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DIE

AUS6LEICHUN6SRECHNUN6

NACH DER METHODE

DER KLEINSTEN QUADRATE

ZWEITE AUFLÄGE

p. p.

Meinen umfangreichen Verlag auf dem Gebiete der Mathematischen, der Technischen und Naturwissenschaften nach allen Richtungen hin weiter auszubauen, ist mein stetes durch das Vertrauen und Wohlwollen zahlreicher hervorragender Vertreter obiger Gebiete von Erfolg begleitetes Bemühen, wie mein Verlagskatalog zeigt, und ich hoffe, daß bei gleicher Unterstützung seitens der Gelehrten und Schulmänner des In- und Aus- landes auch meine weiteren Unternehmungen Lehrenden und Lernenden m Wissenschaft und Schule jederzeit förderlich sein werden. Verlags- anerbieten gediegener Arbeiten auf einschlägigem Gebiete werden mir deshalb, wenn auch schon gleiche oder ähnliche Werke über denselben Gegenstand in meinem Verlage erschienen sind, stets sehr willkommen sein.

Unter meinen zahlreichen Unternehmungen mache ich ganz besonders auf die von den Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien herausgegebene Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften aufmerksam, die in 7 Bänden die Arithmetik und Algebra, die Analysis, die Geometrie, die Mechanik, die Physik, die Geodäsie und Geophysik und die Astronomie behandelt und in einem Schlußband historische, philosophische und didaktische Fragen besprechen wird. Eine französische Ausgabe, von französischen Mathematikern besorgt, hat zu erscheinen begonnen.

Weitester Verbreitung erfreuen sich die mathematischen und natur- wissenschaftlichen Zeitschriften meines Verlags, als da sind: Die Mathe- matischen Annalen, die Bibliotheca Mathematica 'Zeitschrift für Geschichte der Mathematischen Wissenschaften), das Archiv der Mathe- matik und Physik, die Jahresberichte der Deutsehen Mathematiker- Vereinigung, die Zeitschrift für Mathematik und Physik ^Organ für angewandte Mathematik), die Zeitschrift für mathematischen und naturv^issenschaftlichen Unterricht, die Mathematisch- natur- wissenschaftlichen Blätter, ferner Natur und Schule (Zeitschrift für den gesamten naturkundlichen Unterricht aller Schulen), die Geographische Zeitschrift u. a.

Seit 1868 veröffentliche ich; „Mitteilujiigen der Verlagsbuch- handlung B. G-. Teubner". Diese jährlich zweimal erscheinenden „Mitteilungen", die in 30000 Exemplaren im In- und Auslande von mir ver- breitet werdeuj sollen das Publikum, das meinem Verlage Aufmerksamkeit schenkt, von den erschienenen, unter der Presse befindlichen und von den vorbereiteten Unternehmungen des Teubnerschen Verlags durch .aus- führliche Selbstanzeigen der Verfasser in Kenntnis setzen und sind ebenso wie das bis auf die Jüngstzeit fortgeführte Ausführliche Ver- zeichnis des Verlags von B. g! Teubner auf dem Gebiete* der Mathematik, der Technischen und Naturwissenschaften nebst Grenzgebieten, 100. Ausgabe [XL VIII u. 272 S. gr. 8], in allen Buch- handlungen duentgeltlich zu haben, werden auf Wunsch aber auch unter Kreuzband von mir unmittelbar an die Besteller übersandt.

Ledpzio, Poststraße 3.

B. G. Teubner.

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DIE AUSGLEICHUNGSEECHNUNG

NACH DER

METHODE

DER KLEINSTEN QUADRATE

MIT ANWENDUNGEN AUE DIE GEODÄSIE, DIE PHYSIK UND DIE THEORIE DER MESSINSTRUMENTE

VON

F. R. HELMERT

DIKEKTOK DES KÖNIGLICH I^KBUSSISCHEN GEODÄTISCHES INSTITUTS UMD ZENTRALBUREAUS DER INTERNATIONALEN ERDMESSUNG

ZWEITE AUFLAGE

LEIPZIG UND BERLIN DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEÜBNER

1907

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AliLE EECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBEESETZUNGSEECHTS, VOEBEHAiTEN.

Vorrede zur ersten Auflasre.

Dieses Buch habe ich zunächst in der Absicht geschrieben, es bei meinen Vorträgen über die Anwendungen der Methode der kleinsten Quadrate am Polytechnikum zu Aachen zu l)e- nutzen. Ich will damit meinen Zuhörern Gelegenheit bieten, die Behandlung von Beispielen bei einer sich an den Vortrag anschließenden Darstellung in der nur durch den Druck zu er- reichenden kompendiösen Form überblicken zu können. Es schien mir zweckmäßig, den Beispielen die allgemeinen Formeln nebst deren Entwicklung beizufügen, einesteils um auch hie und da für denjenigen, welcher sich fortbilden will, etwas mehr zu geben, als im Vortrag zweckmässig ist, und andern- teils, weil selbst für den Geübteren eine Übersicht der Formeln oft erwünscht wird. Ich hoffe dadurch zugleich für einen größeren Leserkreis etwas Brauchbares bearbeitet zu haben.

Was den Inhalt des Buches anlangt, so bemerke ich zu dem, was das „Inhaltsverzeichnis" und die „Übersicht der Bei- spiele" darüber augeben, noch folgendes. Weil ich, wie im Vorhergehenden bereits mitgeteilt, in erster Linie die An- wendungen, also die praktische Seite im Auge hatte, so habe ich nur mehr beiläufig der Beziehung zwischen Wahrschein- lichkeitsrechnung und Methode der kleinsten Quadrate gedacht, dagegen vielmehr die jüngere der beiden Darstellungsweisen der letztern durch Gauß hervorgehoben, weil sie bei ein- facherem Kalkül doch ausreichende Strenge und überdies eine größere Allgemeinheit besitzt.

Die Unterscheidung der Hauptformen der Ausgleichungs- aufgaben ist nach Gerling, jedoch sind noch zwei allgemeinere

a*

IV Vorrede zur ersten Auflage.

Formen behandelt, wobei durch Erweiterung des Gaußschen Algorithmus Endformeln von derselben Gestalt wie bei den einfachen Formen erzielt wurden, wenn dieselben auch im wesentlichen nicht neu sein können.

Durch Einführung des Begriffs äquivalenter Beobachtungen glaube ich die Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen durchsichtiger gemacht zu haben, nament- lich für den Fall der Anwendung auf die Theorie der Triangu- lationen. Zugleich ergab sich aus diesem Begriffe eine neue Darstellung der Eigenschaften der Fehlerellipse, welche bekannt- lich Herr von Andrae erfunden hat (Astr. Nachr. Band 47), die aber bisher nur in Beziehung zum Gaußschen Fehler- gesetz aufgefaßt worden ist.*)

Die Entwicklungen sind mit Absicht in den ersten Ab- schnitten etwas breit gehalten, ebenso ist die Kenntnis der Deter- miuantentheorie nicht vorausgesetzt. Die weniger entwickelten Lösungen sind nicht übergangen, um den vereinzelten Anwen- dungen zu entsprechen, für welche ein Studium der eleganteren und meist rationelleren Lösungen nicht am Platze ist.

Von Wichtigkeit erschien es mir, die Untersuchung der plausibelsten Beobachtungsfehler mehr zu betonen, als sonst wohl üblich in Lehrbüchern, doch ist die gegebene Darstellung weit entfernt, eine abgeschlossene Untersuchung sein zu wollen. Die Unterscheidung wahrer und plausibler Fehler ist allent- halben möglichst streng durchgeführt und demgemäß auch bei der Untersuchung des Verteilungsgesetzes der plausibelsten Fehler zur Vergleichung nicht ein wahrer Fehler benutzt (etwa der mittlere oder wahrscheinliche) — wie z. B. von Encke im Berl, Jahrb. 1834, S. 287, geschehen — , sondern ebenfalls ein plausibelster Fehler.

Um recht ersichtlich zu machen, welcher erhebliche Unter- schied zwischen zwei Anwendungen der Methode der kleinsten Quadrate stattfinden kann bezüglich der Bedeutung der Re- sultate, habe ich auch die Anwendung derselben zu interpola- torischen Zwecken mit aufgenommen.

*) Vergl. über die Fehlerellipse auch die S. 309 zitierte Abhandlung des Verfassers.

Vorrede zur ersten Auflage. V

Abgekürzte Ausgleichungsmethoden, welche oft die strenge Ausgleichung zweckmäßig zu ersetzen geeignet sind, sind nicht behandelt worden, weil dies zu sehr in Spezialitäten geführt hätte. Es muß gewiß auch dem Studium dieser Methoden dasjenige der strengen Theorie vorausgehen, denn erst die Kenntnis der letzteren befähigt zur Beurteilung des Wertes der ersteren. Der Kenner der strengen Methoden wird ferner oft imstande sein, durch j)assende Anordnung der Beobachtungen die strenge Ausgleichung so einfach zu gestalten, daß die An- wendung eines abgekürzten Verfahrens überflüssig ist.

Ich kann nicht schließen, ohne vorher meinem verehrten Kollegen, Herrn Dr. K. Hattendorff für die freundschaftliche Unterstützung, welche derselbe mir bei der vorletzten Revision der Druckbogen zuteil werden ließ, auch an dieser Stelle meinen herzlichsten Dank auszudrücken.

Aachen, den 10. BVbruar 1872.

Der Verfasser.

Vorrede zur zweiten Auflai'e.

Nachdem die erste Auflage des Buches vergrifl'en war, ging ich gern auf den Wunsch der Verlagsbuchhandlung ein, eine neue Auflage vorzubereiten, weil mir dies Gelegenheit bot, meine in drei Jahrzehnten bei zahlreichen Anwendungen gewonnenen Erfahrungen für das Buch zu verwerten und es dadurch praktisch brauchbarer zu gestalten. Demgemäß hat sich der Umfang desselben vergrößert, wiewohl ich auch einiges gestrichen habe. Weit ausführlicher als früher sind in den letzten Kapiteln behandelt: die Untersuchung der Beobachtungs- fehler, die interpolatorischen Anwendungen der Methode der kleinsten Quadrate, die instrumenteilen Untersuchungen, die Horizontalwinkelmessungen und die Ausgleichung der Dreiecks- netze. Den Schluß bilden einige Aufgaben über die Ökonomie der Beobachtungen. Zahlreiche Beispiele erläutern die vor- getragenen Theorien und die Formeln.

Bei der Ableitung der Grundformeln habe ich das ein- fache Prinzip der Methode der kleinsten Quadrate, die Quadrat- summe der Verbesserungen gleich genauer Beobachtungen zu einem Minimum zu machen, noch deutlicher als bisher in den Vordergrund gestellt; erst nachträglich wird gezeigt, unter welchen Umständen die damit gewonnenen Lösungen der Auf- gaben auch andere Eigenschaften besitzen, deren wichtigste ist, daß die Gewichte der Unbekannten bei gewissen Annahmen über die Natur der Beobachtungsfehler ein Maximum werden. Dies ist der einfachste Weg. Andere Begründungen der Me- thode der kleinsten Quadrate wurden mehr oder weniger nur gestreift; auf alle einzugehen, war um so weniger nötig, als das Werk von E. Czuber: „Theorie der Beobachtungsfehler", dafür eine eingehende Darstellung gibt.

A''orrede zur zweiten Auflage. VII

Wie in der ersten Auflage sind die Entwicklungen in den ersten Kapiteln mit Absicht etwas breit gehalten, weiterhin aber, wo es zulässig erschien, kürzer gefaßt.

Die Korrektheit der Formeln und der Zahlenbeispiele dürfte billigen Anforderungen genügen. Herr Prof. Dr. L. Krüger, Abteilungsvorsteher im Königlich Preußischen Geodätischen Institut, hatte die Güte, fast alles nachzurechnen und die Korrekturbogen mit zu lesen, wofür ich ihm meinen besten Dank ausspreche.

Potsdam, im Februar 1907.

F. R. Helmert.

Inhaltsverzeichnis.

Erstes Kapitel.

Einleitende Bemerkungen über die Beobaehtungsfehler

und die Aufgaben der Ausgleichungsrechnung.

§1. Überschüssige Beobachtungen. Verschiedene Fehlergattungen.

Zweck der Ausgleichungsrechnung. Seite

I. Überschüssige Beobachtungen 1

IL Grobe Fehler 1

III. Regelmäßige und zufällige Beobachtungsfehler 3

IV. Zweck der Ausgleichungsrechniing 5

§ 2. Die zufälligen Beobachtungsfehler und das Fehlergesetz.

I. Die zufälligen Beobachtungsfehler 6

IL Fehlergesetz 10

ni. Erfahrungsmäßige Form des Fehlergesetzes 11

IV. Drei verschiedene Formen des Fehlei-gesetzes 12

V. Zustandekommen des Gaußschen Fehlergesetzes 13

VI. Gaußsche Bedingung für zufällige Fehler 16

§ 3. Maße für die Genauigkeit einer Beobachtung.

I. Durchschnittsfehler und mittlerer Fehler 18

n. Wahrscheinlicher Fehler 20

III. Beziehungen zwischen Durchschnittsfehler, mittlerem und wahrscheinlichem Fehler 21

IV. Maß der Präzision beim Gaußschen Fehlergesetz .... 25 V. Praktischer Vorgang bei der Genauigkeitsberechnung . . 25

VI. Durchschnittswert einiger Fehlei^produkte für zufällige

Fehler 26

§ 4. Bestimmung des durchschnittlichen, des mittleren uaid des wahr- scheinlichen Fehlers aus einer endlichen Anzahl von wahren Fehlern.

I. Bestimmung des durchschnittlichen und des mittleren

Fehlers aus einer endlichen Anzahl von Fehlern 28

U. Bestimmung der mittleren zu befürchtenden Fehler in ■9'

und (i^ 29

in. Die direkte Berechnung des mittlem Fehlers u ist bei den di-ei Annahmen über qp(f) genauer als die indirekte mit Hilfe des direkt ermittelten Durchschnittsfehlers -&■ ... 33

Inhaltsverzeichnis. IX

Seite

IV. Der wahrscheinliche Fehler q läßt sich aus wahren Feh- lern durch Abzählen direkt ermitteln 34

§ 5. Verschiedene Foi-men der Ausgleichungsaufgabe.

I. Direkte Beobachtungen 39

11. Vermittelnde Beobachtungen 43

III. Bedingte Beobachtungen 4:8

IV. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen . 51

V. Bedingte Beobachtungen mit Unbekannten 52

VI. Gemeinsame Form der Ausgleichungsaufgaben 53

Vn. Nichtlineare Beziehungen 53

Vni. Funktionen direkt beobachteter Größen 54

§ 6. Mittlerer Fehler von Funktionen unabhängig voneinander be- stimmter Größen.

I. Vielfaches eines Beobachtungswertes 54

II. Lineare Funktion unabhängiger Beobachtungen 55

in. Nichtlineare Funktionen 63

IV. Mittlerer Fehler, entstanden aus mehreren Fehlerursachen 67

Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

§ 1. Ausgleichung direkter Beobachtungen von gleicher Genauigkeit.

I. Berechnung der Unbekannten 70

II. Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittels 71

III. Berechnung des mittlem Beobachtungsfehlers aus den übrig- bleibenden Fehlern 73

IV. Genauigkeit der Formeln für ^t'- und (i 74

V. Anmerkung über den Durchschnittsfehler und die günstigste

Formel 77

§ 2. Ausgleichung direkter Beobachtungen von ungleicherGenauigkeit.

I. Wert der Unbekannten und Begriff des Gewichts .... 79

n. Die Summe [IJ.g] ist ein Minimum 81

in. Mittlerer Fehler in x, berechnet aus dem mittlem Be- obachtungsfehler ft für das Gewicht 1 82

rV. Berechnung des mittlem Beobachtungsfehlers a für das Ge- wicht 1 aus den übrigbleibenden Fehlern 82

V. Mittlerer Fehler in x, berechnet aus jij , u-., , ftg 84

VI. ünveränderlichkeit der Quadratsumme der totalen Fehler

bei allmählicher Ausgleichung 84

§ 3. Ausgleichung direkter Beobachtungen von gleicher Genauigkeit, welche Vielfache einer Unbekannten sind.

I. Berechnung der Unbekannten und ihres mittlem Fehlers . 87

n. Kontrollformeln 89

§4. Übergang zur Methode der kleinsten Quadrate nach dem älteren Verfahren von C. F. Gauß. I. Fehlergesetz, für welches das arithmetische Mittel gleich ge- nauer direkter Beobachtgn. d. wahrscheinlichsten Wert gibt 94

X Inhaltsverzeichnis.

Seite

II. Übergang zur Methode der kleinsten Quadrate 97

in. Verallgemeinerung der Bedeutung der Gewichtszahlen . . 98

Drittes Kapitel.

Vermittelnde Beobachtungen zur Bestimmung mehrerer

Größen: Elementen- Ausgleichung.

§ 1. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen von gleicher Ge- nauigkeit.

I. Berechnung der Werte der Unbekannten 1)9

n. Herleitung der Xormalgleichungen aus dem Prinzip des

arithmetischen Mittels 102

lll. Ableitung der Gewichte der berechneten Werte der Un- bekannten 103

§ 2. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen von gleicher Ge- nauigkeit unter der Bedingung, daß die mittlem Fehler der Unbekannten möglichst klein werden.

I. Berechnung der Werte der Unbekannten, welche kleinste

mittlere Fehler geben 111

n. Verschiedene Bedeutung der Lösungen nach der Methode

der kl. Qu 115

III. Geschichtliche Notiz 116

§ 3. Weitere Entwicklung der Formeln nach dem Algorithmus von

C. F. Gauß.

I. Auflösung der Normalgleichungen nach einem von Gauß

eingeführten Verfahren 120

II. Bestimmung der Gewichte der Unbekannten und über- haupt aller Hilfsgrößen Q 125

in. Fortsetzung des Gaußchen Algorithmus 127

§ 4. Rechenkontrollen.

I. Kontrolle durch Siimmengleichungen 131

n. Kontrolle durch Quersummen 133

HI. Schlußkontrolle für x^y^z... durch doppelte Berechnung

der Summe [II'] 134

IV. Eine summarische Kontrolle für cc, y, z 136

§ 5. Berechnimg des mittlem Fehlers aus den übrigbleibenden

Fehlem. I. Berechnung des mittlem Fehlers ft der Beobachtungen

aus [XX] 136

n. Anmerkung über den Durchschnittsfehler -9" 138

EI. Mittlerer Fehler in der Bestimmimg des mittlem Fehlers ,u 139

rV. Mittelbüdung mehrerer Bestimmungen von ^- 144

§ 6. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen von ungleicher Ge- nauigkeit. I. Verallgemeinerung der Fonneln 145

Inhaltsverzeiclinis. XI

Seite

II. Unveränderlichkeit der Werte der Unbekannten und der Fehlerquadratsummen bei allmählicher Ausgleichung . . 147

§ 7. Zusammenstellung der Formeln für die Ausgleichung ver- mittelnder Beobachtungen.

I. Bildung der Normalgleichungen 148

IL Erstes Auflösungsverfahren 149

III. Zweites Auf lösungsverfahren 151

IV. Drittes Auflösungsverfahren 156

V. Nachträgliche Berechnung der Q 157

VI. Schlußkontrolle; mittlerer Fehler 158

§ 8. Nichtlineare Beziehungen. Einführung von Näherungswerten. Indirekte Auflösung der Normalgleichungen. I. Nichtlineare Beziehungen. Einführung von Näherungs- werten l'^l

IL Unabhängigkeit des Minimums [IXg] von der Wahl der

Unbekannten 174

III. Indirekte Auflösung der Normalgleichungen 175

§9. Mittlerer Fehler einer Funktion von Größen, welche durch vermittelnde Beobachtungen gefunden worden sind. I. Verschiedene Ausdrücke für den mittlem Fehler .... 180

n. Direkte Berechnung des Funktionswertes 185

ni. Das Gewicht von Funktionen der Ausgleichungswerte ist

ein Maximum 185

IV. Unrichtige Bestimmung von iiy- 187

V. Zusammengesetzter mittlerer Fehler 187

§ 10. Ausgleichung von Beobachtungen, welche die Form von Rich- tungsbeobachtungen haben.

I. Direkte Lösung 188

n. Erste Umformung 190

III. Zweite Umformung 191

IV. Symmetrische Einführung von Unbekannten bei Aus- gleichung von Richtungsbeobachtiingen . 198

V. Annäherungsmethode 199

§ 11. Gleichwertige und vollständig äquivalente Beobachtungsreihen. Freie Funktionen.

I. Gleichwertige Beobachtungsreihen 213

n. Bedingungen der Äquivalenz 214

in. Anwendungen 216

IV. Verschiedene Reihenfolge der Unbekannten 217

V. Unvollständige Bestimmungen 218

VI. Freie Funktionen nach T. N. Thiele 220

VII. Reduzierte Fehlergleichungen nach Generalleutnant Schrei- ber 225

XII Inhaltsverzeichnis.

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleiehung.

§ 1. Ausgleichung bedingter Beobachtungen. Seite I. Reduktion der Aufgabe auf die Ausgleichung vermitteln- der Beobachtungen 228

n. Direkte Auflösung 232

in. Mittlerer Fehler einer Funktion der ausgeglichenen Be- obachtungswerte 236

IV. Theorien von C. F. Gauß und T. N. Thiele 240

V. Wahl des Ausgleichungsverfahrens 243

§ 2. Formelübersicht für die Ausgleichung bedingter Beobachtungen. Berechnung des mittlem Fehlers einer Beobachtung vom Ge- wicht 1. Nichtlineare Bedingungsgleichungen.

I. Lineare Bedingungsgleichungen 244

n. Kontrolle durch doppelte Berechnung von [li.g] . . . . 245

ni. Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit 246

IV. Der mittlere Fehler einer Funktion der ausgeglichenen

Beobachtungswerte 246

V. Der Ausgleichungswert der Funktion 247

VI. Nichtlineare Bedingungsgleichungen 248

-§3. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen, von deren Un- bekannten Bedingungsgleichungen zu erfüllen sind.

I. Reduktion auf vermittelnde Beobachtungen 262

II. Direktes Verfahren 263

§4. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen, zwischen deren Unbekannten Bedingungsgleichungen bestehen, durch Aus- gleichung in zwei Teilen.

I. Erster Teil 269

II. Zweiter Teil 270

in. Mittlerer Fehler einer Funktion der Unbekannten .... 273 IV. Verschiedene Formeln zur Berechnung des mittlem Be- obachtungsfehlers 275

V. Rückblick •. . 276

VI. Bessels Methode 280

VII. Besondere Fälle der Aufgabe 281

§ 5. Bedingte Beobachtungen mit Unbekannten.

I. Reduktion auf bedingte Beobachtungen ohne Unbekannten,

oder auf vermittelnde Beobachtungen 285

n. Direkte Lösung 286

ni. Mittlerer Fehler einer Funktion von x, y . . . und den

ausgeglichenen Beobachtungswerten (l -\-l) 288

IV. Zusammenfassung mehrerer Beobachtungen bei der Aus- gleichung 290

InhaltsTerzeiclinis. XTTT

§ 6. Partiell äquivalente Beobachtungsreihen. Seite

1. Definition 293

n. Partielle Äciuivalenz im Falle vermittelnder Beobachtungen 293

in. Besondere Form des äquivalenten Systems 296

rV. Partielle Äquivalenz bei beliebiger Form der Ausgleichung 300 V. Verbindung von Funktionswerten aus mehreren Aus- gleichungen 301

§ 7. Fehlerellipseu.

I. Formeln 303

n. Anmerkung 308

Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

§ 1. Einfluß regelmäßiger Fehlerursachen auf die Verteilung übrig- bleibender Fehler.

I. Zweck der Untersuchung 328

n. Einfluß einer Ursache regelmäßiger Fehler auf die übrig- bleibenden Fehler l der Ausgleichung 329

in. Ursachen konstanter und regelmäßiger Fehler 331

§ 2. Untersuchung der Fehler zur Feststellung der wichtigsten Eigen- schaften ihres Verteilungsgesetzes.

I. Gesetz der Verteilung der wahren Beobachtungsfehler . 333

n. Vorzeichenprüfung 334

in. Prüfung durch mittlere Fehlergrößen 340

§ 3. Nähere Prüfuug des Verteilungsgesetzes der Fehler.

I. Prüfung, ob cpd) mit wachsendem <■ abnimmt 345

n. Vergleichung mit bekannten Fehlergesetzen 346

III. Prüfung auf Grund übrigbleibender Fehler 352

IV. Vermischung von Beobachtungsreihen verschiedener Ge- nauigkeit 355

§ 4. Prüfung und Verbesserung der Gewichtsannahmen.

I. Näherungsverfahren 358

n. Strengeres Verfahren 360

in. Zergliederung von u,- in mehrere Teile 362

IV. Ausschließen einzelner Beobachtungen; Maximalfehler, . 364

§ 5. Ermittelung systematisch wirkender Ursachen.

I. Benutzung der Kriterien des Zufalls und der Fehler- verteilung 366

II. Benutzung verschiedener Berechnungsweisen von fi^ . . . 367 in. Bestimmung der Unbekannten auf verschiedene Art und

Weise 3ß8

XIV luhaltsverzeichnis.

Sechstes Kapitel. Näherungs-weise Darstellung von Funktionen. Seite

§1. Überblick 376

§ 2. Näherungsweise Darstellung gegebener Funktionen 377

§ 3. Hypothetische geschlossene Ausdrücke.

I. Graphische Ermittelung 384

n. Gültigkeit der Ergebnisse 389

§ 4. Interpolation durch Potenzreihen.

I. Einfache Fälle 390

n. Verallgemeinerung der Entwicklung 395

in. Die einfachen Kugelfunktionen 396

IV. Anwendung auf Beobachtungen 401

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen.

I. Theoretische Grundlage 403

n. Allgemeine Formeln für eine endliche Anzahl von Be- obachtungen 409

TTT. VergrößeiTingsfaktor 411

rV. Schematische Berechnung 413

V. Berücksichtigung unperiodischer Glieder bei der Ableitung

der Koeffizienten der Besselschen Formel 42.5

§ 6. Interpolation nach der Theorie der quasisystematischen Fehler von T. N. Thiele.

I. Ausgleichung 427

n. Einschaltung 431

Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise, Mikrometerschrauben und. Libellen. § 1. Teilkreise.

I. Die Bestimmung der Exzentrizität der Alhidade und eines

mittlem Wertes der Teilungsfehler 435

n. Die Bestimmung der Korrektionen von gleichmäßig über

den Kreisumfang verteilten Durchmessern 442

in. Symmetrisches Verfahren 450

IV. Verfahren von H. Bruns 454

§ 2. Mikrometerschrauben.

I. Allgemeine Bemerkungen 463

II. Günstigste Größe des HilfsintervalLs 464

in. Modifikation der Ausgleichungsformeln 467

IV. Fortschreitender Fehler 470

§ 3. Röhrenlibellen 473

Achtes Kapitel. Horizontalvvdnkelniessung und Dreiecksnetze. § 1. Beobachtung von Winkeln und Richtungen.

I. Instrumentalfehler 479

Inhaltsverzeichnis. XV

n. Fehler der Aufstellung und der Festigkeit von Instru- Seite

ment und Signalen 482

in. Ablesefehler, Yisurfehler, persönliche Fehler 484

IV. Zusammensetzung des mittleren Fehlerquadrats bei der

einfachen Winkelmessung 485

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethoden.

I. Das Winkelverfahren von Generalleutnant Schreiber . . . 488

II. Richtungsbeobachtungen 493

III. Auflösung der Kichtungssätze in Nachbarwinkel .... 499

IV. Repetitionsverfahren 502

V. Reiteration 506

§ 3. Die geometrischen Bedingungen des Netzes.

I. Die übliche Form der Netzausgleichung 508

II. Anzahl der voneinander unabhängigen Netzbedingungs- gleichungen 508

in. Aufstellung der Bedingungsgleichungen 510

IV. Winkel < 1 » 514

V. Zachariaes Satz fürs Viereck 518

VI. Stumpfe Dreiecke im Netz 522

Vn. Diagonal- und Kranzsysteme 523

VTTT Bedingungsgleichungen aus Grundlinien 525

§ 4. Stationsausgleichung.

1. Verschiedene Methoden 528

U. Verwandlung der Stationsergebnisse einer Besselschen Aus- gleichung in einen vollen Richtungssatz 530

in. Umwandlung bei drei Richtungen 531

IV. Nebenrichtungen 532

V. Ungleiche Stationsgewichte, Berücksichtigung von Netz- fehlerquellen 533

§ 5. Gang der Auflösung bei bedingter Ausgleichung.

I. Einfachere Fälle 535

n. Gesonderte Auflösung der Winkel- und Seitengleichuugen

nach C. F. Gauß 536

UI. Anmerkung über ein genähertes Verfahren zur Ausgleichung

von Dreiecksnetzen von C. F. Gauß 538

§ 6. Große Systeme.

I. Ausgleichung im ganzen ist nicht ratsam 538

n. Verfahren allmählicher Annäherung nach C. F. Gauß mit- tels unvollständiger Ausgleichung 539

in. Stückweise Ausgleichung großer Netze 542

IV. Ausgleichung nach Elementen, insbesondere nach Koordi- naten 542

V. Einschaltungen 544

VI. Einschaltungen ohne Zwang 547

XVI Inhaltsverzeichnis.

Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

§ 1. Überblick über die verschiedenen Aufgaben. Seite

I. Günstigste Dreiecksnetze > . . . . 548

II. Noch andere Aufgaben 550

§ 2. Günstigste Gewichtsverteilung bei bedingten Beobachtungen für eine einzige Funktion.

I. Günstigste Bestimmung einer Funktion 551

IL Der Schreibersche Satz 553

m. Die Absolutsumme der Fehler v linearer Gleichungen zu

einem Minimum zu machen 554

IV. Die Absolutsumme ü f- wird ein Minimum usw. . . . 558 § 3. Günstigste Gewichtsverteilung in bezug auf den mittlem Feh- ler der Lage eines trigonometrischen Punktes.

I. Definition des mittlem Punktfehlers M 563

n. Die günstigste Gewichtsverteilung bei zwei Funktionen der Winkelbeobachtungen erfordert in der Regel eine

Ausgleichung 564

in. Formeln 565

Übersicht der Beispiele.

Seite

Fehlerberechnungen aus Dreieckswinkelsummen 37, 38

Ungleichheit der Fernrolirringe (Helmert) 40—43, 56, 57, 76, 77, 85, 86,

354, 355 Winkelbeobachtungen auf einem Dreieckspunkt (Schwerd) 43 — 47, 108 — 111,

159—171, 177, 183—185

Winkel in einem Dreieck (Schwerd) 48, 49, 248, 249

Fehler der Längenmessung 57 — 61

Vergleichung zweier verschiedener Verfahren zur Ermittelung des Unterschiedes zweier nahezu gleichen Gewichtstücke A und B auf einer gleicharmigen Wage mit anhängenden

Schalen 61 — 63

Seitenübertragung durch ein Dreieck (Schwerd) . . . 64 — 67, 311, 312 Mittlerer Fehler einer Richtungsbeobachtung bei Horizontal- winkelmessungen 68, 69

Mehrfache Bestimmung eines Winkels (Königl. Preuß. L.-A.) . . 86, 87 Bestimmung der Konstanten eines Reichenbachschen Distanz- messers auf Glas im Fernrohre eines Nivellierinstruments

(Helmert) 89—94, 188

Richtungsbeobachtungen auf einer trigonometrischen Station . 192 — 204 Rückwärtseinschneiden (Nagel) . 204—209, 215, 216, 226, 227, 309, 310 Ausgleichung symmetrischer Winkelbeobachtungen nach

Generalleutnant Schreiber 209 — 213

Ersatz einer Reihe von Richtungsbeobachtungen durch sym- metrische Winkelbeobachtungen (van de Sande Bakhuyzen) 213 Grundlinienausgleichung in der westlichen Hälfte der Dreiecks- kette der Europäischen Längengradmessung in 52" Breite

(Helmert) 229—232

Die Ausgleichung der Nivellenientsnetze 233 — 236

Dreieck aus zwei Seiten und zwei Winkeln 249 — 251

Ausgleichung eines Fünfecks der hannoverschen Gradmessung

von C. F. Gauß 251—261

Ein einfaches fingiertes Beispiel für vermittelnde und bedingte

Beobachtungen in verschiedener Behandlung 262, 263, 266 — 269

277—280, 282—284, 291—293

Dreieck von W. Struve 297—301

Vereinigung zweier Bestimmungen eines Punktes 302, 303

Helmert, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. b

XVni Übersicht der Beispiele. Druckfehler.

Seite

Vierpunktiges Dreiecksnetz (fingiert) 312 — 327

Fehlergesetz aus 51 Dreieckswidersprüchen der indischen Ver- messung ;U9 — 352

Abendfehler bei Beobachtungen der geogr. Breite 369

Systematische Fehler bei Horizontalwinkelmessungen auf einer

Station (Helmert) 370—375

yi -{-x=l -\- ax 377—379

Höhenwinkel mit der Stampferschen Schraube (Helmert) . . 380 — 384 Zeitdauer der Reaktion zwischen Jodsäure und schwefliger

Säure (Landolt) 385—389, 390

Gleichung eines Meterstabes (Stadthagen) 393 — 395

Temperaturamplitude zu Brüssel (Quetelet) . . 404—408, 413, 415 — 417 Neigung der horizontalen Achse eines Passageninstruments

(Helmerti 417—425

Reihe von Indexfehlerbestimmungen (Thiele) 434

Bestimmung der Exzentrizität der Alhidade und des mittleren

Werts der Teilungsfehler 435 — 442

Teilungsfehler am Deklinationskreise des Hamburger Äqua-

torials (Kampf) 443 — 450

Bestimmung der Durchmesserkorrektionen von 4 zu 4" . . . . 455 — 460 Bestimmung von zwölf Durchmessern in 15" Abstand .... 460—462 Teilwertbestimmung der Libelle am Pulkowaer Passagen- instrument (Wanach) 474 — 473

Ausgleichung einer Kette von vier einfach zusammenhängenden Dreiecken durch Auflösung der vollen Richtungssätze in

Nachbarwinkel 5OO 502

Günstigste Bestimmung eines Winkels in einem Viereck . . . 559 — 560 Günstigste Gewichtsveiteilung bei indirekter Entfernungs- messung von der Basis aus 560—563

Bestimmung eines Punktes durch ein Dreieck von der Basis aus 568 — 571

Druckfehler.

S. 119 erste Fußnote zweite und dritte Zeile lies anstatt „und vier Ab- handlungen": und einer Abhandlung.

S. 155 (Vni) erste Zeile dritte Spalte lies anstatt ß," . . . ß^".

S 161 (9*1, Spalte tj, dritte Gleichung lies anstatt — 6,6667 . . . -}- 6,6667.

S. 175 letzte Zeile ist ein Komma hinter Gauß einzuschalten.

S. 187 Fußnote lies anstatt medeo: medio.

S. 290 Fußnote letzte Zeüe lies: 8. Kap., § 3, VI

S. 325 heißt der letzte Nenner im Ausdruck für II: 3,1366.

S. 364 rV lies Beobachtungen anstatt Beobachtungsreihen.

S. 398 ist bei u = — 0,7 zu setzen P^ = — 0,4121.

S. 402 ist im zweiten Absatz erste Zeile K^ anstatt Ä'j zu lesen.

S. 438 sechste Zeile von unten ist (1.5) anstatt (13) zu setzen. S. 543 zweite Fußnote Hes Bd. I anstatt Bd. II.

Erstes Kapitel.

Einleitende Beuierknngen

über die Beobachtungsfehler und die Aufgaben

der Ausgleichungsrechnung.

§ 1. ÜberscMssige Beobachtungen. VerscMedene Fehlergattungen. Zweck der Ausgleichungsreclinung.

I. Überschüssige Beobachtiiugen. Beobachtungen, die sich auf Größenbestimmungen beziehen, können niemals absolute Ge- nauigkeit haben, mit welcher Sorgfalt sie auch angestellt werden: sie bleiben immer Fehlern ausgesetzt. Daher ist es eine allgemein geübte Vorsicht, sich auf das Ergebnis einer Beobachtung nicht eher zu verlassen, als bis es einer Prüfung durch andere, sogenannte überschüssige Beobachtungen unter- worfen worden ist. Diese Kontrolle erzielt man entweder durch wiederholte Beobachtung derselben Größe oder durch Beobachtung anderer Größen, die mit jener in einer mathema- tisch darstellbaren Beziehung stehen, wie sie z. B. die Winkel- summe eines Dreiecks darbietet. Fällt die Kontrolle günstig aus, so können alle Beobachtungen zusammengenommen zur Ableitung von Werten dienen, die voraussichtlich genauer smd als die unmittelbar beobachteten.

II. Grobe Fehler. Zeigen sich bei der Kontrolle Wider- sprüche, die wesentlich größer sind, als unter den vorliegenden Verhältnissen erwartet werden kann, so spricht man von groben Fehlem. Mißt man z. B. mit einem Theodolit, welcher noch 5 Bogensekunden erkennen läßt, die drei Winkel eines ebenen Dreiecks, und erhält man als Winkelsumme etwa nahezu 179^59' anstatt 180^0', so ist ein grober Fehler vorgekommen.

Helmer t, Ausgleichungsreohnung. 2. Aufl. 1

2 Erstes Kapitel. Einleitung.

In vielen Fällen haben die überschüssigen Beobachtungen nur den Zweck, vor groben Fehlern zu schützen.

War es z. B. nicht möglich, die Grundlinie eines trigono- metrischen Netzes mehr als einmal scharf zu messen, so kann man einem groben Versehen, vielleicht wegen Yerzählens um eine Meßstange, vorbeugen durch eine erneute Messung mit Meßstäben oder mit einem Meßband (altbayerische Grund- linie 1801).

W. Struve teilte eine nur einmal zu messende Grundlinie in zwei Teile und verglich beide mittels eines kleinen Dreiecks- netzes. Ähnlich verfuhren die Engländer mehrfach bei ihrer Vermessung von Ostindien, und andere später.

Ist ein wichtiger trigonometrischer Punkt nur als Spitze eines Dreiecks bestimmt, in welchem die Winkel an den beiden gegebenen Punkten mit einem gioßen Instrument gemessen wurden, so ist es gut, falls sich dieses im dritten Punkte nicht aufstellen läßt, den Dreiecks winkel hier wenigstens angenähert zu ermitteln, so daß die Grade und Minuten aUer drei Winkel kontrolliert werden. (Dies wurde z. B. von General Baeyer einmal ausgeführt.)

Bei geometrischen Xivellements entstehen erfahrungsmäßig leicht grobe Febler, weshalb man sich dabei mit vielen Kon- trollen umgibt, besonders alles doppelt nivelliert. In einem Höhendreieek HIK, das zur Untersuchung der Refraktion der Lichtstrahlen in der Atmosphäre diente, war Punkt K nur einfach an das Nivellementsnetz des Landes angeschlossen worden. Für K zeigten nun die geometrischen und trigono- metrischen Höhenwerte so große Unterschiede, daß grobe Fehler zu vermuten waren, die in der Tat ein zweites Nivellement aufdeckte :

	Entf.	Trig.	Geometrisch 1. 2.
	km	m	m m
HI	17	269,88	269,63 (269,63)
IK	34	812,38	810,71 812,34
HK	20	1082,26	1080,33 1081,97 .

Im folgenden wird von groben Fehlern abgesehen, da sie durch Aufmerksamkeit vermieden werden können. Anders

§ 1. Beobachtungsfehler. 3

ist es mit den kleinen Beobachtungsfehlern, die man bezeich- net als:

III. Regelmäßige und. zufällige Beobachtniigsfehler. Diese Fehler, insbesondere die zufälligen, sind Ursache, daß eine völlio-e Übereinstimmung der sich kontrollierenden Beobach- tungen in der Regel nicht eintritt. Mit diesen Fehlern macht am besten ein Beispiel näher bekannt.

Mittels eines nicht durchschlagbaren Polarplanimeters werde eine den Planimeterpol nicht einschließende Fläche ein- mal in möcflichster Nähe des Poles zur Fläche, sodann in möglichster Entfernung beider gemessen; hierbei sind es namentlich folgende drei Ursachen, die eine Abweichung der beiden Ergebni.sse bedingen:

a) Kleine Abweichungen des Fahrstiftes von dem zu be- fahrenden Umfange.

b) Unregelmäßiges Wälzen der Rolle, namentlich infolge kleiner Unebenheiten der Unterlage.

c) Unvollkommene Berichtigung des Instruments, also das Vorhandensein von Instrumentalfehlern.

Unter den letzteren kommt insbesondere eine Abweichung von dem Parallelismus zwischen der Rollenachse und der Ge- raden in der Papierebene durch Fahrstift und Drehachse der Planimeterarme in Betracht. Aber sowohl dieser wie in der Regel auch alle andern Instrumentalfehler können auf ein verschwin- dendes Maß verkleinert werden: nicht so dagegen die beiden ersten Fehlerursachen, selbst bei größter Aufmerksamkeit und bei sorgfältigster Behandlung der Unterlage und des Rollen- umfanges: a) und b) sind daher Ursachen unvermeidlicher Fehler, c) aber ist Ursache von im wesentlichen vermeidlichen Fehlern.

Sie unterscheiden sich aber auch noch in anderer Be- ziehung: es werden nämlich die beiden ersten Ursachen bei wiederholtem Umfahren der Fläche immer andere Fehler des Ergebnisses erzeugen, denn die Unregelmäßigkeiten im Um- fahren des Umfangs und in dem Wälzen der Rolle sind in der Regel bei jedem neuen Umfahren immer wieder andere; man weiß nur, daß sie stattfinden, aber nicht im voraus, wo und

1*

4 Erstes Kapitel. Einleitung.

in welchem Betrage sie erfolgen werden. Die dritte P'ehler- ursache aber hat, was den besonders erwähnten Instrumental- fehler betrifft, so lange einen konstanten Fehler des Ergeb- nisses zur Folge, als die gegenseitige Lage der Fläche und des Poles dieselbe ist; man kann sogar im voraus aus den Dimen- sionen des Planimeters und der Form und Lage des ümfangs für jeden Betrag dieses Instrumentalfehlers den Einfluß auf das Ergebnis berechnen. Mit der gegenseitigen Lage von Pol und Fläche ändert sich derselbe, immer aber in einem zu berechnenden Betrage. Die dritte Fehlerursache erzeugt also entweder konstante oder sich regelmäßig ändernde Fehler.

Im Gegensatz dazu nennt man die Fehler infolge der erstgenannten Ursachen unregelmäßige oder auch zufällige.

Wie im Beispiel, so ist es auch allgemein: Die Fehler- ursachen und die von ihnen erzeugten Fehler sind teils ver- meidlich, teils unvermeidlich; sie sind teils regelmäßig und unter Umständen konstant, teils unregelmäßig oder wie man auch sagt: zufällig. Konstante und regelmäßige Fehler sind in der Regel im wesentlichen vermeidlich, unvermeidlich aber sind immer irgendwelche zufällige Fehler.

Zu den konstanten und regelmäßigen Fehlern zählen u. a. alle durch Instrumentalfehler erzeugten Fehler; diese sind durch direkte Ermittelung der Instrumentalfehler und Berechnung ihres Einflusses, soweit es möglich ist, unschädlich zu machen oder durch besondere Meßverfahren mehr oder weniger zu eliminieren. Sie sind also vermeidlich bis auf relativ zu der Größe der zufälligen Fehler nicht mehr in Betracht kommende Reste. Demgemäß soll z. B. die Länge eines Meßstabes so genau mit der nominellen Länge übereinstimmen, daß eine noch vorhandene kleine Abweichung auf das Ergebnis von vorzunehmenden Längrenmessungfen mindestens keinen srößeren Einfluß haben kann, als die Unsicherheit desselben wegen zu- fälliger Fehler beträgt.

Zu den Ursachen unregelmäßiger oder zufälliger Fehler rechnet man die Unsicherheit im Einstellen eines Visier-Fadens auf ein Objekt und im Ablesen an Teilungen, die Unruhe der Bilder von entfernten Geo;enständen weofen der Uudulationen

§ 1. Beobaclitungsfehler. 5

der Luft, kleine Reste vou Instrumentalfehlern (die etwa aus ihrer Veränderlichkeit infolge von Temperatureinflüssen usw. entstehen) u. a. m. Durch künstliche Verschärfung unserer Sinne können zwar die aus ihrer Unvollkommenheit entstehenden Fehler in engere Grenzen eingeschlossen werden, doch ganz zu vermeiden sind sie nicht. Auf die Größe der Fehler aber, deren Ursachen außerhalb unseres Machtbereichs liegen, wie z. B. (in der Regel) die Uudulationen der Luft, können wir nicht einwirken; soweit daher solche Ursachen zur Geltung kommen, ist den Bemühungen, die Genauigkeit der Beobach- tungen zu erhöhen, eine Schranke gezogen.

Konstante und regelmäßige Fehler können unter Umständen in einer Beobachtungsgruppe einen anscheinend unregelmäßigen Charakter annehmen und sich dann annähernd wie zufällige Fehler verhalten. So wirken z. B. Kreisteilungsfehler konstant, solange man Winkel bei derselben Kreisstellung beobachtet. Wird jedoch die Kreisstellung für jede Messung geändert, so wird der Einfluß der Teilungsfehler ein wechselnder und je nach den Umständen anscheinend mehr oder weniger unregelmäßig.

IV. Zweck der Ausgleichungsrechimng:. Setzt man vor- aus, daß nur zufällige Fehler eintreten, so wird man er- warten können, daß wiederholte Messungen einer Größe Er- gebnisse liefern, die ihren wahren Wert einschließen; wenig- stens darf man gemäß der Erfahruno^ annehmen, daß es so in der Regel sein wird und daß nur ausnahmsweise die Resultate insgesamt oder vorherrschend kleiner bzw. größer als der wahre Wert sind. Im allgemeinen werden somit Koutroll- messungen auf die wahren Werte der Unbekannten hinweisen, und durch allmähliche Vermehrung der Kontrollen wird es möglich sein, sich den wahren Werten der Unbekannten mehr und mehr zu nähern, also die Genauigkeit ihrer aus den Be- obachtungen berechneten Werte zu erhöhen.

In jedem gegebenen Falle verfolgt nun die Ausgleichungs- rechnung den Zweck, aus allen Messungen ein von Messungs- fehlern möglichst freies Endergebnis, sowie aus den Wider- Sprüchen ein Maß für seine Genauigkeit abzuleiten.

Bei strengerer Behandlung bedient man sich der Methode

Q Erstes Kapitel. Einleitung.

der kleinsten (Fehler-) Quadrate, nach welcher die Summe der Quadrate der kleinen Verbesserungen, die gleichgenauen Be- obachtungswerten hinzuzufügen sind, um ihre Widersprüche zu heben, zu einem Minimum gemacht wird.

Die AusgleichuDgsvorschriften der Methode der kleinsten Quadrate sind unabhängig von der Natur der Beobachtungs- fehler.

Will man aber auch zu einer allgemeinen Fehlertheorie imd Geuauigkeitsschätzung gelangen, so muß angenommen werden, daß die Beobachtungsfehler nur zufällige sind; man wird finden, daß die Ausgleichung selbst in gewissem Grade das Mittel bietet, zu entscheiden, in wie weit diese Annalime richtig ist.*)

In den folgenden Paragi-aphen sollen zunächst die zu- fälligen Beobachtungsfehler und ihr Zustandekommen ein- gehender betrachtet werden.

§ 2. Die zufälligen Beobachtungsfeliler und das FeMergesetz.

I. Die zufälligen Beobachfuugsfehler. Indem man die unregelmäßigen Beobachtungsfehler als zufällige Felder be- zeichnet, drückt man damit aus, daß ihre Entstehung mehr oder weniger unbekannt ist. Hiermit steht nicht im Wider- spruch, daß wir auf Seite 4 Ursachen zufälliger Fehler an- führen konnten; denn die Zurückführung auf diese Ursachen nützt für die mathematische Darstellung noch kaum etwas. Wenn es einmal gelänge, eine Art bisher als zufällig betrach- teter Fehler auf solche Ursachen zurückzuführen, deren Größe und Wirkung mathematisch darstellbar sein würden, so wären damit die Fehler dieser Art aus der Gattung der unregel- mäßigen Fehler in die Gattuncp der regrelmäßiocen versetzt und dadurch der Rechnung zugänglich gemacht. Dies würde aber nur dann etwas nützen, wenn die unabhängigen Veränderlichen

*) Von großem Interesse ist, was der Begründer der Methode der kleinsten Quadrate, Carl Friedrich Gauß, in einer Selbstanzeige seiner Theoria combinationis observationum über die verschiedenen Arten der Beobachtungsfehler, die Genauigkeitsschätzung und die Ausgleichungs- rechnungen sagt. (Gauß' Werke, IV, S. 95 u. f.).

§ 2. Zufällige Beobachtungsfehler. 7

(die Ursachen) in jedem Einzelfalle gegebene Größen wären. In der Regel wird das uiclit der Fall sein.

Abgesehen von solchen Ausnahmefällen, sind die zufälligen Fehler für uns unbekannte Funktionen mehr oder weniger unbekannter Veränderlichen. Diesen Fehlern gegenüber sind wir anscheinend ziemlich hilflos; jedoch ist es günstig, daß wir ein immerwährendes Schwanken im Betrage der Veränder- lichen annehmen müssen und daß wir meistens erwarten dürfen, die entsprechenden Beobachtungswerte seien teils zu groß, teils zu klein, daß sie also den wahren Wert einschließen. Aus- nahmefälle sind allerdings vorhanden, bei denen wir von ein- seitig wirkenden Fehlern sprechen.

Denkt man sich nun eine sehr große Reihe von Beobach- tungen derselben Art (Anzahl = N, ins Unendliche wachsend), die mit gleicher Sorgfalt angestellt wurden und nur zufälligen Beobachtungfehlern unterworfen sind, so wird ein einzelnes Beobachtungsergebnis, für sich betrachtet, keinen Vorzug vor den andern verdienen; vielmehr wird ihm a priori ein be- stimmter Fehler mit derselben Wahrscheinlichkeit zugeschrieben werden müssen, als irgend einem der andern Ergebnisse. Man sagt daher: die Beobachtungsergebnisse haben gleiche Genauigkeit.

Die wirklich eingetretenen Fehler haben im allgemeinen verschiedene Größe, wie die Widersprüche der Beobachtungs- ergebnisse zeigen. Für die Verteilung der zufälligen Fehler nach ihrer Größe werden, von Ausnahmen abgesehen, die folgenden Regeln angenommen:

1) Es sind gleich große positive und negative Fehler gleich häufig.

2) Die Häufigkeit des Vorkommens nimmt zu mit der Abnahme des absoluten Betrags des Fehlers.

3) Für den Fehler null ist sie ein Maximum.

Diese Regeln entsprechen im allgemeinen recht gut den Erfahrungen. Wird ihnen, insbesondere der Regel 1), nicht genügt, so müssen regelmäßige oder auch einseitig wirkende zufällige Fehler als vorhanden angenommen werden. Solche Fehler sind einer allgemeinen Theorie unzugänglich und daher

8 Erstes Kapitel. Einleitung.

hier im allgemeinen ausgeschlossen; es wird aber darauf in besondern Bemerkungen zurückgekommen werden.

Fehler, welche die obigen Regeln befolgen, wollen wir als zufällige Fehler im engern oder eigentlichen Sinne oder als rein zufällige bezeichnen; wir werden sie auch oftmals kurzweg „zufällige" Fehler nennen. Sie entsprechen der ge- wöhnlichen Vorstellung, die man mit dem Begriff zufällig ver- bindet; eine andere Art des Auftretens der Fehler beweist eben, daß noch etwas Besonderes obgewaltet hat.

Beurteilen wir nun einen zu erwartenden zufälligen Fehler im engeren Sinne, so ist anzunehmen:

1) Ein positiver und ein gleich großer negativer Fehler sind gleich wahrscheinlich.

2) Es ist wahrscheinlicher, einen kleinen als einen großen Fehler zu begehen.

3) Es ist daher am wahrscheinlichsten, eine fehlerfreie Beobachtung zu erhalten.

Bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers s mit i'(s), so ist nach diesen Voraussetzungen für rein zufällige Fehler

(1) t^(+ £) = ^(- 8),

d. h. es ist i^(£) eine gerade Funktion von s. Ferner ist

(2) ^^(f) abnehmend für wachsende Absolutwerte der f;

(3) t/;(0) der größte und i'{+ <») der kleinste Wert,

den ^(f) erhalten kann, wobei + a den größtmöglichen Wert von f bezeichnet. Überschreitet der Absolutwert von £ den Betrag a, so wird i^'f«) gleich null.

tl-'{e), die Fehlerwahrscheinlichkeit, ist hierbei in der Art zu verstehen, wie die mathematische Wahrscheinlichkeit eines zukünftigen Ereignisses, also als Quotient aus der Anzahl der Fälle, bei denen der Fehler £ vorkommt, und der Anzahl aller Fälle, wobei zu beachten ist, daß unter diese Fälle auch die genau richtige Beobachtung mit dem Fehler null gerechnet werden muß.

§ 2. Zufällige Beobachtungsfehler. 9

In bezug auf eine gegebene Fehlerreihe ist ^/'(f) ein Maß für die relative Häufigkeit des Fehlers e.

Denkt man sich jetzt, um zu schärferen Vorstellungen zu srelano;eu, daß s zwischen den Grenzen -\- a und — a stetig veränderlich sei, so ist N unendlich groß. Ist nun n^ die An- zahl der Fehler 8, so ist die Summe aller n^ für s von —a bis + a gleich N, also

(4) [n,\^^=N- *)

— a

ferner wird

(5) ^(0=1'

also eine unendlich kleine Größe.

Die beiden Annahmen aber: 1) daß n^ die Anzahl der Fehler sei, die genau dieselbe Größe s haben, und 2) daß f stetig veränderlich sei, bereiten zusammengenommen der Vor- stellung Schwierigkeit. Einfacher und den praktischen Ver- hältnissen (wo man die Angaben auf eine gewisse Stelle, Dezi- male, abrundet) mehr entsprechend ist es, unter n^ die Anzahl der Fehler zu verstehen, die zwischen den engen Grenzen s und f-fA£ oder zwischen s — ^Ae und f-f-lAe liegen. In (4) und (5) kann man ohne weiteres n^ in diesem Sinne verstehen. Alsdann wird t^(£) allerdings von Af abhängen, dem Intervall Af aber um so genauer proportional sein, je kleiner Af ist. Nimmt man dafür das Differential de, so wird der Quotient n^:N gleich ds mal einer Funktion von e, die mit (p{e) be- zeichnet werden soll; also wird

(6) cp(s)d£ = '^-

q){s) ist im allgemeinen eine endliche Größe. Nach (4) ist:

+ a

(7) fcp{e)ds^l.

— a

Für zwei verschiedene Werte s und e' wird

ilj (e) : ^ (s) = n^ : n^, = ^ (f) : gp (f') .

*) Auch im folgenden wird als Summenzeichen in der Regel die eckige Klammer benutzt.

10 Erstes Kapitel. Einleitung.

Setzt man insbesondere

(8) <piO) = c,

so ist

oder, wenn man

^ = ?^ = y(s)

setzt,

(9) cpis) = cx(s),

worin nach (2) ^(s) ein echter Bruch sein muß, der um so kleiner ist, je größer £ wird.

II. Fehlergesetz. Die Funktion q)(e) nennt man das Fehlergesetz, wohl mit Rücksicht darauf, daß für eine ge- wisse Beobachtungsart durch dasselbe die relative Häufigkeit der Fehler nicht nur bei einer gegebenen Beobachtungsreihe dargestellt wird, sondern auch für noch anzustellende Reihen. Im letztern Falle spricht man dann von Wahrscheinlichkeit. q)(£)d£ ist die relative Häufigkeit der Fehler im Intervall s und £-\-d£, sowie die Wahrscheinlichkeit, daß ein Fehler in dieses Intervall fallen wird.

(p{£) kann man sich durch die Ordinaten y einer Kurve mit der Grleichung y = (p{£) dargestellt denken. Bei geradem Fehlergesetz verläuft die Kurve symmetrisch zur i/- Achse.

Bildet man die Summe aller (p{£)d£ zwischen den Grenzen a und ßj so ergibt sich:

(lö) ß(^^^ = M

d. i. der Quotient aus der Anzahl der Fehler zwischen den Grenzen a und ß und der Anzahl N aller Fehler; es ist dies also die Wahrscheinlichkeit, daß ein Fehler zwischen den Grenzen a und ß liegt. Nennt man sie TF'^, so hat man

p

(11) W'^ =^ßi£)

d£

Setzt man « = — a^ und /3 = -j- «^ , den äußersten Grenzen für £, so wird in (10) [n^y^ = N ; daher ist

§ 2. Zufällige Beobachtungsfehler. 11

+ 02

(12) T7i,";=/g)(6)^5 = l.

— Ol

Diese Gleichung sagt, daß es im Sinne der Wahrscheinlichkeits- reclinung gewiß ist, daß der Fehler einer anzustellenden Be- obachtung irgendwo zwischen den Grenzen — a^ und + «2 liegen wird.

III. Erfahrungsmäßige Form des Fehlergesetzes. Von welcher Form das Fehlergesetz q){s) ist, kann nur durch Be- obachtungen ermittelt werden. Allerdings ist deren Anzahl nie unendlich groß zu erlangen, wie streng genommen er- forderlich sein würde; doch wird das Fehlergesetz ohne Zweifel auch durch eine endliclie Anzahl Beobachtungen näheruugs- weise zu ermitteln sein, und zwar um so schärfer, je größer diese Anzahl ist.

Den Erfahrungen zufolge entspricht das Fehlergesetz

(13) (p(s) = ce-''^-''

dem Vorkommen der zufälligen Beobachtungsfehler in der Regel mit großer Annäherung. Es bezeichnet in (13):

e die Basis der natürlichen Logarithmen,

h eine von der Genauigkeit der Beobachtungen und der Maßeinheit, in der e ausgedrückt ist, abhängige Konstante,

c die Größe g) (0) .

Dieses Gesetz erscheint zwar insofern nicht naturgemäß, als auch beliebig große s nach demselben noch möglich sind: aber sie besitzen doch nur geringe Wahrscheinlichkeit, indem bei wachsendem e die Funktion q)(s) rasch abnimmt. Ist z.B. für den Fehler £^

(14) . 9p(£i) = ce-'''*i' =cx,

so wissen wir bereits aus (9), daß x ^in echter Bruch sein muß, was der Anblick der Exponentialgröße sofort bestätigt. Weiter ist aber

für f = 2^1 <p(2£i) = cx^ = <pi^i)X^

£ = 3£i (jD(3fi) = cx^ = g)(Oz^ (15)

£ = qe, cp{qs,) = cx''= rp{h)x''~\

12 Erstes Kapitel. Einleitung.

woraus die rasche Abnalime von (p(^) deutlich erhellt, nament- lich wenn noch Zahlenwerte eingeführt werden. Es sei z. B.

£^ = ^ bei h"}i^=^, dann ist ^{^) = YoiQ ' ^^^° ;k = 0,607 und ferner

(p(2a) = 0,22^(p(}i)

(16) cpi3^) = 0fil8cp{^) <p(4.a)< 0,001 g)(fi).

IV. Drei verschiedene Formen des Fehlergesetzes. Im

folgenden wird im allgemeinen vorausgesetzt, daß (p^e) den Annahmen (1), (2), (3), Seite 8, entspricht, also eine gerade Funktion von e ist, die mit wachsendem Absolutwert von f abnimmt. Teilweise werden wir uns aber auch auf die An- nahme (1), also die Annahme einer geraden Funktion, be- schränken. Insbesondere unterscheiden wir die drei Fälle:

IL cp(e) = c{l-^) 1 -

III. (p{e) = ce-''"'\

Der Annahme I zufolge sind alle s zwischen + a gleich wahr- scheinlich; es bezeichnet daher diese Annahme einen Grenz- fall der Funktion ^(f) innerhalb der Bedingungen fl), (2), (3), S. 8-, diesen genügt I insofern gerade noch, als darnach (p{£) für wachsende f auch als unmerkbar wenig abnehmend angesehen werden kann.

Die Annahme II ist das erste Glied in der Entwicklung

von 111 nach Potenzen von Jrs^, wenn man , für //- setzt:

sie gibt also eine Annäherung an III, doch mit dem Unter- schiede, daß (pi^ej schon für endliche Werte von £ verschwindet. Die in den drei vorstehenden Fehlerffesetzen vorkommende Konstante c läßt sich mit Rücksicht auf (7), S. 9, wonach das von — oc bis -|- oc genommene Integral von (p{B)d£ gleich 1 wird, bestimmen. Es ergibt sich

(17) bei I c = ,— ,"bei II c = — und bei III c = -^rz> wobei im letzteren Falle von dem bekannten Intearral

§ 2. Zufällige Beobachtungsfehler. 13

+ f (18) le-''dt = yjt

Gebrauch gemacht ist.*) Die drei Fehlergesetze nehmen damit die Form an:

I. Cp{£)

2a

<

IIL (p{s) = ~e-'-^\

Das Fehlergesetz III wurde 1794 von C. F. Gauß aufgefunden und trägt seinen Namen.

V. Zustandekommen des Gaußschen Felllergesetzes. Die

meisten Beobachtungswerte^ welche in Ausgleichungen ein- gehen oder zur Untersuchung des Fehlergesetzes dienen, sind aus zusammengesetzten Operationen entstanden oder gar bereits Mittelwerte. Ihre Fehler sind daher Funktionen, und zwar meistens lineare, einer Anzahl elementarer zufälliger Fehler, die den einzelnen Fehlerursachen bzw. den einzelnen Opera- tionen entsprechen. Nimmt man nun an, daß die Elementar- fehler gerade Fehlergesetze befolgen und annähernd gleiche Durchschnittswerte besitzen, so ergibt sich aus allen möglichen Kombinationen mit mehr oder weniger Annäherung das Gauß- sche Gesetz. Auf die Form der einzelnen Fehlergesetze kommt dabei nichts an.

Hagen '^'*) nahm an, daß der einzelne Elementarfehler gleich -|- 6 oder — ö sei. Dies erscheint allerdings zunächst ungeeignet, weil der Fehler null fehlt; indessen geben schon z\rei Elementarfehler in allen Kombinationen den Fehler null

*) Bezeichnet man den Integralwert mit /, so ist auch

+ OC + 1

J^=j I e~^'^"^'-' Klxdy , d. i. das Volumen zwischen der a,'j/-Ebene

— CO — 00 ^

und der Fläche ^=e~^'^'""'"^"\ In Polarkoordinaten ist J^ =2 7t f re~''^dr = n.

0

**) G. Hagen, Die Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin, 1837.

14

Erstes Kapitel. Einleitung.

zweimal und außerdem die FeMer -\- 2d und — 2d je einmal. Man kommt also rasch zu einer mehr plausiblen Verteilung. Bildet man nach und nach die Kombinationen für 1, 2, 3, 4, 5 und 6 Elementarfehlei-, so folgt die nachstehende

Übersicht der Häufigkeit der zusammengesetzten

Fehler:

n	-6d	_5ö_4d — 3d — 2d — 6 0 ^ d 4- 2d -f- äd 4- id 4- öö\4- Gd
1						1		1
2					1		2	.	1
3				1		3		3		1
4			1		4		6		4		1
5		1		5	■	10		10		5 .1
6	1		6		15		20	.	15		6	1

n ist die Anzahl der Elementarfehler.

Man sieht, daß die Häufigkeitszahleu den Binomialkoeffi- zienten entsprechen. Allgemeiner ist mittels der Entwicklung

zu erkennen, daß die Häufigkeitszahl (w)^ zu dem zusammen- gesetzten Fehler e. = (ji — 2i)d gehört. Ist X die Gesamtzahl der £:, und ?/. die relative Häufigkeit von s^, so ist

(20) {n\ = y,X.

Läßt man nun i in i -\- 1 übergehen, so folgt:

(21) (n),^, = y,^,N für .,^, = (« - 2i - 2)d.

Da nun (rt)^^^ = {n\-T—r--\Qt, so ergibt sich:

n — 2i — 1

(22)

Wird gesetzt :

{yi+x-y^^'-{^^)i

* + i

fi + f i

^+i = (n-2/ - lj(J,

(23) ,i.^=i/i±^.v=(.,_|+L,

so erhält man aus (22):

V (n -f lyF ■

(24)

§ 2. Zufällige Beobachtungsfehler. 15

Bei unendlich vielen unendlich kleinen Elementarfehlern, d. h. bei n = oo und d unendlich klein, gehen A^ und Ae in Diflferentiale über. Die Integration ergibt dann mit

1 _ j 2

die Gleichung:

(25) y = ce~''''' .

Für n = oo erhält man also in Strenge das Gaußsche Gesetz. Aber auch schon für kleine Zahlen von n findet es sich nahezu. Bei w = 6 wird für

s:ö=0 2 4 6 8

mit /r = 1 : 14 d^ nach (25) das Verhältnis

y:c=l 0,752 0,319 0,076 0,014 ,

wohingegen nach der Tabelle auf S. 14 folgt:

1 0,75 0,30 0,050 0.

Durch eine kleine Änderung von J(^ könnte man den Anschluß noch verbessern.

Will man c bestimmen, so ist zu beachten, daß [</iV] = N, also [«/] = 1 sein muß; in unserem Beispiel sind also die zu den 7 Werten £ gehörigen y zu berücksichtigen, mithin

wird c = ^ = 0,304.

Nimmt man für den Elementarfehler das Gesetz I, S. 12, was sehr angemessen erscheint, so geben schon ihrer vier etwa dieselbe Annäherung. Doch ist die mathematische Be- handlung hier etwas mühsam.*)

Eine eingehende Darstellung der wichtigsten Theorien über die Bildung der Beobachtungsfehler aus Elementarfehlern gab Czuber.**)

*) G. Zachariae, De mindste Kvadraters Methode. Kjobenhavn 1887, S. 91, 92.

**) E. Czuber, Theorie der Beobachtungsfehler. Leipzig 1891, S. 61 u. f.

Zur Ergänzung ist zu vergleichen die Abhandlung: F. Hausdorff, Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, 3. (Ber. der math.-phys. Kl. d. Kgl. Sachs. Ges. d. Wiss. 1901, S. 166).

Eine Vereinfachung der Laplaceschen Theorie gab C. V. L. Charlier 1905 im Arkiv för Matematik, Astr. och Fysik, Bd. 2.

]^g Erstes Kapitel. Einleitung.

Hier möge noch gezeigt werden, wie das Überwiegen eines Elementarfelilers Anlaß zu Abweichungen vom Gaußschen Gesetze gibt. Oben wurde gefunden, daß vier Hagensche Elementarfehler ergeben

die Fehler: - 40 -2ö 0 + 2(3 + 46

mit den Häufigkeitszahlen: 1 4 6 4 1.

Nehmen wir hierzu einen Elementarfehler, der dieselben Fehler mit konstanter Häufigkeitszahl 1 gibt, so folgen aus der Kombination nachstehende Zahlen, wobei wir des Raumes wegen die + und — vereinigen.

Fehler: 0 ±2(5 +4(3 +0(3 +8(3 Häufigkeitszahlen: 16 15 11 5 1.

Augenscheinlich ist die Verteilung jetzt stark abweichend vom Gaußschen Gesetze.

Treten Elementarfehler auf, die ein ungerades Gesetz be- folö-en, so wird dies auf das Gesetz des Gesamtfehlers einen entsprechenden Einfluß äußern, der sich aber durch das Zu- sammenwirken mehrerer solcher Elementarfehler vermindern oder aufheben kann. Es wird aber gut sein, stets mit der Möglichkeit zu rechnen, daß das Fehlergesetz eine minimale Unsymmetrie besitzt.

VI. Gaußsclie Bedingung für zufällige Fehler. Wenn

die Beobachtungsfehler nicht in linearer Weise von den Ele- mentarfehlern, den Ursachen, abhängen, so wird auch bei rein zufälligem Charakter der letzteren das Auftreten der Beobach- tungsfehler nicht notwendig mehr ein rein zufälliges sein. Dann spricht man also von einseitig wirkenden Fehlerursachen. Sind nun einseitig wirkende Fehlerursachen vorhanden, und ist das Fehlergesetz demzufolge keine gerade Funktion, so kann man zwar die Methode d. kl. Qu. anwenden, es ist aber fraglich, ob damit eine größere Annäherung an die Wahrheit entsteht. Die Verhältnisse werden aber günstiger, wenn man von den Fehlern e einen konstanten Teil 1: abtrennen kann, dergestalt, daß

(26) Jc=fe(p(s)

)d£.

§ 2. Zufällige Beobachtungsfehler. 17

Die Grenzen des Integrals sind hier auf unendlich aus- gedehnt. Das ist zulässig, indem man (p^s) einfach gleich null annehmen kann, wenn s die mögliehen Grenzwerte über- sehreitet.

Das Integral (26) hat die Bedeutung des Durchschnitts- wertes einer unendlichen Reihe von Fehlern e. Ist z. B. n^ die Anzahl der Fehler s in den Grenzen e und e + de, und ist N die Anzahl aller Fehler, so ist

e(p{£)de = [e-^\ = '-^.

— cc

[ewj ist aber die Summe aller Fehler s zwischen den mög- lichen Grenzwerten.

Setzt man in (26) für s den Wert e -f /.• und beachtet, daß nach der auch jetzt gültigen Gl. (12), S. 11,

I Cp(£)d6 = 1

— cc

sein muß, so folgt

(27) f£'cp{s'-\-]c)d6'=0.

— X

Ist es nun mög-lich, den konstanten Teil Ji im Sinne des Durchschnittswertes unendlich vieler Fehler s zu bilden oder als Unbekannte in die Ausgleichung einzuführen (wie z. B. als persönlichen Fehler bei gewissen astronomischen Beobachtungen), so bleibt für die Teile f ' = £ — /r die Eigenschaft (27), die Gaußsche Bedingung *J, oder anders ausgedrückt:

(27*) X«> («' + J^)d£' =fs'q> {e + ^de.

0 0

Diese Gleichung tritt an Stelle von (p{-\- e) =- (p{— e) bei rein zufälligen Fehlern. Jetzt ist 9 (f ) = (jc (e' -f /i) keine gerade Funktion von e bzw. e mehr; man kann sie auch mit q)' {e') bezeichnen. Diese Funktion hat als Kurve y = cp ( e') die

*) C. F. Gauß' Werke, IV, S. 6, oder: Abhandlungen zur Methode der kleinsten Quadrate von C. F. Gauß. In deutscher Sprache heraus- gegeben von A. Börsch und P. Simon. Berlin 1887, S. 4 u. 5.

Helmert, Aiisgleicbungsreclinung. ü. Aufl. 2

13 Erstes Kapitel. Einleitung.

Eio-enscliaft, daß die Flächenräume zwischen der Abscissenachse b und der Kurve zu beiden Seiten der Ordinatenachse in bezug auf diese gleiche statische Momente haben; also liegt der Schwerpunkt der ganzen Fläche in der ?/'- Achse.

§ 3. Maße für die Genauigkeit einer BeobacMung.

I. Durchschnittsfehler und mittlerer Fehler. Man wird eine Beobachtuagsreihe für genauer ansehen, als eine andere, wenn bei ihr vergleichsweise größere Fehler weniger häufig eingetreten sind, als bei dieser.

Um die noch unbestimmte Ausdrucksweise schärfer fassen zu können, bezeichnen wir alle Größen, die sich auf die ge- nauere Reihe beziehen, oben mit einem Striche und, so Aveit sie sich auf die ungenauere Reihe beziehen, mit einem Doppel- strieh.

Die absoluten Werte der e werden mit e bezeichnet.

Endlich nehmen wir an, daß die Fehlergesetze gerade Funktionen von e sind, und daß fp' {e) und fp" {e) nur für einen Wert a von \e' = e" \ einander gleich werden, d. h. daß die Kurven y'=(p'(s) und y" = cp" {e) sich auf jeder Seite der i/- Achse nur einmal schneiden. Ein solcher Wert a muß vor- handen sein, da

+ a' + a"

(1) f^'{^)d£ = 1 =f(p"iE)dE,

— a — a"

also die Gesamtflächenräume zwischen beiden Kurven und der Abscissenachse der e gleich groß sind. In fl) kann man die Grenzwerte a und a' wieder durch oo ersetzen, indem ^{s) für j £ > a nuU zu setzen ist.

Da die erste Reihe die genauere sein soll, so ist

(2) ^^'{E)>ip"{E) für \E\<a und

(3) ^'iß) < ^"(^) ^^^ I ^ > £<:.

Hiernach hat man, wenn m einen Exponenten > null bezeichnet :

^>' {e) — ff"{E) positiv, «"* — j £"* ' positiv, für e <Ca, cp' {e) — (p"{E) negativ, a'"— | £"* ' negativ, für j f | > a,

gibt sich:
oder
+ a	+ CC

§ 3. Genauigkeitsmaße. 19

und es ist somit für beliebige £

{(p'{£) - (p"{£)) («'" — ! £"• I) ^ 0 .

Bildet man für alle Werte von a hiervon die Summe^ so er-

qp" (£))(«'"— |£'"|)rf£>0 + 00 4-00

^^"' {f^'(^) ^^^ -f^" (^) ^^^ 1 -f\ «"" 1 ^\^) (^^ +f\ ^'^ i <p"i£)ä£>0,

— 00 — y: — 00 — 00

mithin wegen (1):

+ cc -f-oc

(4) f\£'''\(p'{£)d£<f\£»'\(p"{£)da- m>0.

— OC — 00

Diese Ungleichung ist unter der Voraussetzimg entwickelt, daß die Funktionen q)\£) und (p"(£) nur einmal, für \£\ = a, gleich werden; sie ist daher nicht allgemein für beliebige Formen zufälliger Fehlergesetze gültig. Befolgen indessen beide Beobachtungsreihen dasselbe Gesetz I oder II oder III, S. 13, nur mit anderen Parametern, so ist die Voraussetzung erfüllt, wie man unter Zuziehung graphischer Darstellung leicht erkennt.

Die Integrale in (4) haben aber für jedes Fehlergesetz die Bedeutung durchschnittlicher Werte der >wten Potenzen der absoluten Werte aller £; denn ist wieder w^ die Anzahl der Fehler zwischen den Grenzen a und s -\- (h, ist femer N die Anzahl aller Fehler, so hat man, vgl. (6), S. 9,

(4*) S^ =J\ £"-M£)d£ =[: £-lf ] = ÜJ^,

— OC

d. i. die Summe der mien Potenzen der Absolutwerte aller Fehler, dividiert durch ihre Anzahl. S^ ist also der Durch- schnittswert von I €'"■ I .

Die Ungleichung (4) zeigt demnach, daß für beliebige positive Werte des Exponenten die Durchschnittswerte S^ der mten Potenzen aller Fehler um so kleiner werden, je genauer die Beobachtungen angestellt worden sind. Allerdings gilt

2*

20 Erstes Kapitel. Einleitung.

dieser Satz nicht allgemein für beliebige Fehlei-gesetze, er gilt aber jedenfalls für die drei Gesetze auf S. 13, insbesondere für das dort zuletzt angegebene besonders wichtige Gaußscbe Gesetz.

Die >S„j bieten sich nun als Maße der Genauigkeit (Prä- zision) der Beobachtungen dar; da jedes m > 0 den gleichen Dienst leistet, so beachten wir lediglich die praktisch bequemen Formen für m gleich 1 und 2.

m = 1 gibt den Durchschnittsfehler: + ^

(5) %■ =j a cp{e)de.

— x

w = 2 gibt den mittleren (zu befürchtenden) Fehler im Quadrat (nach Gauß):

(6) u}=fs\{e)ds.

— X

Man setzt den numerischen Werten von %• imd ,u das Vorzeichen ± vor aus leicht begreiflichen Gründen.

II. Wahrscheinlicher Fehler. Außer dem Durchschnitts- fehler und dem mittleren Fehler findet man häufig den wahr- scheinlichen Fehler ans-eo-eben, der durch die Gleichung

+ Q

(7) Jcp(e)de=^\

— o

definiert ist. Da nun (p{s)de = n^ : X die relative Häufigkeit der Fehler zwischen den Grenzen e und s -\- de ist, so sagt (7) aus, daß dieselbe gerade -\ ist für die Grenzen — q und -|- q . Mit Beachtung von (7), S. 9, erkennt man, daß sie ebenso groß ist wie für den Fall, wo s diese Grenzen überschreitet. Die relative Häufigkeit oder Wahrscheinlichkeit des Vor- kommens eines Fehlers innerhalb + q ist also gerade so groß wie die des Vorkommens außerhalb, oder | £ | < p und | £ | > p sind gleich häufig, gleich wahrscheinlich.

Q ist ebensogut ein Genauigkeitsmaß wie S^^.^, wie man am bequemsten graphisch im Anschluß an die Betrachtung S. 18 erkennt. Denn da die ganzen Flächenräume der beiden

§ 3. Genauigkeitsmaße. 21

Kurven y imd y" einander gleich sind, in der Nähe der Ordinatenachse aber y > y" ist, so muß gleichzeitig

/ ff'{i)da = — und / ^"(fjc^e < y - v' - ?'

sein; also muß q" , für welches das zweite Integral = \ wird, größer als q werden.

Die Vercrleichung der wahrscheinlichen Fehler läßt somit ebenfalls wie die der Durchschnittsfehler und der mittleren Fehler erkennen, welche von zwei Beobachtungsreihen die ge- nauere ist. Bezeichnet man die Genauigkeiten mit G' imd G ',

so hat mau:

G' > G" für

^' < ^" ^ < .ft' 9 < q' ,

und zwar bedarf es nur der Prüfung durch eine dieser Un- gleichungen. In aller Strenge gelten diese Ungleichungen allerdings nur dann, wenn für die beiden Fehlergesetze die auf S. 18 angegebenen beschränkenden Annahmen bestehen, wenn also insbesondere das Gaußsche Gesetz stattfindet.

III. Beziehungen zwischen Durchschnittsfehler, mittlerem und wahrscheinlichem Fehler. Zwischen &, ,a und q einer Beobachtungsreihe finden Beziehungen statt, die nur von der Funktion q){£) abhängen und sich numerisch angeben lassen, wenn diese bekannt ist.

Aus (5), (6) und (7) folgt zunächst unter Voraussetzung eines geraden Fehlergesetzes:

(8) ^ = 2j'£(p{£)d£,

0

(9) }i^-=2j\'-cp{s)d£,

0

(10) f<p{s)de^i.

0

Wendet man die drei Fehlergesetze (19), S. 13, an, so ergibt die erste Annahme

22 Erstes Kapitel. Einleitung.

(11) ^ = |;

(12) {1^=^, /^ = 0,57735a, a = l,73205|[t;

a

(13) (>=-^

und damit

I.

2

^ = yg^ = 1,15470^.

Die Annahme II (p{£) = -j—(l A, | £ i ^ a, gibt:

(14) ^ = ia-

(15) fi' = ia\ .u = 0,44721a, a = 2,23607^. Ferner folgt aus (10)

4 4a^ \ «-/ 4o* '

0

daher hat man zur Bestimmung von o die Gleichung ()^-3a2 4) + a2 = 0.

Ihre trigonometrische Auflösung liefert als einzigen brauch- baren Wert

(16) p = 0,347296 a,

indem die absoluten Werte der beiden andern Wurzeln > a sind. Damit wird

jj 1^ = 0,77658^

a=l,19257#.

Die Annahme III qpü) = — ~e~^'^' gibt:

Ee-'''''\ls= ^

hY^'

§ 3. Genauigkeitsmaße.

23

(18)

2 27i r ,

- IP- e- rl V —

de

2V-

Im letzten Falle ist die Formel

(18*)

./

t^c-''dt =

y-n

benutzt, welche man aus (18), S. 13, durch teilweise Integra- tion findet, wobei t als erster Faktor zu nehmen ist:

(18**) lt'e-'^-dt = --le-''^ y je - '' dt + Konst. Es ist ferner nach (10), S. 21:

V

■7t *J

da

setzt man hierin hs = t, so wird daraus

hf-'''=^

y

Q kann man aus einer der bekannten Tafeln der Integral- werte von

		^A	-''dt
		0
finden*);	z. B. ist
	t	Integralwert	t	Integralwert
	0,00	0,0U000	1,00	0,84270
	0,10	0,11246	1,10	0,88021
	0,20	0,22270	i 1,20	0,91031
	0,30	0,32863	! 1,30	0,93401
	0,40	0,42839	1,40	0,95229
	0,46	0,484656	1,50	0,96611
	0,47	0,493745	1,60	0,97635
	0,48	0,502750	1,70	0,98379
	0,50	0,52050	1,80	0,98909
	0,60	0,60386	1,90	0,99-J79
	0,70	0,67780	2,00	0,99532
	0,80	0,74210	2,50	0,99959
	0,90	0,79691	3,00	0,99998
	1,00	0,84270	3,50	0,999999

E. Czuber, Theorie der Beobachturigsfehler, S. 411.

24 Erstes Kapitel. Einleitung.

Durch Interpolation folgt hieraus t = 0,476936 für den In-

tegi-alwert 0,5; es ist daher

(19) Ap = 0,47694*),

und hiernach sowie nach (17) und (18):

i Q = 0,67449 ^u == 0,84535^, III. '

.-=14^=1'

25331^.

Für die drei Annahmen hat man mithin folgende Zu- sammenstellung :

I 0,86603 ft I 1,00000«- 1,15470'9' 1,73205 ji

n j 0,77658,«- 1 0,926120- 1,19257 .^ 2,23607 u,

m !! 0,67449 ft 0,845350 1,25331 -9" OC • u

Q, /u, %■ stehen sonach für jede der drei Annahmen für sich in konstantem Verhältnisse.

Es ist nicht überflüssig zu bemerken, daß bei der Be- rechnung von %■ und ^i nach (17) und (18) diejenigen Fehler £, welche absolut genommen größer als etwa 5/u, sind, praktisch keinen Einfluß haben. Dies mag für u- gezeigt werden. Bildet man anstatt (18 j das Integral

n u

— = / £-e '' ' de , u setzt liE = t und beachtet die Beziehung ft^ = 1 : 2/<^, so ergibt sich nach (18**; für dasselbe zunächst

n

*) über die direkte Bereclinung von Äp = 0,476936 rergl. die Ab- handlung Ton H. Opitz: Die Kramp -Laplacesche Transzendente und ihre Umkehrung. (Jahresbericht des Königstädtischen Realgymnasiums zu Berlin 1900, oder Archiv der Mathematik und Physik, HI. Reihe. Y, S. 42/46.)

Xach Hammer hat Burgeß von dem umstehend tabulierten Integral sehr vollständige Tafeln gegeben in den Transact. of the Royal Society of Edinburgh 1898, 39 11.

§ 3. Genauigkeitsmaße. 25

für n = 5 folgt hieraus

^2(- 0,000015 + 0,999999), mithin nicht wesentlich von ^^ verschieden.

IV. Maß der Präzision beim Ganßschen Fehlergesetz.

Wird mit G die mathematische Genauigkeit ! bezeichnet, so ist für zwei Beobachtungsreihen mit derselben Fehlerfunk- tion I, II oder III:

(20) G' : G" = fi" : /t' = &" : #' = q" : q'. Für die Annahme III ist insbesondere wegen (18):

/ r/ 7 " 7 '

a : ^ = ti : h ; daher wird auch

(21 ) G' : G" == ]i' : Jt",

weshalb man Ji das Maß der Präzision nennt.

V. Praktischer Vorgang bei der Oenanigkeitsberechnung.

Insofern die Annahme III dem Vorkommen zufälliger Be- obachtungsfehler erfahrungsgemäß vielfach näherungsweise ge- nügt, kann man wegen (20) sowohl aus /u. wie aus -ö" oder q auf die Genauigkeit schließen; ja man würde dies auch mittels der wten Wurzeln aus den Durchschnittswerten Sm beliebiger wter Potenzen, (4*) S. 19, tun können. Jedoch benutzt man aus praktischen Gründen nur die Exponenten m = 1 und 2, welche d- und ^ ergeben.

In der Regel versagt aber d-. Denn meistens liegen nicht wahre Fehler s einer Beobachtungsreihe vor, sondern nur Ver- besserungen 1 der Beobachtungen, die die Ausgleichung zur Beseitigung der Widersprüche fordert. Es entsteht dann die Aufgabe, die Ausdrücke für d- und ^, (5) und (6) S. 20, £0 umzuformen, daß anstatt der £ die X auftreten. Dies führt aber nur für jtt zu allgemein brauchbaren Ausdrücken, nicht jedoch für &. Da nun auch eine direkte Ermittelung von q aus den A, wie sich zeigt, keinen genauen Wert gibt, so bleibt als einziges, allgemein brauchbares Maß der (reziproken) Genauig- keit der mittlere Fehler /i.

Es wird allerdings vielfach nicht jtt, sondern q angegeben, das durch seine Bedeutung einen Vorzug hat. Dieses ist aber dann immer aus ^ durch Multiplikation mit der Zahl 0,67449

26 Erstes Kapitel. Einleitung.

berechnet, die dem Gaußschen Fehlergesetze entspricht. Genau genommen müßte also noch der Nachweis für dessen Gültig- keit im betreffenden Falle geliefert werden, was bei der Be- nutzung von u nicht erforderlich ist.

Auch steht die Benutzung von ix einzig und allein im Einklang mit der M. d. kl. Qu. Denkt man sich nämlich eine Gruppe gleichgenauer Beobachtungen ausgeglichen, so ergibt sich ein Wert der minimalen Quadratsumme [/. A]. Wird nun bei demselben mathematischen Zusammenhange die Beobachtungs- gruppe wiederholt und [A'A'] gefunden, so wird man die zweite Gruppe für genauer halten als die erste, wenn [A'A'] < [AA]. Diese Quadratsummen sind aber, wie sich zeigen wird, ^^ pro- portional anzunehmen: sie werden im Durchschnitt vieler Fälle gleich u- mal der Anzahl der überschüssigen Beobachtungen. Es führt also die Grundbedingung der M. d. kl. Qu. auf ge- radem Wege zur Benutzung von u als Maß der (reziproken) Genauigkeit.

Es ist noch von Interesse, nachzuweisen, daß schon unter Voraussetzung wahrer Fehler e, wenn sie nur in endlicher Anzahl ijegeben sind, u den Vorzugs verdient. Denn ist die Fehleranzahl endlich, so ist die Berechnung der Genauigkeits- maße nicht genau möglich, aber für a ergibt sich die größte Sicherheit.

VI. Durchschuittswert einiger Fehlerprodnkte für zufällige Fehler. Bei den jetzt und später folgenden Entwicklungen ist der Durchschnittswert von Produkten der Form £i£.2> ^l'^2^ ^i'^2* nötig, wo i und Ic positive ganze Zahlen und £^ und £, ^iß Fehler der voneinander unabhängicren Beobachtungen sind. Es wird dabei angenommen, daß die Gruppe J^ , h unendlich viele Male wiederholt wird.

Die unendlich vielen Wiederholungen geben nun die f nach ihrem Fehlergesetz verteilt. Wir können uns das so denken, daß für alle Werte von a^ in den Grenzen £^ und E^ + de^ die zugehörigen £3 aufgesucht werden. Diese werden dann nach dem Gesetz ^(f,) verteilt sein. Indem man nun noch £j nach dem Fehlergesetz (p(sj) zwischen den Grenzwerten variieren läßt, ergeben sich alle Fälle.

§ 3. Genauigkeitsmaße. 27

Wir nehmen zunächst an, daß die £ gerade Fehlergesetze Ijefolgen.

Bei dem Produkt s^s^ wechselt nun das Vorzeichen, wenn £i festgehalten und fg variiert wird, sobald £3 durch null hindurchgeht. Mit Rücksicht auf die vorausgesetzte Form von 9? (£3) ist daher die Summe der Produkte £^£0 für jeden Wert von £j gleich null. Folglich ist der Durchschnittswert von £^£3 gleich null.

Dies gilt auch noch für £i'£.2*, wenn Ä' eine ungerade Zahl > 1 ist; i kann dabei gerade oder ungerade sein. Da man £^ und £2 vertauschen kann, gilt dasselbe auch für ungerade i.

Anders ist es für £i'£2* mit geraden Exponenten oder für |£j'£2*|.*Es genügt den letzten Fall zu betrachten.

Nun ist I £^£3^' = I ^i'l • i ^2*" I- Werden wieder für alle Werte von £j in den Grenzen £^ und f^ -f- ds^ die £3 betrachtet, so verteilen sich diese nach dem Fehlergesetze 9p (£2)- Der Durch- schnittswert der Absolutwerte | £3* [ für alle diese Fälle ist 5^.. Für die Summe der Produkte | £1' ■ | £3* in den Grenzen s^ und £^ + da^ können wir daher auch setzen n^ £^' ' Sf., worin % die Anzahl der Fehler t^ m diesen Grenzen bezeichnet.

Variieren wir jetzt £^, so wird n^ nach Maßgabe des Fehlergesetzes sich ändern. Nun ist die Anzahl aller Produkte gleich [«J; da ferner n^ : [n^] = q)(e^)dsi und S^. ein gemein- samer Faktor aller Produkte ist, so folgt als Durchschnitts- wert von fi'fg* I :

+ CD

(22) Sj"\e,'i(p{e,)ds,, d. i. S,S,.

Bei diesen Entwicklungen brauchen die Fehlergesetze 95 (f^) und 9p (£3) nicht übereinzustimmen. Dem entsprechend müßte man in 8,^8^^ eigentlich die beiden S noch mit Indices versehen.

Hat man es nicht lediglich mit geraden Fehlergesetzen zu tun, sondern ist nur die Gaußsche Bedingung erfüllt, so tritt für £i'£2^ ein Verschwinden des Durchsclinittswertes nicht in allen Fällen ein, wo / oder Ji ungerade sind. Jedenfalls verschwindet aber immer der Durchschnitt von £,£3^, wenn auch 9p (f^) nur die Gaußsche Bedingung erfüllt, bei beliebigem Werte von Je.

28 Erstes Kapitel. Einleitung.

§ 4. Bestimmung des durchsclmittlicheii , des mittleren und

des wahrscheinliclien Fehlers aus einer endliclien AnzaM von

wahren Fehlern.

I. Bestimmung des durehschuittlichen und des mittleren Fehlers aus einer endlichen Anzahl von Fehlern. Xaeh Grl. (4*), S. 19, ist /S^ bei unendlich vielen gegebenen wahren Fehlern e der Durchschnittswert von t'" ; insbesondere ist d- derjenige von | e j und ju-- derjenige von e^. Ist die Anzahl n der gegebenen Fehler aber nur eine endliche, so kann man zwar entsprechend setzen:

	■• + 1^«'"!
» n
c. . 1^1 = + '^. +■•	■ + ^n
n
„2 ^1^ + *.^+-	■■-\-^n'

[ ^ ]

= Li!J-,

(1) s,

(2)

(^)

- ^ ' n n

da aber eine endliche Fehleranzahl das Fehlergesetz nicht genau zum Ausdruck bringt, so geben diese Formeln auch nicht die strengen Werte von 6'„^, -9-, .u^.

Man kann aber zeigen, daß im Durchschnitt unendlich vieler solcher Fälle wieder die strengen Werte von S^^, Q-, fi^ erhalten werden. Denken wir uns nämlich die Reihe von n Beobachtungen JY- mal wiederholt, lim. K = es. , und denken wir uns ferner die N Ausdrücke

unter einander geschrieben, addiert und mit N dividiert, so ergibt sich S^ genau. Denn für irgend ein £,. ist die Summe aller vertikal übereinander stehenden j £/" : N nichts anderes als S^^.^ nach (4*), S. 19. Wir haben somit im Durchschnitt

n{^m + Sm-\ \- SJ, d. i. S^ .

Dies gilt also auch für 0- und a^.

Im Falle der Gültigkeit des Fehlergesetzes III gibt die Gleichung (3) mit h^ = 1 : 2^^ im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung von allen möglichen die günstigste Berechnungsweise von A^, wie Gauß gezeigt hat. (Czuber, Theorie der Beobachtungsfehler, S. 125.)

§ 4. ■9-, fi, p aus endlicher Fehleranzahl. 29

II. Bestimmung der mittleren zu befürchtenden Fehler in

& nnd fil Die Formeln (1), (2) und (3) bestimmen wie be- merkt /S'„^, '9- und u- nur näberungsweise richtig. Ist nun wieder »S„. der strenge Wert des Durchschnittsbetrages der mten Potenzen der Fehler, so ist

(4) r'+"-v-+'^-"'-<

das Quadrat des Fehlers des nach (1) berechneten Ä„,. Jedes der 1 £ I kann alle Werte zwischen null und dem Maximalwert a annehmen, das Fehlerquadrat des aus einer endlichen Fehler- anzahl berechneten Ä„, schwankt daher zwischen null und U^n _ 5J2 bezw. (— SJ^, welche Grenzwerte eintreten einer- seits für den Fall, daß die endliche Fehleranzahl genau Ä„^ ergibt, andrerseits für die Fälle fj , = ' fg =••• = « bezw.

f 1 = ^2 = • • • = ^ • Aus (4) folgt:

/l o »» I ^_L I c '" I _L . _L I * "' I \ 2

/l gl I + I ^2 I + • • + I ^n I _ Q \

\ n "7

f.

2;h

(5) + 2

+ .r"' + • • • + g„'

TW 7

+ I si'"««'" I + • • • + I g/'g«"' I + + ! g»-i ^"

I , '" I I I o '" I _i_ _J_ I E "' I

2S 1^1 ' + I ^^ I + - • • + I g« I ^ ^

2

Denken wir uns nun wieder die Reihe der w Fehler £ JV=oo-mal gegeben, entsprechend cc-facher Wiederholung der Beobachtungsreihe, so gibt die Reihe der Fehlerquadrate (5) alle möglichen Fehlerquadrate der Bestimmung von *S'„^ aus (1); der Durchschnittswert aller der unendlich vielen Werte ist also das mittlere Fehlerquadrat in der Bestimmung

von S„^.

Der Durchschnittswert der rechten Seite von (5) für alle möglichen Werte jedes der s wird aber erhalten, indem man von jedem Gliede einzeln den Durchschnittswert ermittelt.

Für den Durchschnittswert eines der Glieder

30 Erstes Kapitel. Einleitung.

hat man nacli (4*), S. 19, als den Durchschnittswert der 2mten Potenzen aller möglichen Fehler, den Wert

+ »

(6) S„^^=fs'"^^>{s)ds.

— cc

Hiernach ist

2m 1 2/74 1 I 2m o

der Durchschnittswert von - — '^^—^ — '^ "l^—^ — gleich — ^^ •

Für den Durchschnittswert von j £i"'£2"' i = | ^i'" 1 • 1^2"* I ^^' hält man nach (22), S. 27, den Wert SJ, unter S^ wieder den Durchschnittswert der m ten Potenzen aller möglichen Fehler verstanden:

+ 00

(7) S^==f\a^- cp{e)dB,

sowie unter Voraussetzung der Unabhängigkeit der Beobachtungen voneinander. Daher ist der Durchschnittswert des aus — ^-^ — - Gliedern bestehenden Ausdi-ucks

gleich

2

n{n—\) „2 c 2/1 1\

— ^— ^m = '^m [} - n)

n Der Durchschnittswert von

2S ■ 1 ^1 I + I ^2 i + • • • + I f« I "^ n

endlich ist gleich 2S^.

Es wird mithin das Quadrat des mittleren zu befürchten- den Fehlers n^^^ in dem aus n Fehlern £ nach (1) berechneten S,n gleich:

d. i.

(8) iC = \(A,^-sj)=^'^{^fi-i).

Insbesondere ist das Quadrat des mittleren Fehlers in %^., wenn dies nach der Formel (2) berechnet ist:

(«) '•.= = "(1^.-1)'

weil S^ und S^ bezw. gleich /i^ und 0- sind.

§ 4. 'S-, ft, p aus endlicher Fehleranzahl. 31

Ferner wird das Quadrat des mittleren Fehlers in ii^, dieses nach Formel (3) berechnet, gleich:

(10) »-r^'^C-:-!)'

wo

ist.*)

Wir wenden nun diese Formeln auf die drei Annahmen über (p{E) an und erhalten, vergl. § 3, S. 22 23:

Annahme I:

. 1 , V* 9 f/.- 4 .

V* == ^- « « ^ = — 7 71^ = q'

/UN 2 1 ^- 1 a'

(12) .«2- = y7r = 45'n-

Annahme II:

4 _ 3 /«^ a"\ 3^ 4 1^ _ 15 fi! ^ ^

^ ^ 2^ VT ~ TJ ~ 35 ^ ' ii'" l' -^^ 45

/1Q\ 2 19 -9-^ _ 19 a-

(1^) ^1 ~ 45 n 320 n '

?i 5

8 a* 8 a*

M2^ =

Annahme III:

(1*) ."«' = T « - 176 ..

^(.) = ^.--=

CO

4/j^ 0

v^ findet man leicht mittels (18*), S. 23, wenn bei der partiellen Integration s^ als erster Faktor genommen und dann hs = t gesetzt wird.

*) Gauß bezeichnete S^ mit v\

32

Erstes Kapitel. Einleitung.

^ = 1,57080;

TT— 2 ■9'-

^2'- 2 „ — 2nh

7C — -2 1

(15J

(16)

Hiermit ergibt sich bei den drei Annabmen über das Fehlergesetz folgende Übersicht der mittleren Fehlerquadrate in der Bestimmung von ^ und u- aus n wahren Fehlern:

m

(17)

f^r

0,33333

0,42222 I 0,57080

fi^2 = I 0,80000 I 1,14286 1 2,00000

&^

X -

n

Zieht man die Quadratwurzeln aus diesen Werten, so erhält man die mittleren Fehler für d- und ^^.

Um den mittleren Fehler für a selbst abzuleiten, bedenken wir, daß mit Rücksicht auf die bekannte Entwicklung

(18)

)/r+A = l+4-A- J A2 +

einem relativen Fehler A in u- ein relativer Fehler — A — ^ A^ + • • •

in u entspricht, wofür näherungs weise y ^ gesetzt werden

darf Der relative Fehler in u^ ist aber .Uo : ,«", der relative Fehler in ^ daher u, : 2a^.

AVir haben somit als Ergebnis: der mittlere zu befürchtende Fehler in ^ ist näherungsweise gleich

2f4

Hiernach ergibt sich aus fl7) die folgende Zusammen- stelluno; :

Mittlerer Fehler

n

m

(19)

in i)- =	0,.o7735	0,64979	0,75551	X * Yn
in ^ =	0,44721	0,53452	0,70711	X ^ Yn

§ 4. •&, fi, Q aus endlicher Fehleranzahl. 33

Die Genauigkeit der Berechnung von 0- und ^ ist mithin proportional der Quadratwurzel aus der Anzahl der zur Rechnung verwendeten wahren Fehler.

Bei sehr kleinen n gelten die für fi in (19) angegebenen Zahlen nicht mehr, weil A in (18) dann nahezu gleich 1 ist, ja unter Unaständen sogar größer als 1 wird, und (18) also seine Gültigkeit verliert. Man kann indessen für n = 1 leicht zeigen, daß auch noch in diesem Grenzfalle ein angenäherter Wert er- halten wird. Ist nämlich w = 1 , so muß man fi = | e j setzen. Bezeichnet aber der Buchstabe ju- selbst den genauen Wert des mittleren Fehlers, so ist das entsprechende Fehlerquadrat (| £ j — ft)^ = £^ — 2 [ £ I ft -f ft^ . Für unendlich viele Fälle ist der Durchschnitt hier- von: 2 fi^ — 2'9'ft; also hat die Bestimmimg ft = | e | den mittleren

Fehler + f* 1/2 — 2 — , d. i. für die drei Fehlergesetze I, II und

III bezw, gleich fi mal

0,51764 0,56829 0,63579.

Die Bestimmung von ft bleibt also auch hier, wie im allgemeinen, günstiger als diejenige von ^.

III. Die direkte Berechnung des mittleren Felilei's ji ist bei den drei Annahmen über (p{8) genauer als die indirekte mit Hilfe des direkt ermittelten Durchschnittsfehlers O-. Nach (19) ist beispielsweise für die Annahme III bei direkter Berech- nung der mittlere Fehler enthalten zwischen den (mittlem)

Grenzen

/' , 0,70711 \

(^0) ,"(1 + ^7^).

dagegen bei Berechnung aus & (vergl. S. 24j zwischen den Grenzen

1,25331 (> + 0,75551 -%), \ yn J

d. i.

(20*) a(l±^^],

\ yn '

was also ungünstiger als (20) ist. Ist n allerdings so groß,

daß die Berechnung von -^ und u überhaupt sehr genau wird,

so ist es ziemlich orleichgültig, wie man a berechnet, da der

Unterschied der Genauigkeiten, an sich nicht beträchtlich, in

diesem Falle noch weniger ins Gewicht fällt.

Helmert, Ausgleichungsrechuung. 2. Aufi. 3

34 Erstes Kapitel. Einleitung.

Wollte man ft indirekt aus dem Durchschnittswerte der dritten oder höherer Potenzen aller gegebenen Fehler berechnen, so -würde die Rechnung jedenfalls unbequemer. Sie würde aber für den Fall des Fehlergesetzes m auch ungenauer, wie C. F. Gauß gezeigt hat, vergl. Werke IV, S. 116. (Über die Entwicklung vergl. Czuber, Theorie der Beobachtungsfehler, S. 130 u. f.). Bei Bestehen des Fehlergesetzes I, also bei konstanter Fehlerwahrscheinlichkeit, nimmt allerdings mit wachsendem m der mittlere Fehler der Be- stimmung von ft aus y^m ^^i ^^^ ^^ ^^^ daher am besten, den Grenzwert a gleich dem größten £ zu setzen. fVergl. hierzu, wie auch über die eingehendere Behandlung der Fragen der Ge- nauigkeit im allgemeinen den Aufsatz von Helmert: Über die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler usw. Zeitschi-ift für Mathematik und Phj'sik von Schlömilch, 187(;), S. 192 — 218.) Es sei noch bemerkt, daß für größere n die Ab- weichungen zwischen dem berechneten Werte yS^^^ und dem strengen im allgemeinen wieder das Gaußsche Fehlergesetz befolgen, so daß die Beurteilung der bei Anwendung verschiedener m erreichten Genauigkeit mittels der 2. Potenzen wie vorher erfolgen darf (S. 20).

IV. Der Avalirsclieiiiliche Fehler q läßt sich aus wahren Fehlern durch Abzählen direkt ermitteln. Ordnet man näm- licli die n Fehler e nach ihrer Größe ohne Rücksicht auf das Vorzeichen, so wird bei sehr großem n nach der De- finition von Q die eine Hälfte der Fehler zwischen null imd q, die andere zwischen q und dem Grenzwerte a zu suchen sein. Bei großem n fällt daher der mittelste Beobachtungs- fehler, wenn n ungerade ist, oder das arithmetische Mittel der beiden mittelsten, wenn n gerade ist, mit q zusammen. Die Vermutung, daß diese Bestimmungsweise von q verhältnis- mäßig recht unsicher ist, bestätigt sich bei genauerer Unter- suchung. Eine solche führte schon C. F. Gauß unter Voraus- setzung seines Fehlergesetzes durch, ohne den Beweis mitzuteilen, den Dirichlet gab (vergl. Encke, Berliner astronomisches Jahrbuch 1834, S. 295—298, oder Czuber, Theorie der Be- obachtungsfehler, S. 141 — 145). Darnach ist die Bestimmung von Q durch Abzählen nahezu -j mal ungenauer als die indirekte Bestimmung aus /i. Wir werden im folgenden in der Regel auf die direkte Bestimmung von q verzichten, schon darum, weil wir in der Regel nur solche Fehler kennen lernen, die die

§ 4. &, n, Q aus endlicher Fehleranzahl. 35

Ausgleichung fordert, welche aber von den wahren Fehlern abweichen. Die Bestimmung von q durch Abzählen an jenen Fehlem würde offenbar deshalb einer noch größern Unsicher- heit unterliegen.

F. Hausdorff hatin dem „Bericht der mathematisch-physischen Klasse der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften" vom G.Mai 1901, S. 164 — 166, darauf hingewiesen, daß man Tinter Voraussetzung des Gaußschen Fehlergesetzes die Präzision durch Abzählen an der geordneten Reihe der Absolutwerte der Fehler wesentlich genauer finden könne als durch direktes Ab- zählen von Q als mittelstem Fehler.

Er findet: das Präzisionsmaß h ist rund das Reziproke des- jenigen Wertes e, der von 16% der beobachteten Fehler über- schritten wird. Da nun Jiq = 0,477 ist, kann man hiermit q leicht berechnen. Die mittlere Unsicherheit ist dann nur noch ^ derjenigen der Bestimmung aus jtt.

Hierzu sei bemerkt, daß es nicht wesentlich ungenauer ist, den Fehler 2q direkt als denjenigen abzuzählen, der von 18^0 der beobachteten Fehler überschritten wird.

Es möge eine kurze Ableitung dieser Sätze hier folgen, ob- wohl das Verfahren den Übelstand hat, daß Abweichungen von der Fehlerverteilung nach dem Gaußschen Gesetz gerade bei den größeren Fehlern häufig sind, wodm-ch die Ermittelung von 2q stark beeinflußt werden kann.

Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Beobachtimgsfehler, absolut genommen, kleiner als x sei, ist im Falle des Gaußschen Fehler- gesetzes

'-'^ "-wf'""'

'ds .

Die Wahrscheinlichkeit, daß bei einer bestimmten Anordnung der Beobachtungen Ji Fehler kleiner als x und l größer als x sind (die Fehler immer als Absolutwerte gedacht), ist dann

11^(1 — h)'.

Gleich demselben Ausdnick, multipliziert mit einem von Je und l abhängenden Zahlenfaktor, ist die Wahrscheinlichkeit U, daß von (Je -\- l) Fehlem irgendwelche h kleiner als x und die andern l größer als x sind. (Czuber, Theorie der Beobachtungsfehler, S. 141.)

36 Erstes Kapitel. Einleitung.

Differenziert man vorstehendes Produkt nach. //, so erkennt man, daß es ein Maximum wird für t( gleich

Ä-

(B)

k + l

Hierzu gehört der Maximalwert Uq von U. Man kann nun V nach dem Taylorschen Satze entwickeln; die ersten Glieder sind:

oder angenähert:

U=U,e-«l(''-"of, mit 2ir„- = -^^i^.

Gehört Xq zu ^<Q, so ist angenähert

y7t

also wird

(C) mit

U= Uf^e-^x^^-^^or'

Diese Gleichung zeigt, daß U beiderseits Uq abnimmt wie beim Gaußschen Fehlergesetz.

Denkt man sich die Beobachtungsreihe sehr viele Male wieder- holt, so gibt JJ für jeden Wert x die relative Häufigkeit der Fälle an, daß gleichzeitig Je Fehler << x und / Fehler > x sind. Im Einzelfalle wird man x als denjenigen Wert Xq ansehen , füi* den U den Maximalwert U^ hat. Damit bestimmt sich h nach (A) und (B) aus der Gleichung

/'■ro

(D) „,=jr'^, = :^Je-rd,.

ü

Man wii'd hierbei Xq in der Mitte des Je ten imd (k -f 1; ten Fehlers annehmen, entsprechend dem symmetrischen Verlauf von JJ zu beiden Seiten von Uq.

Für einen Wert a;, der von Xq um ^ = x — Xq abweicht, ist U kleiner als Uq. Die relative Häufigkeit, die zu ^ gehört, ist proportional JJ : Uq. Die Wahrscheinlichkeit, daß x — Xq zwischen den Grenzen 't, und 'S, -\- d'E, liegt, ist daher

§ 4. ^, ju, p ans endlicher Fehleranzahl. 37

wobei sich C aus der Bedingung bestimmt, daß das hiervon ge- nommene Integral für ^ von — co bis + c» gleich 1 ist.

Das mittlere Quadrat von 'S. = x — Xq im Sinne des mittlem Fehlerquadrats ist 1:2 Hj^ , also gleich

Zu dem Fehler in Xq gehört aber bei Benutzung von (D) ein Fehler in h nach Maßgabe von hx^ = Konst., d. h. dh : h = — dx^: x^.

Das mittlere Fehlerquadrat in der Bestimmung von h aus (D) ist daher gleich

oder wegen (D), wo Uq als Funktion von Je und l gegeben ist, gleich

\^ ) 4(A; + l) r-x,'

Es liegt daher Ji zwischen den mittlem Grenzen

mit

F = " ^"^^5 2- (,/' ^0 xmd /i + ( = >« .

2 h x^

Man erhält hierzu mittels der Tafel für u^, S. 23:

/mo = 0,2 0,4 0,477 0,6 0,8 0,954 1,0 1,2

»0 = 0,223 0,428 0,500 0,604 0,742 0,823 0,843 0,910

F= 1,919 1,287 1,166 1,035 0,919 0,882 0,877 0,891.

Beispiel. Sind gegeben die wahren Fehler für fünf Be- obachtungen derselben Art (Dreiecks winkelsummen):

(1) - 1,37 + 1,77 + 1,04 - 0,81 - 0,75 , so wird

(2) ^ = ± ^^"^ =+ 1,15,

und

f* = + ]/| (1,372 _^ 1^772 ^ 1^04^ ^ 0,812 + 0,752)

(3) '

=+yif = + 1,21.

(3 *,) Ä = ± 0 J07 ^ = ± 0,38 ,

38 Erstes Kapitel. Einleitung.

Für die Annahme III des Fehlergesetzes (vergl. S. 32 j ist der mittlere Fehler in %^ gleich

(2*) fti = + 0,756 ~l^ = + 0,39 ,

oder es liegt -O" zwischen den mittlem Grenzen: (4j •^ = ± (1,15 ± 0,39) , d. i. + 0,76 und + 1,54 . Ferner ist der mittlere Fehler in ju gleich

^^ = + 0,707^'^

oder es liegt ^ zwischen den mittlem Grenzen:

(5) I« = ± (1,21 ± 0,38), d. i. + 0,83 und ± 1,59 . Berechnet mau ft aus •O', so wird nach S. 24:

(6) fi = + (1,44 ± 0,49) , d. i. + 0,95 und ± 1,93 .

Engere Grenzen liefern die Annahmen I und II für das Fehler- gesetz. Xoch engere Grenzen ergeben sich, wenn man aus den £ selbst für die Formeln (9) und (10), S. 30/31, die Verhältnisse /i- : d^- und v^ : fi^ berechnet. Aus [e*] = 15,25 folgt v* = 3,05 . Es wird /r : ^- = 1,11 und v* : ^* = 1,42. Damit wird

0) ^i = -rO,17 und :^ = ±0,18.

Doch sind diese Werte wohl zu klein; die Vorsicht gebietet, die nach dem Fehlergesetz III erhaltenen weiteren Grenzen an- zunehmen.

Der wahrscheinliche Fehler ergibt sich durch Abzählen gleich 1,04;

dagegen berechnet er sich aus ^ (Annahme III, S. 24) zu 0,97

und aus /ti ( „ „ ) zu 0,82.

In dem vorstehenden Beispiel wurde mit Absicht nur eine geringe Anzahl von Fehlern benutzt, um recht augenfällig die Unsicherheit zu zeigen, welche dann den berechneten Maßen der reziproken Genauigkeit anhaftet.

§ 5. Formen der Ausgleichungsaufgabe. 39

§ 5. Verscliiedene Formen der Ausgleichungsaufgabe.

I. Direkte Beobachtimgen. Die Ausgleichung hat die einfachste Form, wenn sogenannte direkte Beobachtungen einer unbekannten Größe gegeben sind. Man versteht darunter, im engern Sinne, wiederholte unmittelbare Beobachtungen einer Größe; im weitern Sinne auch wiederholte mittelbare Be- obachtungen, wenn sie nur immer vollkommen unabhängig voneinander durchgeführt worden sind.

Es seien l^, l.^, /g zum Beispiel die Beobachtungsergebnisse, dann ist unsere Aufgabe, aus ihnen einen Wert x abzuleiten, der dem wahren Werte X möglichst nahe kommt, was durch Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate geschieht.

X nennt man den plausibelsten Wert der Unbekannten. Derselbe weicht von ?j, l^, l^ um Größen A^, Ag, Ag ab; mit diesen müssen die Beobachtimgsergebnisse verbessert werden, damit sie mit x übereinstimmen.

A^, Ag, A3 nennt man die plausibelsten Verbesserungen, auch übrigbleibende Beobachtungsfehler.

Z^ + Aj, /o + Ao, Z3 + A3 heißen die ausgeglichenen Be- obachtungswerte.

Man hat also die Gleichungen:

^1 + ^n ^ ^ li = — li -^ X

(1) /._, -\- X.^ = X oder Ag = — ?2 + •^'

^3 + A3 = a; A3 = - ?3 + .T ,

welche wirFehlergleichuugen nennen wollen.*) Da nun schon

*) Man hat in neuerer Zeit darauf aufmerksam gemacht, daß dieser Ausdruck durch „Verbesserungsgleichungen" ersetzt werden müßte. In der Tat, wenn man die Beobachtungsfehler streng mathematisch wie die Differentiale von Veränderlichen zählt (was auch hier in den vorher- gehenden Paragraphen geschehen ist), so sind auch die X keine Fehler, sondern Fehler mit umgekehrten Vorzeichen. Dennoch möchte ich die Bezeichnung „Fehlergleichungen" nicht aufgeben, da sie sich eingebürgert hat, und da man doch auch die Verbesserungen im weitern Sinne als Fehler auffassen kann.

Ebenso scheint es mir unbedenklich, das Symbol f, das bisher

40 Erstes Kapitel. Einleitung.

eine dieser Gleichiuigen (A = 0 gesetzt) ausreicht zu einer Be- stimmung der Unbekannten, so sind 2 = 3 — 1 der Gleichungen und Beobachtungen überschüssig. Allgemein bei n direkten Beobachtungen sind (n — 1) überschüssige Beobachtungen und Gleichungen vorhanden.

Für den wahren Wert X der Unbekannten und die wahren Verbessei-ungen f der Beobachtungen hat man die Gleichungen

f , = - Z, + X

(2) fo = - /, + X

welche zwar X nicht finden lassen, die sich aber doch auch von Nutzen erweisen werden.

Um Zahlenwerte zu erhalten, sei ein Beispiel gegeben.

Beispiel. Beim Gebrauch der Nivellierinstrumente mit umlegbarem Fernrohr kommt der Einfluß in Frage, den eine Ungleichheit der Ringdurchmesser auf den Winkel zwischen Fern- rohrachse und Libellenachse hat.

Mit Hilfe einer Setzlibelle läßt sich derselbe ermitteln. Liest man die Setzlibelle ab, legt das Ferm-ohr alsdann in den Lagern um und setzt die Libelle in unveränderter Stellung wieder auf, so ist der Ausschlag der Libelle der vierfache Betrag der gesuchten Größe. Um die Änderungen in der Lage des Femrohrträgers während des Umlegens kennen zu lernen, ist es zweckmäßig, noch eine Libelle, die an dem Fernrohrträger befestigt ist, vorher und nachher abzulesen.

So erhielt der Verfasser für ein Stampfe rsches Nivelher- instrument (Nr. 1864 von Starke und Kammerer in Wien, Eigen- tum der Technischen Hochschule in Aachen) u. a. bei einer Mes- sung folgende Libellen ablesungen:

streng mathematisch „Fehler" bezeichnete, von nun ab für die wahren „Verbesserungen" zu benutzen.

Übrigens stammt der Ausdruck Fehlergleichungen von C. F. Gauß selbst. Siehe z. B. Werke V, S. 632 und IX, S. 290.

In seinen Vorlesungen scheint Gauß allerdings auch den Ausdruck „Beobachtungsgleichungen" gebraucht zu haben; vergl. die „Festschrift zur Feier des 150 -jährigen Bestehens der König!. Ges. d. Wiss. zu Göttingen", Berlin 1901 (R. Dedekind, Gauß in seiner Vorlesung über die M. d. kl. Qu.\ S. 49.

§ 5. Formen der Aiisgleichungsaufgabe.

41

Objektivende	j Feste Libelle	Setzlibelle
links rechts	links	rechts
links rechts	8,1 14,15 11,2 10,95	14,1 15,9	7,15 4,9

(i:

Ist nun ein Libellenteil der Setzlibelle gleich o Bogen Sekunden und ein Libellenteil der festen Libelle gleich u Bogensekunden, so folgt zunächst der Stand der Setzlibelle reduziert auf den Stand null der festen Libelle für

Objektivende links gleich 3,48 o + 3,03«

„ rechts „ 5,50o — 0,13«

und daraus

Obj. l

:^^^ = - 2,02-^ + 3,16:

Nun ist nach andern Bestimmungen

0 = 5",93 und u = 5",40

Obj. l — Obj. r

Man hat daher

(2)

+ 1",27,

Ist die Visierachse zentriert und die Setzlibelle als solche be- richtigt, so ist hiernach der Winkel zwischen Libellenachse und Visierachse gleich + l",27 und zwar konvergieren beide Achsen gegen das Okularende des Fernrohrs hin.

Im ganzen wm-den 16 Bestimmungen dieser Art gemacht und folgende Beobachtungswerte erhalten.

(3)

Die Fehlergleichungen sind nun z. B. für den ersten Tag:

k^ = — 1,27 + X

A, = + 0,78 + X (4)

^ ^ ^3 = - 0,11 -h X

A4 = + 0,71 +a;, und entsprechend weiter für die andern Tage.

h = + 1';27	^5 = + o';o3	Zg = — 0';90	^13 = - o';6o
1.2 = - 0,78	^6 = + 0,07	l,, = + 0,20	/i4 = - 0,90
?3 = + 0,ll	l, == + 0,08	l,, = + 0,96	l,, = - 0,17
?, = -0,71	ls- + 0,56	^12 = + 0,86	Zi6 = -0,03.
am 10. Febr.	am 25. Febr.	am 28. F(	3br. 1871.

42 Erstes Kapitel. Einleitung.

Bei dieser einfachen Aufgabe .scheint es keinem Zweifel zu unterliegen, daß als plausibelster Wert x das arithmetische Mittel der Messungsergebnisse genommen werden muß. In der Tat ver- langt die M. d. kl. Qu. für x das ai-ithmetische Mittel. Für den ersten Tag ergibt sich daher:

(5) , = +i^^-'''Y "'"""'" - - 0",03 .

Damit wird

Ai = — 1,30

A, = 4- 0,75 ^'^ A3 = -0,14 M = 2,73.

A, = + 0,68;

Der zweite Tag liefert ic = -f 0 ",18, der dritte x = — 0",07; im Gesamtmittel der 16 Werte l wird erhalten:

(7) a; = + 0",00.

Hierzu gehören somit die negativen \ als Verbesserungen A:

(7*) A = -/,

so daß man in (3) nur die Vorzeichen zu wechseln braucht, um die A zu erhalten. Es wird jetzt

(8) [AA] = 6,77,

und diese Quadratsumme ist kleiner als für irgend einen andern Wert von x.

Wären die A die wahren Fehler £, so hätten wii* als mittlem zu befürchtenden Fehler einer Messung:

(9) ±]/i?' d-i-±0",65.

Indessen ist dies nur die mittlere Abweichung vom arithmetischen Mittel.

Dagegen -ivird sich später finden, daß man zu setzen hat für den mittlem zu befürchtenden Beobachtxmgsfehler (mittlere zu be- fürchtende Abweichung von der Wahrheit):

(9*) ^ = ±l/i?^' <^-i- ±0".6'-

§ 5. Formen der Ausgleichungsaufgabe. 43

fi wird also gerade so bestimmt, als wäre [AA] aus so vielen wahren Fehlern s abgeleitet, als überschüssige Messungen vor- handen sind.

Die eingehendere Behandlung dieses Beispiels wie über- haupt der direkten Beobachtungen erfolgt im zweiten Kapitel. Insbesondere wird dort auch die Genauigkeit der Mittelwerte durch Bildung des mittlem Fehlers abgeleitet werden.

II. Vermittelnde Beobachtungen werden solche Messungen genannt, welche sich auf Größen beziehen, die Funktionen eines und desselben Systems von Unbekannten sind, um deren Bestimmung es sich handelt. Zur Erläuterung diene folgendes Beispiel.

'■&

Beispiel. Auf dem Standpunkte D' seines Dreiecksnetzes bei Speyer wurden von Prof. Scbwerd zwäschen den Objekten AB WHN durch das Repetitiousverfahren folgende Winkel gemessen:*) BA 90 Repetitionen: 19" 2o bd'\i2 -\- X^ BW 80 „ 34 18 43,61 -f- ;..

AW 70 „ 14 52 44,33 -\- 1^

, ^ HW 20 „ 15 34 58,80 + ;i^

BH 20 „ 18 43 45,60 + A^

JV^ 40 „ 12 26 24,65 -f A^

BN 60 „ 6 59 34,51 +L

NH 20 „ 11 44 11,60 -\- }.^ .

Den Beobachtungswerten sind hierbei gleich die noch unbekannten plausibelsten Verbesserungen beigefügt worden.

Bezeichnen wir nun die plausibelsten Werte der Winkel

BN mit X

(2)

BH	V	y
BA	V	Z
BW	V	^

so sind alle gemessenen Winkel teils Beobachtungen von ir, ^, z^ t selbst, teils von Summen und Differenzen derselben. Drückt man jetzt alle in (l) gegebenen plausibelsten Winkelwerte durch x, y, z, t aus, so erhält man folgende Fehlergleichungen:

*) Friedr. M. Schwerd, Die kleine Spejerer Basis. Speyer 1822, S. 43 u. 44.

44

Erstes Kapitel. Einleitung.

(3)

• • +*

-y ■ +t + y ■ ■

ij = — 190 25' 59';42

i. = — 34 18 43,61

Äg = — 14 52 44,33

^4 = — 15 24 58,80

^5 = — 18 43 45,G0

h = — 12 2G 24,65 —x- -\- z ■

i, = — 6 59 34,51 -\-x ■

^8 = — 11 44 11,60 —x-\-y-

Gehen wir von den direkt beobachteten Werten der Unbekannten aus, so können wir ansetzen:

X = 6" 59' 34';51 + 5

^ == 18 43 45,60 + ri

z = 19 25 59,42 + ^

f = 34 18 43,61 -^ T,

wo den direkten Beobachtungswerten noch Verbesserungen |, ?;, i^, x beigefügt sind. Um nämlich die allen Messungen möglichst ent- sprechenden Werte der vier Unbekannten zu erhalten, werden wir die aus den direkten Beobachtungen für dieselben abgeleiteten Werte um kleine Beträge abändern müssen. Die Anzahl der über- schüssigen Messungen ist offenbar 8 — 4^4.

Durch Einführung der Werte (4) in (3 l ergibt sich:

(4)

Ai = 0 ;oo	• • +t ■
i, = 0,00	■ + t
A3 = - 0,14	• • -^+r
A, = - 0,79	• — n ■ + T
A, = 0,00	■ +n • ■
A, = + 0,26 -	-1 • +^ ■

(5)

A, = 0,00 + I • •

-^8 = — <^r^i —'^ + n-

Aus diesen acht Fehlergleichungen sind die plausibelsten Werte für §, rj, ^, T abzuleiten. Dabei ist zu berücksichtigen, daß den Beobachtungswei-ten ungleiche Eepetitionszahlen entsprechen, daher auch ihre Genauigkeit eine verschiedene ist. Zunächst wollen vdr aber davon absehen und gleiche Genauigkeit annehmen, um die Aufgabe zu vereinfachen. Indessen wissen wir auch trotz dieser Vereinfachung ohne weiteres noch keinen Weg zu ihrer Lösung

§ 5. Formen der Ausgleichungsaufgabe. 45

einzuschlagen: das Gefühl, das uns bei dem Beispiel auf Seite 42 leitete, läßt uns jetzt bei der größern Verwicklung der Aufgabe im Stich.

Die Methode der kleinsten Quadrate wird uns nun zeigen, daß in folgender Weise vorzugehen ist.

a. Man multipliziere die rechte Seite jeder Fehlergleichung mit dem Koeffizienten von ^, addiere die Produkte und setze die Summe gleich null:

-0,26+ I • — i •

0,00+ a • • •

+ 0.51+ a-Tj • •

(a) 0 = + 0,25 + 3i-7j-^ • .

b. Man wiederhole dasselbe in bezug auf die Koeffizienten von rj:

(b)

+ 0,79	1	n
0,00	• +	n
— 0,51 -	-a +	V

(c)

0 = + 0,28 -	-1 + 3^ • -	T .
c. Ebenso für ^:
0,00	1 1- • -r s •
+ 0,14	• • + :-	■ X
+ 0,26 -	-^ • + ^ •
0 = + 0,40 -	-a ■ +3?-	- X .
d. Ebenso füi- t:
0,00	. . . +	X
— 0,14	• ■ -J +	X
— 0,79	■ -n ■ +	X

(d) 0 = — 0,93 • — 7]— J+3t.

Dadurch erhält man im ganzen zur Bestimmung der vier Unbekannten ^, jj, ^, t die vier Gleichungen (a), (b), (c), (d):

0 = + 0,25 + 3;- >;- t, ■ 0 = + 0,28 — § + 3)/ • — T ^^■^ 0 = +0+0— 'i ■ +3^— T

0 = — 0,93 • — >?— ?+3t.

Addiert man diese vier Gleichungen, so folgt

0 = 5 + J/ + ? + t.

46 Erstes Kapitel. Einleitung.

Addiert man die zweite und dritte Gleichung, so wird

0 = + 0,68 - 2^ + 3t? + 3^ - 2r ,

also infolge der vorhergehenden Gleichung

0 = + 0,68 + 5ri+ .H oder

0 = + 0,136 + >? + ^

Subtrahiert man die dritte Gleichung von der zweiten und divi- diert alsdann durch 3, so erhält man

0 = — 0,040 + 1? — t Die letzten beiden Gleichungen ergeben:

rj = - 0",048 , J = — 0",088 .

(7) Damit ist weiter

^ = -0",129, r=-f 0",265.

Xach (4) sind daher die plausibelsten Werte der Unbekannten: X = 6° 59' 34';381 _y = 18 43 45,552 ^^^ z = 19 25 59,332

< = 34 18 43,875.

Die plausibelsten Verbesserungen X werden nach (b) und (7):

i, = — 0';088 h = — 0';0-48

i„ = + 0,265 h = + 0,-^01

(9) ^3 = + 0,213 il^ = — 0,129

l^ = — 0,477 ^8 = — 0,429 ;

[A;.] = 0,6445.

Die ausgeglichenen Beobachtungswerte sind mithin nach (l) und (9):

BA 19» 25' 59';332 BH 18» 43' 45';552

BW 34 18 43,875 ^.4 12 26 24,951

^ ^ AW 14 52 44,543 BN 6 59 34,381

HW lo 34 58,323 NH 11 44 11,1T1,

welche sich nicht mehr widersprechen, indem beispielsweise die Zahlenwerte für BA und A W zusammen genau den Zahlen- wert B W ergeben.

Um ju. aus [AA] zu berechnen, ist zu bedenken, daß die l die

§ 5. Formen der Ausgleichungsaufgabe. 47

wahren Beobachtuugsfehler selbst nicht sind. Nach später abzu- leitenden Formeln wird

(11) , - ± Yf^ = ± 0",401 .

fi ward gerade so gebildet, als sei [XI] avis so vielen wahren Fehlern gebildet, als überschüssige Messungen vorhanden sind.

Die Fehlergleichungen für vermittelnde Beobachtungen haben im allgemeinen folgende Form:

Ai = — ?i + a^x -\- h^y + c^s; -\

^2 = — ^2 + %^ + hy + ^2^ ~\

(3) L, = — /g + «gj; + h.y + Cg^ H

K = - h + ('n^ + Ky + ''n^ + ■ • •

für n Beobachtungswerte l und m Unbekannte x,y,2, — Die Koeffizienten a, h,c,.. . sind gegebene Größen, welche als fehler- frei vorausgesetzt werden.

Insofern man jede der Formen ax -\-hy -\- es -\ auch

als speziellen Wert einer Funktion der Variablen a,h, c,.. . und der Konstanten x,y,z,... ansehen kann, ist man berechtigt, x,y,z,... die durch vermittelnde Beobachtungen zu bestimmenden Konstauten der Aufgabe zu nennen. Sie werden auch Elemente genannt: mau spricht dann von Elementen- Ausgleichung.

Eine Ausgieichungsaufgabe liegt nur dann vor, wenn die Anzahl n der Gleichungen (3 1 größer ist als die Anzahl ni der Unbekannten, mit andern Worten: solange die Anzahl der überschüssigen Messungen n — m > null ist.

Für n = m ist die Aufgabe bestimmt und in diesem Falle geben die Gleichungen (3) die Unbekannten, indem man die A null setzt und in gewöhnlicher Weise die n Gleichungen mit n Unbekannten auflöst. Da hierbei jede Kontrolle fehlt, so gehen die Beobachtungsfehler der m Messungsergebnisse in die Werte der n Unbekannten voll ein.

Die Auftrabe ist nur unvollständig bestimmt für n<,m.

Eine unvollständige Bestimmung kann auch auftreten in den beiden vorhergehenden Fällen bei besonderer Gestaltung der Koeffizientensysteme a, h, c, . . .. Im Falle n = m ist Be-

48 Erstes Kapitel. Einleitung.

dingung der Yollständigen Bestimmung, daß die Determinante des Koeffizientensystems nicht verschwindet. In den meisten praktischen Fällen wird man auch ohne Bildung des Wertes der Determinante erkennen können, ob eine vollständige Be- stimmung vorliegt.

Im Falle n > m ist Bedingung einer vollständigen Bestimmung, daß unter den n Fehlergleichungen sich wenigstens ein System von m solchen auswählen läßt, die mit /l = 0 eine vollständige Bestimmung geben.

Den Fehlergleichungen (3) für die plausibelsten Werte der Unbekannten und der Fehler entsprechen ebenso viele Gleichungen zwischen den wahren Werten der Unbekannten und den wahren Werten der Verbesserungen;

£i = — ?! + «1 X -|- J\ Y -{- c^Z -j- ■

«2 = — ^a + «2 -^ + ^2 ^' + ^2-^ + ■

(4) £3 = - Zg + «3 X + ^^3 r+ C^Z + ■

Obgleich die m Unbekannten X, Y, Z, ■ ■• und die a sich nicht finden lassen, so gibt doch die Methode der kleinsten Quadrate unter gewissen Voraussetzuugen über das Fehlergesetz q){s) ein Mittel an die Hand, sich diesen Größen möglichst zu nähern. Sie lehrt auch aus den A den mittlem zu befürchten- den Wert der s finden (vergl. z. B. TU) im Beispiel auf S. 47 1, ebenso wie die mittlem zu befürchtenden Abweichungen zwischen x, y, z, ■ ■ ■ und X, Y, Z, • • ■ .

Die eingehendere Behandlung der Ausgleichung vermitteln- der Beobachtungen erfolgt im dritten Kapitel.

III. Bedingte Beobaehtuiigen. Man spricht von bedingten Beobachtungen, wenn zwischen den wahren Werten der Be- obachtungsgrößen Bedingungsgleichungen bestehen, die auch von ihren ausgeglichenen Werten streng zu erfüllen sind. Wir nehmen zur Erläuterung wieder ein einfaches Beispiel vor.

Beispiel. Prof. Seh ward erhielt in dem Dreieck DHJ seines Dreiecksnetzes (Die kleine Speyerer Basis, S. 48, 49, 55 und 56) die Winkel:

§ 5. Formen der Ausgleichungsaufgabe. 49

H: 81'^ 21' 43^36 70-mal repetiert

(1) /: 25 16 28,85 101 „ D: 73 21 46,35 85 „

Die Länge der Seite HD ist 4962,8282 m; die theoretische Winkelsmnine des Dreiecks wird mithin schon merkbar von 180^ abweichen. Den sphärischen Exzeß des Dreiecks berechnen wir nach der Formel: /n\ Ol" Ti o • Ol Inhalt des Dreiecks ^^^ ^^, _

(2) Sphar. Exzeß m Sek. = Q^^drat des Erdradius ' 206 265 ,

worin log Inhalt = 7,4365 für Quadratmeter ist, und als Erd- radius der Wert uum log 6,8046 (streng gültig für 45*^ geo- graphische Breite und ein mittleres Azimut) genommen werden darf; also

(2*) log Exzeß = 7,4365 — 8,2948; Exzeß = 0",139.

Die theoretische Winkelsunmie ist daher: 180^ O' 0^139;

dagegen hat man aus (l) für die beobachtete: 179 59 58,56;

Unterschied: l'^579.

Nennt man die 3 Beobachtungswerte l^, l^^ l^ und ihre plausibelsten Verbesserungen A^, A«, Ag, so hat man hiernach:

180° 0' 0",139 = {l, + Aj + (l, -f- l,) -}- {l^ + A3)

= 179" 59' 58",56 + A^ + A, + A3;

mithin wird die Bedingungsgleichung für die Fehler:

(3) 0 = — 1",579 + A^ -f A, + A3 .

Wenn wir nun die drei Beobachtungen als gleich genau voraussetzen, ohne Rücksicht auf die verschiedenen Kepetitions- zahlen, so ist kein Grund vorhanden, die A verschieden anzunehmen; wir setzen daher

(4) ^ A, = A, = A3 = + ^ = 0",526,

was mit den Forderungen der Methode der kleinsten Quadrate übereinstimmt.

Die ausgeglichenen Beobachtungswerte sind:

81° 21' 43';886

(5) 25 16 29,376 73 21 46,876

180 Ö 0,138.

Helmert, Auagleicliungsrechnung. 2. Aufl. 4

50 Erstes Kapitel. Einleitung.

Niclit SO einfach wird die Lösung bei Berücksichtigung der ungleichen Genauigkeit der Messungsergehnisse / oder in Fällen, wo mehr als eine Bedingungsgleichung auftritt. Darauf gehen wir jetzt nicht weiter ein, sondern schreiben nur noch die allgemeine Form auf, unter welcher sich die Aufgabe III darbietet.

eien

, l^ die Beobachtungswerte, , , f ,^ ihre wahren Verbesserungen, , A„ ihre plausibelsten Verbesserungen,

und es sollen die n wahren Werte il + i) die 6 Bedingungs- gleichungen :

+ %Qn + O

Es	seien
h,	'2? kj
h,	^2 ' ^3 j
h,	L2, A3,

0 = i^ + IhQi + «i) + Ihik + h) +

10) 0 = go + 'h(k + ^1) + I-Ah + h) +

0 = ''0 + h(k + ^i) + ^2 '^2 + h) +

(Anzahl = <?)

erfüllen, worin die Koeffizienten p, q, r, • • ■ gegebene Zahlen bezeichnen. Denken wir uns zunächst die Ausdrücke

(6) ««'•2 = 2o + lih + ?2^2 + H qj„

^•3 = >"o+ '-i^i + ^2^2 + ^- *'Jn

(Anzahl = (?)

berechnet, so nehmen die Bedingungsgleichungen die Form an:

0 = w\-^p,e^-hp,£2-^ r p^£„

(7) 0 = «62 + 2i«i - (loj.2 ^ r q„^„

0 = ^^•3 + ri£i + >2f2 H K '•„«„

(Anzahl = (?)

Die wahren Verbesserungen f kann man nur finden für 6 = n: doch hat man in diesem FaUe keine Ausgleichungs- aufgabe mehr, sondern die bestimmte Aufgabe, aus n Gleichungen

§ 5. Formen der Ausgleichungsaufgabe. 51

n Unbekannte zu ermitteln, wobei der Umstand, daß schon Beobachtungswerte l für diese vorliegen, bedeutungslos wird.

Für 6 > n gibt die Aufgabe im allgemeinen zu viel Be- dingungen, die sich nicht gleichzeitig erfüllen lassen.

Uns interessiert ausschließlich der Fall 6 <.n. Da man mittels der 6 Gleichungen (5), in denen für den Augenblick die f irgend ein System von Verbesserungen bezeichnen mögen, immer 6 der Werte (J + e) durch die n — 6 andern ausdrücken kann, so sind 6 überschüssige Beobachtungen vorhanden.

Die Methode der kleinsten Quadrate zeigt nun, wie man ein System von Verbesserungen A finden kann, die die Gleichungen

0 = u\+ Pi Ai + p^K + • • • + PnK

(8) 0= w^-\- q^k^ + q^K + \- q^K

0 = u\ + r^Ai + rgAa + 1- r^l^

( Anzahl = (?)

erfüllen und die zugleich als die plausibelsten erscheinen. Die eingehendere Behandlung vorstehender Aufgabe erfolgt im vierten Kapitel.

IV. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsglei- chungen. Eine andere für die Geodäsie wichtige Form der Ausgleichungsaufgabe entsteht aus der Verbindung vermitteln- der Beobachtungen mit einer Anzahl Bedingungsgleichungen, die nicht zwischen den Beobachtungswerten ^, sondern zwischen den zu bestimmenden Elementen der Fehlergleichungen bestehen.

Mit Benutzung des bei Form 11, S. 47, Gegebenen haben wir somit die Gleichungen

Ai = — ^1 + a^x + }\y Ar c^^ +

A, = — /g + ('2^ + hy + ^2^ +

(9) A3 = — ^3 4- «3^ + hy + C30 +

K=-^n^ f^n^ + Ky + '^n^ +

[fn Unbekannte)

4*

52 Erstes Kapitel. Einleitung.

0 = i^ + ih^ +ihy + Ih^ ^ — I

(9*) 0 = q^j^ q^x + q^ij + q^z -{- ■ ■ -, im Unbekannte)

(<y Bedingungsgleichungeu) zur Lösung der Aufgabe. Dabei ist notwendige Voraussetzung,

daß

6 < m und n > m — ö

oder zusammengefaßt

(10) n > )n — 6>0 ist.

Ist nämlich 6<im, so lassen sich aus den a Bedingungs- gleichungen 6 von den Unbekannten durch die ni — 6 andern ausdrücken imd damit aus den n Fehlergleichungen eliminieren, so daß die n. Beobachtungen m — 6 Unbekannte zu bestimmen haben, weshalb für eine Ausgleichungsaufgabe n ^ m — <j sein muß. Die Anzahl der überschüssigen Messungen ist « — (w — (j) = n -\- 6 — m.

Im Falle n = m — (? würde sich eine bestimmte Losung (mit l = null) ergeben, dagegen würde u < «j — ö eine un- vollständige Aufgabe liefern. Die Fälle 6 > m sind ohne praktische Bedeutung.

Die Aufo-abe IV kommt häutig bei der Ausgleichimcr von Dreiecksnetzen vor. Sind hier z. B. die Winkel auf den Netz- punkten wie im Beispiel auf S. 43 u. f. gemessen, so treten im Netze die verschiedenen Systeme x,y,z, ... der Unbekannten noch zu Bedingungsgleichungen zusammen, die aus den geo- metrischen Beziehungen im Netze hervoro-ehen.

V. Bedingte Beobachtiiugen mit Uiibekauiiten. Die bisher erwähnten Formen der Ausgieichungsaufgabe können als Spezial- fälle der folgenden allgemeinern Aufgabe betrachtet werden. Es sind die Verbesserungen X aus den Gleichungen zu bestimmen:

0 = iv^ + ^1 ^1 + q.2 ^^2 H 1- flnK + a-2^-\- hy +

(11) 0 = tv^ + r^ yli + »-2 A2 H h *-„Ä„ ^ a^x + \ij +

(Anzahl = (S) ,

^ 9

§ 5. Formen der Ausgleichungsaufgabe. 53

■worin die ic und die Koeffizienten p, q, r, ■ ■ •, a, h, ■ ■ ■ die frühere Bedeutung haben. Eine Ausgleichung ist nur für (?> m möglich; 6 = »i gibt eine bestimmte Aufgabe mit A = null, 6 <" iH eine unvollständige Aufgabe. Ist nun 6 > m, so kann man die ni Unbekannten eliminieren, und es bleiben dann 6 — in Bedinomngsgleichungen mit n Verbesserungen l\ daher muß für eine x^usgleichung

« > (? — m sein, also mit der vorigen Ungleichung verbimden: (12) ii> 6 — m>0.

Auf die Aufgabe Y stößt man z. B., wenn in einem Dreiecks- netz die nach dem Repetitions verfahren gemessenen Winkel alle um eine Konstante zu klein sind, die nicht durch Messen der Sui^plementwinkel eliminiert ist. Die Konstante erscheint dann als Unbekannte x. Auf die Aufgabe V wird man auch ge- führt, wenn man für die Ausgleichung eines Rückwärtseinschnitts Bedingimgsgleichungen benutzt; in diesem Falle tritt die Orientierungsgröße auf dem Beobachtungspunkte als Unbe- kannte auf.

Die Aufgaben III, IV und V, die im vierten Kapitel eingehend behandelt werden, haben das Gemeinsame, daß bei der direkten Lösung Hilfsgrößen eingehen, die man Korrelaten nennt. Man kann daher diese Fälle als Korrelatenauso-leichuns zu- sammenfassen.

VI. (»emeinsame Form der Aus^leichuiigsauf^abeii. Die

erwähnten 5 Formen lassen sich sowohl auf die Form II wie auf die Form III reduzieren; in welcher Gestalt man die Aus- gleichung ausführt, hängt von der Bequemlichkeit der Rech- nung ab. Auf die Endergebnisse hat es selbstredend keinen Einfluß, ob nach der einen oder andern Form gerechnet wird, da die Methode der kleinsten Quadrate den von den Beobach- tungswerten zu erfüllenden Beziehungen eine Bedingung hinzu- fügt, durch welche die Aufgabe eine bestimmte wird.

VIT. Xichtliueare Beziehniigen. Wir haben im Vorher- gehenden allen Beziehungen eine lineare Form gegeben. Es genügt dies, da andere Formen darauf zurückgeführt werden

54 Erstes Kapitel. Einleitung.

können; ja es führt der Rechnungsgang, welcher für lineare Formen bequem ist, in seiner Anwendung auf nichtlineare Formen, wenigstens in meist ausreichender Annäherung, doch auf lineare Gleichungen.

VIII. Funktionen direkt beobachteter Größen. Ehe wir

auf die erwähnten Ausgleichungsaufgaben näher eingehen, ist es notwendig, einen Fall zu betrachten, der als Umkehrung der Aufgabe II angesehen werden kann. Wurden dort mittels direkter Beobachtungen Funktionswerte unbekannter Konstanten (Elemente) bestimmt, so werden hier unbekannte Funktionswerte mittels direkter Beobachtung von Konstanten (Elementen) ermittelt. Zwar gibt dies keine Ausgleichung, aber doch eine Aufgabe, die sich immer an Ausgleichungen anschließt, nämlich die Ermittelung der Genauigkeit des be- rechneten Funktion.s wertes aus der Unsicherheit der beobachteten Größen. Wir wenden uns zunächst dieser Aufgabe zu und setzen dabei voraus, daß die Beobachtungen unabhängig von- einander erfolgt sind, die Beobachtungswerte also nicht etwa durch Rechnung aus teilweise denselben Beobachtungsdaten abgeleitet wurdeu.

§ 6. Mittlerer Fehler von Funktionen unabhängig voneinander bestimmter Größen.

Es wird hier vorausgesetzt, daß das Fehlergesetz ^{e) entweder eine gerade Funktion von s ist, oder daß wenigstens die Gaußsche Bedingung (27), S. 17, erfüllt wird.

I. Vielfaches eines ßeobachtungswertes. Es sei wieder l der Beobachtuugswert und

(1) /•=«r.

worin u ein gegebener Zahlenkoeffizient ist: dann entspricht einem Fehler e in l ein Fehler c:e in f. Es ist daher das Quadrat des mittlem Fehlers in f:

(2) ^jT = a'-^^r und ix. = cm .

Denn denken wir uns die Beobachtung / unendlich viele

§ 6. Funktionen unabhängiger Größen. 55

Male wiederholt und den Durehsclinittswert der entsprechen- den a^f" gebildet, so ist das einerseits ^y' und andrerseits a^ix^. Ist beispielsweise

(3) /■=3/, so ergibt sich

(4) Uj- = ou .

II. Lineare Funktion unabhängiger Beobachtungen.

Es sei

(5) f= aJi + «2?2 + <^3^3 + • • •

eine lineare Funktion der unabhängig voneinander ermittelten Beobachtungswerte Z^, l^, l^, ■■■, wobei u^, a^, a.., ... gegebene Zahlenkoefhzienten bedeuten. Der wahre Wert von f, den wir mit F bezeichnen wollen, ergibt sich aus (5) durch Einführung der verbesserten Beobachtungswerte l -\- £\ also wird

womit für den wahren Felüer in /' folgt:

(6) F — f= CC^ f, + «2^2 + «afg + • • • .

Um den mittlem Feher in /' zu erhalten, bilden wir zu- nächst

(7) {F-tr = a,h,' + «o^V + ^,'h' + --- + B,

worin B die Summe der doppelten Produkte je zweier ae mit verschiedenen Indices vorstellt. Denken wir uns nun die Be- obachtungsgruppe \, U, l^, . . . unendlich viele Male wiederholt, jedesmal {F — /')- gebildet und dann den Durchschnitt der Ausdrücke (7) genommen, so ei'halten wir links das Quadrat des mittlem Fehlers in /' und rechts die durchschnittlichen Werte der einzelnen Glieder. Der durch scbnittliche Wert jedes der Glieder von der Form a^^f," ist aber ocfu^^, wenn ^.' der mittlere Wert von ef, d. i. das mittlere Fehlerquadrat von l- ist. Der Durchschnittswert jedes der Glieder von R ist ferner nach VI, S. 21, gleich null, da wir ein gerades Fehlergesetz oder wenigstens die Erfüllung der Gaußschen Bedingung vorausgesetzt haben. Man hat daher für das mittlere Fehler- quadrat der Bestimmung von f aus (5)

/0\ ^ 2 -^ I 2 2 I 2 2 I

(8) u/ = «i-Uj- + «2 ,"2 + «3 ."3 H ?

56 Erstes Kapitel. Einleitung,

oder abgekürzt geschrieben:

(8*) u^ = +y[«V]-

Nimmt man zum Beispiel

(9) f=h-^l, + k,

."i = ."^2 = i^'a = M ; so ist

(9*) ,u^ = .a]/3.

Nicbt ohne Interesse ist es, dieses Ergebnis mit dem von

S. 55 für f = ijl zu vergleichen.

Sind die Werte l^, I.2, usw. nicht unabhängig voneinander ermittelt, so gilt Formel (8) im allgemeinen nicht mehr. Daß aber in besonderen Fällen die Gültigkeit dieser Formel er- halten bleibt, wird im 3. Kapitel, § 11, bei Behandlung der „freien" Funktionen gezeigt werden.

Es sei noch darauf hingewiesen, daß der wahre Fehler F — f = ^f der Funktion f ein gerades Fehlergesetz befolgt, wenn die £j^, £2? ^.\-> • ■ • ^^'^ solches befolgen. Dies zeigt der Anblick von (6) sofoii. Demgemäß hat auch ,Uy das Vorzeichen + zu er- halten.

Ist (p{£) für die fj, fg: ^35 • • • ^^^ Gaußsche Gesetz, so wird auch das Fehlergesetz für tf das Gaußsche, wie sich leicht zeigen läßt. Dieses tritt sogar näherungsweise auch dann ein, wenn das Fehlergesetz der Ej, £3, £3, ... eine andere gerade Funktion ist, falls die a untereinander von der Gleichheit nicht zu sehr entfei-nt sind und die Anzahl der Glieder rechter Hand in (6) groß ist. (Vergl. hierzu V, S. 13 u. f.)

Beispiel. Fortsetzung von S. 42. Wü- untersuchen den Einfluß der Ablesefehler an den Libellen auf x. Werden die Ablesungen an beiden Libellen mit 0 bezw. U bezeichnet, so ist in Sekunden:

._ 0 \lOl-Or\ (Ol - Or\ \

Obj. l ^ " ^Obj.r J

Der mittlere Fehler einer Ablesung 0 oder TJ sei in Skalenteilen gleich ft, dann ist

(11) .«/=C^'+^i')c^ ..-"iV^Fv^.

§ 6. Funktionen unabhängiger Größen. 57

Da 0 = 5",93, n = 5",40 ist, so wird ^^ in Sekunden gleich. 2 fi in Skalenteilen. Da ft ferner + 0,1 kaum überschreiten dürfte, so wäre damit ^^= + 0",2. Aus (9*) auf S. 42 folgt aber + 0",67. Es müssen daher noch andere Fehlerursachen vorhanden sein. Als solche treten auf l) kleine Unregelmäßigkeiten der Ringe, Lager und Libellenfüße: das Fernrohr wurde von Versuch zu Versuch verschiedentlich um 180** oder o60" um seine Achse gedreht; 2) Staubteilchen: 0,001 mm gibt bei der geringen Entfernung der beiden Einge voneinander (die weniger als 200 mm beträgt) schon mehr als 0",5 in a'.

Beispiel. Fehler der Längenmessung.

Ist die Länge eines Längenmessers (Meßband, Meßdraht, Meß- stange usw.) gleich l und die Länge der gemessenen Linie L = nl^ wo wir der Einfachheit halber n als ganze Zahl ansehen, so wird das Messungsergebnis behaftet sein mit den sämtlichen Fehlern, welche den n Lagen des Längenmessers entsprechen. Bezeichnen wir mit £^ , .... £„ die Verbesserungen der noiuinellen Angaben zu den wahren Werten, so wird

(1) i = ?! + /o + ••• + ?„ + £l +% + ••• + £„,

worin sehr nahe 'i ^ ^2 ^^ ' " ' ^^ ^n ^^ ' ^^^•

Genügt nun das Vorkommen der e der Bedingung g>{-\- s) = (p{ — e), so kann man den mittlem Fehler von L nach (8*) bilden. Dieser ergibt sich zu

(2) fi^ =,ay« = ft]/y,

wobei ft den mittlem Fehler der l bezeichnet.

Wenn innerhalb gewisser Grenzen der Länge des Längen- messers fi sich nicht ändert, so ist es hiemach am vorteilhaftesten, den Längenmesser so lang wie möglich zu nehmen, weil alsdann für dieselbe zu messende Länge L der Faktor yn in (2) am kleinsten wii'd.

Diese Bemerkung gilt auch noch dann, wenn die e der obigen Voraussetzimg nicht genügen. Sind die s zum Beispiel vorherrschend positiv, aber unabhängig von der Länge des Längenmessers, so er- kennt man ohne weiteres, daß die Summe der e in (l) mit der Anzahl derselben im allgemeinen wachsen muß. '

In der Tat sind die e in vielen Fällen vorherrschend positiv oder vorherrschend negativ.

58 Erstes Kapitel. Einleitung.

Eine Läugeamessung wird nämlich fehlerhaft:

1) wegen der Abweichung der nominellen Länge der Längen- messer bei einer gewissen Temperatur von der wahren Länge;

2) wegen fehlerhafter Berichtigung der gemessenen Länge infolge Temperatur, Neigung und Einfluchtung, sowie unter Um- ständen infolge Feuchtigkeit und Verbiegung der Längenmesser;

3) wegen fehlerhafter Verbindung der aufeinander folgenden Lagen der Längenmesser und wegen mangelhafter Bodenfestigkeit.

Die erste Ursache hat einen konstanten Fehler zur Folge, der proportional der Länge L wächst.

Die Ursachen 2) geben leicht Veranlassung zu regelmäßigen Fehlem und zu einseitig wirkenden zufälligen Fehlem. Was zu- nächst die Korrektion wegen Temperatur anbelangt fdie überhaupt €rst für feinere Messungen notwendig wird), so ist dazu eine ge- naue Kenntnis des Temperaturkoeffizienten und der Temperatur des Längenmessers nötig. Ein Fehler im Temperaturkoeffizienten gibt einen regelmäßigen Fehler; es gelingt jedoch immer, diesen Koeffizienten so genau zu ermitteln, daß seine Unsicherheit nicht in Betracht kommt. Schwieriger ist es, die jeweilige Temperatur der Längenmesser zu ermitteln, weil die Lufttempei-atur und die strahlende Wärme eine fortwährende Änderung derselben bewirken. Den entstehenden regelmäßigen Fehler eliminiert man größtenteils durch Messung bei steigender und bei fallender Temperatur, oder man berechnet ihn nach Maßgabe von Laboratoriumsversuchen.

Um den Fehler überhaupt zu verkleinem, hat man ver- schiedene Konstruktionen der Längenmesser ausgeführt. Besonders wertvoll ist die in neuerer Zeit erfolgte Ei-findung der Nickel- stahllegierung Invar (36"q Xi), deren Ausdehnungskoeffizient schon auf 0,o. 10"*' herabgedi'ückt worden ist.

Während also hierdurch die Möglichkeit gegeben ist, den Temperaturfehler bei Metallstäben und Metalldrähten fast ganz zu beseitigen, bleibt bei Holzlatten der Einfluß der Temperatur, der sich hier noch mit dem der Feuchtigkeit der Luft verbindet, als Ursache von regelmäßigen Fehlem.

Wird dem Längenmesser eine horizontale Lage in der Fluchtungsebene, d. h. der Vertikalebene der beiden festen Punkte, zwischen denen gemessen wird, gegeben, so wirkt jede Abweichung von der horizontalen Lage sowie von der Fluchtungs- ebene immer in demselben Sinne auf fehlerhafte Bestimmung der Länge, indem die Projektionen des fehlerhaft gerichteten

§ 6. Funktionen unabhängiger Größen. 59

Läugenmessers auf deu Horizont und auf die Vertikalebene kleiner sind, als die in Rechnung gezogenen schiefen Längen. Obwohl nun die betreffenden Neiguugsfehler v und Fluchtungs- fehler f, gemessen im Sinne vertikaler bezw. horizontaler Ab- stände, im allgemeinen gerade Fehlergesetze befolgen, ist doch der Fehler s der einzelnen Lage l immer positiv im Sinne einer Vergrößerung der nominellen Länge, nämlich gleich (v- + A/'-j : 21, worin Af den Unterschied der /' an beiden Enden bezeichnet.*) Dieser Fehler wird aber durch sorgfältige Maß- nahmen bei feinern Arbeiten so gut wie ganz vermieden; er ist jedoch für gewöhnliche Lattenmessung von großer Be- deutung.

Eine Formveränderuug ^'erbieg■ung und dergl., kann einseitig wirkende Fehler erzeugen, sowohl bei Anwendung von Stäben, wie Bändern und Meßstangen.

Die Ursachen 3) sind sehr verschieden, je nach der Art des Längenmessers und dem ang-ewandten Verfahren.

Wird ein Meßl^and mit Endringen, durch welche Stäbe zum Anziehen gesteckt werden, benutzt, so entsteht leicht ein Fehler immer in demselben Sinne, wenn die Stäbe nicht genau vertikal, sondern etwas schief gestellt werden.

In immer gleichem Sinne fehlerhaft wirkt auch ein zu kräf- tiges Anziehen des Bandes, indem dadurch nicht nur das Band gedehnt, sondern besonders der nachfolgende Stab ein Stück vor- wärts gezogen wird; auf felsigem und auf weichem Boden ist dies besonders zu fiü'chten.

Bei dem Messen mit Stäben kann ein Fehler immer in dem- selben Sinne entstehen, wenn im horizontalen Gelände die Stäbe aneinander gestoßen werden, so daß der nachfolgende etwas zurück- weicht, oder wenn ein zu großer Zwischenraum bleibt.

Dazu treten vielleicht noch andere einseitig wirkende Kontakt- fehler. Bei Staffelmessung im geneigten Gelände kann bei dem Abloten des Endpunktes des horizontalen Stabes nach dem Augen- maß ein einseitig wirkender Fehler entstehen.

Bei den feinsten Appai-aten und Metiioden ist auch die

*) Wir haben also hier eine Fehlerquelle rein zufälligen Charakters, die durchaus einseiticfe Messungsfehler erzeugt.

ßO Erstes Kapitel. Einleitung.

mangelhafte Bodenfestigkeit, namentlich die Bodenelastizität, die Ursache einseitig wirkenker Fehler.

In Gl. (1), S. 57, müssen wir nun nach VI, S. 16, e^ in zwei Teile zerlegen, einen konstanten Teil /r, der sich aus den einseitiff wirkenden Einflüssen bildet, und einen veränderlichen Teil f/, für den die Gaußsche Bedingung (27), S. 17, gilt. Der Fehler in L nimmt damit die Gestalt an: (3) s^=[a;]-^n]c, i=l...n.

Bildet man nun sl aus dem Durchschnitt unendlich vieler Fälle,

so verschwinden auch jetzt noch die Glieder 2e-'nk, und es

folgt:

('4) ,u} = '2 a- + liu^ + n'^Ji",

wobei darauf Rücksicht genommen ist, daß s^ und s^^, also die Fehler beim Anschluß an die beiden Endpunkte, noch einen Anschlußfehler + a enthalten werden. Da n proportional L ist, kann man auch setzen: (4*) u^^ = 2a' + h'L + c'L".

Die Erfahrung zeigt, daß die Koeffizienten a , l>, c ihrem Be- trage nach ungemein wechseln, auch bei demselben Apparat, mit dem Wechsel der Beobachter. Aber in der Kegel herrscht das Glied c'L' vor, d. h. die einseitig wirkenden Fehler haben den größten Einfluß.

Reinhertz*) fand beim Nachmessen der Grundlinie bei Bonn für eine Strecke von 1400 m im Mittel mehrerer Be- obachter (für welche c verschiedene Größe und Vorzeichen hattej u. a. bei 5 m -Latten für Millimeter (L in ni):

2a- =10, //- = 20400- 10-«, 0^ = 560 -10"«, also angenähert

a = ±2, h-=± 0,143 , c = + 0,024 . Schon von L ^ ;M ni ab überwiegt demnach das Glied mit C" dasjenige mit h": für L über 150 m überwiegt es auch die Summe der beiden Glieder mit tr und h'^.

*) Die Ergebnisse der Messung der Bonner Basis mit Meßlatten und Meßband. (Zeitschrift für Yermessungsweseu 1896, S. 8 u. f., ins- besondere S. 53.)

§ 6. Funktionen unabhängiger Größen. 61

Die preußische Yermessungsan Weisung IX*) setzt als Grenze der zulässigen Abweichungen zweier Messungen untereinander und mit trigonometrisch bestimmten Längen in nicht un- günstigem Gelände und für Metermaß fest:

0,01}/4X + 0,005 7/,

so daß also a nicht berücksichtigt wird. Nimmt man \ als mittleren Fehler einer Messung, so folgt für mm abgerundet

& = + 5, c = ±Ü,l^.

Hier überwiegt c von L = 800 m ab.

In jedem Einzelfalle ist die genaue Beurteilung der Fehler der Längenmessung recht unsicher. Der strengen Ausgleichung von Liniennetzen und dergleichen stellen sich daher große Schwierigkeiten entgegen.**)

Beispiel. Vergleichung zweier verschiedener Verfahren zur Ermittelung des Unterschiedes zweier nahezu gleichen Gewichtstücke A und B auf einer gleicharmigen Wage mit anhängenden Schalen.

1. Verfahren (nach Bor da). Man bringe in die eine Wag- schale ein Hilfsgewichtstück von der Größe der zu vergleichenden Gewichte und in die andere nacheinander A^ B^ B^ A. Sehen wir nun vom Einflüsse der Luft ab (oder denken wir ihn in Rechnung gezogen), und ist T das Gewicht des Hilfsstückes, so hat man entsprechend den 4 Wägungen, die in nahezu gleichen Zeitinter- vallen aufeinander folgen werden:

T(l -j- a) = ^ + ai 4- c • -f £, ,^. „ = B ^\-{- c -\- w -f £.,

= 5 + &2 +C + 2«- + £3

„ = A -\- a^ -[- c -\- "dw -\- E^.

*) Anweisung vom 25. Oktober 1881 für die trigonometrischen und polygonometrischen Arbeiten bei Erneuerung der Karten und Bücher des Grundsteuerkatasters, S. 21 u 23.

**) Hier möge auch folgender Aufsätze gedacht werden: F. R. Hel- mert, Bestimmung des m. Fehlers der Längenmessungen aus den Differenzen von Doppelmessungen (Astr. Nachr. 1873, Bd. 81, Nr. 1924.). Vergleiche dazu auch eine Anmerkung von Zachariae (Astr. Nachr. Nr. 1935) und von Helmert (Astr. Vierteljahrsschr., Bd. 13, S. 69).

62 Erstes Kapitel. Einleitung.

Hierin bedeuten:

1 + c das Verhältnis der Hebelanne für T und -4,5;

Oj^, \, &2 5 ^2 ^^^ Zulagen, um den Zeigerarm der Wage auf einem und demselben Punkt zum Einspielen zu bringen;

c eine Konstante zur Keduktion auf den wahren Spielpunkt;

w den Einfliiß der der Zeit proportionalen Änderung der Länge der Wagbalken infolge sich ändernder Temperatur usw. auf die scheinbare Größe der Gewichtstücke;

«1, £95 hl ^i <^i6 Wägungsfehler.

Aus (1) folgt durch Elimination von c imd T(l + a) aus den beiden ersten und den beiden letzten Gleichungen:

A — B == h^ — (ii -\- IV + £2 "~ ^1 Ä — J5 = ^2 — ^'2 — '^ + £3 — «4 1 und daraus durch Elimination von iv:

fO\ J 7? (*i + *ä) — («1 + «2) , («s + h) — ih + «4)

Daher ist der mittlere Fehler von A — jB, wenn diese Differenz nach (2) unter Vernachlässigung der £ berechnet wird, und falls

qp(+ £) = (p( — f) ist, gleich

oder es ist:

(3) .4_^=(^+^^)-(«»+«^)+^,

wo ft den mittlem Beobachtungsfehler einer Gewichtsvergleichung

(bei der Belastung 7') bezeichnet.

2. Verfahren (nach Gaußj. Anstatt das Hilfsstück T zu benutzen, legen wir in die beiden Wagschalen

1) links	B.	rechts A
2) „	A,	. B
3) „	A,	,, B
4) „	B,	„ A

und erhalten;

(1*)

B(l + a) = ^ + «1 + c . + fj .1(^1 +«) = 5 + ii + C+ »- + £2 .4(1 + «) = 5 + &2 + c+ 2«' + £3 B(l J- a) = A^ a^ + c -\- '6 IC + £^ ,

§ 6. Funktionen unabhängiger Größen. ßS'

und damit unter Vernachlässigung von Ba — Aa:

(2 *) 2(Ä — B) == (&i +&8) — (ai+«ä) _^ (s. + fs) — (^1 + ^4) _

Der mittlere Fehler in 2(J[ — B) ist wieder jn, in A — B daher _j ; mithin wird :

(3*) ^_s^ibr+^)-ia,^a,)^f.^

Wenn \\'ir nun voraussetzen können, daß jit für beide VerfahroB gleichen Wert hat, so ist hiermit erwiesen, daß das zweite Ver- fahren die doppelte Genauigkeit gegenüber dem ersten gewährt. Vier Wägungen nach dem ersten Verfahren geben erst dieselbe fTenauigkeit, als eine Wägung nach dem zweiten Verfahren.

Sind die e nicht zufällig, aber im Durchschnitt für beide Verfahren als gleich groß zu betrachten, so zeigt die Vergleichung von (2) und (2*), daß auch in diesem Falle das zweite Verfahren das günstigere ist.*)

III. Nichtlilieare Funktionen. VV^eim die Funktion f von den Beobachtungswerten / nicht in linearer Weise abhängt, so läßt sich die Berechnung des mittleren Fehlers doch auf eine- Formel der Gestalt (8*), S. 56, zurückführen. Ist

(10) f=f{h,h,h,---),

so ist der wahre Wert

und da die £ kleine Größen sind, so kann man F im all- gemeinen in eine Reihe entwickeln, die nach Potenzen der s fortschreitet, wobei es meistens genügt, bei den ersten Potenzen abzubrechen. In jedem praktischen Falle wird man leicht be- urteilen können, ob dies auch wirklich für die größten vor- kommenden Fehler ausreicht. Man hat also

77. /• , ^/" 1 (^f 1 cf .

*) Eingehende Mitteilungen über Wägungen gab B. Weinsteint Handbuch der physikalischen Maßbestimmungen 11. Berlin 1888,. S. 368 u. f.

^4 Erstes Kapitel. Einleitung,

und wenn man abgekürzt schreibt

F = f -\r «1 £i + «g £9 -f f^3 f 3 + • • • > 80 wird, wie früher, (11) «/-[.^,^^] -[(!()'«=] ;

(12) f..=±i/T(?0>]-

et Hierzu ist noch zu erwähnen, daß die Produkte -,a m

ein und derselben Einheit ausgedrückt sein müssen.

Beispiel. In dem Dreieck I)MO seines Dreiecksnetzes ist nach Prof. Schwerd (Die kleine Spejerer Basis, S. 49, 50, 56, 57, 98) gefunden worden:

Winkel {^^^\ = 17" 4l' 17';59, 38-mal repetiert,

'(^) ,, (^^-^^ = 90 1 56,79, 15-mal repetiert,*)

Seite BM= 18854,370m.

Daraus folgt

(2) DO = 19 793,53 m . 310 = 6014,003 m

(MV,

^\

inkel r^) = 12' 16' 45",91 .

Der sphärische Exzeß E des Dreiecks ist 0",288: er ergibt sich nach der schon im Beispiel auf S. 49 gegebenen Formel (2), wenn man setzt log Dreiecksinhalt = 7,7536, womit log^' in Sekunden = 9,4588 wird.

Die mittlem Fehler der di-ei gegebenen Stücke (l) seien in Bogensekunden bezw. in Metern

Dann erhält man die mittleren Fehler der drei berechneten Stücke (2) wie folgt.

Der Winkel in 0 ist:

(4) 0 = 180*^ -^ E— D — M:

*) Eigentlich aus zwei Winkeln mit je 30-nialiger Repetition zu- sammengesetzt.

§ 6. Funktionen unabhängiger Größen. 65

er ist also eine Funktion von D und M, wobei wir vernachlässigen, daß aucli E eine Funktion der beobachteten Größen ist, weil kleine Änderungen der letzteren den sphärischen Exzeß nur ganz un- merklich ändern. Der mittlere Fehler in 0 wird somit in Sekunden:

(5) ± V{^^ +

f^'

Nimmt man z. B. ft^ = + l", ftg = + l",6, so folgt f^o = + 1 ,9- Man erkennt hieraus zugleich, daß durch eine direkte Messung

des Winkels in 0 bei etwa 30-maliger Repetition ein wesentlich

genaueres Resultat würde erhalten worden sein. Weiter wird

^ sm (0 — ^E) sm 0*

wobei

(6*) 0 — iiE^O* ==1S0^ + ^E—D — 31

ist. Logarithmieren wir (6) und differenzieren alsdann, dabei E als konstant ansehend, so folgt

. . d{DO) _ ^0 _ sin M*

^'^ d{BM) ~ BM~ sin 0* '

(8) ^^^^DOcotO*,

(9) ^^^ = B0 (cot M* + cot 0^) .

rB und cM sind hierin in Bogenmaß zu verstehen; da jedoch f/j und ftg , die mittleren Werte von r B und d Jf , in Sekunden angegeben sind, drücken wir auch diese Differentiale in Sekunden aus:

d{,BO) BO cot 0* (dB)" 206265 '

d {B 0) _ BO (cot itf* + cot 0*) IdM)" ~ 206 265

Damit wird

/-.A\ ' /D0\2 <, , /DO (cot M* + cot 0*)\2 .,

(10) fi^o = (2)MJ ''3" + l 206^5 j ^^

(BO cot Q*\2 2 + V 206265 / f*i^ •

Ebenso ergibt sich aus

Helmert, Ausgleicliungsrechnung. 2. Aufl. 5

(8-) (9-)

QQ Erstes Kapitel. Einleitung.

11) 0 Jf = DM -. ~n — ^p'^ = ^ ^^ --Vi*- :

^ / sin (O — ^E) sm 0*

/ ^N 2 /C'-l/'xa o , /CJ/ cot 0*\2 .,

(12) .43/= U-l/) '"3- + (~lÖ6265-j '"2-

/Ol/ (cut n*-\-cot 0*)Y 2 "^ V 206265 / '"i ■

In den Formeln (lO) und fl2) ist jedes Glied in Quadrat- metern ausgedrückt.

¥ür die gegebenen Zahlenwerte ist

cot 3/* = 0,000, cot Z)-^ = 3,136 , cot 0'^ = 0,320;

damit folgt, wenn (0,00001 .BOf bezw. (0,00001 . OMf als Faktor herausgehoben wird:

(13) (1%^ == 0,1982{(5,304.«3)2 + (O.lööfi.y + (0,155ft,)2| (U) f4, = 0,0602{ (5,304 ^3)2 + (0,lööfi,y + (l,676^,)2j .

Diese Ausdrücke zeigen, daß auf 1)0 der Fehler in dem

Winkel D verhältnismäßig viel weniger Einfluß hat als auf OJf.

Nehmen wii- [i.^ zu + 0,1m an, so muß (i^ <r -J- Sek. sein, damit

sein Einfluß auf OM denjenigen von ,143 nicht übersteigt.

Wir wollen noch anführen, daß die DiflTerentialquotienten der Funktionen DO und OM nach den Beobachtungsgi-ößen sich be- quemer als oben in folgender Weise berechnen lassen. Setzen wir nach (6)

(15) DO + 6{D0) = {DM+6{DM)) '^^^'^^

worin die 6 kleine Andenmgen in Metern bezw. in Sekunden an- deuten, und substituieren wir die Werte

DJ/= 18854,370m, M"^ = 90<' l' 56",694

aus (1) und ferner nach (4) und (2):

80 = -{6D -{- 8M), 0* = 72" 16' 45",812,

so gibt die Logarithmierung von (15):

log {D0-\-8{D0))^ 4,2754120 + 0,0000230 d (2) Jf) -\- 9,9999999 -f 0,00000000 5 3/ — 9,9788887 -f 0,000000672 (dl) -f SM);

§ 6. Funktionen unabhängiger Größen. 67

also

log {D 0 + S{DO)) = 4,2965232 + 0,0000230 S(BM)

+ 0,000000672 (ÖD + SM). Setzen wir nun

log DO = 4,2965232 , DO = 19 793,53 , SO ist

log (Z)0 -f S{I>0)) = 4,2965232 + 0,0000220 5 (Z> 0) , und daher

0,0000220 8{D0) = 0,0000230 8 (DM) + 0,000000672 (ßD-\-SM),

oder

«y(DO)= -^0 *(^^^) + -220'^^^ + ^^^^ '

mithin ist endlich

._. c{DO) .„.. c{DO) ^^on.r djDO) ^^onx;;

(^^^ dWM) ^ ^^^^^'^ ^.^^ = 0,03055; ^^^^ = 0,03055

Damit ergibt sich hinreichend übereinstimmend mit (13):

(17) ^l^ = (1,045^3)2 + (0,03055ft2)2 + (O,O3O55ft0^

In ähnlicher Weise folgt bei Berechnung von OM aus (ll) mit Benutzung logarithmischer Differenzen übereinstimmend mit (14):

(18) ,u;,3= (0,3l8|[t3)^ + (0,0093^,)2 + {0,1007 fi.f.

Setzen wir in Rücksicht auf eine spätere Fortsetzung dieses Beispiels im vierten Kapitel, § 7,

2" 07 2" 07

(19) f^i = ± _^ , ,«2 = ± /- , f^3 = ± 0,1 "•

so erhalten wir

(20) ,4^=0,0113; ^^^ = ± 0,106 m. ft^j, = 0,0022 ; f^oM = ± ^'047 m .

Ein anderes interessantes Beispiel behandelt L. Krüger in der Zeitschrift füi- Vermessungswesen 1895, S. 393 u. f., in dem Aufsatz: Über die Bestimmimg von Entfernungen aus einer kleinen Basis.

IV. Mittlerer Fehler, eiitstandeii aus mehreren Fehler- nrsacheii. Wir oredenken noch des Falles, wo der mittlere Betrag der Einwirkung mehrerer voneinander unabhängigen Fehlerursachen, welche bei einer Beobachtung auftreten, be- kannt ist.

68 Erstes Kapitel. Einleitung.

Der wahre Beobachtungsfehler in l sei z. B.

(18) £ =£' + £"+f"'^

wo £ , s", s"' die aus drei verschiedenen, voneinander un- abhängigen Fehlerursachen entstandenen Fehler seien. Wenn deren mittlere Werte a' , n" , u" sind, so wird der mittlere Wert von «^ gleich (14) u- = |it - + a - + u - ,

was in derselben Weise abzuleiten ist, wie bei II auf S. 55. Diese Formel gilt auch noch, wenn eine der Fehlerursachen systematisch oder konstant wirkt, bei mehreren solchen jedoch nicht mehr. Für diese müßte das mittlere Fehlerquadrat ihrer Summenwirkung eingeführt werden.

Beispiel. Mittlerer Fehler einer Richtuiigsbeobachtung bei Horizontalwinkelmessungen. Zur Beobachtung eines Objekts (also einer Richtung) ist seine Einstellung und die Ablesung des Horizontalkreises notwendig; daher setzt sich der Fehler zusammen aus den Fehlem im Einstellen (Visieren) und Ablesen, abgesehen von den Instrumentalfehlern, welche sich eliminieren lassen. Man kann diese Fehler noch zergliedern, was wir später ausführen werden. Wenn bei den verschiedenen Winkelmessungen an wesentHch verschiedenen Kreisstellen abgelesen wird, so können wir voraus- setzen, daß im allgemeinen die Ablesungsfehler der eingangs dieses Paragraphen ei-wähnten und zur Ableitung von (14) erforderlichen Bedingung genügen; dasselbe können wir auch von den Yisurfehlem voraussetzen. Ist deren mittlerer Betrag ^^ und der mittlere Ablesungsfehler ^^, so wird der mittlere Fehler einer Richtungs- beobacbtung

Dieser Ausdruck ist für die Theorie der Winkelmessung von Wichtigkeit, da er den Einfluß aller der Fehlerquellen enthält, welche sich unter nonnalen Verhältnissen nicht durch gehörige Zentrierung und Xivellierung des Instruments, sowie durch Ver- bindung von Messungen in beiden Lagen des Fex'nrohrs und in entgegengesetzter Reihenfolge der Objekte eliminieren lassen.

Ein Winkel ist die Differenz zweier Richtungen; es ist daher der mittlere Winkelfehler im Quadrat gleich 2fi^ und also der mittlere Fehler einer Winkelbeobachtung selbst gleich ny- ■

§ 6. Funktionen unabhängiger Größen. 69

Hat man drei Objekte und beobachtet den Winkel zwischen dem ersten und zweiten, sowie zwischen dem ersten und dritten, so sind deren mittlere Fehler ft]/2 ; berechnet man den Winkel zwischen dem zweiten and dritten Objekt, so folgt dessen mittlerer Fehler

gleich l/(ft]/2^)^ + (ft}/2 )^ = 2 ju. . Beobachtet man aber die drei Objekte nach Art der Satzbeobachtung, so erhält man jeden der drei Winkel nui- mit dem mittlem Fehler fi]/2 ; außerdem ist die darauf verwendete Mühe nur gleich 3, wenn man die der beiden ersten Winkelmessungen gleich 4 setzt. Wenn daher nicht besondere Umstände hinzutreten, so sind Satzbeobachtungen den Winkelbeobach- tungen vorzuziehen. Solche besondere Umstände treten allerdings auf bei den feinern Messungen für Hauptdreiecksnetze. Vergl. hierzu das 8. Kapitel.'^)

*) Wie sich der Ausdruck fürs mittlere Fehlerquadrat eines Winkels mit Rücksicht auf Zentrierungsfehler gestaltet, habe ich in der Zeit- schrift für Vermessungswesen 1877, S. 15, angegeben.

Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

§ 1. Ausgleicliung direkter Beobachtungen von gleicher (jenauigkeit.

I. Berechnung der Unbekannten. Schon in dem Bei- spiele auf S. 42 ist angegeben worden, daß wir über den plausibelsten Wert x der Unbekannten, für die gleich genaue, direkte Beobachtungs werte ly, l^, l^, ■ ■ ■ vorliegen, nicht im Zweifel sind. Wir nehmen als solchen das arithmetische Mittel, also bei n Messungen:

Die plausibelsten Beobachtungsfehler, im Sinne der Verbesse- ningen der beobachteten ?, werden damit

(^2) ^-2 = - ^2 + ^

woraus durch Addition folgt

(3) [A] = 0.

Diese Formel gewährt eine vollständige Kontrolle für richtige

Berechnung des x und der k.

Bezeichnet X einen von x verschiedenen Wert, so treten an Stelle von (2) die Gleichungen

fi = — ^1 + A /4\ £, = - /, + X

§ 1. Direkte Beobachtungen gleicher Genauigkeit. 71

Allgemein ist für den Index / nach (2) und (4) (5) 6,= A,+ (X-^);

also wird mit Rücksicht auf (3): (5*) t] = X-a-.

Quadriert man die Gleichung (5) und bildet alsdann die Summe

für i = 1 . . . n, so folgt mit (;V):

(G) [ff] = [/lA] + /2(X-Ä:)2.

Diese Gleichung zeigt, daß [es] > [XX] ist. Von allen mög- lichen Werten X gibt daher X = x = [I] : n die kleinste Quadratsumme der Verbesserungen.

Das arithmetische Mittel genügt hiernach der Forderung der Methode der kleinsten Quadrate.

II. Mittlerer Fehler des arithiiietisclieii Mittels. Ist der

mittlere zu befürchtende Beobachtungsfehler fi bekannt, so haben wir nach (8j, S. 55, indem wir a' für /' setzen, für jeden der Koeffizienten a^, a.^, «g . . . den Wert 1 : ii , und daher als Quadrat des mittlem zu befürchtenden Fehlers in x:

' ■' y^

d. h. die Genauigkeit des ai-ithmetischen Mittels nimmt pro- portional der Quadratwurzel aus der Beobachtungsanzahl zu. Es geben z. B.

4 Beobachtungen die 2 -fache Genauigkeit,

Die Formel (7) setzt zu ihrer Gültigkeit außer der Unabhängig- keit der Beobachtungen voraus, daß die Beobachtungsfehler s entweder rein zufälliger Natur sind, also cp(-\- s) = cp{ — e) ist, oder wenn statt dessen nur die Gaußsche Bedingung besteht, daß der konstante Teil der Fehler null ist (S. 17).

Wäre ein konstanter Teil l' vorhanden, also die wahre Verbesserung s = £'-\-J:, so würde aus (5*J folgen

(8) X-.r = /,--f^.

72 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

Der mittlere zu befürchtende Betrag von [«'] : n ist wieder durch (7) gegeben, wenn /t den mittlem zufälligen Beobach- tungsfehler mit Ausschluß von Je bezeichnet. Wie groß man aber auch n nehmen mag, so wird doch der Einfluß von 7;

auf X — X nicht vermindert; ist n so groß, daß /. und -

yn

ungefähr einander gleichen, so nützt eine weitere Vergrößerung der Anzahl der Messungen nicht mehr viel.

Da man ]c aus der vorliegenden Beobachtungsreihe hJ^)- • -f^n nicht finden kann, muß man seinen möglichen Betrag entweder theoretisch oder auf Grund anderer Erfahrungen schätzen und hat dann für das Quadrat des vollständigen mittlem Fehlers von X die Formel

(9) ^/=ä;^+';;;

vergl. S. 60.

Es ist wichtig, hier die Bedeutung von jtt^ etwas eingehender zu erörtern. Fonnel (7) ist aus der Gleichung

f. 4- ^2 H h ««

gewonnen. Man hat sich zu denken, daß unendlich viele Bestim- mungen von X, jede aus n Beobachtungen ?, vorliegen. ^J ist dann der Durchschnittswert von e^^ für diese unendlich vielen Fälle.

Ebenso wie man fi^ aus den Widersprüchen direkter Beobach- tungen der l finden kann, würde man i.i^^ aus den Widersprüchen wiederholter Bestimmungen von oc finden, ju,^ und ^J sind somit gleichartige Größen: Quadrate der mittlem zu befürchtenden Fehler einer gewissen Beobachtungsart bzw. Bestimmungsart.

Dabei ist beachtenswert, daß man ju./ schon angeben kann, ehe man noch die Beobachtungswerte kennt, wenn nur sicher ist, daß die Beobachtungsimistände dem fi- entsprechen, dessen Betrag von früher her bekannt ist.

Dieser mittleren Feblerberechnung a priori kann man gegenüber- stellen eine solche a posteriori, wobei man sich an die gegebenen Werte l hält. Dadurch wird den Annahmen über den Betrag der £j...£^ eine Beschränkung auferlegt, indem allgemeine^ — e,^ = — ^j + ^ä sein muß. Man kann sich nun nicht mehr unendlich viele Be- stimmimgen von rr, die unabhängig voneinander sind, denken. Die

§ 1. Direkte Beobachtungen gleicher Genauigkeit. 73

Berechnung des m. F. ist jetzt eine Aufgabe der Wahrscheinlich- keitsrechnung mit Berücksichtigung der möglichen Hypothesen über den Betrag der s unter Festhaltung der Bedingungen £^ — E/^ = — ?,- + ^^.

Beim Gaußschen Fehlergesetz kommt man nun zu demselben Ausdruck für (i^^ wie früher. Kennt man aber das Fehlergesetz nicht, so ist die Aufgabe unlösbar. Weicht das Fehlergesetz vom Gaußschen ab, so wird voraussichtlich auch der Ausdruck füi- y,J^ ein anderer und zwar abhängig von den 'besonderen Werten der l.

Diese Abhängigkeit ist eigentlich schon beim Gaußschen Ge- setz da, denn man wird konsequentermaßen für jeden Fall ft^ aus der Gruppe der I ableiten müssen. Die Foi'mel ^J = jti^ : n be- deutet also jetzt doch etwas anderes als vorher.

Das hat aber wieder den Übelstand zur Folge, daß zwei ganz gleichartige Bestimmungen von x, also mit gleicher Anzahl w, verschiedene m. F. (i^ erhalten, wenn jtt^ verschieden ausfällt. Ihre Vex'einigung zu einem Gesamtmittel wird daher ein anderes Resultat liefern als die direkte Vereinigung der 2n Beobachtungen. Die widerspruchsfreie Theorie verlangt daher zweifellos, daß die Ge- nauigkeit der Ergebnisse nach der Gaußschen aprioristischen Methode der mittleren Fehlerschätzung erfolgt.

Unter der Annahme des Gaußschen Fehlergesetzes für die wahren Fehler X — x wird aus dem mittleren Fehler ^i^. der wahrscheinliche Fehler für x gleich (S. 24)

(10) 9, = 0,67449;^,.

Die Annahme ist gerechtfertigt, wenn ^{s) selbst diesem Ge- setz entspricht oder wenn bei gerader Funktion ^(f) die Anzahl der Beobachtungen n ein großer Wert ist. (S. 13).

III. Berechnung des mittlern Beohachtungsfehlers aus den übrigbleibenden Fehlern. Da die 2 von den wahren Verbesserungen verschieden sind, kann man nicht nach (3), S. 28, }i^ = [AA] :n setzen.

Nach (6) ist aber

[?.l\ = [£f']-n(X-xf,

wobei wir nun unter X den wahren Wert der Unbekannten, unter den s die wahren Beobachtungsfehler verstehen wollen. Wir nehmen rechter Hand den Durchschnitt unendlich vieler

74 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

Fälle. Das gibt, da der Durchschnittswert von (X — x)- be- reits in (7) steht, die Näherungsformel

[AA] = nu- — n ■ ' - = u- (n — 1), also

(11) .-..^; . = ±1/,1'-1V

Diese Formel gilt unter denselben Voraiissetzungen über das Fehlergesetz 93 (f) wie die Formel (7) für ^^. Ein etwa vor- handener konstanter Teil k in £ ist in ^ nicht enthalten, da in der Gleichung (5): ?.■ = e- — (X — x) rechter Hand /.■ heraus- fällt, weil £f und (X — x) beide /.■ enthalten würden.

Zur Berechnung von [A/l] bildet man die A aus den Fehler- gleichungen (2). Außerdem hat man die Formel

(12) [?,i] = [n]-nx'=[Il]

n '

die man leicht durch Quadrierung der Gleichmigeu (2) ableitet. Diese Formel gewährt eine Kontrolle, ebenso wie (3), für die Berechnung von x.

Endlich hat man noch

wobei rechter Hand alle Kombinationen ohne Wiederholung zu nehmen sind.

IV. (lenaui^keit der Formeln für (x^ und ft. Um die

Genauigkeit der Formeln (11) zu erkennen, bilden wir das durchschnittliche Quadrat des Unterschiedes von [AÄ] : (ji — 1) und dem strengen Wert u- für unendlich viele Fälle:

([^y „f, d.i. ,iii)' -2.«'^ + ,'''.

\n ■ — 1 ' / ' {n — 1)* ' n — 1 '

Da der Durchschnitt von [AA] : (w — 1) gerade u^ selbst ist, so geben das zweite und dritte Glied zusammen — a^. Nim ist aber nach (6) und (5*):

[AA] = [a.]-til!. man hat daher den Durchschnitt von

§ 1. Direkte Beobachtungen gleicher Genauigkeit. 75

(1^^ (n-Tip >«'

zu bilden. Zunächst wird ausgerechnet

das erste Glied hat n Teile vom Durchschnitt v': das zweite Glied; in welchem die Indices i und Ji alle Kombinationen der Werte 1 . . . n ohne Wiederholung dni-chlaufen müssen, i^h, hat n (« — 1) : 2 Teile vom Durchschnitt u" • u". Mithin ist der Durchschnitt von [es]' gleich

(14) nv^ -{- n{n — 1)^^. Ferner ist

[se] [sf = [£^] + 2l£.h,;] + Produkte mit 1. Potenzen der Fehler.

Da der Durchschnitt der letztern aber unter den vorher für die Bildung von (u,^ nach (7) gemachten Annahmen über cp^s) gleich null ist, so bleibt für den Durchschnitt von [f£][f]':

(15) nv^ + n(n — l)»!"*.

Endlich wird der Durchschnitt von [sY gleich dem von

[*^] + 6[VV], tl-i.

(16) nv^ + dn(n—l)(iK

Mit (14), (15) und (16) gibt flS) als mittleres Fehler- quadrat in der Bestimmung von ^^ nach (11):

^ ^ n «(« — !)' ^ \n fi* n(n — 1)/

Vergl. hierzu den Ausdruck (10), S. 31, für den Fall wahrer

Fehler. Auf S. 32 ist angegeben, daß —^='^ wird, wenn

die Fehler das Gaußsche Gesetz befolgen.

Nimmt man für ^^ vor der Klammer in (17) den Wert aus (11), so folgt:

(18) ^. = J>iL(i+|/Z,_ «-A,)

und für nicht zu kleine n:

(19) u - + l/Sä (] + i]/Il _ JL=±^\

^ ■ ' — f n — 1 \ — - V n fi* 'n{n — 1) /

76 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

Im Falle des Gaußsclien Gesetzes ist

(90) V-"* --^' =1A^-

^-^^ y n^i* n{n — l) V n — 1

Bei n wahren Fehlern ergab sieh im Nenner rechter Hand n anstatt (n - 1), S. 32 (16).

Kennt man das Fehlergesetz nicht, so kann man [A^] zur Berechnung von v^ benutzen. Aus

' n

folgt durch Erheben zur 4. Potenz und Summieren über i = 1 . . . n:

(21) [X^] = [6*] - ± [e^M + i b'^ l^f - ^ [eV-

Nun ist im Durchschnitt für unendlich viele Fälle: [f*] gleich nv^,

[f-] [f]^ „ nv^ -\- w(w — l)(u^, [fP „ «v^ + ^dn{n — l),u^. Dies in (21) eingesetzt, ergibt als Näherungsformel:

(22) [A^] = v\n - 1) ^^^^ + 3/i^(« - 1) —-^ ■

Hieraus folgt mit Rücksicht auf (11):

(23) ;;; = (^^^ - 3(2», - 3) ) : {n^ - 3« + 3).

Diese Formel gewährt selbstverständlich für kleine n nur eine unzureichende Sicherheit. Man nimmt dann besser v'^ : ,a'* nach einer der Annahmen I, 11, III über das Fehlergesetz, S. 31/32. Nach (23) ist:

Beispiel. Fortsetzung zu S. 40. Es war bei w= 16:

ft-' = 0,45, jit = + 0",67.

Dabeiwar[AA] = 6,77; nach (3) und (7*), S. 41/42, wird [A^] = 6.16, also ist v^ : ^^ = 2,03, daher nach (18) und (19):

(10) .a^ = 0,45 (1 + 0,27); ft = ± 0",67 (l + 0,14).

§ 1. Direkte Beobachtungen gleicher Genauigkeit. 77

Ferner wird nach (7) ^i^ = ju : ]/l6 , mithin

(11) t^,-±o",ii{i±oM)-

Unter Annahme des Gaußschen Gesetzes würde nach (20) folgen:

^2 = 0,45 (1 + 0,37), ft = 0",67 (1 + 0,18);

^^^^ f*, = ±0",17(l ±0,18).

Der Wert v* : jtt^ = 2,03 entspricht nach S. 31 annähernd dem Fehlergesetz IL

V. Anmerkung über den Durclischnittst'ehler und die günstigste Formel. Unter Annahme des Gaußschen Fehler- gesetzes lassen sich noch folgende Formeln aufstellen:

Der Durchschnittsfehler der Beobachtung ist

(25) • ^ = + --4= (Peters) ^ ^ yn{n — 1)

und damit

Q = 0,84535 ^ , ^ = 1,25331 » .

Mau kann auch setzen

(26) ^ = + -— JJÜL^, (Fechner)

sowie

(27) ^ = ±;i^^>^2- (Jordan)

In der letzten Formel ist die Summierung über die —

Unterschiede d = /^ — /^ der Beobaehtungsgrößen zu erstrecken, wofür man nach Andrae einfacher setzt, nachdem die l nach der Größe geordnet sind:

(27*) Udn = {h-h){n - 1) + (l-i - ?2)(>'' - 3) + • • ••

Ich habe in den Astr. Nachr. Nr. 2039 und 209(3/97, Band 85 u. 88, 1875 u. 76, die Berechtigung und Genauigkeit dieser Formeln genau untersucht.*) Der mittlere Fehler be- trägt bei (25) in Teilen von Q- sehr nahe + 0,756 : j/w — 1 ,

*; Teilweise auch bei Czuber, Theorie der Beobachtungsfehler, S. 1(55 u. f. zu finden.

78 Zweites Kapitel. Mehrl'ache Bestimmung einer Größe.

vergl. (19) S. 32; er ist also etwas größer als für a, vergl. (19) und (20), S. 75, wo er + 0,707 : )/« — 1 in Teilen von ^ beträgt.-

Für (27) wird er bei kleineren n ebenso groß wie für (25); er nimmt bei wachsendem n etwas ab bis zu + 0,715 rl/w — 1 in Teilen von d- .

Für (26) ist er bei kleinen n so groß wie für (i nach (20); er nimmt dami aber zu bis auf + 0,756 il/w — 1 in Teilen von &. Die Formel (26) ist also (25) vorzuziehen.

Von Formel (27) wird man kaum Gebrauch machen, da sie unbequemer als (25) und (26) ist, und da außerdem der nur bei größerem n hei-vortretende Genauigkeitsgewinn ihre Anwendung nicht lohnt.

Die Formel (26) ist eine Näherungsformel für die Berech- nung aus [AA]; sie ist auch aus der Formel für ^ hergeleitet. Dem entsprechend gibt sie für n = 2 wie diese ,a = + rf : ]/2 und ^ = + r/ :]/ .T. Dagegen geben (25) und (27) & = ± d : Y2.

Daß nicht alle vier Formeln dasselbe liefern, kann nicht befremden, da ja wegen des kleineu ii keine Formel ^ richtig zu geben imstande ist. Es gibt aber dieser besondere Fall Anlaß, darauf hinzuweisen, daß bei Vereinigung mehrerer Be- stimmungen von -0- oder ju. auf die Herkunft zu achten ist, ob (19) und (26), oder (25) und (27) benutzt sind. Im letzten Falle sind unmittelbar die verschiedenen d- (nach Maßgabe ihrer Genauigkeit) zu verbinden, im ersten aber muß man auf die Quadrate zurückgehen, entsprechend der Bedeutung von ^'- als Durchschnitt von Fehlerquadraten.

Die günstigste Formel im Sinne der Wahrscheinlichkeit ist (11), wie ich a. a. 0. zeigie.

Aus den A gleich genauer direkter Beobachtungen kann man im Falle der Gültigkeit des Gaußschen Fehlergesetzes für den wahren Fehler s auch durch Abzählen einen wahrschein- lichen Fehler q- bestimmen, da auch die A das Gaußsche Ge- setz befolgen. Nur ist die Präzision h^ eine andere als h^ für die £. Nach Czuber (Beobachtungsfehler S. 158) ist

;^zri ^ mithin ist q^ = q- [/ ^^— ^

§ 2. Direkte BeobachtuDgen ungleicher Genauigkeit. 79

Man muß also das aus den X abgezählte q noch mit 1/ r

multiplizieren, um dasselbe auf die wahren Beobachtungsfehler zu beziehen.

§ 2. Ausgleichung direkter Beobachtungen von ungleicher Genauigkeit.

I. Wert der Unbekannten und Beg;ritf des Gewichts. Wir

beginnen mit einem einfachen Fall, indem wir aus Beobach- tungen gleicher Genauigkeit solche ungleicher Genauigkeit kon- struieren. Das System der Fehlergleichungen sei:

/Ij = — ?! + X-

l.^ = — L + X

A^ = — l^ + X ; wir vereinigen die letzten drei Messungen zu einem Mittel 1^:

1 ' _ ?. + ^3 + ^4

und nennen dessen Verbesserung k^', für welche offenbar die Beziehung silt

Ao 7i •

Alsdann wird das neue System der Fehlergleichungen:

(2) Ai = — /j+o;, A2'= — /2'+^-

Die erste derselben hat nun eine andere Genauigkeit wie die zweite; setzt man nämlich die der ursprünglichen Messungen gleich 1, so ist sie für die erste Fehlergleichung 1, für die

zweite aber ]/3, weil, den mittleren Fehler in l^ gleich ^ ge- setzt, der mittlere Fehler in 1>^' gleich ^u»' = ^ '•Y'^ ist.

Die Ausgleichung nach (2) muß dasselbe ergeben, wie die nach (1); diese ergab:

^ _ k±k+A±I^.

4

Dafür kann man aber schreiben

h-l + h'-S ^~ l-f3

80 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

Da l^ drei ursprüngliche Beobachtungen ersetzt oder aufwiegt, so nennt man 3 das Gewicht von h^, während das Gewicht von l^ nur 1 ist. In Worten :

,n\ ?i • Gewicht -f- 1.,' ■ Gewicht

^ ^ Summe der Gewichte

Es kann hierbei das Gewicht 3 von /,' auch aufgefaßt werden als Quotient fi- : a^.

In ähnlicher Weise schließt man, daß aus den Fehler- gleichungen :

^1 = — ^ + 3; m. F. a-.Yg^ Gewicht g^

deren 7 wir als arithmetische Mittel aus bzw. {Ji, g^, ■ ■ • gleich genauen Beobachtungen mit dem m. F. u voraussetzen, folgt:

In derselben Weise kann man x auch berechnen, wenn die l nicht mehr als arithmetische Mittel, sondern als Beobachtungs- werte

Zj mit dem m. F. u^

(6)

gegeben sind, denn man kann die l immer betrachten als arithmetische Mittel fingierter gleich genauer Beobachtungen mit dem mittlem Fehler a, welchen alsdann das Gewicht 1 beigelegt wird. Wir setzen

für ?j Gewicht g^ = u' : u^-

,„. V h V [k = ^' • .«2"

und können sofort Formel (5) anwenden. Da nun die g nach ihrer ursprünglichen Bedeutung ganze Zahlen sind, so müßte

§ 2. Direkte Beobachtungen ungleicher Grenauigkeit. 81

fi SO gewählt werden, daß auch jetzt die g wieder ganze Zahlen werden. Indessen zeigt der Ausdruck (5), daß man auch be- liebige gebrochene Zahlen als Grewichte einführen kann, da es nur auf das Verhältnis der Gewichte dabei ankommt. Führen wir nämlich für die g ihre Werte nach (7) ein, so wird aus (5) erhalten:

(8) x =

Dieser Ausdruck für x ist von ju. unabhängig: er kann auch geschrieben werden

i_ . JL : ... :_L

Wenn wir noch bedenken, daß fi^, a^, fi^, ■ ■ ■ immer mehr oder weniger unsicher bestimmt sein werden, so wird man in der Regel durch geringe Änderungen in ;m^, /u.^, ^u.,, ... es dahin bringen können, daß sich die Gewichte in' für die Rechnung bequemen Zahlen darstellen lassen.

Als Gewichtseinheit bezeichnet man eine fingierte Be- obachtung mit dem Gewichte 1.

In vielen Fällen ist nur die relative Genauigkeit der Be- obachtungen l bekannt. Alsdann hat man die Gewichte pro- portional den Quadraten der Zahlen zu setzen, welche im Verhältnis der relativen Genauigkeiten stehen. Denn es sind die Genauigkeiten umgekehrt proportional den mittleren Fehlern, die Gewichte aber sind umgekehrt proportional deren Quadraten ; daher verhalten sich die Gewichte direkt wie die Quadrate der Genauigkeiten.

IL Die Summe [AAgr] ist ein Minimnm, wenn x nach (5) bezw. (9) berechnet wird.

Aus (4) und (5) folgt zunächst

(10) [A^]=0.

Helmert, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 6

82 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

Es sei nun X ein beliebiger Wert der Unbekannten und

Dann ist allgemein für den Index i:

f, = X,+ (X-x), und es wird mit Rück siebt auf (10):

[6g-\ = {X-x)[g].

Aus £^ folgt aber durch Quadrieren, Multiplizieren mit g^ und Addieren: (12) [£,g] = [ng] + iX-xy[g].

Diese Gleichung zeigt, daß die Annahme X = x nach (5) die kleinste Quadratsumme [££(/] ergibt, die überhaupt besteht.

Die Lösung nach (5) entspricht demnach der Methode der kleinsten Quadrate, vorausgesetzt, daß an Stelle von [P.A] wegen der ungleichen Genauigkeit die Summe [AA^/] gesetzt wird.

Ebenso gibt (9) ein Minimum für | -'- . In diesem Aus- drucke erscheinen die Glieder auf gleiche Genauigkeit reduziert, indem für jeden Index / das Quadi'at A-^ durch das zugehörige durchschnittliche Fehlerquadrat u-- dividiert ist.

III. Mittlerer Fehler in x, berechnet aus dem mittleren Beobachtnngsfehler ft für das Gewicht 1. Nach (5) wird

oder

Es ist daher das Gewicht von x gleich der Summe der Gewichte der einzelnen Beobachtungen.

lY. Berechnung des mittleren Beobachtunj^sfehlers fi das Gewicl

man nach (12)

fiir das Gewicht 1 aus den übrigbleibenden Fehlern. Setzt

[Xlg-\ = [_,sg]-{X-xng-\,

§ 2. Direkte Beobachtungen ungleicher Genauigkeit. 83

unter X jetzt den wahren Wert der Unbekannten verstanden, und nimmt rechter Hand den Durchschnitt für unendlich viele Fälle, so ergibt sich eine Xäherungsformel für j.i^. Der Durchschnitts- wert eines jeden Gliedes f,£f^i ist ix^ (ohne Index), da sf im Durchschnitt gleich ^-^ und g. = a^ : ^^^ ist. Der Durchschnitts- wert von (X^xy ist durch (13) gegeben; es wird mithin im Durchschnitt

[IXg] = «7^2 _ ^^2 _ (-,^ _ l',^2.

(14) 2^[A^-7] yw^.

Bei der Berechnung von [AA^] kann man auch die Kontroll- formel

(15) [ng] = [Ug]-x'^[g]

anwenden, die aus (12) für X=0 hervorgeht.

Um die Genauigkeit der Formeln (14) zu erkennen, kann man das mittlere Fehlerquadrat in der Bestimmung von ^'^ ableiten. Es folgt, analog dem Falle g = 1, S. 74, indem man

[AA^] durch [ff, 17] — r ; ersetzt und berücksichtigt, daß der Durchschnitt von [f£^J" gleich n v^ -{- n[n— l)a'^,

ist, als mittleres Fehlerquadrat der Bestimmung von a'- nach (14):

Hierbei ist /u,- der Durchschnittswert von £^</, und v^ der Durchschnittswert von s^g^ für unendlich viele Fälle. Man müßte bei genauerer Rechnung von v^ auf l'^g^ zurückgehen, indessen wird das kaum je geschehen. Man wird sich mit einer Annäherung begnügen und v^ wie beim Gaußschen Ge- setze gleich öJ(i^ ansetzen; in der Regel wird v^ <C 3/^"* sein. Der Ausdruck (16), in welchem immer [g^] < [gY ist, gibt mit V* = 3,0,^:

(16*) Ä;

damit wird die Genauigkeit nicht überschätzt.

84 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

Mit diesem Werte folgt:

(17) ,,= [^i^](i + -)/„4^),

und für nicht zu kleine n:

(18) ,.+yM(n.|/znr).

V. Mittlerer Fehler in x, herechuet aus ft^, fio, yx,, . . ..

Sind die einzelnen mittlem Fehler der Beobachtuncfen a;e<reben, so kann ^^ außer nach (13) noch wie folgt berechnet werden. Es ist nach (9):i

worin

gesetzt wurde. Daraus findet man

(19) .a/ = iV^; ^. = ±

Der wesentliche Unterschied von (13) und (19) liegt darin, daß (19) die Widersprüche der l gar nicht berücksichtigt, daß (13) hingegen auf die absolute Größe von u^, ^^, ^.^, ... keine Rücksicht nimmt, sondern nur ihre Verhältnisse beachtet.

Die beiden Werte von ^^ werden im allgemeinen von- einander abweichen. Die Abweichung kann eine zufällige sein und wird als solche um so größer werden können, je geringer die Anzahl der Beobachtungen ist; sie kann auch eine not- wendige sein, z. B. dann, wenn bei der Ermittelung der / kon- stante Fehler untergelaufen sind, die, verschieden für die ver- schiedenen l, bewirken, daß die I unerwartete Widersprüche zeigen.

VI. Uuveräiiderliclikeit der Quadratsiimme der totalen Fehler bei allmählicher Ansgleichung. Wir knüpfen an das einfache Beispiel von 4 Beobachtungen, S. 79, an. Durch Zusammenfassung von I2, 1^ und l^ zu J^' mit dem Gewicht 3 wurde x nicht geändert, so daß in den beiden Gleichungen

§ 2. Direkte Beobachtungen ungleicher Genauigkeit. 85

Ai + Ao + A3 + A^ = 0 und Ai + 3A/ = 0 Aj denselben Wert hat. Es wird nun

O Aq =^ A.y ~p Ao ~P A 1 y

und daher aus der Identität [A A] = A^^ + (Ag' + A^ — Aj')^ + (A2' + A3 — A27 + (Ag' + A4 — Ag')^ olme weiteres:

[A A] = ( X,' + 3 A,'- } + { (A2 - A27 + (A3 - X,y + (A, - A2')- } .

Linker Hand steht die Fehler quadratsumme [AA], wenn die vier Beobachtungen vom Gewicht 1 einfach gemittelt werden. Rechter Hand steht zuerst [AA9] für die Ausgleichung von l^ mit dem Gewicht 1 und l^' mit dem Gewicht o. Dann folgt die Fehlerquadratsumme für die Ausgleichung der drei Be- obachtungen l^, l^, l^ vom Gewicht 1; denn da das arithmetische Mittel h' von U, /g und I^ die Verbesserung Ag' hat und die unmittelbare Ausgleichung aller vier Beobachtungen die Ver- besserungen Ao, A3, Aj fordert, so müssen die Verbesserungen, um auf 1.2 zu kommen, gleich Ao — Ag', A3 — Ag', Aj — X./ sein.

Man erkennt, daß die totale Fehlerquadratsiimme auch im allgemeinen gleich der Summe der [AA^] ist, welche die all- mählichen Ausgleichungen liefern. Das muß ja auch so sein, weil es widersinnig wäre, wenn eine allmähliche Ausgleichung eine andere, etwa gar kleinere Quadratsumme gäbe, als eine einmalige direkte Ausgleichung.

Beispiel. Fortsetzung zu S. 40 und S. 76. Die Messungen der Unbekannten wurden an drei Tagen ausgeführt; mittelt man sie tageweise, so folgt:

a; = — 0';03 4 Messungen mit [A;,] = 2,7345

(13) ^=4- 0,18 4 „ „ „ =0,1890 x=— 0,07 8 „ „ „ = 3,6690 .

Hiermit ergeben sich die neuen Fehlergleichungen: Aj = + 0,03 + X Gew. ^1 = 4

(14) ^2 = - 0,18 -\-x ^2 = 4 A3 = + 0,07 + ^ ^3 = 8.

Gewichtseinheit: eine einfache Messung. Man könnte auch die Gewichte bezw. gleich 1, 1 und 2 setzen; dann wäre die Gewichts-

86 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

einheit eine vierfache Messung. Indessen Ijietet im vorliegenden Falle die Annahme 4, 4, 8 keine Unbequemlichkeit. Es wird hiermit

/ V 0,03 . 4 — 0,18 . 4 + 0,07 . 8

(15) x^~ ' ^ _^\ ^-^— = 0,00

mit dem Gewicht 16. Damit ist

(16) K = + 0,03 , As = — 0,18 , A3 = + 0,07 ; folglich

(17) [_XXg\ = 0,1724 = \llg] - x'[g] . Die l erfüllen die Formel für [A^^], denn es ist

+ 0,03 . 4 — 0,18 . 4 + 0,07 . 8 = — 0,04

hier ausreichend genau gleich null.

Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit ist nach (14). S. 83,

(18) ^^ =±]/3^\-=±0'V29; mithin ist nach (13), S. 82:

(19) l^.= + ^ = + 0",07.

Diese Bestimmung von ^^ ist aber sehr- unsicher, da wegen n = 3 aus (18), S. 84, ft sehr unsicher hervorgeht.

Zur Beurteilung der Genauigkeit des Wertes von x wird man daher einen sicherer bestimmten Wert von fi heranziehen. Dieser ergibt sich aus der Fehlerquadratsumme aller 16 Beobachtungen, die durch Addition der Teilsummen aus (13) und (17) abgeleitet werden kann:

(20) [AA] = 2,7345 + 0,1890 + 3,6690 + 0,1724 = 6,7649 . Dieser Wert stimmt mit Rücksicht auf die Abrundung der

Mittelwerte und der A hinreichend mit dem fi'üher, S. 42, be- rechneten 6,77 überein. S. 42 ist auch der genauere Wert von ft und S. 77 der entsprechende von ft^ berechnet worden.

Beispiel. Mehrfache Bestimmung eines Winkels. In dem Hauptdreiecksnetz der Königlich Preußischen Landesaufnahme wui'de der Winkel Collm-Großberg-Golmberg wie folgt beobachtet, wobei die ju^ möglichst vollständig geschätzt sind:*)

*) Die Europäische Längengradmessung in 52" Breite usw. I. Heft, von F. R. Helmert. Berlin 1893, S. 185 u. f.

§ 3. Beobachtungen von Vielfachen einer Unbekannten. <S7

1871 I^ = 1A9^ 16' 5l';48 fi^-^ = 0,44

1880 ^2 = „ „ 48,87 (i.f = 0,17

1889 ^3= „ „ 49,72 ^3^ = 0,14.

Rechnet man vom kleinsten Werte 1^ ^^-'i ''^ folgt nach (9)

.= 149» 16- 48-87+ ^^ + / M^ 0,44 ^ 0,17 ~ 0,14

und nach	(19),	S. 84,
			f^J^ =	= 1 :	\ 0,44	+	1 0,17	, 1 ] ^ 0,14 J
also	ist
			X =	14«	)« 16'	49'	■',65	+ 0",26

Setzt man ff^ = y^ , g., = --^y , g. = ^ ^^ , so gibt die

Gleichung (5) denselben Wert für x wie vorher (9). Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit \^•il•d alsdann nach (18), da l^ = — 1,83, A, = + 0,78, Ag = — 0,07 ist, gleich

-' = ±l/^(i + ]/f) = -+(07±r,i8),

also sehr ungenau wegen der geringen Anzahl überschüssiger Be- obachtungen.

Füi- fi^ wii-d jetzt nach (13):

"--il/fil^' + o".«!-

Man könnte noch dai'an denken, die beiden Bestimmungen von [i^ zu vereinigen; indessen mag diese Aufgabe hier unerörtert bleiben. Sie läßt sich ohne Kenntnis der mittlem Fehler der drei Größen jn^^, fto^, ju^g^ nicht lösen.

§ 3. Ausgleichung direkter Beobaclituiigen von gleicher Genauigkeit, welche Vielfache einer Unbekannten sind.

I. Berechiiuug der Uubekannten nud ihres mittleren Fehlers.

Diese Aufgabe läßt sich auf die vorhergehenden Fälle zurück- führen. Es seien ...

(1) k,k,k,---ln

die n Beobachtungs werte für die Vielfachen von x:

(2) a^x, a^x, a^x, . . . a^x,

88 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

worin die a gegebene Koeffizienten sind. Ist a der mittlere Fehler in l, so ist der mittlere Fehler in der Bestimmung von x:

(3)

für a; = — «1	gleich	«1
	yy	u, a„
» x = —	li	L

Hierbei erscheinen die Werte — als direkte Beobachtungen

ungleicher Genauigkeit für die Unbekannte x. Gehört zu a die Gewichtseinheit, so sind die Gewichte der Bestimmungen gleich «j-, «2*? • • • ^^n'-i somit wird nach (5), S. 80, der plau- sibelste Wert der Unbekannten x:

X =

oder kurz

und es ist femer nach (13), S. 82: (5)

y[aa\

indem {aa\ das Gewicht in der Bestimmung von x wird.

Zur Berechnung von ^ hat man die Formel (18), S. 84, anzuwenden. Die übrigbleibenden Fehler und ihre Gewichte sind hierbei durch folgende Gleichungen gegeben:

A/ = — -^ + X mit g^ = a^^

L = "^ + X 2 0,	;?	[/2 = «2'
.	•	•
	V	9n = «/

(6)

Zur Berechnung von u werden nun die Produkte X'yg gebraucht. Man hat aber

§ 3. Beobachtungen von Vielfachen einer Unbekannten. 89

(7) VyS = — ^2 + ac,x

es sind mithin die Produkte l'yg die Beobachtungsfehler Aj, ^2, Ag, ... für li, ^27 h^ ' ■ ■ selbst, also: Aj = — ?i + «1^;

(8) Ao = — /g + «2^

Mithin ist.

hierbei gibt das mittlere Fehlerglied in der Klammer nach S. 84 nur eine Annäherung für nicht zu kleine w; außerdem ist es so angesetzt, daß keine Überschätzung der Genauigkeit von u eintritt.

IL Kontrollformeln. Aus (10), S. 81, folgt mit Rück- sicht auf die Gleichungen ((!), daß [A'a^] = 0, oder da A'a = A ist: (10) [aA] = 0.

Femer erhält man aus (15), S. 83, wegen (4):

Beide Formeln dienen zur Kontrolle der ganzen Rechnung, wenn die A aus den Gleichungen (8) berechnet worden sind,

Beispiel. Bestimmung der Konstanten eines Reichen- bachschen Distanzmessers auf Glas im Fernrohre eines Nivellierinstruments.

Die Bestimmung erfolgte* in der Weise, daß bei horizontaler Visierachse für beide Striche des Distanzmessers Ablesungen an einer in abgemessenen Entfernungen vertikal aufgestellten Nivellier- latte, die in abwechselnd weiße und schwarze Zentimeter -Felder eingeteilt war, vorgenommen wurden.

90

Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

Nachstehende Tabelle gibt in den beiden ersten Spalten die vom äußern Kande der Objektivfassung aus abgemessenen Ent- fernungen und die abgelesenen Lattenabschuitte. Diese Beobach- tungswerte bedurften aber noch der Reduktion aus folgenden Gründen. Erstens mußten die Entfernungen mit 1 — 0,000833 multipliziert werden, weil die zur Messung benutzten Stäbe um 0,833 mm auf den Meter zu kurz waren. Zweitens wurden die Teilungsfehler der Nivellierlatte in bezug auf dieselbe metrische Einheit ermittelt und die Lattenabschnitte wegen dieser Fehler verbessert. Drittens wurden die Entfernungen um 0,216 m ver- kleinert, um sie auf den äußern Brennpimkt des Objektivs zu be- ziehen. In der dritten und vierten Spalte befinden sich die so reduzierten Entfernungen iind Lattenabschnitte.

(1)

Entfernung	Lattenabschnitt	Reduzierte	Kefluzierter
in Metern	in Metern	Entfernung	! Lattenabschnitt
126	1,267	125,679	i 1,2661
120	1.205	119,684	1,2039
108	1,084	107,694	1.0830
96	0,964	95,704	0.9637
84	0,844	8.3,714	0,8434
72	0,720	71,724	0,7195
60	0,601	59,734	! 0,6002
48	0,481	47,744	1 0,4805
36	0,3600	35,754	! 0,3593
24	0,239.5	23,764	1 0,2390
12	0,1185	11,774	' 0,1183

Man hat bekanntlich für den ßeichenbachschen Distanzmesser uie Formel:

(2) Distanz vom äußern Brennpunkte des Objektivs = ax.

worin a der Lattenabschnitt und x eine Konstante ist. Für diese setzen wir den Näherungswert 99,2, an dem eine Verbesserung | anzubx'ingen sein 'wird:

(3)

X = 99,2 + 5

Bezeichnet man nun die Verbesserung des Lattenabschnitts a mit y, die der Distanz mit d, so hat man z. B. aus der ersten Beobachtung

125,679 + d^ = (1,2661 + fj (99,2 + §),

§ 3. Beobachtungen von Vielfachen einer Unbekannten. 91

und daraus mit Vernachlässigung des Produktes i\'^:

d^ — 99,2ri = — 0,082 + 1,26615.

Setzt man allgemein

(4) (?-99,2r = ;i,

so ergeben sich die Fehlergleichungen:

X^ = — 0,082 + 1,2661 1 ^^7 = — 0,194 -\- 0,6002 5

^2 = - 0,257 + 1,2039 5 h = — 0,078 + 0,4805 5

A3 = — 0,260 + 1,0830 5 A,, = — 0,111+0,3593;

(^) A^ = — 0,105 + 0,9637 5 A^, = — 0,055 + 0,2390;

A- = - 0,049 + 0,8434; Ajj = - 0,039 + 0,1183; . Ag = — 0,350 + 0,7195;

Bezeichnet man den mittlem Wert des zu d gehörenden wahren Fehlerquadrats mit ft/, sowie denjenigen des zu v ge- hörenden wahren Fehlerquadrats mit ju^,^, so ist der mittlere Wert des dem A entsprechenden wahren Fehlerquadrats ft^ nach (4):

(6) ^- = fi/ + 99,2--ft„-.

^^ hat nun jedenfalls auf ft^ einen weit geringeren Einfluß als (.i^. Es ist z. B. für die Entfernung 125,679 gewiß jit^ ^ 0,05 , da- gegen kann fx^ recht wohl gleich 0,002 und daher 99,2 ft^ gleich 0,20, also viermal so groß als fi^ sein. Damit wird (99,2 jwj^ 16 -mal so groß als |tt^".

Indem es hiemach genügt, die A lediglich als von den r her- rührend zu betrachten, vereinfacht sich die Ausgleichung des Systems (5) sehr. Denn die v sind für die verschiedenen Glei- chungen unabhängig voneinander, dagegen die d nicht, weil die größern Distanzen allmählich aus den kleinern entwickelt werden. Müßte man die d Ijerücksichtigen, so wären die A nicht unal)hängig voneinander und das Ausgleichungsproblem würde verwickelter.

Beachten wir somit nur ft^,, so wii"d die Frage, welche re- lative Genauigkeit den Fehlergleichungen (5) beizulegen ist, zu be- antworten sein durch die Untersuchung von (x^ bezüglich seiner Veränderlichkeit mit der Entfernung. Hierüber sind verschiedene Untersuchimgen veröffentlicht worden. Wir wollen uns hier ledig- lich an die vorliegenden Messungen halten und zwei Hypothesen verfolgen. Im allgemeinen ist wohl anzunehmen, daß jti^ mit der Entfernung wächst. Die beiden Hypothesen, daß einmal fi^ und

92 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

damit fi unabhängig von der Entfernung ist, und daß beide das andere Mal ihr proportional sind, werden voraussichtlich in unsei'm Falle den wahren Sachverhalt einschließen.

Nach der ersten Hypothese ist also den Fehlergleichungen (ö) gleiche Genauigkeit beizulegen. Man erhält alsdann nach (4)

und (5), S. 88:

_ 1,3006 _ ^ -7,1743 -^'1^1'

(7) ^ = 99,381;

u ^^ |/7,1743

Füi' die A wird gefunden:

Ai = + 0,147 ^ = — 0,085

Ag = — 0,039 ^8 = + 0,009

Ag = — 0,064 h = — 0,046

A^ = + 0,070 Aio = — 0,012

A- = -f 0,104 All = — 0,018 ; Ag = — 0,220

(8)

mithin \vird

[AA] = 0,1012;

dagegen wird nach (ll), S. 89, mit [ll\ = 0,3369 erhalten (8*) [AA] = 0,3369 -^^ = 0,1011,

also gut übereinstimmend.

Damit ergibt sich nach (9), S. 89:

,.=±l/^(l± Vi) -±(0,101 ±0,022),

,"! = ,"x = ± (0,038 ± 0,008).

Nach der zweiten Hypothese sind die mittlem Fehler der Gleichungen (5 1 proportional den Entfernungen, also auch sehr nahe proportional den Lattenabschnitten. Dividieren wir daher die Gleichungen durch die Werte der letztern, so entstehen die folgenden Fehlergleichungen mit gleichen mittlem Fehlern oder von gleicher Genauigkeit:

§ 3. Beobachtungen von Vielfachen einer Unbekannten. 93

A/ = — 0,065 + 5	;.-' =	- 0,323 + k
V = - 0,213 + §	^-8' =	- 0,162 + 5
A3' = - 0,240 + 5	V =	— 0,309 + 1
X; == - 0,109 + ^	^10 ^	— 0,230 + §
X.; = - 0,058 + ^	Vi =	- 0,330 + ^

(10)

Aß' = - 0,486 + i Dieselben ergeben

2,525

(11)

H

11	0,2295;
99,430;	j
f^'
i/n'
	X.' = _ 0,0935
	A/ = + 0,0675
	A/ = — 0,0795
	A/o = — 0,0005
	a;, = - 0,1005 ;

und ferner

A/ = + 0,1645 ;../ = + 0,0165

A ' = — 0,0105

(12) ^ A/ = + 0,1205

A-' = + 0,1715

Ag' = - 0,2565

[;.'] = + 0,5405 — 0,5410 = - 0,0005 ;

[A'A'] = 0,1669,

womit man findet:

,' = +l/'^(l ±]/|))-= ± (0:129 ± 0,029),

(13) r lu \

ft, = a^ = + (0,039 + 0,009).

jti' ist nach (6), S. 91, sehr nahe der mittlere Wert des 99,2 -fachen Fehlers in der Beobachtung eines Lattenabschnitts, reduziert auf die Ablesung 1 (d. i. nahezu 100 Meter Entfernung). Der mittlere Fehler eines in 100 m beobachteten Lattenabschnitts beträgt sonach + 129 : 99,2 = + 1,3 mm.

Die Ergebnisse beider Hypothesen stimmen für x auf 0,05,

d. i. - des Wertes von ir, überein. Die zweite Hypothese er- scheint jedoch zutreffender als die erste, weil bei ihr die übrig- bleibenden Fehler A' in (12) sich für große und kleine Distanzen

94 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

im Mittel annähernd gleifh groß zeigen, bei der ersten aber nicht. Behalten wir demnach die zweite bei, also

(l-4j a: = 99,43,

so ist das Endergebnis für die Distanz vom Zentrum des Instru- ments: (15) 07335 + 99,43«,

indem der Abstand des äußern Brennpunktes von der vertikalen Drehachse 0,335 m ist.

Die Größen 0.216, (S. 90), und 0,335, welche sich auf die Lage des äußern Brennpunktes des Objektivs beziehen, wurden direkt gemessen und sind nicht über 0,003 unsicher. Schreibt man die Formel des Distanzmessers in der Gestalt y -\- ax und rechnet die gemessenen Distanzen in (l) um in Distanzen vom Instrumentzentrum aus, so kann man mit Hilfe derselben und der beobachteten a die beiden Unbekannten x und y bestimmen; man findet jedoch, daß die Bestimmung von y alsdann sehr unsicher wird. Obgleich dies nun auf die Brauchbarkeit der Endformel als Ganzes keinen Einfluß hat, insofern sie jedenfalls den Charakter einer Interpolationsformel behält, welche gegebene Funktionswerte genügend darstellt, so wird man doch der ersten Bestimmungsweise den Vorzug geben müssen, umsomehi' als eine direkte Abmessung der Größen 0,216 und 0,335, solange es auf einige Millimeter nicht ankommt, keine besondere Mühe erfordert.

§ 4. Übergang zur Methode der kleinsten Quadrate nach dem älteren Verfahren von C. F. Gauß.

I. Fehlergesetz, für welches das arithmetische Mittel gleich genauer direkter Beobachtungen den wahrscheinlich- sten Wert gibt. Betrachtet man das aritlimetische Mittel x von gleich orenauen direkten Beobachtuno-en als wahrschein- lichsten Wert, so ergibt sich daraus eine bestimmte Form des Fehlergesetzes.

Ist X der wahre Weit der Unbekannten, so ist die Wahr- scheinlichkeit, daß der wahre Fehler der Beobachtung zwischen den Grenzen e und s-\-d liegt, gleich (f{a) . Ö oder (p(^—l-\-X).d, Avenn l den Beobachtungswert bezeichnet und Ö eine sehr kleine Größe ist, unter der wir etwa die Einheit der letzten Stelle,

§ 4. Übergang zur Methode der kleinsten Quadrate. 95

bis zu welcher l angegeben wird, verstehen dürfen. Die Wahr- scheinlichkeit, daß bei n unabhängigen Beobachtungen li,l2>h}--- die wahren Fehler zwischen den Grenzen fj und 6j + d, £3 ^^^ f 2 -j- d, usw. liegen, ist daher gleich

d. i. gleich

(1) d".cp(- J, + X)cp{- l, + X)...<p{-l^ + X);

denn man kann dies gerade so beurteilen wie die Wahrschein- lichkeit des Zusammentreffens von n zukünftigen unabhängigen Ereignissen, welche bekanntlich gleich dem Produkte der Wahrscheinlichkeiten der Einzelereignisse ist. Nun handelt es sich hier nicht um zukünftige Ereignisse, sondern um gegebene Ereignisse, denn die / sind bekannt; dagegen kennen wir X nicht und sind daher genötigt, eine Hypothese x über dessen Wert zu machen. Bilden wir damit das Produkt (1), so ist nach den Lehren der Wahrscheinlichkeitsrechnung ( 1) ein Maß für die Wahrscheinlichkeit der Hypothese x. Die- jenige Hypothese, welche (1) zu einem Maximum macht, hat die oTößte Wahrscheinlichkeit für sich, den wahren Wert der (Jn- bekannten zu geben. Bei der Auswahl der Hypothesen kann man von dem Faktor Ö" absehen, da Ö mit der Wahl des Wertes x nichts zu tun hat.*)

Andrerseits empfiehlt sich uns die Hypothese, daß das arithmetische Mittel aus den Beobachtungen der wahrschein- lichste W'ert, den man für die Unbekannte wählen kann, sei.

Demnach hat man

(2) q)(Xj) q)(X2) • ■ ■ ^{^n) ^^^ ®^^ Maximum für (2*) ic = S.

Durch Differentiation folgt aus (2) nach vorheriger Loga- rithmierung:

Q ^ dlogqpqj dlog(p{l,) dlogcpjXs) , . . .

dx dx dx '

*) J. Lüroth. Ein Problem der Fehlertheorie. (Zeitschrift für Vermessungswesen 1880, S. 432 u. f.)

96 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe,

oder

^ "" dX^ dx '^ du dx ^ dl, dx ^ '

oder weil allgemein dX ^ dx ist, /o\ ft rflogy(^i) dlogqpq.) <^log<p(^-s) ,

<^) ^= — dl, — + — dl, — + dx, +*•■•

Dabei gilt aber als Bedingung für die / nach {2^}'.

(4) 0 = Ai + ;., + ;.3 + • ■ • .

Die Gleichungen i3) und (4) müssen gleichzeitig bestehen, welche Werte sich auch für die Beobachtungen ergeben. Wir können uns daher die A als Veränderliche denken. Dann folgt

aus (4):

(5) 0 = d).^ + dh + d).^ ^

und aus (3) durch Differentiation:

(6) 0=.'-l}^'-^}dX, + ^^''f^^^^^^^^^

Diese Gleichung kann für ein beliebiges nur durch (5) beschränktes System der dl nur dann bestehen, wenn für jeden

Lidex - — °. ^ ^ denselben Wert hat: dadurch wird nämlich d/.-

die rechte Seite von (6) mit Rücksicht auf (5) gleich null,

"wie es die linke Seite fordert.

Setzen wir also

/7x d'log qpffl _ ,

wo Ä"^ eine Konstante bedeutet, so folgt :

d log yfo _ 7. ; , 7. dl -AiZ + Ao-

Führt man dies in (3) ein, so ergibt sich mit Rücksicht

auf (4):

Ä-, = 0:

man hat daher weiter durch Integration

§ 4. Übergang zur Methode der kleinsten Quadrate. 97

Da aber qp(A) abnelimen muß, wenn X wächst, mindestens wenn k sehr gi-oß wird, so muß W negativ, etwa gleich — /r sein; also ist

(8) 9?(A) = ce-'''^-\

Wir sind hiermit zu dem Fehlergesetz UI gelangt, welches wir auf S. 11 als erfahrungsmäßige Form des Vorkommens wahrer zufälliger Fehler hingestellt hatten. Es kann nicht befremden, daß in (8) X anstatt e vorkommt, weil wir ja in (1) statt des wahren Wertes X eine Hypothese x einführen mußten; jedoch. die Funktionsform für qp bleibt ungeändert. Mit- hin haben wir in (8) eigentlich eine Bestimmung von ^^(e).*)

IL Übergang zur Methode der kleinsten Quadrate. Das

Produkt in (2) geht infolge (8) über in

und da dasselbe ein Maximum ist, c und h aber konstant sind, so wird mithin für das arithmetische Mittel

(9) [AA] ein Minimum.

Daß bei gleich genauen Beobachtungen das arithmetische Mittel die kleinste Quadratsumme der Verbesserungen gibt, wurde schon S. 71 gezeigt. Jetzt sieht man aber, daß im Falle des Fehlergesetzes III das arithmetische Mittel der wahr- scheinlichste Wert ist und daß umgekehrt das arithmetische Mittel als wahrscheinlichster Wert das Fehlergesetz III fordert.

Sind die Beobachtungen ungleich genau, so sind c und h für die verschiedenen / verschieden; der Ausdruck (2) geht dann über in

C-^^ c^ c^ . . . e-(''i'V- + V-''-2^-l-W+- ) ein Maximum, d. h. für den wahrscheinlichsten Wert von x ist

(10) [//222] ein Minimum.

*) Die von C. F. Gauß 1809 in der Theoria motus corporum coelestium gegebene Ableitung ist ein wenig anders als die oben ge- wählte Darstellung, die im wesentlichen schon 1872 in der 1. Auflage benutzt wurde.

Helmert, Ausgloichuugsruchnung. 2. Aufl. 7

98 Zweites Kapitel. Mehrfache Bestimmung einer Größe.

Da sich die Ir nach S. 23 durch die mittlem Fehlerquadrate ^^ ausdrücken lassen, indem //- = l:2u- ist, so folgt aus (10):

(llj 'g ein Minimum

oder endlich

(12) [^»'^l 6'^^ Minimum.

Daß bei ungleich genauen Beobachtungen an Stelle von (9) die Bedingungen (11) und (12) treten, ergab sich schon S. s2.

Dieselben Ausdrücke (10), (11), (12) erhält man, wenn die Avahrscheinlichsten Werte nicht nur von einer Unbekannten, sondern von mehreren Unbekannten zu bestimmen sind, oder überhaupt eine Ausgleichung irgend welcher Art zu machen ist. Die Methode der kleinsten Quadrate liefert im Falle des P^ehlergesetzes III immer die wahrscheinlichsten Ergebnisse.

III. Verall^emeiuernu^ der Bedeutung der Genichtszalileu.

In manchen Anwendungen der Methode der kleinsten Quadrate kommt es vor, daß die Beobachtungen l und daher auch ihre Verbesserungen A in verschiedenen Maßeinheiten ausgedrückt sind und unter Umständen als heterogene Größen auch nicht auf eine solche reduziert werden können. Alsdann hat man sich an die Form. (11) zu wenden, in welcber nur absolute Zahlen vorkommen, da die Quotienten A^ : ti^ ohne Benennung sind. Wir können nun auch die Benennung der X und a ohne Fehler in (11 1 wegstreichen und für die jetzt absoluten Zahlen /*i^ ^2^ ."3'; • • • durch Vergleichung mit einer passend ge- wählten Zahl i.r andere Zahlen ^j, //o, g^, ■ ■ ■ einführen, genau so, als soUten Gewichte berechnet werden. Wir werden dann wieder auf die Form (12) geführt und die Rechnung gestaltet sich wie früher. Xur bei der Berechnung des mittlem Fehlers müssen wir uns erinnern, daß in dieser Form der mittlere Fehler als eine absolute Zahl überhaupt bedeutungslos ist und erst durch Beziehung auf die verschiedenen heterogenen Be- obachtungsgrößen eine Bedeutung und Benennung erhält.

Drittes Kapitel,

Vermittelude Beobaclitmigeii zur Bestimmung mehrerer Größen: Elementen -Ausgleicliung.

§ 1. Ausgleicliung vermittelnder Beobaclitungen von gleicher

Genauigkeit.

I. Bereclnmiig der Werte der Unbekanuten. Sind 1^,1,,... l^ die n Beobachtungswerte der linearen Funktion •.a^-\-hY-\-cZ-\ — der m Unbekannten oder Elemente X, Y, Z, . . ., wobei wir voraussetzen, daß zu jedem Beobachtungswerte ein anderes System der bekannten Koeffizienten a, h, c, . . . gehört, dann haben wir für die wahren Beobachtungsfehler £, wie schon früher auf S. 48 angegeben ist, die Gleichungen:

fi = - ?i + «1 X + z>i r+ qz 4 —

^n = -l + «.^^ + /^r+c„z + ....

Da wir aber zur Kenntnis der wahren Werte der Unbekann- ten X, Y, Z, . . . nicht gelangen können, so bestimmen wir andere Werte x, y, z, . . ., denen Verbesserungen A entsprechen, die die Bedingung erfüllen, daß die Summe ihrer Quadrate ein Minimum ist. Für jede andere Annahme der Unbekannten wird mithin die Fehlerquadratsumme größer sein als \ll\. Im allgemeinen ist daher auch

(2) [ff]>[A2],

d. h. die Quadratsumme der wahren Fehler ist größer als die der plausibelsten Fehler.

7*

100 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Unsere Aufgabe ist jetzt, x,y,z,... aus den Fehler- gleichungeu

Aj = — ?i + a^x -f \y -\- c-^s -{- • ' •

.^ A2 ^2 + «2^ + 62!/ + ^2^ + • • •

^^. = - ?« + «„^ + ^„V + c„^ + . . .

zu bestimmen, mit der Bedingung, daß

[A/] ein Minimum wird.

Damit die Aufgabe einen Sinn als Au.sgleichungsaufgabe liat, wird vorausgesetzt, daß die Fehlergleichungen allein keine bestimmte Auflösung zulassen, daß also 11 > m ist, S. 47.

Wir wollen nun in den Gleichungen (1) unter A', Y,Z,... irgend welche Werte der Unbekannten verstehen, unter x,y,z,... in (3) aber diejenigen des Minimums. Bildet man aus (1) und (3) für irgend einen Index i den Unterschied a. — A^., so folgt:

(4) f, = A, + d,. mit

(5) ö, = ö,(X -x)-^ h(Y-y) + f,(Z -.-) + •••.

Die d,- sind also Funktionen der willkürlichen Größen {X — x), ( U — y), {Z —£),.... Aus (4) folgt durch Quadrieren und Addieren für i = \ . . . n:

(6) [££] = [;.;.] + 2[/(3] + [6(3]. Da nun [ff] > [/A] sein muß, so ist

(6*) [Aö] = 0.

Denn wäre dies nicht null, sondern etwa positiv, so könnte man sofort [Ad] negativ machen durch eine solche Wahl von X, r, Z, . . ., daß (X - X), {Y-y), (Z-2)... . ihr Vor- zeichen wechseln, ohne ihren Absolutwert zu ändern. Daim aber würde [ff] < [AA] werden können, weil man durch An- nahme hinreichend kleiner Werte von (X — x), ( Y— y), (Z—z), . . . die d immer so klein machen kann, daß [Öd] gegen den Ab- solutwert von 2[A(5] zurücktritt.

§ 1. Vermittelnde Beobachtungen gleicher Genauigkeit. 101

Setzt mau in (6*) für d- seinen Wert nach (5), so er- hält mau

[aX]{X -x)-h [&A](r- y) + [cX\{Z - ^) + • - • = 0;

wegen der Willkür in der Wahl von (X — x), {Y— y), {Z — £),...

muß daher

(7) [aA] = 0, \\>l\ = Q), [cA] = 0, usw.

sein. Dies sind die Bedingungsgleichungen für das Minimum. Ihre Anzahl ist gleich der Anzahl der Unbekannten.

Etwas rascher, als im vorstehenden, gelangt man zu den Gleichungen (7). nach der Methode der Differentialrechnung. Sind X, Y, Z, . . willkürliche Werte, so erscheinen sie als unabhängige Variable, für welche [ffj zu einem Minimum zu machen ist. Dafür sind die bekannten Bedingungen:

,o>, ^[«*]_o ^t^'J-O ^[''^=0 usw

Die erste dieser Gleichungen gibt z. B.:

Nun ist nach (1) allgemein ^ y = »i? außerdem ist für £ jetzt A zu sehreiben. Man erhält somit unter Weglassung des Fak- tors 2:

[aA] = 0.

In gleicher Weise findet man [^A] = 0, [cA] = 0, usw. Setzt man jetzt in die Gleichungen (7) die Ausdrücke für die A nach (3) ein, so ergibt sich das nachstehende System von m Gleichungen zur Bestimmung derjenigen Werte der Un- bekannten X, y, z, . . ., für die die kleinste Fehlerquadrat- summe [AA] stattfindet:

[aa]x + [ah\y + [ac]z -\ = [(:d\

.,. {ah\x^-\hh"]y + \_hc\z + --- = \hl]

^^ ^ [a c\x -f [h c]// 4- [c c]^ + • • • = [c l\

Diese Gleichungen nennt man Normalgleichungen. Sie können- nach einer der bekannten Auflösungsmethoden für

102 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

lineare Gleichungen aufgelöst werden: setzt man die Werte der X, y, z, . . . in die Fehlergleichungen ein, so ergeben sich auch die A.

II. Hci'k'itiiii^ der Normal^leichuii^en aus d<Mii Prinzip des arith 111 ('tischen Mittels. Die erste der Gleichungen (9) bzw. (7) würden wir auch erhalten haben unter der Annahme, daß alle Unbekannten außer x bekannt sind; denn die Fehler- gleichungen hätten alsdann die Form der Gleichungen (8) des § 3, S. 89, angenommen, und ans diesen war die Unbekannte so zu bestimmen, daß [aÄ] = 0 wurde. Offenbar hätten wir in derselben Weise die zweite der Gleichungen (7) erhalten, wenn wir y als einzige Unbekannte angesehen hätten und so fort auch jede der andern Gleichungen. Die Xormalgleichungen können somit ohne Annahme der Bedingung ,,[/J.] ein Minimum" unmittelbar aus dem Auso;leichungsverfahren für direkte Be- obachtungen ungleicher Genauigkeit gefunden werden; denn die Ausgleichung in § 3 stützte sich auf diejenige in § 2, S. 79 u. f., welche zunächst auf das Prinzip des arithmetischen Mittels zurückgeführt wurde, während der Nachweis der Erfüllung der Bedingung der Methode der kleinsten Quadrate in zweiter Linie erfolgte.

Da man nun alle Ausgleichungsaufgaben in solche nach vermittelnden Beobachtungen umwandeln kann, so läßt sich demnach alles auf das Prinzip des arithmetischen Mittels zu- rückführen. Die Vorschriften der Ausgleichung sind aber die- selben wie für die Methode der kleinsten Quadrate, welche überdies den Vorzug besitzt, bequem auf alle Formen der Ausgleichungsaufgaben direkt anwendbar zu sein.

Übrigens wird man finden, daß die Zurückführung auf das Prinzip des arithmetischen Mittels in engem Zusammen- hange mit der Formtet (7), S. 71, /t_^ = jtt :]/«, steht. Denn nur wenn diese gilt, fühi-t die Gewichtsannahme in § 2, S. 80 u. f. und damit die in § 3, S. 88. zu keinem Widerspruche. Liegt hierin eine gewisse Einschränkung, so ist andererseits zu be- denken, daß das arithmetische Mittel als plausibelster Wert nur unter den Voraussetzungen Sinn hat, die der Formel ^^ = a : ]/« zugrunde liegen.

§ 1. Vermittelnde Beobachtungen gleichei* Genauigkeit. 103

III. AMeitniig der Gewichte der berecliiieteii Werte der Uli bekannten. Dazu ist es notwendig, zu ermitteln, welchen Anteil jeder der Beobachtungswerte l an den Werten der Un- bekannten hat. Es sei gefunden für n = 4 Beobachtungen mit 7n = 3 Unbekannten

(10) y-ß,k + ß2h-^ß'Jz + ß,h

^ = ri?i + r2k + 73^3 + rJi ,

so wird für die mittlem Fehler in x, y, z erhalten:

(11) ^ = >«/[/3^]

denn die Unbekannten sind lineare Funktionen der unabhäng-io-en Beobachtungswerte l mit den mittlem Fehler /i.

Zur Gültigkeit der Gleichungen (11) gehört, daß die wahren Beobachtungsfehler £ der voneinander unabhängigen Beobach- tungswerte l entweder ein gerades Fehlergesetz befolgen oder doch die Gaußsche Bedingung erfüllen.

Außerdem liegt ihnen die Annahme zugrunde, daß man sich die Beobacbtungsreihe }^^\,l^, . . . unendlich viele Male ausgeführt und für jede Reihe das Quadrat des wahren Fehlers in der Bestimmung jeder der Unbekannten als Funktion der f gebildet denkt, worauf alsdann das Mittel genommen wird, entsprechend der Gaußschen Feststellung für das mittlere Fehlerquadrat, S. 20. Kennt man ^ von andern, gleichartigen Beobachtungen her und stehen die Koeffizienten der n Fehler- gleichungen fest, so kann man die Ausdrücke (11) schon an- geben, noch ehe die Beobachtungen selbst ausgeführt sind. (Vergl. hierzu S. 72. Das daselbst Gesagte gilt mit nahe- liegenden Modifikationen auch hier.)

Um die a, ß, y zu finden, betrachten wir das den Normal- gleichungen verwandte System

[aa]Ä + [ab']B + [ac] C == P

(12) lah]Ä + [Mj]B + [6c] (7= Q [ac]Ä + [hc]B + [cc\C = B,

104 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

worin F, Q, R beliebige unbestimmte Größen und A.B. C die Unbekannten vorstellen.

Wir multiplizieren diese Gleichungen der Reihe nach mit m noch zu bestimmenden Größen Q^^.i, Q1.2, Qi.z ^^nd erhalten, durch Addition

+ ([«&]<?!. 1 + [hh]Qr.2 + \}><^]Quz)^

Bestimmen wir nun die m Multiplikatoren so, daß sie die m Gleichungen:

(13) \.ah]Q,., + [lhYh.2 + V^c]Q,., = 0

erfüllen, so wird

(13*) A = PQ,_,+ QQ,, + BQ,_,.

In derselben Weise läßt sich jede der m Unbekannten durch m Hilfsgrößen darstellen; man erhält zunächst noch

(14*) B=FQ,.,+ QQ,.., + BQ.,.„

wobei die Hilfsgrößen aus den Gleichungen

[««]^2.1 + [«^]^2.2 + [«C](?,.3 = 0

(14) [a&]^2.1 + [&&]^2.2 + [&C]^2.3 = 1

\_ac-\Q,,, + [6c]^2.« + [cc](?2.3 = 0 hervorgehen; femer ist

(15*) C=FQ,.,^QQ,., + RQ,.,,

und zur Bestimmung der Hilfsgrößen:

[«rt](>3.i + {ah]Q.,, + [ac] ^^3.3 = 0

(15) \cihY^;., + \hh-\Q,., + [6c] (^3.3 = 0

[ö.c]^3.,-f [/>c]r^3., + [cc]^3.3 = l.

Die Gesamtanzahl aller Hilfsgrößen würde m- sein; sie sind aber nicht sämtlich voneinander verschieden, sondern es ist immer

§ 1. Vermittelnde Beobachtungen gleicher Genauigkeit. 105

also z. B. Q21 ^ Qi-2 • -^^ o^iiügt, wenn wir dies für Q^.^ und ^^2 zeigen- Multipliziert man die Gleichungen (13) der Reihe nach mit Q2.1, ^2-2 > Qi-d ^^^^ addiert , so entsteht bei geeigneter Zusammenfassung :

([««](?,., + [ah-]Q,., + [nc]Q,.,)Q,., |

und hieraus mit Rjicksicht auf (14) ^^.o = Q-2.i-

Löst man also bei gegebenen numerischen Werten der Summen [««], [«&], [i>h], . . . das System

[aa]Ä + [ah'jB -t [ac]C = P [12) [ah]Ä+[bh]B+lbc]C==Q

{ac]Ä+ [bc:]B+[cc]C=R auf, so erhält man nach (13*), (14*), (15*) die Ausdrücke:

(17) Q2.1P+ Q2.2Q+ Q2.zP^ = ^

Dieses Gleichungssystem ist dem vorhergehenden insofern ähn- lich, als die Symmetrie in der Anordnung der Koeffizienten ^111 ^1-2= ^21 > ^22? • • • derjenigen der Koeffizienten [aa], [ah], [bb], . . . entspricht. Schreibt man die Koeffizienten beider Systeme schematisch in folgender Weise zusammen:

[aa] [ab] [ac] Q^,^ Q^.., Q^.^

[ab] [bb] [bc] Q,., Q,., Q,.,

[ac] [bc] [cc] Q^,y (^3.2 ^3.3'

so geht die Achse der Symmetrie im ersten Falle durch die quadratischen Koeffizienten [oa], [bb], [cc], im zweiten Falle durch die Q mit quadratischem Index: Q^.^, Q-2.2, Qs-s'i <3ie Koeffizienten der 1., 2., 3. Horizontalreihe stimmen der Reihe nach überein mit den Koeffizienten der 1., 2., 3. Vertikalreihe desselben Schemas.

Die Gleichungen für Ä, B, C nennt man die unbestimmte Auflösung der Normalgleichungen. Sie lehrt die samt-

106 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

liehen Hilfsgrößen und auch die Werte der Unbekannten kennen, wenn man setzt

P=lal], (^ = [bT], R=[cl]. Denn alsdann geht das System (12) in die Normalgleichungen über, und es wird Ä = x , B = y , C = z . Man hat also:

(18) y = Q,.Ml\ + Q.A^n + Q.Aol']

Wenn man nun die Summen auflöst und die Glieder mit der- selben Beobachtungsgröße zusammenzieht, so folgt hiernach für die Koeffizienten der Ausdrücke (10), ä; = [«?], y = [ßT\, ^ = [y?J:

«1= «1^1.1+ ^^^2 + ^1 ^1-3

. . «2 = <h Qi.l+ h ^1 .2 + ^2 ^1 .3

«3 = «3 C^l . 1 + '^3 <^1 2 + ^3 <?i .3

ßl = fh^Al + ^1^22+ ^1^2-3 . . /^2 ^^ '^'2 ^2 • 1 ~l" ^2 T2 • 2 "T ^2 T2 -3

^3=«3<?2.1+^3<?2.2+C3^2.3 ^4=«4^2.1+&4Ö2.2+f^4<?2.3;

n = «1^3.1+ ^1(^3.2 + ^1^3.3

.g . ?'2= «2^3.1+ ^2 <?3. 2+^2 ^3.3

73 =«3 ^3. 1+^3 ^3. 2 +«"3 ^3. 3

74=f'4^3.1+ ^4^3.2+ <^iQ:

3 3 •

Multipliziert man nun, um die Quadratsumme der a, ß, y zu erhalten, jede dieser Gleichungen mit ihrer linken Seite, so entsteht :

[acc] = [acc\ ^1.1+ [hu] Q^_.-> + [ca] Q^.^

[ßß] = ['^<ß]Q2.i+[bßn2.2+[cß]Q,.,

[yy] = [a;^]r^3.i + [^7]^3.2+ [fT]^3.3-

Multipliziert man aber in (19) jede Gleichung mit dem in ihr vorkommenden a und addiert, so wird

§ 1. Vermittelnde Beobachtungen gleicher Genauigkeit. 107

und ebenso nach Multiplikation mit den entsprechenden h:

lha] = lha]Q,,,+ lhh]Q,_,+ [hc]Q,.,, und ferner:

[c a] = [ca] (>i .1 + [c&] (?i .2 + [cc] Q^,^.

Die Vergleichung mit dem System (13) zeigt ohne weiteres:

(22) [au] = 1 , [ha\ = 0 = \ck\ .

Durch ein entsprechendes Verfahren mit den Gleichungen (20) und (21) erhält man mit Hilfe der Systeme (14) und (15):

(23) .[?>/3] = l, [.//J] = 0 = [c/3]; ferner

(24) Vc.y] = l, [aH = 0 = [Z>y].

Damit gehen aber die Ausdrücke für die Quadratsummen der a, ß, y über in:

(25) [_aa\ = Q,.,, [ßß] = Q,.,, [yy] = ^,.3,

und es wird nach (11), wenn u den mittlem Fehler einer Be- obachtung bezeichnet,

(26) ,a, = (iYQi . 1 , .u,, = ^4 ]/4 . 2 ; .t^. = ^ VQ-ä . 3 •

Es sind daher die Hilfsgrößen Q mit quadratischen Indices die reziproken Gewichte der Unbekannten, das Gewicht einer Beobachtung gleich 1 gesetzt.

Auch die Hilfsgrößen Q mit nicht quadratischen Indices stehen zu den Größen a, ß, y in einer einfachen Beziehung.

Multiplizieren wir in (19) jede Gleichung für eines der u mit demjenigen ß, das denselben Index hat, so ergibt sich als- dann durch Addition

[C./3J = [aß]Q,.,+ [hß]Q,.,+ [cß]Q,.,- daher ist nach (23):

(27) ' [<^ß]=Q,..2 = Q-2.1-

In derselben Weise findet man

(28) [ay] = Q,,, = Q,,,, [ßy] = Q,,, = ^3.,.

Es ist leicht zu erkennen, nach welchem Gesetze diese Be- ziehungen gebildet sind.

108 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Mit Rücksicht auf die Gleichungen (22) bis (24) findet man aus (3) mit Hilfe von (10) noch die folgenden Beziehungen:

(29) [A«] = 0, [Xß] = 0, [Xy] = 0.

Beispiel. Fortsetzung zu Seite 47. Die XonnalgleichungeD(6) sind :

H- n- ^ ■ = - 0:-'^

— ^+37/ • — T = — 0,28

(12) _ ^ . +3;^- T = -0,40

. - r]- ?+ 3t = + 0,93.

Um die Koeffizientensymmetrie noch deutlicher hervortreten zu lassen, schreiben wir das Schema der Koeffizienten hin:

+ 3-1—1

— 1+3 • - 1

— 1 • + 3 - 1

— 1 - 1 +3.

Wir lösen nun unbestimmt auf, d. h. wir lösen die folgenden Gleichungen auf:

SA- B- C • =P - Ä + SB . — I)=Q

(13) _ A ■ +3C— Z> = i?

. _ B— C-^'3D = S.

Addiert man die Summe dieser Gleichungen

Ä + B+C-^I) = P-\-Q^B + S

zu jeder Gleichung, so geht (13) über in:

4^ . . +D=2P+Q-\-B+S

45^ C . ^ p^2Q+ B-i- S

B ■+ ^C • = P+ (?+2i?+ 6'

A ■ . +4i>= P+ V+ ^ + 2-5'.

Aus der ersten und vierten und aus der zweiten und dritten dieser Gleichungen wird weiter erhalten:

§ 1. Vermittelnde Beobachtungen gleicher Genauigkeit. 109 Ä + D = ^ (3P -{- 2Q + 2JR + 'SS) A-D = \i P . . - Ä)

B + C = 4 (2P+ 3Q-\-3B-\- 2S)

und hieraus

(14)

-B - C - -J ( ■ Q- II

YiP + -h'i + Yi'' +

S

Die symmetrische Anordnung der Koeffizienten ist deutlich ersicht- lich. Dem Schema der Koeffizienten

+ r.	+ Ä	+ 1+1 ~ 15 ~ 15
+ Ä	+ Ä	^15 ~ 15
+ ä	+ Ä	^15 ^15
+ Ä	+ Ä	,3 ,7 +1. ^i7

entspricht das allgemeine Schema:

^1.1 ^1-2 ^1.3 (^1-4 oder [aa] [ccß][ay] [aö]

<?2.1 ^2.2 Q-2.3 Q-2.. l^ß] ißß] [ßy^ Iß^]

Qsi Qs.2 Q,.s <?3.4 M Ißy] Wy] [yö]

Q,.i Q..2 Q,.n ^4.4 b^ä] [ßö] [yöTldd].

Setzt man nun

(15) P= — 0,25, <? = -0,28, i? = — 0,40, 5'= + 0,93,

so erhält man die Werte der Unbekannten: dabei dient die hier zufällige Beziehung, daß die Summe dieser vier Werte null ist, welche ihren Grund in der Verteilung der Winkelmessungen über die fünf Objekte hat, zur Erleichterung oder zur Kontrolle der Eechnuno-.

110 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Man hat jetzt für ^ :

^ = i { 7(- 0,25) + 3(- 0,28) + 3 (-0,40) + 2(0,93)}

oder auch

^- = ^ {4(-0,25)-O,93} =-0,129.

Ferner wird wie früher:

(le) r^ = _ 0,048, J=- 0,088, T = + 0,265.

7 Das reziproke Gewicht jeder der vier Unbekannten ist — ,

mithin ist

15

(17) das Gewicht für 5, rj, ^, t gleich —

und

(17*) der mittlere Fehler für ^ , >/ , f , t gleich f* [/ t; •

Nach S. 47 ist fi = +]/ 0,1611 ; daher ist

(18) ft, = ^,^ = f.. =ft, = ± y^'''—'^ = ± 0-274.

Wenn es ein Interesse hat, zu wissen, in welcher Weise jede der Beobachtungen auf die Berechnung der Unbekannten Einfluß gehabt hat, so läßt sich auch das angeben. Man hat z. B. für ^:

und hierzu mit Rücksicht auf die Fehlergleichungen (5), S. 44:

«1= • • +Qi.s • = + ^

2 «2= • • • + Qii = -^ j^

f'3= • • — ^1-3+ ^A.4 = — Y^

«4=^ • —^1.2 • +^li = "~15

^%= ■ +Q1.2 •

«6 =—^1.1 ■ +^1.3

«7= + ^1.1

f^8= — ^1.1+ ^1-2

(19)

+	15
—	4 I5
+	7 15
	4
	15

§ 2. Kleinste m. F. der Unbekannten. 111

Multipliziert man jede FeLlergleichung mit ihrem entsprechen- den a, so ergibt sich:

[Acl^'^ + I,

also § = — 0,129, da [Aa] null sein muß. Dieser Wert stimmt mit dem vorher gefundeneu überein.

In der Tat wird auch [Aß] gleich null, wenn man für X die Wei-te aus (9), S. 46, nimmt-, alsdann ist:

[A«]= y (—0,264 4-0,530-0,213 + 0,477 — 0,144

— 1,204 — 0,903 + 1,716) = — 0,0003 ,

also hinreichend genau gleich null mit Rücksicht auf die un- vermeidliche Unsicherheit der letzten Stelle.

§ 2. Ausgleicliung vermittelnder Beobachtungen von gleicher

Genauigkeit unter der Bedingung, daß die mittlem Felller der

Unbekannten möglichst klein werden.

1. Berechnung' der Werte der Unbekaunteu, welche kleinste mittlere Fehler ^ehen. Im Vorhergehenden sind die Beobach- tungen so ausgeglichen, daß die Quadratsumme ihrer Ver- besserungen ein Minimum wurde. Jetzt soll die Ausgleichung noch einmal vorgenommen werden unter der Bedingung, daß der mittlere Fehler jeder Unbekannten ein Minimum werde.

Sind e die wahren Beobachtungsfehler und X, Y, Z, . . . die wahren Werte der )n Unbekannten, so ist

£i = - ?! + a,x + &ir+ qZ+ • • •

/. N £0 = — ^2 + ^'2 ^ + ^2 i" + ^2 ^ + • • •

Wir denken uns diese Gleichungen der Reihe nach mit den vorläufig unbestimmten Koeffizienten a^, a^, a.^, . . . multipliziert und alsdann alles addiert. Das gibt

[g£] = _ [cd] + [aa]X + [ba] Y + [ea\Z H .

Unterwirft man nun die w Werte a den w Bedingungen:

(2) [au] = 1, [da] = [ca] = • • • = 0,

112 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen

SO wird

(3) X=lul] + las]^)

Da zwischen den a nur m lineare Gleichungen angenommen wurden, so sind sie noch nicht völlig bestimmt und n — m derselben immer ganz beliebig.

Setzen wir nun für X den Wert

(4) x = \_al\,

so begehen wir den Fehler (im Sinne einer Verbesserung):

(5) X — X = [af].

Unter allen Annahmen über die a in [«?] ist diejenige die beste, für die der mittlere Wert von [usY ^^ kleinsten ist. Nun ist [««] nach (3) nichts anderes als die wahre Ver- besserung oder der wahre Fehler von [«?]; das mittlere Quadrat von \aa] läßt sich daher berechnen als mittleres Fehlerquadrat der Funktion

der Beobachtungswerte l mit den mittlem Fehlern u (wobei wir nach S. 72 auf die speziellen Werte der l am besten keine Rücksicht nehmen). Nach S. 55/56 wird der durchschnittliche Wert des Quadrates von [as] gleich

also ist der mittlere zu befürchtende Fehler in x, wenn x nach (4) berechnet ist, gleich

(6) ^x= ^''V[<^^]-

*) Chr. A. Yogier erörtert in der Zeitschr. f. Vermessungsw., 1904, Heft 14 u. 21 die Frage, ob man sich auf lineare Kombinationen der Beobachtungen beschränken solle. Gauß geht ohne weiteres über diese Frage hinweg. In der Tat gestattet die Art und Weise der Ableitung von fi*3. in Strenge nur die Anwendung auf lineare Ausdrücke. Würde man für X einen andern funktionalen Zusammenhang mit den l voraus- setzen, so würde doch mittels Entwicklung von X nach dem Taylorschen Satze wieder (.5) herauskommen und damit (6), wobei die a nun die ersten Diiferentialquotienten von X nach den l sind, die höheren Differential- quotienten aber vernachlässigt werden müssen. Bei gleich genauen direkten

n

Beobachtungen geben z. B. die Annahmen x = [l]:n und "j/Zj /, . . . Z„ dieselben m. Fqu., da die Differentialquotienten nach l in beiden Fällen 1/n sind; aber im 2. Falle ist die Rechnung des m. Fqu. weniger streng wie im 1. Falle, der sich außerdem durch seine Einfachheit empfiehlt.

§ 2. Kleinste m. F. der Unbekannten. 113

Die Gültigkeitsbediügungen dieser Formel sind dieselben wie für (11), S. 103.

Ein Minimum für 1.1^ entsteht, wenn die a die Bedingung (7) [««] ein Minimum

erfüllen; denn ,u, der andere Faktor in dem Produkt für ^^, Ol. (6), ist bei gegebenen Beobachtungen eine feste Größe.

Sollen die a aber die Bedingung (7) mit Rücksicht auf die Gleichungen (2) erfüllen, so müssen die partiellen Diffe- rentialquotienten des Ausdrucks

[aa] - 2Jc^{[aa] - 1) - 2h[bcc] - 2k,[ca]

nach den n verschiedenen cc einzeln gleich null werden. Die k sind hierbei ni zu bestimmende Hilfsgrößen (Lagrangesche Multiplikatoren).

Durch Herstellung des partiellen Differentialquotienten nach a^ erhält man

2cc, - 2l\a, - 2l-,h^ - 2l-^c^ = 0

oder

«1 = «i/'-i + hh + (^ih ^ —

und ebenso

(8)

Hierdui'ch werden die sämtlichen a in den m Hilfsgrößen Je ausgedrückt.*) Diese aber findet man, wenn man die a in die

*) In bezug auf den Xachweis der Richtigkeit vorstehender Ab- leitung der Gleichungen (8) möge folgendes bemerkt werden. Aus (7) folgt als Bedingung des Minimums

wobei die dai zufolge der Gleichungen (2) den Bedingungen genügen müssen:

[a.-dßj] = [bidcci] = [c,fZo;J = • • • = 0. Solcher Bedingungen sind m vorhanden, man kaun daher m der dai damit aus [K^f/aJ eliminieren. Dies kann dadurch geschehen, daß man setzt

[aidcii] — l\ [üidai] — h [hidcci] — Ä^ [CjfZo;^] = 0

oder

[(«i — ciiK — ^ih — Cih )dai] = 0.

Helm er t, Ausgleicliungsrechnung. 2. Aufl. 8

114 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Gleichungen (2) einsetzt, wodurch sich m Gleichungen zwischen den h allein ergeben. Es wird damit

[««]/ci + [a&]7.2 + [ac]/.-3 H = 1

C9N [<^^h + \b^h + [bcVh + • • • = 0

^ [ac]7.-i + \}jc]h, + [cc]/.-3 + . . . = 0

• ? woraus die A; und darauf durch Substitution ihrer Werte in (8) auch die u bestimmt werden können.

Vergleicht man nun die Gleichungen (9) mit den Glei- chungen (13), S. 104, so ist sofort ersichtlich, daß die \, J:^, Ag, • • • der Reihe nach mit Qi.i, Qi.o} Qi-z) ■ • • identisch sind: nach (8) wird daher

(10) «2 = «2 ^1 .1 + ^2 ^1 .2 + f'2 ^1 .3 H

Eine Vergleichung mit (1^*), S. 10(3, zeigt nun, daß die jetzt eingeführten Hilfsgrößen a identisch sind mit denjenigen a, welche sich dort ergeben haben. Wir ersehen daraus, daß der Wert der Unbekannten x unter der Bedingung „fi^ ein Minimum" völlig übereinstimmend mit dem Werte von x erhalten wird, den die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate liefert. Es ist nicht schwer zu erkennen, daß in derselben Weise für jede andere der ;» Unbekannten sich dasselbe beweisen läßt; ja es muß dies auch für jede lineare Funktion F der Un- bekannten gelten, da man immer eine der Unbekannten x,y,2,. . . mittels F aus den Fehlergleichungen eliminieren kann in der Weise, daß z. B. an Stelle der Unbekannten x die Unbekannte F tritt. Endlich gilt dies auch für beliebige Funktionen, in- soweit man diese nach dem Taylorschen Satze entwickeln kann und sich auf die Glieder bis einschließlich der ersten Potenzen der Änderungen von x,y, z, . . . beschränken darf.

Die Z'i . . . Ä"^ bestimmt man so, daß m der da herausfallen, daß also- die Faktoren von m der du null werden. Die übrigen da sind dann willkürlich und ihre Faktoren müssen also auch gleich nuU sein. So gelangt man wieder zu (8). Die oben benutzte Rechnungsweise dient lediglich zur Abkürzung.

§ 2. Bedeutung der Lösungen. 115

Da die Gewichte den mittleru Pelllerquadraten umgekehrt proportional sind, so können wir auch sagen: die Aus- gleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate ergibt größte Gewichte für die Unbekannten.

Zunächst gilt dies nur für vermittelnde Beobachtungen: es gilt aber der Satz darum auch allgemein, weil man jede Ausgleichungsaufgabe auf die Form vermittelnder Beobachtungen bringen kann.

IL Yerschiedeue Bedentuug der Lösungen uach der Methode der kleinsten Quadrate. Läßt sich nachweisen, daß das Fehlervorkommen der Gaußschen Form (p(s) = ce~**** ent- spricht, so erhalten wir nach § 4, S. 97, durch die Methode der kleinsten Quadrate die wahrscheinlichsten Werte der Un- bekannten. Zugleich besitzen diese Werte die größten Ge- wichte bzw. die kleinsten mittlem Fehler. Entspricht aber das Fehlervorkommen dem Gaußschen Fehlergesetze nicht, so haben wir nicht mehr die wahrscheinlichsten Werte der Un- bekannten, dagegen in ihrer Bestimmung immer noch die klein- sten mittlem Fehler, solange entweder die Bedingung (p{~{- e) = q)( — e) erfüllt wird, d. h. positive und negative Fehler in gleicher Größe gleich häufig eintreten, oder doch der konstante Teil ]c der Beobachtungsfehler £ null ist bzw. als Unbekannte mit bestimmt werden kann, so daß die Reste s' der Gaußschen Bedingung unterworfen sind, S. 16/17.

Sind auch diese Bedingungen nicht erfüllt oder handelt es sich nicht allein um zufällige Fehler, so kann man von einer Schätzung des mittlem Fehlers überhaupt nicht mehr reden, und die Ausgleichung, welche die Summe der Fehler- quadrate zu einem Minimum macht, gibt dann weder wahr- scheinlichste Werte noch kleinste mittlere Fehler der Un- bekannten. Sie hat alsdann nur die Bedeutung eines einfachen und stets auf praktisch durchführbare Reclmungen führenden Verfahrens, um die Beobachtungen durch kleine Verbesserungen in Einklang zu bringen, also insbesondere bei vermittelnden Beobachtungen: die Funktion ax -\- hy -\- cz -\- • ■ ■ für die ge- gebenen Systeme der Koeffizienten a^, t^, q, . . .; ün, h.i} ^'2» • • • usw. den beobachteten Funktionswerten möglichst eng anzuschließen.

116 ' Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

ÜBerörtert können wir die Frage lassen, ob auch noch nach der Methode der kleinsten Quadrate zu verfahren ist, wenn das Fehlergesetz bekannt ist und von der Gaußschen Form abweicht, oder ob dann etwa wahrscheinlichste Werte herzuleiten seien. Denn in der Regel wird man auch dann die Methode der kleinsten Quadrate anwenden, weil die Ab- leitung wahrscheinlichster Werte zu verwickelt ist und auf nicht lineare Gleichungen für die Unbekannten hinführen würde (Laplace).

Für bemerkenswerte Ausnahmefälle verweisen wir auf die Literatur.*)

IIL Gescliichtliche Notiz. Wie man vom arithmetischen Mittel, dem Ausgleichungsprinzip für gleich genaue direkte Beobachtungen, zur Methode der kleinsten Fehlerquadrate als einem allgemein anwendbaren Ausgleichungsprinzip gelangen kann (vgl. § 4, S. 94 u. f.), hat Gauß in der „Theoria motus corporum coelestium" 1809 gezeigt, nachdem er schon seit 1794 diese Methode für seine Rechnungen in Anwendung gebracht

*) Über den einfachen Fall gleich genauer direkter Beobachtungen bei Fehlergesetzen verschiedener Form vgl. P. Pizzetti: Sur le calcul du re.sultat d'un Systeme d"observations directes (Mem. de la Soc. royale des sciences de Liege, 2* serie, t. XV, 1887).

D'Ocagne behandelt in derXote: Sur une application de la theorie de la probabilite des erreurs aux nivellements de haute precision (C. R. 1895, 1"' sem.) den Fall, daß um- Fehler mit demselben Vorzeichen auf- treten, die aber das Gaußsche Gesetz befolgen.

In der Photometrie wendet man seit langer Zeit das arithmetische Mittel der Logarithmen der mehrfach beobachteten Helligkeiten als plausibelsten Wert an, nach Maßgabe des psychophysischen Grund- gesetzes von Fe ebner. Vgl. Seeliger, Astr. Xachr. Bd. 132 (1893), Nr. 3158, Sp. 209.

T. X. Thiele benutzte 1866 als wahrscheinlichsten Wert mehr- facher Schätzungen von Doppelsterndistanzen das geometrische Mittel, was dem arithmetischen Mittel der Logarithmen entspricht. Vgl. ündersogelse of Omlöbsbevsegelsen i Dobbelstjemesystemet Gamma Virginis. Kjoben- havn 1866, S. 8.

Vgl. hierzu auch die Bemerkungen von Fechner über die Beobach- tungsfehler in dem Falle, daß sie nahezu von der Ordnung der zu messen- den Größen selbst sind. G. Th. Fechner: Über den Ausgangswert der kleinsten Abweichungssumme usw. (Bd. XI der Abh. d. math.-phys. Klasse der Königl. Sachs. Ges. d. Wissensch.) Leipzig 1874, S. 14.

§ 2. Geschichtliche Notiz. 117

und das Fehlergesetz abgeleitet hatte*) (Werke, VI, S. 296 u. VIII, S. 136 u. f.). 1821 und 1826 veröffentlichte er in der „Theoria com- binationis observatiouum erroribus minimis obnoxiae" diejenige Begründung der Methode der kleinsten Quadrate, welcher wir im laufenden Paragraphen gefolgt sind. Nach brieflichen Äuße- rungen von Gauß gegen Schumacher gab er dieser letztern Ab- leitung vor der altern entschieden den Vorzug.**) In der Tat ist die jüngere Ableitung weit allgemeiner als die ältere; sie zeigt die Anwendbarkeit der Methode der kleinsten Quadrate für jedes Fehlergesetz , bei welchem der Durchschnittswert der Fehler null ist, und sie ist in ihrer Begründung nur willkürlich durch die Art der Schätzung der Genauigkeit mittels des mittlem zu befürchtenden Fehlers. Die ältere Ableitung dagegen beschränkt sich auf eine bestimmte Form des Fehlergesetzes. Über die Bedeutung des Gaußschen ni. F. bei der Genauigkeitsschätzung der Ausgleichungsresultate haben wir uns S. 72/7o für den ein- fachen Fall des arithmetischen Mittels eingehender verbreitet.

Selbständig wurde die Methode der kleinsten Quadrate auch von Legend re und Adrain gefunden. Legendre leitete 1806 in einem Werke über die Bestimmung von Kometeu- bahnen das Verfahren empirisch ab und gab ihm den Namen „Methode der kleinsten Quadrate". Er weist insbesondere auch darauf hin, daß der Schwerpunkt mehrerer Punkte eine mitt- lere Lage im Sinne dieser Methode darstellt. Adrain ent- wickelte 1808 das Fehlergesetz III (das Gaußsche Exponential- gesetz) theoretisch aus der Annahme, daß der Gesamtfehler einer Linie am wahrscheinlichsten proportional auf die Teil- strecken zu verteilen ist.***)

Die „Theorie analy tique des probabilites" von Laplace(1812) enthält eine Ableitung der Methode der kleinsten Quadrate,

*) Die Angabe 1797 für die Ableitung des Fehlergesetzes in IV, S. 98, ist wohl irrig.

**) Briefwechsel zwischen C. F. Gauß und H. C. Schumacher, 4. Bd., Altona 1862, Brief v. 25. Novbr. 1844, S. 371, und 5. Bd., Altona 1863, Brief vom 27. Dezbr. 1846, S. 272.

***) Cleveland Abbe. A historical note on the method of least Squares. (Americ. Jour. of Science and Arts, I, 1871, S. 411 — 415.)

E. Hammer. Beitrag zur Geschichte der Ausgleichungsrechnung. (Zeitschrift f. Vermessungswesen, Bd. XXIX 1900, S. 613-628.)

118 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

welche von der 1821 von Gauß gegebenen anfangs nur in der Schätzung des Fehlers X — x oder [us], Gl. (5j S. 112, ver- schieden ist. Laplace berechnet unter Annahme eines beliebigen Fehlergesetzes cp{a) die Wahrscheinlichkeit, daß X. — x inner- halb gegebener Grenzen liegt und bestimmt darnach die a so, daß diese Wahrscheinlichkeit möglichst groß werde. Unter der Voraussetzung einer ins Unendliche wachsenden Anzahl Be- obachtungen stellt sich heraus, daß unabhängig von einer An- nahme über das Fehlergesetz (welches nur die Bedingung (p{^-\- e) = (p{— s) zu erfüllen hat) das günstigste System der « mit dem von der Methode der kleinsten Quadrate geforderten übereinstimmt. Beschränkend ist hier die Voraussetzuncj sehr vieler Beobachtungen, die in der Regel nicht zutrifft.

Laplace betrachtet es als einen zugunsten der Methode der kleinsten Quadrate sprechenden Umstand, daß sie nach seinen Untersuchungen die größten Fehler /l (absolut genommen) sehr nahe zu einem Minimum mache.

In Deutschland hat sich die Methode der kleinsten Qua- drate rasch verbreitet. Außer den grundlegenden Arbeiten von Gauß trugen dazu die Schriften von Bessel, Hansen u. a., so- wie die Lehrbücher von Hagen und Gerling bei.*) Zu diesen sind namentlich seit Einführung der Methode der kleinsten Quadrate in die Landmessung zahlreiche weitere Lehrbücher getreten. Im allgemeinen findet die jüngere Gaußche Dar- stellung immer mehr Freunde. Henke benutzt zur Begründung die Forderimg des möglichst engen Anschlusses.**)

Andrerseits ist der Standpunkt der Wahrscheinlichkeits- rechnung noch mehr hervorgehoben worden in den Lehrbüchern von Wittstein, Dienger und Zachariae, wo die Unbekannten aus der Bedingung der wahrscheinlichsten Hypothese hergeleitet

*) G. Hagen. Grundzüge der Walirscheinliclikeitsrecbnung. Berlin 1837 (3. Auflage 1882).

Christian Ludwig Gerling. Die Ausgleichungsrechnungen der praktischen Geometrie oder die Methode der kleinsten Quadrate usw. Hamburg u. Gotha 1843.

**) R. Henke. Über die Methode der kleinsten Quadrate. Leipzig 1868 (2. Auflage 1894). (Hier findet man auch eine kurze Darstellung der zahlreichen Bemühungen zur Begründung der Methode der kleinsten Quadrate.)

§ 2. Geschichtliche Notiz. 119

werden.*) Zachariae hebt hervor, daß für die von der Methode der kleinsten Quadrate gegebenen Werte der Unbekannten nicht nur die unendlich kleine Wahrscheinlichkeit des Zu- sammentrefiens der Beobachtungsfehler ein Maximum wird (Gauß), sondern auch die endliche Wahrscheinlichkeit, daß die Unbekannten innerhalb von Grenzwerten liegen, die man in beliebigem endlichen Abstände voneinander wählen kann (Andrae).**)

Über die zahlreichen Bestrebungen zur Begründung der Methode der kleinsten Quadrate sind die Werke von Czuber nachzusehen.***) ■

*) Th. Wittstein. Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung von L. Navier. Deutsch herausgegeben und mit Anmerkungen und vier Abhandlungen über die Methode der kleinsten Quadrate vermehrt. 2. Bd. Hannover 1849.

•J. Di enger. Ausgleichung der Beobachtungsfehler nach der Methode der kleinsten Quadratsummen. Braunschweig 1857.

G. Zachariae. De mindste Kvadraters Methode. Xyborg 1871 (2. Auflage, Kjobenhavn 1887).

**) Ist bei gleich genauen direkten Beobachtungen x eine Hypothese über den Wert der Unbekannten, so ist ihre Wahrscheinlichkeit pro- portional (vgl. S. 95/97):

g_r-[(;-.r)^-].

Die AVahrscheiulicheit, daß der Fehler der Bestimmung x = \J'\:n zwi- schen A und A -|- f/A liege, ist daher proportional

e-"A-^-rfA.

Die Wahrscheinlichkeit, daß er zwischen a und h liege, ist also pro- portional

/e-«/r-A"-(7A.

a

Ist h = a -\-^c, wo c eine Eonstante ist, so ist bei veränderlichem a das Integral ein Maximum für « = — c, &^-|-c, wie man besonders leicht an der Hand der Flächenbedeutung des Integrals mittels einer Figur erkennt. Die Wahrscheinlichkeit ist also am größten, wenn man das konstante Intervall 2c symmetrisch zu A ^ 0, d. h. dem arithmetischen Mittel der Beobachtungen, nimmt.

***j E. Czuber. Theorie der Beobachtungsfehler. Leipzig 18'J1.

Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihrer An- wendungen. Jahresbericht der deutschen Mathematiker -Vereinigung VII. Bd. II. Heft. Leipzig 1899. (Hier ist auch eine nach Autoren ge- ordnete Übersicht der Literatur cpegeben.)

120 Drittes Kapitel. Yei'mittelude Beobachtungen.

Die Abhandlimgen von C. F. Gauß sind 1887 in einem Sammelbande in deutscher Sprache erschienen, nachdem bereits 1855 eine französische Ausgabe von Bertrand besorgt wor- den war.*)

Einen ganz eigenartigen Standpunkt nimmt Thiele ein; näheres darüber wird im § 11 dieses Kapitels mitgeteilt werden.**)

Über die Methoden, welche Laplace u. a. vor Erfindung der Methode der kleinsten Quadrate zur Ausgleichung an- wandten, vgl. man Mec. cel., tome II, S. 126 u. f.***j Eine dieser Methoden, die schon Boscovich benutzte, wird im 9. Kap. § 2 bei anderer Gelegenheit behandelt werden.

§ 3. Weitere Entwicklung der Formeln nach dem Algorithmus von C. F. Gauß.

I. Auflösung der Norinalgleichuugen uach einem von Gauß eingeführten Verfahren. Im vorhergehenden ist das Nötiacste cpegeben, was die Ausgleichung vermittelnder Be- obachtungen gleicher Genauigkeit anbetrifit. Es ist nun noch näher darauf einzugehen, wie die Rechnung bei der Auflösung der Normalgleichungen nach den Unbekannten und bei der Ermittelung der Gewichte derselben möglichst einfach zu ge- stalten ist.

*) A. Börsch u. P. Simon. Abhandlungen zur Methode der klein- sten Quadrate von Carl Friedrich Gauß. In deutscher Sprache heraus- gegeben. Berlin 1887.

J. F. Bertrand. Methode des moindres carres. Memoires sur la combinaison des observations. Par Ch. Fr. Gauß. Traduits en francais et publies avec l'autorisation de Tauteur. Paris 1855.

**) T. N. Thiele, Director of the Copenhague Observatory. Theory of Observations. London 1903. (1897 erschien als Vorläufer in dänischer Sprache: Elementaer Jagttagelseslsere, Kjobenhavn.)

***) Zur Ergänzung sei bemerkt, daß Lamont im Meteorol. Wochen- bericht Nr. 203—210, 1869, es als Mangel der M. d. kl. Qu. hinstellt, daß nicht notwendig [X] = 0 wird. In der Tat kann dies bei wenigen Beobachtungen recht auffällig werden ; ist z. B.l^-\-Xj^=x u. ?» -f ^» = 10. t', so ist nicht P-^ -\-X^ = 0, sondern X^ -(- lOA, = 0. Indessen kommt man einerseits mit der Bedingung [X] = 0 als Ausgleichungsprinzip nicht aus und andrerseits erzielt man doch in jedem Falle mit der M. d. kl. Qu. größte Gewichte!

§ 8. Weitere. Entwickking der Formeln. 121

Die sogenannte nnbestimmte Auflösung der Normal- gleichungen in der Form wie in % 1, S. 105, ist oftmals von Vorteil, wenn die Koeffizienten runde Zahlen mit wenig Ziffern sind, wie z. B. in dem Beispiel auf S. 108, sowie auch manch- mal dann, wenn ein größerer Teil der Koeffizienten null ist.

Man kann sich dabei irgend eines Eliminationsverfahrens, in einzelnen Fällen auch mit Nutzen der Determinanten be- dienen. Im allgemeinen aber ist es bequemer, in folgender Weise vorzugehen.

Sind die Normalgleichungen für 4 Unbekannte [aa]x + [ah]y -^ [ac]£ -{-.[ad]t = [al] [ah-\x + [hh]ij + [bc]^ -f [bd]t = [hl] ^^ [ac]x-{-[bc]ij-\-[cc]2 + lcd]t=[cl]

\ad]x + [hcl]y + [cdjs + [dd]t = [dl], so gibt die erste Gleichung:

^^>' ^ + [aa] y + [aa] ^ + [««] ^ [«a]'

oder symbolisch

(2*) x-\- a^y + cc^z + a^t= i^.

Multipliziert man die erste Gleichung (1) mit a^'= [a6] : [aa\ und zieht das Ergebnis von der zweiten Gleichung (1) ab, so folgt

Dasselbe ergibt sich, wenn die Gl. (2) mit [alj] multi- pliziert und von der zweiten Gleichung (1) abgezogen wird. Ähnlich geben die dritte und vierte der Gleichungen (1):

( r, T rrt?>iracll , fr -, [ac][ac\\ . f r jt [«c] [«(/]],

122 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Diese drei Gleicliungen schreibt man abgekürzt nach einer von Gauß eingeführten Bezeichnungsweise wie folgt:

[hh ■ l]ij + [hc ■ l]z + [hd ■ l]t = [hl . 1]

(3) [hc- l]y + [cc ■ 1]2 + [cd ■ l]t = [cl ■ 1] [bd- l]y^[cd-l]z-\-[dd- i]t=[dl- 1],

wobei also die Koeffizienten aus denen des Systems (1) nach den Formeln berechnet werden:

[bh.l-]=[hh]^ I«^]^^^- = [/. i] - a,' [a h] [hc.l]=[hc]- i"^ = [6c] - a,' [ac] [hd .l]^[hd]~ t«^^^"^ = [hd] - < [ad] [hl .l] = [hl]- ^£^ = [hl] - < [a l]

(4) [cc . 1] = [cc] - ^"1^^ = [cc] - a,' [ac] [cd . 1] = [cd] - -^"|M- = [cd]- < [ad] [cl-1]^ [cl] - i«^|^ = [cl] - cc,' [Ol]

[dd-l] = [dd] - -M|^ = [dd] - cc^ad] [dl ■ 1] = [dl] - I^~^ = [dl] - <[«?]•

Für die Auflösimg bei gegebenen numerischen Werten bedarf man übrigens der Formeln (4) nicht; man kommt dann von selbst auf die Gleichungen (3) durch Elimination von x in der angegebenen Weise. Aus den allgemeinen Formeln ist er- sichtlich, daß das System (3) sich wie ein Normalgleichimgs- system gestaltet, denn es herrscht in ihm dieselbe Koeffizienten- symmetrie.

Ferner ist leicht nachzuweisen, daß wie bei Xormal- gleichungen jeder Koeffizient in der Diagonale eine Summe von Quadraten ist. Es hängt dies damit zusammen, daß die

§ 3. Weitere Entwicklung der Formeln. 123

Oleichimgen (3) wirkliche Normalgleichungen sind, die den Fehlergleiehungen entsprechen, nachdem man sie von x mittels (2*) befreit hat. Sind die ursprünglichen Fehlergleichungen

A. = - /. + a,x + l.y + c^z + d.t,

(5) .

z = 1 . . . «

so gibt die Elimination von x:

,„ x,= -i:+h:y + c:, + d;t,

wobei

^i=h-(^i^2, Ci=c,-a,a^', d;=d.-a^a;

ist. Mit Rücksicht auf die aus (2) und (2*) folgende Bedeutung von a^, ßg' und cc/ erkennt man leicht, daß das zu (6) ge- hörende System von Normalgleichungen:

\h'h'^y^\h'c\z+[h'd']t=\h'r]

(8) [h'c\y + [ce]z + [c'd']t = \c'n

\h'd']y-^[cd']z+ [d'd']t= [d'l']

identisch ist mit dem System (3). Denn es ist z. B. d. i. wegen x^= [fl/]:[ffa] und a^' = [ah\:[na\ gleich

Aus der ersten Gleichung des Systems (3) leiten wir weiter al): rm [&C-1] [6rM3 [&M]

oder symbolisch

(9*) !/4-^A + ^;'^ = ;c2-

Eliminiert man hiermit aus (3) die Unbekannte y, so folgt

[cc-2]^ + [cd -211^ [cl-2] (10) ^ ^ [cd ■ 2]z -h[dd-2]t= [dl ■ 2],

wobei die Summen die nachstehende Bedeutung- haben:

124 Drittes Kapitel. Yermittelnde Beobachtungen.

[cc . 2] = \cc . 1] - ^''-^^1%-'^ = [cc ■ 1] - /3,"[/^c . 1] [cd. 2] = [cd. 1] - ^'"^^l^\]''^ = [cd-l] - ß,"[hd . 1]

(11) [cl . 2] = [cl . 1] - ^^\^'l^^,\''^ = [cl ■ 1] - ß^'[hl ■ 1]

[dd.2] = [dd.l^ - ^-^^ = [^^-1] - /^/'[^'rZ. 11

[dl . 2] = [^/ . 1] - ^''\,'^^l\-'^ = [dl ■ 1] - ß:[hl ■ 1] .

Die Gleichungen (10) gehören als Normalgleichungssystem zu den Fehlergleichungen

x.= -i:'+c;'zi-d;'t,

(12)

i = 1 . . . n

die aus den Gleichungen (6) durch Elimination von y mittels (9*) hervorgehen:

(13) i;'=i;-h:x,, c:'=c;-h;ß^', d:'=d;-h;ß:.

Weiter folgt aus (10):

^^^^ ^+ [cc-2y~ [cc-2]'

oder symbolisch

(14*) ^ + 7;"^=Z3.

Damit ergibt sich aus der zweiten Gleichung (10) durch Elimi- nation von Z'.

(15) [dd-?>']t = [dl.^,

wobei

[dd. 3] = [rZrZ- 2] - ^"^rl^^ = [_dd-2-\ - y:"[cd.2^ (16)

[dl.?>] = [dl.2']~ ^^^^P = Vdl . 2] - y- [cl . 2].

Die Gleichung (15) gehört als Normalgleichung zu den Fehler- gleichungen

(17)

i = \ . . . n

§ 3. Weitere Entwicklung der Formeln. 125

die aus den Gleichungen (12) durch Elimination von z mittels (14*) hervorgehen:

(18) /,'" = l- - c," ^^ , d.'" = d:' - cl'yl". Endlich ist nach (15)

(19) ^ = PdT3] = ^-

Man sieht leicht den Fortgang der Rechnung für mehr als vier Unbekannte.

Die wichtigsten der vorstehenden Gleichungen fassen wir wie folgt als System der reduzierten Xormalgleichungen zusammen:

^ + "[^r^"^ \aa\^^ \_aa\ \aa\

(-Ö) [c(Z ■ 2] _ [c? • 2]

^ + [cc-2]^ [cc-2]

'' [dci-zy

oder symbolisch:

Aus diesen Gleichungen findet man schrittweise die Un- bekannten t, z, y, X.

II. Bestimmung der Gewichte der Uuhekaimteu und über- haupt aller Hilfsgrößen Q. Hierbei hat man von den Glei- chungssystemen (13), (14), (15), S. 104, auszugehen, die mit Beachtung der Beziehung ^,-./, = Qj,.i nach (10), S. 105, für vier Unbekannte wie folgt lauten:

^^^^ [«c]^,.,-|-[?>c]^,.,+ [cc]^,.3+[cf7]^,.,= 0

J^26 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

[aa\ ^1 . 2 + [«i^] <?2 . 2 + [«^'J ^2 . 3 + [«<^J ^2 . 4 = ö

[ad] Q,,, + [6f7j ^., 2 + [cf/j ^2.3 + [dd] Q,.,= 0,

[««]^1.3+ [«^]^2.3+ [«C]^^3.3+ [af^]^>a.4=0 [«&]^1.3+[^^]Ö2.3 + [&^]^3.3+[&^J^3.4=0 *^ -* [«C]^,.3+ [&C]V2.3+ [CC]^3.3 + [C(^Qs.,= 1

[aC^] <2l.3 + [^^n ^2.3 + [C^J <?3.3 + [f^^?] '^S.i = 0, [««]Öl..l+ [«&]Ö2..,+ [«C](?3.,+ [«(^]^,.4=0

^ ^ [ac]Q,.,-{-\hc]Q,., + [cr](>3.4+ [c^]^..4= 0 [a^.l Q,.,+ [hd\ Q,.,+ [cd] Q,., + [dd] Q,.,= l.

Diese vier Gleichungssysteme nennt mau die Gewichts- gleicliungen.

Anstatt (24) kann man mit Beachtung der vorher unter I gegebenen Reduktion der Normalgleichungen auch schreiben: [aa]Q,.,+ [al]Q,.i+ Vac]Q,.,+ [ad]Q,.^ = 0 [?'& ■ 1](>2.4+ [^c-l]Q,.,+ [hd-\]Q,.^= 0 [cc-2]Q,.,+ [cd-2]Q,,,=^0

[dd-^]Q,.,=^\ oder auch

öl. 4+ f^2'Ö2.4+ < ^3.4+ < ^4.4=0 (>2.4+/33"Ö3.4+/34" 04.4=0

(25) <?3.4+r4"'Ö4.4=0

^i^^ [dd%]

Hieraus folgt Q^,^ und durch Einsetzen rückwärts nach und nach Q^_^, Q^^,^, Q^,^.

Aus (23) hat man ebenso mit Weglassung der vierten. Gleichung

<2l.3+ «2'Ö2.3+ ^3' 4^3-3+ «4' (?3.4=0

(26) ^23+ l^3"Ö3-3 + /^4" (^3-4= 0

Vs • 3 + ^4 Ö3 ■ 4 "= r^c- 2] "

§ 3. Weitere Entwicklung der Formeln. 127

Da nun Q^,^ schon berechnet ist, folgen nach und nach Q^.^, Q2.3 und Qi.s-

Aus (22) ergibt sich mit Weglassung der beiden letzten Gleichungen :

^1.2 + «2' ^2-2 + %' ^2-3 + «4' Q-2i== 0

(27) „ „ 1

T2-2+P3 Q-2Z~^ ßi ^-^i^ flb'rü'

woraus man Q2.2 und Q^_^ erhält.

Zum Schluß findet man Q^,^ aus der ersten Gleichung (21):

(28) Q,., + fV^i.2+ <^i.3+ <^i.4 = i^y

Das eben auseinandergesetzte Verfahren der Auflösung der Gewichtsgleichungen schließt sich eng an die Auflösung der Normalgleichungen an und gibt die Q ledigKch durch all- mähliches Einsetzen ohne die Berechnung neuer Hilfsgrößen. Es rührt von Hansen her.*)

Bemerkenswert ist es, wie die Vergleichung von (20) und (25) zeigt, daß das Gewicht der letzten Unbekannten sich bei der allmählichen Elimination der Unbekannten aus den Normalsjleichuncfen einfach als Koeffizient dieser letzten Unbekannten eingibt; hier ist es 1 : Q^^^= [(7rt!-3]. Auch die nächst benachbarten Q lassen sich leicht berechnen.

Um alle Q bequem zu finden, hat man nach Encke**) in früherer Zeit häufig die Reihenfolge x, y, z, t der Unbekannten in den Normalgleichungen umgestellt in t, z, y, x und eine neue Reduktion ausgeführt. Das Hansensche Verfahren ver- dient aber den Vorzuo-.

III. Fortsetzung des Gaußscheii Algorithmus. Gauß hat in der Theor. comb, zwei Methoden zur Berechnung der Q angegeben, die sich eno^ an seinen Algorithmus anschließen. Mit Rücksicht auf die früher dargestellte Reduktion der Normal- gleichungen kann man aus (24), (23), (22) und (21) ohne weiteres folgende Systeme bilden:

*) Astr. Nachr. Bd. 8. Nr. 192.

**) Berliner astr. Jahrbuch 1834, S. 287. (Encke erörtert übrigens auch die anderen Verfahren von Gauß und Hansen.)

128 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

(29) \dd.^Q,.,==l,

<^^^^ \cd.2]Q,,,+ [dd.2^Q,,,= 0,

\hh . Y\Q,,,-^ \hc ■ iyi,,,-V \hd ■ 1-]Q,.,= \ (31j \hc■^Q,,,+ [rc•l^Q,.,+ [_cd■l\Q,.,= 0 [hd •l\Q,,, + \rd ■\\Q,.,+ ldd .\]Q,,,^Q ,

[««J^l.l+ L«^löl.2+ [«^'1(^1.3+ [«^j^l.4= 1

[ad\Q,.,+ [hd^Q,.,-V[cd]Q,.,-{\dd\Q,.,= ().

(32)

Diese Systeme geben sämtliclie Q, aber nicht ohne daß bei der allmählichen Elimination, die bei (30), (31) und (32) nötig ist, rechter Hand neue Zahlen zu bilden wären. Dies geschieht ganz schematisch bei der allmählichen Elimination, die zu folgenden Systemen führt:

[CC.2]^3.3+M.2](?3., = 1

^ ^ [dd.^Q,.,==-n",

\hh-l]Q,,,+ lhc-^Q,.,+ \hd-l\Q,., = l (31*) [cc.2Yl,.,+ icd.2]Q,., = -ß,"

[^^■3]^2., = -/i;",

[«a]^»>i.i+ [«^1^1.2 +[ö^c]<?i.3 -^[ad]Q^,^ =1

[?>6-lK>,.2+[&c.l]^,.3+[&^-l](?,.,= -< ^ ^'^ [ec.2]g,.3+[cr7.2]^,.,= -<'

[f/f/-3]^i.^= — a/". Hierbei haben a^', ß^" und y^'" dieselbe Bedeutung wie in (20*). Für die anderen Symbole ergeben sich mit Rücksicht auf die Entwicklung unter I, die folgenden Beziehungen:

— «3" = — «3' + «2' /Jg",

— «4" = — Ci^' + CC.2 ß/',

(33) - «/"= - «/'+ «s'V/",

§ 3. Weitere Entwicklung der Formeln. 129

Die Gleichungen (29), (30*), (31*), (32*) geben nun sämt- liche Q gerade so, wie die Gleichungen (20) die sämtlichen Unbekannten durch allmähliches Einsetzen der bereits er- mittelten Werte in die vorhergehenden Gleichungen ergeben. Und dies ist dasjenige Verfahren, welches meistens angewendet wird.

Die in den eben genannten Gleichungen rechter Hand auftretenden Zahlen a, ß, y geben auch ein Mittel zur expliziten Darstellung der Q und der Unbekannten, so daß man imstande ist, diese Größen in beliebiger Reihenfolge zu berechnen und insbesondere sich auf die Berechnung einiger Q zu beschränken.

Multiplizieren wir nämlich die Gleichungen (20*) der Reihe nach mit 1, — a./, — cc^", — a^'" und addieren, so ver- schwinden wegen der Beziehungen (33) die Koeffizienten von y, 2, t. MultipKzieren wir mit 0, 1, — ß^' und — ß^" und ad- dieren, so bleibt nur y, und wenn wir mit 0, 0, 1 und — y^" multiplizieren und darauf addieren, nur z übrig. So ergibt sieh:

0^4)

l3 - Vi lx=^

Denkt man sich nun die Gleichungen (32*) in derselben Weise wie die Gleichungen (20*) geschrieben, so wird man mithin aus den zu (20*) gehörenden Gleichungen (34) an Stelle der X, y, z, t die Größen ^i.i, ^1.2; Qi.zy Qii erhalten, wenn man

^1 ^ \^y Z2 = - [feö^; 3:3 = - j^/rä] ^^^ ^4= - {dd^\ ^^*^^' also wird

(35)

[&&-1] ' [CC-2J ' [rfd-3] «3" I «4'" 74'

[cc-2] _' [dd.-S] ^1-3

= ^1.4-

[dd-'i]

Helmert, Ausgleichungsreclmung. 2. Aufl.

130 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Ebenso ergibt sich aus (31*):

('^^) ~ [cc^] + [dd'a] = ^2.3

Ferner aus (30*):

[rfd-3]

^2.

' +%^-Q.

(37)

[cc-2] ' [dd-Z]

7i"

{dd-i\ ' Dazu aus (29):

(38) w:z] = ft

«34 ■

Diese Gleichungen werden auch sofort, nur in anderer Reihenfolge, durch Einsetzen der l^ereits gefundenen Werte in die Gleichungen (25), (26), (27 j, (28) erhalten, wenn man die Beziehungen (33) in Rücksicht zieht.

Die Formeln (34) ermöglichen auch den Wert einer linearen Funktion der Unbekannten sofort zu berechnen, ohne erst diese letzteren selbst zu ermitteln; dazu ist nur er- forderlich, die Werte aus den Gleichungen (34) in die Funktion einzuführen und die Glieder mit denselben i zusammenzuziehen. Wir unterlassen jedoch die sehr einfache Ausführung, da die Endformel wenig praktischen Wert haben würde, indem sie nur dann eine einfachere Rechnung gibt, wenn allein der Wert einer Funktion verlangt wird, und diese außerdem nur einen Teil der Unbekannten enthält.

Wir können schon hier darauf hinweisen, daß im all- gemeinen die Ermittelung der Unbekannten aus dem System (20 *) einfacher ist als in der zuletzt angegebenen Weise, denn offen- bar hat man bei letzterer als Mehrarbeit die Berechnung der Hilfsgrößen. Noch ungünstiger wird das Verhältnis, wenn in den Xormalgleichungen viele Koeffizienten null sind. Durch geschickte Anordnung der Reihenfolge der Unbekannten vor der Auflösung der Normalgleichungen kann man es dann

§ 4. Rechenkontrollen. 131

dahin bringen, daß auch in (20*) mehrere der Koeffizienten a, ß, y, . . . null werden. Ebenso wie die Elimination wird auch die folgende Auflösung durch allmähliches Einsetzen dadurch einfacher. Dagegen wird in dem Systeme (34) der Fall, daß ein Glied null wird, viel seltener eintreten; denn die % sind im allgemeinen nicht null und die neu berechneten HilfsgToßen als Funktionen mehrerer der ursprünglich gegebenen a, ß, y, . . . voraussichtlich auch nicht.

Wenn die Q berechnet werden, so kann man rein theore- tisch genommen die Mitführung der Glieder [«?], [hl], usw., d. h. die Ableitung der % in (20*) sparen, da man ja nach (18), S. 106, ansetzen kann:

X = [al]Q,.,+ [bl]Q,.,+ lcl]Q,.,+ [dl]Q,., y = [ar\Q,.2+MQ2.2 + [cT]Q,.,^[cU]Q,,, ^-[al]Qt.,+ [hl]Q,.,+ [cl]Qs.^ + [dl]Q,., t = [al]Q,.,-h[hl]Q,.,+ [cI]Q,.,+ [dJr\Q,.,.

(39)

Dies Verfahren setzt aber voraus, daß die Q genau genug be- rechnet sind, was oftmals überflüssig erscheinen wird, insoweit die Q nur zur Berechnung der mittlem Fehler dienen. Meistens führt man die Berechnung der Unbekannten direkt mittels der X durch, da außerdem bei schematischer Anlage der Rech- nung keine große Mehrarbeit entsteht. Die Formeln (39) können dann als Kontrollen für die Q dienen.

§ 4. EechenkontroUen.

I. Kontrolle dnrch Summengleicliniigeii. Um für die

richtige Aufstelluno- von Nonnalsleichuno-en eine Rechen- kontroUe zu erhalten, kann man die Summe der Normal- gleichungen in doppelter Weise bilden: einmal durch Addition der Normalcrleichuncren und ein zweites Mal direkt aus den Fehlergleichungen. Setzt man nämlich die Summe der Ko- effizienten einer jeden Fehlergleichung gleich S-, so wird z. B. bei drei Unbekannten:

9*

132 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

«1 = «1 + ^1 + Cy «2 = «2 + h + %

(1) «3 = «3 + ^3 + «3 ^4 = ^4 + ^4 + <^4

Addiert man nun die Nonnalgleicliungeii (9), S. 101, so folgt

(2 ) [a s\ x + \hs]tj-\- [cs\ z = [?6-] .

Diese Gleichung läßt sich auch direkt aus den Fehlergleichungen (3), S. 100, bilden, indem man ihre rechten Seiten mit den zu- gehörigen s multipliziert und alsdann addiert: dadurch entsteht

— [?s] + \as\x -f \bs\y -f [cs]^, woraus durch Gleichsetzung mit null die Gleichung (2) folgt.

Die Summengleichung (2) kann bei der Auflösung der Normalgleichungen nach dem Gaußschen Algorithmus mit fortgeführt und wie eine letzte Normalgleichung behandelt werden. Eine Rechenkontrolle besteht dann darin, daß jedes abgeleitete Gleichungssystem als Summe die zu ihm gehörende abgeleitete Summengleichung geben muß. Man erhält w. a. durch die Auflösung bei drei Unbekannten nach Elimination

von X'.

\bh ■ \\y -f \bc ■ l'jz = [hl . 1]

(3) [6c-l]y-f[cc- l]^ = [cM] wobei

w

[sl • 1] = [sl] L J L J

[aa] ist. Zur Kontrolle hat man

(ö)

[hh ■ 1] + [hc ■ 1] = [hs ■ 1], [hc ■ 1] + [cc ■ 1] = [es • 1], [bl ■ 1] + [cl ■ 1] = [sl ■ 1] .

Hat man die letzte Unbekannte gefunden, so gestatten die einzelnen Summengleichuno-en eine schrittweise Kontrolle bei der Berechnung der übrigen; wenn alle Summengleichungen

/

§ 4. Rechenkontrollen.

133

erfüllt werden, kann man im allgemeinen sicher sein, daß die ganze Rechnung von denFehlergleichungen an fehlerfrei erfolgt ist.

Ebensu wie die Berechnung der x, y, z, . . . läßt sich auch die der Q durch die Summengleichung prüfen, wobei nur an Stelle von [aJ], [?>/], [cl], ■ ■ ■ der Reihe nach 1, 0, 0, . . .; 0, 1, 0, . . .; 0, 0, 1, . . .; usw. tritt.

Die Summengleichungen für die Schlußkontrolle lauten: (6) [as]x + [bs-jtj 4- [cs]z + . • • = [?s];

[as] (>i.i + [hs] Q,.,-{- [es] ^^.3 + . . . = 1 [as]Q,., + [hs-]Q,,, + [es] ^2.3 +••• = ! [as] Q,., + [hs] Q,., + [es] Q,., + ••• = !

(6*)

A. S. Flint*) hat noch die Summe des letzten Systems ge- bildet; für m Unbekannte folgt:

(7) [as][Q,.;] + [hs][Q,.,^ + M[^3.J + . ■ • = m

?" = 1 . . . m.

IL Kontrolle durch Quersummeu. Bildet man für jede Normalgleichuug die Quersumme aller Glieder, nämlich

[aa] + [ah] + [ae] H \- [al] = S^

[ah]^[hh]-^[hr] + ... + [bl]^S,

(8)

[ac] + [he] + [ee] + ■ . . + [cT] = S,

und behandelt diese S wie die andern Glieder beim Gaußschen Algorithmus, so daß also S^', S^', . . .; S/', . . .; usw. abgeleitet werden, so bleibt die Summen eisfenschaft erhalten:

(8*)

[bh-l]i-[he-l] + [hc-l] + [ec-l]^

[ce-2] +

+ [hl + [cl

-\-[cl

1] = S,'

1] = s,'

2] = ^3"

*) A brief control for general Solutions of normal equations. (Annais of Mathematics, 1888 IV, S. 182.;)

Die Gleichungen (6) und (6*) habe ich schon in der ersten Auflage dieses Buches, S. 120, zur Kontrolle herangezogen.

134 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Man karm diese Kontrolle auch auf die Auflösung dor Gewichtsgleichungen anwenden, insbesondere auch bei Ver- einigung der Auflösungen der Normalgleichungen und der Ge- wichtsgleichungen in ein gemeinsames Schema; vgl. hierzu die Formelzusammenstelluug in § 7 dieses Kapitels.

Die Kontrolle durch die Quersummen leistet nicht nur l)ei der allmählichen Reduktion der Normalgleichungen gute Dienste, sondern auch bei der allmählichen Ableitung der AVerte der Unbekannten. Man muß im letzten Falle nur beachten, daß der Koeffizient der Unbekannten, welcher den Betrag 1 hat, nicht extra hingeschrieben wird, aber bei der Quersummen- bildung mit gezählt werden muß.

ni. Schlußkonti'olle für x, ij, t:, . . . durch doppelte Be- rechnung der Summe [AA]. Man kann einmal jedes A mit Hilfe der Unbekannten aus der betreffenden Fehlergieichung ermitteln und alsdann die /. quadrieren und addieren. Man kann aber auch ein zweites Mal [AA] berechnen mit Hilfe der Quadratsumme der Z, also mittels \ll\.

Multipliziert man nämlich jede der n Fehlergleichungen

Af = - ?i + a.x Ar ^y + c..^ -1

mit ihrem 7, so erhält man durch Addition

(9) [II] = - [U] + [al]x + [hl]y + [cl]^ + • ■ •;

wenn man dagegen jede Fehlergleichung mit dem betreffenden Aj multipliziert und darauf addiert, so ergibt sich

[XX] = - [U] + [a/.]x + [hX]y + [cl]z -] ,

oder wegen [aX] = 0, [6AJ = 0, usw.,

(10) [AA] = -[A/]. Damit folgt aus (9):

(11) [AA] = [II] - [al]x - [hl]y - [cl]2 .

Diese Formel ist ganz bequem zur direkten Berechnung von [IX] aus [II]. Man kann ihr aber im Anschluß an den Gauß- schen Algorithmus noch eine andere Gestalt geben. Das Yer- fahren besteht im wesentlichen darin, daß man mit Hilfe der reduzierten Normalgleichungen (20), S. 125, aus (11) die Un-

§ 4. Rechenkontrollen. 135

bekannten x,y,2,. . . eliminiert. Zunächst eliminiert man ic mittels der Gleichung

[rt ft] , [ac] \al\

das gibt

lxl\ = \_l^-^^^^-\hl.^l,~[cl.^z-

Eliminiert man nun y mit Hilfe der Gleichung

„ : -f^ ^^y . + ... = L^-^^

so folgt

M-["]-[l^-[|^-[.;-2>-....

Man erkennt jetzt, daß die fortgesetzte Elimination zu der Gleichimg führt:

n9^r;;i-r7n f"^]' [^^'^l"'" ^^'"-l' t^^'-^^'

(^IwJ [AAJ - [iij - ^^--| - ^^^-7^1 - j-^^ 2] ~ [dd. 3] '

oder

Die Kontrolle durch doppelte Berechnung von [AA] bezieht sich auf die ganze Ausgleichung einschließlich der Bildung der Normalo-leichungen aus den Fehlergleichungen: aber sie zeigt erst am Ende der Rechnung das etwaige Vorhandensein eines Fehlers.

Die letzten beiden Formeln sind nur brauchbar bei der schematischeu Auflösung der Normalgleichungen nach dem Gaußschen Algorithmus. Die Berechnung der Summe [/lA] kann aber in allen Fällen nach der Gleichung (11) erfolgen. Die Kontrolle ist hier nahezu ebenso vollständig.

Um dies wenigstens für einen einfachen Fall zu zeigen, nehmen wir an, x sei um A zu groß erhalten. Dann wird nach (11) anstatt \ll\ ein Wert [AA]' erhalten, der um — [a?]A von ihm verschieden ist: (13) [AA]'=[AA]-[a7]A.

Die Substitution des fehlerhaften x in die Fehlergleichungen gibt Werte, die um -\- ah fehlerhaft sind. Setzen wir allgemein

A'= A + «A,

136 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

so wird

[A'r] = [AA] + [aa]A-+ 2A[aA],

oder da [al] = 0 ist,

(13*) [AT] = [AA] + [aa]A\

Die rechten Seiten der Gleichungen (13) und (13*) sind hier- nach verschieden, so daß ein Fehler erkannt werden kann. Diese Kontrolle würde nur dann trügerisch sein, wenn zufällig X so angenommen wäre, daß

(14) A = -f^, würde.

In gewissen Fällen kann auch die Gl. (10), also die Prü- fung durch [AAJ = — [A^], nützlich sein.

Kleine Fehler in x, y,z,... beeinflussen im allgemeinen den aus den einzelnen A bestimmten Wert [AA| weniger als den aus den Kontrollformeln abgeleiteten Wert, da der Einfluß der Ungenauigkeiten A von der zweiten Ordnung ist, wie (13*) zeigt und wie auch schon aus (6), S. 100, hervorgeht.

IV, Eine summarische Kontrolle für x, //, z, » . . liegt auch darin, daß die übrigbleibenden, aus den Fehlergleichungen berechneten Fehler A die Bedingungsgleichungen des Minimums erfüllen müssen, daß also

(15) [Aa] = 0, ikh] = 0, llc] = 0, . . . und daß daher auch

(16) [As] = 0 sein muß.

§ 5. Berechnung des mittlem Fehlers aus den übrigbleibenden

Fehlern.

I. Berechnung des mittlem Fehlers n der Beobachtungen

aus [AA]. Zu diesem Zwecke muß man auf die wahren Be- obachtungsfehler e zurückgehen, da a^ der Durchschnittswert von £^ für unendlich viele Fälle ist. Xun ist nach § 1, (4) bis (6*), S. 100:

§ 5. Berechnung des mittlem Fehlers. 137

(1) [se] = [kX] + [dd] mit

(2) d,= e,- X,==a,(X-x) + b,{Y - y) + c/Z - z) + • • •.

Diese Beziehungen gelten für ein beliebiges Wertsystem X, Y, Z, . . . mit den zugehörigen Verbesserungen s der Be- obachtungen: sie selten also auch für die wahren Werte der Unbekannten und die wahren Verbesserungen.

Aus (2) folgt durch Multiplikation mit d- und Addition für alle Indices:

[öd] = [ad]{X -x) + [hö]iY-y) + [cd](Z- ^) + • • •.

Multipliziert man den ersten Teil Yon (2) der Reihe nach mit f't? ^i? c-, . . . und addiert, so wird wegen [aA] = 0, [6A] = 0, [6-A] = 0,...:

(3) [ad] = [aal [hd] = [hs], [cd] = [es], .... Also ist

(4) [dd] = [ae]{X -x) + [b8]{Y- y) + [ca]{Z - z) + • • -.

Nun war nach (10), S. 103, x = [al], y = [ßJ], z = [yl], ..., wobei die a, ß, y, . . . aus der Auflösung der Normalgleichungen folgen. Denkt man sich für l den wahren Wert l + e gesetzt, so gehen x, y, z, . . . in X, Y, Z, . . . über; es wird

X = [a(l + s)], r= [ßil + e)], Z = [y{l + e)], . . . und somit

(5) X-x = [a,], Y-y = [ßB], Z - z = [re], . . . ,

Mit (4) und (5) erhält man aus (1):

(6) [ff] = [kl] + [as][aB] + [hE][ße] + [ce][ye] + • • -.

Die Produkte [a £][«£], [&f][/3£], . . . gestatten eine Schätzung ihres durchschnittlichen Wertes für unendlich viele Wieder- holungen der Beobachtungsreihe \, l^, . . . Z„. Das Produkt [a£][a£] hat Glieder von der Form a-a-e^^ und (cif^a. -j- a.KJf;,^^. Der durchschnittliche Wert der letztern ist aber null, sobald die Beobachtungsfehler unabhängig voneinander sind und ent- weder ein gerades Fehlergesetz befolgen oder doch die Gaußsche Bedingung erfüllen; der Durchschnittswert der quadratischen Glieder ist a^a^fi'-^ daher wird der durchschnittliche Wert von

138 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

[a£][a£] gleich ^-[aa], also mit Rücksicht auf (22), S. 107, gleich |u.^. Das Gleiche gilt für jedes folgende Produkt. Es ist somit bei m Unbekannten

(7) [f£] = [;j.j + m^l

Setzt man noch für [se] den Mittelwert 7ifi^, so wird n^i? = [AA] + ma-,

dahe

[U]

(8) ,a^=Ji^L,^ = +-|/j

^ ^ ' w — m ^ ^ — Y n

Die Formel für ,a- ist nur eine Xäherungsformel, die aber um so strenger sein muß, je größer n — m, die Anzahl der über- schüssigen Beobachtungen, ist. Man bemerke auch, daß sich yb gerade so berechnet, als wären n — ni wahre P'ehler mit der Quadratsumme [A/l] vorhanden.

Ist die Anzahl der überschüssigen Beobachtungen gleich null, so ist es nicht möglich, den mittlem Beobachtungsfehler aus der Ausgleichung zu berechnen. Zur Berechnung der Un- bekannten müssen alsdann die /l als null angenommen werden,

und damit gibt die Formel für (i den Wert - , d h. ,a ist nicht bestimmbar auf diesem Wege.*)

IL Aiimerkuug über den Durschschiiittsfehler ^. Wenn man nach (8) annehmen könnte, daß, ebenso wie [AA] durch-

*) Wenn das Gaußsche Felllergesetz gilt, so entspricht der nach (8) berechnete Wert von fi* der günstigsten Hypothese, die man zur Be- rechnung von u. aus den P. machen kann. Dies zeigte schon Wittstein 1849 in der deutschen Ausgabe des Lehrbuchs der Difterential- und Integralrechnung von L. Xavier, 2. Band. Zu vergleichen ist auch P. Pizzetti: Sopra il calcolo delP errore medio di un sistema di osser- vazioni (Rendiconti deUa R. Accademia dei Lincei, 1889 V, S. 740); femer E. Czuber: Zur Kritik einer Gaußschen Formel (Monatshefte für Math. u. Physik, 1891, E, S. 459).

Gilt das Gaußsche Gesetz aber nicht, so ist allerdings im all- gemeinen (8) nicht die beste Formel zur Berechnung von ^ aus den AVidersprüchen der Beobachtungen. Wegen der mit Auffindung der besten Formel in jedem Falle verbundenen Mühe wird man sich aber immer der Formel (8) bedienen. Dies hat H. Bruns in seiner umfassen- den Abhandlung: Über die Ableitung des mittlem Fehlers /^Dekanats- schrift der Leipziger Universität fürs Jahr 1892/93) eingehend untersucht.

§ 5. Berechnung des mittlem Fehlers. 139

schnittlich zu [ff] im Verhältnis n — m zu n steht, auch im Durchschnitt ] A j : j £ | im Verhältnis ]/>i — m : ]/w stände, so könnte man aus -9- = [ | £ j ] : w ableiten :

(9) * = +^mL.

Dasselbe würde sich ergeben, wenn die A ein Fehlergesetz der- selben Form wie die s befolgten, denn dann würden die Größen

'9-; = + ^^-^ und u. = ± ^L-^

in demselben Verhältnis wie §■ und u, stehen müssen.

Allein diese Herleitung von (9) ist nicht streng. Im Falle des Gaußscheu Fehlergesetzes ist dies genauer untersucht worden.*) Es fand sich (9) nur richtig für gleich genaue direkte Beobachtungen; in allen andern Fällen gibt (9) den Wert von d', absolut genommen, ein wenig zu klein, da nach diesen Untersuchungen die Ungleichheit besteht:

" n — m yn {n — m)

Die genaue Formel (Gl. (24) a. a. 0.) ist zu verwickelt, um be- nutzt werden zu kömien, da sie d- als Funktion der Koeffizien- ten der Normalgleichungen und der Q ergibt. Wenn das Gaußsche Fehlergesetz besteht, ist nun allerdings der Fehler von (9) klein, sobald m gegen n klein ist; überdies liegt d- in der Regel an der untern der beiden in (10) angegebenen Gren- zen, d. h. nahe an (9). Gilt aber das Gaußsche Gesetz nicht, so fehlt vorläufig noch jede Kenntnis über den Grad der An- näherung von (9).

III. Mittlerer Fehler iu der Bestimmuug des mittlem Fehlers fi.**) Es ist hier nützlich, den Ausdruck (6) auf eine andere Form zu bringen. Nach (12), S. 135, ist

gi) [^^]-["i-ig;-[::--j;-p;-->

*) F. R. Helmert. Über die Formeln für den Durchschnittsfehler. (Astr. Nachr. Bd. 85, 1875, Nr. 2039, Sp. 353'366.)

**) F. R. Helmert. Zur Ableitung der Formel von C. F. Gauß für den mittleren Beobachtungsfehler usw. (Sitzungsberichte der Königl. Preuß. Akademie d. Wissenschaften. 1904, S. 950—964.)

140 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen,

im Anschluß an die Fehlergleichungen

K = -h + «i^ + ^iV + ^'i^ H •

Man kann aber auch setzen

wenn man die Koeffizienten der reduzierten Fehlergleichungen

benutzt, vgl. S. 123/124. Dabei ist

» * * [aaj '

sowie

usw. Hieraus folgt:

[h'a] = 0 = [c'a] = • • •

(13) und sowie

(14) und

\h'l"\ = [h'l-\, [c'r] = [6'/], [c"6'] = 0 = [c"a],---

[c-"n = [c"r] = [c"r],...

usw. Statt (12) läßt sich demnach auch schreiben:

(15) M=CT-[^j-p3-p;--

Hierin kann man endlich für die l die e setzen; denn führt man in den Fehlergleichungen für x,y, 2, . . . die Näherungs- werte X, Y, Z, . . . mit den Verbesserungen (x — X), {y — Y), {z — Z), . . . ein, so treten an Stelle von — /• die Werte + e^, da - ^^ + a.X + Z>,r+ C.Z+ • • • = + a, ist:

§ 5. Bereclinung des mittlem Fehlers. 141

Diese Gleichung gilt für irgend ein System der £, also auch für "wahi'e Fehler. Da nun der Durchschnitt für unendlich viele Fälle für e^ gleich ju,^, für £/,£j gleich null ist, so folgt im Durchschnitt:

[AA] = n^^ — (i^ — II' — j.L^ — • • •,

oder bei m Unbekannten = «fi^ — ni^", mid es ist

^ n — m ' wie schon in (8), S. 138, angegeben ist.

Für die weitere Benutzung setzen wir noch

(In a = -=^, ö = -==, c =—=,•• •

und haben alsdann

(18) [AA] = [££] - [aej - [hsf - \_UY ,

sowie nach (13) und (14)

(19) [a6] = [ac] = • • • = 0, [bc] = • • • = 0 usw.; ferner ist

(19*) [a^] = [b-1 = [c^] = ...= l.

Das mittlere Fehlerquadrat in der Bestimmung von .u^ aus [AA] ist nun der Durchschnitt von

j[s.]-[a.r-[6e]^-[csp ^^j-

1 n — m ' I '

und da der Durchschnittswert des Minuenden dieses Binoms ^tt" selbst ist, auch:

(20) (M-M--W- [»]'-..)' _ ,

^ ■' in — wi) "^

Bei der Bildung des Durchschnitts verschwinden die Glie- der mit f^f/, da wir entweder ein gerades Fehlergesetz oder die Erfüllung der Gaußschen Bedingung voraussetzen. Der Durchnitt von [ff]^ ist

(21) nv^ + ni^n - l)|ti^

vgl. S. 75. Der Durchschnitt von 2 [et] { [a£]2+ [b£]-+ [Cf]^- • • } ist mit Rücksicht auf (19*) gleich

(22) 2mv'' + 2m{n-l)ii\

142 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

indem z. B. der Durchsclinitt für [ffjfat]^ gleich ist

v^[a'] + u^([Q-] - a,') + ii\[a'\ - a,') + }i\[a'] - üf) + • • •

oder nach (19*j gleich t/* + (w — Ijtt^-

Das Glied { [as]' + [bt]^ + [Cf]^ H } - gibt im allgemeinen

Glieder von der Form [as]^ und [a£]^[b£]-. Für da.s letztere ist der Durchschnitt, wenn man berücksichtigt, daß bei Ver- schiedenheit der Indices h und ?':

und 2[a;,b;,a.I);] = [ab]- — [a-b-] ist, gleich oder infolge (19) und (19*) gleich

Für [ae]^ = [a£]-[a£]- ist hiernach der Durchschnitt gleich

a/*[a*] + .u^{3-3[a^]} oder

DerDurchschnittswert des Gliedes { [a sf + [b f]"-' + [c f]- H } ^

ist daher

(.^-3.a^){[a^] + [b^] + [c^] + - + 2[a^b-^J+2[Q^c2]+2[b2c^]+--.}

+ m{m + 2).a* oder

(23) iv' - Sa') { [{a' + b^ + c- + • • •)'] } + m(^n + 2)u*.

Zieht man (21), (22) und (23) zusammen, so geht (20) über in:

(24) ^^^^^1^ + ^/^^ {m - [(a' + b^ + c^ + • • ■)']) .

Dies ist also das mittlere Fehlerquadrat in der Bestimmung

von u- aus [AA] : (« — m).

Da eine -wirkliche Ausrechnung von [(a^ + b^ -f c- -f • • 0^] ausgeschlossen ist, so leiten wir dafür Grenzwerte ab. Es ist aber mit Rücksicht auf (19) und (19*):

[ißA. + ^A + c,c, + • • -f] = 0/ + h^ + Cf + ----

A = 1 • • • «

§ 5. Berechnung des mittlem Fehlers. 143

Bezeichnen wir diese Quadratsumme mit t^, so ist also

t^ -\r g" ^= t^, worin (?^ eine Reihe von Quadraten zusammen- faßt. Da mithin

t

2 K 4

ist, so liegt t^ zwischen 0 und 1. Dies gilt für t^, U, t^, usav. Die Summe [^-] der n echten Brüche ^- ist somit < «; sie ist aber sogar < m, da nach (19*) [t\ = m ist und das Qua- drieren von t die Werte verkleinert. Somit ist

(25) ,„_[(a2+b- + c^+--)^J>0. Andrerseits wird [t-'\ ein Minimum, wenn sämtliche t ein- ander gleich sind, also für t = —- Mithin ist

(26) m - [{er + 6^ -^ c^ + • • •)'] < -^^^^ •

Es liegt daher der mittlere Fehler der Bestimmung jx^ = [A Ä] : (n — ni) zwischen den Grenzen

3jx* — V* m

(27) +V^^^^ und +Y^I^Z^

^ ^ — y n — m — r n — m n — vi n

Ist ni : n einigermaßen klein, so ist der zweite Grenzwert vom ersten nur wenig verschieden, und man kann als gemeinsame Grenze ansetzen:

(27*) +y^^^~

Zu diesem Werte gelangt man auch, wenn man im obem Grenzwert ?>ii^ = v^ setzt, wie es Gauß' Gesetz entspricht.

Setzt man Gauß' Gesetz überhaupt voraus, so folgt aus (24):

(27**) +a2T/Z5_.

Man hat also bei Gauß' Gesetz die Formel:

(28) ^._JA^L(i+|/^Z),

und für nicht zu kleine n — m:

(28*) jti = + l/i^AL (i + ^ Y

Gilt das Gaußsche Gesetz nicht, so überschätzt diese For- mel in der Regel die Unsicherheit der Bestimmung von }i.

144 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungeu.

Denn man kann anstatt (27) schreiben:

— y n — m n — m — V n — m n — wt n

Da nun in der Regel 3;u-* > 7^* ist, so gibt |/2^^:(w — w) etwas zu viel.*)

IV. Mittelbildüiig mehrerer Bestimmungen von fi^ Liegen mehrere Ausgleichungen von Beobachtungen derselben Art und (jenauigkeit vor, so kann man die aus den [AA.9] berechneten fi^ zu einem Mittel vereinigen. Man denke sich alle Aus- gleichungen in eine zusammengeschrieben, doch so, daß alle Unbekannten getrennt bleiben, auch wenn sie dasselbe be- zeichnen. Dann gibt diese Zusammenfassung genau dieselben Werte der Unbekannten wie früher, weil das Normalgleichungs- system in die frühern Systeme zerfällt werden kann.

Es wird nun

[Xly] = [ng\ + [XXgl + [XXr/l + ■■■,

wo der Index 1, 2, 3, • • • die Einzelsysteme bezeichnet. Ist entsprechend

n — m == (n — m\ -f {n — ni\ -\- (w — m)g + • • •, so ist nun das Mittel für ^':

[IXg] lXi,gl + [Xlgl + [XXg], + ...

n — m (n — m\ -}- (n — m)j -\- (n — m\ -f ■ • •

Die Einzelbestimmungen waren aber

_[ngl_ [Ug], [XI gl

{n — m\ ' {n — m\ ' {n — m\ '

Diese werden also bei der Mittelbildung mit den Gewichten

{n — m)^, {n — m\, {n — m\, ■ ■ • versehen.

Diese Gewichte entsprechen den mittlem Fehlerausdrücken (27*) und (27**), nicht aber dem Ausdruck (24). Wenn also nicht das Gaußsche Gesetz gilt und m : n nicht klein ist, so entsprechen die Gewichte, welche die Methode der kleinsten

*) Vgl. a. a. 0. S. 959.

§ 6. Vermittelnde Beobachtungen ungleicher Genauigkeit. 145

Quadrate hei der Mittelbildung von }i'^ verlangt, nicht genau den Quadraten der mittlem Fehler der Einzelbestimmungen von ,u".*)

§ 6. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen von ungleicher

Genauigkeit.

I. Verallgemeinerung der Formeln. Haben die Beobach- tungen l ungleiche Genauigkeit, also in bezug auf eine be- liebige Gewichtseinheit verschiedene Gewichte g, nämlich

7^ das Gewicht ^^

so können wir uus denken, daß die Gi'ößen

hWu hVfh, ••• LV9n beobachtet worden seien, denen gleiches Gewicht 1 zukommt. Die Fehlergleichungen

Ai = — ?i + a^x -i-\y + c^2 -\

/-^N Ä2 = — /g + «2^ -j-b^y + €^2 -\

^n = - ^« + ««'^ + KU + C„^ + • • •

können durch Multiplikation mit den Quadratwurzeln der Ge wichte ff so umgewandelt werden, daß sie Beobachtungen vom Gewichte 1 entsprechen:

hVii - — kVFi -^ aiV9^ ^ + hVfh y + CiVfi 2 + --- ^2) ^2 V^2 = - ^2 >^ + «2 1^ ^^ + h Vff2 y + c^Vo-i ^ H —

Nun können wieder alle Formeln, die für die Ausgleichung von Beobachtungen gleicher Genauigkeit gefunden worden sind,

*) Vgl. a. a. 0. S. 960. Die Ursache dieses Widerspruchs ist der Umstand, daß ji- aus [?J.] im allgemeinen nicht am günstigsten be- rechnet wird.

Helmert, Auägleicliungsreclmung. 2. Aufl. 10

146 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen,

angewendet werden, nur ist in ihnen zu setzen K V^i anstatt Aj.

usw.

(3)

Die Ausgleichung gibt jetzt anstatt ,.[IX] ein Minimum" für die Summe (4) ['l'/i'^] ein Minimum.

Die Normalgleichungen gehen hier über in:

[aag]x + [ahg]y + [ac(/]z + [ahg]x + [hhg]y + [bcg'\2 + [a cgix + [h cg]ij + \c cg]2 -\-

(5)

= lclg]

worin z. B.

[ahg] = a^b^g, + a^h^g^ + • • ■ + a„h^g^ ist; man schreibt gewöhnlich symbolisch:

(^0

{aa)x + {ab)y + (ac)z + ••• = («/) (ah)x + (bh)y + ibc)z + • • ■ = (bl) (a c)x -\- (b c)y -\- {c c)s -\- • • ■ = (c l)

Alle Formeln, die früher aus den entsprechenden Gleichungen mit eckigen Klammern abgeleitet sind, lassen sich nun in gleicher Weise aus dem System (6) entwickeln; nur werden allenthalben die eckigen Klammern bei den Koeffizienten und auf den rechten Seiten der Xormalgleichimgen durch runde Klammern zu ersetzen sein, um anzudeuten, daß bei Bildung der Normalgleichungen die Gewichte berücksichtigt sind.

Besonders ist zu erwähnen, daß die Formel zur Berech- nung des mittlem Fehlers einer Beobachtung vom Gewicht 1 wird:

(7) ^

— ' n — m — \ n — m — V n — r» '

§ 6. Vermittelnde Beobachtungen ungleicher Genauigkeit. 147

denn die Produkte l Yg sind die übrigbleibenden Fehler des Fehlergleicbungssystems (2), und auf dieses ist die frühere For- mel für Beobachtungen gleicher Genauigkeit unmittelbar an- wendbar.

II. Unveräiiderliclikeit der Werte der Unbekannten und der Fehlerqnadratsnmmen bei allmählicher Ausgleichung. Haben mehrere Fehlergleichungen dasselbe Koeffizientensystem a, 'o,c,..., so kann man sie durch Mittelbildung mit Rücksicht auf ihre Gewichte g in eine Gleichung zusammenziehen. Dies ändert nichts an den Werten der Unbekannten und an der totalen Summe [AA^].

Die Unveränderlichkeit der Werte der Unbekannten ergibt sich aus der Unveränderlichkeit der Normalgleichungen. Denn die Mittelbildung der Fehlergleichungen ändert nichts am Koeffizientensystem [aag], [«&//], [&&^], usw. Sie ändert auch nichts an [«/(/], \plg\, usw.; denn die Größe l der gemittelten Fehlergleichungen ist [^</] : [r/] mit dem Gewichte [cf]. Also ist z. B. der Anteil an \ßlgl^ gleich n\lg~\, d. i. aber dasselbe wie die Summe der Glieder alg aus den betreffenden einzelnen /.

Es ist eine der wichtigsten Eigenschaften der Methode der kleinsten Quadrate, daß ihre Ergebnisse unabhängig davon sind, ob die Ausgleichung auf einmal gemacht wird, oder ob sie unter Zusammenfassung geeigneter Mittelwerte schrittweise erfolgt. Man darf nicht glauben, daß andere Ausgleichungs- verfahren notwendig dieselbe Eigenschaft haben müßten; viel- mehr wird das Gegenteil der Fall sein.

Erhält nun das Mittel [?f/] : [g'\ bei der Gesamtausgleichung die Verbesserung X^, waren dagegen die Verbesserungen der betreffenden l^, l^, . . . li aufs Mittel gleich A^', a^', . . . A/, so sind die totalen Verbesserungen

A/ + A„ A^' + A„ • • . A/ + A„. Ihre Quadratsumme ist

[^^9l...i = [^'^'9] + Vb] + 2A„[A>], oder da [X'g] = 0 ist:

10*

148 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

In der Gesamtausgleichung der gruppenweise gemittelten Fehlergleichuugen tritt nun für jedes Mittel nur ein Glied X^g^ auf, wenn die zugehörige Summe \ß\ mit g^ bezeicknet wird. Die entsprechende totale Fehlerquadratsumme ist mithin um [A'A'^] gTÖßer, also um die Fehlerquadratsumme, die der Mittel- bildung entspricht.

Allgemein kann man daher sagen: Es ist die Summe der in die Gewichte multipliziei-ten Quadi-ate der totalen Ver- besserungen der ursprünglich gegebenen Beobachtungen gleich der Summe der Ausdrücke [^'.Ä^], welche die einzelnen Mittel- bildungen und die Gesamtausgleichung ergeben:

(9) [AA^] = [A,;.,^j-fZ[r//^j.

§ 7. Zusammenstelluiig der Formeln für die Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen.

I. Bildung der Normalgleichungen. Es seien gegeben n Beobachtungs werte /^, l.^, l^, • • • ?„ mit den Gewichten gi, g^, gzj ■ ■ • gn und den m = 4 unbekannten x, y, z, t\ alsdann hat man die n Fehlergleichungen:

Xi = — k-\-a^oc + \y^c^z + dJ, g^ L^ = — l^-\-a^x-\-h.2y + C2 0-{-d^t, g^_

K=-L + ««^' + ^^nV + c„^ + dj, g^ und die m = 4 Normalgleichungen:

{aa)x -j- {ah)y -f- iac)z + {ad)t = (al)

{ah)x + {hh)y -f (&c)^ -f {hd)t = m

{a c)x + {h c)y -^ {c c) z ^ {c c()t = {c T)

{ad)x + {hd)y -f (c d)z + {dd)t = {dl) ,

worin z. B.

{aa) = a.a^g^ -f a^a,g., + a^a^g^ + h a^a^g^

{ah) = a^h^g, ^.a^h.g^ + azhg^ ^ \- aj>n9n

[a l) = a, l,g, + a, h^g. + a^kg^ -\ h a„ l^g^

ist.

§ 7. ZuBammenstellung der Formeln. 149

Zur Prüfung der Normalgleichungen bildet man ihre Summengleichung

(3) {as)x + (J)s)tj + {cs)z + {ds)t = {Is),

«1 = "l + &i + ^1 + (h S. = «2 + ^2 + ^2 + f^2

wobei

Sind die Gewichte gleich 1, so kann man zur Bildung der Produktsummen, z. B. [ah], von Quadrattafeln Gebrauch machen, iudem

oder auch

(4*)

ist. Erstere Formel wird meistens vorteilhafter sein.

^ajj] = [(«+b)^]-[(«-&)^]

(5)

IL Erstes Auf lösnugs verfahren. Allgemeine Auflösung der Normalgleichungen in der Form:

{aa)Ä + {ah)B + (ac)0 + {ad)D = P (a?.)^ + {hh)B + (?>c)6' + (h d)I)^Q {ar:)Ä + {hc)B-\- (cc)C+(cd)B = R {ad)A + {hd)B + (cd)C + (^?^) /) = 'S, woraus das umgekehrte System folgt:

Qr.,P + (>i.2Ö + Qi.z^ + ^1-4^ = ^

^1.2-P+^2.2^+«2.3^+<?2.4'S' = I^ (?1.3^+ ^..3<2+ ^3.3^+ Ö3.4Ä= C

P= (al) lA'mx

gehen \B „ ij

(6)

R = {cl)

S = {dl)l

über

C D

mit den

reziproken

Gewichten

Qu.

V2-2 ^3.3

Zur summarischen Schlußprüfung der Auflösung hat man

/■ = 1 . . . w

150 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Der Übergang von (5) zu (6) ist durch irgend ein Eliminations- verfahren oder durch Benutzung von Determinanten zu be- wirken. Letztere empfehlen sich in der Regel nur bei zwei Unbekannten, allenfalls bei drei noch, insbesondere bei runden Werten der Zahlen in (5).

Für drei Unbekannte gab Jacobi ein elegantes symmetri- sches Formelsystem, das aber für die Anwendung keine be- sondern Vorteile bietet.*) Außerdem versagt die Lösung für den Fall, daß einer der Koeffizienten («&), («c), (hc) null ist oder — praktisch genommen — sich der Null nähert.

Bei zwei Unbekannten hat man die mit Determinanten

leicht herzustellenden Formeln:

Koeffizienten

d.=^{aa)(hh)-{ahy

(8)(aa) (ah) (ah) (bb) oder auch

(8*)

fe.-i^|w-|fl'

Vl.l /„„nV2-2> Vi. 2— fnn\^^i-2

(bb ■ 1) {bc ■ 1)

Bei di*ei Unbekannten ist Gauß' Algorithmus, falls man den Rechnungsgang im Kopfe hat, am bequemsten. Sonst kann man wie folgt rechnen. Man geht vom System

(aa) (ab) (ac) j mit Gauß'

(ab) (bb) (bc) \ Algorithmus

(ac) (bc) (cc) ) über zu | (^^'^^ (^^'1),

und setzt nun wie vorher bei zwei Unbekannten:

<?3.3 = 1 : I (cc- 1) - ^^^^ p \ ) ^ (c c ■ 1) (b c ■ 1)

^2 • 2 ^ (bb -l) ^3-37 V2 . 3 "^ "" (fibTl) ^3-35

dann gibt Hansens Verfahren, vergl. S. 126/127:

*) Die Formeln von Jacobi wurden von B es sei mitgeteilt in den Astr. Nachr. Bd. 17, 1840. Nr. 404, Sp. 305. (Engelmann, Abhandlungen von F. W. Bessel. H, S. 401.)

Vergl. auch Seeliger: Beweis der Jacobischen Auflösung dreier Normalgleichungen. (Astr. Nachr. Bd. 82, 1873. Nr. 1960, Sp. 249 '2.52.)

§ 7. Zusammenstellung der Formelu. 151

_ (" ^) /O _ (^ n

(10) «.^= • -gl «»«-II«-

Jacobis Formeln ergeben sich wie folgt. Aus

(aa)x + {ah)^ + {ac)z = (aZ)

(a&)a; + (&% + (&c)^ = (?>?)

(ac)x -\- (h c)y + (c c)s = (c Z) folgt durch Bildung von zwei Gleichungen mit x und y, bzw. mit X und ^:

(11) {(a?) - ^a;}(&c) = {(?>?) - By]{ac) = {(d) - C^}(a&), wobei

ist. Setzt man (11) gleich K und eliminiert damit x, y, z aus einer der Normalgleichungen, so wird

(12) Z-=— ^ ^ ^

(ab)(ac) (ab)(bc) («c)(&c) "*" (bc)A "•" (ac)5 "^ (a6)C

Die Ausdrücke (11) geben nun einzeln x^ y und z mittels K. Man kann noch durch Einführung von Symbolen umwandeln, was übergangen werden mag.

III. Zweites Auflösnngsverfahren. Im nachfolgenden Schema ist die 1 der rechten Seite der Gewichtsgleichungeu durch P, ^', i?", S"" ersetzt. Man rechnet aber mit den Zahlen.

Außer den Vertikal summen sind auch die Quersummen S^, /Sg, ^3, Si^ angesetzt; in der Ausführung wird man nur das eine oder andere benutzen.

Für die Summenbildung ist es bequem, wenn die durch- schnittlichen Größen der Koeffizienten a, h, c, . . . sowie der l nahezu gleich sind. Man kann dies herbeiführen durch Änderung der unbekannten. Ist z. B. der Durchschnittswert der c nur etwa

— desjenigen der a, h, d, . . ., so setze man s = 10/, womit

die Koeffizienten den lO-fachen Wert erhalten.

152

Drittes Kapitel. Veiinittelnde Beobachtungen.

Entsprechend nimmt man für P, Q\ R'\ S'" unter Um- ständen niclit 1, sondern 10 oder 100 oder dergl., allgemein x. Man erhält dann für die Unbekannten Q die 10- oder 100- fachen, allgemein die ^{-fachen Werte. In den Tabellen ist ge- setzt, bzw. zu setzen

P = Q'=Ji"=S"' gleich der Zahl y..

Man ändert oft auch die Reihenfolge der Unbekannten und also auch die der Normalgleichungen, um den Umstand mög- lichst auszunutzen, daß einzelne der nichtquadratiscben Ko- effizienten («&), («cj, (hc), . . . null sind.

Das nachstehende Schema ist hinsichtlich der Bildung der linken Seiten noch nicht das möglichst kurze, indessen gewährt es eine Kontrolle Schritt für Schritt und mag daher zunächst hier Platz finden.

(I)

X	y	z	t	Konst. li (x)	(y)	(^) : (<)
{au)	{ab)	(ac)	{ad)	{aT) 1 P	0	0 0 1	s.
{ab)	{bb)	{bc)	{bd)	[bT) |i 0	Q'	0 0	s.
{ac)	{bc)	{ec)	{cd)	{cT) 1 0 {dl) j 0	0 \B"[ 0 1 1	Ss
{ad)	{bd)	{cd)	{dd)	0 1 0 \s"'\	s.
{as)	{bs)	(CS)	{ds)	{Is) II P	Q'	B" S'"

y Z ; t ' 1 1	Konst. ; (x)	iy) (^) (t)
(&&-1)	(ftc-l) {bdl)	(6M) — a/x	Q'\o	0 U'
(fcc-l)	{cc 1) {cd . l)	(cZ-l)i-<x	0 p" 0 1 s,'
(öd -1)1 {cd- 1)	{dd ■ 1)	(dM) -<x	0 0 s'" 1 s^'
(fts-l)	(cs-1)	{ds ■ 1)	(Zs-1)" P' 1	Q' i B"	^"'!l ■

z t	Konst.	(0^) (y) (^)	(«.
(ec-2) (cd -2) {cd ■ 2) \{dd ■ 2)	(cZ.2) {dl -2)	— cc/'y. —ßs'y-l -K" — cc^"y, — ßi"K 0	0
{es ■ 2) {ds ■ 2) 1	(ls-2)	P" 0" P"	.S'" i	.

t 1	1 Konst.	(a;)	(y) (-S) 1 (^) 1:
(IV) ^dd.s)\	1 {dl -3)	:-<'x	-ßr^\-Yr^\s"'lsr
{ds ■ 3) '	\ {Is-B)	p'"	Q'" \ R'" \S"' ■

§ 7. Zusammenstellung der Formeln.

153

Die Köpfe (x), (y), (^), (/) bezeichnen die Spalten, welche sich auf die Gewichtsgleichungssysteme fyr x, y, z, t be- ziehen.

Die Summe der Glieder jeder Vertikalreihe in jeder Tabelle bis auf das Glied der Summengleichung muß mit diesem übereinstimmen.

Gleichzeitig mit (II), (III), (lY) bilde man die Tabelle

(V)

X y z \ t -^	Konst. 1	{X)	iy)	(^)	(t)
{aa) {ab) j {ac) ■	{ad)	1 (<*^)	X				S^
(Jbb-1) (6c -1)	{bd-1)	(6M)	- a,' X	'/.			s.'
(CC.2)	(c d ■ 2)	{cl.2)	— «s" '^	-ß^"^	X		sr
	{dd ■ 3)	(fZZ-3)	— a^'"t	- ßry-	— 7i"y^	K	sr

sowie hieraus die Tabelle

X	y	^	t	Konst.	{X)	i:yj	(^)	(.;
1 (VI)	1	< ß"	< li " :	X%	X {aa) a,'x {bh-1) aj"x (CC-2) o;/"x	•A	X	X	{aa)
Ps K4 j 1 '., '"	{bb-1) {cc - 2) ßr^	{bbl) Ss"
		/4 i 1	(cc - 2) ((Zd - 3)	{cc ■ 2)
1 " !	{dd ■ 3)	{dd ■ 3)	(d(Z • 3)	{dd-3)

Beide Tabellen kann man auch ineinander schachteln.

Wenn man auf die Prüfung durch die Summenkontrollen verzichtet und am Schreiben sparen will, so kann man anstatt der Aufstellung von (11), (IIIj, (lY) sich darauf beschränken, direkt nur die Gleichungen der Tabelle (Y) zu bilden. Für die Gleichung

{hh ■ l)y + {hc ■ \)z + ihd ■ l)t = {hl ■ 1) usw.

ist dabei nichts Besonderes zu bemerken. L^m

{cc ■ 2)z + {cd -2)1= {cl • 2) usw.

zu erhalten, geht man von der dritten Gleichung (Ij aus und schreibt darunter in zwei Reihen die Glieder zum Übergang

154

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

auf (II) uad (UI), d. i. mit Weglassung der Glieder rechts von [cl], der Einfachheit halber:

z		t		Konst.
(cc) — a^'iac) -ßs"(bc.	• 1)	(cd) — a^' (ad) -ßs"(pd-	1) !	(CT) -ß,"(bl-l)
(cc-2)		(cd ■ 2)	i	(cl-2)

Da die zweite Horizontalreihe unvollständig ist, indem linker Hand das Glied u^'{ah) fehlt, so versagt hier die Quersummen- kontrolle; doch kann man das Glied aus der Bildung von (bc • 1) entnehmen, da es dort als das gleichwertige a^{ac) auftritt. Jedenfalls ist aber die Quersummenkontrolle für die Endgleichunff wieder vorhanden.

Um (rf(? • 3)^ = {dl ■ 3) usw. zu erhalten, hat man in ähn- licher Weise aus der vierten Gleichung (I):

t	Konst.
(dd)	r i	1 (dT)
— a^ (a d)		i —< («0	..cc^'	= (ad) :(a a)
-ß:'(bd.	1)	-ß:'{bi-i) .	• ■ß."	= (bdl):{bb-l)
— y^"'(cd-	2) j	, -y^"'(cl.2) .	■ ■ Vi"	' = (c d • 2) : (c c • 2)

(dd ■ 3)

(dl-S)

Die unterste Horizontalreihe in (VI) rechts vom drei- fachen Striche, nämlich \ni\

ß:"y.

(dd ■ 3)

(dd ■ 3)

r* X

S.

(dd-^) (dd-S) I (dd-S)

ergibt die Werte von

Das Symbol Z^ ist die Summe der verschiedenen Unbekannten -f 1; es ist also gleich

t + Qi.i-'C + Qo.^y^ + Q,.^y^ + Q^.^y- + 1; 1 ist der Koeffizient der Unbekannten t, vergl. die Schlußzeile von (VI).

§ 7. Zusammenstellung der Formeln. 155

Damit folgt aus der vorletzten Horizontalreihe in (VI): (VIII)

	«3""	ß."^	K	--7i"'Qn^	Ss"
Xs -yrt Das si	(cc-2) nd die Wer	{cc ■ 2) te	{CC-2) — 74"Qii^	{cc ■ 2)

Q^■

Qs

Qi-i^

2^3 ist s + ^i.gX + Q^.^y- + Qz.z'^ + Q-i.j^'^ + 1 , dem Koeffi- zienten von z, vergl. (VI) vorletzte Zeile. Die dickumrahm teu Teile der Tabellen (VIII) bis (X) bleiben hier im folgenden bei der Zahlenrechnung weg; sie sind jetzt nur aufgenommen, um die Kontrolle aus H leicht ersichtlich zu machen.

Weiter gibt hiermit die zweite Horizontalreihe in (VI):

(IX)

	CiC^' %	X (bb-l)			s,'
%i	(bft.l)	{b b ■ 1)
-ßs"^	-ß."Q.:^	-ßs"Q.s^	— ßi'Qiz''^	-ß/'Qs-,^	-ßs"^.
-ß:'t	-ß:'Qi-,^	-ß:'Q2-,^	-ß:'Q,:^	-ß:'Q.-.^	-ß."^.

Das sind aber die Werte

Z'g ist y + ^i.oJC + ^2.25« + ^2-3^ + Q-2i^ + 1-

Endlich hat man ebenso aus der ersten Horizontalreihe in (VI):

rx)

zx !	X {aa)				{aa)
— ^iV	— (^i'Qii^	— k/^j.jX	— CCi'Qi-3^	— CC^'Q..i^	— «2'^2
-u^'z	— ag'^i.jx	— ag'^s.gX	— «3' ^3-3"	— «3' ^3 4"	— '^3'^3
— a^ t	— a^'Qi.iV.	— cc^Q._.^y.	— «4' ^3-4"	— «4' ^44''	-<^4

Das sind die Werte

Dabei ist Z^ = a; -|- Qi.^a -f ^1.3»^ + ^1.3^ + Qi.-l'^ + 1-

156

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Die Zusammenstellung der letzten Horizontalreihen von

(VII) bis (X) gibt die vollständige Auflösung:

(XI)

X	^11
11	Q. .	Q.-,
z	Qr s	V.s	<?3.3
t	Vi..	V..4	^3-.	V4.4
1	2	3	4	5

Die erste Vertikalkoloune liefert die Werte der Unbekannten, die zweite, dritte, vierte, fünfte geben die Hilfsgrößen ^; die oberste Zahl jeder derselben ist das reziproke Gewicht der Unbekannten in derselben Horizontalreihe.

Die in (VIH), (IX), (X) ermittelten Werte kann man kon- trollieren durch Einsetzen in die Summengleichungen von (in), (II), (I); doch kann man sich auch begnügen, nur am Schlüsse nach völliger Entwicklung von (XI) durch Einsetzen in die Summengleichungen von (I) eine allgemeine Kontrolle auszuführen. Diese letztern Summengleichungen lauten ge- trennt aufgeführt:

{as)x + (hs)y + {cs)z + {ds)t = (Is)

(«s) Q,., + (bs) Q,,, + (es) Q,,, + (ds) Q,., = 1

(XII) {as)Q,,,+ (hs)Q,.,+ (cs)Q,,, + {ds)Q,.,^ 1

{as)Q,.,+ {bs)Q,.,+ ics)Q,.,+ {ds)Q,.,= 1

(^'5)^1.4+ (&s)^2.,+ {cs)Q,.,+ {ds)Q,.,= 1 ,

deren erste beiden in (I) vorkommen; die übrigen entsprechen den Summen der Gewichtsgleichungen für y, z, t in der ur- sprünglichen Form.

IV. Drittes Anflösuugsverfalireii. Nachdem man bis (VI) gelangt ist, geben (V) und (VI) nach dem Schema

§ 7. Zusammenstellung der Formeln. 157

die Werte der Unbekannten, deren reziproke Gewichte aus folgendem Schema gefunden werden:

(aa) "•" (6& • 1) "^ {cc ■ 2) "^ (cid ■ 3) ^^-^

(■XIY) (&Ö-1) "^ (cc-2)"^ (d(^-3) "«^2.2

(cc-2) "^ (drf-3) ^3-3 1

(f?d-3) Ferner hat man:

1" ^../.. o\ 1 /j^. Q\ — ^Jl.2

I&-1) ^ (cc- 2) ^ (d(?-3)

«4 74

(XV)

"^3 1 "4 /4 ^ /a

(cc-2) ^ (drf-3) ^1-3

<L= n

ßs" I /^4'" 74'" ^ /l

(cc-2) "^ (dd-3) ^2-3 (dci-3) ~ 't^s.d

V. Nachträgliclie Berechnung der Q. Wurden die redu- zierten Normalgleichungen (V) und (VI) ohne Rücksicht auf die Ableitung der Q entwickelt, so kann man diese nachträg- lich nach Hansens Verfahren berechnen; vergl. S. 126/127:

158 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

1

<?4.4 =

(XVI)

(dd-3)

^3.4+7/" ^4.4 = 0

^3 ■ 3 I }^4 HfS • 4 ^^ (cC^i)

(?2.3+^3"<^3.3+/34"^3.4 = <» ^2.2+/53"<?..3+/V'^..4 = (-ftfT)

<^1.4+ ^^24+ «s' ^34+ «/ <?4.4 = ^ ^1.3+«2'<?2-3+ «3' ^3.3+ «4' ^^'3.4 = ^ <t^l.2+ «2' ^2-2+ «3' (^2.3-+ «4' ^24 = 0

^1.1+ «2' <?1. 2+^3' ^1.3+ «4' ^1-4 = (^-

VI. Schlußkoutrolle; mittlerer Fehler. Für beide Ver- fahren ist eine summarische Kontrolle der berechneten Werte der Unbekannten möglich durch Berechnung von [kkg] aus den einzelnen den Fehlergleichungen entnommenen A, und eine zweite Berechnung dieser Summe nach der Formel

{13)[nc,] = ax) = {U)-x^(al)-x,(hhl)-x,{ch2)-x,{dl-S\

Bei dem ersten Auflösungsverfahren ist anstatt dieser Formel

anzuwenden:

(13*) (ÄA) = {II) - {aJ)x - {Ujy - (c1)z - {cU)t.

Für den mittlem zu befürchtenden Fehler der Gewichtseinheit

ist zu setzen:

(W) ,„„+T/3£,

und für die mittlem zu befürchtenden Fehler in x, y, z, t:

(1^) i^x= l^YO^l^ ."j,= ."/^2. ^,= l^V^Z, ."t =."1^^4.4 -

Die mittlem Grenzen des mittlem Fehlers \i sind näherungs- weise: (14*) a(l+-^^=J\.

§ 7. Zusammenstellung der Formeln. Beispiel.

159

Beispiel. Fortsetzung zu Seite 43/44. Bei Ausgleichung der Winkelwei-te setzten wir diese bisher als gleich genau voraus. Wir "wiederholen jetzt die Ausgleichung mit Rücksicht auf die ver- schiedene Größe der Eepetitionszahlen, und zwar nehmen wir die Gewichte denselben einfach proportional, betrachten also ein Resultat aus n Repetitionen wie ein Mittel aus n einfachen Winkelmessungen. Gefordert wird diese Annahme dadurch, daß im ganzen vielmal repetiert ist und daher in den Ei'gebnissen die Teilungsfehler des Kreises nicht mehr die Visurfehler überwiegen, sondern im Gegen- teil von diesen überwogen werden.

Die Fehlergleichungen lauten mit Beibehaltung der frühern Bezeichnungen und Näherungswerte:

(1)

Ai = 0,00			■ +r •	Gew.	90	s= 1
l, = 0,00			• • +r		80	1
A3 = - 0,14			• -r + r		70	0
A, = - 0,79			— n ■ -\- '^		20	0
A.- = 0,00			+ n ■ ■		20	1
Aß = + 0,26	—	1	■ +? •		40	0
A, = 0,00	+				60	1
As = - 0,51	—	1	+ v ■ •		20	0

Wir bilden nun die Normalgleichungen; diejenige von § erhalten wir durch Multiplikation der Gleichungen für Ag, A^, Ag mit bzw. — 40, + 60, — 20. Die Addition ergibt alsdann:

0 = — 0,20 -\- 120§ — 2O7? — 40^

In derselben Weise bildet man die andern Normalgleichungen; man erhält:

120^-20^7- 40^ • = -f 0,20 = ^

- 20| + 60)j • — 20t = — 5,60 = 5

— 40^ • 4- 200^ - 70r = — 20,20 = C

— 20r}— 70^+ 170r = + 2.5,60 = D.

Da hier einige Koeffizienten null, die andern aber runde Zahlen sind, kann man das erste Auf lösungsverfahren in folgender Weise anwenden (nach Prof. Dr. Krüger):

Man bilde nn oa t>'

(3) • +200^3- 70m^= C

— 20^2 — 70^3 + nOm^ = D';

(2)

160 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

das gibt

8330^4= 60D'+ 21C'+ 205'

(4) 8330w23= 21Z>'+ 49C' + ' 75' 8330»/2= 20Z>'+ IC'+^B'.

Bei der Auflö.sung des Systems (3) multipliziert man die erste Gleichung mit 20, die zweite mit 21, die dritte mit 60 und findet durch Addition die Gleichung für m^ . Usw.

Setzt man nun J5'= 20, 6''= 40, i>'= 0, so wird nach (4):

(5) 833^4=124, 833^3=210, 833»(2=319.

Multipliziert man die Gleichungen (2) mit 1, wjgi ^''35 *'^4,? so folgt durch Addition wegen (3 ) und (5) :

(120 — 20 m^ — 40 j«,) g = ^ -j- »i, £ + m.j C + m^ D oder

(6) 851801 = 833.4+ U^B + 210C+ 1242).

Setzt man in (3):

B' = B-^20'g, C' = C+40|, D' = B, so wird

nu = ri, »«3 = ^, nu = T,

und aus (4) ergibt sich:

83307] = 31901 + -^^+ 7C+20Z)

(''') 8330^=21001+ 7B + 49C + 21Z)

8330r = 1240|+ 20B + 21C+60D.

(6) und (7) geben endlich zusammengenommen:

I = 0,009779 A + 0,003745 B + 0,002465 C + 0,001456 D

ri = 0,003745 J. + 0,018901 .B + 0,001784 C + 0,0029582)

V ) ^= 0,002465 J. + 0,0017845 + 0,006504 0 + 0,0028882)

T= 0,0014564 + 0,002958 J5 + 0,002888(7+0,0074202).

Probe: 0,017445 • CO + 0,027388 • 20 + 0,013641 • 90 + 0,014722 • 80 = 3,99991 anstatt 4.

Bei Anwendung des zweiten Auflösungsverfahrens geht man aus von der Tabelle:

§ 7. Zusammenstellung der Formeln. Beispiel.

161

(^)

b	>i	'	r	Konst.	(i)
+ 120 1	' —20	— 40	.	+ 0,20	+ 1
— 20	+ 60	*	— 20	1 — 5,60	*
— 40	*	+ 200	— 70	; —20,20	*
* 1	-20	. - 70	+ 170	, +25,60	! *
+ 60	+ 20	+ 90	; + 80 1	i 0,00	1 +1

Die letzte Rubrik rechts bezieht sich auf die Gewichtsberechnung, nämlich auf das Gewichtsgleichungssystem für '5,.

Die Summengleichung ist sowohl durch Summierung der Nonnalgleichungen, als auch direkt mit Hilfe der s aus den Fehlergleichungen gebildet, indem jede derselben mit ihrem s und Gewicht multipliziert wurde, worauf die Summenbildung er- folgte.

Dividieren wir die erste Normalgleichung durch 120, so wird erhalten :

§ — 0,16677j — 0,3333^:

= + 0,001667; +0,008333.

Diese Gleichung multiplizieren wir bzw. mit — 20, — 40, 0, +60 und setzen die Produkte zur Subtraktion bzw. unter die zweite, die dritte, die vierte und die Summengleichung. Die tabellarische Anordnung ist dann folgende:

(9*) -3

b	>l	i 1 i	T	Konst.	(a)
+ 120 + 1	— 20 — 0,1667	— 40 — 0,3333	*	! + o,20 : 1 + 0,001667	+ 1 + 0,008333
— 20 — 20	+ 60 + 3,3333	« 1 + 6,6667'	— 20 1 *	— 5,60 1 1 — 0,03333 ,	* — 0,1667
— 40 — -to	* — 6,6667	+ 200 1 + 13,3333>	— 70 i * !	— 20,20 — 0,06t;67	— 0,3333
» *	— 20	— 70 *	+ 170 * 1	+ 25,60 1	* *
+ 60 + 60	+ 20 - 10	+ 90 — 20	+ 80 : *	0,00 + 0,10000	+ 1 + 0,5000

Kontrolle: 1 — 0,1667 — 0,3333 = 0,5000 [s. rechts u.].

Hierin beziehen sich die großem Zahlentypen auf die gegebenen Gleichungen (2). Die Subtraktion ergibt:

Helme rt, Aiisgleichungsrechnung. 2. Aufl. 11

162

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

-f- 56,6667 — 6,6667 | — 20,0000

(10) _ 6,6667 -(- 186,6667 ' — 70,0000

— 20,0000 — 70,0000 , -|- 170,0000

Konst.

W)

- 5,5667 -|- 0,1667

— 20,1333 4-0,3333 -^25,6000 *

+ 1

-1-30,0000 -^110,0000 I -^ 80,0000 II— 0,1000 ' -f 0,5000 I -|- 1

Die Suminengleichung stimmt vollkommen mit den betreffenden Summen der Glieder der Vertikalreihen.

Um überflüssige Rechnung zu vermeiden, beachte man, daß die Koeffizientensynimetrie der Gleichungen sowie die Beziehungen zwischen den Zahlen der letzten Vertikalreihe und der ersten Horizontalreihe in (9*) einige naheliegende Erspaningen im Auf- schreiben zulassen, von denen wir z. T. weiterhin Gebrauch machen werden.

Durch allmähliche Elimination erhalten wii* nach und nach weiter:

V	S	T	Konst. 1	m	(ri)
+ 56,6667 1	- 6,6G67 — — 0,11765 —	20,0000 0,35294	— 5,5667 — 0,09823	-1-0,1667 + 0,00294	-f- 1,0000 4- 0,01765
— 6,6667 (10*)	-j- 186,6667 — -f- 0,7843 i-f	70,0000 2,3529	— 20,1333 + 0,6549 1	-|- 0,3333 — 0,0197	* — 0,1176
— 20,0000	— 70,0000-1- ■ +	170,0000 7,0588	+ 25,6000 -1- 1,9646	* — 0,0588	* — 0,3529
-L 30,0000	+ 110,0000 -I- — 3,5295 —	80,0000 1U,5SS2	— 0,1000 — 2,9469	-j- 0,5000 + 0,0882	+ 1,0000 -1- 0,5295

Kontrolle :

0.1176

+ 185,8824 — 72,3529 1 — 0.389240

11 ) — 72,3529 !-]- 162,9412 + 28,1627

-|- 113,5295 t-|- 90,5882

— 44,1904

Eonst.

(I)

in)

(0

-20,7882 -f 0,3530 ' -j- 0,1176 ' -}- 1,0000 - 0,111836 -1- 0,0018991 -f- 0,000632 -)- 0.005380

-1-23,6354 i!-(- 0,0588

+ 8,0917 \' — 0,1374

-|- 0,3529 — 0,0458

0,3892

-[- 2,8469 ij -j- 0,4118 | + 0,4705 -|- 1,0000 — 12,6967 iJ -f 0,2156 1 + 0,0719 -f 0,0108

Kontrollen wie vorher.

	^ 1 1	Konst. 1	(S)	in)	iS)	iv
(12)	+ 134,7785 1 1	+ 15,5437 -+- 0,11533	+ 0,1962 -f 0,00140	+ 0,3987 -1- 0,00296	+ 0,3892 + 0,00289	+ 1,0000 + 0,00742
	+ 134,7786	+ 15,5436	+ 0,1962	+ 0,3986	+ 0,3892	+ 1,0000

§ 7. Zusammenstellung der Formeln. Beispiel.

163

Durch Zusammenstellung aller ersten Normalgleichungen erhalten

wir die Tabellen (V) und (VI), S. 153, die hier ineinander ge- schachtelt worden sind, und welchen die ersten Summengleichunc^en (XII), S. 156, beigefügt wurden.

2				O (N O o + +	T^ +
s			O CO O m s s O o + +	00 2 «5 O + +	+
^		O p t- to 2 - '^ § O O tH o + + ++	CO o o" = + +	■p-l +
jjG)	O m O o ++	1-1 o o" <= ++	O o cc « O o M o o" o~ ++	1-1 O o" <= + +	+
CD Ö o	O t- o «; g i o <= + +	1 - 1 1	00 oo 1 1	b* CO CO n + +	o
V^	* *	o -• o' =>* 1 1	<3i -41 (M CT CO m 1 1	00 ^- t- -*- r-, CO 1-1 +	o 00 +
ij!	O m '^ 25 1 1	t- «5 CO «^ i 1	1* (M CO ao_ CO +	1	o 4-
s-	O !r o ;; 1 1	o +			o +
MI>	O o o q, o" ^ (M +			1	o +

+

+ +

S CO__ CO

^ o" o"

< + +

CO CO TI O O tH 00 1-1

" +

+

"^ ^ i^J S" JJJt

11 =

(15)

164 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Jedoch berechnet man besser gleich die Q mit nach den Tabellen (VII) bis (X), S. 154/155; man erhält:

+ 0,11533 4- 0,00146 -{- 0,0029G'-i- 0,00289|-f 0,00742 aus ('13) r ll $x.4 ! «2.4 I «5.4 ^ <?44

— 0,11184 |-|-0,00190j+ 0,00063 + 0,00038 aus (13) fl6) +0,389-24r + 0,04489+ 0,000571+ 0,00115 + 0,00112 aus (15)

— 0,06695.!+ 0,002471+ 0,00178j+ 0,00650

* 11 Tl-S ' Va 3 «3-3

— 0,09823 + 0,00294'+ 0,01765 aus (13) flT) +0,35294t +0,04070 + 0,00052 + 0,00104 aus (15) ' ^ +0,11765^ — 0,00788 1+0,00029 + 0,00021 aus (16)

— 0,0654l|j+ 0,00375i+ 0,01890

(18)

+ 0,00167 + 0,00833 aus (13)

+ 0,33333 J —0,02232 + 0,00082 aus (16)

+ 0,166677j —0,01090 + 0,00063 aus (17)

— 0,03155:!+ 0,00978

Zur Prüfung setzen wir in die Summengleichungen in (13) nach- einander die IJnbekannten.srsteme ^, 17, t, ^; «1.1? «1.21 «1-3» «1.4 5

XI.21 «2-2' «2-3' ^2 4' «1-3' «2-3' T3-3' T3.45 x].4' x2.4? «3-45 X4.4

ein und haben:

— 1,8930 + 0,5868 0,2250 0,1482 0,0876

— 1,3082 + 0,0750 0,3780 0,0356 0,0592

— 6,0255 +0,2223 0,1602 0,5850 0,2601 + 9,2264 +0,1168 0,2368 0,2312 0,5936

— 0,0003 1.0009 1,0000 1.0000 1,0005 ;

soll sein:

0,0000 1.0000 1,0000 1,0000 1,0000.

Die Übereinstimmung ist befriedigend.

Xach dem dritten Auf lösungsverfahren bat man aus (13) nach (Xm), S. 157:

§ 7. Zusammenstellung dei- Formeln. Beispiel. 165

-t- 0,00167 1 =-)- 0,00167 —0,11184-1 = — 0,11184

— 0,09823 • 0,1607 = — 0,01637 -\- 0,11533 ■ 0,3892 = -j- 0,04489

— 0,11184 • 0,3530 = — 0,03948 ' ^^^0^06695

+ 0,11533 • 0,1962 = + 0,02263

- ! -^ T = + 0,11533.

(19^ a = - 0,03155

— 0,09823 1 = — 0,09823

— 0,11184 • 0,1176 = — 0,01315 + 0,11533 • 0,3987 = -\- 0,04599

r] = — 0,06539

Die reziproken Gewichte der Unbekannten erhält man einfach

als die Summen der Produkte je zweier untereinander stehender

Zahlen der Vertikalreihen in (13) für (|), (7j), (^), (r), also z. B. ist:

Q^.^= 0,00833 -f 0,1667 ■ 0,00-294 + 0,3530 ■ 0,00190 + 0,1962 • 0,00146

= 0,00833 -f 0,00049 + 0,00067 + 0,00029 = 0,00978 .

(^2()'\ Ferner wird:

C^,., = 0,01765 4-0,00007 -f- 0,00118 = 0,01890 ^3 j = 0,00538 -\- 0,00112 = 0,00650 ^^,^ = 0,00742.

Kontrollieren läßt sich diese Berechnung der ()^.j bis ^^.^ aller- dings nicht, wenn man nicht die Q mit nicht quadratischem Index hinzufügt, was hier jedoch unterbleiben soll.

Wenn bei der vorhergehenden Lösung die Berechnung der Q nicht berücksichtigt worden wäre, so ließen sich die Q nach dem Verfahren unter V, S. 157/158, wie folgt aus den linken Seiten der Gleichungen (13) ableiten: (;>^., = 0,00742

Q^.^ = 0,00742 • 0,38924 = 0,00289

^3.3 = 0,00289 . 0,38924 + 0,00538 = 0,00650

Q^_^ = 0,00742 • 0,35294 -f- 0,00289 • 0,11705 = 0,00296 (21) ^2-3 = 0,00289 • 0,35294 -)- 0.00650 • 0,11765 = 0,00178

Q.,.^ = 0,00296 ■ 0,35294 -f 0,00178 • 0,11765 + 0,01765 = 0,01890

Qj^.^= . 0,00289 0,33333 + 0,00296 0,16667 = 0,00146

^^.3= . 0,00650 • 0,33333 -f 0,00178 • 0,16667 = 0,00247

^j.^= . 0,00178 • 0,33333 -f 0,01890 ■ 0,16667 = 0,00374

Q^.^= . 0,00247 -0,33333 + 0,00374-0,16667 + 0,00833 = 0,00978.

166 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Man erhält aus den Fehlergleichungen (l), S. 159, durch Substitution der Werte der Unbekannten:

ki= — 0,06695 Gew. 90 A^ = — 0,06541 Gew. 20

A„= + 0,11533 80 Aß = + 0,22460 40

(22) ' ' 6 >

^ ^ ^3= + 0,04228 70 ^7 = — 0,03155 60

^4= — 0,60926 20 Ag= — 0,54386 20

und damit [XXg] = (Xl) == 17,0953.

Dagegen ist nach (l) \llg^ = (Jl) = 21,7600 und daher nach (13), S. 163:

(IX) = 21,7600 — { 0,2000 • 0,00167 + 5,5667 • 0,09823

-}- 20,7882 • 0,11184 -f 15,5437 • 0,11533 } ^ ^ = 21,7600 — { 0,00033 + 0,54682 -f 2,32495 -j- 1,79266 }

= 17,0952 ;

Formel (13*), S. 158, gibt:

(XX) = 21,7600 + 0,20 • 0,03155 — 5,60 ■ 0,06541 — 20,20 • 0,06695 — 25,60 ■ 0,11533 = 21,7600 + 0,00631 — 0,36630 — 1,35239 — 2,95245 = 17,0952 .

Es ist also gute Übereinstimmung mit dem aus den Einzelwerten der X folgenden Werte.

Indem die Anzahl der Fehlergleichungen 8, die der Un- bekannten 4 ist, wird

(24) ^ = + "l/"^^ = ± 1/4,2738 = + 2';067

der mittlere Fehler eines einfach repetierten Winkels. Doch ist zu beachten, daß (i nur für große Repetitionszahlen gelten kann; wir setzen daher, um dies anzudeuten:

(25) R5o)=±y-/f- = ±0';

292

als mittlem Fehler eines 50 -mal repetierten Winkels. Man hat noch:

i«^ = ± 1/4,2738 • 0,00978 = + 0';204

(n^ = ± 1/4,2738-0,01890 = + 0,284

(^^) f*^= + 1/4,2738 • 0,00650 = ± 0,167

f*r = ± 1/4,2738 • 0,00742 = + 0,178

§ 7. Zusammenstellung der Formeln. Beispiel. 167

und damit die Endwerte:

^ BX = x= 6» 59' 34';478 + 0",204. •^BH=y= IS 43 45,535 ±0,284 ^^^^ ^BA = s=12 25 59,353 +0,167

.^BW= ^=34 18 43,725 +0,178. Die verbesserten Beobachtungswerte sind:

BÄ = 19" 25' 59';353 5H = 18" 43' 45';535

BW =34: 18 43,725 iS'^ = 12 26 24,875

^^^^ ^17=14 52 44,372 BN= 6 59'34,478

HW=16 34 58,191 iVfi"= 11 44 11,057. Die Produkte X]/g oder die Fehler reduziert aufs Gewicht 1 sind bzw. :

1. — 0';6351 5. — 0';2925

2. + 1,0315 6. + 1,4205 ^^^^ 3. + 0,3537 7. - 0,2444

4. —2,7247 8. —2,4322.

Bei der Ausführung aller vorstehenden Rechnungen wurde ausgiebig von der Rechenmaschine Gebrauch gemacht.

Es folgt hier eine zweite Auflösung der Normalgleichungen, die Herr Geometer G. Förster mit Hilfe der logarithmischen Rechentafel von Steuerrat Scherer in Cassel*) ausgeführt hat.

Die Reduktion der Normalgleichungen ist nach dem abgekürzten Verfahren erfolgt; die für die Bildung der einzelnen Zeilen er- forderlichen Faktoren, die rechter Hand auftreten, sind kursiv hervorgehoben. Man würde sie gar nicht aufsckreiben, wenn nicht die Q zu berechnen wären. Die 6. Vertikalspalte enthält die Quer- summen negativ genommen; in der 7. Spalte steht die Gesamt- summe, die null sein sollte.

Am Schlüsse der 5. Spalte ist [llg] nach der Formel (13), S. 158, aus (//) mittels (a/), (hl ■ l), (cl ■ 2), {dl ■ 3) hergeleitet. In der 6. Spalte steht die entsprechende negative Quersumme. Man muß sich da linker Hand von (U) gesetzt denken — {al)^ — (M)v — {cl)t, — {dl)r. Die Summe der Koeffizienten + (ll) ist rechter Hand von (II) als xSg, negativ genommen, angesetzt. Nach Elimina- tion von ^, -jj, ^, T müssen die aus (ll) und S-^ hervorgehenden Werte zusammen null ergeben.

*) Zeitschrift für Yermessungawesen, Bd. XXII 1903, S. 54.

168

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

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§ 7. Zusammenstellung der Formeln. Beispiel.

169

Es folgt zum Schlüsse endlich noch eine dritte Auflösung mit Logarithmentafeln in der Form, wie sie seit über 30 Jahren im Königl. Preußischen Geodätischen Institut üblich ist (Quersummen hat Herr Prof. Dr. L. Krüger seit 16 Jahren gebildet).

Konst.

+ 120 2.07918

— 20

1,30103 9,22185

— 40

1,60206 9,52288

1+ 0,20

9,30103

7,22185

+ 0,001fi7

— 0,02232

— 0,01090

IS

-f 60,20

1,T79:;(I 9,70042

+ 0,50108 4- 0,311(11 -j- 0,15576

4- 0,9684,^

+ 10

1,00000 8,92082

+ 0,08333 -)- 0,00s22 4- 0,00624

4- 0,09779 = 10 ^11

+ 70,20

1,S4634

9,76716

+ 0,58500 4- 0,35649 + 0,20142

+ 1,14291

Konst.

+ 170

2,23045

— 20 —70

1,30103 9,07058

1,84510 9,61465

+ 25,60

1,40824 9,17779

:+ 0,15059 i — 0,02757 I — 0,00770

T = + 0,11532

(I)

w

+ 105,60

2.02366 9,79321

+ 0,62117 + 0,38419 + 0,10995

'+10

1,00000 8,76955

+ 115,60

2,06296 9,83251

+ 0,05882 I + 0,68000 4- 0,01015 ' + 0,01189 I + 0,44037 + 0,00441 j + 0,00348 + 0,14218

+ 1,11531

+ 0,01456 1 + 0,07419

+ 1,26255

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Konst.

+ 60,000

— 3,333

— 2,353

6,667 8,235

— 5,600 + 0,033 + 3,012

+ 54,314 1.73491

- 14,902

1,17325 9,43834

2,555

0,04704 0,01837

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>; = — 0,06541

S

m

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+ 14,400 + 10,033 + 12,423

+ 1,667

1+ 1,176

+ 10,000

+ 24,400 + 11,700 + 13,600

+ 36,856

1,56651 9,83160

4- 0,67858 + 0,25600

+ 1,667

0,22194 8,48703

4- 0,03069 + 0,00676

4- 0,0345

4- 0,03745

= ioa..

+ 1,176

0,07041 8,33550

4- 0,02165 + 0,00792

4- 0,02957

= ioa..

+ 10,000 1,00000 9,2(;509

4- 0,18412 + 0,00490

4- 0,18902 1=10 ^3. 3

+ 49,700

1,69636 9,96145

4- 0,91506 + 0,29.343

+ 1,20849

Konst.

+ 200,000

— 13,333

— 28,824;

— 4,089

+ 153,754' 2,18683

— 20,200 + 0,067 + 10,541

— 0,701

- 10,293

1,01255 8,82572

':=— 0,06695

IV

.S"

a)

W

+ 69,800

+ 20,067

+ 43,482

+ 10,112

+ 3,333

* + 0,457

+ 143,461

2,15673

9,96990

4- 0,93304

+ 3,790

0,57864 8,39181

+ 0,02465

= 10<?i.3

+ 4,118 + 0,323

+ 4,441

0,64748 8,46065

4- 0,02888

= 10^3. 4

(n)

+ 2,744

+ 2,744

0,43838 8,25155

+ 0,01785

= ioa..

(?)

+ 10,000 + 79,800

* 1+ 23,400

* M+ 47,600 + 13,636

+ 164,436

+ 10,000

1,00000 8,81317

4- 0,06504

= 10^3.3

2,21600 0,02917

+ 1,06947

170 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Schiebezettel zur Elimination der Unbekannten.

9,22185	9,52288
0,52288 0,82391 8,52288	1,12494 8,82391
1.30248
1,00145	0,52288 1,36922 I
0,22185 1,06819

9,07058	9,61465
0,37161 0,91568	1,45975 1,02289 i
0.47882	1.63831
1,09424	0,61465 1,67761 I
0,07058 1,13354 I

9,43834

0,61159

9,84573

1.00485

9,66028

9,50875 0,43834 1,13470

in

Schiebezettel zur allmählichen Ableitung der Unbekannten.

t 8,82572	9,96990 ■	8,39181	8,46065	8,25155	0,02917
m 8,26406	9.40824	7,83015	7,89899	7,68989	9,46751
n 8,44037	9,58455	8,00646	8,07530		9,64382
I 8,34860	9,49278	7,91469			9,55205
Konst.	.S"	(i)	w	in)	i:

n 8,81564	9,97062	8,57345	8,47085	0,08225
n 7,88622	9,04120	7,64403	7,54143	9,15283
I 8,03749	9,19247	7,79530		9.30410
Konst.	.S	(^)	'r)	V

Die Bedeutung der Zahlen auf den Schiebezetteln erkennt man alsbald beim Xachrecbnen. Deshalb braucht darüber nichts gesagt zu werden. Die Vorzeichen werden bei der logarithmischen Eech- nung nicht berücksichtigt, da man sie leicht von vornherein nach einer leicht zu bildenden Regel ansetzen kann.

Um die Rechnung etwas zu vereinfachen, ist die m'sprünglich vierte Normalgleichung an die zweite Stelle gebracht worden. Bei der Ableitung des Gewichtsgleichungssystems ^vurde 10 an Stelle von 1, also x = 10 gesetzt; vergl. S. 152.

Ist die Berechnung der Q nicht beabsichtigt, so schließt die Tabelle auf S. 169 mit der unter 5 stehenden Vertikalreihe. Diese Reihe fällt dagegen aus, ebenso wie beim ersten Schiebezettel die umränderten Zahlen und bei dem zweiten Schiebezettel die zweite Vertikab'eihe , wenn von vornherein die Q mit berechnet werden

§ 8. Nichtlineare Beziehungen. 171

sollen. Zur Prüfung der Rechnung dient alsdann der in der Reihe unter Z berechnete Wert; so ist z. B. bei I, S. 169:

1 ^ 0,03155 + 0,09779 + 0,01456 + 0,03745 + 0,02465 =- + 1,14290, aus ftl. U aus Gl. III aus Gl. IV

während der unter 2 bei I stehende Wert + 1,14291 lautet.

§ 8. NicMlineare Beziehungen. Einfülirung von Näherungs- werten. Indirekte Auflösung der Normalgleichungen. I. Nichtlineare Beziehungen. Einführung von Näherungs- werten. Ist der Zusammenhano; zwischen den Beobachtunffs- großen und den Unbekannten kein linearer, so kann er in manchen Fällen durch Einführung neuer Unbekannten linear gemacht werden. Ist z. B. l = ax -{- hxif, so genügt es, für xy^ die Unbekannte u zu setzen, um einen linearen Ausdruck zu erhalten. Oftmals ist auch, ohne daß linear gemacht wird, eine strenge Lösung möglich, wenn man dazu geeignete neue Unbekannte einführen kann.*)

Um lineare Ausdrücke herzustellen, ist es im allgemeinen erforderlich, für die Unbekannten möglichst genaue Näherungs- werte einzuführen, welche durch die Ausgleichung nur noch kleine Verbesserungen erhalten.

Wie man sich diese Näherungswerte verschaift, ist gleich- gültig; können sie aus frühern Bestimmungen nicht entnommen werden, so muß man- so viele Gleichungen, als zu ihrer Be- stimmung nötig sind, mittels der gegebenen Beobachtungen bilden und nach den Unbekannten auflösen. Durch zweck- mäßige Auswahl unter den Beobachtungswerten wird mau möglichst gute Näherungswerte zu erreichen suchen. Die Reduktion auf die lineare Form ist nämlich nur zulässig, wenn man die zweiten und höheren Potenzen der an den Näherungs- werten anzubringenden Yerbesserungen als so klein voraus- setzen kann, daß man ihren Einfluß vernachlässigen -darf.

Die Näherungswerte von x, y, z seien x,^, y^, 2q und ihre plausibelsten Verbesserungen ^, rj, ^, so daß also

(1) X = X^i-^, y^y^^Tj, z = z^ + t,

ist.

*) J. Franz, Die Verteilung der Meere auf der Mondoberfläche. (Sitzungsberichte der Kgl. Preuß. Akad. d. Wissenschaften. 1906, S. 579)

172 Drittes Kapitel. Vericitteinde Beobachtungen.

Ist nun der Zusammenhang zwischen der Beobachtungs- größe l und X, y, z gegeben durch

(2) l-{- k=f(x,ij,z),

^ SO ist nach dem Taylorschen Satze mit der vorher erwähnten Vernachlässigung :

(3) l + l=f{x„y„z,) + ^^l^'lyrl+l{J,

oder abgekürzt

l-\-l=f^al-^or, +cl,

wobei /' wie auch die numerischen Werte der Differential- quotienten a, h, c mittels x^^^ i/q, Zq zu berechnen sind. Man hat somit die lineare Fehlergieichung (3*) ;. = -(?_ /•) + «^ + hr^ -f et,

worin / — /"auch als Beobachtung — Rechnung bezeichnet werden kann.

Sollte sich nach vollendeter Ausgleichimg herausstellen, daß ^, rj, t zu erhebliche Werte erlangeu, um die Entwicklung von (3) als genügend erachten zu können, so muß mit den verbesserten Werten der Unbekannten eine neue Rechnung durchgeführt werden.

Die Einführung von Näherungswerten ist auch bei linearem Zusammenhange der Beobachtungsgrüßen und Unbekannten anzuraten. Nicht nur werden grobe Beobachtungsfehler da- durch sofort entdeckt, sondern es ergibt sich auch eine viel bequemere Rechnung, da alsdann die Differenzen Beob. — Rech- nung nur kleine Zahlen sein werden, was die Berechnung der rechten Seiten der Normalgleichungen sehr erleichtert. Würden diese zufällig gleich null und also auch die Verbesserungen der Näh erung;s werte gleich null, so würde die in den Koeffi- zienten «, h, c, . . ., {ad)^ {ah), ... beizubehaltende Stellenzahl sich nur richten nach der für die Gewichtsberechnung nötigen Schäi-fe.

Bei dem Ansatz (2) wurde angenommen, daß die in der Funktion f auftretenden Konstanten absolut genau gegeben seien. In Wirklichkeit gestaltet sich die Aufgabe meist so, daß auch dafür noch Beobachtungen angestellt werden. Man o-elangt so zu der allgemeinen Aufgabe, daß für eine Funktion

§ 8. Nichtlineare Beziehungen. 173

f{l',l", V", . . . x,y,z, . . .), die den Wert null haben sollte, die Größen V , l", V", . . . be- obachtet werden. Die Aufgabe : x, y, z, . . . zu bestimmen, ist dann hierher gehörig, wenn für jede Gleichung ein System V, l", V", . . . beobachtet wird, das durchaus unabhängig ist von denen der andern Gleichungen.

Bezeichnen s, s", s'", . . . irgend welche kleine Verbesse- rungen der l, so kann man nun ansetzen: (4j f{l' + £', r -f e", r 4- s", ... ^0 + ^. !/o + ^/, ^0 +.%•••) = ö und hieraus nach Taylors Satze :

f und seine DitFerentialquotieuten sind mit den Beobaehtungs- bzw. Näherungswerten zu berechnen.

Werden nun t,, rj, ^, . . . durch die Ausgleichung bestimmt, so kann man zur Abkürzung setzen: (6j l + k = a^ + hn-{-c^ + ---,

wobei „ usw. mit — a usw., f mit l und das Fehleraggregat

mit l bezeichnet ist. l, a, h, c, . . . sind numerisch bekannt. l wird durch die Ausgleichung bestimmt. Seine Entstehung aus

gibt die Möglichkeit, das Quadrat des mittlem Fehlers der Gleichung (6), bzw. der fingierten Beobachtungsgröße l auf- zustellen; es ist gleich

(8) ,= = ,'^>§)>,„"=(|C,)>.-g„)^....

Nach Maßgabe dieses Ausdrucks kann man, falls nur ^u', \i", fi'", . . . bekannt sind, ^^ schätzen und schließlich Ge- wichte g für die verschiedenen Gleichungen (6) einführen.

Um nach erfolgter Ausgleichung den Anteil der einzelnen £ an A zu finden, ist zu bedenken, daß -,„ H — y^i + • • • mit Rücksicht auf (7) zu einem Min. wird, wenn —i = Ji^,,.

' IL ' Ol ■

174 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

-^^^ = 7c >,L usw. ist. Setzt man dieses in (7) ein, so folgt k = l : ii'^.

IL Unabhängigkeit des Minimnms [XXg] von der Wahl der Unbekannten. Sind x, y, z, . . . die Unbekannten, für welche das Minimum der Fehlerquadrate hergestellt ist, so ist das Minimum auch vorhanden für jedes System ii,v,iv, . . ., welches mit X, y, 2, . . . in gegebenem Zusammenhange steht. Bezeich- nen wir die Fehlerquadratsumme [A/I.9] kurz mit Z, so ist zunächst

(9) 1^ = 0, ^/- = 0, ^^ = 0,--..

^ '' dx ' Cy ' dz '

Denken wir uns nun in E die X immer noch als Funk- tionen der x,y,z,..., diese aber wieder als Funktionen von u, V, w, . . ., so wird

(\0\ ^==^1^4_^L^ 4.^^_j

^ ^ du ex du cy du dz du

und entsprechend für v,w,- ■ -. Wegen (9) wird aber

dS

und ebenso

du '

cv ' cv: ^

Hiermit ist der Beweis geliefert.

Man kann nun auch die Normalgleichungen für u^ v, iv, . . . aufstellen, wenn diejenigen für x, y, 2, . . . bereits gebildet sind, ohne erst auf die Fehlergleichungen zurückgehen zu müssen.

Denn fügt man den Gl. (9) den Faktor bei, so stellen diese

die auf null reduzierten Normalgleichungen vor, wobei die A durch X, y, z, . . . ausgedrückt sind. Die Gl. (10) zeigt nun, daß man die Normalgleichungen für ii erhält, wenn man die

Normalgleichungen für x, y, z, . . . der Reihe nach mit >, , 7^, o & j j 1 ■) du' cu^

dz ■ .

7^, . . . multipliziert und die Produkte addiert. Wenn man

noch die x, y, z, . . . durch die n, v, w, . . . ersetzt, so ist die Normalgleichimg für u gebildet. In gleicher Weise ergeben sich die andern Normalgleichungen.

§ 8. Indirekte Auflösung. 175

III. Indirekte Auflösnug der Normalgleicliuugen. Zur

Eiieichterung der Auflösung der Normalgleichuugen hat man besonders für den Fall, daß nur die Werte der Unbekannten, nicht aber auch die Gewichte gesucht werden, Methoden an- gegeben, die die Auflösung durch schi'ittweise Annäherung liefern. Sie beruhen darauf, daß im allgemeinen jede Normal- gleichung von derjenigen Unbekannten besonders beeinflußt wird, deren Koeffizient der quadratische ist. Die Normalgleichungen seien:

{ad)x -\- {ah)y + {ac)i3 — (al) = 0 (12) {ah)x + (bh)y + (hc)z - (hl) = 0

(« c)x -f (6 c)y + (c c) ^ — (c Z) = 0; dann setzt man nach Jacob i als erste Näherungswerte:

^^"^^ ^1 ~ (aay y^ ~ {bby ^1 ~ {cc)'

Die Gleichungen (12) geben hiermit nicht null, sondern Werte

[aiy, (hl)', (cT)'] man setzt nun als Verbesserungen von x^,y^, z^:

Führt man nun ic^ -f- x^, y^ -{- y^, z^ + s^ in (12) ein, so ergibt sich anstatt null eine Wertreihe (al)", (bl)", (cl)", mit deren Hilfe man weitere Verbesserungen x^, y^, z^ berechnen kann usw., bis endlich die Normalgleichungen (12) hinreichend erfüllt werden; alsdann ist

(15) x = x^^x.^^ , ^ = 2/i + ^2 H , ^ = ^1 + ^2 H •

Bequem ist es für diese indirekte Auflösung, (12) in die

Form

(al) {ab) {ac)

[aa) iaa) ^ (aa)

*.^^>* y-{bi>)~m^ m^

(cT) (ac) (bc)

(^cc) (cc; (cc) ^

zu bringen, um die wiederkehrenden Divisionen mit (aa), (bh), {cc) zu sparen.

In anderer Weise erfolgt die indirekte Auflösung nach Gauß nämlich in der Art, daß man nicht gleichzeitig für alle Un-

176 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

bekannten eine Wertreihe bestimmt, sondern immer nur für eine derselben, und zwar für diejenige, deren Verbesserung gerade die größte ist unter der Reihe der Verbesseraugen aller Unbekannten an dieser Stelle der Rechnung. Außerdem zeigt die Erfahrung, daß es nützlich ist, eine Hilfsunbekamite ein- zuführen, indem man in den Fehlergleichungen setzt :

(17) a; = | — (?, y = rj — a, z = 1— 6, usw. Sie geben dann

(18) ;., --h + a,l + ho\ + ^'.e + s,(?,

mit

s. = «; + ?>i + c,. H .

Die Normalgleichungen werden:

(aa)^ + {a}))r^ + (ac)^ + • {as)6 — {aX) = 0

{ah)l + (&&)>? + {hc)l + {hs)6 - QA) = 0

(19) (a c)l + ih c)ri + (cc)^ + {cs)6 - {cl) = 0

-(as)| - (&s)7j - {cs)t + • • • + (ss)(? + (sJ) = 0.

Durch ein direktes Eliminationsverfahren würde man nun allerdings aus diesen Gleichungen, deren Summe null ist, das System |, ij, ^, . . . ö nicht bestimmen können.

Bei indirekter Auflösung erhält man dagegen Werte für alle Unbekannten und kann dann mittels (17) zu x, y, z, . . . übergehen. Während die Werte ^,rj, ^, . . . G vom Gange der Rechnung abhängen, sind x, y,z,... bestimmt. Durch Ein- führung von 6 erhält man eine raschere Konvergenz.*)

Zur Erläuterung des Gaußschen Verfahrens nehmen wir die Normalgleichungen (6), S. 45, die sich ja allerdings direkt, wie dort augegeben, am bequemsten auflösen lassen. Die Um-

*) Das Yerfakren gab Gauß in seinen Yorlesungen; vgl. die „Fest- schrift zur Feier des 150-jährigen Bestehens der Königl. Ges. d. Wissen- schaften zu Göttingen". Berlin 1901, S. 45—59: R. Dedekind, Gauß in seiner Vorlesung über die Methode der kleinsten Quadrate.

Es wurde von Gauß bei den Stationsausgleichungen für die hannoversche Gradmessung benutzt; vgl. Werke Bd. IX, S. 265. Zuerst ist das Gaußsche Verfahren von Gerling in seiner Ausgleichungs- rechnung, S. 386 u. f., veröifentlicht worden.

§ 8. Indirekte Auflösung der Xormalgleichungen. formungen (17) bis (19 j geben:

n- n- t • - (?+ 0,25 = 0

177

+ 3»/

r - (7 + 0,28 = 0

-i • +3e- r- o' + 0,40 = 0

• — 1] - t + or - G — 0,93 = 0

-§- V- i- r + 4(5 4- 0,00 = 0.

Drücken wir alles in Tausendstelsekunden aus, so gestaltet sich die weitere Rechnung wie folgt:

	^1 Reste + 310	^1 Reste — 83	^1 Reste + 57 1	^^ Reste — 39 !	- Reste — 10
+ 250	0 +250	— 249 + 1	—57—56	+ 39|— 17	+ io: —7
+ 280	— 310	— 30	+83+53	— 57 — 4	0— 4	+ 10+6
+ 400	— 310	+ «Jü	+ 83	+ 173	— 57! + 116	— 117 — 1	+ 10+9
— 930	+ 930	0	0	0	— 57 — 57	+ 39i— 18	+ 10	— 8
0	-BIO	— 310	+ 83	227	+ 228 + 1	+ 391 + 40	— 40	0
0	0	0	0	0	0| 0	0| 0	0	0

f, = -3	Reste	n, = --2	Reste	(T3=-l	Reste	r, = + l	Reste
+ 3	— 4	+ 2	— 2	+ 1	— 1	0	— 1
0	+ 6	— 6	0	+ 1	+ 1	— 1	0
— 9	0	0	0	+ 1	+ 1	— 1	0
+ 3	— 5	+ 2	— 3	+ 1	2	+ 3	+ 1
+ 3	+ 3	+ 2	+ 5	— 4	+ 1	— 1	0
0	0	0	0	0	0	0	0

— 0,083

0,002

+ 0,057

— 0,010

— 0,001

0,042

+ 0,311

+ 0,046

— 0,083 ' —0,002 I

mithin wir nach (17):

x = - 0,129, 2/ = - 0,048, z = - 0,088, t = + 0,265,

übereinstimmend mit S. 46.

Eine Untersuchung über die Frage, ob diese Näherungsver- fahren immer zur Auflösung führen, hat für uns wenig Bedeutung

Helmert, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl.

12

278 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

vom praktisclien Standpunkte aus, da der Rechnungsgang in jedem Augenblicke angibt, inwieweit die Normalgleichungen erfüllt sind, und wir somit nie in die Lage kommen können, erheblich fehlerhafte Werte der Unbekannten für die strengen zu halten. Aber es ist leicht zu zeigen, daß obige Verfahren zu immer größerer Annäherung führen. Sind nämlich 5', r^, t,', <?' irgend welche Annahmen für t,, 7], t, a und berechnet man die zu dem ersten Wertsysteme gehörigen X' sowie (X'k'), so ist I', ri, l', g' ein System von Näherungswerten, wenn (A'A'j < ill) und um so schärfer, je kleiner (A'A'j ist. Verbessern wir nun beispielsweise §' um

so ergeben sich mit den Näherungswerten t,' -\- |", rf, tj, e' neue Verbesserungen A", wobei allgemein

ist. Daher wird

(rr'j = {}:?:) + 2iaX%" +{aa)V'

= (A'A')-(aa;|"2; es ist also

f21 1 {X'k") < {l'k'),

d. h. das Wertsystem 5' + 1"? ^'7 »'j <?' bietet eine größere An- näherung als das vorhergehende |', rf, t,', ö'.

Zugleich erkennt man, daß bei Anwendung des Gaußschen Verfahrens durch Verbesserung derjenigen Unbekannten die größte Verminderung der Fehlerquadratsumme erzielt wird, für welche das Quadrat der Verbesserung, multipliziert mit dem bezüglichen quadratischen Koeffizienten, oder das Quadrat des Widerspruchs, dividiert durch den quadratischen Koeffizienten, am größten ist. Übrigens ist damit nicht erwiesen, daß auch die Gesamtheit der Rechnung auf solche Art am kleinsten wird. In der Tat ist im Falle des vorigen Beispiels mit der Gauß- schen Regel die kürzeste Rechnung erzielt.

Manchmal wird die Konvergenz verlangsamt durch nicht- quadratische Koeffizienten, so daß z. B. eine Änderung von ^ auch eine starke Änderung von i] erzeugt, diese wieder auf ^ wirkt usw. Dann bestimmt man die Änderungen gleichzeitig

§ 8. Indirekte Auflösung der Normalgleichungen. 179

für die betreffenden Unbekannten, indem man nach Maßgabe von

Jacobi führt neue Unbekannte ein, um solche nicht- quadratische Koeffizienten zu zerstören.*) Jürgens empfiehlt anstatt dieses A'erfahrens, Näherungswerte der Q aus einem Normalgleichungssystem zu bestimmen, das dujch Weglassung kleiuer Koeffizienten und durch Abrundung stark vereinfacht ist. Durch Multiplikation der ?ten Normalgleichung mit Qj^,^, Qi-i} Qsi} ^1^^- ^^^ Addition (/ = 1 . . . m) entsteht ein neues Gleichungssystem, bei dem die quadratischen Koeffizienten nahezu 1 sind, die nichtquadratischen aber sehr klein werden.**)

Die Coast and Geodetic Survey der Vereinigten Staaten von Amerika wendet seit 1878 das Verfahren an, die Normal- gleichungen zu vereinfachen, daraus x,y, z, . . . zu bestimmen, diese Werte in die genauen Normalgleichungen einzusetzen und deren Widersprüche mit den vereinfachten Gleichungen zur Verbesserung von x,y, z, . . . zu benutzen usw.***)

Versl. auch Czuber: Die Entwicklung der Wahrscheinlich- keitstheorie usw. 1899, S. 199 u. 200. Die hier erwähnten Untersuchungen von Mehmke betreffen hauptsächlich die Auf- lösung beliebiger linearer Gleichungen durch Annäherung, welche Aufgabe weit schwieriger ist als die von Normal- gleichungen, bei denen die Konvergenz der Annäherungen nach (21) klar ist. Mehmke empfiehlt in Fällen starker gegen-

*) C. G. Jacobi. Über eine neue Auf lösungsart der bei der Methode der kleinsten Quadrate vorkommenden linearen Gleichungen. (Astr. Nachr. Bd. 22, 1845, Nr. 523, Sp. 207—306.)

**) Zur Auflösung linearer Gleichungssysteme (Festschrift der Tech- nischen Hochschule) Aachen 188G.

***) Report of the Superintendent of the U. S. Coast and Geodetic Survey etc. für 1877/78. Appendix 8, Paper Xr. 3, S. 115 u. f. Doolittle: General method of Solution of normal equations.

Vergl. auch: W. Werner. Über die Methode der Coast and Geodetic Survey zur Auflösung von Xormalgleichungen. (Civilingenieur, Bd. XXIX, 1882, 2. Heft); sowie:

Th. W. Wright with the Cooperation of J. F. Hayford. The ad- justment of observations by the method of least Squares etc. New York 1906, S. 114 u. f.

12*

180 Drittes Kspitel. Vermittelnde Beobachtungen.

seitiger Beeinflussung von zwei oder drei Gleichungen das oben in (22) angegebene Verfahren, das ich auch schon früher oft mit Nutzen angewandt habe.

Seidels Methode ist von der Gaußschen nicht ver- schieden, nur hat Seidel nicht die Einführung der Hilfs- unbekannten. (Bemerkenswert ist, daß Seidel für manche FäUe der Auflösung beliebiger linearer Gleichungen empfiehlt, sie in Normalgleichungen zu verwandeln; Mehmke fand jedoch, daß man sich diese Mühe meistens sparen könne.) Die von Seidel angegebene Gewichtsberechuung läuft darauf hinaus, das betreffende Gewichtsgleichungssystem durch Annäherung aufzulösen.

§ 9. Mittlerer Fehler einer Funktion von Größen, welche durch vermittelnde Beobachtungen gefunden worden sind.

I. Verschiedene Ausdrücke für den mittlem Fehler. Ist

der mittlere Fehler in der Bestimmung der Funktion

(1) F(X,Y,Z,T)

zu suchen, wenn man für die waJiren Werte X, Y, Z, T die durch Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen bestimmten Werte x, y, z, t setzt, also

(2) Fix, y, z, t)

als Funktionswert annimmt, so müssen in diesen Ausdruck erst die Beobachtungswerte l eingeführt werden, denn nur diese sind unabhängig voneinander, nicht aber die berechneten Werte X, y, s,t. Ist einmal die Funktion F als Funktion der l dar- gestellt, so gibt § 6, 1. Kap., S. 55 u. f., den mittlem Fehler von F. In Formel (12), S. 64, kommen aber nur die Differential- quotienten von F nach den l vor; es genügt daher, diese Ab- geleiteten zu entwickeln, anstatt die / selbst in F einzuführen. Wir haben nun nach frühern Formeln, unter Einschränkung auf 4 Unbekannte:

^ = yJi + y->^-2 + ^3^3' H \- yJn

§ 9. Mittlerer Fehler einer Funktion.

181

worin die V fingierte Beobaclitungswerte vom Gewielite 1 be- deuten möofen:

(4)

h'-hV9l^ ^^-hV92,--- K=lnV9n-

Die /,. sind die wirklichen Beobaclitungswerte mit den zu- gehörigen Gewichten (j^.

Für die Änderung von F nach /,■ ist:

clF^dFcx dFoy dFcz cFdt_ (Ui ex dli cy dli dz dli et dli

daher wird, Avenn wir zur Abkürzung

(5)

dF ex

Fu

dF_

dF

= F

dF

'dt

F,

setzen, mit Hilfe der aus den Gleichungen (3) zu entnehmen- den Diff'erentialquotienten von x, y, z, t nach l^.

(6)

dli'

{a^F,+ß,F, + y,F,-\-d,F,)Vg,.

Da man nun hat, unter den bekannten Voraussetzuugen, vergl. S. 64:

worin ft^ . . . ,u^ die mittlem Fehler von l^ . . .1^ bezeichnen, so kann durch Substitution der Gleichungen (6) sofort ,a>-^ ge- funden werden.

Wir führen hierbei noch anstatt der verschiedenen pL^ die Gewichte g ein und setzen wie früher, wenn ^ ohne Index der mittlere Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1 ist,

(7)

9i

und erhalten durch eine leichte Rechnung :

(B)«/ =

[aa\F,'+2iaß\F,F, + 2[_ay-]F,F, + 2iad-\F,F,

-f ißß-\F,' +2[ßy-\F,F, + 2[ßö-\F,F,

+ VyvWz' +2[yd^F,F,

182

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

(9)^/=

oder auch mit Einführung der Hilfsgrößen Q:

+ F,'Q,., + 2F,F,Q,,, + 2F,F,Q,., + F.^Q,., + 2F,F,Q,.,

+ F,'Q,.,

Diese Formel ist oft recht bequem. Für manche Zwecke ist es aber besser, ihr eine andere Gestalt zu geben. Setzen wir

F,Q,.r + F,Q,.,+F,Q,.,+ F,Q,,,= L,

(10)

^1^1.2 + ^2^2.2 + ^3^2.3 + ^4^2

F,Q,^ + F,Q,,, + F,Q,,-^F,Q,., = L, F, Q,., + F, Q,,, + F, Q,,, + F,Q,,,==L„

so folgt aus (9):

(11) .u/ = (F,4 + F,L, + F,L, + F,L,)(i\

Diese Formel kann man weiter umwandeln. Die Ausdrücke (10) sind nichts anderes als die Auflösung eines den Normal- gleichungen entsprechenden Systems mit den Unbekannten L: {aa)L^ + (ah'jL^ + icbc)L^ + {ad)L^ = F^ {ah)L, -f {hh)L, + {hc)L, + (6r/)L, = F, {ac)L, + {hc)L, + {cc)L, + (cd)L^ = F, {ad)L, + (hd)L, + {cd)L^ + (dd)L^ = F^. Durch Ausführung des Gaußschen Algorithmus wird hieraus: {aa)L^ + {ah)L^ + {ac)L^ + {ad)L^ = F^

(cc-2)Z3 + (cf/.2)L, = (F3

((?(?. 3) Z, = (F,

und damit (vergl. einen analogen Fall S. 134/135):

1) 2) 3),

(14)

Uf =

(F,-l)* (^3-2)^ (aa) ' (&&• 1) "^ (cc-2)

+ r-

(dd • 3)

).=

Im Anschluß an VI, S. 153, sind die expliziten Formeln für

(K • 1), (^3 • 2) und (F, ■ 3):

{F, • 1) = i^o - «,'F, (15) (^3 • 2) = F3 - ß,'\F, . 1) - a,'F,

(F, • 3) = F, - r;"(F3 . 2) - /3;'(F, ■ 1) - <F, .

§ 9. Mittlerer Fehler einer Funktion. 183

Eliminieren wir andrerseits die Hilfsgrößen Q aus (9 ) mittels der Beziehungen (XIV) und (XV), S. 157, so erhalten wir nach einfacher Reduktion:

^^~^\{aa)'^ {bb-l) '^ {cc-2)

I iF,--yrFs-ßrF,-<"F,r\

""" {dd-Z) I'

d. i. wieder (14), wegen

{F,- l) = F,-a,'F, (161 {F,-2)^F,-ß,"F,-a,"F,

{F, • 3) = F, - n'F, - ß:"F, - a:"F, .

Daß die Gl. (15) und (16) wirklich dasselbe ergeben, sieht man auch mit Benutzung der Beziehungen (33), S. 128.

Beispiel. Fortsetzung zu S. 167. Der ausgeglichene Wert des Winkels NH ist 11° 44' ll'^0ö7 ^ y — x-^ es ist das Gewicht, bzw. der mittlere Fehler dieser Bestimmung zu ermitteln.

Wir haben nach (9), S. 182, für zwei Unbekannte:

^yn = f^'(^i-i — ^Qi.2+ Q2.2)

(30) = 4,2738 { 0,00978 — 0,00750 -]- 0,01890 }

= 4,2738 • 0,02118 = 0,09052 ;

(31) .u_,^ = + 0-301 .

Dem Gewicht 777^^77- entsprechen 47 Repetitionen.

Vor der Ausgleichung war die Eepetitionszahl und das Ge- wicht nur 20 (vergl. S. 43).

Eechnen wir nach (14) und (15), S. 182, so wh-d mit (13), S. 163, «2'= — 0,1667, «3' = — 0,3333, a/= 0; /V' = — 0,11765, jS/'= — 0,3529, 7/"= — 0,3892, und es ist

F, = -1, i'^2 = +l, i^3 = 0, F, = 0, (i^2 • 1) = 1 — 0,1667 = 0,8333

(32) {F^ ■ 2) = 0,11765 • 0,8333 — 0,3333 = — 0,2353

(F^ • 3) = - 0,3892 • 0,2353 + 0,3529 • 0,8333 = 0,2025.

184

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Das reziproke Gewicht für XH wird: 1- . 0,8333- , 0,2353«

+

0,2025-

^ys ^ 120 ' 56,0667 ' 185,8824 ' 134,7785

(33) = 0,00833 + 0,01226 + 0,00030 + 0,00030

= 0,02119,

übereinstimmend mit (30).

Würde man, anstatt die Formeln (15 j anzuwenden, den Normalgleicbungen (9), S. 161, in einer Yertikalreibe (9) die Glieder — 1, + 1, 0, 0 angehängt haben, so würden für die ab- geleiteten Systeme (10*), (U), (12) die Vertikalreihen (lO), (ll), (12) in der folgenden Tabelle sich ergeben:

(34)

(9)	• l'-*.	^11.	12 1
— 1 — 0,00833	1
+ 1 + 0,1667	+ 0,8333 + 0,01471
0 + 0,3333	— 0,3333 — 0,0979	— 0,2354 — 0,00127
0	0 . — 0,2942	4- 0,2942 + O.OOlfi	-f 0,2026 + 0,00150
0 — 0,5000	+ 0,5000 + 0,4413	-f 0,0587 — 0,1437	+ 0,2024

lind es würde darnach, wobei auf Vorzeichen keine Rücksicht ge- nommen zu werden braucht: (35) Q,,^ = 1 ■ 0,00833 + 0,8333 ■ 0,01471 + 0,2354 • 0,00127

-f- 0,2026 -0,00150, woraus sich wieder der bereits gefundene Wert f33) ergibt.

WoUte man sich endlich der Formeln (16), S. 183, bedienen, so würde zu beachten sein, daß nach (13), S. 163, «3" = — 0,3530, «/"= — 0,1962, |3/"= — 0,3987 ist. Es folgt dann

(36)

1) = + 1-0,1667 = + 0,8333

2) = + 0,1177 — 0,3530 = - 0,2353

3) = + 0,3987 - 0,1962 = -f 0,2025,

usw.

Ohne Zweifel geben in dem speziellen Falle unseres Beispiels, weil F.^ und F^ einfache Zahlen sind, die Formeln (16) die ein-

§ 9. Mittlerer Fehler einer Funktion 185

fachste Eechnung für ö^^^, falls man nicht nach (9), S. 182, rechnen kann, wozu man ^^2 kennen muß.

II. Direkte Bereclmung des Fnnktioiiswertes. Ist F^ ein

mit den Näherungswerten x^, y^, z^, f^ für die Unbekannten be- rechneter Funktionswert, und bezeichnen |, rj, t,, t die durch die Ausffleichunsr zu ermittebiden Yerbesserimgen, so kann man

DO Ö ■

für den Ausgleichungswert der Funktion ansetzen:

(17) F = F, + F,l+F,i^ ^F,t^F,t=^F, + AF.

Interessieren nun t, >], t,, r nicht einzeln, sondern nur F, so kann man AF direkt berechnen aus der Formel

(IH) AF= (al)L, + (hl)L, + (cl)L, + {dl)L„

wie man aus den Gl. (12), S. 182, durch Multiplikation mit ^, rj, £;, T unter Rücksicht auf die entsprechenden Normal- gleichungen, in denen |, rj, ^, t für x, y, z, t zu schreiben ist, sofort findet. Man löst also in diesem Falle anstatt der Normal- gleichungen die Gleichungen (12) auf; Ai^ folgt dann aus (18), pLf' aus (11).

Endlich bat man noch zu (14):

^ ~ ^ {(la) "^ (bb-l) "^ (cc-2) "^ (dd-B)

III. Das Gewicht von Funktionen der Ansgleicimngswerte ist ein Maximum. Dieser Satz ist schon S. 111/115 bewiesen worden, aber indirekt; er möge jetzt noch direkt für eine be- liebige Funktion bewiesen werden. Die Funktion sei auf die Gestalt (17) gebracht. Dann ist nach (18):

(19) AF= [J,ß mit f. = a,r,,L, + h,g,L, + c.g.L, -f d,g,L,.

Für ein Ausgleichungsverfahren, welches von der Methode der kleinsten Quadrate verschieden ist, würden wir doch von den Feblergleichungen

;20) l.-\-i;=a,^' + h,'^'+c,t'^dir' Gew. ^.

auszugehen haben. Der Strich oben an l, ^, rj, t,, r bedeutet, daß andere Werte als bei der Methode der kleinsten Quadrate in Betracht kommen. Sind // Multiplikatoren der Fehler-

186 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen,

gleichungen, so kann man diese so wählen, daß

(21) _ AF =[?,/;.'] + [V/;']

wird, wobei

(22) [a/:] = I\, [h/!] = F„ \ej:-\ = F„ [dj:] = F,.

Dies gilt alles auch für den Fall, daß 5', ?/, t,\ z wahre Ver- besserungen der Näherungswerte der Unbekannten sind; dann sind k' wahre Verbesserungen der Beobachtungen und die Annahme

(21*) AF =[/,/,']

hat den Fehler [V/i']*)

Das mittlere Fehlerquadrat von A-F ist also gleich

während (19), d. h. die Methode der kleinsten Quadrate,

(23*j

9 1 ' «

f;

ergibt. Multipliziert man in (19) f^ mit — und addiert für i von 1 . . . w, so folgt wegen {22), (11) und (23*):

Daher wird

(24)

fr-' .9,-	\fr L9i-	=	-fr--" -9i J	-2	_ 9; J	+	-fr -9f-
		r(/;'-/;-)n
			(	h J

*) Im Falle einer Ausgleichung ist immer [V/i'] = ö- Denn eine solche wird setzen

[k <] = 0 = [h'ßil usw.,

wenn «',/)", usw. die speziellen /^ sind, falls AF nur gerade | oder rj, usw. bedeutet. Nun ist aber aus AF= F^^-^ F^t} ^ usw. durch Ein- setzen von 'g = [Za], 7] = [?ß'], usw. /"/ = or/Fj + (?/ F, -] und damit

folgt leicht [!.'/;■'] = 0.

r/rn		yr
	>>«"
ig,- J		-9i-

§ 9. Mittlerer Fehler einer Funktion. 187

Mithin ist

(25)

Also gibt die Methode der kleinsten Quadrate kleinste mittlere Pehlerquadrate bzw. größte Gewichte.

IV. rnrichtige Bestimiimiig: von fif-. Die Gl. (9), S. 182, zeigt deutlich, daß der Ansatz

im allgemeinen fehlerhaft ist, weil derselbe nur die Q mit quadratischem Index berücksichtigt. (Über Ausnahmen siehe weiterhin § 11, VI). Bei zwei Unbekannten liegt ^if zwischen den Grenzen*)

m ±{\F,liA-\-'F,ii,^\) und ±{F,a^\-\F,ii^^\),

wie mit Rücksicht auf die leicht zu beweisende Ungleichheit

^11 Q2., > Q;', folgt. Da munlich Q,.,Q,., - Q^', = ^^

= ^,- ist, muß notwendig diese Uno-leichheit stattfinden.

(ob) ' ^ °

Eine fehlerhafte Berechnung von fip-^ nach den gegebenen Formeln tritt übrigens ein, wenn die Funktionsform selbst Gegenstand der Ausgleichung ist, wenn also in

F = ax + hij

auch a und & aus der Ausgleichung hervorgehen. Einen Fall dieser Art behandeln wir weiterhin im 6. Kap. § 6 II bei Thiele s Theorie quasisystematischer Fehler.

V. Zusammeugesetzter mittlerer Fehler. Hat man den

mittlem Fehler iip einer Funktion F der Unbekannten und anderer Beobachtungsgrößen, welche nicht in die Ausgleichung eingingen, zu bestimmen, so ist leicht ersichtlich, daß up^ sich einfach durch Addition zusammensetzt aus den Quadraten des mittlem Fehlers in F wesen Unsicherheit der Unbekannten

*) P. Pizzetti. Un teorema relative all' errore medeo etc. Rendi- conti della R. Accademia dei Lincei, 1886, S. 597.

188 Drittes Kapitel. Yermittelnde Beobachtungen.

allein und den Quadraten des mittlem Fehlers in F wegen Unsicherheit der hinzukommenden Beobachtungsgrößen.

Beispiel. Fortsetzung von S. 94. Wenden wir die dort ge- gebene Foiinel (15) auf die Berechnung einer Distanz an, so wird, wenn der mittlere Fehler in der Ablesung a gleich ix ist, das mittlere Fehlerquadi-at in der berechneten Distanz, also der Funktion

F= 0,335 -f 99,43a gleich

(16) ,ft/ = a-fv + (99,43/.«^-.

Es ist nämlich der mittlere Fehler in 0,335 verschwindend klein, ferner der mittlere Fehler in 99,43 a wegen Unsicherheit der Kon- stanten 99,43 (d. i. X) gleich a\i^ und endlich der mittlere Fehler in 99,43a wegen Unsicherheit des behufs der Distanzmessung beobachteten a gleich 99,43 jit^.

Setzen wir ft/ = 0,0015 und ,ti„- = (0,0013 a)2 = 0,000001 7 a^ (vergl. S. 93), so wird

(17) .«/ = a- \ 0,0015 + 0,017 } .

Es ist hiernach der mittlere Fehler der Distanzmessung haupt- sächlich abhängig von dem Fehler in der Ablesungsdifferenz, da- gegen nui' wenig von der Unsicherheit der Konstanten 99,43, wie es auch so sein muß für eine genügende Bestimmung derselben. Beobachtet man a nicht einmal, sondern n-mal und nimmt das Mittel zur Berechnung der Distanz, so wird

(18) ft/ = «^^[0,0015 + ^j.

§ 10. Ausgleichung von Beobachtungen, welche die Form von Richtungsbeobachtungen haben.

I. Direkte Lösung. Sehr oft kommt es vor, daß mehrere Beobachtungen gleicher Art eine Reihe oder einen ,,Satz" bilden, dergestalt, daß nur ihre Unterschiede bestimmte Werte l haben. An jedem / haften dann die Fehler zweier Beobach- tungen: für einen Satz von m Beobachtungen kann man also foltrende Fehlerslei chungen ansetzen:

§ 10. Ausgleichung von Richtungsbeobachtungen. 189

A2 — ^1 = — ?2 + «2-^' + ^2?/ + • • -^

A3 - Ai = — ?3 + «32; + &3^ + •

(1) A4 — A^ = — /^ -|- a^a: + h^y -\- ■ • -^ m ÜDbekannte.

Welche der Beobachtungen man als Anf'angsrichtung nimmt, ist für das Ergebnis gleichgültig.

Sind die Gewichte von A^, A2, . . - A^ bzw. //^, <j.^, . . . g^, so kann man aus der Summe [AA/y] immer nur n — 1 der A eli- minieren; eines derselben bleibt darin, und wir müssen es wie x,y,... als Variable bei der Differentiation von |AA^] be- trachten. Nehmen wir A^ zu diesem besondern k, so schreiben wir bei Beschränkung auf zwei Unbekannte x und y, um auf die frühere Form der Fehlergieichungen zu kommen:

h= • K ■ • ' ^1

k^ = — l^ -\- X-^^ -\- a^x -\- ^y C/.2

(2) A3 = — ^3 + Ai -f a.^x + h^y g^

Hierzu gehören die Xormalgleichungen

[o\K + {a9\x + \p9^y = \}9^ (3) \ßU\h + {aa9\3C -f [a^^ = [«^^/l

\l>g-]X, + [a&(/]^ + [&fc(/]?/ = [hlg-].

Es kommt nun vor, daß mehrere Systeme (2) mit den- selben X, y, . . . vorliegen. Dann gibt es für jedes A^ (die An- fangsrichtung braucht für die einzelnen Systeme nicht dieselbe zu sein") eiue besondere Normalgieichung wie die erste in (3), während die Normalgleichungen für x,y, . . . sich durch Addi- tion der zweiten, der dritten usw. zusammensetzen. Es ist alsdann gut, die A^ vorher zu eliminieren, also (3) für jedes einzelne System wie folgt umzuformen:

(3*)

[aag'\ - [\_a'bg'\ —

\x+\\])hg'\

ig']

[g]

i^g^\}9^

[g]

190 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Die eigentlichen Normalgleichungen für x, für y usw. entstehen nun durch Addition vorstehender Einzelsysteme, d. h. bzw. der ersten Gleichungen, der zweiten Gleichungen usw.

IL Erste Umformniig. In einzelnen Fällen kann folgende Umformung nützlich sein. Wir setzen in (2)

(4) ^1 = - ^i' + «,

worin // ein noch beliebiger Hilfswert ist, und erhalten damit:

K = — h' + '' V = • h'

Ag == — k' -{-11 + Cl2^ + ^2^ h' = h + ^i'

(5) X., = — l^' + u -\- a.,x + \y ]„' = l^ + l^'

Die Normalgleichungen nehmen wieder die Form (3) an, nur steht für l jetzt V und für A^ jetzt u.

Für diese Normalgleichungen wird die Auflösung erleich- tert, indem man {!' fß zu null macht. Es muß also ?/ so ge- wählt werden, daß diese Bedingung erfüllt ist, d. h. es ist zu setzen:

Die Gleichungen (3) gehen nun über in:

[^]« + [ag^oc^ [hg]y = 0 (7) [ag] H + [aag'] x + [ahg] ij = [aVg']

\l)g']u -f [a'bg'\x + \hhg']ij = [hV g'\.

Insbesondere ist für ^i = f/g = 5^3 ==••• = 1 •

?/ = -[?]: n und

n u -f [a']x + \]j\y = 0

(7*) \a\u 4- \aa\x -f [ah']y = [al''\

\h']H + \al'\x+lhh\y = \l>l'].

Diese Normalgleichungen werden in gewöhnlicher Weise aufgelöst. Wir erinnern noch daran, daß die erste der Glei-

§ 10. Ausgleichung von Rictitungsbeobachtungen. 191

chungen (3) bedeutet, daß

(8) [Ary] = 0

Averden soll; für gleiche Gewichte geht diese Formel über in

(8*) [X] = 0.

Man hat femer zur indirekten Berechnung von [AA/y] im Anschluß an (5) und (7) [l'l'g] zu bilden; es ist aber behufs vollständigerer Kontrolle gut, [Vl'g^ aucli direkt aus [llg] zu berecbneii. Man findet leicht aus (5) durch Quadrieren der Beziehungen zwischen den l und V mit Rücksicht auf ((3):

(9) [l'l'g] = [Ug] - t[^-' = [llg] - ir~[gl

III. Zweite Umformung. Kommen in den meisten der Fehlergleichungen (1) alle Unbekannten vor, so setzt man an- statt (4) besser

(10) '^i = — h' + «< + "i^ + ^i'y,

worin l^', a^', h^' vorläufig beliebig sind. Damit geht (2) über in:

Ai = — k' + n + üj'x + b^'ij g^ A, = — 1.2 + u + a^'x + 6./?/ (/g

h = ~ h' + « + «3'^ + h'y i ^3

A4 = — // + ?( + «4'^; + h^'ij g^

usw.

(11^ 7' 7' ' '7,' ^7.'

7o' = ?2 + ^1' ^2' = ^'2 + %' ^'2' = ^2 + ^1'

^3' = ^3 + h' «3' = «3 + «1' ^3' = ^3 + Z>i'

^4' = h + K «4' = «4 + «1' ^4' = ^^4 + ^1' USW.

und die Normalgleichungen erhalten die Form (3); nur ist da- selbst für l, a, h bzw. V , a, h' zu setzen. Wir wählen nun V, a, y so, daß

\l'g-\ = 0, [«V] = 0, \h'g-\ = 0

wird: man muß also nehmen:

n 0\ 7 ' _ IM n ' — — M_ 7. ' _ _ t^^^

192

Drittes Kaiiitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Die Xormalgleichungen werden alsdann:

[g-\u . . = 0

(13) • [aag]x -f [ah'g]ij = [a'l'g]

• [ab'g]x + [b'h'g]y = \\jV [i\,

so daß der Wert von n gleich null wird.

Die KontroUgleicliungen (8) und (9) gelten auch jetzt noch. Löst man das System (3) auf, indem man zunächst /.^ eliminiert, bildet man also (3*), so erhält man ebenfalls das System (13), von dessen erster Gleichung, die w = 0 ergibt, abgesehen. Welchen Weg der Herleitung man wählen wird, hängt von Nebenumständen der Aufgabe ab. Im allgemeinen dürfte die Umformung der Fehlergleichungen zu empfehlen sein.

Beispiel. Richtungsbeobachtungen auf einer trigono- metrischen Station. Auf einer Station eines trigonometrischen Netzes wurden mit einem großen Universalinstrument folgende Richtungsbeobachtungen erhalten:

Übersicht der Beobachtuncrsreihen.

(1)

5li .	Xummern de	r beobachteten Objekte	Mittel
	1	2	3 4 5	ans
	0»0'	51" 33'	50« 42'	2430 29' 301» 48'
1	o';oo	12':60	17':94	40';56	2';04 1	8 Sätzen
2	0,00	*	19,33	41,54	2,31	15 „
3	0,00	14,94	*	*	2,80	2
4	0,00	10,65	*	39,44	1	1 „
5	*	15,71	20,00	*	*	1 V
6	*	*	20,00	*	5,55	1 V

Da in der fünften und sechsten Gruppe das Objekt 1 nicht vor- kommt, konnten die Angaben dieser Gruppen nicht auf die Form der vorhergehenden gebracht werden; anstatt indessen nun die Angabe für eins der andern Objekte auf null zu bringen, ist es vorteil- hafter, allen ursprünglichen Angaben dieser Gruppen einen solchen Wert beizufügen, daß alle Angaben für ein und dasselbe Objekt in den verschiedenen Gruppen nahezu gleich werden.

Die Gewichte dieser Angaben sind dmxh die Zahlen 8, 15, 2, 1, 1, 1 der letzten Vertikalspalte gegeben, wenn man eine

§ 10. Ausgleichung von Richtungsbeobachtungen.

193

Richtungsangabe eines einfach beobachteten Satzes als Gewichts- einheit annimmt.

Es sei bemerkt, daß die Instrumentalfehler bei den Zahlen der einzelnen Sätze schon eliminiert sind, indem diese Angaben als Mittelwerte für beide Fernrohrlagen gebildet wui'den. Die Teilungsfehler des Kreises können im wesentlichen als zufällige Fehler betrachtet werden, da sie sehr klein waren (im Mittel nur etwa Y Sekunde), und durch unausgesetzten Wechsel der Ablese- stellen gesorgt wurde, daß sie keinen konstanten Einfluß erlangten.

Als Unbekannte betrachten wir die Winkel

(1-2)= 51»33'10';00 -Fa;

(1 • 3) = 50 42 10,00 -f tj

(1.4) = 243 29 30,00 + s

(1 . 5) = 301 48 0,00 -f t,

welche wir gleich in der Form „Näherungswert plus plausibelste Verbesserung" angesetzt haben.

Winkel (l • 2) ist in Berücksichtigung des Umstandes voran- gestellt worden, daß Objekt 2 in die Ausgleichung des ganzen Netzes, zu dem die Station gehört, nicht eingeht.

Die Fehlergleichungen lauten in ihrer ursprünglichen Form:

(2)

(3)		(4)
Gewicht S		Gewicht 15
h = K	\	K
il, = — 2,60 + Aj -|- a;	K'	fehlt
^3" = - 7,94 + A, -fy	V	= - 9,33 + il/ + iy
1^ = — 10,56 + Ij -f ^	K	= — ll,54 + >li'+3
K = - 2,04-fi,+f	K	= — 2,31 + ^/ + <
(5)		16;
Gewicht 2		Gewicht 1
X,"= 1-'	K	' = l,'"
U' = — 4,94 -f Ai" -f X	W	' = — 0,65 -f- ;./" + X
X3" fehlt	h"	' fehlt
i;' fehlt	K	' = — 9,44 + l^" -f- z
A," = — 2,80 + ;./' + 1	K	■ fehlt
(1)		(8)
Gewicht 1		Gewicht 1
2/^' fehlt	K'	fehlt
W^=— 5,71-fA/»'+a;	h'	fehlt
V^= -10,00 + ;./'' -fy	K'	= _ 10,00 -f^,^+y
X^^'' fehlt	ij	fehlt
X,^'- fehlt	h"	= — .5,55 4- ^1^'+^
Helmert, Ausgleichungsrechnung.	2. Aufl.	13

194

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Die Näherungswerte (2) sind so angenommen worden, daß alle l der Fehlcrgleichungen positiv werden mußten, um Vorzeichen- fehler zu umgehen. Ferner sind (7) und (8) so gebildet, als wäre auch Objekt 1 beobachtet; in der Tat kann man sich vor- stellen, daß das Objekt 1 in diesen Fällen mit dem Gewichte null beobachtet woi'den sei.

Man könnte nun die erste Umformung auf die Fehlergleichungen anwenden; indessen bietet das im vorliegenden Falle keinen Vorteil. Wir bilden vielmehr direkt zu den Fehlergleichungen (3) bis (8) die Normalgleichungen und erhalten:

(9)

Übersicht der Normalgleichungen.

h	K'	K"	;./"	;.,-•	^-1^'	X	y	z	l	Konet.
5-8 1 *	*	*	*	*	8	8	8	8	185,12
*	4-15	*	*	*	*	*	15	15	15	347,70
*	*	3-2	*	*	*	2	*	*	2	15,48
*	*	*	3	*	*	1	*	1	*	10,09
*	*	*	*	2	*	1	1	*	*	15,71
*	*	«		*	2	*	1	*	1	15,55
8	*	2	1	1	*	12	*	*	*	1 37,04
8	15	♦	*	1	1	*	25	*	*	223,47
8	15	*	1	*	«	*	*	24	*	267,02
8	15	2	*	*	1	*	*		26	62,12
9-8	7 15	5-2	5	4	4	24	50	48	52	1179,30

Die Normalgleichungen für A^, . . . X^' enthalten jede nur eine dieser Unbekannten; es ist daher sehr leicht, sie mit Hilfe der- selben aus den vier letzten Normalcjleichuncjen und der Summen- gleichung zu eliminieren. Es ergeben sich dann Gleichungen zwi- schen den vier eigentlichen Unbekannten x, y, Z, i, die man be- zeichnen kann als:

die Normalgleichungen im engern Sinne.

X

y

t

Konst.

CIO)

8,9000 — 2,1000 I — 1,9333

— 2,1000 -|- 18,6500 — 5,3500

— 1,9333 - 5,3500 -|- 18,31(37

— 2.2667 1 — 5,8500 — 5,3500

— 2,2667 — 16,362

— 5,8500 ' -f 83,891

— 5,3500 il + 139,708 + 19,4833 ji — 74,764

-f 2,6000 -f 5,3500 -f 0,6833 -L (;,0167 -f 132,47;

§ 10. Ausgleichung von Richtungsbeobachtungen. Daraus folcfen die reduzierten Gleichungen :

195

Ul)

oder

8,9000

y

2,1000 18,1545

— 1,9333	— 2,2667	— 16,362
— 5,8061	— 6,3848	+ 80,030
16,0398	— 7,8843	+ 161,749
	12,7850	+ 28,723

Konst.

i

Konst.

(12)

0,23596 1

— 0,21722

— 0,31982

1

— 0,25468 II — 1,8384

— 0,35169 ij + 4,4083

— 0,49155 + 10,0843

1 II -f 2,2466

Auf die Gewichtsberechnung ist keine Rücksicht genommen, da im vorliegenden Falle das Gewicht der Unbekannten selbst selten Interesse hat. Übrigens kann man auch mittels (H) und

(12) die GewichtsberechnuDg füj- beliebige Funktionen der Un- bekannten ausführen; vergl. S. 182, (14) und (15).

Für die Unbekannten folgt durch allmähliches Einsetzen:

(13) a; = + 3,2350, 7/= + 8,7767, - = + 11,1886, ^ = + 2,2466,

in vollständiger Erfüllung der Sunamennormalgleichungen. Es werden mithin nach (13) und (2) die Winkel:

(1 • 2J = 51° 33' 13';2350 (1 • 3) = 50 42 18,7767 (1.4) = 043 29 41,1886 (1 • 5) = 301 48 2,2466,

(14)

wozu infolge der Netzausgleichung noch weitere Vei-besseiningen treten.

Für die praktische Rechnung ist es vorteilhaft, von einer Übersicht auszugehen, die der Bildung von (l) ohnehin notwendig vorhergehen muß. Man ordnet die Summen der Sekimdenwerte, welche über die runden Näherungswerte hinausgehen, in folgender Weise :

13*

196

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

(1*)			Beob	achtungssummen.
<D a O TS	Anzahl der Sätze, div. durch Anz. der Richtungen Anzahl der Sätze	Summen der l	a g 1 a
	1	2 3	4 i 5
1 2 3 4 5	8:5 15:4 2:3 1:3 1:2 1:2	8 15 2 1 1 1	0 l 0 *	20,80 6?,52 * 139,95 9,88 1 * 0,65 ' * 5,71 10,00 10,00	84,48 ! 16,32 173,10 34,65 ' • 5,60 1 9,44 ; • 1 ' 1 * ; * 1 * 1 5,55 ;	185,12 37,024 347,70 86,925 15,48 ' 5,160 10,09 3,363 15,71 ; 7,855 15,55 7,775
	29 1 0	37,04 i 223,47	267,02 62,12 589,65 1 ||589,65

Gewichtssummen :

1-2

24

26

Die Vergleichung mit (l) erklärt die wesentlichen Teile von (1 *j : die Vergleichung mit (9) zeigt, daß die wichtigsten Zahlen, die in (9) vorkommen, in (l*) enthalten sind. Man kann daher, ohne (9) hinzuschreiben, leicht aus (l*) dh-ekt zu (10) gelangen.

Bei der Berechnung von [AA//] aus \llg] knüpfen wir an den ersten Teil der Xormalgleichungen (9) und an die reduziei'ten Gleichungen (ll) und (12) an.

Aus (3j bis (8) folgt [llg] = 5284,61 und damit nach der allgemeinen Formel (13), S. 158:

[lXg] = ö28iM~

185,12- 40

10,09- 3

347,70- 60^

15,71- 2

15,48- 6

15,55-

(15)

16,362 • 1,8384 — 80,030 • 4,4083 161,749 • 10,0843 — 28,723 • 2,2466 = 16,24.

Um die X einzeln kennen zu lernen, müßten wir dem üb- lichen Eechnungsgange nach zunächst mittels der ersten sechs Gleichungen ( 9) die A^ berechnen. Indessen verfahi-en wir lieber wie folgt: Mit den Werten (l4) werden zu den "Werten von (1) die Verbesserungen gebildet und in nachstehender Tabelle zusammen- gestellt, wobei jetzt die Sätze vertikal angeordnet sind.

§ 10. Ausgleichung von Richtnngsbeobachtungen.

197

(16)

1	o	3 : 4 1	5	•>
1 0,0000	0,0000	0,0000	o,onoo	*	»
2 1 + 0,6350	*	— 1,7050	+ 2,5850	— 2,4750	*
3	+ 0,8367	— 0,5533	*	»	— 1,2233	— 1,2233
4	+ 0,6286	— 0,3514	*	+ 1,7486	*	*
5	+ 0,2066	— 0,0634	— 0,5534 *	*	— 3,3034
Summe '+ 2,3069	— 0,9681	— 2,2584j+ 4,3336	— 3,6983	— 4,5267
II 5	4	3 3	2	2

Quotient {+ 0,4614 — (),2420|— 0,7528|+ 1,4445;— l,849l|— 2,2633

Dieser Zusammenstellung wurden die Summe jeder Vertikal- spalte und die Anzahl der Glieder derselben, sowie die Quotienten aus beiden beigefügt. Mit Eücksicht auf die Gleichungen (3) bis (8), in denen die x^y,z,t jetzt eingesetzt zu denken sind, erkennt man , daß die negativen Quotienten die betreffenden X^, l^ ^ . . . l^ selbst sind. Durch Subtraktion der Quotienten von den Werten der bezüglichen Vertikalspalten folgen daher die einzelnen X.

			Übersicht der l.
		1 ■: 3 4	5	6
(17)	1 2 3 4 5	— 0,4614 + 0,1736 1+0,3753 + 0,1672 1 — 0,2548	+ 0,2420 * .— 0,3113 — 0,1094 + 0,1786	+ 0,7528 — 0,9522 * * + 0,1994	— 1,4445 + 1,1405 * + 0,3041 »	* — 0,6259 + 0,6258 »	* * + 1,0400 * — 1,0401
	+ Gew.	0,7161 0,7162	0,4206 0,4207	0,9522 0,9522	1,4446 1,4445	0,6258 0,6259	1,0400 1,0401
	8	15	2	1	1	1

Die Summenbildung in dieser Übersicht zeigt, daß für jede Reihe [k] gleich null ist; jedoch haben diese Beziehungen nicht die Be- deutung der Kontrollgleichung (8*), S. 191, weil die l nicht aus den Gleichungen (3) bis (8) durch Substitution der Unbekannten gefunden worden sind. Es wird dadurch nur der Übergang von (16) zu (17) geprüft.

Die Quadratsumme [Hg] wird nach (17) gleich 16,26, in guter IJbereinstimmung mit (l5).

198 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Der mittlere zu befürchtende Beobachtungsfehler einer Richtungs- angabe vom Gewichte 1 ist somit, da die Anzahl aller Unbekannten 4 + 6, die der Beobachtungen der Eichtungen 19 beträgt:

(18) . = +]/if^ = +l';34.

Der mittlere Fehler eines einem einfachen Satze entsprechenden Winkels ist ftl/2 = + l','90.

IV. Symmetinsclie Einführiiiig von Uubekannteii bei Aus- gleichung von Riclitungsbeobaclitungen. Wir erläutern dies zunächst an dem vorhergehenden Beispiele.

Anstatt der vier unbekannten Winkelwerte führen wir fünf unbekannte Richtungswerte (1), (2), ... (5) ein und haben als Beziehungen zwischen den Winkeln und Richtungen:

(1.2) = (2;-(1), (1.3) = (3)-(1), a-4) = (4;-(l), ^ ^ (1.5) = (5) -(1).

Da jedoch nur die Winkel bestimmte Werte haben, so ist einer der Richtungs werte beliebig. Sehen wir indes einst- weilen davon ab und bilden die Fehlergleichungen, wobei es ffenüfft, eine Beobachtungsreihe zu betrachten. Aus der ersten Gruppe in der Übersicht (1), S. 192, erhalten wir.-

/l, = - 5P33'12';60 + A,-(l)-f (2) (20) A3 = - 50 42 17,94 + ;., - (1) + (3)

A^ = - 243 29 40,56 -f A^ - (1) + (4) A5 = - 301 48 2,04 + ;., - (1) -f (5) ,

oder wenn wir für Aj — (1) die Bezeichnung u einführen:

k, = - 51« 33' 12';60 + u + (2) (20*) A3 = - öO 42 17,94 + « + (3)

l^=- 243 29 40,56 + u -f (4) A,= -301 48 2,04 +« + (5).

§ 10 Ausgleichung von Richtungsbeobachtungen. 199

Ebenso gestaltet sich die Rechnung für die andern Beobachtungs- gruppen. Wir führen ferner Näherungswerte für die Riehtungen (1), . . . (5) ein und bilden schließlich die Normalgleichungeu. Da nun aber nur die Richtungsunterschiede bestimmte Werte haben, so würde dies auch die Auflösung der Normalgleichungen anzeigen.

Um für die Richtungswerte selbst bestimmte Werte zu erhalten, muß man entweder einen derselben beliebig annehmen oder eine Bedinguno-sgleichung zwischen ihnen einführen. In letzterer Weise hat Hansen die Ausgleichung der Richtungs- beobachtuugen durchgeführt.*) Hansen benutzt die Bedingungs- gleichung als andauernde Kontrolle der Rechnung.

Soviel ich weiß, ist indessen sein Verfahren im Falle beliebiger Satzbeobachtunffen nicht benutzt worden. Nur für den Fall symmetrisch über die » Richtungen verteilter Satz- beobachtungen, wenn also z. B. alle Winkel zwischen den Objekten, oder alle Kombinationen zu drei Richtungen ge- messen sind, wurde es angewandt, weil es da jedenfalls von Vorteil ist, um in einfacher Weise das Ergebnis der Messungen in einen vollen Satz von fingierten Richtimgsbeobachtungen überzuführen.

V. Aiiiiäherimgsmethode. Bei der Landesvermessung von Großbritannien und Irland (Ordnance Trigonometrical Survey of Great Britain and Ireland) wurde zur Ausgleichung der Stationsmessimgen im wesentlichen folgendes Annäherungs- verfahren angewandt, das oft auch bei Ausgleichung anderer Beobachtungen, die sich zu Reihen oder Sätzen gruppieren, mit Vorteil angewandt worden ist.

Wir erläutern das Verfahren wieder an dem Beispiele von S. 192 u. f.

Man bestimmt zuerst Näherungswerte für die unbekannten Winkel aus der Übersicht (1), S. 192, wie folgt:

*) Die ausführlichen rntersuchungen von Hansen findet man im 8. unci 9. Bande der Abhandlungen der math.-phys. Klasse der Königl. Sachs. Ges. d. Wissensch. zu Leipzig, 1867/69, eine kurze Anweisung

von 1868.

200

Drittes Kapitel. Yermittelnde Beobachtungen.

12':60 • 8 + U".9i ■ 2 + 10"65 ■ 1

(1 • 2) = 51» 33' + (1 . 3) = 50 42 +

8 + 2 + 1 17,94 • 8 + 19,33 • 15

also

(21)

8 + 15 USW.,

(1 • 2) = 51» 33' 12';85 (1.3)= 50 42 18,72 (1.4) = 243 29 4L12 (1 • 5) = 301 48 2,24 .

Jeder der vier Winkel ist demnach aus seinen direkten Beobachtungen streng abgeleitet.

Die erhaltenen Werte zieht man nun von den bezüglichen Werten in der Über.sicht (1) ab; das gibt die Unterschiede:

1	2	3	4	5	Quersumme	Anzahl	Quotient
0	— 0,25	— 0,78	— 0,56	— 0,20	— 1,79	1 5	— 0,36
(22) ^	*	+ 0,61	+ 0,42	+ 0,07	+ 1,10	4	+ 0,28
, + 2,09	*	«	+ 0,56 1	+ 2,65	3	+ 0,88
0	1 — 2,20	*	— 1,68	*	— 3,88	3	— 1,29
*	1 + 2,86	+ 1,28	*	*	+ 4,14	2	+ 2,07
*	«	+ 1,28	*	+ 3,31	+ 4,59	•2	+ 2,30

Die beigefügten Spalten rechts vom Doppelstrich erklären sich von selbst.

Wir ziehen nun den

1. Quotienten — 0,36 ab von allen Zahlen der

1. Horizontalreihe in der Übersicht (1)

2. Quotienten + 0,28 ab von allen Zahlen der

2. Horizontalreihe in der Übersicht (1)

und erhalten:

Mittel aus

O'O'

51*33'

50» 42'

243« 29' ' 301» 48'

(23)

+ 0':36 12':96

— 0,28 ' *

— 0,88 14,06 + 1,29 11,94

* 13,64

18';30 19,05

17,93 17.70

40':92 41.26

40.73

2''40 2,03 1,92

3.25

8 Sätzen 15

§ 10. Ausgleichung von Richtungsbeobachtungen.

201

Diese Übersicht hat, weil zu den Angaben jeder Horizontal- reihe nur immer eine Konstante addiert ist, noch ganz den Charakter unmittelbarer Beobachtungenswerte, so daß wir also z. B. darauf sofort eine strenge Ausgleichung gründen dürfen. Wir setzen nun als genauere Näherungswerte für die Rich- tungen (1), ... (5) an:

0';36 ■ 8 — 0';28 • 15 — O'JSS • 2 + l';29 • 1

(1)= 0^ 0' + (2) = 5P33' +

8 + 15 + 24-1

12';96 • 8 + 14';06 • 2 + ll';94 • 1 + 13"M ■ 1

+2+1+1

USW.

also

(24)

(1) = 359» 59' 59';93 (2) = öP 33' 13';i2

(3)= 50 42 18,71 (4) = 243 29 41,12

(5) = 301"48'2','18.

Diese Werte sind schon ziemlich nahe den strengen Aus- gleichungswerten, denn für die Winkel (1 • 2), (1 • 3), (1 • 4), (1 • 5) ergeben sie bis auf wenige Hundertstelsekunden die Werte (14). S. 195. (Die Ordnauce Survej ging in der Tat in der An- näherung nicht weiter, i Wir wollen hier aber, um zu zeigen, daß man sich den wahren Werten noch beliebig nähern kann, die Rechnung fortsetzen, also zunächst die zidetzt erhaltenen Näherungswerte von den Werten in (1) abziehen und wie früher die Quersummen und die dazu gehörigen Quotienten bilden. Das gibt folgende Tabelle:

Quersumme Anzahl Quotient

+ 0,0?!— 0,52|— 0,77 — 0,56|— 0,14 ^.;,5N +0,07J * j+ 0,62 + 0,421+ 0,131

+ 0,07j+l,82 * * '+0,62^

+ 0,07 — 2,47' * —1,68' *

* '+2,591+1,29! * *

* * i+l,29i * 1+3,37

— 1,92

+ 1,24 + 2,51

— 4,08 + 3,88 + 4,66

— 0,38

+ 0,31 + 0,84

— 1,36 + 1,94 + 2,33

Die Quotienten ziehen wir von den Werten der Tabelle (1) ab und erhalten dadurch wieder Wertreihen, welche wie (23) den ursprünglichen Beobachtungswerten gleich zu achten sind:

202

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

1	-	3	4	5	Mittel aus
0»0'	öl» 33'	50« 42'	243» 29'	301» 48'
+ 0';38	12';98	18';32	40';94	2';42	8 Sätzen
(26) _o,31	*	19,02	41,23	2,00	15 „
— 0,84	14,10	*	*	1,96	2
+ 1,36	12,01	«	40,80	«	1 „
*	13,77	18,06	«	»	1 „
*	*	17,67	•	3,22	1 „

Daraus folgen in derselben Weise, wie sich (24) aus ^23) ergab, die neuen Näherungswerte für

die Richtungen

die Winkel

(27)

(1) = 359» 59' 59';924 '

(2j= 51 33 13,154 , (1-2;= 5P33'13';23

(3)= 50 42 18,704 (1-3)= 50 42 18,78

(4) = 243 29 41,115 (1-4) = 243 29 41,19

(5) = 301 48 2,173 (1-5) = 301 48 2,25,

welche letzteren mit denen in (14) schon auf Hundertstel- sekunden genau übereinkommen.

Die Methode dieses Annäheiningsverfahrens ist im Prinzip dieselbe wie diejenige der indirekten Auflösung in § 8, S. 175. Anstatt daß aber dort die verbesserten W^erte der Unbekannten in die Normalo-leichungen eingeführt werden, werden sie hier in die Fehlercrleichungen eingeführt. Aus diesen wird dann

o o o

für die Unbekannte, welche gerade verbessert werden soll, die Normalgleichung gebildet:

Für die Fehlergleichungen nehmen wir die Hansensche Form; für die erste Beobachtuugsreihe gelten also die Glei- chungen (20*). In diese führen wir die in (21) angegebenen Näherungswerte ein, indem wir zugleich die Verbesserung (1) gleich null setzen, womit die Verbesserungen (2), . . . (5) die Werte für (1 • 2), ... (1 • 5) erhalten. Es wird also :

§ 10. Ausgleichung vou Richtungsbeobaehtungen. 203

Xi= U

A2 = + 0,25 + u A3 = + 0,78 + u A4 = + 0,56 + u A, = + 0,20 + u .

Hieraus folgt die Normalgleicliung für u (abgesehen von dem gemeinschaftlichen Gewichte 8):

5it = — 1,"9; mithin n = — 0,36.

Dies ist ein erster Näherungswert für m; die Übersicht (22) enthält in der Spalte „Quotient" für alle Reihen die ent- sprechenden Näherungswerte von u, u', . . . u^'. Indem wir diese letztern einstweilen als strenge Wei-te betrachten, be- rechnen wir neue Näherungswerte für die Unbekannten (1), . . . (5). Es wird z. B. für (2) die Zusammenstellung derjenigen Fehler- gleichungen, welche diese Unbekannte enthalten:

A2 = - 5P 33' 12';60 + >j + (2) A/' =- „ ■„ 14,94 +h" +(2) A/" = - „ „ 10,65 + ir + (2) //'' = - „ „ 15,71 -f u'^- -h (2), d. i. nach Einführung der Werte n, u" u'", u"^ aus (22): A, = - 51« 33' 12';96 + (2) Gew. 8 A," = - „ „ 14,06 + (2) „ 2 A,"'=- „ „ 11,94 +(2) „ 1 V^'=- „ „ 13,64 +(2) „ 1. Hieraus folgt die Normalgleichung für (2): 12 • (2) = 12 • 51» 33' + 8 • 12';96 + 2 • 14';<)6 -\- 11','94 + 13','64;

mithin

(2) = 5P33'13','12.

Die Übersicht (23) gibt in dieser Weise die Näherungs- werte (24) für alle fünf Richtungen. Die Unbekannte (1) wird immer gerade so behandelt wie (2), . . . (5)-, es ist dies

204

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

zwar nicht notwendig, aber gerade durch die Wahl des sich so ergebenden Wertes für (1) wird die große Annäherung der Rechnung erzielt.

Über die Gewichte der Unbekannten und von Funktionen derselben gibt das Näherungsverfahren keine Auskunft: daher kann dasselbe nur da angewendet werden, wo es auf die Kenntnis der Genauigkeit der Ausgleichungsergebnisse nicht weiter ankommt.

Beispiel. Rückwärtseinschneiden. Von einem zu be- stimmenden Punkte aus wurden nach fünf durch rechtwinklige Koordinaten gegebenen Punkten Winkel gemessen, in der Weise, daß das Ergebnis betrachtet werden kann wie ein einfacher Satz, der sämtliche Objekte enthält.

Tabelle (l) gibt die Beobachtuijgsergebnisse und die Koordi- naten; für letztere Hegt die positive .r- Achse in der Richtung von Nord nach Süd und die positive ?/- Achse in der Richtung von Ost nach West; wachsende Richtungsangaben entsprechen wachsen- den Azimuten.

(1)

Gegebener Punkt

Gemessene Richtung

Gegebene Koordinaten

(Meter)

y

(Meter)

T-l	0» 0'	O'JOO	0	0
2	184 1	41,50	— 4228,239	— 2646,895
3	190 44	18,04	I — 24.50,104	— 1536,840
4	280 41	38,59	-f 949,776	— 4581,404
5	312 47	12,36	— 100,177	— 173.5,395

Die gegebenen Koordinaten sind sphärische Koordinaten. Wir können aber für die hier in Betracht kommenden Koordinaten- differenzen rechnen wie in der Ebene.

Durch eine vorläufige Ermittelung (Meßtischaufnahme) fanden sich füi' den zu bestimmenden Punkt die genäherten Koordinaten

(1*)

1992,6,

— 1144,5,

denen die Verbesserungen 5 und i] zuzufügen sind.

Wir berechnen nun die Richtungswinkel von dem gesuchten nach den gegebenen Punkten aus den Formeln:

§ 10. Rückwärtseinschneiden. 205

tan rtj = • — r„- — , für die Richtung nach 1

tan a^

2646,895 -|- 1144,5 — n 4228,23y+ 199¥,6 — |

, . _ —1536,840-1-1144,5 (2) tan «3 = _ 2450^104 + 1992,6

tan a. =

tan a.-

— 4581,404 -f- 1144,5 — 7} "4- 949,776 -j- 1992,6 — |

— 1735,395 -f 1144,5 — 7j

— 100,177 -]- 1992,6 — | " Hiernach haben wir z. B. füi' a^ folgende Rechnung

_ —(3436,904 + 7])

*^" ^^ ~ -H2942;376 — I)'

«4 liegt mithin im vierten Quadranten, hat also die Form 360^ — a^, wo a/ einen spitzen Winkel bezeichnet, der sich unter Benutzung der logarithmischen Differenzen für die kleinen Größen ^ und 7j wie folgt berechnet:

log (3436,904 -(- ^) = 3,5361674 -j- 0,0001263 • 6 jj

log (2942,376 — |) = 3,4686982 — 0,0001476 0^

log tan rt/ = 0,0674692 -|- 0,0001263-6?] -(- 0,0001476 -Ol

«/ = 49" 25' 57'J93 -\- 29,65?] -\- 34,63 § , also

a^=310 34 2,07 — 29,65 rj — 34,63^,

worin ^ und t] in Metern einzuführen sind.*) Man erhält im ganzen:

a^= 20" 52' 19';i8 + 44,715— 77,847;

«2=213 54 6,87— 42,71$+ 63,56r?

(3) «3 = 220 36 55,00 — 222,79§ + 259,79t?

«4=310 34 2,07- 34,631- 29,65??

«5=342 39 33,89— 31,01 §— 99,31??.

*) Durch Diiferentiation findet man die Koeffizienten von | und ?] bzw. gleich q" sin a : s und — q" cos a : s mit s als Entfernung und q" = 206265. Ein sehr bequemes Verfahren zur Ermittelung der Koeffizienten von ^ und 7] gab 0. Eggert in der Meinen Schrift: Hilfstafel zur Berechnung der Richtungskoeffizienten für Koordinatenausgleichungen. Berlin, 1903. Hierbei wird vorausgesetzt, daß ein Lageplan mit genäherter Kenntnis des gesuchten Punktes gegeben ist. Für logarithmische Rechnung vergl. u. a. 0. Seiffert: Logarithmische Hilfstafel zur Berechnung der Fehler- gleichungskoeffizienten beim Einschneiden nach d. M d. kl. Qu. Halle, 1892.

206 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Beobachtet sind die Differenzen der Richtungswinkel oder die Werte :

1. 0° 0' 0"00 + «t + Aj

2. 184 1 41,50 + u + ^2 (4) 3. 190 44 18,04 + x + A3

4. 280 41 38,59 + u + ^4

5. 312 47 12,36 + u + L^,

worin die k die Verbesserungen der Beobachtungen sind und u eine unbekannte Hilfsgröße ist. Diese hat im vorliegenden Falle eine bestimmte Bedeuümg, nämlich diejenige einer Unbekannten, w'elche allen korrigierten Richtungsangaben beizufügen ist, um sie auf die Richtungswinkel a^, Ogi ■ • • ^^.5 zu reduzieren.

Setzen wir demgemäß die bezüglichen Ausdrücke ( 3 ) und (4) einander gleich, so wird:

0° 0' 0';00 + M + Ai= 29°52'l9';i8+ 44,71 §- 77,84 >?

184 1 41,50 + rt + A2= 213 54 6,87— 42,71§+ 63,56t?

(5)190 44 18,04 + ?« + A3 =220 36 55,00 — 222,79^ + 259,79 /?

280 41 38,59 +M + A4= 310 34 2,07— 34,635— 29,65ij

312 47 12,36 + ?^ + ;,- =342 39 33,89— 31,01;— 99,31^.

Für u führen wir den Näherungswert 29" 52' 20"00 ein imd setzen

(6) H = 290 52' 20';00 - t;

damit wird

l^ = — 0,82 + J:+ 44.711- 77,84r/

X,= + 5,37 + ,^- 42,715+ 63,56»?

(7) ;.3 = + 16,96 + t - 222,79 s + 259.79 »/ ;.^=+ 3,48 + ^- 34,635- 29,65t? A- = + 1.53 + ^— 31.01; — 99,31 r?.

Setzt man mit Rücksicht auf die Gleichung [A] = 0-

(8) t =- 5,304 + 57,2861 - 23,310t? + t\ wobei $■' ^ 0 sein muß, so wird endlich :

§ 10. Rückwärtseinschneiden.

207

(9)

Ai = — 6,12 + 101,99 § — 101,15»; + ^'

A2 = + 0,07 + 14,58^- + 40,25 r? + t'

A3 = + 11,66 — 165,50^ + 236,487? -f ^'

^4=- 1,82 4- 22,66 a— 52,96r/ + r'

^5=- 3,77+ 26,285- 122,62»? + r.

Daß t;' gleich null sein muß, bestätigt sich auch bei der nun folgenden Bildung der Normalgleichungen. Diese lauten mit Rück- sicht auf Gewichtsberechnung:

5r • . = 0

• + 39208,9^ — 53289,4)/ = + 2693,2 (^^) • - 53289,4^ + 85614,6»? = - 3937,9

5^'- 14080,5 5 + 32325,2»? = — 1244,7 111

Die Summengleichung, welche direkt aus den Fehlergleichungen abgeleitet wurde, stimmt, wie man sieht, mit der Summe der Normalgleichungen. *)

Die Auflösung ergibt die beiden Systeme:

5^' • • = 0 11 1

(11) 39208,9^-53289,4»? = + 2693,2 0 1

13188,0»? = — 277,6 0 +1,35912

r- . = 0

12) 5 — 1,35912»? = +0,068688

,0,2

0

»?=— 0,02105 II 0

+ 0,000025504 + 0,000103057

+ 0,000075826,

und hieraus (13)

^ = + 0,04008 ,

*) Schon der Anblick der Gleichungen (7) lehrt, daß |, r], s kleine Werte sind und daß für die weitere Rechnung die Genauigkeit des 25-cm-Rechenschiebers genügt haben würde, wobei die Koeffizienten von I und j] entsprechend abzukürzen gewesen wären. In den meisten Fällen derartiger Aufgaben wird diese Rechnungsweise genügen. Ich habe sie u. a. bei Einschaltung von 185 Sternen des Sternhaufens im Sobieskischen Schilde in ein Hauptnetz von 15 Sternen mit großem Nutzen angewandt. (Der Sternhaufen im Sternbilde des Sobieskischen Schildes. Publ. d. Hamburger Sternwarte, 1874.)

Vergl. auch Fr. Schulze: Über die Genauigkeit trigonometrischer Punktbestimmungen usw. (Zeitschr. f. Vermessungswesen 1904, S. 20 u. f.)

208 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

also die Abscisse des gesuchten Punktes • • • = — 1992,560 m; (13*) >? = — 0,02105,

also die Ordinate des gesuchten Punktes • • • = — 1144,521m;

ferner wird m -|- A^, der Richtungswinkel nach 1 = 29*^ 52' 22'^61.

Die Wei'te von ^ und fj, sowie ^'^0 erfüllen die Summengleichung in (10) vollständig.

Die Verbesserungen X sind:

Ai= + 0,10, ;.2=-0,19, A3= + 0,05, ^4 = + 0,20 , h= — 0,14 , deren Quadratsumme 0,1082 beträgt.

W = + 0,35 - 0,33 , d. i., wie es zufolge der Form der Fehlergleichungen sein muÜ, hinreichend mit null übereinstimmend.

Aus den Fehlergleichungen (7) folgt

\ll] = 331,604 und mittels der Xonnalgleichungen (8) und (10 j:

\XX] = 331,604 — { 5,304- • 5 + 2693,2 • 0,068688 -\- 277,6 ■ 0,0210.5 } = 331,604 — 331,495 = 0,109 ,

in hinreichender Übereinstimmung mit dem oben erhalteneu Werte. Der mittlere Fehler einer Richtungsangabe wird

(») , = l/|5 = + o';23.

Die reziproken Gewichte für 'E, und ?/ sind bzw.

0,00016557 , 0,00007583 ;

daher die mittlem Fehler der berechneten Abscisse und Ordinate des gesuchten Punktes bzw.:

T/0,0541 • 0,00016557 = + 0,00299 m ,

(16) \ -

y0,0541 • 0,00007583 = + 0,00202 m .

Wir haben bisher stillschweigend vorausgesetzt, daß die Koordinaten der gegebenen Punkte streng richtig seien und dem- gemäß als Ursache der Widersprüche nur die Richtungsbeobach- tungen betrachtet. Das ist jedoch nicht zutreffend; es werden vielmehr die /,, und folglich auch ft, teilweise in Koordinaten- fehlern ihren Grund haben; jedoch nur insoweit, als es sich um die relativen Fehler der Figm- zwischen den in Betracht kommenden Punkten handelt. Dagegen haben die dem ganzen Netzteil 1. 2. 3. 4. 5. gemeinsamen Fehler (Verschiebung und Drehung des ganzen

§ 10. Ausgleichung symmetr. Winkelbeobachtuugen. 209

Netzteiles) keinen Einfluß auf die X und auf ^i'^ abei- sie gehen in die Bestimmung von x und y als konstante Fehler vollständig ein, indem dei* Punkt x, y an dieser gemeinsamen Veränderung teil- nimmt. Im vorliegenden Falle schien es angesichts der guten Übereinstimmung nicht nötig, auf Koordinatenfehler Rücksicht zu nehmen. Auch fehlten zur genauen Gewiehtsbestimmung der Rich- tungen die Grundlagen. !Man hätte aber etwa noch die Hypothese machen können, daß nur die Koordiuatenfehler Anlaß der Wider- sprüche seien. Dann w^ären Gewichte proportional den Quadraten der Entfernungen einzuführen gewesen.

Das Beispiel ist der von Prof. Nagel in Sachsen im erz- gebirgischen Kohlenbassin ausgefükrten Triangulation entlehnt. Die Messungen erfolgten mit einem Repetitionstheodolit.

Hat man nicht einen vollen Richtuugssatz, sondern nm- Winkel gemessen, so wird man für jeden Winkel die beiden dem System (5) entsprechenden Richtungsfehlergleichungen voneinander subtrahieren und dadurch n eliminieren. Ist z. B. der Winkel (l • 2) gemessen zu 184^ l' 4l','50 und die Verbesserung desselben gleich v, so hat man

184*^ 1' 4l';50 + r = 184° l' 47,69 - 87,42; + 141,40»/

und ebenso für jeden andern der gemessenen Winkel. ( Vergl. noch weiterhin § 11, VII.)

Beispiel. Ausgleichung symmetrischer Winkelbeobach- tungen nach Generalleutnant Schreiber.*) Auf der Station Ballon in den Vogesen wurde zwischen sechs Richtungen jeder Winkel an vier Stellen des Teilkreises je zweimal (einmal von l nach r, dann von r nach l) gemessen. Die Mittelwerte dieser vier Sätze sind nahezu frei von periodischen Teilungslehlei'n. Geht man von den Richtungs werten aus:

1 = 0° 0' 0"+ (1)

2 = 54 22 61 + (2)

3 = 66 24 32 + (3) ^ ' 4 = 91 55 18 + (4)

5 = 112 35 45 + (5)

6 = 154 43 8 + (6),

so erhält man aus den Beobachtungen folgende Summen der je acht Winkelergebnisse:

*) Zeitschr. f. Vermessungswesen VII. Bd., 1878, S. 209 u. f

Heimelt, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 14

210

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

(2)

1	■>	3	4	5	6	ff
•	-8,0	-2,0 — 3,0 »	— 6,4 — 0,2 — 3,0	— 0,1 + 0,6 + 0,8 + 3,2 *	+ 3,6 + 8,2 + 1,9 + 0,6 + 10,8	— 12,9 + ö,6 — 0,3 + 3,8 + 10,8
+ 12,9	— 8,0 — 5,6	— 5,0 + 0,3	— 9,6 — 3,8	+ 4,5 — 10,8	+ 25,1	i -\- 7,0 1 - 7,0
+ 12,9	— 13,6	— 4,7	— 13,4	- 6,3	+ -5,1	0

Die Werte der ersten Zeile beziehen sich auf die Winkel mit der ersten Richtung, die der zweiten Zeile auf die Winkel mit der zweiten Richtung usf. nach dem Schema:

(3)

1	2 3 4	5	6	Summe
»	[1-2] i [1-3] 1 [1-4]	[1.5]	[1.6]	«1
	»	[2-3] [2.4]	[2.5]	[2.6]	ff»
		[3.4] [3.5]	[3.6]	«^s
		* I [4 . 5]	[4-6]	^4
		1 #	[5.6] :	<^ö

Summe : — ff.

ff. —G.

gibt zusammen

2{al)

2{bl} ^{cT)

2{dT) ' 2(el) , 2 iß)

Quersumme null

So ist z. B. nach den Beobachtungen

[3.5]= 104';8 -8.13"= + 0';8 .

Für die Ausgleichung kann man folgende Fehlergleichungen ansetzen, wenn 2w = 8 die Anzahl der Messungen jedes Winkels ist:

0 _ tl-2] .(i.,^,o)^^_^__[|l!]_,2, + (3,;.3.^=_E|l^_(3)4-(4)

2n

w

L J ■(2) + (6)

2n

2n

■(3) + (6)

:i.6]

2n

■{l) + (6)

l...=-

2n

usw.

[5.6]

-(5) + 16).

§ 10. Ausgleichung symmetr. Winkelbeobachtungen. Setzen wir nun symbolisch :

211

- [1 . 2] - [1 . 3] - [1 . 4J -

+ [l-2]-[2-3]-[2.4]-

(5J -I- [1 . 3] + [2 . 3] - [3 . 4] -

— [1,6J = — (7^ * =2{aT) -[2.6] = -(r,+s, = 2(fcO _[3-6] = -(T3+S3 = 2(cZ)

+ [l-6] + [2-6] + [3.6] + ... + [5.6]= * ^s, = 2{fT)

und nehmen n als Gewicht der Fehlergleichungen (Gew. 1 für eine Fiichtungsbfcobaehtung), so folgen als Normalgleichungen, wenn die Anzahl der Richtungen allgemein mit v bezeichnet wii'd:

(6)

n{v — 1) (1) — H (2) — w (3) = (aT)

— n (1) -\-n{v — l){2) — n{3) = (b l)

— n (1) — n{2)-\- n(v — 1) (3) = {cl)

Die Summe dieser Gleichungen ist null, weil nur die Unterschiede der (l), (2), . . . bestimmte Werte haben.

Das System [ß) kann man aber betrachten als hervorgegangen aus den Fehlergleichungen einer vollen Reihe von Richtungs- beobachtungen vom Gewicht «v = 4 • 6 = 24 nach den v = Q Objekten:

l7)

(bl) + l,= u-h (2)

-(/7) + Ae=«+(6).

Denn bildet man hieraus die Xormalgleichungen, eliminiert dann u und beachtet, daß

(al) + (bl) + • • • + (fl) = 0

ist, so folgt genau (6).

Als Ergebnis der Winkelmessungen kann man also die fingierte Reihe von Richtungsbeobachtungen ansehen:

14*

212

Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

1. Richtung (1 ) = ^ = + -^'^^ = + 0';269 ° nv 24 '

(8)

2.		(2) = ?i' - - 41" - - 0,283 ^ -^ wv 24 '
3.		V / j; j, 24 '
4.		(4)-'*^ = -/."' = - 0,279 ^ ^ nv 24 '
5.		leZ) 3,15 . . 0 = — ^ = „' = — Ü.131 nv 24
6.		'«) = S- + ^-+ 0,523

'Summe: -f 0,001. Das Gewicht der Richtimgswerte ist, wie schon erwähnt: MV = 4 • 6 = 24.

Die Werte der Verbesserungen in (8), deren Summe null ist, befriedigen auch die Gleichungen (6).

Die Aj.o, ^1.3, usw. werden nach (4) im Anschluß an f2): Winkeln er besserungen.

(9)

5 II ' I 1*1— 0,696

mt w = 4 ist \).Xn\ = 8,4515.

Bezeichnet man die Winkelwertsummen in (2) mit [iÄ;], so ist ferner nach der bekaimten Kontrollformel (13*), S. 158, mit Rücksicht auf (4), (6) und (8), da das Gewicht einer Fehler- gleichung gleich n ist :

S \ilcY 6.45- + 6,80- + 2,35- + 6,70' + 3,15- + 12,55*

li	1	i	ö	4	o	6
1	«	+ 0,448	— 0,117	+ 0,252	— 0,387	— 0,196
2		1 *	+ 0,560	+ 0,029	+ 0,077	— 0,219
3 1	»	+ 0,194	— 0,133	+ 0,383
4 II		i		«	— 0,252	+ 0,727

[nn]

64:4

339,06

16

24

305,68 2^

8,4546 .*j

*) Die Entwicklung auf S. 134 für die KontroUformel gilt auch jetzt, obwohl die unbekannten nicht völlig aus den Normalgleichungen (6) bestimmbar sind. Aber sie gilt für jede Wahl der Unbekannten, die den Xonnalgleichungen genügt.

§ 11. Gleicbwertige u. vollständig äquivalente Beobachtungsreihen. 213 Der mittlere Fehler der Beobachtung vom CTewicht 1 ist daher gleich

Das Gewicht 1 haben die Winkelsätze (Doppelniessungen) und die einfachen Richtungsbeobachtungen, wenn vom Einfluß der periodi- schen Teilungsfehler, der erst in den Mitteln der \der Sätze nahezu verschwindet, auch da schon abgesehen wird.

Beispiel. Ersatz einer Reihe von Richtungsbeobach- tungen durch symmetrische Winkelbeobachtungen. Dies ist die Umkehrung der vorigen Aufgabe. Bei v Richtungen und 2>? Messungen jedes Winkels mit dem Gesamtgewicht n war das Richtungsgewicht der resultierenden Reihe nv. Mithin kann man eine Reihe von Richtungen, deren jede das Gewicht 2 hat, so daß

also jeder der möglichen Winkel das Gewicht 1 besitzt, ersetzen

2 durch die Annahme, daß alle Winkel mit dem Gewicht un-

V

abhängig voneinander gemessen seien.

Hiervon hat H. G. van de Sande Bakhuyzen Gebrauch gemacht bei der Ausgleichung des europäischen Längennetzes.*) Es kommt bei den geogi'aphischeu Längenbestimmungen durch Zeitbestimmungen imd telegraphische Uhrvergleichung Aviederholt vor, daß Zeit- bestimmungen auf drei oder vier Stationen gleichzeitig ausgeführt sind; von einer der Stationen aus werden telegraphische Uhr- vergleichungen mit den andern ausgeführt. Da die Fehler dieser Vergleichungen gegen die Zeitbestimmungsfehler in der Regel zurücktreten, so kann man sich die Zeitbestimmungen wie Richtungs- beobachtungen zu einer Reihe verbunden denken, deren Unterschiede die Längendifferenzen geben.

Bei drei Stationen haben dann die drei Längenunterschiede 1 des Gewichts eines beobachteten Längehunterschiedes zu erhalten, bei vier Stationen die sechs Unterschiede |- dieses Gewichts.

Der Vorteil ist nun der, daß man die drei bzw. sechs Längen- unterschiede wie voneinander unabhängige Beobachtungen weiter verwerten kann, sie also insbesondere mit andern Ergebnissen zu Mitteln vereinigen darf.

§ 11. Gleichwertige und vollständig äquivalente BeobacMungs- reilien. Freie Funktionen. I. (Tleichwertige Beobachtungsreilieu. Obwohl die Auf- stellung von Normalgleichungen nur bei überschüssigenMessungen

*) Verhandlungen der 10. Allgemeinen Konferenz der Internationalen Erdmessung in Brüssel, 1892. Berlin 1893; S. 202 u. f.

214 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

einen Sinn als ein erster Schritt der Au.sgleichung hat, so hin- dert doch nichts, sie auch zu hilden, weun die Messuiit/en nur eben gerade zur Bestimmung der Unbekannten hinreichen. Die Normalgleichungen ersetzen dann nicht nur in bezug auf die Berechnung von x, y, z, . . . die Fehlergleichuugen vollständig, sondern sie gestatten auch, in bekannter Weise aufgelöst, die Gewichtsberechnung. Wenn noch auf irgend eine Weise der mittlere Fehler der Beobachtungen bekannt wird, so kann man also auch die mittlem Fehler der Unbekannten und beliebio-er Funktionen derselben berechnen.

Denken wir uns nun den Fall, daß zu zwei Beobachtungs- reihen übereinstimmende Normalgleichungssysteme gehören, so können wir sie als gleichwertig bezeichnen, da sie für die Unbekannten und beliebige Funktionen derselben die gleichen Werte und Gewichte ergeben. Zwei Beispiele dafür haben wir bereits am Schlüsse des vorigen Paragraphen kennen gelernt.

Insbesondere können wir uns jedes System von m Norraal- gleichungen auch durch m Gleichungen von der Form der Fehlergleichungen, aber mit A = 0, entstanden denken, d. h. durch eine gerade genügende Anzahl Messungen. Eine solche fino-ierte Beobachtungsreihe und ihr Gleichuno-ssvstem wollen wir als der cregebenen Beobachtungsreihe und deren Normal- gleichungssystem vollständig äquivalent bezeichnen.

II. Bediiiguiigeii der Äquivalenz. Setzen wir beispielsweise m = 3 und bezeichnen wir die Koeffizienten der äquivalenten Gleichungen mit deutschen Buchstaben, so werden die Bedingungen der Äquivalenz unter der Voraussetzung, daß den äquivalenten Gleichungen das Gewicht 1 beigelegt werde:

a^a^ + ajQo -(- agOg = {aa)

Qi Ci + a« c, + Qy Cg = [a c)

^1 Ci + 60 ^2 + 63 C3 = (& C)

Ci Cj \ C, Co + C3 Co = (<? c)

sowie ^ , i , i\

a^ li + 0,12 + Og I3 = [al)

(2) \\^\^.^\\^ = W

§ 11. Gleichwertige u. vollständig äquivalente Beobachtungsreihen. 215

Die (2) bestimmen die I vollständig, wenn erst die a, b, C bekannt sind. Zur Bestimmung dieser neun Größen gibt das System (1) aber nur sechs Gleichlingen. Es ist daher auf mehr als eine Weise möglich, ein äquivalentes System abzuleiten: es ist die Anzahl dieser Systeme sogar unendlich groß.

Für uns ist ein äquivalentes System besonders interessant, nämlich das System der reduzierten Normalgieichungen. Für drei Unbekannte lautet es:

, (ab) , (ac) (al) . ^ . , , - ^

x + ^-^if+ )--( z= T—- mit Gewicht iaa)

(aa) -^ {ua) {aaj ^ '^

(cl-2) . ,..

oder in anderer Bezeichnung, vergl. S. 125:

X + a^y + «s'-i^ = Xi Gew. (aa)

(4) y + ß^'^-i-2 „ (^?>-i)

^ = 1-6 n (cc-2).

Bildet mau die zu 1 3) oder (4) gehörenden Normal- gleichungen, indem man XxjXi^l^ ^^^ unabhängige Beobach- tiings werte ansieht, so erhält man wieder das ursprüngliche Normalgleichungssystem, wie man sich leicht überzeugen kann. Es ist daher das System der reduzierten Normalgleichungen den gegebenen Beobachtungen vollständig äquivalent, und zwar sind die fingierten Beobachtungswerte, welche als unabhängig voneinander anzusehen sind:

t^ == ^^ oder ^ — - mit Gewicht (aa) (5)

1 ^1 aa
^.= Xt oder ^^^ ^^ „	•!■>	(hh-l)
I3-Z3 oder „	V	{cc.2).

Beispielsweise erwähnen wir, daß für die Bestimmung von t,', ^, t] in dem Beispiel auf S. 207 das System (12) ein voll- ständig äquivalentes System ist:

216 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

^' • • = 0 Gew. 5

^ - 1,35912 r/ = + 0,06869 ., 39 209 7? = -0,02105 „ 13188.

Man erhält aus ihm rückwärts in üblicher Weise die Normalgleichungen (10), S. 207.

Das System der reduzierten Normalgleichungen reicht aus zur Beantwortung jeder Frage, die man an die Ausgleichung.s- rechnung der ursprünglichen Beobachtungswerte stellen kann; es gibt allerdings nicht die Verbesserungen A der letztern und den mittlem Beobachtung.sfehler ^. Es gewährt aber das System der reduzierten Normalgleichungen im Verein mit dem mittlem Beobachtungsfehler ^ der Gewichtseinheit eine vollkommene Übersicht der Ausgleichungsergebnisse.

Eine solche ist dagegen in der alleinigen Angabe der Werte der Unbekannten und ihrer Gewichte nicht enthalten.

III. Anweuduugeii. A. Wenn nach geschehener Aus- gleichung eine der Funktionen

noch auf anderm Wege bekannt wird, so kann man ohne weiteres die beiden Bestimmungren vereinigen.

Ergibt sich z. B. für z noch ein Wert x^ mit dem Ge- wichte g', während die erste Bestimmung für z den Wert ^^ mit dem Gewichte g = (cc-2) ergab, so haben wir anzunehmen:

(6) ,_xsi±xs;9,

^ ^ 9 + 9

Das Gewicht dieser Bestimmung ist nunmehr g -j- g'.

Infolge der Neubestimmung von z ändern sich auch die Werte und Gewichte von x und y. Für die letztere Un- bekannte haben wir aus der zweiten Gleichung (4)

U = X2- ßa"^, wozu für z der Wert aus (6) zu entnehmen ist. Das reziproke Gewicht dieser Bestimmung wird, da x-z ^^"^ ^ unabhängig voneinander sind, gleich

(»6-1) ' («2)+!;'

§ 11. Gleichwertige u. vollständig äquivalente Beobachtungsreihen. 217

Sind andere Funktionen als die oben genannten nachträglich beobachtet worden, so kann in der Regel die Vereinigung aller Messungen nur durch Herstellung eines Normalgleichungs- systems erfolgen.

B. Es seien der Wert und das mittlere Fehlerquadrat der Funktion (8) F ^ F^x + F,y -^ I\s

anzugeben. Der Wert von F wird durch einfache Substitution der Werte von x, y, z gefunden. Wie schon ei-wähnt, wäre es fehlerhaft, für das mittlere Fehlerquadrat setzen zu wollen:

weil X, ij, 2 nicht unabhängig voneinander sind. Drücken wir F aber durch die unabhängigen Werte x-^, %.,, i^ aus, so dürfen die mittlem Fehlerquadrate der einzelnen Teile einfach addiert werden. Löst man (4 ) nach x, y, z auf, so folgt mit Benutzung von (XITI;, S. 157:

(^9' y= i. -zsßä"

^ = Z'6 ■

Daher ist

F=Far+(F,~F,a,')x,+ iF,-F,ß,"- F,a,")xs, d. i. nach (16), S. 183:

aOj F^F,x,+ {F,.l)x,+ (F,.2)x,.

Mithin ist

^^^■' '"^ •" l(«a) + (bb-l) ^ (cc-2) 1'

übereinstimmend mit (14), S. 1^2.

IV. Verschiedene Reihenfolge der Unbekannten. Für jede Reihenfolge der Unbekannten gibt es ojSfenbar nur ein einziges äquivalentes System von der Form der reduzierten Normal- gleichungen: für m Unbekannte gibt es aber 1 • 2 • 3 . . . 7n ver- schiedene Reihenfolgen und daher ist die Anzahl der äqui- valenten Systeme von der Form der reduzierten Normal- gleichungen, aber sämtlich von verschiedener Reihenfolge der Unbekannten, gleich 1 • 2 • 3 . . . w.

218 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Welche Reihenfolge man wählt, häncrt von den besondern Umständen der Aufgabe ab. Ist uns beispielsweise schon bei Beginn der Ausgleichung bekannt, daß später noch direkte Beobachtungen von x hinzutreten werden, so nehmen wir x als die letzte Unbekannte in der Reihenfolge, damit die Be- rechnung der EndAverte von x, y, z, . . .. wie S. 216, sich mög- lichst einfach gestalte.

Oder wissen wir, daß zwischen einem Teile der Un- bekannten Bedingungsgleichungen bestehen, die aber erst später berücksichtigt werden können, so nehmen wir diese Unbekannten als die letzten.

V. Unvollständige Bestimmungen. Reichen die Beobach- tungen nicht aus zur völligen Bestimmung der Unbekannten, obgleich sie der Zahl nach dazu ausreichen müßten (n > ni), so zeigt die Auflösung der Xormalgleichungen dies dadurch an, daß man auf Gleichungen kommt, deren sämtliche Glieder null sind.

Wird z. B. nach Elimination von x im ersten abgeleiteten Xormalgleichuugssystem {cc ■ 1 ) = (c c') gleich nuU, so muß überhaupt die ganze zweite Gleichung des Systems (8), S. 123, Glied für Glied verschwinden. Denn {c'c') kann nur null werden, wenn jedes c/ nuU wird; die andern Glieder sind aber lediglich aus Produkten zusammengesetzt, deren eine Faktoren die c/ sind. In diesem Falle ist es unmöglich, z für sich allein zu bestimmen. Dieses zeigen auch die Fehlergleichungen ; aus {c'c) = 0 folgt c/= 0 oder

(12) «.-«»^ = 0-

Die Koeffizienten «,- und c^ von x und z stehen mithin in konstantem Verhältnisse:

(12*) ^ = Konst.

Man kann daher nur das Aggregat der Unbekannten x und z

bestimmen, das durch x -\ z ausgedrückt wird. Dazu bedarf

es keiner neuen Entwicklung, denn diese Bestimmung wird schon durch die reduzierten Xormalgleichungen geleistet.

§ 11. Unvollständige Bestimmungen. 219

Die Auflösung ist auch nicht vollständig durchführbar, wenn die Koeffizientensumme s der Unbekannten in allen Gleichungen gleich null ist. Denn dann ist die Summen- normalgleichung identisch null und die Norm -dgleichun gen sind nicht mehr unabhängig voneinander.

Die Auflösung ist überhaupt nicht vollständig durch- führbar, wenn die Koeffizienten a., h^, c-, . . . durch eine (oder mehrere sich nicht widersprechende) Gleichungen der P^'orm (13) ita.i-lh,+ Jc,+ --- = 0,

worin Ji, l', l, . .. Konstante bezeichnen, verknüpft sind. Denn multi- pliziert man die Normalgleichungen der Reihe nach mit li,l:,l, . . . und addiert, so verschwindet die Suramengleichung Glied für Glied,

In der Regel wird man schon im voraus wissen, ob der- gleichen Fälle eintreten können; denn die Bestimmung der OT Unbekannten ist sicher möglich, wenn unter den « Fehler- gleichungeu sich m befinden, die mit 1 = 0 eine Bestimmung der Unbekannten gestatten würden.*) Der Beobachter wird aber bei der Anlage der ganzen Arbeit immer überlegen, wie er es zu machen hat, daß wenigstens ein hinreichendes System von m Gleichungen entsteht (dessen Koeffizientendeterminante also nicht verscliAvindet).

Sind die Beobachtungen nicht zahlreich genug (w < m), und bildet man doch die Normalgleichungen, so zeigt es deren Auflösung ebenfalls an, daß eine vollständige Bestimmung nicht möglich ist, indem man auf eine oder mehrere in allen Gliedern verschwindende Gleichungen stößt.

In jedem Falle einer unvollständigen Bestimmung ist es aber zulässig, die Normalgleichungen zu bilden und sie, soweit es möglich ist, aufzulösen. Diejenigen abgeleiteten Gleichungen, welche verschwinden, werden einfach weggelassen. So erhält man z. B. entsprechend (12) das reduzierte Normalgieichungs- system:

X + a^'y + a^ z -f a^'t = y^^ Gew. {aoi)

i = U „ {dd-^).

*) Czuber, Theorie der iieobachtungsfehler, S. 829.

220 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

Die Werte von /, y und {x -\- cc^z), (1. i. (x -\ z\ sowie

deren Gewichte lassen sich daraus vollständig bestimmen, nicht aber x und z einzeln.

Stößt man bei der Elimination auf ein quadratisches Glied, welches sehr klein ist, so wird man die Reihenfolge der Un- bekannten ändern und die betreffende Unbekannte an die letzte Stelle bringen. Dies ist wegen der Rechenungenauigkeit auch im vorhergehenden Falle zu empfehlen, weil man nicht immer sicher weiß, ob genau ein Null werden da ist. Also ist die neue Reihenfolge x,y,t,z

Löst man die Normalgleichungen nicht streng auf, son- dern durch Annäherung, so wird man bei unvollständiger Be- stimmung für alle Unbekannte Werte erhalten; im betrachteten Falle auch für x und z einzeln. Diese Werte sind aber einzeln

fehlerhaft, nur das Aggregat ix -\ z\ derselben ist richtig.

Vergl. auch das Annäherungsverfahren S. 199.

Die indirekte Auflösung der Normalgleichungen kann also recht in die Irre führen I

VI. Freie Fnüktionen nach T. N. Thiele. Die Größen h}h} • • -h seien voneinander unabhängige Beobachtungswerte^ die wir der Einfachheit halber als von gleicher Genauigkeit mit dem mittlem Feliler /t voraussetzen. Zwei Funktionen

(14) A-[al], B^[M]

sind dann (gegenseitig) freie Funktionen, wenn

(14*) [ah] = 0

ist. Denn unter dieser A'oraussetzung verhalten sie sich bei

Zusammentreffen in einer linearen Funktion

(15) F^Ä})^ Bq

wie voneinander unabhängige Beobachtungen. Das mittlere Fehlerquadrat von F setzt sich nämlich einfach aus den mitt- lem Fehlerquadraten von Ap und Bq zusammen. Zunächst ist

F=\iap^hq)l-] und

.u/= ."-[(ai> + hqY],

§ 11. Freie Funktionen. 221

d. i. aber wegen [ah] = 0 gleich

(16) ^F' = ,a-[a->- + b^q^] = if^J + q^^ß^.

Die in den reduzierten Normalgieichungen auftretenden Summen [al], [hl ■ 1], [cl • 2], . . . oder [al], [h'l], [c"l], . . . sind gegenseitig frei, da [ah'] = [ac"] = [h'c"] = • • . = 0 ist^ vergl. S. 140. Zugleich sieht man, wie die Funktionen [al], [hl], [cl], ... in gegenseitig freie zu verwandeln sind: Man bildet zu a, h, c, . . . ein System von Normalgleichungs-Koeffizienten, gerade so, als wären die «, h, c, ... Koeffizienten von Un- bekannten in Fehlergleichuugen. Dann reduziert man nach Gauß' Algorithmus, d. h. man bildet

1 ' 1 \ah] , \ac\

h; = h- — a. r — i, c- = C; — a. ^ — \, ■ ■ ■ j^-^ ' ' ^[aa]' ^ ' ^ [aa]'

^ ^ „ , .,\b'c']

Bei der Bildung der Summen für die reduzierten Koeffizienten hat man die Kontrollen

VI' '-\ VI n ri, n [«&][ac] [hc] = [hc ■ 1] = [&c] - ^-~j^, usw.

Freie Funktionen können in bezug auf Ausgleichuno- und Berechnung mittlerer Fehler wie direkte Beobachtungen be- handelt werden.

Von dem Begriff der freien Funktionen kann man bei der Elementenauscfleichung in folgender Weise Gebrauch machen.

o o o

Es seien gegeben die w Beobachtungen \, . . . l,,, die mit w Un- bekannten linear zusammenhängen:

(18)

l.^£^ = a,X+b,Y+c,Z + i = 1 . . . n

X, Y, Z, . . . sind die wahren Werte, s die wahren Verbesse- rungen.

Soll nun eine Funktion

(19) F = F,+ F,X+F,Yi-F,Z^. ■ ■ ^ F,+ AF

berechnet werden, so kann man zunächst von Multiplikatoren /V für die Gleichungen (18) Gebrauch machen, so daß

222 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

(20) AF=[/-(^ + 6jl wirdj wenn die /' die w? Bedingungen erfüllen:

(21) [«/•'] = F„ [hn^F,, [c/"] = 2^;,....

Unter den verschiedenen möglichen Systemen f ist eins besonders ausgezeichnet, zu dessen Bestimmung wir jetzt über- gehen. Zunächst ist klar, daß die n Größen l- + b. durch [n — m) Bedingungsgleichungen verbunden sind, die aus den Gleichungen (18j folgen, wenn wir die nin — m) Multiplika- toren p^, q-, r-, S-, . . . der Reihe nach anwenden und addieren:

{22) [p(l + e)] = 0, [q{l + s)] = 0, [r(l + e)\ = 0,

[s(l + ,)] = 0, ..., wobei die Multiplikatoren so zu wählen sind, daß

[ap] = 0 = [hp] = [cp] =

[aq] = 0==[hq] = [cq] =

(23) [ar] = 0 = [&;•] = [er] = [a s] = 0 = [h s] = [c s] =

Daß diese m(n — w") Gleichungen die Multiplikatoren nicht völlig bestimmen und sie also noch innerhalb gewisser Be- dingungen willkürlich sind, ist unwesentlich.

Man kann nun unter den möglichen Systemen f^' eins aus- wählen, das mit f- bezeichnet werden soll, bei dem die Funk- tion IfT] zu [i^?], [^f], [r?], [sZ], . . . frei ist, d. h. es muß sein:

(24) [pf] = 0 = [qf] = [rf] = [sf] = . . . .

Da die f auch den Gleichungen (21) genügen müssen, sind somit von den f noch zu erfüllen die Gleichungen:

(25) [an=F„ lhf] = F„ [cn==F„ ....

Das sind zusammen (w — m) + in = n Gleichungen für die ^ü AVerte /]. Diese sind also bestimmt; sie scheinen allerdings von den p^, y,, r., s^, . . . abzuhängen, was jedoch nicht der Fall ist, wie sich gleich zeigen wird.

Sind L^, Lc,, L^, . . . m zu bestimmende Größen, so erfüllt der Ausatz

(26) t]=(hL,+ h,L,-\-c,L,+ -.-

§ 11. Freie Funktionen. 223

die Gleichungen (24) und (25), wie ihre Substitution in die- selben zeigt, einesteils wegen (23), andernteils wenn die L so genominen werden, daß

[cia\L^ + [ahA^L., + [«cJLg + • • • = t\

(27) [«'^l A + \hl-\L, + [/>c]Z3 + . . . = i^, [rt c] Zi + [h c] Zo + [c c] Zg + • • . = i^3

wird. Diese m Grleichungen bestimmen die Z; aus (26) folgen damit die /), frei von der besondern Wahl der p, q, r, s, . . .^ Mittels der f. kann man nun die f- ausdrücken. Da zwischen den )i Größen f nur die m Gleichungen (21) bestehen, so kann man ansetzen:

(28) /;' = /:+/.^p^+^^^^+Z-3r,+ ...,

worin l\, h^, \, . . . {n — m) vorläufig beliebige Größen sind. Denn dieser Ansatz genügt wegen der Gl. (23) und (25) den Gl. (21). Es wird nun

(29) Ai^ = [f'{l + 5)] = \jll + s)] + \[p{l + £)] + l^,\cji{l + 5)]

+ Z3[r(Z + £)] + /.-,[s(^ + f)] + ---.

Hierin kann man f. und t\ als gegeben ansehen, während die /.■ gesucht werden. Führt man mittels (28) die f^ in die Gleichungen (24) ein, so ergeben sich (w — ni) Gleichungen zur Bestimmung der /.• aus den f.

Alle Ansätze AF = [f'(I + £j] haben das Gemeinsame, daß die Zerlegung nach (29) immer zu demselben Ausdrucke [f(l + f)] führt, wozu die f aus (26) und (27) sich bestimmen.

Da man die e nicht kennt, muß man für AF den Wert [f'l] nehmen, den wir mit A'f bezeichnen wollen, während [fl] mit A/' bezeichnet werden mag. Es ist nun

(30) A7= [/•/] + {Jc.ipi] + hm + hb-n + /^4[-^^] + ■ • ■}

und

(31) A/-=[/7].

Betrachtet man A'f, so erkennt man, daß es sich aus dem Wert [fl] und den Werten [pl], [ql], [>'l], [sl], ■ . . zusammen- setzt, aber in der besondern Weise, daß

im

224 Drittes Kapitel. Vermittelnde Beobachtungen.

und der Ausdruck

(32) l, [pZ] + \[_ql^ + \irl-\ + Ä,[.sn + • . •

gegenseitig freie Funktionen sind. A'/ ist also zerlegt in zwei Teile, die wie direkte Beobachtungen voneinander unabhängig sind. Den zweiten Teil (32) wird man nun nach Maßgabe der Bedingungsgleichungen (22) zu null annehmen, denn das ist sein theoretischer Wert. Dagegen kann [/7] nur aus den Beobachtungen entnommen werden.*) Alle möglichen Aus- gleichungen führen somit zu dem gemeinsamen Ergebnis: Man setzt für AjP den Wert (31) an:

A/ = [/7J. Hiermit ist man aber wieder zur Methode der kleinsten Quadrate gelangt, denn die Bestimmung mittels der f. nach (26), welche

(33) A/ = \al]L^ + \hl\L, + WL, + • • •

gibt, und mittels (27) ist dieselbe wie nach den Gleichungen (18), S. 185, und (12), S. 182, die den Forderungen der Methode der kleinsten Quadrate entsprechen.

Man kann dies auch direkt dadurch erkennen, daß man

sich Werte x, y, z, . . . aus den Gleichungen (den Xormal-

gleichungen der Methode der kleinsten Quadrate):

\(xa\x + [ah'\y -f- \ac\s + • • • = [al]

\ah-\x + \lh-\y + [&c]5 + • . • = [&/]

\a c\x -\- \h c\y -{- \c c\z -\- ■ • • = \cl\

bestimmt denkt. Multipliziert man diese Gleichungen der Reihe nach mit L^^ L.y, L^, ■ . . und addiert, so folgt wegen (27):

F,x JrF,y + F,z + ---^ [a/]ii + \hl\L, + [cl]L, + • • •,

d. i. aber nach (33) gleich A/". Das Ergebnis für A/" ent- spricht somit dem Ausdrucke F^x -f F^y + F^s + • • •, wenn x,y, z, . . . nach (34), d. h. der Methode der kleinsten Quadrate, bestimmt werden.

*} T. N. Thiele. Theorj of observations. London 1903, S. 67. Dieses Werk ist überhaupt für den besonderen Gedankengang Thieles nachzusehen.

§ 11. Red. Fehlergleichungen nach Schreiber. 225

Außerdem sieht man, daß das mittlere Fehlerquadrat für A/' kleiner ist als für ein beliebiges A'/" Denn da die beiden Teile von A'/" in (30), nämlich A/' und der Klammerausdruck, zueinander freie Funktionen sind, setzt sich das mittlere Fehler- quadrat für A'/' aus dem für A/' und dem für den Klammer- ausdruck durch Addition zusammen.

Für gleich genaue dkekte Beobachtungen geht man am be- quemsten von der Identität aus

7 1. ra + w , ah -In] I k-^/.]]

Linker Hand kann man X statt ?,■ + «» setzen; es wird nun ^ = [?] : n anzunehmen sein, da der zweite Teil rechter Hand den theoretischen Wert null hat.

VII. Reduzierte Fehlerg:leiclmiigeii nach Generalleutuaut Schreiber. Anstatt des Systems von Ji Fehlergleichnngen

(35) li + A. = a^x + h^y + c^.^ + • • • Gewicht /;. kann man setzen die m Fehlergleichungen :

(36) Z,+ A,'= ?>.// + f.r ^ . . . Gewicht (/■ in Verbindung mit der (n -\- 1). Gleichung

(37) [aUi] + Ai = [(ih(/\ij + [acg]z + • • • Gew. ^^,

worin A^ eine Verbesserung bedeutet. Dieses System ist dem ursprünglichen in bezug auf die Bestimmung von y,z,... äquivalent, denn es gibt als Normalgleichungen das erste ab- geleitete System der aus (35) folgenden Normalgleichungen:

iUg-l]y-{-[hcg-Y\z + ---==\hlg-l]

(38) \hcg • r\y + [ccg . 1]^ + • • • = \clg ■ 1]

Auch die Fehlerquadratsumme bleibt erhalten, denn es ist

(39) [Xlg]=^[r^'g]-^^^y

Da nämlich y, s, . . . dieselben Werte für beide Systeme Ton Fehlergleichungen haben, wie oben gezeigt wurde, so ist

Helm er t, AusgleiclninfcsreclinuDg. 2. Aufl. 15

226 Drittes Kapitel. A^ermittelnde Beobachtungen.

Xl = k^ — (ijX und daher

[A'AV/] = [AA/y] + [ua(f\x-.

Nun ist aber A^ = — \aag\x, womit (39) bewiesen ist.

General Schreiber hat das Verfahren angewandt, um bei Ausgleichung von Richtungsbeobachtungen für Punktbestim- mungen nach Koordinaten die Orientierungsgröße n der Rich- tungssätze, die kein weiteres Interesse hat, zu eliminieren. Nach erfolgter Elimination zeigt sich als Vorteil, daß nun Fehlergleichungen aus verschiedenen Richtungssätzen einfach gemittelt werden können, die in den übriggebliebenen Gliedern bzw. gleiche Koeffizienten haben, was noch eine Vereinfachung der Rechnung gibt.*)

Beispiel. (Fortsetzung zu S. 204/209.) Werden nicht nur ein einziger Satz Richtungen beobachtet, sondern etwa zwei mit teil- weise denselben Objekten, so wird mau wohl am besten Schreibers Verfahren anwenden.

Für den ersten Satz schreibt man statt der Gleichungen (7),. S. 206, das System au:

= — 0,82 -f 44,715— 77,84»/ Gew. 1

= + 5,37— 42,71 ^-f 63,56)/ „ 1

= + 16,96 — 222,79i + 259,79»/ „ 1

= + 3,48— 34,G3;— 29,65;/ „ 1

= + 1,53— 31,015— 99,31;/ „ 1

A^ = -f- 26,52 — 286,43 i + 166,55 ., „ — y ,

welches für sich die Normalgleichungen (lO), abgesehen von t,' . ergeben würde. Wäre nun noch ein Satz 1 • 4 • 5 gemessen mit Gew. 1, so gäbe das, abgesehen von den numerischen Gliederu :

*) In weiteren Kreisen ist Schreibers Methode zuerst bekannt geworden durch das Werk: Jordan und Steppes. Das deutsche Ver- niessungswesen. 1882. Bd. I. Höhere Geodäsie und Topographie des deut- schen Reiches v. W. Jordan; S. 157 u. f.

Vergl. auch L. Krüger, über reduzierte Fehlergleichungen. (Ztschr» f. Yermessungswesen IS^i), S. 396).

§ 11. Red. Fehlergleichungen nach Schreiber. 227

A/'= ^44,71;- 77,84»/ Gew. 1

i^"= 34,63^— 29,65»/ „ 1

A." = 31,015 — 99,31 f? ,, 1

A2= 20,931 - 206,80,/ „ - i-

Bei der Bildung der Normalgleicliungen aiis beiden reduzierten Systemen von Felilergleichungen hat man nun teilweise dieselben Koeffizienten der Fehlergleichungen; man kann dann z. B. die zwei Gleichungen für X^ und Äj" leicht zu einer einzigen mit dem Gew. 2 vereinigen, usw.

In Fällen, wo verwickelte Messungen auf der Station vorliegen, kann man diese zunächst ausgleichen und dann nach Anleitung von Kap. 8, § 6, IV verfahren.

15^

Viertes Kapitel. Korrelateuausjileichung.

§ 1. Ausgleicliuug bedingter Beobachtungen.

I. Reduktion der Aufgabe auf die Ausgleichung ver- mittelnder Beobachtungen. Bereits auf S. 51 ist die allgemeiae Form, unter der sich die Aufgabe darstellen läßt, angegeben worden. Mit Beibehaltung der daselbst eingeführten Bezeich- nungen haben wir die plausibelsten Verbesserungen /. der n Beobachtungswerte l so zu bestimmen, daß die a Gleichungen :

0 = tc^ + 2h K + P2h + P$h-\ \- PnK

0 = «3 + r, l, + r^ U + ^-3 ^-3 H y ^n K

erfüllt werden, wobei nach (6), S. 50, die iv durch die folgen- den Ausdrücke gegeben sind:

«*'i = 1*0 + 1\ h + P2 h + Pzk-\ PnK

«^3 = *"0 + ''l ^1 + '"2 h + '"3 h-^ '■« ^:

n n

Es wird manchmal vorteilhaft sein, die Aufgabe auf ver- mittelnde Beobachtungen zurückzuführen, was in praktischen Fällen wohl immer so geschehen wird, daß man mit Hilfe der Gleichungen (1) 6 beliebige ?. durch die in — 6 ) übrigen ausdrückt, z. B. bei n = b, <? = 3, Aj, A,, A3 durch A^ und A5. Bezeichnen wir diese (n — a) Verbessungen A durch x,y,..., so wird er- halten :

g 1. Ausgleichung bedingter Beobachtungen. 229

(2)

Aj = — öj + «, ic + 1\ y +

A2 = — ^2 + «2'^' + hy + ^13= - ^3 + «3-^' + hy +

Anzahl 6,

Anzahl der Unbek.

in — (?),

wobei a,h, . . . von den p, q, r,... abhängige Koeffizienten, die d aber Funktionen der iv sind. Die Gleichungen (2) haben die Form von Fehlergleiehungen. Es treten zu denselben noch n — 6 weitere Gleichungen, nämlich:

(2*) h- ■ ■ +y

Anzahl (ji — g)

Anzahl der Unbek.

{n — (?) .

Stellt man die Systeme (2) und (2*) zusammen, so erhält man ein System von n Fehlergleichungen mit (w — (?) Un- bekannten, dessen Ausgleichung in bekannter Weise erfolgen kann.

Beispiel. (Trundlinienausgleichung in der westlicheu Hälfte der Dreieckskette der Europäischen Längengrad- messung in 52° Breite.'^) Es sind dabei neun Grundlinien vor- handen. Wird eine Grundlinie durch Triangulation mit zwei oder drei anderen benachbarten verglichen, so ist außer der Grundlinie noch ein Netzteil den Vergleichungen gemeinsam, der im wesent- lichen meistens durch das Vergrößerungsnetz gegeben ist. Verstehen wir dementsprechend unter s- die Länge einer Hauptdreiecks- seite, von wo aus nun wesentlich voneinander unabhängige Drei- ecksketten nach anderen Grundlinien laufen, unter s^ die Länge der aus einer anderen Grundlinie abgeleiteten Hauptdreiecksseite, so kann man nun die Differenz (log s^ — log 5^) bilden erstens aus den Ableitungen der Grundlinien, zweitens aus den zwischen ihnen befindlichen Dreiecken. Den Unterschied beider logarithmischen Differenzen kann man demgemäß in drei Teile (T^, Oj^ und Vj^ zer- legen, deren mittlere Fehlerc^uadrate geschätzt wurden.

*) Die Europäische Längengradmessung in 52 " Br. von Greenwich bis Warschau. I. Heft. (Veröffentlichung des Königl. Preuß. Geodätischen Instituts u. Zentralbureaus der Internationalen Erdmessung.) Berlin 1893, S. 241 u. f.

230 Viertes Kapitel. Korrelateuausgleichuug.

So ergaben sich folgende acht Bedingungsgleichungen für Ein- heiten der siebenten Dezimalstelle:

_ga

6

ffv

(1)

		ff,	3
3	V, — 12 = — (?! + ö.
	'	ff*	3
6	V, + 32 = — ff» + ff.	■
		ffj	3
6	1-3 4- 38 = — ffs + ff.
		ff^	3
6	v^ — 12 = — ff^ -f ffj
		ff.	6
6	Vg — 13 = — ff. + ffg
		ffß	6
6	Ve -f 23 = — ff, + ff,
		ffj	3
6	Vj — 17 = — ffß -i- ffg
		ffg	4
2	^8 — 23 = — ff, + Ca	ff«	3

Nach bedingten Beobachtungen würden sich acht Normal- gleichungen ergeben, jedoch müßten erst 17 Korrelatengleichungen angeschrieben werden (siehe im folgenden). Betrachtet man aber die neun Größen a als Unbekannte, so hat man zu vorstehenden acht Fehlergleichungen c sich nur noch die neun Fehlergleichungen

(2) V^'=<^1, i'2'=<72 5 •■• ^'J=(^d

beigefügt zu denken, zu denen die oben angegebenen Gewichte gehören, und nun zu den 17 Fehlergleichungen die neun Nonnal- gleichungen zu bilden. Es folgt:

6 Cj — 3 ff^ = -f- 36

— 3ffi + 12ff. — Gffj = — 228

— 6ffj -|- ISffg — 6ff^ = — 36

— 6ff, + löff^— 6ff. =4-300

(3) — Off^-|-18ff5— 6ff^ =-|- 6

— 6C5 -f 24ffg — 6ff- — 6 ffg = — 114

— 6ff6 + 9ff. = + 138

— öffg • 4- 12ffä — 2ff3 = — 56

— 2ff8 + 5ff9 = - 46.

Die Auflösung dieser Normalgleichungen geschieht besser nicht vermittels des Gaußschen Algorithmus, sondern nach dem folgenden von L. Krüger mehrfach benutzten Verfahren (Astr. Nachr. Bd. 138. 1895, Nr. 3298).

Man multipliziere die neun Gleichungen (3) der Reihe nach mit M^, Jfo, • • . My und bestimme diese Gi-ößen so, daß

§ 1. Ausgleichung bedingter Beobachtungen. 231

6ilfi= 3il/2

(4) . . ■ ■ .

— 6M^-^ 12Ms= 21fy wird; fernei" setze man

Zur Kontrolle hat man auch durch Summiening

Das ist also dasselbe, als wenn man in (3) an Stelle der a die M setzt und dabei die rechten Seiten der ersten acht Gleichungen gleich null, die rechte Seite der letzten Gleichung gleich 31^^^ an- nimmt.

Erfüllen die 31 diese Bedingungen, so gibt aber die Addition sämtlicher mit den 31 multiplizierten Gleichungen (3):

(5) il/io ög = + 36 il/i - 228 I/o 46 ilfy .

Für Jlfj^ kann man einen willkürlichen Zahlwei-t annehmen, also z. B. 1; manchmal ist es praktisch, ilf^ so zu wählen, daß alle 31 ganze Zahlen werden. Setzt man

3I^ = 8, so erhält man aus (4):

M, = 16, 31, = 28, J/, = 54, 3/. = 107, 31^ = 267, J/. = 178, 31^ = 783, 3Ig = 3897, ilfjo = 17 919 .

Damit gibt (ö):

216 510 "'■•=- 17-919^ = -1''^-

Die übrigen ß ergeben sich jetzt durch allmähliche Elimination aus der letzten, vorletzten, usw. der Gleichungen (3). Es wird:

(Tj = — 4,6 (76 = — 1,0 i\ = — 4,5 v^ = -\- 4,6

(J2 = — 21,1 (^T = + 14,7 i\, = — 12,9 v^ = — 7,3 (6^ ffs = — 2,0 ög = — 7,2 i\ = — 13,8 ?v = + 10,8

ff^ = + 22,2 c?9 = — 12,1 ; i-^ = — 2,8 v^ = + 18,2 .

ff. = + 7,4 2,(1 v^ -\- 21(1 i;'-=8577: die Kontrollformel aus den / und den rechten Seiten der Normalgleiohungen gibt 8565.

232 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit ist

(7) 1/T = ± 3«.

Da die v und a vor der Ausgleichung das Durchschnittsgewicht 4 haben, so ist ihr ra. F. +16 näherungsweise. Nach erfolgter Aus- gleichung erhöht sich das Gewicht der 6 auf etwa 12 im Durch- schnitt, was einem m. F. von +10 Einh. der siebenten Dezimal- stelle oder von + 0,0000010 : 0,4343 • • • = + V434300 ^^r Länge entspricht.

II. Direkte Auflösung. Nehmen wir den allgemeinen Fall verschiedener Genauigkeit in der Bestimmung der Beobachtnugs- werte, und seien demgemäß g^, g^, 9^, • • ■ die Gewichte der l oder A; bezeichnen ferner — 2\, — 21ic^, . . . vorläufig unbekannte Hilfsgrößen, an Zahl so viele als Gleichungen (1) vorhanden sind, so wird [A/l(/] ein Minimum unter Berücksichtigimg der Gleichungen (1), wenn der Ausdruck*)

[Ikg^ - 2/,;(a; + L?;A]) - 2l-,(u; + [qXj) - 2l;{w, + [rX]) - • • •

ein Minimum wird, wobei jede der Größen A als unabhängige Variable aufzufassen ist. Setzen wir die partiellen Differential- quotienten dieses Ausdrucks daher einzeln gleich null, so er- geben sich die r? Gleichungen des Minimums:

KUi = hi\^h(h + hri + ■ ■ ■

K9i = ^'11^2 + h^h + h*\ + • (3) h 9z = ^1 Ih + ^'2 % + ^'3 »'s + •

Anzahl der li = 6

welche die Verbesserungen A durch die HilfsgTÖßen /<• ausdrücken. Letztere nennt man Korrelaten und die Gleichungen (3) Korrelatengleichungen.

Substituiert man die Werte der A in den Gleichungen (1),. so ergeben sich zur Bestimmung der (5 Korrelaten /.■ nunmehr 0 Gleichungen, die sogenannten Normalgleichungen:

*) Vergl. die Fußnote S. 113.

§ 1 Ausgleichung bedingter Beobachtungen. 233

[f]^. + [f]''-^+[y] '»+•■■ + -. = « (4) [^] ,., + [«] .,+ [f] A3 +... + ., = 0

oder abgekürzt:

{pp)l; + {pq)k, + ipr)]:, + • • • + u; = 0

.4*-. (P Q) h + ( 3 3) ^2 + ( 'i '•) ^'-3 + • • • + ' ^"2 = <-*

(pr)k, + {qr)l, + {rr)k^ + • • • + '«'3 = ^

Diese Xonnalgleicbuugen mit 6 Unbekannten baben ganz die Form der Normalgleicbuugen bei vermittelnden Beobach- tungen; man bildet die Koeffizienten der Unbekannten aus den Korielatengleicbungen (3), die man zuvor durch Division mit (j auf l reduziert bat, genau so wie bei den Normalgleicliungen vermittelnder Beobachtungen mittels der Fehlergleichungen. Bemerkenswert ist immerhin der Unterschied, daß in den (ad), iah) usw. bei vermittelnden Beobachtungen r/ als Faktor er- scheint, während in {pp), (pg) usw. jetzt g Divisor ist. Auch über die Widersprüche iv geben die Korrelatengleichungen nichts an

Die Auflösung von (4*) kann nach irgend einer der an- gegebenen Methoden für die Auflösung der Normalgleichungen vermittelnder Beobachtungen erfolgen. Zur Kontrolle dient dabei ebenfalls die Summennorraalgleiohung oder die Bildung von Quersummen.

Beispiel. Die Avisgleichung der Nivellementsnetze. Es seien nivelliert worden die Höhenunterschiede:

(^j = ?i m. d. mittl. Fehler ,u^ { C^ ^ h ^^- ^- i^^ittl. Fehler ftg

/ '^'1 = / i^\ - 1

' JBJ 2 " " 11 5» l*'i \j)} '7 11 11 11

' Cl 3 " -.1 11 11 ^3 \e) 8 " " "

\B) ^ 4 11 11 11 11 ^'■i yiß) =^ ^9 11 11 11

\ Aj ^^ 5 " " " " f^ä [j^j ^^ ^10 11 11 11

f*7

234

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Nebenstehende schema- tische Figur gibt eine Übersicht hierzu.

Diese Höhenunter- schiede müssen fünf Be- dingungsgleichungen er- füllen, denn um die Höhen der fünf Punkte B CDEF über A festzustellen, rei- chen schon fünf Höhen- unterschiede l aus, es sind daher fünf andere überschüssig. Die einfachsten Formen der fünf Gleichungen werden erhalten aus den Dreiecken ABB. BBC usw.:

(1)

'l	+ u-	:>	= 0
^2	+ h-	'4	= 0
'3	+ ^-	'6	= 0
'7	+ (.-	'y	= 0
'9	+ ^5-	^10	= 0

Diese (jleichuagen werden aber von den l nicht erfüllt, son- dern es ergeben sich anstatt null Widersprüche u\, /r,, . . .. Bezeichnen wir die Verbesserungen der l mit A, so hat man für diese X die fünf Bedingungsgleichungen:

h^h-h +n\ = 0

2 I ''3

h — ^^4 + ^'''.

0

(2\

A3 + ^ — Ag + »3 = 0 ^i + h-h +^'4=0

Hieraus sind die k zu bestimmen durch Bildung der zehn Kor- relatengleichungen und der fünf Xormalgleichungen.

Um nach vermittelnden Beobachtungen auszugleichen, beziehen wir die sechs Punkte A . . . F auf einen vorläufig imbestimmten Hori- zont; die Höhen seien Xj^ . . . Xg. Alsdann sind die Fehlergleichungen:

(3)

K	(
h	= — l
h	= ~i,
K	'^^ '-1
K	= — ?c
K	= — /^
X,	= — /j
K	^= 'h
h	^^ f
^1 (1	^^^ '1

§ 1. Ausgleichung bedingter Beobachtungen. 235

— a-j + a;8 •

x^ ■ •+«;,■

^\ ' I •'^6

Man bemerkt leicht, daß die Summe der Normalgleichungen iden- tisch zu null werden muß. Bei direkter Auflösung muß man dann für eines der x einen Wert einführen und seine Normalgleichung weglassen (bzw. als Summenkontrolle mitführen).

Hat man iV Linien und P Knotenpunkte, so ist die Anzahl der Normalgleiehungeu bei bedingter Ausgleichung gleich iV — P-j- 1, bei vermittelnder P — 1 ; meist wü'd der Unterschied nicht groß sein. Die Gewichtsberechnung der Endwerte ist aber bei ver- mittelnder Ausgleichung am bequemsten.

Die mittlem Fehlerquadrate setzt man in der Regel pro- portional den Streckenlängen, was allerdings nur eine ziemlich rohe Annäherung ist. Im einzelnen wechselt die Genauigkeit jedenfalls sehr; aber für längere Linien, die auf gleiche Art nivelliert werden, wird die Annahme brauchbar sein, vorausgesetzt, daß die Lattenlängeneinheit namentlich im gebirgigen Gelände ge- nügend oft bestimmt wird (vergl. auch im 5. Kap. § 4, III).

Alle Punkte, die nicht wie die Knotenpunkte mit wenigstens drei anderen verbunden sind, können aus der Hauptausgleichung ausgeschlossen werden. Ziu* nachträglichen Ausgleichung werden die Verbesserungen der Höhenunterschiede der Knotenpunkte pro- portional den Nivellementsstrecken verteilt.

Nehmen wir beispielsweise auf AB zwei Zwischenpunkte an, welche l^ in ?j', /^", l^" zerlegen:

(4)

^i = V+^"+V",

und gehören zu diesen die mittlem Fehler fi/, \x.[\ fi^'", wofür die Beziehunsf bestehen muß:

(5)

236 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichting.

sind endlich r/^, r/^', /z^", g^" die entsprechenden Gewichte, also

^ i/i ^1 (Jx 9x

und denken wir uns nach bedingten Beobachtungen ausgeglichen, so tritt an Stelle der ersten Gleichung (2) die Gleichung

i; + 1;' + 1;" + a^ - a. + w^ = o,

woraus man findet, daß

sein muß, weil A', A", A" immer nur zusammen vorkommen. Nun

ist aber wegen (4)

(7) A,'+A,"+A/"=A,

und Aj bereits bekannt; berücksichtigt man fö*), so folgt aus fß), daß auch

womit die gegebene Verteilungsregel bewiesen ist.

III. Mittlerer Fehler einer Funktion der ausgeglichenen Beohaehtungswerte. Setzt man die Analogie mit vermittelnden Beobachtungen weiter fort und bildet die den Gleichungen i4) entsprechenden Gewichtsgleichungssvsteme, so erhält man in den Q mit quadratischen Indices, wie leicht zu zeigen ist. die reziproken Gewichte in der Bestimmung der k.

Allein es interessieren die A' und ihre Gewichte selbst nicht. Dagegen entstellt die Frage nach dem Gewichte einer Funktion der ausgeglichenen Beobachtungsgrößen.

Substituieren wir in einer Funktion F der Beobachtungs- größen deren unausgeglichene Werte l^, l^, l.^, . . ., also von- einander unabhängige Größen, und setzen für die partiellen Dififerentialquotienten von F nach l:

W Jf^ - h, Jl- -h, • ■ ■ ^J^ - In,

so wird das Quadrat des mittlem Fehlers in F:

oder kurz

(5*) u/=.«'[^J = ^^(//'),

§ 1. Ausgleichung bedingter Beobachtungen. 237

worin ^ den mittlem Fehler für eine Beobachtung vom Ge- wicht 1 bedeutet.

Setzen wir aber die ausgeglichenen Beobachtungswerte Zj + Aj, Zg + ^2? • • ■ ^« + ''■« i^ ^^® Funktion ein, so ist zu be- denken, daß die Werte der X abhängig voneinander und selbst Funktionen der l sind. Es wird daher für die totalen Änderungen von F nach den Z, wenn man beachtet, daß dF dF

^ '" dl'

dh	C'h	= /v
		dF dl	= /; + /-/4	+ /;	du Jl. + ■
			i	= 1.	. . n
damit	ist	nun	zu bilden:
(6)			0		/dF\2- \dl) .

Die entstehende Formel ist noch beträchtlicher Vereinfachung fähig. Zunächst hat man aus den Korrelatengleichungen (3) für irgend eines der l^ (a = .'3 gesetzt):

dX^ ^ p^dk^ Si ^ , -»-i dk^ d l; 91 d l- g^ d l,- "^ g^ 'ö l,

dii g, a«, g.. dl. "^ g, dl

dir 9n dir ffn^li ffn ^h'

Also wird

^ ^^ ^ = ^^- + L7-I Tl. + 17-1 "äi. + LyJ H

oder

Um die Differentialquotienten der k nach den / zu be- rechnen, müssen wir die A" durch die l darstellen.

Berechnet man nun (analog wie bei vermittelnden Be- obachtungen) ein System von Hilfsgrößen Q nach den Glei- chungen:

238 Yieites Kapitel. Korrelatenausgleichung.

(pp)Qr.i + (ßa)Q,., + {pr)Q,.,= 1

(8) {Pü)Qx.r-\-(qq)Q,,,+ {qr)Q,,,= Q

{PP)Qi.2+ {PQ)Q2.2+ ipr)Q2.s-0

(9) iP^)Qy.2+{^^I)Q2.2+(ar)Q,.,= l

(PP)Qi.z-^ {PQ)Q2-z+ ipr)Qs.z= 0

(10) iPQjQ,.z+ iqq)Q2.3+ (/ir)Q,.,= 0 (:Pr)Q^.z+ (qr)Q,.,^ (rr)Q,,,= 1 ,

so wird aus (4*), S. 233, erhalten:

^•l + "'l ^1.1+ ''-2 ^1.2+ ''-3 ^1.3=0

(11) A-g + ll\ ^1 . 2 f «"2 ^2.2+ "3 ^2-3=0 ^•3 + ""l ^1.3+ ^^"2 ^2 3+ «*"3 ^33 = 0 .

Es ist daher

(11*)

-(|^^..3+^(^2.3+^^3.3>

ci

ji

Nach (1*), S. 228, ist aber

(12) Mithin ist

(13)

ciCi dii\ , cw.

Jj:. = - {PiQl-2 + ?i^2.2 + ^•iQ2.z)

jf. = - (PiQl.Z + 5i^2.3+ ^- ^1^3.3)-

AYenn man diese Ausdrücke in (7*) einsetzt, folgt (14) — = /; _ p.L, - q,L, - r.L„

worin gesetzt ist:

§ 1. Ausgleichung bedingter Beobachtungen. 239

W)^i.i + (5/')^i.2+(*r)^i.3=A

(15) {pf)Q,., + (^0^2.2 + (rf) ^2.3 = 4

{pf) Q, .3 + {qf) Q2.Z + (rf) Qs.s = L,.

Die Umkehrung dieses Gleichungssystems mittels (8) bis (10) gibt:

{pp)L^ + {pq)L.2 + (pr)L., = {2)f)

(15*) (pq)L,+ (gq)L,+ {qr)L,^ (qf)

(pr)L,+ (qr)L,-^ {rr)L^= (rf).

Hierzu gehören die nach dem Gaußsehen Algorithmus redu- zierten Gleichungen:

ipp) ^1 + (pü) 4 + {p r) h = {pf)

(16) {qq.l)L,+ {qr-l)L,= {qf.l)

{rr-2)L,^{rf.2). Aus (14) folgt mit Rücksicht auf (15*) zunächst:

Idl y] ^ Idl gl Idl g\ und damit weiter aus (14):

Mithin wird nach (6):

(1 7) ;< l = u; { iff) - {(pf) L, + (qf) h + (rf) h) } .

Eliminiert inan aus dem zweiten Teile rechter Hand die L mittels (16), so wird endlich:

oder abgekürzt in leicht zu ersehender Beziehung:

(18*) ^^ = ^2{i-n}.

Will man den mittlem Fehler einer ausgeglichenen Be- obachtungsgröße, z. B. von l--\- 2.-, berechnen, so ist zu setzen:

f^= 1 , die andern /" = 0 ; weiterhin ist wie im allgemeinen zu verfahren.

240 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

IV. Theorien von C. F. Gauß und T. \. Thiele. Gauß ging bei der Herleitung der Formeln für die Ausgleichung bedingter Beobachtungen von dem Gedanken aus, eine Funk- tion F(l^, I2, ■ ■ ■ ^n) ^®^ Beobachtungen mittels der Bedingungs- gleichungen so umzuformen, daß ihr mittleres Fehlerquadrat ein Minimum werde. Thiele trennt von der gegebenen Funk- tion einen Teil ab, der von den Bedingungsgleichungen ab- hängt und zu dem Rest eine „freie" Funktion bildet. Dieser Rest, der sich in eindeutiger Weise ergibt, ist dann der natur- gemäße Beobachtungswert für den gesuchten Funktionswert.

Wir können beide Ableitungen, die auch zur Methode der kleinsten Quadrate führen, zusammenfassen.

Sind £. die wahren Verbesserungen der Beobachtungs- werte l^, i = 1 . . . n, so ist der wahre Wert der Funktion:

(19) F=F,+ [fe],

wo Fq den mit den Beobachtungen berechneten Zahlwert be-

dF . zeichnet und f. = ^r^ ist.

Ol,-

In gleicher Weise können wir uns die 6 Bedingungs- gleichungen, deren wir hier drei hinschreiben, umgeformt denken :

(20) ?q-f[2J£] = 0, ?r,+ [2c] = 0, zv,^[ra] = 0.

Mit Hilfe der 0 = 0 Multiplikatoren Z^, L^, L^ zerlegen wir nun F wie folgt:

(21) F=F,^[fe] = F,'+\fe]

+ { L,(h;^ [j)e])+ L,(:n;-{-[q8]) + L,(n; + [r£-]) ] ,

wobei nun Fq der günstigste Funktionswert sein soll.

Um relative Freiheit des ersten Teiles rechter Hand zu jedem der durch die (20) gegebenen Bestandteile der ge- schlungenen Parenthese zu haben, nehmen wir die L so an, vergl. S. 220, daß mit Berücksichtigung der Gewichte:

wird. Die Annahme F^ ^ h\L^-{- u\L.2-\- tv^L^ für F hat dann die wahre Verbesserung

[/•'£] -f- [pe\L, + [cLe\L, + \rs\L,

§ 1. Ausgleichung bedingter Beobachtungen. 241

und das mittlere Fehlerquadrat:

(23) a^ { p^-] + [ii>A + gJ-.+ri.3)-j } ^

gerade so, als wären F^ und {u\L^-\- w^L^-^ w.^L.^ von- einander unabhängige direkte Beobachtungen. Nach (21) ist nun:

m fi = fi' + {Pih + üiL, + r,L, \ ;

hiermit geben die Gleichungen (22) zur Bestimmung von

^1 > L.2, ig :

(pp)L^ + {pq)L,_ + (pr)Ls = (pf)

(25) {pq)L, + {qq)L, + (qr)L, = (qf)

{pr)L,-\- {qr)L,+ {rr)L,= {rf).

Sind hieraus die L abgeleitet, so folgt aus (24):

(26j f: = fi-{PiL,+ q,L,-^r,L,]

i = 1 . . . n

und aus (21):

(26*) F,' = F,- {h;L,+ u-,L,+ iv,L,].

Da aber in (21) rechter Hand nunmehr die beiden Funktionen der Beobachtungen /., nämlich F^' und (^r^Z/^ + ^rgiä + ^^'3^3) wie unabhängige direkte Beobachtungen anzusehen sind, der theoretische Wert des zweiten Teiles aber null ist, so bleibt

(27) F=F,'+[rs]

als naturgemäße Annahme für F, d. h. man hat zu setzen F = Fq aus (26*), mit dem Fehler [fe], dessen mittleres

Quadrat gleich ji^ — ^ ist.

Wie (23) zeigt, ist die Annahme F = F^ zugleich die- jenige, die das kleinste Fehlerquadrat gibt, denn alle möglichen Annahmen für F sind, abgesehen von seinem Fehler, in dem Ausdrucke

F^ + i<^\L^ + «"2-^2 + ^*"3 -^3

enthalten, wenn die L ganz beliebig genommen werden. Das zugehörige mittlere Fehlerquadrat ist immer durch (23) ge- geben, welcher Ausdruck für Ly = L^= L^= ^ am kleinsten ist.

Helmert, Ausgleichimgsrechnung. 2. Aufl. 16

242 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Um direkt zu zeigen, daß Fq der Funktionswert ist^ welchen die Methode der kleinsten Quadrate gibt, kann man wie folgt vorgehen. Für irgend eine Ausgleichung müssen die Verbesserungen 2^ der /• den Gleichungen

(28) w^ + [jU] = 0 , IV, + [g A] = 0 , iv^ + [r ;i] = 0 genügen. Aus (26) ergibt sich hiermit:

(29) f r A] = lfX\ + { IV, L, + u, L, + u; L, } ,

also nach (2^*):

(29*) F^^U'>A-F,+ [fX\.

Da aber der Ausgleichungswert Fq -\- [/A] mit dem günstigsten Wert Fq übereinstimmen muß, so folgt

(30) [/■'A] = 0, d. i. nach (29;:

(31) [/-A] = - {iv, L, + IV, L, + ^(-3 4).

Die L sind aber Funktionen der /"; man kann nach (25) dafür ansetzen :

(32) L, = ipf) Q,.,+ (qf) Q,.,+ {rf} Q,., L,= {pr)Q,,+ {qf)Q,.z+{rf)Q,.,.

Setzt man dies in (31) ein, so ergibt sich eine Gleichung, in welcher jedes Glied eines der /' enthält. Faßt man die Glieder mit demselben f. zusammen und setzt dessen Faktor q-leich null, so folgt allgemein:

hOi = — Pi{fh öl . 1 + ^'2 Öl .2 + ^^3 öl .3)

(33) — 2,- K Öl . 2 + '<'2 Ö2 . 2 + "'s Ö2 . 3)

— ^'i O^'i öl . 3 + ^'2 Ö2 . 3 + ««'S Ö3 . 3) • Hierdurch werden die A,- so bestimmt, daß die besondere Funk- tion F nicht in Betracht kommt. Es ist also

(34) X.g. = p.Jc, + g.Ä-2 + r,]^^ ,

wenn l\, Je,, l.^ aus den Gleichungen bestimmt werden:

iPP)h + (Pa)h + (pr)h + «"i = 0

(35) (2yq)\ + (qq)Jc, + (qr)k^ + tv, = 0

{pr)J^, + {qr)l; + (rr) h + >i; = 0.

§ 1. Ausgleiclmng bedingter Beobachtungen. 243

Das sind aber nach S. 233 die von der Methode der kleinsten Quadrate geforderten Vei'besserimgen l.. Diese Ausgleichung führt somit zu denselben Funktionswerten FJ wie die Theorien von Gauß und Thiele.

Auch wird aus (34):

womit man den Ausgleichungswert von F direkt aus F^ zur Kontrolle berechnen kann, indem derselbe nach (29*) gleich F, + [/-A] ist.

Übrigens geht die Übereinstimmung mit der M. d. kl. Qu. schon aus der Vergleichung von /V nach (26) und (25) mit

[f^ nach (14) und (15), S. 238/239, hervor. Nach (27) ist auch

/'.' der totale Differentialquotient von Fq nach I^. Die Aus- gleichungswerte von F nach der M. d. kl. Qu. und von Fq nach den Theorien von Gauß und Thiele hängen somit in gleicher Weise von den l ab.

\'. Wahl desAnsgleichuugsverfalirens. Wir sahen S. 228/229, daß die Ausgleichung bedingter Beobachtungen in die ver- mittelnder Beobachtungen umgesetzt werden kann. Ohne weiteres leuchtet auch das Umgekehrte ein. Da die Ergebnisse für die verbesserten Beobachtungen dieselben sein müssen, so wird man den bequemsten Rechnungsweg wählen; dabei ist hauptsächlich die Mühe der Auflösung der Normalgieichungen zu veranschlagen. Bei n Beobachtungen und 6 Gleichungen zwischen denselben hat man nach der Methode der Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen in — ö) Normalgleichungen, bei der direkten Ausgleichung bedingter Beot)achtungen aber ö Normalgleichungen; man wird daher, abgesehen von anderen Gründen, nach vermittelnden oder bedingten Beobachtungen ausgleichen, je nachdem n — 6^6, d. i. n ^26 ist.

Doch ist hierbei zu beachten, ob sich nicht bei der zwar größeren Anzahl Normalgleichungen einfachere und zahlreicher verschwindende Koeffizienten zeigen, und sie darum schließ- lich leichter als das minderzählige System aufzulösen sein würden.

16*

244

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Auch auf die Mühe der Gewichtsberechnung ist die Ver- gleichung beider Verfahren im speziellen Falle zu erstrecken.

Eine besondere Reduktionsrechnung aus einer Form der Aufgabe in die andere wird meistens überflüssig, indem man in der Regel jede Form gleich bequem wird darstellen können. Vergl. das Beispiel auf S. 233/235.

§ 2. Formelüberslcht für die Ausgleichung bedingter Beobach- tungen. Berechnung des mittlem Fehlers einer Beobachtung vom Gewicht 1. Nichtlineare Bedingungsgleichungen.

I. Lineare Bediiignii^sgleichuiigen. Setzt man für (? = 3 Bedingungsgleichungen und n Beobachtungen

W'i = Vo + Pxk + Pik + ^3^3 + • • • + Pjn

(1) W'2 = go + 'Zl ^1 + ^2 k + ^3 ^3 +

so werden die Bedingungsgleichungen :

Pl K + i>2 h -^Pzh+ ■•■+PnK+ ^(\ == 0

(2) qi^i + q2h-^(hh +

r^ l^ + r.-, X, + rg A3 + und die Korrelatengleichunffen :

(3)

'^l^l = ^"lÄ+^2 2l+^'3>'l

Kdi = hPi + hq^ + ^3^2

^3^3 = hPz + ^'2^3 -r ^'■3»*3

«1 = JPl + ?1 + »'l «2 = P2 + ?2 + *'2 h = Pi + 53 + ^3

5n = i>„ + g„ + ^-„;

femer die NormalCTleichunsen:

to)^i + (i^3')Ä2 + (ypr)h, + '^«1 = 0 {P<l)h + ('?2)^^^2 + (M'r)h + ^''2 = 0 {pr)\ + (3^)^'2 + (*'»*)^3 + «3 = 0 (i95)Ä-i + {qs)lc, -f (rs)/.-3 + \iv] = 0

(4)

§ 2. Formelübersicht für die Ausgleichung bedingter BeobacMungen. 245 oder schematisch:

(4*)

worin

A-x	,.,	k, .	Konst.
(pp) {pq) ipr)	ip(l) (qq) (qr)	(pr) (qr) irr)
ips)	iqs)	(rs)	M

to)=^ +

Ui ya 'Ja

USW.

+

p q

Die Auflösung von (4) bzw. (4*) erfolgt wie die der Normal- gleichuQgen bei vermittelnden Beobachtungen, vergl. § 1, S. 148 u. f.*)

Nach dem Gaußschen Algorithmus wird erhalten:

Konst.

(4**)

(pp)

(pq) (qq-i)

ipr)	w^
(qr ■ 1)	{tv, ■ 1)
(rr-2)	(t.3.2)

II. Kontrolle durch doppelte Berechnung von [AA^], ein- mal aus den einzeln berechneten X, ein andermal nach der Formel: (5) [XX(j] = - [wk].

Diese Gleichung ergibt sich durch Multiplikation der Gl. (3) mit den einzelnen l und Addition unter Berücksichtigung der Gleichungen (2).

Die Formel (5) gewährt eine nahezu vollständige Kontrolle der ganzen Rechnung von den Bedingungsgleichungen ab (vergl. S. 135/136).

*) Bei indirekter Auflösung wird es manchmal nützlich sein , eine Hilfsgröße u einzuführen und zu setzen

A" = k.' — u. t 1

In den Normalgleichungen werden dann (ps), (qs), (rs), (ss) die Koeffi- zienten von u.

246 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleicliung.

Eliminiert man die li aus [ivli] nacheinander mittels der reduzierten Gleichungen (4**), so folgt:

(5*) ["^] = ^ + M + frff'-

III. Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit wird unter den bekannten Voraussetzungen, vergl. S. 54, § 6, und S. 1U3, gleich

(6) ,. = + y^,

näherungsweise mit dem mittlem Fehler + '^^ •

Dies folgt daraus, daß man die Aufgabe der Ausgleichung bedingter Beobachtungen auf die für vermittelnde reduzieren kann, wobei n — m = 6, vergl. S. 228. Es kommen dann die Formeln von S. 158 in Betracht.

Selbstverständlich kann man den Ausdruck für ^ und seinen mittlem Fehler auch direkt ableiten. Es genüge hier die Bemerkung, daß mit den wahren Verbesserungen s sich M/'i = — [j?£] , tv^ = — [5'£] , u\ = — ['■«] ergibt und

(PP) (22- 1) (rr-2)

Der Durchschnittswert jedes Glieds rechter Hand in der letzten Formel ist u". *)

IV. Der mittlere Fehler einer Funktion F der ausgegliche- nen Beobachtungswerte wird aus der Formel entnommen:

(7) /.} = ^2(I-II),

wobei

(8)

^ ' ^ 9i 9-2 9s 9n

{pp) \qq ■ 1) {rr ■ 2)

*) F. R. Helm er t. Zur Ableitung der Formel von C. F. Gauß für den mittlem Beobachtungsfehler und ihrer Genauigkeit. (Sitz.-Ber. der Königl. Akad. d. Wissensch. zu Berlin, 1904, S. 956/957.)

§2. Formelübersiclit für die Ausgleichung bedingter Beobachtungen. 247

und die f die partiellen Differentialquotienten der Funktion nach den / bedeuten, unter andern aber

ist.

Eine praktisch vorteilhafte Anordnung der Berechnung besteht darin, daß man unter die Bedingungsgleichungen (2) den Ausdruck

(9) AK + f2h + fBh+---+fnK

als Teil einer neuen Bedingungsgleichung hinzusetzt und nun anstatt (4*) sehreibt:

(10)

Hierbei ist:

^•:	Ä.-,	K	Konst. 1	[
(PP)	iPÜ)	ipr)	u\	(Pf)
(Pi)	(22)	Wr)	«'2	(af)
ipr)	(qr)	irr)	IV,	(rf)
(Pf)	(«/■)	(rf)	»	^ (ff) j
ips)	(qs)	(rs)	M	! (fs)

Si' = Pii'qi+r. + f,= s,+ f\

Die übliche Gaußsche Elimination verwandelt dann (ff) ganz schematisch in den für (7) erforderlichen Ausdruck I — II.

V. Der Ausg:leichniig;swert der Funktion ist gleich

(11) F,+ [fl],

wo Fq der unausgeglichene Funktionswert ist. Zur Kontrolle hat man nach (3):

(12) [fX] = ipf)l; + (qf)Jc, + irf)l; .

Daraus folgt mit Hilfe der reduzierten Normalgleichungen (4**):

(P_0_^ _ <.(lf-i-)(:w,-l) _ (_rf-2)iw,.2) ^

{rr ■ 2)

F==F.-

^^^) - -<^ (PP) (qq.l)

Diese Formel ist besonders dann mit Vorteil anzuwenden, wenn F auch als Funktion nur eines Teiles der Bedingungs- gleichungen betrachtet werden soll und die entsprechenden Normalgleichungen voranstehen.*)

*) Die Europäische Längengradmessung usw., I. Heft, S. 138 — 143.

248 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

VI. Sind die Bedingungsgleichungeu nicht linear, so

ändert dies nur den Anfang der Rechnung. Wird z. B. die erste Bedingungsgleichung durch

(14) <pih+h, k+h,--- h-^K) = o

dargestellt, so berechne man

(15) i('- = fpili,h,--Q-

Unter der Voraussetzung, daß höhere Potenzen der A als die erste zu vernachlässigen sind, hat man alsdann nach dem Taylorschen Satze:

(16) lh^l+P2h+---+PnK+><^-l-<^,

wenn gesetzt wird:

(17) ^T; = ih, az;=i'2,--- Fz; = i^n-

Beispiel. Fortsetzung von S. 49. Dort waren gleiche Ge- wichte angenommen worden: jetzt gleichen wir aus unter der An- nahme, daß die Gewichte proportional den Repetitionszahlen seien,, wozu wir wegen der bedeutenden Größe derselben berechtigt sind.

Wir haben nach (l), S. 49:

^H:^l^ 21' 43';36 + X^ Gew. 70

(6) <^J:25 16 28,85 -f A2 ,, 101 ^D : 73 21 46,3.T -f Ag „ 85.

Theoretische Winkelsumme = 180" 0' 0','l39. Daher ist die Bedingungsgleichung:

(7) A^-f ;i2+ ;i3— 1,579 = 0. Die Korrelatengleichungen sind:

(8) 70Ai = Z:, 101A2 = Ä;, 85^3= A-, also wird die Normalgleiehung :

oder

(9) 0,03595/0=1,579; folglich ist

(10) A- = + 43,92

§2. FormelübersicM fiir die Ausgleichung bedingter Beobachtungen. 249

und nach (8):

(11) Ai = + 0,627, A^ =4-0,435, ^3 = + 0,517.

Mithin sind die ausgeglichenen Beobachtungswerte nach (6):

<^II= Sl*» 21' 43';987

■^ I = 25 16 29,285 (12) ^ ^ «^D = 73 21 46,867

Summe =180 0 0,139.

Femer hat man aus (ll): (13) [AAr/] = 69,35;

ebenso ist nach (5), S. 245:

[Xlg] = 1,579 • 43,92 = 69,35, und nach (5*), S. 246:

Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit, d. h. einer ein- fachen Winkelbeobachtung, wird daher:

(1^) ,^t = + j/"^^ = ± 8';33 ;

der mittlere Fehler dieser Bestimmung ist näherungsweise gleich + 5"89, so daß der Wert von ^i im Mittel zwischen + 2"44 und + 14"22 schwankt.

Beispiel. In einem Dreieck 1 • 2 • 3 sind gemessen: •^2= 33" 22' 42"+ 20"

^3 = 125 42 11 + 20

(1)

^ ^ Seite 2 • 3 = 103,67m + 0,05m

„ 1 • 2 = 235,83 ± 0,05 .

Die hier beigefügten mittlem Fehler wm-den durch Schätzung er- mittelt, sie sind eher etwas zu groß als zu klein angegeben.

Es sind nun die plausibelsten Dimensionen des Dreiecks zu bestimimen.

Die vier gegebenen Stücke sind so zu verbessern, daß sie die Bedingungsgleichung

. . 2 ■ 3 _ sin 1 _ sin (2 -f 3)

^"^ r^ ~ smS ~ sin 3

250 Viertes Kapitel. Kon-elatenausgleichung.

erfüllen. Nennen wir die Verbesseningen der vier gegebenen Stücke (l) bzw. X^, ^g ^^^ ^35 ^41 erstere in Minuten, letztere in Metern ausgedrückt, so wird aus (2):

. . 103,67 + ^3 _ sin (159» 4' 53" + X^ -\-X,)

^^ ^35,83 + Ä^ ~ ~Tin(125'*42'll" +X)^ *

Logaritbmiert man, so ergibt sich nach einfacher Eeduktion:

9,643054 + 0,00418^3 — 0,00184A^

= 9,643134 — 0,000331 ;.i — 0,000241 ;i2 oder

(4) — 33,ni— 24,1^2— 418 A3 + 184 A4+ 8,0 = 0.

Wir bilden nun die Hilfsgrößen g (vergl. S. 98, HI) wie folgt: Es sind die reziproken Werte der Quadrate der iu derselben Ein- heit wie die betretfenden k ausgedrückten mittlem Fehler:

füi- den Winkel gleich 1:1—) ^9 für die Seiten gleich 1 : (—) = 400,

wofür wir zur großem Einfachheit setzen:

füi- den Winkel gleich 10, für die Seiten gleich 400,

so daß also ist:

für die Winkel 01 = 0'^= 1

v"y		„ „ Seiten	^3 = 5-4= ^0-
Die demnach : (6)	Korrelatengleichungen Ai = — 33,1 Ä- X, = — 24,1 Je	und die ISTormalgleicl 40A3= — 418 Ä- 40A4=+ 184 Ä-
(7)		6891 A= - 8,0,	A- = — 0,0011(31.
Daher ist
(8)		Ai = -f o;0384	^3= + 0,0121m
	A., = + 0,0280	A^ = — 0,0053 ,
und es wird
(9)		[AA^] =	0,00924 ,

§ 2. Fünfeck von C. F. Gauß.

251

nahezu übereinstimmend mit dei- Berechnung aus (7), wonach [JiXg] = 8,0^ : 6891 = 0,00929.

Zu // = 1 gehört zufolge der Ausgleichung 0,00924 als mittleres Fehlerquadrat, somit wird der

m. F. der Winkelbeob. = + 1/0,00924 = + 0;096 = ± 6"

(10)

•n Ti 1)

Seitenbeob.

±y^

00924

40

= + 0,015m.

Jedoch ist diese Bestimmung sehr unsicher, daher eine Über- einstimmung mit den Schätzungen in (l) nicht zu erwarten ist. Die definitiven Dreiecksdimensionen werden endlich:

.^ 1 = 20» 55' 3" Seite 2 • 3 = 103,682 m (11) „2= 33 22 44 „ 1-3 = 159,775

„ 3 = 125 42 13 „ 1-2 = 235,825 .

Wir überlassen es dem Leser, die Gewichte und mittlem Fehler dieser Größen nach IV, S. 246, selbst zu berechnen.

Beispiel. Ausgleichung eines Fünfecks der hannover- schen Gradmessung von C. F. Gauß.*)

Das Ergebnis der Stationsausgleichungen war:

(1) Station Falkenberg.

Wüsede .... 187" 47' 30';311 + (0)

Wulfsode ... 225 9 39,676 + (l)

Hauselberg . . 266 13 56,239 + (2) - Breithorn ... 274 14 43,634 + (3 ).

Station Breithorn. Falkenberg . . 94 33 40,755 + (4) Hauselberg . . 122 51 23,054 + (5) Wilsede .... 150 18 35,100 + (6). ^

*) C. F. Gauß' Werke, Bd. IV: Supplem. theor. comb. etc. 1826, S. 87 — 92.

252 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

(l) Station Hauselberg.

Falkenberg 86» 29' 6';872 + (7)

Wilsede 151 37 9,624 + (8)

Wulfsode l^<9 2 56,376 + (9)

Breithom 302 47 37,732 + (10).

Station Wulfsode.

Hauselberg 9 5 36,593 + (11)

Falkenberg 45 27 33,556 + (12)

Wilsede 118 44 13,159 + (13).

Station Wilsede.

Falkenberg 7 51 1,027 + (14)

Wulfsode 298 29 49,519 + (15)

Breithom 330 3 7,392 f (16)

Hauselberg 334 25 26,746 + (17).

Gegeben ist ferner:

Wilsede — Wulfsode = 22 877,94 m.

Für jede Station sind diese Angaben als das Ergebnis einer einzigen Beobachtungsreihe aufzufassen, die aber mit gi-oßer und für alle Stationen gleicher Genauigkeit angestellt wurde. Die An- gaben sind ferner so gewählt, daß sie zugleich die südwestlichen Azimute der betreffenden Seiten näherungsweise bezeichnen; füi' unsere Aufgabe selbst haben nur Differenzen der Richtungsangaben Interesse. Wir suchen nun die Verbesserungen der letztem, so daß also die Differenzen der verbesserten Richtungsangaben die Bedingungsgleichungen erfüllen. Den Richtungsangaben der vor- stehenden Übersicht sind bereits die Verbesserungen symbolisch beigefügt.

Genau genommen muß den Angaben für jede Station eine unbestimmte Größe »j, u^ usw. beigefügt werden, die man aber kurzer Hand wegläßt, da sie doch in den Bedingungsgleichungen, wo nur Winkel eingehen, herausfällt.

Aus der Anzahl der beobachteten Richtungen und der Anzahl der zur Konstruktion nötigen Richtungen findet sich, daß sieben überschüssige Messungen vorhanden sind, die Richtungsbeobach- tungen mithin sieben Bedingungsgleichungen erfüllen müssen.

§ 2. Fünfeck von C. F. Gauß. 253

Betrachten wir einstweilen das Netz als auf einer Ebene liegend, so muß zunächst im Viereck HW.BF die Winkelsumme jedes der drei Dreiecke W^EF, FHB und BHW. gleich 180° werden. Sind diese drei Bedingungen erfüllt, so wird auch die Winkelsumme von FW-B^ welches die Summe der ersten drei Dreiecke ist, gleich 180". Indessen ist damit die Anzahl der Be- dingungsgleichungen nicht erschöpft. Denken wir uns nämlich die Dreiecke W\ HF und FHB den beiden ersten Bedingungsgleichungen entsprechend angenommen, so wird für das Dreieck HB W^ (und damit auch für das Dreieck F W- B) die beobachtete Winkelsumme

schon null, wenn nur die Visuren von T^^ nach B und von B nach W^ parallel laufen. Sie sollen aber zusammenfallen, also es muß H Wf = H W.' werden. Dazu ist erforderlich, daß

HB HF _ HB HWj HB HF _

HF ' HWi~ HW] ° ®^ HB ' HF ' HWi~^ oder

, N sin HB Wj sin HFB sin H TT, F _

^ -^ sin BWfH' ain FBH' sin W^ FH ~ ^

ist.

Dies ist die vierte Bedingungsgleichung des Vierecks; man nennt sie eine Seitenbedingungsgleichung zum Unterschiede gegen die drei vorhergehenden Winkelbedingungsgleichungen.

Berücksichtigen wir jetzt auch, daß das Netz nicht in einer Ebene, sondern angenähert auf einer Kugelfläche liegt, so ändert sich an der vorhergehenden Betrachtung nur das, daß die Winkel- summe der Dreiecke = 180°+ sphär. Exzeß wird, und daß in der Seitengleichung an Stelle der Seite der Sinus der Seite (ausgedi-ückt in Bruchteüen des Radius), also z. B. an Stelle von HB jetzt sin HB^ tritt, womit aber wieder die Gleichung (2) entsteht.

254 Viertes Kapitel. Kon-elatenausgleichung.

VVii- haben nun für das Dreieck W-HF:

<^ Wf = 33« 25' 3081 + (14) — (17) ^JT = 68 8 2,752— (7)+ (8) <^F = 78 26 25,928— (0) -f (2)

Summe = 180 0 2,961— (0)+ (2) — (7) + (8) + (14) — (17), Theor. Summe = 180 0 1,919 *) ;

daher ist (3) 0

+ 1,042 - (0) + (2) - (7) + (8) + (14) - (17).

Ebenso wii-d füi- das Dreieck FHB, dessen sphärischer Exzeß = 0';202 ist:

(4 ) 0 = - 1,368 - (2) + (3) - (4) + (5) + (7) - (10), imd für das Dreieck W-BH mit dem sphärischen Exzeß = 0"321:

(5) 0 = - 0,813 - (5) + (6) - (8) + (10) - (16) -f (17).

Die Seitenbedingungsgleichung gibt logarithmiert: log sin(27'>27'12"046 — (5) -f- (6)) + log sin ( 8 0 47,395 — (2) -|- (3)) + logsin(;33 25 34,281 + (14) — (17))

— log sin ( 4 22 19,354 — (16) + (17))

— log sin (28 17 42,299 — (4) -f (5))

— log sin i;78 26 25,928 — (0) -f (2))

daraus folgt, alles in Einheiten der 7. Dezimalstelle ausgedrückt: 0 = + 25 + 4,3(0) - 153,9(2) + 149,6(3) + 39,1(4)

?

= 0:

(6)

— 79,6(5) + 40,5(6) + 31,9(l4) + 275,4(16)— 307,3(17).

Die Seitenbedingungsgleichung kann man auch aufstellen, indem man sich jedes Dreieck mittels des Legendreschen Theorems auf die Ebene übertragen denkt. Dann ist also von jedem Dreiecks- winkel ein Drittel des Exzesses des betreffenden Dreiecks abzuziehen.

Das Viereck FW^W^^H liefert ebenfalls drei Winkel- und eine Seitenbedingungsgleichung, doch reduzieren sich die erstem

*) Die Exzesse sind von Gauß mit Walbecks Abplattung 1:302,78 des Erdellipsoids berechnet; die große Halbachse ist dazu aus der Be- dingung, daß der Meridianquadrant 10000000 m betragen soll, abgeleitet worden.

§ 2. Fünfeck von C. F. Gauß. 255

auf 2, da die Winkelgleichung für das Dreieck FHW^ bereits beim vovbergebenden Viereck aufgestellt wurde. Die beiden neuen Winkelgleicbungen werden aus den Dreiecken FUW^^ und SW^^ W. mit den sphärischen Exzessen l"257 und l'^295*) und den Wider- sprüchen + 1,773 bzw. — 0,750 erhalten. Die Seitengleichung ergibt sich aus der Bedingung:

HW.. HF HW, _

HF HW; HW,.

man findet hiera us :

(7) sin W^FH sin HW;F sin H W,^ W,- _

^ ^ sinH Tr„ F ' sin W^FH ' sin TP"„ W;H~

Der Widerspruch dieser wie oben umgeformten Gleichung ist — 3 nach Gauß.**)

Wir stellen nun alle sieben Gleichungen zusammen, multipli- zieren aber vorher die Winkelgleichungen mit 100, um nicht zu verschiedene Werte der Korrelaten zu erhalten, was immer eintritt, wenn die Koeffizienten aller Verbesserungen in einzelnen Gleichungen sehr klein im Vergleich zu denen anderer Gleichungen sind. Man hätte zu diesem Zwecke auch die Seitengleichungen durch 100 dividieren können.

Die Summe aller Bedingungsgleichungen wurde einfach dux'ch Addition s^ebildet.

*) Die Nachrechnung der Exzesse ergab für die Dreiecke FHB und HW^W; die Gaußschen Werte, für die Dreiecke W/HF, W^BH und FHW^^ wurde der Reibe nach erhalten: 1,918, 0^320 und 1,258. Die kleinen Unterschiede sind nicht dadurch zu erklären, daß bei der Nachrechnung Bessels Elemente des Erdellipsoids benutzt wurden.

**) Während die Nachrechnung mit 7-stelligen neueren Logarithmen- tafeln bei der ersten Seitengleichung den von Gauß angegebenen Wider- spruch -J- 25 lieferte, fand sich mit denselben bei der zweiten Seiten- gleichung als Widerspruch — 2. Dieser Wert wurde auch erhalten, wenn von jedem Winkel ein Drittel des Exzesses des zugehörigen Drei- ecks abgezogen wurde. Auch mit 10-stelligen auf 8 Stellen abgerundeten Logarithmen ergab sich als Widerspruch — 2; rundete man sie jedoch auf 7 Stellen ab, so wurde der Widerspruch gleich — 3. Zu demselben Werte kam man auch, wenn man alte 7-stellige Logarithmentafeln von Vega, bei denen die Bogen um 1' fortschreiten, benutzte. Diese gaben auch den Wert — 3, wenn ein Drittel des Exzesses bei jedem Winkel in Abzug gebracht wurde.

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M		OS	Hl	M-	H^			-^ — ^
O»	Ol	o	o	o	o			h-'-
J»	H*	j-a		o	o			-^
"bs	"o	bs
+	1	+	1	1	+	+	1 Hl
(^		lO	-3	00	o	~i	OS	s
_o	OS	5"	o»	H»	>*>■	-3	C5
V	o	"o	"b	OS	ta	OS	00
II	«	II	II	II	11	II	11
o	o	o	o	o	o	o	o

to

Hl <n

§ 2. Fünfeck von C. F. Gauß.

257

Hieraus folgen die Normalgleichungen, indem man füi- die Verbesserungen auf der ersten Station setzt:

(9)

lOOA-,

+

(0) = •

(1)= • -100k,

(2) = — lOOk^ + 100^2 + 100^3

(3) = 4- lOOA-i

und ebenso für die Verbesserungen auf den andern Stationen. Für jede Station ist bei gleichen Gewichten die Summe der Verbesse- rungen gleich null, bei ungleichen Gewichten ist stationsweise i9^] = 0.

4,3Ä-6+ 4,3 Ä;.

• - 24,2 Ä, — 153,9Ä;6+ 19,9Ä^ + 149,6^6

	«o	IM O	>t5	Ci	CO (M	_l
^^	CO	o» «o	05	Ci	CO o	■<1<
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		+ 1	+ +	1 1	+
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zo	(M <M	(M		1-1	1-1
	+	1 1	1		+ 1	+

*) In den von Gauß angegebenen Normalgleichungen, Werke IV, S. 90, befinden sich zwei Fehler: in der 6. Gleichung ist der Koeffizient

He Im er t, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 17

258

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Die Zahlen rechts vom dreifachen Striche sind Summen. [pf^i [if]: b'fli ■ • • ^^ ßi^^ Funktion der Beobachtungsgrößen, von der später die Rede sein wird.

Die Auflösung nach dem zweiten Verfahren, S. 151, § 7, III, ergibt die nachstehenden Gleichungen:

d

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von F 226 868 anstatt 224 868, und in der 6. und 7. müssen die Koeffi- zienten von G und F 16 714,1 anstatt 16 694,1 heißen.

§ 2. Fünfeck von C. F. Gauß.

Hieraus folgen die Werte: Jc^ = + 0,00224 . 6

259

, . ^9 = — 0,00344 . 1

(12) '

A-g = + 0,00088 . 2

1c^^-\- 0,00170.9

/.•5 = + 0,00323 . 6 ^6= — 0,00021.4 l\ = + 0,00549 .

Setzt man diese Werte in die Korfelatengleichungen (9) ein, so ergeben sich die Verbesserungen:

(13)

(0) = — 0':065

(1) = -L 0,213

(2) = — 0,339

(3) = -{- 0,193

(4) = — 0':233

(5) = -}- 0,070

(6) = + 0,163

Damit wird

(14)

('7)= + 0';481

(8) = — 0,407

(9) = — 0,021 (10) = — 0,053

(ll; = -f 0':219 (12} = — 0,502 (13) = + 0,282

[XX] = 1,230.

(14) = 4- 0':256

(15) = — 0,164

(16) = — 0,230

(17) = + 0,138,

Die Berechnung aus den reduzierten Xormalgleichungen (11) liefert dafür

[XX] = 136,8 • 0,002280 -f- 131,7 • 0,002469 -\ = 1,2303

in Übereinstimmung mit (14).

Der mittlere Fehler einer Eichtung der Stationsausgleichimgen ergibt sich mithin zu

(15)

.=l/i^

230

± 0-419;

der mittlere zu befürchtende Fehler dieser Bestimmung ist nähe- rungsweise

+ o':ii2.

0';419

~ |/2 • 7

Für die acht abgeleiteten Seiten ergibt sich nach der Aus- gleichung:

log FTFi = 4,5574997 log i^'R^„= 4,5474352 logFH =4,3309672 logFB =4,4275949

log S'TF, = 4,5810262

log a^TF'„= 4,3755218

log 5 TF^ = 4,6393859

logBH =3,7994480, 17*

260 Viertea Kapitel. Korrelatenausgleichung.

wobei die Rechnung auf verschiedenen Wegen nur Unterschiede bis zu einer Einheit der siebenten Stelle zeigte. Angegeben ist umstehend das Mittel.

Wir berechnen nun insbesondere die Seite FB nebst ihrem mitt- lem Fehler, wobei wir die Seite WjTr^ als fehlerfrei betrachten wollen. Unter Anwendung des Legendreschen Satzes ist für FB in Metern:

(16) FB = 22 877,94 '"l^fÄ" «^^'iÜ^i^W;'-^:^:^; ^ ^ sin {WiF TF„ — 0';652) sin (FB Wi — 0';814) hierin ist

FW^Wi — Q",Qb2 = 73"16'38';951 — (12) + (13) = 73n6'39';735 . WiFW^— 0,652 = 37 22 8,713— (0) -|- (1) = 37 22 8,991 BWiF — 0,814 = o7 47 52,821 + (14) — (16) = 37 47 53,307 FBWi — 0,814 = 55 44 53,531— (4)+ (6) = 55 44 53,927.

Damit ergibt sich

, . FB = 26 766,67 ra bzw. 26 766,70 m*)

(17) ' ^

ohne mit

Berücksichtigung der Verbesserungen nach der Ausgleichung. Man findet ferner aus (l<3):

= + 0,03899

= + 0,16991

fj\\/} fj \ ± ]

(18)

+ 0,16731

+ 0,08836

Diese Differentialquotienten sind die /' in der frühern Bezeich- nung; es folgt als Summe der Produkte der /' und derjenigen Koeffizienten der ersten Bedingungsgleichung, die sich auf die gleiche Richtung beziehen:

[p/'J = _ 100 • 0,08836 = - 8,836.

Für die zweite bis fünfte der Bedingungsgleichungen werden die Produktsummen [?/"], [>*/"], • • •:

-f 13,092, - 0,260, -{- 7,895, + 3,899 *) Gauß gibt als ausgeglichenen Wert von FB an: 26 766,68 m.

dFB	dFB
d (13) ~	C(12)
dFB	dFB
a(o)	a(i)
dFB	cFB
a(14)	a(i6)
dFB	dFB
a(4) ~	2(6)

§ 2. Fünfeck von C. F. Gauß. 261

lind fiir die sechste und siebente:

4,3 ■ 0,16991 + (39,1 — 40,5) 0,08836 -|- (31,9 — 275,4) 0,16731 = — 40,133, (4,3 -f 24,2) 0,16991 + (28,6 — 7,5) 0,03899 + 31,9 • 0,16731 = + 11,002.

Die Summe aller, d. i. — 13,341, stimmt mit der aus der Summenbedingungsgleichung berechneten Summe [sf] überein.

Durch die Auflösung der Normalgleichungen sind die zur Be- rechnung des reziproken Gewichts nötigen Größen bereits erhalten.

Ist

(19) ^>^5=^yr^^,

so gibt die Übersieht (ll) für II den Ausdruck:

8,836 • 0,00014727 + 10,147 ■ 0,00019026 -| \- 13,448 • 0,0029305

oder

(20) II = 0,049114; dagegen ist

1 = 2) 0,03899* + 0,16991^+0,16731--!- 0,08836*} oder

(21) 1 = 0,132380.

Mithin wird das Quadrat des mittlem Fehlers von dem ohne Rücksicht auf die Ausgleichung berechneten Werte von J^£ = 26 766,67 m gleich

(22) fAy0,132380 = + 0,152 m,

und von dem mit Rücksicht auf die Ausgleichung berechneten Werte von FB = 26 766,70 m gleich

(23) fi )/(0,132380 - (»,049114) = + 0,121 m.*)

Den ausgeglichenen Wert von FB erhält man auch nach V, S. 247, zu (26 766,67 + [fX]) m, wo

[A] = [pfV'\ + kßh + • • •

= — 8,836 ■ 0,002246 — 13,092 • 0,003441 = + 0,030

oder auch wo

= — 0,00014727 • 136,8 — 0,00019026 • 131,7 -| = + 0,030

ist.

*) Eine Kontrolle für I — 11 würde sich ergeben haben, wenn nach Anleitung von S. 247 (9) und (10) verfahren worden wäre, indem dann bei Anwendung des Gaußschen Algorithmus die letzte Ableitung von (fs') ebenfalls I — 11 ergeben hätte.

262 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

§ 3. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen, von deren Unbekannten Bedingungsgleichungen zu erfüllen sind.

I. Reduktion auf vermittelude Beobachtungen. Die Auf- gabe ist bereits auf S. 51/52, § 5, IV, besprochen worden.

LFnter Umständen kann die Ausgleichung mit Vorteil da- durch geschehen, daß man die 6 Bedingungsgleichungen be- nutzt, um (9 Unbekannte aus den den vennittelnden Beobach- tungen entsprechenden Fehlergleichungen zu eliminieren; diese enthalten alsdann (m — ö) Unbekannte und sind in gewöhn- licher Weise auszugleichen.

Zur Erklärung diene ein fingiertes Beispiel.*) Es seien die Fehlergleichungen:

Ai = — 1-f X -\- y -\- z Gew. 1

(1) ).,= -li-2o:-3y • „ 1 X,= -2 ■ • +r „1

und die Bedingungsgleichungen:

(2) 0=-hl-f-^ + 2/-f~-; 0 = -3.-h2/-^ gegeben; aus letztern hat man

(3) , = y-S^ x = -2y + 2. Damit geben die Gleichungen fl):

(4) Ai = -2, ;.,= + 3-7y, A3=-5-f2/.

Die erste Gleichung enthält y nicht mehr; X^ erscheint daher als ein wahrer Beobachtungsfehler.

Die Xormalgleichung für das System (4) vermittelnder Be- obachtungen wird: 50 y = 26, woraus sich ergibt

2/ = + 0,52, jn„2= 0,02/11- Gew. 50. , - Damit ist nach (3):

' ^ = — 2,48, ft.2 = 0,02,u- „ 50

x = -\- 0,96, u/ = 0,08 ,u- „ 12,5 .

*) Entlehnt aus Hansens Werk: Von der Methode der kleinsten Quadrate. (Äbh. d. Königl. Sachs. Ges. d. Wissenschaften zu Leipzig 1867, 8. Band, S. 658.)

§ 3. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen. 263

Die Fehler Ag und X.^ werden — 0,64 bzw. — 4,48 und die

Summe ihrer Quadrate wird 20,48. Da.sselbe ergibt die Rechnung

aus \ll\ = 34 mit Hilfe der Normalgleichung; man hat

26- ^ + ^3^= 34 ^-^-=20,48.

Der mittlere Fehler der Ge^vichtseinheit wird hiernach:

'2M^ = + 4,53.

(6) ^ = ±1/2^1

Dem ursprünglichen Charakter der Aufgabe mehr entsprechend ist es übrigens, bei der Berechnung von ft auch X^ zu berück- sichtigen; man hat alsdann:

(7) . = + l/|Ü = + 3.80.

Die Reduktion auf vermittelnde Beobachtungen kann sich auch (m — a) neuer Unbekannter bedienen, die mit den m Un- bekannten so zusammenhängen, daß dieeBedincrungsofleichunffen identisch erfüllt sind, wenn die m Unbekannten durch die (m — ü) neuen ausgedrückt werden. Lautet z B. die einzige Bedingunffs- gleich ung p -\- x -\- y = 0, so kann man für eine neue Un- bekannte II setzen:

p — u V-\- t^

Anstatt auf vermittelnde Beobachtungen kann man auch auf bedingte Beobachtungen reduzieren, indem man aus den {n -\- (?) Gleichungen (1) und (2) die m Unbekannten eliminiert und damit [n + (? — ni) Gleichungen zwischen den Verbesse- rungen X aufstellt.

II. Direktes Verfahren. Es seien w Fehlergleichungen und (? Bedingungsgleichungen mit m Unbekannten gegeben:

l^= — \-\- a^x + \^j + c^2 -\ Gew. g^

A2 = — ^2 + «2^ + hy + ^2^ ^ V 9-2

(1) A3 = - ^3 + a^x + \y + ^3^ H „ g-i

K= -k^ «n« + Ky + t„^ + • • . „ g„.

^ = Po + 2h^+P2y +ih^-\ —

(2) 0 = qQ+ q,x + q,^y + q^2 -\

264

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Die Bedingungen des Minimums für [AA^] mit Rücksicht auf die Gleichungen (2) lassen sich aus dem Ausdrucke

[kXg] + 2I.\ (po ^PiX-\- p^y + p^z -\ )

(3) + ^^"2(50+ ?i^ + ^2?/ + ^i3^+ • • •)

durch Differentiation nach x,y,z, Es ergibt sich:

entwickeln; vergl. S. 113.

(4)

[khg] + l\p^ + k^q^ + • • • = 0

Setzt man hier die Ausdrücke für A aus (1) ein und fügt man diesen m Gleichungen die 6 Gleichungen (2) hinzu, so entstehen die Gleichungen:

{aa)x -\- (ah)y + {ac)z + {ah)x + {hh)y + {hc)z-]- {ac)x -\- {hc)y + {cc)z +

(5)

p^x + p^y + jj^z + ■

+ PiK+ 2ih-^ ■	. = (al)
+ P2K + a^A + ■	• = (60
+ Pzh + ^3^+ •	■ = icl)
.	= -Po
	= -2o

welche wir wieder das Normalgleichungssystem nennen wollen, da es ganz den frühem Systemen dieser Art entspricht, abgesehen von dem unwesentlichen Umstände des Fehlens einiger quadratischer Koeffizienten. Die Auflösung nach X, y, z, . . . A\, /fg, . . . kann in der Regel nach irgend einer der früher bei vermittelnden Beobachtungen angegebenen Methoden erfolgen; vergl. insbesondere S. 148 u. f., § 7. Über eine Ausnahme, wenn die vermittelnden Beobachtungen allein noch nicht die Beobachtungen bestimmen, siehe den Schluß des folgenden § 4.

Die Entwicklung der Formeln für die reziproken Gewichte der Unbekamiten und von Funktionen derselben erfolgt eben- falls ganz in der bei vermittelnden Beobachtungen angegebenen Weise; vergl. S. 103, § 1. III und S. 180, § 9, I.

§ 3. Vermittelnde Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen. 265 Man erhält in der üblichen Bezeichnung:

(6) ^/=fi^^].l, .V==^^^2-2v ^V= f*^^3.3r • • •

+ 2F,F,Q,.,+ ..--^2F,F,Q,.,+ ..-].

Zu (7) ist zu bemerken, daß (- ^,„ + i.,„ + i), {- Qm + ^.m^^), ■ • ■ positive Größen sind, wie sich auch aus dem folgenden ergibt. Bilden wir unter Beschränkung auf m = 3 und 6 = 2 nach dem Gaußschen Algorithmus

aus dem Schema:

(9)

{aa)	{ab)	{ac)	Pl	'^ 1	(«0	F,
(ab)	{bb)	{bc)	Pi	«s	■ {bl) 1	Fi
{ac)	{bc)	{cc) j	Ps	&	{et)	F, 1 '
Pi	Pi	Ps	*	*	-PoiK = o
ii	«8	?s	*	* 1	— 2o	F, = Q

das Schema:

{aa)	(ab)	{ac) p^	2i	{al) 1 I^
	(&&•!)	(6c. 1) 0,.l)	fe • 1)	{bl-1)	(^« • 1)
		(cc.2) (P3.2) 1	(24 • 2)	{cl.2) 1	(^3 • 2)
		-li'i'}	-iPi)	-(^0-3)	(F, • 3)
			-{qq-1}	~(2o-4)	{F,-i)

(9*j

so ist auch:

In (9*) ist entwickelt:

{F, . 1)' _^ {F, ■ 2)

(F, . 3)* {F, . 4)

(11)

to} = 7rfv +

{aa)

(cC-2) (Pi)] {fjTg.

i}^\

1|/"

(fefc-1)

+

(cc ■ 2)

{»gl = ^L2i I CP2-l)(g2-l) _^ (ä-2)(5s-2)

(««) ' (b6-l) ' (cc-2)

Man erkennt^ daß [pp], {(J_(l ■ 1} positive Größen sind.

266 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Durch Hinzutreten der Bedingungsgleichungen (2) zu den Fehlergleichungen (1) vermindert sich, wie Formel (10) zeigt, das reziproke Gewicht einer beliebigen Funktion F der Un- hekanjaten — wie es ja nicht anders sein kann, da die Glei- chungen (2) eine vermehrte Kontrolle herbeiführen.

Der mittlere Fehler der Gewichtseinheit wird

(12) ^-±'Vr

[XX]

m-\- ß^

wenn n Beobachtungen (Fehlergleichungen), m Unbekannte Xjy, z, .. . und 6 Bedingungsgleichungen gegeben, also n — m -j- ö überschüssige Beobachtungen vorhanden sind.

Der Berechnung von (AA) aus den einzelnen A steht zur Kontrolle gegenüber die Berechnung nach einer der beiden Formeln, im Anschluß an (!') und (9*):

(13) (A A) = {II) - (al)x - (bl)y- {cl)z+Poh + Qoh 5 (AA) = (11) - +

(aä)	(bl. (bb	1)' •1)	{cJ. {cc	2) = ■ 2)
iPo ■ 3)^	' +	(2o-	ir
IPP)	{qq	•!}■

Die Gleichungen (2) bedingen hiernach eine Vergrößerung von (AA); in der Tat muß (AA) gi'ößer werden, weil sich ,a durch das Hinzutreten der Gleichungen (2) zu den Gleichungen (1), theoretisch betrachtet, nicht ändern darf, und sich dadurch doch der Nenner der Formel für [i um 6 vergrößert hat.

In der 1. Auflage dieses Buches, 1872, ist das System (5) in der Weise entwickelt worden, daß die Bedingungsgleichungen (2) als Fehlergleichungen aufgefaßt wurden, indem man also linker Hand A anstatt null setzte. Schließlich wurden die Gewichte ins Unendliche wachsen gelassen. Vergl. hierzu auch Seidel, Astr. Nachr., Bd. 84, 1874, Nr. 2005, Sp. 193 u. f. (Diese Entmck- lungen können vielleicht von Nutzen sein, wenn Beobachtungen von sehr großem und sehr kleinem Gewicht in dieselbe Ausgleichung eingehen.)

Die neue Darstellung ist einfacher.

Beispiel. Vergl. S. 262.

Die Fehlergleichungen seien wieder:

§ 3. Vermittelnde Beobachtungen mit ßedingungsgleichungen. 267

Aj^= — 1-|- X -\- y -{- s Gew. 1

(1)

h

1 -{- 2x — oy

l,= -2

+

und die Bedingungsgleichungen:

0 = -3 • +2/--

(2)

Die Normalgleicliungen geben die folgende Übersicht; zur Be- rechnung der Gewichte von rr, ?/, ~ und der Funktion x -\- y -\- 3 sind noch vier Vertikalspalten angehängt.

(8)

X	y	z i \ i	K \	Konst., {x)	{y)	(^)	{oc-\-y+z)
+ 5	— 5	+ 1	+ 1	*	+ 3	+ 1	*	*	+ 1
— 5	+ 10	+ 1 1 +1 1 +1	— 2	*	+ 1	*	+ 1
+ 1	+ 1+2	+ 1|-1	+ 3	*	*	+ 1	+ 1
+ 1 +1 +1 * *	— 1 *	«	»:	«
*	+ 1	— 1	*	*	+ 3 j	*	«	*	*

Hieraus folgen nach dem Gaußschen Algorithmus die reduzierten Normalgleichungen :

(9)

X ^ y z	^1 1 h	Konst.j^ {X) (y) {z)	{x+y-\-z)
+ 5	-5 +1 +1	*	+ 3	+ 1	*	*	+ 1
	+ 5	+ 2	+ 2	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1	*	+ 2
		+ 1 * • - 1,4	+ 2 !l— 0,6 — 0,4	+ 1	*
		— 1 —0,4	— 2	-0,6	-0,4	*	— 1
		— 2	+ 6,4	-0,8	-0,6	+ M	*

oder

(10)

y + 0,2„- + 0,2Z:j . = + 0,6

y + 0,4 „- + 0,4 /c, + 0,2 Ä-g = + 0,2

g . -l,4A-2= + 2,0

\-^ 0,4Ä;2= + 2,0

268 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

woraus folgt:

;^2=-3,2, Ä-,= + 3,28,

(11)

z = — 2,48, ^ = + 0,52, x = + 0,96.

Ferner wird:

A, = — 2,00, A2= — 0,64, A,^ — 4,48 (12)

[AA] = 24,48.

Nach (13), S. 266, wird:

[AA] = 6 — 3 • 0,96 + 2 • 0,52 + 3 • 2,48 + 1 • 3,28 + 3 • 3,20 = 24,48

und nach (14), S. 26 C:

Also ist

(13) fi = ± y^l^^-o = ± 3,50.

Das reziproke Gewicht wird für

,.,1,1, 0,36 ü,a6 0,64 X gleich -+.+ ^^ 2- = 0,08,

(14)^

		also Gewicht = 12,5;
y	gleich •	1 0,16 0,16 0,36 5 "^ 1 1 2 also Gewicht = 50;
z	gleich •	1 1,96

0,02,

'^ = 0,02,

also Gewicht = 50;

,.,11 1

X ^- y -\- s gleich y + y ' ~ T ' = 0,

also Gewicht = oo .

Das unendlich große Gewicht in der Bestimmung der Funk- tion X -^ y -\- z ist eine notwendige Folge des Umstandes, daß dies Aggregat durch eine Bedingungsgleichung gegeben ist.

Das Normalgleichungssystem (8) läßt sich auch leicht all- gemein auflösen, ohne daß man den Gaußschen Algorithmus be- nutzt; man erhält für das System der Q:

§ 4. Ausgl. venn. Beob. mit Bedingungsglchgn. in zwei Teilen. 269

(15)

	1	-)	3	4	5
1	+ 0,08	— 0,04	— 0,04	+ 0,44	+ 0,40
2 1	— 0,04	+ 0,02	+ 0,02	+ 0,28	+ 0,30
3 '	— 0,04	+ 0,02	+ 0,02	+ 0,28	— 0,70
4	+ 0,44	+ 0,28	+ 0,28	— 1,08	+ 0,20
5	+ 0,40	+ 0,30	— 0,70	+ 0,20	— 0,50.

Hiernach sind also die reziproken Gewichte der Unbekannten x, ?/, z bzw. $1.1= 0,08, $2-2= 0,02, <?3.3 = 0,02 und das reziproke Ge- wicht der Funktion a-^^x + a^y + a^s wird gleich

0,08 «1 2+ 0,02 a,- + 0,02 «3-— 0,08 a^ «3 — 0,08 K^ag + 0,04«, «3,

also fiii' «, = a., = «3 wie es sein muß gleich null.

Wie ersichtlich ist, gestaltet sich die direkte Auflösung des Beispiels viel verwickelter, als die Zurückführung auf vermittelnde Beobachtungen nach S. 262. Es können aber doch Fälle ein- treten, wo die direkte Auflösung von Vorteil ist. Ein wichtiges Beispiel hierzu liefert die Ausgleichung der Dreiecksnetze, bei der allerdings der direkten Auflösung diejenige Form gegeben wird, von der der folgende § 4 handeln wird. Bei Dreiecksnetzen zer- fallen nämlich die Fehlergleichungen stationsweise in Gruppen; die Bedingungsgleichungen enthalten Unbekannte aus mehreren Gruppen: die Elimination einzelner Unbekannten mit Hilfe der Bedingungs- gleichungen würde nun in den Fehlergleichungen die Anzahl der Unbekannten vermehren und die Arbeit verwickeln. Durch die im folgenden beschiiebene Ausgleichung in zwei Teilen ergibt sich bei umfangreichen Aufgaben eine größere Übersichtlichkeit infolge der eintretenden Gliederung.

Praktische Beispiele, die sich sehr einfach gestalten, bieten die Ausgleichungen der Messungen auf trigonometrischen Stationen mit An- schlußzwang. Yergl. hierzu im 8. Kapitel § 6, V.

§ 4. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen, zwischen

deren Unbekannten Bedingungsgleichungen bestehen, durch

Ausgleichung in zwei Teilen.

I. Erster Teil. Wir gleichen die vermittelnden Beobach- tungen ohne Rücksicht auf die Bedinffuncpscrleichunoren aus.

270 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

setzen aber einstweilen voraus, daß die vermittelnden Beobach- tnngen allein auch eine vollständige Bestimmung ihrer Un- bekannten enthalten. Das System der reduzierten Normal- gleichungen, welches nun dieser erste Teil der Ausgleichung ercribt und welches ein demselben vollständiges äquivalentes Gleichungssystem darstellt, wird folgende Form erhalten:

X -f u^y -\- u^,' 2 -\- al t = Xi Gew. [aa)

2 + yri= Z3 „ icc ■ 2) i=U „ (dd-?j),

wenn wir mit der Bezeichnung an S. 125, (20*), anknüpfen und wie dort nur vier Unbekannte voraussetzen.

II. Zweiter Teil. Die Werte x, y, z, t sind, da die Be- dinaunssgleichunffen unberücksichtigt geblieben, noch nicht die vollständigen Werte der Unbekannten Bezeichnen wir diese mit X -\- i,, y -\- Tf, z -\- l, t -\- X, so nehmen die Bedingungs- gleichungen, deren hier drei vorausgesetzt werden mögen, die Form an:

0 = P, + Py{x + I) -\-p,{y + ri) +i?3(^ +t)+ lh{t + ^) (2) 0 = (Zo + (h{x + I) + 52 (y + ^/) + (1-ii^ + 0 + iS + t) 0 = /„-f r,{x + ^) + r,{y -j- tj) -f r,{z +l) + r^{t + r) .

Wir bestimmen nun die geänderten Werte der Unbekannten nicht direkt, weil wir alsdann die Fehlergleichungen des ersten Teiles zuziehen müßten, sondern wir drücken die Unbekannten durch die voneinander unabhängigen fingierten Beobachtungs- werte X aus (§ 11, III, S 21 6 j. Den Verbesserungen ^, 7], ^, t entsprechen Verbesserungen i\, v^, tg, v^ der x nach den Glei- chungen :

(:r + ^)-Fß2'(2/ + '?) + <('^ + 0 + < (^+^) = ;Ki + % G}ew. {aa)

(«^+T^)=Z4+^4 j. {dd-?>), wofür mit Rücksicht auf (1) gesetzt werden kann:

§ 4. Außgl. yerm. Beob. mit Bedingungsglchgn. in zwei Teilen. 271 I + a^ri + «3' ^ + cc^ r = v^ Gew. [aa]

Sind die v gefunden, so lassen sich hieraus i,,ri,t,,t berechnen- man erhält sie auch nach den Formeln (34), S. 129:

^1 " ^2' "^2 — ^^3 "^3 — '^4"''^4 = ^ ,q**^ '«'2-^3"^'3-^4'X= n

wenn «3", u^", /3/" im ersten Teil der Ausgleichung berechnet wurden (was jedoch nur der Fall sein wird, wenn die Gewichte der Werte der Unbekannten von Interesse sind).

Setzt man für die Widersprüche der Bedingungsgleichungen bei Einführung der Ergebnisse x,y,s,t des ersten Teiles:

«*'i = i^o + Ä^' + IhV + Ih^ + PJ (4) w^=qQ + q,x + q.,y -\- q^s i- qj

^h = ^'0 + h^+ '2 y + »3 ^ + *4^

so erhalten die Bedingungsgleichungen (2) die Form: (P) üi^ + Q2V i- ist i- <?4^ + % = 0

»"l i + »*2^ + **3 ^ + »"4^ + *^'3 = ^•

Eliminieren wir nun mit Hilfe des Systems (3*) hieraus der Reihe nach ^, t], ^, t, so erhalten wir:

Pi^\ + (^2 • 1)^'2 + (Ps • 2)v, + (P4 • 3)v^ + tv^ = 0

(6) gi t^i + (^2 • 1) ^2 + (^3 • 2) ^3 + (^4 • 3) ^^4 + «t'2 = ^

r^ Vi + (1-2 • l)v, + (»'3 • 2) ^3 + (r^ • 3)^4 + «<;3 = 0, wobei

(i>2 • 1) = P-2 — «2>1 (6*) (i>3-2)=i93-«3>,-/33"(^2-l)

(Pi • 3) =i>4- «4>i - ^4" (2^2 ■ 1) - y4"'(i^3 • 2)

und entsprechend für q und r. Diese Rechnung läßt sich be- quem schematisch durchführen.

272

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Kennt man bei Auflösung der Normalgleichungen des ersten Teiles die Koeffizienten j9, q, r der Bedingungsgleichungen schon, so kann man die Koeffizienten von (6) auch gleich schematisch durch Anfügung von Vertikalspalten für die p, q, r mit entwickeln. Alsdann geht man nach dem Gaußschen Algo- rithmus über

von dem Schema

(7)

(aa)	(ab)	(ac) (ad) .	\ (al)	j Pi	!Zi	h
(ab)	(bb)	(bc)	(bd)	(bT)	! P^	?2	^i
(ac)	(bc)	(cc)	(cd)	(cT)	1 ^»	2j	rs
(ad)	(bd)	(cd)	(dd)	\ (dT)	Pt	94	»•4

zu dem Schema

(7*)

(aa)	1 (ab) (ac) (ad) 1	(aT) j ^1	2x	'1
0	\(bb-l) (6c- 1)	(bd- 1)1	(&M) (2),-l)	te ■ 1)	('•. • 1)
(cc ■ 2)	(cd -2)	(cl-2) j(p,.2)	(2,-2)	(r,-2)
		(dd-3)'	(dl -5)%,. 3)	(^4 • 3)	(n • 3)

(S)

Die Korrelatengleichungen werden im Hinblick auf (6):

(bh ■ 1)1-, = {p, . 1)1; + (q, ■ l)Jc, -f (>2 • l)Ä-3 (cc . 2) V, = (p, ■ 2)\ + (q, • 2)h + (>-3 • 2)A3 (^rf -3)1;,= (p, . 3)/.-, + (q, ■ 3)Ä-, + (r, • 3)A-3 und die Normalgleichungen:

[PP } ^1 + \PQ. ] h + {pr ] h + «<'i = 0 (9) {pq}h+ {qq}h-\- {qr}h-i-ii;=0

[pr}\+ {qr} l'^ + J /• r } A3 + ic^ = 0.

Hierin ist

(^^l_.PiJ>i I (P8-1)(P.-1) I (Ps • 2) (J>s • 2) , (P4-3)(P4-3) l-'^J (aaj "^ (ft&.l) "^ (cc-2) '^ (dd ■ 3)

f„.,i_Ägi I (i^.-l)(g.-l) , (j^s-2)(g3-2) (P4-3)(g4-3) l^^J (aa) ^ (bb-1) "^ (cc-2) "^ (dd-S)

(9*)

usw.

§ 4. Ausgl. verm. Beob. mit Bedingungsgleicliungen iu zwei Teilen. 273 Nach dem Gaußsclieu Algorithmus wird aus (9) gefunden:

I

(10)

_^: _	l-.	'1 A3 . Konst.
{PP}	[Pa]	1 1
	{22-1}	, {^r-l} {w,.l}
		[rr-2} il {«;3.2}

Nachdem hieraus die /.• berechnet sind, geben die Gl. (8) die V und die Gl. (3*) oder (3**) die ^, rj, t,, r. Zur Auflösung hat man also der Reihe nach folgende Gleichungssysteme zu beachten :

(1), (6) mit (4; und (6*j bzw. (7*), (9) und (10), (8) und (3*) oder (3**).

Man kann auch mit Übergehung der v die ^, 1], ^, t direkt aus den /.' berechnen, indem man die Gl. (8) in die Gl. (3**) einsetzt. Aber dies ist weniger einfach.

Dagegen ist die Berechnung von x, y, z, t überflüssig, da man die w anstatt nach (4) aus den Gleichungen:

«1 = Po + ihXi + {p-2 • i);i:2 + (Ps • 2);r3 + (Pi ■ ^)Xi

(4*) n; = go + q, i, + (ry., • 1);^, + {q^ .^)i,-\- {q, ■ 5)x,

U'-6 = U + '"l ;Ki + ( '"2 • 1) Z2 + ( '"3 •-)lz+{ '"4 • 3) U

berechnen kann, die aus den Gl. (4) ebenso hervorgehen, wie die Gl. (6) aus den Gl. (5). Sind die r berechnet, so ergeben sich alsdann die vollständigen Werte der Unbekannten aus den Gl. (3). Indessen wird man in der Regel ein praktisches Interesse daran haben, die x, y, z, t nach dem ersten Teil der Aus- gleichung allein kennen zu lernen.

IU. Mittlerer Fehler einer Funktion der Unbekannten.

Drücken wir die Unbekannten durch die fingierten Beobach- tungswerte {ji -f v) aus, so gewährt dies den Vorteil, daß wir nur den zweiten Teil der Ausgleichung noch zu beachten haben. Da nun dieser zweite Teil nui' in einer Ausgleichung bedingter Beobachtungen besteht, ist sodann die weitere Rech- nung nach § 2, S. 244 u. f., auszuführen.

Helmert, Atisgleichungsrechming. 2. Aufl. 18

274 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Es seien:

F^, F^, F^, F^ die partiellen Differentialquotienten der Funktion nach den Unbekannten

(11) I ^,ij,^, i und fi} t»} fsf fi die totalen Differentialquotienten

der Funktion nach Xi, X-2, Xs, U-

Während die ersteren sofort durch Differentiation erhalten werden, müssen die letzteren erst abgeleitet werden. Dies ist bereits in § 11, HIB, S. 217, für eine lineare Funktion F ge- schehen (vergl. daselbst die Gl. (8) und (10)). Wir entnehmen daraus leicht, daß man allgemein hat:

(12) /1=F„ U=^iF,.\), U={F,.2\ f,= (F,.3).

Diese Werte sind nun für die f in Formel (7), § 2, S. 246, einzuführen. Man hat mit Rücksicht auf die Xormalgleichungen (9), welche hier an Stelle der Gl. (4), § 2, S. 244, treten:

^/=^Xi-n);

(13)

T = I ff\ = '^A _|_ /a/g I /s/s I tili '/'' {aa)'^ (bb-l) "^ (cc-2) "^ {dd ■ 3)

{aa)^ (bb-l) "^ (cc ■ 2) "*" {dd ■ 3) '

{PP\ {22-11 {rr-2

worin u. a. ist:

(13*)

^-^'> (aa) ^ (bb-l) "•" (cc-2) "^ {dd ■ Z)

_P,F, _j_ {p, ■ 1){F, ■ 1) ^ (p,.2){F,-2) ^ {p,.3){F,.3)

{aa) ' {bb-l) ' (cc-2) ' {ddS)

und {qf ■ l] , [rf ■ 2} sich aus { qf) , { rf] nach dem Gauß- schen Algorithmus mit Hilfe der Normalgleichungen (9) des zweiten Teils der Ausgleichnung berechnen lassen.

Eine Vergleichung mit (9*), S. 272, zeigt, daß man die Größen [jßf], [qf] ^sw. schematisch geradeso wie die Koeffi- zienten der Normalgleichuugen (9) berechnen kann, wenn man jF\ § + jPg tj + -Fg ^ + i^^T = 0 wie eine letzte Bedingungsgleichung behandelt.

(14)

§. 4. Ausgl. verm. Beob. mit Bedingungsgleichungen in zwei Teilen. 275

Ist die Funktion eine der Unbekannten selbst, z. B. x -\- ^^ so ist i^^ = 1, F^ = F^== F^= 0\ im übrigen ist aber die Rech- nung wie im allgemeinen Falle.

IV. Verschiedene Formeln znr Berechnung des mittlem Beohachtungsfehlers jt. Wir wollen bezeichnen mit

e die Verbesserungen der Beobachtungswerte l nach dem ersten Teile der Ausgleichung,

Z die Verbesserungen der Beobachtungswerte l nach der Gesamtausgleichung.

Dann ist allgemein für beliebige Indices von e, X, l, a, h, c, d und g:

e = — l-\- ax+hy ~\- C0 -\- dt Gew.g

^ ^^ X^-l^a(x + ^) + h(y^^^)^c(2-hi) + d(t + r) „ g.

Es wird daher

X = e -\r a^ -\- hri -\- et, -[• dt und

[klg'] = \eeg^^ + [(a| + &>; + c^ + dz^gl

Mit Rücksicht auf die Gl. (3*), S. 271, hat man aber (siehe auch (15), S. 182):

a^ + ?>r; + c^ + dt = ai\ + {b • l)v^ + (c • 2)v^ + {d ■ 3)v^ und daher

[(a| + 6r; + ct + drfg^ = {aa)v,' -\- (hh ■ l)^^^.!. (^^ . 2)V

+ (r?^-3)r/-,

vergl. S. 140, wo (h ■ 1), (c • 2) usw. mit &', c" usw. bezeichnet sind; man hat sich außerdem zu a, h, c . . . den Faktor "j/^ beigefügt zu denken, um die Ungleichheit der Gewichte zu be- rücksichtigen.

Damit erlangt mau die Gleichung:

(16) {ll) = {ee) + [vv],

wobei zur Abkürzung gesetzt ist:

(aa)v,2+ (pi . l)v^^^ {cc ' 2)v^^+ (dd ■ 3)r/= {vv}.

18*

276 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Man kann sowohl diese Summe wie auch (ee) mit Hilfe der Normalgleichungen berechnen; man hat nach § 7, S. 108, bzw. § 2, S. 246:

(17)

K^^J V^V (^aa) (bb-l) (cc-2) (dd-S)' ^""^ {PP} "^ {««-l} "^ {rr.2}

Der mittlere Fehler ^ einer Beobachtung vom Gewicht 1 kann auf dreierlei Art berechnet werden, nämlich nach den Ausdrücken:

Der erste Ausdruck l)erücksichtigt die ganze Ausgleichung, der zweite nur den ersten Teil, der dritte nur den zweiten Teil derselben. Theoretisch genommen müssen die drei Ausdrücke dasselbe ergeben, was der Fall ist, wenn die Proportion:

(AA) : {ee) : {vv] = n — m -\- 6 : n — m : 6 erfüllt ist, wofür man wegen ( 16j einfacher schreibt: (19) (ee) : \vv] = n — m : 6.

Über die Bedeutung des Umstandes, daß die zweite und dritte Formel für den mittlem Fehler erheblich voneinander verschiedene Werte geben, vergl. das 5. Kapitel.

V. Rückblick. Vergleicht man die Formeln des § 4 mit denen von § 3 II, S. 263, so ist unschwer zu erkennen, daß § 4 etwas wesentlich Neues nicht enthält. Die Grleichungen (9) des § 4, S. 272, werden auch bei der Auflösung des Systems (5) im § 3, S. 264, erhalten, nachdem die Unbekannten x, y, z, . . . eliminiert sind. Stillschweigend wurde dies dadurch angedeutet, daß die Summen [pxA^ [P'^l]^ •■•? welche nach TU) § 3, S. 265, und (9*) § 4, S. 272, in der Tat dasselbe bedeuten, auch mit gleichen Symbolen bezeichnet wnrden. Man bemerkt außerdem, daß (^0 • 3) und {q^ ■ 4) in (9*) § 3, S. 265, mit it\ und {w^-l\ in (10) § 4, S. 273, identisch sind; es stimmt daher (AA) nach (14) § 3, S. 266, mit [kl] nach (^16) und (17) § 4, S. 275/276, völlig überein.

§ 4. Ausgl. verm. Beob. mit Bedingungsgleichungen in zwei Teilen. 277

Wollen wir die Formel (13) § 3, S. 26G, für (AA) über- tragen, so müssen wir für x, y, z, . . . nach der Bezeiclmungs- weise des § 4 jetzt a;-|-|, y + ^j ^ -\- ti • • • setzen, während die Symbole Ä^, li.^, ... in beiden Verfahren, abgesehen vom Vorzeichen, übereinstimmen.

Eine eingehende und vielfältige Behandlung hat P. A. Hansen der Aufgabe der Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen angedeihen lassen, zuerst 1831 in den Astr. Nachi-. Band 9, Nr. 202. In Band 16, 1839, Nr. 361 ist u. a. eine direkte Auflösung, sehr ähnlich der unserigen aus § 3, II, S. 263, mit Gewichtsberechnung gegeben. In dem bereits auf S. 262 zitierten Werke von 18G7 greift er die Aufgabe abermals an. Bei der Auflösung in zwei Teilen benutzt er zunächst anstatt der Gl. (3*) die Gl. (3**), S. 271, was umständlich ist; aber später geht er davon ab und wendet im wesentlichen (Suppl. 9, 1868) eine Auflösung wie die des § 4 an, die ich ungefähr gleichzeitig mittels der Theorie äquivalenter Beobachtungen selbständig gefunden und 1872 (in der 1. Auflage dieses Buches) veröffentlicht habe.

J. Zech hat 1857 in der einer üniversitätseinladungsschrift beigefügten Abhandlung „Zur Methode der kleinsten Quadrate" die direkte Lösung mit Gewichtsberechnung im Sinne der Gaußschen Theor. comb, gegeben.

Beispiel. (Vergl. S. 262/263 und S. 266/269.) Die Fehlergleichungen seien wieder:

/lj = — 1+ X -\- y -\- s Gew. 1

(1) X,= -1 + 2j:-?,ii ■ „ 1

>l3=-2 • ■ +Z „1

and die Bedingungsgleichungen:

0 = + 1 + .r + .'/ + ^ (2)

0 = _3 • +y-z',

wir bilden die Normalgleichungen für (l) nach Schema (7), S. 272, und erhalten mit Rücksicht auf die Gewichtsberechnung für die Unbekannten :

278

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

(16)

woraus folgt:

^ ( y		Konst.	1 ^■^ 1 * ,1 ^^	(2/;	K^)
-J-5I— 5	+ 1	+ 3	1+1 •	+ 1	•	•
— 5 +10	+ 1	— 2	1 + 1	+ 1	•	+ 1	*
+ 1 + 1	+ 2	+ 3	1 + 1	— 1	•	*	+ 1

(17)

X y	z	Konst.	P 2 1	{X)	(y)	iß)
+ 5	— 5	+ 1	+ 3	' + 1' *	+ 1	»	•
	+ 5	+ 2	+ 1	+ 2 1+1	+ 1	+ 1	»
	+ 1	+ 2	0 —1,4	-0,6	—0,4	+ 1

Das System der reduzierten Normalgleichungen ist demnach:

x — y + 0,2z [-0,6 Gew. 5

(18) 2/ + 0,4^ = + 0,2 , 5

^= + 2,0 „ 1,

und damit werden nach f4*), S. 273, die Widersprüche:

u-^ = + 1 + 1 . 0,6 + 2 • 0,2 + 0 • 2,0 = + 2,0 «2 = — 3 • + 1 • 0,2 — 1,4 • 2,0 = — 5,6 .

Die umgeformten Bedingungsgleichungen lauten nun nach (17): ri+2f, . +2,0 = 0 • + i-g- 1,4 t'g- 5,6 = 0.

Die Korrelatengleichungen werden hiernach, vergl. (8), S. 272:

(19)

(20)

(21)

h

5 i'2 = 2 7.-^ + Ä-2 , i-s = — 1,4 /ü, :

nimmt man zugleich Rücksicht auf die Gewichtsberechnung, wofür sich die Koeffizienten aus (17) ergeben, so gelangt man damit zu den Normalgleichungen:

	K		Konst.	1 X i	'i/.'	I2j
(22)	+ 1,0	+ 0,4	+ 2,0	+ 0,60	+ 0,40	*
	+ 0,4	+ 2,16	— 5,6	+ 1,04	+ 0,76	— 1,40

§ 4. Ausgl. verm. Beob. mit Bedingungsgleichungen in zwei Teilen. 279 Die Auflösung von (22) ist:

	A-i	/.,	Kon st.	■ix)	(y)	(^)
(23)	+ 1,0	+ 0,4	+ 2,0	+ 0,60	+ 0,40	»
		+ 2,0	— 6,4	+ 0,80	+ 0,60	— 1,40

Daraus folgt:

(23*) /.•! = - 3,28,

also ist nach (21):

(24) v^ = — 0,656 , t'2 = - 0,672 , fg = — 4,480 . Daher wird nach (3), S. 270, mit Eücksicht auf (18):

{x + 0 - {y + r})i- 0,2 (.- + 0 = - 0,056

(25) (y + n) + 0,4 {z + s^) = - 0,472

(^ + 0 = - 2,480, woraus sich ergibt:

(26) .- + J:=- 2,480, y + 7j = + 0,520, o; + 5 = + 0,960.

Für die reziproken Gewichte hat man nach dem ersten Teile der Ausgleichung, Tabelle (17):

(27)

für X

I = ■ ■ y - 1,00

und nach dem zweiten Teile derselben, Tabelle (23):

tux X -\- i ^^ ^ 1,0 '*' 2^ ^ ^'

„ y + V	^^ 0,16 , 0,36 ^.,. " = iTT + ^0 = 0'^4
,, ~^ + ^	11= . +^^; = 0,98

(27*)

Mithin ist:

(28) ft^^.= 0,08ft^ ft;^^=0,02ft^ ft;^. = 0,02^2, Die Verbessei'ungen X der Gesamtausgleichung werden:

Ai = — 2,00 , ^2 = — 0,64 , A3 = — 4,48 ; folglich ist

(29) (n) =24,48 .

280 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Die Summe {vv} aus dem zweiten Teil der Ausgleichung ist nach (2A) gleich 24,48 und nach (2o) übereinstimmend:

{vv} und (Xk) haben gleiche Werte, da die Verbesserungen e des ersten Teiles der Ausgleichung null sind. In der Tat hat man aus (18) und (l):

^ = - 0,4 , ^ = - 0,6 , ~- = + 2,0 und

q = ^2 = f 3 = 0 ;

das letztere auch übereinstimmend aus (II) mittels (17):

(ge) = 6--?--4- t =0.

^ ^ o o 1

VI. Bessels Methode. Bei der Ausgleichung der Dreiecks- netze ist am häufigsten diejenige Methode benutzt worden, die F. W. Bessel 1838 in der „Gradmessung in Ostpreußen" veröfi'entlicht hat. Es ist dabei eine allgemeine Auflösung der Normalgleichungen nötig, die zu den vermittelnden Beobach- tungen allein gehören. Der Aufwand der Rechnung dürfte etwas größer sein, als bei der Methode von Hansen, welche hier in § 4, S. 269 u. f., entwickelt ist.

Die hauptsächlichsten Formeln bei in = 3 und (? = 2 sind folgende. Im ersten Teil der Ausgleichung werden x, y, z nach den Gleichungen bestimmt:

{ad)x -\- {ah)y -\- {ac)z = {al)

(20) ial)x + {hl))y + {hc)z = (hl) (a c)x -\- {h c)y -\- (c c)z = (c l).

Für die Verbesserungen §, i], t. hat man dann, vergl. (5), S. 264, (wobei wir aber jetzt die k negativ nehmen wollen, was auch § 4 entspricht):

{aa)l + {ah)r, + (ac)^ = PiK + lih = ^i

(21) («&)! + (&6)t? + (^hc)t=p^\+qji,= 6^ (a c) I + (& c) 7? + (c c) ^ = p^ l\ + q. /.•., = ög ,

(22)

§ 4. Bessels Methode. 281

Die tc haben dieselbe Bedeutung wie in (4), S. 271. Die 6 sind zur Abkürzung eingeführt.

Wird nun bei Auflösung von (20) zugleich eine allgemeine Auflösung des Systems bewirkt, so sind die Q^ welche zu (20) gehören, gegeben und man kann ansetzen:

?= Ql.3<^l+ Q2.3<^2+ Q^.S^S-

Nach Maßgabe von (21) führt man hier für die <; die Je ein; werden dann die so umgewandelten Ausdrücke der ^, r], t, aus (23) in {2'2) eingesetzt, so bleiben zwei Gleichungen für Jc^ und /.•, übrig, welche von den Xormalgleichungen (9), S. 272^ nicht verschieden sein können:

[pp } \ + {pq } ^'2 + Wi = 0

C. G. Andrae hat 1867 in der „Dänischen Gradmessung", Bd. I*) als Ergänzung die Bereclinung der mittleren Fehler gegeben. (XX) zerfällt wie in (16), S. 275, in zwei Teile, dessen ersten (ee) man entsprechend der veränderten Auflösung der Normaloieichungen summarisch nach der Formel

(25) {ee) = {IT) - {al)x - {hl)y - {cl)z

berechnen kann. Für den zweiten Teil ist der für [vv] in (17), S. 276, gegebene Ausdruck brauchbar.

Für ft^ bleibt die schematische Berechnung wie auf S. 274 {F^'S, -\- F2r]-\- F^^ = 0 als letzte Bedingungsgleichung behandelt). Doch kann man den ersten Teil auch nach der Formel berechnen:

(26) I = F,'Q,., + 2F,F,Q,., + F,^Q,., + • • -.

VII. Besondere Fälle der Aufgabe. A) Die Ausgleichung wird nicht wesentlich anders, wenn die Bedingungsgleichungen einen Teil der in den Fehlergleichungen vorkommenden Un- bekannten nicht enthalten; man hat einfach p, q, r für diese

*) Siehe auch die Besprechung in der Vierteljahrsschrift der Astr. Gesellschaft. 12. Bd., 1877, S. 184 u. f.

282 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Unbekannte null zu setzen. Bei Ausgleichung iu zwei Teilen stelle man zur Vereinfachung der Rechnung diese Unbekannten im ersten Teile den andern voran (vergl. S. 217, § 11, IV).

B) Enthalten die Bedingungsgleichungen mehr Unbekannte als die Fehlergleichungen, so erfordert die Auflösung der Normalgleichungen, falls man den Gaußschen Algorithmus an- wenden will, eine Umstellung in der Weise, daß die Un- bekannten, welche allein in den Bedingungsgleichungen auf- treten, in den Normalgleichungen hinter den /«• zu stehen kommen.

Bei einer Ausgleichung in zwei Teilen bilde man, wie bisher, das dem ersten Teile der Ausgleichung äquivalente System der % und führe dies in die Bedingungsgleichungen ein. Zu den Gleichungssystemen (4), S. 271, oder (4*), S. 273, und (6), S. 271, werden jetzt noch Glieder hinzutreten, die den im ersten Teile nicht vorkommenden Unbekannten entsprechen. Die Aufgabe erhält von da ab die im folgenden § 5 abzuhan- delnde Form.

C) Reichen die vermittelnden Beobachtungen allein zur Bestimmung der in ihren Fehlergleichungen vorkommenden Unbekannten nicht aus, so wird sich das bei der Auflösung der Normalgleichungen nach Gauß' Algorithmus zeigen, indem mau auf Gleichungen stoßen wird, deren Koeffizienten null sind. Bei direkter Lösung nimmt man dann eine Umstellung der Normalgleichungen vor wie bei B.

Bei einer Ausgleichung in zwei Teilen kann man auch ohne Umstellung zum Ziele gelangen (vergl. S. 218, §11, V), wie durch das folgende Beispiel erläutert werden mag. Man gelangt hierbei wieder zu der Aufgabe des folgenden § 5.

Beispiel. Es seien die Fehlergleichungen:

Ai = — 1 + 2a^— 32/ • Gew. 1

^^^ A2=-2 • • +^ „1

und die Bedingungsgleichungen:

0 = + 1 + ic -f 2/ + ^^ ^ ^ 0 = — 3 • -f 2/ — Äf .

§ 4. Besondere Fälle bei Ausgleichungen in zwei Teilen. 283

Wir sehen sofort, daß die Fehlergleichungen ( l) zur Be- stimmung aller Unbekannten nicht ausreichen. Trotzdem bilden wir die Normalgleichungen und fügen dabei rechter Hand gleich die nötigen "Vertikalspalten bei, namentlich auch zur Gewichtsberech- nung für alle Unbekannten:

(3)

1 -^ 1 1	Konst. 1 r) 1 ll	3 , l^)	(y)	(«)
+ 4—6 *	+ 2 — 3	+ 1	«	+ 1	«	«
— 6 +9	*	+ 1	+ 1	! *	+ 1	«
* *	+ 1	+ 2	i + 1	— 1	1 *	*	+ 1

Hieraus folgt:

(4)

X	y ^ i	Konst.	P	9.	1 (aj)	iy)	(^)
+ 4	— 6 *	+ 2	+ ^	*	' + '	«	«
	» *	»	+ 2,5	+ 1	+ 1,6	+ 1	«
	+ 1	+ 2 1	+ 1	— 1	*	*	+ 1

Man hat also die reduzierten Normalgleichungen;

(5)

X — 1,5?/ • = -\- 0,5 z = + 2,0.

Die Fehler e der Gl. (l) werden hiermit gleich null, was auch die Rechnung nach der ersten Formel (17), S. 276, anzeigt:

[ee] = 5-^.-^^0.

Wenn wir als Näherungswert von y null annehmen, so haben wir für die Widersprüche der Bedingungsgleichungen:

(6) u\ = -f- 3,5 , «(-2 = — 5,0 ;

die Bedingungsgleichungen gehen damit nach (4) über in

(7)

t'i+2,5ij + V3+ 3,5 = 0

7j i'g 5,0 = 0.

Sind hieraus die v und r/ ermittelt, vergl. S. 291/292, so geben die Gleichungen:

284 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

(x-\- '0— l,5r; • = 4- 0,5 + yj (8)

(^ + r) = + 2,0 + 1^3

oder auch die Gleichungen:

'E, — 1,5 r] ■ = V. Gew. 4 (8*)

f = ^3 Gew. 1

die vollständige Bestimmung der Unbekannten. (Fortsetzung folgt S. 291 im Anschluß an § 5.)

D) Hansen hat in dem Werke von 1867 u. a. ein Ver- fahren angegeben, welches in den vorstehenden besondem Fällen vielleicht Bedeutung erlangen kann. Er behandelt nämlich bei Bildung der Normalgleicbungen die Bedingungsgleichungen wie Fehlergleichungen mit Gewichten, die nach den Umständen zu wählen sind. Setzen wir im Anschluß an S. 263/264 bei m = 3 und 0 = 2:

{aa}= {aa) + p^p^ + fhOi { ^^ } = (&^) + PiPs + ?222

{ah]=(ab) ^PiP2-^ qiQi ....

(27) ^ ^ {ac]^{ac)+ PiPz + «1 (?3 10^/= ( « ^) — PoPi — % i\

unter Annahme der Gewichte der Bedingungsgleichungen gleich 1, so werden die Normalgleichungen:

[aa]x + {afe}2/ + {ac]z + p-^\-\- (lx\= i«M

{al]x+ {lh]y + {'bc]z + Pi\-\- ^2^2= {^^

(28) I {ac]x+[hc]y-^ {cc]z + p^\ + q^\={cJ]

l\x-\- P^y -\- PzS • ' =—Po

üix + (hy + fhz • • = — %■

Dies System ist von (5), S. 264, nicht wesentlich verschieden, da nur die letzten beiden Gleichungen (5), mit Koeffizienten multi- pliziert, den ersten drei beigefügt sind. Aber es ist leicht zu er- kennen, daß man jetzt im ersten Teil der Auflösung von (28) bei Anwendung des Gaußschen Algorithmus nicht mehr auf quadra- tische Koeffizienten gleich null stoßen wird, wenn die Gewichte der Bedingungsgleichungen passend gewählt sind. Sie sind so an- zunehmen, daß die Fehlergleicbungen allein mit den zugezogenen Bedingungsgleichungen die Unbekannten bestimmen.

§ 5. Bedingte Beobachtungen mit Unbekannten. 285

Im Falle des vorigen Beispiels hätte es auch genügt, für eine der Bedingungsgleichungen /; = 1 , für die andere ^ = 0 zu setzen.

Die Gleichungen (28) können nun auch ohne weiteres zur Be- rechnung der mittleren Fehler der Endergebnisse verwendet werden, wie man leicht erkennt, wenn man (28) lediglich als eine Um- wandlung des Sy^ems (5), S. 264, auffaßt und sich anstatt der rechten Seiten etwa J^^ , jPg , J^3 , 0, 0 geschrieben denkt.

§ 5. Bedingte Beobaclitungeii mit Unbekannten,

I. Reduktion auf bedingte Beobaclitungen ohne Un- bekannte, oder auf vermittelnde Beobachtungen. Im An- schluß an § 5 Y, S. 52, haben wir zunächst:

0 = u\ + i^i Aj -f jP2'^2 + • ■ • + 2'>nK + «1^" + ^«/ H

0 = 11-2 + 21^1 + 53X2-^ h q„K + a.,x -\- k^tj -\- ■ ■ •

0 = tv^-\- 1\ /i^ + ^2 /2 H \- '•„ K+ ^'i^ + hy +■■■

worin

(1*)

^<"l = i^O + 1\ h^P2h+---+ Pjn «•2 = 2o + 5l ^1 + ^2 ^2 + • • • + Üjn «<"3 = '^"O + '"l ^1 + '"2 ^2 + ^ ^„ K

Führt man für x und y Näherungswerte Xq, y^, . . . ein, so treten selbstverständlich zu den tv noch die Glieder ax^, hy^, . . . hinzu, während in (^1) nun die Verbesserungen |, rj,... anstatt X, y, . . . zu substituieren sind.

Durch Elimination der Unbekannten x, y, . . . reduzieren wir die Aufgabe auf die Ausgleichung bedingter Beobach- tungen, und zwar erhalten wir bei 6 Bedingungsgleichungen, n Beobachtungen (denen die l entsprechen) und m Unbekannten alsdann {<3 — in) Bedingungsgleichungen zwischen den l allein. Sind dieselben ermittelt, so folgt für den mittlem Fehler der Gewichtseinheit :

(2) ^=VW1-

286

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Wir können die Aufgabe auch auf vermittelnde Be- obachtungen reduzieren, indem wir z. B. für ^ = 3, m = 2 und w = 4 Aj, Ag, A^ durch A^, x, y ausdrücken. [Jm besser anzudeuten, daß Aj nun zu den Unbekannten hinzutritt, be- zeichnen wir es durch z. Wir erhalten damit die Fehler- gleichungen in der Form:

Ai = — l^ + a^'x + h^y + c^ z

K = — l^ -\- a^x -f Z'g'y + ^i ^

h= - k' + «3'^ + h'y + Ca'^

^4= • • • 0.

Allgemein sind es « Fehlergleichungen mit (m -f w — 6) Un- bekannten.

Welches Verfahren man wählt, wird im speziellen Falle von der Bequemlichkeit der Rechnung abhängen. Oftmals kann auch eine direkte Lösunfj vorteilhaft sein.

IL Direkte Lösung. Lidern [AA^] mit Berücksichtigung von (1) zu einem Minimum werden soll, bilden wir den Aus- druck:

[AA^] — 2k^(w^ -f- 2h ^i-\-lhh-\ ^ 2\An i- a^x + h^ij -\ )

— 2^-2(w'2 + 2i Ai + q-i h-\ \- In ^n + a,x + hij ^ )

— 2^:3(^3 + r^ Aj^ + 7-2 A2 H h >•„ K + «3^ + hy + ■•■)

(3)

und setzen seine partiellen Differentialquotienten nach Aj, A2, . . . A^, X, y, ■ ■ ■ gleich null. Das gibt die Korrelaten gleichungen:

h 9-2 = Pi h + ^2 h + '"2 ^''3 +

(3*)

A„^„ = P.^-i+5„^-2+'-„^''3+- 0 = «lA-i -f a2A-2 + Osh + •

womit die Gleichungen (1) übergehen in:

§ 5. Bedingte Beobachtungen mit Unbekannten.

28'

(4)

■ (2ypU\ + (pqU-2 + (2^>')h +

{pr)l\^{qr)]c,-\-{ry)l-,+

(f^l\-\- a„]c2-\- c'sh-^

Hierin ist:

(PP) =

(pq) =

PiPi ,lhP

+ a^x + \y + + a^x + \y +

• + ti\ = 0

• + iv^ = 0

• + Wo = 0

= 0 = 0

Pl ^1

9i

+

^^2

9i

+ +

+

9n

sPnJln 9n

USW.

Die Auflösung dieses Normalgleichungssystems erfolgt nach § 1, S. 152. Ist man bei Anwendung des Gaußsehen Algorithmus so weit gelangt, daß die T\ eliminiert sind, so er- hält man ein System, das wir symbolisch wie folgt bezeichnen

wollen :

— {aa]x — {al)]y — ■ ■ • -\- [aiv] =0

*^^ -[ah]x-[}}h]y +;6h-}=0

und welches negativ genommen als ein Normalgleichungssystem für die Unbekannten x, y, . . . zu betrachten ist. Verfolgt man den Rechnungsgang, so erkennt man, daß u. a.

\ah

(6)

a IV =

(hh _,_ («8 • 1) (&, • 1)

«1 U\ (rt, ■ 1) (?6"j ■ 1)

+

(«3 • 2) (fcs ■ 2)

irr ■ 2) {a, ■ 2) (tf3 ■ 2)

+

iPP')

ist und [aa] und {hh

(rr-2) positive Größen sind.

Für [l?.g] entwickelt man leicht in derselben Weise wie früher die beiden Formeln:

(7)

[kXg] = — ick,

2y-

aio { aa

{ & ?t' • 1 } bb 1

+

Die Anwesenheit der Glieder ax, by in (1) ist hiernach Ver- anlassung zu einer Verminderung von [/lA^], was auch sein muß, soll andrerseits fi seinen Wert (2) durch Hinzutritt jener Glieder in (1) nicht ändern, da gleichzeitig dadurch eine Ver- minderung des Nenners in der Formel für u stattfindet.

288 Viertes Kapitel. Korrelat enausgleichung.

III. Mittlerer Fehler einer Funktion F von x, y, ... nnd den ausgeglichenen Beohachtnngswerten {l + A). Wir

verfahren im Prinzip wie in früheren Fällen, weshalb hier nur die Hauptmoniente der Entwicklung Platz finden sollen.

Es seien: F^, F^, . . . die partiellen Differentialquotienten der Funktion

nach X, y, . . ., fi,f2,--f„ die partiellen Differentialquotienten der Funktion

nach l^, 1-2, ■ ■ • l„',

man hat daraus die totalen Diff'erentialquotienten von F nach den l abzuleiten. Für ein beliebiges ?. ist:

dli ~ li'^li dl- ^ /2 dl- "^ ^ /" dlf

+ ^iX/^. +^2-ä^; + •■•• Mit Hilfe der Korrelaten gleichungen (3*) ergibt sich daraus, indem man die Werte von ^4 einsetzt :

worin wie früher bedeuten:

Mit Einfühning von Hilfsgrößen Q, die sich in üblicher Weise aus dem System (4) bestimmen (vergl. § 1, S. 103/105), finden wir aber unter Beschränkung auf (? = 3 und m = 2 für l\, k.2, Ä'g, X und y folgende Formeln, vermittels welcher sie durch die tv und damit durch die / ausgedrückt werden:

K + u\ ^1.1+ ^t-2 (?i .2 + u-3 ^1.3=0

^'2 + ^'"i ^1.2+ ^'"2 ^22+ ^^'z (^2.3=0

(9) ^3 + «'1 Q1.3+ "'2 Q2.3 -f- ««'■3 ^3.3=0

^ + ""1^1.4+ ^'"2^2.4+ ^'3^3.4=0

y + «'i ^1 .5 + ^2 Q2.5 + ^3 Qz.6 = 0-

§ 5. Bedingte Beobachtungen mit Unbekannten. 289

Wenn wir in diese Ausdrücke die Werte der iv nach (1*) ein- führen, so erhalten wir:

'17,

Hiermit geht ,, über in: Avorin

L.-{Pf)Q,., + ('//•)(>1.2+ K)^1.3+ ^1^1.4+ ^2<?1.5 ^ = {Pf) Öl. 2 + (?/■) Ö2.2 + (>f ) Ö2.3 + F, Q,., + F, Q,.,

Ls- (pnQ,.^-h (qf)Q,.-s-^ (rnQ,.,i- F,Q,.,+ F,Q,.,. Wir fügen noch bei:

L,- {pr)Q,., + {qf)Q2.,+ hi)Q,.,+ F,Q,., + F,Q,,, h={pf)Q,.,+ iqf)Q2.,+ (.yf)Qz., + F,Q,., + F,Q,,,.

Dieses Gleichungssjstem kann betrachtet werden als die

Auflösung des den Gleichungen (4) verwandten Systems:

(i>i>) A + {pq)L2 + {pr)L., + a^L, + h^L-^ = {pf)

{pq)L^ + {qq)L^ + i.q^-)h + «2^4 + hh = {qf)

(12) (i;/-)Zi+ (gr)4+ (>-r)Z3+ 03^,+ h,L,^{rf)

ayL^+ «2^2+ rtgZg • . = Fl

&1 il 4- &2 ^2 + ^3 4> • • = ^2 •

Nun ist aber nach (11) in ^i'-^, = ^- Q ^ j,:

"^F-F Idl, dl, J \_dl] Sf,J ^lUz, Sf,J

Helmert, Ausgleichungsrechxiuug. 2. Aufl. 19

290 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Bildet man die Summe rechter Haud ebenfalls auf Grund von (11) und beachtet dabei die Gleichungen (12), so ergibt sich:

(14) Q^,^ = {ff) - { (pf)L,i-(qf)L,+ (rf)L, + F,L,+ F,L, \ .

Eliminiert man hieraus mittels (12) unter Anwendung des Gaußschen Algorithmus die L, so folgt:

^ ' Vkf '//' Vpjv '^ (qq-1) ^irr-2) \aa} {bbl))'

Abgekürzt ist:

(15) r^,,,.= I-II; u;. = /i2(I-n),

wobei die Bedeutung von I und II unmittelbar ersichtlich ist.

Wir überlassen es dem Leser nachzuweisen, daß die jetzt gegebenen Formeln mit denen für den speziellen Fall ver- mittelnder oder bedingter Beobachtungen übereinstimmen.*)

Ein einfaches Beispiel gewährt auch der Fall, daß zu bereits ausgeglichenen vermittelnden Beobachtungen noch eine Beobachtung hinzutritt. Die entsprechende Fehlergleichung betrachte man als Bedingungsgleichung und bilde nun einen Ausdruck wie (3), S. 286, nur daß bloß eine Kon-elate auftritt. Füi- diese Aufgabe gab C. F. Gauß übrigens eine elegante Lösung im Art. 35 der Theor. comb.

[V. Zusammeiifassuiig mehrerer Beobachtungen bei der Ausgleiehun^'. Theoretisch ist die gewählte Form der Aus- gleichung gleichgültig für das schließliche Ergebnis. Praktisch wird man die bequemste Form anwenden.

Von diesem Gesichtspunkte aus wird man manchmal ein Aggregat von Verbesserungen A durch ein Symbol A' ersetzen, wenn dieses Aggregat die einzige Verbindung der betreffenden A ist und diese anderweit nicht vorkommen. Es ist dabei nur erforder- lich, das Gewicht von // umgekehrt proportional dem mittlem Fehlerquadrate des Aggregats zu nehmen. Die Normalgleichungen bleiben dann ungeändert. Die Korrelatengleichungen für beide Formen der Ausgleichung zeigen leicht, wie aus A' die einzel-

*) Bei allen Aufgaben mit Bedingungsgleichungen muß man selb.st- verständlich darauf achten, daß nur voneinander unabhängige Gleichungen benutzt werden; andernfalls kommt man bei dem Gaußschen Algorithmus auf verschwindende Gleichungen. Daß es nicht immer leicht ist, der- gleichen zu vermeiden, zeigt ein im 8. Kap., § 3, IV behandeltes Beispiel.

§ 5. Bedingte Beobachtungen mit Unbekannten.

291

nen 1 berechnet werden können. Die Anteile der einzelnen Be- standteile von X sind nämlich proportional ihren mittlem Fehler- quadraten zu setzen. Vergl. hierzu u. a. das Beispiel auf S. 235/236.

Beispiel. Die Bedingungsgleichungeu seien, wenn wir die Ver- besserungen mit 0 bezeichnen:

1)

r,+ 2,5,; -f r,+ 3,5 = 0

t] fg 5,0 = 0 .

Gewicht für y^ gleich 4, für v^ gleich 1.

Die Unbekannte y] müßte nun, um auf die Form des Systems (l), S. 285, zu kommen, v^ nachgestellt werden; aber man erkennt leicht, daß der vorher angegebene Rechnungsgang sich auch un- mittelbar auf die jetzige Anordnung anwenden läßt. Die Korrelaten- gleichungen werden:

4.,= Ä, .

(2) 0 = 2,57,-j-fA-2

die Normalgleichungen sind daher:

1,25 Ä'i + 2,5 7j - A-2 + 3,5 = 0

(3) -f2,5 \ ■ +Ä-2 • =0 - Ä-, + ,/ + Ä;2-5,0 = 0.

Bei der Auflösung derselben berücksichtigen wdr zugleich die Ge- mchtsberechnung der drei nachfolgenden Funktionen von t'i,i;, i^:

1. i\ + 1,5»/ •

wofür

'3 '

1. {pf^ = 0,25

F = 1,5 (?/■) = 0

1,0 • I - 1,0.

3. 1,0 I -1

Die entsprechenden Vertikalreihen sind in (5) beigefügt:

5)

\	1 ^	^. 1	Konst. )	j 1.	1 2- 1	3.
+ 1,25	' + 2,5	-i|	+ 3,5	+ 0,25	1 f	+ 1,0
+ 2,5	! *	+ i|	0	+ 1,5	+ 1,0	*
— 1	: + i	+ 1	— 5,0	*	»	— 1,0

19'

Aj 1 >j k^ Konat. ;	1. 2. 1 a. 1 1
+ 1,25 ' + 2,5 , - 1	+ 3,5	+ 0,25	+ 1,0
— 5,0 j + 3 — 7,0	+ 1,0 + 1,0	— 2,0
1+2	-6,4	+ 0,8 + 0,6	-M

292 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Daraus folgt nach Gauß' Algorithmus:

(6)

Das System reduzierter Normal gleichungen \vird also: 7^1+ 2 t? — 0,8/.-., + 2,8 =0

(7) -»?-0,6Ä-,+ 1,4 = 0

h - 3,2 = 0 , woraus sich findet:

(8) A:2= + 3,2, ,^ = + 0,52, Ä-i = -l,28. Die Korrelatengleichungen ergeben hiermit:

(9)

v,= - 0,32 ,

4,48.

Zur Berechnung der reziproken Gewichte der erwähnten drei Funktionen ist mit Hilfe der drei letzten Vertikalsi^alten in (6)

für die erste: 1 = 0,25 „ „ zweite : I = 0 11 =

,. ., diitte: 1=1,00

TT _ 0,0625 1,00 0,64 ~ T,25 ^0 "^ 2~

_ 1,00 0,36 ~ 'öß "^ "2^

+ 0,17 — 0,02

„= yL? _t| + y«=+0,98;

1,25 5,0 ' 2

damit wird nach (15), S. 290,

I für die erste : fi^^ = 0,08jtt^ , also das Gewicht =12,5

(10) „ „ zweite: jtt,2 = o,02ft2 ^^ ^^ ^^ _ 50

l „ „ dritte: ^^3^ = 0,02^2 ^^ ^^ ^^ _ 50 .

Endlich ist nach der zweiten Gleichung (7), S. 287:

(11) {vv)

3^ _ 7,0^ 6,4^ _

1,25 5,0 ^ 2 -^,-±ö,

was mit der direkten Rechnung aus den einzelnen v übereinstimmt: 4 • 0,32^+ 4,482= 20,48.

Es wird nun, da 0 = 2, m = 1 ist:

(12)

ft = + y20,48 = + 4,53

§ 6. Partiell äquivalente BeobacMungsreilieii. 293

Das eben behandelte Beispiel ist zugleich die Fortsetzung des Beispiels auf S. 282/284. Man findet dort mittels der Werte v^, % und i] aus (8*):

(13) ^ = + 0,46, ^ = + 0,52, ^ = -4,48 und aus (5), S. 283, oder (8), S. 284, da ^ = 0 ist:

(14) :r + ^ = + 0,96, 2/ + ^J = + 0,52, ^ + f = - 2,48.

Die mittlem Fehlerquadrate dieser Werte sind in (10) der Reihe nach enthalten, wie ein Blick auf die Funktionen (4) und die Gleichungen (8*j auf S. 284 zeigt.

Mit den Werten (14) werden die k des Beispiels auf S. 282:

;i^= — 0,64, ^2 = — 4,48,

^'^•''^ [A;1] = 20,48,

also mit (yr) übereinstimmend, wie es wegen [ee] = 0 sein muß. ,(t behält den Wert (12), da «=2, m = 3, ö = 2 , mithin n — m -\- 6 = 1 ist.

§ 6. Partiell äquivalente Beobachtnngsreilieii.

I. Definition. Wenn eine fingierte Beobachtung einer Größe denselben Wert und dasselbe Gewicht ergibt wie die Ausgleichung, so kann man sagen: es ist jene Beobachtung den gegebenen Beobachtungen in bezug auf diese Unbekannte partiell äquivalent. Diese Ausdrucksweise kann man über- tragen auf den Fall, wo es sich um eine Funktion von mehreren Auscfleichunffswerten handelt.

IL Partielle Äquivalenz im Falle vermittelnder Beobach- tungen. Geben r fingierte Beobachtungen nicht nur von ebenso vielen verschiedenen Funktionen der Unbekannten dieselben Werte und Gewichte, sondern auch von beliebigen Funktionen dieser Funktionen dieselben Werte und Gewichte als die Aus- gleichung, so sind jene Beobachtungen als den gegebenen ;^ Be- obachtungen bezüglich der >• Funktionen partiell äquivalent zu bezeichnen.

Bildet man die lineare Funktion der Funktionen F', F", . . . F^'''>:

(1) Q,F' -^ Q,F" + • • • ^ Q^Fi^\

294 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichuug.

•worin die q unbestimmte Koeffizienten sind, so genügt es, die Äquivalenzbedingungen für (1) aufzustellen, um sie bezüglich der ;• Funktionen zu erhalten.

r = n gibt vollständige Äquivalenz.

Bei r > w sind daher r — n der Funktionen für die Auf- stellung der Äquivalenz einfach wegzulassen.

Praktisch interessant ist besonders der Fall partieller Äqui- valenz für zvsei Funktionen F' und F". Wir setzen

(2) F=Q,F'-^Q,F"

und haben bei drei Unbekannten nach § 9 (14), S. 182:

Ein Blick auf die Gl. (15), S. 182, zeigt aber, daß man hat: F, -Q,F,'+Q,F,"

{F,.1) = Q,{F,'.1) + Q,(F,"-1) iF,.2) = Q,{F,'-2) + Q,{F,".2), womit sich ergibt:

'"/^-^ 1 (^ + (ft&TT)- + (cc-2) J ^1

W +^«^1^0^+ (fc&TT)" + (CC.2) J ^2

2 IF.'F," (F;-1)(F,"-1) (J^V-2)(F3"-2))

+ ^ r(«ar + — ^Fö) — + (CC.2) 1 '^^^^■'-

oder abgekürzt:

(5) ^f'= ^'{Qi.i Qi'+ Q,., 92'+'^Qi.-2 QiQ-^i-

(^1.1 und Q.2_.^ sind also die reziproken Gewichte für F' und F"- Bei ihrer Berechnung findet man, wie ersichtlich, auch leicht ^^ . o . Sind nun I^, U die äquivalenten Beobachtungen mit den Gleichungen:

0 = -i, + a,F'^h,F" Gew. 1

^^ 0==-{,+ a._F'^h,F" „ 1,

so wird man F durch I^ und ü auszudrücken haben. Es sei

(7) F=y.,i,+ xA,:

§ 6. Partiell äquivalente Beobachtungsreihen. 295

die Substitution von (6) in (7) gibt dann durch Vergleichung

mit (2):

(8) Qi = z^ üi + Xo a. , Q.y = Xi i\ -f- X2 % ,

oder

^'^ 1 a^b, -a,bi' 2 aib„-a»bj'

Es ist nun:

(10) .u/ = ^%k;^ + x,2) = ^^ [b&]cr+[aa]g.^-2[ab]g,g,^

Die Vergleichung mit (5) gibt die Aquivalenzbedingungen:

(11) [hb]=Q,.,A, [aa] = Q,.,A, [ah] = -Q,.,A, wenn

(12) A = {a,b,-aM' gesetzt wird.

A muß unabhängig sein von den besonderen Werten a, b eines äquivalenten Systems, da die linken Seiten der Gl. (11) für alle einander äquivalenten Systeme nach § 11, II, S. 214, konstante Werte behalten müssen. In der Tat kann man für

(12) auch schreiben:

(13) A = Laa][bb]-[a6]2; damit ergibt (11):

(14) A= 1:(Ö,. ,(?,.,- (?,g.

Die drei Gleichungen (11) zwischen den vier Größen a^, Qo, b^, ^2 gestatten aus einer derselben die andern drei zu be- rechnen. Die Elimination von tl, und bg aus (12) mittels (11) gibt zunächst für q^, b^:

(15) a'Q,.,+ h'Q,..+ 2ahQ,.,=-l,

welche Gleichung auch für a^, b^ gilt. Löst man nach b auf, so wird infolge (14) und der zweiten Gl. (11):

(16) ^^^-Q.-.V^

b,= -aj^^+ '^

worin die obern und die untern Zeichen einander entsprechen, wie man mit Rücksicht auf (11) erkennt.

296 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Dividiert man mit q^ bzw. a,, so folgt:

Jedem Koeffizientenverhältnis -- entspricht hiernach ein reeller Wert des andern, wobei, weil A positiv ist: (18) -^-fr-" ergibt ^^^-^üa.

Für — = — f^'- ist - diskontinuierlich = + oo, mithin

a, Q^ . 2 a« — '

muß Qg ^ 0 sein, weil nach (11) Bg ni^^bt unendlich werden kann.

Aus (16) folgt noch

a«\ (:;y=-C:+B^(l+^:)'

woDiit die zweite 61. (11) ergibt:

(20) a,^=";— ^g,.,A, a,^=^^^|-^g,.,A.

a^ und Qo sind wegen (18) immer reell; welches Vorzeichen man ihnen gibt, ist gleichgültig, da mit a auch b und ( das Zeichen wechseln.

Wird nun ein Koeffizienten Verhältnis — angenommen, so

geben die Formeln (17), (20), (6) der Reihe nach b, = f^? ^i» ^2 und damit b^, b, und l^, t.,.

III. Besoudere Form des äquivalenten Systems. Nehmen wir den Fall wieder vor. wo

^^=-^-^ a=0

ist, so gehen die Gl. (6) über in:

^^^^s 0 = -i,+ a,F'+h,F" Gew. 1

0 = -l2 • +\F" „ 1, Avofür

§ 6. Pai-tiell äquivalente Beobachtungsreihen.

297

Diese Form der äquivalenten Beobachtungen empfiehlt sich durch ihre Einfachheit. Man wird sie auch bei mehr als zwei Funktionen anwenden, z. B. bei drei solchen 02=03 = 63 = 0 setzen.

Beispiel. Gelegentlich seiner Gradmessung in den Ostsee- provinzen Rußlands wurde von W. Struve ein Dreieck zwischen den Punkten Halljall, Hohenkreutz und Mäggi-Pälüs gemessen. Es fand sich:

Halljall <^ A = U^ 36' 4;'l3

(1) Hohenkreutz „ J? = 99 8 41,74

Mäggi-Pälüs „ C = 16 20 16,58

Seite ^J5 = 11 945,098 Toisen.

Die Seite wollen wir ihrer Größe und Lage nach als streng richtig annehmen.

Nach Struve ist der sphärische Exzeß des Dreiecks bleich

"iL

tu.sne

tßerade

(2)

B = 4':35:

(3)

4;'13 + 5

ö.j^e

Ohne auf die Bequemlichkeit der Rechnung Rücksicht zu nehmen, gleichen wir nun die drei Winkel nach vermittelnden Beobachtungen aus und setzen als Unbekannte die Winkel

A = 64» 36'

5 = 99 3 41,74 + 7].

Man hat alsdann für die Verbesserungen von A, B, C:

A^ = • + 5 • Gew. 1

(4) h- ■ • +V „1 A3 = + i;'903 - 5 - r? „ 1.

Entwickelt man hieraus die Normalgleichungen und damit die reduzierten Normalgleichungen, so folgt:

I -f- 0,5 7/ = + 0,952 [aa] = 2

(5) ?; = + 0,634 [6&-l] = l,5. ■E, = + 0,635

298 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Ferner ist

(6) ;ii= + 0;'635, A2 = + 0;'634 = ;L3; [AA] = 1,207.

Die korrigierten Winkel sind demnach:

A = 64« 36' 4;'765 ,

' bumme:

(7) ^ - 99 3 42,374 ^^^^, ^,

C= 16 20 17,214 J

Da (u.^= 1,207, so ist der mittlere Fehler mit seinen mittlem Orenzen:

(8) ft = ± i';io ( 1 ± ^) = ± o;'32 • • • + 1;'88.

Um den Pimkt C gegen die Linie AB festzulegen, beziehen wir C durch zwei rechtwinklige Koordinaten u und v auf Ä als Anfangspunkt und AB als Achse der u:

u =^ AC cos (A- ^\ = 17 986,983 Toisen

^^) t; = ^Csin [A — ^\ =37 880,881 „ .

Sph. Exzeß E' für ACD = 6';55o.

Wii- betrachten nun beispielsweise u und v als zwei Funk- tionen F' und F'\ in bezug auf welche i^artielle Äquivalenz her- gestellt werden soll. Man hat alsdann mit Hilfe der Werte (9), E und E' als konstant angesehen, unter Beachtung der Beziehimgen

sin (i^-l) (10) AC = AB ^ '

Bin(c-D'

/11^ 7 A __ ^'^ rl-R — ^ '^ rir— ^^^ + ^^

1^11; "^ — 206 265' "^"206 265' 206 265'

wobei dt, und di] in Sekunden zu verstehen sind, die Diflferential- quotienten:

R' = ^ = 0,1138 F./ =^ = 0,2836

(12) !^ ' ''

F/'== Vi = 0,7138 F,"= V- = 0,5973.

Mit Rücksicht auf (5) folgt weiter:

(2^2' • 1) = 0,2836 — 0,5 • 0,1138 = 0,2267 (Fa"- 1) = 0,5973 - 0,5 • 0,7138 = 0,2404,

§ 6. Partiell äquivalente Beobachtungsreihen. 299

und es wii'd nach S. 294, (4) und (5):

ft.._ (Mi^' + (^' =0,040737

(14) Q,.,= (Ml^' + »= -0,293283

daher ist nach (14), S. 295:

A = 165,94, ]/A= 12,882, 1 : |/Ä = 0,077630.

Nehmen wir an, daß die äquivalenten Gleichungen die Form 11 1 erhalten sollen, so wird nach (22), S. 206:

0^=6,9761, bi=- 1,8303, bg = 1,8465 und

(15) 0^^=48,67, bi2=3,35, b22=3,41,

ai-+bi2= 52,02, a,'+b,'= 3,4.1-

damit ergeben sich als äquivalente Gleichimgen, indem noch (^ und U mittels (9) nach (21), S. 296, berechnet werden:

. . 0 = — 56 145 + 6,9761 u — 1,8303t' Gew. 1 0 = — 69 947 • + l,8465r „ 1,

wofür man auch setzen kann:

Gew. M. F.

± 0',152

+ 0,596.

0 = - 7 784 + 0,9672» — 0,2538 i- 1 52,02 ' 0 = — 37 881 • + V \ 3,41

Die I in (16) und (17) haben füi- uns keinen Wert, wir haben sie daher nicht scharf berechnet. Da nun u und r den Punkt C bestimmen, so ist das System (17) der frühern Be- stimmung von C äquivalent. Diese Gleichungen stellen zwei Ge- rade dar, welche durch C hindurchgehen; denn allgemein ist die Gleichung einer solchen Geraden:

0 = — j) ~\~ '' C'^s V -{- V sin V, worin j^ <3er normale Abstand der Geraden vom Anfangspunkte A und V der Winkel dieser Normalen mit der ?f-Achse AB ist. Für die

, . ferste Gerade ist 2h = '^ ^^^ + 0,152 Tois. >i = — 14" 42' (zweite „ „ i?2 = 37 881 + 0,596 „ [v.^^ 90 0.

300 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

In der Figur sind die mittleren Unsicherheiten der äqui- valenten Geraden im Verhältnis zu den Dimensionen des Dreiecks mit 10 000 multipliziert.

IV. Partielle Äquivalenz hei beliebiger Form der Aus- gleichung. Das im vorhergehenden Gegebene läßt sich leicht auf den Fall übertragen, wo die >• Funktionen, bezüglich welcher ein partiell äquivalentes System aufgestellt werden soll, Funk- tionen von Größen sind, die durch irgend eine Form der Aus- ffleichungsaufgabe gefunden worden sind. Xehmen wir ins- besondere wieder r =2, so zeigt sich, daß die für den Fall vermittelnder Beobachtungen gegebene Entwicklung sich nur in- soweit ändert, als ^^ ^ und ^,.2 ^^^ ^^^ Form der Ausgleichungs- aufgabe abhängen; aber die weitere Rechnung, insbesondere die Bildung von Q^.2 aus jenen beiden, ist die frühere.

Wenn es sich ereignet, daß in F',F" heterogene Be- obachtungsgrößen vorkommen, so ist es am bequemsten, unter Q\i: Qi-2y Q\-2 '^^ i^)} S- -^"^7 ^^^ Koeffizienten von Qi', q^^, -Q1Q2 selbst zu verstehen, so daß Q^^^ und ^g., die mittlem Fehlerquach'ate der Funktionen F' und F" sind. Für u ist alsdann in den andern Formeln 1 einzuführen.

Beispiel. Fortsetzung zu S. 297/300.

A. Der mittlere Feliler der Seite Äß sei 0,1 Toise, so daß, da A und die Richtung AB als fest angenommen sind, JB um + 0^,1 in Richtung AB vmsicher erscheint. Man findet leicht mittels (14), S. 299, und (8), S. 298:

Quadrat d. m. F. in u = 0,040737 • 1,21 + (J^^) -0,01 = Q^ ^

(19) „ „ „ t' = 0,293283 -1,21 + (J^f -Ofil^^Q,,,

0,076948- 1,21 +-^^^^-0,01 = (?,.,, also (19*) ^1.1= 0,071966, r^2. 2 =0,455441, '?i., = 0,140860,

womit anstatt (16) erhalten wird das äquivalente System:

. s 0 = — 37 200 4- 5,!)336^6 — 1,8355 i- M. F. + 1' 0 = — 56 133 • + 1,4818 «; „ +1

§ 6. Partiell äquivalente Beobachtungsreihen. 301

und anstatt (17):

(*^0=^) 0 = — 5 989 + 0,9553?/ — 0,2955t' ' M. F. ± 0',161

0 = - 37 881 • + ^- I „ ±0,675.

B. Werden die Winkelmessungen des Dreiecks nach be- dingten Beobachtungen ausgeglichen, was das Einfachste ist, so hat man als Bedingungsgleichung:

(21) 0 = - 1,903 + A, + A, + A3,

und daher

3/.-— 1,903 = 0, Ä; = 0,634.

Man findet aber aus (9) und (10), S. 298, entweder durch Differentiation oder durch Benutzung der logarithmischen Differenzen :

/99^ clu = — 0,1837 clA~ 0,01S9 dB — 0,297 5dC+ 1,5057(1 AB d c = -\- 0,OS72 dÄ - 0,0293dB — 0,62GGd C + 3,1710d AB .

Diese Werte wurden bereits zur Ableitung von (12) benutzt.

Nach (18), S. 239, hat man daher, indem die 2^ der einzigen Bedingungsgleichung gleich 1 sind und die Koeffizienten von dA, dB und dC die f für u bzw. v bedeuten:

f'J-Qx.i={(- 0,1837 j2 + (- 0,0139)2+ (- 0,2975)^ } 1,21 + (+ 1,5057)2 . 0,01 - tl^^l . 1,21

i«/ = <?2 .2 = { (+ 0,0872)- + (- 0,0293)2+ ^_ o,6266)2 } 1,21

+ (+3,1710)2.0,01 -^=-«.1,21

^i.2 = {(-0A837)(+0,0872) + (-0,0139)(-0,0293) + (— 0,2975)(- 0,6266) } 1,21

+ (l,5057)(3,1710)0.01-(-=M^^^^:zM^l,21,

womit sich dieselben Werte wie in (19"') ergeben.

Y. Verbiiuluug- von Fimktioiiswerteu aus mehreren Aus- ^•leichungen. Sind dieselben Größen durch mehrere verschie- <iene Ausgleichungen bestimmt, so kann man das Gesamtmittel für diese Größen dadurch ableiten, daß mau die partiell äqui-

302 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

valenten Systeme dafür ableitet und diese nach der M. d. kl. Qu. behandelt. Diese Herleitung der äquivalenten Systeme ist selbstverständlich in dem Falle überflüssig, wo die Größen direkt als Unbekannte in den Normalgleichungen auftreten. Man kami dann so verfahren, daß die andern Unbekannten nach dem Gaußschen Algorithmus eliminiert werden, worauf sich die übrigbleibenden Systeme durch einfache Addition ver- einigen lassen, nachdem man sie vorher auf gleiche Gewichts- einheit durch geeignete Faktoren reduziert hat.

Beispiel. Von einer gemeinsamen Linie aus gehen zwei Dreiecksnetze, die sonst nur noch in einem Punkte C zusammen- ti'effen, derartig, daß ein Kranzsystem entsteht. Sind nun u\ v und u\ r" die Verbesserungen von Näherungswerten der (recht- winkligen, polaren oder geographischen) Koordinaten für C nach beiden Ausgleichungen bezüglich desselben Koordinatensystems, so bilden wir die partiell äquivalenten Systeme:

(1) und

(2)

0 = — (/ + a/ H -f 6/ v' m. F. + fi'

0 = - Ig' • + t)/ ^•' „ ± i^t'

0 = — i^' -\- a^"n"-\- b/'y" „ + ,«"

0 = — lg" • -\- b^"v" „ + ft"

Zu bemerken ist, daß die Berechnung der a und b nur auf etwa vier bedeutliche Ziffern zu erfolgen braucht, daß aber mit den angegebenen Werten von a und b die Berechnung der l aus u\ v bzw. ?/", v" scharf erfolgen muß.

Für die endgültigen Werte der Koordinaten ?f, v von C hat mau nun die Fehlergleichungen:

A^ = — 1/ -|- a/ 'f -f b^' c j m. F. + ii

Ac, = — fg' ■ + b,' V „ -f \i

(3) "„ „

Ag = — (^ + a^ u + \ V „ + u

die in üblicher Weise aufzulösen sind.

Die Änderungen von C geben auch Änderungen der Koordi- naten der andern Punkte, die man nachträglich bestimmen kann, und zwar für jeden Punkt einzeln durch Herstellung eines in bezug

§ 7. FehlereUipsen. 303

auf C und diesen Punkt partiell äquivalenten Systems von vier Gleichungen, deren beide letzten aber mit ( 1 ) bzw. (2) überein- stimmen müssen, während die beiden ersten durch Einführung von n , V zwei Gleichungen zur Ermittelung der verbesserten Ko- ordinaten des betreffenden Punktes ergeben (§ 11, HI, S. 216). In der Regel wird es in unserm Beispiele ähnlichen Fällen aus- reichen, eine geringe Anzahl solcher Punkte streng zu verbessern, die andern aber zu interpolieren.

§ 7. FehlereUipsen.

I. Formeln. Bei zwei Unbekannten ist ein voller Über- blick über die partielle Äquivalenz auf graphischem Wege durch Ableitung der Fehlerellipse möglich.

Es seien allgemein

0^-l,+ a,F'+h,F" Gew. 1 0 = -U^a,F'+h,F" „ 1

zwei in bezug auf die Funktionen F' und F" äquivalente Gleichungen mit den fingierten Beobachtungswerten (^ und l,. Dieselben können wir in die Form

Gewicht

I

0 = ==Lr=- -f - "^ F' + ^ — F'

0 = —k 4. ^ F' + ^g F'

a/ -f 6,^

bringen. Wir betrachten nunmehr F' und F" als rechtwinklige Koordinaten 11, v eines Punktes. Es stellen dann die beiden Gleichungen (2) zwei den Punkt bestimmende Gerade dar.

Ist 2^ die Länge des normalen Abstandes einer Geraden vom Koordinatenanfange und v der Winkel der Normalen mit der Achse der u, so ist die Gleichung der Geraden:

(3) 0 = — ^ -f u cos V -^ V sin v.

Die Gleichungen (2) haben aber die gleiche Form; es ist da- her für iro;end eine derselben:

304 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

i

<4),

der als Beobachtungswert mit dem Gewichte (a^-r h^) anzusehende Abstand vom Koordinatenanfange,

— = tan V die Tangente des Neigungswinkels ihrer Xoi-- malen gegen die a -Achse.

Dem mittlem Fehler , entspricht eine mittlere V er-

längerung bzw. Verkürzung der Normalen oder eine parallele Verschiebung der Geraden.

Aus (17), S. 296, erhält man nun:

.(5) tan 1'^ tan v., + (tan Vy -)- tani'.,) y/ ' + ^*'^ = 0,

TS i Vi i

womit sich zeigen läßt, daß man alle verschiedenen Paare äquivalenter Gleichungen (2) betrachten kann als Gleichungen konjugierter Durchmesser einer Ellipse, deren Mittelpunkt der Punkt (F', F") ist, deren Achsen zu der u -Achse geneigt sind unter Winkeln N^ und S^, für welche ist:

(6) cot2X= ^*^' '~"^*'^^

und deren in die Richtungen A'^ und A"« fallende Längen sich verhalten wie

|7) 1/^2.2+ Q,.2^oiy\ -.VQ,.,^ <?i.2 cot y.,.

Bezeichnen wir nämlich mit u und v die Koordinaten eines Punktes einer Ellipse mit dem Zentrum (F', F"), so kann mau •der Gleichimg der Ellipse die Form geben:

A{u- F'f -f B{v - F"f - 2 C(u - F') (v - F") = 1 .

Durch den Punkt {F', F") legen wir zwei Gerade, deren Nor- malen mit der m- Achse die Winkel v, und v.^ einschließen, und nehmen dieselben als Achsen der Parallelkoordinaten u' und v'. Dann ist:

u — F' = -f u sin Vj^ — V sin v.^ V — F" = — u cos Vy -\- v cos v.^.

§ 7. Fehlerellipseu.

305

Hiermit geht die Ellipsengleichung über in:

n'^(Ä sin-i^i + B cos^ ;^^ + 2C sin v^ cos v^) + v''{A sin^ V.2 -\- B cos- v^, + 2 C sin Vo cos v,) — 2 a v'iA sin i\ sin i'^ + -^ cos v^ cos v,

+ C[cos i\ sin ^2 + sin v^ cos Vg]) = 1.

Die Achsen der u', v' werden konjugierte Durchmesser der Ellipse, wenn der Koeffizient von 2u'r' null ist, also für

tan 1^1 tan v-'g + (tan v^ -[- tan v.^ +

0.

<-Tl'

F'

^-1'

■i-K

Vergleicht man mit (5), so ergeben sich die Werte von -z-

und -7- ; es wird :

Ä:B:C= Q,.,: Q,,,: Q,,. Die Achsen der u', v werden insbesondere die Hauptachsen

der Ellipse für v^ = Vg + .> ^^^^' tan 7\ = — cot ?^o •

Bezeichnet man diese besondern Werte von v mit N^ und iVg, so gibt (5) leicht die für beide N gültige Gleichung (6). Die Quadrate der Längen der Hauptachsen werden proportional den beiden Werten von

Helmert, Ausgleichungsrechnung, i. Aufl.

20

306 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

1 : (Ä sin^ V -\- B cos^ v + '2C smv cos v) oder

1 : ( ^2 . 2 sin^ ^V + Q^,^ cos^ iV + 2 (;>i . g sin iV cos K)

oder mittels (<o) proportional den beiden Werten von

l:(^2..+ <?i.2C0tiV).

Hiernach verhalten sich die zu den durch N^ und N^ bezeich- neten Richtungen senkrechten Achsenlängen umgekehrt wie die Quadratwurzeln aus Q^.^-\- ^^ . 2 cot N^ und ^22+ ^1 . 2 <^o^ ^2 5 es sind daher die Quadrate der Achsenlängen in Richtung iVj und N^ direkt proportional wie ^4^2-2+ <^i.-2^oti\\ und ^22+ (^1.2 cot. ^2-

Die Formeln (20) des § 6, S. 296, geben mit ^' = tan JN\,

- = tan A^2? unter Beachtung der Beziehung tan iV^ = — cot N^:

Ig

a^ = (^2 . 2 cos A^ — Qxi sin A") A cos A",

b = a tan A

und

(8*) a2+ b2_ (g^^_ ^^^ ^ tanAO A = 1 : {q,.,+ Q,,,cotN\

da nach (14), S. 295, und (6), S. 304:

A = l:(^2.2- Öi,2tanir)(^2.2+ <?i.2CotA^) ist.

Bestimmt man also den Punkt (F',F") durch zwei in die Ellipsenachsen fallende fingierte Gerade, so geben die Gl. (8) die Koeffizienten der Gleichungen (2) dieser Geraden. Diejenige Gerade, welche senkrecht zu der durch N bezeichneten Rich- tung liegt, hat zufolge ihres Gewichts (a^ + 6^) und des mittlem Fehlers ^ der Gewichtseinheit eine mittlere parallele Ver- schiebung:

(9) +, a 1/^2.2+ ^i.2C0tiY.

Durch diese mittlem Verschiebungen entstehen auf der andern Geraden, also in der durch A^ bezeichneten Richtung, Ab- schnitte, welche in demselben Verhältnis stehen wie die Achsen der vorher besprochenen Ellipse, bei welcher überhaupt nur von relativen Dimensionen die Rede sein konnte.

§ 7. Fehlerellipsen. 307

Wir nehmen jetzt die absoluten Dimensionen der Halb- achsen nach (9) an und nennen diese Ellipse, in Richtung und Länge ihrer Halbachsen bestimmt durch die Formeln:

cot2.A^=%^^^ und

(10) 2^>-^

die Fehlerellipse.

Sie hat, wie wir bereits fanden, die Eigenschaft, in ihren konjugierten Durchmessern die Richtungen äquivalenter Ge- radenpaare anzugeben; sie gibt ferner aber auch deren mittlere parallele Verschiebungen an.

Es genügt, den Nachweis hierzu für das besondere System des § 6, UI, S. 296, zu führen, weil Lage und Dimensionen der Ellipse unabhängig sind von einer Drehung des Koordinaten- systems n, V um seinen Anfangspunkt. Es ist nun nach (22), S. 296:

tan x/. = -!;-, ^0=90°,

(11) ' ^'---' '

ai^+ 6i^= ^1^2.2 sec^ i/j • A, a,^-f 62^= 1 : ^2.2-

Die mittleren parallelen Verschiebungen der Geraden, welche senkrecht zu den durch v^ und v^ bezeichneten Richtungen sind, ergeben sich hiermit zu

(12) +^:]/^2.2^seci'i, ±^VQ2.2-

Der mittlem Verschiebung einer Geraden entsprechen Ab- schnitte auf der andern, deren Länge man aus jener durch Multiplikation mit der esc des Konjugationswinkels (v^ — Vg) ableitet. Die Abschnitte sind mithin auf der Geraden, welche senkrecht zu der durch v^ bezeichneten Richtung steht, gleich

(13) ± ^VQ2-2^^^('^1~ '^•2)) ^- i- + ;"■ y'02-2^^^^1

und auf der Geraden, senkrecht zu der durch v^ gegebenen Richtung, gleich

(lo^^j -f- , — , d. 1. H , --— •

Diese Abschnitte sind aber nach bekannten Sätzen der analy- tischen Geometrie gleich den halben Längen der konjugierten

20*

30^ Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichuug.

Durchmesser, die in dieselben Geraden fallen; denn es ist die Summe der Quadrate der Abschnitte in (13) und (13*) gleich

(14) l^'(.Q2.2^Qi.l)>

d. i. ebensogroß als die Summe der Quadrate der Halbachsen nach (lOj. Femer ist das Produkt aus den Abschnitten in den Sinus des Konjugationswinkels gleich

d. i. ebensogroß als das Produkt der Halbachsen nach f 10).

Hiernach kann man die Fehlerellipse immer mit Hilfe des besonderen Paares äquivalenter Geraden (21), S. 296, kon- struieren, indem man nach den Formeln (11) und (12) die Richtungen und die mittlem parallelen Verschiebungen be- rechnet und konstruiert und nun die Ellipse zeichnet, welche die vier Seiten des von den letztem gebildeten Parallelogramms berührt.

11. AiimerkuD^". Die Fehlerellipse erscheint im vorstehen- den als ein graphisches Hilfsmittel, um die Genauigkeit in der Bestimmung eines Punktes vollständig darzustellen.

In dem besondern Falle der Gültigkeit des Gaußschen Fehlergesetzes läßt sich zeigen, daß alle Punkte (u, v), welche um die wahrscheinlichste Lage {F',F") herum auf dem Um- fange einer zur Fehlerellipse ähnlichen, ähnlich liegenden und konzentrischen Ellipse sich befinden, gleich wahrscheinliche Lagen des bestimmten Punktes sind. Unter diesen Ellipsen gibt es eine von solchen Dimensionen, daß die Wahrschein- lichkeiten für den Punkt, außerhalb oder innerhalb zu liegen, gleich groß und also gleich i- sind. Man erhält diese wahr- scheinliche Ellipse durch lineare Vergrößerung der Fehler- ellipse im Verhältnis 1 : 1,17741.0.*) Dagegen ist die Wahr- scheinlichkeit, daß der Punkt innerhalb der Fehlerellipse hegt, die man zum Unterschied von der vorigen Ellipse die mittlere

*) Diese Ellipse halje ich früher nicht ganz zutreffend als wahr- scheinlichste bezeichnet; in Analogie zum wahrscheinlichen Fehler wird sie besser wie oben bezeichnet.

§ 7. Fehlerellipsen. 309

Fehle rellipse nennen kann, geringer oder gleich 1— e~- = 0,3934693. ( Siehe des Verfassers „Studien über rationelle Vermessungen" in der Zeitschr. f. Math. u. Phys., Bd. XIII, 1868.) Vom Standpunkte der Wahrscheinlichkeitsrechnung aus wurde die Fehlerellipse ( sowie das Fehlerellipsoid für drei Variable bzw. den Raum) zuerst behandelt von A. Bravais, 1846. Später, 1857, kam C. G. Andrae ebenfalls auf die Fehlerellipse. Eine sehr allgemein gehaltene Analyse verdankt man Ch. M. Schols. Vergl. darüber die Zusammenstellung von Czuber in der „Theorie

O TD 7/

der Beobachtungsfehler'', S. 343 u. f.*)

Beispiel. Fortsetzung zu § 10, S. 204/209. In diesem Falle kann man aus den Normalgleichungen (lO), S. 207, sofort die Werte von [ci(l\, [Ö^]? [o.^^ entnehmen, nämlieli

[aaj = 39 208,9 = ^22^

(17) [&Ö]= 85 614,6 = <?i.jA — [ab] = + 53 289,4 = Qi.^A.

Damit wird nach ('13\ S. 295, und (10), S. 307: A = 517 190 000,

/1ö^ + o Ar 85 614,6 — 39 208,9 n^ox.

(18) cot 2 .V = ^^^^^^^~ = + 0,4354,

X, = 33" 14', J\^2 = l^S'^ 14'.

Die Quadrate der Halbachsen werden, da nach (15), S. 208, fi-== 0,0541 ist:

*) A. Bravais, Sur les probabilites des erreurs de Situation d'un point. (Mem. pres. par divers savants ä l'Acad. des sciences de l'Inst. de France, t. IX.)

C. G. Andrae, Fehlerbestimmung bei der Auflösung der Potbenot- schen Aufgabe mit dem Meßtische. (Astr. Nachr., Bd. 47, 1857, Nr. 1117.)

Ch. M. Schols, Over de Theorie der Fönten in de Ruimte en in het platte Vlak. (Verhandel. v. d. Koninkl. Akademie van Wetenschappen, XV, Amsterdam 1875; nochmals abgedruckt unter dem Titel: „Theorie des erreurs dans le plan et dans l'espace" in den Ann. de Tecole polj- technique de Delft, t. II, 1886.)

310

(18*)

Viertes Kapitel. Korrelateuausgleichung.

0,0541(39 208,9 + 53 289,4 • 1,5262) : 517 190 000

= 0,0541 : 4290, 0,0541(39 208,9 — 53 289,4 • 0,6552) : 517 190 000

= 0,0541 : 120 539-,

es liegt daher

I im Azimut 33*^14' die große Halbachse von 3,55 mm,

» u 0,67 „ .

(18**)

123 14

kleine

Zur Konstruktion der Ellipse kann man sich auch des äqui- valenten Systems (vergl. S. 207 )

(19)

1'— 1,35912»?'= 0 Gew. 39 208.9

>/=0 „ 13 188.0

bedienen, worin 5' und ?/' die Änderungen der Ausgleichungs- ergebnisse I und // bedeuten. Aus (19) folgt:

0,59263 §' — 0,80545^ = 0 Gew. 111 636 M. F. + 0,70 mm

(20)

,/ = 0

13 188

+ 2.02

in welcher Form das System zwei Geraden entspricht, deren Nor- malen bzw. unter den Azimuten

(21)

306" 21' und 90° 0'

zur Achse der 5 ' geneigt sind und deren mittlere parallele Verschiebungen bzw. + 0,70 und ±2 2,02 Millimeter be- tragen. Letztere bilden ein Parallelogramm AB C D , dessen Seiten die FehlerelHpse tangieren.

Zui- Kontrolle dient die Be- ziehung zwischen ( 17 ), ( 18*) und (20 I, nämlich:

39 208,9 + 85 614,6 (22j =120539 + 4290 = 111636 +13188,

welche darauf beruht, daß ['*'*] + [^^] ^^"^ Konstante für alle äquivalenten Systeme

§ 7. Fehlerellipsen. 311

ist und daß für deren Form (2), S. 308, die Gewichtssumme mit jener Konstanten übereinstimmt.

Eine sehr nützliche Anwendung der Fehlerellipse bei ver- mittelnden Beobachtungen machte Th. Albrecht in seinem Be- richt: Über die Wahl der Stationen für den internationalen Pol- höhendienst (Verhandlungen der Perm. Komm, der Internationalen Erdmessung in Lausanne 1896, S. 127 u. f.).

Beispiel. Fortsetzung zu S. 64/67. Wir nehmen D als festen Punkt, DM als feste Richtung und setzen

(21) F'=ÖDO, F"=BO- ÖD,

worin ÖDO und 6D kleine Änderungen der angenommenen Werte von DO und dem Winkel D bezeichnen, deren besondere Werte null

den Punkt 0 selbst bestimmen mittels F'=0 = F". Im all- gemeinen erscheinen F' und F" als rechtwinklige Koordinaten einer geänderten Lage des Punktes 0, und es können somit die bezüglich F', F" äquivalenten Gleichungssjsteme als zu Systemen äquivalenter Geraden gehöi'end aufgefaßt werden. Bei Berechnung der zugehörigen Fehlerellipse ist zu beachten, daß F' und F" heterogene Beobachtungsgrößen enthalten. Wir setzen daher nach (17), S. 67:

Q^ ^= {l,045ft3)-H-(0,03O55,u,)2-f(0,03055jii,)2= 0,01127, ^2 2= (^^^f*i)'= (0,09596ft,)2 = 0,00103,

woraus nach dem Bildungsgesetz von Q^.^ aus Q^.^ und ^g.a folgt: (23) ^1.2= (0,03055 • 0,09596) jui^^ 0,000328.

312 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleicliung.

Damit ergibt sich:

,^t9Y_ ^'01;^ -15 59 ^^^-^ ^°^--^-Ö;ÖÖ0657-^^'^^'

lind für die Halbachsen:

1/0,00103 + 0,000328 • 31,24 =yO,01128 = + 0,106 m,

(25) . .

yO,00103 - 0,000328 • 0,032 = yo^0102 = + 0,032 m .

Zur Kontrolle können wir die erste der Gleichungen (20), S. 67, benutzen, welche den mittlem Fehler von DO gibt. Derselbe läßt sich aus der Fehlerellipse auf konstruktivem Wege ermitteln, in- dem man senkrecht zu DO an dieselbe Parallelen legt, die von 0 um den Betrag des mittlem Fehlers + 0,106 m abstehen müssen. Dagegen ist diese Prüfung durch OM nicht ausführbar, weil 31 selbst fehlerhaft gegen 0 ist und nicht wie D fest liegt; nur weil 021 fast genau senkrecht zur festen Richtung D3I liegt, also M in Richtung OM fehlerfrei ist, gestattet 031 ausnahmsweise auch die Prüfung des ,%j^= + 0,047 m.

Beispiel (fingiert). Für ein vierpunktiges Dreiecksnetz, das sehr nahe die Form eines Quadrats hat, nehmen \vir folgende Richtungsbeobachtungen an:

Station 1,

Objekt: i 3 4 Gew.

(1)

1. Satz	i 0*»0'0"	i 45» 0' o;'3	90» 0' o;'9	1
9	1 0	l'O	*	1
3. „	*	0,0	' 89 59 59,8	1

Station 2.

Objekt: 13 4 Gew.

_ I i ii

(2) I.Satz 1 0»0'0" ! 270»0'0';6 ! 315»0'0;'3 ij 1

0 * j 0,6 1

0,0 I 1,0 ;: 1

Station 3.

13)

Objekt:	1	2	1 ' li	Gew.
1. Satz 0	' 0»0'0" 1 0	45» 0' i;'o 0,3	■315» 0' C/öP 314 59 59,7 j|	1 1

l^)

	§7-	Fehlerellipsen. Station 4.
Objekt:	' 1	2 3 1 1- 1	Gew.
1. Satz •2_	OOQ'O" 0	45" 0' o;'2 1 90« 0' i;'3 1,0 0,5	0,5 0,5

313

Auf der Station 4 waren die Beobachtungsumstände ungünstiger als auf den andern Stationen, daher ist als Gew. 0,5 angenommen.

Wir gleichen zunächst so aus, daß ein Beispiel für die all- gemeinen Fälle entsteht. Über die beste Ausgleichung des vor- liegenden Spezialfalls siehe weiterhin.

Die Stationsausgleichungen für (l) imd (2) erfolgen wie in dem Beispiel auf S. 192 u. f. mit schematischer Anordnung, wie dort angedeutet ist. Es ist daher nicht nötig, nochmals auf die Einzelheiten einzugehen, weshalb hier nui- die Ergebnisse mitgeteilt werden.

Stationsausgleichung 1. Wir nehmen au als

(5)

Näherungswerte	Verbesserungen
für Objekt 2 : 0° O' O"	•
„ „ 3: 45 0 0	+ x-s
„ 4: 90 0 0	+ av

Hiermit ergeben sich aus (l) (wobei in diesem einfachen Falle die Kontrolle durch die Summengleichung entbehrlich ist) die Normal- sleichungen:

(6)

«3	x^	Kon st. 1
5	5 ~~6	+ 0,5
5 ~~6	+^	+ 0,4

Nach dem Gaußschen Algorithmus folgt hieraus:

(7)

Konst.

+ 0,5 + 0,65

314 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

Die reduzierten Normalgleichungen sind daher:

(7*)

0,5 1

Konst.

-f 0,3000 -|- 0,8667

Die Stationsausgleichung ist damit beendigt, wenn man sich auf das Notwendigste beschränkt. Wir berechnen aber noch aus (7 *)

(7**)

x.^= -\- 0,7333,

x^= -\- 0,8667,

sowie ferner die Verbesserungen e nach der Stationsausgleichung allein. Aus (7**), (5) und (l) folgt zunächst:

Satz

Summe Anzahl Quotient

(8)

0 I -f- 0,4333 i — 0,0333 ^ -|- 0,4000 | 3 | + 0,1333 0 — 0,2667 * ; — 0,2667 2 — 0,1333

* -f 0,7333 -|- 1,0667 '+ 1,8000 2 4-'e,9000

Zieht man die Quotienten von den Zahlenwerten der betreffenden Horizontalreihe ab, so folgt nachstehende

Übersicht der Verbesserungen e.

Satz

Summe

1 '	— 0,1333 ! -f- 0,3000 ' — 0,1667 " -f- 0,3000 -	- 0,3000
2	+ 0.1333 — 0,1334 - + 0,1833 -	- 0,1334
3	* _ 0,1667 + 0,1667 + 0,1667 -	- 0,1667

(9:

Hiernach wird [ee] = 0,2267; übereinstimmend folgt aus der Quadratsumme der nach ( Ij zu den Näherungswerten (5) gehörigen l, nämlich [W] = 1,94, mit Rücksicht auf (l), (7) und (7*):

1,2- 1,0- 0,2-

[ee] = 1,04 3 ^

= 0,2267.

— 0,5 • 0,3 — 0,65 • 0,8667

Der mittlere Fehler einer Richtungsbeobachtung vom Ge- wicht 1 wird, da w = 7 , >» = 3 -f 2 ist:

(10)

/0,2267

/' ^ = ± 0,

337

§ 7. Fehlerellipsen.

315

(11)

Stationsaiisgleichung 2. Unter Annahme der Näherungswerte | Verbesserungen für Objekt 1 : 0° 0' O" j

270 0 0 + 2/3

315 0 0 +?/j

erhält man durch Auflösung der Normalgleichungen die reduzierten Gleichungen:

(12)

Ih Vi ! i	Konst. i
7	5 15 14	— 0,2 1 +^^

	(12	^)
2/8	lU		Konst. 1
1	5 1		— 0,1714 -f 0,6133

Es ist also:

(13) 7/3 = + 0,2666

2/,= + 0,6133.

I'bersicht der Verbesserungen f

Satz

Summe

(14)

1 1 -j. 0,0067 — 0,3267 ! + 0,3200 + 0,3267 — 0,3267 •2 jj _ 0,0067 * + 0,0066 + 0,0066 — 0,0067

3 'i * +0,3266 —0,3267 +0,3266 — 0,3267

Dies gibt [ee] = 0,4223, wähi-end 0,4227 mit [//] = 1,81 folgt Für die Gewichtseinheit ist mithin:

= ±l/"^:'^-±o"

460.

(15) jit

Die Ausgleichungen für die Stationen 3 und 4 bestehen eigentlich nur in einfachem Mittelnehmen aus den betreffenden beiden Sätzen; indessen kann man auch wie bei Station 1 und 2 verfahren. Wir wollen beispielsweise Station 3 wie Station 1 be- handeln, Station 4 dagegen in einfacher Weise ausgleichen.

Stationsausgleichung 3. Unter Annahme der

Näherungswerte Verbesserungen

für Objekt 1 : O" 0' 0"00

45 0 0,65 i z^

1 315 0 0,10 I z.

(16,

316

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

folgen durch Auflösung der Noiinalgleichungen die reduzierten Gleichungen :

17)

a?*")

h	1 '' 1	Konst.
4 T	! 2 i 1 ^	0
	1	0

z^_ z^ 1	Koust.
1 ' — 0,5 1	1 ^ ! 0

Also ist (18)

(19)

0,

.,= 0.

	Übersicht der Yerbesserun	gen e.
Satz	1 2 4	Summe
1 2	+ 0,25 —0,10 —0,15 — 0,25 +0,10 +0,15 '	+ 0,25 — 0,25 + 0,25 — 0,25

(20)

{ee\ = 0,1900 = [II];

,1900

± 0;'308.

Stationsausgleichung 4. Das arithmetische Mittel beider Reihen in (4) gibt

(21)

Tir Objekt 1:	0° 0' o;'o	Gew. 1
11 11 - •	45 0 0,6	„ 1
11 11 ^'•	90 0 0,9	11 1-

Übersicht der Verbesserungren e.

Satz

2

Summe

(22)

0,0 0,0

+ 0,4 — 0,4 I' + 0,4 — 0,4

— 0,4 +0,4 +0,4 — 0,4

[^] = 0,3200;

(23) , = +-|/0'^ = + Or400.

Im Mittel aus den vier Stationsgleichiingen ist:

_ -1 /0,2267 + 0,4223 + 0,1900 + 0,3200

^* + ^ "

(24)

2 + 2 + + y0,1449 = + 0;'381.

+ 2

Fehlerellipsen.

317

(25J

Im ganzen haben wir nun als:

Ergebnisse der Stations- Weitere Ver-

ausgleichungen besserungen

^ (2 • 3j = 45° 0' 0;'7333 + 53

^(2-4)= 9000,8667 + 5^

^ (1 • 3 ) = 270 0 0,2666 + 7^3

^(1.4) = 315 0 0,6133 + »/^

<^ (1 . 2) = 45 0 0,6500 + t->

<^ (1 . 4) = 315 0 0,1000 + t^

1. = 0 0 0,0000 + (1) Gew.

2. = 45 0 0,6000 + (2)

3. = 90 0 0,9000 + (3) • „

3.

Bei Station 4 ist eigentlich zu den Ergebnissen eine unbestimmte Größe H hinzxizufügen, die wir aber der Einfachheit halber weg- lassen.

Die „weiteren Verbesserungen" beziehen sich auf die Xetz- ausgleichung. Die Bedingungsgleichungen derselben sind drei Winkel- und eine Seitengleichung. Bei Aufstellung derselben setzen wir das Netz als eben voraus.

Das Dreieck 1. 2. 3 gibt:

(•-) + (->) + ('-)_.,o« =

0

d. i.

oder

(26)

45" 0' o;'7333 + I3 89 59 59,7334 — i]^ 45 0 0,6500 + ^2

— 180° = 0

$3-%+^2+iril6' =0.

Dreieck 1. 2. 4 gibt ebenso:

(27) '^,-Vi- (1) + (2) + 0;'8534 = 0, und Dreieck 1. 3. 4 gibt:

(28) - l, + 5-4 - ^4 - (1 ) + (3) + 0;'9334 = 0.

Die Seiteugleichung drücken wir dadurch aus, daß Seite 1 • 4 berechnet aus Seite 1 ■ 2 mittels des Dreicks 1 • 2 • 4 denselben Wert sieben muß wie mittels der Dreiecke 1 • 2 • 3 und 1 • 3 • 4:

318 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

8in('^') sin (\^') sin (^^')

Behandeln wir diese Gleichung in der Art wie die Seitengleichuug in dem Beispiele auf S. 253/254, so erhalten wir in Einheiten der siebenten Dezimale:

log sin 45" - 21,06 (0,6133 + t]^)

— log sin 45°— 21,06 (0,6000 — (1) + (2)) = log sin 45"— 21,06 (0,1000 + ^J

— log sin 45"— 21,06 (0,6500 + ^2)

oder

(29)

-• n, + ^2 + ^4 + (1) - (2) - 0;'4633

0.

Zusammengestellt haben wir für die vier Bedingungsgleichungen mit ihrer Summe die folgende Übersicht:

(30)

^3 §4 1	'/3	Ui bo	J, >1. (2) (3) Konst.
+ 1 * * +1 -1 +1 * «	— 1 *	' 1+1 — 1 1 * 1 * 1 * -1 +1	* ! * * —1 —1—1 +1 +1	+1 * — 1	« * +1 «	+ 1,1167 + 0,8534 -f 0,9334 — 0,4Ü33
. +2	— 1	— 2 4-2	* — 1	*	+1	+ 2,4402 '

Setzen wir nach (7) und (7*):

^'3 - 0,5 ^4 = i'i (31)

nach (12) und (12*):

Gew.

%

(32)

nach (17) und (17*):

^2 - 0,5 ^4

y »/4 = ^3 Vi = >^i

Gew.

15 14'

(33)

Vr.

Gew

^4=^6

3

§ 7. Fehlerellipsen.

319

so haben wir nun die o statt der ;, ?;, J in (30) einzuführen. Dies geschieht einfach durch Elimination der |, -j^, ^ mittels (31), (32) und (33). Dadurch geht z. B. die erste Bedingungsgleichung über in:

v^ + 0,5i2 — ^3 — y r^ + f5 + Q),bv^ + 1.1167 = 0.

In gleicher Weise werden die übrigen vier Gleichungen ^30) be- handelt.

Umgeformte Bedingungsgleichungen:

'^x i ^'^ 1	^'s	^4	^5 i ^-6 (1)	(2)	(3)	Konst.
+ 1 + 0,51 . :+i — 1 -1-0,5 (34)	— 1 « *	5 7 — 1 * — 1	1 -1-1-1-0,5 * ~ — 1 . -1 ^-1 -Hl +1,5; + 1	* + 1 * — 1	» »	1 , ! '+ 1,1167'! + 0,8534 + 0,9334 — 0,4633
- +2 , 1	— 1	19	+ 2 +1 -1	»	+ 1	+ 2,4402
5 3	ü	1.') 14	4	1	1	= Ge- wicht ,

Hier sind unten die Gewichte der v und der Richtungs- verbesserungen beigesetzt. Damit ergeben sich

die Korrelatengleichuntren:

(35)

	K		^3	K
5	+ 1	*	— 1	s
3	+ 0,5	+ 1	+ 0,5	^
T^-« =	— 1	*	!	*
15 14''^ =	5 7	~ 1	*	— 1
4	+ 1	*	i *	+ 1
'"c =	+ 0,5	*	— 1	+ 1,5
(1) =	^	— 1	— 1	+ 1
(2) =	'A	+ 1	*	— 1
(3) =		*	+ 1	*

320

und

(36)

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

die Normalffleichungen:

K	*.	K	K	Konst.
-f 3,2666	+ 1,3333	— 0,7667	4-2,1667	4-1,1167
+ 1,333a	+ 4,2667	+ 1,6667	— 1,0667	4- 0,8534
— 0,7667	+ 1,6667	+ 3,9333	— 2,5000	4- 0,9334
4- 2,16(;7	— 1,0667	— 2,5000	4- 5,9333	— 0,4633
+ 5,9999	4- 6,2000	+ 2,3333	+ 4,5333	+ 2,4402

Hieraus folgen die reduzierten Gleichungen:

(37)

ffj ftj Äj	K	Konst.
4- 3,2666	4- 1,3333 — 0,7667	4- 2,1667	4- 1,1167
	4- 3,7225 1 4- 1,9796	— 1,9511	4- 0,3976
j 4- 2,7006 1	— 0,9539	4- 0,9841
	4- 3,1366	— 0,6481

(37*)

h	Aj A-3 h\ Konst. < . 1 1
1	4- 0,40816 — 0,23471 4- 0,66329	4- 0,34188!
	1	4- 0,53179 — 0,52413	4- 0,10681
		1	— 0,35322 4- 0,36440
			1	— 0,20663|

Es vvii'd hiernach:

(38)

A-^ = — 0,61120 A-2= + 0,15646

/.•3= - 0,29141

A-^= 4- 0,20663,

Diese Werte erfüllen die Smnniengleichung in (36) und auch die Gleichungen (37) und (37*). Aus (35) folgt damit:

§ 7	Fehlerellipsen.
3 rj = - 0,3198	(\ = — 0,1919	fg = + 0,2958
4 '2 = - 0,2949	r., = — 0,3932	(1)= + 0,3416
(,3-')y ^3 = + 0,6112	^3 = + 0,5239	(2) = - 0,0502
J^4= + 0,0735	V.1 = + 0,0686	(3)= -0,2914
A,,,. = _ 0,4046	Vr, = — 0,3035

321

Die Summe der in ihre Gewichte multiplizierten Quadrate dieser Verbesserungen ist:

•40) {ri-} = 0,9169.

In guter Übereinstimmung damit ist nach (37) und (37*):

{ri} = 0,9168.

Der mittlere Fehler einer Beobachtung wii-d daher:

(41) fi = + \/-\- = ± 0,479.

Die Gleichungen (31) bis (33) geben nun:

	§3 =	— 0';3885	,^= + o';0686
(42)	54 ==	- 0,3932	^2=- 0,1556
	% =	+ 0,5720	r,= + 0,2958;
ferner ist:
(42*)		(2)-(l) = (3) - (1) =	- 0';3918 — 0,6330.

Damit werden nach (25) die Ausgleichungsergebnisse:

(4:5) |2.= 0°0'0';0000

Station 1. ! 3.= 45 0 0,3448 Station 3. 4.= 90 0 0,4735

1.= o"o'o';oooo

Station2. \ 3. =270 0 0,8395 Station 4. = 315 0 0,6819

ion4. 2

= 0^ 0' 0','0000 = 45 0 0,4944 = 315 0 0,3958

= 0° 0' o';oooo

= 45 0 0,2082 = 90 0 0,2670,

welche in der Tat die vier Bedingungsgleichungen erfüllen.

Da von keinem Netzpunkte mehr als drei Richtungen aus- gehen, hätte man die gesamte Ausgleichung auch in einfacherer Weise nach bedingten Beobachtungen ausführen können, indem man

H e 1 m e r t , Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 2 1

322

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

die Ergebnisse auch bei den Stationen 1 bis 3 in volle Richtungs- sätze verwandelte. Auf Station 3 kann dies sofort in derselben Weise wie bei Station 4 geschehen, während bei den Stationen 1 und 2 dazu eine kleine Rechnung erforderlich wird. Sind z. B. auf Station 1 die Richtungsverbesserungen J?, C und D, so ist nach (6) das Stationsergebnis dargestellt durch die Gleichungen:

6	.B —	6	c-	6	D =	- 0,'.t
5	B +	5 "3"	c-	5	Z> =	+ 0,5
2 6	B —	5	c +	7	Z> =	+ 0,4,

deren Summe null beträgt.

Nimmt man hierzu als Bedingungsgleichung:

i^+i

e^ + i

6 6 ' 6 6 ' ■ 6 6

SO wird fvergl. im 8. Kapitel, § 4, III): 3

D = 0.

B =

15

c

-0,9"

+ 0,5

-I>= + 0,4j

oder

i' = - 0,6000 Gew. C'= + 0,1333 Z>=-f0.2r.67

3 T

15

Mit den angegebenen Richtungsge^\T.chten wären nun weitere Verbesserungen der drei Richtimgen, die als voneinander unabhängig anzusehen sind, aus der Netzausgleichung herzuleiten.

Wü- berechnen nunmehr die Gesamtverbesserungen /. der Richtungsbeobachtungen.

Füi' Station 1 sind die Verbesserungen der Beobachtungs- werte (1) aus den Endergebnissen (43):

Satz

Somme Anzahl | Quotient

(44) 1 II 0 I + 0,0448 \ — 0,4265 — 0,3817

2 il 0 { — 0,6552 * — 0,6552

3 :' * : + 0,3448 + 0,6735 + 1,0183

— 0,1272

— 0,3276 + 0,5092

Hieraus folgen durch Subtraktion der Quotienten von den Werten der betreffenden Horizontalreihen die Verbesserungen X.

§ 7. Fehlerellipsen.

323

Übersicht der Verbesserung-eu l.

(45)

Satz	2	3	4 "	Summe
1 2 3	+ 0,1272 + 0,3276 i l	4-0,1720 — 0,3276 — 0,1644	— 0,2993 * 4- 0,1643	4- 0,2992 — 0,2993 -f 0,3276 — 0,3276 + 0,1643 — 0,1644

Für Station 2 folgt:

Übersicht der Verbesserungen X.

Satz

Summe

(46)

1	— 0,2071	4-0,0324+0,1748	4- 0,2072 -	- 0,2071
2 j	— 0,0410	+ 0,0409	+ 0,0409 -	- 0,0410
3 i	*	+ 0,ö788 1 — 0,5788	4- 0,5788 -	- 0,5788

für Station 3;

Satz

1

Summe

(47)

+ 0,2033 ' — 0,3023 I 4- 0,0991 — 0,29(57 ^ 0,1023 + 0,3991

4- 0,3024 — 0,3023 + 0,3991 — 0,3990

füi- Station 4:

Satz

Summe

(48)

1 j 4- 0,3416 j 4- 0,3498

2 ' + 0,3416 \ — 0,4502

— 0,6914 4- 0,6914 — 0,6914 4- 0,1086 ,j 4- 0,4502 — 0,4502

Aus den Übersichten (45) bis (48) ergibt sich: (49) {n) = 0,4040 + 0,7479 4- 0,4004 + -^-^^"^ = 2,0764. Andrerseits ist aus (AA) = (ee) -f- {yf}:

(11) = (0,2267 4- 0,4227 4- 0,1900 -{- 0,3200) + 0,9168 = 2,0762,

(50)

was eine gute Übereinstimmung gewährt.

Der mittlere Fehler einer Richtungsbeobachtung vom Ge- wicht 1 wird, da m — w4-G=8-f-4 ist:

l^

1) ^ = ±]/-^ = +|/öä73Ö= ± 0':416.

21 =

324 Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichung.

In bezug auf die verschiedenen Werte von [i nach (lO), (15), (20), (23) bzw. (24) und (41) ist zu erwähnen, daß sie sämtlich innerhalb der rechnungsmäßigen Grenzen übereinstimmen (vergl. S. 143 und 246). Wir können uns daher bei unserer Art der Aus- gleichung beruhigen, welche eben voraussetzt, daß nicht nur für alle Stationen der Einheit des Gewichts der gleiche mittlere Fehler zukommt, als auch, daß die Netzausgleichung keine neuen, bei der Stationsausgleichung verborgen gebliebenen Fehlerursachen andeutet.

Um zu ermitteln, mit welcher Genauigkeit der Punkt 4 gegen die Linie 1-2 festgelegt worden ist, nehmen wir 1-2 = 100000 Längeneinheiten als genau gegeben an und be- stimmen 4 durch Polarkoordinaten mit dem Ursprünge 1 und der Achse 1-2. Wir haben nun, wenn Seite 1-4 mit r^ und der

Winkel (" ) mit ip^ bezeichnet wird:

'•''( ■> ) /2.4\

(52) ,-,= 100 000- -)^^,(, !/;,= (, ).

also nach (25), S. 317:

(53) log ,4= 5 — (0,6000 + (2) — (ij + 0,6133 + //, 1 0,000002 IO6,

(54) ^^ = 90*^ 0' 0';8667 + §,,

woraus folgt, indem man erstens die Werte der Verbesserungen einsetzt:

(55) log r,= 4,9999981 -3, -i^, = 90^/ 0';4735, imd indem man zweitens differenziert:

(56) ^=f;;=-^;> =-0,4849: 'f = l.

^ dn^ (1(2) d{l) dE,^

Hiermit ist man zur Kenntnis der Differentialquotienten F der beiden Funktionen r^ und ip^ der Beobachtungsgrößen gelangt (vergl, S. 273, III). Aus ihnen erhalten wir mittels (31) und (32) die folgenden Differentialquotienten /':

(5') ^^ = -0,4849 = ^ = -^; ^''^ = 1.

^ ^ dv^ ' (7(2) d{l)^ di\

Wir berechnen damit aus (34) die Werte {i>/'} , {qf] usw. für r,.

§ 7. Fehlerellipsen. 325

Es ist:

_ A . (_ 0,4849)

\l>f] = Yb = + *^'^^^^

14

, ., (— 1) •(- 0,4849) , (_ 1) .(+ 0,4849) , (-f 1) .(— 0,4849) .'//} = -^5 + 1 + i

14

= — 0,5172, und ebenso sind die übrigen Summen gleich

— 0,4849, +1,4224.

Ihre Smnme -|- 0,7436 ist in Übereinstimmung mit dem aus der Summengleichung in (34) gebildeten Werte

{5/^} = + 0,7435.

Füi' i\}^ hat man

+ 0,6667, +1,3333, +0,6667, 0,

mit der Summe + 2,6667. Setzt man

so ist

j _ (- 0,4849)^ ^ i-M'i^*9)^ _^ (-0,4849)^ = U 6897

14

Die Zähler in 11 berechnen sich mittels (37*), man erhält für sie:

+ 0,3233

— 0,5172 — 0,40816 • 0,3233 = — 0,6492

— 0,4849 + 0,23471 • „ + 0,53179 -0,6492 = - 0,0638

+ 1,4224-0,66329- „ -0,52413- „ -0,35322-0,0038

= + 0,8452; die Nenner sind aus (37) zu entnehmen. Es wird damit:

_ (+ 0,3233)2 (— 0,6492f (— 0,0638)^ (+ 0,8452)- 3,2666 ' 377225 ' 2,7006 ^ 13,366

= 0,3745.

fi/= 0,3152-1^2= 0,3152 • 0,1730, (58) f<^ = + 0,233 Längeneinheiten.

326

Viertes Kapitel. Korrelatenausgleichuncr.

In ähnlicher Weise findet man für li'.:

I = y = 1,3333,

_ (+ 0,6667)« (4- 1,0612)« (+ 0,2589)« (+ 0,2054)«

3,7225

2,7006

3,1366

3,2666 = 0,4767.

in^^2_ Q^g56e^2_ 0,8566 • 0,1730,

(59) fV.= ±^''^^^-

Die Fehlerellipse für Punkt 4. Wenn wir als Funktio- nen F' und F" bzw. dr^ und r^iiil^^ nehmen, worin ör^ die

Änderung des ausgeglichenen Wertes von r^ und d ip^ die Änderung des ausgeglichenen Wertes von i^^ in Bogenmaß bedeutet, so ist:

(?,.!= 0,3152

^1

100000

206 265

?(»-[

0,3233 • 0,6667 0,649-2 1,0612

3.2666

0,0638 • 0,2589 0,8452 • 0,2054

2,7006

3,1366

])

3,7225 = + 0,03387

§ 7. Fehlerellipsen. 327

Damit wird

cot 2 iV= 1,681, 2.A'= 30^44';

(60) ^\ = lö*^ 22', K., = 105° 22',

und für die Halbachsen in Richtung von iVj und K^ ergibt sich mit u- = 0,1730:

(61) y 0^,1730(0,2013 + 0,03387 • 3,»; 39) = + 0,237 Längeneinh.

y 0,1730(0,2013 — 0,03387 • 0,275) = + 0,182

Die Unsicherheit in der Grundlinie 1-2 ist, wie eingangs bemerkt, nicht berücksichtigt.

Größere Beispiele für die Fehlerellipse geben die Werke „Den danske Gradmaaling", herausgegeben von C. G. Andrae, Bd. I und II, Kopenhagen 1867 und 1872 und „Das schweizerische Drei- ecksnetz", herausgegeben von der schweizerischen geodätischen Kom- mission, Bd. II, Zürich 1884.

Fünftes Kapitel. Uiitersiicliuug der Beobaclitiiiigsfeliler.

§ 1. Einfluß regelmäßiger FeMerursaclieii auf die Verteilung übrigbleibender Fehler >..

I. Zweck der Untersuchung. Nach beendeter Ausgleichung einer Beobachtungsreihe wird sich die Frage aufdrängen, in- wieweit man aus den übrigbleibenden Fehlern A beurteilen kann, ob nur zufällige oder ob auch regelmäßige Fehlerursachen zur Entstehung der den X entsprechenden wahren Fehler b beigetragen haben und welcher Form ^(f) ist, um zu ent- scheiden, ob die Rechuungsergebnisse wahrscheinlichste Er- gebnisse sind oder nur größte Gewichte haben, oder ob sie den Beobachtungen nur möglichst angepaßt sind.

Am besten würde es ja sein, wenn man (p{i) unmittelbar aus wahren Beobachtungsfehlern ableiten könnte. Manchmal wird dies möglich sein, wenn auch nur erst unter Zuziehung von noch anderem als dem auszugleichenden Material, das aljer diesem ganz gleicb artig sein muß.

Kann man sich nur an die Fehler ). einer Ausgleichung halten, so hat die Untersuchung nur dann Sinn, wenn die An- zahl der überschüssigen Messungen hoffen läßt, sich der Wahrheit hinlänglich genähert zu haben, um annehmen zu köimen, daß die A und £ nicht zu sehr verschieden sind, und daher tp{k) und ^>{a) angenähert übereinstimmen. Wenn jedoch die wahren Fehler £ teilweise von regelmäßigen und konstanten Fehler- ursachen herrühren und infolgedessen die A^erteilung derselben keine gerade Funktion ihrer Größe ist, so führt eme vermehrte

§ 1. Einfluß regelmäßiger Fehlerursach en. 329'

Anzahl Kontrollen bei der Ausgleichung nach der M. d. kl. Qu. nicht näher an die wahren Werte, sondern auf gewisse andere Werte, die im allgemeinen um so mehr verschieden von den wahren sind, je größer die Abweichung des Fehlergesetzes von der erwähnten Eigenschaft ist. Dies gilt auch für einseitig wirkende zufällige Fehler, falls es nicht möglich ist, ihren konstanten Teil li, (S. 16), in Rechnung zu ziehen. (Vergl. Czuber, Theorie der Beobachtuugsfehler, S. 252 u. f.) Die k werden in diesen Fällen im allgemeinen eine andere Verteilung befolgen als die wahren Fehler.

JI. Einfluß eiuer Ursache regelmäßiger Fehler auf die iihrigbleiheuden Fehler X der Ansgleichuug. Bei vermitteln- den Beobachtungen mit einer Unbekannten x lauten die Fehler- gleichungen:

(1) X.= -l.j^a^x.

Die wahre Verbesserung £ bestehe aus einem zufälligen Teile e ' und einem regelmäßigen Teile h^ Y, worin &^. eine von Beobachtung zu Beobachtung gesetzmäßig sich ändernde Größe (z. B. eine Funktion der Zeit oder eine Funktion von «^), Y eine Konstante sei.

Wären uns die fe,. bekannt, so würden wir Y als zweite Unbekannte y durch die Ausgleichung ermitteln können.

Die Fehlergleichungen erhielten dafür die Form:

l2) a;= — Z.+ a.a; + &i//.

Bildet man für beide Systeme die Normalgleichungen und

die entsprechenden Werte von x, bzw. von x und y, so

findet sich

(&M)

(.3)

i)>h-\)

Die X[ werden, da sie nur von zufälligen Fehlern herstammen, bei hinreichender Kontrollenanzahl eine Verteilung zeigen, die angenähert derjenigen zufälliger Fehler entspricht. Die A hin- gegen werden diese Verteilung nicht zeigen, da sie einen Teil enthalten, welcher ein ganz anderes Gesetz befolgt. Sie werden also die regelmäßig wirkende Ursache mehr oder weniger an- deuten.

330 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

Eine Ausnahme zeigt aber schon unser einfaches Beispiel; wenn nämlich allgemein

^ ' {aa) '

ist, d. h. wenn a^ und Ij. für alle Beobachtungen ein konstantes Verhältnis besitzen, dann wird die konstante Fehlerursache durch die übrigbleibenden Fehler A nicht angedeutet, weil nach (3) in diesem Falle A = A' wird. Trotzdem wird aber der Wert Yon x fehlerhaft erhalten: denn {al):(aa) ist nicht x, sondern

So wird im allgemeinen aus den A direkter Beobachtungen (gleicher Genauigkeit) einer Größe nichts über einen allen Beobachtungen anhaftenden konstanten Fehler zu entnehmen sein. Daher wird man z. B. aus den ?. einer Statiousaus- gleichung keinen Schluß auf konstante Seitenrefraktion machen können. Dagegen wird eine mit der Tageszeit oder mit der Jahreszeit veränderliche Seitenrefraktion hervortreten.

Wir betrachten noch einen einfachen Fall bedingter Be- obachtungen. Es seien

(6) £.= c.'+ö,X

die wahren Yerbessemngeu der Beobachtungen, und zwar f/ der zufällige, a^X der regelmäßige Teil. Nimmt man keine Rücksicht auf X, so gibt die Ausgleichung

(7) bA] + iq = 0. Wird aber X eingeführt, so wird

(8) Lp;/] + [«/)] x + M-i = o.

Also ist:

(9^ Q;(A'-A)] + [«i9]X = 0.

Es sind daher die Differenzen A/ — /.,. Funktionen von X, und da nun (bei zahlreichen Bedingungsgleichungen und über- schüssigen Beobachtungen) die /' die Verteilung zufälliger Fehler annehmen werden, so werden die A diese Veiieilung nicht mehr zeigen.

§ 1. Einfluß regelmäßiger Fehlerursachen. 331

Wenn jedoch der regelmäßige Teil der Fehler die Be- dingungsgieichungen erfüllt, indem [ap] = 0 wird, so ist an der Verteilung der A nichts von dem Vorhandensein der regel- mäßigen Fehlerursache zu bemerken. Die ausgeglichenen Be- obachtuugs werte sind alsdann nur wegen l = X' verbessert und um das regelmäßige Glied aX fehlerhaft.

So würde ein geschlossener Zug eines geometrischen Nivellements sehr fehlerhaft sein können, ohne daß es im Zu- sammenschluß zu bemerken wäre, wenn er über einen Bero- führt und wenn talwärts und bergwärts bei nahezu gleichem Ver- laufe mit ungleichen Zielweiten vor- und rückwärts o;earbeitet würde, weil der entstehende Einfluß der Okularröhrenstellung des Nivellierfemrohrs sich in der ganzen Schleife aufhebt. Bekanntlich nimmt man bei Feinnivellements gleiche Ziel- weiten vor- und rückwärts. Auch dann kann bei starkem Gefälle ein, allerdings nur kleiner, Fehlereinfluß auftreten durch «ine systematische Ungleichheit der Höhenrefraktion im Vor- und Rückblick. In Schleifen wird dieser Einfluß, abgesehen vom Wechsel der Luftverhältnisse, nur hervortreten, wenn die beiden Wege nach der Höhe verschiedene Steigung haben.

Ein Beispiel, wo der Ausnahmefall, daß die regelmäßigen Fehler die Bedingungsgieiehungen erfüllen und in den A nicht hervortreten, kaum jemals eintreten wird, bietet die Triangu- lation. In den Bedingungsgleichungen derselben werden eben- sowohl größere Seitenrefraktionen sich fühlbar machen, wie auch Instrumentalfehler, z. B. von der Art, daß alle Winkel zu klein gemessen werden.

III. Ursachen koustauter und regelmäßiger Fehler sind die lustrnmentalfehler, die persönlichen Fehler, die Fehler der Theorie u. a. ra. Zu den Mitteilungen im 1. Kap., S. 4 u. f., sei noch folgendes bemerkt. Die Instrumentalfehler wer- den zwar zu den Ursachen vermeidlicher Beobachtungsfehler gerechnet, insofern man sie im Mittel in der Hauptsache eli- minieren kann, doch zeigt die Geschichte der feinern Meß- kunst, daß es der Bemühungen vieler geschickter Künstler und ingeniöser Beobachter bedurft hat, um dahin zu gelangen.

332 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

einerseits die Größe der Instrumentalfebler im besondern Falle auf ein wünschenswertes Maß herabdrücken zu können, andrer- seits aber sie alle kenneu zu lernen und die Methoden zu ihrer Elimination durch Rechnung oder Beobachtung auszubilden. Der stetige Fortschritt der Wissenschaft zeitigt auch hier immer neue Anforderungen und neue Bemühungen.

Als persönliche Fehler bezeichnet man diejenigen regel- mäßigen Beobachtungsfehler, welche aus gewissen Besonder- heiten der menschlichen Sinneswerkzeuge hervorgehen. Xicht nur, daß die Sinneseindrücke uns erst nach Verlauf einer merk- baren, wenn auch kleinen Zeit zum Bewußtsein kommen: die Sinneswerkzeuge reproduzieren auch die von außen anlangen- den Anreffuncren in systematischer Weise unrichtig. Besonders bekannt sind die systematischen Einstellungsfehler eines Fadens auf die Mitte eines Objekts und die Schätzungsfehler der Stellung eines Zeigers an einer Teilung*): ferner die Fehler in der Schätzung der Zeit eines Sterndurchgangs durch einen verti- kalen oder horizontalen Faden im Gesichtsfelde eines Fernrohrs.

Er O' ahnt seien hier auch die Abrundungsfehler beim Ablesen an Teilungen. In der Regel kommt ihnen allerdings gar keine Bedeutung zu, da man Sorge trägt, daß sie sich innerhalb der andern Fehlereinflüsse halten.**)

Die ungenaue Definition und die Veränderlichkeit der Größen sind ebenfalls Ursachen systematischer Fehler. So ist ein Maßstab, abgesehen von thermischen Wirkungen, nicht absolut unveränderlich, je nach dem Material in verschiedenem Maße. Endstriche imterliegen persönlicher Auffassung: auch Endflächen definieren nicht ganz einwandfrei. Ein merkwürdiges

*) Diese Fehler zeigen eine sehr merk-vvürdige Abhängigkeit von der Stellung des Zeigers innerhalb der Nachbarstriche. 7ergl. A. W. Volk- mann. Über das Vermögen. Größenverhältnisse zu schätzen. (Ber. d. Königl. Sachs. Ges. d. W., math.-phys. Klasse. 1858 S. 188 u. f.)

E. Großmann. Über Schätzungen nach Augenmaß (Astr. Xachr> Bd. 170, 1906, Xr. 4066, Sp. 149 u. f.).

**) R. Lehmann-Filhes. Über die Ausgleichung abgerundeter Beobachtungen (Astr. Kachr. Bd. 110, 1885, Xr. 26-2-2, Sp. 93 u. f.; Bd. 120, 1889, Xr. 2876, Sp. 305 u. f.).

P. Pizzetti. Sur la theorie des observations arrondies fAstr. Xachr. Bd. 124, 1890, Xr. 2955, Sp. 33 u. f.).

Beispiel systematischer Veränderlichkeit bieten die geographi- schen Breiten, eine Tatsache, welche erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts deutlich erkannt wurde.*)

Als Fehler der Theorie bezeichnet man eine unrichtige Angabe der Funktion, welche die Beziehungen zwischen den beobachteten Größen ausdrückt.

§ 2. Untersucliung der Fehler zur Feststellung der wichtigsten Eigenschaften ihres Verteilungsgesetzes.

I. Gesetz der Verteilung der wahren Beobaclitungsfehler.

In einzelnen Fällen kann man den direkten Weg einschlagen, daß man die beobachteten Größen auf andere und so scharfe Weise ermittelt, daß sie als absolut richtig dem zu unter- suchenden Beobachtungsverfahren gegenüber anzusehen sind.

Mit Erfolg wird diese Methode u. a. in der Astrometrie zur Ermittelung persönlicher Fehler angewandt. 0. Struve bestimmte durch Messung künstlicher Doppelsterne die regel- mäßigen (= persönlichen) Fehler seiner Messungen an cölesti- schen Doppelsternen. In gleicher Weise gingen ich selbst**) und Bigourdan***) vor. Ferner findet man auf Sternwarten Apparate, mit denen der Beobachter zu jeder Zeit ermitteln kann, um wieviel er zu spät oder zu früh den Durchgang eines Sternes durch einen Faden beobachtet.

Auch die Geodäsie bietet Anwendungen dieses Verfahrens, die wahren Beobachtungsfehler kennen zu lernen. Messen wir z. B. mittels Basis und Triangulation eine Anzahl Längen in- direkt, so können wir, gewöhnlichen Lattenmessungen oder Bandmessungen gegenüber, die Angaben des ersten Verfahrens als absolut richtig annehmen und erhalten damit die wahren

*) Das Ausgleichungsproblem veränderlicher Größen behandeln:

Estienne. Yaleur plausible d'une grandeur variable (C. R. Bd. 130, 1900. S. 393 u. f.).

Feraud.^ Sur un probleme de probabilite des erreurs. (Bull. astr. 1903. S. 291 u. f.)

**) Der Sternhaufen im Sternbilde des Sobieskischen Schildes. Publikation der Hamburger Sternwarte. 1874.

***) Yergl. E. Großmann. Untersuchung über systematische Fehler bei Doppelsternbeobachtungen. Göttingen 1892.

334 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

Beobachtungsfeiiler als Differenzen der genauen Längen und der Ergebnisse der Latten messnngen oder Baudmessungen.*)

Werden die drei Winkel einer Anzahl trigonometrischer Dreiecke gemessen, so ergibt die Vergleichung der theoretischen Winkelsumme mit der beobachteten die Summe der wahren Fehler der drei beobachteten Winkel; diese Summe kann man als einen wahren Fehler in der Beobachtung der Winkelsumme des Dreiecks auffassen.

Überhaupt sind die Widersprüche von Bedingungsgleichungen wahre Fehler, die sich indessen nicht immer so gut wie im vorhergehenden Falle zu Untersuchungen eignen, teils weil sie nicht gleichartig zueinander sind, teils wegen Elimination kon- stanter Fehler in den Gleichungen.

IL Vorzeiclienprüfiiiig'. Ehe man an die Ableitung des Fehlergesetzes selbst geht, prüft man die Verteilung der Vor- zeichen und die Größenverhältnisse der Fehler, um zu erkennen, ob die Fehlerverteilung ein gerades Gesetz befolgt. Zwar ist dies für die Gültigkeit der mittleren Fehlerberechnung nach Gauß nicht unbedingt nötig: es genügt, daß die wahren Fehler s die Gauß sehe Bedingung, S. 17, erfüllen (oder daß der konstante Teil k von den s abgezogen ist); indessen han- delt es sich eben gerade darum, außer konstanten und regel- mäßiö'en Fehlem auch die etwa vorhandenen einseitig wirken- den zufälligen Fehler zu erkennen.

Für die Vorzeichenprüfung ist es erforderlich, daß die gemessenen Größen gleichartig oder gleichsinnig eingeführt werden, also z. B. die direkt gemessenen Winkel und nicht teilweise die Differenz: 360° — gemessener Winkel. Darauf ist besonders zu achten, wenn übrigbleibende Fehler ). einer Ausgleichung zur Untersuchung gelangen, weil bei der Auf- stellung der Fehlergleichungen manchmal Umsetzungen statt- finden können, die das Vorzeichen verändern.

A. In einer Reihe wahrer Fehler, die ein gerades Ver- teilungsgesetz befolgen, soll die Anzahl der positiven Fehler gleich der der negativen sein, abgesehen von einer Einheit bei ungerader Anzahl. Bezeichnen wir die Vorzeichen

*) Vergl. die auf S. 60 erwähnte Arbeit von C. Reinhertz.

§ 2. Untersucliung des Verteilungsgesetzes der Fehler. 335

mit V und setzen demgemäß V = + 1, so ist im Durchschnitt unendlich vieler Fälle die Summe

(1) 5 = F, + F, + F3 + . . . + F„

gleich null, da für jedes F- ebenso oft + 1 wie — 1 zu neh- men ist. Aus den folgenden Bemerkungen über die Häufigkeit der Fälle, wo s einen gewissen Wert hat, ergibt sich, daß s = 0 bei geradem n bzw. s = + 1 bei ungeradem n auch der wahrscheinlichste Wert ist.

Das mittlere Fehlerquadrat der Bestimmung s = 0 ist offenbar n, da die Quadrierung der Summe s aus den Quadraten der F n positive Einheiten gibt, während die doppelten Pro- dukte im Durchschnitt verschwinden.

Wir haben also als Ergebnis:

( Vorzeichensumme = null

(2) '

[ mit dem mittlem Fehler + yn .

Untersucht man die Häufigkeit bestimmter Werte s bei gegebenem n, wenn die Beobachtungsreihe unendlich viele Male wiederholt gedacht wird, so findet man wie bei Hagens Ableitung des Gaußschen Exponentialgesetzes, S. 13 15, daß die relativen Häufigkeitszahlen schon bei mäßig großen Werten von n angenähert nach dem genannten Gesetz interpoliert werden können. Die relative Häufigkeit der Fälle, wo :s\^ yn ist, oder die Wahrscheinlichkeit, daß s innerhalb der Grenzen + |/w liegt, ist somit angenähert gleich 0,083.

Ist die Yorzeichensumme s, absolut genommen, größer als Yn, so hat man daher ernste Veranlassung, systematische Fehlereinflüsse anzunehmen.

Hat man keine e, sondern nur Ä zur Hand, so ist natürlich die vorstehende Prüfung um so weniger von Bedeutung, je geringer die Anzahl Kontrollen der Ausgleichung ist (siehe weiterhin).

Da die möglichen Werte von s eine diskrete Wertreihe im. Intervall 2 bilden, so ist die Wahrschehilichkeit für s innerhalb + ]/n bei kleinem n merklich von 0,683 verschieden. Eine ge- nauere Untersuchung ergibt:

;• 0 484

0,683 -== bzw. 0,683 -\- -'-^ •

YÄ^27Vi -[/n

,336 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

Der erste Ausdnick gilt, wenn yn eine irrationale Zahl ist. r bezeichnet dann den echten Bruch, una den y n von der näch.sten ungeraden Zahl bei geradem n bzw. der nächsten geraden Zahl bei ungeradem n abweicht.

Der zweite Ausdruck gilt für den Fall, daß y 11 eine ganze Zahl ist. Er ist zugleich das Maximum des ersten Ausdrucks."^ j

B. Da systematische Fehler die eben behandelte Vorzeichen- verteilung' nicht immer ungünstig beeinflussen, so ist es weiter nötig, die Vorzeichenwechsel der Fehlerreihe zu untersuchen. Hat man die Vermutung, daß systematische Einflüsse vor- handen sind, die von der Zeit oder irgend einer andern Variablen abhängen, so ordne man die Beobachtungen nach der betrefl'enden Variablen. Die entstehende Vorzeichenreihe Vi . . . F„ wird dann eventuell Anhäufungen von positiven und negativen Zeichen besitzen. Es ist nun wichtig zu wissen, wie groß sich bei rein zufälligen Fehlern die Difl'erenz der Vorzeichen- folgen /' und der Vorzeichenwechsel /r wahrscheinlich ergibt.

Leicht zu erkennen ist, daß für F= + 1 die Gleichung besteht: (3) f-u-=V,V,-]- V,V,^V,V, + .-.^V„_,r„:

denn z. B. F,. F, _^_ j ist -f 1 für eine Folge, — 1 für einen Wechsel. Bei ungeradem n ist der wahrscheinlichste Wert von /' — ir ofi'enbar null, indem jedes Produkt F^-F^-^.^ ebenso leicht -\- 1 wie — 1 sein kann und die Anzahl der Produkte gerade ist. Bei geradem n kommt -f 1 oder — 1 heraus. Es genügt, für unsere Zwecke als Ausgangswert f — /r = 0 zu nehmen; dies ist der Durchschnittswert für unendlich viele Fälle.

Die mittlere Abweichung des Wertes /' — w von null ist die Quadratwurzel des Durchschnitts von dem Quadrat des Ausdrucks (0) für unendlich viele Fälle. Dies Quadrat ist gleich:

V,' V.J + TV 77 + F32 F/ + • • • + F„ix F„2 nebst doppelten Produkten von der Form ^F^Fj.;^!^^^ ^^^ ^ ^"i^^i + i ^/t^A + i "^^^ Ä>i+1. Der Durchschnittswert der

*) Vergl. hierzu und zu dem Folgenden: F. E. Helmert. Über die Genauigkeit der Kriterien des Zufalls bei Beobachtungsreihen. (Sitzungsber. d. Königl. Preuß. Akad. d. Wissensch., phys. -mathem. Klasse, 1905. S. 594—612.)

§ 2. Untersuchung des Verteilungsgesetzes der Fehler.

Produkte ist null; die Quadrate geben zusammen n — 1 ist die mittlere Abweichung des f — iv von null gleich

337

Also

(4)

+ yn — 1

Die Wahrscheinlichkeit, daß s innerhalb + ]/w — 1 liegt, ist angenähert wie beim Gaußschen Fehlergesetz gleich

0,683,

da schon für mäßig große n die Häufigkeitszahlen von /" — w sich durch das Gaußsche Gesetz interpolieren lassen, wie jetzt angedeutet werden soll.

Bei nur zwei Fehlern hat man folgende vier verschiedene Werte von f — iv:

		1	"i U	/■-	?r
	+ 1 +	1 +
	+ 1 -	l' i —
	-1 +	l —
	— 1 —	l +
Bei drei Fehlern	hat man:
y. T-, T-3 +1 +1 +1	f — w + 2	-1	y, + 1	^3 + 1		/■-	- IC 0
+ 1 +1 -	1	0	— 1	+ 1	— 1		—	2
+1 - 1 +1	2	- 1	— 1	+ 1			(\
+ 1 -1 -	1	0	— 1	— 1	— 1		+	2
Bei vier Fehlern	ergibt sich:
^1 n ^z + 1 +1 +1	y, + 1	/■ - IV + 3	T\	^^2 + 1	^'3 + 1	y, + 1	+ 1
+ 1 +1 +1	— 1	+ 1	— 1	+ 1	+ 1	— 1	— 1
+ 1 4- 1 - 1	+ 1	-1	— 1	+ 1	— 1	+ 1	— 3
+ 1 +1 - 1	— 1	+ 1	— 1	+ 1	— 1	— 1	— 1
+1 -1 +1	+ 1	— 1	— 1	— 1	+ 1	-f 1	+ 1
+ 1 - 1 +1	— 1	- 3	— 1	— 1	+ 1	— 1	— 1
+ 1 -1 - 1	+ 1	— 1	~	— 1	— 1	+ 1	+ 1
+ 1 -1 -1	—	1	+ 1		— 1	— 1	-	- 1	+ 3

Helmert, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl.

22

338 Fünftes Kapitel. Unteretichung der Beobachtungsfehler.

Bei fünf Fehlern erhält man;

+ + + + + + + +

+ + + + +

+

+ + + + + + + +

— 1

— 1

— 1

— 1

— 1 - 1

— 1

— 1

+ 1

+ 1

— 1

— 1

+ 1 + 1

— 1

— 1

+ 1 + 1

— 1 -1

+ 1 + 1

— 1

— 1

+ + + +

+

+ +

f-w

+ 4

+ 2

0

+ 2

0

2

0 '

+ 2 ■

0

— 2

— 4

0

+ 2

Die Zusammenstellung gibt:

j f—w= —4 —3 —

f 10

+ 2 0

— 2 0

2

— 4

— 2 0

+ 2 0

— 2 0

+ 2

0

+ 2

+ 4

0 +1 -1-2 -|-3 +4

n	V,	n	V,	F,
— 1	L -f 1	L +1	+ ]	+ 1
— ]	L +]	4-1	+ ]	— 1
— ]	L +]	L +]	L — ]	+ 1
— ]	L +]	L +1	L — ]	— 1
— ]	1 1	— ]	+ ]	^ +1
— ]	L +]	— ]	+ 1	L — 1
— ]	L +1	L —	l — ]	^ +1
— 1	t +	— 1	l — ]	L — 1
— :	l — ]	l +	L +]	L +1
— ]	L — ]	l +]	L +	l ^ 1
	__	l +	l — ] l — ]	L — 1
" ]	l —	l —	' 1	l +1 1
— ]	L —	l —		L +1
— ]	l —	l —	l — ]	L — 1

(5) ^ 3 ^^^^^- !

"° keits- I

zahlen

2-42 6 • 6 •

8 ■ 12 • 8

Man erkennt, daß die Häufigkeitszahlen, abgesehen vom Faktor 2^ die Binomialkoeffizienten sind (Vergl. S. 14); denn durch das Hinzutreten eines neuen Fehlers werden aus jedem Einzelfalle zwei neue, einer mit /' — iv um 1 mehr, der andere mit f — w um 1 weniger. Die Häufigkeitszahlen für n = b entstehen also aus denen für y^ = 4 nach dem Schema:

0 2 6 G 2 0

0

12

2 0;

Wie bei Hagens Ableitung des Gaußschen Fehlergesetzes gelangt man hiermit wieder dazu, die relative Häufigkeit oder AVahrscheinlichkeit für das Vorkommen bestimmter Werte /' — tv nach diesem Gesetze näherungsweise zu berechnen.

§ 2. Untersuchung des Verteilungsgesetzes der Fehler. 339

Der wahrscheinlichste Wert vou f — tv ist nun 0 oder + 1^ je nachdem n ungerade oder gerade ist. Als Ergebnis erhalten wir:

( Anzahl der Zeichenfolgen — Anzahl der Zeichenwechsel = null \ mit dem mittlem Fehler + ]/# — 1.

Ist diese Differenz, absolut genommen, größer als |/« — 1, so ist ein systematischer Einfluß der Variablen, nach der die Beobachtungen geordnet sind, zu vermuten; denn die Wahr- scheinlichkeit, daß f — IV zwischen den Grenzen +yn — 1 liegt, ist bereits angenähert 0,683.

Da die möglichen Werte von /' — ic eine diskrete Wertreihe

mit dem Intervall 2 bilden, so ist die Wahrscheinlichkeit für f — w

innerhalb + yn — 1 bei kleinem n merklich von 0,683 verschieden.

Die genaue Untersuchung gibt

r 0 484

0,683 _ bzw. 0,683 + ' -

^/4,27(»— 1) j/n — 1

Der erste Ausdnick gilt, wenn yn — 1 irrational ist: r bezeichnet

dann den echten Bruch, um den yn — 1 von der nächsten ge- raden Zahl bei geradem n bzw. von der nächsten ungeraden Zahl bei ungeradem n abweicht. Der zweite Ausdruck gilt füi- rationale

Werte von "|/w — 1.*)

Im vorhergehenden ist keine Rücksicht genommen auf das Vorkommen des Beobachtungsfehlers null. Obwohl seine Wahrscheinlichkeit unendlich klein ist, tritt er doch wegen der Abrundung der Zahlenwerte in wirklichen Fehlerreihen nicht selten auf. Da man nun über das Vorzeichen des eigentlichen Fehlerwertes im ungewissen ist, so kann man die Summe s der Vorzeichen und diejenige der Zeichenfolgen und -Wechsel, f — tv , zweimal bilden, einmal für ein positives Vorzeichen und

*) Vergl. in meiner auf S. 336 angegebenen Abhandlung S. 602 '603; ferner auch:

H. Seeliger. Über die Verteilung der nach einer Ausgleichung übrigbleibenden Fehler. (Sitzungsber. der math.-phys. Kl. d. Königl. Bayer. Akad. d. Wissensch. 1899, XXIX, S. 3 u. f.) Seeliger faßt das Problem anders auf, als hier geschehen; er erörtert auch noch die erste Differenz- reihe.

22*

340 Fünftes Kapitel. UnterBuchung der Beobachtungsfehler.

einmal für ein negatives. Das Mittel beider Annahmen kommt darauf hinaus, in der Vorzeichensumme s für den Fehler null wirklich null zu setzen, und ebenso für f — tv den Anteil, welchen der Fehler null mit den beiden Xachbarfehlem gibt, zu vernachlässigen.

Auf die mittleren Fehler hat der Fehler null überhaupt keinen Einfluß: er muß nur in w mitgezählt "werden.

III. Prüfung durch mittlere Fehlergrößeii. Wir setzen hier gleiche Genauigkeit der Beobachtungen voraus. Im Falle ungleicher Genauigkeit sind die Prodnkte eYg einzuführen.

A. Ist q)(e) eine gerade Funktion, so wird der durch- schnittliche Wert von [e] gleich null, und es ist zu erwarten, daß die Summe der positiven s gleich der der negativen ist.

Das mittlere Fehlerquadrat der Annahme [f] = 0 ist aber -iz^yn, ihr wahrscheinlicher Fehler nahezu = + y/ti)/«, wo- bei angenähert ii'^=[sa]:n ist. Der wahrscheinliche Fehler ergibt sich in der angegebenen Weise aus dem mittlem mit Rücksicht darauf, daß die relative Häufigkeit für Werte von [f] sich bei großem n nach dem Gaußschen Fehlergesetz bemißt.

Wir können leicht erkennen, daß jedenfalls die Annahme [f] = 0 die sichei-.ste ist; denn die Annahme [f] = .s hat das mittlere Fehlerquadrat s^+ >«.u-, ist also für s = 0 am günstigsten

Das Ergebnis ist also:

Summe der Fehler [f] = 0

W_o

1 mit dem mittlem Fehler ^^ nYn == + ]/[« s] . Hieraus folgt:

(7*)

mit dem mittlem Fehler H —•

~ Yn

Liegt der Absolutwert von [e] : n außerhalb u : Yn , so hat man starken Anlaß zu vermuten, daß ein konstanter Anteil /.• = [£] :m da ist.

[f] nähert sich mit wachsender Anzahl keineswegs immer sicherer der Null, wie oft behauptet wird, sondern dies gilt nur für [s] : »2.

§ 2. Untersuchung des Verteilungsgesetzes der Fehler. 341

Die Prüfung (7) hat natürlich gar keinen Sinn für Werte A, bei denen infolge der Ausgleichung [A] bzw. [Xg] = 0 ist.

B. Bei geradem Fehlergesetz wird man zu erwarten haben, daß die Summen der Quadrate der positiven und negativen Fehler einander gleich sind. Bezeichnet wieder V- die Vor- zeichen der €^, so heißt dies, man erwartet, daß

ist. Abweichende Werte werden bei geradem l'ehlergesetz sich beiderseits von null gleich häufig in gleicher Größe zeigen. Bildet man das durchschnittliche Quadrat des vorstehenden Ausdrucks für unendlich viele Fälle, so ist dieses das mittlere Fehlerquadrat der Annahme null. Bezeichnet nun v^ den durchschnittlichen Wert von e^, wofür man angenähert setzen kann: (8) ..'-[''J

n

so ist das in Rede stehende mittlere Fehlerquadrat gleich nv^, der mittlere Fehler also + v^Yn. Eine andere Annahme für [Vs^] als null würde ein größeres Fehlerquadrat geben; die Annahme null ist die sicherste fvergl. A). Man hat somit das Ergebnis:

IEs ist die Summe der Quadrate der positiven £ gleich der der negativen mit dem mittleren Fehler + v^Yn oder +")/[£*]. Liegt die Differenz beider Quadratsummen, absolut genommen, außerhalb r'^]/>? , so ist eine einseitig wirkende Fehlerursache zu -vermuten.

C. Abbesches Kriterium. Sind die Fehler £,...£ nach einer Variablen geordnet und erzeugt diese systematische Einflüsse, so ist zu vermuten, daß im allgemeinen in den Unterschieden s^— e-_^^ sich ein Teil der Einflüsse hebt. Hier- von ausgehend empfahl E. Abbe*) die beiden Quadratsummen zu bilden:

*) Über die Gesetzmäßigkeit in der Verteilung der Fehler bei Be- obachtungsreihen. Jena 1803. (Habilitationsschrift.) — Auch abgedruckt in: ErnstAbbe. Gesammelte Abhandlungen. Bd. II .Jena 1906, S. 55— 81.

342 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungafehler.

Bei zufälligem Charakter der s muß aber im Mittel unendlich vieler Fälle

(11) B = 2Ä

sein, und zwar nicht nur bei geradem Fehlergesetz, sondern auch bei ungeradem, falls die £ von ihrem konstanten Teil (S. 16/17) befreit sind.

Auch hier kommt es nun darauf an, die Unsicherheit dieser Annahme anzugeben. Es ist aber

(12) ^- ^ == C'=£if2+ f2«3H ^ «„_!««+ ^„^1-

Das mittlere Fehlerquadrat der Annahme C = 0 ist , da der Durchschnitt der doppelten Produkte verschwindet, gleich nu*] der mittlere Fehler ist also + jti"]/?«.

Eine andere Annahme für C würde ein größeres mittleres Fehlerquadrat geben; die Annahme C = 0 ist daher die sicherste.

Man sieht, daß mit wachsendem n die mittlere Abweichung des Wertes C von null keineswegs, wie manche behaupten, sich verkleinert, sondern daß sie sich vergi'ößert. Eine stetige Annäherung an null mit wachsendem n zeigt aber C : n , da dessen mittlerer Fehler +/i^:]/?2 ist.

Wir haben nun als Ergebnis:

(13)

mit dem mittleren Fehler + -—- ,

wobei Ä und B nach (10 j zu bilden sind. Ferner ist:

(13*)

mit dem mittleren Fehler H — ^-r ;

denn man hat

n 2n

(Vi-vi:)in+yfj

§ 2. Untersuchung de.s Verteilungsgeaetzes der Fehler. 343

Da nun 1/ " und l/„ nichts anderes sind als zwei Werte

für fi, so ergibt sich leicht (13*) aus (13). Man kann aus (13) auch noch bilden:

(13-) ¥ = i±7„-'

wo + 1 :|/w im Sinne eines mittlem Felüers zu verstehen ist. Wenn bei den Relationen (13;, (13*) und (13**) die mittleren Fehler überschritten werden, so sind systematische Einflüsse zu vermuten.

D. Modifiziertes Abbesches Kriterium. Wenn man vermutet, daß in einer Reihenfolge s^, e^, . . . s ein systema- tischer Einfluß sich zeigen werde, dergestalt also, daß wie z. B. bei einem periodischen Einfluß benachbarte € annähernd gleich- viel beeinflußt sind, so erscheint die Mitnahme der letzten Differenz («„ — e^) in der Summe B, (10), von fraglichem Nutzen, wenn nicht etwa das Intervall von der 1. bis zur n. Beobach- tung gerade der Periode entspricht. Man setzt dann anstatt B besser an:

(14) 0, - e^y-^(s.^-e,yi-- ■ . + (f„_,- fJ2= 5*. Setzt man nun ferner:

(15) £l £.. + £2 £3 H -h £„ _ i£„ = C*

so ist es zweckmäßig noch zu nehmen: (lö) [,2]_A!+i!^ = ^*,

damit wieder die Beziehung:

gilt.

Der Durchschnittswert von ("^ ist null, sein mittlerer Fehler ±:fi^yn — 1. Hiermit findet sich als Ergebnis:

(17)

mit dem mittleren Fehler -\ J_ :

344 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler, ferner

^^^^^ ) V n-l y '2in-lj

mit dem mittleren Fehler H ^^ ,

K ~ 2yn—l

und

B

■j/n — 1

Anstatt mit Abbe Differenzen benachbarter Werte direkter Beobachtungen zu bilden, kann man mit gleichem Erfolg auch Mittelwerte bilden, um besondere Fehlerursachen zu erkennen. Man kann dann noch weiter gehen und drei, vier und mehr Nachbar- werte mittein und aus den Abweichungen dieser Mittel vom Ge- samtmittel den m. F. fi berechnen. Dieses Verfahren wurde unter meiner Mitwirkung von W. Seibt 1890 bei der Untersuchung des Mittelwassers der Ostsee bei Swänemünde für einen 78 -jährigen Zeitraima eingeschlagen.* )

Die Verbesserung d eines Mittels aus l Nachbarwerten aufs Mittel der n Werte ist

i n '

worin [e]^ die Summe der wahren Verbesserungen der / Nachbar- werte, [e]^ dasselbe ftu- alle n Werte ist. Das mittlere Quadrat von 8 ist hiernach g-leich

^Hi-i).

wenn ju.^ das mittlere Quadi'at eines £ ist und die f als rein zu- fällig angesehen werden. Daraus folgt zui* Berechnung von ^ aus der Summe der n — i + 1 vorhandenen 6' die Formel :

(18) '" = ±]/,

[SS]

i -\- 1 n — i

In der folgenden Tabelle sind die hieraus berechneten ft dividiert durch yi mit dem Index l versehen und den W^erten fi-' gegenüber- gestellt, die aus der Formel ^■' ^ (i^iyi folgen. Die Einheit ist der Millimeter.

*) Das Mittelwasser der Ostsee bei Swinemünde. 2. Mitteilung. (Veröffentlichung des Königl. Preuß. Geod. Inst. i Vergl. auch: Jahres- bericht d. Direktors 1889/90: S. 2G 27.

§ ö. Nähere Prüfung des Verteilimgsgesetzes der Fehler. 345

i = 1 2 3 4 6 8 12 19 38

fi. = ± 43,0 32,9 27,6 23,7 19,2 15,7 13,5 10,0 7,6 ^u.'=±43,0 30,4 24,8 21,5 17,6 15,2 12,4 9,9 7,0.

Hiernach sind außer den rein zufälligen Fehlern noch systematische vorhanden, die sich immer über mehrere benachbarte Jahre er- strecken. Ihr Betrag liegt jedoch unterhalb eines Drittels von ju.^ .

§ 3. Nähere Prüfung des Verteilimgsgesetzes der Fehler.

I. Prüfung, ob ^(e) mit wachsendem t abnimmt. Bei

ungleicher Genauigkeit sind die e in sYy überzuführen, um Größen gleicher Genauigkeit zu erhalten.

Nehmen wir zunächst (p(s) = ^ , einer Konstanten, nach

Maßgabe des Fehlergesetzes I, S. 13, so wird die Wahrschein- lichkeit Wj daß ein s zwischen den Grenzen + ßji liege (ß ein beliebiger Koeffizientj, gleich ß^:a. Ist nun u die Anzahl aller Fehler, so folgt daraus wegen /u^=a:]/3

(p{s) = 1:2a;

Anzahl der f zwischen den

Grenzen: 4- |Ju gleich 0,57735^«

(1 ) „ ± l,15470u, „ 0,66667w

„ + JA „ 0,.57735w

„ + 0,86603 fi „ 0,50000 w.

Ist für /3 ^1/ , d. i. 1,15470, die Anzahl der Fehler zwischen diesen Grenzen größer, so geht aus den Untersuchungen von Gauß (Theoria conibinat. observ.) hervor, daß (p{£) mit wachsendem s im allgemeinen abnimmt.*) Denn man hat dann die Beziehungen:

^'i Gauß' Werke Bd. IV, S. 10 11. Yergl. ferner:

A. Winckler. Allgemeine Sätze zur Theorie der unregelmäßigen

Beobachtungsfehler (Wiener Sitzungsber. LH, Dez. 1865\

L. Krüger. Über einen Satz der Theoi-ia combinationis TGöttinger

Nachr., math.-jDhys. Klasse. 1897, Heft 2).

346 Fünftes Kapitel. Untersuchung der ßeobachtungsfehler.

(2)

cp{s) abnehmend b(	31 wachsendem t,
^£	2	w	für	Tf	>	2 y
ߣ	2		für	11^	=	2

ß ^ wys für ir ^ y

IL Vergleichuiig' mit bekainiteu Fehlergesetzen. Wir be- rechnen zunächst im Anschluß an die §§ 2 und 3, S. 13 u. f., wieviel von n = 1000 Fehlern zwischen den Grenzen + fi und + 2jLi liegen für die drei Annahmen über (pu).

Annahme I

2 a

fi^^h ''^o'

Nach (1) liegen

zwischen -f- u: 0,57735 m FehJ er

^ '' „ + 1,73205 |Li : genau n „

Annahme U. Zwischen den Grenzen +ß(i liegen von n Fehlern:

i::/!!-^-)"'.

d. i. nach (15), S. 22:

(4) 0,67082ß(l-g)n.

Für ß = l und 2 folgt: Es liegen

zwischen + /i : 0,62610 >? Fehler, ^^^ „ ±2u: 0,9s387w „

Annahme III.

Y 7t

§ 3. Nähere Prüfung des Verteilungsgesetzes der Fehler. 347 Zwischen den Grenzen + ßa liegen von n Fehlern:

V

0

d. i. nach (18), S. 23:

2h 'r ,..j

h^iu 0,7071 1,-f

(6) V [(>-'"' dt oder ~ Ce-^-dt.

Ü 0

Mittels der auf S. 23 gegebenen Integralwerte folgt daraus für ß = l und 2: Es liegen

CO

zwischen ±^ : 0,68269 Fehler, „ ±2u: 0,95450 „ .

(8)

Übersicht über die Verteilung der f:
Von 1000 f liegen dem bei Annahme
absoluten Werte nach zwischen j x II	m

null und u j 577 626 683

null und 2u u und 2u

1000 ' 984 I 954 423 358 271

Dagegen liegt die Hälfte der Fehler nach dem Täfelchen auf S. 24 :

bei Annahme I zwischen + 0,86603 /u

(9) „ „ II „ + 0,77658 u

„ III „ ± 0,67449 jit.

Eine summarische Vergleichung der Verteilung der £ nach den drei Annahmen wird ermöglicht durch Berechnung des Ver- hältnisses von ju und ^. Nach S. 24 ist:

für die Annahme I 11 III

(10)

.u : ^ = 1,15470 1,19257 1,25331.

Für die Annahme UI, das Gaußsche Gesetz, setzen wir noch /3 == 0,1; 0,2: . . . 1,9: 2,0; 2,5: 3,0 und erhalten:

348 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler. Von 1000 Fehlern liegen zwischen den Grenzen

ai)

+ 0,0u:	0	Diff.	±1,1^:	729	Diff.
0.1	80	80	1,2	770	41
0,2	159	79	1.3	806	36
0,3	•236	77	1,4	838	32
0,4	311	75	l,ö	866	28
0,5	383	72	1,6	890	24
0.6	451	68	1,7	911	21
0,7	516	65	1.8	928	17
0.8	576	60	1,9	943	15
o,y	63-2	5G	2,0	954	11
1,0	683	51	2,5	988	34
1.1	729	46	3,0	997	9

Mit Hilfe dieser Tabelle kann man leicht eine Vergleichung mit der wirklichen Fehlerverteilung erzielen, indem man die Zahlen in (11) noch mit n : 1000 multipliziert. Unter Umständen wird mau auch die theoretischen Zahlen neu berechnen, wenn die Grenzen der Intervalle nicht durch Zehntel -u ausgedrückt sind. Zur Berecknung der Fehleranzahl für enge Intervalle emphehlt P. Schreiber die einfache Formel*):

(12;) ''(«i+i- 0^9^'-^ ^ <P'ii+iX

wobei unter f der Absolutwert zu verstehen ist: für weitere Litervalle wird die Simpsonsche Regel besser sein:

Vergleicht man eine wirkliche Fehlerverteilung mit der- jenigen nach Gauß' Gesetz, so kann man nun noch nach der Wahrscheinlichkeit der Übereinstimmung fragen. Hierauf gehen wir nicht ein, sondern verAveisen auf die Untersuchungen von Lehmann-Filhes und Boris Weinberg.**)

*) Abhancll. des Königl. Sächsischen Meteorologischen Instituts. Heft 1, Leipzig 1896; S. 34.

**i Lehmann-Filhes. Über wahrscheinlichste Fehlerverteilungen. Astr. Nachr. Bd. 127 1891. Xr. 3043. Sp. 3u5— 316.

Boris Weinberg. Über die Wahrscheinlichkeit einer Fehler- verteilung. (Astr. Nachr. Bd. 153 ISOOs Xr. 3659, Sp. 193—204.)

Boris Weinberg. Betrachtungen über Fehlerverteilungen. (Astr. Nachr. Bd. 161 ',1903), Nr. 3847, Sp. 113 u. f.*

§ 3. Nähere Prüfung des Verteilungsgesetzes der Fehler. 349

Um eine übersichtliche Darstellung des wirklichen Fehler- gesetzes zu gewinnen, trägt man die auf gleiche Intervalle reduzierten Fehleranzahlen n^ als Ordinaten in die Mitten der zugehörigen Abscissenstrecken auf und verbindet die ent- stehenden Punkte durch eine Kurve. Macht man dasselbe mit den theoretischen Zahlen, so ergibt sich die entsprechende theoretische Kurve.

Eine genauere graphische Behandlimg, die ich gegeben habe, wird im nächsten Beispiele behandelt werden.*)

Beispiel. 51 Dreieckswidersprüche der Verit'ikations- basisnetze der indisclien Vermessuncr.**) Die Zahlen sind nach der Größe oreordnet in Sekunden:

-f 0,005 + + +

+

20 '.»7 109 159 179 189 210 211 229 250 266 296

+ 0,302 — 308

— 0,560

— 561

+ +

+

+ + + +

+

349 35-2 375 384 405 472 508 509 536 537 550

+

+ +

+

580 603 604 610 637 640 672 741 756 926 979

— 1,060 + 1,225

— 1,270

— 1,344

— 1,372

— 1,400

— 1,408 + 1,460 -j- 1,467 + 1,804 + 2,010

— 2,291.

Hiervon sind 24 positiv. 27 negativ, also Unterschied 3: der wahrscheinliche Unterschied ist + ^l/Sl oder rund +5. Ferner gibt es 29 Zeichenfolgen und 21 Wechsel. Unterschied 8:' der wahr- scheinliche Betrag ist + —YöO oder + 5.

Weiter ist

[f] = _ 3,931, [£2j_37gy^

also

f*^

0,743. jii = + 0,869.

*) F. R. Helmert. Die Bestimmung des Fehlergesetzes aus Be- obachtungen auf graphischem Wege. TZeitschr. f. Vermessungswesen. Bd. VI (1877), S. 22—26.)

**) Account of the Operations of the Great Trigouometrical Survey of India. Vol. I. By Colonel .J. T. Walker. Dehra Dun 1870.

350 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

Die mittlere Abweichung der [ej von null ist fi]/51 = + 6,2. Eine konstante Abweichung der Dreiecksabschlüsse von null ist also nicht angedeutet.

Die Quadratsummen der positiven und negativen £ sind 17,15 und 20,72. Ilir Unterschied ist 3,57; der mittlere Wert desselben ist v^Ybl = + 9,41, da v^ aus den 4. Potenzen der £ gleich «*.f ^ _ 1,73 ist.

.Ol

Die Abbesche Prüfung muß hier wegbleiben, da die £ nach der Größe geordnet sind (wenn auch pos. und neg. durcheinander).

Um zu einer genaueren gra- phischen Darstellung für die Fehlerverteilung zu gelangen, wui'de folgendermaßen ver- fahren.

Die relative Häufigkeit der Fehler £ zwischen dem negativen Maximum — a und £ ist gleich

(1) 0{e) =fcp(e)

ds.

Fig.

Die Kurve y = 0(e) läßt sich recht genau konstruieren, wenn man den 5 1 Fehlem entsprechend <5(£)als Ordinatenvon 1. . .5 1 mm, wie in Fig. 1, von unten nach oben aufträgt, indem man die £ durch 1 mm breite horizontale Bänder darstellt. So entsteht ein treppenförmiges Gebilde, welches man durch eine Kurve aus- gleichen kann (in Fig. 1 ausgezogen). Dieses ist die Kui-ve y = 0(^e), wobei nur die Maßstäbe der Abscissen £ und der Ordinaten y willkürlich sind. Denn zu einem Punkt der Kurve gehört ein Fehler £ als Abscisse und

§ 3. Nähere Prüfung des Verteilungsgesetzes der Fehler. 351

eine vertikal abzuzählende Fehleranzahl, welche ^{s) proportional ist, als Ordinate. Nun ist aber

(2) ^W - '^-

Die Ordinate (p(s) der Fehlerkurve für die Abscisse e ergibt sich daher, wenn man, wie in Fig. 2, das rechtwinklige Dreieck S(^R mit 11 an den Endpunkt von e anlegt; hierbei ist SR eine willkürliche konstante Basis und SQ ist parallel der Kurventangente bei P in Fig. 1 für dieselbe Abscisse.

Zur Vergleichung mit der Kurve nach Gauß' Gesetz setzen wir für diese an:

(3) .^ = 06-"^-%

worin c vom Maßstab abhängt. Da nun beide Kurven mit der Abscissenachse , entsprechend der relativen Häufigkeit 1, gleiche Flächen umschließen müssen, wird:

(4) e re-*'*VZ£ = ^-^- = 548,

— X

da die Kurve q)ie) in Fig. 2 548 qmm Fläche hat.

Setzt man ferner fest, daß den beiden Kurven der gleiche mittlere Fehler entsprechen soll, so ist

l:h = 0,8G9 l/2 = 1,23 Sekunden,

(5'

= 12,3 im Maßstab der Zeichnung; somit wird

c= 548 : 12,3]/7r = 25,2 und (3*) 7} = 25,2e-(^ = ^-''3)\

Dieser Gleichung entspricht die gestrichelte Km-ve in Fig. 2.

Die zu^ehöricre gestrichelte Kurve in Fig. 1 hat die Ordinaten:

(«) " ■ V^ß

'ds.

Der Faktor 51 rühi-t davon her, daß für die obere Integral- grenze + oo die Ordinate gleich 51 werden muß.

Es möge noch der wahrscheinliche Fehler nach den ver- schiedenen möglichen Verfahren abgeleitet werden. Abzählen des mittelsten (26.) Fehlers gibt

(7) Q = 0,550.

352 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler. Aus dem mittlem Fehler folgt durch Multiplikation mit 0,674

(8) () = 0,586. Der durchschnittliche Fehler gibt

(9) 9 = 0,845-^-*^^ = 0,577.

Endlich hat man noch 2q durch Abzählen desjenigen Fehlers, der von 18"/o der 51 Fehler (d. h. von 9 Fehlem) überschritten wird,

(10) 2^=1,270 und ^ = 0,635.

Wenn man bedenkt, daß die günstigste Bestimmung (8) doch eine mittlere Unsicherheit von + 0,586 : "j/l 02 = + 0,058 hat, so stimmen die nach den vier Verfahren erzielten Werte genügend überein.

Im allgemeinen zeigt sich ein ziemlich zufälliger Charakter der FehleiTcihe; über die Abweichungen vom Gaußschen Gesetz nach den Kurven von Fig. 2 vergl. weiterhin Nr. IV dieses Paragraphen.

III. Prüfling anf Grimd übrigbleibender Fehler. Sind keine wahren Fehler gegeben, sondern nur scheinbare A, so behandelt man sie zuerst wie wahre, benutzt also u. a. an- statt |Lt^:

und anstatt d".

(15) *.=^''.'^;

denn es handelt sich zunächst nur um die Prüfung des Yer- teilungsgesetzes der A.

Die Frage, ob das Resultat der Untersuchung über q)(l) auf cpis) ausgedehnt werden könne, läßt sich mit einiger Wahrscheinlichkeit nur dann bejahen, wenn die Anzahl der überschüssigen Messungen nicht allzu gering ist. Im all- gemeinen kann man sagen, daß der von der Ausgleichung er- zeugte Zwang die l gerade so beeinflußt wie systematische Fehlerquellen. Diese Fehlerquellen können nun unter Um- ständen die eigentlichen systematischen Beobachtungsfehler sranz verdecken.

§ 3. Nähere Prüfung des Verteilungsgesetzes der Fehler. 353

Ein Maß zur Beurteilung des Unterschiedes der A und s geben die Größen /i^ und /[i; z. B. bei yermittelnden Beobach- tungen ist

2_[^] 2_[^^]_ [^^]

^^ n ' ^ n n — m

Nach § 5, (1) u. (2), S. 137, ist der Durchschnitt der Quadrate der Differenzen d.= s^ — A, gleich — von [es] — [AA]. Es ist also im Mittel der Unterschied eines wahren und eines übrigbleibenden Fehlerquadrats gleich

^^ - ,a/ = [A A] -7^^ = fi' -,

oder der mittlere Unterschied (f — A) gleich

(16) .ul/f,

welcher Ausdruck bei bedingten Beobachtungen in

(") ■ t^y^'

übergeht.

In dem früher behandelten Beispiel des Gaußschen Fünf- ecks, S. 259, wird die mittlere Abweichung von e und A gleich

± 0,419 y^^^, d. 1. ±0';33;

sie ist im Vergleich zu den A, S. 259, so groß, daß man aus der Verteilung der A kaum einen Schluß auf die der s ziehen kann.

Wie wenig Aussicht auf die Verteilung der s bei relativ wenigen Kontrollen die A eröffnen, sieht man bei einem Dreieck. Auch bei völlig zufälligem Charakter der s der drei Winkel gibt hier die Ausgleichung bei gleich genauer

Beobachtung der drei Winkel A^ = Ag = Ag = -, also im all- gemeinen ganz unzutreffend.

Wenn aber die Untersuchung der A auch aussichtslos er- scheint, so kann doch vielleicht etwas dadurch zu erreichen sein, daß man bei bedingten Beobachtungen die Widersprüche

Helmert, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 23

354 Fünftes Kapitel. Untersuchting der Beobachtungsfehler.

w betrachtet, die ja wahre Fehler sind. Bei andern Aus- gleichungsformen müßte man auf Bedingungsgleichungen redu- zieren.

Entspricht 9'(A) keinem zufälligen Fehlergesetz, so wird in der Regel (p(e) noch weniger die Eigenschaften eines solchen besitzen, da alsdann die A im allgemeinen nur einen Teil der regelmäßigen Fehler enthalten. Aber auch wenn (p{l) die Eigenschaften zufälliger Fehlergesetze hat, so wird, wie wir auf S. 330/331 gesehen haben, doch Aufmerksamkeit darauf zu wenden sein, ob etwa Ursachen regelmäßiger Fehler vorhanden sein könnten, welche durch die Ausgleichung nicht angedeutet werden.

Beispiel. Fortsetzung zu S. 40/43. Hier handelt es sich um die Bestimmung einer Unbekannten, deren Wert sich zu null ergibt. Die l sind daher die negativen k:

(3)

Die Beobachtungen zerfallen in vier Gruppen zu je vier, deren beide ersten an je einem Tage beobachtet sind, während die letzten zwei auf einen Tag fallen. Daß besondere Fehlerquellen wirksam waren, zeigte schon die kleine Rechnung auf S. 56/57. Es macht in der Tat den Eindruck, als hätten bei der zweiten und vierten Gruppe konstante Einflüsse gewirkt.

Zunächst sei festgestellt, daß der mittlere Unterschied von s

und k nur ft : "|/l6 = + 0",17 beträgt. Man kann also wohl von dem

Verhalten der k auf das der e schließen.

9 positiven Fehlern stehen 7 negative gegenüber; der Unterschied 2

2 g

liegt innerhalb der wahrscheinlichen Grenzen + "5" K 16, d. i. + -r-*

8 Zeichenfolgen und 7 Zeichenwechsel geben f — /r = 1 • die

wahrscheinlichen Grenzen sind + -w-y'i-ö = + 2,6 .

Die Summe der Fehler ist jetzt gezwungenermaßen gleich null.

Die Summen der Quadrate der positiven und negativen Fehler sind 3,65 und 3,12. Der Unterschied 0,53 liegt weit innerhalb der mittleren Grenzen + V;^yi6 = + 2,48; hierzu berechnet sich v>= 6,16 : 16 = 0,385, y/= + 0,620, vergl. S. 76.

4- 1';27	-f o';o3	— o';9o	— o':6o
— 0,78	+ 0,07	+ 0,20	— 0,90
+ 0,11	-f 0,08	+ 0,96	— 0,17
— 0,71	-f 0,56	-^0,86	— 0,03.

§ 3. Nähere Priifung des Verteilungsgesetzes der Fehler. 355

Ferner ergibt sich für das Abbesche Kriterium aus (3):

2,05^+ 0,892h 1- 0,142+ 1^302= 14^84,

also 5=14,84, während J. = [£2] = 6,77 ist. Daher ist 5:2^ = 1,10,

während die mittleren Grenzen sind 1 + -7=1, d. i. 0,75 bis -1,25.

— |/l6 Dieses Kriterium ist also auch günstig.

Der Annahme eines im wesentlichen zufälligen Charakters der X und £ steht hiernach nichts entgegen.

Allerdings zeigt sich eine Fehleranhäufung zwischen (i^ und 2(l■^, d. i. i 0,62 und + 1,24, indem man hat:

wirkl. nach Gauß' G.

nidl bis (i^ d 11 Fehler

(i^ bis 2ft; 6 4

darüber 1 1 „ .

Mit Rücksicht auf die Vorzeichengruppierung in (3) bilden wir noch die arithmetischen Mittel der vier Gruppen und erhalten:

a; = — 0,03, +0,18, +0,28, —0,42;

hieraus folgt wieder der Endwert x = 0,00. Der mittlere Fehler aus den Widersprüchen der vier Gruppenmittel ist:

l/ 0,2881 , ^,.

Dies stimmt aber mit dem auf S. 77 aus den 16 Werten der X berechneten m. F. so gut überein (ist namentlich eher kleiner als größer), daß auch hier wieder der im ganzen zufällige Charakter der Beobachtungsfehler hervortritt.

IV. Vermischnng von Beobachtnngsreilien verschiedener Oenauigkeit. Auf eine besondere Abweichung des tatsächlichen Felilergesetzes vom Gaußschen haben Newcomb, Lehman n- Filhes und Schols hingewiesen.*) A. Ferrero**) und

*) S. Newcomb. A generalized theory of the combination of observations so as to obtain the best result. (Amer. Journ. of Math. Vni, 1886, S. 343 u. f.)

Lehmann-Filhes. Über abnorme Fehlerverteilung und Verwerfung zweifelhafter Beobachtungen. (Astr. Nachr. Nr. 2792, Bd. 117 (1887), Sp. 121 u. f.)

Ch. M. Schols. De wet van de fouten van waarneming (K. Akad. van Wetensch., Verslagen d. Afdeeling Natuurk. 1892/93. S. 194 u. f.). **) Verhandlungen d. Inter. Erdm. in Paris 1889, S. 91 u. f. Ver- handlungen in Brüssel 1892, Triangulationsber., S. 4 u. Taf. (A).

23*

	wirklich	nach	Gau
bei 0	147		137
„ 5	221		240
„ 10	129		166
„ 15	77		88
„ 20	38		36
„ 25	23		12
über 27	49		5

356 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

F. Guarducci*) untersuchten die Verteilung der Schlußfehler zahlreicher italienischer geodätischer Dreiecke und fanden eine Abweichung vom Gaußschen Gesetz, die Schols erklärte.

New comb gibt als Beispiel die Verteilung der Fehler von 684 Beobachtungen des innern Kontakts von Sonne und Merkur bei Merkurvorübergängen vor der Sonne. In Zeit- sekunden lagen Fehler

. Beob, — Theor. + 10

— 19

— 37

— 11 + 2 + 11 + 44.

Der mittlere Fehler ist rund 10. Die tatsächliche Ver- teilungskurve zeigt also im mittleren Teile eine Einsenkung, bei null und für größere Fehler eine Erhebung über die Gaußsche Kurve (vergl. auch Fig. 2 auf S. 350, wo nur die Einsenkung bei € = 0 wegzudenken ist).

Nehmen wir an, daß sich q FehleiTeihen mit den ver- schiedenen Präzisionen /i^, h^, . . . h^ mischen, und verhalten sich die Anzahlen der Fehler y^le p^: p^: . . . : p^, wobei

(18) hA = 1

sein soll, so ist für die Mischung der Reihen das Fehlergesetz:

(19) "P^^Y^^P^'^'^"''^^

1=1

denn die Anzahl der iu das Intervall £ und b -\- de fallenden Fehler entspricht q){a)da mit ^(f) nach (19).

Mit Rücksicht [auf den Umstand, daß man nicht mit h, sondern mit dem mittleren Fehler /u = 1 : h'\/2 rechnet, schrei- ben wir:

*) Gli errori di chiusura dei triangoli della triangolazione catastale modenese etc. (Rivista di Topografia e Catasto, 1889.)

§ 3, Nähere Prüfung des Verteilungsgesetzes der Fehler. 357 Die ganze Fehlerreihe gibt

(21) _ im einzelnen wird also ist	.a,2 =[££].: w.;
(22) da p^ = n^ : n ist.	^'=[i?i/*/],
Wir setzen nun
(23)	^i^=^'+A,

und entwickeln die einzelnen Glieder von cp{e) [mittels des Taylorschen Satzes nach Potenzen von A^, wobei zu ^beachten ist, daß [i^f Aj] = 0 wird. Infolgedessen fällt das Glied mit den ersten Potenzen A^ weg. Es folgt mit Rücksicht auf (18):

Durch Integration ergibt sich die Anzahl der Fehler zwischen null und £ | gleich

(25) -^^ Ce-^^de+-^(''^-i^)\-^^^^'^ + ..-.

0

Die in [j^jA/] multiplizierten Glieder in (24) und (25) geben die Abweichung gegen Gauß' Gesetz. Da die runde Klammer in (24) verschwindet für s:^ = V3 + ]/6, d. i. 0,74 und 2,33, so haben die Fehlerkurven nach Gauß' Gesetz und nach (24) gleiche Ordinaten für |£| = 0,74|u. und 2,33j[i. Da ferner die runde Klammer in (25) für £:^=]/3 verschwindet, so ist die Fehleranzahl für beide Kurven dieselbe zwischen den Gren- zen null und 1,73 |u,.

Im Falle des vorstehend gegebenen Beispiels stimmt die Theorie nur ganz roh mit der Erfahrung. Dagegen gibt Schols ein Beispiel mit 2170 Dreiecksschlußfehlern, bei dem für die drei Werte s gleich 0,14^, 1,73/i und 2,33iu. Theorie und Erfahrung sehr gut übereinstimmen.*)

*) Andere Beispiele gibt J. P. van der Stok in den Abhand- lungen ,,0n frequency curves of meteorological elements" und „On fre- quency curves of barometric heights" (K. Akad. van Wetensch., Verslagen 1905, S. 314 u. 1906, S. 549).

358 Fünftes Kapitel. Untersuchung der ßeobachtungsfehler.

Schols weist noch darauf hin, daß die Abweichung des wirklichen Fehlergesetzes vom Gaußschen ja auch in der Ent- stehung der Beohachtungsfehler aus Elementarfehlern gesucht werden könne. In den betrachteten Fällen findet er aber dann die Abweichung vom Gaußschen Gesetz nach der andern Seite.

§ 4. Prüfung und Verbesserung der Gewichtsannahmen.

I. Näheruiigs verfahren. Eine Untersuchung darüber, ob die Beobachtungen mit richtigen Gewichten in die Ausgleichung eingeführt sind, ist sehr wichtig, weil bei falschen Gewichts- annahmen die Ausgleichung nicht die besten Werte ergibt. Selbstverständlich ist Voraussetzung, daß die X nur von zu- fälligen Fehlern herrühren. Wenn die A sehr nahe die t selbst sind, S. 353, so kann man in der Weise vorgehen, daß man ermittelt, ob die durchschnittlichen Werte der A^ im um- gekehrten Verhältnisse der angenommenen Gewichte stehen. Bei erheblichen Abweichimgen ist eine neue Ausgleichung vor- zunehmen mit Gewichten, die dem umgekehrten Verhältnisse jener Durchschnittsfehlerquadrate genügend entsprechen.

In dieser Weise habe ich die A diskutiert, welche Koppe aus den trigonometrischen Höhenmessungen am Gotthardtunnel erhielt. Hier sind 27 Bestimmungen für 9 Unbekannte. Die Gewichte g waren gleich 100 : s^ gesetzt, mit s als Distanz in km. Die Bildung von drei Gruppen [AA] ergab, daß g = 100^ : s* besser ist.

Es folgte für die Annahme:

[^X^] : Anzahl g = l 6510: 8 = 814

2 bis 5 1617 : 8 = 202

6 bis 60 972: 11= 88.

Dieselben A geben aber mit den Gewichten 100^ :s^ folgendes:

g=l 6510: 8= 814

4 bis 25 6790 : 8 = 849

36 bis 3600 14034:11 = 1276.

Bedenkt man, daß eine neue Ausgleichung mit den ver- größerten Gewichten die entsprechenden A verkleinern wird,

§ 4. Prüfung und Verbesseruncr der Gewichtsannahmen. 359

SO dürften die drei Gruppen wohl sehr nahe gleiche Durch- schnittswerte [AAf/] geben.*)

Dieses Näherungsverfahren ist nicht unbedenklich und kann sehr in die Irre führen, wie nachfolgendes einfache Beispiel zeigen soll.

Hat man nur eine Unbekannte und zwei Fehlergleichungen:

0, -\- /., = cix

so ist bei gleichen Gewichten «A^ + ^2=0, und bei großem a daher Aj immer viel kleiner als ?..2. Liegen nun viele solche Fälle vor, wo aus zwei Gleichungen immer eine Unbekannte zu bestimmen ist, stets aber eine andere, so wird [A^A^] < [AgAg] sein, obgleich doch für die ersten und zweiten Fehlergleichungen

/*i^=/^2^ ist-

Dergleichen Fälle sind gar nicht selten.

Bezeichnet s wahre Fehler, so ist:

und hieraus wegen aA^ + Ag = 0:

j 1 a i^ -j- ^2

/•9 — £a • E £ — 9 ^1^; •

A^ = f j — ae Also wird

durchschnittlich ist:

AoAo = rt^l/Aj^-f «^'^2^) • (^"+ 1)"= Cl^^i^i-

Liegt dieselbe Aufgabe bei verschiedenen x viele Male vor, so gelten dieselben Ausdrücke für die Durchschnittswerte von [A^AJ und [A2A2]. [JL^ und Uo lassen sich einzeln hier gar nicht bestimmen. Das bleibt auch so, wenn man ungleiche Gewichte zugrunde legt. (Ist x in allen Gleichungspaaren dasselbe, so ergeben sich /i^ und a^ leicht aus den Widersprüchen der ersten und zweiten Fehlergleichungsgruppen in sich.)

*) C. Koppe. Trigonometrische Höhenmessungen zur Tunnel- triangulation. — F. R. Helmert. Diskussion der Beobachtungsfehler in Kopp es Vermessung für die Gotthardtunnelachse. (Zeitschr. f. Ver- messungsw. Y. Bd., 1876, S. 129 u. f.)

360 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobaclitnngsfehler.

IL Strengeres Verfahren. Ein solches ist am Platze, wenn zwar viele überschüssige Beobachtungen vorhanden sind, also 6 = n — m groß ist, aber doch A von s stark abweichen kann, weil "j/w : n kein kleiner Bruch ist. Wir wollen das Verfahren an dem einfachen Falle von « Fehlergleichungen mit zwei Unbekannten zeigen und annehmen, daß zuerst mit gleichen Gewichten 1 ausgeglichen sei, nachträglich aber für zwei Gruppen, in welche die Beobachtungen gegliedert werden können, die neue Gewichtsbestimmung erfolgen soll.*j

Die Entwicklung beginnt damit, daß man A,. durch die e^ ausdrückt und den Mittelwert von A^Ä^ für unendlich viele FäUe ableitet, vergl. S. 137 u. f. Nach (2) und (5) daselbst hat man

(1) ^,= f.— «.[«fl-^[/3f]

mit (S. 106)

«i= «i^l.l + ^.-^1.2; A= «.-^1.2 + i>iQ2.2,

wobei
	[««]^1.2+[«&]^2.2=0

ist. Im folgenden brauchen wir gewisse Hilfsgrößen K, die wir gleich hier einführen. Dabei bedeutet z. B. [ah]' die Summienmg über die erste Gruppe mit n' Fehlergleichungen, [ah]" dasselbe für die zweite Gruppe mit n " Fehlergleichungen, so daß

(3j n = n + «", \a,\>\ = [ah]' + [ah]" usw.

Wir setzen: iK\., = [aa]'Q,., + [ahYQ,., K',., = [aa]' Q,,, + [ah]' Q,,, 'W\., = [^ih]'Q,.,^[hh]'Q,., K',., = [ah]'Q,.,-h[hhYQ,., und ., iK'i, = [aa]"Q,,, + [ah]"Q,,, K':,„ = [aa]"Q,., + [ah]"Q,,,

*) Einen Fall bedingter Beobachtungen mit Zahlenbeispiel habe ich behandelt in der Veröffentlichung des Königl. Preuß. Geodätischen Instituts von 1886: Lütabweichungen, Heft I. S. 78—82.

Für die Gewichtsbestimmung der Beobachtungen auf den sechs internationalen Polhöhenstationen gab G. Förster Formeln und ein Beispiel. (Astr. Nachr. Nr. 4045, Bd. 169 (1905), Sp. 193—202.)

§ 4. Prüfung und "Verbesserung der Gewiclitsannahmen. 361 Aus (2) bis (5) folgt:

^^^ ' ^;.2+^'i'.2=ö -^'s. 2+^7.2=1.

was die Berechnung der Ä^Systeme erleichtert. Da die Q hier nicht gebraucht werden, so wird man z. B. die K' aus folgen- den Gleichungen berechnen:

|[aa]^;.i + [a&]iL;.j = [art]' [aa\K\,.^ + \ah\K'^,^ = [ahY ^ ^\[al)\Kl^ + [hh\K',,^==[ahY [al'\Kl,+ \b}>\Kl.,= \]jh-\' . Aus (1) folgt nun, abgesehen von Gliedern mit e-Sf^:

+ al[aH'-\ + 2a,&,[«^.2] + \'[ßH'Y

für den Durchschnitt unendlich vieler Fälle gibt dies, wenn ^'^ und jit"- den Mittelwert von f^ für beide Gruppen be- zeichnen und l- der Gruppe mit ^a' angehört:

V=/i'^(l-2a,a,-2fe,^,)

+ ^'^(«,^[««1' +2«,6,[a/3]'+&,2[/3/3]') + a"\a^\aa\" +2aMaß]" +h:\ßßY).

Summiert man von 1 bis n' und beachtet (1), (4) und (5), so folgt:

[u]' = ^'Xn'-2x;.,-27c;.,)

+ l^"^ (^'i . 1 ^T- 1 + -^1 ■ 2 -^2 . 1 + -^2 • 1 -^'l'- 2 + ^^2 • 2 ^2 ■ 2) '

Entsprechend ist:

(9j + il"\K'[\ + 2K'i,Kl, + X;'^,)

Für ^'= |tt" = fi gibt [A2]'-l- [^2]"= [AA] den bekannten Wert ii^{n — 2), wie durch Addition von (8) und (9) mit Rücksicht auf (6) folgt.

Aus den beiden Gleichungen (8) und (9), die eine Art Normalgleichungssystem bilden, kann man nun it'" und a"^ ableiten.

362 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

Die Genauigkeit dieser Ableitung ist schwer genau an- zugeben; man weiß aber für den einfachen Fall der Bestimmung von ^^ bei gegebenen Gewichten, daß sie mit n — m oder 6 wächst, vergl. S. 143. Gliedert man nun in ^' und /t", so wird die Genauigkeit gewiß geringer. Denkt man sich die Aufgabe in der Form bedingter Beobachtungen, so wird man eine brauchbare Bestimmung nur erwarten können, wenn nicht allein 6 gToß ist, sondern auch sowohl die ?J wie die A" sich auf viele Gleichungen verteilen und nicht etwa die eine oder andere Gruppe nur in wenigen Gleichungen vorkommt.

Selbstverständlich müssen auch die Fehleranzahlen n und n" größere Zahlen sein; für eine Gruppe von wenigen Fehlem oder gar nur einem einzigen ist nichts zu erzielen!

Die obige Berechnung von a und a" gibt nur eine An- näherung, und noch nicht die günstigsten Werte, insofern die neuen Gewichte bei Wiederholung der Ausgleichung der Be- obachtungen andere A ergeben, womit sich auch a und u" wieder ändern.

III. Zergliederung von (i^ in mehrere Teile. Um zu einer richtigen Gewichtsschätzung zu gelangen, wird es manchmal nützlich sein, das mittlere Fehlerquadrat in mehrere Teile zu spalten, die den wechselnden Umständen entsprechen. Man setzt z. B. bei Feinuivellements in der Ebene einfach u-= lu'^, wo h die Länge bezeichnet. Bei größeren Höhenunterschieden machte es sich aber nötig,

'' 7. '2 I r? 21 "9

II- = /i\a - + l'i ju, -

zu setzen, nämlich bei Nivellements mit Holzskalen, die nicht (wie neuerdings) täglich verglichen wurden, sondern weit seltener (etwa jährlich nur einige Male); dabei bezeichnet nun // kleinere Nivellementshöhen, für die die Längeneinheit der Skala als konstant betrachtet werden kann.

Allgemeiner wollen wir für eine Beobachtung

(10) "/=«/.""+ V.«"'

setzen mit Uf und r/ als gegebeneu Größen (wie vorher k und [/r]), die von Beobachtung zu Beobachtung wechseln. Zur Ableitung der Unbekannten a und u" zieht man am besten

§ 4. Prüfung und Verbesserung der Gewichtsannahmen. 363

eine Reihe von wahren Fehlem zu, z. B. Dreieckswidersprüche, Unterschiede von Nivellements derselben Strecke oder Wider- sprüche von Nivellementsschleifen usw. Man kann dann bei n gegebenen Fehlern £ ansetzen:

(11) v+"-.= ^.V^+^.V'^

i =\ . . .n

und hat die Summe [«f'/'ö',] zn einem Minimum zu machen. Die Gewichte g^ kann man mit genügender Annäherung gleich

setzen; denn wenigstens beim Gaußschen Fehlergesetz hat eine einzelne Bestimmung u} = e?^ das mittlere Fehlerquadrat 2(a^, vergl. S. 32.

In g^ sind \i und /i" als bekannt zu denken. Die Normal- gleichungen werden dann:

Man beginnt die Rechnung mit irgend welchen Nähenmgs- werten für g^, z. B. g^= 1, bestimmt a'- und ^u"-, damit bessere g^ usw. Zur Prüfung, ob die erhaltenen Werte genügen, dienen Gleichungen, die man aus (13) erhält imter Einsetzen der g^ nach (12):

r ^** 1 — r ^*"' 1

r _, ^'^ ^1 = T- - — — ^

und hieraus

(15) [-.-,'' . .>J = n *)

^ ^ Lwft " -f- r-u -J -^

Anstatt wahrer Fehler s kann man auch übrigbleibende Fehler A einer Ausgleichung benutzen, jedoch ist dies wie in dem ähnlichen Falle von S. 359 nicht unbedenklich.

*) Vergl. Eingehenderes in dem Aufsatze von F. R. He Im er t: Zur Bestimmung des Gewichts von Beobachtungen, deren mittleres Fehler- quadrat sich aus mehreren Teilen zusammensetzt. (Astr. Nachr. Nr. 2127, Bd. 89 (1877), Sp. 225 u. f.) Hier ist auch ein Beispiel gegeben. — In dem Aufsatze haben sich einige Druckfehler eingeschlichen ; das Symbol g ist dort die Quadratwurzel der Gewichte und in (32) muß rechter Hand g"^ stehen

364 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

IV. Ausschließen einzelner Beobachtungsreihen; Maximal- fehler. Diese beiden Fragen hängen eng zusammen. Zeigt sich bei einer Ausgleichung, daß eine Beobachtung eine Ver- besserung A erfordert, die den mittleren Fehler (i mehrfach übersteigt, so entsteht naturgemäß die Frage, ob nicht die Ausschließung geboten ist, um Ergebnisse zu erhalten, die sich der Wahrheit stärker nähern als ohne Ausschluß. Um ein Kriterium zu erhalten, hat man mehr oder weniger verwickelte Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen angestellt.*) Mir scheint das Folgende zu genügen.**)

Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Fehler, absolut genommen größer als J/ ist, wird nach S. 10, 13 und 23 für Gauß' Ge- setz gleich

2

(16) VV

M

Mit — = Q hat mau folgende Reihe für W nach einer von

Schlömilch gefundenen Formel.***)

(11-

Tl

er ' (2 + 3*) (4 + 3*)

(2 + g^(4 + 3«)r6 + 3*) /

Hieraus folgt für die Wahrscheinlichkeit W, daß e größer als M sei,

iür M = 2(i W= 0,046 oder etwa ^

3/i 0,0027

(18)

4u 0,000063

Oft 0,00000057

1

ioö 1

16000

1

2000000*

*) Vergl. Czuber, Theorie d. BeobachtTingsfehler, S. 206 u. f., ferner Lehmann-Filhes und S. Xewconab, siehe S. 355.

**) F. R. Helmert. Über den Maximalfehler einer Beobachtung. (Zeitschr. f. Vermessungsw. VI. Bd., 1877, S. 131 u. f.'

***} Kompendium der höhern Analysis. II. Bd.. 1. Aufl., Braun- sehweig 1866, S. 266.

§ 4. Maximalfehler. 365

Nach Maßgabe des Gaußschen Fehlergesetzes wird somit bei 20 Beob. eine Beob. einen Fehler > 2^ haben,

^ ^ „ 16 000 „ „ „ „ „ >4a „

„ z • i\j „ „ ,, „ „ !> o^ „ .

Der zu erwartende Maximalfehler ist also

bei 10 Beobachtungen gleich etwa 2ix,

„8000 „ „ „ 4^,

denn z. B. bei zehn Beobachtungen ist die Anzahl der Fehler, die größer als 2u werden, gleich 10 ■ 0,046 = 0,46, d. i. etwa |; usw.

Hiermit stimmt die Erfahrung gut überein, wie die bereits erwähnte Untersuchung von A. Ferrero (^vergl. S. 355) bei Dreiecks Widersprüchen zeigte. Solche Widersprüche müssen Gauß' Gesetz gut befolgen, weil sie sich aus drei Winkelfehlem zusammensetzen, deren jeder schon ein Mittel vieler Fehler wegen der wiederholten Messungen ist; mithin sind die Wider- sprüche aus zahlreichen gleichartigen Elementarfehlern zu- sammengesetzt: der Vorbedingung für das Bestehen von Gauß' Gesetz.

Aus der graphischen Tafel bei Ferrero folgt, geordnet nach der Anzahl der Widersprüche:

iH =3,5fi, 3,1 (4,3) (4,0) 3,4 3,4.

Dies stimmt recht gut mit (20); bei den eingeklammerten Zahlen besteht eine Abweichung von Gauß' Gesetz wegen Ver- mischung von Reihen verschiedener Genauigkeit.

Nach Maßgabe von (20) wird man beurteilen, ob eine stärker abweichende Beobachtung auszuschließen ist. Nament-

(21)

n = 136	M--	= 2,8(4	«=1519
226		2,6"	1577
479		4,1	2170
662		3,1	2204
706		3,9	3096
1508		(5,2)	3802

366 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobaclitungsfehler.

lieh bei geringer Anzahl der Beobachtungen muß man aber vor- sichtig sein, da die Erfahrung lehrt, daß oft die stärker abweichen- den Beobachtungen die Ausgleichungsergebnisse verbessern. W. Jordan*) suchte die Theorie durch die Annahme

(p(s) = c(l -^^\

wo a der Maximalfehler und q ein Exponent größer als eins ist, zu erweitern. Er bestimmt dann q für eine Reihe ge- gebener £ aus v'*^ und ju,-. Uns scheint hierbei ein Mangel in dem Fehlen des Nachweises zu bestehen, daß (piß) auch die angegebene Form hat. Fehlt aber eine solche Untersuchung, dann ist es doch besser, das Gaußsche Gesetz anzunehmen, von dem man weiß, daß es im allgemeinen der Erfahrung ent- spricht. Abweichungen können vorhanden sein, wenn die An- zahl der Elementarfehler klein und ihre mittlere Größe un- gleich ist. Aber es bleibt fraglich, ob solche Abweichungen durch eine Funktion (p{£), wie vorher angegeben, besser getroffen werden, als durch das Gaußsche Fehlergesetz.

Jordan behandelt auch die Frage der Ausscheidung einer Beobachtung. Da bei seiner Annahme für g)(s) mit wachsendem q die Differenz ou^ — v^ immer kleiner wird und für dasjenige q, bei dem das Exponentialgesetz eintritt, verschwindet, so betrachtet er als Kriterium der Anwesenheit auszuscheidender Fehler, daß

3/u'*— v^ negativ wird.**) Nimmt man nun aber an, daß für n Fehler genau 3a^= v^ sei und noch ein größerer Fehler s hinzuträte, so zeigt eine leichte Rechnung, daß bei großem }i schon für s > 2,4 a die Differenz 3/tt^ — 1>^ negativ wird. Man müßte also in diesem Falle Fehler > 2,4 a ausscheiden, was ganz unzulässig erscheint.

§ 5. Ermittelung systematisch wirkender Ursachen.

I. Benutzung der Kriterien des Zufalls und der Fehler- verteilung:. Durch die Prüfung der Fehler £ oder A in der angegebenen Weise auf etwa vorhandene Abweichungen von dem zufälligen Charakter kann man oftmals das Bestehen einseitig

*) Handbuch der Vermessungskunde, I. Bd. 5. Aufl. 1904, S. 568. **) Ebenda S. 581.

§ 5. Ermittelung systematisch wirkender Ursachen. 367

wirkender zufälliger Ursachen oder regelmäßig wirkender Fehler- quellen erkennen. Eine Verbesserung ist alsdann dadurch herbei- zuführen, daß man für den regelmäßigen Fehler einen mathe- matischen Ausdruck mit zu bestimmenden Konstanten in die Ausgleichung einführt, bei einseitig wirkenden Ursachen aber die Konstante k (S. 16) als Unbekannte mitführt; vergl. hierzu die nächsten beiden Beispiele. Besser wird es natürlicherweise sein, wenn man nachträglich diese Unbekannten auf direkte Weise ermitteln kann.*)

IL Benutzung verschiedener Berechuungsweisen von ju^

In vielen Fällen ist es möglich, den aus der Ausgleichung hervorgehenden mittleren Beobachtungsfehler zu vergleichen mit Bestimmungen desselben auf anderem Wege oder mit Bestimmungen aus demselben Beobachtungsmaterial, aber durch andere Gruppierung (ein Beispiel dazu bietet Abbes Kriterium). Ist keine genügende Übereinstimmung vorhanden, so ist dies ein Zeichen, daß in dem einen oder andern P'alle unbeachtete und also meistens regelmäßige Fehlerursachen eingewirkt haben. Nicht selten handelt es sich dabei um Fehlereinflüsse, die innerhalb gewisser Beobachtungsgruppen konstant wirken, aber von Gruppe zu Gruppe einen rein zufälligen Wechsel besitzen.

In manchen Fällen kann es nützlich sein, wenn eine Reihe e (oder A) gegeben und passend gruppiert ist, außer den ^i— £i^i, wie bei Anwendung des Abbeschen Kriteriums, noch zu bilden fj— fj_,_2j ferner die Reihe £j — £^4.3 usw. Dies Verfahren wurde vom Geodätischen Institut benutzt, um die Natur der Veränderlichkeit der Pendel (für Schwerkrafts- messungen) festzustellen.**) (Vergl. auch S. 344.)

*) In der Abhandlung: Über den wahrscheinlichsten Wert der Aberrationskonstanten (Astr. Nachr. Nr. 3886, Bd. 162 (1903), Sp. 17 u. f.) macht Boris Weinberg den Versuch, Gewichte der Ergebnisse ver- schiedener Methoden in der Weise abzuschätzen, daß die Abweichungen der Fehlerverteilung von der wahrscheinlichsten beachtet werden; vergl. auch spätere Abhandlungen desselben Verfassers in den Astr. Nachr.

**) Vergl. die Veröffentlichung des Königl. Preuß. Geodätischen In- stituts: Bestimmung der Polhöhe und der Intensität der Schwerkraft auf 22 Stationen von der Ostsee bei Kolberg bis zur Schneekoppe. Berlin 1896, S. 280 u. f.

368 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

Weitere Beispiele geben die Triangulationen, bei denen zunächst jede Station für sich ausgeglichen wird, worauf die Netzausgleichung folgt. Vergl. hierzu im 8. Kap. die §§ 1 und 4.

III. Bestimmung der Unbekannten auf verschiedene Art und Weise. In manchen Fällen wird eine völlige Sicherheit nur durch Bestimmung auf ganz verschiedene Art zu erreichen sein, weil trotz aller Kontrollen sich konstante und regelmäßige Fehler verstecken können (vergl. § 1, S. 330/331). Physika- lische Konstanten gelten demgemäß erst dann als gesichert, wenn sie nach verschiedenen Methoden und von verschiedenen Beobachtern ermittelt und hinreichend übereinstimmend ge- funden worden sind. Auch die A.stronomie bedient sich aus- giebig dieses Verfahrens für die wichtigsten Konstanten, z. B. der Aberration, der Präzession, der Sonnenparallaxe, ferner bei der Ableitung der Sternkataloge.

Die Geodäsie bedarf dieses Verfahrens im allgemeinen weniger, bei Horizontalmessungen etwa nur für die Grundlinien. Ein be- merkenswertes Beispiel bietet aber die Bestimmung der Ab- plattung der Erde nach den verschiedenen bekannten Methoden.

Von großer Bedeutung sind die persönlichen Fehler, welche bei der Beobachtung eines Sterndurchgangs durch einen festen Faden im. Fernrohr entstehen. Diese Fehler wurden zunächst bei Meridianbeobachtungen durch Vergleichung verschiedener Be- obachter bemerkt. Die „persönliche Gleichvmg" der beiden Be- obachter bei astronomischen Längenbestimmungen (mittels tele- graphiscber Vergleichung der Ortszeit) eliminiert man aus dem Längenunterschied durch zweifache Bestimmung mit Wechsel der Beobachter. Durch Anwendung des seit etwa zehn Jahren im Gebrauch befindlichen „unpersönlichen" Mikrometers von Repsold, bei welchem ein beweglicher Faden benutzt wird, ist es gelungen, den persönlichen Fehler fast ganz zu beseitigen.*)

Diese Fehler treten auch auf bei gewissen Methoden der Be- stimmung von Breite und Azimut.**j Der Unterschied der Ergeb-

*) Th. Albrecht. Die Beobachtungsmethode mittels des Repsold- schen Registriermikrometers usw. (Astr. Nachr. Nr. 3699, Bd. 155, 1901, Sp. 33/42.)

**) Vergl. die Veröflfentlichungen des Königl. Preuß. Geod. Instituts: Polhöhenbestimmung im Harzgebiet. Berlin 1894, S. 66 u. f.; Bestim- mungen von Azimuten im Harzgebiet. Berlin 1898, S. 41 u. f.

§ 5. Ermittelung systematisch wirkender CTrsachen. 369

nisse der Breitenbestimmung aus Meridianzenitdistanzbeobachtungen und aus Beobachtungen im Ersten Vertikal wird von J. B. Messer- schmjtt auf solche Fehler, die bei der letztgenannten Methode zui* Geltung kommen, zurückgeführt.*)

Beispiel. An 14 aufeinander folgenden Abenden wurde die geographische Breite nach der Horrebow-Talcott-Methode u. a. mittels derselben zwei Sternpaare beobachtet. Aus den Abweichungen l vom Mittel gab

das erste Paar: f*i^= -^— = 0,0878

„ zweite „ : ft2^= -'^g— = 0,0442,

Dagegen gaben die DiflFerenzen Aj — L2 beider Paare an den 14 Abenden die Quadratsumme 1,5942; also wäre

^i'+f^2' = ^^ = 0,1226,

wobei zu beachten ist, daß [X^ — X^] ^^^^ wird, so daß der Nenner 14 — 1 == 13 lauten muß (es tritt in den Differenzen der Unter- schied der Sternpaare als Unbekannte auf).

Da die Einzelbestimmungen jHj^^ -f- ftg^ = 0,1320, also größer als die direkte Bestimmung ergeben, so deutet dies auf Abend- fehler hin (Refraktion, Variation der Breite), welche für beide Stern- paare am einzelnen Abend im Mittel annähernd gleich sind, aber mit dem Abend wechseln.

Ist nun mj^ bzw. m.^ der zufällige Fehler für Paar 1 und 2 "und k der mittlere Betrag des Abendfehlers, so folgt aus

w^2_[_ ^.2^0,0878 ^2^ + /.'2 = 0,0442

mi^ + m^^ =^ 0,122Q ,

Jc^ = 0,0047 , m^^ = 0,0831 , m^^ = 0,0395 .

Diese Bestimmung von Jc' ist noch recht ungenau, würde aber durch Zuziehung von mehr Sternpaaren verbessert werden können.

*) Das schweizerische Dreiecksnetz. Bd. VIII. Zürich 1898, S. 160 u. f.

Helmert, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 24

370 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

Beispiel. Gelegentlich einer trigonometrischen Vermessung fand Verfasser für einen Winkel von beiläiifig 80^ folgende Werte der Sekunden bei sechs verschiedenen Stellungen des Kreises zu den Winkelschenkeln:

1)

46.28

Wert der Ablesung fürs linke Objekt

0«	30»	60°	90"	120»	150»
45790	44^26	44^07	46;'38	51702	5i;'44
47,34	43,97	42,82	48,96	47,36	48,12
47,18		46,93	43,47	47,88	48,16
43,39		44,38		48,51	48,97
47,34				48,17
49,25
43,b5

44,12

44,55

46,27 I 48,59

49,17

Die Mittelwerte für jede Spalte mit der Anzahl der Werte sind hier unten beigefügt.

Das Beispiel ist so gewählt, daß bei den einzelnen Kreis- stellungen die Anzahl der Beobachtungen verschieden ist. Zu be- merken ist noch, daß die hier bei derselben Kreisstellung auf- geführten Beobachtungen doch in der Regel sich noch um. kleine Intervalle der Kreisstellung unterscheiden.

Das einfache Mittel der 25 Werte ist 46,75. Die Verbesserungen der Eiazelwerte auf dies Mittel betragen:

— 4,69

— 1,37

— 1,41

— 2,22

(2)

+ 0,85	+ 2,49	+ 2,68	+ 0,37	— 4,27
— 0,59	+ 2,78	+ 3,93	— 2,21	— 0,61
— 0,43		— 0,18	+ 3,28	— 1,13
+ 3,36		+ 2,37		-1,76
— 0,59				-1,42
— 2,50
+ 3,20

Hier tritt infolge der Anordnung nach den sechs Kreisstellungen der systematische Einfluß der regelmäßigen Teüungsfehler deutlich her- vor. Die Verteilung der Fehler nach der Größe wie auf S. 349/350 zeigt MaxLma der Ordinaten bei + 3 und — 1 , ein tiefes Minimum bei + l; sie ist also ganz abnorm.

(3)

§ 5. Ermittelung systematisch wirkender Ursachen. Nun ist

371

= ±|/i^ = ±2r39.

Fehlergesetz I m
67%	75%
58 „	68 „
50 „	61 „.

Es liegen in den Grenzen

± l,155|ii;t: 5 pos. u. 13 neg. F. oder 72%

(4) ± i«;: 3 „ „ 12 „ „ „ 60 „

+ 0,866 fi,: 2 „ „ 10 „ „ „ 48 „

Hier tritt besonders die ungleiche Verteilung nach positiven und negativen X hervor, und doch ist [>l] = 0!

Wir wenden uns nun zu den mittleren Fehlerberechnungen, Aus [AA] = 143,15 wüi-de folgen

(5)

, l/l43,15 .

44

Das ist jedoch ein ganz unbrauchbarer Wert.

Bildet man für jede Vertikalreihe die Abweichungen vom Mittel derselben und daraus das Quadrat des mittlem Fehlers einer Beobachtung, so folgt:

(6)

2 27,83 f*0 -7-1'	2 0,04 ^30 2 — 1
2 8,92 f*60 4 {■>	2 15»09 f*90 — 3II 1
2 8,10 f*120 — 5_1'	2 _ 7.32 f*150 4 1

Diese Fehlerquadrate sind Bestimmungen einer und derselben Größe, nämlich des mittlem Fehlerquadrates einer Winkelmessung, frei vom periodischen Teilungsfehler. Die Gewichte dieser Bestimmungen sind die Nenner der Quotienten, wenn für die Gewichtseinheit wie beim Gaußschen Fehlergesetz als mittleres Fehlerquadrat 2j«.* an- genommen wird. Im Mittel ist:

2_ 6/^:+ f^:o+ 3fi:o+ ^^^i-^ ^f^L+ 3.^^ ^ 6+1 + 34-2 + 4+3

(7) also

(7*)

67,30 "T9^

3,54 mit Gewicht 19,

3,54 + 1,15; ft = + (1,"88 + 0;'3l).

24^

372 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

Nehmen wir aus allen Beobachtungen einfach das Mittel: 46,75, oder was dasselbe ist, aus den sechs Einzelmitteln das Mittel mit Rücksicht auf ihre Gewichte 7, 2, ... 4, so wird in den Ver- besserungen

(8) +0,47, +2,63, +2,20, +0,48, -1,84, -2,42

der Einzelmittel der periodische Teiliingsfehler enthalten sein. Zu den Verbesserungen gehören die Gewichte (wenn man vom syste- matischen Fehler absieht):

7 2 4 3 5 4;

damit wird das Quadrat des mittlem Beobachtungsfehlers gleich

(9) ^'2=^=15,2 + 9,6.

In bezug auf die Quadratsunamen 67,30 in (7) und 75.78 in (9) möge bemerkt werden, daß die Summe beider: 143,08, mit der Siimme 143,15 in (3) nach früher angegebenen Beziehungen übereinstimmen muß, abgesehen von kleiner Rechnungsungenauigkeit.

Wären fj,- und fi'' aus ganz verschiedenen Beobachtungen be- stimmt, so würde ihnen der mittlere Unterschied

+ )/(l,15)^+(9,6)^= + 9,7

entsprechen. Da sie aber aus ganz denselben Beobachtungswerten, nur durch verschiedene Kombination, entstanden sind, so sollte' ihr mittlerer Unterschied, wie sich ohne weiteres sagen läßt, viel kleiner als 9,7 sein. Der größere Betrag hat darin seinen Grund, daß bei der ersten Kombination der Einfluß einer Fejilerquelle, der periodische Teilungsfehler, vermieden wurde.

Das einfache Mittel der sechs Mittelwerte (l) ist wegen der regelmäßigen Verteilung der sechs Gruppen über die Kj-eisperipherie nahezu frei vom periodischen Teüungsfehler. Man hat dafür 46,50 mit einem mittlem Fehler

+ ^l/- + - + -- + - + - + -•

es ist daher das Endresultat, weil man füi- ju den Wert (7*) ein- zuführen hat, gleich

(10) 46;'50 ±o;'4i.

§ ö. Ermittelung systematisch -wirkender Ursachen. 373

Dieser Wert ist vom periodischen Teilungsfehler auch aus dem Grunde frei, weil der Winkel nicht allzu weit verschieden von 90® ist. Verbindet man nämlich je zwei solche Messungsergebnisse zu einem Mittel, die sich auf benachbarte Kreisbogen beziehen, so wird dieses (bei Anwendung zweier diametraler Mikroskope) frei vom periodischen Teilungsfehler, weil es von vier Bogen abhängt, die den Umkreis von 360° ungefähr ausfüllen. In der Tat stimmen die Mittel der Ergebnisse für 0" und 90", 30° und 120°, 60° und 150° aus (l), nämlich:

46,28 46,36 46,86,

wozu die mittlem Fehler:

filA + A i^_ 7/1.1 Jil/Aii.

2K7^3 2K2^5 2K4^4

gehören, so überein, als es ihre mittlem Fehler erwarten lassen, wenn man den Wert für ft nach (7*) einführt.

Um den systematischen Teilungsfehler noch sicherer zu elimi- nieren, setzen wir ihn für die Ablesung A gleich

« + j3j cos J. -f- jSj sin J. -|- y^ cos 2 J. + yg sin 2 A

im Sinne einer Verbesserung. Infolge der Ablesung an zwei diametral stehenden Mikroskopen fallen die Glieder mit /S^ imd ^2 weg. Der Winkel W mit den Ablesungen A links und A -\- W rechts erhält daher die Verbesserung:

(11) A + yi(cos(2^ + 2TF) — cos2^) + y2(siii(2^ + 2TF) — sin2^),

worin X der zufällige Anteil ist; 2W= 161°,3, 2J. ist für die sechs Kreisstellungen gleich 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°. Die Fehlergleichungen werden, imter x die Sekunden von W verstanden:

Aj = — 46,28 + ^ -j- 1,95^1 — 0,32^2

A2 = - 44,12 + a; + l,25yi + 1,53^2

A3 = — 44,55 -^x — 0,70/1 + 1.8^72 (12)

A^= — 46,27 ^x- 1,9571+ 0,32/2

h= — 48,59 + a; — 1,25/1 — l»53/2

Aß = — 49,17 + a; + 0,70/1 — ^^^^7%

Gew.	7
	2
	4
	3
	5
	4.

(15)

374 Fünftes Kapitel. Untersuchung der Beobachtungsfehler.

Setzt man

(13) a; = 46,50 + §, y^ = - 0,15 + -,/ , j'^ = - 1,45 + ^

so gehen die numerischen Glieder der sechs Gleichungen der Reihe nach über in:

(14) +0,39, —0,03, -0,62, +0,06, +0,32, —0,10,

und die Normalgleichungen werden:

25§+ 4,1t,- 5,9^ =-1,5 + 4,1^ + 52,3^- 3,2^ = - 4,4 -5,9^- 3,2», + 44,8^ = + 7,2,

^ = — 0,012, also X = 46;'49 Gew. 24 ^ = -0,074, „ y, = - 0,22 „ 51 ^ = + 0,154, „ y,_ = - 1,30 „ 43.

Die Verbesserungen X sind der Reihe nach:

(16) +0,18, +0,10, —0,30, +0,25, +0,17, —0,44,

woraus sich ergibt [XXg\ = 1,71. Der mittlere Fehler der Ge- wichtseinheit würde damit fi = +yi,71:3 = + 0,"75. Jedoch ist dieser Wert wegen des kleinen Nenners unter der Wurzel sehi- unsicher. Würde man aber die 25 Einzelmessungen in die Aus- gleichung eingeführt haben, so würde mit Rücksicht auf (6 ) bzw. (7)

(17) [IXr,] = 1,71 + 67,30 = 69,01 geworden sein, womit folgt:

i'Hi.

(18)

n / 69,01 '*=|/l9+l

+ 3

Die Verhesseiningen der 25 Messungen werden jetzt:

+ o;'58	— o;'o4	+ 0;'17	+ o;'i2	— 2;'26 j
— 0,86	+ 0,25	+ 1,42	— 2,46	+ 1,40 i
— 0,70		— 2,69	+ 3,03	+ 0,88
(19) +3,09		— 0,14		+ 0,25
— 0,86				+ 0,59
— 2,77
+ 2,93 ^				1

— 2;'70 + 0,62 + 0,58

— 0.23

§ 5. Ermittelung systematisch wirkender Ursachen. 375

Ihre Quadratsumme ist 69,0. Die Verteilung dieser l ist recht günstig.

Der mittlere Fehler des Endwertes 46"49 beträgt mit jk aus (18) + 0"37, welcher Wert wohl ziemlich zutreffend sein dürfte.

Selbstverständlich würde man in Wirklichkeit den systema- tischen Teilungsfehler aus mehr Messungen zu bestimmen suchen und die Einzelmessungen gleichmäßiger auf die Kreisstellungen ver- teilen, deren Anzahl aufs Doppelte oder Vierfache zu erhöhen wäre.

Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung Yon Funktionen.

§ 1. überblick.

Die Meßkande, Technik und Naturwissenschaft bieten zahlreiche Fälle, wo eine Funktion einer oder mehrerer Ver- änderlichen näherungsweise darzustellen ist. Wir beschränken uns hier im allgemeinen auf den Fall einer Veränderlichen. In einzelnen Fällen ist die darzustellende Funktion streng ge- geben, in anderen Fällen liegt ein hypothetischer geschlossener Ansatz vor, der mit Beobachtungen zu vergleichen ist, oder es wird anstatt eines derartigen hypothetischen Ansatzes eine Reihenentwicklung nach steigenden Potenzen der Variablen oder nach gewissen trigonometrischen Funktionen gewählt: Potenzreihe, trigonometrische Reihe. Ist die darzustellende Funktion streng gegeben, so handelt es sich bei der nähenmgs- weisen Darstellung nur um Fehler der Theorie. Ist jene aber nur durch Beobachtungen festgestellt, so mischen sich mit den Fehlem der Theorie die Beobachtungsfehler.

In jedem Falle aber kann man die Aufgabe der Bestim- mung des Näherungsausdrucks der Funktion nach der Methode der kleinsten Quadrate behandehi, indem man die Quadrat- summe der Abweichungen zwischen angenähertem Funktions- wert imd gegebenem Funktionswert zu einem Minimum macht.

Nimmt man anstatt diskreter Beobachtungswerte einander unendlich dicht folgende Werte einer gegebenen Funktion in einem gewissen Bereich der Variablen, so gelangt man bei der Dar- stellung durch eine trigonometrische Reihe zu der von Fourier

§ 2. Näherungs weise Darstellung gegebener Funktionen. 377

gegebenen Reihenentwicklung (wobei aber noch zu zeigen ist, daß die Quadratsumme der Abweichungen null wird. Siehe 0. Biermann: Über das Restglied trigonometrischer Reihen. Sitzungsberichte der Akad. d, Wissensch. in Wien. 1904. Bd. CXUL, S. 620.) Die Koeffizienten der Glieder sind un- abhängig voneinander und also auch von der Anzahl der Reihen glieder.

Benutzt man eine Potenzreihe, so haben die Koeffizienten diese Eigenschaft im allgemeinen nicht; wie sich dieselben für eine unendliche Reihe gestalten, ist daher nicht ohne weiteres zu erkennen. Bekanntlich ist auch die Entwicklung in die Potenzreihe von Mac Laurin an das Bestehen gewisser Eigen- schaften der Funktion gebunden. Eine allgemein brauchbare Entwicklung ergibt sich dagegen nach einfachen Kugelfunk- tionen, welche als ganze Funktionen der Variablen vom 1., 2. usw. Grade angesehen werden können. Die Koeffizienten der Reihen- glieder sind wieder unabhängig voneinander und von der An- zahl der mitgeführten Glieder. Die Entwicklung entspricht durchaus dem Vorgange bei Anwendung der M. d. kl. Qu.

Eine besondere Klasse von Aufgaben ergibt sich in dem Falle, wenn eine Beobachtungsgröße zeitlichen Änderungen von nicht angebbarem Gesetz unterliegt, wie z. B. der Gang einer Uhr (nach üblicher Berichtigung für Temperatur und Luft- druck). Die Unterschiede der aufeinander folgenden Beobach- tungswerte enthalten dann außer den Beobachtungsfehlern noch die zeitlichen Änderungen, die man gleich diesen als zufällige Fehler auffassen kann. T. N. Thiele nennt sie quasisystema- tische Fehler.

§ 2. Näherungsweise Darstellung gegebener Funktionen.

Wir geben hierzu behufs Erläuterung zunächst ein ganz einfaches Beispiel.

Beispiel. Es soll ]/l -\- x, wo x zwischen — 1 und -|- 1 gelegen sei, dargestellt werden durch 1 -\- ax, so daß die Summe der Quadrate der Differenzen y^ "H^ — (l + ß^) ein Minimum werde. Bilden wir die Fehlergleichimg

378

(1) oder

(2)

Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

A = — yi -\- X + (1 + ccx)

X = — (|/l + X — 1) + ax ,

so ist dieselbe der Eepräsentant aller Fehlergleichungen , die ent- stehen, wenn man x alle Werte zwischen — 1 und + 1 annehmen läßt. Ex-folgt die Änderung von x sprungweise im Intervall dx, so kommt den Fehlergleichungen notwendig das Gewicht dx zu, wobei die Wahl der Gewichtseinheit aufs Endresultat keinen Ein- fluß hat. Bilden wir die Normalgleichung für die Unbekannte or,

so ergibt sich:

+ 1 +1

oder

<3)

n I xxdx = {xyl -{- X — a;) (7a; - 1 -

+ 1

/ (xyi -\- X — X) dx

+ 1

Berücksichtigt man, daß + 1

ßy

1 -^ xdx

fx^di

1)"."=^

so folgt (4)

cc = ^^ = 0,5657.

Die geometrische Bedeutung ist diese (siehe die Figur): Es ist gegeben eine Parabel mit dem Parameter 1, bezogen

auf rechtwinklige Ko- ordinatenachsen parallel und senkrecht der Haupt- achse mit dem Ursprünge 0 im Abstand 1 vom Scheitel. Die Ordinaten- achse schneidet die Pa- rabel in B. Legt man durch diesen Punkt eine Gerade Ä' C' , welche mit der Hauptachse den Winkel 29*' 30', der zu

§ 2. Nälierungsweise Darstellung gegebener Funktionen. 379

arc tan a gehört, einschließt, so ist die Summe der Quadrate der Diiferenzen der Ordinaten gleicher Abscissen für Parabelbogen und Gerade für alle Werte der Abscissen zwischen — 1 und + 1 ein Minimum.

Für x= — 1 hat l einen größten Wert, nimmt dann mit wachsendem x ab, wird null für x = {l — 2«) : «'= — 0,4106,

ist von da an negativ mit einem Maximum vom Retracre 1 — a — :; —

bei ]/l -\- X = 1 : '2u oder x = — 0,21875 vind wird wieder null für X = 0. Dann wird A wieder positiv und erreicht in o" = + 1 einen crrößteu Wert. Man erhält so die Übersicht:

x = -l	A = -1- 0,4343
— 0,4106	0
— 0,21875	- 0,0076
0	0
+ 1	+ 0,1515

Es bedarf kaum der Erinueruncr daran, daß die Anwendung der M. d. kl. Qu. auf den vorliegenden Fall völlig willkürlich ist und ihr nicht im mindesten ein tieferer Sinn innewohnt, wie bei der Ausgleichung von Beobachtungen. Man bedient sich dieser Methode aber deshalb, weil sie in der Regel die bequemste Rechnung gibt, um die einfachere Funktion der gegebenen Funktion möglichst anzuschließen. Und sie hat hier ganz dieselbe Bedeutung, wie bei Anwendung auf die Ausgleichung von Beobachtungen, wo über die Natur des Fehlergesetzes nichts bekannt ist.

Das vorstehende Beispiel ist ohne praktische Bedeutung. Eine solche kommt der Formel von Poncelet für die Technik zu, wo ]/l -{- x^= a 4- ßx für x = 0 bis 1 gesetzt wird. Nach Henke*) wird man bei ähnlicher Rechnung wie oben

]/rT^= 0,93432 + 0,42695 x

annehmen. Größere Bedeutung für die Geodäsie besitzt das folgende Beispiel.

*) Über die M. d. kl. Qn. 2. Aufl. 1894, S. 50.

380 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

Beispiel. Beim Gebrauch des Stampferschen Nivellier- instruments zum Messen von Vertikal winkeln bedient man sich zur Berechnung eines Winkels der Formel

(1) <^ (m^m^) = «(mj — Wg) + ßini^^ — '^2^)^ ***i > '^z '

worin m.y und mg die Ablesungen an der Höhenschraube für die beiden Richtungen der Visierachse, a und ß gewisse Konstanten bezeichnen.

Diese Formel ist nur eine Näherungsfonnel , welche aber meistens ausreicht, indem in der Regel die Beobachtungsfehler die Fehler der Theorie übersteigen werden. Eine ganz strenge Formel wäre unbequem — sie ist überhaupt nur unter gewissen Annahmen aufstellbar, die die Praxis nicht streng erfüllt. Immerhin ist Formel (l) doch mehr als eine bloße Interpolationsfonnel, da sie sich nachweislich der Wirkungsweise des Instruments anschließt.

Diese beruht darauf, daß in einem Dreieck ABD mit der veränder- lichen Seite AB die Änderungen des Winkels E aus denen der Seite

^\~j~~- , "^^^^ sich berechnen lassen. An dem

>jt Instrumente ist D eine horizontale s\\ ^„„^^■^^''^ Drehachse, um welche ein oberer

Trägerarm BT) sich dreht, wenn 2^ die Schraube AB gedreht wii'd,

während der Träger AD mit dem Instrumentfuße in fester Verbindung steht. Insbesondere sind A und B die Kugelmittelpunkte zweier sphärischen Abschnitte, mittels deren die Schraube mit den Trägerannen verbunden ist.

Ist nun 5q die Lage von B fm- die Ablesung null imd x die Höhe eines Schraubenganges, so ist in den Bezeichnungen der Figur für die zu B gehörige Ablesung m

(2) ^ = ^0 — "*'^-

Der Winkel E aber ist eine Funktion von s\

(3) £=/-(s) = /"(5o-mx)

und daher nach dem Taylorschen Satze in der üblichen Bezeich- nung der Diiferentialquotienten :

(4) B=E,-m.f'{s,) -f ^V-(.o) - ^V"'(^o),

§ 2. Näherungsweise Darstellung gegebener Funktionen. 381

wenn wir Glieder, die in höhere Potenzen von m-/. als die dritte multipliziert sind, vernachlässigen.

Es ist aber (o) cos^^ ^^^-,

und daher in Bogensekunden :

dE _ 206265s

ds a&8in.B '

C('\ d-E _ 206265 / s- cot E \

d^E 206265 s / ., _, , s-(l + 2 cos-i;)\

ds^ a-b^sia^E \ ' absm^E )

Setzen wir ferner

(7) +'.f'{s,) = A, -^^r(s,)^B, i-'^r(s,) = r,

SO wird mittels der Foi-meln (6)

A= + 206265

a b ain E^ '

s„ " cot E,,

(8) fi^- 206265 ,„,-^^^ (l-l^). r _+ 206265 ^^^^*-^ (- 3 cos E, + Vt' +.^co.-^.n

(9) E = Eq— Am — Bni- — FmK

Für zwei verschiedene Ablesungen m^^ und m^ erhält man E^ = Eq — ^>«i — Bm^^ — rm{'' E^= Eq— Am^ — Bm^^ — ^m2^ und es ist daher:

(10) ^^ ^ -' " ^

^ ^ »«j ]> Wo •

Der Ausdruck für B nach (8) zeigt, daß ß = 0 wird, wenn einer der Winkel B^ oder A^ zu einem rechten gemacht wird. F läßt sich nicht zu null machen; es ist stets positiv.

Verfasser ermittelte an dem Instr. Nr. 1864 (Eigentum der Techn. Hochschule zu Aachen) folgende Werte in Millimetern (allerdings nicht mit der größtmöglichen Schärfe):

a=l67 fe = 164 So = 86 x = 0,495.

382 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

Hiermit wird:

^ (m^n^) = 639,3 (m^ — m^) — 0,131 (m^^— m/) ^ ' + 0,000326 (mi3—m2^).

Sonach ist der Einfluß des in die dritte Potenz der Ab- lesungen multiplizierten Gliedes nicht gering und im Maximum für ^^=0, Mj^ = 40 gleich 2l". Bestimmt man jedoch die beiden ersten Konstanten mit Vernachlässigung der dritten und folgenden durch Versuche, welche nach der Methode der kl. Qu. ausgeglichen werden, so wird zugleich auch der durch genannte Vernachlässigung entstehende regelmäßige Fehler vermindert, indem die Konstanten A und B entsprechende Änderungen erfahren.

Um einen Begriff von der Größe der letztem zu erhalten, nehmen wir an, A, B, F seien genau bekannt und die Formel (10) solle ersetzt werden durch Foimel ( l), so daß die Summe der Quadrate der Abweichungen zwischen beiden Formeln für alle möglichen Werte von m^ und »Wg ein Minimum werde. Setzen wir die Abweichung (Verbesserung der Xäherungsformel) gleich

(11) v = {A- a) {m, - m,) + {B-ß) (m,' - m,') + r{m,' - m,')

und darin

(12) a-^J,= A, ß + J^=B, so wird

(13) V =A^ (>«! — m^ + ^2 (w'i^ — "'2^) + T(m^^ — m^^)

oder, indem wii- v in die beiden Richtungsverbesserungen zerlegen: (13 *) Ai - ;.2 = ^1 (wj - m^) + ^2 {m^- - m^) + r{m^^ - m/).

Daraus folgt allgemeiner, mit Benutzung einer Hilfsunbekannten w, für beliebigen Index von X:

(14) A = rm^-\- u -f ^1»« + ^2^^^^-

Wir geben dieser Fehlergleichung das Gewicht dni und er- halten alsdann die Xormalgleichungen:

u lehn + ^1 / mdm + A^J '"^ dm = — FJ m^ dm

f 15) u (mdm + A^^ fm-dm + A^J m^dm = — Fj m* dm

ufm^dm -f A^J m^dm -f A^Jm^dm = — FJm^dm,

§ 2. Näherungsweise Darstellung gegebener Funktionen. 383

Avorin die Integi'ale von m = 0 bis m = M, den kleinsten und größten Werten von m^ zu nehmen sind. Es folgt weiter:

(16) W-- -4- ^1-3-4-^2 ^- = - -r-5- und daraus

(17) u = --'^^^^r, 4 = + ~jf2r, ^, = -l3ir,

d. i. für Jf = 40 und r= 0,000326:

(18) u = ~ l';04, ^1 = + 0,313, ^2 = — 0,0196.

Diese Ausgleichung hat den Sinn, daß die unendliche Schar von Richtungen, welche von m = 0 bis M der Formel (l) entspricht, möglichst gut an dieselben Richtungen nach Fonnel (lO) angepaßt wird, so daß die Quadratsumme der Richtungsdiiferenzen, [/Li], ein Min. ist. Hätte man in (14) u weggelassen, so würden nur die Winkel von m = 0 aus zmr Benutzung kommen.

Ein nach Formel (l ) berechneter Winkel würde zur Reduk- tion auf Formel (10) zu verbessern sein um

0,313(mi — m^) — 0,0196(wi2 — j»,/) + 0,000326 (mj^ — ,«2^);

ein Maximum ist dies für Wi=40, wig = 0 im Betrage von 2"; für Werte von m zwischen 2 und 38 eireicht der Winkelfehler aber nur + 1 .

Das Quadrat der mittlem Richtungsabweichung ist das von m = 0 bis 31 genommene Integral von X^dm, dividiert durch Jf, d. i. mit Rücksicht auf die Werte in (17) gleich M^T^ : 2800; die mittlere Richtungsabweichung selbst ist daher gleich + 0','39. Der mittlere Winkelfehler ist ]/2-mal so groß, da [A] = 0 ist, also gleich + 0"56 .

Die theoretischen Fehler der Formel (l) werden daher nur von der Ordnung der Beobachtungsfehler.

Das Institut von Starke und Kammerer gibt für das er- wähnte Instrument Nr. 1864 die Formel (l):

639,88 (m^ — m^) — 0,0960 {m^^ — m^^),

während unsere Abmessungen nach (10*), (12) und (18) geben:

639,0 (m^ — »«2) — 0,111 (m^^— m^^).

384 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

Die Diffei'enz beider Formeln ist nicht nur in der ungenauen- Entnahme der Dimensionen, sondern was die zweite Konstante an- "belangt, auch darin zu suchen, daß das Instrument die Voraus- setzung einer gleichmäßig geschnittenen Schraube und genau sphärischer Abschnitte nicht streng erfüllen wird.*)

§ 3. Hypothetisclie geschlossene Ausdrücke.

I. Graphische Ermittelung. Um eine Funktion der Ver- änderlichen zu finden, die die Beobachtungen darstellt, wird man oftmals sich des graphischen Verfahrens bedienen. Ein Beispiel hierzu bietet J. Hartmanns Formel zur Interpolation der Wellenlängen des Lichts als Funktion des Brechungs- exponenten.**) Indem er die Wellenlänge }. als Abscisse, den Brechungsindex n als Ordinate nahm, fand er graphisch den hyperboKschen Zusammenhang

c

worin n^, A^ und c Konstanten sind. Diese Formel genügte großen Teilen des Spektrums besser als die üblichen mehr oder weniger auf theoretischen Erwägungen basierenden Disper- sionsformeln. Für die Darstellung des ganzen Spektrums er- wies sich durch Probieren die Formel

als geeignet.

Indem wir im übrigen auf die angegebenen Abhandlungen verweisen, wenden wir uns zu einem Beispiel aus der physika- lischen Chemie.

*) Weiteres über die Stampfersche Schraube siehe in Fr. Lorber: Das Nivellieren, Wien 1894, S. 517 u. f., und insbesondere auch in Schell: Über die Bestimmimg der Konstanten der Winkelgleichung des Stampfer- schen Nivellierinstruments (Zeitschr. d. österr. Ing.- u. Arch.-Yer. 1872, S. 332 u. 349). Hier ist auch noch zu nennen die Abhandlung von C. Runge: Über die Yergleichung empirischer Formeln • Zeitschr. f. Math, u. Phys. 45. Bd. 1900, S. 78 u. f.).

**) Über eine einfache Interpolationsformel für das prismatische Spektrum. (Publ. d. AstrophysikaHschen Observatoriums zu Potsdam, 1898, Anhang zum 12. Bd.). — Über die Skala des Kirchhoffschen Sonnen- spektrums. (Sitzungsber. d. Königl. Preuß. Akad. d. W. 1898, S. 742 u. f.)

§ 3. Hypothetische geschlossene Ausdrücke. 385

Beispiel. Zeitdauer der Reaktion zwischen Jodsäure und schwefliger Säure (nach H. Landolt).*)

Wird zu wässeriger schwefliger Säure Jodsäurelösung im Überschuß zugesetzt, so findet Abscheidung von Jod statt. Die Re- aktion erfolgt sofort, wenn die Flüssigkeiten konzentriert sind; nimmt man dieselben aber verdünnt, so hält die (mit etwas Stärke ver- setzte) Mischung sich eine Zeitlang (Sek. bis Min.) klar, bläut sich aber dann ganz plötzlich.

Werden die Wassermenge H.^O und die schweflige Säure SO^ konstant gehalten, dagegen die Jodsäure HJO.^ variiert, so zeigte Probieren, daß die Reaktionsdauer bei einer bestimmten Tempera- tur gleich ist

(1) t = x: ny.

Hierin ist n die Anzahl der Moleküle Jodsäure; x und y sind Konstanten. Bei einer ersten Versuchsreihe war das Mischungs- verhältnis SÄO, : nHJO^ : 30000 H» 0. Temperatur 20''. Beobachtet wurde:

Nr. 1 w = 1,2 f = 23,30

2 1,5 17,12

3 1,8 13,12

(2) 4 2,4 8,48

5 3,0 6,23

6 3,6 4.82

7 4,2 3,88.

Näherungswerte für x und y sind (aus zwei Versuchen berechnet): Xq= 30,217, i/o= 1,425. Setzt man

(3) :r = 30,217 + g, y = 1,425 + t?,

und gehört t^ zu x^ und y^ nach Formel (l), so folgt nach Taylors Satz für die Verbesserung 6 von t:

(4) X == t,- t + ^ - ^logu^in- ri.

*) Über die Zeitdauer der Reaktion zwischen Jodsäure und schwef- liger Säure. (Sitzungsber. d. Königl. Preuß. Ak. d. W. 1885, S. 249 u. f.; 1886, S. 193 u. f.; 1886, S. 1007 u. f.; 1887, S. 21 u. f. — Auch Berichte der Deutschen chemischen Gesellschaft, Bd. XIX, 1886, S. 1317 u. f.

Helmert, AuBgleichungsrechnung. 2. Aufl. 26

386 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

Hierin wird dann noch zur Bequemlichkeit der Rechnung gesetzt: (5) 10»; = rj'.

Damit finden sich nachstehende Fehlergleichungen, denen Ge- wichte beigefügt sind, die sich aus der nachfolgenden Überlegung

ersreben.

;i^ = + 0,003 + 0,77 1 — 0,43ij ig = — 0,164 + 0,565 — 0,69?/' X^= — 0,044 -f- 0,43 g — 0,77 t/ (6) A4= + 0,199 +0,295 -0,76 r/'

A. = + 0,085 + 0,21g - 0,69r}' Ag= + 0,050 + 0,16 g — 0,62//' A^= + 0,030 + 0,13g — 0,56*/'

Bei der Gewichtsbestimmung geht man von der Differentialformel aus:

= 1

o O

7

27

70

134

203.

(7)

dF=dt+ '^dn,

welche der auf null reduzierten Gleichung (l) entspricht:

(7*)

Es ist nun

(8)

F=t-~^- = 0.

a„ ^ u, -+- --,- W "

worin die Zeichen ijl mittlere Fehler andeuten.

t ist bei unveränderten Lösungen immer zwei- bis viennal, meistens dreimal, beobachtet; aus den Widersprüchen ergab sich für eine Beobachtung jtt^ = + 0*,08 ; füi'S Mittel aus zwei und drei Beobachtunsren ist also

(9)

fi^ = ± 0*,057 bzw + 0*,046.

Bei späteren Versuchsreihen wurden außer den wiederholten Beobachtungen bei unveränderten Lösungen auch solche bei er- neuten Lösungen mit gleichem n angestellt; hier zeigte sich der Einfluß von ju,^. Derselbe ergab etwa

(10) ft„=± 0,036,

wobei berücksichtigt ist, daß die Widersprüche der beobachteten t auch den unmittelbaren, vorher erwähnten Zeitbeobachtungsfehler enthalten. (Diese Widersprüche geben einen m. F., der in (8) als fi^ einzuführen ist und mit Rücksicht auf (i^ zur Kenntnis von ft^ führt.)

§ 3. Hypothetische geschlossene Ausdrücke. 387

In (6) ist nun genau genommen g umgekehrt proportional ju.|, zu setzen, wobei nach (8), (9) und (lO) dieses gleich wird

(11) U,051 2 + ^^' . 0,0512.

Da das erste Glied niir bei den Versuchen 6 und 7 größern Ein- fluß hat und hier die Anzahl der Bestimmungen 2 imd 3 betrug, ist in (ll) der Einfachheit halber ^^ fürs Mittel aus beiden Fällen angesetzt.

Büeniach ist . 378«*

angenommen, womit für die erste Beobachtung (7=1 wird. Da- zu gehört der m. F. + 1,0.

Die Normalgleichungen werden:

(13)

(14)

15,05^— 48,0»/=— 4,27 ^ = -|- 0,02 -48,0 5 + 170 >;'= + 15,2 >?'= + 0,094;

X = 30,217 + 0,02 + -^^ = 30,24 ± 0,33, }/l,50

y = 1,425 + 0,009 + ~^= = 1,434 + 0,010.

Hierbei ist unter Voraussetzung zufälliger Fehler gesetzt der

(15) mittl. F. vom Gew. 1 = ]/^^ = ± 0,41.

Derselbe war a priori gleich + 1,0. Füi- die einzelnen X findet sich:

(16)

X^=~ 0,022	^V =	0,00	A]^=	= - 0,02
Ag = - 0,218		14		- 38
A3 = - 0,107		08		- 28
A4 = + 0,1.34		49		+ 70
A5 = + 0,024		04		+ 20
Aß = — 0,005		00		— 6
A^ = _ 0,020		08		- 29

Diese A ergeben sich übereinstimmend aus den Fehlergleichungen und aus Formel (l), wenn man darin die Werte (14) einführt.

25*

388 Sechstes Kapitel. Näherungs-weise Darstellung von Funktionen.

Die X'^g entsprechen den Kriterien des Zufalls zienalich gut. U. a. ist die Anzahl der Vorzeichenfolgen minus derjenigen der Wechsel f — «'^4 — 2 = 2, während die mittlere Abweichung von f — w = 0 gleich + 1/6 = + 2,5 ist ; hier ist also günstige Übereinstimmung.

Bildet man ferner die sieben Differenzen der aufeinander folgen- den iyVi so folgt als Quadratsumme 1,54; die Hälfte ist 0,77, was mit \)?g\ = 0,83 übereinzustimmen hätte, wenn es sich um wahre zufällige Fehler handelte. Der mittl. Unterschied ist = + 0,8.3 : l/7 = + 0,32 .

Da keine wahren Fehler vorliegen, werden die Beziehungen etwas andere. Immerhin kann man ohne weitere Rechnung sagen, daß die 'k^ g nach Vorzeichen und Größe keine systematischen Ein- flüsse erkennen lassen.

Die Xyg verraten endlich auch keinen Fehler der Gewichts- fonnel (12), und da auch der m. F. der Beobachtungen vom Gew. 1 nach (15) von der Annahme a priori wenigstens nur insoweit ab- weicht, als er sich kleiner als diese ergibt, so kann man sich eigent- lich bei dem Ergebnis der Ausgleichung beruhigen.

Es erschien nun aber doch interessant, noch eine Ausgleichung mit dem konstanten Gewicht g = \ vorzunehmen, obwohl dieselbe nur geboten sein wüi-de, wenn sich der m. F. aus der Ausgleichung merklich größer wie a priori gezeigt hätte und also die theo- retischen Fehler der Formel von Einfluß wären. (Ein solcher Ein- fluß zeigte sich bei mehreren ausgedehnteren Reihen an der Vor- zeichenverteilung.)

Die Nonnalgleichungen werden (für alle Beobachtungen // = 1 genommen):

1,262^— l,588i]'= 0,021 l = + 0,18it — 1,5881 + 3,01 ij'= 0,112 ' ,/= + 0,137

(17) (18)

X = 30,406 + _^^ = 30,406 + 0,169, "" y0,424 ~

y = 1,439 + ^^- = 1,439 + 0,011 . ~ l/lOl ~~

(19) Mittl. F. vom Gew. 1 = ]/^^ = ± 0,110 .

Die einzelnen X sind:

Ai=-f- 0,090 ^2= — 0,152 ^3= — 0,069 ^^^^ >l^=-f 0,150 ^i= +0,031 ^6 = - 0,005 li = — 0,022.

§ 3. Hypothetische geschlossene Ausdrücke. 389

Hier ist /" — w = 0 und [k^] = 0,060 sowie die halbe Quadi-at- summe der sieben Unterschiede aufeinanderfolgender X gleich 0,070. Danach könnte man die Fehler i. auch als von rein zufälligen Ursachen hen-ührend betrachten.

Wegen der geringen Anzahl überschüssiger Beobachtungen ist es unmöglich. Genaueres zu erkennen. Obwohl die m. F. der End- werte bei der zweiten Gewichtsannahme günstiger sind, als bei der ersten, muß man doch diese beibehalten, da die erste Gewichts- annahme zweifellos die bessere ist.

Landolt bemerkt in den Ber. der D. ehem. Ges. auf S. 1349, daß der Exponent y = 1,43 nicht maßgebend sei, weil die Jod- säure bei dieser Reihe nicht auf Wasser und Anhydridgehalt untersucht worden sei. Eine zweite und dritte Reihe gaben y^ 1,65 im Mittel.

II. Gültigkeit (1er Ergebnisse. Selbst bei gutem Anschluß der Formel an die Beobachtungen ist es bedenklich, die Formel auch als außerhalb der Grenzen der Beobachtungen gültig zu betrachten. Oftmals zeigt sich später, daß außerhalb mit der Entfernung von den Grenzen rasch zunehmende Abweichungen auftreten.

Was nun die berechneten mittlem Fehler der Konstanten anlangt, so beruhen sie auf der Annahme, daß lediglich zu- fällige Fehler wirksam sind und daß also die Fehler der Theorie ganz zurücktreten. Je mehr aber diese von Bedeutung sind, desto mehr verlieren jene m. F. an Wert, und wenn die Fehler der Theorie vorherrschen, so sind sie ganz wertlos.

Man erkennt dies am besten auf folgende Art. Denkt man sich jede Beobachtung zweimal ausgeführt, so werden die Gewichte der Konstanten sich nach der üblichen Rechnung verdoppeln. Wenn aber die Fehler der Theorie vorherrschen, so werden die Komponenten der Beobachtungspaare wesentlich gleiche Abweichungen von der Formel zeigen, und zwar die- selben wie bei einmaliger Ausführung jeder Beobachtung. Eine Genauigkeitserhöhung durch Vermehrung der Beobach- tungen ist also gewiß nicht zu erwarten. (Einen extremen Fall erhält man für die Aufgaben des § 2, wo die Beobachtungen gewissermaßen in unendlicher Anzahl vorliegen und die Ge- wichte der Konstanten unendlich groß werden.)

390 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

In solchen Fällen muß man sich begnügen, die mittlere Abweichung ^^ anzugeben, welche Beobachtung und angenom- mene Formel (die Theorie) gegeneinander zeigen. Ist

A = Rechnung — Beobachtung

und n die Anzahl der Beobachtungen, so setze man

^>-±V'^-

Im Nenner n — m, w Anzahl der Konstanten, zu setzen, hat jetzt keinen Sinn.

Vielleicht wird man noch das positive und negative Maxi- mum von A angeben.

Treten dagegen die Fehler der Theorie zurück, so kann man die übliche mittlere Fehlerrechnung durchführen, die aber nur innerhalb der Beobachtungsgrenzen brauchbar ist, im Falle des vorigen Beispiels also bei n innerhalb 1,2 bis 4,2.

Es genügt dann aber nicht, nur die m. F. der Konstanten anzugeben, sondern man muß den m. F. einer Funktion der- selben zur Darstellung bringen.

Im Falle des vorigen Beispiels wird der m. F. eines berech- neten Wertes t, insoweit er von x und y abhängt, aus der folgen- den Formel gefunden (indem t hier die Funktion ist):

(21) ^/= f.H^' { ^l^- -i-Q,., (log nat nf - ^"-^^^ (?, .^ } ;

hierzu ergeben sich die Q aus den Gleichungen (13):

(22) ^1.1=0,667 r^2.2= 0,000590 (?i.,, = 0,0188,

wobei zu bedenken ist, daß >/' dem zehnfachen Werte von dy ent- spricht. IX- ist nach (15) = 0,166.

Fehlt die Kenntnis von <?i.2, so kann mau nach S. 187 nur Grenzwerte von «^ angeben.

§ 4. Interpolation durch Potenzreihen.

I. Einfache Fälle. Nicht selten hat man es mit kleinen Änderungen der Veränderlichen ,/; zu tun, denen kleine Ände- rungen der Funktion F(x) entsprechen. Man setzt dann

(1) Fix) = K -h ß.i

§ 4. InteriDolation durch Potenzreihen. 391

oder vielleicht genauer

(2) F{x) = a + ßx + yx\

wo a, ß, y Konstanten sind. Offenbar entspricht dies einer Taylorschen Entwicklung; die Brauchbarkeit der Formeln ist also an die Bedingung der Stetigkeit und Endlichkeit der Funktion und ihrer (in Betracht kommenden) Differential- quotienten in dem Gebrauchsintervall geknüpft. Außerdem muß der Rest der Reihe in dem benutzten Intervall ganz hinter den Beobachtungsfehlern zurücktreten.

Beispiele zu (1) und (2) bieten die Längen metallner Maßstäbe als Funktion der Temperatur; ferner vielfach der stündliche Gang der Uhren für wenige Stunden, mit der Zeit als Veränderlichen, von der die eigentlichen Ursachen: Luft- druck, Temperatur, Feuchtigkeit, abhängen. Während im Falle der metallnen Maßstäbe die aus Beobachtungen berechnete Formel (1) oder (2) in der Regel einen dauernden Wert be- sitzt, handelt es sich im zweiten Falle nur um eine Art Rechenhilfe für vorübergehenden Gebrauch, um insbesondere den Gang der Uhr für verschiedene Stellen des Intervalls mög- lichst sicher zu interpolieren. (Die Aufgabe, den Uhrgang als Funktion der genannten Ursachen darzustellen, ist ein viel umfassenderes Problem.*)

Sind nur so viele Beobachtungen angestellt, als man Kon- stanten bestimmen will, so kann man F(x) aus der Inter- polationsformel von Lagrange herleiten. Sind l^, l.^, l^ die Beobachtungswerte von F für x^, x^, x^, so hat man

/Q \ V(^\ __ 7 (^ x^){x x^) j {x a?x)(a: x^) , (x Xi){x x^) ^ (ajj x^jiXi x^) (x^ x.^){X2 Xg) [x^ x■^){Xg — x^)

Für X gleich x^, x^, x^ geht F in l^, l.^, l^ über. Die Entwicklung nach Potenzen von x führt zu einem Ausdruck wie ('2).

Hat man nicht di-ei, sondern m Beobachtungen für m ver- schiedene X, so erhöht sich die Anzahl der Konstanten eben- falls auf m. Erwägt man nun, daß die l beobachtet sind, also

*) Vergl. dazu: B. Wanach. Über die Ausgleichung von Uhr- gängen (Astr. Nachr. Bd. 167, 1905, Nr. 3989).

392 Sechstes Kapitel. Xäheningsweise Darstellung von Funktionen.

von den genauen Funktionswerten ab weichen, so erscheint es erlaubt, so viele der Konstanten wegzulassen (und die übrigen nach der Methode der kl. Qu. zu bestimmen i, daß die für die l notwendig werdenden Yerbesseningen A den Betrag des mitt- lem zu befürchtenden Beobachtungsfehlers in l nicht über- schreiten, welcher letztere also im voraus mindestens annähernd bekannt sein muß.

Das praktisch einzuschlagende Verfahren ist entweder: Man bestimmt zunächst sämtliche Konstanten, vernachlässigt aber alsdann die sehr wenig einflußreichen und bestimmt nun die übrigen nach der Methode der kl. Qu. Eine kleine Ver- einfachung bietet es manchmal, wenn x von dem arithmetischen Mittel der vorkommenden Werte ab gezählt wird, indem dann in den Normalgleichungen ein Koefhzient verschwindet.

Oder: man nimmt zunächst nur eine ausgewählte Anzahl Konstanten, von denen man den größten Einfluß erwartet (vielleicht auf Grand vorläufigen Probierens) und bestimmt dieselben nach der Methode der kl. Qu. und berechnet zugleich [AA] aus [11] nach Formel (13), S. 158, und daraus die mitt- lere Abweichung ^ nach (14), S. 158. Erscheint dieselbe noch zu groß, so fügt man der Formel ein weiteres Glied zu: eine Konstante multipliziert in eine bisher noch nicht eingeführte Potenz der Variablen. Die neue Ausgleichung enthält bei An- wendung des zweiten Verfahrens, S. 151 u. f., auf Grund der Formeln XIII und der Tabellen V und VI, S. 157 und 153, die vorhergehende ganz in sich, so daß durch diese kein Ar- beitsverlust entstanden ist. Auch der Formel für [/.A] fügt sich nur ein neuer Subtrahend bei.

Dieses Zusetzen neuer Glieder zu F{x) wird erneuert, bis endlich die mittlere Abweichung a sich klein genug ergibt. Da bei Mitnahme neuer Konstanten sich in der Formel für a^ Zähler und Nemier vermindern, so gibt diese Mitnahme nicht notwendig kleinere ^.*)

*) Vergl. hierzu die Zahlen in der Arbeit von E. Lindelöf: Zur Frage von der Bedeutung der Fehlerrechnung bei der harmonischen Ana- lyse von Kurven (Archiv f. d. ges. Physiologie, Bd. 87, 1901, S. 609). Diese Zahlen entsprechen zwar einem Beispiel zum nächstfolgenden Para- graphen, aber können auch das oben im Text Gesagte illustrieren.

§ 4. Interpolation clui-cli Potenzreihen. 393

Beispiel. Bestimmung der Gleichung eines Meter- stabes. Ein Strichmaßstab P wurde bei fünf Temperaturen von 5 bis 29^ mit einem Stahlmeter von bekannter Länge verglichen, außerdem noch bei der mittlei'n Temperatur mit einem bekannten Bronzestab. Setzt man für P bei der Temperatur T: (1) P=lm + ^ + >jT+^T2

imd nach einer Näherungsrechnung, für Mikron als Einheit:

(2j ^ = -2o2+a;, tj = + 18,5 + 0,1 i/, ^= + 0,009 + 0,01^,

sowie P=lm-|-^ + ^, wo l die mikrometrische Beobachtungsgröße ist, die sich aus der Stabdifferenz und der Gleichung der bekannten Stäbe berechnet, so folgen die sechs Fehlergleichiingen:

Ai = — 0,28 -^x + 0,5^ + 0,25^;

Ag = 0,00 -\-x -\- l,0y/ + 1,00 ^f

A3= 0,00 +Ä-+ 1,6^ + 2,56^

^^ /l4= + 0,30 +X+ 1,G^+ 2,56;s

A,= - 0,23 +a; + 2,l^/ + 4,41^

Ag = + 0,27 +x + 2,9 // + 8,41^.

Die durch die Ausgleichung zu bestimmenden Verbesserungen von r] und f sind in der Form 0,1 y und 0,01^ gewählt, um in den Fehlergleichungen den Koeffizienten von y und z annähernd die Größenordnung von 1 zu geben, was die Rechnung erleichtert.

Den Fehlergleichungen wurde das gleiche Gewicht 1 zugeteilt. Streng ist das allerdings nicht, denn aus (l) folgt zunächst, ab- gesehen von dem Fehler der Länge der Vergleichsstäbe, als m. Fehlerqu. einer Gleichung (3):

Hierin ist nun der zweite Teil mit T veränderlich, aber nur wenig, so daß (4) für alle Fehlergleichungen wesentlich den- selben Betrag hat.

Was die Unsicherheit in der Länge der Vergleichsstäbe anlangt, so wirkt dieselbe auf die Vergleichungen mit dem Stahl- stab unter Annahme sehr scharfer Bestimmung der Temperatur- koeffizienten wesentlich konstant; sie ist aber für beide Ver- gleichsstäbe verschieden. Man müßte also A^ für i = 1, 2, 3, .5 und 6 zerlegen in A / + ö, bei ^ = 4 in A^' -f- |3, wo 6 und ß die konstanten Fehler des Stahl- und Bronzestabes bezeichnen. Da aber jeder Anhalt für die relative Gewichtsbestimmung von 6 und

394 Sechstes Kapitel. Xäherungsweise Darstellung von Funktionen.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

ß im Vergleich zu den durch (4) charakterisierten Fehlern fehlte, so wurde von der Berücksichtigung der kleinen Größen ß und a abgesehen (was eine verwickelte Ausgleichung nach Kap. 4, § 5, S. 285, gegeben hätte).

Der in die Länge der Vergleichsstäbe eingehende Tempe- raturfehlereinfluß ^ähnlich dem zweiten Glied in (4)), der noch zu (4) hinzutritt, ändert wenig an dem nahezu konstanten Charakter des m. Fqu. der Fehlergleichungen.

Die Normalgleichungen und die i-eduzierten Normalgleichungen werden nun mit Rücksicht auf die Berechnung der Gewichts- koeffizienten Q:

6,00x + 9,70?/ 4- 19,19 5r = — 0,060

(5)+ 9,70ir -t- 19,19?/ + 42,9 7 ä; = - 0,640

+ 19,19?; + 42,97y + 104,355' = — 1,954

6,00ir -f 9,70// + 19,19- = - 0,060 1 i

(6) 3,51«/ + 11,94„- = — 0,543 — 1,617 1

2,31.- = + 0,087 + 2,306 I — 3,405 i 1. Hieraus folgt:

rr = + 0,327 ^,., = + 3,213 (7)^ = -0,284 (?i.2 = -:{,859 r^,..^ = + 5,303

£ = + 0,038 ^i.3 = + 0,H98 (j>,.3 = - 1.474 <?3.3 = 0,433.

Die Q erfüllen Flints Probe:

(8^ + 34,89 • 0,352 - 71,86 • 0,030 - 166,51 • 0,043 = 3,0.

Die X werden:

(9) -0,08, +0,09, -0,02, +0,27, -0,33, +0,10; [Xk] = 0,207.

Aus [//] folgt dagegen:

[U] = + 0,294 + 0,020 — 0,182 + 0.074 = 0,206

(10)

bzw. + 0,294 — (0,001 + 0,084 + 0,003) = 0,206.

Ohne ^ zeigen die X einen ausgeprägt systematischen Charakter, indem von 17" abgerechnet der Einfluß von ^ 1,3 Mikron beträgt (sie gehen dann von — 0,8 nach + 0,8 und weiter bis — 0,7).

§ 4. Interpolation diirch Poteuzreihen. 395

Der mittlere Fehler einer Gleichung wird

(11 ) fi = ± ]/^3 = ± 0,262 Miki-on. Es ist nun

(12) P= 1 m^ 252 + x + (18,5 + 0,1?/) ^+ (0,009 + 0,01r)I^

wobei die zu 1 m tretenden Glieder in Mikron erhalten werden. Setzt man die Werte ein, so folgt abgekürzt:

, „, P = 1 m - 251,67 + 18,472 T + 0,00938 T^

(13) ' 1 ' 1 '

± 0,47+ 0,061 +0,00175,

wobei die m. F. der Größen ic, 0,1?/ und 0,01^ aus {i'YQi.i. i^^^^'- beigefügt sind.

Diese Angabe der m. F. der Konstanten gibt aber für ^p^ ein ganz falsches Bild. Mit Rücksicht auf Qi,.2 usw. hat man:

T\ , /r\2 /T\3

(14) ^p^= 0,061. {3,213 - 7,718 (-) + 7,299 Q'- 2,948 (^J

+ 0,433 Q"'.

Hiernach wird fxp in Mikron gleich:

+ 0,47 bei 0" + 0,16 bei 8" | + 0,15 bei 16<^ + 0,15 bei 24"

(15)

37	2	14	10	15	18	18	26
28	4 ,	14	12	15	20	22	•2H
21	6	15	14	15	22 '	29	30.

Hinzu tritt noch ein kleinerer Betrag aus der Unsicherheit der Gleichung des Stahlstabes (auf welche P hauptsächlich sich stützt) und des Bronzestabes, sowie bei Vergleichung neuerer Stäbe mit P die Unsicherheit der betreffenden Operation ( miki-ometrische Messung, Temperatureinfluß).*)

II. Verallgemeiiieruug der Entwicklung. Es wurde bis- her angenommen, daß für das Beobachtungsiiitervall der Ver- änderlichen die Funktion F(x) durch eine stark konvergente

*) Die grundlegenden Zahlen dieses Beispiels verdanke ich Herrn Regierungsrat Dr. H. Stadthagen von der Kaiserl. Normal -Eichungs- kommisson; die Berechnung hat Herr G. Förster ausgeführt.

Vergl. ausführlichere Beispiele in Bd. I der „Wissenschaftl. Ab- handlgn. der Kaiserl. Xormal-Eichungs-Kommission" 1895, S. 93 u. f.

396 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

Entwicklung nach Taylor dargestellt werden kann. Vielfach fehlt aber nicht nur davon a priori die Kenntnis, sondern es bleibt überhaupt fraglich, ob die Funktion eine analytische Funktion ist — günstigstenfalls ist sie selbst stetig veränder- lich innerhalb des Beobachtungsintervalls, von ihren Differen- tialquotienten ist das aber nicht vorauszusetzen.

Trotzdem wendet man zur interpolatorischen Darstellung Potenzreihen an, was praktisch nicht aussichtslos erscheint, weil ja die Beobachtungswerte von F{x) nicht fehlerfrei sind und es genügt, diese Werte bis auf Quantitäten von der Ord- nung der Beobachtungsfehler zur Darstellung zu bringen. Selbstverständlich ist die Interpolationsformel kein Ausdruck des wahren Gesetzes; sie gibt nur die Beobachtungswerte ge- nügend wieder, ist aber unbrauchbar zur Angabe von Diffe- rentialquotienten und kann zwischen den Beobachtungswerten von dem wahren Gesetze stark abweichen.

Der rein interpolatorische Charakter der Formel zeigt sich nun darin, daß bei fortgesetzter Vermehrung der Anzahl m der Konstanten die Werte derselben für jede einzelne sich keineswegs mehr und mehr bestimmten Grenzwerten nähern, sondern stark hin- und hergehen.

Es ist aber möglieh, dem Problem eine Form zu geben, wobei dieses vermieden wird. Zu dem Zwecke muß man an Stelle der Reihenentwicklung nach ganzen, positiven Potenzen von X eine solche nach Kugelfunktionen (hier den „einfachen") setzen; letztere sind gewisse Polynome aus ganzen, positiven Potenzen von x. Beide Entwicklungen sind nur formell ver- schieden; aus derjenigen nach Kugelfunktionen geht die nach Potenzen wieder hervor durch Zusammenziehen der Glieder mit denselben Potenzen. Aber von der Entwicklung nach Kugelfunktionen weiß man, daß sie auf jede endliche Funktion anwendbar ist (dieselbe darf sogar Diskontinuitäten in ihrem Verlaufe zeigen. Solche sind allerdings einer starken Kon- vergenz nicht förderlich).

III. Die einfachen Kngelfnnktionen. Sie sind ein Spezial- fall der allgemeineren mit zwei Veränderlichen.*) Ihr all-

*) Enzyklopädie der mathem. Wissenschaften. Bd. II, 1904, S. 702 u. f.

§ 4. Interpolation durch Potenzreihen. 397

gemeiner Ausdruck ist:

/A\ -n / \ l-3-5-(2«— 1) ( _ «(» — 1) __2

w(n-l)(^-2)(^— 3) n-i_

"1" 2-4.(2ji — l)(2w — 3)

wobei M von — 1 bis + 1 variieren kann.

Für die Werte w = 1 . . . 7 hat man insbesondere:

Pj (u) = i<

P2(m) = -0,5 + 1,6 11^

P^iu) = — 1,5 m + 2,5 u^

(5)P^(?<) = + 0,375 - 3,75m2 + 4,375w*

P^{u) = -\-l,Slbu - 8,1011^ + 7,875w^

Pg(M) == _ 0,3125 + 6,5625u- - 19,6875w* + 14,4375m'5

P^(w) = _ 2,1875 m + 19,6875«^ - 43,3125m^ + 26,8125w'.

Man beginnt die Reihe der F in der Regel mit

(5*) PoW=l,

welcher Koeffizient aber der Formel (4) nicht entspricht. Nach diesen Formeln sind für

w = — 1,0, -0,9, ... -0,1, 0 + 0,1, +0,2, ... +0,9, +1,0

die Wei'te berechnet worden und in der auf S. 398 wieder- gegebenen kleinen Tabelle vereinigt. Man hat auch allgemein

1 d"(«*— If

(6) PM = ^_

du"

Der Wert von P liegt immer zwischen — 1 und + 1.

Für das Intervall u = — 1 bis + 1 kann man nun für jede endliche Funktion F(n) ansetzen:

(7) F{u) = K,P,{u) + K,P,{ii) + K,P,(u) + •■■,

worin K^, K^, K^ . . . Koeffizienten sind, für welche die Formel besteht:

(8) K,==^-^-^jFi:u)P,{u)du.

398 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen. Einfache Kugelfunktionen.

A

P.

-1,0

— 0,9

— 0,8 -0,7

— 0,6

— 0,5 -0,4

— 0,3

— 0,2 -0,1

0 + 0,1 + 0,3 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 1,0

— 1,0000+ 1,0000 — 1,000Ü|+ 1,0000 — 1,0000 + 1,0000 — 1,0000

— 0,9000 + 0,7150 — 0,47251+ 0,2079|+ 0,0411 — 0,2412 + 0,3678

— 0,8000 + 0,4600 — 0,0800 — 0,2330 + 0,3995 — 0,3918+ 0,2397

— 0,7000 1+0,2350 + 0,1925]— 0,4127 + 0,3652 — 0,1253|— 0,1502

— 0,6000 !+ 0,0400 + 0,360o|— 0,4080 + 0,1526 + 0,172lj— 0,3226

— 0,50001—0,1250+0,4375 — 0,2891 — 0,0898 + 0,3232 —0,2231

— 0,4000 — 0,2600 + 0,4400 — 0,1130 — 0,2706 + 0,2926 + 0,0146

— 0,3000 — 0,3650 + 0,3825 + 0,0729 — 0,3454 + 0.1292 + 0,2241

— 0,20001— 0,4400 i+ 0,2800 + 0,2320 — 0,3075 — 0,0806 + 0,2935

— 0,1000 — 0,4850 1+ 0,1475 0,0000 1— 0,5000 1 0,0000 + 0,1000 1— 0,4850 1— 0,1475 + 0,2000 + 0,3000

+ 0,3379 — 0,1788 — 0,2488 + 0,1995

+ 0,3750j 0,0000 — 0,3125 0,0000

+ 0,3379 + 0,1788 — 0,2488 — 0,1995

0,4400 '— 0,2800!+ 0,2320 + 0,3075 — 0,0806 — 0,2935

0,3650 — 0,3825 + 0,0729 + 0,3454 + 0,1292 — 0,2241

+ 0,4000 |— 0,2600 — 0,4400 — 0,1130 + 0,2706|+ 0,2926 — 0,i)146 + 0,500o|— 0,125oi— 0,4375 - 0,2891 + 0,0898 + 0,3232 + 0,2231 + 0,6000 + 0,0400 — 0,3600 — 0,4080 — 0,1526,+ 0,1721 + 0,3226 + 0,7000 + 0,2350 — 0,1925 — 0,4121 — 0,3652 — 0,1253 + 0,1502 + 0,8000 + 0,4600 + 0,0800 — 0,2330 — 0,3995|— 0,3918 — 0,2397 + 0,9000 + 0,7150 !+ 0,4725 + 0,2079i— 0,0411 — 0,2412 — 0,3678 + 1,0000 + 1,0000;+ 1,0000 + 1,0000+ l,OOOo|+ 1,0000 + 1,0000 Pj , Pj und Pj sind exakt, die folgenden P nur abgekürzt.*)

Auf die Formel (8) kommt man, wenn man die Gleichung (7) mit P^(jt)dii multipliziert, dann integi'iert und die beiden fol- genden Beziehungen beachtet:

(9) fPi(u)P,{u)du = ^^

und

-1

+ 1

(10)

fp,{u)P^{u)(hi = 0 bei i^h.

Die Formeln (8) bis (10) gelten auch für ?' = 0 mit P^^ 1.

*) Literatur über Tafeln vergl. in der Enzyklopädie der math. Wissenschaften. Bd. 11, 1904, S. 708.

§ 4. Interpolation durch Potenzreihen. 399

Die Ableitung tod (8) entspriclit aber ganz dem Vorgange der M. d. kl. Qu.: Betrachtet man in (7) F(n) als Beobachtungs- wert, denkt sieb demgemäß noch eine Verbesserung A beigefügt und erteilt der so entstehenden Fehlergleichung das Gewicht du^ so ist mit Rücksicht auf (9) und (10) für die Unbekannte K

t

die Normalgleichung

(11) ^-^^^K,=jF(iC)P,{u)du.

-1

Das Gewicht von K^ ist somit 2 : (2^ + 1). — Man erkennt nun aber nicht ohne weiteres, daß bei unendlich großer Glieder- zahl der Reihe (7) die A alle gleich null werden.*) Bei end- licher Gliederanzahl ist das Quadrat der mittleren Abweichung,

d. i. j k-du : / du, mit Rücksicht auf die Gleichung (11) gleich**) -1

(12) a' = ^jF{u)F{u)du - { K,' + { K,' -^ \ K,' -^ ■ ^ ■

^ 2w + l " J Um Funktion F{x) für das Intervall x^ bis x^ nach Kugel- funktionen zu entwickeln, muß man darin

(13; X = ^^^±^ + x^--x^ ^^

setzen; u geht dann von — 1 bis + 1. Zum Schluß sind die P(h) eventuell zurückzuver wandeln in Funktionen von x mittels der Substitution

(14) ,i^ = _l^_ J_±|l.

Man kann nun auch noch die Reihe (7) in eine Potenz- reihe verwandeln und hat mittels der Gleichungen (5):

*) J. P. Gram: Über die Entwicklung reeller Funktionen in Reihen mittels der M. d. kl. Qu. (Journal f. d. reine und angewandte Math. Bd. 94, 1883, S. 41—73.)

**) C. Runge: Über die Vergleichung empir. Formeln (Zeitschx. f. Math. u. Physik. Bd. 45. 1900, S. 78 u. f.), und: Theorie und Praxis der Reihen. Leipzig 1904, S. 122—123.

400 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

(15)

4-	*	1		+		j
	^'		^'		^^		^^
	iO		iO		iO		»o
	t-		t-		(M		(M
	QO		oo		r-t		1— t
•	-H		CO		CO		CO
	1		1—1 +		CO" 1		CD
i<		1 «> ^		^			s
lO		lO		lO		lO
<M		(M		t-		t-
1—1		CD		c»		CO
CO	•	»O	*	CD		^
o"		CO"		tH		1-1
1		+		1		CD
			!^'			+
	ir-		lO		t-
	QO^	"	i^-		oo^
			•s.
	1—1		X		t-"
	+		1
		fc=r			+
t-		lO		ir-
CO	•	ir-^	'	CO
o"		oT		'*"
+	T-T 1	•	CO
, IN	1	i '^ ^	+
lO		iC^
cf	k^	+

+

^

+

Während aber die Kugelfanktionen P in (7) nur Werte von — 1 bis + 1 annehmen, entstehen durch das Zerreißen der P in den einzehien Gliedern der Potenzreihe (15) größere Einflüsse, so daß jedes hinzukommende K die Koeffizienten der verschiedenen Potenzen von u stark ändern kann.

§ 4. Interpolation durch Poteuzreilien. 401

IV. Anwendung auf Beobaclituugeu. Meistens sind die Werte F(u) durch Beobachtung nur für eine endliche Anzahl von Werten u gegeben; man kann also auch nur eine be- schränkte Anzahl Konstanten K ableiten. Gegenüber der direkten Berechnung der Potenzreihe (wie in 1, S. 390 u. f.) hat man jetzt den Vorteil einer konvergenten Entwicklung, so daß man bequemer sieht, welche Koeffizienten K etwa zu null angenommen werden können.

Die praktische Rechnung wird in der Regel nach der M. d. kl. Qu. ausgeführt. Dies ist das beste, falls man annimmt, daß die angesetzten Reihenglieder zur Darstellung von F aus- reichen, und daß man es also nur noch wesentlich mit zufälligen Abweichungen der beobachteten Werte von der Formel zu tun hat. Geht man nur bis K-, so hat man 8 Konstanten zu bestimmen, was nicht besonders mühsam ist. Liegen die ge- gebenen F(^ii) von — 1 bis -{- 1 in 0,1 Abstand vor, so erhält man die folgenden Koeffizienten der Normalgleichungen im Anschluß an die nach (7) zu bildenden Fehlergleichungen, wobei linker Hand noch eine Verbesserung k beizufügen ist. Die Normal- gleichungen zerfallen in zwei Systeme, was die Auflösung er- leichtert.

Normalffleichunoren.

(16)

(16*)

21,0000 Ä'o + 1,0500 iT^ -f 1,1660 JT, + 1,3463 Zg = A^, -f- 1,0500 -(- 5,09'.)9 + 1,2150 + 1,3908 = A., + 1,1660 + 1,2150 + 3,5476 + 1,4882 --= A^ + 1,3463 -f- 1,390« +1,4882 +3,1617 =^6;

7,7000^:1 + 1,1165 Zj + 1,2647 Z^5 + 1,4715 jfj = A^ + 1,1165 + 4,0556 + 1,3418 + 1,5363 = A^ + 1,2647 +1,3418 +3,2901 +1,6391 = A.^ + 1,4715 + 1,5363 + 1,6391 + 3,0910 = A, .

Hierin ist A^=[F{l^)P■{ll)], wobei die Summierung auf die Glieder mit it = — 1 , — 0,9, . . . + 0,9, + 1 auszudehnen ist.

Um die nichtquadratischen Koeffizienten zum Verschwinden zu bringen, muß man nach F. Neumann, wenn man z. B.

Helmert, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 26

402 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

Kq. . . K- bestimmen Avill, die Werte F(u) für diejenigen 8 Werte von u aus den Beobachtungen entnehmen, welche der Gleichung P^(n) = 0 entsprechen. Aus der Gleichung 03) folgt, daß die 8 Wurzeln sämtlich reell sind und zwischen — 1 und + 1 liegen. Die Fehlergleichungen erhalten nun aber ver- schiedene Gewichte. Dieselben Werte u und Gewichte kommen auch bei der Gaußschen Methode der Berechnung bestimmter Integrale vor.

Für vorstehenden Fall einfacher Kugelfunktionen dürfte dieses Verfahren, das nur zur Bequemlichkeit dient, kaum von Bedeutung sein, wohl aber für die Entwicklung nach Kugel- funktionen von zwei Variablen.*)

Bei der praktischen Rechnung ist es nützlich, K^ . . . K^^ zunächst mittels beiläufiger Auswertung nach (8), etwa durch Simpsons Regel, angenähert zu berechnen und dann Fi^a) mittels der genau bekannten Werte der F^, P^, Pg von ihren voraussichtlich größten Koeffizienten (bis auf kleine Ver- besserungen) zu befreien. Für das Weitere genügt es dann meistens, die P auf vier Dezimalen abzurunden.

Auf den ersten Blick sieht es aus, als könnte man nach (8) auch bei einer endlichen Anzahl gegebener Werte F{u) mittels näherungsweiser Quadratur beliebige K berechnen. Da aber unter dem Integral nicht K, sondern ^P. steht, so ist dies wegen der raschen Veränderlichkeit von P^. für größere i nicht durchführbar. Bestimmt man eine Anzahl K nach der M. d. kl. Qu., so treten natürlich die weggelassenen Glieder als Fehler der Theorie auf: vergl. den Schluß von I, S. 392.

*) Franz Neumann. Vorlesungen über die Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen. Herausgegeben von Dr. Carl Neu mann. Leipzig 1887; S. 150— 154.'

H. Seeliger. Über die interpolatorische Darstellung einer Funk- tion durch eine nach Kugelfunktionen fortschreitende Reihe. (Sitzungs- berichte d. math.-phys. Kl. d. Königl. Bayer. Ak. d. W. 1890, XX, S. 499.)

Hier sind u. a. bis n = 7 die in Betracht kommenden Argumente und Gewichte angegeben.

Enzyklopädie d. math. Wiss., Bd. II, 1899, S. 121 u. f. und Bd. E, 1904, S. 718.

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen. 403

§. 5. Interpolation durch trigonometrisclie Reihen.

I. Theoretisclie Grimdlage. Hat mau es mit Beobachtungs- werten einer Erscheinung zu tun, die periodischer Natur ist, so wendet man nach dem Vorgange von F. W. Bessel (1818) als Interpolationsformel eine Reihe an, die nach Sinus und Cosinus des einfachen, zweifachen, dreifachen usw., in Brach- teilen der Periodenlänge ausgedrückten und mit 27t multi- plizierten Wertes der Veränderlichen fortschreitet.*) Nach J. J. Fourier (1807) kann man eine solche Entwicklung auf jede endliche Funktion anwenden; an den Un stetigkeitssteilen gibt die Reihe das arithmetische Mittel. Setzt man demgemäß

F{t) = Äq + A^ cos t-i- A^cos2t-i

^ -^ -{- B^ am t -\- B^ sin 2t -\- ■ ■-,

worin t die wie oben angegebene modifizierte Veränderliche bezeichnet, so ist nach Fourier:

Äi=~ I F{t) cos itdt (2) ^\„

^ = i/^(0

B, = - I F(t) Bin itdt

0

i= 1, 2 . . . oo.

Für Aq ist die Hälfte des Formelwertes zu nehmen.

Die Formeln (2) entsprechen der M. d. kl. Qu., indem man in (1) linker Hand zum Beobachtungs werte F(t) eine Ver- besserung A beifügt, der so entstehenden Fehlergleichung das Gewicht dt beilegt und die Normalgleichungen büdet. Als solche ergeben sich die Gleichungen (2), da die Integrale

I cos it cosht dt und j sin it Bin ht dt, (3) 0 0

27t

sowie I cosit sinhtdt

*) F. W. Bessel: Über die Bestimmung des Gesetzes einer perio- dischen Erscheinung. (Astr. Nachr., Bd. 6 (1828), Nr. 136, Sp. 333 u. f.)

26*

404 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

für i ^ h verseil winden, letzteres auch für i = h, während die beiden ersten Integrale für i = h den Wert tc ergeben. Dies erkennt man leicht durch Verwandlung der trigonometrischen Produkte in Summen bzw. Differenzen. Wie groß nun [A^c?^] wird, ist so nicht zu erkennen; nach Fouriers Theorie muß aber X allgemein verschwinden, abgesehen von den Unstetigkeits- stellen.

Ist nur eine endliche Anzahl von Werten F(t) gegeben, so wendet man wieder die M. d. kl. Qu. an; das Verfahren wird sehr einfach, wenn die Werte äquidistant über die Periode verteilt sind.

Beispiel. Em. Quetelet gibt in dem Mem. de la Tem- perature de l'Air a Bruxelles 1867 an, daß im Mittel aus einer dreißigjährigen Reihe von Beobachtungen die tägliche Ampli- tude der Temperatur der Luft (d. i. Maximaltemperatur — Minimaltemperatur) war:

Grade

im (1)

Grade

wobei jede Zahl das arithmetische Mittel der Amplituden aller Tage des betreffenden Monats ist.

Als Periode ist das Jahr 7ai nehmen; es wird durch die Mo- nate sehr nahe in zwölf gleiche Teile geteilt.

Die Veränderliche ist die Anzahl der Monate oder Jahres- zwölftel von Mitte Januar ab; es ist daher ihr Wert in Bruch- teilen der Periode für Januar, Febniar, März usw. gleich t-^, — ,

~, . . . oder 0", 30*^, 60", ... in Gradmaß, allgemein = SOa? Grad,

wenn x die Anzahl der Monate von Januar ab bezeichnet. Wir setzen nun:

Amplitude l = Aq-\- jB^ sin 30 a; + Ä^ cos 30 a::

(2) + ^2 sin 60a; -f ^2 cos 60a;

-f B^ sin nOa; + A^ cos 90a;

4,66	5,42	6,77	8,59	9,83	10,09
Jan.	Febr.	März	April	Mai	Juni
9,71	9,14	8,16	6,55	5,10	4,41
Juli	Aug.	Sept.	Okt.	Xov.	Dez.,

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen. 405

Es ist demnach mit Rücksicht auf die Werte (l): 4,66 = ^0+^, +Ä, ' +.43 +

5,42 = Aq + ^1 sin 30" + B^ sin 60'^ + B^ sin dO^ + + Ä^ cos SO*! + A, cos 60*^ + ^3 cos 90" + 6,77 = ^0 + ^1 sin 60° + B^ sin 120" + B^ sin 180" + + A^ cos 60" + A^ cos 120" + ^3 cos 180" + nsw.

Die Anzahl der zu bestimmenden Konstanten Aq, B^, A^, . . . muß gleich 12 genommen werden, wenn alle zwölf Beobachtungs- werte genau dargestellt werden sollen. Wir begnügen uns aber, einstweilen nur die ersten drei zu nehmen: Aq, B^, A^^-^ wir haben dann die Fehlergleichungen:

Ao = — 4,66 + ^0 • + 1,0000^1

Ai = - 5,42 + Jo + 0,5000 5^ + 0,8660^i

X2 =— 6,77 + ^0 + 0,8660 B^ + 0,5000 J^

^3 = — 8,59 + ^0+ 1,0000 J5i

;.^ = — 9,83 + ^0 + 0,8660 B^ — 0,5000 ^^

A- = — 10,09 + ^0 + 0,5000 B^ - 0,8660^^

^6 =— 9,71+^0 • —1,0000^1

A^ = — 9,14 + ^0— 0,5000 B^ — 0,8660^i

Ag = — 8,16 + ^0 — 0,8660 B^ — 0,5000 ^^

Ac, = — 6,55 + .^0— 1,0000 Bj^

ho = — ^,10 + ^0 — 0,8660 ^1 + 0,5000^1

Aii=— 4,41 + ^0—0,5000 J5i-|- 0,8660^1.

Hieraus folgen die Xormalgleichungen: 12^0 • • = + 88,43

(4) . 6^1 • =+ 5,9124

• 6^1= — 16,2504, wonach

(5) A = + 7,36917, -Bi = + 0,9854, ^1 = - 2,7084.

(3)

406 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen , Da nun [11] = 701,9199 ist, so hat man [Xk] = 701,9199 - (7,36917 • 88,43 + 0,9854 • 5,9124

+ 2,7084 • 16,2504) oder

(6) [XX] = 701,9199 — (651,6554 + 5,8261 + 44,0127) = 0,4257, und daher die mittlere Abweichung

(7)

l/0,4

4257

± 0^22.

Nach Quetelet sind die Angaben der Amplituden mit einem wahrscheinlichen Fehler behaftet, der für die verschiedenen Monate zwischen 0,18 und 0,36 liegt, was einem mittlem Fehler von 0,27 bis 0,54 entspricht (wenn man das Gaußsche Fehlergesetz als geltend annimmt, was Quetelet vermutlich bei Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers aus dem mittlem oder durchschnittlichen Fehler getan hat).

Obgleich sonach schon hinreichende Übereinstimmung wäre, so wollen wir uns doch nicht damit begnügen und daher den Fehlergleichungen (3) noch je zwei Glieder beifügen, die den Kon- stanten JB2 und Ä^ entsprechen. Wir erhalten in (3) rechter Hand die Zusatzglieder:

+ 1,0000 A, zm- 1. und 7. Gl. + 0,8660^2 + 0,5000^0 „ 2. „ 8. + 0,8660^2 - 0,5000^2

— 1,0000^

— 0,8660^2 — 0,5000 A,

— 0,8660^2 + 0,5000 A Hiermit geht (4) über in das folgende System:

(3*)

3.	„ 9.
4.	„ 10.
5.	„ 11.
6.	„ 12.

(4-)

12^0 • • • • = -f 88,43 . 6^1 . • • =+ 5,9124 ■ QÄ^ ■ • = — 16,2504 . . . 6^2 • = + 0,0520 • • • ■ 6^2=- 1,1700.

■§ 5. Interpolation durch trigouometrisclie Reihen. 407

Äq, B^, Ä^ behalten die Werte (5); fei-ner wird

(5*) ^2= + 0,0087, ^2=^ — 0,1950,

sowie

(6*) [Xl] = 0,4257 - (0,0004 + 0,2282) = 0,1971

und

Auch mit dieser Übereinstimmung sind wir noch nicht zu- fiieden und nehmen daher die Glieder in B. und A^ aus der Formel (2) noch hinzu. Es sind dann zuzufügen zu (3) und (3*) die Glieder

• +^3 ftii' ^0' h^ h '■>

-"3 ■ " ^3' ^7 5 ''^11^

womit man die zwei neuen Normalgleichungen zu (4*) erhält:

, .^ 61?., • = — 0,08

• 6^3= + 1.07. Also wird

(5**) £3= — 0,0133, ^3= + 0,1783;

(6**) [>i;i] = 0,1971 - (0,0011 + 0,1908) = 0,0052,

(7-) ,=y§^^±^fls.

Diese Übereinstimmung genügt, und es wäre übertlüssig, die andern fünf Konstanten, welche zur vollständigen Dai'stellung der Beobachtungen notwendig würden, mit hinzuzunehmen. Im ganzen haben wir nun:

Amplitude = + 7,369 + 0,9854 sin 30x — 2,7084 cos 30«

(8) + 0,0087 sin 60a; — 0,1950 cos 60ic

— 0,0133 sin 90a; + 0,1783 cos 90a;.

Für die interpolatorische Anwendung der Formel (8) ist es be- quem, die Glieder mit Sinus und Cosinus desselben Vielfachen von X zu vereinigen.

408 Sechstes Kapitel. Näheruugsweise Darstellung von Funktionen.

Man hat aber allgemein

(9) B sinj)ar + A tospx = ?7sin (^px + X),

indem man linker Hand setzt

B =Uco%N, A== ü sin N, also

tan iV = ^

(10) ^

U= B^QcN= A CSC .\ = ]/^2 ^ ^2_

Der Quadrant, in welchem N liegt, ergibt sich aus den Vorzeichen von A und B in bekannter Weise.

2 C7 heißt die Amplitude und K die Phase der Sinuswelle CT" sin {px -\- N) bei x = 0.

Dies auf (8) angewendet, ergibt:

. . Amplitude = 7,369 + 2,882 sin (30 x — 70VJ)

+ 0,195 sin (60ä- — 87^4j + 0,179 sin (90a; + 94«,3).

Will man die Anzahl der Monate nicht von Mitte Januar, sondern von Anfang Januar abzählen, so muß man für x in die

Formel einführen ^ -, worin ^ in Monaten vom Jahresanfang

an gerechnet wii-d. Man erhält damit:

. . Amplitude = 7,369 + 2,882 sin (30^ — 85",0)

+ 0,195 sin (60^ - 117^4) + 0,179 sin (90^ + 49«,3).

Die l werden bei Anwendung von

3 Konst. :	5 Konst.:	7 Konst.:
+ 0,001	— 0,194	— (	3,016
+ 96	+	7	—	6
+ 98	+	203	1	25
— 236	—	41	—	28
- 254	—	163	+	15
+ 118	+	11	—	2
+ 367	+	172	—	6
+ 82	—	7	+	6
— 290	—	185	—	7
— 166	+	29	+	16
+ 62	+	151	—	27
-f 120	+	IG	+	29,

Die letzte Vertikalreihe gibt [Xk] = 0,0039, was mit 0,0052 nach (6**) genügend stimmt

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen. 409

n. Allgemeine Formeln für eine endliche Anzahl von Beobachtungen. Die einfache Form, welche die Normal- gleichungeu im vorhergehenden Beispiel annahmen, wird immer dadurch erzielt, daß man die Funktionswerte für solche Werte der Veränderlichen beobachtet, welche die Periode in eine — übrigens beliebige — Anzahl gleicher Intervalle teilen. Als- dann werden die nichtquadratischen Snmmenkoeffizienten null, die quadratischen aber lassen sich nach Summenformeln be- quem berechnen. Die erstem haben nämlich eine der Formen:

C) [cos i (^0 + '^0) cos h {Qq + vq)] (4) D) [sin / (go + vq) sin h {q^ + vq)]

El [cos / ((7o + vq) sin /( (q^ 4- vq)] , wobei die Summierung über

1^ = 0, 1, 2...(«-l) zu erstrecken ist und wobei bedeuten: n die Anzahl der Intervalle,

(/ den Wiakelwert ^^ für Bogenmaß und für Gradmaß,

q^ den entsprechend ausgedrückten Anfangs wert der Veränderlichen, welcher in der Regel gleich null angenommen wird,

/ und Ji ganze Zahlen mit der Bedingung

(4*) 0^/^y, O^/^^y.

Die Summen C, D und E verschwinden, wenn i ^ h ist. E verschwindet auch für / = h. Für diesen letzten Fall aber erhalten C und D die Werte - , ausgenommen für i = li = ^ , wofür (5) C == y (1 + cos nq^ D = J (1 - cos nq^)

wird, also bei qQ=^'-

(5*) C=n D=0;

ferner ausgenommen für i = h = 0 ^ wo ebenfalls C = n und D = 0 ist.

410 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

Um diese Beziehungen abzuleiten, beweist man zunächst, daß die Summen

(6) [sin i (q^ + v g)] und [cos * {q^ + v q)'\

v = 0, 1, 2 . . . (m — 1) ; i eine ganze Zahl,

gleich null sind, was aus der Betrachtung eines regulären ge- wöhnlichen Vielecks von n Ecken und der zugehörigen Stem- vielecke folgt. *) Durch Zerlegung der Produkte in C, D und E in Summen ergibt sich dann das Weitere.

Nehmen wir g'o = 0 und schreiben für F(t) den Buch- staben l, für t das Produkt vq, wo

(7) g=^, v = 0,l,2...(n-l), so haben wir aus (1 ) die n Fehlergleichungen

(8) h + K = A -\-^A <^os V iq +^B. sin viq,

wobei m höchstens gleich — r — bei ungeradem n, gleich ^ bei geradem u zu nehmen ist; im letzten Falle ist Bn^ nicht bestimmbar, weil die sin -Faktoren dafür gleich null werden.

Die reduzierten Normalgleichungen werden nunmehr:

A =	n
^• =	2[lj, cos viq]
n
R ==	2[/,, sbiviq]

(9)

worin die Summierung sich auf v = 0, 1, 2 ... (7? — 1) erstreckt

und i < „ zu nehmen ist.

Daher wird nach den allgemeinen Formeln vermittelnder Beobachtungen :

i = m

(10) [U] = m - n { A^' +2 ^^t^'-}-

*) Zeitschr. f. Vermessungswesen. Bd. VI, 1877, S. 32/33.

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen. 411

n

AVürcle man bei ungeradem n bis m= ~ — , bei geradem bis m = — gehen, so erhielte man [eine genaue Darstellung

mit A = 0 und [A/l] = 0. Im letzteren Falle lautet das letzte

Glied von (10)

(10*) ~ '^^1 '

und es fällt in (9) für Ä" rechter Hand der Paktor 2 weg,

während, wie schon erwähnt, B' nicht bestimmbar ist.

Genau genommen ergeben die Gleichungen (9) gar nicht die A und B selbst, sondern Aggregate aus unendlich vielen Gliedern. Denn denkt man sich in (8) rechter Hand unend- liche Reihen geschrieben, so haben z. B. wie leicht ersichtlich die Koeffizienten von A^, A.^_-, A^^-, ^'^2n-i usw. dieselben Werte. Die zweite Gleichung (9") gibt daher eigentlich nicht A-, sondern

(11) 4 + A-,-1- A+.+ ---

In dem entsprechenden Ausdruck für B sind die Vorzeichen abwechselnd positiv und negativ.*)

Dies hat keine Bedeutung, solange man F(t) nur für Werte t = vq wie in (8) benutzt; werden aber auch beliebige Werte t zugelassen, so erkennt man, daß diese gar nicht be- rechenbar sind, wenn man nicht annimmt, daß die A und B mit Indices über bei ungeradem n usw. verschwinden.

Im Beispielsfiille (\1) könnte es aber sehr wohl sein, daß nicht die A^^ _ ■ , A^ ^ . usw. verschwinden und A^ übrig bleibt, sondern daß irgend ein anderes A, z. B. A^_^, übrig bleibt und die andern verschwinden usw. Dies kann allenfalls durch all- gemeine Erwägungen entschieden werden, etwa mit Rücksicht darauf, daß die Glieder mit höheren Indices rascher veränder- lich sind, als solche mit niederen.

III. Vergrößeriiugsfaktor. Sehr oft sind, wie im vor- stehenden Beispiel, die gegebenen Werte l Mittelzahlen der F(t) für gewisse Zeiträume, dort für die zwölf Monate des Jahres.

*) Ad. Schmidt. Über die Verwendung trigonometr. Reihen in der Meteorologie (Progr. des Gymnasiums Ernestinum zu Gotha, 1894).

412 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen,

Die berechneten Konstanten gelten dann auch nur für die interpolatorische Darstellung der Mittelwerte, nicht aber für F{t) selbst.

Betrachtet man nun Gl. (1) und multipliziert mit dt und

integi'iert vo]i t = t^ —q bis t^-\- ^ q , so folgt nach Division

mit q für den Mittelwert l^^^ der Punktion im bezeichneten Intervall :

.ig -ig

^- sm ~ "^ sm - -

(12) C = Ä, +^ A, ^ cos it,„ +^ B,^ sin it„^.

Die Koeffizienten der Reihe (12) sind also kleiner als diejenigen der Reihe (1). Dasselbe gilt für die nach (9) berechneten.

27t

Setzt man q = —, so folgt als Vergrößerungsfaktor

der aus (9) berechneten Koeffizienten A. und B^, / > 0. der

AVert

{16) — : sm

Diese Formel gilt, wenn die Mittelwerte l^^^ aus einer stetigen Folge von Werten F(t) gefunden sind, z. B. aus graphischen Aufzeichnungen mittelst des Planimeters.

Im Beispielsfalle jedoch hat die Annahme einer stetigen Folge der F{i) keinen Sinn, da es jeden Tag nur eine DiÖereuz „Max. — Min." gibt. Hier muß man also für jeden Tageswert sich eine einzige Gleichung (1) angesetzt denken, und es fragt sich, wie deren Koeffizienten A und B mit den aus den Mittel- werten abgeleiteten zusammenhängen. Fallen nun p Funktions- werte aufs Intervall g, so hat man die Gleichung (1) für^; Fälle anzusetzen und das Mittel zu bilden, wobei t von einem Anfangs- wert a aus im Intervall q :p fortschreitet. Nun ist (vergl. a. a. 0. die Ableitung von (6)):

cos ia + cos (ia -f — ] -f cos iia + "--^j -\ 1- cos ( /a -f ' j

(1"*) /. , ^V«— l)f/\ . iq . iq

= cos ?« -\ — "^ — ) sm^ : sm-r^

und entsprechend für die Sinus, wobei rechter Hand an SteUe des Cosinus ein Sinus tritt. Diese Cosinus und Sinus sind

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen. 413

aber cos it^ und sin it^^^. Die früheren Koeffizienten Ä^ und B^ gehen somit jetzt durch die Mittelbilduug über in

(15) A; bzw. B; mal sin -^ : » sin-r^-

Um nun die Koeffizienten der auf die diskreten Beobachtungs- werte angewandten Reihe (1) zu erhalten, sind daher die aus den Mittelwerten abgeleiteten Ä^ und B^ zu multiplizieren mit,

q = — gesetzt:

/^^N . in . in

(Ib) «sm — : sin —

^ -^ pn n

Für das Beispiel ist n = 12, j? = 30 (den Monat zu 30 Tagen gerechnet). Die Faktoren (l6) sind daher

für A^ und B^ gleich 30 sin 0°, 5 : sin 15*'= 1,0115, „ A, „ B^ „ 30 sin l*' : sin 30*^= 1,0471, „ ^3 „ ^3 „ 30 sin 10,5 : sin 450= 1,1106.

Damit geht (12), S. 408, über in nachstehende Foi-mel für die täg- liche Amplitude :

Amplitude = + 7,369 + 2,915 sin (30^ — 85**,0) ^^''' + 0,204 sin (60^ - 117V) + 0,199 sin (90^ + 490,3).

IV. Schematisclie Berechimiig. Von den Einzelheiten in bezug auf die praktische Berechnung möge hier nur noch der schematischen Anordnung gedacht werden, während wir für weiteres, u. a. die Korrektion für ungleiche Länge der Monate (im Beispiel) und die Benutzung Ton Apparaten, auf die Enzyklopädie der math. Wiss. Bd. II, 1904, S. 642 u. f. ver- weisen.

Die Berechnung vereinfacht sieh sehr, wenn die Anzahl der Intervalle n durch 4 teilbar ist.*) Wir setzen also

*"! Wir folgen hier im wesentlichen: C. Runge, über die Zerlegung empirisch gegebener periodischer Funktionen in Sinuswellen. (Zeitschr. f. Math. u. Physik. 1'J02, Bd. 48., S. 443u.f., sowie 1905, Bd. 52., S. 117u.f.)

Das Verfahren ist ähnlich dem von Ar chibald Smith, das Borgen in seiner harmonischen Analyse der Gezeitenbeobachtungen (Annalen der Hydrographie 1884, Bd. 12, S. 506 u. 507) auseinandersetzt. Siehe dies auch kürzer bei C. Kassner, Meteorologische Zeitschr. 1901, Bd. 18, S. Slu.f.

414 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen. (17) n = 4r.

Für denselben Wert von i nehmen dann in der Gleichung (8) sowohl cos viq wie sin viq viermal denselben Absolutwert an, wenn v von 0 bis 4r — 1 geht. Gruppiert man die l wie folgt:

'o n '"> ■ • • ^2 »• — 1 ''2 r

(18) ; - :'

'4r-l '4r-2 * * ' ''2r + l }

SO haben die Cosinus gleiche Werte, die Sinus entgegengesetzt gleiche Werte für die übereinandersteh enden l. Demgemäß bildet man durch Addition:

(19) % «1 «2 «2r-l «2r

und durch Subtraktion der untern von der obem Reihe:

(19*) \ h h^_,.

An Stelle von (9) tritt nun

(20) 2r ^j. = [a,, cos viq\, 2r B^= [h^, sin viq] ;

?:== 1 . . .(2r — 1); r= 0,1,2 .. .2r,

4rAQ= [«,,], 4r A;.= [a^ cos 2 rvq].

Da q = 2^ : u = 7c : 2r , so i.st viq bei v = 2r gleich i;r;

femer ist:

— / . • \ ^ ungerade

COS viq ^ + COS (i 7t — viq) . ,

^ ■ ■^■' i gerade ,

. . • \ i ungerade

Binviq = -\- sm [in — viq) °

^ — ^^ i gerade .

Bildet man nun aus

(21)

«2r a2r-l »2r-2--«.

durch Addition:

(22) Oo Ol Qo ... a^_i 0^ und durch Subtraktion:

(22*) Qo' < Qs' ..-K-i,

so folgt bei ungeradem i:

(23) 2r^.= [a,,'cos v?:g], z;= 0,1,2 ... (r — l),

bei geradem i:

(23*) 2r J.J. = [o,, cos vig-], r = 0, l, 2 . . .r.

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen.

415

Ferner ist

(24j 4r^o = [a,], v^o,i,2...r,

(24*) 4r^2r = "o — Ol + 0, ±a^.

Bildet man ferner aus

(25) 12 3 r-1 r

^2/--l ^27--2 ^2r-3---'V + l

durch Addition:

(26) K b, h, b,_, h,.,

und durch Subtraktion:

(26*) b/ \' bg' b:._,,

so wird bei ungeradem i:

(27) '2rB, = [b, sin viq], v = l , 2 ,...(,•- l) , r, und bei geradem i:

(27*) 2rJ5.= [b,'siuvig], ^ = i, 2,. . . (r- i).

Für das Beispiel S. 405 hat man als Vorbereitung:

V	Z	a	b	a	a	b	b'
	(18)	(19)	(19*)	(22)	(22*)	(26)	(26*)
0	4,66 «	4,66	«	14,37	— 5,05	»	*
1	5,42 4,41	9,83	1,01	29,06	— 9,40	1,96	0,06
2	6,77 5,10	11,87	1,67	29,86	— 6,12	3,34	0,00
3	8,59 6,55 9,83 8,16	15,14 17,99	2,04 1,67	15,14	*	2,04	*
4	flo + fls	< — <	6x-6s
5 6	10,09 9,14 9,71	19,23 9,71	0,95 •	= 44,23 ^ a. + a3 = 44,20 J	= 1,07 Diff. = 0	= — 0,08 03.

Nun sind die Formeln (23), (23 *) usw. zur Berechnung der Ä und B anzuwenden. Dabei ist zu setzen ^ = tt : 2r, d. i. in Gradmaß 90": r, also mit r=3 wird 2 = 30^ Die Cosinusse imd Sinusse der Winkel viq lassen sich alle zurückführen auf:

cosO"= 1, cos 30°= 0,866025, cos60<>=0,5, cos 90" =0.

416 Sechstes Kapitel. Xäherungsweise Darstellung von Funktionen. Die Gl. (23) geben nun 6 Ä^ und 6 Ä^ und die Gl. (23 *j QÄ,^ und &Ä^:

cos

acos

6 J^ = — 16,25064

6^5 = + 0,03064

A^ = — 2,70844

uäj = + 0,0051 ;

Nach (23) wird ferner:

6 ^3 = ao'

1 + 0,5 — 0,5

+ 1

14,37 + 14,53 — 14,93 + 15,U

6A^ = — 1,17

6^4 = + 0,05

Ä^ = — 0,1950

J.^ = + 0,0083.

1,07;

nach (24) und (24*) folgt:

12A

,43 und 12 A

0,03:

vergl. umstehende Zusammenstellung. Also ist:

yl3 = 0,1783; ^0 = 7,369167: A^ = 0,0025.

Die Gl. (2 7) geben für 6 ^^ u. 6 ^5 : Die Gl. (2 7 *) für 6 jßg ^i^d 6 ^^r

V	sin 6 sin
1 2 8	0,5 0,98 + 0,866025 +2,89252 1 j 2,04

6JSi = 5,91252

655 = 0,12748

B^ = 0,9854

JB5 = 0,0212;

V sin	b' sin
1 1 0,8660	0,052
2 i + 0,8660	0,000
65,	= 0,052
6JB4	= 0,052
s.	= 0,0087
B,	= 0.0087.

Endlich ist

6^3=61- 63= — 0,08: ^3 = — 0,0133.

Berechnet man [;j.] aus [U] zui- Kontrolle, so soll sieb null ergeben, da bei Bestimmung von zwölf Konstanten aus zwölf Gleichuncren die k null werden müssen. Um eine hinreichende

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen.

417

Genauigkeit zu ermöglichen, sind die A und B mit einer sonst überflüssigen Genauigkeit berechnet. Es ist

[ll\ = 701,9199 — 651,6554 - 44,0139 — 5,8263

— 2282 — 04

— 1908 - 11

— 04 — 05

— Ol — 27

— Ol

0.0000.

Beispiel. Wir geben hier noch ein Beispiel für eine Inter- polation mit Gliedern verschiedener Art. Verfasser erhielt in den Jahren 1869 und 1870 auf der Hamburger Sternwarte eine größere Anzahl Angaben für die Neigung der rd. 90 Zentimeter langen horizontalen Achse des Passageninstruments im Meridian. Es fand sich, daß die Neigung mit wechselnder Jahres- zeit und Temperatur Änderungen unterlag. Um dieselben schärfer als durch bloße Anschauung zu ermitteln, wurden aus den an ver- schiedenen Tagen beobachteten Neigungen eines jeden halben Monats über ein volles Jahr hinweg ^Mittelwerte gebildet und dieselben durch eine Interpolationsformel dargestellt.

(1) 1869.

Mittelwerte :	•	Neigung (Erhebung des Westendes) in Zeitsekunden	Temperatur Geis. Gr.
Febr.	2.	Hälfte + 0,031	5,2
März	1.	11	-f 0,098	2,5
11	2.	11	-f 0,080	4,7
April	1.	,.	— 0,009	9,5
»	2.	•1	— 0,065	12,0
Mai	1.	11	- 0,003	9,6
11	2.	1-	— 0,048	11,8
Juni	1.	11	- 0,066	12,5
11	2.	11	— 0,098	12,4
JuH	1.	11	- 0,153	15,1
V	2.	11	- 0,194	15,6
Aug.	1.	11	- 0,191	14,2
11	2.	11	— 0,218	14,6

Helm er t, Ausgleichungsrechnung. 2. Anfl.

27

418 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

(1) 1869

1870

Mittelwerte :		Neigung (Erhebung des Westendes) in Zeitsekunden	Temperatur Gels. Gr.
Sept.	1.	Hälfte	- 0,204	13,3
«	2.		— 0,162	12,3
Okt.	1.		- 0,147	12,5
5?	2.		— 0,024	5,9
Nov.	1		+ 0,042	3,9
»	2.		+ 0,040	4,0
Dez.	1.		+ 0,093	1,9
»	2.		+ 0,046	4,8
Jan.	1.		+ 0,070	5,3
>?	2.		+ 0,199	0,5
Febr.	1.	M	+ 0,277	-0,6.

Wir nehmen einstweilen an, daß die Nivellierungsergebnisse gerade für die Mitte jedes halben Monats strenge Geltung hätten,, und setzen ferner voraus, daß diese Mitten das ganze Jahr in 24 gleiche Teile teilten, vrelches letztere auch sehr nahe der Fall ist. Die Temperaturen sind die Quecksilbertemperaturen eines Fortinschen Barometers, welches an einer Wand des Zimmers im- weit vom Passageninstrument hing. Die Formel, welche wir den Messungsergebnissen anpassen wollen, sei

(2) Neigung = x^-\- x,j,Z -\- x.^T -\- x^ si

360 Z

-f X5 cos

360 Z

T die Temperatur, gezählt vom Mittel aller 24 Temperatur- angaben {= 8®,48) und Z die von Mitte August 1869, also der Mitte des Beobachtungs- jahres, ab gezählten halben Monate, ferner 3ßOZ Grade, a?j, Xg, ajg, ^4^, ojg aber zu bestimmende Konstanten bedeuten.

x^ insbesondere ist der konstante Teil der Neigung und

gilt (abgesehen von Xr^) für Mitte August 1 86 9 bei T = 0 ^,

x^ ist die der Zeit proportionale Neigungsänderung in

einem halben Monate, x^ und x^ sind Konstanten einer sich über ein Jahr er- streckenden Periode in den Neigungsänderungen.

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen. 419

Für die Mitten der halben Monate wird der Reihe nar-li:

z	;}60Z 24	Z	360 Z 24
-11,5	— 172°,5	— 3,5	— 52«,5
— 10,5	: — 157,5	— 2,5	— 37,5
— 9,5	— 142,5	- 1,5	— 22,5
- 8,5	— 127,5	- 0,5	— 7,5
- 7,5	— 112,5	+ 0,5	+ 7,5
- 6,5	— 97,5
— 5,5	— 82.5	+ 11,5	+ 172,5;
— 4,5	— «7,5

damit erhalten wir folgende 24 Fehlergleichungen:

(3)

			^1		XV	0^3	^4 X^
h		-l	mal	mal	mal	mal mal	s
			a		h	c	ä e
1	—	31	+ 1	—	11,5	-3,28	— 0,1305 i — 0,9914	—14,9019
2	—	98	+ 1	—	10,5	-5,98	— 0,3827	— 0,9239	—16,7866
3	—	80	+ 1	—	9,5	— 3,78	— 0,6088	— 0,7934	—13,6822
4	+	9	+ 1	—	8,5	+ 1,02	— 0,7934	— 0,6088	— 7,8822
5	+	65	+ 1	—	7,5	+ 3,52	— 0,9239	— 0,3827	— 4,2866
6	+	3	+ 1		6,5	+ 1,12	— 0,9914	— 0,1305	— 5,5019
7	+	48	+ 1	—	5,5	+ 3,32	— 0,9914	+ 0,1305	— 2,0409
8 ;	+	66	+ 1	—	4,5	+ 4,02	— 0,9239	+ 0,3827	— 0,0212
9	+	98	+ 1	—	3,5	+ -^,92	— 0,7934	+ 0,6088	+ 1,2354
10 i	+	153	+ 1	—	2,5	+ 6,62	— 0,6088	+ 0,7934	+ 5,3046
11 1	+	194	+ 1	—	1,5	+ 7,12	— 0,3827	+ 0,9239	+ 7,1612
12	+	191	+ 1	-	0,5	+ 5,72	— 0,1305	+ 0,9914	+ 7,0809
13	+	218	+ 1	+	0,5	+ 6,12	+ 0,1305	+ 0,9914	+ 8,7419
14	+	204	+ 1	+	1,5	+ 4,82	+ 0,3827	+ 0,9239	+ 8,6266
15	+	162	+ 1	+	2,5	+ 3,82	+ 0,6088	+ 0,7934	+ 8,7222
16	+	147	+ 1	+	3,5	+ 4,02	+ 0,7934	+ 0,6088	+ 9,9222
17	+	24	+ 1	+	4,5	— 2,58	+ 0,9239	+ 0,3827	+ 4,2266
18	—	42	+ 1	+	5,5	— 4,58	+ 0,9914	+ 0,1305	+ 3,0419
19	—	40	+ 1	+	6,5	— 4,48	+ 0,9914	— 0,1305	+ 3,8809
•20 1	—	93	+ 1	+	7,5	— 6,58	-\- 0,9239	— 0,3827	+ 2,4612
21 i	—	46	+ 1	+	8;5	— 3,68	+ 0,7934	— 0,6088	+ 6,0046
22	—	70	+ 1	+	9,5	— 3,18	+ 0,6088 — 0,7984	+ 7,1364
23	—	199	+ 1	+	10,5	— 7,98	+ 0,3827 - 0,9239	+ 2,9788
24 i	—	277	+ 1	+	11,5	— 9,08	+ 0,1305 1 — 0,9914	+ 2,5591
								27*

420 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

Hierin steht der dreifache Vertikalstrich an Stelle der Gleichheits- zeichen; l bedeutet die tausendfachen Beobachtungswerte, und die 5 sind die Koeffizientensummen der Gleichungen.*)

Man erhält nun folgende Normalgleichungen, die sich dadarch, daß sowohl das Mittel der Temperaturen als auch die Mitte des Jahres zu Ausgangspunkten genommen sind, sehr einfach gestalten, und worin x^, . . . x-^ die tausendfachen Werte der gleichnamigen Unbekannten bezeichnen:

A'l		x^	•r, .	x^	•^6 1 1	Konst.
+ 24,00		«	— 0,02	*	* 1	— 606,0
<') - ;,o.	+	1150,00	— 317,15	-(- 91,94	*	1 + 6188,0
—	317,15	-\- 597,50	— 36,15	+ 70,18	— 14470,8
*	+	91.94	— 36,15	-f- 12,00	*	+ 373,24
*		•	+ 70,18,	«	-\- 12,00	— 1944,33
-f 23,98	+	924,80	+ 314,35	-f 67,79	-\- 82,18	— 10459,9

Die Summengleichung stimmt hierin hinreichend mit der Summe der fünf Normalgleichungen.

Bei der Bildung der letzteren war die Kenntnis der Formeln auf S. 409 von Nutzen; es war in denselben w = 24, i = 7? = 1, $0 = — 172°,5, q = -\- 15" einzuführen; demnach wird

[ad] = [ae] = 0 nach (6), S. 410.

[dd] = [ee] = 12 nach C und D,

[de] = 0 nach i;.**)

Zur Auflösung nach dem Gaußschen Verfahren setzen wir, um den Umstand des Fehlens einzelner Koeffizienten auszunutzen, das System der Normalgleichungen besser wie folgt:

*) Es wäre etwas bequemer gewesen, wenn man die Koeffizienten- summen s unter der Bedingung gebildet hätte, daß die Koeffizienten von X» und Xg durch 10 dividiert angenommen worden wären; man würde dadurch für s eine Stelle weniger erhalten haben.

**) Für die Summen [fcd], [be] lassen sich ebenfalls allgemeine Formeln aufstellen, wonach wird

[ftrf] = 12 CSC 7»,5 = + 91,94 : [6e]= 0.

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen.

421

X,	^5	x^	x^	x^	Konst.
-f 24,00	»	»	*	- 0,02	— 606,0
(5) *	+ 12,00	■jC-	»	+ 70,18	— 1944,33
*	+ 12,00	+ 91,94	1 — 30,15	+ 373,24
*	»	-f 91,94	+ 1150,00	— 317,15 1	+ 6188,0
— 0,02	-f- 70,18	— 36,15	— 317,15	i + 597,50	— 14470,8
4- 23,98	+ 82,18	+ 67,79	+ 924,80	+ 314,35	— 10459,9

Hieraus bildet man nach und nach die Doppeltabelle (ohne Rück- sicht auf C4ewichtsberechnung, welche hier ziemlich wertlos ist):

(6)

x.	x.	•'■-i	x..	■^i	Konst.
+ 24,00 1	*	*	*	— 0,02 — 0,0008	— 606,0 — 25,250
	+ 12,00 1	«	*	+ 70,18 + 5,8480	— 1944,33 — 162,027
		+ 12,00 1	+ 91,94 4- 7,662	— 36,15 — 3,oi;i	+ 373,24 + yi,io:i
		+ 445,61 1	— 40,18 — 0,09017	+ 3328,5 + 7,470
		+ 74,59 1	— 1676,4 — 22,471

Die tausendfachen Werte der Unbekannten sind;

(7)

25,268 ^2 = + 5,4431 oc^= — x^= — 78,303 ^5 = — 30,599 ,

22,474

die die Normalgleichungen bis auf wenige Einheiten der ersten Dezimalstelle erfüllen. Aus (6) folgt noch mit Hilfe von •

(8)

die Summe

(9)

[ll\ = 407998

[U]

3516

(l und l tausendfach); dagegen folgt aus nachstehenden Werten der A:

422 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

(10)

X, = — 4,7 A2=+ 12,2

A,= - 4,8 A,. = + 3,8

A, = - 8,2 A.O = — 13,5

(11)

Aj^ = + 9,0

;.,o=-ii,3

An=+ 2,2

A,2= + 14,8

A,3= + 17,4

A,, = + 20,3

^15 = - 7,6

k,, = - 30,2

[;j.] = 3506,

A,,= - 2,8 ^,,= -16,1

^19= — 2,8

^2,= + 14,2 A22=+ 4,5

^23=4- 10,5

A,,= — 15,5

was eine genügende Übereinstimmung gewährt.

Die ). zeigen annähernd den Charakter zufälliger Fehler. Ins- besondere ist für die Vorzeichen f — ta = 3 + 4,8 , femer aus A = [AA] = 3506 und aus den 24 Differenzen aufeinanderfolgen- der A 5 : 2 = 2696, mithin ^ — £ : 2 = 810 ± 716. Auch die Verteilung der X genügt sehr nahe dem Fehlergesetze III. Man hat nämlich (wobei zu beachten, daß \X\ notwendig null ist) aus (10) für die 1000-fachen Werte der X:

Anzahl der positiven Fehler = Anzahl der negativen Fehler, Quadratsumme der posit. F. = 1597, der negat. F. = 1909:

lOOOft;

4-

-1 /3506 _ K 24 ""

± 12,1.

es sollte sein	r 16
für das	8
Fehlergesetz	1
m:	l 12.

15 der X sind absolut genommen •< u-

9 „ X „ „ „ > fA;

1 ,, A ist ,, „ > 2|U;

11 „ A sind „ „ < 0,674«;

Hiemach kann man wohl sagen, daß die Interpolationsformel die beobachteten Neigungen gut darstellt, bis auf Reste von wesent- lich zufälliger Natur.

Der mittlere Fehler einer Gleichimg wird demgemäß bei fünf Unbekannten und 24 Gleichungen nach der gewöhnlichen Formel für zufällige Fehler:

ri2)

f*

Vh

003506

24 — 5

= ±yO,0001845 = ± 0',0136.

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen. 423

Der mittlere Fehler + 0*,0136 entsteht durch Beobachtungsfehler der Neigung, durch Beobachtungsfehler der Temperatur T und durch kleine zufällige Schwankungen der Achse infolge der Wittei-ung usw. 0",6 Fehler in T genügen allein schon zur Erkläi-ung von ft.

Eine genauere Untersuchung der Neigungen müßte mit Be- nutzung der wahren Pfeilertemperatm- und des Feuchtigkeitsgehaltes erfolgen. Man müßte femer bei der Bildung der Mittel der Neigungen für jeden halben Monat mit Hilfe genäherter Werte der Konstanten, wenn das Mittel der Zeiten nicht mit der Mitte des halben Monats zusammenfällt, eine Reduktion anbringen, die einige Tausendstel-Zeitsekunden betragen kann. Endlich müßten alle zu verschiedenen Tageszeiten beobachteten Neigungen mittels der zu bestimmenden täglichen X'ariation der Neigung auf eine bestimmte Tagesstunde bzw. auf die maximale oder minimale Neigung redu- ziert werden.

Nach Substitution der Werte (7 ) in die Formel (2) geht die- selbe in folgende Gestalt über:

Neigung = — 0*,02527 + 0,00544:n Z

(13) - 0,022474 (T— 8^48)

— 0,078303 sin 15Z — 0,030599 cos 15Z;

Z = Anzahl der halben Monate von Mitte August 1869 ab, 15 Z in Graden.

Wir können diese Formel noch in eine bequemere Gestalt bringen. Die beiden letzten Glieder lassen sich nach (9) und (10), S. 408, zusammenziehen in

(14) - 0,084069 sin (15 Z + 21» 20',7). Vereinigt man ferner die Glieder

— 0,02527 + 0,022474 • 8,48 zu 0,16531 , so folgt:

Neigung = 4- 0^l6531 + 0,0054431 Z — 0,022474 T ^^^^ - 0.084069 sin (15 Z-H 21» 20'7).

Bezeichnet l die Anzahl der Monate vom Jahresanfänge ab,

so ist

Z=2§-15,

und dies in (15) eingeführt, gibt mit 30 § in Graden die Endformel:

Neigung = 0*,0837 + 0,01089 1 — 0,02247 T ^^^^ + 0,0841 sin (30^ - 23» 39').

424 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

Es ist beispielsweise für die Mitte dei- ersten Hälfte Sept. ^ = 8,25, T=13'',3, mithin die berechnete Neigung — 0*.1836. Die beobachtete Neigung ist — r/,204, daher ;i gleich + 0*,a204.

Die berechnete Formel hat zunächst jedenfalls nur den Wert einer Interpolationsformel; indessen kann man dem Teile derselben, welcher den Temperatureinfluß berücksichtigt, eine allgemeinere Bedeutung beilegen und annehmen, daß der Temperaturkoeffizient 0,02247 auch für frühere und spätere nicht allzu entfernte Zeit- räume Geltung haben werde. Die andern Glieder der Formel haben aber nur interpolatorischen Wert, da sie hauptsächlich von dem Witterungsverlaufe abhängen. Man bemerkt dies auch sofort, indem man die Formel weiter anwendet auf Neigungen nach Febr. 1870. Ende dieses Monats wurde die Achsenneigung durch die Lagerstellschrauben geändert, womit eine Änderung der Kon- stanten 0,0837 der Formel (16) verbunden ist. Setzen wir ihren geänderten Wert gleich ^r^', so muß sein, falls flie Formel im übrigen gilt,

a;/= Beob. Neigung — 0,01089$ + 0,02247 2' - 0,0841 sin (30; — 23<'39'),

worin ; nunmehr die Anzahl der Monate von 1870,0 ab sein soll. Es fand sich aber u. a.:

Zeit 1870 ,	Beob. 1 Neigung	T i	i\	<
April 2.4	' 4- 0,030	5,1	3,08 ''	4- 0,033
„ 3,4	+ 0.003	5.7	3,11	+ 0,018
„ 0,5	— 0,018	T,4	3,22	+ 0,033
.Juni 3,4	— 0,216	. 11,3	5,11	— 0,083
Juli 1,2	— 0,297	13,0	6,04	— 0,103
6,4	— 0,280	13,3	6,21	— 0,074
„ 14,5	— 0,369	15,9	6,47	— 0,096
„ 16, ö	— 0,397	17,4	6,53	— 0,088
„ 24,5	— 0,404	15,9	6,79	— 0,101
., 27,5	— 0,437	r 17,4	6,88	— 0,117
Aug. 12,4	— 0,448	16,9	",40	— 0,122
:, 18.2	— 0,424	14,3	7,58 1	— 0,151.

Hieraus sieht man, daß die Formel mehr und mehi- unrichtig wird und nur noch in der Weise verwendet werden darf, daß man sie zur Interpolation benutzt zwischen zwei an nicht zu entfernten Tagen beobachteten Neigungen, aus welchen letzteren der mittlere

§ 5. Interpolation durch trigonometrische Reihen. 425

Wert der Konstanten x/ jedesmal abzuleiten ist. Beispielsweise würden wir für Juli 1,2 bis 16,5 an\venden als Konstante

0,103 -f 0,074 -f- 0,096 + 0,088

womit die Fonnel wird:

Neigung = — 0\()90 + 0,01089| — 0,02247 T. + 0,0841 sin (30; — 28 "39').

V. Berücksichtigung- imperiodischer Glieder bei der Ab- leitung der Koeffizienten der Besselschen Formel. Dies kann zunächst dadurch geschehen, daß man die Werte / = F{t) in (1) und (2), S. 403, bzw. in (9), S. 410, um den unperiodischen Teil vermindert, der als bekannt vorausgesetzt wird.

Man kann sich dies aber auch nachträglich ausgeführt denken. Ist der unperiodische Teil l'=F{t)', so muß man in (2) sich für F(t) gesetzt denken F{t) — F{t)\ in (9) für l^ den Unter- schied l^ — Z,,'.

Bildet man aber in (2) die Integrale für F{t) und F{i}' einzeln, so ergeben sie statt A^ und B- bzw. {A^-\-A^) — A^ und {B^-\- B.') — B^'. Die A' und B' entsprechen einer Fou- rierschen Entwicklung des unperiodischen Teils in dem Inter- vall der Variablen t, welches bei (1) in Betracht gezogen ist. Die KoiTektion besteht also darin, daß man diese Entwicklung ausführt und dann die Koeffizienten mit demselben Index von- einander abzieht.

Dieses Verfahren ist allerdings nicht mehr ganz streng, wenn nur mit einer endlichen Anzahl n von Werten gerechnet ist, wie in (9). Dann müssen die / wirklich einzeln verbessert werden, oder man muß besondere Formeln entwickeln.

Wir wollen dies für den Fall tun, daß der unperiodische Teil einfach eine lineare Funktion von / ist (also eine Art säkulares Gliedj. Die beiden Fälle, daß unendlich viele Funk- tionswerte oder nur n benutzt werden, betrachten wir einzeln.

Es sei also für (1), S. 403, zu setzen:

(28) F{i) = ^0 + -i^ + ^A cos it + ZBi sin it.

A sei gegeben. Für F(f) schreiben wir kurz l. Dann folgt,

426 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen.

wenn l„ — Iq den Zuwachs von F{t) bezeichnet für den Über- gang von / in t -\- 2Tt:

(29) 4 - '^.

l COS if dt I t cos it dt.

Af= \ l cos it dt fi

' TT J Tl J

(30)

i?. = '^ 1 1 sin it dt - ^ I f sin itdt.

0 0

Für Aq ist die Hälfte des Formelwertes zu nehmen. Man er-

hält mit Rücksicht auf (2): (31) ^.= 2',/'

2n Idt-^^^

0

Ferner wird durch teilweise Integration:

2n

in

R=- \Uin itdt +^"7^"

Äj= I l cos itdt,

(32) °

0 Es ist also nur JB. zu verbessern.*)

Ist nur eine endliche Anzahl von Werten l^ gegeben, im Anschluß an die Formeln (9), S. 410, so wird jetzt:

(33) ^0=^^-"^''-^,

A. = ^üi^^i^ _ ilk^^oi [-^ ,0, , • j

C34) 73 2[h. sin viq] 2 (Z„ — g . . .-, v"'/ B, = ~ " , " \v sin vtq\,

r = 0, 1, 2 . . . (« — 1), q = 2% : n,

^ ^ 2[lyC08viq] l„ — 1o

' n n '

jg _ 2[l^smviq] Ij^^k ^^^^ (^ .

oder

(35)

*) Ad. Schmidt. Über die Verwendung trigonometrischer Reihen usw. 1894. S. 11.

§ 6. Interpolation bei quaBieystem. Fehlern. 427

Zur Bildung der Summen [v cos viq] und [v sin viq] hat man

nämlich zu beachten, daß

. rix . n — 1 . nx ii — ^ 1

sin — - sin — ,- — X sin — cos — - — x

r • 1 2 2 r 1 2 2

smi'^ = , \q,osvx\ =

sin — sin —

2 2

. 2 TT

Differenziert man nach x und setzt x = iq = i — , so folgt

[v cos viq] = — y; [^^ sinv iq\ = — — cot ^ • Dies stimmt für n = oc mit dem Vorhergehenden.*)

§ 6. Interpolation nach der Theorie der quasisystematischen Fehler von T. N. Thiele.**)

I. Ausgleichung. Wir denken uns eine Größe, wie den Gang einer Uhr oder die persönliche Gleichung zweier Be- obachter bei Messungen usw., zu aufeinanderfolgenden Epochen beobachtet. Die Größe sollte eigentlich konstant sein, ab- gesehen Yon systematischen Einflüssen, die in Rechnung ge- zogen werden können (beim Uhrgang: Luftdichte, Temperatur). Angenommen aber, sie erweise sich nicht konstant. Dann kann man zunächst an zufällige Schwankungen um einen Normal- wert herum denken, so daß also dieser durch die Umstände möglichst festgehalten wird. Man wird aber bei näherer Be- trachtung, z. B. des Uhrganges, zu der Ansicht geführt, daß die Gesamtschwankungeu in ihrer Verteilung (Aufeinanderfolge) nicht wie zufällige Fehler sich verhalten, sondern daß sie sich aus kleinen Teilen zusammensetzen, die zufälliger Natur sind. Die Gesamtschwankungen sind dann quasisystematische Fehler, indem sie in ihrer Verteilung ein Verhalten zeigen ähnlich wie systematische Fehler — bei ganz anderer Art des Ursprungs.

*) Die Rechnung wird selbstverständlich etwas anders, wenn A aus den "Werten ?,, mit bestimmt werden soll; vergl. hierzu das Beispiel auf S. 417 u. f. Oftmals wird indessen der oben behandelte Fall eintreten, wobei man sich l^^ — ?p mehrfach bestimmt zu denken hat.

**) Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systematiques par la methode des moindres carres. Copenhague 1880.

428 Sechstes Kapitel. NäheningsweiBe Darstellung von Funktionen.

Zu anfeinanderf olgenden Epochen seien gefunden für eine Konstante die Werte lijl^, ■ ■ ■ ^^ niit den Gewichten ffi, g«, ■ ■ ■ g„ in bezug auf eine bekannte Gewichtseinheit. Die wahren Werte der l^ seien X^, so hat man die Fehlergleichungen:

l, + /.. = X, Gew. rj^ i = 1 . . . n.

Die g^ und den m. F. u der Gewichtseinheit findet man aus unmittelbar hintereinander wiederholten Beobachtungen.

Die aufeinanderfolgenden X weichen um Größen von- einander ab, deren mittlere Quadrate proportional der Zeit wachsen. In bezug auf eine Gewichtseinheit mit dem noch unbekannten m. F. tn sind also die Gewichte der Differenzen X,.— X,_i umgekehrt proportional den Zeitunterschieden f^ — t-_i zu setzen. Das gibt die («— 1) Fehlergleichungen:

Äg — x^ == ö^ Gew. (j^'

,'2 \ """ä "^2 ^ "2 J> 9-2

Die Gewichte sind hier auf ^ bezogen gedacht, so daß

(3) ^.:i=<:(^.-^.-i)-

Aus [\) und (2) erhält man zur Bestimmung von ni'^ die n — \ Gleichungen

(4) l-h-.-^-r-K+K-^-

Diese gelten auch für wahre Verbesserungen. In bekannter Weise folgt daher

i = 2 . ..n.

Mit Rücksicht auf (3) ergibt sich endlich:

(5) m\t„-t,) = ^a- U.d'-l^'^ (^ + irr)'

i = 2 . . . n.

Hat man hieraus m^ berechnet, so gibt (3) die g' für das System (2).

§ 6. Interpolation bei quasisystem. Fehlem. 429

Die Bedingung [l^g] + [^^9] ein Min. führt weiter zu den Nor m alffleichungen :

k92=— 9i^i + {9i +92 + 9t)^t - 9i^i (6) \9%= ■ - 92 % + (^2' + 9% + 9%) ^3 — 9% ^4

\9n- ' • • -9n-X^n-X + {9n-^+9r)K'

Hieraus folgen in bekannter Weise die reduzierten Normal- gleichungen :

Ih 2/2 = <>2 + ö'2>2 - 9%H Pilk = (^3 + 5'3')^3 — 9^ ^4.

(7)

PnVn-Pn^n, ^ISO IJ„-X„.

Dabei ist gesetzt:

Pi = 9i

(8)

(9)

P2-92 + P2 ^=^, + J,'

i>3 = ^3+i^3' ^ = i7+,V

USW. usw.

p^y^ — p^yi + g^k P3y3 = p$y2 + 93h

usw.

Die x^_i, x^_2, . . . x^ folgen aus (7) durch Einsetzen von a;„ usw.

Nach der Theorie der äquivalenten Beobachtimgen kann man die linken Seiten der Gleichungen (7), also die p^y^, als voneinander unabhängige Beobachtungen vom reziproken Ge- wicht p^ + g^ auffassen. Da nun z. B. in der ersten Gleichung (7) x^ nur von p-^y^ • • •i'«?/« abhängt, kann man darin x^ als Punk- tion der voneinander unabhängigen Beobachtungen p^y-^^ und 9x x^ betrachten.

430 Sechstes Kapitel. Näherungsweise Darstellung von Funktionen Man hat also für das m. Fehlerquadrat M^^ von x^:

und hieraus

Allgemein ist

(10) M,^ = (^jf Jf,.|, + ?^^^ (iK

Für x^ = y^ hat man insbesondere

(11) i^4- = -•

Von hier ausgehend berechnen sich nach und nach alle M^ bis Jf^l*)

*) Man kann das System (6) auch mit Hilfe der Multiplikatoren Q auflösen, die aus den Gleichungen folgen:

— 9i + (i'i' -i-ffi-h öi) Qi = 9i Qi — 9i Qi + (^ä' + 9s + 9s') Qs = 9s Qi

— 9a'-2 Qa--2+^n'-i^ 9n-l+9n'-\)Qn-\ =9„LiQ„-

Damit folgt

Mittels x^ geben die (6i schrittweise alle anderen ./•.

Stellt man noch ein zweites System Multiplikatoren auf:

i9n-l + 9n) = 9nLlP,

— 9,/-i + (9../-2'T9u-i-^9„'-i)P^.=9,/-iPä usw.,

so geben beide Systeme ein bequemes Mittel, sämtliche x und ihre rezi- proken Gewichte explizite zu berechnen.

Vergl.: L. Krüger. Die Auflösung eines speziellen Systems von Normalgleichungen. (Astr. Nachr. Bd. 138 (1895), Nr. 3298, Sp. 163 u. f.)

Im Falle der Gewichtsberechnung sind in bekannter Weise die lg durch null und eins zu ersetzen.

§ 6. Interpolation bei quasisystem. Fehlem. 431

Eine summarische Berechnung für die Fehlerquadrat- summe ergibt die Formel:

(12) [AVI + [S'(/] = [Ih] - ( ^S + -^^ + • • • + ^'^^"- i . Hierin kanu man auch setzen:

(12*) ^:^-Pi-p.:.-

(13)

Pi + ff/ Ferner wird

„2 [^'f/J+[^V]

da,2n — 1 Fehlergleichvmgen und n Unbekannte vorhanden sind.

Eine Prüfung des Wertes ju.^ aus flo) ergibt sich durch Vergleichung mit dem eingangs gefundenen Wert.

Es führt zu großen Weitläufigkeiten, auf Grund der X und d das Verhältnis von «- zu m^ zu prüfen. Die nach Art von II im 5. Kapitel, S. 360 u. f , abzuleitenden strengen Formeln sind zu umständlich. (Die Näherungsformeln, welche Thiele benutzt, sind wohl nicht allgemein brauchbar.) Eine solche Prüfung ist auch nicht nötig, da die Herleitung von m aus (5) das ganze Beobachtungsmaterial berücksichtigt. Wenn /t^ aus (13) wesentlich anders als früher hervorginge, so müßte man annehmen, daß die Gewichte (/■' unter sich unrichtig, d. h. nicht umgekehrt proportional zu ^,.^^ — ^, sind.

II. Eiuschaltuug. Wünscht man zwischen x- und :j;,.^^ ein X einzuschalten, wobei nach Maßgabe der Zwischenzeiten anzusetzen ist: , ., X ~ x^= d' Gew. g'

Xf^i X = 0 „ g , so wird die Normalgleichung für x:

und es ist

Bequemer ist es Avohl, auf (3) zurückzugehen. Die Normal- gleichung gibt aber

{x-x^g'={x.^,-x)(r,

p =i>'	1 P	= i + 4
lh=9z + Ih	1	= i + 4

432 Sechstes Kapitel. ]Säherungsweise Dardtellung von Funktionen, also ist auch

/l g\ ^ ^i _. ^t + 1 ^ __ ^/ + 1 ^/ _

Um den m. ¥. von ä: zu finden, nehmen wir beispielsweise an, daß x zwischen x^ und ^^3 läge. In (7) ist nun an dritter Stelle die reduzierte Gleichung für x einzuschalten; die zweite, dritte und vierte Gleichung lauten dann:

(17) p y =(p + g"')^ —g"x.^

PzVz = (Pz + //'s) ^3 - 9z x^.

Hierbei ist —r-\---, = —F, und da a null ist: 9 9 9t'

(18)

P2 ist derselbe Wert wie ohne den Ansatz für x\ auch p^ ist dasselbe wie früher, denn aus den letzten Gleichungen folgt

Pz Pi 9 9 Pi 9i

In (7) werden also die dritte und folgende Gleichungen nicht geändert, da auch y^ ungeändert bleibt. Denn man hat zu (9):

p y ^ p'y.^ + null, also y = y, und

Piyz= Pz y + 9zk^ also wie früher.

Demnach muß man annehmen, daß auch Xc, ungeändert bleibt: in der Tat erhält in beiden Phallen x.2 aus der zweiten Glei- chung (7) bei der schrittweisen Berechnung der x denselben Wert.

Nach (10) wird nunmehr für x das mittlere Fehler- quadrat bei Einschaltung zwischen x^ und a;.^^:

(19) M^ = (?ffMä, + !^^r,

wobei für p nach (18) ist:

(19*) i- = 1 + i,.

^ P Pi 9

§ 6. Interpolation bei quasisystem. Fehlern. 433

Thiele macht darauf aufmerksam, daß M.^ einen anderen Weii erhält, als man zunächst vermuten sollte, wenn man nach Maßgabe von (15) (15*) X == aXi + (1 — a)a^i+i = F

mit a = g' : (g' -\- g" } setzt. Führt man nämlich in der red. Normalgleichung

Piyi={Pi + 9i)^i-9lXi+x

mittels voriger Gleichung anstatt x^ die Größe F ein, so ist

TT _ ^P-y/ 1 9i + (1 — ^)Pi rr

Pi-\-9i Pi + 9i '^^

Und da die beiden Glieder rechter Hand unabhängig von- einander sind, hat man

^ ^ ^ \ Pi + 9i I '^^ Pi-\-9i

Beachtet man die obige Relation für a sowie Gleichung (19) und die Beziehungen

und

— = - + - = -+- Pi'^i Pi 9i P 9'

<7. 9 0 '

SO folgt

(21) Ml --= M; - "^^T"^ (i'.

Die Ursache dieser Erscheinung, daß MJ für den zwischen x^ und x^_^_i nach (15) interpolierten Wert x größer ist als für denselben Wert nach Maßgabe von (15*), liegt darin, daß im letztem Falle durch den Ansatz (15*) allein noch gar nicht bewiesen ist, daß x der plausibelste Wert zur Zeit t ist. Dies zeigt sich auch im Ausdruck der wahren Fehler. Bei An- wendung von (15*) hat man für die wahren Größen

(22) und .

(X-x)==a{X,-x,)-h(l-a)(X,^,~x,^,).

Helmert. Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 28

434 Sechstes Kapitel. Xäherungsweise Darstellung von Funktionen.

Dagegen ergibt die Einschaltung nach (IT)), wenn e' und e" als wahre Verbesserungen den d' und d" entsprechen:

X—Xi=£' X.^i— X=6"

X = (X,+ £') ,^, + (X. , , - e") -J^ ~ ' ^ 9 -\-9 ' ^ ' + 1 9 -\-9

und mit Einführung von a:

{X-x) = a{X,-x,) + (1 - a)(X,^, - x,^,) + a«'— (1 — «.}«".

(23)

Die genaue mittlere Fehlerbestimmung entspricht offen- bar (23) und nicht (22).

Beispiel. Zur Erläuterung geben wir den Anfang eines Bei- spiels nach Thiele. Beobachtungsgröße ist der Indexfehler des Mikro- meters eines Meridiankreises, l ist in Hundertsteln des Schrauben- umgangs, 1-^^= 26"33, gegeben; die g und ff' sind nach Rechnungen von Thiele angesetzt.

Nr.	Juli 1879	9	1:^7'	P	p I	y	X	X 1	S
1	2,61	^^'^ 0,0100	■ ' 25,0 ' 4,45 1 4,45 4,25	-«'20 _,,5
2 3 4	2,85 3,65 3,86	11	0,0336 0,0088 0,0316	20,0 17,9 31,2	45,0 4,25 42,9 3,95 56,2 , 3,95	4,34 4,11 4,04	4,20 3,99 3,94	- 0,05, _ 0 21
5	4,61	37,5	0,0016	20,2	57,7 t 3,43 li	3,64	3,77	+ 0,34	+ 0,01
6 7	4,65 6,63	25,0 11	0,0832 0,0004	52,9 10,4	77,9 1 4,05 35,4 , 3,85	3,77 3,83	3,78 3,84	— 0,27 — 0,01	+ 0,06 0,00
8	6,64	11		35,0	60,0 3,85	3,84	3,84	— 0,01

[AV]=7,27, [6^1 = 2,87, ^'

10,14

= 1,45.

Die genauere Bestimmung aus 74 Beobachtungen gab (i^ = 69,95 : 73 = 0,96. A priori war 1 für ft angenommen, nämlich Oj^Ol = 0"2633. Es ist nun auch jetzt nach der genauem Be- stimmung ft = + 0''26.

Thiele behandelt auch den Fall, wo die Beobachtungsgröße noch von zwei Konstanten abhängt, die als Unbekannte mit in die Ausgleichungsrechnung aufzunehmen sind.

Siebentes Kapitel.

Beispiele über Teilkreise, Mikrometerschraubeii uud Libellen.

§ 1. Teilkreise.

I. Die Bestimmnug der Exzentrizität der Alhidade nnd eines mittlem Wertes der Teilnngsfehler eines Kreises mit mikroskopischer Ablesung erfolgt durch Beobachtung der Unterschiede der Angaben zweier diametralen Mikroskopmikro- meter für verschiedene möglichst gleichmäßig über den Kreis verteilte Durchmesser.

Beispiel. Wir geben im folgenden die Ergebnisse zweier von verschiedenen Beobachtern angestellten Versuchsreihen an dem- selben Kreise. Es sind die um 180° verminderten Differenzen, aus- gedrückt in Mikrometerteilen des Mikroskops II, deren jeder 2,4 Bogensekunden enthält; der Nullpunkt von I wurde genau auf den betreffenden Teilstrich eingestellt. Siehe S. 436.

Diese Unterschiede sind nun Funktionen der Exzentrizität der Alhidade, des sogenannten Ab- .jl' Stands der Mikroskope und der Teilungsfehler. In der Figur ist M der Mittelpunkt des Teil- kreises, gegen den die Teilstriche konvergieren, D ist Drehpvmkt, I und II sind die Nullstellen der Mikroskope, e ist die Exzen- trizität MD^ r^ und r^ sind die Radien der von I und // be- 28*

436

Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

(1)

Mikr. I. auf		U_I_180	0
	1. Reihe	2. Reihe	Mittel = l
0«	i + 19,3	+ 19,7	+ 19,5
10	-f 17,0	+ 18,0	+ 17,5
20	-f 16,0	+ 15,5	+ 15,8
30	+ 16,0	+ 15,0	+ 15,5
40	+ 11,0	+ 11,0	+ 11,0
50	+ 6,0	+ 7,5	+ 6,8
60	-f 10,5	+ 9,0	+ 9,8
70	+ 10,5	+ 9,5	+ 10,0
80	+ 5,0	+ 6,0	+ 5,5
90	— 3,0	— 4,0	— 3,5
100	— 6,5	— 6,0	— 6,3
110	— 14,5	— 13,0	— 13,8
120	— 17,0	— 17,0	— 17,0
130	— 17,0	— 16,0	-16,5
140	— 23,0	— 21,0	— 22,0
150	— 18,0	— 16,5	— 17,3
160	— 19,5	— 17,5	— 18,5
170	— 18,5	— 18,0	— 18,3
180	— 21,5	— 19,0	-20,3
190	— 15,5	— 13,0	— 14,3
200	— 17,0	— 18,0	-17,5
210	— 14,0	— 14,0	— 14,0
220	— 16,0	— 14,0	— 15,0
230	— 9,5	— 10,0	- 9,8
240	— 15,0	— 12,5	— 13,8
250	— 12,5	— 12,0	— 12,3
260	— 11,5	- 9,5	— 10,5
270	+ 2,0	+ 0,5	+ 1,3
280	+ 2,5	+ 6,0	+ 4,3
290	+ 14,0	+ 12,5	+ 13,3
300	+ 14,0	+ 14,0	+ 14,0
310	+ 14,5	+ lö,5	+ 15,0
320	+ 22,5	+ 23,0	+ 22,8
330	+ 20,5	+ 20,0	+ 20,3
340	+ 22,0	+ 22,5	+ 22,3
350	+ 19,5.	+ 20,0	+ 19,8

§ 1. Teilkreise. 437

schriebenen Kreise. Ist ferner IDII' eine Gerade, so ist linear gemessen II' II der Abstand der Mikroskope, im Winkelwert

(2) ^irDII=a,

positiv gemessen in Richtung wachsender Teilung (des Pfeiles).

Da f im' Verhältnis zu r^ sehr klein sein wird, so kann man auch

(3) ^II'MII= a

setzen bis auf ein Bruchteil von der Ordnung e : r^, das bei sehi- kleinen Werten a nicht in Betracht kommt. Es ist also die Ab- lesungsdifFerenz

(4) II- I=a-\- ir - I.

Für den Fall, daß die Gerade I ■ II' außer D auch M ent- hält, welche Lage mit IqIIq bezeichnet ist, wird

(5) /V-7o=180». Nun ist

j = /„ + ^ I,MI.

Also folgt aus (4), (ö) und (6;:

(7) // _ 7 = 180° + « + <^ n,;jfn' - ^ i^iii.

Man hat aber sehr nahe für Sekunden: ^ IIo'MII' = ^ 11^ Dil' 4- 206 265 - sin 11^' DU ^ If^MI =-^ IqBI —206 265 . sin I^DI. Wegen ^ 11^ DU' = <C IqBI gibt hiermit (7):

(9) 7/-/=180'^+a + 206 265(— siu77o'D7/+- sin7o7>7).

Da )\ und i\ sehr nahe gleich sein werden und nach (8) die einander gleichen Winkel IIqDII und IqBI von ^IqMI sich nur sehr wenig unterscheiden, kann man anstatt (9) schreiben mit Unterdrückung des Index von r^ und von i\'.

(10) 11—1=^ 180<' + a + 206 265 — sin (7 — 7o),

438 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

oder

(11)

// - / = 180° + a + & sin / — c cos / h = 206 265 cos/ft Sek.

r = 206 265 — siii7„ Sek.

h und (■ bestimmen Größe und Richtung der Exzentrizität.

Die erste Gleichung (ll) ist wegen der Teilungsfehler und zufälligen Beobachtungsfehler noch nicht korrekt; sie wird es erst, wenn wir setzen für

//-/... ([[ + f") -(I J^t') + c

und damit aus (11) ableiten:

(12) c + (t" -/'; = — (II — I— 180°) 4- « + & sin / - c cos /,

worin f" und f' die Teilungsfehler f Strichkorrektionen) für die AblesesteUen II und / im Sinne von Verbesserungen bedeuten, £ aber den zufälligen Beobachtungsfehler der Differenz II — / be- zeichnet. Tabelle (l) enthält die Werte

1 = II — I- 180".

Denken wir uns die zugehörigen Gleichungen (12) aufgestellt, so zeigt sich, daß je zwei derselben, welche um 180'' verschiedenen Ablesungen von / entsprechen, dieselben Teilungsfehler enthalten. Unterscheiden Avir die beiden Fälle durch Indices 1 und 2, so haben wir nämlich:

?! + (^i" — ^i) = — ?! + a -|- & sin Z^ — c cos I^

£2 — (^1 — ^ J = — ^2 + « — '-> sm I^-\- c cos Jj :

hieraus folgt durch Addition bzw. Subtraktion:

(14) (ci + ^2) = -*/i + ^2j + 2a

(15) (e, - £2 + 2 (//' - f/)) = _ (Z^ _ Z,) + 2 & sin I^-2c cos I^ .

Da jede der Gleichungen (13) andere Teilungsfehler enthält, so ist deren Trennung von den zufälligen Fehlern a nicht mög- lich. Wii- bezeichnen demgemäß die linken Seiten der Glei- chungen fl4) und (15) für die Ausgleichung bzw. mit den Symbolen r und v' und erhalten dann die Fehlergleichungen wie folgt:

(14*)

(15*)

i\=-- 3,2 + 2a 1', = -f 1,7 + '2 a v.^= - 1,5 + 2a f^= + 4,0+ 2a i;5= + 3,0-[- 2a ^6== + 4,0 + 2a v,= + 2,3 + 2a Vs= + ö'^^ + 2« t; ' = - 39,8

§ 1. Teilkreise.

V, = + 2,2 + 2a rjo= + 2,0+ 2a

439

rj,= + 0,5 + 2a ''i2= + 3,0 + 2a /-,.,= + 1,5 + 2a /•,,= - 0,8 f 2a ^j. = _ 3,0 + 2a rj6=-3,8 + 2a <'i7= — 1,5 + 2a,

— 1,000 (2 c)

3= _ 31^8 + 0,174 (2 &) - 0,985 (2 r) = — 33,3 + 0,342 (2 &) — 0,*t40(2c) = - 29,5 + 0,500(25) - 0,866(2c) = - 26,0 + 0,643 (2 &) - 0,706 (2c) = _ 16,6 + 0,766(26) - 0,643(2c) = - 23,6 + 0,866 (2 &) - 0,500 (2c) = — 22,3 + 0,940 (2 b) — 0,342 (2 c) = _ 16,0 + 0,985(25) - 0,1 74 (2 c) = + 4,8 + 1,000(2 5) = + 10,6 + 0,985(2 5) + 0,1 74 (2 c) = + 27,1 + 0,940(2 5) + 0,342 (2c) = + 31,0 + 0,866(2 5) + 0,500 (2 c) = + 31,5 + 0,766(25) + 0,643 (2 c) = + 44,8 + 0,643(25) + 0,766 (2 c) = + 37,0 + 0,500(2 5) + 0,866 (2 c) = + 40,8 + 0,342(2 5) + 0,940 (2 c) «;,/= + 38,1 + 0,174(2 5) + 0,985 (2 c).

Das System (14*) bestimmt nur die Unbekannte a, das System (15*) bestimmt dagegen nur die beiden andern Un- bekannten 5 und c; es ist also kein Zusammenhang in der Aus- gleichung beider Systeme. Man erhält nun mit Rücksicht darauf, daß in jedem der Systeme für sich die Fehlergleichungen als gleich genau anzusehen sind, die Normalgleichungen:

440

Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

(16)

18(2a) =- 16,2

9(2 fe) • =— 41,6

9 (2 c) = — 370,4

Mikrometerteile II 2a = — 0,90 2& = — 4,62 2c = — 41,16.

Dieselben Werte würde die Ausgleichung des Systems (12) ergeben haben unter der Bedingung, daß die Summe der Quadrate der linken Seiten ein Minimum werde, wobei nur an Stelle des wahren Fehlers s -\- {t" — t') ein plausibelster Fehler zu setzen gewesen wäre. Aber dieses Verfahren ist weniger streng, da die Fehlergleichungen dabei paarweise von denselben t abhängen.

Führt man die "Werte der Unbekannten in (14*) und (15*) ein, so ergeben sich die v und r' wie folgt:

(17)

Nr.		V		c'	Nr.	V	v'
0	—	0,1	+	1,3	9 !	+ M	+	0,2
1	—	4,1	+	7,9	10 '	+ M	—	1,1
2	+	0,8	+	3,8	11	-0,4	+	8,7
3	—	2,4	+	3,8	12	+ 2,1	+	6,4
4	+	3,1	4-	2,5	13	+ 0,6	+	1,5
5	+	2,1	-f	6,3	14	— 1,7	+	10,3
6	+	3,1	—	7,0	15	— 3,9	—	0,3
7	+	1,4	—	12,G	16	— 4,7	+	0,6
8	+	4,1	—	13.4	17	— 2,4	—	3,2
		[rr]		119,40	[v'v] =	763,17.

Hiernach ist das mittlere Quadi-at von (e^ + fg) gleich

119,40 . . rrr,.-)

Ferner ist das mittlere Quadrat von (f^ — ^2 + 2(fi"— //)) gleich 763,17

18 — 2

, d. i. 47,70.

Setzen wir den mittlem Wert eines s gleich (i und den mitt- lem Wert einer Differenz (f/' — f/) gleich J, so ist das mittlere Quadrat von (f^ + Eg) gleich 2 (u - und das mittlere Quadrat von (fj — Sg + 2{t^" — ^i')), wenn nur wenigstens die e einen zufälligen Charakter haben, gleich 2ft^+4^^; daher ist

(18) 2ft^=7,02 und 2,ii2 ^ 4^-' = 47,70.

§ 1. Teilkreise. 441

Hieraus folgt

|ft'= 3,51 ,«t ^ + 1?87 Mikrom et erteile, z/-= 10,17 z/ = + 3,19 „

Der mittlere Wert eines einzelnen Teilungsfehlers ist an- näherungsweise J '.y 2 .

Betrachtet man Tabelle (l7), so sieht man sofort, daß die v so- wohl wie die v von zufälligen Fehlern allein nicht abstammen können. Was v anlangt, so ist dies nicht befremdlich, weil in den v die Differenzen (t" — ^') enthalten sind; dagegen war es nicht zu er- warten, daß auch die v einen Zusammenhang mit der Bezifferung des Kreises zeigen würden, wenigstens für den Fall, daß sie nur von den Einstellungs- und Ablesefehlern an den Mikrometern her- rühren, wie wir bisher annahmen. Daß dies aber nicht so ist, zeigt zunächst eine Berechnung von ft aus der Vergleichung der korrespondierenden Werte in den beiden Reihen der Tabelle (l): Die Quadratsumme der 36 Unterschiede ist 70,91 und daher das Quadrat eines einzelnen im Mittel gleich 1,96. Ist nun v der mittlere Beobachtungsfehler einer Angabe, so ist 2v^ das mittlere Quadrat eines Unterschieds zweier Angaben, also

(20) 2 1'-= 1,96.

Andrerseits ist ^ das mittlere Fehlerquadrat eines arith- metischen Mittels zweier Angaben, also auch

(21) daraus folgt

ft- = 0,49 ,u = + 0,70,

erheblich von (19) abweichend.*)

Wendet man auf die 18 Werte r der Tabelle (17) die Kri- terien des Zufalls an, so folgt zunächst als mittlerer Betrag der Zeichenfolgen und -Wechsel f — w sehr nahe der Wert + 4. Der wirkliche Betrag ist größer, nämlich 6 — 11 ^ — 5.

Bildet man die 17 Unterschiede aufeinander folgender v, so findet sich aus den Quadraten das mittlere Quadrat des Fehlers

*) Bei der Berechnung von u- aus (20) ist auf einen etwaigen kon- stanten Teil der 36 Unterschiede keine Rücksicht genommen; ein solcher Avürde /i in (21) noch mehr \'erkleinem. Er beträgt 0,6, was_2v* auf 1,60, [i auf ± 0,63 bringt.

442 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

einer Gleichung, d. i. 2 ,a^, gleich

(22) 2u2= 127,37 : (2 • 17) = 3,75.

Nach (18) ist 2fi^ aber 7,02. Der Quotient 7,02:3,75 ist 1,87. Wirkte nur der Zufall, so müßte er gleich 1 sein mit der mitt- lem Abweichung + l:yi8, d. i. -j- 0,236: die mittlem Grenzen sind 0,764 und 1,236. Der wirkliche Betrag 1,87 liegt weit außerhalb.

Wenn wir nun annehmen können, daß die Angaben der Mikro- meter gehörig reduziert und die abgelesenen Striche immer in identischer Weise beleuchtet worden sind, so bleibt zur Erklärung obiger Erscheinungen nur die Annahme einer mit der Stellung der Alhidade ein wenig veränderlichen Exzentrizität übrig. Die oben erhaltenen Werte h und c sind dann nur mittlere Werte, gegen deren Betrag die Veränderlichkeit der Exzentrizität aber jedenfalls sehr gering ist.

Die Lagenänderungen der Alhidade kann man sich dann zu- sammengesetzt denken aus Drehungen um den Punkt D von mitt- lerer Lage und Verschiebungen parallel und normal zu T-II'\ letztere wirken auf die Ablesungsdifferenz // — 1.

Man hat noch für die mittlere Exzentrizität:

(23)

Für die /q entsprechende Ablesung am Mikroskop // ist, da a in Sek. = — 0,45 • 2,4 ist:

(24) J/q = 83" 33',5 - i:'08.

Ferner ist der mittlere Abstand des Drehpunkts J) der Alhi- dade vom Mittelpunkt M des Kreises:

II. Die Bestimmnug der Korrektionen von gleichmäßig über den Kreisumfaug verteilten Durchmessern. EQerzu hat man eine Einrichtung nötig, welche gestattet, vier Mikroskope paarweise diametral in verschiedenen Winkelabständen au-

^	=	— 41,16 — ~4;62'
h	=	263" 33'	,ö
ilö	=	83" 33'	.5.

§ 1. Teilkreise.

443

zuordnen. Sei in der Figur KK der zu untersuchende Kreis, drehbar um den Zapfen M, der in fester Verbindung mit einem Rahmen RR steht, auf welchem die Mikroskoppaare AA' und BB' aufgeschraubt sind, so wird der Winkel zwischen den Linien AÄ, BB' auf verschiedene Beträge, z. B. 15", 30 •'j 45" usw. gebracht und durch Drehung des Kreises an verschiedenen Stellen desselben abgemessen, vergl. das nächste Beispiel. Die Anwendung von zwei Paa- ren diametraler Mikroskope ist dadurch gefordert, daß es nicht möglich ist, den Kreis genau zentrisch zu seinerDrehachseilf anzubringen; der dadurch ent- stehende Exzentrizitätsfehler ist außerdem wegen der mangel- haften Rundung des Zapfens der Alhidadenachse und wegen der Verschieblichkeit des Schmiermittels veränderlich (siehe das vorige Beispiel). Er wird aber im Mittel aus Ablesungen diametraler Mikroskope eliminiert. (Drei Mikroskope mit 120" Abstand würden dasselbe leisten.) Wir erhalten nun aber nicht die einzelnen Teilungsfehler selbst, sondern nur deren Mittelwerte für je zwei diametrale Striche; das hat jedoch nichts zu bedeuten, da die Winkelmessung wieder mit zwei diametralen Mikroskopen erfolgt.

Beispiel. Wii- betrachten zur Erläuterung die Bestimmung einiger Teilungsfebler des Deklinationskreises am Äquatorial der Hamburger Sternwarte nach Beobachtungen des Observators Dr. C. L. F. Kampf 1868. Die Mikroskope hatten (nach Einsicht in die Originalbeobachtungen) nahezu 120", 135", 150", 165" Abstand, wofür man sich auch die Abstände 15", .30", 45", 60" denken kann. Nach erfolgter Ablesung wurde der Kreis jedesmal um 15" gedreht. Um die der Zeit proportionalen thermischen Änderungen zu eli- minieren, wurde jede Eeihe in umgekehrter Folge wiederholt (Doppelreihe).

Wir bezeichnen nun die arithmetischen Mittel der Strich- korrektionen, also die Durchmesserkorrektionen:

444

Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

U)

bei 0° und 180" mit (O) „ 15 „ 195 „ (1) „ 30 „ 210 „ (2)

165

345

(11).

Alsdann gestalten sich die Fehlergleichungen wie folgt, wobei die II Konstanten bezeichnen, die von dem Winkelabstand der Mikroskop- paare abhängen.

Ai = + 2;'l2+ u-\- (0)— (8)

(2)

::3)

= + 2,42 + 11+ (1) - (9)

= + 1,29 + i, + (2) - (10)

= — 0,26 + u + (3) - (11)

= - 0,79 + u + (4) - (0)

= - 3,15 + H + (5) - (1)

= - 2,62 + u + (6) - (2)

= - 1,18 + H + (7) - (3)

A9 = - 0,75 + ?< + (8) — (4)

^10	= + 0,50 + H +	(9)-	(ö)
^n	= + 0,75 + M + (10) -	(6)
X-J2	= + 1,66 + >, + {	-11)-	(7)
-^l'	= + l'.'82+ a +	fo)-	(9)
^2'	= + 1,80 + u +	(1)-	(10)
h'	= + 0,62 + H +	(2)-	rii)
V	= - 0,66 + )/ 4-	(3)-	- (0)
Xr'	= - 1,89 + u +	(4)-	(1)
h'	= - 2,33 + u' +	(5)-	■ <2)
i/	= - 1,47 + h' +	(6)-	(3)
h'	= — 0,83 + >/ +	(')-	- (4)
h'	= + 0,02 + u +	(8)-	(5)
^10	= + 0,36 + u +	(9)-	- (6)
^11'	= + 0,9i) + .r + (lO)-	- (7)
^12	= + 1,67 + ^f' + dl)-	- (■81

^Mittel aus zwei Doppel- reihen bei 120" Abstand der Mikroskope.

Mttel aus zwei Doppel- reihen bei 135° Abstand der Mikroskope.

(4)

(5)

		§	1. Teilkreise.
^l"	= + i;'38 + u	' +	(0)	-(10)
h"	= + 1,02 + u'	' +	(1)	-(11)
h"	= + 0,69 + u'	' +	(2)	- (0)
K'	= — 1,43 + u	' +	(3)	- (1)
K	= - 1,43 + u'	' +	(4)	- (2)
K	= — 1,86 + m'	' +	(5)	- (3)
A/'	= - 0,94 + u	' +	(6)	- (4)
K	= 4- 0,58 + u'	' +	(7)	- (5)
K	= + 0,52 + u'	' +	(8)	- (6)
^0	'= - 0,04 + n	' +	(9)	- (7)
^n'	'= + 0,56 + n'	' + (10)	- (8)
K^	'= + 0,97 + u'	' + (	11)	- (9)
i;"	= + 0:'19+ n	" +	(0)	-(11)
h'"	= + 0,31 + n	" +	(1)	- (0)
h'"	= — 0,51 + n	" +	(2)	- (1)
h'"	= - 1,03 + u'	" +	(3)	- (2)
h'"	= — 0,18 + n'	" +	(4)	- (3)
	= — 0,50 + 11	" +	(5)	- (4)
K'	= + 0,17 + u'	" +	(6)	- (5)
K"	== — 0,05 + u	" +	(7)	- (6)
K'	= + 0,04 + 11	" +	(8)	- (7)
^10	'= -f 0,36 + u	" +	(9)	- (8)
k:	'= -)- 0,68 + u'	" + (10)	- (9)
^n	'= + 0,51 + n	" + (11)	-(10)

445

Mittel aus zwei Doppel- reihen bei 150° Abstand der Mikroskope.

Mittel aus einer Doppel- reihe und zwei einfachen Reihen bei 165'' Abstand der Mikroskope.

In diesen Fehlergleichungen sind für die Konstanten w, u\ u", u" schon solche Näherungswerte eingeführt, daß die Summe der (so umgeänderten) Beobachtungszahlen gerade null wird, und es be- deuten daher m, u\ w", u" in den Fehlergleichungen nunmehr die weitem Verbesserungen der Näherungswerte. Setzen wir ferner, anstatt die Verbesserung (O) gleich null zu nehmen,

(6) (0) + (1) -I- (2) + • . . + (10) + (11) = 0.

so wird alsdann, wie die Bildung der Normalgleichungen für die u zeigt, jeder dieser Werte null. Als Normalgleichungssystem im engem Sinne ergibt sich damit:

446 Siebeutes Kapitel. Heispiele über Teilkreise usw.

oi_ iO_ kO_ cc^ c^T^ ^^ -*_ o_ oq_ t-_ o_ Ti^

io~ o^*" a-T T-T i-T cT ccT -rjT '^^ •^'~ s^f ec~ o

I I I I+ + + + + + +I

II II II II II II II II II II II II u

+ + + + + + + + + + + + ■

QC I I I I I I 1 I + +

QO

III I I I I + J^ +

Oi a:i ■ . . oT C» .^ Ci 55 C. ~. Ci'

X

II I I I I + I I +

00 • . . oo"" Qo" OO" QO OO CX) 00 X QO d GO

S) I I I I I + I I I +

s ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ , , ^

S • • . fT^ ^T" t-^ t^ t^ !>• t^ t^ l- t—

ja

o X

Ca

o

I I 1 ^ + J^ J^ j^ 1 +

1^ to" 'S^ ^ CO '>ß «O «d" CD • CO

I I 1 J^ + JL^ J^ JL ' X

kO »O »O lO kO >0 kC »O lO • • lO

I I I J, + I J^ J^ I +

X

+

eiT CO

1 +

-M -M -n

+

I + I I I I 111 +

1	1	1	1	+	1	1	1
CO 1	eo	eo 1	co" X +	lO 1	CO	CO	CO 1
1	1	Ol X + T-l	1-H	1—1	1	1

poooo ■ • -cooo^c^

* I I I I I I I I +

§ 1. Teilkreise. 447

Addiert man die ersten zwölf Gleichungen dieses Systems, so folgt ('S) 12Ä; = 0. also Ä- = 0.

Da es uns nicht auf Gewichtsherechnung ankommt, so wan- deln wir nun das System zu bequemerer Ermittlung der Un- bekannten um, indem wir zu jeder der zwölf ersten Gleichungen die letzte addieren; das gibt:

9(0) + (5)-!- (6) + (7) = - 5,96

9(1) + (6) + (7) + (8) = -12,53

oder behufs indirekter Auflösung:

(0) = - 0,662 --(^+f-+('l

(1) = - 1,392 - ^^^+^P+^^^

(2) = - 1,056 —

(3) = — 0,146 —

(4) = + 0,141 -

(5) = + 1,012-

(10)

(6) = + 0,716 -

(7) = + 0,449 -

(8) = + o,543 —

(9) = + 0,523 -

(10) == -f 0,232 —

(11) = -0,360- g

Zur Kontrolle dient der Umstand, daß die Summe dieser Un- bekannten gleich null sein muß für jedes rechter Hand eingeführte und der Gleichung (6) genügende Wertsystem. Nehmen wir als erste Näherungswerte der Teilungsfehler die Zahlen rechter Hand, deren Summe in der Tat null ist, und führen dieselben für

9 (7) -f (8) -f (9)

9 (8)+(9)-f(10)

9 (9)-f(10)+(U)

9 (10)+(ll)+(0)

9 (ll)+(0)+(l)

9 (0)+(l)+(2)

9 (l)+(2)-f-(3)

9 (2) +(3) +(4)

9 (3)-f (4)-f(5)

9 (4) + (5) + (6)

448

Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

(O), (l), . . . (ll) rechter Hand ein, so erhalten wir als Verbesserungen der ersten Näherungswerte:

(11)

(0) (1) (2) (3) (4) (5)

- 0,242	(«)i
— 0,190	(7)
- 0,168	(8)
- 0,144	(9)
— 0,044	(10)
+ 0,088	(11)

+ 0,268 + 0,346 + 0,288 + 0,118

— 0,112

— 0.208

Summe gleich nuU.

Eine speziellere Kontrolle hat man noch dadurch, daß die Summen der Verbesserungen für (O), (3), (6), (9); (l), (4), (7), (10); (2), (5), (8), (llj einzeln null sein müssen, wie ein Blick auf die Gleichungen lehrt. Führen wir nun die erhaltenen Verbesse- rungen in die Gleichungen (10) ein, so ergeben sich die weitem Verbesserungen :

(0)	— 0,077	(6)	+ 0,071 -
ri) - 0,100 (7)	+ 0,066
(2) -0,084 \ (8)	+ 0,056	Summe gleich
^^ (3) -0,033 :, (9)	+ 0,040	null.
(4) + 0,022 ' (10)	+ 0,011
(5)	-f 0,062 (11) —0,035 ^
und daraus neue Verbesserungen:
(0)	- 0,022	i (6)	+ 0,024 V
(1)	- 0,022	1 (7)	+ 0,029
(2)	-0,018 1 (8) — 0,012 (9)	+ 0,024 + 0,011	Summe gleich null,
(*)	— 0,002 (10)	— 0,006
(5)	+ 0.011 [ (11)	— 0,017 '
und damit endlich:
(0)	— 0,007 i (6)	4-0,007	•
(1)	— 0,009	(7)	+ 0,007
(2) '''' (3)	- 0,007 - 0,003	(8) (9)	+ 0,007 + 0,004	Summe gleich null.
(4)	-f 0,001	(10)	+ 0,000
(5)	+ 0,005	(11)	-0,004 ^

§ 1. Teilkreise.

449

Im ganzen sind daher die Durclunesserkorrektionen:

(0) = — l,01o (6) = +'1,086

(1) = — l,7l3 (7) = + 0,897

(2) = — 1,333 (8) = + 0,91«

(3) = — 0,338 (9) = + 0,696

(4) = + 0,11 8 (10) = + 0,124

(5) = + 1,17« (11) = - 0,624

Mit diesen ergeben sich die Verbesserungen der Beobachtungen wie folgt:

(15)

Summe :

+ 5,0l7 — 5,0l8.

	X	X'	l"	r"
	+ 0''19	+ orii	+ 0:'25	— o';2o
	+ 0,01	— 0,04	— 0,07	— 0,39
	— 0,17	— 0,01»	+ 0,37	— 0,13
	+ 0,03	+ 0,01	— 0,05	— 0,03
	+ 0,34	— 0,06	+ 0,02	+ 0,28
	— 0,26	+ 0,18	— 0,34	+ 0,56
16)	— 0,20	— 0,05	+ 0,03	+ 0,08
	+ 0,06	— 0,05	+ 0,30	— 0,24
	+ 0,05	— 0,24	+ 0,35	+ 0,06
	+ 0,02	— 0,03	— 0,24	+ 0,14
	— 0,21	+ 0,13	— 0,23	+ 0,11
	+ 0,14	+ 0,13	— 0,35	-0,24
Summen: <	+ 0,84	+ 0,56	+ 1,32	+ 1,23

0,84

0,56

1,28

1,23

Hieraus folgt \IX\ = 2,043 in hinreichender Übereinstimmung mit der Berechnung nach (13), S. 266. Ferner ist der m. F.

(17) ,a = +"|/,,^''f^i =1/0,0619 = + 0:'25.

Die Verteilung der k nach Vorzeichen und Größe ist gut, was speziell nachzuweisen wir dem Leser überlassen.

Die reziproken Gewichte der Durch messerkorrektionen sind offenbar, wie die Form der Gleichungen (7) zeigt, alle gleich; man kann sie in derselben Weise durch schrittweise Annäherung wie die Korrektionen selbst finden. Im System (7) setzt man z. B. in der ersten Gleichung auf der rechten Seite anstatt der Beobachtungs- zahl eine 1 , in den anderen Gleichungen aber null. Man findet leicht Ä" = 1:12; in den Gleichungen (10) ist nun rechter Hand im allgemeinen anstatt der Beobachtungszahlen — 1 : 108 zu setzen,

Helm er t, Ausgleichungsreohnung. 2. Aufl. 29

450 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

bei der ersten aber 11:108. Die (0), (l), . . . bedeuten jetzt ^(,.q, Qq.i, usw. Aus ^oo"^ ^ii ^^ ^22 ^^^^- folgt als mittlerer Fehler der einzelnen Durcbmesserkorrektionen :

(18) ± l/0,0619 • 0,1086 = + 0;'082.

Die reziproken Gewichte der Unterschiede zweier Korrektionen sind etwas verschieden füi- verschiedene Kombinationen.

Für zwei benachbarte Durchmesser folgt ein kleinster m. F. aus <?oo= ^1.1= 0,1086 und $1.2= — 0,0040 gleich

(19) +1/0,0619 (0,2172 + 0.0080) = ± 0;'ll8.

Mit dem Abstand der Durchmesser wächst der m. F. und erreicht sein Maximum für Kombinationen von der Art (6j — (0) mit

(20) + 1/0,06 19 (0,2172 + 0,0408) = + 0;'l26.

Der periodische Charakter der DurchmesserkoiTektionen in Tabelle (15) ist nicht zu verkennen; um denselben recht zur- Geltung zu bringen, hat der Beobachter bei den Messungen die zufälligen Teilungsfehler dadurch möglichst eliminiert, daß immer drei Striche nebeneinander eingestellt und aus den drei Ablesungen das Mittel genommen wurde. Bei graphischer Darstellung tritt der periodische Charakter schön hervor.

III. Symmetrisches Verfahren. Betrachtet man im vor- stehenden Beispiel die Normalgleichungen (1) und ihre Ent- stehung, so erkennt man, daß es vorteilhaft gewesen wäre, noch die Reihen mit 105° und mit 90" Abstand der Mikroskop- paare zu beobachten, und zwar erstere mit demselben Gewicht, wie die anderen Reihen, letztere dagegen mit halbem Gewicht (also ohne Wiederholung). Dann würde jede Xormalgleichung eine Unbekannte mit dem Koeffizienten 11 und außerdem alle andern Unbekannten enthalten. Mit Rücksicht auf die Be- dingung (6) ergibt sich dann einfach für die Gleichung (9):

12 (0) = einer Beobachtungsgröße,

12(1)= „

usw.

Die Berechnung der Unbekannten wird somit sehr einfach. Dies gilt auch für die reziproken Gewichte. Dasjenige

der Korrektionen wird _^ (^ ~~ T^) > ^- ^- 0,0764; für die Unter-

§ 1. Teilkreise. 451

schiede zweier Korrektionen folgt allgemein -2, d. i. 0,1667. Als Gewichtseinheit gilt hierbei eine Fehlergleichung wie im Beispiel.

Im Beispielsfalle war die Anzahl der Durchmesserkorrek- tionen gleich 12. Ist allgemein diese Anzahl /• eine gerade Zahl, so erhält mau die einfache Form der umgeformten Normalgleichung für die Korrektion (i): , . 2r{i) = L-, einer Beobachtungsgröße,

^^ .- = 0, l,...(r-l),

wenn der Reihe nach der Winkelabstand der Mikroskoppaare gleich

(2) a-'f-, a^\,2,...{r-l),

genommen wird. Bei jedem Winkelabstand sind der Reihe nach r Stellungen (Sätze) zu beobachten , wobei das ' eine Mikroskop bzw. auf

(3) 0», •-", 2.-»\...(.-l)'^"

ZU stellen ist (mid dann in umgekehrter Reihenfolge zurück behufs Elimination von Änderungen, die der Zeit proportional verlaufen).*)

Da die Winkelabstände mit a = \ und r — 1, mit 2 und r — 2 , usw. Beobachtungen für dieselben Unterschiede der Durchmesserkorrektionen geben, so genügt es, in den Aus- drücken (2) a nur von 1 bis _^ gehen zu lassen-, man muß aber nun beobachten

Ibei a = \ bis — 1 je zwei Doppelreihen, bei a = _ eine Doppelreihe.

Ist die Anzahl der Durchmesserkorrektionen r eine un- gerade Zahl, so ist bei den Winkelabständen

*) Bei der Umkehr dreht man auch die Mikrometerschxauhen um

-— Rev., um einen Teil ihrer Periodizität zu eliminieren. — •

Das Gewicht einer Doppelreihe ist oben gleich i angenommen, also doppelt so groß wie im vorigem Beispiel, wo das Mittel zweier Doppel- reihen das Gew. 1 erhalten hatte.

29*

452 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

/.N 180" . ,. r — 1

(4) ^■•~~ , a^\,2,...-^

zu beobachten; das eine Mikroskop ist für jede Reihe auf die durch die Gradzahlen (3) gegebeneu Lagen zu stellen. Die Normalgleichungen erhalten wieder die Form (1), wenn jede Doppelreihe zweimal beobachtet wird. Man kann aber bei ungeraden r auch mit einfachen Doppelreihen auskommen; dann fällt in Gl. (1) der Faktor 2 weg.

Abgesehen hiervon ist die für diese Programme zu leistende Arbeit mit Rücksicht darauf, daß jede Reihe rückwärts wiederholt wird und bei jedem Satze vier Mikroskope abzulesen sind, gleich

(5) 8 >•(!•— 1) Ablesungen,

falls bei jedem Satze an jedem Mikroskop nur eine Ablesung erfolgt.

In bezug auf die Bildung der Normalgleichungen ist zu bemerken, daß man dabei der Übersichtlichkeit wegen die Fehlergleichungen, wie im Beispiel, hinschreiben wird. Ist nun A, B das eine Mikroskoppaar, C, D das andere, und bei dem Z wisch enwinkel (iJi) aus den Ablesungen ,n\ 1 ^ + 5 — 180" , C + D — im"

berechnet, ist ferner (ih) == einem runden Grad wert W-\- u , so wird

(6*) - ik + (0) + ih + (/')) + A,. , = TF + ..

oder

^"^^ ' wobei ?..,= /,- /,-TT^-w

Da bei der Bildung der Normalgleichungen u herausfällt, so könnte mau es bei Seite lassen: indessen braucht man es zur Berechnung der übrigbleibenden Fehler X^,,^. Es ist aber

(8) u-yih-h-Wl

wobei die Summierung sich auf alle Sätze der Reihe mit dem Winkelabstand W der Mikroskoppaare bezieht.

L^ ist nun das Aggregat aller I^,/^ mit konst. Index / und mit Index h von 0 ... r — 1, wobei + Z,.^ zu nehmen ist, wenn (i) linker Hand in der Fehlergleichung (7) positiv ist; im andern Falle ist — l^^^ zu nehmen.

§ 1. Teilkreise. 453

Als reziprokes Gewicht einer Durclimesserkorrektion er- hält man, vergl. das gegebene Beispiel, da für die Gewichts-

berechuung h = 1 :2r und Q^_^ = ^3.2 ^^"^- = •> •v' ~ Yi ^

Q1.2- Q1.3 usw. = — -^ . -^. wird, den Betrag

(9) 2,(l-.'r)-

Dagegen folgt für den Unterschied zweier beliebigen Durch- messerkorrektionen das reziproke Gewicht gleich

(10) l •

Diesen Betrag erhält man, außer durch die Q, auch dadurch, daß man sich in den ursprünglichen Normalgleichungeu statt der Beobachtungszahlen z. B. im Falle (0) — (1) geschrieben denkt der Reihe nach 4- 1? ~ 1 und dann immer null:

2r-l.(0)- 2-(l)- 2-(2). ■. + /.• = + !

_2.(0) + 2r-l.(l)- 2.(2)-. • + /.: = -!

-2-(0)- 2.(l)+2r^i-(2)--- + A-= 0

Jetzt wird nach Ausweis der Addition /.• = 0 ; die mit der Bedingungsgleichung umgeformten Normalgleichungen geben (0) = -f 1 : 2;-, (1) = — 1 : 2r, also wird das reziproke Gewicht:

(0) - (1) = l w. o.* .

Als Gewichtseinheit gilt bei den Zahleuwerten (9) und (10) ebenso wie bei Gl. (1) eine Fehlergleichung, die aus einer Doppelreihe (d. i. Reihe mit Hin- und Hergang) hervorgeht. Ist m der m. F. einer Mikroskopablesung bei einem Satze, so folgt mit Rücksicht auf die Gleichungen (6) und (7) das mittlere Fehlerquadrat einer Fehlergleichung gleich nr bei einer einfachen Reihe (d. i. nur Hingang). Bei einer Doppelreihe ist also das mittlere Fehlerquadrat einer Fehlergleichung gleich /«^ : 2.

*) Hierbei kommt die allgemeine Formel (14), S. 290, in Betracht. Sie reduziert sich im vorliegenden Falle, der der Aufgabe des § 3, S. 265, entspricht, auf die Formel (11), S. 182, welche auf S. 265 noch hätte an- gegeben werden können.

454 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

Generalleutnant Schreiber hat 1886 in der Abhandluns: „Untersuchung- von Kreisteilungen mit zwei und vier Mikro- skopen'^ (Zeitschr. für Instrunientenkunde) angegeben, wie man Durchmesserkorrektionen und Strichkorrektionen am zweck- mäßigsten bestimmt, um für alle Unterschiede von je zwei der- selben dasselbe Gewicht zu erhalten. Er erwähnt dabei auch den Kreisteilungsuntersucher von W an seh äff, dessen An- schaffung sich lohnt, wenn man viele Kreise zu untersuchen hat.

Schreiber erörtert auch u. a. die Anwendung von vier beliebig zu verstellenden Mikroskopen zur Bestimmung von Strichkorrektionen. Jedoch hat dies nur für besondere Fälle Bedeutung (Teilmaschinen); für gewöhnlich ist die Exzentrizität zu veränderlich, um sie sowohl bei der Untersuchung der Teilung als bei dem Gebrauch als konstant ansehen zu können.

Zu bemerken ist, daß schon C. A. F. Peters bei der Unter- suchung der Teilungsfehler des Ertelschen Vertikalkreises der Sternwarte zuPulkowa (siehe: W. Struve. Recueil des memoires preseutes ä l'academie des sciences par les astronomes de Poul- kovo, Bd. 1) die Durchmesserkorrektionen in 15° Abstand nach dem geschilderten symmetrischen Verfahren bestimmte, und zwar für fünf Systeme von Nachbar strichen einzeln.

Um die Teilungsfehler für die Beobachtungsstellen des Polarsterns zu bestimmen, wandte Peters ein Verfahren an wie B es sei, Astr. Nachr., Nr. 491, das auf einer Art Reiteration beruht.

IV. Verfahren von H. Bruns.*) Wenn eine Teilung in kleinem Intervall untersucht werden soll, so zeigen sich zwei Ubelstände. Erstens können die Mikroskope oftmals nicht ohne weiteres so dicht aneinander gebracht werden, um das Schreibersche Verfahren anzuwenden; zweitens wird die Anzahl der Ablesungen überaus groß. Sind z. B. r = 45 Durchmesser zu untersuchen, d. h. von 4 zu 4P, so wird nach (5), S. 452, die Anzahl der erforderlichen Ablesimgen 8 • 45 • 44 = 15840. (Da r imgerade ist, so kann man auch nach S. 452 mit halbem Programm auskommen, also mit 7920 Ablesungen. j Das Ge-

*) Untersucliung einer Wanschaffschen Teilung. (Astr. Nachr., Bd. 130 (1892), Nr. 3098, Sp. 17 — 42.)

§ 1. Teilkreise. 455

wicht für den Unterschied zweier Durchmesserkorrektionen ist gleich 45, der m. F. also nach S. 453 gleich m:]/90, wenn tri der m. F. einer Mikroskopablesung ist. Diese Genauigkeit ist unnötig gToß. Nach dem Verfahren von Bruns kann man mit einer kleineren Anzahl Ablesungen auskommen, wenn man auf die strenge Gleichheit der Gewichte für alle Unterschiede ver- zichtet^ Zugleich entfällt die Notwendigkeit, die Mikroskope in 4" Abstand zu stellen. Wir erläutern dies an dem Beispiel. Bestimmung der 45 Durchmesserkorrektionen von 4 zu 4^ Versteht man unter einer Rosette eine Gruppe gleichmäßig über 180** verteilter Durchmesser, so kann man die 45 Durchmesser, um die es sich handelt, offenbar zu fünf Rosetten mit neun Durchmessern gruppieren wie folgt:

1 2

(1) 3 4

0° 20° 40« 60" 80« 100« 120» 140« 160"

4^ 24 44 64 84 104 124 144 164

8 28 48 68 SS 108 128 148 ^,168

12 32 52 72 92 112 132 152 172

16 36 56 76 96 116 136 156 176.

Jede dieser Rosetten kann nach dem Schreiberschen Verfahren untersucht werden, wobei Mikroskop A der Reihe nach die Stellungen einnimmt, welche die Horizontalreihen in der Über- sicht (1) angeben (und zurück) und wobei der Winkel zwischen den Mikroskoppaaren ist:

(2) 20", 40", 60", 80".

Bei der üblichen Berechnung wird die Summe der Durch- messerkorrektionen für jede Rosette einzeln zu null angesetzt. Betrachtet man aber die Rosetten zusammen, so kann man daran nicht festhalten. Es ist dann für jede Rosette noch eine Konstante zu bestimmen, die ihren sämtlichen Durchmesser- korrektionen hinzuzufügen ist. Immerhin wird man sich oft- mals mit diesem 1. Teil der Untersuchung begnügen können.

Um nun aber die Rosetten in Zusammenhang zu bringen, gruppieren wir die 45 Durchmesser noch zu neun Rosetten mit je fünf Durchmessern:

456

Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

(3)

6.	(jo	36«	72'^	108"	144^
7.	4	40	76	112	148
8.	8	44	80	116	152
9.	12	48	84	120	156
10.	16	52	88	124	160
11.	20	56	92	128	164
12.	24	60	96	132	168
13.	28	64	100	136	172
14.	32	68	104	140	176

Auch diese Rosetten werden einzeln wie üblich beobachtet. Der Winkel zwischen den Mikroskoppaaren ist zu setzen gleich:

(4) 36» und 72».

Die Anzalil der Ablesungen für die sämtlichen 14 Rosetten beträgt, da im Ausdruck (5), S. 452, r = 9 und 5 zu setzen ist:

(5) 8(72-5 + 20 • 9 ) = 8 • 45 (8 -f 4) = 4320.

Hierbei ist angenommen, daß jede Reihe rückwärts wiederhult wird und dann noch eine zweite solche Doppelreihe zur Messung gelangt. Unterläßt man die Wiederholung der Doppelreihe, so geht die Anzahl der Ablesungen auf 2160 herab (was mit der S. 454 gefundenen Anzahl 7920 vergleichbar ist).

Zur Bestimmung der Durchmesserkorrektion (0) hat man aus den Sätzen mit 1 Mikr. auf O'^ folgende Fehlergleich nngen:

+ (0)-(20) + «,.,o=Zo.,, +k,,.

+ (160)- (0) + Ui

+ (0) + (140)

(40) + u, (0) + u.

(6)

+ (0) + (120)

+ (0) + (100)

(60) + u, (0) + u,

(0) + u.

+ (0) - (36) + ^^ + (144)- (0)+^*,

+ (0)

+ (108)

(0) + i(.

^160 0 1"^:

160-0

40 ^0-40 "T '^0 • 40

40

^140-0+ ^

140 0

^0-60 'T ^0

60

60

60"^ ^120 0 "T ''•120 0

'0-80

'O-SO

^100-0 "r ^

100-0

36 ^0-36 'X ^0 36 36 444 0 I ^^144-0

7--> — 'n

+ ^0.

72 'l08 0 '''108 O'

§ 1. Teilkreise. 457

Hierbei ist l nach S. 452 (6) und (7) zu verstehen und gedacht, daß u nach S. 452 (S) berücksichtigt ist, so daß im System (6) die i( nur noch Verbesserungen bedeuten, die den Wert null haben.

Die Xormalgleichung für (0) wird nunmehr mit geringer Umwandlung:

(7) 14(0) - S,^'^-S,^^== + [^o.J - [^..oL- ß-.o]2,

worin zu setzen ist:

^^0'"= (0) + (20) + (40) + • - • + (160), -^0''= (0) + (36) + (72) + (108) + (144),

(8)

L'oäJ 'o-20 "i 'o-40 I 'o-60"r ^0 80+ 'o • 36 ~l" ^0 ■ 72

v"-) L^t-oJl ^^ ^160 0 I 'uO-O ^~ n20-0 I 'lOO.O

	Ih.	0J2	" ^144.0 1 'lOiS-O-
Schreibt	mau	anstatt (7)	kürzer:
(7*)			14(0) -	C 20 - ^Q —	e 36 '^0

wo also F die aus den l abgeleitete Beobachtungsgröße ist, und denkt mau sich die entsprechenden Gleichungen für (20) . . . (IGO) hingeschrieben und addiert, so folgt^ wenn

(10) (0) + (4) + (8) + ^ • • + (176) = 0 gesetzt wird:

(11) 14^0-0 - 95o2o = F(0) + i^(20) + i^(40) + • • • + i^ri60).

Denn S^^ erhält für die neun Fälle immer denselben Wert, wie ihn die erste der Gleichungen (8) angibt, während S'^^ der Reihe nach, indem es mit (0), (20 ) . . . beginnt, dergestalt wechselt, daß Z!S^^ für die neun Fälle gerade alle Durchmesserkorrektionen enthält (vergl. die Übersicht (3)) und nach Gl. (10) null wird. Aus Gl. (11) folgt

(12) S^'^ = y { F(0) + F(20) + i^(40) + • • • + i^(160) J . In gleicher Weise Avird

(13) S,'' = 4 { ^(0 ) + i^(;36 ) + F(12) + ii^(108) + F(144) } .

458 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

Nunmehr folgt aus der Normalgleichung (J*): (14)

14(0; =F(0) + 4 { F(0) + F{20) + i^(40) + ■ •• + F{160) }

+ -9-{^(0) + i^(36) + F(72)+...+ i^(144)}.

Entsprechend gestaltet sich die Rechnung für alle Ver- besserungen. Die Berechnung der F wird erleichtert, weun man entweder die Fehlergleichungen ganz hinschreibt, oder wenigstens die 7^. ^ in vier Tabellen von der Gruppierung (1) und zwei Tabellen von der Gruppierung (3) mit Angabe der Indices ih hinschreibt.

Denkt man sich die Normalgleichungen (7*) für alle un- bekannten Durchmesserkorrektionen hingeschrieben, so erkennt man leicht, daß diese alle gleiches Gewicht erlangen, während ihre Unterschiede ungleiche Gewichte erhalten. Um ersteres zu finden, entwickeln wir das reziproke Gewicht von (0) und er- setzen also in (7*J F(0) durch 1, in den anderen Normal- gleichungen werden die F gleich null. Dann ist noch wegen der Bedingung (10) links die Größe k beizufügen. An Stelle der Unbekannten (0), (4) usw. treten nun in bekannter Weise die Größen Q. Die Addition aller 45 Gleichungen gibt 4ök= 1, /.■ = 1 : 45.

Geht man nun über von (7*) zu den Gleichungen (11) und (12), (13), so folgt

daher wird das reziproke Gewicht von (0) und allen anderen Durchmesserkorrektiouen nach (7*) gleich:

Dieser Ausdruck folgt auch sofort aus Gl. (14), wenn mau für jP(0) ... 1 — k setzt, für die andern F aber — k.

Das Gewicht ist also 14 : 1,237 = 11,32. Die Gewichtseinheit entspricht einer Fehlergleichung aus einer Doppelreihe mit dem

mittlem Fehlerquadrat -^ ; m ist der mittlere Fehler einer

Mikroskopablesung, S. 453.

Um dieses Gewicht für die 45 Durchmesser zu erreichen,

§ 1. Teilkreise. 459

sind bei Anwendung von Doppelreihen 2160 Mikroskop- 'ablesungen nötig, das gibt die „Aufwandszahl" (16) 2160: (45 -11,32 -2) = 2,12,

wobei 11,32 mit 2 multipliziert ist, um die einzelne Mikroskop- ablesung zur Gewichtseinheit zu machen.

Bei der völlig symmetrischen Methode waren 2 • 7920 Ab- lesungen nötig, um das Gewicht 90 :M — „^ ) zu erreichen. Die Aufwandszahl ist dementsprechend gleich: (16*) 2 • 7920 : (45 • 91 • 2) = 1,93.

Der Verlust bei (16) ist somit nmd lO^o-

Um das reziproke Gewicht für den Unterschied — (0) + (20) zu erhalten, setzen wir F{0) = — 1 und i^(20j = -f 1. Eine der vorigen ähnliche Rechnung gibt dann ^ = 0, /8'o^° = 0,

Sq"^^ = — ; ferner wird (wie auch Gl. (14) zeigt):

14(0) = — 1 — y; entsprechend muß sein 14(20) = + 1 -f i-. Daher wird das reziproke Gewicht gleich

(" ' Ä (1 + 1)

und das Gewicht = 7 • 0,9 = 6,3. Dies gilt für alle Unterschiede zweier Durchmesser von 20 "^ Abstand und dessen Vielfachen. In gleicher Weise folgt das reziproke Gewicht

(1«) ^(1 + 1)

und das Gewicht 7-5:6 = 5,8 bei allen Unterschieden von 36*^, oder Vielfachen davon.

Betrachtet man einen Unterschied — (0) + (4) oder all- gemeiner — (0) -f (i), wo i nicht 20 oder 36 oder Vielfaches davon ist, so wird wie bei der vorigen Rechnung wieder k = 0. Geht man nun von (7*J zu den Gleichungen ^12) und (13) über, wobei i^(0) = — 1 und F{i) = + 1 zu setzen ist, so folgt

.S' 20 = _ Jl .S" 36 = _ Jl

0 — 5 ' 0 9

und damit (oder auch unmittelbar aus Gl. (14)): 14(0) = _ 1 _ i _ |.

!i + :+ll

460 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

Ganz entsprechend muß werden

14(0 = + 1 + 4 + -i-

Somit folgt das reziproke Gewicht des Unterschieds gleich 2

14

und das Gewicht gleich

(19) 7-45:59 = 5,3.

Dies gilt (wie der Anblick von Gleichung (14) leicht erkennen läßt) für alle Unterschiede mit Ausnahme derjenigen, die 20** oder 36° oder Vielfache davon sind.

Die Anzahl der Fehlergleichungen ist gleich 9-5-4 + 5-9-2 = 270.

Unbekannt sind 45 Durchmesserkorrektionen, zwischen denen aber eine Bedingungsgleichung besteht; dann sind noch 5 • 4 -f 9 • 2 = 38 Reihenkorrektionen zu bestimmen. Der m. F. fi einer Fehlergleichung, d. i. der Gewichtseinheit, ist daher zu berechnen aus der Formel

(20) (1^= [A/l] : (270 - 45 - 38 + 1).

Vorstehendes Beispiel ist ohne weiteres übertragbar auf alle Fälle, wo die Anzahl r der Durchmesserkorrektionen sich in zwei Faktoren zerlegen läßt, die ungerade und teilerfremd zueinander sind. Es können aber auch Fälle vorkommen, wo dies nicht zutrifft. Wir erläutern dies an dem folgenden Beispiel,

Beispiel, Bestimmung von zwölf Durchmessern in 15° Abstand. In Wirklichkeit wird man hier direkt nach Schreiber verfahren. Da r=12 gerade ist, sind elf Doppelreihen zu beobachten von je zwölf Sätzen mit 8 • 1 1 • 12 = 1056 Ablesungen,

Das Gewicht einer Diu-chmesserkorrektion wird 24 : (1 — —1 = 25

und die Aufwandszahl 1056 : (12 • 25 • 2) = 1,76.

Das Br uns sehe Verfahren kann man hier in doppelter Weise anwenden. Erstens kann man die zwölf Durchmesser in vier Ro- setten zu drei Durchmessern mit 60° Zwischenwinkeln imd drei Eosetten zu vier Durchmessern mit 45 ° Zwischenwinkeln gruppieren, zweitens aber in zwei Eosetten zu sechs Durchmessern in 30° Ab- stand und drei Eosetten zu vier Durchmessern in 45° Abstand.

§ 1. Teilkreise.

461

In beiden Fällen muß man mit vollem Programm arbeiten, da im ersten Falle wenigstens die eine Durchmesseranzahl, im zweiten Falle aber beide gerade Zahlen sind.

Im ersten Falle kommt A auf:

1.	0«	60"	120"	5. 0° 45° 90° 135°
2.	15	75	135	6. 15 60 105 150
(21) 3.	30	90	150	7. 30 75 120 165
4.	45	105	165	Winkel = 45°, 90°, 135°.
Winkel =	60*^ und	120*^	Dasselbe dann zuiiick.

Bei der Aufstellung der Normalgleichungen zeigt sich, daß infolge des vollen Programms linker Hand die Unbekannten im Vergleich zum vorigen Beispiel noch den Faktor 2 erhalten. In Gl. (14) wird daher der Faktor von (O) gleich 2(3 + 4), also ist

(22)

14(0) = F(0) + y (2^(0) + F(60) + F(120)}

+ 4 { F{0) + J'(45) + F(90) + i^(l35) } .

Das reziproke Gewicht der Durchmesserkorrektionen wird, vergl, S. 458:

C^^') u{' + r + l-h(} + T + ^]-

Das Gewicht ist also 10,6 und die Aufwandszahl gleich 480 : (12 • 10,6 • 2) = 1,89, da die Anzahl der Ablesungen 480 beträgt.

Die reziproken Gewichte der Unterschiede zweier Durch- messerkorrektionen sind, vergl. S. 459:

(24)

bei 60° und 120°- Winkeln: bei 45°, 90° u. 135° „ bei allen andern

2

14 2

14 2 14

(l + y); Gew. =5,3

{1 + 1 + II; „ =4,4.

Ein bemerkenswerter Unterschied tritt im zweiten Falle ein, weil die Durchmessergruppehzahlen 4 und 6 einen gemeinsamen Teiler 2 haben.

Im zweiten Falle kommt Ä auf:

(25)

1. 0°

2. 15

45° 90° 135° 60 105 150 3. 30 75 120 165 Winkel = 45°, 90°, 135°

4. 0° 30° 60° 90° 120° 150°

5. 15 45 75 105 135 165 Winkel = 30°, 60°, 90°, 120°, 150°.

Dasselbe dann zurück.

462 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

Aus den Fehlergleichungen ergibt sich nun eine Normal- gleichung für (0) von der Form:

(26) 20 (0) - 2 V' - 2 Ä'o^° = F{p) , mit

(27) V=(0) + (45) + (90) + (l35)

V = (0) -h (30) + (60) + (90) + (120) + 150). Setzt man

(28) (0) + (15) + (30) + • • • + (165) = 0

und verfährt wie auf S. 457, indem man Gl. (26) auch auf die Korrektionen (45), (90) und (135) anwendet, so folgt:

(29) V' = Y2 ^ ■^<^^) + '^^^^) + ^^^^) + ^(^^^) J • Entsprechend ist

(30) V" = i { ^(0) + -^^(30) + F(eo) + • • • + F(150) } . Damit wird

20(0) = 2^(0)+ l {J^(0) + F(45) + 2^(90) + ^^(135)}

(31)

+ - { F{0) + F(30) + F(60 ) + • ■ • + i'Xl50) j .

Ebenso gestaltet sich die Rechnung für alle andern Verbesse- rungen. Ein wesentlicher Unterschied gegen fi-üher tritt hier noch nicht hervor, sondern erst in der Formel für das reziproke Gewicht einer Durchmesserkon-ektion. Dieses findet sich zu fvergl. S. 458):

(B^^ 4{l+l + |-Ä('+e+4))-

Nach den Ausdmcken (15) und (23) würde man anstatt j^ den

1 Bruch ~ erwarten. 24

Das Gewicht ist 17,3 und die Aufwandszahl ist gleich 768: (12- 17,3-2) = 1,84, da die Anzahl der Ablesungen 768 beträgt.

Die reziproken Gewichte der Unterschiede zweier Durchmesser- korrektionen werden ('vergl. S. 459)

bei Winkeln von 90°: ~; Gew. = 10,0

(33)

bei 45«, 135°: 20^+11' » = ^'^

bei 30°, 60^ 120° u. 150": ^^ |i + Aj ; „ = 8,6

bei allen andern : 2^ { "^ "*" T "*" 6 ) ' " ^ ^'^'

§ 2, Mikrometerschrauben. 463

Bruns deutet auch noch an, daß man unter Umständen eine dreifache Gruppierung der Durchmesser zu Rosetten vor- nehmen wird. Will man z. B. 180 Durchmesser von Grad zu Grad untersuchen, so wird mit 18 Durchmessern zu 10" Inter- vall und 20 zu 9^ die Arbeit schon sehr groß und das Ge- wicht der Ergebnisse unnötig groß. Nimmt man aber drei Gruppen von 4, 5 und 9 Durchmessern, so wird die Arbeit wesentlich geringer, das Gewicht bleibt genügend. Die Formeln sind verwickelter wie in dem Beispiel mit 45 Durch- messern.

Will man endlich mit mehr als zwei diametralen Mikroskop- paaren arbeiten, was nach Bruns sehr vorteilhaft ist, so ist von den allgemeinen Betrachtungen auszugehen, die General- leutnant Schreiber in seiner Abhandlung angestellt hat.

§ 2. Mikrometerscliraubeii.

I. Allgemeine Bemerkungen. Man unterscheidet 'fort- schreitende und periodische Fehler. Die fortschreitenden ent- sprechen den Teilungsfehlern einer Längenskala •, indessen zeigen sie in der Regel eine größere Regelmäßigkeit, da die kleinen Ungleichheiten der aufeinanderfolgenden Schraubengänge da- durch eine Ausgleichung erfahren, daß mehrere Gänge gleich- zeitig in der Schraubenmutter stecken (etwa ebensoviele als zum Messen dienen). Die fortschreitenden Fehler können da- her in der Regel durch wenige Glieder einer Potenzreihe dar- gestellt werden.

Dreht man die Schraube einmal um ihre Achse, so ver- läßt ein Gang die Mutter und ein anderer tritt ein; die meisten bleiben aber drin. Daher werden Fehler sich bemerkbar machen, die eine periodische Funktion der Umdrehung sind. Solche Fehler entstehen auch erfahrungsmäßig bei manchen Kon- struktionen durch die Lagerung der Schraubenspitze, und zwar ist dies in der Regel die Hauptursache, während die eigent- lichen Schraubenfehler in der Neuzeit fast ganz vermieden werden. Diese Lagerungsfehler lassen sich leicht verbessern durch Bearbeiten der Spitze. Man beginnt die Untersuchung der Schraube mit Beobachtungen für periodische Fehler, um

464 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

nötigenfalls sofort eine Verbesserung der Spitze vornehmen zu lassen.

Die Berechnung beginnt aber mit der Aufstellung der Funktion für die fortschreitenden Fehler, um diese bei der Berechnung der periodischen berücksichtigen zu können.*)

Die Mikrometerschrauben der Ablesemikroskope an Teil- kreisen lassen sich ohne weiteres prüfen, wenn ein Hilfsinter- vall von Yg oder Ys Rev. vorhanden ist.

Zur raschen Untersuchung von Fernrohrokularmikrometer- schrauben ist eine besondere Vorrichtung von Nutzen, die sich das Königl. Preuß. Geod. Inst, als „Schraubenuntersucher" von Wanschaff beschafft hat. Auf einer (horizontal gedachten) Metallplatte ist ein Hilfsmikroskop a}igebracht, das einen festen und einen beweglichen Doppelfaden hat. In Objektdistanz vor demselben kann das zu prüfende Okularmikrometer aufgestellt werden. Indem man ins Hilfsmikroskop sieht, wird dessen Fadenintervall mit der zu untersuchenden Schraube gemessen. Da das genannte Intervall verstellbar ist und noch eine Schlittenführung in Richtung der Schraubenachse vorhanden ist, so ergibt sich die Möglichkeit der Schraubenprüfung.

II. Günstigste Größe des Hilfsintervalls. Ein Intervall von 0,7 Rev. ist für die Untersuchung der periodischen Fehler geeignet und kann zugleich auch für die beiläufige Prüfung der fortschreitenden dienen. Wir fragen zunächst, welche Größe A des Intervalls für die periodischen Fehler besonders zweckmäßicr ist. An irgend einer Stelle ist die Korrektion der Ablesung gleich

K ^ S 4- Ä. cost -{- Ä^ cos 2^ + • • •

(1) -r 1 -r .

+ ^isinf + B^sm2t+ ■ ■ •,

worin S die Verbesserung wegen fortschreitenden Fehlers ist und t die in Rev. ausgedrückten und mit 27t multiplizierten Bruchteüe der Ablesung sind. Wendet man (1) auf zwei Ab- lesungen an, die zu einer Abmessung von A gehören, und ver-

*; Über nachträgliche Berücksichtigung siehe im 6. Kapitel, § 5, S. 425.

§ 2. Mikrometerschrauben. 465

steht unter l und V die bereits für S korriofierten Ablesuncren, so wird die Intervallgröße A g-leich

r - / + A - 2 ^, sin ^ sin it + ^) + 25, sin ^ cos (t + ^)

(2) - \ 2/ 2 \ •_/

- 2^2 sinA sin2 {t + ^)+ 2^83 sin A cos 2 (^ + ^)

usw.

Hierin setzen wir

2 ^1 sin ^ = a, 1 2A. sin A = a, (3) '

2^1 sin Y = &i I 2^2 sin A = &2

und erhalten aus (2) die Pehlergleichuug:

r - / + A = A + a, sin (/* + "^ ) + «g sin 2 (^ + ^) H

(4) ; ^ "'

— \ cos (t + 2 ) - ^2 COS 2 (f + -) .

k bezeichnet eine Verbesserung wegen der Ausgleichung, und die Ablesungen l und V beziehen sich auf die Stellen t und ^ + A. Das einzelne A rechter Hand ist in Rev. zu verstehen.

In der Regel läßt man t von 0 ab um 0,1 Rev. schritt- weise weitergehen bis 0,9, oder bis 1,9 oder 2,9, und mittelt die Werte für dasselbe Zehntel — das gibt dann die mittlere periodische Korrektion an dieser Stelle. (Meistens ändert sich dieselbe kaum erheblich längs der gani;en Schraube.) Wir er- halten somit zehn Fehlergleichungen mit t:27t = 0, 0,1, . . . 0,9. Würde man um 1 : n Rev. fortschreiten, so ergäben sich n Pehler- gleichungen.

Hat eine jede derselben das Gewicht 1, so erhalten die a und h das Gewicht n : 2.

Nach (3) wird dann erhalten, wenn zum Gewicht 1 der m. F. ju, gehört:

Ä^ u. B^ mit dem m. F. "~ . - oder dem Gew. 2n sin^~, 1/2 w sin—-

(5)

A^u.B^ „ „ „ „ —^ „ „ „; 2n sin^A

y2n sm A

Helmert, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 30

466 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

und offenbar allgemein (für i < —1:

(5*) Ai u. B; mit dem m. F. =^-^ic oder dem Gew. 2n sin- ^ •

y 2 n sm -^

Diejenigen Ä^ und B-, für welche sin — gleich null wird,

lassen sich also gar nicht bestimmen; man erkennt leicht, daß in den Fehlergleichungen (4) die betreffenden Glieder wegen a^. = 0 = h. wegfallen.

Beschränken wir uns auf die Annahme, daß die Mit- führung von Ä^, B^, Ä.2, B.^ genügt und die Glieder mit höherem Index zAifolge der sachlichen Verhältnisse kaum von Bedeutung sein werden*), so ist die Frage, ob man die beiden Gruppen Ä^, B^ und A^, B^ auf einmal oder getrennt bestimmen soll.

Im ersten Fall muß man A so wählen, daß

(6) I sm 2 I = I sin A ,

wird, damit gleiches Gewicht erzielt wird. Mit sin A = 2siu— cos ^ folgt cos— = + ., ; mithin ist zu nehmen A = 120'' oder 240",

d. i. bzw. Yg oder Yg Revolutionen. Dann erhalten die vier Koeffi- zienten alle das Gewicht 3n : 2, zusammen 6)?. Die Summe der reziproken Gewichte wird 8 : 3w.**)

Bestimmt man A^, B^ und ^,, B^ einzeln mit größtem Ge- wicht 2n, so nimmt man im ersten Falle A = 180'', im zweiten FaUe A = 90" oder 270«, d. i. ^^ Rev., bzw. 14 oder '^ Rev. Das Gewicht wird größer als vorher; dafür ist aber die Meß- arbeit die doppelte. Im zweiten Falle werden A^ und B^ noch mit dem Gewicht n, im ganzen also mit ?>n erhalten.' Auf gleiche Meßarbeit reduziert, ist das Gewicht für alle vier Unkannten zusammen nur gleich 5«, somit ungünstiger wie im ersten Falle. Die Summe der reziproken Gewichte wird entsprechend lO:3w.

*) Wie schon S. 411 bemerkt, sind die Ergebnisse für die A und B eigentUch Aggregate aus Konstanten verschiedenen Ranges. Nur ist jetzt der Zusammenhang komplizierter als im dort behandelten Falle.

**) Diese Wahl von A gibt auch annähernd ein Minimum für die Summe der m. Fqu. der vier Koeffizienten A■^^ ^ B■^, A^ und B^ .

, § 2. Mikrometerschrauben. 467

Es ist daher vorteilhaft, das Hilfsintervall

(7) A = Va oder % Revolutionen

anzusetzen. Dieses gibt Ä^, B^, A.^, B.^ mit gleichem Gewicht; allerdings bleiben Ä^, B.^ unbestimmbar.

Nimmt man A = 0,7 Rev., so ändern sich trotz der ge- ringen Abweichung von % sofort die Verhältnisse. Man erhält

Äj^, B^ mit Gewicht 1,31 w,

(8) .42,^2 „ „ Ißln, Ä„B^ „ „ 0,19 w.

III. .Modifikation der Ausgleidmiigsformeln. Wir bleiben bei dem Falle stehen, daß der Reihe nach ^ = 0, 0,1, . . . 0,9 Rev. genommen wird und setzen A = % Rev. oder 240^. In den Fehlergleichungen (4) ist dann zu setzen

^ + y = 120", 156«, 192», . . . 84";

A als erstes Glied rechter Hand ist als Unbekannte zu be- handeln. Die Auswertung der trigonometrischen Funktionen und der numerischen Glieder der Normalgleichungen wird aber unbequem.

Dies wird vermieden, wenn wir anstatt (1) als Korrektion der Ablesung ansetzen:

K==S-^ A; cos (^ - y) + Ä^' cos 2 (f - I) + . . . (9)

+ i^/sin (^- y) + B^ym 2 (^- |) + • • • . Es ist dann

-4^ = A^ cos g — i?i' sin — ^2 == ^'>' ^^^ ^ — -^2' ^^^ ^

(^''^ , l , 1 ' ',

B^ = Aj^ sin + Bj'cos — ^2 = -^2' sin A -f B^' cos A.

Setzen wir nun zugleich in einfacherer Schreibweise (11) l'-l = d,

so gibt (4) als Fehlergleichung: ..^. d -f A = A + «i'sin^ + a2'siu2^ + • • •

— by cos t — h.^' cos '2t — - • •,

30*

468 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

wobei (3) entsprechend ist: (13)

2 J./ sin ^ = a/ ! 2 J^g' ^^^ ^ = ^2'

2Bi' sin ^ = ?>/ 2B2 sin A = feg'

Jetzt werden die Koeffizienten der Fehlergleiehungen ein- facher, da ^ = 0, 0,1, . . . 0,9 Rev. oder 0°, 36 «, . . . 324« ist. Die Fehlergleichungen lauten, wenn wir als Index von d die Zehntel in t nehmen:

do + Ao = A • - 1,000 &/ . - 1,00062'

^, 4- ^i'.= A + 0,588a/ - 0,8096/ + 0,951 a,' - 0,S09b^'

d. + A2 = A + 0,951a/- 0,3096/ + 0,588 a/ + 0,8096/

^3 + A3 = A + 0,951a/ + 0,3096/ - 0,588 a/ + 0,8096/ (14) ^ ^ ^4 + A4 = A + 0,588 a/ + 0,8096/ - 0,951 a/ - 0,3096/

Ö5+A5 = A • +1,0006/ • -1,0006/

dfi + Ag = A - 0,588 a/ + 0,8096/ + 0,951a/- 0,3096/

d, + A, = A - 0,951a/ + 0,3096/ + 0,588a/ + 0,8096/

dg + As = A - 0,951a/ - 0,3096/ - 0,588 a/ + 0,8096/

dg -I- A9 == A - 0,588 a/ - 0,8096/ - 0,951a/- 0,3096/.

Hieraus folgt

(15) A = ^,

a/= 4- 0,1 176(6, + 0,-^6 -dg) + 0,1902(d, + 63-0,-^3)

^ • 6/= + 0,2(-do+d,) + 0,1618(-d, + d,+ de-dg)

+ 0,0618(-d,+ d3+d,-d8),

a/= + 0,1902(di-d,+ d6-d9) + 0,1176(^3 -d3+d,- dg) "^ ^ 6/=-0,2(do+d5) + 0,0618(-d,-d,-(3e-dg)

+ 0,1618(d2+d3+d,+ d8).

In den Formeln (16) und (IT) darf man auch alle d um A vermindern, oder auch um einen beliebigen andern Wert, wie man direkt ersieht.

§ 2. Mikrometerschrauben. 469

Die Gleichungen (13) geben dann die Ä', B', die Glei- chungen (10) die Ä, B, wobei für den Fall A = ^ 3 Rev. = 240"

2 sin - = — 2 sin A = 1J32,

sin - = — sin A = 0,866, cos -- = cos A = — 0,5. Man hat ferner zur Kontrolle (18) [W] = [dd-] - 10 { A- + <'-+Ali<!±_V' j . der m. F. einer Fehlergleichung ist:

Den m. F. einer Beobachtungsgröße kann man aber auch leicht durch wiederholte Messungen an derselben Stelle er- halten. Der aus (19) berechnete Wert darf nun nicht wesent- lich größer sein, sonst haben die vernachlässigten Glieder der trigonometrischen Reihe merklichen Einfluß.

Genügen aber die fünf Konstanten zur Darstellung, so kann man nun auch die m. F. derselben ableiten.

Die m. F. von J./, B^, A^ und B^ sowie von A^, B^, A^ und B2 werden

(20) -.-•" d. i. + 0,258 (t.

y2o- 0,866' ~

Bringt man K aus (9) auf die Form

(21) K=S^ l\ sin {t -^r ^;) + U., sin 2{t + N^), so ist

(22)

f7,cos(.V,4-^)=i?/

C/,sin(iV^,-f|-)==A'

U,cos{2N,-^A) = B,'

UciSm(2N2-\-A) = A^'.

Da man die A' und B' als unabhängig voneinander beobachtete Größen mit dem durch (20) gegebenen m. F. betrachten kann, folgt nun leicht als m. F. von ü^ und U^ ebenfalls die Größe (20)

und für Ä:

/oo\ + 0,258 fi + 0,258 fA

(23) fiy^ = -.^^^ liy^-- jj^ ,

wobei diese ^,v als Arcus zu verstehen sind. Die Multiplikation mit 57,3 gibt Grade.

470 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

Die Untersucliung auf periodische Fehler muß an mehreren Stellen der Schraube bewirkt werden, um eine etwa vorhandene Veränderlichkeit zu ermitteln. Wir nehmen an, daß ein mitt- lerer Wert de.s periodischen Fehlers für die zu den Messungen dienenden Schraubenteile genügt.

IV. Fortschreiteuder Fehler. Man erkennt diesen, indem man ein rundes Intervall, etwa zwei Rev., fortschreitend an aufeinanderfolgenden Stellen der Schraube mißt. Der Schrauben- untersucher gestattet keine wesentlich großem A, da keine be- sondere Okularverschiebung zur zentrischeu Betrachtung der Fäden da ist.

Hat man nun z. B. A = 2 nach und nach abgemessen von 0, 2, 4 . . . ab, nimmt dann das Mittel aller Beobachtungs- werte und zieht hiervon die einzelnen ab, so sind die Unter- schiede der Einfluß des fortschreitenden Fehlers auf die Inter- valle 0 bis 2, 2 bis 4, usw. Die schrittweise Addition gibt dann die Verbesserungen wegen fortschreitenden Fehlers von 0 ab bis zu Ende. Durch Beifügung einer Konstanten kann man die Verbesserung für irgend eine Ablesung, z. B. die Schraubenmitte, zu null machen.

Trägt mau die Verbesserungen graphisch als Ordinaten auf, so kann man eine Ausgleichungskurve ziehen und für Zwischenabscissen die Ordinaten interpolieren. Dies Verfahren dürfte immer ausreichen.

Zur Erhöhung der Genauigkeit kann man die Reihe mehr- fach beobachten. Beobachtet man z. B. zweimal und nimmt dabei als Anfang statt 0 die Werte — Y^ Rev. und + V4 Rev., so werden im Mittel die Anfangsglieder der Reihe für die periodischen Fehler eliminiert, was nicht ohne Bedeutung ist, wenn dieser etwa längs der Schraube etwas veränder- lieh wäre.

Eine Kontrolle ergibt sich gelegentlich der Bestimmung von 1 Rev. in Sek. aus Stern durchgängen usw.

Oftmals wird zur Interpolation der fortschreitenden Fehler auch der Rechnungsweg betreten. Wir geben dazu einige An- deutungen. Ist wie früher S die Korrektion wegen fortschreiten- der Fehler, so kann man setzen:

§ 2. Mikrometerschrauben. 471

(24) S = S,+ S,r -f S,r' + S,,- + • • •,

worin Sq, Äi ... Konstante bezeichnen. Für die Abmessung von A seien die Ablesungen r und r'; alsdann ist

(25;i A = (y - r) + S, ir' - r) 4- S,{r'' - r') + S.i^r'^ - r^) + • • ■ .

Nehmen wir an, daß »Sj klein genug ist, um S^ : (1 + ä^) und tS^: (1 + Sj) mit ^2 "^*i ^3 vertauschen zu können, so folgt

(26) r'-r = ^-^ - ^^O"''" O - S,(r'^-r') •

Dafür kann man schreiben, wenn links für die Ausgleichung noch eine Verbesserung beigefügt wird:

(21) r'-r^X = x + y '-^ + z ^ ±^)' + ■ • -,

worin ist:

(28) • "^-1 + ^. ""'^^

y==-'2S,A, ^ = -3Ä3A.

Indem man für alle abgemessenen Intervalle die Fehler- gleichungen (27) bildet, ergeben sich dann weiterhin x, y und z, und mittels (28) auch S., und S^, wobei für A ein Näherungs- wert genügt. X hat weiter keine Bedeutung, 5^ läßt sich auch nicht daraus finden; diese Größe wird bei Bestimmung einer Revolution in Sekunden mit berücksichtigt. Ist nämlich durch geeignete Messungen ein größeres Intervall in Sekunden be- kannt = B, und denkt man sich die zugehörigen >• und r nach Maßgabe der Glieder ^2^^+ '^3**^ ^°^ ^^"^ fortschreitenden Fehler verbessert (nötigenfalls auch wegen period. F.), so setzt man

wo ü der Wert einer Revolution in Sekunden ist. Hätte man r und r' auch noch wegen S^ r verbessert, so könnte man unter Festhaltung der Bedeutung von r' und r wie in der vorigen Formel ansetzen:

(r'-r)(l + S,)B'=I),

so daß also (1 -h S^)R' gleich E ist; es ist daher nutzlos, 5^ in den Korrektionen für fortschreitende Fehler besonders mit-

472 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

zuführen. Es wurde das Glied Sj^r nur der Vollständigkeit halber angesetzt und um zu zeigen, daß auf die Größe von R es einen Einfluß ausübt fwenn auch nur theoretisch), wohin man den Anfangspunkt der Zählung legt. Ist in Gleichung (24) r die unmittelbare Ablesung in bezug auf einen seitlich gelegenen Nullpunkt, so sind die S offenbar andere Werte, als wenn man r etwa von der Mitte der Skala ab zählt. Man erkennt dies durch die Substitution r = r„^ + ?w, wo r^ = r — m von der, mittlem Ablesung m aus gezählt ist.

Um die Ausgleichungsrechnung möglichst bequem zu er- halten, denken wir uns in (24) und den folgenden Formein r in der Tat als r^^ von der Mitte m ab gezählt.

Ferner nehmen wir an, daß die Abmessungen so gemacht werden, daß ^ sich von null ab gleichmäßig im Positiven und Negativen erstreckt. Es ist dann, n als ganze Zahl vorausgesetzt:

(29) -P = - *^^' - (" - 1)^' - (^ - ^)^' ^' ""11'

+ A, + 2A, •• • + uA.

Bei der Bildung der Normalgleichungen fallen dann ifür ax -^ hy -{- cz) die [«&] und \hc\ weg, und da a = 1, lassen sich die [rtc] = [fe6] und [cc\ leicht bilden mittels der bekannten Formeln für die Summen der Quadrate und Biquadrate auf- einanderfolgender ganzer Zahlen:

12+ 22 h n

(30)

14 + 2^ H n

Auf die Fehler einer Schraube wird man unter Umständen dasselbe Verfahren anwenden, das zur Bestimmung von Teilungs- felllern einer Läncrsteihing dient. Wir verweisen in der Hin- sieht auf die ausführlichen Angaben von B. Weinstein.*!

Ein vorzügliches Mittel zur Bestimmung der fortschreiten- den Fehler bei Femrohrokularmikrometern ergibt sich, wenn

n^ n- n y ^ Y + "6
n^ n* «^	n ~ 30

*) Handbucb der physikalischen Maßbestimmungen. Bd. 11. Berlin, 1888, S. 226 u. f. Seitdem ist noch verschiedene Literatur über die.sen Gegenstand erschienen (vergl. namentlich die Astr. Nachr., u.a. W. Zur- hellen: „Die Untersuchung der Mikrometerschrauben in der Praxis", Bd. 172, 1906, Nr. 4105 6, Sp. 1—19}.

§ 3. Röhrealibellen. 473

zwei Fadennetze, ein festes und ein bewegliches, da sind, bei denen die Naehbardistanzen der Fäden grleieh on-oß sind. Es genügt schon, daß das bewegliche Xetz zwei Fäden hat. Ihr Abstand läßt sich dann durch Koinzidenzen an den festen Fäden an benachbarten Steilen der Schraube messen usw.*)

Bei Schraubeumikroskopen für Teilkreise kommen in der Regel nur zwei Gänge zur Geltung. Es ist leicht, dieselben zu vergleichen. Meistens wird ja der fortschreitende Fehler in diesem Falle kaum in Betracht kommen. Zeigen zwei Messunsren eines Teilkreisintervalles an nebeneinanderliegenden Schraubenstellen einen Unterschied d, so wird der Fehler gleich d : 8 im Maxi- mum, wenn ein Strich in üblicher Weise durch Gang-(Run-) Bestimmung zwischen zwei Teilstrichen eingeschaltet wird.

§ 3. Röhrenlibellen.

Feinere Libellen sind mit Kammer versehen, um die Blasen- länge annähernd konstant erhalten zu können; von dieser hängt die Genauigkeit (Einstellungssicherheit) wesentlich ab, wie schon lange bekannt ist und neuerdings von Reinhertz genauer untersucht wurde. Die günstigste Blasenlänge ist mindestens gleich der halben Teilungslänge, also möglichst groß, doch so, daß noch einige Intervalle zur Messung übrigbleiben.**)

Eine erste Prüfung besteht darin, daß man die Libelle auf den Libellenprüfer bringt und die Blase durch Bewegen der Prüferschraube in gleichem Schritt von einem Ende der Teilung bis zum andern laufen läßt. Hierbei zeigen sich etwa vorhandene Störungen (Ausscheidungen) sowie gröbere Un- gleichheiten, namentlich bei mehrfacher Wiederholung des Vorganges.

*) F. R. Helmert. Der Sternhaufen im Stembilde des Sobieski- schen Schildes. (Publ. d. Hamburger Sternwarte, 1874.) Hier ist auch ein besonderes Interpolationsverfahren für die fortschreitenden Fehler angewandt, daß sich an die speziellen Konstruktionsverhältnisse an- schließt.

**) C. Reinhertz, Mitteilungen über einige Libellen. (Zeitschr. f. Instrumentenkunde 1890, S. 309 u. f. Zeitschr. f. Yermessungswesen 1891, S. 257 u. f.; insbesondere S. 265.)

474 Siebente? Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

Sodann geht man zur Bestimmung des Teilwertes über, wobei man den mittlem Teilwert für etwa fünf Teile in der Teilungsraitte bestimmt. Eventuell kann eine solche Bestim- mung auch für seitliche Stücke der Teilung erfolgen. Bei guten Libellen wird man kaum Anlaß dazu haben.

Der Teilwert der Libelle zeigt oftmals Abhängigkeit von der Temperatur. Das liegt meistens an ungeeigneter Fassung. Es ist vorgeschlagen, die einschließende Metallröhre von Nickel- stahl (Invar) zu machen (Bigourdan, C. R. 1903, Bd. 137, S. 385).

Die Abhängigkeit von der Blasenlänge vermeidet man durch Konstanthalten der letztern.

C. A. F. Peters fand 1842/43 bei Arbeiten am Pul- kowaer Vertikalkreise eine Abhängigkeit von dem Temperatur- unterschied zwischen Instrument und Luft, also zwischen ober- halb und unterhalb an der Libelle. Auch R. Schumann fand bei FeinniveUements auf dem Telegraphenberge am Geodätischen Institut bei Potsdam eine tägliche Schwankung im Teilwerte.

Petrelius stellte ferner einen Einfluß des Barometer- standes fest.*)

Beispiel. Teilwertbestimmung der Libelle am Pulkowaer Passageninstrument durch B. Wanach.**)

Diese Libelle ist von C. Eeichel in Berlin: sie war au.s- gezeichnet. Der Teilwert p wurde am ßepsoldschen Libellenprüfer bestimmt, im Mittel für etwa sechs Teile, indem die Piüferschi'aube um fünf ihrer Teile verstellt wurde. Durch eine Art Repetitions- verfahren wurde dies 24-mal wiederholt, dergestalt, daß die Schraube um 120 Teile = 1 Rev. = 120" gedreht war.

Zur Vereinfachung des Zahlenbeispiels habe ich je zwei Nach- barbestimmungen in ein Mittel vereinigt. Wanach füln-te meh- rere Rechnungen durch, zuerst mit Gliedern abhängig von der Temperatur T und von T^, sowie mit solchen von der Blasen-

*) Yergl. den Bericht von Hammer in der Zeitscbr. f. Instrumenten- kunde. Bd. 22, 1902, S. 124.

**) Archiv for Math, og Naturvidenskab , af S. Lie og G. 0. Sars, Bd. IG.

§ 3. Röhrenlibellen.

475

länge i, von Z^ und i^. Letztere ergaben sich aber so unsicher, daß von ihnen abgesehen wurde. Es fand sich dann:

(1)

-P

0;'l0102 + 0,00033 (r 4- 5) - 0,0000081(7 -f- 5)^

+ 89 +18 +72

sowie

(2)

i?= 0ri0176 + 0,0001343 (T+ 5). + 59 + 396

Die angeschriebenen Unsicherheiten sind wahrscheinliche Fehler; die m. F. sind also das 1|-- fache.

Beide Formeln unterscheiden sich nur wenig; die drei- gliedrige weniger der zweigliedrigen ergibt

bei - 5» 0« +50 + 10» + 15"

— 0;'00074 +4 +41 +38 - 6.

Die folgende Berechnung*) nimmt außer einem von T abhängen- den Temperaturgliede noch ein der Zeit t proportionales Glied mit.

Allerdings hat dieses kaum Berechtigung, da S. Kostinsky für ^ p

fand**)

1891 Juli bis 1892 Okt. :0;'1060 + 0,00028 T— 0,000018^2

1892 Okt. bis 1894 Dez.: 0,1033 „ „ während nach Wanach war

1890 März bis 1891 Febr. : 0,1025 + 0,00025 T — 0,000008 TK Die Beobachtungen ergaben:

(4)

Tag	Temp. R.	Vs	Teilwert	Tag	Temp. R.	Vs Teilwert
1890, 29	5 ",13	0	:'10299	1890, 63	12 ",94	0;'10217
33	6,32		10521	75	7,10	10411
42	13,14		10630	76	5,94	10263
(5) 48	14,53		10352	1891, 12	-4,40	09998
48	14,43		10302	18	— 1,50	10464
48	14,86		10455	19	-0,17	10270.
50	15,95		10410

*) Yen Herrn G. Förster bewirkt.

**) Publications de TObserv. central Nicola.s sous la direction de 0. Backlund. Ser. II, vol. X. 1903, S. 13.

476	Siebentes	Kapitel. ]	Beispiele über Te	ilkreiee usw.
(6)		Fehler	gleichungen:
ax	+ hy	-f cz	= l	+ A	X'
+ 1	+ 0,513	+ 0,29	= + 0,299	+ 0,095	+ 0,026
+ 1	+ 0,632	+ 0,33	+ 0,521	- 0,128	- 0,184
+ 1	+ 1,314	+ 0,42	+ 0,630	- 0,217	- 0,227
+ 1	+ 1,453	+ 0,48	+ 0,352	+ 0,058	+ 0,065
+ 1	+ 1,443	+ 0,48	+ 0,302	+ 0,108	+ 0,114
+ 1	+ 1,486	+ 0,48	+ 0,455	- 0,043	- 0,035
+ 1	+ 1,595	+ 0,50	+ 0,410	+ 0,004	+ 0,021
+ 1	+ 1,294	+ 0,63	+ 0,217	+ 0,164	+ 0,184
+ 1	+ 0,710	+ 0,75	+ 0,411	— 0,075	- 0,067
+ 1	+ 0,594	+ 0,76	+ 0,263	+ 0,060	+ 0,070
4- 1	- 0,440	+ 1,12	- 0,002	+ 0,231	+ 0,234
+ 1	- 0,150	+ 1,18	+ 0,464	— 0,230	- 0,204
+ 1	— 0,017	+ 1,19	+ 0,270	— 0,031	+ 0,003

Hierbei ist r, p = 0''! + x gesetzt und y der zehnfache Temperatur- koeffizient; x. y^ 5, l werden in Hundertstelsekunden erhalten.

Normalgleichungen: 13,000x + 10,427?/ + 8,610^ = 4,592

(7) 10,427ä; + 14,082i/ + 4,919^ = 4,243

8,610a; + 4,919t/ + 6,911^; = 2,772. Ihre Auflösung gibt:

( a^ = 0,411 3/ = 0,047 ^ = — 0,144

(8) rez. Gew. 1,905 0,410 1,937 I m. F. + 0,211 ± 0,098 + 0,213.

Die A sind oben in der ersten Spalte rechts neben ? ent- halten; [U] = 0,232; (n2= 0,232 : 10 = 0,0232.

(9)

Kontrolle: \ll\ = 1,921 - 1,687 = 0,234. (11= + o:'00153.

§ 3. Röhrenlibellen. 477

Mit Weglassung von z folgt:

IX = 0,275 ij = 0,098 .

rez. Gew. 0,189 0,175

m. F. + 0,065 + 0,062.

Die hierzu gehörigen Verbesserungen sind oben als X' verzeichnet; [l'X''\ = 0,245.

^2=0,245: 11 =0,0221; Kontrolle: [l'l'] = 1,921 — 1,676 = 0,245;

(11) ft= + 0;'00149.

Die beiden Ausdrücke für —p werden:

(12) 0^10411 f 0,000047 T - 0,00144^

±211 ± 98 ± 213

und

0;'10275 + 0,000098 T ^^''^ ±65 + 62 .

Um im letztem Falle zu erkennen, wie sich die Unsicherheit des Teilwertes für eine bestimmte Temperatur gestaltet, setzen wir an:

\p bei Temp. T = 0;'l + ^J^ {x + ^^y). Nun ist

$,,= 0,189 ^^=-0,141 ^^^=0,175,

also wird der m. F. gleich

+ 0;'00149 )/0,189 — 0,0282 T + 0,00175 T^

, , d. i. bei ^ = - 5'^ 0" +5° +10" +15"

(14)

± 0;'00090 65 47 43 60.

Der Minimalwei-t tritt ein bei T= rund 8" mit + 0^'00041.

Man sieht, daß die m. F. der Konstanten allein kein klares Bild geben.

In noch höherem Grade gilt dies bei der dreigliedrigen

Formel (12). Hier ist der allgemeine Ausdruck für -^P'- \p bei Temp. T zur Zeit 1890 + t

= 0'^'l + iooK^^ + ^4

478 Siebentes Kapitel. Beispiele über Teilkreise usw.

Danach wird der m. F. gleich

+ o;'ooi

.^3-|/^'

905 — 0,1548 r+ 0,00410 T^

— 3,646^ 4- 1,937^2^ 0,1350/T.

Infolge Anwendung graphischer Rechenhilfen können die Werte der Koeffizienten nm zwei Einheiten der letzten Stelle unsicher sein.

(15)

Werte der m. F. für _ J9 in o;'00001.

5«

0"

+ ö'

-flO" +1.Ö'

0,3	+ 197	+ 152	+ 110	+	77	+ 67
0,6	1 144	98	59		44	73
0,9	104	66	55		79	120
1,2	1)5	86	103		137	178

Differenziert man den Radikanden des obigen Ausdrucks för den m. F. nach T und t, so ergeben sich zwei Gleichungen für das Minimum desselben. Es tritt ein für T= 7^,94, / = + 0,664. Der Betrag des kleinsten mittlem Fehlers wird gleich + 0^00043. Dies stimmt genügend überein mit einer direkten Rechnung aus den Gleichungen (7), in denen rechter Hand 0.01000. 0,00794 und 0,00664 eingesetzt wird.

Achtes Kapitel.

Horizontal winkelmessuug und Dreiecksnetze.

§ 1. BeobacMung von Winkeln und Richtungen.

I. Instrnmentalfehler. Die Beobachtungsfeliler entstehen teils durch das lustniment. teils durch den Beobachter, teils durch die umgebende Luft. Wir betrachten zunächst die erst- genannten.

Wir setzen Instrumente ohne grobe Mängel, namentlich solche von festem Bau voraus. Zunächst sind noch der Ein- fluß des Kollimationsfehlers der Visierachse, die etwas geneigte Lage der Horizontalachse und die Exzentrizität der Alhidade zu beachten und zu eliminieren. Dieses kann sozusagen voll- kommen geschehen. Den Kollimationsfehler beseitigt man durch Messung in zwei Fernrohrlagen, vorausgesetzt, daß keine zeitlichen Veränderungen von Belang stattfinden und etwa die Änderung der Fernrohrlage den Kollimationsfehler beeinflußt. Die geneigte Lage der Horizontalachse bestimmt man mit der Libelle, so daß der Einfluß auf die Beobachtung durch Rech- nung ermittelt werden kann. Den Einfluß der Exzentrizität der Alhidade eliminiert man durch Anwendung von zwei, drei oder mehr gleichförmig über den Kreisumfang verteilten No- nien oder Mikroskopen.

Auf die Fehler der Nonien und Mikroskope selbst gehen wir weiter nicht ein, da der systematische Anteil bestimmt und in Rechnung gezogen bzw. eliminiert werden kann.

Eine hervorragende Wichtigkeit haben aber erfahrungs- mäßig die Teilungsfehler, obwohl man in der Gegenwart die

480 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

Kreise mit einer sehr großen Genauigkeit einteilt. Die Er- fahrung lehrt, daß die Teilungsfehler in der Regel zu einem wesentlichen Teil systematischer Xatur sind und als periodische Funktion der Ablesung Ä dargestellt werden können, bis auf einen Rest, den man nun als zufälligen Teiluugsfehler be- zeichnet und der von Strich zu Strich in zufälliger Weise wechselt. Für den regelmäßigen Teilungsfehler i.st zu setzen:

, t^ = Ti sin {Ä + N^) + T, sin (2A + N,)

-f Tgsin(3^ + .V3J + ...,

wobei man sich ziemlich viele periodische Glieder mitgenommen zu denken hat. Ein konstantes Glied Tq wird dadurch be- seitigt, daß man durch Beifügung einer Konstanten die Summe der beobachteten / zu null macht. Bei der crroßen Sorcrfalt der Herstellung, wie sie jetzt in der Regel angewandt wird, sind größere Diskontinuitäten im Verlauf der Teilungsfehler von Strich zu Strich, etwa an der Anfangsstelle der Teilungsarbeit, ausgeschlossen — sie würden sich als größere unregelmäßige Fehler zu erkennen geben.

Betrachten wir aber zwei Ablesungen A und A + 180", so ist im Mittel für die beiden Teilungsfehler einfacher:

(2) M = J,sin(2^ -f- N,) + T,sin(4^ + iVJ + • • -.

Es leuchtet ein, daß durch o, 4, . . . ni regelmäßig verteilte Nonien oder Mikroskope die regelmäßigen Teilungsfehler mehr und mehr unschädlich gemacht werden können. Für mMikro-

skope, die in den Abständen voneinander liegen, haben

die Ablesungen annähernd folgende Werte:

A, A+ -, A + 2 -, A-\- (m — 1) - .

Dies in Formel (1) eingeführt, gibt leicht den Einfluß des periodischen Teilungsfehlers auf das Mittel der m Ablesungen gleich

(3; ^^ = + T,n sin (niA + NJ + T,,„ sin (2 mA + N,J + • • • .

Durch die Vermehrung der Anzahl der Nonien und Mikro- skope wird nun freilich die Ablesungsarbeit sehr vermehrt, so

§ 1. Beobachtung von Winkeln und Richtungen. 481

daß man in der Regel nur zwei bis fünf solcher anwendet (zwei in Deutschland, drei oder fünf in England), t^. aber in anderer Weise zu eliminieren sucht. Wir müssen nämlich be- denken, daß die Richtuugsangaben auch wegen des Visurfehlers fehlerhaft sind und daß man, um dessen Einfluß zu vermindern, mehr als eine Beobachtung anstellen muß. Kann man nun bei dieser Gelegenheit t^. für das Mittel aller Beobachtungen auf einen wünschenswerten Betrag herabdrücken, so ist dies vor- zuziehen. (In der praktischen Astronomie kommt es freilich oft vor, daß man m mit Vorteil groß nimmt, etwa = 6 oder 8, wenn nämlich die Fernröhre sehr kräftig sind und die Objekte nur einmal beobachtet werden können.)

Solange man nun bei derselben Stellung des Horizontal- kreises beobachtet, wirken die Teilung-sfehler als konstante Fehler auf alle Beobachtungen. Verteilt man aber n Beobachtungen auf n verschiedene Teilkreisstellen, so wirken die zufällicreu Teilungsfehler tatsächlich wie zufällige Beobachtungsfehler, und ihr Einfluß vermindert sich mit 1 : )/«•, die regelmäßigen tilgen sich erheblich, wenn nach jeder Beobachtung um oQ()^:mn ge- dreht wird, so daß im ganzen an mu gleichmäßig über den Kreis- umfang verteilten Stellen abgelesen wird. Es bleibt dann als Rest

Dies sind rasch veränderliche Glieder, die man zu den zufälligen Fehlereinflüssen schlagen darf, insofern sie meistens kleiner sind als die rein zufälligen Teilungsfehler.

Generalleutnant Schreiber fand bei Instrumenten mit zwei Mikroskopen, wie sie bei Haupttriangulationen benutzt werden, die mittlere totale Durchmesserkorrektion zu -j- O^'ö bis + 1"1, den zufälligen Anteil gleich -l O^o bis 4-0,"8.^''i Bei mehreren Teilkreisen war ein regelmäßiger Anteil gar nicht mehr recht nachweisbar.**)

Auch die zufälligen Teilungsfehler verlangen zu aus- reichender Herabminderung ihres Einflusses häufige Kreis- drehung. Bei guten Beobachtern ist es üblich, eine Richtung

*) Zeitschr. für Vermessungsweseu, VIII. Bd., 187it, S. 119. **) Zeitschr. für Vermessungswesen, VII. Bd., 1878, ö. 213.

Helmert, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 31

482 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

nur zweimal hintereinander an derselben Teilkreisstelle ein- zustellen, also ein erstes Mal bei schrittweisem Einstellen der Objekte von links nach rechts und ein zweites Mal beim Rück- gänge von rechts nach links. Dann wird der Kreis gedreht. A. Nagel verstellte den Mikroskoparm um 1^, wandte außerdem aber zwölf gleichmäßig über l-'^O" verteilte Kreisstellen an; bei zwei Mikroskopen war also mn = 24.*)

In Indien benutzten die englischen Offiziere bei den Haupt- triangulationen Werte von nin bis zu 50; hat der Theodolit nämlich fünf Mikroskope, so hat man bei zwei Messungen in zwei Femi'ohrlagen schon zehn Teilkreisstellen; wird dann noch um 36^:5 gedreht, so gibt das bei zehn Beobachtungsreihen 50 gleichförmig verteilte Ablesestellen.

Generalleutnant Schreiber richtete die Messungen bei seinem Winkelverfahren so ein, daß die Messungsgruppen für verschiedene Winkel auf verschiedene Teilkreisstellen fallen, jede Gruppe in sich aber auch möglichst viele gleichmäßig ver- teilte Ablesestellen hat (siehe das Beispiel auf S. 209 u. f.). Diese Maßnahmen bildeten in den hier genannten Fällen ein Haupt- glied der getrofi'enen Anordnungen, um die ausgezeichneten Ergebnisse der beti-efi'enden Triangulationen zu erreichen.

Eine besondere Methode zur Herabminderung des Ein- flusses der Teilungsfehler ist das Repetitionsverfahren, das in- dessen bei Haupttriangulationen nicht mehr Verwendung findet; siehe weiterhin.

II. Felller der Aufstellung uud der Festigkeit von In- strument und Signalen. Die Instiumente, die zur Winkel- beobachtung dienen und die Signale, die als Ziele dienen, müssen zentrisch stehen, oder es müssen ihre Exzenti-izitäten genau gemessen werden. Fehler in diesen Angaben sind in den Winkehi um so merkbarer, je kürzer die Distanzen sind. Bei Haupttriangulationen ist in der Regel (abgesehen von Basisnetzen) die erforderliche Genauigkeit leicht zu erreichen, da 1 cm auf 20 000 m Entfernung erst 0"1 gibt. Etwaige Fehler, wenn sie nicht veränderlich sind, machen sich erst bei

*) Astr.-geodät. Aibeiten f. d. Europ. Gradmessung im Königreich Sachsen, Bd. ü, 1890, S. 92 u. f.

§ 1. Beobachtung von Winkeln und Eichtungen. 483

den geometrischen Bedingungen des Netzes fühlbar. Ver- änderliche Exzentrizitäten sind bei hohen Holzbauten recht wohl möglich: durch Winddruck und die immer einseitige Sonnenbestrahlung; ersterer würde infolge der Erschütterung des Theodolitstandes Messungen aber überhaupt unmöglich machen, käme also nur am Signal in Betracht.

Ungünstiger steht es mit dem Einfluß der Sonnen- bestrahlung des Unterbaus des Theodolits. Unter dem Einfluß der Sonnenstrahlen (und überhaupt der Wärmebewegung) führen auch kleine Beobachtungspfeiler Bewegungen aus, von denen besonders die Drehbewegungen zu fürchten sind. Man sucht deren Einfluß zu eliminieren oder doch herabzumindern, indem man eine schrittweise Einstellung von zwei oder mehr Ob- jekten in umgekehrter Reihenfolge wiederholt. Der Zeit pro- portionale Einflüsse lassen sich bei gehöriger Zeiteinteilung auf diese Art beseitigen; unregelmäßigere Einflüsse erkennt man bei Richtungssätzen an dem unregelmäßigen Verlauf der Unterschiede der Ergebnisse wiederholter Einstellung der ein- zelnen Objekte und kann dann eventuell die Messungen weg- lassen.

Nützlich ist es zur Erzielung höchster Genauigkeit, nur je zwei Objekte in möglichst kurzer Zwischenzeit zu ver- binden (also Winkelbeobachtung zu benutzen), wie General- leutnant Schreiber bei der preußischen Landestriangulation einführte, wobei allerdings noch andere Gründe maßgebend waren.

Schon seit nahezu 100 Jahren hat man sich zur Be- seitigung der Festigkeitsmängel auch des Sicherheitsfernrohrs bedient: W. Struve benutzte es bei der Gradmessung in den russischen Ostseeprovinzen 1821 — 23.*) Neuerdings fand es Anwendung in Südafrika bei den unter Leitung von Sir David Gill ausgeführten Triangulationen. Der genannte

*) F. G. W. Struve. Breitengradmessung in den Ostseeprovinzen Rußlands, 1821—23. Zwei Teile, 1831, Dorpat.

Jedem angehenden Geodäten ist das Studium dieses geistvollen Werkes anzuraten, da es eine Fülle von Erfahrungaergebnissen und von Betrachtungen über Fehlerquellen und beste Beobachtungsmethodeu enthält.

31*

484 Achtes Kapitel. HorizontalwinkelmessTing und Dreiecksnetze.

Direktor der königl. Kapsternwarte betont besonders den Vorteil, sich eines nicht zu schweren, also leichter transportablen Stativs bedienen zu können .*)

Das Versicherungsfemrohr kann am Teilkreis festgemacht werden; es wird auf ein künstlich hergerichtetes, besonders scharf einstellbares Hilfsobjekt eingestellt. Bei jeder Visur des Beobachtungsfernrohrs stellt man auch das Mikrometer des Versicherungsfernrohrs auf das Hilfsobjekt ein, wobei ein Ge- hilfe sehr nützlich ist fStruve).

IIL Ablesefehler. Visurfehler. persönliche Fehler. Die

zufälligen Fehler beim Einstellen und Ablesen der Mikroskope sind, namentlich im Mittel von zwei oder mehreren Mikroskopen, in der Regel so klein, daß sie gegen die Teilungsfehler und Visurfehler verschwinden. (Die systematischen Fehler dachten wir uns schon S. 479 eliminiert.) Bei Anwendung von Xonien oder Schätzmikroskopen liegen die Verhältnisse allerdings anders; es läßt sich denken, daß dann diese Fehlerquelle die einflußreichste ist — um sie herabzudrücken, kann dann das- selbe Verfahren dienen wie für die Verminderung des Ein- flusses größerer Teiluugsfehler: das bekannte Repetitions- verfahren.

Sogenannte persönliche Fehler kommen erfahrungsmäßig (W. Struve) bei Nonieuablesungen vor; mau kann aber er- warten, daß sie auf das Mittel au mehreren Kreisstellen, na- mentlich auch auf die Winkel als Richtungsunterschiede, wie zufällige Fehler wirken und daß ihr Einfluß sich entsprechend vermindert.

Die Visurfehler sind sehr zusammengesetzter Art. Der Einstellungsfehler des einfachen oder doppelten Fadens im Ge- sichtsfelde des Fernrohrs aufs Objekt ist in erster Linie zu- fälliger Natur. Persönliche Fehler entstehen z. B. durch ein zu weites oder zu enges Fadenintervall. Körperliche Signale (Pyramiden, Kirchtürme) geben leicht Auffassungsfehler von 1 bis 2".**) Es sind daher flache Signale und Heliotropen

*) Sir David Gill. Report of the Geodetie Survey of South Africa. Vol. I, Capetown 1896, S. [82].

**) Vergl. hierzu die Besprechung der „Dänischen Gradmessung" in

§ 1. Beobachtung- von Winkeln und Richtungen. 485

oder Lichter anzuwenden, und es ist Sorge zu tragen, daß im Gesichtsfelde nichts sichtbar ist, was einen zur vertikalen Visierebene des Objekts unsymmetrischen Eindruck macht.""-') Da es schließlich auf Kichtungsunterschiede ankommt, sind Objektivgitter, die man ans Fernrohr hält, zur Herbeiführung gleicher Helligkeit der Lichter, zweckmäßig.

Nur selten stehen die Signalbilder im Gesichtsfelde ganz fest, meistens bewegen sie sich hin und her. Die Undulationen können so heftig werden, daß sie genaues Arbeiten unmöglich machen; man ist daher bei entfernten Objekten, also bei Haupt- triangulationeu, auf gewisse Tagesstunden mit den Beobach- tungen beschränkt. Jedenfalls hat die Brechung der Licht- strahlen in der Atmosphäre einen Hauptanteil an den Visur- fehlem; in der Hegel ist er zufälliger Natur.

Die Seitenrefraktionen können auch systematisch wirken; sie treten dann mit ihrem konstanten Teil erst in den Wider- sprüchen des Netzes hervor.

IV. Zusamiueusetzung des mittlereu Fehlerquadrats hei der eiufacheu Winkel niessung-. Es sei:

}i^. der mittlere zufällige Visurfehler,

,u^ der mittlere zufällige Ablesefehler von einem Noniiis oder Mikroskop,

«. der mittlere zufällige Teilungsfehler für eine Ablese- stelle,

t^. der periodische Teiluugsfehler für eine Stelle. Dann ist das mittlere zufällige Fehlerquadrat für eine Rich- tungsbeobachtung bei ni Nonien oder Mikroskopen gleich

Für einen einfach beobachteten Winkel verdoppelt sich dieses, und es folgt:

der Vierteljahrsscbr. der Astr. Ges. 1877, Bd. 12, S. 229—236; feiner den S. 481 erwähnten Aufsatz von Schreiber in der Zeitschr. f. Vermessungs- wesen, 1878, S. 20«) u. 227.

*) C. F. Gauß fand bei seiner 'J'riangulation von Hannover, daß er ein zur Laterne des Turmes exzentrisches Heliotroplicht um einen kon- stanten Betrag irrig beobachtete. Vergl. den Briefwechsel mit Schu- macher; ferner Gauß' Werke IX, S. 389.

486 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

(6) 2.u.2+^''"'-|- ^i*A

Es tritt nun aber außerdem der Einfluß der periodischen Teilungs- fehler hinzu, sowie der Einfluß der möglichen kleinen Ver- drehung des Teilkreises zwischen beiden Visuren. Ist [fj die Summe der periodischen Teilungsfehler für die Beobachtung des einen Objekts und [tj] für das andere, also [^/] — [t^] für den Winkel, so hat man (6) durch

(6*) (Eü^y

zu ergänzen: denn obgleich dieser Anteil einen systematischen Charakter hat, so genügt doch die einfache Beifügung des Quadrats nach S. 68.

Zur Berücksichtigung der Schwankung des Teilkreises fügen wir zu (6) noch das Glied (6**) 2(if

hinzu, so daß gewissemiaßen jn, die mittlere zufällige Schwan- kung des Teilkreises bei der einzelnen Visur ist. Es wird hier vorausgesetzt, daß nach Lage des Falles entweder die ganze Schwankung als zufällig aufzufassen ist, oder daß ein reselmäßiger Anteil durch das Meßverfahren eliminiert wird.

Ist nun wie bei den deutschen Theodoliten ni = 2 und wird der Winkel an derselben TeilkreissteUe im Hin- und Hergang gemessen, so dividieren sich die beiden ersten Glieder von (6) durch 2, da ein arithmetisches Mittel von zwei Be- obachtungen vorliegt. 2^,':m und (6*) bleiben ungeändert; (6**) dividiert sich wieder durch 2.

Bei m = 2 erhalten wir also für die Doppelbeobachtung des Winkels (im Hin- und Hergang) das mittlere Fehler- quadrat gleich

(7) .t^/ + itt/ + ., IIa- + 1^: + (2 ) ■

Das letzte Glied entspricht der Differenz der Durchmesser- korrektionen für beide Richtungen. Es hängt zufolge (2) nur ab von T.^, T^ usw. Denn da der Durchschnittswert von T^^ sin^(2^ -\- N^) usw. für alle möglichen Ablesungen y TJ usw. ist, von

§ 1. Beobachtung von Winkeln und Richtungen. 487

T^\sm(2Ä -f .A^) - sin (2^ + 2 W + N,))',

für alle möglichen A nud Winkel W aber TJ beträgt, so er- kennt man, daß im Mittel für beliebige Winkel und Kreis- stellungeu das letzte Glied in (1) den Betrao-

(7*) TJ-^T^i-... = 2Tf

hat, worin nun t., als mittlerer Wert einer Durchmesserkorrektion bezeichnet werden kann. (Dieser Wert wird angenähert auch erhalten, wenn man die Summe gleichmäßig verteilter be- obachteter Durchmesserkorrektionen auf null bringt, und aus ihrem Durchschnittsquadrat die Wurzel zieht.)

Für eine doppelt (im Hin- und Hergange) beobachtete Richtung kann man nach (7) und (7*) ansetzen als mittleres Fehlerquadrat :

(^) 2 ^'"^" + ^*-^') + 4 ''«" + -2 '"-" + ■^2"-

Diese letztern Ausdrücke würden in Betracht kommen, wenn Winkel bei m = 2 immer nur in einem Hingang und Hergang beobachtet würden und alle verschiedenen Winkel, die zu einer Ausgleichung zusammenkommen, sehr verschiedene Größe hätten und bei der Messung an den verschiedensten Teilkreis- stellen lägen.

Messen wir nun bei ni = 2 Mikr. in dieser Weise n-mal doppelt, und zwar an >/ gleichmäßig über 180" verteilten Teil- kreisstellen, so wird das mittlere Fehlerquadrat des Winkel- mittels gleich

Bei den ersten vier Gliedern tritt einfach der Divisor n auf, da wir es mit zufälligen Fehlern zu tun haben. Das letzte Glied folgt aus (7) zunächst gleich

i^*} fJ^),

worin die Summen auf 2it Teilkreisstellen zu erstrecken sind. Von der periodischen Funktion für t^ in (1) bleiben nun nur die Glieder mit T«^, T^^ usw. übrig; das mittlere Quadrat von

488 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze. (O^') für beliebige Ablesungen und Winkel wii-d daher: (9**) n/+^'J+--- = ^^2,A

worin t,,, zur Abkürzung dient und sich auf den mittlem Wert der Durchmesserkorrektionen an n Teilkreisstellen bezieht. Wären die t^. zufälliger Xatur. so Avürde man To/ = t,^ : n zn setzen haben; wegen des systematischen Charakters der t^. und der gleichmäßigen A'erteilung der Doppelmessungen auf isQ" muß r,^^ < T3- : n werden.

Was nun die relative Größe der Glieder in (9) anlangt, so wird gegenwärtig bei guten Einrichtungen u/ am meisten zu befürchten 'sein. Bei diesem Fehlerquadrat ist man eben von äußeren Umständen abhängig: selbst bei besten Luft- zuständen Avird 11,. für Entfernungen von der Größe der Haupt- dreiecksseiten noch etwa + ^/g" betragen. Es kann aber leicht bis auf + 1" und mehr steigen. Durch Verfeinerung der Apparate und sichere Aufstellung hat mau die Gesamtwirkung der andern Glieder in (9) hauptsächlich auf die Wirkung von (i^- lieral)o-edrückt. Dies s^ilt insbesondere für das AVinkelverfahren von Schreiber, wozu wir bereits S. 209 u. f. ein Beispiel gaben und worauf wir sogleich nochmals weiter eingehen werden.

Ähnlich verhält es sich mit andern guten Meßverfahren, über die wir jetzt einen Überblick geben, wobei wir auch zweier älteren Verfahren gedenken Averden. — Anders als bei diesen Arbeiten für Haupttriangulationen liegt die Sache bei Ar- beiten, die mit kleinen Apparaten ausgeführt Averden müssen, also l)esonders Spezialvermessungen: hierauf Averden wir nur kurz eingehen.

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethoden.

I. Das Wiiikelverfahreii von (Jeiieralleiitnaiit Schreiber.')

Für Haupttriangulationeu dürfte dieses Verfahren bei Benutzung bester Theodoliten dasjenige sein, das in kürzester Zeit Ergeb- nisse von einem vorgeschriebeuen hohen Genauigkeitsgrad liefert.

Jeder Winkel, deren -^vlv — 1) bei v Richtungen möglich

*)Zeit8clir. f. Yermessungswesen, is78, S. 209 u, f.

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethoden. 489

sind, wird an n gleichmäßig über 180** verteilten Teilkreis- stellen doppelt gemessen (im Hin- nnd Hergange). Nach S. 211 wird das Stationsergebnis äquivalent einem vollen Richtungs- satze, dessen Gewicht dem arithmetischen Mittel von itv vollen Reihen entspricht. Die Anzahl der Yisuren ist beim Winkel- verfahren gleich 2nv(v — 1), bei nv voUen Reihen gleich nv-. Bei nicht kleinen v ist die Arbeit also fast das Doppelte gegenül)er dem Richtungsverfahren. Dies ist jedoch nur schein- bar. Das Winkelverfahren verbürgt möglichste Einschränkung des m. F. /t, und eine systematische Elimination der Teilungs- fehler, insofern Richtungssätze als voUe Sätze ohne Zeitverluste schwer zu erreichen sind und dann sich entweder ^^ noch stark steigert oder indem durch Ausflicken der Richtungssätze die Teilungsfehler durch Ausgleichungsmängel mehr hineinkommen.

Schreiber nahm nv annähernd 24, z. B. bei v = 6, n = 4, bei V = 8, ;/ = 3, dagegen bei v = l,ii =^ 4 mit nv = 28.

Wird V größer als 7, und will man über nv = 24 nicht weit hinausgehen, so wird n klein; z. B. bei v = 12 wird w = 2. In solchen Fällen würde man vielleicht keine Doppelmessungen ausführen, sondern bereits nach dem Hingange den Kreis drehen, um eine bessere Herabminderung der periodischen Teilungsfehler schon im Mittel der Messungen für die einzelnen Winkel zu erzielen.

Wir geben umstehend noch nach Schreiber als Beispiel die Anordnung der Kreisstellungen auf die einzelnen Winkel für j' = 6; I und U bezeichnen die beiden Fernrohrlagen.

Aus den verschiedenen AVidersprüchen des Beobachtungs- materials lassen sich verschiedene mittlere Fehlerberechnungen ableiten.

Es seien wie im Beispiel S. 201) u. f die Verbesserungen der Winkelmittel, also der arithmetischen Mittel der bei n Kreis- stellungen erhaltenen Doppelmessungen (Sätze), durch A be- zeiclinet: sie haben das Gewicht n, wenn die einfache Richtungs- beobachtung das Gewicht 1 erhält.

Geht man auf die einzelnen Satzergebnisse zurück, so kann man entweder deren Verbesserungen 6 nach der Aus- gleichung ableiten, oder ihre Abweichungen v gegen das be- treffende Winkelmittel. Da diese letzteren eine teilweise Aus-

490 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

Winkel	1	I	11	^
1	2	' 0«	45'*	90«	1350
1	3	9	54	9'J	144
J	4	18	63	108	153
1	5	•iT	72	117	162
1	C	36	81	126	17;
2		36	81	126	171
2	4	'21	72	117	16-.'
2	ö	SJ	:a	9l>	144
2	6	1»	63	108	153
O	4	(1	45	90	135
3	ö	18	63	108	153
3	(>	■27	72	117	162
4	5	30	81	126	171
■4	6	l)	54	99	144
i")	6	0	45	9(1	135

gleichung vorstellen, so hat man:

(11) ii[?.X]-\-[vv] = laa],

wobei zu beobachten ist, daß die Satzergebnisse das Gewicht 1 haben.

Geht man endlich auf die einfachen Winkelbeobachtungen zurück und nennt 01 ihre Verbesserungen nach der Aus- gleichung, dagegen d die Unterschiede der Messungen im Hin- imd Hergange, so ist

(12) • [00] +l[dd\=l [0,0^1

1

die 0) haben das Gewicht — , die Ö also das Gewicht

die

Die Anzahl der A, d. i. der Winkel, beträgt -^ v(v — 1^ nzahl der Unbekannten v — 1, überschüssig sind also v(v — 1) — (v — 1) = — (1/ — l)(i' — 2) Winkel, und es wird

das mittlere Fehlerquadrat für die Gewichtseinheit und

[?.).] :-^(v-l)(:v- 2)

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethoden. 491

das mittlere Fehlerquadrat fürs Winkelraittel. Für dieses war aber auch der Ausdruck (9) S. 487 hinsichtlich der Zusammen- setzung aus den einzelnen Fehlerursachen gefunden. Somit wird

(12) ^/ + ^t/ + l ^J + ^/ +2n^^= «[U]

_.(^_l)(^_2)

Für jeden der ^ v(^v — 1) je n-mal doppelt gemessenen Winkel hat man w Abweichungen v vom Mittel. Bezeichnet [vv] wieder die Gesamtquadratsumme, so ist

[vv]:yv{v- 1)(m— 1)

das mittlere Fehlerquadrat der Gewichtseinheit, also einer Doppelmessung eines Winkels, wofür die Zusammensetzung nach (7) und (7*), S. 486/487, gilt. Damit wird

(13) ^/ + a/ + l (ij + je/ + 2 r/ = ^ ^^^"^ •

-^v{v — l){n — l)

Diese Aufstellung ist deshalb zulässig, weil in den ii Ab- weichungen v für jeden Winkel sich die periodischen Teüungs- fehler wegen der gleichmäßigen Verteilung der n Messungen auf 180° annähernd wie zufällioe gleichmäßig auf -r und — verteilen.

Die linken Seiten der Formeln (12) und (13) sind etwas verschieden, wenn in den Winkelmitteln die periodischen TeiluDgsfehler sich nicht wie zufällige, sondern in noch stärkerem Grade vermindern. Im ersteren Falle würde 2nr^^ = 2t2" sein. Die rechten Seiten geben aber auch dann etwas verschiedene W^erte wegen der zufälligen Abweichungen des Fehlervorkommenn vom geraden Fehlergesetz. Formel (13) gibt aber wegen des größeren Nenners die schärfere Bestimmung. Aus dem Unter- schied von (12) imd (13) Schlüsse auf tJ zu machen, ist jedenfalls meistens sehr unsicher, zumal bei (13) noch Einflüsse des Kollimationsfehlers der Visierachse wirken können, indem diese in den einzelnen Satzbeobachtungen nicht eliminiert sind, sondern erst in den Winkelmitteln.

Auf Station Ballon ist /«[iA] = 8,45, ferner [vv] — '68,17, V = 6, n = 4:. Die rechten Seiten von (12) und (l3) werden

492 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

bzw. 8,45:10, d. i. 0,845 und 38,17:45, d. i. 0,848. Also ist hier kein Unterschied.*)

Man müßte erwarten, daß (13) etwas mehr ;ils (12) gäbe. Doch kann letzterer Wert immerhin auch vergrößert werden durch geringe Einflüsse einer schiefen Lage der Horizontal- achse und etwa einer Mitführung des Instruments dui'ch die Alhidade (was aber auf Station Ballon wegen der Sorgfalt der Beobachter kaum von Bedeutung gewesen sein dürfte). Aus der einzelnen Station kann man natürhch Schlüsse nicht ziehen.**)

Ximmt man Rücksicht auf die Gleichung ( 10), so kann man aus [(?ö] ebenfalls leicht ein mittleres Fehlerquadrat her- leiten. Wir ziehen aber die Formeln (12) und ( 13) vor.

Dagegen kann man aus den Unterschieden d im Hin- und Hergange noch bequem eine wertvolle Formel ableiten. Wenn wie angenommen Hin- und Hergang bei derselben Fernrohrlage und der gleichen Kreisstellung beobachtet werden und dicht hintereinander folgen, so unterscheiden sie sich nur durch die Visurfehler, die Ablesefehler und die Einflüsse mangelhafter Festigkeit, also insbesondere die kleine mögliche Drehung des Horizontalkreises. Es wird im Durchschnitt sein:

ISS] _ ,< . 2 , O.. . , ... 2

	-^ v{v — 1) n
und also
(1^)	1 \^^^^
.",• -r -2 i^a "t- .«>/ — j
	— V (v — l^i n

Hierin ist 4^a/ als das mittlere Quadrat von d' -\- d" ein- geführt, worin d' und d" die nahezu gleichen Drehungen des Teilkreises bei beiden einfachen Winkelmessungen im Sinne wachsender Teilung sind, a^,- wird im allgemeinen wesentlich größer als u/ sein, welches nach früherer Festsetzung für

*,. Zeitschr. f. Vermessuug.sweseu. 1878, S. •23"2 u. f. **) Vergl. außer den neuereu Bänden der Königl. Preuß. Lande.-- triangulation über Hauptdreiecke auch die Triangulation du royaume des Tays-bas, t I. Delft 1903.

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethoden. 493

die zufällige Schwankung des Teilkreises eingeführt wurde, vergl. (6**), S. 486.

Aus -(13) und (14) leitet man durch Subtraktion einen Wert ab für

Auf Station Ballon ist (vergl. a. a. 0.) [66] = 43,92 und daher

I f*/ + Y f*a^ + Mw" = 0^183 ; ferner

665.

^^^^ 1 . ., ..

I 2 To^ + f(_.- + fl/ — fl/ = 0,

Das durch (14) gegebene mittlere Fehlerquadrat kann man als mittleres Fehlerquadrat der „nackten" Beobachtung bezeichnen (Hansen), wenn ju,,, gegen fi^ und ^^ sehr klein angenommen wird.

Mittels (10) und (^11) und den bisherigen Formeln kann man auch aus [dö] und [coo] direkt mittlere Fehlerquadrate herleiten, was aber nichts Neues gibt.

Mit Rücksicht auf die Zahlenwerte nach (16j würde es wohl vorteilhaft sein, die beiden Doppelmessungen ^ welche einen Satz bilden, nicht bei gleichen, sondern bei verschiedenen Kreisstellungen auszuführen.

II. Riclitiiii^*sl)eobaelituiii>vii. Wenn auf einer Station eines Hauptdreiecksnetzes v Richtungen desselben zusammen- treffen, so ist es naheliegend, sie alle zusammen hintereinander der Reihe nach zu beobachten. Bei sehr fester Aufstellung ist dies auch empfehlenswert, falls die Objekte in der Regel alle gleichzeitig gut sichtbar sind. Beobachtet man eine Anzahl „Sätze", deren jeder aus einer Reihe im Hingang und einer solchen im Hergang besteht, an mehreren gleichmäßig über den Umfang des Kreises verteilten Stellen, so wird der Einfluß der Teilungsfeh] er erheblich herabgedrückt und eine der Zeit proportionale Pfeilerdrehung eHminiert. Leider fallen, besonders^ bei Anwendung von Heliotropen, oftmals einzelne Objekte aus. Dann entstehen durch Warten Zeitverluste, mangelhafte Elimina- tion der Pfeilerdrehung und schließlich bei unvollständigen Sätzen eine weniger günstige Herabminderung des Einflusses

494 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

der Teiluugsfeliler. Auch ist dann eine wirklich strenge Aus- gleichung der Stationsmessungen überhaupt undurchführbar. Trotz alledem ist die Methode der Richtungsbeobachtung seit der Zeit, wo es gute Kreisteilungeu gab, immer wieder an- gewandt worden, bis zur neuesten Zeit: in England, in Indien, in den russischen Ostseeprovinzen und neuerdings in Sachsen, in Frankreich, in Südafrika, in den Vereinigten Staaten von Amerika usw.

Verschiedene Beobachter haben in jeden Satz eine Null- marke aufgenommen, d. i. meistens ein besonders gut sichtbar hergerichtetes künstliches Objekt, das also sehr scharf zu be- obachten und daher vorteilhaft ist zum Ausflicken unvollstän- diger Sätze. Fehlt nämlich in einem Satze ein Objekt, so würde man den betreffenden Satz einfach durch nachträgliche Beobachtung desselben und der Nullmarke bei derselben Kreis- stelluno- vervollständigen können, wenn der Visur- und Ablese- fehler für die Nullmarke als unerheblich zu betrachten wären. Ist dies nun auch für die Ablesefehler nahezu der Fall, so doch nicht ohne weiteres für die Visurfehler: das Ausflicken fällt daher unvollkommen aus.

In Deutschland wird das Verfahren der Uichtungsbeobach- tung in der Regel mit dem Namen von F. W. Bessel*) in Verbindung gebracht, der die Triangulation für die ostpreußische Gradmessung in den Jahren 1832/35 in dieser Weise ausfülirte und ein formell strenges Ausgleichungsverfahren anwandte. Bessel benutzte in der Regel Theodolite mit vier Nonien, be- obachtete aus zwei Reihen im Hin- und Hergange bestehende Sätze und drehte den Kreis von 15 zu 15*^. Die Ausgleichung der mehr oder weniger unvollständigen Sätze wurde in der Annahme durchgeführt, daß lediglich zufällige Fehler aus- zugleichen seien (vergl. das Beispiel auf S. 192 u. f. ). Die Un- vollständigkeit der Sätze erzeugte aber eine unangenehme und zeitraubende Verwicklung der Stationsausgleichungen und der Netzausgleichung (vergl. S. 280), die besonders deshalb Be- denken erregt, weil das Ergebnis keineswegs Strenge besitzt.**}

*) Gradmessung in Ostpreußen. Berlin 1838. **) C. G. Andrae hat den Einfluß der Teüungs fehler bei der Aus-

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethoden. 495

Bei der Landesvermessung von Großbritannien und Irland*) wurden Theodolite mit di*ei und fünf Mikroskopen angewendet; die zweite Lage des Fernrohrs gab hier schon ohne Kreisdrehung andere Ablesestellen. Aber auch Kreisdrehungen wurden bewirkt um 20 oder 30^, so daß zwei einander folgende Sätze jeden- falls verschiedene Teilki-eisstellen trafen. Jeder Satz bestand aus zwei Reihen mit entgegengesetzter Fernrohrlage. Seit 1840 wurde ein besonders konstruiertes Nullobjekt benutzt. Mit ihm begann die Reihe und zum Schluß wurde es Avieder zur Kontrolle ein- gestellt.

Bis 1.S40 berechnete man aus diesen Beobachtungen die Winkel zwischen den Nachbarrichtungen (included angle^) einzeln. Kapitän Yolland gab diese „unzureichende und mühsame" Methode auf (vergl. über dieselbe weiterhin die Lidian Survey) und ging zur dii'ekten Ausgleichung der Satzbeobachtungen über, die nach der S. 199 u. f. angegebenen einfachen Näherungsmethode bewirkt wurde. Das Ergebnis wurde als ein voller Satz betrachtet; die Eichtungen erhielten aber für die Netzausgleichung ungleiche Gewichte, näm- lich die Quadrate der Einstellungszahlen dividiert durch die doppelte Quadratsumme der Verbesserungen der einzelnen Beobachtungen (w'^:2[£-]; bei gleicher Genauigkeit der Richtungsbeobachtungen sind also die Gewichte proportional den ersten Potenzen der Ein- stellungszahlen ??).

Während Bessel (und mit ihm wohl die meisten Beobachter) der einzelnen Richtimgsbeobachtung gleiche Genauigkeit für alle Stationen des Netzes beilegte, wurden bei der Ordnance Survey den verschiedenen Richtungen verschiedene Gewichte erteilt — indessen insofern nicht konsequent, als bei der Stationsausgleichung dies noch nicht durchgeführt wird.

Bei der Haupttriangulation des Königreichs Sachsen 1867 — 78 schloß sich A. Nagel ziemlich eng an Bessel an unter möglichster Beseitigung des Einflusses der Teilungsfehler (vergl. S. 482). Pfeilerdrehungen waren kaum zu befürchten, da überall niedrige

gleichung besprochen und u.a. an einem Beispiel uatersucht; vergl. „Den danske Gradmaaling", Bd. 11. 1872, S. 443—460. (Vergl. auch das Referat in der Vierteljahrsschrift der Astr. Ges. Bd. 12, S. 209.)

Bei dieser Gelegenheit sei auch der sehr eingehenden Untersuchung von Meldahl (a. a. 0. Bd. III. 1878, S. 361 u. f.) über die verschiedenartigen Fehler bei Benutzung des Theodolits von Ertel gedacht.

*) Ordnance Trigonometrical Survey. Principal Triangulation. Lon- don 1858.

496 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

oder nicht sehr hohe Steinpfeiler zur Aufstellung des Theodolits dienten. Eine der Hauptrichtungen oder eine immer gut zu er- haltende Sichtung niederer Ordnung wurde als Nullrichtung stets mit beobachtet. Es wurde bei zwei Mikroskopen in 24 Kreis- stellungen beobachtet; die Drehung erfolgte 11 -mal um 15^4'. dann einmal um 15*0', dann 11-mal um 14*56'. Dabei wurde aucli gesorgt, daß Mikroskop I der Reihe nach die Ablesungen 0". 5", . . . 55" erhielt.

Diese Maßnahmen hatten den Zweck, etwaige systematische Teilungsfehler innerhalb der Gradintervalle zu eliminieren, sowie die periodischen 8chraubentehler zu tilgen.

Bei jeder Kreisstellung wurden zwei Sätze mit entgegen- gesetzter Fernrohrlage und um 1* verstelltem Mikroskoparm be- obachtet. Jeder Satz besteht aus zwei Reihen (Hin- und Hergang). Nach der Ablesung der Mikroskope (&n je zwei Strichen) wurde; die Visur kontrolliert und nötigenfalls erneuert.

Die in einzelnen Sätzen fehlenden Objekte wui-den bei der- selben Kreisstellung im Anschluß an die Nullrichtung nachgeholt. Das ganze Material ist nach Bessels Verfahren in recht mühsamer Arbeit ausgeglichen, ergab aber sehr gute Resultate, wobei immer- hin zu beachten ist, daß jedes Objekt 96-mal eingestellt wurde.

In den Vereinigten Staaten von Amerika hat die Coast andGeodetic Survey bei Bearbeitung eines ersten Teiles der Breitengradmessung in 98* Länge östlich von Greenwich auch Satzbeobachtungen aus- fühi-en lassen.*) Der Theodolit hatte drei Mikroskope; das Fernrohr wurde beim Hergange in entgegengesetzte Lage wie beim Hingange gebracht, so daß die Satzmittel schon von sechs Ablesestellen ab- hängen. Dann wurde 15-mal um ungefäkr 15* gedreht, so daß das eine Signal an einem der Mikroskope folgende ninde Ablesungen für 16 Sätze erhielt:

0" 0' 40" 64* 0' 40" 128* 0' 40" 192* O' 40"

15 1 50 79 1 50 i 143 1 50 207 1 50

!

30 3 10 94 3 10 I 158 3 10 222 3 10 45 4 20 ^ 109 4 20 I 173 4 20 237 4 20.

Die periodischen Teilungsfehler werden zu einem großen Teile schon in jeder Gruppe zu vier Sätzen eliminiert, da für jede Rich-

*) Report of the Superintendent from July 1, 1902, to June 30. 1903. Washincrton 1903: S. 819 u. f.

§ 2. tJberblick über die Beobachtungsmethoden. 497

tung schon 24 Ablesestellen vorbanden sind. Die 16 Sätze gruppieren sich aber so, daß 96 Ablesestellen entstehen, die nahezu gleich verteilt sind. In jeder Gruppe werden außerdem infolge der Ver- teilung der Minuten und Sekunden auf das Teilungsintervall von fünf Minuten die Einflüsse des konstanten Teiles des „Run" der Mikroskope eliminiert. Es wurde dann überhaupt auf Eunkon-ektion verzichtet. (Dies geschieht ja in der Regel; manche überlassen aber die Ver- teilung der Beobachtungen aufs Teilungsintervall dem Zufall).

Fielen Objekte aus einzelnen Sätzen heraus, so wurden sie nachträglich beobachtet, wobei zwei der bereits beobachteten Objekte zum Anschluß dienten. Die Messungen bei denselben Kreisstelluncren wurden dann in einfacher Weise zu vollen Sätzen vereinigt, und diese vollen Sätze als gleich ge^vicht ig durch einfache Mittelbildung zum Stationsgebiet zusammengezogen.

Dieses Verfahren erspart die mühsamen Stationsausgleichungen Tind gibt fürs Netz nur Ausgleichungen mit gleichen Richtungs- gemchten. Ich habe es auch schon 1889 empfohlen,*) da es eim' sehr gute Annäherung gibt und bequem ist.

Man habe z. B. in einer Kreislage erhalten die Richtungs- werte (Sätze):

(17) Ist

0 Ä B C

0' . . c jy.

^_iC-c)-^a-o)

so sind die streng ausgeglichenen Gesamtergebnisse:

(18) 0, Ä — O-A, B — O-A, C— 0 + 2IA, D' ~ 0' — A,

wip man leicht erkennt.

Der Anteil der Teilungsfehler am mittleren Fehlerquadrat eines der Zwischenwinkel ist nun wie bei einem vollen Satze, da sechs AblesesteUen da sind:

vergl. die Betrachtungen zu (8) und (9), S. 487: 2r^^ ist nach (9**) zu deuten.

*) Beiträge zur Theorie der Aui5gleichung trigonometrischer Netze. (Z. f. Math. u. Physik von Schlömilch, 1869, S. 205 u. f.;

Helmert, Auägleichungsrechnung. 2. Aufl. 32

498 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmeßsung und Dreiecksnetze.

An jeder Eichtungsangabe haftet nun noch das mittlere Fehlerquadrat

(20) i-{^;+ l^a^2_^,^2}.

Bezeichnen wir diesen Ausdruck vorübergehend mit fi^, so ergeben

sich nach Maßgabe von (18) für die Winkel folgende mittlere Fehlerquadrate :

Winkel AB (i^

(20*)

OC

1 .

9. f*"

AB', BD' . . . . \^^

(JA, OB, CA, ÜB, OB', OB' '^ ur,

wozu also ft^ durch die Parenthese in (20) gegeben ist.

Nimmt man statt dessen wie bei vollen Sätzen einfach ft^, so

entstehen Fehler bis ^ /i', die indessen für den Gesamtbetrag mit

(19) wenig ins Gewicht fallen. Es könnten freilich bei mehr- fachem Ausflicken eines Satzes größere Fehler entstehen; doch wird sich ein derartiger Fall wohl vermeiden lassen.

Bei deutschen Theodoliten mit nur zwei Mikroskopen tritt an Stelle von (19) ;*/+ 2t2^ bei demselben Teilkreis also ein größerer Wert; in diesem Falle kommen die Mängel des Ausflickens noch weniger in Betracht wie im vorigen.

Um den Mängeln zu entgehen, welche unvollständige Sätze von Eichtungen im Gefolge haben, bleibt nur das Winkelverfahren übrig, welches schon besprochen wurde.

Man kann auch versuchen, dasselbe durch Sätze von drei Richtungen zu erreichen, wo dann alle Kombinationen der V Richtungen zu drei durchzumessen wären. Dieses Verfahren,, welches auch bei Kombinationen zu je i Richtungen sehr be- queme Ausgleichungsformelu liefert, wurde schon anderweit behandelt.*) Es zeigt sich, daß die Messung aller Kombina- tionen zu je / ein Ergebnis liefert, welches dem Mittel von

*) Vergl. u. a. Helmer t. Ausgleichung von symmetrisch angeord- neten Richtungsbeobachtangen einer Station. (Zeitschr. f. Vermessunge- wesen Bd. XIV, 1885, S. 263 u. f.)

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethoden. 499

(21) t(^-^)«--2

Tollen Sätzen gleich ist, also bei i = 3 dem Mittel von

(21*) '^

rollen Sätzen.

Die Anzahl der Visuren ist im allgemeinen gleich i(v\,

für / = 3 speziell gleich ^^{v\, d. i. — v(v — 1) (v — 2), bei

1 . 2

den vollen Sätzen (21*) aber nur — v^{y — 2), d. i. annähernd -

des vorigen Wertes. Beim VVinkelverfahren war die entsprechende

Zahl annähernd • Oder auch: Wird die Arbeit bei vollen

Sätzen gleich 1 gesetzt, so ist sie zur Erzielimg gleicher Ge- nauigkeit beim Winkelvertahren annähernd 2, bei Kombinationen zu drei Richtungen aber nur 1,5. Hiernach würden sich drei punktige Sätze empfehlen. Aber ihre Anwendung bietet in der Ausführung jedenfalls verschiedene Schwierigkeiten.

111. Auflösung: «l^i' ßichtuugssätze in Nachbarwinkel.

W. Struve wandte bei der Gradmessung in den russischen Ostseeprovinzen seit 1823 (vergl. das S. 483 genannte Werk) Richtungsbeobachtungen an. Bei jeder Richtung wurde die möglichst günstig emchtete Nullmarke an dem Okularmikro- meter des Versicherungsfernrohrs erneut eingestellt. Die Be- obachtungen wurden aber nicht als Richtungsbeobachtungen verwertet, sondern es wurden mit Rücksicht auf die Un- voUständigkeit der Sätze die benachbarten Dreieckswinkel des Netzes abgeleitet, indem die Einzelmessungen in den verschiede- nen KJreisstellungen zu geeigneten Mittelwerten vereinigt wurden. In der Netzausgleichung sind diese Dreieckswinkel als von- einander unabhängig behandelt.

In gleicher Weise ließ neuerdings Sir David Gill bei der von ihm geleiteten Triangulation in Südafrika verfahren (vergl. S. 484).

Auch in Indien verfuhr man so (insbesondere seit 1823), nur mit dem Unterschied, daß das Versichernngsfernrohr fehlte. Eine Nullmarke wurde nur benutzt, wenn bei großen Distanzen

32*

'nOO Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

der Hauptobjekte keines derselben sich als Ausgang der Satz- beobachtungen eignete.*)

Das Verfahren, einen Satz Richtungen in Nachbarwinkel aufzulösen und diese als unabhängig in der Ausgleichung zu betrachten, würde selbstredend ganz verwerflich sein, wenn es sich immer um volle Sätze handelte. Wenn aber die be- obachteten Sätze vorherrschend unvollständig sind, so kann das Verfahren recht wohl ebenso ein Näherungsverfahren sein, wie andere, vorher besprochene. Im Falle des in Indien aus- geführten Beobachtungsmodus ist noch der Umstand dem in Kede stehenden Verfahren günstig, als daselbst kein Ver- sicherungsfernrohr angewandt wurde und daher die Nachbar- winkel von zeitlichen Verdrehungen des Teilkreises weniger beeinflußt sind, als Winkel zwischen Richtungen, deren Ein- stellung zeitlich weiter auseinanderliegt. In welchem Maße die Sätze unvollständig sind, kann man weder für Indien noch für Südafrika feststellen, da in den Veröffentlichungen nur die Winkelergebnisse mitgeteilt sind. Aber selbst wenn volle Sätze in Nachbarwinkel aufgelöst werden, ist doch der Genauigkeits- verlust nicht groß; er dürfte sich auch weniger iu der Seiten- übertragimg als in der Azimutübertragung äußern. Um zu zeigen, wie man ihn für letztern Fall feststellen kann, betrachten wir ein einfaches Beispiel.

Beispiel. Es sind vier einfach aneinanderhängende ebene Drei- ecke durch vollständige 8atzbeobachtungen gegeben. Die Berechnung erfolgt aber, als wären die Dreieckswinkel 1 bis 12 unabhängig von- einander beobachtet. Für den ausgeglichenen gestreckten Winkel A ist sowohl für Satz- als Winkelbeobachtungen der mittlere Fehler abzuleiten.

Satzbeobachtungen geben folgende Bedingungsgleichungen, wenn (l), (2), ... (18) die Richtungsverbesserungen sind:

(4) -(5)+ (6)- (7)-f (8)- (9)-\-w, = 0

(3) -(4)+ (9) - (10) + (11)- (12) -f ^^-2=0

'^^^ (2) - (3) + (12) - (13) + (14) - (15) + u; = 0

(1) - (2) + (15) - (16) -f (17) - (18j + ^r^= 0.

*) Account of the Operations of the Great Trigonometrical Survey ef India. Vol. TL., Dehra Dun 1879, S. 59 u. f.

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethodeu.

501

Die Normalgleichungen sind, wenn wir dieselben zur Gewicbts- berechnung der Funktion (l) — (5) ansetzen, vergl. (15*), S. 239:

6X1—2X3 • ■ = + 1 ,-ij = + 0,2

— 2ii + 6i,— 2X3 ■= 0

2i,+ 6i„- 2X,=

0

+ 1

+ 0,2.

(24)

• -2i3+6i,

Dies gibt nach (17), S. 239:

(23) ,4= ^2{2 _ (0,2 + 0,2)} = 1,6 fr',

wenn ft- das mittlere Fehlerquadrat für eine Richtungsbeobachtung bezeichnet.

Winkelbeobachtungen geben folgende Be- dingungsgleichungen, wenn jetzt (l ) ... (12) die Winkelverbesserungen bezeichnen :

(4)+ (ö)+ (6) + /r, = 0

(3)+ (7)4- (8) + «-2=0

(2)+ (9) + (l0) + ir3=0

(l) + (ll) + (12)-f /r,= 0.

Nehmen wir zunächst die Winkel als völlig unabhängig voneinander, so sind die Normal- gleichungen zur Gewichtsberechnung der Funk- tion (1) -f (2) + (3) + (4):

3ii= + l, 3X2= +1, •>J^3= + 1, 3Xj= + l,

und es wird, wenn f<- dasselbe bedeutet, wie vorher:

(25) «^=2fc^{4- Jj = '|f.^ = 5,33ftl

Allein diese Berechnung entspricht nicht den tatsächlicheii Verhältnissen. Wenn auch die Ausgleichung (in fehlerhafter Weise) die Winkel als unabhängig ansieht, so muß man doch zur Er- mittelung der wahren Genauigkeit der Ergebnisse auf den Zu- sammenhang der Winkel Rücksieht nehmen.

Beachten wü-, daß (1) = — |S (2) =^ — j

ausgeglichene Wert von <^ (1 -f 2 -|- o + 4) gleich

3 (""1+ »"2+ ""3+ "'i),

asw., so ist der

<^l-h^2+-^3 + ^4 oder da u\ =<^4 -t-<^5-|-<^6

180», usw.

502 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmeasung und Dreiecksnetze.

abgesehen von 240". Man kann also auch den ausgeglichenen Wert von <^ (l + 2 + 3 + 4) gleich setzen:

|-^(H-2 + 3+4)-|<^5-|<^12

- 3 ^(6 + 7)- J «^(8 + 9)- 3-^(10 + 11).

Die mittleren Fehlerquadrate der zusamniiengefaßten Winkel sind aber je gleich 2ft^. Es folgt also

(26) ^l=2,^{±+l + 1 + 1 + 1 + 1). i,--.

Das ist nur wenig mehr als (23).

IV. Repetitionsverfahreu. Um bei Winkelmessungen den Einfluß der Teilungsfehler herabzudrücken, sehlug schon Tobias Mayer um 1750 das Repetitionsverfahren vor und Bor da führte bald darauf es an seinen Repetitionskreisen ein, die bei den französischen Triangulationen bis ums Jahr 1860 zur Messung schiefer Winkel dienten.*)

In England, wo gegen Ende des 18. Jahrhunderts von Ramsden und Troughton große Theodolite zur direkten Messung von Horizontalwinkeln erbaut wurden, hat man dieses Verfahren nie angewandt, sondern suchte die Teilungsfehler durch Größe der Kreise, vermehrte Anzahl der Mikroskope (bis zu 5) und Messen auf mehreren Kreisständen möglichst unschädlich zu machen.

In Deutschland konstruierten aber Reichenbach und Ertel in München auch Repetitionstheodolite, die vonW.Struve ums Jahr 1820 und von C. F. Gauß 1821 — 1825 angewandt wurden. Ersterer benutzte das Repetitionsverfahren nur ganz turze Zeit und ging dann zur einfachen Winkelmessung über, weil er konstante Fehler wahrnahm, die auch schon kurz vor- her Bohnenberger bei seinen Arbeiten in Württemberg auf- gefunden hatte (1817). Auch Gauß nahm diese Fehler wahr, und da es ihm gelang, sie im Mittel der Ergebnisse für den

*) Vergl. u. a.: Die Europäische Längengradmessung in 52" Br., I. Heft, 1893, S. 16 u. 56.

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethoden. 503

Winkel cc aus Messungen von -x und 06O'' — x zw eliminieren, so haben seine Wiukelmessungen , trotzdem einen hohen Ge- nauigkeitsgrad.*) Der Fehler beträgt etwa 1" und ist je nach der Konstruktion im Vorzeichen -f oder — . An einem kleinen Theodolit von Frerk fand ich den Betrag gerade gleich 1". Bekanntlich besteht die Repetitionsmessung darin, daß der zu beobachtende Winkel »^-mal nebeneinander auf den Teil- kreis gelegt wird, was sich dadurch ermöglicht, daß der Teil- kreis mitsamt der Alhidade vom zweiten Objekt zurück aufs erste Objekt durch Drehung um eine zur vertikalen Alhidaden- achse zentrische Repetitiousachse gebracht w^erden kann. Ab- gelesen wird der Teilkreis — abgesehen von gewissen KontroU- ablesungen — nur am Anfang fürs erste Objekt und am Schlüsse fürs zweite Objekt. Ist ^^ wieder der mittlere Visur- fehler und ist ferner ^^ bzw. /t^ der mittlere Ablese- und Teilungsfehlerseinfluß bei einem Mikroskop bzw. einer Rich- tung, so hat man im allgemeinen fürs mittlere Fehlerquadrat des n-fachen Winkels bei m Ablesestellen den Ausdruck:

und daher für den einfachen Winkel:

(27) 2 — * -f '^ '""' 4- 2 ^'^** .

Hierbei ist abgesehen von einer etwaigen Drehung des Be- obachtungspfeilers.

Man bemerkt nun, daß der Einfluß von ^J und ^^- bei wachsendem n mit ir abnimmt, er kann also schon durch n = 10 stark vermindert werden. (Ist zufällig für ein ge- wisses n das w-fache des Winkels nahezu 180", so wird 2uf^ sich überdies beinahe auf null reduzieren.)

Das Repetitionsverfahren erscheint somit sehr vorteilhaft, zumal auch infolge des Wegfallens der meisten Ablesungen gegenüber einfachen Messungen an Zeit gespart wird.

*) Von diesen konstanten Fehlern handelt eingehend ein Aufsatz von Friebe: Über das Mitschleppen des Limbus usw. (Zeitschr. für Yermessungswesen Bd. XXIII, 1894, S. 333 u. f.)

504 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

Läßt man n immer mehr wachsen, so konvergiert (27) gögen null und man erhält Ergebnisse „mit stehender Bekunde".

um den Einfluß des Kollimationsfehlers zu eliminieren^ kann man nach einigen Winkelbeobachtungen in der ersten Fernrohrlage durchschlagen und nun in zweiter Lage ebenso oft weiter repetieren. Bewegt man hierbei Alhidade sowie Teilkreis entgegengesetzt, wie bei den ersten Beobachtungen,, nämlich anstatt durch den Winkel x durch ii60^—x, so wird der oben erwähnte konstante Fehler des Repetitionsverfahrens eliminiert.

Den Einfluß einer Abweichung beider Vertikalachsen vom Parallelismus beseitigt man am besten durch Vertikalstellen der Kepetitionsachse und derartige Wahl von u, daß nx bis auf

eine Abweichung von höchstens - x (bei x < 180^) gleich einem Vielfachen von 360** ist.*)

Um auch eine etwa vorhandene Drehung des Beobachtungs- ])feilers oder des Stativs zu eliminieren, muß man eine zweite Reihe von Beobachtungen ausführen, wobei die Reihenfolge der Objekte 1 und 2 miteinander zu vertauschen ist (entsprechend dem Hin- und Hergange l)ei einfachen Messungen). Selbst- verständlich müssen beide Reihen so kurze Zeit beanspnichen, daß man das Drehen des Pfeilers für beide Reihen als konstant betrachten darf. Das ist auch möglich, da ja wesentlich nur Visierarbeit zu leisten ist.

Wird nun z. B. n = 30 genommen, nach je fünf Beobach- tungen durchgeschlagen usw., so kann man bei n = 10 und 2< > Zwischenablesungen machen, die zur Kontrolle dienen können. Man kann dann die vier Ablesungen auch einer Ausgleichung unterwerfen, um den besten Winkelwert zu finden. Wie dies zu machen ist, hat schon Bessel angegeben.**) Seine Formeln sind sehr bequem bei gleichmäßig verteilten Ablesungen, weniger bei ungleichmäßigen. Für alle Fälle sehr bequeme Formeln fand Zachariae bei Gelegenheit der Bearbeitung der

*i Vergl. Zeitschr. f. Vermessungswesen, Bd. V, 1876, S. 296 u. f. ■*) Astr. Nachr. Bd. 11, 1834, Nr. 256, Sp. 269 u, f. (Siehe auch. Engelmann, Abhandlungen von F. W. Bessel, Bd. m, S. 306 u. f.)

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethoden. 50;"»

dänischen (jradmessung. So interessant sie sind, so müssen wir uns doch darauf beschränken, auf sie zu verweise u.*)

Die Sache hat in der Gegenwart für Neumessungen nicht mehr die hohe Bedeutung wie früher, da man jetzt Messungen erster Ordnung mit Mikroskoptheodoliteu, die nur eine vertikale Achse haben, ausführen wird, um die in der An- wesenheit der Repetitionsachse enthaltene Fehlerquelle zu ver- meiden.

Die kleinen Theodolite für Detailarbeiten und namentlich technische Arbeiten sollte man aber immer mit Repetitions- achse versehen, um es zu ermöglichen, ausnahmsweise einen Winkel (z. B. den maßgebenden Winkel eines Basisdi-eiecks) mit größerer Genauigkeit ohne besondere Umständlichkeiten messen zu können. Ist z. B. (i^ = ± 3", ^a , = + 10" bei m = 2 (etwa entsprechend 30" Noniusangabe) und ju^ = + 7", so wer- den bei 12-facher Kepetition, also n = 12, in (27) die Ein- flüsse von ^^ einerseits und von ^^ und ^^^ andrerseits nahezu

3 , zusammen 3, der mittlere Fehler des einfachen Winkels

also nur etwa + 1"7. Formel (27) zeigt auch, daß bei größeren Werten von n der Einfluß von j/^ und n^ ganz zurücktritt und nur der von a,, bleibt; der mittlere Fehler hat dann denselben Betrag, wie bei dem arithmetischen Mittel von n einfachen Winkelmessungen, nur daß der Einfluß von Ablese- und Teilungs- fehlern ganz wegfallt. Die n stellen dann wie im Beisjjiel S. 159 die Gewichte der Winkelergebnisse dar (ohne Benutzung von Zwischenablesungen).

Dagegen würde die Annahme, daß die Gewichte propor- tional ??- seien, dem Falle entsprechen, daß in (27) der Einfluß des zweiten und dritten Gliedes mit ft^ und ^^ überwiegt.

Ist 1/ endlich gleich 1, d. h. mißt man nur einfach, so wird bei kleinen Theodoliten in der Tat im mittleren Fehler- quadrat der Winkelergebnisse ^^^ überwiegen. Ergel)nisse ver- schiedener Herkunft Avird man dann mit Gewichten zu ver-

*) Den danske Gradmaaling. Bd. II, S. 279 — 312. (Auch in dem Kefierat dargestellt, das in der Vierteljahrsschrift der Astr. Ges. 12. Bd., 1877, S. 210 u. f., enthalten ist.)

506 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

einigen haben, die umgekehrt proportional dem mittleren Fehler- quadrat der Ablesungen (Noniusangaben) sind.*)

V. Reiteration. Es möge hier noch einer Winkelmeßniethode Erwähnung geschehen, die in den Jahren 1841 — 48 bei der Grad- messung in Südafrika zur Anwendung gelangte.**) Der Theodolit war ein größeres Instnunent nach dem Muster der Theodolite von Eamsden; der Horizontalkreis wurde mit drei Mikroskopen abgelesen, die auf einem Ringe saßen und zusammen verschoben wei'den konnten. Die Messung erfolgte von links nach rechts und von rechts nach links, also im Hin- und Hergange; nach jeder Messung wurden die Mikro- skope so viel verschoben, daß die fürs zweite Objekt benutzten Teil- striche nun fürs ersto Oljjekt zur Verwendung kamen. Das Ver- fahren bestand also wio beim Eepetitionsverfahren aus einem mehr- fachen Aneinanderlegen des Winkels auf dem Kreise. Es läßt sich auch bei den Theodoliten der Jetztzeit gut anwenden, da bei diesen der Kreis nur auf Eeibung sitzt und leicht gedi-eht werden kann. Gegenüber der Eepetitionsmethode enthält der *i-fache Winkel außer <lem Einfluß der Teilungsfehler der zuerst und zuletzt benutzten Striche noch die Ablesungsfehler für n einfache Winkelmessungen. Außerdem ist jeder einzelne Winkel das Büttel einer Doppelmessung.

Ist n^ wieder der mittlere Visurfehler, fi^ die mittlere zufällige Schwankung des Teilkreises bei einer Vism-, fi^ der mittlere Ab- lesefehler bei einem der vi Mikroskope und fi^ der mittlere Teilungs- fehler für eine Richtung, so hat man im allgemeinen für den »^-fachen Winkel das mittlere Fehlerquadrat gleich

für den einfachen Winkel also:

(28) "'' -f- ^'^ 4- ''"' -f 2 '"'!•

^ ^ n n m n ~ n-

Ist die Anzahl der Mikroskope wie bei deutschen Theodoliten, i)i = 2, so wird aus (28)

128*) -C«,'+fO+, l^a'-t- "'l^t'-

*) Eine Studie über die Fehlereinflüsse bei einem kleinen Mikroskop- theodolit gab ich in der Zeitschr. f. Vermessungswesen, Bd. IV, 1875, S. 327 n. f.

**) Sir Thomas Maclear. Verification and Extension of La Caille's Are of Meridian at the Cape of Good Hope. 1866. (Vergl. das Referat in der Vierteljahxsschr. d. Astr. Ges. 5. Bd., 1870, S. 44 u. f. i

§ 2. Überblick über die Beobachtungsmethoden. 507

Vergleichen wir die Reiteration mit der Repetition, d. h. Aus- druck (28) mit (27), S. 503, so ist. in (27) für n jetzt 2n zu setzen, da in (28) n die Anzahl der Doppelmessungen bedeutet- Es geht also (27) über in

(27*) ^i' 1 J^ , l^t^

n ~ 2mw- "^ 2«-'

wobei noch der Einfluß von ^/ unbeachtet ist. Bei der Repetition ist es günstiger, daß auch f./ mit n^' dividiert wird; außerdem tritt bei ihr im Ghede mit ^/ noch der Divisor 2 auf, im Gliede mit ft,^ sogar der Divisor 4, so daß der Einfluß von ^- auf den vierten Teil herabgeht. Indessen fällt dies bei neueren Theodoliten nicht ins Gewicht da man schon kleine Ki-eise sehi- genau teilen und mit scharfer Ablesung versehen kann. Dagegen gibt die Reiteration eine bessere Elimination der Pfeüerdrehung, und sie enthält keinen konstanten Fehler, wie die Repetition, für welche beide Fehlerquellen in (27*) die Glieder nicht mit angesetzt sind. Die zu leistende Beobachtungs- arbeit ist aber größer.

Das Verfahren der Reiteration kann auch mit dem Schreiber- schen Verfahren der einfachen Winkelmessung verglichen werden; bei w = 2 Mikr. ist dann Ausdruck (28*) mit (9), S. 487, zu ver- gleichen. Man bemerkt sofort, daß sich die Ausdrücke durch die letzten Glieder unterscheiden:

^^r gegen i^/^o^,.

Da ^^ sich auf eine Richtung, also bei w = 2 auf die halb.- Summe beider Ablesungen bezieht, so ist abgesehen von den perio- dischen Teilungsfehlern 2^1,^= (,J^. Es tritt daher bei der Reitera- tion eine wesentlich stärkere Verminderung der zufälligen Teilungs- fehler ein, als bei dem Schi-eiberschen Verfahren, was nach Maßgabe der mitgeteilten Zahlenwerte (vergl. u. a. (16), S. 493) yon Be- deutung sein kann.

Bei den periodischen Teüungsfehlereinflüssen tritt ein Vorteil der Reiteration allerdings nur hei-vor, wenn n entweder eine größere Zahl ist oder gerade einen solchen Wert hat, daß bei m = 2 das w-fache des Winkels nicht viel von 180° oder einem Vielfachen davon verschieden ist.

Bedenkt man außerdem, daß bei der Reiteration die Signale längere Zeit hindurch sichtbar bleiben müssen, so ist doch wohl das Schreibersche Winkel verfahren das empfehlenswertere (eventuell mit der Modifikation, daß bei m = 2 nach jeder einfachen Winkel- messung gedreht wird, oder daß w = 3 genommen wird).

,508 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessurig und Dreiecksuetze.

§ 3. Die geometrisclieii Bedingungen des Netzes.

I. Die übliche Form der Xetzausgleichung. Die direkte Form, unter welcher sich die Ausgleichungsaufgabe eines Dreiecksnetzes mit einer oder mehreren Grundlinien in der Regel darbietet, ist diejenige vermittelnder Beobar-htungen mit Bedingimgsgleichungeu. Denn die Stationsmessungen werden meistens in reichlich überschüssiger Zahl angestellt und er- fordern dann aus praktischen Gründen (der Übersichtlichkeit halber) für sich eine Ausgleichung nach vermittelnden Be- obachtungen, deren ünbekamite bei n Richtungen n — 1 Rich- tungsunterschiede sind, welche nun aber für die sämtlichen Stationen durch die geometrischen Xetzbedintjungeu in Zu- sammeuhang stehen. Xur dann, wenn auf den Stationen wenig überschüssige Messungen sind, kann mau mit Voi-teil alles zu- sammen einfach nach bedingten Beobachtungen ausgleichen. Zunächst lassen wir die Frage beiseite, ob dies und ebenso das vorher erwähnte Verfahren immer rationell ist.

Die im letzteren Falle von den Stationen gegebenen Be- dincningscrleichuno-en nennt man wohl solche 1. Klasse, im Gegensatz zu den Netzbedingungsgleichungen, welche als Winkel- und Seitengleichuncren oder Bedingungscrleichungen 2. und 3. Klasse unterschieden werden. Vergl. die Beispiele S. 251 und 312.

II. Anzahl der voneinander nnahhän^i^en Xetzheding:nn^s- gleichnngen. Sei M die Anzahl aller im Dreiecksnetze be- obachteten Richtungen, wobei die gegenseitig beobachteten selbstverständlich doppelt zu zählen sind; sei ferner N die Anzahl aller Xetzpunkte, von denen aber F nur Festpunkte, also keine Standpunkte sind, so ist zuerst zu bedenken, daß auf jedem der N — F Standpunkte irgendeine erste Richtung allein wertlos ist, dagegen jede fernere einen Winkel bestimmt. Die Anzahl dieser Winkel ist mithin M — (A' — F). Von irgend zwei Standpunkten aus bestimmen zwei dieser Winkel einen neuen Netzpunkt, wir bedürfen daher zur Konstruktion aller Netzpunkte aus zwei gegebenen 2(^— 2) jener Winkel und haben mithin il/ - .V + JP - 2(.V- 2), d. i.

§ 3. Die geometrischen Bedingungen des Netzes. ö09

(1) M-i-F-^4-'dN

überschüssige Winkel und mithin ebensoviele unabhängige Net/- bedingungsgleichungen.

Diese zerfallen in Winkelgleichungen und Seitengieichungen. Erstere beziehen sich auf die Winkelsummen von Dreiecken, Vierecken und Polygonen, deren theoretischer Wert ja bekannt ist; alle übrigen Gleichungen, die aus den Winkelbeobachtungen hervorgehen, sind Seitengleichungen. Denn man kann durch bloße Addition und Subtraktion der zur Konstruktion not- wendigen 2(iV— 2) Winkel nicht alle andern beobachteten Winkel darstellen und muß daher trigonometrische (unter Umständen sogar polygonometrische) Rechnungen mit be- nutzen.

Ist q die Anzahl der gegenseitig beobachteten Richtungen, /• die der einseitig beobachteten Richtungen, so ist

(2) 2q-\-r = M.

Lassen sich alle iV^ — F Standpunkte durch einen zusammen- hängenden Zug von gegenseitigen Richtungen einfach verbinden, so geben diese N — F — 1 Linien noch keine W^inkelgleichung, wohl aber jede andere der q — (N — F — 1) Verbindungslinien eine solche. Mithin ist die Anzahl der unabhängigen Winkel- gleichungen gleich

(3) q+l+F-N.

Es kann nun vorkommen, daß die Standpunkte in nicht miteinander durch gegenseitige Richtungen verbundene Gruppen zerfallen. Ist die Anzahl der Gruppen g, so ist die Anzahl der Linien, welche jede Gruppe durch einen einfach zusammen- hängenden Zug verbinden, gleich N — F — g. Jede weitere Linie gibt eine Gleichung. An Stelle von (3) tritt also all- gemeiner als Anzahl der unabhängigen Winkelgleichungen der Ausdruck (3*) q + g + F-N.

Die Anzahl der Seitengleichungen ist der Ausdruck (1 ; weniger dem Ausdruck (3*j, d. i. mit Rücksicht auf (2) gleich

(4*) q +r ^A — 2N -g.

510 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

Bei nur einer einzigen zusammenhängenden Gruppe von Stand- punkten gibt das (4) ,jj^r + ^-^2N.

Man kann die Formel für die Anzahl der Seiten gl ei chungen aucli unmittelbar wie folgt ableiten:

Von einer ersten gegenseitigen Richtung aus kann man da& Netz mit 2(N—2) einseitigen oder gegenseitigen Richtungen aufbauen; jede weitere einseitige oder gegenseitige Richtung gibt eine Seitengleichung. Ist also nur eine Gruppe von Stand- punkten da, so hat man q -{- r — 1 — 2(N — 2) Seitengleichungen^ wie (4) angibt.

Hat man fj Gruppen, so wird das Netz von (j gegenseitigen Richtungen aus zu konstruieren sein: es sind also (j-\-2{N — 2) Richtungen notwendig, und nun gibt jede weitere eine Seiten- gleichung, also übereinstimmend mit (4*) q-\-r — (j — 2{N —2\

Der Ausdruck (4*j setzt ebenso wie (1) selbstverständlich voraus, daß wenigstens die zur zusammenhängenden Konstruk- tion des ganzen Netzes notwendigen Winkel gemessen sind. Ist z. B. (/ = 2, d. h, hat man zwei nicht zusammenhängende Gruppen von Standpimkten, so müssen wenigstens zwei Fest- punkte mit jeder der beiden Gruppen zusammenhängen. Werden etwa zwei Festpunkte von den Endpunkten zweier Grundlinien durch Winkelmessungen bestimmt, so ist abgesehen von der Vergleichung der Grundlinien keine Netzgleichung da, denn es ist A' = 6, i^ = 2, 5 = 2, </ = 2, r = 8, ül/ = 12, also gibt (1) null, (3*) null und (4*) nulL

III. Autstellnug' der Bedinguugsgleichnugeu. Dieselbe er- folgt am besten durch allmähliches Aufbauen des Netzes nach Bessels Vorgang.*) Man ist dann sicher, nur voneinander unabhäncrige Gleichungen zu erhalten, sowie auch die ein- fachsten derselben. Theoretisch betrachtet, kommt allerdings auf die Auswahl der Gleichungen nichts an; denn erfüllen die Winkel ii-gend ein vollständiges System unabhängiger Glei- chungen, so erfüllen sie alle möglichen.

*) Gradmessung in Ostpreußen, § 36. (Abhandlungen, Bd. HI. S. 96 u. f.)

§ 3. Die geometrischen Bedingungen des Netzes. 511

In nebenstehender Figur ist Punkt 6 ein Festpunkt, N=^6, F=\,q= 7, r = 5, ifcf = 19; Anzahl der Winkelgleichuugen = s' der Seitengleichuugen = 3, zusammen Ü.

Beginnen wir bei 1.2 und fügen 3 hinzu, so haben wir ein Dreieck 1.2.3 mit einer Winkelgleichung; Dreieck 2.3.4 gibt eine weitere solche. Für das Viereck 1.2.3.4 sind da- mit alle Netzgleichmigen auf- gestellt, da es deren (iS^=4, i^=0, ^r = 5, r = 0) nur 2 hat. Der Punkt 5 gibt mit keinem der Standpunkte ein gegenseitig be- obachtetes Dreieck, da er aber gleichwohl eine Winkelgleichung liefert (weil für iV = 5, F = 0, q = 7, r = 0 die Anzahl der Winkelgleichungen 3 ist), so muß dieselbe aus der Winkelsumme des Vierecks 1.2.4.5 ent- nommen werden. Dagegen gibt die Figur 1.2.3.4.5 noch keine Seitengleichung; diese entspringen erst durch Hinzunahme des Fixpunktes 6.

Eine erste Seitengleichung gibt das Dreieck 1.2 3 mit 6, eine zweite das Dreieck 2.3.4 mit 6. Die dritte kann nicht so leicht aufgestellt werden, weil es kein vollständiges Dreieck weiter gibt; wir nehmen daher die nächste einfache Figur, nämlich das Viereck 1.2.4.5 zu 6.

Die Aufstellung der Seitengleichungen erfolgt wie im Bei- spiel S. 251 u. f immer durch Berechnung einer Seite aus einer andern auf zwei Wegen. Für das Viereck 1.2.4.5 mit 6 hat mau z. B. zur Berechnung von 6 . 2 aus 5 . 6 einerseits die Dreiecke 6 . 2 . 4, 4 . 6 . 5, andrerseits die Dreiecke 5 . 6 . 1, 1 . 6 . 2 zu benutzen. Schematisch drücken wir dies, wie gewöhnlich geschieht, durch die Identität

/R\ 6.24.65.61.6 ^

4 . 6 6 Tö 6.1 6 .~2 ""

aus, welche in die Bedingungsgleichung übergeht, wenn man die Seitenverhältnisse durch die Sinusverhältnisse der Gegen- winkel derselben Dreiecke ersetzt usf.

512 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

Allgemein kann man sagen, daß bei Hinzutreten eines neuen Festpunktes mit Ar Anschnitten zufolge des Ausdrucks (4*) Ar — 2 neue Seitengleichungen entstehen. Tritt aber ein neuer Standpunkt auf, der der bereits vorhandenen Gruppe angehört, und wächst dabei die Anzahl der gegenseitigen Vi- suren um Ag, die der einseitigen um Ar, so ist der Zuwachs der Seitengleichungen Ag + Ar — 2, der Zuwachs der Winkel- gieichungen nach (3*) Aq — 1.

Überschüssige Bedingungsgleichungen können unter Um- ständen als nützliche Kontrolle dienen: Gauß pflegte in dieser Weise vorzugehen. Winkelgleichungen wird man meistens durch überschüssige Winkelgleichungen prüfen; zur Kontrolle der Seitengleichungen bedarf man jedenfalls überschüssiger Seitengleichungen, wobei aber auch die Winkelgleichungen mit eingehen.

Werden die Seitengleichungen aus Systemen von Drei- ecken entwickelt, die eine gemeinsame Spitze haben, so nennt man diese Netzteile Zentralsysteme. In umstehender Figur sind 1.2.3.6, 2.3.4.6, 1.2.4.5.6 solche Systeme. Zentral- punkt ist (i Die Zentralsysteme geben eine bequeme Auf- stellung der Gleichungen, analog (5). In manchen Fällen lassen sich kompliziertere Seitenbedingungen aber nicht vermeiden, siehe weiterhin.

Die Seitenverhältnisse in den Bedingungsgleichungeu von der Form (5) werden nun durch die Sinusverhältnisse der Gegenwinkel ersetzt. Es wird hierbei vorausgesetzt, daß die erforderlichen Reduktionen auf die Winkel der sphäroidischen Dreiecke an den beobachteten Winkeln angebracht sind, so daß man es mit Dreiecken auf einem Rotationsellipsoid zu tun hat, die aus kürzesten Linien gebildet sind.*) Bei Anwendung von drei Dezimalstellen in den Richtungsangaben kann man meistens mehrere zusammenhängende Dreiecke immer genau genug als auf einer Kugel vom mittleren Krümmungsmaß der Gegend liegend betrachten und dementsprechend die Sinus der sphäroidischen Winkel einführen, wobei man sich in (5) statt

*) F. R. Helmert. Die mathem. und physikal. Theorien der hohem Geodäsie. Bd. I, 1880; S. 485 u. f. •

§ 3. Die geometrischen Bedingungen des Xetzes. 513

der Seiten deren Sinus gesetzt denkt. Man kann aber auch nach Maßgabe des Legendreschen Satzes V3 des sphär. Exzesses E des betr. Dreiecks von jedem Dreiecks winkel abziehen. Dieser einfache Legendi-esche Satz genügt, bei beobachteten Dreiecken aber immer, wenn man nur das Krümmnnorsmaß der Kuo-el als reziproken Wert des Produkts p,„p„, des Krümmungsradius im Meridian und des Perpendikels, ableitet und das arithmetische Mittel von l:p„.9„ für die drei Ecken bildet. Bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen sphäroidischen Winkelt hat man also:

Erst bei Dreiecken, deren (aus den Quadraten berechnete) mittlere Seitenlänge > 120 km ist, muß man diese Formel noch durch ein folgendes Glied ergänzen; die Drittekmg des Exzesses aber bleibt auch dann noch crenügend.*)

Die Umbildung der Gleichungen in lineare Form geschieht, wie schon früher mitgeteilt, entweder durch Differentiation oder durch Entnahme der logarithmischen Differenzen der Sinus für 1" aus den Tafeln. Praktisch macht das keinen wesentlichen Unterschied, theoretisch ist ersteres richtiger, da die Koeffizienten der ?. dann genau proportional den Cotangenten werden, während die logarithmischen Differenzen infolge des Einflusses der letzten Dezimalstelle hiervon ein wenig ab- weichen.

Zur Kontrolle kann man beide Aufstellungen benutzen.

Man kann auch aus den betreffenden Formeln eine Kon- troUformel nach Andrae**) für die Exzesse und Cotangenten ableiten. Schreibt man nämlich die Seitengleichungen doppelt, in der Form

sinj., sinJ^„

^^ sin (.4,-^) sin (.4,-^)

sin.B. sini?^ . / -r^ E,\ . / E,

sin ' " ' ""■ ' ^

(-.-f)^K^-f)

*) Über ein interessantes großes Viereck vergl. den Artikel von Fenner in der Zeitschr. f. Vermes^sungswesen, Bd. XI, 1882, S. 303 u. f. **) Den danske Gradmaaling. Bd. I, S. 562.

Helmert, Ausgleichungsrechnung, i. .^iifl. 33

514 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmesaung und Dreiecksnetze.

wobei von den Fehlergliedem abgesehen ist, so führt Loga- rithmieren und nachfolgendes Differenzieren zu der Gleichung-^

(7) • ZE.(cotA,-cotB.) = 0,

wobei die Summierung nach / über die betreffenden Dreiecke zu erstrecken ist und Ä und B die zugehörigen Winkel in leicht ersichtlicher Gruppierung bedeuten. Diese Gleichung kontrolliert die Exzesse und die Cotangenten. Ersteres ist für die Winkelgleichungen von Bedeutung.

Zur wirksamen Kontrolle der Seitengleichungen dürfte eine zweite Rechnung mit um je + 10" geänderten Winkeln vorteilhaft sein. Wenn zum Schluß dann Verbesserungren X eingeführt werden, die Winkeländerungen von — lU" ent- sprechen, so muß das numerische Glied der ungeänderten Glei- chung herauskommen; außerdem werden alle Koeffizienten der l geprüft.

Immerhin kann es außerdem nützlich sein, eine oder einige überschüssige Seitengleichungen aufzustellen und mittels der Wiukelgleichungeu zu prüfen, ob die zur Ausgleichung bestimmten Gleichungen damit stimmen.

Bei alledem wird vorausgesetzt, daß nicht die Winkel so klein sind, daß die Umbildung der Seitengleichungen durch Logarithmieren und Differenzieren merkbar fehlerhaft oder gar unmöglich wird.

IV. Winkel < P. Bei Winkeln von 1" ändern sich die Cotangenten von Sekunde zu Sekunde um etwa Vseoo ^^^ Betrags und die logarithmischen Differenzen der Sinus um 0,33 Einheiten der siebenten Dezimalstelle. Bei siebenstelliger Rechnung ist also hier die übliche Umwandlung der Seiten- gleichungen durch Logarithmieren und Differenzieren gerade noch zulässig, da bei 1" Winkeländerung die achte Stelle der Logarithmen erst um zwei Einheiten gefälscht wird. Sind aber die Winkel kleiner, so haben die zweiten Differential- quotienten noch stärkeren Einfluß, und es entsteht die Frage, ob man nicht durch eine andere Art der Umwandlung dies vermeiden kann. Das kann in der Tat geschehen, indem man die numerischen Sinus anwendet. Dieses Verfahren wird natür-

§ 3. Die geometrischen Bedingungen des Netzes. 515

lieh um so eher nötig, je mehr logarithmische Dezimalen man im allgemeinen anwendet.

Es sei nun eine Seitengleichung gegeben von der Form:

{ä\ sin (A^ + v^) sin {Ä^ -\- v^) sin (^3 + v^) ^ .

V^^ sin {B, + X,) sin {B, + X,) sin {B, + ^3) '

wobei die Verbesserungen der Winkel A mit v, die der Winkel B mit X bezeichnet sind; A^ und JB^ seien kleine Winkel. Als- dann setze man

(9) ösin(A+».) = -(i?. + A,) mit Q = ^!^'^,^^^^-

Q darf man logarithmisch differenzieren. Ist Qq der Wert von Q ohne die Verbesserungen v und A, so wird mit zulässigen Vernachlässigungen:

Q(B'mA^ + i\ cos J-i) = sin B^ + Aj cos j?^

Q = Qo{l + ^2 ^^^ ^2 "~ h ^o^ -^2 + ^3 ^^^ -^3 — ^3 ^^^ ^3 } •

Hier haben die zweiten Differentialquotienten keinen nennens- werten Einfluß. Setzt man die zweite dieser Gleichungen in die erste ein und vernachlässigt wieder quadratische Glieder der Verbesserungen, so folgt:

v^ Qq cos A^ — Aj cos Bj^

(11) -{- {v.2 cot-^g — A2 cot B^ -\- 1-3 cot J-3 — A3 cot i?3 } Qq sin A^

+ P "(^o^^^-^i "~ sinji5J = 0.

Hier ist noch bei dem numerischen Glied der Faktor q" bei- gefügt, so daß die Verbesserungen v und A nun in Sekunden anzunehmen sind.

Zur Vergleichung mit der gewöhnlichen logarithmischen Entwicklung schreiben wir anstatt (11):

(11*) i\ cot^i — Ai cot B^{1 + d)

-f V2 cot J.2 — A2 cot ^3 + ^3 cot J.3 — A3 cot B^ = q"ö,

worin

^ sin^, sin jlj sin J.2 sin J. 3 1

^0 sin^, ~~ sinJS, sin^j sin ^3 ~ 1 -j- d'

33*

516 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze. Die übliche Entwicklung gibt dagegen weniger streng:

Vj cot Ai — Aj cot B^ -\- ^2 cot Jo — h cot ^2 + «3 cot Ä^ — A3 cot 1/3

(11**) =p"(d-^V---).

Man kann sich in beiden Gleichungen noch den Faktor 10^. Mod : q" beigefügt denken und erhält dann (11**) wie ge- wöhnlich in Einheiten der siebenten Logarithmendezimale Die Fehler von (11**) äußern sich zunächst nun, wie die Ver- gleichung mit (11*) zeigt, in dem Koeffizienten von X^ und im numerischen Gliede.

Sind A^ und B^ sehr klein, so muß man bei der Formel (11) stehen bleiben.*)

Auf ein Beispiel kommen wir weiterhin.

Ein Hauptdreiecksnetz mit zahlreichen kleineren Winkeln, die durch Diagonalen entstehen, bietet da.s Königreich Sachsen. Die allerkleinsten Winkel sind aber (wohl mit Absicht) in den Seitengleichung;en vermieden. Die kleinsten benutzten Winkel sind**) 1" 34' und 1*^ 46' (Zentralpunkt Keulenberg, Gleichung 5) und 1^23' (Zentralpunkt Großenhain, Gleichung 91).

Obwohl nun mit zehnstelligen Logarithmen gerechnet ist, machen doch die Glieder zweiter Ordnung nicht viel aus: bei 1° 34', weil die Winkelverbesserung nur 0,"1 ist, bei 1" 23', weil sie nur 0"2 ist. Bei 1*^46' ergeben sich mit Benutzung der Cotangenten auch nur zehn Einheiten der zehnten Stelle, da die Verbesserung nur 0','44 ist. Die logarithmische Diffe- renz verändert sich hier für 1" um 109 Einheiten der zehnten Stelle.

Die kleinsten Winkel (die aber eben für die Seiten- gleichungen nicht benutzt sind) kommen vor im Dreieck Lausche-Schneeberg-Kahleberg (5.8.9):

*) J. J. Baeyer hat in dem Werke „Die Küstenvermessung", Ber- lin 1849, S. 263, bei kleinen Winkeln x auch die Formel sin (x -f- v) = sin a; -f- f cos a; angewandt, ohne aber zu erwähnen, daß dies wesent- lich genauer ist, als die logarithmische DiiFerentiation. **) Nagel, a. a. 0. (S. 482) Bd. II, S. fjlT u. 537.

§ 3. Die geometrischen Bedingungen des Netzes. 517

5. 0« 5' 5,"9162 4,42891890

.^g. 8. 179 47 -36, 0815 4,81484710

9. 0 7 18,0118 4,58480301

180 00 00, 0095 (stimmt mit dem Exzeß),

und im Dreieck Quersa-Großenhain-Raschütz (32.33.34):

32. 0« 0' 0;i924 3,62264421

, 33. 179 59 59,5916 3,94981180

34. 0 0 0,2160 3,67343524

IsO 00 00,0000.

Hier stimmen aber doch die Winkel mit den Seiten- logarithmen, soweit man es bei Abrundung auf 0,"0001 ver- langen kann: im ersten Falle ist mit Berücksichtigung des Exzesses

log sin 5' 5,"9130 - log sin T 18,"0086 = 9,8441156

gegen 9,8441159 aus den Seiten; die logarithmischen Ände- rungen für 0,"0001 sind 1.4 bzw. 1.0 für die siebente Stelle.

Ferner ist log sin 0;'1924 - log sin 0;'2160 = 9,9498 gegen 9,9492 aus den Seiten; die logarithmischen Änderungen für 0,"0001 sind bzw. 2.3 und 3.3 Einheiten der vierten Stelle.

Wenn Verfasser mitteilt*), daß einmal bei der mehr- fachen Seitenberechnung sogar Unterschiede von neun Ein- heiten der achten Stelle hervorgetreten seien, so ist dies wohl zunächst in dem Umstand zu suchen, daß die Ausgleichung zwar auf 0,"00001 geführt ist, die endgültigen Richtungen jedoch aaf 0,"0001 abgerundet sind. Weiter in der Schärfe der An- gaben zu gehen, ist auch wertlos, da es keinen Zweck hat, sehr kleine Winkel mit zur Seitenberechnung zu verwenden. Wenn nun für die mehrfache Seitenberechnung noch die oben angegebenen Winkel von rund 1^.^° mit benutzt sind, so gibt hier allerdings 0,"0001 schon acht Einheiten der achten Stelle. In der Auswahl der Seitengleichungen aber kann unserer An- sicht nach die Ursache der oben erwähnten Unterschiede nicht gesucht werden. Auch nicht (wie wir zunächst vermuteten)

*) Nagel, a. a. 0. S. 653.

518 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

in den GKedem zweiter Ordnung, welche von der logarithmischen Rechnung vernachlässigt sind: denn diese wirken erst in der zehnten und allenfalls neunten Stelle fda, wie bemerkt, die spitzesten Winkel in den Seiteugleichungen vermieden sind).*)

V. Zachariaes Satz fürs Viereck. Beim Viereck bieten sich vier Ecken als Zentralpunkte der Seitengleichungen dar; wegen der Ungenauigkeit der numerischen Rechnung wird

man den Zentralpunkt

-S^= — 3 ' 7 =^C so wählen, daß die

spitzesten Winkel in die Seitengleichungen hineinkommen. Denn dann darf man hoflFen, daß bei der Seiten- berechnung auf allen möglichen Wegen die beste Übereinstimmung herrscht. General Zachariae hat an- gegeben, woran man den besten Zentralpunkt erkennt. Wir folgen der Darstellung in der „Dänischen Gradmessung".**)

Wir nehmen an, daß nur fünf für eine Seitengleichung notwendige Winkel gemessen seien, also Winkelgleichungen nicht existieren. Diese Winkel seien numerisch mit ihren Ver- besserungen v:

(14)

Für die Ecke A als Zentralpunkt hat man zu setzen (vergl. die Figur, worin willkürlich bei C das fehlerzeigende Dreieck gedacht ist):

(1)= 00	30'	2'	'+^1
(2) = 59	30	0	+ i-2
(3) = 59	30	0	+ v^
(4)= 0	30	0	+ ^4
(5) = 30	0	0	+ ^5

•■*) Nagel, a. a. 0. S. 517. Der Koeffizient 682,8057 Z. 1 t. u. ist falscli und muß 682,759 lauten. Der Fehler kompensiert sich z. T. mit den Gliedern zweiter Ordnung.

**) Den danske Gradmaaling. Bd. II, .S. 483—487.

§3. Die geometrischen Bedingungen des Netzes. 519

..fr. AC AD AB .

'^^^\ ÄD'ÄB' Ä^'=^^'

d. h. ÄC = AC".

Wir nehmen der Einfachheit halber das Viereck als eben an. Die Einführung der Winkel gibt aus (15):

,^. sin { (4) + (5) I sin (2) sin { (1) + (2) + (3) + (4) } _

^■^"^ sin (5) sin {(2) + (3)} sin { (1) + (2) } ^'

die logarithmische Behandlung mit siebenstelligen Logarithmen, unter Benutzung der logarithmischen Differenzen in Einheiten der siebenten Dezimalstelle, liefert hieraus:

(17) 24,3 1; + 0,2 ^;, + 0,4^3 - 23,7 v^ + 0,7 v,= - 48,6 .

Für die Ecke D folgt:

.. - DC DA DB _

^■^' da' DB' DC '

oder DC = DC. Danach wird:

. . sin (4) sin (2) sin { (1) + (2) + (3) + (4) + (5) } _ i

^^ sin (5) sin (3) sin (1) "^

oder

(20) 2446,5 ^1 + 24,1^2+ 48,9^3- 2376,5v^+ 73,0^5= - 4895,0.

Die Gleichung (17) genügt nicht, wenn man wünscht, daß auch die spitzen Dreiecke die Seitenberechnung auf sieben Dezimalstellen der Logarithmen nach dem Sinussatz gestatten; denn obwohl (17) bei numerisch strenger Rechnung von (20) nicht verschieden sein würde, abgesehen von Gliedern zweiter Ordnung, so ist doch (17) bei Rechnung mit siebenstelligen Logarithmen numerisch hundertmal ungenauer als (20), und die Erfüllung von (17) erzeugt noch nicht diejenige von (20). Umgekehrt ist dies aber der Fall; mithin ist (20) vorzuziehen. Allerdings wird diese Schärfe nur ausgenutzt, wenn v^ und v^ auf 070001 angegeben werden. Die größere Ungenauigkeit von (17) beruht wesentlich auf dem numerischen Glied. Denn die Koeffizienten der v könnte man in (1'7) und (20) durch An- wendung der Cotangenten gleichscharf erhalten.*)

*) Rechnet man mit den Cotangenten, so ergibt sich anstatt (17) und (20) bezw. : (17*) 24,313 Vi + 0,239 1-, -f 0,485«. — 23,588 r^ + 0,724^5 = — 48,6

520 Achtes Kapitel. HorizontalwinkelmesRung und Dreiecksnetze.

Das numerische Glied in (17) entspringt aus dem um- stände, daß in (15) AC : AC" von 1, der Logarithmus dieses Quotienten von null abweicht. Diese letztere Abweichung ist proportional {AC" - AC) : AC oder CC":AC.

In gleicher Weise folgt für das numerische Glied von (20) die Proportionalität zu CC':DC. Die numerischen Glieder von (20) und (15) verhalten sich also wie

/t).^ CC^ CC" , . ACiinC"

^ ^ DC • AC ' ■ ^- nCsmC'

Nun ist ACsinC" die Höhe des Dreiecks ABC" auf die Basis BC" und DCsmC ebenso die Höhe für BBC auf die Basis BC Da hierbei kein Unterschied zwischen C, C und C" zu machen ist, so kann man auch sagen, daß die numeri- schen Glieder von (20) und (15), d. h. der Zentralsysteme mit den Zentren D und A, sich verhalten wie

und

(20*) 2446,5 Vi + 24,1 v^ -f 48,9 v^ — 2376,2 1', + 72,9 r. = — 4895,0.

Multipliziert man (17*) mit 100,74, so folgt, abgesehen vom numerischen Glied, (20*) genau bis auf den Koeffizienten von i\, der 2449,.^ wird. Hier machen sich die Glieder zweiter Ordnung geltend, die infolge des Vorkommens eines Winkels von 30' merkbar sind.

Behandeln wir (19) nach der Methode von (8) bis (11), S. 515, schreiben also

8in(30'-f i?J sin (59 " 30' -\-v^) sin (150 » 2" ^v^-{-v^-\- t, -\-v^-\- v^) _ sin (30'2"-f t;J ■ sin(59<»80' + r,) sinTsÖ'» + v^) ~~ '

80 folgt

log Q^ = 9,9999927, l,015077ri-(-0,009975r.-|-0,020255iJj— 0,984830 f4+0,030230v„=— 2,0299.

Dies mit -,^7^ — ^ .t^, = [3,3825246] multipliziert, gibt zum Vergleich Q ^Q smaO

mit (20*) und (17*)- 100,74:

(20**) 2449,2 t'i -f- 24,1t', -|-48,9r3 — 2376,2^4 -f 72,9 f. = — 4897,8.

Mit (17*) 100,74 ist die Koeffizientenübereinstimmung besser als mit (20*), offenbar wegen der Glieder zweiter Ordnung. Nimmt man aber auf (11*) und (11**) Rücksicht und beachtet, daß jetzt S etwa ^ j^g^, ist, so erklärt sich auch der Unterschied der Koeffizienten von i\ und der numerischen Glieder von (20*) und (20**) befriedigend.

§ 3. Die geometrischen Bedingungen des Netzes. 521

(22*)	AÄBC.ABDC
oder wie
{22)	ÄD'.DD'.

Die Fassung (22*) rührt von W. Jordan her, (22) von Zachariae.*)

Wählt man nun anstatt Ä die Ecke B oder C als Zen- trum, so geschieht die Vergleichung mit dem Zentralpunkt D wieder nach (22*), wobei nur ABBC entsprechend in AÄCD oder AÄBD abzuändern ist. Man erkennt also, daß die Rechnungsschärfen sich wie die Flächen der Dreiecke ver- halten, welche von den jedesmaligen andern drei Ecken ge- bildet werden.

Jordan hat darauf hingewiesen, daß man in manchen Fällen die Schärfe noch etwas erhöhen kann, und zwar bei Vierecken mit Diagonalschnitt im Innern derselben, indem man Seitengleichungen mit acht Winkeln bildet nach der Identität

.„QN AB SC CB DA _.

^ ^ BC CD DA AB ~ '^

diese gibt die Summe der Gleichungen aus den Zentralpunkten A und C, und ihre Schärfe ist proportional der Dreiecks- summe BCD und ABB, d. i. dem Viereck AB CD. Praktisch hat dieses wenig Bedeutung, da die Schärfe höchstens ver- doppelt wird gegenüber dem besten dreistrahligen Zentral- system; außerdem ist der Nachteil, daß statt sechs nun acht Sinus aufzuschlagen sind und in die Ausgleichung mehr Glie- der eingehen. Sind die Winkel für die Sinus direkt beobachtet, so sind es acht gegen sechs Glieder, bei Richtungsbeobachtungen zwölf gegen neun Glieder. Mit Hilfe der Winkelgleichungen könnte man allerdings immer so viele Verbesserungen elimi- nieren, daß man auf den Fall der Figur mit fünf Winkel- oder

*) Vergl. auch: Gr. Zachariae. Die geodätischen Hauptpunkte und ihre Koordinaten. Deutsch von E. Lamp. Berlin 1878; S. 151 u. f. W.Jordan. Handbuch der Vermessungskunde. Bd. I. 181)5; S. 299u. f. (Zeitschr. f. Yennessungswesen, Bd. IX, 1880, S. 65 u. f.)

Daß C. F. Gauß den Satz (22*) schon kannte, ist aus Gauß' Wer- ken Bd. IX, S. 245—254 zu ersehen.

522 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

acht Richtungsverbesserungen zurückkommt. Jedoch wird man das kaum tun.

Die Anwendung von mehr als fünf Winkebi in den Seiten- gleichungen ändert nun die numerischen Glieder. Die Glei- chungen, die aus verschiedenen Zentren hervorgehen, sind dann einander nicht einfach proportional, wie bei Beschränkung auf fünf Winkel. Man kann dieselben aber dadurch ableiten, daß man zu den Seitengleichungen mit fünf Winkeln gewisse Viel- fache der Winkelgleichungen addiert, und umgekehrt lassen sich Seitengleichungen mit mehr als fünf Winkeln auf diese Art auf die Seitengleich unoren mit fünf Winkeln zurückführen. Da nun die Winkelgleichungen absolut scharfe Koeffizienten haben und auch die Exzesse sich in der Regel scharf genug auswerten lassen, so wird die Uncrenauiffkeit der Seiten- gleichungen durch Kombination mit den Winkelgleichungen nicht wesentlich geändert, und es kommt daher auf die Schärfe derjenigen Seitengleichungen an, welche ganz unabhängig von den Winkelgleichungen sind, d. h. auf die mit nur fünf Win- keln. Welche fünf Winkel man nimmt (wenn sie nur sonst nicht durch eine Winkelgleichung zusammenhängen), ist ganz gleich: immer kommt man auf die Schärfenbeziehung (22*).

VI. Stumpfe Dreiecke im Netz. Wenn ein Viereck nicht allein auftritt, sondern Teil eines großen Netzes ist, so ist der Zachariaesche Satz mit Vorsicht zu gebrauchen. Z. B. im Fünfeck ABC DE, vergl. die Figur, ist es nicht ratsam, das stumpfe Dreieck ^4 CD zweimal in die Zen- tialsysteme zu nehmen; man nehme für ABCD das Zentrum in D an, für die zweite Seitengleichung aber nehme man ein vierpunktiges System mit Zentrum D, also D ABCE, womit das stumpfe Drei- eck ACD vermieden wird. Unbedingt notwendig wird dieses Verfahren, wenn im Dreieck ACD die Winkel bei A und C nur Minuten oder gar Sekunden betragen. In Gleichung (11) denke man sich A^ und 5^ entsprechend klein, Q^ etwa gleich 1, so redu-

§ 3. Die geometrischen Bedingungen des Netzes. 523

ziei-t sich praktisch die Gleichung wesentlich auf v, = k^ + w. Die andern Verbesserungen treten wegen sinJ., ganz zurück.

Dabei ist es nun ganz gleich, ob Dreieck ACD mit B oder E zu einer Seitengleichung verbunden wird, wobei auch die Lage des Zentrums wenig ausmacht — die zweifache Be- nutzung von Dreieck AGB führt praktisch zu derselben Re- lation anstatt zu zwei wesentlich verschiedenen Gleichungen. Nachdem man also Dreieck ACD einmal benutzt hat, tilgt man am besten in der Zeichnung eine seiner Linien (am besten AG) und stellt nun die zweite Seitengleichung auf.

Die Grenze, von wo ab es bedenklich wird, ein stumpfes Dreieck zweimal zu benutzen, ist schwer anzugeben. Als Regel empfiehlt es sich, stumpfe Dreiecke tunlichst nur in eine Seiten- gleichung aufzunehmen.

VIL Diagonal- und Kranzsysteme. Die geometrischen Bedingungen für Diagonalen lassen sich nicht immer ohne weiteres durch Seitengleichungen aus Zentralsystemen dar- stellen. Die Figur zeigt einen solchen Fall*), wo von Punkt 8 aus eine einseitige Diagonale 7\ 7\

zurück nach Punkt 1 geht. Schaltet man nun / \ /

hier die Linie 3.8 ein, so würde die Beobach- ^t 7p

tung des Winkels x die Aufstellung des Zentral- / \

systems5.3.6.7.8sowiedesSystems3.1.2.4.6.5.8 6-k-_l- gestatten. In beiden tritt x auf; da dieser Win- \^/\ kel unbekannt ist, muß man ihn aus den beiden \/

Gleichungen eliminieren (was leicht geschehen kann, wenn man x gleich einern ^Näherungswerte und einer Verbesserung setzt). Es bleibt nun nur eine Gleichung übrig, die eben dem Diagonalsystem zukommt.

Zur Kontrolle wird man etwa noch eine zweite Rechnung mit Benutzung der fingierten Linie 1.5 anstellen. Die sich ergebende Gleichung muß sich aus dem System der Winkel- gleichungen und der ersten Diagonalgleichung herleiten lassen.

Schließt sich eine Dreieckskette um ein offenes Viereck Fünfeck usw., so nennt man dies Netz ein Kranzsystem. Durch

*) Vergl. im spanischen Dreiecksnetz den Anschluß der Balearen (Station Mola) an das Festland.

524 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessnng und Dreiecksnetze.

Einschaltung fingierter Diagonalen kann man die Seiten- gleichungen wie im vorigen Falle aus Zentralsystemen erhalten.*) Legt man in beistehender Figur z. B. einen

Strahl von 9 nach 11, so kann man zu den Zentren 9, 10, 11 und 12 Zentralsysteme bilden, die nun eine Unbekannte enthalten. Die Elimination gibt drei Seiten- gleichungen (entsprechend der For- mel mit JV = 12, i^ = 0, q = 24, r = 0). Die 13 unabhängigen Winkelgleichungen sind gegeben durch die 12 Dreiecke und das innere Viereck. Bei einer größern Anzahl fingierter Diagonalen wird die Elimination der unbekannten Winkel aber recht weitläufig. Man rechnet dann besser wie folgt. Denkt man sich die Kette von 1 . 12 aus allmählich aufoebaut, so muß die Endseite 1 . 12 mit der Anfangslaore zusammenfallen. Das gibt vier Gleichungen. Eine derselben entspricht der Gleichheit der Seitenlängen 1.12, sie läßt sich durch die Sinusquotienten im Dreieckskranz darstellen. Drei weitere Gleichungen entsprechen dem Schluß des Vierecks 9 . 10 . 11 . 12 und der Abstimmung seiner Winkel- summe auf den theoretischen Wert. Die letzten drei Glei- chungen bezeichnet man als Polygongleichungen.

Zur Aufstellung dieser drei Polygongleichungen bedient man sich bei Polygonen mit zahlreichen Ecken der Berech- nung rechtwinkliger oder geographischer Koordinaten. In dem einfachen Falle der Figur könnte man etwa von 1.12 aus unter Benutzung der Dreiecks winkel zunächst für die Logarithmen von 12.9, 9.10, 10.11, 11.12 Ausdrücke aufstellen, die je ein numerisches Glied und außerdem die Einflüsse der noch un- bekannten Verbesserungen der Richtuncrsunterschiede enthalten. Von 12 aus werden nun etwa allmählich für die Punkte 9, 10, 11 und 12 die geographischen Koordinaten und für die

*) 0. Bors eh. Über die Ausgleichung einer um ein Polygon ge- legten Dreieckskette. fAstr. Nachr. Bd. 71. 186S, Nr. 1697.)

§ 3. Die geometrischen Bedingungen des Netzes. 525

Verbindungsseiten die Azimute berechnet, wobei von geeigneten Werten für Breite, Länge und Azimut einer Seite im Punkt 12 auszugehen ist. Die Einflüsse der Verbesserungen auf die Seiten und Winkel werden durch Differentialausdrücke berück- sichtigt.

Die Vergleichung der Endwerte in 12 mit den Anfangs- werten gibt die drei Poljgongleichungen .*)

VIII. Bediiiguugsgleichiingen aus Grundlinieu. Sind meh rere Grundlinien gemessen, etwa G, und sollen sie genau dar- gestellt werden, so gibt dies G — 1 Bedingungsgleichungen, die man erhält, wenn man das Verhältnis je zweier Grund- linien durch den dazwischen liegenden Netzteil darstellt (wobei man selbstverständlich zu beachten hat, daß keins der Ver- hältnisse durch die andern gegeben sein darf).

*) Die Königl. Preuß. Landestriangulation benutzte nach Schreiber zunächst rechtwinklige sphäroidische Koordinaten. Vergl. Hauptdreiecke Bd. I, 1870, S. 420 u. f. und Bd. E, 2. Abteilung, 1874, S. 598 u. f. Später wurde die konforme Doppelprojektion auf die Ebene angewandt.

V. Prondzynski empfahl 1868 die Benutzung geographischer Ko- ordinaten (Astr. Nachr. Bd. 71, 1868, Nr. 1690). Er war der Erste, welcher eine Methode zur Aufstellung der Polygongleichungen gab. Leider fiel er im Feldzuge von 1870, vergl. Astr. Nachr. Bd. 107, 1884, Nr. 2549, Sp. 65.

Bei der indischen Vermessung werden zunächst die Ketten aus- geglichen, dann auf einfach zusammenhängende Dreiecke reduziert und in dieser Form der Polygonausgleichung mittels Breiten-, Längen- und Azimutberechnung unterworfen; vergl. Account of the Operations of the Great Trigonometrical Survey of Lidia, Bd. 11. Dehra Dun 1879: S. 171 u. f.

Vergl. auch: G. Zachariae, Die geodätischen Hauptpunkte. Deutsch von E. Lamp. Berlin 1878; S. 204 u. f.

L. Krüger. Beiträge zur Berechnung von Lotabweichungssystemen (Veröffentlichung d. Königl. Preuß. Geodätischen Instituts u. Zentral- bureaus d. J. E. 1898). S. 29 u. f.

Die Polygongleichungen waren bereits Gauß bekannt; er bedient sich zu ihrer Heratellung rechtwinkliger ebener Koordinaten, die durch die konforme Abbildung des Ellipsoids in der Ebene erhalten wurden. Verwendung fanden die Polygongleichungen bei der Ausgleichung des Dreieckskranzes um Oldenburg: Gauß' Werke, Bd. IX, S. 329 u. f.

526 Achtes Kapitel. Horizontal winkelmeesung und Dreiecksnetze.

Mail könnte auch, ähnlich wie in dem einfachen Beispiel auf S. 249, die Ausgleichung so vornehmen, daß die Grund- linien Verbesserungen erhalten. Dazu gehört vor allem eine Schätzung der mittlem Fehler der Grundlinien und der Winkel- messung. Da diese schwer in ganz befriedigender Weise zu machen ist, so unterläßt man in der Regel die Verbesserung der Grundlinien, was um so zulässiger ist, als diese Verbesse- rungen wegen der großen Genauigkeit der Grundlinienmessungen doch äußerst gering ausfallen würden.

Dagegen ist das Verfahren, mehrere Grundlinien an ein bereits hinsichtlich der Winkelmessungen ausgeglichenes Netz so anzuschließen, daß die Form des Netzes nicht verändert wird und nur seiue Dimension möglichst allen Grundlinien entspricht, nur ausnahmsweise brauchbar.*)

Wir haben dieses Verfahren bei der Bearbeitung der Europäischen Längengradmessung in 52° Br. in modifizierter Form benutzt (vergl. das Beispiel auf S. 229). Es wird hier nach erfolgter Ausgleichung der Grundlinien jede geodätische Linie des astronomisch-geodätischen Hauptnetzes auf mehrere benachbarte Grundlinien bezogen.

Die Darstellung des Verhältnisses zweier Grundlinien a und \) durch die Winkel des dazwischen liegenden Netzteiles kann nach dem Sinussatz mittels Legend res Theorem er- folgen; wie bei Zentralsystemen kann man aber auch mit den sphäroidischen Winkeln direkt rechnen, indem man sich jedes Dreieck auf einer Kugel mit dem mittlem Krümmungsmaß der drei Eckpunkte liegend denkt.

Sind A^ und Jj^ die betreffenden Dreieckswinkel und (>, die zugehörigen Kugelradien, so kann man also setzen: sin {A^ + i',) 8in(^j + ^s) • ■ • sin {A^ + «„)

(24)

sin {B^ + \) sin {B^ + i,) . • • sin (5„ + i„) sin — sin - sm - sm — — ^

. q . c, . c„_i . fe

sm - sin -- sin - sin —

*) A. Ferrero. Note sur un procede i)rati(j[ue pour etablir Taccord entre plusieurs bases d'iine triangulation. Astr. Nachr. Bd. 97, 1880, Xr. 2316, Sp. 177.)

§ 3. Die geometrischen Bedingungen des Netzes. 527

Hierin bezeichnen Cj . . . c„_i die zur allmählichen Berechnung von b aus a dienenden Zwischenseiten. P dient zur Ab- kürzung für den Quotienten rechter Hand. Der Ausdruck P läßt sich wesentlich vereinfachen, so daß logP die einfache Gestalt annimmt:

(25) log P = (log a - A J - (log h - A,),

wobei man setzen kann:

. Mod K 9

^«= 6 ^'^' (25*) '>

. Mod ÜT ,oy,x

Hierin ist K : a^^ ein mittleres Krümmungsmaß der Gegend. (Die Vorschrift Schreibers setzt allerdings K für A^ und A^ nach Maßgabe des ersten und letzten Dreiecks verschieden an, was jedoch unwesentlich ist.)

Um (25) abzuleiten, setzen wir allgemein in P

sinic = xfl -]

und erhalten leicht

j ^i! 1 _ -^ 1 _ -^ 1 _ ^

(2Q) P= " ^Pl' ^2* ^^^' . . . ^Pn^

6e„' 6ei- 6e,' 6p„2^

oder ebenso genau

Hierin kann man genau genug allgemein bei einer wesent- lich geradgestreckten Verbindungskette setzen:

Q womit sich ergibt

(28) P = |-{l-^l-,(.^-.^) + ^^^,(62-c^)K

dabei ist c^ = 2 c^ : (w — 1) das durchschnittliche Quadrat der Zwischenseiten.

*) Nach Generalleutnant Schreiber; vergl.: Die Königl. Preuß. Landestriangulation. Hauptdreiecke Bd. II, S. 313.

528 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

Da nun im Maximum der Unterschied von q^^ und q^^ bei 480 km Grundlinienabstand nur ^^q^^ von q'^ beträgt, so kann man in (28) für q^- und qJ^ denselben Betrag nehmen, vorausgesetzt, daß die a, h und c keine großen Unterschiede aufweisen. Dies wird allerdings nur der Fall sein können, wenn a und h nicht die Grundlinien selbst sind, sondern die mittels der Basisnetze abgeleiteten ersten Hauptdreiecksseiten. Damit ergibt (28) aber ohne weiteres (25) mit (25*), wobei

^9Q^ 1 K (l-e'8in«.B)'

mit Oq als Aquatorialradius, e als numerischer Exzentrizität der Meridianellipse und B als mittlerer geographischer Breite. Etwas genauer als (25*) würde sein:

Daß die Unterdrückung von c^ hierin (wie bei Schreiber) nicht zu empfehlen ist, sieht man an dem Falle a==b==c, wo P = a :b = 1, also A^= A^= 0 werden muß, während (25**) bei Unterdrückung von c- wegen der Verschiedenheit von K^ und Kf^ etwas verschiedene Beträge für A^ und A;, ergibt.

§ 4. Stationsausgleichung.

I. Verschiedene Methoden. Bei zahlreichen überschüssigen Messunojen auf den Stationen ist es zweckmäßig, der Über- sichtlichkeit halber die Stationsmessungen für sich auszugleichen. Der Übergang zur Netzausgleichung kann in verschiedener Weise geschehen.

In dem Beispiel auf S. 312 u. f. haben wir das (von uns auch selbständig aufgefundene) Verfahren von H an s e n (S. 269 u. f.) angewandt, d. h. in unserer Bezeichnungsweise: für jede Station ein äquivalentes System von ideellen Beobachtungen her- geleitet, die als unabhängig in die Netzausgleichung ein- zuführen sind.

§ 4. Stationsausgleichung. 529

Hierbei kommt der wichtige Satz zur Anwendung, daß man solche äquivalente Beobachtungen bei jeder weiteren Aus- gleichung als unabhängig betrachten kann, auch wenn dort die Form der Ausgleichung eine andere ist. Auf diese kommt es ja nicht an hinsichtlich der Endergebnisse; nimmt man aber wieder vermittelnde Beobachtungen mit den Elementen x, y, z usw. und hat man auf den Stationen Elemente A, B, C usw., so bilden sich, wie wir in § 6, IV, demnächst sehen werden, die Normalgleichungen für x, y, z usw. durch lineare Kombinationen derjenigen für A, B, C usw.

Letzteren entsprechen aber die äquivalenten Stations- systeme. Diese können daher auch bei jeder andern Form der Netzausgleichung die Stationsmessungen ersetzen.

Die für Stationsausgleichungen meistens angewandte Besselsche Ausgleichungsform (S. 280 u. f.) ist im allgemeinen weniger einfach, als das Han sensche Verfahren. Generalleutnant Schreiber hat, insoweit es bei älteren Dreiecksmessungen der Königl. Preuß. Landesaufnahme in Betracht kommt, angegeben, wie man in einzelnen Fällen die Stationsausg-leichungen durch nachträgliche Einführung Hansenscher Richtungsunbekannten anstatt der B e s s e 1 sehen Winkelunbekannten vereinfachen kann.*)

Eine wesentliche Vereinfachung der Ausgleichungsarbeit soll man dadurch zu erzielen suchen, daß die Stationsmessungen entweder genau oder doch angenähert einem vollen Satz von Richtungsbeobachtungen entsprechen. Dann kann man mit Nutzen das Verfahren der englischen Landesvermessung an- wenden (vergl. S. 199 u. f.) oder im Idealfalle dasjenige von Generalleutnant Schreiber (S. 209 u. f.).

Bei der Zusammenarbeitung des Dreiecksmaterials der Europäischen Längengradmessung in 52" Br., I. Heft, lagen viel- fach Besselsche Stationsausgleichungen bereits vor. Um eine Vereinfachung der Netzausgleichung zu erzielen, wurden die Ergebnisse nach einem neuen Verfahren in einen Satz Rich- tungsbeobachtungen mit ungleichen Richtungsgewichten ver- wandelt. Mit genügender Annäherung gelang dieses in den meisten Fällen. Kleine Abweichungen waren zulässig, da eines-

*) Hauptdreiecke, Bd. II, S. 304 u. f.

Helmert, Ausgleichiingsrechuung. 2. Aufl. 34

530 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

teils die genauen Gewichte ja doch illusorisch sind, weil die Teilungsfehler ungenügend berücksichtigt worden waren, andem- teils aber die aus den Stationsausgleichungen folgenden Ge- wichte wegen des Auftretens konstanter Richtungsfehler (so- genannter Netzfehler) noch einer Umänderung bedurften, die nur angenähert richtig bewirkt werden konnte.

IL Verwaiidlniig der Statiousergebnisse einer Besselschen Ausgleichung in einen vollen Richtungssatz.*) In der Stations- ausgleichung seien als Unbekannte die Winkel (1 • 2), (1 • 3), (1 • 4), . . . (1 • 7i) eingeführt. Die Gewichtskoeffizienten seien:

T2 • 2 V2 ■ 3 T2 4 ■ • ■ X2 . « /i\ V3-3 Qii- • • Qsn

Qn.n-

Hieraus leitet man in bekannter Weise die reziproken Ge- wichte q.f^ sämtlicher Winkel ab; es sei

(2) s.^^Qi.^,

h von 1 . . . n ohne /.

Man bedarf weiterhin nur die .s'^ und hat zur direkten Berech- nung derselben:

(2*) .,= Z^,,+ («-2)^,.,-22:^,,„

worin 2^^,-.j- die Summe aller Q mit quadratischen Indices ist.

Zur Probe ist noch

(2**) S = Zs, = 2{n - \]EQ,., - AEQ,.„ .

In den beiden letzteren Formeln ist Q.^^-^^ und Q^ ,^ gleich null zu setzen und Q.,^ ohne Wiederholung zu nehmen.

Sind nun q^, q^,. . . q^^ die reziproken Gewichte der Rich- tungen, so soll sein:

^il-2='?l + 52 5l.3='il+?3 '?1.4=5l+</4

(3) g2.3=?2+?3 Q2.i-^2+Qi

53.4=53+ 'h

usw.

*) Die Europäische Läugengradmessung in 52" Br., I. Heft, S. 37 u. f.

Qi + (h -	- 1)^2 +	(73'-	• +	Qn=S2
?! +	?2 + (»« -	-IH--	• +	Q„ = 53

§ 4. Stationsausgleichung. 531

Bei n > 3 können diese Gleichungen nur näJierungsweise er- füllt werden. Macht man dann die Quadrate der Unterschiede der linken und der rechten Seiten zu einem Minimum, so wird:

(4)

Hieraus folgt allgemein:

(" \ ^» "

^^ ^' "" n^^2 ~ 2{n — l){n — 2) '

Zur Kontrolle ist

Die neuen reziproken Richtungsgewichte q sind zufolge (4) so bestimmt, daß für jede Richtung im Durchschnitt das mittlere Fehlerquadrat der Winkel mit den andern Richtungen ungeändert bleibt.*)

III. Umwandlnng bei drei Richtungen.**) Hier geben die ersten drei Gleichungen (3) streng

(7) 21=^2.3; Q2= Q2.2- Q^sy ^3= ^3.3— ^23-

Man kann die drei q auch bequem direkt aus den Koeffizienten der Normalgleichungen ableiten. Lauten diese letzteren:

{hb)B'+(hc)C'=(hl) - Q)c)B+{cc)C'={cl),

wo sich B' und C auf die Winkel 1 • 2 und 1 • 0 beziehen, so ergänzen wir dieses System zu folgendem:

*) Weiteres über dieses Verfahren siehe Astr. Nachr. Bd. 134, 1893, Nr. 3210, Sp. 281 u. f.

Dort ist auch ein gi-ößeres Beispiel gegeben, sowie über die Be- nutzung des Verfahrens im I. Heft der Europäischen Längengradmessung berichtet; endlich ist daselbst auch an einem Beispiel der Einfluß auf die Ausgleichung eines Dreiecksnetzes gezeigt.

**) Die Europäische Längengradmessung, I. Heft, S. 38/40.

34*

532 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

(aa)Ä + {ah)B + (ac) C + t\k = (al) (a h)A-^{h b) B + ih c) ü + r.,l = (b l)

^^*^ (a c)Ä + {bc)B + (cc) C + r^l- = (cl)

r^A+ r,B+ r,C =0,

worin Ä, B, C Richtungsunbekannte sind mit der Bedeutung

(9) B'=-Ä + B, C'=-Ä + C.

Um bestimmte Werte für Ä, B, C zu erhalten, ist die vierte Gleichung als Bedingungsgleichung zwischen Ä, B, C beigefügt. (aa), (ab), (ac), (al) ergeben sich dadurch, daß die Summe der drei ersten Gleichungen ohne die Glieder mit Ä' identisch ver- schwinden muß, weil Ä, B, C dann nicht bestimmbar sind.

Die Summe der drei ersten Gleichungen zeigt, daß Je = 0 ist, wenn )\ -\- r.^ -\- r^ ^ 0 angenommen wird (r^ + r, + ''s = 0 gäbe eine Winkelgleichung). Nun folgt leicht für

(10) Qi\r^ = - (ah), QV^r^ = - (ac), gr^ h= - (pc), wobei p willkürlich ist:

11)

{(««)+ (.r,M^ = [(aa) - ^^ )^= (al) [(bh)^Qr,^]B={{bb)-'^^}B=(bl) [(cc)+Qr,^] C = [(cc) - ^^JC = (cT)

Hierin sind die Koeffi2;ienten von A, B und C die Größen 1:^1, l'.q^, l'$3- Denn die (11) entsprechen der allgemeinen Auflösung von (8*). Vergl. § 3, S. 262 u. f., und das Beispiel S. 322. Dort ist q = - 1 : (ab) (bc)(ac).

IV. Xebenriclitungeii. d. h. Richtungen, die im Netz keine Kontrolle erfahren, indem sie darin nicht vorkommen, werden auch bei der Netzausgleichung nicht mitgeführt, was sich von selbst macht, wenn das Ergebnis der Stationsausgleichung als ein voller Satz von Richtungen auftritt.

Hat man eine Netzausgleichung nach Hansen (S. 269 u. f.), so muß man bei den Stationsausgleichungen die unbekannten Winkel von einer Hauptrichtung aus zählen und diejenigen für die Nebenrichtungen den anderen voranstellen, so daß dann

§ 4. Stationsausgleichung. 533

die entsprechenden reduzierteD Normalgleichungen einfach weg- bleiben können. (Bezieht sich in (3*), S. 271, | auf eine Nebenrichtung, so bleibt die erste der Gleichungen weg.)

Hat man Besselsche Stationsausgleichungen (S. 280), so läßt man in der allgemeinen Auflösung der Normalgleichungen diejenigen Gleichungen und Glieder, die sich auf Neben- richtungen beziehen, für die Netzausgleichung einfach weg, also z. B. in (23), S. 281, sowohl die Gleichungen für g, wie die Glieder für 6^, welche Größe verschwindet. Denn denkt man sich in (21), S. 280, zunächst ^ eliminiert, so entpricht nun das abgeänderte System (23) dem System (21) nach Elimi- nation von ^, weil (j^ = 0 ist.

Selbstredend werden die Nebenrichtungen von der Netz- ausgleichung indirekt beeinflußt. Diesen Einfluß hat man auf Grund der Ergebnisse der Netzausgleichung festzustellen (vergl. weiterhin § 6, V).

V. Ungleiche Stationsgewichte, Berücksichtigung von Netz- fehlerquellen. In der Regel nimmt man auf die Unterschiede der mittleren Fehlerquadrate ^^ der Gewichtseinheit nach den Stationsausgleichungen keine Rücksicht. Man kann dies aber tun; bildet man Gewichte g umgekehrt proportional den (i^, so hat man sich nun die Normalgleichungen mit ^ multipliziert zu denken, die Koeffizienten der allgemeinen Auflösung (Bessels Ausgleichung) dagegen mit g dividiert. Die Gewichte der äquivalenten Ergebnisse (Hansen) multiplizieren sich mit g.

Dies Verfahren setzt voraus, daß keine Netzfehler auf- treten und die Stations-/t^ korrekt bestimmt werden, wie z. B. aus den Verbesserungen der Winkelmittel bei dem Schreiber- schen Verfahren. Jedoch würde man ungleiche Gewichte auch nur insoweit anwenden, als die mittleren Fehler der (i^ selbst ihre etwaigen Unterschiede verbürgt ersclieinen lassen. Da die Teilungsfehler die mittleren Fehler der Stationen wesentlich beeinflussen, so dürfte die Annahme ungleicher Stations- gewichte nur selten erforderlich sein.

Um vor Beginn der Netzausgleichung zu erkennen, ob konstante Richtungsfehler da sind, die in den Stationsausglei- chungen nicht merkbar werden, kann man aus den »^ Dreiecks-

534 Achtes Kapitel. Horizontal winkelmessung und Dreiecksnetze.

schlußfehlem iv den mittleren Fehler M einer Richtung nach der sogenannten internationalen Formel von General Ferrero ableiten:

(12) ^-±yff-

Ist derselbe wesentlich größer, als der mittlere Fehler einer auf der Station ausgeglichenen Richtung im Durchschnitt fürs Netz, so sind Netzfehler augezeigt. Freilich muß dabei der mittlere Fehler der Stationsergebnisse in korrekter Weise ab- geleitet sein oder mau muß besondere Fehlerrechnungen zu diesem Zwecke anstellen: durch andere Gruppierung der Stationsmessungen als gerade für die Ausgleichung.

Die internationale Formel gibt eigentlich auch nur bei unabhängiger Messung der Dreieckswinkel einen korrekten bzw. den besten Wert. Bei Richtungsbeobachtungen gibt die Berücksichtigung aller Winkelgleichungen in der Regel andere Werte. Übereinstimmung findet nach L. Krüger nur statt, wenn in einem Polygon alle Diagonalen beobachtet sind.*) Wenn aber die Dreiecksabschlüsse systematische Gruppierung zeigen, so treten, wie A.Börsch fand, starke Unterschiede auf.**)

Andrae***) machte einen Versuch zur Berücksichtigung der konstanten Netzfehler, indem er die Ausgleichung so führte, daß (13) [gk^ + [pö^

ein Minimum wird, wobei k der dem Stationsergebnisse ent- sprechende zufällige Fehler und Ö der Netzfehler einer Rich- tung ist.

Im I. Heft der Europäischen Läugengradmessung machte sich ebenfalls die Berücksichtigung konstanter Netzfehler not- wendig. Dies geschah durch Änderung der Gewichte der Rich-

*) Zur Ausgleichung von Polygonen und von Dreiecksketten und über die internationale Näherungstbrmel für den mittleren Winkelfehler. (Zeitschr. f. Math. u. Physik, 47. Bd., 1892, S. 157 u. f.)

**) Das Märkisch - Thüringische Dreiecksnetz. (Yeröffentl. d. Königl. Preuß. Geod. Instituts) 1889, S. 137 u. f.

***) Den danske Gradmaaling. Bd. II, S. 468 u. f. (Auch Astr. Viertel- jahrsschr., Bd. 12, S. 233 u. f.)

§ 5. Gang der Auflösung bei bedingter Ausgleichung. 535

tungen der Stationsergebnisse, welche in die Form eines Satzes mit ungleichen Gewichten gebracht waren.*)

Am günstigsten ist es, wenn das Ergebnis jeder Station ein voller Satz Richtungen mit gleichen Gewichten ist. Denn dann ändert die Berücksichtigung der Netzfehler nur einfach das mittlere Fehlerquadrat der Gewichtseinheit, wenn man fürs ganze Netz denselben mittleren Betrag der Netzfehler an- nehmen darf

§ 5. Gang der Auflösung bei bedingter Ausgleichung, I. Einfachere Fälle. Am einfachsten wird die Netzaus- gleichuug, wenn außer den Dreieckswinkeln nur wenige oder gar keine überschüssigen Winkel gemessen sind, denn dann nehmen die Normalgleichungen aus den Winkelgleichungen, wie man leicht sieht, eine sehr einfache Form an. Auch bei Richtungsbeobachtungen, wenn man das Ergebnis jeder Station als einen vollen Satz darstellen kann, ist vielfach die Aus- gleichung noch leidlich einfach. Ohne Benutzung des Gauß- schen Algorithmus gelangt man dann manchmal rasch zu einer Auflösung der Normalgleichungen, falls sich hier die nicht- quadratischen Koeffizienten um die Diagonale gruppieren.**) Für eine Reihe einfacher Figuren hat L. Krüger unter An- nahme der Stationsergebnisse als Richtungssätze mit gleichem Gewichte allgemeine Formeln aufgestellt.***) Einen besonders einfachen Fall bietet im letztem Fall das vereinzelte Viereck mit zwei Diagonalen; indem mau hier vonhausaus die Winkel- gleichungen viergliedrig nach Mußgabe der Ausdrücke ansetzt: 1 + 8-4-5; 2+3-6-7; 1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8, worin 1 bis 8 die nebeneinanderliegenden Winkel in einer ge- wöhnlichen Vierecksform bezeichnen, so werden die Normal- gleichungen der Winkelbedingungsgleichungen unabhängig von- einander.

*) a. a. 0., S. 36, auch S. 40.

**) L. Krüger. Die Auflösung eines speziellen Systems von Normal- gleichungen. (Astr. Nachr. Bd. 138, 1895, Nr. 3298, Sp. 153 u. f.)

***) L. Krüger. Zur Ausgl. der Widersprüche in den Winkel- bedingungsgleichungen trig. Netze. (Verötfentl. d. Königl. Preuß. Geod. Inst. N. F., Nr. 25) 1906.

536 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

IL Gesonderte Auflösung der Winkel- und Seitenglei- chungen nach C. F. Gauß. Die einfache Form der Normal- gleichungen der Winkeiglei eh ungen regt den Gedanken an, zunächst letztere allein auszugleichen, die erhaltenen Verbesse- rungen in die Seitencrleichungen einzuführen und nun diese allein auszugleichen, um zweite Verbesserungen zu erhalten, sodann diese in die Winkelgleichungen einzuführen und aus deren Ausgleichung dritte Verbesserungen zu ermitteln usw. Indessen dieses Verfahren konvergiert sehr mangelhaft,*) obwohl es schließlich zum Ziele führt, wie wir im nächsten Paragraphen zeigen für einen Fall, wo es zweckmäßiger erscheint (§ 6, II).

Wenn das geschilderte Verfahren rasch zum Ziele führen soll, muß man nach Gauß' ähnlichem Vorgange die Seitengleichungen durch Kombination mit den Winkelgleichungen so umformen, daß im Gesamtnormalgleichungssystem die Produktsummen aus den Koeffizienten der ersten und zweiten Gruppe von Be- dingungsgleichungen sämtlich verschwinden, d. h. in der Sprache von T.N.Thiele: es müssen die umgeformten Seitengleichungen zu dem System der Winkelgleiehungen „freie" Funktionen sein.**) Nach S. 221 kann die Umwandlung der Seitengleichungen ge- schehen, indem man das reduzierte Normalgleichungssystem der Winkelbedingunffsffleichungen zu Hilfe nimmt. Indessen bietet das Verfahren nach Krüger keine Vorteile, wenn man dieses System erst herstellen muß: vielmehr setzt die praktische Brauchbarkeit gerade voraus, daß sich bequem eine allgemeine Auflösung des Normalgleichungssystems der Winkelbedingungs- gleichungen angeben läßt. Es zeigt aber die Betrachtung der Ausdrücke für die umgeformten Koeffizienten, daß man sie

*) Vergl. hierzu und zu dem in diesem Abschnitt noch Folgenden die Abhandlang: L. Krüger. Über die Ausgleichung von bedingten Be- obachtungen in zwei Gruppen. (Veröffentl. d. Königl. Preuß. Geod. Inst. N. F., Nr. 18) 1905.

**) Gauß hat bei der hannoverschen Gradmessung jede Seitenglei- chung mit Hilfe der unabhängigen Winkelgleiehungen derjenigen Figur, auf die sie sich bezieht, umgeformt, und dann abwechselnd die Winkel- gleichungen allein und die umgeformten Seitengleichungen allein aus- geglichen. Bei 43 Winkel gleichungen und 12 Seitengleichungen genügt« eine dreimalige Wiederholung der ganzen Rechnung. (Werke. Bd. IX, S. 297 — 328.)

§ 5. Gang der Auflösung bei bedingter Ausgleichung. 537

mit der allgemeinen Auflösung dieses Normalgleichungssystems bilden kann, wenn man darin die numerischen Glieder angemessen abändert und nun anstatt der Korrelaten andere Symbole setzt. Zur Erläuterung betrachten wir ein kleines Beispiel. Die Winkelgleichungen seien :

% + «1 Ai + «2-^2 -\ y a^l^^ = 0

(1) \-^\K^\h^---'rKK=^

Co + qAi + Cg Ag H h c,„ A,„ = 0,

die Seitengleichungen:

«0 + «1^1 + «^2^2 + • • • + «;„ A^ = 0

^ ^ ^o+/3iAa + /32't2 + ---+A.A^=0.

Wir multiplizieren die (1) mit den Koeffizienten Pi.i, C1.27 ^^3 und addieren sie zur ersten Gleichung (2), dann mit Pai? C2.2> ('2-3J ^^^ addieren sie zur zweiten Gleichung (2). Das Er- gebnis sei:

^0 + AAi + AA2 + • • • + A.^» = 0

Hierbei ist

A= «.+ ai(>i.i + &.P1.2+ c,()i.3

^ ^ Bi= ßi-y «,P2 . 1 + ^i?2 . 2 + CeP2 . 3 •

Die Q bestimmen sich aus den Bedingungen der Freiheit von (2*) zu (1):

(4) [»^] = 0 = ['^.] = P5

i = 1 . . . W

und entsprechend mit B^. Die Gl. (4) geben aber Gleichungen Yon der Form der Normalgleichungen für (1):

(5) {ah)l; + {hh)Jc, + Q>c)Jc, + \=0

(a c)J^i + (& c)h + (c c)]c^ + Co = 0;

an Stelle von \,h^,\ tritt Qi.^, Q^.^, Qi.-i, wenn gesetzt wird für a^, h^, Cq bzw. (a«), (Im), {ca), wobei z. B. ist

(5*) (a«) = p-^"l, ^=l---v^.

Setzt man für a^, h^, c^ die Summen {aß), (hß), (cß), so folgt anstatt der Ji das System Q.2.1, 92-27 C2-3-

538 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

Läßt sich nun (5) bequem umkehren, so geben die all- gemeinen Ausdrücke für Ic bei der angezeigten Vertauschung sofort bequem die q, womit man die A und B erhält. (Ein Zahlenbeispiel, das vorn behandelte Gaußsche Fünfeck betr., siehe bei Krüger a. a. 0.)

III. Anmerkung über ein genähertes Verfahren zur Aus- gleichung von Dreiecksnetzen von C. F. Gauß. Bei Aus- gleichungen, wo es nicht auf die äußer.ste Strenge ankam, hat sich Gauß eines Näherungs Verfahrens bedient, das nicht genau das absolute Fehlerminimum ergibt, aber doch sehr nahe, und das wahrscheinlich im folgenden besteht.*) Man gleicht zuerst die Winkelgleichungen allein nach der Methode der kleinsten Quadrate aus und stellt mit den verbesserten Beobachtungen die Seitengleichungen auf. In den Gleichungen setzt man die zweiten Verbesserungen ö der gegenseitigen Richtungen einander gleich, also etwa ö.,,^= d,^ ^. Nun macht man eine Ausgleichung der umgeformten Seitengleichungen nach der M. d. kl. Qu. Die Einführung der 8 ändert nichts an der Erfüllung der Winkel- bedingungsgleichungen. Beim Gaußschen Fünfeck weichen die so erhaltenen Werte nur in den Tausendstelsekunden von den strengen ab.

§ G. Große Systeme.

I. Ausgleichung im ganzen ist nicht ratsam, weil doch Ver- sehen vorkommen können und dann unangenehme Wiederholungen nötig sind. Das königl. sächsische Hauptnetz wurde im ganzen ausgeglichen. Es hat 34 Punkte und ergab einschließhch einer Bedingung aus den beiden Basishälften 159 Bedingungsglei- chuugen. Nach einer ersten Auflösung fand sich, daß ein 10 -stelliger Logarithmus infolge eines Druckfehlers**) um eine Einheit der fünften Dezimalstelle falsch bei Aufstellung einer Seitengleichung angesetzt war, weshalb der größte Teil der Netzausgleichung wiederholt werden mußte. Schließlich er- füllten aber die Richtungsverbesserungen die Bedingungs-

*) Vergl. L. Krüger a. a. 0. mit Zahlenbeispiel für das Gaußsche Fünfeck.

**) Nagel, a. a. 0. S. 531.

§ 6. Große Systeme. 539

gleichungen nicht befriedigend; es blieben noch Reste bis zu Hundertstelsekunden*); eine 2., 3., 4. und 5. (teilweise) Auf- lösung verminderten diese allmählich bis auf Hunderttausendstel- sekunden.

In dieser Weise kann man in großen Ländern mit Hunderten von Hauptdreieckspunkten nicht vorgehen. Man wird sich dann nach anderen Verfahren umsehen, selbst wenn sie theore- tisch nicht gleich günstig sind. Im erwähnten Falle wäre aber wohl die Anwendung von vermittelnden Beobachtungen mit 66 zu bestimmenden Elementen vorzuziehen gewesen (siehe weiterhin).

n. Verfahren allmähliclier Aiiiiäheruiig nach C. F. Gauß mittels nnvollständiger Ansgleichnng.**) Dieses wurde in Mecklenburoj von F. Paschen angewendet, indem er die 109 Bedingungsgleichungen in fünf Teile gliederte, die fünf Netz- teilen entsprachen.***) Die weitere Behandlung und ihre Be- gründung erkennt man auf folgende Art:

Berechnet man mit irgend welchen Werten anstatt der richtigen Werte der Korrelaten h nach den Korrelatenglei- chungen (3), S. 232, die A, so werden diese die Bedingungs- gleichungen nicht erfüllen; wenn es aber gelingt, auf irgend eine Weise ein Wertsystem zu ermitteln, womit sich Werte l berechnen, die die Bedinguugsgleichungen erfüllen, so sind dies die richtigen /•, welche auch die Normalgieichungen erfüllen, denn S. 233 gehen ja die Gleichungen (4) aus den Gl. (1), S. 228, durch Substitution der Gl. (3), S. 232, hervor. Haben wir nun mit Näherunffswerten der /." für die /l Werte berechnet und alsdann damit die Widerspruchsreste der Bedingungs- gleichungen, so berechnen wir weiter aus Verbesserungen der Je Verbesserungen der X und die neuen Widerspruchsreste und so fort. Aus der einfachen Form der Gleichungen (1), S. 228,

*) Nagel, a. a. 0. S. 628. **) Suppl. theor. comb. Art. 20.

***) In dem Suppl. theor. comb, ist von Netzteilen nicht die Rede. Die Konvergenz des Verfahrens verlangt aber bei Anwendung auf die Netzausgleichung eine Gruppierung der Gleichungen nach Netzteilen (eine Gliederung nach Winkelgleichungen und Seitengleichungen ergibt etwas ganz anderes, siehe darüber den vorangehenden § 5, II).

540 Achtes Kapitel. Horizontal winkelmessung und Dreiecksnetze.

und (3), S. 232, ersieht man leicht, daß dieses Verfahren zu den richtigen Werten der A führen muß, und wenn erst einmal alle Bedingungsgleichungen erfüllt sind, so erhält man irgend ein X durch Addition aller teilweisen Verbesserungen zu dem Anfangswerte, sowie auch den Endwert irgend eines der Ti in derselben Weise.

Um nun zu Näherungswerten und Verbessungen der k zu gelangen, verfahren wir im Prinzip wie S. 175 u. f. bei der in- direkten Auflösung, vermeiden aber die vollständige Bildung der Normalgleichungen: Wir stellen zuerst alle Bedingungs- gleichimgen auf und zerlegen sie, wie bereits bemerkt, in Gruppen, so daß jede Gruppe hauptsächlich einen Netzteil be- trifft. Wir bilden nun für jede Gruppe die Korrelaten- und Normalgleichungen, gleichen alsdann die erste Gruppe aus und führen die erhaltenen Verbesserungen in die zweite ein; gleichen nun die zweite Gruppe aus und führen die bis hierher er- haltenen Gesamt -Verbesserungen in die dritte Gruppe ein usf. Sind alle Gruppen durchgenommen, so beginnt die Rechnung von vorn bei der ersten Gruppe usw., oder man geht rückwärts zur 4., 3., 2., 1. Gruppe usw. (wie in Mecklenburg).

Beispielsweise nehmen wir den einfachen P'all dreier Be- dingungsgleichungen und vereinigen die beiden ersten Gleichungen zu einer Gruppe, die dritte Gleichung bildet die andere Gruppe.

1. Gruppe: [pA] -\- it\ = 0, [^A] -f ic^ = 0, ^^^ 2. „ : [yl] + u-,= 0.

a. Auflösung von

{pp)l\' + {pq)ks' + M^i = 0 ' ^ {pq) A-/ -f (q q)1c2 + io\ = 0.

Berechnung der Werte

(3) ^iffi = kl 27, + h'q„ / = 1 . . . ».

Berechnung von

(4) U'^' = [rA']-\-u-2.

h. Auflösung von

(5) {rr)k,"-^iv,'^0.

§ 6. Große Systeme. 541

Berechnung der Werte

Berechnung von

c. Auflösung von

.^^. {pp)K"' + ipq)h"' + <' = 0

Berechnung der Werte (3*) V'V.= V'>.+ V"5., i=l...n.

Berechnung von (8) ws"=[rr]

usw.

Sind nun die ic.^'" hinreichend genau gleich null, so sind die Summen

(9) V + V'+V" = ^.

die strengen Werte der Verbesserungen. Denn hiernach ist (10) A,5r,= ih'i-K'lPi+ih'-hK"')Qi+h"r,,

d. h. die so gebildeten Gesamtwerte l.g. können betrachtet werden als entstanden aus den ursprünglichen Korrelaten- gleichungen (3), S. 232. Und da sie die Bedingungsgleichungen erfüllen, sind sie die strengen Werte.

In Mecklenl)urg gaben vier Überrechnungen aller fünf Gruppen noch nicht genau die iv gleich null. Bei der fünften Überrechnung wurde daher das Verfahi-en etwas abgeändert, so daß die aus Gruppe 1 folgenden Werte ungeändert blieben bei Ausgleichung der zweiten Gruppe usw. Zu bemerken ist noch, daß sich bei dem betr. Netz die Sache noch stark ver- wickelte, indem die Stationsausgleichungen nach Bessel bewirkt worden waren.

Den Nachweis, daß das Verfahren der allmählichen Aus- gleichung konvergiert und eine Grenze hat, bei welcher alle Gleichungen gleichzeitig Erfüllt sind, gab P. Pizzetti 1887.*)

*) Rendiconti della R. Accademia dei Lincei. Vol. IIT, 2. Sem., S. 2.30, 288.

542 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

III. Stückweise Ausgleichung großer Netze. Vielfach hat man sich bei großen Netzen damit begnügt, dieselben in Teile 7A1 teilen imd jeden für sich auszugleichen. Um den Zusammen- hang herzustellen, gibt es drei Verfahren.

A) Man gleicht einen ersten Teil aus. Für einen zweiten anschließenden behält man die Anschlußfigur bei usw. Man muß nun darauf sehen, daß der damit eingeführte Zwang nicht zu bedeutend wird.

B) Um den Zwang zu vermindern, gibt man den benach- barten Teilen übergreifende Dreiecke. Bei Ausgleichung des ersten Teils nimmt man mm die benachbarten übergreifenden Dreiecke mit, behält aber endgültig nur den ersten Teil allein bei. Usw.*)

C) Man kann den Zwang zunächst gänzlich vermeiden, indem man alle Teile selbständig ausgleicht. Dann gilt es aber noch, die Teile zusammenzufügen. Dies kann nach einem Verfahren geschehen, das ich für die Zwecke der Europäischen Längengradmessung in 52° Br. aufgestellt habe."-"*)

Es besteht darin, daß man die Anschlußfiguren so auf- einanderlegt, daß die Quadratsumme der Abstände entsprechen- der Punkte ein Minimum wird. Dabei kann man die Anschluß- figuren immer als eben betrachten, wenn nur erst die Abstände nach vorläufiger Orientierung genau berechnet sind.

IV. Ausgleichung nach Elementen, insbesondere nach Koordinaten. Wenn das Netz viele Diagonalen hat, empfiehlt sich die Ausgleichung nach Elementen. Im königl. sächsischen Netz, vergl. S. 538, würden bei 34 Punkten 2 ■ 32 unbekannte Winkel oder Koordinaten zur Darstellung genügt haben, was 64 Normalgleichungen anstatt 159 bei bedingter Ausgleichung gegeben hätte. Denkt man sich ein zur Konstruktion notwendiges System von Winkeln oder Richtungen angenommen, so stellt man zuerst die Bedingungsgleichungen auf und reduziert diese

*) Beispiele zu A und B gibt das I. Heft der Europäischen Längen- gradmessung. •

**) Die Europäische Längengradmessung. I. Heft. S. 49. Eingehender behandelt von L. Krüger in den Astr. Kachr. Bd. 133, 1893, Nr. 3178. Sp. 153 u. f.

§ 6. Große Systeme. 543

dann auf Fehlergleichimgen nach dem Verfahren von S. 228/229. Das macht sich in dem Falle sehr einfach, wo die Stations- ergebnisse als unmittelbar beobachtete Winkel auftreten oder auf die Form eines vollen Satzes von Richtungen (unter Um- ständen mit ungleichen Gewichten) hingeführt worden sind. Mühsamer, aber wohl meistens empfehlenswerter ist es, nach Koordinaten auszugleichen^ wobei man am besten eine konforme Übertragung auf die Ebene einführt. Die Rechnung ist dann ähnlich wie im Beispiel S. 204 u. f., nur hat man für jeden Strahl vier Koordinatenverbesserxmffen. Wenn die Stations- ergebnisse als volle Sätze von Richtungen angesehen werden, kommt dann auch noch das auf S. 225 u. f. angegebene Schreib er sehe Verfahren in Betracht.*)

Liegen die Verhältnisse aber so, daß die Ergebnisse der Stationen nicht als volle Sätze erscheinen, sondern daß man den Zusammenhang nach Maßgabe der Stationsausgleichung im Netze beibehalten will (was jedoch nur ganz ausnahms- weise ratsam ist), so wird man zunächst Stationsausgleichungen vornehmen, jedoch nur bis zur Aufstellung der Normalglei- chungen, die nun in geeigneter Weise zur Netzausgleichung zu kombinieren sind.**)

Bezeichnen | und t] Koordinatenverbesserungen, a die den Koordinatenannahmen entsprechenden Azimute, ii eine Orien- tierungskonstante für einen Satz, so gibt die Vergleichung der Beobachtungen mit der Berechnung für einen jeden Satz ein System von Fehlergleichungen der Form

h./.+ ^i.>.= (fi.k- « + W^i+(^iVi+ ^kh+Ck%- Gew. g..

Bei rechtwinkligen ebenen Koordinaten ist h- = — h^, Ci= — c,^ , was aber zunächst nicht weiter in Betracht kommt.

*) Vergl. hierzu besonders in den „Hauptdreiecken", Bd. VII, S. 279 u. f. als Beispiel die Ausgleichung des sächs. Netzes der Königl. Preuß. Landes-Triangulation.

**) F. R. Helmert. Beiträge zur Ausgleichung trigou. Netze. iZeit- schr. f. Math. u. Phys., Bd. 14, S. 174 u. f.) — Auch „Theorien", Bd. U, S. 496 u. f. — Vergl. ferner:

C. G. Andrae. Den danske Gradmaaling, Bd. I: Kopenhagener Netz.

544 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

Für verschiedene Sätze auf derselben Station ist u ver- schieden, aber bei derselben Richtung ist das Aggregat der Koordinatenverbesserungen dasselbe. Man bezeichnet daher vorläufig auf jeder Station die Aggregate (12) h,i, + c,7j, + h,^, + c,rj, mit Ä,B,C....

Denkt man sich dies durchs ganze Netz hindurch, so ist die Gesamtsumme [AA^], die wir kurz mit 2J bezeichnen, Funktion der A, B, C . . ., und man hat z. B. zur Bildung der Normal- gleichung für Hj.:

d. h. da rZ:2rA, cZ:2cB usw. die auf null reduzierten Stationsnormalgleichungen sind: Man multipliziert, um die Normalgleichungen für £^ zu bekommen, die Stationsnormal- gleichungen mit den Koeffizienten 6. von i,- der betreöenden Richtungsgrößen Ay B, C ... und addiert sie. Für die A,B, C ... sind ihre Ausdrücke nach (12) zu setzen.

Die u kann man vorher in bekannter Weise aus den Stationsnormalgleichungen eliminieren, denn es ändert sich nichts an den Normalgleichungen für t, und tj, ob man dies so macht, oder die u bis zu den Gesamtnormalgleichungen mitführt Tnur wird es dann verwickelter).

V. Einschciltuiigen. Die Bewältigung großer trigonome- trischer Vermessungen bringt es mit sich, daß man die Gesamt- heit der trigonometrischen Punkte in Punktsysteme verschiedener Ordnung gliedert und diese schrittweise ausgleicht, wobei bei der zweiten Ordnung die erste als Grundlage dient usw. Diese sogenannten Einschaltungen werden in der Regel mit Anschluß- zwang ausgeführt.*)

Bei bedingten Beobachtungen ergibt sich die Anzahl der Bedingnngsgleichungen am besten, wenn man erst die ganze Figur als frei betrachtet. Ist nun fest beizubehalten ein Winkel

*) Zahlreiche Beispiele geben die Bände: „Hauptdreiecke" der Königl. Preuß. Landes-Triangulation bei der Einschaltung der Netze in die von den Ketten leer gelassenen Räume, sowie beim Zusammenschluß der Ketten.

§ 6. Große Systeme. 545

mit seinen beiden Schenkeln als Anschlußseiten, so liefert das Seitenverhältnis noch eine Seiteugleichung mehr. Der gegebene Winkel gibt eine lokale Bedingung, die man bei der Stations- ausgleichung berücksichtigt.*)

Wäre z. B. in dem Beispiel auf S. 192 u. f. der Winkel (1-4), d. h. ^ gegeben, so kommt dort in den Normalgleichungen (10) diejenige für z in Fortfall und in den drei anderen hat man für z seinen Wert zu setzen. Dies folgt leicht aus S. 263, § 3 II, wenn man anstatt der Gleichungen (2) einfach s ^ — p^ ansetzt; vergl. auch S. 216, III.

Ist aber der Winkel (2-4) gegeben, so führt man anstatt

X, y, z, t zuerst die liichtungsunbekannten A, B, C, D, E ein

mit dem aus (10), S. 194, folgenden Normalgleichungssystem:

19,6500^-2,60005— 5,3500C- 5,683.3 Z>- 6,0167 J?=. _ 132,472

- 2,6000^+8,90005- 2,1000(7- 1,9333 i)- 2,2667^=- 16,362 (14) -5,3500^-2,10005+ 18,6500 0- 5,.3500Z>- 5,8500 ^J=+ 83,891

- 5,6833^- 1,9.S33 5- 5,.S500C' + 18,3167 2) - 5,3500 J^= + 139,708 -6,0167.1-2,26675- 5,8500 C- 5,3500 D + 19,4833 i; = - 74,764.

Indem man hier B=0 setzt, beziehen sich A, C, D, E auf die Winkel mit der Richtung nach Punkt 2, und die Normal- gleichung für B fällt weg; sodann führt man für D den gegebenen Winkelwei-t ein und streicht noch die Normal- gleichung für D. — Man kann dann auch noch wieder zu Richtungsunbekannten übergehen, wobei aber nun die Rich- tungen nach den Punkten 2 und 4 dieselbe Unbekannte erhalten. Das betreffende System ist auch direkt aus (14) leicht herzu- leiten, was zur Kontrolle dient.**)

Ist für ein Stationsergebnis, als voller Satz mit ungleichen Gewichten, eine Anzahl von [m — 1) Richtungsunterschieden nachträglich fest gegeben, so daß man ansetzen kann für m Richtungen: (15) A,= A^+u^, i=l..,m,

*) Vergl. auch die Formeln von v. Prondzynski: Aatr. Nachr Bd. 75, 1869, Nr. 1782. ''

**) Vergl. noch über besondere Fälle: Hauptdreiecke, Bd. I, S. 12 u.f. und : Die Europäische Längengradmessung, I. Heft, S. 45 u. f.

Helmert, Ausgleichunffsreclinung. 2. Aufl. 35

(18)

546 Achtes Kapitel. Horizontalwinkelmessung und Dreiecksnetze.

und hat man aus den Beobaclitungen die Fehlergleichungen

(16) /. + X. = Ä, + u, Gew. g,, i=l ...n, wobei n^ und u unbestimmte Größen sind, so folgt

(17) .^o+,,, = I(t^l, Gew.[5r,]

i = 1 . . . m; für weitere Ausgleichungen ist anzusetzen:

Ä.^ + (M° + u) -\- X = A.+ u, Gew. [.^.] ?' = 1 . . . w ;

h + ^i = --!.■ + >^ ; ^ew. f/. « = m + 1 bis ?j . (u^ + m) kann mau auch Ton allen A^ abziehen.

Bei den Einschaltungen niederer Ordnung wird man immer mit rechtwinkligen Koordinaten rechnen, die ja doch zur Be- zeichnung der Punktlage dienen. Dabei sind die Rechnungs- vorschrilten von Generalleutnant Schreiber für die Königl. Preuß. Landes-Triangulation durchaus zu empfehlen. Bei sehr kurzen Distanzen kann es nötig sein, die Richtungsgewichte so abzuändern, daß sie nicht nur dem aus der Winkelmessung her- vorgehenden Richtungsfehler entsprechen, sondern auch der Unsicherheit der gegebenen Anschlußpunkte (wobei nicht die absolute Unsicherheit der Koordinaten in Betracht kommt, sondern nur diejenige der gegenseitigen Lage der betreffenden Gruppe der Anschlußpunkte).

In besonderen Fällen, wo es sich nicht um Anschluß an die Landestriangulation handelt, wird man bei Einschaltungen durch Vorwärts- und Rückwärtseinschneiden auch nach bedingten Beobachtungen ausgleichen oder Winkel als Unbekannte ein- führen.*)

*) L. Krüger, Über die Ausgleichung mit Bedingungsgleichungen bei der trigonometrischen Punktbestimmung durch Einschneiden. (Göt- tinger Nachr. 1900, Heft l.i

Otto Börsch. Anleitung zur Berechnung geodätischer Koordi- naten. Cassel, 1885; S. 113 u. f.

Vincenzo Reina. Della eompensazione nella determinazione di un punto da n punti dati. (Rivista di Topogr. e Catasto 1893.)

A. Weixler. Direktiven zur Ausgleichung trigon. Messungen auf

§ 6. Große Systeme. 547

VI. Eiuschalfungen ohne Zwang. Ist ein Netz selbstän- dig ausgeglichen worden, obwohl es mehr als zwei Punkte mit einem anderen gemein hat, so ergibt sich wieder die Auf- gabe wie S. 542 m. Für die gemeinsamen Punkte werden nun Mittelwerte der Lage genommen, falls es möglich ist, beide Netze zu ändern, sonst muß das neue Netz die Verschiebung allein tragen. Für die anderen Punkte wird eine nachträgliche Zwangsausgleichung meist zu umständlich sein. Man wird ein Näherungsverfahren vorziehen, deren verschiedene vorgeschlagen worden sind. Vergl. hierzu eine eingehende Studie von L. Krüger.*)

Bei der Trigonometrischen Abteilung der Königl. Preuß. Landesaufnahme wurde neuerdings ein einfaches Verfahren an- gewandt, das General v. Schmidt angegeben hat und das zu- nächst für völlig umschlossene Dreiecksnetze gedacht ist.**)

Ist A^., Aa;. die Koordinatenverschiebung für einen der n Anschlußpunkte, so ist für einen Zwischenpunkt n nach V. Schmidt:

(19) Av„ = ^^' ^^' Ax - ^^'•^^'•

worin </. proportional dem reziproken Abstand s^,, gesetzt wird. Diese Berechnung entspricht der Bedingung

(20) 2:{g.{Ay,- AyJ + g,{Ax.- Ax,f] ein Min.

Wie man auch die Verteüung der Verschiebungen der Anschlußpunkte auf die andern Punkte macht, so findet man in der Regel eine Schwierigkeit in dem Falle, wo Anschlußpunkte nur an einer Seite des Netzes liegen. Diese Schwierigkeit kann man umgehen, indem man eine Anzahl äußerer Punkte auch als Anschlußpunkte mit der Verschiebung null festhält, dergestalt, daß das Netz nun ringsum genügend viele Fest- punkte erhält.

analyt. und geom. Grundlage. (Mitteilungen d. Kaiserl. und Königl. Militär.- geogr. Inst. 1902, Bd. 22, S. 41 u. f.)

*) über den Anschluß eines sekundären Dreiecksnetzes an ein Hauptnetz. (Zeitschr. f. Vermessungswesen, Bd. XXV, 1896, Heft 10—12.). **) Hauptdreiecke, Bd. IX, S. 337 u. f.; auch Bd. VII, S. 86, mit Be- merkungen über Erfahrungen bei Zwangsausgleichungen.

35'

Neuntes Kapitel, Ökonomie der Beobachtungen.

§ 1. überblick über die verschiedenen Aufgaben.

I. Günstigste Dreiecksnetze. Bei allen Arten von Messungen hat man das Bestreben, die Genauigkeit mehr und mehr zu erhöhen. Eine Folge hiervon ist es, daß man bei vorgeschriebener Genauigkeit die Bestimmung der Größen auf die ökonomisch vorteilhafteste Weise auszuführen sucht. Dies ist „rationelle" Vermessung. Das mir bekannte älteste Beispiel solcher Be- stimmungen gab Professor Schwerd 1822 in einer Unter- suchung über die Möglichkeit, eine „kleine" Grundlinie für ein großes Dreiecksnetz zu benutzen. In dieser Untersuchung finden sich auch Betrachtungen über die günstigste Form der Basisnetze, d. h. der Dreiecksnetze, die zur Überführung der kleinen Basislänge in eine Hauptdreiecksseite dienen.*) Be- merkungen über günstigste Basisnetze gibt auch W. Struve in dem Vorwort zur „Ermittelung des Höhenunterschieds zwischen dem Schwarzen und Kaspischen Meere"**) S. IX u. f.

Im III. Abschnitt meiner „Studien über rationelle Ver- messungen im Gebiete der höhern Geodäsie"***) stelle ich eben-

*) Die kleine Speyerer Basis oder Beweis, daß man mit einem geringen Aufwand an Zeit, Mühe und Kosten durch eine kleine genau gemessene Linie die Grundlage einer großen Triangulation bestimmen kann, von Friedr. M. Schwerd, Professor der Mathematik u. Physik am k. Lyzeum zu Speyer. Speyer 1822.

**) Von Fuß, Sabler und Sa witsch (Petersburg 1849). ***) Zeitschr. für Math. u. Physik von Schlömilch, 1868. (Disser- tation.)

§ 1. Überblick über die verschiedenen Aufgaben. 54^

falls Betrachtungen über die Form der Basisnetze an und finde mit früheren Autoren übereinstimmend Rhombenform am besten, wobei die kleine Diagonale die zu messende Basis, die große die abgeleitete Linie sein muß. Die Rhomben sind be- sonders günstig, wenn (unter gewissen Voraussetzungen) die der Basis gegenüberliegenden Winkel etwa 33° betragen. Diese Winkel sind es auch, die vorzugsweise zu messen sind, da ihre Genauigkeit maßgebend ist für das Ergebnis. Berück- sichtigt wurde bereits bei diesen Untersuchungen, daß für die in Basisnetzen vorkommenden Dreiecke die Verteilung der Winkelmessungsarbeit auf die drei Winkel nicht gleich- gültig ist.

Wenn nun ein Basisnetz mit Rücksicht auf die örtlichen Verhältnisse den allgemeinen Forderungen über die beste Form entsprechend ausgewählt ist, so wird es sich noch darum handeln, im einzelnen festzustellen, wie eine gewisse Gesamt- arbeit der Winkelmessung auf die einzelnen Winkel des Netzes zu verteilen ist. Diese sehr schwierig erscheinende Aufgabe hat eine glückliche Lösung, die theoretisch und praktisch be- friedigt, durch Generalleutnant Schreiber gefunden, unter der Annahme, daß der mittlere Fehler eines w-mal gemessenen Winkels nach der Theorie zufälliger Fehler gleich dem mittleren Fehler der einmaligen Messung dividiert durch ]/w gesetzt werden kann. Auf diese Aufgabe gehen wir im § 2 näher ein.

Ihre Lösung gilt überhaupt für den Fall, daß es sich um die Bestimmung einer Funktion aus bedingten Beobachtungen handelt und die Messungsarbeit möglichst günstig verteilt werden soll, unter der eben erwähnten Annahme der Beziehung zwischen Anzahl der Messungen und Genauigkeit. Wenn dies nicht gilt oder der Aufwand an Zeit und Kosten nicht der Messungsarbeit proportional ist, muß eine andere Lösung gesucht werden.

Erwähnt möge hier noch werden die auf meine Anregung entstandene Studie von Dr. Paul Simon: „Gewichtsbestimmungen für Seitenverhältnisse in schematischen Dreiecksnetzen" (Veröffent- lichung des Königl. Preuß. Geod. Instituts) Berlin 1889.

Vergl. auch: R. Helmert, „Studien usw." IV. Abschn.: Über die günstigste Verteilung der Hauptpunkte eines großen Dreiecks-

550 Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

netzes. (Das Ergebnis spricht zugunsten von Quadraten mit beiden Diagonalen.)

II. Noch andere Aufgaben. Die günstigste Bestimmung eines trigonometrischen Punktes von der Basis aus oder auf Grund eines gegebenen Netzes kann entweder so aufgefaßt werden, daß dabei für ein festgesetztes Arbeitsquantum die Fehlerellipse Kreis form erhält, weil es im allgemeinen nutzlos ist, einzelne Richtungen zu bevorzugen, oder so, daß das mitt- lere Fehlerquadrat 31^ der Punktlage ein Minimum wird. In § 3 wird ein einfacher Fall der letzteren Art behandelt.

In den erwähnten „Studien" wurde im IL Abschnitt ge- zeigt, daß bei Einschaltungen das Rückwäi-tseinschneiden im all- gemeinen viel vorteilhafter ist, als das Vorwärtseinschneiden. Im I. Abschnitt, Art. 23, wurde auch nachgewiesen, daß bei Ermitt- lung eines Punktes aus bestimmenden Geraden mit Gewichten g die Fehlerellipse dann in einen Kreis übergeht und zugleich M^ in bezug auf eine gegebene Gewichtssumme [^] ein Minimum wird, werm proportional den g angenommene Strecken unter den doppelten Neigungswinkeln der Geraden sich zu einem geschlossenen Polygon zusammenstellen lassen. Leider findet das Minimum von M^ nicht zugleich für ein festes Arbeits- quantum statt, da die Gewichte g der Geraden nicht nur pro- portional der Anzahl der Beobachtungen sind, sondern auch von der Figur abhängen, während die Arbeitsmenge wesentlich proportional der Anzahl der Beobachtungen ist.

Eine neuere Arbeit von 0. Eggert, die die Abbildung mit reziproken Radien benutzt, ist von diesem Mangel der Gewichte frei und erzielt einen Fortschritt in der Lösung der Probleme.*) Doch wird hierbei nur die Kreisform der EUipse berücksichtigt.

Die Aufgabe, M^ bei gegebener Gewichtssumme der Be- obachtungen zu einem Minimum zu machen, ist ein spezieller Fall der Aufgabe, das mittlere Fehlerquadrat für mehrere Funktionen der Beobachtungen gleichzeitig möglichst zu einem Minimum zu machen. Diese Aufgabe hat H. Bruns hinsicht-

*) Über die günstigsten Punktlagen beim Einschneiden. (Zeitschr. f. Math. u. Phya. Bd. 40, 1903, S. 145.)

§ 2. Günstigste Gewichtsverteilung für eine Funktion. 551

lieh ihrer allgemeinen mathematischen Beziehungen eingehend erörtert, wobei er die Form vermittelnder Beobachtungen zu- grunde legt.*)

über eine bei absoluten Pendelmessungen vorkommende hier- her gehörige Aufgabe vergl. F. R. Helmert, Beiträge zur Theorie des Reversionspendels (Veröffentlichung des Königl. Preuß. Geod. Inst., 1898) S. 48, — auch C. S. Peirce a. a. 0.

Eine auf Wägungen bezügliche Aufgabe wurde im 1. Kap., § 6, S. 61/63, behandelt. Vergl. auch im 6. Kap. § 2 ü, S. 464 u. f.

§ 2. Günstigste Gewichts Verteilung bei bedingten Beobachtungen für eine einzige Funktion.

I. Günstigste Bestimmung einer Funktion. Wir denken uns eine Dreieckskette. Irgend eine daraus hervorgehende Größe, etwa die Entfernung zweier Punkte, soll durch geeignete Ver- teilung einer Gewichtssumme auf die im Netze vorkommenden Winkel oder Richtungen möglichst genau ermittelt werden. Ist Fq der Wert dieser Größe, der einer gerade notwendigen Anzahl

Winkel l, entspricht, sind ferner wie S. 240, § IIV, die /;. = ^'

und die s- die wahren Verbesserungen der Beobachtungen, so werden der wakre Wert und das mittlere Fehlerquadrat von FqI

(1) F=F,+ [f,s;i- ^^ = i^\ff].

Werden noch 6 mehr Größen l^, als nötig sind, an- genommen, deren Anzahl nun n sei, so entstehen ö Bedingungs- gleichungen, deren wir hier drei ansetzen. Sie geben, vergl. S. 240 (20), die Bedingungen:

(2) ^^,+ [iJ,£.] = 0•, u;+[q,e;] = 0; iv, -^ [r,s;] = 0.

*) H. Bruns. Über eine Aufgabe der Ausgleichungsrechnung. (Ab- handlungen der math.-phys. Kl. der Königl. Sachs. Ges. d. W., Bd. 13, 1886.)

C. S. Peirce gibt im App. 14 des Report of the Superintendent of the U. St. C. S., 1876, Washington 1879, S. 197—201 eine „Note on the theory of the economy of research", worin einige allgemeine Relationen und ein paar Beispiele erörtert werdan.

552 Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

Wir multiplizieren sie mit den noch festzusetzenden Größen Xj, Lg, L^ und ziehen die Produkte von F in (Ij ab, womit sich ergibt:

(3) F^F,-{wL] + \f:s;\, mit

(4) f;-f-(p.L,+ g,L,-^r,L,).

Die Annahme F^^— [uL] als Wert der Funktion hat hiernach das mittlere Fehlerquadrat

- 9, J

(5) ^/=^^

-^'Q,

(6)

wobei Q zur Abkürzung dient.

Dieser Annahme für die Funktion gehört nach Maßgabe der L eine gewisse Auswahl unter den gemessenen Größen l^ zu, oder — wie man auch sagen kann — ein gewisser Weg, um zur Kenntnis der Funktion F zu gelangen.

Nimmt man zunächst die Gewichte g. der l^ als feste Werte an, so ist derjenige Weg, d. h. diejenige Wahl der L, am besten, wobei Q möglichst klein wird. Dies führt zu den Gleichungen:

-4irKf]=«-[7]-f[7]^'+[7]^»+[v]^4

Hieraus bestimmen sich die L. Sie geben dieselbe Lösung, wie die M. d. kl. Qu.; vergl. S. 241/243.

Betrachtet man nun die yerschiedenen Fälle, die unter Annahme von [^J = einer Konstanten G den geänderten Werten von g^ entsprechen, so kann man dann in jedem Falle wieder die Gleichungen (6) zur Bestimmung der L heranziehen.

Im ganzen genommen hat man also für Q in Betracht gezogen alle möglichen Fälle, die durch Variation der g und der L (d. h. der Wege) entstehen. Anstatt aber bei der Lösung der Aufgabe erst die L und dann die g zu variieren, kann man auch erst die g und dann die L variieren. Schreiber und

§ 2. Günstigste Gewichtsverteilung für eine Funktion. 553

Bruns haben dieses letztere Verfahren eingeschlagen, Runge ersteres .*) Wir benutzen hier das Schreibersche Verfahren, welches die verschiedenartigen Lösungen in ihrer gegenseitigen Beziehung klar hervortreten läßt.

IL Der Schreibersche Satz. Wir nehmen jetzt in Q, vergl. (4) und (5), zunächst die L konstant an, d. h. wir setzen einen gewissen Weg zur Bestimmung von F voraus, variieren aber die Gewichte g. der l.. Da die Gewichte r/. nur positiv oder null sein können, setzen wir fmit Bruns und Runge) vorübergehend g^ = ^.^ und differenzieren nun die Hilfsfunktion

(^) \jf] + K[-/] - G),

worin Je eine noch unbekannte Korrelate ist, nach ;r.. Es folgt

und durch Multiplikation mit ti-^ für ;r.2 > 0:

(9) fl'-h^; <i,= ^i Vk-^-

In dieser Lösung ist zugleich der Fall ^r/ = ^. = 0 mit ent- halten, der nach (8) nur für /"/ = 0 stattfinden kann. Das Minimum von ,a^,^ wird nun gleich

(10) i^^z f: .yk, ^.i^^^^fj^.

Dieses kleinste |u./ entspricht zunächst dem Falle, daß bei festen Werten L die Summe [g^ = G möglichst günstig auf die einzelnen ?,. verteilt wird.

Variiert man aber die L in (4), so ändern .sich die f!. Von allen Systemen L, die möglich sind, gibt dann bei günstigster Gewichtsverteilung dasjenige den kleinsten Wert der Minimal- werte ^ij? aus (10), für welches

(11) 2 f: ein Min.

nach den L wird; d. h. man muß die L so wählen, daß die Summe der Absolutwerte der /*/ nach den Ausdrücken (4) ein

*) C. Runge. Der Schreibersche Satz. (Zeitscbr. f. Vermessungs- wesen Bd. XIX, 1890, S. 21 u. f.)

554 Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

Minimum wird. Damit erhält man den besten Weg mit bester Gewicbtsverteilung.

Die einzelnen g. sind nach (9) :

In den Formeln (4), (11) und (12) ist der Schreibersche Satz über die Erzielung einer besten Gewichtsverteilung ent- halten.*)

Wir gehen zur näheren Betrachtung der Aufgabe über, aus den Ausdrücken (4j das günstigste System der L zu fin- den, welches also die Absolutsumme der f- zu einem Minimum macht. Wir geben dieser Aufgabe eine allgemeinere Fassung, indem wir anstatt /"/ das Symbol v,- setzen und nun v^ als Fehler der Gleichung fi = 2h^i + ^'.-^2 + *"i-^3 + • ' • ansehen.

III. Die Absolntsnmine der Fehler v linearer Gleichungen zu einem Minimum zu machen.**) Die Gleichungen seien bei 6 Unbekannten L:

(1) «^/ = /;- (PiL, + q,L, -f r.L, + ■ ■ •),

i = 1 . . . n.

Die L sind so zu bestimmen, daß die Summe der Absolut- werte der V-:

(2) 2J I V,- 1 ein Minimum

wird. Ein solches Minimum existiert sicher, da man durch Variation der L der Summe (2) zwar große positive Werte beilegen kann, aber keine negativen.

Hat man irgend ein System L angenommen und sind dann V^ die Vorzeichen der v^, so wird

(3) Z r, I = [/;. FJ - [p, FJA - [q, V;\L, -•■■,

wenn keines der v^ gleich null ist. Andern sich nun die L, so kann man sich die Änderungen derselben so gering denken,

*) Generalleutnant S c h r e i b e r. Die Anordnung der Wink elbeobach- tungen im Göttinger ßasisnetz. (Zeitschr. f. Vermessungswesen Bd. XI, 1882, S. 135 u. f. und Bd. XVIII, 1889, S. öTu.f.j Vergl. auch: Die Königl. Preuß. Landestriangulation. Hauptdreiecke, Bd. VIII, S. 278 u. f.

**) H. Bruns. Über eine Minimumsaufgabe, i Math. Annalen, Bd. 20, 1882, S. 455.)

§ 2. Günstigste Gewichtsverteilung für eine Funktion. 555

daß keines der f. sein Vorzeichen wechselt. Dann bleibt (3) bestehen, und man erkennt, daß Z!\v.\ sowohl zunehmen, wie abnehmen kann, da man für die angegebene Einschränkung differenzieren kann:

(4) dU\v. = - [p,V;\dL, - [q,V,]dL, .

Folglich gibt jetzt das in (3) angenommene System der L kein Minimum von U v. .

l

Ein solches verlangt, von dem Spezialfälle, daß in (3) die Koeffizienten der L verschwinden, abgesehen, daß wenig- stens eines der v- gleich null wird. Verschwindet v^, so gilt nun (4) für alle Indices ohne h- aus v^ kommt dann noch rechter Hand in (4) eine positive Größe hinzu:

(4*) -\-\p,dL, + q,dL,+ --.\.

Nun ist ein Minimum möglich. Aber es genügt nicht das Verschwinden eines einzigen v., sondern es müssen 6 der- selben verschwinden. Daß wirklich für 6 verschiedene Glei- chungen (1) V. verschwinden muß, sieht man daran, daß man mittels der einen Gleichung

(5) 0 = f,-ip,L, + q,L,^...),

welche zunächst verlangt wird, aus den Gl. (1) L^ eliminieren kann; es bleiben dann n — 1 Gleichungen für die übrigen v- übrig, deren Betrachtung wieder eines der v. gleich null verlangt. Usw. Die 6 Gleichungen mit v.= 0 bestimmen nun die 6 Größen L gerade hinreichend.

Es kann aber der Fall eintreten, daß für ein System L in (3) einer oder mehrere der Koeffizienten der L verschwinden. Dann geben endliche Änderungen AL dieser L keine Änderung von I^\v.\, d. h. es gibt dann unendlich viele Systeme L, welche denselben Wert der Absolutsumme herbeiführen. (Solche Fälle sind nur denkbar, wenn wenigstens eine der Summen [p. F|.], [Qi ^l ^^^- ™i^ irgend einer Annahme über die V^ verschwindet.)

Diese Systeme sind begrenzt von Fällen, wo v^ gleich null ist. Denn verschwindet z. B. [i^^F,.], so wird dies doch nur innerhalb gewisser Grenzen der L der Fall sein können; bei allmählicher Änderung der L wird etwa Vf^=0 werden; nun ändert sich F^ und [p^ FJ verschwindet nicht mehr. Mit

556 Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

Vf^ = 0 ist man aber zu dem früheren Falle zurückgelangt, und man sieht zugleich, daß die konstante Absolutsumme die Mini- malsumme ist.

Andere Fälle außer dem einen Minimalsystem von 6 Glei- chungen i\ = 0 bzw. dem einem Bereich der Minimalsysteme mit seinen Grenzfällen von erstgenannten Systemen bestehen nicht. Denken wir uns z. B. den Fall, daß nur ein System von 6 Glei- chungen v^ = 0 das Minimum ^\Vf\ gibt, und wir variieren Lj um ALj, so ändert sich 2J\v. vom Minimalwert ab nach (4) und (4*) um

— für pos. AZ, ,

(6) (2:\p,\ + [p,V,]) AL, , ^ /'

/N 1 7 -f lur neg. AL,,

fürv^=0 ohne h n i>

solange keines der v^ durch AL^ zu null wird. Wegen des Minimums ist die runde Klammer ein positiver Wert. Wird nun durch Wachsen eines positiven AL^ ein i\ gleich null, so muß zunächst 7),. F,. positiv sein, wie Gleichung (1) zeigt. So- wie nun i\ durch null hindurch geht, wird j), V- negativ und der Faktor von AL^ in (6) wird noch größer. Jedes weitere Verschwinden eines i\ vergrößert ihn.

Wird ferner durch Wachsen eines negativen AZ^ ein ü,- gleich null, so muß zunächst p. F,- negativ sein; sowie nun v^ durch null geht, wird 79^ F- positiv und der Faktor von AL^ in (6) wird noch größer, usw.

Ähnlich ist es, wenn für L^ ein Minimalbereich besteht. Es kann daher nicht zwei verschiedene, voneinander isolierte Xj geben, die zu je einem Minimum gehören.

Man könnte sich nun noch denken, daß zwei verschiedene Systeme L mit Minima existieren, etwa L^, L^, L^ und i^ -f Ai^, Lo-\- AL.2, L^ + AL^. Betrachtet man diese L als rechtwinklige Koordinaten zweier Punkte, so kann man das Koordinatensystem drehen, bis etwa die Achse der L^ parallel zur Verbindungslinie AZ// beider Punkte ist. Die Unter- schiede AZj, AZ, und AL3 sind gleich AL/ mal gewissen echten Brüchen. Denkt man sich nun in die Gleichungen der V- anstatt der L entsprechend der Drehung des Koordinaten- systems die L' eingeführt, so sind jetzt nur noch bei i/ zwei Werte vorhanden, die aus der Voraussetzung zweier Minimal-

§ 2. Günstigste Gewichtsverteilung für eine Funktion. 557

Systeme hervorgehen. Wenn aber beide nicht demselben Be- reich angehören, so ist nach dem Vorhergehenden die Existenz zweier L^ unmöglich.

Bei mehr als drei Größen L^, L^, Lg kann man die letzte Betrachtung nach der Theorie der orthogonalen Substitutionen durchführen.

Um ein System der L zu finden, welches das Minimum gibt, kann man für alle Kombinationen der n Gleichungen (1) zu 6 mit v,= 0, also für die (n)^ möglichen Fälle gerade hin- reichender Bestimmung der 0 Unbekannten L, diese berechnen und zusehen, welcher Fall die kleinste 2J\i\\ ergibt.

H. Bruns schlägt vor, für alle L bis auf eines, etwa X^, Werte anzunehmen und nun dasjenige L^ zu suchen, wofür 27 am kleinsten ist. Nun nehme man diesen Wert Z^ und X3 usw. wie vorher und berechne L^ so, daß Z am kleinsten wird, usw. Ist man beim letzten L angelangt, so beginnt man mit L^ aufs neue unter Benutzung der gewonnenen Werte für die andern L. Dies setzt man fort, bis die Rechnung zum Stehen kommt, oder bis man die verschwindenden v. errät.

Die hier betrachtete Aufgabe entspricht dem von Bosco vich 1755 benutzten Ausgleichungsprinzip, aus den Gleichungen

X und y zu bestimmen. Nach der Darstellung von Laplace wird zunächst [v^ = 0 gesetzt und damit x eliminiert; für die neuen Gleichungen

wird dann die Absolutsumme der v- zu einem Minimum ge- macht. Dies erreicht man dadurch, daß y aus allen Gleichungen für v^ = 0 berechnet wird.*) Nun ordnet man die Gleichungen nach der Größe von y, vom größten beginnend abwärts, und setzt dabei die Gleichungen so an, daß die Koeffizienten von y positiv sind. Summiert man nun allmählich diese Koeffizienten, bis gerade die Hälfte der Gesamtsumme überschritten wird,

*) Laplace. Mec. ceL, t. II, 1. III, S. 126 u. f. Hier sind auch noch zwei andere Ausgleichungsmethoden besprochen und angewandt.

558 Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

80 ist für die betreffende Gleichung v = 0 zu setzen und daraus y zu entnehmen.

Im Vergleich zur Methode der kl. Qu. hat das Prinzip, die Absolutsume der v. zu einem Minimum zu machen, den Nachteil, daß die Lösung nur von einer zur Bestimmung der Unbekannten gerade him-eichenden Anzahl Gleichungen abhängt und die anderen lediglich zur Auswahl dienen.*; Darunter leidet die Sicherheit der Bestimmung. Auch ist der Rechnungs- gang im allgemeinen beschwerlicher.

IV. Die Absolutsumme 2:|//| wird ein Minimum nach dem Vorhergehenden, in jedem Falle wenigstens für ein gerade zur Bestimmung der Funktion F ausreichendes System von Beobachtungsgrößen. Sind also überhaupt n Beobachtungs- größen für F von Bedeutung, zwischen denen aber a Be- dingungsgleichungen bestehen, so genügen n — 6 der Beobach- tunffserrößen ; die andern 6 Größen brauchen also nicht be- obachtet zu werden. In manchen Fällen erzielt man aber für die Funktion dieselbe Genauigkeit bei gleicher Gewichtssumme der Beobachtungen, auch wenn diese Gewichtssumme auf eine mehr als notwendige Anzahl Beobachtungsgrößen verteilt wird.

Der günstigste Wert der Funktion ist stets Ff^—[ivL].

Verschwindet im Minimalfalle keines der g, so müssen nach (4), S. 555, die Summen [i),FJ, [^,F,.] usw. gleich null sein. D. h. aber: die L erfüllen die Bedingungsgleichungen (6), S. 552, der M. d. kl. Qu., da nach (9), S. 553, abgesehen vom Divisor Vk, V,^f;:g, ist.

Verschwindet ein Teil der Gewichte y für ein System L, das 2^ fl zu einem Minimum macht, ist also die Anzahl der verschwindenden g kleiner als 6, etwa nur gleich eins, g,^= 0, so kann man sich zunächst die Bedingungsgleichungen erneut aufgestellt denken, so daß /^ nur in der letzten Gleichung er- scheint. Diese Bedingungsgleichung kommt dann bei der Aus- gleichung der Beobachtungen nach der M. d. kl. Qu. überhaupt in Wegfall. Bei der Darstellung der Gleichungen (6), S. 552, käme man bei ö = 3 also nur zu den beiden ersten Gleichungen

*) C. F. Gauß. Theoria motus, Art. 186. (Werke VII: Abhand- lungen z. M. d. kl. Qu. S. 113.)

§ 2. Günstigste Gewichtsverteilung für eine Funktion. 559

mit Wegfall der Glieder mit Z/3, sowie mit Wegfall der Glieder mit dem Index h in allen Summen. Auch treten in den Gleichungen (4), S. 552, keine Glieder mit Lo^ auf.

Behält man aber für die Bestimmung der L nach der Be- dingung 2J\ff\ ein Minimum in den Gl. (4), S. 552, diese Glieder bei, so kann dies doch zu nichts Neuem führen, weil ja die L gewissermaßen nur linear transformiert sind und für alle transformierten Systeme dasselbe Minimum herauskommen muß. Also wird /)/ wieder null sein, und da f\ schon null ist, wird ig null. Damit kommt in den Gl. (4) wieder die Reihe der Glie- der mit Z3 und ebenso /"/ in Wegfall, und man gelangt zum vorigen Falle der Erfüllung der Gl. (6) wegen V^= f- : g-.

Um das Minimalsjstem der f^' numerisch zu finden, kann man außer den beiden S. 557 angegebenen Methoden auch die Gleichungen (6), S. 552, benutzen. Darin setzt man zunächst die g = l und bestimmt die L, womit man aus (4), S. 552, /"/ berechnet. Diese /]' kann man als neue Gewichte in (6) einführen und neue L berechnen, sowie aus (4) neue f-' usw.

Man wird dann bald erkennen, welche /"' zu null an- genommen werden müssen, bzw. können. Bildet man nun mit den zugehörigen L, vermehrt um eine unbestimmte Größe d, die f.', so zeigt die Bildung der U f]' , für positive und nega- tive d leicht weiteres an.

Beispiel. In einem Viereck mögen alle vier Winkel ge- messen werden können; es kommt aber nur auf die Kenntnis des Winkels Ä an. Nach der vorstehenden Methode ist zu zeigen, daß die direkte Messung von Ä am besten ist.

Gibt die Siunme der vier Winkel den Widerspruch ic, so ist nun, entsprechend (2), S. 551:

also j?i, . . .^;^= 1. Nehmen wir als Punktion beispielshalber nicht einfach Ä, sondern 360°—^ oder die Summe B -\- C -\- D, so werden die f der Reihe nach gleich 0, + 1, + 1, + 1, und die (4), S. 552, geben:

f,' = -L, /■;=i-x, /3'=i-x, /';=i-i.

Daß die -S | /"/ ] ein Minimum für X = -}- 1 wird, ist zu erraten. Setzt man L = 1 + ö, so folgt für positive ö immer Z = 1 + 4^;

560

Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

für negative 6 folgt, solange '' 6\ ^ 1 ist, Z = 1 — 26. Ist I d I > 1, so wird Z = — 1 — 4:6. Es folgt also in jedem Falle mehr, als für L == -j- 1, welches somit in der Tat das Minimum gibt. Die beste Gewichtsverteilung ist hiernach, wie zu erwarten war, diejenige, bei welcher die Gewichte für A, B, C, D proportional zu 1, 0, 0, 0, genommen werdeu.

Beispiel. Indirekte Entfernungsmessung CD von der Basis AB = 1 aus.*) Die Lage von D gestattet keine Winkel- messungen. Die angenäherten Werte der Richtungen mit hinzu- gefügten Verbesserungen (und abgesehen von Stationskonstanten) sind:

Stat. A Stat. B

C= Oö+(l) ^= 0»+(4)

Z)= 30 +(2) D= 30 -f (5)

j5 = 90 + (3) C = 60 + (6)

Stat. C

jg = 0<>+(7;

D = 19 + (8)

^ = 30 + (9).

Es ergeben sich zwei Bedingungsgleichungen:

0 = w, - (1 ) + (3) - (4) + (6) - (7) + (9)

0 = w'2- 22(1) + 29(2) - 7(3) - 22(4) + 44(5) - 22(6)

- 36(7) -f 102(8) - 66(9),

von denen die erste aus der Wiukelsumme des Dreiecks ABC, die zweite aus dem Zentralsystem um D hervorgeht. (Die Ver- besserungen sind in Minuten verstanden.)

Ferner ergibt sich, von AB über BD nach CD gerechnet, der Fehlerausdruck für 10^ log CD, welches Produkt als Funktion auftritt :

[A] = - 7(2) + 7(3) - 22(5) -f 22(6) + 36(7) - 36(8).

Damit werden die Ausdrücke /V, vergl. (4), S. 552:

*) Im wesentlichen nach Generalleutnant Schreiber: Zeitschr. f. Vei-messungswesen Bd. XI, 1882, S. 142/143.

§ 2. Günstigste Gewichtsverteilung für eine Funktion. 561

Ul=-~^ ■ +29Z. /5'=-22 • +44 7.2 fs = + 7 + Z, - Tig /;' = + 22 + ii - 22X2

/;'= + 36-Zi- 36X2

/s'=-36 • +102X2 /y ^ ■ ~l~ -^1 — 6 6 X2 . Die Summe der f. ist. wie man sieht, gleich null.

Daß die Visur von C nach D für die Entfernungsbestimmung CD wenig günstig ist, zeigt die Figur. Vermutlich muß also f^ = 0 gesetzt werden.

Die Gleichungen (6), S. 552, geben mit r/ = 1:

6X, — 15X2= 7 Xj = + 2

-15X1+20334X2=6672 , X2 = + 0,330; damit werden die /'.':

- 9,3 + 2,6 + 6,7 - 9,3 - 7,5 + 16,7 + 22,1 - 2,3 - 19,8 ; Hiemach wurden als vorläufige Gewichte abgei'undet genommen:

9 3 7 9 8 17 22 2 20. Die Gleichungen für die X werden mit denselben:

0,5X1 + 0,8X2 = — 0,7 Xi = — 2 0,8X1+ 6144X2= + 2119 X2= + 0,345.

Da /g mit diesem Xg nahezu verschwindet, so nehmen wir jetzt genau f^ = 0 und Xg = 36 : 102 = 0,353, womit die // werden:

-5,8 + 3,3 + 2,5 — 5,8-6,4 + 12,2 + 25,3 0 —25,3. Die Gewichte sind also in erneuter Annäherung, abgerundet: 6 3 3 6 6 12 25 0 25.

Setzt man nun in die Ausdrücke für die f^ den Wert L^ = 0,353 und bildet mit Weglassung der Glieder mit Xg aus den f. ohne t\ die Gleichung zur Bestimmung von Xj, so folgt:

0,83X/= - 1,8, wobei X^ = X/ — 2 = — 4,2.

Jetzt wird f.^ sehr klein: nimmt man null dafür, so folgt X^ = — 4,5. Damit ergeben sich die folgenden endgültigen f!. Dieselben sind in denjenigen Fällen mit dem Vorzeichen — versehen, wo /"/ negativ herauskommt. Die Zahlen stellen dann sogleich die Ge- wichte vor. Bei den Angaben für die f^ sind Änderungen von Xj und Xg gegen — 4,5 bzw. + 0,353 mit ö^ und 8^ berücksichtigt, um den Nachweis des Minimums führen zu können.

Helmert, Ausgleichungsrechnung. 2. Aufl. 36

562 Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

-/•/=+ 3,3 + (^1 + 22^2 -/■;= + 3,3 + (51+22(5,

/-= + 3,3 • +29(^2 I -/•5'= + 6,4 ■ -44^2

/s' = 0 + (5i - 7^2 ! /;' = + 9,7 + Ö,- 226,

f,'=-\-27,S-d,- 36(52

/;'= 0 • +102^2

-/g'^ + 27,8 -6i+ 66(52.

Die Siunine dieser Werte ist rechter Hand gleich 81,6 + 2(5^+ 132(52-

Bei positivem, nicht zu großem 6^ und hinreichend kleinem 6^ ist dies zugleich die Absoltitsumme ; man sieht, daß positive Werte von 6^ und ö^ dieselbe vergrößern.

Ist dg negativ, so ist /g' = — 102(52 ^"*^ ^^^ Absolutsumme wird gleich 81,6 + 2(5^ — 72(52; ^^^° ^^^^^ auch Vergrößerung ein.

Ist (5^ negativ und (52 angemessen klein, so ist \f^' = — dj + 7 dg 5 die Summe der Absolutwerte AAÖrd 81,6 + 146 d2 bei positivem dj, 81,6 — 58 dg bei negativem 62- Ein Wert d2 vergrößert also die Absolutsumme auch hier, während Werte von dj zulässig sind, so- lange nur keines der f.' das Zeichen wechselt. Dies tritt aber ein bei dj = — 3,3 für /j' und /'/.

Bei d^ = — 3,3 und d2 = 0 sind die Absolutwerte der f]':

0 3,3 3,3 0 6,4 6.4 31.1 0 31,1; Summe 81,6.

Wächst 6^ noch weiter im Negativen, so ist die Absolutsumme gleich 68,4 — 4dj-f- 58 dg füi- positive d, und gleich 68,4 — 4dj — 146d2 für negative d2, mithin gi-ößer als 81,6.

Die Gewichte sind in den beiden Grenzfällen, abgerundet:

^1=3	0	^4=3	0	5^7=28	31
(f2= 3	3	^5=6	6	9s= 0	0
9s- 0	3	r/6 =9	6	^9=28	31

Die erste Annahme ist günstiger, weil hier die g etwas weniger ungleich sind und weü es fraglich ist, ob die zugnmde liegende Annahme, daß das mittlere Fehler quadrat der Richtimgen genau umgekehrt proportional der Einstellungszahl abnimmt, für stark anwachsende Einstellungszahlen gilt.

Generalleutnant Schreiberhatdas Verfahren der günstigsten Ge- wichtsverteüung bei einer zu bestimmenden Funktion hauptsächlich auf Basisnetze angewandt. Beispiele hierzu siehe außer a. a. 0. auch noch in Bd. IX der „Hauptdreiecke", S. 275 u. f.

§ 3. Günstigste Gewichtsverteilung bei Punktbestimmung. 563

Für die Stationsmessungen genügt bei vorstehenden Betrach- tungen immer die Annahme eines Satzes von Richtungen mit un- gleichen Gewichten ohne Rücksicht auf etwaige Stationsbedingungs- gleichungen, weil ein solcher Satz alle Fälle umfaßt, die für gerade notwendige Systeme von Bestimmungsstücken in Betracht kommen und die günstigste Gewichtsverteilung immer wenigstens durch ein solches geleistet wird.

§ 3. Günstigste Gewichtsverteilung in bezug auf den mittlem Fehler der Lage eines trigonometrischen Punktes.

I. Definition des mittleren Punktfehlers M. Nach S. 308 gibt die Fehlerellipse vollständig Auskunft über die Genauig- keit in der Bestimmung eines Punktes. Man kann darnach sich jeden Punkt bestimmt denken durch zwei sich recht- winklig schneidende Gerade, die in die Ellipsenachsen fallen und deren mittlere Parallelverschiebungen durch die Halb- achsen angegeben werden.

Denkt man sich aber einen Punkt durch zwei sich recht- winklig schneidende Gerade bestimmt (die also unabhängig voneinander gegeben sind), so wird das Fehlerquadrat A^ der Lage des Punktes bei Parallelverschiebungen £j und e^ der Geraden gleich

(1) A2=6j2+£/.

Der Durchschnitt J^P aller möglichen Werte von A^ ist also gleich dem Durchschnitt aller möglichen Werte von s^^ und von fg^ d. h. es ist

(2) ][P==ii,^+ii^\

Nun ist aber die Summe der Quadrate der Halbachsen der Fehlerellipse, also ^i+^i^^, nach S. 308, (14), gleich i^\Qi.x+ ^22); folglich wird

(3) M^^-i^\Q,..+ Q,.,).

Hierbei ist ^ der mittlere Fehler der Gewichtseinheit und ,"■^^11 sowie ju-^ 4^2-2 ^i^^d ^i® mittleren Fehlerquadrate der recht- winkligen Koordinaten des Punktes.

36*

564 Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

Auf die Lage dieses Systems kommt nichts an, denn 31'- ist offenbar ebenso wie die Fehlereliipse, von der M' abhängt, eine Invariante des Punktes.

Die Q sind nach den Regeln von § G, S. 294, zu be- stimmen, vergl. auch S. 300, IV.

Untersucht mau das mittere Fehlerquadrat in der Entfernung des Punktes von anderen unabhängig davon bestimmten, so sieht man, daß der Anteil, welchen M' gibt, im Durchschnitt für alle

Punkte in beliebigen Azimuten ringsum nur — M^ ist. („Studien

über rationelle Vermessungen", S. 25, Abschn. 24.)

II. Die günstigste Gewichtsverteilang bei zwei Funktionen der Winkelbeobachtnngen erfordert in der Regel eine Aus- gleichung. Man denke sich zunächst einen trigonometrischen Punkt auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogen, dem man eine möglichst passende Lage gibt, und drücke x und y durch eine notwendige Anzahl von Winkeln aus: es brauchen nicht dieselben für beide Koordinaten zu /' sein. 3P erscheint nun zusammengesetzt / als Summe der mittlem Fehlerquadrate

zweier Funktionen der Dreieckswinkel. Man sieht sofort, daß im Gegensatz zu dem Falle nur einer in Betracht ge- zogenen Funktion im allgemeinen ein einziges notwendiges System von Win- keln nicht genügt und daß also eine Aus- gleichung notwendig wird. Handelt es ^"-^ sich beispielsweise um die Bestimmung

^^^ des Punktes C von der Basis AB aus

\ durch ein spitzwinkliges Dreieck, und

y denkt man sich die a;-Achse parallel AC,

die «/-Achse dazu senkrecht, den Koordi- natenanfang etwa in A^ so ist für fij maßgebend die Bestim- mung von AC von AB aus mittels der Winkel B und C; für u ^ ist dagegen maßgebend Winkel A: B und C brauchen nur ganz roh bekannt zu sein.

Die beste Bestimmung von AC erfordert bei einem spitz- winkligen Dreieck gerade die Messung der W inkel B und C

§ 3. Günstigstp Gewichtsverteilung bei Punktbestimmung. 565

mit Vernachlässigung von ^1; das ist das Gegenteil wie für die Bestimmung von Winkel Ä.

Um 3P zu einem Minimum zu machen, muß man daher gewiß alle drei Winkel messen; es fragt sich aber, wie die Gewichtssumme G zu verteilen sein wird. In anderen Fällen wird es ähnlich sein, falls die beiden Funktionen denselben Netzteil betreffen; doch soll nicht gesagt sein, daß es keine Ausnahmen gibt.

III. Formeln. Die beiden Funktionen seien F' und F", ihre Differentialquotienten nach l. gleich a- bzw. ß-, so daß für die vorläufigen Werte Fq und Fq" die m. Fqu. sind:

(4) fo'"-,«l";] ""'i (•»"^-"'[y]-

Die 6 Bedingungsgleichungen geben wie in § 2, S. 551 :

(5) H\ + [i),£,] = 0, w^ + [g,£,] = 0, tvs + [r,6,] = 0.

Hiermit folgen die umgewandelten Funktionen: ,g^ F' = F,'-[tuL'] + [a;e;\

^ ^ F"= F,"- [tvL"] + [ß;e^,

mit

.^x «/ = c^i - (PiLi + li^ + '^M

/3/= ß,- {pM'+ (liW+ r,L^')-

Die Annahmen F^—l^tcL''] und F^" —[^ivL"} für die beiden Funktionen geben als Summe der m. Fqu. beider Funktionen:

L Hl .

(8) ^^^^^^^^^M^=^\^i\-\-

Setzen wir nun eine .^-usgleichung der n Beobachtungen l. nach der M. d. kl. Qu. voraus, so ist für jede Funktion einzeln, bei festen Gewichten ^., [il ein Minimum, und es ergeben sich für die L' und L" die Gleichungen, (analog (6), § 2, S. 551):

in welche die «/ und ß! aus (7) noch eingeführt zu denken sind

566 Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

Soll nun JSP ein Minimum werden bei Variation der g. unter der Bedingung [.^,.] = G, einer Konstanten, so ist die zu differenzierende Hilfsfunktion :

Differeuziert man nach tc-, indem man wieder wie S. 553 für den Augenblick (j^ = nf setzt, so zeigt sich, daß die Änderungen der «/ und /3/ nach n^ einflußlos sind, und es bleibt einfach

(11) ('"'°'' + ^'^'"-i-)g,-o.

Zunächst treten allerdings bei der Differentiation von (10) noch Glieder auf, welche davon herrühren, daß sich in dem ersten Teil von (10) k/ und /3/ mit den L ändern, nämlich:

' L gi \ diti '^ V gi \ dwi

"*" L fifi J dTti "•" L S'i -I d^i usw.

Diese Glieder kommen aber in Wegfall, da die Gleichungen (9) bestehen, so daß die Entwicklung der dL : dTt. aus eben diesen Gleichungen, in denen aber zuvor die «/ und ^/ mittels der Gleichungen (7) zu eliminieren wären, nicht Aveiter in Frage kommt.

Bezeichnet man die positive Quadratwurzel von c:-'a.' -j- /3//3/ mit jR..:

(13) i?.= + V'« + /3/^/,

so folgt fürs Minimum

,^ .s entweder [/■ == S- : YJc,

(14)

oder g^ = 0 . Wenn aber ^^ = 0 ist, so muß auch B. null werden, sonst würde M^ unendlich groß. Es genügt daher die Annahme g- = it. : yk . Damit folgt wegen G = [i?,]:]/Ä' das Minimum von 31^ gleich

(15) ilf2 = ,,2[^i'.

Der Vorgang zur Erzielung des Minimums besteht mm darin, daß man unter Beachtung der Beziehungen (7 j und (13) je ein System der L' und L" zu bestimmen hat, mittelst dessen

§ 3. Günstigste Gewichtsverteilung bei Punktbestimmung. 567

sich Werte R; ergeben, die die Gleichungen (9) befriedigen, wenn man darin g. durch JR. ersetzt. Der Ausdruck (15) gibt aber zunächst das mittlere Fehlerquadrat M- allgemein für die Annahme der g. proportional den R. ohne Rücksicht auf die Gleichungen (9). Im Minimunisfalle sind dann die L so gewählt, daß die nach (7) und (13) berechneten R. die [R^] möglichst klein machen. Dies hat man zu beachten, wenn die Berech- nung der L aus den Gleichungen (9) zu keinen befriedigenden Werten R- führt (vergl. das Beispiel). Zum Schluß sind die g^ aus den i?. nach der Formel

(16) ft=G(| herzuleiten.

H. Bruns hat gezeigt, daß es im allgemeinen nur eine Lösung gibt, unter Umständen aber auch unendlich viele. Relative Minima gibt es nicht. Vergl. seine Abhandlung von 1886, Abschn. 4, S. 533 u. 536, und Abschn. 7, S. 554/555.

Die wirkliche Auflösung ist in der Regel weit schwieriger als bei der Aufgabe des § 2, weil dort der Bereich der Minimal- fälle durch verschwindende R^ (dort f^ genannt) bezeichnet wird, während es jetzt an diesem Fingerzeig fehlt.

Man kann versuchen, die einzige Minimalstelle (oder eine des Bereichs der unendlich vielen) dadurch zu finden, daß man die a- und /3/ zunächst unter Annahme von g. = 1 (oder einer andern plausiblen Annahme) aus den Gleichungen (7) und (9) herleitet, also die L' und L" so bestimmt, daß (im Falle g-= 1):

(17) \j>q]L,'^ [qq]h' + i^^-W = [c^Q] [p r] L/ -\r[qr] L^ + [r r] L^ = [a r]

und entsprechend für die L", wobei rechts a mit ß zu ver- tauschen ist.

Hiermit finden sich die L' und L", daraus die a- und ß! nach (7) und weiter die R^ aus (13). Jetzt macht man eine neue Berechnung der L' und L" mittels der Gleichungen (17), in denen aber noch jedes Summenglied mit dem zugehörigen R^ zu dividieren ist. Usw.

568 Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

Dies muß man fortsetzen, bis man zu stehenden Werten von R^ gelangt, d. h. also bis gleichzeitig die nachfolgenden Gleichungen erfüllt sind:

(17*) [f]A' + p^^]V + K-]x-['^]

und entsprechend für die L" mit ß- anstatt a-] dabei ist nach

(7) und (13):

^'^^ , ß/ = ßi - iPiW + Q^W' + r,L,")

sowie

(13) j^i= + i/«+o;-

Beispiel. Bestimmung eines Punktes C durch ein Dreieck von der Basis AB = c aus, vergl. S. 564.

Wir setzen (1) i^'=& = c-^, F"^bA.

Die kleinen Änderungen dieser Funktionen wirken am Punkt C, wenn AB eine feste Linie ist, wie die Anderimgen rechtwinkliger Koordinaten, gestatten also die Ableitung von M'^.

Nun ist, wenn ^ = /^ , B = k, C = l^ die drei Beobachtungs- werte sind:

Cj = 0 , £^2 "^ ^ ^^^ ^1 '^3 ^ — ^ ^^^ ^ ' ^^^ ßi = b, ß2=0, (^3=0.

Aus der Bedingungsgleichung A -^ B -]- C = 180^ folgt:

(3) j^i=l, i^2=l' 7^3=1'

Man hat daher die Ausdrücke: «/= • -L'

(4) ß'a' = + & cot J5 — X'

0:3'= — & cot C — 1/' wo der Index 1 an i wegbleiben konnte.

^/ = &-i"	p,= l
ß,'=--L"	^2= 1
ßs- --L"	7>3 = 1 »

§ 3. Günstigste Gewichtsverteilung bei Punktbestimmung. 569

Handelt es sich nur um F' allein, d. h. nur um die Be- stimmung der Seite 6 aus c, so liegt der Gedanke nahe, daß Winkel A nicht zu messen ist. In der Tat gibt i' = 0 das Minimum, wenigstens für spitzwinklige Dreiecke, da sowohl ein kleines positives wie ein kleines negatives L ' die Summe ^\ci.\ vergrößert. Die Gewichte von B und C sind also proportional zu cot B und cot C zu nehmen.

Ist aber cot B negativ, also B > 90", so ist Winkel B nicht zu messen, und es ist L'=h cot B zu setzen, womit die Gewichte von A, B und C proportional werden zu — cot J5, null und cot C + cot B. Nimmt man L' ein wenig anders, so wird 27 \ a- größer.

Ist endlich cot G negativ, also C > 90", so ist Winkel C nicht zu messen, und es ist L' = — h cot C zu setzen, womit die Gewichte von A , B und C proportional werden zu — cot C, cot B -{- cotC und null.

Für die Funktion F" allein ist die direkte Messung von A am besten, wie man aus Z j ß.' ' leicht erkennt, indem diese Summe für i" = 0 ein Minimum wird.

Die Bedingungen des Minimums für M^ lauten nach (9) S. 565:

0 —		bcotB —	L'	b cot C-\-L'
		i?j		^,
0 =	b — L" B,		L" B,	—	L"
L' 1	[b, ^ B.	+	Bj-	bcotB	bcotC B,

(ö)

oder

\ xij B^ B^ } By Hierin ist zu setzen:

(^) , ^

E„ = y(p cot C + L'f 4- L"^.

Man kann 6=1 setzen, da die g den B. proportional sind und es für sie nur auf Verhältniszahlen ankommt.

Die allgemeine Lösung ist nui' füi- ein zu C gleichschenkliges Dreieck bequem.

570 Neuntes Kapitel. Ökonomie der Beobachtungen.

Das iu C gleichschenklige Dreieck verlangt zweifellos 9i. ^^ 9-2 ^^^^ -^1 ^ -^2 • ^^^ setzen 6 = 1 und erhalten aus i?^ = /<*, die Beziehung: (7) i/'=Z"tan£ — cotC.

Damit wird, weil 2(l -f- tan 5 cot C) = sec^5 ist:

i,'^2= B^^=L"^ sec^'B - L"sec^B + csc^C ^^^ B,'=L"-'sec'B.

Mithin gibt die zweite Gleichung (5*):

JOt£

^'=ii}±W' — «^■=•'(-^±7^)

und

CSC B sec B cot B

^ * ji« — '^ -1- \~ ^^

(9) B, = B,.'^", Jl,-'-^ 1±

Die Gl. (5*) zeigen, jede für sich, daß hierin nur das untere Zeichen brauchbar ist und zwar für B ^ 30*^, also cot B ^ ]/3 . Bei B <C 30° versagen die Gl. (5*), d. h. es gibt keine Ausgleichung, sondern das Minimum verlangt, daß einer der Winkel das Gewicht null erhält. Die g^ sind nach (16), S. 567, zu bilden.

Zunächst wird für B > 30" im Falle des Minimums:

(10) ÜI2= Ift2(sec5 +'/3csc^)2: &;

2 CSC B ^,

j/3 sec B + 3 C8C 5 y^ sec B — CSC J5 ~

ys sec B 4-3 CSC 5

Für 5 < 30° gelten noch die Gl. (8); um [B.\ möglichst klein zu machen, ist jRg = 0 und also L" = 0 zu nehmen. Es wird Ej = 7?2 = esc C und

(11) 3P= -i^ii^csc^C-.G:

Man sieht leicht, daß füi- kleine von null verschiedene Werte L" 31^ größer wird, als dieser Minimalwert (ll).

Ist b von 1 verschieden, so muß der Ausdruck für M^ noch mit b^ multipliziert werden.

§ 3. Günstigste Gewichtsverteilung bei Punktbestimmung. 571

Das in B gleichschenklige rechtwinklige Dreieck gibt cotB = 0 und cot C = 1. Hier wird also für 6=1:

Um durch allmähliche Annäherung die Aufgabe zu lösen, nehmen wir entsprechend der Gleichheit der drei Winkelge-sv-ichte in den Gl. ('5*) die i? = 1 und erhalten L' = — \^ , X''= -(- 1-.

Hiermit folgt aus (4) i?j= i?3 = 0,745; i?2== 0,47; [i?.] = 1,96.

:\Iit diesen Werten geben die Gl. (5*) L'= — 0,28, L" = -f- 0,28, und es wixd B^ = B^ = 0,77; Ä, = 0,40; [i?.] = 1,94.

Die Fortsetzung zeigt, daß immer L' = — L" bleibt, aber die Annäherung ans Minimum nur langsam erfolgt. Nehmen wir X' = — L"=L, so folgt

B^ = 7?3 = y\+2L + 2i2 und B^ = Y^l} = L ]/~2", womit die Gl. (5*) eine quadratische Gleichung für L ergeben mit

Das obere Zeichen gibt i = — 0,211; B^ = B^ = 0,82; i?2 = 0,30; [i?,] = l,93.

Das untere Zeichen widerspricht den Gl. (5*).

Das Minimum tritt demnach ein, wenn die Winkelgewichte sind :

(13) ^^ = ^3=0,42 6^, ^.,= 0,16G^, wobei

(14) 3P = 3,7 (i^ : G .

Ist b von 1 verschieden, so ist bei Jf^ noch der Faktor &' hinzuzufügen.

Sachregister.

(Die beigefügten Zahlen bezeichnen die Seiten.)

Abbesches Kiiterium für die Fehler- untersQchung 341 , modifiziertes — 343.

Ablesefehler bei Teilkreisen 484.

Abrunduugsfehler 332.

Absolutsumme der Verbesserungen zu einem Min. zu machen 554.

Abweichung vom (Jaußschen Fehler- gesetz bei Vermischung von Be- obachtungsreihen 355.

Abzählen des wahrscheinl. Fehlers nach Gauß 34, nach HausdorfF 35 ; Beispiel 351.

Ältere Ausgleichungsverfahren 120, 554, 557.

Äquivalente Beobachtgsreihen. 213.

Algorithmus von Gauß 120.

Andraes Formel für den Durch- schnittsfehler bei direkten Be- obachtungen 77, — Kontrollfonnel für sphär. Exzesse 514; — Satz von der maximalen endlichen Wahrscheinlichkeit der Ausglei- chungswerte 119.

Annäherungsmethode der engl. Lan- desvermessung bei Ausgleichg. von Richtungsbeobachtgn. 199.

Anschlußzwang bei Stationsaus- gleichungen 545.

Arithmetisches Mittel 70; füi- das- selbe ist ['/.}.] ein Min. 71: es ist der wahrscheinlichste Wert 94.

Auflösbarkeit der Xormalgichgn. bei vermittelnden Beobachtungen 218—220.

Auflösung der Normalglchgn. : un- bestimmte 105. nach Gauß 120, nach Hansen 127, Beispiel 161 — 171; indirekte — 175.

Auflösung der Richtungssätze in Xachbarwinkel 495, 499.

Aufstellungsfehler bei Horizontal- winkelmessungen 482.

Aufstellung der Polygongleichungen 524; — der Seitengleichungen: Beispiel 253, bei kleinen und stumpfen Winkeln 514, 522: — der Winkelgleichungen : Beispiele 48, 254.

Ausflicken unvollständiger Rich- tungssätze 497.

Ausgeglich. Beobachtungswerte 39.

Ausgleichung bedingter Beobach- tungen durch Reduktion auf ver- mittelnde 228, direkt 232, nach Gauß und nach Thiele 240; — bedingter Beobachtgn. mit Un- bekannten 285; — direkter Be- obachtgn. gleicher Genauigkeit 70, — ungleicher Genauigkeit 79;

— großer Systeme von Dreiecken 538; — vermittelnder Beobachtgn. gleicher Genauigkeit nach d. M. d. kl. Qu. 99, — unter der Be- dingung, daß die mittl. F. der Unbekannten möglichst klein werden 111, — nach Thiele 220;

— verm. Beob. ungleicher Ge- nauigkeit 145, — von deren Un- bekannten Bedingungsgleichgn. zu erfüllen sind 262, in 2 Teilen 269, nach Hansen 279, nach Bessel u. Andrae 280, 281, besondere Fälle 281—285; — von Beobach- tungen, welche die Form von Richtungsbeobachtgn. haben 188, Beispiel 192.

Ausschließen einzelner Beobach- tungen 364.

Bedingte Beobachtungen 48, 228, Theorien von Gauß u. Thiele 240,

Sachregister.

573

Formelübersicht 244; — mit Un- bekannten 52, 285. Bcdingungsglchgn. aus Grundlinien

525. Begründung der M. d. kl. Qu. nach dem älteren Verfahren von Gauß (wahrscheinlichste Werte) 94 — 98 ; Andraes Erweiterung der Bedeu- tung der wahr8cheinlich,stenWerte 119; Herleitung der Normalgl. bei vermittelnden Beob. aus dem Prinzip d. arithm. Mittels 102; Begründung nach dem jungem Verfahren von Gauß (Maximal- gewichte) 111, 185; nichtlineare Kombination der Beob. 112, 116; versch. Bedeutung der Lösungen 115; geschichtl. Notiz 116. BeobachtungsdiÖ'erenzen 74, 77. Beobachtungsfehler: versch. Gat- tungen 1 — 5; — von der Ordnung der Beobachtungögrößen 116. Beobachtungsgleichungen 40. Besondere Form des äquivalenten

Systems 296. Bessels Methode für die Ausglchg. der Dreiecksnetze 280, 529; — trigonometr. Reihe z. Interpolation 403, Vergrößerungsfaktor 411, Berücksichtigung unperiodischer Glieder 425. Bestimmung des durchschnittlichen, mittleren u. wahrscheinl. Fehlers aus einer endl. Anzahl von wahren Fehlern 28. Bezeichnungen: 9' Durchschnitts- fehler 20. fi - mittleres Fehler- quadrat 20, V* Durchschnitt der 4. Potenzen 31, Q wahrscheinlicher

Fehler 20, s wahrer Beobach- tungsfehler 25, l plausibelster Be- obachtungsfeh- ler 25, l Beobachtungs- größe 39, g Gewicht 79, Q Hilfsgröße für reziproke Ge- wichte 104. Beziehungen zwischen Durch- schuittsfehler, mittlerem und wahrscheinl. Fehler 21.

Bildung der Nonnalgleichgn. 148, •233, 287.

Börschs Verfahren zur Aufstellung der Polygongleichungen 524.

Boscovichs Ausgleichungsverfahren 120, 557.

Bruns Abhdlg. über günstigste Ge- wichtsverteilung 550; — Ver- fahren zur Bestimmung von Durchmesserkorrektionen 454.

Darstellung der Unbekannten als Funktionen der Beob. 103.

Diagonalsysteme 523.

Direkte Beobachtungen 39, 70.

Direkte Berechnung des mittleren Fehlers ist genauer als die in- direkte 33.

Direkte Berechnung des Funktiona- wertes bei vermittelnden Beob- achtungen 185.

Distanzmesser V. tleichenbach : Kon- stautenbestimmung, Beispiel 89.

Dreieck aus 1 Seite u. 2 Winkeln 64, 311.

Dreieck aus 2 Seiten u. 2 Winkeln 249.

Dreiecksnetz von Gauß 251.

Dreiecksnetz, vierpunktig 312, Feh- lerellipse dazu 326.

Dreieckswiukelsummen: Beispiele ;i7, 349.

Drei Richtungen bei Stationsaus- gleichungen 531.

Drei Unbekannte bei Normalglchgn. 150.

Drittes Auflösungsverfahren bei vermittelnden Beobachtgn. 156.

Durchmesserkorrektionen für Teil- kreise 442; symmetr. Verfahren der Bestimmung nach Schreiber 450, Verfahren nach Bruns 454.

Durchschnittsfehler 18,20, bei direk- ten Beobachtungen 77, bei ver- mittelnden Beobachtungen 138.

Durchschnittswert einiger Produkte für zufällige Fehler 26.

Eggerts günstigste Punktlagen 550. Einführung von Näherungswerten

der Unbekannten 171. Einschaltungen im Dreiecksnetze

544, ohne Zwang 547. Einseitig wirkende Ursachen 16,

bei Längenmessungen 58. Einstellfehler bei Mikroskopen 484. Elementarfehler 13. Elementen-Ausgleichung 47, 99.

574

Sachregister.

Erfahrungsmäßige Forai d. Fehler- gesetzes 11. Exponentialgesetz 11. Exzentrizität der Alhidade 43.0.

Fechiiers Formel für den Durch- schnittsfehler bei direkten Be- obachtungen 77.

Fehlerellipsen 303.

Fehlergesetz 11, — für welches das arithmetische Mittel den wahr- scheinlichsten Wert gibt 94, — nach Schols bei Vermischung von Beobachtungsreihen 357.

Fehlergleichungen .oi), 40.

Fehler der Theorie 331.

Fehlerverteilung bei Gauß' Gesetz 348.

Ferreros internationale Fehlerformel 534.

Flints Kontrolle für die Q 133, 149.

Formen der Ausgleichungsaufgabe 39.

Fortschreitender Fehler der Mikro- meterschrauben 470.

Freie Funktionen 220.

Funktionen direkt beobachteter Größen 54.

Gauß, Carl Friedrich : Theoria com- binationis observationum 6, 117.

Gaußsche Bedingung für zufällige Fehler 10.

Gaußsches Fehlergesetz 13, — Fünf- eck 251.

Gauß' gesonderte Auflösung der Winkel- u. Seitengleichgn. 536, Näheningsverfahren 538, allmäh- liche Annäherung 539; — in- direkteAuflösungd.Normalgl.175.

Gemeinsame Form d. Ausgleichungs- aufgaben 53.

Genauigkeit il,» 25.

Genauigkeitsmaße 18.

Geometrische Bedingungen d. Drei- ecksnetzes 508.

Gerades Fehlergesetz 12.

Geschichtliche Notiz 116, — über Fehlerellipsen 308.

Gewicht einer Beobachtung 79, Prüfung und Verbesserung der Annahmen 358; Zerlegung von a- in Teile 362.

Gewichte der Unbekannten 125.

Gewichtsgleichungen 126.

Gewichtszahlen bei heterogenen Beobachtungen 98.

Gleichung eines Meterstabes 393.

Gleichwertige Beobachtungsreihen 213.

Graphische Ableitung des Fehler- gesetzes 350.

Graphische Ermittelung einer Funk- tionsform 384.

Grobe Fehler 1.

Große Dreieckssysteme 538, Aus- glchg. nach Elementen, Koordi- naten 542.

Grundlinienausgleichung 229; Be- dingungsgl. aus Grundlinien 525.

Gültigkeit näherungsweiser Funk- tionsausdrücke 389.

Günstigste Basisnetze 548.

Günstigste Berechnung des mittl. Beobachtungsfehlers 78, 138.

Günstigste Bestimmung eines Punk- tes von der Basis aus 563, Bei- spiel 568.

Günstigste Gewichtsverteilung in Dreiecksnetzen 548, — bei be- dingten Beobachtgn. für 1 Funk- tion 551, für 2 Funktionen 564.

Günstigste Punktlagen bei Ein- schaltungen 550.

Günstigster Zentralpunkt für Seiten- gleichuiigen im Viereck 518.

Häufigkeit, relative, der Fehler 9.

Hagen s Annahme über das Fehler- gesetz 13.

Hansens Methoden für die Ausglchg. d. Dreiecksnetze 277, 284, 528; — Verfahren zur Berechnung der Gewichtsgrößen Q 127.

Helmerts Studien über rationelle Vermessungen 548, — Verwand- lung der Stationsergebnisse einer Besselschen Ausglchg. in einen vollen Satz 530.

Hilfsintervall bei Schraubenprüfun- gen 464.

Horizontalwinkelmessung: Instru- mentalfehler 479.

Hypothetische geschlossene Funk- tionsformen 384.

Included angles 495.

Indirekte Auflösung der Normal- glchgn. 175 — 179.

Indirekte Entfernungsmessung von der Basis aus 560.

Integraltäfelchen für das Exponen- tialgesetz 23.

Interpolation durch Potenzreihen

Sachregister.

575

390, Formel von Lagrange 391; Interpolation durch Kugelfunk- tionen 396, — durch trigonometr. Reihen 403. Instrumentalfehler 331, 463, 473, 479, 484.

Jacobis Formeln zur Auflösung der Normalglchgn. bei vermit- telnden Beobachtungen 151, — indirekte Auflösung der Normalgl. 175.

Jordans Formel für den Durch- schnittsfehler bei direkten Be- obachtungen 77, — Kriterium fürs Ausschließen einzelner Be- obachtungen 366, — Satz für die günstigste Aufstellung der Seitengl. im Viereck 521.

Jürgens Verfahren bei Auflösung von Normalglchgn. 179.

Klammern als Summenzeichen : eckige 9, runde 146, geschlungene 205.

Konstante Fehler 4, 5, bei Längen- messungen 58, bei Repetitions- beobachtungen 502, im Netz 533.

Konstanter Teil k der Beobachtungs- fehler 10.

Kontrolle der Ausgleichung durch versch. Berechnung von [II g] 74, 83, 89, 134; bei bedingten Beob. 245, bei verm. Beob. mit Be- dingungsgl. 266, bei bedingten Beob. mit LTnbekannten 287. Ver- sagen einer dieser Kontr. b. ver- mittelnden Beob. 135.

Kontrollen aus den Bedingungs- glchn. des Minimums 136.

Fontrollen durch Summeugleichgn. 131, — durch Quersummen 133.

Koordinatenausgleichg. bei großen Systemen 542, bei Einschaltungen 546.

Korrelaten 53, 232; — ausgleichung 53, 228; — gleichungen 232.

Kranzsjsteme 523.

Kriterium von Jordan fürs Aus- schließen einzelner Beobachtgn. 366.

Kreisuntersucher von WanschaflF454.

Kugelfunktionen 396, Tafel 398.

Längenmessung: Fehler derselb. 57. Lagrange: Interpolationsformel 391.

Lineare Funktion unabhängiger Be- obachtungen 55.

Maße für die Genauigkeit einer Be- obachtung 18.

Maximalfehler d.Beobachtungen 365.

Mikrometerschrauben 463.

Mittelbildung mehrerer Bestimmgn. von ji" 144.

Mittlerer Beobachtungsfehler 18, 20.

Mittlerer Beobachtungsfehler, be- rechnet aus übrigbleibenden Fehlern bei direkten Beobach- tungen gleicher Genauigkeit 73, 74, ungleicher Genauigkeit 82; bei vermittelnden Beob. 136, 158; bei bedingten Beob. 246, 266, 275.

Mittlere Fehlerberechnung der Un- bekannten a priori und a poste- riori 72.

Mittlere Fehler der Unbekannten bei vermittelnden Beobachtgn. 103.

Mittlerer Fehler in der Bestimmung vom Durchschnittsfehler u. mittl. Fehler aus endlicher Anzahl von wahren Fehlern 29.

Mittlerer Fehler von Funktionen un- abhängig voneinander bestimm- ter Größen 54, eines Vielfachen eines Beobachtungswertes 54, — linearer Funktionen 55, — nicht- linearer F. Co, — aus mehreren Ursachen 67, — des arithm. Mittels 71, — des aus übrigbleib. Fehlern berechneten m. Beobachtungs- fehlers 139, 158, • — in x bei di- rekten Beobachtungen ungleicher Genauigkeit 82, 84.

Mittlerer Fehler einer Funktion der LTnbekannten 180, unrichtige Be- stimmung 187, Zusammensetzung mit Bestimmungen anderer G rößen 187, wenn noch Bedingungsgl. da sind 265; — einer Funktion d. aus- geglichenen Beobachtungswerte bei bedingten Beob. 236, bei be- dingten Beob. mit Unbekannten 288.

Mittlerer Punktfehler 563.

Nachträgliche Berechnung der ^157.

Näherungsweise Darstellung von Funktionen 376, bei gegebener Funktionsform 377, bei unbe- kannter Form 384—427.

Nebenrichtungen: ihre Stellung bei der Ausglchg. 532.

576

Sachregister.

Netzausgloichung- nach bedingten Beobachtgn. 535; drei versch. Methoden von Gauß 536; — nach Koordinaten 542.

Netzbedingungsgleichungen: An- zahl 508, Aufstellung 510.

Netzfehlerquellen 533.

Nichtlineare Bedinguugsgleichgn. 248.

Nichtlineare Beziehungen u. Funk- tionen 53, 63, 171.

Nichtlineare Kombination der Beob. bei der Ausgleichung 112, 116.

Nivellementsnetz: Ausgleichung 233, Inteq)olation zwischen Knoten- punkten 235.

Normalgleichungen 101, 233, 264.

Nullmarke bei Richtungsbeobach- tungen 494, 499.

Ökonomie d. Beobachtungen: Über- blick 543.

Partiell äquivalente Beobachtungs- reihen 293, bei beliebiger Form der Ausglchg. 300.

Periodische Fehler der Mikrometer- schrauben 463.

Persönliche Fehler 331, 333, 484.

Peters Formel für den Durch- schnittsfehler bei direkten Be- obachtungen 77.

Pfeilerdi-ehung 483.

Photometrische Beobachtungen 116.

Pizzettis Konvergenzbeweis für die allmähliche Annäherung durch unvollständige Ausglchg. 541.

Plausibelste Verbesserungen 39.

Potenzreihen 390.

Präzisionsmaß beim Gaußschen Fehlergesetz 25.

Praktischer Vorgang bei der Ge- nauigkeitsberechnung 25.

Prüfung der Beobachtungsfehler auf System. Einflüsse dirrch die Vorzeichenverteilung 334, durch mittlere Fehlergrößen 340, durch Darstellung des Verteilungs- gesetzes 345.

Prüfung der Gewichtsannahmen 358.

Prüfung der Mikrometerschrauben auf period. Fehler 463, günstigste Größe des Hilfsintervalls 464, Modifikation der Ausgleichungs- formeln 467.

Punktbestimmung von der Basis aus 568.

(^: Berechnung 126, Kontrolle 133. Quasisystematische Fehler 427. Quersummen 133.

Rationelle Vennessungen 548.

Rechenkontrollen 131.

Rechenschieber genügt vielfach 207.

Rechentafel (logarithmische) von Scherer, ist benutzt im Beispiel 167/168.

Reduzierte Fehlergleichungen 123, nach Generalleutnant Schreiber 225.

Reduzierte Normalgleichungen 125; sie bilden ein System äquivalenter Beobachtgn. 215.

Regelmäßige Beobachtungsfehler 3, 328.

Reiteration bei Horizontalwinkel- messung 506.

Repetitionsbeobachtungen von Hori- zontalwinkeln 43, 502.

Reziproke Gewichte der Unbe- kannten 107.

Richtungen als Unbekannte bei Stationsausgleichgn. nach Hansen 199.

Richtungsbeobachtungen : Zusam- mensetzung des mittl. Fehlers 68, Beispiele 192, Überblick der Me- thoden 492—500.

Röhrenlibellen 473, Beispiel der Teilwertbestimmung 474.

Rückwärtseinschneiden: Beispiel 204, 309.

Satzbeobachtungen 493, Beispiel 192.

Schematische Berechnung bei Auf- lösung der Normalgleichgn. u. bei der Gewichtsberechnung 161 bis 171, 247, — bei trigonometr. Reihen 413.

Schlußkontrollen 134, 136, 158,245, 287.

V. Schmidts Verfahren für Punktein- schaltung bei Dreiecksnetzen 547.

Schreibers Formel für Aufstellung von Bedingungsgleichungen aus Grundlinien 527; — Satz über die günstigste Gewichtsverteilung in Basisnetzen 553: — symmetri- sches Winkelverfahren: Bei- spiel 209, Theorie 488, 529: — Verfahren zur Bestim- mung von Kreisteilungsfehlern 454.

Sachregister.

577

Seidels indirekte Auflösung der

Normalgleichgn. 180. Seitenglchgn. im Netz 509. Sphärischer u. sphäroidischer Exzeß eines geodätisch. Dreiecks 49, 513. Stampfersches Nivellierinstrument : Formel für die Höhenwinkel- schraube 380. Stationsausgleichung mit Rich- tungsunbekannten 198, Überblick über d. Methoden 528. Stationsbeobachtungen : Überblick über die Methoden 488, nach Bessel 192, 494, nach Schreiber ■ 209, 488, nach Struve 499. — nach dem Repetitionsverfahren : Beispiel 43, 108, 159. Stationsergebnis bei unvollständigen Richtungsbeobachtgn. : L'mwand- lung in einen vollen Satz 530; bei 3 Richtgn. 531. Stationsgewichte bei der Netz-

ausgleichg. 533. Struves Beobachtungsmethode für

Horizontalwinkel 499. Stückweise Ausgleichg. großer Netze

542. Stumpfe Dreiecke b. Seitensfleicho'n.

522, 514. Summen 132, 133, — gleichungen 131. Systematische Beobachtungsfehler 3, 328; ihre Ermittelung durch Vorzeichenprüfung 334, 366, durch mittlere Fehlerberechuung 340, 367, durch versch. Bestimmung der Unbekannten 368. Beispiel 370—375. Systematische Kreisteilungsfehler : Beispiel 370, Interpolationsformel 480. Systematische Visurfehler 485.

TäglicheTemperaturamplitude : Bei- spiel 404.

Teilkreise: Exzentrizität der Al- hidade und mittlerer Wert d. Teilungsfehler 435.

Teilungsfehlerbestimmung 442, ge- schichtl. Notiz 454; .systematische oder periodische Teilungsfehler 480, Größe derselben 481.

Thieles Theorien 116, 120, bei ver- mittelnden Beob. 220, bei be- dingten Beob. 240; Interpolation bei quasisystem. Fehlern 427.

Trigonometrische Reihen 403, 409; schematische Berechnung 413.

Helmert, Ausgleichungsrechuung. 2 Aufl.

Überschüssige Beobachtungen 1.

übrigbleibende Fehler 39.

Uhrgänge: Ausgleichung 391, 427.

Unabhängigkeit des Minimums von der Wahl der Unbekannten 174.

Unbestimmte Auflösung der Normal- gleichungeu 105, auch Erstes Auflösungsverfahren 149.

Ungenaue Definition der Beobach- tungsgroßen 332.

Ungleichheit der Ringdurchmesser eines Nivellierfernrohres : Beispiel 40, 56, 76, 85, 354.

Unrichtige Bestimmung des mittl. Fehlerquadrates einer Funktion der Unbekannten 187.

Untersuchung der Beobachtungs- fehler 328, der plausiblen F. 352.

Unveränderlichkeit der Quadrat- summe der totalen Fehler bei all-

^ mählicher Ausgleichung 84, 147. Unvollständige Ausgleichung: Ver- fahren allmählicher Annäherung nach Gauß 539 ; Konvergenzbeweis von Pizzetti 541. Unvollständige Bestimmungen bei

vermittelnden Beob. 218. Ursachen konstanter und regel- mäßiger Fehler 331.

Veränderlichkeit der Beobachtungs- größen 332. Verallgemeinerung der Bedeutung

der Gewichtszahlen 98. Verbesserung d. Gewichtsannahmen

358. Verbesserungsgleichungen 39. Verbindung von Funktionswerten aus mehreren Ausgleichgn. 301. Vergleichung zweier Wägungs-

verfahren 61. Vergrößerungsfaktor bei Ableitung der Koeffizienten *^jigon. Reihen 411. Vermischung von Beobachtungs- reihen versch. Genauigkeit 355. Vermittelnde Beobachtungen 43, 99, 145, Zusammenstellung der For- meln 148; — mit Eedingungs- gleichungen 51, 262. Versagen einer Schlußkontrolle 135. Verschiedene Formen des Fehler- gesetzes 12. Versicherungsfernrohr 483. Verteilung der Fehler bei Gauß'

Gesetz 348. Verteilungsgesetz der wahren Be-

37

578

Sackregister.

obacMungsfehler: Ermittelung derselben 333, 350; — der übrig- bleibenden Fehler 352.

Vielfaches eines Beobachtungswer- tes 54. •

Visurfehler 484.

Yorzeichenprüfung in der Verteilung d. Fehler 334.

Wägungen nach zwei verschiedenen Verfahren (Borda u. Gauß) 61.

Wahl des Ausgleichungsverfahrens •243.

Wahrscheinlicher Fehler 20.

Wahrscheinlichkeit eines Beobach- tungsfehlers 8.

Wanschatfs Kreisuntersucher 454.

Winkelbeobachtungen : Zusammen- setzung des mittleren Fehlers au:< Richtungsfehlem 68 ; — ungleicher Genauigkeit: Beispiel 86; Über- blick der Methoden 488: sym- metrische — als Ersatz für eine

Reihe Richtungsbeobachtungen 213.

Winkelgleichungen im Netze 509.

Winkelsumme eines Dreiecks: Bei- spiel d. Ausgleichung 48, 248.

Zachariaes Satz für den günstigsten Zgntralpunkt Vjei Seitengl. im Viereck 518.

Zentralsysteme 512.

Zergliederung des mittl. Fehler- quadrats in Teile 362.

Zufällige Beobachtungsfehler 3, 5.

Zusammenfassung mehrerer Beob- achtungen bei der Ausglchg. 290.

Zusammensetzg. d. mittleren Fehler- quadrats der Winkelmessung 485.

Zustandekommen des Gaußschen Fehlergesetzes 13.

Zweck der Ausgleichungsrechnung 5.

Zweites Auflösungsverfahren bei vermittelnden Beobachtgn. 151.

Zwei Unbekannte beiNormalgl. 150.

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QA Helmert, Friedrich Robert 275 Die Ausgleichungsrechnung

H4.5 nach der Methode der kleinster

1907 Quadrate 2. Aufl.

Applied Sei.

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