— 0° 
S,' — (a — 0)" + (a—c) + (b—c) 
S = (ab) + (a —c) + (b— ce). 


La question se réduit donc à trouver la valeur des 
quantités S,', S;', S,' en fonctions symétriques des bases 
a, b, ©, car ces fonctions sont toujours réductibles 
aux coefficiens donnés A,, A,, A, Une fois les quan- 
tités S,', S,'; S, connues, les expressions (r) feront 
trouver Jes coelliciens cherchés À’, A,', A,” 

21 


162 FON 
Les développemens des hinomes nous montrent 
que... (s) 


S,' 2 fé _— à [' 


SAR 2 | a — 4 \ ab LG for 


Sir à [as — 6 fui e 15 fat — 20 fra; 
[2 


et d’après les formules (X) et’(?), nous avons 


I 


I 


Je A 


fur Safi MESURE 
for = 55 + Sy En Si» 


fou == S,.S — S,s 


de plus 


fe —S,, [as =}; fa — à Ju - À,. 
y, CE 


Substituant ces valeurs dans les expressions (s), elles 
deviennent (#) 


S, — 25, — 2À,, 
S,' = 98, — 4, - 5, in 3(5:); 
S,— 58, — 65,.5, + 158,.5, — 10(S,)2 


Les valeurs de S,, S,, S,, S,, S,, $;, pouvant être 
considérées comme connues d’après les expressions (a), 
nous aurons définitivement, en vertu des expres= 
sions (r).…... (u) 


A; = S, , 

AO SAYS; 
À 2 s } 

au æ Pal SAS," 
3 3% PIE 


Prenons pour exemple d'application l'équation 
D — 6% — 7 —0; 
nous aurons, en éomparant avec la forme générale, 


D me AU + AT À, = 0, 
ÀA,=0, À, ——6, AD. 


Calculant avec ces valeurs et les expressions (a), les 


FON 


six premières sommes de puissances, en observant que 
toutes les sommes de produits A,, À,, A, etc., au- 
dessus de A, sont nulles, nous trouverons 


So, S,—12, S,—21, S,—72, S,—210, S,—579. 


Substituant ces dernières valeurs dans les expres- 
sions (t), il viendra 


S, — 36, S,2—= 6485 S 10287; 


et mettant celles-ci dans les expressions (w), nous 
obtiendrons définitivement, pour les coefliciens de- 
mandés, 


A) =56 , À, =39%4 , À =— 459. 


L’équation aux carrés des différences de la proposée est 
donc 


2 — 564? + 324% + 459 — 0. 


15. La marche que nous venons de suivre peut 
s'étendre aisément aux équations de tous les degrés; 
mais comme les calculs deviennent impraticables, par 
leur excessive longueur, dès le cinquième degré, nous 
nous contenterons d'indiquer cette extension pour les 
équations du quatrième degré. 

Soit l’équation générale du quatrième degré 


dt — À, 2 LA, —A,x—+A,—=o. 


L’équation aux carrés des différences de ses racines de- 


La 


A , 4-9 5 
vant être du degré =- —6, nous lui donnerons la 
forme 
D — A2 HA x — A, gt RAT — A x HA, —0. 


En développant, comme nous l'avons fait ci-dessus, 
les sommes des puissances des racines de cette équation, 
on découvre aisément la composition suivante : 


S, = 3 | & — » fa, 
$,' = 5 fa = sf w6 us 6 fa, 


S,=53|a — 6|a‘b +5 fa — 20 fa, 
S, = J a — sfr +8 fa = 56 fast + 
| nor 
S— 5 [a 10 fa +45 fat — 120 fard + 
+ so av — 252 fa, 
SN sf 12 fa +-66 ange [a+ 
+ 495 [ ab pos [a+ 004 J a°bf, 


FOR 

Les forthules (4) ét (?) donnent l'évaluation de toutes 
les fonctions symétriques à deux Exposans qui entrent 
dans ces expressions; ainsi On pourra toujours trouver 
les valeurs numériques des sommes de puissances 
S,', S,', ète., et l’on passera de ces sommes aux coefli= 
ciens A,', À, , etc., au moyen des expressions (r). 
Les calculs sont beaucoup moins longs lorsque l’équa- 
tion, proposée est privée de second terme. Maïs, dans 
tous les cas, il est toujours plus prompt de résoudre 
üné équation du quatrième degré par les procédés di- 
récts que de former son équation aux carrés des diffé 
rences; de sorte que cette méthode, qui semblait 
devoir faire disparaître toutes les difficultés de la ré- 
solution des équations numériques, n’est en réalité d’au- 
cun secours dans la pratique. (Voyez ci-dessus le mot 
EQuariox.) 


FORCE. (Méc.) Cause quelconque qui met ou tend 
à mettre un corps matériel en mouvement. (Voy. t. IT, 
page 35.) 

La nature intime des forces, dont l’aspect des phé- 
nomènes physiques nous conduit à admettre l’existence, 
est entièrement inconnue, et il serait impossible de les 


_ soumettre au calcul si l’on n’établissait des relations 


mathématiques entre les effets par lesquels elles se ma- 
nifestent, et si l’on n’étendait ensuite ces relations aux 
forces elles-mêmes en les supposant proportionnelles à 
leurs effets. C’est de cette manière qu’on nomme forces 
égales, par exemple, deux forces capables de produire 
le même effet, et, par conséquent, de se détruire mutuel- 
lement ou de se faire équilibre lorsqu'elles se trouvent 
appliquées en sens opposé l’une de l’autre, à un même 
point matériel , quels que soient d’ailleurs leurs carac- 
tères distinctifs. Il existe certainement des différences 
essentielles très-frappantes entre la force de la gravité, 
la force élastique de la vapeur d’eau, et les efforts spon- 
Manés des hommes et des animaux; mais il n’est pas 
moins yrai que, sans qu'il soit nécessaire de remonter 
à leurs causes premières, les phénomènes qui résultent 
FE concours de ces forces permettent de comparer les 
intensités de leurs actions, de les représenter par des 
nombres ou par des lignes, et de les subordonner ainsi 
aux lois générales des quantités. 

Nous avons fait connaître dans nos deux premiers 
volumes les dénominations particulières consacrées par 
l'usage pour désigner les diverses espèces de forces; ici 
nous exposerons plus particulièrement ce qui concerne 
leur mesure. 
hi% L'effet d'une force quelconque, qui produit un 
mouvement, étant d'animer une certaine masse d’une 
certaine vitesse, les grandeurs respectives de cette 

masse et de cette vitesse entrent nécessairement comme 
termes de comparaison dans l'évaluation numérique de 


FOR 163 


l'effet ou dé la force qu'il représente ; mais il y a deux 
cas différens à considérer : celui d’une vitesse constante 
et éelui d’une vitesse variable. Dans le premier cas, la 
force est une de celles qu'on nomme ins{antanées, et 
qui abandonnent le mobile à lui-même après lui avoir 


-donnié une seule impulsion, en vertu de laquelle il par- 


court des espaces égaux en temps égaux. Dans le second 
cas, la force appartient à la classe de celles dites accé- 
lératrices, et qui s’attachent pour ainsi dire au mobile, 
lui communiquent à chaque instant une nouvelle im 
pulsion qui fait varier la vitesse acquise par les impul- 
sions précédentes. Occupons-nous d’abord des forces 
instantanées. 

2. Désignons par f et f deux forces telles qu’étant 
appliquées successivement à un même point matériel, 
la première lui communique une vitesse uniforme v;, 
et la seconde une vitesse uniforme v'; il est évident que 
les elfets de ces deux forces ne diffèrent que par les vi- 
tesses qu’elles produisent, car toutes les autres circon- 
stances sont les mêmes. Ainsi, nous pourrons dire que 
la première force est double, triple ou quadruple de la 
seconde, si la vitesse est double, triple ou quadruple 
de la vitesse v’, et nous aurons, en général, 


ES pe 


Si le point matériel que nous avons supposé isolé et 
libre était lié d’une manière inébranlable à d’autres 
points qu’il entraîne avec lui dans son mouvement, 
l'ensemble de ces points pourrait représenter la masse 
d'un corps solide quelconque, et comme alors tous les 
points du système se mouvraient dans une mème di- 
rection et avec une même vitesse, les effets des deux 
forces ne différeraient encore que par les vitesses ; de 
sorte que nous pouvons établir comme lun des prin- 
cipes fondamentaux de la mesure des forces : 

Les intensités de deux forces sont entre elles comme les 
vitesses qu’elles sont capables de commun iquer à un même 
mobile. 

3. Pour comparer maintenant les forces qui agissent 
sur des mobiles différens, observons que ; lorsqu'une 
masse se meut librement par l’action d’une force instan- 
tanée, et que tous ses points matériels sont animés d’une 
même vitesse, l'effet produit doit naturellement se me- 
surer par le nombre des points matériels mis en mou- 
vement et par la vitesse qui leur a été communiquée. 
Supposons, par exemple; qu'un corps composé de m 
molécules élémentaires ou dem” points matériels reçcoive 
d’une force f une vitesse de 5 mètres par seconde, 
tandis qu'un autre COrps composé de 2m molécules recoit 
la même vitesse d'une autre force f'; l'effet de celte 
dernière sera évidemment le double de celui de la pre- 
mière, car la force f” a mis en mouvement deux fois 
plus de molécules que la force f et avec la même vi- 


164 FOR 


tesse. En général, l’effet de la force f' sera n fois plus 
grand que l'effet de la force f, si le corps qu’elle meut 
avec une vitesse de 5 mètres par seconde est composé 
de nm molécules; et comme cette relation ne change 
pas, quelle que soit la vitesse, pourvu qu’elle soit la 
même dans les deux mobiles m, nm, nous avons pour 
toute vitesse commune V 


ff —=m: nm. 


Mais les nombres # et #m des molécules élémentaires, 
Où points matériels des deux mobiles, ne sont autre 
chose que les masses de ces mobiles; ainsi, représen- 
tant généralement les masses par M et M’, nous aurons 
encore 


f:f =M:M', 


c’est-à-dire que deux forces qui communiquent à deux 
mobiles une méme vitesse sont entre elles comme les masses 
de ces mobiles. 

Il suffit de combiner ce principe avec le précédent 
pour conclure que les intensités des deux forces sont dans 
le rapport composé des masses et des vitesses des Corps 
qu'elles font mouvoir. En effet, soit f une troisième 
force qui, appliquée à la masse M', lui communique 
une vitesse V', différente de la vitesse V, que commu- 
nique à cette même masse la force f', nous aurons, 
d'après Le premier principe, 


PET VV 
Multipliant cette proportion et la proportion précédente 
PE MEIM'; 


terme par terme, et retranchant le facteur cammun f', 
il viendra 


f:l'=MV:Mv'; 


ce qui signifie que les forces qui meuvent des mobiles dif- 
férens avec des vitesses différentes, sont entre elles comme 
les produits des masses de ces mobiles Par leurs vitesses 
respectives. 

4- Cette proposition conduit directement à l’évalua. - 
tion des forces instantanées, car si nous prenons pouc 
unité de force celle qui communique l'unité de vitesse : à 
l’unilé de masse, c’est-à-dire si nous faisons f* 


‘ ’ LE 
M'= 1, V'= 1, nous aurons 


f—=MY. 


ss 2e 
L'intensité d’une force instantanée est donc équiva= 
lente au produit de la masse du corps qu’elle meut par 
Sa vitesse, où du moins 


Peut toujours être représentée 
par ce produit. s 


FOR 


Le produit de la masse d’un corps par sa vitesse ac- 
tuelle se nomme en général la quantité de mouvement 
de ce corps. (Voy. ce mot.) 

5. Toutes les considérations précédentes peuvent 
s'appliquer, avec quelques modifications, au cas des 
vitesses variables, comme nous allons le faire voir. 

On sait qu’une force accélératrice (voy. AGcÉLÉRÉ, 
tome I) communique à chaque instant au mobile sur 
lequel elle agit une nouvelle vitesse qui s'ajoute aux 
vitesses déjà produites, de sorte que l’expression vifesse 
du mobile ne doit s'entendre que de la vitesse effective 
qu'il possède à un instant déterminé deson mouvement. 
Lorsque la vitesse varie par degrés égaux dans des in- 
tervalles de temps égaux, la force accélératrice est 
constante ou agit de la même manière à tous les instans 
du mouvement; lorsqu’au contraire la vitesse varie 
par degrés inégaux dans des intervalles de temps égaux, 
la force accélératrice n’agit pas de la même manière à 
tous les instans du mouvement; elle reçoit alors l’épi- 
thète de variée. Si, au lieu d'augmenter continuelle- 
ment, la vitesse diminuait par degrés égaux ou inégaux, 
la force serait une force retardatrice constante ou variée. 

Les forces variées d’une manière quelconque étant 
toujours comparables entre elles et avec une force accé- 
lératrice constante, prise pour unité, il est essentiel de 
se former une idée exacte de la mesure des forces con- 
stantes. Or, l'effet produit par ces dernières étant d’im- 
primer une même vitesse au mobile à chaque instant 
du mouvement, cette vitesse représente l'effet de la 
force, et, par conséquent, son intensité, en vertu du 
principe de la proportionnalité des effets aux causes. 
Mais si nous désignons par v la vitesse effective du 
mobile après un intervalle de temps £ écoulé depuis 
l'instant où la force a commencé d’agir, cette vitesse v 
contiendra autant de fois la vitesse constante qui donne 
la mesure de la force accélératrice, que l'intervalle de 


_ () 
temps # contiendra d'unités detemps ; 7 Sera donc l’ex- 


pression de la vitesse constante, et représentera con- 
séquemment la force accélératrice. ; 

C’est ordinairement à la force accélératrice constante 
de la gravité qu'on compare toutes les autres forces 
variées ; l'expérience ayant fait connaître qu’à la lati- 
tude de Paris et au niveau de la mer la gravité imprime 
aux corps, dans chaque seconde de leur chute libre, 
une vitesse de 9,808799 mètres ; nous ayons pour cette 


force 


: — 9°,808795 ; 


ou 4 — 9",808795, parce qu'on est convenu de repré- 
senter la force de la gravité par la lettre g. 
G. La théorie du mouyement uniformément accéléré 


FOR 


fait connaître toutes les circonstances de la chute libre 
des corps; on sait qu’en désignant par À l’espace par- 
couru, où la hauteur dont un corps est tombé dans un 
intervalle de temps désigné par t, et par v la vitesse 
acquise à l’expiration de ce temps #, on a la relation 
générale 


= 2JhS 


dont l’usage est si fréquent dans les questions de méca- 
nique. Nous ferons observer, au sujet de cette relation, 
que dans la démonstration que nous en avons donnée, 
tome I, page 18, nous avons représenté par 9 l’espace 
que les corps pesans décrivent dans la première seconde 
de leur chute libre, où 4",9045975; ce qui donne 2g 
pour l’expression de la force de gravité. On devra donc 
remplacer partout, dans nos deux premiers volumes, 
24 par g, si l’on veut donner à cette lettre la significa- 
tion qu’elle a dans ce supplément et qui est généralement 
adoptée. 

7. L'action des forces accélératrices constantes ne 
peut être comparée à celle des forces instantanées qu’en 
remontant aux élémens indéfiniment petits de l’espace 
et du temps; car si l’on imagine qu’un mobile, après 
ayoir reçu une première impulsion d’une force instan- 
tanée, reçoive, après un temps £, une seconde impul- 
sion dans le même sens d’une autre force égale à la 
première, puis après un temps 2{, une troisième im- 
pulsion, et ainsi de suite, de manière que la vitesse 
communiquée à 
cessivement 


l'origine étant v elle devienne suc- 


20 après le temps t, 


SUR 1. D 
Co ot NME 
CIC CIC, 


on ne pourra évidemment remplacer toutes les forces 
instantanées par une seule force accélératrice con- 
Stante qu’en supposant les intervalles de temps égauxt 
infiniment petits, ainsi que la vitesse v imprimée au 
commencement de chaque intervalle. Dans cette hypo- 
thèse, qui conduit d’ailleurs à des résultats rigoureux, 
si nous désignons par M la masse du mobile, et par dv 
la vitesse infiniment petite qui lui est communiquée au 
commencement de chaque intervalle de temps dt inf- 
niment petit, Mdv exprimera la quantité de mouvement 
infiniment petite, imprimée en même temps au mobile, 
et qu’il conservera pendant toute la durée de l’inter- 
valle dt, pendant laquelle la vitesse do est censée 
uniforme. fMdv où Mo sera donc la quantité de 
mouvement que possédera le mobile après le temps 
fini {, à l'expiration duquel la vitesse effective et finie 
est v; de sorte que si Ja force accélératrice cessait tout- 


FOR 165 
àä-coup d'agir, à la fin du temps #, la quantité de mou- 
vement Mv, demeurerait constante , et le mobile se 
mouvrait comme s’il avait reçu une seule impulsion 
d’une force instantanée — Mo. 


8. Lorsqu'il s’agit de la force de la gravité pour la- 
. k v 
quelle on a l’équation fondamentale g — g> où gt=#®, 
on obtient, en différentiant, gdt = dv, d’où 


Mgdt — Ma; 


ce qui donne Mgdt pour la quantité de mouvement 
qu'acquiert un corps à chaque élément du temps de sa 
chute libre. Observant que Mg représente le poids de 
la masse M (voy. Pois), et désignant ce poids par P, 
on a encore Pdf pour l'expression de cette même quan- 
tité de mouvement. 

9. Les forces accélératrices variées d’une manière 
quelconque se mesurent encore par leur vitesse; mais 
il faut observer qu’on entend par la vitesse de ces forces 
le rapport qui existe entre l'accroissement infiniment 
petit de vitesse, qui a lieu pendant un intervalle de 
temps infiniment petit, et cet intervalle lui-même. 
Voici sur quoi repose cette évaluation. Pendant la durée 
d’un intervalle de temps infiniment petit, on peut con- 
sidérer une force variée comme une force constante 
communiquant au mobile un même accroissement de 
vitesse à chacun des instans de cette durée, accroisse- 
ment constant dont l'expression est évidemment - 
Or, cet accroissement est l’effét de la force, et, par 
conséquent , la représente; ainsi, désignant par ? une 
force accélératrice variée, nous avons généralement 

dv 
? = dt 

10. Force DE PRESSION. La tendance des corps maté- 
riels vers le centre de la terre les fait peser sur tous les 
obstacles qui s’opposent à leur chute; cet effet se nomme 
une pression, et la force de la gravité qui le produit 
reçoit alors le nom de force de pression ou de force 
morte. La force de pression se mesure par le produit 
Mg dela masse M du corps et de la gravité g; où par 
le poids du corps. (Voy. Pons.) 

11. Force DE PERCUSsIOx. La force en vertu de la- 
quelle un corps parcourt uniformément un certain es- 
pace et que nous avons désigné sous le nom de quan- 
tité de mouvement, prend le nom de force de percussion, 
au moment où ce corps en choque un autre. La force 
motrice d’un corps, sa quantité de mouvement et sa 
force de percussion sont donc trois dénominations dif- 
férentes d’une même chose, seulement l'expression 
quantité de mouvement se rapporte plus particulière- 
ment aux Corps qui se meuvent actuellement > et celle 


166 FOR 
de force de percussion aux corps considérés dans le 
moment de leur choc. 

Däns les corps mus d’un mouvement accéléré, la 
quantité de mouvement augmentant continuellement, 
l'intensité du choc est d'autant plus grande qu'il a lieu 
à une plus grande distance de l’origine du mouvement ; 
c'est ce qui explique les effets prodigieux des petits 
corps qui tombent de très-haut. Une pierre du poids 
d’une once, par exemple, tombant de mille mètres, 
produirait un choc égal à celui d’une pierre du poids de 
deux livres tombant d’un mètre, si la résistance de l’air 
ne modifiait les conditions de la chute. Sans cette ré- 
sistance, les désastres occasionnés par la grêle seraient 
bien autrement considérables. (Voyez Percuss10x.) 

12. DES roncEs Mouvaxres. On désigne spécialement 
sous le nom de forces mouvantes les forces appliquées 
à des machines, ou destinées à vaincre des résistances ; 
de là le nom de moteurs donné aux agens qu'on emploie 
pour les produire, tels que les animaux, l’eau cou- 
rante, le vent, la vapeur, les ressorts, etc. La mesure 
des forces mouvantes est un point très-important de la 
mécanique pratique. 

L'effet d’une force mouvante se composé générale- 
ment d’une pression exercée contre un point, eten 
vertu de laquelle ce point parcourt un certain espace, 
pendant que la résistance, qu’on péut considérer comme 
un poids appliqué à un autre point, décrit un autre 
espace. L'appareil qui lie les deux points ou transmet 
l’action de la force à la résistance est ce qu'on nomme 
üne machine. 

13. L’effort exércé par la résistance et que la force 
houvante doit surmonter peut toujours être comparé à 
celui qui serait nécessaire pour élever verticalement 
un poids à une certaine hauteur; car, d’après l’obser- 
vation de M. Navier, il est toujours possible de sup- 
primer la résistance et d’attacher dans sa direction, au 
point où elle agissait , une corde passant sur une poulie 
de renvoi, à l'extrémité de laquelle on Suspendrait 
un poids égal à l'effort ou pression que cette résis- 
tance exerçait. Rien ne serait changé aux conditions 
du mouvernent de la machine, qui resterait exac- 
tement le même, et dont l'effet serait seulement trans- 
formé en l'élévation du poids. Et pendant le temps 
que cette machine aurait employé à exécuter un certain 
Ouvrage donné, un poids égal à l’elfort de la résistance 
se trouvera élevé verticalement d’une hauteur égale à 
l’espace parcouru pendant ce même temps et dans le sens 
de la résistance par son point d'application : l'éléva- 
tion de ce poids représentera donc le travail de la ma- 
chine, et une machine sera censée faire d'autant plus 
d'ouvrage qu'elle pourra élever ainsi un poids plus 
grand à une hauteur plus grande. (Navier, Notes sur 
Bétidor.) 


à FOR 

Mais l'effet du moteur sur la machine peut être éga- 
lement considéré comme l’élévation d’un poids à une 
certaine hauteur, puisqu'on peut, de la même manière, 
remplacer le moteur par un poids égal à sa pression, 
attaché à l’extrémité d’une corde qui passe sur une 
poulie de renvoi, et dont l’autre extrémité serait atta- 
chée au point d'application du moteur; la descente du 
poids remplacera exactement l’action du moteur; et 
comme un poids qui descend est capable de faire mon- 
ter un poids égal à la hauteur dont il est descendu, 
l'effet du moteur; pendant un temps donné, sera 
représenté par un poids, égal à la pression, élevé à une 
hauteur égale à l’espace parcouru, dans le sens de cette 
pression, par son point d'application. 

Les effets du moteur et de la résistance se trouvent 
ainsi représentés de la même manière, ce qui donne le 
moyen de les comparer et de déterminer les conditions 
d'équilibre d’une machine quelconque. 

14. Tout se réduit donc à évaluer numériquement 
l'intensité de la force capable d’élever un certain poids 
à une certaine hauteur dans un temps donné. Or, si 
nous désignons par f et f les forces capables d'élever 
les poids P et P' dans un même temps T à une même 
hauteur H, nous aurons, en partant toujours du prin- 
cipe que l'intensité d’une force est proportionnelle à 
son effet, 


Loose Rp 1e : P’. 


Par la même raison, si f” désigne une troisième force 
capable d'élever le poids P' à la hauteur H° dans le 
temps T, nous aurons aussi 


2.1 1 le —Hlé 
comme nous aurons encore 
ARE LE dE ne 


si f'' est une quatrième force capable d'élever le 
poids P' à la hauteur H° dans un temps T. 0 

Maultipliant ces trois proportions terme par terme, 
ét retranchant les facteurs communs du premier raäp- 
pott ; il viendra 


fifi = PER: D 'HE/s 


c’est-à-dire que deux forces mouvyantes sont entre elles 


comme les produits des poids qu’elles élèvent par les 
hauteurs et par les temps. Ceci posé, si nous prenons 
pour unité de ces forces celle qui élève Punüté de poids 
à l'unité de hauteur dans l'unité de temps ; nous aurons, 
en posant f'=1,P =1, =, Ti, 


f=PBT. 


FOR 


Le produit PHT représentera done l’action de la force 
dans l'intervalle deftemps T, er, par conséquent, PH son 
action dans Punité de temps. Il en résulte la proposi- 
tion suivante : 

L'intensité d'une force mouvante est équivalente au 
produit du poids qu'elle peut élever par la hauteur à la- 
quelle elle l'élève, dans l'unité de temps. 


15. Le produit PH a reçu diverses dénominations. 
Smeaton lui avait donné le nom de puissance méca- 
nique; Carnot, celui de moment d'activité; Monge, 
celui d’effét dynamique; mais on le nomme plus géné- 
ralement, d’après Coulomb, quantité d'action. En 
adoptant pour unités de poids et de hauteur le kilo- 
gramme et le mètre, P représente un nombre de kilo- 
grammes, et H un nombre de mètres, et on donne même 
souvent à ces lettres les caractéristiques Æ et m, et à 
leur produit la caractéristique Æm. (Voy. DYNAMIQUE et 
Errer.) Nous verrons ailleurs comment on applique 
cette évaluation des forces au calcul de l'effet des ma- 
chines. ( Voy. Macmiwe.) 


16. Les forces mouvyantes peuvent encore être repré- 
sentées par le produit d’une masse et du carré d’une 
vitesse, produit qu'on est convenu de nommer une 
force vive, abstraction faite de toute notion métaphy- 
sique. Voici le fait: si une force mouyante, au lieu 
d'exercer une pression P contre un point résistant, 
qui parcourt un espace H en yertu de cette pression, 
avait agi sur une masse #, cédant librement à son ac- 
tion, la masse m, après avoir parcouru l’espace H, 
aurait acquis une certaine witesse v et, par conséquent, 
une certaine force vive mv?; c’est done absolument 
la même chose, pourla force, de consommer une quan- 
tité d'action PH sur une machine, ou d'imprimer une 
force vive mv? à une masse libre m; et il est évident 
qu'on peut indifféremment représenter l'intensité de 
son action par l’une ou l'autre des quantités PH, mv°. 
Or, pour passer de l'une de ces quantités à l’autre, re- 
présentons par M la masse du poids P, nous aurons, g 
désignant taujours la farce de la gravité, P — Mg, et 
par suite, 


PH = MgH. 


Mais, V étant Ja vitesse qu’acquerrait la masse Mi en 
tombant librement de la hauteur H, nous ayons, 
d'après la relation connue (6), 


ainsi 


FOR 167 


Le produit MV? est donc numériquement égal au double 
du produit PH, et il est prouyé qu’une quantité d'action 
peut toujours se transformer en une force vive, c’est 
à-dire en un produit d’une masse par le carré d’une 
vitesse. 

La considération des forces vives étant d’une haute 
importance dans toutes les questions relatives aux ma- 
chines et aux moteurs, nous allons présenter les élé- 
mens de leur théorie. 


17. Des FORGES vives. Sans revenir ici sur la déno- 
mination de force vive donnée au produit d’une masse 
par le carré d’une vitesse (voy. tome IT, p. 35), nous 
rappellerons, une fois pour toutes, que la force vive 
d'un corps en mouvement à un instant quelconque , 
est représentée par le produit de sa masse et du carré 
de sa vitesse effective à cet instant. Nous rappellerons 
également que dans le choc de deux corps parfaitement 
élastiques, 

La somme des forces vives est la même avant et après 
le choc (tome, page 525), mais que dans le choc de 
deux corps incomplètement élastiques, la perte de 
forces vives est d'autant plus grande que l’élasticité de 
ces corps est plus imparfaite. Nous avons démontré 
cette loi de Carnot pour les corps parfaitement durs. 

La différence des forces vives, avant et après le choc, 
est égale à la somme des forces vives qu'auraïent les mo- 
biles, si, après le choc, les masses se mouvaient avec 
les vitesses perdues ou gagnées. ( Voy. Communication pu 
MouyEMEnT. ) 

Ceci posé, pour faire comprendre ce qu’on nomme, 
en mécanique, le principe des forces vives , il nous reste 
à démontrer quelques propositions préliminaires. 

18. L'action d’un moteur ou d’une force-mouyante 
consiste uniquement dans un effort ou pression exercée 
extérieurement contre la surface du Corps auquel la 
force est appliquée. Cette pression peut toujours être 
remplacée par un poids qui donne ainsi sa mesure, et 
il en résulte que l’effort d’un moteur est toujours com= 
parable à l’action de la force de la gravité , et peut s’ex- 
primer de la même manière. Or, si une force mouvante, 
au lieu d'exercer une pression p sur un obstacle immo= 
bile, répartissait son action sur toutes les molécules 
matérielles d’une masse libre », elle lui imprimerait 
un mouvement uniformément accéléré, de sorte qu’en 
désignant par y la vitesse acquise par la masse m dans 
chaque unité de temps, y représenterait la force qui 
agit sur chaque molécule en particulier, et my la ré- 
sultante de toutes les forces partielles ou la force:totale 
qui produit la pression p; les deux quantités p et my 
ont donc entre elles la même relation que celle qui 
existe entre le poids d’un corps et le produit de sa 
masse, par la force de la gravité (voy. Pos); c’est-à- 
dire qu'on à p = my. Ainsi, toutes les fois qu'on saura 


168 FOR 


qu'une force agissant sur une masse M; qui cède libre- 
ment à son action, communique à celte masse une vi- 
tesse y dans chaque unité de temps, on en pourra con- 
clure que, si cette force était appliquée contre un 
obstacle immobile, elle exercerait une pression p —my- 

19. Supposons maintenant qu'un point matériel soit 
soumis à l’action de plusieurs forces accélératrices agis- 
sant dans des directions différentes et qui lui font 
décrire une certaine courbe dans l’espace. En rappor- 
tant cette courbe à trois axes rectangulaires, nous 
pourrons décomposer chaque force en trois autres res- 
pectivement parallèles aux axes, et, Comme les com- 
posantes parallèles à un même axe s'ajoutent entre elles, 
nous n’aurons plus à considérer que trois forces. Nom- 
mons y la somme des vitesses que les composantes 
parallèles à l’axe des æ peuvent imprimer dans l'unité 
de temps, y la même somme pour les composantes 
parallèles à l'axe des y, et y la même somme pour les 
composantes parallèles à l'axe des x. Ces trois quantités 
représenteront les trois forces variées auxquelles se ré- 
duisent toutes les forces du système. Les coordon- 
nées æ, y, # représentant les espaces que le mobile 
parcourt dans le sens des trois axes, nous aurons, 
d'après les lois du mouvement varié (voy. tome E, 


page 20) .….(1) 


Les vitesses du mobile, dans le sens des trois axes, 

seront respectivement de LR qe et, si nous repré- 
dt” dt” dt° 

sentons par v leur résultante ou la vitesse du mobile 

sur le point de la courbe dont les coordonnées sont æ, 

y, z, nous aurons la relation connue (voy. RésuL- 

TANTE) se (2) 


v=V res a 


Multiplions respectivement les trois équations (1) 
par les quantités dæ, dy, dz, et formons leur somme, 
il viendra 


SAR CITE TT = ydx + PAU] +- y dr à 


ce qui uous donnera, en intégrant, 


dx? ? + dr? H , ! 
En + dj + dé — J (ydæ y dy + " dx) - const. 


2df 


ou , d’après l'expression (2), 


= 2 [de LL y'dy + y'dz) + const. 


FOR 


Pour déteriner la constante, observons que la quan- 
tité sans le signe f était nulle lorsque les forces 7, 15% 
ont commencé à agir; de sorte qu’en désignant par v 
la vitesse qu'avait le corps à cet instant, et multipliant 
les deux membres par la masse m du point matériel, 
nous aurons définitivement .….(3) 


L 
Mo? — mo? = 2 J (mydæ + my dy + my'dz) 


équation dont le premier membre représente l’accrois- 
sement de force vive que le mobile a éprouvé depuis 
l'instant où les forces ont commencé à agir sur lui, ct 
dont le second représente le double de la somme des 
quantités d’action imprimées par ces formes au mobile 
dans le même temps. En effet, les quantités m7, My 
mJ" expriment les pressions que les forces agissant sur le 
corps, dans le sens de chaque axe, exercent sur lui (18), 
et par conséquent les quantités mydx, my dy, my dz 
sont les produits des pressions par l'élément de l’espace 
que le corps parcourt, suivant leurs directions respec- 
tives : le second membre de l'équation (3) est donc le 
double de la somme des produits semblables, prise 
depuis l'instant où les forces ont commencé à agir; 
mais le produit de la pression exercée contre un Corps 
par l’espace que ce corps a parcouru dans la direction 
de cette pression est la quantité d'action (12) dé- 
veloppée par la force; donc, 

1° La force vive acquise pendant un certain temps par 
un corps qui se meut par l'action de plusieurs forces 
quelconques est toujours numériquement égale au double 
des quantités d'action que ces forces lui ont imprimées 
pendant le même temps, en prenant négativement les 
quantités d'action quand les espaces parcourus sont en 
sens contraire de l'action des forces. 

o La force vive: acquise par de corps à un instant 
donné, et, par conséquent, lavaleur de sa vitesse, dépend 
uniquement de la grandeur des forces qui ont agi sur 
lui et de l'espace qu'il a parcouru suivant la direction 
de chacune de ces forces, et non point de la figure de la 
courbe qu'il a décrite de la manière dont sa vitesse a 
variée ni de la durée de son mouvement. 

Cette importante proposition est connue sous le nom 
de principe de la conservation des forces vives. On l’é- 
tend facilement au cas général d’un système de points 
matériels liés entre eux soit d’une manière inébranlable 
pour former un seul corps solide , soit assujettis seule- 
ment par des fils et composant un système susceptible 
de changer de figure ; son énoncé devient alors : 

La somme des forces vives acquises par les différens 
points du système pendant un certain temps est toujours 
numériquement égale au double de la somme des quantités 
d'action que les forces agissant sur ces points ont imprt= 
inées pendant le méme temps. 


FOR 


20. Il résulte immédiatement de ce principe que la 
force vive du système est indépendante des conditions 
de la liaison et de la nature des lignes décrites par les 
corps, et peut se calculer uniquement d’après les es- 
paces que les corps ont parcouru dans le sens de chaque 
force. On voit encore que si, à un instant quelconque, 
le système était abandonné à lui-même, et qu'aucune 
force ne vint agir sur lui, la somme des forces vives 
qui auraient lieu à cet instant se conserveraient sans 
altération, quels que fussent les mouvemens que les 
corps prendraient ensuite les uns par rapport aux au- 
tres, et les variations que pourraient éprouver leurs vi- 
tesses. Toutefois, nous devons faire observer que la 
condition fondamentale du principe est qu'il n’y ait 
point de changement brusque de vitesse, c’est-à-dire, 
que les courbes décrites par les points soient continues, 
et que les vitesses de ces points ne varient dans chaque 
élément de temps que d’une quantité infiniment petite. 
Tout changement brusque entraîne une perte de force 
vive qui fait l’objet du principe rappelé ci-dessus (17). 

21. Dans l'application de la théorie des forces vives 
aux machines, on considère chaque moteur comme 
renfermant une quantité déterminée de force vive qu'il 
peut transmettre, à l’aide d’une machine, à une résis- 
tance quelconque ; le calcul de la machine se réduit ainsi 
à la détermination du rapport entre la force vive em- 
ployée et la force vive communiquée. Pour les machines 
mues par des fluides, ce rapport dépend du principe 
suivant, que nous pouvons nous contenter de poser : 

La force vive communiquée à la résistance est égale à 
celle que possédait le moteur, diminuée, et des forces 
vives perdues dans les changemens brusques de vitesse, 
et de celles que le moteur conserve après avoir exercé son 
action. 

29. Force D'INERTIE. L'inertie de la matière (voy. t. II, 
p. 249) est la propriété qu’a chaque corps de persévé- 
rer dans son état de repos ou de mouvement. La force 
d'inertie est la résistance qu’un corps oppose à son 
changement d'état, ou la réaction qu’il exerce sur le 
système des autres corps qui viennent modifier cet état. 

On mesure la force d'inertie d’un mobile par la quan- 
tité de mouvement qu'il imprime à tout autre corps dont 
le choc le fait passer du repos au mouvement ou du 
mouyement au repos, ou enfin d’un mouvement à un 
autre mouvement : cette quantité de mouvement étant, 
d’après la loi d’antagonisme (tome IL, page 249), une 
force égale et opposée à celle qui change l’état primitif 
du mobile. Si l’on décompose donc la vitesse effective 
du mobile, avant le choc, en deux autres, dont l’une 
est celle qu’il doit prendre après le choc, l’autre, mul- 
tipliée par la masse de ce mobile, donnera l'expression 
de sa force d'inertie au moment du choc. (Voy. Carnot, 
Prine, de l'Equil. et du Mouv.) 

Tome ax 


FOR 169 


FORCE ÉLASTIQUE DES GAZ. (Phys, Math.) 
On nomme force élastique d’un gaz l’action qu’il exerce 
contre tout ce qui s’oppose à l'expansion de ses mo- 
lécules. 

Considérons un vase cylindrique fermé, rempli d’un 
gaz, et placé dans le vide. La force d'expansion des gaz 
agissant également dans tous les sens, les parois du 
vase supporteront dans tous leurs points des pressions 
égales et dirigées du dedans au dehors; si nous suppo- 
sons qu’une des parois, une des bases du cylindre, par 
exemple, soit mobile, comme le piston d’un corps de 
pompe, ce piston sera évidemment projeté au dehors, 
et le gaz se répandra uniformément dans tout l’espace 
vide, à moins qu’on n’exerce sur le piston une pression 
extérieure égale à la pression intérieure due à la force 
expansive du gaz; cette pression extérieure, égale et 
opposée à la pression intérieure, donne par conséquent 
la mesure de la force élastique du gaz. Si, au lieu d’être 
placé dans le vide, le vase était placé dans l'air at- 
mosphérique, la pression extérieure à exercer sur le 
piston pour faire équilibre à l’élasticité du gaz ne serait 
plus que la différence entre la pression intérieure et la 
pression de l’atmosphère sur le piston. Dans tous les 
cas, on voit que la force élastique peut être mesurée 
par un poids. 

Imaginons maintenant que la paroi mobile soit un 
véritable piston capable de monter et de descendre dans 
le cylindre sans livrer aucun passage au gaz enfermé, 
et qu’on exerce sur ce piston des pressions extérieures 
de plus en plus fortes. Le gaz occupera successivement, 
par l’effet de ces pressions, des espaces de plus en plus 
petits ; mais quelle que soit la grandeur de chaque pres- 
sion, tant qu’elle demeurera constante, le gaz occupera 
un même espace, et, par conséquent, développera une 
force élastique égale à la pression. Comme aucune pres- 
sion extérieure, même en la supposant infiniment 
grande, ne serait capable de faire descendre le piston 
jusqu'au fond du cylindre, car il faudrait pour cet effet 
que le gaz fût anéanti, il en résulte que les gaz ont une 
force élastique indéfiniment croissante, par laquelle ils 
peuvent résister aux pressions qu'on exerce sur eux en 
se réduisant à des volumes de plus en plus petits. 

Les physiciens emploient, pour mesurer la force 
élastique des gaz, un instrument nommé #nanomèêtre ; 
c'est une espèce de baromètre dont la branche ouverte 
communique avec le vase fermé qui contient le gaz; la 
hauteur de la colonne de mercure, dans la branche 
fermée et vide d'air, indique la pression du gaz, comme 
cette hauteur indique la pression atmosphérique dans 
un baromètre ordinaire. Pour ramener la mesure à un 
poids, il suffit de calculer Le poids de la colonne de 
mercure qui a pour hauteur la diférence des niveaux 
du mercure dans les deux branches de l'instrument. Si, 

22 


170 FOR 


par exemple; la section du tube manométrique est d’un 
centimètre carré, et que la différence des niveaux soit 
de 80 centimètres, la pression exercée par le gaz sur 
un centimètre carré de surface sera équivalente à un 
poids de 1',08687, parce qu’un cylindre de mercure 
dont la base est un centimètre carré et la hauteur 80 cen- 
timètres pèse 1,08687 kilogramme: 

IL est plus simple de ramener les pressions à l’unité 
de surface ou au mètre carré. Dans le cas précédent, 
la pression étant de 1*,08687 par centimètre carré sera 
de 10868/,7 par mètre carré, et ce sera la même chose 
de dire que la pression du gaz est de 10868°,7 par unité 
de surface, ou qu’elle correspond à une colonne de 
mercure de 0",80. 

L'évaluation des pressions en colonnes de mercure 
donne le moyen de les comparer à la pression atmo- 
sphérique, qui sert ordinairement d'unité pour mesu- 
rer les grandes pressions, et dont la valeur moyenne 
est représentée par une colonne de mercure de 0",76 
de hauteur, Ainsi, lorsque la force élastique d’un gaz 
fait équilibre à une colonne de mercure de 0",76;, on 
dit qu’elle est équivalente à wne atmosphère; elle serait 
équivalente à deux atmosphères si la colonne de mercure 
était 1,52, et ainsi de suite. Pour rendre toutes ces 
mesures exactement correspondantes, il est essentiel de 
ramener les longueurs des colonnes de mercure à ce 
qu’elles seraient si elles avaient toutes la température 
de la glace fondante, qui est celle où la presssion 
moyenne de l’atmosphère, à la surface de la mer, est 
de 0",76; comme il est important ; aussi, d'employer, 
pour les conversions en poids; le poids du mercure à zéro 
degré de température, En tenant compte de toutes ces 
circonstances ; si nous désignons par là hauteur de la 
colonne de mercure qui mesure la force élastique d’un 
gaz, nous pourrons représenter cette force par les trois 
quantités 


h, 15598, ns 


La première est simplement la colonne de mercure; la 
seconde est la pression en kilogrammes sur l’unité de 
surface, parce que le poids du mètre cube de mercure 
est de 135598 kilogrammes, et la troisième est un 
nombre d’atmosphères. Soit, par exemple, k — 1,14; 
on pourra dire indifféremment que la pression du gaz 
est 1°,14, où qu'elle est de 15598 X 1,14 — 15501%,52 


a 1 
par unité de surface, ou enfin qu’elle est de 1 — at- 
2 


mosphères. 

La force élastique des gaz varie avec leur tempérä= 
ture. Les observations ont fait connaître qu'un même 
poids de gaz, soumis 4 une pression constante ; se dilaté 


FOR 


à mesure que sa température s'élève, et que cette di- 


. à 1 
latation, la même pour tous les gaz; est de 267 ou 


de 0,00375 de leur volume à o° pour chaque degré cen- 
tigrade d’accroissement de température. 

On sait en outre que la loi de Mariotte (voy. tome I, 
page 55) s'applique à tous les gaz simples, c’est-à-dire 
que lorsque la température d'un même poids de gaz de- 
meure constante, les volumes qu'il prend, par l'effet de 
diverses pressions, sont en raison inverse de ces pressions, 
et que les densités sont en raison directe des pressions ow 
des forces élastiques correspondantes. 

Ces deux lois qui subsistent ensemble, du moins 
dans les limites des expériences faites jusqu’à ce jour, 
vont nous donner les moyens de déterminer les rela- 
tions numériques qui existent entre le volume, la tem- 
pérature et la force élastique d’une même quantité en 
poids d’un gaz quelconque. 

Nommons A le volume d’un gaz à la température 
de o° et sous la pression »; A’ ce que devient ce vo- 
lume à la température de p degrés et sous la même 
pression ; et B le volume du gaz à la température 
de p degrés et sous la pression H. Nous avons, d’après 
la loi de la dilatation des gaz, 


(Gi)... À'= À (1 + 0,00175p); 
et, d’après la loi de Mariotte ; 


B:A —=k:H; 


6)... B= = A”. 


Substituant dans cette dernière expression la valeur 
de A’ donnée par la première, nous obtiendrons la re- 
lation générale entre les cinq quantités À, B, k, H,p, 


kh 


GE H (140,00375 p) À, 


J 


au moyen de laquelle on pourra calculer l’une quel- 
conique de ces quantités lorsque les autres seront 
données. 

Lorsqu'on connaît la force élastique d'un poids de 
gaz à la température 0°; il est facile de trouver celle 
qu’il acquiert à une température quelconque, son vo- 
luine restant le même. En effet, dégageant H de l’équa- 
tion (3) et faisant AB ; il vient 


H— h (1 + 0,00375 ph. 
Soit, par exemple, p — 100°, on a. 


H == h (13395) 


FOR 

c’est-à-dire que la force élastique d’un gaz quelconque 
croît dans le rapport de 1 à 1,375 lorsque sa tempéra- 
ture s’élève de 0° à 100° sans qu’il change de volume. 

Les expressions précédentes nous conduisent encore 
à la détermination du poids de l’unité de volume d’un 
gaz dans les diverses circonstances qui font varier sa 
densité. Désignons par P le poids de cette unité de 
volume lorsque le volume est A, c’est-à-dire, lorsque 
la quantité de gaz est soumise à la pression À, et que sa 
température est 0°, et par Q le poids de l’unité de vo- 
lume de la même quantité de gaz à la température p de- 
grés et sous la pression H, ou lorsque son volume est B. 
Dans le premier cas, le poids total du gaz sera exprimé 
par AP, et dans le second par BQ; mais le poids total 
est supposé inyariable, ainsi 


AP BQ; 
ou 
A 
GERS, 


Prenant la valeur du rapport = dans la relation (3), 


et la substituant dans cette dernière égalité, nous 
aurons 


pe P H 
NET TAUS 

Pour montrer l'application de cette formule, propo- 
sons-nous de déterminer le poids d’un mêtre cube de 
gaz hydrogène à la température de 100° centigrades, 
et sous la pression de 0",80. Sachant que le poids du 
mètre cube d'hydrogène, à la température o° et sous la 
pression moyenne, est de 89,4, nous ferons P— 89,4 ; 
h— 0",76; et comme nous avons, d’après la question, 
H — 0",80, et p— 100, la formule nous donnera 


le poids demandé est donc à peu près de 68 grammes 
et demi. 


Voici la table des poids d’un litre des principaux gaz, 
d’après les expériences les plus exactes. 


Table des poids d'un litre de gaz à o°, et sous la pression 


de 0",76. 
Nom des gaz, Poids en grymmes. 
Air atmosphérique. .,, . , , ,,..,.  1,2901 
Gaz hydriodique. . . .. ..., ., .., 5,719 
=? fluossilicique.". NOEL 416425 
— chloro-carbonique., , ,,, ,,, . 4,456 


171 


Noms des gaz, Poidsen grammes. 


Chlore- CA ce nr dos 
Gaz euchlorine.. M ete CIM; 008: 
— fluo-borique. .. . 4 . . . . . . . . 3,0800 
— sulfureux. .. . . . bide Sec + . '2,8489 
CyYanrene MNT Re re ete en DTA 0 
PrOtO VAE d'AZO TÉL Me be elle semence ne 1,9752 
ACIde CarDonIque- nie - ee ete se 139800 


Gaz chlarhydrique. . . . . . - . . . . « 1,620ù 
— sulfhydrique.. . + ++ + + ++  1,5475 
3 


OxyLÈNE neo noetais one elbhels susicds4 
3 


Deutoxyde d'azote. . . , . . . . . . . . 1,5495 
Gav'oléfant-2:0.2049 OU MORIN MNT 12702 
A OtE RER ARNO) HE SPORE 09 0678 
Gaz oxyde de carbone. . . . . . . . .. 1,2451 
Gaz ammoniaque. « . + « : « » + =.» + 057792 


— hydrogène carhoné. . « . . ... « . 0,7270 


Hydrogène. . «er seu: 


La force élastique des vapeurs n’est pas, comme celle 
des gaz permanens, susceptible d’un accroissement in- 
défini; car, lorsqu'on comprime une vapeur, il arrive 
toujours un point où la vapeur se condense et repasse à 
l'état liquide : sa force d'expansion n'étant plus sufi- 
sante pour faire équilibre à la pression; mais, hors de 
ce point de condensation, les vapeurs isolées se com- 
portent exactement comme les gaz, et on peut leur 
appliquerles lois précédentes. Il est probable que, si l’on 
pouvait produire des pressions suffisantes, tous les gaz 
se liquifieraient; c’est du moins ce qui a été fait pour 
plusieurs gaz considérés jadis comme permanens, et 
nous devons en conclure que la loi de Mariotte et celle 
de la dilatation des gaz ne s’étendent pas généralement 
à toute température et à toute pression. 

La force élastique des vapeurs se nomme plus parti- 
culièrement tension, et on désigne sous le nom de fen- 
sion maæimum celle qui fait équilibre à la pression au 
moment où la vapeur est contrainte de repasser à Pétat 
liquide. Dalton, à qui on doit à peu près tout ce qui est 
connu sur la théorie des vapeurs, a reconnu : 

1° Qu'un liquide vaporisable, mis en contact avec un 
espace vide, émet instantanément toute la vapueur qu'il 
pont former ; 

2° Que la quantité de vapeur produite est proportion- 
nelle à l'étendue de l’espace vide; 

5° Que sa force élastique est indépendante de cette 
étendue, c’est-à-dire qu’elle a une valeur déterminée 
pour chaque température , laquelle ne varie point lors 
même que l'étendue de l’espace vide varie; 

4" Qu'en augmentant l’espace dans lequel Ia vapeur 


172 FOR 


se forme, il s’en émet une plus grande quantité, s’il y 
a excès de liquide; 

5° Enfin, que si tout le liquide ‘est vaporisé, la va- 
peur se dilate comme un gaz. 

Dans ce dernier cas, si l’espace diminue ou si la tem- 
pérature baisse, une portion de la vapeur repasse à 
l'état liquide, de manière que la partie restant à l’état 
gazeux n’a que la tension et la densité qui doivent cor- 
respondre à la température, d’après ce qui vient d’être 
dit57 

Dalton a reconnu, en outre, que lorsqu'il se trouve 
une quantité suffisante de liquide, chaque accroissement 
de température produit une émission de nouvelles va- 
peurs et que la force élastique de ces vapeurs croit 
beaucoup plus rapidement que celle des gaz dans les 
mêmes circonstances. Par exemple, la force élastique 
dela vapeur d’eau sur un excès de liquide croit dans 
le rapport de 1 à 150, lorsque la température passe de 
0° à 100; tandis que celle des gaz permanens et des 
vapeurs isolées n’augmente que dans le rapport de 1 à 
1,975. C’est cet âcéroissement prodigieux de force élas- 
tique qui rend la vapeur d’eau le plus précieux et le 
plus puissant de nos agens mécaniques. 

1l y a donc deux cas à considérer pour évaluer la 
force élastique des vapeurs : celui où elles sont pro- 
duites sur un excès du liquide vaporisable, et celui où 
elles sont isolées et soumises à des pressions inférieures 
à leur tension maximum. Dans ce dernier cas, les va- 
peurs se comportent comme les gaz permanens, de sorte 
que tout ce que nous avons dit de ceux-ci leur est ap- 
plicable. Dans le premier, les vapeurs ne peuvent ni 
augmenter, ni diminuer de tension par la diminution 
ou l’augmentation de l’espace qu’elles occupent; mais 
cette tension varie beaucoup plus rapidement que celle 
des gaz par les changemens de température. Quant aux 
lois de la variation des tensions , elles sont encore in- 
connues. 

L'emploi de la vapeur d’eau comme moteur devait 
engager les physiciens à s'occuper de la détermination 
de sa force élastique à de hautes températures; cepen- 
dant , jusqu’en 1830, où furent publiées les expériences 
faites par MM. Arago et Dulong, d’après la demande 
du gouvernement français, on ne connaissait que des 
tensions inférieures à huit asmosphères, et encore les 
résultats obtenus par différens observateurs étaient loin 
de s’accorder entre eux. MM. Arago et Dulong, à l’aide 
d'appareils très-ingénieux et en employant un mode 
d’expérimentation qui ne permet pas de supposer Ja 
moindre erreur, ont constaté directement les tensions 
de la vapeur d’eau , depuis sa production à 100° jusqu’à 
la température de 224°,2 où elle est équivalente à 24 
atmosphères, Leurs résultats sont consignés dans le 
tableau suivant, 


FOR 
Table des forces élastiques de la vapeur d'eau et des tem- 
pératures correspondantes de 1 à 24 atmosphères. 
Pression 


Températures comptées Tension de la vapeur. 


sur en prenant la pression de sur un centimètre carré 
le thermomètre à mercure. l'atmosplière pour unité. en kilogrammes. 
100° 1 ; 1*,033 
112 2% 1e 1, 549 
121,4 . D 50 2, 066 
128,8 . CUP : 2, b82 
1395124 3h Start CHAN AICU) 
140,6 . Del acie as i0ie 
VAS ARE hibarnt ce COR 
1000, CL dede ETeRN lI ON 
153,08. . PT EL da En) 
10280 CT RO 5, 681 
HD or ob av0 GS LT 6, 198 
165,48. où 6, 514 
1600 6. Giue Ts 291 
169,37. 7e 7» 747 
172,1 So. dc 8, 264 
1575 2e ee ED boue 9: 297 
RORO NE PRIRNRNTUE 10, 330 
SOON dés 7010 MU 000 11, 203 
10030 te CE ET 00 
1007 UOE 13, 429 
19710-20102 
200,48. T0 UD «€ 15, 499 
202:60. ED 9 16, 528 
AN malo do D 7 c 17, 501 
209,4 « 0 lo dolo à 18, 594 
212 100 EU 19 . 19, 027 
214,7 20 20, 660 
217,2 - o DIN 21, 693 
219,0 . 22 22, 726 
221,9 + 23 23, 759 
DER 24 , 24, 792 


La température et la force élastique sont liées, dans 
les limites de cette table, par la formule 


f—=(1+o,7155t)}, 


dans laquelle f désigne la tension exprimée en atmo- 
sphères, et {la température à partir de 100", et en pre- 
nant pour unité l'intervalle de 100°. Par exemple, pour 
connaître la force élastique correspondante à 180°, il 
faudrait faire t— 0,80. Cette formule s'adapte si bien 
aux expériences que, quoique sa déduction soit entiè- 
rement empirique, on croit pouvoir étendre son appli- 
cation jusqu’à à0 atmosphères, au moins, sans craindre 
des erreurs trop considérables, Si l’on voulait con- 
naître, par son moyen, à quelle température la vapeur 


FOR 


a une tension de 5o atmosphères, on lui donnerait la 
forme 


c’est-à-dire que la température cherchée est de 265°,89. 
Examinons maintenant comment on peut employer 
les gaz et les vapeurs en qualité d’agens mécaniques. 
Une quantité donnée de gaz renfermé dans un vase 
est un ressort comprimé. En le laissant se dilater et 
passer de son volume actuel À à un autre volume B, 
cette dilatation pourra produire une certaine quantité 
d'action évidemment égale à celle qu'il faudrait em- 
ployer pour comprimer le gaz du volume B au volume A. 
Supposons que dans ses variations de volume le gaz 
conserve toujours la même température, et considérons 
un volume de gaz contenu dans un cylindre dont la 
base ait l’unité de surface, et qui soit fermé par un 
piston contre lequel on exerce toujours une pression 
capable de faire équilibre à la force élastique du gaz. 
Nommons À et B les volumes du gaz à deux époques 
données; æ une valeur intermédiaire quelconque entre 
A et B; H la hauteur de la colonne de mercure qui fait 
équilibre à la force élastique du gaz, quand son volume 
est A; p le poids de l'unité de volume du mercure. 
Les pressions étant en raison inverse des volumes, 
lorsque la température est constante, nous aurons, pour 
la pression exercée contre le piston mobile, lorsque le 
volume du gaz est æ, 


Pa À 
PH =. 


La quantité d'action pour diminuer ce volume de dx 
sera donc 


— pH. - de. 


A 
z 

Prenant l'intégrale de cette quantité, entre les limites 
æ— À et æ — B, nous obtiendrons, pour la quantité 
d'action capable de faire passer le volume de la gran- 
deur B à la grandeur A, l'expression 


B 
HA log 
l o A ? 
qui représente en mème temps la quantité d'action que 


le gaz peut développer en se dilatant librement du vo- 
lume À au volume B. 


FOR 173 


Si le piston supportait sur sa face extérieure une 
pression constante mesurée par le poids d’une colonne 
de mercure d’une hauteur —}}, on aurait pour lapres- 
sion en sus qu'il faudrait exercer contre ce piston, 
quand le volume du gaz serait æ, 


eH°. = = ph; 


la quantité d’action nécessaire pour diminuer le volume 
de dx deviendrait 


À 
(ui »)de 


Intégrant entre les limites & = A, æ— B, on trouve- 
rait, pour la quantité d'action développée par le gaz, 
en se dilatant du volume A au volume B, sous la pres- 
sion constante ph, 


uHA . log : — ph (B—A). 


Ce résultat nous apprend que si, sous la pression À 
on avait échauffé un volume de gaz À, de manière à lui 
procurer une force élastique H plus grande que h, et 
que, maintenant toujours la température au même 
degré, on laissait dilater ce gaz jusqu’à ce que son vo- 
lume fût devenu B, la quantité d'action qu'il aurait pu 
produire serait capable d’élever à un mètre le nombre 
de kilogrammes qu’on obtiendrait en substituant dans 
la formule les valeurs numériques représentées par les 
lettres. 

L'évaluation des effets des machines à feu est prin- 
cipalement fondée sur la comparaison entre la quantité 
de chaleur développée et la quantité d’action obtenue. 
Connaissant la capacité calorifique d’un gaz (voy. Cn4- 
LEUR), On peut bien déterminer la quantité de chaleur 
nécessaire pour élever la température d’un volume 
constant de ce gaz; mais comme la température des 
gaz s’abaisse lorsqu'ils se dilatent, il serait nécessaire, 
lorsque le volume augmente, de fournir de nouvelles 
quantités de chaleur, et la science ne possède pas encore 
les moyens d'évaluer exactement soit la quantité de 
chaleur nécessaire pour maintenir à une même tempé- 
rature un gaz qui se dilate, soit l’abaissemont de tem- 
pérature quirésulterait de sa dilatation, si les parois dans 
lesquels il est contenu ne lui transmettaient point de 
chaleur. On ne peut donc encore soumettre à un calcul 
exact les machines dans lesquelles l’agent moteur serait 
un gaz échaufTe. 

Conservant les dénominations précédentes, consi- 
dérons encore le cas où la pression du gaz sur le piston 
demeure constante, ce qui a lieu lorsqu'une nouvelle 
quantité de fluide vient à chaque instant compenser la 


17% FRA 


diminution d’élasticité produite par la dilatation, et ce 
qui est proprement le cas de la vapeur d’eau dans Îles 
pompes à feu. &H étant toujours la pression intérieure 
lorsque le volume est A, le sera encore lorsque le vo- 
lume est B; et, pour diminuer ce volume d’une quan: 
tité dæ, le piston étant supposé libre de toute pression 
extérieure, il faudra employer contre ce piston une 
quantité d’action égale à 


vHdx. 


La quantité d'action pour ramener le volume, B au 
volume A, ou la quantité d'action développée par la 
vapeur, en passant de À à B, sera donc l'intégrale de 
eHdæ prise entre les limites æ = À, æ = B, c'est- 
à-dire 


EH (B—A). 


Il est facile de voir que si le piston supportait une pres- 
sion extérieure constante ph, la quantité d’action de la 


vapeur serait 
B(H—4) (BA). 


Nous examinerons ce qui concerne plus particuliè- 
rement la vapeur de l’eau au mot Vareun. 


FRACTIONS CONTINUES. (4lg.) La théorie des 
fractions continues, considérée sous le point de vue gé- 
néral indiqué tome I, page 580, et tome IT, page 545, 
estune partie très-importante de la science des nombres, 
car on a pu voir, dans les articles cités, que ces fractions 
constituent un mode universel de génération technique 
souvent plus simple que les développemens en séries, 
et toujours préférable sous le rapport de la convergence. 
Nous allons compléter ici plusieurs points essentiels de 
cette théorie et examiner ce qu'on nomme les fractions 
continues périodiques, dont nous n’ayons point parlé 
dans nos deux premiers volumes, 

1. X exprimant une quantité quelconque, la forme 
la plus générale de sa génération technique en fraction 
continue est 


X= a+ 
a+ b, 


Dig rss 
a; etc. 
b, b, b, 
dans laquelle les fractions partielles —, —*, —*, etc., 
Ua 55 Ga008s 


ont reçu le nom de fractions intégrantes, que nous leur 
Conserver ons: 


FRA 
Si l’on prend successivement la somme de 4, avec 


une, deux, trois, etc., fractions intégrantes, on obtiendra 
les réductions consécutives 


db au th 
a, a TO 
db — dada, baba, 


ab 


(42 


aa, —+-b, 2 
* 


2 


an, anna the ban, +b,a bb, 


ds ba; ba $ 


etc. = etc., 


auxquelles on peut donner les formes suivantes, plus 
propres à rendre sensible la construction du numéra- 
teur et du dénominateur de chaque somme, au moyen 
des numérateurs et des dénominateurs des sommes pré- 
cédentes ; 

did + D 

Ur 
a (ae +) + ba 
4 + b, 5 


Formant donc deux suites de quantités P,, P,, 
P,, etc. Q,, Q,, Q,; d’après la loi très-simple de con- 
struction .... (a) 


Pi — "04 

Pi al bi 

P, = a P,+b, P, 
P, = LA P,+0b,P, 
P,—al,+0,P;; 


Q=1 

Q=4aQ 
Q=a Q+biQ 
Q,—=a, Q,+t,Q 
Qu Q+bQ; 


etc. —1elc. etc. —etc. 
Pop Pop Pons Qu Gp Qui bp Qu, 
on aura évidemment 
à =» 
0 
P b 
= af | 
1 1 
P, b 
eh LE eu > 
@ saubsl 
1 
2 
etc. —=1elc 


FRA 


a grain Pre Eu + ND que 
En général, -# &éra la valeur donnée par les u pre- 
EH 
mières fractions intégrantes, ou la valeur de la fraction 
continue en ne tenant pas compte de tout ce qui suit 
le dénominateur @,. 
Or, les quantités successives Fe 
> ñ ? 
Q, GP ü 


nous nommerons fractions principales, sont alternati- 
vement plus petites et plus grandes que la valeur to- 
tale X de la fraction continue, et il est essentiel, avant 


, eic., que 


tout, de pouvoir déterminer le degré d’approximation 
qu’on obtient lorsqu'on choisit une quelconque de ces 
fractions pour valeur approchée de X. 

2. Si nous prenons la différence de chaque fraction 
principale avec celle qui la suit immédiatement, nous 
trouyerons 


Po = Pi Po a Pi O 
Q Q QU ” 
RER Q:P:0, 
Q, Q, Q,Q, és 
1 Ph — P,Q 
= 7 mt) 3_X2 
Q; Q, Q,Q, à 
etc. — etc., 


et, en général, 


Pons Pa Pot Qu — Po Qui 
Qu Qi 


Ces différences peuvent servir de limites pour ap- 
précier le degré d’approximation de chaque fraction 
Hé car la valeur totale X étant comprise entre 


, On a nécessairement 


M ta 
Puy ul Py fre: 
Qui Q: Qu j 


Pur 
Qu 


l'erreur en plus ou en moins sera plus petite que 


Ainsi, en prenant pour valeur approchée de X, 


Pet Qu Pa Que , 
Qui Qu 


5. Les numérateurs de la suite des différences des 
fractions principales consécutives ont entre eux des re= 
lations qu’il est nécessaire de connaître. Considérons 
les deux différences successives 


Pur _ P,_ _ Pr Qu 2 Qui — — Pys Qu, 
Qu2 Gen Que Qui 
Pons _ Pe = Puni Qu — Pa Qu 
Qs Qu QE ? 


FRA 175 


et observons qu’on a; d’après la loi (a) de construction, 


Po = du Pui + bai Pos, 
Qu = du Qu bu Qu 


Si nous multiplions la première de ces égalités par 
Qu, et la seconde par P,;, il viendra 


Pa Qui = dp Pas Qu + bus Po2 Qui 
Par Qu = ap Pys Qui bai Pas Que, 


d’où, en retranchant la première égalité de la seconde, 
Pa Qu ee Py Qui == bis [r. Qu-2— Po Qu] , 


ce qu'on peut mettre sous la forme 


Pas Qu —Py Qui — bp [re PQ] . 


Il résulte de cette expression que le numérateur 
d’une différence quelconque est égal au numérateur de 
la différence précédente pris avec un signe contraire et 
multiplié par le numérateur de la dernière fonction in- 
tégrante employée. En désignant par D, le numérateur 
d’une différence, nous avons donc la relation générale 


Du =— bu Du s 
et, par suite, les égalités 


Dani =— bp Duo) 


Das —=— dus Du. 
D,—=— 0, D,, 
D,=—0,D,, 


dont la dernière se réduit à 
D,——0, X —b,, 

à cause de 
D, — pe Q, — 


P,Q,=a,a,— da, a, —b,. 


Substituant la valeur de D, dans celle de D, , puis celle 
de D, dans celle de D, , et ainsi de suite, nous obtien- 
drons pour la construction absolue de D, l'expression 
[es 

De=(—1}". 


DD DT on bu; 


ce qui nous donne, pour la différence générale,.…..(b) 


Rss 
—@ EC de 


bons 


Lorsque tous les numérateurs des fractions intégrantes 


176 FRA 


sont égaux entre eux, cette différence générale est sim- 
plement, b désignant le numérateur commun ;.... (6) 


fol 
(— 1) . DO . 


En faisant b— 1, ce qui est proprement le cas des 
fractions continues numériques, on obtient pour lex- 
pression générale de la différence entre deux fractions 


principales consécutives ….(d) 


2 1 
Ga) "Dia 0% 


comme nous l'avons démontré, tome Ï, page 377. 

4. Ces relations générales étant posées, procédons 
à l'examen des fractions continues périodiques, c’est-à- 
dire des fractions continues composées d’un nombre 
déterminé de fractions intégrantes se reproduisant dans 
le même ordre à l'infini. Telles sont, par exemple, les 


fractions 


dont la première n’a pour période qu’une seule fraction 
P 


_—. 1 ! xEt 
intégrante —, et la seconde deux fractions a 3 Quel 
a 


b 
que soit le nombre des fractions intégrantes d’une pé- 
riode, la valeur totale de la fraction continue est, 
comme nous allons le voir, une quantité irrationnelle 


du second degré. 
Désignons par æ la valeur inconnue de la fraction 


: Ps Je à e . NA 1 
continue périodique à une seule fraction intégrante Ze 


ou posons + 


Aucune différence finie ne pouvant exister entre les va- 
leurs de la fraction continue prise en partant de la pre- 
mière ou de la seconde fraction intégrante, nous avons 


évidemment encore 


d'où 


ad Let, 


FRA 


équation du second degré qui donne pour la valeur 
de æ 


D = — + iv/(at +4). 


Soit, par exemple, « = 2, on a 


R=— 14 V8=— 1 +2 


Ainsi, 


Soit encore 4 —6, ce qui donne æ = — 3 + 1/10, 


on aura de même 


5. Désignons toujours par + la valeur de la fraction 
RE 
a b? 


nous aurons, en coupant la fraction après la première 


continue à périodes de deux fractions intégrantes 


période, 


d’où 


el, par suite, 
ax? + abx — b, 


équation du second degré, dont on tire 


hifi 


FRA 


Dans le cas, par exemple, de a = 2, b = 4, on aurait 


Fr 
4 + etc. 


Il est facile de voir qu’en suivant la même marche 
on ramènerait à une quantité irrationnelle du second 
degré la valeur d’une fraction continue périodique 
quelconque. 

6. Réciproquement, une quantité irrationnelle du 
second degré étant donnée, on peut toujours la déve- 
lopper en fraction continue périodique. Voici, d’abord, 
le procédé connu. Soit proposé |/11; la valeur de cette 
racine étant comprise entre 3 et 4, posons 


1 
V11=3+— 
À 
et dégageons de cette équation la valeur de À, ce qui 
donne 


V1 —3 


Multipliant les deux termes du second membre par 
V/11+-5, il viendra 


reve +3 


2 


N— 


» 


à cause de (1/11—53) (1/11 5) —11—5— 0. Or, 
la valeur du numérateur du second membre étant entre 


53 —6Get 4 + 35 — 7, celle de A est entre Ÿ et 2; 


elle donne 5 plus une fraction que nous désignerons 


1 
par DB? en posant 


We 
FE ne =5+À, 
nous aurons donc déjà 
Cr Ni 
re 
B 
mais 
1 ARGENT 


FRA 177 


Multipliant les deux termes de la fraction par |/11+-5, 
il viendra 


2(V/11—È53 
p = ALES) = 1/11 +5, 
d’où nous pourrons poser 


B=V/1+5=6+—; 


ainsi 


= 


V/11=53 + 


La dernière équation donnant 


Vire = Vis; 


et 


on voit que la valeur de C est la même que celle de A, 
de sorte qu'en partant de À ou de C, on ne peut que 
trouver la suite des mêmes dénominateurs 5 et 6 à l’in- 


fini. On a donc définitivement 


7. Tout l’artifice de cette transformation consiste à 
déterminer ainsi les dénominateurs des fractions inté- 
grantes successives, jusqu’à ce qu’on ait trouvé pour 
l’un de ces dénominateurs une expression identique 
avec celle d’un dénominateur précédent ; on connait 
alors toutes les fractions intégrantes d’un période, et, 
par conséquent, la fraction continue elle-même. On 
trouverait, de cette manière, pour|/6, par exemple, 


V6 — o Be 
lé à 2(/6+ 2) _,, : 
LP 6 — 2 a SM CÈ 
x 1 + 
Créer 


22 
7 


178 FRA 


arrêtant le calcul à €, parce que l'expression de € est 
identique avec celle de A, on a 


V6 = 2 


comme nous l’avons trouvé ci-dessus par l'opération 
inverse, c’est-à-dire en partant de la fraction continue 
pour obtenir sa valeur totale. Prenons pour dernier 
exemple 1/15; voici le tableau des calculs : 


V15=5+, 
mt 
ri mn ET 
= — VER i+S, 
D Mit, 
Eng V15 +565, 
F5 


1 + etc. 


8. Voici maintenant un autre procédé beaucoup 
plus simple et qui n’exige aueun calcul de transforma- 
tion. Soit N un nombre entier quelconque, mais dont 
la racine carrée est irrationnelle, Désignons par @ la 


partie entière de la racine, et par = sa partie fonction- 


2x | = 


naire, nous aurons ..…(&) 


Élevant les deux membres de cette égalité à la seconde 
puissance, nous obtiendrons l’équation 


(N—a)2 = 2a%+ 1; 


FRA 


ou désignant, pour plus de simplicité; N — «à? par b, 
be? — 90% + 1; 


divisant les deux membres de cette dernière par bz, il 
viendra 


remplaçant # dans le second membre par sa valeur 
donnée par ce second membre, on aura 
L4 


"520 1 
Se ARRETE 24 1 
(D +5) 
ca 1 


24 1 
TOR 7 
24 1 
ENST 
24 + => 
12 


et ainsi de suite, à l'infini. 
Substituant la valeur développée de # dans (e), nous 
aurons généralement ….(f) 


VA=a+ 
NU 
TE 
b 
2a +1 
BTE. 


re 24 1 
Toutes les fois que sera un nombre entier , la ra- 


cine W/N sera donnée par une fraction continue à pé- 
riode de deux fractions intégrantes; dans tous les au- 
tres cas on la ramènera à la forme très-simple …. (9) 


FRA 


Soit, par exemple, N—15, on a alors «—5 ct 
N—@&@—15—9—4—b; donc 


: PR. b 
9. Lorsque les fractions intégrantes — sont beau- 
= 24 


coup plus petites que l'unité, les fractions principales 
consécutives convergent si rapidement vers la valeur 
totale de [/N, qu'il n'existe aucun moyen plus simple 
et moins laborieux, pour obtenir les valeurs approchées 
de cette quantité, que d'effectuer les calculs, d’ailleurs 
si faciles, indiqués par les expressions (a). Prenons 
pour exemple |/487, dont la valeur entière est 22, ce 
qui nous donne 


_N— 487, a— 22, b—N— 0 — 487 — 484 —53, 
et, par suite, 
1487 = 29 + 7 
44 +5 
44 +5 
44 + etc. 


Comparant avec les formules générales (4), nous avons 


4, — 22; 


d’où 
P, = a2, OL ee 
P,— 971; Qi = 44; 
P,— 42790,  Q@— 1959, 
P, — 1885673, Q;, —= 85448, 
CÉC ES ou ae 


Si l’on ne demandait que six décimales exactes à la ra- 
cine, la troisième fraetion principale 


P, _ 42790 
Q; 1939 


serait déjà suffisante, car, d’après l’expression (d), on a 


53 


De. 
a 7/70 Re 
Q VAT ST SEE 


ce qui donne, en réduisant en décimales, 


P 
V/487 — Q. <0,000000162..., 
3 


FRA AE 
Or, 
42790 =, b6o:6S5::.. 
19929 ‘ 


Ainsi, comme les deux dernières décimales seules peu- 
vent être trop faibles, on a, avec six décimales exactes, 


V/487 — 22,068056. 


La quatrième fraction principale © , réduite en déci- 


N3 
males, donne 


1885673 


DEP den 22, 068 076 490 96... , 


dont les neuf premières sont exactes. Pour s'en assu- 
rer, il faut calculer Q,, afin d’avoir la limite 

me 

QQ 
On trouve Q,— 3655529; et, en réduisant la différence 


en décimales, il vient 


EE — DDreee 
BAS X 3655629 0, 000 000 000 259 


C’est la limite de l'erreur en plus qu’on peut commettre 


à pour la valeur de |/487; on a donc; 
[A 


avec neuf décimales exactes, 


en prenant 


V/487 — 22, 068 076 490. 


Cet exemple nous parait suffisant pour montrer l’utilité 
des fractions continues dans l'extraction des racines 
carrées. 

10, Quels:que soient les avantages que nous venons 
de signaler, l'usage des fractions continues, pour l’ex- 
traction des racines, serait bien borné s’il ne pouvait 
s'étendre aux racines des degrés supérieurs au second; 
mais cette extension a lieu, et nous allons exposer une 
méthode générale qui embrasse les irrationnelles de 


tous les degrés. Considérons la racine du degré » d'un 


m 
nombre entier quelconque N , /N ; désignons par a la 
plus grande puissance m contenue dans ce nombre, et 


par  l’excès de N sur &, nous aurons 


Lu m m b dù 
VN=Vu+= Va. (+2) 


m 
a étant une puissance exacte, le facteur |/&est un rom- 


150 FRA 


bre entier; ainsi, nous avons seulement à nous occuper 
1 


ed b [LUS 
de la quantité irrationnelle (1 +=) + 
Fee 
Pour appliquer à cette quantité le développement en 


fraction continue du binome (1 + x)" que nous avons 


donné tome I, page 585, substituons dans ce dévelop- 
ES b £ 
pement nm - à æ, el nous obtiendrons, toutes ré- 


ductions faites (4) 


D'\ve b 
( +) D nn 


Sma+-(2m—1)b 


RC 


5ma—- etc. » 


expression dont la loi est évidente, car la suite des nu- 
mérateurs est 


b,(m—1)b, (m+1)b, (2m—1), (2m+1)0, (8m—1)0, (3m+41)b, etc. 
et celle des dénominateurs 


ma, 2, 5ma, 2, 5ma, 2, gma, 2, gmA, 2, etc. 


4 


& Fe 

Nous choisirons pour exemple 1/17, dont nous avons 
trouvé par un autre procédé (voy. ci-dessus, page 131) 
que la valeur est, avec dix décimales, 


4 
V/17 = 1, 0305451848. 
La comparaison des deux calculs pourra montrer la su= 


périorité de la présente méthode. 


& 
La partie entière de |/19 étant 2, 24 —:16 est la plus 
PS DrO 1SS pe 
grande quatrième puissance contenue dans 17, et nous 
devons faire conséquemment 4 — 16, b— 1; ces va- 
leurs substituées dans (4), donnent 


\f Q r 
Nous avons donc, en comparant avec les formules (a), 


T— —P7 —= = 
ol» A0, 4,92, .4,—199, 4,—), d;—320, etc. 


b—1, b,=—5, b,—=5, b,—7, b,—0, b=11, etc. 


FRA 
Construisant avec ces valeurs les quantités P, et Qy, 


nous {(rouverons 


PE 1 = 1 
D; = 65 Qu 64 
pa 199 Tr == 191 
PE 25861 = 20472 
PA 52653 (O} = 51861 


P, — 17081709 Q, — 16824768 


etc. —1etc; etc; etc 


Nous aurons ainsi, pour la suite des fractions princi- 
pales alternativement plus petites et plus grandes que la 
racine demandée, 


1 65. 155 925861 59653 
1° 64 ? 151 ° 25472 > 51861 


» etc. 


La cinquième, réduite en décimales, donne 


1,0152719911;, 

quantité dont le produit par 2 est la valeur approchée 

4 
de 1/17, car 

4 4 ; 1 4 1 

Vis =1v16.V/ {1 2) = Aer . 

16 1 

Nous avons donc, en nous arrêtant à cette cinquième 
fraction principale, 


n 
1/15 — 1,0305/451822, 


valeur dont les huit premières décimales sont exactes. 


En prenant la sixième fraction principale 


*5 


Q; __ 17081709 
PE 16824768 
on trouverait 


V1 — 2,0305/49184904... 


Pour évaluer la limite de l'erreur, exprimée, d’après 


la formule (b), par 


äl faut calculer Q, , qu’on trouve égal à 34220007, d’où 
l’on voit que l'erreur en plus est plus petite que 


10305 


16824768 X 54220007” 


FRA 


ou ne peut porter que sur le onzième chiftre décimal. 
Ce onzième chiffre étant zéro, il devient évident que le 
dixième est trop fort d’une unité, et qu’on a seulement 
avec 10 décimales exactes, 

: 


A V/17 = 2,0505451848. 


En formant la septième fraction principale 


P, 34742601 
Q, 34220007” 


on trouverait, pour les douze premieres décimales de 
la racine, 


à 
17 — 2,050943184884. 
/ 3 


11. La convergence de la fraction continue () étant 
d'autant plus grande que b est plus petit par rapport 
à a, il est souvent utile de prendre pour @ non la plus 
grande puissance contenue dans le nombre proposé N, 
mais la plus grande puissance immédiatement supé- 
rieure ; b devient alors négatif, ce qui rend toutes les 
fractions intégrantes négatives et toutes les fractions 
principales plus grandes que la valeur totale vers la- 
quelle elles convergent en décroissant continuellement. 
Soit a la plus grande puissance du degré m immédia- 
tement plus grande que N et b la différence entre & 
et N, nous aurons 


VA = (0 = Va fi?) 
et...(2) 


eee 


CU) 
5ma—(2m—1)b 
crc 


Il suffira de donner le signe — aux quantités b,, b,, 
b,, ete., dans les formules (a), pour pouvoir les appli- 
quer aux réductions consécutives de cette fraction con- 
tinue. 

S'il s'agissait, par exemple, d'extraire la racine cubi- 
que de 509, dont la valeur est comprise entre 7 et 8, 
mais beaucoup plus près de 8 que de 7, car 7° —441 
et 85 — 512, on ferait a — 512, b — 519 — 509 — 5, 
et, en substituant ces nombres dans la formule (4), on 
aurait 


FRA 


faisant dans les expressions (a) 


181 


d— 1; d,—1536, 4, —2; 4, — 4608, d,—2, etc, 


b—=—5, b,—=—6, b,—=— 12, b,——:15, etc., 


on obtiendrait 


= 1 (D). == 1 

pi 1533, Qù— 1536 

De 3060, Qi — 3066 

P, — 14082084, Q, — 14109696 
etc, — etc. etc. — etc. 


Dans le cas où l’on voudrait se contenter de six déci- 
males exactes à la racine, on pourrait s'arrêter à la troi- 
sième fraction principale 


P, 3060 ae 
Q, = 3066 —= 0,998043052. …… 
car, d’après la formule (b), la différence entre cette frac- 


tion et la valeur totale est moindre que 


2 D mt 


Ca. À 


Go 


c'est-à-dire que 


quantité dont le premier chiffre significatif décimal est 
du huitième ordre. On a donc 


3: ——— SE — 
V/509 —1/512 > 0,998043052, 
— 8 X 0,998043052, 


Q 


7984544416, 


| 


3 
ou seulement 1/509 — 7,984544 : la multiplication 
par 8 ne pouvant affecter la sixième décimale. 
La troisième fraction principale, traitée de la même 


manière, donne 


Ces exemples nous paraissent suflisans pour faire 
comprendre l'esprit et l'utilité de la méthode; nous ne 
nous arrêterons pas aux réductions qu’on peut faire su- 
bir aux fractions continues, par le retranchement des 
facteurs communs des fractions intégrantes, ni aus 
autres simplifications de calculs qui se présentent d’elles- 
mêmes. 


12. Les formules générales de transformation que 
nous avons rapportées tome J, page 580, et tome IT, 


182 FRA 
page 545, renferment la solution du problème tech- 
nique de l’évaluation d’une fonction quelconque par le 
moyen de fractions continues. C’est en les appliquant 
aux séries simples ou primitives 

1 


1 > 


3 


ere 


sense ss : 


1 1 

_ etc. , 
OS EU ; 
qui donnent respectivement la génération du quart de 
la demi-circonférence du cercle dont le rayon est un, 
et celle de la base des logarithmes naturels que nous 
avons obtenus des deux fractions remarquables 


ny, PEU 
OL es 
g 0e 
4 1 
Dire du RE 
mp Eepdir 
ES 1 3 
rc VE 
TN EL 
1+-etc., 1—etc. 


1 1 1 
Roue e—1—+ res 
3-4 ” 21 
5+9 3—1 
= a 
9- etc 5— etc 


Mais ces formules de transformation, dont les don- 
nées sont les coefliciens du développement de la fonction 
proposée en série, suivant les puissances progressives 
gx, 2°, ox, etc., d'une autre fonction quelconque 7x 
de la variable æ, ne sont pas les plus générales qu’on 
puisse obtenir, car le développement le plus général 
en série est celui qui procède suivant les facultés pro- 
gressives 9, px, pa, etc., de la fonction arbi- 
traire 9æ, prise pour mesure dans l'évaluation de la 
fonction proposée, où dont la forme est el) 


Fr—A,—+A,px + À, pr°l5 A, gas + A, gas elc. 


Nous allons faire connaître ici les formules de transfor- 
mation que nous avons récemment obtenues pour 
cette série universelle. p étant un nombre entier quel- 
conque , désignons généralement par & la valeur de la 
variable æ donnée par l'équation 


?(&+ PE) = 


et formons avec les coefliciens A,, À, ; A,,etc., de la 


FRA 


série (1) une suite de quantités B,, B,, B,, etc., d’a- 
près la construction générale 


JR _ (GES) — (2) # Ce 8) 
Bas, [a (OR) + 


+ (2) aus (+9 |A 


Formons en outre d’autres suites de quantités C,, C,, 
C;,'etc.s D,, D,, D;, etc: 0 EE; etc..1etc1etc 


ts) 


; p (29 — (a=5)# (nb) 
Le s, [af sGEG—:)E) )+ 


4 (a 2) Bug (a-+25) | — 
— [at +5]. 
DC Le (: (@ 5) — (4 — 4) 9 (ce —) 5 


d’après les constructions … 


L CFE DE) 
+7) Bus (+58) | — 


FF LELTC +3). 
nf (tement te) | 


p(t+(m—1)€) 
+ (a 4) Gus (a +4] — 
= CERCLE 


D | p (& + 5€) — (u— 6) p (ae + 5€) 
TC — 


+ (ue 5) Due (a +55) ] — 
—[n,+n,:6 +55 ]8. 


CNT 0 à Mo © 


Calculons, à l’aide de ces quantités, la nouvelle 


suite .... (III) 
Mn 
M HAÏU 
M s 
À A;+ Aya +-E)? 
M, — 8, 


Te 


FRET A9 er] L «oi Aa) 


(CEA) 


HS [a+ ne sms] ne 
RE An | = —— 
M, ar Er + ][c + Grtet-49 | sis ; 
M Fi ee | | : 
C,+C,o(a=t4e) | [2 + Dire 5) | =) 


ete.—ctc. 


FRA 


Les indices (t—x,), (æ—a;); (æ—4;) indiquent 
les valeurs &,, #,, «., etc., qu'il faut donner à la va- 
riable æ dans chacune de ces dernières quantités, qui 
donnent définitivement (IV) 


Fx=M,LM,ox 
1+M, (x) 


En RCD] 
1 etc. 


Lorsque la fonction arbitraire 9æ est simplement la 
variable æ, la série devient ....(V) 


Fr A, + A, A, 26 A, aff A, —L ete, 


c’est-à-dire qu’elle procède suivant les factorielles pro- 
gressives de la variable. Dans ce cas particulier on 


a au — —p£; Car l'équation 


ZHrE=0 


donne t——4#, et toutes les formules précédentes 
prennent une forme beaucoup plus simple ; les quan- 
tités auxiliaires By, Cu, D, etc., se construisent alors 
par les expressions ....(VI) 


. À [a a: — À, A, —B,, 


TR EE R NT eND Culle CAE le Le! à la à). ‘1 


D LOTO CON 0e COOP PETITS OMIS 


183 


(œ! 

a 
re) 
= 

> 
L 
Ï 
ee 
Te 
es 
© 
+ 
(LATE 
= 
© 
| 
= 
ne 
Les) 
e| 
"E 
Î 
dre) 
5 


M, = AÀ,, 
M, — A,, 
À 
M, = — ©? 
è MAÉ 
Ne, th, ©: 


C 
D : 
: (A; — AE) (B, —B,E) ? 
D 
MP a 6 UP ee op 
F (B,—B,:)(C, — CE)? 
Ms He 7 À 
( Te ë) (D; —D,;) 
F 
Mr ee 
7 (D,—D,z)(E, —E,e)? 
G 
Me Re = 
+ (Es —E,ë) (F, —F,:)? 
CCE. a 


on aura ....(VIIT) 


Fx=M, +M, x 


FR CET 


1, = etc. 


Pour donner au moins un exemple d'application, 
proposons-nous de réduire en fraction continue la fonc- 


FRA 


+ a)”; dont le développement en 


184 


tion exponentielle (1 
série de factorielles est 


3 h 
x"! a 31—1 a 41—1 
1 ax RE = etc. 
at = res nie nue 
nous avons 
2 3 
E——1, et A1, A, —û, À,——,A,— go etc 


Substituant ces valeurs dans les formules (VI), nous 
obtiendrons 


12, api 
PE A Cam 
RER 14,3 un 
pete dt 0 
PE MERCURE ULRET IE 
(&— 4) (—5) a+ (1-+a)t 
LS 2 GE ns, 8, p610, qu 2 
etc. — etc. 


Nous trouverons avec ces dernières valeurs 


M.— (ER 


Lin "= a+ a0 0) 
à MT 60650 
EE ___aüi+o) 
DT He dan) 
(Eu) 
MSG bte GES 
vies nie pen a(eno)e 
= GG Ed Ga) 4) 
etc. — etc. 


La loi de ces quantités est évidente. La fraction conti- 
nue cherchée est donc 


+ D = — — 


2—+a nn RS 
aQi+a) 
eee 
Trent 
1 etc.; 


ou bien, en la ramenant à la forme générale (a), 


(+4) NE - 


FRO 


Cette expression présente un développement tout nou- 
veau des puissances du binome, et qui, pour cer- 
taines valeurs particulières de « et deæ, peut donner 
des fractions continues beaucoup plus convergentes 
que celles que nous avons obtenues ci-dessus. La na- 
ture de ce dictionnaire nous interdit de plus grands 
détails. 


FROTTEMENT. (Méc.) L'évaluation des frotte- 
mens formant un point très-important du calcul de 
l'effet des machines, nous exposerons ici les notions 
théoriques admises sur cet objet, que nous n’avons 
pu donner dans l’article Frorremenr, de notre second 
volume. 

1. Pour remonter aux premiers élémens de la ques- 
tion, considérons un corps pesant H (pl. XI, fig. 7) 
posé sur une surface horizontale MN, et recevant l’ac- 
tion d’un poids Q par le moyen d’un fil qui passe sur 
une poulie fixe A. Le fil AH étant supposé parallèle au 
plan horizontal, le corps H se trouve sollicité par deux 
forces : l’une agissant dans le sens de la verticale BC 
et qui est le propre poids de ce corps, l’autre agissant 
dansle sens horizontal et qui est le poids Q ; la première 
se trouvant détruite par la résistance du plan MN, la 
seconde n’a d'autre résistance à vaincre, pour mettre 
le corps en mouvement , que celle qui résulte du frot- 
tement de sa surface sur le plan; si donc on augmente 
successivement par petites parties le poids Q, jusqu’à 
ce que le corps H se mette en mouvement, la grandeur 
du poids, qui ne pourra plus subiraucune augmentation 
sans produire le mouvement, sera nécessairement une 
force égale et opposée au frottement, et le rapport de 
ce poids au poids du corps sera le même que le rap- 
port du frottement à la pression exercée par le corps sur 
le plan. 

2. Le plan incliné offre un autre moyen d’évaluer le 
frottement. Le corps H étant abandonné à lui-même 
sur le plan MN, imaginons qu’on incline peu à peu ce 
plan sur le plan de l'horizon, jusqu’à ce que l’angle 
d’inclinaison MNM° (pl. XI, fig. 8) soit tel qu’on ne 
puisse plus le faire croître sans que le corps ne glisse, 
la tangente de ce dernier angle exprimera le rapport 
entre le frottement et la pression qu’exerce alors le 
corps H sur le plan incliné MN. En effet, représentons 
par la partie GH de la verticale le poids P du corps, 
supposé réuni à son centre de gravité G, et décompo- 
sons GH en deux forces, l’une GQ perpendiculaire au 
plan incliné, et l’autre GP parallèle à ce plan. GQre- . 
présentera la pression du corps sur le plan, pression 
détruite par la résistance du plan, et GP la force qui 
sollicite le corps à descendre. Cette dernière n’ayant 
d’autre résistance à vaincre que le frottement, il ne 
s’agit que de la faire croître jusqu’au moment où elle 


FRO 


peut rompre l'équilibre. Or nous avons dans le rec- 
tangle GPHQ, 


GQ —GH. cos QGH, GP—GH. cos PQH, 


ou 


GQ—=P. cosa, GP—P.sine, 


en désignant GH par P, et en observant que l'angle QGH, 
complément de l'angle PGH est égal à l'angle d’inclinai- 
son MNM' que nous désignerons généralement par &. 

P . cos « exprime donc la pression normale du corps 
sur le plan incliné, et P sina la force qui sollicite le 
corps à glisser le long de ce plan, et qui devrait pro- 
duire un mouvement, quelque petit que soit l’angle «, 
si le frottement n’y faisait obstacle. Ainsi, lorsqu’en 
augmentant peu à peu l’angle «, ce qui diminue la 
pression P cos & et augmente la force sollicitante P sin £, 
on arrive à un angle qu'on ne puisse plus augmenter 
sans mettre le corps en mouvement, P sin + donne, à ce 
moment, la mesure du frottement du corps contre le 
plan incliné , et le rapport entre ce frottement et la pres- 
sion correspondante est 


Donc, lorsque l’angle d’inclinaison « est tel que le 
mouvement puisse naître, sa tangente exprime le rap- 
port du frottement à la pression. L’angle « recoit alors 
le nom d’angle du frottement. 

3. En employant ce mode d’expérimentation, Amon- 
tons reconnut le premier que le frottement ne dépend 
pas de la grandeur des surfaces en contact, et qu’il est 
simplement proportionnel à la pression; mais il ne sut 
pas distinguer le frottement d’un corps qui commence 
à se mouvoir du frottement qui a lieu lorsque le mou- 
vement est établi. C’est à Coulomb que sont dues les 
expériences décisives qui ont fait généralement adopter 
les deux lois suivantes : 

1° Le frottement est proportionnel à la pression. 

2° IL est indépendant de la grandeur des surfaces en 
contact ; 

Auxquelles on doit ajouter la loi découverte par M. le 
capitaine Morin : 

3° Le frottement est indépendant de la vitesse. 

D'après ces lois, si nous désignons par P la pression 
exercée par une surface qui se meut sur une autre, ct 
par f le rapport entre le frottement ct la pression, Pf ex 
primera la résistance due au frottement, résistance 
qu’on doit considérer dans le calcul des machines comme 
une véritable force qui vient modifier les conditions 
d'équilibre et de mouvement. 

4. Le rapport f, qu’on nomme aussi le coefficient du 

Tom. at. 


FRO 185 
frottement, a des valeurs très-différentes, suivant la 
nature des surfaces en contact. Ayant déjà donné les 
nombres trouvés par Coulomb pour les substances les 
plus ordinairement employées dans la confection des 
machines, nous rapporterons seulement ici les résultats 
des belles expériences de M. le capitaine Morin, dont 
le degré d’exactitude nous parait supérieur à tout ce 


qui a été fait jusqu'ici. 
PREMIER TABLEAU. 


FROTTEMENT DES SURFACES PLANES, A L'INSTANT DU DÉPART 


ET APRÈS UN LONG REPOS. 
Indication Rapport 
des du frottement 


surfaces en contact. à la pression. 


CuèxE sur Guèxe, Fibres parallèles, surfaces 


ENAUITES AE SAVONISEC. - = ce ONE 
— Fibres parallèles, surfaces enduites de suif. 0,164 
— Fibres parallèles, surfaces onctueuses. . . 0,39 
— Fibres perpendiculaires, surfaces enduites 
DEUST 0720 
— Fibres perpendiculaires, surfac. onctueuses. 0,314 
— Bois debout sur bois à plat, sans enduit. . 0,271 
Hèrre sur CHÈNE. Fibres parallèles, surfaces 
ONCLUEUSES + ec ee cl NO, 20 
ORME sur CHèNe. Fibres parallèles, surfaces 
ONCEUEUSES Een elle CU NO 


— Fibres parallèles, surfaces enduites de 
SANOINSCCES see. le eue Me 16/0 

— Fibres parallèles, surfaces enduites de suif. o 

CHANVRE EN BRINS SUR CHÈNE. Fibres perpendi- 


culaires, surfaces enduites et mouillées 


ACCRU RE NN IN 0000 
ORNE sur ORME. Fibres parallèles, surfaces en- 

duites{deiSayOniSeC 1 Ch MR O 27 
CHÈèxE sur ORME. Fibres parallèles, sans enduit. 0,356 


— Fibres parallèles, surfaces enduites de suif. 0,178 
Fer sur Guèxe. Fibres parallèles, surfaces en- 

duites etrmouillées d’eau. . . . . . . : . "0,649 
— Fibres parallèles, surfaces enduites de suif. 0,108 


FonTE sur cHÈNE. Surfaces enduites et mouil- 


ISA NS 100040 
— Surfaces enduites de suif. . . . . . . . . 0,100 
— Surfaces enduites d'huile. . . . . 0,100 
— Surfaces onctucuses. . 0,100 
— Surfaces enduites de saindoux. . : . . . 0,100 
Cuivre sur cnène. Surfaces enduites de suif. 0,100 
Cnanne sur roxre. Fibres parallèles, surfaces 

enduites de suif. Nr ER 0,191 
— Fibres parallèles, surfaces enduites de sain- 

DOUX Le see eteie RE 0,190 


24 


186 FRO 


Indication Rapport 
du frottement 


la pression. 


des 


surfaces en contact 


Cuir DE BŒUr TANNÉ, sur FoNtE. Le cuir à plat, 


surfaces enduites et mouillées d’eau. . . 0,621 
— Le cuir de champ, même état des surfaces. 0,619 
— Le cuir à plat, surfaces enduites d'huile. . 0,122 
— Le cuir de champ, surfaces enduites d'huile. 0,127 
— Le cuir onctueux et à plat, la fonte mouillée 

CEE eee LV ce tee TE 0,267 
OnME sur Fonte. Fibres parallèles, surfaces 

ONCIUEUSES ee ie CE-drÉO700D 
FonrE sur FONTE,. Sans enduit. . . EE 0,162 
— Surfaces enduites de suif. . . . . 0,100 
Fer suR FoNTE. Sans enduit. . . . . . . .. 0,194 
— Surfaces enduites de suif. . . . . . . . . . 0,100 
— Surfaces enduites d'huile d'olive. . . . . . 0,119 
— Surfaces onctueusés, ou réduites à des 

ATÉLÉS ATTONOTÉS.- MN ce Us Bee ere eut 0,118 
AGIER sur FoNTE. Surfaces enduites de suif. . 0,108 
CuivRE JAUNE SUR FONTE. Surfaces enduites de 

SUibrcherneens unes nelle VON 
Bronze sur FONTE. Surfaces enduites de suif. 0,106 
Foxre sur rer. Surfaces enduites de suif. . . . 0,100 
— Surfaces enduites de saindoux..... . .. 06,100 
Fer sur FER: Sans enduit. «1 1 .1042 2503197 
—\Surfaces enduites de, suif...'...: : 41% 0,110 
BRoNzE sur BRONZE. Surfaces onctueuses, où 

énduites d'huile d'olive. .... . . . . . 0,164 


D’après une observation très-importante de M. Morin, 
il suffit d’un choc ou ébranlement assez léger, imprimé 
perpendiculairement à la surface de contact, qui doit 
rester immobile, pour décider la surface mobile à se 
mettre en mouvement sous un effort de traction géné- 
ralement bien moindre que celui qu’il faudrait lui ap- 
pliquer sans cet ébranlement; cet effort paraît différer 
si peu de celui qui est nécessaire pour entretenir le 
mouvement que dans toutes les constructions où le frot- 
tement contribue à maintenir la stabilité des parties, 
et où l’on peut craindre des ébranlemens , il est néces- 
saire de calculer la résistauce des frottemens par les 
rapports donnés dans le tableau suivant. 


DEUXIÈME TABLEAU: 


FROTTEMENT DES SURFACES PLANES QUAND LE MOUVEMENT 
EST ACQUIS. 


Indication Räpport 
des du frottement 


surfaces en contact. àla pression. 


Cuèxe sur CnèNE. Fibres parallèles, à sec. . . 0,48 
— Fibres Crols6es ASCCL. PE 0 


— Fibres croisées, surfaces mouillées. . . . 0,25 


FRO 


Indication 
des du 
surfaces en contact. 


Cuène sur cHÊxe. Fibres parallèles, surfaces en- 

dUMPSTEISAVOMSEC AE RER MAN de 
Fibres parallèles, surfaces enduites de suif. 
Fibres parallèles, surfaces onctueuses. . . 
Fibres perpendiculaires à sec. . . . . . . . 
Fibres perpendiculaires, surfaces enduites 
GÉRÉE EME Le 0 0 à 5 6 à 
Fibres perpendiculaires, surfaces enduites 
desaindoux. «1 5. 2,1 CRE 
Fibres perpendiculaires , onctueuses. . . . 
Fibres des bandes frottantes verticales, 
celles des semelles étant horizontales et 
parallèles au sens du mouvément, surfaces 


* Sans CTdUIt: NE EE 


Hèrre sur cHèxe. Fibres parallèles, à sec. : : 
— Fibres parallèles, surfaces enduites de suif. 
— Fibres parallèles, surfaces onctueuses. : . 


OnnE sur CHÈNE. Fibres parallèles à sec. . . . 
=—"Fibres Croisées, fa sec. CE RE 
Fibres parallèles, surfaces enduites de sa- 

VON SEC Re CCC TR CEE 
Fibres parallèles , surfaces enduites de suif. 
Fibres parallèles, surfaces enduites de sain- 
HITOUX NE IC EE CNT IC IE 


Fibres parallèles onctueuses: . . : . . à. 


Cuin DE BOEUF FORT TANNÉ, SUR CHÊNE. Le cuir 
posé à plat sur le chêne, sans enduit. . 


FER SUR CHÊNE. Fibres parallèles, à séo. : : . 
— Fibres parallèles; surfaces enduites etmouil- 
léés :dieau: 9 72eR0E 8 6 INTERNET 
Fibres parallèles, surfaces enduites de sa- 
NON SEC QE. SLT SUN PRENOM EUR) 
— Fibres parallèles, surfaces enduites de suif. 


FONTE SUR CHÈNE. 


Les fibres des semelles parallèles au sens du 

mouvement, sans enduits . . . 4 4. 
Id., 
Id., 
1d., 
I4., 
Id., 
Id., 


surfaces enduites de savon sec. . . . . 
surfaces enduites d’eau. . . « : . . : 


surfaces enduites de saindoux: . + . . 
surfaces enduites d'huile. . + + : . . 
surfaces onctueuses. : +, +... + + 


CUIVRE SUR CHÈNE. 

— Les fibres des semelles parallèles au sens du 
mouvement, à 8eC. . . « +. « + à «he 

— Id., surfaces onctueuses. . . ., . . 

— Id. surfaces enduites de-suif. . « « . .« . 


surfaces enduites de suif. . .. . . 


Rapport 
frottement 


à la pression. 


0,164. 
0,07à 
0,108 
0,996 


0,089 


0,072 
0,149 


0,192 


0,36 
0,055 
0,103 


0,42 
0,45 


0,197 
0,070 


0,060 


0,119 


0,296 
0,626 


0,256 


0,214 
5,089 


d,490 
0,189 
0,218 
0,078 
0,075 
0,07) 
0,107 


0,620. 
0,100 
0,069 


FRO 


Indication 
des 
surfaces en contact. 


Les fibres du 
chanvre et les fibres des semelles perpen- 


CHANYRE EN BRINS SUR CHÊNE. 


diculaires entre elles, surfaces enduites et 
moules td eau... 0, - . Me 


One sur oRme. Fibres parallèles, surfaces en- 
guifes de sayon sep. …. . .! ere N-OU: 
— Id. Surfaces onetueuses. . . . . . . . . . 


ChÈNE sûr ORME. Fibres parallèles, sans enduit. 
Id., surfaces enduites de sayon sec. . .. 
Id., surfaces enduites de suif. . . . . . . 
Id., surfaces enduites de saindoux, . . . . 
Id, surfaces onctueuses. . . . . . . . . . 


FONtTE SUR ORME. Sans enduit. . . . . . + . . 
— Surfaces enduites de suif. . . . . . . . . 
Surfaces enduites d'huile d'olive. . . . . . 
enduites de saindoux et plom- 


Surfaces 
HRBTE 5 1610 SIENS 
Surfaces onctueuses, après enduit de suif. 
Surfaces 
doux ehplombagine. 1... 


onctueuses, après enduit de sain- 


Fer sur oRME. Fibres parallèles, sans enduit. 
— Surfaces enduites de suif. . . . . . . . . . 
— Surfaces enduites de saindoux. . . . . . . 
— Surfaces enduites d'huile d'olive. . . . . . 


— Surfaces onctueuses. .:: « . . . . . . . * 


OnuEe sur Fonte. Fibres parallèles au sens du 
mouvement, surfaces enduites de suif. . 
ES HDIACESIONCEUEUSES ee che eee. 


Cnëne sur Fonte. Fibres du chêne parallèles 

au sens du mouvement, sans enduit. . . . 
—— Surfaces enduites de suif. . , . + . . . . . 
— Id:, "surfaces onctueuses. . . . . . . . . . 


Cnanue sur roxre. Les fibres du charme paral- 
lèles au sens du mouvement , sans enduit. 
— Surfaces enduites de suif. . . . . . . . .. 
Surfaces enduites de saindoux. . . . . . . 
Surfaces enduites de saindoux et de plom- 
HU sais mtote haine rs 
Surfaces enduites d'huile. . . . . . ... 
Surfaces enduites d’asphalte. . . . . . .. 
Surfaces enduites de cambouis. . . . . . . 
Surfaces onctueuses. . . . . ....... 


— 


Gayac sur rowre. Fibres du gayae parallèles au 
sens du mouvement , surfaces enduites de 
UE y 

— Surfaces enduites d'huile. .:. ... .. . . . 

Dur faees (onntueuses. tante hd idie à 


ae uletiat tee s\fe Loto, ete « 


Rapport 


du frottement 


à Ja pression. 


0,074 
0,076 
0,121 


FRO 


Indication 
des 


surfaces en contact. 


Porri£r SAUVAGE sur FONTE. Fibres du poirier 
parallèles au sens du mouvement, sans 
EU TN PRO RE LE à ho 
— Surfaces enduites de suif. . . . . . . . . . 
— Surfaces enduites de saindoux. . . . . . . 


= NSUTIACES ONCELEUSES. ee cs le ee ee 
CuIR DE BOŒEUF TANNÉ, SUR roNTE. Le cuir posé à 
plats sans'enduit MMMbeUR ENCRES MENT 2 
— Le cuir posé à plat, surfaces enduites et im- 
bibées d'eau: 2. 27. cPrRR-I UMTS 
— Le cuir posé à plat, surfaces enduites de 
DULLS dar snusr sr ere) eme dot NO Vo 
— Le cuir posé à plat, surfaces enduites 
GITE ME AE Eee 


— Le cuir onctueux, la fonte mouillée d’eau. 


FOnTE sur FONTE. Sans enduit. . . . + . : . 
— Surfacestenduites d'eau... .Æ,...-....0. 
NE SAONE CC ect 
DTA der SRE RE AM EMA EEE 
vid desaindoux CRU EN SE UMR TN 
— Id d'huile d'olive MEET 
— Id. de saindoux et plombagine. . . . .. 
—ISUTIACESONCIULEUSES. Mer Ur ee lee 
Fer sur ronre. Les fibres parallèles an sens du 
mouvement, sans enduit. . . . . . . . . 
— Surfaces enduites de suif. . . . . . . . 
TT AT ISAINAOUXS eee Re ele 
—_ 1-ndhunedioliye dette 
PITEAUe CAMDOUIS tel 
ACIER SUR FONTE. Sans enduit. . . . . . . . 
— Surfaces enduites de suif. : . . . . . .. 


Id dérsamdonxténs 20e QUE A 
Hi ndhuiles 442. LS ER 
Surfatesionetueuses lt. AUCUN 26 RUE 


CUIVRE JAUNE SUR FONTE. Sans enduit. . . . . 


Surfaces enduites de suif. . . . . . . . . . 


1/08 Con es M ba 
— LRU non dede le tee M rt rer 
— JE OC IOUIELES MEL Le Er HOME ME 
SR TSURIACES ONCLUEUSES ee ee eee 
BRONZE suR FONTE. Sans enduit. : . . . . . 
— Surfaces enduites de suif . . . . . . . - . 
AR hinle d'Olive M CRETE 
— Surfaces onctueuses. . . . . + « « . . 


CHANVRE EN pris, sur FoNTE. Les fils du chanvre 
perpendiculaires au sens du mouvement, 
comme dans les pistons, surfaces enduites 
de suif.. . . 


— Id., surfaces enduites d'huile. . + . : .n 


187 


Rapport 


du frottement 


à la pression. 


0,456 
0,067 
0,068 


0,173 


0,068 
0,066 
0,154 
0,119 
0,217 
0.086 
0,077 
0,107 


9,194 
0,153 


188 FRO 


Indication 
des 


surfaces en contact. 


Cnèxe sur ren. Fibres parallèles, surfaces onc- 
tueuses , 


— Surfaces enduites de suif. . . . . . . .. 


Gayac sur rer. Fibres parallèles, surfaces 
ONCUEUSES NME ETC 


— Surfaces enduites d'huile d'olive. . . . 


Fonre sur rer. Surfaces enduites de suif. . . . 


"10 (de SANdOUx et. Le RE PAC UNE 
VI hUIe dolive Fee 2e PARU 
—"Id:(deicambouis. #0. LT Ur le 
—— IOUrIACES (ONCIUPUSES 2... meme 


Fer sur rer. Fibres parallèles, sans enduit. . 
— Surfaces enduites de suif. . . . . . . .. 


— Id: de Saindoux: ce ce PAT 
PI. (d'huile d'Olive: MERS 
— Surfaces onctueuses. . . . . . : : . . .. 


Acrer sur rer. Surfaces enduites de suif, . . . 
— Surfaces enduites de saindoux. . . . . . . 


BRONZE SURITER. Sans enduit... . 


— Surfaces enduites de suif. . . . . . . . . 
— Id. de saindoux et plombagine. . . . . . 
— 10. dhuiled'olive AM ETMT ATER 
=—HOuriacestonctueuses. MENU 002 OCT: 


GaxaAc sur BRONZE. Surfaces enduites de suif. . 
—— Hd: (d'huile d'olive Mn ne 


— IDUTACES ONCIUIEUSCS. > ee ee ee le 


Cuir DE BOEUF TANNÉ, SUR BRONZE. Le cuir à plat, 

surfaces enduites de lsuif an. Men 
— Le cuir à plat, surfaces enduites d'huile 

AO VE PR PR ST eee de e CE, 
— Le cuir à plat etonctueux, le bronze mouillé 
GEL Su MO RTL POS 1 DIE D 
Le cuir posé de champ, surfaces enduites 
Tes GE MM MBEE Mer cie de eee 
— Id. Surfaces enduites d'huile d’olive. . . 
— Le cuir posé de champ et onctueux, le 


bronze mouillétd'eau. +... 0... 


FonTE sur BRONZE. Sans enduit. . . . .. 


Surfaces enduites de suif. . . .. 


11 de sanmdoux ee EN RAT EMIENR 
—11dNd'huile d'olive: 7-2 PAIE 0e 


SULIACES LONCLIEUSES Me ee 


FER SUR BRONZE. Sans enduit. . . . . . . . . 
— Surfaces enduites de suif. . . . . . . . .. 
=—11d! de 'saindoux: en 2e A 


— Id: d'huile d'olive NME ANNEE 


Rapport 


du frottement 
à la pression. 


0,149 
0,698 


0,166 


0,072 


0,098 
0,028 
0,063 
0,195 


0,143 


0,158 
0,082 
0,081 
0,070 


0,177 


0,093 
0,076 


0,161 
0,081 
0,089 
0,072 
0,106 


0,082 
0,053 


0,146 


0,241 


FRO 
Indication Rapport 
du frottement 

à la pression, 


des 
surfaces en contact. 


Fer sur »BRONZE. Surfaces enduites de cam- 

bouis se MN le PE NO ICS 
— Surfaces onctueuses- M. 100.1. 0.1.0 No, 160 
ACIER SUR BRONZE. Sans enduit. . . . . . . . . 0,152 
— Surfaces enduites de suif. . . . . . . . . 0,056 
=NId. d'huile d'olives + CORRE 0005 
— Id. de saindoux et plombagine, , . , . . 0,067 
—\{d. de cambouis. 4 NERO 170 
BRONZE sur BRONZE. Sans enduit . . . . . . . 0,201 
— Surfaces enduites d'huile. . . . . . . . . 0,058 
— "Surfaces onctueuses. "MMM MMM MO, 19/4 


5. Les conséquences générales des expériences de 
M. Morin se formulent par les trois lois énoncées ci- 


dessus (3), dont la dernière paraît en contradiction 


non seulement avec quelques-unes des observations de 
Coulomb, mais encore avec d’autres, faites par des sa- 
vans étrangers ; mais, en restreignant, comme cela est 
nécessaire, l'application de ces trois lois aux cas où 
les surfaces frottantes n’éprouvent aucune altération 
pendant toute la durée du mouvement, la dernière loi 
s'établit avec le même degré de certitude que les deux 
autres. Ainsi, lorsque les pressions sont assez considé- 
rables pour altérer la contexture des surfaces frottantes, 
ou lorsque ces surfaces s’altèrent par le fait même du 
frottement, ce qui a lieu toutes les fois que des corps 


glissent à sec les uns sur les autres, l’évaluation de la. 


résistance due au frottement se trouvera compliquée de 
circonstances étrangères que les lois en question ne 
sauraient embrasser; mais, lorsqu'il s'agira de corps 
polis, tels que ceux dont on se sert dans les organes 
mécaniques, bien enduits de matières grasses capables 
d'empêcher les surfaces de s’user, on pourra toujours 
admettre, sans erreur sensible, que le frottement est 
soumis à ces trois lois. 

6. Les enduits les plus favorables pour diminuer l’in- 
tensité du frottement sont le saindoux et l’huile d’olive. 
En comparant les nombres des tables précédentes, on 
reconnait qu’on peut adopter le nombre 0,07 pour coef- 
ficient moyen du frottement pour les bois et les métaux, 
glissant bois sur bois, bois sur métal, métal sur bois, 
ou métal sur métal, lorsque les surfaces sont enduites 
d’huile ou de saindoux. Le suif donne à peu près le 
même coefficient moyen pour les bois glissant sur les 
bois, les bois glissant sur les métaux, et réciproquement; 
mais il paraît moins avantageux pour les métaux glis- 
sant sur les métaux, car il donne une valeur moyenne 
qui diffère peu de 0,09. Ces coefliciens moyens, faciles 
à retenir, sont précieux dans les questions pratiques. 


7. Le frottement des surfaces courbes les unes sur 
! 


FRO 


les autres, et particulièrement celui des tourillons des 
axes tournans sur les crapaudines qui les supportent, 
quoique s’effectuant d’une manière très-différente du 
frottement des surfaces planes, puisque les diverses 
parties du tourillon viennent s'appliquer successivement 
sur le même point des crapaudines, paraît encore sou- 
mis aux trois lois énoncées. Voici les résultats moyens 
des expériences de M. Morin. 


Indication Rapport 
des du frottement 
surfaces en contact. à la pression. 
Bois sun Bo1s. Surfaces mouillées et graissées. 0,07 


Bois sur méraL et vice versd. Surfaces enduites 


de graisse renouvelée. . . . . . . . . . . 0,05 
MIÉDÉRISURIMERAT A NSEC.. 2... .U.. 0,20 
— Surfaces mouillées et graissées. . . . . . . 0,16 
SAN AGESIONCEUEUSES. ee ne .- - - -.-  O LL 
— Surfaces enduites de graisse renouvelée. . 0,054 


D’après Tredgold, le coeMicient du frottement pour 
les essieux des voitures, avec les enduits ordinaires, 
varie de ‘}, à !/,, ; C’est moyennant 0,1. 

Examinons maintenant l’emploi de ces nombres. 

8. En vertu des lois admises, l’évaluation de la ré- 
sistance due au frottement d’une surface sur une autre 
se réduit à la détermination de la pression exercée par 
cette surface; car, la pression étant connue, son pro- 
duit par le coefficient du frottement relatif à la nature 
Si l’on 
sait, par exemple, qu'une surface de fer glissant sur 


des surfaces donne la grandeur du frottement. 


une surface de bois de chêne, enduite de savon sec, 
exerce sur cette dernière une pression équivalente à 
5 kilogrammes, on aura pour la valeur du frottement 
5° X 0,214 — 1,07, parce que le rapport du frotte- 
ment à la pression est, dans ce cas, 0,214, d’après le 
deuxième tableau. 

La règle générale pour obtenir la pression consiste à 
décomposer toutes les forces qui agissent sur le corps 
frottant en leurs composantes parallèles et perpendicu- 
laires à la surface de contact : la résultante de toutes les 
composantes perpendiculaires est évidemment la pres- 
sion normale du corps, et c’est cette résultante qu'il 
faut multiplier par le coefficient du frottement, corres- 
pondant aux circonstances particulières de la nature des 
surfaces et de l’enduit qui les recouvre. Les questions 
suivantes vont éclaircir cette théorie. 

9- Considérons en premier lieu un corps posé sur 
une surface horizontale MN (pl. XI, fig. 9), et sollicité 
par une force agissant dans une direction GQ inclinée 
à l'horizon. Les seules forces du système sont ici la 
pesanteur dont la résultante, que nous représenterons 
parla partie GP de la verticale, est le poids du corps, 


FRO 189 


et la force de traction, que nous représenterons par la 
partie Gb de sa direction. Or, en décomposant Gb sui- 
vant sa composante verticale aG et sa composante ho- 
rizontale Ge, aux deux forces du système, on peut 
substituer les trois forces GP, Ga et Gc; et comme Ga 
agit dans un sens opposé à GP, la résultante de ces deux 
forces est GP — Ga; c'est donc simplement cette résul- 
tante qui est détruite par la résistance du plan MN, et, 
par conséquent, la pression exercée par le corps G sur 
ce plan est égale à GP — Ga. Ainsi, dans le cas que 
nous examinons, on obtient la pression en retranchant 
du poids du corps la composante verticale de la force 
qui le sollicite. 

Nommons P le poids du corps, Q la force de trac- 
tion, et & l'angle d'inclinaison bGe que sa direction 
fait avec l’horizon ; la composante verticale de Q sera 


Ga— Gb. cos aGb—Q . sin»; 
la pression sera exprimée par 
P—Qsinc, 


; 
et, en désignant par f le eoefficient du frottement, on 
aura, pour l'intensité de ce frottement, 


(P—Qsinx) f. 


La seule quantité variable dans cette expression étant 
l'angle d’inclinaison « de la force Q, on voit que la 
pression est d’autant plus petite que cet angle est plus 
grand. Lorsque la direction de la force est horizontale, 
æ est nul et le frottement est simplement Pf. Si la force 
était inclinée au-dessous de l'horizon, « deviendrait né- 
gatif et le frottement serait 


(P+Qsin«)f, 


c’est-à-dire qu'il augmenterait avec l’angle d’incli- 
naison. 

Dans le cas d'équilibre, la composante horizontale 
Ge de la force Q, dont la valeur est Q cos x, devant 
être égale à la résistance du frottement, on a l'équation 
générale de condition 


Qcosæ— (P—Q sin x) f; 
d’où l’on tire, pour la valeur de Q, 


Pf 
De 
Ÿ  cosa + fsina 


Ainsi, dans ce cas d'équilibre, la force Q ne varie 
qu'avec son inclinaison. 

Pour trouver la valeur de x qui rend Q un maximum, 
il faut prendre la différentielle de Q par rapport à « et 


l’égaler.à zéro. On trouve de cette manière 


12 sin & Ê da f: COS æ. dx) 


dQ — GE RL D RS 
; (cos & — f'sin &)? 


190 FRO 


et en égalant à zéro 
— sin «+ fcosa— 0; 

d’où 

sin & . 

me tang «a —f}; 
c’est-à-dire que Q est un maximum lorsque la tangente 
de l’angle d’inclinaison est égale au rapport du frotte- 
ment à la pression, ou, ce qui est la même chose, lorsque 
linclinaison est égale à ce qu'on nomme l'angle du 
frottement (2). 

10. Soit maintenant le corps placé sur un plan in- 
cliné AB (pl. XI, fig. 10), faisant un angle BAG — « 
ayec l'horizon, et soit GQ la direction de la force de 
traction, dont nous désignerons par £l’angle QGd qu’elle 
fait avec la direction AB du plan. Prenant pour repré- 
senter le poids du corps, la verticale GP , et, pour re- 
présenter l'intensité de la force, la partie GQ de sa 
direction, si nous décomposons GP en deux forces, 
lune Gb perpendiculaire, et l’autre Ga parallèle au 
plan incliné, et que nous décomposions de même GQ 
en deux forces, l’une Ge perpendiculaire, et l’autre Gd4 
parallèle au plan, la pression du corps sur le plan sera 
évidemment égale à la différence des deux composantes 
perpendiculaires Gb et Ge qui agissent en sens opposé. 
Or, nous avons 


Gb — GP. cos PGb — P cos «, 
Ge — GQ. cos 9Gc=—Q sin £; 


Ainsi la pression est représentée par P cos 4 — Q sin LB» 
et le frottement par... (a) 


(P cos — Q sin B) f; 


f désignant toujours le coeflicient du frottement. 

S’il n’y avait pas de frottement, on n’aurait à consi- 
dérer, pour l'équilibre ou le mouvement du corps, que 
les deux composantes Gd et G@ qui agissent en sens 
opposé ; car la force de pression Gb — Ge est détruite 
par la résistance du plan; mais il est évident que la 
force Gd— Q cos G ne peut faire monter le corps qu’en 
surmontant d’une part la force opposée Ga — P sin x, 
et de l’autre le frottement (a) ; on a donc, dans le cas 
d'équilibre... (b), 


Q cosp— (P cosa— Q sin B)f+P sin «, 


équation qui donne, pour la valeur de Q, 


P (sina—+ f cos «) 
cosB—+fsns 


(Qi 


L’angle « étant invariable, la force Q ne varie qu'avec 
son inclinaison 8, et l’on trouve comme ci-dessus 


FRO 


qu’elle est à son maximum de grandeur, lorsque langlef 
est égal à l'angle du frottement. 

Si la direction de la force Q est parallèle au plan, on 
a 6— 0, et l’équation d'équilibre se réduit à 


Q=P (sine + fcos «). 


Lorsque la force agit au-dessous de la direction du 
plan, il faut considérer l’angle 8 comme négatif, ce 
qui donne 


De P (sin & + f cos c) 


cosB—fsins ke 


En donnant à £, dans ce cas, la valeur de l'angle du 
frottement, c’est-à-dire en faisant tang 8 — f, d’où 


cos B— f sin f —0}; 


on voit que la force devient infiniment grande, ce qui 
signifie que, sous un tel angle, quelque grande que 
soit cette force, elle ne peut jamais être capable de 
faire monter le corps. 

Enfin, dans le cas où la force serait horizontale, on 
aurait, dans la derniére formule, 6 — +, ce qui la ren- 
drait 


Nous devons faire observer qu’il se présente deux 
cas très-distincts dans l’équilibre du plan incliné, sa- 
voir : celui où la force doit faire monter le corps, et 
celui où elle doit seulement l'empêcher de descendre. 
Dans le premier, auquel se rapportent toutes les for- 
mules précédentes, le frottement agit en sens opposé 
de la force; mais, dans le second, il concourt avec 
cette force pour empêcher le corps de glisser, de sorte 
que l'équation d'équilibre est réellement alors: 


Q cos B—P sin « — (P cos « — Q sin ) f. 


Mais cette considération n’entraîne aucune difficulté, et 
nous ne nous y arrêterons pas. 

1r. Le frottement des axes tournans sur leurs sup- 
ports, et celui des poulies sur leurs chapes, peuvent 
s’évaluer de la même manière; pour en faire com- 
prendre la théorie sans recourir aux considérations 
analytiques, qui laissent du vague dans l'esprit des per- 
sonnes quin’en ont pas l'habitude, supposons quel’axe À 
de la poulie lui soit adhérent (pl. IE, fig. 11), et qu'il 
tourne sur chape EDF. Cette poulie est chargée de 
deux poids P et Q, dont le second Q est le plus lourd 
et doit emporter le premier. 

Par l'effet du mouvement de rotation, le poids mo- 
teur Q forcera l’axe de rouler jusqu’en D; et si la ré- 


FRO 

sistance du frottement est équivalente à l'excès de Q 
sur P, l’équilibre de toutes les forces du système s’éta- 
blira au point D. Dans ce cas, menons la droite MN 
tangenteà la circonférence de l’axe et à celle du palier à 
leur point commun D, nous pourrons considérer ’élé- 
ment de la circonférece du palier en D comme un petit 
plan incliné dont la direction MN fera avec la ligne 
horizontale BC un angle NDC que nous désignerons 
Par &. 

Observons que l’axe A supporte la pression des poids 
Pet Q, dont la résultante P —Q — R est une force 
Yerticale qui passe nécessairement par le point D, où 
se détruisent toutes les forces de système. Représentons 
celte résistance par DR ;, et décomposons-la perpendi- 
culairement et parallèlement à la direction MN du plan 
incliné, la composante perpendiculaire Db sera la pres- 
sion normale exercée en D sur le palier, et détruite par 
sa résistance; la composante parallèle De sera la force 
qui ferait glisser le point D sans la résistance du frot- 
tement ; elle sera donc égale à cette résistance. Or la 
composante perpendiculaire ou la pression normale a 
pour expression 


DR. cos bDR =R . cos &. 
Ainsi la résistance due au frottement sera 
fR:cos«, 
[ étant le coëfficient du frottement : où bien encore 
KR. cos cDR — R. sin. «, 


puisque cetté dernière quantité est la valeur/de la com- 
posante De égale et opposée au frottement. Nous avons 
ainsi 


[R cos « —Rsinz, 
d’où 
[= tang &; 


ce qui doit être nécessairement, puisque la tangente de 
l'angle d’inclinaison du plan est équivalente au coefi- 


| eïent du frottement, lorsque la résistance de ce frotte- 
, ment estla seule force qui empêche le corps de glisser 


sur le plan incliné. Mais, en vertu des relations 
connues, 


tans © 7 
Sin 9 — ———7 LE ie 
Fa Try COS » Vi tang Ps 


nous ayons 


sin & Mrs COVER 


FRO 191 


donc la résistance du frottement exercé au point D par 
suite de la pression R est... (c) 


Re 
Vi +f 


laquelle doit être introduite dans le système avec les 
autres forces, lorsqu'il s’agit de détermiuer les condi- 
tions d'équilibre. 

Pour obtenir maintenant l'équation d'équilibre, pre- 
nons le centre de l’axe À pour celui des momens (voyez 
ce mot); désignons par r le rayon de la poulie, par p 
celui de l’axe, et faisons, pour abréger, 


ft a 
Virf 


=); 


en observant que dans la pratique on peut presque tou- 
jours supposer f—f". Le moment de la force P sera Pr: 
celui de la force Q, Qr; celui de la résistance du frot- 
tement, f'Ro, et comme cette résistance agit avec la 
force P dans un sens opposé à Q, nous aurons... (d) 


Q—= Pr TRy, 


ou 


QPr Er (PO), 


à cause de R — P + Q. 
Dégageant Q de cette équation, il viendra... (e) 


Q —P. he, 
l 
dans laquelle il n’y a plus qu’à donner des valeurs par- 
ticulières aux quantités P, r, 5 et f. Soit, par exemple, 
le poids à soulever P — 925 kilogrammes, le rayon de 
la poulie r — 24 centimètres, celui de l'axe p—=6 centi- 
mètres. Si l’axe et le palier sont en fer, etqueles surfaces 
soient simplement onctueuses, nous aurons, d’après les 
expériences de M. Morin, f — 0, 14, et, par suite, 


: 0,14 SNS 
— — 0,1986. 


Î —— ——_—__——— 
Vi + (0,14)? 
Substituant ces nombres dans (e); nous obtiendrons 


rh 24 +6 DC 0,13586 
* 24—6 X 0,1586 


= 36°; 759%, 


c’est-à-dire que Q devrait peser 26°, 794 pour être sus- 
ceptible d'élever le poids P pesant 25 k. La résistance 
due au frottement est donc, dans ce cas » égale à. 
26",794 — 25 — 1,794. 

Nous n'avons point tenu compte, dans cet exemple, 
de la résistance. qui provient de la corde, et qui 


192 FRO 
exige encore un accroissement dans le poids moteur. 
( Voyez Corne, tome.) 

Si l’axe de Ja poulie était fixe, les mêmes considé- 
rations conduiraient à la même expression (ec) du frot- 
tement; mais il faudrait concevoir l'équilibre établi 
autour du centre du trou de la poulie, et faire entrer le 
rayon de ce trou dans l’équation d'équilibre. Le frot- 
tement du levier sur son axe de suspension, et en gé- 
néral tous les frottemens relatifs aux axes tournans, dé- 
pendent de cette expression (c), en faisant R égal à la 
résultante de toutes les pressions. ( Voy. Treuiz, t. IL.) 

12. Il existe une autre espèce de frottement qu’on 
nomme frottement de roulement ou frottement de la se- 
conde espèce, c’est celui qui a lieu lorsqu'un corps rond 
roule sur une surface, comme un cylindre sur un plan, 
ou une roue de voiture.sur le terrain. Ge frottement est 
en général très-petit comparativement à celui de la pre- 
mière espèce (voyez Roucemenr) ; car lorsqu'un cylindre 
chemine en roulant sur un plan résistant et bien uni, 
les axes des divers points de sa surface se développent 
sur celle du plan, et le frottement est presque insen- 
sible; aussi peut-on le négliger sans inconvénient dans 
tous les calculs relatifs aux corps durs et solides qui 
entrent dans la composition des machines; mais il est 
nécessaire d'y avoir égard dans les questions relatives à 
la locomotion des voitures , car le frottement des roues 
sur le terrain produit des résistances d'autant plus 
grandes que le terrain est plus raboteux et surtout plus 
compressible. On a reconnu , par exemple, que sur un 
chemin horizontal bien pavé le tirage est entre !},, et 
1/9 de la charge; tandis que sur un terrain sablon- 
neux, ou sur des cailloux nouvellement placés, il 
s'élève jusqu’à ‘},. Quand le terrain est mou et que les 
roues s’y enfoncent, il se produit encore de nouvelles 
résistances, dues à la nécessité de relever à chaque instant 
la voiture sur des plans inclinés. Nous allons examiner 
quelques-unes des circonstances du mouvement des 
voitures. 

13. Soit ABCDR (pl. II, fig. 12), une roue placée 
sur un plan horizontal MN, À son essieu , et AF la di- 
rection de la force appliquée à cet essieu pour lui im- 
primer un mouvement de translation. Le poids de l’es- 
sieu, y compris tout celui dont il peut être chargé, 
pèse en D sur la surface intérieure du moyeu ; ce même 
poids, plus celui de la roue, pèse en R sur le plan, 
au point de contact de la roue. Concevons maintenant 
que la force de traction fasse mouvoir l’essieu en avant : 
la pression au point R empêchant la roue de glisser sur 
le plan, elle se met à tourner, et chaque point de sa 
circonférence vient s'appuyer successivement sur un 
point du plan MN pendant que l’essieu marche paral- 
lèlement à lui-même. Abstraction faite du frottement 
de roulement, le moteur n’a donc à vaincre que le 


FRO 


frottement de l’essieu sur lequel il agit à l’aide d’un 
levier du second genre, car on peut considérer une 
roue comme un tel levier : R est le point d’appui, la 
puissance est appliquée en À, à l’extrémité du rayon 
AR de la roue, et la résistance en b à l'extrémité du 
rayon de l’essicu. Ainsi, en n'ayant égard qu’à la résis- 
tance du frottement de l’essieu, on peut admettre que, 
dans le cas d'équilibre, le rapport de la force tractrice 
à la résistance est égal au rapport du rayon de l’essieu 
au rayon de la roue ; d’où l’on voit qu’une roue est 
d'autant plus avantageuse au moteur que ce dernier 
rapport est plus petit, c’est-à-dire qu’on peut diminuer 
de moitié la force nécessaire pour mettre une voiture 
en mouvement, en doublant le rayon des roues sans 
changer celui des essieux. 

Ce principe se trouve confirmé, pour les chemins de 
fer, par les expériences de Tredgold, qui a constam- 
ment trouvé que, sur de tels chemins, la force qui peut 
mettre un chariot en mouvement, la charge et les 
essieux étant les mêmes, est en raison inverse du 
diamètre des roues. Ainsi, désignant par Q la résis- 
tance du frottement à l’essieu, par p le rayon de l’es- 
sieu, par r celui de la roue, et par P la force motrice, 
on aurait, sur un chemin horizontal, 


P—Q = 
mais la résistance du frottement à l’essieu est, comme 


nous l’avons vu (11), égale à 


R : 
- HORS , ou simplement à Rf, 


Ver 


R désignant la résultante de toutes les forces qui 
pressent l’essieu contre le moyeu, donc... (f) 


s 


Cette formule, dans laquelle on doit faire R égal à la 
partie du poids total du chariot supportée par une seule 
roue, donne le moyen de calculer la force de traction 
nécessaire pour tenir le chariot en mouvement sur un 
chemin de fer horizontal, bien uni. On peut également 
s’en seryir pour évaluer approximativement, par COmM- 
paraison, la résistance du roulement sur les autres 
chemins. Déterminons, pour exemple, la force de trac- 


tion qui tire les chariots de marchandises sur les che-. 


mins en fer de l’Angleterre; ces chariots, dont le 
poids total est ordinairement de 5 tonneaux anglais 
(5080 kil.), sont montés sur quatre roues égales, d’un 
rayon de 1570 millimètres ; le rayon des essieux est de 
76 millimètres; la charge étant également répartie, 
cheque essieu porte 2540 kil. et produit conséquem- 


| 


re 


FRO 


ment sur chaque roue une pression moyenne de 
1270 kil.; prenant le coellicient du frottement 0,1, 
nous aurons donc 


k 
R—1270;p — 56), —u570, f—0315 


substituant ces valeurs dans (f), nous obtiendrons 


76 k 

LA 

— — "m0 
1970 7 504; 


150) 0,1. 


chaque roue, en particulier, exige donc une traction 
L , . 
de 5 ,04, et par conséquent la force totale de traction 
que doit exercer constamment le moteur pour entrete- 
su € k + 
nirun mouvementuniforme est de 4 X 7 ,04—28 ,04; 
le rapport de la force à la charge est ainsi 


Le PQ 
508o 180 


L'expérience a fait connaître que ce rapport varie de 


dues. do Auir 
—— à ——, etl’on aadopté —- comme terme moyen; 
180 240 200 


mais, dans toutes les expériences faites à ce sujet, on a 
oublié d'indiquer le rapport du diamètre de l’essieu à 
celui de la roue; en sorte qu’on ne peut encore rien éta- 
blir de suffisamment exact. 

Le frottement de roulement devient très-sensible 


FRO 193 


sur les chemins de fer lorsqu'ils ne sont pas entretenus 
avec beaucoup de soin. M. Palmer, l'inventeur des 
chemins à un seul rail, a constaté, sur le chemin à or- 
nières plates de Cheltenham, que la poussière seule 


produit une résistance assez grande pour exiger une 


augmentation de 19 1/2 pour 100 de force tractrice. 
L’inégalité dans les joints produit une autre espèce de 
résistance qu’on peut comparer à l'effet d’un obstacle 
placé sur un chemin ordinaire, et c’est particulièrement 
dans ce cas que les grandes roues, quel que soit d’ail- 
leurs le rapport de leurs diamètres aux diamètres de 
leurs essieux, sont plus avantageuses que les petites; 
ce qui ne doit pas s'entendre, cependant, d’une ma- 
nière absolue. (Voyez Roue. ) 

14. Le grand avantage des chemins de fer consiste 
uniquement dans la diminution du frottement de roule- 
ment, ce qui permet de traîner sur ces chemins des 
charges dix à douze fois plus fortes que sur une route 
ordinaire avec le même effort de traction; mais cet 
avantage n’a réellement lieu que sur des plans horizon- 
taux; il diminue rapidement , pour les montées, lorsque 
l'inclinaison d’un chemin de fer dépasse de très-petites 
limites. Malgré tous les travaux faits jusqu'ici , le pro- 
blème de la locomotion est à peine ébauché sous le 
rapport pratique comme sous le rapport théorique, et 
nous pensons qu'il y a beaucoup à rabattre dans les 
prétentions respectives des partisans et des adversaires 
des chemins de fer. 


G. 


GÉO 

GÉOMÉTRIE AUX TROIS DIMENSIONS (Analyse). 
Les grands progrès de la mécanique rationnelle datent de 
l'application qu’on a faite à cette science de la géométrie 
analytique à trois dimensions. C’est alorsseulement qu’on 
apu considérer les corps comme se mouvant d’une ma- 
nière quelconque dans l’espace, et s'élever aux équa- 
tions générales du mouvement. Il est donc indispen- 
sable aujourd’hui, pour pouvoir aborder l'étude des 
grands traités de mécanique, de posséder une connais- 
sance suflisamment approfondie de cette géométrie, 
qui repose, d'ailleurs, sur les mêmes principes que la 
géométrie analytique à deux dimensions , et n’offre ; par 
elle-même, aucune difficulté sérieuse. Nous allons 
compléter ici les notions données, tome TI, au mot 
APPLICATION, du moins dans tout ce qui est nécessaire 
à l'intelligence des divers articles de mécanique conte 
aus dans ce dictionnaire. 

Tom. ur. 


GÉO 


1. Pour déterminer la position d’un point dans l’es- 
pace à trois dimensions, on le rapporte à trois plans 
fixes et connus de situation, assujétis à la condition de 
se couper en un même point, Le plus ordinairement ces 
mois plans sont rectangulaires, c’ést-à-dire que deux 
quelconques d’entre eux sont perpendiculaires sur le 
troisitme, Dans ce dernier cas, que nous considérerons 
d’abord, si l'on mène du point donné une perpendicu- 
laire à chaque plan, la position du point sera fixée, 
comme nous l'avons yu, tome Ï, page 110. Sans reve- 
nir sur ce que nous ayons déjà suflisamment expliqué, 
rappelons les dénominations convenues. 

Soient ZOX, ZOY, YOX (PI..XE, fig. 25) les trois 
plans rectangulaires, et O le point commun des inter- 
sections.de ces plaus, qu'on nomme plans coordonnés ; 
soit À un point quelconque situé dans l'espace, Ap la 
perpendiculaire menée de ce point sur le plan ZOX, 


25 


194 GÉO 


An la perpendiculaire menée sur le plan ZOY , et Am la 
perpendiculaire menée sur le plan YOX. Ces trois 
perpendiculaires seront les coordonnées du point A. 

Les piedsp, n, m, ou les intersections des perpen- 
diculaires avecles planscoordonnés, sont les projections 
du point A sur ces plans. Si, de chacun des points p, 
n,m, et dans le plan où il se trouve, on mène des 
parallèles aux deux autres coordonnées, on formera le 
parallélipipède rectangle næ, dans lequel on aura 


An—Ox, Am— Oz, Ap—0Oy. 


C’est donc absolument la même chose de connaître 
les trois perpendiculaires An, Am, Ap, ou les trois 
portions correspondantes Ox, Oy, Oz des intersections 
des plans coordonnés. En effet, lorsque ces trois por- 
tions sont données, il suffit de mener par chacune de 
leurs extrémités æ, y, z un plan perpendiculaire aux 
deux plans coordonnés dans lesquels elle se trouve : 
la commune intersection de ces plans perpendiculaires 
est nécessairement le point A. 

Les intersections OX, OY, OZ des plans coordonnés 
se nomment les axes des coordonnées, et, particulière 
ment, OX l’axe des æ, OY l'axe des y, et OZ l’axe 
desx, parce qu’on désigne généralement par les lettres 
æ, yet x les droites Ox, Oy, Oz respectivement égales 
aux coordonnées An, Ap, Am, et qu'on donne aussi 
le nom de coordonnées à ces droites. On voit aisément 
que Ox est la distance An du point A au plan ZOY, 
comptée sur l'axe OX ; que Oy est la distance du même 
point au plan ZOX, comptée sur l'axe OY; et enfin 
que Am est sa distance au plan YOX, comptée sur l'axe 
OZ. Désignant généralement ces trois distances par 
a, b,c, ona Ox=a, Oy —b, Oz —c, ou, plus 
généralement, 


Ces trois égalités se nomment les équations du point. 
Nous avons vu (tome Ï, page 111) comment les signes 
des quantités @, b, c déterminent celui des huit angles 
trièdres formés par les plans coordonnés dans lequel se 
trouve le point. 

On désigne, pour abréger, chaque plan coordonné 
par les axes qu'il renferme; ainsi le plan ZOX cest dit 
plan des æz ; ZOY est le plan des yz, et XOY le plan 
des æy. 

2. Nous devons faire observer deux particularités 
importantes : 

1° Un point quelconque À de l’espace a toujours deux 
coordonnées de communes avec chacune de ses projections ; 

2° Deux projections d'un méme point ont toujours 
une coordonnée commune, 

En effet, rapportant chaque projection aux deux axes 


GÉO 

qui se trouvent dans son plan, on voit immédiatement 
que les coordonnées du point» sont Oz et Oy, ou z et y, 
celles du point p, æetz, et celles du point m, æ et y. 
Quant à la seconde proposition, on voit également que 
les deux projections m et n ont le même y— Oy; les 
deux projections n et p, le même z—Ozx, et les 
deux projections ® et p le même æ— Cx. 

Ces relations nous montrent la liaison qui existe entre 
les projections et les coordonnées, et expliquent pour- 
quoi il ne faut que deux projections pour déterminer un 
point dans la géométrie descriptive (voyez tome I, 
page 455), tandis qu'il faut trois coordonnées dans 
la géométrie analytique. En effet, pour fixer analÿtique- 
ment la position de la projection p sur le plan æz, il 
faut deux équations telles que æ—a,z=—=c; et, pour 
fixer la position de la projection m sur le plan æy, deux 
équations æ—4@, y —b; mais, d’après la seconde 
proposition, on doit avoir 4 — d ; ainsi la connaissance 
des deux projections, équivaut à celle des trois équa- 
tions T4; y—=Vb; cc. 

5. Nous rappellerons encore que, lorsque dans les 
équations générales du point, 


CR NES = 


une des quantités a, b, e est zéro, cette circonstance 
indique que le point est situé dans le plan des deux 
autres coordonnées. Dans le cas, par exemple, de 


— 0er AUDE 


le point est dans le plan des æy. Si l’on avait à la fois 
y—0 et z;—0, l'équation æ— «à appartiendrait à 
un point placé sur l’axe des æ. Enfin les trois équations 
æ—0,y—0, 3— 0 appartiennent à l’origine O des 
plans coordonnées. 

4. Les positions respectives de deux points étant dé- 
terminées par leurs trois coordonnées, il est toujours 
facile de calculer la grandeur numérique de leur dis- 
tance, quand la grandeur des coordonnées est donnée en 
nombres. Soient (PI. XI, fig. 14) À et B, deux points 
dont les coordonnées sont : pour le point A, 


On=x', an—=y,) Aa—2; 
et, pour le point B, 
Om—zx", Bm—y', Bb—7%. 


Joignons les deux points par la droite AB, ct menons 
Bp parallèle à ab; le triangle ABp étant rectangle, nous 


aurons 


= [nr +p vf +e-rr | 


GEO 
Menons encore bg parallèle à OX, le triangle rec- 
tangle abq nous donnera 


a = ap + bg = (y — y") + (x —2); 


donc... (a) 
an |[(—") +) +(@-x>] 


Si le point B coiïncidait avec l’origine O, ses coor- 
données seraient nulles et l’on aurait 


C’est la valeur de la diagonale d’un parallélipipède rec- 
tangle dont les trois arètes sont æ', y', 3. 

5. Des LIGNES DROITES DANS L'ESPACE. La position 
d'une ligne droite dans l’espace est déterminée lors- 
qu’on connaît deux de ses projections sur les plans coor- 
donnés. Si ab (PI. XIL, fig. 3) est la projection de la 
droite AB sur le plan æ3 et a'b' sa projection sur le 
plan yz, les équations respectives de ab et de «’b', cha- 
cune dans leur plan, seront les équations de AB 
(tome I, page 111) dans l’espace. Or, la forme géné- 
rale des équations de ab et de a'b' étant æ — az + b, 
y = cz — d, nous avons, pour les équations générales 
d’une droite dans l’espace... (b) 


ai tb, y—=c: <td; 


c’est de ces deux équations qu’on peut déduire toutes 
les propriétés des lignes droites. 

6. Observons d’abord que, pour déterminer le point 
où la droite, suffisamment prolongée, coupe l’un des 
plans coordonnés, ou ce qu’on nomme la trace de la 
droite sur ce plan, il faut donner la valeur o à la coor- 
donnée qui exprime la distance du point au plan, par 
exemple, la condition z — o exprime que le point est 
sur le plan æy; ainsi faisant z—0, dans les équa- 
tions (b), on obtient, pour la trace de la droite dans 
le plan æy, les équations 


C0; JU: 


La trace dans le plan +5 sera exprimée, d’après les 
mêmes considérations, par 


| PE ane Èè=— 


| et enfin, la trace dans le plan yz, par 


| 

|] 

| be b 
dr —, 

| y à + d, 

7- Les constantes &, b, e, d, qui entrent dans l’équa- 


tion de la Jigne droite doivent être considérées géné 


GÉO 195 
ralement comme des quantités indéterminées suscep- 
tibles de tous les états de grandeur et auxquelles il suffit 
d'attribuer les valeurs dépendantes des conditions im- 
posées à une droite pour obtenir l’équation particulière 
de cette droite. Les procédés sont tout-à-fait semblables 
à ceux qu’on emploie dans la géométrie plane, ainsi 
que nous allons le voir dans les questions suivantes. 

8. Trouver les équations d’une droite assujétie à passer 
par deux points donnés. 

Soient À et B les deux points (PI. XI, fig. 14), dont 
nous exprimerons les coordonnées connues paræ, y,2 
et æ’, y’, z'. Puisque ces points doivent se trouver 
sur la droite, les relations de leurs coordonnées sont les 
mêmes que celles de tous les autres points de cette 
droite, et les trois systèmes d'équations 


(C0) CARE 0772 +d , y =0cz +d, 
()e L —= ax + b ; y = CZ + d, 
Gate ec 


doivent subsister en même temps. Retranchant les équa- 
tions (2) des équations (5), et les équations (3) des 
équations (2), nous obtiendrons les deux systèmes 


(4h m—x = a(z—x), y —y—c(z—27), 


(he … TT —0 (er —x), y — y =c (x —+) ; 


substituant dans le premier de ces systèmes les valeurs 
de a et de c, fournies par le second , nous aurons défi- 
nitivement 


Telles sont les équations de la droite qui passe par les 
deux points donnés (+, y, z'), (æ'', y’, 2"). 

9. Si la droite n’était assujétie qu’à passer par un 
seul point À ou (æ&,y', x), on n'aurait que les deux 
systèmes d’équation (1) et (2), et les équations finales 
seraient 


T—D —a(z—2:) , y—y—=c(5—7), 


lesquelles, tant que & et c restent indéterminées, on- 
viennent à une infinité de droites différentes, passant 
toutes par le point (+, y', +). 

10. Trouver les équations d'une droite assujétie à 
passer par un point donné et qui soit en outre parallèle 
à une autre droite donnée. 

Soient 


196 GÉO 


les équations de la droite donnée, et 


y= 0x +d 


celles de la droite cherchée; les valeurs des quantités 


T—=dz tb ; 


a', b', c', d' sont connues, et il s’agit de faire disparaître 
les quantités indéterminées @, b, e, d. 

Or, la droite cherchée devant passer par un point 
donné (æ', y, x), ses équations, d’après ce qui pré- 
cède, prennent les formes 


T—r—=a(i—x) , y—y—c(z—#); 


mais cette ligne devant être parallèle à la droite donnée, 
il faut évidemment que les plans projetans de ces deux 
droites et conséquemment leurs projections soient 
respectivement parallèles; on a done les conditions 
a—«a, c—c€, et les équations de la droite demandée 
sont 
D—g'=a (zx) , y—y—=c(z—57). 

Si la droite, qu’on veut mener parallèlement à une 

autre droite donnée 


Dr D y —=Te--d, 


devait passer par l’origine, point dont les coordonnées 
sont '—0, y —0, 7—0, ses équations seraient 
simplement 


11. Trouver le point de rencontre de deux droites don- 
nées par les équations 


Gi)... æ—ar Eh 
(2)... "Tax #0", 


y—= (3 +d, 
y=tCz dr 


Observons que deux droites, situées d’une manière 
quelconque dans l’espace, ne sont susceptibles de se 
rencontrer que lorsqu'on peut les renfermer dans un 
même plan, et qu’il doit conséquemment exister une 
relation déterminée entre les constantes a, b, ce, det 
a’, L', c', d' dans le cas où une telle rencontre est pos- 
sible. Or, dans ce même cas, les valeurs particulières 
des coordonnées du point d’intersection doivent salis- 
faire à la fois les deux systèmes d'équations (1) et (2); 
ainsi, en considérant les variables æ, y, z comme des 
inconnues, la solution des équations fera connaître, 
d’une part, les valeurs des coordonnées du point d’inter- 
section, et de l’autre, la condition de l'existence de ce 
point; car il y a quatre équations, et elles ne peuvent 
subsister enmême temps ou être satisfaitespar les mêmes 
valeurs de æ, y et z qu’autant qu’il se trouye une cer- 
taine relation entre leurs constantes. 


GÉO 


Retranchant le premier système du second, il vient 


OZ (a — a) +b — b, 
0O—Z%(c—c) +d—d, 


ce qui donne, en éliminant z entre ces deux équa- 
tions, 


bibi 
RER rep 


Telle est la relation entre les constantes a, b, c et a’, b',c’, 
sans laquelle les droites ne peuvent se couper; en ad- 
mettant qu’elle ait lieu, il suflit de substituer à la place 
de x, dans les équations (1) ou (2), sa valeur 


pour obtenir les valeurs des deux autres coordonnées 
æ et y du point d’intersection. 

12, Trouver les angles que forme avec les trois axes 
une droite AO (PI. XII, fig. 1). 

Les équations de la droite AO sont, (10), 


LT— AZ 3 Y—=CZ; 


et, si l’on prend sur cette droite une longueur arbitraire 
Om, que nous désignerons par r, on aura, pour dé- 
terminer les coordonnées æ', y, z' du point m, les trois 
équations 


r=pthyt tr, 


TMC EC 


dont la première donne, d’après (4), la valeur de la 
distance Om en fonction des coordonnées æ', y, z' de 
son extrémité m, et dont les deux autres expriment 
que le point m est sur la droite donnée AO. Résolvant 
ces trois équations par rapport aux inconnues æ',Y',%'; 


on obtiendra 


qi = ee 
V/& Le + 
: er 
y = = — 
Va + €? + 1 


x 


Achevons maintenant le parallélipipède rectangle 
déterminé par les trois coordonnées du point m, et fai- 
sons les angles cherchés 


MOX = «, MmOY—/$, MmOZ = Y. 


GÉO 


Ceci posé, les triangles rectangles mOg, mOs, mOf, 
donnent... (c) 


cos & — Og e 
PnPOM 11 
sr y 
die 
MT On ri 


Substituant dans ces relations les valeurs précédentes 
des coordonnées, on obtiendra définitivement... (d) 


a 

ST eg! 
(a 

MR TETE 
1 

cos y = — 2= 


La radical étant susceptible du double signe +, ïl 
faut observer qu’on doit donner le même signe aux 
trois cosinus à la fois, soit + soit — ; les deux systè- 
mes résultant de cosinus se rapportent aux angles que 
la droite AO fait immédiatement avec les demi-axes 
positifs OX, OY, OZ et à leurs supplémens, c’est-à- 
dire aux angles que fait le prolongement de AO avec 
ces mêmes demi-axes positifs; car c’est toujours par 
rapport à ceux-ci qu’on mesure les angles d’une droite 
avec les axes coordonnés, Le signe + répond aux 
angles formés par la portion AO de la droite qui se 
trouve située au-dessus du plan æy, ou qui fait un 
angle aigu avec OZ; et le signe — aux angles formés 
par la portion OA’ de la droite située au-dessous du 
même plan, ou qui fait un angle obtus avec OZ. 

13. Les valeurs précédentes font découvrir une rela- 
tion très-remarquable entre les trois angles formés par 
une droite avec les axes coordonnées. En les élevant 
toutes au carré et formant leur somme, on obtient... (e) 


cos a + cos 8 + cos ?y — 1; 


d’où il résulte qu’en prenant arbitrairement les valeurs 
« et pour fixer la position d’une droite, elles doivent 
satisfaire à la condition 


cos x + cos 8 < 1 où — 1; 


car le troisième angle est déterminé par l'expression 
cosy= +1” [: — 005 — es], 


qui n’est susceptible que de deux valeurs supplémen- 
taires l’une de l'autre. 


GÉO 197 


14. Connaissant les angles formés par une droite avec 
les axes coordonnés, trouver ses équations. 

Cette question se trouve résolue en tirant des expres- 
sions (d) les valeurs des constantes & et c, ce qu’on 
fait aisément en divisant les deux premières par la troi- 
sième, On trouve de cette manière 

__ Cosa _..c0s f 


Ti ES 2 


, 
cos 7 cos 7 


cet, par conséquent, les équations demandées sont 


cos & 
cosy? 


| cosy 


Si la droite devait passer par un point donné (x, 
y, 3), on pourrait donner à ses équations la forme élé- 
gamment symétrique 


Ta y—Y. &—3 


COS « cos y" 


cos £ 


15. La figure 1, dont nous nous sommes servi pour 
la déduction des expressions (c), montre que les coor- 
Og, Os 


et Of sont les projections sur les axes de la droite Om, 


données d’un point quelconque m, savoir : 


qui joint l’origine au point m, droite qu'on nomme gé- 
néralement le rayon vecteur. Les équations (c) donnent 
pour les valeurs de ces coordonnées lesexpressions..….(f) 


æ'—TCosu, y —1C0SB, z —=rcosy, 


utiles dans une foule de circonstances. 
16. Trouver l'angle que forment entre elles deux droites 
représentées par les équations. 


(2). TL —= AZ + b, y—= CE + d, 
(2) æ—«az—+b", y— cz + d’. 


Il est nécessaire d’abord que les constantes de ces équa- 
tions satisfassent à la condition 


== dd 


TOME 


car sans cela les droites ne pourraient se rencon- 
trer (n° 11); mais on peut en outre simplilier la ques- 
tion en menant par l’origine deux droites parallèles aux 
droites données, et en cherchant l'angle compris entre 
ces dernières, dont les équations sont alors (n° 10) 


(5). T4, y—=cC%, 


CARS ER IE 


Soient OM et ON (PI. XIT, fig. 6) ces dernières 
droites ; prenons les parties OA = OB = 1, et joignons 


198 GÉO 
les points A et B. Le triangle OAB nous donnera 


(voy. Ticonomérue, tome II, page 582) 
AB —01-|-0B —20A.0B.cos AOB—2—2005AO0B. 


Maintenant, si nous désignons par æ', y , z les coor- 
données du point A, et par &’, y’, #" les coordonnées 
du point B, nous aurons (n°4), 


1R° d C , n\2 ’ ” 

= (ae) + (y) + ET 
Ainsi 
(@— 2} + (y—y} + (2) = 2 — 2 cos AOB; 


développant les binomes et observant que 


arte OÙ, 

a+ y +rte OB 1, 
cette équalion sera réduite à... (g) 

cos AOB— xx y y xx". 


Pour calculer les coordonnées æ', y", x", æ', y", x, 
on a les équations 


QE ax, y ane, CE, 


# 1’ nn 4 re. 
D 02; y —C2); 


qui expriment que les points À et B sont sur les droites 
OM et ON, et dont on tire aisément, en les combinant 
avec les relations, 


my? +rt— 1; g'Hy+zt— 1 


les six valeurs 


? a : « 
VV Lei 4 a? cit: 
e ; c 
y == = —— 4 7 = — == 
Va ea Va? ce? Ti 
1 1 


substituant ces valeurs dans (9) on aura définitive- 
ment... (A) 


q) rois VA LE A a ER à 
cos AOB — V [ete . e V4 [a+ en | | 


expression qui fera connaitre l’angle des deux droites 
OM et ON au moyen des quatre conslantes 4, €, @', c’ 
qui entrent dans leurs équations. 


GÉO 
En partant dela relation générale sing =V/1— cos ?y; 
on obtiendrait pour le sinus du même angle AOB 


Vfa—dr+te—cr+ (a —d»] 
sin AOB— 


[e+a+al x [a*+e de | 


, 


et, par suite, on trouverait, pour sa tangente, 


letter —a) | 


tang AOB— 


Il est souvent utile d’avoir l'angle de deux droites 
en fonction des angles qu’elles font avec les axes coor- 


cédentes. Soient x, B, y, les angles de la droite AO avec 
les axes OX, OY, OZ, et «’, £', y ceux de la droite BO; 
les coordonnées du point À étant +’, y, z', et ceux du 
point B, &’, y", z', nous avons, d’après les formules (f), 


m'— AO!COS ay — NOM CCE LE RO ICO, 


æ — BO,. cosu!, y —B0 c056;,7—BO0;'Cosy,, 
ou, simplement à cause de AO = BO = 1, 


Linie VI COSIB Ni COS) 


LI COS ay cos Pr COS 
substituant ces valeurs dans l'expression (g) 
COS AOB—= 2x yy Ezzs 
il vient... (à) 
cos AOB — cos & cos « cos B cos f cosy cos y. 


En donnant des valeurs particulières à cos AOB, 
les équations (4) et (à) font connaître les relations qui 
doivent exister, soit entre les quantités gaetc, soit entre 
les angles formés par les droites OM et ON avec les 
axes, pour que l’angle compris entre ces droites ait une 
valeur donnée. Si l’on veut, par exemple, que les 
droites soient perpendiculaires entre elles , il faut faire 
AOB — 90°, et, partant, cos AOB — 0 ; alors l’équa- 
tion (4) donne l'équation de condition... (#) 


aa + cc +1 —=0; 
ou bien équation (+) donne celle-ci : 


cos &. cos x + cosB. cos B' — cosy. cosy — 0. 


donnés; on y parvient aisément par les formules pré- 


Il faut observer que la relation (4) ne détermine pas 
entiérement l’une des droites, car @ ete, par exemple, { 
étant les quantités données, on peut prendre pour « 
ou €’ une valeur quelconque, afin de trouver la valeur | 


GÉO 


de l'autre de ces deux quantités au moyen de la rela- 
tion (#). Ceite circonstance résulte de ce qu’on peut 
mener au même point d’une droite une infinité de per- 
pendiculaires; mais toutes ces perpendiculaires sont 
dans un même plan, et c’est seulement la position de 
ce plan qui se trouve déterminée par l'équation (4). 

15. Des PLaxs pans L'espace. Examinons actuellce- 
ment comment on peut représenter algébriquement la 
situation d’un plan dans l’espace. Un plan pouvant tou- 
jours être considéré comme engendré par une ligne 
droite qui se meut parallèlement à elle-même dans une 
même direction; soit QN (PI. XIT, fig. 2) cette droite, 
BA la direction de son mouvement , ou, ce qui est la 
même chose, une autre droite contre laquelle QN est 
assujétie à glisser pendant qu’elle se meut, en demeurant 
toujours parallèle à sa première position, c’est-à-dire 
pour déterminer cette première position, pendant 
qu’elle se meut parallèlement à une troisième droite 
donnée OD. 

La droite fixe AB se nomme la directrice, et la droite 
mobile QN la génératrice. 

Soient 


QG}, æ= ax db, y—=cz+d 


les équations de la directrice, et æ — ax, y— c'x les 
équations de la droite OD, à laquelle la génératrice doit 
rester parallèle; celles de la génératrice seront consé- 
quemment de la forme (n° 12) 


GC)... ads +0, y—=cz+d', 


dans lesquelles a’ et c'’ sont des quantités invariables, 
et b' et d' des quantités qui changent avec la position de 
la génératrice. ; 

Or, puisque la £énératrice QN a dans toutes ses po- 
sitions un point commun avec la directrice AB, les équa- 
tions (1) et (2) doivent pouvoir être satisfaites par un 
même. système de valeurs æ, y, z, ce qui ne saurait 
avoir lieu, s’il n’existe pas entre les quantités a, b, c, d, 
a’, b', c', d'(n° 11) la relation 


Cette relation devient donc ici l'équation qui exprime 
que BN glisse le long de AB, et il faut la joindre aux 
équations (2) pour avoir une représentation complète 
de la génératrice. Mais, en éliminant b’ et d' entre les 
équations (2) et (3), l'équation finale en æ, y, z ne con- 
tenant plus ces quantités D’ et d’ qui distinguent une po- 
sition de la génératrice d’une autre, il en résulte que 
cette équation finale conviendra à toutes les positions de 
la génératrice, et, par conséquent, à là surface plane qui 


est le lieu de toutes ces positions; en un mot, Péqua- 


GÉO 199 


tion finale sera l'équation du plan. Substituant dans (3) 
les valeurs de D’ et de d'tirées de (2), il viendra 


Z—@z—b  _y—cz—d 


a — à C—c ? 


ce qu'on peut mettre sous la forme 


(c—c) & (a — à) y (ac — ae) z + D (c'—c) 
+ d(a'— a) — 0. 


Ainsi la forme générale de l'équation du plan est... (1) 


At + By + Cz+ D — 0. 


18. Lorsque l'équation d’un plan est donnée, c’est- 
à-dire lorsque les valeurs des coefficiens A, B, C, D de 
l'équation ({) sont déterminées, il est facile de trouver 
les points où ce plan coupe les axes coordonnés. En 
effet, au point P où le plan MQ coupe l’axe OX, on 
doit avoir à la fois Yy—0, &—0; ainsi, donnant ces 


valeurs à y et à z dans (1), on obtient æ — — eut 
pi 


On trouverait de même la distance de l’origine où le 
plan-coupe l’axe OY, en pesant æ — 0, z—0, et la dis- 
tance où il coupe l’axe OZ, en posant 4—0, y—0. 
Exprimant ces trois distances par p, q, r, ou, faisant 


M EUR AT L , ire UNE 2 Cl 


\ 


l'équation du plan deviendra 
SE AU RNRE 
: == hé a: 


19. S'il s'agissait de déterminer les traces du plan ou 
ses intersections avec les plans coordonnés, il faudrait 
observer que, pour sa trace PM, par exemple, sur le 
plan 2%, On à Y—0,et, par conséquent, que cette trace 
est exprimée par les deux équations simultanées 


y—=0 , AtLC;LD—0; 
par la même raison, les équations de sa trace sur le 
plan æy sont 

3—=0 , Az+By+D—0o; 
et celle de sa trace sur le plan yx, 

æ—0 ; By+Cz+D—=0. 


50. L'équation du plan contient généralement les trois 
variables æ, y, z; et, d’après sa déduction, il est fa- 
cile de voir qu’elle est toujours du premier degré, 
comme on peut s'assurer réciproquement que toute 


équation du premier degré de Ja forme ({) appartient 


200 GÉO 


à une surface plane. Mais un ou plusieurs des coeffi- 
ciens À, B, C, D peuvent être nuls, et il est nécessaire 
de connaitre, dans ces divers cas, les conditions aux- 
quelles le plan est assujéti. 

Imaginons que le plan proposé doit être parallèle 
à l’axe des æ; alors il ne peut couper cet axe, circon- 
stance qu’on exprime en disant qu'il ne le rencontre 
qu’à une distance infiniment grande de l’origine ou en 
posant , p exprimant, comme ci-dessus, cette distance, 


p—=; mais 


: D 
D= — +. 
I N 
Ainsi la condition p— æ entraîne la condition A = 0, 


et réduit Féquation ({) à 
By + Cr +D — 0. 


Cette dernière est donc l'équation d’un plan parallèle à 
l'axe des æ. De même les équations 


At+CGz:+D—o : Aœ + By + D —0 


représentent des plans respectivement parallèles aux 
axes des y et des z. En général, lorsque dans l'équation 
d'un plan, une des variables manque, le plan est parallèle 
à l'axe sur lequel on compte cette variable. 

Si le plan devait être parallèle à la fois aux deux 
axes OX et OY, ou parallèle au plan y, les valeurs de 
p et de g seraient toutes deux infinies, ce qui entraîne la 
double condition AÀ—0, B—0o, et réduit l’équation 


(1) à 
Cz+D—=0o,ouz;—=M; 


d'où l’on peut conclure généralement que, lorsque deux 
variables manquent duns l'équation d'un plan, ce plan 
est parallèle à la fois aux deux axes de ces variables. 

L'équation 3 — M exprime évidemment que Ja dis- 
tance de chacun des points du plan donné au plan des 
æy, est égale à M. Si donc cette distance était nulle, 
ou si l’on avait l'équation z—0, elle représenterait le 
plan des æy lui-même, tout comme l'équation isolée 
y—0 représente le plan desæx, et que l'équation æ—0 
représente le plan des yx. Il est important de ne pas 
perdre de vue ces diverses significations. 

21. Des PLans Er DES DroiTEs DANS L'Espace. Toutes 
les questions qu’on peut se proposer sur les plans 
doivent être traitées de la même manière que les ques- 
tions relatives aux lignes droites, c’est-à-dire qu'il 
s’agit toujours de déterminer les valeurs particulières 
des coefficiens de l’équation 


A +- By + CG: + D =0, 


GÉO 


d’après les conditions qu’on peut imposer au plan. 
Quelques exemples suffiront pour indiquer la marche à 
suivre dans tous les cas. 

22. Trouver l'équation d'un plan assujéti à passer par 
un point donné. Soient æ', y', z' les coordonnées du point 
donné, et 


(1)... Ag + By + Cz + D —0 


équation générale du plan. Cette équation devant être 
satisfaite lorsqu'on donne respectivement aux variables 
æ, y, à les valeurs &', y', z', on a la relation 


(2)... Ag By + Cz'+D—0o. 


Les deux équations (1) et (2) sont insuffisantes pour 
déterminer les coelficiens A, B, C, D ; et cela doit être, 
car on peut faire passer une infinité de plans différens 
par un même point ; mais on peut au moins éliminer une 
des interminées en retranchant (2) de (1); il vient 


A(t—r) +B(y—y) +CG(z—z)=0o. 
Cette dernière ne renferme réellement que deux indé- 
B et s On doit ob- 


Je LA 
server généralement qu’il y a seulement trois indéter- 


terminées, savoir : les quantités 


minées dans l’équation générale du plan, puisqu’en 
divisant tous ses termes par À, on peut la ramener à la 
forme 


2 + Py + Qr HR. 


Il suffira donc toujours de trois équations differentes 
entre les coefficiens de l'équation générale (?) pour dé- 


- : BCP 
terminer entièrement les rapports +. A° À” et fixer. 


A 
par conséquent, la position du plan. ; 
25 Silonse proposait de faire passer le plan par trois 
points donnés (æ',y,2), (æ,y,2), (æ",y", 4)s 
on aurait à la fois les trois relations 


Az By +Cz +<D—=o, 
Ax' +By +Cz +<D=o, 
Az By"+Cz"+D—=o, 


dont il serait facile de tirer les valeurs des rapports 


B C D 


Ab Le qu'on substituerait ensuite dans l'équation 


générale (2). Le plan serait alors fixé de position, parce 


qu’on ne peut effectivement faire passer qu’un seul plan 
par trois points donnés. 

24. Déterminer les relations.qui existent entre les coef- 
ficiens des équations d'un plan et d'une droite, lorsque la 
droite çst située dans le plan. 


GÉO 


Soit 


(1)... At + By + Cz-+ D =0 
l'équation du plan, et 
(2)... z—az+b, y—c+d 


les équations de la droite. D’après les conditions du 
problème, la droite devant être toute entière dans le 
plan, il faut que, pour une valeur quelconque de %, 
ou en laissant  indéterminé , les valeurs de x et y don- 
nées par les équations (2) satisfassent à l'équation du 
plan. Substituant donc ces valeurs dans (1), nous ob- 
tiendrons 


(Aa Be + C)z + Ab + Bd-F D — 0; 


mais cette dernière doit se vérifier pour toute valeur de 
z, ainsi nous devons avoir à la fois 


(5)... Aa + Bc+C—o, 
(4)... Ab + Bd+ D = 0. 


Telles sont les relations demandées. 

25. Si la droite (2) ne devait avoir qu’un seul point 
commun ayec le plan (1), les équations (1) et (2) ne 
pourraient être satisfaites simultanément que par un 
seul système de valeurs æ, y, x; mais, comme il peut y 
avoir une infinité de plans qui rencontrent une infinité 
de droites au mème point, cette condition isolée ne 
saurait établir aucune relation déterminée entre les 
coefficiens des équations (1) et (2). Ces coefliciens se- 
raient seulement liés à la valeur de la coordonnée % du 
point d’intersection. Voici le fait : soient +’, y, z les 
coordonnées du point commun; leurs valeurs devant 
satisfaire en même temps les équations (1), (2), nous 
avons les trois relations 


Ag By + C3 +D—=o, 
T—ax +b, y —=cz +d; 
éliminant æ' et y’ entre ces trois équations, on obtient 


anus at Ab + Bd + D 
Aa + Be + C' 
Cette expression va nous conduire à la condition du 


parallélisme de la droite avec le plan. En effet, pour 
exprimer qu'une droite est parallèle à un plan, il suffit 


d'établir que leur point de rencontre est à une distance- 


infinie, et, par conséquent, de poser z —%, d’où 
Aa + Be + C = 0. 


Telle est la relation qui doit exister entre Jes-coefficiens 
Tom. zur. 


GÉO 201 


des équations (1) et (2) pour que la droite soit paral- 
lèle au plan. 

26. Déterminer les relations qui doivent exister entre 
les’ coefficiens des équations d'un plan et d'une droite, 
pour que la droite soit perpendiculaire au plan. 

On reconnaît sans difficulté que les projections de la 
droite sur les plans coordonnés sont respectivement 
perpendiculaires aux traces du plan proposé sur les 
mêmes plans, et il s’agit seulement d'exprimer algébri- 
quement ces circonstances. Or, si 


æ—az#+b , y—cxz+d 


sont les équations de la droite, on sait que la première 
est l'équation de sa projection sur le plan xz; et la 
seconde, l'équation de sa projection sur le plan yz 
(n° 5). Mais la trace du plan 


Aœ + By + C; +D=0o 
sur le plan æz est représentée, d’après (19), par 
y=0 , Am+Cz:+D=0, 


ot, par conséquent, son équation dans le plan #3, ramence 
à la forme ordinaire, est 


el 
LE FN. LT 


Ainsi, coïnme cette trace doit être perpendiculaire à la 
projection correspondante, 


œ—= 4x + b, 


on a la rélation (voyez tome I, page 104) 


A 

(r) a = C 

L’équation de la trace, dans le plan des yx étant pa- 
reillement 


—_— (CRM 
CEA , 


pour nelle soit perpendiculaire à la proje ion 
y==cz—-d; son a la seconde condition 


Dans tous àles cas où le coefficient C a une valeur 


finie, les con ditions (1) et (2) sont suflisantes pour 
exprimer que le plan est perpendiculaire à la droite , 
c’est-à-dire qu 2 l'équation du plan étant 


NAT By + Cr D = 0; 
26 


202 GÉO 


les équations de toutes ses perpendiculaires sont 


A B 
T= 2 +b ; Y=G: T6 


et ne différent entre elles qué par les valeurs des quan- 
tités b et d; mais si l’on avait z — 0, les quantités a etc 
deviendraient infinimeat grandes, ce qui réduirait 
les équations de la droite à une seule, z— M, insufli- 
sante pour la caractériser. Il faudrait alors employer 
la troisième projection, dont la forme est 


y = éx + f; 


et qui, comparée avec la troisième trace, fournirait 
une troisième condition 


mais il est facile de voir que la troisième projection est 
liée avec les deux premières par la relation 


Ainsi , les conditions complètes qui déterminent la 
perpendicularité de la droite sur le plan, sont 


DE le ee: 
ROME QU NET 


et, à l'exception du cas de C— 0, ileest inutile de tenir 
compte de la dernière, puisqu'elle n’est qu’une consé- 
quence immédiate des deux premières. 

27. Trouver la distance d'un point donné (x, y, 2) 


à un plan 
Az + By+ Cr: + D — 0. 


Toutes les droites qui passent par le point donné ont 
des équations de la forme (n° 19), 


a—2 —a(z—%) , y—Yÿ =c(x—S), 


et, pour exprimer la perpendicularité, il faut faire 
A Be 5 : « 
pce à; ainsi les équationssde la perpendicu- 


laire menée du point au plan, sont... (m) 
; A , , tra 
gr = QE) , VA = G EE) 


Pour trouver la grandeur de la partie comprise entre 
le point (æ', y, #) et le plan, il faut observer que les 
valeurs des coordonnées du pied de la perpendiculaire 
doivent satisfaire en même temps à l’équation du plan 
ct aux équations (m), et qu'on peut, conséquemment ; 


GÉO 


les considérer comme les valeurs des inconnues #, y, z 
qui entrent dans ces trois équations; il suffira donc 


L . A 
d'obtenir ces valeurs, et, comme on connaîtra alors 


les coordonnées des deux extrémités de la perpendieu- 
laire, la formule (a) n° 4, donnera sa longueur 5. 


PACE Er 


Afin d'arriver aux expressions les plus simples, don- 
nons à l'équation du plan la forme... (n) 


A (@—x) +8 (y—y) +C (#8) No. 
En posant, pour abréger, 
N=—Ax +By LCr+D, 


et considérant les différences 2%, y=y, 7% 
comme les inconnues, substituons dans (n} les valeurs 
de æ— + et de y—y données par (m), nous trouve- 
rons définitivement 


Z—X — LUE 
7 AMÆpB+EC? 

? — NB 
VERRE” 

— NC 


sn EEE 


Substituant les carrés de ces quantités dans l’expression 
de la distance d, nous obtiendrons, toutes réductions 


faites, 


AT +By EC +D 


La valeur d’une distance mesurée isolément devant 
être toujours positive, on donnera au radical le signe +, 
si le numérateur de cette expression devenait positif 
par les valeurs particulières de A, B, C, D, æ, y, 7, 
et le signe — dans le cas contraire. 

Si lé point donné était l’origine même des axes, on 
aurait d — 0, y.—0,z—0, d'où ilrésulte que la 
distance d’un plan, à l’origine des coordonnées a pour 
expression 

D 


a 


yRErTE 


C2 


8. Déterminer l'angle d’une droite et d'un plan donnés 
par leurs équations. 
QG)... x=as+b, y=e+d, 
(2hsvee At + By + Cr — D = 0, 


GÉO 

Ce qu’on nomme, en géométrie, l'angle d’une droite 
et d’un plan, est l’angle formé par la droite avec sa pro- 
jection rectangulaire sur le plan, c’est-à-dire qu’il faut 
mener par la droite un plan perpendiculaire au plan 
donné, et que l’angle aigu compris entre la droite et 
l'intersection des plans, est l’angle dont il s’agit; nous 
disons l’angle aigu , parce qu'il y a toujours deux angles 
supplémens l’un de l’autre, et que c’est le plus petit 
qu'il faut prendre. D’après cette convention, ilest vi- 
sible que, si d’un point quelconque de la droite on 
abaisse une perpendiculaire au plan, l’angle de ces deux 
lignes sera le complément de l’angle cherché; mais, 
d’après (26), les équations de la perpendiculaire seront 
de la forme 


ë A ; B ’ 
(5): X = c +Ù , y=g:+d. 


Ainsi, la question est ramenée à trouver l’angle des deux 
droites (1) et (3); car, ce dernier étant connu, son com- 
plément ou l’angle cherché le sera également. Or, 
substituant dans l'expression générale (k) les coelficiens 
des équations (2) et (3), nous obtiendrons, pour l’angle 
des droites qu’elles représentent et que nous désigne- 
rons par Ÿ, 


Aa Be € 


COS Ÿ = ——— — 


va+w+ ce] vle+eti] 


. 


l'angle cherché étant, en le désignant par 9, 9 =90°—+; 
on a sin g— cos Ÿ, et, par suite, 


Aa Bc+C 


[a+] y[e+e +] 


sin y — 


telle est l’expression du sinus de l’angle demandé. 

29. Des PLANS ENTRE Eux. Proposons-nous, pour 
commencer, la question suivante : 

Déterminer les relations qui doivent exister entre les 
coefficiens des équations de deux plans 


(1)... Aæ + By L Cz + D — 0, 
(2)s A'æ+By+Cz+D'= 0, 


pour que ces plans soient parallèles. 

Observons que, lorsque deux plans sont parallèles, 
leurs traces sur chacun des plans coordonnés sont deux 
droites parallèles. Or, la trace du plan (1) sur le plan 
æx, a pour équation (n° 26) 


GÉO 203 


et l'équation de la trace du plan (2) sur le même plan 
&z, 05 


Done, si ces deux droites sont parallèles, on doit avoir 

(voyez tome I, page 104) 
GC 
Ar A) 


Î 


En comparant de la même maniere les traces des deux 
plans sur chacun des deux autres plans coordonnés, on 
obtiendrait les deux autres conditions 


TE A é . 
Ainsi posant Re Q, ces trois conditions donnent 


A'— AQ, B'—BQ, C'—CQ. 


D'où il résulte que le plan (2) ne saurait être paral- 
lèle au plan (1) que dans le cas où les trois coefficiens 
A’, B', C’ sont les produits respectifs des coefliciens A, 
B, C par un même facteur. Divisant tous les termes 


’ 


de (2) par le facteur commun Q et posant D' sr 


Q 


l'équation (2) deviendra 


Aæ + By +CiLE— 0; 


ce qui nous apprend que deux plans, dont les équations 
ne diffèrent que par leurs termes absolus, sont paral- 
lèles. 

30. Trouver l'angle de deux plans donnés par leurs 
équations : 


(1). At + By + Cr + D = 0, 
(2). A+ By C':+D'— 0. 


Cette recherche repose sur les considérations géomé- 
triques suivantes. Soient MP, MN (PI. XII, fig. 5) deux 
plans qui se coupent suivant la droite MK : si d’un point 
quelconque O de l’espace on mène à ces plans les per- 
pendiculaires OB et OC, l'angle BOC, compris entre 
les perpendiculaires , sera égal à l’angle des plans. Pour 
le démontrer, faisons passer un plan par les deux per- 
pendiculaires OB, OC, il sera en même temps perpen- 
diculaire sur les deux plans MN et MP, et l'angle com- 
pris entre ses intersections AD et AE mesurera l'angle 
inclinaison des plans. Mais, dans la figure, l'angle 
EAD étant obtus, c'est proprement son supplément EAH 
qui mesure l’angle des plans MN, MP. Or, dans le qua- 
drilatère OCAB , rectangle en C et en B, l'angle COB 


204 GÉO 


est le supplément de l'angle CAB ou EAB, donc l’angle 
compris entre les perpendiculaires OB et OD est égal 
à l'angle des plans. On voit, du reste, en prolongeant 
OB et OC, que les droites indéfinies CQ et BR forment 
autour du point O quatre angles égaux à ceux que les 
plans MN et MP forment autour de leur intersection 
MK. 

Ceci posé, menons par l’origine des coordonnées 
une perpendiculaire à chacun des plans (1) et (2); 
l'équation de la première sera 4 — 4%, y—Cz;, ou 


plutôt, (n°26), 


B LA 
Guuz=ée V= ge 
et les équations de la seconde 
fa A B' LA 
(4). IE = és 


faisaut dans l'équation générale (4), qui donne le cosi- 


nus de l'angle de deux droites, 


( 


A’ 
b—o, Fenee d 


et désignant cet angle par +, nous obtiendrons pour 


l'angle des perpendiculaires, et, par conséquent, pour 


l'angle demandé des plans... (x) 
AA' + BB' + CC' s 
[au] : [ar+nt+c] 


cos p — 


Le double signe, dont on peut affecter les radicaux, 
donne pour le cosinus deux valeurs, dont l’une répond 
aux angles aigus, et l’autre aux angles obtus compris 
entre les deux plans prolongés indéfiniment. 

51. L'expression précédente donne immédiatement 
la condition pour que les plans soient perpendiculaires 
entre eux; car, en faisant o — 90°, On à COS p— 0, et, 


par suite, 
AA' + BB' + CC'= 0. 


52. Déterminer les angles que fait un plan donné avec 
les trois plans coordonnés. 

Cette question n’est qu'un cas particulier de la précé- 
dente ; car, en faisant coïncider successivement le 
plan (2) avec chacun des plans coordonnés , l’expres- 
sion (x) fera connaître l’angle que forme ce plan coor- 
donné avec leplan (1). Or, pour fairecoïnciderle plan(2) 
avec le plan des xx, dont l'équation est (n° 20) y—0, 
il faut faire A'—0, C'—=0, D'—o, et l’on obtient, 


en subslitugnt ces valeurs dans (x), pour l'angle du 


GÉO 
plan (1) avec le plan #5, angle que nous désignerons 
par (P, 22), 


on trouverait de la même manière 


A 


p SE 
cos (P,xy) — VESFLC 
L 
Prenant la somme des carrés de ces cosinus, on retrouve 
la relation, (n° 15), 


cos? (P,æx) + cos? (P,y3) cos? (P,æxy) — 1 ; 


ce qui devait être, puisque les angles du plan (1) avec 
les plans coordonnés sont évidemment les mêmes que 
ceux de sa perpendiculaire (3) avec ces mêmes plans. 

33. Déterminer l'intersection de deux plans représentés 
par les équations, 


(1)... A Æ By + Cz + D—0o, 
(2)... A'x By C'7+ D — 0. 


Soient NP et RQ (pl. XIE, fig. 8) les deux plans, MN 
leur intersection, mn la projection de MN sur le plan | 
æz etm'n' sa projection sur le plan yx. Il s’agit d’obte- 
nir les équations des deux projections mn, m'n'. Dans 
toute l'étendue indéfinie de l’intersection mn, les équa- 
tions (1) et (2) doivent être satisfaites simultanément | 
par les mêmes valeurs de æ, y, z, de sorte qu’en pre- 


nant arbitrairement une de ces quantités, #, par exemple, 
ces équations, qui ne renferment plus que deux varia- 
bles +, y, suffisent complètement pour les déterminer ; 
et si, après avoir fait 3—?p, on trouyey—=q;, x—T;, 
les trois quantités p, q, r seront les coordonnées d’un 
des points de MN, et fixeront la position de ce point. 
Cette considération nous montre que les équations (1) 
et (2) représentent par elles-mêmes l'intersection de- 
mandée, dès qu’on pose la condition qu’elles soient sa- 
tisfaites en même temps par les mêmes valeurs de +, 
y, z; et l’on pourrait ainsi se dispenser de chercher les 
équations des projections mn et m'n', si ces dernières | 
n'étaient souvent plus commodes pour représenter la | 
position de l'intersection. Or, il faut se rappeler (n°2) 
qu'un poiut quelconque de l’espace a toujours deux 
coordonnées de communes ayec chacune de ses pro- 
jections, et, par conséquent, que les variabies æ et x re- 
présentent , à la fois, les coordonnées d’un point de l'in- 
tersection MN, ct celles de la projection de ce point 


| 
| 


GÉO 
sur le plan æz}; ainsi, l'équation de la projection mn doit 
s’obtenir en éliminant y entre les équations (1) et (2), 


ce qui donne, pour cette équation, 
(AB'— A'B) æ + (CB —C'B) z—L(DB'—D'B) —0. 


Par la même raison, les variables y, z représentent à 
la fois les coordonnées d’un point de l'intersection et 
celles de la projection dece point sur le plan yz, et il 
suffira d'éliminer æ entre (1) et (2) pour obtenir l’équa- 


tion de la projection m'n', savoir : 
(BA'—B'A)y—-(CA'— C'A)z + (DA —D'B) — 0. 


En réalisant les calculs, on arrivera définitivement à 
deux équations de la forme ordinaire 


æ— ax +b, y—cz+d. 


34. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, 
que les plans coordonnés étaient rectangulaires. Dans 
le cas de plans coordonnés obliques, la forme des équa- 
tions de la ligne et du plan ne change pas; seulement, 
comme dans la géométrie des deux dimensions, les 
coordonnées ne sont plus perpendiculaires entre elles, 
mais bien parallèles chacune à son axe. Les projections 
sontégalement déterminées par des droites parallèles aux 
axes, c’est-à-dire que la projection d’une droite sur le 
plan æx, par exemple, s'effectue en menant par chaque 
point de la droite une parallèle à l’axe des y; l'équation 
de cette projection , qui est nécessairement une ligne 
droite, est alors rapportée aux axes obliques des + et 
des z, et rien n’est changé dans la forme des résultats 
généraux obtenus ci-dessus. La transformation des 
coordonnées obliques en coordonnées rectangulaires, et 
vice versé, s’eflectue par des procédés analogues à ceux 
de la géométrie plane pour le même objet; et, comme 
dans cette dernière, le degré d’une équation ne change 
pas, quel que changement de forme qu'on lui fasse 
subir, en rapportant successivement la ligne ou la sur- 
face qu’elle représente à différens systèmes de plans 
coordonnés. Voyez, pour tout ce qui concerne le pas- 
sage d’un système d’axes à un autre, le mot TrANsFor- 
MATION DES COORDONNÉES, dans ce volume et dans le 
tom. IT, pag. 566. 

35. Des Surraces courses. Les équations de toutes 
les surfaces courbes qu’on peut engendrer par le mou- 


. yement d’une ligne droite, s’obtiennent au moyen d’un 


procédé semblable à celui que nous avons employé 
(n° 17) pour trouver l'équation du plan. Concevons 
une droite MN (PI. XIT, fig. 4) assujétie à glisser le 
long d'une courbe plane MPQ, tout en restant parallèle 
à une direction donnée OB, et, pour plus de simplicité, 
prenons le plan de la courbe MPQ pour plan des xy; 
son équation dans ce plan étant fonction des seules va= 


GÉO 205 


riables æ et y, nous la représenterons généralement 
par ? (æ, y) — 0, en ajoutant la condition z— 0. Les 
équations de la génératrice MN seront en outre de la 
forme 


T— mr tp, y—nz: +4, 


en supposant que celles de la droite fixe OB sont æ—mz, 
Y—n3; m et n seront des quantités invariables, et p etq 
des quantités différentes pour chaque position de la gé- 
nératrice. 

Ceci posé, il faut commencer par exprimer que la 
génératrice MN a, dans toutes ses positions, un point 
de commun avec la directrice courbe MPQ, ce qui im- 
plique la condition que les quatre équations 


DOS 


D — MX + p; 


? (&y) — 0, 
y=nz +, 


soient satisfaites par un même système de valeurs Z; 
Y; Z, condition qui ne saurait avoir lieu généralement, 
s’il ne se trouve, entre les constantes de ces équations, 
une relation particulière qu’on déterminera en élimi- 
nant les trois variables +, y, z. Ayant obtenu ainsi une 
nouvelle équation renfermant les quantités petq, on 
la joindra aux deux équations de la génératrice, et, par 
l'élimination de ces quantités, on obtiendra une équa- 
tion finale qui conviendra à toutes les positions de la 
génératrice, et, par conséquent, à lasurface courbe lieu 
de toutes ces positions, laquelle se nomme générale- 
ment une surface cylindrique. 

36. Pour éclaircir cette théorie, prenons l’ellipse 
pour directrice ; et, en admettant que l'origine descoor- 
données soit à son centre et que les axes des æ et 
des y soient dans la direction de ses diamètres princi- 
paux24et2B, son équation sera B?æ°—L A?y? — A2p?, 
Il faudra donc éliminer æ, y, x entre les quatre équations 


0, 


æ— mx tp, 


B°x? A7? = A°B?, 
Y—ny+-4. 


èt 


Faisant z — 0 dans les deux dernières, il viendra L—?D, 
y—q; substituant ces valeurs dans la seconde, nous 
trouverons 


B2p? — Ag? — A2 D? 


Telle est la relation qui exprime que la génératrice 
glisse le long de l’ellipse. Éliminant maintenant petq, 
entre cette dernière équation et les équations de la 
génératrice, nous obtiendrons, pour l'équation du ey- 
lindre elliptique, 

(x — mx) a# (y— nz)° 


] Bi 7e 


Lorsque A —B, l’ellipse devient un cercle, et le cy= 


206 GÉO 


lindre elliptique, un cylindre circulaire; Yéquation de ce 
dernier est donc 


(æ— mx)? + (y—nr) = À, 


A étant le rayon du cercle directeur. 

Si la génératrice était parallèle à l’axe des x, on aurait 
m—0o et n—0; l'équation se réduirait dans ce cas, 
qui est celui des cylindres droits à bases elliptiques, à 


ee. 
TON TS : 

La variable z n'entre plus dans cette équation, paree 
que la relation des x et des y devient indépendante des z 
dans tous les points de la surface. 

37. On nomme surfaces coniques celles qui sont en- 
gendrées par le mouvement d’une droite assujétie à 
passer toujours par un point fixe, en glissant constam- 
ment sur une directrice courbe. Leurs équations s’ob- 
tiennent de la même manière que celles des surfaces 
cylindriques. 

Soient 


Zz—=0, 


B'2° + AY? re A°B? 


les équations de la directrice. Si nous désignons par«, 
8, y les coordonnées du point fixe, les équations de la 
génératrice assujéties à passer par ce point, seront (n° 9) 


da a(z—y)s; y—B=c(z—7), 


dans lesquelles a et e auront des valeurs différentes pour 
chaque position de cette droite. Éliminant , y, x entre 
ces quatre équations, on obtient 


m-mepap 10 (son) 
— + Da 


Telle est la relation qui exprime que, dans chacune des 
positions, la directrice et la génératrice ont un point 
de commun. 

Éliminant a et e entre cette relation et les équations 
de la génératrice, il vient, pour l’équation de la sur- 
face conique... (0), 


(any) (Be y)? 
A B° 


= GA 


Si la directrice était un cercle, on aurait A—B, et la 
surface serait 


(es ya) + (82 y) = At (3 =)"; 


c’est la surface du cône oblique de la géométrie élémen- 
taire. Pour avoir l'équation de la surface du cône droit, 
il suffit de poser «—0, B— 0, et l’on obtient 


A2 
a? + y — “ (z— 7), 


GÉO 


ou bien encore 
ay = (2— 7). tango, 


en désignant par o l’angle constant de la génératrice avec 
l'axe. 

L’équation générale des surfaces coniques embrasse 
celle des surfaces cylindriques, et il est toujours facile 
de déduire la seconde de la première en rejetant le 
point fixe (&, 8, y) à l'infini, En effet, le rapport de 
deux quantités infiniment grandes du même ordre étant 
toujours une quantité finie, si l’on pose 


œ £ , 
— M; 1, J— 0, 
1 


et qu’on observe, alors, que 


(2) 
À .eoquié 


on obtiendra, en divisant les deux membres de l’équa- 
tion (0) par + et en y introduisant les valeurs précé- 
dentes, 


(ue L)E He be 0 AS 


1; 


c'est l’équation des surfaces cylindriques (n° 36). 

38. En généralisant les procédés que nous venons 
d'exposer, on pourra toujours obtenir l'équation d’une 
surface courbe engendrée par le mouvement d’une 
droite assujétie à des conditions quelconques. Quant 
aux surfaces dites de révolution, ou produites par le 
mouvement d’une courbe autour de l’axe fixe, voici le 
moyen le plus simple d’arriver à leur représentation 
algébrique, danstous les où la génératrice est une courbe 
plane. 

Soit AB (PI. XIT, fig. 10) une courbe plane qui 
tourne autour de l’axe OZ, de telle manière que chaque 
point M décrit un cercle dont le plan est perpendicu- 
laire à l'axe. Partons du moment ou cette courbe coïn- 
cide avec le plan æ7, et désignons par 9 (æ, z) — o son 
équation dans ce plan , rapportée aux axes OZ et OX. 

Il est visible que la question de trouver l’équation de 
la surface engendrée par AB est la même que celle de 
trouver la relation des coordonnées æ, y, x d'un point 
quelconque M de cette génératrice dans une quelconque 
de ses positions A'B. Or, si du point M, arrivé en M, 
nous abaissons la perpendiculaire M'e sur le plan des. 
æy, et la perpendiculaire M'd sur l’axe OZ, ces droites 
seront les coordonnées de la courbe A'B dans Je plan 
BOX et par rapport aux axes OZ, OX, de sorte qu’en 
posant généralement M'd— +, M'e—$, nous aurons 


ACHETE 


GÉO 


car l'équation de la courbe A'B, rapportée dans le plan 
BOX’, 
même que celle de la courbe AB rapportée dans le 


aux axes OZ et OX", est nécessairement la 


plan ZOX, aux axes OZ et OX, puisqu'on peut ima- 
giner non Seulement que la courbe AB a pris, par son 
Mouvement de rotation autour de OZ, la position AB, 
mais encore que le plan ZOX lui-même a tourné avec 
la courbe et coïncide avec lé plan ZOX’. Ainsi, les co- 
ordonnées & et 8 du point M’, dans le plan ZOX’, sont 
identiquement les mêmes en grandeur, que les Coor- 
données æ et z du point M dans le plan ZOX; et 
comme, de plus, la coordonnée M'e — Od —B, est 
toujours comptée sur l’axe invariable OZ, si (æ,2) —0 
est l'équation de la courbe dans lé plan #, 9(4,#) sera 
son équation dans le plan ZOX', c’est-à-dire que « sera 
toujours égal à æ pour toutes les valeurs de x; la dif- 
férence de notation signifie donc seulement que la 
courbe AB est dans une position quelconque A'B. 

Ceci posé, observons que les coordonnées, dans 
l’espace, du point quelconque M', sont 


Ma—=2, Mbæy, M'e 


et que, de plus, nous avons, en achevant le parallélipi- 
pède rectangle OM, 


Ma Mb. Ma, 


c’est-à-dire, en général, 


D + y = à. 


Éliminant « entre cette équation et l'équation y(u,z)—0, 
nous obtiendrons une équation finale qui ne contiendra 
plus que les trois variables æ, y, z, et sera, par consé- 
quent, l'équation de la surface courbe, engendrée par 
le mouyement de la courbe AB, autour de axe OZ. 

De là résulte cette règle très-simple : Prenez l'axe 
de rotation pour axe des  , et rapportez l'équation de la 
courbe génératrice aux coordonnées x, 2, ce qui vous 
donnera une équation 


p (x, LV (7 


Remplacez dans cette équation x par «, et tirez de 
? (2,2) la valeur de u, que vous dubsiiriiere dans l'équa- 


tion.… (p) 
LL Y = &, 


Le résultat sera l'équation demandée de ta surface courbe, 
rapportée à trois plans coordonnés rectangulaires, ayant 
Pour origine origine de l'équation ÿ(x,1) — o,et les 
mêmes axes des x et des 7. 

39: Proposons-nous, pour Premier exemple, de 
trouxer l'équation de la surface courbe engendrée par 


GÉO 207 


la révolution d’uné ellipse autour de son grand axe. 
L’équation au centre de l’ellipse étant (voyez tome I, 
page 524) 

b? 


—(& —2), 


Es 
y FE 


dans laquelle a est le demi grand axe, et b le demi 
petit axe, prenons le grand axe 24 pour axe des z; 

; plaçant le centre de l’ellipse à l’origine O (pl. XII, 
fig. 11), observons que dans le plan æz les abscisses On 
sont représentées par 7, et les coordonnées Om par x; 


l'équation de l’ellipse dans le plan æz sera donc 


2 b? 0] 
a? = à (a? — 2), 


Remplaçant æ par «, nous avons immédiatement 


Mettant cette valeur dans (p), il vient 
b? 
x? + y =b—#, 
ou.....(q) 
x? Ÿ x? 
re Sr Fais 


Telle est l'équation de l’ellipsoïde allongé. 

Si, au lieu de faire tourner l’ellipse sur son grand 
axe 24, on le faisait tourner sur son petit 2b, on pro- 
duirait l’ellipsoïde aplati; mais alors (PI. XII, fig. 7), 
l'équation de la courbe dans le plan æ& serait 


car les abscisses Om sont représentées par des æ, et les 


coordonnées On par des z. Remplaçant æ par «, on 
aurait 


d'où 


ce qui donnerait définitivement, pour l'équation de l’el- 
lipsoïde aplati, 


n 


x? ÿ p 
FN Î He 


Les deux ellipsoïdes deviennent des sphères lorsque 
a — 0: 


208 GEO 

4o. Lorsque la courbe génératrice est une parabole, 
son équation dans le plan æz est, en plaçant son som- 
met à l’origine O (PI. XIT, fig. 13), 


Ti —px; 
ce qui donne æ —p#, et, par suite... (r), 


CN) 


= — = 2%; 


D 12 


pour l'équation du paraboloïde de révolution. 

41. La révolution de l’hyperbole engendre deux sur- 
faces distinctes, suivant qu’on la fait tourner autour de 
son grand axe ou de son petit axe, dit l'axe imaginaire. 
Dans le premier cas (PI. XIL, fig. 9), les abscisses On 
de la courbe doivent être comptées sur l’axe OZ, et ses 
ordonnées Om sur l’axe OX. On a ainsi, pour son 
équation, 

b? 


= (2? — a?). 


Faisant æ — «, il vient 


DU ne pie 


ce qui donne, en substituant dans (p)....(s), 


équation de l’hyperboloïde à deux napes. L’hyperbole 
ayant deux branches isolées, cette surface se compose 
de deux napes qui se prolongent à l'infini en sens op- 
posé, et sont séparées l’une de l’autre par un espace 
vide, comme le montre la figure. La discussion de l’é- 
quation (s) met au jour toutes ces circonstances, mais 
nous ne pouvons nous y arrêter. 

Dans le second cas, où l’on fait tourner l’hyperbole 
autour de son axe imaginaire, il faut compter les 
abscisses Om (PI. XIT, fig. 12) sur l’axe OX, et les or- 
données On sur l’axe OZ; on a alors pour l’équation 
de la courbe, dans le plan æ7, 


2 
z = (x? — a?). 


On entire, en faisant &t —«, 


GÉO 
C'est l'équation de l’hyperboloïde à une seule nape, 
surface courbe qui s'étend indéfiniment dans le sens 
des x positifs et des x négatifs. 

42. Quelle que soit la courbe plane génératrice, on 
parviendrait de la même manière à l’équation de la sur- 
face courbe engendrée par sa révolution autour de l'axe 
des z. Si on voulait faire tourner la courbe autour de 
l’axe des æ, il suffirait d’une transposition de lettres, 
ce qui est d’ailleurs insignifiant, parce qu’on obtiendrait 
toujours les mêmes équations, sauf que les z y seraient 
désignés par des +, et vice versà. 

43. Cette méthode peut encore s'appliquer au cas où 
la génératrice serait une simple ligne droite donnée par 
son équation sur le plan æ# 


z = AX + b. 
Nous rappellerons que , dans cette équation, a désigne 
la tangente trigonométrique de l’angle de la droite avec 
l'axe des x ; et b, l’ordonnée du point où la droite coupe 


l'axe des z (tome I, page 105). 
Faisant 4 — «, nous obtiendrons 


= (s— 0) 


Cette valeur, mise dans (p), nous donnera pour l’é- 


-quation de la surface engendrée 


1 
tp (:—0), 
ou bien, en posant 4 — tang », 
mp — (z— b)?.cot°7. 


L’angle étant le complément de l'angle constant 
que la droite fait avec l’axe des zx, on voit que cette 
équation est identique avec celle du cône droit trouvée 
ci-dessus (n° 56). Si la droite était parallèle à l’axe 
des z, on aurait &— œ, b— æ, d’où 

(z— 0) _b 


AZ 
= =, 


A désignant la distance de l’origine où la droite coupe 
l’axe des æ; l'équation deviendrait donc 


ay —A?, 


qui est celle d’un cylindre droit. 

44. En prenant, comme nous l’avons fait jusqu'ici, 
l’origine des coordonnées de la courbe pour origine des 
coordonnées de la surface, nous avons obtenu les équa- 
tions de cette dernière sous leur forme la plus simple, 
et il serait facile ensuite, par des transformations, de 
rapporter ces équations à d’autres systèmes de plans 


GÉO 
coordonnés rectangulaires ou obliques. On pourrait 
également, en faisant tourner les courbes autour d’au- 
tres axes que leurs axes principaux, engendrer, avec les 
sections coniques, des surfaces très-différentes de celles 
que nous venons d'examiner; nous en donnerons un 
exemple. 

Soit AMBNA (PI. XII, fig. 1) une ellipse assujettie 
tourner autour de la droite MN, située dans son plan 
d'une manière quelconque par rapport à son grand 
axe AB. Par le point O, où MN coupe le grand axe AB, 
menons OX perpendiculaire à MN, et rapportons l’é- 
quation de la courbe aux deux axes OZ et OX. Cette 
équation, par rapport au grand axe AB et au centre C, 
étant, en désignant les coordonnées par 2’, y ....(1), 


771 y°? + b? x? = 7 b, 


nous avons, entre les coordonnées +’, y et les nou- 
xelles coordonnées x et x, les relations connues 


L'—X COSa— x sinx—q, 


ÿ =æsinx—zcose, 


dans lesquelles à désigne l'angle BOX, et q la distance OC 
de l’ancienne origine à la nouvelle, prise négativement, 
parce qu’elle est dans le sens des # négatives. (Voy. t. IX, 
p: 567.) 

Substituant ces valeurs dans (1), nous obtiendrons 
pour l’équation de l’ellipse, dans le plan xx, 


a (æsinz—z cose) +? (x cos ax Sin —q)? — a? b?, 


Développant les puissances et posant, pour abréger, 


A —Ù? cos ?4 + @° sin, 

B — D? sin ?x a? cos ?«, 
C=— 2 (a — 0?) sinx. cos x, 
D — 2qb° cos x, 


E — oqb° sin w, 
cetle équation deviendra 
A + (2C — D) 2 — a? D? — b? q — B: — Ez. 


Changeant + en +, et résolvant par rapport à &, nous 
trouverons 


G—= —— 


Cz—D POSTE TO TS 
me 4 D — bp — Br Ez 


Tom, iv, 


GÉO 209 


Substituant cette valeur dans (p), nous obtiendrons 


=—— Ci—D 


rares re 


A 
(Cz—D}) 
is _ 44 L 


équation qui s’élèvera au quatrième degré par la dispa- 


rition des radicaux. La forme de la surface courbe 
qu'elle représente est très-remarquable : elle offre un 
noyau vide autour de l’axe des x, lorsque q est plus 
grand que a, et une espèce d’entonnoir formé par la 
nape intérieure, lorsque q est plus petit que a. 

Si l’axe de rotation OZ était perpendiculaire à l'axe 
principal AB de l’ellipse, l'équation deviendrait beau- 
coup plus simple, car on aurait alors «—0, d’où 
sin 4 —0, COS«—1, et, par suite, 


AB, C—0, D = 2qb?, E — 0. 


La surface serait donc 


2 2 
mtr=(itvle-%z]). 


Lorsque a — b ou que l’ellipse est un cercle, l’équa- 
tion se réduit à 


D +ÿ= (a Me Var). 


C’est celle du fore, surface courbe qu’on rencontre dans 
les tracés de la géométrie descriptive. 

11 suffirait de faire 4 — 0, dans cette dernière, pour 
exprimer que l’axe de rotation est un diamètre, et l’on 
retrouverait l'équation de la sphère 


CE net 


45. DE L’ENTERSECTION DES Surraces. L’intersection de 
deux surfaces quelconques est toujours une ligne dont 
la nature est déterminée par les équations de ses pro- 
jections sur deux des plans coordonnés. On obtient 
ces équations en opérant comme nous l’ayons fait ci- 
dessus pour l'intersection de deux plans, c’est-à-dire 
que l’équation de la projection sur le plan æz résulte 
de l'élimination de y entre les équations des deux sur- 
faces; que celle de la projection sur le plan y# résulte 
de l'élimination de æ, et qu’enfin l'équation de la pro- 
jection sur le plan æy résulte de l'élimination de x 
entre les mêmes équations. 

Lorsqu'une des surfaces est un plan parallèle à l’un 
des plans coordonnés, la projection de l'intersection 
sur ce plan est une ligne parfaitement égale et semblable 
à l'intersection, elle suit donc pour Ja faire connaitre, 

27 


210 GÉO 
Si, par exemple, la surface courbe était‘cellé de lel- 
lipsoide 


x? 2 x? 
ttes, 


et que le plan coupant fût parallèle au plan des xy, 
son équation étant de la forme zx — h, l'équation de la 


projection sur le plan æy serait 


C’est l'équation d’un cerele qui a pour rayon 


LR? L? 
0 CEE ) ; 


a 


d’où il suit que toutes les sections de l’ellipsoïde, pa- 
rallèles au plan des æy, sont des.cercles, ce qui est 
d’ailleurs une conséquence immédiate de:la génération 
de cette surface. Si le plan coupant était parallèle au 
plan æ7, Son équation serait de la forme y—h, et l’é- 
quation de la projection sur ce plan æz deviendrait 


DANS k° 
FT Ur 0 
b a b 


laquelle appartient äune ellipse- dont les demi-axes, 
qu'on obtient en faisant successivement 3— 0, æ— 0, 


sont 
ras ep FE Ji 
EVER, VER. 


Toutes les sections parallèles au plan des æz sont 
donc des ellipses, et, de plus, ces ellipses sont sembla- 
bles, car, quelle que soit la valeur de », le rapport 
des deux axes est le même pour toutes les ellipses, sa- 


ST , FOIS 
voir: — Dans le cas d’un plan sécant parallèle à l'un 


b 
des plans coordonnés, il est visible que les deux autres 
projections sont des lignes droites. 

Lorsque le plan sécant n’est parallèle à aucun des 
plans coordonnés, aucune des trois projections n’est 
identique avec la courbe d’intersection ; mais on peut, 
en effectuant une transformation de coordonnées, choi- 
sir le plan sécant lui-même pour nouveau plan des æy, 
et alors il suffit de faire 3 — 0 dans l'équation de la 
surface pour avoir l'équation de l'intersection considé- 
rée dans le plan sécant. Nous allons indiquer les moyens 
d'obtenir directement celte équation. 


46. Soient 


QG). f(&; y: 4) =, 


(2). AE By+Cz+D—o, 


GÉO 

l'équation de là surface courbe, et 

celle du plan sécant, par rapport aux trois axes rectangu- 
laires OX, OY, OZ (PL XII, fig. »). Représentons par 
la courbe AMB l'intersection de ces deux surfaces, et 
par la droite OX la trace du plan sécant sur le plan æy 
menons, dans ce plan sécant, la droite OX" perpendi- 
culaire à O’X', et. proposons-nous de rapporter à ces 
deux axes la courbe d’intersection AMB. 

D'un point quelconque M de la section, abaissons MP 
perpendiculaire sur O'X', et MQ perpendiculaire sur le 
plan æy; joignons P. et Q par la droite PQ, et menons 
QR perpendiculaire sur OX. Il est visible que OR, QR, 

QM sont les coordonnées dans l’espace du point M, par 
rapport aux premiers axes, et OP, PM les coordonnées 
de ce même point dans le plan sécant, par rapport aux 
axes O’X’, O'Y’. Nous pouvons done poser, en distin- | 
guant par un accent les dernières coordonnées des pre- | 


OR—%;.QR—y; MQ—%, 
O'P—x, PM—Y. 


‘ornc 
mières , 
{ 


Or, PQ est perpendiculaire sur OX, el par consé- 
quent l’angle MPQ, que nous désignerons par », me- 
sure inclinaison du plan sécant sur le plan æy; la 
grandeur de cet angle est donc donnée par lexpres- 
sion (n°32) ....(u) 


3 
4 


COS 


VAE EC 
de plus, l’équation de la trace OX (n° 19) étant 
Ax “ie By nn D—o0, 


on a pour l'angle XO'X' —», de celle trace avec 
l'axe O’X, la relation ....(v) 


A 
tango = — Be 


Ceci posé, le triangle rectangle PQM donne 


en désignant généralement PQ par y. 

$i nous considérons maintenant le point Q, projec- 
tion du point M, comme rapporté successivement aux 
deux systèmes de coordonnées rectangulaires ; 


z—OR, y —QR, 
x =0P, y—=PQ, 


GÉO 
dont les premières ont pour.axes OX, OY,-et les se- 
condes O‘X', O‘Y’, nous aurons entre ces deux systèmes, 
en désignant par m la distance des deux origines O, 0’, 
les relations (voy. TRANSFORMATION DES , COORDONNÉES ; 
tome IT) 


x—x cos? y sin + m, 
y —=X Sin? —Yy COS y. 


y est pris ici avec le signe —, parce que, dans notre 
figure, les y’ positifs se projettent sur les y négatifs. 
Substituant dans ces formules la valeur de ÿ —y cosw, 
nous obtiendrons les relations suivantes entre les coor- 
données æ, y, z et æ', y ....(æ) 


Z—x cos? y coOSw.sinv—<+m, 
y—X Sins —Y COSw.COSY, 


Z2—y sin. 


Ces formules, substituées dans l'équation f(æ, y, z)—=0, 
donneront évidemment l'équation f(x’, y) —0 de l’in- 
tersection rapportée à deux axes rectangulaires pris dans 
son plan. 

Si le plan sécant était perpendiculaire au plan æy, il 
faudrait faire w — 90°, et les formules (x) deviendraient 
simplement (y) 


Œ—T cosy + M, 
y= x sin, 


Ur 


Dans tous les cas, on poseraitm=—0 , si le plan :sécant 
passait par l’origine O. 

47. Appliquons ces formules à quelques exemples 
particuliers. L’équation du paraboloïde de révolution 
élant (n° 40) 


x? ÿ 

+, 

Der, 
nous obtiendrons l'équation de sa section par un plan 
quelconque, en donnant à æ, y, z les valeurs (æ) ; mais 
nous parviendrons à des expressions plus simples en 
prenant l'axe des æ pour axe de révolution, ce qui, 

, tes a . rEr 

d'après la remarque du n° 42, change l'équation précé- 
dente en 


FLY 
? P 


Introduisant donc dans cette dernière les valeurs (x), 
il viendra 


y? sin w+(t' sinp—Y COS w. cos 9) —p(x' cos» + 
+ y'cose, sin pm). 


GÉO 211 


Développant le carré, et posant, pour abréger, 


sin * + cos o . cos *? —P, 
sin —=Q, 

2 sin? COS COSw—R, 
pcosy=S;, 


p sine Ccosw —=T, 
l'équation de la section sera ....(z) 
Py? + Qr?—Rry —Sx —Ty — mp0, 


que la discussion montre ne pouvoir appartenir qu'à un 
cercle, une ellipse ou une parabole, suivant la gran 
deur des angles et w. En effet, tant que l'angle w n’est 
pas nul, l'équation (z) appartient à une courbe fermée; 
car en faisant successivement æ'— 0, y —0, pour ob- 
tenir les points où la courbe coupe les axes OXAONr 


on trouve, 
, TT VE E4pr 
HORDE VTT op < 
; LS LUS +amp® 
pour ÿ =0, & — 2Q SE >Q ; 


valeurs toujours réelles quand m n’est pas négatif. Dans 
ce cas général de « plus grand que zéro, la section est 
donc une ellipse. 

Lorsque le plan sécant est parallèle au plan yz, on a 
à la fois w — 90"; et y—= 90°; d’où 


Pæi,-Q=i, R—0o, S—=0, T—0. 
La section est alors un cercle, 
ya mp= 0, 


dont le rayon est égal à V/mp, et dont le centre est à 
l'origine des coordonnées æ', y’. 

Dans le cas de w— 0, le plan sécant est parallèle au 
plan des æy, il n'existe plus de trace sur ce dernier 
plan, et les formules (æ) ne peuvent être appliquées 
sans les avoir préalablement modifiées ; mais ilest alors 
beaucoup plus simple d'opérer comme au n° 45, ce 
que l’on doit toujours faire pour toutes les sections pa- 
rallèles à un des plans coordonnés. Ici, l'équation du 
plan sécant devenant de la forme z— Ah, la projection 
sur le plan ty, laquelle est identique avec la section, 
serait 


h ÿ 

= ==? 

P T ? É 
ou 

=? (&— 4), 


en posant M =#g. C'est l'équation d’une parabole, 


212 GÉO 
Ainsi, toutes les sections parallèles au plan æy sont des 
paraboles ; celle de ce plan lui-même est la parabole 
génératrice y — px. 

48. Cherchons encore la nature des sections faites 


par un plan dans Ja surface d’un cylindre droit, dont 
l'équation est 


ÿ hr A, 


en prenant l’axe des æ pour axe de révolution. Substi- 
tuant dans cette équation les valeurs de y et de z don- 
nées par les formules (æ), nous obtiendrons 


y? sin © — (4 siny— y cos w cosy)? = A°?. 
Développant le carré, et posant 


P — cos? . cos? +- sin *w, 
Q= sin°o, 


R=siny.cosw. cos, 
l'équation de la section prendra la forme 
Py? + Qz°? — Ray — A; 


ce qui nous apprend que, pour toutes les valeurs de o 
autres que zéro, les sections sont des courbes fermées, 
coupant les axes aux points 


Dion = DES ÿ—=—| _ 


i : A? 
a'=0, ÿ =+| GE 


us 


î 
8 
| 
K 


elles sont des cercles, lorsque = »— 90°, et des el- 
lipses dans tous les autres cas. Quant aux sections cor- 
respondantes à w — 0, ou parallèles au plan æy, leurs 
projections sur ce plan æy étant déterminées par les 
deux équations 


zh; y Lx — A, 
on voit qu’elles se réduisent à deux lignes droites 
y=+VA RE, y=Vax — h, 


parallèles au plan æ£. 

49. Les considérations précédentes peuvent s'étendre 
aux intersections de deux surfaces courbes, toutes les 
fois que ces intersections sont des courbes planes; mais, 
lorsque les sections sont des courbes dites à double cour- 
bure, on ne peut les considérer que dans l’espace à trois 
dimensions, ce qui exige toujours le concours des équa- 
tions de deux projections. 

Quand on connait les équations de deux projections 
d’une courbe quelconque située dans l’espace, on peut 
évidemment l’envisager, quelle que soit sa nature et 


GÉO 

celles des surfaces dont elle est l'intersection, comme 
la section commune des deux surfaces cylindriques qui 
ont pour directrices les projections, et pour généra- 
trices des droites parallèles aux axes qui ne sont pas 
dans les plans de ces projections; de cette manitre, 
toutes les courbes sont ramenées à un mode unique de 
génération, et les intersections de deux surfaces courbes 
quelconques aux intersections de deux surfaces eylin- 
driques. (Voy. ProsrcrTioN.) 

.5o. Lathéorie des surfaces courbes présente, comme 
celle des lignes, deux problèmes fondamentaux qu’on 
peut énoncer en ces termes : 

I. Trouver l'équation d'une surface ; sa description et 
ses propriétés caractéristiques étant données. 

IL. Étant donnée l'équation d'une surface, la décrire 
et trouver ses principales propriétés. 

Les élémens de la solution du premier problème 
viennent d’être exposés ; il nous reste à présenter ceux 
du second. 

51. Une équation quelconque à trois variables 
f(æ, y; 3) — 0, dans laquelle +, y, z représentent des 
droites respectivement parallèles à trois axes coordon- 
nés, est une équation doublement indéterminée qu’il est 
toujours possible de satisfaire en donnant des valeurs 
arbitraires à deux de ses variables. Si nous faisons, par 
exemple, æ—m, y—n, et qu’en résolvant l'équation 
f(&sm,n) — 0, nous obtenions z—p, les trois coor- 
données 


TM, Y—=N s À —=P 


appartiendront à un point de l’espace qui se trouvera 
complètement fixé et ne pourra plus être confondu avec 
aucun autre. Si nous obtenons de même 


zx — pen faisant æ—Mm , yY—", 


DR bol ny: 


& 
I 
8 
| 
a 


CICNS SEC ME RCLCS 


tousles points (m,n, p), (m',n', p'), (m',n",p"),cte., 
seront déterminés ; de sorte qu’en les supposant infini- 
ment proches les uns des autres, leur réunion formera 
une surface. 

Or, tous les points de cette surface ayant des coor- 
données liées par la même relation f(æ; y; 7) —0; 
c’est cette relation qui caractérise la surface, la dis- 
tingue de toutes les autres qu’on peut imaginer dans 
l’espace, et constitue en un mot ce qu'on nomme son 
équation. Ilrésulte de là qu’une équation à trois varia- 
bles représente toujours une certaine surface dont la 
nature et les propriétés dépendent évidemment du 
degré de l’équation et de la grandeur des constantes 
qu'elle renferme. Lorsque l'équation est du premier 


GÉO 

degré, la surface est toujours plane, comme nous 
l'avons reconnu (n° 20); dans tous les autres cas, la 
surface est courbe et se classe d’après le degré de son 
équation. Ainsi, toutes les surfaces courbes dont les 
équations sont du second degré composent la classe 
des surfaces du second ordre, celles dont les équations 
sont du troisième degré forment la classe des surfaces 
du troisième ordre, et ainsi de suite. 

52. Une équation qui a pour coefliciens des nom- 
bres déterminés en grandeur et en signe ne peut né- 
cessairement représenter qu'une seule et unique sur- 
face; par exemple, @ et b étant des nombres donnés 
essentiellement positifs, l'équation 


x? ÿ x? 
rimes pret 


conyient exclusivement à l’ellipsoïde aplati derévolution, 
tandis que l'équation 


représente exclusivement l’hyperboloïde de révolution à 
une seule nape (n° 59 et 41). Mais si l’on considère les 
coefliciens comme pouvant être positifs, négatifs ou 
nuls, une même équation devient susceptible de re- 
présenter plusieurs surfaces, et l’on concoit aisément 
que toutes les surfaces d’un même ordre ou d’un même 
degré sont comprises dans l'équation générale de ce 
degré. Ce n’est donc qu’en partant de la forme la plus 
générale d’une équation à trois variables d’un degré 
quelconque, qu’il est possible de reconnaitre les di- 
verses surfaces correspondantes aux valeurs particu- 
lières des coefliciens. Observons, en outre, qu'une 
même surface peut être représentée par plusieurs équa- 
tions très-différentes les unes des autres, quoique du 
même degré; car, en rapportant, par exemple, l’ellip- 
soïde à d’autres axes coordonnés rectangulaires ou 
obliques, nous obtiendrons des équations beaucoup 
moins simples que la précédente, et qui, cependant, 
ne seront que les représentations de la même surface. 
Il résulte de ces considérations que, lorsqu'une équa- 
tion est donnée, il faut d’abord la ramener à sa forme 
la plus simple par des transformations convenables des 
coordonnées; car il est toujours plus facile alors de 
reconnaître la nature et les propriétés des surfaces 
qu’elle exprime. Cette réduction d’une équation à sa 
forme la plus simple exige quelques notions prélimi- 
naires. 

55. On nomme cordes toutes les droites menées d’un 
point d’une surface à ses autres points. 

Lorsqu'il existe dans l’espace un point tel que toutes 
les cordes menées par ce point y sont divisées cha- 


GÉO 213 


cune en parties égales, il prend le nom de centre de la 
surface. 

54. Si, dans une surface quelconque, on mène une 
suite de cordes parallèles entre elles et qu’on les par- 
tage en deux parties égales, la surface qui passera par 
tous ces milieux sera ce qu’on nomme une surface dia- 
métrale de la première. Le degré de cette surface dia 
métrale dépendra du nombre des points d’intersection 
des cordes avec la surface donnée. Si le degré de cette 
dernière est n, chaque droite indéfinie la rencontrera 
dans n points différens, réels ou imaginaires, qui, 
combinés deux à deux, fourniront sur cette même droite 


n (n—1 ee ; n(n—1 
( 1) Cordes différentes ct par conséquent, ( ii) 


2 
points différens pour la surface diamétrale. Donc, cette 
: : ; n (n—1 
dernière pouvant être rencontrée en nn) par 


n(n—1) 


une même droite, est du degré — (roy. SURFACE); 


n(n—1 M L s 
LG) se réduisant à 1 lorsque n —2, on voit que 


2 
les surfaces diamétrales des surfaces du second ordre 
sont des plans. 

55. Lorsque trois plans diamétraux sont disposés de 
telle manière que chacun d'eux coupe en deux parties 
égales les cordes qui sont parallèles à l'intersection des 
deux autres, ils sont dits conjugués entre eux. 

L’intersection des deux plans conjugués se nomme 
un diamètre de la surface. 


56. Un plan diamétral qui se trouve en même 
temps perpendiculaire aux cordes qu’il coupe, recoit 
le nom de plan principal. 

L'intersection de deux plans principaux est un dia- 
mètre principal, ou un are de la surface courbe. 

57. Examinons maintenant comment la considéra- 
tion des centres et des plans diamétraux peut servir à 
ramener une équation donnée à sa forme la plus 
simple. 

Dans toutes les surfaces courbes douées d’un centre, 
si l’on transporte l’origine des coordonnées à ce centre, 
l'équation transformée ne contiendra plus que les termes 
dans lesquels la somme des exposans des variables est 
de même parité que le degré de l’équation. En effet, 
AA‘ étant une corde quelconque dont nous supposerons 
l'extrémité À au-dessus du plan æy, ou du côté des z 
positifs, il est visible que l'extrémité A' est située au 
dessous de ce plan d’une manière symétrique; car AA’ 
étant coupée en deux parties égales par l’origine, les 
coordonnées æ, y, z du point À sont égales et de signes 
contraires aux coordonnées du point A’. Ainsi, lorsque 
l'équation de la surface est satisfaite par un système de 
valeurs æ’, y’. 2’, elle doit l'être également par le système 
de signes 0pposés =®',—7—% ; d'où il résulte que 


214 GÉO 
cette équation doit demeurer identiquement la même 
quand on change à la fois les signes des trois variables 
Po Qlo ce 

Si l'équation est de degré pair, elle ne pourra donc 
renfermer que des termes dont le degré soit pair; et si 
elle est de degré impair, tous ses termes devront être 
aussi de degré impair ; de sorte qu’elle ne pourra avoir 


de terme absolu. Par exemple, l'équation 


Dxy + Exz + Fry +G—o, 


qui ne change pas en remplaçant æ, y, z par — x, 
US Eo représente une surface dont le centre est à 
l'origine des coordonnées actuelles, et il en est de même 


de l’équation 
Aa + Bay + Cæryz + Dz+EyFr—0. 


Toute équation proposée qui ne remplit pas ces con- 
ditions n’est donc pas rapportée au centre de la surface 
comme origine , ou ne peut appartenir qu’à une surface 
dépourvue de centre. 

58. Pour reconnaitre si une surface dont l'équation 
est rapportée à des axes quelconques admet un centre, 
il faut transporter ces axes parallélement à eux-mêmes 
en un point indéterminée z, B,y, ce qui exige simple- 
ment de substituer, dans l'équation f(æ, y, z) = 0, les 


valeurs 


T2 a, y y, 33 bc 

(voy. Traxsronmariox). On parvient ainsi à une équa- 
tion f(x, y,z) —o, dont on ne conserve que les 
termes dans lesquels la somme des exposans des va- 
riables est de même parité que le degré de l'équation. 
Les autres termes, égalés à zéro, fournissent les équa- 
tions de condition nécessaires à la détermination des 
coordonnées du centre &, 8, y. Si ces coordonnées 
admettent des valeurs réelles et finies, la surface pro- 
posée est doute d’un centre; dans le cas contraire, 
elle en est dépourvue. 

59. Les équations des surfaces qui admettent des 
plans diamétraux deviennent plus simples, lorsqu'on 
choisit l’un de ces plans pour plan coordonné. Si, par 
exemple, la surface f(æ, y, z) — 0 est dans ce cas, et 
qu'après avoir pris les axes des + et des y dans un plan 
diamétral, on prenne l’axe des z parallèle aux cordes 
coupées en deux parties égales par ce plan, l'équation 
nouvelle f (æ,y, z) devra donner évidemment deux 
valeurs de z égales et de signes contraires pour chaque 
système de valeurs t—m, y—n; ainsi cette équa- 
tion ne devra contenir que des puissances paires de Z; 
d'où l’on peut conclure, réciproquement, que lors- 
qu'une équation ne renferme que des puissances paires 
de z, le plan æy est diamétral et coupe en deux parties 
égales toutes les cordes parallèles à l’axe des 3. Ilen 


GÉO 
serait de même pour chacun des plans æ3, yz, si l’équa- 
tion ne renfermait que des puissances paires de y ou 
de æ. Une équation rapportée à trois plans diamétraux 
conjugués (55) comme plans coordonnés, ne peut donc 
contenir que des puissances paires de chacune des trois 
variables. Il faut observer que, dans les surfaces douces 
d’un centre, tous les plans diamétraux, quand il en 
existe, passent par le centre ; de sorte qu’en prenant 
un plan diamétral pour plan des æy, et le centre pour 
origine, la nouvelle équation ne contient plus que des 
termes doni le degré est de même parité que celui 
de l'équation et qui ne renferment, en outre, que des 
puissances paires de z. Lorsqu'il peut y avoir trois 
plans diamétraux conjugués, l'équation se simplifie 
encore, car elle doit toujours satisfaire à la première 
condition et ne contenir que les puissances paires des 
trois variables. Appliquons ces considérations aux sur- 
faces du second ordre, comprises toutes dans l'équation 


générale du second degré à trois variables... (x). 


A? + A'y + A2 + Bay + B'xz + B'yz 
+ Cx+Cy+C'z+D 


60. Il s’agit, avant tout, d'examiner si les surfaces 


} 
l 

— 0, 
| 


comprises dans l’équation (x) admettent un ou plusieurs 
plans principaux; car, dans ce cas, on n’aurait à con- 
sidérer que des coordonnées rectangulaires, ce qui 
permet de distinguer beaucoup plus facilement les di- 
verses circonstances du cours de la surface. Gherchons 
donc l'équation du plan diamétral qui coupe un sys- 
tème quelconque de cordes parallèles dont nous repré- 
senterons l’une d’entre elles par les équations... (x) 


T= MI TP , Y—=NI +4; 


rapportées , ainsi que l'équation générale z, à trois axes 
rectangulaires quelconques. ‘Lorsque nous connaîtrons 
celte équation du plan diamétral, nous verrons s’il est 
possible d'attribuer aux constantes m et n, dont dé- 
pendent la direction des cordes, des valeurs telles que 
le plan diamétral leur soit perpendiculaire. 

Pour avoir les points où la corde (4) rencontre la sur- 
face (2) il faut éliminer æ ety entre (x) et (z), ce qui 
conduit à une équation du second degré en, dont les 
deux racines sont les ordonnéés des extrémités de la 
corde. Représentant ces deux racines par z et z et ob- 
servant que l’ordonnée du milieu de la corde. est égale 
à la demi-somme des ordonnées des deux extrémités, 
nous aurons, en désignant par z, l’ordonnée du milieu, 


(a +z"). 


> 1 
1 


Ceci posé, et désignant par æ, et y, les deux autres coor- 
données du milieu de la corde, les urois coordonnées 


Lis Yi 7, doivent satisfaire aux équations (7); ainsi 


nous ayons encore 


= ME HP, = À; 


mais p el g sont les seules constantes qui distinguent une 
corde d’une autre, de sorte qu’en éliminant ces quan- 
tités entre les trois dernières équations, l’équation finale 
conviendra à toutes les cordes et représentera, par con- 
séquent, la surface qui passe par tous les points (æ,, 
Y,: Z,). Cette équation sera donc celle du plan diamé- 
tral que nous cherchons. 

Réalisant les calculs indiqués, nous obtiendrons.…. (f) 


(Am B'n—+B) x, + (An—+B'm—+B)y| 
(A Ba + m) 3, Cm C'nC'| 


Or, pour que le plan soit perpendiculaire aux cordes, 
il faut que ses traces (n° 26) sur les plans æZ et yz soient 
respectivement perpendiculaires aux projections de la 
corde (x) sur les mêmes plans. La trace sur le plan æz 


étant 


__ Cm+Cn+C 
D AnLBnEB'° 


RSA PRES 
1 AmBn as à 


et celle sur le plan yz étant 


_A+Bn+Bm, 


_ Cm+-C'n+C 
CEST AREAS" Fe 


AnLB'mEB’ 


il en résulte les deux équations de condition 


PL Am—-B'n-LB 
_ A'TBr+Bm° 
En A'nEB'mtB 


A BnBm 

Éliminant m, on obtient une équation du troisième 
degré en n, et comme une telle équation admet tou- 
jours une racine réelle, on voit ques et sont toujours 
susceptibles de valeurs réelles, et qu’il existé consé- 
quemment, pour toutes les surfaces du second ordre, 
au moins un plan principal. 

G1. Arrètons-nous à ce résultat, et rappelons qu’en 
prenant ce plan principal pour plan des æy, avec un 
axe des z qui lui soit perpendiculaire, l'équation des 
surfaces ne doit renfermer queles puissances paires de z; 
ce qui réduit l'équation générale (x) à la forme (y) 


AT + A YA + Bay + Cr + C'y+ Cr D—0o. 


On peut encore simplifier cette équation; car, sans 
changer l'axe OZ, si l’on fait tourner les axes OX et OY 
dans leur plan en les laissant rectangulaires, on passe 


GEO 215 


des coordonnées æ, y à de nouvelles coordonnées æ', 
y, à l’aide des formules 


T— 2x COS u— "y sine, 
.y—=& Sin a + y cos a; 


ce qui permet de faire disparaître le rectangle y en 
posant la condition toujours admissible 


2 B° 
AA" 


tang 2 « — 


On parvient donc définitivement à une équation de la 
forme (9) 


Pr? + P'y + P'2 — Qu — Q'y— Q'z+E—=0, 


laquelle renferme encore toutes les surfaces du second 
ordre. 
G2.- Les coeficiens P, P', P 


avoir des valeurs numériques et des si 


Q, Q’, 


gnes quelconques, 


elc., pouvant 


l'équation (à) représente diverses espèces de surfaces 
qu'il s’agit maintenant de classer. Examinons d'abord 
si elles ont toutes un centre, 
effet (n° 58), 


et posons, pour cet 


D A bre 


Ces valeurs, substitutes dans (9), donnent, en retran- 


chant les accens, 


Pa P'y Pa + (9aP —Q)x + (20P—Q')y 
— (2cP°" —Q") + PAPE P'e LE = 


d’où résultent les conditions 


24P—Q 0, 20P; —Qi—i0:,.2cP" — Q— 0: 


Or, tant que P, P', Pont des valeurs finies, on peut 
satisfaire à ces conditions parides valeurs finies de ga, 


b,c; ainsi l'équation (9); ramenée à la forme... (e 
» 7 , 


Pa PA PER 


comprend toutes les surfaces du second ordre douées 
d’un centre. 

63. Lorsque dans l'équation (9) un seul des coelli- 
ciens des carrés, P par exemple, est nul, et que le coef- 
ficient correspondant Q de la première puissance n'est 
pas zéro, on ne peut plus faire disparaître le terme Qz, 
puisque la condition 2aP — Q — o entraïinerait une 
valeur infinie pour &; mais on peut, en place de ce 
terme. faire évanouir le terme absolu, en posant les 
trois équations de conditions 


ahP— Q —0 , 200 — Q —0} 


CPL + PE LE 0; 


216 GÉO 


ce qui réduit l’équation (9) à la forme... (u) 
Py + P'e = Qu, 


qui comprend toutes les surfaces du second ordre dé- 
pourvues de centre. k 

64. Si l’on avait à la fois P — 0, Q—0, l'équation 
générale (3) se réduirait d’elle-même à la forme... (v) 


Py Pa —Qy—Qr+E—o. 


Celle-ci comprend un genre particulier de surfaces ap- 
partenant à la première classe; car on peut la ramener 
à la forme 


Py PH, 


qui se déduit de (:) en posant P — 0. 
65. Enfin, si l’on avait en même temps P= 0, P—0, 
l'équation (9) réduite à 


Pa — Qr—Qy—Qr+E—o, 


pourrait se ramener, comme nous le verrons plusloin, 
à la forme 


PRE 


qui n’est qu'un cas particulier de (y). 
Toutes les surfaces du second ordre sont donc com- 
prises dans deux classes représentées par les équations 


Pat + Py +P'z —=H, 
P'y +P'z —Qx, 


dont les coordonnées sont rectangulaires. Nous allons 
les examiner chacune en particulier. 

66. Des surfaces douées d'un centre. L'équation géné- 
rale de ces surfaces, x 


Pa? + Py + PH, 


ne renfermant que les puissances paires des trois varia- 
bles æ, y, z, se trouve rapportée à trois plans princi- 
paux conjugués entre eux (n° 59); d’où nous voyons 
que cette première classe des surfaces du second degré 
admet généralement un tel système de plans diamé- 
traux. Comme elles ne peuvent différer les unes des 
autres que.par les signes des coefliciens P, P', P', H, 
nous n’ayops à considérer que trois cas essentiellement 
distincts, savoir :‘ 


QG} Pa + Py + Pa =H, 
(2)... Pr —Py +P2—H, 
(3)... Pa — Py—P# =; 


car il est évident que toutes Les autres combinaisons de 


GÉO 


signes se ramèënent à celles-ci par un changement géné- 
ral, à l'exception de la combinaison 


Pa? Py PH, 


qui ne peut représenter une surface réelle. 

I" cas. Trois carrés positifs. Les coefficiens P, P', P’, 
représentant maintenant des nombres essentiellement 
positifs, l'équation 


(1)... Pa? EP PH 


exprime exclusivement un genre particulier de surfaces 
courbes dont il s’agit de trouver la nature. Pour cet ef- 
fet, déterminons les points où la surface rencontre les 
axes coordonnés, points qu’on nomme généralement les 
sommets de la surface. Faisant successivement y =0, 
%—=0, 
tiendrons 


BTS = 0 nous ob- 


F0: 


Yy—=0; 


z pe 


Il y a donc six sommets réels situés deux à deux sur 
chaque axe à égale distance de l’origine. Construisant 


Les droites 
Ven 
7 E PA | 
LAS 


et Mprenant OA == 10 ME MOBEIO0BE— D; 
OC—OC'— c (PI. 15, fig. 3); les points A, A’, B, B', 
C, GC’ seront les six sommets de la surface. 


Chacune des droites 24, 2b, 2c étant l'intersection de 


deux plans principaux se nomme un axe ou un dia- 
mètre principal de la surface. On peut introduire ces 
axes dans l'équation (1), en observant que 


H 10 EN 
Ps Ph Pr | 


et elle prend alors la forme symétrique 


x? y x? 
2 RAR 


GÉO 
Les sections de la surface par les trois plans coor- 
donnés sont respectivement 


2 2 

y 
BTE =D 
zx? x? 

ag Quroie? 
2 #2 

y Litres 
PP 1; 


ainsi, ces sections sont des ellipses, et il est facile de 
voir que toutes les sections faites par d’autres plans pa- 
rallèles aux plans coordonnés sont également des ellip- 
ses. Par exemple, les sections parallèles au plan æy sont 
donnés par les deux équations simultanées 


dont la seconde appartient à une ellipse qui a pour demi- 
axes 


d'où il résulte que toutes ces sections sont semblables, 
car le rapport de leurs demi-axes est une quantité con 
a 
b 
naires quand k est plus grand que e, on doit en conclure 
que la surface ne s’étend pas au-dessus du point C ni 


Stante —. Comme, en outre, elles deviennent imagi- 


au-dessous du point C’. Les mêmes conséquences se pré- 
sentant pour les sections parallèles aux deux autres 
plans coordonnés æz et Yz; la surface est évidemment 
fermée dans tous les sens, et l’on peut s’assurer aisément, 
en combinant l’équation du plan avec l'équation (1), 
que la section faite par un plan quelconque est toujours 
une section elliptique. 

La surface (1) a reçu le nom d’ellipsoïde à trois axes. 
Si deux de ces axes devenaient égaux, par exemple, 
a et b, toutes les sections parallèles au plan æy seraient 
des cercles, et l'équation 


représenterait l’elipsoïde de révolution autour de l'axe 
des z (n° 59). Si l’on avait à la fois a — b — ce, l'elhip- 
soïde se changerait en une sphère. 

If cas. Deux carrés positifs. Faisant successivement 
Y—0%2—=0; T—=0, 2—0; tr —0, Yy—0 dans 
l'équation 


(C)ATTE Pz! + P'y — P'z = H, 
To. ri. 


GÉO 217 


nous obtiendrons , pour les points où la surface ren- 
contre les axes coordonnés, 


Il n'y a donc ici que quatre sommets réels, et les deux 
autres sont imaginaires; ce qui indique que la surface 
ne rencontre pas l’axe des z. Cependant, construisant 
les valeurs 


LA 2 


Et 


on donne toujours aux quantités 4, b, ce le nom de 
demi-axes de la surface; les deux premiers a et b sont 
dits les axes réels, et le dernier c l'axe imaginaire. En 
les introduisant dans l’équation (2), elle prend la forme 


a? “ ÿ° x? ee 
a b? ce? ñ 


Les sections faites par les plans coordonnés dans 
cette surface sont : 


Cri fe 

plan des Lee. 0 Hi 
CIE à 

plan des MEN se ete FN == 1, 


2 #2 
E, de mp =, 
plan des yz, , b e 


dont la première est une ellipse, et les deux autres des 
hyperboles. Nous avons, pour toutes les sections paral- 
lèles au plan æy, les deux équations simultanées 


ainsi, ces sections sont toutes des ellipses semblables, 
dont les dimensions s’accroissent indéfiniment avec la 
grandeur de À (PI. XII, fig. 4); la plus SERGE 
respond à À— 0, est celle faite par le plan y DER 
on la nomme l’ellipse de gorge. Quant aux sections pa- 
rallèles aux deux autres plans coordonnés, elles sont 
toutes des hyperboles. La surface que nous considérons 
28 


218 GÉO 

est donc composée d’une seule nape continue qui sé 
tend indéfiniment dans le sens des 4 posiifs et dans 
celui des z négatifs; elle porte le nom d’hyperboloïde à 
une nape. 

En examinant les intersections d’un plan quelconque 
avec cette surface, on reconnaît qu'elles sont tour à 
tour des ellipses, des paraboles ou des hyperboles, sui- 
vant l'inclinaison du plan. 

Lorsque les deux axes réels sont égaux, toutes les 
sections parallèles au plan æy sont des cercles, et l'hy- 
perboloïde se trouye de révolution autour de l'axe OZ 
(n° 4). 

III: cas. Un seul carré positif. Opérant sur l’é- 
quation 


(3)... Pa? — P'y —P'>—=H, 


comme nous venons de le faire sur les précédentes, 
nous trouverons, pour les distances où la surface ren- 
contre les axes coordonnés, les valeurs 


Il n’y a donc que deux sommets réels À et A' (PI. XIII, 
fig. 5), et les quatre autres sont imaginaires; mais on 


n’en nomme pas moins les distances 
OA=a, 0OB—=b, OC—c, 


les demi-aæes de la surface ; le premier seul rencontre 
la surface, et, pour cette raison, est dit l'axe réel. L’é- 
quation (2) prend la forme 

ZM 


2 > 
PA 
mn — — ] 
L 
c? 


bd 


re 


par l'introduction de ces axes. 
Toutes les sections parallèles aux plans coordonnés 
sont données par les trois systèmes d’équations 


a? 2 h? 
TN Lite: 
x? x? 1/0 
rh aa Tr 
2 2 h? 
= Eh; ra AR 


d’où l’on voit que : 1° les sections parallèles aux plansæx 
sont toutes des hyperboles semblabies, et celle de ce 


GÉO 
plan même est l’hyperbole PAQ, qui a pour demi-axes 
act b; 2° les sections parallèles au plan des æy sont 
pareillement des hyperboles semblables; celle de ce 
plan lui-même est l’hyperbole MAN, dont les demi- 
axes sont & et c; 5° enfin, les sections parallèles au 
plan y# sont toutes des ellipses semblables. Les demi- 


axes de ces dernieres, donnés par les expressions 


Tee = 


nous montrent qu’elles se réduisent à des points pour 
les valeurs k—a, h——a; qu’elles sont imaginaires 
pour toutes les valeurs de k comprises entre k— o et 
h—+a; mais, qu'à partir de À— + a, leurs dimen- 
sions croissent indéfiniment avec la grandeur de k. Ilen 
résulte que la surface nommée l’hyperboloïde à deux 
napes se compose de deux napes indéfinies séparées 
l'une de l’autre par un intervalle; elle devient de révo- 
lution autour de l’axe OX lorsque les deux axes imagi- 
naires sont égaux. 

67. Sans entrer dans de plus grands détails, nous 
voyons que la première classe des surfaces du second 
degré comprend trois genres principaux , les ellipsoïdes, 
les hyperboloïdes à une nape et les hyperboloïdes à 
deux napes; mais nous devons encore examiner quel- 
ques variétés résultant de la valeur zéro que peuvent 
avoir un ou plusieurs des coefliciens de l’équation gé- 
nérale de cette première classe. 

Soit d’abord P —0, ce qui réduit les trois équations 
(1), (2), (3) à la forme 


(1°)... Py PH, 
(2°)... Py —P'e =H, 
(3)... Pubs H: 


La dernière (3°) ne pouvant représenter aucune surface 
réelle, puisque quelque valeur qu’on prenne pour y on 
obtient des valeurs imaginaires pour z et vice versd, nous 
n'avons à nous occuper que des deux premières. Or, la 
variable æ ne se trouvant ni dans lune ni dans l’autre, 
clles représentent évidemment des cylindres dont la 
base est sur le plan yz; l'équation (1°) appartient à un 
cylindre elliptique (fig. 6), et l'équation (2°) à un cy- 
lindre hyper bolique (fig. 7). Ces deux surfaces ont une 
infinité de centres tous situés sur l’axe OX qu’on nomme 
alors l’axe du cylindre. 

Les hypothèses isolées P— 0, ou P°— 0 conduisent 
également à des cylindres dont les bases, au lieu d’être 
sur le plan yz, sont sur le plan æy, ou sur le plan æz. 

Si l’on avait à la fois P —0, P'— 0, les trois équa- 
tions principales deviendraient 


PH, Pa=-H, PH, 


| 
| 


GEO 
dont la première n’est qu'un système de deux plans 


parallèles au plan æz : 
ne. 


(voy. n° 20), et dont les deux autres expriment des 
plans imaginaires. Les hypothèses P—0, P'—0, ou 
P'—0o, P'—0 conduisent aux mêmes résultats. 

68. Lorsque le terme absolu H est nul, les équations 


principales deviennent 


(1)... Pa? + Py Pr —0, 
(2°)... Pa? LPy—P'=0, 
. Pa = Py —P'—0; 


La première, ne pouvant être satisfaite par d’autres va- 
leurs réelles que &—0, y—0, z—0 représente un 
seul point : l’origine des coordonnées. La seconde re- 
présente une surface conique VON" (PI. XITT, fig. 4) dont 
le sommet est à l’origine O, et qui est asymptote à l'hy- 
perboloïde àunenape. Latroisième représente également 
une surface conique ROS (PI. XIE, fig. 5) asymptote à 
l’hyperboloïde à deux napes. On reconnaît que ces sur- 
faces sont des cônes en s’assurant que toutes les sections 
faites par des plans passant par l’origine , forment des 
systèmes de deux lignes droites. 
69. L’équation (v) 
Pi + P'e — Q'y— Q'r+E— 0 

que nous avons signalée (n° 64) comme un cas parti- 
culier de l’équation générale de toutes les surfaces du 
second ordre, est celle d’un cylindre dont l’axe paral- 
lèle à l’axe des æ ne passe pas par l’origine. On le re- 
connaît sans difficulté en transportant cette origine sur 
un autre point du plan y, tout en conservant des axes 
rectangulaires parallèles aux anciens, ce qui donne les 
relations suivantes entre les nouvelles coordonnées et 


les anciennes, 
Y=Y Tes 2=% +, 


« et B désignant les coordonnées de la nouvelle origine 
par rapport à l’ancienne. Substituant ces valeurs dans 
(v), on obtient 


Py Pet (neP—Q)y + (PQ) | 
HePHBP—QuQEHE  ÎT° 


équation qui se réduit à 
EPP — H, 
en faisant 


H= Qa+ Q—E—éP= pp", 


GEO 


après avoir donné aux quantités # et 8 les valeurs 


Q Q° 


ap? FD 


219 


el 


70. Des surfaces dépourvues de centre. Les combinai- 
sons des signes des coefficiens, dans l'équation générale 
de ces surfaces, ne présentent que deux cas essentiel- 
lement différens : 


(1)... P'y Pr = Qx, 
(2)... Py— P' 2? Qx. 


Le premier se rapporte aux surfaces nommées parabo- 
loëdes elliptiques, et le second aux surfaces nommées 
paraboloïdes hyperboliques. L’inspection des puissances 
des variables montre que des trois plans coordonnés 
auxquels sont rapportées ces équations, deux seulement, 
les plans æy et æx, sont diamétraux et principaux. 

I GENRE. PARABOLOÏDE ELLIPTIQUE. Cette surface ne 
coupe les axes coordonnés qu’à l’origine; car, en don- 
nant la valeur zéro à deux des variables, on obtient 
cette même valeur pour l’autre. L’axe OX (PI. XIII, 
fig. 8), intersection des plans principaux æy, æz, est 
l’axe unique et indéfini du paraboloïde. 

La section de la surface par le plan æy ayant pour 


équation 


est une parabole AOÂ que nous représenterons par 
y — px, en posant £ — p. De même, la section par 


le planæz, dont les équations sont 


Q 


y—=0 et = pe) 


est une parabole BOB’ quenous désignerons parz?=p'x, 


Q 


en posant 5 — p- Introduisant les paramètres p et p° 


dans l'équation (1), elle deviendra 
2 


= = &. 
? 


AE 
(SSD 5 + 


On reconnait immédiatement que toutes les sections 
parallèles aux plans æy ét æx sont aussi des paraboles. 

Les sections parallèles au plan y sont données par 
les équations simultanées 


y? x? 


æ=h, Fe LT —=h; 


he 


d'où Jon voit que ce sont toujours des ellipses sem- 


220 GÉO 
blables ; car le rapport de leurs demi-axes ph et p'h est 
une quantité constante Fr Ces ellipses croissent indé- 


finiment avec » du côté des + positifs; mais elles de- 

- Yiennent imaginaires pour toute valeur négative de h. 
Ainsi, le paraboloïde elliptique s'étend indéfiniment du 
côté des æpositifs, mais se termine à l’origine et n’a 
aucun point du côté des æ négatifs. 

Lorsque les deux paramètres p et p'sont égaux, les 
cllipses deviennent des cercles, et le paraboloïde est de 
révolution autour de son axe OX (n° 4o). 

En coupant la surface par un plan quelconque, on 
reconnait que les sections sont des ellipses ou des para- 
boles, suivant l’inclinaison du plan; circonstance qui 
motive le nom donné à cette surface. 

IT° GENRE. PARABOLOÏDE HYPERBOLIQUE, Cette surface, 
représentée par l'équation 


(2)... Py = Pr — Q>, 


ne coupe encore les axes coordonnés qu’à l’origine, et 
n'a qu'un seul-axe indéfini OX, intersection des plans 
principaux æy, æ7, auxquels se trouve rapportée l’équa- 
tion actuelle. Les sections faites par ces plans dans Ja 
surface, sont 


Î 


5 À =— pe. 


La première est la parabole AOA' (PI. XIIL, fig. 9), qui 
tourne sa concavité vers les æ positifs ; et la seconde, 
la parabole BOB qui, ayant un paramètre négatif, 
tourne sa concavité vers les æ négatifs. Introduisant les 
paramètres dans l'équation (2), elle prend la forme 


2 2 
: 0 z 
(GE ES 
le, ig 
Les sections parallèles au plan y, données par les 
équations 


—.}, 


sont des hyperboles semblables qui croissent indéfini- 
ment avec la grandeur de k; mais dont la position 
change suivant qu’on prend k positif ou négatif. Lors- 
que k est positif, l’axe réel DD’ de l’hyperbole est ho- 
rizontal, et son axe imaginaire O'C est vertical, tan- 
dis que le contraire a lieu lorsque X est négatif ; l'axe 
réel EE’ est vertical, et l’axe imaginaire cd, horizontal. 
Ces circonstances , indiquées par l'équation précédente, 
montrent que la surface est composée d’une seule nape 


GÉO 
continue indéfinie dans le sens des æ positifs comme 
dans celui des æ négatifs, mais dont la courbure pré- 
sente une forme opposée dans ces deux sens. On en 
doit conclure que le paraboloïde hyperbolique ne peut 
jamais être de révolution. 
Dans le cas de k — 0, la section, qui est celle du 


plan y lui-même, se réduit à deux lignes droites, 


asymptotes communes à toutes les hyperboles dont nous 
venons de parler, projetées sur le plan yz. 

La combinaison de l'équation du plan avec l’équa- 
tion (2°) fait connaître que toutes les sections planes de 
ce paraboloïde sont des hyperboles on des paraboles, et 
que ce dernier cas arrive seulement lorsque le plan sé- 
Cant est parallèle à l’axe OX. 

71. Les variétés des surfaces de la seconde classe 
sont comprises dans les deux équations 


PyQT; 
p’z? == = Qx, 


qu’on obtient en faisant P'— 0 dans l'équation (1), et 
P'— o dans l'équation (2). La première exprime un 
cylindre parabolique dont la base est sur le plan æy, 
et la seconde un cylindre parabolique dont la base est 
sur le plan y, mais qui s'étend du côté des æ négatifs, 
car ce n’est qu’en prenant æ avec le signe — qu’on 
peut obtenir des valeurs réelles pour x. 
72. L’équation 


P'é— Qu — Qy—Q'rH+E— 0, 


signalée (n° 65) comme un cas particulier de l'équation 
générale du second degré, représente également un 
cylindre à base parabolique, car en coupant cette sur- 
face par des plans parallèles au plan æy, on obtient des 
droites parallèles entre elles et à ce plan, et, en outre, 
sa section par le plan +3 est une parabole. Il est vrai 
que les arêtes du cylindre sont obliques par rapport à 
cette parabole qui lui sert de base ; mais, si on le coupe 
par un plan perpendiculaire à ses arêtes, la section sera 
encore évidemment une parabole; de sorte qu’en pre- 
nant cette dernière pour base, et rapportant l’équation 
à son plan, on la ramènera à la forme P'3? — Rx, 
comprise dans les variétés de l’équation générale de la 
seconde classe des surfaces du second degré. 

73. L’énumération complète que nous venons de 
faire des surfaces du second degré, indique la marche 
qu'il faudrait suivre pour les surfaces des degrés supé- 
rieurs. Nous exposerons successivement, autant que le 
comporte Ja nature de cet ouvrage, les procédés ana 


= 
GRU 

lytiques qui font découvrir les propriétés particulières 

des surfaces dont les équations sont données. (Voy. Os- 

CULATEUR, PLANS TANGENS et SURFACE. ) 


GRUE. (Wéc.) Appareil qui sert à élever les far- 
deaux , et dont les élémens principaux sont un treuil et 
une poulie. 

Il existe diverses espèces de grues : les unes sont 


établies à demeure, dans les ports, pour charger et dé- 


GRU 


charger les bateaux; les autres sont mobiles, et sont 
principalement employées à la construction des édifices. 


221 


La fig. 10 de la PI. XIII représente une de ces dernières. 
L'effet de cette machine se calcule de la même manière 
que celui du treuil (voy. TreuiL, tome 11), mais il 
faut tenir compte en outre de la résistance sur les pou- 
lies due à la raideur des cordes. Voy. l'Art de bâtir de 
Rondelet, et le tome II de la Mécanique appliquée aux 
arts, de M. Borgnis. 


IE. 


HAU 


HAUTEUR DUE A UNE VITESSE. (Méc.) On dé- 
signe communément sous le nom de hauteur due à la 
vitesse la hauteur dont un corps pesant devrait tomber 
librement pour acquérir cette vitesse par l’effet de la 
force de gravité. Quoiqu'il soit très-facile de calculer la 
hauteur due à toute vitesse donnée, puisque son ex- 
pression générale est ..… (a) 


dans laquelle k désigne la hauteur, » la vitesse, et g la 
force de gravité — 9",808795 (voy. ci-dessus, p. 165), 
le grand usage qu'on fait de cette quantité dans les 
questions de mécanique nous détermine à donner ici 
une table des hauteurs correspondantes aux vitesses qui 
se présentent le plus habituellement. Les vitesses, de- 
puis celle de un centimètre jusqu’à celle de dix mètres 
par seconde sexagésimale de temps, y croissent de cen- 
timètre en centimètre, ce qui est suflisant pour tous 
les besoins pratiques; de sorte que, lorsqu'une vitesse 
est donnée, et que le nombre qui la représente en 
unités métriques contient des millimètres, il faut cher- 
cher simplement dans la colonne des vitesses le nombre 
qui en approche le plus. Par exemple, si la vitesse 
donnée était 2",553, on prendrait la hauteur corres- 
pondante à 2,55; si elle était 2,557, on prendrait la 
hauteur correspondante à 2,56. La petite différence 
entre les hauteurs données ainsi par la table, et celles 
qu'on obtiendrait par la formule (a), en y substituant la 
valeur exacte de la vitesse, ne peut jamais entrainer 
d'erreur appréciable dans la pratique. Si l’on avait à 
considérer des vitesses supérieures à 10 mètres, il fau- 
drait calculer les hauteurs par la formule (a), à la= 


HAU 


quelle on peut donner la forme plus commode pour les 
calculs .....(b) 


hk— 0,050975 . v?, 
en y remplaçant 2g par la valeur 


1 


1 
NE —= 0,020975. 


On peut encore se servir de la table pour la question 
inverse de trouver la vitesse due à une hauteur donnée. 
Il faut alors chercher dans la colonne des hauteurs le 
nombre qui approche le plus de la hauteur donnée, et 
le nombre correspondant, dans la colonne des vitesses, 
est la vitesse demandée. S'il s'agissait, par exemple, 
de connaître la vitesse due à une chute de 3,574, 
comme ce nombre est compris entre les deux nom- 
bres 5,5711 et 5,5796, qui se suivent dans la colonne 
des hauteurs, et qu'il est plus près de 3,5711 que 
de 3,5796, on prendrait pour la vitesse cherchée celle 
qui correspond à 5°,5711, savoir : 8°,37. Lorsque les 
hauteurs dépassent 5",098, il faut avoir recours à la 
formule (a) , d’où l’on tire 


v—V/29h, 
ou 
v — V/19,61759 EVE 

La table suivante est celle que Navier a donnée dans 
ses notes sur le premier volume de l'Architecture hy- 
draulique de Bélidor: nous y avons corrigé quelques 
erreurs de calcul reproduites dans tous les ouvrages où 
cette table a été insérée jusqu'ici, et qui ont été signa- 
lées par M. le baron de Prony. (Mém. sur les remous, 
Ann, des Ponts et Chaussées.) 


222 TABLE DEN HAUTEURS CORRENPONDANTES A DIFFÉRENTES VITENSES EXPRIMÉES EN MÈTRES, 


HAUTEURS | yITEssEs. HAUTEURS VITESSES. HAUTEURS VITESSES: HAUTEURS VITÉSSES. HAUTEURS 


VITESSES. 
DES CHUTES. DES CHUTES. DES CIIUTES. DES CHUTES. DES CHUTES. 
Mèties. RE Mètres. Re Mètres. Mètres. PR Mètres. Mèétres. Mètres. 
0,01 0,00001 0,68 0,0256 1,95 0,0929 2,02 0,2080 2,69 0,3088 
0,02 0,00002 0,69 0,0243 1,36 0,0943 2,03 0,2100 2,70 0,3716 
0,03 0,0000 0,70 0,0290 1,97 0,0997 2,04 0,2121 2,71 0,3744 
0,04 0,00009 0,71 0,0257 1,98 0,0970 2,05 0,2142 2,72 0,9771 
0,05 0,00019 0,72 0,0204 1,39 0,0984 2,06 0,2163 2,75 0,9799 
0,06 0,00019 0573 0,0272 1,40 0,0999 2,07 0,2184 2,74 0,5827 
0,07 0,00020 0,74 0,0279 1,41 01019 2,08 0,2205 2,75 0,289 
0,08 0,00034 0,79 0,0287 1,42 0,1028 2,09 0,2226 2,76 0,3883 
0,09 0,00049 0,70 0,0299 1,43 0,1042 2,10 0,2248 2,77 0,3911 
0,10 0,00091 0,77 0,0302 1.44 0,1097 2,11 0,2269 2,78 0,3939 
0,11 0,00062 0,78% | 0,0510 1,45 0,107% 2,12 0,2201 2,79 0,3967 
0,12 0,00074 0,79 0,0318 1,46 0,1086 2,13 0,2513 2,80 0,3996 
0,13 0,00087 0,80 0,0320 1,47 0,1101 2,14 0,2334 2,81 0,4025 
0,14 0,00100 0,81 0,0334 1,48 0,1116 2319 0,236 2,82 0,4054 
0,1) 0,00119 0,82 0,0543 1,49 0,1191 2,16 0,2578 2,83 0,4082 
0,16 0,00191 0,83 0,0391 1,50 0,1147 2,17 0,2400 2,84 0,4111 
0,17 0,00148 | 0,84 v,0860 1,91 0,1102 2,18 0,2422 2,85 0,4140 
0,18 0,00166 0,90 0,0368 1,52 0,1177 2,19 0,2444 2,86 0,4169 
0,19 0,00182 0,86 0,0977 1,53 0,1199 2,20 0,267 2,87 0,4198 
0,20 0,0020/ 0,87 0,0586 1,04 0,1209 2,21 0,2/90 2,88 0,4228 - 
0,21 0,00229 0,08 0,039 1,55 0,1995 2,22 0,2519 2,89 0,4257 
0,22 0,00247 0,89 0,0404 1,56 0,1241 2,23 0,2535 2,90 0,4287 
0,23 0,00270 0,90 0,0419 1,97 0,1257 2524 0,257 2,91 0,4316 
0,24 0,00294 0,91 0,022 1,58 0,1275 2,25 0,2580 2,92 0,4346 | 
0,25 0,00319 0,92 0,0491 1,59 0,1289 2,20 0,2603 2,09 0,4376 | 
0,20 0,00545 0,93 0,0441 1,60 0,130 2,27 0,2626 2,94 0,4406 
0,27 0,00372 0,94 0,040 1,61 0,195 2,28 0,2049 2,95 0,4456 | 
0,28 0,00/400 0,95 0,0400 1,62 0,1537 2,29 0,2073 2,96 0,4466 
0,29 0,004°9 | 0,96 0,0470 1,63 0,1354 2,30 0,2696 2,97 0,496 
0,30 0,00459 0,97 0,0480 1,64 0,1371 2,91 0,2720 2,98 0,426 
0,51 0,00490 0,98 0,0490 1,65 0,1388 2,32 0,2743 2,99 0,497 
0,92 0,00522 0,99 0,000 1,66 0,1405 2,93 0,276 3,00 0,488 
0,99 0,00550 1,00 0,010 1,67 0,1499 2,84 0,201 3,01 0,4618 
0,24 0,00589 1,01 0,020 1,68 0,1439 2,39 0,2815 3,02 0,4649 
0,99 0,0062/ 1,02 0,030 1,69 0,146 2,26 0,2839 3,05 0,4680 
0,36 0,00660 1,03 0,0541 1,70 0,1473 2,37 0,2863 3,04 0,4711 
0,37 0,00697 1,04 0,0551 1,71 0,1400 2,38 0,2887 3,05 0,4742 
0,358 0,00790 1,02 0,062 1,72 0,1508 2,59 0,2911 3,06 0,4773 
| o,39 0,00770 1,06 0,079 1,79 0,1525 2,40 0,2936 3,07 0,4804 
0,40 0,008 10 1,07 0,0584 1,74 0,1543 2,41 0,2960 3,08 0,4835 
0,41 0,0086 1,08 00595 1,55 0,156: 2,42 0,2985 3,09 0,4866 
0,42 0,0090 1,09 0,0606 1,56 0,159 2,43 0,3010 3,10 0,4899 
0,43 0,0094 1,10 0,0617 1,77 0,1507 2,44 0,3054 Sax 0,4930 
0,44 0,0098 1H 0,0628 1,78 0,1615 2,40 0,3060 Ga 0,4962 
0,45 0,0109 1,12 0,0039 1,70 0,1693 2,46 0,3085 3,13 0,4994 
0,46 0,0108 ANUS 0,0651 1,80 0,1691 2,47 0,3110 3,14 0,506 
0,47 0,0112 1,14 0,0662 1,81 0,1670 2,48 0,9135 3,15 0,5058 
0,48 0,011% 1,1 0,067 1,82 0,1680 2:49 0,5160 3,16 0,5090 
0,49 0,0129 1,16 0,0686 1,83 0,170 2,50 0,5186 3,17 0,9122 
0,90 0,0127 1,17 0,0698 1,84 0,1520 2,51 0,3211 3,18 0,155 
0,91 0,0192 1,18 0,0710 1,85 0,1745 2,52 0,2257 3,19 0,5187 
0,92 0,0138 1,19 0,0722 1,86 0,1703 2,99 0,9263 3,20 0,220 
0,99 0,0143 1,20 0,0734 1,87 0,1582 2,54 0,3289 3,21 0,252 
0,94 0,0148 1,21 0,0746 1,88 0,1802 2,05 0,9319 5,22 0,5285 
0,55 0,0154 1,22 050758 1,89 0,1820 2:56 # | 0,5541 3,23 0,5318 
0,56 0,0160 1,23 00771 1,90 0,1849 2,57 0,3367 3,2% 0,5351 
0,97 0,0165 1,24 00783 1,91 0,1859 2,58 0,3393 9,20 0.5384 
0,58 0,011 1,25 0:0797 1,92 0,1878 2,59 0,3419 3,26 0,5%19 
0,59 0,0177 1,26 00809 1,93 0,1898 2,60 0,3446 3,27 0,540 
0,60 0,0185 1,27 050822 1,94 0,1918 2,61 0,3452 3,28 0,484 
0,61 0,0190 1,28 050835 1,05 0,1038 2.62 0,5499 3,29 0,9517 
0,62 0,0196 1,29 050848 1,96 0,1958 2,03 0,3520 3,30 0,551 
0,63 0,0202 1,30 0,0861 1,97 0,1978 2,64 0,3553 534 0,585 
0,04 0,0209 1,31 0:0855 1,98 0,1998 2,05 0,580 5,32 0,618 
0,65 0,0215 1,32 0,0888 1,99 0,2018 2,06 0,360 3,93 0,5652 
h) 0,66 | 0,022 1,33 030901 2,00 | 0,2039 2,67 | 0,5634 3,54 | 0,5686 
0,67 0,0239 1,94 050915 2,01 0,2059 2,68 0,306 3,35 0,57a1 


HAUTEURS 
DES CUUTES, 


BH LEE He 
Mètres. Métres. 
5,56 0,5799 
9,97 0,5789 
3,98 0,5825 
3,99 0,588 
3,40 0,899 
93,41 0,927 
5,42 0,5962 
5,45 | 0,5997 
9,44 0,6052 
3,45 0,6067 
5,46 0,6102 
3,47 0,6158 
3,48 0,6175 
3,49 0,6209 
5,50 | 0,6244 
9,91 0,6280 
5,52 0,0516 
5,53 0,6532 
3,54 0,6388 
3,09 0,6424 
3,26 0,6460 
3,97 0,6497 
5,28 0,6535 
3,59 0,656 
5,60 0,66006 
3,61 0,6645 
3,62 0,6680 
5,65 0,6717 
3,64 0,6754 
3,65 0,6791 
5,66 0,6828 
3,67 0,6866 
3,08 0,6905 
5,69 0,6940 
3,70 | 0,697 
3,71 0,7016 
3,72 0,704 
3,79 0,7092 
3,74 | 0,7150 
3,79 0,7168 
3,76 0,7206 
3,75 0,7245 
5,78 0,7283 
3,79 | 0,7322 
3,80 0,7301 
3,81 0,7400 
5,82 0,7438 
3,85 | 0,7478 
3,84 0,7917 
3,85 0,7556 
5,86 | 0,7595 
3,87 0,7654 
3,88 07674 
5,89 0,7713 
3,90 0,779 
3,91 | 0,7795 


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HOMME. (Mée.) L'homme, considéré comme mo- 
teur, peut agir d’une infinité de manières différentes, 
mais il ne peut produire dans toutes le même effet utile, 
et pour tirer le plus grand parti possible de sa force, il 
est nécessaire de bien connaître les circonstances où son 
développement est accompagné de la moindre fatigue. 

L'action de l’homme, comme celle des animaux, 
est sujette à un si grand nombre de variations, qu'il a 
été impossible, jusqu'ici, de la soumettre à des lois théo- 
riques. Les recherches de Lambert sur cet objet, celles 
de Daniel Bernouilli et de quelques autres savans, 
quoique très-ingénieuses, présentent trop peu de cer- 
tüitude pour servir de base à des évaluations exactes; et 
ce qu'il a de mieux à faire, provisoirement, c’est de se 
guider d’après les résultats des expériences qui offrent 
au moins des termes de comparaison dans les diverses 
espèces de travaux auxquels l’homme peut être em- 
ployé. 

Ayant déjà donné aux mots Cneyaz, Dynamique et 
Errer unie les principes admis pour l'évaluation de 
l'effet produit par les agens moteurs, nous aborderons 
immédiatement les faits, parmi lesquels ceux qui ont 
été observés par Coulomb tiennent encore aujourd’hui 
le premier rang. 

D’après ce célèbre physicien, un homme sans far- 
deau, marchant sur un chemin horizontal, et qui n’a, 
ainsi , que son propre corps à mouvoir, peut parcourir 
54000 mètres dans une journée de dix heures, coupées 
par un ou deux repas de deux à trois heures ensemble, 
En prenant 65 kilogrammes pour le poids moyen du 
corps, l'effet journalier produit, et que le même homme 
peut recommencer plusieurs jours de suite, est donc 
65% X 54000" — 3510000!", c’est-à-dire, 3510000 ki- 
logrammes transportés à un mètre par jour, ou 5510 
unilés dynamiques. Ici il n’y a point d'effet utile de 
produit. 

Si, au lieu de marcher sur un chemin horizontal, le 
même homme montait une pente douce ou un escalier 
commode, il ne serait plus capable de se mouvoir, 
comme dans le cas précédent, avec une vitesse moyenne 
de 1",5 par seconde, il ne pourrait en prendre une que 
de 0°,15; et s’il continuait cet exercice pendant plus 
de huit heures par jour, il serait hors d’état de le répé- 
ter les jours suivans. Ainsi, rien que la différence de 
marcher en montant sur un plan ineliné au lieu de mar- 
cher sur un plan horizontal, diminue l'effet de Ja force 
de l'homme de # ; car, dans ce cas, l'effet produit est, 
par seconde, 65° X 0,15 — g",55, ce qui fait, pour 
huit heures, 280800", ou 281 unités dynamiques; or, 
le rapport de 281 à 5510 est, à très-peu près, le même 
que celui de 1 à 12. 

Dans ces deux cas, aucun effet utile, dans le sens at- 
taché à cette expression, n’est produit, puisqu'il n'y à 

Ton, ju, 


295 


HOM 
aucun travail effectué ; mais, si nous supposons mainte- 
nant que l’homme porte des poids sur son dos, nous 
pourrons comparer les produits de son travail. L’expé- 
rience prouve qu'un homme marchant en plaine, et 
chargé de 40 kilogrammes, peut se mouvoir avec une 
vitesse de 0,75 pendant une durée de sept heures par 
jour, ce qui donne pour la quantité d'action journa- 
lière, ou d'effet utile, 556000". S'il monte un escalier 
ou une pente douce, chargé de 65*, sa vitesse ne sera 
plus que 0",04, et il ne pourra supporter ce travail plus 
de six heures par jour; l'effet utile ne sera donc que 
de 56160!" par jour. Ainsi, dans le premier cas, l'effet 
utile est représenté par 756 unités dynamiques, et 
dans le second, seulement par 56. 

Voici l’ensemble des résultats qui, d’après Navier, 
comportent le maximum d’effet utile dans l'emploi in- 
diqué de la force. 


1° flomme marchant sur un chemin horizontal, sans 
fardeau. 
65 kil. 


10 


Poids moyen du corps. . . . . . 
Vitesse par seconde. . . . . . 
Durée du travail journalier. . . . . 10 heures. 


Effet produit en unités dynamiques. 5510 


2° Homme voyageant en plaine, et portant des far- 
deaux sur son dos. 


Poids transporté, , + . , : . . "4" 4o'kil. 
Vitesse par seconde. ;' à = ."."10 075 


7 heures. 
596 


Durée du travail journalier. . . . . 
Effet utile en unités dynamiques. . 


5° Homme montant une rampe douce ou un escalier, 
sans fardeau. 


Poids moyen du corps. . . . . . . 05 kil. 
Vitesse par seconde. . . . . . . . 0",15 
Durée du travail journalier. . . . . 8 heures. 


Effet produit en unités dynamiques. 281 


4° Homme montant une rampe douce ou un escalier, 
avec un poids sur son dos. 


. 65 kil. 


m A 
0 ,0# 


Poids transporté. . . . . . . . . 
Vitesse par seconde.. . . . . . . . 
Durée du travail journalier. . . . . 6 heures. 


EHERULIE MORE RENE 56 unités dyn. 


5° Manœuvre transportant en plaine des matériaux sur 
son dos, et revenant à vide chercher de nouvelles 


charges. 
Poids transporté. , . « « . : 65 kil. 
Vitesse par seconde. : . . . JT 


Durée du travail journalier. . . 6 heures. 


Effet utile, , . . #02 unités dyn. 


29 


226 HOM 


6° Manœuvre transportant des matériaux dans une 
brouette, et revenant à vide chercher de nouvelles 


charges. 


Poids transporté. . . . . "160 kil 
Vitesselparseconde:s ff. 7 0e 0-20m0 
Durée du travail journalier, . . . . 10 heures. 


Etiet utile een 1080 unitésdyn. 


7° Manœuvre transportant des matériaux dans une 
petite charrette, où camion à deux roues, et reve- 
nant à vide chercher de nouvelles charges. 


Poidsitransporté:; 1. {0 a .WM007kil: 
Vitesse parseconde#"ne ia. on 
Durée du travail journalier, . 10 heures. 


Etétutilee mr . + + « 190ounités dyn. 


8° Manœuvre élevant des poids au moyen d’une corde 
passant sur une poulie, ce qui l’oblige à faire des- 
cendre la corde à vide. 


Poids élevé tr ER RS 


Vitesselpan seconde Lu." lon 0 

Durée du travail journalier. . . . . 6 heures. 

Effet utile. . . . ... . .... ,. 77 unités dyn. 

9° Manœuvre élevant des poids en les soulevant avec 
la main. 


Poidsttransponté. M 0. 0.2 iao(kill 
#1 & » can mn 
Vitesse parseconde... "Cr or ug 
Durée du travail journalier. , . 6 heures. 


EHÉPULICRENER AR NP ER 59 unités dyn. 


10° Homme agissant sur une manivelle. 


Eflort constant exercé. 8 kil. 
Vitesse par seconde.  . . : . . . : 0,0 
Durée du travail journalier. . . 


- Eee, 0e MN 


8 heures. 


155 unilés dyn. 


11° Manœuvre marchant en poussant ou tirant dans une 
direction horizontale. 


Elort exercé. . . . . 12 kil. 


0,6 


8 heures. 


Vitesse par seconde. . . . , 
Durée du travail journalier. . 
EHetutule EE + 207 unités dyn. 
12° Manœuyre agissant par son poids sur une roue à 


chevilles où à tambour, et placé au niveau de l’axe 
de la roue. 


Efort'exenccr se tee OO 


Vitesse par seconde. 0,15 


Durée du travail journalier. . 
Effet utile, 


8 heures. 


- +. 209 unités dyn. 


HOM 


15° Manœuyre agissant par son poids vers le bas d’une 
roue à chevilles ou à tambour. 


Effort exerce. 19 kil. 
Vitesse par seconde. 0",7 


Durée du travail journalier. . 8 heures. 


Effctutile 0 CERN 00 D UNITE RENE 


14° Manœuvre poussant avec les pieds une roue à che- 
vilies. 


62,5 kil. 
0,19 


Effont exercé. 6 CES PARENTS 


Vitesse par seconde. 


Durée duttravail "= SnEurES 
Elfebatile CO CE ONU EEE CN 


Les efforts de traction que l’homme peut développer 
ont été très-différemment appréciés par divers auteurs. 
Schulze évalue à 48 ou 49 kilogrammes l'effort absolu , 
c'est-à-dire celui que l’homme est capable de soutenir 
pendant quelque temps sans prendre de vitesse. Ber- 
nouilli ne porte cet effort qu'à 34 kilogrammes; mais 
Guenyveau a trouvé que, lorsque la traction s'effectue 
au moyen de bricoles, leflort absolu peut s'élever 
de 50 à Go kilogrammes. 

La vitesse absolue, ou la plus grande vitesse que 
l'homme puisse soutenir pendant quelque temps sans 
avoir d'autre effort à produire que celui du déplacement 
de son corps, est de 1",657 par seconde, d’après 
Schulze ; de > mètres, d’après Bernouilli; et de 2 
à 5 mètres, d’après Guenyveau. 

On nomme effort relatif et vitesse relative l’eflort 
moyen el la vitesse moyenne dont la combinaison peut 
produire le maximum d'effet utile. 

L'effort relatif est, suivant Schulze, de 15 à 14 kilo- 
grammes ; de 15 kilogrammes, suivant Bernouilli, et 
de 154,13 suivant Guenyveau, quand la traction se fait 
au moyen d’une bricole. La vitesse relative est de o",r57, 
1",660, et o",8, suivant les mêmes observateurs. 

La plus grande charge qu’un homme puisse porter à 
une petite distance, est moyennement de 145 à 150 ki- 
logrammes. 

Nous n'avons pas besoin de faire observer que l’âge, 
le climat, et surtout l'habitude, occasionnent de grandes 
variétés dans la valeur des quantités d'actions journa- 
lières produites par divers individus, et qu'on ne doit 
considérer les nombres rapportés ci-dessus que comme 
des termes moyens à partir desquels plusieurs circon- 
stances, et principalement l'inégalité des forces des in- 
dividus, peuvent causer des écarts plus ou moins grands; 
mais ces nombres n’en présentent pas moins des indica- 
tions très-importantes sur les moyens d'employer la 
force de l’homme de la manière la ‘plus avantageuse; 
car il suffit d'y jeter un coup d’æœil pour reconnaître, 
par exemple, qu'on obtient un effet utile plus que 


HYD 


double en faisant agir un homme sur une manivelle, 
qu'en lui faisant élever des poids au moyen d’une corde 
passant sur une poulie fixe: que le Mmaneuvre transpor- 
tant des matériaux sur une brouette fait plus d'ouvrage 
que celui qui les porte sur son dos, ete., ete. On doit 
consulter, pour tout ce quiconcerne les moteurs animés, 
le mémoire de Coulomb sur {a Force des Hommes , ainsi 
que les ouvrages suivans : Prony, Nouv. Archit. hy- 
draulique; Christion , Mécanique industrielle; Gueny- 
veau, Essai sur la science des Machines; Coriolis, Cal- 
eul de l'effet des Machines. M. Borgnis, dans son Traité 
de la composition des Machines , expose en grands dé- 
tails tout ce qui a été fait ou proposé pour le meilleur 
emploi de la force de l'homme et des animaux. 


HYDRAULIQUE. (Méc.) L'objel général de cette 
branche de la mécanique est le mouvement des liquides, 
et particulièrement celui de l’eau. 

L'eau en mouvement peut être considérée de quatre 
manières différentes: 1°coulant dans un lit (voy. Courant 
D'Eau); 2° sortant d’un réservoir (voy. ÉCOULEMENT DES 
ELuipes); 5° agissant comme moteur (voy. EAUMoTRICE); 
4" enfin, dans un état passif, élevée par des machines. 

On donne le nom générique de machines lyydrauli- 
ques à deux classes de machines tres-différentes dans 
leurs effets et dans leur but : la première comprend 
divers appareils pour lesquels l'eau est Pagent moteur, 
la puissance; la seconde se compose des organes méca- 
niques destinés à élever l’eau, qui constitue alors la ré- 
sistance. On pourrait former une troisième classe de ma- 
chines où l’eau joue tout à la fois le rôle de puissance 
et de résistance, c’est-à-dire où la force d'un courant 
d’eau est employée à élever une portion de cette eau, 
comme le bélier hydraulique, la colonne oscillante, etc. 
Mais, en observant que l’action de ces machines exige 
le concours d’une force étrangère, l’élasticité de l'air 
atmosphérique ; on voit qu'elles doivent être rangées 
dans la seconde classe. 

Lapremière classe des machines hydrauliques se sub- 
diviserait en trois genres, si l’on pouvait établir des li- 
miles absolues entre l'action de l’eau par son choc, 
sou poids et sa force centrifuge; mais, comme dans la 
plupart de ces machines, l’eau n’agit jamais d’une seule 
manière, ce ne pourrait être que d’après le mode d’ac- 
tion prédominant qu'ilserait possible d’assigner le genre 
de la machine. Quoi qu'il en soit, les machines de cette 
première classe sont les roues à aubes, les roues à augets , 
les-roues à pots, les turbines, les roues à réaction, les 
turbines où roues à force centrifuge, et la machine à co - 
lonne d'eau (voy. ces divers mots); Ja dernière se dis- 
tingue de toutes les autres par la nature de son mouve- 
ment, qui est alternatif; Llandis que celui des premières 
est un mouvement continu de rotation. Il existe encore 


HYD 227 


beaucoup d’autres machines de cette classe, projetées où 
exécutées, mais celles que nous venons de citer sont 
les plus usuelles: Nous donnons, en traitant chaque 
machine en particulier, l'indication de son eflet utile. 
La seconde classe des machines ou organes hydrau- 
liques présente un très-grand nombre d'appareils, car 
il n'existe pas de problème qui ait plus occupé l’imagi- 
nation des praticiens que celui de l’élévation de l’eau. 
Parmi ces machines, celle dont usage est plus habituel 
sont les seauæ, les pompes, les norias, les chapelets, 
les roues à tympan, et la vis d'Archiméde. Nous les exa- 
winons dans des articles particuliers, ainsi que quelques 
autres moins usuelles, mais dont les dispositions ingé- 
nieuses réclament l'attention. (Voy. Fontaine, tom. IL.) 


HYDROMEÈTRES. (Æydraul.) Nom générique des 
instrumens destinés à mesurer la vitesse des courans 
d’eau. 

L’hydromètre le plus simple et peut-être le plus sûr 
est un flotteur. C’est un morceau de bois ou un autre 
corps d’une pesanteur spécifique presque égale à celle 
de l’eau, et qui, placé dans le courant, en prend la 
vitesse. Dès que le mouvement est bien établi, on 
compte le nombre de secondes que le flotteur employe 
pour parcourir une distance préalablement mesurée; 
celle distance, divisée par le nombre des secondes, 
fait connaître l’espace parcouru dans une seconde, ou la 
vitesse. Les meilleurs flotteurs sont des boules creuses 
de fer blanc ou de cuivre, lestées avec de la grenaille de 
plomb, de manière qu’elles s’'enfoncent presque entiè- 
rement dans l’eau; on doit les placer dans le plus fort 
du courant ou au fil de l’eau, et assez au-dessus du 
point où lon commence à compter, pour qu’on soit 
assuré qu’elles aient, en y arrivant, la vitesse du li- 
quide qui les entoure. Ce mode d'opération, qu'il faut 
répéter plusieurs fois pour prendre une moyenne, fait 
connaître avec assez d’exactitude la vitesse du fil de 
l'eau, mais il ne peut être employé pour les filets plus 
près du bord, parce que le flotteur ne se maintiendrait 
pas dans une même direction. 

Le volant & aubes peut être employé avantageusement 
pour déterminer la vitesse d’un filet quelconque. C’est 
une petite roue à aubes très-mobile sur son axe et con- 
struite en boïs très-léger; on létablit sur le courant, 
au point dont on veut connaître la vitesse, de manitre 
qu'une aube plonge dans l’eau, son centre de percus- 
sion prend bientôt, à très-peu près, la vitesse du 
filer. 

Le pendule hydrométrique sert également pour déter- 
miner la vitesse d’un filet quelconque. Il se compose 
d’une boule creuse, d'ivoire ou de métal, suspendue par 
un fil au centre d'un quart de cercle gradué. On pose 
cet appareil sur le point à reconnaitre, le quart de cercle 


HYG 

fixé hors de l'eau, et la boule plongeant dans le liquide 
(PI XUIT, fig. 12); le courant entraine la boule, le 
fil s'incline, et lorsque l'angle d’inclinaison est devenu 
constant, on calcule la vitesse d’après la grandeur de 
cet angle, Voici la théorie de cette opération. 

Soit P le poids de la boule À, et OA l'inclinaison 
constante du fil, mesurée sur le quart de cercle par 
l'angle EOA—. Construisons le rectangle ABCD, dans 
lequel AD — P, CAD — EOA —:. Les côtés AB et AC 
seront les composantes de AD, et nous aurons 


ACI—PICOS IE CAB PSN. 


Ainsi P cos à exprime le poids effectif ou la force 
avec laquelle la boule tend à descendre, et P sin ? la 
partie du poids absolu qui fait équilibre à l’action du 
courant, et mesure son effort. L’effort du courant, com- 
parativement au poids effectif, sera donc 

P sin? 


Pcost mien 


c'est-à-dire qu'il est proportionnel à la tangente d’in- 
clinaison. Mais ce mème effort est également propor- 
tionnel au carré de la vitesse du courant (voy. Eau mo- 
tic); donc, en désignant par v cette vitesse, le rap- 
port des deux quantités v?, tang ? doit être un nombre 


constant, et, en exprimant par n° ce dernier, nous aurons 


v = n Vtang à. 


Le coeflicient constant # aura une valeur particulière 
pour chaque boule, qu’on peut déterminer directement, 
par l'expérience, en essayant le pendule sur un courant 
dont la vitesse aura été déterminée soit par un flotteur, 
soit par un volant à aubes. La vitesse connue, divisée 
par la racine carrée de la tangente de l’inclinaison ob- 
servée, donnera la valeur de n. 

Les hydromètresprécédens ne peuvent faire connaître 
que la vitesse à la surface du courant; pour mesurer les 
vitesses au-dessous de la surface , il faut avoir recours 
à d’autres instrumens. 

Le plus simple, nommé {ube de Pitot, du nom de 
son inventeur, est un tuyau de verre recourbé par le 
bout inférieur (PI. XII, fig. 11); on l’enfonce dans 
le courant, jusqu’à ce que l’orifice de ce bout, tourné 
vers l’amont, soit au niveau du filet dont on veut voir 
la vitesse; ce filet presse le liquide, le fait monter dans 
Ja branche verticale, et la hauteur de la colonne d’eau, 
au-dessus de la surface du courant, indique approxi- 
mativement la hauteur due à la vitesse. Dubuat a 
trouvé qu'en donnant à l'orifice la forme d’un enton- 
noir dont on fermé l'entrée par une plaque percée d’un 
petit trou au centre, les deux tiers seulement de Ja 
hauteur dans Le tube étaient la hauteur due à Ja vitesse 


H\Yù 
de la veine fluide, c’est-à-dire, qu'en désignant par k 


la hauteur dans letube, la vitesse cherchée serait 
La 2; 
—= 29 = he 

CRAN 


On à fait plusieurs perfectionnemens à cet instru- 


ment, qui est peu employé, mais qui fait époque dans 
la science, parce que c’est avec son aide que Pitot a dé- 
couvert le fait très-important du décroissement graduel 
de la vitesse des filets fluides depuis la surface jusqu’au 
fond. 

Les balances ou romaines hydrométriques sont suscep- 
tibles d’une bien plus grande exactitude : le principe sur 
lequel elles sont fondées consiste en ce que, si l’on ex- 
pose directement une plaque au choc d’une veine d’eau, 
le poids qu'il faut employer pour la maintenir en équi- 
libre contre l'effort du courant donne la mesure de cet 
efort, d'où l’on peut ensuite conclure la vitesse. La ba- 
lance employée par Brünings, et à laquelle il a donné 
le non de tachomètre ; est représentée (pl. XIV, 
fig. 4); elle se compose d’une plaque À fixée à l’extré- 
mité d’une tige AB, qui se meut dans une douille m 
perpendiculairement à Ja barre DE, dont l'extrémité E 
repose sur le fond du lit de la rivière. Un cordon DB 
est attaché à l'extrémité B de la tige AB, et se rend, en 
passant sur une poulie de renvoi C, à l'extrémité du petit 
bras d’une romaine, dont l’autre bras porte le poids P. 
Lorsque cet instrument est posé, la veine fluide qui agit 
sur la plaque A la presse vers B, et il faut alors reculer 
le poids P jusqu’à ce qu’il la maintienne en équilibre ; 
les divisions du grand bras de la romaine font con- 
naître le poids absolu qui mesure l'effort du courant, 
et, par suite, sa vitesse. 

Les hydrauliciens allemands considèrent comme le 
plus parfait des hydromètres inventés jusqu'ici le mou- 
linet hydrométrique de Woltmann. C’est un arbre tour- 
nant (PI. XIV, fig. 1) qui porte quatre petites ailes 
disposées comme celles d’un moulin à vent. Lorsqu’elles 
sont mues par le courant, le nombre de leurs révolu- 
lions dans un temps déterminé, indiqué par l'instru- 
ment même, fait connaître la vitesse. 

Quel que soit l'instrument qu'on emploie pour me- 
surer la vitesse d’une veine fluide, ce n’est que par 
une énorme série d'expériences qu'il est possible de 
déterminer la vitesse moyenne de la section d’une 
grande rivière; car il faut décomposer cette section en 
tranches verticales, mesurer la vitesse d’un grand 
nombre de points pris verticalement les uns au-dessous 
des autres dans chaque tranche, afin de conclure par 
une moyenne la vitesse moyenne de la tranche; puis, 
des vitesses moyennes de toutes les tranches, déduire 
la vitesse moyenne de la section. On voit combien il 
serait important de connüitre Ja loi du décroissement des 


HYG 
vitesses et de pouvoir obtenir la vitesse moyenne par 
celle du fil de l’eau, toujours facile à mesurer exacte- 
ment; mais on ne connaît pas même encore le rapport 
qui peut exister entre la vitesse du filet supérieur et la 
vitesse moyenne de la verticale à laquelle il appartient. 
( Voy. Couranr p’Eau.) 


HYGROMÉTRIE. On désigne sous le nom d’hygro- 
mètres Les instrumens destinés à mesurer la quantité de 
la vapeur d’eau contenue dans l'air atmosphérique, et, 
par suite, sous celui d’hygrométrie, la partie de la 
physique qui a pour objet les principes fondamentaux 
sur lesquels repose leur construction. 

Tout le monde sait que, lorsqu'on met de l’eau dans 
un vase ouvert et qu'on l’expose à l'air libre, elle di- 
minue peu à peu et disparait enfin en totalité. Ce phé- 
nomène, qu'on nomme évaporation, et qui s'effectue 
continuellement à la surface des mers et des rivières, est 
cause que l’air n’est jamais complètement sec, mais 
qu'il contient toujours une certaine quantité d’eau en 
dissolution, dont la présence modifie son élasticité et sa 
densité, 

On à attribué pendant long-temps l’évaporation de 
l'eau et celle de beaucoup d’autres liquides à une affinité 
ou action élective des molécules intégrantes de l’air sur 
les molécules intégrantes de ces liquides; l'air était alors 
doué d’une force dissolvante d'autant plus grande, que 
sa température et sa densité étaient plus grandes. Cette 
théorie ne peut plus être admise depuis qu'il est prouvé 
que l’évaporation s’effectue en même quantité et beau- 
coup plus promptement dans un espace vide que dans 
un espace plein d’air; et l’on ne doit voir dans la trans- 
formation des liquides en vapeurs qu’un effet de la force 
répulsive du calorique interposé entre leurs molécules. 

Dalton a reconnu : 1° que les vapeurs qui se déve- 
loppent dans les gaz ne saturent pas instantanément 
l’espace occupé par le gaz; de sorte qu’il s'écoule tou- 
jours un certain temps depuis l'instant où le liquide est 
introduit dans la capacité occupée par le gaz jusqu’à 
celui où il ne se forme plus de vapeurs; 2° que la force 
élastique d’un mélange de gaz et de vapeurs est égale à 
la force élastique du gaz, plus à celle de la vapeur qui 
se développerait dans le vide; 3° que la quantité de 
vapeur qui se forme dans un gaz est égale à celle qui se 
formerait dans un même espace vide à la même tempé- 
rature. Il résulte de ces faits, vérifiés par tous les phy- 
siciens, que les vapeurs se développent dans les gaz 
comme dans le vide, et que le mélange des gaz et des 
vapeurs s'effectue comme celui des gaz permanens. Seu- 
lement, les gaz opposent à l’évaporation un obstacle 
mécanique qui la retarde. 

On nomme état hygrométrique de Pair le rapportentre 
la quantité de vapeur d'eau qu'il contient, à celle qui 


HYG 229 
s’y trouverait s'il était complètement saturé, ou, ce 
qui est la même chose, le rapport de la tension de la 
vapeur dans l’air à sa tension maximum (roy. Force 
ÉLASTIQUE) à la même température. La déterminaison 
de cet état hygrométrique est le’ problème principal de 
l’'hygrométrie; car, lorsqu'il est connu, on peu en dé- 
duire aisément, comme nous le verrons plus loin, le 
poids de la vapeur d’eau renfermée dans un volume 
d’air donné. 

De tous les moyens proposés pour mesurer le degré 
d'humidité de l’air, le plus rigoureux est de mettre un 
volume connu d’air en contact avec une substance dont 
l’allinité pour l’eau soit telle qu’elle puisse enlever la 
totalité de la vapeur contenue dans le volume donné., 
Lorsque la dessiccation est effectuée complètement, on 
pèse la substance, et la différence de son poids avec le 
poids qu'elle avait avant l'opération fait connaitre le 
poids de l’eau absorbée, et, par suite, la densité de la 
vapeur d’eau primitivement mélangée à l'air; mais cette 
méthode exige une extrême précision dans les détails, 
qui rend son application très-difficile. Les substances 
qui présentent le plus d’affinité pour l’eau sont le 
chlorure de calcium, la potasse caustique et Ja chaux 
vive. 

Les changemens de formes ou de dimensions que 
diverses substances éprouvent par l'humidité semblent 
offrir un moyen beaucoup plus simple pour déterminer 
le degré d'humidité de l'air. On a observé que presque 
toutes les substances organiques, plongées dans l'air 
humide, absorbent une certaine quantité de vapeur 
aqueuse qui dépend de leur nature propre et de l’état 
hygrométrique de l'air. Lorsque Pair devient plus hu- 
mide, elles absorbent une nouvelle quantité de vapeur, 
qu'elles restituent lorsqu'il devient plus sec. Cette ab- 
sorbtion ou cette émission de vapeur est toujours accom- 
pagnée d’un changement dans toutes les dimensions 
du corps; mais les substances composées de filamens 
éprouvent toujours plus d'augmentation dans le sens de 
leur diamètre que dans celui de leur longueur; aussi 
les cordes, qui sont formées de fibres tordues, se gonflent, 
se détordent et se raccourcissent par l'humidité. 

On a tiré parti de cette propriété pour construire des 
instrumens destinés à faire connaître , à la simple vue, 
l'humidité de l'air, ct ce sont ces instrumens qu'on 
nomme des hygromètres. Le plus anciennement em- 
ployé se compose d’une corde à boyau, longue de 5 à 
6 centimètres, fixée par une de ses extrémités et por- 
tant à l’autre un petit poids pour la tendre. Une échelle 
graduée indique les diminutions de longueur que subit 
la corde en se détordant par l'effet de l'humidité, ou 
les accroissemens qu'elle éprouve en devenant plus 
sèche. Cet appareil, propre tout au plus à faire con- 


naitre que l'air est plus humide dans un moment que 


230 HYG 


dans un autre, ne peut fournir aucune indication utile 
sur son état hygrométrique. 

L'hygromètre de Saussure, aujourd'hui le plus usité, 
consiste en un cadre de cuivre ABCD (PI. XIE, fig. 15) 
dans lequel un chevet ab, dépouillé de toutes sub- 
stances grasses, par lébullition dans une lessive un peu 
alcaline , est suspendu en @ à une petite pince que l'on 
peut monter ou descendre par une vis; il est fixé par 
son autre extrémité à une petite poulie mobile sur 
son axe, et garnie d’une aiguille mn dont la pointe 
parcourt un are de cercle pq; un fil enroulé dans le 
même sens sur une autre poulie ayant le même axe que 
la première et faisant corps avec elle porte un petit 
poids e qui tend à tendre le cheveu. Le cheveu, dont 
la propriété est de s’allonger par l'humidité, restant 
toujours tendu par le petit poids, fait tourner les pou- 
lies dans ses variations de longueur, et la marche de 
l'aiguille indique sur l'arc de cerele le nombre des de- 
grés correspondans d'humidité. 

L'are de cerele est divisé en 100 parties égales, 0 ré- 
pond au point de la parfaite sécheresse, et 100 à celui 
dela complète saturation de l'air. Pour déterminer ces 
deux limites de l’échelle hygrométrique, on place 
d’abord l'instrument sous un récipient qui renferme des 
matières propres à dessécher l'air ; etlorsque, après plu- 
sieurs jours, l’aiguille demeure fixe à un certain point 
du cadran, on marque 6 à ce point. Ceci fait, on trans- 
porte l’hygroméètre dans un autre récipient dont les pa- 
rois sont mouillées et dont l’air se trouve bientôt saturé 
d'humidité. L’aiguille marche avec rapidité et finit par 
devenir stationnaire en un point qu’on marque 100, et 
qui est celui de l'humidité extrême, L’intervalle de o à 
100 étant divisé en cent parties égales, l’'hygromètre 
est achevé. 

Cet instrument, lorsqu'il a été bien construit, donne 
toujours des indications identiques dans les mêmes cir- 
constances; et, de plus, quelle que soit la température 
de l'air, il marque toujours 0° dans l'air see, et 100° 
dans l'air saturé d’eau; de sorte que l'influence de la 
température sur la longueur du cheveu est sensiblement 
nulle dans les limites de température de l'atmosphère, 
mais les degrés d'humidité quil indique ne sont pas 
proportionnels aux quantités réelles de vapeur d’eau 
contenue dans l'air; et, pour pouvoir déduire de l'ob- 
servation de cet instrument la force élastique de la va- 
peur, il faudrait connaitre la relation qui existe entre 
les degrés de l'hygromètre et les tensions correspon- 
dantes de la vapeur pour chaque degré de température. 

A défaut de cette relation, qui n’est point encore 
découverte, M. Gay-Lussac a rendu les indications de 
l’hygromètre de Saussare propres à déterminer la quan- 
tité absolue d’eau renfermée dans un volume donné 


d'air humide, en observant, concurremment avec les 


B VAPEUR. 


HYG 


degrés marqués par l'hygromètre, les tensions de la 
vapeur d’eau contenue dans un certain volume d’air sec, 
pour la température particulière de 10 degrés centi- 
grades. Ses résultats sont consignés dans les tables sui- 
vantes, dont la première donne les degrés de l’hygro- 
mètre, quand on connaît la tension de la vapeur d’eau 
existante dans l’air; et la seconde, la tension de cette 
vapeur, quand on connaît les degrés de l'hygromètre. 
La tension de la vapeur, pour la saturation complète, 
est représentée par 100; de sorte que, lorsqu'on veut 
exprimer les tensions plus petites en fractions décimales 
de cette tension maximum, il faut considérer les nom- 
bres de ces tables comme exprimant des centièmes de la 


Lension maximum prise pour unité, 


TABLEAU 


DES DEGRÉS DE L'HYGROMÈTRE CORRESPONDANS AUX TENSIONS 


DE LA VAPEUR, À LA TEMPÉRATURE DE 10° CENTÉSIMAUX. 


TENSION TENSION TENSION 


HYGROMETRE. 


DE LA DE LA 


NAPE UR. VAPEUR. 


CORRESPONDANS 


D 
e 
© 
= 
= 
5 
a 


DEGRES 
CORRESPONDANS 


| 
Î DK L’ 
| 


5” 


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5 
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7 
8 


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© D D EE 


bb 
NI QE CID 


BB D & 


00 


À 


O1 G1 OI C1 LE 


HYG 


Si les tensions avaient été observées en colonnes de 
mereure, comme cela se pratique généralement, il fau- 
drait les ramener en centièmes de la tension maximum, 
pour pouvoir se servir de cette table; la tension obser- 
vée étant, par exemple, de 0"*,534, comme on sait 
que la tension maximum de la rapeur d’eau à la tem- 
pérature de 10° est de 9"",475 (voy. Varrun), on po- 


serait la proportion 
05475 0,534 —u00 "2 — 5,63; 


d’où l’on voit que pour obtenir latension en centièmesil 
fautmultiplierlatensionexpriméeen millimètres pari 00, 
et diviser le produit par la tension maximum exprimée 
en millimètres. Le nombre 5,65 , ne se trouve pas dans la 
colonne des tensions, qui marche par différences égales 
à un centième, et ce n’est que par une interpolation 
entre les nombres 10,94 et 14,92 qui expriment les de- 
grés de l’'hygromètre, correspondant respectivement aux 
tensions 5 et 6, entre lesquelles est comprise la tension 
donnée 5,635 , qu’on peut déterminer le degré de l'hygro- 
mètre correspondant à cette dernière. Mais, comme les 
tensions ne sont pas proportionnelles aux degrés, il 
faut se guider, pour interpoler, d’après les indications 
du second tableau, qui nous apprennent ici que le dou- 
zième degré de l’hygromètre correspond à la tension 
5,05, et le treizième à la tension 6,00 ; ainsi, le premier 
tableau nous montre que le degré cherché est entre 
10,94 et 14,92, et le second tableau, que ce degré 
ne peut être qu'entre 11 6t 12, mais plus près de 11 
que de 12; d'où nous devons conclure que l’hygro- 
mètre placé dans l'air, renfermant une quantité de va- 
peur dont la tension serait 5,65, marquerait 11 de- 
grés, plus une petite fraction de degré. 

Soit encore la tension observée — 4"",24. Réduisant 
en centièmes de la tension maximum, on aura 


4,24 Xa001::,, 


93479 


Cherchant dans la colonne des tensions les nombres 
qui approchent le plus de 44,75, c’est-à-dire 44 et 45, et 
observant ensuite que, d’après la seconde table , le 68° 
de l’hygromètre correspond à la tension 44,49, on en 
conclura que le degré cherché est entre 68 et 68,24. 

Quoique les nombres de ces tableaux ne se rappor- 
tent exactement qu’à la température de 10°, on peut 
étendre leur usage aux températures voisines de 10°, 
sans crainte d'erreur sensible, parce qu'il paraît que 
les variations de la température exercent peu d’in- 
fluence sur l’afinité du cheveu pour la vapeur. 


HYG 
TABLEAU 


DE LA FORCE ÉLASTIQUE DE LA VAPEUR CORRESPONDANTE AUX 


231 


DEGRÉS DE L'HYGROMEÈTRE, À LA TEMPÉRATURE DE 10° 


CENTÉSIMAUX. 


: RE - SE ; £ 
DEGRES LA = DEGRES = Æ = DEGRES > = = 
2 É 3 5 VUE 
DE Ne LE DE EE DE SE % 
, a ° > > 5 2 r 2 RO 
L'HYGRO- Z = : L HYGRO- = 4 L'UYGRO- Fete 
ee 3 « À «4 4 RACE 
mètre. | € & © |'uèrne. | 6 & 5 ugine. | F & à 
4 À el z & 
CR E & o A 
e S 
0 0,00 54 17,10 68 44:49 
1 0,45 39 17,68 69 46,04 
3 0,90 36 18,30 70 (7529 
3 1,99 27 15,92 71 45,91 
n 1,80 | 38 | 19,54 72 49:82 
5 2,22 39 20,16 79 51,14 
Q Pre 
6 || go [oops | 56 | 5245 
7 3,18 41 21:49 7 55,76 
8 5,04 42 22,12 76 25,29 
AG /, 
9 4:10 43 22,79 77 56,5/ 
10 4,557 41 23,16 78 58,24 
11 5,05 4 24,15 79 59,73 
12 5,52 40 24,86 80 61,22 
13 6,00 47 29,99 S1 62,89 
14 6,48 48 26,32 82 64:57 
15 6,96 49 25,06 85 66,2 
< ss È Les pe 
16 7,46 50 27:79 84 67:92 
17 7:92 51 28,58 85 69,59 
18 8,49 52 29,38 86 71,49 
| FA La Q LA 
19 8,92 9 90,17 87 59,39 
20 9:42 54 20,97 ss 75,29 
21 9:97 59 31,76 |. 89 77:19 
22 10,49 56 52,66 90 79:09 
23 11,01 97 33,57 OL 81,09 
24 11,09 ù 94:47 92 83,08 
25 12,09 59 35,97 03 85.08 
26 12,59 6o 36,28 91 87,07 
ar 15,14 61 07,91 99 89,06 
28 13,69 62 58,54 96 91,25 
29 14,25 63 39,56 07 03,44 
350 14,78 61 40,39 98 99,63 
31 15,50 65 41,42 99 97,81 
32 13,94 66 42,58 | 100 100,00 
2 à = 
52 | 67 | 45,7 


Ce tableau fait connaître la tension de la vapeur con- 


tenue dans l’air correspondant au degré observé de 
l'hygromètre. Pour exprimer cette tension en milli- 
mètres de mereure, il suffit de multiplier le nombre 
donné par la table, par le facteur 9,475, et diviser le 
produit par 100. Si, par exemple, le degré de l'hygro- 
mètre était 50, nombre auquel correspond, dans la 
table, la tension 47,19, on aurait, pour cette tension 


en millimètres, 


im 19 Ve 9 475 
. IN 3 E 2 
79 È RIRE es 4"",471. 


100 


232 HYG 

Pour déterminer, par le moyen de ces tables, le 
poids de la vapeur contenue dans un volume d’air 
donné, à une température également donnée, et dont 
on connait le degré hygrométrique, il faut savoir que 
la densité de la vapeur d’eau à une température # et 
sous une tension p, est égale à la densité maximum 
qu’elle peut avoir à la même température, multipliée 
par sa tension actuelle p, exprimée en fraction de la 
tension maximum prise pour unité; ainsi, en désignant 
par à la densité maximum, et par d la densité sous la 


tension p. on a la relation 
(1)... d — dp. 


Or, en multipliant la densité d par le poids d’un volume 
d’eau égal à celui de la vapeur, on obtient le poids du 
volume de vapeur; donc, en prenant le mètre cube 
pour unité de volume, et en observant que le poids d’un 
mètre cube d’eau est de 1000 kilogrammes ou de 
1000000 de grammes, on voit que le poids d’un mètre 
cube de vapeur est exprimé par 


(2)... 1000000° dp. 


Soit, parexemple, 72 le degré de l’hygromèlre auquel 
correspond, dans Ja seconde table, la tension 49,82; 
nous écrirons cette tension comme il suit 0,4982, pour 


INC 


INCOMPRESSIBILITÉ. On admet comme un prin- 
cipe fondamental , dans la recherche des lois de léqui- 
libre des liquides, que ces corps sont incompressibles 
(voy. HyprosrariQue, tom. II), c’est-à-dire qu'une 
masse liquide n’éprouve aucune diminution de volume 
par suite des pressions qu’on peut lui faire supporter. 
Cette hypothèse n’est pas rigoureuse ; mais les liquides 
se contractent d’une si petite quantité sous les pressions 
les plus considérables, qu’on peut l’adopter sans incon- 
vénient. 

Les premières expériences décisives, sur le peu de 
compressibilité des liquides, datent de la fin du 
xvu' siècle, et sont dues aux académiciens de Florence. 
Ayant renfermé de l’eau dansune sphère d’argent exac- 
tement fermée, ces savans virent qu'en comprimant 
la sphère pour diminuer son volume, le liquide suin- 
tait à travers ses parois. De l’eau, comprimée par eux 
dans un tube droit par une colonne de mercure de 
24 pieds de haut, n’éprouva aucune diminution sen- 


HYG 
la rapporter à la tension maximum comme unité; la 
densité maximum de la vapeur étant 0,00000974 à la 
température de 10°-(voy Vareur), nous ferons 


3—0,00000974 , p—0,4982, 


et nous aurons, d’après la formule (>), pour le poids 
de la vapeur d’eau contenue dans un mètre cube d’air, 
dans les circonstances données, 


Se d 5 or 
1000000 X0,00000974 <X0,4982—4 ,85. 


On a observé que, dans les couches inférieures de 
l'atmosphère, l'hygromètre marque très-rarement 100°, 
même lorsqu'il pleut. Son indication moyenne dans 
toutes les saisons est 52°, d’où l’on peut conclure que 
la quantité moyenne de vapeur aqueuse que contient 
l'air atmosphérique est la moitié de celle qui correspond 
à la saturation. La limite de sécheresse est 40° d’après 
Saussure, qui n’a jamais vu l’hygromètre au-dessous 
de cette limite sur le sommet des Alpes. Cependant, 
lorsqu'on s'élève à de grandes hauteurs, on rencontre 
des couches d’air beaucoup moins humides; car, dans 
le voyage aérostatique de ñi. Gay-Lussac, l’hygromètre 
est descendu à 26°; le thermomètre marquait alors 
— 10°. (Voy. le Traité de Physique mathématique de 
Biot. ) 


INC 


sible de volume, et il leur fut impossible de constater 
la plus légère contraction en variant de plusieurs ma- 
nières leurs appareils d'essais. Ils en conclurent que 
l’eau était, sinon complètement incompressible, du 
moins que sa compressibilité ne pouvait être mesurée, 

Cette dernière opinion était généralement adoptée, 
lorsque, en 1761, John Canton entreprit de nouvelles 
expériences avec un appareil de son invention, qui lui 
permit non seulement de reconnaître la compressibilité 
de l’eau, mais encore d’en mesurer la quantité, qu'il 


A : 1 RE 
évalua à 6 du volume primitif pour chaque atmo- 


sphère de pression (voy. Force ÉLAsrique). M. Perkins, 
en 1829, et M. Oersted, en 1825, cônstatèrent les faits 
annoncés par John Canton, et trouvèrent, par des 
moyens différens, le premier, une compression de 
0,000048 par atmosphère, et, le second, une compres- 
sion de 0,000045. 

Aucun de ces observateurs n'avait tenu compte de la 


1 


INC 


compression des vases, et il restait d’ailleurs à opérer 
sur d’autres liquides que sur l’eau; c’est ce que firent 
MM. Coladon et Sturm, dont les expériences, décrites 
dans un mémoire présenté à l’Académie des sciences 
en 1827, ont été couronnées par corps savant. Voici 
leurs résultats : 


CONTRACTION ABSOLUE POUR UNE ATMOSPHÈRE. 


MÉTRO. - . 1: 0300000009 
Eau distillée privée d’air à 0°. . . . . . 0,0000919 
Eau distillée non privée d’air à 0°. . . . 0,0000/495 
Alcool à 11°,6 (pour la 2°) . . . . . . . 0,0000962 
Id. (pourait 0,0000999 
Id. (pour la 21)". ., 0,000089 
Éther sulfurique à o°, «de 1 à 3. . . . . 0,000199 
Id. detsia20 0,0001 22 
Éther sulfurique à 11°,4, de 1 à 3... . . 0,00015 
Id. RG NONEMEMEQNONAN 
Eau saturée d’ammoniaque à 10°. . . . 0,000038 
Éther nitrique concentré à 0°. . . . : . 0,0000715 
Éther acétique à 12° . . . . . . . . . . 0,0000793 
Id. D 0 00000719 
Éther chlorhydrique à 11°,2, de 1 à3. . 0,0000859 
Id. de6à12.. o0,00008225 
Apideacétique 1108... M0. 01. © 1.00 0,0000422 


Acide’sulfurique à 0°. : . 4, . : . . . 0,000082 
Acide nitrique à 2,405 de densité. . . . 


Essence de térébenthine à 0° . . . . . 


0,0000322 
.  0,000073 


Ces expériences, exécutées sous des pressions de 1 à 24 
atmosphères, ont prouvé que la contraction des liquides 
n’est pas proportionnelle à la pression, mais qu’elle 
diminue sensiblement, à mesure que la pression est plus 
grande. 

Les nombres de ce tableau, comparés à ceux qui 
expriment la dilatation des liquides par l'effet de la cha- 
leur (voy. Cnareur), montrent l'énorme force que dé- 
veloppe le calorique pour produire cette dilatation ; car 
ilest évident que la force avec laquelle les corps tendent 
à augmenter de volume par l’accroissement de tempéra- 
ture est égale à l'effort qu’il faudrait faire pour les com- 
primer d’une quantité égale à la dilatation. Nous pré- 
viendrons nos lecteurs, au sujet de la dilatation des 
corps, qu'il s’est glissé une erreur très-grave dans les 
tables de notre article Cnareur; les nombres de ces 
tables n’expriment pas la quantité de dilatation corres- 
pondante à un accroissement d’un degré de tempéra- 
ture, comme on pourrait le croire, d’après le titre, 
mais bien celle qui correspond à un accroissement de 
cent degrés, à partir de o°. La dilatation pour 1° n’est 
donc que la centième partie du nombre donné par la 
table, et le calcul de la page 55 est entièrementinexact, 
car il aurait fallu faire {= 0,0000122, au lieu de 

Tous 1x. 


INF 233 


1—0,00122; ce qui aurait produit, pour la longueur 
cherchée, L'—2",5001525. La même erreur se trouve 
dans la dernière édition du Traité de Physique de 
M. Péclet, d’où nous avons tiré ces tables. 


INFLEXION DES VOUTES. (Arch.) Les change- 
mens de courbure qu’éprouvent les arches de pont et 
les voûtes, après leur décintrement, par l'effet de la 
contraction des joints, fournissent plusieurs problèmes 
géométriques dont la solution intéresse les ingénieurs, 
et pour lesquels nous allons donner les formules les 
plus simples. Une observation très-importante rap- 
portée par M. le baron de Pronyÿ, dans les Annales des 
Ponts et Chaussées (année 1832), surlesinflexions qu’a- 
yaient subies après, un laps de vingt années, des lignes 
droites tracées sur le plan des têtes de l’arche du milieu 
du pont Louis XVI, avant son décintrement, a donné 
l’occasion à cet illustre savant de rappeler ces formules 
et de faire connaître des moyens nouveaux de calcul 
que nous croyons utile de développer. Voici d’abord 
l'observation. 

L'arche du milieu du pont Louis XVI, posée sur 
cintres avec une flèche de 3",975, avait, avant le décin- 
trement, un développement d’arc de douille de 32°,519, 
dont la valeur angulaire était de 57° 12° 24°, et le rayon 
32°,570. 

La longueur de l’arc, dit M. de Prony, excédait celle 
de sa corde de 1",334 ; les joints de lit étaient conver- 
gens, élargis à l’extrados vers la clef, à l’intrados vers les 
naissances. Ces joints, préalablement calfeutrés à lin- 
trados, étaient remplis de ciment coulé à la cuillère dans 
un état de demi-fluidité ; quelques cales fixées à l’ex- 
trados pour faire refluer le ciment n’occupaient qu’une 
partie extrêmement petite de la surface comprise entre 
deux cours de voussoirs. Le calcul des pressions nor- 
males à cette surface, qui devaient avoir lien immé- 
diatement après le décintrement, pressions variables 
de la clef aux naissances, m’a donné en nombre rond 
les limites de 92000 à 78000 kilogrammes par mètre 
carré ; et il faut remarquer que ces évaluations, relatives 
uniquement aux masses de pierres supportées par les 
cintres, devaient ensuite éprouver une augmentation 
considérable lors de l’achèvement des parties supé- 
rieures des voûtes. ù 

« D’après ces résultats de calculs, j'aurais eu quel- 
que inquiétude sur les effets de compression des joints 
et de l’abaissement de la clef qui devait avoir lieu après 
le décintrement, si d’autres calculs, dont les données 
étaient fournies par des constructions antérieures, ne 
n'eussent rassuré. Il était important de faciliter aux 
ingénieurs les moyens de déduire avec précision de 
pareilles données de laconstruction du pont Louis XV]; 
en conséquence, trois lignes droites furent tracées sur 

30 


234 INF 


le parement d’amont des têtes de la voûte, savoir : 
1° une horizontale d'environ 22" de longueur, dont le 
point milieu se trouvait dans la verticale passant par le 
milieu de la clef; 2° deux lignes inelinées , chacune de 
6 mêtres de longueur, partant des extrémités de la pré- 
cédentes et dirigées perpendiculairement aux points des 
naissances. 

» Vingt ans après le décintrement, lorsque M. La- 
mandé faisait ses dispositions pour la construction du 
pont d'Iéna; il vérifia avec beaucoup de soin Pétat de 
ces lignes, et il trouva que l'horizontale du milieu avait 
pris une flèche en contre-bas de o",113, et que les 
lignes inclinées latérales s'étaient relevées dans leur 
milieu de 0,008 du côté de la rive gauche, et de 
0",007 du côté de la rive droite; le sens de ces in- 
flexions sont tout-à-fait conformes à ce qui avait été 
prévu. 

» Pour calculer, d’après ces mesures, les changemens 
qu'ont dû éprouver la courbure de l'arc intrados et sa 
longueur développée, on considérera la courbe com- 
primée comme se confondant sensiblement avee un are 
de cercle passant par ses naissances el son sommets 
cette hypothèse est compatible avec toute l'exactitude 
exigible pour l'application dont il sagit ici. » 

La question se réduit, comme on le voit aisément, à 
calculer la grandeur angulaire d’un arc de cercle dont 
on connait la corde et la flèche; car de la détermina- 
tion de cette quantité dépendent les déterminations 
ultérieures de la grandeur du rayon et de celle de 
l’are développé. 

Soit donc ADB (PL XIV, fig. 2) un are de cercle; 


désignons par 


a, sa moilié AD, développée ou mesurée en unités 
linéaires, 

k, la moitié AC de sa corde AB, 

x, son rayon AO ou DO, 

f, sa flèche CD, 

«, la valeur angulaire de l'arc AD, ou sa gran- 


deur exprimée en degrés du cercle. 


Le triangle rectangle ACO donne (voy. Triconomé- 
“ue, tome ET) 


D menre PAR PEER 
FT sin AOC? Rue” 

AC k 
0G—= pre VE rs . 


= s OL 
tang AOC ? 
Retranchant la seconde égalité de la première, il vient 


1 


__ k(tanga— sine) Suppl hi 
FER * ang; 


f— — 


sin ç . tang« 


k (a — cos u) 


sin 


& 


INF 


d’où Fon tire définitivement 


Connaissant langle &, la première des égalités précé- 
dentes, \ 


fait trouver la valeur du rayon r. Par exemple, les me- 
sures prises par M. Lamandé ayant fait connaitre que 
la flèche de l'arche du milieu du pont Louis XVI avait 
éprouvé une dépression de 0",113, ce qui réduit sa va- 
leur primitive 5°,975 à 5,975 — 0,113 — 3",862, on 
a, pour calculer la valeur angulaire de l'arc comprimé 
et son rayon, les données f—5",862, et À —15",5925; 
car la corde demeure constante. Ces nombres, substi- 


tués dans (1), fournissent 
1 à To rte er ET à | 
tang—a—tang(12° 54 4o, 56), 
2 


et, par conséquent, «= 27° 49 21". Ainsi, l'arc total 
contracté — 24 — 55° 58° 42". La valeur de & mise 
daus (2) donne r — 33",/408. 

On pourrait déduire immédiatement la valeur du 
rayon » de celles de la corde et de la flèche; mais les 
calculs sont plus longs. En effet, d’après la propriété 
des triangles rectangles 


2 


AO — 


ou 


Bt (r—f}, 


développant le carré et dégageant r, il vient 


k? Are 
2f 2 


formule peu commode pour le calcul logarithmique, 


PE 


et qu'on ne doit employer que lorsque les quantités k 
et f sont exprimées par un petit nombre de chiffres. Ici 


nous aurions 


 (15,5925)? Æ (5,862) 
TEE C6 9 


258,04119025 
75724 


= — 55,40706. 

Pour obtenir maintenant la grandeur de l’arc déve- 
loppé, il faut observer que si la grandeur d'un arc en 
parties du rayon, pris pour unité, est exprimée par le 


; INF 

nombre #, et que sa grandeur angulaire soit exprimé® 
par le nombre »° de secondes sexagésimales , il existe 
nécessairement entre ces deux nombres » et m' le même 
rapport qu'entre les nombres + et 648000, dont le pre- 
mier représente la demi-circonférence du cercle au 
rayon — 1, et le second la valeur angulaire, ou le 
nombre des secondes d’une demi-circonférence ; c’est- 
à dire qu’on a 

n T 

m—Mm 648000" 

Si le rayon du cercle, au lieu d’être l'unité, était un 
nombre quelconque r, on aurait 


m'rTr 


N= —— 
648000 ° 


car les ares d’une même grandeur angulaire, dans des 
cercles différens, sont proportionnels à leurs rayons. 
Appliquant ces considérations à l’arc AD, nous aurons, 
en-désignant par &’ le nombre des secondes contenues 
dans la valeur angulaire «, 


a RTE £ 

= a Te ei 

648000 

ou bien, en substituant les nombres de la question qui 
nous occupe, 


h 

a —100101 x 33,408 X one 107,295, 
l'arc entier est ainsi de 52°,446; et, en comparant avec 
la valeur primitive 52",519, on voit que la contraction 
totale est — 0",075; ce qui ne donne, à très-peu près, 
qu'un millimètre de contraction moyenne pour chaque 
joint. 

Le calcul de la valeur.de l’arc développé est trop 
prolixe pour ne pas employer les logarithmes, et il faut 


donner à l’expression précédente la forme 


(5)... loga—— 6 + 0,6855749 + log «’ +-dogr, 


à cause de 


log 


5,415926536\ _ 
( Gns = — 6-1 0,68557/48668. 


L'opération se trouve réduite, de cette maniere, à une 
addition. 

Une question plus importante, sous le rapport pra- 
tique, est celle de caleuler les effets de tassement que 
doivent éprouver les arches dans diverses hypothèses 
de contraction de joints. Supposons, par exemple, 
qu'une arche projetée, pour avoir sur les cintres une 
corde de 30 mètres et un arc total de douelle de 51",12, 
soitcomposée de 3g voussoirs offrant 80 joints, dont 


INF 235 


on ait évalué la contraction moyenne à 0",0015, de 
sorte qu'après le décintrement l’are total contracté ne 
soit plus que de 


51%,12— 80 X 0,001 — 31". 


I s’agit de trouver la valeur angulaire de ce nouvel arc 
et son rayon; la corde est toujours la même avant et 
après la contraction. 

M. de Prony donne, pour cet objet, la formule nou- 
velle et très-élégante que nous allons rapporter. 

Soit toujours (PI. XIV, fig. 2) 2a l’arc ADB exprimé 
en unités linéaires, et 2k la grandeur de sa corde AB en 


mêmes unités. Désignons par 


x la valeur angulaire du demi-arc AD exprimée en 
degrés et fractions décimales de degré ; 
e le nombre de degrés contenus dans l’arc égal au 


rayon, savoir : 57°, 2997700; 


on a....(4) 


CORRE 


dans laquelle n est le rapport des quantités k et «a, c’est- 


2% é FAR 
à-dire n — —. Le logarithme du premier facteur est 
24 


PIE à Q 
log (e V D — 2,2581226. 


Prenons pour exemple d'application 24 — 31", 


ok — 50", nous aurons 


V/0,961 2904 


| 


— 0,9804544, 


[rs G—1)] 


D (e Vi) X V'0,0195456. 
Acheyant le calcul par logarithmes, il viendra 
< ==" "0 rEn 
uw —= 29°,9909 — 29° 19 91. 


L'arc total contracté aura donc une valeur angulaire 


Er 
de 24 — 50° 59° 42. 


Faisant # — 15" et & — 25° 19° 51° 
mule (2), on obtiendra pour le rayon de cet are la 


dans la for- 


valeur 


x —35",009. 


236 INF 


La formule (4) n’est qu’approximative, mais ses ré- 
sultats sont d’une exactitude supérieure à celle qu’exige 
les besoins pratiques. Nous allons suppléer au silence 
de M. de Prony sur sa déduction, puis nous lui don- 
nerons une forme qui nous paraît rendre les calculs 
plus faciles. 

Sous le rapport géométrique, le problème peut s’é- 
noncer ainsi : 

Connaissant la longueur développée d'un are de cer- 
cle ADB, ef celle de sa corde AB, trouver sa valeur an- 
gulaire AOB. 

Prenons Od pour unité, et avec cette droite, comme 
rayon, décrivons l’arc ad — #3 les deux arcs AD et ad 
ont une même valeur angulaire, et de plus leurs lon- 
gueurs développées sont entre elles, comme leurs 
rayons AO et a0 , ou comme les demi-cordes AC et ac, 
des arcs doubles 2a et 29; ainsi 


a __ AC 


9 a 


Mais, dans ie cercle dont le rayon est l'unité, la derni- 
corde ac est le sinus de l’arc #3 done a—sin®, el par 
suite 

a k 


e sin ? 


d’où l’on tire 


p=SiNy, OÙ Nv=—sine, 


k 
En posant ® — à. Substituant à la place de sins so 


développement en fonction de l'arc 9 (voyez Sinvs, 
tome IT), il vient 


Fi 5 1 


Ti 123.4.5.6 1 0e 


ACTA Le : k 2 
Négligeant les termes qui contiennent les puissances 
de » SAHAPRNEE à la cinquième, et divisant tout par », 
on a l'équation 


! 


p — 20% — 120 (n— 1), æ 


qui est résoluble par la méthode du second degré, en 
faisant g — +; d'où 


æ— 10 + vo + 126 (n — |: 


observant que + doit toujours être plus petit que j'u= 
mité, on voit que le signe — du radical est le seul ad. 


INF 


missible et, en mettant le facteur 100 en dehors, on a 


gro Vi08 [118 (im), 


wife"): 


ce qui donne enfin, à cause de æ —4?, 


vo vire] t 


Or, # est la grandeur de l'arc ad en parties durayon— 1; 
pour avoir sa valeur angulaire, égale à celle de l'arc 
AD — 2, il faut multiplier » par le nombre de degrés 
contenus dans l’arc égal au rayon ou par 57°,2057795—+. 
Donc enfin 


= (4/10). 4 |: tn] 


Les calculs nécessaires pour obtenir la valeur de # 
deviennent très-faciles au moyen des tables logarith- | 
miques et trigonométriques. «a el k conservant la même 
signification que ci-dessus, tout se réduit à calculer un 
arc auxiliaire À par la formule... (5) 


= 39,3010500 + Log(6k — 4) —Log 4 ; 3 


Log sin À — 


et l’on obtient la valeur angulaire 4 par la relation très- 
simple... (6) 
Log « — Log cos A —#,5418574. 


Voici le calcul entier pour les données précédentes 
a—15",5; k— 15°, d'où 6% — a — 74,5: 


Nombre constant. . — 39,3010500 
LOT 00) RE ES 


Somme. . . 41,1791805 


Lo21(0206) 


I 


1,1909917 
59:9828546 


Quart de ce nombre — 99957156 — Log sin A. 


Les tables trigonométrique font connaître À = 80°5748'; 


d’où ensuite, 


I 


9,1455285 
77418774 


Log cos À.. : . . 
Nombre constant. . — 


Log a. « s « . . . . — 1,4096900: 
La valeur de & correspondant à ce logarithme est 


‘comme ci-dessus & —= 25°,3309. 
On peut obtenir Les résultats de nos formules (5) et 


INT 


(6) ou ceux de la formule (4) de M. de Prony d’une 
manière beaucoup plus expéditive à laide d’une 
petite table jointe à son mémoire et qui contient les 
logarithmes des rapports entre les ares de cercle et 
leurs cordes; il suffit alors de prendre dans les tables or- 
a 
k 


d'œil la valeur angulaire de l’are 24. (Voy. la note sur 


dinaires le logarithme de +, et l’on trouve d’un coup 


les infleæions, citée plus haut.) (Paris, 1852, chez Cari- 
lian Gœury, lib.) 


INTERVALLES MUSICAUX. (Acoust.) On désigne 
généralement, en musique, sous le nom d’éntervalle de 
deux sons le rapport des nombres de vibrations que 
font dans le même temps les cordes sonores qui rendent 
ces sons. Si, par exemple, une corde sonore, en rendant 
un son À, fait 124 vibrations dans une seconde sexagé- 
simale, et qu'une autre corde sonore, en rendant un son 
B, fasse 186 vibrations dans le même temps, on dira que 


» 


. 4 . 186 L 
l'intervalle des sons À et B est égal à PAU simple- 


NS PE IOOE RU : 
ment à —, parce que la fraction -—, réduite à sa plus 
2 124 


pr 


à : MURS 
simple expression, devient —. 
2: 


à I faut observer qu’au moyen de cette convention 
lun des deux sons comparés est toujours représenté 
par l’unilé etle second par le nombre de vibrations 
qu’il fait pendant que le premier donne une seule vibra- 
tion, quelle que soit d’ailleurs la durée de cette vibra- 
tion, car c’est absolument la même chose de dire que le 
son B fait 186 vibrations dans le temps que le son A en 


ë ; RECORDS FD 
fait 124, ou de dire que le son B fait ie vibrations 


pendant que le son A en fait une. 

Considérons maintenant trois sons À, B, C, dont les 
nombres respectifs des vibrations pendant une seconde 
soient 124, 155, 186; on aura, en leur appliquant les 
considérations précédentes, 


155 5 
Intervalle de À à B = — — ;, 
124,1 4 
186 3 
Intervalle de À à GC = — — -, 
124 2 


c’est-à-dire qu'en prenant le son A pour terme de com- 
paraison, la représentation numérique de ces trois sons 
devient... (1) 


PR Box C 
OS 
do: Lie 
0 PME 


Si l’on demandait l'intervalle des sons B et C, il fau 


INT 237 


drait prendre le son B pour unité de comparaison, et 
l’on aurait 


86 6 
Intervalle de B x C — ee — a 
155 5 


ou, ce qui revient au même, en employant les rapports 
précédens, 


Intervalle de B à C — 


CHERS] 


Les intervalles partiels sont ainsi... (2) 


2. On voit qu'il faut distinguer la représentation nu- 
mérique d’un son, par rapport à un autre son pris pour 
unité, de l'intervalle de ces deux sons, quoique l’une et 
l'autre soient exprimées par le même nombre. En effet, 


$ J e 
la fraction 7 représente dans le tableau (1) le son B par 
4 


rapport à un son fixe en fondamental À, tandis que, dans 
le tableau (2), cette même fraction exprime l'intervalle 
des deux sons À et B, abstraction faite de tout son fon- 


damental pris pour point de départ. Dans le premier 
h 
J . . 

cas, - est un rapport constituant qui fixe la place du 


nl 


son B parmi tous les autres sons rapportés au même son 
: 5 
fondamental A ; dans le second, ñ est uniquement l’in- 


tervalle des sons A et B, et n’apprend pas autre chose, 
sinon que le son B fait 5 vibrations dans le temps que le 
son À en fait 4. 

3. Pour pouvoir déterminer l'intervalle de deux sons, 
il n’est donc pas besoin de connaître les nombres abso- 
lus de leurs vibrations, c’est-à-dire les nombres réels de 
vibrations qu'ils font l’un et l’autre dans l’unité de 
temps, mais seulement les nombres relatifs de ces vi- 
brations, ou ce que nous venons de nommer leurs rap- 
ports constituans. Ces calculs, fondés sur les propriétés 
des rapports géométriques, ne présentent, par eux- 
mêmes aucune difliculté ; mais il ne faut pas perdre de 
vue la signification exacte des nombres qu’on emploie; 
et, pour l'intelligence de ce qui va suivre, nous allons 
donner un exemple plus développé. 

4. Soient les sons A, B, C, D, E, F, G, H, rendus par 
des cordes sonores faisant dans l’unité de temps les nom- 


bres absolus de vibrations 
144, 162, 180, 192, 216, 240, 250, 288. 


L'intervalle de deux quelconques de ces sons étant le 
rapport de leurs nombres respectifs de vibrations (1), 


si Von demande, par exemple, l'intervalle des deux 
sons C et F, on aura 


240. 4 
Intervalle de G à F — que 3° 


Ceci posé, prenons A pour son fondamental, et, en 
divisant tous les nombres par 144, nous aurons, 
après la réduction des fractions à leur plus simple ex- 


pression , 


ABC Di ENEMCRN 
D DENT ONE 
Lo08? 408? RNB 


Ces nouveaux nombres expriment les nombres relatifs 
des vibrations des sons ou les nombres des vibrations 
que font toutes les cordes sonores pendant que la pre- 
mière, celle du son À, fait une seule vibration. I est 
évident que les rapports de ces nombres relatifs entre 
eux sont exactement les mêmes que ceux des nombres 
absolus, et ils ont de plus l’avantage d'indiquer immé- 


diatement l'intervalle entre chaque son et le son fonda- 
5 

mental A. Le nombre =, par exemple, constituant le 
5 


son E , exprime tout à la fois que ce son fait une vébra- 
tion et deux tiers de vibration pendant que le son À en 


È 
. LA U J 
fait une, et que l'intervalle des sons À et E est égal à 3 
Pour calculer à l’aide de ces nombres l'intervalle de C 
* 
à F, pour lequel nous avions ci-dessus 240 : 180, nous 
aurons maintenant 


Intervalle de G à F — 


QU a 


ce qui revient au même. 
Voici le calcul de l'intervalle de chacun de ces sons 
avec celui qui le suit immédiatement 


Intervalle de À à B — à °D'Æ à 
RP ST 
DCR See 
sn tin 6 
CaD— > Sn 
sub 25 Aqua 
DÉSERT 
LÉ M que ne 
4] 2 9 

15 5 9 
FaG=: 3 = ÿ 
10 /.0016 

GàiH—= 2 TL 


INT 


ce qui nous donne le tableau suivant, dont nous ferons 
usage plus loin... (3) 


Sonsis s CAR SEA B C D E F G pal 
€ 5 3 DR 1 
Rapports constituans 1 ; à , à , : , 5 , 3 , eu » 2 
DPEx. à sk 9! 017 16: M9Mlr0ul 0 286 
niervanes par ICIS. . 8 L] 9 L] 15° S .] , 8 L] 15 


5. Lorsqu'on connaît les intervalles partiels deux à 
deux d’une suite de sons, on peut trouver l'intervalle 
des deux sons extrêmes sans avoir besoin de remonter à 
leurs rapports constituans ou aux nombres absolus de 
leurs vibrations. Par exemple, étant donnés les trois in- 


tervalles partiels 


9 10 16 
OM TE 
on aura 
6 
Intervalle de À à D = ? Na à x — 


Cette règle n’est autre chose que la règle conjointe (voy. 
ee mot, tom. I), et l’on s’en rend facilement raison en 
observant que puisque les lettres A, B, C, D ne sont ici 
que la représentation des nombres absolus ou relatifs 
des vibrations, on a nécessairement 


8.0, Ctesitie Duae is 
AU 8? Bu 07 CRE. 
: . B CEA GES 
mais le produit des rapports re X B X c réduit à 


D 
A par le retranchement des facteurs communs ; donc 


c’est-à-dire 


Intervalle de À à D — = 
3 

Le dernier nombre 2 de la seconde colonne du ta- 
bleau (3) doit donc être égal au produit de tous les in- 
tervalles de ce tableau, car il exprime l’intervalle entre 
le premier et le dernier sons À et H. On a en effet 
_pX10X16Xg9X10X9X16 


2 —= a 


BX9X15X8X9X8X 15 


Appliquons maintenant ces principes élémentaires du 
calcul des intervalles musicaux aux sons dont se com- 
posent les diverses échelles adoptées par les musiciens. 


INT 


6. La production du son par les corps sonores est 
l'elet des mouvemens vibratoires que font les molécules 
de ces corps pour reprendre leur position primitive 
lorsqu'elles en ont été écartées par l’action instantanée 
d’une force étrangère (voy. AcousriQue, tome I) si les 
vibrations sont régulières; elles forment le son distinct 
ou son musical, lequel n’est perceptible cependant que 
lorsque ces vibrations ont une certaine vitesse; et plus 
cette vitesse est grande, plus le son est aigu. Lorsque le 
nombre des vibrations de deux corps sonores est le 
même dans le même temps, les sons ne peuvent être 
distingués l’un de l’autre que par leur intensité et leur 
timbre. L'intensité dépend de l'amplitude des ondes so- 
nores (voy. Sox), le timbre est une qualité donnée au 
son par la nature propre du corps sonore. 

L'intervalle de deux sons est dit consonnant quand 
le rapport numérique qui le constitue est très-simple, il 
est dit dissonant dans le contraire. Cependant cette di- 
vision n’a rien d’absolu et repose seulement sur le plus 
ou moins de facilité que l’oreille éprouve à saisir le rap- 
port de deux sons co-existans, facilité qui dépend du 
degré de culture musicale de l'oreille, de sorte que tels 
intervalles qui passaient jadis pour dissonans sont au- 
jourd'hui au nombre des consonnans. 

Deux sons co-existans, perçus en même temps par 
l'oreille, formert un accord, si leur intervalle est con- 
sonnant. Pour se rendre compte de la nature du phéno- 
mène qui se passe alors dans l'oreille, il faut observer 
que dans la sensation d’un son simple ou isolé la mem- 
brane du tympan reçoit un mouvement vibratoire qu'on 
peut comparer à celui qui serait produit par une suite 
de coups frappés dans des intervalles de temps égaux. 
Or, lorsque deux sons différens frappent àla fois l'oreille, 
il s'opère un mélange de deux suites de coups dans 
chacune desquelles les distances en temps sont égales, 
mais dans l’une plus grande que dans l’autre ; ces coups 
ne peuvent donc frapper ensemble qu’à de certaines 
distances, et plus ces distances sont petites, plus facile- 
ment l'oreille saisit le rapport des deux sons. Si, par 
exemple le premier son frappe deux coups pendant que 
le second n’en frappe qu’un, les 2°, 5°, 4°, 5°, etc. coups 
de la seconde suite coïncideront avec les 9, 10.87, 
10°, etc. de la première, ce qui produit une liaison très- 
harmonique, tandis que, si le premier son frappait 
11 coups pendant que le second en frappe 10, les coïn- 
cidences n'auraient lieu qu'entre les 11°, 22°, 53°, ctc. 
coups de la première avec les 10°, 20°, 30°, etc. coups 
de la seconde, ce que l'oreille ne pourrait saisir sans 
beaucoup de difficulté. Or l'oreille exécute pour ses 
sensations particulières les mêmes opérations que l'œil 
pour les siennes propres, elle saisit les rapports des sons 
avec une facilité d'autant plus grande que ces rapports 
sont plus simples, et, de même que l'œil est affecté d’une 


INT + 239 


manière agréable par des rapports justes des formes, 
sans mesurer pi calculer ses rapports, l’orcille est agréa= 
blement frappée lorsqu'elle percoit sans difficulté l'effet 
de la concurrence des vibrations simultantes de plu- 
sieurs sons. 

7- Le rapport le plus simple des vibrations de deux 


sons 


st 1: 


1, on le nomme l’unisson. Après l'unisson, 
le rapport le plus facile à saisir est celui de » : 151] 
constitue l’octave ; deux sons à l’octave l’un de l’autre 
différent par leur degré d’acuité, mais ils se ressemblent 
d’ailleurs si bien, que lorsqu'on veut imiter un son avec 
la voix on prend très-souvent son octave si l'oreille 
west pas exercée. Les autres intervalles consonnans les 


plus simples après l’octave se nomment 


quiute, lorsque le rapport est égal à 3 : 2, 
QUATIE D'AOMNOA LONeNES 5, 
DERCE D Ne CRIER 


En rapportant ces divers intervalles à un son quel- 
conque considéré comme son fondamental et en don- 
nant le nom dut à ce son, celui de mi à sa tierce, de fa 
à sa quarte, de sol à sa quinte, et de uf, à son octave, les 
rapports constituans des nombres de vibrations de ces 
derniers sons avec celui des vibrations du son fonda- 
mental pris pour unité seront 


ut mi fa sol ut, 


12 


So 
Es 


& | Q1 


Si l'on part de l’octave ut, du son fondamental et 


qu'on forme une nouvelle suite de sons mi,, fa,, sol, 
ul, qui aient avec ut, les mêmes rapports que les sons 
mi, fa, sol, ut,, avec ut, on aura une nouvelle suite de 
sons qui seront chacun respectivement à l’octave de 
ceux de la première suite, et dont les rapports consti- 
tuans, en partant toujours du son fondamental wf, se- 


ront évidemment 


ul, mi, fa, sol, ut, 
LEE à: 6 B 

2 or oo le 
TRS 2 


)n pourrait de la même manière former une troisième 
période, puis une quatrième, et ainsi de suite. Il est vi- 
sible que les nombres de la première période sont res- 
pectivement égaux à ceux de la première multipliés 
par 2; que ceux de la troisième sont égaux à ceux de 
la seconde multipliés par 2 où à ceux de la première 
multipliés par 4, et ainsi de suite. En général, les nom- 
bres d’une période dont l’ut serait de l’ordre 4 ou ut, sc 
ront égaux à ceux de la première mulüpliés par 2°". 

Pour former des périodes au-dessous de la première, 


il faudrait faire l'opération inverse, c’est-à-dire, diviser 


_ 
210 . INT 

les nombres de la première période par autant de fois le 
facteur 2 qu’on prendrait d’octaves en-dessous. La pre- 
mière période en-dessous serait ainsi 


ut ma fa sol ut 
= 

= » 2 Û Le = he à 

2 A net 


Mais dans cette génération des sons musicaux , 
chacun d’eux peut être pris successivement pour son 
fondamental, et il en résulte d’autres sons dont les uns 
se trouvent déjà compris parmi ceux des périodes suc- 
cessives croissantes à l’aigu et décroissantes au grave 
que nous venons de signaler, et dont les autres viennent 
s’'intercaler entre eux. Par exemple, partant des sons 
mi, fa, sol et calculant les sons à la tierce et à la quinte 
de chacun d’eux, nous trouverons, d’après les règles 
précédentes de calcul, 


iterce de mi =; X ; —= _ 
tierce de fa — À X : = 
tierce de sol = X : = es 
quinte de mi — : X =: = —_ 
quinte de fa — : X = — 9; 
quinte de sol — : X * — = 


LE, 25 
Les tierces nous dounent des sons exprimés par 16? 
5 15 : de sine. se 19 5, 
=, , et les quintes des sons exprimés par —, 2 et >; 
3° 8 8 4 
i i diffèr de eut l 
rejetant le premier, qui diffère peu de GC: sol, 
: 5 : 3 
il nous reste un son RUGPAPOE entre les sons — et 2 ; un 
» 


15 : À 
autre % ‘ncore compris entre les mêmes, et un der- 


üU 


- : 5 
nier son 9 qui va s’intercaler entre les sons 2 et — de 
4 2 


la seconde période ; prenant son octave en-dessous, on 


Où è 5 
a le son 8 intercalaire entre les sons 1 et ñ 


mire période. Cette première période devient après 
les intercalations..…... (4) 


de la pre- 


ut ré mi fa sol la si ut, 
M Lo 5e 7 as Le. 
SCO 3 ENS RASE 


INT 


Elle se compose ainsi de sept intervalles, dont chacun 
tire sa dénomination de la distance que les sons ont 
entre eux. Par exemple, l'intervalle de ut à ré est une 
seconde; celui de ut à mi une tierce; de ut à fa une 
quarte; de ut à sol une quinte ; de ut à la une sixième; 
de ut à si une septième; et enfin de ut à ut, une octave. 
Les mêmes désignations de sons et d’intervalles recom- 
mencent dans une seconde période comme dans toutes 
les autres. La succession des sons depuis l’uf fondamen- 
tal jusqu’au si se nomme une gamme naturelle. 

8. La gamme naturelle d’un son fondamental étant 
formée, si l’on part de chacun des sons qui la compo- 
sent pour construire sa gamme particulière, on tombe 
de nouveau sur des sons qui ne sont pas compris parmi 
ceux de la gamme primitive ou de leurs octaves succes- 
sives, et l’on se voit encore obligé d’intercaler d’autres 
sons intermédiaires entre les sons de la gamme natu- 
relle pour pouvoir embrasser dans une seule série com- 
posée de périodes égales tous les sons musicaux entre 
lesquels l'oreille peut saisir une différence. Comme l’é- 
chelle de la gamme naturelle n’est pas composée de de- 
grés égaux, mais que l'intervalle de mi à fa et celui de 
si à ut sont beaucoup plus petits que les autres, c’est 
entre ces derniers qu’on a intercalé les sons intermé- 
diaires dont nous allons faire mention. Observons d’a- 
bord que les intervalles des sons de la gamme naturelle 
avec ceux qui les suivent immédiatement sont, d’après 
ce que nous ayons trouvé ci-dessus (4), 

ut ré 


mi fa sol la si 


Intervalles 9 
b) 


D'où l’on voit, ainsi que nous venons de le dire, que 
les intervalles de wf à ré, réà mi, fa à sol, sol à la, la à 
si, qui différent peu entre eux, sont sensiblement le 
double des intervalles de si à fa, si à ut, ; car si l’on in- 
troduisait entre ut et ré un son intercalaire wt' de ma- 
nière que les intervalles de ut à ut', ul' à ré fussent 


ut ULASTANE 
16 16 
TAN T5 


E 16,16 256 
l'intervalle de ut à ré serait alors égal à X — — -— 
$ dé 8 455 * 15 225 
(voy. ci-dessus, n° 5), nombre qui diffère très-peu de . 
10 


. Une semblable intercalation n’est pas possible, et 


nous ne l'avons citée que pour montrer le sens qu’on 
doit attacher à l'expression intervalle double d'un autre 
intervalle; ce n’est que lorsque nous considérerons les 
intervalles sous le rapport de leur mesure que nous ap= 


: #, : : 
F PA ” 

INT … + INT 241 
prendrons à déterminer leurs véritables rapports de mental 1. C’est une conséquence de ce qui a été exposé 
grandeur. ci-dessus n° 5. Ainsi, en multipliant chaque rapport 


o. Les intervalles des sons de la gamme naturelle constituant des sons de la gamme naturelle par l'inter- 
[< 


é iné x p ù énominations dillé- 20 : : 
étant inégaux, on leur a donné des dénc valle —, nous obtiendrons une suite de sons dont les 
,. 9 

24 


rentes ; ainsi les plus grands intervalles ont recu le nom 
de tons, et les plus petits celui de semi-tons. On nomme intervalles respectifs avec les sons primitivement plus 
particulièrement fons majeurs ceux dont le Fo est bas seront tous d’un demi-ton mineur, tout comme en 


raA U à s 25 
9, et tons mineurs ceux dont le rapport est. Le rap-  divisant ces mêmes rapports par ce même intervalle DE 
9 


S 
. ( 5 \ « +. , Es . : “ e ps a = 
port de l'intervalle d’un ton majeur à l'intervalie d'un nous obtiendrons une autre suite de sons dont les inter 
godes 82 valles avec les sons primitivement plus hauts seront tous 
i re =: — — ,senommeun .: RE " A xe 
MA Qu Ie nombre 8.9 … 80 d’un demi-ton mineur. En général, un son multiplié par . 


: » considèr : lus petit intervalle 25 : . Tia Li 
comma; on le considère comme le plus | = monte d’un demi-ton mineur, et le même son, divisé 
24 


que l'oreille puisse saisir. Deux sons dont l'intervalle 


i ’un c a différent si peu l’un de 29 ar 24 À A 
est plus petit qu'un comma diffèrent si peu pu, € par 2, ou multiplié par 4, dcécend' du mené demis 
l’autre, qu'on peut approximativement les £onsidérer 24 2 
ton. 


Les nouveaux sons formés de cette manière n ont pas 


comme à l’untsson. 


La gamme naturelle se trouve donc composée d’une 


, é . : 2 s - 
suite d’intervalles dans cet ordre, abstraction faite dela  FECU de noms particuliers; ils portent celui du son in 


différence des tons majeurs aux tons mineurs, férieur suivi du mot dièse, ou celui du son supérieur 

5 
l suivi du mot bémol. Par exemple, le la naturel — 3 
gb re mi fa sol la si ut, 


1 rot: n De 25 ne. : e 125 
Lebdu 210 cle A hogdosfh multiplié par —, ou diézé, devient la dièze — a 
3 24 / 
; ; er ; RTS: 2/, ray : 
et c’est en introduisant un semi-ton entre chaque inter- ce même son multiplié par 2% ou bémolisé devient la 


25 


vaile d’un ton qu’on forme la gamme eh demi-tons, ou 

la gamme chromatique. Maïs ces semi-tons ne peuvent bémol _ Le signe caractéristique des sons diézés 
être égaux entre eux, et il est essentiel de.les choisir de 

manière que la tierce et la quinte de chaque son de la est Lk et celui des sons bémolisés . 


gamme approchent le plus possible des rapports exacts: 11. En exécutant l’opération que nous venons d’in- 
précédemment déterminés, diquer, on introduit deux sons intermédiaires entre 


= \ 10 ; 15 chaque couple de sons de la gamme naturelle, soit que 
10. L’intervalle d’un ton mineur — au demi-ton + ? { P 5 ? q 


9 $ leur intervalle soit un ton majeur ou un ton mineur. 
qu'on nomme semi-ton majeur, a reçu le nom de semi- Les rapports constituans de ces nouveaux sons, tous 
ton mineur; son expression numérique est calculs faits, se trouvent : 

10 16 150 _ 25 : # 25 L 56 
ni -— WE —— D —— 
CS 144 24? 24 25? 
: 2 “Pins, 27 #15 
d’où l’on voit que | te de ton mineur se partage 16 ss» DE — y 
naturellement en deux demi-tons, l’un majeur et l’autre y S L 8 
" 
2 0 025 Ë ré —=<— = > 
mineur. Get intervalle — est le plus petit dont on se ue 64° se 5? 
24 
sért dans la pratique. C’est avec lui qu’on forme les mi — L l LEE 
: . : TRE ar: 1 
semi-tons intercalaires de la gamme chromatique , 4 — 
comme nous allons le voir, 25 He 
0b h°= TAN LONUNTE E + 
seryons que pour passer d’un son quelc OUHAE M, : 


donné par son rapport constituant +, à un autre son M° 


b Dans les instrumens à sons fixes comme le piano, la 


dont l'intervalle avec M soit ca le les mème touche Fappant le CE et le bémol des deux 

b [ "7 = sons naturels de l'intervalle d’un ton, on est forcé de 

considérer les deux:sons intercalaires comme identi- 

ques, et il faut choifit eñtre des deux sons celui qui par« 

constituant de M' ou son intèrvalle ayec né son fonda=  tage le plus également l'intervalle primitif, Cette néces- 
Lou. aux. 91 


* deux rapports *, 7 , et que le produit D best le rapport 


249 INT 


sité résulte encore de la grande difficulté qu’il y aurait 
à embrasser une si grande quantité de sons, dont la 
plupart ne diffèrent pas d’une manière sensible. 

On admet donc comme limite d'intervalle celui qui 
existe entre un demi-ton majeur et un demi-ton mineur, 
savoir ; 


c’est-à-dire que tous les sons dont l'intervalle n’est pas 
: 128 re - : 
pius grand que 758 Sont considérés comme identiques 
12 


ou comme à l'unisson les uns des autres. Et, en effet, 
deux cordes sonores dont les nombres de vibrations, 
dans le même temps, seraient128 et125 feraient enten- 
dre deux sons que l'oreille la plus délicate distinguerait 
difficilement l’un de l’autre. 

12. Employons ce petit intervalle _ ou ce commu, 
pour nous guider dans Le choix des demis-tons qui doi- 
vent composer la gamme chromatique. L’intervalle 


entre ut et ee étant 
27 ,25 __ 648 __ 129,5 
25 ‘24 625 125 ? 


138 


c’est-à-dire plus grand que le comma 


; Nous voyons 


; ; : 25 927 
qu'aucun des deux nombres constituans —,—2 ne peut 
24° 25 


représenter le son compris entre uf et ré, ct qui doit être 


à la fois ut et ré, mais en haussant le plus petit de ces 


s 128 3 
nombres de l'intervalle Tgcten baissant le plus grand 


de ce même intervalle, nous obtiendrons deux sons qui 
ne différeront pas sensiblement des proposés et que 
nous pourrons prendre ensuite l’un pour l’autre sans in- 
convénient : or 


25 , 1298-16. 27 198 


4 CN R2D ML 025 125 its 


» 


Le 1 
Ainsi les deux rapports Fe 


5° _ dont l'intervalle est 


128 À mans 
plus petit que peuvent être pris indifféremment 


pour représenter le demi-ton intercalaire entre uf et ré, 
et comme c’est une règle fondée sux la nature même de 
l'organe de louie, que l'intervalle représenté par les 
nombres les plus simples est le plus facilement appré- 
ciable, nous poserons 

LE (0 


ROUE TR A 
ut = 16 Ts 


INT 1 
. pes. 
L'intervalle de ré ami étant 
6,75 __ 584 _ 128 
5 640 375 195 


b 


L'intervalle de fa # à sol étant 


æ 


13 
où © 
15 
LEA 


il faut opérer sur ces deux sons comme nous l'avons 


fait sur ut ctré ;le premier étant haussé et le second 


on : 
, is deviennent 


FU 12 
baissé du comma -— 
© 125 


Choisissant le rapport le plus simple, nous ferons 


# b _ 45 


— 60! es: 


fa 


b 


Comparant de la même manière les sons s0/ $ etla , 


nous trouverons pour leur intervalle 
25 198: 


8,25 
5x6 125 


on peut donc prendre 


k 


Enfin, l'intervalle de la à FL 


; 128 
étant plus grand que le comma 357? nous trouyerons, 
en haussant le plus bas et en baissant le plus haut de 


ces sons de ce même comma, 


Le 0) QE EP EE 
72 250 PES TPE 
D'où 
6 
R'= =. 


INT 
Réunissant tous ces résultats, nous aurons pour l’é= 
chelle complète de la gamme chromatique... (5) 


Le son du milieu de l'échelle . étant exprimé par des 


nombres un peu grands, comparativement aux autres 
sons, on a trouvé qu’au lieu d’altérer les deux sons fa 


b : 
et la du comma —, il serait plus exact de prendre 


128 
125 


une moyenne proportionnelle entre ces deux sons 


LA 


.25 56 


18° 35° d'autant mieux que cette moyenne 


257% 36 j 
v[# X | =ve 


est en même temps la moyenne des deux sons extrêmes 
1 et 2, et que l'intervalle total de l’octave se trouve, de 
cette manière, partagé en deux parties égales par le son 
du milieu. 

En effectuant ce changement, l'échelle chromatique 
devient... (6) 


EE" —_—_—_ 


NOMBRES RÉLATIFS DES VIBR4TIONS 


Sons, 


; 1 1,000000 
# , b 16 
HOOURTER. à oh a 1,006666 
MES te Men's “50 à à 1,129000 
. À .b 6 
MÉMOUNMIME. 1 - 5 1,200000 
« 5 
Ho c -bootolodelé F 1,250000 
fa i 
LPO 0 LE 5 1,933933 
ñ L 5 
ju GHET/ oo V2 1,414215 
1 3 
SOI en ete eh ete à 1,500000 
8 
sol À ou ta. 58 5 1,600000 
5 
Ie. ofa TOR 3 1,666666 
k 6 
De où. = 13777797 
; 5 
er sresss " 1,875000 
Muse à 2,000000 


INT 243 


12 bis. Avant de poursuivre, rappelons-nous que, 
pour construire la gamme naturelle (4), et, par suite, la 
gamme chromatique (5) au (6) nous sommes partis des 


LA 1 GENRE) ARE 
rapports de vibrations HORS 2 >; qui sont les plus 
4 


2 
simples de tous ceux qu’on peut exprimer au moyen 
des seuls nombres premiers 1, 2, 3, 5. En y ajoutant 


6 nee dE 
le rapport 5 que l'oreille saisit avec presque autant 


de facilité que le rapport S et qui forme, dans la 


4° 
gamme naturelle (4), l'intervalle exact de la à uf, sa- 
voir : 


nous aurons, pour l’ensemble, des intervalles conson- 
nans fondamentaux : 


Intervalles. Nombres constituans 
to re M EN) LEE 
Octavetcrenete re: DIU l, 
Quinte rene reste Duo), 
Quarte. : . .. .  - ROIS 
Tierce majeure. . . - 554 
Tierce mineure. « +. - 6:90. 


ous les autres intervalles résultant des combinaisons 
de ceux-ci, on voit que l'échelle musicale actuelle dé- 
rive des nombres premiers, 1, 2; 3, 5. Si on voulait 
introduire le nombre 7, il faudrait faire subir à cette 
échelle des changemens dont l'utilité pour les progrès 
de la musique est encore problématique. 

13. S'il est nécessaire, pour juger des qualités et des 
effets des intervalles consonnans ; de leur attribuer les 
rapports précédens, il est tout-à-fait impossible de se 
servir toujours de ces rapports dans la pratique , surtout 
pour les instrumens à sons fixes, où l’on est forcé de 
confondre les dièzes avec les bémols. L’échelle chroma- 
tique (6), destinée à modifier la plupart des intervalles 
en leur conservant le plus haut degré possible d’exac- 
titude, est loin de remplir complètement son but; car 


128 
125? 


deux sons, dont l'intervalle est égal au comma 


quoique peu différens l'un de l’autre et sensiblement 
à l'unisson pour l'oreille, quand elle les perçoit isolé- 
ment, produisent des dissonances très-appréciables dans 
leur co-existence avec d’autres Sons. Un forte-piano, 


par exemple ; dont toutes les gammes seraient exacte- 


ment accordées sur l'échelle 
ures intolérables, parce qu’elles 


Q 


(5), offrirait plusieurs 


tierces majeures et mine 


2 


| 


1 à FE , 
sont inexactes de ce COMMA Ce n’est qu'en alté- 


o 
a) 


gant plus ou moins les intervalles de l'échelle (5) qu’on 


244 INT 


peut obtenir des accords suffisamment exacts; mais ; en 
exécutant de telles altérations, il est essentiel de les 
répartir de manière que chaque intervalle s'approche 
le plus de l'exactitude absolue sans dénaturer les autres. 
Les altérations des sons qui produisent ces effets se 
nomment le tempérament; un système d'échelle tem- 
pérée doit être considéré comme d’autant plus parfait 
qu'il présente une plus grande quantité d'accords entie- 
rement justes. 

14. On a proposé divers systèmes de tempérament 
dont le plus simple consiste à faire les douze degrés de 
Péchelle chromatique parfaitement égaux. Cette échelle 
se compose alors de treize sons, y compris l’octave wé,, 
qui ont pour intervalle partiel un demi-ton un peu plus 
grand que le demi-ton mineur, et un peu plus petit que 
le demi-ton majeur; toutes les quintes s’y trouvent 
sensiblement justes, et les tierces y sont moins altérées 
que dans l’échelle (5). Mais pour apprécier les avan- 
tages ou les inconvéniens d’un fempérament quel- 
conque, il devient nécessaire de considérer les inter- 
valles sous un autre point de vue que celui de leur 
génération; car si les nombres constituans de ces inter- 
valles ont le précieux av antage d’être l’e: pression fidèle 
des phénomènes acoustiques , ils sont insuffisans, ou 
du moins compliquent la question de difiicultés étran- 
gères, dès qu'il s’agit d’ aborder les phénomènes musi- 
caux, c’est-à-dire de comparer ces intervalles entre eux, 
et de déterminer leurs rapports réels de grandeur. 
Lorsque, dans le tempérament égal, on dit, par exemple, 
qu’un demi-lon est la moîtié d’un ton, qu'une tierce 
majeure est composée de quatre demi-tons, etc. , ete., 
on emploie des expressions justes et convenables, 
parce qu’on considère l'intervalle de deux sons comme 
une distance composée de distances plus petites; ainsi 
la voix qui monte de l’uf au mi, par la succession 


des sons ut, ut #, ré, ré ; mi, parcourt quatre dis- 
tances égales, et si l’on prend la première pour unité, 
la distance totale, ou l'intervalle ut, mr, doit être repré- 
sentée par le nombre 4, qui fait connaître immédiate- 
ment le rapport de grandeur de l'intervalle de tierce 
avec l'intervalle de demi-ton. Il n’en est plus de même 
si l’on veut exclusivement représenter les intervalles 
par les rapports des vibrations, comme l’ont fait jusqu'ici 
tous les auteurs dés traités d'harmonie; car ce n’est 
alors qu’en attachant aux mots un tout autre sens que 
le sens ordinaire qu’on peut dire qu'un intervalle est 
une moitié ou une partie quelconque d’un autre inter- 
valle, puisqu'il ne s’agit jamais, dansces prétendus rap- 
ports de grandeur, du Rapport GÉOMÉTRIQUE, base de la 
notion de MESURE. 

15. La comparaison des intervalles ne peut donc 
s’effectuer d’une manière rationnelle qu'en prenant 


? CF La 
lun d’entre eux pour unité, et qu’en représentant cha- 


INT 
eun des autres par le nombre qui exprime combien 
de fois il contient cette unité. Quant au choix de l’in- 
tervalle destiné à servir d'unité, il est évidemment ar- 
bitraire, et ne saurait être provoqué que par des rai- 
sons de convenance ou de facilité pour les calculs. 
L’échelle chromatique étant composée de douze inter- 


valles partiels inégaux, si l’on prenait pour unité soit 
où 

le demi-ton mineur D 8 soit le demi-ton majeur > 
aucun d’eux ne Serait compris un nombre exact de fois 
dans l'intervalle d’octave, ce qui compliquerait singu- 
lièrement la coniparaison des sons appartenant à deux 
périodes différentes. Il est donc beaucoup plus simple 
d'adopter pour unité un semi-ton moyen exactement égal 
à la douzième partie de l’octaye , c’est-à-dire le demi- 
ton du tempérament égal. ù 

16. Pour bien comprendre les nouveaux principes 
que nous allons exposer, ilne faut pas perdre de vue les 
règles données ci-dessus pour le, calcul des intervalles 
représentés par les rapports des vibrations; car la pre- 
mire chose à faire est de représenter, par un rapport 
semblable, le demi-ton qui va nous servir d'unité. Or 
ce demi-ton doit être tel qu’étant multiplié douze fois 
per lui-même, il produise le nombre 2, puisque l’in- 
tervalle de deux sons extrêmes est toujours égal au pro- 
duit de tous les intervalles partiels des sons intermé- 
diaires entre ces extrèmes-(5). Le demi-ton moyen en 
question aura donc pour expression numérique 


12 
V2; 


etil ne s’agit plus, pour mesurer un intervalle donné 
par son rapport constituant, que de trouver combien de 


42 
fois lenombre |//2 est facteur de. ce rapport, ou, ce 


qui est la même chose, à quelle puissance il faut élever 


12 CC É 
V/2 pour obtenir le nombre constituant de l'intervalle. 
Si, par exemple, l'intervalle donné, que nous désigne- 


rons généralement par M, contient exactement deux 


fois l'unité d'intervalle adopté!, on aura 


(2) 4 (2) md (= 


S'il le contient deux fois et demig,. qn aura de même 
12 2,5 


Il en résulte généralement que si m est l’exposant de 


<= M, , 


et ainsi de suite. 


42 4 È 
la puissance à laquelle il faut éleyér |//2 pour produire 
M, m donnera la mesure de l'intervalle M, ou expri- 
mera le nombre des demi-tons moyens dont se com- 


42 
pose-cet intervalle. Ainsi, considérant 4/2 .commme la 


INT 


base d’un système particulier de logarithmes, nous 
pourrons dire que la mesure d’un intervalle est le loga- 
rithme de ce que nous avons nommé son nombre con- 
stituant. 

17. Proposons-nous, pour exemple de calcul, de 
trouver combien l’intervalie d’ut à la, dont le nombre 


É 5 : ; 
constituant est —, contient de demi-tons moyens. Dé- 
5 


signant par æ le nombre cherché, nous avons à résoudre 
l'équation exponentielle 


Fa ms 


qui donne, en employant les logarithmes (voy. tom. I, 
page 557); 


42 5 
z log (V2) = log > — log 5 — log 5, 


et 


44 log 5 — log 3 0,22185 
LÉ 2 UN 6502500; 


En nous arrêtant aux centièmes, ce qui est plus que suf- 
fisant, il vient x — 8,84, c'est-à-dire que l'intervalle 
: = 84 
de ut à la comprend huit demi-tons moyens et de 
de demi-tons. 
18. Une semblable opération, effectuée sur tous les 
nombres de l'échelle chromatique (6), fournira le ta- 
bleau suivant quirend sensibles lesrapports de grandeur 


des divers intervalles de cette échelle. 


TABLEAU 


DES INTERVALLES DE LA GAMME CHROMATIQUE, LE DEMI-TON 
MOYEN ÉTANT PRIS POUR UNITÉ. 


À Nombres 5 
Intervalle de ut à Différences. 
proportionnels. 


ut. o & te ‘ 0,00 

UM OUETENS SES è 1,12 1,13 

ré + 6: 2,04 0,93 

ré” ou mi ; 3,16 1,12 

ma. LME 3,86 0,70 

MERE L'NNTE. 4:98 1519 
# b 

fawoursol., 6,00 1,02 

SO. = +. - + + « 7,02 1,02 
# 

sol ou A D - . 8,14 1,13 

Ed 8,84 0,70 
# : 

labo sit 0h. 9:96 1,12 

Jo a OO 10,88 0,92 

JS 12:00 1,12 


INT 245 


La colonne intitulée différences contient les intervalles 
partiels des 12 degrés de l'échelle. On voit que le plus 
petit de ces intervalles. 0,70 diffère du plus grand! », 2 


« 


, : 1 . 
de 0,42 ou d'environ - de demi-ton. 
: 5 


Voici, en particulier, les intervalles les plus usuels, 
et qui doivent servir de points de comparaison dans les 
diverses échelles tempérées : 


——_—_—— — ——  —].  —]…——] | 


x . Nombres Nombres 
Noms des intervailes 


constituans, Proportionnels 


Se een 


2 

OCIAYE EN ee é 12,00 
- 3 

quinte: . . . . 3 5502 

ï 

quéntess are ou LI = 4,98 
J 

tierce majeure . a 3,86 
4 

: : 6 à 

tierce mineure. . . . . £ 3,16 

: 9 F 

ton majeur. . : . 8 2,04 
: 10 

ton mineur. . . . - - — 1,82 
9 
À ; 16 

semi-ton majeur. . . 5 1,19 
x : 25 

semi-ton mineur. : . . : e 0,70 
24 


Tous les intervalles plus petits que le demi-ton 

3 25 AE À ; 

mineur — sont désignés sous le nom de comma. 
24 


L’intervalle du sewi-ton mineur au semi-ton majeur, 


ae 128 t égal à. 0,4 N et 

ou le comma—-, est égal: à 0,42, ou à peu près = 

125 ? CL Lo peu Pres g 

Si ner 

. considéré 
So 


du demi-ton moyen. Le comma vulgaire 

comme la limite supérieure des erreurs permises dans 
‘ : ; Lale >: L 

l'emploi du tempérament , répond à cer de ce demi- 


ten moyen. 

19. En considérant la grande facilité qu'apporte dans 
le calcul des intervalles leur représentation: par des nom- 
brs: proportionnels, on doit s'étonner qu'aucun har- 
méniste théoricien n'ait fait son profit de la distinetion 
établie pour la première fois par Euler (Tentamen novæ 
Theoriæ musice , ete. , 1739) entre les rapports des sons 
et la mesure des intervalles; distinction reproduite par 
Lambert (Mém. de l'Acad. de Berlin, 1576). et en= 
seignée depuis par Suremain de Missery dans sa Théorie 
de l'Acoust'que. A l'exception de ce dernier, trop bon 
géomètre pour partager l'erreur commune, tous les 


216 INT 


auteurs français qui ont écrit sur la théorie de la mu- 
sique n’ont pas dit un seul mot qui ait rapport à la 
véritable mesure des intervalles, et quand ils ont à les 
comparer comme quantités mensurables, ils emploient 
les rapports des nombres relatifs de vibrations ; ce qui 


3 
est un véritable non-sens; car 3° par exemple, est 


bien le rapport constituant de l'intervalle de quinte; 
mais il ne lui est ni égal ni proportionnel. Si cette 
égalité ou proportionnalité avait lieu , il faudrait que la 


saut, 6 x : 

double quinte fût exprimée par =; la triple quinte par 
9, et ainsi de suite. Cette absurde mesure des inter- 
2 

valles musicaux se retrouverait dans la mesure des édi- 
fices, si un architecte, pour énoncer la différence de 
grandeur absolue entre une colonne corinthienne et une 
colonne toscane, disait que cette différence est celle de 


D A : re 
— à —, parce que la proportion entre le diamètre de 
10 9 


1 DATE 
la colonne et sa hauteur est F pour l’ordre corinthien, 


1 
et ; pour l’ordre toscan. 


Parmi les bévues résultant de la fausse représentation 
des mesures des intervalles par les rapports constituans, 
une des plus singulières est celle de J.-J. Rousseau qui, 
dans son Dictionnaire de Musique, a voulu calculer les 
intervalles partiels d’une échelle enharmonique com- 
prise entre deux ut (on nomme échelle enharmonique 
celle qui ne confond pas le son inférieur diézé avec le 
son supérieur bémolisé), et ne s’est pas apercu que le 
résultat de ses calculs donnait une somme plus grande 
que l’octave. 


20. On a vu (16) que la vraie mesure des intervalles 
ient à un emploi des logarithmes qui, bien que très- 
simple, n’a pas encore pu, se naturaliser en France, 
malgré les tentatives faites jusqu'ici pour mettre à la 
portée des intelligences les plus médiocres ce puissant 
et commode instrument de calcul. C’est probablement 
au manque de notions suffisantes, sur la nature et 
l'usage des logarithmes, qu’on doit cette multitude 
effrayante de chiffres dont quelques musiciens théoristes 
surchargent les pages de leurs ouvrages pour arriver à 
des résultats, souvent erronés, et qui, lorsqu'ils sont 
exacts, ont toujours l'inconvénient de reposer surun 
système faux de mesure, capable de dérouter les étu- 
dians, s’il n’égare pas les professeurs. 

Cependant , si l’on peut pardonner à certains auteurs 
modernes de ne pas connaître les ouvrages étrangers 
d'Euler et de Lambert, et l'ouvrage français de Sure- 
main de Missery, publié à une époque (1795) où l’on 
ue s’occupait guère dethéories musicales, et quimanque 


INT 


d’ailleurs des développemens nécessaires, il n’est pas 
possible de leur éviter le reproche d’ignorance pour des 
travaux beaucoup plus complets et beaucoup plus déci- 
sifs. En 1815, dans sa Mécanique analytique, M. le baron 
de Prony a consacré un chapitre très-détaillé à l’acousti- 
quemusicate, dans lequelil insiste sur la nécessité d’appli- 
quer au calcul desintervalles musicaux des procédés ana- 
logues à la nature des quantités qu’on veut comparer. 
Ce chapitre, reproduit en partie dans le Bulletin Fé- 
russac (avril 1825), ramène la mesure des intervalles à 
son véritable point de vue. Depuis, le même savant, 
frappé des erreurs que commettent journellement les 
musiciens qui essaient de calculer les intervalles, a 
publié une Instruction sur le calcul des intervalles musi- 
caux (Paris, Firmin Didot, 1832), où toutes les diffi- 
cultés sont définitivement aplanies. Cette instruc- 
tion, qu’on pourrait nommer une @rithmétique musicale, 
est un modèle de clarté et de précision qui ne laisse 
rien à désirer : tous les calculs s’y trouvent ramenés à 
l'addition et à la soustraction, au moyen de deux pe- 
tites tables de logarithmes dont l’usage n’exige que les 
connaissances arithmétiques les plus élémentaires. Nous 
y puiserons d’utiles enseignemens pour la suite de cet 
article, 

21. Le choix de l'unité d'intervalle est, comme nous 
l’avons déjà dit, entièrement arbitraire; M. de Pronyÿ 
a pris le demi-lon moyen, déjà indiqué par Lambert; 
Euler s'était servi de l’octave, et l’on pourrait tout aussi 
bien employer le fon moyen, sixième partie exacte de 
l’octave. Il suffit, du reste, de connaître les nombres 
proportionnels des intervalles rapportés à l’une quel- 
conque de ces unités pour obtenir très-aisément ceux 
qui se rapportent aux autres. 

En effet, avec le demi-ton moyen pour unité, les in- 


:. , 4 
tervalles sont mesurés parles logarithmes à base —1/2; 
avec l’octave, par les logarithmes binaires ou à base — 2; 


et avec le ton moyen par les logarithmes à base V2. 
Ainsi, désignant par m, m', m' les logarithmes, dans 
ces divers systèmes, d’un même nombre M représen- 
tant le rapport constituant d’un intervalle, on a à la 
fois les trois expressions 


(2) =M, 2 =M, (2) —M 


qui donnent les trois égalités 


d’où l’on tire les relations suivantes entre les nombres 
ms ms M 


mia, me GnN', 0 an. 


INT 


C'est-à-dire que, pour exprimer en demi-tons moyens 
un intervalle exprimé en parties de loctave, il faut 
multiplier par 12 le nombre de ces parties, et que, 
réciproquement pour avoir en parties de l’octave un 
intervalle exprimé en demi-tons moyens, il faut diviser 
par 12 le nombre de ces demi-tons. Par exemple, l’in- 
tervalle de quinte, mesuré en demi-tons moyens, étant 
exprimé par 7,02, ce même intervalle, rapporté à 
l’octave comme unité, sera représenté par le nombre 


7,02 
A = 0,285; 


ce qui nous apprend que la quinte est à très-peu près 


les ni ou les : de l’octave. 
10 5 


Si l'intervalle était exprimé en tons moyens et qu’on 
voulût l'avoir en parties d’octave, il faudrait le diviser 
par 6; et réciproquement multiplier par 6 le nombre 
des parties de l’octave, pour obtenir le nombre corres- 
pondant des tons moyens. En partant du nombre précé- 
dent 0,585, on aurait donc, pour l'intervalle de quinte 
exprimé en tons moyens, 


0,85 X 6 — 3,510. 


Ce dernier chiffre montre que la quinte”est composée 
de trois tons moyens et d’un demi-ton, à un cenfième 
de ton près. 

Enfin, pour passer de l’expression en demi-tons à 
l'expression en tons, ou vice versé, il faut diviser la 
première par 2, ou multiplier par 2 la seconde. Toutes 
ces particularités sont évidentes ; car les intervalles, re- 
présentés par des nombres proportionnels, se com- 
portent comme toutes les autres quantités, dont on peut, 
à son gré, changer l’unité de mesure, en multipliant 
les nombres qui les expriment par le rapport de la nou- 
velle unité à l’ancienne; et de même, par exemple, 
qu’on réduit en pieds un nombre donné de toises en le 
multipliant par 6, parce qu’il y a 6 pieds dans une toise, 
on réduit en demi-tons moyens un nombre donné d’oc- 
taves en le multipliant par 12, parce qu’il y a douze 
demi-tons dans une octave, etc., etc. 

Nous indiquerons dorénavant, par les caractéristi- 
ques d,t, oc, signes abréviatifs de demi-ton, (on et 
octave, la nature de l’unité à laquelle se rapporte un 
nombre. Nous aurons ainsi: 


intervalle de quinte = 0°,585 — 5,51 — 71,00. 


22. En prenant l'intervalle d’octave pour wnité, les 
intervalles les plus usuels ne sont exprimés que par des 
fractions décimales sans entiers; ce qui ne laisse pas 
apercevoir Leurs rapports aux personnes peu familières 


INT 247 


avec les nombres, aussi facilement que lorsqu'ils sont 
exprimés en tons ou en demi-tons. Toutefois, comme il 
est très-facile de passer d’une unité de mesure à 
une autre, nous adopterons ici l’octave pour unité. 
M. de Prony, dans le but de faciliter les calculs, a 
donné deux tables de logarithmes, qu’il nomme acous- 
tiques, dont l’une contient les logarithmes binaires , et 


l’autre les logarithmes de la base V2 : la première se 
rapporte à l’octave, et la seconde au demi-ton moyen 
comme unités. Elles renferment, l’une et l’autre, les 
logarithmes des nombres depuis 1 jusqu’à 320. La table 
des logarithmes binaires étant suffisante pour toutes 
nos déterminations, nous l’avons augmentée de cent 
logarithmes, mais nous n’y conservons que cinq déci- 
males, ce qui dépasse encore les besoins de la pra- 
tique. 

23. L'emploi de cette table réduit aux deux premières 
règles de l’arithmétique toutes les opérations relatives à 
l'évaluation des intervalles en parties décimales de l’oc- 
tave; ce dont on peut aisément se rendre compte en 
se rappelant le principe fondamental de cette évalua- 
a 
b 


d’un intervalle quelconque; celui de l’octave étant 2; 


tion (16). Représentons par - le nombre constituant 


soit 4. le nombre de fois, entier ou fractionnaire, qu’il 


faut multiplier le nombre ï 


produire 2, nous aurons... (a), 


par lui-même pour 


et par conséquent donnera le rapport de grandeur 
: a dd: ë 

entre l'intervalle 5 * l’octave, c’est-à-dire que si y—2, 

cet intervalle sera la moitié de l’octave; il en sera le 

tiers sim—5, le quart si u —4, et ainsi de suite. Gé- 


néralement, quel que soit le nombre », le rapport vrai 
de la grandeur de l'intervalle à celle de l’octave sera 


1 


, 


4 


si donc on considère l’octaye comme unité, ce nom- 
1 = >. 
bre — sera le nombre proportionnel de l'intervalle et 


son expression en unités, chacune égale à une octave. 
Or, la relation (a) donne la relation réciproque 


E a 
2 — D? 
ou... (b). 
Let (ui 
2 = b? 


248 INT 


, 1 Arr , 
posant, pour abréger, ne m. Ainsi, étant donné 


: a 
un intervalle par son nombre constituant on ob- 


tiendra son nombre proportionnel , par rapport à l’'oc- 
tave prise pour unité, en tirant la valeur de m de 
l'équation (b). 

Mais, quelle que soit la base du système de loga- 
rithmes dont on veuille se servir pour résoudre l’équa- 
tion (b), on a toujours 


log (2°) = log (;)-ctm log 2 = log #— log b; 


d’où 


nn — 


log 2 


Ainsi, lorsque ce système est celui des logarithmes 
binaires, comme alors le logarithme de sa base 2 est 


l'unité, on a simplement 
m — log a — log b; 


le caractéristique log, désignant les logarithmes bi- 
paires, ou les logarithmes de la table ci-jointe. 

Il résulte de ces considérations que le nombre propor- 
tionnel d'un intervalle est égal à la différence des loga- 
rithmes binaires des deuxtermes de son nombre constituant. 
Appliquons cette règle à l'intervalle de tierce mineure 


6 : 
-3 prenant dans la table les logarithmes de 6 et de 5, 
J 
nous aurons 

Tierce mineure — 2,584090 — 2,92 199 = 0,26309. 
Cette différence représente immédiatement un nombre 
d'octaves; ainsi, la tierce mineure est, à très-peu près; 
les ar d’une octave. Nous aurons de la même ma- 

100 

nière 

Tierce majeure — log 5 — log 4; 

— 2,52195 — 2,00000 = 0°*,52109. 


Quinte — log 3 — log 2, 
= 1,58496 — 1 — 0°,58406, 


et ainsi de suite. 

Observons, en passant, que la comparaison de ces 
pombres montre immédiatement que la quinte est exac- 
jement composée d’une tierce majeure et d’une tierce 


mineure, Cay 


0°,52198 + 0°,20309 = 0"584q0, 


INT 


24. Veut-on connaître maintenant ces mêmes inter- 
valles exprimés en tons moyens, il suflit de multiplier 
les nombres précédens par 6, et l’on trouve 


Tierce mineure — 6 X 0,96503 — 1',57818, 
Tierce majeure — 6 X 0,32105 — 1',93158, 
Quint — 6 X 0,58496 — 3',50970. 

25. Les mêmes opérations, exécutées sur tous les 


intervalles de la gamme naturelle ou de l'échelle dia- 
tonique, fournissent le tableau suivant : 


TABLEAU 


DES INTER VALLES DE LA GAMME NATURELLE, L'OCTAVE 
ÉTANT PRISE POUR UNITÉ. 


Intervalle de ue à Hs É 4. 

propértionnds. |: particles 
nn mn ER ne 
DEMO = CPDUDA TO DOUUO 
ré Ds 0, 16992 | 0, 16992 
ini. : 5 8 2 0, 82195 | 0, 15201 
fa PONT 0, 41504 | 0, 09511 
sol o, 58496 | o, 16992 
du) Su 0, 73697 | 0, 15201 
st 0, 90689 | 0, 16992 
U'ADRRO RO RON todo le COUDRE ENT 


Les différences partielles nous apprennent que les 
intervalles nommés {on majeur, ton mineur et semi-{on 
majeur ont, pour valeurs respectives, 
0*,16992 ; 0°,15201 ; 0*,09311 ; 

etil suffit de ces nombres pour se guider sans difficulté 
dans toutes les recherches qui ont pour objet les inter- 
alles musicaux. 

26, Signalons quelques particularités, La différence 
du ton majeur au Lon mineur est 


0°,16992 — 0°%,19201 = 0°*,01791. 


Ainsi, en montant de ut à ré, on monte d’une partie 


; ; ; 15 
de l’octave plus grande de la fraction d’octave 3 
1000 


que lorsqu'on monte de ré à mi. Cette fraction, réduite 
en tons moyens, est 6 X 0,01791 — 0',10746, ou, à. 


très-peu près, de ton moyen, 


Où = 


L'habitude des musiciens est de représenier la dif- 
: ; ; 81. 
férence du ton majeur au ton mineur parle comma 3} 


ce qui est non seulement insignifiant, Maié douue eus 


al 


= 


!l 


INT 


core une acception fausse au mot différence. La véri- 
table différence de ces deux intervalles est en octave 
0®,01791; en tons moyens, 0',10746; et, en demi-ton 
moyen, 0%,21492. Ces nombres proportionnels font 
connaître les rapports réels de grandeur de l'intervalle 
en question avec l’un ou l’autre des intervalles com- 
81 
80 
lement que le ton majeur est plus grand que le ton mi- 
neur. Les rapports 


parés, tandis que le nombre constituant = indique seu- 


o®, 16992 0°, 15201 
= — 8 ——— — 8,48 
0*,01781 9487 » 0°, 01791 AC 
- 81 
montrent en effet que cet intervalle ou comma — est 


80 
contenu 8 fois et à peu près ‘/, dans l'intervalle de ton 
mineur, et 9 fois ‘/, dans celui de ton majeur. 

La différence du semi-ton majeur au ton mineur, ou 


0*,15201 — 0°*,09311 = 0°,0589; 


est ce qu’on nomme le semi-{on mineur. Ce demi-ton 


— : 6 
est, à très-peu près, les So del’octave. On augmente 


: 6 : 
donc un intervalle des 60 de l’octave lorsqu'on diéze 


le ton supérieur, et on l’abaisse de la même quantité 
lorsqu'on bémolise ce même son. Par exemple, l’inter- 


alle de ut à ré étant 0*,169092, celui de wf àré est 


. 0*,16992—0%,0589—0" 11102; et celui de uf à ré É 
— 0°*,16992 + 0°%,0589 = 0°°,22881. 
L'intervalle de wf à mi étant, par la même raison, 
0%,32195 — 0*,0589 — 0*26303, on voit qu'on ne 
peut confondre ré avec mi qu’en forçant l'oreille à 


négliger l'intervalle 


0°,20503 — 0°*,22882 — 0°*,03422, 


qui diffère peu de ë 


0°,03422, différence du semi-ton majeur au semi-ton 


. = 12 
mineur est le comma dont le nombre constituant — _ 
12 


du ton moyen. L’'intervalle 


nous a servi dans la construction de l'échelle chroma- 
tique. On peut maintenant apprécier avec facilité le 
degré d’exactitude de cette échelle. 

27. Parmi les problèmes qu’on peut se proposer sur 
les intervalles musicaux, nous choisirons les suivans, 
qui nous paraissent les plus propres à faire bien sentir 
l'utilité des logarithmes binaires. 

L Pnosrème. Un son étant donné, par son rapport 
constituant, déterminer la place qu’il occupe dans la série 
des sons ascendans qui commence qu sou fixe où fonda 
mental. 


To, au. 


INT 249 


.… 176 
Soit 
53 


le son auquel il se rapporte fait 176 vibrations pendant 
que le son fixe en fait 33. Il s’agit d’abord de trouver 
l'intervalle vrai de ces deux sons. 

Nous avons, pour cet intervalle (23), 


le rapport donné; ce nombre signifie que 


Log 176 — Log 35 — 7,45945 — 5,04439 = 2,41504. 


Ainsi, le son dont il s’agit est distant du son fixe de deux 
octaves, plus de la fraction 0°,41504; faisant abstraction 
des deux octaves, pour ramener le son dans les limites 
de l’octave du son fixe, et cherchant dans le tableau du 
n° 25 le son supérieur de l'intervalle 0°,41504, nous 
voyons que c’est un fa: donc le son proposé est la 
double octave du fa compris dans l’octave du son fixe. 
Si le rapport donné était un nombre entier tel que 3, 
il faudrait lui donner la forme fractionnaire pour y faire 
entrer le son fondamental; mais, comme log 1—0, 
il ny a aucune soustraction à effectuer, et le logarithme 
binaire de 3 est immédiatement la mesure de l’inter- 
valle. Ce logarithme étant 1,58496 , l'intervalle du son 
proposé au son fixe se compose d’une octave, plus de 
l'intervalle 0,58496, qu’on reconnaît être une quinte 


(tableau n° 25); l'intervalle : ou plutôt 1°,58496 se 


nomme une dix-septième; en admettant que le son in- 
férieur soit l’uf fondamental, le son supérieur est le sol 
de la seconde octave, ou s0/,. 

II. Prosrème. Deux intervalles étant donnés par leurs 
rapports constituans avec un même son fondamental, dé- 
terminer l'intervalle des deux sons supérieurs. 


: A GA ee tu a I 
Soient en général 5° d deux intervalles quelcon- 


ques rapportés à un même son fixe, l'intervalle des sons 
supérieurs, ou de ceux dont les nombres relatifs de 
vibrations sont respectivement @ etc, sera 


cb 


Cie, CU 
b ad? 


€ . 
à: 
et on aura, pour la mesure de cet intervalle, 


Log e + Log b — (Log a + Log d). 


10 
ete 


PC 15 
Dans le cas des deux rapports particuliers — 3 


les logarithmes, pris dans la table, donneraient 


Log 15 —5,90689 Log 10 — 5, 52193 
Log 5—1,58496 Log $S — 3, 00000 
DRE 


6, 32195 


5, 49185 
tnt 


Intervalle = 0*,83008 
32 


250 INT 


Îl reviendrait au même d'évaluer séparément chaque 
intervalle, puis de prendre leur différence; on aurait 


ainsi 
Intervalle _ —5,90089 — 3,00000 — 0*,90689 
10 LA.4 L'4 A a 
Intervalle 5 —3,52195 — 1,58496 — 1, 73697 


Int. demandé  —1,75697 — 0,90689 — 0, 85008 

Pour discuter plus facilement ces valeurs, exprinons- 
les en demi-tons moyens, c’est-à-dire multiplions par 
12, et comparons-les ensuite avec les intervalles de 
l'échelle chromatique n° 18. Nous aurons, en nous bor- 
nant aux centièmes, 


Premier intervalle, (5) — 101,88 
Second intervalle, (12 1,84 
econd intervalle, 3 —=1201,84 
Diff, ou intervalle partiel, — 9,96. 


Le dernier nombre est celui qui exprime, dans la table, 


l'intervalle de wt à la ou à si ; c’est l'intervalle cher- 
ché. Quant aux intervalles proposés, on voit immé- 
diatement que le premier est l'intervalle de ut à si; 
mais le son supérieur du second étant placé dans les li- 
mites de la seconde octave, à partir de l’uf fixe ; car tous 
les sons de cette seconde octave sont distans de ut de 
quantités comprises entre 12° et 24%, il faut retran- 
cher 12 de l'intervalle 20%,84, pour leramener dans les 
limites de la première octave. Comme le nombre 8,84 
auquel il se réduit exprime l'intervalle de «t à la, il en 
résulte que 20,84 exprime celui de ut à la. Les sons 
supérieurs des intervalles proposés sont donc s4 et la,, 
et leur intervalle 9,96, se trouve parfaitement égal à 


celui ut à la . 

La détermination complète des sons qui se trouvent 
désignés ici par si et la, exigerait que le son fixe ut fût 
lui-même déterminé ; ce qui ne peut être que l’objet 
d’une convention. Quel que soit le degré d’acuité ab- 
solue de ces sons, leur intervalle sera toujours de dix 


demi-tons moyens, à 4 de demi-tons près. Nous 


verrons ailleurs tout ce qui concerne les sons en eux- 
mêmes (voy. Sox); il ne s’agit dans cet article que de 
la mesure de leurs intervalles. 

28. On peut se proposer un autre problème impor- 
tant, sur les intervalles, pour lequel notre table des 
logarithmes binaires est insuffisante, à cause de son 
peu d’étendue. Le voici: 

Etant donné un intervalle, soit en octaves, en tons 
moyens, où en demi-tons moyens, trouver son nombre 
constituant, c'est-à-dire le rapport des nombres de vibra- 


INT 


tions que font dans le même temps les deux sons dont il 
eæprime la distance. 

Ce problème est l'inverse de celui dont nous nous 
sommes occupés jusqu'ici; et si l’on pouvait trouver 
aussi facilement, dans la table des logarithmes binaires, 
le nombre correspondant à un logarithme donné qu’on 
y trouve le logarithme correspondant à un nombre 
donné, cette table en offrirait immédiatement la solu- 
tion. Mais comme on ne pourrait l’employer à cet usage 
que dans un petit nombre de cas et en ayant égard à 
diverses circonstances qu’il serait trop long d'expliquer, 
nous allons aborder direetement la question au moyen : 
des logarithmes vulgaires, que nous désignons par ja 
caractéristique log, conservant la caractéristique log 
pour les logarithmes binaires. 

Soit m le nombre d’octaves ou de fractions d’octave 
exprimant l'intervalle et M son nombre constituant 
cherché, nous avons la relation fondamentale 


22 — M, 


qui donne, en prenant le logarithme vulgaire de cha- 
cun de ses membres 


m Log 2 — Log M. 
Or, le logarithme vulgaire de 2 esto,350103, donc 
Log M — 0,50103.m; 


c'est-à-dire qu'en multipliant le nombre proportionnel 
de l'intervalle par le facteur constant 0,30105, on ob- 
tient le logarithme vulgaire du nombre constituant, 
nombre qu’on peut ensuite trouver au moyen des tables 
ordinaires. Il est bien entendu qu’il s’agit exclusivement 
d’un nombre proportionnel rapporté à l’octave comme 
unité; si l'intervalle était exprimé en tons ou en demi- 
tons moyens, il faudrait commencer par le réduire en 
octaves. Prenons pour exemple l'intervalle 0°,58496; 
nous aurons 


Log M — 0,50105 X 0,58496 — 0,176091. 


Cherchant le nombre correspondant à ce logarithme 
dans nos tables du mot LoGaRITHME, nous trouverons 


M —1,5 ou M =; 

l'intervalle en question est donc celui de quinte juste. 
Proposons-nous encore de trouver le nombre consti- 

tuant de l'intervalle égal à un millième de l’octave, sa- 

voir : 0%,001. Le produit de ce nombre, par le facteur 


constant 0,30103, donne 


Log M = 0,000301, 


en nous bornant toujours à six décimales ; d’où M — 


— 1,0007. Ce nombre mis sous la forme des fractions 


10007 g 
N et nous apprend que de deux 


ordinaires devient 
1000 


sons, dont l'intervalle est 0°°,001, lepremier fait 10000 
vibrations dans le temps que le second en fait 10007. 
Ces deux sons paraitraient donc exactement à l'unisson, 
car aucune oreille n’est susceptible de s’aperceyoir du 
retard des premières vibrations sur les secondes. 


ë sul - 2 
On concoit que si SR d’octaye est un intervalle in- 
1 


4 1 c 4 : 
sensible, —— de demi-ton moyen, qui n’est que 
100 200 


d’octave, est encore bien moins perceptible, de sorte 
qu’en se bornant aux deux premières décimales, dans 
toutes les évaluations des intervalles en demi-tons 
moyens, on dépasse encore de beaucoup toutes les 
exigences de l'oreille. 

29. C’est ici le lieu de mentionner un fait très- 
avantageux pour la musique. Lorsqu'on entend un in- 
tervalle qui diffère très-peu d’un autre exprimé par des 
nombres plus simples, on croit entendre réellement le 
plus simple, et l'illusion est d’autant plus complète que 


la différence est moindre. Par exemple, deux cordes 


sonores, vibrantes simultanément, et dont la première 
ferait 340 vibrations pendant que la seconde en ferait 
226, donneraient un accord de quinte qui paraîtrait très- 
40 


juste, parce que l'oreille substituerait au rapport 6 


le rapport plus simple 2 = à Ce phénomène ne re- 


pose pas uniquement, comme quelques auteurs l’ont 
pensé, sur les limites de la sensibilité des organes de 
louie, mais encore et principalement sur laetion 
qu’exercent les unes sur les autres les diverses ondula- 
tions sonores excilées dans l’air par les corps vibrans 
simultanément. Il est certain qu’une foule de disso- 
nances légères, dont on serait frappé si l’on était placé 
très-près d’un orchestre exécutant, disparaissent quand 
on s’en trouve éloigné d’une certaine distance , et que 
les sons s’harmonisent d’autant mieux qu'ils ont à par- 
courir un plus grand espace avant d’être perçus. Sans 
cette circonstance, il n’y aurait pas d'harmonie pos- 
sible, 

30. Dans le système du tempérament égal, suivant 
lequel on aecorde généralement aujourd’hui les forte- 
pianos, les douze demi-tons de la gamme chromatique 
sont égaux, et les intervalles des degrés successifs de 
cette gamme sont en nombres constituans 


(V2). (V2), (V2), (v à), e.…(7s)" 


dont on présente les approximations suivantes. 


INT 251 


ÉCHELLE CHROMATIQUE DU TEMPÉRAMENT ÉGAL. 


N Nombres 
Notes. ; , : 
des vibrations relatives. 


CET RO REC 1,000000 
ut ou ré b. ee Ve 1,059465 
TOR Che É LE 1,122462 
ré À ou mi 2 ; HOME 1,189207 
ma. bot 1,2590921 
LORS Re CN CI MENT 1 1,234840 
fa ou Le MS RES 1,414213 
Ci bere ce Fonte ONE 1,498306 
sol ou la? do UNION na 1,287400 
le ere ob 1,681793 
la” ou sil. so ete 0 1,7817906 
He - : : 1,887745 
US ee met) NS 0e 2,000000 


Ces nombres ne sont guère susceptibles de faire con- 
naître les différences de la présente échelle avec Pé- 
chelle (5) ; car, en comparant, par exemple, la quinte 
exprimée ici par 1,498306 avec la quinte juste de 
l'échelle (5) — 1,5, tout ce qu’on peut voir, c’est que 
la quinte juste est plus haute que la quinte tempérée ; 
mais, si on voulait savoir de combien, il faudrait se 
perdre dans une foule de calculs, que nous laisserons 
faire aux auteurs des traités d’harmonie, pour aborder 
directement la question. 

Prenant le demi-ton moyen pourunité, les intervalles 
des degrés successifs de la gamme chromatique moyenne 
sont exprimés , par la suite, des nombres entiers. 


d L.4 
1°, 2, 3°, 47, 54, 6%, 7%, 81, 9, 10%, 114, 11% 


qu’il suflit de comparer avec la suite des nombres du 
tableau n° 18, pour trouver toutes les différences des 
deux échelles. Ainsi, comme la quinte juste est égale 
à 7°,02, et la quinte tempérée seulement à 7°, on voit 
que la dernière pèche par défaut de ns de demi-ton ; 
la tierce majeure tempérée — 4° dépasse, au contraire. 
la tierce majeure juste —53,86 de + de demi-ton, ete. 


Nous ne nous arrêterons point à signaler les autres dis- 
sidences : il nous suflit d’avoir montré l’extrême faci- 
lité de toutes ces comparaisons quand on y emploie les 
mesures vraies des intervalles. M. de Prony ayant mis 
en regard, dans son Znstruction , diverses échelles tem- 
pérées, nous renverrons ceux de nos lecteurs qui dési- 
reraient de plus amples détails à cet ouvrage, où au- 
cune difliculté n’est laissée sans solution, aucun point 
obscur sans éclaircissement. ; 


TABLE DES LOGARITHMES BINAIRES DES NOMBRES, 


DEPUIS 1 JUSQU’A 420. 


| NOMBRES, 


En de C9 NO 


LOGA- 


RITHMES, 


0,00000 
1,00000 
1,58496 
2:00000 
2,32193 


——— 


2,58496 
2 80735 
3,00000 
3,16992 
3,32193 


—_——— 


3,45943 
3,58496 
3,70044 
3,80735 
3,90689 


——————— 


4,00000 
408746 
4,16992 
4,24793 
4,32193 


4,39232 
4,45913 
4,52356 
4,58496 
4,64386 


= ——— 


4,70044 
4,75489 
4,80735 
4185798 
4,90659 


4,95420 
5,00000 
5,04439 
508746 
5,12928 


5,16992 
5,20945 
5,24793 
5,28540 
5,32193 


5,80735 
5,83289 
5,85798 
5,88264 
5,90689 


NOMBRES, 


LOGA- 


RITHMES, 


5,93074 
5,95420 
5,97728 
6,00000 
6,02237 


6,04439 
6,06609 
6,08746 
6,10852 
6,12928 


—— 


6,14975 
6,16992 
6,18982 
6,20945 
6,22882 
6,24793 
6,26679 
6:28540 
6,30378 
6,32193 
6,33985 
6,35755 
6,39232 
6,40939 


6,49185 
6,50779 
6,52356 
6,53916 
6,55459 
6,56986 


——_—— 


6,58496 
6,59091 
AE 


6,65821 
6,67243 
6,68650 
6,70044 
6,71425 


6,79442 
6,80735 
6,82018 
6,83289 
6,84549 


——— 


6,85798 
6,87036 
6,88264 
6.894182 
6,90689 


NOMBRES. 


LOG A- 


RITHMES, 


6,91886 
6,93074 
6,91251 
6,95420 
6,96578 


6,97728 
6,98868 
7,00000 
7,01123 
7,02237 


7:03342 
7,04439 
7,05528 
7,06609 
7,07682 


7,08746 
7,09803 
7,10852 
7,1189/ 
7,12928 


7,18982 
7,19967 
7,20945 
7,21917 
7,22882 


7,23840 
7,24793 
7,25739 
7,26679 
7,27612 


a 


7,28540 
7,29462 
7,30378 
7.31288 
7,32193 


7,33092 
7,33985 
7,34873 
7,35755 
7,36632 


7,37504 
7,38370 
739232 
7,40088 
7,40939 


7,41785 
7,42626 
7,43463 
7,44294 
7,45121 


7,45943 
746761 
747573 
718382 


7,49185 


NOMBRES, 


LOGA= 


RITHMES. 


49985 
0779 
1570 
356 


4 
5 
5 
5 
53158 


7 
7 
7 
7 
7 


, 
, 
‘ 


7,53916 
7,54689 


1,9 
7,56224 
7,56986 


7,68650 
7,69349 
7,70044 
7,70736 
7,71425 


7,75489 
7,76155 
7,76818 
7,77479 
7,78136 


7,78790 


7,79442 


7385175 
7,85798 
7,86419 
7,87036 
787652 


a 


7,88264 
7 88874 
7,89482 
7,90087 
7,90689 


NOMBRES, 


LOGA- 


RITHMES, 


7,91289 
7,91886 
7,92481 
7,93074 
7,93664 


7,94251 
7,94837 
7,95420 
7,96000 
7,96578 


7,97154 
97728 
7,98299 
7,98868 
7,99435 


————— 


8,00000 
8.00562 
8,01123 
8,01681 


8.05528 
8.06070 
8,06609 
8.07146 
8,07682 


8,09803 
8,10329 


——— 


8,10852 
8,11374 
8,11894 
812412 
8,12928 


8,15987 
816491 
8,16993 
817493 
8,17991 


8,18188 
8,18982 
819476 
819967 
8:20457 


8 20945 
8,21432 
8,21917 
8,22400 
8,22882 


NOMBRES. 


LOGA= 


RITHMES, 


8,22362 
8223840 
8,24317 
824793 
8,25267 


8,25739 
8,26209 
8,26679 
8,27146 
8,27612 


8,28077 
8,28540 
8,29002 
8,29462 
8,29921 


8,39232 
8,39660 
8,40058 
8,40514 
8,40939 


8,45382 
8,48784 
8,49185 


FA 
REA | NOMBRES. 


9 
ae 
ETS 


LOGA- 
RITHMES. 


8,49586 
8,49955 
8,50383 
8,50779 
8,51175 


8,51570 
8,51064 
8,52556 
8,52748 
8,53138 


8,53528 
8/53916 
8,54303 
854689 
8,55075 


8,57365 
8,57743 
8,58120 
5,58 196 
8,58871 


8,59246 
8.590619 
8,59991 
860363 
8,60733 


—— 


8,61102 
8,61471 
8,61839 
8,62205 
8,62571 


8,62936 
8,63300 
8 63662 
8,64024 
8,64386 


8.64746 
8,65105 
8,65464 
8,65821 
8,66178 


8,66534 
8,66889 
8,67243 
8.67596 
8,67948 


8,68299 
‘8,68650 
8,69000 
8,69349 
8,69697 


8,70044 
8,70390 
8,70736 
8,71081 
8271425 


; LAM 


LAMINOIR. (Wéc.) Nom générique donné aux ma- 
chines métallurgiques, composées de deux cylindres, 
qui sont destinées à aplatir les métaux et à les étirer. 

L'invention des laminoirs, faite par Olivier Aubry 
vers 1540, est l’origine de la supériorité incontestable 
que possèdent les modernes sur les anciens pour le tra- 
vail des métaux. L'usage de ces machines éminemment 
simples n’est cependant devenu général que long-temps 
après leur découverte, car il n’y a pas plus d’une qua- 
rantaine d'années qu’on l’a substitué, en Angleterre, 
à l'emploi des marteaux et des martinets, dont on se 
sert encore dans nos usines pour forger et étirer le fer. 
Ce changement de procédés, disent MM. Élie de Beau- 
mont et Dufrénoy, dans leur description des forges de 
l'Angleterre, a produit une économie considérable dans 
la main-d'œuvre, eta permis de fabriquer une beaucoup 
plus grande quantité de fer, à cause de la prodigieuse 
rapidité des nouvelles opérations. Ainsi, tandis qu’au- 
trefois une affinerie, marchant avec un marteau, pro- 
duisait à peine 10 milliers de fer en barres par semaine, 
aujourd’hui une affinerie de moyenne grandeur, tra 
vaillant avec des cylindres, en produit 150 milliers 
dans le même temps, sans autre moteur qu’une ma- 
chine à vapeur. La consommation du fer ne pouvant 
que s’augmenter de plus en plus, car ce métal précieux 
est appelé à remplacer le bois, dont la pénurie se fait 
déjà sentir, il est essentiel qu’on s’occupe sérieusement 
de perfectionner nos forges, surtout si l’on a jamais 
l'intention de réaliser toutes ces grandes lignes de che- 
min de fer, sources de richesse nationale et de bien- 
être particulier, à ce que disent les prospectus des 
entrepreneurs. 

Les laminoirs sont employés dans diverses fabrica- 
tions; ils servent aux orfévres, aux metteurs en œuvre, 
aux fabricans d’objets plaqués en argent, aux manu- 
factures de galons, ete, etc. A l’aide de cylindres unis 
Ou cannelés, suivant les besoins, on forme, avec une 
célérité remarquable , des feuilles de cuivre, de plomb 
et d’étain de toutes les épaisseurs; un grand nombre 
d'objets utiles, tels que des couteaux, des clous, des 
barres garnies d’ornemens et de moulures, qui semble- 
raient exiger un travail long et minutieux, sont con- 
fectionnés avec la plus grande facilité par ces appareils, 
dont on peut voir la description dans le tome VI de {@ 
Mécanique appliquée aux Arts, de M, Borguis. 


253 


. LAT 


LANTERNE. (Méc.) Pièce d’engrenage qui sert à 
transmettre le mouvement d’un arbre tournant à un 
autre arbre. 

Une lanterne se compose de cylindres en bois ou en 
métal insérés circulairement, à distances égales, dans 
deux plateaux parallèles; ces plateaux portent le nom 
de fourtes ou tourteaux , etles cylindres celui de fuseau. 
Le mouvement est imprimé à la lanterne par une roue 
dont les dents engrènent avec les fuseaux. ( Voy. Roue 
DENTÉE. ) 


LATITUDE. (Géog.) Quelle que soit la figure de la 
Terre, la latitude d’un de ses points est l’angle que 
la verticale en ce point fait avec le plan de l’équateur : 
elle est aussi égale à la hauteur du pôle sur l'horizon du 
même lieu. 

Le point où la verticale rencontre la sphère céleste 
dont le centre est celui de la terre se nomme le zénith 
apparent. Le rayon terrestre correspondant au pied de la 
verticale ou au lieu de l’observateur, et prolongé indé- 
finiment , atteint la sphère céleste en un point qu’on 
nomme zénith vrai. Enfin, l'angle de ce rayon avec le 
plan de l’équateur s'appelle latitude géocentrique ; ainsi 
cette latitude est égale à la latitude géographique moins 
l'angle de la verticale avec le rayon, puisque la terre est 
aplatie aux pôles. 

Soit H la hauteur du pôle et G la latitude géocentri= 
que correspondante ; on a, par conséquent, 


a sin 2H 
sin1° 


G=H 


2 


æ désignant l’aplatissement de la terre. (Voy. Terre.) 

La latitude géocenirique est un élément du caleul du 
lieu apparent des planètes et de leur parallaxe en ascen- 
sion droite et en déclinaison. ( Voy. ces mots.) 

Depuis que l’on est en possession du cercle répéti- 
teur, la latitude géographique s’obtient avec une grande 
précision par des distances zénithales circomméridien- 
nes des étoiles ou du soleil, c’est-à-dire, par des obser- 
vations faites quelques instans avant et après le passage 
au méridien. Soit P le pôle du monde, D la déclinaison 
de l’astre E, Z sa distance zénithale réduite au centre 
de la terre s’il est nécessaire (voy. Pararraxe), et H la 
latitude cherchée. Dans le triangle sphérique LEP, le 
côté ZE = Z, le côté EP = 90° — D, lorsque la décli- 


254 LAT 


naison est boréale, et l’on a par la propriété fondamen- 
tale de ce triangle (1) 


cos Z — sin H sin D + cos H cos D cosP. 


Mais comme l’astre E est supposé très-près du méri- 
dien, il est évident que lorsqu'il y passera l’on aura 


L— x + 90° —H = 90° — D, 
æ étant une quantité fort petite. Ainsi, dans ce cas, 
Z—H —D +zxou H—Z—x+0D, 
et (1) devient 
cos (H—D+x)— sin H sin D + cosH cos D cos P. 
Développant le 1° membre en vertu de la relation 
cos (A x) — cos À cosæ—sin À sin æ, 
et faisant attention que 
cos P—1—2sin?.}:P, 
on aura 


cos (H — D) cos æ — sin (H — D) sin æ 


—cos (H— D)— 2 cosH cos D sin? . FP; 


et comme par supposition la réduction æ au méridien 
est fort petite, on peut faire 


cosæ—1etsntT—=T; 
parlant 


2 cos H cos D sin? . 1P 
sin (H — D) sin 1° 


Mais cette réduction, qui est exprimée en secondes 
de degré à cause du facteur sin 1° au dénominateur, ne 
saurait se calculer sans que l’on ait une valeur approchée 
de la latitude H, ce qui est d’ailleurs toujours possible, 
Quant à l'élément le plus essentiel à déterminer, savoir 
l'angle horaire P, on l’obtient en ôtant de l'heure du 
passage à la pendule l'heure de l'observation, soit que 
cette pendule suive le temps sidéral pour les étoiles, 
soit qu’elle marque le temps moyen pour le soleil. Enfin 
il est avantageux, lorsqu'on observe le soleil, de faire 
autant que possible le même nombre d'observations 
avant et après le passage au méridien, et à des temps 
également éloignés de midi, afin d'éviter d’avoir égard 
au mouvement de l’astre en déclinaison. 

L'emploi du cercle répétiteur procurant plusieurs 
distances zénithales avant et après le passage, on évalue 
les réductions x correspondantes, et la moyenne de leur 


LAT 


somme est la réduction à appliquer à la distance zéni- 
thale moyenne observée, pour avoir la distance méri- 
dienne Z— +. Il est entendu que la première distance 
doit être augmentée de la réfraction dépendante de 
’état du baromètre et du thermomètre, diminuée de la 
parallaxe et corrigée convenablement du demi-dia- 
mètre apparent du soleil lorsqu'on a observé l’un de 
ses bords. 

Ce procédé, dont Delambre et Méchain ont les pre- 
miers fait de si nombreuses applications lors de la der- 
nière mesure de l'arc de méridien en France, est expli- 
qué dans tous ses détails au 2° volume de la Base du 
Système métrique décimal et dans le Traité de Géodésie 
de M. Puissant, ouvrage où l’on trouve une table de 
réduction au méridien qui abrége de beaucoup le calcul. 

Les doubles passages de la polaire font en général 
connaître la latitude ayec une grande précision ; toute- 
fois les astronomes ne la considèrent comme définitive 
que quand elle a pu être vérifiée par l'observation d’é- 
toiles situées au sud du zénith de la station, et à peu près 
à la même distance que la polaire. Dans tous les cas, la 
demi-somme des deux résultats est la latitude vérita- 
ble, et leur demi-différence est ce qu’on appelle l'erreur 
constante de l'instrument. 

Terminons par un exemple. Le 17 décembre 1798, 
Méchain fit l'observation suivante à l'Observatoire royal 
de Paris, peu de momens avant le passage supérieur de 
la polaire au méridien. 


EE 


Heure du passage Angles Réduction 
à la pendule sidérale, , , 0".51°.46' horaires. | au mérid. 
1% observation, à. . . 0".19.40" | 32°. 6’ | —64",54 
DS SRE ER APN 21.90 | 30: 16 5, 22 
DSL AE EM UE OMIS 25 A No Sr 5o, 26 
HAE EURE ER 26.25 | 25. 23 40, 26 
4 QbservatiOns. JR RE ST 2008 
Réduction moyenne. . . . .. ... æ —= — 53,02 


Arcisimple etc to 


Distance méridienne appé *ente.. . . . 
Réfraction- ses ce TE 


39- 23. 14, 79 
46, 45 


Distance méridienne vraie. , . . . , . 
Distance polaire apparente. . . . . . . 


39-24 1, 22 
2. 45. 40, 03 


Colatitude.. . . . . . . . 90 — H = 41. 9: 41,25 
Latitudes.: Te + 0e — Qi 


Ce résultat, donné par une seule et courte série, 
n'excède que de 5”,55 la latitude que Méchain trouva 
par 2764 observations. 


(M. Puissant.) 


LET 


LETTRES NUNDINALES. (Calendrier.) On a dési- 
gné sous le nom de lettres nundinales les huit premières 
lettres de l'alphabet attachées au calendrier réformé de 
Jules César, comme depuis y ont été fixées nos lettres 
dominicales , parce qu'on a cru généralement que ces 
lettres indiquaient les marchés romains. Cette fausse dé- 
nomination, attribuée à une époque où l’on avait perdu 
la trace de la véritable destination de ces lettres, se re- 
fuse matériellement à une pareille application par l’im- 
possibilité de pouvoir avec huit lettres seulement, indi- 
quer le retour des marchés qui ne revenaient que tous 
les neuf jours, ou, comme le remarque expressément 
Macrobe (Saturnal., 1. I, c. 16), après huit jours con- 
sacrés au travail. 

Mais c’est peu de cette fausseté matérielle, un in- 
convénient plus grave est celui d’avoir caché une vé- 
rité intéressante, savoir : que ces lettres forment un 
vrai calendrier lunaire, lequel fut accolé par Jules 
César à son calendrier solaire; en sorte qu’il a été le 
réformateur de l’un aussi bien que de l’autre, mérite 
que presque tout le monde ignore. 

Cependant en 1704, dans un ouvrage ayant pour 
tre Kalendarium Ceæsario, composé à l’occasion de la 
découverte récente d’un de ces calendriers dans une 
fouille faite à Rome, Bianchini, à l’aide d’une analyse 
très-subtile, parvint à reconnaître la destination véri- 
table de ces lettres, et il la prouya d’une manière irré- 
cusable. Néanmoins, soit que son livre n’ait point été 
assez répandu, soient que ses démonstrations aient 
paru difficiles à saisir, l’erreur n’a point disparu, et des 
hommes instruits, tels, par exemple, que les auteurs 
de l'Art de vérifier les Dates, ont continué à répéter la 
dénomination de nundinales, et à essayer même, très- 
infructueusement d’ailleurs, d'expliquer comment ces 
lettres pouvaient remplir l’office qu’on leur attribuait. 
Cette erreur se trouve implicitement dans notre article 
Caxexenter (tom. I); car nous y avons dit que Jules 
César avait banni l’année lunaire de son calendrier. 

On peut trouver dans la note xx d’un ouvrage ayant 
pour titre : Tables synchroniques de l'histoire de France, 
et faisant suite à l’histoire de France d’Anquetil (édit. 
Cotelle, 1829), des détails cireonstanciés sur la décou- 
verte de Bianchini; sur la construction du calendrier 
lunaire de Jules César; sur son usage pour obtenir, 
même aujourd’hui, les nouvelles lunes moyennes; sur 
les causes qui l'ont fait tomber dans un oubli si com- 
plet; sur le mode enfin qui l’a remplacé, savoir, celui 
des nombres d’or ecclésiastiques, lesquels n’en sont 
qu'une vraie traduction, mais traduction si commode 
qu'elle a fait totalement disparaître l’original, 

Sans entrer dans des détails qui n seraient pas en 
proportion avec l’utilité du sujet, peut-être serait-il 
bon néanmoins, pour justifier des assertions qui sans 


LEV 


cela pourraient paraître hasardées, de faire observer, 


255 


d’après les ouvrages cités ci-dessus, 

Qu'en l’an 45 avant J.-C., première de la réforme 
de Jules César, et première aussi des ennéadécatérides 
de son calendrier lunaire, la lune ayant été nouvelle 
le 1°* janvier, cette lunaison fut désignée en janvier par 
la lettre À de la première octave, où par A’, et que dans 
les années suivantes impaires de l’ennéadécatéride, les 
néoménies le furent successivement par les lettres A", 
A", A", B', B', B", D”, C', C". Que pareïllement, dans 


les années paires de la même ennéadécatéride, les néo- 


ménies en janvier furent successivement désignées par 
les Mettre OR CNE SEE NE MER MR ENER EMEA 
vingtième, ou première du cycle suivant, de nouveau 
par A’, ce qui fait recommencer le même orûre dans 
l’ennéadécatéride suivante; circonstance remarquable 
qui prouve que l’ordre des séries n’est pas arbitraire, 
mais l’effet d’une combinaison déterminée. 

Or, aux lettres ci-dessus, si dans le calendrier lu- 
naire on substitue le rang des années dans l’ennéadé- 
catéride, on aura formé immédiatement le calendrier 
des nombres d’or beaucoup plus commode que celui de 
Jules César. Dans celui-ci, en effet, les séries ci-dessus 
ne subsistent que dans les quatre mois initiaux des sai- 
sons, et même dans les deux derniers de ces mois les : 
indices sont formés d’une autre série de lettres qu’en 
janvier, série dépendante à la vérité de la première, et 
connue par celle-ci; mais dans les mois intermédiaires, 
les lunaisons ne sont plus déterminées que par l’effet de 
l’alternation paire et impaire des jours qui les composent. 

Il résulte de tout ceci que, quelque ingénieux que fût 
le mode de Sosigènes, il exigerait une foule de consi- 
dérations minutieuses pour pouvoir en faire usage, et 
que dès lors la méthode, qui consistait simplement à 
observer en chaque mois le quantième auquel corres- 
pondait l’année de l’ennéeadecatéride dans laquelle on 
se trouvait, devait nécessairement l'emporter sur l’autre 
et la faire oublier complètement. 

Mais il en résulte aussi que depuis Bianchini on ne 
peut plus se permettre d'appeler nundinales les octaves 
de lettres attachées au calendrier de Jules César, et que 
leur véritable nom est celui de lettres lunaires. 

Nous devons la substance de cet article à M. de Vau- 
blanc, qui a bien voulu nous signaler, en outre, quel- 
ques omissions importantes dans nos deux premiers 
volumes. 


LEVÉ DES PLANS. (Géod.) Le levé d’un plan exige 
deux séries d'opérations distinctes : les unes s’exécutent 
sur le terrain, les autres sur le papier. Les premières 
ont pour objet de mesurer les distances entre divers 
points fixes qu’on choisit sur le terrain pour le diviser 


en figures géométriques, Dans les secondes, il s’agit de 


256 LEV 


représenter en petit, avec leurs proportions exactes, 
ces figures géométriques, et par suite tous les détails 
de la configuration du terrain. (Voy. AnPEenTAGr, t. I, 
et Praw, t. II.) Lorsque le terrain est vaste et qu’il con- 
tient beaucoup de détails, la formation du réseau de 
triangles dont il faut le couvrir peut présenter plusieurs 
difficultés, que nous allons réunir dans une suite de 
propositions, afin d’en faire connaître les solutions les 
plus simples. 

1. ProsLÈme I. Déterminer la distancè de deux points 
C et D (pl. XIV, fig. 5), desquels on peut apercevoir deux 
autres points À et B, dont la distance est connue. 

Ayant observé au point C les angles ACB et BCD, 
et au point D les angles CDA et ADB, on attribuera à 
la ligne inconnue CD une grandeur arbitraire, et on 
calculera avec ces données la grandeur de AB, comme 
s'il s’agissait de trouver cette ligne au moyen de la 
ligne CD. Le résultat du calcul différera nécessairement 
de la véritable grandeur de AB; mais il y aura même 
rapport entre ce résultat et cette grandeur qu'entre la 
grandeur attribuée à CD et sa grandeur réelle ; de sorte 
qu’il n’y aura plus besoin que d’une règle de trois pour 
trouver cette dernière. 

Supposons, par exemple, que les angles observés aux 
points C et D, avec un graphomètre ou tout autre in- 
strument, soient : 


et qu’on attribue à CD une grandeur arbitraire — 
1000 mètres. 

Les opérations à exécuter pour obtenir la valeur de 
AB correspondante à l'hypothèse GD — 1000, sont les 
suivantes : 

Dans le triangle ACD, dont on connaît le côté CD — 
1000, et les deux angles adjacens ACD — ACB + BCD 
— 100°, CDA — 55°, le troisième angle CAD, étant 
égal à 180°— 100°— 55°— 25", on calculera le-côté 
AD par la proportion 

sin 25° : sin 100° = 1000 : AD. 

Dans le triangle CDB, dont on connaît le côté CD — 

1000 et les angles BCD — 43°, CDB —CDA + ADB— 


115°, CBD — 180° — 115° — 43° — 22°, on calculera 
le côté BD par la proportion 
sin 22° : sin 43° — 100 : BD. 


Ceci fait, on connaîtra, dans le triangle DAB, les 
deux côtés AD, DB et l’angle compris ADB — 6o°, et 
on pourra calculer le côté AB par la formule .…..(1) 


Ne [ao DE — 2AD X DB cos Go | 


LEV 
ou bien on commencera par déterminer les angles 
DAB, DBA, puis on calculera le côté AB par l’une ou 
l’autre des proportions .….(2) 
sin DAB : sin 60° — DB : AB, 
sin DBA : sin 6Go° — AD : AB. 


Voici les calculs relatifs à la détermination des côtés 
AD et DB : 


Log 1000 — 3,0000000 
Log sin 100°— 9,9993515 
12,9999915 

Log sin 25° — 0,6259483 


D'où AD — 2550",253 
Log 1000— 53,0000000 
Log sin 43° — 9,8557833 
12,8397833 
Log sin 22° — :9,5735754 


Log BD— 5,2602079 
D'où BD — 1820",572. 


Les logarithmes de AD et de BD se trouvant donnés 
par les opérations précédentes, il est tout aussi prompt 
de calculer directement AB par la formule (1) que de 
le déterminer par les proportions (2), après avoir préa- 
lablement calculé les angles DAB, DBA. Multipliant 
chacun de ces logarithmes par 2, ils deviennent res- 
pectivement 6,7348064 , 6,5204158, dont les nombres 
sont : 


ur) 
BD — 3314435. 


Quant au troisième terme, sous le radical, on l’obtient 
comme il suit : 


Log2— 0,50103500 

Log AD — 3,5674032 
Log BD — 53,2602079 
Log cos 60° — 9,6989700 


Somme — 16,6276111 


Retranchant 10 de la caractéristique, pour tenir compte 
du rayon des tables, on a 


Log (2AD . BD. cos60°) —6,62;G111. 
D'où 


2AD , BD, cos 60° = 4242594. 


LEV 
Substituant ces valeurs dans (1), il vient 


AB— v[siño08s,5 — 3514483 — ET 


= [irons | = 2121,891. 


Ainsi, quelles que soient les grandeurs réelles de AB 
et de CD, le rapport de ces grandeurs est maintenant 
connu ; car on a évidemment 


AB : CD — 2121,831 : 1000; 
d’où 


1000 X AB 


= 2121,891 ? 


expression dans laquelle il ne faut plus que substituer 
la valeur réelle de AB pour obtenir la valeur réelle de 


CD. Si, par exemple, la grandeur donnée de AB était 


— 2625", on trouverait CD — 12357°,14. 

2. S’il s'agissait de mesurer la distance de deux points 
inaccessibles À et B visibles des deux extrémités d’une 
base connue CD, on aurait à exécuter les mêmes opé- 
rations, sauf la dernière; car alors la grandeur réelle 
de AB entrerait dans les calculs, et le résultat final se- 
rait la grandeur cherchée‘de AB. 

5. En prenant l’añgle ACD égal à la somme des an- 
gles ACB, BCD, nous avons supposé que ces derniers 
étaient dans un même plan. Lorsque cette circbnstance 
n’a pas lieu, il faut mesurer directement l'angle ACD. 
La même observation s’applique à l’angle CDB. 

4. La formule (1), qui sert à déterminer le côté d’un 
triangle dont on connaît les deux autres côtés et l’angle 
eompris, se prêtant difficilement au calcul logarith- 
mique, est rarement employée. On trouve plus simple 
de calculer préalablement les angles adjacens au côté 
cherché, au moyen de l'égalité qui existe entre le rap- 
port de la somme et de la différence des côtés connus, 
et le rapport de la tangente de la demi-somme et de la 
tangente de la demi-différence de ces angles. (Voy. Trr- 
conomÉËrRIE, tom. IL.) Dans la question précédente, où 
nous avions les données 


AD = 2550,253, BD —1820,552, angle ADB — Go°, 
on aurait eu 
AD ÆBD—/4150,855; AD — BD — 509,681, 


demi-somme des angles incopnus = + (180° — 60°) = Go°, 
To. xx 


LEV 257 


Représentant par 5 la demi-différence de ces mêmes 
angles, la proportion 


450,853 : 509,681 = tang 6o° : tang 5, 


donnerait 
Log 509,681 — 2,7072985 
Log tang 60° — 10,2385606 
12,9458591 
Log 4150,853 — 3,6181344 
Log tango — 9,527724 
d’où 


ÿ— 12° 0° 24. 


Cette demi-différence des angles cherchés, retranchée 
de leur demi-somme 60°, fait connaître le plus petit 
d’entre eux, BAD = 47° 59 36”, à l’aide duquel on pose 
la proportion 


sin 47° 59° 36° : sin 60° = 1820,572 : AB, 
qui donne 


Log 1820,572 — 
Log sin 60° — 


Log sin 47° 59 56 — 9,8710277 


Log AB — 53,5267108 
D'où, comme ci-dessus, 
AB = 2121,831. 


5. Prontëme II. Déterminer la position d'un point 
d’où l’on découvre les trois sommets d’un triangle connu. 

Il se présente trois cas : le point à fixer peut être ou 
dans l’intérieur du triangle, ou dehors, ou sur la direc- 
tion de l’un des côtés. 

Premier cas. Soit ABC le triangle (PI. XIV, fig. 5), 
dont nous désignerons les côtés et Les angles connus par 


BCæ=a, AC—b, AB—e, 
BACæA, ABC=B, ACB—C. 


M étant le point à fixer, toutes les opérations sur le 
terrain se réduisent à la mesure des angles CMB=—a, 
AMC = 8, AMB—7, à l'aide desquels il s’agit de cal- 
culer Ja grandeur de deux quelconques des trois rayons 

93 


258 LEN 


visuels MA, MB, MC, ces deux rayons déterminant 
complètement la position du point M dans le plan du 
triangle ABC. 

Imaginons une circonférence de cercle qui passe par 
le point M et par les deux sommets À, C, et menons les 
droites AE, CE, BE. 

Nous connaîtrons dans le triangle AEC le côté AC—b, 
l'angle ACE égal à l’angle AME, supplément de l’angle 
observé AMB— y, et l’angle CAE égal à l'angle CME, 
supplément de l’angle observé CMB — a; le troisième 
angle AEC sera par conséquent égal à 


180° — (180°— y) — (180°— &) = & —+ y == 180°, 
et l’on pourra calculer le côté AE par la proportion 
AC : AE — sin AEC : sin ACE, 
ou 
b: AE = sin (x + y 180°) : sin (180° — y); 
ce qui donne 


PRE NCEON 
- sin («+ y—180°) 

Le côté AE étant ainsi déterminé, nous connaîtrons 
dans le triangle EAB les deux côtés AE, AB —c, et 
l’angle compris BAE égal à la somme des deux angles 
BAC — À, CAE — 180°— «. Nous pourrons donc cal- 
culer l'angle ABE, et alors les trois angles du triangle 
ABM seront connus, et les deux rayons yisuels MA, 
MB, seront donnés par les proportions 


siny : sin ABM —c : AM, 
sin y : sin BMA —c : BM. 


Appliquons ces règles aux données 


a— BC — 12000", 


b—AC— 8600, 


À — 95° 55° 55°,6, 
B — 45 38 29,4, 


c—AB— 7800, C—40 25 355,0, 


et supposons que les angles observés au point M soient 


a = CMB — 115° 25'30", 
= AMC=— 115 59 5, 
y = AMB = 190 35 25, 


nous aurons, par suite, 


180° — = 180°— 130°35" 25° == 49° 2455", 
ay 180° — 246° 055" me 180°=—60° 0° 55°, 


LEV 
Substituant ces valeurs dans l'expression de AE, elle 
deviendra 


NE 8600. sin (49° 24" 35°) 


D'où, en réalisant les calculs, 


Log 8600 — 3,9344984 
Log sin (49° 2435") — 9,8804606 


15,8149590. 
Log sin (66° 055") — 9,9607817 


Log AE — 5,8541773 
AE —7147",88. 


Pour avoir l'angle ABE, les données seront : 


AE AB—7147,88 7800 —14947,88 
AB—AE=7800—"7147,88— (052,12; 


et de plus, à cause de angle BAE = A + 180°— à = 
158° 30’ 25",6, 


+ 4 (ABE+AEB) = 10°44 47,2. 


Désignant par à la demi-différence de ces mêmes an- 
gles ABE, AEB, nous calculerons à par la proportion 


14947,88 : 652,129 —tang (10° 44' 47,2) : tangô. 


Log652,12 — 2,8143275 

Log tang (10°44"47";2) = 9,2782771 
12,0926046 

Log 14947,88 — 4,1745796 


Log tang9 — 7,9180250 
D'où 
= 0° 28’ 27",8. 

Retranchant cette demi-différence de la demi-somme 
10° 44 47,2, nous aurons le plus petit des deux angles, . 
savoir : ABE — 10° 16'19°,4, qui est opposé au plus 
petit côté AE. 


Maintenant, pour calculer les rayons visuels MA, MB, 
nous avons, dans le triangle AMB, 


AB—7800, ABM=—10°1619",4, AMB==—=150°55"ab". 


LEV 


Le troisième angle BAM, conclu des deux autres, est 
39° 8'15",6. Ces valeurs donnent 
sin (130°35' 25°) : sin (10° 16’19',4) = 780 : AM 
sin (150° 55'25°) : sin (39° 8'15",6) = 780 : MB. 


Voici les calculs, en observant que le sinus de l’angle 
obtus 130° 35’ 25" est égal au sinus de son supplément 


49° 24° 35°. 


Log 5800 — 5,8920946 


Log sin(10°16' 19,4) — 92512057 : 
13,1453005 
Log sin (49°24' 35) — 9,8804606 


Log AM — 53,2628397 
AM — 1831",6. 


Log 5800 — 53,8920946 
Log sin (39° 8'15°,6) — 9,8001572 
13,6922518 
98804606 


———————— 


Log sin (49° 24° 35") 
Log MB — 5,8117912 
MB — 6483",3. 


Second cas. Le point M est hors du triangle connu 
ABC (PI. XIV, fig. 6). 

Concevons toujours la circonférence du cercle AECM 
et les droites AE et CE. Les angles observés seront 
AMB, BMC, AMC, et l’on aura AMB — ACE, BMC — 
EAC ; de sorte que dans le triangle AEC, les trois an- 
gles étant connus, ainsi que le côté AC, on pourra cal- 
culer AE. : 

Dans le triangle ABE , on calculera l'angle ABE au 
moyen des deux côtés connus AE, AB, et de l’angle 
compris BAE — BAC — EAC. 

Enfin, connaissant ainsi les trois angles du triangle 
BAM, on pourra calculer les deux côtés AM et BM, qui 
sont les rayons visuels cherchés. Les calculs étant les 
mêmes que dans le cas précédent, nous nous bornons 
à les indiquer. 

Troisième cas. Le point M est sur la direction de l’un 
des côtés du triangle connu ABC (PL. XIV, fig. 7). 

Si le point M est entre les deux points A et C, on a 
tout de suite les deux rayons AM et BM, puisque dans 
le triangle ABM on connaît les deux angles BAC, AMB, 
et le côté AB. 

Si le point M est seulement dans la direction de AC, 


- LEV 259 


on connaît pareillement dans le triangle ABM les an- 
gles BAC, AMB et le côté AB, d’où l’on peut calculer 
AM et BM. 

6. Ce problème, qui se présente souvent dans la 
construction des cartes, peut être résolu très-aisément 
par une opération graphique enseignée tom. I, p. 269. 

9. PROBLÈME III. De l'extrémité À d’une droite connue 
AB ne pouvant, faute d'objets, prendre que l'angle XAB, 
et le point X étant invisible de B, former le triangle ABX 
par le moyen d'autres points, connus D ef F, desquels les 
objets X et B puissent être vus. (PI. XIV, fig. 8.) 

Quoique de B on ne puisse voir l’objet X, le seul qui 
‘ait été observé de A, pourvu que l’on en puisse obser- 
ver d’autres, on peut aller en avant, dans l'espérance 
que de quelques-uns des objets vus de B on pourra ob- 
server X. Laissant donc indéterminé le triangle ABX, 
on ira recourir, par exemple, à D et à F, d’où l’on ob- 
servera B et X en formant les angles des deux triangles 
BDF, DXF. La difficulté est de calculer ces triangles et 
de les lier avec A et B. 

Supposons le problème résolu, c’est-à-dire les cinq 
points A, B, X, D, F fixés sur le plan. Si du point C, 
intersection des droites AX et BD, nous menons CG 
parallèle à XF; puis du point G, GH parallèle à DF, 
nous déterminerons sur les côtés BX et BD deux points 
Let H, tels que la droite IH sera parallèle à DX. En effet, 
d’après les parallèles GH et DF, on a 


BG : BF — BH : BD; 
et d’après les parallèles CG et XF, 

BG : BF — BI : BX; 
donc 


BH : BD — BI: BX.. 


et par conséquent HI est parallèle à DX. 

Ainsi, abstraction faite de la ligne BX, le point I peut 
être déterminé sur CG, en menant par H la droite HI 
parallèle à DX ; et comme ce point se trouve sur BX, il 
donne, comme on va le voir, la solution du problème. 

Dans le triangle ABC, le côté AB et les deux an- 
gles connus CAB, ABC, donnent l'angle de supplément 
ACB et le côté CB. 

Dans le triangle CBG, dont on vient de trouver le 
côté CB, on a les angles CBG et CGB — angle observé 
XFB; on peut donc calculer les côtés CG et BG. 

Dans le triangle BGH, on a le côté BG et les deux 
angles HBG et BGH—BFD, d’où l’on peut calculer 
les côtés BH et GH. 

Dans le triangle GHI, dont on «a les deux angles 


260 LEV 


IHG — EDF, et IGH — BGH — BGC —BFD—BFX, 
ainsi que le côté GH, on calculera le côté HI. 

Enfin, dans le triangle HBI, dont on a l’angle BHI — 
BDX, et ïes côtés qui le comprennent BH et HI, on 
aura l'angle cherché HBI ou HBX, qui détermine le 
triangle ABX. 

On pourra calculer ensuite toutes les autres parties 
des triangles ABX, DBF, XBF, XFD, qui fixent les re- 
lations des cinq points À, B, X, D, F. : 

8. Proszkur IV. Connaissant les deux parties AB et 
CD d’un alignement qui traverse un marécagé, ou autre 
endroit qu'on ne peut mesurer avec la chdîne, trouver la 
partie comprise BC au moyen des angles «, B, y observés 
d'un point E, d'où l’on découvre les trois parties AB, BC 
et BD de l'alignement. (PL. XIV, fig. 10.) 

Désignons les grandeurs connues AB par 4, CD par b, 
et la longueur cherchée BC par æ. Représentons en 
outre par + l'angle ABE, et par Ÿ l’angle BCE. Ces 
deux angles ne sont pas donnés dans la question; mais 
comme % est extérieur par rapport au triangle BCE, on 


ap—Ÿ +6; d'où —»— 86, relation qui permet de 


les éliminer après s’en être seryi pour trouver Ja liaison | 


des données avec l’inconnue du problème. 
Nous avons, dans le triangle ABE, 


a: AE = sine: sin; 
et dans le triangle AEC, 
AE : (ax) = sin : sin (x +6). 


Maultipliant ces deux proportions terme par terme, re- 
tranchant le facteur commun AE, et remplaçant 4 par 
g— 6, il vient ..…..(1) 


a:(aHx)—sine. sin (s—f) : sing. sin (x48). 


Nous obtiendrons de la même manière, en considé- 
rant les triangles EDC, EDB, et en observant que les 
angles ECD et EBC, supplément des angles 4 et », ont 
les mêmes sinus que ces derniers (2) 


b:(b+x) = sin y: Sing: sin(o—$). sin (BH). 


Multipliant terme par terme les proportions (1) et (2), 
et divisant ensuite le second rapport par le facteur com- 
œaun sin. sin (— 6), nous aurons définitivement 


ab: (ax) (bx) sine. sin y : sin (af) sin(8+); 


Ce qui nous donnera, en dégageant +, 


ami (+n Env] 
EEE) 


sir 


= 
&R 
xn 
Sn 
= 
[=] 
Le 


LEV 


Cette formule se réduit à 


nn Lente) 


sinx.siny 


lorsque a — b, circonstance qu’on est souvent le maître 
de rencontrer dans la pratique. 

Soient, par exemple, a —b— 100 mètres; «= 55°, 
B=—= 42°, y—597", le calcul sera 


Log sin(«—+f)— 9,988725g 
Log sin (847) — 9:9919466 


Somme — 19,9806705 


Log since — 


9:7585913 


Log siny — 9,7794630 


Somme — 1 9,93805/43 


1r° somme — 19,980670ù 
2e somme — 19,5980543 


Différence — 0,4426162 


Moitié. . — 0,2215081 


Loga— 2,0000000 


2,2218081 


Le nombre correspondant à ce dernier logarithme étant 
166,46, nous avons pour la longueur cherchée BC, 


æ = 166,46 — 100 — 66",46. 


9. Propcème V. Réduire au centre de la station les 
angles observés à quelque distance de ce centre. 

Lorsqu'on veut lier des points inconnus avec d’au- 
tres points déjà fixés, il arrive souvent qu'il est impos- 
sible de placer exactement l’instrument sur ces der- 


niers, et on est alors forcé de faire subir aux angles . 


observés une réduction, pour les rendre tels qu'ils se- 
raient si le centre du graphomètre eût coïncidé avec le 
point connu, et qu’on nomme le centre de la station. 
Si, par exemple, il s'agissait d'observer l'angle ABC 
(PI. XIV, fig. 12) du point B déterminé par ses rela- 


tions avec d’autres points, mais dont on ne peut appro- 
cher qu’à une petite distance BB’, parce que ce point 


est le sommet d’un clocher ou de quelque autre édifice, 
l'angle AB'C mesuré du point B', où l’on établirait 
l'instrument, différerait généralement de l’angle ABC 
qu'il s’agit d'obtenir. Les opérations numériques par 
lesquelles on conclut l’angle ABC de l’angle AB'C por- 
tent le nom de réductions au centre des stations. 


LEV 

La distance BB’ comprise entre le centre B de la sta- 
tion et le point B' où l’on observe, se nomme distance 
au centre; nous la désignerons par r. 

Les côtés BA et BG de l’angle au centre, sont les 
rayons centraux. 

Les angles AB'B, CB'B, formés par les rayons visuels 
et la distance au centre, sont appelés angles à la di- 
rection. 

Les angles B'AB, B'CB, formés par les rayons vi- 
suels et les rayons centraux, se nomment angles op- 
posés à la distance. 

L’obseryateur peut avoir trois positions différentes à 
l'égard du centre et des objets : ou il est dans la direc- 
tion même du centre à l’un de ces objets (PI. XIV, 
fig. 15), ou dans une direction intermédiaire (fig. 12), 
ou enfin dans une direction oblique (fig. 11). Dans le 
premier cas, la ligne du centre BB' prolongée passe par 
l’un des objets, dans le second elle passe entre eux, et 
dans le troisième elle passe en dehors. 

Première position. Si l'observateur est en B' (fig. 15) 
entre le centre et l’un des objets, l'angle observé AB'C 
est plus grand que l'angle au centre ABC de l’angle 
B'CB. S'il est en B’ de l’autre côté du centre, l’angle 
observé AB'C est plus que l'angle ABC de l'angle B'CB. 

Seconde position. Si l'observateur est en B' (fig. 12), 
l'angle observé AB'C est plus grand que l'angle au 
centre ABC de la somme des angles BAB', BCB'. S’il est 
en B’, l’angle observé AB'C est au contraire plus petit 
que l’angle au centre de la somme des angles BAB’, 
BCB’. 

Troisième position. Si l'observateur est en B'(fig. 11), 
l'angle AOC extérieur par rapport aux deux triangles 
AOB, COB étant égal à la somme des angles intérieurs 
opposés, on a 


BAB' + ABC — BCB' + ABC; u 


d’où 


ABC = ABC + BCB'— BAB'; 

c’est-à-dire que l’angle observé diffère de l'angle au 
centre de la différence des deux angles BCB', BAB'. 

Ainsi, dans tous les cas, l’angle au centre sera connu 
quand on connaîtra les angles opposés à la distance: 

Désignons généralement par m et n, comme c’est 
l'usage, les angles opposés à la distance, et notamment 
BAB' par m et BCB' par ; représentons en outre par y 
l'angle à la direction CB'B, et par y’ l'angle à la direc- 
tion AB'B, angles qu'il faut toujours observer concur- 
remment avec ABC, que nous ferons — À en consa- 
crant la lettre O à l’angle au centre ABC. Ceci posé, et 
es rayons centraux AB et BC étant toujours représentés 


LEV 261 


par les lettres D et G, savoir : le rayon de droite BC 
par D, et le rayon de gauche AB par G, nous ayons: 
Premier cas (fig. 15). L’observateur étant en B, 


—AÀ— n, 


L’observateur étant en B, 


O—A<+n, 
EE 
— D . 


Si les points B’ ou B’ étaient sur la direction du rayon 
central CB au lieu d’être sur celle de AB, on change- 
rait dans ces formules # en m et D en G. 

Second cas (fig. 12). L’observateur étant en B’, 


2 T sin 
sin # — J, 


Siam = —% , D 


L'observateur étant en B', 
O—A+m-n, 


les angles met n ayant les mêmes valeurs que ci-dessus. 
Troisième cas (fig. 11). L’observateur étant en B', 


O=A+n—1Mm, 


sinm = L _ sinn —= ee 3, 
L’observateur étant en B', 
O—A+m—n, 
sin m = LT, sin n — 2 EE 


Lorsque les rayons centraux D et G ne sont pas con- 
nus, il faut lier les points A, B, C avec d’autres points 
capables de déterminer leur longueur, soit par des cal- 
culs de triangles, soit simplement par des opérations 
graphiques; car r étant toujours très-petit par rapport 
a D et à G, il n’est pas nécessaire d'évaluer ces côtés 
avec une précision rigoureuse. Nous prendrons, pour 
application, le cas où l'angle observé est releyé du 
point B' (fig. 12); soient 

BC— D — 2000", 


AB—G=—1855n, BB'—r—10», 


AB'C— A —6ÿ020", ABB y'= 135030", CD'B= y= 15910", 


LEV 


dans les formules du second 


262 


Substituant ces valeurs 


cas, NOUS aurons 


Logr — 1,0000000 

Log siny — 9,8456618 

10,8426618 

Log G— 53,2683439 

Log sinm— 5%,5773179 
M— "12 59: 


Logr — 1,0000000 


Log sin y— 9,9510257 


10,5510297 

Log D — 53,5010500 

Log sin n — 7,2299997 
N'—= G' 7° 


Nous avons donc 
O — 65° 20° — 12° 59 — 6" 7" — 65° 0’ 54. 


10. ProsLkme VI. Ayant observé au point O (PI. XIV, 
fig. 9) l'angle DOE de deux objets D et E inégalement 
élevés au-dessus de l'horizon, trouver l'angle BAC, pro- 
jection de DOE, sur le plan horizontal. 

Lorsqu'on forme entre les divers points d’un terrain 
une suite de triangles pour én lever le plan, ce ne sont 
pas ces points eux-mêmes qui figurent sur le plan, mais 
bien leurs projections sur une même surface parallèle 
à l'horizon, et qu’on peut considérer comme plane pour 
des terrains dont l’étendue n’est pas très-considérable. 
L'observateur doit donc, autant que possible, choisir 
des objets dont le niveau apparent soit sensiblement le 
même que le sien, car dans le cas contraire ses trian- 
gles ne se trouveraient pas dans un même plan, et il lui 


serait impossible de les faire concorder sur le papier, à 


moins d'opérer les réductions qui font l’objet du pré- 
sent problème. Pour donner une idée exacte de la ques- 
tion, soient B', C', D', E’, divers objets inégalement 
élevés sur un plan horizontal MN (P. XIV, fig. 14) où 
l'observateur relève du point O les anglesB'OC’,B'OE', 
L'OD', D'OC'. Ces points seront représentés sur la carte 
du terrain par leurs projections À, B, C, D, E, et la somme 
de tous les angles au point À sera égale à quatre an- 
gles droits; de sorte que si l’observateur sc servait des 
angles relevés, et non des angles réduits ou projetés 
BAC, BAE, EAD, DAC, dont la somme, dans le cas 
de notre figure, est plus grande que quatre angles droits, 
il ne pourrait Les tracer les uns à côté des autres sans 


LEV 


faire rentrer le dernier D'OC' dans le premier B'OC', et 
par conséquent les lignes de sa carte ne pourraient in- 
diquer les relations des diverses parties du terrain, Car 
le point C’ de l’angle-D'OC' ne coïnciderait pas avec le 
point C' de l’angle B'OC', quoique ces deux points se 
confondent sur le terrain. 

Il existe des cercles, munis de lunettes mobiles, qui 
donnent immédiatement l’angle horizontal BAC quand 
on observe l'angle incliné B'AC'; mais comme on n’a 
pas toujours de tels instrumens à sa disposition, il est 
essentiel de connaître les moyens d’y suppléer par les 
méthodes de calcul dont leur emploi dispense. 

Soit O (PL. XIV, fig. 9) le centre des observations, 
et DOE l'angle qu'il s’agit de réduire à l’horizon, ou 
dont il s’agit de trouver la projection horizontale BAC. 
Il faudra non seulement relever l'angle DOE, mais en- 
core les angles ZOD et ZOE que font, avec la verticale 
du point O, les rayons visuels OD et OE; ces trois 
angles étant supposés connus, nous poserons 


DOE —x, Z0D—h, ZOE—#h', BAC — A. 


Imaginons maintenant que le point O est au centre 
d’une sphère dont le rayon On — 1; les arcs de cercle 
nm, pn, pm, formés sur la surface de cette sphère par 
les sections des plans DOE, DOAB, EOAC, seront les 
mesures respectives des angles DOE, DOA, EOA, dont 
le premier est l’angle à réduire +, et les deux autres les 
supplémens des angles k et k’. Or, l’angle BAC étant 
l'angle des deux plans DOAB, EOAC, est le même que 
l'angle npm du triangle sphérique mnp, et la question 
est ramenée à trouver cet angle #pm par le moyen des 
trois côtés connus du triangle sphérique ; savoir : 


nMm—a, pn—180°—h, pm— 180 —. 
C2 
Substituant ces valeurs dans la formule connue 
(voy. tom. IT, pag. 591), on aura .…..(1) 


ER sin?(a—h—h'). sin? (eh —h)], 
Do VA [ sul oh | 


dans laquelle il n’y a plus qu’à donner aux quantités 
«, k, k' des valeurs déterminées pour obtenir l’angle 
réduit A. 


Si les deux angles au zénith À et k étaient égaux, ce 


qui arrive lorsque les deux objets D et E sont également 
élevés au-dessus ou également abaïissés au-dessous du 
plan horizontal passant par le centre O, la formule 
précédente se réduirait à ....(2) 


+ 
& Sin -æ. 
sniA=-—- 
:A sin À ‘ 


am 


LEV 


Enfin, dans le cas où l’un des objets, D, serait élevé 
au-dessus du plan horizontal, passant par le point O, 
de la même quantité que l’autre objet E serait abaissé 
au-dessous de ce plan, on aurait 


90°—h = h — 90", 
ou 
h—180 —h. 


Cette valeur de k’ introduite dans la formule (1), après 
ayoir élevé ses deux membres au carré la transforme en 


sin (3@ + h— 90°) . sin (Ge — h- h=+ 90°) 


LME ue 7 sin?4 


Passant des produits aux sommes, il vient 


‘ur sin? k — cos? 4 cos?T?a 
sin? = — 
d sin? k sin? 


et, par suite, 


Or, 
1—sin?5 A — cos?1 A, 
donc ….(3) 
ra COS 
50p5 À + sink 


On a rarement à se servir des formules (2) et (3); 
mafs le calcul de la formule (1) est si simple, que nous 
le préférons aux expressions approximatives qu'on lui 
substitue dans plusieurs ouvrages. Elle devient, en em- 
ployant les logarithmes, 


Log sin: a+ 20 logsin: (eh — — h') 
hr logi(a +h—h)— log sin — log sin n. 


Prenons pour exemple d'application les données sui- 
vantes : 


Angle observé 


a "90°, + 


Angles au zénit h—82°, h'—81° 10", 


séemhmh)= 69" 10, i(a+h—h)= 7050". 


LEV 263 


Le calcul donne : 


Carré du rayon = 20,0000000 
Log sin 69° 10 — 9,9706346 
Log sin 70°50 — 9,9722330 
Somme .. . .. — 39,9458676 
Log sin82° — 9,9957528 


Différence . . . — 29,9901148 
Log sin81°10 — 9,9948181 


. = 19,9552967 
Moitié .....— 9,9776483 — log sin< A 
Angle réduit = 71°46 27,7. 


Différence . . 


11. La formule (1) se simplifie beaucoup lorsqu'un 
des deux objets se trouve dans le plan de l’observa- 
teur. Dans ce cas, une des distances au zénith, k', par 
exemple, est de 90°; si l’on fait donc k'— 90°, on ob- 
tient, par des transformations analogues à celles dont 
nous ayons fait usage, 


COS « 
MmSnAs 


Dans les grandes triangulations, la réduction des an- 
gles au plan horizontal se complique de diverses parti- 
cularités pour lesquelles nous devons renvoyer aux 
ouvrages spéciaux, et particulièrement au Zraité de 
Géodésie de M. Puissant. 

12. PROBLÈME VII. Rapporter les principaux points 
d’une carte à la méridienne et à sa perpendiculaire. 

Lorsqu'on trace sur le papier les triangles observés 
sur le terrain, il est impossible, malgré tous les soins 
les plus minutieux, que le dessin soit rigoureusement 
exact. Si l'on sé sert d’un rapporteur pour construire 
les angles, on n’a qu’une grossière approximation, dont 
l'erreur devient sensible dès le premier triangle. Si l’on 
emploie les échelles des cordes, ou même si, pour plus 
d’exactitude, on a calculé les trois côtés de chaque 
triangle, afin de n'avoir pas besoin de s'occuper des 
angles, il suflit de l’épaisseur des pointes des compas ct 
des crayons pour produire, dans la fixation des som- 
mets d’un triangle, une inexactitude qui, d’abord im- 
perceptible, influe sur les triangles suivans et s'accroît 
très-rapidement à mesure que leur nombre augmente. 
C’est pour éviter cette multiplication d'erreurs qu’on a 
imaginé de rapporter la position de chaque point, en 
particulier, à deux droites perpendiculaires entre elles 
tracées sur le plan, et qui sont ordinairement la méri- 
dienne (voy. ce mot) de l’un des points les plus remar- 
quables du terrain, et la perpendiculaire à cette méri- 
dienne passant par le même point, 


264 LEV 


Il n’est pas indispensable, pour cette opération, de 
connaitre la direction de la méridienne avec une grande 
exactitude: car toute autre ligne d’une direction donnée 
pourrait remplir le même office; aussi se contente-t-on 
des indications de la boussole. Ce qu'il importe, c’est 
de déterminer l’angle que fait la méridienne adoptée 
avec un côté d’un quelconque des triangles du ré- 
seau. 

Supposons qu’étant au point À (PI. XIV, fig. 15) la 
direction de l’aiguille aimantée fasse avec la droite AC 
un angle de 45°; la déclinaison de l'aiguille étant à 
cette époque de 22° 10’, la ligne du Nord, ou la méri- 
dienne NS du point À, fera donc avec la ligne AG un 
angle de 25° 5o', et comme l’angle BAC est un de ceux 
qui ont été relevés dans la triangulation, on connaitra 
l’angle BAN = BAC — 25° 50° que forme le côté AB 
avec la méridienne NS. Si, par exemple, l’angle BAC 
était de 125°, l'angle BAN serait de 102° 10’, et alors, 
après ayoir tracé sur le caneyas une ligne NS, faisant 
avec AB un angle de 102° 10", on lui mènerait par le 
point À la perpendiculaire OE; ces deux droites se- 
raient les axes coordonnés (voy. ArpLicaTion, tom. I), 
auxquels il s'agirait ensuite de rapporter tous les points 
de la triangulation. 

Soient A, B, C, D, E, F les sommets des triangles 
observés; imaginons par chacun de ces points deux 
droites respectivement parallèles à la méridienne NS 
et à sa perpendiculaire OE; nous aurons en particulier, 
pour le point D, D parallèle à NS et mD parallèle à OE, 
et il est évident que la position du point D sur le plan 
sera parfaitement déterminée, quelles que soient d’ail- 
leurs ses relations avec les autres points, lorsqu'on con- 
naîtra la longueur des lignes nD et mD ; car, en pre- 
pant sur AL la partie An — mD, et sur AS Ja partie 
Am —nD, les perpendiculaires mD et nD élevées aux 
points m et n se couperont au point B. La même chose 
ayaut lieu pour tous les autres points B, C, E, etc., on 
voit qu’on pourra placer chacun d’eux isolément sur la 
carte, et que les petites erreurs provenant de l’épais- 
seur des lignes, ou de l'inégalité du papier, se réparti- 
ront également, au lieu de s’accumuler, en passant 
d’un point à un autre. 

Tous les rayons qui concourent au point A étant 
connus de longueur et de direction, on obtient, par une 
addition ou une soustraction, les angles qu'ils forment 
avec la méridienne, et l’on n’a plus que des triangles 
rectangles à résoudre pour calculer les distances de 
leurs extrémités à la méridienne et à sa perpendi- 
culaire. 

Si l’angle CAD est de 92° 50’, l’angle NAD sera 


NAC CAD — BAC = BAN + CAD, 
= 125°— 102° 10 + 92° 50° = 115°40'; 


LIE 


et, par conséquent, dans le triangle rectangle nAD, 
dont l’angle en A est 


NAD — 90° = 115°40' — 90° — 25° 40’, 
on aura 


nD —mA = AD , sin 25°4o’, 


mD = nA = AD. cos 25° 4o', 


et de même pour tous les autres rayons AG, AH, AB, 
AG, AF, AE. 

Quant aux points tels que K et R observés d’une 
autre station H, et qui ne sont pas immédiatement liés 
avec le point A, on peut les rapporter à une autre mé- 
ridienne N'S', c’est-à-dire à une parallèle à la méri- 
dienne NS passant par le point H déjà fixé sur le plan 
par les distances Hp, He. On connaît l’angle S'HA — 
HAN ; ainsi, à l’aide de cet angle et des angles observés 
autour du point H, on peut déduire la valeur de l’angle 
KHa, puis calouler les distances Ka, Ha suffisantes 
pour placer le point K dans le plan. D’ailleurs, lorsque 
Ka et Ha sont connus, on a 


Kb —Ka—+ ab = Ka + Hp, 
Kd— Hc — Ha, 


et l’on peut, si l’on veut, n’employer que la seule mé- 
ridienne NS. (Voyez, pour les détails, le Traité d'Ar- 
pentage de M. Lefevre. Les grandes opérations géodé- 
siques doivent être étudiées dans les traités de Géodésie 
et de Zopographie de M. Puissant.) 


LIEUE. (Métrol.) Ancienne mesure itinéraire usitée 
en France, et qui, sous le même nom, désignait plu- 
sieurs longueurs différentes. On divisait les lieues en 
grandes, moyennes et petites, ou en lieues de 20, 25 et 
50 au degré terrestre. Les premières, nommées aussi 
lieues marines, étaient évaluées à 2851 + toises; les 
lieues moyennes à 2283 toises, et plus exactement 
à 2281 toises, et les petites à 1900 + toises. Outre ces 
lieues légales, chaque province avait sa lieue particu- 
lière très-arbitrairement déterminée, et l’on se servait 
encore, pour la mesure des postes, d’une lieue de 
2000 toises, nommée lieue de poste. Les réformateurs du 
système métrique ont substitué à toutes ces mesures 
une unité fixe, le kilomètre (1000 mètres), dont il faut: 
espérer que l’usage s’étendra généralement, et fera dis- 
paraître des dénominations qui ne sont plus en rapport 
avec les évaluations modernes, 

Le quart du méridien terrestre, dont la dix million- 
nième partie forme notre mètre, contenant 90° inégaux 


(voy. Tenre, t. IS, et Ficure pe 24 Tac), la longueur du 


LOG 


degré moyen est de 111111 + mètres, ou de 141% kilo= 


mètres; ainsi, 


La lieue de 20 au degré équivaut à 5 À kilom. = 5555 


Q : + 
La lieue moyenne de 25 au degré 4 + 


La petite lieue de 30 au degré. 3 — 5505 
: : 7 
La lieue de poste, à peu près... 3 — 3898 


Toutes les réductions des toises en mètres, et vice 
versä, s’ellectuent au moyen des rapports généraux 


1 toise —= 1°,949097, 


1 mètre — 0',913074, 


déterminés très-exactement entre la toise dite du Pérou 
et le mètre adopté définitivement en 1801. (Voy. Me- 
surE, tom. II.) 


LOGARITHMES. La théorie des logarithmes ayant 
été développée, tom. IE, dans tous ses détails, nous ne 
considérerons ici ses fonctions importantes que comme 
un instrument de calcul dont il est essentiel de popu- 
lariser l’usage. C’est dans ce but que nous donnons la 
table suivante, qui, malgré son peu d’étendue, présente 
immédiatement les logarithmes des nombres jusqu’à 
10000, et les donne jusqu’à 1000000 à l’aide d’une pe- 
tite opération sur les différences. Les principes de sa 
composition étant les mêmes que ceux des grandes ta- 
bles de Callet et de Borda, les explications dans les- 
quelles nous allons entrer sur son emploi pourront s’ap- 
pliquer à ces dernières; mais on peut se contenter de la 
nôtre pour toutes les questions relatives au commerce 
et à l’industrie. 

1. Les logarithmes vulgaires des nombres entiers se 
composent de deux parties : l’une entière, qu’on nomme 
la caractéristique, et l’autre fractionnaire, exprimée en 
décimales. La caractéristique ayant toujours autant d’u- 
uités que la partie entière du nombre a de chiftres 
moins un (voy. LocariTHMES, tom. II), on l’omet ordi- 
nairement dans les tables; ce qui ne peut jamais être 
une cause d'erreur, puisque l'inspection seule du nombre 
dont on cherche le logarithme fait connaître cette ca- 
ractéristique. Ainsi, les logarithmes des nombres, de- 
puis 1 jusqu’à 9 inclusivement, ont o pour caractéris- 
tique; ceux des nombres depuis 10 jusqu’à 99 ont 1; 
2, depuis 100 jusqu’à 999; 5, depuis 1000 jusqu’à 
9999; etc., etc. Un nombre quelconque étant donné, 
on connaît donc immédiatement la caractéristique de 
son logarithme, et il suflit de trouver dans les tables la 
partie fractionnaire de ce logarithme pour qu’il soit eu- 
tièrement déterminé, 

a. La table ci-jointe se compose de onze colonnes, 

Tom. ur. 


LOG 265 
intitulées N, 0, 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 8, 9. La première 
colonne à gauche, marquée N, contient les nombres na- 
turels, depuis 100 jusqu’à 999; la seconde colonne, 
marquée o, offre les logarithmes de ces nombres, ou 
du moins leurs parties fractionnaires, car les caracté- 
ristiques ne s’y trouvent pas. Comme chaque logarithme 
a ses deux premiers chiffres décimaux communs avec 
quelques-uns de ceux qui le suivent, on s’est contenté 
d'écrire une seule fois ces chiffres communs au lieu de 
les répéter; de sorte que, lorsqu'on ne trouve que quatre 
chiffres, dans la colonne o, devant le nombre proposé, 
il faut les faire précéder par le groupe isolé de deux 
chiffres, le plus prochain en remontant. Si l’on deman- 
dait, par exemple, le logarithme du nombre 201, de- 
vant lequel on ne trouve, dans la colonne o, que les 
quatre chiffres 3196, on écrirait à la gauche de ces 
quatre chiffres le nombre isolé 30, qu’on rencontre le 
premier en remontant la colonne; la partie décimale du 
logarithme cherchée est donc ainsi 305196, et l’on’au- 
rait, en ajoutant la caractéristique, 


Log 201 = 2,503196. 


3. La colonne o ne donne pas seulement les loga- 
rithmes des nombres depuis 100 jusqu’à 999, mais en- 
core ceux de tous les nombres qui sont des multiples ou 
des sous-multiples décimaux de ces premiers : car on 
sait (voy. tom. IT, pag. 186) que les nombres décuples 
les uns des autres ont des logarithmes qui ne diffèrent 
que par leurs caractéristiques. Le nombre 305196, que 
nous venons de trouver pour la partie décimale du lo- 
garithme de 201, est donc en même temps la partie dé- 
cimale des logarithmes des nombres 2,01, 20,1, 203, 
2010, 20100, 201000, etc.; c’est-à-dire qu’on a 


Log 2,01 
Log 20,1 —1,305196 
Log 201 —= 2,303196 
Log 2010 —5,505196 
Log 20100 = 4,303196 

etc. —. etc:, 


et ainsi de même pour tous les autres. 

C’est à cause de cette propriété des logarithmes vul- 
gaires que nous n’avons pas cru devoir donner à part 
les logarithmes des nombres depuis 1 jusqu’à 99, qui se 
trouvent compris parmi ceux des nombres depuis 100 
jusqu’à 999- Ainsi, pour avoir le logarithme de 8 ou 
celui de 80, on cherchera celui de Soo, et comme la 
partie décimale de ce dernier, donnée par la table. est 


909090, On aura 


Log 8 = 0,909090; Log 80 = 1:903000. 


3% 


266 LOG 


En général, toutes les fois que le nombre proposé 
sera plus petit que 100, on lui ajoutera un ou deux zéros 
à droite, de manière à ce qu’il devienne l’un de ceux 
compris dans la colonne N; puis on donnéra une carac- 
téristique convenable à la partie décimale du logarithme 
qu’on trouvera dans la colonne o. Proposons-nous, par 
exemple, de trouver le logarithme de 19; nous cher- 
cherons celui de 190, qui a pour partie décimale, dans 
la colonne o, 278554, et nous aurons 


Log 19 = 1,278754. 


4. On voit, d’après ce qui précède, que la colonne o 
peut être considérée comme donnant immédiatement 
les logarithmes des nombres 1000, 1010, 1020, 
1050, etc. Pour avoir les logarithmes des nombres in- 
termédiaires 1001, 1002, 1005, etc.; 1011, 1012, 
1015, etc.; 1021,1022, 1029, etc., il faut avoir recours 
aux colonnes marquées 1, 2, 5, 4, 5, 6, 7, 8, O0; celles- 
ci offrent les quatre dernières décimales des logarithmes 
des nombres terminés par ees mêmes chiffres 1, 2, 5, 
4, 5, 6, 7, 8, 9, c’est-à-dire que la colonne 1 corres- 

‘pond aux nombres terminés par 1, tels que1001, 1011, 
1021, 1091, 1041, etc., étc.; que la colonne 2 corres- 
pond aux nombres terminés par 2, tels que 1002, 1012, 
1022, 1092, 1042, elc., etc., et ainsi des autres. De- 
mande-t-on, par exemple, le logarithme de 2475; on 
cherchera dans la colonne N le nombre 2/47, puis on 
prendra dans la ligne des chiffres placés devant ce nom- 
bre les quatre chiffres compris dans la colonne 5, savoir: 
3575; on écrira à leur gauche le nombre 39, qu’on 
trouve isolé dans la colonne o en remontant, et l’on 
aura, en ajoutant la Caractéristique 3, parce que 2475 
est compris entre 1000 et 9999 » 


La table présente done immédiatement les logarithmes 


de tous les nombres depuis 1 jusqu’à 10000, et, ceci 


bien compris, il est facile de résoudre les deux questions 
suivantes, auxquelles on peut ramener tout ce qui con- 
cerne son usage. 

5. Pronzène Ï. Un nombre quelconque étant donné, 
trouver son logarithme. 

S 1le nombre n’a que quatre chiflres significatifs, on 
cherchera les trois premiers dans la colonne N, puis on 
suivra de l’œil la ligne sur Jaquelle on les aura trouvés, 
jusqu’à ce qu’on soit dans la colonne qui porte pour in- 
dice le quatrième chiffre. Les quatre chiffres ou figures 
qui sont dans cette dernière colonne et dans laligne- 
ment des trois premiers chiffres du nombré donné sont 
les quatre dernières décimales du logarithme cherché. 


Quant aux deux premières, on les trouvera dans Ja 


LOG 


colonne 0, où elles sont isolées par un point, soit im- 
médiatement devant les trois premiers chiffres du nom- 
bre, soit en remontant jusqu’au premier groupe isolé 
de deux chiffres qu’on rencontre au-dessus de leur ali- 
gnement, Soit, par exemple, 568 le nombre dont on 
demande le logarithme; on cherchera 756 dans la co- 
lonne N, et, parcourant la ligne du nombre #56, on 
s'arrêtera à la colonne marquée 8, dans laquelle on 
trouvera 8981; ces chiffres sont les quatre derniers 
chiffres décimaux du logarithme de 7568. Pour avoir 
les deux premiers, on examinera si dans la colonne o il 
ne se trouve pas, dans l’alignement de 756, deux chif- 
fres isolés des autres par un point, et comme on n’en 
rencontre pas, on remontera jusqu'aux premiers chiffres 
isolés, qui sont 87; la partie décimale du logarithme 
est donc 878981, et il ne s’agit plus que de lui donner 
une caractéristique convenable. Dans le cas du nombre 
entier 7568, cette caractéristique serait 3; elle serait 2 
si le nombre était 756,8; 1, s’il était 95,68; etenfino, 
sil était 7,568. Nous examinerons plus loin quelles ca- 
ractéristiques on doit donner aux nombres entièrement 
fractionnaires ou plus petits que l’unité, tels que 0,568, 
0,07568 , etc. 

6. Si le nombre proposé a moins de trois chiffres si- 
gnificatifs, on trouvera son logarithme au moyen de la 
seule colonne 6, comme nous l'avons indiqué ci-dessus. 

7. Quel que soit le nombre des zéros qui terthinent 
un nombre donné, pourvu qu'il wait pas plus de quatre 
chiffres significatifs, on trouvera donc immédiatement 
son logarithme dans la table. Par exemple, si au lieu du 
nombre 7568 il s'était agi du nombre 756800, la partie 
décimale du logarithme aurait toujours été 878981; 
seulement on aurait pris 5 pour caractéristique, parce 
que 756800 a 6 chiffres entiers. 

8. Lorsque le nombre a plus de quatre chiffres signi- 
ficatifs, la table ne présente pas immédiatement son 
logarithme, mais on peut le trouver par le calcul sui- 
vant: Soit 255686 le nombre proposé; séparons par 
une virgule les quatre premiers chiffres à gauche, et 
considérons pour un moment les chiffres demeurés à 
droite comme des décimales, il s’agira alors de trouver 
le logarithme de 2556,86. Cherchons d’abord le loga- 
rithme de 2556, et prenons en même temps celui du. 
nombre immédiatement plus grand 2557; nous trouve- 
rons, en opérant comme il vient d’être dit, et sans tenir. 
compte des caractéristiques, 


Log 2557 : © à © 409791 
Log 2556 . . . . 407561 


Différence = 170 


LOG 


entre les nombres entraîne une différence de 150 entre 
les logarithmes, quelle sera la différence de ces derniers 
lorsque celle des nombres ne sera que 0,86, c’est-à-dire 
que nous poserons la proportion 


1:190 = 0,86: z; 
d’où 
æ= 190 X 0,86= 146,2. 


Ainsi, ajoutant 146 au logarithme de 2556, nous ob- 
tiendrons pour la partie décimale du logarithme de 
2656,86, ou, ce qui est la même chose, du logarithme 
de 255686 , le nombre 407707, et nous aurons par con- 
séquent 


Log 255686 —5,407707. 


Proposons-nous pour second exemple le nombre 
4,856359. L’ayant écrit comme il suit : 4856,359, nous 
chercherons dans la table les logarithmes de 4857 et de 
4856, ce qui nous donnera 


Log 4857 . . . . 686568 
Log 4856 . . . . 686279 


Différence —= 89 
Multipliant la différence 89 par 0,559, nous aurons 
89 X 0,359 == 31,9b1; 


cette différence 31,951 étant plus proche de 32 que de 
31, nous ajouterons 32 au logarithme de 4856, et nous 
aurons, toujours abstraction faite des caractéristiques, 


Log 4856,359 . . . . 686311. 


Or, le nombre proposé étant 4856359, la caractéris- 
tique de son logarithme est 0; ainsi 


Log 4856359 = 0,686311. 


Dans les grandes tables des logarithmes, les diffé- 
rences forment une dernière colonne que nous n’aurions 
pu introduire dans la nôtre sans trop la compliquer ; 
mais il suflit d’un peu d’habitude pour prendre ces dif- 
férences à l'œil et s’éviter La peine d'écrire les deux lo- 
garithmes qui comprennent le logarithme cherché. 

9- Lorsque le nombre donné est une fraction, on ob- 
tient son logarithme en rétranchant Je logarithme de 
son dénominateur de celui de son numérateur, Cette 


LOG 267 


soustraction ne pouvant s'effectuer dans tous les cas où 
la fraction est plus petite que l'unité, il faut alors exé+ 
cuter l’opération inverse, c’est-à-dire retrancher le lo- 
garithme du numérateur de celui du dénominateur et 
donner le signe — au résultat; on obtient ainsi un 
logarithme entièrement négatif, dont il ne faut pas 
perdre de vue la signification dans tous les calculs où 
l’on peut le faire entrer, Soit à trouver, par exemple, 


le logarithme de 2 ; On aura 


Log 15 — 1,113945 
Log 8 — 0,903090 


Différence = 0,210853 
Donc 


8 


Log — 
243% 


= — 0,210853. 


(1 


10. On peut encore exprimer de deux autres manières 
les logarithmes des fractions plus petites que l’unité, en 
attachant une signification particulière à la caractéris- 
tique. Pour cet effet, on ajoute à la caractéristique du 
logarithme du numérateur assez d’unités pour que la 
soustraction soit possible, ordinairement 10; il en rés 
sulte que le logarithme de la fraetion est un nombre 
entièrement positif, mais dont la caractéristique est 
plus grande qu’elle ne devrait être; de sorte qu'après 
avoir employé ce logarithme dans des calculs quelcon= 
ques , il faut tenir compte, pour le résultat final, de 
l’excédant de la caractéristique. Dans le cas de la frac- 


L 8 : ; : : 
tion 13° NOUS ajouterions 10 à la caractéristique du lo- 
garithme de 8, et la soustraction donnerait 


10,903090 


1,113943 


Différence — 9,789147 
d’où nous aurions 
8 
Log = 9780147 


Le point placé après la caractéristique 9, au lieu d’une 
virgule, indique que cette caractéristique est trop grande 
de dix unités. 


Si l’on veut retrancher immédiatement les dix unités 
dont la caractéristique 9 est trop grande, il reste une 
caractéristique négative — 1, et la partie décimale du 


logarithme demeure positive : on exprime cette circon- 


268 LOG 


stance par le signe — placé au-dessus de la caractéris- 
tique, comme il suit : 


Log — — 1,789147. 
Les trois logarithmes 
— 0,210853, 9.789147, 1,789147, 


: 9p 18 ; 
appartiennent donc à la même fraction 5? et c’est 


Seulement la facilité qui peut en résulter dans la suite 
des calculs qu’on doit consulter pour choisir entre eux. 
Si la fraction proposée était décimale, on pourrait 
opérer de la même manière, en rétablissant son déno- 
minateur. Soit, par exemple, 0,086; cette fraction est 


la même chose que 


et, partant 
1000047 DREESDez 


Log 1000 — 3,000000 
Log 86 — 1,934498 


Différence —= 1,065502 
Ainsi 
Log 0,086 — — 1,065502 


Veut-on le logarithme sous une forme positive, on 
obtient, en ajoutant 10 à la caractéristique du loga- 
rithme de 86, 


11,934498 
3,000000 


Différence —= 


8,954498 


D'où 
Log 0,086 — 8.934498, et Log 0,086 — 2,034498. 


On peut arriver immédiatement à ces derniers résul- 
tats par une observation très-simple : la partie décimale 
du logarithme d’un nombre dont les seuls chiffres si- 
gnificatifs sont 86 étant 934498, si ce nombre est 86, 
son logarithme est 1,954498 ; s’il est seulement 8,6, 
son logarithme devient 0,954498, et comme sa carac- 
téristique doit toujours diminuer d’une unité à mesure 
que le nombre devient dix fois plus petit, il est évident 
qu’on a, la partie décimale du logarithme demeurant 
toujours positive, 

Log 0,86 = 1,954498 


Log 0,086 — 2,95/4498 
Log 0,0086 — 3,934498 
etc. — etc. 


LOG 


Ainsi, pour trouver le logarithme d’une fraction dé- 
cimale sans entiers, il faut faire abstraction des zéros qui 
précèdent, à gauche, les chiffres significatifs ; chercher 
davs la table la partie décimale du logarithme, comme 
si les chiffres significatifs exprimaient des entiers, et 
donner pour caractéristique négative un nombre d’uni- 
tés égal à celui des zéros retranchés. De cette manière, 
on voit tout de suite que le logarithme de 0,000086 est 
5,054498. Si l’on veut avoir un logarithme tout positif, 
on substitue à la caractéristique négative son complé- 
ment arithmétique ou sa différence avec 10, abstraction 
faite de son signe, et il faut alors se rappeler que la nou- 
velle caractéristique est trop grande de dix unités. 

11. PROBLÈME II. Un logarithme étant donné, trouver 
le nombre auquel il appartient. 

Laissant d’abord de côté la caractéristique, on cher- 
chera dans la colonne 0, et dans le rang des groupes 
de deux chiffres, les deux premières figures de la partie 
décimale du logarithme; les ayant trouvées, on cher- 
chera les quatre dernières figures du logarithme parmi 
les nombres de quatre chiffres qui sont dans cette même 
colonne 0, à partir de ceux qui se trouvent en face des 
deux premières figures et en descendant. Si l’on trouve 
ces quatre dernières figures, le nombre placé sur leur 
alignement dans la colonne N contiendra les chiffres si- 
gnificatifs du nombre demandé, et il n’y aura plus qu’à 
le compléter par des o ou le partager par une virgule, 
suivant la grandeur de la caractéristique. 

Soit, par exemple, à trouver le nombre dont le lo- 
garithme est 2,195900 ; ayant trouvé les deux premières 
figures 19 dans les chiffres isolés de la colonne o, on 
descendra jusqu’à ce qu’on ait rencontré dans cette 
même colonne les quatre derniers 5900 , et observant 
alors que ceux-ci sont placés dans l'alignement du nom- 
bre 157, on en conclura que les chiffres significatifs du 
nombre cherché sont 157. Or, la caractéristique étant 2, 
le nombre cherché doit avoir trois figures aux entiers : 
donc ce nombre est 159. Si la caractéristique était 5, le : 
nombre serait dix fois plus grand, c’est-à-dire 1570; 
comme il serait 15700 si la caractéristique était 4, et 


ainsi de suite. Par la même raison, le nombre ne serait 


que 15,7 ou 1,59 si la caractéristique était 1 ou o. 

12. Lorsqu'on ne trouve pas dans la colonne o les 
quatre dernières figures du logarithme, il faut s’arrêter 
à celles qui en approchent le plus en moins, puis suivre 
leur alignement dans les autres colonnes 1, 2, 3, etc., 
pour reconnaître si l’on n’y découvrira pas ces quatre 
figures. Dans le cas où on les trouverait, le nombre 
cherché n’aurait que quatre chiffres significatifs, dont les 
trois premiers sont dans la colonne N, sur le même ali- 
gnement, et dont le dernier, à droite, est donné par 
l'indice de la colonne dans laquelle on a rencontré les M 
quatre dernières figures du logarithme, Demande-t-on, . 


LOG 


par exemple, le nombre dont le logarithme est 0,937367 ? 
Après avoir trouvé dans la colonne o les deux pre- 
mières figures 95, on commencera par chercher dans 
cette colonne les quatre dernières 7367, et comme le 
nombre le plus proche en moins qu’on y trouvera est 
7016, on suivra l'alignement de ces derniers dans les 
autres colonnes, et on trouvera 5367 dans la colonne 
marquée 8 ; observant que sur ce même alignement ré- 
pond le nombre 865 dans la colonne N, on écrira 8 à 
la droite de ce nombre et on aura 8658; c’est le nombre 
qu'il s'agissait de trouver. Observant qu’il ne doit avoir 
qu'un seul chiffre aux entiers, parce que la caractéris- 
tique est o, on l’écrira : 8,658. 

15. Si les quatre dernières figures du logarithme ne 
se trouvent ni dans la colonne o ni dans les autres co- 
lonnes 1, 2, 5, etc., le nombre demandé n’est pas com- 
pris dans les limites de la table, et l’on ne peut trouver 
immédiatement que ses quatre premiers chiffres signi- 
ficatifs, en s’arrêtant au logarithme qui approche le plus 
en moins du logarithme proposé. Soit, par exemple, le 
logarithme 0,497150; il est facile de reconnaître que 
ce logarithme est entre les logarithmes 0,497058 et 
0,497206, dont les nombres correspondans donnés par 
la table sont 5141 et 3142, ou 5,141 et 5,142, en ayant 
égard aux caractéristiques. Nous savons ainsi tout de 
suite que le nombre demandé est plus grand que 3,141 
et plus petit que 3,142, de sorte que nous pouvons 
prendre l’un ou l’autre de ces nombres pour sa valeur 
approchée à moins d’un millième d'unité près. Lors- 
qu’on.veut ayoir une approximation plus grande, ou 
qu'on demande six à sept chiffres significatifs, il faut 
exécuter sur les différences des logarithmes une opéra- 
tion inverse de celle que nous avons indiquée ci-des- 
sus (8), et, pour cet effet, il faut se procurer d’abord la 
différence entre le logarithme proposé et le logarithme 


_ de la table qui en approche le plus en moins, ainsi que 


la différence de ce dernier avec celui qui le suit immé- 
diatement dans la table. Nous aurions toujours, abstrac- 
tion faite des caractéristiques, 


Log proposé. . . . 497150 
Log 3141: - :. 497068 

Différence — 82 
Log 3142. + . . . 497206 


Log 3141 . . . . . 497068 


= 


Différence —= 138 


Ceci fait, on doit dire : si une différence de 138 entre 
les logarithmes donne une unité de différence entre les 


LOG 269 


nombres, que donnera la différence 82 ? On posera donc 
la proportion 


138:1—=82:z; 
d’où, en s’arrêtant à la troisième décimale, 


æ 82 LP À 
0 A x 
138 >994 


Ainsi, le logarithme proposé 497150 est celui du nom- 
bre 5141,594, ou, à cause de la caractéristique 0, celui 
du nombre 3,141594. 

Il est inutiie de poursuivre la division des différences 
plus loin que la troisième décimale, parce que, avec 
des logarithmes à six décimales, on ne peut obtenir, 
dans les cas les plus favorables, que sept chiffres signi- 
ficatifs exacts; généralement, on devra se borner aux 
deux premières décimales et par suite à six chiffres sis 
gnificatifs. 

14. Si la caractéristique du logarithme proposé était 
négative, on procéderait de la même manière à la re 
cherche des six ou sept chiffres significatifs du nombre, 
puis on écrirait à la gauche de ces chiffres autant de 
zéros que la caractéristique a d’unités et on poserait Ja 
virgule après le premier zéro. Dans le cas, par exemple, 
où le logarithme précédent aurait été 4,497150 au lieu 
de 0,497150, on aurait écrit quatre zéros à la gauche 
des sept chiffres significatifs trouvés 3141594, et après 
avoir placé la virgule à la droite du premier on aurait eu 
la fraction 0,0003141594 pour le nombre dont le loga- 


rithme est 4,497150. Le cas d’une caractéristique com- 
plémentaire se ramène toujours à celui d’une caracté= 
ristique négative, et ne présente par conséquent auçune 
difficulté. 

15. Enfin, si le logarithme proposé était entièrement 
négatif, on le chercherait dans la table comme s’il était 
positif, et après avoir trouvé le nombre correspondant, 
on ferait de ce nombre le dénominateur d’une fraction 
à laquelle on donnerait l'unité pour numérateur. Soit à 
trouver le nombre du logarithme — 0,210853. Cher- 
chant dans la table le logarithme 0,210855, on trouve 
qu'il répond au nombre 1,625, et l’on en conclut que 


: ; 1 1000 : RE 
la fraction cherchée est —— ou ———, qui se réduit 
1,029 1029 
8 
à —. 
13 


Pour se rendre raison de cette règle, il faut obser 
ver qu’en désignant par z le nombre dont le logarithme 
est — 1, ON à 


270 LOG 
Mais 
PUS 2 
DORPETTL 
ainsi 
1 
LL = —. 
107 


Maintenant, si x est le nombre dont le logarithme est 
—. m, on a aussi 


0 = 37; 


donc 


Lorsqu'on veut obtenir en chiffres décimaux la frac- 
tion correspondante à un logarithme négatif, il faut 
retrancher ce logarithme de celui de l’unité, et comme 
ce dernier est o, on augmente de 10 sa caractéristique, 
ce qui conduit à un logarithme tout positif, mais dont 
la caractéristique est complémentaire, c'est-à-dire trop 
grande de dix unités (10). Le logarithme que nous ve- 
nons de considérer — 0,210853, traité de cette ma- 
nière, donne 


10,000000 
0,21083 


9-789147 


ou bien encore 1,789147, en remplaçant la caractéris- 
tique complémentaire par une caractéristique négative, 
Ce dernier logarithme cherché (14) dans la table four- 
nit le nombre 0,615385 ; ainsi 


= 0,015385 ; 


al © 


i 


ce qui est exact, à moins d’une unité près sur la der- 
nière décimale. 

On voit que tout se réduit à prendre le complément 
arithmétique (voy. CompLÉMENT, tom. I) du logarithme 
proposé, et à considérer la caractéristique du résultat 
comme une caractéristique complémentaire (10). Du 
reste, cette transformation est liée avec les propriétés 
des Jlogarithmes, pour lesquelles nous renverrons nos 
lecteurs au mot Locarirame de notre second volume. 
Quant à l'emploi des logarithmes dans les calculs, il est 
peu d'articles de ce Dictionnaire où l’on n’en rencontre 
des exemples, ce qui nous dispense d’en donner ici de 
particuliers, notre seul objet ayant été d’expliquer la 
composition et l’usage de notre table. 

Si l’on avait besoin de connaître le logarithme natu- 


LOG 


rel ou hyperbolique d’un nombre donné, il faudrait 
multiplier le logarithme vulgaire de ce nombre, trouvé 
dans la table, par le facteur constant 


2,902985093; 


le produit, réduit à 6 décimales , serait le logarithme 
paturel demandé. Réciproquement, pour transformer 
un logarithme naturel donné en logarithme vulgaire, 
on le diviserait par le même facteur, ou, ce qui revient 
au même, on le multiplierait par le module 


0,434294482. 


Voyez Locarirame, tom. IT. 

Nous saisirons cette occasion pour faire connaître 
une génération par factorielles, que nous croyons nou- 
velle, de la base des logarithmes naturels, de ce nom- 
bre e, si remarquable par sa génération théorique pri- 
mitiye entièrement idéale, 


1 Le 
e— (: on =) . 
Désignant par r, comme c’est l’usage, le rapport du. 


diamètre à la circonférence, ou le nombre 3,1415926.., 
Nous ayons 


VER Fa |: as = |° 
FA RE  _- 


Le développement de cette expression, par le binome 
des factorielles, donne la série singulière 


e=Ay+A;. ur Ë == 
nes 


etc. 


dans laquelle les coefficiens numériques A,, A,, A., etc., 
sont : 


En général, 


105 


19 10 © 
N © 


=] 


[2 à 1° 
Li 
= © © 


ts 


01. 
2837 
7055 


1189 
5506 
9584 


14. 
5015 
6128 
9219 

15. 
2288 
5556 
2562 

16. 
1568 
4583 
7517 


17.0260 
3186 


0 


1501 
5609 
9876 


8284 


4100 | 152 


TABLES DES LOGARITHMES DES NOMBRES. 


1156 
4263 
7567 


0219 


205 | 5510 


6549 


66 | 9567 


2564 
5541 
8497 


1454 


A551 


5611 
89926 


2116 
5481 
8722 


1939 
5155 


8505 


2019 
4952 


8294 


1570 
449% 
7457 


0468 
3460 
64530 


5161 
7718 


1995 
6197 


0561 
4186 
8571 


2619 
6629 


0602 
4510 


8442 


2309 
6142 
9942 


5709 
7445 


1155 
4816 
6457 


2067 
5647 
9198 


2721 
6215 
9681 


5119 
6551 
9916 


6608 
9915 


5198 
6456 
9690 


2990 
6086 
9249 


23529 
5507 
4605 


1076 
1128 
77 59 


0769 
5758 
6726 
9674 


2605 
5512 


9 


5891 
8174 


2415 
6616 


0775 
1896 
2978 


5021 
7028 


0998 
1932 
8850 


2694 
6524 


0520 
4083 
7815 


1514 
5132 
8819 


24126 
6004 
9552 


5071 
6562 


0026 
5462 
6871 


0255 
5609 
6940 


0245 
5525 


6781 


0012 
5219 
6105 
9564 


2702 
5818 
3911 


1982 
5052 
8061 


1068 
4055 
7022 
9968 


2895 
5802 


175 


0 


anne 


17.6091 
8977 
18. 
1841 
4691 
7521 
19. 
05352 
3125 
5900 
8687 
20. 
1597 
4120 
6826 
9615 
21. 
2188 


4844 
7481 


22.0108 
2716 
5309 
7887 

25. 
0449 
2996 
5528 
8046 


310 
3058 


5515 |: 


7975 


1° 
CA 


0420 
2853 
5279 


7679 


26.0071 
2151 


4818 
7172 
9515 
27. 
1842 
4158 
6462 
8751 
28. 
1055 
5301 


b557 
7802 


29.005 
2256 


4166 

6665 

8855 
50. 


0 


1261 
5527 


5782 
80925 


0257 
2478 


4687 
6884 
9071 


2 


6670 
9552 


2455 
5259 
808% 


0892 
3681 
6452 
9206 


1945 
4662 
7565 


0051 
2720 


5373 
8010 


0651 
3256 
5626 
8400 


0960 
3501 
6035 
3548 


1048 
5554 


6006 
8164 


0908 
5358 
5755 


8158 


0518 
2925 


5290 
7641 
9980 


2506 
4620 
6p21 
9210 


1488 
3755 


6097 
3249 


0480 
2699 


6960 
9839 


2700 
5512 


8366 


1171 
3959 
6729 
9481 


2216 
4953 
7654 


0518 
2986 


5658 |: 


8275 


0892 
5496 
6084 
8657 


1215 
3757 
6285 
3799 


1297 
3782 
6252 
83709 


1151 
5580 
5996 
3598 


0787 
5162 


525 


7878 


0215 
2558 
4850 
7151 


9459 


1715 
5979 


6252 
8475 


0702 
2920 


5127 |: 


7525 
9507 


k 


7248 


0126 
2985 
5825 
8647 


1451 
4257 
7005 
9755 


288 
5204 


5081 
580 
9667 


1922 
4205 


6456 
8696 


5 
7836 


0415 
5270 
6108 
8926 


1750 
4514 


7281 


0029 
2761 
5475 


8172 


0853 
5518 


6166 
8798 


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En 
GS 
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et Cr ct 


ot 12 


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34. 


4 
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9 


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7517 
7951 


8599 


8826 


9261 | 95 


9696 


5851 


6295 


|| 6750 


7168 


17605 


8041 
8477 


761 
8085 
8521 


8956 
9592 


9326 


5745 
4185 
1625 


5061 
550% 


59412 


6580 
6818 


7255 


7692 
812: 


5564 


9000 
9455 


9370 


8516 


9002 


9:57|1 


9912 


7299 


7756 
8172 
8608 


9045 |! 
9478 | 9529 


9915 


8155 
3591 


280 LUM 
LUMIÈRE. (Phys. Math.) Nous allons résumer dans 


cet article les points fondamentaux de l’optique géné- 
rale, à peine indiqués dans nos deux premiers volumes. 

1. Les impressions sensibles que nous font éprouver 
les objets extérieurs sont généralement produites par 
l’action du choc immédiat ou médiat de ces objets contre 
les organes matériels de nos sens. Le choc est immc- 
diat lorsqu'il y a contact entre l’objet et l'organe, comme 
dans les sensations du fact et du goût, et même comme 
dans celles de l'odorat; car ce n’est qu’en lançant dans 
l'espace des particules capables de frapper les membra- 
nes qui recouvrent les nerfs olfactifs que les objets nous 
paraissent odorans. Il est médiat, lorsqu'il est trans- 
mis par une matière intermédiaire entre l’objet et l'or- 
gane, comme dans les sensations de l’ouie, où le mou- 
vement vibratoire des coups sonores est transmis à 
l'oreille par les ondulations qu’il excite dans l'air envi- 
ronnant. (Voy. Sox.) Les sensations propres à l'organe 
de la vue s’effectuant toujours sans aucun contact entre 
l'œil et l’objet, il était naturel d'admettre, par analogie, 
soit que les corps visibles lancent autour d’eux des par- 
ticules délites, dont le choc sur les organes de la vue 
produit la vision de ces corps, soit qu'il existe dans 
leurs-parties constituantes des mouvemens internes par- 
ticuliers, qui se propagent jusqu'aux nerfs optiques par 
les ondulations qu'ils déterminent dans une matière 
fluide intermédiaire. 

Ces deux hypothèses sont, en effet, les bases de deux 
systèmes différens entrevus dès la plus haute antiquité, 
mais précisés par Descartes et Newton, et qui depuis ces 
grands hommes partagent les physiciens. Le premier 
supposait que l'univers est rempli d’un fluide extrème- 
ment subtil et élastique, qu'il nomme l'éther, dont les 
ondulations, déterminées par l'action des corps visibles, 
agissent sur l'œil, comme les ondulations de l'air, dé- 
terminées par l’action des corps sonores, agissent sur 
l'oreille. Dans ce système, qui porte le nom de système 
des vibrations, la cause de la visibilité, la lumière, est 
un mouvement de vibration excité dans l’éther par les 
corps visibles, et qui, propagé de proche en proche 
dans toutes les directions, se modifie d’après la nature 
des résistances qu'il éprouve. Newton admettait, au 
contraire, que la lumière est une matière propre, un 
agent distinct de la substance des corps, un fluide ex- 
trêmement subtil, dont les molécules, lancées dans tous 
les sens par les corps lumineux, se meuvent avec une 
très-grande rapidité, et éprouvent, de la part des objets 
matériels qu’elles rencontrent, diverses actions dont la 
nature et les intensités varient suivant la nature des ob- 
jets. Ce système porte le nom de système d'émission. 

Tous les phénomènes connus du temps de Newton 
pouvant s'expliquer d’une manière simple et précise 


par le système de l'émission, l’autorité de son auteur, 
« 


LUM 


qui venait de poser les lois fondamentales de la phy- 
sique céleste, avait fait abandonner l'hypothèse de Des- 
cartes, si bien développée ultérieurement dans ses con- 
séquences mathématiques par Huygens et Euler; mais 
les dernières découvertes de Young, et surtout de Fres- 
nel, ont ramené les physiciens modernes vers cette 
hypothèse, qui paraît s’accorder plus exactement avec 
les faits. C’est ce que nous aurons l’occasion de faire 
observer dans le cours de l’exposition suivante. 

2. Propagation de la lumière. Les corps visibles se 
divisent en lumineux et en éclairés. On nomme corps 
lumineux ceux qui répandent la lumitre autour d’eux, 
comme le soleil, les étoiles, la flamme et tous les corps 
en ignition. Les corps éclairés sont ceux qui ne devien- 
nent visibles que parce qu'ils reçoivent la lumière des 
premiers. 

On reconnaît aisément que la lumière émanée d’un 
corps lumineux se répand dans tous les sens autour de 
ce corps; car la flamme d’une bougie, par exemple, est 
visible de tous les points de la sphère dont on peut sup- 
poser qu’elle occupe le centre. 

Chaque corps lumineux peut être considéré comme 
une réunion de points lumineux, de la même manière 
qu'on peut considérer chaque corps matériel comme 
une réunion de points matériels. Il suffit alors d’exami- 
ner le mode d'action d’un seul point lumineux pour ar- 
river à la connaissance de celui de leur ensemble. Nous 
supposerons donc, dans ce qui va suivre, qu’un corps 
lumineux est réduit à un seul point. 

3. La lumière émanée d’un point lumineux pénètre 
à travers tous les gaz, de la plupart des liquides et de 
plusieurs solides. Les corps qui laissent ainsi passer la 
lumière prennent le nom de transparens ; ceux, au con- 
traire, qui la retiennent, se nomment corps opaques. 
Parmi les corps transparens, les uns transmettent com- 
plètement la lumière, et laissent apercevoir nettement 
au travers de leur substance toutes les formes des ob- 
jets : on les nomme diaphanes; les autres ne transmet- 
tent qu'une partie de la lumière qu’ils reçoivent, etne 
permettent pas de distinguer la forme des objets : on 
les nomme translucides. Le cristal poli est diaphane; le 
cristal dépoli est translucide. 

4. Dans un milieu diaphane et parfaitement homo- 
gène, la transmission de la lumière s’effectue en ligne 
droite. On reconnaît immédiatement ce fait fondamen- 
tal par l'impossibilité où l’on est d’apercevoir un point 


lumineux s’il se trouve un corps opaque dans la ligne 


droite qu'on peut mener de ce point lumineux à notre 
œil. 

La direction que suit la lumière en se propageant se 
nomme un rayon lumineux. D'après ce que nous ve- 
nons de dire, ce rayon est une ligne droite dans tous les 
niilieux transparens homogènes. 


LUM 


5. Lorsqu'un rayon de lumière passe d’un milieu 
transparent dans un autre, il éprouve à la surface du 
contact un changement de direction, et se propage dans 
le second milieu, suivant une ligne droite qui n’est plus 
la même que celle de sa propagation dans le premier 
milieu. Ce phénomène porte le nom de réfraction. 

6. Si, pendant sa propagation dans un milieu trans- 
parent, la lumière tombe sur un corps opaque, elle 
éprouve diverses modifications, suivant la nature de la 
surface du corps. Quand la surface est polie, le rayon 
lumineux est rejeté en arrière ou réfléchi dans une di- 
rection déterminée; quand elle n’est pas polie, le rayon 
est bien encore réfléchi, mais il subit plusieurs chan- 
gemens importans : le corps devient éclairé; c’est-à-dire 
que chacun des points de sa surface agit comme s’il était 
lumineux par lui-même, et qu’il renvoie de la lumière 
yers tous les points du milieu transparent qu’on pour- 
rait unir à lui par des lignes droites. Toute cette lumière 
renvoyée, et en vertu de laquelle ce corps est devenu 
visible, ne provenant que de la dispersion du rayon lu- 
mineux, on concoit que chaque rayon réfléchi est très- 
faible comparativement à celui-ci, qui se trouve pour 
ainsi dire subdivisé à l’infini : aussi l'impression que 
produit sur l'œil un corps éclairé est-elle toujours 
moins forte que celle qui résulte de la lumière éblouis- 
sante d’un corps lumineux. 

Une autre cause concourt encore puissamment à af- 
faiblir l’impression de la lumière réfléchie : la réflexion 
n’est jamais complète, parce que tous les corps opa- 
ques, même les mieux polis, absorbent une quantité 
plus ou moins grande de la lumière qu’ils reçoivent. 
Mais ce qu’il importe de remarquer, c’est que la lu- 
mière irrégulièrement réfléchie produit une impres- 
sion sur l’œil très-différente de celle de la lumière 
primitive; cette impression est la couleur que nous at- 
tribuons aux objets visibles, et qui n'appartient réelle- 
ment pas à ces objets, puisqu'elle réside en principe 
dans la lumière, comme nous le verrons mieux plus loin. 

7. La propagation de la lumière présente donc trois 
modes différens : 1° propagation directe ou en ligne 
droite; 2° propagation indirecte par réfleæion ; 5° pro- 
pagation indirecte par réfraction. Les lois de la propa- 
gation directe forment l’objet de l'optique proprement 
dite; les lois de la propagation par réflexion celui de la 
caloptrique; et les lois de la propagation par réfraction 
sont l’objet de la dioptrique. On désigne encore sous le 
nom d'optique générale l'ensemble de ces trois branches 
fondamentales de la théorie de la lumière. (Voy. Or- 
TIQUE, tom. Il.) 

8. Propagation directe. Nous avons déjà indiqué le 
phénomène principal qui a fait conclure que, dans un 
milieu homogène, la lumière se transmet en ligne droîte. 
On peut encore vérifier ce principe en laissant pénétrer 

To. nn 


LUM 281 


par un petit trou un faisceau de lumière solaire dans 
une chambre obscure : la poussière en suspension dans 
l'air se trouvant éclairée sur toute la route du faisceau, 
fait reconnaitre que cette route est rectiligne. 

9. La lumière émanée d’un point lumineux, se pro- 
pageant par tous les rayons de la sphère dont il est le 
centre, doit nécessairement diminuer d'intensité à me 
sure qu’elle s’éloigne de sa source; car, si l’on conçoit 
deux sphères concentriques à cette source, chacune 
d'elles recevra toute la lumière fournie par le point lu- 
mineux ; de sorte qu’une étendue quelconque, prise sur 
la plus grande des sphères, recevra une quantité de lu- 
mière moindre que la même étendue prise sur la plus 
petite. Les quantités de lumière reçues par ces deux 
étendues égales seront en raison inverse des surfaces 
dont elles font partie, ou en raison inverse des carrés de 
leurs distances au point lumineux. Ainsi l'intensité de 
la lumière émanée d'un point lumineux diminue en rai- 
son directe du carré de la distance. 

Cette loi n’est exacte que lorsque la lumière se pro- 
page dans le vide; car, dans les milieux diaphanes ma- 
tériels, il y en a toujours une partie d’absorbée, et le 
décroissement d'intensité s'effectue plus rapidement. 
Mais on peut la considérer comme vraie dans l’air at- 
mosphérique, surtout si les distances ne sont pas très- 
grandes. 

D’après ce qui précède, on doit considérer toute sur- 
face éclairée comme la base d’une pyramide dont le 
sommet est au point lumineux d’où émane la lumière. 
Si au lieu d’un seul point lumineux nous en concevons 
plusieurs, la surface recevra une lumière d’autant plus 
intense que ces points seront en plus grand nombre et 
qu'ils seront plus près d’elle. 

Nous verrons cependant qu’il existe des circonstances 
particulières où un corps éclairé peut devenir plus 
obscur lorsqu'on ajoute une nouvelle lumière à celle 
qu'il recevait primitivement, ce qui ne serait possible 
dans aucun cas imaginable si la lumière était une sub- 
stance distincte émise par les corps lumineux. 

10. On a essayé de comparer l'intensité des lumières 
fournies par des sources différentes; mais jusqu'ici les 
procédés employés ont donné des résultats si divergens 
qu'on ne peut même pas les considérer comme des ap- 
proximations; car, pour citer un exemple, l’intensité 
de la lumière solaire a été trouvée 94500 fois plus 
grande que celle de la lune, par Leslie; 800000 fois 
plus grande, par Wollaston, et 256289 fois, par Bou- 
guer. Comparée à la lumière d’une bougie, celle du 
soleil est 12000 fois plus grande, suivant Leslie, et 
50000 fois suivant Bouguer. Nous ferons observer 
qu'on ne doit pas confondre l'intensité d’éclairement 
avec l'intensité de la lumière; car cette dernière dépend 
de la nature du corps lumineux, tandis que la première 

36 


282 LUM 


dépend de la nature du corps éclairé, c'est-à-dire de la 
manière dont il absorbe ou réfléchit la lumière. 

11. Lorsqu'un corps opaque intercepte une partie 
des rayons émanés d’un point lumineux, il existe der- 
rière ce corps un espace plus ou moins grand, privé de 
lumière, qu’on nomme l’ombre du corps. S'il se trouvait 
un autre corps dans cet espace, et qu’il ne reçût aucun 
rayon de lumière, il serait invisible. (Voy. Ousre, 
tom. IL.) 

12, Quoique la transmission de la lumière se fasse 
avec une rapidité si grande qu'il soit impossible de la 
mesurer, sur la surface de la terre, elle n’est cependant 
point instantanée; mais, pour observer la plus petite 
différence entre l’apparition d’un point lumineux et ce- 
lui où sa lumière vient éclairer les corps dont il est sé- 
paré par un milieu transparent, il faut avoir recours 
aux observations astronomiques. La planète de Jupiter 
est accompagnée de plusieurs satellites qui circulent 
autour d'elle, et qui sont alternativement visibles et in- 
visibles pour nous, suivant qu’ils sont éclairés par la 
lumitre du soleil ou qu’ils se trouvent dans l'ombre que 
Jupiter projette derrière lui dans l’espace. Or, le pre- 
mier de ces satellites décrit son orbite dans l'intervalle 
de 42 h. 28° 55° ou environ 42 h. et demie; de sorte 
que dans chaque période de 42 h. et demie il se plonge 
une fois dans l'ombre de la planète et en sort bientôt 
après. Ge phénomène, semblable en tout aux éclipses 
de lune, se nomme une occullation. Or, si la terre était 
toujours à une mème distance de Jupiter, ou si la lu- 
mière renvoyée par le satellite lui arrivait toujours 
dans le même temps, 42 h. et demie après qu’on aurait 
observé la sortie du satellite de l'ombre, on devrait 
pouvoir l’observer de nouveau, c’est-à-dire que les 
éclipses se succéderaient à des intervalles exacts de 42 h. 
et demie. Il n’en est point ainsi : lorsqu'on observe 
successivement les éclipses des satellites, dans la période 
de temps pendant laquelle la terre se rapproche de Ju- 
piter, on trouve que l'intervalle entre la première et la 
seconde éclipse est plus iong que l'intervalle entre la 
seconde et la troisième, que celui-ci est plus long que 
Vintervalle entre la troisième et la quatrième; tandis, 
au contraire, que si l’on fait les mêmes observations 
dans la période de temps pendant laquelle la terre s’é- 
loigne de Jupiter, on trouve que l'intervalle entre la 
première et la seconde éclipse est plus court que l’in- 
tervalle entre la seconde et la troisième, et ainsi de suite. 
En général, l'intervalle d’une éclipse à l’autre augmente 
si, pendant sa durée, la terre s’est éloignée, et elle di- 
minue si la terre s’est rapprochée. Ces faits, observés 
pour la première fois par l’astronome danois Roëmer, 
prouvent évidemment que la lumière met un temps 
d'autant plus long pour parvenir de Jupiter à la terre 
que la distance de ces deux corps est plus grande, 


LUM 


En mesurant avec soin la différence des temps pour 
les deux limites extrèmes des distances, on a trouvé que 
le temps employé par la lumière pour parcourir la lon- 
gueur du diamètre de l'orbite terrestre est de 16° 26"; 
cette longueur étant de 68 à 69 millions de lieues, il en 
résulte que la vitesse de la lumière est d'environ 700000 
lieues par seconde. On s’est assuré de plus, par les 
mêmes observations, que cette vitesse est uniforme. On 
ne peut se faire une idée de cette vitesse prodigieuse 
qu’en la comparant à celles qui nous paraissent très- 
grandes. Par exemple, un boulet de canon emploierait 
plus de dix-sept ans pour atteindre le soleil, en suppo- 
sant qu’il conservât sa vitesse initiale; de sorte qu’il fe- 
rait en un an la moitié du chemin que la lumière fait en 
une minute. 

15. Réflexion de la lumière. Lorsqu'on fait pénétrer 
unrayon solaire dans une chambre parfaitement obscure 
et qu’on place un corps poli sur son trajet, on voit le 
rayon lumineux se briser sur la surface du corps et por- 
ter contre les parois de la chambre une image du soleil. 
Outre cette réflexion régulière , il s’en effectue une se- 
conde irrégulière; car, des divers points de la chambre 
obscure, on distingue la portion de miroir sur laquelle 
tombe le rayon. Cette dernière, par opposition à la 
première , a d'autant plus d'éclat que le corps est moins 
poli. 

Pour ne considérer ici que la réflexion régulière, 
nous dirons que, si l’on conçoit une droite perpendi- 
culaire à la surface polie au point où elle est rencontrée 
par le rayon solaire, l’angle que forme cette perpendi- 
culaire avec ce rayon se nomme l'angle d'incidence, et 
l'angle qu’elle forme avec le rayon réfléchi se nomme 
l'angle de réflexion. Ces deux angles sont toujours si- 
tués dans le même plan et sont égaux; propriété qui 
constitue cette loi fondamentale de la catoptrique : 
Quand un rayon de lumière est réfléchi par une surface 
quelconque, l'angle d'incidence est égal à l'angle de ré- 
flexion. 

Cette loi, qu’on peut aisément constater par expé- 
rience, se démontre par des considérations théoriques 
dans les deux systèmes de l'émission et des vibra- 
tions. 

14. La réflexion régulière dont il est ici question ne 
rend visible que le corps lumineux, car on ne doit con- 
sidérer le rayon réfléchi et le rayon incident que comme 
un seul et même rayon, dont la direction a subi un 
changement. C’est donc uniquement le corps lumineux 


qu’on apercevrait en plaçant son œil dans la direction 


du rayon réfléchi, s’il n'existait aucune réflexion irré- 
gulière à la surface polie; mais toutes les surfaces pro- 
duisent des réflexions irrégulières, et c’est mème là la 
condition nécessaire de la visibilité des corps qui ne sont 
pas lumineux par eux-mêmes. 


LUM 


La quantité de lumière réfléchie régulièrement et ir- 
régulièrement n’est jamais égale à la quantité de lu- 
mière fournie par le corps lumineux, parce qu’il ÿ en a 
toujours une partie absorbée par le corps réfléchissant. 
Cette partie est éteinte quand ce corps est opaque ; elle 
le trayerse quand il est transparent. L'absorption plus 
ou moins grande de la lumière par tous les corps opa- 
ques , jointe à son énorme vitesse. explique l'obscurité 
instantanée qu’on produit dans un appartement en em- 
pêchant les rayons directs d'y pénétrer. 

15. Toute surface assez polie pour opérer une ré- 
flexion régulière se nomme un miroir. Parmi les corps 
solides, quelques métaux et quelques amalgames sont 
seuls susceptibles de recevoir un poli parfait. Les mi- 
roirs de verre ne sont que des miroirs métalliques, car 
ils ne doivent leurs propriétés qu’à l’amalgame de mer- 
cure et de zinc dont leur surface postérieure est revêtue ; 
mais, comme le verre, en sa qualité de corps transparent, 
fait éprouver une réfraction aux rayons lumineux qui 
le traversent en sortant de l'air, les miroirs employés 
pour les expériences catoptriques ne doivent être que 
des surfaces métalliques polies. 

16. Le principe fondamental énoncé ci-dessus (13) 
s'applique aux rayons lumineux émanés de toutes les 
sources ; il est vrai, pour la lumière naturelle qui nous 
vient du soleil comme pour toutes les lumières artifi- 
cielles que nous pouvons produire, pour les rayons di- 
rects comme pour les rayons déjà réfléchis régulière 
ment ou irrégulièrement. C’est à l’aide de ce principe 
qu'on explique avec beaucoup de facilité, ainsi que 
nous l’avons fait ailleurs (voy. CarorrriQue), tous les 
phénomènes que présentent les miroirs, suivant la na- 
ture de leur surface. 

17. La quantité de lumière réfléchie par un même 
corps dépend à la fois du poli de sa surface et de la 
grandeur de l'angle d'incidence. Pour un même angle, 
cette quantité est d’autant plus grande que le poli est 
plus parfait; pour un même poli, elle croît avec 
l'angle d'incidence. Une expérience curieuse constate ce 
dernier fait : si l’on prend une plaque de verre dépoli 
et qu’on place l'œil très-près de sa surface, de manière 
à recevoir des rayons réfléchis sous untrès-grand angle 
d'incidence, on apercevra des images des objets envi- 
ronnans aussi nettes qu'avec un miroir. Nous ren- 
verrons à notre premier volume pour tout ce qui con- 
cerne la catoptrique. 

18. Réfraction de la lumière. On nomme réfraction 
le changement de direction que subit un rayon lumi- 
neux qui passe obliquement d'un milieu transparent 
dans un autre. Soit AB un rayon lumineux (PI. XIV, 
fig. 19); supposons qu'après s'être propagé dans l'air, 
il rencontre en B la surface d’une masse d’eau MN : au 
lieu de continuer à se propager, suivant BC‘ prolon- 


LUM 283 


gement de AB, il se brisera au point B en entrant dans 
l'eau , et prendra une direction BC, déterminée d’après 
une loi que nous allons exposer. 

Imaginons une droite DE perpendiculaire, au pointB, 
à Ha surface de séparation MN des deux milieux ; l'angle 
ABD du rayon incident sera ce qu’on nomme l'angle 
d'incidence, et l'angle CBE du rayon réfléchi, avec la 
même perpendiculaire, sera l'angle de réfraction. Or, la 
relation généralequi lie ces deux angles, pour deux 
milieux transparens quelconques, s’énonce comme il 
suit : 

Lorsqu'un rayon lumineux passe d’un milieu dans un 
autre, il est réfracté de manière que le sinus de l'angle 
d'incidence et celui de l'angle de réfraction sont entre eux 
dans un rapport constant. 

Ce principe fondamental de la dioptrique, et l’un des 
plus importans de l'optique générale, a été découvert 
par Descartes. (Voy. Orriqur, tom. I.) 

19. Tous les milieux dans lesquels la lumière peut se 
propager ont été nommés milieux réfringens, parce 
qu'ils font tous éprouver une déviation ou réfraction 
aux rayons lamineux au moment où ceux-ci les pé- 
nètrent pour les traverser. Le vide est aussi un milieu 
réfringent , car la lumière qui sort d’un autre milieu se 
réfracte en y entrant. 

Un milieu est plus réfringent par rapport à un autre 
lorsque le rayon réfléchi se rapproche de la perpendi- 
culaire, ou lorsque l'angle de réfraction est plus petit 
que celui d'incidence; il est au contraire moins réfrin- 
gent lorsque le rayon réfléchi s’écarte de la perpendi- 
culaire, ou lorsque l'angle de réfraction est plus grand 
que celui d'incidence. 

19 bis. Pour vérifier par expérience le principe fon- 
damental ci-dessus (18), on prend un vase de verre de 
forme hémisphérique NP'N° (PI. XIV, fig. 16); on le 
remplit d'eau de manière que le niveau NN'atteigne le 
centre C de la sphère, et on dirige vers ce centre un 
petit faisceau de lumière solaire sous diverses inclinai- 
sons. Un cercle gradué dont le centre coïncide avec C, 
et qu’on peut amener dans le plan du rayon lumineux, 
sert ensuite à mesurer les angles que fait ce rayon avant 
et après sa réfraction avec la verticale PP’. La marche 
du rayon réfracté est facile à reconnaître par le point 
où il sort du vase pour rentrer de l'eau dans l'air; si, 
par exemple, le rayon incident est LC et le rayon ré- 
fracté CR, le point R, où ce dernier sort du vase pour 
continuer sa route dans l’air, fait connaître l'arc RP’ qui 
mesure l'angle de réfraction RCP'. On peut ainsi con- 
stater que le rapport entreles droites LD etRF, qui sont 
respectivement les sinus des angles PCL et RCP', est 
une quantité constante ; c'est-à-dire que pour un tout 
autre angle d'incidence L'CP, dont l'angle correspon- 
dant de réfraction est R'CP’, le rapport des sinus L'D' 


284 LUM 


et R'F' est égal à celui des sinus LD et RF; car, ayant 
trouvé, par la mesure des angles PCL et RCP, que ce 
dernier rapport est sensiblement 


LD 4 


El 


RE 5 
on trouve également, par la mesure des angles PCL'et 
R'CP', que le rapport de leurs sinus es : 


et qu'il en serait de même pour ûne incidence quel- 
conque. On peut en outre observer qu’un angle de ré- 
fraction est toujours situé dans le même plan que l'angle 
d'incidence correspondant. 

20. En substituant à l’eau du vase, de l'alcool ou tout 
autre liquide, on reconnaîtrait de la même manière 
qu'il y a toujours un rapport constant entre les sinus 
des angles d'incidence et de réfraction; mais ce rapport 
ne serait plus #; on le trouverait plus grand ou plus 
petit, suivant que le liquide employé serait plus ou 
moins réfringent que l’eau. Si on désigne généralement 
par I l'angle d'incidence, et par R celui de réfraction, 
on pourra représenter la loi de la réfraction, pour deux 
milieux quelconques, par la relation. 


n étant un nombre constant pour deux mêmes milieux, 
mais qui varie avec leur nature. Ce nombre n se nomme 
l'indice de réfraction. 

21. L'appareil précédent peut encore servir à con- 
stater un fait important, c’est que lorsque la lumière 
repasse de l’eau dans l'air, le second angle de réfraction 
est le même que le premier angle d'incidence; c’est-à- 
dire qu’enreprésentant par AB (PI. XIV, fig.19)un rayon 
incident, et par BC un rayon réfléchi, la lumière qui 
parcourt la ligne brisée ABC, en partant de A, par- 
courrait la même ligne si elle se propageait en sens con- 
traire, en partant de C; l'angle de réfraction serait 
alors l’angle d'incidence, et celui d'incidence l’angle de 
réfraction. Cette propriété s'exprime d’une manière 
générale en disant qu'un rayon qui rebrousse chemin 
repasse exactement par les mêmes lieux. Xl en résulte 
que sin est l'indice de réfraction quand la lumière passe 


ee 7. I 
d’un milieu À dans un milieu B, 7 So l'indice de ré- 


fraction quand elle passera, au contraire, du milieu B 
dans le milieu A. Ainsi + étant l’indice de réfraction de 
l'eau par rapport à l'air, + est celui de l'air par rapport 
à l'eau. 


LUM 


22, En analysant les conséquences de la loi repré- 
sentée par la formule 


sin I 


sin R 


—— > 

on reconnaît d’abord que, si l’angle d'incidence est nul, 
c’est-à-dire si le rayon incident est perpendiculaire à la 
surface du second milieu, l'angle de réfraction est pa- 
reillement nul, ou, en d’autres termes, il n’y a pas de 
réfraction, et le rayon incident pénètre en ligne droite 


sans dévier; car on ne saurait avoir 
sin R 


à moins que sin R — 0. C’est ce qui est d’ailleurs con- 


n, à 


firmé par l'expérience. La plus grande incidence ayant 
lieu lorsque le rayon est parallèle à la surface de sépa- 
ration des milieux, cas où 1 90°, et sin I1—:1,0n 


a alors 
1 — 
Sin Re 
d’où 
; 1 
sin R ==: 
n 


Mais, en supposant que la lumière rebrousse chemin, 
ou qu’elle repasse du second milieu dans le premier par 


AS 0 F “au 
un angle d'incidence dont le sinus soit = l’angle de 


réfraction serait de go’, et par conséquent le rayon ré- 
fracté serait parallèle à la surface de séparation : il ne 
sortirait done pas du milieu où il se propage: 11 en se- 
rait encore de même, à plus forte raison, si l'angle 


ss 1 Ted 
d'incidence était plus grand que è En général, lors- 


qu’un rayon passe d’un milieu réfringent dans un autre 
moins réfringent, il existe toujours une limite, pour 
l’angle d'incidence, au-delà de laquelle le rayon ne peut 
plus sortir du premier milieu. 

93. La formule n’est donc plus applicable quand 
l'angle d'incidence est plus grand que l'angle limite, et 
cette circonstance se manifeste par les valeurs absurdes 
qu’on en tire dans ce cas. Par exemple, l'indice de 
réfraction de l’eau par rapport à l'air étant 5, on a, en 


faisant I — 90° 


sin R — 4? 

d’où l’on conclut que R —48°355'; telle est la valeur de 
l'angle limite, ct tous les rayons qui se présenteront 
pour passer de l’eau dans l'air, sous une plus grande 
incidence, ne pourront sortir de l’eau. Or, en donnant 
à sin R des valeurs plus grandes que :, dans la formule, 
on obtient pour sin 1 des valeurs plus grandes que 1, 


LUM 


où plus grandes que le rayon du cercle, ce qui est 
absurde. 

24. Si la formule devient insuffisante pour nous faire 
connaître la marche du rayon lumineux, passé l’inci- 
dence maximum, l'expérience montre que ce rayon se 
réfléchit complètement dans le milieu qu’il ne peut 
quitter, en faisant un angle de réflexion égal à celui 
d'incidence. En supposant, par exemple, qu’un rayon 
CO (PI. XIV, fig. 18) se présente perpendiculairement à 
la surface de séparation des milieux, et qu'il s'incline 
successivement, en prenant les directions EO, FO, etc. , 
il sortira en premier lieu , par le prolongement de la 
perpendiculaire CO; puis on ‘le verra faire des angles 
de réfraction plus grands que ceux d'incidence, et qui 
croîtront plus rapidement que ces derniers; lorsque 
l'angle d'incidence EOC sera égal à l'angle limite, le 
rayon réfracté coïncidera avec OB; mais aussitôt que 
le rayon incident formera un angle FOC plus grand 
que l’angle limite, il sera complètement réfléchi et for- 
mera un angle de réflexion COF’ égal à celui d’inci- 
dence FOC. Il n’y a pas continuité dans le passage de 
la réfraction à la réflexion intérieure. 

Cette réflexion intérieure étant totale, ce qui n'arrive 
jamais avec les miroirs du poli le plus parfait, produit 
des images beaucoup plus brillantes que celles qu’on 
peut observer dans ces miroirs. On peut en faire aisé- 
ment l'expérience en remplissant d’eau un vase de 
verre (PI. XIV, fig. 19) eten plaçant l'œil en O dans une 
direction au-dessus de l’angle limite : la surface de l’eau 
donnera comme un miroir, mais avec un plus grand 
éclat, les images des objets qui y sont plongés. 

25. La détermination des indices de réfraction des äi- 
vers milieux réfringens les uns par rapport aux autres 
étant d’une grande importance, nous devons signaler 
une propriété qui donne un moyen très-simple de trou- 
ver l'indice de réfraction pour un rayon qui passe d’un 
milieu dans un autre, lorsqu'on connaît ceux de ces 
deux milieux par rapport à un troisième. Il est reconnu, 
par expérience, qu’en appliquant l’une contre l’autre 
deux lames transparentes parallèles ayant des pouvoirs 
réfringens différens, les rayons incidens qui pénètrent 
par une des faces de ce système sortent parallèlement à 
eux-mêmes par la face opposée : car, ainsi qu'on peut 
l'observer aisément, les objets qu'on regarde à travers 
ces lames ne paraissent déplacés en rien de leurs posi- 
tions. Soit donc a (PI. XV, fig. 2) l’angle d'incidence 
primitif, & celui de réfraction dans la première lame, 
b l'angle d'incidence dans cette lame, et D’ l’angle de 
réfraction dans la seconde lame; soit enfin € l'angle 
d'incidence dans la seconde lame, et c’ l'angle de sortie 
du système, ou, comme on le nomme, l'angle d'émer- 
gence, nous avons, d’après ce qui précède, sin &—sinc". 
Or, n étant l'indice de réfraction de la première lame 


LUM 285 


par rapport à l’air, et m celui de la seconde lame, aussi 
par rapport à l’air, nous avons 


. ’ 
sin € 


sin 4 
? sine 


sind in 
et, par suite, sin a —n sin «& —n sin b, sin c —=sin 4 — 
m sin € — m sin b; d’où 


sin b m 


sind nn 


, 


c’est-à-dire que l’indice de réfraction dela seconde lame, 
par rapport à la première, est égal au rapport inverse 
de leurs indices respectifs par rapport à l'air. La relation 
serait la même si les indices respectifs des deux lames 
se rapportaient à tout autre milieu que l’air. Sachant, 
par exemple, que l'indice du diamant, par rapport au 
vide, est 2,755, et que celui de l'alcool, toujours par 
rapport au vide, est 1,574, on en conclura immédia- 
tement que l'indice de réfraction de l'alcool, par rap- 
port au diamant, est égal à 

CN) — 2,005. 

1,974 

Nous indiquerons plus loin les moyens de déterminer 
les indices de réfraction des divers milieux réfringens 
par rapport à l’air. 

26. La disposition des rayons qui traversent un mi- 
lieu terminé par des surfaces planes et silué dans l’air 
ou dans tout autre milieu réfringent, présente plusieurs 
particularités très-remarquables. Supposons qu’unrayon 
lumineux, qui se propage dans l’air, rencontre sur son 
passage une masse de verre et qu'il la traverse, en en- 
trant et en sortant par deux surfaces planes; il se pré- 
sente deux cas : ou les surfaces sont parallèles, ou elles 
sont inclinées l’une sur l’autre. Dans le premier cas 
(fig. 1, pl. XV), comme le rayon doit sortir sous un 
angle, avec la perpendiculaire au point d’émergence, 
parfaitement égal à l’angle d'incidence (21), et que les 
faces AB et CD sont parallèles, le rayon incident et le 
rayon émergent seront parallèles entre eux. Dans le se- 
cond cas, les deux surfaces faisant un angle quelconque 
BAC (fig. 6), et le rayon incident ab devant se rappro- 
cher de la perpendiculaire *»…m, parce que le verre est 
plus réfringent que l’air, le rayon réfracté be doit s’éloi- 
gner du sommet A, de l'intersection des surfaces par le 
plan de ce rayon, et comme en émergeant en a il doit 
s'écarter de la perpendiculaire m'n', il s'éloignera de 
nouveau du sommet À ; de sorte que l'effet d’un milieu 
réfringent angulaire est d'éloigner le rayon du sommet 
de l'angle. S'il arrivait que le rayon réfracté be fût per- 
pendiculaire à la face AC, il émergerait sans une se- 
conde réfraction; mais s'il rencoutrait cette face sous 


236 LUM 


un angle avec la perpendiculaire plus grand que l'angle 
limite (24), il serait complètement réfléchi intérieure- 
ment, et par conséquent rejeté sur la première face, où 
il éprouverait une seconde réflexion qui le rejetterait sur 
la scconde, et ainsi de suite. Dans la disposition de la 
figure, le rayon incident étant dirigé vers le sommet A, 
les rayons successivement réfléchis s’inclineraient de 
moins en moins sur les faces AC et AB, et il finirait par 
y avoir, après un nombre plus ou moins grand de ré- 
flexions, un rayon émergent; mais si le rayon incident 
était dirigé vers l'ouverture de l’angle BAC, les rayons 
réfléchis s’inclineraient de plus en plus sur les faces du 
milieu et ne pourraient jamais sortir. Ces diverses cir- 
constances peuvent être aisément représentées par des 
constructions géométriques ou par des formules très- 
simples, et lorsque l’angle A est donné, il est facile de 
trouver s’il existe ou non un rayon émergent pour un 
angle d'incidence déterminé. 

27. Tout milieu réfringent, ayant deux faces planes 
inclinées entre elles, se nomme un prisme, en optique, 
qu’ilsoit d’ailleursun véritable prisme géométrique, ou 
seulement une de ses parties. Le sommet du prisme est 
la droite suivant laquelle les deux faces se coupent, ou 
suivant lesquelles elles se couperaient en les prolongeant 
suffisamment. La base du prisme est une troisième face 
opposée au sommet, qu’elle existe ou non en réalité. 
L'angle du prisme, qu'on nomme aussi l'angle réfrin- 
gent, est l'angle des deux faces. Quand un rayon lumi- 
neux pénètre par une des faces et sort par l’autre, on 
dit qu'il traverse le prisme. Dans tout ce qui va suivre, 
nous ne considérerons que des prismes complets; mais 
les phénomènes que vont nous offrir ces corps seraient 
les mêmes pour des fragmens quelconques de prismes 
géométriques, pourvu que les deux faces par lesquelles 
la lumière entre et sort soient planes et inclinées l’une 
vers l’autre. 

28. La déviation qu’éprouve un rayon de lumière en 
traversant un prisme produit des apparences différentes 
suivant la position du prisme. Lorsque la base du prisme 
est horizontale et que le sommet est en haut, les objets 
qu’on peut apercevoir, en approchant l’œil d'une des 
faces pour recevoir la lumière qui est entrée par l’autre, 
sont comme relevés vers le sommet du prisme, et leurs 
bords horizontaux sont colorés de toutes les couleurs de 
l'iris; si le sommet est au bas, la déviation des objets 
s'effectue dans un ordre inverse. Lorsque le prisme est 
posé verticalement, la déviation a toujours lieu vers 
son sommet, mais ce sont les bords verticaux des ob- 
jets qui se colorent. En général, quelle que soit la posi- 
tion du prisme, la déviation a toujours lieu vers le som- 
met, perpendiculairement aux arêtes, et la coloration 
s'effectue parallélement à ces arêtes, toujours seule- 
ment vers le bord des objets, de sorte que les seuls 


LUM 


bords colorës sont ceux qui se trouvent parallèles aux 
arêtes. ; 

29. On nomme angle de déviation l'angle que l’image 
directe d’un objet fait avec son image déviée par un 
prisme, quand l’œil est supposé placé assez loin pour 
pouvoir recevoir en même temps le rayon direct et le 
rayon réfracté. Soit, par exemple, LI (fig. 3, PL. XV) un 
rayon incident émergé suivant l'O et reçu par l'œil 
placé en O, à une grande distance du prisme; si OL: est 
un rayon direct venu du même point lumineux que le 
rayon incident LI, l'angle de déviation sera l'angle l'OL’. 

Cet angle de déviation peut être plus ou moins grand, 
suivant la position du prisme; car, pendant qu’on re- 
garde l’objet réfracté, si l’on fait tourner le prisme sur 
lui-même, l’objet paraît se déplacer et se rapprocher 
ou s’écarter, sans cependant sortir de deux limites. Il 
y a donc une déviation minimum et une déviation 
maximum. 

On démontre facilement que la déviation minimum 
a lieu lorsque les angles d'incidence et d’émergence sont 
égaux. Dans cette position remarquable, les angles SIT 
et SIT étant nécessairement égaux, le triangle IST est 
isocèle, et la moitié de l’angle S au sommet, ou de 
l'angle réfringent du prisme, est le complément de cha- 
cun des angles à la base, car 


—180°—2SIl, et :S—g0o°—SlIl. 

Or, l'angle SIT est lui-même complément de l’angle 
de réfraction J'IN’; donc, dans le cas de la déviation 
minimum, l’angle de réfraction qui a lieu au passage du 
rayon lumineux de l’air dans la substance du prisme est 
égal à la moitié de l'angle réfringent. C’est au moyen de 
cette relation qu’on détermine les indices de réfraction 
des diverses substances. 

30. Pour indiquer les principes de cette détermina- 
tion, menons OB parallèle à SA et OB' parallèle à SA’, 
et observons qu’en désignant par I l'angle d'incidence 
LIN, par R l'angle de réfraction N'IJ', par G l’angle ré- 
fringent du prisme, nous avons, D élant la déviation 
minimum l'OL’, 


D — 180° — L'OB — BOB'— B'OE; 


mais 
L'OB = B'OE — LIA = 90° —]; 

ainsi 

D—21—6G, 
d'où 

D +G 
1= ———; 
a 


LUM 


substituons maintenant cette valeur, ainsi que celle de 
G 3 : 
R— > dans l'expression du numéro 22, et nous au- 


rons la relation 


au moyen de laquelle on peut trouver l'indice de ré- 
fraction, par la seule observation de la déviation mini- 
mum , avec un prisme dont l’angle réfringent est connu. 

“1. Si la substance qu’on veut essayer est solide, on 
construira donc un prisme avec elle, et on le posera 


verticalement à une grande distance d’une mire. À 
quelques pas du prisme, on placera un cercle gradué 
muni de deux lunettes mobiles, et, après avoir dirigé la 
première lunette sur la mire, on dirigera la seconde de 
manière à recevoir l’image de la mire réfractée par le 
prisme, puis on fera tourner le prisme et la lunette jus- 
qu’à ce qu’on trouve la déviation minimum, ce qui est 
‘facile par quelques essais. Cette déviation obtenue, 
l'angle des lunettes, sur le limbe du cercle, donne sa 
mesure, et il ne faut plus que la substituer dans la re- 
lation précédente, avec la valeur de l'angle du prisme, 
pour connaître l'indice cherché. 

Ce procédé, dû à Newton, peut être encore employé 
pour les liquides, et même pour les gaz, en les renfer- 
mant dans une cavité creusée au milieu d’un prisme de 
verre. 

32. Les physiciens désignent sous le nom de puis- 
sance réfractive d’une substance le carré de son indice de 
réfraction, par rapport au vide, diminué de l'unité; 
cette quantité se représente généralement par n?— 1, 
Ils nomment pouvoir réfringent la puissance réfractive 
divisée par la densité de la substance. Ces dénomina- 
tions ont été adoptées, parce que dans le système de l’é- 
‘mission #? — 1 exprime l'accroissement du carré de la 
vitesse de la lumière à son passage du vide dans un mi- 
lieu réfringent; le pouvoir réfringent est la puissance 
réfractive sous l’unité de densité. Dans le système des 
ondulations, la puissance réfractive dépend du degré de 
condensation où se trouve l’éther renfermé dans la sub- 
stance réfringente. Nous ferons observer que les pou- 
voirs réfringens de l'air et des gaz étant très-petits par 
rapport à ceux des autres corps, on peut toujours, sans 
erreur sensible, prendre pour l'indice de réfraction de 
ces corps, par rapport au vide, celui qu'on observe par 
rapport à l’air. 

MM. Biot et Arago ont posé comme principe fonda- 
mental, que les puissances réfractives d'un même gaz 
sont proportionnelles à sa densité, ou, ce qui est la même 
chose, que le pouvoir réfringent d'un gaz est le méme à 
toute température et à toute pression. Dulong a constaté 
que ce principe avait encore lieu pour les mélanges de 


LUM 287 
gaz, de sorte que la puissance réfractive d’un mélange 
de gaz et de vapeurs est égale à la somme des puissances 
réfractives des gaz composans; mais, s’il y a combinai- 
son chimique dans le mélange, la puissance réfractive 
du gaz composé n’a plus aucun rapport avec celles de 
ses élémens. 

33. Il suflit de connaître l'indice de réfraction d’un 
milieu réfringent par rapport au vide, pour trouver 
immédiatement sa puissance réfractive; sachant, par 
exemple, que l'indice de réfraction de l’eau de pluie 


est 529 on à 
396 , 2 


Le 529 
Puissance réfractive de l’eau = | => 
590 


2 
) — 1— 0,845. 
Voici, d’après les expériences les plus récentes, les 
indices de réfraction de diverses substances, avec les 
puissances réfractives et les pouvoirs réfringens qui en 
résultent. 


TABLEAU 


DES INDICES DE RÉFRACTION , DES PUISSANCES RÉFRACTIVES 


ET DES POUVOIRS RÉFRINGENS DE PLUSIEURS SUBSTANCES. 


NOMS 


2 


réfringens, 
n 


DES SUBSTANCES, 


INDICES 
de réfraction. 
DENSITES 


& 


Sulfate de baryte. 
Verre d’antim. . . 
Chaux sulfatée. . 
Verre commun. . 
Cristal de roche. . 
Chaux carbonat.. 
Sel gemme. . . 
AUS CESR EX 
Borax.7 1-1 
Nitrate de potasse 
Sulfate de fer. . 
Acide sulfurique. 
Eau de pluie. . 
Gomme arabique. 
Alcool rectifié.. . 
Camphre. . . . . 
Huile d'olive. . . 
Huile de lin. . . 
Essence de téréb. 
Ambre. . 
Diamant. . 


LA = 
0,9979 
0,4804 
0,9980 
0,400 
0,456 
0,656 
0,6477 
0,0570 
0,6516 

| 
FEAR) 
0,7951 
0,6124 
0,7849 
0,0974 
1,0121 


Qt 
» 
D 


s 
® 
&B 


BE 
n 


& 
ww vw 
NN = NI Qt 


= = LE RD O1 O1 ŒNI 


EE 
s 


” 


e 
© 
LEA Es Q 


eo 
3 
— 


0,8705 
1,20 
1,1511 
1,1948 
1,1626 
1,42 
4:949 


288 LUM 
TABLEAU 


DES INDICES DE RÉFRACTION ET DES PUISSANCES RÉFRACTIVES 
DES GAZ À 0° ET SOUS LA PRESSION 0",70. 


PTE 
© à ARE = 
NOMS DES GAZ. HE à ANS ON AS 
= © di 2 « CA 
CS = = À | 
ao D à A 
a°] F4 
————————————— 
Air atmosphérique. . | 1,000294 | 0,000589 | 1,000 
Oxygène. . : « . . . [1,000272 | 0,000544 | 1,103 
Hydrogène. . . . .[1,000158 0,000277 0,068 
Azote. . . « . . . . | 1,000900 | 0,000601 | 0,976 
Ammoniaque. . . . | 1,000385 | 0,000771 | 0,591 
Acide carbonique. . | 1,000449 0,000899 1,92/ 
Chlore cris 0,001545 | 2,450 


1,000772 


Acide chlorhydrique. | 1,000449 | 0,000899 | 1,254 
Oxyde d'azote. . . . | 1,000505 | 0,001007 | 1,527 
Gaz nitreux. . . . . | 1,000305 | 0,000606 | 1,039 
Oxyde de carbone. . | 1,000540 0,000681 | 1,992 
Cyanogène.. . . . . | 1,000854 0,001668 | 1,818 
Gaz oléfiant. . . . . | 1,000678 | 0,001356 | 0,980 
Gaz des marais.. . . | 1,000443 | 0,000886 | 0,559 
Ether chlorhydrique. | 1,001095 | 0,002191 | 2,234 
Acide cyanhydrique. | 1,000451 | 0,000905 | 0,944 
Gaz oxy-chloro-carb. | 1,001159 0,002518 | 3,442 
Acide sulfureux. . . | 1,000665 | 0,001331 | 2,247 
Hydrogène sulfuré. . | 1,000644 | 0,001288 | 1,178 
Ether sulfurique. . . | 1,001550 | 0,003061 | 2,580 
Soufre carburé. . . |1,015000 | 0,003010 | 2,644 
Hydr. proto-phosph. | 1,000589 | 0,001579 1,206 


34. Les propriétés des prismes se retrouvent dans les 


yerres connus sous le nom de lentilles, qui grossissent 
ou diminuent les objets qu’on regarde au travers d’eux. 
Ces verres pouvant être considérés comme composés 
d’une infinité de prismes tronqués, on conçoit que les 
rayons qui les traversent subissent des réfractions diffé- 
rentes suivant l’inclinaison différente des deux faces de 
chaque prisme tronqué élémentaire; de sorte que les 
rayons envoyés par le même objet, et qui convergent 
naturellement dans l'œil pour y produire la vision de 
cet objet, peuvent émerger de la lentille avec une con- 
vergence plus où moins grande que celle qu’ils avaient 
en y entrant; dansle premier cas, l’objet paraît plus 
grand qu’à œil nu, et dans le second, plus petit. 
(Voy. Lexrizes, tom. IL.) 

55. Analyse de la lumière. Nous avons signalé ci- 
dessus (28) le phénomène de la coloration des bords 
des objets vus au travers d’un prisme; ce phénomène 
indique évidemment que la lumière subit une certaine 
modification en passant dans le prisme, car les couleurs 
accidentelles qu’on aperçoit sont indépendantes de la 
couleur propre des objets et présentent toutes les nuan- 
ces de l’arc-en-ciel ; mais pour reconnaitre la nature de 


LUM 
cette modification, il est nécessaire d’avoir recours à 
des expériences plus décisives. 

Imaginons qu’au volet d’une chambre bien close, ct 
dans laquelle ne pénètre aucun rayon lumineux, on ait 
percé un petit trou rond de 3 ou 4 millimètres de dia- 
mètre, et qu’à l’aide d’un miroir plan, placé au dehors, 
on fasse passer par ce trou un faisceau réfléchi de lu- 
mière solaire; tant que ce faisceau ne rencontrera au- 
cun obstacle sur son chemin, il se propagera en ligne 
droite ct il ira peindre sur le mur opposé une image 
ronde du soleil. Supposons maintenant qu’à une petite 
distance du trou on place un prisme de verre ou de 
cristal de manière que le faisceau lumineux soit forcé de 
le traverser ; on observera alors, non seulement que le 
faisceau dévie de sa direction, mais qu’il se dilate et se 
colore : en sortant du prisme, il est plus large que lors- 
qu'il y est entré, et continue à s’élargir, en se propageant 
jusqu’au mur opposé, sur lequel il va peindre une image 
oblonguc composée de bandes diversement colorées. 
La fig. 4, pl. XV, indique l'élargissement du faisceau 
incident, GG' est le diamètre de l’image propagée di- 
rectement, et RU la largeur de l’image réfractée et 
colorée. 

Si l’image réfractée est reçue sur un fond blanc 
distant du prisme de 5 à 6 mètres, ses couleurs seront 
vives et tranchées, et l’on pourra reconnaître, 1° que sa 
longueur, cinq à six fois plus grande que sa largeur, est 
dans un sens perpendiculaire aux arêtes du prisme; 
2° qu’elle est terminée, sur sa largeur, par deux droites 
parallèles, et sur sa longueur, par deux demi-cercles; 
3° que sa surface est divisée en sept bandes parallèles 
entre elles et aux arêtes du prisme; les nuances trés- 
brillantes de ces bandes se succèdent dans l’ordre indi- 
qué par la figure 5, savoir : rouge, orangé, jaune, 
vert, bleu, indigo, violet. Le rouge est à l’extrémité la 
plus proche de l'angle réfringent du prisme, et le violet 
à l'extrémité opposée. Cette image, ainsi réfractée et 
colorée, se nomme le spectre solaire. | 

36. On ne peut expliquer ces phénomènes qu’en sup- 
posant chaque rayon de la lumière blanche solaire com- 
posé de sept rayons parallèles élémentaires diversement 
colorés; et comme il est impossible d'attribuer au 
prisme aucune force particulière capable de les désunir, 
il faut supposer en outre que ces rayons sont inégale- 
ment réfrangibles, ce qui les fait s’écarter de plus en 
plus les uns des autres dans les deux réfractions qu'ils 
subissent en traversant le prisme. Pour élever cette 


hypothèse à la certitude, il s’agit donc de prouver, 


1° que les rayons colorés ont des réfrangibilités diffé- 
rentes; 2° que la réunion de ces rayons produit de la 
lumière blanche. C’est ce que l'expérience démontre 
complètement. 

Si l’on reçoit le spectre solaire sur un écran, çt qu’on 


LUM 


perce une petite ouverture au centre d’une des bandes 
colorées, le faisceau des rayons de cette couleur qui 
passera par l'ouverture se propagera isolément de l’au- 
tre côté de l’écran, et on pourra le soumettre à toutes 
les expériences capables de faire connaître son degré de 
réfrangibilité. C’est de cette manière qu’on a constaté 
que le rayon rouge est le moins réfrangible de tous, et 
le rayon violet le plus réfrangible. Entre ces deux li- 
mites, la réfrangibilité des autres rayons varie d’une ma- 
nière continue. On a également constaté que chaque 
rayon n’est plus susceptible d’aucune décomposition 
ultérieure, et qu'il conserve inyariablement sa nuance 
en se réfractant. Les traités complets d’optique renfer- 
ment un grand nombre d'expériences qui conduisent 
toutes à ces résultats. 

Pour recomposer de la lumière blanche avec les 
rayons colorés, il suMit de recevoir le faisceau émergent 
sur un second prisme semblable au premier, mais 
tourné en sens inverse ; le faisceau, qui est coloré entre 
les deux prismes, sort parfaitement blanc du second, et 
va porter contre l'écran une image ronde du soleil. On 
peut encore recomposer la lumière blanche par plu- 
sieurs autres procédés. 

Nous pouvons donc énoncer comme une vérité dé- 
montrée, que la lumière blanche du soleil est composée 
de rayons diversement colorés et diversement réfrangi- 
bles, tout en faisant observer, cependant, que nous en- 
tendons par rayon coloré un rayon qui a la propriété de 
produire la sensation d’une couleur déterminée. 

37. Toutes les lumières que nous produisons artifi- 
ciellement donnent des spectres analogues au spectre 
solaire ; mais les couleurs sont moins vives, et il man- 
que toujours certaines nuances, ce qui explique la dif- 
férence qu’on observe dans les couleurs des objets vus 
le jour et vus à la clarté des bougies ou des lampes; 
car les couleurs naturelles des objets ne sont produites 
que par la décomposition de la lumière blanche qui 
s'opère à leur surface : certains rayons élémentaires 
étant absorbés et certains autres réfléchis. Par exemple, 
les corps qui nous paraissent blancs réfléchissent égale- 
ment tous les rayons colorés; ceux qui nous paraissent 
noirs les absorbent tous, et les autres n’en réfléchissent 
que quelques-uns et absorbent le reste. Ainsi, la lumière 
de nos foyers n’étant pas absolument la même que celle 
du soleil, les nuances des couleurs produites sur un 
même corps par ces lumières doivent être différentes. 

58. Il résulte des diverses réfrangibilités des rayons 
élémentaires, que lorsqu'un rayon de lumière blanche 
traverse un milieu terminé par des surfaces parallèles, 
il se décompose en entrant, et se recompose en sortant, 
car la décomposition est une suite nécessaire de la pre- 
mière réfraction , et la recomposition une conséquence 
non moins nécessaire du fait même de l'émergence sans 


Tow, mu, 


LUM 289 


coloration. Ainsi, quoique la lumière blanche n’éprouye 
aucune altération en traversant des lames parallèles, si 
Von pouvait placer son œil dans l’intérieur d’une telle 
lame, on recevrait, dans différentes directions, des 
rayons différemment colorés. 

39. Des raies du spectre. On nomme raies du spectre 
des lignes noires, ou seulement obscures, parallèles, et 
réparties très-inégalement sur son étendue, qui ont été 
signalées pour la première fois par Wollaston, et dont 
on doit l'analyse complète à Frauenhoffer. 

Ces raies sont fines et si rapprochées, qu’on ne peut 
les apercevoir qu’à l’aide d’une lunette. La figure 12, 
pl. XV, représente leur disposition, telle qu’elle a été 
observée par Frauenhoffer ; leur nombre est de plus 
de 700. Pour établir quelques points fixes de compa- 
raison, cet habile observateur a choisi les raies mar- 
quées B, C, D, E, F, G, H, qui, parmi les plus faciles 
à reconnaître, ont l'avantage de ne pas diviser le spectre 
en parties trop inégales. La figure indique leur position 
dans les diverses bandes colorées. 

Frauenhoffer a constaté, 1° que les raies sont entiè- 
rement indépendantes de l'angle réfringent et de la sub- 
stance du prisme; 2° qu’elles sont les mêmes pour la 
lumière solaire et pour toutes les lumières qui en pro- 
viennent, comme celle de la lune et des planètes; 3° que 
la lumière d’une lampe, au lieu de donner des raies 
noires, donne des raies brillantes autrement disposées. 
Les flammes de l'hydrogène et de l’alcool présentent 
sous ce rapport les mêmes apparences que la flamme 
d'huile ; la flamme électrique donne pareillement des 
bandes brillantes ; 4° que la lumière de Sirius donne des 
raies noires, mais différemment disposées. D’autres 
étoiles de première grandeur paraissent donner des raies 
différentes de celles de Sirius et de celles du soleil. 

La découverte de ces raies est d’une grande impor- 
tance pour établir des caractères distinctifs entre les di- 
verses lumières naturelles et artificielles; elle a permis, 
par les points fixes que les raies établissent dans le 
spectre, de déterminer les indices de réfraction des prin- 
cipaux rayons colorés, avec une précision beaucoup 
plus grande qu’on ne l'avait pu faire avant. 

4o. La connaissance des indices de réfraction des di- 
vers rayons colorés étant très-importante pour la con- 
struction des instrumens d’optique, et leur recherche 
offrant de grandes difficultés, parce que les nuances des 
couleurs, loin d’être brusquement tranchées, passent 
insensiblement de l’une à l’autre, on s’est attaché à dé- 
terminer les indices de réfractions des raies fixes mar- 
quées B, C, D, ete. Voici les résultats de ces recherches. 
Les indices donnés ci-dessus (33) ne doivent être con- 
sidérés que comme ceux de la réfraction moyenne. 


37 


290 LUM 


1,671062 
1,546566 
1,944177 
1,344162 
1,416368 
1,493874 
1,640375 
1,666072 
1,544684 
1,579470 
1,669686 


1,669680 


908 
1,57853D 
1,658848 
1,658849 


G 
1,050285 
1,941657 
1,341293 
1,341261 
1,412579 
1,488198 
1,630772 
1,655400 
1,939), 


"Ai 

A D 
46756 
1,646780 


5 


1,648260 
1,2360052 
1,937818 
1,937788 
1,408081 
1,481730 
1,020042 
1,643466 
1,534337 
1,506 


1,6 


E 
1,042024 
1,53300 
1,385851 
1,535849 
1,405632 
1,478553 
1,614532 
1,637556 
1,531372 
1,563150 
1,640495 
1,040544 


D 
1,999577 
1,585097 
1,402805 
1,474454 
1,608494 
1,630285 
1,527982 
1,559075 
1,035667 
1,635666 


© © 
ta 
© 1 

1 © 
te 
De) 

CES 
CRE 


C 
1,6290681 
1,520846 
1,931712 
1,931709 
1,400515 
1,479530 
1,603800 
1,625477 
1,525299 
1,5559955 
1,628469 
1,628451 


1,330977 


1,399629 
1470496 
1.602042 
1,623570 
1,524312 
1,554774 
1,626596 
1,626564 


1,930995 


1,627749 
1,525852 


Dissolution de potasse. . . . . . . 
éré 


TABLEAU DES INDICES DE REFRACTION DES RAYONS DU SPECTRE CORRESPONDANT AUX PRINCIPALES RAIÏES. 


. 


. 


Sn 
benthine. . . . 


Le) 
Crown-glass. . . . 


’ 


REFRINGENTES. 


, 


glass 
Flint-glass, n° 23, prisme de 45°. . 


Flint- 

Huile de t 

Flint-glass, n° 30. . . :. : . . . 
Crown-glass, n° 13. . . . . . . : 
Crown-glass, lettre M. . . 
Flint-glass, n° 25, prisme de 60°. . 


Ces résultats sont d’autant plus précieux qu’on ne con- 
naissait réellement rien de fixe, dans le spectre, ayant 
les découvertes de Frauenhoffer, car les nuances y sont 
en nombre infini depuis le rouge le plus vif iuiquan 
violet le plus sombre, et chacune de ces nuances a né- 
cessairement un indice particulier de réfraction, 

41. De la dispersion. Des prismes égaux de sub- 
stances différentes ne produisent pas des spectres iden- 
tiques dans les mêmes circonstances. Les couleurs y 
sont bien toujours rangées dans le même ordre, mais 
leurs longueurs ne sont pas proportionnelles. Par exem- 
ple; un prisme de verre ordinaire donne proportion= 


LUM 


nellement plus de rouge et moins de violet qu’un prisme 

de flint-glass. Ge phénomène se trouve nécessairement 

lié avec la grandeur des indices de réfraction de chaque - 
couleur. On a donné le nom de dispersion à la diffé- 

rence des indices des rayons extrêmes, rouge et violet. 

Ainsi la dispersion d’une substance est d'autant plus 

grande que la différence des indices extrêmes est plus 

considérable. La dispersion, divisée par l'indice moyen 

de réfraction diminué de l’unité, se nomme le pouvoir 
dispersif de la substance. 

En désignant par »' l'indice de réfraction du rayon 
rouge, par n° celui du rayon violet, et par » l'indice 
moyen, la dispersion cest représentée par n — »’, et le 
pouvoir dispersif par 


42. Brewster a donné dansson Encyclopédie une table 
des dispersions et des pouvoirs dispersifs d’un grand 
nombre de substances. Les expériences qui lui servent 
de base, faites avant la découverte des raies du spectre, 
ne peuvent avoir autant d’exactitude que si les teintes 
eussent été rapportées à ces raies; mais on peuten tirer 
Nous en extrairons seulement ce 
qui concerne les substances les plus usuelles. 


d’utiles indications. 


Noms des substances. Pouvoirs  Dispersions. 
dispersifs. 

Chromate de plomb maximum, es- 
timé 4060014000 UNI SELS 400 0,770 

Chromate de plomb, idem, doit excé- 
derndes ar0/:n8.2R 10020 208 M0 06 0,576 
Chromate de piomb minimum. . . 0,267 0,394 
Carbonate de plomb minimum. . . 0,066 0,056 
Verrés vertes! lon. 42609070 0x 0,037 
Sulfate de plomb. . . . . . . . . . 0,060 0,056 
Verre rouge foncé. . . : . .!. « . 0,a6o 0,044 
Verresopale: 12e .1e Romeo 060 MD; 058 
Verré:orangé:no vu Art ED 06 0,042 
Selgemmeit. CAT ENT SN DI0bS 0,029 
Flint-glasssi couts 20e 0052 0,032 
Verre pourpre foncé. . : . . . . . 0,051 0,091 
Flint-glasssr a5.0.231418 LUE A0 eos 0,029 
Ideñni ail stress d'hier 0,028 
Acide rnitrique: 04 151010 aq ten 06 0,019 
Acidenitreux:1.1 241.140 200 of 0,018 
Verre:roséif. 41}.1419) 00,200 CE 0,025 
Huile de térébenthine. . . . . . . . 0,042 0,020 
Atmbré sutirsus 20-H1sTeNt CUBE C eop/us 0,025 
Spath calcaire maximum, . . . . . 0,040 0,027 
Verre de bouteille. . . . . . : . : 9,040 0,023 
Sulfate de sfer.-e594r 2100.00 ETC CEE 0,019 
Diamañtuds cost 10cm OT ee 0,058 0,056 
Huile diolire:1:'1,54 not ao 088 0,018 


| 


LUM 


Noms des substances. Pouvoirs Dispersions. 
: dispersifs. 

AT eee casio e ©, 01. 03000 0,020 
Suülfatelde Cure. +. . 1. ..- + +, 05000 0,019 
RE rue «+ + + à 0,009 0,012 
MEME CGI ROTAX. ee + ee ©: e 102004 0,018 
MÉMREANYRIMES ee ce ee 0 «ec 405002 0,017 
RE. <<. 10,020 0,011 
Cristal de roche. . . . . . . . . . 0,026 0,014 
Spath calcaire, minimum. . . . . 0,026 0,016 
SHAROAUOT- ne en ee 105022 0,010 


45. La dispersion des rayons colorés est l'unique 
cause des bandes irisées qui apparaissent sur les bords 
des objets vus à travers un prisme, bandes dont l'effet 
est de rendre les contours de l’image mal terminés et 
incertains. Ce phénomène ayant également lieu avec 
les verres lenticulaires des lunettes, il est très-difficile 
de construire des instrumens dioptriques capables de 
donner des images bien nettes et sans coloration étran- 
gère; si, comme l'avait cru Newton, le pouvoir dis- 
persif de toutes les substances réfringentes était le 
même, il serait absolument impossible de construire des 
instrumens qui eussent la propriété de dévier la lumière 
sans y développer les couleurs, instrumens auxquels 
on donne le nom d’achromatiques. Newton , désespérant 
du perfectionnement des télescopes ordinaires, vou- 
lut les remplacer par un instrument plus exact, et 
c’est à une erreur qu'est due l’invention du télescope à 
miroir, devenu si fécond entre les mains d’Herschell. 

Euler signala le premier la possibilité de composer 
des lentilles achromatiques, en se fondant sur la con- 
stitution de l’œil humain ; mais c’est à Dollond, célèbre 
opticien anglais, qu’on doit la solution du problème et 
la découverte de la différence des pouvoirs dispersifs 
des divers corps transparens. Après beaucoup d’essais sur 
toutes les espèces de verres, il obtint, de deux prismes 
placés l’un contre l’autre, les angles réfringens opposés, 
une lumière émergente incolore, quoique déviée d’une 
manière assez considérable. C’est avec les deux sortes 
de verres de ces prismes qu'il construisit ensuite des 
lentilles achromatiques, en réunissant un verre convexe 
de crown-glass avec un verre concave de flint-glass. 

Pour faire comprendre comment un prisme peut de- 
venir achromatique, imaginons un prisme quelconque 
triangulaire, traversé par un faisceau de lumière blan- 
che; si on applique sur la surface d’émergence celle 
d’un autre prisme semblable au premier, mais tourné 
en sens opposé, le système formera un prisme quadran- 
gulaire, et la dispersion et la déviation produites par le 
premier prisme étant détruites par la dispersion et la 
déviation produites par le second en sens inverse, la 
lumière sortira du système sans altération ; ce qui ré- 
sulte d’ailleurs du fait, que le système se réduit à une 


LUM 291 


simple plaque à faces parallèles. Mais ce système ne fai- 
sant éprouver aucune déviation aux rayons lumineux, 
l'objet vu au travers apparaîtra sous les mêmes dimen- 
sions qu’à l’œil nu; et ce qu’il importe, c’est d’avoir 
des images plus grandes ou plus petites, suivant le be- 
soin. Concevons maintenant que la substance du second 
prisme, au lieu d’être la même que celle du premier, 
soit plus dispersive; comme la dispersion augmente 
avec l’angle du prisme, il faudra donner au second 
prisme un angle réfringent plus petit que le premier, 
pour que l’image soit incolore; et alors elle conservera 
une certaine déviation. Nous ne pouvons qu’indiquer 
ce principe, dont l'application à la construction des 
instrumens achromatiques présente des difficultés très- 
embarrassantes, malgré tous les progrès de l’optique. 

44. Des couleurs produites par des lames minces. Tous 
les corps diaphanes réduits en lames très-minces font 
éprouver à la lumière des décompositions analogues à, 
celles du prisme, et les rayons réfléchis, comme les 
rayons émergens, prennent des teintes très-variées. On 
peut observer ces phénomènes dans les bulles de verre 
ou de savon soufflées jusqu’au point où elles éclatent ; 
un moment avant de se briser elles présentent des cou- 
leurs vives et changeantes. Les liquides volatils répan- 
dus en lames minces sur des surfaces polies d’une teinte 
foncée se colorent pareillement. L’air lui-même par- 
tage cette propriété, lorsqu'il est contenu entre deux 
plaques transparentes, comme le seraient, par exemple, 
deux plaques de verre pressées fortement l’une contre 
l’autre. Newton s’est beaucoup occupé de ces phéno- 
mènes , qui l’ont conduit à des résultats très-importans. 
Nous allons indiquer les faits principaux qu’il a observés. 

Sil’on place unelentille bi-convexe AB d’untrès-grand 
foyer (PL. XV, fig. #) sur un verre plan, et qu’on fasse 
arriver sur la lentille un rayon de lumière blanche, on 
aperçoit au point de contact des verres une tache noire 
et tout autour une série d’anneaux diversement colorés, 
dont le nombre augmente à mesure qu’on presse avec 
plus de force la lentille contre la plaque. Le point noir 
ne devient visible que lorsque la pression est assez 
grande pour établir un contact immédiat des deux 
verres, Ainsi, on commence par voir au centre , sous 
une pression modérée, un cercle d’une certaine couleur; 
cette couleur s'étend, en augmentant la pression, jus- 
qu'à ce qu’il paraisse au centre une nouvelle couleur 
que la première entoure en bande circulaire. La pres- 
sion croissant toujours, la nouvelle couleur s'étend à 
son tour; une autre la remplace âu centre, et ainsi de 
suite, jusqu’à ce qu'enfin il arrive un point noir qu'en- 
tourent tous les cercles de couleur. En diminuant gra- 
duellement la pression, les mêmes phénomènes se 
reproduisent en sens inverse, et tous les cercles colorés 
diminuent et disparaissent successivement. 


292 LUM 


Ces cercles colorés se succèdent dans cet ordre autour 
du point noir : bleu, blanc, jaune et rouge; l'anneau 
bleu est faible, les anneaux rouge et jaune sont très- 
apparens et de même largeur que le blanc; cette pre- 
mière série est entourée d’une seconde dont l’ordre est: 
violet, bleu, vert , jaune etrouge. Toutes ces couleurs sont 
larges et claires, à l'exception du vert, qui paraît terne et 
étroit; une troisième série, pourpre, bleu, vert, jaune, 
rouge, entoure la seconde; enfin une quatrième série, 
consistant en deux anneaux vert et rouge, n’est plus 
entourée que d’anneaux ternes, dont les couleurs indé- 
cises finissent par se confondre avec le blanc. 

Si, au lieu de recevoirlesrayons réfléchis, on place l’œil 
au-dessous de laplaque pourrecevoirlesrayonstransmis, 
on voit un cercle blanc au centre et une suite de cercles 
colorés dont les teintes se succèdent dans un ordre tel 
que les anneaux qui se correspondent par réflexion etré- 
fraction ont des couleurs complémentaires, c’est-à-dire des 
couleurs qui, réunies, composeraient de la lumière blan- 
che. Par exemple, si la couleur d’un anneau réfléchi est 
produite par le mélange des deux premières couleurs du 
spectre, le rouge et l’orangé, celle de l'anneau réfracté 
correspondant sera produite par le mélange des cinq 
couleurs restantes, jaune, vert, bleu, indigo et violet. 

Les bandes colorées ne sont circulaires que lorsque 
les rayons incidens sont perpendiculaires ; s’ils tombent 
obliquement , les anneaux s’élargissent et deviennent 
elliptiques. 

45. Pour ramener le phénomène à ses élémens, 
Newton répéta les expériences, en employant de la 
lumière homogène ou d’une seule couleur primitive ; il 
vit qu'avec la lumière rouge, il ne se formait que des 
cercles rouges séparés par des cercles noirs; qu’avec la 
lumière jaune , il n’y avait pareillement que des cercles 
jaunes, et ainsi de suite. En général, chaque rayon 
simple produit par réflexion et par réfraction une série 
d’anneaux alternativement noirs et de sa couleur: les 
anneaux noirs réfléchis correspondent aux anneaux co- 
lorés réfractés, et vice versd. 

En mesurant les diamètres des anneaux réfléchis dans 
leur partie la plus brillante, Newton trouva que, quelle 
soit la couleur de la lumière homogène, les carrés de 
ces diamètres sont entre eux comme les nombres im- 
pairs 1, 5, 5, 7, 9, etc. ; et que les carrés des diamètres 
des anneaux transmis ou des anneaux noirs réfléchis 
sont comme les nombres pairs 0, 2, 4, 6, 8, etc. 

Ces rapports une fois trouvés, il devenait facile de 
calculer l’épaisseur de la couche d’air correspondante 
à un anneau, en mesurant d’abord son diamètre, car la 
courbure du verre convéxe étant connue, et le verre 
plan lui étant perpendiculaire, la distance des deux 
surfaces à une distance quelconque du point de contact 
est déterminée par çette dernière distance, c’est-à-dire 


LUM 


par le diamètre de j’anneau correspondant. En outre, le 
diamètre d’un anneau quelconque étant mesuré direc- 
tement, ses rapports précédens avec les autres servent 
à calculer ceux-ci; mais il n’est pas même besoin de 
connaître ces derniers pour obtenir les épaisseurs de la 
couche d'air; car en désignant par e l'épaisseur de l'air 
correspondante à la circonférence intérieure du premier 
anneau réfléchi, on voit aisément que les épaisseurs aux 
périmètres intérieurs et extérieurs des anneaux succes- 
sifs sonte, 3e, 5e, ve, 9e, et que les épaisseurs de l’air 
correspondantes au milieu des anneaux sont 2e, 6e, 
10e, 14e, etc., pour les anneaux réfléchis, eto, 4e, 
8e, 19e, 16e, etc., pour les anneaux réfractés. Ces 
rapports sont les mêmes pour chaque lumière homo- 
gène; mais l'épaisseur absolue de la lame d’air corres- 
pondante à un anneau du même rang varie avec la 
couleur, et augmente du rouge au violet. En prenant 
pour unité l’épaisseur de la lame d’air à la circonférence 
du premier anneau de la lumière rouge, celles qui se 
rapportent aux autres couleurs sont : 


Epaisseur de la lame d'air, 
Désignation des couleurs. au périmètre intérieur 


du premier anneau, 


Rouge extréme.. 5... e. 

Limite du rouge et de l’orangé. . . . e. 0,9248 
Limite de l’orangé et du jaune. . . e. 0,8855 
Limite du jaune et du vert.. . . . .. e. 0,8255 


Limite du vert et du bleu. . . . ... e. 0,7635 


Limite du bleu et de l'indigo.. . . . . e. 0,7114 
Limite de l’indigo et du violet... . .. e. 0,6814 
Violétiextréme fer ee e. 0,6300 


La valeur de e en millimètres est 0"",00008057; si 
l’on multiplie par cette valeur de e les nombres ci- 
dessus, ceux qu’on obtient représentent les valeurs 
absolues des épaisseurs, et par une particularité très- 
remarquable, ces valeurs absolues sont entre elles comme 
les racines cubiques des carrés des fractions 


CORRE PRE Z 
15 39 69 39 HN TO NO CU 


qu'on retrouve dans la théorie des sons. (Voyez Sox.) 


Il résulte encore de toutes ces relations que les dia- 
mètres des anneaux de même rang formés avec les dif- 
férentes lumières correspondantes aux limites des sept 
couleurs du spectre sont entre eux comme les racines 
cubiques de ces mêmes fractions. 

46. Les lois précédentes s'appliquent aussi bien à 
une lame très-mince d’une substance transparente quel- 
conque, qu’à une lame d’air; mais les valeurs absolues 
des diamètres des anneaux de même couleur et de même 
ordre sont d’autant plus petits que la substance a une 
puissance réfractive plus grande. La loi suivante em- 
brasse toutes ces variations : 

Dans deux lames de différente nature, les épaisseurs 
qui transmettent un anneau de même ordre sous la 


LUM 


même incidence sont entre elles dans le rapport inverse 
des indices de réfraction. 

47. Les phénomènes offerts par les lumières homo- 
gènes expliquent ceux que présente la lumière blanche; 
car on conçoit que puisque cette dernière est composée 
de rayons de toutes les couleurs, chacun d’eux doit for- 
mer sur une lame mince la série d’anneaux qu'il produi- 
rait s’il était seul ; et comme les diamètres des anneaux 
de même ordre des diverses couleurs ne sont pas les 
mêmes , les couleurs anticipent les unes sur les autres, 
et forment des anneaux de diverses teintes, suivant la 
nature du mélange. 

Newton a calculé les épaisseurs correspondantes aux 
diverses teintes que prennent, sous l'incidence perpendi- 
culaire, des lames d’air, d’eau et de verre; nous les rap- 
porterons ici parce qu’elles donnent le moyen de mesu- 
rer des épaisseurs qui échappent à tous procédés directs. 


ÉPAISSEUR DES LAMES 


ou millionième de pouce anglais 


COULEURS RÉFLÉCHIES. 


Très-noir. . . . 
INQITE EL rene 
Commencement 
denoir. . . | 
Bleus: : 
Blanche cmt 
Jaune. "7. 
Orangé. 
Rouge. 


Violet... 
Indigo. 

Bleus, 42: 
VOICE 
JAUNE Res se 
Orangé. . . . . 
Rouge éclatant. 
Écarlate. . . 


1°" ORDRE. 


QE O1 = 


2° ORDRE. 


OO œu 


& © © bb 


Roupesn.". 
Rouge bleuâtre. 


Vert bleuûtre. . 
VERT ONE 
Vert jaunâtre. . 
Rouree.n.lt. 


b 
D © NI OrOR 


GA © 


4° 


| Bleu verdûtre. 
|[Rouge. . . . 


O1 C1 


2 & 


5° onDRE. 


GORE Bleu verditre. 
RoOnEe se... 


LL 


1 = 
À D 


Bleu verdûtre. . 
ROURES SN 


7° ORDRE. 


et 
“3 


LUM 293 


Pour donner un exemple de l’application de cette 
table à la détermination de l’épaisseur d’une lame très- 
mince ; Supposons qu’une couche d’éther sulfurique ré- 
fléchisse, sous l'incidence perpendiculaire, le rouge 
bleuâtre du troisième ordre. Si nous désignons par € 
son épaisseur, par n# son indice de réfraction , et par #' 
l'indice de réfraction de l’air, nous aurons, en vertu de 
la loi du numéro 46 et en observant que le nombre 32 
répond, dans la table, au rouge bleuâtre de la lamé d’air, 


52 Ne—n:n, 


d’où 
n 
e—32 —, 
n 
et en remplaçant les nombres n et n° par les valeurs 


prises dans les tableaux du numéro 353, nous obtien- 
drons 


c’est-à-dire à peu près 31 millionièmes de pouce anglais. 

48. Newton a encore découvert un autre phénomène 
non moins remarquable : c’est la coloration de la lu- 
mière réfléchie par des lames épaisses ; mais les détails 
qu’exigerait son exposition dépassant nos limites, nous 
devons nous contenter de donner une idée de la théorie 
qu'il a fondée sur ces faits singulfers. 

Considérant la lumière comme une substance com- 
posée de molécules infiniment petites lancées par les 
corps lumineux, Newton a supposé que, dans leur 
mouvement très-rapide, ces molécules acquièrent, en 
traversant une surface réfringente, une disposition pas- 
sagère, rentrant dans des intervalles toujours égaux, à 
l’aide de laquelle elles traversent plus facilement une 
nouvelle surface réfringente qu’elles rencontrent, si 
elles atteignent cette surface pendant la durée de l’accés 
de cette disposition, tandis qu’elles s’y réfléchissent 
plus facilement si elles la rencontrent dans les intervalles 
de ces accès. Pour caractériser cette tendance des molé- 
cules lumineuses, il a désigné sous le nom d'accés de 
facile transmission la disposition où se trouve la lu- 
mière lorsqu'elle peut plus facilement se transmettre 
que se réfléchir, et sous celui d'accès de facile réflexion 
la disposition contraire. Cette hypothèse résume parfai- 
tement les phénomènes des anneaux colorés, comme 
nous allons le démontrer. Qu'on imagine un rayon lu- 
mineux pénétrant dans une première surface , et pre- 
nant à son entrée un accès de facile transmission, cet 
accès ira croissant jusqu'à une certaine limite pendant 
une certaine durée, puis décroîtra pendant une seconde 


durée égale à la première ; parvenu à sa fin, il se chan- 


294 LUM 


gera en accès de facile réflexion qui ira croissant à son 
tour jusqu'à son maximum, d’où il décroîtra pour se 
changer de nouveau en accès de facile transmission, et 
ainsi de suite, tant que le rayon ne rencontrera pas une 
nouvelle surface capable de le modifier. Chaque accès 
se composera donc d’une période croissante et d’une 
période décroissante , pendant lesquelles le rayon par- 
courra des espaces égaux. L'espace entier que parcourt 
le rayon pendant la durée d’un accès est ce qui mesure 
la longueur de l'accès. Imaginons maintenant qu'après 
avoir pris, par son passage au travers de la première 
surface, un accès de facile transmission, le rayon ren- 
contre une seconde surface moins éloignée de la pre- 
mière que la longueur d’un accès; ce rayon pourra 
passer outre, parce qu’il est dans l’accès favorable, et 
avec d'autant plus de facilité que la distance des sur- 
faces différera moins de Ja longueur d’un demi-accès. 
Si, au contraire, la distance des deux surfaces est un 
peu plus grande que la longueur d'un accès, mais 
moindre cependant que celle de deux accès, le rayon 
rencontrera la seconde surface pendant la durée de son 
accès de facile réflexion, et sera réfléchi. En général, 
quand la distance des surfaces est moindre que la lon- 
gueur d’un accès, ou égale à deuæ fois, quatre fois, six 
fois cette longucur, le rayon est transmis; et lorsque 
cette épaisseur est égale à wne fois, trois fois, cinq 
fois, etc., la longueur d’un acces, le rayon est ré- 
fléchi. 

En appliquant cette théorie à la formation des an- 
neaux colorés, on reconnaît que l'épaisseur de la lame 
mince au milieu du premier anneau coloré doit être 
égale à la longueur d’un accès; de sorte que cette lon- 
gueur varie avec la réfrangibilité de la substance. 

49. De la diffraction. On nomme diffraction la dé- 
viation que subit un rayon de lumière qui rase la sur- 
face d'un corps, déviation toujours accompagnée d’une 
décomposition analogue à celle qu'éprouve Ja lumière 
en traversant des lames minces. Ce phénomène a été 
observé pour la première fois par Grimaldi, en 1665, 
et étudié depuis par Newton, Young et Fresnel. C’est 
à ce dernier qu’on en doit la théorie complète et l’expli- 
cation. 

Les effets de la diffraction peuvent être reconnus en 
regardant la flamme d’une bougie à travers une fente 
étroile pratiquée dans une feuille de papier noir; on 
aperçoit alors de larges bandes diversement colorées 
qui environnent la flamme. Un cheveu placé verticale- 
ment entre l’œil et la flamme produit encore les mêmes 
apparences, lorsqu'il est très-près de l'œil; mais pour 
constater toutes les circonstances du phénomène, il faut 
l’observer dans la chambre obscure. Lorsqu'un rayon 
introduit dans une chambre obscure rencontre le bord 
d’une lame opaque, on le voit s’écarter comme s’il était 


LUM 


repoussé par ce bord; et en recevant à quelque dis- 
tance l'ombre de la lame et la lumière du rayon sur 
un écran blanc, le bord de l'ombre paraît accompagné 
de bandes brillantes ou de franges colorées parallèles 
entre elles, dont l’éclat diminue à mesure qu’elles s’é- 
loignent de l'ombre. Cette ombre n’est pas tout-à-fait 
noire, on y distingue pareillement des bandes faible- 
ment colorées. 

50. En recevant le rayon lumineux sur une lentille, 
pour le concentrer en un point et le réduire presque à 
une ligne mathématique, le phénomène est plus sen- 
sible. Si l’on emploie un verre coloré afin d’ayoir seu- 
lement des rayons de sa teinte, les franges lumineuses 
sont toutes de la même couleur, et elles sont séparées 
les unes des autres par des intervalles obscurs, comme 
les anneaux produits sur une lame mince par une lu- 
mière homogène. Les franges obscures et les franges 
brillantes des divers ordres d'intensité semblent prendre 
naissance au bord même du corps opaque; mais la lu- 
mière ne poursuit pas sa route en ligne droite; car en 
suivant les traces des franges, on reconnaît qu’elles se 
propagent suivant des lignes courbes qui sont des kyper- 
boles dont le sommet commun est sensiblement au bord 
de la lame opaque. L’explication que Newton a donnée 
de ces faits, fondée sur une action répulsive que les 
molécules des corps exerceraient à de très-petites dis- 
tances sur les molécules de la lumière, est évidemment 
insuflisante. 

51. Les expériences de Young sur les franges colo- 
rées l’ont conduit à une autre explication devenue cé- 
lèbre sous le nom de principe des interférences. Ce phy- 
sicien a observé qu’en dirigeant deux rayons de même 
couleur dans une chambre obscure de manière qu’ils se 
rencontrent, ils produisent, en se pénétrant, des franges 
alternativement brillantes et sombres semblables à celles 
qui résultent de la diffraction. Le fait le plus important 
dans cette production de franges colorées, c’est qu’en 
fermant l’ouverture par laquelle passe un des rayons, 
les franges disparaissent, et qu’une teinte lumineuse 
uniforme remplace dans l’espace qu’elles occupaient les 
alternatives de lumière et d’obscurité qu’on y observait 
avant. Le concours des deux lumières avait donc pro- 
duit l'obscurité. Ce phénomène singulier, observé déjà 
par Grimaldi sur deux rayons de lumière blanche, pa- 
raît inconciliable avec le système de l’émission; car 
dans ce système deux rayons réunis doivent toujours 
augmenter l'intensité de la lumière. Ce n’est qu’en ac- 
cumulant hypothèse sur hypothèse que les partisans de 
l'émission peuvent aujourd’hui conformer leur théorie 
aux faits. 

Le principe des interférences, lié au système des vi- 
brations, peut s’énoncer en ces termes : 

Deux rayons homogènes, émanés d'une méme source et 


LUM 


qui se rencontrent sous une petite obliquité , ajoutent leur 
éclat ou se détruisent suivant que la différence des che- 
mins qu'ils ont parcourus depuis leur origine jusqu'à 
leur rencontre est un multiple pair ou impair de la lon- 
gueur d'une demi-onde lumineuse. 

Pour faire comprendre ce principe, nous rappellerons 
que, dans le système des vibrations, la lumière n’est 
qu’un mouvement oscillatoire isochrone des corps lumi- 
neux transmis à l’éther environnant et se propageant 
dans ce fluide par des ondulations analogues à celles de 
l'air dans la propagation du son (2). 
pothèse, chaque onde lumineuse est composée de deux 


D'après cette hy- 


demi-ondes dans lesquelles les mouvemens sont égaux, 
mais opposés ; de sorte que si deux systèmes d’ondes de 
même longueur d’ondulation et de même intensité se 
propagent dans le même sens, et que l’un soit en retard 
sur l’autre d’une demi-ondulation ou d’un nombre 
quelconque impair de demi-ondulations, tous les mou- 
vemens sedétruiront comme dans le choc de deux corps 
égaux qui se rencontrent avec des vitesses égales; mais 
si la différence de marche est nulle on égale à un nombre 
pair de demi-ondulations, les mouvemens s’ajouteront. 
Nous ne pouvons que faire entrevoir cette ingénieuse 
théorie, portée par les travaux de Fresnel à un très-haut 
degré de probabilité. 

52. La longueur, dans l’air, des ondes des divers 
rayons colorés a été déterminée par Fresnel, avec le 
dernier degré d’exactitude. En voici le tableau ; lesnom- 
bres expriment des millièmes de millimètre : 


Linôñtes des couleurs Valeurs extrêmes Couleurs Valeurs moyennes 


principales. d'une demi-onde, principales. d'une demi-onde 
Violet extrême. SAS 406. Niger ï 153 
Violet indigo........ 439 Hidigo 449 
Indigo bleu ......... 459 Bleu 3 rh Le 
BIENVENU 2? 492 HE NVNATaISS Ep 
pe “LS Es JAUNE Elec 551 
né 

Jaune SFRPEF ÆASYI Le 596 Orange #6. . 583 
Orangé rouge Te : ares mu de 620 
Rouge extréme...... 645 


. 


Ces waleurs, obtenues par des expériences directes 
sur la lumière diffractée, sont exactement le quadruple 
des longueurs des accès déterminées par Newton; et 
comme dans le système des vibrations l'épaisseur de 
la lame mince correspondante au premier anneau 
coloré qui se développe par la réflexion d’une lumière 
homogène est le double de la longueur d'une onde 
entière, on ne peut qu’admirer l'accord surprenant de 
mesures effectuées sur des grandeurs insensibles. 

55. De la double réfraction. La plupart des corps 
transparens cristallisés ont la propriété de diviser un 
seul faisceau incident en deux faisceaux réfractés, dont 
l’un est soumis aux lois de la réfraction ordinaire, mais 


LUM 295 


dont l’autre obéit à des lois différentes, Ce phénomène 
de double réfraction se manifeste par la double image 
qu’on aperçoit en regardant un corps au travers d’un 
cristal bi-réfringent. Tous les cristaux dont la forme 
primitive n’est ni un cube ni un octaëdre régulier sont 
bi-réfringens. 

Pour observer les phénomènes de la double réfrac- 
tion, on emploie communément des cristaux de chaux 
carbonatée (spath d'Islande), dont la forme ordinaire 
est celle d’un prisme rhomboïdal. Cette substance, 
qu'on peut se procurer aisément, possède la propriété 
bi-réfringente au plus haut degré. 

Or, en regardant au travers d'un cristal de chaux 
carbonatée un objet délié quelconque, comme une ligne 
noire tracée sur un papier blanc, on aperçoit très- 
distinctement deux images de cet objet, quelle que soit 
d’ailleurs la position du cristal. Ces images paraissent 
d'autant plus écartées l’une de l’autre que l’objet est 
plus éloigné. Si l’on fait tourner le cristal sur lui-même, 
une des deux images reste immobile, tandis que l’autre 
se met en mouvement, et semble tourner autour de la 
première. Ce fait prouve : 1° que chaque rayon se di- 
vise en deux faisceaux distincts, d’égale densité; 2° que 
ces deux faisceaux ne sont pas réfractés de la même 
manière. On peut encore reconnaître avec évidence 
l'existence des deux faisceaux réfractés en faisant passer 
un rayon solaire à travers le cristal, dans une chambre 
obscure; car on obtient alors deux images du soleil sur 
un écran opposé. 

Il est facile de reconnaître que l’image immobile est 
celle qui est vue par le faisceau réfracté à la manière or- 
dinaire; car, lorsque la position de l'œil et de l'objet 
reste la même, l’image aperçue au travers d’une lame 
transparente à faces parallèles ne change pas de place 
quand on fait tourner la lame de manière que ses faces 
restent dans le même plan. 

On nomme rayon ordinaire le rayon réfracté d’après 
les lois précédemment établies, et rayon extraordinaire 
celui qui n’est pas soumis à ces lois. 

54. Dans tous les cristaux doués de la double réfrac- 
tion, il existe toujours une ou deux directions suivant 
lesquelles un rayon incident ne se divise pas et ne subit 
qu’une réfraction ordinaire. Ces directions ont reçu les 
noms d’axes optiques du cristal. Les cristaux dans les- 
quels il n’y a qu’une seule direction d’indivisibilité se 
nomment cristaux à un axe; ceux dans lesquels il ya 
deux directions d’indivisibilité se nomment cristaux à 
deux axes. La chaux carbonatée est un cristal à un axe 
dont la direction est celle de la diagonale AA! (CENTER 
PI. XV), qui passe par les sommets des deux angles 
tous les 
rayons incidens qui rencontrent une des faces de ve cris- 


trièdres obtus du solide rhomboïdal: ainsi. 


tal, de manière à se réfracter dans une direction paral- 


296 LUM 


lèle à cette diagonale, ne subissent aucune division; 
tandis que, dans toutes les autres directions possibles, 
le phénomène de la double réfraction a lieu. En miné- 
ralogie, on donne le nom d’axe cristallographique à une 
droite imaginaire menée dans l’intérieur d’un cristal et 
qui est soumise à certaines conditions ; cette droite ne 
doit pas être confondue avec les axes optiques; cepen- 
dant, dans les cristaux à un seul axe optique, l’axe cris- 
tallographique coïncide toujours avec l'axe optique ; 
dans les cristaux à deux axes, l’axe cristallographique 
n’a aucune relation déterminée avec les axes optiques. 

55. La marche du rayon extraordinaire, dans un 
cristal à un axe, diffère généralement de celle du rayon 
ordinaire soumis aux deux lois que nous allons rappe- 
ler : 1° les angles d'incidence et de réfraction sont toujours 
situés dans un même plan; 2° les sinus de ces angles ont 
un rapport constant. Il existe toutefois deux coupes du 
cristal où la direction du rayon extraordinaire se rap- 
proche de ces lois. Ces coupes se nomment la section 
principale et la section perpendiculaire à l'axe. 

Quelle que soit la forme du cristal, naturelle comme 
celle qu’il a acquise en se formant, artificielle comme 
toutes celles qu’on peut lui donner en le divisant, on 
nomme section principale la section faite par un plan 
perpendiculaire à une face et qui passe par l'axe, et 
section perpendiculaire à l'axe la section faite par un 
plan perpendiculaire à l’axe. 

Lorsque le rayon incident est compris dans le plan 
d’une section principale, les deux rayons réfractés sont 
également compris dans ce plan. Le rayon extraordi- 
naire est donc alors soumis à la première loi de la ré- 
fraction. Il en est encore de même lorsque le rayon in- 
cident est dans le plan de la section perpendiculaire à 
l'axe ; mais alors, dans ce dernier cas, il est soumis, en 
outre, à la seconde loi de la réfraction, c’est-à-dire que 
les sinus d'incidence et de réfraction ont un rapport con- 
stant pour toutes les obliquités d'incidence. Ce rapport, 
qui diffère nécessairement de celui de la réfraction or- 
dinaire, est ce qu'on nomme l'indice de réfraction 
extraordinaire. En désignant par n l'indice de réfrac- 
tion des rayons ordinaires, et par #' celui des rayons 
extraordinaires, Malus a trouvé, pour la chaux carbo- 


natée : 


n — 1,654295 n'— 1,4829959. 


56. Tous les cristaux à un axe n’ont pas, comme la 
chaux carbonatée, un indice de réfraction extraordi- 
paire plus petit que celui de la réfraction ordinaire; il 
en est, au contraire, dans lesquels le rayon extraor- 
dinaire , au lieu de s’écarter de l’axe, s'en rapproche; 
ce qui donne un indice plus grand que l'indice ordinaire. 
M. Biot, qui, le premier, a découvert ces circonstances, 
vommait cristaux attractifs ceux qui se trouvent dans 


LUM 


le dernier cas , et cristaux répulsifs les autres ; mais ces 
dénominations ont été remplacées par celles de cristaux 
positifs et de cristaux négatifs. On connaît jusqu'ici 
trente-un cristaux négatifs et quatorze positifs; ce 
sont : 


Cristaux négatifs. 


Carbonate de chaux. Phosphate de plomb arséniaté. 
Carbonate de chaux et de ma-|Hydrate de strontiane. 


gnésie. Arséniate de potasse. 
Carbonate de chaux et de fer. |Hydrochlorate de chaux. 
Tourmaline. Hydrochlorate de strontiane. 
Rubellite. Sous-phosphate de potasse. 
Corindon. Sulfate de nickel et de cuivre. 
Saphir. Cinabre. 
Rubis. Mellite. 
Émeraude. Molybdate de plomb. 
Béryl. Octoédrite. 
Apate. Prussiate de potasse. 
Idocrase. Phosphate de chaux. 
Vernerite. Arséniate de plomb. 


Mica (de Kariat). Arséniate de cuivre. 


Phosphate de plomb. Népheline. 

Cristaux positifs. 
Zircon. Suracétate de euivre et de 
Quartz. chaux. 
Oxide de fer. Hydrate de magnésie. 
Tungstate de zinc. Glace. 
Stanite. Hyposulfate de chaux. 
Bornéite. Dioptase. 


Apophylite. 
Sulfate de potasse et de fer. 


Argent rouge. 


57. Le caractère distinctif des cristaux à deux axes 
est d'offrir deux directions suivant lesquelles un rayon 
incident les traverse sans se diviser, tandis que dans 
toutes les autres il se partage en deux rayons réfractés ; 
mais ici les phénomènes se compliquent, car il n’y a 
plus de rayon ordinaire, c’est-à-dire qu'aucun des deux 
rayons ne suit les lois de Descartes. On peut constater 
ce fait en regardant un objet au travers d’une lame 
de sulfate de chaux à faces parallèles : lorsqu'on fait 
tourner la plaque, les deux images deviennent mo- 
biles. 

Les deux axes optiques font entre eux des angles très- 
différens dans les divers cristaux. J.-F.-W. Herschell a 
reconnu en outre que les axes relatifs aux rayons ho- 
mogènes sont distinctsles uns des autres, mais disposés 
symétriquement, de manière que les angles qu’ils for- 
ment, deux à deux, sont tous partagés en deux parties 
égales par une même droite. 


Il y a encore dans les cristaux à deux axes deux 


coupes remarquables qu'on nomme la section perpen- 
diculaire à la ligne moyenne et la section perpendiculaire 
à la ligne supplémentaire. Qu’on imagine un plan pas- 
sant par les deux axes et deux droites tracées sur le plan 
dont l’une partage en deux parties égales les deux plus 


: 


n © 
à £ des 
DES SUBSTANCES. Z z| DES SUBSTANCES. Axes! 
ms 
[OO Re 


| Carbonate de strontiane, . 


LUM 


petits angles opposés par le sommet que forment les 
axes, et dont l’autre partage en deux parties égales les 
deux plus grands angles opposés par le sommet; la 
première sera la ligne moyenne, et la seconde la ligne 
supplémentaire. Toute section formée dans le cristal par 
un plan perpendiculaire à la ligne moyenne sera une 
section perpendiculaire à la ligne moyenne, comme toute 
section formée par un plan perpendiculaire à la ligne 
supplémentaire sera une section perpendiculaire à la 
ligne supplémentaire. 

Dans l’une et l’autre de ces sections, un des deux 
rayons est soumis aux lois ordinaires de la réfraction. 


Les formes primitives des cristaux à un axe sont le 
rhomboïde, le prisme hexaëdre régulier , V'octaèdre iso- 
scèle à base carrée, et le prisme droit à base carrée. Toutes 
les autres formes appartiennent à des cristaux à deux 
axes ou à des cristaux qui n’exercent qu’une seule ré- 
fraction. Voici la liste des cristaux à deux axes : 


TABLEAU 


DES CRISTAUX BI-RÉFRINGENS À DEUX AXES. 


NOMS NOMS ANGLES 


Benzoate d’ammoniaque. 
0’|| Carbonate debaryte. . . . 
|| Sulfate de soude et de mag. 
[ sat Er” Sulfate d'ammoniaque. . . 
Mica (certainséchant.). : . Topaze du Brésil 
Sucre 
Sulfate de strontiane. . . . 
Sulfo -hydrochlorate de 
magn. et de fer 
Sulfate de magnésie 
d'ammoniaque 
Phosphate de soude. . . . 
Comptonite. . ..,... 
1} Sulfate de chaux, . , . .. 
Oxynitrate d'argent. . . . 
Lolite 
Feldspath che 
Topaze (Aberdeenshire) . 
Sulfate de potasse 
Carbonate de soude. . . . 
Acétate de plomb. , . .. 
Acide citrique 
Tartrate de potasse, . . . 
Acide tartrique 
Tartrate de pot.etde soude. 
Carbonate de potasse. . , 
2 ANR SERRE 
Chlorate de potasse. . . . 
Epidote 
Hydrochlorate de cuivre. 
ô Péridot. . 
L Acide succinique, . 
Sulfate defer. ..... 


Dale. 


ant.). i 


CE 


mOCCÉeCHS 


: A f divers échant. exa- 
M caf minés par M. Biot. 


Sulfate de magnésie. 
Sulfate de baryte. . . 
Spermacite 
Borax natif 


Anhydrite (M. Biot). . . 
LC RUE 


M. Sorret, de Genève, a trouvé une relation remar- 
quable entre la position des deux axes et la forme primi- 
tive du cristal; d’après ce physicien, le plan des deux 
axes serait toujours disposé d’une manière symétrique 
par rapport aux faces de la forme primitive, et les axes 
seraient placés dans ce plan de manière à faire des an- 
gles égaux avec ces faces, 


Tous a. 


LUM 297 


58. Polarisation de la lumière. On nomme polarisa- 
tion la modification qu’éprouve un rayon de lumière 
réfléchi ou réfracté par des surfaces polies, ou transmis 
à travers des cristaux bi-réfringens, sous certains angles 
d'incidence déterminés, et qui lui fait perdre la propriété 
de pouvoir se réfléchir ultérieurement, sous toutes les 
conditions d'incidence, lorsqu'il rencontre de nouvelles 
surfaces polies. 

Supposons, pour mieux fixer les idées, qu’on pré- 
sente à un rayon de lumière préalablement réfléchi sur 
une lame de verre polie, en faisant un angle d’inci- 
dence de 54° 35', une seconde lame de verre parallèle 
à la première, afin qu’il la rencontre également sous 
une incidence de 54° 35’; ce rayon sera réfléchi de nou- 
veau, et si c’est un rayon solaire, on pourra, en l’iso- 
lant dans une chambre obscure, recueillir sur un écran 
une brillante image du soleil. Imaginons maintenant 
qu’on fasse tourner lentement la seconde lame sur son 
propre plan autour de l’axe du rayon; le second plan 
de réflexion, coïncidant jusqu'ici avec le premier, chan- 
gera de position sans que l’angle d'incidence cesse d’être 
de 54° 35’, de sorte que si le rayon jouissait après sa 
première réflexion de toutes les propriétés qu'il avait 
auparavant , l’image transmise ne devrait éprouver au- 
cune altération; mais il n’en est pas ainsi : à mesure 
que le second plan de réflexion s’écarte du premier, 
l’image diminue d'éclat, s’efface peu à peu, et finit par 
disparaître entièrement, lorsque le second plan de ré- 
flexion est devenu perpendiculaire au premier. Dans 
cette position, il n’y a plus aucune réflexion sur la se- 
condelame, et le rayon se trouve détruit par son contact 
avec elle. 

Il résulte de ce phénomène singulier que, par le fait 
seul de sa réflexion sur une plaque de verre, sous un 
angle d'incidence de 54° 34° le rayon a cessé d’être 
également réflexible, sous cette même incidence, sur 
une autre plaque de verre; il a donc subi un change- 
ment dans sa constitution primitive, une modification 
dans ses propriétés naturelles ; or, c’est ce changement 
ou cette modification qu’on désigne sous le nom beau- 
coup trop significatif de polarisation, qui se rapporte à 
l'hypothèse de molécules lumineuses pourvues d’axes 
et de pôles de rotation, hypothèse qui ne parait guère 
soutenable aujourd’hui. Quoi qu'il en soit de cette dé- 
signation, un rayon lumineux ainsi modifié se nomme 
un rayon polarisé, et l'on peut entrevoir, d’après ce qui 
précède, que les propriétés de la lumière polarisée dif- 
fèrent essentiellement de celles de la lumière naturelle. 
C'est par la découverte de ce fait important que Malus 
a changé la face de l’optique et ouvert aux investiga- 
tions des physiciens une carrière aussi féconde que nou- 
velle. 

59. Le phénomène fondamental que nous venons de 


38 


298 LUM 


Signaler peut être aisément observé au moyen de lap- 
pareil suivant : 

TH (fig. 10, PI. XV) est un tube de cuivre sem- 
blable à un tuyau de lunette et mobile sur une char- 
nière A. On le pose sur un pied. Ce tube est garni à 
chacune de ses extrémités d’un tambour mobile terminé 
par deux tiges parallèles à son axe, et qui supportent 
l’axe d’un petit miroir plan en verre noir. Les petits 
miroirs AB et CD peuvent prendre toutes les inclinai- 
sons possibles par rapport à l’axe du tube, et leurs axes 
de rotation peuvent aussi prendre entre eux toutes les 
positions possibles, parce que les tambours qui les sup- 
portent entrent à frottement dans le tube et peuvent 
ainsi tourner sur eux-mêmes ; des cercles gradués, fixés 
dans chaque plan de mouvement, servent à mesurer 
ces diverses inclinaisons. Enfin, un diaphragme DD" 
ne laisse pénétrer dans le tube que les rayons réfléchis 
parallèlement à son axe. 

L'appareil étant monté sur son pied, on incline les 
miroirs de manière que leur direction fasse un angle 
de 55° 25° avec l’axe du tube, et on donne au tube une 
position telle qu’on puisse apercevoir par réflexion la 
lumière du ciel, ou celle d’une bougie sur le miroir CD, 
après qu’elle a été réfléchie sur le premier miroir AB. 
Lorsque les deux miroirs sont parallèles, on aperçoit 
une image brillante sur le miroir CD; mais si, sans 
changer l’inclinaison des miroirs par rapport à l’axe, 
on fait tourner le miroir CD, on verra se reproduire 
successivement les phénomènes déjà indiqués, c’est- 
à-dire que l’image brillante s’affaiblira à mesure que le 
second plan de réflexion s’écartera angulairement du 
premier. À la distance de 90°, l’image disparaîtra ; passé 
cette distance, elle recommencera à se montrer, etson 
intensité sera croissante jusqu’à ce qu'après une demi- 
révolution du miroir CD, les deux plans de réflexion 
coïncident de nouveau. La rotation continuant toujours, 
l'intensité de l’image deviendra décroissante une se- 
conde fois, et elle disparaîtra encore quand les plans 
de réflexion seront devenus rectangulaires. Il y aura 
ainsi dans le cours d’une révolution complète du mi- 
roir CD deux instans où l’image aura son maximum de 
clarté et deux instans où elle cessera d’être visible. 

Go. Les variations d'intensité de Ja lumière réfléchie 
une seconde fois paraissent être les mêmes dans les 
deux moitiés d’une révolution entière du miroir CD, 
et Malus avait supposé que l'intensité du faisceau ré- 
fléchi était constamment proportionnelle au carré du 
cosinus de l’angle des deux plans de réflexion, de sorte 
qu’en désignant par O le maximum d'intensité et par à 


l’angle des deux plans, onaurait pour l'intensité corres-" 


pondante à l’angle à l'expression 


O cos’:. 


LUM 

Cette loi très-simple a été constatée depuis par 
M. Arago. 

61. En changeant un peu l’inclinaison du miroir CD 
sur l’axe du tube, sans toucher à celle du premier mi- 
roir, les intensités de clarté des images se succèdent 
encore dans le même ordre; mais il n'y a plus de dis- 
parition totale : on a seulement le maximum de clarté, 
lorsque les plans de réflexion coïncident, et le mi- 
nimum, lorsqu'ils sont rectangulaires. Les mêmes phé- 
nomènes ont lieu lorsqu'on fait varier un peu l’inclinai- 
son du premier miroir sans changer celle du second, et 
même en les faisant varier l’un et l’autre à la fois d’une 
petite quantité. 

Ainsi, le rayon lumineux n’est pas polarisé seule- 
ment lorsqu'il rencontre le premier miroir sous une 
inclinaison de 55° 25°, ou, ce qui est la même chose, 
sous un angle d'incidence de 54° 35'; il l’est encore 
sous d’autres angles d'incidence, incomplètement à 
admettre que dans 
toute réflexion il y a toujours une partie de lumière 


x 


la vérité ; mais on est conduit à 


polarisée d'autant plus grande que l’angle d'incidence 
diffère moins de l’angle de la polarisation complète. 

G2. Tous les corps polis ont la propriété de polariser 
la lumière sous une certaine incidence qui varie avec 
leur nature; mais ils n’ont pas tous la propriété de la 
polariser complètement. On nomme en général angle 
depolarisation l'angle d’inclinaison sous lequel le rayon 
doit rencontrer la surface réfléchissante pour être pola- 
risé ; cet angle est le complémentde l’angle d'incidence : 
ainsi l’angle de polarisation complète pour le verre est 
de 55° 25’. Quelle que soit la substance sur laquelle un 
rayon ait été complètement polarisé, ses propriétés 
sont identiquement les mêmes, et il ne peut plus être 
réfléchi par aucune des surfaces complèternent polari- 
santes, lorsqu'il rencontre ces surfaces sous leurs angles 
respectifs de polarisation complète, et que les plans de 
réflexion sont perpendiculaires entre eux. On est con- 
venu de nommer le premier plan de réflexion, c’est-à- 
dire celui dans lequel se meut le rayon, après la pre- 
mière réflexion qui l’a polarisé, plan de polarisa- 
tion. 

Pour reconnaître si un rayon de lumière est polarisé 
complètement ou incomplètement, il sufit donc de le 
recevoir sur une plaque de verre, sous un angle d’in- 
clinaison de 55° 25’, puis de faire tourner cette plaque 
sur elle-même sans changer soninclinaison. Si, dans 
une certaine position de la plaque, le rayon n’est plus 
réfléchi, on peut en conclure qu'il était complètement 
polarisé dans un plan perpendiculaire au plan d’inci- 
dence ; s’il y a seulement minimum d'éclat, le rayon 
était polarisé incomplètement, toujours dans un plan 
perpendiculaire au plan de l'incidence qui correspond 
à ce minimum ; mais si, dans toutes les positions de la 


LUM 


plaque, le rayon réfléchi conserve la même intensité; 
on peut être assuré qu’il était naturel. Nous verrons 
bientôt qu’il existe des moyens plus faciles pour dis- 
tinguer immédiatement un rayon naturel d’un rayon 
polarisé. 

63. M. Brewster a découvert que l'angle de la pola- 
risation maximum des corps transparens est lié au pou- 
voir réfringent de ces corps par cette loi d’une remar- 
quable simplicité ? 

La cotangente de l'angle de polarisation est égale à 
l'indice de réfraction. 

Elle résulte du fait très-important, constaté par ce 
physicien, que lorsqu'il y a polarisation complète ou 
maximum, le rayon réfléchi est perpendiculaire au 
rayon réfracté. En effet, d’après cette relation , l'angle 
de réfraction est le complément de l’angle de réflexion, 
et l’on a 


(90° —P)+R—= 90°. 


R désignant l’angle de réfraction, P celui de polarisa- 
tion, et, par conséquentg0°— P étant l'angle d'incidence 
égal à celui de la réflexion, cette égalité donne P—R ; 
mais # étant l’indice de réfraction , on a aussi (453) 


sin (90—P) __cosP 


sin R sin R 
et par suite 
cos P 
ë COUR —": 
sin P 


On peut ainsi trouver très-facilement l’angle de po- 
larisation quand l'indice de réfraction est connu, et vice 
versé. 

Nous réunirons ici quelques angles de polarisation 
observés directement, pour les comparer avec ceux 
qu’on tire de cette formule. 


Angle de polarisation complète 


au maximum. 
ET, 


calculé, 


Noms des substances, 


observé. 


Faune te cie to - tom 36° 49° 
Spath fluor. culusnarr 1135, 10 354 51 
Obsidienné.l es he: 1931457 33,4 54 
Sulfate de chaux. . . . . 33 52 93 ,. 15 
Cristal de roche. . . .. 32 38 35 ,.,.2 
Verre opales, suture 8x 59 51 97 
(opare Cet ue Jo aura m220 51 26 
Venrenoranpé.we.d1.1.:11. 130,48 30 52 
Rubis spinelle. . ., . . . 29 44 29 3ù 
Verre d’antimoine. . 25 ao 25 Go 
Soufremhatifese. Li. 2.11: 25 : Bo 26 15 
Diamants 14 Ru à1 Anh 48 21 59 


Si jamais la loi de Brewster se trouve démontrée 


LUM 299 


à priori, elle offrira un contrôle assuré dans la recherche 
des indices de réfraction et des angles de polarisation. 
D’après le même observateur, les corps ne polarisent 
complètement la lumière que lorsque leur indice de 
réfraction est au-dessous de 1,7. De toutes les surfaces 
polies, celles qui polarisent le moins sont les surfaces 
métalliques. 

64. Un rayondelumière polarisé dans un plan détermi= 
né demeure polarisé dans le même sens lorsqu'il traverse 
perpendiculairement des milieux diaphanes quelcon- 
ques, à l'exception toutefois des cristaux bi-réfringens, 
dont nous verrons l’action plus loin; mais lorsqu'il seré- 
fléchit sur une surface polie, sous diverses inclinaisons, 
la portion réfléchie, quoique toujours polarisée, ne 
l'est plus dans le même plan. Par exemple, en suppo= 
sant que le plan de polarisation du rayon incident fasse 
un angle de 40° avec le plan de la nouvelle réflexion, 
le plan de polarisation du rayon réfléchi fera un angle 
plus grand ou plus petit que 40° avec le même plan de 
réflexion, suivant les circonstances de l'incidence. 

L’angle du plan de polarisation avec le plan de ré- 
flexion ou d’incidence se nomme l’azimut du plan de 
polarisation. 

65. La lumière se polarise non seulement à la pre- 
mière surface des corps transparens, mais encore à la 
seconde, c'est-à-dire dans leur intérieur. Soit DE (fig. 
8, PI. XV) la première surface d’un prisme de verre, et 
GH la seconde surface parallèle à la première; conce- 
vons qu’un rayon incident AB rencontre la surface DE 
sous l’inclinaison correspondante à la polarisation com- 
plète, la partie du faisceau réfracté BC qui se réfléchit 
dans la direction CO, sur la seconde surface GH, sera 
aussi complètement polarisée; et si l’on a taillé le prisme 
de manière que ce rayon puisse sortir perpendiculaire- 
ment par une face EF, ce qui ne fait pas dévier le plan 
de polarisation , on pourra reconnaître que le rayon est 
polarisé dans le plan de réflexion. C’est encore à Malus 
qu’est due la découverte de ce fait remarquable, 

La relation des angles d'incidence et de réfraction 
permet de trouver facilement la grandeur de l’angle de 
la polarisation complète à la seconde surface ; car cet 
angle BCN étant égal au complément de l'angle de ré- 
fraction NBC, si dans l'expression générale 


sin I—=# sin R 


on substitue go° — P à, etgo° —P'àäR, P étant 
l'angle de polarisation à la première surface, et P° 


l’angle de polarisation à la seconde, on a 
sin (90°— P)—à sin (90°—P') ; 


ou 


300 LUM 


D'après la loi de Brewster, cot P —n, et par suite 
cos P'— sin P ; ainsi l’angle de la polarisation complète 
à la seconde surface est le complément de l’angle de la 
polarisation complète à la première. 

66. La polarisation de la lumière par réfraction pré- 
sente plusieurs phénomènes importans. Si l’on taille 
un prisme de verre EDF (PI. XV, fig. 9) de manière 
qu'un rayon incident AB, sous l’inclinaison de la pola- 
risation complète, puisse émerger perpendiculairement 
àda face opposée EF, on reconnaît que le rayon émer- 
gent BC est lui-même polarisé dans un plan perpendi- 
culaire au plan d'incidence; mais la polarisation n’est 
pas complète. La même chose a lieu pour le rayon 
émergent CA’ (fig. 8), lorsque la face d'émergence 
est parallèle à celle d'incidence. Dans ce dernier cas, 
si l’on fait passer le rayon émergent à travers une se- 
conde lame à faces parallèles et parallèle à la première, 
il se trouvera contenir plus de lumière polarisée 
après la seconde émergence. La quantité de lumière 
polarisée ira toujours en croissant avec le nombre des 
lames qu’on fera traverser au rayon ; et enfin, lorsque 
ce nombre sera suffisant, le dernier rayon émergent 
sera complètement polarisé. 

67. Les cristaux bi-réfringens polarisent complète- 
ment la lumière qui les traverse en se divisant en deux 
faisceaux, l’un ordinaire, l’autre extraordinaire (53). 
On peut vérifier ce fait en recevant les deux rayons 
émergens sur une glace, sous une inclinaison de 35° 25', 
et en observant les variations des deux images; lorsque 
le plan de réflexion est parallèle à la section principale 
du cristal, l’image ordinaire est la seule visible; lorsque, 
au contraire, le plan de réflexion est perpendiculaire à 
cette section, c'est l’image extraordinaire qu’on aper- 
çoit. Il résulte de ces phénomènes que le rayon ordi- 
naire est polarisé suivant la section principale, et le 
rayon extraordinaire perpendiculairement à cette même 
section. 

Si le rayon incident était primitivement polarisé dans 
un plan quelconque, les rayons émergens seraient en- 
core polarisés, le premier dans le plan de la section 
principale, et le second dans un plan perpendiculaire 
à cette section; mais l'intensité de ces rayons ne serait 
plus la même que si le rayon incident eût été naturel. 

68. Plusieurs cristaux bi-réfringens ont la propriété 
d’absorber plus abondamment dans certaines directions 
la lumière polarisée que la lumière naturelle ; celui de 
tous qui la possède au plus haut degré est la tourma- 
line; car une plaque très-mince de tourmaline brune 
absorbe complètement la lumière polarisée quand son 
axe optique est parallèle au plan de réflexion : dans 
toute autre position, elle transmet cette lumière avec 
une intensité d’autant plus grande que son axe est 
plus près d’être perpendiculaire au même plan, Cette 


LUM 


propriété offre un moyen très-simple de reconnaitre 
immédiatement la nature d’un rayon et son plan de 
polarisation, en le regardant au travers d’une plaque de 
tourmaline taillée parallèlement à son axe. Si, en 
faisant tourner la plaque dans son plan, l'intensité du 
rayon n’éprouye aucune altération, c’est qu’il est com- 
posé seulement de lumière naturelle; lorsque cette in- 
tensité varie, on peut en conclure que le rayon est en 
partie polarisé ; et enfin, si dans uve position déter- 
minée de la plaque, le rayon disparaît entièrement, il 
en résulte qu'il était complètement polarisé dans un 
plan parallèle à la section principale de la plaque. 

69. Dans l'impossibilité où nous sommes d’exposer 
tous les phénomènes de la polarisation, nous avons dû 
choisir de préférence ceux qui sont en quelque sorte 
caractéristiques ; il en est d’autres, cependant, que nous 
croyons essentiel d'indiquer, pour donner au moins 
le désir de les étudier dans les ouvrages spéciaux. 
Tels sont, par exemple, les faits si curieux découverts 
par MM. Fresnel et Arago, sur l’action mutuelle des 
rayons polarisés, et ceux non moins curieux de la co- 
loration de la lumière polarisée qui traverse des lames 
minces de cristaux. 

Deux faisceaux polarisés émanés d’une même source 
peuvent produire, comme deux faisceaux naturels, des 
franges colorées, par leur interférence (51), lorsque 
leur plan de polarisation est le même; mais en faisant 
varier les plans de polarisation, on voit successivernent 
les franges s’affaiblir à mesure que ces plans s’écartent 
du parallélisme, et elles finissent par disparaître lors- 
que les plans sont devenus perpendiculaires entre eux. 
Ainsi, l'influence que deux rayons polarisés exercent 
l’un sur l’autre dépend de la relation de leurs plans de 
polarisation : elle est à son maximum quandcesplans sont 
parallèles : elle est nulle quand ils sont rectangulaires. 

Quand un faisceau de lumière blanche polarisée tra- 
verse perpendiculairement une lame mince de chaux 
carbonatée, taillée perpendiculairement à l’axe, on 
aperçoit, en observant le rayon émergent à travers une 
tourmaline, une série d’anneaux colorés concentriques 
coupés par une grande croix; cette croix est noire, si 
la section principale de la tourmaline est parallèle au 
plan primitif de polarisation; elle est blanche, si la 
section est perpendiculaire au même plan ; dans ce 
dernier cas, les couleurs des anneaux sont complé- 
mentaires de celles qui se manifestent dans le premier 
cas. Les mêmes phénomènes ont lieu avec toutes les 
lames minces des cristaux bi-réfringens à un axe. Les 
cristaux à deux axes font naître des franges colorées di- 
versement contournées. Fresnel a donné des explica- 
tions très-satisfaisantes de tous ces phénomènes, dans 
un Mémoire inséré dans le Recueil des savans étran- 
gers. Les principaux résultats obtenus par ce physicien 


LUM 


sont rapportés dans le tome XVII des Annales de Phy- 
sique et de Chimie. 

70. La lumière se polarisant de plus en plus par des 
réfractions successives (66), on peut entrevoir que 
celle du soleil et des astres se trouve toujours plus ou 
moins polarisée par son passage à travers l'atmosphère 
de la terre. M. Arago a trouvé que le maximum de 
polarisation de la lumière bleue du ciel a lieu à une 
distance angulaire de 90°, c’est-à-dire qu’en observant 
cette lumière dans le plan vertical du soleil, on trouve 
que sa portion polarisée croît jusqu’à 90° de distance, 
et qu’elle diminue ensuite successivement, à mesure que 
la distance angulaire s'élève au-dessus de 90°. La 
lumière de la lune renferme une assez grande quantité 
de lumière polarisée. 

Les rayons de lumière homogène ont chacun un 
angle particulier de polarisation, comme ils ont chacun 
un indice particulier de réfraction, et quoique ces angles 
diffèrent très-peu, il en résulte plusieurs phénomènes 
de coloration lorsqu'on détruit, par la réflexion, un 
rayon de lumière blanche polarisée. Par exemple, 
quand deux plans de réflexion sontperpendiculaires , et 
qu’un rayon s’y trouve réfléchi sous l'angle de la pola- 
risation complète, l’image blanche que cette position 
a fait disparaître laisse toujours de faibles teintes prove- 
nant des rayons homogènes inégalement polarisés. 

71. Analogie entre la lumière et la chaleur. Nous 
avons vu (CHareur) que la chaleur se réfléchit, ainsi 
que la lumière, en faisant un angle de réflexion égal à 
l’angle d'incidence, et situé dans le même plan. Les 
phénomènes dela réfraction dela chaleur étantencore les 
mêmes que ceux dela réfraction de la lumière , et d’après 
les belles expériences de M. Bérard, la chaleur rayon- 
nante étant susceptible de polarisation et de double ré- 
flexion’, on est naturellement conduit à admettre que 
ja lumière et la chaleur ne sont que deux manifestations 
différentes d’une seule et même cause. Cette hypo- 
thèse paraît d’autant plus raisonnable que la lumière 
émanée directement des principales sources est toujours 
accompagnée de chaleur, et qu’en général un corps 
devient lumineux lorsque sa température surpasse 500° 
centigrades. Mais les dernières expériences de M. Mel- 
loni, tout en révélant de nouvelles similitudes entre la 
lumière et la chaleur, viennent singulièrement compli- 
quer la question. Ces-expériences prouvent de la ma- 
nière la plus convaincante qu’un rayon de chaleur na- 
turelle , ou directement émané , est composé de plu- 
sieurs rayons primitifs diversement réfrangibles, comme 
le sont les rayons de lumière homogène. 

Cet ingénieux observateur a su distinguer la nature 
différente des rayonstransmis à travers les corps diather- 
manes (voy. CnaLeur), et il a pu reconnaître que deux 
substances diathermanes différentes se comportent par 


LUM 301 


rapport à la chaleur rayonnante, comme deux substances 
transparentes colorées par rapport à la lumière naturelle, 
dont elles ne transmettent que certains rayons homogè- 
nes, tandis qu’elles absorbent les autres. Ainsi, la chaleur 
transmise à travers une plaque d’alun n’est pas la même 
que celle transmise à travers une plaque d’acide nitrique, 
et l’on ne peut expliquer ce phénomène qu’en attribuant 
à chacune de ces plaques une espèce de coloration ca- 
lorifique, en vertu de laquelle elles ne laissent passer que 
les rayons pourvus de la méme coloration , tout comme 
une plaque de verre rouge ne laisse passer que la lu- 
mière rouge. 

Quand on examine les couleurs du spectre solaire, il 
est facile de reconnaître que chaque rayon homogène 
élève différemment un thermomètre sur lequel on le 
recoit. On avait cru d’abord que les couleurs les plus 
brillantes devaient posséder la plus grande chaleur, et 
l'on avait fixé le maximum de chaleur dansle milieu du 
spectre, c’est-à-dire dans le jaune. Depuis, M. Bérard 
avait reconnu que ce maximum se trouvait généralc= 
ment dans le rouge, tandis que Herschell, analysant 
les parties obscures du spectre, le plaçait dans la bande 
obscure qui suit le rouge. M. Seebeck fit voir enfin, en 
1828, que le maximum de chaleur avait une position 
variable dépendante de la nature du prisme réfringent : 
ainsi, selon que le prisme est d’eau , d’acide sulfurique, 
de verre ordinaire ou de flint-glass, le maximum de 
chaleur se trouve dans le jaune, l’orangé, le rouge ou 
au-delà du rouge. Ces changemens de position du maxi- 
mum de chaleur se trouvent expliqués par les propriétés 
des substances diathermanes, et d’après M. Melloni, 
le maximum sécarte d'autant plus du jaune vers le 
rouge que la substance du prisme est plus diather- 
mane. Par exemple, si le prisme est de sel gemme, 
corps dont les propriétés transcalorifiques sont les plus 
intenses, le maximum est au-delà du rouge, à une dis- 
tance égale à celle du rouge au jaune. Si l’on fait passer 
le spectre solaire produit par un prisme de sel gemme 
à travers diverses lames colorées, on peut constater que 
le spectre calorifique est indépendant du spectre lumi- 
neux; Car, dans certains cas, la forme et la grandeur 
du premier restent les mêmes, tandis que le second 
éprouve des changemens considérables, et vice versd. 
Aünsi, quoique liées ensemble dans le faisceau incident, 
la chaleur et la lumière sont deux choses parfaitement 
distinctes, et qu’il est impossible de confondre. 

72. La théorie de l'émission de la lumière, qui expli- 
quait de la manière la plus satisfaisante tous les phéno- 
mènes de réfleæion et de réfraction connus du temps de 
Newton, mais qui ne pouvait se plier qu'avec difficulté 
à ceux de la diffraction et de la double réflexion, est 
aujourd'hui complètement insuffisante , et, malgré tous 
les efforts de ses plus habiles adhérens, elle reste en 


302 LUM 


dehors des phénomènes de la polarisation. Si l’exclu- 
sion de l’un des deux systèmes sur la propagation de la 
lumière entraînait la certitude de l’autre, on devrait, 
sans aucun doute, adopter exclusivement le système 
des vibrations ; mais rien jusqu'ici n’a pu établir que la 
vérité se trouve nécessairement dans l’un ou dans 
l’autre de ces systèmes, et si le premier paraît devoir 
être entièrement rejeté , le second demeure compliqué 
d’un assez grand nombre de difficultés. Cependant, en 
partant de la double hypothèse que la lumière se pro- 
page par les ondulations de l’éther, et que l’éther ré- 
pandu dans tous les espaces a plus ou moins de densité 


LUM 


dans chacun de ces espaces, suivant la nature du 
corps qui le remplit, Fresnel est parvenu à rendre 
compte de tous les phénomènes connus jusqu'ici, à en 
déterminer les lois, et à reconnaître à priori des faits 
constatés ensuite par l'expérience. Si ces travaux re- 
marquables ne suffisent pas pour revêtir d’une certitude 
absolue le point de départ du système, il l'élève du 
moins à un très-haut degré de probabilité, qu’on peut 
espérer de voir augmenter encore par des découvertes 
ultérieures. Voyez les Annales de Physique et de Chimie, 
tome XVII. 


M. 


MAC 


MACHINE. (Méc.) Le mot machine désigne géné- 
ralement un appareil quelconque au moyen duquel un 
moteur transmet son action à une résistance; ainsi, la 
pioche qui sert à creuser les terres, la brouette qu’on 
emploie pour les transporter, le marteau qu’on fait agir 
sur la tête d’un coin pour fendre du bois, le coin lui- 
même, ete., ete. , sont tout autant de machines; mais 
il existe entre ces appareils des différences caractéristi- 
ques qui les font répartir en trois classes principales : 
1° les machines qui servent à exécuter certains mouve- 
mens particuliers sans qu’on prenne en considération 
la grandeur de la force employée à les produire : celles- 
ci se nomment plus particulièrement des outils; 2° les 
machines qui peuvent non seulement prendre des mou- 
vemens donnés, mais produire un effort dont le but est 
de mettre en équilibre la pression momentanée du mo- 
teur avec la résistance qu’on veut surmonter, comme 
les balanciers, les presses, etc. ; 3° enfin les machines 
qui produisent un travail continu par l’action perma- 
nente d’un moteur, et prennent toujours soit un mou- 
vement uniforme, soit un mouvement périodique dans 
lequel la vitesse croît et décroît entre des limites fixes. 
L'un des objets principaux qu’on se propose dans la 
construction de ces dernières est de remplacer la force 
de l’homme, dans les travaux utiles, par les forces plus 
puissantes des moteurs naturels. 

Les opérations ou fabrications qu’on exécute à l’aide 
des machines de la troisième classe, quoique extrème- 
ment varices, peuvent toujours être comparées à l’élé- 
vation d’un poids (voy. Errer) ; ce qui permet de rap- 
porter à une unité commune la quantité de travail 
effectuée par diverses machines employées À des usages 


MAC 


différens, et de déterminer son rapport ayec l’action du 
moteur mesurée par la même unité. 

« La comparaison de diverses machines, dit Navier, 
dans une de ses notes si remarquables sur architecture 
hydraulique de Bélidor, se fait naturellement, pour le 
négociant ou le capitaliste, d’après la quantité de tra- 
vail qu’elles exécutent et le prix de ce travail. Pour 
estimer les valeurs respectives de deux moulins à blé, 
par exemple, on examinera quelle quantité de farine 
chacun peut moudre dans l’année; et pour comparer 
un moulin à blé à un moulin à scier, on estimera la va- 
leur du premier d’après la quantité de farine moulue 
annuellement et le prix de la mouture, et la valeur du 
second d’après la quantité de bois qu’il débitera dans le 
même temps et le prix du sciage. On peut se borner à 
cette manière de considérer les machines et les travaux 
qu’elles exécutent, tant qu’il ne s’agit que d'acheter ou 
d'échanger entre elles des machines toutes faites et dont 
le produit est connu; mais il y a plusieurs cas où elle 
devient insuffisante. 

» Supposons en effet une personne qui possède un 
moulin à blé et qui désirerait, au moyen de quelques 
changemens dans son mécanisme, en faire un moulin 
à scier. Elle ne pourrait juger de l'avantage ou du 
désavantage de cette opération qu’autant qu’elle sau- 


rait évaluer, d’après la quantité de farine produite par : 


son moulin, la quantité de bois qu’il serait dans le cas 
de débiter. Or, cette évaluation est une chose absolu- 
ment impossible, à moins qu’on n'ait trouvé une 
mesure commune pour ces deux trayaux de natures si 
différentes, Cet exemple suffit pour montrer la nécessité 
d'établir une sorte de monnaie mécanique, si l’on peut 


me dépit 


MAC 


s’exprimer ainsi, avec laquelle on puisse exprimer les 
quantités de travail employées pour effectuer toute es- 
pèce de fabrication. 

» Le choix d’une unité de mesure est, jusqu’à un 
certain point, arbitraire : il est seulement indispensable 
que cette unité soit une chose de même nature que celle 
dont elle doit former le terme de comparaison. Les 
Anglais, par exemple, ont pris pour unité des quantités 
de trayail l’action d’un cheval. Mais ils sont les premiers 
à reconnaître l'inconvénient d’un terme de comparaison 
dont la grandeur est si variable, que les évaluations 
données par leurs sayans diffèrent entre elles plus que 
dans le rapport de 1 à 2. Il en résulte effectivement 
qu'une même expression employée par divers auteurs 
présente à chacun d’eux une idée différente, et qu’elle 
ne devient intelligible au lecteur qu'après qu'ils la lui 
ont traduite, en expliquant ce qu’ils entendent par l’ac- 
tion d’un cheval, c’est-à-dire quel effort ils supposent 
qu’un cheval peut exercer en même temps qu'il parcourt 
un certain espace dans un temps donné. 

» C’est effectivement à cela que se réduit l’exécution 
d’un trayail quelconque. Il y a toujours dans l’action 
d’une machine un effort ou pression exercée contre 
un point, pendant qu'un espace est parcouru par ce 
point. Cette remarque conduit naturellement à recon- 
paitre que le genre de travail le plus propre à servir à 
l'évaluation de tous les autres est l’élévation verticale 
des corps pesans. » 

Nous ayons montré, au mot FoRcEs MOUVANTES, 
comment ce même mode d'évaluation s'applique à l’ac- 
tion du moteur, nous rappellerons donc seulement ici 
qu’en désignant par P le poids égal à l'effort exercé par 
un moteur à son point d'application, et par p l’espace 
décrit par ce point dans la direction de l'effort, le pro- 
duit Pp exprime la quantité de travail, ou, comme on 
dit plus communément, la quantité d'action fournie 
par le moteur. Le poids P représentant généralement 
un nombre de kilogrammes, et l’espace p un nombre 
de mètres, Pp indique un nombre de kilogrammes 
élevé à un mètre, de sorte que l’unité de mesure est 
naturellement un kilogramme élevé à un mètre; mais 
comme cette unité est trop petite, on a proposé de la 
remplacer par un poids de mille kilogrammes élevé à un 
mélre; cette dernière unité est ce qu'on nomme un 
dynamode d’après M. Coriolis, ou une unité dynamique 
d’après quelques autres auteurs. Il y a encore le dyname 
ou le cheval vapeur qui se compose d’un poids de 55 ki- 
logrammes élevé à un mètre en une seconde de temps. 
(Voyez les mots DyName et Dynamique.) On voit aisé- 
ment que l'emploi de ces diverses unités ne peut entrai- 
ner aucune fausse interprétation, car l'unité primitive 
est toujours un kilogramme élevé à un mètre. 

Pour comparer le travail exécuté par une machine 


MAC 303 


avec la quantité d’action fournie par le moteur qui la 
met en jeu, il faut évaluer les efforts respectifs exercés 
aux points d'application du moteur et de la résistance, 
ainsi que les espaces parcourus dans le même temps par 
ces deux points dans la direction des efforts. Soient P et P' 
les poids équivalens aux efforts, et p et p' les espaces 
en question, le produit Pp sera la quantité d’action 
fournie par le moteur, et le produit P'p' la quantité de 
travailexécutée par la machine ou son effet utile (voy. ce 
mot). Le rapport des nombres Pp et P'p' donnera une 
idée de la bonté de la machine ou de sa perfection; car 
on doit considérer une machine comme d'autant mieux 
appropriée à son objet, qu’elle transmet une plus grande 
partie de l’action qu’elle recoit; mais il ne faut jantais 
espérer, quelque parfaite qu’on puisse la supposer, de 
trouver P'p = Pp, et à plus forte raison P'p' > Pp. On 
ne doit pas oublier qu’une machine est incapable de 
produire de la force, et que tout ce qu’elle peut faire 
est de transmettre celle qui lui est communiquée, après 
en avoir nécessairement absorbé une partie employée à 
vaincre les résistances qu’opposent au mouvement les 
organes qui la composent. Dans tous les cas, donc, 
P'p sera plus petit que Pp, et le rapport 


une fraction plus petite que l'unité. Supposons, pour 
fixer les idées, qu’on ait, dans un temps donné, pour une 


certaine machine, P = 100, p = 0,5, P°— 160, 
p —0",25; le travail du moteur sera exprimé par 


100 X,0",5=—50or, 
et l’effet utile de la machine par 
160" X 0,25 — 4o!m. 


Le rapport entre ces deux quantités 


indique que la machine rend les 8 dixièmes de la quan- 
tité d'action dépensée par le moteur. La quantité d’ac- 
tion perdue, 10!", est donc consommée par les résis- 
tances dues à la constitution physique de la machine, 
et qu’on nomme les résistances passives. (Voy. Errex 
UTILE. } 

Le moyen le plus direct de mesurer les effets exercés 
aux points d'application de la puissance et de la résis- 
tance consiste à remplacer ces deux forces par des 
poids. Imaginons d’abord qu’on ait supprimé la puis- 
sance, et qu'après avoir atlaché à son point d'applica- 
ton l'extrémité d’une corde passant sur une poulie de 


304 MAC 


renvoi, on charge l'autre extrémité de cette corde de 
poids de plus en plus grands, jusqu’à ce que le travail 
exécuté par la machine soit le même que celui qui s’ef- 
fectuait par l’action du moteur, le dernier poids sera 
nécessairement équivalent à l'effort du moteur, sauf le 
frottement de la corde sur la poulie dont il faudra tenir 
compte. Si l’on supprime ensuite la résistance, et qu’on 
la remplace de même par un poids agissant à l'extrémité 
d’une corde fixée par son autre extrémité au point d’ap- 
plication de la résistance, ce dernier poids, augmenté 
jusqu’à ce que la machine ait repris un mouvement 
uniforme, sera la mesure de l’effort de la résistance. 
Mais ce moyen n’est que bien rarement praticable, et 
l'on est presque toujours forcé, dans la pratique, de 
recourir à des procédés moins exacts. 

La partie d’une machine qui recoit directement l’ac- 
tion du moteur se nomme l'organe récepteur ; lorsque la 
transmission du mouvement de l’organe récepteur aux 
autres parties s'effectue par des engrenages ou des axes 
ayant un mouvement circulaire continu, ce qui est le 
cas le plus ordinaire, on peut arriver à l’évaluation de 
la quantité d’action communiquée en employant un 
appareil très-ingénieux inventé par M. de Prony, et qui 
porte le nom de frein dynamométrique (voy. Annales des 
Mines, tom. XII). Ce frein se compose de deux demi- 
colliers qu’on applique à l’arbre tournant contre lequel 
on les serre par des vis qui les relient entre eux; le col- 
lier supérieur porte un long levier chargé d’un poids 
à son extrémité. On opère avec cet instrument de la 
manière suivante. 

Après avoir enlevé les engrenages de manière que 
l'arbre tournant soit isolé, on place les collets et on 
assujettit lelevier dans une position horizontale, puis on 
serre les écrous jusqu’à ce que le frottement des colliers 
ramène la vitesse de l’arbre, mis en mouvement par le 
moteur, au point où elle était lorsque l’arbre transmet- 
tait son mouvement aux engrenages. Ceci fait, on 
remplace l'obstacle invincible qui empêchait le levier 
de tourner avec l’arbre par un poids posé à son extré- 
mité, et qu'on augmente suffisamment pour qu’il pro- 
duise le même effet que l’obstacle invincible, c’est-à- 
dire qu’il maintienne le levier dans la position horizon- 
tale. Lorsque cet effet est obtenu, on estime la quantité 
d'action transmise à l’arbre tournant en une seconde de 
temps, par le produit du poids suspendu et de la vitesse 
que prendrait en une seconde ce poids s’il suivait le 
mouvement de l’axe avec le bras du levier pour rayon. 
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'évaluer la 
force transmise par l'arbre de couche d’une roue hy- 
draulique, et que la vitesse de cette roue étant de 
15 tours par minute, la charge du frein soit de 80 ki- 
logrammes, et la longueur du bras du levier de 3"5. La 
çirconférence qui correspond à un rayon de 3°,5 étant de 


MAC 


21%, la vitesse du poids par minute serait 15 > 21°—315"; 
et par seconde de 5",25. Cette quantité multipliée par 
80! donne 4201" pour la quantité d’action transmise en 
une seconde par la roue sur son axe, abstraction faite 
du frottement des tourillons et de la résistance de l’air. 
Pour comparer maintenant cette quantité d’action avec 
celle que possède l’eau motrice, et déterminer ainsi le 
degré de perfection de la roue, il faut mesurer la 
force du courant par le procédé indiqué. (Voy. Eau 
MOTRICE. ) 

Ce moyen, le plus commode de tous ceux qu’on peut 
employer, lorsqu'il est impossible d’avoir recours à 
l'élévation des poids, ne saurait donner cependant 
qu’une approximation plus ou moins suffisante, parce 
que, comme l’a observé M. Coriolis, le mouvement 
d’un organe récepteur de force motrice, si bien con- 
struit qu’il soit, et quelque précaution qu’on ait prise 
pour que la force arrive régulièrement, n’est jamais 
bien uniforme; d’où il résulte des oscillations assez 
fortes dans le levier. Du reste, toutes les questions re- 
latives au calcul de l'effet des machines se compliquent de 
difficultés pour lesquelles nous devons renvoyer à l’ex- 
cellent ouvrage publié, sous ce titre, par le savant que 
nous venons de citer. 

Dans toutes les machines où le mouvement une fois 
établi est uniforme, on observe (v0oy. COMMUNICATION Du 
MOUYEMENT) que lorsqu'elles commencent à se mouvoir 
en partant du repos, l'effort du moteur est plus grand 
et celui de la résistance plus petit qu'ils ne le seront 
lorsque le mouvement uniforme sera produit. La vi- 
tesse croît peu à peu, comme pour un corps soumis 
à l’action de deux forces accélératrices agissant en sens 
contraire, dont l’une l’emporterait sur l’autre; à me- 
sure que la vitesse augmente, l'effort de la résistance 
croît, celui du moteur diminue, et il arrive bientôt un 
instant où ces efforts deviennent constans et ont respec- 
tivement les valeurs qu’il faudrait leur donner pour 
mettre la machine en équilibre. Alors le mouvement se 
continue uniformément, et si l’on désigne par P l’effort 
du moteur, par p l’espace décrit par son point d’appli- 
cation, par Q l'effort de la résistance, y compris toutes 
les résistances passives, et par q l’espace décrit par le 
point d'application de la résistance; on a, en vertu du 
principe des vitesses virtuelles (voy. cemot), l'équation: 


Pdp — Qdg=0, 


qui exprime que la quantité d’action imprimée au sys- 
tème ést nulle. Il en résulte, d’après le principe de la 
conservation des forces vives (voy. Force vive), que la 
force vive du système ne reçoit plus aucune augmenta- 
tion, c’est-à-dire que la vitesse de la machine demeu- 
rera la même tant que les efforts P et Q conserveront 
les valeurs susdites. 


MAC 


L'équation précédente, dans laquelle le terme Qdg 
ne représente pas seulement le moment de la résistance 
proprement dite, mais bien la somme des momens de 
toutes les résistances, telles que frottemens , raideur des 
cordes, résistances des milieux où les corps se meu- 
vent, et encore les quantités d’action correspondantes 
aux quantités de forces vives qui seraient perdues par 
l'effet des chocs; cette équation n’a plus lieu si les ef- 
fets P et Q demeurent variables lorsque le mouvement 
de la machine est réglé. Dans ce dernier cas, dit Navier, 
si on supposait les efforts arbitrairement variables, la 
machine prendrait un mouvement irrégulier qui ne 
pourrait être soumis utilement au calcul. Lorsque dans 
les machines les efforts dont il s’agit n’ont point des 
valeurs constantes, les variations de ces valeurs, aussi 
bien que les variations correspondantes des vitesses de 
leurs points d'application, sont ordinairement pério- 
diques, comprises entre des limites fixes, et les périodes 
des variations se correspondent exactement par le mo- 
teur et la résistance. Considérons une machine dans cet 
état, lequel consiste essentiellement en ce que l'effort P 
du moteur est alternativement plus grand et plus petit 
qu'il ne devrait être, pour faire équilibre, conformé- 
ment aux lois de la statique, à l'effort Q de la résis- 
tance, ou, pour mieux dire, de lasomme des résistances; 
nommons Dm un élément de la masse de la machine, 
et » la vitesse de cet élément (D et S étant des signes 
de différentiation et d'intégration qui se rapportent 
exclusivement aux élémens de la masse des parties mo- 
biles de la machine, et d le signe de différentation qui 
se rapporte au temps). Supposons d’abord qu’on se 
trouve à l'instant où il y a équilibre entre P et Q, et qu’à 
partir de cet instant l’effort P devient plus grand ou 
l'effort Q plus petit qu’ils ne devraient être respective- 
ment pour que cet équilibre continuât à subsister, la 
force vive de la machine, exprimée par Sv?Dm, croîtra 
conformément à la loi exprimée par l'équation... (a) 


SvdvDm — Pdp — Qdgq. 


Elle ne cessera de croître qu’autant que Pdp sera rede- 
venu égal à Qdgq, et alors la machine aura acquis la 
plus grande vitesse possible. Supposons ensuite qu’à 
partir de cet instant l’effort Q de la résistance surmonte 
à son tour l'effort P du moteur, en sorte que Qdg soit 
plus grand que Pdp; la vitesse de la machine décroîtra 
d’après la même loi (a). Elle aura atteint son minimum 
lorsque les efforts P et Q auront recommencé à se faire 
équilibre. Elle recommencera ensuite à croître, à partir 
de ce dernier instant, si P surmonte Q, comme on l’a 
supposé d’abord; et ainsi de suite indéfiniment. 

La vitesse de la machine, dans les circonstances que 
nous considérons, croît et décroît donc alternative- 


ment, en oscillant autour d’une valeur moyenne, L’é- 
Tom. zu, 


MAC 305 


quation (a) montre que les accroissemens ou décroisse- 
mens qu'éprouve cette vitesse, et par suite les écarts de 
ses maxima et minima, à partir de sa valeur moyenne, 
sont d'autant plus grands, 1° que l’excès du moment du 
moteur sur celui de la résistance est plus grand; 2° que 
la masse des parties mobiles de la machine est plus pe- 
tite; 3° que la vitesse de ces mêmes parties est plus 
petite. En augmentant la masse et la vitesse des parties 
de la machine, on diminue les variations qu’éprouve la 
vitesse par suite des variations dans les actions du mo- 
teur et de la résistance. 

Quand la vitesse d’une machine éprouve ainsi des 
alternatives d’accroissemens et de décroissemens, les 
roues qui reçoivent l’action du moteur conduisent les 
autres et en sont conduites alternativement, quoique le 
mouvement se fasse toujours dans le même sens; mais 
il n’en résulte aucune perte de force si la périodicité est 
parfaitement exacte. 

Considérons, en effet, un intervalle de temps com- 
pris entre deux maxima ou entre deux minima quel- 
conques de la vitesse; il arrive nécessairement, par 
suite du principe des vitesses virtuelles, que la quantité 
d'action fournie par le moteur pendant ce temps est 
égale à la quantité d’action qui a été consommée par 
les résistances; car si ces quantités d'action n'étaient 
pas égales, la machine aurait acquis ou perdu une quan- 
tité de force vive égale au double de leur différence. La 
vitesse aurait donc augmenté ou diminué à la fin de 
l'intervalle, ce qui est contre la supposition. La quan- 
tité d’action fournie en excès par le moteur pendant 
l'accélération du mouvement est fournie en moins pen- 
dant sa retardation. Cependant, malgré cette circon- 
stance , il peut résulter de la variation du mouvement 
des inconvéniens qui engagent à l’éviter, ou du moins 
à la rendre la plus petite possible; c’est à quoi l’on par- 
vient par l'emploi des volants. (Voy. ce mot, et PEx- 
DULE CONIQUE.) 

Les résistances passives d’une machine consommant 
sans effet utile une partie de la force qui lui est appli- 
quée, le premier principe qui doit diriger sa construc- 
tion est de n’y faire entrer que les organes absolument 
nécessaires au but auquel elle est destinée. Il faut dans 
tout ouvrage, dit Daniel Bernouilli, commencer par 
examiner quel est l’effet essentiellement et nécessaire- 
ment attaché à cet ouvrage, effet qui soit inévitable 
par la nature même de l’ouvrage, et éviter ensuite, an- 
tant qu’il est possible, tout autre effet. 

On doit donc, 

1° Éviter tout choc, ou changement brusque quel- 
conque, qui ne serait pas essentiel à la constitution 
même de la machine, puisque toutes les fois qu'il y a 
choc il y a perte de force vive, et par conséquent con- 
sommation inutile d’une partie de l'effort du moteur. 


39 


306 MAN 


2° Préférer les pressions aux percussions, toutes les 
fois qu’un effet utile peut être obtenu indifféremment 
par l’un ou l’autre de ces moyens, pour le double motif 
de la perte de force vive qu’on évite, et de la régularité 
du mouvement qu’on peut produire en se servant de la 
pression, mais qui est incompatible avec la percussion. 

3° Éviter de communiquer à la résistance une vitesse 
et une quantité de mouvement qui dépassent celles qui 
sont strictement nécessaires. Aïnsi, par exemple, veut-on 
élever de l’eau à une hauteur déterminée, soit avec une 
pompe, soit avec tout autre appareil, on doit faire en 
sorte que l’eau, en arrivant dans le réservoir supérieur, 
n'ait précisément qu'autant de vitesse qu'il lui en faut 
pour s’y rendre, car toute celle qu’elle aurait au-delà 
consommerait inutilement l’effort de la force motrice. 

4° Apporter, comme nous l'avons déjà dit, le plus 
grand soin à éviter ou diminuer, autant que possible, 
les résistances dues à la constitution physique de la ma- 


chine , telles que les frottemens, la raideur des cordes, 


Ja résistance de l’air, etc., etc. 

I ne faut pas conclure de tout cela, que les machines 
les plus simples sont toujours les meilleures, mais seu- 
lement qu’on ne doit y employer que les organes stric- 
tement nécessaires, soit pour la transmission du mou- 
vement, soit pour sa transformation. (Voyez Comrosr- 
Ton pes Macnixes. ) Un seau suspendu à une corde 
passant sur une poulie de renvoi est certainement une 
machine beaucoup plus simple qu’une pompe; cepen- 
dant un homme produira un effet utile bien plus con- 
sidérable avec le second de ces appareils qu’avec le pre- 
mier. Lorsqu'on emploie des moteurs animés, il faut 
encore avoir égard au mode le plus favorable de leur 
application. (Voyez Cnevar et Hot.) 

Nous indiquerons à ceux de nos lecteurs qui veulent 
approfondir la mécanique pratique, les ouvrages de Na- 
vier, ceux de M. de Prony, et celui déjà cité de M. Co- 
riolis. La mécanique appliquée aux arts, de M. Borgnis, 
renferme la description de toutes les principales ma- 
chines connues. 


MACHINE SOUFFLANTE. Voy. Sourrcer. 


MANÉGE. (Mée.) Espèce de treuil vertical mû par 
un cheval, et qui sert à transmettre l'effort de l'animal 
à des machines quelconques. 

Les dispositions des manéges peuvent être très-ya- 
riées; voici, d'après M. Christian, celles qui présentent 
les combinaisons les plus favorables pour l'emploi de 
la force motrice. 

1° Le cheval est attelé à un levier horizontal (pl. XY, 
fig. 15) fixé à un arbre vertical, qui porte une poulie ho- 
rizontale « d’un grand diamètre. Une corde s’enroule 
sur celle poulie, et va passer sur deux autres poulies 


«x 


MAN 


projetées en b, d’où elle se rend sur la poulie c, nom- 
mée poulie de tension parce qu’elle peut avancer ct re- 
culer, de manière à ce que la corde soit bien tendue sur 
les deux poulies @, b, et que l’une d’elles puisse ainsi 
transmettre le mouvement. 

2° L'arbre vertical, mis en mouvement par un levier 
aux extrémités duquel les chevaux sont attelés (pl. XV, 
fig. 14), porteune forteroucdentée aa, qui communique 
son mouyement à une lanterne b appliquée à l'arbre de 
couche c, par lequel il est transmis dans l'atelier. 

5° La disposition de la figure 15 ne diffère de la pré- 
cédente que parce que l’arbre de couche est au-dessous 
du sol sur lequel se meuvent les chevaux. 

4° La figure 1, PI, XVI, représente le manége dit sué- 
dois. Une fusée conique en fonte À est supportée par 
quatre moutons en fonte &, a, boulonnée sur une croix 
de Saint-André en bois ce, maconnée dans le sol ; la fusée 
conique supporte, par l’une de ses extrémités, l’arbre 
de couche gg, lequel est mis en mouvement par le pi- 
gnon e engrenant sur la couronne d; au-dessous de la 
couronne est ajustée la flèche à laquelle le cheval est attelé. 

La flèche du manége, ou le bras de levier auquel on 
attelle le cheval, doit être généralement disposé de ma- 
nière à ce que le cheval se trouve à 6 mètres de distance 
de l'arbre vertical, ce qui lui fait décrire une circonfé- 
rence d'environ 19 mètres. Il tire alors à peu près per- 
pendiculairement à ce levier, tout en tournant; tandis 
que si le bras de levier était plus court, l’angle qu’il fe- 
rait pour parcourir le cercle serait plus sensible, et une 
partie de son effort s’anéantirait contre les points fixes 
du manége. Un bras de levier plus long entraînerait des 
frais plus considérables pour la construction du ma- 
nége, parce qu'il faudrait augmenter les dimensions de 
la charpente qui recouvre le bâtiment. 

On construit maintenant en fonte de fer des manéges 
en dessous, semblables à celui de la fig. 15, PI. XV, qui 
réunissent à l’avantage de la solidité et de la légèreté, 
une grande facilité de placement et coûtent beaucoup 
moins que les manéges en bois. 

Nous devons dire un mot du manége des maraîchers, 
appareil très-employé dans les environs de Paris pour 
l’arrosage des jardins. Ce manège, très-simple et très- 
économique, se compose d’un arbre vertical qui peut 
tourner sur son axe, el auquel on ajuste deux vieilles 
roues de voitures sur lesquelles sont clouées quelques 
planches placées obliquement pour former un tambour 


(pl. XVL, fig. 2) dont la surface est concaye, Une corde . 


enroulée autour de ce tambour porte un seau à cha- 
cune de ses extrémités; et quand le cheyal, attelé à une 
barre oblique qui part du tambour, tourne dans un sens, 
un des seaux monte plein d’eau, et l’autre descend yide 
dans le puits. Comme il faut pour chaque seau d’eau 
qu’on tire changer la direction du cheval, il y a beau- 


| 


MAS 


coup de temps et de force consommés en pure perte ; 
mais le peu de dépense qu’exige l'établissement de cet 


- appareil le fera long-temps préférer à d’autres plus par- 


faits. (Woy. le Traité des Machines, de M. Hachette, et 
le Traité des Machines hydrauliques, de M. Borgnis.) 


MANIVELLE. (Méc.) On donne ce nom à une barre 
qui tourne autour d’un axe, et à l'extrémité de laquelle 
est appliquée une puissance ou une résistance, suivant 
qu’on veut transformer un mouvement rectiligne alter- 
patif en circulaire continu, ou vice versd. Il ÿ a des ma- 
nivelles simples, doubles, triples, etc. (Voy. Cowrosi- 
mion DES Macuines, S IL.) Cet organe mécanique se 
remplace souvent par une courbe excentrique. (Voyez 
ce mot.) 


MANOMÈTRE. (Méc.) Instrument de physique qui 
sert à mesurer la force élastique des gaz. Nous avons 
indiqué sa nature et ses usages au mot FORCE ÉLASTIQUE. 


MASSE. (Phys. mat.) Les physiciens désignent sous 
le nom de masse la quantité absolue de matière dont un 
corps est composé. Cette quantité varie avec le volume 
du corps; mais elle ne lui est pas proportionnelle, car 
un corps peut contenir une très-petite quantité de ma- 
tière sous un très-grand volume, et vice versd. En con- 
sidérant les élémens primitifs des corps comme des 
points matériels égaux entre eux, on peut dire que de 
deux corps d’un même volume, celui qui a la plus 
grande masse renferme un plus grand nombre d’élé- 
mens; ce nombre étant indéfininent grand ne saurait 
être exprimé, et l’on ne peut mesurer directement la 
masse d’un corps, mais on peut trouver, comme nous 
allons le voir, son rapport avec la masse des autres 
corps. 

Observons que chaque point matériel d’un corps est 
soumis à la force de la gravité, et que cette force est re- 
présentée par la vitesse g qu'un corps acquiert dans Ja 
première seconde de sa chute libre à la surface de la 
terre. L’intensité de la résultante de toutes les forces 
partielles agissant sur un nombre quelconque M de 
points matériels liés entre eux, et formant un corps, 
est égale à la somme de ces forces (voy. RésuzranrE), 
c’est-à-dire à M X g, et comme cette résultante est d’ail- 
leurs égale au poids du corps, on a, P désignant le 
poids (voy. ce mot), la relation 


. Tout autre corps dont la masse serait M' et le poids P' 


donnant également 
P'— M' Xg» 
il en résulte 


P:P—Mg:My—M:M': 


MAS 307 


c’est-à-dire que les masses de deux corps sont entre elles 
comme leurs poids; car les nombres M et M' des points 
matériels sont, d’après ce qui vient d’être dit, les masses 
respectives des corps dont les poids sont P et P’. Ilest 
facile de voir que la notion de masse n’a d’autre valeur 
réelle que celle qu’elle tire de la conception transcen- 
dante de force.‘ 
+ 


E 


La relation P— Mg, d’où l’on tire M — Fe permet 


de remplacer la masse par le poids dans toutes les 
questions de mécanique, et par conséquent d'évaluer 
en nombres des quantités qui demeureraient indéter- 
minées sans cette circonstance. 

Veut-on, par exemple, évaluer la vitesse commune 
qu’auront après leur choc deux corps sans ressorts, 
dont les poids exprimés en kilogrammes sont P et P', 
et qui se rencontrent directement avec les vitesses res- 
pectives v et v'; on sait (voy. Cnoc, tom. I) que pour 
le cas du choc direct, lorsque les corps se meuvent dans 
le même sens, on a l'expression générale 


__ Mo + Mo 
7 M+M ? 


u désignant la vitesse cherchée et M et M' les masses 


p’ 


des mobiles. Posant donc M — 4 ME re et substi- 


tuant, il vient, en réduisant, 


Pou+ Po. 
TEE 


d’où l’on voit qu’il suffit de remplacer les masses par 
les poids. Si l’on avait, par exemple, 


Pa, P'—8, 0—1",5, v'—0r, 
on trouverait 


va / 
D LS GE st 2 


12 + 8 les 


c’est-à-dire qu'après le choc les deux corps auraient une 


ù —= 


vitesse commune de 1",7 par seconde. S'il s'agissait de 
comparer les quantités de mouvement des deux mobiles 
avant le choc, on aurait d’abord, pourteur évaluation, 


1 à 
MARS RREE Le glass mp0 
9 9 3 
FRERES sXo — 16, 
€ 


: 1 
et, sans avoir besoin de tenir compte du facteur 7° on 


en conclurait que les quantités de mouvement des 
deux mobiles sont entre elles comme 18 : 16, ou 
comme 9 : 8. Après le choc, la quantité de mouvement 


308 MOM 


du premier mobile serait : 12 X 1,379 — : . 20,4, et celle 


du second 5° ei - 13,6. On peut vérifier ces ré- 


sultats de calcul en observant que, puisque la somme 
des quantités de mouvement doit être la même avant 
et après le choc, il faut qu'on ait légalité 


1 1 1 1 
— 18 + —16 — - 20,4—+- 153,6, 
9 9 TR RATE 


laquelle se réduit en effet à l'identité 


Ces exemples suffisent pour indiquer la marche à suivre 
dans tous les cas. 

Le rapport de la masse d’un corps à son volume est 
ce qu’on nomme sa densité (voy. Densité, tome I et 
ARÉOMÉTRIE dans ce vol.). On peut encore, dans les 
questions de mécanique, substituer le produit du vo- 
lume par la densité à la masse et réciproquement. 


MOMENT. (Statique.) On considère, en mécanique, 
diverses espèces de momens (voy. ce mot, tom. II), 
dont nous allons exposer la théorie et les usages. 

SI. Des momens par rapport à un point. Le moment 
d'une force par rapport à un point est le produit de 
cette force par la perpendiculaire abaissée de ce point 
sur sa direction. Soit, par exemple, une force P repré- 
sentée par la partie AP de sa direction (PI. XV, fig. 16). 
Si d’un point quelconque O on abaisse sur AP ou sur 
son prolongement une perpendiculaire OB — p, le 
produit AP > OB ou Pp sera le moment de la force P 
par rapport au point O. Le point d’où l’on abaisse la 
perpendiculaire se nomme centre des miomens. 

1. Cesmomens jouissent d’une propriété remarquable 
qui fait l’objet de la proposition suivante. 

Le moment de la résultante de deux forces, dirigées 
dans un même plan, pris par rapport à un point quel- 
conque de leur plan, est égal à la somme ou à la dif- 
férence des momens des composantes, pris par rapport 
au méme point : à la somme, quand le centre des momens 
est en dehors de l'angle des composantes et de son opposé 
au sommet; à la différence, quand ce point est compris 
dans l'angle des composantes, où dans son opposé au 
sommet. 

Soit donc P ct P° deux forces, AP et AP' (PI. XV, 
fig. 17), leurs directions; R leur résultante, AR sa di- 
rection. Prenons d’abord le centre des momens en O 
hors de l’angle PAP’, ct abaissons les perpendiculaires 
Op =—p, Or=r, Op —p', nous aurons 


Rr — Pp + P'?.. 


MOM 


En effet, menons une droite OA qui joigne le centre 
des momens et le point d’application des forces, et 
nommons 


a, la droite OA, 
«, l'angle RAO, 
u', l'angle PAO, 
æ', l'angle P'AO; 


les triangles rectangles ApO, ArO, Ap'O nous donne- 
ront.... (a) 


P—=ACOSu, T—ACOSa;, p—ûAcos«". 


Ceciposé, décomposons les trois forces P, P', R, sui- 
vant deux axes rectangulaires AX, AY, en faisant, 
pour plus de simplicité, coïncider l’axe AX avec la 
droite OA; les composantes suivant l’axe AX nous 
fourniront l'équation (voy. RÉSULTANTE) 


R cos & — P cos « + P' cos «’. 


Multipliant tous les termes par @&, et substituant à la 
place de & cos, acosa', a cos x’, leurs valeurs r, 
P:p', il viendra 


Rr = Pp +Pp', 


ce qui démontre la première partie de la proposition. 

2. Prenons maintenant le centre des momens dans 
l'intérieur de l’angle PAP’ des forces P et P' (fig. 18, 
pl. XV) ou dans l’angle de leur prolongement p'Ap 
(fig. 19), et conservons les dénominations précédentes, 
nous aurons toujours les relations (a) ; mais les com- 
posantes rectangulaires des trois forces P, P', R, sui- 
vant l'axe AX, nous donneront 


Rcosu— P cos & — P'cos x’, 


et par suite 
Rr—Pp—P?p'; 


ce qui démontre la seconde partie de la proposition. 

Dans ce dernier cas, les perpendiculaires abaissées du 
centre des momens ne sont pas toutes situées du même 
côté de la droite OA qui joint le centre des momens 
au point d’application des forces, de sorte qu’on peut 
embrasser les deux parties de la proposition par une 
seule, en donnant des signes différens aux perpendi- 
culaires , suivant qu’elles sont à la droite ou à la gauche 
de la droite OA. D’après cette convention, la perpen- 
diculaire Op' — p' qui est positive, par exemple, dans 
la fig. 17, sera négative dans les figures 18 et19 ou vice 
vers. L'énoncé du théorème devient alors simple- 
ment : 


MOM 


Le moment de la résultante de deux forces, par rap- 
port à un point quelconque pris dans leur plan, est égal 
à la somme des momens de ces deux forces. 


5. Il faudra, dans les diverses applications de ce 
théorème, affecter du signe —- ou du signe —, à vo- 
lonté, les perpendiculaires situées d’un même côté de 
la droite qui joint le centre des momens au point d’ap- 
plication des forces, et donner un signe contraire à celles 
qui sont situées de l’autre côté. 


4. On donne ordinairement au théorème en question 
un autre énoncé qui dispense de considérer les signes 
des perpendiculaires. Voici le fait : si l’on suppose que 
le point O soit fixe et que les perpendiculaires Op, Or, 
Op soient des droites inflexibles, on peut imaginer que 
les forces P, R, P’ agissent aux extrémités de ces droites, 
et comme alors elles ne peuvent produire qu’un mouve- 
ment de rotation autour du point O, on voit que, lorsque 
le point O est dans l’intérieur de l’angle PAP’ ou de son 
opposé au sommet (fig. 18 et 19), la force P et la résul- 
tante R tendent à faire tourner leurs points d’applica- 
tion pet r dans un sens, et que l’autre force P'tend à 
faire tourner le sien, p', dans un sens opposé; tandis 
que lorsque le point O est hors de ces angles (fig. 17), 
les trois forces P, P', R’ tendent à faire tourner leurs 
points d'application dans le même sens. Observant que, 
dans le premier cas, la résultante R agit dans le même 
sens que la puissance dont le moment est le plus grand, 
on a l'énoncé général suivant : 


Le moment de la résultante de deux forces est égal à la 
somme ou à la différence des momens de ces forces, selon 
qu'elles tendent à faire tourner leurs points d'application 
(supposés aux pieds des perpendiculaires) dans le même 
sens où dans des sens différens. 


On doit observer que le mouvement de rotation in- 
troduit dans ce principe n’est qu’un moyen indirect pour 
déterminer les signes des momens. 


5. Ce que nous venons de dire pour la résultante de 
deux forces s'étend facilement à la résultante d’un 
nombre quelconque de forces agissant dans le même 
plan. Soient P, P', P', P”, etc., des forces dirigées 
dans un même plan et appliquées à différens points 
situés sur ce plan, désignons par 


IR la résultante des deux forces P et Rés 
R, la résultante des deux forces R,<etp#, 
R, la résultante des deux forces R, et p'", 


CLIS ACL 


1 


et représentons en outre par p, p', p', p''', cle., ROUE 


r,, ete., les perpeudiculaires abaissées respectivement du 


MOM 309 


centre des momens sur les directions de ces forces. Nous 
aurons, en vertu du principe démontré, les équations 


Ir, =Pp+Pp, 
R,r, = Rir, + P'p", 
R;r, = R;r, LP?” 


CC —'eLCr: 


puis, en substituant chaque valeur dans celle qui la 
suit, 


R,r, = Pp + Pp + P'p", 
Br, = Pp PP Pptp", 


etc: — elc:, 
et, en général... (b), 


Rr = Pp+Pp —+ P'p"—+ etc... 


R étant la résultante de toutes les forces P, P', P”,etc. , 
et r la perpendiculaire abaïssée du centre des momens 
sur sa direction. Il est bien entendu que dans l’équa- 
tion (b) il faut donner le signe — aux momens des 
forces qui tendent à faire tourner le système dans le 
même sens que la résultante R, et le signe — aux mo- 
mens de celles qui tendent à le faire tourner dans le 
sens opposé. 
6. L’équation (b) devient... (c) 


Pp + Pp + P'p'— etc. — 0 


dans le cas de Rr — 0. Or, ce cas peut avoir lieu dans 
deuxcirconstances très-différentes, savoir: lorsque R—0, 
c’est-à-dire lorsque les forces P, P', P", etc., n’ont 
point de résultante ou sont en équilibre, et lorsque 
r—0, ce qui a lieu quand on prend le centre des 
momens sur la direction de la résultante. Ainsi, cette 
équation (ec) n’est pas généralement suffisante pour dé- 
terminer les conditions d'équilibre d’un système de 
forces concourantes, et on doit lui joindre les deux 
équations 


P cos a+ P'cos «+ P'cos « — ete. = 0, 
P sin « —+- P' sin & — P'sin & +- ete. — 0 


(voy.. Résuzrante), dans lesquelles les angles 4, x’, 
a", ele. , Sont ceux que forment respectivement les forces 
P, P°P", etc., avec l’un des axes rectangulaires aux- 
quels on rapporte les directions de ces forces. 

On observera encore, pour tout ce qui concerne 
l'équation (b). que sil y avait quelque force dont la 
direction passât par le centre des momens. son moment 
serait nul. 

5. Le théorème général, dont l'équation (b) n'est que 


l'expression algébrique, ayant lieu pour des forces qui 


310 MOM 


font entre elles des angles quelconques, doit nécessai- 
rement subsister lorsque toutes ces forces sont paral- 
lèles, car des droites parallèles peuvent toujours être 
considérées comme concourant à l'infini. Nous ne nous 
arrêterons donc pas aux démonstrations particulières 
qu’on peut donner de ce cas. 

8. Les propriétés des momens, par rapport à un 
point, fournissent le moyen le plus simple de déter- 
miner les conditions d'équilibre du levier, machine 
d'autant plus importante qu’on peut lui ramener presque 
toutes les autres. Soit BAC (PI. XVI, fig. 5) un levier 
courbe aux extrémités B et C duquel sont appliquées 
des forces P et Q, il est évident que l'équilibre ne peut 
avoir lieu entre ces forces qu’autant qu’elles agissent dans 
le même plan, etque leur résultante, passant sur le point 
d'appui A, se trouve détruite par la résistance de ce point. 
Or, prenant le point d'appui pour centre des momens et 
menant les perpendiculaires Ap et Ag sur les directions 
des forces P et Q, le moment de la résultante est nul, 


et l’on a, en vertu du théorème précédent, 


= Pp + Qg; 


où plutôt 


0 = Pp — Qgq; 


puisque les forces P et Q tendent à faire tourner le levier 
autour au point À dans des sens opposés. Cette égalité 
fournit la proportion 


P:Q=9g:?; 


c'est-à-dire que, dans le cas d'équilibre, la puissance 
et la résistance sont en raison inverse des perpendiculaires 
abaissées du point d'appui sur leurs directions. 

9. Si le levier est droit (fig. 10) etles forces P et Q 
parallèles, les perpendiculaires Ap et Ag sont entre 
elles comme les longueurs AB et AC des bras du levier, 
et l’on a 


POI ACE AR; 


d’où l’on conclut que /e rapport des forces est l'inverse 
de celui des bras auxquels elles sont respectivement ap- 
pliquées. 

10. Ces conditions d'équilibre n’ont lieu qu’en sup- 
posant le levier une ligne inflexible sans pesanteur. Si 
l’on veut avoir celles qui conviennent à un levier phy- 
sique , il faut considérer son poids comme une troisième 
force agissant à son centre de gravité. En général, quel 
que soit le nombre des forces P, P', P', etc., Q, Q', 
Q", etc., appliquées à un levier et agissant dans son 
plan, il faudra, pour l'équilibre, que ces forces aient 
une résistance unique qui vienne passer par le point 


MOM 


d'appui; de sorte qu’en prenant toujours ce point pour 
centre des momens, on aura l'équation d'équilibre 


o—=Pp+Pp+P'p etc, —Qg—Qg—Q'g—ete. 


P, P',P', etc., désignant les forces qui tendent à faire 
tourner le levier dans un certain sens, Q, Q' Q', ete. ; 
celles qui tendent à le faire tourner dans le sens opposé, 
etp,p,p,etc., qq; q', ete, les perpendiculaires 
respectives abaissées du point d'appui sur les directions 
des forces. 

SIL. Des momens par rapport à un plan. Le moment 
d’une force par rapport à un plan diffère essentielle- 
ment de son moment par rapport à un point; ce dernier 
dépend, comme nous venons de le voir, de la direction 
de la force, et se trouve indépendant de son point d'ap- 
plication, tandis que le premier est indépendant de la 
direction et dépend du point d'application : c’est le 
produit de la force par la perpendiculaire abaissée de son 
point d'application sur un plan quelconque. 

11. Soit AP (PL XVI, fig. 9), la direction d'une 
force appliquée à un point A, MN un plan dirigé d’une 
manière quelconque dans l’espace; si l’on abaisse du 
point A sur le plan MN la perpendiculaire AB—p, et 
qu’on représente la grandeur de la force par P, le pro- 
duit Pp sera le moment de la force P par rapport au 
plan MN. 

La propriété principale de cette espèce de momens 
est énoncée dans ce théorème : 

Le moment de la résultante d'un nombre quelconque de 
forces parallèles, par rapport à un plan choisi arbitrai- 
rement , est égal à la somme des momens de ces forces par 
rapport au même plan. 

Considérons d’abord deux forces (PL: XVI, fig 11) 
P— AP, P'— BP appliquées aux points À et B; leur 
résultante R — CR sera égale à leur somme P + P”, 
et l'on déterminera son point d'application C (voy. R- 
sucranre), par la proportion... (d) 

R : P'— AB : AC. 

Des trois points d'application À, B, G, abaïssons sur 

un plan quelconque YOX Îles perpendiculaires A4 = 2, 


Bb—7, Ce—2,, et menons la droite Am parallèle à @b, 
nous aurons, d’après les propriétés des parallèles... (e) 


AB : AC — Bm : Cn, 
et nous pourrons conclure des deux proportions (d) 
et (e).....(f) 

R X Cn — FX Bm; 


, mais Aa —= nc mb; ainsi le produit RSC nc où 
(P—+ P') nc est la même chose que... (g) 


RXnc=P? X Aa +R X mb 


MOM 


Ajoutant les deux égalités (f) et (g), il viendra 
R X (Cn—ne) =P X Aa —LP'X (Bm mb), 
ou... (k) 
Re, = Pr +P'z. 


Or, les produits Rz,, Pz, Pz', sont les momens respec- 
tifs des forees R, P, P' par rapport au plan YOX, 
donc, etc. 

12. Si les forces P et P' n’étaient pas dirigées dans 
le même sens, ou si les points d'application A, B, C 
n'étaient pas situés tous trois d’un même côté du plan 
YOX, l'équation (k) aurait toujours lieu; il faudrait 
seulement affecter de signes opposés celles des quan- 
tités P, P',R et z,, z, z' dont les directions se trouve- 
raient opposées. Ainsi, les momens que nous considé- 
rons peuvent être positifs ou négatifs; positifs lorsque 
la force et la perpendiculaire sont de même signe; né- 
gatifs lorsqu'elles sont de signes différens. 

15. En procédant comme nous l'avons fait ci-des- 
sus (5), il est facile de voir qu’on peut étendre l’équation 
(4) à un nombre quelconque de forces parallèles P, P', 
P', etc., et qu’en désignant toujours par R la résultante 
générale, et par z, la perpendiculaire abaissée de son 
point d'application, on a... (1) 


Rz,= Pz+p'e ps +pz" etc. 


Si l’on prenait de la même manière les momens des 
forces P, P', P', ete., par rapport aux plans ZOX, 
ZOY coordonnés rectangulairement avec le premier 
plan YOX, ilest évident qu’on aurait encore... (i) 


Ry,= Py + Py + P'y +ete., 
Ræ, =Pz+Pæ + P'x + etc. 


Les trois équations (i) déterminent le point d’appli- 
cation de la résultante, ou, ce qui est la même chose, 
le centre des forces parallèles, d’une manière très-simple; 
car, en observant que 


R—PP LP etc, 


on obtient, pour les valeurs des trois coordonnées z,, 
Y &, de ce centre, les expressions 


Pz + Pz + Pr + etc. 
PP LP —Letc. 

_ Py+Py+Py+ete. 
moe a ip Let: 


2 = 


14. Si l’un des plans coordonnés, celui des yx, par 


MOM 311 


exemple, passait par le centre des forces parallèles, le 
moment de la résultante Rz, deviendrait nul, à cause 
dez,— 0, et l’on aurait pour la somme des momens, 
Par rapport à ce plan, l'équation... (k) 


Pz+Pz Ps — etc. = 0. 


15. Ce qui précède suffit pour trouver les conditions 
générales de l’équilibre d’un système de forces paral- 
lèles P, P', P', etc., appliquées à des points situés 
d’une manière quelconque dans l’espace, et liés entre 
eux d’une manière inébranlable. En efïet, pour qu’un 
tel système soit en équilibre, il faut qu’une quelconque 
des forces soît égale et directement opposée à la résul- 
tante de toutes les autres ; ainsi faisant 


R'—=P'+P'+P'"etc., 
on a pour première condition 
PER —0o, 
ou 


(a). PHP'ÆP'—H etc, = 0; 


et il s’agit d'exprimer que les deux forces P et R’ sont 
directement opposées. Or, désignant par «, B; yles 
coordonnées du point d'application de la force R', ou du 
centre des forces parallèles P', P”, P’, etc., on doit 


avoir, en vertu des équations (2)... (k) 
Ra = P'& + P'x + etc., 


RB—=Py + P'y Let, 
R'y = P'z, + P'2 — etc. ; 


mais le point d'application de la force R' doit se trouver 
sur la direction de la force P; car sans cela ces deux 
forces ne pourraient être directement opposées; de 
sorte que si l’on prend, pour simplifier, le plan des 
æy perpendiculaire à cette direction, les coordonnés 
zet seront sur une même droite perpendiculaire au 


plan æy, et l’on aura de plus 
CET 


Ê= y: 


Substituant done æ à &«, y à Bet — P à R' dans les 
deux premières des équations (k), on obtiendra 


Pæ—P'æ + Pa etc. 
Py+Py +P'y +etc. 


= 0 , 
a) 
One si 
équations qui, jointes à l'équation (1), renferment 
toutes les conditions de l'équilibre d’un système de 
forces parallèles. Ces deux dernières signifient que La 
somme des momens des forces P, P', P', ete., est nulle par 


312 MOM 


rapport aux plans des xz et des Yz, qui sont parallèles à 
leur direction. 

Ainsi, pour qu’un système de forces parallèles soit 
en équilibre, il est nécessaire et il suflit : 


1° Quela somme de ces forces soit égale à zéro; 


2° Que la somme de leurs momens soit nulle, par rap- 
port à deux plans parallèles à leur direction. 


16. Un système de forces dirigées d’une manière 
quelconque dans l’espace pouvant toujours être décom- 
posé en deux systèmes, dont l’un ne renferme que des 
forces parallèles, et l’autre des forces dirigées dans un 
même plan, ses conditions d'équilibre dépendent des 
deux espèces de momens dont nous venons d’exposer 
les principes fondamentaux. Voy. RÉSULTANTE pour tout 
ce qui concerne la composition et la décomposition des 
forces. 


MOMENT D'ACTIVITÉ, voy. Quantité D'ACTION. 


MOMENT D'INERTIE. ( Dynamique.) On donne ce 
nom à la somme des produits de tous les élémens maté- 
riels d’un corps, par les carrés de leurs distances res- 
pectives à l’axe de rotation de ce corps; c’est l'intégrale 


de l'expression 
fran : 


dans laquelle dm désigne l'élément de la masse du 
corps, et r sa distance à l’axe fixe de rotation. 

Nous nous bornerons ici à indiquer les moyens d’ob- 
tenir les valeurs numériques de ces momens qu’on est 
conduit à considérer dans les questions relatives au 
mouvement d’un corps solide autour d’un axe fixe 
(voy. Mouveuenr), et qui trouvent d'importantes ap- 
plications dans la théorie des machines. 

1. Le cas le plus simple est celui d’un solide homo- 
gène de révolution; le moment d'inertie étant pris par 
rapport à l’axe même de la figure génératrice. Soit 
donc (fig. 8, PL XVI) ACB une courbe quelconque 
dont la révolution autour de la droite AB engendre le 
solide dont il s’agit de déterminer le moment d'inertie 
relatif à cette droite. Imaginons ce solide partagé en 
une infinité de tranches, d’une épaisseur infiniment 
petite, par des plans perpendiculaires à l’axe AB, et 
chacune de ces tranches partagée en une infinité d’an- 
neaux circulaires concentriques d’une largeur infini- 
ment pelite; soit abm' la section d’un de ces anneaux, 
o son centre, om son rayon intérieur, et om son rayon 
extérieur. Nommons r le rayon om, dr la largeur mm’ 
de l'anneau, et prenant À pour l’origine des abscisses 
comptées sur l’axe AB, faisons A0=%; dx sera l’épais- 
seur de l’anneau. 


MOM 


IL est visible que l'anneau en question est la différence 
de deux cylindres qui ont pour hauteur commune dx, 
pour rayons respectifs retr— dr, et dont les volumes 
sont conséquemment rr°dx, r(r—+-dr)dæ ; le volume 
de l'anneau sera donc représenté par 


r(r+-dr)/dx — rr°dx , 
ce qui se réduit à 
2 r r drdx, 


en développant le carré et en négligeant le terme rdr°dx 
infiniment petit du troisième ordre. Si nous désignons 
maintenant par p la densité du corps, la masse de l’an- 
neau sera 2rprdrdæ, et comme tous ses points sont à 
des distances de l’axe AB qu’on peut considérer comme 
égales à r, puisque la distance des plus éloignés ne 
diffère de r que de la quantité infiniment petite dr, le 
produit 


2rprdrdæ X r? ou 2rpr'drdx 


sera le moment d'inertie de l'anneau. 

L'intégrale de cette quantité prise, par rapport à r, 
entre les limites r —0 etr—oC, donnera le moment 
d'inertie d’une tranche élémentaire du solide, ou la 
somme des momens d'inertie de tous les anneaux dont 
cette tranche est composée. Cette intégrale est, en dé- 
signant oC par y, 

) 1 
f 2 rprdrdx = F, rpy"dæ. 
Mais le moment d'inertie du solide est égal à lasomme 
des momens d'inertie de toutes ses tranches élémen- 
taires, donc intégrant cette dernière quantité par rap- 
port àæ, ct entre les limites æ—0, æ—AB, on 
obtiendra définitivement l’expression de ce moment. 

La question se réduit donc à tirer la valeur de y en 
fonction de æ, de l'équation de la courbe génératrice, 
et, après l’avoir substituée dans la formule 


(nes : rpy" dæ, 


à iniégrer cette formule depuis += 0 jusqu’à æ — AB. 
2. Soit, pour premier exemple, la génératrice une 

simple droite CD (fig. 5) tournant autour de l'axe MN 

mené dans son plan, son équation sera de la forme 


y —= ax + b. 


Prenons le point A pour origine, et AB pour axe des 
abscisses, nous aurons 


b — AC, aq = tang BSD; 


MOM 
et substituant la valeur de y dans (1), le moment 
d'inertie demandé sera 


: re. [lar+ b)‘ax: 


désignant AB par h, et intégrant entre les limites 3—0, 

—h, nous obtiendrons , pour le moment d’inertie du 
cône tronqué CBD, engendré par la révolution du tra- 
pèze ABDC autour de la droite AB... (a), 


1 To 


ee 5 —b°. 
L four | 

3. Lorsque la droite CD est parallèle à l'axe, on a 
a — 0 et le cône devient un cylindre. Le moment 
d'inertie d’un cylindre par rapport à son axe est 
donc... (b) 


rat + 
= rphb! ; 


h étant la hauteur du cylindre, et b le rayon de sa 
base; si l’on décompose cette quantité en trois facteurs 


Lu, e et rhb?, et qu’on observe que p X rhb? est 


le produit de la densité b par le volume 7hb?, on en 
pourra conclure que le moment d'inertie d'un cylindre 
tournant autour de son axe propre, est égal à la moitié 
du produit de sa masse par le carré de son rayon. 

4. On peut tirer de l'expression (b) la valeur du 
moment d'inertie d’un anneau cylindrique, par rapport 


à son axe, en observant que ce moment doit être la - 


différence de ceux des deux cylindres qui auraient res- 
pectivement pour rayons le plus grand et le plus petit 
rayon de l’anneau. Si Am —r (fig. 6, pl. XVI) est 
le plus grand rayon, et Am — r' le plus petit, le mo- 
ment d'inertie de l'anneau cylindrique mps sera donc 


2 RL RE ñ "h\ 
Téhr —; réhr = rh (ré—rt); 


hk exprimant la hauteur mp. 


a r+r 
Désignons par R le rayon moyen — 2 »etpare 
2 


l'épaisseur mm — r — r' de l'anneau, cette expression 
deviendra 


2 
rh) x (RE), 
ce qui signifie que le moment d'inertie d'un anneau cy- 


lindrique tournant autour de son axe propre, est égal 
au produit de sa masse par la somme du carré du rayon 


| moyen et du carré de la moitié de l'épaisseur de l'an- 


neau. 
Supposons, pour second exemple d'application, 
To, x. 


MOM 313 
que la courbe génératrice ACB (fig. 8, PI. XVI) soit une 
demi-circonférence de cercle, son équation rapportée 
aux axes At, Ay sera (voy. APPLICATION, tome Ï) 

ÿ} = 247 — à 
2a désignant le diamètre AB. Cette équation fournit 


y = 4e? at — ax + xt; 


et, substituant dans l’expression(1), la formule à intégrer 
devient 


: re (4a? &?— ax +-x") dx, 


dont l'intégrale est 


Tel est le moment d'inertie de la portion de sphère 
engendrée par le secteur AoC; pour avoir celui de la 
sphère entière, il faut prendre æ — 24, et l’on ob- 
tient 


— pu” , 


15 


observant que dre exprime la masse de la sphère, 


on en conclut que le moment d'inertie de la sphère par 
rapport à un axe passant par son centre, est égal au 
produit de sa masse par les deux cinquièmes du carré de 
son rayon. 

5. Lorsque le solide dont on cherche le moment 
d'inertie n’est point un solide de révolution ; la valeur 
de ce moment ne peut être déterminée que par une 
triple intégration. C'est ce que nous allons éclaircir 
par un exemple. 

Soit BE (PI. XVI, fig. 12) un parallélipipède rectangle 
et composé ‘d’une matière homogène, le solide dont il 
s’agit de déterminer le moment d'inertie par rapport à 
une de ses arêtes AB, par exemple, prise pour axe. Nom- 
mons a, b, e les trois arêtes AC, AD, AB de ce solide, et 
supposons le partage en une infinité de parties élémen- 
taires par des plans perpendiculaires à chacune des 
arêtes; prenons AB pour axes des z, AD RO axe AE 
y, et AC pour axe des æ. Chaque partie élémentaire 


m, correspondante aux coordonnées æ, y; ?, ‘era un 


petit parallélipipède rectangle ayant pour arêtes dr, dy, 
>: son volume sera exprimé par dædydz, etsa masse par 


#3 © 


odædydz ; 


e désignant la densité. 
40 


314 MOM 


La distance Ap de cet élément à Paxe des z est égale 
à [a+] > Ou à 
Va+y; 
ainsi, son moment d'inertie a pour expression 


p (a°+y°) du dydz , 


et l'expression du moment d'inertie du solide est 


Chu ff f'ete-+u dodys: 


le triple signe'f indiquant qu'il faut intégrer successive- 
ment par rapport à chacune des variables, en consi- 
dérant à chaque opération les deux autres comme con- 
stantes. 

Pour que l'intégrale embrasse tous les élémens du 
parallélipipède BE, il faut intégrer d’abord par rapport 
à z, entre les limites z—0, 3 — AB—c; puis, par 
rapport à y, entre les limites y—0, y— AD — b, et 
enfin par rapport à æ, entre les limites x = 0, æ — AC 
= Q. 


La première intégration donne 


pe [feet aruy, 


la seconde 


3 
e | (ao se 3) de ; 


et la troisième 


expression qu’on peut mettre sous la forme 


pabe 
“ 


(a*+-b); 


mais abc est le volume du parallélipipède, et pabcc sa 
masse; donc, le moment d'inertie d’un paralléhpipéde 
rectangle, par rapport à l’une de ses arêtes , est égal au 
tiers du produit de sa masse par la somme des carrés des 
deux autres arêtes. 

6. Cherchons encore le moment d'inertie du même 
parallélipipède par rapport à un axe OZ passant par le 
centre des deux faces opposées BE, DC (fig. 13). Choi- 
sissant cet axe, qui est égal et parallèle à l’arête AB, 


pour axe des z, nous prendrons les axes des y et des 


æ respectivement parallèles aux arêtes AD et AC, et par 


MOM 


les mêmes considérations que ci-dessus, nous trouve- 


rons pour l'expression du moment d'inertie, 


[fe (a y?) ddydz ; 


mais il est évident, ici, que la première intégration, 
par rapport à z, doit s'effectuer entre les limites z=—0, 
z=—c; la seconde, par rapport à y, entre les limites 


2 1 1 she 
=On —-b, y—=— On — — = b; etla troisième, 
x + n 1 
par rapport à æ, entre les limites 4 — Om — 3% 


, 1 e He 
= — Om = — 3 a. Effectuant les opérations, la 


première intégration donne 


eff (æ°+-y°) dædy, 


on obtient par la seconde 


shoes? 
peb| C uk = Va. 


et par la troisième, 
— pabe (a? +-b*). 


Ainsi, le moment d'inertie d’un parallélipipède rectangle 
tournant autour d'un axe qui passe par les centres de 
deux faces opposées et qui est, par conséquent , parallèle à 
l’une de ses dimensions, est égal au douzième du produit 
de sa masse par la somme des carrés des deux autres di- 
mensions. | 

7. Les momens d'inertie de tous les solides par rap- 
port à des axes quelconques sont exprimés par l’inté- 
grale triple (2); car on peut concevoir un solide, 
quelle que soit sa forme, comme composé d’un nombre 
infini de parallélipipèdes rectangles infiniment petits ; la 
seule difficulté est done de déterminer les limites entre 
lesquelles doivent être effectuées les intégrations, pour 
que la dernière embrasse tous les points du solide, 
ce qui n’est généralement possible que lorsque la sur: 
face du solide est susceptible d’être représentée par 
une équation. Voici la marche qu’on doit suivre dans 
ce Cas. 

Considérons un solide AOCB (PI. XVI, fig. 7) com- 
pris entre trois plans rectangulaires coordonnés et une 
surface courbe donnée par l'équation... (c) 


Le) 0: 


Le moment d'inertie d’un élément m de ce solide par 
rapport à l'axe OZ sera, d’après ce qui précède... (d) 


e Qu? +y?) dadydz; 


MOM 


et en intégrant cette expression, par rapport à z, depuis 
z=— 0 jusqu’à la valeur de z donnée par l’équation (c), 
on aura le moment d'inertie d’un parallélipipède élé- 
mentaire pq commencant au plan æy, et se terminant 
à la surface courbe. Si nous désignons par f(æ,y) la 
valeur de z tirée de (c), le résultat de la première 
intégration sera de la forme 


e (a+ y?) f(æ y) dedy. 


Regardant + et dx comme constans, il est visible que 
l'intégrale de cette expression, par rapport à y, sera le 
moment d’une tranche élémentaire rst parallèle au plan 
Zy; mais pour que cette tranche se termine à la surface 
courbe, il faut prendre l'intégrale entre les limites 
Y = 0 et y = Ov; cette valeur Ov n’est autre chose que 
l'ordonnée y du point t, dont l’abscisse est æ et qui 
appartient à la section CtB de la surface courbe, par le 
plan æy; on obtiendra donc Ov en faisant z — 0 dans 
l'équation (e), et en la résolvant par rapport à y. Le 
moment d'inertie de la tranche élémentaire rst devien- 
dra en définitive 


px. dx; 


9æ désignant une fonction de la seule variableæ. L’inté- 
grale de cette dernière quantité, prise entre les limites 
æ—oet x — OB,. sera la somme des momens d'inertie 
de toutes les tranches élémentaires qui composent le 
solide et par conséquent le moment d'inertie du solide. 
La limite OB est la valeur de x donnée par l’équa- 
tion (c), après y avoir fait y— 0, 

8. L'ordre des intégrations est tout-à-fait arbitraire ; 
mais l’intégrale, par rapport à &, étant toujours la plus 
simple à déterminer, on fera bien de commencer par 
elle, puis on intégrera par rapport à & ou à y, suivant 
le plus ou moins de facilité qu’il en pourra résulter 
pour les calculs. Si l’on prend la seconde intégrale par 


U: 


rapport à æ, les limites seront æ —0 etæ — à la valeur 
qu'on tire de l'équation (ec), après y avoir fait z— 0; 
les limites de la troisième intégrale seront alors y — 0 
ety=— à la valeur fournie par (e), après avoir fait 3 —0, 
æ—0. L'exemple suivant éclaircira ce procédé. 

Soitle solide AOCB un quart d’ellipisoïde à trois axes 
rapporté à ses demi-diamètres principaux OB = @, 
OC —b, OA —c, nous aurons, pour l'équation de Ja 
surface courbe (voy. GÉOM. aux rno1s im, n° 64)... (d), 


a y =: 
nr ia ts 


prenant pour la limite supérieure de l'intégrale, par 
rapport à x, de l'expression 


FF fe cer +0 doayes, 


MOM 


la valeur de x tirée de l'équation (d), savoir : 


315 


nous trouverons, pour cette intégrale, 


[feie-tnvls = 5%] dois, 


ce qu’on peut mettre sous la forme... (e). 


teffrvL-5-tJes 


Occupons-nous d’abord du premier terme de cette der- 
nière expression. L'intégration par rapport à y devant 
s’effectuer comme si æ et dæ étaient des quantités con- 
stantes, posons, pour abréger, 


et le premier terme de (e) deviendra, abstraction faite 
des signes d'intégration... (f), 


pcæ”dæ 


En Vr— y. dy. 


Faisant, dans l'équation de la surface, 2 — 0, et tirant 
la valeur de y, il viendra 


br? 
a 79 21 
JP = b? — = ?»?, 
y ps 


Ainsi, les limites de l’intégrale par rapport à y sont 
y—=0, y—r; or, l'intégrale de dyV/r—y?, prise 
entre ces limites, est égale au quart de l’aire du cercle 
dont le rayon est r (voy. Quannraruge, t. II, p. 395), 
donc 


r désignant le rapport de la circonférence au diamètre. 
Remettant pour r? sa valeur, cette intégrale devient 


entre les limites #3—0, æ—a, donne... (9) 


1 
— pbcar ; 


to 


316 MOM 


telle est, conséquemment, la valeur du premier membre 
de l'expression (c), et nous avons 


2 2 
ge [ fe v{: — M = “| dxdy = Te pbcaÿr. 


. 
is 


Observons maintenant que le second membre de (e) se- 
rait identique avec le premier si l’on y changeait y en æ 
etb en a, et qu'il suffit, par conséquent, d’opérer ce 
changement dans la valeur du premier membre pour 
obtenir immédiatement celle du second, qui est ainsi : 


< F a? 2 1 
e [fiv ii leu 15 PRE 


Ajoutant ces deux valeurs, nous obtiendrons pour le 
moment d'inertie du quart d’ellipsoïde à trois axes, 
tournant autour de son demi-diamètre c ou de l’axe des 
z, l'expression 


1 
A abcpr (a? + b?). 


On peut en conclure que le moment d'inertie de l’el- 
lipsoide entier par rapport à l’axe des z, est 


à abcpr (a? + b?) ; 


car les relations de distance des molécules élémentaires 
avec l’axe des sont les mêmes dans chaque quart de ce 
solide. 

Un simple changement de lettres fait connaitre les 
momens d'inertie de l’ellipsoïde par rapport aux axes 
des y et des æ; le premier est: 


À abcer (+ à), 
et le dernier 


À abepr (6 +). 


dr 


Observant que le volume de ce solide est égal 3 


abc, 


are … AT , 
et qu’ainsi la quantité 7 bcp représente sa masse, les 


valeurs des trois momens d'inertie deviendront, en 
désignant la masse par M : 


Par rapport à l'axe des æ . : - 


M 2 2 
L +0), 
(a+ 6), 


Par rapport à l’axe des y + + » 


e M 
Par rapport à l'axe des 4 » + (a? + b?); 


MOM 


d'où l’on voit que le plus grand moment répond au 
plus petit diamètre principal et réciproquement. 

9. Si l’on fait a—b—c, l’ellipsoïde devient une 
sphère, et les trois momens d'inertie se réduisent à la 
même quantité 


8 5 
75 CEE 


c’est ce que nous avions trouvé ci-dessus n° 4. 

10. Toutes les déterminations précédentes des mo- 
mens d'inertie supposent que les solides sont homo- 
gènes, c’est-à-dire que toutes leurs parties ont une 
même densité; si cette circonstance n'avait pas lieu, 
il faudrait chercher séparément le moment d’inertie de 
chaque partie homogène, et la somme de tous les mo- 
mens partiels donnerait le moment d'inertie total. Dans 
le cas où la densité varierait d’un élément à l’autre, 
on aurait une quatrième intégration à effectuer, pour 
laquelle il deviendrait essentiel de connaître la loi que 
suit la densité dans les couches successives du solide. 
Considérons, par exemple, un cylindre d’une hau- 
teur À tournant autour de son axe propre; son moment 
d'inertie est, comme nous l'avons trouvé plus haut, 
dans le cas d’une densité constante p, 


= rphb". 


Si la hauteur À augmente d’une quantité infiniment 
petite et devient h + dh, l'accroissement correspondant 


1 NES : 
= rcb*dh du moment d'inertie, exprimera le moment 


d'inertie d’une tranche cylindrique perpendiculaire à 
l'axe. Or, sile cylindre n’est point homogène, mais 
composé d’une infinité de tranches homogènes, la den- 
sité P sera fonction de la hauteur h, et il faudra, pour 
obtenir le moment d'inertie du cylindre, intégrer la 
formule 


1 
— rpb‘dl 
3 h 
qui exprime le moment d’inertie d’une tranche quel- 


conque. D'où l’on voit que le moment d'inertie d’un 
cylindre composé de tranches circulaires homogènes 


est égal à 
= ab? f edh , 


expression dans laquelle b est une fonction de k. Dans” 


le cas où la densité diminuerait comme la hauteur 
augmente, on aurait, en désignant par 0 la densité de 
la première tranche , 


à cause de 


fr —= Log h; 


l'intégrale devant être prise depuis kÀ — o jusqu’à 

= À. i 

11. Si le cylindre, au lieu d’avoir une densité va- 
riable dans le sens de sa hauteur h, était composé de 
couches cylindriques homogènes, la variation s’effec- 
tuerait dans le sens de son rayon b, etpar conséquent le 
moment d'inertie d’une quelconque de ces couches se- 
rait la différentielle du moment d'inertie 


= eh, 
prise par rapport à b, c’est-à-dire 

: 5 

8 rphb db ; 


de sorte que le moment d'inertie du cylindre à densité 


V ariable de viendrait 
— rh eb db. 


Dans l’hypothèse d’une densité, variant de l’axe à la 
surface convexe, en rapport inverse du rayon de la 
couche cylindrique, on poserait 


p désignant la densité de l’axe, et l’on aurait, pour le 
moment d'inertie, 


gro [was … Srhdt ; 


l'intégrale étant prise entre les limites b— 0, b — b. 

12. Soit, encore, une sphère composée de couches 
homogènes concentriques. On trouvera, par des consi- 
dérations semblables aux précédentes, que Le moment 
d'inertie d’une couche élémentaire est égal à la différen- 
tielle de celui de la sphère homogène prise par rapport 
au rayon, c’est-à-dire à 


- rpa*da , 


MOM 317 


de sorte que p étant une fonction de a, le moment 
d'inertie de cette sphère à densité variable est 


- r fea'da. 


Admettons que la densité décroisse, du centre à la sur- 
face, proportionnellement aux carrés des rayons des 
couches concentriques, et désignons par à la densité 
au centre, nous aurons, pour la densité d’une couche 
quelconque , 


ù 
LRO 


,. . \ JET 
et par suite, pour le moment d'inertie de la sphère,” 


5 m3 J'arda —= srda. 

Ces exemples nous paraissent indiquer suffisamment la 
marche qu’il faudrait suivre pour tout autre solide et 
pour toute autre loi des densités. 

15. Lorsque le moment d'inertie d’un corps, par 
rapport à un axe passant par son centre de gravité, est 
connu, il est facile d’en déduire son moment d'inertie 
par rapport à tout autre axe parallèle au premier. 

En effet, prenons le premier axe pour axe des x, le 
centre de gravité pour origine , et faisons æ — 2, y—f, 
les coordonnées du point où le nouvel axe de rotation 
coupe le plan des zy auquel il est aussi perpendiculaire. 
Désignons de plus par a la distance des deux axes, par 
r la distance d’une molécule élémentaire au premier de 
ces axes, et par r' la distance de la même molécule au 
second. Le moment d'inertie qui se rapporte au pre- 
mier axe, et qui est supposé connu, sera fr°dm, et [r'?dm 
sera celui qui se rapporte au second axe. Or, nous avons 


Ge) +(y— 6), 
= D + — 240 — 06y + LP, 
et, de plus, 
= +y; &—a +p, 
donc 
= PH — our — 98y. 


Multipliant tout par dm et intégrant, il vient 


L ? 
fran = fra — L'adm— 24 | adm — 28 | ydm. 
Le Le 


Mais l’axe de gravité étant sur l'axe de x, il en ré- 


J ædm = 0, ya = 0; 


sulte 


318 MOT 


car æ et y désignant les coordonnées d’un élément dm 
de la masse M, les momens (voy. Momexr, $ IH) de 
cet élément, par rapport aux axes des + et des y, sont 
respectivement ædm, ydm, et conséquemment les coor- 
données æ, et y, du centre de gravité de M doivent 


être déterminées par les équations : 


M, = faim, My, = [im 


(voy. Genre DE érAvITÉ, tom. 1) ; or, ici, les coordon- 
nées æ,, ÿ, Sont nulles, puisque le centre de gravité 
est à l’origine : donc fædm —0, fydm — 0. L'inté- 
grité fdm n'étant autre chose que la masse entière du 
corps que nous venons de désigner par M, nous avons 


donc définitivement... (h) 


[run — fran + M, 


c'est-à-dire que le moment d'inertie rapporté au nouvel 
axe est égal au moment d'inertie rapporté au premier, 
plus le produit de la masse du corps par le carré de la 
distance du centre de gravité au nouvel axe. 

14. On a adopté la notation Æ pour représenter le 
rapport du moment d'inertie fr'dm à la masse M du 
mobile; ce qui donne à l'expression (k) la forme 


freum = M(# + «). 


Il devient ainsi visible 1° que le moment d'inertie 
rapporté à un axe quelconque, passant par le centre de 
gravité, est toujours plus petit que celui qui se rap- 
porte à tout autre axe parallèle au premier; 2° que les 
momens d'inertie, pris par rapport à des axes paral- 
lèles entre eux et également distans du centre de gra- 
vité sont égaux, et 5° enfin que la valeur de ces momens 
augmente avec la distance des axes au centre de gravité 
du corps. | 

Nous devons renvoyer, pour les détails ultérieurs, 
au Traité de mécanique de M. Poisson. 


MOMENTUM. Voy. QuANTITÉ DE MOUVEMENT. 


MOTEUR. (Méc.) On donne ce nom à tout agent 
capable d'imprimer le mouvement à un corps inerte ou 
à une machine. 

Nous ayons déjà établi (voy. CEvaL), qu’en nom- 
mant P l'effort exercé par un moteur à son point d’ap- 
plication, et Y l’espace que ce point parcourt dans le 
sens de l'effort et dans l’unité de temps, le produit PV 
représente la quantité d'action fournie par le moteur, 
quelle que soit d’ailleurs sa nature. Or, le travail effec- 
tué par une machine étant toujours relatif à la quantité 


MOT 


d'action fournie par le moteur et augmentant avec elle, 
le problème le plus intéressant qui se présente, lors- 
qu'un moteur est donné, c’est d'en obtenir la plus 
grande quantité d’action possible; mais comme on ne 
peut jamais augmenter un des facteurs du produit PV 
sans diminuer l’autre, il s’agit de déterminer les va- 
leurs respectives de P et de V de manière à rendre PV 
un maximum. Voici les considérations théoriques sur 
lesquelles on fonde cette détermination. 

Lorsque la vitesse est nulle, c’est-à-dire lorsque 
l'effort P s’exerce sur un obstacle inébranlable, sa pres- 
sion est évidemment la plus grande possible ; mais il 
n'y a point de quantité d'action produite, car alors 
PV — 0, Si l'obstacle acquiert un mouvement, la pres- 
sion diminue d’autant plus que la vitesse augmente; de 
sorte qu’elle serait nulle si l'obstacle pouvait se mou- 
voir aussi vite que le moteur; dans ce dernier cas, on 
aurait encore PV — o. 

Entre ces deux extrêmes doit se trouver nécessaire- 
ment une certaine vitesse qui rend le produit de la 
pression et de la vitesse le plus grand possible : c’est ce 
degré de vitesse qu’il importe de connaître. 

Soit P'la pression qu’un moteur peut exercer contre 
un obstacle inébranlable , V'la vitesse qui rend la pres- 
sion nulle, V une vitesse intermédiaire, et P la pres- 
sion correspondante à cette vitesse; on suppose qu'il 
existe toujours entre ces quantités, du moins pour les 
moteurs animés, la proportion 


Pé: PI NEFAWNEN) 2 


Pour obtenir la valeur de V, qui rend cette quantité 
un maximum, il faut égaler à zéro sa différentielle 
prise par rapport à V, ce qui donne 


(3 EN \ 
w =rt-v)=e 


Ainsi, d’après cette théorie, le maximum de quan- 
tité d'action aurait lieu lorsque la pression du moteur 


MOU 
4 


est FE de la plus grande pression dont il est sus- 


s : . 2 
ceptible sans prendre de vitesse, et sa vitesse les 5 


de la plus grande vitesse qu’il peut prendre sans pro- 
duire de pression. La quantité d'action maximum se- 


rait donc égale aux ee du produit de la plus grande 


pression par la plus grande vitesse; car les valeurs 
précédentes donnent 


l'E de DR 
27 

L'expérience a démontré que ce résultat ne peut être 
appliqué sans restriction à toutes les espèces de mo- 
teurs, et ce n’est encore que par des observations im- 
médiates qu'on peut déterminer approximativement 
les valeurs les plus convenables des quantités P et V 
pour chaque moteur en particulier. 

Les moteurs que l’on emploie communément pour 
mettre les machines en mouvement sont : les moteurs 
animés (voy. Homueet CnevaL) , l’eau, le vent, la force 
expansive des fluides élastiques, les poids et les ressorts 
(voy. ces divers mots); les effets qu'ils produisent 
peuvent toujours être comparés à des poids élevés àune 
certaine hauteur (voy. Forces Mouvanres). On a signalé 
tout récemment diverses tentatives faites en Angleterre 
et aux États-Unis, pour tirer parti de la force motrice 
des aimans artificiels traversés par des courans électri- 
ques. Si les espérances que font concevoir ces essais se 
réalisent, l’industrie se trouvera en possession d’un 
nouveau moteur d'autant plus utile, que son applica- 
tion paraît ne présenter aucun des dangers qui accom- 
pagnent celle de la vapeur. 


MOULIN A VENT. Voy. Vexr. 


MOUTON. (Méc.) Masse inerte, qu'un moteur élève 
à une hauteur déterminée pour l’abandonner ensuite à 
l’action de la gravité, qui lui fait acquérir une force de 
percussion d'autant plus grande que la hauteur de la 
chute est elle-même plus grande. On en fait usage 
pour enfoncer les pilots ou les pieux. Voy. Soxnerre. 


MOUVEMENT (Dyn.) Nous allons réunir, dans cet 
article, les lois principales du mouvement omises ou 
seulement indiquées dans nos deux premiers volumes. 

1. Mouvement rectiligne. Lorsqu'un mobile, que 
nous considérerons provisoirement comme un point 
l matériel, se meut dans l’espace, il parcourt une ligne 
| droite ou courbe nommée sa trajectoire. Si la trajec- 
| toire est une ligne droïte, le mouvement est dit recti- 
| ligne; si elle est une ligne courbe, le mouvement est 
| dit curviligne. 


MOU 319 


Le mouvement rectiligne est uniforme ou varié, sui- 
vant que le mobile parcourt ou ne parcourt pas des 
portions égales de sa trajectoire dans des intervalles 
égaux de temps. 

2. On nomme vitesse, dans le mouvement uniforme, 
l’espace parcouru par le mobile pendant un intervalle 
de temps pris pour unité. 

3. L'unité de temps est entièrement arbitraire ; il est 
seulement essentiel d'employer toujours la même durée 
lorsqu'on veut comparer les mouvemens de plusieurs 
mobiies. Comme on a adopté assez généralement la 
seconde sexagésimale pour unité, lorsque nous parle- 
rons, dans ce qui va suivre, de la vitesse d’un mobile, 
nous entendrons toujours l’espace qu'il parcourt unifor- 
mément dans une seconde de temps. 

4. Si nous désignons par V la vitesse d’un mobile, 
c’est-à-dire l’espace qu’il parcourt dans l'unité de temps, 
l’espace parcouru en deux unités sera 2V; l’espace par- 
couru en trois unités, 5V, et ainsi de suite, En général 
l'espace parcouru par le même mobile dans un temps T 
sera TV, de sorte qu’en désignant par E ce dernier 
espace, nous aurons l'équation 


qui renferme toute la théorie du mouvement uni- 
forme. 


5. L'équation (1) donne les deux relations particu- 
lières 


ME E, Pre 

T Y? 
dont la première signifie que la vitesse est égale à l'es- 
pace divisé par le temps, et la seconde que Le temps est 
égal à l'espace divisé par la vitesse. 

ILest essentiel d'observer que par ces mots espace, 
temps, vitesse, il faut toujours entendre les nombres 
abstraits qui marquent le rapport de chacune de ces 
quantités avec l’unité de son espèce. Par exemple, si 
l’on demandait quelle est la vitesse d’un mobile qui 
parcourt uniformément 120 mètres en 30 secondes, on 
aurait 


et ce résultat 4, rapporté à l'unité d'espace qui est ici 
le mètre, ferait connaître que la vitesse cherchée est de 
4 mètres par seconde. De même, s’il s'agissait de trou- 
ver le temps qu'il faut à un mobile, dont la vitesse est 
de 5 mètres par seconde, pour parcourir 2000 mètres, 
on aurait 


320 MOU 


et le résultat 400, rapporté à l'unité de temps, appren- 
drait que le temps demandé est de 400 secondes, ou de 
6 minutes 4o secondes. 

6. L’équation (1) donne le moyen de résoudre faci- 
lement tous les problèmes relatifs au mouvement rec- 
tiligne et uniforme des corps. Nous nous contenterons 
de donner un seul exemple. 

Connaissant les vitesses de deux mobiles qui partent en 
même temps de deux points différens de la même droite 
qu'ils parcourent, trouver le temps de leur rencontre. 

Soient À et B (fig. 4, pl. XVI) les points de dé- 
part, C celui de rencontre, et V et V' les vitesses res- 
pectives. Dans l'intervalle de temps cherché T, le 
premier mobile ayant parcouru l’espace AC, et le se- 
cond lespace BC, on a, en vertu de la loi (1), 


AC—YT, BC—VT. 


Exprimons par à la distance AB des deux mobiles à 
l'instant d’où lon commence à compter le temps T, et 
faisons BC —m, ce qui donne AC — a — m, et par 
suite 


a—m==NT, m—= NT. 
On tire de ces égalités 
a — N'T—NT; 
et, dégageant T, 
a 
LEE 


c’est-à-dire que le temps cherché est égal à la distance 
initiale divisée par la somme des vitesses. 

Si les deux mobiles, au lieu d’aller à la rencontre 
l’un de l’autre, se mouvaient dans le même sens, on 
aurait, en faisant toujours la distance initiale AB — a 
et l’espace parcouru par le second mobile Be =m, 


A— a + m. 


La valeur de T serait 


Y— y 
valeur qui peut être positive, infinie ou négative, sui- 
vant que VS V, V=—=V, V > V'. Dans le premier 
cas, les mobiles se rencontreront en un certain point C 8 
dans le second, ils n’ont pu et ne pourront jamais se 
rencontrer ; et dans le troisième, leur rencontre aura 
dû avoir lieu avant l'instant où leur distance était AB, 
c'est-à-dire avant l'instant à partir duquel on compte le 
temps T. 

7. Le mouvemeut se nomme varié lorsque le mobile, 


MOU 


après avoir parcouru un certain espace dans un temps 
déterminé, parcourt ensuite dans un intervalle de temps 
égal un espace plus grand ou plus petit ; si l’espace est 
plus grand, on dit que le mouvement est accéléré ; dans 
le cas contraire, on dit qu'il est retardé. 

Les variations du mouvement peuvent s'effectuer de 
deux manières, savoir : dans des intervalles finis de 
temps ou d’une manière discontinue, et dans des inter- 
valles infiniment petits de temps, ou d’une manière 
continue. Dans le premier cas, le mouvement est un 
assemblage de mouvemens uniformes partiels, dont on 
peut trouver toutes les circonstances au moyen de la 
loi (1) du mouvement uniforme ; dans le second, le 
mouvement est soumis à d’autres lois. C’est principa- 
lement au mouvement dont les variations sont conti- 
nuelles que s’applique l’épithète de varié. 

8. On nommewifesse d’un mouvement varié à un cer- 
tain instant, la vitesse qu’aurait le mobile, si, à par- 
tir de cet instant, son mouvement devenait uniforme. 

9. Lorsque la vitesse croît ou décroîit par degrés 
égaux, le mouvement se nomme uniformément varié ; 
il est uniformément accéléré dans le premier cas, et uni- 
formément retardé dans le second. 

Désignons par g l’accroissement constant de vitesse 
qui a lieu par unité de temps; de manière que si, après 
un temps quelconque #', à partir de l’origine du mou- 
vement, la vitesse du mobile était @, elle serait 


a +- g après le temps { +1, 
CÉRT Re D'or 
CE ET PUS CCE 


etc. nes. me tetes 
et, en général, 
a—- tg après le temps { +t. 


Exprimons par v cette vitesse, nous aurons l'équation 
fondamentale 


Cu a Et, 


dans laquelle il suffit de donner le signe — à la quan- 
tité g pour passer d’un mouvement uniformément ac- 
céléré à un mouvement uniformément retardé. 

Pour trouver maintenant la relation qui existe entre 
le temps et l’espace dans le mouvement uniformément 


varié, nommons e l’espace parcouru par le mobile de- 


puis le commencement du temps f, jusqu’à l'instant où 
il a la vitesse v, et observons que cet espace croîtra 
d’une quantité infiniment petite de; dans une durée de 
temps infiniment petite dt, pendant laquelle nous pour- 


rons considérer le mouvement comme uniforme, et = 


MOU 


dû à la vitesse © : or, dans le mouvement uniforme , 
l’espace est le produit de la vitesse par le temps ; donc 


de = vdt. 
Substituant à la place de v sa valeur (2), il viendra 
de — adt +- gtdt, 
d’où nous tirerons, en intégrant, 
(5)…...e—at + : gi. 


Il n'y a pas besoin d'ajouter de constante, puisque € 
doit être nul lorsque { — 0. 

Les équations (1) et (2) renferment toute la théorie 
du mouvement uniformément varié; ce mouvement 
sera accéléré ou retardé suivant que la quantité g sera 
positive ou négative; il deviendrait uniforme si g—0. 

Si la vitesse a du mobile, au commencement du 
temps t, était nulle, les deux équations fondamentales 
(2) et (3) deviendraient 

DENT MOTTE 


Dans ce cas, le mobile partirait du repos, et son mou- 
vement ne scrait dû qu’à l’action de la seule force accé- 
lératrice constante dont on représente l'intensité par la 
vitesse qu’elle produit dans l’unité de temps, c’est-à- 
dire par g. L'expression de cette force accélératrice est 
ainsi 


Nous n’entrerons pas dans de plus grands détails sur une 
théorie déjà développée aux mots AccécéRé (tom. ]) 
et Force. 


10. Lorsque les accroissemens de vitesse ne sont pas 
les mêmes dans des intervalles égaux de tenips, le mou- 
vement est dit varié d’une manière quelconque, et l’on 
entend toujours par la vitesse de ce mouvement, à un 
instant déterminé, celle qui aurait lieu si, à partir de 
cet instant, le mouvement devenait uniforme ; de sorte 
qu'il est facile de voir qu’on à toujours la relation 
de — vdt entre l’espace, le temps et la vitesse. Mais, 
les accroissemens de vitesse étant différens pour deux 
intervalles égaux de temps, quelque petits que soient 
ces intervalles, ce n’est qu’en prenant un intervalle de 
temps infiniment petit qu'on peut considérer la vitesse 
comme croissant par degrés égaux pendant sa durée; 
ainsi, désignant par + l'accroissement constant de vi- 
tesse qui a lieu à chaque instant de l'intervalle dt, ct 
qui finit par produire un accroissement total du dans 

Tom. 11. 


MOU 321 


la durée de cet intervalle, nous aurons, d’après la 
loi (4), 


et comme cette vitesse # est l’effet de la force variée et 
représente son intensité (v0y. Force), nous pourrons 
dire que la grandeur d’une force variée d’une manière 
quelconque est égale à la dérivée différentielle de la vi- 
tesse prise par rapport au temps. 

Substituant, dans la valeur de, celle de v tirée de 
l'équation de — vdt, savoir : 

de 


= 
en observant que dt est une quantité constante, il 
viendra 


C’est l'expression générale, en fonction du temps et de 
l'espace, de la force accélératrice qui produit un mou- 
vement varié d’une manière quelconque. Nous l’avons 
déjà déduite d’autres considérations, au mot ACCÉLERÉ, 
tom. I, et nous ne la rappelons ici que parce que nous 
allons en faire usage plus loin. 


11. Mouvement curviligne. Le mouvement produit 
par une seule force ou par plusieurs forces, agissant dans 
une même direction, étant nécessairement rectiligne, 
tout mouvement qui ne s'effectue pas en ligne droite 
exige le concours de plusieurs forces agissant dans des 
directions différentes. Examinons les circonstances gé- 
nérales d’un tel concours. 

Soit un point mobile M (PI. XVI, fig. 14), sollicité 
par deux forces instantanées P et Q dans les directions 
AP et AQ; prenons sur ces directions les parties MA ct 
MB, telles que la première représente la vitesse uni- 
forme due à la force P, ou l’espace qu’elle ferait par- 
courir au mobile dans l'unité de temps, si elle agissait 
seule, et que la seconde représente également la vitesse 
due à la force Q agissant isolément. Construisons sur 
ces deux vitesses le parallélogramme MARB, sa diago- 
nale MR sera la direction de la résultante des forces 
PetQ, et représentera la vitesse avec laquelle le point M 
se mouvra uniformément sur cette direction dans l'unité 
de temps (voy. RÉSULTANTE ). Supposons maintenant 
qu'arrivé en M', par l’action de la résultante R des deux 
forces PetQ, le mobile recoive dans la direction M'S 
l'impulsion d'une nouvelle force instantanée S , capable 
de lui faire parcourir l'espace MB dans l'unité de temps; 
alors, au lieu de parcourir M'A'— MR, le mobile pren- 
dra la direction M'R' de la diagonale du paralléla- 

#1 


329 MOU 


gramme construit sur les vitèésses M'A’ et M'R', et con- 
tinuera à se mouvoir uniformément dans cette direction 
avec la vitesse M'R'. Si, arrivé en M”, où il tend à 
décrire M'A"— M'R' dans l'unité de temps, une nou- 
velle force instantanée vient encore à agir sur lui dans 
Ja direction M'T, et tend à lui faire décrire M'T dans 
le même temps, sa direction se brisera de nouveau, il 
décrira la diagonale M'U du parallélogramme M'TUR’, 
et ainsi de suite; de sorte que, en vertu des diverses 
impulsions qu’il aura reçues, le mobile aura décrit les 
côtés MM’, MM’, M'M'", ete. , d’un polygone. 

Pour passer de cette espèce de mouvement en ligne 
brisée à un mouvement curviligne, il suffit de sup- 
poser que les impulsions successives sont données sans 
interruption, comme celles qui sont produites par une 
force constante, car les côtés du polygone deviennent 
alors infiniment petits, et il se change en ligne courbe. 

12. Tout mouvement curviligneexige donc le con- 
cours d’une force accélératrice au moins. Le cas le plus 
simple de ce mouvement est celui où le mobile n’est 
sollicité que par deux forces, l’une instantanée et 
l’autre constante; par exemple, si la force instantanée 
P, qui tend à donner au point M une vitesse uniforme 
dans la direction MP, se trouve combinée avec une 
force accélératrice agissant dans la direction MQ, les 
impulsions successives de cette dernière se succédant 
dans des intervalles infiniment petits de temps, les 
points M, M', M’, etc., où la direction du mobile 
change à chaque impulsion, se suivent immédiatement, 
et le mobile décrit une courbe dont les côtés, infini- 
ment petits MM’, M'M', M'M'", etc., sont les élé- 
mens. 

15. Si la force accélératrice cessait d'agir en un point 
quelconque M° de la courbe, il est évident que le mo- 
bile continuerait à se mouvoir avec sa dernière vitesse 
dans la direction M'R’, prolongement du dernier élé- 
ment de courbe M'M', c’est-à-dire qu'il s'échapperait 
par la tangente de la courbe au point M”. 

On nomme vitesse d’un mouvement curviligne, à 
un instant déterminé, la vitesse effective qu’aurait le 
mobile, si, à cet instant, le mouvement devenait rec- 
tiligne et uniforme, c’est-à-dire si toutes les causes 
qui font varier la vitesse et la direction du mobile ve- 
naient à cesser et qu’il continuât à se mouvoir unifor- 
mément sur la tangente de sa trajectoire, au point où 
il se trouve à l’instant que l’on considère. 

14. Pour déterminer les diverses circonstances du 
mouvement d’un point matériel dans espace, il faut 
rapporter Sa trajectoire à trois plans coordonnés, ce qui 
permet d’assigner à chaque instant la position des pro- 
jections du mobile sur les trois axes fixes. On peut alors 
considérer chaque projection comme un point mobile 
qui suit lc point matériel dans son mouvement et se 


MOU 


trouve lié avec lui; de sorte que toutes les questions 
relatives au mouvement curviligne se réduisent à la 
recherche des lois de trois mouvemens rectilignes. 
Nous allons éclaircir cette théorie en considérant en- 
core la trajectoire du mobile comme une ligne brisée 
OMM'M', ete. (fig. 15, PI. XVI), dont il parcourt suc- 
cessivement lescôtés OM, MM', M'M', etc. , avec des vi- 
tesses uniformes, pour chaque côté en particulier, 
mais qui varient à mesure qu'il passe d’un côté sur 
l’autre. 

Rapportons cette ligne aux trois axes rectangulaires 
OX, OY, OZ; imaginons que l’origine O est le point de 
départ du mobile, et menons les droites Mm, M'm', 
M'n', etc., perpendiculaires à l'axe OX ; les points m, 
m',m', ete., seront les projections des points M, M', 
M", etc., de la trajectoire sur cet axe; et les droites Om, 
mm, mm, ctc., les projections des côtés OM, OM’, 
M'M', etc. 

Ceci posé, observons que, pendant que le point ma- 
tériel parcourt les côtés OM, MM’, M'M', sa projection 
parcourt Om, mm', m'm, de manière qu’elle est en m 
lorsqu'il est en M, en æ lorsqu'il est en M”, et ainsi de 
suite. Or, en quelque nombre que soient les forces ap- 
pliquées au mobile lorsqu'il est en O, on peut toujours 
les réduire à trois, dirigées suivant les trois axes OX, 
OY, OZ, et dont OM est la résultante; ainsi, représen- 
tant par Om, On et Op les vitesses des composantes, 
OM sera la diagonale du parallélipipède construit sur 
ces droites, et on peut observer que, si la composante 
Om agissait seule, le mobile décrirait l’espace Om que 
parcourt sa projection quand il décrit OM par suite de 
l'action simultanée des trois composantes. Ce que nous 
disons de la projection sur l’axe OX s'applique évidem- 
ment aux projections sur les deux autres axes, et nous 
pouvons établir, généralement, que dans le trajet du 
mobile de O en M chacune deses projections se meut 
uniformément sur son axe respectif comme si elle était 
sollicité par la composante dirigée suivant cet axe. 

Arrivé au point M, où le mobile reçoit l’action de 
nouvelles forces qui lui font prendre la direction MM’, 
si nous décomposons de nouveau toutes les forces sol- 
licitantes en trois forces parallèles aux axes, nous re- 
connaîtrons que, dans le cas où la composante Mg 
parallèle à OX agirait seule, elle ferait parcourir au 
mobile la droite Mg égale à la droite mm que parcourt 
la projection du mobile lorsqu'il décrit MM° en vertu 
de l’action simultanée des trois composantes Mg, Mr, 
Ms; nous pouvons donc considérer le mouvement de 
la projection du mobile de m en m' comme sil était 
dû à la composante parallèle à l'axe OX. Continuant 
de la même manière, nous verrons que le mouvement 
de la projection sur l'axe des æ ne dépend que des vi- 
tesses qui seraient produites par les forces parallèles à 


MOU 


cet axe, et qu'il en est de même pour les deux autres 
projections par rapport à leurs axes respectifs. 

Cette propriété ayant lieu quelle que soit la gran- 
deur des côtés OM, MM’, MM", etc., elle existe en- 
core lorsque ces côtés sont infiniment petits, ou lors- 
que le mobile décrit une courbe par l’action combinée 
de plusieurs forces instantanées et accélératrices ; donc: 

Si l'on décompose en trois forces parallèles à trois axes 
fixes les forces quelconques qui produisent le mouvement 
curviligne d'un point matériel dans l'espace, et si l'on 
considère comme des points mobiles les projections du 
point matériel sur cesaæes, le mouvement sur chaque axe 
sera dù aux forces qui lui sont parallèles et sera le même 
que si les autres forces étaient nulles. 

15. Cette importante proposition conduit directe- 
ment aux équations différentielles du mouvement cur- 
viligne d’un point matériel soumis à l’action d’un 
nombre quelconque de forces accélératrices et instan- 
tanées. Ces dernières peuvent toujours être ramenées 
à une seule force qui aurait imprimé une vitesse finie 
au mobile à l’origine de son mouvement, et qui n’exerce 
conséquemment aucune influence sur les variations de 
vitesse qu'il éprouve en parcourant sa trajectoire. 

Désignons par æ, y, z les trois coordonnées du mo- 
bile après un temps quelconque t, et observons que ces 
coordonnées, qui seront des fonctions de é, sont éga- 
lement les espaces décrits par les projections du mo- 
bile , depuis l’origine, où nous supposons que le temps 
t commence, jusqu'à l’instant où il se trouve sur le 
point de sa trajectoire auquel elles répondent. Décom- 
posons chacune des forces accélératrices données en 
trois autres respectivement parallèles aux trois axes, et 
désignons par X la somme de toutes les composantes 
parallèles à l'axe des æ, par Y la somme des composantes 
paralléles à l’axe des y, et par Z la somme des compo- 
santes parallèles à l'axe des 3. Ces trois forces X, Y, Z, 
dont on aura la valeur en fonction des coordonnées 
æ, y, , dans chaque cas particulier, doivent être prises 
avec les signes ou —, suivant qu’elles tendent à 
augmenter ou à diminuer les coordonnées. 

Soient maintenant v, v', vw’ les vitesses respectives 
des projections sur les trois axes, à l'expiration du 
temps f, vitesses qui demeureraient uniformes si les 
forces accélératrices eessaient d’agir à cet instant, et qui 
ont pour expressions (n° 10) 


s dz 


d—= —- DV —= —*", di. 
dt 


Les variations de ces vitesses, dues aux forces X, Y, Z, 
dans l'instant infiniment petit d£f qui suit le temps #, 
seront 


do = dE 


JU TEE 


mnt: 
Lodr: TL 


; l: 
d'= + dv 


MOU 323 
et comme ces variations, divisées par le temps dans 
lequel elles ont lieu, représentent les forces accéléra- 
tices qui les produisent (n° 10), nous aurons, en vertu 
de la théorie du mouvement varié, 

dx 


d'y d’z 
dé? 2° 


2 
L=-; 


(6)... X— _E _. 


Y= 

Telles sont les équations générales du mouvement 
curvyiligne d’un point matériel dans l’espace; elles sont 
indépendantes de la vitesse initiale du mobile, c’est-à- 
dire de celle qui est due aux forces instantanées, Cette 
dernière sert à déterminer les constantes arbitraires 
avec lesquelles on complète les intégrales. Lorsque les 
fonctions X, Y, Z sont données par la nature d’un 
problème, on a trois équations différentielles à intégrer, 
et après avoir obtenu les intégrales complètes, l’élimi- 
nation de { conduit à deux équations qui ne contiennent 
plus d’autres variables que #, y, z, et sont les équations 
de la trajectoire. 

16. Les fonctions X , Y, Z, représentant uniquement 
la somme des forces accélératrices parallèles à chaque 
axe, lorsque le mouvement de la projection sur l’un 
de ces axes est uniforme, la variation de la vitesse est 
nulle pour cet axe, et il faut égaler à zéro l’expression 
de la force accélératrice qui lui correspond. Nous en 
donnerons plus loin un exemple. 

16. Pour déterminer la vitesse du mobile à un in- 
stant quelconque de son mouvement, il faut observer 
que celle qui a lieu sur l'élément OM est, en dési- 
gnant cet élément par la différentielle ds de la courbe, 


Or, multipliant la première des équations (6) par 2dx, 
la seconde par 2dy, la troisième par 247, on a, en 
ajoutant les résultats, 


2 o 2 zd?'z> 
pu Pme _. Rte —2 [sa + Ydy +- us]. 


Mais le premier membre de cette égalité n’est que la 
différentielle de dx? + dy? + dz? divisée par dé; ainsi 
elle revient à 


2 
d|dæ* ee dz?] ee, [rar + Ydy + Le | ; 


ou simplement à 


d _ = »[ ar + Ydy + za], 


à causé de ds? = dx? + dy? + d=*. Intégrant, en re- 


gardant dt? comme constant, il vient 


ea = 2 [ {sue + Ydy + ue] + C, 


La 


324 MOU 


ds 
ou, remplaçant apaxv 


(7)... v— à [Trac + Ydy + za | + C. 


Cette expression est la seconde loi fondamentale du 
mouvement curviligne. 

17. On obtient une autre expression de Ja vitesse en 
remplaçant simplement, dans l'équation 


l'élément ds de la courbe par sa valeur 1/[dx? + dy? + 
+de]; il vient 


= L[e dy +4], 


ou plutôt, en observant que toutes les différentielles 
sont prises par rapport au temps, 


Bueel/f #48] 


18. Lorsque toutes les forces agissent dans le même 
plan, il faut prendre ce plan pour celui des æ, y, alors 


la variable z n’existe pas, et il suffit d'employer les deux 
équations 


Dans ce cas la trajectoire est une courbe plane; dans 
tous les autres, c’est une courbe à double courbure. 

18. Pour première application des lois précédentes, 
cherchons l'équation de la trajectoire d’un point maté- 
riel qui se meut dans l’espace en vertu de l’unique im- 
pulsion d’une force instantanée. Ici, toutes les forces 
accélératrices sont nulles, et l’on a 


X — 0, LI 0; 


V0", 
Les équations (6) se réduisent donc à 


dx ns dy dx 
deg e Prin er 
Multipliant les deux termes de chacune par dt, elles 

deviennent 


CHE AE dy dx 
| 2 VOTE 


ce qui donne, en considérant df comme constant, et 
en intégrant... (m) 


dx dy dz 


died le 


de = ° 


MOU 


a, b, e représentant des constantes arbitraires. Met- 
tant ces dernières équations sous la forme 


dx — adt, dy—bdt, dz— cdt; 


ct intégrant de nouveau, il vient 


=at+a, y—=bt+d, x=ct+c'; 


a’, b', c' étant de nouvelles constantes arbitraires. Éli- 
minant {, on obtient 


te 4e, 
be— be  b 
Cr mms LE 


équations qu’on reconnaît aisément pour être celles 
d’une ligne droite dans l’espace. Tel est en effet le ré- 
sultat que nous devions obtenir d’après les conditions 
du problème. 

Si nous plaçons l’origine des coordonnées au point 
de départ du mobile, et que le temps # soit compté à 
partir de ce départ, nous aurons = 0, y—0,z—0 
lorsque {— 0, ct, conséquemment, a — 0, b' —0, 

— 0. Les équations précédentes se réduisent alors à 


et il est facile de reconnaître que les constantes a, b, c, 
sont les composantes de la vitesse suivant les trois axes. 
Substituons les valeurs (m) dans la loi (8), nous ob- 


tiendrons 
D—=|/ [ee + bd + | — constante, 


d’où il suit que le mouvement est uniforme. C’est en- 
core ce que nous devions nécessairement trouver. 

19. Proposons-nous pour second exemple de déter- 
miner la trajectoire d’un point matériel pesant lancé 
dans l’espace par l'impulsion d’une force instantanée. 
Nous avons ici deux forces à considérer, la force im- 
pulsive et celle de la gravité. 

Soit A (fig. 16, PI. XVI) l'origine du mouvement, 
AB la direction de la force impulsive que suivrait le 
mobile, si cette force agissait seule sur lui, et AY la 
verticale le long de laquelle il tomberait en vertu de sa 
pesanteur, si la force impulsive n’existait pas. 

Comme on peut toujours faire passer un plan par 
deux droites qui se coupent, les deux forces que nous 
considérons agissent dans un même plan, et par consé- 
quent la trajectoire est une courbe plane. Prenons donc 
la verticale pour axe des y, et menons par l’origine À du 


| 


MOU 


mouvement une droite horizontale AX qui sera l’axe 
des æ, de cette manière la force accélératrice n’aura 
pas de composante parallèle à l’axe des æ, ce qui nous 
donnera d’abord 


X =0;1 d'où. 


Observant ensuite que la force de gravité, généralement 
représentée par g, est la seule force accélératrice qui 
agisse dans le sens de l’axe AY, mais qu’elletend à di- 
minuer les coordonnées y de la trajectoire, et qu'il faut 
dès lors donner le signe — à Y, nous aurons 


Les deux équations du mouvement sont ainsi : 


dx 


d 
æ = à 


HO” 


les multipliant l’une et l’autre par dt et intégrant, nous 
obtiendrons 


dx — GROS 
Mens te nie 


a et b sont des constantes arbitraires qu’on peut déter- 


: Eten rie CRC 
miner immédiatement, en observant que dt et = 


expriment les vitesses horizontale et verticale du mobile 
à l’origine du mouvement, ou lorsque t— 0, vitesses 
qui sont les composantes de la vitesse initiale due à la 
force impulsive. 


Multipliant les dernières équations par dt et intégrant 
de nouveau, il vient 
= at, y—=— gl + bt. 

Nous m’ajouterons pas de constantes, parce qu’en 


comptant le temps à partir de l’origine du mouvement, 
on doit avoir æ— 0 et y — 0 lorsque { — 0. 


.Eliminant {, nous aurons définitivement 


b 
ya £a 


C’est l'équation de la trajectoire; il ne faut plus que 
remplacer & et b par leurs valeurs pour que tout y soit 
déterminé. Or, nous ayons reconnu que ces quantités 
ne sont que les composantes de la vitesse initiale ; ainsi, 
désignant par » cette vitesse, et par «& l'angle BAX que 
fait sa direction AB avec l’axe des æ, nous avons 


4A—=VCOS gx, b=vsine; 


MOU 325 
substituant dans l'équation précédente, nous aurons 


2 
y—= x tang x — 9 


v? COS 72” 
ce qui est l'équation d’une parabole. 

Si l’on veut connaitre la vitesse V en un point quel- 
conque de la trajectoire , il faut faire dans l’expression 
générale (7) Z=0 et X—0, Y——9g, ona 


Va [T—ody | = 20 +0: 


et comme cette intégrale doit donner la vitesse initiale 
à l’origine du mouvement où y= 0, la constante C est 
égale à v?, d’où 


Y = [5]. 


La vitesse du mobile diminue donc à mesure que 
l’ordonnée y augmente, elle est la plus petite lorsque y 
est l’ordonnée du sommet de la parabole, puis elle 
augmente successivement pour redevenir égale à la vi- 
tesse initiale v, au moment où le mobile rencontre la 
ligne horizontale AX ; au-dessous de cette ligne, l’or- 
donnée devenant négative, la vitesse s’accroît de plus 
en plus. 

Le problème que nous venons de résoudre est celui 
du mouvement des projectiles dans le vide; nous renver- 
rons, pour le cas d’un milieu résistant, au mot BaLis- 
TIQUE de notre premier volume. La question s’y trouve 
traitée dans les plus grands détails. Voyez, pour les 
trajectoires des corps célestes, le mot TRAJECTOIRE, 
tome II. 

20. Mouvement d'un point matériel sur une courbe. 
Le mouvement des mobiles assujettis à glisser le long 
d’une courbe présente quelques particularités remar- 
quables que nous devons signaler. 

Considérons la courbe comme une portion de poly- 
gone Amm'm' (PI. XVI, fig. 15), et imaginons que le 
pointm, qui est contraint de la parcourir en vertu d’une 
force d’impulsion, soit sans pesanteur. Nommons v la 
vitesse du mobile, lorsqu'il est arrivé au point m où il est 
forcé de quitter sa direction Am pour prendre celle du 
côté mm. Représentons la vitesse v par la partie mv de 
sa direction, et achevons le rectangle mpvr; mp et mr 
seront les composantes de v. Or, la composante mp 
étant normale au côté mm', se trouve détruite par la 
résistance de ce côté, et la composante mr a seule son 
effet ; c’est donc uniquement avec cette vitesse que le 
mobile parcourra le côté mm’ du polygone. 

Nous pouvons donc concevoir la résistance exercée 
par la courbe au point » comme une force mp' égale et 
opposée à la composante mp; car, abstraction faite de 


326 MOU 


la courbe, si le mobile était sollicité par les deux forces 
mp’ et mv, il prendrait la direction min avec la vitesse 
mr, tout comme il le fait par suite du concours de la 
résistance de la courbe avec la force mo. 

Nommons « l’angle de la vitesse mo avec la compo- 
sante »”, nous aurons 


Mr — 0 COS, MP—VSIN 0. 


© sin w représente donc l'intensité de la force qu'il fau - 
drait appliquer en æ au point mobile, dans une direc- 
tion opposée à mp , pour remplacer la résistance de la 
courbe. 

Lorsque le mobile est arrivé au point m, on peut 
de nouveau faire abstraction de la résistance du côté 
m'm', qui change sa direction mm’, en Jui substituant une 
force égale et opposée à la composante mp' de la vitesse 
perpendiculaire à mm, et ainsi de même à chaque 
changement de côté. 

21. Dans le cas d’une courbe continue, les côtés Am, 
mm, mm et, sont infiniment petits ; et pour remplacer 
la résistance de la courbe, qui change alors à chaque 
point la direction du mobile, il faut imaginer une 
force agissant continuellement sur le mobile, dans une 
direction normale à sa trajectoire, d’où l’on voit que 
la résistance de la courbe peut être assimilée à une 
force accélératrice. 

22. Faisons observer, avant de passer outre, que la vi- 
tesse d’impulsion v, demeure la même sur toutes les 
parties de la courbe. En effet, étant la vitesse sur 
l'élément Am, la vitesse sur l'élément mm est égale à 


mr, où à UCos», et par conséquent 
D — VCOS — (1 — COS &) d 


représente la perte de vitesse effectuée par le passage 
d’un élément sur le suivant. Mais l’angle » est l'angle 
de la courbe avec sa tangente ; et l’on sait que cet angle, 
nommé angle de contingence, est infiniment petit; ainsi 
COSw — 1, et Ù — 0COS w — 0. Il résulte de ces con- 
sidérations que le mobile assujéti à parcourir une courbe 
conserve toujours toute la vitesse qui lui a été imprimée 
à l’origine du mouvement; si cette vitesse varie par 
l'effet de forces accélératrices, qui peuvent agir sur le 
mobile, la résistance de la courbe n’entre pour rien 
dans cet effet. 

23. Imaginons maintenant que, outre la force d’im- 
pulsion, à Jaquelle est due la” vitesse », le mobile est 
soumis à plusieurs forces acctlératrices; chacune de 
ces forces pouvant être décomposée en deux autres, 
dont l’une soit normale ct l’autre tangente à la courbe, 
il est visible que la somme de toutes les composantes 
normales est détruite par la résistance de la courbe; de 
sorte qu'enreprésentant par Nune force égaleet opposée 


MOU 


la somme de toutes les forces détruites par cette résis- 
tance, On peut, en introduisant cette nouvelle force 
dans le système, faire abstraction de la courbe et consi- 
dérer le mouvement-du mobile comme celui d’un point 
matériel libre. 

Désignons donc, comme ci-dessus, par X, Y,Z, 
les composantes parallèles à trois axes rectangulaires 
fixes, des forces accélératrices appliquées au mobile et 
pour faire entrer dans le système la force N égale et 
opposée à la résistance de la courbe, observons qu’en 
nommant «, B, y les angles que cette force accélératrice, 
normale à la trajectoire, fait avec les trois axes, les 
composantes de N, suivant ces axes, seront respecti- 
vement 


Ncose, Nocospÿ, Nocosy. 


De cette manière , les sommes des composantes paral- 
lèles aux axes, de toutes les forces aecélératrices du 
système, sont 


X+N cosu, 


Y+Ncosp, Z+Necos;; 


et nous avons, d’après le n° 10, pour les équations gé- 
nérales du mouvement... (c) 


dx 

Je = X ELNcose, 
di 5 

= + N cos p, 
d'z 

de = ZLTNcos % 


auxquelles on doit joindre ces deux autres... (d) 


COS? + cos?B + cos?y = 1, 
. cos a + . cos B + _ COS y — 0, 
qui résultent des relations nécessaires qu'ont entre eux 
les angles «, 8, 7. En effet, la première est la relation 
connue des trois angles d’une droite avec les axes coor- 
données (voy. GÉOM. AUX TROIS DIM. , n° 13). Quant à 
la seconde, en voici une déduction très-simple : 

La direction de la force N étant, à chaque point de 
la courbe, perpendiculaire à la tangente de ce point, si 
nous désignons par «', f', y les angles de la tangente 
avec les trois axes, nous aurons (voy. GÉON., n° 16) 


cosz. cosa + cosf. cos" + cosy. cosy —= 0. 


Mais les angles «’, 5’, y sont également ceux de l’élé- 
ment ds de la courbe avec les trois axes, puisque la 
tangente n’est que le prolongement dé l’éléments ainsi 


À dæ d ; Z 
COSKX = 05 = BTE 


MOU 


Substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on 
aura la seconde des équations (d). 

24. Pour obtenir lexpression de la vitesse en un point 
quelconque de la courbe, rappelons-nous qu’en dé- 
signant cette vitesse par ©, nous avons encore ici 


(voy. n° 16) 
FT 


car la courbe n’est plus qu’une simple trajectoire. Or, 
multipliant la première des équations (c) par 2dæ, la 
seconde par 2dy, la troisième par 2dz, il viendra, en 
les ajoutant ensuite, 


2 > 12 
RE 124 [ra + Ydy + 22) 


+ 2 N [ dx cos a+ dy cos à + de cos 7 


Le second terme du second membre étant nul en vertu 
de la seconde des équations (d) et le premier membre 
d (ds° 


se réduisant à dé 


il vient, en intégrant, 


d 2 
TE — 2[ [ré + Ydy + ax ]+ Ge 


et, conséquemment, ..…. (e) 


v'— à [[xae+ay+ zac] C. 


25. La première conséquence qu'on doit tirer de 
l'expression (e), c'est que la vitesse du mobile est in- 
dépendante de la résistance de la courbe. Dans le cas 
où les forces accélératrices X, Y, C sont nulles, on a 
simplement 


ICS 


c’est-à-dire que la vitesse est constante, comme si le 
point matériel était libre (n° 18). 

26. Lorsque la seule force accélératrice agissant sur 
le mobile est la pesanteur, et qu’on prend l’axe des z 
vertical dans la direction de cette force, on a 


X—0, Y—10, Z—9g. 


Ces valeurs, mises dans l'équation (e), donnent 


v— à [ads + C—gz+C. 


Pour déterminer la constante C, sypposons que la vi- 
tesse soit v' lorsque 3 = 0, nous aurons 


= 


MOU 327 


et, par suite, ..…. (f) 
v—Vo2gzLv, 


cette expression de la vitesse étant indépendante des 
relations différentes qui existent entre les coordonnées 
Æ, y, z pour chaque courbe particulière, on voit que 
la forme de la courbe n’exerce aucune influence sur la 
vitesse du mobile. Il en résulte que si plusieurs corps 
(LAVE 
fig. 18) avec une même vitesse initiale v', pour se mou- 
voir dans des courbes différentes AB, AB', AB’, etc., ils 
auront tous la même vitesse quand ils atteindront le 
plan horizontal MN. Si la vitesse initiale v' est nulle, la 
la vitesse commune aux points B, B', B', etc., sera 


pesans partent d’un même point A, où z — 


v— V'2gz, c'est-à-dire la même que si tous les mobiles 
fussent tombés librement de la hauteur z — Az. 

27. Quant à la durée du mouvement, elle est liée à 
la nature de la courbe, et, bien que tous les mobiles 
atteignent le plan horizontal MN avec la même vitesse, 
ils ne l’atteignent pas tous au même instant. Pour ob- 
tenir les relations qui existent entre le temps et l’espace 
parcouru, nommons s l’arc OA (PI. XVI, fig. 19) com- 
pris entre le point de départ O du mobile et un point 
quelconque A de la courbe, t le temps employé à dé- 
crire cet arc, et plaçons l’origine des coordonnées au 
point O en comptant les coordonnées verticales z dans 
le sens de l’action de la pesanteur. Nous savons que 


ds se ; 
v= 3; ainsi, l'équation (f) nous donne 


d + 
” = Vo2gz Lo, 
d’où nous tirerons..… (g) 
ds 
dt = ————— 
V'agz + v? 


Il faudra, dans chaque cas particulier, tirer de l’é- 
quation de la courbe la valeur de z en fonction des, ou 
vice vers, et la substituer dans (g), puis, en intégrant 
cette équation, on aura la valeur de £ correspondante à 
une valeur quelconque de s ou de z. 

28. Prenonspour exemple d'application lemouvement 
d'un point matériel pesant sur une cycloïde : Soit ADB 
(PI. XVI, fig. 20) une cycloïde située dans un plan verti- 
caletdontle grand axe AB est horizontal; CD étant le dia- 
mètre du cercle générateur, D est le point le plus bas de la 
courbe, et ce point est le seul où un mobile pesant pour- 
rait demeurer en équilibre ; car en le plaçant, sans im- 
pulsion initiale, à tout autre point M, la gravité le ferait 
glisser Le long de l'arc MD, et il arriverait en D avec 
uue vitesse due à la hauteur verticale pD de la chute, 


5 


328 MOU 

vitesse en vertu de laquelle il remonterait sur l’autre 
branche DB jusqu’à un point M'situé à la même hau- 
teur verticale que le point M. On sait que la longueur 
de la cycloïde entière ADB est égale à quatre fois celle 
du diamètre CD du cercle générateur (voy. tom. IT, 
page 415), et qu’un arc quelconque MD est égal au 
double de Ja racine carrée du produit du diamètre 
CD par l’abscisse correspondante pD. Ainsi, désignant 
MD pars, CD par a et pD par &, nous avons 


s— 9V/au, ou s— fau. 


Si le point O est le point de départ du mobile, la va- 
riable 3 de l'équation (g) sera comptée à partir de ce 
point, c’est-à-dire qu’en m, par exemple, la coordonnée 
z du mobile aura pour valeur 


Mz—PD—pD, 


de sorte qu’en désignant par À la distance verticale de 
l'origine O au point D, nous aurons généralement 


z—=h—u. 


Ceci posé et faisant nulle, pour simplifier, la vitesse 
initiale v du mobile au point O, observons que l'arc 8 
compté du point D diminue quand £ augmente, d’où il 


résulte qu'il faut donner à l'équation (g) la forme 


ds 

dd=—-— x 
V2 gz 

Subetituant dans cette dernière la valeur de z et celle 


de ds tirée de l'équation s° — 4{au, savoir : 


FE oadu 2adu _Va. du 
ù aVau Vu ? 


il viendra 


Re Op 


DATE" 
On obtient, en intégrant, 
De 2u — } 
— — . arc|cos — LE 
t | 29 ( 08 F ) 


expression à laquelle il n’y a pas besoin d'ajouter de 
constante, parce que le temps # étant compté à partir 


du point de départ O, on doit avoir à la foisu — À, 


fi —10: 


Si l’on fait u — 0, on aura le temps employé par le 
mobile pour parvenir au point D; ce temps est donc 


VS. arc (cos —=—1); 


MOU 


mais l'arc dont le cosinus — — 1 est égal à la moitié de 
la circonférence (voy. Sixus, tom. 11). Ainsi, désignant 
par 7 la demi-circonférence, nous avons 


d'où l’on voit que le temps du mouvement est indé- 
pendant de la hauteur verticale k du point de départ, 
et, conséquemment , que le mobile emploiera toujours 
le même temps pour arriver au point le plus bas D de 
la cycloïde, quel que soit ce point de départ. Cette pro- 
priété a fait donner à la cycloïde le nom de courbe 
tautochrone. (Voy. Taurocuroxe, tom. Il.) 

29. Il nous reste à indiquer les moyens d'obtenir 
l'expression de la force normale N, qui entre dans les 
équations (c) et qui est équivalente à la résistance de la 
courbe, ou plus exactement à la pression qu’exerce le 
point matériel sur chacun des points de la courbe par 
suite de l’action des forces sollicitantes. D’après ce que 
nous avons vu précédemment (22 et 23), la pression 
totale en un point quelconque comprend non seulement 
la somme de toutes les composantes normales à ce 
point des forces accélératrices, mais encore la compo- 
sante normale de la vitesse; si le mobile était en repos, 
cette seconde partie de la pression n’existerait pas, car 
c’est uniquement l’état de mouvement qui développe 
cette force, due à la tendance continuelle qu’a le mo- 
bile à s’échapper suivant la tangente de sa trajectoire 
en vertu de son inertie. Dans la recherche de la pression 
totale exercée contre une courbe par un corps en mou- 
vement, il est donc nécessaire d'évaluer séparément la 
pression due à la vitesse, et qu’on nomme la force cen- 
trifuge du mobile, et la pression due aux forces accélé- 
ratrices auxquelles le corps est soumis. Pour évaluer 
d’abord la force centrifuge, soient mm ct m'm' (PI. XVI, 
fig. 21) deux droites infiniment petites faisant entre 
elles un angle infiniment petit #mm' = w, ces droites 
seront deux élémens successifs d’une courbe quelcon- 
que, et nous aurons pour l’expression de la compo- 
sante normale à l'élément m'm", de la vitesse v qui a lieu 
sur le premier élément mm’, 


vsinv, 


c’est ce que nous avons trouvé ci-dessus n° 20. Par les 
milieux «a et b des droites mm’, mm, menons les per- 
pendiculaires aO et bO, et par le point de concours O de 


ces perpendiculaires menons Om'; les angles en a et en b 


du quadrilatère aObm’ étant droits, nous avons 
angle aOb + angle am b = 2 droits; 
$ 
d'où 


angle a0b = angle n”m'n = w. 


| 


MOU 


Mais on peut considérer les élémens mm, mm comme 
égaux ; ainsi «0 — bO, et l'angle aOm' est la moitié de 
l'angle w. Or, le triangle rectangle aom donne 

: am 


sin + « 


ONE 


ou simplement 


car l’angle 2 se confond avec son sinus; ainsi, dési- 
gnant par ds l'élément mm —2am et observant que 
Om’ est le rayon de courbure de la trajectoire au point 
m', nous aurons, en désignant par y ce rayon de cour- 


bure, 


Nommons + la force accélératrice qui dérive de la 
composante normale de la vitesse, et rappelons que 
toute force accélératrice est représentée par l'élément 
de la vitesse divisé par l’élément du temps. Ici, l’élé- 
ment de la vitesse étant v sin w, nous aurons 


tra vsino 
ns UEer — 


de 
dt ? 


substituant à la place de sa valeur, il viendra 


_ vds 
LE ydt , 
ou 
v? 
RÉ SET 
1 


L'intensité de la pression due à la vitesse est donc en 
raison directe du carré de la vitesse et en raison inverse 
du rayon de courbure de la trajectoire. 

Quant à la partie de la pression totale qui résulte des 
forces accélératrices appliquées au mobile, on la déter- 
minera en réduisant toutes ces forces en une seule, 
qu’on décomposera ensuite en deux autres : l’une diri- 
gée suivant la tangente, l’autre perpendiculaire à cette 
ligne; cette dernière composante sera la pression due 
aux forces accélératrices. Il n’y aura plus qu’à chercher 
la résultante des deux parties de la pression, et l’on ob- 
tiendra la pression totale, laquelle est égale et contraire 
à la force N. On peut encore tirer directement l’expres- 
sion de la force N des équations fondamentales (d), mais 
nous ne pouvons nous arrêter à ces détails. 

50. Si la trajectoire est une courbe plane et que tou- 
tes les forces appliquées au mobile agissent dans son 
plan, les deux parties de la pression seront dirigées 

Tom. ür. 


MOU 329 


suivant une même droite, de sorte que la pression totale 
Soit R la 
résultante des forces accélératrices, 6 l’angle que fait sa 


sera égale à leur somme ou à leur différence. 


direction avec la normale; Rcos0 sera la composante 
normale, et l’on aura pour la pression totale 


v? 


— + Rcos9, 

% 
selon que les deux parties de la pression agissent dans 
le même sens ou dans un sens opposé. 

Mouvement d'un point matériel sur une surface. 

On peut encore, dans cette espèce de mouvement, con- 
sidérer le mobile comme libre et faire abstraction de la 
surface sur laquelle il est assujetti à se mouvoir en rem- 
plaçant la résistance de cette surface par une force égale 
et opposée à la pression qu’exerce le mobile, en vertu 
de sa vitesse et des forces accélératrices qui lui sont ap- 
pliquées. Désignons par N la force égale et contraire à 
la pression que la surface éprouve, par «, £, les angles 
que fait avec les axes coordonnées la direction de cette 
force, nous aurons pour les composantes de N paral- 
lèles aux axes Ncose, Ncos£, Ncosy; et désignant 
toujours par X, Y, Z les composantes, par rapport aux 
axes, de toutes les forces accélératrices, les équations 
du mouvement seront 


2 
DE = X + Noos, 
d? 
_ = Ÿ + Nocosf, 
æŒz ; 3 
He L + Ncosy; 


Les angles «, 6, y seront connus lorsque l'équation de 
la surface sera donnée. En effet, soit L = o cette équa- 
tion, on aura (voy. PLAN TANGENT) 


dL 
COSx« —= dz’ 

v dL 
cos — NET 

dE 
cosy = V de? 


en posant, pour abrèger, 


MENTON 


Le radical comportant le double signe +, V est positif 
ou négatif, selon que les angles «, f, 7 se rapportent à 
la partie de la normale qui tombe dans la concavité de 
Ja surface, où à son prolongement. 


4 


330 MOU 


Substituant ces valeurs des cosinus dans les équa- 
tions précédentes, elles deviennent... (h) 


2x dL 
dy ue dL 
PRE Y + NV dy’ 
d?z sk + dl 
dE — L + NY Ts: 


L’élimination de N entre ces équations fera disparaitre 
V en même temps, et l’on obtiendra deux équations 
différentielles qui, jointes à celle de la surface L=0, 
serviront dans chaque cas particulier pour déterminer 
les coordonnées du mobile en fonction du temps. Nous 
allons éclaircir cette théorie par un exemple. 

52. Considérons un point matériel pesant assujetti à 
se mouvoir sur une sphère et n'étant soumis à d’autre 
force accélératrice que la pesanteur. Ce cas est celui du 
pendule simple, lorsque l’impulsion initiale n’est pas 
dirigée suivant le plan vertical qui passe par le centre 
de suspension. Plaçons l’origine des coordonnées au 
centre de la sphère et prenons laxe des 3 vertical at 
dirigé dans le sens de la pesanteur ; nous aurons d’abord 


X— 0, AY — 0, ZE! 


Ceci posé, a désignant le rayon de la sphère, l'équation 
de sa surface est 


apr —=o, 


(voy. GÉOMÉTRIE AUX TROIS DIMENSIONS, n° 44) et nous 


avons, en posant 
L= a ++ = 


pour les trois dérivées différentielles de L, 


du du (| 

TEE et PE CERTES 
de plus, 

Nr. a - 

RÉAVCE TETE 


Ces valeurs réduisent les équations générales (k) à... (à) 


dx æ 
ae EN 
d y 
a HN 
d?z x 
dé = q + L a 


Pour éliminer + N entre ces équations, multiplious 


MOU 


chacune d’elles par la différentielle de la variable qu’elle 
renferme et prenons leur somme, il viendra .... (k) 


dædx + dyd? dzd?z Ë 
AE UE —dz + N(xdx + ydy + xdx) 


. observant que l’équation diflérentiée de la sphère 


donne ..…. (l) 
ædx + ydy + xdz = 0, 


nous verrons que l’équation (k) est la même chose que 


5 dt 


d’où l’on tire, en intégrant les deux membres, …. 


(m) 


c' étant une constante arbitraire. 

Nous obtiendrons une seconde équation débarrassée 
de + N, en éliminant cette quantité entre les deux pre- 
mières des équations (+). Pour cet effet, il suffit de mul- 
tiplier la première par y, la seconde par x, et de pren- 
dre leur différence, qu’on trouve être 


yd*æ nl æd ?y 
di de 


—= 0, 


ou bien, en supprimant un des facteurs de df?, et ob- 
servant que ydx — xdy = d(ydx — xdy), 


d(ydx — ædy) _ . 
FTP EE | 


intégrant et désignant par c une constante arbitraire, 
la seconde équation cherchée sera... (n) 


ydx — xdy = ct. 


Les trois équations (1), (m), (n) renferment la déter- 
mination du mouvement d’un point matériel pesant 
sur la surface d’une sphère. En éliminant entre ces 
équations deux des variables z, y, z, on obtiendra la 
troisième en fonction du temps t, ce qui fera connaître 
toutes les circonstances du mouvement indépendam- 
ment de la force normale N, qui a disparu de ces équa- 
tions. Pour parvenir à une équation finale en z, met- 
tons l'équation ({) sous la forme 


ædx + ydy = — kids; 


élevons-la au carré, ainsi que l’équation (n), ce qui. 


nous donnera 


dd? + 2xydxdy + y dy? = r°d2?, 
y'da? — axydxdy + «dy? = dE ; 


MOU 


ajoutant ces deux dernières, il viendra 
(er pr) + (8 y) = AE + PE 


substituant dans celle-ci la valeur de æ* + y? tirée de 
l'équation de la sphère, savoir : 


æ? ya — 32; 
et la valeur de dx? +-dy tirée de l'équation (m), savoir : 
da? + dy — 2gzdt + cdtût — ds}, 


nous aurons définitivement 


dt = ————— 


l'intégrale de cette expression, qu’on ne peut obtenir 
sous une forme finie, mais dont on obtient les valeurs 
approximatives par le développement en série, fera 
connaître z en fonction de t ou réciproquement. 

11 faut observer que l’ordonnée z fait seulement con- 
naître le plan horizontal dans lequel se trouve à chaque 
instant le mobile, ce qui ne suflit pas pour déterminer 
complètement sa situation ; mais, comme en cherchant 
les expressions des deux autres coordonnées x et y, on 
tombe sur des équations dans lesquelles ces variables ne 
sont pas séparées du temps f, il est plus simple de fixer 
la position du mobile en faisant concourir son rayon 
vecteur avec sa coordonnée z; or la position du rayon 
vecteur est connue lorsqu'on connaît l'angle que fait sa 
projection horizontale avec l'axe des x ou celui des y: 
ainsi il s’agit d'obtenir l'expression générale de cet angle 
que nous désignerons par 0. 

Obseryons que la projection horizontale du rayon 
vecteur est le côté d’un triangle rectangle qui a ce rayon 
lui-même pour hypothénuse et l’ordonnée x pour troi- 
sième côté: sa valeur est donc 


Va — 7%, 
et l’on a, conséquemment .... (0) 
Œ— COS 0". Va—#, 


y = sin0Ve — x; 


différentiant ces équations, on obtient 


' Es zdz 
A — sin 0. d9 Ve — 2 — —  — cos û, 
Ô Œ — 2 
— — zdz 
dy  cos0.d6V/a — 7 — —""— sine, 
Va — 2 


Multipliant la dernière de ces équations par la première 
des équations (0) et la première par la seconde de ces 


MOU 331 


mêmes équations (0), puis retranchant le premier pro- 
duit du second et observant que sin 0 + cos? — 1, 
il viendra 


ydæ — ady = — (a? — #) do = (2° — d)db. 


Comparant avec (n), nous aurons 


do — RE 
—a 

Cette dernière équation intégrée par approximation, 
après y avoir substitué pour dt sa valeur précédente, 
fera connaître la valeur de 0 en fonction de z, et l’on 
aura ainsi pour un instant quelconque la position du 
mobile sur la sphère, puisque Z est censé connu en 
fonction de t. 

33. L'expression de la vitesse en un point quelcon- 
que de la surface sphérique est donnée immédiatement 
par l'équation (m), car en désignant par ds élément de 
la trajectoire et se rappelant que 


cette équation est la même chose que 


D — 292 +Àc', 
d’où 
où = V2 + ec, 


la constante c’ est la vitesse initiale ou Ja vitesse qui a 
lieu lorsque z — 0. 

34. Si l’on demande la valeur de la force N égale et 
opposée à la pression qu’exerce le mobile contre la 
surface de la sphère, il faut multiplier respectivement 
chacune des équations (i) par la variable qu’elle ren- 
ferme et prendre la somme des produits, ce qui 
donne ..….. (p) 


nd? 2 le 
Re UE à (a+ y +2), 
— 9: + Na, 


à cause de &? y} + 2 = à. 
Mais, en différentiant l'équation ({), on trouve 


œd'e + dx . de + ydy +-dy . dy+xdx+dz. di= 0, 


d’où, en divisant par dé”, 


cbr Pyy Eds. de Lt... 
CR MORE dË | 


Substituant dans (p), on obtient 


332 MOU 


On choisira toujours celui des deux signes de N qui 
rend sa valeur positive, parce que cette quantité, qui 
représente l’intensité d’une force concourante avec d’au- 
tres forces en un même point, ne saurait avoir de valeur 
négative. (Voy. Résuzranre.) Dans tous les cas, abstrac- 
tion faite du signe, la quantité 


+9 
a 


est égale à la pression exercée par le mobile contre la 
surface de la sphère. 

55. Mouvement d'un corps autour d'un axe fixe. Lors- 
qu'un corps solide, qu'on peut toujours considérer 
comme un assemblage de points matériels liés entre 
eux d’une manière invariable, est assujetti à tourner 
uniformément autour d’un axe fixe AB (PI. XVI, 
fig. 22), ‘si l'on imagine une infinité de plans perpen- 
diculaires à cet axe, on pourra considérer chaque point 
matériel comme décrivant, dans une révolution en- 
tière, une circonférence de cercle sur l’un des plans. 
Les molécules ou masses élémentaires m, m',m", etc. 
parcourent ainsi dans le même temps des ares d’un 
même nombre de degrés, et leurs vitesses respectives 
seront d'autant plus grandes que les arcs parcourus ap- 
partiendront à des circonférences plus grandes. Les arcs 
d’un même nombre de degrés étant proportionnels à 
leurs rayons, il en sera de même des vitesses, de sorte 
qu’en prenant pour unité la distance d’une molécule à 
l'axe et en désignant par w sa vitesse, qui sera la vitesse 
angulaire du système, les vitesses des molécules m, 
m', m', etc., placées à des distances am=—r, am —T', 
am — 7, ete., seront respectivement représentées par 


To, T'o;s ro, rs etc. 


Les quantités de mouvement effectives qui animeront 
les masses élémentaires m, m', m', etc., auront donc 
pour expressions 


Mo, Mr'o, MmTr'o, MT 'o, etc. 


Supposons que des forces données en grandeur et en 
direction agissent simultanément sur toutes ces molé- 
cules et leur impriment des vitesses qui seraient v, v', 
v’, ete., si les molécules étaient entièrement libres ; les 
quantités de mouvement reçues seront conséquemment 


CPU 


mo, mo’, mo", m''v'", cte. 


et il faudra, d’après le principe de d’Alembert, (voy. 
«tom. IT, pag. 398) qu'il y ait équilibre entre les quanti- 
tés de mouvement imprimées et les quantités de mou- 
vement effectives, chacune de ces dernières étant prise 
en sens contraire de sa direction. 


MOU 

Pour obtenir l'équation d'équilibre, considérons en 
particulier la masse élémentaire m, et représentons la 
force mv qui agit sur elle par la partie mn de sa direc- 
tion; abaissons du point » la perpendiculaire np sur 
le plan du cercle décrit par cette masse; nommons 0 
l'angle nmp entre la force et le plan, et décom- 
posons mn où mv en deux forces, l’une np — mw sin 0 
parallèle à l’axe fixe AB, et l’autre pm—mv cos 0, située 
dans le plan mpa. La première sera détruite par la ré- 
sistance de l'axe, et la seconde aura son effet. Désignant 
de même par 9’, 6”, 0", etc. les angles que les forces 
m'v,m'v", etc. font, avec les plans de rotation des mo- 
lécules m', m', m'", etc., les quantités de mouvement 
imprimées aux divers points du système seront 


mx cos 0, m'v cos 0", m'v"' cos D", cte., 


et elles se trouveront situées dans les mêmes plans que 
les quantités de mouvement eflectives mo, Mmrw, 
mr'o, etc. 

Or, puisque toutes ces quantités de mouvement agis- 
sent dans des plans perpendiculaires à l’axe de rotation, 
leur effet doit être le même que sitousces plansn'en for- 
maient qu'un seul ; ainsi, projetant sur un plan perpen- 
diculaire à l’axe , les directions de toutes les forces ap- 
pliquées, et prenant ces projections pour les directions 
elles-mêmes (PI. XVI, fig. 25), il faudra, pour que l’é- 
quilibre puisse subsister, que la somme des momens, 
pris par rapport au point fixe à, soit nulle ou que la 
somme des momens qui tendent à faire tourner le sys- 
tème dans un sens autour du point a soit égale à la 
somme des momens qui tendent à le faire tourner dans 
le sens opposé. (Voy. Momexr.) Mais les directions des 
forces mo, mr'o, etc., dans le plan de projection, sont 
tangentes aux circonferences décrites par les masses 
m, m',m, etc. autour du point fixe &, avec les rayons 
r, r', r’, etc. Ainsi les momens de ces forces par rapport 
au centre & seront 


mr'o, mr 20, MT°?o, etc. 


et comme elles tendent toutes à faire tourner le système 
dans le même sens, il faut prendre la somme de tous 
ces momens, qui sera 


o [me + mr? + mr? ete. | 


Représentant par la caractéristique x la somme de tou- 
tes les quantités semblables mr?, m'r'?, cte., wxzmr? dé- 
signera la somme des momens des forces effectives, et 
c’est cette quantité qui doit faire équilibre à la somme des 
momens des forces mv cos 0, m'v' cos 0", m'v cos 6", elc. 
Pour obtenir cette dernière, observons que plusieurs 
des forces peuvent tendre à faire tourner le système dans 


MOU 


un sens et les autres dans un sens opposé : la somme 
des momens sera donc en général la différence de deux 
sommes dont la plus grande se composera de tous les 
momens des forces qui tendent à faire tourner le sys- 
tème dans le sens de son mouvement effectif; si L dé- 
signe cette différence, l'équation d'équilibre cherchée 
deviendra 


L = osmr, 


et l'on pourra, par son moyen, déterminer la vitesse 
angulaire w. Abstraction faite des signes des momens, 
si nous désignons par p, p', p', etc. les perpendiculai- 
res abaissées du centre @ sur les directions des forces 
mov cos 9, mv cos 0’, etc. nous aurons 


L = mvp cos0  m'v'p'cos 6 + mv'p'cos ÿ + etc. 


ou bien, en employant encore la caractéristique > pour 
désigner la somme des quantités semblables dont se 
compose le second membre de cette égalité, 


L = smvp cos 6; 
l'équation d'équilibre devient ainsi 
EMvp COS 9 = wIMr?, 


d'où l’on tire, pour l'expression de la vitesse angu- 
laire, .... (q) 


Emvp cos 0 
nr? 


0) = . 

36. Lorsque les vitesses », v', v', etc. sont toutes 
égales, parallèles entre elles, et qu’elles agissent dans 
les plans de rotation des molécules, les angles 0, 0, 
6", ete. sont nuls, et l’on a alors 


COS RGOS EE; COSON— 1; COS De—\1, etc. 


Dans ce cas , la somme des momens des vitesses deve- 
nant 


mop + m'op'—Æ m'op' + ete. —v [ur mp + 
+ mp + te. | ; 


on peut lui donner la forme vzmp, en conservant à la 
caractéristique > sa signification générale d’agrégat de 


termes semblables, et l'équation (g) devient .…. (r) 


vEmp 
7 sm? 


Goncevons maintenant un plan parallèle à la vitesse 
y et qui passe par l'axe Üxe, les perpendiculaires 


MOU 333 


abaissées des points m, m', m', ete., sur ce plan seront 
égales aux perpendiculaires p, p', p', etc., des cen- 
tres de rotation sur les directions des vitesses égales et 
parallèles », v', v', ete., et si l’on nomme q, q', q', ete. 
les nouvelles perpendiculaires, qu’on désigne en parti- 
culier par Q celle qui serait abaissée du centre de gra- 
vité du système, et qu’enfin l’on exprime par M la masse 
totale ou la somme de toutes les molécules élémentai- 
res, on aura, d’après la propriété connue du centre de 
gravité 


MQ = mj+mq —+mg + ete., 
ou, à cause de q=p,q —=p', q—9p,etc., 
MQ = zmp. 
Observant en outre que les masses élémentaires 5, m', 
m', etc. sont toutes égales, ct qu’on peut les remplacer 
par l'élément dM de la masse totale, on voit que la 


somme mr? n’est autre chose que l'intégrale de r°.dM, 
de sorte que l'équation (r) devient définitivement ….(s) 


La quantité smr? ou fr'dM se nomme le moment 
d'inertie du mobile; nous avons exposé ailleurs les 
moyens d'obtenir sa valeur numérique. ( Voy. Momexr 
D’INERTIE.) 

37. S'il arrivait que quelques-unes seuleffent des 
molécules m, m', m', etc. eussent recu la vitesse v, on 
aurait cette autre expression 


vM'Q' 
| r'dM 


Le 


Gi —= 


ÿ 


dans laquelle M'désigne la somme des masses élémen- 
taires qui ont reçu la vitesse v, et Q'la perpendiculaire 
abaissée du centre de gravité de cette somme sur le 
plan mené par l’axe parallèlement à la vitesse. 

58. Examinons le cas où diverses forces accélératrices 
agissant sur les points du système le feraient tourner 
autour de l’axe fixe avec un mouvement varié. 

Soit OZ (PI. XVII, fig. 1) l'axe de rotation, mrs le 
cercle décrit autour de cet axe par l’une des molécules 
m, 9 la force accélératrice appliquée au point m, dans 
la direction Pm, et 9 l'angle PmT que fait la direction de 
la force # avec la tangente Tm du cercle mrs. 

Décomposons la force + en trois autres : la première 
parallèle à l'axe OZ, la seconde dirigée suivant le rayon 
Am, ct la troisième dirigée suivant la tangente Tm ; les 
deux premières seront détruites par la résistance de 
l'axe, la dernière seule, dont l'expression sera + cos à, 


tendra à faire mouvoir le point »m. Nommons r le rayon 


334 MOU 


Am, et représentant par dm l'élément de la masse, ex- 
primons par » la vitesse angulaire du système après le 
temps t; la vitesse de l'élément dm sera au même ins- 
tant et dans la durée infiniment petite dt, cette vitesse 
croîtra de celle qui sera due à l’action de la force accé- 
lératrice. 

Ceci posé, observons que si le mobile était libre, la 
force + cos à lui imprimerait dans l'instant dt une vitesse 


?COS0. dt, 
de sorte qu'après le temps t + dt la vitesse serait 


ro + pcosd. dt. 


Mais, comme l'élément matériel dm est lié au système, 
sa vitesse effective après le temps £ + dt est 


ro + rdo, 
et sa quantité de mouvement effective 
(re + rds)dm , 
tandis que la quantité de mouvement imprimée est 


(ro + pCosû. dt)dm. 


Ce; considérations s'appliquant indifféremment à 
toutes les molécules du système, nous aurons, en gé- 
néral, pour la somme des quantités de mouvement im- 
primées, l'expression 

E (rw + »cosi. dt)dm 


et, pour la somme des quantités de mouvement effec- 
tives, 


E (ro + rds)dm. 


Ces dernières quantités de mouvement, prises en chan- 
geant leurs directions, devant faire équilibre aux pre- 
mières, d’après le principe de d’Alembert, il faut que 
leurs momens, par rapport à l'axe fixe, soient égaux aux 
momens de ces premières par rapport au même axe, 
et comme les forces agissent suivant les tangentes des 
circonférences décrites par les points matériels aux- 
quels elles sont appliquées, il suffit de multiplier cha- 
que quantité de mouvement par le rayon du cercle qui 
lui correspond pour avoir son moment. L'équation des 
momens est donc 


Z(r'o —rgcos5. dt)dm = :(r° + r’du)dm, 
ce qui se réduit à... (t) 


zr4 cosi . dtdm == 5r?dudm. 


MOU 


Mettant en dehors du signe z les quantités dé et du, qui 
sont les mêmes dans tous les termes, et observant que la 
sommation d'une suite indéfinie de quantités infiniment 
petites est une intégration, on pourra donner à l’équa- 
tion (f) la forme 


de [re cos à. dm — de fram, 


d'où l’ontire .... (uw) 


ds fre cos. dm 


dt 15 dm 


Cette expression donnera la vitesse angulaire du sys- 
tème, pour chaque instant du mouvement, après qu’on 
aura effectué les intégrations pour lesquelles il faut con- 
naître l'intensité et la direction de la force accélératrice 
# qui agit sur chaque élément du corps, ainsi que la po- 
sition de ces élémens. On trouvera un exemple d’appli- 
cation au mot PENDULE. 

39. Mouvement d'un corps libre dans l'espace. Les 
lois du mouvement d’un point matériel libre dans l’es- 
pace, s'appliquent immédiatement à tout corps, ou 
système de points matériels, dont tous les points se 
meuvent avec la même vitesse et décrivent des trajec- 
toires parallèles. Lorsqu'il n’en est point ainsi, on doit 
se représenter le mouvement du système comme com- 
posé de deux mouvemens différens, l’un de translation 
dans l’espace, commun à toutes les molécules, l’autre de 
rotation autour d’un point du solide, et particulier à 
chaque molécule. Supposons, par exemple, que dans 
l'intervalle de temps que la molécule m du corps A 
(PI. XVII, fig. 2) a employé pour se transporter de m 
en m', les autres molécules ont changé de position, de 
manière que la molécule n qui se trouvait à la droite 
de la ligne mm se trouye à la gauche ; comme cette mo- 
lécule est liée invariablement au point m, elle n’a pu 
prendre cette nouvelle position sans tourner autour du 
point m, et de même pour toutes les autres molécules. 
Ainsi, observant que si le mouvement de rotation n’eût 
pas eu lieu, tous ies points du système se fussent mus 
parallèlement à la direction imprimée au point m, tan- 
dis qu'au contraire, si le mouvement de translation 
n’eût point existé, le système aurait tourné autour d’un 
centre fixe », on voit qu'on peut décomposer le mou- 
vement effectif en deux autres et considérer la vitesse de 
chaque molécule à un instant donné comme la résul- 
tante de deux vitesses, l’une égale et parallèle à celle 
du centre de rotation, l’autre différente pour chaque 
molécule et dépendant de la distance de la molécule au 
centre de rotation ainsi que de la vitesse angulaire du 


MOU 


système. La question consiste donc dans la détermina- 
tion de ces deux espèces de mouvement. 

Admettons généralement, pour plus de simplicité, 
que le point autour duquel tourne le système soit son 
centre de gravité, et décomposons toutes les forces ac- 
célératrices qui agissent sur un élément en trois forces 
X, Y, Z respectivement parallèles à trois axes rectan- 
gulaires coordonnés. Après un temps t, les vitesses de 
l'élément dm suivant ces trois axes seront 


dæ dy dz 


G DEN: TOR Ts 
et après un temps { + dt, elles deviendront 
&< 


dx d dz dz 
Ban au, 0 do 

dt dt” dt dt 
Ces vitesses sont les vitesses effectives; mais si à la fin 
du temps t le point matériel eût cessé de faire partie du 
système et qu’il eût cédé librement à l’action des forces 
accélératrices qui agissent sur lui, ses vitesses suivant les 
axes se seraient augmentées dans l'instant dé des quan- 
tités 

Xdt, Ydt, Cdt, 


ct seraient par conséquent devenues 
& + Xdt, 


+ Ydt, 


D + Lt. 


Retranchant de ces vitesses imprimées à l'élément ma- 
tériel dm, les vitesses effectives précédentes, nous au- 
rons pour les vitesses perdues ou gagnées par cet élé- 
ment dans le sens des trois axes les expressions 


dx 
Xdt — de > 
Ydt — eu 


de 


dz 


Ainsi, d’après le principe de d’Alembert, le corps reste- 
rait en équilibre si l’on appliquait à l'élément dm les 


quantités de mouvement 


(sa — d—— ML 


(ra _— au Jim, 


(za 1. dt qu, 


MOU 335 


correspondantes à ces vitesses perdues ou gagnées. Ceci 
s'appliquant à toutes les molécules du système, et l’équi- 
libre du corps supposé libre exigeant que les sommes de 
toutes les forces parallèles à chaque axe soient nulles 
séparément, nous aurons les trois équations 


J [ (xue — 4%) dm = 0, 
: UN jus 

fa — 47) Am = 0, 

fa — a GE) am = 0, 


d'où l’on tire... (z) 


les intégrantes doivent être prises dans toute l'étendue 
de la masse du corps. 

Soient, maintenant, &,, ÿ,, %, les coordonnées du 
centre de gravité et M la masse du mobile, nous avons, 
d’après les propriétés connues de ce centre 


L L 
Mz, = | xdm, My, = | ydm, Mz, = | zdm. 
Différentions deux fois de suite ces équations en regar- 


dant M et dm commé des constantes et æ,, Y,; Z,, 
æ, y, # comme des fonctions du temps {, nous ob- 


tiendrons 
re 
M cr = EF dm, 
M Le = Eam. 


Substituant à la place des seconds membres leurs va- 
leurs (x), nous trouverons pour les équations du mou- 
vement du centre de gravité ..…. (x) 


YA » 
M = — | X dm, 
2 L 
eh — | Y dm, 
ae LE 
d?z L 
M—-* — | Z dm. 
de 5 


4o, Ces dernières équations nous font connaître une 


336 MOU 

propriété très-remarquable du centre de gravité : c’est 
que ce centre se meut comune si toutes les forces du sys- 
tème lui étaient immédiatement appliquées. En effet, les 
quantités fXdm, [Ydm, fZdm, sont les sommes des 
composantes de toutes les forces suivant les trois axes, 
de sorte que si l’on désigne par X,, Y,, Z, les compo- 
santes de la résultante du système des forces, on a 


MX, =] Xdm, MY, = fran » MZ, = | Ldm. 


Comparant avec («), on en déduit 


2 
Fax =, 
c'est-à-dire, les mêmes équations qu’on trouverait en 
considérant le centre de gravité comme un point isolé 
auquel seraient appliquées toutes les forces du système, 
parallèlement à leurs directions. 

41. Nous ne déterminerons l'équation du mouve- 
ment de rotation que dans le cas où le corps est mû par 
une force accélératrice dont la direction ne passe pas 
par le centre de gravité : c’est le cas le plus fréquent du 
problème. Soit PQ (fig. 3, PL. XVI) la direction de la 
force accélératrice, abaissons sur cette droite, du centre 
de gravité G, une perpendiculaire Gm; la force PQ 
tendant à faire tourner Gm autour du point G fera dé- 


MOU 


crire au point » un cercle dont Gm sera le rayon, de 
sorte que le point m, en entraînant tous les autres 
points du système, imprimera au corps un mouvement 
de rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan du 
cercle Gm et passant par le point G. Ainsi, désignant 
par v la vitesse imprimée par la force accélératrice au 
centre de gravité, par M la masse du solide, et faisant 
Gm—Q, nous aurons (n° 36), pour la vitesse angu- 
laire w, 


vMQ_ 


[ram 


Le moment d'inertie fr?dm étant pris par rapport à un 
axe qui passe par le centre de gravité, se réduit à MA? 
(Voy. Moment »’ixEntiE). Ainsi, l'équation précédente 
devient 


© = 


On obtiendra par cette formule la vitesse angulaire au 
moyen de la vitesse du centre de gravité lorsqu'on aura 
déterminé cette dernière à l’aide des équations (4). Nos 
limites nous interdisent de plus grands détails. 

Voyez, pour ce qui concerne le mouvement des flui- 
des, les mots HYDRODYNAMIQUE, ÉCOULENENT, PNEuMA- 
TIQUE et VAPEUR. 


N. 


NOR 


NORIA. (Hydraul.) Machine hydraulique qui sert à 
élever l’eau. Une noria se compose d’une suite de seaux 
fixés à une chaine sans fin passant sur un tambour ou 
gros treuil établi au-dessus du réservoir dont on veut 
tirer l’eau. L’extrémité inférieure de la chaîne, ainsi que 
les seaux qu’elle porte, plongent dans cette eau. Leur 
ouverture est tournée vers le haut dans la branche as- 
cendante et vers le bas dans la branche descendante. Le 
mouvement est imprimé à la chaîne au moyen d’une 
manivelle ou d’un engrenage placé à l'extrémité de 
l'axe de rotation du tambour. Les seaux, en passant 
dans le puisard, s’y remplissent d’eau; ils la portent 
avec eux le long de la branche qui monte; arrivés au 
haut , ils s’inclinent en suivant la convexité supérieure 
du tambour et ils versent leur eau dans une auge ou un 
bassin destiné à la recevoir; de sorte que les seaux se 

emplissent et se vident d'eux-mêmes et que la conti- 
nuité du mouvement est parfaitement établie. 


NOR 


Cette machine est très-employée dans le midi de 
l'Europe; elle sert depuis des siècles à l’arrosement de 
tous les grands jardins aux environs de Toulouse, où 
elle est mue par un manège. On voit encore , dans 
quelques localités, des norias dont les chaînes sont des 
tresses de paille; les seaux, de simples pots de terre cy- 
lindriques; et les rouages, des bouts de solive assem- 
blés en double croisillon ; mais cet appareil grossier a 
recu, généralement, des améliorations qui augmentent 
de beaucoup son effet utile. Maintenant les seaux sont 
en bois choisis et peints ou en feuilles de cuivre; les 
chaînes sont en fer, et les engrenages en fonte. 

M. d’Aubusson donne la description suivante d'une 
bonne noria établie par M. Abadie. 

Le tambour, dans sa coupe verticale, est un hexa- 
gone régulier de 0",45 de côté : c’est une lanterne à 
six fuseaux. Elle est fermée par deux plateaux en fonte 
ayant 0,02 d'épaisseur, distans de 0,43 et réunis par 


NOR 

des fuseaux ou boulons en fer de 0",03 de diamètre. 
Un des plateaux est percé d’une simple ouverture pour 
le passage de l’axe de rotation, lequel consiste en une 
pièce de fer de 0°,054 d’équarissage. L'autre présente 
à son centre comme un moyeu formé de deux anneaux 
conceñtriques de 0",08 de saillie en largeur; le petit, 
de 0°,06 de diamètre, embrasse l’axe; entre lui et le 
grand, qui a 0",13, sont six petites cloisons placées 
dans le sens des rayons : le tout est en fonte et coulé 
avec le plateau. Entre les deux plateaux, et comme un 
noyau au milieu du tambour, on fixe horizontalement 
une pyramide tronquée hexagonale et creuse; sa hau- 
teur est de 0°,45, Le côté de la grande base de 0°,20, et 
celui de la petite de 0,05 : cette petite base s'applique 
contre le petit anneau du moyeu, et la grande contre 
la paroi intérieure du plateau opposé. Ces six arêtes 
correspondent aux six petites cloisons du moyeu et aux 
six fuseaux. Entre chaque arête et le fuseau correspon- 
dant est une plaque en fonte ou grande cloison, et le 
tambour se trouve ainsi divisé en six compartimens. 

La chaîne a 13°,72 de long et est fermée de 28 grands 
chaïînons. Chacun porte un seau fait en feuilles de cui- 
vre : la figure 4, PI. XVII en présente une coupe per- 
pendiculaire à l’axe de rotation : on a AC — 0",271; 
AB — 0°,21; CD — 0",15 ; et la largeur, parallèlement 
à l'axe, est de 0",355 : la capacité du seau est ainsi de 
15 litres (elle n’est que moitié dans les norias les plus 
ordinaires, et qui reviennent à 700 fr. environ mises en 
place). Au milieu du fond CD est un trou circulaire de 
0,027 de diamètre, recouvert d’une petite soupape en 
bois. 

Sur les deux côtés opposés de chaque seau sont fixées 
deux petites lames de fer M, ayant 0",005 d’épaisseur, 

=,032 de largeur et 0",53 de longueur. Leurs extré- 
mités sont traversées par un boulon de 0",02 de dia- 
mètre, et de manière que celui qui traverse les extré- 
mités supérieures des lames d’un seau traverse aussi les 
extrémités inférieures des lames du seau qui est au- 
dessus. C’est ainsi que se forment les chainons , et il 
faut avoir grand soin que leur longueur (la distance 
d’un boulon à l’autre) soit telle que, dans la partie de la 
chaîne qui se plie sur la parti: supérieure du tambour, 
les boulons correspondent parfaitement aux fuseaux de 
la lanterne, c’est-à-dire aux sommets des angles de 
l'hexagone. 

Une des extrémités de l'axe de rotation porte une roue 
verticale à 23 dents qui engrènent dans celles, au nom- 
bre de 58, d’une roue horizontale. Celle-ci est traver- 
sée par un arbre vertical en fer de 0",054 d’équarissage 
et de 1,10 de long : son extrémité inférieure repose 
sur une crapaudine, et son extrémité supérieure, dis- 
posée en anneau, reçoit le bras du mauége, lequel a 
4 mètres de long. 

Ton. 11. 


NOR 337 

Sur laxe horizontal, on a encore une roue à rochet 
destinée à empêcher le mouvement rétrograde. 

Lorsque la machine se meut et que l'extrémité su- 
périeure d’un chaînon arrive à la lanterne, il est comme 
pris par un fuseau qui l’emmène ayec lui. Dès qu’en 
montant le sceau de ce chaînon commence à s’incliner, 
il commence aussi à verser son eau dans le comparti-= 
ment qui lui correspond, et il a fini avant d’avoir at- 
teint la position horizontale, et par conséquent avant 
d’avoir commencé à descendre. Cette eau descend dans 
le compartiment; arrivée au fond, lequel est une des 
faces inclinées du tronc de pyramide, elle le suit et ya 
sortir par l’ouverture correspondante du moyeu, sans 
qu'il s’en soit perdu une goutte durant le versement. 

Cette noria est établie sur un puits dont le niveau 
est à 5°,20 au-dessous de l’axe de rotation. Mue par un 
cheval de jardinier de force ordinaire, elle élève 23 mè- 
tres cubes d’eau en une heure et la verse à 5°,15 au- 
dessus du puisard. Observant qu’un mètre cube d’eau 
pèse 1000 kilogrammes, on voit que l’eftet utile en une 
heure de temps est de 


= k = k 
23000 X 5°,15 = 117990 * 


ou de 118 unités dynamiques. Dans une journée de 
8 heures de travail, cet effet est donc de 944 unités dy- 
namiques, et comme l’effet moyen d’un cheval agissant 
sur un manége est évalué à 1164 unités dynamiques 
(voy. Cuevar), il en résulte que la noria en question 
donne les 0,81 de la force transmise. 

Navier rapporte qu’une noria employée à des épui- 
semens auprès de Paris, menée par deux chevaux, éle- 
vait en une heure 50%,12 d’eau à 5,60 de hauteur; 
c’est-à-dire qu’elle rendait les 0,87 de la force motrice. 
Habituellement la perte est beaucoup plus forte, et 
M. d’Aubusson l’évalue de 20 à 30 pour 100. Dans une 
expérience faite par M. l'ingénieur Emmery, cinq forts 
ouvriers agissant à la fois et exercant sur la manivelle 
un effet de 46°,38 avec une vitesse de 0",838, ont élevé 
en une heure, ayec une noria, 25 mètres cubes et {}, 
d’eau à 5",60. L’effet utile n’a donc été que les 0,657 
de la force employée. 

Une bonne pompe produit un effet utile supérieur, et 
on doit la préférer aux norias lorsqu'on a les moyens de 
se la procurer et de l’entretenir ; mais, dans le cas con- 
traire , il faut employer ces dernières machines, dont la 
simplicité permet de confier les réparations au forgeron 
du plus petit village. 

La perte de force, dans les norias, provient de deux 
causes : 1° de ce que les seaux, en montant, laissent re- 
tomber une partie de l’eau qu'ils contiennent; 2° de ce 
que l’eau est toujours élevée plus haut que la surface 
du réservoir supérieur. 


. LL] 


45 


338 NUT 


On peut avoir égard à la première de ces pertes et à 
quelques autres causes de déchets en réduisant de 145 
à 120 mètres cubes le volume moyen d’eau qu’un che- 
val doit élever à un mètre dans une heure de temps. 
Pour tenir compte de la seconde, on devra diminuer 
ces 120%° dans le rapport de H à H—+7r; H étant la 
hauteur de la surface du réservoir supérieur au-dessus 
de celle du puisard, et r étant la distance verticale 
entre la première de ces surfaces et le point culminant 
auquel l’eau est portée avant de couler dans le réser- 
voir supérieur; # sera généralement le rayon du tam- 
bour augmenté d’un à deux décimètres. 

Au moyen de ces réductions, l’effet utile qu’un che- 
val peut produire, dans une heure, à l’aide d’une noria 
bien construite est exprimé, en unités dynamiques, par 


H 
190 ——— 


H+r 


Ainsi, le volume d’eau qu’il peut élever dans le même 
temps à une hauteur H est, en mètres cubes, 


120 


H+r 


Il résulte de là que le nombre de chevaux à em- 
ployer, à une ou plusieurs norias, pour élever un nom- 
bre Q de mètres cubes d’eau à une hauteur H dans une 
heure de temps est 


Que 
120 


On doit consulter, pour l’usage des norias, l’archi- 
tecture hydraulique de Bélidor (édit. Navier). — Le 
tom. 8 du Cours d'agriculture de Rosier et le Traité 
des machines hydraul. de Borgnis. 


NUTATION. (4st.) Ce phénomène du balancement 
de l'axe de la terre affecte nécessairement les ascensions 
droites et les déclinaisons des astres, puisque ces coor- 
données sont rapportées à l'équateur céleste et à la 
ligne des équinoxes, qui se trouvent ainsi soumis tous 
deux à une variation périodique de même durée que 
celle de la révolution rétrograde des nœuds de la lune, 
Ilimporte donc detrouver la position vraie d’une étoile, 
étant donnée sa position moyenne, ou, ce qui est de 
même, celle qui dépend uniquement de la précession 
et de l’obliquité moyenne (voyez ces mots). Or, par la 
théorie de l'attraction, la variation périodique de cette 
obliquité due à la nutation est, selon M. Bessel (Funda. 
astron., p. 128), 


do = 9,426 cos N, 


NUT 


N désignant la longitude du nœud ascendant de la lune; 
et la variation périodique en longitude, due à la même 
cause, est 


dl = — 17,615 sin N. 


À ces deux inégalités s'ajoutent quelquefois, pour plus 
de précision, celles beaucoup plus petites provenant de 
l’action du soleil, et qu’on nomme nutation solaire; ces 
dernières sont à très-peu près 


0,253 cos 2L, 


dl — —:1",1104 sin 2L, 


Co — 


L représentant la longitude du soleil. 

Admettant donc ces données comme certaines, le 
problème énoncé n’offre aucune difficulté, ainsi qu’on 
ya voir. 

Soit (PI. XVII, fig. 5) »xQ l'équateur, P son pôle; 
YE’ l’édiplique, P'son pôle ; YB — A l'ascension droite 
moyenne de l’étoile E, BE—D sa déclinaison moyenne; 
YB'— | sa longitude, B'E — ) sa latitude ; enfin » l'o- 
bliquité de l’écliptique ou l'angle P'CP. 

Cela posé, le triangle sphérique PEP' dans lequel 
PE — go°— D, PE — 90° —), PP — o, et angle 
P —90°—+ À, angle P'— 90° —7, donnera ces trois 
relations 


sin À —C0$ » sin D— sinwcos DsinA, 
sin D — cos w sin } + sin w cos } sin L, 


cos À cos D — cos / cos À. 


Différentiant la seconde relation par rapport à D, 
et w, on tirera du résultat une valeur de dD, dont on 
pourra éliminer les facteurs cos } sin L et sin } déduits 
des deux premières relations; et, toute opération faite, 


on aura... (1) 
dD — du sin À + dl sin » cos A. 


Telle sera la nutation en déclinaison, si l’on remplace 
ds et dl par leurs valeurs ci-dessus, et que l’on prenne 
pour w sa valeur actuelle, qui est à peu près de 
23°.27.40.. 

Si l’on différentie également la relation (3) et qu’on 
substitue, dans la valeur de dA résultante, celles de cos } 
sin { et de dD qu’on vient d'obtenir, on aura définiti- 
vement.…. (2) 


dA = — do cos À tang D +- d/ (cos w 
+ sin w sin À tang D), 


NUT 
et ce sera la nutation en ascension droite, en mettant 
pour ds et dl leurs valeurs. 
Telles sont, en peu de mots, les formules que les 
astronomes ont mises en tables pour calculer la nuta- 
tion et pouvoir par conséquent changer les positions 


NUT 339 


moyennes en positions vraies. Voyez, pour plus de dé- 
tail, les traités d'Astronomie et l’art. PosiTION apPa- 
RENTE. 


(M. Puissant.) 


0. 


OBL 


OBLIQUITÉ DE L'ÉCLIPTIQUE. (4st.) Les géo- 
mètres qui ont aprofondi la théorie de l'attraction uni- 
verselle ont découvert la cause de la diminution pro- 
gressive mais très-lente de l’obliquité de l’écliptique; et 
assigné à peu près les limites étroites entre lesquelles 
cette diminution, après qu'elle se sera affaiblie de plus 
en plus, se changera en augmentation (voy. Éczipri- 
que). M. Bessel, astronome de Kænigsberg, a fait et 
discuté un grand nombre d'observations solsticiales qui 
fixent pour le 1‘ janvier 1800 l’obliquité moyenne à 
25°27 54,8, et sa diminution annuelle à 0°,457. Des 
observations semblables faites à Paris, et également dis- 
cutées avec beaucoup de soin, portent cette obliquité à 
23°27'57" et la diminution séculaire à 48”. On a donc 
généralement, £ étant les nombres d'années écoulées 
depuis 1800, et # le rang du jour de l’année que l’on 
considère | 


Obliq. moyenne, © = 23°27 57" —0",48 . {—0",0013. n. 


Si à cette obliquité l’on ajoute les nutations lunaire et 
solaire, l’on a ce qu’on appelle l’obliquité apparente. Or, 
la nutation lunaire qui dépend de la longitude moyenne 
N du nœud ascendant de la lune est 9',426 cos N, et la 
nutation solaire qui dépend du double de la longitude 
moyenne {+ du soleil est 0',525 cos 2 {; ainsi, en dé- 
finitive, w étant l’obliquité apparente, on a 


w —=Q + 9,426 cos N — 0,525 cos 2 À. 


Les coefficiens 9',426 et 0’,525 sont les constantes de la 
nutation luni-solaire. Tous les astronomes ne sont pas 
précisément d'accord sur ces valeurs, que nous donnons 
comme les plus probables, car M. Lindencau prend le 
premier de 8',97707, et M. Bessel porte le second à 
0°,5799. Ces légères variantes tiennent en partie à ce 
qu’il existe encore quelque incertitude sur la masse de 


; + 1 
la lune, que l’on peut cependant supposer être = de 
00 


celle de la terre, d’après Les calculs les plus récens. 
La théorie indique encore deux très-petites inégalités 


OCC 


périodiques qui affectent lobliquité et qui dépendent, 
l’une du double de la longitude N du nœud de Ja lune, 
l’autre du double de la longitude € de ce satellite, 
savoir : 


— 0',08773 cos 2 N + 0’,08738 cos 2 € ; 


mais jusqu’à présent, il n’y a guère que M. Bessel qui 
en ait tenu compte. 

Cherchons, pour application , l’obliquité apparente 
pour le 1° janvier 1838 à midi à Paris. A cette époque, 
les tables donnent 


Longitude moyenne. . + : : « &}—280°40"567, 
Longitude moyenne du nœud. : N — 18.14.29; 


et, par ce qui précède, la nutation luni-solaire ayant 
cette forme 


— a cos N + b cos 2 


on a 


Log a — 0,97493 Logb— 9.52016 
Log cos N—9.97761 + Log cos 2 (} — 9-96908 — 


0.95194 + 9-68924 — 
Nutat. lun. + 8°,95 Nutat. sol. — 0',49 

CR TCOO MAP, Ne E, Q = 252757 

Diminution en 38 anse. » + + + + + . — 18,24 
É — 

Obliquité moyenne en 1838-- 25°27'38",76 

Nutation luni-solaire. + + + + + + + —+ 8.46 
ET ETES NES 

Obliquité apparente cherchée. : . « 23°a7'47',22 


C’est, à un dixième de seconde près , le nombre que 
donne la Connaissance des temps. Les tables de nutation 


dispensent de ce petit calcul. 
(M. Puissant.) 


OCCULTATION. (4st.) La détermination des lon- 
gitudes terrestres par les éclipses en général est d’une 
trop grande utilité en astronomie et en géographie 
pour que nous n’entrions pas dans quelques détails à ce 


340 OCC 


sujet. Toutefois nous ne considérerons que le cas le 
plus simple et le plus fréquent, celui des occultations 
d'étoiles par la lune. 

Lorsque cet astre, en décrivant son orbite d’occident 
en orient, éclipse une étoile et cesse bientôt après de 
la cacher aux regards du spectateur, la différence des 
longitudes des stations où ce phénomène a été aperçu 
dans les circonstances atmosphériques les plus favora- 
bles se déduit des heures de l'immersion et de l'émer- 
sion. Mais comme par l'effet des parallaxes ces deux 
phases ne répondent pas aux mêmes instans physiques 
pour des observateurs placés sous des méridiens diffé- 
rens , it est nécessaire de ramener les choses à cet état 
en calculant pour chaque station l’heure de la conjonc- 
tion vraie, c’est-à-dire l'instant où la longitude vraie des 
deux astres était la même; parce qu’alors la différence 
des heures de cette conjonction à deux stations est celle 
de leurs longitudes. 

11 faut d’abord connaître à peu près la longitude cher- 
chée parrapport au méridien de Paris pour lequellesta- 
bles de la Connaissance des temps ont été calculées, afin 
de pouvoir déterminer la position de la lune au moment 
de chaque phase observée, et par suite son mouvement 
horaire en longitude et en latitude. Cette éphéméride 
donne également la parallaxe horizontale équatoriale 
de la lune, qu'on réduit pour le lieu de l'observateur 
dont on connaît la latitude géographique, si l’on veut 
pour plus de précision avoir égard à l’'aplatissement de 
la terre; enfin l’on y prend le demi-diamètre de cet 
astre, dont on calcule l’augmentation à raison de son 
élévation au-dessus de l'horizon (voyez ce mot). 

Cela fait, le temps moyen de l'observation se con- 
vertit en temps sidéral en y ajoutant l'ascension droite 
moyenne du soleil. Ce temps sidéral est ce qu’on nomme 
l'ascension droite du zénith. 

La latitude géographique du spectateur diminuée de 
l'angle de la verticale avec le rayon de la terre, est la 
latitude géocentrique ou la déciinaison du zénith. 


Le calcul de la longitude et de la latitude apparentes 
de la lune s’effectue directement par le procédé indiqué 
à l’article Posiriox 4PPARENTE, où plus simplement l’on 
évalue les parallaxes de longitude et de latitude qu’on 
ajoute ensuite au lieu vrai pour avoir le lieu apparent. 
Dans l’un et l’autre cas, il est nécessaire de déterminer 
préalaslement la position du nonagésime ou la longitude 
et la latitude du zénith (voy. Panarraxr). 

L'étoile occultée doit aussi être rapportée à l’éclip- 
tique, c'est-à-dire donnée de position par sa longitude 
et sa latitude apparentes ; mais de ce que cet astre est 
sans parallaxe, il suîMit, ayant pris son ascension droite 
et sa déclinaison apparentes dans la Connaissance des 
temps, de passer de ces deux coordonnées à la longi- 


OCC 
tude et à la latitude apparentes (v0y. TRANSFORMATION 
DES COORDONNÉES). 

Maintenant soit (PI. XVII, fig. 6) P le pôle de l’é- 
cliptique QQ', E le lieu apparent d’une étoile en con- 
tact avec le bord de Ja lune dont le centre apparent est 
en L, et-FE un arc parallèle à l’écliptique; le triangle 
ELF pourra, pendant la durée de l’éclipse , être consi- 
déré, à cause de son extrème petitesse, comme un 
triangle rectiligne rectangle en F. L’hypothénuse LE 
sera la distance apparente du centre de la lune à l'étoile, 
et FE la différence des longitudes apparentes, mesurée 
dans la région de l'étoile. Si done L' et A’ sont respec- 
tivement la longitude et la latitude apparentes de la 
lune, let }'les coordonnées semblables de l'étoile; que 
A soit le demi-diamètre apparent de Ja lune, et que 
pour abréger l’on fasse A —) —=e, FE=—/$, on aura 
cette relation 


B=V Ar — Vie) (a — 0). 
Mais £ étant la différence des longitudes apparentes 


mesurée sur un parallèle à l’écliptique dont la latitude 
est x’, cette même différence estimée sur le grand cer- 


cle QQ' sera QQ' = À. On a donc à l'instant de 


l'immersion 


et à l'instant de l’émersion 


GUERRE VE +) W—9 ; 
cos À 


Faisant l'—L'—2x, et appelant 7 la parallaxe de 
longitude de la lune, on aura, en désignant par L sa 
longitude vraie, 


L'=L Er, et LT L—= 57; 


par conséquent, l'— L = est pour l'immersion 
et L—l—=x— 7 pour l’émersion, la différence des 
longitudes vraies des deux astres; différence qu’il im- 
porte de connaître pour calculer le temps écoulé depuis 
l’époque de la phase observée jusqu’à l'heure de la con- 
jonction yraie. Or, m étant le mouyement horaire de 
la lune, exprimé en secondes de temps moyen, l’on a 
évidemment eette proportion 


3600! :: æ ET: qi 204808 


@L 5); 


OCC 
et si t est l'heure de l’observation, T celle de la con- 


jonction vraie, l’on aura définitivement (A) 


VER) 


T 


Î 
1 
ES 
il 
+ 


en prenant le signe pour l'immersion et le signe — 
pour l’émersion. 

Éclaircissons cet exposé de la méthode par un exem- 
ple numérique. 

Le 50 mars 1822, M. Rupel observa au Caire l’occul- 
tation de deux étoiles mentionnées dans le catalogue de 
Piazzi. La position apparente de la première, à laquelle 
nous nous arrêtons, était ainsi qu’il suit : 


Ascension droite apparente. A — 111°52'19",1, 
Déclinaison apparente. . . D'— 24°45° 9',0; 
à la même époque, l’obliquité apparente de l’écliptique 
était © — 29°27 54. 

Avec ces données, l’on trouvera par les formules dé- 
montrées à l’article TRANSFORMATION DES COORDONNÉES et 
en opérant par les logarithmes à sept décimales, 


Longitude apparente. l = 109°47'53',0, 


Latitude apparente.. } —  2°4647",0 boréale. 


Pour avoir le lieu de la lune, il faut remarquer d’a- 
bord que la position géographique du Caire a été sup- 
posée ainsi qu’il suit : 


Latitude H —30° 3'20° Nord. 
Longitude P — 28°58" 0° Est. 
1255 52" 


En temps. : — 


Ainsi l’observation de l’immersion ayant été faite en 
cette ville le 30 mars 1822 à 19/55 35",7, temps moyen 
ou vers 7" du soir, on comptait à Paris 1"55'52° de 
moins où 5/35 45,7 du soir. C’est donc pour cette 
époque qu’on doit déterminer, au moyen de la Connais- 
sance des temps de 1822, la longitude et la latitude vraies 
de la lune, c’est-à-dire celles qui auraient lieu pour un 
observateur placé au centre de la terre. Or ces deux co- 


ordonnées sont 


Longitude vraie €. . L— 109°59'22",6, 


Latitude vraie. . . . A— 2°5644",5 boréale. 


et le mouvement horaire en longitude est m— 33'48". 
On prendra en outre à vue dans la même éphéméride 


Parallèle horizontale. . . I — 57'55",2, 


Demi-dianètre horizontal À = 19 47,0. 


OCC 341 


Réduisant le temps moyen de l'observation en temps 
sidéral, on a 


Temps sidéral, ou ascens. dr. du zénith. = 81 345°,24, 


En arche tele ee ec 219 — 120 01870, 
Latitude du Caire. — Angle de la ver- 


ticale, ou déclinaison du zénith. . k — 29°5324',0 


1 si Li 
Cet angle de la verticale est — -— TE EL en suppo- 
300 sin1 


: 1 
sant l’aplatissement de la terre de -—. 
300 
Avec ces élémens, nous pouvons maintenant calcu- 


ler la longitude n du zénith et sa latitude q. 


Formules du nonagésime. 


sin tang k 
cos g 


tang n — COS w tang g + —— , 


sin g = sin À cos  — cos À sin w sin g. 
Parlai",ona 


Log cos w — 9.96251 Log sin w — 9.6000g 


Log tang g — 0.22228 — c. Log tang k — 9.75951 
Tire Log cos 4 — 0.28893 — 
9-04853 — 
Ainsi 
1er terme — — 1,53040 
2e terme = — 0,44517 
tang n = — RE ,; Log tang ñ = 0.2956750 — 


d’où 


n — — 65°9'5", et longitude du zénith R = 116°50'55". 


Par la 2° formule, on a sans aucun doute sur l’es- 


pèce de l’angle cherché 


Log cos k — 9.95801 — 
— 9.60009 


Log sin k — 9.695752 


Log cos w = 9.962591 Log sin w 


9.660035 + Log sin g = 9.953354 


, 


9-47144 — 
De là 


1er terme —= + 0,45712 
ge terme —= — 029010 
te 


sing ——+0,16102 Log sin g — 9.20688 


Latitude du zénith « + + 9 = 9°19 57" 


342 OCC 


Calcul des parallaxes en longitude et en latitude. 


La formule de parallaxe de longitude, en faisant 
pds sin II COS q 


, 


cos A 


sin(L—n) 
sin 1° 


sin 2(L—n) 


= 


sin1° 


= 


Effectuant le calcul, on a d’abord 
L— 109°39'22",6 
n— 116.50.55,0 
L—n—=-9.11.32,4 
Ensuite, opérant par les logarithmes à cinq décimales, 
il vient 


Log:62—6.14191 
L. sin 2(L—n) = 9.359524 — 
c. Log sin à" —5.31443 


Log sin —8.22651 
Log cos q — 9.099429 
c. Log cos À —0.00057 


Log 6—8.22137 0.851398 — 
L. sin(L—n)=—=9.09760 — 
c. Log sin 1"= 5.351445 
2.603340 — 
Ainsi 
1er terme — 429,94 
2e terme — 7; 10 
Parallaxe de longitude r = — 457, 04 = — 9'17",0. 


Le calcul de la parallaxe de latitude est moins simple 
que le précédent, à cause de celui d’un angle auxiliaire 
dépendant de la parallaxe de longitude (voy. Paraz- 
Laxe). Il sera presque aussi court de déterminer direc- 
tement la- distance polaire apparente de la lune pour la 


formule suivante 


sin II sin q 
sin à 
que l'on tire aisément de l’analÿse trigonométrique em- 
ployée à l’article cité, et qui se change en cette autre 
plus commode pour le calcul 


&__ Sin(L'— n) cos (D +46) 


coto —— : 
sin (L—n) sin ÿ cos 0 ? 


sin II sin 4 à 
T à étant la distance po- 


en faisant tang 0 — —— 
Sin 0 
laire vraie, et à l’apparente. Par l’emploi de la 1" for- 
mule, on a : 
L'— 109.32" 5,6 d=—=90°—A=—=87315",5 
— 116.60,55,0 d—90°— A4. 


L'—n—— 718.494 


OCC 


et ensuite, en employant sept décimales, 


0.0072463 0.0072463 


L. sin (L'—n) —=9.1048456— L. sinn—8.29265091— 
c.L.sin(L—n#)—0.9024007— L.sing—9.2069059 
Log coti—8.7114684 c.L. sinÿ—0.0005743 


ee 


8.7187147 74412356 — 


ier terme  0,052326 
2e terme — 0,002762 


cot9 ——+0,049564 Log cot à = 8.6951665. 
Partant, 


Distance polaire apparente € d = 87°9 45",0 
0.070.100 


Distance polaire vraie. 


Parallaxe de distance polaire. + » «+ 


Calcul de la conjonction vraie. 


Il n'est plus question maintenant que de déduire les 
valeurs de æ et de T des formules (A). Oron a 


Demi-diamètre horizontal €. Anne 0 
16, 3 


Augmentation: + + + + + : 


Demi-diamètre apparent. . + : . A = 16 3,3 — 963,3 
Différence des latitudes apparentes. € — 3.27,7 — 207, 7 


A'+-€.. 1191, 0 
A'—c . 755,6 
Ensuite, par les logarithmes, il vient 
Log (4! + :) — 3.068569 
Log (A— €) — 2.8782919 
Somme  2.9468488 
L somme — 2.073424 
c. Log cos }— 0.0005116 
Logx— 2.9739360 , æ— 94,74 
mr —=— /457, 04 
æLr—= 504,70 
Log (t<+r) = 2.7030533 
Log 5600 —3.5565025 
c. Log m— 6.692923 
Log di= 29922599, dt— 995,9 


14085 ,9 


OMB 
En définitive, 
Heure de l’immersion. + + . — 19 33 37,7 temps moyen, 
+ 14.55, 9 
T = 1948'33",6 


Conjonction vraie à Paris, d'après 


Temps écoulé jusqu’à la conjonc. . 


ConJoNGTION VRAIE au Caire 


les tables. . . 17.51.49, 2 


Loncirupx du Caire. « + . . . . 1°55'44',4 
La seconde étoile a donné » + « + 1.559.306, 9 
Moyenne 1.59.40, 6 


Le calcul de la longitude géographique par une 
éclipse de soleil est en tout semblable à celui-ci; mais 
il exige de plus qu’on assigne la position apparente de 
cet astre au moyen des parallaxes de longitude et de 
latitude. Pour ne pas donner plus d'extension au pré- 
sent article, nous ferons seulement remarquer que 
comme la latitude } du soleil est nulle, les formules (A) 
se changent en celles-ci : 


2 = V/ (a+) (4e) 
3600 
de (e+ GP); 

dans lesquelles « est la différence des latitudes appa- 
rentes des deux astres, p la parallaxe de longitude du 
soleil, # son mouvement horaire dans ce sens, et A’ la 
demi-somme on la différence des demi-diamètres de la 
lune et du soleil, selon que le contact a été extérieur 
ou intérieur. 

C’est par de bonnes et nombreuses observations de 
ce genre que les astronomes et les navigateurs corri- 
gent les longitudes géographiques imparfaites. Elles 
servent en outre à mettre en évidence les erreurs des 
tables lunaires, des anciennes surtout, quand la position 
vraie de la lune, qu’elles font connaître pour l’époque 
précise de la conjonction, diffère de celle que donnent 
ces tables ; position facile à déterminer, puisque les 
mouvemens horaires en longitude et en latitude ne 
sont nullement douteux, et que le temps écoulé depuis 
l'instant d’une phase jusqu’à l'heure où les deux astres 
ont eu mème longitude peut être exactement évalué. 


(M. Puissant.) 


OMBILIC. (Géom.) On désigne sous ce nom le point 
d'une surface courbe pour lequel toutes les sections 
normales ont la même courbure. Voy. Secriox. 

La recherche des ombilics d’une surface donnée par 
son équation F(x, y, z) = 0 se réduit à trouver si elle 
possède des points tels que ous les rayons de courbure 
des sections normales relatives à ces points sont éqaux 
entre euæ. Or, l'expression générale du rayon de cour- 


OMB 343 


bure d’une section normale, relative à un point quel- 
conque (æ, y, z), étant... (a) 


Cp) + mp + (1 pm 
r + 2sm—-tm° 


dans laquelle (voy. Rayon DE couroure), 


VITRE. 


1 dx __ dx eg? 
Pigits dd TroageuS ia? 
pe (55 , d?z 

” dxdy? dy? ? 


et la valeur de ce rayon ne variant pour chaque point 
donné que par la quantité m qui varie seule lorsque le 
plan sécant normal tourne autour du même point donné 
(æ, y, z) sur la surface, il est visible que le point 
(æ, y, Z) ne peut être un ombilic qu’autant que la va- 
leur du rayon £ demeure la même pour toutes les va- 
leurs de m. Ainsi, pour obtenir la condition de l’exis- 
tence d’un ombilic, il faut établir entre les quantités 
P; Gr, s, t des relations qui rendent le second membre 
de (a) indépendant de la variable m. Observons, pour 
cet effet, qu'une quantité fractionnaire de la forme 


a+ bæ-+cx* 
a'+b'æ+ c'x? 


bien que renfermant une variable æ, devient constante 
quand les coefficiens de chaque puissance de la variable 
ont entre eux le même rapport; car en posant 


cette quantité devient 


d'A + b'Ar.+c'Ar A 
abc 


Ainsi, le point (æ, y, z) sera un ombilic si l’on a la 
double équation... (b) 


bee po nolepiois 
r 8 t 

Il résulte de ces considérations que, pour trouver si 
une surface donnée admet des ombilies, il faut déduire 
de son équation F(æ, y, z)—0 les dérivées différen- 
tielles p, q, r, s, t, puis poser les deux conditions (6) 
qui, jointes à l'équation de la surface, formeront un 
système de trois équations finies, lequel n’admettra des 
valeurs réelles pour æ, y, & que s’il existe des ombilics. 
Chaque système de valeurs æ, y, & correspondra à un 
ombilic, d’où l’on voit qu'en général le nombre de ces 

points est limité sur une surface donnée. 


34% OMB 

Lorsque les deux équations (b) se réduisent à une 
seule vraiment distincte, celle-ci, jointe à l’équation 
F(x, y, z) — 0, détermine sur la surface donnée une 
courbe dont chaque point est un ombilic, et qu’on 
nomme la ligne des courbures sphériques, parce que 
dans chacun de ces points la surface offre une courbure 
uniforme comme celle d’une sphère. 

La surface de la sphère est la seule qui offre une 
courbure uniforme tout autour de chaque normale. On 
peut s'assurer que chacun de ces points est un ombilic 
en observant que la condition (b) se trouve remplie 
par tout système de valeurs des coordonnées x , y, 
capable de satisfaire à l’équation de la sphère 


x? y + = 


En effet, les dérivées différentielles tirées de cette 


équation sont : 


OSC 
Voyez, pour tout ce qui concerne les ombilics, un 
mémoire de M. Poisson inséré dans le 21° cahier du 
Journal de l'Ecole polytechnique. 


OSCULATEUR. (Géom.). On estime la courbure 
d’une ligne quelconque, en un point donné, par l'arc 
du cercle qui, ayant deux élémens communs autour de 
ce point, présente la même courbure que la ligne. Le 
rayon du cercle se nomme rayon de courbure, et le 
cercle lui-même cercle osculateur. En général, deux 
lignes sont dites osculatrices l'une de l'autre lorsqu'elles 
ont le même rayon de courbure à leur point de contact. 
(Voy. Coursure, tom. I.) 

La courbure des surfaces ne peut pas être assimilée 
à celle de la sphère, car cette dernière est uniforme 
tout autour d’une même normale, ce qui n’a pas ordi- 
nairement lieu pour une surface générale. Ce n’est 
qu’en imaginant divers plans passant tous par la nor- 
male de la surface au point donné , qu’on peut calculer 
les rayons de courbure des sections de ces plans et 
juger de la courbure de la surface autour du point 
par la comparaison des courbures des sections. (Voy. 
SECTION.) 

Deux surfaces sont dites osculatrices lune de l’autre 
en un point où la normale est commune, lorsque tou- 
tes les sections normales sont respectivement oscula- 
trices. 

On peut comparer la courbure d’une surface quel- 
conque, en chacun de ses points, à celle d’un ellipsoïde 
dans un de ses sommets (voy. RAxYON DE courBure); l’el- 
lipsoïde est dit alors osculateur. 


P. 


di. _ x 
PE, z? 
EU 
To z° 
be nm 2 
= L—., 
en d’z ay 
dxdy = 
; d’z + y 
RACE AO FE 
D'où 
Paru ei cas | UE L'hctque LOUE De en 2 MAS 
nr — # ) li C2 = —— Z. 
x S t 
PAR 


PARALLAXES. (4st.) Pour ne laisser rien d’essen- 
tiel à désirer sur le calcul des parallaxes dont il a été 
parlé daus ce dictionnaire, montrons comment les as- 
tronomes passent des coordonnées du lieu d’un astre 
rapporté à l'équateur et vu du centre de la terre à celles 
de son lieu apparent. En d’autres termes, cherchons 
l'ascension droite et la déclinaison apparentes en fonc- 
tion de l'ascension droite et de la déclinaison vraies. 

Soit C le centre de la terre pris pour origine des coor- 
données rectangles, et concevons l’axe des æ passant 
par le point équinoxial du printemps, l’axe des y dans le 
plan de l’équateur, et celui des z passant par le pôle 
boréal de ce cercle. La position de l’astre E , sujet à la 
parallaxe, sera connue par ses distances à ces trois axes : 


PAR 


si donc r désigne le rayon CE de la sphère céleste, 
AX l'ascension droite de l’astre, D sa déclinaison, on 
aura, comme à l’art. ABERRATION, 


æ—rcosRcosD, y—rsin Rcos D, z—rsinD. 


Soient pareillement X, Y, Z les coordonnées du 
point À où se trouve l'observateur sur la surface de la 
terre, et g l’ascension droite du zénith ou le temps side- 


ral du passage de l’astre au méridien, k sa déclinaison : 


ou la latitude géocentrique (voy. ces mots); on aura, 
en appelant d’ailleurs b le rayon de la terre, 


X—pcosgcosh, Y —psingcosh, Z—psink. 


Lulu, prenant le licu de l'observation pour l’origine 


PAR 
commune de trois autres axes rectangulaires respecti- 
vement parallèles aux primitifs, puis, appelant r' la dis- 
tance de l’observateur à l’astre, Æ',D' l'ascension droite 
et la déclinaison apparentes de cet astre, on aura 


æ'—r" cos A'cos D’, y —r'sinR'cos D’, z'—r'sin D’. 


Or, il existe évidemment entre les coordonnées du 
lieu vrai et du lieu apparent E’ les relations suivantes : 


T—XZ—X, y—y—Y, z: —2:—L, 


lesquelles, à cause des valeurs précédentes, se changent 
en celles-ci : 


r'cos &'cos D'— rcos A cosD — pcosg cos À, 
r' sin &'cos D'=r sin R cos D — p sin gcosh, 
r'sinD'= r sin D —, sin À. 


Maintenant, si on divise successivement la seconde 
et la troisième équation par la première, qu’on fasse 


£= sin I, Il étant alors la plus grande parallaxe de 


hauteur, on aura... (a) 


cos Æ cos D — sin 11 cos g cos À ? 


cos A (sin D — sin 11 sin h) 
cos Æ cos D — sin 11 cos gcosh° 


tang D'— 


Ces deux formules, attribuées à M. Olbers, et qui dé- 
rivent naturellement de la méthode analytique de La- 
grange, dont nous venons de faire usage, donnent le 
lieu apparent, connaissant le lieu vrai et la parallaxe de 
hauteur ; ainsi le problème et résolu. Mais dans la pra- 
tique il est plus simple d’évaluer les parallaxes AÆ'— A 
et D'—D d’'ascension droite et de déclinaison. Or la 
première équation (a) ayant lieu quelle que soit l’ori- 
gine des ascensions droites, on peut retrancher de cha- 
cune d’elles la même quantité, l’arc Æ par exemple; ce 
qui revient évidemment à changer la direction des axes 
æ y, en les laissant toutefois dans leur plan primitif. 
Ainsi l’on a sur-le-champ 

sin 11 cos À sin (Æ — 9) 


ang (AA) — cos D — sin n1 cos À cos (AR —g)” 


mais la parallaxe &'— Æ étant toujours très-petite, 
même pour la lune, on pourra réduire cette expression 
en série et n’en conserver que les termes les plus sen- 
sibles ; on aura alors en secondes de degré 


SinIT cos À _Sin(A— 9) 


Are 7 ços SD sin FU 
1 fsinttcosh\? sin 2(A — 9) 
EL LR )+. 
Tou. II. S 


PAR 345 


Quant à la parallaxe de déclinaison ou de distance 
polaire, on la tire moins aisément des formules précé- 
dentes. Il nous suflit de dire que si on fait A=90°—D, 
et A — 90°— D', A et A’ étant respectivement les dis- 
tances polaires vraie et apparente, on trouve pour la 
parallaxe de distance polaire donnée par Delambre 


sinlisin# sin(A—6) 


A'—A— — = —— 
cos 0 sin 1° 
sis 1 fsinrisinh\? 0) 
2 cos 0 sin 1” anis 


en faisant 


tang 9 — Cot À cos (R'F AR — 9) s 


Dans la déterminaison des longitudes terrestres par 
les éclipses de soleil ou les occultations d'étoiles par la 
lune, on rend les caleuls plus exacts et plus prompts en 
prenant pour coordonnées circulaires des astres celles 
rapportées à l’écliptique, et alors il est nécessaire de 
passer des ascensions droites et déclinaisons aux latitu- 
des et longitudes (voy. TRANSFORMATION DES COORDONe 
nées). Mais il est à observer que les formules de paral- 
laxe sont, pour le cas actuel, absolument de même 
forme que les précédentes. En effet, les ascensions 
droites sont changées en longitudes, et les déclinaisons 
en latitudes ; ainsi l’ascension droite du zénith doit être 
remplacée par sa longitude, qu’on nomme aussi longi- 
tude du nonagésime, et sa déclinaison doit l’être par sa 
latitude, qui est le complément de la hauteur du nona- 
gésime. 

La parallaxe annuelle (voy. ce mot) s'obtient en sup- 
posant l'observateur sur un point de lécliptique, et 
pour lors la latitude du zénith est nulle, la longitude 
de ce point représente la longitude terrestre, et IL dési- 
gne la parallaxe annuelle ou du grand orbe, lorsqu'elle 
est la plus grande possible. Appelant donc à la longi- 
tude héliocentrique de la terre, le lieu du soleil, p 
la parallaxe annuelle en longitude, » celle en latitude, 
on aura 


S=@ +18, 


et il est aisé de démontrer que ces deux parallaxes sont 


,; n=lsin}cos (L— à), 


L et } étant la longitude et la latitude héliocentriques 
de l'étoile. Nous n’entreprendrons pas de discuter les 
apparences produites par la parallaxe actuelle, parce 
que cet angle, s’il existe réellement pour les étoiles les 
plus brillantes, est tellement petit, qu'il a à peu près 
échappé jusqu’à présent aux observations les plus pré- 
(M. Puissant.) 
44 


cises, 


346 PEN 

PARAL£ÉLOGRAMME ARTICULÉ. (Mée.) Get or- 
gane mécanique, inventé par le célèbre Watt pour con- 
server la verticalité de la tige du piston des machines à 
vapeur, est aujourd’hui un des appareils le plus usités. 
Nos limites ne nous permettent pas d’autres détails que 
ceux que nous avons donnés au mot COMrosiriON DES 
MACHINES, S IV. 


PENDULE COMPOSÉ. (Mée.) Tout corps suspendu, 
que l’on fait osciller autour d’un axe fixe, se trouve dans 
des circonstances physiques dont la théorie du pendule 
simple (voy. ce mot) fait abstraction. L’explication suc- 
cincte des expériences de ce genre et des procédés de 
calcul par lesquels on parvient à déterminer exactement 
la longueur du pendule à secondes fait l’objet du pré- 
sent article. 

1. Le pendule composé, mis en expérience, doit avoir 
une forme régulière et géométrique, parce qu'il serait 
impossible sans cela d’assigner rigoureusement par le 
calcul la distance du point de suspension au centre d’os- 
cillation. Celui dont Bouguer fit usage en Amérique, 
vers 1740, était un petit poids de cuivre formé de deux 
cônes tronqués opposés base à base et suspendu à l’ex- 
trémité d’un fil de pitte très-mince, d’un mètre environ. 
Ce fil était attaché à une pince à son extrémité supé- 
rieure, mais de manière à conserver toute sa souplesse. 
Maupertuis, l’un des académiciens français qui mesu- 
rèrent les premiers, à la même époque de 1740, un arc 
de méridien au cercle polaire, se servit de petits globes 
de différens métaux, traversés chacun par une verge de 
cuivre qu'il adaptait à son horloge. Enfin, lors de l’éta= 
blissement du nouveau système métrique en France, 
Borda fit usage d’un appareil de son invention, aussi 
ingénieux que simple, lequel consiste en une boule de 
platine du poids de 520 grammes environ, qu'on fait 
osciller à l'extrémité d’un fil métallique de 4 mètres 
de longueur, attaché à une suspension à couteau, posant 
sur des plans d’une matière très-dure (voy. Base du 
système métrique, tom. TT, par Delambre). Mais malgré 
la simplicité de cet appareil, le pendule invariable dont 
se sont servis, dans leurs voyages de circomnavigation, 
les capitaines Fressinet, Duperrey et autres savans navi- 
gateurs, est d’un usage plus commode. Celui-ci se com- 
pose d’une tige cylindrique de cuivre jaune coulée avec 
la lentille, et à l'extrémité de laquelle est fixé nn couteau 
d'acier. Ce couteau, lors des expériences, repose sur 
deux agathes qui sont incrustées dans une pièce d’acier 
supportée par un trépied de fer très-solide, et qui se 
placent horizontalement au moyen d’un niveau à bulle 
d'air. À cet instrument est jointe une échelle des ampli- 

tudes et une horloge dont les oscillations du balancier, 
qui peuvent n'être pas à compensation , doivent être 
rendues synchrones à celles du pendule. Quant à la du< 


PEN 

rée des oscillations de ce dernier dans un temps donné, 
elle se mesure au moyen d’un chronomètre dont la 
marche diurne est exactement connue par rapport au 
temps moyen où au temps sidéral. On concoit que le 
pendule doit être mis dans une cage vitrée pour être 
soustrait à l'influence des courans d’air, et qu'il est in- 
dispensable de tenir compte de l’état du baromètre et 
du thermomètre durant les expériences. 

Depuis long-temps feu M. de Prony, frappé de cette 
propriété du pendule découverte par Huygens, savoir : 
que les centres de suspension et d’oscillation sont réci- 
proques l’un à l’autre, avait proposé d'employer un ap- 
pareil qui fût tel qu’en prenant pour point de suspension 
le centre d’oscillation, les nouvelles oscillations eussent 
une même durée que les premières ; parce qu’alors la 
distance des deux points de suspension eût représenté 
la longueur du pendule simple correspondant à cette 
durée. Cet appareil fut en effet construit en Angleterre 
par les soins du capitaine Kater, qui en fit l'application 
à la mesure du pendule à Londres (Transac. philos., 
1818 ). 

2. Pour nous renfermer dans le cadre que nous nous 
sommes tracé, passons rapidement en vue les différentes 
formules de correction et de réduction applicables aux 
expériences faites avec le pendule invariable. 


CORRECTION D’AMPLITUDE. 


Borda, s'appuyant sur ce fait observé que les ampli- 
tudes des excursions du pendule, à droîte et à gauche 
de la verticale, décroissent en progression géométrique 
quand le nombre des oscillations croît en progression 


arithmétique, trouva cette formule 


sin (0 + 0,,) sin (9 — 0, 
ar 
e(Log. sin9 — Log. sin0,) 


dans laquelle 29 est l'arc d’oscillation à l’origine du 
mouvement, 29, l’are d’oscillation à la fin de l'expé- 
rience , mesurés tous deux à l'échelle des amplituëes; 
4 le module tabulaire 0,30258...; N le nombre des os- 
cillations infiniment petites correspondantes à n oscilla- 
tions finies du pendule observé (voy. Supplément au 
Traité de Géodésie de Puissant, p. 99). 

Les expériences faites le 25 avril 1822 à l’observa- 
toire de Paris ont donné au commencement 9 —5"0"31", 
à Ja fin 9, — 1°56'50"; et pendant l'intervalle de ces deux 
comparaisons, le pendule à fait un nombre d’oscilla- 
tions n = 35765°*:,890; on aura donc 


0-8, —4;57 1 


0 = / 
Q—0, = 1.241, 


PEN 


ét, par logarithmes, 


Logn—53.5756569 Log sin 6—8.7200038 
Logsin(56,)—8.905;619 ce. Logsin6, =—1.5518036 


Logsin(5—6,) —8.5880483 Somme K —0.2718074 


Log numér. —0,8694471 
c. Log dénom. —8.6983730 


Log K—9.4342613 
Log 352 Up = 1.863657 


Log correct. — 9.568201 Log dénom.—1.3016270 


done, correction d'amplitude = 0,36968. 
CORRECTION DE DILATATION. 


Si l’on désigne par N, les oscillations que le pendule 
aurait faites à la température zéro durant le même 
temps qu’à la température æ, à laquelle les oscillations 
N infiniment petites ont été obtenues, on aura, ainsi 
qu’il est aisé de le démontrer, 


N.—N+:5N, 


à étant la dilatation linéaire du pendule pour 1° centi- 
grade d’accroissement de température. 

Par exemple , ‘soit à — 0,0000178 , température 
moyenneæ=— 15°,05 durant l'expérience, N —90330,47 
les oscillations infiniment petites dans un jour solaire 
moyen, et { — 15° la température normale; on aura 


Log : 5 — 4.9493900 
Log (æ—t) —8.4771212 
Log N — 4.9558342 


8.3825454 — 0,0241, 


c’est-à-dire que la correction de dilatation calculée 
pour 15° centigrades de température est +- 0°"-,024. 


RÉDUCTION AU VIDE. 


j1 s’agit maintenant de savoir combien le pendule in- 
variable qui fait un nombre connu N° d’oscillations in- 
finiment petites dans l'air, en un temps donné, en ferait 
dans le même temps sil se trouvait dans le vide ; or on 
a, dans ce Cas, 


: GITE A RSN° 
Réduction au vide — > 0,70(D— A) (mr) Ex) , 


en appelant À la hauteur du baromètre observé, æ la 
température, D la pesanteur spécifique du pendule d’ex- 
périence, et A, celle de l’air à la température zéro. 
Remarquons que lorsque 4 — 1 l’on avait D 6381 
pour le pendule employé aux iles Malouines par M. Du- 


1 t " 
perrey, et que m — SG est la dilatation d’un volume 


PEN 347 


> - À 1 
d'air, tandis que m —= —-— est celle du mercure pour 
5550 

1° centigrade d’accroissement de chaleur. 

Lors des expériences citées, la hauteur moyenne du 

h 
baromètre était de 551,40 — ——--— — h,, et celle 
4 »4 1 —— max ? 

du thermomètre centigrade + 15°,c5 — x. De plus, 
le nombre des oscillations du pendule en 24" de temps 
moyen dans l'air, était N°=— 90330°*,470 ; on a donc 


Log :—9.6989700 Log751"",40— 2.858712 
Log N'—4.9558342 c.L.760, 00—7.119186% 


9-9950576 
1 mx —1,0563625 


Log —9.9950576 


0,76 
c. Log (6381) —6.1951113 
ce. L.(1-Lmx) —9.9761871 


Log réduct. —0.8211602, réduct, au vide — +6°**,625 


C'est ainsi qu’on opère ordinairement ; toutefois les 
considérations physiques sur lesquelles cette réduction 
est fondée ne sont pas parfaitement conformes à ce qui 
a lieu réellement. En effet, M. Bessel a remarqué (Aca- 
démie de Berlin, 1826) qu’une couche d’air reste adhé- 
rente au pendule lors de son mouvement oscillatoire, 
et que par conséquent elle accroît le volume de la 
masse, diminue la densité moyenne et augmente le mo- 
ment d'inertie. M. Poisson, qui a de son côté soumis ce 
fait à l'analyse, pense que si la réduction précédente 
élait multipliée par 2 , elle remplirait assez bien, faute 
d'expérience directe , les conditions requises (Mémoires 
de l'Académie des sciences, tome XI), du moins à l'égard 
du pendule de Borda. 


RÉDUCTION AU NIVEAU DE LA MER. 


Puisque l'intensité de la pesanteur varie dans le sens 
de la verticale, elle influe nécessairement sur la durée 
des oscillations du pendule dans un temps donné. Cet 
instrument, pour battre les secondes, doit donc être plus 
long au niveau de la mer qu'au sommet d’une monta- 
gne. Ainsi, en nommant N';, N'" les nombres d’oscilla- 
tions infiniment petites faites respectivement dans le 
même temps en ces deux lieux, et appelant z la hauteur 


de la station élevée, on a assez exactement 


Z 
N''—N" (: + <) ; 


R — 6366198" étant d'ailleurs le rayon de la terre. 
A Paris, la hauteur du lieu des expériences était 


z= 72, et l'on a eu, par sept comparaisons ; 


N° — 90330,47 ; 


348 PEN 
partant, 
Log N°— 4.9558542 
Log z— 1.8575325 
c. Log R —3.1961197 


Log réduct. — 0.0092864 = 1,0216. 


La réduction au niveau de la mer est donc de 1°*,022. 
5. Parmi le grand nombre d’expériences du pendule 
invariable faites en 1822 à l'Observatoire de Paris, 
dont la latitude la plus récente est de 48°50"13", et à la 
hauteur de 72" au-dessus du niveau de l'océan (mer 
moyenne), celles du 24 avril, que nous avons citées, 
ont donné par sept comparaisons le nombre suivant 
d’oscillations en 24" de temps moyen, comptées dans 
l'air, 

90330°**,470 

On a eu ensuite, réduction à la température 
.. + 0, 024 
Réduction au vide-- + + + + + + + + + + + 6, Go25 


Réduction au niveau de la mer. + + : 


de 15° centigrades. « . . . . . 


Résultat partiel. «+ + « : + 90998, 141 


Résultat moyen de trois résultats partiels n'—090356, 845. 


Pour les îles Malouines, M. Mathieu a obtenu par le 
même procédé # — 90549,198; ainsi la longueur du 
pendule à secondes à Paris étant prise pour unité, celle 
aux iles Malouines désignée par l'sera 


n° Le 
PE) — 1,00027990. 


Fr 
Quant à sa longueur métrique, que nous désignerons 
par @&, elle est à Paris, suivant Borda, de 0",995855 ; 


concluons de là et de ce que la théorie donne entre la 
pesanteur g et la longueur a du pendule simple la re- 


Le HE 2 


# étant le rapport de la circonférence au diametre, con- 


lation 


cluons enfin que 
g — 9",80896. 


Tel est le double de l’espace que parcourt dans la pre- 
mière seconde un corps qui tombe librement dans 
le vide. 

4. La longueur ! du pendule à secondes croissant 
comme le carré de la latitude }, on a généralement (a) 


1—A+Dsin?), 


A et B étant deux constantes qui peuvent être obtenues 


PEN 
à l’aide d'expériences faites comme ci-dessus en diffé- 
rens lieux, et d’où l’on peut ensuite tirer la valeur de 
l’aplatissement de la terre. En effet, Clairaut a démon- 
tré le premier, par la théorie de l'attraction, que cet 


2 ; 5 
aplatissement est égal aux 3 du rapport de la force 


centrifuge sous l'équateur à la pesanteur, moins l’excès 
B de la longueur du pendule au pôle sur celle A du 
pendule équatorial, divisé par cette dernière longueur ; 
c’est-à-dire que 


[SA 


1 B - 
Aplatissement — + 389 — = —:0,00865 — —. 


Œœ 


D 
a 


Mais la détermination exacte des constantes À, B, exige 
qu’on ait recueilli un très-grand nombre d'observations 
à des latitudes différentes, et alors on applique à l’en- 
semble de toutes les équations de condition (a) la mé- 
thode des moindres carrés. (Voy. ce mot.) 

On doit reconnaître maintenant de quelle importance 
sont les expériences du pendule dans la recherche de la 
variation de la pesanteur et de la figure de la terre. 


(M. Puissant.) 


PENDULE CONIQUE. (Méc.) Appareil destiné à 
régulariser l’action variable d’un moteur. Il se compose 
d’un axe vertical tournant 4 (PI. X VIT, fig. 7), qui porte 
deux tiges kl mobiles en k; ces tiges sont terminées par 
des boules pesantes /, et sont réunies, à articulations, à 
deux autres tiges mn qui tiennent un anneau ni mobile 
le long de l'axe à. Qu'on imagine ce régulateur adapté 
à une machine, laquelle fasse tourner l’axe à avec une 
vitesse variable, on voit d’abord qu’en vertu de la force 
centrifuge acquise par les boules , !, elles tendront à 
s’écarter d'autant plus que leur vitesse de rotation au- 
tour de l’axe à? sera plus grande; au fur et à mesure 
qu’elles s’écartent, les tiges mn font monter l’anneau nt; 
si la vitesse diminue, la force centrifuge diminue égale- 
ment, les boules se rapprochent par l'effet de la pesan- 
teur, et l'anneau nt descend. C’est ce mouvement d’é- 
lévation et d’abaissement qu’acquiert l'anneau ni, en 
vertu de l’augmentation et de la diminution de la force 
centrifuge, qu'on met à profit pour régulariser l’action 
variable de la vapeur dans les machines à feu. L’anneau 
ni tient alors entre deux guides la tête o d’un levier 
dont le point d'appui p est à charnière mobile ; en mon- 
tant, il soulève avec le bras po une tige gr qui commu- 
nique avec une vulve servant à régler l'introduction de 
la vapeur; cette vulye diminue la quantité de vapeur 
introduite sous Ie piston quand la tige gr monte, et 
l’augmente quand elle descend. Le pendule est mis en 
mouvement par une corde sans fin qui s’enroule d’une 
part autour d’une rouc horizontale fixée à son pied, et 
de l’autre autour de l’axe principal de la machine à va- 


EE ————— 


PEN * 

peur. D’après cette disposition, quand l’axe principal 
vient à prendre un mouvement très-rapide, la corde 
sans fin le communique à l’axe vertical à du pendule, 
les boules /, ! s’écartent, la tige gr monte, la vulve se 
ferme et la force motrice se trouve diminuée en propor- 
tion de son excès. Lorsque l'équilibre est rétabli, et que 
la résistance commence à l'emporter sur le moteur, la 
vitesse du pendule diminue, les boules {, { redescen- 
dent, ainsi que la tige gr, la vulve se rouvre, et une nou- 
xelle affluence de vapeur surmonte l'excès de la résis- 
tance. L'invention de cet appareil aussi ingénieux 
qu'important est attribuée à Watt. 

On peut déterminer à priori la relation entre la vi- 
tesse de rotation de l’axe vertical et la hauteur à la- 
quelle se tiennent les boules de la manière suivante. Ré- 
duisons l’appareil à deux points pesans Q, Q (PI. XVII, 
fig. 8) retenus par deux fils inflexibles et inextensibles 
AQ, AQ , sans pesanteur, et nommons 


T la distance horizontale QB des points Q à l'axe AB, 
h la distance verticale AB des mèmes points au point de sus- 
pension À, 


{ le temps employé par l'axe AB pour faire une révolution; 


le cercle décrit par les points Q, Q sera 2rr, et, par 
conséquent, l’expression de leur vitesse  scra 


la force centrifuge due à la vitesse v étant (voy. Mouve- 
5 
MENT, N° 29) 


Nous aurons, pour l’expression de cette force 
2 3 


4r?r 
ie 

Observons que les points matériels Q, Q soumis si- 
multanément aux actions de la force centrifuge et de 
la force de gravité se placent nécessairement dans une 
position telle que la résultante de ces deux forces soit 
dans la direction de la droite AQ qui soutient chacune 
d'elles, de sorte que le rapport des droites AB et BQ est 
le même que celui de la gravité g à la force centrifuge 


2r 
_ ; nous avons donc 
d'où 
hk — et Ü— | 5 à 
9 


À PEN 349 


cette relation entre la hauteur verticale à laquelle se 
tiennent les boules ct la durée d’une révolution de l’axe 
donne le moyen de régler le mécanisme de la vulve. On 
voit que la hauteur verticale À est la longueur du pen- 
dule simple (voy. ce mot), qui ferait deux oscillations 
pendant que l’axe fait un tour. 

Le pendule conique peut s'appliquer très-avantageu- 
sement aux roues hydrauliques; voici, d’après M. Fla- 
chat (Mécanique industrielle), les meilleures disposi- 
tions à donner à l'appareil pour lui faire lever et abais= 
ser une vanne, ce qui exige plus de force que pour lever 
et abaisser une vulye ou soupape de machine à yapeur. 

Le pendule conique est disposé comme on le voit 
fig. XVIL, PL 9; l'anneau mobile a est au-dessus du 
point d'attache ec des tiges, et les tiges cà sont trois à 
quatre fois plus grandes que les tiges cb. La force cen- 
trifuge, en écartant les boules, fait descendre l'anneau, 
ce qui élève le bras de levier al, dont l'extrémité ou 
manchon }, armé d’une double griffe (fig. 10), glisse par 
frottement dans le sens vertical sur un arbre f, lequel 
reçoit aussi son mouvement de la machine. Suivant que 
le manchon ! monte ou descend, il embraye (voy. Em- 
BRAYAGES) par la griffe o ou par la griffe p la roue m ou 
la roue n qui sont folles sur l'axe f. Quand le manchon 
s'approche de l’une ou de l’autre, et vient, par l’une de 
ses grifles, sous la griffe que porte chacune de ces roues, 
comme le manchon n’est mobile autour de l'axe que 
dans le sens vertical, mais non dans le sens horizontal, 
la roue qu’il touche ou qu’il embraye se trouve ainsi 
entraînée dans le mouvement de l’axe. Les deux roues 
m eln engrènent d’ailleurs sur une troisième roue r, 
laquelle porte un axe st qui est susceptible de soulever 
ou de fermer la vanne au-delà du point assigné pour le 
travail moyen, ou, en d’autres termes, accroît ou limite 
la dépense d’eau selon qu'il faut produire un effort su- 
périeur ou inférieur à celui de l'appareil dans sa marche 
ordinaire, 

Lorsque l'appareil est dans cet état moyen ou ordi- 
naire, le manchon / prend une position moyenne, et 
dans laquelle il n’embraye ni l’une ni l’autre des deux 
roues; l'arbre cf tourne ainsi sans communiquer de 
mouvement aux roues m et, et celles-ci, par consé= 
quent, n’en communiquent pas à la roue r et à son axe. 

Si la vitesse s'accélère, le manchon, en se soulevant, 
embraye l’une des roues, et cette roue communique 
son mouvement à la roue r et celle-ci à la vanne. Ce 
mouvement, en définitive, on voit que c’est la force 
centrifuge qui le produit. Si maintenant il se produit 
un ralentissement, le levier agit dans le sens inverse, 
la roue qui était prise est désembrayée, et l’autre roue 
est embrayée à son tour; de telle sorte, que la roue r 
tourne en sens inverse et produit un eflet contraire de 
celui qui venait d’avoir lieu. 


350 PEN : 


Au reste, ajoute M. Flachat, il faut remarquer que ce 
moyen ne remplit entièrement le but proposé que lors- 
que l'accélération ou la diminution de vitesse moyenne 
durait pendant un temps assez long. Alors la régulari- 
sation du moteur est bien complète; mais si l’accéléra= 
tion vient d’une cause qui n’agisse qu’instantanément , 
ou bien si elle n’arrive que peu à peu au point où l’ap- 
pareil est assez poussé par la force centrifuge pour agir, 
on voit qu’il se sera écoulé un certain temps entre l’in- 
stant où la cause de l'accélération aura commencé et le 
moment où le régulateur l’aura fait cesser. Tel est donc 
l'inconvénient du régulateur à force centrifuge; il ne 
peut augmenter où diminuer instantanément l’action 
du moteur, c’est-à-dire au moment même où une cause 
vient à déranger le régime de la vitesse le plus avanta- 
geux à la machine. Nous signalons cet inconvénient 
afin qu’on connaisse bien cet organe mécanique; mais 
ce serait mal nous comprendre que de trouver dans 
cette indication une atténuation des avantages qui nous 
paraissent appartenir à ce régulateur, l’une des plus 
utiles et des plus ingénieuses conceptions de la méca- 
nique. 

Voyez, pour d’autres appareils propres à régulariser 
le mouvement des machines, les mots Récuzareur et 
Vozaxr. 


sl 


PENDULE SIMPLE. (Méc.) La théorie du pendule 
simple se déduit des lois générales du mouvement sur 
les courbes d’une manière plus directe et plus complète 
que des considérations employées tom. II, page 288. 
L'importance de cette théorie en fait une des applica- 
tions les plus intéressantes des principes exposés ci- 
dessus page 3525. 

Soit O (PI. XVII, fig. 11) le point de suspension du 
pendule, et AO —7 sa longueur. Imaginons qu'après 
l'avoir élevé au point M on lui imprime une vitesse 
perpendiculaire à sa longueur et dirigée dans le plan 
xertical MOA ; toutes les forces qui agissent sur lüi se 
trouvant ainsi dans ce plan vertical, il ne pourra s’en 
écarter, et le mouvement du point matériel M s’effec- 
tuera de la même manière que s’il devait rouler sur un 
arc de cercle résistant MBM' et qu’il n’y eût pas de fil 
de suspension. 

Menons par le point de départ M une horizontale MX 
et une verticale MZ; prenons la première pour axe des 
æ et la seconde pour axe des Z, en comptant les z dans 
le sens de la pesanteur. Le point mobile n'étant soumis 
à aucune autre force accélératrice que la pesanteur, les 


équations de son mouvement seront 


d’x 2% 
de qe 


PEN 


d'où l’on déduira pour l'expression de sa vitesse en un 
point quelconque de sa trajectoire (Voy. MouvemExT, 
n° 26)... (a) 


v° —V?—+ 292, 


v' désignant la vitesse initiale ou la vitesse imprimée au 
point matériel à son point de départ M pris pour origine 
des coordonnées, 


L'équation (a) nous montre que la vitesse du pen- 
dule augmente à mesure qu’il descend de M vers le 
point A, le plus bas de sa course; car l’ordonnée verti- 
cale z, qui est la seule variable du second membre, croît 
depuis o jusqu’à AP, pendant cette partie du mouve- 
ment. Au point A, où l’ordonnée % a atteint son maxi- 
mum de grandeur, AP — h, la vitesse du pendule est la 
plus grande possible ; et comme au-dessus de ce point, 
pendant que le mobile s'élève sur l'arc AM' en vertu de 
la vitesse acquise, l’ordonnée z diminue, la vitesse dé- 
croît aussi successivement. Arrivé en M' dans l’horizon- 
tale, le mobile n’a plus que sa vitesse initiale v', car 


oi — 
CH 0 


Au-dessus du point M', l’ordonnée z devient 
négative, l’expression de la vitesse est alors 


D? —V?— 92qz, 


c’est-à-dire qu’elle diminue à mesure que z augmente, 
et qu'elle est complètement anéantie lorsque 


YA UE, 


ou lorsque la grandeur absolue de z est celle de la bau- 
teur due à la vitesse initiale v’. 
Si nous prenons 


le point M'sera donc celui où la vitesse du mobile est 
nulle, et où, n'étant plus soumis qu’à l’action de la pe- 
santeur, il doit commencer à redescendre le long de 
Parc M'A, acquérant à chaque instant du mouvement 
un nouveau degré de vitesse; de sorte que, de retour 
en À, sa vitesse se retrouvera de nouveau être égale à 


v? 2= v"? + 2qh. 


En effet, la vitesse acquise par la chute le long de l'arc 
M'A est la même que celle qui serait due à la hauteur 
AQ; or 


AQ = PQ + AP —Mz+X; 


donc la vitesse en A est 


VW. og E ogh = V/01— ogh. 


PEN 


Du point À, le mobile remontera sur la branche AM; 
mais il dépassera le point de départ primitif M; car la 
vitesse ne redeviendra nulle qu’en un point M", dont 
la hauteur verticale au-dessus de A sera la même que 
celle du point M". Parvenu en M'”, il redescendra de 
nouveau pour remonter sur l’autre branche en M", et 
ainsi de suite indéfiniment. A l'exception du premier 
arc MA, chaque arc de descente étant égal à l’are de 
montée , le mobile oscillera autour du point le plus bas 
À ; la durée de la première oscillation MA différera seule 
de la durée de toutes les autres, qui seront isochrones. 


Si la vitesse initiale v' était assez grande pour que le 
mobile parvint au point A'avant d’avoir perdu toute sa 
, et au lieu d’os- 


"1, 


vitesse, il redescendrait par l’arc A'M 
ciller il parcourrait un nombre indéfini de fois et dans 
des durées égales la circonférence entière du cercle. 
Dans le cas des oscillations, qui est le seul que nous 
ayons à considérer, nous pouvons supposer la vitesse 
initiale Ÿ — 0, ce qui revient à transporter l’origine des 
coordonnées au point M''et à ne point tenir compte 
de la première oscillation MA. Pour ne rien changer 
aux dénominations précédentes, nous admettrons qu’a- 
près avoir élevé le mobile au point M, on l’abandonne 
simplement à la pesanteur ; les arcs d’oscillations seront 
alors MA et AM’, et l'expression de la vitesse en un 
point de l’arc total MAM', dont l’ordonnée verticale est 
Z; Sera... (0) 


Désignons par s l'arc Mm compris entre le point de 
départ M et un point quelconque m de la circonférence, 
et par { Le temps employé à décrire; nous aurons 


d'où, en comparant avec (b), ..……. 


(9) 


ds 


Cette équation nous fera connaître le temps t en fonc- 
tion de l'arc parcouru s et réciproquement ; mais pour 
plus de simplicité, il faut exprimer l’ordonnée z en 
fonction des coordonnées du cercle décrit par OM. 
Prenant le point À pour origine et comptant les æ sur 


le diamètre vertical AA’, l'équation du cercle sera 
y = 2ræ — a}, 
etnous aurons pour le point quelconque m 


AP=X, pMm—7Yy. 


‘ PEN 354 


Ainsi, l’ordonnée verticale z ou Pp du point m devien- 
dra AP — +, ou 


Zz=h— x. 


Cette valeur, substituée dans les équations (b) et (c), 
les rendra 


la dernière équation devient 


__ Vaädm+dy 


Vas 


en y substituant à la place de ds sa valeur générale 
V'dz! + dy. 
Or on tire de l’équation du cercle, par la différen- 


tiation, 


EME 


d 
4 y 
et par suite, 


0 
de Udf=ds. Se da’, 
2 1 


Substituant à la place de y? sa valeur 2rœ — ax, il 
viendra, toutes réductions faites, 


r? 
2 RE — 2 = 
da? + dy? = dx = sl 


{are — | : AEL — «| 


Nous donnons le signe — au second membre, parce 
que æ diminue à mesure que £ augmente. 

L'intégrale de l’expression (d), prise entre les limites 
æ—h,æ— 0, donnera le temps de la descente le long 
de l'arc MA, c’est-à-dire la durée d’une demi-oscilla- 
tion; mais on ne peut l’obtenir sous une forme finie par 
les procédés connus jusqu'ici. Pour la développer en 


série, donnons à cette expression la forme 


ares y 


J V4 ee |. 


352 PEN 


et observant qu’en vertu du binome de Newton nous 


avons 


La 2 1 “A 1.3 x? 
(-—*) HUE mie 
do ME 

Dr OR MURS 


il viendra 


1 r dx 1 © 
a=— |" 3 Vire h EE CE ae... |. 


Les intégrales des différens termes de cette expression, 
abstraction faite du facteur commun et constant, 


sont toutes comprises sous la forme 


152 —x".dr, 
1, (ar) JV 27 


de sorte qu’en posant 


A — DRE à. 
0 JV x — 2? 
A = — xdæ 
À V'hx — x? 
PE 2 
A, SE} 
V’hæx — x 
etc.— elc. 
on a 
1 r RS 1.000 
elles meet 


010 
+ ne ga A, +e..|. 


Le terme général de cette série est 
1 ce AN 
= =. 5. (—) .A. 
2 g 9 2r H 


Lorsqu'on prend les intégrales depuis + — À jusqu’à 
æ — 0, leurs valeurs A,, À,, À,, etc. , sont liées entre 
elles de manière qu’il suffit de connaître la première 
pour obtenir toutes Les autres. En effet, l’intégration 


PEN 
par parties (voy. Ixrécraz, tom. IT) donne l’expression 
générale 


aide dt AVR 
V'hx — x? p 
hou — à) (— à 7 ‘dx 
_ ( (als ) LES 


Or, aux deux limites æ— 0, æ — h le premier terme 
du second membre se réduit à zéro, et l’on a simplement 
— a"dx 

Vhz — x? 2p 


ou 
PLIS) Aus 


faisant successivement dans cette dernière expression 
= 1, = 2, etc., on obtient 


À, — = hA,, 

MSA = LEA, 
5 LANGE 

3 = 6 kA, = Fe 4.6 h'A,, 
etc.— elc. ; 
et, en général, 
F2 j 

Em = rh . À 


Pour déterminer la valeur de A, , nous avons géné- 
ralement (voy. InréGraL, tom. IT) 


dx 2æ— h 
Des il — constante, 


intégrale qui, prise depuis æ = h jusqu’à æ — 0, se ré- 


duit à 
arc [ces = — ] = T3 


# désignant la demi-circonférence du cercle dont le 
rayon — 1. Ainsi la valeur de A, est 
pi2 


1 He 

À = — rh 
pi 
2" 


et le terme général du développement (d) devient 
: r pla 2 Fe 
47.6) 
2 Ta Ge 27 
Désignant donc par T la durée d’une oscillation entière, 


qui est le double de celle de la demi-oscillation, nous. 
aurons définitivement ….. (e) 


AO OR 
+4 D] 


PEN 

Cette série est d'autant plus convergente que k est plus 
petit par rapport à 2r. + 

Lorsque l’are d’oscillation MM est très-petit, le rap- 
port de la hauteur verticale AP — À au double de la 
longueur r du pendule est une très-pctite fraction, 
la série se réduit à son premier terme, et l’on peut 
alors poser approximativement … (f) 


14. 


Nous avons vu les conséquences de cette expression au 
mot PENDULE, tome Il. 

Dans le cas d’un très-petit arc d’oscillation , la résis- 
tance de l'air n’a aucune influence sensible sur la durée 
des oscillations : son effet général étant de diminuer 
l'amplitude de l'arc et par suite la hauteur verticale k, 
qui n’entre pas dans l’expression (f), on voit que la va- 
leur de T reste la même pour toutes les valeurs de À 
négligeables devant 2r, de sorte que, bien qu’à la vérité 
les arcs d’oscillations d’un pendule diminuent conti- 
nuellement depuis l'instant où il est mis en mouvement 
jusqu’à celui où il s’arrête par l'effet des résistances 
étrangères, toutes ses oscillations s’exécutent dans des 
intervalles égaux de temps, lorsque d’ailleurs lampli- 
tude de la première oscillation est très-petite. Les ex- 
pressions (e) et (f), qui donnent les moyens d'apprécier 
l'influence de l'amplitude de l'arc sur la durée des os- 
cillations, vont nous servir à légitimer cette assertion. 

Supposons que la longueur r du pendule CM soit 
de 1"; la durée d’une de ses oscillations infiniment pe- 
tite sera rigoureusement 


1-4, 


T exprimant un nombre de secondes. Substituant à la 
place de x et de g leurs valeurs connues, on trouvera, 
pour la latitude de Paris, 


T = 3,1415926 


V/:8088 — 1°,0030946. 
e] 


Considérons maintenant un arc d’oscillation MM dont 
l'amplitude soit de 2 degrés ; la hauteur verticale À — AP 
sera 


AP — AO — OP — 1—0OP, 
ou, à cause de OP — OM. cos MOA — 1 . cos 1°, 
h— 1 — cos 1° = 1 — 0,9998407 — 0,0001595, 


ce qui donnera 


|æ 


— 0,00007006. 


1 
= 


Ton. mm. 


PEN 353 


Substituant cette valeur dans dla série (e), on obtiendra, 
avec sept décimales exactes, 


T = 1°,0051145, 
durée qui ne diffère de celle déterminée ci-dessus que 


de seconde. Pour des arcs plus petits, 


: 1 
de moins — 
10000 


la différence serait tout-à-fait inappréciable, et l’on 
voit qu’on peut admettre, sans erreur sensible, que les 
petites oscillations d’un pendule sont isochrones et in- 
dépendantes de la quantité k. Cependant, dans les ob- 
servations qui exigent une très-grande précision, on 
conserve les deux premiers termes de la série (e), ce 
qui donne pour la valeur de T 


PATES 


On peut mettre cette expression sous une forme plus 
simple en y introduisant le demi-arc d’oscillation MOA 
exprimé en parties du rayon — 1. Pour cet effet, il faut 
observer qu’en désignant cet arc par «, le triangle rec- 
tangle MAO donne 


OP—OM.cosa—#. Cosu, 


AP—h=r—1rcosu—#"(1 — C0 «), 


el, par suite, 


h 
— = 1 — COS &. 
F 


Or, (voy. Sinus, tome IT) 


. a\? 
1—cosx —2 (sin). 


Ainsi, comme un petit are se confond sensiblement 


avec son sinus, on a à très-peu près 


LE] 


= ICO s 


h 
T 
Cette valeur, mise dans l'expression précédente, la 


me 1 


Lorsqu'un arc est donné en degrés, on obtient son 


expression en parties du rayon pris pour unité par la 


change en 


formule 


TA 


= — 648000 ? 


354 PER 


dans laquelle # est le nombre de secondes sexagési- 
males contenues dans l'arc &. Les logarithmes de Callet 
renferment une table qui dispense de ces calculs. Voyez, 
pour d’autres détails concernant le pendule, les mots 


Penpure, tome II, et PENDULE comrosé, dans ce Sup- 
plément. 


PERCUSSION. (Méc.) Impression que fait un corps 
en mouvement sur un autre qu'il rencontre et qu'il 
choque. (Voy. Cnoc, tome I*, et Communicarion pu 
MOUVEMENT.) 

Les effets mécaniques de la percussion ont paru très 
surprenans aux premiers observateurs, qui ne pouvaient 
se rendre compte de ce qu'avec un petit marteau et un 
petit mouvement on enfonce sans peine des clous qui 
supportent des fardeaux immenses et qu’on aurait 
peine de faire enfoncer en les chargeant de poids ex- 
cessifs. « Ne serait-ce pas, dit Camus dans son Traité 
des forces mouvantes, une chose inconcevable et in- 
croyable, si l’on n’en voyait l'expérience, que quelques 
ouvriers enfoncent en peu de temps, avec le mouton, 
des pilotis qui supportent et tiennent en équilibre des 
murailles et des tours entières, d’une masse et d’une 
hauteur prodigieuses, pendant plusieurs siècles, sans 
qu'ils aient paru baisser ? I] faut sans doute, par exem- 
ple, qu’en enfonçant les pilotis qui supportent les tours 
de la métropolitaine de Paris depuis tant de siècles, on 
leur ait donné plus de force avec le mouton, ou qu’on 
ait mis dessus plus de poids que toutes les tours et la 
masse qui est dedans ne pèse, puisqu'ils les ont toujours 
tenues en équilibre depuis, sans avoir enfoncé ou baissé, 
et qu'il est probable qu’ils Les y tiendront encore pen- 
dant plusieurs siècles à venir. » On saisira aisément la 
raison de ces phénomènes, a dit d’Alembert, si l’on fait 
attention à la différence essentielle qui existe entre la 
pression d’un corps immobile et la percussion d’un corps 
en mouvement. Tout corps qui tombe s'accélère en 
tombant; mais sa vitesse au commencement de sa 
chute est infiniment petite; de facon que, s’il ne tombe 
pas réellement, mais qu'il soit soutenu par quelque 
chose, l'effort de la pesanteur ne tend qu’à lui donner 
au premier instant une vitesse infiniment petite. Ainsi, 
un poids énorme, appuyé sur un clou, ne tend à des- 
cendre qu'avec une vitesse infiniment petite; et comme 
la force de ce corps est le produit de sa masse par la 
vitesse avec laquelle il tend à se mouvoir, il s'ensuit 
qu'il tend à pousser le clou avec une force très-petite. 
Au contraire, un marteau avec lequel on frappe le clou 
a une vitesse et une masse finies, et par conséquent sa 
force est plus grande que celie du poids. Si on ne vou- 
lait pas admettre que la vitesse actuelle avec laquelle le 
corps tend à se mouvoir est infiniment petite, on ne 


pourrait au moins s'empêcher de convenir qu’elle est 


PER 
fort petite, et alors l'explication que nous venons de 
donner demeurerait la même. 

Il est certain que l'effort produit par la charge que 
supporte un clou ou un pieu ne peut être comparé à 
celui qui résulte du choc d’un corps en mouvement, tel 
que le marteau qui vient frapper la tête du clou ou du 
pieu; car le premier effort, qui n’est qu’une pression, 
est représenté par 


mgdt, 


m étant la charge , g la vitesse que la pesanteur tend à 
imprimer au corps dans l’unité de temps, et dé l'élément 
du temps; tandis que le second effort est exprimé par 


MV, 


M étant la masse du corps choquant et V une vitesse 
finie. Orles quantités mgdt et MV appartiennent à des 
ordres différens, de sorte qu’il est théoriquement et phy- 
siquement impossible d'établir l'équilibre entre un choc 
et une pression, et, conséquemment , de comparer l’un 
des efforts à l’autre. En un mot, la force des corps en 
mouvement ne peut être mesurée par des poids, c’est- 
à-dire par la pression seule destituée de mouvement 
local; et si l’on a souvent observé que des forces de 
pression peuvent produire des effets égaux ou supé- 
rieurs à ceux des forces de percussion, c’est que la 
masse pressante, par suite de l'insuffisance de son appui, 
se trouve animée d’une vitesse finie, et par suite d’une 
quantité de mouvement du même ordre de grandeur que 
la quantité de mouvement d’une masse percuütante. 
Quant à la supériorité des forces de percussion sur 
celles de pression pour l’enfoncement des clous ou des 
pieux, elle tient encore à une autre circonstance qu'il 
ne sera peut-être pas inutile de signaler. Le clou qu’on 
veut introduire dans un corps dur a deux résistances 
à vaincre : il faut d’abord qu’il ouvre devant lui un es- 
pace dans lequel il puisse entrer; puis, à mesure qu'il 
s'avance, il faut de plus qu’il surmonte le frottement et 
la pression qu’exercent les parois du trou en contact 
avec sa surface. Si l'introduction s'effectue par une 
pression, il est évident que le clou cessera de s’avancer 
aussitôt que la pression motrice sera en équilibre avec 
les deux résistances que nous venons de signaler; mais 
lorsque cette introduction est produite par la percussion 
réitérée d’un marteau, il faut observer que chaque coup 
de marteau produit deux effets : le premier est de 
pousser le clou dans la cavité formée par sa pointe; le 
second, de comprimer ce clou dans le sens de sa lon- 
gueur, c’est-à-dire d'augmenter momentanément sa 
grosseur aux dépens de sa longueur. Cette petite aug- 
mentation de grosseur tend à agrandir le trou ; et comme, 
après que la percussion a cessé, le clou, en vertu de son 
élasticité, reprend, au moins à peu près, sa première 


PER 


figure, il existe un vide entre les parois du trou et la 
partie de la surface du clou déjà introduite ; ce vide dé- 
truit en tout ou en partie la résistance due au frotte- 
ment et à la pression des parois , de sorte que le coup 
de marteau suivant n’a qu’à surmonter la résistance que 
rencontre la pointe du clou pour aller en avant. Ainsi, 
la pression doit surmonter deux espèces de résistances 
qui se mettent bientôt en équilibre avec elle, quelle que 
grande qu'elle soit, tandis que la pereussion n’a à vain- 
cre qu'une des deux. Ajoutez à cela que la force mus- 
culaire qui fait agir le marteau peut accumuler dans cet 
outil une quantité de mouvement très-grande, eu égard 
à la petitesse de sa masse. 

Plusieurs savans ont fait des expériences sur les effets 
des chocs des corps pesans qu’on laisse tomber libre- 
ment. Les résultats obtenus par les deux Camus, Ber- 
nouilli, Mariotte, S'Gravesande , l'ingénieur Soyer, 
tendent à établir que ces effets sont proportionnels aux 
masses des corps choquans ainsi qu'aux hauteurs des 
chutes, ou, ce qui est la même chose, aux carrés des vi- 
tesses finales, ce qui s'accorde avec les meilleures théo- 
ries de la percussion. Quelques autres résultats, et no- 
tamment ceux de Rondelet, sembleraient indiquer que 
les effets des chocs sont proportionnels aux masses et 
aux racines carrées des hauteurs des chutes ou aux 
simples vitesses finales, mais, comme Navier l’a fort 
bien fait observer, il y a lieu de croire que, si dans ces 
expériences les effets des grands chocs paraissent moin- 
dres qu'ils devraient être, cela tient à ce qu’il est impos- 
sible d'éviter alors qu’une partie de la force du coup ne 
soit communiquée à l’appui du corps soumis à l’expé- 
rience et perdue pour l’effet que l’on mesure, circon- 
stance qui d’ailleurs se retrouve également dans la plu- 
part des cas des battages des pieux. Camus, l’auteur du 
Traité des forces mouvantes, qu'il ne faut pas confondre 
avec Gamus l’académicien, a reconnu le premier que la 
nature des corps choqués et des appuis sur lesquels ils 
se trouvent portés exerce une grande influence sur les 
effets de la percussion; quoique ses recherches n’offrent 
aucun résultat précis, elles ne sont pas dépourvues 
d'intérêt et peuvent être encore consultées avec fruit. 

Les eflets utiles principaux qu’on obtient de la per- 
cussion employée comme agent mécanique sont : 

1° L’enfoncement d’un corps dans un autre qui se 
laisse pénétrer, tel que, par exemple, l’enfoncement des 
pieux dans le terrain (voy. Sonnerre) ; 

2° L’aplatissement et l'allongement des corps duc- 
tiles et malléables; 

3° La pulvérisation des corps non ductiles ou la sé- 
paration de ces corps en plusieurs fragmens ; 

4° Une très-forte pression, produite par l’introdue- 
tion de coins entre des corps assujettis à ne pouvoir s'é- 
carter que faiblement. 


PIL 359 


La percussion peut être employée de deux manières 
essentiellement différentes. Suivant la première, on 
élève un corps à une hauteur déterminée, puis on l’a- 
bandonne librement à l’action de la pesanteur. C’est 
ainsi qu'on fait agir les moutons des sonnettes et les 
gros marteaux ou martinets des forges. Suivant la se- 
conde, le moteur ajoute à la force accélératrice de la 
pesanteur une autre force accélératrice qu’il imprime 
au corps en le comprimant pendant toute la durée du 
mouvement. Par exemple, le forgeron augmente consi- 
dérablement la force de percussion du marteau dont il 
se sert, et lui communique une quantité de mouvement, 
due à sa force musculaire, bien supérieure à celle qu’il 
acquerrait s’il tombait librement. Pour donner un puis- 
sant coup de marteau, il est essentiel de l’élever et de 
lui faire décrire le plus grand arc possible, afin que la 
force accélératrice ait le temps d’accumuler dans la 
masse de l'instrument une grande quantité de mou- 
vement. 

Voyez, pour la théorie de la percussion : Prony, 
Nouvelle architecture hydraulique; et, pour ses effets: 
Camus, gentilhomme lorrain, Traité des forces mou- 
vantes. — Camus, de l’Académie des Sciences. Mémoire 
sur l'enfoncement des boules dans la glaise (Mémoire de 
l’Académie, 1728). —- Bernoulli, Discours sur la com- 
munication du mouvement (Prix de l’Académie des 
Sciences.) — Mariotte, Traité du mouvement des eaux. 
— Rondelet, Traité de l'art de bâtir. — Perronet, Mé- 
moire sur les pieux et pilotis. — Sganzin,° Programme 
d’un cours de construction. 


PILON. (Méc.) Appareil destiné à pulvériser les 
substances dures. Il se compose d’une pièce de bois 
équarrie DQ (PI. XVIE, fig. 11) qui se meut verticale- 
ment, et dont la partie inférieure Q est armée d’une 
masse de fer ou de fonte; une pièce transversale PR, 
nommée mentonnet, reçoit l’action d’une came, qui, 
après l’avoir élevée à une certaine hauteur, l’aban- 
donne, ainsi que le pilon auquel elle est fixée et qu’elle 
entraine, à l’action de la pesanteur. Le pilon est retenu 
par deux prisons ou manchons À, B, qui s’opposent à 
tout autre mouvement que le mouvement vertical. La 
courbure de la came doit être celle d’une développante 
de cercle lorsqu'on veut que l’ascension du pilon soit 
régulière. Voy. GAME. 

La direction de la force qui soulève le mentonnet ne 
passant pas par le centre de gravité du poids Q, ilen 
résulte que le pilon exerce contre ses prisons A et B des 
pressions qui produisent une résistance de frottement 
d'autant plus considérable que la came est plus éloi- 
gnée de l’axe du pilon, Il est facile de voir qu'en dési- 
gnant par Q le poids total du pilon, par / la distance 


AB des prisons, et par p la longueur PR du mentonnet, 


356 PIL 


la pression sur l’une des prisons est QP et la pression 


totale 2Q £ - Ainsi, désignant par f le coefficient du 


frottement, dont la valeur dépend de la nature des sur- 
faces frottantes (voy. Frorremenr), on aura pour l’ex- 
pression de la résistance due au frottement , 


21Q F. 


P désignant la force motrice, l’équation d’éguilibre est 
donc 


P—Q+ ff. 


On diminue les frottemens en substituant au men- 
tonnet un boulon qui traverse le pilon parallèlement à 
l'arbre des cames et dans l’axe même du pilon. Ce bou- 
lon peut être placé de deux manières différentes : la 
première consiste à pratiquer dans le pilon une entaille 
revêtue de lames de fer, le boulon traverse cette en- 
taille, dans laquelle entre une came en fonte pour sou- 
lever le pilon; la seconde, qui n’a pas l'inconvénient 
d’affaiblir le pilon par une entaille, consiste à faire sou- 
lever les deux extrémités du boulon, saillantes sur les 
faces latérales du pilon, par deux cames parallèles 
ayant une tête commune et qui dans leur jeu embras- 
sent le pilon. 

Un autre inconvénient grave de cet appareil, c’est 
que toutes les fois qu’une came se met en contact avec 
le mentonnet ou le boulon, il s'ensuit un choc impos- 
sible à éviter et qui occasionne un perte de force de 
vive (voy. COMMUNICATION DU MOUVEMENT), mais cet 
inconvénient tient à la nature même de la machine, cet 
l’on ne pourrait y remédier sans renoncer à l’unifor- 
mité du mouvement d’ascension. ( Voy. Bélidor, Archi- 
tecture hydraulique, et le Journal des Mines de Van IL.) 


PILOT ou PILOTIS. (//ydraul.) Nom générique 
des pièces de bois qu’on enfonce dans un terrain pour 
le consolider et lui donner la force nécessaire pour sou- 
tenir une fondation. On les emploie principalement 
pour porter les édifices de maçonnerie, comme les 
ponts, les murs des quais et autres ouvrages, que l’on 
veut fonder sous les basses eaux. 

On enfonce les pilots avec une machine nommée 
Sonnette (voy. ce mot) jusqu’à ce qu’ils n’entrent plus, 
ou du moins jusqu'à ce qu'ils n'entrent que de deux ou 
trois millimètres par volée, ce qu’on appelle le refus. 
Souvent ce refus est illusoire, et le frottement qu’ils 
éprouvent dans des terrains sablonneux les empêche 
seul de descendre. En général, l'emploi des pilotis 


n’est utile que lorsque après avoir traversé les couches 


PLA 


molles du terrain ils trouvent un fond d’une meilleure 
qualité où ils peuvent prendre une fiche suffisante. La 
méthode la plus sûre de fondation, dans les terrains 
peu consistans, est d’encaisser ces terrains à la plus 
grande profondeur possible et à les charger ensuite, 
avant d’élever les constructions, d’un poids au moins 
égal à celui que doit avoir l'édifice. En laissant ce poids 
agir assez long-temps, le fond se resserre autant qu'il 
peut l'être, et il ne doit rester aucune inquiétude pour 
l'avenir, tandis que l'établissement d’un pilotis, dans 
des circonstances semblables, peut laisser craindre que 
les couches où les pieux sont arrêtés soient placées sur 
d’autres couches susceptibles de se comprimer, comme 
cela n’arrive que trop souvent pour des couches d’ar- 
giles qui, naturellement fermes, finissent par se péné- 
trer, s’amollir, par l’eau qui s’insinue toujours le long 
des pilots, et prennent un tassement qui n’aurait point 
eu lieu si l’on n’avait pas fait de pilotis, et que rien ne 
pouvait faire prévoir. Voy. Powrs. 


PLAN TANGENT. (Géom.) Un plan est dit tangent 
à une surface courbe lorsqu'il la touche en un point. Si 
la surface est convexe dans toutes ses parties, le plan 
tangent n’a qu'un seul point de commun avec elle : 
celui de contact ; dans le cas contraire, le plan peut être 
tout à la fois tangent et sécant, c’est-à-dire qu'il peut 
toucher seulement la surface en un point et la couper 
dans d’autres, tout comme une droite peut être en 
même temps tangente et sécante par rapport à une 
même ligne courbe. 

Pour déterminer les conditions du contact d’un plan 
et d’une surface courbe, on caractérise plus particuliè . 
rement le plan tangent de la manière suivante : 

Si par un point donné sur une surface quelconque 
on y trace une infinité de courbes et qu'on leur mène 
des tangentes par le point en question, toutes ces droites 
se trouveront en général dans un seul et même plan que 
l’on nomme le plan tangent de la surface. 

Soit donc 


F(x, y, °z)—10 


l'équation d’une surface quelconque. Deux des varia- 
bles devant recevoir des valeurs arbitraires, prenons z 
pour variable dépendante, et résolvant cette équation 
par rapport à #, nous obliendrons une autre équation de 
la forme 


(DCE 


Imaginons que par un point donné, &', y', z', sur la 
surface, on ait tracé une courbe quelconque dont les 
projections soient représentées par les équations 


(2) sn y—= px; 3 = 4%, 


PLA 


cette courbe sera parfaitement déterminée par len- 
semble des équations (1) et (2), et sa tangente au point 
æ', y, %', aura pour équations. 


En effet, la tangente d’une courbe dans l’espace se 
projète toujours sur la tangente de sa projection (voy. 
Prosecrion), de sorte que les équations des tangentes 
des courbes planes (2) sont en même temps les équa- 
tions de la tangente dans l’espace de la courbe tracée 
sur la surface. Or, les coordonnées æ' et y' sont com- 
munes au point donné et à sa projection sur le plan des 
æy; ainsi la tangente de la courbe plane y — #x, au 
point æ', y, a pour équation (voy. tome IT, pag. 525) 
, 


,__ dot ; 


De même les coordonnées æ' et z sont communes au 
point donné et à sa proportion sur le plan desæz, et, 
par suite, la tangente de la courbe plane z — x, à ce 
point æ', z', a pour équation 


OUTES 
Zi —= 7 
“ dæ 


(&— x); 
done, etc. 

Observons maintenant que la dérivée différentielle 
dyæ'…., ES , 
Pre est autre chose que la dérivée totale de z', dont 
la valeur est donnée par l'équation (1), car cette équa- 
tion doit être satisfaite en y faisant 4x, y—, 
z—Z%. Or, représentant pour abréger f(æ', y') par f, 
nous ayons 

af 


di — = 


AU ne 
de . dx + ay 4° 


et, conséquemment, 


dz' _ dyx' 


dy” 
de dx 


dx" 


_df" df” 
7 dx a E dy" 
Posant 


GR èT 


df 
de y 


TI ? 


les équations de la tangente deviendront 


et il ne s’agit plus, pour obtenir ie lieu géométrique des 
tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface par 


PLA 357 
le point æ', y,z, que d'éliminer entre ces équations 


= qui distingue seule la courbe particu- 


dx 


lière que nous avons considérée jusqu'ici. Opérant cette 


la quantité 


élimination, il vient 
(5) 5—2=p(r— x) +q(y—y). 


Cette équation étant du premier degré par rapport aux 
variables æ, y, z, appartient au plan qui touche la sur- 
face au point æ', y', z', et l’on voit en outre que le lieu 
de toutes les tangentes est bien un plan, comme le sup- 
posait la définition générale du plan tangent. Nous re- 
marquerons cependant qu’il existe des points singuliers 
dans certaines surfaces pour lesquels cette proposition 


n’a pas lieu; tel est, par exemple, le sommet d’un 

: : ( 
cône; c’est ce qu'on reconnaît par les valeurs —, que 

0 

prennent alors les dérivées partielles p et q. 

On peut donner à l'équation (5) une forme plus gé- 
nérale en tirant les dérivées p et q de l'équation 

Hire ys ze) 0; 

sans la résoudre préalablement par rapport à 3". Diffé- 
rentiant successivement par rapport à &' et à y', il vient 


dr dr 
de ogg she? 
dr dF K 


LENCO anE 


Substituant dans (5) les valeurs de p et deg données par 
ces équations, on obtient pour l’équation du plan tan- 
gent .... (6) 


. dF , dF x 4 
CR ANS At 


Prenons comme exemple d'application les surfaces 
du second ordre, que nous pouvons comprendre toutes 
sous la forme générale (voy. GÉOMÉTRIE AUX Toys pr- 
MENSIONS, n° 61) , 


Az + A'y° + A'2? + 2Cæ + 2C'y + 2C'z HE — 0. 


Nous aurons ici 
F—Axz?+Ay?+A'27—+92Cx +a2Cy +oC's LE, 


d’où nous tirerons les trois dérivées partielles 
P 


dF , : 
= Ta 24x' + 2C, 
dr PE ; 
Tor 2A'y + 2C', 
dE 


7e = 2A°3 + 2C. 


358 PLA 
Ces valeurs substituées dans (6) donnent ….. (7) 

Ge + Ge 2) + (AY CGT) À 2 

(az + C')(z 7) 
Telle est l'équation générale du plan tangent à une 
surface quelconque du second ordre. Cette équation se 
réduit à... (8) 
Ada A'yy + A'xz +E—0 

pour les surfaces qui admettent un centre. 

S'il s'agissait, par exemple, d’un ellipsoide à 


trois axes 


2 2 m2 
z y z 
& — — [a] 
SAUT hs QE , 
on ferait 
Abc, A'—= ac, A = db, E— br 


et l’on aurait, pour l'équation de son plan tangent en 


un point quelconque æ', ÿ'; 4‘; 
bexa +. ay + abzz — db’c — 0. 


Dans le cas particulier de à = 4, y —0,z: = 0, où 
le point donné est le sommet qui se trouve sur l’axe 


des æ, l'équation précédente devient 
b’c'ax — ab?c? — 0, 


ce qui donne 


> æ—4; 


équation d’un plan parallèle au plan des y£ (voy. GÉO., 
n° 20), et, conséquemment, perpendiculaire à l’axe 
des æ. On trouverait de la même manière que les plans 
tangens aux autres sommets sont perpendiculaires aux 
axes de ces sommets, quant aux plans tangens aux au- 
tres points de l’ellipsoïde, eten général aux points quel- 
conques d’une surface du second ordre douée d’un 
centre , on peut voir qu'ils sont parallèles au plan dia- 
métral conjugué avec le diamètre qui passe par le point 
de contact. En effet, nous ayons vu (Géom., n° 60) que 
le plan diamétral conjugué avec une corde quelconque, 


représentée par les équations 
(9) … rm Ep, y=nz +4; 
a pour équation 


(Am + B'n + B')x + (An + B'm+By 
+ (AE Bn+B'm)z + Cm + Cr + C' 


Toutes ces équations se rapportent à trois axes rectan- 


10; 


gulaires coordonnés quelconques pour lesquels l’'équa- 
tion générale des surfaces du second ordre est de la 
forme 


° 


Aa? + A'y° 


L Az? Bay + Baxz + B'yz (ie 
+ Ce Gy+Cr+D f 7 


PLA 


Or, pour ne considérer que les surfaces douées d’un 
centre et rapporter leur équation à leurs trois diamètres 
principaux, il suffit de poser 

B— 0, VB —0,/B—0 660, C— 0: C0 


et l’équation du plan diamétral conjuguée avec la corde 
(9) se réduit à .… (10) 


Amaæ + A'nz + Az = 0. 


Ceci posé, si la corde (9) est le diamètre mené du point 
de contact +, y, 3° d’un plan tangent, elle passe par 
le centre, et ses équations deviennent 


X y 
DM NE, YU 
D'où 
æ' Y' 
m — Ho 
Z 4 


Substituant ces valeurs dans (10), nous obtiendrons, 
pour l'équation du plan diamétral conjugué avec le 
diamètre en question 

1) 


Axa + A'yy + A'zz = 0, 


équation qu'il suflit de comparer avec l'équation (8) 
du plan tangent pour reconnaître que ce dernier est 
parallèle au plan diamétral (voy. GÉo., n° 29). 

Dans une sphère, tous les plans diamétraux étant 
perpendiculaires à leurs diamètres conjugués, il en ré- 
sulte que le plan tangent à un point quelconque de sa 
surface est perpendiculaire au rayon de ce point. 

Nous déduirons encore des expressions précédentes 
l'équation générale de la normale à une surface quel- 
conque. Cette normale étant la perpendiculaire au plan 
tangent, menée par le point de contact æ', y, #', ses 
équations sont de la forme (voy. Gkom., n° 9) 


a— x —a(z— zx), y—y —=c(z—2), 


et comme l'équation du plan tangent, trouvée ci- 
dessus , est 


z—z == p{a—x)+q(u-wy); 


on a, d’après les conditions déterminées (GÉOM. Aux 
TROIS DIM., n° 25), 


A= —?P, C—= —4q. 


Ainsi, les équations de la normale sont 


z— 2 +p(r—x) =0, y—y az 


0; 


d’où l’on peut conclure que les angles &, B, y, formés 


PNE 


par cette droite avec les demi-axes coordonnés positifs 
ont pour expressions (GÉon., n° 12) 


—E 
COS «x —= = == 
V’p° sr 
cos B — ——) 
Ë Pa pu 
1 
COS y —= 


ETES 


Si l'on substitue dans ces formules les valeurs des 
dérivées p et q en fonctions des dérivées partielles de 
l'équation F(æ, y, z) = 0, elles prendront la forme 


dr 
cos « — V > 
cos B — … 
dE 
cos y — V > 
en faisant, pour abréger, 
1 


V—= — 


LG) +) +G)T 


Ces expressions sont employées dans la théorie du 
mouvement d’un corps assujetti à se mouvoir sur une 
surface donnée. (Voy. Mouvement, 51.) 

PNEUMATIQUE. Branche de la mécanique géné- 
rale qui a pour objet les lois du mouvement des gaz ou 
fluides élastiques. 

La théorie du mouvement des fluides est, comme 
nous lavons dit ailleurs (voy. HYxpnODYNAMIQUE , 
tome IL), la partie la moins avancée de la mécanique ; 
aussi nous attacherons-nous principalement aux résul- 
tats constatés par l'expérience, et qui peuvent être em- 
ployés utilement dans la pratique. 

1. Lorsqu'un gaz est renfermé dans un vase clos, il 
exerce, abstraction faite de son poids, des pressions 
égales sur tous les points des parois et dont l'intensité 
dépend de:sa densité et de sa température (voy. Force 
ÉLASTIQUE). Si le vase était placé dans un espace vide 
limité et qu’on ouvrît un orifice à l’une de ses parois, 
le gaz s’écoulerait par cet orifice et se répandrait uni- 
formément dans l’espace vide avec une vitesse d’écou- 
lement qui diminuerait avec la densité du gaz dans le 
vase; cette vitesse deviendrait nulle et l'écoulement 
cesserait lorsque la force élastique de la portion écou- 
lée pourrait faire équilibre à celle de la portion restant 
dans le vase, c’est-à-dire lorsque la densité serait la 
même au-dedans et au-dehors du vase. Si au lieu d’être 


PNE 359 


placé dans un espace primitivement vide le vase se 
trouvait dans un espace plein d’un autre gaz, la vitesse 
initiale de l'écoulement dépendrait de la différence des 
forces élastiques ou des pressions intérieures et exté- 
rieures , de sorte que dans le cas où la pression du gaz 
intérieur serait la plus petite, non seulement il ne 
pourrait s'échapper, mais il serait encore refoulé dans 
le vase par le gaz extérieur qui y pénétrerait en vertu 
de la supériorité de sa force d'expansion, 

2. Dans ces divers cas d'écoulement, la vitesse est 
nécessairement variable, car à mesure que la masse 
gazeuse diminue dans le vase, la portion restante aug- 
mente de volume, pour occuper toujours toute la capa- 
cité du vase, ce qui diminue sa densité, et par consé- 
quent sa force élastique. Il est visible que la vitesse de 
l'écoulement ne saurait être constante, à moins que la 
pression qui la détermine ne soit elle-même constante, 
et que la résistance due au milieu dans lequel le gaz 
s'écoule demeure la même pendant toute la durée de 
l’écoulement. 

3. Pour fixer les idées, imaginons un cylindre verti- 
cal exactement fermé et rempli d’air à l’état ordinaire, 
c’est-à-dire à la simple pression de l'atmosphère ; si lon 
perce un orifice à la base inférieure, aucun écoulement 
n'aura lieu, car les molécules d’air intérieur qui se 
trouvent devant cet orifice éprouvent de la part de l’air 
extérieur une pression égale et opposée à leur pression 
intérieure ; mais si l'air intérieur vient à subir un sur- 
croît de pression, si, par exemple, la base supérieure du 
cylindre est un piston mobile qu’on charge d’un poids, 
l'air intérieur se trouvera plus comprimé que l’air ex- 
térieur et s’échappera au dehors en vertu de cet excès 
de pression; et comme l’espace occupé par le gaz dans 
le cylindre diminue à mesure qu’il s'écoule, parce que 
le piston descend, il en résulte que la pression et la 
densité du gaz intérieur sont les mêmes pendant toute 
la durée de l'écoulement, dont la vitesse est conséquem- 
ment constante , car la résistance de l’air extérieur ne 
saurait être modifiée par les portions de l'air écoulé qui 
viennent se perdre dans l’espace illimité qu’il occupe. 

4. Nommons p le poids de l'atmosphère et P le poids 
additionnel qui charge le piston, les molécules inté- 
rieures en face de l’orifice seront poussées de dedans en 
dehors par la force p + P, et de dehors en dedans par 
la force p; ces deux forces agissant dans des directions 
opposées, leur résultante sera p+ P—p=—P, et, par 
s’il était dû 
à la seule force P et qu'il s’effectuñt dans le vide. 


conséquent, l'écoulement aura lieu comme s 


5. On ramène théoriquement l'écoulement des gaz à 
celui des liquides en considérant le gaz qui s'écoule 
comme un liquide d’égale densité dont la charge au- 
dessus de l’orifice (voy. Écouremenr) a pour hauteur la 
hauteur de la colonne liquide dont le poids serait égal à 


360 PNE 


la pression qui produit l’écoulement ; ainsi, désignant 
par b la hauteur d'une colonne d’air qui aurait pour 
base le piston et dont le poids serait P, nous aurons 


pour la vitesse Y de l'écoulement, 
V—V/2gb. 


Comme il est d'usage d'évaluer la pression des fluides 
élastiques en colonnes de mercure, supposons mainte- 
nant qu'un manomètre à Mercure (voy. Force ÉLAS- 
TIQUE) soit adapté au cylindre et s'élève à une hauteur 
k', tandis qu’un baromètre placé dans l'air extérieur 
s'élève àune hauteur h; h' représentera la pression p-+P 
de l'air intérieur, et la différence des hauteurs h —k, 
que nous désignerons par H, représentera la pression 
due au poids placé sur le piston et qui détermine l’é- 
coulement. Il s’agit donc d'évaluer b en fonction de H 
pour n'avoir à considérer que des colonnes de mercure: 
On emploie souvent, pour mesurer les pressions plus 
grandes que la pression moyenne de l'atmosphère, des 
manomètres ouverts à leur extrémité supérieure; de 
sorte que le mercure qu'ils contiennent est pressé dans 
l’une des branches par le gaz et dans l’autre par l'air 
extérieur; la hauteur qu'ils marquent est alors la diffé- 
rence entre la pression intérieure et la pression de l’at- 
mosphère ou la quantité que nous venons de désigner 
par H. Nous supposerons ; dans tout ce qui va suivre; 
qu’on se sert de semblables instrumens. - 
L'évaluation de b en fonction de H ne présente au- 
cune difficulté, car puisque ces hauteurs appartiennent 
à des colonnes de même base, celle du piston, et de 
même poids P, elles sont entre elles dans le rapport in- 
verse des densités de leurs fluides respectifs; ainsi, dé- 
signant par A la densité du mercure et par à celle de 


l'air, on a 


Substituant cette valeur de b dans celle de V, on ob- 


tient .….. (a) 
er 
Y — L. H=. 


6. Cette expression peut s'appliquer à tout autre gaz 
que l'air atmosphérique, en entendant par à la densité 
de ce gaz, etil en résulte une conséquence très-impor- 
tante. Soient à et à les densités de deux gaz quelcon- 
ques, H la pression sous laquelle ils s’écoulent, et Y 
et V' leurs vitesses respectives, nous avons 


M , M 
Venere 
désignant, pour abréger, par M la quantité V’2gHa; 


Ni 


V:V=Vi:vai 


PNE 
c’est-à-dire que les vitesses d'écoulement de deux gaz 
sous une même pression sont en raison inverse des ra- 
cines carrées de leurs densités. 

7. Considérons en particulier l'air atmosphérique, et 
modifions la formule (a) de manière à la rendre immé- 
diatement applicable à toutes les circonstances de pres- 
sion et de température. 

On sait que le mètre cube d'air sec à la température 0 
et sous la pression moyenne de l’atmosphère 0,76 
pèse 1,299 (voy. ci-dessus, page 171); comme ce fluide 
se dilate de 0,00575 de son volume primitif à o°, pour 
chaque degré centigrade d’accroissement de tempéra- 
ture, si nous représentons par 1 Son volume à 0°, Ce VO- 
lume deviendra 1 + 0,00575t à {”; d’où il résulte qu’à 
la température de t° centigrades et toujours sous la 
mème pression 0,76, le poids d’un mètre cube d’air 
est représenté par 


k 
:299 


1 
1 + 0,009751? 


ce qu’on peut porter à 


pour tenir compte de la vapeur d’eau toujours mêlée à 
l'air atmosphérique et qui diminue son poids. Toutes 
les autres circonstances étant les mêmes, si la pression 
était k, le mètre cube d’air serait 


k 1,299 k 


L1 


99 1,709 à — 7%. 
0,76 ‘ 1 + 0,004f 2799 + 3 E'o,004t 


Quant au poids du mètre cube de mercure à la tem- 
pérature #°, il est 


__15598 
1 + 0,00018/? 


car ce fluide pèse 13598 kilogrammes le mètre cube à 0° 


1 
5550 
par accroissement de température d’un degré centi- 


et se dilate de ou de 0,00018 de son volume à 0 


grade. 

Ceci posé, observons que le rapport des densités A 
et à du mercure et de l'air est le même que celui des 
poids de leur unité de volume, et, partant, que ce rap- 


port est 
A 1 + 0,004f 
À 056. 
ù 795 (1 + 0,00018t)k? 
ou simplement 
IS 1 + 0,004 
ÿ EL 7956 Q TE , 


en négligeant le facteur 1 + 0,00018/, qui diffère tou- 


PNE 


jours très-peu de l'unité, cette suppression, d’ailleurs, 
corrige encore un peu l'effet des vapeurs aqueuses sur 
le poids de l'air. 

Pour introduire ce résultat dans la formule (a), il n’y 
a plus qu’à substituer à la pression quelconque k, la 
pression À + H, à laquelle est soumise la masse d’air 
renfermée dans le cylindre; et il vient, toutes réduc- 
tions faites, après avoir remplacé gpar sa valeur 9°,8088, 


V = os /| (1 +ooon)], 


ce qu’on met sous la forme ..….. (b} 
M— PAIE 


1—+ 0,004 —T. 


re 


en posant 


8. On obtient immédiatement le volume d’air écoulé 
dans une seconde de temps en multipliant la vitesse V 
par l’aire S de l’orifice d’écoulement; ce volume d’air 
ou la dépense de l’orifice est donc 


S5sl/n 7 =: 


Mais ici, comme pour l’écoulement des liquides, il faut 
tenir compte de la contraction qu’éprouve la veine 
fluide à son passage par l’orifice et qui diminue la dé- 
pense théorique; soit donc m un coefficient de réduc- 
tion à déterminer par l'expérience : Q désignant la dé- 
pense réelle, nous aurons ..... (d) 


LCI 
g= 395ms|/# 


9. M. D’Aubusson, par la comparaison de cent cin- 
quante expériences qu'il a faites avec le plus grand soin 
sur l'air atmosphérique , a trouvé qu'il fallait donner à 
m la valeur 


0,65 pour les orifices ou minces parois, 
0,93 pour les ajutages cylindriques, 


0,94 pour les ajutages légèrement coniques. 


Les ajutages dont on se sert le plus dans la pratique, 
tels que les buses qui terminent les porte-vents des usi- 
nes et les bouts des soufllets, étant des tubes assez al- 
longés et aigus, le coellicient 0,94 serait celui qui pa- 
raîtrait le mieux leur convenir; cependant, pour plus de 
sûreté, M. d’Aubusson adopte pour ces buses les coelfi- 
ciens 0,95, et transforme l'expression (d) en (e) 


Q= 800) n HT: — 


h a FE 
en y introduisant en outre le diamètre D de l’orifice de 
sortie. 


Tone ur, 


PNE 361 

10. Si l’on veut connaître le poids de la masse d'air 

écoulée dans une seconde de temps, il faut multiplier 

cette dernière valeur de Q par le poids d’un mètre cube 

d’air à la température # et sous la pression k + H ou 
par la quantité 


h+H 


1 + 0,004!” 


1,709 . 


Désignant par P le poids demandé, on obtient, toutes 
réductions faites, ..….. (f) 


P=2i05* »]/nÀ+ UT 


1. Il est essentiel d'observer que le volume d’air 
donné par les formules (d) et (e) est censé avoir la même 
densité que dans l’intérieur du réservoir d’où il sort 
ou être toujours soumis à la pression À + H; pour 
transformer ce volume en celui qu’aurait la même 
masse d’air sous la seule pression atmosphérique k ou 


sous toute autre pression #', il faudrait le multiplier par 


, et l’on aurait 


le rapport des deux pressions L = 


alors ..... (g) 


= 
I 


2 sun 
? = 289 +: RG + HIT. 


12. Les exemples suivans vont indiquer l'emploi de 
ces diverses formules. 


I. On demande le volume d'air atmosphérique, réduit 
à la pression moyenne 0°,76, que fournira un réservoir 
sur lequel le manomètre à mercure marque 0°,04 et auquel 
est adapté un tuyau ou buse de 0",065 de diamètre. La 
pression atmosphérique extérieure indiquée par le baro- 
mètre est 0°,75 et la température est de 15°. 

On a 


h—0",75; hk—"0",76; 
D — 0",065, 


b— 110$; H=—=107; 0/4; 


et, par suite, 


hHH— 0,79; T — 1 + 0,004 X 15 = 1,06. 


Substituant ces valeurs dans la formule (4), on ob- 


0,79 X 1,06] 


c’est-à-dire que le réservoir donnera, à peu de chose 


tiendra 


O—=89 AT K 


près, le tiers d’un mètre cube d’air par seconde, ce qui 
suflit pour alimenter le feu de quatre grosses forges 
d’afinerie. 

16 


362 PNE 


Si l'on voulait connaître cette dépense en poids, il 
faudrait multiplier le volume 0"°,294 par le poids du 
mètre cube à 15° et sous la pression 0",76 (voy. ci-des- 
sus, n° 7), ou bien faire usage immédiatement de la for- 
mule (f). Par le premier procédé, on trouverait 

1, 299 


P — 0,294 X 0e 0,360, 
2 


, 0979 
4 [eos 1, 06 


résultats qu’on peut considérer comme identiques. 


et par le second 


P — 493(0,065)" . 


— 0',55964, 


IT. On demande quel doit être le diamètre de la buse 
d'écoulement pour que la dépense soit de 0,32 par seconde 
sous une pression manométrique de 0®,045. Le baromètre 
marque moyennement dans l'usine 0",75 et le thermo- 
mètre 11°. 

La quantité demandée étant le diamètre D, on pour- 
rait indifféremment dégager D de l’une des expressions 
(f) ou (g); mais comme la dépense est exprimée en 
poids, il faut employer l'expression (f), qui n’exige au- 
cune réduction préalable. Il vient ainsi 


Fan ss[n Cr] 


Substituant dans cette formule les valeurs données, on 
obtient 


— 0",0599. 


Le diamètre demandé est donc 0",06. 


III. Quelle doit étre la hauteur du manomètre pour faire 
sortir par une buse de 0",075 de diamètre 413 grammes 
ou 0,415 d'air atmosphérique en une seconde? Le baro- 
mètre marque 0",744 dans l'usine et le thermomitre 15°. 


La quantité cherchée étant ici la hauteur manomé- 
trique H, il faut la dégager d’abord de l’expression (f). 
Élevant les deux membres de cette expression au carré, 
on obtient l’équation du second degré en H, 


TP2— (493). Dé. k. H (495)°. D‘. HP, 


d'où l’on tire 


H——{h Ve R g + Le 


PNE 


Faisant donc 
hk—0",744; D = 0",075; P — 0,413 ; 
T = 1 + 0,004 X 13 — 1,052, 
il vient 


H = — 0,372 + | AE 


(495). 


« 1, 052 
et + Co87a |, 
et l’on trouve, tous calculs faits, 

H\—=107050; 


13. Le principe du n° 6 donne le moyen d’étendre à 
tous les gaz les formules (f) et (g) relatives à l’air at- 
mosphérique. En effet, désignant par à la densité de 
l'air, par d' celle d’un gaz quelconque et par V et V'les 
vitesses respectives d'écoulement, nous avons, en vertu 
de ce principe, 


Ainsi, nommant $ l’aire de l’orifice d'écoulement du 
gaz dont la densité est 9’, la dépense de ce gaz en une 
seconde sera 


ù 
VS — VS. Te: ; 
mais VS représente la dépense d’air par le même ori- 
fice, ou la quantité représentée ci-dessus par Q. Done, 
nommant Q’ la dépense du gaz, nous avons 


Q=Q = 10 


Si nous prenons pour unité des densités celle de l'air, 


ù © . 
le rapport = exprimera la pesanteur spécifique du gaz, 


S 
Le) 


et en l’exprimant par 9, nous aurons ..... (h) 
Q 
=. 
V# 


templaçant Q par sa valeur (4), il viendra définitive- 
ment ..... (i) 


@ = Fe V'HG HT, 


formule qui fera connaître la dépense d’un gaz dont la 
pesanteur spécifique est 9. 

Si l’on ne veut rien préjuger sur la valeur du coeffi- 
cient de contraction, il faut substituer dans l’expres- 
sion (k) la valeur de Q donnée par l'expression géné- 
rale (d), on a alors... (k) 


l 
f 
{ 


PNE 


et le volame Q’ du gaz est censé avoir la même densité 
que dans l’intérieur du réservoir où il est soumis à la 
pression À + H. C’est cette dernière formule qu’on de- 
vra employer pour toutes les évaluations relatives au 
gaz hydrogène dans les appareils d'éclairage. 

14. Proposons-nous, par exemple, de déterminer le 
nombre de mètres cubes de gaz hydrogène que pourra 
fournir en une heure de temps un gazomètre d’éclai- 
rage sous une pression manométrique de 0,004 et par 
une ouverture circulaire pratiquée dans ses parois, 
de 0",124 de diamètre. La température étant de 15° et 
la pression atmosphérique de 0°,755. 

L’orifice est à mince paroi, et il faut conséquemment 
employer le coefficient de contraction m = 0,65; les 
données sont donc 


m— 0,65; H—0",004; k — 0",755 ; 
T= 1 + 0,004 X 15 = 1,06, 


et l’on a, puisque le demi-diamètre de l’orifice = 0",062, 
— 3,1416 X (0,062)? — 0" 1,01208. 


Substituant toutes ces valeurs dans la formule (k) en y 
faisant de plus, d’après Dulong, + — 0,559, on aura 


1,06 
0, 795 |”? 


Cette dépense est celle qui a lieu par seconde; pour 


Q colo ie [004 : 


— 0°°,309956. 


avoir la dépense en une heure, il faut la multiplier par 
3600, nombre de secondes contenues dans une heure, 
ce qui donne pour la valeur cherchée 1115"°,8416. 
Ainsi, il s’'écoulera environ 1116 mètres cubes, par 
heure, du gazomètre. 

Soit encore à déterminer la grandeur de l’orifice qu’il 
faudrait pratiquer dans la paroi mince d’un gazomètre 
d'éclairage, pour avoir une dépense de mille mètres 
cubes de gaz par heure, sous une charge représentée 
par une colonne d’eau de 0",05 de hauteur. En admet- 
tant que la hauteur moyenne du baromètre soit de 0",55 
dans la localité et la température de 12°. 

Dégageant S de l'expression (4), on obtient l’expres- 
sion générale 


S — ee ; 
895 . m/ [u s Frs] 


dans laquelle il n’y a plus qu’à substituer les valeurs 
données; mais comme ici la hauteur manométrique est 
exprimée en colonne d’eau, il faut préalablement la ré- 
duire en colonne de mercure, en observant que la hau- 
teur H d’une coloune de mercure équivalente en poids 


PNE 363 


à une colonne d’eau dont la hauteur est b est donnée 
par la relation 
b 
H — - 
5? 
dans laquelle 5 désigne la pesanteur spécifique du mer- 
Ï 5 P Ï q 


cure, celle de l’eau étant 1. La valeur connue de 3 étant 
13,598, nous avons ici, à cause de b — 0,05, 


— 0",003677 ; 


observant de plus que mille mètres cubes par heure 
100 


(e) —_ n 
— = 0"°,2778, nous ferons 


donnent par seconde — 
3600 


Q'—0,2778; H — 0003677; h—0,75; 90,559; 
T—=u50485;1m— 0,65; 
et la formule précédente nous donnera 


0,2778 X V/0,559 


QT 0,003677 X 1,048 ? 
395 X 0,65 x 20 re 
. 24 / 


S 


— 0"°,011919. 


Ainsi, l’aire de l’ouverture doit être de 0%°,011313; si 
c’est un carré, son côté devra avoir 0,106; si c’est un 
cercle, son diamètre sera de 0",12. 

15. Quand les gaz s’écoulent du gazomètre par un 
long tuyau de conduite dont l’extrémité est entière- 
ment ouverte ou munie d’un ajutage qui en diminue 
r'orifice, les circonstances de l’écoulement ne sont plus 
les mêmes, et sa vitesse est d'autant moindre que les 
gaz ont rencontré plus de résistance depuis leur sortie 
du réservoir jusqu’à leur sortie de la conduite. Ces ré- 
sistances étant dues, comme celles que l’eau éprouve 
dans les tuyaux de conduite (voy. Couraxr), à l’action 
des parois sur le fluide, on suppose qu’elles sont : 


1° Proportionnelles à la largeur et au diamètre du 
tuyau ; 

2° En raison inverse de la section du tuyau ou du 
carré de son diamètre ; 

3° Proportionnelles au carré de la vitesse. 


Ainsi, nommant w la vitesse moyenne d’un gaz dans 
une conduite dont la longueur est L et le diamètre D: 
et, de plus, nommant # un coeflicient constant, la ré- 
sistance totale sera représentée par 


LDu? Lu? 


n D? ou par à FT: 


Or, si l’on établit un manomètre sur le réservoir et un 
autre sur le tuyau , tout près de la bouche de sortie, la 
hauteur H du premier indiquera la force qui chasse le 


364 PNE 

gaz du réservoir, et la hauteur # du second celle qui 
chasse le fluide de la conduite; la différence de ces hau- 
teurs, H— h, sera la perte de force produite par la ré- 
sistance des parois, et l’on aura conséquemment l'équa- 
tion... (1) 

Lu’ 


H — h — 
I—h 1 


16. La vitesse d’un gaz dans un tuyau de conduite 
n’est pas uniforme comme celle de l’eau, car, puisque 
la pression diminue successivement depuis l’orifice du 
réservoir jusqu’à l’orifice de sortie, il en est de même de 
la densité du gaz; de sorte qu'en imaginant deux tran- 
ches transversales d’égale épaisseur à quelque distance 
l'une de l’autre, la tranche la plus près de l’orifice de 
sortie renfermera moins de molécules que la plus éloi- 
gnée; et comme il doit passer dans un même temps 
une même masse où un même nombre de molécules 
par toutes les sections de la conduite, les molécules de- 
vrontse mouvoir avec plus de vitesse dans la première 
tranche que dans la seconde. La densité étant propor- 
tionnelle à la pression, et le décroissement de pression 
s’effectuant dans une progression arithmétique, la vitesse 
moyenne « est celle qui a lieu au milieu de la conduite. 
Or, désignant par b la pression atmosphérique exté- 
rieure, la pression est bH à l’orifice du réservoir et 
b+-h àl'orifice de la conduite; la pression au milieu 
de la conduite est donc 


LH BAD) = 04H +1), 


et l’on a entre la vitesse u due à cette pression et la vi- 
tesse de l’écoulement due à la pression extrême b 4h 
la relation 


u:v— (b+h) : (bHI(H + )), 


d'où 
LDH 
bFIH+ 1) 


Uu—=T. 


telle est la valeur de la vitesse moyenne qui doit être 
mise dans l'équation fondamentale (1). 

Dans le cas où la conduite serait terminée par un 
ajutage qui aurait un diamètre d à son orifice, si nous 
nommons V la vitesse de sortie, nous aurons entre cette 
vitesse V et la vitesse © qui aurait lieu à tuyau ouvert 
la relation É 


2 
om À 


m désignant le coefficient de la contraction. Mais la vi- 
tesse de sortie Y dépend de la pression manométrique h, 
et, conséquemment, son carré V? est proportionnel à h. 
Nous pouvons donc poser 


N—=n1h, 


PNE 


n' étant un nombre constant. D’après cette observation, 
l'équation (l) devient 


ss : b+h 2 RLd: 
H — k — nmn Gr) + D ? 


ce qu’on peut réduire à ..... (m) 


kLd' 
UE De 


en représentant par une constante le produit des trois 


1 


b+i(H +0) 


dont la valeur, quoique variable, est toujours renfermée 


constantes m, n, n', et du facteur ( 


entre des limites assez rapprochées pour qu’on puisse 
la considérer comme constante. 

17. Nous avons supposé ; dans tout ce qui précède, 
que la hauteur manométrique h indiquait exactement la 
hauteur due à la vitesse de sortie, et, pour cet effet, il 
faudrait que le manomètre fût placé sur un réservoir 
adapté à l'extrémité de la conduite, et auquel tiendrait 
l’ajutage de sortie, tandis qu’en réalité ce manomètre 
est immédiatement établi sur la conduite même, tout 
près de l’ajutage ; la hauteur h' à laquelle il s'élève est 
donc plus petite que À, hauteur réellement due à la vi- 
tesse de sortie d’une quantité égale à la hauteur due à la 


vitesse v que le gaz a sous le manomètre; cette dernière 


; v? 
étant —, ou 
27 


| 


[2 
Ss|s 
CT 


en colonne de mercure (n° 5), nous aurons pour son ex 
pression en fonction de h 


md" 
hr 


à cause de v?— m°V? _ et de (n° 5) V CE 


ainsi 


Mais dans les grandes conduites, où d'est au plus le 
2,4% 


J Me LA MRRUE Er 
tiers de D, on peut négliger le terme Dr ? très-petit 


par rapport à l'unité, et prendre À’ pour k. 

18. Un très-grand nombre d'expériences, consignées 
dans les Annales des mines (années 1828 et 1829), ont 
été faites par M. d’Aubusson pour déterminer la valeur 


PNE 


du coefficient constant # de l’équation (m). Elles lui ont 
donné la valeur moyenne 


u = 0,0258, 


qui, mise dans (m), rend cette équation... (p) 


R'Ld' 


D° 


H — }'— 0,0238 


en prenant ' pour 4. On entire ….. (q) 


MES 
di + 42D°? 

expression au moyen de laquelle on pourra calculer la 

hauteur manométrique ’, qui a lieu à l'extrémité de la 

conduite. 

« J'ai comparé, dit M. d’Aubusson, les valeurs de } 
données par cette formule avec celles de plus de trois 
cents observations, et les résultats du calcul ont suivi 
ceux de l'expérience dans toutes leurs variations, quelles 
que fussent les conduites et les buses employées, lorsque 
la section de celles-ci était les 0,73 de la section des 
premières , tout comme lorsqu'elle n’en était que les 
0,04. Ainsi notre formule, bien qu’elle ne soit pas ri- 
goureuse en théorie, a pleinement la sanction de l’expé- 
rience, au moins entre les limites où nous l'avons ap- 
pliquée, et c’est entre ces limites que se trouveront 
presque tous les cas de la pratique. » 


19. Supposant toujours » — k', on obtient, en sub- 
stituant la valeur (g) dans la formule 


— 
395 VC ; 


qui donne la vitesse de sortie due à la hauteur 4 (n°8), 
et, en multipliant le résultat par l’aire de l’orifice 
—= 0,785d?, afin d’avoir la dépense... (r) 


MES 7 R:LIRS 
Q ZE) PART DA 
bLh D 
L —— 42 PT 
Q désignant toujours la dépense. 


20. Le volume d’air donné par cette formule est à la 
pression b + k. Pour l'avoir à la pression atmosphé- 
rique D ou à toute autre expression b/, il faut (n° 11) 
multiplier le second membre par 


b+HRr 


on a alors... (s) 


PNE 365 


Si l’on veut connaître la dépense en poids, c’est 
(n° 11) par la quantité 


b+h 
1,709 —7#—» 


qu'on doit multiplier ce même second membre. Dans 
tous les cas, on obtiendra la valeur de h par la for- 
mule (g), ou, si l’on voulait plus d’exactitude, par la 
formule (n), en y substituant à la place de la valeur 
de cette quantité, donnée par la formule (q). 

21. M. d'Aubusson pense que, sans s’exposer à une 


1 A SE : 
erreur de plus de Too °n peut faire disparaitre les quan- 
1 


tités b et t des formules précédentes, en leur substituant 
une valeur moyenne pour une grande étendue de pays. 
Ainsi, pour la France, il prend {— 12°; ce qui donne 
T— 1,048 et b + h—0",58. La formule (m) devient 
simplement ainsi ...…. (€) 


Dé” 
Ni 


22. Pour appliquer la formule (m) au cas des con- 
duites ouvertes, il ne suîMit pas d'y faire d— D, il faut 
encore, d’après l'expérience , substituer au coeflicient 
2011 le coeflicient 1989; on a donc ..…. (u) 


Q — 81/7; | 


ce qui peut se réduire à... (+) 


HD° 
L + 42D ? 


HD° 
L + 42D° 


en donnant à T et à b H h les valeurs moyennes ci- 
dessus. 

23. D’après le principe du n° Get les considérations 
du n°15, si nous désignons toujours par la pesanteur 
spécifique d’un gaz quelconque par rapport à l’air, la 
dépense Q' de ce gaz sera donnée par la relation 


dans laquelle Q sera la dépense d’air dans les mêmes 
conditions de conduites , d’ajutages et de pression. 

24. Pour présenter tout à la fois un exemple d’ap- 
plication et comparer le calcul à l'expérience, nous 
choisirons la question suivante, traitée par M. d’Au- 
busson. 

À un gazomètre rempli de gaz d'éclairage, on a adapté 
une conduite de 0",01579 de diamètre et de 126.5S de 
long; la hauteur du manomètre à eau établi sur le gaxo- 
mètre est de 0",05385 : on demande quelle sera la dépense 


POI 


Le baromètre est à 0",754 et le thermo- 


366 
par seconde. 
mètre à 19°. 
On a 
, T— 1,096; D—0",01579; L— 126",58 ; 
p— 0,559; 


la hauteur du manomètre à eau, réduite à celle du ma- 
nomètre à mercure, est 


__0,03383 


o" 5/A 
Se BO tn ,002488. 


Ces valeurs, mises dans l’expression (u) divisée par|/#, 


donnent 
; 1989 x 1,070 bre ,002488 (0,01559 )° 
Me 56 26,842 X 0,015 
Vo, 529 0, 79 4 42 X 79 
— 0"°,0004/40 


l'expérience a donné 0"°,000420. 
En employant la formule réduite (v), on aurait 


2305 Le 
ZOPE 


Q° 
V’o, 559 


0,002488 (0,01559)° 
126,58 + 42 *X 0,01579 


— 0"°,0004271;, 


ce qui s'accorde encore mieux avec le fait. 


25. Les principes théoriques qui servent de base à 
la déduction des formules pratiques que nous venons 
d'exposer sont dus à Daniel Bernouilli. Tous les géo- 
mètres qui s'étaient occupés de l'écoulement des flui- 
des, jusqu’à ces derniers temps, les avaient adoptés, en 
s’efforcant de faire coïncider les calculs avec l'expé- 
rience par l'emploi des coefliciens de correction; mais 
dans un mémoire publié parmi ceux de l’Académie des 
sciences pour 1830, Navier a établi une théorie toute 
nouvelle et beaucoup plus générale que celle de Ber- 
nouilli. Nous renverrons à cet ouvrage très-remarqua- 
ble, dont nous n'avons pas cru devoir présenter ici les 
résultats, parce qu'ils ne différent pas sensiblement de 
ceux de M. d’Aubusson, pour les cas qui intéressent la 
pratique , et que les formules de ce dernier sont plus 
simples et plus faciles à calculer. Voyez, pour d’autres 
objets relatifs aux mouvemens des fluides élastiques, les 
mots RÉSISTANCE et SOUFFLET. 


POIDS. (Méc.) Le poids d’un corps est proportion- 
nel à la quantité absolue de matière qu'il contient, car 
il est produit (tom. IF, pag. 337) par la force de la gra- 
yité qui agit également sur toutes les molécules de la 
matière (voy. Fonce). Pour se former une idée exacte 
de l’action de la gravité, on doit considérer tous les 
; points ou élémens matériels d'un même corps comme 


POI 


étant sollicités par des forces égales et parallèles agis- 
sant dans la direction de la verticale. La résultante de 
toutes ces forces forme proprement le poids du corps, 
et il est important de ne pas confondre la pesanteur 
avec le poids, parce que la pesanteur est la force qui 
imprime des impulsions égales à toutes les particules 
élémentaires des corps, tandis que le poids n’est que la 
résultante de toutes ces impressions. Sila composition 
des corps était homogène, deux corps égaux en volume 
contiendraient le même nombre de particules maté- 
rielles également pesantes, et auraient, par conséquent, 
le même poids; mais on sait que tous les corps sont 
poreux et qu’ils renferment ainsi des quantités de ma- 
tière très-différente sous des volumes égaux. La quan- 
tité absolue de matière dont un corps est composé se 
nomme sa masse (voy. ce mot). 

D’après la théorie des forces parallèles, si nous dési- 
gnons par M le nombre des particules élémentaires ou 
la masse d’un corps; chacune de ces particules étant 
sollicitée par la pesanteur, qu’on représente par la vi- 
tesse g, que cette force peut imprimer dans l’unité de 
temps, la résultante des forces agissant sur le système 
ou corps M aura pour expression Mg (voy. RésurranTE), 
et comme cette résultante est le poids du corps, en 
nommant P ce dernier, nous aurons la relation fonda- 
mentale 


P = Mg, 


qui permet de substituer les poids aux masses dans 
toutes les questions de mécanique où entrent ces der- 
nières. 

Deux corps ont des masses égales, et par suite des 
poids égaux, lorsque, suspendus aux extrémités d’un 
levier du premier genre à bras égaux, ils se font équi- 
libre. En effet, si nous désignons par M et M' les masses 
de deux corps et que nous imaginions qu'ils soient sus- 
pendus par des fils sans pesanteur aux deux extrémités 


d’un levier dont les bras égaux aient une longueur — 4,: 


nous pourrons faire abstraction de cés corps et consi- 
dérer seulement le levier comme s’il était sollicité par 
deux forces Mg et M'y; or, pour qu'il y ait équilibre, 
il faut, d’après la théorie du levier, qu’on ait 


aMg = aM'g, 


relation qui entraîne nécessairement l'égalité M = M. 
C’est sur ce principe qu'est fondée l'évaluation du 
poids des corps, au moyen de la balance (voy. ce mot), 
instrument qui n’est qu’un levier. On prend pour unité 
de mesure un corps d’un volume déterminé et d’une 
composition homogène, et ce que l’on nomme le poids 
d’un corps en général est le nombre qui exprime com- 
bien il faut d'unités de poids pour lui faire équilibre 
dans une balance. Dans notre système métrique, l'unité 


POM 


de poids, sous le nom de gramme, est un centimètre 
cube d’eau distillée ramenée à son maximum de con- 
densation ; ainsi lorsqu'on dit, par exemple, qu’un cer- 
tain corps pèse 20 grammes, on entend qu’en le plaçant 
dans le plateau d’une balance, il faudrait placer dans 
l’autre plateau 20 centimètres cubes d’eau distillée pour 
lui faire équilibre. 
On donne en particulier le nom de poids aux corps 
qui servent à mesurer ou à peser les autres corps. 
Ainsi, le morceau de cuivre capable de faire équilibre à 
un centimètre cube d’eau distillée est le poids d’un 
gramme, qu’on peut employer ensuite à la place de ce 
centimètre , soit pour peser, soit pour former des mul- 
tiples de l'unité primitive ou des poids plus grands, 
comme le décagramme, V'hectogramme, le kilogramme, etc. 
Voy. Mesure, tome II. 


POMPE. (Æydraul.) Nous exposerons, dans cet ar- 
ticle, la théorie des diverses espèces de pompes dont 
nous n’ayons qu’indiqué les dispositions principales, 
tome IT, page 346. 

1. Pompe aspirante. La figure 13, PI. XVII, repré- 
sente une pompe de ce genre, la figure 14 est sa coupe 
verticale. 

e est le tuyau d’aspiration, ou celui qui plonge dans 
l’eau , kh le corps de pompe, b le piston qui se meut 
dans le corps de pompe par un mouvement de va-et- 
vient, imprimé à l’aide d’un levier coudé d. La figure 2 
montre le jeu de l'appareil au moment où le piston re- 
monte; alors il pousse au-dessus de lui l’eau contenue 
dans le corps de pompe et la jette dans le dégorgeoir; 
dans le même temps, le vide se formant au-dessous du 
piston, la pression atmosphérique qui agit sur l’eau du 
puisard la fait monter dans le tuyau d’aspiration; elle 
pousse la soupape f, nommée soupape dormante , et se 
répand dans le corps de pompe en suivant le piston. 
Lorsque celui-ci, parvenu au haut de sa course, com- 
mence à descendre, le poids de l’eau ferme la soupape f, 
et l’eau contenue dans le corps de pompe se trouve iso- 
lée ; la résistance qu’elle oppose à la descente du piston 
soulève la soupape € du piston, de sorte que lorsqu'il 
est arrivé au bas de sa course, l’eau qu’il avait sous lui 
se trouve au-dessus. Dans une nouvelle ascension, il 
trouve devant lui une masse d’eau à enlever, sa soupape 
se ferme, la soupape dormante fse rouyre,et ainsi de suite. 
Nous avons supposé, dans ce qui précède, que le tuyau 
d'aspiration ainsi que le corps de pompe étaient déjà 
pleins d’eau au moment où le piston se meut; pour 
mieux nous rendre compte de la manière dont cette 
première action s'effectue, imaginons le piston à son 
point le plus bas et tous les tuyaux vides. Il reste ordi- 
nairement entre le piston et la soupape dormante un 
espace plus ou moins grand, et que les hydrauliciens 


POM 367 


allemands nomment l’espace nuisible, pour des raisons 
que nous verrons tout-ä-l’heure; l’air dont cet espace 
est rempli lorsque le piston s'élève pour la première 
fois se dilatant à mesure que le piston monte, et finissant 
par remplir toute la capacité du corps de pompe, dimi- 
nue de densité et de force élastique, de sorte qu’il ne 
peut plus faire équilibre à la pression constante que l'air 
extérieur exerce sur la surface nn de l’eau du puisard , 
et qui est transmise à la soupape dormante par l’air con- 
tenu dans le tuyau d’aspiration : cette soupape est donc 
poussée de bas en haut, elle s'ouvre, et l'air du tuyau 
d’aspiration se mêle avec celui du corps de pompe, 
pendant qu'une colonne d’eau monte dans le tuyau as- 
pirateur jusqu’à une hauteur telle que sa pression aug- 
mentée de celle qui est due à l’air intérieur fasse équi- 
libre à la pression atmosphérique. Si maintenant on 
abaisse le piston, la soupape dormante se ferme, celle 
du piston s'ouvre, l’air contenu dans le corps de pompe 
passe sur le piston, et lorsqu'il remonte de nouveau, la 
masse d'air comprise entre lui et-la colonne d’eau se 
trouvant diminuée, cette colonne acquiert uné plus 
grande hauteur en vertu de la pression toujours cons- 
tante que l’air extérieur exerce en dehors sur la surface 
de l’eau du puisard. Ainsi, à chaque montée du piston, 
l’eau monte dans le tuyau d'aspiration, jusqu’à ce que la 
densité de l’air contenu dans le corps de pompe soit 
égale à celle de l’air extérieur, et comme à chaque des- 
cente une partie de cet air intérieur passe au-dessus du 
piston qui le chasse, en remontant, dans le tuyau de dé- 
charge, il en résulte qu'après un certain nombre de 
coups de piston le corps de pompe et le tuyau d’aspi- 
ration seront vides d'air, et, par conséquent, que la co- 
lonne d’eau acquerra la plus grande hauteur à laquelle 
la pression atmosphérique puisse faire équilibre dans 
le vide ; en admettant donc que la distance verticale du 
piston, au niveau »n de l’eau du puisard ne dépasse pas 
cette hauteur, lorsqu'il est au plus haut de sa course, le 
jeu de la pompe se trouvera définitivement établi, 


comme nous l'avons exposé en premier. 


2. La première condition essentielle du jeu d’une 
pompe aspirante consiste donc en ce que la plus grande 
hauteur du piston au-dessus du niveau de l’eau du pui- 
sard soit tout au plus égale à la hauteur de la colonne 
d’eau que la pression atmosphérique est capable de sou- 
tenir dans le yide; or, en désignant par À la hauteur 
moyenne du baromètre dans le lieu où la pompe est éta- 
blie, et par K celle de cette colonne d’eau, on sait que le 
rapport des quantités k et K est égal au rapport inverse 
des densités du mercure et de l’eau ( voy. Hypnonyxa- 
Mique, tome II), c’est-à-dire qu'on a 


: 13,508, 


368 POM 


d'où 


K — 15,598. 


Ainsi, au niveau de la mer, où l’on a À = 0",762, la 
hauteur K ne peut dépasser 10°,4, mais en observant 
que la pression atmosphérique varie d’un jour à l’autre 
dans le même lieu, il faut admettre que, pour les pom- 
pes aspirantes, la limite que le piston ne doit pas dé- 
passer dans son ascension ne saurait être à plus de 12 h 
au-dessus du puisard, À étant la hauteur moyenne du 
baromètre dans la localité où est la pompe: ce sera de 
9 à 8 mètres, selon que l'élévation du lieu au-dessus 
du niveau de la mer sera de 100 à 1000 mètres. 

5. Une autre circonstance tend à diminuer la hau- 
teur K, c’est l’espace qui reste entre le piston parvenu 
au bas de sa course et la soupape dormante. En effet, 
désignons par e cet espace, par E la capacité totale du 
corps de pompe, et nommons k' la hauteur de la co- 
lonne d’eau — 15,598h, qui représente la pression at- 
mosphérique. Soit, de plus, k la hauteur à laquelle l’eau 
est parvenue dans le tuyau d'aspiration, après quelques 
coups de piston, et y la force élastique de l'air compris 
entre la surface de cette eau et la soupape dormante, ou 
plutôt # la hauteur d’une colonne d’eau dont le poids 
mesurerait cette force élastique ; comme celle-ci, plus 
le poids de la colonne d’eau k fait équilibre à la pression 


atmosphérique, nous avons 
h—=k+»Y, 
d'où 


g—=h—k. 


D'autre part, le piston étant supposé au bas de sa course, 
la masse d'air quiremplit l’espaceea lamême force élasti- 
que que l'air atmosphérique et par conséquent égale à k°. 
Ceci posé, lorsque le piston se lève, cette masse d'air 
se dilate et finit par remplir l’espace E; sa densité di- 


e ; fee ; 
minue dans le rapport E° et sa force élastique devient 


h' £, ; si la force # de l’air au-dessus de la soupape dor- 


mante est plus grande que cette dernière, elle ouvrira 
la soupape, dont nous ne considérons point ici le poids, 
une partie de l'air inférieur entrera dans le corps de 
pompe, # diminuera et deviendra #,, et l’eau s’élèvera 
d’une nouvelle quantité dans le tuyau d’aspiration. 
Lorsque le piston descendra, la masse d’air qui vient 
de s’introduire dans le corps de pompe s’échappera en 
soulevant la soupape 6, de sorte qu’à la fin de sa course 
il ne restera entre lui et la soupape dormante, dans 
l'espace e qu'une quantité d’air égale à la première, 
ayant toujours la force À. Quand le piston remontera , 


POM 


la soupape dormante ne pourra se rouvrir qu'autant 
qu’on aura 


Fu 
n>DhE) 


de sorte qu'après un nombre y d’oscillations du piston à 
partir de celle où la colonne élevée était #, si les deux 
forces au-dessus et au-dessous de la soupape dormante 
se font équilibre, cette soupape ne s'ouvrira plus et 
l’eau ne s’élèvera pas davantage, quoique le jeu du pis- 
ton continue. On aurait alors 


n G) 
PE 


d'où l’on peut déduire 


à cause de la relation ox = k' — kg. Cette expression 
indique la plus grande hauteur #4 que l’eau puisse at- 
teindre dans un long tuyau d'aspiration. Ce sera donc 
seulement lorsque la plus grande hauteur K du piston 
au-dessus du niveau du puisard ne dépassera pas 4 que 
l'effet utile de la pompe pourra avoir lieu, et l’on voit 
que K différera d’autant plus de k = 13,5984 que e 
sera plus grand par rapport à E, ce qui rend sensible 
comhien cet espace e est préjudiciable à l’effet de l’as- 
piration. Il est donc important de le rendre le plus pe- 
tit possible, tout en lui laissant assez de grandeur pour 
que, par suite du jeu que prennent toutes les pièces du 
mécanisme qui meut le piston, celui-ci n’aille pas frap- 
per la soupape dormante. Pour un piston dont la course 
excède 50 centimètres, on peut donner à cet espace 
5 centimètres de hauteur, et c’est avec cette condition 
qu’on admet l'expression ci-dessous 


K — 124. 


Il faut en général, pour éviter l’arrét, placer la soupape 
dormante et conséquemment le fond du corps de 
pompe de manière que le piston, en descendant, s’en 
approche le plus possible. ÿ 

4. L'arrêt pourrait encore avoir lieu si la vitesse du 
piston en montant était plus grande que celle de l’eau 
qui s’élève dans le corps de pompe, car alors l’eau ne 
pouvant suivre immédiatement le piston dans sa course, 
il s’établirait un vide entre eux qui augmenterait à cha- 
que aspiration et qui finirait par devenir si grand, que 
le piston ne pourrait plus atteindre, dans sa descente, 
la colonne d’eau, ce qui arrêterait le travail de la 
pompe. On évite cet inconvénient en donnant au piston 
une vitesse modérée et en n’employant pas des tuyaux 
d'aspiration trop étroits. 

5. Lorsque le jeu de la pompe est bien établi, cha- 
que coup de piston fait monter un volume d’eau équi- 


lt 


POM 


valent à un cylindre dont la base est celle du piston, et 
la hauteur celle de l’espace parcouru. Nommons r le 
rayon de la base du piston, {la longueur de sa course, et 
r le rapport de la circonférence au diamètre, le volume 
d’eau fourni par un coup de piston sera 


rr°l, 


et, si m est le nombre de coups de piston donnés dans 
un temps déterminé, mrr°l exprimera la quantité d’eau 
qui s’écoulera pendant ce même temps par le tuyau de 
décharge de la pompe. 

6. Quant à la hauteur où cette quantité d’eau peut 
être ensuite portée dans un tuyau d’ascension G placé 
au-dessus du corps de pompe, elle estillimitée. On cite 
une pompe aspirante établie dans les mines de sel de la 
Bavière, qui verse son eau d’un seul jet à 570 mètres de 
hauteur; il ne s’agit donc que d’avoir une force mo- 
trice suflisante. Lorsqu'une pompe aspirante est sur- 
montée d’un long tuyau d’ascension, elle prend le nom 
de pompe élévatoire. 

7. Pour évaluer la force nécessaire à l’élévation du 
piston, il faut observer qu’il remplit alors deux fonc- 
tions différentes : il aspire, d’une part, l’eau qui est au- 
dessous de lui etsoulève, de l’autre, celle qui est au-des- 
sus; de sorte qu’il subit deux pressions, l’une de haut 
en bas, produite par le poids de l’eau supérieure et par 
le poids de l’atmosphère, l’autre de bas en haut, pro- 
duite par le poids de l’atmosphère diminué de celui de 
la colonne d’eau qui est au-dessous de lui. Ainsi, dési- 
gnant par d, à un instant quelconque de son mouve- 
ment, la distance verticale du piston au point de verse- 
ment, par d'sa distance au niveau de l’eau du puisard, 
et nommant comme ci-dessus 7 le rayon de la base du 
piston et X' la pression atmosphérique, nous aurons, 
pour l'expression numérique de la pression exercée de 
haut en bas... (a) 


100077 (k'- d), 


et pour celle de la pression exercée de bas en 


haut... (b) 
10001777 (k'— d'). 


En effet , la pression due à l’eau supérieure ne dépend 
que de sa hauteur verticale et de la surface de la base du 
piston (voy. HyprosrariQue, n° 10, tom. IT) ; elle se me- 
sure donc par le poids d’un cylindre d’eau dont le vo- 
lume est égal à 


rrd. 


Ainsi, en exprimant r et d en mètres, la quantité 
r’rd représente un nombre de mètres cubes d’eau 


Ton. ru. 


POM 369 


dont chacun pèse 1000 kilogrammes, et, par consé- 
quent, 


1000 r?rd 


représente, en kilogrammes, le poids du cylindre d’eau 
ou la pression supportée par la base du piston. De plus, 
h'étant la pression atmosphérique sur l’unité de sur- 
face, r°xh' est la pression atmosphérique sur la surface 


7, et 


1000 rh 


cette même pression exprimée en kilogrammes. 

Or, les deux pressions (a) et (b) agissant en sens in- 
verse, leur résultante ou la charge effective du piston 
sera 


1000 7°r(k + d)—100077(h— d'}—10007?7(d+d'). 


Observant que d+ d'est la distance verticale du niveau 
du puisard au point de versement, on en conclura : 

Quelle que soit la hauteur à laquelle une pompe verse 
son eau, quels que soient le diamètre et l'inclinaison des 
tuyaux d'aspiration et d'ascension, le piston porte tou- 
jours une charge d’eau égale au poids d'une colonne de 
ce fluide, qui aurait pour base celle du piston même et 
pour hauteur la différence de niveau entre la surface du 
puisard et le point de versement. 

8. Cette charge, qui en faisant d + d'= EH aura pour 
expression 


(1) .….. 100077H, 


n’est pas la seule résistance que le moteur ait à vaincre 
pour faire agir la pompe, il doit surmonter de plus les 
résistances passives suivantes : 


1° Le frottement du piston contre la paroi du corps 
de pompe; 

2° Le frottement de l’eau contre ces mêmes parois 
et contre celles des tuyaux ; 

5° La résistance que le liquide éprouve lorsqu'il eñtre 
dans le tuyau d'aspiration et qu’il passe par l'ouverture 
de la soupape dormante; 

4" Le poids de la soupape ; 

5° Enfin l’inertie de la masse d’eau à mettre en mou- 
vement. 


Ces diverses résistances ne peuvent être encore éva- 
luées rigoureusement ; mais, à défaut de formules exac- 
tes, nous allons rapporter les déterminations approxi- 
matives qui résultent des recherches de M. d’Aubuisson, 
elles sont suffisantes pour guider dans tous les cas or- 
dinaires de pratique. 

9. La résistance due au frottement du piston dépend : 
1° du nombre des points du pourtour du piston en con- 
tact avec les paroïs du corps de pompe, nombre qui est 


47 


POM 


* de la pression de chacun 


370 
proportionnel au rayon r; 2 
de ces points contre les parois, laquelle est proportion 
nelle à la hauteur totale H de la charge; 3° du poli et 
de la nature des surfaces frottantes. 

Désignant par . un nombre à déterminer par lexpé- 
rience, et qui dépendra principalement du poli des sur- 
faces, nous aurons donc pour l'expression de cette pre- 
mire résistance passive 


la valeur approximative de y est, d’après les hydrauli- 
ciens allemands, pour des corps de pompe, en 


urH ; 


Laiton bien poli. . . . . . 14 
Fonte simplement forée.. . 3o 
Bois assezlisse..... "1 50 


Bois dégradé par l’usage. . 100 


Il n'existe encore aucune observation positive à ce sujet. 
Pour évaluer la résistance due au frottement de l’eau, 
nommons 


D le diamètre du corps de pompe; 

L sa longueur; 

D' le diamètre du tuyau d'aspiration; 
L' sa longueur; 

D le diamètre du tuyau d’ascension ; 
L' sa longueur ; 

v la vitesse du piston. 


Remarquons d’abord que la vitesse de l’eau n’est pas 
la même dans les divers tuyaux; un même volume 
d’eau devant passer, dans un même temps, par chacune 
des sections (voy. Courant D'EAU, n° 18), et les aires de 
ces sections étant entre elles comme les carrés de leurs 
diamètres, les vitesses sont entre elles dans le rapport 
inverse de ces carrés; de sorte qu’en nommant & la vi- 
tesse de l’eau dans le tuyau d’aspiration et 9 sa vitesse 
dans le corps de pompe, nous avons 

2 
uw —= 0. DA . 
De même, u' désignant la vitesse de l’eau dans le tuyau 
d’ascension, 


: D? 
Re 


Or, V étant en général la vitesse de l’eau qui parcourt 
une conduite dont la longueur est L, l’aire de la sec- 
tion S et la circonférence de cette même section P, {a 
résistance due au frottement contre les parois est ex- 
primée par (voy. COURANT D'EAU, n° 25) 


LE (VE 0,055), 


9,0009420 


POM 


formule que les relations connues entre le diamètre D, 
la circonférence P et l'aire S, 


permettent de transformer en ..... (c) 
L & 
0,00137 D (V? + 0,055); 


mais, pour appliquer cette expression aux pompes, il 
faut observer que la vitesse V qui y entre est la vitesse 
moyenne du fluide dans une conduite, laquelle est plus 
grande que la vitesse des molécules voisines des parois 
et d’où dépend le frottement. Dans les pompes où les 
molécules se meuvent avec une vitesse à peu près 
égale, il faut donc donner à V une valeur plus grande 
que celle de Ja vitesse réelle dans le rapport de la vi- 
tesse près des parois à la vitesse moyenne des conduites. 
M. d’Aubuisson admet, d’après les observations de Du- 
buat, que si v désigne la vitesse réelle de l’eau dans le 
corps de pompe, vitesse qui est celle du piston, il faut 
donner à la quantité V de la formule (ce) la valeur 


V = v + o,17V/v; 


l'expression du frottement de l’eau dans le corps de 
pompe, c’est-à-dire la hauteur de la colonne d’eau dont 
le poids exprime la résistance due à ce frottement, de- 
viendrait ainsi 


o00187 ÿ | (+ o20/0) + 0,065(0 + 012) |, 


ou, plus simplement, mais avec un peu moins d’exac- 
titude ..….…. (d) 


0,00143 (v + o,171/0)°. 


Dans le tuyau d'aspiration, on aurait, par suite du rap- 
port des vitesses, 


5 À 19/0)? à 
0,0014 D: © + 017 v)?. D’) ? 


et dans celui d’ascension, lorsqu'il s’agit d’une pompe 


élévatoire , . 
L’ DAS 
0,00143 D’ (v+ 0,170). (5) £ 


La somme de ces résistances partielles est ..... (e) 
LÉO LD \: 
0,00143(v—+ 0,171/v) [5 +: (5) + (Gr) | 


Comme c’est le piston qui doit vaincre cette résistance 
1 
4 


d’eau dont l'expression (e) donne la hauteur, nous 


totale, et que c’est sur sa base - TD? que pèse la colonne 


POM 


avons définitivement, pour le poids en kilogrammes 
qui représente la valeur absolue des résistances prove- 
nant du frottement de l’eau ..…. (3) 


’ n 
0,3555rD°(v + 0,171/) [ = + = (©) , 


se PA DANS 
HAND: 5 
Pour la résistance due à chacun des étranglemens que 


la colonne fluide éprouve dans les pompes, conservons 
les dénominations précédentes, et nommons en outre 


m le coefficient de contraction à l'entrée du tuyau 
d’aspiration. (Sa valeur varie de 0,82 à 0,95, sui- 
vant la forme de l’évasement. Voy. Écouremenr 
pes Feuines, n° 15); 


s la section ou l’aire de l’ouverture de la soupape 
‘ dormante ; 


m le coefficient de contraction relatif à cette ouver- 
ture, lequel sera généralement — : (voy. Cou- 
RANT D'EAU, n° 50) lorsque le diamètre de l’ouver- 
ture dépassera la moitié de celui du tuyau d’aspi- 
ration ; 


7 le rapport entre la vitesse dans le tuyau d’aspira- 
: À DR 
tion et celle du piston — () - 

g la force de la gravité. 


La résistance totale des deux étranglemens sera... (4) 


2 k 2 2 
av fi /D ÉUPARSRRE 
250rD + Ê (5) + (E=) #| 


La déduction de cette formule repose sur le principe 
que la résistance qu'éprouve une colonne fluide en pas- 
sant d'un tuyau plus Large dans un tuyau plus étroit est 
représentée par la hauteur due à la vitesse de l’eau lors de 
son passage par l'étranglement , diminuée de la hauteur 
due à la vitesse que le fluide avait immédiatement avant. 
Ainsi, représentant par $ l’aire de la section du corps de 
pompe et par S' l'aire de la section du tuyau d’ascen- 
sion, et observant que cette dernière’se réduit à mS' à 
l'entrée de ce tuyau par l'effet de la contraction, nous 
aurons, pour la vitesse au moment de l'entrée de l’eau, 


laquelle correspond à une hauteur (voy. Haureun) , 


Dan SN 2 
2gm \S'/ ? 


celle-ci représentera la résistance de l’étranglement , 


POM 371 


puisque la vitesse de l’eau avant son entrée est nulle. 
Nous lui donnerons la forme 


v°? DANS 
29m? \ D'/ ? 


en remplaçant le rapport des aires par celui des carrés 


des diamètres. 
Au passage de l’eau par la soupape dormante, sa vi- 
tesse dans le tuyau d’ascension, que nous représente-- 


rons par yv, devient 


vf 4. } 
ms 


1 H n 
car mebr est la section du corps de pompe et mS la 


section contractée de la soupape. La différence des hau- 
teurs dues à ces vitesses, savoir : 


est donc la résistance de ce second étranglement. Ob- 
servant de nouveau que ces résistances agissent sur la 


1 2 : 
base - 7 D? du piston, nous aurons pour leur valeur ab- 


4 


solue exprimée en kilogrammes, 


De Po DIN coté TD, Ent 
D Ca [ (5) dr 4m 29 J” 


ce qui est identique avec la formule (4). Dans une 
pompe élévatoire il faudrait tenir compte, en outre, de 
l’étranglement qu’éprouve la colonne fluide en passant 


du corps de pompe dans le tuyau d’ascension. La résis- 
tance due au poids de la soupape dormante doit se cal- 
culer de deux manières différentes , suivant que cette 
soupape est à clapet ou à coquille (voy. Sourare). Dans 
le cas d’une soupape à clapet, soient P son poids, 2 la 
distance de son centre de gravité à l’axe de rotation, 
S l’aire de l’ouverture, }' la distance de son centre au 
même axe et æ la hauteur de la colonne d’eau dont le 
poids représente la résistance cherchée : P} sera le mo- 
ment (voy. ce mot) de la résistance due au poids du cla- 
pet, et 1000sæ\ sera celui de la force opposée; ainsi, 
comme ces deux actions sont égales, on a l'équation 


PA— 100052’, 
d’où l’on tire 
cart pi 
7 14005)” 


su 1 
Maultipliant cette hauteur par 1000 ; xD? pour avoir, 


372 POM 
exprimé en kilogrammes, l'effort à exercer sur le piston, 


il vient... (5) 


PrD?} 
4)" 


Si la soupape est à coquille, sa résistance sera sim- 
plement ..... (6) 


D? 
PE E? 
d étant le diamètre de lorifice circulaire qu’elle re- 
couyre. 

Enfin, pour évaluer la résistance provenant de l'i- 
nertie de l’eau, observons que si le piston était libre et 


que la force capable de balancer cette résistance lui fût 


appliquée et agit constamment sur lui, il prendrait un 

mouverent uniformément accéléré; de sorte qu’en 

parcourant la longueur totale de sa course { dans un 

ol 

temps f, la vitesse acquise par unité de temps serait n° 
ol 


et par suite Ê représenterait la force accélératrice. 


Ainsi, M représentant la masse du fluide mis en mou- 


vement, 


| © 
Le 


M. 


+. 
& 


représente la force motrice cherchée. Désignant par 1 
le poids de cette masse d’eau, cette expression devien- 
dra..... (7) 

110 2 
gui ei 
et l’on aura, en réduisant les diverses parties de l’eau à 


la vitesse du piston, 


k 
N—1000% 


RS 


2 
rD° [u+r | 


Il faut observer que toutes les fois que le piston sera 
mis en jeu par une machine qui règle les circonstances 
de son mouvement, lorsqu'il tient, par exemple, à la 
manivelle d'une roue animée d’un mouvement uni- 
forme, l’inertie n’entrainera aucune dépense de force : 
le piston se mouvant avec une vitesse accélérée pendant 
la première moitié de sa course et retardée pendant la 
seconde, l’inertie rend à la force motrice, dans cette se- 
conde partie du mouvement, l'effort qu’elle a exigé dans 
la première, 

10. Nous prendrons pour exemple d'application de 
ces diverses formules celui qu'en a donné M. d’Au- 
buisson sur une pompe dont il avait déterminé, par 
des expériences directes, toutes les espèces de ré- 


sistances. 


POM 


Cette pompe avait les dimensions suivantes : 


Diamètre du corps de pompe. . . .. D— 0",3248 
Longueur delce Corps... +. L — :1",80 


Rayure de la base du piston — LOT — 


2 


© 
LE 

© 

& 
= 


Diamètre du tuyau d'aspiration. . . . D'—0",13535 
Longueur de*ce tuyau..." Ce 12052 
Dilérence du niveau du puisard au 


. point de versement, LÆ+L'.. . . . H—9",452 
Longueur de la course du piston.. . . L —1",453 
Vitesse moyenne du piston (4 = levées 

en*une minute). 5 WE MSN DE 07218 
Poidsidelasoupape FRERE P— 1 
Coeflicient de contraction à l'entrée du 

tuyau d'aspiration. CERN 0 100 
Coefficient à la soupape dormante. . . m1, 00 

(L'eau sortant du tuyau d’aspira- 
tion n’éprouve pas de contraction à 
sa sortie.) 
Section effective de l’ouverture de la 
SOUPAPE: RE EC TC =D 


(Par approximation, on a pris les 


de la section du tuyau d’aspi- 


O1 & 


ration.) 
La vitesse de l’eau dans le tuyau d’as- 
piration élant à sa vitesse dans le 
la vitesse 


corps de pompe ou à 


moyenne du piston dans le rapport 


D 2 
(5) , elle arrive à la soupape dor- 


D’ 
D 2 
mante avec la vitesse v (5) SIEE 
D 2 
l'on'as 26 4 SONO OMR =) 


Substituant ces valeurs dans les formules précéden- 


Les, on trouve : 


1° Poids de la colonne d’eau à élever (1). 


à k 
1000. (3,1416). (0,1624)?. (9,452) =. . 783,2 
> Frottement du piston (2). 
30. (0,1624). (9,452) =" « : . - 46,1 
On fait — 530, parce que les tuyaux sont 
en fonte. 
3° Frottement de l’eau (3). 
Je. 1 ae 
250(3,1416) CADET ons] 
#.652 2 
RE ms) = DO 7 
0,925  0,19593 \c,199 


Totale 850',0 


SE ST 


POM 


. k 
Total ci-contre. . . . . 850 ,0 


4° Étranglemens de la colonne fluide (4). 


TD \ AE 0/2 DANS 
—_—_—l— 1t=— t 
Observant que Ce) (5) e 


D 0 
que () se trouve dans tous les termes du 


facteur complexe, on a 


2 e (0,218)? 
250(3,1416)(0,3248)°? . 2(9,8088) 
0:325\* 1 9 
a PT 17; 0 
6. ss | 4 
5° Résistance due au poids de la soupape (6). 
0,325:\? , 0,191 
LS ER V RARE OS 2 5 8 
2 (Se) Pro $ 
6° Pour l’inertie, la pompe étant mue par une 
LOUBHYARAULQUE SAN, NE PE PAL T 50 
Total des résistances. . . . . . . 872,5 


Retranchant de cette somme le poids de l’eau dépla- 
cée par le piston, il reste, pour l’ensemble des résis- 
tances active et passives, 858,3. 

L'expérience avait donné 860', et l’on peut considé- 
rer ces deux résultats comme parfaitement identiques. 

11. Les résistances passives sont de deux espèces: 
les unes, les plus considérables, sont indépendantes de 
ja vitesse ; les autres varient avec cette vitesse ; mais elles 
sont généralement si petites, comparativement à la ré- 
sistance totale, qu’on peut, dans les cas ordinaires, con- 
sidérer le rapport du poids de la colonne d’eau élevée à 
la somme des résistances passives de toutes espèces 
comme un nombre constant. D’après les expériences 
faites par M. d’Aubuisson pour déterminer ce nombre 
(Journal des Mines, tome 21), il suflirait de multiplier 
par le facteur 1,08 le poids dela colonne d’eau donnée 
par la formule (1) pour obtenir immédiatement la ré- 
. Sistance totale au mouvement d’une pompe aspirante, 
celle enfin que le moteur doit surmonter pour la mettre 
en jeu; on aurait ainsi, en désignant par R cette résis- 


tance totale 
+ 


RE 08 < [root], 
ce qui se réduit à 
R — 848D°H, 
en remplaçant r par sa valeur numérique et r par “D. 


On peut adopter, pour plus d’exactitude ..….. (7) 


4 


R = 850D’H, 


POM 373 


et cette expression éminemment simple dispensera, 
dans presque tous les cas, des longs calculs que nous 
venons d'indiquer. Par exemple, avec les données pré- 
cédentes, on aurait 


= 850. (0,3248)? . (9,452) — 847,6, 


résultat peu différent de 858:,3. On doit observer que 
le tuyau d’aspiration de la pompe en question était 
plus étroit que d'ordinaire, ce qui a donné lieu à une 
résistance pour le frottement de l’eau, beaucoup plus 
forte que celle qu’on a habituellement; de sorte qu’on 
peut espérer, en général, de l’emploi de la formule (7) 
des résultats tout aussi exacts que de celui des formules 
relatives à chaque résistance. 

Il faudra toujours ajouter à la résistance totale cal- 
culée le poids du piston et de sa tige. 

12. Lorsque le piston descend, la force motrice n’a 
à surmonter que son frottement contre le corps de 
pompe et l’étranglement de la colonne fluide qui tra- 
verse sa soupape. De sorte que, dans les pompes bien 
faites, il devrait suflire du seul poids du piston et de 
son attirail pour vaincre ces résistances, qui n’exigent 
d'ailleurs qu'un effort du moteur comparativement 
très-petit avee celui qu'il doit déployer pour lever le 
piston. Il en résulte que, pendant la moitié du temps 
que dure le jeu de la pompe, la force motrice n’a pres- 
que pas d'emploi; aussi, pour mieux l’utiliser, on réunit 
souvent deux pompes, de manière qu’à l’aide d’un ba- 
lancier, un piston monte tandis que l’autre descend, 
En faisant verser l’eau des deux pompes dans une même 
auge, on obtient un jet à peu près continu, qu’on ne 
pourrait produire avec une seule pompe qu’en y ajou- 
tant un réservoir d'air, comme aux pompes d'incendie. 

15. Nous avons vu (n° 5) que, lorsque le jeu de la 
pompe est établi, chaque coup de piston fournit un vo- 
lume d’eau égal à 7r°l, expression que nous ramène- 


. (8) 


0,783D°1, 


rons à la forme 


pour n'avoir à considérer que le diamètre du pis- 
ton — 2r. A la vérité, pendant que le piston monte, le 
volume d’eau qu'il soulève n’est pas précisément celui 
qui correspond à l’espace engendré par sa base, et il 
faudrait diminuer celui-ci de l’espace occupé par la. 
tige; mais, dans la descente, lorsque l’eau qui était 
sous le piston passe dessus, la tige en déplace et en fait 
verser un même volume; de sorte qu’en résultat, la 
quantité d’eau fournie par une oscillation entière du 
piston est toujours celle de l'expression ($). 

Mais quand une pompe a servi quelque temps, elle 
est loin de donner ce produit, La garniture du piston 
et les soupapes laissent redescendre une partie de l’eau 


374 PoM 


aspirée, ce qui occasionne un déchet qu’on peut éva- 
luer moyennement à 0,15 du produit théorique. Le 
produit réel n’est donc plus qu'environ 0,65D°1, et il 
peut encore devenir beaucoup moindre, si le mouve- 
ment du piston esttrès-lent. Cependant il est essentiel, 

d’ailleurs, de ne pas donner au piston une vitesse ca- 
pable d’occasionner un arrêt (n° 4). La vitesse des 
grandes pompes qui travaillent d’un mouyement con- 
tinu est communément de 0,16 à 0",24 par seconde; 
c’est 4 à G levées par minute pour une course de 
17,20, 

15. Pompe foulante. Dans la pompe aspirante, le 
corps de pompe et la soupape dormante sont placés à 
une certaine hauteur au-dessus du niveau de l’eau du 
puisard; dans la pompe foulante, au contraire, le corps 
de pompe, le piston et la soupape sont immergés. Lors- 
qu'onélève le piston a (PI. X VIT, fig. 15), l’eau soulève ia 
soupape dormante b, et monte dans l’intérieur du corps 
de pompe pour prendre le niveau MN de l’eau du pui- 
sard, qui est Ja limite de l'élévation du piston, pour 
qu'il n’y ait jamais lieu à aspiration. Quand le piston 
redescend, la soupape b se ferme, l’eau foulée ouvre la 
soupape e, nommée soupape de retenue, et pénètre dans 
le tuyau d’ascension D. Lorsque la course descendante 
du piston est acheyée, la soupape de retenue se referme, 
isole le piston de la masse d’eau chassée dans le tuyau 
d’ascension; de sorte qu’à chaque levée, les circon- 
stances du jeu de la machine sont les mêmes. 

La masse d’eau refoulée, à chaque descente du pis- 
ton, dans le tuyau d’ascension est toujours celle qui ré- 
pond au volume engendré par la base de ce piston, et 
se calcule par la formule (8). Quand le tuyau d’ascen- 
sion est rempli jusqu'au point de dégorgement, une 
oscillation entière du piston fournit une quantité d’eau 
exprimée théoriquement par 0,78bD?1, mais qui, 
dans la pratique, va de 0,7D°1 à o,6D°1. Il est évident 
que la charge du piston, quand il foule, est équivalente 
au poids d'une colonne d’eau qui aurait pour base la 
base même du piston, et pour hauteur la différence de 
niveau entre le puisard et le point où l’eau est élevée. 
Cette différence de niveau peut être, d’ailleurs, aussi 
grande que le besoin le requiert, et n’a d’autre limite 
que celle que pourrait y mettre la force dont on peut 
disposer. 

14.. Tout ce qui concerne les résistances des frotte- 
mens, des étranglemens et de l’inertie, s’applique aux 
pompes foulantes comme aux pompes aspirantes; scu- 
lement il y a une résistance particulière dans les pompes 
foulantes ; c’est celle de la soupape de retenue 6, qui, 
a masse d’eau contenue dans le tuyau d’as- 


pour porter ] 


cension, doit avoir une sur face supérieure plus g grande 


que celle de l'ouverture qu elle recouvre. Cependant 
cette cause de résistance ne paraît pas devoir être éva= 


POM 


luée à plus d’un vingt-cinquième de la charge sur le 
piston. 

15. Pompe aspirante et foulante. Elle est composée 
(PI. XVII, fig. 16) d’un corps de pompe dans lequel se 
meut un piston plein, d’un tuyau d'aspiration, d’un 
tuyau d’ascension et de deux soupapes. Quelquefois les 
tuyaux d'aspiration et d’ascension sont sur la même 
ligne, comme dans la figure. 

Lorsque le piston monte, il aspire, et le moteur doit 
développer un effort équivalent au poids d’une co- 
lonne d’eau qui aurait pour base le piston et pour hau- 
teur la distance entre le point le plus élevé de la course 
du piston et le niveau de l’eau dans le puisard (n° 5). 
Lorsqu'il descend, il refoule l’eau dans le tuyau d’as- 
cension, et doit alors surmonter le poids d’une colonne 
d’eau qui aurait toujours pour base le piston et pour 
hauteur la distance verticale comprise entre sa surface 
inférieure et le point de versement. 

16. Pour faire un emploi judicieux de la force du 
moteur, les pompes aspirantes foulantes devraient être 
construites de manière que les efforts fussent égaux 
dans la descente comme dans la montée du piston. On 
obtient ce résultat en accouplant deux pompes, dont 
l’un des pistons monte pendant que l’autre descend. 
L’effort total du moteur se compose alors de l’effort né- 
cessaire pour faire monter un seul piston, ajouté à ce- 
lui qu’il faut déployer pour le faire descendre. 

Faisons abstraction pour un moment des résistances 
passives, et nommons d la distance verticale du piston 
à la surface du puisard, lorsqu'il est parvenu au point 
le plus haut de sa course, et d’sa distance verticale 
au point de versement, l'effort de la montée exprimée 
en kilogrammes sera 


10007°rd, 


r étant le rayon du piston ; et l’on aura pour l'effort de 
la descente 


1000 r°rd'. 
L'effort total est done 
1000 r?r (d+-d'), 
ou 


1000 Y?rH, 


H désignant la hauteur verticale du point de versement 
au-dessus du niveau du puisard. Remplaçant r par 


1 
—D et r par sa valeur, nous aurons, pour la charge cor- 
2 


respondante à une demi-oscillation du balaneier qui 


met en jeu les deux pistons, 


785 D°H, 


POM 


expression qui, en tenant compte des résistances pas- 
sives, devient, d’après M. d’Aubuisson ..... (9) 


900 D'H. 


Si nous désignons par v la vitesse du piston, 
900 D'Hv sera la quantité d’action dépensée par le 
moteur dans l’unité de temps pour tenir les deux 
pompes en activité. Comme on estime ordinairement 
la vitesse v par le nombre d’oscillations que fait chacun 
des pistons en une minute, nous avons, en désignant 
ce nombre par N : l'étant la largeur de la course, 


2 Nl 
d = 


Go” 
Ainsi, la force dépensée ou l’effet dynamique (voy. 
Errer) produit en une seconde de temps est ..…., (10) 


50 ND°Her, 


Pour comparer cet effet dynamique avec l'effet utile, 
observons que celui des deux pistons qui parcourt l’es- 
pace v en s’abaissant fait entrer dans le tuyau d’ascen- 
sion un volume d’eau égal à 


à r Do — 0,785D°v, 


que nous réduirons moyennement à 
n D2- 
0,6 D?v, 


à cause des déchets (n° 12). C’est là le produit réel de 
l'appareil ; en le multipliant par 1000, hous aurons son 
poids exprimé en kilogrammes ; ainsi, 650 D'v repré- 
sente le nombre de kilogrammes d’eau que donne la 
pompe en une seconde; et comme, par le fait, cette 
eau se trouve élevée à une hauteur H, l'effet utile est 
représenté par 


650 D’vHin. 


Remplaçant v par sa valeur en fonction de la course du 
piston, cette expression devient .…. (11) 


21,9 ND'Hkn, 


Comparant avec (10), on voit que le rapport de 
l'effet utile à la quantité d’action dépensée est celui des 
nombres 21,7 et 30; c’est-à-dire que l'appareil n’uti- 
lise que les 0,72 environ de la force. Ce résultat $ac- 
corde assez bien avec la pratique; car l'expérience a 
prouvé que l'effet utile des pompes les mieux faites 
s'élève, au plus, aux 0,82 de la force dépensée. D’après 
M. Boistard (Ewpériences sur la main d'œuvre de difé- 
rens travaux), les pompes employées aux épuisemens 


POM 375 


et mises en jeu par des hommes agissant sur un balan- 
cier, consumeraient en pure perte près de la moitié de 
la force. 

17. Un des assemblages les plus utiles et les plus re- 
marquables des pompes aspirantes et foulantes est la 
pompe d'incendie. Nous emprunterons au Portefeuille 
du Conservatoire la description du meilleur appareil de 
ce genre qui soit encore connu. 

Les deux corps depompe vus en plan(fig.1, PI. XVIII) 
et vus en coupe (fig. 2) portent deux pistons kk mus 
par deux doubles bielles on tringles attachées en € au 
balancier aa, et en à aux deux pistons. Les bielles sont 
mobiles autour de ces deux points, et elles peuvent 
ainsi soulever verticalement les deux pistons. Pour as- 
surer complètement cette verticalité, les pistons portent 
entre les doubles bielles une tige fixe dd qui monte et 
descend dans un guide e. La fig. 2 montre ce mouve- 
ment, et elle indique aussi en ghhq les points les plus 
hauts et les plus bas atteints par les points e dans leur 
montée et leur descente, 

L'eau est fournie à la pompe par le tuyau d’aspira- 
tion d (fig. 1), et se distribue, après avoir été aspirée, 
dans un double fond ww commun aux deux pompes. 
La fig. 2 montre le mouvement alternatif des sou- 
papes : du côté gauche, où monte le piston, la soupape 
dormante s'ouvre, la soupape de retenue se ferme; de 
l’autre côté, le contraire a lieu; de sorte qu'il entre 
constamment de l’eau dans le grand réservoir commun 
de refoulement, primitivement rempli d’air. Cet air, 
refoulé par l’eau aflluente, qui arrive en plus grande 
quantité qu’elle n’en peut sortir, sous une petite pres- 
sion, par le tuyau d'injection, réagit sur l'eau, la chasse 
dans le tuyau d'injection mnp, qui se recourbe en p 
(fig. 1), et présente sur un des côtés de la pompe son 
extrémité, sur laquelle on visse les tuyaux à corps de 
cuir et ajustemens en cuivre, au moyen desquels on 
dirige l'injection où le besoin l'exige. 

Les traverses rr (fig. 2) servent à empêcher que le 
balancier ne soit poussé trop bas par les efforts des 
manœuvres, dans lequel cas, d’un côté, le piston vien- 
drait se heurter contre la soupape dormante, tandis 
que de l’autre il sortirait du corps de pompe. Les 
chaines attachées en ww (fig. 1) servent à maintenir 
dans le balancier les allonges wa, qui se terminent par 
un double bras portant à chacune de ses extrémités un 
anneau dans lequel on glisse un levier tt (fig. 1) qui 
est assez long pour être pris et manœuvré par plusieurs 
hommes à la fois. 

La pompe est très-facilement portative. Sur deux 
de ses côtés parallèles, elle porte deux crochets mo- 
biles #7 autour de clous à tête g. On relève les cro- 
chets jusqu’à ce qu'ils viennent buter contre le clou t, 
et l’on y passe un levier rr (fig. 1). La même opération 


376 POM 


se répète de l’autre côté, et la pompe est ainsi armée 
comme de deux bras de brancard, avec lesquels elle 
peut être portée où il est nécessaire. Les deux patins 
sur lesquels elle porte se replient en deux autour des 
charnières e‘0', 00. On voit sur la gauche le patin dé- 
ployé en d'e', et replié sur la droite en db". Quand la 
pompe manœuvre, les hommes montent sur le patin 
déployé, ce qui contribue à la stabilité de l'appareil. 

Cette pompe, manœuvrée par huit pompiers bien 
exercés, reçoit 60 coups de balancier par minute; la 
course des pistons est de 0",12. Elle peut jeter par mi- 
nute 648 litres d’eau à 20 mètres de hauteur. Abstrac- 
tion faite de tout déchet, c’est 27!" d'effet utile par 
pompier et par seconde. Outre les hommes employés 
à mettre le balancier en mouvement et à diriger les 
tuyaux d’injections, le service d’une pompe d'incendie 
exige un nombre de travailleurs assez grand pour qu’il 
y soit versé continuellement de l’eau avec des seaux en 
cuir faits pour un tel usage. 

18. Pompes rotatives. Depuis Ctésibius, auquel on 
attribue l'invention des pompes, jusqu’à ces derniers 
temps, les efforts des hydrauliciens s'étaient bornés à 
perfectionner leurs dispositions; mais, tout récem- 
ment, deux mécaniciens très-distingués, Bramah en 
Angleterre, et M. Dietz en France, se sont frayé des 
routes nouvelles, en construisant des appareils dans 
lesquels le mouvement de rotation continu est substi- 
tué au mouvement alternatif. Nous donnerons une 
idée du mode d'action de ces ingénieuses machines, en 
empruntant à M. d’Aubuisson la description de la 
pompe de Dietz. 

« Le corps de pompe y est remplacé par un tambour 
ouboîtecylindrique(Pl.X VIT, fig. 17)en cuivre À, ayant, 
dans œuvre, de 0",20 à 0",40 de diamètre, et de 0",04 
à o®,12 d'épaisseur, selon la force de la machine. Elle 
contient, entre ses deux fonds, une seconde boite BB’, 
également en cuivre et cylindrique, mais d’un moindre 
diamètre et sans couvercle : elle est mobile autour 
d’un arbre tournant C muni d’une manivelle. Dans 
l'intérieur de la boîte ou roue BB’, et joignant son bord 
concaye, on a un excentrique D fixé à vis sur le tam- 
bour. Celui-ci renferme encore, du côté des tuyaux E 
et F, une large lame de fer GbH , qui est pressée, en b, 
contre les convexités de la roue, et qui est percée de 
deux ouvertures : par l’une €, l’eau passe du tuyau 
d'aspiration E dans l'intervalle aaaa qui existe entre 
les deux boîtes; et par l’autre d, elle entre dans le 
tuyau d’ascension F. Enfin, la boîte BB’, dans toute son 
épaisseur et jusque auprès de l’arbre tournant, présente 
quatre entailles en croix, dans lesquelles sont et glissent 
quatre languettes en fer 1, I', l' et I" : leur largeur 
(parallèlement à l'arbre), comme celle de la bande GbH, 
est égale à la distance qu’il y a entre les deux fonds 


PON 
du tambour : une de leurs extrémités est constamment 
appuyée contre le bord extérieur de l’excentrique D, 
et l’autre l’est contre la paroi concave de l'intervalle aaa; 
de sorte que, pareilles à des cloisons, elles divisent cet 
intervalle en cases séparées. 

» Lorsqu'on met la machine en mouvement, que la 
roue BB’ va de à vers B', la languette I, après avoir 
passé le point b, laisse derrière elle un vide, et dès 
qu'elle est au-delà de l'ouverture €, l’eau entre pour la 
remplir; la languette T', qui vient ensuite, pousse de- 
vant elle cette eau, lui fait parcourir l'intervalle aa, la 
force à passer par l’orifice d età monter dans letuyauF. 
Ainsi successivement, ct l’on a un mouvement et un 
jet continus. 

» D’après ce qui vient d’être dit, pour que la ma- 
chine élève toute l’eau possible, il faut que le fluide soit 
très-exactement retenu dans les cases, qu’il ne puisse 
passer de l’une à l’autre, et, par conséquent, que la 
boîte mobile et les languettes joignent parfaitement les 
deux fonds du tambour, sans toutefois y occasionner 
un frottement considérable ; et pour qu'il en soit ainsi, 
il faut une grande perfection dans l’ajustage des pièces 
de la machine. Lors même que cette perfection existe- 
rait à la sortie des mains de l'artiste, il est à craindre 
qu’elle ne soit altérée par un long travail, par l’éléva- 
tion des eaux sales, etc., et qu’au bout d’un certain 
temps, l'effet utile ne devienne bien inférieur à ce qu'il 
était primitivement : celui-ci, dans une expérience 
faite par MM. Molard et Mallet, aurait été les 0,44 de 
la force employée à le produire. » 

Ce résultat est inférieur à celui des pompes ordi- 
naires, lors même qu’elles ont déjà un assez long ser- 
vice; mais nous devons ajouter que la machine sur 
laquelle MM. Molard et Mallet ont fait leur expérience 
n’avait probablement pas toute la perfection de celles 
qu’on trouve maintenant dans les ateliers de M. Stolz; 
car, ayant eu plusieurs fois l’occasion d'employer ces 
dernières, nous avons pu reconnaître que l'effet utile, 
qui s'élevait aux 0,66 de la force appliquée quand l’ap- 
pareil était neuf, ne descendait pas au-dessous de 0,50 
après un service journalier et continuel d’une année. 

Ouvrages à consulter. Bélidor, Archit. hydraul., 
t. II. — Hachette, Traité élém. des machines. — De 
Prony, Nouvelle architect. hydraul. — D’Aubuisson, 
Traité d'hydraulique. 


PONT. (Archit. hydraul.) Construction faite sur un 
fleuve, une rivière, un torrent ou même un fossé, pour 
en faciliter le passage. 

On distingue deux espèces de ponts, les ponts fixes 
et les ponts mobiles. Les premiers, qu’on nomme aussi 
ponts dormans, sont des bâtimens en pierre, en bois ou 
en fer, assis sur des fondations inébranlables, et dont | 


PON 


toutes les parties sont liées de manière à ne former 
qu’une seule masse capable de résister pendant une 
longue suite d'années aux injures du temps et à toutes 
les autres causes de destruction. Les seconds sont des 
constructions, ordinairement en bois, qui peuvent être 
déplacées à volonté, pour livrer ou refuser le passage, 
comme les ponts levis dans les places fortifiées, et les 
ponts lournans sur les canaux de navigation. Il existe 
encore une autre espèce de ponts dont l’usage n’est que 
momentané ; elle se compose des ponts de bateaux ou 
ponts flottans, qu'on jette sur une rivière pour faire 
passer une armée. 

La construction des ponts fixes est une des parties 
les plus importantes de la science des ingénieurs ; elle 
embrasse une foule de détails théoriques et pratiques 
dont l’exposition, même très-succincte, dépasse nos 
limites et sort d’ailleurs de notre plan. Dans limpossi- 
bilité où nous sommes de résumer ici l’ensemble des 
connaissances actuelles sur un genre de construction 
qui intéresse au plus haut degré le bien-être public, 
nous essaierons du moins de mettre à la portée des 
étudians les questions élémentaires d’hydraulique, de 
géométrie et de mécanique, inhérentes à ce sujet. 

1. Un pont de pierre se compose généralement de 
plusieurs massifs de maçonnerie qui supportent une ou 
plusieurs voûtes sous lesquelles l’eau de la rivière s’é- 
coule. 

3. Parmi ces massifs, ceux qui sont établis aux deux 
bords delarivière, comme MN et MN (PI. X VII, fig. 5), 
portent le nom de culées. Ceux qui sont établis au mi- 
lieu des eaux, comme AABB, se nomment piles. 

3. L'espace voûté qui est entre deux piles ou entre 
une pile et une culée est une arche. On donne aussi le 
nom d’arche à la voûte elle-même, laquelle est formée 
de pierres taillées qu’on nomme voussoirs. 

Les points A et D, où commence la courbure de la 
voûte, se nomment les naissances de l’arche. Le vous- 
soir du milieu de la voûte porte le nom de clef. 

4. Pour construire une arche, on établit entre deux 
piles un assemblage de charpentes nommé cintre, dont 
la partie supérieure est convexe, et présente la même 
surface courbe que celle que doit avoir l'arche dans sa 
concayité. C’est sur ce cintre qu’on établit successive- 
ment les divers voussoirs; en commencant par ceux des 
naissances ; le dernier qu’on place est la clef, et l’on dit 
alors que l'arche est bandée. Après la pose de la clef, 
les voussoirs qui n'étaient supportés que par le cintre 
se soutiennent les uns les autres, et l’on comble avec 
une maçonnerie de moellons les espaces vides CEC, 
nommés les reins, jusqu’au niveau MM qu'on veut 
donner à la chaussée du pont. 

5. Les piles de la figure 5, dont la figure 4 donne la 
coupe horizontale, sont de simples prismes à base de 


Tom. zu. 


PON 371 


rectangle offrant une face plane au courant. Ordinaire- 
ment on leur donne la forme d’un prisme hexagonal 
(fig. 5 et 6), et alors la partie en pointe BCB, tournée 
du côté du courant, reçoit le nom d’avant-bec; l’autre 
partie opposée se nomme l’arraère-bec. 

6. Lorsque l'emplacement que doit occuper un pont 
a été fixé par des raisons de convenance, il se présente 
trois questions principales, que nous allons examiner : 
1° le débouché qu'il faut laisser à la rivière, 2° la forme 
des arches, 2° la grandeur des arches. 

7. Le débouché d’un pont, ou l’espace libre que les 
arches doivent laisser au passage de l’eau, se détermine 
d’après la vitesse que prendra naturellement l’eau sous 
ces arches. Si ce débouché est moins grand que la sec- 
tion qu'avait la rivière avant la construction du pont, 
la vitesse de l’eau sous le pont sera plus grande que la 
vitesse primitive ; si, au contraire, le débouché est plus 
grand que la section, la vitesse sera plus petite (voy. 
Courawr, n° 18). Le premier cas arrive lorsque le lit 
primitif de la rivière se trouve resserré par l’établisse- 
ment des culées et des piles; le second, lorsque le lit 
se trouve élargi, parce qu’on a fait rentrer les culées 
dans les terrains au-delà des bords, et qu’on a retran- 
ché de ces bords un espace plus grand que celui qui 
est occupé par les piles. 

8. Le resserrement et l’élargissement du lit d’une 
rivière peuvent présenter l’un et l’autre de graves in- 
convéniens. 

Lorsque, par un trop grand resserrement, les eaux 
sont forcées de prendre brusquement une vitesse beau- 
coup plus grande que leur vitesse primitive, il se forme 
un remous (voy. ce mot) en amont de chaque pile et 
une chute en aval; de sorte que l’eau réagit contre le 
fond de son lit, et tend à le creuser jusqu’à ce qu’elle 
ait gagné proportionnellement en profondeur ce qu’on 
lui a ôté en largeur. Or, le point essentiel est d'éviter 
que la vitesse augmente assez pour que les eaux puis- 
sent attaquer le fond de la rivière et affouiller les fon- 
dations des piles, ce qui est une des principales causes 
de la ruine des ponts. D’un autre côté, la diminution 
de la vitesse primitive occasionne des dépôts de ma- 
tières ou des atterrissemens qui deviennent dan- 
gereux. 

Pour pouvoir fixer son opinion sur la vitesse qu'on 
doit adopter, il faut examiner avec soin la nature du 
terrain qui compose le fond de la rivière. Si ce terrain 
est dur et compacte, et qu’on n’ait point à craindre que 
le pont soit affouillé, il faut seulement observer que le 
débouché ne soit pas resserré au point d'occasionner des 
remous assez considérables pour gêner la navigation et 
produire des inondations dans la partie supérieure du 
fleuve; si, au contraire, le fond est composé d’une nia- 
tière que J'eau puisse attaquer facilement, il est néces- 


LS 


378 PON 


saire de donner au débouché des dimensions telles que 
la vitesse ne soit pas sensiblement augmentée. 

9. La détermination du débouché d’un pont exige 
donc deux élémens dont on ne peut fixer la valeur que 
d’après des expériences et des observations faites sur le 
lieu où l’on veut l’établir. Ces élémens sont la vitesse 
moyenne de l’eau dans ce lieu et la vitesse moyenne 
qu’elle prendra après la construction du pont. Quand 
ces deux élémens sont connus, l’aire du débouché s’en 
déduit très-facilement. 

En effet, nommons U la vitesse moyenne primitive 
de l’eau, et Q l’aire de la section de la rivière, section 
qu’on a dû, ayant tout, mesurer très-exactement; la 
quantité d’eau qui passe dans l’unité de temps par la 
section ©, ou la dépense de cette section (voy. Cov- 
nant), est QU. Nommons actuellement ® la vitesse 
moyenne qu’on veut laisser à l’eau sous le pont, et » 
l'aire du débouché de ce pont; la dépense de la sec- 
tion &, dans l’unité de temps, sera wv. Mais les quan- 
tités d’eau qui passent dans un même temps par les di- 
verses sections d’une même masse fluide en mouve- 
ment sont égales; ainsi 


QU = vo, 
d’où l’on tire 


U 


CO Le 


T1 suffit donc de multiplier la section primitive Q par le 
rapport des deux vitesses pour obtenir l'aire du débou- 
ché, qui donnera la vitesse adoptée ». 

Observons toutefois que l’expression % de Ja dépense 
du débouché n’est pas exacte dans la pratique ; car les 
eaux ‘subissent une contraction en pénétrant sous les 
arches qui diminuent la section © (voy. Écoulement des 
fluides); de sorte que la section réelle du débouché 
n’est pas w, mais une quantité plus petite, mo, m étant 
un coefficient de contraction à déterminer par l’expé- 
rience. Il résulte de cette observation que l'expression 
de la dépense par la section contractée est mvo, et 
qu’on a en réalité 


QUE ML, 


relation qui fournit les deux expressions 


U 
(Fa) abace DROS en D 

o 
2)... V—= VU. — 
(2) a 


dont la première fait connaitre le débouché au moyen 
des deux vitesses U et », et dont la seconde peut être 

” # . . e 
employée pour déterminer la vitesse que prendraient 


PON 


les eaux sous les arches dans le cas d’une valeur donnée 
de l’aire du débouché. 

10. La valeur du coefficient de contraction m n’est 
point encore connue avec une exactitude suffisante: 
Eytelwein l'estime à 0,855 pour les piles dont les avant- 
becs présentent carrément leur face antérieure au cou- 
rant , et à 0,95 lorsqu'ils lui présentent un angle aigu. 
Quelques expériences de Dubuat semblent indiquer, 
pour ce dernier cas, la valeur m— 0,91. Comme l’épais- 
seur des piles et la forme des avant-becs influe très-sen- 
siblement sur la manière dont la contraction s'opère , 
cette question réclame une suite d'observations plus 
précises et plus directes que toutes celles qui ont été 
faites jusqu’à ce jour. 

13. En laissant de côté la grandeur du remous, sur 
laquelle nous reviendrons tout-à-l’heure, la détermina- 
tion du débouché dépend seulement des deux vitesses 
U et v, et se trouve donnée par la formule (1). Il s’a- 
git donc avant tout de trouver les valeurs de ces vitesses 
et principalement la valeur de U, puisque celle de v 
doit être adoptée d’après la nature du terrain du fond 


de la rivière (n° 9). 
Rappelons-nous que U représente la vitesse moyenne 
de la rivière à la section © de son lit au lieu où l’on veut 
construire le pont: or la seule vitesse facilement obser- 
vable est la vitesse à la surface, et c’est de cette der- 
nière qu’il serait très-utile de pouvoir conclure la vi- 
tesse moyenne, dont l'évaluation directe présente de 
grandes diMicultés. Nous avons rapporté ailleurs (Cou- 
raxr) la formule de Dubuat, qui donne le rapport de 
la vitesse du fil de l’eau avec la vitesse moyenne, ainsi 
que la formule de M. de Prony conclue des mêmes. 
expériences, 
Ge V(V + 2,3718;) 


VE VE3,15810 ? 


dans laquelle V désigne la vitesse du fl de J’eau. Cette 
dernière, dont on peüt se servir très-utilement, dans 
les cas ordinaires de pratique, se réduit à l’expression 
très-simple 

(4)N- UE 0,82 


pour des vitesses V comprises entre les limites V — 0, 
Y — 5 mètres. Ainsi, après avoir mesuré Ja vitesse du 
fil de l’eau avec un flotteur (voy. Hypromërne), il serait 
très-facile d’en conclure la vitesse moyenne si la for-. 
mule (3) s’étendait à tous les cas; mais cette formule 

suppose que la relation des vitesses U et V est indépen- 

dante de la grandeur et de la figure du lit du courant, 
ce qui ne paraît guère admissible et ne permet pas d’es= 
pérer qu’une détermination ultérieure des tire 
numériques, d'après de nouvelles expériences ; puisse 
jamais lui donner un plus haut degré de certitudes 


PON 


M. de Prony, dans ses Recherches sur la théorie des eaux 
courantes, a donné la formule suivante, qui fait con- 
naître la vitesse moyenne au moyen de la pente de la 


rivière 
».1 
ESS U — — 0,07 +v/{ 0005 3235 |. 


Q est, comme ci-dessus, l’aire de la section; 

P le périmètre mouillé, ou la partie du périmètre de 
la section en contact avec la paroi renfermant 
le fluide ; 

J la pente par mètre. 


Cette équation suppose essentiellement que la gran- 
deur de la section et la valeur de la pente sont sensi- 
blement les mêmes sur une assez grande longueur du 
lit pour que la vitesse moyenne y puisse être regardée 
comme constante. Dans tous les cas de pratique qui ne 
s’écarteront pas trop de cette hypothèse, on pourra 
donc en tirer la valeur de la vitesse moyenne avec une 
exactitude suflisante. 

12. M. de Prony a déterminé les valeurs de ses coef- 
ficiens numériques d’après trente-une expérience, choi- 
sies et discutées avec beaucoup de soin, mais il ne les a 
considérées que comme provisoires et devant naturel- 
lement subir des modifications, par suite d'expériences 
ultérieures. Depuis, Eytelwein , en combinant quatre- 
vingt-onze expériences faites sur divers canaux et ri- 
vières, a obtenu d’autres valeurs, qui changent l’équa- 
tion (5) en 


(6) ..... U — —\0,0552 +v/{ oo 2786 |. 


Nous avons donné la déduction de cette dernière au 
mot Courant. 

15. Il nous reste à faire une observation très-impor- 
tante ; c’est que le débouché d’un pont ne doit jamais 
être fixé d’après la quantité moyenne d’eau que conduit 
le lit de la rivière, mais bien d’après celle qu’il contient 
à l’époque des grandes eaux. Ainsi, la mesure de la sec- 
tion © et la détermination de la vitesse moyenne U, soit 
par les formules précédentes, soit par des procédés di- 
rects, doivent être effectuées au moment où le niveau 
de la rivière a atteint sa plus grande hauteur; et, 
comme à ce moment les eaux sont ordinairement dé- 
bordées et s'étendent des deux côtés sur une grande sur- 
face où elles coulent lentement, tandis qu’elles ont une 
grande vitesse au milieu du courant, on s’exposerait à 
commettre de grandes erreurs dans l'évaluation de la 
vitesse moyenne, si l’on employait aveuglément les for- 
mules (4) ou (6). Il faut alors choisir, s’il est possible, 
un endroit de la rivière où les eaux se trouvent encais- 
sées et où pendant les crues elles ne débordent pas sen- 
siblement; après ayoir mesuré avec soin la section de la 


PON 379 


rivière à cet endroit et la vitesse moyenne correspon- 
dante, on connaîtra la dépense de cette section, et par 
conséquent la dépense de la section au lieu du pont 
projeté; on n’aura donc plus qu’à diviser cette dépense 
par l'aire de cette dernière section pour connaître la 
vitesse moyenne cherchée, en admettant toutefois qu’au- 
cun affluent ne vienne augmenter la quantité des eaux 
entre les deux sections, car dans ce cas il serait néces- 
saire de tenir compte de l’augmentation de la dépense 
qui aurait lieu à la dernière section. 

Supposons, pour éclaircir la question, qu’on projette 
un pont en AB (PI. XIX, fig. 1) où la section de la ri- 
vière a été trouvée de 1200 mètres carrés ; le lit n'étant 
point encaissé et sa largeur AB = 400 mètres étant con- 
sidérable par rapport à sa profondeur moyenne 3 mè- 
tres, il serait difficile de connaitre la vitesse moyenne 
avec une suffisante exactitude; mais à une lieue au-des- 
sus, en @b, la rivière passe entre deux rochers à pic et 
dans cet endroit sa largeur n’est que de 150 mètres et 
sa hauteur moyenne de 4,85. Sa vitesse moyenne me- 
surée en ab étant de 4",10 par seconde, il en résulte 
que la dépense par la section @b est 


150 X 4,85 X 4,10 — 2983 mètres cubes. 


Ainsi, s’il n’y avait pas d’affluent, la vitesse moyenne 
à la section AB serait 


2983 
1200 


U— 


= 2°,49- 


Mais, entre les deux sections AB et ab, une petite 
rivière vient jeter ses eaux dans le lit de la grande, et 
l'on a trouvé parles mesures de sa section mn et de sa 
vitesse moyenne, à cette section, que la dépense de cette 
petite rivière, c’est-à-dire la quantité d’eau qu’elle verse 
dans la grande, par seconde de temps, est de 150 mètres 
cubes. Ainsi, le volume d’eau qui passe en AB par se- 


conde est égal à 
2983 + 190 — 3199 mètres cubes, 


ce qui, pour une section de 1200 mètres carrés, donne 
une vitesse moyenne 


Admettons maintenant que le fond de la rivière soit 
composé de matières peu consistantes et qu'il soit dan- 
gereux de resserrer son lit; il faudra, dans ce cas, que 
le débouché du pont n’augmente pas sensiblement la 
vitesse moyenne 2",61; de sorte que nous posérons 
dans la formule (1) v= 2°,61 et nous aurons, en em- 


ployant le coeficient de contraction 2 =,0,99, parce 


380 PON 
que les avant-becs doivent présenter un angle aigu au 
courant, 
2,01 1200 
w — 1200. — — — 1263 mètres carrés, 


0,95 X 2,61 0,95 


Le pont projeté devra donc offrir un débouché de 
1263 mètres carrés. Nous ferons observer, en passant, 
que si les naïssances des voûtes étaient placées au-des- 
sous du niveau des grandes eaux, il faudrait employer 
le plus petit coefficient de contraction m— 0,85. 

Dans le cas, au contraire, où le fond du lit se rap- 
procherait de la nature du roc et où l’on croirait pou- 
voir sans danger laisser prendre aux eaux, sous le pont, 
une vitesse moyenne plus grande que 2",61, par exem- 
ple, une vitesse moyenne de 5,50, ce qui permet de 
donner moins de développement au pont et diminue les 
dépenses de son établissement, on ferait v = 5,50, et la 
formule (1) donnerait 


14. C’est lorsqu'on veut resserrer le lit de Ja rivière 
qu'il devient important de considérer si les remous ne 
seront pas assez considérables pour gêner la navigation 
et produire des inondations en amont du pont. Le pro- 
blème à résoudre est donc de trouver la hauteur des re- 
mous pour une valeur particulière du débouché. En 
voici une solution, d’après Dubuat , qui peut être utile 
dans la pratique, quoique plusieurs circonstances y 
soient négligées; elle est rapportée par Gauthey dans 
son beau Traité de la construction des ponts. 

Supposons que ACDB (PI. XIX , fig. 2) représente la 
face latérale d’une pile, et EF la pente naturelle de Ja 
rivière avant la construction du pont. Le courant se 
trouvant resserré sur toute la longueur CD, la vitesse 
et conséquemment la pente de la rivière y seront plus 
considérables , ct la surface de l’eau , en faisant abs- 
traction des résistances particulières produites par les 
avant-becs, prendra une inclinaison qui pourra être 
représentée par la ligne HE. Cette surface en amont 
s’élèvera nécessairement au-dessus du point H, et nous 
la représenterons par la ligne MG, qui, sur une petite 
longueur, est sensiblement horizontale. 


Nommons 


& laire de la section naturelle de la rivière ; 


w l’aire de la section après la construction du pont, 
ou Ja surface du débouché; 


Ü Ja vitesse moyenne de l’eau; 


v la vitesse moyenne que prendra l’eau sous les ar- 


ches après la construction du pont; 


I la pente par mètre de la rivicre : 


PON 
L la longueur des piles — CD ou AB; 
H la hauteur GK du remous ; 


g la force de gravité. 


Les vitesses, dans un même fleuve, étant en raison in- 
verse de l’aire des sections correspondantes, on aura 


a 
D —==U, 
0) 


et, conséquemment, les hauteurs dues aux vitesses U 
et v seront respectivement 


las la partie GH de la hauteur du remous correspond 


à l'augmentation de la vitesse; ainsi 


ro 
Toutefois, comme le rapport — n’est pas exacte- 
ü) 


À à TS 
ment égal au rapport inverse des vitesses ÿ ? À Cause 


de la contraction de la veine fluide et des frottemens 


sur les parois des orifices, nous lui substituerons la 
nt O0) : 
quantité p—, dans laquelle y est un coeMicient de cor- 
G) 


rection à déterminer par l'expérience; nous aurons alors 


Quant à la partie KH de la hauteur du remous, elle 
dépend de la pente qui se formera sur la longueur des 
piles : or, avant la construction du pont, cette pente 
était égale à L. I; elle doit donc être, après, 


Q? 
Lip? 


car les pentes augmentent dans le rapport des hauteurs 
dues aux vitesses, et il résulte 

a? 

KH — Lip? — — LI. 

0) 
Prenant la somme des deux parties GH et KH, nous 
aurons définitivement pour la hauteur totale GK —H, 
à laquelle les eaux s'élèvent en amont, puisque leur 
niveau doit rester le même en aval 


(7)... H= (+ 1) GE de ). 


Appliquons cette expression à l'exemple précédent, 


PON 


dans le cas d’un débouché — 942", et admettons de 
plus que la pente I ait été trouvée de 0,001, et que la 
longueur L des piles doive être de 10 mètres. Substi- 
tuant ces valeurs dans l’expression (7) en observant que 


U? ; 
la hauteur — due à la vitesse U — 2",61 se trouve 


toute calculée dans la table des hauteurs (voy. Havw- 
TEUR), et qu’elle est égale à 0°,3472 ; nous aurons 


++ 2 & (1200)? 
H— (ossi + 0,001 X 10) Cr CTOL — 1 


1200 \? 
— 0,9970 | | | — 1 | — 07,285. 
CiÉ [GC à ] L 


Cette grandeur étant peu considérable, on pourrait 
en conclure que le débouché adopté est suffisant; mais, 
en général, la formation d’un remous ne pouvant ja- 
mais être que préjudiciable, il est très-essentiel de le 
rendre le plus petit possible. Si la hauteur trouvée H 
paraissait trop grande , il faudrait augmenter la section 
« du débouché, et par conséquent diminuer la vitesse », 
ou bien prendre pour H la valeur qu'on jugerait con- 
venable et la substituer dans l'équation (7) dont on ti- 
rerait alors la valeur de w. 

15. Lorsqu'il s’agit seulement de calculer H et qu’on 
veut faire usage de la table des hauteurs dues aux vi- 


tesses, on peut donner à l'expression (7) une forme 
2 


Q 
beaucoup plus commode , en remplacant à par le 


me 


v? 
rapport égal vw: ° il vient ainsi 


v? U? 4? 
IL (Gr) 


Par exemple, avec les données ci-dessus, 


= 3",50; U— 2",61; I—0",001; L— 10"; 


on n’a d'autre calcul à faire que celui du second terme 


v° 3,50\? 
IL ( — )= 0,01 [Éa) — | — 0,00708, 


car la table fait immédiatement connaitre 


v? U? 
2g — 0,6944, 2q = 0,3472. 


D'où 


H — 0,6244 — 0,5472 + 0,0598 = 0",285. 


PON 381 


16. Si, pour plus de simplicité, nous désignons par 


h la hauteur due à la vitesse U ou la valeur de la quan- 

AU 

üte 
24 


, nous obtiendrons, en dégageant w de l’équa- 


tion (5), l'expression 


_£ v| 


m 


h+IL 
HE # LIL |? 


qui fera connaître l’aire du débouché pour une valeur 
adoptée de la hauteur H du remous. Par exemple, tou- 
jours dans l’exemple précédent où nous avons 


U? s 


R———0,3472; Q —1200"; m— 0,95; 
10001 070; 


si l’on ne voulait pas que la hauteur du remous dépas- 
sât 0",2, on ferait H — 0",2 et l’on aurait 


1200 


TT og. vl= + 0,3472 + 0, 


1200 0, 3572 
== 112 —= — HO) 
0,99 0, 5572 


Ainsi l’aire du débouché devrait s'élever à 1011 mètres 
carrés. 

Dans le cas où l’on adopterait ce débouché et qu’on 
voulût connaître la vitesse que l’eau prendrait sous le 


pont, il faudrait faire o — 1011, et la formule (2) don- 
ncrait pour cette vitesse 


. 5,95 ch — 91,26! 

17. Les moyens de calcul que nous venons d’expo- 
ser ne donnent en réalité que des valeurs approxima- 
tives, mais ils n’en sont pas moins très-utiles pour éta- 
blir le projet d’un pont. Lorsque l'ingénieur a fixé la 
grandeur du débouché, il doit procéder au choix de la 
forme des arches, dont on distingue trois espèces prin- 
cipales : 

1° Les arches en plein cintre, décrites par une demi- 
circonférence de cercle (PI. XIX, fig. 3); 

2 Les arches en anse de panier (voy. ce mot, tom I), 
décrites par plusieurs arcs de cerele de différens rayons 
(PI. XIX, fig. 4); 

53° Les arches en arc de cercle, qui sont formées 
d’un seul arc de cercle (PI. XIX, fig. 5) d’un nombre 
plus ou moins grand de degrés. 

Chacune de ces espèces d’arches présente des avan- 
tages et des inconvéniens particuliers. 

18. Les arches en plein cintre sont les plus faciles à 
construire et celles qui offrent le plus de solidité, mais 
elles obstruent considérablement le passage de l’eau et 
occasionnent la plus grande contraction de la masse 


382 PON 


fluide. On place ordinairement leurs naissances à la 
hauteur des fondations ou au niveau AB (fig. 3) des 
basses eaux, de sorte que, dans ce dernier cas, le dé- 
bouché, au temps des grandes eaux ab, se compose 
d’un espace mixtiligne CabE, dont on peut calculer 
l'aire de la manière suivante : 

Soit OF — À la hauteur des basses eaux, GF—h 
celle des grandes eaux, AB — 24 le diamètre de l’arche. 
Faisons OG = h'— hk — 0 et menons lerayon Oa. 


, 


Le demi-débouché CAaGF sera composé d’un rec- 
tangle CAOF dont l’aire est égale à AO X OF, c'est- 
à-dire à ah. 

Plus d’un secteur de cercle AO@, dont l'aire a pour 


. du 1 \ 
expression (voy. SEGTEUR, tom. IT) — AO X are Ama, ou 


1 
= 4 X are Am. 
2 
Plus enfin d’un triangle rectangle aGO , dont la sur- 


ÿ ANT à | 
face est égale à — aG X GO. Nous avons pour ce der- 
2 


nier aG .V/a02 — GO —V/a? — 6; ainsi son aire est 
e 1 = 1 ————— —— 
représentée par — QV/ a — & — 5 W/ (a+ 8)(a— 0). 


Doublant toutes ces quantités pour avoir l’aire en- 
tiére du débouché CabE, nous aurons donc , en nom- 


mant cette aire S, 
S — ah + O/(a + 0)(a — 0) + à X arc Ama, 


expression dans laquelle tout est connu, excepté l'arc 
Ama, dont il faut exprimer la longueur en unités linéai- 
res de même nature que celles employées pour mesurer 
le rayon a. Pour cet effet, observons qu’en menant la 
perpendiculaire a@ —GO0—5, le triangle rectangle «Q0 


donne 


sin Ama — 0 —= 2 : 
AO a 
Ayant calculé à l’aide de cette expression le sinus de 
l’are Ama, les tables des sinus feront connaître le nom- 
bre des degrés de l'arc Ama; et en désignant par % le 
nombre des secondes de cet arc, comme le nombre des 
secondes comprises dans une demi-circonférence est 
648000, nous aurons, pour la longueur de l’arc Apa, 


“ 


arc Ama —= AT 


648000? 


la demi-circonférence du cercle dont le 


rayon — 1, où le nombre 5,1415926. Aïnsi l’expres- 


r étant 


sion générale de laire du débouché de larche 


(9) 


ester 


a 


S = sai + WG EDG =D + Er. gi, 


PON 


dans laquelle l'arc # qu’il faut exprimer en secondes est 
donné par la relation 


sin ç — 


als 


Tous les termes de cette expression peuvent être éva- 
lués au moyen des logarithmes, ce qui rend les calculs 
très-simples. 

Soient, par exemple, AB — 24 — 00 mètres; 
OF — h— 1",20; GO — 6 — 3,55. On aura, en te- 
nant compte du rayon des tables — 10, 


Log sin ÿ — 10 + Log 3,55 — Log 10 —9,5502285; 


ce logarithme fera connaître 


ÿ = 2047 50,4; 


g = 748564. 


Ayant ainsi la valeur de toutes les quantités qui en- 
tent dans l'expression (9), on trouvera 


20, C1,20 —12/; 
3,55V/15,55 X 6,45 — 53,188, 


74856, 4 
007% (GiS6ob a 36,292. 


La somme de ces valeurs donnera définitivement 
S — 99321,48. 


19. On peut arriver au même résultat ‘en calculant 
séparément l’aire totale GADBE de l’arche, celle du seg- 
ment aDb, et en prenant leur différence. L’aire totale 
CADBE, qu'il peut être utile d’ailleurs de connaître, se 
compose du rectangle ACEB et du demi-cercle ADB ;. 
elle a pour expression, en conservant les dénominations 


précédentes, et en la désignant par I, 


L’aire du segment aDb est égale à l’aire du secteur 
DaOb moins celle du triangle 40b ; pour obtenir l’aire 
du secteur, il faut observer que le triangle rectangle 
OaG donne 


Ÿ désignant l’angle aOD ou l'arc aD. Calculant, au 


moyen de cette relation, la valeur de 4 en secondes de 
degré, on a ensuite 


1 
Aire du secteur 40D = SÛT GiBcoo? 


PON 


et, par conséquent, 
® L4 
DaOb — a? ÿ 
1 (74 EU re 
Aire du secteur 648000 
Quant à l’aire du triangle a0b, comme on connait les 
deux côtés a0 — bO — a et l'angle compris a0b = 2#, 


on a immédiatement (voy. TRIGONOMÉTRIE, tom. I]) 
c s Mc REC Ar 
Aire du triangle aOb — 7% : Sin 2ÿ. 


Ainsi, l'aire du segment aDb, que nous désignerons par 
Il’, aura pour expression 


" 


| ll 2. 
Pl gsinay, 


LR | 
(015) Moose A: mn Grace =; 


et nous aurons, pour l'aire du débouché CabE, 


S—1n1—". 


Appliquons ces formules aux données de l'exemple 
EU ] FE : - 
précédent. Nous avons d’abord 


I = 20 X 1,20 +* . 100 X 3,1416 — :81"1,08. 


La formule (11) donne 
Log cos = 10 L Log 5,55 — Log 10 — 9,5502283; 
d’où 
Y— 69°12'23",6 
et 


UE — 249145",6. 


Substituant ces valeurs dans la formule (12), en obser- 
yant que le sinus de 


2 — 138-2445", 2 
est le même que celui du supplément de cet are 
180° — 94 — 4155 12,8, 
nous trouyerons 


100 X 3,1416 X et — 120,788, 


=. 100. sin (4135/19,8) — 55188, 
et, par suite, 
I — 120,788 — 53,188 — 89%1,60. 
La valeur du débouché S est donc, comme ci-dessus, 
S = 181,08 — 87,60 — 95%1,48. 


On peut employer concurremment ces deux procédés 
pour la vérification des calculs, 


PON 383 


20. Les arches en anse de panier, dont l'usage ne s’est 
introduit en France que vers la fin du dix-septième 
siècle, offrent presque autant de solidité et de facilité 
dans la construction que les arches en plein cintre, 
lorsque leurs deux diamètres ne sont pas très-inégaux. 
Elles ont sur ces dernières l'avantage de donner un plus 
grand débouché, sans qu’on soit obligé d'augmenter 
considérablement la hauteur. On les forme de 5, 5, 7 
ou d’un plus grand nombre d’arcs de cercle, mais il est 
presque toujours inutile d'employer plus de cinq ares. 

La largeur et la hauteur d’une anse de panier ne suf- 
fisent pas pour déterminer sa forme , car il est toujours 
possible de décrire sur deux diamètres donnés une infi- 
nité de courbes différentes. La seule condition générale 
à laquelle toutes ces courbes soient assujéties est que la 
tangente au sommet soit horizontale et que les tan- 
gentes aux naissances soient verticales. On se donne, 
dans tous les cas particuliers, des conditions particuliè- 
res qui servent à déterminer les rayons de chaque arc. 

Lorsque la voûte n’est pas très-surbaissée et qu’on 
peut se contenter de décrire l’anse de panier avec trois 
arcs, on s’assujettit à la condition que les trois arcs 
soient égaux chacun à la sixième partie de leur circon- 
férénce respective ou soient tous de 60°, ou bien encore 
à ce que les trois rayons différent entre eux le moins 
possible. Ces deux conditions donnent des courbes peu 
différentes entre elles. 

21. Dans le premier cas, celui de trois ares de Go’, 
soient DM (PI. XIX, fig. 6) la hauteur de l'arche, 
CE sa largeur et AB le niveau des naissances. Suppo- 
sons l’anse de panier décrite, et désignons par R le rayon 
OD de l’arc du sommet C'DC”, par r les deux rayons 
égaux AR et QB des deux autres ares égaux AC'et C'B. 
La question se réduit à trouver l’un quelconque des 
centres R, O, Q; car, connaissant par exemple le cen- 
tre R, on décrira de ce point, avec le rayon Ar un arc 
AG de 60°, puis des points C’et R on mènera la droite 
CR, dont le prolongement coupera Dm en un point O, 
qui sera le centre de l’are OC’; quant au troisième cen- 
tre Q, il est naturellement déterminé par la condition 
AR = QB. 

Or, l'angle C'OC' étant de 60°, le triangle ROQ est 
équilatéral, et l’on a 


RQ = OR; 
donc, à cause de 
AR — RC’ 
et de 
OC’ = OD, 


on à aussi 


AR RQ = OR + RC' = ON + ND. 


384 PON 

Ceci posé, prenons pour inconnue la distance RN du 
centre R au milieu N de AB, et désignons AB par 24, et 
DN par b; nous aurons 


RQ = 2RN — 27, 
le triangle rectangle ORN nous donnera 
ON — V/OR° — RN° = V/5%, 
d’où nous conclurons 
V/3a +b—x+ a. 


La valeur de +, tirée de cette équation, est 


14594}: 


on peut la calculer ou la construire graphiquement 
avec beaucoup de facilité. Pour la construire, on pren- 
dra NF — a — b, et après avoir construit sur cette base 
le triangle équilatéral NEF, on abaissera la perpendi- 
culaire EG, puis du point G comme centre avec GE 
pour rayon, on décrira un arc de cercle qui coupera AB 
en un point Q tel qu’on aura NQ — x. Le point Q sera 
donc l’un des centres et servira à déterminer les deux 
autres, comme nous l'avons dit ci-dessus. 

22, La description de l’anse de panier soumise à la 
condition de trois arcs de 60° ne présente donc aucune 
difficulté. Pour avoir la valeur des deux rayons OD et 
ARouR etr, il faut observer que 


r—AN—NR—a—x 
et que 
R— OR+RC—2%7+7—a+x. 
On a donc, en donnant à æ sa valeur précédente..…..(13), 


ne Cm 


2 


3 


expressions dans lesquelles il n’y a plus qu’à substituer 
à la place de a et de b les valeurs relatives à chaque cas 
particulier. 

23. Si l’on voulait connaître l'aire de l'arche CADBE, 
il faudrait évaluer sépatément l’aire du rectangle ABEC 
celle de l’espace mixtiligne AE DE'B, et prendre leur 
somme. Pour otenir l'aire AC'DC'B, il faut observer 
qu’elle est composée des lrois secteurs RAC; (OCC;, 
QC'B moins le triangle équilatéral ROQ, et comme 
chaque arc est la sixième partie de la circonférence, 


PON 


chaque secteur est le sixième du cercle dont il fait par- 
tie. On a donc 


Secteur RC'A ou QC'B— 


x, 


OO 


Secteur OC'C'— entr. 


Quant au triangle ROQ, son aire a pour expression 
1 ? 
SR . 0Q. sin. ROQ, 


ce qui 


e e a x 1 
se réduit à CR — r})/3, à cause de 


OR — OQ = R — retde sin 6° — V5 (voy. Sinus , 
tom IT). 
Nommant 11 l’aire totale CADBE , A la hauteur AC du 


rectangle ABEC et rassemblant toutes les aires partiel- 
les;"il vient....: (14) 


n— 20h + grèr + Rr — ; — Fr}. 5. 


24. Pour donner un exemple d’application de ces 
formules, prenons en hauteur et en largeur les dimen- 
sions de l’arche en plein cintre n° 18, c’est-à-dire; fai- 
sons AB ou 2a — 20°, DM — 11",20, et supposons DN 
ou b— 7", ce qui nous donnera AC ou k —4",20. 

Ces valeurs substituées d’abord dans les formules (13), 
nous ferons connaître les rayons r ctR 


— 3/3 
TR — —_—_ — 5",90192, 
ZEN 
R — EE — 14",09807, 


et leur différence R — r — 8",19615; puis, évaluant 
les quatre termes de l’expression (14), nous trouverons 


20 X 4,20 — "8/424,00, 


1 
3 (5:90192)° .5,1410 — 1" 0024;/16; 


a (4-09807)* . 5,1416 — 104"4,07, 


3 (819615)? 11/9 — 0202500; 


d’où définitivement 


D — 195°1,56. 


Comparant avec l'aire trouvée ci-dessus (n° 19) pour 
l’arche en plein cintre de même largeur et de même 
hauteur, nous voyons que l'arche en anse de panier 
offre 13 mètres carrés de plus. S'il s’agissait de calculer 
le débouché que cette dernière présente aux grandes 
eaux , dont la hauteur supposée est de 4",75, on parta- 
gerait l'aire mixtiligne de ce débouché en rectangles, 


PON 


triangles et secteurs, comme nous l'avons fait pour 
l'arche en plein cintre. On voit d’ailleurs qu’en plaçant 
les naissances au niveau des grandes eaux on a le plus 
grand débouché possible, ce qu’on peut faire avec une 
anse de panier, sans augmenter la hauteur, et seulement 
en la surbaissant un peu plus, tandis qu'avec le plein 
cintre ce moyen entraîne nécessairement une élévation 
d’arche qui ne peut s'adapter à toutes les localités. 

25. Examinons maintenant le cas où l’on adopte 
pour condition que les rayons R et r différent le moins 
possible. Nommons toujours la moitié de l'ouverture 
de l’arche AN— a (P. XIX, fig. 6), sa montée DN—b, 
r le rayon ARde l’arc des naissances, et R celui de l’arc 
du sommet DO. Le triangle rectangle ORN donne 


Mr} = (an) +(R—0), 


et telle est, dans tous les ças possibles , l'équation de 
condition entre les rayons inconnus R, r et les quantités 
données a et b. 

Résolvant cette équation par rapport à R, on trouve 


Ainsi l'expression du rapport des deux rayons est 


San 


Or, r devant toujours être plus petit que R, ce rapport 
est un minimum lorsque les deux rayons différent le 
moins possible. Égalant donc à zéro la différentielle 
(voy. Maxima , tome IT) du second membre, prise par 
rapport à la variable r, on aura 


ar? — (a? + br + : (a +b)b—0, 
d’où, tirant la valeur der 


pe PHP — (a ER. 
SE NN 


mettant cette valeur dans celle de R, on obtient 


Ru PH + (aa Fo 


TARN TRIER LES 
On peut donner à ces expressions des formes plus sim- 
ples en multipliant les deux termes de la première par 
V/a! ++ (a — b), et les deux termes de la seconde 
par Va? + b — (a—b); toutes réductions faites et 
en posant pour abréger 


V/a Eb=c, 


Tox. nr 


PON 389 
il vient... (15) 
LE be 
"= e+G—5? 
ac 
ED) 


On construit très-facilement ces deux expressions en 
menant la droite AD, lui retranchant la partie DP — a—b 
et élevant une perpendiculaire CO sur le milieu H du 
reste AP; les points R et Q, où cette perpendiculaire 
coupe les deux axes de la courbe, sont les centres 
cherchés. 

26. L'évaluation de l’aire mixtiligne ACDC'B s’effec- 
tuera, comme nous l’avons indiqué ci-dessus, en re- 
tranchant de la somme des aires des trois secteurs ARC, 
COC’, C'QB, l'aire du triangle ROQ. On calculera 
préalablement le nombre des degrés des arcs AC et CC, 
au moyen de la relation suivante, donnée par le trian- 
gle rectangle ORN 

RN 


sin RON — OR 


a—+T. 
R=r? 


nommant vla valeur en degrés de l'angle RON , on a 
9 = are CC’, et 90° — » — arc AC, 


car l'angle RON est la moitié de l'angle COC' et le 
complément de l'angle ARC. 


27. Toutes les fois que la montée DN n’est pas plus 
petite que le tiers de l'ouverture AB, on peut se conten- 
ter de décrire l’anse de panier avec trois arcs de cercle; 
mais dans les autres cas, comme le passage d’un arc à 
l’autre deviendrait trop sensible, il faut employer cinq 
arcs. Voyez, pour les anses de panier à cinq arcs, notre 
premier volume, page 92. 

28. Les arches en arc de cercle sont d’une construc- 
tion plus facile que les arches en anse de panier. L’arc 
de la voûte aDb (PI. XIX, fig. 5) est entièrement dé- 
terminé par la position des naissances et par sa flèche DH, 
car un seul arc de cercle peut passer par les trois points 
a, D, b. 

Cette forme donne un débouché moins grand que 
l'anse de panier, lorsque les naissances sont plongées 
dans l’eau, et devient dès lors désavantageuse ; aussi 
dans la plupart des ponts où elle a été employée on a 
eu le soin de placer les naissances au niveau des grandes 
eaux. Quand il est possible d'adopter cette dernière 
disposition, sans que la voûte sôit trop surbaissée pour 
que l'ouvrage puisse présenter la solidité nécessaire, on 
doit préférer les arches en are de cercle à toutes les 
autres. 

Le calcul de l’aire totale d’une telle arche se réduit à 
l'évaluation de l'aire du rectangle aCEb et à celle du 

49 


386 PON 


segment «Db. On obtient le rayon DO de l’are aD, au 
moyen des deux quantités données ab et DH, par l’ex- 


pression 


D 
û Sens 


dans laquelle 
r = DO, k— aH, f = DH; 


ou bien encore, en caleulant d’abord l'angle aOD — « 
et en substituant sa valeur donnée par l'expression 


1 Î 
tang -a = > 
ae Fe 
dans la formule 
k 
T= — . 
Sin g " 


(Voy. Ixrcexion.)Connaissant le rayon DO, la détermi- 
nation de l'aire du segment s'effectue comme il a été in- 
diqué ci-dessus. 

Quant à l’aire du débouché offert aux grandes eaux ; 
c’est celle du rectangle aCEb, et elle est par conséquent 
la plus grande possible. 

29. Les trois espèces d’arches que nous venons de 
considérer sont les seules dont an fasse maintenant 
usage en France. L’anse de panier a remplacé la demi- 
ellipse, qui offre une courbure plus uniforme et plus 
agréable à l'œil, mais qui a le désavantage de eompli- 
quer la coupe des voussüirs et de ne pas donner autant 
de débouché. L’arche gothique ou en ogive, formée de 
deux arcs de cercle (PI. XIX, fig. 7), n’a pas été em- 
ployée par les modernes, malgré la simplicité de sa 
construction et son extrême solidité; l'élévation qu’elle 
exige dans la voie du pont, jointe à son peu de débou- 
ché, sont des inconvéniens qui ont paru plus grands que 
ses avantages. 

50. Le choix qu’on doit faire entre les différentes es- 
pèces d’arches ne saurait être assujetti à des règles gé- 
nérales. La surface du débouché qu’il faut donner à la 
rivière, la différence des niveaux des plus basses et des 
plus grandes eaux, la hauteur à laquelle on est le maître 
d'élever la surface du pavé du pont, la nature des ma- 
tériaux qu’on a à sa disposition et le degré de résistance 
dont ils sont capables, en un mot, toutes les circon- 
stances locales devront être consultées avec soin, car la 
forme la plus convenable est celle qui s'accorde le 
mieux avec ces circonstances. 

51. Il en est de même de la grandeur à donner aux 
arches, cette question dépend de la localité ; cependant 
on peut poser en principe que les grandes arches doi- 
vent être employées de préférence pour les fleuves et 
les grandes rivières, et les petites pour les rivières tran- 
quilles dont les eaux ne s'élèvent pas à une grande hau- 


PON 


teur, Afin de laisser un passage libre au fil de l’eau, le 
nombre des arches doit être toujours impair; on peut 
faire l'arche du milieu plus grande que les autres, et di- 
minuer progressivement l'ouverture de ces dernières ; 
de manière que les deux plus petites joignent les cu- 
lées ; ou bien on peut faire toutes les arches égales en- 
tre elles, ce qui permet de les cintrer toutes avec les 
bois qui ont servi pour les deux premières. Cette der- 
nière disposition augmente la hauteur des abords du 
pont et oblige ordinairement de faire des levées plus 
considérables et plus dispendieuses. Quel que soit le 
parti qu'on prenne à cet égard, il est essentiel de don- 
ner aux arches une hauteur suffisante pour que, dans 
les grandes crues, les corps étrangers que la rivière 
peut entraîner trouvent une libre issue sous les arches. 
Quand les arches sont égales, leur hauteur au-dessus 
des grandes eaux ne doit pas être moindre d’un mètre ; 
quand elles sont inégales , cette hauteur peut être de 
1,40 pour la plus grande, et de o°,70 pour les deux 
plus petites. 

51 bis. Les questions précédentesne sont, pour ainsi 
dire, que préliminaires , et lorsqu'on a déterminé la 
courbure des arches, il se présente trois difficultés très- 
graves, que la science ne peut encore résoudre rigou- 
reusement. Il s’agit : 

1° De fixer l’épaisseur des culées à proportion de la 
grandeur des arches et des poids qu’elles doivent sup- 
porter; 

> De trouver la largeur des piles ; 

5° Et enfin, de déterminer l’épaisseur des voûtes à la 
clef. 


52. La dernière question domine les deux premières, 
car la grandeur et la direction de la poussée, et par suite 
la résistance que doivent opposer les points d'appui 
dépendent de l'épaisseur de la voûte à la clef. Or, en 
supposant que les voussoirs soient incompressibles , 
qu’ils soient posés les uns sur les autres sans cales ni 
mortier, et que la voûte ne puisse prendre aucun tasse- 
ment, il est évident qu'il suflirait, pour l'équilibre, que 
la hauteur de la clef fût assez grande pour que la pierre 
ne s’écrasit pas sous la pression qu'elle aurait à suppor- 
ter, les culées ayant d’ailleurs l'épaisseur convenable. 
Dans cette hypothèse, il faudrait calculer, par le pro- 
cédé exposé plus loin, la pression horizontale que les 
deux demi-voûtes exercent l’une sur l'autre, et connai- 
tre la résistance de la pierre qu’on doit employer; la 
hauteur de la clef s’en conclurait de la manière sui- 
vante; soient 


P la pression par mètre de longueur ; 

Q la résistance de la pierre par centimètre carré de 
surface ; 

æ la hauteur de la clef, exprimée en mètres. 


PON 


La surface qui supporte la pression P ayant un mètre 
de longueur sur une hauteur +, a pour expression 1 Xæ 
ou æ*3, chaque centimètre carré de cette surface offrant 
une résistance R, la surface entière offre une résistance 
représentée par 

æ?1 
os ovor : L? 
mais cette résistance doit faire équilibre à la pression 
P, ainsi l’on a l'équation 


æ 
OP 
0, 0001 Q À 
d’où l'on tire 
æ == 0,0001 cs 
== 0, nn 


Supposons, par exemple, que la pression ait été trouvée 
de i41000 kilogrammes, et que la voûte doive être 
construite en pierre de Saillancourt qui s'écrase sous 
un poids de 2994 kilog. par 25 centimètres de surface ; 
comme on ne doit pas faire porter aux pierres (voy. 
Résisrance) un poids plus grand que le tiers de celui 
sous lequel elles S’écrasent, on admettra que la résis- 
tance est de 1000 par 25 centimètres carrés où de 40° 
par centimètre carré ; On fera donc 


k k 
Q=#40; P — 141000 , 
et on trouvera 


" 141000 
DE 6,6641 : LH1O00 je Bas 


4o 


55. Cette déterminätion repose sur des hypothèses 
qui ne se rencontrent jamais exactément dans la pra- 
tique; on ne doit donc la considérer que comme don- 
nant une limite dont on peut essayer d'approcher, mais 
qu'il serait dangereux d'atteindre. Les données du cal- 
cul précédent sont prises sur le pont de Neuilly, que 
l’on compte au nombre des plus hardis, et qui a cepen- 
dant 1,624 de hauteur à la clef. 

54. Jusqu'ici les ingénieurs ont employé diverses 
règles empiriques pour déterminer l'épaisseur des voû- 
tes. Voici celle que donne le célèbre Perronet, auteur 
du pont de Neuilly et de plusieurs autres non moins re- 
marquables par leur hardiesse. Soit a l’ouverture de 
l'arche exprimée en mètres, et æ la hauteur de la clef, 
il faut faire 


a a 
T=— + 0°,325 — — 
mn PS — TG 
c'est-à-dire, retrancher du vingt-quatrième de l’ouver= 


ture, la cent quarante-quatrième partie de cétte même 
ouverture, et ajouter 525 millimètres au reste. Les ré- 


PON 387 


sultats donnés par cette règle s'accordent avec les hau- 
teurs employées dans les ponts connus, surtout pour les 
ponts en plein cintre; mais ils diffèrent tellement en 
plus de ceux de la théorie, qu’on pourrait, sans aucun 
doute, exécuter des ponts beaucoup plus hardis et plus 
légers que tous ceux qui ont été construits jusqu’à pré- 
sent. Telle est du moins l’opinion de Gauthey, à qui l’on 
doit accorder une grande autorité dans ces matières. 

35. La question de l'épaisseur des culées n’admet pas 
encore de solution rigoureuse, mais elle a été considé- 
rablement éclaircie par les expériences de Gauthey et 
de Boistard sur la rupture des voûtes. « Lorsque la clef 
est posée (Gauthey, Traité de la construction des ponts) 
et que le décintrement est fait, les parties supérieures 
de la voûte DE et dE (PI. XIX, fig. 8) ne sont plus 
soutenues que par leur pression réciproque et à raison 
du tassement qui se produit, leur point d’appui commun 
se trouve nécessairement porté en E à l’extrados : les 
joints tendent donc à s’y resserrer, ainsi qu'on l’a ob- 
servé constamment, et quelques constructeurs ajoutent 
même à cet effet, en ÿ chassant des coins de bois dont 
l’objet est d'augmenter la solidité de la voûte en même 
temps que l’énergie de la pression que ces deux parties 
exercent l’une sur l’autre, et au moyen de laquelle elles 
se soutiennent mutuellement. » 

» Cependant l'effort de cette pression se reporte né- 
cessairement vers les culées et les parties inférieures de 
la voûte, qu’il tend à renverser en les faisant tourner au- 
tour de leurs arêtes extérieures K et #. Chäque moitié 
de la voûte se sépare en deux parties à de certains points 
D et d, qui servent de points d’äppui aux parties supé- 
rieures, et par lesquels leur effort se transmet aux cu- 
lées ; ces points d’appui se trouvent nécessairement pla- 
cès à l’intrados; si les culées n’ont pas assez de stabilité 
pour résister à l’effort de la voûte. les quatre parties 
s’écroulent en tournant autour des points K, D, E, 
d et k. Si elles sont capables de le soutenir, l’ef- 
fet du lassement se bôrñe à faire resserrer les joints à 
l'extrados près du point E et à l’intrados près des points 
d'et D; et à les faire ouvrir à l’intrados près du point F 
et à l’extrados près des points d’ et D'.» 

On suppose ici qu'il y a un joint vertical EF au 
somimet de la voûte, tandis qu'il s’y trouve un vous- 
soir en réalité; mais cette hypothèse ne produit pas 
d'erreur sensible pour la détermination des points D 
et d, qu'on nomme les points de rupture, et qu'il est 
principalement essentiel de connaître. 

56. D'après ces considérations, déduites d’un grand 
nombre d’expériences, on peut réduire les diverses par- 
ties d’une voûte à un système de quatre leviers KD, 
DE, Ed, dk, chargés chacun des poids respectifs des 
parties qui leur correspondent et susceptibles de tour- 
ner autour des points d'appui K, D, E, d, k, où ils sont 


388 PON 


liés entre eux par des charnières. De cette manière, la 
question de l’équilibre de la voûte se trouve ramenée à 
celle de l'équilibre de ces leviers. 

Or, si les points N, M, m, n sont ceux où les leviers 
sont rencontrés par les verticales qui passent par les 
centres de gravité des parties correspondantes de la 
voûte, on peut imaginer que les poids respectifs de ces 
parties sont réunis à ces points, et comme la voûte se 
trouve partagée en deux parties symétriques par la ver- 
ticale EC, il suflit de considérer les deux leviers KD 
et DE dont le premier, chargé en N d’un poids #, a son 
point d'appui en°K, et dont le second, chargé en M d’un 
poids 7, a son point d’appui en D. 

En effet, il n’y aura évidemment rien de changé au 
système, si à la place du poids + on substitue deux au- 
tres poids, l’un appliqué en D et représenté par (voy. 
RÉSULTANTE) 


PA ÉNIEUS MIGEE 
F + DE °U Pa F+ F0? 


et l’autre appliqué en E et représenté par 
DM FQ 
Te. ; Ou par FL RQ: 


DE 
Mais si l’on décompose ce dernier en deux forces, la 
première horizontale 


FQ DQ 
6)... mr. =. +, 
(16) Fo ro: 
et la seconde, agissant dans le sens du levier DE, 
FQ ED 


la première sera détruite par la force horizontale égale 
et opposée de l’autre partie supérieure Ed de la voûte, 


et la seconde seule agira en D sur le levier KD. Ce le- 
vier sera donc sollicité par trois forces différentes, le 


la force verticale ne 
Œ EQ qui 
ED 


EQ qui agit en D 


poids » qui agiten N, 
en D, et enfin la pression # 5e ; 
dans la direction ED. Ainsi, pour qu’il y ait équilibre, 
il faut que la somme des momens de ces trois forces 
prise par rapport au point d'appui K, soit nulle (voy. 
Mowexr). Abaissant donc du point K des perpendicu- 
laires sur les directions ED, DR, NS, et multipliant 
chaque force par la perpendiculaire à sa direction, nous 
aurons pour l’équation d'équilibre 


FQ E 
CPP ERRREE 


FAIEQ EQ* EQ° KR + y. Ks. 


On peut donner à cette équation une forme plus sim- 
ple, en observant que la perpendiculaire KY est égale à 


KU . DQ — DU. EQ 


PON 
Substituant cette valeur et réduisant, il vient..….(17) 
FQ DQ 
Te EQ : EQ : . KU = x. KR + :.KS. 


Telle est l'équation générale de l'équilibre des voûtes. 

57. L’équation (17) offre le moyen direct de déter- 
miner l'épaisseur des culées, lorsqu'on connaît la posi- 
tion des points de rupture D et d ; mais elle donne lieu 
à des calculs très-compliqués dont il n’est guère pos- 
sible d'enseigner la marche générale autrement que par 
des exemples. Nous choisirons le suivant comme le 
plus simple et le plus propre à servir de guide. 

Soit (fig: 9, PI. XIX) KBDGEX la moitié d’une 
voûte en arc de cercle, ayant une ouverture 2BC ou 
2DQ de 20 mètres et une épaisseur EG à la clef de un 
mètre. Supposons de plus DB de 5 mètres et l’arc DG 
de 30 degrés. 

Dans une arche de cette espèce , les points de rup- 
ture sont aux naissances; ainsi la position du point D 
est connue, et il est facile de trouver la longueur de 
toutes les lignes de la figure. Les quantités à chercher, 
qui entrent dans l’équation d'équilibre, sont : r, u, FQ, 
DQ, EQ, KR, KS; et comme ici KR se confond avec 
BK, que FQ fait connaître EQ, et que DQ —BC— 10", 
il ne reste à évaluer que x, p, FQ et KS. 

Considérons en premier lieu la partie agissante de la 
voûte comprise dans la figure EHIDG. Cette partie se 
trouve décomposée par les lignes horizontales Ic et bG 
et par la verticale aD en deux rectangles abGE et HIca, 
un triangle rectiligne IDc et un triangle mixtiligne bDG. 
Pour avoir son aire totale, il faut donc calculer séparé- 
ment les aires de ces diverses figures. 

Or, dans le triangle rectangle IDc on a ID—EG—1" 
et l’angle IDc— angle DOE — 
trouver Ic — 0°,5 et De — 0",87; on connaît en outre 
bD égal à la flèche GQ — 2°,68 ; ainsi tous les côtés des 
figures sont connus, et l’on trouve 


30°; ces données font 


Aire du rectangle GbGE — 10"1,000 


Aire du rectangle Hlca — :, 4o7 
Aire du triangle IDc — 0, 217 
Aire du triangle mixtiligne DbG — 8, 678 


Aire totale — 20"1,302 


L'aire du triangle mixtiligne DbG s'obtient en retran- 
chant l’aire du segment DGm de celle du triangle rec- 
tangle DGb. | 

Pour trouver maintenant le poids de la partie agis- 
sante de la voûte par mètre de longueur, il faudrait mul- 
tiplier l’aire que nous venons d’obtenir par le poids du 
mètre cube des matériaux employés à sa construction ; 
mais comme nous ayons seulement besoin de connai- 


PON 


tre, pour l’objet de notre recherche, le rapport des 
poids des deux parties de la voûte et que ces poids sont 
entre eux comme les aires, nous pouvons poser 


7z = 20"1,502. 


Cette valeur de + va nous faire trouver MF ou la 
distance du poids de la partie agissante de la voûte à la 
ligne EC, en observant que le moment dé x par rapport 
à EC, c’est-à-dire, le produit de l’aire HIDGE par la 
distance de son centre de gravité à l’axe EC , est égal à 
la somme des momens de toutes les aires composantes. 
Calculant donc, pour chacune des aires, la distance de 
son centre de gravité, nous formerons le tableau 
suivant : 


ISTANCES 
AtREs re MOMEE 
IxnICATION Des FIGURES. = Se FU par rapport 
des figures. de gravité L : " 
PCT 3 a la ligne EC. 
à la ligne EC. © 


Se 


mèt. carrés. mètres. mèt. carrés. 


Rectangle abGE.. . . . | 10,000 5,00 50,000 
Rectangle HIca.. . .. 1,407 | 10,25 14,422 
Triangle IDe. . . 0,217 | 10,17 2,207 
Triangle mixtiligne DbG | 8,678 | 7,53 | 65,545 

Sommes, . . . . , | 20,502 131,974 


Nous avons, en conséquence, 


FM X 20,302 — 151,974, 
d'où 


En PT — 6-50 
20,302 


Il est facile d’en conclure, à cause de la proportion 
DQ : MF—= GQ:EF, 


EF — 2",59 et FQ —EQ — EF — 1",29. 


Procédons maintenant au calcul de la partie résis- 
tante de la voûte comprise dans la figure XKBDIH. 
Cette figure est partagée en un rectangle ABDd, un 
triangle dDI et un rectangle XK AH. Tous les côtés sont 
connus, excepté KA, dont la valeur dépend de BK par 
la relation 


KA — BK — AB — BK — 0,5; 


ainsi, désignant BK par æ, la surface du rectangle 4K AH 
sera exprimée par 


8,68 (x — 0,5) — 8,68x — 4,34. 


Quant aux deux autres figures, nous en formerons sans 
difficulté le tableau suivant : 


) 
1 I ISTANCES MOMENE 
Ixoitcarion prs riçunrs. RARES des centres par rapport 
des figures. de gravité Re 
a laliguc aB. 
à la ligne aB. ° 


ns | memes | mme | ment 


méèt. carrés. mètres. mèt. carrés. 


Rectangle ABDd. . .. 2,500 0,25 0,625 
Æriangle TD) MN 0,217 0,33 0,072 
Sommes, , A 2,717 0,697 


L’aire de la figure ABDI est donc de 2,717 mètres car- 
rés, et la distance de son centre de gravité à la ligne aA 


es == 0°,20; la surface totale de la partie ré- 


sistante est, en conséquence, 


pu = 2,717 + 8,682 — 4,34 
— 8,68% — 1,623, 


et comme KS représente dans la figure la distance du 
centre de gravité de y à la ligne ÆK , si nous prenons 
les momens par rapport à cette dernière ligne, nous 
aurons, en observant que la distance du centre de gra- 
vité de l’aire ABDI à la ligne #K est æ — 0,26 


u KS—2,717(æ— 0,26) + (8,68æ — CEE. 


Substituant dans l'équation d’équilibre (15) les dif- 
férentes valeurs que nous venons de trouver, elle 
devient 


=. 5—20,302% ++ 2,717(æ— 0,26) 
+ (4,347 — 2,17) (& — 0,5), 

ce qui se réduit à 

4,542! + 18,659x = 96,216. 


On en déduira, pour la valeur de l’inconnue æ ou BK, 
z 


5,02. Ce calcul effectué avec un plus grand nombre 
de décimales dans toutes les quantités donne 


BK — 2",95. 


58. La détermination des distances des centres de 
gravité ne présente aucune difliculté tant qu'il s’agit de 
figures rectilignes qui sont toujours ici des rectangles 
ou des triangies rectangles ; il suffit de ne pas oublier 
que le centre de gravité d’un rectangle est au point où 
ses diagonales se coupent, et que celui d’un triangle 
quelconque est au point d'intersection des droites me- 
nées par ses sommets aux milieux des côtés opposés. 
De sorte que la distance du centre de gravité d’un rec- 
tangle à l’un de ses côtés est la moitié du côté adjacent, 
et que’ la distance du centre de gravité d'un triangle 


390 PON 

rectangle à l’un des côtés de l’angle droit est le ticrs de 
l’autre côté de l'angle droit. Quant aux triangles mix- 
tilignes, le caleul en est assez pénible, et dans les voûtes 
en anse de panier, où l’on est obligé d'en former plu- 
sieurs, il est utile de recourir aux constructions graphi- 
ques qui, lorsque les figures sont tracées avec soin ; 
peuvent donner des approximations suffisantes. Le pro- 
cédé le plus simple consiste à mener dans l'intérieur 
d'un triangle mixtiligne une suite de lignes parallèles à 
l'un des côtés rectilignes, de les partager toutes en deux 
parties égales et de faire passer une courbe par tous les 
points de division; on recommence la même opération 
par rapport à l’autre côté rectiligne, et le point d’inter- 
section des deux courbes est le centre de gravité du 
triangle. Voici, d’ailleurs, le calcul rigoureux. 

Le triangle mixtiligne bDmG de la figure 9, est ce 
qui reste du triangle rectangle bDG , quand on en re- 
tranche le segment de cercle DGm, et, par conséquent, 
son moment par rapport à l’axe EC est la différence des 
momens de ces deux dernières figures par rapport au 
même axe. Or, la surface du triangle rectangle bDG est 
bD . bG = 10 = 13,3975, 


1 
—. 2,6705 X 
2 


D le 


et la un de son centre dé gravité à la ligne EC est 
égale aux % ? de 6G on a 6,6667 ; son moment est donc 


= on 

La surface du segment DGm, obtenue en prenant la 
différente des aires du secteur DOGm et du triangle 
DGO est = /4"3,7198. La distance de son centre de gra- 
vité au centre O, mesurée sur le rayon qui passe par 
ces deux centres et qui partage l'arc DmG en deux par- 


ties égales, a pour expression générale 
sales, 5 


1 UC 


C désignant la corde et A l'aire du segment; on trouve 
pour cette valeur 19°,5915, et il est facile d'en conclure 
ques la distance du centre de gravité du segment à l’axé 
EC =— 
25,9325. Le moment du triangle mixtiligne est donc 


5,0707 ; d’où l’on obtient, pour son moment, 


89,516 — 25,9525 — 65,3844, 


et comme son aire est — 8"1,6777, il en résulte que la 
distance de son centre de gravité à l'axe EC est 


Nous l'avons fait seulement — 7.55 dans les calculs 
précédens. 

59. La grandeur de la pression horizontale que les 
lune sur FPautre entre 


deux demi-voûtes exercent 


PON 


comme partie constituante dans les élémens de l’éva= 
luation des culées, de sorte que cette grandeur se 
trouve connue sans calculs ultérieurs. En effet, son 
expression (n° 56) 

FQ DQ 

‘ EQ°EQ 


est le coefficient de KU dans le premier membre de l’é- 
quation d'équilibre (17); sa valeur numérique ; avec 
les données de notre exemple, est 


1,20 X 10 


(5,68): 


20,302 . 


= 191,359; 
et il ne s’agit plus que de multiplier cette quantité par 
le poids du mètre cube de la pierre employée pour 
avoir la grandeur absolue de la pression horizontale par 
mètre de longueur. En admettant que celte pierre soit 
celle de Saillancourt, dont le mètre cube pèse 2261 ki- 
logrammes, on aurait pour l’effort réciproque des deux 
demi-voûtes 


2261 X 19,339 — 45725 kil. 


On voit que l'épaisseur de la voûte À la clef est un 
des éléméns qui entre dans la détermination de la pres- 
sion horizontale, et que la règle donnée n° 52 n’a d’autre 
utilité que de faire connaîtré si la longueur adoptée 
pour la clef convient à la résistance particulière de la 
pierre employée. 

4o. Les divers calculs que nous venons d'indiquer, 
ainsi que toutes Îles applications dé l'équation d’équi- 
libre (17) reposent sur la détermination préalable des 
points de rupture, détermination que la théorie seule ne 
peut encore donñer et pour laquelle il faut avoir recours 
à l'expérience. Ainsi, lorsqu'il s’agit d'établir un projet 
d’arche, il faut, après avoir tracé sa courbe, faire diffé- 
rentes hypothèses sur la position du point D (fig. 8) 
et calculer pour chacune la valeur correspondante de 
BK, en se guidant d’ailleurs sur les résultats d’expé- 
rience et par l'exemple des ponts connus, dont la forme 
se rapproche de celui qu’on projette. La plus grande va- 
leur de BK sera celle qu’on dévra adopter, et la posi- 
tion du point de rupture sera déterminée par la valeur 
correspondante de l’are BD, Gauthey donne le tableau 
suivant, qui renlerme les résultats de ces calculs pour 
les voûtes le plus fréquemment employées: 


Posrrion 
des points 
de rupture. 


Epaisseur 


[NDICATION DES FSPECES DE VOUTES, 
des culées. 


mètres. degrés 

Pleinicintres." 16-0100 0,45 27 

Anse de panier surbaissée au tiers. . 0,66 45 

Anse de panier surbaissée au quart. 0,82 54 
Arc de cercle de 60° élevé sur des 

piédroits de 5 mètres dehauteur. | 2,95 Q 


PON 


Ces nombres se rapportent à des voûtes extradossées 
de niveau, de 2a mètres d'ouverture et d’un mètre d’é- 
paisseur à la clef. Les nombres de degrés compris dans 
la dernière colonne sont comptés à partir des naissances 
et sur le petit arc dans les anses de panier, en supposant 
ces anses de panier décrites avec trois arcs égaux cha- 
cun au sixième de la circonférence. 

41. Ces résultats, dans ce qui concerne l'épaisseur 
des eulées, sont très-inférieurs aux dimensions adoptées 
par les meilleurs architectes; mais comme la théorie 
suppose que les diverses parties des voûtes sont parfai- 
tement liées entre elles et ne peuvent éprouver aucun 
tassement, on ne doit pas s'étonner de voir expérience 
réclamer des épaisseurs plus fortes. Cette théorie sup- 
pose en outre que la rupture des voûtes ne peut avoir 
lieu qu’autant que leurs culées tournent autour de leur 
arête extérieure; et cependant il pourrait arriver que la 
partie supérieure glissât sur la partie inférieure et qu'il 
se fit une disjonction horizontale. La résistance que la 
culée oppose à cette seconde espèce de mouvement dé- 
pend en grande partie de l’adhérence des mortiers et 
des frottemens, dontil n’est pas facile d'évaluer les effets. 

Il résulte toutefois des expériences de M. Boistard 
que l’adhérence du mortier est proportionnelle à la 
surface, et qu'elle peut être évaluée moyennement à 
6960 kilogrammes par mètre carré pour le mortier de 
chaux et de sable, et à 3700 kilogrammes pour le mor- 
tier de chaux et ciment. La valeur de cette adhérence 
varie très-peu avec le temps; elle est presque aussi 
grande après le premier mois qu'après plusieurs années. 
La supériorité du mortier de sable sur celui de ciment, 
n’a plus lieu quand ces mortiers sont employés sous 
l'eau; dans ce dernier cas, le mortier de ciment con- 
tracte très-promptement une forte consistance, tandis 
que le mortier de sable demeure à l’état mou. M. Bois- 
tard a également trouvé que le rapport du frottement à 
la pression est une quantité constante, et que ce rapport, 
pour une pierre piquée ou bouchardée, glissant sur une 
pierre semblable ou sur une superficie de mortier dur- 
eie à l'air, est moyennement de 0,76. 

En introduisant ces données dans la question traitée 
sous le point de vue d’une disjonction horizontale, on 
parvient à l'équation d'équilibre 

. DQ 
T. KO 5e — 6960 . KR —L 0,56 (x + u), 


qui donne des résultats plus rapprochés des valeurs 


adoptées par les constructeurs: si l’on ne tient pas 
compte de la pression verticale résultant du poids des 
parties supérieures de la voûte, l'équation d'équilibre se 
réduit à... (18) 
FQ . DQ 
EQ . EQ 


— 6960 . KR + 0 


PON 391 


Dans ces deux dernières, les quantités r et y ne peuvent 
plus être considérées comme de simples aires, à cause 
du poids absolu 6960 qui entre dans le terme relatif à 
l’adhérence du mortier, mais on peut leur conserver 
cette signification en introduisant le poids spécifique de 
la pierre, ou le poids de son mètre cube. Désignant par 
à ce poids, l'équation (18) devient... (19) 


F0 2D0 a 
rÔ . EQ.EQ — 6960 . KR + 0,765u, 


et alors + représente l’aire de la partie agissante de la 
voûte et y Paire de la partieTrésistante. Cette équation, 
appliquée au calcul de voûtes semblables à celles du 
tableau précédent, en supposant que la disjonction se 
fait toujours au niveau des naissances, et en prenant 
pour le poids du mètre cube de la maçonnerie le nom- 
bre de 2600 kilogrammes, a donné à Gauthey les ré— 
sultats suivans : 


Posrrrox 
des points 
de rupture. 


Frarssetr 


INDICATION DES ESPECES DE VOUTES É 
des culées 


SERRES 


mètres. degrés. 
Blemismtrenss. 2,5: 1,92 15°50° 
Anse de panier surbaissée au tiers. 1,62 | 51 30 
Anse de panier surbaissée au quart. 2.24 | 40 50 
Are dercenele.de.60°.:.,. 4 .::.:,,} 3,09 0 o 


Les épaisseurs des culées de ce tableau sont encore 
au-dessous des dimensions ordinaires; mais en admet- 
tant qu'il soit essentiel de les augmenter dans la pra- 
tique, il n’en résulte pas moins que les règles empi- 
riques des constructeurs donnent généralement des 
grandeurs trop considérables. 

42. La dernière question dont nous avons à dire 
quelques mots est celle de l'épaisseur des piles. Cette 
épaisseur peut être déterminée de deux manières diffé- 
rentes, suivant qu’on destine les piles à supporter sim- 
plement le poids des arches, ou bien à servir de cultes 
et à résister à la poussée des voûtes. Dans les ponts 
dont les voûtes doivent être cintrées l’une après l'autre, 
il serait peut-être imprudent de ne pas donner à chaque 
pile la force nécessaire pour faire l’oflice de culée ; mais 
tout en admettant qu'une large pile est toujours plus 
avantageuse qu'une étroite sous le rapport de la soli- 
dité, comme elle occasionne une plus grande contrac- 
tion de Peau, il est au moins avantageux de réduire 
ses dimensions à ce qu'il y a de strictement nécessaire. 
Lorsque le but d’une pile est uniquement de porter 
le poids des arches, la résistance de la pierre qui doit 
entrer dans sa construction est la chose principale 
à laquelle il faut avoir égard. Nous devons renvoyer, 
pour tous les details de la pratique, aux ouvrages spé- 


ciaux. Voyez Gauthey. Traité de la construction des ponts, 


392 PON 


—Boistard, Expériences sur la main-d'œuvre de différens 
travaux ; — Perronet, OEuvres complètes; — Frezier, 
Coupe des pierres; —Rondelet, Traité de l'art de bâtir. 


PONTS SUSPENDUS. La construction des ponts 
en maçonnerie est généralement très-dispendieuse et 
présente en outre des difficultés et des dangers qu'on 
ne peut pas toujours surmonter. Dans certaines loca- 
lités, la nécessité d’entasser des masses énormes au sein 
defleuves larges et rapides, entraîne des frais accessoires 
de transport et de main-d'œuvre grossière qui forment 
toujours la plus grande partie de la dépense totale. 
Aussi, depuis que l’impérieux besoin de communica- 
tions promptes et faciles a fait construire un grand 
nombre de ponts en deslieux où l'emploi de la pierre seule 
aurait absorbé des capitaux trop considérables, on à 
dû chercher et employer diverses dispositions plus ou 
moins avantageuses sous le rapport de l’économie et de 
la solidité. Le bois a d’abord été mis en œuvre, soit 
seul, süit combiné avec la pierre; puis on lui a substi- 
tué le fer; mais ce n’est que tout récemment que l’em- 
ploi de ce métal a acquis le plus haut degré d'utilité 
par le développement du système des ponts suspendus, 
système dont les nombreux avantages sont maintenant 
incontestables. 

L'idée d'ouvrir une voie de communication, en sus- 
pendant par des cordes ou des chaînes un plancher à 
des points d'appuis supérieurs, n’est pas nouvelle; on 
la trouve en usage, pour le passage des torrens et des 
vallons escarpés, aux G randes-Indes, en Chine et dans 
l'Amérique méridionale; cependant il n’y a pas plus de 
trente-six ans que le premier pont suspendu capable de 
donner passage aux voitures a été construit aux États- 
Unis par M. Finley. Le succès de cette construction et 
d’un grand nombre d’autres semblables, exécutées dans 
le même pays, ayant appelé l'attention des ingénieurs 
anglais, on vit bientôt s'élever en Angleterre et en 
Écosse plusieurs ponts suspendus dont l'utilité ne tarda 
pas à être appréciée par le gouvernement français. En 
1821, la direction des ponts et chaussées chargea Navier 
d'examiner les avantages et les inconvéniens de ce nou- 
veau système et de recueillir les documens nécessaires 
pour le compléter et l'introduire en France. Après deux 
voyages en Angleterre, ce savant consigna les résultats 
de ses nombreuses recherches dans un mémoire très- 
remarquable que l’Académie des sciences a justement 
considéré comme un trailé aussi nouveau que complet 
sur la matière, et dont nous ne saurions trop recom- 
mavder l'étude aux constructeurs. Les notions suivantes 
sont destinées à leur faciliter l'intelligence de ce beau 
travail. 

1. Un pont suspendu se compose d’un plancher hori- 
zontal, ou à peu de chose près horizontal, MN (fig. 10, 


PON 


PI. XIX) suspendu par des tiges verticales AM, am, d'm', 
etc., à dés chaînes AB courbes et flexibles, dont les extre- 
mités À et B sont attachées à des points fixes. 

On voit aisément qu'il y a à considérer dans un tel 
système : 

1° La figure de la courbe que doit prendre la chaine 
AB en vertu du poids dont elle est chargée ; 

2° Les efforts exercés aux points d’appuis A etB, 
efforts auxquels ces points doivent opposer une résis- 
tance suflisante ; 

3° Les modifications apportées dans la courbure des 
chaines par les surcharges momentanées dues au pas- 
sage des voitures et des piétons; 

4° La résistance deschaines, tant au poids permanent 
du pont qu'aux surcharges accidentelles. 

2. Sile poids supporté par la chaine AB, supposée 
inextensible et parfaitement flexible , était distribué uni- 
formément sur sa longueur, elle se trouverait dans le 
même cas que si elle était uniquement chargée par son 
propre poids, et sa figure, lorsque l'équilibre serait éta- 
bli, devrait être celle de la chaînette (voyez ce mot, 
tome 1); mais en admettant, ce qui a lieu dans le plus 
grand nombre des cas, que le plancher soit horizontal 
et que toutes ses parties soient égales entre elles, ou 
que le poids de l'unité des longueurs soit partout le 
même, la charge de la chaine peut être censée distri- 
bucée uniformément sur une ligne horizontale, car son 
poids propre et celui des tiges de suspension ne forment 
jamais qu'une petite partie de la charge totale. Exami- 
nons d’abord quelle sera la forme de la courbe dans 
cette dernière hypothèse, qu’on peut prendre pour base 
des calculs servant aux projets des ponts suspendus. 

5. Soit AOB Ja chaine (PI. XIX, fig. 11), ActB 
ses points d'attache que nous supposerons d’abord, 
pour plus de simplicité, placés dans une même ligne 
horizontale AB, et MN ladroite horizontale, ou le plan- 
cher, sur laquelle la charge est uniformément distribuée. 
Le système étant supposé en équilibre et la chaine ayant 
pris la forme qu'elle doit avoir en vertu des poids dont 
elle est chargée, il est évident que rien ne sera changé 
dans les conditions d'équilibre si l’on substitue au point 
d'attache B une force égale et opposée à l'effort que la 
chaîne exerce contre ce point, ou même encore, si l’on 
remplace cette force par ses composantes verticale et 
horizontale, que nous désignons respectivement par P 
et Q. Ceci posé, prenons le point A pour origine des 
ordonnées verticales y de la courbe AOB, et de ses 
abscisses horizontales æ, que nous compterons sur la. 
droite AB. 

La tension particulière supportée par un élément quel- 
conque mm de la courbe, considérée comme une force 
agissant au point »m dans la direction de cet élément, ou 
dans celle de la tangente de la courbe en m, doit faire 


PON 


équilibre à toutes les forces appliquées à la partie MOB de 
la chaine, c'est-à-dire aux forces P et Q et au poids dis- 
tribué le long de DN; cette tension, que nous désigne- 
rons par T, est conséquemment égale et directement 
opposée à la résultante de toutes ces forces, en suppo- 
sant qu’on les applique immédiatement au point m sans 
changer leurs grandeurs et leurs directions respectives. 
Or, désignant les coordonnées du point m, Ap et pm 
par æ et y; l'arc Am par s, l'élément mm’ par ds, l’ac- 
croissement mr de l’abscisse par dæ, l'accroissement rm’ 
de l’ordonnée par dy, et l’angle rmm' par », nous au- 
rons.... (a) 


; rm dy 
SIN ® — TT VE) 
Sn née fin — dx 

P— mm ds! 


Maintenant, si nous décomposons la tension T en deux 
forces, l’une horizontale et l’autre verticale, la compo- 


: à dx 
sante horizontale aura pour expression T—— et la com- 


ds 

: dy us, Re 
posante verticale DE HE et comme d’après ce qui pré- 
cède la composante horizontale doit être égale à Q et 
que la composante verticale doit être égale à la somme 
des poids suspendus aux points de la courbe depuis m 
jusqu’à B, diminuée de la force P, qui agit en sens con- 
traire de ces poids, nous aurons les équations ..... (b) 


dx 


Agé — Q> 
dy : 
1% = p(24— x) — P, 


p désignant le poids de l'unité de longueur de l’hori- 
zontale MN et 2a la longueur totale de cette ligne. En 
effet, la somme des poids de la partie DN — 24 — x à 
pour expression p X DN ou p(24 — x). 

Divisant la dernière équation par la premicre, nous 
obtiendrons, pour l'équation différentielle de la 


courbe ..…. (c), 


dy _p(za—x) —P 
dx no Tel 


Or, on sait que la quantité a désigne généralement 


la tangente trigonométrique de l'angle formé par l’axe 
des æ avec la tangente de la courbe au point dont les 
coordonnées sont æ, y (voy. TanGENTE, tome I); ce 
qui résulte d’ailleurs ici des relations (a), dont le quo- 
tient donne 


ainsi, en supposant % — 0, l'équation (c) nous donnera 
Tom. ui. 


PON 393 


la valeur de la tangente trigonométrique de l'angle de 
la courbe avec l’axe AB au point A; cette valeur sera, 
en désignant l’angle par «, 


pa — P 
tang « = ARTE 


ce qui nous permet de donner à l'équation (c) la forme 
dy pz 
= tang 4 — —. 
dei are 0 0 


Intégrant cette équation, en observant qu'il n'y a pas 
de constante à ajouter, parce qu’on doit avoir y = 0; 


lorsque æ — 0, il vient... (d) 


pa” 
20 : 


Le 


y—= & lang « — 


4. On peut faire disparaître la quantité tang x de cette 
dernière, en observant qu’elle doit être satisfaite par les 


valeurs y— 0, æ = 24; d’où 


na APS 
0 — 24 tang x — Q , 
ce qui donne ..... (e) : 
: a 
ANS =. 
Q 
Substituant cette valeur dans (d), l'équation de la courbe 
devient définitivement ..….…. (f) 
__ p(2ax—) 
— HN 


et il est facile de reconnaitre que cette courbe est une 
parabole. 

5. La distribution uniforme des poids sur l’horizon- 
tale MN indique suffisamment que les deux parties AO 
et OB de la courbe de chaque côté du point le plus 
bas O sont égales et symétriques ; ce point O est donc le 
sommet de la parabole, et il faut y transporter l’origine 
des coordonnées, si l’on veut avoir l'équation de la 
courbe sous sa forme la plus simple. Remarquons d'a- 
bord que l’abscisse AC du point O est égale à la moitié 
a de la corde AB, et qu’en faisant æ — 4, dans l’équa- 
tion (f), nous obtiendrons la valeur de l’ordonnée OC 
ou de la flèche de la courbe; cette valeur est donc, en 
désiguant OC par f...…. (g); 
i= 20° 


Ceci posé, les nouvelles abscisses horizontales æ' étant 

comptées à partir du point O sur l'axe MN, avec le 

signe +- à droite et le signe — à gauche, et les nouvelles 

ordonnées verticales y’ étant comptées de bas en haut, 
30 


394 PON 


nous avons entre ces nouvelles coordonnées .et les an- 
ciennes æ.et y, les relations 
2 


mate, y=p-yuieté ay, 


lesquelles, substituées dans (f), donnent, toutes réduc- 


(4) 


1) — 


tions faites .… 


26%" 

6. Les grandeurs de la corde 24 et de la flèche f 
étant généralement les premières données de létablis- 
sement d’un pont suspendu, substituons dans (h) à la 
place de Q sa valeur tirée de la relation (g), sa- 


Q) 


nous ramènerons notre équation à la forme... (k) 


y — L æ?, 
qui ne renferme plus que des constantes données immé- 
diatement. Cette dernière donne le moyen de résoudre 
toutes les questions relatives à la longueur de la chaîne 
et à celles des tiges de suspension. 
7. Déterminons maintenant en fonction des données 
a et f la tension qui a lieu en un point quelconque de la 
courbe ; son expression est, d’après l’équation (b), 


ou 


à cause de dæ — dx’. Or, ds = V/dæ”? + dy?; ainsi 


rev [+] 


Ne 2 
Substituant dans cette expression la valeur de (GS) : 
Fe 


tirée de l'équation (k) différentiée, on obtient ..….. (4) 


r=Qu/i fe, 


(14 


aux points extrêmes À et B, où la tension est la plus 
grande, ct correspond aux valeurs æ = — 4, x = d, 
(m) 


on a pour cette tension maximum 


evl +] 


Au point le plus bas O, on voit, en faisant + — 0, que 
la tension est égale à Q, ce qui est d’ailleurs évident. 


PON 


On obtient une autre expression de la tension maxi- 
mum en observant que, (g), | 


LL) 
P — + 

d’où, en vertu de l'expression (e), 

A 24? 

LE TE = range 
Ainsi, 

Fe T2 
vl +- | — vl: + tng] = Sù «2 


et l’on a pour la tension maximum ..……. 


Q) 


Q |: + range], ou 


cos « 


La composante verticale de cette tension maximum 


(o) 


Q tang «, ou pa. 


est évidemment ..……. 


C’est d’après ces diverses tensions qu'il faut régler, 
ainsi que nous le verrons plus loin, la résistance des 
points d’appui À et B. 

8. Comme il est essentiel de connaître la longueur 
de la courbe, nous rappellerons qu’un arc s de parabole, 
compté à partir du sommet O jusqu’au point dont les 
coordonnées sont æ’ et y'a pour expression (voy. Rec- 
TIFICATION, tome II) 


s— rev[: sn ira | 
Fr sos] ape + [1 +ape]]: 


p désignant le paramètre, et la caractéristique Log un 


[ 


logarithme naturel. Le paramètre étant ici ge NOUS 


avons 


; 4f°x® 
C2 vf: an FU 
0 4f2 x? 
pue ]} 
et, par conséquent, la longueur de l’are OA ou de la 


moitié de la chaine, longueur que nous désignerons par 
Cy St... (p) 


PON 


Cette expression, développée en série, devient ..….. (q) 
Lo EN /2f\e 1 DJS 
emafi+ (#1 nu 53 (© 
1 2 N° 
A0 -miG (5) 
.5 (£ Ÿ 

9.198\a 

—+ etc. SE | 


Il sera toujours plus facile de caleuler c par cette série, 


dans les cas ordinaires où elle est très-convergente, que 


par l'expression (p). Lorsque la flèche f est = de la 


corde 2a, rapport assez généralement employé, les 
deux premiers termes donnent une approximation suf- 
fisante. 

9- Pour donner un exemple d'application de ces di- 


verses formules, supposons les données suivantes : 
AGE a 6522, COS: 


L'équation (k) devient, avee ces valeurs, 


Nous retranchons les accens ‘, qui ne sont plus d'aucune 
utilité. 

Cette équation, réduite, par la suppression des fac- 
teurs communs, à 


Es NT a 
155671 


est donc celle de la parabole particulière AOB ; ainsi, 
en admettant que le plancher MN (fig. 18) doive être 
soutenu par des tiges verticales am, a'm', a'm', cle., dis- 
tantes l’une de l’autre de un mètre à partir du point O, 
on obtiendra les longueurs de ces tiges en faisant suc- 
cessivement æ — 17, & —12", æ — 3", etc., jusqu’à 
æ — 52". On trouvera, de cette manière, y,, Y,, 
y, etc., désignant les tiges 


= 55e () = 0",0039, 
1 

= 556 (2)? = 08,0156, 

y, = =>; (5)? — 0",0552, 


VEN EE (4) = 0",0625, 


etc. — etc. 


La longueur de la tige qui fixe la planche au point O 


PON 395 


est considérée comme nulle, parce qu'ici ee point touche 
le plancher. La longueur de la demi-chaîne AO se cal- 
culera en faisant dans la série (g) a — 32, f — 4. On 
trouvera, au moyen seulement des deux premiers 


termes 
= 1/02 € 
Ci — 199 [: —- & (3) ] — 922,99: 


La chaîne entière aura donc 64,66. 


On conelura des mêmes données 
CAN OTTE——— — 0:29 
Le) a , 2 


ce qui fera connaître & — 14° 2° 10°; c’est l'angle que 
fait la chaine à ses deux extrémités À et B avec l’ho- 
rizon. 

Connaissant les longueurs de la chaîne et des tiges 
de suspension, on déterminera, comme nous le verrons 
plus loin, les autres dimensions qu’il faut leur donner 
pour qu’elles puissent supporter sans se rompre le poids 
du plancher. On connaîtra ainsi le poids total du pont, 
et parsuite la charge par mètre de longueur, charge au 
moyen de laquelle on caleulera ensuite Îes tensions 
extrêmes aux points d'attache des chaînes, et consé- 
quemment les résistances dont ces points doivent être 
susceptibles. Admettons que la charge totale par unité 
de longueur, c’est-à-dire la charge permanente due au 
poids du plancher, augmentée de la surcharge momen- 
tanée due au passage des voitures et piétons, ait été 
trouvée de 4522 kilogrammes, on fera p — 4522, et la 


formule (2) donnera 


4522 . (32)? k 
=—= 2 — 788 6x 
8 2X4 be 


Cette valeur et celle de tang #, substituées dans la 
formule (n), donnent pour la tension des chaines aux 


extrémités supérieures, ou pour leur tension maximum, 
578816 |: ci (o.25)° | — 596650 kil. 
Enfin la tension verticale aux points d'attache sera, 
d’après la formule (0), 
pa = 45922 X 52 — 144704 kil. 


Dass le cas où le plancher ne serait soutenu que par 
deux chaînes, la charge totale se partageant également 


entre elles, la tension maximum de chacune serait 


. 596630 — 298315. 


CAES 


396 PON 


Chaque point d'attache subirait une tension horizon- 


tale de 


É . 578816 — 289408" 


et une pression verticale de 


S'il y avait deux chaînes de chaque côté du pont, leurs 
tensions respectives à leurs points d'attache seraient les 


moitiés des précédentes, 


10. Nous avons supposé jusqu'ici que les points 
d'appui A et B avaient le même niveau, et conséquem- 
ment que la courbe était composée de deux parties sy- 
métriques. Ce cas n’est pas le plus général, et nous 
devons indiquer les modifications qu’on doit faire subir 
aux formules précédentes, pour les rendre immédiate- 
ment applicables à toutes les positions possibles des 
points d'attache. 

Soient À et E (PI. XX, fig. 1) ces points d'attache, 
dont on connaît la distance horizontale AD = k et la 
différence de niveau DE—d. La portion AOE de l’arc 
parabolique AOB ne pouvant évidemment changer de 
nature par le transport du point d'appui B en E, puis- 
que ce transport ne fait que rendre fixe le point E sans 
altérer en rien la relation des autres points, l'équation 
de la courbe AOË , rapportée au sommet O, sera tou- 
jours, abstraction faite des accens, (k), 


eut 


Var 

dans laquelle f— OC et a—AC. Or, ici on connaît 
bien OC — AM, mais AC n’est pas au nombre des quan- 
tités données, et il faut préalablement en déterminer la 
valeur. Observons que l'équation (kÆ) doit donner 
x — ON — AD — AC —k — a, lorsqu'on y fait 
y—= EN —DN — DE — f— d, et qu’on a par consé- 
quent 


fa À Gap. 


Développant le carré et réduisant, nous obtiendrons 
l'équation du second degré en a 


IL 
re 


a? — 
dont les deux racines sont 


LR Le 
Ta V EU EVA dr 


PON 


a devant être plus petit que k, la seconde racine satis- 
fait seule à la question; ainsi 


SAUT 0j) 
d . 


On peut mettre cette expression sous une forme plus 
simple en multipliant les deux termes du second mem- 


bre par le facteur fLV/f? — df; on a alors... (r) 


qe EEE 
f+VP— af 
au moyen de cette formule, le paramètre f de la pa- 


PU 
rabole se trouve connu. 


11. La tension horizontale Q en chaque point de la 
chaîne est toujours ..….. (s) 


et la tension particulière au point dont les coordonnées 
sont æ, y a de même, pour expression ..... (t) 


r=ov/i+ 40€. 


a 


La composante verticale de cette tension particulière 
est... (u) 


2fx 
Q “+, 
ou simplement .,.…., () 
Pz; 


en remplacant Q par sa valeur (s). 
Ainsi, la tension maximum ou celle qui a lieu au point 
A, où l’on ax = 4, a pour expression... (x) 


r=qui+fl 


et la tension à l’autre point d'attache E, où l'on a 
æ—k— a, a pour expression... (y) 


rof+ ts 


Les composantes verticales de ces dernières tensions ou 
les efforts exercés verticalement sur les points d'attache 
AetE, sont respectivement .... (z) 


pa et p(k— a). 


19. Enfin, pour déterminer la longueur AOE de la 


PON 


chaine, on calculera séparément l'arc AO par la for- 
mule (g), puis l'arc OE par la série... (a) 


mets) 54) 


dans laquelle on fera æ —}— a. La somme des résul- 
tats c + s sera la longueur totale AOE. 
15. Appliquons ces diverses formules aux données 


k — 75 mètres, f — 6 mètres, d = 4",5. 


La première chose à faire est de calculer la valeur de a 
ou de AC par la formule (r), qui donne ici 


75 C6 
a— ee — 50 mètres. 
6 + V/36 — 27 
Substituant cette valeur de a, ainsi que la valeur donnée 


de f dans la formule (k), nous aurons l'équation 


Ghs: SH 
31 Go; ” s SE LR TR 
qui se rapporte à la parabole particulière AOE, dont le 
sommet O est situé sur l’horizontale MN à une distance 
de 50 mètres de l'extrémité M, et conséquemment à une 
distance de 25 mètres de l’autre extrémité N. 

Si le plancher MN doit être suspendu par des tiges 
distantes entre elles de un mètre à partir du point O, 
on fera successivement © = 1, ZT —2, æ — 5, etc., ct 
l’on trouvera pour les longueurs de ces tiges 


5 
LR (1)? = 0",0024, 
5 1 
ÿ, — 2 (2) == 0, 0096, 
5 2 
TES (5)? = 0, 0216, 
EC TELC Ne  — (et: 


Il est visible que les 25 tiges qui doivent supporter la 
partie ON du plancher ont respectivement les mêmes 
longueurs que les 25 premières des 50 tiges qui doivent 
supporter l’autre partie OM. 

On trouvera la longueur de la partie AO de la chaîne 
au moyen des deux premiers termes de la série (g), en 
y faisant 2f— 12, a — 50; le calcul donnera 


PON 397 


Pour avoir l’autre partie OE, on fera dans la série (x) 
x —kh—a— 25", et l’on obtiendra, en se contentant 
de deux termes, 


(50)? 
8 — 25 + TEL 
Ainsi, 
AOE = c+s— 75,52. 


Dans le cas d’une charge de 5500 kilogrammes par 
unité de longueur, on aurait pour la tension horizontale 
des chaînes 


L« /'[Ra)2 
Qe= PEN 1145853. 


Puis, au moyen de cette valeur, on trouverait pour la 

tension extrême en À, d’après la formule (x), 

4 X 36 
2500 


E— 1458580 + | — 1198571 kil., 
et, pour la tension extrême en E, d’après la for- 
mule (y), 


T1 1458550: sie re |= 1154053 kil. 


Les tensions verticales en ces points extrêmes seraient, 
d’après les formules (z), 


pa = 5500 X 50 — 255000 kil. . 


pi — à) = 5500 X 25 — 155500 kil. 


14. Les efforts exercés par les chaînes de suspension 
contre leurs points d’attache se trouvant suffisamment 
déterminés dans ce qui précède, il nous reste seulement 
à examiner les diverses dispositions que peuvent pré- 
senter ces points. Toutes les fois que les localités n’of- 
frent pas des points fixes à une hauteur convenable, il 
devient nécessaire d'élever des supports pour y attacher 
les chaînes. Dans plusieurs ponts de l'Écosse, ces Sup 
ports sont de simples poteaux en bois ou des colonnes 
de fer fondu qui ne présentent qu’une très-faible résis- 
tance aux efforts horizontaux, de sorte qu'il est essen- 
tiel de les archouter par une chaine de retenue dont 
l’action horizontale détruise celle de la chaine de sus- 
pension. Soit AM (PI. XIX, fig. 12) un tel support, 
AB la chaîne de suspension du plancher, et AD la chaîne 
de retenue attachée au sol par son extrémité inférieure 
et supposée tendue de manière à maintenir AM dans 
la position verticale. Désignons par « l'angle que. forme 
la chaine AD avec l'horizon, et par R sa tension. La 
composante horizontale de cette tension sera exprimée 
parR cos, et sera l'effort exercé par la chaîne deretenue 
contre le support AM pour le renverser dans le sens MD. 


398 PON 

Mais Q représente l'effort horizontal de la chaine de 
suspension AB pour renverser AM dans le sens opposé 
MN, ainsi, pour que ces deux efforts se détruisent et 
que le support AM ne recoive aucune action transver- 
sale, il faut qu’on ait 


R cos w — Q. 


Cosw diminuant à mesure que w augmente, et sa 
valeur maximum étant l'unité, cette équation nous 
montre que la tension R de la chaîne de retenue ne peut 
jamais être plus petite que la tension horizontale Q de 
la chaîne de suspension, et qu'elle doit être d’auiant 
plus grande que l'angle » est plus grand, ou que la di- 
rection de la chaine de retenue se rapproche de la ver- 
ticale. 

On fait ordinairement l’angle » égal à l’angle « de la 


courbe avec l'horizon au point A; alors 


En 2 


COS w 


=." 


= , 
COS & 


c’est-à-dire que la tension de la chaîne de retenue est 
égale à la tension maximum de la chaine de suspen- 
sion. 

15. Quel que soit l’angle », si nous admettons que la 
tension de la chaîne de retenue soit réglée de manière 
qu'on ait 

Re Q : 


cos 


Le support AM ne recevra aucun effort horizontal, et il 
s’agit seulement de lui donner la solidité nécessaire 
pour qu’il puisse résister à la pression verticale qu'il 
supporte. Or, cette pression, que nous nommerons l'US 
est évidemment égale à la somme des composantes ver- 


ticales des tensions des deux chaînes. 
R sin w et Qtang «; 
‘son expression générale est donc 


= R sin » + Q tang « 


LU 9) (tang w —- tang «), 


à cause de 


—0 tang w.- 


Il en résulte que la pression P augmente à mesure que 
la direction de la chaîne de retenue se rapproche de la 
verticale, 

16. Proposons-nous de déterminer la pression ver- 


PON 


ticale des supports, dans le cas de l'exemple du n° 9, 
nous avons les données 


a = 14°290", tange= 0,25; AM = f—4"; 


Q — 5»8816". 


Si le pont n’est soutenu que par deux chaînes, la ten- 
sion horizontale de chacune d’elles est 


et en admettant que w —%, la pression verticale qui 
tend à écraser chaque support, est 


P — 289408 [o,25 —- 0,25] — 144704". 


11 serait donc nécessaire que la résistance de chaque 
support fût supérieure à 144704 kilogrammes. 

On peut diminuer la pression en diminuant l'angle » 
et en augmentant par conséquent la longueur de la 
chaîne de retenue. Mais les localités ne permettent pas 
toujours de donner une longueur arbitraire à cette 
chaîne. En supposant ici l’angle de 10°, ce qui donne 
lang u —=0, 1763, on aurait 


P — 989408 X 0,4265 — 123375 kil. 


17. La longueur de la chaîne de retenue est donnée, 
dans tous les cas, par l’expression (y) 


H 


Lama! 

H désignant la hauteur AM du support, et L la longueur 
AD de la chaîne, l 

18. Lorsque le support est construit en maçonnerie 
ou qu'il est formé par une charpente en bois ou en fer, 
ayant une large base, il devient susceptible de résister 
à une action horizontale, et il en résulte une diminu- 
tion dans la tension des chaines de retenue; alors, au 
lieu d’attacher à l'extrémité de l'appui les extrémités 
des chaînes de retenue et de suspension, ces deux 
chaines n’en forment qu'une seule qui repose seule- 
ment sur l'appui et peut glisser dans ün sens et dans 
l’autre, sans que le support prenne aucun mouvement. 
Il se présente deux cas dans cette disposition : ou la 
chaine peut glisser sans frottement sur l'appui dont la 
surface supérieure est cireulaire (PI. XX, fig. 2), et 
alors sa tension est la même dans toutes ses parties et 


; ou le frottement est assez considérable 


à à 
égale à 
& COS « 


pour empêcher la tension de la partie AB de se trans-: 


mettre {oute entière à la partie AD, Dans le premier 
cas, le pilier supporte un effort horizontal égal à 


e (: 


EE —————————————_— 


PON 


et une charge verticale égale à 


Q Ç" a 2 sit *). 


COS & 
Dans le second cas, l'effort horizontal est 
Q —R cosw, 
et la charge verticale 
Q tang « + R sin w. 


R étant ici là tension de la partie AD de la chaîne, don: 
née par l’expression 


dans laquelle e est la base des logarithmes naturels, # le 
rapport du frottement à la pression, p le rayon de l’arc 
de cercle AEC, et S la longueur de cet arc. Le dévelop- 
pement de cette expression donne la série 


ROSE 


et l'on a généralement, AEC étant toujours supposé un 
arc de cercle, 


On trouvera la déduction de ces formules dans le mé- 
moire de Navier, auquel nous renverrons pour tout ce 
qui concerne les moyens de fixer au sol l’extrémité des 
chaines de retenue. 

19. On détermine le diamètre des chaînes de suspen- 
sion d’après la règle pratique de ne leur faire supporter 
que des charges inférieures à celles qui commenceraient 
à altérer leur élasticité. Ces charges ne doivent donc ja- 
mais dépasser le tiers dès charges capables de détermi- 
ner la rupture (voy. RésisranGE) ; ainsi, en admettant 
comme la moyenne des expériences les plus exactes 
qu'une barre de fer forgé se rompt sous un poids de 
45,84 par millimètre carré de surface, la tension maxi- 
mum des chaines dé suspension ne devra pas être plus 
grande que 15 ou au plus 14 Kilogrammes par millimè- 
tre-carré de leur section transversale, qu'il s’agit con- 
séquemment de fixer de manière à ne pas dépasser cette 
limite. , 

Désignons par Q l'aire de la section transversale des 
chaînes et par 7 le poids de l’unité de volume du fer 
forgé ; rQ représentera le poids de l'unité de longueur 
des chaînes, et-si s1eprésente en particulier le poids du 


PON 399 


plancher et des tiges de suspension par unité de lon- 
gueur, 5 +- 70 sera le poids total dé l'unité de longueur 
de la construction ou la quantité que nous avons dési- 
gnée ci-dessus par p. Or, en remplaçant p par & + r@ 
dans la formule ({), on obtient, pour l'expression de la 
tension horizontale, 


et par suite, pour celle de la tension maximum (m), 


ce qui se réduit à .….. (à) 


Mais si y désigne la plus grande tension à laquelle 
puisse être exposée l'unité de surface de la section trans- 
versale des Chaines, 20 exprimera la plus grande charge 
qu’on peut faire supporter à ces chaînes, ét comme la 
tension maximum (9) ne doit pas dépasser cette charge, 


on aura l'équation 


po — (s + rQ) : AE EAN : 


qui donne pour la valeur de @ l'expression (c) 


Lorsque les chaines sont en fer forgé, substance qu’on 
né doit pas exposer à une tension de plus de 14 kilo- 
grammes par millimètre carré de la section transver- 
sale, on a les données 


5 — 788 kilogrammes, 


b. = 14000000 kilogrammes, 


le mètre étant l’unité linéaire, 

20. On doit comprendre dans le poids & du plancher 
et des tiges de suspension les surcharges momentanées 
que les chaines sont exposées à supporter par l’effet du 
passage des voitures, des hommes et des animaux. D’a- 
près l'évaluation de Navier, la limite supérieure de ces 
surcharges est de 195 kilogrammes par mètre carré de 
superficie du plancher. Ainsi, L désignant la largeur du 


.… (u) 


plancher qui sert au passage, la quantité … 
195 L 


exprime la surcharge par mètre de longueur qu'il faut 
ajouter au poids du plancher et-des tiges. 


400 PON 


91. Quant aux tiges de suspension, si nous désignons 
par » leur nombre et par 11 le poids du plancher, y com- 
pris celui de la surcharge maximum, le poids supporté 
par chacune d’elle en particulier sera évidemment 

II 
72 


de sorte qu’en nommant # leur section transversale et 


are , IT 
: la charge par millimètre carré, nous aurons & — = 


d'OÙU..... (>) 


Les secousses qu'éprouvent les tiges de suspension 
par l'effet du passage des voitures ne permettent pas 
de les exposer à une charge au-dessus de 1",50 par 
millimètre carré de leur section transversale; on fera 
donc : — 1,50, et la formule (») fera connaitre l'aire 
de la section des tiges exprimée en millimètres carrés. 

Connaissant l'aire de la section, on aura facilement 
son diamètre en se rappelant que l'aire + d’un cercle 
est égale au produit du carré de son rayon par le rap- 
port de la circonférence au diamètre ou par le nombre 
3,1416. On a ainsi, en nommant D le diamètre ..... (£) 


! 
AUDE à 
L4 [. La | 


20. Nous éclaircirons l’emploi de ces dernières for- 


D — 


mules en les appliquant à l'exemple du n° 9, pour le- 
quel nous avons 
a — 52 mètres, f — 4 mètres. 

Nou; supposerons de plus que la largeur du pont est de 
8 mètres et que le poids de son plancher seul s'élève à 
166165 kilogrammes. 

La longueur du pont étant de 6% mètres et sa lar- 
geur de 8, son aire est 64 X 8 — 51g mètres carrés, et, 
conséquemment, la surcharge totale a pour valeur 


512 X 195° = 99840", 
d'où 
11 = 166165 + 99840 — 266005 kilogrammes. 


Les tiges de suspension sont au nombre de 65 pour 
chaque côté du plancher ; leur nombre total est done 
130, et le poids supporté par chacune d'elles en parti- 


culier 


Il en résulte, pour la section de la tige, 


78,106 RE à ; 
ue — 1385,44 millimètres carrés. 
0 


1; 


PON 


et pour son diamètre, 


UP) 
D—2/ ES — 42 millimètres. 


On devra donc donner à chaque tige un diamètre de 
0,042. 

La connaissance de la section des tiges nous conduit 
directement à celle de leur poids. En effet, cette sec- 
tion, ramenée au mètre carré pour unité, étant 
0®%,00158544, si nous la multiplions par 7788 kilo- 
grammes, poids du mètre cube de fer forgé, nous ob- 
tiendrons le poids d’un mètre de longueur des tiges; il 
ne faudra plus que multiplier ce poids 


0,00158544 X 7788 — 10!,7898 


par la somme des longueurs des tiges, pour avoir leur 
poids total. Or, la somme des longueurs des 32 tiges 
Yis Yas Yys CtC., que nous avons calculées n° 9, est 
44°,6855 ; ainsi, abstraction faite des tiges du milieu du 
pont, qui sont perdues ici dans l’épaisseur du plancher 
et font partie de son poids, la longueur totale des 128 
tiges est 
4 X 44,6875 = 158",75, 
et, par conséquent, nous avons pour leur poids total 


178,75 X 10,7898 — 1929 kilogrammes. 


Ceci trouvé, procédons au calcul de l'aire des chai- 
nes de suspension par la formule (e). 

Le poids du plancher 166165! ajouté à celui des 
chaines 1929" et à la surcharge maximum déterminée 
ci-dessus 99840! est égal à 267934". Divisant ce poids 
par la longueur du pont = 64", nous avons le poids de 
l'unité de longueur, savoir : 

267954 

64 


Tr —= 


— 4190 kil. 


Ainsi, la section demandée © est 


&190X 3a/[(G2)° + 4x 16] 


Réalisant les calculs et observant que l’unité de surface 
est ici le mètre carré, nous trouverons 


Q = 0"1,042015. 


Mais cette aire est celle de la somme des sections des 
deux chaînes entre lesquelles se partage ia charge; 
ainsi, la section d’une seule chaîne est 


0%1,0219075, [ 


ce qui nous donne pour son diamètre 


0, 0213095 |, à 
x/| Di4i6 Jones. 


PON 


Si le pont était soutenu par une double chaine de 
chaque côté, ce qui est toujours préférable, la section 
de chaque chaine simple serait le quart de ©, et ainsi 
de suite. 

Pour avoir maintenant le poids des chaines, obser- 
xons que le poids d’un mètre de longueur sur une sec- 
tion Q est 


0,042615 X 7788* — 551i,886. 


La longueur des chaines, trouvée n° 9, étant de 64°,66, 
leur poids total est égal à 


551:,886 * 64,66 — 21460 kil. 


Ainsi, le poids de toute la construction, y compris 
Ja surcharge maximum, s'élève à 289594 kilogrammes, 
et la charge p sur un mètre de longueur du plancher 
est, par conséquent, 


c’est la donnée que nous avons prise n° 9, et d’après 
laquelle nous avons trouvé que la tension maximum 
est équivalente à 596630 kilogrammes. En comparant 
cette tension maximum avec la somme des aires des 
sections des chaines — 42615 millimètres carrés, on 
voit que la charge par millimètre carré de la section est 

5966530 


Ga615 = 14 kilogrammes, 


ce qui sert de vérification aux derniers calculs. 

25. L'hypothèse de légale répartition de la charge 
sur une ligne horizontale est la plus simple de toutes 
celles dont on peut partir pour déterminer la forme de 
la courbe des chaînes; mais elle n’est pas rigoureuse- 
ment exacte, car, en réalité, le poids du plancher est 
le seul que l’on puisse considérer comme distribué uni- 
- formément sur la ligne horizontale liée aux chaînes, et 
l'unité de longueur de cette ligne se trouve d’autant 
plus chargée qu’on la prend plus près des extrémités, où 
les tiges de suspension sont plus longues, ainsi que les 
parties correspondantes des chaines. Il en résulte que 
si, en construisant un pont, on avait donné la forme 
parabolique aux chaînes, cette forme se modifierait 
lorsque la construction serait abandonnée à elle-même 
et prendrait une figure intermédiaire entre celles de la 
parabole et de la chainette, de manière que la courbure 
des chaînes augmenterait aux extrémités et diminuerait 
au milieu, ce qui ferait élever le milieu du plancher. 
Navier donne la formule suivante pour calculer la 
grandeur de cette élévation 


FREE Se) 


Ton. mi. 


PON 401 


dans laquelle 


a est la demi-corde, 

f la flèche de la courbe parabolique, 

f” la nouvelle flèche ou celle de la courbe modifiée, 
= le poids total des tiges de suspension, 

r le poids par mètre courant du plancher, 

s le poids par mètre courant des chaînes. 


Si nous prenons pour exemple les données du nu- 
méro précédent, qui sont 


d’où nous conclurons pour ladifférence des deux flèches 
[—f —=4— 3,991 = 0",009. 


Ainsi, dans le cas de notre exemple, lorsque la con- 
struction serait abandonnée à elle-même, le change- 
ment subi par la flexion des chaines ferait remonter le 
plancher au milieu de 0",009 seulement, ce qui serait 
à peine sensible. Il est facile de voir, en général, que 
la différence entre f et f sera toujours très-petite, et 
d'autant plus que l’ouverture de larche sera plus 
grande. 

24. Les longueurs des tiges calculées par l'équation 
de la parabole ne correspondant pas exactement avec 
les ordonnées de la courbe modifiée, il résulterait en- 
core de l'emploi exclusif de cette équation que les 
tiges ne se maintiendraient pas verticales et également 
espacées, ce qui pourrait avoir des inconvéniens. Dans 
la pratique, même en se conservant la facilité de régler 
par des vis la longueur des tiges, il sera toujours plus 
prudent, après avoir déterminé provisoirement tous les 
élémens d’un pont suspendu d’après l'équation de la 
parabole 


de recommencer le calcul de la longueur des tiges au 
moyen de l'équation de la courbe modifiée 


5-a + 26f° ” 


FE,» L 
12Qa* 


— C1 
Je up à 


, 


qui contient les mêmes quantités & et f, et dont les 
autres constantes ont la signification ci-dessus. On doit 


51 


102 PON 


consulter pour cet objet un mémoire de M. l'ingénieur 
Stapfer inséré dans la seconde édition de l'ouvrage de 
Navier. 

25. Une autre cause tend à modifier la courbe des 
chaînes lorsque le pont est abandonné à lui-même; 
mais celle-ci agit d’une manière régulière et progres- 
sive, et fait varier seulement la longueur des tiges sans 
qu’elles cessent d’être; verticales; c’est l’élasticité du 
fer. « Puisqu’une barre de fer, dit Navier, s'étend né- 
cessairement quand elle est tirée par les deux extré- 
mités, l'effet de la charge du plancher d’un pont sera 
d’allonger les chaines qui le tiennent suspendu, et par 
conséquent d'augmenter la flèche de la courbe qu'af- 
fecteraient ces chaînes si elles étaient formées par des 
verges inextensibles. Des charges additionnelles pla- 
cées sur le plancher produiront encore dans la flèche 
de courbure de nouvelles augmentations, qui cesseront 
en même temps que l’action de ces charges. Il est né- 
cessaire de soumettre ces effets au calcul, et d’être à 
même de prévoir l’abaissement durable qui se mani- 
festera à l'instant où les chaînes se trouveront chargées 
pour la première fois du poids du plancher, et les 
abaissemens momentanés produits par les charges ac- 
cidentelles. » Voici les résultats de l’analyse de ce sa- 
vant. Soit c la longueur de la demi-chaine avant son 
extension, et c’ sa longueur après, on a... (1) 


eee lue 47° 
LUE ee C 5@ }° 


p étant le poids total de la construction par mètre cou- 
rant de longueur, et E une constante dont la valeur est 


k 
E — 20000 . Q, 


dans laquelle à désigne l'aire de la section tranversale 
des chaines exprimée en millimètres carrés. 

Pour calculer la nouvelle flèche f', on a la formule 
approximative ….. (2) 


r=V/ic-0 


dont on peut se contenter dans le plus”grand nombre 
des cas. Si l’on veut plus d’exactitude, on doit em- 
ployer la série 


3 ,[c—a 9 fc — a\° 54 fc —a\* 
D 5/71 2E Ÿ — ET 
Î = {al a +£( a ) A a ) 


La formule (1) peut servir également pour calculer 
l'allongement résultant d’une charge additionnelle uni- 


formément répartie sur le plancher, en considérant 


PON 


alors p comme représentant la charge additionnelle 
placée sur chaque unité de longueur. 

26. Une conséquence très-importante de ces résul- 
tats, c’est qu'il ne faut pas, dans le projet d’un pont, 
donner à la flèche f la grandeur qu’on veut qu’elle ait 
lorsque la construction sera terminée, cette flèche de- 
vant nécessairement augmenter par l'effet de l’extension 
des chaines sous la charge permanente. Par exemple, 
le pont dont nous ayons calculé les élémens n°” 22 et 
25, dans l'hypothèse d’une flèche f = 4”, se trouverait 
avoir une flèche f— 4",112 après le tassement. En 
effet, nous avons trouvé pour le poids total de la con-. 
struction 189554 kilogrammes. Ce nombre, divisé par 

64", longueur du plancher, nous donne pour la charge 
A D sur un mètre de longueur, 2962. De plus, 
l'aire de la section des chaines est de 42615 millimètres 
carrés, d’où 


E — 20000 > 8523500000. 


X 42615 — 


Ainsi, substituant ces valeurs dans la formule (1) avec 
les autres données, nous aurons ; 


250,33 2962 . (32)° 4x 36 
PER 8 X 8525300000 + pe le 


ce qui nous donnera, sans avoir besoin de tenir compte 
du dernier facteur, 


c'—52",544; 


l’allongement de la moitié de la chaîne sera donc 
— 0",014, et celui de la chaîne entière —0",028. 
Cette valeur de c', mise dans la formule (2), donne 


be vi (52,344 — 5252 ] = do A 
d’où nous voyons que l’effet de l’extension des chaînes 
est de donner à la flèche primitive un accroissement 
de 0",112. L’effet de la modification de la courbe para- 
bolique, due à l’inégale répartition de la charge (n°25), 
étant, au contraire, de diminuer la flèche f de la quan- 
tité de 0",009, la flèche réelle aura donc en définitive 
4,105 de longueur, et ce n’est qu’autant qu’on aurait 
voulu lui donner cette dimension qu’il aurait fallu 
employer la valeur f=—4" dans le calcul des élémens 
du pont. 

or. Ce n’est guères que dans les ponts d’une très- 
petite longueur que le plancher est horizontal ; dès que . 
cette longueur est un peu considérable, on lui donne 
la forme d’un arc de cercle ou d’un arc de parabole; 
de sorte que les tiges de suspension ne sont plus sim- 
plement les ordonnées d’une courbe, mais bien les 
distances de deux points situées sur deux courbes dif- 


PON 


férentes. Le calcul dé leurs longueurs se compose alors 
de deux parties comme nous allons Fexpliquer. Soit 
AOB (fig. 5, pl. XX) la courbe des chaines, MON 
celle du plancher, M'N la ligne horizontale tangente 
commune aux deux courbes au point O. C’est sur cette 
ligne que nous compterons les abscisses à partir du 
point O. A chaque abscisse Om = æ correspondra une 
ordonnée mp appartenant à la courbe des chaines, et 
une ordonnée mg appartenant à la courbe du plancher. 
La somme de ces ordonnées pm — mg = pq sera la 
distance des deux points p et q des courbes, et, par con- 
séquent, la longueur de la tige qui lie ces points. Ainsi, 
après avoir calculé, au moyen des équations des deux 
courbes, les deux ordonnées pm et mq, correspondantes 
à un point m de l'horizontale, par lequel doit passer 
une tige, on formera leur somme, pour avoir la lon- 
gueur de cette tige. Supposons la courbe du plancher 
circulaire; nommons y sa flèche OD = M'M, ety ses 
ordonnées mg. L’équation du cercle rapportée au point O 
et à l’axe M'N' étant 


a = 27y — Y>, 


dans laquelle r désigne le rayon, observons que cette 
équation doit donner æ — OM = 4, lorsqu'on y fait 
yÿ =MM' —; ainsi, 

ad — DS > 
d'où 

2 74 
tr, 
Lu 


Substituant cette valeur à la place de or, l'équation de 
l'arc MON devient 


aa epiE2 de , 
a? — | — y, 


et ne renferme plus que des constantes données a et f. 
En la résolyant par rapport à y', on obtient l’expression 
en 48 CS 2 Ë 
ER mL ATP mn L 
vo 27 
qui servira à calculer les ordonnées y’ correspondant 
à des abscisses données æ. Dans les cas ordinaires, la 
flèche est très-petite par rapport à la demi-corde a, 
et l’on peut se contenter des deux premiers termes du 
développement du radical. On a alors simplement 
, n 2 
= 4 — 
3 & + a 2 
ou même, avec une exactitude suflisante, car l'arc de 


cercle en question ne diffère pas sensiblement d’un arc 
de parabole, ..….. (3) 


PON 403 


Ayant donc calculé la partie pm ou y' de la tige par 
cette dernière formule, on l’ajoutera à la partie gm, 
calculée, comme nous l'avons enseigné ci-dessus, pour 
un plancher horizontal M'N'. Les premières évaluations 
devant toujours être faites dans lhypothèse d’une 
courbe AOB parabolique, dont l'équation est... (4) 


f 
Y= AT 


f désignant la flèche CO, on peut se dispenser de cal- 
culer séparément les deux parties y et y, car la somme 


des équations (3) et (4) donne 


y +y= tas 


TL”. 
a 


Ainsi, désignant par % la longueur pq de la tige, on a 
immédiatement ..... (5) 


Supposons, par exemple, qu’on ait les données 
AC—a—=8",5; CO—=f— 14; OD——0",3, 


et que le plancher doive être soutenu de chaque côté 
par 18 tiges distantes l’une de l’autre de 1°; de ma- 
nière que, pour une moitié AO de la chaîne, la pre- 
mière tige soit à 0",50 de distance du point @, la se- 
conde à 1%,50, la troisième à 2,50, et ainsi de suite 
jusqu’à la neuvième et dernière AM, dont la longueur 
est fixée à l’avance par la condition AM° M'M — 
CO Æ OD — 1",7. Substituant les nombres à la place 
des lettres dans la formule (4), elle devient 


4 


—— x?. 
1445 


=D, OU — 


” 
(NI 
© 


Ainsi, désignant les tiges successives par Z,, Z,, Z,, et 
jusqu'à z,, on a 


54 2 — nu 
Zi Rae 59) 0 006, 
54 : 
= 1,20) — 0, 053 
2 1445 0 ) , 
54 
4 — 1445 ,50)° — 0, 147, 
54 
a = (5,50) = 0, 288, 
1449 
54 
n Sa? 
Da — 50)? — 0, 476 
5 1445 CP ) s 479% 
54 
24 = — (5,50) — 0, 712, 
1449 
54 
x, = 2 (6,50) = 0, 994, 
7 45 
54 F 
e—— (7,50) —= 1, 524 
8 1445 C ) , 4 
14 
2, = + (8,50) == 1, 00. 


40% POS 


Ces valeurs étant connues, on pourra ensuite déter- 
miner tous les autres élémens de la construction, tels 
que le diamètre et le poids des tiges et des chaînes par 
les procédés indiqués. 

Voyez, pour tout ce qui concerne la théorie des 
ponts suspendus, le mémoire de Navier déjà cité; voyez 
aussi l'ouvrage, sur le même sujet, de M. Séguin aîné, 
C’est à ce dernier ingénieur que la France doit son 
premier pont suspendu. 


POSITION APPARENTE. (Ast.) Non seulement les 
astres ne paraissent pas dans leur lieu réel, par l'effet 
de la réfraction, mais ils en sont encore un peu écartés 
par l'effet de l’aberration, parce que nous voyons les 
corps célestes dans la direction de la résultante de deux 
vitesses, celles de la lumière et de la terre. Lorsqu'on 
cherche dans lestables astronomiques l'ascension droite 
et la déclinaison d’une étoile, on n’y trouve ordinaire- 
ment que son ascension droite et sa déclinaison moyenne, 
qui s’observeraient sans l’aberration et la nutation (voy. 
ces mots). Cette position moyenne se rapporte au 
1°" janvier de l’année pour laquelle le catalogue a été 
dressé. Il faut alors, pour avoir cette position à toute 
autre époque, évaluer le mouvement de précession en 
ascension droite et en déclinaison pour le temps écoulé 
depuis l’époque du catalogue jusqu’à celle proposée; 
mouvement qui, pour un court intervalle, est propor- 
tionnel au temps, et qui se calcule au moyen de la va- 
riation annuelle donnée par le catalogue (voy. Préces- 
st0x). Ensuite on détermine la petite quantité due au 
phénomène de la nutation, qu’on ajoute à l'ascension 
droite et à la déclinaison moyenne pour avoir le lieu 
vrai. Enfin l’on évalue les petits termes dépendant de 
l’aberration, qu’on ajoute également au lieu vrai pour 
avoir le lieu apparent ou l’ascension droite et la décli- 
naison apparentes. 

M. Baily a publié dans le tome IL des Mém. de la 
Société astron. de Londres, des tables assez simples 
pour un très-grand nombre d'étoiles; mais celles insé- 
rées à la page 115 des additions à la Conn. des temps 
pour 1855, et calculées par les formules que nous 
avons fait connaître, sont encore plus commodes, en 
ce qu'elles dispensent de l’usage des logarithmes et 
qu'elles sont relatives aux étoiles qu’on observe le plus 
souvent. On n’a même plus aucun calcul à faire à ce 
sujet depuis que le Bureau des longitudes, à l’instar des 
auteurs du Nautical almanac et des Éphémérides de 
Gotha, insère chaque année dans la Conn. des temps 
les positions apparentes des principales étoiles. Ces po- 
sitions entrent comme élémens essentiels dans le calcul 
du temps sidéral, dans celui de la latitude d’un lieu de 
la terre par l'observation de la hauteur des étoiles au- 
dessus de l'horizon, etc. ( Voy. Heure, LATITUDE, AzIMUT.) 


POU 


POUSSÉE DES TERRES. (Archit. prat.) On nomme 
poussée des terres l'effort qu’exercent contre les murs de 
revêtement destinés à les soutenir, les terres coupées 
à pic. 

L'expérience a démontré que toutes les terres nou- 
vellement remuées prennent un talus naturel dont la 
surface est plane, et dont l’inclinaison sur le plan hori- 
zontal varie en raison de l’adhérence et du frottement 
des molécules. Imaginons qu’on ait coupé à pie, sur la 
hauteur BE, une masse de terre dont ABEF (PI. XX, 
fig. 4) représente le profil; cette masse n'étant pas 
un véritable corps solide, mais bien un agrégat de mo- 
lécules solides imparfaitement adhérentes entre elles, 
ses parties, qui ne seront plus soutenues du côté de BE, 
et qui tendent à descendre par l'effet de leur pesanteur, 
s’ébouleront dans l’espace vide qui leur est offert, de 
manière qu'après leur chute et lorsque l’équilibre de la 
masse sera établi, cette masse offrira du côté du déblai 
une pente ou talus AB plus ou moins incliné par rap- 
port à la ligne horizontale ED. Si l’adhérence des mo- 
lécules terreuses était, comme dans les pierres, plus 
grande que leur pesanteur, il est évident qu'aucun 
éboulement ne pourrait avoir lieu et que la masse con- 
serverait le talus vertical BE ; tandis que si cette adhé- 
rence était nulle, comme dans les fluides, la masse en- 
tière s’affaisserait jusqu’à ce que sa surface supérieure 
fût devenue horizontale. Entre ces deux limites extrê- 
mes d’adhérence, il est facile de voir que le talus AB 
sera d’autant plus incliné que l’adhérence sera plus pe- 
tite; mais cette force ne détermine pas seule la forme 
et l’inclinaison du talus, qui dépendent principalement 
de la résistance due au frottement des molécules les 
unes contre les autres; ainsi, en supposant que la 
masse ABEF soit composée de sable sec, dont on peut 
considérer la cohésion comme nulle, l’inclinaison du 
talus AD sera parvenue à son degré naturel lorsque la 
molécule m, qui tend à glisser sur le plan incliné mD, 
demeurera en repos par le seul effet du frottement 
(voy. ce mot). Dans ce cas, l’inclinaison du plan du 
talus est indépendante de la hauteur du déblai, et se 
trouve uniquement donnée par la valeur du frottement; 
de sorte que l’angle d’inclinaison ADF est en réalité 
l'angle du frottement (voy. ce mot), et sa tangente le 
rapport du frottement à la pression. Dans tous les autres 
cas, où il est nécessaire de faire entrer l’adhérence en 
considération, l’angle d’inclinaison ADF diminue à me- 
sure que la hauteur du déblai augmente, parce que les 
différentes espèces de terres se soutiennent d’elles- 
mêmes quand elles sont taillées à pic sur une certaine 
hauteur, qui dépend uniquement de leur force de co- 
hésion. 

Il résulte de ces notions générales que, si l’on élève 
un mur en BE pour empêcherle mouvement des terres, 


POU 


ce mur supportera l'effort ou pression du prisme de 
terre ABC, qui se détacherait sans l’obstacle opposé à 
son mouvement. La même chose aurait évidemment 
lieu pour un mur BCDE (PI. XX, fig. 5) derrière le- 
quel on ferait un remblai de terre. 

La recherche des principes d’après lesquels doivent 
être construits les murs de revêtement qui doivent ré- 
sister à la poussée des terres, a beaucoup occupé les 
sayans du dernier siècle; mais leurs travaux ne présen- 
tent plus aucun intérêt depuis que Coulomb a fait en- 
trer dans l’analyse de la question les diverses circon- 
stances physiques que nous venons de signaler, et sur- 
tout depuis que M. de Prony en a donné une théorie 
très-simple et très-générale, dont l’expérience a con- 
firmé tous les résultats. C’est cette dernière que nous 
allons exposer. 

1. Soit BCDE (fig. 5, PI. XX) un mur de revête- 
ment derrière lequel on a fait un remblai de terre dont 
une partie, le prisme FBE, s’éboulerait sans la résis- 
tance de ce mur. Il s’agit, 1° d'évaluer la force ou 
poussée qui tend à renverser le mur, 2° de déterminer 
la forme et les dimensions qu’il est nécessaire de donner 
au mur pour résister à la pression. 

Observons d’abord que le prisme FBE déterminé par 
le talus naturel BF, que prendraient les terres aban- 
données à elles-mêmes, n’est pas celui dont l'effort 
contre le mur est le plus considérable; car l’inclinaison 
du plan du talus est telle que le frottement et la cohé- 
sion seuls y retiennent les terres en équilibre. Si nous 
concevons une suite de plans moins inclinés que celui 
du talus, et passant tous en B par l’arête inférieure du 
prisme, chacun de ces plans, BH, séparera un prisme 
BHE qui tend aussi à s’écrouler, puisque le prisme FBE 
ne forme pas une masse solide, et parmi tous ces pris- 
mes il s’en trouvera nécessairement un qui aura besoin 
d’une plus grande force qu'aucun autre pour s'opposer 
à son glissement. Or, nommons 


P la force horizontale qui soutient le prisme BHE, 

Q le poids de ce prisme ; 

2 l’angle HBE , formé par le plan incliné HB et la 
verticale; 

7 la force de cohésion sur l'unité de surface; 

f le coeflicient du frottement, ou le rapport de la 
pression normale au frottement ; 

= le complément de l’angle du frottement ou l'angle 
dont la cotangente — f; 

hk la hauteur EB du remblai; 

b la longueur de la ligne HB sur laquelle la cohésion 
a lieu; 

r la pesanteur spécifique des terres. 


Nous avons, d’après la théorie du plan incliné, pour 


POU 405 
l'équation d'équilibre du prisme HBE sur le plan in- 


cliné HB (Voy. PLax iNCuINÉ, tom. IT , et FROTTEMENT.) 


P== Q(cos » — fsin o) — by 
sin o + fcos o ; 


Ainsi, il ne s’agit plus que de déterminer la valeur de 2» 
qui convient au prisme de la plus grande poussée, ct 
rend conséquemment P un maximum. 

Observons d’abord que le triangle HBE rectangle en 
E fournit les relations 


EH — EB . tang EBH — htang », 
EB bare h 
T cos EBH° © | cos »? 


d’où nous avons pour l’aire de ce triangle l’expression 
1 ; , : s 
A tang #. Si nous représentons le poids du prisme 
par sa base, nous aurons donc 

1 2 

Q = - sh°tang 9. 

2 
Substituant ces diverses valeurs dans l'équation d’équi- 
libre, elle deviendra 


P — Lolë tango cos p—fsin phasrost lin Aÿ/en — 


2 “sinp—+-fcoss  coso(sins +fcoss) 


Remplacant dans cette dernière f par cot + — = 
ang = 
gr 


On pourra la ramener à une forme beaucoup plus sim- 


2 


ple, au moyen des réductions suivantes : 


” sin 
C0 9 —— = 
? tang = tang = — tang © 
D Er t Æ E 
sue = 1 + tang =. tang o 
= tang ( — +) 
cos = cosy(sins sinz— cospcos- 
cos (sin e + Sn 008 Je nd 


— tang 9 + tang(r— o)° 
Nous avons ainsi ..... (a) 


1 x 
P — 3 7htang ? .tang(r— +) — hy[tns ? 
+ tag (9 | 
ce qu’on peut encore mettre sous la forme ..... (b) 


P — Lor+ htang: Jtang p.tang(r—) 


— hytang =. 


406 POU 

Pour avoir maintenant la valeur de © qui rend P un 
maximum, il faut égaler à zéro la différentielle du se- 
cond membre de cette équation (voy. Maximun, 
tom. II), prise en faisant varier la seule quantité 9. On 


a donc 
= 
0 — d [rang ?. tang (r — OJE 
ou 


0 — tang (-—#). d'tang 9 + tang #. dtang(+— »); 


mais 
, dy 
tance — 20 tance 
NEA? cos p” st —#) cos (r —») 
Ainsi 


0 — cos (+— %) . tang(r — +) si cos’o. tang ». 
Remplacant chaqne tangente par le sinus divisé par le 
cosinus, il vient 

cos (r— »). sin(r—v) —= cos ». sin y, 
ce qui se réduit à 
sin2 (r — +) — sin 29, 
et donne définitivement 


== —7T. 
RE 
Cette vaieur étant indépendante de la cohésion y, on 
voit que le prisme de la plus grande poussée est le 
même, pour la même terre, qu’elle ait été ou non nou- 
vellement remuée. En la substituant dans (a), on ob- 
tient pour l'expression de la force P 


1 1 1 
— -ohtang’|--) — ohytang(--), 
P ; shtang (: ) >hy ang ) 


, ; 1 
ou, représentant pour abréger tang (: :) part, «we (c) 


PE ne] ont _—— | 


2. Il entre dans l’expression de P deux quantités à 
, : — ; 1 
déterminer par des expériences ; l’une est {ou tang (: s); 
2 


qui dépend du rapport f du frottement à la pression, et 
l’autre est y ou la force de cohésion sur l'unité de sur- 
face. La quantité f peut être observée directement: 
quant à la quantité y, si l’on observe à quelle hauteur H 
l'espèce de terre dont il est question se soutient d’elle- 
même quand elle est taillée à pic, et qu’on substitue H 
à la place de X dans l'équation (1), on aura 


— LT ECUTEE »]: 


POU 


puisque la poussée P est nulle pour cette hauteur. On 
en déduira 


= PLU 


et conséquemment y sera connu lorsqu'on connaîtra 
tou f. 

3. Dans la pratique, comme les murs de revêtement 
sont presque toujours destinés à soutenir des terres 
nouvellement remuées et dont la cohésion est peu con- 
sidérable, il est nécessaire de faire abstraction de cette 
force dans l’évaluation de la poussée P, pour ne pas 
s’exposer à donner des dimensions insuffisantes aux 
murs. Ainsi, en nous bornant aux résultats susceptibles 


d'une application immédiate, nous aurons simple 
ment ..... (d) 


2 


ll 
P — - 5h°.tang? ( 5) OU — soft, 


et l’angle + sera ici l'angle du talus naturel des terres 
avec la verticale. Nous ferons observer que dans cette 
hypothèse d’une cohésion nulle, comme on a toujours 


= -T 
? PE 


le prisme de plus grande poussée HBE est donné par 
le plan incliné qui partage l’angle du talus naturel FBE 
en deux parties égales. 

4. Il est facile de déduire de l'équation (d) le point 
de la hauteur du mur où la puissance P peut être censée 
appliquée. En effet, menons par un point quelconque b, 
de EB, une droite kb parallèle à HB, et désignons Eb 
par z, la somme des pressions horizontales dues au 
triangle Ehb sera ] 


dont la différentielle +z/?dz exprimera la pression élé- 
mentaire ou celle qui a lieu au point quelconque b situé 
à la distance h — x du point B. Le moment de cetté 
pression élémentaire, pris par rapport au point B, sera: 


donc 
1 5 
UE U — :)dz, 


sui 


et, en intégrant celte expression depuis £— 0 jusqu'à. 
&—h, on trouvera pour la somme des momens de - 


toutes les pressions horizontales du triangle HBE, ou 
pour le moment de leur résultante ..... (e) 


à ch. 


Divisant cette somme par ceile des masses, 


POU 
: 1 1 l 1 ‘ 
obtient 3h: c’est la distance du point B à la résultante 


des pressions. Ainsi, le point d'application de la force 
qui résulte de la poussée des terres est situé au tiers de 
la hauteur du remblai, à partir de sa base. . 

5. Procédons à la détermination des dimensions qu’il 
faut donner au mur de revêtement pour rendre sa ré- 
sistance sufisante. Nommons 


æ l'épaisseur ED du mur au sommet, 
n le rapport entre la base CK et la hauteur CD du 
talus du parement extérieur, 


Il la pesanteur spécifique de la maçonnerie; 


la surface du profil EBKD sera exprimée par 
hz + =, 


et l’on aura pour le poids du mur, en Île représentant 
par la surface EBKD, 


h (a + = nh) Il. 

Or, si la résistance du mur n’est pas suflisante, il 
peut céder de deux manières à la poussée des terres : 
il peut être repoussé horizontalement en glissant sur sa 
fondation, ou bien être renversé en tournant autour de 
l’arête extérieure de sa base, Dans le premier cas, con- 
sidérant comme nulle l’adhérence de l’assise inférieure 
ayec la surface qui la supporte, et désignant par b le 
rapport du poids du mur au frottement qu’il exercerait 
en glissant sur cette surface, l'expression 


k (+ nd }an 


représentera la résistance du mur, et en l’égalant à celle 
de la poussée (d), nous aurons l’équation d’équilibre. 


nf a+) = coh°e. 


Dégageant x de cette équation, nous obtiendrons ..… (f) 


2 
sue — | 
2 pit 


Lorsque le parement extérieur du mur est vertical, 
ainsi que son parement intérieur, on a n — 0, et la va- 
leur de æ devient ..….. (h) 


hat? 


LT —= : 
2pll 


Dans le cas où l’on considère le mur comme prêt à 
tourner autour de son arête extérieure, il faut, pour 
former l’équation d'équilibre entre sa résistance et la 
poussée, égaler les momens de ces deux forces pris par 
rapport au point K considéré comme le centre de ro- 


POU 407 
tation. Ainsi, observant que l’aire EBKD se compose, 
1° du rectangle EBCD, dont la surface est kx, et dont 
la distance du centre de gravité au point K est 


, 1 = 
MK — = —nh; 2° du triangle DCK, dont la surface 
1 à 35 
est = nk, et dont la distance du centre de gravité au 


même point K est NK — = nh (voy. ci-devant, p.389), 


nous aurons pour le moment du mur 
= : 
1 : 2 
cou Ed + 2 nhæ + qu ]ue 
2 


Celui de la poussée (e) étant le même par rapport au 
point K que par rapport au point B, puisque BK est 
une droite parallèle à la direction de la résultante de 
toutes les poussées horizontales du prisme HBE, nous 
avons 


L 2 2 nr 393 
Le + na + Gi | n= pole, 


d’où nous tirerons 


= als, 
TL —= hk — nn Er Dre . 
Fr +(5+5))] 
La quantité » étant généralement très-petite, on peut, 
sans erreur sensible, négliger sa seconde puissance sous 
le radical, et l’on a simplement ...… (à) 


A) 


ce qui, dans le cas d’un parement extérieur vertical, se 
réduit à... (k) 


ah. v(). 


6. Les exemples suivans vont donner une idée de 
l’usage de ces formules. 

I. On demande quelle épaisseur àl faut donner à un 
mur de pierres de taille destiné à soutenir un remblai de 
terre végétale de 8 mètres de hauteur. 

La pesanteur spécifique de la pierre employée est2,4; 
celle de la terre végétale est 1,5; et l’on sait, de plus, 
que le talus naturel des terres végétales nouvellement 
remuées est de 45°. 

Nous avons les données 4—=8"; 5 — 1,9; 1 — 2.4; 


1 , à 
7 = 4b°, d’où tang ( -) — 0,4142 et = 0,1716. 
Admettant que le rapport du frottement à la pression 
est 0,8 pour les pierres (voy. Résistance), nous ferons 
p— 0,8, et la formule (4) nous donnera 


8Xa,5 Xosa7a6 = 


ra 0,8 X 2,4 


408 POU 
Les mèmes valeurs substituées dans la formule (k) pro- 


duiront 


a — (RTS) — 1901: 
X 2,4 

C'est à cette dernière valeur qu'il faut s’arrêter, afin 
que le mur ne soit exposé ni à se mouvoir horizontale- 
ment, ni à être renversé; et comme la formule (k) don- 
nera toujours des épaisseurs plus grandes que celles 
indiquées par la formule (h), on peut se dispenser d’ef- 
fectuer le calcul de cette dernière. 

Si le mur devait avoir un parement extérieur en talus, 
il faudrait employer la formule (i), en y donnant à n la 
valeur convenable. Par exemple, les données précé- 
dentes restant les mêmes, si la base du talus du pare- 
ment extéricur devait être la douzième partie de sa hau- 


: : 1 ; 
teur 8", on ferait n — —, et on trouverait 
2 12 


zx = 8 |-- . 2 (2557) ] —101; 8/1; 


3 X 2,4 
l’épaisseur du mur au sommet serait alors 0",84, et 
re $ 1 _- 
son épaisseur à la base 0,84 Æ — 8" 2 1%,51, On 
12 


voit qu’il est avantageux de construire les murs en ta- 
lus, et que la forme triangulaire serait la plus conve- 
nable, si, pour résister aux causes de destruction aux- 
quelles il est exposé, le sommet du mur ne devait pas 
toujours avoir une certaine épaisseur, qui dépend de la 
nature de ses matériaux. Dans tous les cas, on fera bien 
de donner à son parement extérieur le plus grand talus 
possible. 

IT. Le remblai haut de 12 mètres étant de sable dont 
le mètre cube pèse 1341 kilogrammes, et le mur devant 
étre construit en briques, dont le mètre cube pèse 1550 ki- 
logrammes, on demande l'épaisseur du mur, sachant que 
le rapport du frottement à la pression est, pour le sable, 0,1. 

La première chose à déterminer pour pouvoir em- 


2 


ployer la formule (k), c’est la valeur de £ ou de tang ( r). 


La quantité donnée est ici f—0,4, et comme f—cot7, 
on acot r — 0,4; d’où Log cot r —9,6020600. Ce lo- 


garithme, cherché dans les tables, fait connaître 


r —68°11 54,92; ainsi — + —354°5 57",46; et l’ontrouve 


D | 


dans les tables 


Log tang (: :) — 9,8306098 ; 


On en conclut tang (=) ou {= 0,677053. 


Observant ensuite que le rapport des pesanteurs spé- 
cifiques est le même que celui des poids d’un mème vo- 


POU 
lume, on peut poser 5 — 1541, 11 — 1900, Substituant 
toutes ces valeurs dans (k), il vient 
: 1345 
LINE 0,677035 | Re 
92 X 1790 

En opérant au moyen des logarithmes, ce qui est tou- 
jours plus prompt, et convient d’autant mieux ici que 
la formule ne comprend ni addition ni soustraction, et 
qu’on a déjà le logarithme de 0,6757033, on obtient 


DRE 

7. Les dimensions calculées d’après les formules (4) 
et (Æ) pourront être employées avec confiance dans la 
pratique, parce qu’on y a fait abstraction de la cohésion 
des terres ; d’où il résulte que la résistance du mur ne 
fait pas seulement équilibre à la poussée, mais qu’elle 
lui est supérieure. Cependant, comme ces formules 
supposent que la base sur laquelle le mur est élevé est 
incompressible, ce qui n’a jamais lieu, et en outre que 
toutes les parties de ce mur sont assez bien unies entre 
elles pour faire une seule masse qui ne peut céder qu’en 
glissant horizontalement ou qu’en tournant autour d’une 
des arêtes de sa base, hypothèse très-peu exacte, on 
devra toujours, pour plus de sécurité, augmenter un 
peu les épaisseurs données par le calcul. 


8. M. Mayniel, à qui l’on doit un grand nombre 
d'expériences sur la poussée des terres, a calculé, d’a- 
près leurs résultats, les épaisseurs suivantes pour les 
murs de revêtement à deux paremens verticaux : æ ex- 
prime partout 1 ’paisseur et À la hauteur. 


1° Si le remblai est en terre végétale soigneusement 
damée ou foulée, dont le mètre cube pèse moyenne- 
; P 
ment 1108 kilogrammes, l’épaisseur sera 


Pour un mur en briques....... © — 0,16, 
en moellons...... æ — 0,15h, 
en cailloux roulés. æ — 0,14h, 


en pierres de taille Z = 0,15h; 


en admettant ici, comme plus loin, que le mètre cube 
de la maconnerie en briques pèse 1750 kil., en moel- 
lons 2158 kil., en cailloux roulés 2363 kil., et en 
pierres de taille 271% kil. 


2 Si le remblai est formé en terres mêlées de gros 
gravier, damées, dont le mètre cube pèse 1546 kil., 
l'épaisseur sera 


Pour un mur en briques....... © — 0,19k, 
en moellons...... © — 0,19h, 
en cailloux roulés. © = 0,17h, 
en pierres de taille Z — 0,164. 


POU 
5° Si le remblai est formé en sable pesant 1541 kil. 
par mètre cube, l'épaisseur sera 


Pour un mur en briques....... © — 0,55h, 
en moellons...... æ — 0,30h, 
en cailloux roulés. æ — 0,30h , 
en pierres de taille & = 0,26h. 


4° Si le remblai est formé en décombres ou débris 
de roche, dont le mètre cube pèse 1750 kil. , l’épais- 
seur sera 


æ — 0,24h, 
T—0,22h; 


Pour un mur en briques....... 
en moellons...... 
en cailloux roulés. Æ — 0,21h, 
en pierres de taille Æ — 0,17h. 


5° Enfin, si le remblai est en terres argileuses soi- 
gneusement damées, dont le mètre cube pèse 1225 kil., 
l'épaisseur sera 


LT —)0)17h; 
æ—0;,17h);, 


Pour un mur en briques..... 
en moellons...... 
en cailloux roulés. æ — 0,15h, 
en pierres de taille © = 0,14h. 


Ces épaisseurs devront être un peu augmentées dans la 
pratique, d’après l’observation du paragraphe pré- 
cédent. 

M. Magniel prescrit encore de donner aux murs de 
revêtement destinés à supporter un remblai de terres 
savonneuses susceptibles d’être pénétré par les eaux, 
les épaisseurs suivantes : 


Pour un mur en briques....... © — 0,54h, 
en moellons...... © — 0,49h, 
en cailloux roulés. © — 0,45h, 


en pierres de taille © — 0,44h. 


Si ces terres n'étaient point sujettes à être presque sa- 
turées entièrement par les eaux, ces dimensions se- 
raient trop fortes, et il suffirait de donner les épaisseurs: 


Pour un mur en briques....... © — 0,54h, 
en moellons...... © — 0,29h, 
en cailloux roulés. © — 0,27h, 
en pierres de taille © = 0,24h. 


Dans le cas d’un terrain susceptible de se délayer 
par les eaux et de prendre un talus naturel approchant 
de l’angle droit, il faut faire + — 90°, et les formules 
(i) et (#) deviennent 


sav] 


ne) 


Ton. 111. 


PRE 409 


elles expriment alors les épaisseurs d’un mur qui doit 
résister à la poussée d’un fluide. 

9. L'expérience a montré qu’à épaisseurs égales les 
murs les plus longs avaient moins de résistance que les 
autres, il est donc nécessaire, lorsque la longueur du 
mur est un peu considérable, d'établir des contreforts 
intérieurs ou extérieurs qui soient liés avec soin à la 
maçonnerie. Ces contreforts offrent des points d'appui 
dont la résistance est beaucoup plus grande que l'effort 
qu'ils supportent, et divisert en quelque sorte le mur en 
parties indépendantes les unes des autres. Il est évident 
que plus ils sont rapprochés, moins l’épaisseur du mur 
doit être considérable. 

10. Quelquefois le mur derevêtement doit soutenir, 
outre la poussée des terres, celle d’autres matières su- 
perposées sur le terrain rapporté, comme un pavé, un 
bâtiment, etc. Il devient alors nécessaire d’évaluer 
l'augmentation de poussée qui en résulte. En supposant 
le poids distribué uniformément sur la surface du ter- 
rain et nommant p la pression sur l’unité de surface, 
le poids porté par le prisme de plus grande poussée 


HBE est exprimé par ph tung(: :) ; il faut donc sub- 


stituer Q + ph tang G :) à la place de Q dans les 
équations d'équilibre, ou, ce qui est la même chose, 
= wh?t + pht à la place de = olt. L'expression de la 


poussée devient ainsi 
D = (: oh + pur, 


celle de son moment, déduite au moyen des considé- 
rations indiquées ci-dessus, est 


: G SRE D) ke, 


et l’on a, pour l’épaisseur æ du mur, 


Voyez : Coulomb, Recueil de Mémoires. — Prony, 
Recherches sur la poussée des terres. — Magniel , 
Traité de la poussée des terres. 


PRÉCESSION DES ÉQUINOXES. (4stron.) La 
cause et les effets de ce phénomène ayant été suflisam- 
ment expliqués dans le deuxième volume de ce diction- 
naire, nous nous bornerons à rappeler les formules qui 
sont le plus en usage parmi les astronomes pour assi- 
guer les variations qu'éprouvent les ascensions droites 
et les déclinaisons des astres par suite de ce mouvement 


rétrograde de la ligne des équinoxes. 


410 PRÉ 


Lorsque, dans la théorie du mouvement de la terre 
dans son orbite, l’on considère le déplacement fort lent 
de cette courbe, et qu’on la rapporte à une écliptique 
fixe, telle que celle de 1750, on trouve que son obliquité 
sur celle-ci s'accroît proportionnellement au carré du 
temps, mais d’une quantité si petite, qu’il est absolu- 
ment inutile, pour l’objet que nous nous proposons, 
d’y avoir égard. Il n’en est pas de même de la varia- 
tion séculaire de l’angle que l'équateur céleste fait avec 
le plan de l’écliptique variable; car, depuis 1750 jus- 
qu’à ce jour, il a diminué progressivement de 0'48 par 
an. En général, soit  l’obliquité moyenne; celle de 
1790 s’élant trouvée de 28°28'18", on a, au bout de 
t années, 


w — 252818" — #4. 0',48568, 


en négligeant toutefois le terme dépendant du carré du 
temps, et dont le coeflicient négatif est extrêmement 
petit. 

Le mouvement de précession annuelle luni-solaire, 
estimé sur l’écliptique fixe, étant désigné par dl', on a, 
à partir de 1750, | 


dl = 50",37572 — +. 0',0002455890, 


tandis que la précession générale annuelle mesurée sur 
l’écliptique actuelle où variable est 


dl = 50',21129 + t. 0',0002442966. 


Maintenant, si l’on a recours aux formules différen- 
tielles (2) (1) obtenues à l’art. Nurariow, lesquelles ex- 
priment généralement les variations en ascension droite 
et en déclinaison, lorsque la longitude d’un astre et 
lobliquité de l’écliptique changent d’une très-petite 
quantité, on aura, en faisant ici do —0, puisque l’obli- 
quité moyenne peut être censée constante pendant un 
petit nombre d'années, on aura, disons-nous, 


dA = (cos +- sino tang D sin A)d, 
dD — sin w cos À . dl. 


Cependant il est à remarquer que la variation dA 
élant comptéé à partir de l’écliptique de 1950, il est 
nécessaire de lui faire une légère correction pour la 
rapporter à l’origine actuelle des ascensions droites; ce 
qui s'effectuera en diminuant cette variation de la petite 
quantité y = 0',17926. t. 

Il résulte de là que si lon fait 


M— COS w. dl — p, 
n —'sMmo eu, 


les formules de précession en ascension droite et en dé- 
clinaison seront respectivement 


dA — m + nsin À tang D, 
dD = n cos A. 


PRE 


Les coelliciens m, n, sont ce qu’on appelle les constantes 
de la précession, quoique, dans la réalité, elles varient 
un peu avec le temps. En effet, M. Bessel a trouvé qu’à 
partir de 1550 


| 


46",02824 — 0',00030865 . 4, 
n = 20",06/442 — 0°,00009702 . t. 


Voy. la Connaissance des temps pour 1829. 

Dans le catalogue contenant les positions moyennes 
des étoiles, le mouvement de précession est Compris 
sous la dénomination de variation annuelle, à partir du 
1°" janvier de l’année à laquelle se rapporte ce catalo- 
gue, et il a été calculé pour chaque étoile au moyen 
des formules précédentes. 

En terminant, nous ferons observer que l’obliquité 
apparente de l’écliptique est égale à l’obliquité moyenne 
augmentée du terme 9",426 cos N, en appelant N la lon- 
gitude moyenne du nœud ascendant de la lune. (Voy. 
NuTaTIoN.) 


(M. Puissant.) 


PRESSION. (Méc.) Les moyens généraux de déter- 
miner la pression des solides contre les surfaces qui les 
supportent ayant été exposés au mot FROTTEMENT, nous 
nous occuperons seulement dans cet article de la pres- 
sion des fluides dont l'évaluation est importante pour 
diverses questions d’hydraulique. Quant à l'emploi des 
pressions comme moteurs, il en a été question aux mots 
Force, Mouvemenr et Macnine. 

1. Considérons un liquide homogène renfermé dans 
un vase de forme quelconque et abandonné à lui-même. 
Il est évident que l’équilibre ne peut exister dans la 
masse liquide qu’autant que chaque molécule en parti- 
culier subit des pressions égales dans tous les sens de la 
part des molécules environnantes; car, si la pression 
était plus forte dans une certaine direction que dans la 
direction opposée, la molécule se mettrait nécessaire- 
ment en mouvement, Or, lorsqu'une masse liquide est 
en repos, on peut toujours supposer, sans rien changer 
aux conditions d'équilibre, qu’une de ses parties soit 
solidifiée; ainsi, en admettant que toute la masse de- 
vienne solide, à l’exception d’un petit canal vertical cd 
(fig. 6, PI. XX) qui contient une seule file de molé- 
cules, les pressions supportées par la dernière, d, de 
ces molécules, resteront les mêmes; mais la molécule d 
supporte le poids total de la file cd des molécules, donc, 
avant la solidification, elle supportait la même pression 
verticale, et puisque alors elle restait en repos, c'est 
qu’elle était pressée par le liquide inférieur de manière 
à faire équilibre à la pression verticale. Imaginons 
maintenant un petit canal cde toujours composé d’une 
seule file de molécules et allant aboutir sur une des 


parois latérales du vase ; la pression des molecules ren_ 


TT —— rm D PE CT 


PRE 


fermées dans le bras horizontal de sur la molécule d sera 
évidemment égale au poids des molécules renfermées 
dans le bras vertical cd, et il en serait encore de même 
si le bras de, au lieu d’être horizontal, était incliné. On 
peut donc conclure qu’une molécule quelconque d'une 
masse liquide éprouve dans tous les sens une pression 
égale au poids d’une colonne verticale du liquide qui au- 
rat pour base cette molécule et pour hauteur sa distance 
à la surface libre du liquide. N résulte de cette proposi- 
tion plusieurs conséquences remarquables : 

1° Tous les points d’une tranche horizontale quel- 
conque d’une masse fluide supportent la même pression. 

2° La somme des pressions supportées par une tranche 
horizontale est égale au poids d’un prisme liquide qui 
aurait pour base la surface de la tranche et pour hau- 
teur la distance de cette tranche au niveau du li- 
quide. 

3° La pression normale fg exercée par le liquide sur 
un point g d’une paroi inclinée BN est égale au poids 
de la colonne liquide verticale Ag, qui a pour hauteur 
la distance du point g au niveau du liquide. En effet, 
cette pression normale fg est celle que supporte la mo- 
lécule g en contact avec la paroi, et à laquelle la résis- 
tance de la paroi fait équilibre; et l’on vient de voir 
que les pressions d’une molécule, dans tous les sens, sont 
les mêmes que sa pression verticale. 

Si la paroï est horizontale, comme AB, il est visible 
que la pression exercée en un de ses points b est tou- 
jours égale au poids de la colonne liquide verticale ab. 

2. Nommant « l’aire d’une paroi, do son élément, 
z la distance de cet élément au niveau du liquide, et z 
le poids de l’unité de volume de ce liquide, le poids de 
la colonne verticale qui a pour base do aura pour ex- 
pression 


w Zdw, 


et comme, d’après ce qui précède, ce poids est égal à 
la pression normale que le liquide exerce contre l’élé- 
ment do de la surface , la pression totale supportée 


par la surface w sera 
fra, 


de sorte qu’en désignant cette pression totale par P, 
nous aurons l'expression fondamentale …. (a) 


= c fat 


dont nous avons donné ailleurs la déduction analytique. 
(Voy. HyprosrariQue, tome II.) 

3. Ceci posé, il est facile de voir que le “problème 
d'évaluer la pression d’un fluide contre une surface qui 
en est recouverte se réduit à trouver la valeur de de en 


PRE 411 


fonction de z et à effectuer ensuite l'intégration in- 
diquée. 

Examinons d’abord le cas le plus simple. Soit, la 
surface pressée, le parallélogramme ABCD (PI. XX, 
fig. 7) incliné d’une manière quelconque par rapport 
à l'horizon, mais dont les deux côtés AB et CD sont des 
lignes horizontales, Par un point quelconque Q de la 
base AB, menons une perpendiculaire QG, cette per- 
pendiculaire mesurera la distance des côtés opposés AB 
et CD et l'angle GQN qu'elle formera avec l'horizontale 
MN, sera l’inclinaison de ABCD sur le niveau inférieur 
du fluide. Nommons 


a le côté AB; 

b la longueur GQ de la perpendiculaire ; 

æ la distance GO d’un point quelconque O de la per- 
pendiculaire à son extrémité supérieure G ; 

la distance OE de ce même point O au niveau su- 


à 


périeur mn du fluide ; 
l’angle GQN. 


8 


Si nous partageons le parallélogramme ABCD en une 
infinité de tranches horizontales d’une largeur infini- 
ment petite, la pression sera la même sur tous les points 
d’une même tranche, et nous pourrons, conséquem- 
ment, considérer ces tranches comme les élémens de la 
surface. Or, la tranche abcd, qui correspond au point O, 
a pour aire ab X Op ou adx; car ab — AB —a, et 
Op est l'accroissement infiniment petit de GO = x; 
ainsi 


du — adx. 


Nommons À la distance FG de la base supérieure CD 
au niveau supérieur du fluide, et, menant GH parallèle 
à mn, observons que le triangle rectangle GHO, dans 
lequel l'angle HGO — GQN — x, donne 

HO — 0G.. sinx —æsin«, 
d’où il résulte 
EO = 3 = FG + HO = À + x sin «. 

Substituant ces valeurs de ds et de z dans l’équa- 

tion (a), elle devient 


L 
P— " | (: + æ sin cJaie, 
et l’on obtient, en prenant l’intégrale depuis ?—0 jus- 
qu'à æ = b, 
à 1 . 
P— 5: (arr + = ab° sin «) . 


expression dans laquelle il n’y a plus qu’à substituer les 
valeurs particulières des quantités @, b, k, « et x, pour 


obtenir la valeur numérique de P. 


412 PRE 


5. Si la surface ABCD était horizontale, l’angle « se- 
rait nul et la valeur de P deviendrait 


P — sabh, 


c’est-à-dire qu’elle serait égale au poids du prisme de 
fluide qui aurait ab pour base et k pour hauteur ; ré- 
sultat déjà obtenu quelle que soit la forme de la paroi 
(voy. tome IT, p. 95), et dont nous avons signalé les 
conséquences extrêmement importantes. 

4. Si la surface était verticale, l'angle « serait de 90°, 
et comme sin 90° — 1, il viendrait 


P —3 C2 + . ab). 


Dans le cas où le côté supérieur CD serait à fleur d’eau, 
c’est-à-dire au niveau de la surface supérieure du 
fluide, on aurait À — o, et la pression se réduirait à 


P — — sab?, 


1 
= 
Elle serait donc alors équivalente au poids de la moitié 
d’un prisme de fluide ayant la surface ab pour base et b 
pour hauteur. 

5. Proposons-nous, comme application, de déter- 
miner la pression qui a lieu sur les parois rectangu- 
laires d’un réservoir d’eau ABCD (PI. XX, fig. 8); en 
supposant que ce réservoir, constamment plein, soit 
un parallélipipède rectangle ayant 10 mètres de long 
sur 15 de large et 8 de hauteur. Les dimensions des 
deux plus petites parois seront ainsi 4a—10,b—=8, et 
celles des deux plus grandes a — 15 et b —8; le mètre 
étant l'unité linéaire, nous avons de plus 5 = 1000 ki- 
logrammes, et, par conséquent, 


Pression sur la plus petite paroi = = + 1000 X 10 X, 8? 


Bi 


k 
320000 , 


1000 X 15 X 82 


1 
Pression sur la plus grande paroi — A 


480000". 


I 


Dans la construction d’un pareil réservoir, il faudrait 
donc donner aux murs formant les parois des épais- 
seurs suffisantes pour résister à ces pressions. ( Voy. 
PoussÉE DES TERRES.) ? 

6. On nomme centre de pression le point où la résul- 
tante des pressions de tous les élémens de la paroi vient 
la rencontrer, et où, par conséquent, la pression totale 
peut être censée appliquée. Ce centre se confond avec 
le centre de gravité pour les parois horizontales dont 
tous les points sont également pressés; mais pour les 
parois latérales, comme la pression augmente avec la 
distance au niveau du fluide, le centre de pression est 
toujours plus bas que le centre de gravité. On déter= 


PRE 


mine sa position au moyen de la théorie des forces 
parallèles, en opérant de la manière suivante. Repre- 
nons l’expression générale 


P— as [Q + æ sin «)dæ, 
dont la différentielle 
dP = ax (h + x sin «)dæ 


représente la pression élémentaire qui a lieu sur l’élé- 
ment abcd (fig. 7). Or, si l’on multiplie cette pression 
élémentaire par la distance æ de l’élément à la droite 
CD, et qu’on fasse la somme des produits semblable 
pour tous les élémens, cette somme sera égale à la 
pression totale P multipliée par la distance de son 
point d’application à la même droite CD. Nommant 
donc t cette distance inconnue, on aura 


act fa — æ sin «)dæ = 45 fon — æ sin «)xdx, 


les deux intégrales étant prises depuis æ= 0 jusqu’à 
æ — b. Retranchant les facteurs communs & et x et 
intégrant entre les limites prescrites, on obtient 


__ 3hb + absin« 
7 6Gh+ Gbsine 


Connaissant la valeur de t, le centre de pression se 
trouve déterminé; car ce centre devant se trouver né- 
cessairement sur la ligne RS qui partage tous les élé- 
mens du parallélogramme en deux parties, si l’on prend 
Gt—t et qu'on mène to parallèle à CD, le point o où 
cette parallèle coupe RS est le centre de pression. 

7. Quand la paroi est horizontale, « est nul et la 
valeur de f se réduit à 


‘Il est facile de voir que cette valeur coïncide avec le 


centre de gravité, ce qui devait être. 

Si la base CD est à fleur d’eau, cas pour lequel k—0, 
on a simplement, quel que soit l'angle «, dont le sinus 
disparait, 

b 
3 


t= 


Ainsi le centre de pression d’un parallélogramme dont 
un des côtés est à fleur d’eau se trouve aux deux tiers 
de la droite qui joint les milieux des deux bases hori- 
zontales, à partir de la base supérieure. Ce résultat, 
dans le cas d’un rectangle, est identique avec celui que 
nous avons obtenu pour la poussée des terres. (Voy. 
ce mot.) 


PRE 


8. Si la surface pressée avait une autre forme que 
celle d’un parallélogramme , les procédés généraux de 
la détermination de la pression et de son centre de pres- 
sion seraient toujours ceux que nous venons d'indiquer; 
il n’y aurait de différent que le calcul relatif aux expres- 
sions particulières de x et de ds en fonctions d’une va- 
riable commune. Prenons pour exemplele trapèze ABCD 
(PI. XX, fig. 9), dont les deux bases parallèles AB et 
CD sont horizontales. Faisons AB — mi, CD —#, pro- 
longeons les deux autres côtés AC et BD jusqu’à ce 
qu’ils se rencontrent en un point Q, duquel nous abais- 
serons la perpendiculaire QH sur les deux bases paral- 
lèles. Imaginons par cette perpendiculaire un plan ver- 
tical qui coupe le fond du vase suivant l'horizontale MN 
et le niveau du liquide suivant !’horizontale mn. Enfin, 
partageons le trapèze en une infinité de tranches paral- 
lèles et horizontales d’une largeur infiniment petite; 
nommons ds l’une de ces tranches ab, z sa distance EO 
au niveau du liquide, x sa distance OH à la base supé- 
rieure CD, et nous aurons, comme ci-dessus (n° 2), 
pour l’aire de la tranche, ab X dx, et pour la pression 
qu’elle supporte 


ab X szdx. 


Il reste donc seulement à trouver la valeur de ab. Or, 
faisant QH = y, nous avons 


ab : CD — Q0 : QH, 
ou 
adb:n—=y—x:7y, 


ce qui donne 


ab = CIE =) . 
y 
Mais, quand x = GH — b, on a ab — AB — m; ainsi 
m ="), 
y 
d’où 
D: 
y n° 


Ainsi la pression sur l'élément ab est définitivement 
Loi 
5 (nb — nx + mx) zdx, 


et la pression totale sur le trapèze est l'intégrale de cette 
quantité prise depuis & = 0 jusqu'à x = b, 


PRE 413 


Pour pouvoir effectuer l'intégration, il faut encore 
exprimer z en fonction de æ. Menons donc HR paral- 
lèle à MN; désignons par « l’angle RHO égal à l’angle 
HGN d'inclinaison de la paroi, et par h la distance FH 
de la base CD au niveau du liquide. Nous aurons 


OR = OH. sinu — xsine, 
3 = ER + OR = h + xsine, 


d'où, définitivement, nommant P la pression totale 
= 2 (nb — nœ + mæ) (h + x sinx)dr. 


Intégrant entre les limites o et b, on trouve ..…. (b) 


Po (a 0h + m) GW (n + am)sina). 


Signalons, avant de passer outre, les conséquences 
de ce résultat. Si les deux côtés n et m étaient égaux, 
le trapèze deviendrait un parallélogramme, et l’on au- 
rait, comme ci-dessus (n° 2), en faisant m— n — a 


P— c (arr += ab sina). 


Si le côté AB — m était nul, le trapèze se changerait 
en un triangle d’une base n et d’une hauteur b, et la 
pression deviendrait 


P=5 (nor +ant sin a). 


Cette dernière formule donne le moyen de calculer la 
pression sur une paroi plane rectiligne quelconque; car 
toutes les figures rectilignes peuvent être décomposées 
en triangles. 

Si l’on veut connaître maintenant le centre de pression 
du trapèze, il faut observer, comme nous l’avons fait 
au n° 6, que la somme des pressions élémentaires mul- 
tipliées par les distances respectives æ des élémens au 
côté CD, est égale à la pression totale P multipliée par 
la distance de son point d'application à la même droite; 
de sorte qu’en nommant t cette distance inconnue, on 
a l'équation 


tP— nf (no — nt + me) (ht + x sin «)dr, 


ou, en intégrant le second membre entre les limites 
D— 0 %— 0, 


P—5S G b'h(n + 2m) + = b'(n + 3m)sin «). 


Substituant à P sa valeur (b) et tirant la valeur de t, il 
vient, toutes réductions faites, 


__ 2bh(n + 2m) + b?(n + 5m) sin « 


Ve 


6h (n + m) Æ 20 (n 5m) sin & 


41% PRE 
Ainsi, prenant sur GH, à partir du point H, la partie 
Hit, et menant {0 parallèle à CD, le point o où cette 
droite rencontrera la ligne menée par les milieux des 
côtés opposés AB et CD sera le centre de pression; car 
ce centre doit se trouver nécessairement sur la ligne 
des milieux et à une distance t de CD. 

Lorsque le côté CD est à fleur d'eau ou que k = 0, 


on a simplement 


_ b(n +53m) 
_ 2(n+em)? 


ce qui nous montre que la position du centre de pres- 


sion est alors indépendante de l’angle d’inclinaison & du 
trapèze. 

Si, le côté CD étant toujours supposé à fleur d’eau, 
l’on avait m— 0, et dans ce cas le trapèze deviendrait 
un triangle ayant son sommet au fond du vase, la ya- 
leur de { se réduirait à 


t—- 
52 


c'est-à-dire que le centre de pression occupe le milieu 
de la droite menée du sommet au milieu de la base. 

Dans le cas de n = 0, où le triangle a son sommet à 
fleur d’eau, on a 


c’est-à-dire que le centre de pression est situé aux trois 
quarts, à partir du sommet, de la droite qui joint ee 
sommet au milieu de la base. 

Il est facile de voir que, dans tous les cas, le centre 


de pression d’une paroi inclinée est plus bas que le. 


centre de gravité de cette paroi. 

9. On déduit facilement de ces résultats que lors- 
qu’un liquide est renfermé dans un vase prismatique à 
base horizontale, les centres de pression de toutes les 
parois latérales sont situés sur le polygone formé par 
l'intersection de ces parois et d’un plan parallèle à la 


è D DE: A s c 
base distant du niveau du liquide des 3» à partir de ce 


niveau, de la hauteur du liquide dans le vase. Dans un 
vase cylindrique, la ligue des centres de pression est un 
cercle. 

Pour un vase conique dont le sommet serait en bas, 
la ligne des centres serait un cercle situé à égale dis- 
tance du niveau de l’eau et du fond. Si le sommet était 


= 


S : : 3 
en haut, la ligne des centres serait placée aux z de la 


hauteur à partir du niveau du liquide. 

10. La propriété caractéristique des fluides en repos 
étant de transmettre dans tous les sens les pressions 
qu’on exerce sur eux, si la surface libre d’un liquide 


PRO 


éprouvyait uné pression quelconque, le centre de pres- 
sion d’une paroi ne changerait pas; mais il faudrait 
ajouter à la pression due au poids du liquide et consi- 
dérée comme appliquée à ce centre la totalité de la 
pression étrangère. (Voy. HyxprosrariQue, tome I. 
Voy. aussi, dans ce supplément, les mots Réacriox et 
RÉSISTANCE. ) 


PROJECTIONS DES SURFACES PLANES. La 
liaison qui existe entre les propriétés des momens (voy. 
ce mot) et celles des projections rend la considération 
de ces dernières très-utile dans les questions de haute 
mécanique, Nous indiquerons ici les propositions les 
plus importantes qui les concernent. Elles reposent sur 
le théorème fondamental suivant : 

1. Taéorkue. La projection d'une surface plane, sur 
un plan, est égale à l'aire de cette surface multipliée par 
le cosinus de son inclinaison sur le plan de projection. 

Une surface plane quelconque, rectiligne, curviligne 
ou mixtiligne, pouvant toujours être décomposée en 
triangles rectilignes finis ou indéfiniment petits, il suffit 
de démontrer que ce théorème a lieu pour un triangle. 
Soit donc ABC ce triangle (fig. ro, PL. XX) et A'B'C'sa 
projection sur un plan situé d’une manière quelconque 
dans l’espace. On sait que l’aire A'B'C' se trouve déter- 
minée par les pieds des perpendiculaires AA’, BB’, CC 
abaissées des sommets du triangle ABC sur le plan de 
projection ; ainsi cette projection A'B'C' peut être con- 
sidérée comme la base d’un prisme triangulaire tron- 
qué, dont les trois arêtes sont AA'BB'CC'. Or, le volume 
d’un prisme tronqué (voy. ce mot) est équivalent au 
tiers du produit de sa base par la somme des perpendi- 
culaires abaissées des trois sommets opposés sur cette 
base ; donc, comme ici les arêtes sont perpendiculaires 
à la base A'B'C’, nous avons : 


‘ : 1 L LL ‘ 
volume — aire A'B'C'X 3 (AA + BB'+ CC). 


Mais si nous renversons le prisme de manière que ABC 
devienne sa base (fig. 11, PI. XX), nous aurons encore, 
pour l'expression de son volume, 


1 4 , ; 
volume — aire ABC X 3 (A'a + B'b + C'e), 


A'a, Bb, C'e étant les perpendiculaires abaïssées des 
sommets A'B'C' sur la base ABC. Il en résulte évidem- 
ment .….. (a) 

4 
3 


— site ABC X ; (A'a + B'b + C'e). 


aire A'B'C' X 7 (AA°—Æ BB'+ CC') 


Observons maintenant que les angles respectivement 


PRO 


formés par les arêtes AA’, BB', CC’ et les perpendicu- 
laires A'a, Bb, C'e sont les mêmes, et que l’un quel- 
conque de ces angles, aA'A, mesure linclinaison des 
deux plans ABC, A'BC' (voy. GÉOM. AUX TROIS DIN., 
n° 50); de sorte qu’en désignant par « cêt angle d’in- 
clinaison, nous avons 


a —= angle aA'A — angle bB'B — angle cC'C. 


Menant, dans le plan ABC, les droites Aa, Bb, Ce, les 
triangles A'aA, B'bB, C'eC, respectivement rectangles 


en a, en b et en c, nous donneront 
A'a— AA'.cose, B'b — BB’. cosu, G'e— CC’. cos, 


d’où nous conclurons 
A'a=E Bb + C'e — (AA'<+ BB'+- CC') cos «. 


Comparant cette égalité avec (a), il viendra 
aire A'B'C' X Z (AA BB + CC') 
— aire ABC X x (AA' + BB'+ CC')cose, 


et nous obtiendrons définitivement, en supprimant les 
facteurs communs, 


aire A'B'C'— aire ABC . cos, 


ce qui est le théorème en question. 

2. On déduit immédiatement de cette propriété un 
théorème très-remarquable sur les projections, et dont 
voici l’énoncé : 

La projection d'une surface plane sur un plan est 
égale à la somme des projections de cette même surface 
sur trois plans coordonnés, multipliées respectivement 
par les cosinus des angles qui mesurent les inclinaisons 
du plan de projection sur les plans coordonnés. 

En effet, désignons, pour ne pas les confondre, par 
À et A’ deux plans situés dans l’espace, et nommons 
u, GB, y les angles que le plan A fait avec trois plans rec- 
tangulaires coordonnés, et «’, f', y les angles que le 
plan A fait avec les mêmes plans coordonnés. Si de 
l’origine des coordonnées nous abaissons une perpen- 
diculaire sur chacun des plans A et A’, l'angle de ces 
deux perpendiculaires mesurera l’inclinaison des deux 
plans ; et comme, en outre, les angles d’un plan avec 
les axes sont les mêmes que les angles de sa normale, 
nous aurons (Géo., n° 16), en nommant » l'angle 
d’inclinaison des plans À et A, 


COS 9 — COS « . COS& = cos 8. cos BG cos y. cos y’. 


Or, si nous représentons par } l'aire d’une surface plane 


renfermée daus le plan 4, et que nous multiplüons 


PRO 
par 2 les deux membres de l'équation précédente, il 
viendra ..... (b) 


415 


COS 9 — À C08& . COS& A cCOsB. ÉosE'+Icosy. cosy, 


relation qui constitue le théorème énoncé ; car, en vertu 
du théorème fondamental (1), à cos » est la projection 
de l’aire } sur le plan A’, et } cos #, } cos £» À cosy, ses 
projections sur les trois plans coordonnés, 

3. Pour généraliser ce dernier théorème, nommons 
),X,»', etc., des aires situées sur divers plans et projetées 
toutes sur un plan formant les angles 4, B, y avec les 
plans coordonnés, et désignons Pare 


ÿ Vinclinaison de l'aire À sur le plan de projection, 

a, D, c, les angles de l'aire À avec les plans coordonnés, 
9’, l'inclinaison de l'aire À sur le plan de projection, 

a, D, c', les angles de l'aire } avec les plans coordonnés, 
g' l'inclinaison de l'aire X sur le plan de projection, 

a, b',c', les angles de l'aire X” avec lés plans coordonnés, 


GEC- Eee lEICS.. ce 


Nous aurons, en vertu de la loi (b), 


À COS ÿ — À cos a cos æ + } cos b cos B +) cos e cos +, 
*'cos g —X cos a’ cos « + X'cos b'cos B+X'cos c’cos y, 
X'cos g'= cos a’ cos « + X cos b’ cos B + cos c'cos 7, 


etc. . —etc., 


d’où nous tirerons, en additionnant, 


cos 9 + X' cos # Æ X cos s etc. — 
— (à cos a + \ cos a + X cos a" + etc.) cos «, 
+ (cos b +) cos D Y co$ D etc.) cos £, 
+ ( cos e + X cos c'H-X" cos € + ete.) cosy, 


—+etc., 


expression que nous pourrons mettre sous la forme 
plus simple ..….. (c) 


P — À cos + B cos 6 + Ccos, 


en désignant par P la somme des projections des aires 
à, X', à", etc., sur le plan de projection, et par A, B, C 
la somme des projections de ces mêmes aires sur les 
trois plans coordonnés. Ainsi, quel que soit le nombre 
des aires }, \, X', ete., et leurs positions dans l’espace, 
la somme de ïeurs projections sur un plan quelconque 
est équivalente à la somme de leurs projections sur les 
trois plans coordonnés, muhipliées respectivement par 
les cosinus des angles qui mesurent les inelinaisons du 
plan de projection sur les plans coordonnés. 

4. Supposons que, sans rien changer à la position 
des plans coordonnés, on projette encore les aires 
1), l',ete., sur deux autres plans formant respective 


ment avec les plans coordonnés des angles «', re y et 


416 PRO 


a, £', 7, on aura évidemment, en nommant P et P'les 
sommes des projections sur les nouveaux plans... (c’) 


P'—Acosu + Bcosf + Ccosy, 
P'— A cos’ + B cos ff + C cos y. 


Joignant l'équation (ec) à ces deux dernières, Les élevant 
toutes trois au carré et additionnant, il viendra ..….. (d) 


PP? pP? + pi — A? (cos? « + cos? B + cos? y) 
+ B? (cos? f + cos? G' + cos? F') 
+ C£ (cos? y HE cos? y + cos? y) 
+ 2AB (cos « cos 5 + cos «' cos G 
—+ cos x cos G') 
—- 2AC (cos « cos y + cos «cos y 
+ cos «” cos y) 
+ 2BC (cos £ cos y + cos G' cos y 
— cos f' cos y"). 


Ceci posé, observons que «si les plans de projection 
P, P', P'étaient rectangulaires, on pourrait considérer 
leurs intersections comme trois nouveaux axes coor- 
donnés; mais alors les angles des nouveaux axes avec 
les anciens mesurent les inclinaisons des nouveaux 
plans coordonnés sur les anciens plans, et sont consé- 
quemment, d’après l'hypothèse &, 6, y; «', B', y; 
a, 5, J : de sorte que 


l'ancien axe des® fait avec les nouveaux axes les angles &, «', 2’, 


l'ancien axe des Ven ae MR An Tee les angles £, B'; (', 


A'ancientaxe des 20e selhneher eme .…. les angles y; 7 7» 
et l’on a (Géo., n° 153) les relations .…. (e) 


cos? « + cos? «+ cos? «& — 1, 
cos? 8 + cos G + cos! — 1, 
cos? y + cos? y cos? y — 1. 
De plus, l'angle formé par deux quelconques des nou- 


veaux axes étant droit, on a encore (G£om., n° 16) 


000 


COS & COS B + cos a’ cos B’ + cos «’ cos & — 0, 

COS « COS y + cos «COS y + cos « cos y = 0, 

cos B cos y + cos £'cos y + cos G' cos y — 0. 
Substituant ces valeurs dans l'expression (d), elle de- 
vient... (g) 


P? + P? EP A+ BE C?, 


ce qui nous apprend que la somme de projection des aires 
À À, X', élc., sur trois plans rectangulaires est toujours 
la même. 

5. Lorsqu’on projette successivement les mêmes aires 
2, X,\', etc., sur divers plans, la somme des projections 
Yarie nécessairement de grandeur en passant d’un plan 


PRO 


à un autre, et il doit conséquemment se trouver un plan 
sur lequel elle est la plus grande possible. L’équation (9) 
donne les moyens de déterminer la position de ce plan 
de la plus grande projection, et qu’on nomme ïe plan 
principal. En la résolvant par rapport à P, on trouve 


p=/[at+w+cp—r| 


Or, la plus grande valeur que puisse avoir la somme P 
des projections est évidemment lorsque P' et P’ sont 
nuls : ainsi cette plus grande somme des projections des 
aires }, X', X', etc., sera donnée par l’expression .….. (h) 


r=vy[a+w+c) 


et pour déterminer le plan sur lequel elle a lieu, il ne 
s’agit plus que de connaitre les valeurs des inclinaisons 
«; B, y du plan P correspondant à l'hypothèse (k). Ob- 
servons pour cet effet qu’en multipliant respectivement 
les deux membres des égalités (c) et (c') par cos«, 
cos x’, COS «”, il vient 


P cosu — À cos? « + B cos B cos « + G cosy cos «, 
P'cosu'— À cos? «+ B cos B'cos «+ C cos y'cos x’, 
P'cosa'= À cos? &'ÆB cos f'cos «+ C cos y'cos &’, 


d’où, en prenant la somme et en réduisant d’après les 
relations (e).et ([), 


P cosu + P'cosa + P'cosx = A, 


on trouverait de la même manière, en multipliant les 
expressions (c) et (c') par cos £, cos &', cos fr, 


P cos 8 + P'cos B + P'cosf = B; 


et en multipliant les mêmes expressions par cos y, 
cosy, COS y; 


P cosy + P'cosy + P’cosy = C. 


Mais, dans l'hypothèse P'—0, P'—0, ces dernières 
égalités se réduisent à ..... (i) 


A=Pcose, B—Pcosf, GC —P cos. 
Ainsi, 


COS «x — 


ml > 


B C 
, CO PR) COSy =D» 


ce qui devient, en substituant à P sa valeur (h),.... (k) 


COS x —= 19", NA MONS) 
VA + B? + C* 
cos 5 — APR 
VS ETS 
C 


PRO 


Done, lorsqu'on connaîtra la somme des projections 
A, B, C, sur trois plans rectangulaires quelconques, les 
expressions (4) détermineront immédiatement les in- 
clinaisons du plan de la plus grande projection, ou du 
planprincipal, par rapport à ces trois plans coordonnés. 
Comime cette détermination du plan principal ne dé- 
pend que des inclinaisons #, 5, y, on voit qu'il existe 
une infinité de plans principaux parallèles entre eux, et 
qu’en général la somme des projections d'un nombre 
quelconque d’aires est la même sur tous les plans pa- 
rallèles entre eux. 

6. Il est encore facile de voir que la somme des pro- 
jections des aires }, }', }”, ete., est la même sur tous les 
plans également inclinés sur le plan principal; car, en 
nommant Q la somme des projections sur un plan 
quelconque dont les inclinaisons par rapport aux plans 
coordonnés sont 4, b, e, on a, d’après la relation (c), 


Q = A cosa HB cosb + C cose. 


Mais si #, 8, y désignent toujours les inclinaisons du 
plan principal, on a aussi 


A—"Picose;, B—P'cos8, C — Pcosy, 


d’où, substituant ces valeurs dans l'équation précé- 
dente, 


Q— P (cos a cos « + cos b cos £ + cos c cos y). 


Or, la quantité cos a cos 4 + cos b cos 6 HE cose cos y 
est équivalente au cosinus de l’angle formé par le plan 
principal (x, 6, y) avec le plan quelconque (a, b, c); 
donc, nommant 0 cet angle d’inclinaison, la valeur de 
Q se réduit à 


Q— P cos, 


ou, remplaçant P par sa valeur (k), 
Q— cos0. V/A? + B? + C?, 


Cette dernière expression nous montre que la somme Q 
des projections est la même pour tous les plans qui 
font un même angle 6 avec le plan principal, et que 
cette somme diminue à mesure que l’angle 0 augmente. 
Lorsque 9 — 90°, on a cos 4 = 0, et, par conséquent, 


QE T0 


c’est-à-dire que la somme des projections est nulle sur 
tous les plans perpendiculaires au plan principal. 

7. Examinons comment toutes les propriétés précé- 
dentes des projections et du plan principal peuvent 
s'appliquer aux momens. 

Soit R une force représentée en grandeur et en di- 
rection par la droite AB (PI. XX, fg.12); si d’un point 

TOME 1. 


PRO JAT7 


quelconque O on abaisse sur AB une perpendiculaire 
OA — r, le produit 


OA Y AB ou rR 


sera le moment de la force R par rapport au point O 
(voy. MomexT, n°1); mais en menant la droite OB 
on forme un triangle rectangle OAB, dont l’aire est 


: NI < 1 DEN : 
égale à — OA X AB ou — rR ; ainsi l'aire de ce triangle 
2 2 


est équivalente à la moitié du moment de la force R,; 
et il en résulte qu'un moment peut toujours être re- 
présenté par le double de l’aire du triangle qui a pour 
base la force et pour sommet le centre des momens. 
Or, la projection du triangle OAB sur un plan mené 
arbitrairement par le centre O des momens est un autre 
triangle OA'B' qui a même sommet que le premier, et 
dont la base A'B', projection de la droite AB, peut re- 
présenter une force R’ différente de la force R repré- 
sentée par AB; donc la projection du moment de la 
force AB est équivalente au moment de la force A'B'. 
Par le point B', menons B'a parallèle à AB, et suppo- 
sons que la force R soit transportée parallèlement à 
elle-même au point B'; elle sera alors représentée par 
B'a — AB; de sorte que, si on la décompose en deux 
autres forces, l’une perpendiculaire au plan de projec- 
tion, et l’autre dirigée dans ce plan, la dernière compo- 
sante sera évidemment B'A’, et nous pourrons dire que 
la projection du moment d’une force quelconque est 
équivalente au moment de sa composante suivant le 
plan de projection. C’est sur cette propriété qu’est éta- 
blie la liaison des momens ayec les projections des sur- 
faces planes. 

8. En effet, soient R, R,, R,, R,, etc., des forces 
quelconques ; prenons sur leurs directions des droites 
proportionnelles à leur intensité, et considérons ces 
droites comme les bases d’autant de triangles ayant 
pour.sommet commun le centre O des momens, que 
nous prendrons pour origine des coordonnées, et pour 
hauteurs les perpendiculaires r, r,, r,,T,, abaissées du 
centre sur les bases R, R,, R,, etc. : les projections de 
ces triangles sur un plan formant les angles «, Bet y 
avec les axes, seront d’autres triangles ayant pour bases 
les projections R', R',, R',, R',, ete., des côtés R, R,, 
R,, etc., et pour hauteurs les perpendiculaires r', r,', 
r,;,7,, Cte., abaissées du centre O sur ces bases. 

Les aires destriangles dans l’espace seront ainsi... ({) 

. rR, : HAE : r,R;; etc.s 
et les aires de leurs projections sur le plan (x, 8, y) se= 
ront respectivement ..…... (m) 

cr'R, cris LUS etc. 


sn — 
x 


418 PRO 

Mais, d’après le théorème du n° 3, si nous dési- 
gnons respectivement par À, B, C les sommes des pro- 
jections des aires ({) sur les plans coordonnés, nous 
aurons 


ir A + Sri + : r,'R, + ete. = À cos « 
+ B cos 6 + Ccosy, 
ou 
TRELNR HR, + etc. = 2A cos« 
—+- 2B cos 6 + 2C cos 7. 


Ainsi, observant que les produits r'R, r,'R,', etc., sont 
les momens des forces R', R,', R’,, etc., et que les quan- 
tités 24, 2B, 2C représentent les sommes du double des 
projections des aires ({) sur les plans coordonnés, nous 


PRO 


en conclurons que la somme des momens des projections 
des forces sur le plan (x, 6, y), qui passe par l’origine, 
est égale aux trois sommes des momens des projections 
des mêmes forces sur les plans coordonnés, multipliées 
respectivement par les cosinus des inclinaisons du plan 
de projection. 

9- On trouverait par des substitutions semblables 
dans l’équation (g) que 

La somme des carrés des momens des projections des 
diverses forces par rapport à trois plans rectangulaires 
est constante. : 

Enfin les équations (i) feront connaître la position 
du plan sur lequel la somme des momens est la plus 
grande, et l'équation (h) donnera la valeur de la somme 
des momens sur ie plan principal. On nomme cette 
dernière somme moment principal. 


Q. 


QUA 


QUADRATURE. (Calcul intégral.) On désignait 
jadis sous le nom de méthode des quadratures la mé- 
thode de trouver les intégrales de la forme 


fau ; 


dans lesquelles X est une fonction algébrique de æ. 
Cette dénomination, employée encore par quelques 
auteurs modernes, vient probablement de ce que les 
premières recherches faites sur de telles intégrales 
avaient pour but la détermination des aires terminées 
par des courbes. Ainsi l’on disait qu'une solution dé- 
pendait des quadratures lorsqu'elle dépendait de l’inté- 
gration de fXdx : cette intégrale représentant généra- 
lement une aire quand X est la fonction de æ qui ex- 
p ime l’ordonnée y d’une courbe. (Voy. QuADRATURE, 
tome Il.) 


QUA 


QUANTITÉ D'ACTION. (Méc.) C’est l’action exer- 
cée par une force dans un intervalle déterminé de 
temps. On la représente généralement par le produit 
d’un poids et d’une hauteur, parce que l’effet d’une 
force mouvanté peut toujours être comparé à l’éléva- 
tion d’un certain poids à une certaine hauteur. Nous 
avous déjà suffisamment exposé les principes de cette 
manière d'évaluer la force des moteurs. (Voyez Force, 
n° 14 et 15, et CHEVAL.) 


QUANTITÉ DE MOUVEMENT. (Méc.) Produit de 
la masse d’un corps par sa vitesse actuelle. Ce produit 
représente l'intensité de la force qui agit sur le corps. 
(Voyez Force, n° 4.) On le nomnie aussi momentum. 
Nous avons exposé, tome IT, p. 598, le célèbre prin- 
cipe de d’Alembert sur les quantités de mouvement, au 
moyen duquel on peut ramener les problèmes de dyna- 
mique à de simples questions de statique. 


RAY 

RAYON DE COURBURE. (Géom.) Pour compléter 
ce qui a été exposé dans nos deux premiers volumes sur 
la courbure des lignes et des surfaces, aux mots Cour- 
BURE, DÉVELOPPÉE et RAxow, nous donnerons ici la dé- 
duction de la formule générale du rayon de courbure des 
sections planes d’une surface. 

Soit M (PI. XX, fig. 13), un point quelconque +, y, Z, 
pris sur une surface représentée par l’équation, 


OC; 19); 


MT une tangente de la surface à ce point et MO sa 
normale. Si l’on imagine un plan passant par les deux 
droites MT et MO, ce plan déterminera par son inter- 
section avec la surface (1 )une courbe AMB dont il s’agit 
- de trouver le rayon de courbure au point M. 

Observons, pour cet effet, que si l’on prend sur la 
courbe AB un point M' infiniment proche de M, la nor- 
male M'O de ce point M’ coupera la normale MO du 
point M en un point O qui sera le centre du cercle os- 
culäteur de la courbe AB en M, c’est-à-dire que MO 
sera le rayon de courbure demandé, et qu’il suffit, pour 
connaître sa grandeur, de déterminer les coordonnées 7, 
y,2z du centre O, car la distance des deux points M 
(æ, y, z), O (x', y x) est donnée par la formule con- 
nue (GÉOMÉTRIE AUX TROIS DIMENSIONS, n° 4), (2) 


MO=V/(—2) +(y—ÿ+G—2 


Or, le centre O est l'intersection de trois plans , sa- 
voir du plan de la courbe AB et des deux plans nor- 
maux consécutifs passant par les normales consécutives 
MO etM'O, ou simplement l'intersection de la normale 
MO par le plan normal au point M'; ainsi les valeurs 
des coordonnées æ, y, z qui satisferont à la fois aux 
équations dela normale et à l'équation de ce dernier plan 
seront précisémentles valeursde +’, y', z'. 

Représentons par 


, 


y =} 
les équations de la courbe AB, les équations de sa tan- 
gente seront (Voy. PLAN TANGENT) : 


4149 


RAY 
æ',y', z' désignant les coordonnées générales etæ, y, z, 
les coordonnées particulières du point M. Mais l’équa- 
tion du plan normal au point æ, y, %, étant nécessaire 
ment de la forme 


A (at — æ) + B(y — y) + C(x — 7) = 0, 


on a (GÉOMÉTRIE, n° 26) 


puisque ce plan est perpendiculaire à la tangente ; son 
équation devient donc... (3) 


(& — ad + (y — dy + (& — 2)ds = 0. 


Quant à l’équation du plan normal infiniment voisin, ou 
passant par le point M', elle se déduit très-aisément de 
la précédente, car il suflit d’y changer æ en æ + dx, y 
en y+-dy et z en z+- dz, ce qui donne... (4) 


(a — ad + (y — y)dy + (x — xd 
@— ae + (y — dy + (x — 58 
— dx? — dj? — d> 


= 0, 


Nous avons en outre pour les équations de la normale 
au point M... (5) 


Maintenant, si nous regardons les coordonnées géné- 
rales & y', 2’ comme les mêmes dans les équations (5), 
(4) et(5), elles représenteront les coordonnées du point O 
commun aux deux plans normaux consécutifs (5) et (4) 
et à la normale (5). Mais en vertu de l'équation (5), 
l'équation (4) se réduit alors à... (6) 


(a — 2) + (y —y)dy+ (x — 283 | 
— da? — dy? — dz° 


= 0. 


ainsi combinant cette dernière avec les équations (5)on 
en tirera (7) 


ss D del du? 

z DR Te pÜx — qd y : 
sh LL 

y VE dd: — pax == qd y , 

Fer ae — pd 


12 — pdiz — gd y * 


420 RAY 

en posant pour abréger 
dre : GA 4 
en MAILLE Free 


da? + dy? + di = dW. 


Substituant les valeurs (7) dans la formule (2), on ob- 
tiendra donc pour la grandeur du rayon de courbure 


MO, et en désignant ce rayon par p.….. (8) 


duV’i Ep + 
da px — qdy 


La variable q de cette expression étant fonction des 
deux variables indépendantes æ et y admet, dansles di- 
vers ordres, plusieurs dérivées partielles qu’on est dans 


l'usage de désigner par 
Q 8 


LE2,"0 ds 
d'z d'z d'3 
tr, = 8, 0 its 
dx? dædy dy° 


de sorte que ses différentielles totales du premier et du 
second ordre sont : 


dz — pdx + qdy, 
dx — dpdx + dqdy + da? + osdxdy + tdy”, 


+ 


remplaçant dans (8) dx par sa valeur il vient... (9) 


_ duWit+r FR 
8 yda? LE osdædy + tdy” 


Telle est l'expression générale du rayon de courbure de 
la section normale AMB; nous verrons plus loin com- 
ment on en déduit la valeur du rayon de courbure d’une 
section oblique (Voy. SEcr10x). 

On peut donner à l'expression (9) une autre forme en 
\ introduisant les angles #, B, 7, que fait la tangente 
MT avec les axes coordonnés. Il faut observer pour 
cela, que du n’est autre chose que la différentielle ou 
l'élément MM' de la courbe AB, et qu’ainsi l’on a les 


rapports 
da dy dz 
it DÉCERNÉ £s mis COL 


divisant donc par du’ les deux termes du second membre 
de l'égalité (9) et remplaçant les rapports par leurs va- 
leurs, on obtient (10) 


Vire 


= —; — - : 
PT root + 25 cos « cos £ Lt cos 6? 


dans laquelle les angles et £ sont liés par une relation 
particulière. En effet, les coordonnées de Ja courbe AB 


* 


REA 
doivent satisfaire non seulement à la condition géné- 
rale 


da? + dy? + de? = du, 
mais encore à l'équation différentielle de la surface 


dz — pdx + qdy, 


ce qui donne 
GE port + opqdady + (1 + gd = du. 


Divisant les deux membres de cette dernière équation 
par du? et substituant les cosinus aux rapports des dif- 
férentielles, on trouve... (11) 


(1 +- p°) cos? «+ 2pq cos « cos 6 + (1) co £— 1, 


c’est-à-dire quel’angle étant arbitraire, les deux autres 
angles 4 et5 ne peuvent varier qu'en restant soumis à la 
condition (11). 
Lorsqu'on veut n’employer qu'une seule indétermi- 
née dans l'expression (10) on pose... (12) 
cosG dy 


LE = SE —m 
cosz  dæ 


cette valeur substituée dans (10) et (11) conduit, par 
l'élimination de cos? «, à l'expression... (15) 


Vprere [tp tam (tan | 
D EE 
r + 25m + tm? 
c’est cette dernière dont nous avons fait usage au mot 
Omsizic. 


RÉACTION. (Phys.) Lorsqu'un corps agit sur un 
autre d’une manière quelconque, ce dernier agit sur le 
premier et lui rend une action égale et en sens con- 
traire que l’on nomme réaction. 

On avait admis de tout temps, comme un axiome de 
physique, qu’il n°y a pas d'action sans réaction; mais 
on ignorait que la réaction est toujours égale à l’action. 
C’est à Newton qu'est due la découverte de cette loi, 
dont l'existence peut être facilement constatée dans les 
phénomènes du choc des corps. On sait, en effet, que, 
dans la communication du mouvement par le choc, le 
corps choquant transmet au corps choqué une certaine 
partie de la quantité de mouvement dont il est animé; 
de sorte qu’en désignant par M la quantité primitive de 


mouvement du corps choquant, et par N celle qu'il. 


communique au corps choqué, ce corps choquant n’a 
plus, après le choc, qu’une quantité de mouvement re- 
présentée par M— N. Le résultat est donc absolument 
le même que si le corps choqué avait imprimé au corps 


choquant une quantité de mouvement — N, c'est-à- 


REA - 
dire une quantité de mouvement égale à N et dans un 
sens opposé à M ; mais le corps choqué a reçu en même 
temps, dans le sens de M, la quantité de mouvement N; 
donc l’action qu'il a exercée sur le corps choquant est 
égale et opposée à celle qu’il a recue de ce corps. Or, 
la quantité de mouvement acquise par le corps choqué 
est dite provenir de l’acrion du corps choquant, et la 
quantité de mouvement égale perdue par ce dernier est 
dite provenir de la RÉAcTION du corps choqué. Ainsi il 
est yrai que, dans toute communication de mouvement 
par le choc, la réaction est égale à l’action. Il est facile 
de voir à priori qu'il ne saurait jamais en être autre- 
ment; car, de quelque manière qu'un corps agisse sur 
un autre, il ne peut le faire qu'en consommant une 
partie de sa force précisément égale à celle qu’acquiert 
le second corps. ; 

MaACnines À RÉACTION. On désigne sous ce nom divers 
appareils hydrauliques mis en mouvement par la réac- 
tion d’une veine fluide qui s’écoule. 

Pour bien comprendre le jeu de ces machines, il faut 
se rappeler que, lorsqu'un liquide est en repos dans un 
vase, Les pressions qui ont lieu sur les parois opposées 
étant égales et contraires, se détruisent mutuellement 
et ne peuvent donner aucun mouvement au vase (voy. 
Pression.) Considérons, pour mieux fixer les idées, un 
vase rectangulaire (fg. 14, PI. XX) rempli d’eau jus- 
qu'au niveau mn, et observons que la pression qui a lieu 
en À sur une petite partie de la paroi verticale mp est 
égale au poids d’une colonne liquide qui aurait cette 
petite partie de paroi pour base, et pour hauteur la dis- 
tance Am du point À au niveau mn, Si cette pression 
agissait seule, elle tendrait à entrainer le point A, et 
par conséquent le vase, dans la direction de la ligne AD 
normale en À à la paroi mp}; mais comme, sur la paroi 
opposée ng, le point B placé vis-à-vis du point A est 
également soumis à une pression qui, si elle agissait 
librement, entrainerait le vase dans la direction BC op- 
posée à AD, ces deux pressions égales et contraires se 
détruisent; de sorte que le vase n'éprouve aucune ten- 
dance à se mouvoir horizontalement dans un sens ou 
dans un autre. Ce que nous venons de dire du point À 
s'applique évidemment à Lous ies autres points de la 
paroi verticale mp. Supposons maintenant qu'on pra- 
tique en B un orifice par lequel le liquide puisse s'é- 
chapper; la pression en A, qui ne sera plus contreba- 
lancée par la résistance de la portion de la paroi sup- 
primée, tendra à imprimer au vase un mouvement dans 
la direction AD, opposée à celle du jet, et en vertu de 
cette pression, le vase glissera sur la surface horizontale 
qui le supporte, si toutefois la résistance du frottement 
n’est pas plus grande que la force de pression. On peut 
vérifier ce phénomène en faisant flotter sur de l’eau tran- 


quille un petit vase plein d’un liquide quelconque et 


REA 421 
percé d’un petit trou à l’une de ses parois latérales, ou, 
mieux encore, en employant un appareil très-simple 
nommé tourniquet hydraulique : à l'extrémité d’un tube 
de verre, on soude en forme de T un autre tube plus 
étroit percé à son milieu d’un petit trou qu’on fait cor- 
respondre avec l'ouverture du premier, puis on recourbe 
les bouts de ce second tube perpendiculairement et en 
sens opposé, en les affilant en becs très-fins, et après 
avoir rempli d’eau le premier tube, on le suspend à un 
fil par son extrémité ouverte; l’eau coule dans le tube 
horizontal, jaillit par ses extrémités, et l'on voit aussi- 
tôt tout l'appareil tourner sur lui-même avec une 
grande rapidité. Les roues hydrauliques dites à réac- 
tion ne sont, en principe, que de semblables tourni- 
quets. 

Imaginons un gro; tuyau vertical, dont MN (PI. XX, 
fig. 15) est la base, et qui serait mobile autour de son 
axe À; à sa partie inférieure est adapté un tube hori- 
zontal percé en 4 d’un orifice. Quand cet orifice est 
fermé, si l’on remplit d’eau le tuyau vertical, le liquide 
arrive dans le tube horizontal ; mais l'appareil ne prend 
aucun mouvement, parce que l’équilibre des pressions 
latérales s’établitimmédiatement. Lorsque, au contraire, 
l'orifice & est ouvert, l’eau s'écoule, il n’y a plus de 
pression latérale en a, et la pression qui s’exerce en b 
à l’opposite pousse le tube dans la direction de & en b; 
le jet qui sort en a fait donc tourner, par réaction, la 
machine autour de l’axe C. Si nous supposons que plu- 
sieurs tubes semblables à BC et semblablement percés 
soient disposés autour de MN comme les rayons d’un 
cercle, nous aurons une véritable roue à réaction. 

Daniel Bernouilli a çonstaté par l'expérience que 
l'effort de la réaction, celui qui a lieu sur la partie b 
des tubes, est parfaitement égal à l'effort dont le jet 
sortant est capable, c’est-à-dire qu'il a pour mesure le 
poids d’un prisme d’eau qui aurait pour base l’orifice g 
et pour hauteur le double de la hauteur due à la vitesse 
de sortie. Ce résultat, indiqué d’ailleurs par la théorie, 
est une vérification directe de la loi de l'égalité entre 
l’action et la réaction. 

Euler, Bossut, Navier, et d’autres hydrauliciens, se 
sont livrés à une foule de recherches sur les circon- 
stances du mouvement et de l’action des molécules 
fluides dans les diverses parties d’une roue à réaction, 
Comme ce qu'il importe le plus de connaitre pour la 
pratique, c’est la limite de l'effet utile, nous nous con- 
tenterons ici de rapporter les considérations théoriques 
au moyen desquelles M. d’Aubuisson détermine cette 
limite. 

Considérons un vase cylindrique ABCD (Pi. XX, 
fig. 16) contenant de l’eau jusqu’en IK , et auquel on 
imprime un mouvement de rotation uniforme autour 
de J’axe vertical EF, L’eflet de ce mouvement étant 


422 RÉA 


d'imprimer une force centrifuge aux molécuies fluides, 
la surface de l’eau quittera la forme plane et horizon- 
tale; elle s’abaissera vers le milieu O, s’élèvera vers les 
bords, et prendra enfin dans sa coupe verticale la forme 
courbe GOH, dont il s’agit de reconnaître la nature: 


1 


Observons, pour cet effet, que, puisque le mouve- 
ment de rotation est uniforme, la surlace fluide aura 
une figure permanente, et par conséquent que les mo- 
lécules liquides seront en équilibre, Ces molécules se- 
ront donc également pressées dans tous les sens; de 
sorte que si l’on prend sur l'horizontale OR une mo- 
lécule quelconque P, elle sera autant pressée de haut 
en bas par le filet vertical MP, que de droite à gauche 
par le filet vertical PR, ou de gauche à droite par le 
filet vertical OP, Or, sinous imaginons qu’à l'exception 
des deux filets MP et OP, toute la masse fluide devienne 
solide, rien ne sera changé aux conditions de l’équi- 
libre, et nousn’aurons plus à considérer que les actions 
de ces deux filets sur la molécule placée en P à l'angle 
du petit canal OPM, qui les contient. Pour ce qui con- 
cerne le filet MP, puisque la force centrifuge qui agit 
sur ses molécules est dirigée perpendiculairement aux 
parois du petit canal, elle est détruite par leur résis- 
tance; ainsi les molécules de ce filet n’ont d’autre ac- 
tion en P que ceie qui résulte de leur gravité, et par 
conséquent la pression en P est égale à la somme de 
leur poids. Si nous désignons par m la masse d’une mo- 
lécule et par g la force de gravité, mg représentera son 
poids, et comme la hauteur mP — x peut représenter 
la somme des molécules du filet, le poids total sera 


myx. 


Pour ce qui concerne maintenant le filet OP, puisqu'il 
repose sur un plan horizontal, l’action de la gravité sur 
ses molécules est détruite; ainsi il ne peut agir en P 
que par l'effet del a force centrifuge; mais cette force 
anime chaque moecule liquide du filet OP d’une ma- 
niere très-différemte ; elle croît, à partir du centre O de 
rotation, où elle est nulle, jusqu’au P, où elle est la 
plus grande proportionnellement à la distance au centre. 
En général, si y représente la distance au centre O d’une 
molécule mn, et v sa vitesse de rotation, l'expression de 


sa force centriluge sera 


ou plus simplement 
muy", 


en désignant par w la vitesse angulaire du filet OP. - 
Nommant donc y la distance totale OP, nous aurons 


mwy pour la force centrifuge de la molécule placéeerP, 


+ RÉA 


et comme les forces des autres molécules décroissent en 
progression arithmétique, ainsi que les distances aux- 
quelles elles sont proportionnelles, la somme de toutes 
ces forces sera 


muy X à = à mon , 

2 2 : 
Cette somme étant celle des efforts que font les molé- 
cules du filet OP pour se porter de O en P, oupour 
presser ce dernier point, doit être équivalente à la pres- 
sion mgæ exercée sur le même point P par la colonne 


à 1 
verticale MP ; donc — mw°y? = mgx, ou 
2 


équation qui nous apprend que la courbe OMH est une 
parabole conique dont le paramètre est _ 

Pour appliquer ce résultat aux roues àréaction, sup- 
posons qu’au point R, sur le prolongement de OP, on 
ait pratiqué un orifice par lequel l’eau sort du vase pen- 
dant qu’il tourne; supposons en outre que le vase re- 
çoive constamment autant d’eau qu'il en perd. Nom- 
mons À et H° les coordonnées OR et HR du point R et 
v sa vitesse de rotation, qui sera égale à Aw, en nom- 
mant toujours w la vitesse angulaire du rayon OR. L’é- 
quation (1) devant être satisfaite lorsqu'on y fait y—A, 
æ=— H/, nous avons 


ae 
A? —= w° H , 
et par suite, 
AE 
HE 
22) 


C'est-à-dire que la hauteur à laquelle la force centrifuge 
élève l’eau au-dessus de l’orifice R ouvert au niveau de 
O est égale à la hauteur due à la vitesse de rotation de 
cet orifice; mais H est aussi la charge en R; donc la 
vitesse de l’écoulement qui est due à cette charge, sera 
égale à la vitesse de rotation de l’orifice. 

Si l’eau était fournie au vase par un tuyau ayant 
même axe, d’une section horizontale considérablement 
plus grande que celle de l’orifice de sortie, et dans le- 
quel le fluide se maintiendrait en L, pendant la durée 
du mouvement de rotation, l’eau sortirait en R eu 
vertu de la hauteur Het de la hauteur de la nouvelle 
charge LO, que nous désignons par H. Aïnsi la hauteur 
due à la vitesse de sortie serait H'— H, et lavitesse d’é- 
coulement serait ; 


ETCEA UE 


{ 


| 


RÉA 


ou 
v + V’2H, 


puisque V/2gH' — ». 

Admettons maintenant qu'un obstacle physique, tel 
qu'un diaphragme horizontal placé dans le vase un peu 
au-dessus du point O mette obstacle à l'élévation du 
fluide au-dessus de l’orifice R, l'effort H résultant de la 
tendance à s’élever ou de la force centrifuge n’en aura 
pas moins lieu, n’en produira pas moins son effet sur la 


vitesse de sortie, qui sera toujours © +V/2gl. 

Ceci posé, voici les conséquences qu’en tire M. d’Au- 
buisson pour l'effet des roues à réaction. 

On sait qu'en nommant P le poids de l’eau dépensée 
dans l'unité de temps et H la hauteur due à la vi- 
tesse de cette eau, sa force est représentée par PH (voy. 
Eau morrice). Or, dit M. d’Aubuisson, pour que la 
roue prit la force entière. PH du moteur, il faudrait 
qu'après qu’on lui aurait donné la hauteur H, l’eau y 
entrât et la parcourût sans éprouver de changement 
brusque de vitesse. Afin qu’il en soit ainsi, on évasera 
autant que possible l'entrée des tubes, on les courbera 
de manière que leur extrémité soit perpendiculaire au 
rayon de la roue, et l’on fera sortir l’eau par cette ex- 
trémité, comme on le voit à la figure 17, PI. XX. Il 
faudrait, en second lieu, que la vitesse absolue du 
fluide, au moment où il abandonne la roue, fût nulle, 
et par conséquent que sa vitesse relative, dans ce même 
moment, fût égale et directement opposée à celle de 
l’orifice de sortie. En appelant v cette dernière et ob- 
servant, d’après ce qui vient d'être dit, que celle du 


fluide sortant est v + V/29H, il faudrait que l’on eût 
ù = 0 + V/2gH. 


Cette condition ne saurait être remplie qu’autant que H 
serait nul, ou que v serait infiniment grand. Or, le pre- 
mier cas ne peut exister; l’effet est d’ailleurs propor- 
tionnel à H; le second ne peut encore avoir lieu, mais 
on peut en approcher. Concluons donc que l'effet dy- 
namique d’une simple roue à réaction sera d'autant 
plus grand qu’elle se mouyra plus vite, sans que, dans 
aucun cas, il puisse être PH, valeur qu'il atteint, en 
théorie, dans les roues à aubes courbes. 
Ces considérations théoriques sont loin, sans doute, 
’être rigoureuses, mais elles font du moins connaître 
les conditions sous lesquelles on peut espérer le plus 
grand effet utile possible; et il en résulte que la pro- 
priété caractéristique des roues à réaction est entière- 
ment opposée à celle des roues à augets; car, dans ces 
dernières, le maximum d’effet correspond au minimum 
de vitesse. On ne peut donc employer avantageuse- 
ment les roues à réaction que lorsqu'on a des chutes 


REC 423 


d’eau très-élevées; dans le cas contraire, les roues à 
augets, qui produisent en général un plus grand effet 
utile, seront toujours préférables. La danaïde (voy. ce 
mot) de M. Manoury d’'Hectot était considérée comme 
la meilleure machine à réaction avant l'invention de la 
turbine à réaction (voy. Turmixe) de M. Burdin. 

On a essayé d'appliquer le principe de la réaction 
aux machines à vapeur, mais jusqu'ici toutes les tenta- 
tives ont été sans succès. 


RECEPTEUR. (Méc.) On nomme en mécanique or- 
gane récepteur celui qui, dans une machine quelconque, 
recoit immédiatement l’action du moteur. 


RECTIFICATION. (Géodésie.) La différentielle ds 
d’un arc d’ellipse en fonction de l’abscisse x prend une 
forme très-commode pour les applications de la géo- 
désie, lorsqu'on exprime cette abscisse en fonction de 
la latitude du point auquel elle appartient, et qu’on veut 
assigner la longueur d’un arc de méridien. D'abord, en 
appelant } cette latitude ou l’angle que la normale en 
ce point fait avec le plan de l’équateur, et remarquant 


dy L 
que == — cot},ona 


dx 
Lan dé pe 
ds — — æl/ + Pi — dei + cos 


lorsqu'on prend l’origine de l’arc s à l'équateur même, 
D'un autre côté, l'équation de l’ellipse rapportée à son 
centre étant 


ay? LL bat — a?, 


on entire, par la différentiation, 


et l’on a alors deux équations entre æ et y, qui don- 


nent, toutes transformations faites et à cause de 
EEE b? 
eu a QUE - 
de? 
a cos } a(1 — e:) 
EE 
V/à — € sin?} rte 


e? étant par conséquent le carré de l’excentricité d’une 
ellipse dont le demi-grand axe est l'unité. 

Maintenant, si l’on différentie la première de ces va- 
leurs, on aura 


_— INT: 
SAUT ax En 


424 


et, par suite, 


REC 


a(1 —e?)d) 
ds — se(R ne) : 
(1 — € sin?))° 
Si ensuite on intègre entre les limites zéro et }, il 
viendra ..…... (1) 


8— «(1 —e) [ma — = n sin 2). + GP sin 2. | : 


série dans laquelle 


D 
m cé DEA 
She LEA 
don + 5° RS 
10 
Ses Tim Aa 


ou bien, prenant l'intégrale entre les limites X et }', et 
faisant pour abrèger 1—}=9Y, 1H) =%, on 
aura... (2) 


s— a(i—e) [men sin y cos p LP sin 29C0S ».….]. 

Pour faire servir cette formule à la rectification d’un 
arc de méridien mesuré par une chaine de triangles, il 
faut déterminer exactement l’amplitude géodésique de 
cet arc, c’est-à-dire le nombre de degrés et parties de 
degré qu'il contient, en calculant de proche en proche, 
par les formules de la Trigonométrie sphéroïdique (voy. 
ce mot), les différences de latitude des sommets des 
triangles dont il s’agit; ce qui exige alors qu’on pousse 
l'exactitude jusqu'aux termes du tréisième ordre inclu- 
sivement, afin d’avoir ces différences à un ou deux cen- 
tièmes de seconde près. 

Par exemple, les opérations géodésiques de MM. Biot 
et Arago, faites en Espagne pour prolonger la méri- 
dienne de France jusqu'à l'ile de Formentera, ont 
donné lieu à de très-grands triangles qui ont été cal- 
culés par nos soins au Dépôt de la guerre, et l’on a eu 
en degrés centésimaux 


L3 
Latitude géodésique de Montjouy ....... sé 45°,9599",30 
Latitude géodésique de Formentera........ . 42, 9626, 24 


On a eu, en outre, par parties et par un 

milieu. ...... Dos oero uen o— 2°,9074',89 
le tout en supposant la terre un ellipsoïde de révolution 
dont l’aplatissement — Bu ; et comme la formule (2) 
peut se mettre sous cette forme 


= Vo — V'sin o cos ® + V'sin 29 cos 2#; 


que, de plus, Log a = 6,8046154, & étant exprimé en 


REC 


mètres, il est facile de s'assurer qu’en prenant le degré 
centésimal pour unité, il vient 


logarithmes auxquels il faut ajouter 9.7101800 pour 
avoir l'arc s en toises, et dont le premier serait 
Log V — 4.9542758 si l’amplitude » était donnée en 
degrés. Faisant le calcul, qui ne présente aucune diffi- 
culté, l’on a enfin 


8 — 155674. 


Telle est la valeur que nous avons assignée définitive- 
ment à la distance méridienne de Montjouy à Formen- 
tera, contrairement à celle de 153605 ,2, rapportée 
dans la Base du système métrique décimal par suite d’une 
erreur de calcul. (Voy. page 35 du tome I de la Nou- 
velle description géométrique de la France, ou le tome 
XVI des Mémoires de l'Institut, page 455.) 

Si dans l'équation (1) l’on nomme Q ce que devient 


s lorsque la latitude } est de 90° ou -7, x désignant la 


Dim 


demi-circonférence d’un cercle ayant l'unité pour 
rayon; le quart du méridien elliptique aura pour ex- 
pression ..…. (3) 


1 1 1 3 
= ai — 6) mr = =ra| 1 — ee —— ct... 
Q ( A ) 2 2 Tr ( 4 64 ): 
et en divisant celle-ci par (2), il viendra ...…. (4) 
= TS 
Q — _ en LE en, dns 
d 7 sin o cos + + 2 P sin »y cos 29 | 
LR Len © PE GRR 
autre expression dans laquelle 
n : 3 3 15 
== e + Sous pes c! 
m 4 &) m 6% 


Ainsi, lorsque l’arc s et l’excentricité e de la terre sup- 
posée elliptique seront connus, le quart du méridien 
s’obtiendra aisément. Par exemple, la valeur ci-dessus 
de cet arc étant combinée avec celle de l’arc du méri- 
dien mesuré sous l’équateur, on trouve l’aplatissement 


1 
de la terre de 305 


5151658". (Voy. ApcanissemENT.) Ainsi, d'après cette 
y P 


et le quart du méridien de 


dernière détermination, le mètre, considéré comme la 
dix-millionième partie de la distance du pôle à l’équa- 


en re 
5"o! 11,375, c’est-à-dire un peu plus 


teur, serait de 
long que le mètre légal fixé par les lois françaises à 
5" 0" 11 ,296 de l’ancienne toise de l’Académie prise à 


13 degrés de Réaumur. 


drame: 


REC 
Il est facile de s'assurer que si l’on prend le loga- 
rithme de chaque membre de la série (3), l’on aura 


g = 0,4542945 étant le module des tables. Ainsi, ré- 
ciproquement, 


2Q 1 
Log a = Log — +» É ou + me) 


lorsqu’au lieu de e? on met sa valeur 24 — 4? # étant 
l'aplatissement de la terre. (Voy. ce mot.) De même, à 


cause de b— ai —€#,0ona 


T 


) " 
Log b — Log © — à (: æ + 6 au), 


et comme le rayon terrestre est exactement 


on obtient avec un peu d'attention cette série 


20 AT 
Log r — nine tr gte 


1 1 = J c 
2 n° AG n2 4 4) 
—- = — sin = y). Sin. 
me sin} + pe À me ñ 


laquelle rentre dans les deux dernières, en faisant suc- 
cessivement À} — 0 et } — 90°. 

Le rayon p de courbure d’un arc de méridien, en 
un point dont la latitude est }, étant déterminé de gran- 
deur par l'intersection de deux normales consécutives 
au même point, il est évident que le triangle infinité- 
simal formé par ces deux lignes et par l’arc ds donne 


ds 
D pe; partant 


root) 


2 ein? 1? 
(1 — e? sin? )) 


et si l’on désigne par M l’arc d’un degré du méridien, 
l'on aura 
T a (1 —e;) 
M—<. ns 
180 RU TASE 
(1 — e? sin?) 


ou, réduisant en série et ne conservant que les termes 
en &?, 


résultat qui fait voir que, sur la terre, les degrés des 
méridiens croissent à très-peu près comme les carrés 
des sinus des latitudes correspondantes, en allant de 
l'équateur vers Les pôles, Il ne faut pas croire cependant 
Tom. 11. 


RÉE 


que cette loi se vérifie constamment ; car les irrégulari- 
tés de notre globe, qui se manifestent en différens 
lieux, la troublent quelquefois d’une manière très-sen- 
Sible. (Voy. FIGURE DE LA TERRE.) 

(M. Puissant.) 


425 


RÉFRACTION TERRESTRE, (Géodésie.) Les ob- 
jets situés près de la surface de la terre et vus de loin 
paraissent ordinairement plus élevés qu’ils ne le sont 
effectivement, parce que la trajectoire lumineuse qui en 
transmet l’image tourne sa convexité vers le ciel. (Voy. 
RÉFRACTION ATMOSPHÉRIQUE , tome IL.) Par exemple, 
l’objet D (PI. XX, fig. 18), observé du point A à la 
distance de 12000" au moins, est vu en D’ par l’effet 
de la réfraction, c’est-à-dire suivant la tangente AD’ à 
la trajectoire AMD, et l'angle D'AD est la mesure de 
cette réfraction. = 

Comme la courbe que décrit la lumière a peu d’é- 
tendue, on la remplace par son cercle osculateur, et 
alors l’angle de réfraction DAD' ayant pour mesure la 
moitié de l’arc AMD, est sensiblement proportionnel à 
la distance horizontale AB, interceptée entre les deux 
verticales des points A, D. Si donc r désigne la réfrac- 
tion, et que C soit l’angle de ces deux verticales, on 
aura généralement 


r—=nC, 


ñ élant un Coeflicient constant pour le même état de 
l’atmosphère et variable avec lui. Pour en déterminer 
la valeur par ‘observation, appelons à la distance zéni- 
thale apparente ZAD', et 5’ la distance zénithale appa- 
rente Z'DA”; et supposons que ces deux distances réci- 
proques soient prises au même moment par deux ob- 
servateurs , afin que les circonstances atmosphériques 
soient les mêmes de part et d’autre (voy. Arriruve). 
Les distances zénithales vraies seront respectivement 
d+r— ZAD et + r— ZDA; puisque, par suppo- 
sition, la réfraction élève les objets À, D d’une même 
quantité; et le triangle ACD offrira nécessairement 
cette relation 


ro Er—180 lc, 
laquelle donne | 
Gosu 
PR, est + à). 


Ainsi l’on a 


Telle est l’expression trigonométrique du coefficient de 

la réfraction. Pour l’obtenir numériquement , on éva- 

luera en secondes l'angle au centre de Ja terre C, au 
>4 


426 RÉF 


moyen de l'arc AB — K donné par la triangulation, et 


‘on aura C = =——— » R — 6566198" étant le rayon 
one R sin 1° ? 9 y 
terrestre. 

Les opérations trigonométriques ont fait connaître 


que dans l’état moyen de l'atmosphère n — 0,08; la 
réfraction est donc environ “- de l’are qui mesure la 
distance à laquelle se voient les objets. La Base du sys- 
tème métrique décimal, par Delambre, offre pour la 
première fois un grand nombre d'exemples de cette dé- 
termination. 

C’est aussi par le jeu des réfractions, souvent si déré- 
glées dans les basses régions de l'atmosphère, que la va- 
leur de n est quelquefois négative, et que se manifeste 
en certains lieux échauffés par la présence du soleil, le 
phénomène singulier connu sous le nom de mirage. 
(Poyez un mémoire de M. Biot ayant pour titre : Àe- 
cherches sur lesréfractions extraordinaires qui s'observent 
près de l'horizon.) 

La théorie de la réfraction terrestre étant une consé- 
quence de celle des réfractions atmosphériques en géné- 
ral, c’est principalement dans le livre X de la Mécanique 
céleste que le lecteur verra sur quelles considérations 
physiques et analytiques elle est fondée. Quant à ses 
applications , elles sont l'objet d’une note que nous 
avons insérée dans le Compte rendu des séances de l'Aca- 
démie des sciences (15 mai 1857), et subséquemment 
dans le deuxième volume de la Nouvelle description géo- 
métrique de la France, page 24; nous en donnerons 
bientôt une idée. 

Nous ne terminerons pas cet article sans faire voir 
comment on pourrait déterminer avec une certaine pré- 
cision les hauteurs relatives d'une suite de sommités 
visibles les unes des autres, en observant simplement 
les distances zénithales réciproques de ces sommités 
comparées une à une, mais dans des circonstances at- 
mosphériques très-favorables. 

D'abord on remarquera que la formule donnée au mot 
Acrirupe, et par laquelle on calcule la différence de ni- 
veau de deux stations, à l’aide de leurs distances zéni- 

thales réciproques, peut, en développant le dénomina- 
teur, se mettre sous cette forme (1) 


2R tang : C tang : (9° — à) 


puisque R étant le rayon moyen de la terre, on a 
CE. | , : : 
K—2Rsin : C, l'angle C étant celui des verticales 


des deux stations. Or il existe entre cet angle, les dis- 
tances zénithales apparentes 5, d'et les réfractions cor- 
respondantes r,r', la relation (2) 


Sd +r+r = 180 +C, 


RÉF 


et comme généralement r—nC, r =#C d’après ce 
qu’on vient de démontrer, il est évident que l’on a, en 
supposant 7 —=T', 


1 ’ 

go — À (3-3) 
cree 
ON — 1 


) 


& | = 


ainsi, sans erreur sensible 


cot : (+5) 
tang = C — EE 

Il suffit donc de connaître le coefficient n de la réfrac- 
tion pour pouvoir évaluer l'angle C des verticales, et 
par suite la différence de niveau (1). On s’écartera très- 
peu de la vérité en supposant n — 0,08 comme nous 
l'avons dit ci-dessus; et l’on pourra même, à cause de 
la petitesse de C et de la demi-différence des distances 
zénithales, réduire la formule (1) à la suivante (2) 


2R cot + (à + à) 


dE — 


ES: tang : (9° — à). 

Ce procédé mériterait d'autant mieux ’être employé 
dans une exploration scientifique, qu'il procurerait le 
moyen de niveler promptement, à peu de frais, et avec 
un certain succès, les hauteurs relatives de tous les 
points qui offriraient le plus d'intérêt aux géologues : 
c’est même en suivant cette marche que l’on obtiendrait 
d’une manière approchée les distances respectives des 
objets qui auraient été observés ; puisqu'elles se dé- 
duiraient naturellement de cette expression 


F=2R on 
2 


Quoique la théorie physique de la réfraction terrestre, 
telle que Laplace l’a exposée au livre X de la Mécanique 
céleste, laisse encore à désirer pour être en parfaite har- 
monie avec les phénomènes naturels, elle ne conduit pas 
moins à des résultats très-satisfaisans dans tous les cas où 
l’état de l'atmosphère s’écarte peu de l'hypothèse de cet 
illustre géomètre. Par exemple, il a démontré que le 
coefficient de la réfraction, que nous avons désigné ci- 
dessus par n, et qui est proportionnel à la densité de l'air 
dans le lieu de l'observation, a pour expression 
1 


n 


n —= 


r 
PP;? 


en appelant P le pouvoir réfringent de l’air, p sa densité, . 


r le rayon de terre supposée sphérique, et l le rapport 
de la densité du mercure à celle de l'air, multiplié par 
la hauteur du baromètre dansle même lieu; auquel cas 
1— 7960. (Géodésie, tom. II, p. 25; voyez aussi le 
supplément à cet ouvrage, p- 18.) 


1 
| 
| 


REF 

Toutefois, il est plus exact de multiplier l'expression 
précédente de n par le facteur (1— 1) dans lequel + est 
un coeflicient dépendant de la loi du décroissement de 
la chaleur dansl’atmosphère, coefficient en général très- 
yariable, mais que l’on peut supposer ordinairement 
égal à 0,00001593, d’après M. Plana. D’un autre côté, 
selon les expériences très-précises de MM. Biot et Arago, 
l’on a à Paris 


1 


ge — 0,00014713, 


sous la pression 0°, 76 et à la température zéro, l’air 
étant parfaitement sec; et comme d’ailleurs 


h 


F7 07,76 (1 + 03003751)? 
en désignant par k, la hauteur du baromètre réduite à la 
même température zéro, par { la température actuelle 
de l'air; et le coefficient def, sayoir 8— 0,00575, étant 
la dilatation d’un volume d’air pour un degré centigrade ; 
on a très-approximativement 


Log n — 3.09095 + Log h, — Log (1 + ft) 


+ Log G — 00000134) 


et 
Log ; — 6.09909 — Log (1 + Gt); 


mais il faut réduire préalablement à zéro de température 
la longueur k de la colonne mercurielle du baromètre, 
c'est-à-dire faire 


t' désignant la température indiquée par le thermomètre 


du baromètre, et f— — 0,00018 étant la dilata- 


1 
5550 
tion cubique du mercure. 

C’est en déterminant ainsi le coefficient de la réfrac- 
tion que les différences de niveau par les opérations tri- 
gonométriques accompagnées de mesures barométriques 
contemporaines, peuvent s’obtenir souvent avec un de- 
gré de précision suflisant, en faisant seulement usage 
de l’une des distances zénithales des deux objets mis en 
comparaison. Pour en donner un exemple , choisissons 
quelques-uns des élémens angulaires et météorologiques 
recueillis au Mont-d’Or et au Puy-de-Dôme, à l'occasion 
de la mesure d’un arc de parallèle (Nouvelle description 
géométrique de la France, tom. XL, p. 650.) 

1° Au Mont-d'Or, en septembre 1811, après 20 ré- 


REF 427 


pétitions, on a eu pour la distance zénithale du Puy-de- 
Dôme, réduite au sommetdu signal... Z—90°55'48",54 


Alors le baromètre marquait, , 0%,59605 — h 
le thermom. du barom, , —L14°,55 — # 


+ +129 


De plus, par la triangulation l’on a eu 


1 


le thermomètre libre . 


Log K — 4. 4709248, 


K étant la distance horizontale comprise entre les deux 
signaux. Si donc on désigne par C l’angle des verticales 
des extrémités de K, et que l’on sache d’ailleurs que le 
rayon R de la terre, ou plutôt la normale àla station du 
Mont-d’Or, a pour logarithme, 


LogR = 6 . 8053366, 


on trouvera facilement 


2° Au Puy-de-Dôme, en juin 1812, et par dix répéti- 
tions, la distance zénithale du Mont-d’Or, réduite au 
sommet du signal de cettestation, était Z'=89°17"48",91 


0%,64407 = k 
sig = 
+ 15 = t. 


Il s’agit maintenant d'évaluer approximativement les 
réfractions locales au moment même de la mesure des 


distances zénithales : or on a en général 


L 


Alors le baromètre marquait, . 
le thermom. du barom, . 
le thermomètre de l'air, , . 


Réfract. 9 — nC, 


et d’après les hauteurs barométriques et thermomé- 
triques relatives à la situation du Mont-d’Or, et intro- 
duites dans l’expression précédente de Log n, il vient, à 


cause de 


— 0,00011983 ; Log ( — :) = 6.02490, 


| 


il vient, disons-nous, 
3.09095 
Log h — 9.77525 
c. Log (1 + Bt) — 9.97947 
c. Log (1 +51) = 9.990887 
Log G — :) — 6.02490 


Log C — 2.98001 


a — 


enfin. . . Log 9 = 1.84949 ; réfraction Ÿ = 70',71- 


428 REF 


Opérant de la Même manière pourla station du Puy- 
de-Dôme, on a d’abord 


— 0,00011894; Log ( —— ) — 6.021235; 


1 
l 


| 


ensuite on a 


3.0909 

Log k — 9.808953 

c. Log (1 + £t) — 9.97625 
ce. Log (1 + Bt) — 9.99866 


6.021235 


Log n — 8.89602 
Log C — 2.98001 


Log 9'— 1.87605 , réfraction 4 — »#5",16. 
La somme de ces deux réfractions locales, savoir 
680 —= 145",87 — 2'25",87 


étant ajoutée à celle des deux distances zénithales appa- 
rentes Z, Z', on a, pour la somme des distances zéni- 
thales vraies, 


Z+ZL' +60 —:80"16 3,32 
mais il faudrait 180° + C — 180.15.55, p2 


donc l'erreur est de 8",30 


et doit être, en plus grande partie, attribuée à la formule 
par laquelle nous avons évalué lesréfractions; mais elle 
est si faible, que son influence sur la détermination de la 
différence de niveau par une des deux distances zéni- 
thales ne saurait être d'aucune importance. En effet, 
en évaluant cette différence de niveau au moyen de la 
formule connue 

__KocotZ K? 


Un Co) R sin? Z ? 
cos C 


dE 


on a par le Mont-d’Or, dont le sommet est élevé de 
1886® au-dessus du niveau moyen de l'Océan, 


L. cotZ — 8.2104685 — 


1 
€. COS 5 —= 0.0000011 


Log 1° terme 2,6813944 — 2c. sin Z — 0.00012 


—————— 


Log ?° terme — 1.76601 


1er terme — 480,17 
2e terme + 58, 35 


Difréretice de niveau dE — — 421",82. 


REF 
Par le Puy-de-Dôme, dont la hauteur absolue est 
de 1/66, on a 
Log K — 4.409248 Log (0,5—n') — 9.62458 
Log cot Z'— 8.0889059 2 Log K — 8.94185 
0.0000011 c. Log R — 3.19466 


0.00012 


Log 1er terme — 2.5598318 
Log 2° terme — 1.756121 


1er terme un 362",94 
2e terme + 57, 70 


Différence de niveau dE — 420",94 


Dans le premier cas la valeur de dE est négative, 
parce que le Mont-d’Or étant plus élevé que le Puy-de- 
Dôme, la cotangente de la distance zénithaleZ est néga- 
tive ; et dans le second cas, le contraire a lieu. Ces deux 
valeurs, qui se servent de preuve mutuellement, ne dif- 
férant entre elles que de 1", 2, leur milieu 421", 253 re- 
présente assez exactement la différence de niveau cher- 
chée, et il est à remarquer qu’elle est à très-peu près 
indépendante des erreurs qui affectent les réfractions 
évaluées théoriquement. 

On peut recourir, pour plus de détails sur ce procédé 
de calcul, à l'ouvrage auquel nous avons emprunté les 
observations précédentes, et sur la théorie physique des 
réfractions terrestres, à un mémoire queM. Biot a inséré 
dans le volume de la Connaissance des temps pour 1842. 


RÉGULATEUR. (Méc.) Nom générique des organes 
mécaniques qui ont pour but de régler les mouvemens 
des machines. (Voyez PENDULE CONIQUE et VOLANT.) 


REMOUS. (Hydraul.) On donnait jadis exclusive- 
ment le nom de remous à une eau sans mouvement pro- 
gressif dans le lit d’une rivière, sur un des côtés du 
courant, et qui y tournoie sur elle-même par suite de 
l'impulsion de la partie adjacente du courant; mais, 
depuis Dubuat, on a étendu cette dénomination à tout 
exhaussement de la surface du courant au-dessus du 
plan général de cette surface, occasionné par un obstacle 
quelconque, tel qu’une digue, une jetée ou les piles 
d’un pont. 

La détermination de la hauteur des remous produits 
par des constructions faites dans le lit des rivières est 
une question très-intéressante de l’architecture hydrau- 
lique. Il faut distinguer dans tout remous sa hauteur AB. 
(Gg. 19, PL XX) ou l’exhaussement du niveau MN de 
la rivière, et son amplitude AM, ou la distance à la- 
quelle il se propage. Ces deux élémens varient d’après 
la nature de l'obstacle BD. 

Si cet obstacle BD est une digue qui ferme entière- 


REM 


ment la rivière, il force l’eau à s'élever et à passer par- 
dessus; de sorte qu’on peut comparer, dans ce cas, le 
mouvement de l’eau aux écoulemens qui ont lieu par 
des déversoirs (voy. ce mot). Ainsi, nommant H la hau- 
teur AD de l’eau au-dessus de la digue, L la largeur de 
cette digue, et Q le volume d’eau déversé en une se- 
conde de temps, on a la relation (voyez ÉcouLEMENT, 
n° 18) 
Q = 1,80H4/H, 


laquelle donne pour la valeur de H 


TE) 


ou, après réduction, 


(2)... H—0,676 LT 


Nommant b la hauteur CD de la digue sur le fond du 
lit, et D’ la hauteur BC de l’eau avant l'établissement 
de la digue, il est évident que la hauteur AB du remous, 
que nous nommerons H', a pour expression 


(2). H'=H+b— pb". 
Supposons, par exemple, que la largeur de la rivière 
soit de 20 mètres, sa profondeur sans la digue de 1",50; 
que la quantité d’eau qu’elle roule dans une seconde 


soit de 75 mètres cubes, et enfin que la hauteur de la 
digue soit de 2 mètres, nous ferons 


Q = 55, 


et nous trouverons avec ces valeurs 


CRE 
RENUZ 
H — 0,676 Pa — 1,021, 


ce qui nous donnera pour la hauteur H' du remous 


bo MD 00, 


H'= 1,631 <+- 2 — 1,50 — 1",831. 


La détermination de l'amplitude du remous présente 
des difficultés que les théories nouvelles n’ont point 
‘encore vaincues. D’après Dubuat, le premier des au- 
teurs qui se soient occupés de la question, cette am- 
plitude a pour valeur, en la désignant par A, 


H° étant la hauteur du remous, p la pente du courant 
avant l'établissement du barrage, et p' la pente de l’eau 
‘exhaussée, immédiatement ayant le point culminant. 
Funck lui donne pour valeur 


sur 
2p ? 


À — 


REM 429 


ce qui s'accorde un peu mieux avec les observations; 
mais M. Bélanger a montré depuis, que la valeur réelle 
de A est infinie, c’est-à-dire que le remous se perd in- 
sensiblement dans le courant à une distance qu’on ne 
saurait assigner avec précision; de sorte que toutes les 
formules employées jusqu'ici pour calculer l'amplitude 
d’un remous ne font qu’indiquer avec plus ou moins 
d’exactitude la distance du barrage où l'effet du remous 
n’est plus apparent. C’est d’ailleurs le point essentiel 
pour la pratique. 

On nomme amplitude hydrostatique, pour la distin- 
guer de l'amplitude réelle, la longueur qu’aurait le re- 
gonflement si l’eau surélevée était en repos et indépen- 
dante de l’action du courant. Imaginons par le point 
culminant À une droite horizontale prolongée jusqu’à 
sa rencontre en E avec la surface naturelle du courant ; 
cette droite AE sera l’amplitude hydrostatique, et sa 
grandeur sera donnée par l'expression 

H' 

P , 
p désignant la pente naturelle du courant. En observant 
que la pente p' de l’eau exhaussée est toujours très- 
petite par rapport à p, et qu’ainsi l'expression de Dubuat 
diffère peu de 


A — LOS 
ÿ£ 


On voit qu’en adoptant sa formule, l'amplitude réelle 
serait à peu près double de l'amplitude hydrostatique, 
tandis qu’on ne devrait l’évaluer qu’à une fois et demie 
cette dernière d’après la formule de Funck. Nous de- 
vons dire, toutefois, que depuis les expériences de 
M. Bidone il n’est plus possible d'admettre que l’am- 
plitude réelle est toujours d’une longueur supérieure à 
celle de l'amplitude hydrostatique; car les observations 
de ce savant ont fait connaître des remous où le con- 
traire a précisément lieu. (Voyez les Mémoires de l'Aca- 
démie de Turin, tome XXWY.) 

Si l'obstacle élevé dans le lit de la rivière n'em- 
brassait pas toute sa largeur, qu'il en barrât seulement 
une partie, toute l’eau, forcée de s’écouler par l'issue 
qui lui serait laissée, devrait nécessairement y passer 
plus vite, et comme un accroissement de vitesse ne 
peut provenir que d'un accroissement de charge, il y 
aurait une surélévation de la surface du courant en 
amont de la construction et une chute en aval, circon- 
stances que nous ayons examinées ailleurs dans ce qui 
concerne les ponts (voy. ce mot), en exposant la for- 
mule proposée par Dubuat pour calculer alors la hau- 
teur du remous. Partant du principe que la surélévation 
de l’eau est égale à la différence entre les hauteurs dues 
aux vitesses avant et après l’établissement du barrage, 


130 REM 

M. d'Aubuisson parvient à une formule qui s'accorde 
avec les observations d’une manière assez satisfaisante, 
et dont nous allons rapporter la déduction. 

Soit æ la hauteur de l’exhaussement, L la largeur 
moyenne de la rivière ayant le rétrécissement, L la lar- 
geur de l’espace rétréci, V la vitesse à cet espace, v celle 
de la rivière lorsqu'elle était libre, et À la profondeur 
de ?’eau à cette même époque : la section de la masse 
fluide était alors Lh; après le rétrécissement elle sera l 
(k + æ), ou plutôt ml (h — æ), m étant le coefficient 
de contraction à l’entrée de l’espace rétréci. Puisque les 
vitesses sont en raison inverse des sections, On aura 


V:0—=Lh:ml{(h+x), 
d'où 
Lh 
= Ge 
La hauteur due à cette vitesse sera 


v? L?h? 
2g mE(h+x)”? 
v? 
et comme la hauteur due à v est 55 , on aura donc 


T 


. (3) 


Lh 2 
T = 0,051 v? Gras) 7 2 ë 


Dans l'application, on négligera d’abord la fonction 
h 


Ta ce qui donnera une première valeur de æ, à 


l’aide de laquelle on en obtiendra une seconde qui sera 


et en remplaçant 2g par Sa valeur, ..…. 


plus rapprochée, et qui, à son tour, en donnerait une 
troisième, si on voulait plus d’exactitude. Lorsqu'il 
s'agira des remous occasionnés par les piles des ponts, 
L sera la somme des intervalles compris entre les piles, 
et L la largeur de la rivière près du pont; le coefficient 
m aura pour valeur 0,855 ou 09, suivant les cas. (Voy. 
Ponr.) 

M. de Prony a proposé les formules suivantes, qui 
donnent immédiatement la hauteur z du remous sans 
tâtonnemens ni substitutions successives. 


Soient : 


Q le volume d’eau débité pendant une seconde de 
temps; 

> la section transversale du courant, avant le rétre- 
cissement ; 

h la profondeur de l’eau, idem; 

w la vitesse moyenne, êdem; 

L la largeur de l’espace rétréci ; 

m le coefficient de contraction. 


REM 


On calculera d’abord les quantités auxiliaires sui- 
vantes : 


Ann 
HE. 

oml = 
an ( x) 


tang Ÿ = ang (45° + = g) 


puis on aura la valeur cherchée …... (4) 


D = —— —  — —h 
T rtang (2ÿ — 90) 


On pourra vérifier le calcul numérique de æ à l’aide des 
deux formules 


3 re, 
tang 0 — 7e (as _— . e) 
1 


T— — h. 


FrocD 

Prenons pour exemple l’application que M. d’Aubuis- 
son fait de sa formule au remous du pont de Minden 
sur le Weser. 

« En 1804, au rapport de Funck, il fut fait plusieurs 
expériences sur l’exhaussement auquel le pont de Min- 
den donnait lieu : la largeur moyenne du fleuve en 
amont était de 180®,71 et sa profondeur moyenne de 
5,971: 
hauteur du remous fut trouvée de 0",383. La somme 
des ouvertures du pont, ou /, était 96°,03. » 

« La vitesse moyenne en amont du remous était, d’a- 


il roulait alors 1318 mètres cubes d’eau, et la 


près ce qui vient-d’être dit, de 


1318 
De Na 

mais comme dans les questions relatives aux remous, 
c’est la vitesse de la couche supérieure qu’il faut intro- 
duire dans le calcul, et que, d’après des observations 
faites sur de grands fleuves, comme le Weser, elle est 
près d’un dixième plus considérable que la vitesse 
moyenne, nous ferons v— 1", 394. Devant les piles, ily 
avait des constructions destinées à arrêter les glaces et 
qui gêénaient l'entrée de l’eau sous les arches; nous don- 
nerons, en conséquence, au coefficient de contraction la 
plus grande valeur indiquée par Eyletwein, 0, 855. . 
nous avons de plus L ==180,7 eth—5,37. » 

« Avec les valeurs numériques, la formule (3) de- 
viendra 


F Etui 
æ— 0,051(1,494) | (555 X 96(5,57 + &) “à 


mi 


Négligeant d'abord ; On a pour 


7 


premicrevalengdep 0.1. le OH 
laquelle indique pour deuxième valeur, , . . . 0, 358 
puis on a en troisième valeur,, , . , . . . . O0, 970 
et, finalement, en quatrième, , . . . . . 0, 569 
Cette dernière valeur est le résultat du calcul, 

celui de l'expérience était, . . . . . . . . O0, 383 


a Les variations qu’éprouve continuellement le coef- 
ficient de contraction, ainsi que celui qu’on adoptera 
pour réduire la vitesse moyenne à celle de la surface, 
ajoute M. d'Aubuisson, ne permettront jamais de 
résoudre ayec une grande exactitude les questions 
relatives aux remous. Dans la pratique, également, leur 
hauteur et leur amplitude ne sauraient être prises très- 
exactement; et de tout côté, on ne peut avoir que des 
approximations. » 

On voit, d’après cet exemple, qu’il faut poursuivre les 
substitutions jusqu’à ce qu’on ait obtenu deux résul- 
tats qui ne diffèrent plus que d’une unité de l’ordre des 
chiffres qu’on veut négliger. Les formules de M. de Pro- 
ny sont beaucoup plus expéditives; mais elles ne don- 
nent pas, du moins avec les élémens que nous venons 
d'employer, un résultat aussi approché. En effet, nous 


avons ici : 
Q—n19318; 00 — 180,72; 1 — 96,03; 


ainsi : 


Ùv — ES 1 ,358, 
o 

VER - 

R— 2g ,094. 


introduisant ces valeurs dans les formules, en prenant 
toujours m — 0, 855, il vient 


2 X 0,855 X 96,05 ( 5,256 ) 
T7 970,415 2174 5 Xo,094/? 


— 0,75194; 


d’où l’on obtient ensuite 
9— 375082: 0 — 5145 39; 
et finalement 
T—0",319;, 


valeur qui diffère de 8 centimètres de celle donnée par 
l'expérience, 0,585. Nous ferons observer, cependant, 
que cette différence ne dépasse pas les limites de l’ap- 
proximation dont on peut se contenter dans la pratique, 
et qu’il est d’ailleurs facile d'obtenir identiquement les 


REN 431 


mêmes résultats des formules de MM. de Prony et d’Au- 
buisson, en employant dans les premières, comme on 
le fait dans les secondes, la vitesse à la surface, au lieu 
de la vitesse moyenne dont se sert M. de Prony. Par 
exemple, ici, où la vitesse moyenne 1,358 correspond 
à une vitesse de surface — 1", 494, d’après l’obserya- 
tion de M. d’Aubuisson, si nous posons  — 1, 494, 
nous trouyerons 


—102,1198, 


et comme toutes les autres quantités sont les mêmes, il 
viendra 


pur X 0,855 X 96,03 LA 5,2562 
970,415 5 X0,1158? 


— 0,663597, 


nous trouyerons ensuite 


p = 4040 57 ;. ÿ — 52°21 8",7, 


et définitivement, 
ZT — 0,900; 


ce qui est le résultat de M. d’Aubuisson. Les deux mé- 
thodes sont les mêmes en principe, seulement M. d’Au- 
buisson résoud par substitutions successives l'équation 
du troisième degré qui donne la valeur dé æ, tandis que 
M. de Prony obtient immédiatement cette valeur au 
moyen des fonctions circulaires, procédé qui n’exige 
que les règles les plus simples de l’arithmétique, et 
l'emploi des logarithmes. Voyez pour tout ce qui con- 
cerne les remous : Navier, Cours de mécanique des ponts 
et chaussées. — Bidone, Mémoires de Turin, tom. XX. 
— Dubuat, Architecturehydraulique. — Bélanger, Essai 
sur la solution de quelques problèmes d'hydraulique. — 
Prony, Annales des ponts et chaussées, 1855. — D’Au-- 
buisson, Æydraulique des ingénieurs. 


RENTES VIAGÈRES. ( Arith. comm.) Une rente 
viagère est un paiement annuel fait à un individu pen- 
dant toute la durée de sa vie, contre un capital une fois 
donné par lui, et qui demeure la propriété de l’'emprun- 
teur après la mort du prêteur. 

La détermination de l'intérêt d’un capital placé en 
viager, ou de la quotité de la rente, dépend de la théorie 
des intérêts composés, de celle des annuités et des pro- 
babilités de la vie humaine. Il est d’ailleurs facile de 
voir que la seule différence qui existe entre une annuîté 
(voyez ce mot tom. Î) proprement dite et une rente 
viagère consiste en ce que la durée totale du paiement 
est fixée pour l’annuité, tandis qu'elle demeure indéter- 
minée pour la rente viagère. 

Le principe fondamental de cette espèce de placement 


432 REN 


serait, pour que l’opération fût loyale, que le prêteur 
recût exactement une somme équivalente, intérêts 
compris, à celle qu’il a prêtée ; mais comme la durée de 
sa vie est incertaine, et qu’on ne peut établir les calculs 
que sur sa probabilité d’atteindre tel ou tel âge, l'em- 
prunteur ne sait s’il gagnera ou s’il perdra qu'après la 
mort de son créancier. Cette circonstance fait de tont 
emprunt en viager, entre deux particuliers, un véritable 
jeu de hasard; mais lorsque c’est une compagnie qui 
recoit des fonds en viager d’un très-grand nombre d’in- 
dividus, toutes les chances se compensent, et la compa- 
gnie n’est exposée à aucune perte, si toutefoisle montant 
de la rente de chaque individu a été déterminé rigou- 
reusement d’après la durée préalable de sa vie. 

Pour fixer les idées, admettons qu'un homme de 
65 ans place en viager une somme de 1,000 francs, ct 
qu'il s’agisse de trouver la valeur dela somme annuelle 
que la compagnie doit lui payer. La durée probable de 
la vie de cet homme étant de 10 ans, on peut ramener 
la question à celle-ci : trouver l’annuité qu'il faut payer 
pendant 10 ans pour rembourser, avec ses intérêts, un 
capital de mille francs. Ce problème exige seulement 
qu’on substitue les chiffres aux lettres dans les formules 


connues des annuités. Or, si nous désignons par 


À la somme prêtée, 
a le montant de l’annuité, 
m le nombre des années de paiemens, 


ï le taux de l'intérêt, ou l'intérêt d’un franc par an, 


nous aurons (voyez tom. I, pag 85.) 


Ainsi, en admettant quel’intérèt soit à 5 pour 100, nous 
avous ici 
r—10%09, 


A — 1000, Mm—I10;, 


et, par conséquent , 


1000 X 0,05 (1,05)! 
(1,05)1?— 1 


a 


c'est-à-dire que larente viagère devra être de 128 fr. 
75 centimes. 

Le point essentiel est donc de connaître la durée pro- 
bable de la vie à un âge donné, ce qui ne peut être que 
le résultat des observations statistiques sur le nombre 
des naissances et celui des décès; les tables où sont con- 
signés ces résultats se nomment Tables de mortalité. 
Jusqu'ici les compagnies d'assurances sur la vie se sont 
servies en France des tables de Duvillard ou de celles de 
Deparcieux ; mais il résulte des travaux récens de M. de 
Montferrand que ces tables ne conviennent plus à l’état 


REN 
actuel de la population. Quoi qu'il en soit, nous nous 


servirons ici des nombres de Deparcieux pour indiquer 
l’usage général des tables de mortalité. 


LOI DE LA MORTALITÉ EN FRANCE, 


POUR DES TÈTES CHOISIES. 


AGES. VIVANS. AGES,. VIVANS. AGES. | VIVANS. 


65 395 
66 380 
67 
68 


[PATES 


CRC 
= OO NI OO QE O1 


RES ES O1 O1 O1 O1 O1 CI 
+R OAR = © OO NI 


D 


D 
DU OCE O1 & 
CHE 


QE O1 Qt ON 
© 


B 
DO & 


«2 
YNNINININNNN 


C1 O1 OI O1 D D D 


CRC 
© 


Cette table, employée principalement pour les cal- 
culs des rentes viagères, indique combien sur 1000 en- 
fans parvenus ensemble à leur troisième année, il en 
reste de vivans après 1 an, 2 ans, etc., ou à l’âge de 
4 ans, 5 ans, etc. Pour savoirle nombre d'années qu’une 
personne de 45 ans, par exemple, vivra probablement, 
nous prendrons le nombre 622 de personnes qui ont 
45 ans, la moitié de ce nombre , ou 311, cherché dans 
la colonne des vivans, correspondant à l’âge de 70 ans, 
nous en concluons que la vie probable de l'individu 


en question est de 70 ans, ou qu'il lui reste encore 


70 — 45 — 25 ans à vivre. En effet, puisqu’en 70 ans 
une moitié de ceux qui avaient 45 ans estmorte et l’autre 
vivante, il y a également à parier pour ou contre qu’une 
personne de45 ans atteindra l’âge de 70 ans. Ce procédé 
de calcul peut se formuler dans la règle suivauie : 


REN 


Pour connaître le nombre d'années qu'une personne 
doit vivre probablement, il faut prendre la moitié du 
nombre correspondant à son âge, chercher à quel âge cor- 
respond à peu près cette moitié; la différence entre l'âge 
trouvéet l'âge donné sera le nombre demandé. 

La loi de la mortalité pour les premières années 
omises par Deparcieux se trouve dans la table de Du- 
villard, à laquelle s’applique également la règle précé- 
dente, 

Connaissant, d’après cette table, ou toute autre, la 
vie probable d’un individu, on peut ensuite sans diffi- 
culté trouver lemontant de la rente viagère qu'il faut lui 
payer contre un capital quelconque, ou le capital qu’il 
doit donner pour obtenir une rente viagère déterminée. 
La première question a été résolue ci-dessus, la seconde 
consiste à dégager A de l'expression de lunité, ce qui 
donne en général 


les lettres ayanttoujours les significations précédentes. 
Proposons-nous, par exemple, de trouver quel capital 
doit placer une personne de 50 ans pour avoir une rente 
viagère de 500 francs, l’intérêt légal de l'argent étant 
4 pour 100 au o',04 pour 1 franc. 

Le nombre correspondant-à 58 ans étant 581, dont 
la moilié 290 répond à 71 ans, nous en conclurons d’a- 
bord, que la durée de la vie probable de l'individu est 
de 21 ans; nous ferons done m — 21, et comme nous 
ayons en outre 

d—500 em —10!,0/4, 
ces nombres substitués dans la formule donneront 


Anse 00 


(1,04) — 1 
Bo: 0410 


(1,04) 


Ainsi l'individu en question devra verser 7014 francs 


— 014,75. 


7 centimes. 

La table d’annuités que nous avons donnée dans 
notre premier volume est très-commode pour résoudre 
toutes les questions deçe genre et dispense de l'emploi 
des logarithmes dont on ne saurait se passer sans se 
jeter dans des calculs interminables. Si l’on y cherche 
le nombre qui, intitulé 4 pour 100. répond à 21 ans, 
ce nombre 14,029160, indique qu’il faudrait placer 
15 francs 05 pour obtenir une annuité d’un franc pen- 
dant 21 ans, et conséquemment qu'il faudrait placer 


500 fois cette somme pour obtenir une annuité de 
500 francs, or 


14°,029160 X 500 — 014,58, 
donc le capital demandé est 704°,58. La différence des 


résultats, entièrement négligeable d’ailleurs, tient à 


Ton. 1, 


REN 433 


l'emploi que uous avons fait des logarithmes pour éva- 
luer la formule. 

Toutes les institutions relatives aux assurances sur la 
vie, les tontines et caisses de survivance, sont fondées, 
comme celles qui concernent les rentes viagères, sur les 
probabilités de la vie humaine etla théorie des annuités. 
Leur solution dépend en dernier lieu des formules que 
nous venons de rappeler, et ne présente aucune diffi- 
culté particulière. Nous nouscontenterons d’en présen- 
ter un seul exemple. 

On demande quelle prime annuelle doit donner un 
homme de 50 ans, pour que la compagnie d'assurances 
sur la vie ait à payer à ses héritiers, après sa mort, une 
somme de 100000 francs, l'intérêt légal de l'argent 
élant à 5 pour 100. 

Il est visible que cette question est la même que celle 
de chercher l’annuité que doit payer l'individu pendant 
toute la durée de sa vie probable, pour recevoir, après 
cette durée, un capital de 100000 francs ; mais comme 
dans ce cas le capital n’est fourni qu'après le paiement 
de la dernière annuité, et non pas avant celui de la pre- 
mière, il faut modifier la formule (1), qui repose préci- 
sément sur cette dernière circonstance. Reprenons l’a- 
nalyse des annuités (tom. I, pag. 85), et observons que 
toutes les annuités 4, payées pendant un nombre m 
d'années, représentent à la fin de la dernière année un 
capital équivalent à 


e[e+ne—i| 


désignant donc ce capital par A’, nous avonsla relation 
générale 


d’où nous tirons 


= Ar 
Gileonrre Gr) —:? 
formule qui donne la solution de toutes les questions 
semblables à la proposée, faisant donc A°:= 100000 f. 
r— 0, 0 etm — 30, parce que la table de Duvil- 
lard, qu’on trouve chaque année dans l'Annuaire du bu- 
reau des longitudes, et qui ‘est employée pour les assu- 
rances sur la vie, indiqueenviron 50 ans, comme la vie 
probable d’un individu de 50 ans, nous trouverons 


100000 X 0,0 


RS NO Se 1%. 
(1,08) — 1 4. 


a = 


La prime annuelle à payer sera donc de 1505 franes 
14 centimes. Voyez : Duvillard, Recherches sur les ren- 
tes et les emprunts. — Deparcieux, Essai sur l& pro- 


_- 
à] 


43% RÉS 


babilité de La durée de la vie humaine. — Baïly, Life an- 
nuîlies and assurances. 


RÉSISTANCE. (Mée.) On désigne généralement, en 
mécanique, sous le nom de résistance, toute force qui 
s’oppose à l’action d’une force motrice. 

Dans les machines en mouvement, on divise les ré- 
sistances en actives et en passives. La résistance active 
est celle qui correspond à l'effet utile, et la résistance 
passive celle qui résulte de la constitution même de la 
machine. Supposons, par exemple, que, pour élever 
un seau plein d’eau du fond d’un puits à sa margelle, 
à l’aide d’une corde passant sur une poulie, il soit né- 
cessaire d'exercer un effort constant équivalent à un 
poids de 16 kilogrammes, et que le poids de l’eau éle- 
vée ne soit que de 11 kilogrammes, la résistance totale 
vaincue par le moteur se composera done, 1° d’une ré- 
_ sistance active de 11 kilogrammes représentant l’effet 
utile qu'il produit, 2° d’une résistance passive de 5 ki- 
logrammes résultante du frottement de la poulie sur son 
axe, de la roideur de la corde et du poids du seau. (Voy. 


EFFET UTILE.) 


RÉSISTANCE DES FLUIDES. (Hydrod.) Force 
par laquelle les corps solides qui se meuvent dans les 
fluides sont retardés dans leur mouvement. 

Un solide ne peut évidemment se mouvoir dans un 
fluide sans mettre en mouvement les molécules fluides 
qu'il rencontre successivement, et sans déployer en 
outre une certaine force pour vaincre l’adhérence de 
ces molécules, La résistance qu’il éprouve provient de 
deux causes distinctes : la première résulte de la vitesse 
qu'il communique aux molécules fluides, et qui lui fait 
perdre à chaque instant une partie de sa quantité de 
mouvement (voy. COMMUNICATION DE MOUY.); la seconde, 
de l’adhérence des molécules ou de ce qu’on nomme 
la viscosité du fluide. Cette dernière, nulle dans les 
fluides élastiques, est beaucoup plus petite que la pre- 
miere dans tous les liquides ayant peu de viscosité. 

1. Laissant de côté la résistance due à la viscosité, 
considérons un corps solide M (PL XXI, fig. 1) dont 
nous désignerons par À l’aire de Ja surface antérieure, 
celle qui frappe le fluide, et supposons que ce corps se 
meuve dans une direction MD perpendiculaire à sa sur- 
face A. Dans un temps infiniment petit dt, pendant le- 
quel on peut supposer constante la vitesse v du corps, le 
mobile s'avancera dans la direction MD d’une quantité 
vdt, et déplacera conséquemment un volume de fluide 
qui aura pour expression 


Avdt. 


Désignant par à la densité du fluide, 9Avdt représen- 


RÉS 


tera la masse déplacée, et en admettant que cette masse 
puisse être assimilée à un corps dur choqué par un autre 
corps dur, d’une masse M et d’une vitesse v, la vitesse 
qui lui sera communiquée aura pour valeur (voy. Croc) 


SAvdt . v 
M jAvdt? 
ou simplement 


SAv°dt 
M “2 


parce que la masse SAvdt est infiniment petite par rap- 


port à M. Or, cette vitesse gagnée par la masse fluide. 


est précisément celle qui est perdue par la masse M; 
ainsi dans l'instant df, cette masse M perd une quantité 
de mouvement égale à 


? 
Les X M ou SAv'dt. 


Si l’on admet maintenant que le prisme fluide choqué 
s’anéantisse après le choc, et qu’un autre prisme fluide 
lui succède pour produire le même effet, la quantité 
dAv’dt, dans laquelle » variera à chaque instant, indi- 
quera la force que la réaction du fluide fait perdre au 
mobile ou la résistance qu'il éprouve à chaque instant, 
et nommant R cette résistance, on aura l'équation 


(Ga) Re dATEE 


mais, par les mêmes raisons, un autre corps d’une sur- 
face antérieure A° se mouvant avec une vitesse © dans 
un fluide d’une densité 9 éprouvera une résistance r, 


r — d'A ’v dt. 


donc 


c’est-à-dire que si deux corps se meuvent avec des vi- 
tesses différentes dans des fluides différens, les résis- 
tances qu'ils éprouveront dans un même instant, seront 
en raison composée des densités, des surfaces et des car- 
rés des vitesses. 

2. Pour tirer de l'expression (1) une mesure de la 
résistance, observons qu’en désignant par À la hauteur 
due à la vitesse v on a 


vi —ogh;, 
g étant la force de gravité, et conséquemment , 
R = 2g5Ahdt. 
Mais puisque g est la vitesse que lagravité engendre dans 


une seconde de temps, gdt est la vitesse engendrée par 
cette même force dans l’instant dé, et comme 2dAh ex- 


RÈS 

prime la masse d’un prisme de fluide ayant2A pour base 
et k pour hauteur, 234bh X gdt représente la quantité 
de mouvement que ce prisme acquerrait pendant l’in- 
stant infiniment petit dt par l’action libre de la pesan- 
teur, c’est-à-dire le poids de ce prisme; ainsi la résis- 
tance qu'éprouve un solide qui se meut dans un fluide en 
repos, estégale au poids d'un prisme de ce fluide qui aurait 
pour basela surface choquée, et pour hauteur le double 
de la hauteur due à la vitesse avec laquelle le solide se meut 
à l'instant où l'on veut mesurer la résistance. 


3. Cette mesure ne se rapporte qu’au cas où la direc- 
tion du mouyement est perpendiculaire à la surface 
choquante, si le choc est oblique, c’est-à-dire si la di- 
rection du mouvement fait un angle AMD—2 (PI. XXI, 
fig. 2), avec la surface choquante, il faut, pour obtenir 
l'expression de la résistance, décomposer la vitesse v 
qui a lieu dans la direction MD en deux autres, l’une 
dans la direction MF, perpendiculaire à la surface, l’autre 
dans la direction MA, parallèle à cette même surface; la 
première composante, dont la valeur est v sin z, agissant 
seule pour repousser le fluide ; la question se trouve ra- 
menée à déterminer la résistance qui a lieu sur la sur- 
face A, qui se meut avec une vitesse v sin «, dans une 
direction perpendiculaire MF, et il suflit, par consé- 
quent, desubstituer v sin & à v dans toutes les formules 
précédentes; l'expression (1) de la résistance devient 


ainsi 
(2) …... R — JAv'dt sin?x, 


et il en résulte que dans le cas d’un choc oblique la ré- 
sistance est proportionnelle : 1° au carré de la vitesse 
effective; 2° à la densité du fluide; 5° à l’aire de la sur- 
face choquante; 4° au carré du sinus de l’angle d’inci- 
dence, ou de l'angle que fait la surface avecla direction du 
mouvement. Il est visible, d’ailleurs, que pour mesurer 
la résistance en poids, il faut multiplier Le poids qui me- 
sure la résistance qu'on aurait en supposant le choc 
direct, par le carré du sinus de l'angle d'incidence. 

4. La théorie que nous venons d'exposer est celle qui 
était autrefois généralement admise ; nous ne l'avons re- 
produite ici que parce qu'elle est employée dans plu- 
sieurs ouyrages estimables, qu’on peut encore aujour- 
d’hui consulter avec fruit; mais on ne doit guère se 
contenter des indications qu’elle donne que dans des cas 
très-particuliers, et dans l'impossibilité, où se trouve 
encore la science, d’en établir une autre mieux d'accord 
avec les faits, il faut ayoir recours à l'expérience dont 
nous allons maintenant signaler les résultats. 

5. En 1555, Bossut, d’Alembert et Condorcet entre- 
prirent, par l’ordre du gouvernement, plusieurs séries 
d'observations sur la résistance des fluides, Ces obser- 
yations, faites sur une échelle beaucoup plus vaste que 


RÈÉS 435 
tout ce qui avait été tenté jusque alors, eurent lieu sur 
une grande pièce d’eau, située dans l’enceinte de l’é- 
cole militaire à Paris; onse servit de plusieurs bateaux, 
de formes et de dimensions différentes, qui étaient mis 
en mouvement par la descente d’un poids, et l’on put 
constater les phénomèmes suivans. 

On a d’abord remarqué que dans les premiers instans 
du mouvement des bateaux, la vitesse s'accélère par 
degrés ; tant qu’elle est très-petite, l’eau se divise facile 
ment et coule le long des parois latérales du corps flot- 
tant, de manière quele liquide demeure sensiblement de 
niveau de l’avant à l'arrière de ce corps ; mais à mesure 
que la vitesse augmente, le liquide a plus de peine à se 
détourner, il s'amoncelle au-devant de la proue, ou sur- 
face antérieure, il y forme une intumescence qui a plus 
ou moins d’étendue, suivant que la vitesse est plus ou 
moins grande, et que la proue a plus oumoins de largeur; 
dans le même temps le liquide s’abaisse vers la partie 
postérieure du bateau et y forme un vide; ce double 
effet, qu’on nomme dénivellation, est d'autant plus sen- 
sible, toutes choses égales d’ailleurs, que la vitesse est plus 
grande, de sorte que l’augmentation de vitesse doit né- 
cessairement augmenter la résistance que le bateau 
éprouve pour diviser le liquide. Voici les principaux 
résultats de ces expériences. 

1° Les résistances d’un même corps qui se meut dans 
unfluide avec différentes vitesses sont sensiblement pro- 
portionnelles aux carrés de ces vitesses, du moins entre 
les limites de 0",60 à 4" par secondes. 

2° Les résistances directes et perpendiculaires des sur- 
faces planessont sensiblement proportionnelles, pour une 
même vitesse, aux étendues de ces surfaces. 

3° Les résistances qui proviennent des mouvemens 
obliques ne diminuent pas, à beaucoup près, toutes 
choses égales d’ailleurs, dans le rapport des carrés des 
sinus des angles d'incidence; de sorte que la théorie 
précédente doit être entièrement abandonnée, pour ce 
qui concerne ce rapport des sinus, lorsque les angles 
d'incidence sont petits, puisqu'elle donnerait alors des 
résultats très-fautifs; mais pour le cas où les angles 
d'incidence sônt grands, comme dans les limites de 
5o° à 90°, on peut employer cette théorie comme un 
moyen d'approximation, en observant qu’elle donnera 
des résistances plus petites que les résistances réelles, 
et d'autant moindres que les angles s’éloigneront da- 
yantage de l'angle droit. 

4° La mesure de la résistance directe et perpendicu- 
laire qu'éprouve une surface plane dans un fluide indé- 
fini est le poids d’un prisme de ce fluide qui aurait 
pour base cette surface et pour hauteur la hauteur due 
à la vitesse. Ce résultat est la moitié de celui que donne 
la théorie; mais il ne convient pas à tous les corps 


flottans. 


436 RÉS È 

5° La viscosité de l’eau est une résistance que l’on 
doit considérer comme infiniment petite ou comme 
nulle, par rapport à celle qu’un bateau éprouve en 
poussant l’eau, surtout quand la vitesse est très-petite. 


6° Enfin, quand un bateau se meut dans un canal 
étroit et peu profond, la résistance varie entre des li- 
mites quelquefois très-écartées. 

G. D’autres expériences faites par Dubuat, Borda, 
Smeaton, Vince, etc., tout en confirmant ces résultats, 
ont fait connaître diverses modifications résultant de la 
forme des corps flottans. Ainsi la résistance n’est pro- 
portionnelle aux surfaces que lorsque les corps ont une 
épaisseur au moins égale à l’un des côtés de la face 
choquante, ou plus généralement à la racine carrée de 
l'aire de cette face; dans le cas contraire, c’est-à-dire 
pour un corps mince, la résistance croît dans un plus 
grand rapport que la surface. 


7. L'expression de la résistance, qui, d’après les ex- 


périences que nous venons de citer, est 
Ash, 


s représentant l'aire de la face choquante, À la hauteur 
due à la vitesse et A le poids de l’unité de volume du 
liquide, ne peut donc convenir à tous les corps flottans 
qu’en y ajoutant un coellicient de correction dont la 
valeur doit être déterminée pour chaque espèce de 
corps en particulier. Désignant ce coefficient par n et 
faisant À — 1000 , nous aurons pour le poids P qui 


mesure la résistance de l’eau, exprimé en kilogrammes, 


Nous n'avons pas besoin de faire observer que s et À 


P — 1000n6h. 


doivent être rapportés au mètre comme unité. 

Le coefficient x est sensiblement constant pour les 
solides semblables; il se réduit à l'unité lorsque la 
longueur du prisme, sa dimension horizontale, est cinq 
ou six fois plus grande que 1/8, et s'élève à 1,2 quand 
celte dimension diffère peu de [/s. Si la longueur du 
prisme dépasse 61/s, n, au lieu de diminuer, devient 
plus grand que l’uuité ; de sorte que, dans tous les cas, 
ce nombre ne descend pas au-dessous de lunité, tant 
du moins que la surface choquante est plane; car on 
peut diminuer considérablement la résistance en pla- 
çant, en guise de proue, sur la face antérieure du prisme 
uu Corps qui présente un tranchant au fluide et change 
le choc direct en choc oblique. 

8. L'expression (2) est identique avec celle qui ex- 
prime les effets du choc d’une veine d’eau sur un corps 
en repos (roy. Eau mornice), et l’on peut en conclure, 
ce principe admis depuis Newton, que l'effort néces- 
saire pour retenir un corps frappé par un liquide dans 
lequel il plonge est égal à celui qui est nécessaire pour 


RÉS 


faire mouvoirlemême corps, avec la même vitesse, dans 
le liquide en repos. Cependant une expérience de Du- 
buat semble prouver que l’eau en repos offre plus de 
facilité à se laisser diviser que l’eau courante; Car, 
ayant fait choquer une plaque carrée par un courant 
d’eau, et l'ayant fait ensuile mouvoir avec la même vi- 
tesse dans une eau en repos, iltrouva que la résistance 
était plus petite que le choc dans le rapport des nom- 
bres 1,86 et 1,43. Mais d'autres expériences de diffe- 
rens observateurs n’ont pas donné les mêmes résultats: 
et comme d’ailleurs les lois que suit la résistance sont 
les mêmes que celles du choc, M. d’Aubuisson, excel- 
lente autorité dans toutes les questions d’hydraulique, 
ne pense pas qu'il y ait lieu d'admettre, en général, 
une si grande différence dans les deux cas. 

9. Lorsque le corps flottant se meut dans un canal 
étroit, la résistance qu’il éprouve est beaucoup plus 
grande que celle qui aurait lieu dans un canal assez 
large pour qu’on puisse considérer l'étendue du liquide 
comme indéfinie, parce que l’eau qui s'écoule sur les 
parois latérales du corps est resserrée entre ces parois 
et les bords du canal. D'après l'analyse faite par Du- 
buat des belles expériences de Bossut sur la résistance 
des canaux, si l’on nomme € la section du canal, s la 
section de la portion du prisme plongée dans l’eau, 
P la résistance que ce prisme éprouvyerait dans un fluide 
indéfini, et P’ celle qu’il éprouve dans le canal, on 
aurait 


_ S46e 


PA = ; 
1 


Les résistances mesurées par Bossut ont beaucoup di- 
minué lorsqu'il a adapté aux bases des prismes droits, 
employés dans ses expériences, des proues angulaires ; 
mais la diminution a été beaucoup plus petite que dans 
un fluide indéfini, et d'autant moindre que le canal 
était plus étroit. Dubuat à tenu compte de l'effet des 
proues angulaires en exprimant la résistance effective 
par la formule 


P'— P'{1— 0,183 (1 —q) (= ) L 


dans laquelle g désigne le rapport entre la résistance du 
prisme avec proue à celle du prisme sans proue. 

10. Ces formules représentent assez bien les expé- 
riences de Bossut, mais elles ne semblent pas convenir 


aux grands canaux; Car, dans l'application qu’en a faite 


M. d’Aubuisson au canal du Languedoe, les résistances : 


calculées ont toujours été presque doubles des résis- 
tances données par l'expérience. Les observations de 
M. d’Aubuisson l'ont conduit à la formule très-simple 


s°v° 


RES 
qui représente en kilogrammes la résistance des bar- 
ques qui naviguent sur le canal du Languedoc. Il sc- 
rait très-utile de faire de semblables observations sur 
nos autres canaux de navigation. 

11. Nous avons vu que, quoique l’ancienne théorie 
du choc oblique soit défectueuse (n° 5, 3°), on pouvait 
l’'employer comme moyen d’approximation, en se ré- 
servant de corriger les résultats du calcul par un coef- 
ficient convenable de réduction; il nous reste à indi- 
quer les procédés d'application, et, pour cet effet, à 
montrer comment on évalue dans une direction donnée 
la résistance perpendiculaire à la surface choquante, 

Soit AB le profil de la surface (PI. XXI, fig. 5) qui 
frappe obliquement ou qui reçoit obliquement le choc 
de la veine d’eau DCBE, l'effort normal exercé contre 
celle surface est, d’après ce que nous avons vu (2), 


— dAv°dt sin?«. 


Pour savoir ce que devient cet effort dans la direction 
MN perpendiculaire à un plan quelconque dont le profil 
est PQ, il faut décomposer la force R agissant dans la 
direction OR en deux autres dont l’une, parallèle à AB, 
sera sans action sur la surface, et dont l’autre, perpen- 
diculaire à PQ, représentera l'effort cherché; or, la 
composante suivant ON est 


R cos NOS ou R sin «x. 


Ainsi l'effort exercé dans la direction MAN sur la surface 
A est exprimé par 


dAv°dt sin?« . sin «. 


Or, si nous menons par le point B un plan CB paral- 
lèle à PQ, et que nous projetions AB sur ce plag, la 
projection CB sera équivalente à l’aire projetée AB 
multiplie par le cosinus de l'angle ABC des deux 
plans; mais cet angle est le complément de l'angle «; 
donc À sinx est là projection de l’aire À sur un plan 
perpendiculaire à la direction MN, et.en désignant par 
A’ celte projection, la résistance dans la direction MN 
devient 
dA'v'dt sin?e. 


Observant que dA'v?dt exprime la résistance perpendi- 
culaire sur la surface A, nous en conelurons que lors- 
qu’une surface plane quelconque À est exposée obli- 
quement au choc d’un fluide, si l’on veut savoir l'effet 
que ce choc produit suivant une direction donnée, il 
faut imaginer cette surface projetée sur un plan perpen- 
diculaire à la direction, et multiplier l'effort du choc 
direct sur la projection par le carré du sinus de l’angle 
d'incidence du fluide sur la surface primitive A. 

12. Proposons-nous, par exemple, d'évaluer la ré- 
sistance qu'éprouverait Le prisme droit tronqué ABCD à 


RÉS 437 


se mouvoir dans une eau stagnante, dans une direction 
parallèle à sa longueur, en présentant au choc de l’eau 
sa base oblique AB. (PL. XXI, fig. 4.) 

Soit l’angle d'incidence 4—530° et l'aire ABQ—/ mè- 
tres carrés. En supposant que la direction CB du mou- 
vement, dans le sens de laquelle on évalue la vitesse v, 
ne puisse changer, la diminution de vitesse et consé= 
quemment la résistance devra se calculer suivant cette 
même direction; ainsi, projetant l'aire ABQ sur un 
plan perpendiculaire à CB, l'aire de la projection sera 
AEFQ ou 


La résistance directe sur cette aire exprimée en kilo- 
grammes étant (5) 


P — 1000 n.2.h — 2000 nh, 


[2 LA [2 
la résistance cherchée sera 


P'— 2000 nh sin?50 — 50onh. 


Si la vitesse effective v — 1",50, on aura (voy. la Table 
des hauteurs, p. 222) H = 0,1147, et en admettant que 
la longueur du prisme soit cinq à six fois la racine 
carrée de l'aire AEFQ, cas où l’on a n — 1, il viendra 
définitivement 


, F Kkm= 
P'— 500 X 0,1147 — 57,55. 


Si l’on voulait done mouvoir le prisme que nous con- 
sidérons avec une vitesse constante de 1%,50, il fau- 
drait exercer un effort constant de 57 kilogrammes. 
Supposons maintenant que le prisme doive présenter 
sa petite base CD, dont l'aire — 2 mètres carrés, per- 
pendiculairement au choc de l’eau, la résistance serait 


alors 


PP 1000 C0 14 — 29,35, 


c'est-à-dire quatre fois plus grande que dans le pre- 
mier cas. 

Le premier résultat P°— 571,55 est beaucoup trop 
petit, car l'expérience a montré que dans des circon- 
stances semblables on aurait à peu près P — 2P', 

19. Choisissons un autre exemple propre à nous 
faire apprécier la théorie. Soit EB (PI. XXI, fig. 5) un 


parallélipipède rectangle ayant pour dimension 


BS30! DE 0,65 ; AD — 0",84. 

Imaginons que ce corps plonge dans l’eau de 0°,65 et 

qu'il soit tiré perpendiculairement à sa face ABCD. 
L’aire de la surface immergée, sur lequel s'effectue 


la résistance, étant 


0,65 X 0,65 = 0"1,4225, 


438 RÈS 


sinousfaisons r — 1,1, valeur qui convient aux dimen- 


sions du prisme, nous aurons 
P— 1000 X 1,1 X 0,4225h — 4647,5h, 


et il ne reste plus qu’à se donner une vitesse quelcon- 
que pour déterminer À et achever l'évaluation de P. 

Supposons maintenant qu’on adapte à la face cho- 
quante une proue dont la coupe horizontale AGB 
(fig. 6) soit un triangle isocèle, et que le corps soit 
toujours tiré perpendiculairement à sa face AB; les 
efforts sur les faces inclinées de la proue GB et AG de- 
vant être estimés dans la direction du mouvement, on 
voit que les projections de ces faces inclinées compo- 
sent la face primitive AB, de sorte que la somme des 
efforts ou la résistance totale est 


P sin ?«, 


a« étant l’angle d'incidence mGn ou la moitié de l'angle 
AGB au sommet du triangle isocèle. Désignant par P' 
la résistance du prisme muni de sa prouc, nous aurons 
donc 


9 


P'— 4647,5h sin «, 


et, par conséquent, la résistance éprouvée par le prisme 


sans proue sera, à la résistance avec une proue, pour 
une même vitesse dans le rapport des quantités 
4647,5 : 4647,5 sin?a — 1 : sin?«. 
Faisant successivement 
& — 90°; 78,166; "etc:1; 


nous trouverons 


Angle de la proue = 2&. Rapport des résistances, 
OT OS ME 1,00 
SGA) 
192. 0 0,83 
108. aus … 10,65 
he a ons 
Go: nee 0-110:20 
56. : 10:00 

ON ie cc OO 


Rappelons les expériences de Bossut. À un parallé- 
lipipède rectangle de 1°,50 de long, et dont la base 
avait 0",65 de large et 0",84 de haut, on adapta suc- 
cessivement une suite de proues, dont la coupe hori- 
zontale était un triangle isocèle et dont l’angle antérieur 
était de plus en plus aigu. Ce corps fut convenablement 
établi dans un grand bassin, où il plongeait de 0°,65 : 
il fut tiré successivement par divers poids, et lorsque 
le mouvement était parvenu à l’uniformité, on comp- 


RÈS 


tait le temps employé à parcourir un espace de 31 mè- 


tres. Le rapport inverse des carrés des temps, lequel 
était le rapport direct des carrés des vitesses, et par 
conséquent celui des résistances, est indiqué à la se- 
conde colonne du tableau suivant : la résistance du 


prisme dénué de proue a été prise pour unité. 


Angle de la proue. Rapport des résistances. 


LOUER CARS 


12. HR CEE 


On voit que la théorie ne s’accorde plus avec la pra- 
tique dès que l'angle de la proue est plus petit que 130° 
ou que l'angle d'incidence est au-dessous de 65°. 

Ces derniers rapports des résistances sont précieux, 
car on peut les prendre pour la valeur du coeflicient # 


de l’expression générale 
P — 1000n5k 


lorsque le corps flottant est muni d’une proue angulaire 
formant un angle au sommet égal à l’un de ceux de la 
table, et qu’en outre la longueur de ce corps est cinq à 
six fois sa largeur. 

14. Si la surface choquante était courbe, les calculs 
deviendraient très-compliqués. Il faudrait décomposer 
cette surface en un assez grand nombre de parties pour 
qu'on pût considérer chacune d’elles comme plane; 
déterminer la projection de chaque partie sur un plan 
perpendiculaire à la direction dans laquelle il s’agit 
d'évaluer la résistance ; déterminer pareillement le si- 
nus d'incidence du fluide sur chaque partie; puis, après 
avoir multiplié chaque projection par le carré du sinus 
d'incidence, prendre la somme de tous les produits. 
Mais cette théorie de la résistance proportionnelle aux 
carrés des sinus d’incidence, qui donne des résultats 
trop faibles pour les surfaces planes, en donne, au con- 
traire, de trop forts pour les surfaces courbes; de sorte 
qu’elle doit être rejetée dans tous les cas; et quoiqu'il 
soit bien constaté qu’une proue terminée par des sur- 
faces courbes diminue beaucoup plus la résistance 
qu'une proue angulaire à surfaces planes, la détermina- 
tion de la forme à donner aux diverses parties d’un 
corps flottant pour qu’il éprouve la plus petite résis- 
tance possible, problème connu sous le nom du solide 
de moindre résistance et qui intéresse l’art nautique à 


RÉS 


un si haut degré, cette détermination, disons-nous, est 
encore impossible dans l’état actuel de nos connais- 
sances Nous allons voir que la théorie de la résistance 
des fluides élastiques n’est pas beaucoup plus avancée 
que celle de la résistance des liquides, mais qu’on est 
parvenu du moins à représenter les principaux faits par 
des formules empiriques suffisamment exactes. 

15. La théorie (n° 1) qu’on appliquait jadis aux 
fluides élastiques comme aux liquides indique que la 
résistance éprouyée par une surface plane, qui se meut 
dans un fluide quelconque, est proportionnelle à la 
densité du fluide, à l'étendue de la surface choquante 
et au carré de sa vitesse effective; de sorte qu’en dési- 
gnant par æ le poids de l'unité de volume du fluide, 
par s l’aire de la surface, par v la vitesse eflective, et par 
m un nombre constant, on aurait, quel que soit le fluide, 
pour la résistance normale R évaluée en poids 


R — Mmosv?. 


Mais les expériences de Borda et de Hutton ont montré 
que la résistance sur les plaques minces et même sur 
les solides semblables croît dans un pius grand rapport 
que les surfaces, et qu’elle est sensiblement proportion- 


: [in l 
nelle à la puissance — ou 1,1 de la surface. Quant aux 
10 


vitesses, la résistance n’est proportionnelle à leurscarrés 
que lorsqu'elles ne dépassent pas de beaucoup 10"; 
dans les grandes vitesses, celles des boulets de canon, 
la résistance croît beaucoup plus rapidement, et Hutton 
fait entrer dans son expression non seulement le carré, 
mais encore la première puissance de la vitesse. (Voyez 
BauisriQue. ) Le coeflicient m serait moyennement 
= 0,11 d’après Borda et Hutton. Modifiant l’expres- 
sion de R d’après ces données, nous aurons, dans le 
cas des vitesses ordinaires, 


9 


(5) ER = 6,1155°! vd. 


Cette expression indique la résistance lorsque la surface 
s# reçoit directement le choc; quand le choc est oblique, 
il faut multiplier la valeur de R par une fonction du 
sinus d'incidence, que Hutton représente par 


. ,84 cos 
(sine). 
La résistance due au choc oblique sera donc donnée 
par la formule 


(4)... R'= 0,008" 0° (sine), 


et la résistance dans le sens du mouvement, qui est or- 
dinairement celle qu’il importe de connaître, deviendra 


(OR RE 01 16 5," 0° (sin AS ;. 


RÉS 439 


s, désignant la projection de l’aire s sur un plan perpen- 
diculaire à la direction du mouvement. 

Le poids & de l'unité de volume de l’air, celui de 
tous les fluides élastiques qui intéresse le plus les arts 
physiques, est une quantité très-variable qui dépend à 
chaque instant de l’état de l'atmosphère, c’est-à-dire de 
sa pression et de sa température, En désignant par h 
la hauteur du baromètre, exprimée en mètres, et par 8 
le nombre des degrés que marque le thermomètre cen- 
tigrade, on a, pour le poids en kilogrammes d’un mètre 
cube d’air sous celte pression et à cette température, 


k 
1 ,2091 k 
1 + 0,008759  o, 76 e 


(Voy. Force ÉLasriQue.) Pour corriger un peu l'effet 


Di 


des vapeurs aqueuses, qui diminuent toujours le poids 
de l’air atmosphérique, on peut poser généralement 


(6) 1,70. 
ss TD —= GA ee ie 
2798 —- 0,048 
16. Nous allons éclaircir par quelques exemples 
l'emploi de ces formules, qui s'appliquent également 
au choc et à la résistance de l’air. 


I. Déterminer l'effort exercé par un courant d'air qui 
choque perpendiculairement une plaque d’un mètre carré 
avec une vitesse de 6 mètres. 

Supposons que le baromètre marque 0",555 et le 
thermomètre 11°, ce qui est l’état moyen de l’atmo- 
sphère en France, nous aurons d’abord 


æm— 1,231, S—1, v—6, »v 


et substituant ces valeurs dans la formule (5), il 
viendra 


1.1 k 


SON LS OT 36— 4,8 


7e 
L’effort demandé sera donc équivalent à 4,85. 


IT. Un vent de 10 mètres de vitesse choque oblique- 
ment une plaque rectangulaire de 4 mètres de longueur 
sur un môtre de largeur, on demande quel effort normal 
elle supporte; son inclinaison par rapport à la direction 
du vent est de 55°. 

Il faut employer ici la formule (4). 
comme ci-dessus la valeur moyenne de +, nous avons 


Admettant 


k » F 
m— 1,201; 5 — 41; 09 = 100; 0 =—107h; 
et, par suite, 
1,1 1,1 h RE 
$S —4 —4,9Q9 
. 1,84 cos 75° ne 11,84 X 0,2558 
(sin 75°) x — (0,9630) 2025 — 0,9856. 


440 RES 
Substituant ces valeurs dans (4), on obtient 
R'— 0,11 1,931 X 4,595 X 100 X 0,9836 — 61,20. 


17. Les formules (3), (4) et (5) donneront une ré- 
sistance seulement trop forte de quelques centièmes 
lorsqu'on les appliquera à des corps autres que des 
plaques minces présentant une surface plane au choc; 
mais elles ne peuvent plus convenir aux corps qui of- 
frent au choc un angle ou une surface courbe; la résis- 
tance de ceux-ci est beaucoup plus petite. Pour ces 
derniers corps, l'expression de la résistance évaluée 


dans la direction du mouvement devient 
An 12 
(6)... R—o,;11n08 0», 


dans laquelle s, est la projection de la surface choquante 
sur le plan perpendiculaire à la direction du mouve- 
ment, et n un coefficient dont la valeur varie avec la 
forme de la surface. D’après les expériences de Borda 
et de Hutton, les valeurs de n relatives à divers corps 


sont 
Valeur de n. 


Désignation des corps. 


Prisme présentant au choc un angle 


Er Gi iaMeR otonoeeho Lion 0,728 
Prismestd 0h. ren been MO DD 
Cône, angle au sommet de g0°. . . . . . 0,691 
Cône, id. CO Ne OS DO 
Cône, id. Di22 0e 00 100 
Demi-cylindre. . . . . . . . . . . . . . 0,570 
Demi-sphère et sphère entière, suivant 

Bordas ce CR nets 0,410 
Demi-sphère, suivant Hutton. . . . . . 0,413 


18. Cherchons, comme application de ces derniers 


résultats, quelle résistance éprouvera une boule de 6 cen- 
timètres de diamètre, pour se mouvoir dans un courant 
d'air avec une vitesse initiale d’impulsion de 5 mètres, 
en supposant de plus qu'elle soit lancée directement 
contre le courant d'air, dont la vitesse est de 5 mètres. 
Le baromètre marque 0",54 et le thermomètre 5°. 
Nous ferons d’abord une observation générale appli- 
cable tant aux fluides élastiques qu'aux liquides; c’est 
que lorsqu'un corps solide se meut dans un fluide en 
mouvement, on peut considérer comme en repos celui 
des deux corps qui a la plus petite vitesse, en suppo- 
sant que l’autre se meut avec la somme ou la différence 
des deux vitesses : la somme, lorsque les directions 
des mouyemens sont opposées ; la différence, lorsque 
ces directions sont les mêmes. Il n’y a donc rien à 
changer aux formules dans ce cas, en observant d'y 
donner à © ou à À la valeur qui répond à la vitesse re- 


lative des deux corps. 


RES 
Ici la direction de la boule étant opposée à celle du 
vent, la vitesse relative est 5 + 3 — 8"; de plus, la 
projection de la surface choquante, laquelle est la moitié 


de celle de la boule, est l’aire du grand cercle de cette 
boule: ainsi Ë 


VAL s 
8, — 3,1416 X + (0,06)? — 0"1,002827; 


mais toutes les puissances à exposant 1 d’une frac- 
tion étant une autre fraction plus petite que la base, si 
nous élevions le nombre 0,002827 à la puissance 1,1, 
au lieu d'augmenter la surface, nous la diminuerions, 
ce qui ne s’accorderait plus avec le principe de la for- 
mule (3). H faut donc ici, ou considérer la résistance 
comme proportionnelle à la surface, ce qui peut être 
permis pour de très-petites surfaces, ou changer d'unité 
de mesure, afin d'exprimer s par un nombre entier qui 
augmente en en prenant la puissance 1,1, sauf ensuite 
à ramener le résultat au mètre, qui est l’unité commune 
de toutes les autres quantités. Prenant, par exemple, le 
centimètre pour unité auxiliaire, l’aires, est exprimée par 


s, = 281,27, 
et l’on trouve 


Si — (28,27) — 391,49, 


ce qui, ramené au mètre carré, devient 


0"1,003949. 
Nous avons de plus 
0,74 k 
om —M, 7007 NIV, 2 
97 9 1,02 » 4, 


et, d’après la table précédente, n — 0,41. Ces valeurs, 


mises dans la formule (6), donnent 


R— 0,11 Xo,41 X 1,24 X0,003949 X 04 = 0 ,01415. 

Tel sera donc l'effort constant qu’il faudrait exercer 
sur la boule pour neutraliser la résistance de l'air, ou 
telle sera la force retardatrice du mouvement si la 
boule est abandonnée à elle-même. 

19. On ne peut plus compter sur les résultats des 
formules précédentes lorsque les vitesses sont très- 
grandes, et malgré les travaux si recommandables de 
Hutton, la science attend encore, soit des expériences 
qui puissent donner des indications précises, soit un 
théoricien assez habile pour poser à priori les lois de la 
mécanique des fluides, lois que n’ont pu découvrir jus- 
qu'ici les investigations des plus grands géomètres. Il 
existe, à la vérité, une foule de procédés pratiques 
dont les hydrauliciens et les ingénieurs de la marine se 
servent dans des cas particuliers; mais les résultats 


RÉS 
qu'on en tire ne sont que des approximations plus ou 
moins grossières qui ne font que montrer la nécessité 
de nouvelles recherches. 


RÉSISTANCE DES SOLIDES. On entend quelque- 
fois par résistance des solides la force avec laquelle les 
corps solides s'opposent au mouvement des autres 
corps qui leur sont contigus; mais, plus généralement, 
c’est la force développée par un solide contre toute ac- 
tion qui tend à changer sa forme ou à désunir ses par- 
ties. La première espèce de ces résistances, qu’on nom- 
mait jadis résistance des surfaces, étant proprement ce 
qu’on désigne aujourd’hui sous le nom de frottement 
(voy. ce mot), nous ne nous occuperons ici que des ré- 
sistances dues à l’adhérence qu'ont entre elles les par- 
ticules intégrantes d’un même solide. 

La détermination de la force capable de changer la 
forme d’un solide ou de le briser est une question d'une 
très-haute importance pour les arts physiques et prin- 
cipalement pour l'architecture ; aussi, depuis Galilée 
(voy. Bois), auquel on doit les premières vues théori- 
ques sur cet objet, plusieurs savans distingués, tels que 
Mariotte, Varington, les deux Duhamel, Muschen- 
broeck, Buffon, Lamblardie, Coulomb, Girard, Per- 
ronet, Rondelet, Aubri, Lamandé, Robins, Barlow, 
Navier, Tredgold, Duleau, Dupin et Séguin, ont fait 
de nombreuses expériences sur la résistance des maté- 
riaux de construction. Quoique les résultats de leurs 
recherches présentent de notables différences, ils n’en 
sont pas moins précieux pour la pratique, à laquelle ils 
apportent des principes que nous allons indiquer. 

1. Résistance à la compression et à l'extension. La 
ductilité et l’élasticité sont des propriétés communes à 
tous les corps solides, mais à des degrés très-différens 
et très-difMiciles à apprécier. Lorsqu'un solide est sou- 
mis à une force capable de le comprimer, sans aller 
toutefois jusqu’à le rompre, il arrive ou que son chan- 
gement de forme est accidentel, c’est-à-dire qu'il cesse 
avec la pression, ou qu’il est permanent, c’est-à-dire 
que l’arrangement primitif des parties constituantes du 
solide se trouve altéré d’une manière durable. Dans le 
premier cas, la force élastique de la matière surpasse la 
force de pression; dans le second, le contraire a lieu, et 
la ductilité est devenue sensible. Or, ce qu'il importe 
de connaître, pour employer avec sécurité Les divers 
matériaux qui doivent supporter, dans une construc- 
tion quelconque, des charges données, ce n’est pas seu- 
lement la pression sous laquelle ils sont susceptibles de 
se briser, mais encore celle qui fait équilibre à leur 
force élastique; car il est reconnu que quand un corps 
est soumis à une pression prolongée plus grande que 
sa force élastique, l’altération de ses parties augmente 
ayec le temps et finit par déterminer la rupture, Il est 


Ton. au. 


RÉS 441 
donc essentiel de ne pas dépasser les limites de l’élas- 
ticité, 

2. Les expériences faites jusqu'ici sur la résistance 
des corps à la compression sont en plus petit nombre 
que celles qui ont eu pour objet la résistance à l’exten- 
sion ; toutefois, les unes et les autres s'accordent sufi- 


Sanment pour qu’on puisse poser ce principe : 


TI. Les corps résistent à l'extension et à la compression 
avec des forces égales tant que la puissance à laquelle ils 
résistent ne dépasse pas les limites de la force élastique de 
la matière qui les compose. 

3. Pour mesurer la résistance des corps à l'extension, 
on les suspend verticalement par une extrémité, et on 
fixe à l’autre un plateau de balance qu’on charge suc- 
cessivement de poids de plus en plus grands jusqu’à ce 
que la rupture ait lieu, ou seulement jusqu’à ce qu’on 
ait déterminé le poids au-dessus duquel le corps ne re- 
prend plus sa forme primitive : ce dernier représente la 
force d’élasticité, C’est de cette manière qu’on a con- 
staté que la résistance d’un prisme, tiré dans le sens de 
sa longueur, était indépendante de cette longueur et 
proportionnelle à l’aire de la section perpendiculaire à 
la direction des forces. Cependant les métaux en fil font 
exceplion à cette règle; toutes les expériences s’accor- 
dent pour montrer que leur résistance est d’autant plus 
grande, sous l'unité de section, que le diamètre des fils 
est plus petit. C’est donc abstraction faite des fils mé- 
talliques qu’on peut admettre ce second principe pra- 
tique : 


IL. La résistance d'un solide taillé en prisme ou en 
cylindre, à une force qui agit dans le sens de sa longueur, 
est en raison directe de l'aire de la section perpendiculaire 
à la longueur, tant que l'élasticité reste entière et que la 
force coïncide avec l'axe. 


Quels que soient d’ailleurs la nature du corps et son 
diamètre, on a reconnu en outre que 


UT. L'extension d'une barre, par une force qui agit 
dans le sens de sa longueur, est en raison directe de cette 
force, quand l'aire de la section est la même et que la force 
ne surpasse pas l’élasticité de la barre. 

4. Les trois principes que nous venons d’énoncer 
servent de base à la théorie de la résistance des maté- 
riaux ; mais leur application exige la connaissance des 
limites de la force élastique des divers corps employés 
dans les constructions, limites très-variables d’ailleurs, 
pour une même substance, et dont on ne peut déter- 
miner que les valeurs moyennes. Nous désignerons par 
le nom de force élastique le plus grand poids en kilo- 
grammes sous la pression duquel un corps n'éprouye 
pas d’altération durable, et nous réunirons dans le ta- 
bleau suivant les résultats les mieux constatés. 


56 


RES 


Force elastique 


449 


Extension correspondante 


Substances essayées, par centimètre carré par mètre 


de section. de longueur. 
Ferforce 2 1250 kil. . . 0",000713 
Eonie "#9" 1075 . . 0, 000830 


Bronze des canons . . . . 705 . . . . 0, 001043 


Cuivre jaune. . . . : . . 1265 . . . . 0, 000750 
Plomb fondu.. . . . . . . 105 . . . . 0, 002088 
HR et © net er À © 202 . . . . 0, 000625 
INC CONÉ, :y51 Lust 
GhéNete ete eee 
OPME MERE TRUE 
HTétren Pi SUR MAL 


Pin d'Amérique. . 


4o1 . . . . 0, 000238 
278 . . . . 0, 002325 
228 « +: .: + 0, 002415 
1661042 10,1001704 
274 + ..0.,05 002410 
Sapin rouge. . . 902. -,-10; 002128 
Sapin blanc. . . . . . .. 255... . o, 001984 
Marbre blanc.. . . . . . . 127 . . . . 0, 000528 
Pierre detaille (calcaire). . 60 . . . . 0, 000559 


Fanons de baleine. . . .. 351.... 0, 006857 


Les exemples suivans, où nous rappellerons les for- 
mules employées pour calculer les divers cas de résis- 
tance, indiqueront l'emploi de cette table. 


L® Prosceme. Délerminer l'aire de la base d'une barre 
ou colonne capable de soutenir verticalement un poids 
donné. 


Nous supposons ici qu’une barre fixée verticalement 
par son extrémité supérieure est tirée par un poids 
placé à son extrémité inférieure, cas où la longueur de 
la barre n’exerce aucune influence sur la résistance 
qu’elle peut opposer. 

Soit Q la charge donnée. Nommons P un poids tel 
qu’une barre de la matière en question, d’un centimètre 
carré de base, n’en pourrait soutenir un plus considéra- 
ble sans que sa force élastique soit altérée, c’est-à-dire 
le poids désigné dans la table sous le nom de force élas- 
tique, et désignons par À l’aire de la base cherchée, 
Nous avons en vertu du second principe et én prenant 
le centimètre carré pour unité de surface 


PE OA 
d’où 


Ainsi l’aire de la section doit être en raison directe du 
poids que la pièce doit soutenir, et en raison inverse de 
celui qui pourrait altérer la force élastique de la matière 
de cette pièce. 

Dans le cas où il s’agirait d’une barre de fer forgé, 


RÉS 


k 
substance pour laquelle la table donne P = 1250 , des- 
tinée à soutenir un poids Q — 2000', on aurait 


— 1,6 cent. carré. 


Si la barre devait être à base carrée, on trouverait le 
côté a de cette base en posant 


(2) ..a— Le 


à cause de a = V/A. 

S’il s'agissait d’une barre cylindrique, le rayon r de 
la base devant être tel que A — xr°, égalité dans la- 
quelle 7 désigne le rapport de la circonference au dia- 
mètre ou le nombre 3,1415926..., on aurait pour la 
valeur de ce rayon 


(ER A Pal 


Avec les données précédentes, on trouverait 


2000 5 
O— 7e = 1°" ,265 
1250 
2000 


cent. 
VE — Ares n —= 0 ,509. 


II: PRosLÈME. Déterminer la plus grande charge que 
peut supporter en un point quelconque une barre rectan- 
gulaire uniforme appuyée par ses extrémités. (PI. IT, 
fig. 6.) 


Nommons 


P le poids équivalent à la force élastique de la barre; 

L la distance des points d'appui; 

p et q les distances du point chargé aux points 
d'appui ; 

b la largeur de la barre; 

d son épaisseur où sa dimension parallèle à la force 
de pression ; 

Q la charge cherchée,. 

Par des considérations théoriques dont le détail ne 

peut trouver place ici, on trouve la formule 
Pbd?l 


COEREE 


qui contient la solution du problème et de toutes les 
autres questions qui en dépendent, 
Si la barre était chargée en son milieu, on aurait 


Li 


P—=q— =: l, et la formule deviendrait 


Prenons pour exemple une barre rectangulaire de 
fonte de 6 mètres de long, entre les points d'appui, de 
45 millimètres de largeur et de 80 millimètres d’épais- 


seur, nous aurons, en rapportant toutes ces dimensions 
au centimètre comme unité, 
60e 4,55 dE: 
et, de plus, la table nous fait connaître P — 1095. 
Ainsi, dans le cas où la charge doit agir au milieu de la 
barre, on a 
21X 4075 4,519181 k 


— 3 X 600 


c'est-à-dire qu'on ne pourrait charger cette barre en son 
milieu d’un poids plus grand que 544 kil. sans altérer 
son élasticité. 

III" Prosrëme. Etant données la largeur d'une barre 
uniforme et sa longueur entre les points d’appuis, trouver 
l'épaisseur qu'elle doit avoir pour résister à un poids 
qui agit sur un de ses points. 

L’équation (4) donne, en dégageant d qui est ici 


l’inconnue, 


(6)... d= 


ab Wire 
et, simplement, dans le cas de p = q — :b c’est-à- 


dire lorsque le poids agit au milieu, 


S'il s'agissait de trouver la largeur b, l'épaisseur p 
étant donnée, on aurait évidemment 


___ 6pq9Q 
(8)... b= on : 


51Q 
(QD Pi” 


La première de ces formules se rapporte à une charge 
placée en un point quelconque de la barre, et la seconde 
à une charge placée au milieu. 

Nous ferons observer que toutes ces formules peuvent 


s’apptiquer à des barres inclinées comme AB (PI. XXI, 


fig. 7), en ayant le soin de prendre pour ! la distance 
CD des appuis. 


IV° Proscëme. Déterminer la plus grande charge que 
peut supporter une barre rectangulaire appuyée par ses 
extrémités, dans le cas où cette charge est distribuée uni- 
formément entre les points d'appui. 


L'expérience a montré que lorsque le poids est ré- 
Fe ; Ù 5 : 
parti uniformément, l'effort n’est que les 8 de celui qui 


aurait lieu en réunissant le même poids au centre: ainsi 


RÉS 443 


8 
muitipliant le second membre de la formule (5) par =, 


il vient 


ps 16 Pbd? 


151 


formule dans laquelle on pourra prendre ensuite b ou d 
pour l’inconnue. 


V° ProscÈème. Trouver la plus grande charge que peut 
porter à une de ses exirémités une barre reclangulaire ho- 
rizontale encastrée par son autre extrémité. (PI. XXI à 
fig. 8.) 

Lorsqu'une pièce est fortement fixée par une extré- 
mité et qu’elle est chargée à l’autre, le poids qu’elle peut 
supporter n’est que 2 de celui qu’une pièce de même 
longueur, soutenue aux deux extrémités, pourrait por- 
ter à son milieu. Conservant donc les mêmes dénomi- 
nations, nous ayons 


GDS 10— — 


Si la charge était répartie uniformément, l'effort serait 
moitié moindre, et l’on aurait 


5. Toutes les formules précédentes se rapportent à 
des barres rectangulaires; pour les appliquer à des 
barres cylindriques, il suffit de multiplier la valeur de 
Q par le facteur numérique 0,589, et alors b et d repré- 
sentent l’une et l’autre le diamètre du cylindre. 

6. Les barres chargées de poids prennent une in- 
flexion à leur milieu qui, dans certaines circonstances, 
ne permet pas de leur faire supporter là plus grande 
charge dont elles sont susceptibles. Les problèmes sui- 
vans vont apprendre à calculer cette inflexion. 


VI* ProsLème. Déterminer la flèche de courbure que 
prendra une barre chargée à son milieu et soutenue par 
ses etrémités dans le cas du maximum de charge. 


Nommons I l’inflexion exprimée en mètres, e l’ex- 
tension par mètre correspondante à la plus grande 
charge et donnée par la table du n° 4, et désignons 
toujours par ! la longueur de la barre ou plutôt la dis- 
tance des points d’appuis, et par d l'épaisseur. Nous 
aurons 


Cherchons, par exemple, la flèche de courbure que 
prendra la barre du problème 11° sous la charge maxi- 
mum de 544 kilogrammes. Ici, nous avons | — 6 mè- 


tres, d = 80 millimètres, et la table nous fait connaître 


444 RES 
e —0",000830. Substiluant ces valeurs dans la formule 
(153), en observant qu’il faut poser d— 0",08 pour rap- 
porter tout au mètre comme unité, il viendra 

0,00083 X 6°? 


I = — —— — 0",060225 
6 X 0,08 k F 


c'est-à-dire que la barre de fonte sera infléchie à son 
milieu d’un peu plus de 62 millimètres; de sorte que 
si cette inflexion était trop grande pour l'usage qu’on 
voudrait faire de la barre, il faudrait augmenter son 


épaisseur ou diminuer la charge. 
5 


VII Prosckur. Trouver l'inflexion que prendra une 
barre rectangulaire chargée à son milieu d'un poids Q' 
plus petit que celui qui fait équilibre à sa force élastique. 

Conservant les mêmes dénominations et représentant 
par à l'inflexion demandée, nous aurons 


Q'el 
APE 
Cette formule nous donne le moyen de déterminer la 


charge correspondante à une inflexion donnée: il ne 


faut qu'isoler Q' dans le premier membre: ce quidonne 


Cherchons, par exemple, la charge qu’on peut faire 
supporter à la barre de fonte des questions précédentes, 
sans que son inflexion dépasse 15 millimètres. Nous 
ayons 

— 0,015; b— 0",045; d — 0,080 ; L —6; 


e — 0",00085; 


et comme tout est rapporté au mètre pour unité, nous 
donnerons à P une valeur 10000 fois plus grande que 
celle de la table, c’est-à-dire que nous poserons 
19 — 10750000". Substituant ces valeurs dans la for- 


mule, il vient 


© & X0015 X 10750000 0,045) ‘(0,08)° 
Le % LA pee PT A] 3 à À 
0,00083 X (6) 


— 85 kil. 


Donc, si l'on ne veut pas que la barre en question 
prenne une inflexion plus grande que 15 millimètres, 
il ne faut la charger que de 85 kilogrammes. 

Dans le cas où Îles pièces seraient uniformément 


chargées sur toute leur longueur, l’inflexion serait les 
5 : 
5 de celles que donnent les formules (15) et (14). 

7. Résistance des vases à des pressions intérieures. 
Lorsqu'un ÿase cylindrique fermé exactement contient 
un fluide élastique dont la tension surpasse la tension 
atmosphérique extérieure, les paroïs sont pressées in- 


térieurement de dedans au dehors et également sur 


RES 

tous les points. Cette pression tend à faire éclater le 
cylindre, qui ne peut cependant se déchirer que suivant 
une arête ou un cerele perpendiculaire à son axe; mais 
comme l'effort qui a lieu dans le sens de l’arête est 
deux fois plus grand que celui qui tend à déchirer le ey- 
lindre perpendiculairement à son axe, nous ne nous oc- 
cuperons pas de ce dernier. Or, si nous nommons R le 
rayon du cylindre et p la pression sur l'unité de lon- 
gueur, il est facile de voir que le produit pR représente 
la force qui tend à briser le cylindre à chacun de ses 
points. Ainsi, pour que la paroi puisse résister sans al- 
tération à cette force, il faut que son épaisseur soit 
égale à l'épaisseur d’une barre rectangulaire qui, ayant 
unité de largeur, pourrait supporter sans altération la 
pression pR, p étant alors la pression du fluide sur 
l'unité de surface. Or, en prenant le centimètre carré 
pour unité de surface, la plus grande charge d'une 
barre rectangulaire d’une largeur égale à un centimètre 
et d’une épaisseur — d est ([* PROBLÈME), 


Q— Pd, 


P représentant toujours le poids équivalent à la force 
élastique de la matière; done, d’après ce que nous ve- 
nons de dire, 


PAIDRE 
d’où l’on tire 


(16)... d=—. 


Ainsi, pour déterminer l'épaisseur de la paroi d’un 
cylindre qui doit supporter une pression intérieure p 
sur l'unité de surface, il faut multiplier cette pression p 
par le rayon du cylindre, et diviser le produit par le 
poids équivalent à la force élastique de la matière du 
cylindre. 

Proposons-nous de trouver l'épaisseur d’un vase cy- 
lindrique en fer forgé capable de contenir sans altération 
un gaz comprimé à 15 atmosphères, pression effective, 
et ayant 1",20 de diamètre. Rapportant tout au centi- 
mètre comme unité, nous ayons 


REG 15°,519, D == 1950', 


et par suite 


15,512 X Go, 


d La es S ces VOLE 0,745. 


L'épaisseur demandée est donc de 7 millimètres et 
demi. Dans la pratique, et lorsqu'il s’agit de chaudières 
destinées à contenir de la vapeur, on prend une épais- 
seur à fois plus grande que celle que donne le calcul 
parce qu'il est reconnu que la tenacité des métaux di- 
minue à mesure que leur température augmente. 


RÉS 


8. Résistance à la torsion. La résistance qu’un arbre 
ou axe oppose à une force quitend à le tordre se nomme 
résistance à la torsion. 

Soit Q le poids porté par l'extrémité du rayon R 
d’une roue placée sur un arbre et produisant la plus 
grande torsion que cet arbre puisse prendre sans altérer 
son élasticité, d le diamètre de l'arbre, { sa longueur et 
P sa force élastique, la valeur de Q est donnée par la 
formule 


qu'on peut également employer pour trouver dlorsque 
Q est donné. 

Les formules que nous venons de donner s’appli- 
quent aux cas les plus ordinaires de la pratique; mais 
il en existe une foule d’autres non moins utiles pour 
lesquelles nous ne pouvons que renvoyer aux ouvrages 
spéciaux, tout en regrettant qu'aucun de ces ouvrages 
ne présente un traité complet sur cette matière impor- 
tante. (Voy. l'Essai pratique de Tredgold sur la Résis- 
tance du fer et d'autres métaux.) 


RÉSULTANTE (Méc.) On donne ce nom à la force 
unique dont l’action produirait le même effet que celui 
de plusieurs forces qui agissent simultanément sur un 
mobile. Ces dernières prennent alors le nom de compo- 
santes par rapport à la première. 

Les relations, qui existent entre une résultante et ses 
composantes forment la base dela statistique. Nous al- 
lons en donner la déduction, après avoir préalablement 
rappelé quelques-unes des notions générales de la méca- 
nique. 

1. On peut concevoir un corps quelconque comme 
composé d’une infinité de points matériels liés entre 
eux d’une manière particulière, suivant la nature parti- 
culière de ce corps, qui devient ainsi un système de points. 
L'équilibre ou le mouvement d’un tel système dépen- 
dant évidemment de l'équilibre ou du mouvement de 
ses parties composantes, nous considérerons d’abord 
l’action des forces sur un seul point matériel isolé. 

2. Une force qui agit sur un point matériel peut le 
faire de deux manières différentes, ou en le poussant 
devant elle, ou en l’entraînant de son côté: l'effet pro- 
duit étant toujours le même, on peut employer indit- 
féremment l’une ou l’autre de ces hypothèses. 

3. On nomme direction du mouvement la ligne droite 
suivant laquelle une force agit. 

4. Lorsqu'une seule force agit sur un mobile, il se 
meut nécessairement en ligne droite; car il n'y a au- 
cune raison pour qu'il change de direction. 

5. Si plusieurs forces, de la nature de celles qu'on 
nomme instantanées (voy. Force), agissent simultané- 
ment sur un mêmepointmatériel, le mouvement s'effec- 


445 


tue encore en ligne droite, car ces forces ne peuvent 
que se modifier réciproquement, pourproduire un effet 
unique. Ainsi, comme cet effet unique peut être attribué 
à l’action d'une seule force , il est toujours possible de 
remplacer par une force unique toutes les forces qui 
font mouvoir un point. 

6. On nomme système de force l’ensemble des forces 
qui concourent à produire le mouvement, et ces forces 
elles-mêmes, considérées par rapport à la force unique, 
ou résultante qui peut les remplacer, se nomment les 
composantes. 

7. Lorsque plusieurs forces appliquées à un même 
point matériel se détruisent, de manière que le point 
reste en repos, on dit qu'il est en équilibre, ou que les 
forces se fontéquilibre. Supposons, par exemple, qu'un 
point A (PI. XXI, fig. 9) recoive simultanément l’ac- 
tion des deux forces égales P et P', dont la premiere le 
pousse dans la direction AP et la seconde dansla direc- 
tion opposée AP’, ce point ne pouvant obéir à l’üne de 
ces impulsions plutôt qu’à l’autre, demeurera néces- 
sairement en repos. Il en serait encore de même si, outre 
les deux forces P et P’, le point À recevait encore l’ac- 
tion de deux autres forces égales Q et Q'oppostes dans 
leur direction. 

Dans tous les cas où un système de forces appli- 
quées simultanément à un point matériel produit le 
mouvement, ilest visible qu’en ajoutant au système 
une force égale à la résultante et agissant dans une di- 
rection opposée, le nouveau système sera en équilibre; 
car on pourra le considérer comme composé de deux 
seules forces égales et opposées. La question d’établir 
l'équilibre dans un système de forces données dépend 
donc de la détermination de leur résultante. Ce pro- 
blème, qu’on désigne sous le nom de composition des 
forces, est le problème fondamental de la statistique ; il 
présente plusieurs cas particuliers. 

8. Lorsque plusieurs forces agissent sur un point dans 
la même direction, leur résul!ante agit nécessairement 
dans cette même direction, et elle est égale à leur 
somme. Si quelques-unes seulement de ces forces agis- 
sent dans une même direction, el toutes Les autres dans 
uve direction opposée, la résultante est égale à la dif. 
férence entre la somme des premicres et celle des se- 
condes, et agit dans la direction de la plus grande somme. 
Le problème ne présente de difMiculté que dans le cas 
où les directions des composantes forment des angles 
entre elles. 

9. Considérons d’abord le cas le plus simple, celui 
de deux forces égales tirant simultanément le point A 
(PI. XXI, fig. 


entre elles un angle quelconque MAN. Le point À ne 


10) dans les directions AN et AM faisant 


pouvant se mouvoir en mème temps sur deux directions 


différentes, prendra une direction intermédiaire AR, et 


446 RÉS 


comme il n’existe aucune raison pour que cette direc- 
tion de la résultante soit située plus près de AM que 
de AN, au-dessus plutôt qu’au-dessous du plan de ces 
directions, -elle divisera évidemment l’angle MAN en 
deux parties égales. 

Ainsi représentant l’intensité de la première force par 
la droite AP prise sur sa direction AB, et l'intensité de 


la seconde force par la droite AP' — AP, prise égale- 
ment sur sa direction AN, si nous eonstruisons le paral- 
lélogramme APQP’, la diagonale AQ de ce parallélo- 
gramme sera la direction de la résultante dont il ne 
nous reste plus qu’à trouver la grandeur, et nous pour- 
rons poser comme théorème : 

La résultante de deux forces égales concourantes ‘à un 
même point a pour direction la diagonale du parallélo- 
gramme construit sur ces forces. = 

10. AP et AP'représentant toujours deux forces égales 
qui agissent sur le point À (PI. XXI, fig. 11), supposons 
que la force AP' croisse de la quantité PQ — AP, ou 
qu'elle devienne double de la force AP, la résultante 
des deux forces AP et AQ, dont la première est moitié 
plus petite que la seconde, sera encore dirigée suivant 
la diagonale AS de leur parallélogramme. En effet, la 
diagonale AR du parallélogramme construit sur les 
forces égales AP et AP'étant la direction de leur résul- 
tante ou le chemin que parcourt le point À par l’action 
de ces forces, imaginons les points À et R liés entre 
eux d’une manière invariable; l’un ne pourra se mou- 
voir sans entrainer l’autre, et le résultat sera le même, 
soit qu'on considère le point À comme tiré par les forces 
AP et AP’ dans la direction AR, ou le point R comme 
poussé dans la direction RM par les forces PR et PR. 
On peut doncsubstituer au système des trois forces AP, 
AP’, PQ, celui des trois forces PR, PR, PQ. 

Mais la force P'R, qui pousse le point R, agit comme 
si elle entrainait le point P', et on peut encore substituer 
aux forces P'R et PQ égales et concourantes aupoint P', 
une force agissant dans la direction de leur diagonale 
P'5. Ainsi les trois forces PR, P'R, P'Q se réduisent à 
deux forces, l'une dirigée suivant PR ou RS, et l’autre 
suivant P'S, dont la résultante doit nécessairement pas- 
ser par le point de concours S ; car on peut considérer 
les forces RS et PS comme agissant à leur point de 
concours, et ce point 5 devant être mu de la même 
manière que s'il était sollicité par l’action simultanée 
de ces deux forces, né peut être qu’un ‘des points de la 
résultante. Or, cette résultante devant être celle de tout 
le système, passe aussi par le point A : donc elle a né- 
cessairement pour direction la diagonale AS. 

En augmentant la force AQ = 2AP d’une nouvelle 
quantilé AP, on démontrerait par les mêmes raisonne- 
mens, que la résultante des deux forces AP et 3AP est 
dirigée suivant la diagonale de leur parallélogramme, et 


RÉS 


par suite qu’il en est toujours ainsi pour la force AP et 
AP, AP et 5AP, etc. Donc, en général, m désignant 
un nombre entier quelconque, deux forces AP et mAP, 
dont les grandeurs sont entre elles dans le rapport 
1: m, ont leur résultante dans la direction de la diago- 
nale de leur parallélogramme. 

La même marche appliquée successivement aux 
forces m X AP et 2AP, m X AP et3AP, etc. prouve- 
rait que la proposition a encore lieu pour deux forces 
dont les grandeurs sont entre elles dans le rapport de 
deux nombres entiers quelconques m et n, et il est fa- 
cile de s’assurer, par une réduction à l’absurde, qu’elle 
s'étend au cas de deux forces incommensurables. 

Soient, en effet, deux forces représentées, en gran- 
deur et en direction, par les droites incommensurables 
entre elles AP et AQ (PI. XXI, fig. 12), si leur résultante 
n'était pas dirigée suivant la diagonale AR de leur pa- 
rallélogramme, elle aurait une autre direction AR’ qui 
couperait en un certain point R le côté PR du parallé- 
logramme ou son prolongement; et alors, en prenant 
entre R' et R un point O, tel qu'en menant ON paral- 
lèle à AP, les droites AP et AN soient commensurables 
entre elles, la diagonale AO serait la direction de la ré- 
sultante des deux forces AP et AN. Mais la force AP 
restant la même, la résultante doit se rapprocher d’au- 
tant plus de l’autre composante que cette composante 
est plus grande; ainsi il est absurde que AR! soit la 
direction de la résultante de AP et de AQ, tandis que 
AO est la direction de la résultante de AP et de AN. Il 
est donc impossible de supposer que la résultante de 
deux forces incommensurables ait une autre direction 
que la diagonale de leur parallélogramme. Ceci posé, 
il est facile de démontrer le théorème suivant, qui 
renferme toute la composition des forces. 

11. Taéorkme. La résultante de deux forces quelconques 
appliquées à un même point et représentées par des droites 
prises sur leurs directions, à partir de ce point, est re- 
présentée en grandeur et en direction par la diagonale du 
parallélogramme construit sur ces deux forces. 

Désignons par P et Q les composantes et par R leur 
résultante. Les forces P et Q étant représentées par les 
droites AP et AQ (PI. XXL, fig. 15), si, au point À et 
dans la direction de la diagonale AM du parallélo- 
gramme construit entre AP et AQ, nous appliquons 
une force AR égale et directement opposée à la résul- 
tante R, les trois forces AP, AQ, AR seront en équi- 
libre (8), et nous pourrons considérer une quelconque 
d’entre elles, AQ, comme égale et directement opposée 
à la résultante des deux autres. Ainsi, menant par le 
point P une droite PQ” parallèle à AR, le point Q' où 
celte parallèle rencontre la direction de la résultante 
AQ' de AP et de AR, déterminera la grandeur du côté 
PQ', qui, dans le parallélogramme des forces AP et AR, 


| 


RES 


est égal et opposé au côté AR ; mais PM étant parallèle 
à AQ', le quadrilatère AQ'PM est un parallélogramme; 
donc PQ'— AM, et par conséquent AM — AR = R. 
Ainsi la diagonale AM représente non seulement la di- 
rection de la résultante des deux forces P et Q, mais 
encore sa grandeur. ‘ 

Cette démonstration du parallélogramme des forces 


est la plus simple et la plus rigoureuse de toutes celles : 


qui reposent sur des considérations géométriques. Elle 
est due à M. Duchayla. (Voyez Force, tome IL.) 

Signalons maintenant les principales conséquences 
de ce théorème. 

Si les deux forces P et Q sont égales entre elles, on 
a dans le triangle rectangle (fig. 14, PI. XXI) APO, en 
désignant l’angle PAO, moitié de l'angle PAQ des 
forces, par », 


1:cosp— AP; AO; 


d'où 
AO—'AP X cos 9; 
mais 
AP—P etAO—- AR—-R, 
2 2 
donc 


R—2P cosc. 


e 


Cette formule fait connaître la grandeur de la résul- 
tante R de deux forces égales P faisant entre elles un 
angle 2». 

12. Si les forces P et Q sont à angle droit (PI. XXI, 
fig. 15), on a dans les triangles rectangles APR, AQR 


AP—AR.cos PAR, AQ— AR. cos QAR. 


ou, désignant par » l'angle de la résultante AR — R 
avec la force AP == P, 


P—Rcosy, Q—Rsineo, 


on a, de plus, 
R? — P? + Q°. 


15. L’angle PAQ des composantes (PI. XXI, fig. 16) 
étant différent d’un droit, si nous le désignons par +, et 
par ? celui de la résultante avec une des composantes 
P — AP, comme l'angle APR est le supplément de 
l'angle 4, nous aurons 


R:Q—sin 


: sin », 


c’est-à-dire que la résultante est à une composante 
comme le sinus de l’angle des composantes est au sinus 
de l’angle compris entre la résultante et l’autre compo- 
sante. 

14. Enfiu, quel que soit l'angle PAQ des compo- 


RÉS 447 
santes (fig. 16, PI. XXI), le triangle APR donne (voy. 
TRiGONOMÈTRIE, tome IT) 


=") == 9 — 
AR — AP PR — AP X PR X cos APR; 


Mais PR — AQ, et comme l’angle APR est le supplé- 
ment de l’angle des forces, PAQ — +, on a 


cos APR —— cos Ÿ; 


donc 
R?=— P? + Q? + 2PQ cosy. 


Cette expression fait connaître la grandeur de la résul- 

tante de dêux forces quelconques P et Q faisant entre 

elles un angle quelconque 4. En y posant 4 — 90°, on 

retrouve la formule du n° 12, et en prenant P —Q, 

celle du n° 11. S 
Le même triangle APR donne encore 


AP : PR : AR — sin PRA : sin PAR : sin APR. 


Or, prolongeant AR en R' et observant que PR — AQ 
et que 


sin PRA = sin RAQ — sin R'AQ, 
sin PAR — sin PAR!', 
sin APR — sin PAQ, 


on yoit que cette proportion est la même chose que 


P:Q:R— sin R'AQ : sin PAR: sin PAQ. 


Maintenant, si l’on applique au point A une force 
AR'— R' égale et directement opposée à la résultante 
R, le système des trois forces P, Q, R' sera en équi- 
libre, et comme R!/— R, on aura également entre ces 
trois forces la relation 


P:Q:R'— sin R'AQ : sin PAR": sin PAQ, 


d'où l’on peut conclure que trois forces sont en équilibre 
lorsque la grandeur de chacune d’elles est proportionnelle 
au sinus de l'angle formé par la direction des deux autres. 

15. Le parallélogramme des forces conduit immé- 
diatement à la détermination de la résultante d’un 
nombre quelconque de forces appliquéès à un même 
point, lors même qu'elles he sont pas situées dans un 
même plan; car, en les composant deux à deux, on 
peut toujours diminuer successivement le nombre des 
forces du système et les réduire enfin à une seule, qui 
est la résultante générale. Soient, par exemple (fig. 17, 
PI. XXI), les forces P, P', P’, etc., qui concourent au 
point À, les ayant représentées par les parties AP, AP'. 
AP”, ete., de leurs directions, on construira sur AP et 
AP" le parallélogramme APRP', dont la diagonale AR 
sera la résultante des deux forces P et P'; sur AR et AP”, 
on construira ensuite le parallélogramme APR'P', et sa 


448 RÉS 


diagonale AR’ sera la résultante des trois forces P, P’, 
P'; construisant encore sur AR' et AP” le parallélo- 
gramme ARR°'R", on aura, pour la résultante des 
quatre forces P, P', P", P' la diagonale AR", et ainsi 
de suite. En procédant de cette manière, on parviendra 
toujours soit à une dernière diagonale qui sera la résul- 


tante du système, soit à deux forces directement oppo- 


sées. Si le système était en équilibre, ces deux dernières : 


forces seraient égales. 

16. Lorsque les forces concourantes à un même 
point ne sont qu'au nombre de trois et que leurs direc- 
tions ne sont pas comprises dans le même plan, la con- 
struction précédente fait connaitre une propriété très- 
importante de la résultante. Soient, en effet, les trois 
forces P — AP, P'— AQ, P'— AR (PI. XXI, fig.18), 
dirigées d’une manière quelconque dans l’espace; con- 
struisons dans le plan des deux forces AQ et AR le pa- 
rallélogramme AQTR, la disgonale AT sera la résul- 
tante de ces deux forces, et si nous construisons ensuite 
dans le plan des deux droites AT et AP le parallélo- 
gramme PATS, sa diagonale AS sera la résultante des 
deux forces AT et AP ou celle des trois forces AP, AQ 
et AR; mais il est facile de voir que AS est la diagonale 
du parallélipipède construit sur les trois forces AP, AQ 
et AR; donc la résultante de trois forces appliquées à un 
méme point et dont les directions ne sont pas dans le 
même plan est représentée en grandeur et en direction par 
la diagonale du parallélipipède, construit sur ces forces. 

Les relations connues entre la diagonale d’un paral- 
lélipipède et ses trois arêtes donnent immédiatement 
la valeur de la résultante AS, que nous nommerons S. 
Désignons respectivement par (P, Q), (P, R), (Q, R) 
les angles que font entre elles les forces P et Q, PetR, 
Q et R, nous aurons | 


S' = P?+Q? +R? + 2PQ cos (P,Q) 
+ 2PR cos (P,R) + 2QR cos (Q,R). 


Si les forces P, Q et R sont perpendiculaires entre 
elles, on aura simplement 


S?—P?+ Q? +R? 


17. La décomposition des forces repose sur les mê- 
mes principes que leur composition. Il est évident, 
d’après ce qui précède, qu’on peut toujours substituer 
à une force quelconque un système de deux forces agis- 
sant dans le même plan ou un système de trois forces 
agissant dans l’espace à trois dimensions. Soit en effet 
AR une force appliquée à un point A (PI. XXI, fig. 19) 
représentons par AP une autre force d’une direction 
quelconque, joignons les points P et R par la droite 
PR, menons RQ parallèle à AP et AQ parallèle à PR, 
AR sera la diagonale du parallélogramme AQRP, et 
l'on pourra conséquemment remplacer la force AR par 


RÉS 


les deux forces AQ et AP. Prenons maintenant hors du 
plan AQRP une droite AS pour représenter une autre 
force d’une grandeur et d’une direction arbitraire, me- 
nons SQ puis AT parallèle à SQ et TQ parallèle à AS, 
AQ sera la diagonale du parailélogramme ASQT, de 
sorte que nous pourrons remplacer la force AQ par les 
deux forces AS et AT; ainsi la force primitive AR 
pourra être remplacée par les trois forces AP, AT, AS. 
Cette décomposition peut s'effectuer d’une infinité de 
manières différentes, puisque les forces AP et AS sont 
entièrement arbitraires. 

18. Lorsqu'on décompose une force, on assujettit 
ordinairement les composantes à la condition d’être 
perpendiculaires entre elles, ce qui simplifie les rela- 
tions; mais alors les grandeurs de ces composantes se 
trouvent déterminées par les angles qu’elles font avec 
la résultante, et l’on ne peut prendre aucune d’elles ar- 
bitrairement. Soit, par exemple, AR (PL XXI, fig. 15) 
la force qu’on veut remplacer par deux autres forces 
rectangulaires appliquées au même point A ; menons la 
droite AP dans une direction quelconque, puis la droite 
AQ perpendiculaire à AP; du point R abaissons res- 
pectivement sur AP et sur AQ les perpendiculaires RP 
et RQ, ces perpendiculaires détermineront les compo- 
santes AP et AQ ; et l’on voit que dans cette construc- 
tion il n’y a d'arbitraire que l'angle PAR. S’il s'agissait 
de décomposer AR en trois forces rectangulaires, dans 
l’espace, on pourrait de nouveau prendre une compo- 
sante d’une direction quelconque, en ‘opérant de la 
même manière. 

19. Nommons &, 8 et y les angles que trois forces 
rectangulaires X, Y, Z font respectivement avec leur 
résultante R, et observons que puisque R est la diago- 
nale du parallélipipède rectangle construit sur les 
droites X, Y, Z, nous avons (Géo. , 15) 


X—Rcosu, Y—Recosfÿ, Z—Rocos), 


et 
R— [x +v+%], 


les angles «, Bet y sont d’ailleurs liés par la relation 
(Géo. , 13) 


cos a + cos 8 + cos? y— 1. 


Ces équations servent à trouver la valeur et la direction 
de la résultante lorsque les composantes sont données, 
et vice versd. 


20. Si l’une des composantes est nulle, Z, par exem-. 


ple, on a seulement 
X=Roeose, Y—Recosp, 


n=/[x+v]: 


RÉS 
dans ce cas, la résultante R est comprise dans le plan 
des deux composantes X et Y, comme nous l’avons vu 
ci-dessus. 

21. Ces dernières expressions conduisent facilement 
aux conditions d'équilibre d’un nombre quelconque de 
forces appliquées à un même point et comprises ou non 
dans un même plan. Soient P, P', P', etc. (PL. XXI, 
fig. 20) des forces concourantes au point A et que nous 
supposerons d’abord situées dans un même plan; me- 
nons par le point A les axes rectangulaires AX, AY, et 
représentant, les forces P, P', P', etc., par les parties 
AP, AP’, AP’, etc., de leurs directions; décomposons 
chacune de ces forces en deux autres dirigées suivant 
les axes AX et AY. De cette manière, le système donné 
sera transformé en un autre qui ne contiendra plus que 
des forces dirigées suivant les deux axes, et dont il sera 


facile de trouver la résultante. 


Nommons , x, «’, etc., les angles que les forces P, 
P', P’, etc., font avec l’axe cos x, et B, f', f, etc., les 
angles qu’elles font avec l’axe des y. Si nous considé- 
rons en particulier la force P ou AP, nous verrons que 
ses deux composantes AM et AN ont pour valeurs 


AM—Pcos«, AN—P cos, 


et qu’en général les composantes dans le sens des x 
sont exprimées par 


PICOs x. PACosu,. PÉCos xs etc. 


et les composantes dans le sens de y par 


PicosB;. P'cos£, P’cosf',. etc. 


Prenant la somme de toutes les composantes qui agis- 

sent dans le sens des x et la nommant X ; prenant éga- 

lement la somme de toutes les composantes qui agis- 

sent dans le sens des y et la nommant Y, nous aurons 
\ 

“ss. (a) 


P cos « + P'cos «+ P'cos «+ etc. — X, 
P cosB + P' cos f'+ P' cos £’ + etc. = Y, 


et, par conséquent , toutes les forces proposées seront 
» PAP 


réduites à deux forces rectangulaires X et Y, dont la 
résultante R aura pour valeur ..….. (b) 


R?— X° + y’, 


22. Il est essentiel, en formant la somme des compo- 
santes par rapport à chaque axe, d’avoir égard aux signes 
dont les cosinus peuvent être affectés, car ces signes 
déterminent le sens suivant lequel agissent les compo- 
santes. Pour fixer les idées, considérons seulement deux 
forces P et P°' (fig. 21, PI. XXI). Leurs composantes 
suivant l’axe des æ seront 


AQ—P cos PAX, 
Ton. ur. 


ASE=IPICOS PA 


RÉS 449 
et comme ces composantes agissent dans une direction 
opposée, nous aurons pour leur résultante 


X — P cos PAX — P'cos P'AX’. 


Or, «et «’ désignant les angles que forment respective- 


ment les forces P et P' avec l’axe positif AX, on a 


PAX —u, P'AX'— 180 — %, 


d’où cos P'AX" = — cos &’; la résultante X est donc 


encore exprimée par 


X = P cos x + P'cosu', 


et l’on voit qu’en se réservant de déterminer les signes 
des cosinus lorsqu'on voudra réaliser les calculs, on 
peut donner à toutes les composantes le signe , comme 
nous l'avons fait dans les expressions (a). 

23. La grandeur de la résultante se trouvant fixée par 
l'expression (b), il ne s’agit plus que de trouver sa di- 
rection, et pour cet effet, si nous nommons @ et b les 
angles qu’elle forme avec les axes coordonnés, nous 


aurons, d’après le n° 20, 


X—Rocosa, Y—Recosb, 
ce qui nous donnera 
0 FR ces 
COS) = K: 


24. Si toutes les forces proposées sont en équilibre, 
la résultante R est nulle, et l’on a 


X?2+Y?— 0, 
équation qui ne peut être satisfaite que par les valeurs 


EX O8 D — 10 


car, quel que soit le signe des sommes X et Y, leurs 
carrés sont essentiellement positifs. 

25. Considérons maintenant uün système de forces 
>, P', P',etc., toujours concourantes à un même point 
DE IEXS DIU , 

mais dirigées d’une manière quelconque dans l'espace. 
Par le point de concours imaginons trois axes rectan- 
gulaires AX, AY, AZ, et nommons &;, u', w', etc., les 
angles respectifs des forces avec l'axe AX; B, 6, B', cte., 

4 , . so e 
leurs angles avec l'axe AY, et, 7', 7, etc.. leurs angles 
avec l'axe AZ. Si nous décomposons chaque force en 
trois autres dirigées suivant les axes, les composantes 


dans le sens des æ seront (n° 19) 


Pcosæ, P'cosæ, P'cose', etc.; 


celles dans le sens des y 


Pcoss, P cos 6, P'cos p', etc.» 


7 


450 RÈS 
et les composantes dans le sens des z 


Pcosy, P'cosy, P'cosy, etc. 


Nommant X, Y, Z les sommes respectives des compo- 
santes par rapport à chaque axe, ou posant ..…. (1) 


X—Pcosa—+P'cose +P'cosé + ete, 
Y = P cosB + P'cos 8 + P'cosf + etc., 
Z—=Pcosy—+P'cosy HP cos y + etc., 


le système proposé se réduira à trois forces rectangu- 
laires æ, y, z, et nous aurons pour la valeur de sa résul- 
tante (n° 19)... (d) 
R=X LY +7. 

En réalisant les calculs, il faudra avoir égard aux signes 
des cosinus comme nous l’avons indiqué ci-dessus. © 

26. Pour déterminer la direction de la résultante R, 
il faut trouver les angles qu’elle forme avec les axes 
coordonnés. Or, nommant @, b, c, ces angles, on a, d’a- 
près les expressions du n° 19, 


À X 
cos a = — 
R ? 

27. Dansle cas de l'équilibre des forces P, P', P',etc., 
la résultante R devant être nulle, on à 


XV +220; 
équation qui ne peut être satisfaite qu’autant que chaque 
terme est nul isolément ; ainsi 


M0 TO — 0; 


ou, ce qui est la même chose, 
P cos « + P' cos «EL P' cos «+ ete. — 0, 
P cos + P'cos 8 +-P'cosf" etc. — 0, 
Pcosy—P'cosy ÆP'cosy +etc. — 0, 


sont les équations d'équilibre d'un système de forces 
concourantes à un même point et situées d’une manière 
quelconque dans l’espace. 

28. Examinons maintenant la composition des forces 
appliquées à différens points d’un corps ou système de 
corps, dans l'hypothèse où ces points sont maintenus à 
des distances fixes les uns des autres; ce qui permet de 
les considérer comme liés entre eux par des droites in- 
flexibles. 

Concevons une droite AB (PI. XXI, fig. 22) composée 
de points matériels liés d’une manière inébranlable, et 
aux extrémités À et B de laquelle sont appliquées deux 
forces P et Q, dont les directions sont parallèles. Il 
s’agit de déterminer la grandeur de la résultarite de ces 
forces et son point d'application sur la droite AB. 


Représentons les forces P et Q par les parties AP et 


RÈS 

BO de ieurs diréctions, et observons qu'en appliquant 
aux points À et B deux nouvelles forces AR et BS égales 
et directement SHPOSCES le système des forces P et Q 
n'éprouvera aucun changement, puisque ces nouvelles 
forces se détruisent. La résultante du système des quatre 
forces AR, AP, BQ, BS, sera donc identiquement la 
ième que celle des deux forces P ét Q; mais, en Con- 
Struisant les parallel ogrammes RAPM, SBQN, nous 
avons pour la résultante des deux forces ÂR êt AP la 
diagonale AM, et pour la résultante des deux fürcés BS 
et BQ la diagonale BN. Ainsi, au systèmé des quatre 
forces ÂR, AP, BQ,BS, et par conséquent, au système 
des deux forces P et Q nous pouvons Sübstituér le sys- 
téme des deux Forces AM et BN, qui né sdht pas paral- 
ièles, € et qui coiséqueriment concourent en uñ point O, 
par lequel doit aussi passer léur résultanite ou la résul- 
tante cherchée des forces parallèlés P et Q. 

Ménons par le point 0, OR Haas aük forcés P et 
Q ét CD parallèle à AB, et imaginôns eh oùtre que les 
deux forcés AM ët BN sont äppliquées au point 0, ce 
qui H0u$ permettra de décomposer, d'une part; AM en 
deux autres forcés dirigées suivant OC ét OR; et de 
l’autre BN en deux autres forces dirigées suivant OD et 
OR ; or, les circonstances de la décomposition des forces 
AM et BN Sont 16$ mêmes en O qü'en À et DB? ainsi les 
composantes de AM seront OC — ÆR et OE — AP; et 
celles de BN seront OD — BS et OF = BQ ; 
deux forces égales et opposées OC et OD se détruisent. 
Ainsi les seules forces agissantes du système sont OE et 
OF, dont la résultante OE + OF— P + Q suit la di- 
rection OR ; donc 

La résultante de deux forces parallèles est égale à leur 
somme et leur est parallèle. 

Pour trouver le point H, où passe cette résultante, 
observons que les deux triangles semblables OAH, 
AMP donnent 


mais les 


AP: PM=—= OH AH; 
et que les deux autres triangles &mblablés OBH, BQN 
donnent aussi 

BQ : QN = OH : BH. 
Les moyens de ces deux proportions étant égaux ; les 
extrêmes sont en proportion, et l’on a 

AP : BQ = BH : AH, 
ou 

P:Q—=8H:AH; 

c’est-à-dire que le point H partage la droite AB en 
deux parties réciproquement proportionnelles aux forces 


PetQ La résultante de deux forces parallèles est donc 
égale à leur somme, leur est parallèle, et divise la droite 


———..  — 


RES 
d'application en deux parties réciproquement propor- 
tionnelles aux composantes. 

29. Tout ce qui concerne le point d'application de 
la résultante de deux forces parallèles étant indépen- 
dant de la direction de ces forces, si nous supposons 
que les deux forces P et Q prennent les directions AP’, 
BQ' (fig. 25, PI. XXI), la résultante R prendra égale- 
ment la direction HR parallèle à ces dernières; mais 
son point d'application H ne changera pas, puisqu'on 
doit toujours avoir 


P:Q = BH ; AH. 


Ce point d'application de la résultante a reçu, à cause 
de cette propriété, le nom de centre des forces parallèles. 

Désignons par a la droite AB, par p la distance AH 
du centre des forces au point d'application de la force 
P, et par q la distance BH de ce même centre au point 
d’ application de la force Q ; nous aurons, d'après ce qui 
précède, les trois équations 


(D) Ml AE ECTS 
(2)... Pp = Qq; 
(3) .….. a —=p+g, 


qui renferment implicitement la solution de toutes les 
questions qu'on peut se proposer sur les forces paral- 
les. 

Pour mettre, par exemple, deux telles forces données 
P et Q en équilibre, comme il suffit d'appliquer au 
centre une force égale et directement opposée à la ré- 
sultante, dont la grandeur est P + Q, il faut déterminer 
ce centre, ou trouyer la yaleur de p ou de g. Substi- 
tuant donc dans l'équation (2) la valeur de q tirée de 
l'équation (3), il vient 


Pp — Q(a—p), 


d’où l’on tire 


re 
BRFFQ 
La valeur de p étant ainsi connue, on connaît le centre 
H, et en lui appliquant une force P + Q parallèle aux 
composantes, mais directement opposée, l'équilibre sera 
produit dans le système. 

30. Si les deux forces parallèles P et Q (fig. 24) agis- 
sent en sens inyerse, les mêmes équations peuvent en- 
core seryir à trouver leur résultante, son point d’appli- 
cation, et, par conséquent, fournir les moyens de les 
mettre en équilibre, En effet, supposant que cette ré- 
sultante soit ER appliquée à un point E lié d’une ma- 
nière fixe à la droite AB, le système des trois forces P, 
Q R étant en équilibre, la force Q peut être considéréé 
comme égale et opposée à la résultante des deux forces 


“"xuErTI 


RÉS 451 


Pet R, qui agissent dans le même sens; ainsi, prolon- 
geant BQ d’une quantité BS — BQ, la droite BS re- 
présentera la résultante des forces P et R, et l’on aura 


S—P+R, 
d'où 
R=S—P, 


et conséquemment, R = Q — P à cause de S —Q. 
Ainsi la résultante de deux forces parallèles opposées est 
égale à la différence de ces forces. 

Pour déterminer le point d'application E, 


avons (28) 


nous 


P:R—BE : AB, 
d’où 
(P—HR) : R— (BE —+ AB) : AB, 
c’est-à-dire 
Q : R— AE : AB, 


proportion dont on tire 


_ OX AB 
AE — KR . 


et, en substituant à R sa valeur Q — P, 


Il résulte de cette expression que plus la différence 
Q—P des composantes est petite, et plus le point E 
est éloigné de B. Dans le cas de Q — P, AE devient 
infiniment grand et R — 0; ce qui nous apprend que, 
pour établir l’équilibre entre deux forces égales paral- 
lèles et opposées, il faudrait pouvoir appliquer une 
force nulle à une distance infinie du point B, condition 
impossible à remplir. Deux forces semblables ne peu- 
vent donc être mises en équilibre par une troisième, et 
n’ont d’autre effet que celui de faire tourner la ligne AB 
sur son milieu. 

Un système de deux forces parallèles égales et oppo- 
sées se nomme un couple; il présente la singularité de 
ne pouvoir être remplacé par une force unique. 

51. On obtient la résultante d’un nombre quelconque 
de forces parallèles en les composant deux à deux d’une 
manière analogue à celle que nous avons indiquée pour 
les forces concourantes à un même point (15). 

Soient, en eftet, P, Q, R, S, etc. (fig. 25, PI. XXI), 
des forces parallèles appliquées aux points A, B, C, 
D, etc., d’une même droite inflexible. On cherchera 
d’abord le point d'application E de la résultante des 
deux premières forces par la formule du n° 29 


452 RÉS 


Ce point étant trouvé, on mènera une droite 
ET — P + Q == AP + AQ; cette droite représentera 
la résultante des deux forces P et Q. Opérant de la 
même manière sur ET et CR, on déterminera le point 
d'application de leur résultante par l'expression 


R x EC 
PUS TUR 
ou 
D Do 
PHQTFR 


Menant ensuite parle point F la droite FT'=P + Q +R, 
elle sera la résultante des trois forces P, Q, R. Le point 
d'application de la résultante des forces T' et S sera 
donné par l'expression 


FG — s x FD 


ou 


et la résultante générale des quatre forces P, Q, R, S 
se construira en menant par le point G une droite 
GT'—P +Q+LR+S. Ce procédé, qui s’étend évi- 
demment à un nombre quelconque de forces, nous 
montre que la résultante d’un système de forces paral- 
lèles est égale à leur somme. 

Si plusieurs forces P, Q, R, S, etc., étaient dirigées 
dans un sens, et d’autres P', Q', R', S', etc., dans le 
sens opposé, on chercherait d’une part la résultante des 
premières, et de l’autre la résultante des secondes, ce 
qui réduirait le système à deux seules forces parallèles 
agissant dans des sens opposés ; leur résultante, obtenue 
comme il a été dit n° 50, serait la résultante générale 
du système. 

32. Le même procédé peut s'appliquer, avec une 
légère modification, au cas où les points d’application 
A, B, C, D, etc., des composantes ne sont pas en ligne 
droite. Considérons seulement les trois forces P, Q, S 
(PI. XXI, fig. 26) appliquées respectivement aux trois 
points À, B, C liés par les deux droites inflexibles AB 
et BC. Après avoir déterminé le point E de la résul- 
tante des forces P et Q et mené ER — P + Q, on 
joindra les points E et C par une droite EC ; et comme, 
en supposant cette droite liée au système des deux 
autres AB et BC, on peut considérer les forces ER et S 
comme agissant à ses extrémités E et C, on déterminera 


le point G de leur résultante par l'expression 
S x EC 
RES 


Menant ensuite GR' parallèle aux composantes, on 


EG— 


ROU 


pourra prendre indifféremment le point F ou le point G 
pour le point d'application de la résultante générale, en 
faisant dans le premier cas 


FR=R+S=P+HQ+S, 
et dans le second 
GR'=P+Q+HS. 


33. Lorsqu'un système de forces renferme des forces 
concourantes et des forces parallèles, on obtient sa ré- 
sultante en réduisant d’abord toutes les forces paral- 
lèles à une seule; puis, lorsqu'on n’a plus que des 
forces concourantes, on les compose deux à deux en 
supposant les forces appliquées à chaque point de con- 
cours. Le dernier point de concours est celui auquel on 
peut considérer la résultante générale comme appli- 
quée. Les conditions d'équilibre d’un tel système sont 
toujours que la résultante soit nulle. Voyez Momexr. 


ROUE. (Méc.) Nom générique de divers organes’ 
mécaniques. (Voyez tome IT, p. 435.) 


Roues DEs vorrures. On a cru pendant long-temps, 
et c’est encore un préjugé des personnes étrangères à 
la mécanique, que les voitures à deux roues exigeaient 
moins de force de traction que les voitures à quatre 
roues, toutes choses égales d’ailleurs sous le rapport de 
la charge. Cette erreur, fondée sur une fausse appré- 
ciation des effets du frottement, a été signalée, il y a 
plus d’un siècle, par Camus dans son traité des Forces 
mouvantes, et pour éclaircir la question il suffit de 
citer ses paroles. « L’on doit, dit-il, considérer les voi- 
tures par l'avantage que l’on entire pour rouler, et pour 
y appliquer la force des chevaux ou bœufs d’une ma- 
nière qui les fatigue moins et qui soit la plus avanta- 
geuse : or, en appliquant la force des chevaux à la char- 
rette à deux roues, l’on sait assez que le limonier porte 
une partie du fardeau, de quelque manière quela charge 
soit en équilibre sur l’essieu; car, en descendant une 
hauteur, tout le poids tombe sur le cheval; en mon- 
tant, il tombe de l’autre côté en arrière et enlève le 
cheval, ce qui lui ôte une grande partie de sa force; s’il 
est chargé à dos, en sorte que le poids ne l'emporte pas 
en montant, dans un terrain uni il sera doublement 
fatigué de porter et de tirer; et comme les roues tom- 
bent dans les creux, l’une d’un côté et l’autre de l’autre, 
les limons de a charrette donnent dans les flancs des 
limoniers, par où il en périt beaucoup. De plus, dans 
la charrette, le poids n’est que sur deux roues, et lors- 
qu'une tombe dans un creux ou dans une ornière, la 
moitié de Ja charge y tombe, et pour la tirer du creux 


t 
| 


, 


il 


ROU 


7 faut relever la moitié de la charge : si elles se trou- 
vent dans des terres molles, les deux roues enfoncent 
de même, et il faut les relever. Mais lorsqu'il y a quatre 
roues, comme au chariot, la même charge étant sur les 
quatre, et le chariot n’étant pas plus lourd que la char- 
rette, il est constant que les quatre enfonceront moitié 
moins que les deux, ou à peu près, et qu’il faudra moins 
de force; s’il se trouve des creux, et qu’il tombe une 
roue dans un, il n’y tombera que le quart de la charge 
du chariot, au lieu qu’il en tombe la moitié par la char- 
rette, et il faut moins de force pour en relever un quart 
que pour en relever une moitié. Si deux roues du chariot 
tombent en même temps dans un creux, il n’y tombera 
que la moitié de la charge, et il faudra moins de force 
pour les retirer qu’il n’en faudra pour la charrette lors- 
que les deux roues seront dans de pareils creux; et 
dans des hauts et bas qui se rencontrent toujours sur 
le pavé, il se trouve souvent un équilibre entre les 
roues de devant du chariot et celles de derrière, qui 
arrive lorsque deux roues sont sur deux pavés prêtes à 
descendre, pendant que les deux autres sont prêtes à 
monter sur deux autres payés; celles qui sont en haut 
descendent, font équilibre et poussent par leur poids 
celles qui montent ; s’il n’y en a qu’une devant ou der- 
rière qui descende, elle fait équilibre à celle qui monte, 
ainsi du reste, ce qui n'arrive pas à la charrette; au 
contraire, le limonier recoit un coup dans le flanc. Il 
ne faut pas objecter qu’il y a moins de frottement sur 
deux roues que sur quatre, qui est, selon toute appa- 
rence, la raison qui a fait préférer la charrette au cha- 
riot; car nous ayons fait voir à l’article frottement qu'il 
ÿ en a autant sur deux roues que sur quatre, le même 
poids etle même trou de moyeu étant à l’un comme à 
l’autre... » 

Nous ayons déjà indiqué (voy. p. 192) les deux es- 
pèces de résistances que le moteur doit vaincre pour 
mettre en mouvement une roue de voiture, savoir, la 
résistance à l’essieu et la résistance à la circonférence 
de la roue. La première de ces résistances, la princi- 
pale, est surmontée, comme nous l’avons vu, avec 
d’autant plus de facilité par le moteur, que le diamètre 
de l’essieu est plus petit par rapport au diamètre de la 
roue ; la seconde, dépendante de la nature du terrain 
sur lequel la roue se meut, devient d'autant plus petite 
que ce terrain est plus uni et plus résistant, et, toutes 
choses égales d’ailleurs, exige du moteur un effort 
d’autant plus grand que le diamètre de la roue est plus 
petit. En effet, soit OR la hauteur d’un obstacle que 
doit surmonter la roue A (PI. XXII, fig. 1) pour se porter 
en avant, et AQ — R le rayon de cette roue. Nommons 
P la force de traction qui agit dans la direction AP, et 
Q la charge totale qui agit selon la verticale AQ. Dans 
le cas d'équilibre, les momens (voy, ce mot) de ces 


ROU 453 


deux forces devant être égaux, menons les droites mR 
etnR, et nous aurons 


PXnR—= Q X mR. 


Mais, faisant OR — k, nous avons nR — R — k et 


mR — | mu} |. 
Ainsi 


P(R —h) = QU'RI— (R — hj° — QU'aRh — FE ; 


D'où l’on tire 


Dans le cas où la hauteur À de l’obstacle est très-petite 
Par rapport au rayon de la roue, on a sensiblement 


c'est-à-dire que la force nécessaire pour élever une 
roue au-dessus d’un obstacle est à très-peu près en 
raison inverse de la racine carrée du rayon de la roue. 
Ainsi une roue d’un mètre de rayon n'aurait besoin, 
pour surmonter un obstacle, que de la moitié de la 
force qui serait nécessaire pour qu’une roue de 25 cen- 
timètres derayon surmontât le même obstacle, la charge 
et le diamètre de l’essieu étant les mêmes. 

Il est donc évident que les grandes roues sont beau- 
coup plus avantageuses que les petites, et les seules 
conditions qui doivent limiter leur diamètre sont d’une 
part leur pesanteur et la solidité des rais, et, de l’autre, 
la nécessité, lorsqu'on se sert de chevaux, de ne pas 
placer lessieu trop haut (voy. Cnevar), afin que le ti- 
rage s'effectue de la manière la plus convenable. 


ROUE A DÉTENTE. Organe mécanique employé pour 
changer le mouvement par intervalles. C’est une roue 
libre ou folle montée sur ua arbre qui recoit un mou- 
vement de rotation au moyen d’une manivelle. Une 
pièce A (PI. XXIT, fig. 3) susceptible de s’accrocher à la 
saillie b d’un levier ab est fixée à l'arbre. Le levier ab 
mobile autour d’un axe m faisant corps avec la roue est 
ce qu’on nomme la détente; sa saillie b est maintenue 
accrochée avec la pièce A par un ressort s. Lorsque 
l'arbre est en mouvement dans le sens BM, la pièce A 
tourne avec lui, et lorsqu'elle rencontre la saillie b, elle 
s'y accroche, entraine le levier ab, et par conséquent la 
roue, qui fait alors monter un poids quelconque à l’aide 
d’une corde D enroulée autour de sa gorge. Après avoir 
parcouru un certain arc, la détente ab rencontre un 
arrêt extérieur E qui la force à tourner sur son axe m; 
la saillie b quitte la pièce A, et la roue, redevenue 


454 


ROU 
libre, prend un mouvement en sens inverse de celui de 
l'arbre par l'effet du poids qu’elle avait souleyé, et qui 
redescend alors. Pendant ce temps l'arbre continue son 
mouvement, et lorsque la pièce A rencontre de nouveau 


la saillie b, le même jeu recommence. 


RouE À RocHeT. C’est une roue B tenant à un arbre 
et armée de dents erochues (PI. XXII, fig. 2) dans les- 
quelles s’engrène un déclic ab fixé à une roue folle et 
poussé par un ressort e. Quand la roue B tourne de 
gauche à droite, les dents échappent à l’action du dé- 
clic, et la roue folle reste en repos; mais quand la roue B 
tourne de droite à gauche, ses dents sont archoutées 
dans le déclic ab, et elle entraîne la roue folle. La roue 
à rochet est employée dans les mouvemens d’horlo- 


gerie. 


SEC 


SECTION. (Géom.) Lorsqu'une surface courbe est 
coupée par un plan, la section qui en résulte, consi- 
dérée par rapport à un de ses points, prend le nom de 
section normale si le plan passe par la normale de la sur- 
face audit point, et celui de section oblique dans.le cas 
contraire. Comme on peut mener par un point quel- 
conque d’une surface courbe une infinité de plans dont 
les uns passent par la normale, et dont les autres n’y 
passent pas, il existe une infinité de sections normales et 
obliques; mais toutes ces sections sont liées par des rap- 
ports remarquables qui servent à déterminer la nature 
de la surface courbe. 

Soit M (PI. XX, fig. 20) un point appartenant à une 
surface courbe quelconque, et MT une tangente de la 
surface à ce point; menons par cette tangente deux 
plans sécans, Pun passant par la normale MN et l'autre 
oblique. Nous aurons deux sections : la première A'MB° 
normale et la seconde AMB oblique; le centre de 
courbure de la section normale au point M, sera néces- 
sairement sur la normale MN, et le centre de courbure 
de la section oblique, au même point, sera sur la droite 
MO menée dans le plan de cette section perpendicu- 
lairement à la tangente MT. Or ce dernier centre est le 
point commun d'intersection du plan de AMB et des 
deux plans normaux consécutifs passant pas les points 
infiniment proches M etM' de la section: ainsi le point O, 
intersection des traces MO et M'O des deux points nor- 
maux, est le centre de courbure, et MO en est le rayon. 


ROU 

ROULEMENT. (Méc.) On nomme frottement de rou- 
lement ou fr ottement de la seconde espèce celui qui a lieu 
lorsqu'un corps rond roule sur une surface. La résis- 
Er du à se frottement est généralement ä petite 
compte a les sr relatifs aux machines, et qu’ on 
considère justement comme très-avantageux de trans- 
former le glissement en roulement toutes les fois que 
cela est possible. C’est ainsi, par exemple, que, pour 
transporter des blocs de pierre, on les pose sur des 
rouleaux cheminant eux-mêmes sur des madriers éta- 
blis à la surface du terrain. Lorsque la surface sur la- 
quelle un Corps cylindrique roule est parfaitement plane 
et unie, la résistance du frottement est d'autant moindre 
que le diamètre du cylindre mobile est plus petit. (Voy. 
FROTTEMENT. ) 


S. 


SEC 
Mais les deux plans normaux se coupent suivant une 
droite O0 perpendiculaire à MO, et qui rencontre la 
normale MN en un certain point O'; car les droites MN 
et OO" sont situées toutes deux dans le plan mené per- 


pendiculairement à la tangente MT par le point M. Ainsi 
le triangle rectangle OMO' donne 


MO = MO’. cos OMO, 


relation que nous écrirons 
— @ . COS ©, 


en désignant par R le rayon de courbure de la section 
oblique AMB, par o l'angle OMO’, qui n’est autre que 
l'angle des plans des deux sections, et par p la partie MO' 
de la normale, Il ne s’agit donc plus que de trouver la 
valeur de cette partie p pour avoir celle du rayon de 
courbure de la section oblique AMB. Or, la droite O0” 
intersection des deux plans normaux consécutifs, est 
déterminée par les équations 


æ')dæ' + (y—y')dy +(z— 2) dz —=0, 
—2')d'x+(y—y)dy+(z—7)dz= du, 


dans lesquelles æ', y', z' expriment les coordonnées du 
point M, et les équations de la normale MN sont 


(4)... æ— x +p(z— x) =0;,, 
(5) y— y +q(t—r)= 0 


SON 


(t0ÿ. Rävox). Donc les coordonnées du point 0’ com- 
mun aux droites OO’ et MN sont les valeurs de x, y, %; 
qui satisfont à la fois à ces quatre équations; et comme 
l’équation (2) est vérifiée directement par les équations 
(4) et (5), parce que la courbe AMB est sur la surface 
doïnée à laquelle les coordonnées générales +, y, Z 
appartiennent, il suflit de combiner les trois équations 
(3), (4) et (5), et d’en tirer les valeurs de z—zx',y—Y, 
— Z', pour avoir immédiatement la distance des deux 
points M et O'; car l'expression générale de cette dis- 
tancé ést (GÉOMÉTRIE, n° 4) 


hope [t—ey + (+ E5)] 


Ces väleurs sont 


EE du? 
dz — pdx — d'y” 
PRE LES 
| y d'z — px qd'y , 
Es 2 
T—T— pis 


dx — px — qd'y” 
et, par conséquent, 


PTOAETET: 
D Pr pr + y 


Cette expression suffit, sans autre développement, 
pour nous appréndre que p est le rayoh de courbure de 
la section normale A'MB'(voy. Rayon), et en observant 
que MO eët la projection de MO” sur le plan de la Sec- 
tion oblique AMB, nous pouvons poser ce théorème 
remarquable découvert par Meunier : 

Le rayon de courbure d’une section oblique est là pro- 
Jéction sur le plan de cette courbe du rayon de La section 
normale qui passe par La même tangente. 

Voyez, pour ce qui concerne la courbure des sections 
et les conséquences qu’on en tire pour là courbüré des 
surfaces auxquelles elles appartienneït, én mémoire de 
M: Poisson, 21" cahier du Journal del’ Ecole Polytechnique. 


SON. (Acoust.) Nous n'avons là perception d'un $on 
(voy. AcousriQue) qu’autant que les vibrations du corps 
sonore sont transmises à l'oreille par l'intermédiaire de 
l'air ou de tout autre corps pondérable. On démontre 
cette propriété en suspendant un timbre sous le réci- 
pient de la machine pneumatique. Dès que le vide est 
fait, on a beau agiter l'appareil pour faire frapper un 
marteau sur le timbre, il est impossible de distinguer 
aucun son ; mais si l’on fait rentrer l’air peu à peu, l'in 
tensité du son croit également peu à peu. 

Les liquides et les solides transmettent le son avec 
plus d'intensité que les substances gazeuses. On sait que 
lés plongeurs peuvent entendre au fond de l’eau le bruit 


SON 455 
qui se fait Sur le rivage, el que du HVAg8 n étitend le 
bruit des cailloux qui sont heurtés sous l’eau à de très- 
grandes profondeurs. De toutes 1é$ expériénices par les- 
quelles on démontre la conductibilité sonore des solides, 
nous ne citerons que la suivante, facile à répéter, et 
parfaitement décisive : si on applique l’reille à l’une 
des extrémités d’une longue poutre, 6h entend très- 
distinctement le brüit qui pourrait être fait À Son autre 
éxtrémité par le früttement d’une barbe de plume contre 
les fibres du bois; quoique cé brüit soit si faible dans 
l'air, qu'il péut à peine être éntéhdu par celui qui le 
produit. 

Les vibrations d'u corps élastique sé communiquent 
donc à toutes les matières immédiatement contiguës au 
corps, et par stlite à toutes celles qui sé trouvent en 
contact avec les prernières. Dans l’air atmosphérique, 
là propagation du son s'effectue en tous sens ; et, pour 
en trouver la loi, il suffit de considérer les conditions 
de cette propagation dans une Colonne d’air cylindrique 
d'une longueur indéfinie. Supposons qu'un plan per- 
péndiculaire à l’axe de la colonne soit appliqué contre 
sa bäse et pousse en avant d’une très-petité quantité 
les molécules qui la composent pendant un temps très- 
petit, lé mouvement ne sera pas instantanément trans- 
mis à la masse entière; car l’air étant compressible, le 
premier effél Sérä de comprimier üne petite partie de la 
colonie, et té n’ést que par là réaction due à l’élasticité 
de cette partie que lé mouvemiént $é communiquera à 
üné hütre partie; et dé celle-ci à uñe autre, et ainsi de 
suite: Si nous imäginôüns que là colonne d'air est pät- 
tagée en petites tranches égales entre elles, et à la dis- 
tance où là compression s'étend pendant sa durée; nous 
pourrons aisément réconnaîtré que le mouvement se 
propagera successivement d’une tranche à la suivante, 
et que Chäqué tranche; après la réaction de sa force 
élastique, reprendra son volume primitif, et demeurera 
en repos. 

L'action produite par le petit mouvement en avant 
du plan mobile consistera donc dans une ondulation de 
toute la colonne aérienne, et tout se passera de même 
que si une petite tranche se mouvait parallèlement à 
elle-même en éprouvant successivement des compres- 
sions et des dilatations. Imaginons maintenant que le 
plan mobile retourneen arrière; la couche d’aircontiguë, 
n’étänt plus pressée, se dilatera jusqu’à ce qu’elle s’ap- 
puie dé nouveau sur le plan ; cétte dilatation diminuant 
sa force élastique, la tranche suivante sera moins pres- 
sée, elle se dilatera äson tour, et ainsi de même de toutes 
les autres couches, de manière que la dilatation de la 
première couche se communiquera successivement aux 
autres et propagera le mouvement comme sa compres- 
sion l'avait d’abord propagè. Si le plan mobile continue 
à ostiller d'avant en arrière de la base de la colonne, 


456 SON 


chaque excursion produira une série d’ondes conden- 
sées, puis dilatées, et chaque retour une série d'ondes 
dilatées, puis condensées. 

C'est ainsi que les vibrations des corps sonores plon- 
gés dans l’air produisent des ondes aériennes qui pro- 
pagent le son dans toutes les directions; mais ici les 
ondes sont sphériques et concentriques, et par consé- 
quent chacune d'elles a moins de masse que celle qui la 
suit et à laquelle elle transmet le mouvement ; ce mou- 
vement doit donc diminuer de vitesse à mesure que les 
masses des ondes augmentent, ou à mesure qu'elles s’é- 
loignent du centre de l’ébranlement ; de sorte qu’à une 
certaine distance de ce centre, la vitesse devient nulle, 
et le son cesse d’être perceptible. 

Le calcul appliqué aux phénomènes dont nous ve- 
nons d'indiquer seulement la marche générale a donné 
les résultats suivans, confirmés par de nombreuses ex- 
périences : 1° Dans une masse d’air dont la température 
est constante, la vitesse du son est uniforme; 2° cette 
vitesse est indépendante du degré d’acuité du son : des 
sons forts ou faibles, comme aussi des sons graves ou 
aigus, sont propagés de la même manière et avec la 
même vitesse; 3° la vitesse de son reste la même, 
quelle que soit la densité de l'air, si la température ne 
change pas. 

Les expériences faites en 1822, par ordre du Bureau 
des Longitudes, pour déterminer la vitesse du son dans 
l'air atmosphérique, ont appris que cette vitesse est de 
335%,2 par seconde, à la température de 10°. Celles des 
membres de l’Académie des sciences, en 1738, avaient 
donné pour cette vitesse 337*,18 à la température de 
6°. D’autres expériences faites par des savans étrangers 
ont produit des résultats peu différens. 

En tenant compte, d’après l’observation de Laplace 
(voy. tome IT, page 504), du dégagement de chaleur 
qui suit la condensation de chaque onde sonore, et qui 
augmente l’élasticité de l’air, la théorie donne pour la 


vitesse du son, la formule générale 
V — 533". V/1 Lo,00875 1, 


dans laquelle V désigne la vitesse et € la température. 
Si l’on fait { — 10 dans cette formule, on obtient 
V — 559", ce qui s’accorde d’une manière remarquable 
ayec l'expérience. 

D'après cette donnée, l'intervalle entre la lumière 
qu'on voit presque instantanément et le son peut servir 
à évaluer approximativement la distance dans une ex- 
plosion quelconque, comme le serait, par exemple, un 
coup de canon. 

La propagation du son dans l’air atmosphérique est 
modifiée par les mouvemens propres de l'atmosphère ; 
mais l'influence de ces mouvemens n’est jamais consi- 
dérable, car la vitesse du vent le plus violent ne dépas- 


SON 

sant pas 43° par seconde, celle des vents ordinaires est 
une quantité très-petite par rapport à la vitesse du son. 
Delaroche atrouvé, par un grand nombre d’expériences : 
1° que le vent n’a point d’influence sensible sur les sons 
entendus à une petite distance; 2° qu’à uné grande dis- 
tance le son s'entend moins bien dans une direction op- 
posée à celle du vent que dans la direction même du 
vent; 3° que le décroissement d'intensité du son est 
moins rapide dans la direction du vent que dans la di- 
rection contraire; 4° que ce décroissement est moins 
rapide perpendiculairement à la direction du vent que 
dans cette direction même. 

La transmission du son dans d’autres milieux que l’air 
atmosphérique s'opère également par des vibrations ex- 
citées dans ces milieux. Elle est plus rapide dans les 
milieux solides que dans les liquides, et dans ces der- 
niers que dans les milieux aériformes. Chladni, qu'on 
doit considérer comme le fondateur de l’acoustique mo- 
derne, a déterminé d’une manière directe la vitesse du 
son dans différentes substances solides. Voici ses résul- 
tats rapportés à la vitesse du son dans l’air comme unité: 


Fanon de baleine..... 6 2/3 | Bois d’acajou ...... 
Étaim:t:ecr scheecr. TMD NINTT Ediébènes.cerre 
ATTeNL. elec cie LE) Id. de charme... 
Bois de noyer..... . Id. d'orme..…......f 14 2/6 
ÉBGAonookéos Id. d'aulne ....... 
Cuivre jaune....... ? 10 2/3 | Id. de bouleau... 
Bois de chêne...... Id. de tilleul...... 
Id. de prunier..... Id. de cerisier .... } 15 
Tubes de pipes de tabac 10 à12 | Id. de saule....... 
Cuivre rouge....... . 12 dde pm eee. } D 
Bois de poirier..... Mere FRERE Pr 
Id. de hêtre rouge. } 12 à 13 | Fer ou acier... ...... } 16 2/3 


Id. d'érable....... Bois de sapin........ 18 


L’eau est le seul liquide dans lequel on ait observé la 
vitesse du son. D’après les expériences de M. Colladon, 
dans le lac de Genève, cette vitesse est de 1435 par 
seconde, nombre qui diffère peu de 1458" que donne la 
théorie de Laplace. 

Dulong, dont la- science déplore la perte récente, a 
déterminé les vitesses du son dans les gaz par des con- 
sidérations très-délicates. Ses résultats sont les suivans : 


VITESSE DU SON DANS DIFFÉRENS GAZ À LA TEMPÉRATURE 


DE 0°. 
Air atmosphérique....... 999" par seconde. 
Oxigène....... senc OT A0) 
Hydrogène.........%.... 1269, 5 
Acide carbonique........ 2106, 6 
Oxyde de carbone........ 3937, 4 : 
Oxyde d’azote........... 261, 9 
Gaz oléfiant............. 914 


On compare les sons entre eux par la vitesse des vi- { 
brations des corps sonores qui les produisent. Si le” 
nombre des vibrations de deux corps sonores est len 


ren 


SON 
même dans le même temps, les sons ne peuvent être 
distingués l’un de l’autre que par leur intensité et leur 
timbre. L'intensité dépend de l'amplitude des oscilla- 
tions des ondes sonores; le timbre est une qualité don- 
née au son par la nature propre du corps sonore. 

Le rapport du nombre des vibrations de deux sons 
se nomme leur intervalle. Un intervalle est consonnant 
lorsque le rapport numérique qui le constitue est très- 
simple; il est dissonnant dans le cas contraire. Cepen- 
dant cette division n’a rien d’absolu, car elle repose 
seulement sur le plus ou moins de facilité que l’oreille 


éprouve à saisir le rapport de deux sons coexistans, 
facilité qui dépend du degré de culture musicale de 
l'organe ; de sorte que tels intervalles qui passaient jadis 
pour dissonnans sont aujourd’hui au nombre des con- 
sonnans. (Voyez INTERVALLE.) 

Le moyen le plus simple de déterminer le rapport des 
nombres de vibrations des sons de la gamme naturelle 
consiste à tendre une corde de boyau ou de métal par 
ses deux extrémités, et de la raccourcir successivement 
sans changer sa tension pour lui faire produire ces di- 
vers sons, soit en la pinçant, soit en la frottant avec un 
archet. L'expérience montre que, prenant pour son fon- 
damental ou pour premier ut celui que produit la corde 
lorsqu'elle a une longueur que nous désignerons par 1, 


: 8 
elle donne le ré quand on réduit sa longueur à —; le 


mi, quand on la réduit à A le fa, à . ; le sol, à 


, à ; 8 
la, à 3? le si, à 55° et enfin l’ut de l’octave, lorsque 


1 
cette longueur n’est plus que <S 


Si, au lieu d’une seule corde, on employait huit cor- 
des homogènes d’un même diamètre et soumises à la 
même tension, on produirait encore tous les sons de la 
gamme en donnant aux longueurs de ces cordes les rap- 
ports que nous venons d'indiquer. On aurait toujours 


ut, ré, mi, fa, sol, la, si, ut. 
ANA 2025 ONE 1 


8 
Longueur des cordes 1, 9° 5? 4 3° = 


Hg 152: 

Or, on sait que les vitesses de vibrations de deux cor- 
des homogènes d’un même diamètre et également ten- 
dues sont en raison inverse des longueurs de ces cordes ; 
ainsi, pour obtenir les rapports des vitesses des vibra- 
tions exécutées dans le même temps, il suffit de ren- 
verser les rapports précédens, et l’on obtient ceux que 
nous ayons employés dans le calcul des intervalles. 
(Voy. ce mot.) 

Le mème appareil, qu’on nomme un #onocorde ou 
un sonométre, peut encore servir à déterminer le nombre 
absolu des vibrations d’un son; car, en tendant une 


Toy. ne 


SON 457 


corde assez longue pour que ses vibrations puissent être 
vues et comptées, et en la raccourcissant ensuite, sans 
changer sa tension, de manière à lui faire produire un 
son de l’échelle harmonique, le nombre des vibrations 
de ce dernier sera égal au premier multiplié par le rap- 
port inverse des longueurs. Connaissant ainsi un terme 
de la série des sons musicaux, les rapports précédens 
feront aisément connaître les autres. Supposons, par 
exemple, que la corde ayant une longueur de 4 mètres 
produise 8 vibrations par seconde, et qu’en réduisant sa 
longueur à 25 centimètres on lui fasse rendre le son ut 


d’un octaye grave, on aura la proportion 
O2 0 IL; 


d’où l’on tire æ —128, c’est-à-dire que le nombre 
absolu des vibrations de cet ut grave sera 128; celui 
de l’ut à l’octave de ce premier sera par conséquent 
2 X 1298 — 256; l’ut de l’octave de ce dernier sera 
2 X 256 — 512, et ainsi de suite. Quant aux sons in- 
termédiaires, on les obtiendra en multipliant successi- 
vement le nombre des vibrations de chaque uf par les 
L« La 

rapports à, ï 3, _ 7 =. 

On règle les sons des instrumens de musique à l’aide 
d’un appareil nommé diapason, qui se compose d’une 
verge de fer en forme d’Y. En frappant une branche de 
cet instrument contre un corps solide et l’approchant 
ensuite de l'oreille, on entend un son qui est le /a du 
violon, et sur lequel on accorde tous les autres. Les 
diapasons adoptés par divers orchestres ne sont pas les 
mêmes; M. Fischer a trouvé, en 1825, par des expé- 
riences faites avec beaucoup de soin, les nombres sui- 
vans pour les diapasons des principaux théâtres Iÿ- 
riques : 


— du Grand-Opéra français. 491,34 
— de l'Opéra-Comique..... 427,61 
— du Théâtre-ltalien...... . 424,17 


On sait que le son ne devient perceptible que lorsque 
les vibrations du corps sonore ont une certaine vitesse, 
et plus cette vitesse est grande, plus le son est aigu. On 
avait considéré, jusqu'aux dernières expériences de 
M. Savart, comme le son le plus grave perceptible ce- 
lui que donne une corde qui fait 52 vibrations par se- 
conde, et comme le plus aigu celui qui est à la neu- 
vième octave de ce premier; mais ces expériences ont 
considérablement reculé les limites des sons percep- 
tibles, car M. Savart a produit des sons graves ayec 
15 vibrations et des sons aigus avec 48000. Le problème 
du son five en musique, c’est-à-dire du son dont le 
nombre des vibrations est pris pour point de départ de 
l'échelle musicale ascendante et descendante, ne saurait 


e2 


458 SON 


donc avoir qu’une solution arbitraire comme celle que 
donnent les diapasons. 

Le degré de gravité ou d’acuité du son que rend une 
corde sonore dépend de sa longueur et de sa tension ; 
mais, outre le son fondamental propre à chaque lon- 
gueur et à chaque tension, la corde en produit encore 
d’autres plus aigus qu’une oreille exercée distingue fa- 
cilement. Par exemple, en faisant vibrer une corde s0- 
nore, capable de produire un «t, on entend avec cet ut 
fondamental, le so! de la première octave suivante, le 
mi de la seconde, et mêmeles deux wt de ces octayes. 
Ainsi, en représentant le son fondamental par 1, son oc- 
tave est 2, sa double octave 4, le sol de la seconde oc- 
tave est 3, le mi de la troisième est 5, et par conséquent 
les sons existans sont représentés par 1, 2, 3, 4, 5; c’est 
ce qu'on nomme des sons harmoniques. Il n’est pas 
douteux que la corde ne rende encore tous les autres 
sons compris dans la série des nombres naturels 6, 7, 
8, 9, 10, etc. ; mais leur peu d’intensité les rend inap- 
préciables. En effet, ce phénomène résulte de ce que la 
corde en vibrant se subdivise d'elle-même en 2, 3,4, 
5, 6 parties égales qui vibrent chacune en particulier 
dans le même temps que s’opère une vibration totale de 
la corde. Sauveur a rendu, le premier, cette particularité 
évidente par une expérience très-ingénieuse : on pose 
sur une corde sonore plusieurs petits cheyrons de pa- 
pier de différentes couleurs, les uns aux points des di- 
visions aliquotes de la corde, les autres à des points 
intermédiaires; puis on la met en vibration en passant 
légèrement un archet dessus ; on voit au même instant 
les chevrons placés aux points intermédiaires s’élancer 
hors de la corde, tandis que les autres restent immo- 
biles. Les points où-une corde sonore se subdivise ainsi 
ont été nommés nœuds de vibration ; les intervalles des 
nœuds se nomment ventres. 

Tous les corps sonores produisent également des 
sons harmoniques; mais la corde vibrante est la seule 
dont les harmoniques soient représentés par les nom- 
bres naturels 1, 2, 3, 4, etc., qui servent de base à 
notre système musical. Chladni a démontré l’existence 
des nœuds de vibration dans tous ces corps. Ces nœuds 
forment des lignes nodales dont la forme varie avec la 
nature du son qu’on produit ; et, comme on peut faire 
produire à un même corps une infinité de sons diffé 
rens, il en résulte une infinité de lignes nodales dif- 
férentes. Pour analyser la série des figures que les lignes 
nodales d’une même surface élastique sont susceptibles 
de prendre, M. Savart a fait choix d’un nouveau mode 
d'expérience qui consiste à ne point faire vibrer direc- 
tement la surface élastique, mais à lui communiquer 
les vibrations d'un autre corps sonore. Après ayoir fixé 
un morceau de parchemin ou de baudruche sur un 
cadre de bois, en le collant par ses bords, de manière 


SON 


qu'il soit également tendu dans tous Les sens, il en ap- 
proche à quelque distance un tuyau d’orgue dontie son 
est plein et soutenu. Dès que le son se fait entendre, 
la membrane vibre comme si elle rendait elle-même le 
son, et, en la couvrant de sable fin, on voit les grains 
’accumuler sur les 
points de repos ou nœuds de vibration pour dessiner 


de ce sable sauter sur la surface et s 


les lignes nodales. Si le son change de degré d’acuité, 

les lignes nodales changent de forme , mais elles sont 
toujours très-régulières lorsque l élasticité de la mem- 
brane est la même dans toutes ses parties, Nous devons 
renvoyer, pour les détails de ces expériences intéres- 
santes, aux mémoires de M. Savart, insérés dans les 
Annales de physique et de chimie, tomes XXXVI et XL, 
et au traité d’Acoustique de Chladni. 

Les solides ne sont pas les seuls corps capables de 
rendre des sons. Dans les instrumens à vent, c’est la 
colonne d’air interposée qui forme le corps sonore, la 
substance de l'enveloppe ne concourt qu CA donner un 
timbre particulier aux sons. Depuis l'invention de la 
syrène, appareil dû à M. Cagnard Latour, et qui a peur 
objet principal la détermination du nombre absolu des 
vibrations d’un corps sonore, on sait que l’eau remplit 
l'office de corps sonore, et qu'il en est sans doute de 
même de tous les liquides. Les propriétés des vibrations 
sonores des liquides et des gaz exigent des développe- 


mens dans lesquels nous ne pouvons entrer. 


SONNETTE. (Mée.) Machine employée pour le bat- 
tage des pieux ou pilots; ses parties essentielles sont 
une poulie et un mouton. (Voy. ce mot.) 

On distingue deux espèces de sonnettes , la sonnette à 
tiraudes et la sonnette à déclic. La première se compose 
de deux poteaux dressés verticalement près du pieu qu'il 
s’agit d’enfoncer et qui conduisent un mouton d’un grand 
poids attaché à un câble et soutenu par une poulie placée 
au sommet de l'appareil (PL. XXI, fig. 27); ce câble se 
subdivise en plusieurs cordelles ou tirandes que saisissent 
les manœuvres. À un signal donné, les ouvrierstirenttous 
ensemble très-vivement, et enlèvent le mouton; puisils 
se redressent en levant les bras, ce qui fait retomber le 
mouton par son propre poids sur la tête du pilot, où il 
agit comme un marteau sur un clou. La sonnette à déclic 
présente une autre combinaison ; c’est un treuil qui 
fait élever le mouton jusqu’à une certaine hauteur, où 
il rencontre une détente qui le lâche pour le laisser re- 
tomber librement. Les fig. 28 et 29, PL. XXI, montrent 
les diverses dispositions de cette machine : le mouton 
est pris par une tenaille dont les deux branches ab, cd, 
croisées en p, tendent à se rapprocher par le bas. où 
elles sont plus pesantes, et pressent ainsi le mouton par 
un crochet supérieur placé en tête. Lorsque le mouton, 
enlevé par l’action des hommes qui agissent sur le 


SOU 


treuil, arrive au sommet de la sonnette, deux obstacles 
placés de chaque côté forcent les branches supérieures 
de la tenaille à se rapprocher, et conséquemment les 
branches inférieures à s’écarter; le mouton, devenu 
libre, retombe; alors on redescend la pince, et le même 
jeu recommence. 

La comparaison des effets obtenus avec les deux es- 
pèces de sonnettes montre l’énorme différence des ré- 
sultats que l’on peut obtenir de la force de l’homme. 
Les expériences que nous allons citer sont dues à 
M. Vauvilliers, ingénieur des ponts et chaussées; elles 
ont été faites avec le plus grand soin, sur des pieux 
parfaitement égaux, avec un mouton du poids de 500 
kilogrammes, et dans un même terrain où les pilots 
ont été enfoncés au même refus. 

La sonnette à tiraudes était manœuvrée par vingt- 
deux hommes et un charpentier, nommé enrimeur, 
chargé de conduire la machine et les manœuyres. La 
sonnette à déclic était manœuvrée par quatre hommes 
et un enrimeur. À chaque coup le mouton était élevé 
à quatre mètres au-dessus du pieu. 

On a employé 28 journées de travail pour battre 
44 pieux avec la sonnette à tiraudes, et 18 journées pour 
battre 52 pieux avec la sonnette à déclic. Ainsi le bat- 


28 
tage de chaque pieu a coûté — — 0,64 jour de tra- 
44 


dote ann Geh 8 lo == 1 
yail avec la première machine et 7 — 0,56 jour avec 


la seconde. Si l’on tient compte maintenant du nombre 


des hommes employés, on trouve que le battage d’un 
pieu coûte 


0:64 journée d’arrimeur, 


14, » journées de manœuvres! 
avec la Sonnette à tiraudes, et 


0,56 journée d’arrimeur, 


2,25 journées de manœuvres, 


avec la sonnette à déclic. Pour comparer les prix de 
revient, admettons que la journée du manœuvre soit 
de 1 fr. et celle de l’arrimeur de 2 fr.; alors la dépense 
du battage d’un pieu par la sonnette à tiraudes sera de 
15,3, ct par la sonnette à déclic de 3°,4; c'est-à-dire 
qu'il en coûtera à peu près autant pour enfoncer 22 
pieux avec la première machine que 100 avec la se- 
conde. D'où l’on voit que cette dernière offre un bien 


illeur emploi de la force de l’homme. ( Voy. Home.) 


OUFFLET. (Wéc.) On nomme soufflets ou machines 
soufflantes les organes mécaniques qui produisent un 
jet d’air atmosphérique pour animer la combustion. 
Autrefois on ne se servait dans les forges et autres usines 
métallurgiques que de grands soufflets ordinaires que 
tout le monde connaît; maintenant on emploie géné- 


SUR 459 


ralement des corps de pompe dans lesquels se meut un 
piston garni de cuir qui chasse l’air devant lui. Dans 
les pays où l’on a des chutes d’eau, on se sert aussi’ des 
trompes : ce sont des cylindres verticaux et creux, lé- 
gèrement étranglés un peu au-dessous de leur partie 
supérieure, et dans lesquels tombe un courant d’eau 
qui entraine avec lui l’air qui entre dans le cylindre 
par de petites ouvertures pratiquées au-dessous de l’é- 
tranguillon. Cet air se dégage dans une caisse inférieure 
où aboutissent les cylindres, et en sort par un orifice 
où fuyère disposé à cet effet. ( Voyez le Traité de la 
composition des machines de Borgnis, et l’ Hydraulique 
des ingénieurs de d’Aubuisson.) 


SOUPAPE. (Méc.) Nom générique qu'on donne, 
dans les machines, à de petites portes destinées à per- 
mettre ou à empêcher l'entrée d’un fluide dans une 
capacité. On en distingue dé plusieurs espèces. 

Les soupapes à coquille se composent d’une plaque 
circulaire (PI. XXI, fi 
qui éntre et S’emboite exactement dans l’ouverture 


8. 30) taillée en tronc de cône 


qu’elle doit fermer; dessous est une queue ou tige qui 
traverse une bride et se termine par un bouton d’arrét; 
cette tige empêche la soupape de dévier lorsqu’elle 
monte ou qu'elle descend. 

Les soupapes à clapets sont faites en forme de porte 
qui s’ouvre et se ferme autour d’une charnière ou d’une 
queue flexible en cuir; elles consistent ordinairement 
en une rondelle de gros cuir gras ou de laiton. 

SouparE DE suRETÉ. On donne ce nom aux soupapes 
adaptées aux Chaudières des machines à vapeur dans 
le but d'éviter les explosions. Ces soupapes sont char- 
gées de poids déterminés qui les tiennent fermées tant 
que la pression intérieure de la vapeur ne surpasse pas 
ces poids; mais elles s'ouvrent aussitôt que la pression 
dépasse cette limite, ét laissent une libre issue à la va- 
peur. Il est assez connu que de telles soupapes ne met- 
tent pas à l’abri des accidens. 


SURFACE GAUCHE. (Géom.) C’est en général une 
surface engendrée par une droite qui se meut de telle 
manière que deux de ses positions consécutives ne 
sont jamais dans un même plan. Une telle surface n'est 
pas développable. 


Surface 


SURFACE DÉVELOPPABLE. (Géom.) 
courbe qu’on peut développer sur un plan. Ces sur- 
faces sont généralement engendrées par une droite sou- 
mise à la condition d’avoir toujours deux positions 


consécutives dans un même plan. 


SURFACE RÉGLÉE. (Géom.) Nom générique des 
surfaces enfendrées par 
droite. 


le mouyement d’une ligne 


460 


TEM 

TEMPÉRATURE. (Phys.) Nous avons décrit, t. I, 
les divers thermomètres employés pour mesurer la 
température des corps; ces instrumens, fondés sur la 
propriété qu'ont les fluides de se dilater en s’échauf- 
fant, ne sont comparables entre eux qu'entre certaines 
limites que nous devons mentionner. 

Si l’on expose à une même chaleur deux thermo- 
mètres, l’un à mercure et l’autre à l'esprit de vin, on 
remarque bientôt des différences plus ou moins sen- 
sibles dans leurs indications : par exemple, si le ther- 
mométre à mercure marque 20 degrés Réaumur, le 
thermomètre à esprit de vin ne marque que 16,5 de- 
grés. Ce phénomène est dû à ce que l’alcool ne se dilate 
pas suivant la même loi que le mercure; et comme il 
n'existe pas deux liquides qui se dilatent de la même 
manière, on doit s'attendre qu’à l'exception des deux 
points fondamentaux de l'échelle thermométrique, 
deux instrumens construits avec des liquides différens 
n'indiqueront jamais le même degré de température. 
Deluc, à qui l’on doit beaucoup d’observations sur la 
marche des thermomètres, a obtenu les résultats consi- 


gnés dans le tableau suivant. 


DEGRÉS CORRESPONDANS 


MARQUES PAR DES THERMOMÈTRES CONSTRUITS AVEC 
DIFFÉRENS LIQUIDES. 


MERCURE, 
ALCOOL RECTIFIÉ. 
HUILE D'OLIVE. 
HUILE ESSENTIELLE 
DE CAMOMILLE. 
HUILE ESSENTI£LLE 
DE THYM. 

EAU SATURÉE 
DE SEL MARIN. 
EAU PURE, 


| 
| 
| 
| 
| 


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© mou O1 1 O1 Er Go C1 


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w 


M 
© D Dr CID DO OCt= © O1 oo 


8,8 
5,6 
8.6 
5,6 
8,7 
3,8 
8,9 
41 
9,3 
4,6 
0,0 


© COIN 


» 
5; 
s 


| 
| 


DEOSOERDEU = On © 


w 


NI 


1H 


TEM 


L’échelle de ces thermomètres est celle de Réaumur, 
c’est-à-dire que la distance entre le point de la glace 
fondante et celui de l’ébullition de l’eau est divisée en 
80 parties égales. 

M. Biot a trouvé qu’en désignant par { le degré mar- 
qué par le thermomètre à mercure’, et par T le degré 
correspondant marqué par un autre thermomètre, la 
relation de ces deux quantités était assez exactement 
représentée par l’équation 


T—AI+BE + CE, 


dans laquelle A, B et C sont des constantes différentes 
pour chaque liquide. Les valeurs de ces quantités pour 
l'alcool rectifié sont 

A — 0,784, —0,00208, C—0,00000775, 
de sorte qu’on a généralement, entre les températures 
indiquées par deux thermomètres, l’un à mercure et 
l’autre à l’alcool, légalité 


T = 0,784t + 0,002081? E 0,000007751!. 


Le thermomètre à mercure doit toujours être pris 
pour terme de comparaison avec ceux des autres li- 
quides, parce que le mercure a la propriété de se dilater 
d'une même quantité par chaque degré de chaleur, du 
moins dans les limites de l’échelle thermométrique, ce 
que ne fait aucun autre corps solide ou liquide; les 
gaz seuls se dilatent uniformément pour tout accrois- 
sement de température (voy. Caazeur). Aussi le ther- 
momètre à air est-il le seul instrument propre à donner 
une mesure absolue de la chaleur; et pour apprécier 
les indications du thermomètre à mercure, il est essen- 
tiel de les comparer aux siennes. Or, of trouve qu'entre 
les limites o° et 80° de l’échelle de Réaumur, ou o° et 
100° de l'échelle centigrade, les températures indiquées 
par le thermomètre à mercure sont exactement les 
mêmes que celles indiquées par le thermomètre à air; 
mais il n’en est plus de même pour les températures 
au-dessus de l’eau bouillante, et en admettant, comme 
cela doit être, que la dilatation de l’air est uniforme, 
il en résulte que celle du mercure n’est sensiblement 
constante qu'entre 0° et 100°. 

Le mercure, devenant solide à — 36° et se volatili- 
sant à + 560°, ne peut servir de corps thermométrique 
qu'entre ces limites de température, pour lesquelles on 
a obtenu les résultats suivans : 


TEM 


Femperatures indiquées Températures indiquées 


par le thermomètre à mercure. par le thermomètre à air, 


HD PU 1.0, 1136! 
D nono es 6 c o 
100. ci 100 
LOS che 1070 
200-1070 
2HON- CT 00 
DDO Ce 202: 70 
SOON 200,00 


Le thermomètre à air, quelque parfait qu’il soit dans 
sa marche, ne peut malheureusement satisfaire à tous 
les besoins de la science, parce que cet appareil est 
détruit par la fusion du verre, qui a lieu à une tempé- 
rature bien inférieure à celle de la plupart des métaux; 
de sorte que, pour mesurer de hautes températures, on 
est forcé d’avoir recours à d’autres instrumens. Ceux 
qu’on a imaginés pour cet objet se nomment pyro- 
mètres. Le plus usité est le pyromètre de Wedgwood, qui 
est fondé sur la propriété qu’a l’argile de se contracter 
au lieu de se dilater par la chaleur. Ce phénomène 
ayant été observé par Wedgwood, il fit préparer des 
tubes d'argile de dimensions exactement déterminées, 
puis il les exposa à une chaleur de plus en plus intense, 
pour étudier les lois de leurs contractions. Le retrait 
de l'argile paraissant s’effectuer toujours de la même 
maniere, et cette substance ne reprenant pas son pre- 
mier volume par le refroidissement, Wedgwood sut 
mettre à profit toutes ces circonstances pour construire 
un appareil qui, tout imparfait qu'il est, n’en a pas 
moins rendu de grands services aux arts industriels. 
Le pyromètre de Wedgwood est composé d’une plaque 
de cuivre ABCD (PI. XXIT, fig. 11) sur laquelle sont 
fixées deux barres de même métal légèrement inclinées 
entre elles; l’une des barres porte une échelle de 240 
parties égales qu’on nomme degrés pyrométriques, et 
dont le o correspond au plus grand écartement des 
deux barres. De petits cônes tronqués abcd faits en ar- 
gile et cuits à la chaleur rouge naissant sont moulés de 
manière qu'en les introduisant dans la rainure formée 
par les barres, ils peuvent s’enfoncer jusqu’à la division 
de l’échelle marquée 0. Lorsqu'on veut connaître la 
température d’un degré de chaleur, on y introduit un 
creuset fermé contenant un des petits cônes d'argile, et 
on le retire quand on juge qu’il a pris la température 
du foyer. Après qu'il s’est refroidi, on l’introduit dans 
la rainure en le faisant glisser jusqu’à l'endroit le plus 
resserré qu'il peut atteindre, et la division de l'échelle 
indique la température en degrés pyrométriques. 

Pour comparer les indications de cet instrument aux 


TRA 461 


degrés du thermomètre, il faudrait connaitre exacte- 
ment la correspondance des échelles et le degré du 
thermomètre qui répond au o du pyromètre; mais, 
outre que les lois du retrait de l’argile sont entièrement 
inconnues, c’est plutôt par convention que par aucune 
approximation suflisante qu’on a établi que le o du py- 
romètre répond à 580°,55 du thermomètre centigrade, 
et que chaque degré pyrométrique équivaut à 72°22 du 
même thermomètre. 


TRANSCENDANTES ELLIPTIQUES. (Calcul in- 
tégral.) Dans la plupart des applications du calcul infi- 
nitésimal, on est conduit à des expressions différen- 
tielles qu’il est impossible d'intégrer sous forme finie, 
soit généralement, soit entre des limites données Alors, 
et lorsqu'il s’agit d’intégrales définies, on est réduit à 
calculer leurs valeurs approchées, au moyen de la mé- 
thode des quadratures ou de leur développement en 
série convergente; mais on ignore complètement la 
nature des quantités transcendantes qui entrent dans 
leur génération, et tout ce qu’on a pu faire de mieux 
jusqu'ici a été de chercher à diminuer le nombre de ces 
quantités en les faisant dépendre les unes des autres. De 
tous les résultats obtenus par les géomètres dans cette 
branche difficile de l’analyse, ceux de Legendre doivent 
être placés au premier rang sous le rapport dela géné- 
ralité et de la fécondité ; car il a su ramener une classe 
très-nombreuse d’intégrales à des arcs d’ellipse, et 
rendu leur calcul aussi facile que celui des fonctions 
circulaires ou logarithmiques. 

Dès qu'on eut intégré certaines formules par des arcs 
de cercle, on dut tenter naturellement de réduire d’aue 
tres intégrales à des ares d’ellipse ou d'hyperbole ; Ma- 
claurin et d’Alembert, qui, les premiers, se livrèrent à 
‘cette recherche, trouvèrent en effet plusieurs formules 
susceptibles d’une telle réduction ; mais leurs résultats 
étaient isolés, et ce fut un géomètre italien, le comte 
de Fagnano, qui ouvrit la carrière à des investigations 
plus profondes, en découvrant que, sur toute ellipse ou 


sur toute hyperbole donnée, on peut assigner d’une in- 


finité de manières deux ares dont la différence est égale 


à une quantité algébrique. Plus tard Landen démontra 
que tout arc d'hyperbole peut être mesuré par deux 
ares d’ellipse, sans entrevoir toutefois les conséquences 
de cette découverte très-remarquable. C’est en 1786, 
dans les mémoires de l’Académie des sciences, que Le- 
gendre publia ses premières recherches sur l'intégration 
par arcs d’ellipse ; il fit voir que, dans une suite infinie 
d’ellipses formées d’après une loi donnée, on peut ré- 
duire la rectification d’une de ces ellipses à celle de 
deux autres prises à volonté dans la même suite. Il re- 
prit bientôt la matière d’une manière plus générale et 
plus méthodique dans un mémoire sur les transcen- 


162 TRA 

dantes elliptiques publié en 1795: et enfin, des recher- 
ches ultérieures lui ayant permis de former un ensemble 
thédrique, il donna er 1835 sh traité des fonctions el- 
liptiques, qui, à défaut d’autres titres, suffirait pour lui 
assigner un rang distingué parmi les premiers anà- 
lystes de notre siècle. Depuis, M. Jacobi, professeur à 
l'université de Kænigsberg, a su se placer à côté de 
Legendre en enrichissant la théorie des fonctions ellip- 
tiques de plusieurs découvertes importantes. 

Les limites de notre ouvrage ne nous permettent pas 
les développemens nécessaires à l'intelligence de la 
théorie des fonctions elliptiques; tout ce que nous pou- 
Yons faire ici, c’est de donner une idée de son objet. 

Soit P une fonction rationnelle quelconque de la va- 


riable #, et R un radical carré de la forme 


v{s — px + 72 + sa? + |, 


FF 
Rs 


est, en général, une quantité transcendante dont la na- 


l'intégrale 


ture chänge avec la valeur de P; sans toutefois que de 
l'infinité des valeurs différentes qu'ôn peut donner à P 
il résulte une infinité de transcendantes différentes, 

Par une première préparation, on peut toujours faire 
en sorte qu'il n’y ait pas de puissances impaires de la 
variable sous le radical; aiñsi nous poserons généra- 


lement 
LEAAENTENTE 


Où peut supposer en outre que P est une fonction paire 
de æ? car on peut toujours faire 


P—M+Nz, 


M et N étant des fonctions paires de æ. Or, la partie 


Nædæ à el IT ET 1 Lai 
ps se ramène aux règles ordinaires en faisant 2° =; 


nee PR EL Mdzx 
ainsi toute la difficulté se réduit à intégrer Re dans 
laquelle M est une fonction paire de æ. 
Ceci posé, Legendre prouve, par l'analyse des diffé - 


dx ; à 
n peut toujours être ra- 


rens cas, que la différentielle I 


menée à la forme 


md 


TT == 9 
Vi — € sin’? 


dans laquelle c est plus petit que l'unité, et, par suite, 
Pdx À 
que | est transformé en 


Qd? 
Vic sing 


TRA 
Q étant une fonction rationnelle paire de sin 9, laquelle 
contient sin © au même degré que P contient æ. 

La décomposition de cette intégrale montre qu’elle 
renferme en général, 1° une partie algébrique, 2° une 
intégrale de la forme 

> 
| (AE B sing) ee : 


== , 
— c?sin?9 


35° uné où plusieurs intégrales dé la forme 


Ji+nsine Va CETTE 


dans chacune desquelles les coefficiens N et n peuvent 
avoir des valeurs quelconques réelles ou imaginaires. 
sde [Pdx 
Les transcendantes contenues dans Ja formule = T3 
2 


se réduisant toujours à l’une des deux formes précé- 
dentes, il est visible qu’elles sont comprises dans la for- 
mule générale 


ne fin de 


inst Vi—c sing 


et ce sont les intégrâles de cette dernière qui consti- 


tuent les fonctions où transcendantes elliptiques. 

Lä transcendante H est supposée s’évanouir ou com- 
méncer lorsque # — 0; son étendue est déterminée par 
ja väriable 4, qu’on nomme l'amplitude; la constante €, 
toujours plus petite que l’unité, s’appelle le module, et 
la quantité V/1 — c? est dite le complément du module. 

Les fonctions comprises dans la formule H se divi- 
sent en trois espèces ; la première et la plus simple est 
représentée par la formule 


d 
EF — er: 
V/i — ct sin? 
La seconde est l'arc d’ellipse compté depuis le petit 


axe, et dont l'expression est 
= I c° sin? o . dy. 
Enfin, la troisième est représentée par 


Il — —— 


Elle contient; outre le module € commun aux deux 
autres espèces, un paramètre qui peut être à volonté 
positif, négatif, réel ou imaginaire. Les fonctions de 
cette espèce peuvent toujours s'exprimer par des fonc- 
tions de la première et de la seconde espèce. 1 
C’est à l’aide de ces trois fonctions nommées fic 
tions elliptiques de la première, de la seconde et de law 


TRA 


troisième espèce, et pour lesquelles Legendre a calculé 


des tables très-étendues, qu'on obtient la valeur de 
a , B 
toutes les intégrales comprises sous la forme FF 


Voyez Legendre, Traité des fonctions elliptiques. — 
Jacobi, Fundamenta nova functionum ellipticarum. 


TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. (Ast.) 
Les latitudes et les longitudes des astres sont liées à leurs 
ascensions droites et leurs déclinaisons par des relations 
qui se déduisent fort simplement des premiers prin- 
cipes de la géométrie analytique. Voici comment : 

Si l’on appelle Æ& l’ascension droite d’un astre, D sa 
déclinaison, L sa longitude, à sa latitude, et que w dé- 
signe l’obliquité de l’écliptique, la position de cet 
astre, rapportée à un système de coordonnées rectan- 
gles ayant le centre de la terre pour origine, et dont x, y 
représentent le plan de l’équateur, sera donnée comme 
à l’article PARALLAXES, par 


æ—7cos & cos D, y—rsin RcosD, z—7r sin D. 


Le même astre rapporté au plan de l’écliptique repré- 
senté par &’, y sera pareillement donné de position par 


æ'—rcosLcos}, y—rsinLeos), z —rsin), 


r étant la distance de l’astre à la terre. 

Mais quand on passe d’un système de coordonnées 
æ, y, Z à un autre æ', y’, z, On a dans la circonstance 
actuelle, et parce que l’angle des y, y est égal à l'obli- 
quité », on a, disons-nous (a) (voy. tome II, p. 562), 


T=T, Y—=YC0Sw—Z Sin0, 22 C0$0 ySsin»; 
réciproquement (b) 

QU U ; . U 0 
T'=T, Y—=YCOSw—Zsinw, 2 —ZCOSw—/Ysine. 
Par conséquent, si l’on introduit dans les relations (a) 


les valeurs précédentes de æ, y, z, &', y, z', on aura 
tout d’abord (c) 


cos & cos D — cos L cos), 
sin Æ& cos D — sin L cos } cos — sin } sinw, 
sin D — sin) cos + sin L cos} sinw, 
et si l’on procède de même à l'égard des relations in- 
verses (b), on aura (d) 
cos L cos} — cos A cosD, 
sin L cos 1 — sin Æ cos D cos sin D sin, 
sin À — sin D cosw — sin A cos D sine. 


Divisant maintenant la seconde et la troisième équa- 
tion (c) successivement par la première, on obtiendra, 


TRA 463 


comme par la trigonométrie sphérique , mais plus ra- 
pidement, 


sin L cosw — tang}sins 


t Æ — 
378 cos L 


» 


or (tangà cos + sin L sin) cos A 
cos L 


Enfin, opérant sur les formules (d) de la même ma- 
nière, il viendra 


sin & cos tang D sin, 
tang L — as . 
cos R 
, (rang D cos — sin Æ sin ») cosL 
tang À — ————— 
cos A 


Les deux premiers résultats font donc connaître l’ascen- 

sion droite et la déclinaison par la longitude et la lati- 

tude, tandis que les deux autres donnent la longitude 

et la latitude au moyen de l’ascension droite et de la 

déclinaison, coordonnées astronomiques qu’il est essen- 

tiel de déterminer pour effectuer le calcul des éclipses, 
(M. Puissant.) 


TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. (Géo- 
métrie. ) Ce problème, pour tout ce qui concerne la géo- 
métrie plane, a été traité dans notre second volume; 
nous n’avons donc à le considérer ici que dans l’espace 
à trois dimensions. 

Supposons d’abord qu’il s'agisse de passer d’un sys- 
tème d’axes rectangulaires OX, OY, OZ (PI. XXI, fig. 4) 
à un système d’axes obliquesOX”",0Y",0Z' qui a la même 
origine O. Soit M un point quelconque de l’espace, si 
de ce point on mène des droites parallèles à tous les 
axes, et que par les points où elles rencontrent les 
plans coordonnés on mène d’autres parallèles aux axes, 
on formera deux parallélipipèdes, l’un rectangle yPM£z, 
l’autre oblique y'P'Mæ', qui auront deux sommets com- 
muns, l’un en O, et l’autre en M. Les droites MR, MQ 
et MP ou Ox, Oy,-0z seront les coordonnées du point M 
par rapport aux axes rectangulaires, et les droites MR’, 
MQ"', MP' ou Ox', Oy, 
même point par rapport aux axes obliques. Il s’agit de 


z' seront les coordonnées du 


trouver les valeurs des premières en fonction des se- 
secondes, ou vice versd. 

Nous exposerons d’abord une propriété des lignes 
dont nous allons avoir besoin, et qui n’est qu'un cas 
particulier d’une propriété des plans (voy. Prorecriox), 
sayoir : que la projection d'une droïte sur une autre droite 
est égale à la droite primitive multipliée par le cosinus de 
l'angle aiqu que ces droites font entre elles. 

Pour bien comprendre ce théorème, il faut savoir 
que lorsqu'il s’agit de deux droites situées dans l’espace 
de manière à ne pouvoir se rencontrer, on est conyenu 
de nommer angle de ces droites l'angle formé par l’une 


464 TRA 


d'elles avec toute droite parallèle à l'autre. Soit donc 
AB (PI. XXII, fig. 5) une droite d’une grandeur déter- 
mivée ou finie, et OX une droite indéfinie ; des points 
À et B abaissons sur OX les perpendiculaires AA° et 
BB’, A'B' sera la projection de AB, et si, par le point B, 
nous menons une droite BC parallèle à OX, l'angle ABC 
sera l'angle des droites AB et OX, et nous aurons 


A'B — AB * cos ABC. 


En effet, concevons par le point À un plan AM per- 
pendiculaire à OX, et par le point C, où ce plan est 
rencontré par BC, menons les droites AC et A'C, le 
triangle ACB sera rectangle en C et donnera (voy. Tai- 


CONOMÉTRIE) . 


CB — AB X cos ABC. 


Mais BB est parallèle au plan AM, et par conséquent 
à la droite A'C; donc CB — A'B'; donc, etc. 
Reprenons maintenant le point M rapporté à deux 
systèmes d’axes (fig. 4), et ne laissant subsister dans 
la figure que les lignes nécessaires, observons que si 
nous convenons de désigner par +, y, z les coordonnées 
rectangulaires, et par æ’,y',z les coordonnées obliques, 


nous aurons (fig. 6) 
MP — x, 
MP'== 2. 


Or —'7, Px — y, 


Or —x, Pr —Y, 


Ceci posé, par les points æ', Pet M, menons à l'axe OX 
les perpendiculaires æ'C, P'D, Mx, et il nous sera fa- 
cile de voir que OC sera la projection de Ox', CD celle 
de P'x', et Dr celle de MP’; de sorte que la coordonnée 
rectangulaire Oæ ou x est précisément égale à la somme 
des projections destrois coordonnées obliques æ', y' etz! 
sur son axe; mais en désignant par la notation (x',æ), 
(y, æ), (z,æ) les angles que font respectivement les 
axes des æ', yet z' avec l’axe des æ, nous avons, en 


vertu du théorème ci-dessus, 


OC = Oz’. cos (x',æ) — æ' cos (x, æ) 
CD = æ'P'. cos (y',æ) — y cos (y', x) 


Dx — MP'. cos (z', x) — Z cos (C5 &) ; 
et, conséquemment, à cause de OC+CD+Dz=0x=x, 
æ—x cos (z',æ)+y cos (y,x) +2" cos (z', æ). 


La même construction faite pour chacun des deux autres 
axes OY et OZ devant nécessairement nous donner des 
résultats semblables, nous en conclurons que chaque 
coordonnée rectangulaire est égale à la somme des pro- 
jections des trois nouvelles coordonnées sur chacun des 
anciens axes, en observant toutefois que par le mot 
somme il faut entendre la somme algébrique; car, si les 


TRA 


trois demi-axes obliques positifs ne formaient pas trois 
angles aigus avec chacun des trois demi-axes rectangu- 
laires positifs, comme nous l’avons supposé dans notre 
figure, il y aurait dans les trois projections sur un axe 
des quantités qu'il faudrait prendre négativement pour 
que la somme fût égale à la coordonnée rectangulaire. 
Au reste, cette circonstance est indiquée par le signe 
du cosinus, qui devient négatif lorsque l’angle des axes 
est obtus; de sorte qu'en tenant compte de ces signes 
ainsi que des signes des coordonnées, nous pouvons 
poser les trois formules générales suivantes de trans- 


formation ..... (1) : 
e 


æ—æ'cos(x,x) +y'cos(y',æ) +2 cos(z',z 
y = æ'cos(x', y) + y'cos (y, y) +2" cos (z',y) 
z= æ'cos (x, 2) + y'cos(y',z) + z'cos (z',), 


ou plus simplement ..... (2) 


æ— ax + by + cz 
y = ax + by + c'z' 
za by + cz, 


en désignant par a, a’, a les cosinus des angles que 
forme l’axe des æ’ avec les anciens axes rectangulaires, 
par b, b', b'les cosinus des angles de l’axe des y’, et par 
c, c', cles cosinus des angles de l’axe des Z’ avec les 
mêmes axes. 

Les neuf constantes qui entrent dans ces expressions 
ne sont pas toutes arbitraires, car on sait que les trois 
angles formés par une même droite avec trois axes 
rectangulaires sont assujettis à la condition d’avoir la 
somme des carrés de leurs cosinus égale à l’unité (voy. 
GÉOMÉTRIE, n° 13); On ne peut donc en disposer qu’en 
joignant aux équations (2) les relations .... (3) 


d+a?+a?—=: 
CS LE LEE 
+ ce? Fe — "1. 


Si l’origine des coordonnées n’était pas la même, il 
suflirait d’ajouter à la valeur de chaque coordonnée 
dans les formules (2) la coordonnée de la nouvelle ori- 
gine par rapport à l’ancien axe. En effet, imaginons 
qu’on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes en 
transportant l’origine O à un autre point O’ dont les 
coordonnées par rapport à O soient «, £ et y, il est évi- 
dent que nous aurons entre les anciennes coordonnées 
æ, y, % et les nouvelles x’, y’, z' les relations 


y=Y+e, 28 


Ainsi, désignant toujours par «, 6, y les coordonnées 


Œ = 2" + «us 


rectangulaires, par rapport à l’origine O, de l’origine O’ 
des axes obliques, les relations générales pour passer 


TRI 


d'un système de coordonnées rectangulaires à un Sys- 
tème de coordonnées obliques sont ..... (4) 


æ—u—+ ax +by +cz 
y= Gta ty tes 
2 y+ de + by+ cz. 


Pour passer d’un système d’axes rectangulaires à un 
autre système également rectangulaire, il suffit main- 
tenant de joindre aux relations (5) et (4) de nouvelles 
relations qui imposent aux angles que font entre eux 
les axes OX', OY', OZ! la condition d’être droits. Or 
(GÉOMÉTRIE, n° 16), quel que soit l’angle des deux axes 
OX'et OY’, que nous désignerons par (æ’, y'), sa valeur 
en fonction des angles que ces droites font avec les an- 
ciens axes dépend de la relation 


cos (æ',y) — cos (z',æ) cos (y',æ) 
—+ cos (z',y)cos(y',y) Lcos(x',z) cos(y',2); 


de sorte que, pour que cet angle soit droit, il faut 
qu’on ait 


cos (&',æ) cos (y',æ) + cos (x’, y) cos(y';y) 
— cos (æ',z) cos(y', z) = 0 
ou 


ab + ab + à = 0. 


Ainsi, la même relation ayant lieu par rapport aux 
autres angles pour exprimer que les angles des nou- 
veaux axes sont droits, il est nécessaire et il suffit de 
poser les conditions ..... (3) 


ab + ab + ab —0o 
ac+ac+ac—0o 
be + b'e + b'e — 0, 


qui, jointes aux conditions (3) et (4), donnent la solu- 
tion du problème. Il faut observer que les formules (3) 
et () établissent six relations entre les neuf constantes, 
et conséquemment qu'on ne peut disposer arbitraire- 
ment que de trois d’entre elles. 

Nous ne nous arrèterons pas à la transformation d’un 
système de coordonnées obliques en un autre système 
de coordonnées obliques; la prolixité des formules 
dont cette transformation dépend ne permet pas de 
l'employer avantageusement: 


TRIGONOMÉTRIE SPHÉROIDIQUE. (Géodésie.) 
Les triangles formés sur l’ellipsoide de révolution par 
des lignes de plus courte distance d’une grandeur quel- 
conque ne pouvant être résolus comme des triangles 
sphériques, Euler essaya dès 1763 de les traiter parune 
méthode particulière, fondée sur sa théorie de maximis 

Ton. mr. 


TRI 465 
et minimis, et il parvint à trois équations qui expri- 
ment les relations qu'ont entre eux les six élémens d’un 
triangle sphéroïdique formé par deux méridiens ellip- 
tiques et un arc de plus courte distance : elles font 
l’objet d’un mémoire inséré parmi ceux de l’Académie 
des sciences de Berlin. Toutefois, Clairaut, vingt ans 
auparavant, avait déjà signalé les principales proprié- 
tés du triangle sphéroïdique rectangle. Les difficultés 
qu’'Euler éprouva pour intégrer deux de ses équations 
différentielles rendirent sa solution incomplète. C’est, 
d’une part, le rapport entre la différentielle de la plus 
courte distance, qui est en général une courbe à double 
courbure, et celle de lune des latitudes données; 
d’autre part, le rapport entre la différentielle de cette 
même latitude et celle de l’angle au pôle. Mais ces dif- 
ficultés furent aplanies par Dionis du Séjour, parce que 
ce géomètre fit subir à ces mêmes équations des trans- 
formations qui, en les adaptant à la sphère inscrite, en 
simplifient la forme et les rendent facilement intégra- 
bles par les séries. Depuis lors, Legendre et Oriani, 
mettant à profit cet ingénieux procédé, parvinrent, 
chacun de leur côté, à perfectionner la théorie des trian- 
gles sphéroïdiques obliquangles, le premier, dans les 
mémoires de l’Académie des sciences (année 1806), le 
second, dans les mémoires de physique et de mathé- 
matiques de Milan, même année. Néanmoins il était à 
désirer que la résolution de tous les cas possibles de ces 
triangles, exposée d’une manière très-diffuse par Oriani, 
fût ramenée à des méthodes de calcul plus simples, et 
tel est le but que nous sommes proposé dans notre 
Nouvel Essai de trigonométrie sphéroïdique publié dans 
le quatorzième volume des Mémoires de l'Institut. Voici 
quels sont les principes de cette trigonométrie. 


S 1”. 


DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'UNE LIGNE GÉODÉSIQUE 
ET DE LEUR INTÉGRATION PAR LES SERIES. 


Si une droite AM (PI. XXIT, fig. 7), menée dans le 
plan d’un grand triangle ABC tracé sur la terre, est pro- 
longée d’une quantité MM', ce prolongement ne sera 
point contenu dans le plan du second triangle BCD par 
l'effet de la courbure de la surface terrestre; mais sa 
projection horizontale MN, déterminée par la verticale 
M'N, représentera, avec la première partie AM, la plus 
courte distance du point A au point N. Pour le prou- 
ver, rabattons la ligne MM sur le triangle BCD, en la 
faisant tourner autour de BC comme axe, et suppo- 
sant l'angle CMM' inyariable. Par ce mouvement, 
M! décrira un très-petit arc de cercle qui pourra être 
considéré comme une droite M'N perpendiculaire au 
plan BCD; et si, dans le triangle MM'N rectangle en N, 
l'hypothènuse est égale à AM et désignée par ds ou par 


9 


466 TRI 


le premier élément de la ligne géodésique, et que lé 
très-petit angle M'MN le soit par ?, l’on aura 


M'N — ds sin à MN — ds cos à 


es (: _ = DE 4 (: y ) 


Ainsi il est évident qu’en négligeant les termes infe- 


C3 


D | 


rieurs à 4”, le second élément MN de la ligne géodé- 
sique est, à un infiniment petit près du troisième ordre, 
égal à ds, et que la normale M'N comprise entre le pro- 
longement de AM et la surface terrestre est du second 
ordre. La distance AMN est donc égale à la droite AMM'. 
Donc, généralement, une ligne tracée sur la terre par 
des jalons qui s’effacent les uns par les autres est la plus 
courte entre toutes celles que l’on peut mener entre ses 
extrémités, et la propriété analytique d’une telle ligne 
résulte de ce que sa différentielle ds est constante. 

Maintenant, soient x, Y5 les coordonnées rectangles 
de l’origine de cet élément ds ou du point A du sphéroïde 
terrestre; celles de son extrémité M seront æ + dx, 
y—+-dy, :+-dz; et les coordonnées du point M’, extré- 
mité du second élément MM'— ds, seront évidem- 
ment 


æ + 2dx = X", y+ 2dy — Y', zLodz— 2. 


D'un autre côté, nous venons de démontrer que la 
petile normale M°N ou la perpendiculaire au second 
triangle BCD est du second ordre; ainsi elle peut être 
considérée comme la diagonale d’un parallélipipède 
rectangle dont les côtés seraient du même ordre. c'est- 
à-dire dx, dy, d’z: les coordonnées du point N ou du 
pied de cette normale sont donc 


æ + 2dæ — dx — X, 
y + 2dy — dy=Y, 
2 + odz — dz — 1. 


De plus, par la théorie connue des surfaces courbes, 
dont l’équation différentielle est 


3 sb um fda dz 
x — pdx + qdy — Fa dx + () dy, 


on a en général, pour les deux équations des projections 
verticales de leur normale, 


X'—X+p(£ — 2) —0, 
Y—Y+q(L' — 2) —0; 


et si l’on élimine entre elles Z'— Z, la troisième équa- 
tion de cette ligne sur le plan des æy sera 


Q(X—X)—p(Y=Y)—=0, 


TRI 


ou bien, mettant pour X'— X et Y'— Y leurs valeurs 
précédentes, on aura (1) 


dz\s; dEN 4; 
() dr = (a) PE 
Cette équation sera celle de la ligne de plus courte 


distance sur l’ellipsoïde de révolution en y mettant pour 
petgleurs valeurs tirées de l'équation de ce corps, savoir: 


b? (a? - y) + a? z? == æ&b, 


lorsqu'on prend l’axe des z pour celui de rotation. Or, 
on a en diflérentiant, 


dz — pdx + qdy = — à 
ainsi l'équation (1) devient 
xdy — ydxr = 0. 
Divisant ensuite par ds et intégrant, on a, à cause de 
ds constant et de l’'homogénéité (2), 


ædy — ydx — Cds, 


C étant la constante introduite par l'intégration. | 

Pour montrer comment cette dernière équation con- 
duit à une propriété caractéristique de la plus courte 
distance, faisons CT (PI. XXIT, fig. S)ouz=tet 
TM — gq; le triangle rectangle Cpm, dans lequel 
Cp — x, pm — yet Cm — q donnera evidemment, en 
faisant l'angle APM — o, 


ZT —qCOSY,. y —=qSsiNnpy, 
et par la différenciation l’on aura 

dx — dq cos ÿ — qd sin » 

dy = da sin 9 Egds cos», 
valeurs qui changent l'équation (2) en celle-ci (5) : 

g do — Cds. 

D'un autre côté, le triangle élémentaire 4mwM rec- 
tangle en m' donne sin PMA, ou 


am 


ds ? 


sinus 


et les deux ares semblables F'G'= do et 4'm'.étant pro- 
portionnels à leurs rayons respectifs CF et qg — dg, 
l’on a 


a'm — qdq 


en prenant toutefois CF pour l'unité et négligeant le 


terme du second ordre — dgdo; donc 


TEE _ et gsinV— "0, 


TRI 

Ainsi la propriété de la ligne la plus courte est de 
rendre g sin V constant; et remarquons que quand on 
prend pour méridien fixe le plan des æz perpendicu- 
laire à la ligne géodésique MM'A, ce qui est évidem- 
ment permis, l’azimut V au point A est droit, et la con- 
stante C est égale à l’'ordonnée AT, valeur initiale de q. 

L'équation (3) exprime le rapport de la différentielle 
de la ligne géodésique à celle de la longitude de l’un de 
ses points. Il en existe une autre entre ces deux diffé- 
rentielles que l’on déduit de l'expression 


TE ur) 


En effet, en mettant ici pour dx et dy lenrs valeurs 


ci-dessus, et faisant attention que 5 = f, on a 
S — dg + qd +de, 


et substituant dans cette nouvelle expression pour ds 


dy SAN nee 0 sh 
sa yaleur € ” ensuite éliminant d>, il vient 
g° (g° — C?) dé = C? (dé + dy) | 


QC) de = p (a +dr) | Ÿ 


Avant d'intégrer ces deux équations, il faut éliminer 
de chacune d’elles l’un des variables t, q à l’aide de l’é- 
quation du méridien mobile PMF, qui est 


at + bg? — ab. 


Mais, pour parvenir aux résultats les plus simples, pre- 
nons, à l'instar de Dionis du Séjour, une nouvelle va- 
riable } telle que l’abscisse { — b sin }, auquel cas ) sera 
l'angle que fait avec le plan de l'équateur æy le rayon b 
du cercle inscrit au méridien mobile, et dont l’abscisse 
d’un de ses points est la variable £. Cette valeur étant 
introduite dans l’équation précédente de ce méridien, 
on a l’ordonnée g — a cos ): et la constante C, qui est 
égale à q sin V, devient 


C —= asin V cos ). 


A un autre point M'de la plus courte distance, pour la- 
quelle } se change en X’et Ven V', on a de même 


C = a sin V'cos À. 


Enfin, au point A, où l'azimut de AM' est supposé 
de 90°, on a, en désignant par 4 


} ce que devient ), 
C — acosy. 
Il résulte donc de ces trois valeurs la relation 


cos 4 —"'sin V cos} — sin V'cos }'; 


c’est-à-dire que les sinus des angles azimutaux aux 
extrémilés d’une ligne géodésique sont entre eux récipro- 
quement comme les cosinus des latitudes réduiles de ces 


TRI 467 


mêmes points. Nous appelons ici latitudes réduites les 
angles } et )', et voici pourquoi: 

Si par le point M on mène la normale MO terminée 
au petit axe de l’ellipsoïde, l'angle POM sera le com- 
plément de la latitude vraie / de ce point, ou, ce qui 


à TO : 
est de même, on aura TN — tang L; mais, dans 
l'ellipse, la sous-normale TO correspondante aux 
coordonnées t, q, étant TO — ; lon a aussi 


FO DUT merde œ )° sé t 
TM = dt TR ans 2; par consequent , 


a : 
tang | — - tang }, 


b 
b ou tang | = à tang L. 


On voit donc que l'angle } est plus petit que /, puisque 
a est le rayon de l'équateur et b celui du pôle. 
Maintenant, si l’on substitue dans les équations diffé- 
rentielles (3) pour t, g et C leurs valeurs respectives 
b sin}, a cos Let a cos 4, on aura, à cause que l’angle 4 


et la ligne s augmentent quand } diminue, 


/ a* sin? SET = B? cos? 057 À 
2 1. 2? 


cos? } — cos? 4 


2 CEE 2 A À 
ds = — dicos) V8 sp ET die) 


Cora — cos? ÿ 


di cosy 
a cos ) 


dy = — 


Ce sont les équations différentielles de l’arc AM per- 
pendiculaire au méridien fixe PA. Legendre rend leur 
intégration très-facile par les séries, en leur faisant 
subir préalablement quelques transformations à l’aide 
d’un angle subsidiaire ; mais on arrive au même but et 
plus directement en changeant sous les radicaux les 


cosinus en sinus, et y faisant, pour abréger, —— 


En effet, l’on a d’abord 


bd . sin} = 
du Æ Sin À , Vi 2E = sin? 
(sin? ÿ — sin? })* 
b cos 4 cos } . d) 
desde 9 M60s) 6 à VA Æ esintà, 


cos? } (sin? L — sin?})* 


+ 


et si l’on développe le radical Vi re sin?} jusqu’au 


terme de l’ordre & inclusivement, les premiers termes 


des valeurs de ds et do seront respectirement 


tang À 
; tang L 


tang? }\ * 
| 
tang? y 


car, par les formules trigonométriques connues, l’on a 


identiquement 


sin? — sin} = (tang? { — tang?}) cos? 4 cos?) ; 


468 TRI 


et les intégrales respectives seront 


+ =nsin À b ds Li tang ) 
are , 37 — aug ÿ , 


ou, ce qui revient au même, 


b 


be 10 
, a , 


en faisant 
sin À tang À 
COS = ——, COSu— ———. 
sin Ÿ tang Ÿ 


Quant aux autres termes, ils seront de la forme 
Audu 


, et s’intégreront par le procédé connu. 


1 


(Ki — w°)° 
b 
En définitive, et à cause de re LS 


on aura avec un peu d'attention 


(A) B= (ir esintg— à & sint #) e 


1 1 
sn? 2eint. 2 À oi 
+ [2e sin e? sin° + } sin 25 
G LT +) 


1 
(B) pau [ie fe sine] en 4 
1 : 
+ 33 © sin? ÿ cos ÿ sin 29... 


s s à : $ 
et comme il est utile d’avoir & en fonction de p°9n 


appliquera le retour des suites à la série (A) en la met- 
tant sous cette forme 


o=R + Pe+ Q + ...., 


bornée aux termes du second ordre ; puis, tirant de là 


; À 8 \ s 
sin 26 —= sin 2 G) + 2Pe-cos 2 G) 


sin 45 = sin 4 G). 


Après quoi il viendra, toutes substitutions faites (voy. 
GÉODÉSIE, tom. IL, p. 220) 


= 
[e) 
D 
a 
I 
Ii 2 
7% 50 
Sr 


: sin? y + 64 ci sins}) 


TRI 
On aura en outre, d’après ce qui précède, 
: À 
D sin V'— 
(D) 5 cos À ? 


V' étant l’angle que l'arc s fait avec le méridien qui 
passe par son extrémité M'. 


S IL 


FORMULES FONDAMENTALES DE LA TRIGONOMÉTRIE 
SPHÉROÏDIQUE. 


Considérons maintenant deux triangles sphériques 
pma, pm'a (fig.16), rectangles en aet correspondans aux 
triangles sphéroïdiques de même espèce PMA, PM'A; 
et supposons que les azimuts V, V' soient les mêmes 
de part et d'autre, mais que les latitudes des points &, 
m, m soient +, }, X\; enfin, représentons respectivement 
par &;, s, 2 les arcs am, am’, nun'; par w, «' les angles 
mpa, mpa; on aura, par la propriété des triangles 
sphériques rectangles, les relations suivantes : 


I. cos Ÿ = cos À sin V, sin ç = Sin w COs ), 
in À a 
Il COST = — COS w = COS ç sin Y, 
sin Ÿ 
ng ; à 
IL tango — . rs  Sincsinÿ— cos V cos). 


Celles qui composent le premier système à gauche 
donneront la position du point À, lorsque le point M 
sera donné. On a, en outre, par rapport au point M’, 
dont la latitude vraie est L’ et la latitude réduite ), 


IV. sin \ = sin Ÿ COS, 
, __tang o 

Y. tang w = ER 1 n 

VI. cos }' sin V'-— cos ) sin Y. 


Enfin, la proportion des quatre sinus donne 


VIL. sin (w°—w) c0s X = sin (5 — a) sin V. 


On pourra donc, à l’aide des relations (IV, V, VI), 
déterminer trois des quatre variables l', o',w', V' quand 
l’une d’elles sera connue. 

De là et des formules (A), (B) on tire généralement 
deux autres équations relatives au triangle sphéroïdique 
obliquangle PMM', dans lequel MM —s, et la diffé- 
rence en longitude MPM'= 9, savoir : 


L Se Ve 
= (c— a) (a+ ÿ soin y — 9 à sint4) 
—+- (sin 25° — sin 24) (gens s? sin° :) 


» 1 ; 
— (sin 4 a — sin 4c) (55e et sin“ t) 


TRI 


et 


p = mano) (re ie) co 
+ (-— o+=sin 2 > sin 2 ) (rgcsintpcs). îe 


s 
On a en outre, en retournant la valeur de p? cette 


autre série, également due à Legendre, et dont la con- 
vergence ne dépend, comme les précédentes, que de 
la petitesse de &, 


= 0j (s—Sesinty+ 7 ssinty) 
— sin 5 cos (2 c + :) G € sin y —$ € sin‘) 
+5 cos (a+ ) (E a+) 
+sins cos (+5) cos (+2 )C cu 
+sin2? cos (as+2; CE ee.) Socio 


Si, au lieu de faire usage du rapporte, on voulait em- 


ployer le carré de l’excentricité de l’ellipsoïde de ré- 
Be De 


volution qui est e — — 
a 


, On aurait évidemment 


Toute la théorie des triangles sphéroïdiques est ren- 
fermée dans ces équations, et c’est par certains artifices 
de calcul que l’on parvient à en déduire les valeurs des 
inconnues propres aux différens cas de la trigonométrie 
actuelle. Par exemple , s’il s'agissait de trouver sur l’el- 
lipsoïde de révolution la plus courte distance de deux 
points quelconques donnés par leur latitude et leur 
longitude, il faudrait procéder comme nous l'avons 
montré page 69 à 84 du tome I de la Nouvelle Des- 
cription géométrique de la France, ou recourir à la so- 
lution que l’illustre géomètre M. Ivory a donnée de ce 
problème, sans l’appuyer sur la considération de la 
sphère inscrite. (Voyez page 31 du huitième volume du 
Philosophical Magazine.) Mais passons aux questions 
plus usuelles qui peuvent être traitées élémentai- 
rement. 


$ ui. 


RÉSOLUTION DES TRIANGLES SPHÉRIQUES TRES-PEU COURBES. 


Nous ferons d'abord observer que Legendre a ramené 
la résolution d’un triangle géodésique quelconque, mais 
peu étendu, à celle d’un triangle rectiligne de mème es- 
pèce, et cela au moyen de ce théorème, que tout 


TRI 469 


triangle sphérique très-peu courbe répond toujours à un 
triangle rectiligne qui a les côtés de même longueur, mais 
dont les angles opposés à ces côtés sont ceux du triangle 
sphérique, diminués chacun du tiers de l'excès de leur 
somme sur deux angles droits. 

Nous ne rappellerons pas l’élégante démonstration 
que Lagrange en a donnée dans les premiers cahiers du 
Journal de l'Ecole Polytechnique, et que Legendre a re- 
produite dans sa Trigonométrie ; mais en voici une autre 
moins connue et qui nous parait fort simple. 

Supposons qu'au triangle sphérique dont les données 
sont les deux côtés a, b, et les deux angles opposés À, 
B, corresponde le triangle rectiligne a, b et A’, B', et 
que l’on ait A'= À — x, B'— B—%; on demande 
de déterminer æ. 

Par la propriété du triangle rectiligne 


mais, à cause de la série connue 


a! a° 


SNA A — —— DNS ER , 
Si TES 5e etc. , 


4. 


on à à très-peu près, vu l'extrême petitesse de @ par 
rapport au rayon de la terre, 


: a : a? 
&a—sinma« = Sin Sr 
+2 (+5): 
par conséquent, 


sina (ie) sin(A— x) = (rs). 


sin b (: a 6) sin (B—x) sin B\i1—xcotB 


D'ailleurs le triangle sphérique correspondant don- 


sin & sin À 


Dant — — —— £ si i » JS 
TD Sing’ 22; en simplifiant, chassant 


les dénominateurs 
4° ordre, 


_a—b? 1 _&d—b 
FE SG cot B — cot À (QUE 


valeur qui est précisément le tiers de l’aire du triangle 


et négligeant les quantités du 


sin À sin B 
sin(A—B) $ 


sphérique considéré comme rectiligne, ainsi qu'il est 
aisé de le démontrer. Mais la somme des trois angles 


d’un triangle sphérique est 
À + B+ C— AL B'+ C+s:— 180° + Se 


> étant l'aire de ce triangle, lorsque l'unité d’angle est 


le quart de la circonference et l'unité de surface le quart 


de l'hémisphère. Or cette aire diflérant extrêmement 


470 TRI 


peu de celle du triangle rectiligne dont les côtés seraient 


a,b,c,lonaæ—;>, et, par conséquent, 


A'— À — 
partant, 


AHBHC=A—S5+HB— 324042. 


Enfin 
1 


CEC—;xsz. 


Maintenant il est évident que si avec les données @, €, 
A, C du triangle sphérique, on formait un second 
triangle rectiligne a, c. A—y, C—y, on aurait 


1 . nm 
Y—t—ZE©, ou, ce qui est de même, ce second 


= 
« 


triangle serait égal au premier. Donc, etc. 

L’excès sphérique > rapporté à une sphère du 

Ë Ï P 

pe x , 
rayon — 1 a évidemment pour valeur 7° lorsque x dé- 
signe l'aire du triangle proposé sur une sphère dont le 
rayon est r ; ainsi, en général, cet excès est proportion- 
nel à l'aire du triangle auquel il appartient, et pour 


l'avoir en secondes il faut faire 


FE : 
R'— San étant le nombre de secondes comprises dans 


un arc égal au rayon. 

Le plus grand triangle qui ait été mesuré dans l’opé- 
ralion de la méridienne de France prolongée en Es- 
pagne est le suivant : 


Angles sphériques. Côtés opposés. 


Camprey.. À = 59°50 59',40. . a — 142201°,79 
Desierto . . B — 42. 5.36 ,07. . b — 110255, 63 
Mongo . . . C —: 98. 4. 9, 55. . c — 160903; 96 


Ge 
180° 0 39,00 


Les angles de ce triangle sphérique résultent des 
angles horizontaux observés au centre des stations, et 
diminués chacun du tiers de l'erreur totale trouvée de 
1,63; c'est-à-dire que cestrois derniers angles formaient 
180° 0° 40 ,6. Pour opérer cette correction, il a fallu 
calculer l'excès sphérique de ce triangle, lequel, d’après 
ce qui vient d’être dit, est 


c c?sic À sin B 


s Tor sini"sin(A LB) 995 


7 r?sin1" 


r — 6366198" étant le rayon moyen de la terre. 


TRI 


Remarquons en outre qu’en ôtant de chacun des 
Fe 1 CNT 
angles sphériques = 13’, l’on a les angles moyens ou 


ceux du triangle rectiligne correspondant; ainsi 


a 
] 
E 
©: 
ox 
5 
ee 
© 
* 
I 


Campvey. 


110235,63 


CA 
& 
1 
5 
TT 
| 


Desierto.. 


Mongür. "Ci 78.13.60 15200 : 


En supposant seulement connu le côté bet les angles 
moyens A'B'C', on trouverait les deux autres côtés par 
la trigonométrie rectiligne; mais la trigonométrie 
sphérique conduit aux mêmes résultats de la manière 
suivante : 

D'abord, la base étant très-petite relativement au 
rayon r de la terre, il sera plus exact d’évaluer en 
mètres les sinus des côtés a, b, c; et, à cet égard, on à 


Mb? 


Log sin b — Log b — Gr ? 


M — 0,45429 ..... étant le module tabulaire, ou 
LogM—9.63758; etcomme d’ailleurs Logh—5.0425220, 
l’on a 


Log sin b — 5.0423003. 
Ensuite, des deux proportions 


sinB:sinA::sinb:sma, 


sin B:sinC::sinb:sine, 


l'on tire aisément, à cause des valeurs ci-dessus des 


angles sphériques.A, B, C, 


Log sin à — 5.1528600 


Log sin ce — 5.2065206. 


Enfin, pour passer des sinus aux ares, l’on fera atten- 
tion qu’en général 
M sin?æ 

(QUE. 


Log x = Log sin æ + 


du moins à trèes-peu près; partant 


Log a — 5,1529092, Log c — 5.2065668 


a 


] 


142201°,77, C 


I 


160903,96. 


Ce procédé rigoureux n’est donc guère plus long que 
par la méthode de Legendre et peut servir à vérifier les 
valeurs numériques obtenues par celle-ci. 


2 


__— 


É TRI 
S IY. 


DÉTERMINATION DES LATITUDES ET LONGITUDES 
GÉOGRAPHIQUES. 


Un autre problème important de géodésie, c’est de 
déterminer les coordonnées géographiques des sommets 
des triangles qui, par leur enchainement, couvrent 
toute l’étendue d’un pays dont on se propose de lever 
la carte. Ces coordonnées sont la latitude, la longitude 
et l'altitude (voy. ces mots); mais il est quelquefois né- 
cessaire de recourir préalablement aux observations cé- 
lestes pour avoir, tant la latitude et la longitude d’un 
de ces sommets pris pour point de départ, que l’azi- 
mut ou l’inclinaison de l’un des côtés des triangles sur 
le méridien de ce même point. Ces élémens géogra- 
phiques étant obtenus, les différences de latitude, de 
longitude et d’azimut des autres sommets, comparés 
successivement un à un, se caleulent sur la terre à l’aide 
de formules qui proviennent de la résolution d’un 
triangle sphéroïdique dont on connaît deux côtés et 
l’angle compris, et auxquelles on parvient très-simple- 
ment ainsi quil suit. 

Soit AB — k (fig. 


de plus courte distance-d’un degré et demi d’amplitude, 


15) un côté de triangle ou un arc 


au plus; PA, PB les méridiens deses extrémités; L, l'es 
latitudes des points A, B; et désignons par p,p' leurs 
_longitudes complées du premier méridien PM, c’est- 
à-dire les angles APM, BPM; enfin appelons v, v les 
azimuts de # comptés du nord à l’ouest, ou, ce qui est 
de même, les angles BAP, B'BP supposés aigus. 

Cela posé, si &, 1, p, v sont les données du problème, 
l,p'; 


par le théorème de Taylor on aura 


v seront nécessairement fonctions du côté k, et 


dl CE, arr 
ges Hier 2: 2 3 
AE ver EE | Re mas ÉUTE 
3 d DA: Ci 14 
D dk À 2 ae À Frs me + 


n dv 1 à 

dv — 0 + Sr = TELE —- 5 er Fe 
les coelliciens différentiels 
de ces trois séries. Or, en assimilant d’abord le triangle 
sphéroïdique APB à un triangle sphérique dont les côtés 
soient #, 90° —), 90° — l', et en formant le triangle élé- 
mentaire APR dans lequel AR — dk, ce triangle offrira 
évidemment ces relations : 


Reste donc à déterminer 


sin({+-dl) —=sinlcosdk+-coslsin dk cosv, 


sin dp.… sin (v + dy) sin (u + dv) _ sin © 
sindk cost ? cost coÿ(l dl)’ 


puisque AP — 90° — /, RP — 90° — (1 + di); et si 
Von chasse les dénominateurs, qu’on développe et qu’on 


TRI 471 


réduise conformément à la doctrine des infiniment pe- 
tits, il viendra 


dl dp SD e dr Ë 
DE = CS V0 TE ES TE tang v tang l; 
par suite 


v : 
— — Sin v tang L. 


dk 


Ces coefliciens différentiels du premier ordre étant 
trouvés, l’on passera sans difficulté à ceux des ordres 
supérieurs en faisant tout varier, et l’on obtiendra en 


dernière analyse, 


1 
0 E = 2 R$in/vtane/ 
l=1Hkcosv— KE sin © tang 


asie in, 
— - k$sin?vcos (: + tag) ; 
2 5 


sinv qe sine vtang l 
MP nt cos L 
: 2 
1,,sinvcos?v 3 
Zk (1+-5tang? l) 
G cos / 
: 3 
1 ,,sinv 
— - ki tang? {, 
S'COST ” 


; ; DRE 
v'—ù—#+#ksinvtang/+ Ga sin2v(2tang? [+:) 
+ kisinvcos fotangt(s + str 
PLU 
sea annee 2 
— kisin? tang(S-+ jtane ). 


Mais pour compter les azimuts du sud à l’ouest et de- 
puis o jusqu’à-360, à la manière accoutumée des in- 
génieurs-géographes français, l’on changera v en 
180° — 


cos v —— cos z. Enfin les séries précédentes se change- 


zetv' en 360°— 2’, et l’on aura sin v — sin Z, 
ront, avec un peu d’attention, en celles-ci : 
. TE ee 
l'— 1——kcosz— — sin? ztangL 
2 


+ & Ur sin?zcosz(1—5tang?l), 


tang { 


e 
sin Z 1 E sin2z 


cos L 2 


LS 


P—p—=k#k 


cos l 


sin £ C0? z 


1— 5tang*{ 
CUS L (GLS pe D ) 


ns 2 
1 Sin” Z 
CT tane? / 
5 &os à 6" 


2 — 3 —180°— (p—psin HR sin2 x 


1 1 
— — Ré sin zcos'x 
2 


tang ! 


1 x 
+ 6 k sin? 5 tang {. 


472 TRI 

Dans ces formules, la ligne géodésique k est censée 
appartenir à une sphère du rayon 1, puisque telle est la 
supposition tacite qui a été faite en premier lieu ; mais 
dans la pratique l’on prend pour ce rayon la normale N 
au sphéroïde terrestre, comprise entre le point dont la 
latitude est / et l’axe de la terre. Or cette normale, don- 
née en unités métriques comme la ligne k, ayant 


: a aio »: 
pour expression N = >; ainsi qu il est 
V/1 — e? sin? 
aisé de le prouver, l’on doit remplacer k et ses puis- 


2 


k k EN à Ge 
sances par &» wi etc., quantités qui, à cause de leur 


petitesse, sont respectivement du 1‘, du 2°, etc., ordre. 
De plus, tous les termes des séries ci-dessus, pour être 
exprimés en secondes de degré, doivent être multipliés 
parr', c’est-à-dire par le nombre de secondes contenues 
dans un arc égal au rayon, ou, ce qui est de même, par 
1 
SIT 
Toutefois il est à considérer que la latitude l' déter- 
minée de la sorte ne serait pas exactement celle qui, sur 
la terre elliptique, répondrait à l'extrémité de la ligne 
géodésique k; mais si l’on désigne par R lerayon decour- 


bure du méridien à la latitude moyenne - (+ TL) =, 
il suffira, pour plus de précision, de multiplier la valeur 
. de l'— 1 par le rapport 2 parce que quand deux arcs 


de plus courte distance sont de même grandeur sur la 
sphère et sur l’ellipsoïde de révolution, leurs amplitudes 
sont en raison inverse de leurs rayons de courbure. 


a (1— € 
FT RE 
(i — e? sin)” 


Dans ce cas , et l’on a, en déve- 
, , 


loppant en série par la formule du binome, 


> = 1e cost 1e cos? + Sa eos sin Leosl; 

mais le plus souvent les deux premiers termes suffisent. 
Quant à la seconde formule, par laquelle on obtient 
p — 7; elle convient à la fois à la sphère et au sphé- 
roïde, et elle est alors avantageusement remplacée par 


celle-ci : 


dans laquelle la latitude [' est donnée par la première 
équation. Il en est aussi à peu près de même de la troi- 
sième équation; cependant il faudrait à la rigueur y 
: At 1 NRA 
ajouter le terme du troisième ordre 1N e? sin 27 cos”, 
pour l'adapter exactement au sphéroïde terrestre dont 
le carré de l’excentricité est e2. Voyez à ce sujet notre 
Traité de Géodésie, ou la Nouvelle Description géomé- 


TRI 


trique de la France (tome IX, p. 14 et 15}, laquelle con- 
tient une table qui abrége considérablement les calculs 
de ce genre. 


Une seule application des deux premières formules 
réduites aux termes du premier et du deuxième ordre 
en fera suffisamment connaître l’utilité. 


Proscime. D'après les opérations. géodésiques de 
France, l’on sait que la latitude du Panthéon 


L— 48°5048",6, 
que sa longitude orientale 
p =— 354,6. 


On sait de plus que l’azimut de Montlhéry sur l’hori- 
zon du Panthéon est ’ 


z = 15°5 25,5, compté du sud à l’ouest; 


enfin, que le logarithme de la distance de ces deux 
points, évaluée en mètres, est 

Log k — 4.5822185. 
On demande la latitude l'et la longitude p' de Mont- 
Ihéry. 


Solution. On a à résoudre les deux formules sui- 
vantes : 


N sin: ! 2N?sin1 


x k Q 2 in? 
l'—1— KE Ne tang ]o+s cos), 


is __ ksinz 
PP Nsinr cost 


D'abord, si dans N 


e sin? { = sin°0, l’on aura N — et, à cause de 


cos 6? 
Log a 6.8046154, Log € —= 7.8108714, lors- 
qu'on suppose l’aplatissement de la terre de 


1 
— > —= 0,0 à 
TEL A 
on trouvera 


Log sin? 0 = 7.564413a, 


d'où 

Log sin 6 — 8.9822066 
et | 

Log cos 0 — 9.9992020. 
Partant, 


Log N = Log a — Log cos 9 — 6.8054124. 


On a en outre 


Log sin "= 4.6855749 


TUR 


et 
Log (1 + e* cos?!) — 0.0012153, 
et, avec toutes ces données, l’on trouve facilement 


l— = — 560,5 — — 0°1240",5, 
pP—p= + 266",1 — + 0° 426,1. 
Enfn, l’on a 


latit, L'— 48:38" 8',1 


long. p = 0° 351,5 (occidentale). 


La grande triangulation qui sert de fondement à la 
nouvelle carte topographique de la France fournit un 
nombre immense de positions géographiques qui ont 
été calculées de la sorte, et dont les hauteurs au-dessus 
du niveau de la mer sont également connues. (Voyez 
ALTITUDE.) 

Nous ferons remarquer, en terminant , que la diflé- 
rence des azimuts aux extrémités de la ligne 4 s’évalue 
fort simplement, à l’aide de cette formule 


sin . (SE) 
D), 
cos 2 (1— l) 


à laquelle conduit directement celle des analogies de 
Néper, qui donne la tangente de la demi-somme des 
angles inconnus en fonction de deux côtés et de l’angle 
compris. Nous dirons de plus que la valeur analytique 
précédente de l’— ! exprimerait en mètres la longueur 
d’un arc de méridien compris entre les parallèles des 
extrémités de k donné en mème mesure, si, pour éta- 
blir l’homogénéité dans les termes de la série, l’on di- 
visait respectivement le deuxième et Le troisième terme 
par la normale N et par son carré N°. C’est en effet l’une 
des méthodes de rectification qui ont été employées 
pour déterminer les diverses parties de la méridienne 
de France. 


(M. Puissant.) 


TURBINE. (Hydraul.) Nom générique de diverses 
machines hydrauliques dont l'organe principal est une 
roue horizontale qui recoit l’action de l’eau motrice. 

Les roues hydrauliques horizontales sont connues 
depuis long-temps, et quoique celles qu’on emploie 
dans le midi de la France n’utilisent qu'une petite partie 
de la force motrice consommée, on les préfère aux 
autres roues, parce que la position verticale de leur 
axe simplifie considérablement le mécanisme des mou- 
lins qu'elles mettent en mouvement. (Voyez Roue, 
tome II, ‘et Auses.) M. Burdin, ingénieur des mines, 
frappé de l’énorme perte de force que ces machines en- 

Ton. 11. 


TUR 473 


traînent, ayant cherché les moyens de les perfection- 
ner, imagina diverses combinaisons très-ingénieuses au 
moyen desquelles une roue horizontale peut être dis- 
posée de manière à obéir soit à la pression de l’eau, 
soit à sa réaction, soit enfin à sa force centrifuge. Les 
travaux de ce savant distingué ont ainsi donné nais- 
sance aux trois classes de machines comprises par lui 
sous le nom de turbines, nom adopté immédiatement 
par tous les hydrauliciens. 

La turbine dite & évacuation alternative est mise en 
jeu par la pression de l’eau. M. Burdin en a établi une 
au moulin de Pontgibaud (département du Puy-de- 
Dôme), dont l'effet utile, mesuré au moyen du frein 
dynamométrique (voy. ci-devant, page 304), a été les 
0,67 de la force totale employée. C’est une roue à aubes 
courbes qui recoit l’eau par trois circonferences et la 
rend de manière que la portion qui sort d’une aube ne 
peut être choquée par l’aube qui vient immédiatement 
après. On en trouve la description dans le tome III des 
Annales des mines pour 1833. 

La turbine dite à réaction est mue par la réaction 
(voy. ce mot) de l’eau. Celle que M. Burdin à établie 
au mouliu d’Ardres, dans :e département du Puy-de- 
Dôme, produit un effet utile qui n’a jamais été au- 
dessous des 0,65 de la force motrice et qui s’est quel- 
quefois élevé jusqu'aux 0,75. La description en a été 
faite dans les Annales des mines, tome III, 1828. 

La turbine à force centrifuge est la première machine 
hydraulique où l’on ait imaginé d'employer la seule 
force centrifuge du liquide en mouvement. M. Burdin 
en a fait mention dans un mémoire présenté à la So- 
ciété d'encouragement pour le concours de 1827; mais, 
tout en reconnaissant qu’on ne peut lui refuser la prio- 
rité de l’idée principale, le mérite d’avoir réalisé cette 
idée, en surmontant toutes les difficultés inhérentes à 
la construction, appartient sans contredit à M. Four- 
neyron; ainsi, c’est avec justice qu'on ne désigne cette 
machine que sous le nom de turbine Fourneyron. 

La turbine Fourneyron a la singulière propriété de 
marcher avec un égal avantage, soit qu’elle se trouve 
entièrement immergée dans l’eau du bief inférieur, 
soit qu’elle ne plonge qu’en partie dans cette eau, soit 
enfin qu’elle se meuve dans l'air. Celle que M. Four- 
neyron a construite sur le Doubs près de Besancon 
consiste en une forte cuve bb (PL XXIT, fig. 14) en 
fonte fermée par le haut, sauf le centre, par lequel elle 
donne ouverture à un long tuyau vertical par lequel 
passe l'arbre vertical de la roue. L’eau arrive dans 
cette cuve par un coursier en fonte fermé aa, lequel 
peut être cintré et conduire l’eau d’un réservoir supé- 
rieur, ce qui permet, dans le cas où le mouvement doit 
être transmis à un point sensiblement plus bas que le 
niveau du réservoir d'eau, de ne pas donner à l’axe de 

60 


474 TUR 


la turbine une trop grande longueur, qui l’alfaiblirait, 
et de placer au point le plus convenable et avec toute 
facilité les engrenages de renvois qu’on adapte ordi- 
nairement à la partie supérieure de axe. L’eau entrant 
ainsi dans la cave, la remplit entièrement ; elle y trouve, 
vers le bas, à la hauteur », des cloisons verticales et 
courbes dd qui la conduisent, sur Ja turbine; ces eloi- 
sons sont vues en plan dans la fig. 15. La turbine est 
une roue à aubes courbes horizontales, portée sur une 
calotte sphérique {l percée à son centre m pour le pas- 
sage de l’axe, lequel repose sur une crapaudine n. L’axe 
et la calotte sphérique font corps ensemble. L'eau, 
menée par les cloisons dd sur les aubes ee, est obligée 
d’en suivre la courbure, et exerce sur elles, en vertu de 
sa force centrifuge, une action motrice qui imprime à 
la roue un mouvement de rotation très-rapide. 
On'trouve une description détaillée de cette intéres- 
sante machine dans le Zulletin de la Société d'Encou- 
ragement, année 1834. Depuis, M. Fourneyron en a 
construit plusieurs autres avec un succès que nous ne 


VAP 

VAPEUR. (Phys.) Nous ayons exposé au mot Force 
ÉLASTIQUE les propriétés générales des COrps gazeux , 
tant de ceux qu’on nomme vapeurs que de ceux qu'on 
nomme gaz permanens; nous nous occuperons plus 
particulièrement, dans cet article, de la vapeur de l'eau, 
dont l'emploi comme moteur exerce une si grande in- 
fluence sur l’industrie moderne. 

1. Rappelons que toutes les vapeurs présentent des 
propriétés très-différentes, selon qu’on les considère en 
contact avec les liquides qui les engendrent ou séparées 
de ces liquides. Une vapeur en contact avec son liquide 
générateur ne peut augmenter ni diminuer de tension 
et de densité par la diminution ou l’augmentation de la 
capacité qui la renferme (page 192). Sa tension et sa 
densité dépendent uniquement de sa température, et 
pour toute température elles sont toujours les plus 
grandes possibles ou à l’état de maximum. Séparée de 
son liquide, une;vapeur se comporte exactement comme 
un gaz permanent, c’est-à-dire que pour une même 
température elle change de tension et de densité à me- 
sure que son volume yarie, et que, pour des tempéra- 
tures differentes, sa pression est différente, mais non sa 
densité, lorsque le volume reste le même. On peut se 


TUR 

saurions mieux faire apprécier qu’en citant les paroles 
suivantes de M. Poncelet : « On sait avec quel art infini 
M. Fourneyron est parvenu à soustraire cette même 
turbine au défaut d’abord si capital du prompt user des 
pivots, et comment aussi, à force d’études, de soins et 
de persévérance, il en a perfectionné les différentes 
parties de manière à constituer, de l’ensemble, un mo- 
teur puissant qui est en tous points comparable, pour 
l'élégance et la simplicité des dispositions, à cette ad- 
mirable machine due à quarante années de travaux 
d’un homme de génie tel que Watt.» (Théorie des effets 
de la turbine Fourneyron. Paris, Bachelier, 1838.) 

M. Fourneyron a cru pouvoir conclure de ses pro- 
pres expériences que, dans de bonnes conditions de 
vitesse et d'établissement, l’elfet utile yarie entre 0,570 
et 0,85 de la force motrice. Voyez le mémoire déjà cité 
de M. Poncelet et celui de M. le capitaine Morin inti- 
tulé : Expériences sur les roues hydrauliques à axe ver- 
tical appelées turbines. 


VAP 


rendre compte de ces divers phénomènes en analysant 
les circonstances de la production de la vapeur. 

Si l’on remplit à moitié d’eau un yase susceptible 
d’être exactement fermé et dont on puisse expulser l’air, 
l'espace devenu vide au-dessus de la surface de l’eau se 
remplit instantanément de la vapeur émise par le li- 
quide, quelle que soit d’ailleurs la température actuelle, 
La quantité de vapeur produite est toujours proportion- 
nelle à l'étendue de l’espace vide, mais sa force élasti- 
que où sa tension ne peut ayoir qu’une valeur déter- 
minée pour chaque température, parce que c’est cette 
force élastique qui maintient le reste de l’eau à l’état 
liquide par la pression qu’elle exerce à sa surface. Si 
l’on augmente ensuite la température du liquide, sa 
tendance à se vaporiser augmente; elle devient plus 
grande que la pression de la vapeur déjà existante, et 
alors de nouvelles quantités de vapeur sont émises, en 


sorte que la densité et la tension de la vapeur angmen= 


tent parallèlement au-dessus de la surface de l’eau jus- 


qu'à ce que la pression à cette surface se retrouve en 
équilibre avec la tendance de vaporisation, et ainsi de 
même pour chaque augmentation de température. On 
voit donc qu’il existé nécessairement une liaison con- 


= 


VAP 


stante entre la température et la tension de la vapeur 
formée sur un excès de liquide, et que cette vapeur est 
toujours au maximum de densité et de pression pour s4 
température. Les phénomènes ne sont plus les mêmes 
lorsque toute l’eau est vaporisée, parce que dès lors la 
densité de La vapeur n’est plus susceptible d’augmenta- 
lion, et, par conséquent, qu'elle cesse d’être au MAL i- 
mum si la température recoit de nouveaux aceroisse- 
mens. Dans ce dernier cas, la Y apeurse comporte commie 
les gaz permanens et demeure soumise aux lois de Ma- 
riotte (page 170) et de Gay-Lussac (page 56). 

>. Les relations qui existent entre les densités, les 
tensions et les températures de la vapeur ne sauraient 
done être les mêmes lorsqu'elle est en contacl avec son 
eau génératrice que lorsqu'elle en est séparée: mais 
dans ces deux états elle possède une propriété très-1m- 
portante qui permet de déterminer sa densité pour toute 
température et toute pression donnée. Cette propriété 
constitue le principe suivant : | 

Le rapport du poids d'un certain volume de vapeur au 
poids d'un même volume d'air à la même température et 
à la même pression est un nombre constant. 

En eflet, considérons un volume quelconque de va- 
peur qui, bien que séparée de son eau génératrice, soit 
au maximum de densité pour sa température, el Com- 
parons-le à un même volume d'air ayant même pression 
et même température; si l’on chauffe la vapeur et l'air 
d’un même nombre de degrés, ces deux fluides se dila- 
teront d’une même quantité, el, par conséquent. les 
poids des nouveaux volumes auront toujours le même 
rapport que les poids anciens, puisque ces poids restent 
inyariables, Si l’on augmente ensuite la pression des 
deux fluides jusqu'à ce que la vapeur se trouve au 
maximum de densité correspondant à sa nouvelle tem- 
pérature, les volumes de vapeur et d’eau diminueront de 
la même quantité, et, par conséquent encore , le rap- 
port des poids de volumes égaux n'aura éprouvé aucun 
changement. 

5. D’après ce principe, il suffit de connaitre le nom- 
bre constant qui exprime le rapport de deux volumes 
égaux d’air et de vapeur, sous la même pression et à la 
même température, pour évaluer facilement la densité 
de la vapeur dans toutes les circonstances de pression 
et de température. Car, désignant par D ce nombre 
constant, par À la pression exprimée en colonne de mer- 
cure (page 170), par { la température exprimée en de- 
grés centigrades et par d la densité de la vapeur à la 
température £ et sous la pression k, on a... (1) 


h 1 


0,76 . 1 + 0,00975 


d=D: 


En efïet, soit p le poids d’un mètre cube d'air à 0° de 
température el sous la pression moyenne de l’atmo- 


VAP 


sphère 0",76; puisque ce fluide se dilate de 0,00575, de 


#75 


son volume à o°, pour chaque degré centigrade d’ac- 
2 o Le] 


croissement de température, à la température £ son vo- 
lume, qui à o° était 1, devient 1 + 0,00375f, et, par 
conséquent, le poids d'un mètre cube est alors 

p 


1 + 0,0037ô1 ° 


en admettant toutefois que la pression ne change pas. 
Or, le rapport des densités étant le même que celui des 
poids de deux volumes égaux (voy. Dexsiré), il en ré- 
sulte que le rapport de la densité de l'air à {° à la den- 
sité de l'air à o°, sous la même pression 0",76 cest 


UE Dalen 37 
1 + 0,00970f Cr 


1 — 0,009701 ° 


c’est-à-dire qu’en prenant pour unité la densité de Pair 
à o° et 0",76 de pression, la densité de ce fluide à 4° et 
sous la pression 0,76 est représentée-par 


1 + 0,0087ô1° 


Mais, lorsque la pression change, la densité varie dans 
le même rapport ; ainsi la densité de l’air à la tempéra- 
ture { et sous une pression quelconque k a pour ex- 
pression 

h 1 

,76° 1 + 0,00355t ? 


[8] 


et il ne faut plus que multiplier cette quantité par le 
nombre constant D, ce qui donne la formule (1), pour 
avoir la densité de la vapeur à la même tempéralure t 
et sous la même pression . 

4. Tout se réduit done à la détermination du nombre 
constant D, auquel on a donné le nom de densité ab- 
solue de la valeur. Cette détermination a été effectuée 
par M. Gay-Lussac. Il a trouvé qu'un gramme d'eau 
pure produisait 1,696 de vapeur à 100° et sous la 


pression 0,76, ce qui donne pour le poids d'un litre 
—'58aus 
Te 0 fi) 949: 
Or, le poids d’un litre d'air à o° et 0,76 de pression 


étant (page 171) 1°,2991, celui d’un litre d’air à 100° 
et 0",76 de pression est 


Ainsi la densité absolue de la valeur est 


0, 28948 


D — 


ou, à très-peu près, D = =. 


#76 VAP 


Remplaçant D par sa valeur dans l'expression (1) et 
réduisant les nombres, nous lui donnerons la forme 


h 
1 + 0,00950t 


5. La densité de la vapeur donnée par la formule (2) 
se rapporte à celle de l'air prise pour unité. Si on vou- 
lait la rapporter à la densité de l’eau comme unité, il 
faudrait la multiplier par le nombre 0,0012991, qui 
exprime la densité de Pair à o° et sous la pression 0",76: 
la densité de Peau à son maximum de condensation 
élant prise pour unité. La formule (2) devient ainsi 


(5) 


h 
1 + 0,005754° 


d — 0,001066 . 


6. Les formules (2) et (3) feront connaitre la densité 
de la vapeur au maximum de tension, lorsqu’après 
avoir donné à { une valeur particulière, on donnera à À 
la valeur de la tension maximum correspondante ex- 
primée en mètres, Sachant, par exémple, que la tension 
maximum de la vapeur à 50° est 0",088743, on fera 


h = 0,088745, 
et on obtiendra : 
La densité de l’air à o° et 0",76 étant l'unité, 


0, 088543 


= 
1,18575 


d — 0,821, 


— 0,0013541 ; 


La densité de l’eau étant l'unité, 


0, 088745 


d — 0,001066 . = 
1:1879 


= 0,0000707. 


7. Dans les calculs relatifs aux machines, on exprime 

ordinairement les tensions en poids, c'est-à-dire qu’on 

les représente par la pression que le fluide exerce sur 

Punité de surface de la paroi du vase où il est renfermé. 

Il est facile de modifier les formules précédentes pours 
les rendre immédiatement applicables aux tensions me- 

surées de cette manière, en observant que, si l’on dé- 

signe par z le poids de l’unité de volume du mercure, 

uh sera le.poids équivalant à la pression sur l'unité de 

surface, de sorte qu'en désiguant ce poids par p on a 


p = ph, 


et, par conséquent, 


VAP 


Il suffit donc de remplacer h par sa valeur P dans la 
L. 


formule générale (1), et l’on obtient cette autre for- 
mule... (4) 


1 
1 + 0,005751 © 


d=p:-?_. 


0, 76 
dans laquelle p est la tension en kilogrammes sur un 
mètre carré et y le poids du mètre cube de mercure 
à 0° et sous la pression 0°,76. Mais comme on prend 
communément le centimètre carré pour unité de 
surface et qu'un centimètre cube de mercure pèse 
01,015598 , il faut écrire la formule comme il suit : 


0) 


TE D p 1 

7 0,015598 76° 1 Æ 0,003751? 

et alors p représente la tension en kilogrammes sur un 
centimèlre carré. 


Remplaçant D par sa valeur 0,624 (n°4) et réduisant 
les nombres, nous aurons plus simplement …... (6) 


= Gg*, ie itbPsehs sit 
RE RCER 1 + 0,00575t ? 


c’est la densité de la vapeur par rapport à celle de l'air 
prise pour unité. Pour avoir cette même densité par 
rapport à l’eau, il faut multiplier le second membre de 
cette expression par 0,0012991, ce qui donne cette se- 
conde formule ...., (#7) 


HER ONE 1 + ch 


Dans le cas où latension serait donnée en atmosphères, 
il faudrait, pour faire usage des formules précédentes , 
la convertir en kilogrammes, en observant que ce qu’on 
nomme la pression d’une atmosphère est le poids de la 
colonne de mercure qui, dans le baromètre, fait équi- 
libre au poids moyen de l’atmosphère (voy. Force ÉLAS- 
riQuE). Ainsi, la hauteur de cette colonne étant de 
76 centimètres et son poids par centimètre carré de 


base étant conséquemment de 
k k 
0 ,013598 X 76— 1 ,033, 
{ D : k 
si l’on désigne par f un nombre d’atmosphères, : ,035f 
exprimera la pression en kilogrammes, par centimètre, 


correspondant à f; c’est-à-dire qu’on a généralement 


k L 4-4 
P—3,055f, 


relation qui sert a passer de la pression en atmosphères 
à la pression en kilogrammes, et réciproquement. 
Remplacant p par 1,055 f dans les formules (6) et (7), 


on obtiendra ces nouvelles formules, qui dispenseront 
de toute conversion préalable : 


Densité par rapport à l'air 


d = 0,6237. 


1 + 0,0037ôt ? 
Densité par rapport à l’eau 


f 


1 + 0,00370t 


d — 0,00081 . 


8. Le calcul des densités de la vapeur au maximum 
de tension exige qu’on connaisse la température qui 
correspond à une tension maximum donnée, ou le 
maximum de tension correspondant à une température 
donnée; malheureusement, quoique la liaison de ces 
quantités soit invariable, sa loi est encore inconnue, et 
tout ce qu’on a pu faire jusqu'ici a été de la représenter 
par quelques formules empiriques qui ont l’inconvé- 
nient de ne pas s’accorder dans toute l’étendue de lé- 
chelle des températures. Voici celles de ces formules 
qui s'accordent le mieux avec les observations : 


Formule de Southern, pour les pressions moindres que la 
pression moyenne de l'atmosphère ou pour les pressions 
au-dessous de 1°035 sur un centimètre carré. 


v 6,258 + #\° 
p = 0,0054542 + ( Li se ) ; 


145,260 


2,13 


= 145,360 7 (7 — oooñ4sqa) — 46,278. 


Formule de Tredgold pour les pressions de 1 à 4 atmo- 
sphères. 


got \" 
-E 


A 
174 


6 
t —174V/p — 75. 


Formule de Dulong et Arago pour les pressions de 4 à 50 
atmosphères. 


s 
I 


(0,28658 —- 0,007200%t)°, 
5 
Lt — 158,8831/p — 39,802. 
Cette formule est la même que celle que nous avons 


déjà rapportée page 150; on a seulement converti en 
kilogrammes les pressions exprimées en atmosphères. 


VAP #77 


M. de Pampour à proposé la formule suivante, pour 
les pressions de 1 à 4 atmosphères. 


6 
t —191,721/p — 72,67; 


elle s'accorde avec les expériences aussi bien que la 
formule de Tredgold , et elle a de plus l'avantage de 
coïncider avec celle de Dulong et Arago à 4 e atmo- 
sphères. 

Dans toutes ces formules, p désigne la pression sur 
un centimètre carré exprimée en kilogrammes et # la 
température en degrés centigrades. 

9. En employant chacune de ces formules dans les 
limites où elle est applicable, on pourra toujours déter- 
miner approximativement la température correspon- 
dante à une pression connue, ou la pression correspon- 
dante à une température connue, pour tous les cas de 
vapeurs en contact avec leur eau génératrice, c’est-à- 
dire pour tous les cas qui intéressent la théorie des ma- 
chines à vapeur. (Voy. Force ÉLASTIQUE.) 

10. Une autre détermination non moins importante 
pour les machines à vapeur, c’est celle du volume relatif 
de la vapeur ou du volume d’un poids donné de vapeur 
comparé au volume d’un même poids d’eau comme 
unité. On y parvient sans difficulté par les considéra- 
tions suivantes : 

Nommons q le poids d’un volume V d’eau à son 
maximum de condensation et q'le poids d’un même 
volume V de vapeur à la température t et sous la pres- 
sion p ; d étant la densité de cette vapeur par rapport à 
l’eau, nous avons (voy. DExsiré) 


. » . » 
Si nous désignons maintenant par V/le volume d’eau 
dont le poids serait égal à q', nous aurons évidemment 


VWN = q:q—q":dq, 


d’où 


c'est-à-dire que le rapport d’un volume de vapeur à un 
volume d’eau de même poids est égal à l'unité divisée 
par la densité de la vapeur. 

Prenant le volume V' de l’eau pour unité, nous oh- 
tiendrons simplement .….. (8) 


> 


478 VAP 


ou, remplaçant d par sa valeur (7) en fonction de la 


température et de la pression ..….. (g), 


__ 1 + 0,00375t 
7 o0,0007844p 


» 


ce qu'on peut réduire à 


N — 1254 VE 0009988 
7 | p 


Si la pression est donnée en almospheres, on peut 
employer immédiatement la formule... (10) 


1 — 0,00555t 
f 


, 


qui résulte de la précédente en y substituant 1,033 f a 
la place de p (n° 5). 

Au moyen de ces formules, on pourra toujours cal- 
culer le volume relatif de la vapeur ou le rapport de 
l’espace qu'elle occupe au volume de l’eau qui l'a pro— 
duite sous une pression donnée, lorsqu'on connaîtra la 
température correspondante à cette pression pour les 
vapeurs au maximum de tension. 

Proposons-nous pour exemple de trouver le volume 
relatif de la vapeur formée à la pression de 2 : atmo- 
sphères, ou à la pression de 2*,589 par centimètre 
carré, La table de la page 172 nous apprend que la tem- 
pérature correspondante à cette pression est de 128°,8; 
ainsi faisant dans la formule (9) p— 2,582 et t— 128,8, 


nous trouverons 


127 y dates e 
V= 222 (i 0,00375 X 128,8) — 732. 


2, 582 
Le volume de la vapeur est donc, à la température 
donnée, 732 fois plus grand que le volume de l’eau, 
ou, pour mieux*préciser, à cette température, un mètre 
cube d’eau produit 7552 mètres cubes de vapeur à la 
pression de 2°, 582 sur un centimètre carré. 

Nous ferons observer que les températures { qui en- 
trent dans toutes les formules précédentes, à l'exception 
de celles du n° 8, devraient être mesurées avec un ther- 
momètre à air dès qu’elles dépassent 100°, parce que le 
coelficient 0,003975 de la dilatation des gaz n’est plus 
constant si l’on emploie pour ces hautes températures 
un thermomètre à mercure (voy. THErmMoMETRE). De 100 
à 130 degrés, les indications des deux thermomètres 
n’offrent encore que des différences peu sensibles, mais 
au-delà de 150°, il serait nécessaire de réduire les degrés 
du thermomètre à mercure en ceux du thermomètre à 
air, ayant de les introduire dans Jes formules en ques- 
tion, si l’on exigeait une grande exactitude. Quant aux 


formules du n° 8, elles ont été déduites d'expériences 


VAP 


où les températures étaient mesurées sur le thermo- 
mètre à mercure, et elles se rapportent conséquemment 
à ce seul thermomètre. Ainsi, Itrsque, pour une pression 
donnée, on aura calculé la température correspon- 
dante au moyen de ces dernières formules, ct qu’on 
voudra ensuite calculer la densité ou le volume relatif, 
il faudra ramener préalablement au thermomètre à air 
la température trouyée, lorsqu'elle dépassera 130 
à 140°. Au reste, dans les limites de la pratique, ces 
réductions sont peu nécessaires, car on ne doit pas 
s'attendre à tirer des formules du n° 8 des résultats ri- 
goureux. La question suivante va montrer l'application 
de ces principes. 

11. De la vapeur étant produite dans une chaudière, 
sous une pression de 15°,545, on demande sa densité et 
son volume relatif. 

La première chose à faire est de déterminer la tem- 
pérature correspondante à la pression donnée; on fera 
donc p — 15,547 dans la-formule de Dulong et Arago, 


et on l’obtiendra 


t — 158,885 V/15,547 — 39,802 — 200°. 


Cette valeur introduite sans réduction, ainsi que celle 
de p, dans les formules (8) et (9), fera connaître 


d — 


Si l’on veut tenir compte des différences thermome- 
triques, on observera que 200° indiqués par le ther- 
momètre à mercure correspondent à 197°,05 indiqués 
par le thermomètre à air; on fera en conséquence 
t— 197°,05, et les formules (7) et (9) donneront 


15,347 
1; 728 


/, 


d — 0,0007844 


On peut conclure de ces résultats que la vapeur for- 
mée sous une pression de 15°,547 par centimètre carré 
occupe un espace 144 à 145 fois plus grand que son 
eau génératrice, où qu'un mètre cube d’eau produit. 
dans ces circonstances , à peu près 145 mètres cubes 
de vapeur. 

12. Nous avons déjà donné, page 170, une table des 
tensions maximum pour les températures au-dessus 
de 100°; nous nous contenterons donc ici d’en donner 
une pour les températures inférieures, en y réunissant 
toutes les indications qui peuvent être utiles dans une 
foule de questions physiques et mécaniques, 


479 


TABLE DES TENSIONS, DES DENSITÉS ET DES VOLUMES RELATIFS DE LA VAPEUR D'EAU, 


A DIFFÉRENTES TEMPÉRATURES. 


È = à ÉLS Ë ue & E à 
COPIE RAMTER. 
3 © s| © = © £oË 3 © s| © me | s GE 
SES LA ge DENSITÉ. voue. MS E&| 5 SE 12 ES El DENSITÉ. VOLUME. | 
nalése | 8e 232] 25 8322 
RC 0 On Fa = © CHR Ps Z 
5 ne AE = F5 dE 
Se ——_———_—— el 
Dezsr. Millim. Kilosr. Degr. Millim. Kilozr. 
—20 1,333 | 0,0018 0,00000154 | 650588 49 84,570 | 0,11662 | 0,00007602 | 13154 
—15 1,879 | 0,0026 212 | 470808 50 88,743 | 0,12056 7970 | 12546 À 
10 2,651 | 0,0056 292 | 542984 51 95,501 | 0,12676 8354 | 11971 
ES 5,660 | 0,0050 598 | 251558 52 98,075 | 0.132525 8555 | 11424 
0 5,059 | 0,0069 540 | 182525 53 103,060 | 0,15999 9174 | 10901 
1 5,395 | 0,0054 575 | 174495 54 108,270 | 0,14710 9606 | 10410 
2 5,748 | 0,0078 609 | 161332 55 113,710 | 0,15449 | 0,00010054 9946 
5 6,123 | 0,0084 646 | 154812 56 119,990 | 0,16220 10525 9901 
4 6,523 | 0,0089 686 | 145886 57 125,310 | 0,17035 11011 9082 
5 6,947 | 0:0094 727 | 197488 58 131,500 | 0,17866 11523 8680 
6 7,596 | 0,0101 772 | 129587 59 | 13-,940 | 0,18736 12044 | 8305 
7 7,871 | 0,0107 818 | 122241 60 144,660" | 0,19653 12509 | 7907 
8 8,375 | 0,0114 867 | 115305 61 151,700 | 0,20610 13159 7994 
9 8,909 | 0,0122 919 | 108590 62 158,960 | 0,21586 15760 7207 
10 9:475 | 0,0129 74 | 102670 65 166,560 | 0,22639 14554 | 6957 
11 10,074 | 0,015 0,00001092 99202 64 154,470 | 0,25558 15010 6662 
12 10,707 | 0,0146 1092 91564 65 182,710 | 0,24823 15668 63582 
13 11,978.| 0,015 1157 86426 66 191,270 | 0,25986 16356 Gi14 
14 12,087 | 0,0165 1224 81686 6- 200,180 | 0,27106 17066 5860 
15 12,837 | 0,0150 1299 57008 68 209,440 | 0,28456 15707 5619 
16 13,650 | 0,0186 1372 72915 69 | 219,060 | 0,29761 18560 5586 
1m 14,468 | 0,0197 1451 68923 70 220,070 | 0,9112: 1935 5167 
18 15,353 | 0,0209 1534 65201 71 239,450 | 0,32532 20174 499% 
19 | 16,288 | 0,0222 1692 | 61654 52 | 250,230 | 0,35906 21015 | 4759 
20 17,314 | 0,0235 1518 58224 73 261,430 | 0,35518 21889 | 4569 | 
21 18,317 | 0,020 1811 55206 74 253,030 | 0,57094 22794 4387 
29 19,447 | 0,0265 1914 52260 75 285,050 | 0,39652 25589 4204 
25 20,577 | 0,028: 2021 | 49487 76 297,970 | 0,40428 24502 4048 | 
24 | 21,805 | 0,0297 2153 | 46877 7 310,490 | 0,42184 25699 | 3891 
25 23,090 | 0,0914 2252 444 78 325,890 | 0,44004 26739 3541 
26 24,452 | 0,0554 2376 42084 79 337,760 | 0,45888 27589 3599 
29 25,881 | 0,0955 2507 | 59895 80 | 352,080 | 0,47854 28889 | 5462 
28 27,590 | 0,004 2643 357858 81 567,000 | 0,49860 30029 3531 
29 29,045 | 0,096 2704 33796 82 | 582,580 | 0,51950 31105 3206 | 
30 30,643 | 0.0418 2958 | 34041 83 | 398,280 | 0,54110 52599 | 5087 | 
91 32,410 | 0,040 3097 | 32291 84 414,730 | 0,56345 33637 2073 
39 34,261 | 0,0465 3263 30650 85 431,710 | 0,58652 54916 2864 
33 | 36,188 | 0,0492 3435 | 29112 86 | 449,260 | 0.610356 36257 | 2760 
34 | 38,254 | 0,0520 3619 25656 87 | 467,580 | 0,63498 57590 | 2660 | 
55 40,404 | 0,0549 3809 26253 S8 486,090 | 0,66040 58984 2565 
56 42,745 | 0,0581 4ois 248097 89 505,380 | 0,68661 40417 2174 
37 45,038 | o,0612 4219 235704 90 525,28 0,71564 41891 258% 
38 7,979 | 0,0646 4442 22513 91 545,80 0,74152 45405 2504 {À 
59 50,147 | 0,0681 4666 21429 02 566,95 0,77026 14990 2291 || 
4o 52,998 | 0,0720 4916 20543 93 588,74 0,709986 46556 2148 
41 55,772 | 0,0758 5150 19390 94 G11.18 0.830355 48201 2075 | 
42 58,792 | 0,0799 5418 18459 9 634,27 0.861572 49886 2003 |E 
45 | 61,958 | 0,08418 5691 17552 96 | 658,05 | 0,89%02 51615 | 1958 | 
44 | 65,627 | 0,08916 Go23 16805 97 | 682,59 | 0:92756 55588 1975 | 
45 68,701 | 0,09540 Gor4 15958 98 707,65 0,06198 55101 1819 | 
46 72,595 | 0,09855 6585 15183 99 733,40 0,094 48 5705 1551 
4 76,205 | 0,10553 6910 14472 100 760,00 1,09299 58955 1696 


7 
48 80,199 | 0,10900 Eat 13809 


480 VAP 


Les densités de cette table étant rapportées à celle de 
l'eau, il suffit de les multiplier par 1000 kil. pour avoir 
immédiatement le poids d’un mètre cube de vapeur au 
maximum de tension, à toutes les températures in- 
diquées. 

13. Les principes précédens suflisent pour faire com- 
prendre la fonction de la vapeur dans les machines, et 
nous pourrions nous contenter de renvoyer à notre se- 
cond volume, où, avec l'historique de ces machines, 
nous ayons donné les procédés de calcul employés pour 
déterminer leurs effets ; mais comme, depuis l’impres- 
sion de ce volume, on a proposé des procédés plus 
exacts, nous croyons devoir ajouter quelques détails 
capables d’éclaircir la question. 

Toutes les machines à vapeur dont on se sert main- 
tenant ont pour pièces essentielles une chaudière ou 
bouilloire dans laquelle la vapeur se forme à une ten- 
sion déterminée, et un cylindre ou corps de pompe, au 
piston duquel la vapeur imprime un mouvement recti- 
ligne alternatif. * 

Pour bien concevoir la production de la vapeur à une 
tension déterminée, qu’on imagine d’abord la bouilloire 
isolée du corps de pompe et n'ayant qu’une ouverture 
fermée par une soupape s’ouvrant de dedans en dehors 
et surchargée d’un poids. Lorsque, par l'effet de la cha- 
leur communiquée du foyer au liquide, celui-ci se 
mettra à bouillir, la vapeur se rassemblera dans la 
partie supérieure de la chaudière, et ÿ acquerra une 
densité et une tension qui croitront successivement tant 
que le foyer fournira de nouvelles quantités de chaleur 
et tant que la vapeur ne trouvera pas d’issue pour s’é- 
chapper. Admettons que l'ouverture de la soupape ait 
un centimètre carré et que son poids soit de 5 kilo- 
grammes ; dès que la vapeur exercera sur les parois de 
la chaudière une pression un peu supérieure à 5 kilo- 
grammes par centimètre carré, elle repoussera la sou- 
pape et s’élancera au dehors; mais comme sa vitesse 
d'écoulement sera généralement plus grande que sa vi- 
tesse de formation, la pression baissera bientôt dans la 
chaudière, et la soupape se refermera pour s'ouvrir de 
nouveau lorsque la pression dépassera encore 5 kilo- 
grammes. Au moyen de ce jeu de la soupape, la pres- 
sion dans la chaudière ne dépassera donc jamais la gran- 
deur qu'on voudra lui donner. Imaginons maintenant 
qu'un orifice s'ouvre et se ferme alternativement pour 
laisser pénétrer la vapeur dans le corps de pompe, et 
que ces mouyemens soient réglés de manière à ce que, 
dans un temps déterminé, la quantité de vapeur. sor- 
tante soit égale à la quantité de vapeur formée, et nous 
verrons que la tension dans la chaudière ne pourra plus 
éprouver que de légères variations régularisées d’ail- 
leurs, s’il en était besoin, par la soupape de sûreté. 


14. Pour calculer les effets de la vapeur, on a long- 


VAP 

temps supposé qu'elle conservait dans le cylindre la 
même tension que dans la chaudière , et conséquem- 
ment qu’elle repoussait le piston avec tout l'effort 
qu’elle exerce contre la soupape de sûreté. Les formules 
de la page 6o4 de notre second volume sont fondées 
sur cette hypothèse. 

Ainsi, nommant Q l’aire de la base du piston, & la 
pression dans la chaudière, sur l'unité de surface, 


mQ 


représente le poids que la vapeur peut mettre en moû- 
vement, et si v est la vitesse du piston, 


amv 


est l’effet théorique que la machine doit produire. Mais 
comme cet effet prétendu théorique ne se rencontre ja- 
mais dans l’expérience, il faut le multiplier par un co- 
efficient de réduction &, à déterminer par des obser- 
vations; de manière que l'effet réel d’une machine à 
vapeur sans détente se trouve représenté par 


um Av. 


Outre l'inconvénient du coefficient #, auquel chaque 
auteur donne une valeur différente, cette théorie ne peut 
pas faire connaître la vitesse que prend le piston dans 
des circonstances données de pression et de résistance, 
et il est d’ailleurs certain qu'elle repose sur une hypo- 
thèse inadmissible, car la vapeur qui s'échappe de la 
chaudière par une très-petite ouverture et qui se dilate 
en pénétrant dans le cylindre ne saurait conserver sa 
tension initiale. 

15. Toute défectueuse que soit cette théorie, elle 
était généralement adoptée lorsque M. de Pambour en 
a proposé tout récemment une autre beaucoup plus ra- 
tionnelle. Ce savant, connu déjà par un grand nombre 
de travaux sur les machines à vapeur, part des deux 
principes suiyans : 

1° La tension de la vapeur change en passant de la 
chaudière dans le cylindre, et elle devient équivalente, 
dans ce dernier, à la résistance que la charge exerce 
contre le piston. 

2° Il y a égalité entre la quantité de vapeur produite 
et la quantité de vapeur dépensée. , 

M. de Pambour établit le premier principe par des 
argumens très-concluans ; le second est évident. 

Nommons P la pression dans la chaudière, P° la pres- 
sion dans le cylindre, R la résistance de la charge sur le 
piston, S le volume d’eau yaporisée par unité de temps, 
et m le volume relatif de la vapeur à la pression P, ou 
le rapport du volume de la vapeur, dans la chaudière, 
au volume de l’eau qui l’a produite, à 

D’après ces notations, mS sera le volume de vapeur 


VAR 


formé par unité de temps et sous la pression P dans la 
chaudière; cette vapeur passant dans le cylindre et y 
prenant la pression P', augmente de volume en raison 
inverse des pressions, et devient conséquemment 


P 
ms P': 


Mais v étant la vitesse du piston et a l'aire de sa base, 
av est le volume de vapeur dépensé par le cylindre 
dans l'unité de temps; donc, en vertu du second prin- 
cipe, 


P 
av = ms p': 


Or, en vertu du premier principe, P =R; ainsi, rem- 
plaçant P'par R, on a la relation fondamentale 


au moyen de laquelle on pourra déterminer l’une quel- 
conque des quantités v, R et S, les autres étant données, 

C’est de cette relation très-simple que M. de Pam- 
bour a tiré toutes les formules nécessaires à la solution 
des problèmes que présentent les machines à vapeur, 
formules dont les résultats s’accordent si bien avec l’ex- 
périence, que les ingénieurs anglais n’en emploient plus 
d’autres pour leurs calculs. (Voyez Pambour, Traité 


théorique et pratique des machines locomotives. —Théorie 


de la machine à vapeur.) 


VARIATION pe L’AIGUILLE AIMANTÉE. Nous avons dit 
au mot Boussore que l’aiguille aimantée n’indique pas 
exactement le nord, mais qu’elle était sujette à plu- 
sieurs variations que nous allons plus exactement spé- 
cifier. 

L’aiguille d’une boussole se nomme particulièrement 
aiguille de déclinaison ; elle est construite de manière à 
se mouvoir dans un plan parfaitement horizontal, ce 
qui exige, comme nous le verrons plus loin, qu'une de 
ses extrémités soit plus légère que l’autre. 

On nomme déclinaison l’angle que fait sa direction 
d'équilibre avec la méridienne du lieu de l’observation. 
Par exemple, à Paris, où cet angle est de 22°, on dit 
que la déclinaison de l’aiguille aimantée est de 22°. 

Le plan qui passe par le centre de la terre et par la 
direction de l’aiguille, ou plutôt l'intersection de ce 
plan avec la surface de la terre, est le méridien magné- 
tique; ce méridien est donc ün grand cercle terrestre 
qui coupe en deux parties égales le méridien géogra- 
phique. 

La déclinaison n’est pas la même sur tous les lieux de 
Ja terre; elle est tantôt orientale, tantôt occidentale, et 
tantôt nulle. La déclinaison est orientale lorsque le 

Ton. un 


VAR 481 
pôle austral de l'aiguille, celui qui se tourne vers le 
nord, incline du côté de l’ouest; elle est occidentale 
quand ce même pôle incline vers l’est; enfin elle est 
nulle lorsque la direction de l’aiguille coïncide exacte- 
ment avec le méridien géographique. Les divers points 
terrestres où la déclinaison est nulle forment ce qu’on 
appelle deslignes sans déclinaison; ces lignes sont très- 
irrégulières ; on en connaît quatre, dont la première, 
située dans l'Océan entre l’ancien et le nouveau monde, 
a éprouvé un grand déplacement depuis un siècle et 
demi ; la seconde commence au-dessous de la Nouvelle- 
Hollande et se prolonge jusqu’en Laponie ; la troisième 
se joint à la seconde près du grand archipel d’Asie et 
s’étend dans la partie orientale de la Sibérie; la qua- 
trième se trouvé dans l’océan Pacifique près des îles des 
Amis; la position d'aucune n’est constante. 

En général, la déclinaison n’est constante dans un 
même lieu que pendant un certain temps; à Paris, par 
exemple, elle était nulle en 1663 ; depuis cette époque, 
sa marche a été sensiblement progressive vers l’ouest 
jusqu’en 1820, où son maximum était de 22° 29. 
À partir de 1820, elle semble éprouver un mouvement 
rétrograde, car elle n’est plus en ce moment que de 
22° 13° Voici le résumé des observations faites à ce 
sujet. 


TABLEAU DE LA DÉCLINAISON DE L'AIGUILLE AINANTÉE, 
A PARIS. 


Anuée. Déclinaison. 


Année. Déclinaison. 


1580 , . . 11°30'est. 1816 . 22°25'ouest. 
1618 . 8 » 1017 NS 0) 
1663 0 » 1818/-0--129192 
1678 1 30 ouest. | 1819 . . . 22 29 
1700. . . 810 1822 . . . 29 11 
1767 19 16 1825 . . . 22925 
1780 19 55 1824 . . . 22,99 
1785 22 » 1620250. 2229 
1805 220 0 1827 . . . 2290 
1813 29128 1828 . 22 6 
1814 . 22 54 1829 . 22 12 


Indépendamment de ces grandes variations, on ob- 
serve encore des mouvemens diurnes périodiques dans 
l'aiguille aimantée. Ainsi le matin elle décline un peu 
plus à l’ouest, et après le milieu du jour elle rétrograde 
vers l’est. C’est depuis le commencement du printemps 
jusqu’à la fin de l'été que les variations diurnes sont les 
plus grandes, et c'est dans l’autre moitié de l’année 
qu’elles sont les plus petites. A Paris, le plus grand 
écart est de 16’, et le plus petit de 10° sur Ja direction 
ordinaire. 


6l 


482 VAR 


Diverses causes accidentelles paraissent produire des 
perturbations sur l'aiguille de déclinaison : tels sont les 
tremblemens de terre, les éruptions volcaniques, et 
quelquefois même de simples orages. D. Bernoulli a 
observé en 15767 une variation d’un demi-degré, causée 
par un tremblement de terre; et le père de la Torre 
a constaté des changemens de plusieurs degrés dans la 
déclinaison pendant une éruption du Vésuve. Il est certain 
que lorsque la foudre tombe près des corps aimantés, elle 
dérange tellement leur état magnétique, que souvent 
les pôles se trouvent renversés. Les aurores boréales 
exercent une influence singulière : sitôt que ce métléore 
apparaît, et pendant toute sa durée, l'aiguille aimantée 
éprouve une agitation continuelle et une déviation plus 
ou moins considérable, non seulement dans le lieu où 
l'aurore boréale est visible, mais encore à de grandes 
distances où l’on n’aperçoit aucune trace du phénomène 
atmosphérique. 

L’aiguille aimantée ne varie pas uniquement dans sa 
déclinaison, elle varie encore dans son inclinaison; 
mais, pour se former une idée exacte de cette seconde 
espèce de variation, il faut savoir qu'une aiguille de 
déclinaison ne conserve sa position horizontale que par 
l'inégalité du poids de ses deux branches. Imaginons 
qu’une barre d’acier cylindrique soit suspendue à un fil 
par son centre de gravité; tant que cette barre ne sera 
pas aimantée, elle affectera, comme tout le monde le 
sait, une situation horizontale, et pourra demeurer en 
repos dans toutes les directions qu’on voudra lui don- 
ner, pourvu que ces directions soient horizontales; 
mais dès qu’elle aura été aimantée, non seulement elle 
prendra d’elle-même une direction fixe à laquéllé elle 
reviendra toutes les fois qu’on l’en aura écartée de plus 
elle ne prendra pas, dans cette direction fixe, une situa- 
tion horizontale, et ne sera en équilibre stable que sous 
une certaine inclinaison par rapport à la verticale. Ce 
phénomène a été observé pour la première fois en 1576 
par Robert Norman, ingénieur en instrumens de ma- 
thématiques de Londres. Jusque là on avait cru que 
l'aiguille devait être horizontale, et lorsqu'on voyait 
en Europe son pôle austral s’abaisser, on supposait que 
le centre de gravité était mal déterminé, et on se con- 
tentait d’aliéger le côté qui paraissait trop pesant. Nor- 
man, en bon observateur, après avoir construit des ai- 
guilles parfaitement en équilibre dans le plan hotizontal, 
avant léur aimantation, tnesura le poids qu'il fallait 
ajouter à l’une des branchés pour conserver cet équi- 
libre après que les aiguilles étaient aimantées, et par- 
vint ainsi à l’une des plus importantes découvertes du 
magnétisme. 

Il y a donc deux cspèces de directions dans une ai- 
guille aimantée suspendue librement par son centre de 
gravité, et si l’une de ces directions est seule sensible 


VAR 


dans les boussoles, c’est que leurs aiguilles ont dans 
nos climats le côté du pôle boréal plus pesant que celui 
du pôle austral. Quand on veut observer les inclinai- 
sons, il faut avoir recours à l'instrument nommé aiguille 
d'inclinaison. 

L’aiguille d’inclinaison se compose d’une lame d’a- 
cier longue de 30 à 40 décimètres, amincie à ses ex- 
trémités et traversée à son centre de gravité par un axe 
très-courtterminé en deux pointes aiguës qui s'appuient 
sur des supports. Un cerele gradué, dont lé centre corres- 
pond avec le centre de gravité de l'aiguille, est appliqué 
verticalement aux supports de l'appareil pour mesurer 
l'angle que fait l'aiguille avec la ligne horizontale. C’est 
cet angle qui constitue l’inclinaison : tout l'appareil est 
mobile sur une plate-forme portant un cercle gradué ét 
des niveaux d’eau. 

Pour faire usage de cet instrument, on l’établit hori- 
zontalement au moyen des niveaux, puis on amène l’ai- 
guille dans le plan du méridien magnétique, parte que 
é’ést setilement dans ce méridien qu'elle peut indiqüer 
exactement l’inclinaison; dans toutes les autres posi- 
tions l’inclinaison ést trop grande, et laiguille peut 
même prendre la situation verticale; tar, éh décom- 
posänt la force directrice dé la terré en deux conipo- 
santes perpendiculairés, l’une hotizontäle, et l’autre 
verticale, il eët facile de voir que la compüsante hori- 
zontale diminue à mesure que l'änglé du plan de lai- 
guille avec le plan du méridien magnétique se räpproclie 
davantage de 90°. Lorsque cet angle est droit, la comi- 
posante horizontale est nulle, et par conséquent l’ai- 
guille n’est sollicitée que par une force verticale, ét doit 
prendre une direction perpendiculaire à l'horizon. Ainsi, 
lorsque l'aiguille est verticale, il ne s’agit plus que de 
faire décrire à son plan un angle de go° pour le faire 
coïncider avec le méridien magnétique. On commence 
done pat faire tourner l'appareil sur sa plate-forme jus- 
qu’à ce que l'aiguille devienne verticale; puis on lui fait 
décrire ün are de go° qui ramène l'aiguille dans le mé- 
ridien magnétique où l’on observe la déclinaison sur le 
cercle gradué vertical. 

Lorsque la déclinaison ou la direction du niéridien 
magnélique est déjà connue, On peut se contenter de 
placer le limbe vertical dans cette direction, et l'aiguille 
prend immédiatement d'elle-même sa position d’incli- 
maison. 

La complication de cet instrument rendant sa con- 
struction trés-dilficile, on ne peut guère compter jus- 
qu'à présent sur l’exactitude des observations qui ont 
eu lieu en divers pays pour déterminer l’inclinaison de 
l'aiguille aimantée; mais il est au moins constaté que 
cette inclinaison est encore plus variable que la décli- 


naison. 


VEN 
Voici les inclinaisons observées à Paris de 1670 à 


1826. 


TABLEAU DE L'INCLINAISON DE L'AIGUILLE AIMANTÉE » 


À PARIS. 

Année. Inclinaison- Année. Inclinaison. 
26oOM + . . #5°00! 1819 . 68°38 
19940. 0072 15 1818 . 68 35 
2EDONN 072120 1819-01-00 20 
1980, . . 71 48 1920 68 20 
1701. . . - 7052 121. OO 
1608, 601 1822 4.100 1 
1806... 6912 1823,..-....108 8 
1810 . . . . 68 50 1824>.0-..7 1008 7 
18141. . 6836 Banni. 71680 » 
1816 . . . . 6840 18267201 43 1681» 


L'inclinaison change, comme la déclinaison, d’un 
lieu à un autre; dans certaines parties de la terre-elle 
est nulle, dans d’autres elle est très-considérable; dans 
toutes elle varie avec le temps, et l’on croit qu'elle 
éprouve aussi des variations diurnes qui n'ont point 
encore été suffisamment observées. 

Les divers points terrestres où l’incliuaison est nulle 
forment ce qu'on nomme l'équateur magnétique; cet 
équateur est une courbe très-irrégulière, dont une 
partie est indiquée à notre planche V, ei qui coupe au 
moins trois fois l'équateur terrestre. D’après les obser- 
yations de MM. Freycinet, Sabine et Duperrey, cet 
équateur est doué d’un mouvement de translation d’o- 
rient en occident, qui est probablement la cause des 
variations qu’éprouve l’inclinaison de l'aiguille dans 
un même lieu. Dans l'hypothèse où l’on considère la 
terre comme un gros aimant agissant sur tous les corps 
aimantés placés à sa surface, on avait attribué à notre 
globe deux pôles, l’un placé dans la région boréale et 
qui attire le pôle austral des aimaus, l’autre placé dans 
la région australe et qui attire leur pôle boréal; mais 
il n'est pas possible de rendre compte des inégalités de 
l'équateur magnétique sans supposer encore d’autres 
centres magnétiques que ces pôles, ce qui doit faire 
rejeter entièrement l'ancienne théorie du magnétisme. 
Quoi qu'il en soit, de chaque côté de l'équateur magneé- 
tique, l’inclinaison augmente à mesure qu'on s'éloigne 
de cette ligne; seulement, dans l'hémisphère boréal, 
c’est le pôle austral de l’aiguille qui plonge sous l'hori- 
zon, tandis que le contraire a lieu dans l'hémisphère 
austral. 


VENT. (Méc.) De tous les moteurs physiques, le 
vent est celui dont l’action est la plus irrégulière; aussi 


L VEN 483 


n'est-il applicable qu'aux travaux susceptibles de s’aug- 
menter, de se diminuer et même de s’interrompre sans 
inconvénient. (Voyez Ver, tome IL.) La puissance du 
vent dépend de la masse d’air en mouvement et de sa 
vitesse; mais on ne peut la mesurer par le produit du 
poids de l'air agissant multiplié par la vitesse, comme 
on le fait pour l’eau motrice, parce que l’élasticité de 
ce fluide et sa nature gazeuse ne permettent pas de 
l’assimiler à un liquide. Ce n’est donc que par des ex- 
périences directes que la force motrice du vent a été 
soumise au calcul. 

Ces expériences ont fait connaître les résultats con- 
signés dans le tableau suivant, où les vents sont dési- 
gnés par les noms que les marins leur donnent habituel- 
lement. 


: Efort sur nne surface 
Noms des vents. Vitesse par heure 


d’un mètre carré. 


Vent à peine sensible . . 4 kilom. . . 0,14 
Brisellésére-2-d--5-0e DANCE 
Ventifrais RES TU D Ur 


Ventibontirais. 0098-4107 


BHonte brise ei 29 CC t-- 0 07 
Mrès-forte-brisé "100000 M 0015 00/4 
YVentimpélueur #04 tu 00 47 
DÉCOMPTE 
Ouragan qui déracine les 

aRDLES 1 ce cit 144 le. do: M0 nn 


On a conclu des observations de Smeaton et de Cou- 
lomb sur les moulins à vent à axe horizontal que, si 
l’on désigne par s la surface des quatre ailes et par V la 
vitesse du vent par-secoude, L'effèt dynamique d'ua iou- 
lin bien construit est représenté par 


‘0,035V°. 


Cette expression donne au moins un moyen approxi- 
matif pour évaluer l'effet d’un moulin dans des circon- 
stances données ; en y substituant les valeurs de s et de 
Y exprimées en mètres, le nombre résultant exprimera 
l'effet dynamique en kilogrammes, ou sera le nombre 
de kilogranmes que la machine peut éleyer à un mètre 
de hauteur dans une seconde de temps. 

Supposons qu'on demande l'effet dynamique d'un 
moulin mu par un vent dont la vitesse est de 6*,5 par 
seconde ; la surface de ses quatre ailes étant 813,12, 

On fera V = 6,9; s — S1,12, et on obtiendra 

m 


0,03 X (81,12) X (6,5) = 668 ”. 


Ainsi l’elfet demandé est de 668 kilogrammes élevés à 


un mètre par seconde. 


484 VIT . 

Or, dans une observation de Coulomb où la vitesse 
du vent était 6",5 et la surface des ailes 81" 1,12, le 
moulin faisait mouvoir six pilons pesant ensemble 
2741 kil., lesquels étaient élevés chacun 26 fois par 
minute à la hauteur de 0",4872; de sorte que l’efft 
utile en une seconde était — 578*",6. Les résistances 
des frottemens, mesurées avec soin, consommaient une 
quantité d’action égale à 49°". La perte de force vive 
due au choc des cames contre les moutonnets, estimée 
par le calcul, s’élevait à 45£",7. L'effet total était donc 
671km, ce qui s'accorde très-bien avec le résultat de la 
formule. 

On ne doit pas s'attendre à rencontrer toujours une 
telle exactitude; mais, en l'absence de procédés rigou- 
reux , il est toujours très-utile d'obtenir avec autant de 
facilité une approximation presque toujours suffisante 
pour la pratique. (Voyez Venr, tome IL.) Nous avons 
exposé aux mots PNEUMATIQUE et RÉSISTANCE les prin- 
cipes dumouvement des fluides élastiques, et tout ce 
que l’on sait de plus certain, jusqu’à ce jour, sur les lois 
du choc de ces fluides. 


VITESSE VIRTUELLE. (Méc.) On nomme vitesse 
virtuelle l'espace infiniment petit que décrirait le point 
d'application d’une force si l'équilibre du système dont 
cette force fait partie était infiniment peu troublé. 

Soit P une force représentée en grandeur et en direc- 
tion par la droite Am (PI. XXI, fig. 57) et appliquée au 
point m ; supposons qu’on communique un mouvement 
infiniment petit, au système des points avec lesquels m 
est lié, de manière que ces points décrivent des espaces 
infiniment petits, sans toutefois que leurs distances res- 
pectives éprouvent de changement ; représentons par la 
ligne mnl'espace parcouru par le point m en vertu de ce 
petit mouvement : cet espace sera la vitesse virtuelle du 
point m, et si du point # nous abaissons la droite na per- 
pendiculaire sur Am ou sur son prolongement (fig. 38), 
la partie am, projection de mn sur la direction de la 
force P sera ce qu’on nomme la vitesse virtuelle du 
point m estimée suivant la direction de sa force. 

Ceci posé, si nous nommons P, P', P’, etc., diffé- 
rentes forces appliquées à un système en équilibre, et 
P;:P, p', etc., leurs vitesses virtuelles estimées respec- 
tivement suivant leurs directions, il existera entre ces 
quantités une relation très-importante qui constitue le 
célèbre principe des vitesses virtuelles, et dont voici l’é- 
noncé le plus général : | 

Si les forces P, P', P', etc., sont en équilibre, la somme 
de ces forces multipliées respectivement par les vitesses 
virtuelles p, p', p', etc., estimées dans leurs directions, est 
égale à zéro, c'est-à-dire que l'on a ..…. (1) 


Pp + Pp'— P'p'— etc. — 0, 


VIT 


et, réciproquement, les forces P, P', P', etc., sont en équi- 
libre quand cette équation a lieu pour tous les mouvemens 
infiniment petits que l'on peut donner au système des points 
d'application des forces. 

Nous ferons observer avant tout, pour l'intelligence 
de l’équation (1), que les quantités P, P’, P", etc., sont 
toujours positives, mais que les vitesses virtuelles p, 
P', p', etc., peuvent être positives ou négatives : elles 
sont positives lorsqu'elles tombent sur la direction 
même des forces; négatives lorsqu'elles tombent sur 
son prolongement. Par exemple, la vitesse virtuelle am 
du point m, estimée dans la direction Am, est positive 
fig. 57 et négative fig. 58, parce que dans le premier cas 
elle tombe sur Am, et que dans le second elle tombe 
sur le prolongement de cette droite. 

Le principe des vitesses virtuelles est dû à Galilée, 
mais c’est Lagrange qui en a démontré toute la fécon- 
dité en le prenant pour base de sa mécanique analyti- 
que et en y ramenant la solution de tous les problèmes 
qui concernent l’équilibre. Il ne s’agit en effet, pour 
résoudre ces problèmes, que de distinguer, dans cha- 
que cas particulier, les différens mouvemens infini- 
ment petits que le système des points d'application 
des forces est susceptible de prendre, puis de déter- 
miner, pour chacun de ces mouvemens, les vitesses 
virtuelles estimées suivant la direction des forces don- 
nées ; ces vitesses étant connues, la relation (1) donne 
immédiatement toutes les équations d'équilibre, les- 
qu'elles sont en nombre égal à celui des mouvemens 
possibles. C’est ce que nous ferons mieux comprendre 
par quelques exemples, après avoir préalablement dé - 
montré le principe. 

Considérons, en premier lieu, un système de forces 
concourantes à un même point. 

Soient P, P', P', etc. (PI. XXI, fig. 56), plusieurs for- 
ces appliquées à un point m suivant les directions mP, 
mP', mP', etc., quelconques dans l’espace; soit de 
plus » R, la direction de la résultante R de ces forces. 
Concevons que par l’effet d’un mouvement instan- 
tané le point m se trouve transporté en #, et comme 
la ligne mn parcourue par ce point est infiniment 
petite, nous pourrons la supposer droite et placer dans 
sa direction l’axe des æ ; de sorte qu’en nommant «, 
u', x’, etc., les angles que font respectivement avec 
cet axe les forces P, P,' P”, etc., et w celui que fait la 
résultante R, nous aurons l'équation ( voyez Résur- 


TANTE); 


Rcosw — P cos + P'cos «+ P'cos « + etc. 


Représentons par g la petite ligne mn, et multiplions par 
q les deux nombres de cette équation, il viendra... (2) 


Rgcosw— Pqcos « + P'cos a + P'cose". 


VIT 


Or, il est facile de voir que gcosw ou (mn) . cos (RmX) 
est égal à ma, projection de mn sur mR, c’est-à-dire 
que q cos « représente la vitesse virtuelle de la force R 
estimée suivant sa direction. De même, gcosu, 
gcosz', gcosa!!, etc., sont les vitesses virtuelles des 
forces P, P’, P', ete., estimées suivant leurs directions 
respectives; ainsi l'équation (2) est la même chose 


que .…... (3) 
Rr= Pp + P'p + P'p — etc., 


dans laquelle r, p, p', p'', etc., représentent les vitesses 
virtuelles respectives des forces R, P, P', P'', etc., es- 
timées suivant leurs directions. 


Mais, pour que les forces P, P', P!', etc., soient en 
équilibre autour du point m, que nous supposons en- 
tièrement libre, il faut que leur résultante soit nulle ou 
que R— 0; donc, dans le cas d’équilibre, nous avons 


Pp + Pp'+ P'p'— etc. — 0. 


Ainsi le principe des vitesses virtuelles se trouve dé- 
montré pour le cas d’un nombre quelconque de forces 
appliquées à un même point. 

Considérons, en second lieu, plusieurs forces P, P’, 
P'!, etc., appliquées à différens points d’un corps ou 
système de corps. Ges points étant assujettis à conser- 
ver entre eux les mêmes distances, nous pourrons les 
regarder comme liés les uns aux autres par des droites 
inflexibles; et pour parvenir à connaître l’état général 
du système, après que son équilibre a été infiniment 
peu dérangé, il nous suffira d’examiner en particulier 
ce qui est arrivé à une de ces droites. 


Soit mm' (fig. 31 et 32) la droite qui joint les deux 
points d’application m et m'; lorsque, par suite d’une 
petite impulsion donnée au système, le point m s’est 
transporté en n, le point m’ se trouve aussi transporté 
en un point n' qui peut être au-dessus (fig. 51) ou au- 
dessous (fig. 32) de la ligne mm/. Dans le premier cas, 
et en admettant provisoirement qüe la ligne mm’, en 
devenant nn', ait varié de grandeur, la variation de mm' 
aura pour valeur 


mm! — nn. 


Mais le dérangement du système ayant été insensible, 
les distances mn et m'n' (fig. 33) sont infiniment petites, 
de sorte qu’on peut considérer les droites mm! et nn' 
comme parallèles; car, en supposant que ces droites 
puissent se rencontrer en un point O (fig. 34), on aurait 
un triangle ñnOm composé de deux côtés finis nO et mC 
et d’un côté infiniment petit mn, et dont, par consé- 
quent, l’angle O serait infiniment petit ou nul, Donc, 


VIT 485 


menant sur mm des points n et n! les perpendiculaires 
na et n'a! (fig. 35), on a nn! — aa/, et par suite 


mm — nn = (ma—< am) — (am! + m'a!) 


— ma — m'a!. 


Il en résulte que lorsque la droite mm/ devient nn! sans 


changer de grandeur, cas où mm! — nn! — 0, on a 


ma — m'a — 0. 


Observant maintenant que ma est la vitesse virtuelle 
du point m estimée suivant la droite mm', et que m'a! 
est la vitesse virtuelle du point m' estimée suivant la 
même droite, nous en conclurons que lorsqu'une droite 
inflexible éprouve un dérangement infiniment petit, les 
vitesses virtuelles de ses extrémités estimées l’une et 
l’autre dans sa direction sont égales. Nommant donc v 
la virtuelle ma, v' la vitesse virtuelle m'a’, et observant 
que v’ doit être prise avec le signe —, nous aurons 
l'équation. 


v+v— 0, 


dans le cas de la fig. 31. Dans le second cas, celui de la 
fig. 352, du point o comme centre décrivant (fig. 55) 
les arcs na et n'a’, ces arcs étant infiniment petits, seront 
des droites perpendiculaires à mm’, et conséquemment 
ma etm'a seront les vitesses virtuelles des points m et 
m' estimés suivant la droite mm/. Or, n0— 40, n'o— 40; 
donc 


MA — MO — 0 
m'a! = on! — om!, 


et, par suite, 


ma — m'a = mo — n0 — on! + om! 
—= mn! — nn/, 
ou 
ma — m'a — 0, 
à cause de mm/ — nn/— 0. Nous avons donc encore 
dv + v'—0 


en désignant, comme dans le cas précédent, par » et v' 
les vitesses virtuelles des points m et m/ estimées suivant 
la droite mm/. 

Il nous est facile maintenant de démontrer le prin- 
cipe des vitesses virtuelles pour le cas de plusieurs forces 
appliquées à différens points m, m', m', etc. (PL. XXII, 
fig. 10), formant un système inébranlable. En effet, si 
l’on conçoit tous ces points liés deux à deux par des 
droites inextensibles, on pourra considérer ces droites 
comme autant de forces ; de sorte que le point m, par 
exemple, sera sollicité non seulement par la force P, 


mais par les forces représentées en direction par les 


486 VIT 

droites mm', mm", mm", etc. , et ce point ne pourra de- 
meurer én repos qu'autant que toutes les forces qui lui 
sont appliquées se fassent équilibre. La même chose 
ayant lieu pour tous les autres points, si nous représen- 
tons par (mm'), (m'm'), (mm), etc. , les forces agis- 


III 


sant dans les directions mm, m'm'', m''m''', etc., il est 


visible que l’équilibre général du système sera main-: 


tenu, 
au point m, par les forces 
(mm!), (mm), (ar) et P, 


au point m’, par les forces 


mm), (mm), (mm!) et R!, 
\ 


au point m', par les forces 


(m'm), (m'm'), (m'm/!") et P", 


LA 


au point m///, par les forces 


(m!!!m), (m!!'m!), (m!'m") et P'". 


On peut donc poser pour chacun de ces équilibres 
l'équation (1) des vitesses virtuelles, démontrée dans 
le cas des forces concourantes; ainsi, désignant par 
v,, V,, ©, les vitesses virtuelles du point m estimées res- 
par 


v', 0, v', les vitesses virtuelles du point m' estimées 


pectivement dans les directions mm', mm'', mm'!'; 


II 


dans les directions m'm, m'm'', mm", etc., ete,, nous 


aurons l’ensemble des équations, 


pour le point m, 


Pp + v,(mm) + 0 


pour le point m’, 


Pp' + v',(mm) H v',(mm') + v',(m'm") — 0, 


+ v,(mm") = 0, 


v, (mm) 


pour le point ml! 


P'p" + v!,(in'm) HE v!, (mm) + v'(n m"!) = 0, 


pour le point m'", 


P'p"! = v,"/(m""m) Je v,"!(m""m/) de v,"/(m''m") 10! 


dont la somme nous donnera l’équation générale .…. (4) 


Pp+Pp'+P'p'+P'pl 
v,(mm') Lo, (mm) +0, (mm) Lo," (mm) 
“ mm) +0," (mm) Lo, (mm) +," (mm) 


"(mm)" (mm) +, (mm) +, 


Pour réduire cette équation, observons, 


“(n!"m) 


1° que la 
somme des vitesses virtuelles des deux extrémités d’une 
même droite, estimées suivant cette droite, est nulle, 


VIT 


d'après ce que nous avons prouvé plus haut et por- 


tant que 


HUE % tu —», D + 0," = 0, 
v,' == vif F9; v," -R 14 0, 0%, + 2, = 9; 
2° que les forces représentées par les mêmes lettres sont 
égales, c’est-à-dire que 
am) =(m'm), (non!) = (mm), (m'm')=(m'm), 


m!) : (mm!) —(m/'"m" 


mm") =(m" )s (mm) = (nm). 


D'où résulte 
v,(mm') + v,'(m'm) = 0, 
v,(mm") +v,"(m'm) = 0, 
(mm) +v,"(n'm) = 0, 
v,/(m'm") Lo, !"(m'm') —='0, 
o,"(m'm") Ho," (mm) = 0, 
v, (ram!) SE w,” (mm) — 0}; 


Retranchant donc ‘de l'équation (4) les termes qui se 


détruisent, il nous restera seulement 


Pp+ PP + PP + pp" = 


c’est-à-dire le principe en question. Si l’on avait un 
plus grand nombre de forces, la démonstration serait 
évidemment la même. 

Appliquons le principe des vitesses virtuelles à quel 
ques questions de statique. 

Soit O le point d'appui d’un levier AB (PI. XXIT, 
fig. 9) tenu en équilibre par les forces P et P' appli- 
quées à ses extrémités; il s’agit de déterminer le rap- 
port des forces P et P'. Supposons qu’un petit mouye- 
ment ait été imprimé au leyier, et comme ce levier ne 
peut se mouvoir qu'en tournant autour de son point 
d'appui O, si AB représente sa nouvelle position, 
nous avons 


AG— AO, B'O—RBO, angle AOA!— angle BOB"; 
Du point A! meñons A'm perpendiculaire sur la direc- 


tion AP, et du point B' menons B'q perpendiculaire 
p q BerpenG 


sur BP’ prolongée; Am sera la vitesse virtuelle de la 


force P, et Bg la vitesse virtuelle de la force P’, l’une et 
l’autre estimées suivant la direction de leur force, et 
(5) 


nous aurons, en vertu du principe (1) 


P X Am—P' X Bqj=0, 


car Bg doit être pris avee le signe —. 
Des points A! et B’ menons les perpendiculaires An 


et B'r sur AB; les deux triangles rectangles A'On et 
B'Or seront semblables et donneront 


A'O : B'O — A'n : B'r. 


né 


VIT 
Mais An — Am, B'r == Bg; ainsi cette proportion est 
la même que 
AO : BO — Am : Bq. 

Or, on tiré de l’équation (5) 

P£:P— Ami: Bg; 
donc, comparant avec la précédente; 

AO: BO—'P£:P, 


c’est-à-dire que, dans le cas d'équilibre, les forces sont 
en raison inverse de leurs bras de levier. 

Cherchons encore les conditions d'équilibre de deux 
Corps pesans attachés ensemble par un fil inextensible, 
passant sur uné poulie de renvoi E (PI. XXIL, fig. 15), 
ët placés Sur deux plans inélinés AB et AB’ dé même 
hauteur AC adossés l’ün à l’autre. Désiénons par P ét 
P' les poids de ces corps, qui sont des forcés qu'on peut 
considérer comme appliquées à leurs centres de gravité 
m ét m' suivant les verticales mP et m'P', ét admettotis 
que, par suite d’un petit mouvement imprimé au Sys- 
tèmé ; le point m ait descendu d’une quantité mn sur le 
prémier plan, ce qui fait monter le point m'sut le second 
plan d’une quantité m'n!, égale à min À causé du fil inet- 
tensible qui lie les deux corps. Abaissons dés points h 
et n' les perpendiculaires na et n'a! sur mP et Mm'P'; les 
vitesses virtuelles estimées dans la direction des forces 
Pet P' seront respectivement Æ ma et— m'a; de sorte 
que; dans l’équation des vitesses virtuelles, 


Pp EPp —0o 


il faudra faire p = + ma et p==—m'a#. Mais lés 
triangles semblables ABG et ämn d'une patt, ACB' ét 
an! de l’äutre, donnent 
ma : mn = AC : AB; 
m'a : mn — AG : AB'; 


d'où l’on tire 


Ma — _ Mn, Mn —= AG, mn, 
AB AB 
Donc 
p = ma — = mn 
P= ma — aq mn 
AB É 


et l’équation des vitesses virtuelles donne, par la sub- 
stitution de ces valeurs et après avoir supprimé les 
facteurs égaux mn et m'n! et le facteur commun AC, 


P. AB — P'. AB, 
ce qui est identique avec la proportion 


P : P’ — AB : AB, 


VOL 487 


et nous apprend que les poids P et P', qui se font équi- 
libre, sont entre eux comme les longueurs AB et AB’ 
des plans inclinés sur lesquels ils sont posés. (Voy. Ix- 
GLINÉ, tome II.) 

Les exemples précédens, dont les résultats ont été 
déjà obtenus, dans le cours de cet ouvrage, par des 
considérations plus directes , ne sont donnés ici que 
comme une vérification du principe des vitesses vir- 
tuelles. Voyez, pour les applications de ce principe, 
Lagrange, Mécanique analytique; Poisson, Traité de 
mécanique. 


VOLANT. {Wéc.) Roue pesante qu'on adapte à l’at- 
bre tournant d’une machine pour maintenir l’uniformité 
du mouvement lorsque le moteur ou la résistance est 
sujet à éprouver des variations momentanées de force. 

Les variations de la vitesse d’une machine peuvent 
provenir de deux espèces de causes. 1° Les actions 
exercées pär le moteur et par la résistance sont tantôt 
plus grandes, tantôt plus petites qu’elles ne devraient 
être pour conserver un équilibre dynamiqué constant. 
2° Une des actions est dans le cas de l'emporter pro- 
gressivement de plus en plus sur l’autre ; de sorte que 
la machine tend à s'arrêter ou a prendre une vitesse 
indéfiniment croissante. C’est seulement dans le pre- 
mier cas que l’ernploi des volans est utile; dans le se- 
cond il faut avoir recours aux régulateurs fondés sur 
le principe du pendule conique. ( Voy. ce mot. ) 

Navier, dont le nom doit être cité toutes les fois qu'il 
s’agit de la théorie dés machines, a parfaitement expli- 
qué la fonction des volans dans lé passage suivant, ex- 
trait de ses notes sur Bélidor. 

« Dans la plupart des machines, les variations dans 
la vitesse offrent des inconvéniens, soit parce que la 
nature du travail qu’elles ont à faire comporte une 
vitesse constante au point d'application de la résistance, 
soit parce que, à raison du jeu qu’il faut toujours lais- 
ser dans les engrenages, ou eri général dans les con- 
tacts de diverses pièces, il est impossible que les varia- 
tions de vitesse se fassent toujours rigoureusement par 
degrés insensibles, comme cela serait nécessaire pour 
qu’elles ne fassent rien perdre de la quantité d’action 
fournie par le moteur, Cependant il arrive très-souvent 
que l’action du moteur est plus ou moins inégale. et 
souvent aussi que cette action, qui par elle-même pour- 
rait être égale, devient inégale par la manière dont 
on la transmet; et quoique la géométrie appliquée à 
la composition de machines fournisse ordinairement 
des ressources pour y remédier, les moyens qu'on 
peut employer à cet effet sont presque toujours trop 
compliqués pour être adoptés avec avantage, surtout 
dans les grandes machines où il s'exerce de puissans 


eMorts. On y parvient beaucoup mieux en donnant 


488 VOL 


aux parties de la machine, conformément aux principes 
qui viennent d’être exposés, beaucoup de masse et de 
vitesse, de manière à y rendre les variations du mou- 
vement extrêmement faibles et presque insensibles. 

» Cela peut se faire de deux manières, soit en aug- 
mentant la masse et la vitesse des parties mobiles 
essentielles à la machine, ce qui entrainerait souvent 
de grands inconvéniens, soit plutôt en ajoutant à la 
machine des parties mobiles uniquement destinées à 
en régulariser le mouvement, et qu’on nomme volans. 
Les considérations précédentes conviennent en effet 
spécialement aux machines de rotation, sur l’axe des- 
quelles il arrive rarement que le moteur agisse d’une 
manière parfaitement uniforme. On monte Sur cet axe 
les grandes roues appelées volans, et on conçoit, d’a- 
près ce qui précède, qu’elles produiront d’autant plus 
d’effet 1° que leur poids sera plus grand, et 2° que la 
matière qui les forme sera plus rassemblée près de leur 
circonférence extérieure, puisque alors, à vitesse de 
rotation égale, la vitesse effective de leurs parties sera 
plus grande. 

» On parvient, en adaptant ainsi des volans suflisam- 
ment grands aux machines, à rendre l’action la plus 
inégale aussi régulière qu’on puisse le désirer. Mais il 
ne faut pas imaginer que ces volans puissent augmen- 
ter en rien la quantité d’action transmise par la machine. 
Leur véritable fonction est d’absorber ou d’emmaga- 
siner l’excès de la quantité d'action fournie par le mo- 
teur dans le moment où elle surpasse celle que la ré- 
sistance consomme, pour restituer ensuite cet excès 
dans le moment où la quantité d'action fournie par le 
moteur devient au contraire plus petite que celle qui 
est dépensée au point d'application de la résistance, On 
peut remarquer que, si le volant est destiné principa- 
lement à régulariser le mouvement, il est convenable 
de le placer près du point d'application de la résistance, 
et que, s’il est destiné principalement à régulariser l’ac- 
tion du moteur, il est convenable, au contraire, de le 
placer près du point d'application de ce dernier. Il est 
inutile de dire que s’il y a des axes dont la vitesse de 
rotation soit différente, on doit le mettre de préférence 
sur celui des axes qui se meut le plus vite. » 

On voit que ce serait une grande erreur de croire 
que les volans puissent augmenter l’action de la force 
motrice; ils absorbent toujours, au contraire, une par- 


VOL 

tie de cette force, d'autant plus considérable que leur 
poids est plus grand, ce qui est un inconvénient de 
leur emploi. Considérons, en effet, un volant du poids 
de 5000 kilogrammes, faisant 25" révolutions par mi- 
nute, et supposons que son tourillon ait 15 centimètres 
de diamètre, ou 47 centimètres de circonférence. La 
résistance due au frottement sur la crapaudine pou- 
vant être évaluée moyennement à 0,16 (voy. Frort- 
TEMENS) de la pression, la force motrice a donc à 
mouvoir 


k > k 
5000 X 0,16 — 800, 


et le point résistant décrivant 47 centimètres dans une 
révolution, parcourt en.une minute 25 fois 47 centi- 
mètres ou 11° 75, c’est-à-dire 0",196 à très-peu près 
en une seconde, Ainsi la quantité d’action dépensée 
par le moteur est celle qui est capable d’élever un 
poids de 800 kilogrammes à la hauteur de 0",196 en 
une seconde, ou, ce qui revient au même, celle qui peut 
élever 800*" X 0,196 — 158 kil. à un mètre dans une 
seconde : cette quantité d’action est un peu plus grande 
que la force de deux chevaux-vapeur, et il en résulte 
que dans une machine où l’on ferait usage d’un tel 
volant, il y aurait une force de deux chevaux-vapeur au 
moins, consommée uniquement à le faire mouvoir. 

L'action régulatrice d’un volant dépend évidemment 
de la quantité de mouvement dont il est animé, comme 
cette quantité de mouvement dépend elle-même de 
deux élémens, la masse du volant et sa vitesse ; il vaut 
mieux, lorsque cela est possible,-donner une grande vi- 
tesse au volant que d'augmenter sa masse, puisqu’en 
augmentant cette dernière on augmente la résistance 
du frottement. Il est visible, en outre, que la plus 
grande partie de la masse du volant doit être repor- 
tée à sa circonférence, parce que cette masse a, de cette 
maniere, le plus grand bras de levier possible par rap- 
port à la grandeur de la roue. 

Le problème de déterminer la grandeur et la masse 
du volant dans un cas donné de machine, exige des 
considérations théoriques et des détails de calcul pour 
lesquels la place nous manque : nous renverrons aux 
notes sur Bélidor, où cette question a été traitée par 
Navier ‘avec toute la clarté désirable, (Voy. archit. 
hydraul. de Bélidor, avec les notes de Navier, tome I, 


page 391.) 


FIN. 


TABLE DES MATIÈRES 


CONTENUES DANS CE SUPPLÉMENT. 


Les articles marqués d’un P, entre parenthèses, sont de M. le colonel Puissanr, les autres sont de M, px MONTFURRIER, 


Aberration (P). 

Agent-moteur. 

Ajutage. 

Alternatif (mouvement). 

Altitude (P). 

Anamorphose. 

Aplatissement (P). 

Appareil. 

Arches. 

Aréométrie. 

Aubes (roues à). 

Augets (roues à). 

Augmentation (du diamètre de la 
lune) (rP). 

Axiomètre. 

Azimut (P). 


Bache. 

Balancier. 

Balancier hydraulique. 
Barrage, 

Bascule hydraulique. 
Base (P). 

Bélier hydraulique. 
Bélier à tuyau mobile. 
Bief. 


Bois (résistance des). 
Buse. 


C. 


Cames. 

Cartes (construction des). 
Centre de pression, 
Cercle répétiteur. 
Cercle hydraulique, 
Chaine à godets. 
Chaleur. 

Chameaux. 

Chapelet vertical. 
Chapelet incliné. 
Charnière universelle. 
Chemin de fer. 
Cheval (force du). 
Chèvre, 


Le premier numéro indique la page, le second la colonne. 


ei 
H 9 O © Où O1 > CG) CS 9 NO 


ut ed 
L'ART 5 


ét nt DO PS NO et et DD D ét et Pet DD bte 


mt RO et mt mb RO NO NO mt RO NO 


+9 19 


RO RO RO RO NO mt mt met md mt RO me me 


Colonne d’eau. 54 
Colonne oscillante. 55 
Communication du mouvement. 56 
Composition des machines. 57 
Conservation ducentre de gravité. 64 
Continu (mouvement). 65 
Contraction de la veinefluide. 65 
Contrepoids. 65 
Corde sans fin. 65 
Corps de pompe. 65 
Courant d'eau. 65 
Courbes excentriques. 75 
Coursier. 76 
Crémaillère. 76 
Culmination (er). 76 
Cultellation. 77 
D. 

Danaïde. 77 
Dépense. 78 
Détente, 78 
Deéversoir. 78 
Déviation p). 78 
Dilatation des solides. 34 
Dilatation des liquides. 35 
Dilatation des fluides élastiques. 36 
Distances lunaires (Pb). 7 

Diname. s0 
Dynamique (uvité). s1 
Djnamométre. si 

E. 

Eau motrice, 82 
Eclimètre (P). S4 
Ecluse, 84 
Ecoulement des fluides. 84 


_— à niveau constant, 83 
— à niveau variable, 91 
— des fluides aériformes. 95 


Effet utile. 96 
Embrayages. 97 
Encliquetage. 98 
Engrenage. 98 
Equations algébriques (résolu 

tion des), 98 
Equations numériques (résolu- 

tion des). 107 
Equations de condition (p.). 127 
Equation des hauteurs corres- 

pondantes, 128 


ht pet lé mnt mb 9 NO NO et bebe et RO mt DO 19 


CCR CET CES 


+ mt PO ?9 RO NO mt NO RO 19 


En 


Equilibre. 
Excentrique. 

Excès sphérique (P). 
Extraction des racines. 


F. 


Factorielles. 

Figure de la terre (e). 
Fonctions elliptiques. 
Fonctions symétriques. 
Force. 

Force centrifuge. 

Force de pression. 
Force de percussion. 
Forces mouvantes. 
Forces vives. 

Force élastique des gaz, 
Fractions continues. 
Frein dynamométrique. 
Frottement. 


G.. 


Géométrie aux trois dimensions. 
Grue. 


H 


Hauteur due à une vitesse. 
Homme (force de l’}. 
Hydraulique. 
Hydromètres, 
Hygrométrie, 


I 


Incompressibilité. 
Inflexion des voûtes. 
Intervalles musicaux. 


L. 


Laminoir. 
Lanterne. 

Latitude (»). 
Lettres nundinales. 
Levé des plans. 
Lieue, 


+2 »9 r9 RO 79 
CURTARCRCRE] 
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mt 


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9 19 9 19 


190 


Logarithmes. 
Lumière. 


Machine. 

Machines à réaction. 

Machine soufllante. 

Manége. 

Manivelle. 

Manomètre. 

Masse, 

Moment. 
— par rapport à un point. 
— par rapport à un plan. 


Moment d'activité, 
Moment d'inertie. 
Momentum. 
Moteur. 
Mouton. 
Mouvement, 
— rectiligne. 
— curviligne. 
N. 
Noria. 


Nutation (P). 
O. 


Obliquité de l’écliptique (Pr). 
Occultation (P). 

Ombilic. 

Osculateur (cercle). 


P. 


Pärallaxes (P). 
Pendule composé (P}: 
Péndule conique. 
Péndule simple. 
Percussion. 

Pilon. 

Pilotis. 


265 


280 


mis 


302 
821 
306 
306 
307 
307 
307 
308 
308 
310 
312 
312 
318 
318 
319 
319 
319 
321 


DO mt mb ro lit tiens Det NO mt tft pet put nt pt 


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338 1 


339 
339 
343 
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344 
346 
348 
350 
354 
355 
386 1 


ROUæS mt NE mt me 


TABLE ALPHABÉTIQUE. 


Plan tangent aux surfaces cour- 
bes. 
Pneumatique. 
Poids. 
Polarisation de la lumière. 
Pompe. N 
— aspirante, 
—  foulante. 
—  foulante et aspirante. 
— rotative. 


° Pont. 


Ponts suspendus. 
Positiôn apparente (r). 
Poussée des terres. 
Précession des équinoxes (e). 
Pression. 

— des solides, 

— des fluides. 
Principe des forces vives. 
Principe des vitesses virtuelles. 
Projections des surfaces planes. 


Quadrature. 
Quantité d’action. 
Quantité de mouvement. 


R. 


Räyon de courburé. 
Réaction. 

Récepteur (organe); 
Rectification (P}: 
Réfraction terrestre (r). 
Règle des signes, de Descartes: 
Régulateur, 

Remous. 

Rentes viagères. 
Résistance des fluides. 
Résistance des matériaux. 
Résultante. 
Roue. 

— à détente, 

— à déclic. 

— des voitures, 
Roulement (frottément de). 


FIN DE LA TABLE. 


356 
359 
366 
297 
367 
367 
374 
374 
376 
376 
399 
404 
404 
409 
410 
189 
310 
168 
484 
414 


418 
418 
418 


419 
420 
423 
423 
425 
108 
428 
428 
431 
434 
441 
445 
452 
453 
454 
45? 
154 


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NO DO mt NO NY me mt mt ND NO NO KO RO ND RO KO mt 


Section. 

Son. 

Sonnette. 
— à tiraudes, 
— à déclic. 

Soufflet, 

Soupape. 

Surfaces. 


T. 


Table des capacités calorifiques. 

Table des hauteurs dues aux 
vitesses. 

Table des logarithmes binaires, 
de 1 à 420. 

Table des logarithmes vulgaires 
jusqu'à 10000. 

Table des latitudes croissantes. 

Température. 

Théorème de Budan ou de Fou- 
rier, 

Théorème de Sturm. 

Transcendantes elliptiques. 

Transformation des cuordon- 
nées (P). 

Transformation des coordon- 
nées. 

Transformation des séries en 
fractions continues. 

Trigonométrie sphéroïdique: 

Turbines. 


V. 


Vapeur. 

Variations del'aiguille aimantée, 
Vent. 

Vitesses virtuelles. 

Volant. 

Voûtes (équilibre des). 


454 
455 
458 
459 
459 
459 
459 
459 


DO DO mé et mt DO mé 


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Pages. 


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2232 


Colonnes. 


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Lignes, 


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1/17 —1,0305... ; lisez 1/19 


ERRATA. 


Au lieu de 


En remontant. 10,1025291 X 5o, lisez 10,025221 X 510. 

L'exemple de calcul est entaché d’une erreur dont la cause est expliquée page 255, 
première colonne. | 

Dilatation linéaire des solides, pour 1° centigrade, de 0° à 100°; ôtez pour 
1° centigrade. 

Dilatation des liquides, pour 1° centigrade; ôfez pour 1° centigrade, 

Au moyen des deux chaînes be et de; lisez au moyen des deux chaines be et de 
(PI. VITE, fig. 14). 

— ae (fig. 15, PI, VIXL) ; losez — ae (lg. 15 bis, PI, VII). 


L PH — M? ; lisez PH — = MV2. 


1 
2 
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(— à) — a (—i) ‘‘;lisez(— a). —a (—:) 


l’effraction lisez l'attraction. 


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+ lisez — F- 


À la table des hauteurs, 3° colonne, à côté de la vitesse 1°,82, au lieu de 0,1680, 
lisez 0,1688. 


stations où, lisez stations d’où. 


Dans la valeur de tang 5, au lieu decos (AR AR — 9), lisez cos ( 


AR'—+ AR 
1): 


En remontant, au lieu de a (1 — e°), lisez a (1 —e?) sin }. 


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