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Presented
by
Prof. Emil Staomm

in memoriam

1985

es nou-
| les plus

Lä CVULLLVX ES EUJIN RER St PIOpPOSE E melti à la
portée de chacun les principes fondamentaux et les faits essen-
tiels dans toutes les branches du savoir humain. Elle permettra
par ses exposés accessibles, clairs et précis, aux personnes
instruites que les nécessités de la vie ont obligées à se spé
iser, d'étre au courant des plus récentes acquisitions sa à
‘ science et de l'érudition moderne.

Les ouvrages de la COLLECTION PAYOT sont conçus
de manière à fournir, dans toutes les matières, à la fois une
initiation pour les jeunes gens, une lecture d'un passionnant
intérêt pour le grand public cultivé et un précis pour les spé-
cialistes eux-mêmes.

Ne 1. Ésouarr Monrer, Professeur de langues orientales à l'Université de
Genève, ancien Recteur. L’Isiam.

. Came Mhucram. Les États de la Peinture Francaise de
1859 à 1220. ;
N° 3-4. René Canar, Prof, de rhétorique sup'° au Lycée Louis-le-Grand. La
Littérature Francaise au XIX° siècle. Tome 1 (180-1852) —
Tome Il (1852-1900”).

Ne 5. Louis Leser, Membre de l'Institut, Profess" au Collège de France. Les

Anciennes Civilisations Slaves.

N° 6. Pauz Arre. Membre de l'Institut, Recteur de l'Université de Paris.
Éléments de la Théorie des Vecteurs et de la Géométrie
analytique. N

Ne 7. ve Cane. Le Grande Guerre (NI4 190 Aa Histoire

militaire.

E

N° 8. Henri CorpiEer, Membre de l'Institut. La Chine. \/

N° 9 ERNEST BABELON, Membre de l'Institut, Conserv’ du cabinet des Médailles,
Professeur au (Collège de France. Les Monnaies Grecques.
Aperçu historique,

N° 10. Grorces MATISSE, Docteur ès-sciences. LE MOUVEMENT SCIENTIFIQUE
CONTEMPORAIN EN FRANCE. — I. Les Sciences Naturelles.

Ne 11. D’ PIERRE BouLan, Chef du Service de radiologie et d'électrothérapie
, à l'hôpital de Saint-Germain. Les Agents Physiques et ia
Physiothérapie.

N° 12. Hr des à l'Université
— CE QU'IL EST.

Histoire de la

RMODYNAMIQUE.

ofesseur à l’École
de l’Afriquz=.
culture, Membre
Y, Directeur de
s Vins.

uséum d'Histoire

N° 17. L.

en Syrie. La

N° 18. D”

ondant de l’Ins-

N° 19. H.

cuipture recque.

N° 20. H. Anpoyer, Membre de l'Académie des Sciences et du bureau des
longitudes, Professeur à la Sorbonne. L’Œuvre Scientifique de
Laplace.

Ne 21. JEAN BEcQUEREL, Professeur au Muséum National d'Histoire Naturelle.
Exposé élémentaire de la Théorie d’Einstein et de sa
généralisation, suivi d’un Appendice à l’usage des ma-
thématiciens.

Nes 23-24. Maurice Croiser, Membre de l'Institut, Administrateur du Collèzse
de France. La Civilisation Hellénique. APERÇU HISTORICUE.

N°: 25-26. ÉTIENNE GiLsON, Chargé de Cours à la Sorbonne, Directeur d'Etu 'es
à l'Ecole pratique des Hautes Etudes Religieuses. La Philosophie
au Moyen Age.

M. JEAN BECQUEREL

M. Jean BECQUEREL appartient à une famille Fe PR :
fils d'Henri Becquerel, l'illustre auteur de la découverte de
la radioactivité, petit-fils d'Edmond Becquerel et de Jamin,
arrière-petit-fils d'Antoine-César Becquerel, il est né à Paris
le 5 février 1878. Il sortit de l’École Polytechnique en 1899
dans le corps des Ponts et Chaussées, où il a actuellement le
grade d'ingénieur en chef.

En juillet 1903 il fut nommé assistant, puis en 1909 FM
seur au Muséum National d'Histoire Naturelle, titulaire de
la chaire de Physique dans laquelle quatre Becquerel se sont
succédé de père en fils depuis sa fondation (1838). Répétiteur
de physique à l’École Polytechnique (1911), il a rempli à cette
École les fonctions d’examinateur . temporaire (1919-1920)
et de professeur temporaire (1920-1921). Il est lauréat de
l’Académie des Sciences (prix Rivot, prix Hughes).

M. Jean BECQUEREL, soit seul, soit en collaboration avec le
professeur Kamerlingh-Onnes (de Leyde) ou avec M. Louis
Matout, assistant au Muséum, a effectué de nombreuses re-
cherches sur l'absorption de la lumière, les phénomènes optiques
et magnéto-optiques aux très basses températures, la phospho-
rescence, les phénomènes galvano-magnétiques. Il a publis
ses travaux dans les comptes rendus de l’Ac. des Se., les C. R.
de l'Ac. des Sc. d'Amsterdam (en collaboration avec le Prof.
Kamerlingh-Onnes), le bulletin du Muséum, les Ann. de Ch.
et de Phys., le Radium, etc.

Depuis quelques années, il s'est principalement consacré
à l'étude de la théorie d'Einstein ; jugeant nécessaire de dé-
fendre et de propager les idées nouvelles, il expose cette théorie
à son cours du Muséum.

æ

COLLECTION PAYOT

JEAN BECQUEREL

PROFESSEUR AU MUSÉUM D'HISTOIRE NATURELLE

LES IDÉES NOUVELLES SUR LA STRUCTURE DE L'UNIVERS

EXPOSÉ ÉLÉMENTAIRE

DE LA

THÉORIE D'EINSTEIN

ET DE SA GÉNÉRALISATION

SUIVI D'UN APPENDICE

À L'USAGE DES MATHÉMATICIENS

Avec 17 figures dans le texte.

PAYOT & C", PARIS

106, BOULEVARD SAINT-GERMAIN

1922

Tous droits réservés.

MATH & STAT

————

TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION.

PREMIÈRE PARTIE
LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

CHAPITRE PREMIER. — LES NOTIONS ANCIENNES
D'ESPACE ET DE TEMPS.

Systèmes de coordonnées, p. 11. = Le groupe
de transformations de la cinématique classique
(groupe de Galilée), p. 16. — Les invariants fon-
damentaux (temps absolu, espace absolu), p. 18.
— Les bases de la dynamique newtonienne, p. 22.
— Le principe de relativité de la mécanique newto-
nienne, p. 24.

CHAPITRE II. -- LA RECHERCHE DU MOUVEMENT
ABSOLU. L'EXPÉRIENCE DE MICHELSON. LE PRIN-
CIPE DE RELATIVITÉ.. ;

L'expérience de Michdhon. P. Es _ LS con-
traction de Fitzgerald-Lorentz, p. 31. — Le point
de vue d'Einstein, p. 33.

CHAPITRE III. — L'INVARIANCE DE LA VITESSE DE

LA LUMIÈRE. \ 1 T2
Le temps et la bés P. 34. ne Le vi-
tesse de la lumière est une constante universelle,

p. 36.

34

Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays

Copyright 1921 by Payot & C*

TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE 1V.— LA TRANSFORMATION DE LORENTZ.
RELATIVITÉ DE L'ESPACE ET DU TEMPS..

Le groupe de Lorentz, p. 38. — Les lois de
la mécanique doivent être compatibles avec celles de
l'électromagnétisme, p. 40. — L'espace et le temps
relatifs, p. 43. — La loi de composition des vitesses,
p. 44. — L'expérience de Fizeau (entraînement des

ondes), p. 45.

CHAPITRE V. — L'UNIVERS DE MINKOWSKI.
Union de l'espace et du temps, l'Univers quadri-
dimensionnel, p. 48. — Propriétés des couples d'évé-
nements, p. 50. — La contraction des longueurs, p.
52. — La dilatation du temps, p. 53. — Les lignes
d'univers, p. 53. — Le temps propre, p. 55. — La
loi d'inertie, p. 59.

CHAPITRE VI. — DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ..

La masse fonction de la vitesse, p. 60. — L'é-
nergie et ses diverses formes, p. 62. — L'inertie
de l'énergie, p. 64. — Conséquences de l'inertie
de l'énergie, p. 66. — La matière réservoir d'é-
nergie, p. 68. — Unification des principes de la dyna-
mique : conservation de l'impulsion d'Univers, p.
69.

CHAPITRE VII. — VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES.

Les vitesses des électrons, p. 74. — Loi d’ac-
croissement de la masse avec la vitesse, p. 74. -—
La structure des raies spectrales, p. 75. — Signifr-
cation de l'expérience de Michelson, p. 75.

DEUXIÈME PARTIE
LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉ
ET LA GRAVITATION

CHAPITRE VIII. — LE CHAMP DE GRAVITATION ET
L'UNIVERS RÉEL.

Les systèmes galiléens, p. 71. — Lx ER
de l'énergie, p. 79. — L'équivalence entre un
champ de gravitation et un champ de force d'inertie

38

60

74

4 TABLE DES MATIÈRES

(la gravitation est une action de proche en proche ;
égalité de la masse pesante et de la masse inerte ; le
boulet de Jules Verne; le principe d'équivalence),
p. 80. — L'univers n'est pas euclidien, p. 85. — Le
principe de relativité généralisé, p, 86.

CHAPITRE IX. — LES COORDONNÉES DE GAUSS..

Le temps et les longueurs dans un champ de gra-
vitation, p. 89. — Les surfaces et les coordonnées
de Gauss, p. 91. — Extension de la théorie de
Gauss, p. 96. — Courbure de l'Univers réel, p. 100.

CHAPITRE X. — LA LOI DE LA GRAVITATION (EINS-
TEIN). .

Nature de la eo P. 101. = Le tenseurs,
p. 103. — La forme tensorielle des lois est exigée
par le principe de relativité, p. 103. — La loi de la
gravitation dans le vide, p. 105. — La loi de gra-
vitation dans la matière, p. 108. — La loi de New-
ton est une approximation, p. | 10.

CHAPITRE XI. — APPLICATIONS ET VÉRIFICATIONS
DE LA LOI D'EINSTEIN.
Le champ de gravitation ds centre ”.
p. 112. — Le mouvement des planètes (le déplace-
ment du périhélie de Mercure), p. 113. — La dé-
viation d'un rayon lumineux par le soleil, p. 113. —
Le déplacement des raies spectrales, p. 117.
CHAPITRE XII. — LA COURBURE DE L'ESPACE ET
DU TEMPS. HYPOTHÈSES COSMOLOGIQUES..
L'espace fini bien qu'illimité, p. 118. — L'Uni-
vers d'Einstein, p. 121. — L'Univers de de Sitter,
p. 123. — L'accélération et la rotation, p. 124. —
La structure d'Univers et l'éther, p. 125.

CONCLUSIONS GÉNÉRALES, p. 127.

APPENDICE A L'USAGE DES MATHÉMATICIENS

LL — RELATIVITÉ RESTREINTE.

Note 1. — Sur l’invariance de la distance spatiale de deux
événements simultanés

89

101

112

118

134

TABLE DES MATIÈRES

Note 2. — Sur les équations de la dynamique classique. .

Note 3. — Sur l'expérience de Michelson et la contraction de
Fitzgérald-Lorentz. ,

Note 4. — Remarque sur la mesure SPA PAEx

Note 5. — Établissement des formules du groupe de Lave:

Note 6. — La loi de composition des vitesses.

Note 7. — La contraction des longueurs et la dilatation du
temps.

Invariance de M ervohune notion smiel s$ 140.
Note 8. — Sur le temps propre.
Note 9. — La loi d'inertie.

Note 10. — I. Le champ STE PASFESS
Invariance de la charge électrique, p. 144. — er
de l'effet Doppler, de l'aberration de la lumière et de
la pression de radiation, p. 144.
IL Dynamique de la relativité.
La masse fonction de la vitesse (loi 3 Lorentz-Einstein),
p. 146. — L'inertie de l'énergie (énergie cinétique, éner-
gie rayonnante, perte de masse d'un corps qui rayonne,
énergie potentielle de l'électron), p. 148. — L'impulsion
d'Univers et sa conservation, p. 151.

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE
Note 11. — Les tenseurs.. .

Quadrivecteurs, p. 153. — jy PET # 154. — Multipli-
cation des tenseurs, p. 155. — Contraction, p. 155. —
Caractère tensoriel, p. 156. — Tenseurs PS ES
p. 156. — Tenseurs associés, p. 157. — Longueur gé-
néralisée, condition d'orthogonalité, p. 157. — Densité
tensorielle, p. 158. — Symboles de Christoffel, p. 159.
— Dérivée covariante, p. 159. — Formules utiles,
p. 160. — Divergence, p. 161. — Le tenseur de Rie-
mann-Christoffel, p. 162.

Note 12. — Gravitation et dynamique. .
Loi de la gravitation dans le vide, p. KÉ. == Théoe

fondamental, p. 164. — Equations des géodésiques,
p. 164. — Le tenseur impulsion-énergie ou tenseur
matériel, p. 166. — La conservation de l'impulsion-

énergie, p. 167. — La loi de la gravitation dans la

146

163

6 TABLE DES MATIÈRES :

matière, p. 167. — Les équations de l’hydrodyna-
mique, p. 169. — Les forces, p. 170. — La loi
d'Einstein contient toute la dynamique, p. 171. — La
loi de Newton, p. 172. — Propagation de la gravita-
tion, P- 172.
Note 13. — Le champ de gravitation d’un centre matériel.
Expression de ds°, p. 173. — Interprétation physique et
réponse aux objections de M. Painlevé, p. 174. —
Mouvement des planètes, p. 176. — Propagation de
la lumière, p. 177. — Ralentissement du temps et dépla-
cement des raies spectrales, p. 177.
Note 14. — Les lois générales de l’électromagnétisme. . ,
Généralisation des équations de Maxwell-Lorentz, p. 178.
— La conservation de l'électricité, p. 183. — Le ten-
seur d'énergie électromagnétique et la loi générale de
conservation, p. 183.
Note 15. — La courbure de l’espace et du temps.
La courbure non nulle dans le vide, p. 184. — L'é
fermé, p. 186. — L'Univers cylindrique d'Einstein,
p. 187. — L'Univers hyperbolique de de Sitter; la
barrière du temps, p. 189.
Note 16. — Généralisations de Weyl et d’Eddington. NL
Théorie de Weyl, p. 190. — Théorie d'Eddington, p. 195.
Théorie géométrique de l'Univers, p. 196. — Identif-
cation des grandeurs physiques et des grandeurs géo-
métriques, p. 198. — L'électron, p. 203. — Conclu-
sions, p. 204.

173

178

184.

CR

INTRODUCTION

Presque tout le monde a entendu parler de la révolu-
tion qui, depuis quelques années, a bouleversé les notions
jondamentales sur lesquelles reposaient la mécanique et la
physique. Je me suis efforcé, dans ce petit livre, d'exposer
les grands traits de la nouvelle théorie avec le minimum
de calculs, presque sans calculs, en admettant seulement
que le lecteur possède les notions les plus élémentaires de
géométrie et d'algèbre. J'ai fait suivre cet exposé d’un
appendice où les personnes familiarisées avec le calcul dif-
férentiel trouveront une sorte de précis de la théorie ma-
thématique.

En 1905, un jeune physicien de génie, ALBERT
EiNSTEIN, pour expliquer l'échec de toutes les tentatives
destinées à mettre en évidence le mouvement absolu de la
terre dans l'espace, a eu l'audace d'abandonner les idées
basées sur les apparences les plus familières. Il a déve-
loppé sa théorie en deux grandes étapes : la relativité res-
treinte au mouvement en ligne droite avec vitesse constante,
et depuis 1912 la relativité généralisée. S'étant élevé au-
dessus de Copernic, de Galilée, et de Newton, Einstein a
découvert la véritable loi de la gravitation, qui contient en
elle les principes généraux de la mécanique, et a été con-
duit à une impressionnante conception de l'univers.

8 INTRODUCTION

On s'imagine à priori que { l’espace » dans lequel on
observe la matière et dans lequel on mesure des distances -
est quelque chose d’absolu. On croit aussi que ( le temps »
est universel et absolu, que la simultanéité de deux événe-
ments a un sens bien défini ; on ne voit aucun lien entre
l’espace et le temps, qui apparaissent comme deux indivi-
dualités bien séparées.

Ces notions doivent être abandonnées aujourd'hui. L’es-
pace et le temps ne sont ni absolus ni indépendants : ils
sont unis et forment un Univers à quatre dimensions, qui
seul possède une individualité ; en termes plus précis :
chaque observateur décompose l'Univers en “ espace Ÿ et en
€ femps », et deux observateurs en mouvement l’un par
rapport à l’autre font deux décompositions différentes.

Chacun connaît, au moins un peu, la géométrie d'Eu-
clide ; nous verrons qu'en toute rigueur l'espace-temps
n'est pas régi par les lois de cette géométrie, telles qu'on
peut les étendre à une multiplicité à quatre dimensions.
Une sphère, un ellipsoïde, eic., constituent des surfaces
courbes auxquelles la géométrie euclidienne du plan ne
s'applique pas : de même l'Univers possède une courbure.
Cette courbure se manifeste à nos yeux par le phénomène
de la gravitation universelle ; elle se traduit à nous par
l'existence d’une force d'inertie qui nous a donné l'illusion
d'une force attractive émanant de toute matière et agissant
à distance sur toute matière.

Il n'y a plus, comme dans l’ancienne mécanique, de
masse invariable caractérisant une quantité déterminée de
matière. La masse se confond avec l'énergie ; elle varie
avec la vitesse et elle est relative à l'observateur car ilny
a pas de vitesse absolue, toutes les vitesses de translation
étant relatives.

INTRODUCTION 9

Enfin l'Univers ne doit pas être infini dans toutes ses
dimensions, et la quantité totale de matière existante doit
être limitée.

La mécanique classique garde son importance parce
qu'elle constitue une approximation plus que suffisante
* dans la pratique, et en général satisfaisante en astronomie
et en physique. Mais il est nécessaire de savoir que les
notions d'espace et de temps sur lesquelles elle a été fondée
sont inexactes, et d'expliquer certains écarts constatés entre
les faits expérimentaux et les prévisions déduites des
anciennes lois.

On doit répandre les idées nouvelles. Loin de conduire
à une complication de la science, elles révèlent une admi-
rable harmonie, une merveilleuse synthèse des lois natu-
relles par laquelle on aperçoit pour la première fois les
liens qui unissent des phénomènes qu'on pouvait croire
indépendants.

La principale difficulté qu'on rencontre dans le dévelop-
pement de la théorie de la relativité vient de la répugnance
à abandonner des idées acquises, et de l'étonnement où
l’on se trouve plongé devant certaines conséquences qui,
par leur étrangeté, choquent ce que l’on considérait comme
le bons sens. Je demande au lecteur d’avoir le courage, en
abordant cette étude, de renoncer résolument à toute idée
préconçue. |

Pour la rédaction de cet opuscule, j'ai eu recours aux
mémoires de M. Einstein, aux conférences de M. P. Lan-
gevin qui a introduit en France les idées nouvelles et a
beaucoup contribue à leur développement, enfin aux
ouvrages de M. Éddington.

PR

à KT

PREMIÈRE PARTIE
LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

CHAPITRE PREMIER

LES NOTIONS ANCIENNES D'ESPACE
ET DE TEMPS

L'analyse des conceptions anciennes d'espace et de
temps, sur lesquelles sont fondées la géométrie et la méca-
nique rationnelle, nous conduira à l'expérience célèbre par
laquelle Michelson avait pensé mettre en évidence le mou-
vement absolu de la terre dans l’espace.

J'admettrai que le lecteur possède les bases de la géo-
métrie d'Euclide (lignes droites et lignes courbes, droites
parallèles, droites perpendiculaires l’une sur l’autre,
angles, etc...) : ces bases sont d’ailleurs presque intuitives.
Je rappellerai seulement ce qu’on entend par ‘* système de
coordonnées ”, en priant les lecteurs qui seraient peu fami-
liarisés avec les mathématiques de ne pas s'effrayer de
l’aridité du début de ce chapitre. Il suffit d'un peu de ré-
flexion pour reconnaître qu'il s'agit de notions très simples,
et ces notions sont indispensables pour la compréhension
de la théorie d'Einstein.

SYSTÈMES DE COORDONNÉES. — Supposons qu une
figure géométrique soit dessinée sur une feuille de papier
plane. Si nous voulons préciser la forme de cette figure, il

“

12 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

nous faut un moyen de repérer la position de chacun de
ses points ; d'une

ten façon générale,

l'étude des figures
0 io de qu'on peut tracer sur.

x un plan exige quon

ait un moyen de

Fic. 1. désigner sans ambi-
guïté un point quel-

conque de ce plan : on y parvient à l’aide d'un système de

coordonnées.

Nous pouvons, par exemple, marquer un point O sur
la feuille de papier et tracer, dans une direction d'ailleurs
arbitrairement choisie, une droite Ox passant par ce point
(fig. 1). Joignons au point © le point À que nous voulons
repérer, puis mesurons la distance OA et l'angle que for
ment les droites OA et Ox; ces deux grandeurs, dis-

tance OA et angle xOA sont dites ‘ cocordonnées du
point À ”: elles déterminent entièrement la position de ce
point car, le ‘ pôle ” O et l'axe Ox ayant été choisis une
fois pour toutes, à chaque groupe de deux coordonnées cor-
respond un point du plan et un seul. Ces coordonnées sont
appelées coordonnées polaires.

Un autre système de coordonnées, dont nous ferons
constamment usage, est celui des coordonnées cartésiennes
rectangulaires. Par un point fixe O, appelé origine des
coordonnées, traçons deux droites rectangulaires Ox, Ow
qui seront les axes de coordonnées (fig. 2). Nous pouvons
repérer tout point du plan par sa position relativement à
ces axes : en effet, du point À: abaissons, sur ces deux
axes, deux perpendiculaires; nous déterminons ainsi la
projection B; du point considéré sur l'axe Ox, et sa pro-

-

LES NOTIONS ANCIENNES D ESPACE ET DE TEMPS |3

jection C1 sur l'axe Oy ; les distances x; — OB, et
y — OCà, comptées sur chacun des axes à partir de l'ori-
gine O (positivement dans un sens, négativement en sens
opposé), sont les coordonnées cartésiennes du point Ai.
Prenons maintenant un second point À>, de coordonnées

TNA AES | VOS HAS
| O RD
1 p:
Fic. 2.

x2 et y2, et proposons-nous d'exprimer la distance des deux
points À, et À> en fonction de leurs coordonnées : d’après
le théorème de Pythagore (le carré construit sur l’hypoté-
nuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés
construits sur les deux autres côtés), on a

AA;= AD + A;D°

14 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

ou, en désignant par / la distance AA: des deux points,
(1) P = (x — x) + (ye — y).

Dans ce système de coordonnées, le carré de la distance
de deux points est égal à la somme des carrés des diffé-
rences de leurs coordonnées.

La géométrie des figures tracées sur notre feuille de
papier plane est à deux dimensions, puisque deux coordon-
nées (deux quantités variables d’un point à un autre) sont
nécessaires et suffisantes pour déterminer la position d'un
point du plan. Un plan est une ” multiplicité bidimension-
nelle ” *,

Passons maintenant à la géométrie des figures tracées,
non plus seulement sur un plan, mais dans l’espace ; 1l nous
faut introduire une troisième dimension : à la longueur et

à la largeur vientse
Z joindre la hauteur.

Prenons dans
l’espace un plan de
référence P (repré-
senté en perspec-
tive sur la figure 3).
Dans ce plan nous
pouvons, comme
précédemment,

Fic. 3. choisir un point

origine © et deux

axes de coordonnées Ox, Oy. Soit À; un point quel-
conque de l’espace ; de ce point abaissons une perpen-

1. Il en est de même, d'ailleurs, d'une surface courbe, mais la géométrie des
surfaces courbes n’est plus la géométrie d'Euclide. Nous reviendrons plus tard sur
cette question.

LES NOTIONS ANCIENNES D'ESPACE ET DE TEMPS Î|5

diculaire AM; sur le plan P; le point A: est entière-
ment défini par les coordonnées x: et y: de sa projec-
ton M, sur le plan, auxquelles il faut joindre sa distance
z—= AM; au plan (considérée comme positive d'un côté
du plan et comme négative du côté opposé). Le point A:
a donc trois coordonnées x1, y:, z1 (coordonnées carté-
siennes rectangulaires) : en d’autres termes, l’espace est une
” multiplicité tridimensionnelle ”

La construction que nous venons de faire revient à la
suivante : par un point © de l'espace, choisi comme origine
des coordonnées, nous faisons passer trois plans rectangu-
laires xOy, xOz, yOz qui se coupent suivant les droites
rectangulaires Ox, Oy, Oz. Les distances x1, y1, z1, d'un
point À; de l'espace aux trois plans yOz, xOz, xOy, choi-
sis une fois pour toutes, sont les coordonnées cartésiennes
de ce point.

Par une extension facile de la formule (1), le carré de
la distance de deux points A; et A> de l'espace a pour
expression, en fonction des coordonnées x1, y1, z1 et x2, yo,
z> de ces deux points

(2) F — (2 er, x) 3 (y2 — y} TT: (22 HE z)°.]

Un premier système de coordonnées Oxyz ayant été
choisi et tous les points de l’espace ayant été d’abord rap-
portés à ce système, nous pouvons changer de système en
adoptant ensuite un second système O'x y z. Supposons
que ce second système soit immobile par rapport au pre-
mier. Six quantités sont nécessaires et suffisantes pour déf-
mir la position relative des deux systèmes d’axes : ce sont
trois longueurs (les coordonnées de l’origine O’ du second
système prises dans le premier système) qui déterminent la
» position relative des deux origines O et O, et trois angles

16 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

qui définissent l'orientation relative des axes des deux sys-
tèmes. En géométrie analytique, on établit les formules
qui permettent, connaissant ces six quantités, de passer
d'un des systèmes à l’autre, c'est-à-dire d'exprimer les coor-
données nouvelles x’, y ,z d’un point en fonction des coor-
données anciennes x, y, z du même point (et inverse-
ment).

Tous les systèmes de coordonnées (en nombre infini)
immobiles les uns par rapport aux autres, constituent, à vrai
dire, un seul et même système de référence (terme à retenir
pour la suite), car on peut les supposer tous liés à un
même corps de référence rigide. Par exemple, pour les phé-
nomènes terrestres, 1] est naturel de prendre la terre comme
corps de reférence et d'adopter un système quelconque de
coordonnées lié à la terre’.

LE GROUPE DE TRANSFORMATIONS DE GALILÉE.
— Supposons maintenant que, connaissant les coordonnées
d'un point dans un premier système de coordonnées S
(Oxyz), on demande les coordonnées du même point de
l'espace dans un second système S' (O'x'yz) en mouve-
ment par rapport au premier système.

Ici s'introduit une notion nouvelle : mouvement signifie
changement de position, et ce changement implique la
notion de ‘ temps ”.

Considérons un système S' (O'xyz) en mouvement
rectiligne et uniforme par rapport au système S (Oxyz)
c'est-à-dire se mouvant comme un ensemble rigide, par rap-
port à S, en ligne droite et avec une vitesse constante v.

1. Il est vrai que la terre, dont l'écorce présente des marées, n'est pas un
corps rigide, mais précisément on évalue les oscillations de l'écorce terrestre en les
rapportant à un corps de reférence fictif supposé rigide, le géoïde.

pr

La
s 4

LES NOTIONS ANCIENNES D'ESPACE ET DE TEMPS |]

Pour n'envisager que le cas le plus simple, nous suppose-

_rons que les axes des x et des x’ sont confondus et paral-

lèles à la direction de la vitesse (fig. 4), que les axes des
y et des y, des z
et des z sont pa-
rallèles, et quon
compte le temps 4
à partir du moment
où les deux origi-
nes O et O' sont
en coïncidence.
Les formules de
transformation ME CAE TEE 7
sont évidentes: ’

pendant le temps f, bit PRES EURE
le point O' s'est PA ho
déplacé, à partir Le,

du point O, de la
longueur vf (par
définitionmêmede Éd.

la vitesse qui est

égale au quotient du trajet parcouru par le temps employé
à le parcourir) : donc, à l’époque f, la coordonnée x’ d’un
point, quel qu'il soit, est inférieure à la coordonnée x du
même point dans le système S, de la longueur parcourue
par © c’est-à-dire de vf; d'autre part les y et les z restent
constamment égaux aux y et aux z; on a donc (avec cette
disposition particulière des axes des deux systèmes S et S')

Là ,
L24
<a Le

/

(3) x —=x— 01; dy; Z —2Z.

Ce sont les formules de transformation qui permettent de

passer du système S au système S°. Ces trois relations défi.

2, BECQUEREL

18 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT |

nissent une transformation dépendant d'un seul paramètre,
la vitesse v, et toutes les transformations de ce genre cor-
respondant à toutes les valeurs de v constituent un groupe,
c'est-à- dire que deux transformations successives de vitesses
v et o équivalent à une transformation unique de même
forme ; on a d' ailleurs pour cette transformation unique une
vitesse D —=v0 +0.

Ce groupe porte le nom de groupe de Galilée. I] consti-
tue la base de la cinématique classique.

LES INVARIANTS FONDAMENTAUX DANS L'ANCIENNE
CONCEPTION DE L'UNIVERS. — La géométrie est la science
des formes dans l'espace ; elle ne s'occupe pas du temps :
cependant, la notion d'espace et la notion de temps inter-
viennent à la fois dans toutes nos observations, car celles-ci
sont déterminées, non pas uniquement par des positions ou
des formes dans l'espace, mais par le fait qu'il se passe
quelque chose en un certain lieu à une certaine époque ;
nos observations sont donc déterminées par des événements.
Tout événement possède quatre coordonnées : trois coor-
données d'espace qui fixent le lieu où il s’est produit (par
rapport à un corps de référence) et une coordonnée de
temps (la durée écoulée à partir d'un événement origine
jusqu’à l'époque où s’est produit l'événement considéré).

Les constatations d'événements nous conduisent à des
relations entre diverses grandeurs mesurées par les observa-
teurs ; ces relations sont les lois de la physique. Il est évi-
dent que ces lois ne peuvent avoir une réalité objective que
si elles sont indépendantes de l'observateur, que si elles
peuvent s'exprimer sous une forme indépendante de tout
système de reférence. Notre premier souci doit être de
rechercher quels sont les éléments invariants, c'est-à-dire

LES NOTIONS ANCIENNES D'ESPACE ET DE TEMPS. 19

les grandeurs indépendantes de tout système de coordon-
nées : nous allons montrer que, dans l'ancienne conception
de l'univers, il existait deux invariants fondamentaux : l'in-
tervalle de temps écoulé entre deux événements, et la forme
des figures géométriques. |

LE TEMPS ABSOLU. — Dans les idées anciennes on
admet que le temps est un invariant : c'est l'hypothèse
du temps universel et absolu. Il est intéressant de chercher
quelle doit être l'origine de ce postulat.

Imaginons un certain nombre de systèmes de référence
en mouvement les uns par rapport aux autres ; dans chaque
système se trouve un observateur, immobile par rapport à
son système.

Deux événements À et B se produisent : pour l'obser-

vateur d'un des systèmes, À est antérieur à B. Pourquoi
sest-on cru obligé d'admettre que À est nécessairement
antérieur à B pour tous les autres observateurs, c'est-à-dire
qu'on ne peut, dans aucun cas, par un changement conve-
nable du système de référence, inverser l’ordre de succes-
sion de deux événements ?

Cela tient à ce qu'on suppose implicitement que,
puisque À s'est montré antérieur à B pour un des obser-
vateurs, 1] a pu être la cause de B, ou tout au moins qu'il
aurait pu influencer B. Comme il serait absurde de suppo-
ser que, pour d'autres observateurs, l'effet puisse être anté-
rieur à sa cause, on est conduit à penser que l'ordre de
succession de deux événements est toujours bien déterminé,
quil est le même dans tous les systèmes.

Demandons-nous maintenant pourquoi on admet que B
a toujours pu être prévenu de À : c'est parce qu'on sup-
pose la possibilité d'une influence pouvant se propager
instantanément. Or cette possibilité, non seulement est com-

e
o?
f

20 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

patible avec la mécanique ancienne, mais est exigée par
cette mécanique où l'on admet la conception du solide
parfait : avec une tige rigide, on aurait pu signaler instan-
tanément la production du premier événement au point où
le second va se produire, et influencer ce second évé-
nement. ù

La notion de possibilité d'une propagation instantanée
entraine celle de simultanéité absolue : deux événements
simultan£s dans un système de référence sont simultanés
dans tous les autres. Il résulte de là que, pour des événe-
ments non simultanés, la durée qui sépare deux événements
A et B est la même pour tous les observateurs en mouve-
ment les uns par rapport aux autres : considérons, en effet,
deux systèmes S et S' dans chacun desquels les observateurs
ont des horloges identiques. Prenons À comme événement
origine du temps dans chacun des systèmes: B se produit
à l'époque { du système S et à l’époque { du système S :
la simultanéité étant absolue, les indications { et { des deux
horloges constituent deux événements simultanés, non-seu-
lement pour les observateurs des systèmes S et S', mais pour
tout observateur: cela signifie que les heures marquées sont
les mêmes pour tous les observateurs : l'intervalle de temps
éparant À et B est absolu.

On voit que les notions de solide parfait (corps rigide)
de propagation instantanée, de simultanéité absolue, de
durée absolue s'unissent et s'adaptent complètement les
unes aux autres. Qu'une de ces notions vienne à être ren-
versée, tout l'échafaudage s'écroulera.

L'ESPACE ABSOLU. — La notion d'espace absolu dé-
rive aussi de l'idée du solide parfait, ou encore de l'inva-
riance de forme des figures géométriques.

Nous avons dit plus haut que la géométrie ne s'occupe

“

LES NOTIONS ANCIENNES D'ESPACE ET DE TEMPS 2

pas du temps; en termes plus précis, nous pouvons dire
qu elle envisage seulement des événements simultanés, car
la forme d'un objet est l'ensemble des positions simultances
de tous ses points (définition de M. P. Langevin). Si l’on
admet que la simultanéité est absolue, une figure géomé-
trique a une forme absolue, indépendante de l'état de mou-
_ vement du système de référence : par exemple un corps
qui a la forme d'une sphère pour un observateur doit,
d'après les idées anciennes, être encore une sphère pour
tout observateur en mouvement par rapport au premier.

Nous trouvons alors un invariant fondamental de l’espace
dans la distance spatiale de deux événements, à condition
toutefois que ces événements soient simultanés (appendice,
note |).

D'autres invariants sont d'ailleurs envisagés en géomé-
trie : ce sont les angles, surfaces, volumes.

Les équations qui expriment les lois de la géométrie sont
sous la forme requise pour que ces lois soient objectives,
car elles ne changent pas de forme par application des for-
mules de transformation de coordonnées quand on passe
d'un système de coordonnées à un autre.

Cette invariance de forme correspond à une réalité indé-
pendante de tout système de référence : l'espace de la
géométrie euclidienne, l'espace absolu.

Lorsque deux événements ne sont pas simultanés, leur
distance spatiale cesse d'être un invariant : elle dépend du
système de référence. Par exemple : un observateur quitte
un lieu À dans un véhicule qui le transporte dans un lieu B.
Le départ de À et l’arrivée en B sont deux événements ;
quelle est leur distance dans l'espace ? cela dépend du
système de référence : dans un système lié à la terre, cette
distance est la distance des deux points de la terre À et B ;

:
22 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

dans un système de coordonnées lié à l'observateur, la :
distance est nulle, puisque les points de ce système où se ”
sont passés les événements sont en coïncidence.

Ainsi, la distance de deux événements non simultanés
est relative au système de référence, Sans doute, s'il y à
un espace absolu, 1l doit y avoir une distance absolue dans
cet espace, mais l'observateur ne peut pas la connaître
parce que, ignorant son propre mouvement dans l'espace
absolu, il ne peut pas tenir compte du trajet qu'il a par-
couru pendant le temps écoulé entre les deux événe-
ments.

Voilà un résultat étrange et peu satisfaisant pour l'es-
prit : la cinématique classique fait envisager une dissymé-
trie entre les propriétés de l'espace et celles du temps :
l'espace que nous percevons serait absolu pour les événe-
ments simultanés, relatif pour des événements non simulta-
nés, alors que le temps serait toujours absolu.

Cette dissymétrie disparaïtra dans l’espace-temps de la
théorie nouvelle,

LES BASES DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE, — La
dynamique introduit deux notions nouvelles, celle de force
et celle de masse.

Tout d'abord, il existe, dans l'ancienne mécanique, une
loi fondamentale appelée loi d'inertie de Galilée : tout
corps sur lequel n'est appliquée aucune force reste au repos
ou se meut dans l'espace d’un mouvement rectiligne et uni-
forme.

Autrement dit : la matière conserve d'elle-même le
mouvement acquis, tant qu'aucune influence, appelée force,
ne l'oblige à modifier son mouvement. L'inertie est cette
tendance de la matière à garder son état de mouvement. …

LES NOTIONS ANCIENNES D'ESPACE ET DE TEMPS 23

Lorsqu une force est appliquée sur un corps, le mouve-
ment de celui-ci devient accéléré. On appelle accélération
l'accroissement (positif ou négatif) de la vitesse dans l’unité
de temps. Si la force agit constamment dans la direction
de la vitesse acquise, la trajectoire reste rectiligne, la direc-
tion de la vitesse n'est pas modifiée mais sa grandeur est
changée (accélération tangentielle); si, à chaque instant,
la force agit dans une direction perpendiculaire à la tra-
jectoire (normalement à la trajectoire), la vitesse reste con-
stante en grandeur mais sa direction est constamment
modifiée par la force (accélération normale) ; si la force est
oblique sur la trajectoire, il y a à la fois changement de
arandeur et changement de direction de la vitesse.

Ainsi, une force produit une accélération dans la direc-
tion où elle agit ; le rapport entre la grandeur de la force
agissante et la grandeur de l'accélération prise par un corps
sous l'action de cette force est, par définition, la masse de
ce Corps .

Dans la dynamique newtonienne, la masse d'une portion
de matière est, à priori, considérée comme rigoureusement
constante, indépendante des changements d'état que la por-
tion de matière peut subir, indépendante de la vitesse :
cest un invariant qui a même valeur dans tous les sys-

1. Il faut bien se garder de confondre la masse et le poids. Le poids d'un corps
est la’ force qui agit sur lui dans le champ de gravitation de la terre ; il faut diviser
le poids par l'accélération due à la pesanteur pour obtenir la masse.

En un même lieu, tous les objets tombent avec la même vitesse (dans le vide,
sinon la résistance de l'air les ralentirait inégalement) ; cela signifie que l’accéléra-
tion due à la pesanteur est la même pour tous les corps : à Paris, elle est égale à
981 en unités C. G. S., c'est-à-dire que pendant chaque seconde, la vitesse déja
acquise par un corps qui tombe s’accroit d’une vitesse supplémentaire égale à
981 centimètres par seconde. L'accélération étant la même pour tous les corps, il y
a en un même lieu proportionnalité exacte entre les masses et les poids.

- Maïs comme la terre n'est pas rigoureusement sphérique, le poids d'un corps
n'est pas le même partout ; il est un peu plus grand aux pôles qu'à l'équateur ;
cependant la masse reste constante. Sur la lune, les poids des objets seraient

beaucoup plus petits que sur la terre, mais les masses seraient les mêmes.

24 LE PRINCIPE DE REÉLATIVITÉ RESTREINT

tèmes de référence et qui caractérise une quantité détermi-
née de matière.

La force est une grandeur dirigée, un vecteur ; l'acté-
lération est aussi un vecteur qui, d'après ce qui précède,
est dirigé suivant la direction de la force ; la masse est une
grandeur qui n'a pas de direction, un scalaire.

On démontre que les équations fondamentales de la
dynamique conservent leur forme quand on passe d'un
sysième de référence à un autre système en mouvement
rectiligne et uniforme par rapport au premier (appendice,
note 2). On peut les résumer par la relation vectorielle,

indépendante de tout système de coordonnées
UNSS

(4) RE F
QUES
F et y étant les vecteurs force et accélération, et m dési-
gnant la masse de la portion de matière considérée.
L'invariance des lois de la mécanique permet d'en donner
des énoncés intrinsèques, de même que les invariants de la
géométrie (distances, angles, Etc: ) permettent d'énoncer les
théorèmes sans faire intervenir des axgs de coordonnées.

LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ DE LA MÉCANIQUE
NEWTONIENNE. — Puisque les lois de la mécanique sont
les mêmes dans tous les systèmes en mouvement de trans-
lation uniforme, il est impossible, par des expériences méca-
niques faites à l'intérieur d’un système clos, de mettre
en évidence un mouvement de translation uniforme de ce
système.

Le mouvement de translation uniforme n’a donc pas un
caractère absolu ; on ne peut parler de translation uniforme
que relativement à un corps de référence considéré, par
convention, comme au repos.

LES NOTIONS ANCIENNES D'ESPACE ET DE TEMPS 25

Ce principe de relativité est conforme à l'expérience.

Par contre, il est essentiel de remarquer que toute accé-
lération a un caractère absolu et peut être mise en évi-
dence par des expériences intérieures à un système ; l'état
d'accélération d'un système se manifeste, à l'intérieur de
ce système, par l'existence d'une force qui, en tout point
du système, agit sur une masse matérielle proportionnelle-
ment à cette masse ; on dit alors que dans un système accé-
léré, 1l règne un champ de force d'inertie. Voici un exemple
bien connu : la rotation de la terre autour de la ligne des
pôles est un mouvement accéléré (tout mouvement qui n'est
pas à la fois rectiligne et uniforme est accéléré ; ici le mou-
vement est uniforme, puisque la vitesse de rotation de la
terre est constante, mais il n’est pas rectiligne). Il règne
alors, en tout point de la terre, un champ de forces centri-
fuges : la verticale n’a pas rigoureusement la même direction
que s1 la terre était immobile ; tout projectile est soumis à
une force (appelée force centrifuge cemposée) qui dévie sa
trajectoire : la même force dévie les vents (vents alizés, vents
contre-alizés) dans la circulation générale de l'atmosphère ;
c'est elle enfin qui a été mise en évidence par l'expérience
célèbre du pendule de Foucault. Si la terre avait été perpé-
tuellement couverte d'un manteau de nuages, empêchant de
constater sa rotation par l'observation du mouvement appa-
rent des étoiles, on aurait cependant mesuré cette rotation
. avec le pendule de Foucault.

CHAPITRE 11

LA RECHERCHE DU MOUVEMENT ABSOLU.
L'EXPÉRIENCE DE MICHELSON. — LE PRINCIPE
DE RELATIVITÉ.

Si, par des expériences mécaniques à l'intérieur d'un
système clos, il est impossible de révéler un mouvement de
translation uniforme de ce système, il en est autrement
lorsque le système n'est plus clos, lorsque l'observateur peut
se mettre en relation avec un milieu extérieur. Il devient
alors possible de mettre en évidence et de mesurer la vitesse
par rapport au milieu extérieur.

Précisément, pour expliquer la propagation de la lumière,
les physiciens avaient supposé l'existence d'un milieu doué
de propriétés quasi-matérielles, l'éther, remplissant tout
l’espace et pénétrant la matière. On devait donc espérer,
par des expériences électromagnétiques * ou optiques, révé-
ler un mouvement de translation -par rapport à l'éther.
L'éther s'identifiant en quelque sorte avec l'espace, on a
appelé ce mouvement le mouvement absolu.

Imaginons que d’un point À dans l’éther parte un signal
lumineux instantané. Une seconde plus tard, l'ébranlement
formera une surface d'onde sphérique ayant pour centre le
point À et pour rayon 300 000 kilomètres, puisque la vitesse
de la lumière est 300000 kilomètres par seconde. Suppo-

L'éther devant être le siège de tous les phénomènes électromagnétiques.

Sy que les ondes hertziennes (T. S. F.) sont de même nature que les ondes
lumineuses.

x

EXPÉRIENCE DE MICHELSON 27

sons qu'un observateur soit parti de À en même temps
que le signal, dans la direction AB et avec la vitesse 0
(fig. 5); au bout d'une
seconde, 1l sera à la dis-
tance AB=»; il ne se
trouvera donc plus au cen-
tre de la sphère et, pour
lui, la lumière ne se pro-
pagera pas avec la même
vitesse dans toutes les di-
rections : la vitesse de la
lumuère, relativement à cet
observateur, devra être, si
l’on désigne par c la vitesse
de la lumière dans l’éther(le rayon de la sphère), BD—c—»
dans la direction de la vitesse v, BE — c<+-0 dans la

Frc: 5:

direction opposée et BE—-VEe— ” dans la direction
perpendiculaire. L'observateur devra pouvoir constater et
mesurer cet effet.

EXPÉRIENCE DE MICHELSON. — Voici le principe de
l'expérience que Michelson a réalisée : Un faisceau de rayons
lumineux issus d'une source lumineuse et rendus sensible-
ment parallèles par une lentille tombe sous l'incidence
de 45° sur une lame de verre À dont la première face est
légèrement argentée ; cette lame réfléchit une partie du
faisceau et laisse passer l’autre partie. Après réflexion nor-
male sur les muroirs M, et M: qui sont placés sur deux
bras rectangulaires, on obtient deux faisceaux qui ont par-
couru, l'un le chemin SOM,OL (fig. 6), l’autre le chemin
-SOM:OL et qui viennent se superposer suivant la direc-

. tion OL ; ils sont reçus dans une lunette L. Tout se passe

28 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

comme si le rayon SOM.OL avait parcouru le chemin
SOM OL, M' étant l'image, appelée plan de référence,
du miroir M, pro-
duite par la lame ar-
gentée À.

Avec ce dispositif,
il se produit un phé-
nomène bien connu en
optique sous le nom
d'interférences lumi-
neuses. Chaque fois
que deux faisceaux
lumineux issus d'une
même source se super-
posent en se propa-
geant dans une même

L | direction après avoir
suivi des chemins dif-
PP férents, on constate
des franges, c'est-à-
dire des lignes alternativement brillantes et obscures dues
au fait qu'en certains points les vibrations lumineuses ajou-
tent leurs effets, alors M
qu'aux points inter- 2
médiaires elles se
détruisent mutuelle- Fe +
ment.

Si les deux bras de l'appareil ont la même longueur,
c'est-à-dire si le miroir M: et le plan de référence M sont
superposés, 1l sufht d'incliner légèrement le miroir M:
(fig. 7) et de viser ce miroir dans la lunette L pour voir
des franges rectilignes (fig. 8). En lumière monochroma-

EXPÉRIENCE DE MICHELSON 12100

tique (une seule couleur pure), on voit dans tout le champ
de la lunette des franges régulièrement espacées, mais
comme l'espacement des franges dépend de la couleur, si
l’on emploie de la lumière blanche
on ne voit plus que quelques franges,
les autres disparaissant par enche-
vêtrement des diverses couleurs; ces
quelques franges visibles sont irisées,
sauf une, la frange centrale qui est
noire et nettement reconnaissable.
On démontre que cette frange centrale est produite par la
superposition de ceux des rayons qui ont mis exactement
le même temps à parcourir les deux chemins .
Si la terre est en mouvement dans l'éther, pour l'obser-
G vateur entrainé avec elle, la
vitesse de la lumière doit
dépendre de la direction.
Considérons de nouveau la
E D surface sphérique sur laquelle
doit se trouver un ébranle-
ment lumineux au bout d'une
seconde (fig. 9). La terre se
trouve en B; par ce point.
menons des parallèles aux
deux bras de l'appareil : BF
et BG sont les vitesses de
la lumière, relativement à l'observateur, suivant les directions
des deux bras de l'appareil ; ces vitesses étant inégales, la
frange centrale, qui correspond aux rayons ayant mis le

Frc. 8.

Fire. 9.

1. Ne pouvant faire ici la théorie des interférences, je dois prier le lecteur d’ad -
mettre tous ces résultats. Ici la frange centrale est noire parce que l’un des rayons
(SO) se réfléchit en O en venant de l'air, alors que l’autre rayon (M, O) se réfléchit
en © en venant de l'intérieur du verre.

30 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

même temps à parcourir les deux bras (aller et retour), ne
doit pas occuper la position qu'elle aurait si la vitesse était :
la même suivant les deux bras, et sa position doit dépendre
de l'orientation de l'appareil par rapport au mouvement
dans l'éther. Par conséquent, si l'on tourne l'appareil (qui
est mobile sur une plate-forme), la frange centrale et avec
elle tout le système des franges doivent se déplacer par
rapport au réticule de la lunette.

Supposons qu'on n'observe aucun déplacement ; si l'on
considère la théorie précédente comme exacte, on doit
penser que B est au centre de la sphère, c'est-à-dire qu'à
ce moment particulier la terre est immobile dans l'éther,
que sa vitesse de translation sur son orbite se trouve, par
hasard, compenser exactement la vitesse du système solaire
dans l'éther. Mais alors, six mois plus tard, la terre ayant
par rapport au soleil une vitesse égale, mais de direction
opposée à celle qu'elle avait la première fois, aura, par
rapport à l'éther, une vitesse égale au double de sa vitesse
orbitale, soit une vitesse de 60 kilomètres par seconde. Pour
observer l'effet, on devra placer l'appareil de manière que
la différence des temps mis par la lumière à parcourir les
deux bras, aller et retour, soit aussi grande que possible,
c'est-à-dire orienter l’un des bras dans la direction de la
translation de la terre sur son orbite : on observera les
franges en les repérant avec le réticule, puis on permutera
les rôles des deux bras en faisant tourner la plate-forme d'un
angle droit; on devra alors observer un déplacement des
franges par rapport à leur position précédente,

L'expérience, faite par M. Michelson en 1881, a été
répétée par MM. Michelson et Morley (1887), puis par
MM. Morley et Miller (1904-1905) dans des conditions

d'extrême précision : par des réflexions successives, le tra-

EXPÉRIENCE DE MICHELSON 31

jet de la lumière entre la lame et les miroirs avait été porté
à 22 mètres. Pour une vitesse de 60 kil./sec., le déplace-
ment des franges, par rotation de l'appareil, devait atteindre
une fois et demie la distance séparant deux franges consé-
cutives, valeur énorme car la précision des mesures était
du centième de la distance de deux franges.

Fait remarquable : on n'a jamais obtenu aucun dépla-
cement des franges à aucune époque de l'année. 7'out se
passe comme si la terre était toujours immobile.

Le désaccord entre l'expérience et la théorie est brutal.
Nous allons en chercher les causes.

LA CONTRACTION DE FITZGERALD-LORENTZ. — L'ex-
périence de Michelson montre que la lumière met le même
temps à parcourir les deux bras de l'appareil (aller et
retour) quelle que soit leur orientation. Admettant l’iné-
galité des vitesses de la lumière dans la direction de la
vitesse de la terre et dans la direction perpendiculaire, on
trouve que les deux bras sont parcourus dans des temps
égaux si l'on suppose que le bras dirigé dans la direction de
la vitesse v de la terre s'est contracté, et que sa longueur,
qu serait / si la terre était immobile, est devenue

2]

U

FES
EAN / le :
| c

c étant la vitesse de la lumière dans l’éther. (Appendice,
note 3.)

L'hypothèse de M. Fitzgerald et de M. Lorentz est
ainsi la suivante :

Pour tous les corps, les dimensions linéaires parallèles
au mouvement dans l'éther subissent un raccourcissement,

dû uniquement à ce mouvement absolu, dans le rap-

22 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

4 Le n] …
28%: 2 5 | : : x
port FE \ / 1|——— Les dimensions perpendiculaires à

c
la vitesse absolue ne sont pas altérées.

Cette contraction serait, en général, très faible (cinq
millionièmes de millimètre par mètre pour une vitesse de
30 kilomètres par seconde) mais elle deviendrait considé-
rable aux très grandes vitesses, et pour une vitesse égale
à la vitesse de la lumière

(9 == €, 1-20

tous les objets seraient réduits à deux dimensions. L'ob-
servateur ne s'apercevrait d'ailleurs jamais de la contraction,
car tous ses instruments de mesure la subiraient, et il la
subiraït lui-même. Il serait impossible de révéler le mouve-
ment absolu.

Cette hypothèse cherche à sauvegarder les bases de la
mécanique classique et la notion de temps absolu dont elle
dérive. La contraction serait bien une contraction réelle
produite par le mouvement absolu dans l'éther; elle serait
la même pour toute matière.

Mais est1l vraiment possible d'admettre que la contrac-
tion, si elle est réelle, soit la même pour tous les corps,
c'est-à-dire soit indépendante de la substance, quelle que
soit la rigidité de celle-c12 se produit-elle aussi pour les gaz,
et alors où est la limite entre un gaz raréñé et l'espace
vide ?

Comment admettre que la contraction soit une propriété
de la matière 2 ne traduirait-elle pas plutôt une propriété
métrique de l’espace dans lequel nous apparaît la matière ?
La théorie d'Einstein nous donnera la réponse,

PRINCIPE DE RELATIVITÉ 33

LE POINT DE VUE D'EINSTEIN. — Pour rendre compte
de l’insuccès de toutes les expériences électromagnétiques
ou optiques par lesquelles on avait cherché à révéler le
mouvement absolu, pour exprimer les faits de la façon la
plus simple, M. Einstein a énoncé les principes suivants :

PRINCIPE DE RELATIVITÉ. — Les lois des phéno-
mènes physiques sont les mêmes dans tous les systèmes
en translation uniforme les uns par rapport aux autres.

Ce principe constitue l'extension aux phénomènes élec-
tromagnétiques et optiques du principe de relativité de la
mécanique. Sous la forme précédente il est restreint au cas
de la translation uniforme.

PRINCIPE DE LA PROPAGATION ISOTROPE DE
LA LUMIÈRE. — Dans tout système en mouvement de
translation uniforme (c'est-à-dire dans lequel ne règne
aucun champ de force d'inertie), la vitesse de la lumière
est la même dans toutes les directions : cette vitesse ne
depend pas de l'état de mouvement de la source lumineuse.

Ce principe particulier, conforme au principe de relati-
vité (restreint), a pour conséquence immédiate que l’expé-
rience de Michelson ne devait rien donner. Le mouvement
de la terre sur son orbite peut, pendant la courte durée
d'une expérience, être considéré comme rectiligne et uni-
forme ; si la vitesse de la lumière est la même dans toutes
les directions, les franges d'interférences gardent évidem-
ment une position invariable quand on tourne la plate-forme
de l'appareil de Michelson.

Nous verrons bientôt comment le principe de relativité,
Joint à la loi de propagation isotrope de la lumière, exige une
transformation radicale des notions d'espace et de temps.

JL. Diverses expériences électromagnétiques ont conduit à des résultats négatifs

3. BECQUEREL

CHAPITRE 111

L'INVARIANCE DE LA VITESSE DE LA LUMIÈRE

LE TEMPS ET LA SIMULTANÉITÉ. — M. Einstein a,

dès le début de sa théorie. analysé d’une manière remar-

_ quable la notion de temps.

On doit d'abord remarquer que, dans toutes les circon-

stances où le temps ” joue un rôle, il s'agit toujours
d'événements simultanés. Quand nous disons : le tram
part à 8 heures, cela signifie : l'indication 8 heures des
aiguilles de l'horloge et le départ du train sont deux événe-
ments simultanés.

La simultanéité de deux événements se produisant au
même endroit (ou presque au même endroit) se passe de
définition, mais une définition devient nécessaire quand il
s'agit de coordonner des événements se produisant en des
lieux éloignés.

Considérons un système S (sans accélération). Au
point À se trouvent un observateur et une horloge immo-
biles dans ce système : l'observateur À peut situer dans le
temps tous les événements qui se produisent dans son voi-
sinage immédiat. En un autre point B, se trouvent aussi
un observateur et une horloge rigoureusement identique à
l'horloge-du point À ; cet observateur B peut, de son côté,
coordonner tous les événements qui se produisent autour

-

… L'INVARIANCE DE LA VITESSE DE LA LUMIÈRE 35

de lui. La question est de coordonner les événements qui
se passent en À avec ceux qui se passent en B, car il
s'agit d'avoir, non pas seulement un temps de À et un
temps de B, mais un temps commun aux points À et B.

Ce temps sera défini de la façon suivante :

Puisque, dans un même système, la vilesse de la lumière
est la même dans toutes les directions (principe de l'isotropie
de la propagation), le temps que met la lumière à aller de
À en B est égal au temps quelle met à aller de Ben A.

Faisons alors partir de À un signal lumineux à l'instant
{, marqué par l'horloge du point À; ce signal arrive en B
à l'instant {, marqué par l'horloge de B; faisons-le réfléchir
sur un muroir placé en B de manière à le renvoyer en A;
il sera de retour en À à l'instant {, marqué par l'horloge
de A.

L'horloge du lieu B est synchrone avec celle du lieu
À, par définition, si l'on a

SA ER
#
on peut dire encore que l'horloge de B est synchrone avec

L!

l’horloge de À lorsqu'un signal lumineux parti de A à
l'époque f, (temps de A) arrive en B à une époque
t (temps de B) telle que
distance AB __
Vogel #1

a —U=t,—Îr ou le

r . «4 2
c étant la vitesse de la lumière .
Cette définition du synchronisme ne soulève aucune

L Un semblable procédé est pratiquement employé pour la qe
- des heures des observatoires et la détermination des longitude: par la T.

36 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT :

objection, car elle est valable pour tous les points du sys- (
tème de”référence. En effet :

1° Si l'horloge de B est synchrone avec celle de À,
l'horloge de À est synchrone avec celle de B.

2° Si l'horloge de À est synchrone avec l'horloge de B
et avec celle d'un troisième point C, les horloges de B et
de € sont synchrones entre elles.

Nous comprenons maintenant ce qu'on doit entendre par
simultanéité de deux événements qui se produisent en des
lieux différents À et B. L'événement FE, au point À et
l'événement E, au point B sont simultanés lorsque les.
époques simultanées à ces événements marquées par deux
horloges synchrones en À et B sont les mêmes.

Par ces définitions du synchronisme et de la simultanéité,
nous avons une définition précise du temps d'un système
tout entier. Il est essentiel de remarquer que cette défini-
tion est basée sur la propagation isotrope de la lumière.

Il est impossible de synchroniser deux horloges en
mouvement relatif, car nous verrons que deux systèmes en
mouvement l’un par rapport à l’autre ont des temps diffé-
rents.

LA VITESSE DE LA LUMIÈRE EST UNE CONSTANTE
UNIVERSELLE. — Le principe de relativité et le principe
de l'invariance de la vitesse de la lumière dans un même
système ont pour conséquence immédiate que la vitesse de
la lumière a la même valeur dans tous les systèmes en
translation uniforme les uns par rapport aux autres.

Si, en effet, la vitesse de la lumière devait être plus
grande dans le système S' que dans le système S, comme
toutes les directions de l'espace sont équivalentes dans
chaque système (isotropie) et que rien ne distingue le

L'INVARIANCE DE LA VITESSE DE LA LUMIÈRE 37

système S du système S puisque les lois physiques sont les
mêmes dans ces deux systèmes (principe de relativité), la
vitesse de la lumière devrait aussi être plus grande dans S
que dans S : on arriverait à une contradiction. Il faut donc
que la vitesse de la lumière soit une constante uni-
verselle.

Il est essentiel de bien préciser la signification de ce ré-
sultat : nous supposons que, dans divers systèmes en trans-
lation uniforme, les observateurs sont munis des mêmes
étalons de longueur, c'est-à-dire de règles qui, si on les
mettait à côté les unes des autres dans un même système
(et bien entendu dans des conditions physiques rigoureu-
sement identiques) auraient la même longueur ; nous sup-
posons aussi que les observateurs ont des horloges étalons
identiques (appendice, note 4). Dans ces conditions, si ces
divers observateurs prennent, chacun dans son système, une
base (de longueur et d'orientation quelconque) et mesurent
le temps employé par la lumière à parcourir cette base, en
. divisant le nombre qui mesure la base par le nombre qui
mesure l'intervalle de temps, ils doivent tous trouver le
même quotient.

CHAPITRE IV

LA TRANSFORMATION DE LORENTZ
RELATIVITÉ DE L'ESPACE ET DU TEMPS

LE GROUPE DE LORENTZ. — On démontre (appen-
dice, note 5) que le prinaipe de relativité et l'invariance de
la vitesse de la lumière conduisent à des formules de trans-
formation de coordonnées profondément différentes de
celles de Galilée (chap. 1, form. 3). Si deux observateurs
appartenant à des systèmes de référence différents S et S'.
en translation uniforme choisissent un même événement
origine et des axes de coordonnées ayant la disposition
simple précédemment indiquée (chap. 1, fig. 4), les coor-
données d'espace et de temps d'un même événement noté |
x, y, z, t par l'observ ateur du système S et x’, y, z!, { par
l'observateur du système S' doivent être unies par Fe rela-
tions suivantes :

| = : (x — vt) x = (x of)
(5) FES ou (6) 4Ÿ 28
= Lux) (re)
Œ LA C. \ œ \ €:

v désigne la vitesse du système S’ par rapport au système S ;

LA TRANSFORMATION DE LORENTZ 39

c désigne la vitesse de la lumière; z représente \ fav
(abréviation à retenir pour la bite).
_ [l est essentiel de noter que ces formules sont soumises
à la restriction de la relativité restreinte, c'est-à-dire ne
s apphquent qu à des systèmes en mouvement rectiligne et
uniforme. |

Les formules 5 expriment le passage de S à S et les
formules 6 le passage de S à S. On voit que les formules 6
- ne différent des formules 5 que par la permutation des
lettres accentuées et des lettres non accentuées et par le
remplacement de v par — 0; par conséquent, si v est la
vitesse de S par rapport à S, la vitesse de S par rapport
à S'est — v.

Le groupe de transformations représenté par les formules
qui précèdent a été découvert par M. H.-A. Lorentz,
puis retrouvé par M. Finstein comme conséquence des
principes qu il a énoncés. M. Lorentz l'a obtenu en cher-
chant les conditions pour que les lois générales de l'élec-
tromagnétisme, exprimées par les formules de Maxwell,
gardent la même forme dans tous les systèmes de référence
(en translation uniforme), c’est-à-dire soient les mêmes dans
tous les systèmes, condition nécessaire pour qu'elles aient
une réalité indépendante de l'observateur. M. Lorentz a
établi :

l° que les équations fondamentales de l'électromagné-
tisme n'admettent pas le groupe de transformations de la
mécanique (groupe de Galilée), c’est-à-dire qu’en effectuant
dans ces équations les transformations de ce groupe, on
obtient des équations d'une forme tout à fait différente.

2" que ces équations admettent un autre groupe de trans-
» formations, celui exprimé par les formules 5 et 6,

40 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

La différence entre le groupe de Lorentz et celui de
Galilée est profonde. Au lieu du temps t du système S, il
faut introduire dans le système S' un autre temps { que
M. Lorentz a appelé femps local (parce qu'il dépend de
la coordonnée x du lieu considéré).

M. Lorentz avait considéré ce temps local comme une
fiction mathématique. Il appartient à M. Einstein de lui
avoir attribué une réalité physique : c'est le temps que .
marquent, dans le système S', des horloges identiques à
celles qui, dans le système S, mesurent le temps 4.

LES LOIS DE LA MÉCANIQUE DOIVENT ÊTRE COM-
PATIBLES AVEC CELLES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME. _
En résumé, les deux principes énoncés par M. Einstein
(chap. 11), le principe de relativité et le principe de l'iso-
tropie de la propagation de la lumière ont pour consé-
quence :

1° que la vitesse de la lumière est une constante uni-
verselle ;

2° que les transformations des coordonnées d'espace et
de temps, quand on passe d’un système à un autre (sous
la réserve de la translation uniforme) sont les transforma-
tions du groupe de Lorentz. On peut vérifier que ces trans-
formations conservent leur structure aux équations du champ
électromagnétique.

Inversement, si l’on cherche, comme l'avait fait M. Lo-
rentz, les formules de transformation qui laissent invariantes
les lois de l'électromagnétisme, on obtient les formules (5)
et (6) qui impliquent la constance de la vitesse de la lu-
mière et la relativité du temps.

Nous sommes donc en présence de deux groupes de
transformations : |

LA TRANSFORMATION DE LORENTZ 4]

1° Le groupe de Galilée, qui seul laisse invariantes les
lois de la mécanique classique ;

2° Le groupe de Lorentz, qui seul laisse invariantes les
lois de l'électromagnétisme.

Doit-on conserver à la fois les lois de la mécanique clas-
sique avec le groupe de Galilée, et les lois de l'électroma-
gnétisme avec le groupe de Lorentz ?

Cela est impossible. Les premières admettent un temps
absolu, les secondes impliquent un temps relatif : Adopter
le temps absolu de la mécanique, c'est renoncer à l'inva-
riance des lois de l'électromagnétisme ; adopter le temps
relatif de l'électromagnétisme, c'est abandonner la méca-
nique newtonienne, [l y a bien incompatibilité radicale, car
il ny a qu'un seul temps physique dans un même système
de référence.

Le désaccord qui s'est manifesté entre la théorie méca-
nique de l'expérience de Michelson et le résultat expéri-
mental apparaît comme la cause d'un conflit entre les lois
de la mécanique classique et celles de l'électromagnétisme.

Il faut choisir, et il n'est pas permis d’hésiter, puisque
le choix est imposé par l'expérience : les lois de l’électro-
magnétisme sont trop bien vérifiées pour qu'on puisse son-
ger à les abandonner ; l'expérience est d'accord avec le
groupe de Lorentz qui exprime l'invariance de ces lois. Cela
est d'ailleurs logique et l’on devait s'y attendre : les lois
de l’électromagnétisme ont été établies dans un système de
référence qui nest nullement privilégié dans l'univers ; elles
s expriment sous une forme claire et simple, et devien-
draient compliquées par une transformation différente de
celle du groupe de Lorentz. Il serait déraisonnable de
supposer que ces lois simples sont spéciales à un système de
_ référence lié à la terre et d’ailleurs la preuve de leur inva-

42 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

riance est le fait qu'elles ne changent pas dans le cours de
l’année, malgré le changement du système de référence, la
terre changeant de direction sur son orbite.

Au contraire, nous n avons aucune raison de considérer
les lois de la mécanique comme exactes ; elles peuvent pa-
raître valables dans les phénomènes ordinaires, trop gros-
siers pour qu'une discordance se révèle, mais dès quil
s'agit de phénomènes comportant, comme l'expérience de
Michelson, une vérification d'une haute précision, le dés-
accord apparaît.

Ainsi, le résultat de Michelson, l'échec de toutes les
tentatives faites pour révéler le mouvement absolu de la
terre, tiennent à des causes profondes, qu'on n'avait pas
soupçonnées dans les débuts de la théorie électromagné-
tique, mais qu on s explique aujourd hui. /l faut renoncer
à considérer les lois de la mécanique classique comme des
lois rigoureuses ; il faut soumettre la mécanique aux lois
de l’électromagnétisme, en appliquant à tous les phénomènes
les formules de transformation d'espace et de temps du
groupe de Lorentz. Les lois classiques deviennent alors des
approximations, d'ailleurs excellentes dans la plupart des
cas : on remarque, en effet, que si la vitesse de la lumière
était infinie, on aurait les formules de Galilée. Or la vitesse
de la lumière est très grande, et tant que le carré de la
vitesse des corps (vitesse par rapport à l'observateur) peut
être négligé vis-à-vis du carré de la vitesse de la lumière,
on peut se servir de la mécanique habituelle.

On voit, par cette dernière remarque, que le désaccord
entre la mécanique newtonienne et l'électromagnétisme est
un aspect du conflit profond qui a dominé la physique jus-
qu'à l'époque actuelle : le conflit entre la théorie des actions
à distance instantanées admise en mécanique céleste Jjus-

RELATIVITÉ DE L'ESPACE ET DU TEMPS 43

qu'à la découverte de la loi nouvelle de la gravitation (loi
d'Einstein), et La théorie de l’action de proche en proche
avec vitesse finie, à laquelle Maxwell a donné son plein
développement.

Les équations de Maxwell entraînent la négation du
temps physique absolu ;: impliquant la notion de temps
relatif, ces équations interdisent la possibilité d'une relation
de cause à effet, quelle qu'elle soit, pouvant se propager
avec une vitesse infinie.

Nous affirmons donc que la seule cinématique ayant un
sens expérimental et aussi grâce à laquelle les lois de la
physique prennent une forme simple, indépendante du
système de référence, est la cinématique du groupe de
Lorentz. (M.-P. Langevin. )

C'est la la base solide de la théorie de la relativité et de
la mécanique nouvelle.

L'ESPACE ET LE TEMPS RELATIFS. — Avec les for-
mules de Lorentz, où le temps n ‘est plus un Invarlant, nous
voyons disparaître la dissymétrie qui, avec le groupe de
Galilée, existait entre l'espace et le temps. Dans l'ancienne
cinématique, la distance spatiale de deux événements non
simultanés dépendait du système de référence, mais l'inter-
valle de temps écoulé entre eux était absolu. Maintenant,
la durée écoulée est relative, tout comme l'intervalle
d'espace. Soient, en effet, deux événements (indices |
et 2): les formules de Lorentz (éq. 5) donnent :

\ td, ©;
z ZX

_()

t Bulletin de la société des électriciens, n° 84, déc. 1919.

44 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

La symétrie de ces deux équations est remarquable.

Îl n'y a plus de simultanéité absolue, car lorsque deux
événements sont simultanés dans un système (#4 — #:) ils
ne sont simultanés dans aucun autre système en mouvement
par rapport au premier (puisque d’après la seconde équa-
tion (7) 4 est différent de #:), à moins que ces événements
ne coïncident à la fois dans l'espace et dans le temps.
Dans ce dernier cas, la coïncidence a lieu dans tout
système, 1] y a coïncidence absolue. On comprend aisément
que la coïncidence dans l'espace et dans le temps ait un
sens absolu, car 1l peut en résulter un effet sur lequel tous
les observateurs sont nécessairement d'accord (par exemple
rupture de deux objets par choc mutuel).

La relativité complète de l'espace et du temps perçus
par chaque observateur entraîne la suppression des notions
de système fixe et de mouvement de translation absolu.
L'éther, du moins celui admis autrefois, doué de propriétés
élastiques et mécaniques, doit être supprimé. Nous verrons,
dans la relativité généralisée, par quelle conception on peut
le remplacer.

LA COMPOSITION DES VITESSES. — Un observateur
(système S) voit passer un train avec une vitesse 0, dans
le train (systèmé S') un homme se déplace avec la wi-
tesse 0 (par rapport au train), quelle est la vitesse de cet
homme par rapport à l'observateur ?

On est tenté de répondre v + v. C'est en effet la loi
de composition des vitesses qui résulte de l’ancienne ciné-
matique.

Cela paraît évident, parce qu'il est difhaile de se débar-
rasser des anciennes notions d'espace et de temps. Cepen-
dant il résulte des formules de Lorentz (appendice, note6)

RELATIVITÉ DE L'ESPACE ET DU TEMPS 45

. [/4 . 2 A
que la vitesse v du mobile, mesurée dans le système S,
| 4 .
est, non pas U—+-0, mais

)5 FER
I+%

c

Cette formule s'applique à la composition de deux
vitesses mesurées dans des systèmes differents (v est
mesurée dans le système S, v est mesurée dans le sys-
tème S').

Evidemment, dans l'exemple du train, le terme “© qui

c
intervient au dénominateur est absolument négligeable, de
sorte que la loi ancienne est une approximation plus que
suffisante ; mais 1l n'en serait plus de même si les vitesses
étaient considérables : supposons un observateur À et deux
observateurs B et C s’éloignant de À, dans des directions
opposées, avec la vitesse, mesurée par À, de 200000 kilo-
mètres par seconde. Pour l'observateur À, les observateurs
B et C s'éloignent l'un de l'autre de 400000 kilomètres
par seconde — ceci reste exact, bien entendu — mais si
chacun des observateurs B et C mesurait la vitesse de
l'autre, 1l trouverait seulement 277000 kilomètres par
seconde,

La nouvelle loi de composition des vitesses montre qu'un
mobile, par accroissements successifs de vitesse à partir de
sa vitesse primitivement acquise, n'atteint jamais la vitesse c
de la lumière. La vitesse de la lumière est une vitesse
limite qui ne peut être dépassee, et si l’une des vitesses
v ou 0 était égale à c, on trouverait encore v —c.

L'EXPÉRIENCE DE FIZEAU, DITE ‘ ENTRAINEMENT

46 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

DES ONDES LUMINEUSES PAR LA MATIÈRE EN MOUVE-

MENT ‘. — Une célèbre expérience, réalisée en 1851 par
Fizeau, vérifie remarquablement bien la nouvelle loi de
composition des vitesses.

On sait que dans la matière au repos (par rapport à

k Fa C x = 10
l'observateur) la vitesse de la lumière est —- n étant l'indice
n ,
de réfraction de la matière, variable avec la radiation em-
ployée ‘.

, . “

Quelle est, pour l'observateur, la vitesse de la lumière

dans un milieu animé d’une vitesse 0 2 Fresnel a déduit de
considérations théoriques que cette vitesse doit être

< airees)

LE . , ni », ] \ TC “
la vitesse d'entrainement ‘ v | es | s ajoutant à la
nm

c .
vitesse -— dans la matière au repos ou se retranchant de
n

cette vitesse selon que le sens du mouvement de la matière
est celui de la propagation de la lumière ou le sens
opposé.

La formule de Fresnel a été vérifiée par Fizeau. Ce
physicien a observé les franges d'interférences produites par
deux rayons issus d’une même source, après passage en des
sens opposés dans des tubes remplis d'eau, et a déduit des
mesures du déplacement des franges, lorsque l'eau est en
mouvement, que le ‘ coefficient d'entrainement ” est

bien (1— +).

}

n

. . . . . . . . 2
1. C'est parce que n varie d'une radiation à l'autre que le prisme sépare les

diverses couleurs dont la superpo:ition constitue la lumière blanche.

RELATIVITÉ DE L'ESPACE ET DU TEMPS 47

Ce résultat avait été interprété en admettant un entrai-
nement de l'éther, non pas total, mais partiel |avec une

vitesse o FE ds » interprétation étrange car l'entraine-
RES ni)
ment de l’éther dépendrait de n, c'est-à-dire dépendrait de
la couleur de la radiation employée.
Cette loi d'entrainement s'explique immédiatement, de
la façon la plus simple, par la cinématique nouvelle.
Il suffit d'écrire la loi de composition des vitesses (8).
Le courant d’eau (système S ) coule relativement à l'obser-
vateur (système S) avec la vitesse 0. Le rayon lumineux

se propage dans l’eau (système S ) avec la vitesse

; . /4 c ’ ”
la vitesse 0 de ce rayon mesurée par l'observateur est

donc, d'après (8),

c
Cyr
Loto n
— Ft EE ni
vu U
OT —
C cn
“ V4 | \
—= approximativement -— + o( Fe 4
n \ |, 28

C'est bien le résultat vérifié par Fizeau.

Il convient de mentionner que M. Lorentz avait expli-
qué ce phénomène par l'action des électrons entrainés avec
la matière, mais cette explication, basée sur les lois de
l'électromagnétisme, n'est au fond qu'une forme déguisée
de l'explication relativiste.

CHAPITRE V
L'UNIVERS DE MINKOWSKI

‘* A l'heure actuelle, l'espace et le temp

considérés en eux-mêmes doivent disparaître N

comme des fantômes et seule leur union peut
posséder une individualité
. Minkowski

Ed

UNION DE L'ESPACE ET DU TEMPS. — Soient deux
événements quelconques. Lorsqu'on les repère dans des
systèmes différents, la durée T qui les sépare et la distance

spatiale / des points où ils se produisent varient d'un sys-
tèeme à l'autre, mais la quantité

(9) EI de

a la même valeur dans tous les systèmes: on le vérifie
immédiatement en appliquant les formules de Lorentz.

En langage ordinaire, le carré du produit de la vitesse
de la lumière par le temps écoulé entre les événements,
diminué du carré de leur distance dans l'espace, est une
quantité indépendante de tout système de référence (en
translation uniforme).

L'INVARIANT 5 EST L'INTERVALLE D'UNIVERS,

il vient remplacer les deux invariants d'autrefois (chap. 1) :

le temps et la distance dans l'espace de deux événements
simultanés.

Dans la théorie ancienne, la réalité objective du temps
était affirmée par l'invariance du temps (le temps universel

\

(Raum und Zeit, 1908.) %

}
4
.

ÿ-
à

L'UNIVERS DE MINKOWSKI 49

et absolu) : la réalité objective de l’espace résultait de l'in-
variance de la distance géométrique de deux points (dis-
tance de deux événements simultanés).

Il ny a plus maintenant d'espace absolu ni de temps
absolu : il ne subsiste qu’une réalité unique affirmée par l'in-
variant s. La modification est radicale : le nouvel invariant
contient à la fois les trois coordonnées d'espace x, y, z et
la coordonnée de temps 4

(10) s°—=c {42 — #1) —(x2 — x) — (y — y) — (22 — 2).

L'espase et le temps, unis par cet invariant, ne sont pas
indépendants et leur union seule possède une individualite.
L'Espace-1 emps ou Univers est l’ensemble des événements ;
c'est une multiplicité ‘ quadridimensionnelle ”.

L'Univers est indépendant du système de référence qui
sert à repérer les événements ; chaque système est une
division particulière de l'Univers en espace et en temps.

L'espace reste toujours l'ensemble des événements simul-
tanés : c'est une ‘ coupe de l'Univers à temps donné ”
(P. Langevin). Cette définition s'applique à l'ancienne
conception de l’espace et à celle d'aujourd'hui, mais la dhf-
férence est profonde : la conception compatible avec la
mécanique newtonienne admettait un temps universel, et
la coupe était la même pour tous les systèmes, il n'y avait
qu'une division de l'Univers en espace et en temps — d'où
la possibilité d'envisager séparément l'espace et le temps —
la forme des corps était la même pour tous les obser-
vateurs.

Dans l'Univers de Minkowski, la simultanéité étant rela-
tive, la coupe à temps donné dépend du système de refé-
rence : la forme des corps n'est plus invariable, il y a une
infinité d'espaces euclidiens dans l'Univers ” euclidien ”

4. BECQUEREL

50 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

unique à quatre dimensions (comme en géométrie il y a …

une infinité de plans dans l'espace euclidien à trois dimen-
sions).

PROPRIÉTÉS DES COUPLES D'ÉVÉNEMENTS (P. LAN-
GEVIN). — Soient À et B deux événements. Trois cas
peuvent se présenter, le carré s° de l'intervalle est négatif,
nul, ou positif.

l° COUPLES DANS L'ESPACE. — Si s est négatif,

cela veut dire : dans tous les systèmes de référence, la dis-
tance / des points où se produisent ces événements est plus
grande que le trajet cT que parcourt la lumière dans l'in-
tervalle de temps qui les sépare.

Une application simple des formules de Lorentz permet
d'établir que deux tels événements n’ont pas un ordre de
succession détermine. Il existe une infinité de systèmes de
référence dans lesquels À est antérieur à B, une infinité de
systèmes dans lesquels À est, au contraire, postérieur à B,
enfin un système dans lequel À et B sont simultanés.

La distance spatiale de ces deux événements est mini

mum dans le système pour lequel ils sont simultanés car

$ — € T° — /° étant constant, {” est minimum lorsque
est nul.

Deux tels événements qui, par un choix convenable de
la division de l'Univers en espace et en temps peuvent être
amenés en coïncidence dans le temps, mais jamais dans
l'espace, forment un couple d'événements dans l'espace.

Deux événements constituant un couple dans l'espace
sont absolument indépendants, car s'il existait entre eux un
lien de cause à effet, comme leur ordre de succession n'est
pas déterminé, la cause serait, pour certains observateurs,

postérieure à l'effet, ce qui est absurde : comme dit.

|
|

L’'UNIVERS DE MINKOWSKI 51

M. Einstein ‘ on ne peut pas télégraphier dans le passé ”.

2° COINCIDENCE ABSOLUE. — Lorsque s est nul, on
a dans tous les systèmes [= CT; c'est le cas qui se pré-
sente pour deux points d’ A PSEPT d'un rayon lumineux,
puisque le trajet / parcouru par la lumière (dans le vide)
pendant le temps TL est précisément cT. Dans le cas où
et L sont nuls tous deux dans un système, 1ls sont nuls
dans tous les systèmes ; les deux événements sont en coïn-
cidence absolue.

3” COUPLES DANS LE TEMPS. — Lorsque l'inva-
riant s est positif, la distance spatiale / est, dans tous les
systemes de référence, plus courte que le trajet cT de la
lumière pendant la durée écoulée entre les deux événe-
ments. Le calcul montre que l'ordre de succession des deux
événements considérés a un sens bien determine. On ne

peut jamais les rendre simultanés, c'est-à-dire trouver un

système de référence pour lequel ils soient en coïncidence
dans le temps; mais on peut les amener en coïncidence
dans l'espace, et la durée T qui les sépare est minimum
dans le système pour lequel ils coïncident dans l’espace.
Deux événements pour lesquels s° est positif forment un
couple dans le temps. Ils peuvent être unis par un lien de

causalité ; ils peuvent aussi, bien entendu, être indépen-
… dants, mais toujours le premier événement a pu être
- annoncé au heu où le second va se produire, puisque la

distance spatiale qui les sépare est, dans tous les systèmes,
plus courte que le trajet CT que parcourt, dans le temps T,
un signal lumineux ou électromagnétique.

L'invariant s est donc positif ou négatif suivant qu'un
des événements peut ou non influer sur l’autre ; il indique

Ja “ possibilité d'influence ou d'action ” d'un des événe-
ments sur l’autre (M. P. Langevin).

”

+

52 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

LA CONTRACTION DES LONGUEURS. — Dans deux
systèmes de référence en mouvement relatif, prenons des
axes ayant la disposition simple que nous avons adoptée
(fig. 4). Imaginons une tige, parallèle aux axes Ox, x,
immobile dans le système S et par conséquent se dépla-
çant, dans le système S, avec la vitesse v dans le sens de
sa longueur.

Prenons comme événements À et B les positions des
extrémités de la tige à un même instant pour l'observateur
du système S ; ces deux événements étant en coïncidence
dans le temps pour le système S forment, d'après ce qui
a été dit plus haut, un couple dans l’espace, et leur distance’
spatiale est minimum dans le système S où 1ls sont simultanés.

Pour l'observateur du système S, la distance spatiale des
positions simultanées des extrémités de la tige est la lon-
gueur de cette tige ; la tige est donc plus courte pour l'ob-
servateur du système S que pour l'observateur du système S'
pour qui les événements À et B ne sont plus simultanés.

Ainsi, pour l'observateur S qui voit passer la tige, celle-
ci est plus courte que pour l'observateur S° pour qui la tige
est immobile : il est facile de calculer (appendice, note 7)
que le rapport entre les longueurs de la tige animée de la

Je
/ 1
/ ct

C’est précisement la contraction de Fitzgerald-Lorentz
(chap. 11) mais ici cette contraction n'a plus aucun carac-
tère absolu, et elle ne prête plus aux objections que nous
avons faites. En somme, elle résulte simplement de la ma-
nière différente dont les deux observateurs envisagent la
simultanéité, et du fait que la forme d'un corps en mouve-
ment ne peut être définie que comme l'ensemble des posi-
tions simultanées des différents points de ce corps.

vitesse v et de la même tige au repos est

L'UNIVERS DE MINKOWSKI 53

La contraction est tellement peu absolue, qu'elle est réci-
proque, c'est-a-dire que si deux tiges identiques sont
immobiles, l’une dans le système S l’autre dans le système S’,
chaque observateur estime que la tige de l’autre système est
plus courte que celle de son système.

Le fait qu'un objet en mouvement est contracté dans le
sens du mouvement ne signifie donc pas que l'objet a été
réellement modifié par le mouvement ; :l signifie qu'un
observateur lié à l'objet et un observateur en mouvement
par rapport à l'objet ne font pas la même décomposition de
l'Univers en espace et en temps, que l’espace relatif à l'objet
et l'espace relatif à l'observateur qui le voit passer ne sont
pas les mêmes (ainsi que nous l’avions fait pressentir,
page 32).

LA DILATATION DU TEMPS (EINSTEIN). — La con-
traction des longueurs a une contre-partie, la dilatation du
temps. Le calcul montre (appendice, note 7) que, pour les
observateurs immobiles dans un des systèmes S ou S’, les
horloges de l’autre système retardent : chaque observateur,

0]

/ Ad :
dans son système, divise par 1 — Les intervalles de
\ :

c
temps mesurés par une horloge au repos dans l'autre système.

LES LIGNES D'UNIVERS (MiNKkoWSKI). — Suivons main-
tenant la succession continue des événements qui consti-
tuent la vie d'une même portion de matière ou d’un même
être. Leur ensemble forme dans l'Espace-Temps une ligne
_ d'Univers, comme en géométrie une succession continue de
points forme une ligne dans l’espace.
En géométrie, pour mesurer un arc de courbe AB, on
décompose cet arc en cordes rectilignes très petites, et l'on

54 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

(fig. 10); plus les cordes sont petites
(et en même temps, bien entendu,

somme de leurs longueurs est voisine
de la longueur de l'arc de courbe,
ce quon exprime en disant que la
longueur de l'arc AB est l'intégrale,
prise de À à B, des cordes infiniment
A petites. On a l'habitude de désigner
FALES une intégrale ou sommation de quan-
ttés infiniment petites (en nombre

infini) par le signe à et l’on écrit

è
B
(11) arc AB— | dl
e/ À
en désignant par d/ l’une quelconque des cordes infiniment
petites (1), ou ce qui revient au même, un arc de courbe
élémentaire, car l'arc de courbe et la corde rectiligne entre
deux points tendent à avoir la même longueur si les deux
points se rapprochent indéfiniment, Ainsi, il est bien entendu
= |
que le symbole | di signifie la somme des cordes infini-
… A
ment petites, ou ce qui est la même chose la somme des
arcs de courbe élémentaires, depuis le point À jusqu'au
point B. i
Opérons de la même manière pour une ligne d'Univers
1. La lettre d qui précède une autre lettre désignant une grandeur est le sym=
bole employé pour indiquer que la grandeur considérée est infiniment petite.

Les formules contenant des grandeurs infiniment petites ne sont pas rigoureuses
. A 3 . ‘
pour des grandeurs très petites, mais elles sont d'autant plus approchées que

ces grandeurs sont plus petites : elles sont donc valables à la limite, pour des gran:

deurs infiniment petites,

fait la somme de ces petites cordes Aa, ab, bc, etc.

plus grand est leur nombre), plus la

L'UNIVERS DE MINKOWSKI 55

a

quadridimensionnelle : entre deux points-événements À et B
de cette ligne, nous décomposons la succession continue
d'événements en ‘ intervalles ” ds infiniment petits, dans
chacun desquels le mouvement de la portion de matière envi-
sagée peut être considéré comme rectiligne et uniforme
(de même qu’en géométrie chaque arc élémentaire peut être
confondu avec la corde rectiligne).

D'après ce que nous avons vu au début de ce chapitre,
chacun de ces intervalles élémentaires est un invariant
(comme en géométrie la longueur des cordes infiniment pe-
tites est indépendante du système de coordonnées). La lon-
gueur de l'arc de ligne d'univers, qui est la somme des
intervalles infiniment petits, c'est-à-dire l'intégrale

B
Le [ ds
e/ A
étendue à tous les couples d'événements infiniment voisins
‘qui se succèdent d'une manière continue le long de la ligne
d Univers, a donc une valeur indépendante du système de
référence.

Prenons comme système de référence un système lié à
la portion de matière considérée : dans ce système, tous les
événements concernant cette portion de matière sont fixes
- dans l'espace, puisqu'ils occupent la même position par rap-
port aux axes du système ; donc, puisqu'on peut les amener
- en coïncidence dans l'espace, pris deux à deux ils consti-
tuent des couples dans le temps. Par suite leur ordre de
succession ne peut être inversé : le passé, le présent et
l'avenir gardent un ordre immuable pour les événements
concernant un même objet ou un même être.

- … LE TEMPS PROPRE (Minkowski), — Sur la ligne d'Uni-

£

LR

56 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

; ë 14 ME
vers d'une portion de matière, choisissons deux événements
infiniment voisins, séparés par un intervalle d Univers ds
(infiniment petit) ; soient d/leur distance spatiale (infiniment

petite) et d{ l'intervalle de temps (infiniment court) qui

s'écoule entre eux, dans un système de référence quel-

conque. Nous avons, d'après la définition même de l'inter-
valle (éq. 9),

(12) ds = c’df — dl = invariant.

Dans le système de référence lié à la portion de ma-
tière, dl est nul ; soit d= l'intervalle de temps dans ce sys-
tème

ds = ©d:° ou ds —= cd:

et, par intégration entre deux événements À et B quel-
conques pris sur la ligne d'Univers

(13) arc de ligne d'Univers — l " —= | ‘d

d=: est l'élément de lemps propre de la portion de matière
considérée et de tout le système qui lui est lié. Le temps

B
propre total | d= écoulé entre deux événements À et B
CE

est le temps que mesurera un observateur, c'est le temps

qu’enregistreront les horloges dans ce système. Ce temps

propre est indépendant de tout système de référence,
Ainsi une horloge liée à un mobile (dont le mouvement

n'a plus besoin ici d'être soumis à la restriction dela trans-

lation uniforme) mesure la longueur, divisée par c, de l'arc
de ligne d'Univers de ce mobile.

Nous avons vu que lorsque deux événements forment
un couple dans le temps, la durée qui les sépare est mini-

Lot à De

RL 2 7

L'UNIVERS DE MINKOWSKI 57

mum dans le système pour lequel ils sont en coïncidence
dans l'espace : le temps propre jouit donc de cette propriété
de minimum, :l est plus court que le temps évalué dans
tout système en translation uniforme.

On démontre (appendice, note 8) que si un mobile est
animé d'une vitesse v dans un système S en translation uni-
forme, l'élément de temps propre d= écoulé entre deux évé-
nements infiniment voisins pris sur sa ligne d'Univers est
lié à l'élément de temps d{ mesuré entre les deux mêmes
événements dans le système S, par la relation

0 |

C Le

(14) 5 — Adi, 41 — V4 N =

Le coefficient z est d'autant plus petit que la vitesse v
est plus voisine de la vitesse de la lumière. Le temps propre
est donc d'autant plus court (par rapport au temps du sys-
ème S en translation uniforme) que la vitesse du mobile
dans le système S est plus grande.

On démontre encore (note 8) qu'entre deux événements
déterminés, la plus longue ligne d'Univers est celle qui cor-
respond au mouvement rectiligne et uniforme. Îl ny a
pas de ligne de plus courte distance, mais 1l existe une inf-
nité de lignes d'Univers de longueur nulle, qui correspon-
dent à toutes les trajectoires imaginables des rayons lumi-
neux entre les deux événements (pour un rayon lumineux,
on a toujours d/ — cdt et par conséquent ds — O).

D'étranges conséquences se déduisent de ces résultats.

]° Dans un système en translation uniforme — la terre
par exemple, car son accélération est négligeable — deux
horloges identiques et synchrones sont au même endroit. On
déplace l'une très rapidement et on la ramène près de l’autre

- au bout du temps { (temps du système) : le temps propre de

L
+

"]
#

58 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

l'horloge qu'on a déplacée, à laguelle on a fait subir une

accélération, ayant été plus court que le temps du système

uniforme, cette horloge se trouve en retard sur l'autre
t
horloge, de 4 — [ 4dt. C'est l'accélération qui a créé la
7 40
dissymétrie ; on reconnaît ici le caractère absolu de l'accé-
lération signalé à la fin du chapitre 1.
2° Dans les mêmes conditions, un échantillon de ma-
ère radioactive aura moins évolué que celui qui n'a pas
été déplacé, qui n’a pas subi d’accélérations (M. Lan-
gevin).
3° Avec M. Langevin, imaginons qu'un observateur ait
une machine lui permettant de quitter la terre et d'atteindre
une vitesse fantastique. Supposons, pour fixer lesidées, que

cette vitesse soit inférieure de ——— seulement à la vitesse

20000

de la lumière. Pendant un an, le voyageur s'éloigne de la
terre et 1l revient au bout de deux ans; il na vieilli que
de deux ans, car 1l a vécu le temps propre de son sys-
tème ‘, temps enregistré par ses horloges. Cependant, à son
retour, il trouve sur la terre d'autres générations, et il
apprend qu'il est parti depuis 200 ans. Il s'est transporté dans
l'avenir de la terre, mais sans retour possible dans le passé.

Ces chiffres supposent que la vitesse a été atteinte très
rapidement, ce qui serait évidemment impossible, même si
l'homme disposait d'une énergie sufhsante, car la force
d'inertie due à l'accélération serait telle que le voyageur

. Nous posons en principe que la vie est constituée par une succession de phé-
nomènes physico-chimiques qui se ramènent tous à des mouvements de molécules
et d'électrons : ces mouvements se succèdent dans le temps propre du voyageur,
temps qui, entre deux événements communs au système du voyageur et au système
terrestre (le départ et le retour) est, d’aprè: ce qui a été dit plus haut, plus court
que le temps terrestre.

CT 7 2 "1

L'UNIVERS DE MINKOWSKI 59

serait écrasé. Toutefois, cet exemple met admirablement en
évidence la relativité du temps.
Pour un mobile qui serait anim£ de la vitesse de la lu-
, reset ri: En ;
mière (c’est-à-dire dont la ligne d'Univers serait de longueur
nulle), le cours du temps serait suspendu.

LA LOI D'INERTIE. — Nous avons déja, au chapitre 1,
énoncé la loi d'inertie de Galilée : un mobile libre est animé
dun mouvement rectiligne et uniforme. D'autre part, nous
venons de voir que la ligne d'Univers la plus longue entre
deux événements déterminés est celle qui correspond à un

. mobile allant d'un événement à l’autre d’un mouvement rec-

+
>

tiligne et uniforme. Nous pouvons donc donner à la loi de
Galilée la forme suivante : entre deux événements concer-
nant un mobile sur lequel n'est appliquée aucune force, la
ligne d'Univers la plus longue est précisément la ligne d'Uni-
vers de ce mobile : ou encore, /a loi d'inertie est la loi du
temps propre maximum.

Le mouvement rectiligne et uniforme joue, dans l'Uni-
vers de Minkowski, le rôle que joue la ligne droite en géo-
métrie euclidienne, avec cette différence que la ligne d'Uni-
vers qui se traduit à nous par ce que nous appelons l'état
de mouvement rectiligne et uniforme entre deux événe-
ments est la ligne d'Univers la plus longue, alors qu'en géo-
métrie la ligne droite tracée entre deux points est la ligne
la plus courte. Cependant, dans un cas comme dans l’autre,
on peut donner un même énoncé (voir appendice, note 9)
et la ligne du point matériel libre, dans un Univers régi
par les formules de Lorentz, peut être quahfiée de droite
d'Univers, car elle présente une analogie frappante avec la
droite de la géométrie euchidienne.

”, Ds.

CHAPITRE VI

DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ

À la cinématique définie par le groupe de transforma-

tions de Lorentz, qui remplace la cinématique ancienne
basée sur le groupe de Galilée, correspond une dynamique
nouvelle, qui, fait remarquable, est plus cohérente et plus
simple que la dynamique newtonienne. Nous nous borne-
rons ici à indiquer les résultats. Un aperçu général de la
théorie est donné dans la note 10 de l’appendice.

LA MASSE FONCTION DE LA VITESSE. — Dans la
dynamique ancienne, la masse newtonienne d'une portion
de matière est une grandeur invariable (chap. 1). Dans la
dynamique nouvelle, deux observateurs en mouvement l'un
par rapport à l'autre ne doivent pas attribuer la même masse
à une même portion de matière, La masse d'un corps est
relative comme sa vitesse, et dans un système de référence
déterminé, la masse augmente avec la vitesse,

Si l’on conserve la définition de la masse (coefficient
d'inertie) donnée au chapitre 1, on trouve qu'il faut envi-
sager deux masses : une masse longitudinale, qui intervient
si la force agissante (et par suite l'accélération) est dirigée
parallèlement à la vitesse acquise ; une masse transversale dans
le cas où la force agit normalement à la trajectoire ; ces deux
masses augmentent avec la vitesse de la portion de matière

RS ÉT

DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 6

considérée, mais suivant des lois différentes ; elles ne sont
égales que si la portion de matière est au repos.

Une autre définition de la masse permet de ne conser-
ver qu une seule masse. Supposons qu une force F constante
agisse pendant un temps { sur une portion déterminée de
matière, initialement au repos; au bout du temps { cette
force a imprimé à la matière une vitesse v. Le produit de
la force F par le temps { est ce qu'on appelle l'impulsion
communiquée à la portion de matière : divisons cette impul-
sion par la vitesse, nous obtenons la masse maupertui-
sienne m — Le produit mv, égal à l'impulsion Ff, se

U
nomme encore quantité de mouvement.

La masse est donc définie comme coefficient de propor-
tionnalité entre l'impulsion communiquée et la vitesse
acquise, comme capacité d'impulsion et non plus comme
coefficient d'inertie. Dans l’ancienne dynamique, il y avait
identité entre les deux définitions ; dans la dynamique de la
relativité, la masse maupertuisienne se confond avec la
masse newtonienne transversale, mais non avec la masse
newtonienne longitudinale.

Nous appellerons donc dorénavant ‘ masse ” la capacité
d impulsion qui est indépendante de la direction suivant
laquelle la force agit sur la portion de matière. On démontre
que cette masse croît avec la vitesse v suivant la loi extré-
mement simple

(15) m— æ (2 U | — a

mo est une constante, la masse pour x — | ou v — 0,
, - AE ,
cest-à-dire la masse initiale ou masse au repos; c'est la

62 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

valeur vers laquelle tend la masse quand la vitesse tend
Vers Zéro.

Supposons que la vitesse d'un corps, mesurée dans un
système de référence déterminé, aille constamment en aug-
mentant ; à mesure que v tend vers la vitesse c de la
lumière, % tend vers zéro et m croit indéfiniment ; la masse
de toute portion de matière serait infinie si cette portion de

matière était animée de la vitesse de la lumière. On voit -

encore de cette manière que la vitesse de la lumière est
une vitesse limite qu on ne saurait communiquer à aucune
particule matérielle, car 1l faudrait fournir une énergie infimie.

L'ÉNERGIE ET SES DIVERSES FORMES. — On appelle
travail le produit d'une force par le déplacement de son
point d'application dans la direction et le sens de la force,
et énergie toute cause de production de travail ou inverse-
ment tout résultat de la transformation d'un travail. Le tra-
vail et l'énergie ont même mesure : dans le système C. G.S.
(centimètre, gramme, seconde), l'unité est l'erg : c’est le.
travail accompli par une force égale à une dyne (la 981" par-
tie du poids du gramme) pour un déplacement de | centi-
mètre dans la direction et le sens de la force.

On distingue deux catégories d'énergie : l'énergie ciné-
lique et l'énergie potentielle.

L'énergie cinétique est l'énergie de mouvement. Uncorpsen
mouvement possède, de ce fait, de l'énergie cinétique. Enméca-
nique classique, l'énergie cinétique d'une portion de matière
(point matériel) de masse m et de vitesse v est sa force vive

mov’, et l'énergie cinétique d'un système matériel est la

2
somme \ mo des forces vives des différents points maté-

0
4
4

L
-

| DYNAMIQUE DÉ LA RELATIVITÉ 65

. e A] - A
riels qui composent ce système. Nous verrons bientôt que

‘ . . LEA ” . = L
cette expression ancienne de | energie cinétique n'est valable

que comme approximation,

L'énergie potentielle est de l'énergie en réserve, en
puissance. Un exemple fera comprendre : si l’on soulève
un objet, on dépense du travail ; ce travail n’est pas perdu,

ilest transformé en énergie potentielle ; en effet si on lâche

De

l'objet, celui-ci tombe ; il y a donc quelque chose qui se
transforme en énergie cinétique qui peut elle-même pro-
duire du- travail.

Dans la nature, l'énergie se présente sous des formes
variées. Tout champ de force renferme de l'énergie locali-
sée dans chaque élément de volume de l'espace.

ÉNERGIE ÉLECTROSTATIQUE. — Si l’on met en pré-
sence un certain nombre de corps électrisés, ceux-ci exer-
cent des forces les uns sur les autres ; le système possède
de l'énergie potentielle ; on modifie cette énergie en chan-
geant les distances des charges électriques, c’est-à-dire en
dépensant (ou au contraire en récupérant) du travail. Ainsi
ün champ électrique, c'est-à-dire une portion d'espace où
s exercent des forces électriques possède une énergie poten-
tielle, et l'on démontre que cette énergie est localisée dans
chaque élément de volume du champ.

ÉNERGIE MAGNÉTIQUE. — De même, chaque élé-
ment de volume d'un champ magnétique renferme de
l'énergie, mais cette fois c'est de l'énergie cinétique, car
tout champ magnétique est produit par des charges (élec-
trons) en mouvement (même un aimant renferme des charges
en mouvement), et l'on sait aujourd'hui que l'énergie ma-
gnétique nest autre chose que l'énergie cinétique de ces
charges, qui est extériorisée dans |’ espace environnant,

-ÉNERGIE DU CHAMP DE GRAVITATION.— Les

64 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

corps s’attirent et un système matériel possède, de ce fait,
une énergie potentielle.

ÉNERGIE CHIMIQUE. — Un système de deux corps
susceptibles de s'unir possède de l'énergie potentielle, qui
peut être transformée en chaleur et en travail lors de la
combinaison de ces corps. L'énergie des explosifs est encore
une forme d'énergie chimique.

ÉNERGIE CALORIFIQUE. — Enfn la chaleur est une
des formes de l'énergie : c'est l'énergie (cinétique) du
mouvement des molécules qui composent la matière.

CONSERVATION DE L'ÉNERGIE.— Un principe fon-
damental est celui de la conservation de l'énergie. Chaque
fois que de l'énergie ou du travail se transforme, il y a
production d'une énergie égale ou d’un travail équivalent.
Voici deux exemples : quand on soulève un poids, l'ac-
croissement d'énergie potentielle (énergie de gravitation) est
égal au travail dépensé, Quand un corps perd sa vitesse
par suite d'un frottement, toute son énergie cinétique se
transforme en une quantité égale d'énergie calorifique, ou
en une quantité égale d'énergie calorifñique et d'énergie
électrique (due à l’électrisation par frottement).

L'énoncé exact du principe est le suivant. L'énergie
totale d’un système matériel isolé (c'est-à-dire qui n’échange
aucune énergie ni aucune matière avec l'extérieur) reste
constante au cours des transformations que subit ce
système,

L'INERTIE DE L'ÉNERGIE. — Une des conséquences les
plus remarquables de la théorie de la relativité est que la
nolion de masse n’est pas distincte de celle d'énergie.
On démontre en effet les résultats suivants :

1° L'énergie cinétique acquise par une particule maté-

DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 65

rielle, de masse au repos mo et de masse m pour une vitesse
v, s'obtient en multipliant la variation de masse (m — mn)
par le carré de la vitesse de la lumière, C'est seulement en

première approximation (pour les vitesses faibles) que cette

énergie est égale il mov” (force vive dans la mécanique
classique). -

2° L'énergie rayonnante (chaleur rayonnante, lumière,
ondes hertziennes) possède une masse. Une quantité d’éner-
gie W a une masse égale au quotient de cette énergie par
le carré de la vitesse de la lumière : |

Mm—=

C

3° Un corps qui rayonne (ou qui absorbe) de l'énergie,
chaleur, lumière, etc.…., éprouve une perte (ou une augmen-
tation) de masse égale au quotient de l'énergie rayonnée
LA 1 ’ . "x
(ou absorbée) par le carré de la vitesse de la lumière. En

DT , .
d'autres termes, en vertu du résultat qui précède, la masse

de l'énergie rayonnée (ou absorbée) se trouve perdue (ou
acquise) par la matière.

4° On sait que la matière est constituée par des cor-
puscules électrisés auxquels on a donné le nom d'électrons.
M. Langevin a établi que l'énergie (potentielle) totale d'un
électron au repos est égale à la masse au repos de l'élec-
tron, multipliée par le carré de la vitesse de la lumière. Ce
résultat s'étend à toute la matière, si, comme on a toutes
raisons de le penser, la matière est entièrement formée
d'électrons positifs et négatifs.

Réumissant tous ces résultats, les conclusions suivantes

..
_ simposent:

Toute variation d'énergie (potentielle ou cinétique) d’un

5. BECQUEREL

66 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

système (formé de matière, champs électromagnétiques,
rayonnements, etc.) est accompagnée d'une variation de
masse de ce système, égale au quotient de la variation
d'énergie par le carre de la vitesse de la lumière.

Toute forme d'énergie possède de l’inertie ; la masse de

la quantité d'énergie W est se
F

r * a
Toute masse m représente une énergie totale mc.

QUELQUES CONSÉQUENCES DE L'INERTIE DE L ÉNERGIE
(M. Langevin). — l° VARIATION DE LA MASSE AVEC
LA TEMPERATURE. — Une quantité d'eau dont la masse
est égale à | gramme à la température de 0° doit avoir à 100”
une masse plus grande. La différence (5.10 ‘* gramme) est
d’ailleurs insensible. Malgré la petitesse de ceteffet, l'exemple
fait comprendre que la notion de masse cesse de se confondre
avec celle de quantité de matière.

2° REACTIONS CHIMIQUES. — De la chaleur étant mise
en jeu dans les réactions chimiques, comme cette chaleur a
une masse, la masse du composé n'est pas rigoureusement égale
à la somme des masses des composants. Par exemple, lorsque
2 grammes d'hydrogène s'unissent à 16 grammes d oxygène,
il se dégage sous forme de chaleur une énergie égale à

2,87. 10" ergs. On n'obtient pas 18 grammes d'eau, mais
12

2.8] . 10 —= 3,2, 10°" gramme en moins.

9.10"

3° TRANSFORMATIONS RADIOACTIVES. — Dans
les transformations radioactives, l'énergie libérée est consi-
dérablement plus grande que dans les réactions chimiques.
Par exemple, la masse globale de l'hélium et du plomb
engendrés par transformation complète d'une certaine

DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 67

quantité d'uranium est certainement inférieure de plus

D. see TO
de .. à la masse de cette quantité d'uranium.

10000

Prout a émis l'hypothèse que les divers atomes sont
construits à partir d'un élément primordial, l'hydrogène.
Cette hypothèse de l'unité de la matière est de plus en plus
confirmée par les découvertes récentes” : par exemple, Sir
Rutherford a montré que le choc d’une particule 4 (atome
d'héhum lancé par un corps radioactif) contre un atome
d'azote peut détacher de celui-ci un atome d'hydrogène.
D'après la mécanique ancienne, la masse d'un atome quel-
conque devrait alors être un multiple exact de celle de
l'atome d'hydrogène, c'est-à-dire que les poids atomiques,
calculés en prenant pour unité celui de l'hydrogène, devraient
être des nombres entiers. C'est la loi de Prout, qui est effec-
- tivement à peu près vérifiée car les poids atomiques sont
voisins de nombres entiers ; cependant il subsiste des
écarts :

Lithium 6,94, bore 10,90, carbone 11,91, etc.

M. Langevin a proposé l'explication suivante : la for-
mation des atomes (par désintégration radioactive ou par
un processus inverse non encore observé, mais qui s'est né-
cessairement produit dans la formation des atomes lourds)
a été accompagnée de variations d'énergie interne par émis-
sion ou absorption de rayonnement. La masse de l'énergie
rayonnée ou absorbée est la cause des écarts”, et ceux-ci

+ I est probable que le noyau atomique de l'hydrogène est l'électron positif,
de masse | 700 fois plus grande que la masse de l'électron négatif. On a toutes rai-
sons de penser que l'atome d'hydrogène est formé d'un électron positif et d'un élec-
tron négatif gravitant autour du premier.

2. 11 faut toutefois noter que d'autres écarts sont dus à l'existence de mélanges de
“corps isolopes, ayant mêmes propriété; chimiques mais des poids atomiques diffé-
rents. Tel est le cas, par exemple, pour le chlore (35,5) qui est un mélange de
deux corps de poids atomiques 35 et 37.

|

68 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

sont tels que les énergies mises en jeu seraient du même
ordre de grandeur que celles observées au cours des trans-
formations radioactives.

LA MATIÈRE RÉSERVOIR D'ÉNERGIE. — Soient m, la
masse au repos d'un corps, m sa masse pour les observa-
teurs relativement auxquels 1l possède la vitesse v ; l'énergie
totale du corps, pour ces observateurs, est : tre

AN

V es :
c* 0

= me + mb + rit) a TES

Le second terme et les suivants (en nombre infini), qui
contiennent les puissances supérieures de v, représentent
l'énergie cinétique due à la vitesse 0 (relativement aux
observateurs considérés). Cette énergie croît indéfiniment
lorsque la vitesse v tend vers la vitesse de la lumière. Pour
les faibles vitesses elle se réduit pratiquement au second terme

mov” (expression ancienne de la force vive).

Le premier terme moc° est l'énergie que renferme la
matière au repos; c'est la somme des énergies cinétiques et
potentielles des particules électrisées (électrons) qui, en-
dernière analyse, composent la matière. Cette énergie est
fantastique! un seul gramme de matière, quelle que soit la”
nature de celle-ci, correspond à la présence d'une énergie
interne égale à 9.10" ergs, énergie qui permettrait de.
soulever trente millions de tonnes au sommet de la tour

Eiffel,

LOS un.

DYNAMIQUE DÉ LA RELATIVITÉ 69

Presque toute cette énergie interne appartient aux

noyaux atomiques, qui sont des mondes insensibles à la
plupart des actions que nous pouvons produire . Une très
faible partie de l'énergie des noyaux est libérée spontané-
“ment dans les transformations radioactives. Une portion
d'énergie beaucoup plus petite encore, provenant, non plus
des noyaux des atomes, mais des électrons qui gravitent
autour de ces noyaux est dégagée dans le rayonnement
(chaleur rayonnante, lumière, rayons X) ou mise en jeu
dans les réactions chimiques.
é LE PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE LA
MASSE SE-CONFOND AVEC LE PRINCIPE DE LA
CONSERVATION DE L'ÉNERGIE. — Dans un système
isolé, les diverses parties échangent de l'énergie entre elles;
les masses individuelles des corps ne se conservent donc
pas; seule la masse de l’ensemble reste invariable. Le prin-
cipe de la conservation de la masse n'est pas distinct du
principe de la conservation de l'énergie, puisque la masse
de toute substance mesure son énergie totale,

UNIFICATION DES PRINCIPES DE CONSERVATION DE
LA MASSE, DE L'ÉNERGIE ET DE LA QUANTITÉ DE
MOUVEMENT. — (CONSERVATION DE L'IMPULSION
D'UNIVERS. — Dans la mécanique classique, en plus des
deux principes de conservation de la masse et de l'éner-
gie, qui apparaissaient comme distincts, mais qui deviennent
identiques dans la dynamique nouvelle, il existe un troisième
principe : celui de la conservation de la quantité de mou-
vement d'un système isole.

Nous avons vu que la quantité de mouvement d'une par-
ticule de matière est le produit mu de la masse de cette

}. Sauf cependant aux rayons & (expériences récentes de Sir Rutherford).

| Er

70 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

particule par sa vitesse. C’est une quantité orientée comme
la vitesse, un vecteur. Tout vecteur peut être représenté

géométriquement par une portion de droite OM (fig. 11)
ayant la direction

Z et le sens du vec-

longueur OM est
proportionnelle à
la grandeur du vec-
teur, On peut pro-
jeter le vecteur en
OA, OB, OC sur
les directions des
axes de coordon-
nées ; l'ensemble
des trois vecteurs
Fic 11. OA, OBXOEe

qui sont les com-

posantes du vecteur OM, est entièrement équivalent à ce
vecteur OM. C'est ainsi qu'on décompose les déplacements
rectilignes en géométrie, les vitesses en cinématique, les
forces et les quantités de mouvement en dynamique. Par la
construction inverse, on peut composer en un vecteur

unique OM trois vecteurs OA, OB, OC de même nature :

dirigés parallèlement aux axes de coordonnées.

Considérons un système de points matériels; projetons
sur les axes de coordonnées les quantités de mouvement de
tous les points, puis ajoutons toutes les composantes suivant
Ox, toutes les composantes suivant Oy, toutes les compo-
santes suivant Oz, nous obtenons trois grandeurs G;, G,,
G; qui sont les composantes d’un vecteur: la quantité de
mouvement du système matériel. Nous avons ainsi composé

teur, et dont la.

DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 71

en un vecteur unique l'ensemble des vecteurs quantités de
mouvement de tous les points matériels du système.

Le principe de la conservation de la quantité de mouve-

ment affirme que dans un système de points matériels isolé
_ qui évolue, la quantité de mouvement de l'ensemble reste la
même, c'est-à-dire que les projections G;, G,, G, restent
constantes dans un même système d'axes de coordonnées.

Lorsque, dans un même système de référence, on change
d'axes de coordonnées, les composantes d'un vecteur quel-
conque prennent de nouvelles valeurs; 1l est évident que
les composantes d'un vecteur se transforment suivant la
même loi qu'une distance orientée (déplacement rectiligne)
puisqu un vecteur se représente géométriquement par une
portion de droite dirigée. Réciproquement, trois grandeurs
physiquement de même nature (homogènes) qui, dans un
changement d'axes de coordonnées, se transforment comme
les composantes d'un déplacement rectiligne, constituent les
trois composantes d'un vecteur d'espace.

Nous allons généraliser ces notions et les étendre à
l'Espace- Temps. Au lieu d'une distance, considérons un
intervalle d'Univers s

BL + CT”

X1, Yi, Zu, L13 X2, y», 22, > étant les coordonnées d'espace
et de temps des deux événements origine et extrémité de
l'intervalle s.

De même que la distance de deux points À et B est
orientée dans l'espace, de même l'intervalle qui sépare deux
événements est orienté dans l'espace-temps.

X2 —— X4, Ye — Yi, Z> — Z1 sont, comme en géométrie, les
composantes, suivant les axes de coordonnées, de la dis-

72 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

tance spatiale des deux événements ; quant à (—#),

nous pouvons dire que c'est la composante de l'intervalle
suivant le temps.

Par conséquent x> —x1, y2—— yi, z2 — 21, c(b 4)
sont les composantes d'espace et de temps de la portion de
droite d'Univers qui sépare les deux événements. Une por-
tion de droite d'Univers, ou ce qui est la même chose un
déplacement rectiligne effectué d'un mouvement uniforme
est un vecteur d Univers à quatre dimensions, un quadri-
vecteur.

Par extension des propriétés des vecteurs de l'espace,
lorsque quatre grandeurs physiquement de même nature se
transforment, dans un changement du système de référence,
comme les composantes d'une portion de droite d'Univers,

c'est-à-dire (dans le cas de la relativité restreinte et avec la
disposition d’axes adoptée) conformément aux formules de
Lorentz, ces grandeurs constituent les composantes d'un
quadrivecteur.
= Un fait remarquable est que les trois composantes
d'espace de la quantité de mouvement d'une portion de
matière et sa masse multipliée par la vitesse de la lumière
(c’est-à-dire son énergie totale divisée par la vitesse de la
lumière) sont quatre grandeurs jouissant de la propriété pré-
cédente. Ce sont les composantes d'un quadrivecteur, l’im-
pulsion d'Univers.

Ce vecteur d'Univers a ainsi pour composantes d'espace
les trois quantités de mouvement suivant les directions des
trois axes de coordonnées, et pour composante de temps
l'énergie (divisée par c) qui n’est pas orientée dans l’espace
mais qui est orientée suivant le temps.

La quantité de mouvement et l'énergie (ou la masse)
d'un système matériel apparaissent donc comme des gran-

ed nt... dns nn. ©

DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 73

deurs inséparables, et les trois principes de la mécanique
ancienne se réduisent maintenant à un principe unique : la
conservation de l'impulsion d'Univers.

Alors que la quantité de mouvement et l'énergie, consi-
-dérées séparément, ne se conservent que dans un même
système de référence et changent d’un système de référence
à l'autre, l'impulsion d'Univers a un sens absolu, indépen-
dant du système de référence. On voit que seul l’ensemble
des principes de la dynamique est absolu.

Loin de compliquer les lois de la nature, le principe de
relativité, par sa puissance de simplification, conduit à une
synthèse sur la beauté de laquelle il serait superflu d'in-
sister.

CHAPITRE VII

VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES

LES VITESSES DES ÉLECTRONS. — La théorie de la
relativité affirme que la vitesse de la lumière ne peut pas
être dépassée. Cette affirmation est la base même de la
théorie, car c'est elle qui entraine la négation du temps
absolu.

Les vitesses les plus rapides que nous connaissions sont
celles des particules £ (électrons) émises par les corps ra-
dioactifs. Danysz a montré que ces particules présentent
toute une série de vitesses et il est remarquable que ces
vitesses convergent vers la vitesse de la lumière, allant jus-

qua 297000 kil/sec. sans pouvoir atteindre 300000
kil./sec.

VÉRIFICATION DE LA LOI D'ACCROISSEMENT DE LA
MASSE AVEC LA VITESSE. — Les expériences de
M. Kaufmann et de M. Bücherer sur les rayons 5 des
corps radioactifs et surtout les mesures très précises de
MM. Ch.-Eug. Guye et Lavanchy sur les rayons catho-
diques (formés d'électrons animés de grandes vitesses) ont
prouvé que la masse de l'électron augmente avec sa vitesse,

conformément à la loi prévue m— —: Dans ces

VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES 75

dernières expériences la loi est vérifiée jusqu'à des vitesses
allant jusqu à la moitié de la vitesse de la lumière.

LA STRUCTURE DES RAIES SPECTRALES. — L'expé-
rience prouve que les raies du spectre de l'hydrogène ne
sont pas simples: chacune d'elles est en réalité constituée
par une série de composantes extrêmement rapprochées,
dont deux sont particulièrement intenses.

Un modèle d’atome, proposé par M. Bohr (un seul
électron négatif tournant autour d'un électron positif dans
le cas de l'hydrogène) rend compte du spectre de l’hydro-
gene, mais l'application de la dynamique classique conduit
à prévoir seulement des raies simples.

M. Sommerfeld a établi que la dynamique de la relati-
vité rend compte exactement, qualitativement et quantitative-
ment, de la structure complexe des raies de l'hydrogène
ainsi que de la structure des spectres de rayons X. On
peut considérer comme établi que la mécanique nouvelle
est seule applicable aux mouvements intra-atomiques. C'est
la une des plus intéressantes vérifications du principe de
relativité.

LA SIGNIFICATION DE L'EXPÉRIENCE DE MICHELSON.
— On présente souvent l'expérience de Michelson comme
la base du principe de relativité et beaucoup de personnes
objectent qu'il est scabreux de bâtir une pareille théorie
sur une expérience dont le résultat a été négatif.

Il est essentiel de faire remarquer que ce n'est pas sur
l'expérience de Michelson qu'il faut fonder la théorie de
la relativité. Cette théorie est basée sur les formules de
Lorentz, c'est-à-dire sur les lois de l’électromagnétisme car
les formules de Lorentz sont implicitement contenues dans

76 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT

les équations de Maxwell : c'est le fait que ces lois ont
été vérifiées par des expériences d'une extraordinaire préci-
sion et doivent être conservées quand on change de système
de référence qui est la base inébranlable de toute la théo-
rie. L'expérience de Michelson a joué un rôle considé-
rable, parce qu'elle a d’abord appelé l'attention sur la dis-
cordance entre l'expérience et les prévisions déduites des
lois de la mécanique ; on a ensuite reconnu les causes pro-
fondes de ce désaccord. Si maintenant on donne à l'expé-
rience de Michelson son véritable sens, on constate qu'elle
vient simplement se joindre aux autres vérifications expéri-
mentales.

La relativité généralisée et la loi de la gravitation d'Ein-
stein nous apporteront des vérifications plus remarquables
encore que celles qui viennent d'être indiquées.

_

DEUXIÈME PARTIE

LE PRINCIPE
DE RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉ
ET LA GRAVITATION

CHAPITRE VIII

LE CHAMP DE GRAVITATION
' ET L'UNIVERS RÉEL

LES SYSTÈMES GALILÉENS. — Une conception fonda-
mentale est à la base de la théorie de la relativité res-
treinte : celle du mouvement rectiligne et uniforme.

Mais tout état de mouvement étant relatif, comment
attribuer un sens absolu à l'état de mouvement rectiligne
et uniforme? On imagine bien un mobile en translation
uniforme dans un système de référence considéré, par con-

_ vention, comme immobile; on conçoit que deux systèmes
de référence soient en mouvement rectiligne et uniforme
lun par rapport à l'autre. Existe-t1l un criterium qui per-
mette de décider si un système envisagé isolément est ou
non en translation umiforme ?

On voit quil est nécessaire de préciser les conditions de
validité des principes et des lois précédemment exposés.
Voici comment on doit résoudre la question. /Vous sup-

…. posons qu on puisse trouver un système dans lequel la loi

« d'inertie de Galilée (chap. 1) soit vérifiée : dans ce sys-

… tème, défini par un corps de référence, une particule maté-

|: rielle est au repos ou se déplace d'un mouvement de. trans-

2 +
| EC
1

78 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

lation uniforme par rapport au corps de référence (ou par
rapport à des axes liés à ce corps) si l’on ne fait agir
aucune force sur elle. Dans un tel système, appelé système
galiléen, on peut adopter les coordonnées habituelles d'es-
pace et de temps (trois axes rectangulaires pour repérer les
positions et un phénomène périodique servant d'horloge
pour mesurer le temps) et ces coordonnées sont dites coor-
données galiléennes.

S il existe un système gahléen, il en existe une infinité
d'autres : ce sont tous ceux qui sont animés Par rapport au
premier (et les uns par rapport aux autres) d'un mouve-
ment de translation uniforme, sans rotation.

Ce que nous avons appelé système en translation uni-
forme, ou encore système non accéléré estce que nous appe-
lons maintenant système galiléen. La théorie de la relativité
restreinte n'envisage que des systèmes galiléens : elle affirme
que dans tout système galiléen la lumière se propage avec
la même vitesse dans toutes les directions (propagation iso-
trope), que cette vitesse est une constante universelle, que
dans chaque système on peut faire une mesure optique du
temps (chap. 111), queles lois de l’électromagnétisme (équa-
tions de Maxwell) sont rigoureuses, que les formules de
transformation des coordonnées galiléennes sont celles de
Lorentz, que les lois des phénomènes physiques restent les
mêmes quand on change de système galiléen.

Un espace-temps qui jouit de la propriété de contenir
dans toute son étendue une infinité de systèmes galiléens
est un Univers de Minkowski (chap. V). Nous dirons qu'il
est ‘ euchidien ” à cause de l’analogie entre la ligne d'Uni-
vers qui correspond au mouvement rectiligne et uniforme
et la ligne droite dans l'espace de la géométrie euclidienne
(p. 59) et parce que, comme l'espace de la géométrie, il

#
PRET

-_ CHAMP DE GRAVITATION ET UNIVERS RÉEL 79

est homogène, c'est-à-dire jouit des mêmes propriétés dans
toute son étendue. Comme l'espace de la géométrie, cet
Univers est infini.

Une question capitale se pose maintenant: l'Univers réel
est-il euclidien? L'existence de la gravitation, que nous
ävons totalement négligée jusqu'à présent, ne vient-elle pas
détruire l'homogénéité, qui est caractéristique de l'Univers

de Minkowski ?

A PESANTEUR DE L'ÉNERGIE. — Chacun sait qu'aux
environs de toute matière règne un champ de gravitation,
“C'est-à-dire qu'en tout point de l' espace s “exerce une force,
la pesanteur, qui agit sur toute portion de matière, On
appelle intensité du champ de gravitation ” ou intensité
de la pesanteur en un point la force qui s'exerce en ce
point sur une masse matérielle égale à l'unité de masse ;
“cette intensité dépend des masses environnantes (les corps
sont plus légers sur la lune que sur la terre). D’après la
vieille loi de Newton, deux particules matérielles de masses
m et m s'attireraient proportionnellement : à leurs masses et
en raison inverse du carré de leur distance r, de sorte que
da force F aurait pour expression

F — e mm

Tr”

G étant une constante, la constante de la gravitation (égale
à 6,7. 10 ‘) dans le système centimètre-gramme-seconde
IE CG: S.).

u En un point situé à la distance r d'une particule unique
de masse m, l'intensité de la Prier due à cette parti-

cule foie agissant sur la masse m — |) serait Gr
LT Tr

80 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION «

La gravitation, qui agit sur toute portion de matière, -

agit-elle aussi sur l'énergie? la pesanteur est-elle, comme

l'inertie, une propriété de l'énergie 2 lorsque la masse inerte

d'un corps change avec son énergie interne, en est:il de
même de sa masse pesanle 2

L'expérience répond par l'affirmative. Supposons qu'une
perte d'énergie, et par suite de masse, par rayonnement,
ne s'accompagne d'aucune variation de poids. Il en résul:
terait qu’une certaine quantité d'uranium et l'ensemble des
produits de sa transformation, hélium et plomb, auraïent
des poids égaux mais des masses différentes. Or les expé-
riences de M. Eotvôs ont démontré (avec une précision
qui atteint le vingt-millionième) qu’en tout lieu il y a pro-
portionnalité entre la masse et le poids : la direction de la

verticale, qui est celle de la résultante du poids et de la”

force centrifuge proportionnelle à la masse (force d'inertie
due à la rotation de la terre), est en effet la même pour
tous les corps.

e

“

Nous sommes amenés à conclure que l'énergie rayon-

nante, en particulier la lumière, doit être pesante puisqu'elle
a une masse. Par suite un rayon lumineux doit s'incurver
dans un champ de gravitation. |

L'ÉQUIVALENCE ENTRE UN CHAMP DE GRAVITATION
ET UN CHAMP DE FORCE DU À UN ÉTAT DE MOUVE-
MENT ACCÉLÉRÉ. — Les résultats qui précèdent entrai-
nent de graves conséquences.

Pour un observateur lié à la terre, un mobile lancé et
abandonné à lui-même n'obéit pas à la loi galiléenne d'iner-
tie, puisqu'il est dévié par la pesanteur: nous voyons qu'il
en est de même pour lalumière, ce qui implique que la

vitesse de la lumière ne reste pas rigoureusement constante.

CHAMP DE GRAVITATION ET UNIVERS RÉEL 81

sur tout le parcours d'un rayon lumineux, contrairement au
principe fondamental de la constance de cette vitesse.

La même conclusion s'applique partout où règne un
champ de gravitation, c'est-à-dire dans l'Univers tout entier;
d'aucun système naturel on ne peut voir — du moins sur
une grande étendue — un mobile abandonné à lui-même
où même un rayon lumineux se propager suivant un mou-
vement rectiigne et uniforme ; aucun mouvement n'est con-
forme à la loi d'inertie de Galilée.

Mais, pensera’ le lecteur, ce n'est pas étonnant : la loi
de Galilée s'applique, dans un système galiléen, au mobile
sur lequel n’est appliquée aucune force; or dans un champ
de gravitation une force attractive s'exerce sur le mobile.

Nous allons, avec Einstein, être conduits à une toute
autre interprétation : si la loi d'inertie de Galilée n'est pas
satisfaite, ce n'est pas parce qu'un mobile subit une force
attractive sil y a un champ de gravitation, c'est parce qu'on
ne peut pas trouver un système galiléen. Nous allons mon-
trer, en effet, que la force de gravitation ne doit pas être
considérée comme une force appliquée à un corps: c'est
une force d'inertie absolument de même nature que celle
Qui apparaît dans un système accéléré, c'est-à-dire dans
un système non galiléen (voir fin du chap. 1) : il en résultera
que dans une région où règne un champ de gravitation
il n'existe pas de système de référence qui soit gahléen
dans toute l'étendue du champ.

Nous allons analyser des notions qui nous paraissent évi-
dentes parce que nous y sommes habitués, et c'est précisé-
ment parce que nous y sommes trop habitués que personne,
avant M. Einstein, n'avait eu l'idée de les approfondir.

D EA GRAVITATION EST UNE ACTION DE
PROCHE EN PROCHE. — A la question pourquoi un

6. BECQUEREL

ri

82 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

objet soulevé puis abandonné à lui-même tombe-t-il 2
chacun est tenté de répondre : ‘* parce qu'il est attiré par
la terre ”. La physique moderne doit formuler autrement
la réponse.

Le développement, dans le domaine de l’électromagné-
tisme, de la théorie des actions de proche en proche non
instantanées a conduit à la théorie de Maxwell, vérifiée par
l'expérience, et au principe de relativité restreint (voir
chap. IV). Une conception semblable doit être admise"
pour la gravitation : l’attraction de la terre sur l'objet qui
tombe est un effet indirect; la propriété d'agir sur une”
masse matérielle ou sur un rayon lumineux appartient, en
réalité, au champ de gravitation, c'est-à-dire à l'Espace-
Temps qui se trouve modifié au voisinage de la matière : ce
n'est pas une action à distance, directe et instantanée, pro-
duite par un corps attirant.

2° ÉGALITÉ DE LA MASSE PESANTE ET'DE-EA
MASSE INERTE.— Le champ de gravitation possède une À
propriété extrêmement remarquable qui n'appartient pas 4
aux champs électrique et magnétique. Alors que dans un
même champ électrique des charges différentes prennent des
accélérations différentes, dans un champ de gravitation
l’accélération acquise par un corps ne dépend ni de l'état
physique, ni même de la nature du corps. Zous les corps,
qu'ils soient lourds ou légers, tombent avec la même vitesse
si les conditions initiales sont les mêmes. L'accélération est
indépendante de la force qui s'exerce sur le corps (indé-
pendante de son poids).

Ce fait, si familier, est extraordinaire,

Pour les faibles vitesses, on a la loi du mouvement de
Newton

force — masse inerte >< accélération

CHAMP DE GRAVITATION ET UNIVERS RÉEL 83

1 d Le .
c'est-à-dire que la masse inerte (masse au repos) est une
constante propre au corps accéléré.

Si la force est le poids, on a

force — masse pesante >< intensité du champ.

L4 f AE “
La masse pesante étant également une caractéristique
du corps.
On a donc :

masse pesante

accélération — >< intensité du champ.

masse inerte

Puisque l'expérience prouve que, dans un même champ
de gravitation, l'accélération est indépendante du corps, le

masse pesante
rapport : est une constante pour tous les

masse inerte

corps et si l'on choisit les unités de façon que ce rapport
soit égal à 1, la masse pesante est égale à la masse
inerte,

Il y a longtemps que la mécanique a enregistré ce ré-
sultat, mais personne ne l'avait interprété. L'interprétation
est celle-ci : la même qualité de la matière se mamifeste,
selon les circonstances, soit comme inertie, soit comme pe-
santeur: en termes plus précis : LA FORCE DE GRAVI
TATION‘EST UNE FORCE D'INERTIE.

Avec M. Einstein, imaginons une portion d'espace vide,
si loin des étoiles et de toute matière qu'il n’y ait plus de
champ de gravitation et que nous soyons dans le cas idéal
où la loi galiléenne d'inertie est applicable. Il est alors pos-
… sible, dans cette portion d'Univers, de choisir un système
. galiléen. Dans ce système supposons une chambre isolée à

l'intérieur de laquelle se trouve un observateur: pour cet
q P

%

84 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION
homme il n'y a pas de pesanteur, pas de direction privi-.
légiée.

Supposons maintenant que, par un câble fixé à un cro-

chet au milieu de la toiture de la chambre, un être exté

rieur se mette à tirer avec une force constante. Pour un
observateur immobile dans le système galiléen, la chambre
va prendre un mouvement uniformément accéléré et sa
vitesse croîtra d'une facon fantastique. Mais toute autre.
sera l'opinion de l’homme enfermé dans la chambre: l'accé-
lération va projeter cet homme sur le plancher, pour lui il
y auraun haut” et un bas ” comme dans une chambre
sur la terre ; 1l constatera que tous les objets tombent avec
une même accélération ; sa première impression sera quil.
se trouve dans un champ de gravitation.

À la réflexion, il se demandera pourquoi il ne tombe
pas en chute libre, ce qui ferait disparaître la pesanteur.
Cherchant ce qui se passe, 1l découvrira le crochet et le
càäble tendu : cette fois tout sera clair pour lui, il se dira :
ma chambre est suspendue, au repos, dans un champ de
gravitation.

Cet homme est-il dans l'erreur ? nullement : il a parfai-
tement le droit de considérer sa chambre comme immo-
bile, bien qu'elle soit accélérée relativement à l'espace gali-
léen. On voit que la possibilité de cette interprétation
repose sur la propriété fondamentale d'un champ de gra-
vitation, de donner à tous les corps la même accélération,
c'est-à-dire sur l'égalité de la masse pesante et de la massé
inerte.

3" LE BOULET DE JULES VERNE.— Au lieu d'ima-
giner que la chambre de l'observateur est loin de toute
matière, supposons-la, au contraire, en chute libre (sans
rotation) dans le champ de gravitation d'un astre. La:

CHAMP DE GRAVITATION ET UNIVERS RÉEL 85

pesanteur y sera supprimée puisque tous les objets seront
- soumis à la même accélération que la chambre en tombant
avecelle, Pour l'observateur de la chambre, il n'y aura plus
mi haut ni bas, et un mobile libre sera au repos ou animé
d'un mouvement rectiligne et uniforme ; ce mobile se con-
formera à la loi de Galilée ; un système de référence hé à
la chambre sera donc un système galiléen (bien que pour
“un observateur situé sur l'astre sur lequel tombe la chambre
ce système soit accéléré) et l’homme de la chambre con-
sidérera | Univers comme euclidien dans son voisinage.
4 LE PRINCIPE D'ÉQUIVALENCE. — Ainsi, d'une
part l'emploi d'un système de référence en mouvement
accéléré dans un Univers euclidien équivaut à créer un
certain champ de gravitation dans lequel ce système
pourra être considéré comme immobile; d'autre part,
l'emploi d'un système de référence lié à un corps en chute
libre dans un champ de gravitation revient à supprimer ce
“champ. En tout point d'espace 1l est donc impossible de se
prononcer entre les deux hypothèses suivantes: 1° il existe
“un état de mouvement accéléré sans champ de gravitation ;
#2” le système est au repos mais il y règne un champ de
“gravitation s exerçant sur toute portion d'énergie.
En un mot il est impossible de distinguer un champ de
force d'inertie dû à un état de mouvement et un champ
dé gravitation. Il y a équivalence, selon l'expression
d'Einstein, qui appelle champ de gravitation tout champ
de force, que ce champ soit dû à un état de mouvement du
“système de référence ou au voisinage de masses matérielles,

L'UNIVERS RÉEL N'EST PAS EUCLIDIEN. — Pour un
“observateur en chute libre, dans un boulet de Jules Verne,
le champ de gravitation n’est supprimé que localement.

86. RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

4
C'est seulement dans une région peu étendue (théorique-
ment infiniment petite) que l'Univers est euclidien pour

cet observateur. Le champ de gravitation subsiste à dis-

tance, parce que l'intensité de la pesanteur n'est constante
ni en grandeur ni en direction; en supprimant le champ

en un point, on l'accentue ailleurs: par exemple, relative- .

ment à un observateur qui tomberait en chute libre sur la
Terre, le champ de la pesanteur serait doublé dans la
région symétrique par rapport au centre de la Terre.

Dans la nature, aucun champ de gravitation n'est

uniforme ; aucun système de référence ne peut annuler un

champ de gravitation dans toute son étendue. Il est impos-
sible de trouver un système de référence dans lequel la
lumière ait une propagation rigoureusement isotrope, dans
lequel la loi d'inertie de Galilée puisse être rigoureusement
apphquée. En un mot le système galiléen est théorique-
ment imaginable, et l'esprit le conçoit aisément parce que
c'est le système le plus simple — de même que la géomé-
trie euclidienne est la plus intuitive — mais ce n’est qu'une
fiction et l'Univers réel, envisagé dans son ensemble, n'est
pas euclidien.

LA GÉNÉRALISATION DU PRINCIPE DE RELATIMITÉ.
— Puisque nos postulats fondamentaux ne sont pas
rigoureusement vrais dans l'Univers réel, faut-il donc consi-
dérer le principe de relativité comme une abstraction en
dehors des réalités? Doit-on renoncer à cette admirable
synthèse et considérer l'invariance des lois de la nature
comme une simple approximation 2 Faut-il penser que cette
invarlance ne serait exacte qu'à la limite, dans un Univers
euclidien et en n'envisageant que des systèmes de réfé-
rence galiléens 2

|
|

“CHAMP DE GRAVITATION ET UNIVERS RÉEL 87
se |
= Doit-on, au contraire, étendre le principe de relativité
au cas de l'Univers réel et de système de référence absolu-
ment arbitraires 2

- M. Einstein n’a pas hésité. Il a érigé en principe l’affrr-
mation suivante :

Tous les systèmes de référence sont équivalents pour
formuler les lois de la nature : ces lois sont ‘covariantes ””"
vis-à-vis de transformations de coordonnées arbitraires.

Cu généralisation s'impose. En effet toutes les lois de
notre science sont basées sur la constatation de coïncidences
absolues dans l Univers. Dans le langage de la relativité, ces
Coïncidences sont des intersections de lignes d'Univers, abso-
lues et par suite indépendantes de tout système de coor-
données. Il est donc certain que les lois de la nature
doivent pouvoir s exprimer sous une forme intrinsèque, une
forme qui reste la même quel que soit le système de réfé-
rence, quelles que soient les coordonnées choisies pour
repérer les événements.

Ïl fallait néanmoins une certaine audace pour généraliser
ainsi le principe de relativité, car les observations les plus
familières semblent contredire cette généralisation. Par
exemple : dans un véhicule, un voyageur a été jeté à terre
par suite d'un coup de frein trop brusque ; il paraît diff-
ile de persuader à ce voyageur que les lois des phéno-
Mmènes sont les mêmes dans un système de translation
uniforme et dans un système accéléré. Voici l'explication :
dans tout système de référence règne un champ de force,
un champ de gravitation (au sens généralisé d’Einstein) ;
les grandeurs caractéristiques de ce champ interviennent
5% l'expression des lois ; c'est lui qui se manifeste par les

- 1. Cela signifie que si ces-lois sont données dans un système de référence, elles
“sont données en même temps dans tout autre système, quel qu'il soit.

t
Le. [

88 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

effets mécaniques de l'accélération. Dans le cas idéal du
système galiléen, ce champ est nul: c’est précisément
l'annulation du champ de force qui se traduit par la loi
d'inertie de Galilée et qui caractérise le système galiléen :
les lois générales doivent alors prendre, dans ce cas parti-
culier, une forme simplifiée, disons plus exactement une
forme dégénérée. Par exemple, les équations de Maxwell

sont la forme dégénérée d'équations générales (auxquelles

M. Einstein a pu remonter) où intervient le champ de
gravitation: fait remarquable, les lois de l'électromagné-
tisme sous leur forme la plus générale sont d'une extrême
simplicité ; elles apparaissent à l'esprit comme plus claires
que les lois de Maxwell (appendice, note 14). C’est sous
la forme dégénérée que ces lois ont été établies expéri-
mentalement, parce que sur la terre le champ de gravita-
tion (pesanteur et force centrifuge) est trop faible pour que
son influence sur les phénomènes électromagnétiques ait
pu être constatée. Les lois de Maxwell et les formules de
Lorentz (qui sont la conséquence de ces lois) doivent être
rigoureuses dans un Univers euclidien, et si l'on prend des
coordonnées galiléennes: on voit par la que la théorie de
la relativité restreinte reste intacte, mais elle correspond à
un cas idéal: celui où le champ de gravitation serait nul.

En résumé Les équations qui expriment les lois physiques
doivent pouvoir être écrites de manière à conserver la même
forme dans un champ de gravitation quelconque c’est-à-dire
quand on change d’une manière arbitraire le système de
référence.

Cette condition de covariance limite considérablement
les formes possibles pour les lois de la nature,

bite te ft déut.s

mag
*

x

LS

CHAPITRE IX

LES COORDONNÉES DE GAUSS

LE TEMPS ET LES LONGUEURS DANS UN CHAMP DE
GRAVITATION. — Dans un Univers de Minkowski, ima-
ginons un système galiléen S, puis prenons un second
système S formé par un disque plan dont le mouvement,
par rapport à S, est une rotation autour d'un axe normal
au plan du disque, passant par le centre de ce disque, ei
fixe dans le système S. Un observateur situé excentrique-
ment sur le disque éprouve l'effet d'une force agissant
radialement vers l'extérieur ;: cette force est interprétée par un
observateur immobile par rapport au système S comme un
effet d'inertie (force centrifuge), mais l'observateur entraîné
avec S peut considérer son disque comme immobile et
attribuer la force à un certain champ de gravitation. Ce
champ possède d'ailleurs une structure fort différente de
celle du champ qui s'exerce au voisinage d'une masse atti-
rante, mais en vertu du principe d'équivalence nous l’appe-
lons quand même champ de gravitation ou, si l’on veut,
champ de gravitation géométrique.

Supposons que l'observateur de S' prenne deux hor-
loges identiques marquant toujours la même heure tant
qu on les laisse au même point; il place l’une au centre du
disque et l’autre à une distance r du centre ; ces horloges
ne vont pas rester synchrones. Examinons-les, en effet, du

OÙ RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

système galiléen S, de façon à appliquer les résultats de la
relativité restreinte ; celle qui est au centre est immobile,
l’autre est en mouvement: le temps propre de cette der-.
mère est donc plus court que le temps du système galiléen,
qui est le temps au centre. Si, au bout de quelque temps,
on ramène au centre du disque l'horloge qui a séjourné à |
la distance r, on constate qu'elle retarde sur celle du
centre, Comme à chaque distance au centre correspond un
temps propre, iln y a aucune synchronisation possible pour
les horloges du système S'; on ne peut pas définir un
temps valable pour le disque lout entier, c'est-à-dire mesu-
rable par des horloges immobiles par rapport à ce disque.

La même difficulté se présente pour les coordonnées
d'espace. Imaginons qu'en appliquant sur la périphérie du
disque une règle très courte prise pour unité de longueur,
on marque deux points À, B et que le rayon soit mesuré
avec la même règle unité. Pour un observateur placé au
centre du disque (immobile et par conséquent appartenant
au système galiléen) le rayon du disque n'est pas changé
par la rotation, mais la longueur AB qui est parallèle à la
vitesse est plus courte que si le disque ne tournait pas
(contraction des longueurs): l'observateur est donc conduit
à considérer la circonférence, qui contient un nombre déter-
miné de fois la longueur AB, comme plus courte, et 1l trouve
que le rapport de la circonférence au diamètre est inférieur
au nombre 7. La géométrie de ce disque nest plus
euclidienne.

Cet exemple fait comprendre que, d’une façon générale,
dans un champ de gravitation géométrique (dû à un état
de mouvement accéléré) on ne peut plus définir les coor-
données habituelles d'espace et de temps. En vertu du
principe d'équivalence il en est de même dans un champ

% LES COORDONNÉES DE GAUSS 9]

de gravitation permanent (dù au voisinage de matière)
c'est-à-dire dans un univers non euchidien. Dans un univers
non euchdien, il n'y a plus de coordonnées galiléennes, car
la possibilité de choisir de telles coordonnées est caracté-
ristique d'un univers euclidien.

— En présence de cette difficulté, M. Einstein a résolu la
‘Guestion par une admirable extension de la théorie des
surfaces de Gauss.

LES SURFACES ET LES COORDONNÉES DE GaAUSS. =
Hout au début du chapitre 1 nous avons, pour définir ce
“quon entend par système de coordonnées, envisagé une
surface plane. Supposons maintenant une surface courbe
qui ne soit pas développable sur un plan, par exemple la
surface de la terre que pe simplifier nous supposerons
rigoureusement sphérique ; si l’on s'interdit d'aller d'un
point à l’autre de la ne en quittant celle-ci, c'est-à-dire
si lon ne considère que les points situés sur la surface
“même, celle-ci constitue, comme le plan, une multiplicité à
deux dimensions — deux coordonnées, la longitude et ia
latitude définissent la position d'un lieu sur la terre — mais
“la géométrie de cette surface n'est plus la géométrie d'Eu-
“chde: 1 ny a plus de l'gnes droites sur la sphère, et la
“plus courte distance d'un point à un autre est un arc de
«crand cercle; on ne peut plus se servir de coordonnées
- cartésiennes rectangulaires.

On voit que pour repérer les événements dans l'Univers
3 réel, non euclidien, où il n y a plus de coordonnées rigou-

“reusement galiléennes, nous nous trouvons, avec quatre
k ‘dimensions au lieu de deux, dans la même situation que le
géomètre qui veut repérer les points sur une surface courbe
sans sortir de cette surface.

92 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

Gauss a montré qu'il est possible dénoncer les lois de”
q P

la géométrie d'une surface courbe quelconque (sphère, ellip-

soïde, etc.) sous une forme indépendante du système de
coordonnées. On comprend qu'en ajoutant deux dimen-

: se eR
sions on pourra, par une généralisation de cette théorie,

énoncer les lois de l'Univers non euclidien à quatre dimen-

sions.

Gauss est parti de l'idée qu'il doit être possible, par des
opérations de géodésie sur la surface, de mettre en évi-
dence la courbure de celle-ci en faisant simplement des

opérations locales d’arpentage, par les procédés habituels.

de la géométrie euclidienne du plan. En effet, en tout

point d'une surface, 1l existe un plan fangent et dans une.

étendue limitée la surface peut être confondue avec son plan
tangent: ceci est d'autant plus exact que l'étendue envi-
sagée autour du point est plus petite, et devient rigoureux
à la limite, pour une étendue infiniment petite.
Traçons sur la surface une famille de courbes arbi-
traires x1 (fig. 12) ; désignons chacune de ces courbes parun
chiffre et figurons
les courbes x — |,

Æ,=7 x1—2.… entredeux
Z = 2 de ces courbes, on

peut imaginer une
X=.$ infinité de courbes

représentant tous les

Eur) \ nombres compris

PR entre les deux nom-

FE Mers bres entiers qui dé-

É signent les deux
Fic. 12.

courbes envisagées.
Ces courbes sont seulement assujetties à la condition de ne

Ÿ

LES COORDONNÉES DE GAUSS 93

pas se couper, de façon qu'il ne passe qu ‘une des courbes
x par chaque point ; de la sorte, à chaque point de la
surface correspond une coordonnée x; bien déterminée.

— Jraçons de même une seconde famille de courbes x,
les courbes x: coupant les courbes x:1. Chaque point de la
Surface est maintenant entièrement défini par les valeurs
de ses deux coordonnées x1 et x.

Deux points P et P° infiniment voisins ont pour coor-
données respectives x1 et x», xi + dxi, xt dx Les
‘coordonn£es de Gauss reviennent, en somme, à un numéro-
tage, à la coordination de deux nombres, faite de manière
que deux points infiniment voisins soient représentés par
‘des nombres infiniment peu diffé-
rents.

Dans une étendue infiniment
petite autour d'un point P, nous
confondons la surface avec son
plan tangent et les courbes avec
Jes lignes droites qu leur sont
tangentes (fig. 13); nous sommes
ainsi ramenés, en chaque point,
à un système de coordonnées rec-
ilignes mais obliques ; une formule
bien connue de la géométrie eucli-
“dienne donne la distance d/ du
point de coordonnées x1, x> au point infiniment voisin de
coordonnées Rd. + de

dl = gudxi + giedxidx» 1 gaidx dx: ni S>dx;

5 --

D Ed + 2gdridrs + godr:

# ?
parce que ga — gi.

E.

O4 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

Si l'on s'est donné les courbes x1 et les courbes x, on.
peut, en chaque point P, de coordonnées x: et x», mesurer
avec une règle les distances (21) (21) GD" qui séparent

le point P de trois points extrêmement voi-

sins de lui P', P”, P” (fig. 14) et corres-

P :

pondant à des valeurs connues des différences
LA 1 SN / > 4 Ÿ
pt P de coordonnées (2x1), (2x2), etc... : toutes”

fa ces grandeurs étant exfrémement petites

‘ | . .

L nous pouvons pratiquement les considérer

Fic. F4. comme infiniment petites, c'est-à-dire écrire |

(D) — (dl), etc et appliquer, pour les
trois distances, la formule (17). Nous avons donc trois.
équations permettant de calculer g11, gi, g» qui sont ainsi «

|

obtenus par des mesures ordinaires d'arpentage.
Conformément à la géométrie euclidienne ordinaire,

les g sont bien déterminés en chaque point; ils sont indé-

pendants des points P', P”, P” choisis pour les mesures

d'arpentage. Mais, Las point P à un autre, les g sont

variables : ce sont des fonctions des coordonnées x1 et x
(c’est-à-dire des grandeurs qui dépendent des valeurs de
x, et x2). C'est seulement dans le cas d’une surface eucli-
dienne qu'on peut trouver des lignes xi et x> telles qu'on ait

(18) dl = dxi + dx;
c'est-à-dire PULL Ï, gris 0

en tout point. C'est ainsi que dans le plan, on peut prendre

pour x: et x des droites rectangulaires, c'est-à-dire em-.

ployer des coordonnées cartésiennes rectangulaires |chap.,
équation (1)|. L'équation (18) est caractéristique d'une
surface euclidienne. ù

Dans le cas général, les g étant en chaque point des |
fonctions de x: et x», l'arpentage permet de calculer les.

LES COORDONNÉES DE GAUSS 95

. get de déterminer comment ils varient en fonction des

coordonnées. Gauss a montré que la géométrie d'une sur-
face est entièrement déterminée quand on connaît ces

- fonctions et que les lois de cette géométrie s'expriment

d'une façon indépendante des coordonnées.

Il est évident que la distance d/ de deux points déterminés,
infiniment voisins l'un de l’autre, est un invariant, c'est-à-dire
a une valeur indépendante du système de coordonnées,
puisque cette distance peut être assimilée à un, élément de
ligne droite dans le plan tangent. Considérons maintenant
deux points P,; et P: et une ligne courbe quelconque tracée
sur la surface entre ces points: la longueur de l'arc de courbe
entre P, et P2 est (comme nous l’avons dit p. 54) l'intégrale

P2
dl: l'arc de courbe élémentaire dl, assimilé en chaque
e/ P1

point de la courbe à un élément de droite dans le plan
tangent en ce point, est donné par la formule (17); il a
une valeur indépendante des coordonnées choisies : l'inté-
grale, c'est-a-dire la longueur de l'arc de courbe est, par
suite, un invariant pour toute transformation de coordonnées.

Sur toute surface, il existe des lignes de plus courte
distance qu'on nomme les géodésiques (sur le plan ce sont
les droites, sur la surface d'une sphère ce sont les grands

cercles, etc..). Si l'on exprime mathématiquement qu'une

ligne jouit de la propriété d'être la plus courte entre deux

| quelconques de ses points, c'est-à-dire que l'intégrale | dl

“ (où maintenant l'en ne spécifie plus les deux points P, et

P;) est minimum, on obtient une équation qui est l'équation
générale des géodésiques. Dans un changement du sys-

: , 4
… tème de coordonnées, l'équation des géodésiques reste la
… même, à condition, bien entendu, que les g aient les nou-

?
.

96 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

velles valeurs g correspondant aux nouvelles coordonnées
x et x. Les propriétés des géodésiques sont exprimées
sous une forme indépendante du système de coordonnées;
il devait bien en être ainsi car la propriété de longueur
minimum qui les caractérise est absolue ; elle est évidem-
ment indépendante du fait qu'il plait au géomètre d'adop-
ter telle ou telle décomposition de la surface en mailles à
deux dimensions.

On peut aller plus loin et caractériser l'individuahité 7
la surface en chaque point; 1l existe, en effet, un élément
qui s'exprime au moyen des g et de ce qu'on nomme en
mathématiques leurs dérivés premières et secondes. Cet
élément est. invariant, c'est-à-dire a une valeur numérique
indépendante du système de référence employé; c'est la
courbure lotale

(19) RÉnis

RiR>

R; et R> étant deux rayons de courbure qu'on appelle
les rayons de courbure principaux.

Pour un plan, Riet R;: sont infinis et la courbure totale
est nulle en-tout point. Pour un cylindre, l'un des deux
rayons de courbure est infini (à cause des génératrices rec-
tilignes) et l’on a encore R —0,.

Si l’on suppose R constant et négatif on a les lois de la
géométrie de Lobatchefski.

Si R est constant et positif, on a la géométrie de Rüe-
mann, applicable à la surface d'une sphère. Q

EXTENSION DE LA THÉORIE DE GAUSS. — Dans
l'Univers réel, nous ne pouvons plus employer des coor-
données galiléennes; puisque nous ne pouvons plus déf-

LES COORDONNÉES DE GÂÀUSS 97

ir les coordonnées habituelles d'espace et de temps, de
me qu'en géométrie des surfaces courbes, 1l n'y a plus
e coordonnées cartésiennes rectangulaires.
Ç En géométrie, on décompose une surface courbe en
mailles bidimensionnelles, avec des coordonnées x1, x2
arbitraires. De même l'Univers peut être décomposé en
cellules quadridimensionnelles, avec quatre coordonnées
itbitraires x1, x>, x:, x. Dans le cas général, il n’y a plus
ni longueurs ni temps; x1, X2, X:, X: sont quatre ” coor-
données d Univers ”. La méthode est calquée sur celle de
Gauss, avec deux Mébions de plus. Au lieu de deux
familles de courbes x; et x, on a quatre familles
d' “ espaces ” (non Eichdlièns) tridimensionnels X1X2XS
Max, XiX2X4, XX: ; en chaque point d'Univers, ou évé-
nement, se coupent quatre espaces.
[| ne faudrait pas croire qu'une pareille coordination
nait pas de sens, les coordonnées ne signifiant plus rien au
point de vue des longueurs et du temps. Nous avons en
“effet insisté sur le fait, qui est la base même de la généra-
lisation du principe de relativité, que les réalités physiques
correspondent aux rencontres de lignes d'Univers de por-
ions de matière ou d'énergie. Ces rencontres s'expriment
‘par des valeurs communes des coordonnées, quel que soit
J choix de ses coordonnées ; tous les systèmes sont donc
LE bons pour exprimer les lois de la nature, et la
lescription de l'Univers peut se faire en coordonnées arbi-
traires, tout comme la géométrie des surfaces ; peu importe
ue ces coordonnées ne soient ni des longueurs ni des
ps. Le principe de relativité généralisé peut maintenant
lénoncer : Tous les systèmes de Gauss ( généralises) sont
équivalents pour formuler les lois de la nature.
- lient-on cependant à conserver les notions d'espace et

Je
+ 7. BECQUEREL

98 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

‘de temps? on peut le faire et l'on devra le faire dans toutes

les applications physiques. Dans un système galiléen, on

pourrait prendre un corps de référence invariable (inva- «

riable dans un même système) par rapport auquel on repé-
rerait les longueurs, et des horloges synchrones pour mesu-
rer le temps; dans un champ de gravitation, où il ny a
plus de corps invariable ni d'horloges synchrones, on eni-

sagera comme corps de référence des corps non rigides

auxquels seront liées des horloges de marche arbitraire
(assujetties seulement à la condition que les indications
observables d'horloges infiniment voisines diffèrent infiniment
peu), ou si l’on veut un système formé d'un réseau arbi-
traire à trois dimensions, avec des horloges aux nœuds du
réseau pour donner l'heure dans chaque cellule. De pareils
systèmes de référence, qui non seulement sont en mouve-
ment arbitraire mais changent de forme arbitrairement dans
le champ de gravitation sont les ‘” mollusques ” d'Einstein.
Le mollusque est un système de Gauss généralisé, mais
on conserve les notions d'espace et de temps, chaque point
du mollusque étant considéré comme point d'espace,
chaque point matériel par rapport à lui étant considéré
comme au repos, tant que ce mollusque sert de système de
référence. |

La généralisation de la théorie de Gauss peut se résu-
mer dans le tableau suivant :

;

À
SURFACE COURBE, NON EUCLIDIENNE

MUDeux dimensions. Décomposition en
failles bidimensionnelles arbitraires.

Le

- Dans une étendue infiniment petite

‘autour de chaque point, la surface peut

être remplacée par son plan tangent.
À

Es Li

à
… Dans le plan tangent, la géométrie
euclidienne du plan est applicable, par
suite :

… La distance élémentaire d/ de deux
“points infiniment voisins ne dépend pas
du système de coordonné:s (est un
_invariant).

… Cette distances s'exprime par la
formule :

dB giidxi 7 7 gizdxidx>

+ geidexy + g22dx3

‘

avec g21 — Lie
de sorte que les quatre g se réduisent à
trois.

a La géométrie euclidienne est caracté-
| risée par le fait qu'on peut trouver des
systèmes de coordonnées dans lesquels
g ont les valeurs conitantes

gui — ges — |, giz = 0

. Il existe des lignes de plus courte dis-

(telles que /d! soit minimum)

lées géodésiques.

La courbure totale s'exprime en

tion des g et de leurs dérivées pre-
et secondes ; cette courbure est

n invariant.

4 L:

LES COORDONNÉES DE GAUSS 99

UNIVERS NON EUCLIDIEN

Quatre dimensions. Décomposition en
cellules quadridimensionnelles arbi-
traires.

Dans un domaine quadridimensionnel
infiniment petit autour de chaque point-
événement, l'Univers peut être remplacé
par son Univers euclidien tangent, qui
est un Univers de Minkowski.

Cet Univers tangent est (dans une
étendue suffisamment petite) l'Univers
de tout observateur en chute libre, rap-
portant les événements à un système de
référence qui lui est lié.

Dans l'Univers euclidien tangent, la
relativité restreinte est applicable, par
suite :

L'intervalle élémentaire ds entre deux
événements infiniment voisins ne dépend
pas du système de coordonné>s (est un
invariant).

Cet intervalle s'exprime par la
formule :

ds” — gyidxi + gisdx;dxs

+ gizdxidx3 nn le > gisdxi :

axce Buy — Sun
de sorte que les seize g se réduisent à dix.
La relativité restreinte (Univers eucli-

dien) est caractérisée par le fait qu'on
« +
peut trouver des systèmes de coordonné:s

dans lesquels les g ont les valeurs -

constantes

Bai ge Es |. gas — |
guy = 0, sixÆo (a, = 1,2, 3,4)

en tout événement.
(coordonnées galiléennes).

Il existe des lignes d'Univers de plus
grande longueur (telles que /ds soit
maximum) appelées géodésiques.

Il existe un invariant qui s'exprime en
fonction des g et de leurs dérivées pre-
mieres et secondes. On l'appelle courbure
totale d'Univers en chaque point-
événement.

100 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

Une différence se remarque entre les propriétés géomé-

triques d'une surface et celles de l'Univers. Dans le cas d’une
surface, dl, qui est le carré d'une longueur, est une quantité
toujours positive ; dans le cas de l'Univers, ds” peut être post-

tif ou négatif; si ds est positif, l'intervalle ds représente un

temps multiplié par c ; si ds” est négatif, l'intervalle représente
une longueur dans l'espace, Sur une surface euclidienne
dl° est la somme de deux carrés (dl — dx —+- dx"); dans

l'Univers euclidien de Minkowski, ds s exprime au moyen

de quatre carrés (ds — — dx; > — dx; + dxs avec
dx, = cdt) mais les carrés des trois composantes d'espace
sont précédés du signe —, alors que le carré de la compo-

sante de temps a le signe +: cette différence de signe est,
suivant l’expression de M. Eddington, le secret des dif-
férences que présentent les manifestations de l’espace et du
temps dans la Nature ”

Lorsque ds représente l'arc de courbe élémentaire (c'est-
à-dire infiniment petit) d’une ligne d'Univers, ds est tou-
jours positif (deux événements infiniment voisins sur une
ligne d'Univers forment un couple dans le temps; voir
p. 51) et ds est le temps propre élémentaire multiplié
par c ; ce n'est pas une distance spatiale, La propriété de
maximum des géodésiques d'Univers (au lieu de minimum
comme en géométrie) est la conséquence de ce fait,

Malgré cette différence l'analogie de propriétés, d'une

part entre le plan et l'Univers de Minkowski, d'autre part.

entre une surface courbe et l'Univers réel, est telle que nous
avons le droit de dire que l'Univers de Minkowski est eucli-
dien et que l'Univers réel est courbe.

IP SR A Pr

fe

k
{

PET

CHAPITRE X

LA LOI DE LA GRAVITATION (EINSTEIN)

NATURE DE LA GRAVITATION. — Les grandeurs £..
(u, =], 2, 3, 4) qui interviennent dans l'expression du
carré de l'intervalle élémentaire et qui, dans le cas général,
sont variables d'un point d'Univers à un autre, sont lesgran-
deurs caractéristiques du champ de gravitation (au sens
généralisé d'Einstein). Ce sont ces dix potentiels de gravi-
tation qui doivent figurer dans l'expression des lois phy-

. siques pour conserver à celles-ci leur forme, quel que soit

le système de référence. ;

Dans le cas particulier d'un Univers euclidien, et si de
plus les coordonnées sont galiléennes. les 9,, ont en tout
point-événement les valeurs constantes :

£ DA — Dao — gas — — |, gu — |],
Sur — 0 si ! est différent de *.

et le champ de gravitation disparaît; c'est le cas étudié
en relativité restreinte. Les formules de transformation des
coordonnées galiléennes — de celles-là seulement — sont les
formules de Lorentz.

Un champ de gravitation, au sens généralisé, comporte
un certain arbitraire puisqu'on peut le modifier à volonté
par le choix des coordonnées, dont les s,. dépendent. Néan-
moins 1] y a une chose indépendante de tout choix de
coordonnées : c'est la sfructure géométrique de l'Univers ;

Le

?

102 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

à cette structure correspond un champ de gravitation per-
manent, connexe de la présence ou du voisinage de la ma-
ère, auquel se superpose un champ de gravitation géomé-
trique introduit par le choix du système de référence.
Puisque, dans le voisinage de masses matérielles, tous
les corps prennent la même accélération malgré leurs poids
différents, il faut porter son attention, non pas sur la pre-
tendue force attractive ”” qui est variable avec le corps,

mais sur l'état de mouvement, c'est-à-dire sur la ligne.

d'Univers qui, étant la même pour tous les corps placés
dans les mêmes conditions initiales, doit être une caracté-
nistique de l'Univers lui-même.

C’est bien une caractéristique de l'Univers car il est facile
de démontrer que c’est une géodésique (voir tableau p. 99).
Dans un Univers euclidien, et en coordonnées galiléennes,
le mouvement d'un mobile abandonné à lui-même serait
rectiligne et uniforme, la ligne d'Univers serait une droite
d'Univers, ligne qui jouit de la propriété de longueur maxi-
mum (p. 57); toujours dans un Univers euclidien, rem-
plaçons les coordonnées galiléennes par des coordonnées
arbitraires, c’est-à-dire introduisons un champ de gravitation
géométrique quelconque ; il est bien évident, puisque l'élé-
ment de ligne ds a une longueur indépendante du système
de coordonnées, que la propriété de longueur maximum est
conservée, Alors, le principe d'équivalence (p. 85) nous
permet d'affirmer qu'il en est de même dans un champ de
gravitation permanent, c'est-à-dire que dans l'Univers réel,
non euclidien, la ligne d'Univers d'un mobile abandonné à
lui-même est encore la ligne de longueur maximum, c'est-à-
dire celle des géodésiques qui est déterminée par les condi-
tions initiales du mouvement: c'est là l'énoncé le plus géné-
ral de la loi d'inertie.

LA LOI DE LA GRAVITATIION (EINSTEIN) 103

On voit bien maintenant qu'il serait faux de dire : la
force de gravitation est une force attractive; un corps
abandonné à lui-même n'a pas un mouvement conforme à
la loi d'inertie par ce qu'il subit une force appliquée. Cette
ancienne conception est inexacte car un corps abandonné
à lui-même est un mobile libre et se meut toujours suivant
la loi d'inertie, mais cette loi n'est plus celle de Galilée
puisque dans un champ de gravitation permanent, c'est-à-
dire dans l'Univers non euclidien, il n'y a plus de système
gahléen, plus de droites d'Univers.

La structure géométrique de l'Univers est liée à la pré-
sence de la matière et plus généralement de l'énergie. La
courbure imposée par cette structure aux géodésiques, lignes
d Univers des mobiles libres, se traduit dans nos observa-
tions par un état de mouvement accéléré; le champ de gra-
vitation est un champ de force d'inertie, mais cette force
nous a donné l'illusion d'une force attractive appliquée,
parce que, en fait, elle possède à nos yeux une telle appa-
rence et que la loi de Newton, qui exprime cette préten-
due force attractive, s’est trouvée être une excellente
approximation dans la pratique.

LES TENSEURS. — Dans la théorie de la gravitation,
l'intervalle élémentaire dont le carré (voir tableau, p. 99),
qui est une grandeur indépendante du système de coor-
données (x1, x», x:, x1), s'exprime par

: dÿ = gudxi + godxidx> + … + gudxi

joue un rôle fondamental.

On est conduit, de plus, à envisager des êtres mathé-
matiques appelés fenseurs (appendice, note 11). Un ten-
-seur est un ensemble de grandeurs de même nature insé-

104 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

parables les unes des autres qui sont dites ” composantes A
du tenseur ”. Le ‘calcul différentiel absolu ”, créé par
Riemann et Christoffel, développé par MM. Ricci et
Levi-Civita (antérieurement à la théorie de la relativité)
donne les règles (voir appendice) qui permettent de définir
les tenseurs et de calculer les composantes d'un tenseur dans
un nouveau système de coordonnées lorsqu'on connaît ces «
composantes pour un premier système et que, bien entendu,
la transformation de coordonnées qui relie les deux systèmes
est donnée. |

La propriété fondamentale des tenseurs est la suivante: »
quand foutes les composantes d’un tenseur sont nulles (ou
sont respectivement égales aux composantes d'un autre
tenseur) dans un système de coordonnées, elles sont encore
toutes nulles (ou égales aux composantes de l’autre tenseur)
dans tout autre système de coordonnées, arbitrairement
choisi. C’est là une propriété qui donne une individualité «
propre à un ensemble de grandeurs possédant le caractère M
tensoriel.

Par suite, une loi formulée par l'annulation d'un ten-
seur (annulation de toutes ses composantes) ou formulée
par l'égalité de deux tenseurs est indépendante de tout sys-
tème de coordonnées.

Le principe de relativité exige que toutes les lois puissent
être mises sous la forme tensorielle. Il en résulte immédia-
tement que la vieille loi dela gravitation, la loi de Newton,
ne peut pas être rigoureuse, car on ne peut pas la mettre
sous la forme requise.

LA LOI DE LA GRAVITATION. — La structure d'Uni-
vers, en présence d'une distribution donnée de matière, est
absolue, car elle ne saurait être changée par le fait qu'il

à

LA LOI DE LA GRAVITATION (EINSTEIN) 105

plait au mathématicien d'adopter tel ou tel système de
coordonnées,

Par suite, lorsque les potentiels de gravitation g,, chan-
gent avec le choix (arbitraire) du système de coordonnées,
les valeurs de ces potentiels doivent rester compatibles avec
une même structure d Univers. C'est dire que les g, sont
nécessairement assujettis à certaines liaisons.

Les équations les plus générales exprimant les liaisons
qui doivent exister entre les dix potentiels de gravitation
pour que ceux-ci, dans un changement arbitraire de coor-
données, se modifient en restant compatibles avec une
même structure d'Univers (quelle que soit d’ailleurs celle-ci)
doivent être, comme toutes les lois physiques, des relations

tensorielles.

Ces relations constituent la loi de la gravitation.
£ . "
Pour résoudre ce problème, M. Einstein n'a eu que les
données suivantes :
1° À distance infinie de toute matière (ou de tout rayon-
nement) l'Espace-Temps doit être euclidien.
2° La loi de conservation de l'impulsion et de l'énergie

sous sa forme (tensorielle) la plus générale doit être

satisfaite,

Il est remarquable que ces conditions aient sufh pour dé-
terminer la loi.

PRE PA" GRAVITATION DANS LE, VIDE:—
Le tenseur fondamental de l'espace-temps est formé par
les g,; 1l a pour composantes les seize

re
/

\ git g12 13 gi

tenseur g,, | . #0 2 Pr
S 51 32 33 34

VD Das Dis Sas

106 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

mais ce tenseur est symétrique (gs: — gr, gui = gas, etc.)
de sorte qu'il n'y a que dix composantes pouvant prendre
des valeurs différentes.

À partir de ce tenseur fondamental, on forme un autre
tenseur, appelé tenseur de Riemann-Christoffel. dont les
composantes ont une expression très compliquée (voir
note | 1) ; nous désignerons ce tenseur par la notation abrégée
R:: les lettres :, *, 5, 2 mises en indices désignent l'un
quelconque des indices |, 2, 3, 4; ces mêmes indices 4, »,

: figurent aussi parmi les indices des g et parmi ceux des
Rp AE qui interviennent dans l'expression développée
de R;.-. Nous ne pouvons guère expliquer en langage ordi-
naire pourquoi 2 est écrit en haut alors que les trois autres
indices sont écrits en bas: disons seulement quil existe deux
lois de transformation des composantes tensorielles lorsqu'on
change de coordonnées: la loi-de contrevariance et la loi de
covariance: quand un indice est de caractère contrevariant,

on l'écrit en haut, quand :1l est de caractère covariant on .

l'écrit en bas.

Comme dans le cas du tenseur g, mais avec deux
indices de plus, pour chaque valeur 1, 2, 3, 4 des indices
on a une composante du tenseur, de sorte qu'en donnant
successivement à toutes les lettres 1, , 5, 2 chacune des
valeurs 1, 2, 3, 4 et faisant toutes les combinaisons pos-
sibles, on obtient 256 composantes.

On démontre que l’annulation de ce tenseur, c'est-à-dire
l'annulation de toutes ses composantes est la condition
nécessaire et suffisante pour que l'espace-temps soit

euclidien.
(20) Le 0)

Les 256 équations représentées symboliquement par

PO

ET

LA LOI DE LA GRAVITATION (EINSTEIN) 107

cette formule se réduisent d’ailleurs à 20 équations
distinctes.

Ce n'est pas la loi cherchée puisque l'Espace- Temps n'est
pas euclidien dans son ensemble, mais la loi R:,—0
convient dans une région de l'espace située à l'infini de toute
masse ; 1l faut donc chercher une relation tensorielle plus
générale, comportant la précédente comme cas particulier,
cest-a-dire qui se trouve satisfaite lorsque R:.. = 0,

Partant du tenseur R:, à quatre indices (du quatrième
ordre), on peut construire un tenseur du second ordre, c’est-
à-dire à deux indices (seize composantes) en imposant la
condition que les indices 5 et : soient toujours les mêmes
(opération qu'on nomme contraction) : ce nouveau tenseur,
que nous désignerons par R:, est le tenseur de Riemann-
Christoffel contracté ; à l'aide de ce tenseur contracté, on
peut enfin former un tenseur d'ordre nul (une seule compo-
sante): or tout tenseur d'ordre nul est un invariant. L'in-
variant en question, R, se trouve être une généralisation de
la courbure de Gauss (p. 96), on peut donc l'appeler cour-
bure totale d'Univers.

La lo R=O0, c'est-à-dire l'annulation de la courbure
totale en tout point-événement ne saurait convenir non plus,
car c'est une loi trop générale, insuffisante pour déterminer
un champ de gravitation.

On n’a donc pas le choix, car pour que R:., = 0 soit une
solution particulière, il n'y a qu'une loi générale possible,
l'annulation du tenseur contracté

(21) R.—0.

C'est la loi générale de la gravitation dans le vide
(appendice, note 12).
_ Le tenseur R,,, étant symétrique (R, = R:;) n'a que

108 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

dix composantes distinctes; l’annulation des composantes
donne donc dix équations. Mais on constate que six seulement
de ces équations sont indépendantes :. c'était à prévoir parce
que dix équations indépendantes détermineraient les dix
g, dans l'expression du carré de l'intervalle ds”, et par
conséquent spécifieraient non seulement la structure de
l'Espace-Temps mais encore le système de coordonnées. Or.
ce système doit rester arbitraire ; 1l est quatre fois indéterminé.
puisqu il y a quatre coordonnées ; il faut donc qu'il y ait entre
les g. quatre relations qui soient des identités (appendice,
note 12). |

En définitive la loi de la gravitation dans le vide comporte
six conditions. C'est une restriction considérable imposée
aux géométries de l'Univers.

LOI DE LA GRAVITATION DANS LA MATIÈRE. —
Les équations résumées par R:.— 0 décrivent les propriétés
les plus générales de la structure géométrique de l'Univers
aux points où1ln y a ni matière n1 énergie électromagnétique,
c'est-a-dire dans ce que nous appelons le vide. Il reste à
résoudre un problème fondamental : la matière subit l'action
d'un champ de gravitation mais nous savons qu'elle est aussi
la source d'un champ de gravitation ; c'est ce qu'il s'agit
d'exprimer. En d'autres termes, :l s’agit de déterminer la
loi qui doit remplacer la loi d'attraction proportionnelle
àa la masse et inversement proportionnelle au carré de
la distance, la vieille loi de Newton que Poisson a
traduite analytiquement par uñe équation locale, c'est-à-dire
par une équation valable en chaque point d'espace: dans
cette équation intervient la densité de la matière au point
considéré.

La densité en un point est le rapport de la masse contenue
dans un volume d'espace infiniment petit, à ce volume lui-

Fe.

# À

LA LOI DE LA GRAVITATION (EINSTEIN) 109

même: c'est la masse par unité de volume. Or la masse,
Cest l'énergie divisée par la constante c”, et nous avons vu
(p. 72) que l'énergie est inséparable de la quantité de mou-
vement. Mais l'énergie et la quantité de mouvement ne
Suflisent pas, dans le cas général, pour constituer un tenseur :
il faut y + des grandeurs qui expriment les courants de
matière, en d'autres termes, les courants de quantité de
de mouvement, On forme ainsi un tenseur, le tenseur maté-
mel ou {enseur impulsion-énergie que nous désignerons par
TL. (seize composantes) dont dix seu'ement sont distinctes
Car il est symétrique. C'est ce tenseur qui doit remplacer la
densité qui figurait seule dans l'ancienne théorie: signalons
d'ailleurs que la composante T';; de ce tenseur est, dans tous
les cas où la matière est animée de vitesses faibles par rapport
à la vitesse de la lumière, considérablement plus grande que
les autres composantes, et serait précisément égale à la densité
de la matière, si l'on pouvait employer des coordonnées
rigoureusement galiléennes.

On démontre (voir une démonstration intuitive dans
l'appendice, note 12) que, pour que la loi générale de con-
servation de l'impulsion-énergie et que la loi de la gravita-
tion dans le vide R,,— 0 soient satisfaites, 1l doit y avoir,
“à un facteur constant près, égalité entre le tenseur T,, et

| LA e e LA LA
le tenseur Re, 80kR (R est l’invariant dont il a été

“question plus haut, la courbure totale de l’espace-temps).
On doit donc avoir en tout point

2 Rs R = — Te

{x étant une constante universelle,

&

110 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

Cette loi peut encore se mettre sous la forme suivante

(3), Re Te el)
T étant un invariant qu'on construit à partir de T,,, et
qu on trouve égak à Z£, £o étant la densité au repos de la
matière au point considéré, c'est-à-dire la denfité qui serait
mesurée par un observateur immobile par rapport à la
matière ..

Dans le vide T,, et T sont nuls, puisqu'il n'y a pas de
matière et l'on retrouve bien la loi dans le vide R.. = 0.

LOI DE NEWTON. — Si, dans les dix équations repré-
sentées par (22) ou (23), obtenues en donnant aux indices 4.
et ” les valeurs |, 2, 3, 4 (les seize équations se réduisent à dix

parce que les tenseurs sont symétriques : RS a: Ka et
T., = T.,) on négligeles quantités qui pratiquement sont très

petites, on trouve, en première approximation mais non comme
loi exacte, la loi de Newton, et la constante z se trouve déter-
minée en fonction de la constante connue G quiintervient dans
l'expression de l’ancienne loi.

LA DYNAMIQUE. — Nous avons dit que, dans le vide, les
dix équations R,, — 0 se réduisent à six conditions, à cause de
quatre identités qui correspondent à la quadruple indéter-
mination des coordonnées.

En tout point où il y a de la matière présente, les quatre
mêmes identités sont encore vérifiées, car elles résultent de
la définition mathématique du tenseur R,.. Comme, d'autre
part, la loi de la gravitation exprimée par (22) ou (23)
traduit une relation entre R.. et T,., les quatre identités se
transforment en quatre équations “ entre les grandeurs qui

1. La densité varie avec la vitesse, puisque la masse et le volume dépendent de

la vitesse.
2. Les équations sont des relations entre des grandeurs inconnues et des gran-

| 508
He | EAN |
L c

LA LOI DE LA GRAVITATION (EINSTEIN) 111

forment le tenseur impulsion-énergie., Le degré d'indéter-
mination des coordonnées, c'est-à-dire le nombre de dimen-
sions de l'Univers impose donc à la matière un nombre
égal de conditions qui doivent être nécessairement remplies.
Il se trouve que ces quatre conditions constituent la loi
fondamentale de conservation de la quantité de mouvement
et de l'énergie (voir appendice, note 12).

Si l'on demandait la loi d'Einstein est-elle bien d'ac-
cord avec les lois de la mécanique ” il faudrait répondre :
c'est elle qui résume la dynamique tout entière. Cette loi
contient. sous sa forme la plus générale, la loi de conser-
vation de la quantité de mouvement, de l'énergie et de la
masse ; on démontre (voir note |2) qu'elle contient la loi
du mouvement du mobile libre (la ligne d'Univers du mobile
libre est une géodésique) : c’est la loi de l'inertie car gra-
vitation et inertie sont une seule et même chose. Elle contient
toute la dynamique du point matériel.
deurs connues ; ce sont des conditions imposées aux grandeurs inconnues, ces
conditions, si elles sont sufhñsantes, déterminent les inconnues. Dans une identité,
les deux membres expriment une seule et méme chose et peuvent se ramener à

une même expression ; autrement dit les termes d'une identité se détruisent deux
_à deux.

CHAPITRE X1

APPLICATIONS ET VÉRIFICATIONS .
DE LA LOI D'EINSTEIN

LE CHAMP DE GRAVITATION D'UN CENTRE MATÉRIEL.
— La loi d'Einstein a permis de déterminer l'expression de
l'intervalle élémentaire ds qui sépare deux événements inf-
niment voisins dans le champ de gravitation produit par un
centre matériel, c’est-à-dire l'expression de l'élément de temps

propre | dt = ds |: Cette expression (note 13) a été donnée
c

en fonction de coordonnées aussi voisines que possible
de coordonnées polaires euclidiennes (voir p. 12), et qu'on
peut assimiler pratiquement à des coordonnées euclidiennes,
tant que la déformation (par rapport à un espace-temps
euclidien) de l'Univers est faible ; elle s'applique dans un
système de référence lié au centre source du champ de
gravitation .

Dans un champ non statique, c'est-à-dire si l'on suppose
que le centre matériel est en mouvement dans le système
de référence employé, on trouve que les petites déforma-
tions de l'Espace- Temps, c'est-à-dire les effets de gravitation,
se propagent avec la vitesse de la lumière. Voilà résolu un.
problème qui avait pendant bien longtemps préoccupé les
physiciens et les astronomes.

»

1. Voir dans l'appendice (note 13) une remarque sur une objection récemment -
faite par M. Painlevé.

à à
(4 x

| APPLICATIONS DE LA LOI D'EINSTEIN 113

EE MOUVEMENT DES PLANÈTES. — PREMIÈRE
VÉRIFIC. ATION : LE MOUVEMENT DE MERCURE. — Si
lon détermine les géodésiques de l'Espace-Temps ayant
l'élément d'arc calculé ainsi qu ïl a été dit plus haut, on
cbtient le mouvement des mobiles libres dans le champ de
gravitation d'un centre. Au lieu d'une ellipse fixe pour la
trajectoire des planètes (mouvement conforme à la loi de
Newton) on trouve une ellipse qui tourne lentement dans
son plan (appendice, note 13). Le calcul numérique montre
que pour les planètes autres que Mercure, l'écart entre les
prévisions conformes à la loi de Newton et celles qui résultent
de la loi d'Einstein est très faible, de l'ordre de grandeur
des erreurs d'observation.

Mais pour Mercure, dont l'orbite a une forte excentri-
cité et qui est près du Soleil, si l'on introduit dans la for-
mule les valeurs connues de la masse du Soleil, du grand
axe et de l'excentricité de l'orbite, et de la durée de révo-
lution de Mercure on trouve une rotation de périhélie
(point le l'orbite le plus rapproché du soleil) de 42,9
secondes d'arc par siècle.

Depuis que Leverrier a établi la théorie de Mercure,
en tenant compte des perturbations dues aux autres pla-
nètes, de Vénus en particulier, le désaccord entre les
prévisions de la mécanique newtonienne et les observations
est précisément 43 par siècle, écart qu'on n'avait pas réussi
à expliquer.

La nouvelle mécanique céleste basée sur la loi d'Eins-
tein se développe actuellement, en particulier en ce qui
concerne la théorie de la Lune.

—. SECONDE VÉRIFICATION. — DÉVIATION DE LA
LUMIÈRE. — La ligne d'Univers d’un rayon lumineux est
‘une géodésique de longueur nulle, puisque ds est constam-

8 BECQUEREL

5 PET
NEA re
Le ;

114 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE + NT

ment nul pour la lumière (p. 57). La trajectoire d'un rayon |

lumineux s'obtient en écrivant cette condition.

On trouve (note 13) que si un rayon lumineux se dirige ;
sur le centre matériel (propagation radiale) la vitesse de la

lumière diminue à mesure que

centre, et le même résultat serait
exact pour un mobile animé
d'une vitesse très voisine de la
vitesse de la lumière: c'est uné

passant transversalement, la wi-
tesse en un point de ce rayon est

tance de ce point au centre ma-
tériel est moindre ; il en résulte
que tout se passe comme si le

HER un espace euclidien, un milieu
réfringent réparti en couches
concentriques dont l'indice de
réfraction augmenterait à mesure
que la distance au centre serait
plus petite ; il est facile de voir
Fic 15. que la trajectoire s'incurve en
donnant toutes les apparences

d’une attraction de la lumière par le centre (fig. 15).
Ces résultats montrent qu'il est, au fond, inexact de
qualifier le centre matériel de ‘* masse attirante ”. La ma-
tière est un centre de déformation de l'Espace- Temps et
l'effet produit sur un mobile nous apparaît, selon la gran-
deur et l'orientation de la vitesse, soit sous l'aspect d'une

la lumière se rapproche de ce -

véritable répulsion. Pour un rayon

d'autant plus faible que la dis-

LL. à

__/|/ rayon lumineux traversait, dans *

“ APPLICATIONS DE LA LOI D'EINSTEIN |15

attraction, soit sous l’ aspect d'une répulsion. Nous sommes
in des idées newtoniennes.

Il'est essentiel de remarquer que les résultats qui pré-
cèdent sont établis dans un système de référence lié au
centre matériel et en prenant comme coordonnées des
coordonnées aussi voisines que possible des coordonnées

“euclidiennes (coordonnées devenant d’ailleurs euclidiennes
à distance infinie du centre). Il n'en reste pas moins vrai
que l'observateur en chute libre (c’est le cas de l’observa-
teur terrestre dans le champ de gravitation du Soleil, car
la Terre est en chute libre), faisant avec des règles et des
horloges, dans son voisinage immédiat, la mesure de la vitesse
de la lumiere, confondrait l'Univers réel avec l'Umvers
euclidien tangent et trouverait toujours dans toutes les
directions une vitesse égale à la constante c ; la variation
de vitesse ne peut apparaître que si l'on envisage une très
grande étendue du champ de gravitation.

Le calcul montre que pour un rayon venant de très
Join, et parvenu très loin du centre après être passé à la
distance minimum R de ce centre, la déviation totale de

ce rayon est » M étant la masse du centre, et G la

- CR
constante de la gravitation. Cette déviation est exactement
“double de celle qui résulterait de la loi de Newton, appli-

… quée à un mobile de vitesse initiale c. Pour un rayon passant

tangentiellement au bord du soleil, on trouve 1”,74: ainsi

* une étoile, vue près du bord du Soleil, doit être déviée

vers l'extérieur du Soleil, de 1”,74 à partir de sa position
normale sur la sphère céleste.

Malgré la petitesse de l'effet, l'exactitude de ce résultat

a été vérihée par les astronomes de Greenwich et d'Oxford,

au cours de l'échipse totale de Soleil du 29 mai 1919. La

se pe

L.
,

&.

116 REÉLATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

zone de totalité traversait l'Atlantique, commençant au

Brésil et finissant en Afrique. Une première expédition

(MM. Crommelin et Davidson) se rendit à Scbral au
Brésil, et prit une dizaine de photographies pendant les
cinq minutes que dura la totalité de l'éclipse. Deux mois
après, la même région du ciel fut visible de nuit et fut
photographiée avec les mêmes appareils pour permettre la
comparaison ; on trouva que les déplacements des étoiles
sont bien, comme le prévoit la théorie, en raison inverse
de la distance au centre du Soleil, et les déplacements
ramenés à ce qu'ils seraient au bord même du Soleil, ont
donné une moyenne de 1”,98. L'autre expédition (MM. Ed-
dington et Cottingham), installée dans l'ile du Prince (golfe
de Guinée), a trouvé une moyenne de | ,60. La moyenne
des deux résultats, | ,79, concorde remarquablement avec
la valeur prévue par Einstein.

La déviation observée ne peut d'ailleurs pas être attri-
buée à une atmosphère ou à de la matière cosmique entou-
rant le Soleil jusqu'aux distances pour lesquelles les mesures
ont été faites, car le pouvoir absorbant et la densité d'une
telle atmosphère auraient affaibli notablement l'éclat des
étoiles ; d'autre part, des comètes suivies dans la même
région n'ont manifesté aucun ralentissement,

TROISIÈME VÉRIFICATION:— LE DÉPLACEMENT
DES RAIES SPECTRALES. — La formule qu donne
l'expression de ds dans un champ de gravitation permet
d'établir que, si deux horloges identiques sont placées,
l’une sur la lerre où le champ de gravitation est faible,
l’autre sur le Soleil où le champ est intense, pour l'obser-
vateur situé sur la Terre l'horloge solaire a une marche plus
lente que l'horloge terrestre (note 13).

On démontre que ce résultat entraine la conséquence

Æ
APPLICATIONS DE LA LOI D'EINSTEIN 117

suivante. Considérons une des vapeurs lumineuses présentes
sur le Soleil; les raies spectrales de cette vapeur doivent,
dans le spectre solaire, nous paraître déplacées vers le
rouge, par rapport à la position des raies de la même
vapeur dans le spectre obtenu au laboratoire. Ce déplace-
ment est très faible (0,01 1 unité d’Angstrôm pour le milieu
du spectre).

M. À. Pérot, ayant comparé dans le spectre solaire et
dans le spectre obtenu au laboratoire les positions de raies
du cyanogène et du magnésium, a établi qu'après correc-
tions de déplacements dus à des causes connues, 1l subsiste
un écart égal, dans les limites d'approximation des mesures,
à celui prévu par Einstein. Le même résultat a été obtenu
par MM. Buisson et Ch. Fabry pour de nombreuses raies
du fer.

CHAPITRE XII

LA COURBURE DE L'ESPACE ET DU TEMPS. —
HYPOTHÈSES COSMOLOGIQUES

L'ESPACE FINI BIEN QU'ILLIMITÉ. — L'ancienne con-
ception de l'espace infini comporte des contradictions
connues depuis longtemps. Doit-on admettre que dans cet
espace infini la matière est répandue partout avec une den-
sité moyenne constante (l'unité de volume étant prise
suffisamment grande) ? Ce serait admettre une quantité
infinie de matière : on peut démontrer que dans cette
hypothèse la loi d'Einstein, comme celle de Newton,
conduirait à des résultats contradictoires.

Doit-on admettre que l'Univers a une sorte de centre
près duquel la densité de la matière est maximum et autour
duquel la matière se raréfie jusqu'au vide complet ? La ma-
tière formerait une île dans l'espace infini. Mais alors toute
énergie rayonnante sortie de cette île se propagerait à
l'infini, sans retour, et se dissiperait ; la matière elle-même
se disperserait, comme l'atmosphère d'un astre qui s'éva-
pore peu à peu dans l'espace. Il faudrait admettre que, puisque
l'Univers n'est pas mort, la matière n'existe que depuis un
temps limité, ce qui recule toutes les difhicultés et n'en
résout aucune,

Pour un homme intelligent qu'on aurait laissé dans |

l'ignorance de la forme de la Terre, la disparition pro-

| ;
au lieu de Po 2 SR= AT,

+
b.

| 4
… LA COURBURE DE L'ESPACE ET DU TEMPS Î|19

gressive d'un navire sous l'horizon serait une révélation :
ayant compris que la surface est courbe, cet homme envi-
sagerait la possibilité d'une surface finie, d'un monde
fermé. Pareille révélation est donnée par la théorie d'Eins-
tein, par le simple fait qu'un rayon lumineux ne se pro-
page pas nécessairement en ligne droite dans le vide, par
la notion de courbure de l'Univers. On supprimerait les
difiicultés de l'ancienne conception en admettant que
l'espace est fini bien qu'illimité, comme la surface d'une
sphère qui ne comporte pas de bornes puisqu'on peut en
faire le tour indéfiniment. Le temps seul resterait infini.
Ce nest pas la une hypothèse arbitraire. M. Einstein a
établi, par des considérations basées sur la théone de l'élec-
tromagnétisme (voir cette théorie dans l’appendice, note 14),
sur les propriétés du tenseur d'énergie électromagnétique
(qu'on doit ajouter au tenseur d'impulsion-énergie maté-
rielle quand il y a un champ électromagnétique) sur la
théorie électronique de la matière, que la loi de gravitation
quil avait primitivement donnée — celle que nous avons
admise jusqu'à présent — doit être corrigée (note 15).
R», étant, comme précédemment, le tenseur seur de Riemann-
Christoffel contracté (p. 107), posons R::

A? Ness À

_ étant une constante universelle, d'ailleurs ‘ extrémement

petite. La loi dans le vide doit être

(24) D Of aulieude R,, —=0

“ét la loi, en tout point où se trouve de la matière ou de
, = é ë 2
- l'énergie électromagnétique s'exprime par

(25) MR RE NT,

120 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

R' étant l'invariant R—4%, et T,, le tenseur total
d'énergie (tenseur matériel + tenseur d'énergie électro-
magnétique).

Une modification radicale est la conséquence de la nou-
velle loi. Alors que dans la loi primitive la courbure totale R
était nulle dans le vide ‘, et égale à 720 (50 densité propre)“
dans la matière, maintenant la courbure dans le vide est la «
constante Ro— 4} et la courbure dans la matière est =
R= Ro + XPo.

Mais, à part ce qui vient d'être dit, rien n'est changé à la
théorie, où il suffit de remplacer R:. par R:. et R par
R'=R—4}. La nouvelle loi entraine, comme la précédente,
la conservation de l'impulsion et de l'énergie. D'ailleurs le
terme correctif Ag», étant très petit, on peut le supposer nul
dans toutes les applications astronomiques.

Les vitesses relatives des astres sont toujours extrème-
ment petites par rapport à la vitesse de la lumière. Cette
remarque nous permet d'envisager un système de référence
relativement auquel la matière est en moyenne au repos et
dans lequel les vitesses individuelles sont faibles. Dans ce
système la matière est quasi-stationnaire. Adoptant ce
système, si l’on cherche l'aspect d'ensemble de l'Univers, en
négligeant les perturbations locales dues à la distribution
irrégulière de la matière (comparables au relief du sol par
rapport à la forme d'ensemble de la terre), la nouvelle loi
comporte deux solutions données, l'une par M. Einstein,
l’autre par M. de Sitter (note 15). Dans l’une comme dans
l’autre la ‘coupe à temps constant ” est un espace à cour-
bure constante positive. L'espace est fermé.

1. Une courbure totale nulle ne signifie pas que l'Univers n'est pas courbe car la
courbure totale peut être nulle sans que les rayons de courbure principaux soient
tous infinis.

ind DE

LA COURBURE DE L'ESPACE ET DU TEMPS lÎ2]

L'UNIVERS D'EINSTEIN. — Pour mieux comprendre,
considérons d'abord une surface courbe au lieu d’un espace
courbe. Imaginons des êtres infiniment plats, entourés
d'objets tout en surface, assujettis à vivre sur la surface
d'une sphère (fig. 16) sans avoir la perception d’une troi-
sième dimension d'espace. Confondant en chaque point P
la surface de leur monde sphérique avec le plan tangent
PT, ils imagineront la géométrie plane (celle d'Euclide) et
penseront d'abord que T
leur univers s'étend à
l'infini. Ils appelleront
” hgne droite ” le plus P
court chemin d'un point
à un autre. S ils portent ATÈPLE SMERN
autour d'un mêmepoint p
P, dans toutes les direc-
tions, des longueurs
égales, ils construiront P
un cercle, et tant que
le rayon sera petit, ils
trouveront que le rap-

u
port de la circonférence Le
au diamètre est un Fic. 16.
nombre indépendant du
rayon % — 3,1415..... Cependant, s'ils tracent des cercles

de ‘ rayons ” de plus en plus grands PP;, PP: etc. — ce
qu ils appellent rayon étant un arc de grand cercle puisqu'ils
restent sur la surface — ils constateront que le rapport de
la circonférence au diamètre devient inférieur à 7 et

diminue à mesure que le rayon augmente, enfin que la

circonférence elle-même décroit et finit par se réduire à un
. ! . . 5
point P — le point antipode, Les mathématiciens de ce

122 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

monde comprendront que leur univers est courbe ; ils dédui-

ou , Va À
ront de leurs mesures d’arpentage que c'est une surface à -

LEE constante positive finie bien qu'illimitée, limitant

n hypercercle ” à frois dimensions dont ils pourront

Éliie le rayon.
Ajoutons une dimension, nous pouvons concevoir l PE
sphérique. Cet espace est difhcile à se représenter ; il n'a abso-

lument rien de commun avec l'intérieur d’une boule limitée

par une surface sphérique dans l’espace à trois dimensions ;
il limite une hypersphère dans un espace à quatre dimen-
sions comme une surface sphérique limite une sphère
ordinaire. Dans l'espace courbe qui limite une hypersphère,
portons à partir d'un point, dans toutes les directions, des
longueurs égales mesurées sur des fils tendus, nous obte-
nons une sphère. À partir du même point portons des lon-
gueurs de plus en plus grandes, nous obtenons d'abord
des sphères de surfaces croissantes, puis une sphère

| ;
maximum (pour la longueur D r étant le rayon de

l'hypersphère) ensuite les sphères décroissent — comme les
cercles de l'exemple précédent — pour se réduire au point
antipode à la distance 7r.

Dans l'Univers d'Einstein, l’espace est sphérique ‘ mais le

temps n'a pas de courbure, il est rectiligne : l'Espace-7 emps
est cylindrique. Cette hypothèse constitue un retour à
l’espace absolu et au temps absolu; la séparation entre
l'espace et le temps est rétablie, parce que la direction des
génératrices du cylindre donne un {emps d'Univers absolu.
Mais c’est un absolu dont nous n'avons pas connaissance
en toute rigueur, car, pour tout observateur en mouve-

|. Ou elliptique, mais nous ne parlerons que de l'espace sphérique.

“. LA COURBURE DE L'ESPACE ET DU TEMPS 123

ment par rapport à l'ensemble de la matière mondiale,
l'espace et le temps restent unis suivant la conception de
Minkowsk: : le temps que nous mesurons, variable d'un
système à l'autre, variable d'un point à un autre dans un
champ de gravitation, n'est pas ce temps absolu ; toutefois
l'écart est bien faible, il ne serait notable que si l'on par-
venait à réaliser des vitesses considérables relativement à
l'ensemble de la matière mondiale.

Une conséquence curieuse est que les rayons lumineux
émanés d'un point, après s'être concentrés au point antipode,
pourraient se concentrer de nouveau au point de départ,
qui ne serait plus d'ailleurs le point occupé par la source
de lumière car celle-ci se serait déplacée pendant le temps
— des billions ou des trillions d'années peut-être — que
demanderait la lumière à faire le tour de l'Univers. Beau-
coup d'étoiles ne seraient que des fantômes d'un passé très
reculé. Mais cette conception est peu vraisemblable; :l
est bien probable que la lumière serait absorbée dans un
pareil voyage, car il y a toujours des traces de matière
répandues dans l'espace.

L'UNIVERS DE DE SITTER. — Dans la solution de M. de
Sitter la coupe à temps constant est encore un espace
à € dE p
sphérique, mais il y a aussi une courbure du temps. L'Uni-
vers est hyperbolique. Il n'y a plus de temps d'Univers absolu;
l'espace et le temps restent unis: c'est la relativité dans
P e temp
toute sa plénitude.
- Une conséquence remarquable de la courbure du temps
+ est que le temps qui s'écoule entre deux événements se
- produisant, relativement à l'observateur, en un même point
pue ace, paraît à cet observateur d'autant plus long que
pace, p P g q
point est plus voisin d'une certaine zone où le lemps esl

124 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

stationnaire (l'observateur ne perçoit pas le temps propre
de cette zone, parce que ce temps et le sien sont orthogo-
naux) (note 15).

Mais ceci n’est qu'un point de vue relatif à l'observateur
et ne signifie pas que le cours du temps soit arrêté dans
cette zone: si l'observateur s'y transportait, 11 trouverait
que la Nature y est aussi active que partout ailleurs, et
c’est son ancienne demeure qui lui paraîtrait immobilisée
dans un repos éternel.

La lumière elle-même demanderait un temps infini
pour parvenir à la zone du temps stationnaire; alors,
plus de fantômes d'étoiles, car 1l y a la barrière du
temps; pour l'observateur, jamais un mobile, jamais un
rayon de lumière ne franchiront cette barrière. Et pourtant,
si l'observateur pouvait mesurer la vitesse d'un mobile
à mesure quil s'éloigne, il trouverait que cette vitesse
(et à fortiori celle de la lumière) croît indéfiniment ! Ce
serait, pour l'homme auquel il manque une dimension pour
percevoir directement la courbure, l'illusion complète d'un
Univers infini dans l'espace comme :l est infim dans le
temps.

On se demande si les déplacements des raies spectrales
des nébuleuses spirales (mondes extrêmement lointains),
déplacements qui ont presque toujours lieu vers le rouge,
ne seraient pas la manifestation du ralentissement appa-
rent du temps, c'est-à-dire de la courbure du temps qu
pourrait se manifester sur de si grandes distances.

L'ACCÉLÉRATION ET LA ROTATION. — Nous avons
déjà insisté sur le fait que toute accélération semble pos-
séder un caractère absolu. L’explication est la suivante: les
lignes d'Univers naturelles, ou géodésiques, ont une signi-

LA COURBURE DE L'ESPACE ET DU TEMPS Î25

fication absolue: elles sont déterminées par la structure
géométrique de l'Espace-Temps. En tout point-événement,
il existe un Univers tangent, l'Univers euclidien de l'obser-
vateur en chute libre ; dans un système de référence lié
à cet observateur, ou dans un système en translation uni-
forme par rapport à lu, les géodésiques peuvent être à
très peu près confondues avec des droites d'Univers dans
une grande étendue. Le mouvement de translation uniforme
na aucun caractère absolu puisqu'il conserve aux géodé-
siques leur forme rectiligne ; il ne peut pas être déterminé
par rapport aux géodésiques. Âu contraire toute accéléra-
tion (et en ‘particulier toute rotation) par rapport à ces
lignes d Univers a une réalité objective. C'est cette réalité
qui est observée avec le pendule de Foucault qui permet
de constater la rotation de la terre.

LA STRUCTURE D'UNIVERS ET L'ÉTHER. — L'Univers
possède une structure géométrique connexe de la présence
de matière ou d'énergie électromagnétique, puisque le champ
de gravitation qui règne au voisinage de la matière (ou de
l'énergie) n’est autre chose qu’une déformation de l’Espace-
Temps.

Si l'on cherche à préciser la relation qui doit exister
entre la structure de l'Espace-Temps et la matière, deux
points de vue opposés peuvent être envisagés.

|” On peut attribuer à la matière, ou plus exactement
aux électrons qui la composent, un rôle primordial. Ce
point de vue paraît conforme à la conception de l'Univers
cylindrique d'Einstein, car il résulte des formules de la
solution d Einstein que la courbure d'ensemble de l'Univers
est déterminée par la quantité totale de matière existante ;
on trouve que le rayon U de l'Univers est lié à la masse

126 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION
totale M de la matière mondiale par la relation
(UT
Re

(z est la constante de la formule 22, p. 109).

de sorte que, si par un miracle de la matière venait à être

créée dans l'espace existant, le volume de cet espace aug-
menterait ; la matière crée, en quelque sorte, l'espace qui
la contient, et sil ny avait pas de matière, il n’y aurait
pas d'Univers.

2° Une autre théorie, soutenue par M. Eddington, est
la suivante : ‘ Je préfère, dit M. Eddington, regarder la

x Ce . .
matière et l'énergie, non pas comme des facteurs produi-

sant les différents degrés de courbure de l'espace, mais
comme des éléments de perception de cette courbure. ”

Cette manière de voir est en accord avec la solution de
de Sitter, car dans cette solution il n'y a aucune relation
entre le rayon d Univers et la masse totale de la matière.
L'Univers a une courbure naturelle; la matière n’est pas la
cause de la courbure d'ensemble; elle correspond à des
sortes de montagnes ou de rides, irrégularités locales par
lesquelles l'Univers est bien moins altéré que ne l’est la
terre par le relief du sol. D'après cette théorie on pourrait
concevoir un Univers vide de matière.

Dans cette hypothèse de la courbure naturelle, les lois
générales sont des identifications de grandeurs physiques avec
des grandeurs géométriques, et on peut les considérer comme
des définitions de grandeurs physiques. Si la courbure totale

est 4 et si, de plus, le tenseur R:, est nul, nous disons

qu il y a le vide : cette structure géométrique se manifeste à

nous sous un aspect particulier que nous appelons le wide.
. - . . 1 .

S1 la courbure totale est encore 47, mais si R:, n'est plus

jun dt s'y Sté ot à

_ LA COURBURE DE L'ESPACE ET DU TEMPS Î27

nul, nous disons qu'il y a de l'énergie rayonnante; si enfin

la courbure totale est différente de 4 nous sommes en pré-

sence d'une structure géométrique que nous appelons matière,
et ce que nous appelons densité propré n'est autre chose

que l'invariant géométrique — (R — 4x).
7

Le rôle primordial est attribué à l'Espace-Temps, dont les
divers degrés de courbure nous apparaissent sous des
aspects que nos sens distinguent les uns des autres, et
auxquels nous avons donné les noms de vide, rayonnement,
matière. Cette manière de voir nous paraît trés séduisante
par sa logique et sa simplicité”.

C’est un retour à l'hypothèse d’un ‘ substratum univer-

sel ”, de l'éther par conséquent, mais cet éther est bien

différent de celui des anciennes théories.

L'espace vide de matière n’est pas amorphe, car la théorie
de la relativité, qui ramène la mécanique et la physique à
la géométrie de Riemann, prouve que l'Univers possède des
propriétés métriques en relation avec la matière présente ou
avoisinante, Ces propriétés sont précisées, dans chaque
système de référence, par les valeurs des dix potentiels
2,» du champ de gravitation et aussi, d'après une générali-
sation due à M. Weyl, par les valeurs de quatre grandeurs

“qui constituent les composantes d'un quadrivecteur, le
_ potentiel électromagnétique.

On doit, aussi bien dans l'hypothèse cosmologique

- d Einstein que dans celle de de Sitter, écarter la concep-

; s :
ton que | espace serait physiquement vide, au sens du néant
absolu ; 1l faut, non pas supprimer l'éther, mais donner une

. Signalons qu'avec cette interprétation une difculté se présente au sujet du

pr de moindre action. Toutefois cette difficulté semble pouvoir disparaître
dans les extensions de la théorie d'Einstein dont il sera question plus loin.

128 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

forme nouvelle à la notion du substratum universel : l’éther
de la relativité n'a rien de commun avec le milieu quasi-
matériel admis autrefois : c'est ‘un milieu privé de toutes
les propriétés mécaniques et cinématiques, mais qu: déter-
mine les phénomènes mécaniques et électromagnétiques É
(Einstein).

D'après Einstein, l’éther ‘ détermine les relations métri-
ques dans le continuum spatio-temporel, par exemple les
possibilités de configuration des corps solides aussi bien que
les champs de gravitation ”.

Deux extensions successives de la théorie d Einstein,
dues à M. Weyl et à M. Eddington, paraissent appor-
ter un complément fondamental. Grâce à l'union, en une
géométrie unique, du champ de gravitation et du champ
électromagnétique, on peut concevoir que les électrons (et
par suite la matière) soient des états particuliers de la
structure d'Univers, de l'éther au sens qu'on doit attribuer
aujourd'hui à ce mot.

En résumé l'espace possède des propriétés physiques, et
l’on peut exprimer ce fait en disant qu'un éther ” existe.
Mais ‘* cet éther ne doit pas être conçu comme étant doué
de la propriété qui caractérise les milieux pondérables,
c’est-à-dire comme constitué de parties pouvant être suivies
dans le temps: la notion de mouvement ne doit pas lu
être appliquée ” (Einstein).

On peut dire encore, avec M. Eddington, que l'éther
est incapable de créer une division de l'Univers en espace
et en temps.

CONCLUSIONS GÉNÉRALES

La loi de la gravitation est maintenant connue : elle englobe

toute la dynamique et bouleverse les anciennes conceptions.
Jusqu à la découverte d'Einstein, non seulement on ignorait
Ja loi exacte, mais on était bien loin de soupçonner la
mature du champ de gravitation : on est certain aujourd hui
que ce champ est la manifestation du caractère non eucli-
dien de la structure géométrique de l'Univers.

L'Univers est caractérisé, en chaque point-événement,
par ses propriétés géométriques, hées à la présence ou au
voisinage de la matière. L'espace n'est ni un vide amorphe,
m l'éther quasi-matériel de l’ancienne physique, et il ne
doit pas être infini.

Le temps est l'aspect d'une des dimensions de la mul-
tiplicité quadridimensionnelle qui constitue l'Univers; il
reste très mystérieux. S'il existe un système de référence
privilégié auquel est lié un ‘* temps d'Univers absolu ” (hypo-
thèse d'Einstein), ce temps absolu n'est pas, en toute
rigueur, celui que nous percevons et que nous pouvons
“mesurer; pour nous il y a toujours, suivant la conception
de Minkowski, union de l'espace et du temps : la division
de l'Univers en espace et en temps n'est possible qu'en
choisissant convenablement les coordonnées, et elle est
Hate à l'observateur.

9. BECQUEREL

|
:

130 CONCLUSIONS GÉNÉRALES

Toutefois, les phénomènes de la Nature ont un caractère
absolu, parce qu'ils sont déterminés par des coïncidences
absolues dans l'Espace- Temps, des intersections de lignes
d'Univers. Il y a des réalités que la science peut atteindre:
elles se traduisent par des lois qui s'expriment à l'aide
d'équations intrinsèques, de relations fensorielles où tout
système de coordonnées a disparu.

Cependant la théorie de la relativité ne remonte pas
aux causes profondes des phénomènes; elle ne fait pas
connaître la nature du substratum universel. C'est une
description en langage mathématique, une interprétation
géométrique des lois physiques et une magnifique synthèse
de ces lois. C’est, dit M. Eddington, ‘la science de la
structure et non celle de la substance ”.

La mécanique et la physique sont ramenées à la géc-.
métrie non-euclidienne de Riemann, ou plus exactement à
la géométrie plus générale encore de MM. Weyl et Ed-
dington (note 15); c'est là le fond de la théorie. Dans la
géométrie, on groupe dans un tenseur des grandeurs insé-
parables les unes des autres, et l'annulation d'un tenseur
(ou l'égalité de deux tenseurs) exprime une propriété intrin-
sèque de l'Univers. En mécanique et en physique, on forme
des tenseurs avec des grandeurs que nous révèle notre
science expérimentale; la théorie de la relativité afhirme
que les tenseurs mécaniques et physiques fondamentaux
doivent être égalés à certains tenseurs de la géométrie
rlemannienne,

Les tenseurs mécaniques et physiques sont égaux à des
tenseurs géométriques : cela ne saurait être mis en doute,
mais comment faut-l comprendre ces égalités ? S'agit-il
d'‘" éguations ” ou d’‘ identités ” à La loi de la gravita-
tion, celles de l'électromagnétisme sont-elles des conditions

; CONCLUSIONS GÉNÉRALES 131

imposées par la Nature aux relations entre la matière et
l'Espace- Temps, ou ne sont-elles que des identifications de
l'aspect physique et de l'aspect géométrique des propriétés
d'une même entité 2 Si l'Espace-Temps et la matière sont
- deux entités distinctes, les lois fondamentales sont des équa-
- tions. Mais si l'on admet, avec M. Eddington, que les par-
ticules qui, en dernière analyse, constituent la matière ne
sont autre chose qu'une structure géométrique d'Univers, la
matière cesse d'être une entité primordiale, les tenseurs
mécaniques et physiques deviennent des tenseurs géomé-
triques vus sous un aspect relatif à notre interprétation de
- la Nature, relatif à notre entendement.

Admettons cette conception. Est-ce dire que la loi de la
gravitation est complètement subjective ? Non pas, au fond,
car il existe un théorème de géométrie, qui se traduit par les
quatre identités dont nous avons parlé (p. 108): c’est là une
propriété intrinsèque de la multiplicité quadridimensionnelle
qui constitue l'Univers, c'est une vérité objective. Mais la

loi de conservation de l'impulsion-énergie et la loi de la
gravitation sont des aspects subjectifs de cette vérité. L'homme
_ arecherché ce qui, dansla N ature,se présente ases yeux comme
permanent : 1l a trouvé les lois de conservation de la masse,
de l'énergie, de la quantité de mouvement: par synthèses
successives, 11 a été conduit à identifier les grandeurs phy-
siques qu on peut grouper dans le tenseur matériel T., avec
celles qui constituent un tenseur géométrique, le tenseur

à R: és à

2
- plus haut exprime précisément les propriétés de permanence :
… cest la loi de la gravitation, d'où découle toute la dyna-
| _ mique. On ne peut pas prétendre que la Nature force la

3 matière à suivre cette loi, car c'est nous qui définissons la

g.R'(éq. 25, p. 119) dontle théorème mentionné

132 CONCLUSIONS GÉNÉRALES

matière de façon que cette loi soit satisfaite: ce que nous.
avons appelé tenseur matériel ou tenseur impulsion-énergie *
n'est pas autre chose qu'un certain tenseur d'Univers conser-
vatif; notre loi de conservation ainsi que notre loi de la
gravitation n'expriment, au fond, que des identités.

Nous avons fait allusion à deux généralisations succes-
sives de la théorie d'Einstein. Ces généralisations (Weyl
et Eddington) complètent la théorie d’Einstein sans l’alté-

leur intérêt est considérable. Partant des propriétés «

géométriques les plus générales que doit posséder un uni-
vers quadridimensionnel, M. Eddington a montré qu'il doit
exister deux catégories de propriétés qui correspondent à
ce que les mathématiciens peuvent appeler la non-intégra-
bilité de la direction et la non-intégrabilité de la longueur:
il doit en résulter, à nos yeux, deux catégories de phéno-
mènes, deux champs de force de natures differentes. La
quadruple indétermination des coordonnées doit se traduire
par quatre formules qui expriment une loi de conservation :
mais ce nest pas tout: l'indétermination du système de
mesures, c'est-à-dire l'indétermination de l'unité choisie en
chaque point pour la mesure des intervalles, doit donner
une autre loi de conservation.

C’est exactement ce que l'expérience nous révèle. Nous
connaissons deux champs de force : le champ de gravita-
tion et le champ électromagnétique; la conservation de »
l'impulsion-énergie est une loi expérimentale qui s'exprime
par quatre équations; l'autre loi, bien connue, est celle de
la conservation de l'électricité.

Quelle que puisse être, dans l'avenir, l'évolution des
idées, l'union de l'espace et du temps, l'inertie et la pesan-
teur de l'énergie, la loi de la gravitation, la dynamique de
la relativité, la courbure de l'Univers, les lois générales de

LB 6 slt ads AN TS Pre

EE:
à -
Hal.

CONCLUSIONS GÉNÉRALES 133

RL “sn : r
l'électromagnétisme sont des résultats, presque tous dus au

E s . , . . \ .
génie d Einstein, qui resteront acquis à la science.
La théorie actuelle pourra être retouchée ou plutôt com-

plétée, surtout en ce qui concerne les hypothèses cosmo-

logiques, la généralisation de la théorie d'Einstein et l'in-
terprétation philosophique des lois. Mais ce quon peut
affirmer, c'est qu'un retour en arrière, vers les idées encore
enracinées dans quelques esprits, est une chose impossible.

APPENDICE

LL — RELATIVITÉ RESTREINTE.

Note 1 (p. 21).

SUR L'INVARIANCE DE LA DISTANCE SPATIALE DE DEUX ÉVÉNEMENTS
SIMULTANÉS.

Soient Xiy1Z1, X2y2z> les coordonnées d'espace de deux
événements simultanés dans un premier système S, et soient
xiyizi, xiyoz: les coordonnées des deux mêmes événements
dans un second système S . La distance spatiale est donnée
par les équations:
ex). Ads y) +(2—2) dansle système S,
= x) + y —yi) + (2 — 2) dans le système S’.

L'application des formules du groupe de Galilée donne
[—T ; le temps s'élimine parce que, la simultanéité étant

supposée absolue, les événements se produisent à la même |

époque { dans les deux systèmes.

Note 2 (p. 24).

SUR LES ÉQUATIONS DE LA DYNAMIQUE CLASSIQUE.

r , : , 4

m étant la masse d’un point matériel; X, Y, Z et X,
/ 1 _.

Y , Z désignant les composantes de la force F dans les

1. Un exposé d'ensemble beaucoup plus complet se trouve dans les ouvrages
suivants : H. Weyl Raum, Zeit, Materie : Eddington, Espace-T'emps-Gravitation,
trad. ‘par J. Rossignol (Hermann, éditeur); Max von Laue, Die Relativitats-
theorie: Jean Becquerel, Le principe de relativité et La théorie de la gravilation
Gauthier- Villars, éditeur).

RELATIVITÉ RESTREINTE 135

/ à 2 3: r «
“systèmes S et S non accélérés, les équations du mouvement
s'écrivent

DUox mr 7 uns
ee, d’x' _X, m d'y EN 4 de — Z" (système S )
E dE dt 7 dé

Pivec la relation
Re ENV 72 XV E72

Les équations fondamentales ont la même forme dans
les deux systèmes; on peut les résumer par la relation
vectorielle

TIMES
HO —

“

. où tout système de coordonnées a disparu.

Note 3 (p. 31).
E SUR LA CONTRACTION DE FirzceraLp-LoRENTz.
Soient lle trajet optique OM, de la lumière entre la
“ face semi-argentée de la lame A et le miroir M; / le trajet
OM: entre la lame et le miroir M:; si le bras OM, est
* parallèle au mouvement absolu de la terre, le temps que
met la lumière à aller de O au miroir M, et à revenir en

9 est j |
l es L:.2
DD € TU
Le temps employé pour parcourir le bras OM, aller et
retour, est

lb —

RE °
Ve RE

D

136 APPENDICE

Pour que 4 —= B, il faut et 1l sufht que

l / v”

CE EN à Pr

[ \ c°

Note 4 (p. 37).

REMARQUE SUR LA MESURE DU TEMPS.

En disant que les observateurs ont des horloges étalons

identiques, nous supposons qu'ils mesurent le temps en

prenant comme étalon de temps la période d'un même
phénomène, en choisissant un phénomène qui ne soit pas
déterminé par des conditions spéciales à un système par-
ticulier : par exemple, un pendule ne pourra pas servir
d'étalon universel, parce que sa période d'osallation est
déterminé par la pesanteur; mais on pourra adopter la
période d'une radiation émise par un corps et prendre pour
unité de temps, dans tous les systèmes, un même multiple
de cette période.

Note 5 (p. 39).

LE cRouUPE DE LORENTZ.

Soit un même événement noté x, yo, 20, l par les
observateurs du système S et noté x, y, z, & par les
observateurs du système S en translation uniforme avec la
vitesse 0 par rapport à S.

Cherchons les fonctions /i, f:, Le satisfaisant aux relations

x SES = f(x — X0, YU Yo, Z "20, Dre li)

o PRES fus ASE X0,.Y 7 Y0, ZT AGE to).

Si l'on suppose la combinaison de l'espace et du temps
homogène, ces formules doivent s'appliquer quel que soit

RELATIVITÉ RESTREINTE 137

LT r[r d ! f !

l'événement de référence (xo, Yo, Zo, bn) ou (x, Yo, Zo, bi), et
- l'on trouve aisément la forme des fonctions: considérons
| sis événements (indices 0, 1, 2), nous aurons

Xi — x = fix — HOT UQ ZE TT AT fo)
de x — fixe — X-Y3 7 Yi, 2 721, b — li),
X25-:X0 fre AO US Ho, 22077 tee, és: lo).

D'où
DAC. ao. etce..) — fix: — x1, etc...) + fi — x0, etc...)

| équation fonctionnelle qui montre que fi est une fonction
linéaire et homogène de ses arguments ; il en est de même
de f f3, f.. +3
Prenons maintenant comme premier événement l'émis-
sion d'un signal lumineux en O et O à l'origine des temps;
au bout du temps £, pour l'observateur du système S, le signal
lumineux est sur la surface de la sphère du système S.

M t:z "ct — 0!

la vitesse de la lumière étant une constante universelle,
pour l'observateur du système S , le signal est au bout du
temps { sur la sphère du système S

nh >. "4 Sr, #”

PR RE

L 5

x +y+z— ct} —0,
Si x,y,2z,t, x,y,z,{ sont les coordonnées d'un même
appareil qui reçoit le signal (second événement), on a
by tz-cÉ—=Nx +y +z— ct") —=0.
Les lois des phenomènes ne devant pas changer quand

on passe de S à Set réciproquement, on a nécessairement
À = | et

Ge +y +2 — CP =x + y +z—6cf.

CT not py dites ec LE RÉ RUES

138 APPENDICE

La disposition d'axes choisie exige que :

| quelsquesoient yetzonaitàlafoisx —=Oetx== ét «

(522) — x,zet{ — y —=0ety=0
!

— x,yett — z.—0étz 0

Les relations linéaires et homogènes qui donnent x, y,

z,t en fonction des x, y, z, { contiennent dans le cas

général 16 coefhcients fonctions de v; avec la disposition

envisagée, en vertu des conditions (5-2) il ne reste que

7 coefficients : on les calcule aisément d’après l’identité (5-1)
et l’on trouve les formules de Lorentz.

Note 6 (p. 44),

LA COMPOSITION DES VITESSES.

Différencions les équations de Lorentz

= VUE vd): dy = di: CE
JL (

d= (dt + +) -

2 £

/

Divisant les trois premières de ces équations par la der-
nière, nous obtenons

h AE 1 0 +0;
J dt 1 + 2x
C
D HR
ni.
(6-1) La ] + ?2x
C
MES dE ER
= Tr
dt + V0»

RELATIVITÉ RESTREINTE 139

En particulier si, comme nous l'avons supposé dans le

texte, 0 est parallèle à v, on a

(6-2) nn — se

Note 7 (p. 52).

CoNTRACTION DES LONGUEURS ET DILATATION DU TEMPS.
Soient x1, x2 et x1, x les abscisses des deux extrémités
de la tige dans les systèmes S et S ; la première des

formules de Lorentz
D a (x — ot)
4

- appliquée aux deux points extrémités de la tige, à un même

instant t du système S, donne

x1) MAT Et |A

|.
2

L : 4 x !
D'autre part, considérons une horloge du systeme S et
deux événements infiniment voisins se produisant sur cette

horloge ; nous avons : invariant ds — c'df* = cd — dx”
avec dx — vdi.
D'où
(7-2) = à.
z

Soit maintenant une tige infiniment courte dirigée paral-
lèlement à la vitesse, immobile dans le système S et de
longueur dx dans ce système; considérons deux événe-
ments infiniment voisins concernant cette tige: d'après (7-1)

140 APPENDICE

et (7-2), l'observateur du système S mesure :

dE AN ee

Z
On a donc

(7-3) dxdt = dx'df'.

INVARIANCE DE L'HYPERVOLUME D'UNIVERS. — Avec
des tiges de longueurs au repos dx, dy, dz dirigées paral- -
lèlement aux axes, formons un parallélipipède rectangle,
immobile dans S’; soit df un intervalle de temps infiniment
court marqué par une horloge au centre de parallélipipède:
comme, avec notre choix d’axes, dy — dy et dz—dZ,
nous obtenons

(7-4) dxdydzdt — dx dy dz dt

ou encore en prenant comme coordonnée de temps la lon-
gueur u — ct

(7-5) dxdydzdu — dx dy dz du.
Note 8 (p. 57).

SUR LE TEMPS PROPRE.

Considérons deux mobiles M; et M: en coïncidence
absolue aux événements À et B, et ayant, entre ces évé-
nements, des lignes d'Univers différentes. Supposons que
M, soit en translation uniforme ; M; a alors nécessairement
subi une accélération entre les deux événements considé-
rés. Repérons les événements dans un système S (en trans-
lation uniforme) lié à M.

Prenons deux époques { et {+ dt du temps du système
S, comprises entre les époques {, et {, auxquelles se pro-

RELATIVITÉ RESTREINTE 14]

duisent, toujours dans le système S lié à M, les événements

A et B. Aux époques t et {+ dt, le second mobile M: est
_ repéré LU, 2 1: x + dx, y + dy, z + dz, t-+ di dans le
“ système S; ces coordonnées déterminent, sur la ligne d'Uni-
- vers de Mb, deux événements infiniment voisins dont l'inter-
. valle est ds; on a

ds —— dx — dy — dé + c'df
P mails on à auss!
ds — cdi,

_ par conséquent

Ë (8-1) ? ee 1cdt, ou dt = dt ( + =/ BE |

€ }
Les mobiles M: et M> étant en coïncidence absolue
- aux événements À et B, nous obtenons, par intégration,

=
(8-2) Pa l'"2d.
CS . A

Plus le mouvement de M: aura été accéléré, plus, par
- conséquent, les vitesses par rapport à M; seront grandes
- puisque la durée totale 4, — 1, est fixe, et plus le temps
. propre total sera court.
En d'autres termes, entre deux événements déterminés,
. la plus longue ligne d'Univers est celle qui correspond au

mouvement rectiligne et uniforme.

Note 9 (p. 59).

LA LOI D'INERTIE.

Une fonction a une variation nulle lorsqu'elle passe par un

142 APPENDICE

minimum ou par un maximum. Donc, pour la ligne géomé-"

trique la plus courte on à © | dl 0, et pour la ligne
d'Univers la plus longue ona + -

(9-1) à | &—0

Dans un cas comme dans l’autre, l'énoncé sous forme de
loi d'action stationnaire est le même. La formule (2- D).
est l'expression intrinsèque, indépendante de tout système «

de coordonnées, de la loi d'inertie. À
Note 10.
I. — LE cHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE.

Dans un système de référence S, soient au point x, y, z
et à l'instant {: X, Ÿ, Z les composantes de la force électrique.
L, M, N les composantes de l'induction magnétique, l la
densité de charge multiphée par 47, w,, w,, w. les compo-
santes de la vitesse de la charge supposée en mouvement
(courant de convection). Les équations de Maxwell-Lorentz
s'écrivent

1ôL 02520
C Ôf dy Ôz
1oM_oX _?Z
Ô/ "à ù
share _1oN_aY 0x
c Ôt Ôx dy
Div, (L, M, N) = °E+ MP g

dx 0y Ôz

RELATIVITÉ RESTREINTE 143
| 1 /oX ON M
ot A

“à | 04 ; dy OZ
FLOY - ZORATON
OAI TRS
So) 12, M
Pr À 04 22 TE 0x Ô

Div. (X, Y, Z)— ete P
dy Ùz

Dans un système de référence S' animé de la vitesse v par
rapport à S, ces équations doivent être remplacées par des
équations de même forme. Adoptons la disposition d’axes pré-
cédemment considérée ; le calcul montre que ces équations
restent les mêmes si les nouvelles grandeurs (lettres accen-
tuées) sont liées aux anciennes par les relations suivantes :

l° Les formules de Lorentz pour les transformations
d'espace et de temps ;

2° Les formules (6-1) de composition des vitesses
pour les w;

3° Les formules suivantes, pour la transformation des
grandeurs électriques et magnétiques.

=
pe. | U
(10-3) \ M. 2 (» c 7)
(Z=1(2+ M)
E,\ c
4
PURE a.
(10-4) D" c7
Én=1(n- De
: CAN C

144 APPENDICE

À

#005) PL ( me p
Z

x

a) Cette dernière formule donne immédiatement un ré-
sultat fondamental.

Soit e la charge de l'élément de volume d'espace,
on a

p— fe, pi: 4
RTE dx dy dz

de (10-5) on déduit
e dxdydzdt — edx dy dz' dt ou e—e d'après (7-4).

La charge électrique est un invariant.

b) Les formules (10-3), (10-4) montrent qu'un champ
électrique et un champ magnétique n'ont pas d'existence
absolue. Par exemple, ce qui est un pur champ magnétique
dans un système est un champ mixte (électrique et magné-
tique) dans un autre système : ceci fait comprendre l’action
d'un champ magnétique sur une charge en mouvement,
car, alors que dans le système de l'observateur, 1l existe un
pur champ magnétique, dans le système de la charge, il
règne un champ électrique qui agit sur elle. On retrouve
facilement, d'après ces formules, la loi de Biot et Savart et
la loi de l'induction, qui ne subissent aucune correction
dans la théorie nouvelle.

c) Appliquées aux ondes lumineuses, les formules de
transformation permettent d'établir la théorie exacte de
l'effet Doppler et de l'aberration de la lumière. Les
anciennes formules ne constituent que des approximations;
les formules exactes sont :

RELATIVITÉ RESTREINTE 145

l— — cos?
(10-6) 1 — ÿ ———-
Ji-<

\ AU

, U

ce ee —

(10-7) cos? — - £
12 Cos 2

c

Y est la fréquence propre de la source et ’ la fréquence
* apparente pour l'observateur. 2 est l'angle de la vitesse v
et du rayon lumineux dans le système S de la source,
g est l'angle de la vitesse v et du rayon reçu par l'obser-
vateur.

L'énergie lumineuse se transforme suivant la même loi

que la fréquence,

Η— cos2

(10-8) D
FN RENE
Vire

On trouve enfin l'expression de la pression de la lumière
sur un réflecteur intégral, animé de la vitesse 0 par rap-
port à l'observateur.

10-9 2 — 5
(10-9) “re se

»

c
À étant l'amplitude des ondes, pour l'observateur.

10. 2ECQUEREL

146 APPENDICE

II. — DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ.

|” LA MASSE EST FONCTION DE LA VATESSE.
— Dans un système S, un point matériel est supposé en.
mouvement avec la vitesse v à l'instant £.

Introduisons un second système S' animé de la vitesse 0"
par rapport à S. Dans S’, à l'instant considéré, le mobile a
une vitesse nulle ; pendant le temps infiniment court qui-
suit, nous pouvons dans le système S' appliquer les équa-
tions de la dynamique classique puisque le mobile part du «
repos dans ce système. ù

Soient mo la masse imitiale ou masse au repos du point
matériel; F;, F,, F2, les composantes, mesurées par un
observateur du système S', de la force que subit ce point:
nous avons

LEE d'y PE d'z
10-10 HR pe 6 2. — FANS
(10-10) m ae ma, mes

Pour avoir les équations de la dynamique dans le système
d'x d'y
S, il faut chercher comment se transforment UE UE
d'z ! ! ! ° s L L *

a et F;, F,, F: en fonction des mesures faites dans le

système S.
Adoptons la disposition d’axes habituelle, en prenant Ox
/ \ \
et Ox parallèles à v. Les formules de Lorentz permettent
Je 4 2
Æ d'x
de calculer —% ::: en fonction de v et de —:::
dt dt
dx. 71 ste “1.0
en tenant compte de ce que — v à l'instant { considéré.
On trouve dt

ao) Lx—Tdx, du

RELATIVITÉ RESTREINTE 147

Pour obtenir la transformation des F;, F,, F2 nous
considérons le cas d'une force électrique ; supposons que dans
S règne un champ électrique X, Y, Z; pour les observa-
teurs de ce système, 1l s'exerce sur une particule de charge
e une force

Fe EX, F,—= eY Free
Appliquons (10-3), en y faisant M — N — O, et re-

marquons que e est un invariant : nous obtenons

CO12) F:—F. Fy=— Fri phase

v4

substituant dans (10-10) les valeurs de l'accélération

(10-11) et de la force (10-12) il vient

Dr. mo d'y —_ Fe md z pp. |

10-13 à | :
\ ) dt 4x dt a dt

| mi
3
|

Bien qu établies dans le cas particulier de la force éice-
trique ces équations s'appliquent à une force quelconque,
car si une force mécanique (par exemple la tension d'un
ressort) fait équilibre à l’action exercée par un champ
électrique, c'est un fait sur lequel tous les observateurs
doivent se trouver d'accord. Il est donc nécessaire que les
composantes de la force mécanique se transforment comme
celles de la force électrique.

ni à " mo
On trouve ainsi une masse longitudinale —- et une

mo

masse transversale » la masse étant définie comme coef-
ficient d'inertie.

Mais les équations (10-13) peuvent s’écrire :

148 APPENDICE

_ (DD ES
d md) —F d{mdy\__F d/md\_

| A 2 dt ä 2 2) Ÿ mr a dt ) Fe

sous cette forme symétrique, la restriction due au choix
particulier des axes est levée; les équations sont absolument
générales. F,dt, F,dt, F;dt sont les composantes de l'impul-
sion dG ; on a donc, en intégrant et prenant la quantité de
mouvement nulle au repos

(10-15) m y—G
Œ

; S : _ : m
la masse définie comme capacité d'impulsion est ——-

2° L'INERTIE DE L'ÉNERGIE. — Multipliant les équa-
tions (10-14) par dx, dy, dz et ajoutant, on obtient
d| ie —= Kmc) = F,dx + F,dy + F,dz = aW
e |
dW étant l'énergie fournie au point matériel.
On a donc
(10-16) mc = WE

La variation de masse est proportionnelle à la variation
d'énergie cinétique.

a) Masse de l'énergie rayonnante. — Considérons un
train d'ondes planes tombant normalement sur une surface
noire S. L'énergie 2 W absorbée pendant le temps ?{ exerce

F

une pression ÿ — (égale à la densité de l'énergie) :

Sc2t

elle communique au corps absorbant une impulsion

mn Katie

"+ 2e

RELATIVITÉ RESTREINTE 149

L'énergie rayonnante W possède donc une quantité de

mouvement G — —— c'est-à-dire une masse (capacité d'im-
C

+ On a la relation (10-16) avec une constante
c

_ nulle.
…. b) Un corps qui rayonne éprouve une perte de masse

égale à la masse —; de l'énergie rayonnée W. — Prenons
c

un cas simple : une lame plane normale à Ox rayonne par
ses deux faces, avec la même intensité, des ondes planes se
propageant de part et d'autre normalement à son plan.
Dans un système de référence S par rapport auquel
- elle était immobile avant de rayonner, la source envoie,
de part et d'autre, des quantités de mouvement électroma-
gnétiques égales et opposées ; elle reste donc immobile,

Soit W une certaine quantité d'énergie rayonnée | “ni de

chaque côté), mesurée par un observateur du système S.
Pour un second observateur S animé, par rapport à la
source, d'une vitesse v parallèlement à Ox, l'énergie se
transforme d’après (10-8) (où 2 — 0 et 2 — 7).
Cet observateur mesure

_ dans le sens opposé.

dd R # ble à: be nd ET à
Q
[ÈS]

Fe

150 APPENDICE

La quantité de mouvement qui s’est propagée, pour S,
dans le sens de v est

Horn MEME ENESS
C

C Z
(— ») est la vitesse de la source pour S’. D’après la con-

servation de la quantité de mouvement, —

quantité de mouvement perdue par la lame. Comme la
vitesse n a pas changé, cette variation provient d'une varia-
tion de masse de la lame

Ï
+ pour l'observateur S'
4 OC

et

La lame a donc éprouvé une perte de masse au repos
— précisément égale à la masse de l'énergie rayonnée.
c

c) L'énergie potentielle totale d’un électron est égale à

2 2 .

sa masse au repos multipliée par c. (M. Langevin). —
Assimilons l'électron à une sphère de rayon a possédant
une charge superfcielle e.

L'énergie potentielle du champ électrostatique À est :

à à : k 2 Dr 72
WW: ! IN —=É£- 2-0
DES

EI he.

L
a

F RELATIVITÉ RESTREINTE 151

* Soient 5 —-—. la densité superfcielle de charge, p la

—

Ta
. pression de Poincaré, nécessaire à admettre pour expliquer
_ que la charge ne se dissipe pas. La pression p fait équilibre

à la tension 275 résultant de la répulsion mutuelle des élé-
- ments qui composent la charge.

On a donc

- [len résulte une énergie potentielle W2 égale au pro-
duit de p par le volume de l'électron.

US — LS Fa p a CR ee
3 6 a
L'énergie potentielle totale de l'électron au repos est
t

ainsi

9

“ Or la masse de l’électron est k.
“ mc — W. c 3
D OC ralbation. — Dans tous les cas où l’on peut calcu-
ler l'énergie totale W d'un système, on la trouve égale
à mc. On est donc conduit à généraliser et à donner les
lois énoncées page 66.

e
—— ; on à par suite
a

3° L'IMPULSION D'UNIVERS. — Soit dt Ta de
=) Les dérivées

lemps propre d'un point matériel (d

dx dy d cd
d: d= d: d:

152 APPENDICE

se transforment comme les composantes dx, dy, dz, cdt

d'un déplacement élémentaire, puisque d° est un invariant:
Ce sont donc les composantes d'un quadrivecteur, la vitesse
généralisée.

Multiplions par l’invariant m0 (masse au repos) les com-
posantes de ce quadrivecteur ; nous avons les composantes
de l'impulsion d'Univers.

(10-19) _m dy, ,&
d

Les trois premières composantes (composantes d'espace)
sont les composantes de la quantité de mouvement ; la
quatrième (composante de temps) est l'énergie divisée
par c.

La conservation de la quantité de mouvement et la con-
servation de l'énergie qui, pour un système de points ma-
tériels isolé, s’écrivent :

(10:20) 2G,=Cr, 2G,=C:, 2G.=C EM

se résument maintenant dans l'affirmation que la somme des
vecteurs impulsions d'Univers, somme entendue au sens
géométrique reste constante dans un système matériel
isolé. Elle est indépendante du système de référence, alors
que la quantité de mouvement et l'énergie varient d'un
système de référence à un autre. Le principe de la conser-
vation de l'impulsion d'Univers a seul un sens absolu.

PR

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 153

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE

Note 11.

LES TENSEURS.

| TRANSFORMATION DU DÉPLACEMENT ÉLÉ-
MENTAIRE. — Passons d'un système de coordonnées
(xs, x, 23, x) à un autre (x, x, x, x) l'élément de ligne
se transforme d'après les quatre équations

Hi D us VE de + du UE qu

dx dx dx

qu'on résume sous la forme abrégée

ER ris
(11-1) de — D du

v

=

3 étant le même indice dans les deux membres et la som-
mation étant faite, pour chaque indice 5, en remplaçant y
successivement par |, 2, 3, 4.

2° QUADRIVECTEURS. — Tout groupe de quatre quan-
tités À’ qui se transforment suivant la même loi que les dx,

(11-2) Am VX À;

constitue un quadrivecteur ou fenseur de premier ordre contre-
variant. On met l'indice en haut (sauf pour dx’ qui est
cependant contrevariant).

154 APPENDICE

Tout groupe de quatre quantités B, (indice en bas) qui se
transforment suivant la loi |

eve
(11:3) B.— ) 55 B.

L

constitue un quadrivecteur ou {enseur de premier ordre
covariant.

On voit facilement que

(11-4) E AB, — AB, — invariant.

Ün invariant, appelé aussi scalaire. est un tenseur
d'ordre nul.

Remarque. — La sommation est faite par rapport à
l'indice qui figure deux fois sous le signe ©. Cet indice n’a
pas de signification propre puisque dans l'expression com-
plète d'une même composante on lui donne successivement
les valeurs 1, 2, 3, 4 : on l'appelle indice muet. La lettre
qui le désigne peut être à volonté remplacée par une autre
pourvu que la nouvelle lettre ne figure pas déjà dans le
terme considéré. Dans la suite nous supprimerons le > ;
il sera sous-entendu quon doit toujours sommer par rapport
aux indices muets, faciles à reconnaître d'après ce qui vient
d'être dit.

_3° TENSEURS D'ORDRE SUPÉRIEUR. — Seize gran-
deurs qui se transforment suivant la loi

CPAS dx: A’ (EË sous-entendu)

Oxu dx, um y

sont les composantes d'un {enseur du second ordre contre-
variant.

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 155

Seize grandeurs qui se transforment suivant la loi

(11.6) Ar À,

dx Ôx-

forment un tenseur du second ordre covariant.

On généralise aisément pour définir des tenseurs
d'ordre n. Un tenseur d'ordre n possède 4° composantes
(dans une multiplicité à 4 dimensions). Un tenseur qui par-
ticipe à la fois des deux modes de transformation est dit
mixte : 1l est contrevariant vis-à-vis de certains indices et
covariant vis-à-vis des autres.

12 __ dxe Oxu VX p
Ex. : A = 2 Ty ES As.

Ôxe dXS dx-
Un tenseur tel que À: — A: est dit symétrique
par rapport à !z et . Un tenseur tel que À, — — À... est

dit symétrique gauche par rapport à ! et ”. Un tenseur
symétrique gauche d'ordre 2 possède six composantes
distinctes (au signe près); il n y a pas de tenseur symétrique
gauche d'ordre supérieur à quatre (du moins dans une
multiplicité quadridimensionnelle).

4 MULTIPLICATION. — Si l’on multiplie deux à deux
les composantes d'un tenseur d'ordre net celles d’un tenseur
d'ordre n , on obtient un tenseur d'ordre nn.

Ex.: A. B'—=TS.

5° CONTRACTION. — Partant d'un tenseur mixte, on
peut former un tenseur d'ordre inférieur de deux unités en
égalant un indice de caractère covariant et un indice contre-
variant. Ex. : soit À;,,; imposons la condition 5 — +, nous
obtenons À’. qui n'est plus que du second ordre et peut se

156 APPENDICE

représenter par À. Une multiplication suivie de contraction
se nomme multiplication interieure.

6” PROCÉDÉS POUR RECONNAITRE LE CARAC-
TÈRE TENSORIEL. — a) Lorsqu'un groupe de quantités
A(u%... 28...) déterminées par n indices est tel que

(147) AU JB — invariant

pour un choix arbitraire d'un tenseur B;:'° à n indices. dont
n covariants et n contrevariants, on peut afhrmer que
Au. 20...) est un tenseur contrevariant d'ordre n et
covariant Tr ordre ñn.

Ex. : Si A(uY)B*C'— invariant, A(:%) est un tenseur A,

ce résultat est encore exact si pour un quadrivecteur quel-
conque B* le produit intérieur A(:)B*B’ = invariant, à
condition que Au) — A»).

b) Un groupe de quantités dont le produit intérieur
par un quadrivecteur arbitraire est un tenseur est lui-même
un tenseur.

Ex.: si A(uv)B' est un quadrivecteur covariant, A(u»)
est un tenseur covarlant.

7° TENSEURS FONDAMENTAUX. — Dans l'expression
de l’invariant ds

(1 1-8) ds” me g,dx, dx,

dx, est un quadrivecteur covariant arbitraire ; donc d'après
l’une des règles précédentes g,,, qui est symétrique, est un
tenseur covariant. C'est le tenseur covariant fondamental.
Le tenseur contrevariant fondamental g,, s'obtient en écri-
vant le déterminant des g., formant le mineur de chacun
des #. et divisant ce mineur par la valeur g du déterminant.

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 157

D'après une propriété des déterminants on a:
(11-9) gg — 1 ou 0 selon que # — * ou 4 F *.

Posons g,,8 — g., g, est le {enseur mixte fondamental.
Il jouit de la propriété d'avoir les mêmes composantes
(égales à | pour 4 —Y et à O pour z ») dans tous les
systèmes.

Remarquons qu'en contractant ce tenseur nous obtenons
CMETOD NN gi — gi + g2 + g + gi — 4.

Remarquons aussi que g, est un opérateur de substitution,
car

MD A — A: 0 + 0-0.

8° TENSEURS ASSOCIÉS. — Les trois tenseurs fon-
damentaux permettent de transformer les tenseurs par
multiplication intérieure, c'est-à-dire de construire de nou-
veaux tenseurs en faisant passer à volonté un indice de
bas en haut et inversement. Les trois tenseurs contreva-
riant, mixte et covariant

(11-12) A”, A, =g,,A”(zestindicemuet), ÀA,, — g,.A'

sont dits tenseurs associés.

Tout tenseur d'ordre pair permet de former un invariant
appelé invariant contracté : il suffit d'amener la moitié des
indices en haut, la moitié en bas et de contracter complè-
tement.

9° LONGUEUR GÉNÉRALISÉE. CONDITION D'OR-
_ THOGONALITÉ. — Dans la théorie vectorielle ordinaire
(3 dimensions) le produit scalaire de deux vecteurs À et

B est :
(H°13) AB, + AB, + AB. = AB.

158 * APPENDICE

Le carré de la longueur d'un vecteur est le produit
scalaire du vecteur ir par lui-même. Deux vecteurs sont ortho- |
gonaux si À,

Pour les Re PRES te en coordonnées arbitraires, le
scalaire

(11-14) A, AB"

est la généralisation du produit scalaire (11-13). 4
Le carré de la longueur généralisée d'un quadrivecteur -

A“(ou À.) est le scalaire |
(FH15) = AA! = gs, AA) a AS

et la condition d'orthogonalité de deux quadrivecteurs

(A., B: ou A*, B*) est

(11-16) : A,B:=0. . ou . A'B,—0: 1
10° DENSITÉ TENSORIELLE. — Le déterminant g des «
2. est toujours < 0; considérons \’ — g ; on démontre que: .
dis :

(11-17) V — gdw = invariant (do — dxidx:dx:dxi). |
En coordonnées galléennes, gu — go = ga = — |, ?
gu= +1, gw—=0(2Æv); V—g=]I] et l'invariant
V— gdw — dx.dy.dz.cdt (élément d'hypervolume, voir «
note 7). +:
Soit T;;: un tenseur, on appelle densité tensorielle |
l'expression n
(11-18) Vel

On peut toujours choisir les coordonnées de façon «
qu'en tout point-événement Ÿ — g — |, Ce choix simplifie «
souvent les calculs. | L

À
|

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 159

11° SYMBOLES DE CHRISTOFFEL. — Nous ferons
usage des : Hab

! 10 1 { k >
(11- 19)| ? ? FE ee d Ja 8 }(pasdesommation).
0x,

dx ox

( RPG E u
(11-20) ) 7} Frs té
(sommation par rapport à l'indice muet +),

Les grandeurs représentées par les symboles sont nulles
en coordonnées galiléennes (les g,, sont constants). Ces
symboles sont symétriques en : et v. Î[l faut noter que ce
ne sont pas des tenseurs.

12° DÉRIVÉE COVARIANTE. — La dérivée d'un
scalaire est un quadrivecteur covariant, mais la dérivée d'un
quadrivecteur n'est pas un tenseur. Soit un quadrivecteur
covariant À,, on démontre que les quantités
DA, __ (ur)

(11-21) 2 CRE LA { À

constituent un tenseur covariant, appelé dérivée cova-

riante de AÀ..
De même

(11-22) A

est la dérivée covariante du quadrivecteur A* contrevariant.
Généralisation. — Soit un tenseur quelconque, Af,, par
exemple; sa dérivée covariante est le tenseur :

160 APPENDICE

(11-23)
; LP RS 7 SCOR 2.22
A ur SL # } : (A 2 l " (A: ]

(LL
a

| At
\ 12%

=

=

ie

ni ©

La dérivée covariante remplace, dans les équations ten-
sorielles exigées par le principe de la relativité, la dérivée «
ordinaire qui en est la forme dégenérée, en coordonnées gali- «
léennes (car en coordonnées galiléennes les symboles de
Christoffel sont nuls).

Supposons qu'on déplace un vecteur suivant un certain
contour. Dans un espace euclidien et en coordonnées gali-
léennes, la condition nécessaire et sufhsante pour que le
vecteur reste de même longueur et parallèle à lui-même

é dA* [02 ne :
pendant le déplacement est ere 0 our 0) - Cette
0x, Nr |
condition étant la forme dégénérée de l'équation tenso-

rielle A —0 (ou A, — 0) nous dirons que l'annulation

de la dérivée covariante d'un quadrivecteur en tout point
d'un contour exprime un déplacement sans variation
absolue ” (Eddington) ou un ‘ déplacement parallèle ”
(Weyl) bien qu'il ne puisse, en général, être question de
parallélisme au sens de la géométrie euclidienne,

13° QUELQUES FORMULES UTILES. — On démontre

dg"* == — g g‘dg et dg: mt. Luugadg"",
(l 1-25) A° dgu: ENT A::dg° "

DL R TRS =

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 161

(11-26) d(logg) = — gudg" — g'dg….

0) HE,
(11-27) ; Dre +
e dry

14 DIVERGENCE. — Dans la théorie vectorielle ordi-
naïre, on appelle divergence le scalaire

D ue ou 22.

is Ôy 0z dx.

La généralisation est immédiate. Pour un quadrivecteur
contrevariant, la divergence est la dérivée covariante con-
tractée A}, (scalaire).

Introduisant la densité tensorielle, et tenant compte

de (11-27)
(11-29) dot —

db"
54 dx

La divergence d'un tenseur du second ordre est, de

_ même, la dérivée covariante contractée : c'est un quadri-

vecteur,
a) Tenseur mixte À,.— La divergence est A;, (Y devient
indice muet)

OA (a y.)
OA)" A;
TRS PRET A
ou
DUAT (un
(11:31) Me FC D
dx, ( E
expression qui, Lorsque À, est symétrique, se simplifie
Éd LR ne de +’ do?
| (132) &, — Loge re Tu Lot
FT 2 dx Ôxs 2 0x y
11. BECQUEREL

162 APPENDICE

b) Tenseur contrevariant A. — La divergence est”

A; en introduisant les densités tensorielles, on trouve

4 db” (<y)
(11-33) RP

dx #A \

le dernier terme disparait lorsque le tenseur est symétrique
gauche.

Dans la théorie vectorielle, l'annulation de la diver-

gence d’un vecteur exprime la continuité du flux de ce
vecteur. Dans la théorie de l'univers quadridimensionnel,
où intervient une coordonnée de temps, l'annulation d’une
divergence est la condition la plus générale de conser-
valion ou de permanence d'un quadrivecteur ou d'un
tenseur.

15 LE TENSEUR DE RIEMANN - CHRISTOFFEL —
La dérivée covariante du tenseur g,, est identiquement
nulle, On peut cependant former un tenseur par différen-
ciation à partir du tenseur fondamental seul.

Formons la dérivée seconde covariante À... d'un vecteur
arbitraire À, puis le tenseur À. — À,,., le calcul donne

L'OE GE » . (ee — R: 2 2
(139

Puisque À; est arbitraire et que A, — À,,, est un
tenseur, la dernière des règles indiquées (n° 6) montre que
R:., est un tenseur. /[ n'est constitué que par les g» et
leurs dérivées ; c'est un tenseur d'Univers.

Le tenseur contracté est

we
EX »
*

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 163

(11:35) ”
RE ,, — — LE NE à _ \uel _ (uv)(es

?

2/
dxel 0) AA) xl 5 \ 2 \72\
(z et = sont = ARTE 4 A
qu'on peut écrire, en utilisant (11-27)

(11-36)
Ô (2 Das (up} (vs 0? PE g |u2v)Ù logt/ 1e |
Ru = — k + es A A |
dxel 6 4 Ce \le xs 0x lz) Ôx: |
Les el rR termes disparaissent si l'on choisit les
coordonnées de manière que |/—5—1|.

Enfin, en multipliant par g”*’ on forme l'invariant con-
tracté

(11-37) R=g"R.

qu'on démontre être une généralisation de la courbure de
Gauss.

Note 12,

GRAVITATION ET DYNAMIQUE.

|? LOI DE LA GRAVITATION DANS LE VIDE. — S;
l'Univers est euclidien, et si l'on prend des coordonnées
gahléennes, toutes les composantes de R°, s'annulent car
tous les symboles de Christoffel sont nuls. Mais alors ces
composantes s'annulent aussi dans tout autre système de
coordonnées (propriété fondamentale des tenseurs, les
équations de transformation des composantes étant linéaires
et homogènes). L'annulation du tenseur de Riemann-
Christoffel est donc une condition nécessaire pour que
l'Univers soit euclidien. On démontre que cette condition
est sufhsante.

164 APPENDICE

Si l'on admet que l'Univers est euclidien à distance -
infinie de toute matière, la loi de la gravitation dans le

vide est nécessairement R:, — 0 (voir chap. X).

Mas si l'Univers est courbe dans son ensemble et si
l'espace est fim, 1l n'est plus nécessaire de conserver
R',, —0 comme solution limite, et la covariance est

respectée s1 l'on pose

(I 2-1) R: = Ra — gs — 0
À étant une constante universelle certainement très petite.
Pour le moment nous supposerons Rs :

R:. est la seule expression générale d'un tenseur du
second ordre, fonction seulement des £.. et de leurs dérivées,
ne contenant pas de dérivées d'ordre > 2 et linéaire par
rapport aux dérivées secondes.

2° THÉORÈME FONDAMENTAL. — La divergence
du tenseur

* Fu
R, 2 g,R
est identiquement nulle, ce qu'on peut écrire
: | OR
12-2 Ro
EX | 2 dxs

Ces quatre identités (2 — 1, 2, 3, 4) sont celles qui
réduisent à 6 le nombre des conditions exprimant la loi de
la gravitation dans le vide (Ch. X, p. 108).

3° ÉQUATIONS DES GÉODÉSIQUES. — Soit A’ le

Û dx; LR | :
vecteur contrevariant - Sa dérivée covariante est
5

(423) :A = 2 (as) J jé] de.

Ôxe \ ds) 5 ds

Li

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 165

Eee). IA: di
Multiplions par A°— pa nous obtenons
s

2
ET HA

(124) AA TE +

xs 4 (264 dx dre
d

5 \ ds ds

Le premier membre étant un tenseur, 1l en est de même
du second. Ce tenseur s'annule en coordonnées galiléennes

:
è rs

. ’ 14 PR d X LE
pour tous les points d'une géodésique car alors = —0 et
s
47: ET ,
= 0 ; par suite l'annulation de ce tenseur représente

les équations d'une géodésique dans un Univers euclidien
quelles que soient les coordonnées.
, x : : ,, : Û A
D'après le principe d'équivalence, il en est de même
dans un champ de gravitation permanent. L'équation géné-
rale est donc

(12-5)

(4 équations: 5 — 1, 2, 3, 4).

Il est à remarquer que le principe d'équivalence n'est
autre chose que l'affirmation de l'existence d’un Univers
tangent. Il résulte de là qu'il y a nécessairement équivalence
entre un champ de force géométrique dans un Univers
euchidien et un champ de gravitation permanent pour les
lois qui ne font intervenir que les 2, et leurs dérivées
premières, mais qu'il n'y a plus nécessairement équivalence
pour les lois faisant intervenir les dérivées des g,, d'un
_ ordre supérieur au premier.

__ 4° LOI DE LA GRAVITATION DANS LA MATIÈRE.

. — Les équations! R.. —

0, qui expriment la loi {dans le

166 APPENDICE

vide, remplacent Se de Re.

AO — A () potentiel newtonien.
e NE
, . : ‘7, . . Ê Ë
Il s'agit maintenant de trouver Me qui doit rem-
placer l'équation de Poisson 1

AQ — 4;Gs (: densité, G const. de la gravit. newt.).

La densité est l'énergie par unité de volume divisée
par c. Or l'impulsion-énergie trouve son expression la «
plus générale dans un tenseur qui précisément se réduit
à © dans le cas de la matière au repos, en coordonnées
gahiléennes. C’est ce tenseur qui doit remplacer £.

a) Le tenseur impulsion-énergie. — Les trois tenseurs
d'impulsion-énergie associés ont pour expressions
2 dx, dx,
(126) TE pes
ds ds
(2, densité au repos ou densité propre)
dx: dx,
(237) To, = gas T7 = guPo
| ds ds
Le. ON dx; dx-
(12-8) 4: — Fe PRELONS ds FE LasQy20 7. = (ÿ deal
ds ds
T*’ et T., sont symétriques. En coordonnées galiléennes
x1, X>, x, Xi —= ci, les composantes de T, sont les suivantes.
; re | | |
7, HU y [ha PUx, EL 'Æ FUx,Ux re Æ PUx,Ux, Vie FUx,
(e C C C
A ] ] cire ] ]
4 Te Pr x, Se Pr, 7 PO
4 ge: È C C C

pts?" Lr . TRANS +
F ,

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 167

(129) 1 ÿ. Pr EEE
2 > PUx,Ux, PNR PRUR,. 7 2 5 MOMCRN FUx
C C . C C
ah Fe 2 ;
IT FÜüs, EAP Ds Eh 4-7 F
C C C

Ux,» Ur, Ux, Sont les composantes de la vitesse v de la
matière au point x:, x2 x, © est sa densité, égale à

hey 5)

b) La loi de conservation de l’impulsion-énergie. — En
coordonnées galiléennes l'expression de la loi de conserva-
tion s'écrit

(12-10) ed) re indice muet).

Ces quatre équations (2— 1, 2, 3, 4) ne sont autres
que les équations bien connues de l'hydrodynamique en
l'absence d'un champ de force et dans les milieux depour-

vus de frottement.

Nous remarquons que l'équation (12-10) est la forme
dégénérée de l'équation tensorielle

(12-11) T6;

Cette équation tensorielle est donc l'expression générale
de la loi, dans un Univers non euclidien, Nous avons d'ail-
leurs déja dit que l'annulation de la divergence exprime la
conservation.

c) La loi d'Einstein. — Du fait que les tenseurs T, et

v ] | v . .
R;, ——g,R ont tous deux une divergence nulle, il ne
]

168 APPENDICE

résulte pas forcément que ces tenseurs sont égaux (à un
facteur constant près). Cependant si, avec M. Eddington,
nous posons en principe que tout tenseur physique est
l'aspect sous lequel nous apparaît un tenseur géométrique
d'Univers, et si nous considérons la loi de conservation de
l'impulsion-énergie comme une loi expérimentalement établie
et rigoureuse, T, doit être identifié avec un tenseur con-
servatif; comme le plus simple des tenseurs conservatifs est

L

% L, . L .
R. re .R, nous sommes conduits à écrire

2
Gt PRET

|
|

z constante universelle

quitte à vérifier ensuite par l'expérience les conséquences
de cette loi.

C'est la loi d'Einstein, mais Einstein a suivi pour l'établir
une marche différente. Il a mis R., — 0 sous la forme des
équations classiques de Lagrange, a reconnu que certaines
quantités #, (au nombre de seize, mais en formant pasunten-
seur) représentent une forme d'énergie, l'énergie de gravi-
tation, et a ajouté simplement le tenseur impulsion-énergie T,

à l'énergie de gravitation (il a remplacé #, par £ + T.),
Il a ainsi obtenu la loi précédente. Cette loi impose la
conservation de l'impulsion-énergie car, la divergence du
premier membre étant identiquement nulle, la divergence du
second membre est nulle,

Cette loi se déduit aussi du principe d'action station-

naire (méthode de MM. Hilbert et Lorentz).

La loi de la gravitation peut encore se mettre sous

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE _ 169

d’autres formes

DD) R.— > gR=— AT.
Multiplions par g“”; remarquant que #,,g* 4 (11-10),
nous obtenons

(12:14) Rx T 0, (T's
| car on voit facilement, d’après (12-9), que
(12-15)

" TT = TT HT HT HT xp ps

valeur indépendante du système de coordonnées, puisque

c'est un scalaire.
Remplaçant, dans (12-13), R par ZT, la loi s'écrit

|
|
|

(12-16) R ——,(T,.— | a T) |

|

5° LES ÉQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE. —
. En mécanique classique, les quatre équations de l'hydrodyna-
* mique dans un champ de force peuvent se mettre sous la
- forme suivante, où £F,,... sont les composantes de la force
. s'exerçant sur l'unité de volume.
D (Cr Fr PF.0

19

0x; de C CG

(12-17)

en coordonnées galiléennes. En réalité il ny a plus de
telles coordonnées, mais c'est un fait dont on ne tient pas
compte.

Les équations rigoureuses sont les équations T0,

. qui s'écrivent d'après (11-31)

170 APPENDICE

om NN es
(12:18) ES nt M

X

(densité tensorielle).

Ce sont les quatre conditions (= 1, 2, 3, 4) auxquelles |
la matière doit satisfaire ; elles déterminent l'impulsion et «
l'énergie communiquées à la matière par le champ de force. |

Pour les comparer aux équations anciennes, comme en
pratique l'Univers est presque euclidien et que les vitesses
sont faibles, nous pouvons prendre des coordonnées très «
voisines des coordonnées galiéennes, les choisir de manière
que V —g— 1 et admettre que T, se réduit à T;: nous |
obtenons l’approximation faite en nées ordinaire ê

F

12-19 no lp
29 T4) TER

Les forces. — Comparant (12-19) et (12-17) nous

voyons que les trois symboles se 7e 7 multiphiés
par —c sont les composantes de la force principale, la “

force d'inertie de la mécanique qui produit une action
proportionnelle à l'énergie (masse): la mÉCANNS newto-

-

. , l ET | I a Fe f "1e * v{
nienne néglige en général les autres ” forces ” . qui sont

liées aux autres composantes du tenseur T, c LS aux
quantités de mouvement et aux tensions internes.
Nous pouvons aussi écrire T,, sous la forme (11-32),

et faire V—£8 — | nous obtenons, en première appro-
ximation
7: ] Op,
(12-20) EE — —p <<.
0x, 2 0x

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 171

De sorte que

ay :
lOgu dou Vdgu
Ps r-/0ou dou dc

F:,, Fes PE it28 £ ) Eu, 8: |
2 \0xi dx Vxs

Si {2 est le potentiel au sens de la mécanique classique,
on à

2
et si, à l'infin D — 0 et g,, — 1 (valeur galiléenne)
()
(12-21) ere
c

6” LA LOI DU MOUVEMENT DU POINT MATÉRIEL
LIBRE EST CONTENUE DANS LA LOI DE LA GRAVI
TATION. — Si l'on adopte des coordonnées devenant
galiléennes à l'infini, on trouve aisément que les équations
des géodésiques se réduisent en première approximation aux
équations du mouvement de la vieille mécanique, et l'on
obtient en même temps (12-21), relation que nous venons
de déduire de la loi de conservation, c'est-à-dire de la loi
de la gravitation qui implique la conservation du tenseur T..

Ce résultat laisse penser qu'il ny a pas indépendance
entre la loi de la gravitation et la loi suivant laquelle un
mobile libre a pour ligne d'univers une géodésique. On
peut le voir de différentes manières : voici une démonstra-
tion due à M. Jacques Rossignol.

Prenons des coordonnées telles que Ÿ —--g — |, on a

OT, TR
Le — À = M LE in —— 0

0x, 20%,

172 APPENDICE

explicitant F, et T*, on obtient

AN (as æ)+ SEE \ af i \ dx: dx: <h
dx, \ ds ds os Ù ds ds 2 É
d: À

r . oc -NRES 1

Développant le premier terme, posant w =; 3
et multipliant par u- on trouve ds |
D | ou Po ——— 0 8
dx, dx. ÿ
:
qui |° exprime la conservation de la masse ; 2° réduit l'ex-
pression précédente à ER PES des os Levant la
2 x |
restriction Ÿ — g — É — = devient — 4 V—=H= = $
0x, 0x, è

et l'équation des géodésiques ne change pas, carle |‘’membre
de cette équation est un tenseur.

On voit, par les résultats qui précèdent, que la loi
d'Einstein contient toute la’ dynamique.

7° LA LOI DE NEWTON. — Prenant, dans un A
statique, des coordonnées très voisines de coordonnées
galiléennes et devenant galiléennes à l'infini, négligeant
toutes les quantités très petites, réduisant T,, à T4=5,
confondant T,, —2 et | —£,, tenant compte enfin de
(12-21), on trouve que la formule (12-16) se réduit en
première approximation à l'équation de Poisson

AQ — 4reG,

avec la relation

(222) 2—=8G— 187.107" unté CS

C

8 : PROPAGATION DE LA GRAVITATION.

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 173

Dans un champ non statique, au lieu de l'équation de Pois-
son on obtient (après calculs compliqués) -
à à” à” à \

+). —2R..

o
dx, Oxo 0x Ùx

Les h:, étant les différences, supposées très petites, entre
les valeurs des 2, et les valeurs constantes galiléennes.
Dans le vide R., — 0 et l'équation (12-23) exprime que
les perturbations gravifiques se propagent avec la vitesse
de la lumière (car x; — ct).

Note 13.

Le CHAMP DE GRAVITATION D'UN CENTRE MATÉRIEL.

| EXPRESSION DE ds’. — Dans un Univers euclidien,
si l'on prend des coordonnées polaires

0, x © x —ch

0

pe à 4 s
l'intervalle élémentaire est

ds = — dr —(r dd + r sin 6d?) + c'dt.
élément d'arc de sphère.

Dans le champ de gravitation qui règne autour d'un
centre matériel, iln'y a plus de coordonnées euclidiennes,
mais on peut, prenant la particule pour origine des coor-
données, essayer de mettre ds sous une forme analogue,
quitte à chercher ensuite la signification des coordonnées.
Nous voyons d'abord que pour que le résultat ait une
signification physique, 1l faudra choisir des coordonnées
telles que les notions d'espace et de temps soient conser-
vées; il résulte de là qu'il ne faut pas introduire de termes
en drdb, etc, drdt, etc, à cause de la symétrie ‘* dans
l'espace ” de la particule et de son champ, et de la symé-

174 APPENDICE

trie dans le temps ” de son histoire passée et future,
suivant l'expression de M. Eddington. Posons donc :

je = + e‘dr” — (r°db° FE r sin 0d:°) + e’dx; dx — cd.

On réussit effectivement à Te. het * (qui sont
des fonctions de r et non de D, ?, { et doivent s’annuler à

l'infini) de manière que la Ri Einstein R::—=0 soit
satisfaite.
On a
EUR e’, TRE A CR ours r sin b, gi — €
g = — et tr sin 9,
Il faut écrire les équations R.-—0 (qui se réduisent

iciàa Ru 0, Ra» —0, R: — 0, R:: — 0) en explicitant
tous les symboles de Chnistoffel. On arrive, après des
calculs assez pénibles, au résultat suivant (résultat rigoureux),

établi par M. Schwarzschild.
(ES

2 _J,2
+ Yc'dt

avec Le
ct

(G constante de la gravitation newtonienne).

1. L'objection faite récemment par M. Painlevé (C. R. de l'Ac. des Sc)
contre les conclusions qu'on peut déduire de la formule d’Einitein-Schwarzschild
n’est pas justifiée. M. Painlevé a employé d’autres coordonnées et a, naturellement,
trouvé une autre expression exacte de ds*. Mais si le mathématicien considère à
son point de vue toutes les coordonnées comme équivalentes, il n'en est pas de
même du physicien lorsque celui-ci a besoin d'interpréter les résultats, car le choix
des ccordonnées peut alors se trouver imposé par la nature des grandeurs qui
interviennent dans les mesures expérimentales. Or le résultat de M. Painlevé ne
saurait être interprété physiquement parce que sa formule contient un terme en
drdt incompatible avec la symétrie dans le temps, et que par suite les coordonnées
employées n ‘ont plus de sens au point de vue de ce que nous appelons ‘ ‘ distance hé
et ‘temps ’. Les conclusions physiques de M. Painlevé sont, pour cette raison,
complètement inexactes.

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 175

M est une constante d'intégration qu'on identifie avec
la masse de la particule, car d'après

(12-21) Der eM
È
Cherchons maintenant la signification des coordonnées :
a) Le temps. — En un point fixe par rapport au centre
matériel (dr = 0, d — 0, d: — 0) l'intervalle de temps
mesuré entre deux événements infiniment rapprochés est

(13-2) DR
€

Comme V ? = | pour r — Z, on voit que la coordon-
née t est le temps à distance infinie de la particule, dans
un système lié à la particule.

b) L'espace. — Le terme d'espace représentant le carré
de la distance de deux points infiniment voisins est

(33) dé À dr + di + r sin Ode:

L'espace n'est pas euclidien, cependant il s'en faut de
peu car ÿ est très voisin de |. Transversalement (dr — 0)
l'expression de dl” est la même que celle d’un arc de sphère
en géométrie euclidienne (r rayon vecteur, Ÿ angle de ce
rayon avec un axe fixe, 2 angle azimuthal). Radialement

(di —0, d: — 0) on a dr —=V dl. On voit que les
longueurs mesurées transversalement (une circonférence,
par exemple, ayant pour centre la particule) sont les
mêmes que si l'espace était euclidien, mais qu'il en est
autrement pour les longueurs mesurées radialement (le
diamètre de la circonférence), les mesures étant faites dans
les deux cas avec la même règle très courte dl. Il résulte

176 APPENDICE

de là que le rapport de la circonférence au diamètre est «
légèrement inférieur à 7, mais l'écart est faible : si une
masse de | tonne était à l'intérieur d'un cercle de 5 mètres «
de rayon, c'est seulement la 24° décimale qui serait changée
(M. Eddington).
Pratiquement, r et { sont ‘la distance ” et le temps ”
2° MOUVEMENT DES PLANÈTES. — Supposant la

vitesse initiale dans le plan 0 — c’est-à-dire posant.

No JD dÿ F:

initialement cos) —Q et ——©Q, :l suffit de transporter,
s

dans l'équation générale des géodésiques, les valeurs des sym-
boles de Christoffel trouvées dans le calcul de ds”, pour obtenir

se

pc — (, qui prouve que la trajectoire reste dans le
s

"HQE ES
plan )

b) Les équations du mouvement suivantes :

BRAS

ds. ds :
(13-5) | + ZGMERSSS
CT EE |
a É eh (K,h constantes d'intégration).
\ 5
au lieu des équations newtoniennes
CRC
(13.6) ; a r
À : = À (a demi grand axe de l'orbite),

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉÉ 177

»

M h

= ; | E
a part le terme supplémentaire — 37 4? ON peut iden-
C F.
2 2GM
tifier (13-5) et (13-6) en posant K°—= 1 ————-
a

Le terme supplémentaire entraine un déplacement du
périhélie.

On trouve pour ce déplacement, en fraction de tour par
période,

3GM
13-7 En
C ) c'a(l — 6e)

3? PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. — Faisant

(e excentricité).

ds = 0, on obtient pour le mouvement dans le plan Ÿ — is

(38) Fe }+ (, a me

H dt ,
| | dr
propagation radiale (13-9) TE fc
dE ef
propagation transversale (13-10) r n = V Ye.

Pour un rayon venant de l'infini et parvenu à l'infini
après être passé à la distance minimum R du centre, on
trouve pour la déviation (angle des asymptotes de la tra-

“21 AGM
jectoire) Eh

CR

4 RALENTISSEMENT DU TEMPS. — Soient deux
événements infiniment voisins se produisant au même point

du champ de gravitation (dr 0, d)—0, d; — 0);

12. BECQUEREL

178 APPENDICE
(13-1) se réduit à |
(13-11) = —=\ ;dt

dt est l'intervalle de temps mesuré, entre les deux évé-
nements considérés, par un observateur lié au centre
matériel mais situé très loin, pratiquement en dehors du
champ. D'autre part l'intervalle de femps propre entre les
deux événements est d7 qui est < df. Considérons deux
horloges identiques À et B placées d'abord à côté l’une
de l’autre tres loin du centre et marquant la même heure,
toutes deux mesurent {. Transportons l'horloge À à la

distance r du centre: elle va mesurer | dt | dt; elle

LEA

va donc marcher plus lentement et si on la ramène près de
l'horloge B, elle aura pris du retard sur cette dernière.
Déplacement des raies spectrales. — Soit ?s l'intervalle,
indépendant du champ de gravitation, entre deux phases
égales de l'émission. L'observateur terrestre, qui est en un.
point où le champ est négligeable, mesure
(13-12) = ——— —
ENT NA
si la source est sur le soleil. Mais si la même source est sur
la terre, 1l mesure 27. Or 24 >> 27 donc les raies du spectre
solaire (et des spectres stellaires) doivent être légèrement
déplacées vers le rouge.

Note 14,
LES LOIS GÉNÉRALES DE L'ÉLECTROMAGNÉTISME.

|” GÉNÉRALISATION DES ÉQUATIONS DE MAX-
WELL. — Dans la théorie ordinaire (Univers euclidien et

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 179

coordonnées galiléennes) on a les équations de Maxwell-
Lorentz (note 10). Nous allons chercher la forme {enso-
rielle générale dont elles sont une forme dégénérée.

Soient Gu1, G>, G: les composantes du potentiel vecteur
(unités électromagnétiques) et ! le potentiel scalaire (uni-
tés électrostatiques) de la théorie habituelle, En vue de la
généralisation, posons

— —

DT Gu, . — Go, 73 + Gs, px —= Ù,

On a, avec cette notation (formules connues)

Ô2 do, ÔGo do

a nr
dx 0x1 dxs dx

eic:

Ecrivons maintenant les équations de Maxwell-Lorentz
(note 10) en désignant par u, v, w les composantes de la
densité de courant (unités électromagnétiques) et P la den-
sité de charge (unités électrostatiques), (l'unité de charge
étant choisie de façon que le facteur 47 disparaisse). Nous
avons

[0 û
0x Üxe Ôxs
x
(1 43) X4 X3 0x1
noY x:
dx dx: bis A
SE oM, ON

0x: dx dx

180 APPENDICE

0X ON M

La dx, A Ôx> Fi Te
UT NS
(14-4) dx, dx ur
02 ON 2 OS
REPOS UT US

DX' GONE Or P

i dx Ùx2 Des OR

Soit maintenant un quadrivecteur covariant £, (arbitraire
pour le moment) nous pouvons former sa dérivée covariante
2u», la différence

(145) ee, = ES

est un tenseur symétrique gauche, et d'après sa formation,
nous avons les identités :

(46) ‘Euh, île =ÿ

UY> dx dx,

€ re ,
Puisque F,…, étant symétrique gauche, na que 6 com-
posantes distinctes, au signe près, Posons :

Fi Fr =X Fs = —Fs=k
Fos = — Po Fr = Fis = M
EF =—Fe=2 Fr =— Fa

puis donnons à }, , 5 les valeurs suivantes

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 181

Sd: -uvezd4 LEZ

MER 2 3, 4; (29,0

les identités (14-6) se trouvent être précisément les for-
mules (14-3). De plus, les composantes du champ élec-
tromagnétique sont formées à partir du potentiel vecteur
(changé de signe) et du potentiel scalaire (éq. 14-2)
exactement comme les composantes de F,, sont formées à
partir de 2, (14-5).

Nous pouvons donc interpréter le premier groupe de
Maxwell : les composantes du champ électromagnétique
constituent un tenseur symétrique gauche

PU ON. MX
RÉ Es CURE
D. AR à

—X—Y —Z O

formé à partir d'un qguadrivecteur potentiel 2, dont les com-
posantes d'espace (changées de signe) sont les compo-
santes du potentiel vecteur et dont la composante de
temps est le potentiel scalaire de la théorie ordinaire.

On peut vérifier, en transformant les composantes du
tableau (14-7) suivant la loi de transformation des compo-
santes d'un tenseur covariant, et en passant d'un système
galiléen à un autre système galiléen, qu'on trouve bien les
forces électrique et magnétique du second système telles
quon les obtient en relativité restreinte. Lies forces élec-
trique et magnétique constituent donc bien un tenseur.

Le tenseur contrevariant associé F“*’ permet d'exprimer
le second groupe de Maxwell (14-4): ce groupe s'écrit,
en effet,

182 APPENDICE

RL dF'*
RUE PR = u
de LES dx
F” PL) 2 dF”*
Ki —= 0
(14- 8) _ 7 dx
31 32 0 34
dF FORT DER TES
de ANT dx:
aa 42 d +3
| a ES 0xs
dF:" 4
ou F AL DU EF
dx,

ce qui prouve que u, v, w, | sont les composantes d'un
dF*+
U X
dégénérée de la divergence F°” qui est un quadrivecteur
contrevariant.

Le quadrivecteur J* est le ceurant. Ses composantes
d'espace constituent le courant de convection et sa compo-
sante de temps est la densité de charge.

En résumé les équations de Maxwell s'écrivent

quadrivecteur contrevariant J* car est la forme

F.. — Ju 0
ps dx. OX
ARE

La première équation est sous la forme requise par le
< él es PNY 4 La LA M
principe de relativité: la seconde est la forme dégénérée
de F} —J#. Les équations générales valables dans un
Univers euclidien en coordonnées arbitraires, valables aussi

ris ul, mététit

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE : 183

dans un Univers non euclidien par application du principe
i ;
d'équivalence, sont

u

\ “70 do,
(14-10) MO 0e,

2° LOI DE LA CONSERVATION DE L'ÉLECTRI-
CITÉ. — La dernière de ces équations s'écrit d'après
(11-33), F*’ étant symétrique gauche.

; Fa £
pe” — an
dx
d'où l'on tire
ù {+ dF2
L— — HE ()
Ôx ue AUS
Tr f f . de
car ‘”’ étant symétrique gauche, — i 0:
‘RE , \ { TAC æ
donc J, — 0 (d'après 11-29). de
en coordonnées galiléennes, cette équation devient
Ou Ôp 0 | oP
(14-11) Rs OÙ
dx dy Ôz C 0

semblable à l'équation de continuité de l'hydrodynamique,
elle exprime la conservation de l'électricité.

3° LE TENSEUR D'ÉNERGIE ÉLECTROMAGNÉ-
TIQUE ET LA LOI GÉNÉRALE DE CONSERVATION
DE L'IMPULSION-ÉNERGIE. — Par application et géné-
ralhisation tensorielle des Expressions qui donnent les com-
posantes de la force mécanique s'exerçant sur l'unité de
volume contenant charges et courants, ainsi que le travail
accomphi par le courant dans l’unité de temps, on démontre

184 APPENDICE

, . 7 .
qu'il existe un tenseur d'énergie

L(— FF=+ Le FF)

ELA

HAE

dont la variation compense la variation du tenseur ma-
tériel
(14-13) ES + Te 0

ce qui exprime la loi générale de conservation de l'impul-
sion-énergie. Dans l'expression de la loi de la gravitation,
E, s'ajoute à T..

Mais l'énergie électromagnétique ne modifie pas la
courbure totale R car l'invariant contracté E — E est nul.
La courbure R est toujours égale à xT — xs, C'est la
un fait capital qui montre que la matière ne peut pas être
formée uniquement à partir du tenseur F,, ce tenseur ne
contribuant pas à la constitution de la densité matérielle.

Note 15.

La COURBURE DE L'ESPACE ET DU TEMPS.

|” LA COURBURE NON NULLE DANS LE VIDE.
— C'est précisément le fait que l'énergie électromagnétique
n'influe pas sur la courbure fotale qui nécessite une modi-
fication de la loi de gravitation admise jusqu'ici.

Toutes les équations où intervient la densité de la
matière sont des équations macroscopiques car la matière
est supposée continue. Si nous voulons écrire les équations
microscopiques, nous devons faire disparaître le tenseur
matériel T, (qui correspond à l'aspect macroscopique de

a: y è
la matière) et ne conserver que le tenseur E, qui sera

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 185

alors le tenseur exprimant l'énergie du champ des électrons.
D'après la loi (12-12) la formule microscopique serait,
en tout point

L

(15-1) as Re — fe,
" 2 ‘
L'invariant contracté E° étant nul, celui du premier
: | SC x Sex
membre R; — ne g,R——R devrait aussi être nul,

en tout point ; alors, dans la matière, la valeur moyenne de
R serait nulle elle aussi, et comme cette valeur moyenne
est égale à x2, 1l n y aurait pas de matière ; résultat absurde.

Il faut donc remplacer (15-1) par une formule dans
laquelle le scalaire du premier membre soit nul, On n’a
pas le choix, il faut écrire

(15-2) Re gR= —E,

cette équation exprime la loi de la gravitation, E, étant
le tenseur d'énergie du champ électromagnétique des
électrons.

Si l'on forme la divergence des deux membres de (15-2),
on trouve la relation

(153) SERRES ni à
4 dx, e

Partout où J*—©Q c'est-à-dire en dehors des lignes
d Univers des électrons, la courbure totale est constante :
celte courbure est donc la même dans le vide et aux points
où se trouve de l'énergie libre (énergie rayonnante.) Mais
la courbure dans le vide n'est pas nulle car R—0 dans

le vide, où E, = 0, entrainerait R, —0 (ou R., — 0)

186 APPENDICE

et par suite la loi (12-12) seule compatible avec R:, = 0 +1

dans le vide; on retomberait sur la loi qu'il faut préci-

sément modifier.
D'après (15-2) la loi dans le vide s'écrit
Î
Rr == 00
4 8:

ou en appelant Ri la courbure dans le vide et posant
R, —= 4 i
(1 5.4) Hs =— Re F7 ho — 0

avec 2.70 mais très petit,

loi déjà indiquée note 12.

La loi macroscopique de la matière considérée comme
: € ’ . . f .
continue s obtient immédiatement en remplaçant dans toute

la théorie précédemment donnée R' par R, et R par

PE RAI ER -R:

La divergence de Re ue

nulle, et ce tenseur doit être identifié avec T, pour satisfaire
la loi de conservation. La loi de gravitation dans la matière
devient

RCE RO ARLLES : l ÿ
(15-5) R;, — uv TN Su —1[Te 2580

; \
et la densité (au repos) est L (R— R;) au heu de k R}
2 %

2" L'ESPACE FERMÉ. — Cherchons maintenant quel
peut être l'aspect ultra-macroscopique ou cosmique de
l'Univers, en accord avec la loi (15-5). Prenant comme

unité. de volume un espace suffisamment grand (par ex. :.

g,R est identiquement

-

nat à ae clé doté Pa, ge
e +
n. LI

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 187

1000 parsecs-cubes), soit : la densité moyenne de la
matière, densité que nous supposerons constante. Nous
pouvons, dans cet aspect d'ensemble, ne tenir compte que
de la distribution générale de la matière, et faire abstrac-
tion des irrégularités locales.

Les vitesses relatives des astres étant toujours très petites
par rapport à la vitesse de la lumière, nous pouvons envi-
sager un système de référence dans lequel la matière est
en moyenne, au repos. L., se réduit sensiblement à

PRET
++ ttpe

Les équations (15-5) s’écrivent :
{ F5 \
R—(i+%) ge —0
(15.6) : si l'on na pas Z—Y—4

"

R:, — F; is re) Lis —= — Agup.

Prenant la position de l'observateur comme origine des
coordonnées et adoptant des coordonnées sphériques, ces
équations comportent deux solutions, dans chacune des-
quelles la coupe à temps constant est un espace à courbure
constante positive.

3° L'UNIVERS D'EINSTEIN. — Soit U le rayon de
courbure. La solution d'Einstein est :

(157)
ds — —U|dy +- sin (40° +- sin” 6d2°)| +- c'df..

avec

(15-8) 22 2.

188

APPENDICE

t est un temps d Univers absolu. L'espace et le temps sont

séparés.

Le terme d'espace est

dé = U\df + sin” (d0° + sin” 0d2°)|

extension, avec une dimension de plus (coordonnée £) de
l'élément de ligne sur la surface d'une sphère ordinaire

(fig. 17).

dû = U"|df? + sin db”

(5 angle azimuthal).

, \ «se k
L'espace à courbure constante positive a deux formes

Fic: 17.

possibles, l’espace sphé-
rique de Riemann et
l’espace elliptique de
Newcomb. Adoptant
l'hypothèse de l’espace
sphérique, dont le vo-
lume total est 27° U,
la masse M tofale de
la matière mondiale’
serait M—=2rU%,
d'où l'on déduit, d'a-
près (15-8)

(159) U= =

—M.
4

Le rayon d'Univers serait déterminé par la quantité to-
tale de matière. Comme ce rayon n'est sans doute pas
inférieur à 10° cm., ce résultat nécessite l'existence de
quantités de matière considérablement supérieures à celles

que nous connaissons.

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 189

4 L'UNIVERS DE DE SITTER. — La seconde solu-
tion de (15-6) est

(15-10) 18 | ARS
dÿ = — U|df" + sin (49° + sin 0d2")| + c* cos ydf..

avec

(15-11) > — Ve
U°

Cet Univers est profondément différent de celui d'Eins-
tein. g.;, étant égal à cos” (au lieu de la constante 1)
l'espace et le temps restent unis, et 1l y a une courbure du
temps.

De plus 2 — 0 montre que la courbure d'ensemble de
l'Univers n'est pas conditionnée par la matière mondiale
(pas plus que le rayon de la terre ne dépend des accidents
du sol). La matière intervient seulement pour produire des
perturbations locales que nous négligeons ici, n’envisageant
que la forme d'ensemble,

La zone du temps stationnaire. — Pour un point fixe
dans l'espace (par rapport à l'observateur dont la position
est prise pour origine des coordonnées), on a

dy —=0, d—0, ? — 0

et

(15-12) ds = cos /cdt OU AE

Près de l'observateur 7 — 0 et dt — d:; t est le temps
de l'observateur. Mais loin de lui, l'élément de temps propre

ds 17 ,
est dt —= — alors que l'élément de temps de l'observateur
c

est toujours df. Dans la zone r — 1 JU tes le temps

190 APPENDICE

est stationnaire pour l'observateur car dt est infiniment grand”
par rapport à ds.

Note 16.

GÉNÉRALISATIONS DE WEYL ET D EDDINGTON.

|" THÉORIE DE WEYL. — Dans la théorie d'Einstein,
l'électricité n'est pas rattachée à une propriété géométrique
de la structure d'Univers, qui est entièrement représentée
par les dix potentiels de gravitation g….

M. H. Weyl a uni, dans une même géométrie, le champ
de gravitation et le champ électromagnétique.

Le développement progressif de la théorie de la relati-
vité a consisté dans la suppression des axiomes et des res-
trictions non nécessaires. Or, jusquà présent, 1l subsiste
une hypothèse arbitraire : nous avons admis qu'on peut
toujours, en des points d'Univers différents, employer la
même unité de mesure pour la comparaison des intervalles.
À première vue cela paraît évident : en ur point d'Uni-
vers À, nous définissons une unité de longueur en choisis-
sant une règle étalon, et cette règle sert aussi pour la me-
sure optique du temps si nous prenons comme unité
naturelle la vitesse de la lumière ; 1l semble donc quen
transportant en un autre point B une copie exacte de l'éta-
lon choisi en À, on puisse, en B, mesurer les intervalles
élémentaires et faire la comparaison avec les intervalles
mesurés en À. Sans doute, nous pouvons opérer de la
sorte si deux copies exactes de l’étalon transportées de À
en B par des chemins différents sont toujours identiques
en B. Or, rien ne prouve à priori, qu'il en soit ainsi, et si
la longueur n'est pas intégrable, nous ne pouvons pas obte-
nir sans ambiguïté en B une longueur que nous puissions

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 19]

considérer, par définition, comme représentant la même
unité quen À.

L'intégrabilité de la longueur (généralisée : voir note 11.
n° 13) est la restriction qui subsiste et qu'il faut sup-
primer.

Le champ de gravitation correspond à la non-intégra-
bilité de la direction. Soit en effet A* un quadrivecteur :
faisons-lui décrire un circuit fermé par ‘ déplacement
parallèle ” (note 11, n° 16) c’est-à-dire tel que la dérivée
covariante À° soit constamment nulle.

(16-1) 2A° )” {A0

X

La variation de ce vecteur est

Ar — fe fe {Ad

Posons dS° = — dS°'—= dx,dx;: dS est un tenseur
symétrique gauche qui fait correspondre à l'aire élémentaire
une direction positive de parcours sur le contour qui la
limite, ce D" hé

ATEN OS

à 25.) ï F ee 0 "Là
(162) 3A'— | R:,A‘S

À

Oo?

| de même A = [ f Ri-AAS”

k La condition nécessaire et sufhisante pour que la varia-
“ tion soit nulle est que le tenseur de Riemann-Christoffel
soit nul, c'est-à-dire que l'Univers soit euclidien. La non-

192 APPENDICE

intégrabilité de la direction caractérise donc le champ de

gravitation.

De même, la non-intégrabilité de la longueur doit carac-

tériser un champ d'une autre nature. Ne serait-ce pas le
champ électromagnétique ?

Puisque nous ne sommes pas certains qu'on puisse déf-
nir une unité valable en tous les points, nous devons définir
une unité en chaque point-événement de l'Univers; nous
appellerons jauge l'unité d'intervalle choisie en chaque
point. Le système de jauges est arbitraire comme le sys-
tème de coordonnées : il faut, dans le cas le plus géné-
ral, diviser l'Univers en cellules par un système quelconque
de coordonnées et dans chaque cellule infiniment petite
adopter une jauge. Les jauges sont seulement soumises, à
la condition d'être infiniment peu différentes dans deux
cellules infiniment voisines, ce qui est possible car l'ambi-
guité disparait à la limite pour un déplacement infiniment
petit. Lorsque les jauges étaient supposées les mêmes par-
tout, dix mesures d'intervalles ds autour d'un point per-
mettaient de déterminer les dix £:, et de décrire le champ
de gravitation ; maintenant |4 mesures vont être nécessaires
pour déterminer les g., et 4 ‘ potentiels ” supplémentaires
qui paraissent bien correspondre aux composantes du qua-
drivecteur potentiel électromagnétique. Les 14 potentiels
g, et 2: définissent la géométrie du système de coordon-
nées et du système de jauges, et contiennent en eux la
structure de l'Univers.

Faisons décrire à un vecteur AÀ;, par déplacement pa-
rallèle, un contour ferm£ infiniment petit, limitant dS" ;
d'après (16-1) sa variation est

(163) dA, — = R:,, A.dS" — : R....AtdS,

»

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 193

dAÀ, est orthogonal à A,, parce que, R.:: étant symétrique
gauche en et£,ona

(164) A’dA, — a R...A'A"dS" — 0.

La longueur généralisée du vecteur n'a pas changé, seule
sa direction a varié. C'est la restriction admise dans la
théorie d'Einstein. Supprimant cette restriction, nous devons
remplacer R: par un tenseur d'un type plus général
*R... Or on peut écrire

| | APR Le (CR. —"R:) sym.gaucheen et,
(16-5) :
Pésde— ; CR, + Ross) sym. en 4 et £.

(166) 4A,—L*R...A"as" —1(B..+-F..)AtS".
| NA 2 | |
Comme la variation doit être annulée quand on décrit
le circuit une seconde fois en sens inverse du premier par-
cours, fous ces tenseurs doivent être symétriques gauches
en ’ et 5.
Soit / la longueur généralisée de À, ; on voit que

(EE dl) = (A, + dA.)(A*: + dA*) = PF + 2A*dA,.
COPA 'R:.A'AUdS" — F,..A"AdS".

M. Weyl a adopté une limitation : 1l a supposé que F..
est décomposable en g,:F..; 2° que F,; est le rotation-

nel d'un vecteur. D'après la première condition, (16-7)
devient

(168) 241—F.{(3.A"A9)dS" = F,ldS”,

13. BECQUEREL

194 APPENDICE

>

dl est donc proportionnel à / et indépendant de la direction
du vecteur.

Les différentes surfaces limitées à un même contour
devant conduire à une même valeur de ©A,, l'intégrale de
surface doit porter sur un rotationnel, d'où la seconde con-
dition de Weyl.

Soit maintenant une règle extrêmement courte, de lon-
gueur généralisée / (note 11). Déplaçons-la de dx, dx,
dx:, dx1. F,; étant le rotationnel d'un vecteur, nous pou-
vons écrire

(16-9) . = sidi oodis + made 2 0

les 24 étant quatre fonctions de point, qui sont les compo-
santes d'un quadrivecteur d'Univers.

Comme les 2, les 2, dépendent d'une propriété intrin-
sèque de l'espace-temps et du système employé. De même
que les #,, ne peuvent pas prendre des valeurs complète-
ment indépendantes (loi de la gravitation), de même les
2, doivent satisfaire une loi.

Intégrons (16-9), nous avons

a

(1 6-10) log te | 21dxi ne 2dx2 + osdx3 17 dx,
la longueur sera indépendante du chemin suivi (inté-
grable) si le rotationnel des 7, est nul (condition d'intégra-

bilité)
(16-11) _ A | À

Ôx, OX

Faisons l'hypothèse que les 2, représentent le potentiel
électromagnétique (à un facteur constant près); l'annulation

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 195

du rotationnel exprime, d'après (14-10), que le champ
électromagnétique est nul. Si cette condition est réalisée,
les g, suffisent pour déterminer la structure de l'Univers.
Dans le cas contraire la structure est exprimée par 14 po-
tentiels, les 2, qui décrivent les propriétés gravifiques, les
:, qui décrivent les propriétés électromagnétiques.

La loi des 2, est trouvée : c'est la généralisation tenso-
rielle des équations de Maxwell. L'union de cette loi et de
celle de la gravitation constitue la loi générale de la struc-
ture d'Univers.

Changer de système de jauges, c'est ajouter au second
membre de (16-10) une fonction de point arbitraire, ou
ajouter au second membre de (16-9) une différentielle totale,
Les 2, ne sont donc déterminés qu'à des fonctions z, près,
pourvu que ces fonctions soient telles que :;dx, soit une
différentielle exacte. Cette indétermination du système de
jauges ne modifie en rien le rotationnel de sorte que Les
forces électriques et magnétiques sont indépendantes du
système de jauges.

Nous avons vu que la quadruple indétermination des
coordonnées conduit à quatre identités qui ont pour consé-
quence la conservation de l'impulsion-énergie. De même,
l'indétermination du système de jauges entraîne une loi
supplémentaire de conservation : c'est la conservation de
l'électricité (note 14, n° 2).

2” GÉNÉRALISATION D'EDDINGTON. — La limita-
tion de Weyl a pour but de donner un caractère absolu à
la longueur nulle, de manière que la lumière ait une trajec-
toire bien définie (intervalle constamment nul).
Cependant M. Eddington a réussi à supprimer cette

. dernière restriction. Dans la théorie d'Eddington, la varia-

… tion d'un vecteur par déplacement parallèle dépend non

196 APPENDICE

seulement du chemin suivi, mais de l'orientation du vecteur.
pendant son déplacement. L'Univers n'est assujetti qu'à
une condition : celle de posséder une structure géomé-
trique ; c'est le moins qu'on puisse supposer, et l'on ne sau-
rait s'élever à un plus haut degré de généralisation.

Théorie géométrique. — Prendre au système de coor-
données signifie choisir 4 familles d'espaces pour diviser
l'Univers en cellules; dans chacune de ces familles, chaque
espace peut être caractérisé par un nombre, Un déplace-
ment dx, est donc un vecteur absolu, puisqu'il peut s'ex-
primer par des nombres purs, indépendants de tout système
de jauges.

M. Eddington a montré qu'en supprimant toute restric-
tion, et conservant seulement la condition (évidemment
nécessaire) que l'Univers ait une structure géométrique, et
possède en chaque point un Univers euclidien tangent, la
formule (16-2) est remplacée par

(16-12) 2A*— 5} (RE AUS"

où R;,, tenseur de Riemann-Christoffel généralisé, est
absolu, c'est-à-dire indépendant de tout système de jauges.
Dans ce tenseur, les symboles de Chnistoffel du tenseur
ordinaire sont remplacés par des symboles généralisés, qui
sont absolus, parce qu'ils s'introduisent sans que le système
de jauges intervienne. On a

(uv) (uv :
(16-13) Bree HS.

/

S,, étant un tenseur symétrique en % et (non absolu).
Contractant “R?,,, on obtient la généralisation de R...
# 7 * »
Les deux tenseurs absolus "R;,, et ©R,, traduisent les

Ç +

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 197

propriétés intrinsèques du continuum. On n'en voil pas
d'autres jouissant des mêmes proprietes.

Pour introduire les 2,, 1l faut adopter un système de
jauges. Nous définissons la longueur / d'un déplace-
ment À* par

(16-14) Den ATA”.

l est un invariant à l'égard du système de coordonnées ;
2, est un tenseur symétrique. Un système de coordonnées
étant adopté, les A sont des nombres purs ; mais / dépend,
‘par les g,…, du système de jauges; la longueur n'est pas
un invariant absolu, c'est une convention purement géomé-
trique.

Posons

(16-15) La = Don

_et soit Z:, la dérivée covariante du quadnivecteur 7,.
On peut écrire

(l 6-16) B.. IT er Ry FE —— | R;. FES R,

| 2 2
(16-I 7) R. —— Bi ue | 2e
B,, est symétrique et F,, symétrique gauche. On dé-
montre que
ds, Vo,
OISE, — 0. — 9, —"*—-" (rot. de 9).
0x, dx J.

Les tenseurs B.. et F,, sont des tenseurs absolus.
Le tenseur R:, se divise de même en deux ten-
seurs

(16-19) Bu FF

le premier symétrique gauche en {: et ?, le second symé-

198 APPENDICE

trique en {4 et ?, symétriques gauches tous deux en Y et 3. |
Mais aucun de ces tenseurs n'est absolu, car les Su» Inter-
viennent pour abaisser l'indice £.

La variation d'un vecteur est ainsi mise sous la forme
(16-6) et l'on a la formule (16-7), sans aucune restriction.

Invariants absolus. — Il n'existe pas de fonction inva-
riante absolue des potentiels, mais on peut trouver des den-
sités invariantes absolues.

RV— 35 CRÉROV— 5 RLÉRIV
FF Ve, g CRI V— 8

*R étant le scalaire g“*R... Il existe peut-être encore une
densité invariante absolue dérivée de “R:,5002.

Le nombre des caractères d'Univers distincts dont les
combinaisons peuvent s'exprimer par des nombres purs,
indépendants de tout système de coordonnées et de jauges ne
dépasse probablement pas 6.

Weyl a fait remarquer que c'est seulement dans un Uni-
vers à nombre pair de dimensions que les tenseurs fonda-
mentaux donnent naissance à des densités invariantes abso-.
lues. On ne saurait imaginer un univers à nombre
impair de dimensions, car il n'aurait aucun caractère absolu.

En plus de ces densités absolues, qui sont des caracté-
ristiques absolues de l'Univers en chaque point, il y a un
invariant absolu simple lié à un déplacement A“ : c'est

"RAA? :

d'autres combinaisons plus compliquées pourraient être
imaginées,

IDENTIFICATIONS PHYSIQUES. — Le système de
jauges naturel. — Si nous voulons que la longueur

EL -
ne

« bn

D RE RENTE

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 199

(form. 16-14) cesse d'être une convention géométrique
pour devenir une entité physique, il faut que ° soit un
invariant absolu. Or il n'existe qu'un invariant absolu lié
« L “ ét |

à un déplacement A* et qui soit une forme quadratique :

* Due A - 17

cest R..A’A’. Nous sommes donc conduits à considérer
cet invariant comme donnant une mesure naturelle de la
longueur et nous devons poser

|

(620) 3.ArA— LR. AA = BArA’
| D'où
(16-21) B,, — Aguv,

À étant une constante universelle, qui nous laisse d’ailleurs
libres d'adopter telle unité de longueur que nous voulons
en un point d Univers déterminé. Le choix étant fait en
un point, les jauges en tous les points sont fixées par
(16-21).

La différence qui sépare B.. du tenseur R: de la théorie
d Einstein provient des termes issus de S.. Nous allons voir
que ce tenseur S,, détermine les phénomènes électroma-
gnétiques ; plus le champ électromagnétique est faible, c'est-
à-dire plus l'espace est vide, plus B.. est voisin de R... Dans
le vide, l'équation fixant le système de jauges est

(16-22) Ru. — du —0.

C'est précisément la loi de la gravitation d'Einstein, qui
est obtenue ainsi par des considérations aussi générales que
possible, absolument indépendantes de celles qui ont été
exposées précédemment. Ce résultat nous montre que, dans
le vide, l'Univers est effectivement jaugé conformément au
système de jauges naturel, ou encore qu'en transportant les

VA

Fr

200 APPENDICE

étalons d’un point à un autre pour la comparaison des
intervalles on emploie, dans le vide, le système naturel.

Propagation de la lumière. — Une perturbation lumi-
neuse issue d'un point occupe dans l'univers un cône qui
doit satisfaire une équation de la forme

(16-23) axdx,dx, — 0,

Comme ce cône est bien déterminé et na aucun rap-
port avec un système quelconque de coordonnées ou de
jauges, 1] est nécessaire que a. soit un tenseur absolu : ce
ne peut être que R: On a donc

(16-24) “R..dxidx, = B:,dxidx, = 0.

Nous voyons que, dans la théorie d'Einstein, où la pro-
pagation de la lumière s'exprime par

ds — g,,dx,dx, — 0,

l'Univers est jaugé conformément à l'équation (16-21), par-
tout où la lumière se propage, c'est-à-dire en tout point
(sauf à l'intérieur de l’électron). À pourrait être une fonc-
tion de point, mais la loi de la gravitation dans le vide
nous montre que cest une constante.

Le fait que, dans nos observations, la lumière a une
propagation parfaitement définie prouve que nous effectuons
nos mesures avec le système de jauges naturel. Il est vrai
que dans un champ électromagnétique :l existe une ambi-
guité concernant la longueur, mais cette. ambiguïté dispa-
rait pour un déplacement infiniment petit, et si nous trans-
portons nos étalons d’un point à un autre dans un domaine
très petit pour comparer des intervalles, nous employons
le système naturel à une quantité du second ordre près.

Eddington a donc réussi à supprimer la difhculté qui
avait conduit Weyl à poser Fyss — gueFr. La longueur

Tu PES

£ LE ED A Less æ

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 201

nulle peut ne pas rester nulle par déplacement parallèle ;
peu importe, puisque le cône lumineux est défini par la
seule équation invariante absolue qu'on puisse former.

La courbure constante. — Prenant les scalaires des deux
membres de (16-21), on a, en tout point

= R—A\
qui, dans le vide, devient
== AK;

Il est évident que À n'est pas nul, car il n'y aurait plus
de système de jauges naturel. Nous sommes donc directe-
ment conduits à la conception de la courbure constante et
de l'espace fermé. La constance de la courbure est impo-
sée par la condition qui détermine le système de jauges :
cela revient à dire que le système naturel consiste à prendre
pour jauge en chaque point le rayon de courbure d'Univers;
ou encore que tout objet est une portion déterminée et
constante de l'Univers; que tout électron doit avoir pour
rayon une fraction constante du rayon de courbure d'Uni-
vers au point où 1l se trouve. Si le rayon d'Univers chan-
geait d'un point à l'autre — par rapport à un sur-étalon que .
nous ne saurions d ailleurs imaginer — l'électron, nos instru-
ments, nous-mêmes, tout changerait dans le même rapport ;
par conséquent le rayon de courbure doit nous apparaître
comme constant.

"R a la même valeur partout. Si l'on conserve le point
de vue de la théorie d'Einstein, en séparant le champ de
gravitation et le champ électromagnétique, et si l'on appelle

‘courbure le scalaire R qui ne fait pas intervenir les S’., on

doit considèrer les électrons comme des déformations locales.
L . . pa
L'électron devient une région de forte courbure, bien que,

202 APPENDICE

avec le système naturel, *R ait la même valeur que dans
le vide. Cela signifie que les S°, qui font différer B..(—= 45.)
de R:. doivent être considérables dans l'électron: autrement
dit, le champ électrique doit y être colossal.

Matière et électricité. — Pour identifier la substance”
contenue dans l'espace, nous devons chercher les tenseurs
géométriques qui correspondent aux tenseurs physiques.
Ces tenseurs n'ont d'ailleurs pas besoin d'être absolus car
nous utilisons le système de jauges naturel (aux faibles
erreurs près dues à l'ambiguïté résultant de la non-intégra-
bilité des longueurs) et nous n'avons aucune raison de pen-
ser que les lois de notre science se conserveraient toutes
dans un système de jauges arbitraire.

Tout d'abord, rien n'est changé à la loi de la gravitation
dans la matière, car la généralisation de W/eyl-Eddington
n introduit pas de nouveau tenseur à divergence nulle
auquel on puisse identifier T..

Le tenseur F.. des forces électrique et magnétique doit
satisfaire le premier groupe des équations de Maxwell généra-
lisées, et ces équations deviennent des identités (14-6) si
F,, est le rotationnel d'un vecteur. Nous voyons qu'il ny
a qu'un seul tenseur géométrique que nous puissions iden-
tifier avec le tenseur des forces électrique et magnétique,
c'est celui que nous avons précisément désigné par F,.
(16-17). Le vecteur 7:. dont F, est le rotationnel, est le
potentiel.

Le vecteur courant-densité de charge doit satisfaire à la
loi expérimentale de conservation de l'électricité. Il faut
donc que J} —0; cette équation devient une identité si
J' est la divergence d'un tenseur symétrique gauche con-
trevariant ; nous devons donc identifer J" avec la divergence

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 203

:

& de F*’; nous obtenons ainsi le second groupe de Maxwell.
‘ … L'électron. — Nous avons vu (note 14, n° 3) qu'il
“ est impossible de construire un électron et par conséquent
de la matière à partir du champ électromagnétique seul ; on
sait d'ailleurs que l'électron ne peut exister qu'en admettant
des forces de cohésion non-maxwelliennes (pressions de
Poincaré). Si l’on admet la continuité dans la structure
géométrique de l'Univers, 1l est possible de calculer en
chaque point le scalaire T du tenseur total d'énergie
c'est-à-dire la densité de substance ”. L'expression est
d'ailleurs assez compliquée. Le résultat intéressant est le
- suivant: 1l est permis de penser que les forces de cohésion,

jusqu'alors mystérieuses, qui permettent l'existence de

l'électron sont les S;, qui ajoutées aux composantes

js
}* du champ de gravitation constituent les forces absolues

T

L , sl (éq. 16-13). L'union du tenseur de gravitation g.,

et du tenseur d'électricité S;, (ou plutôt d'un tenseur 7,
à partir duquel sont formés La S;.) ou plus bles
si l'on admet la restriction de Weyl, l'union de g,, et de
2, suffit pour rendre compte de l'existence des électrons et
de la matière, alors que le champ de gravitation et les forces
maxwelliennes F,, ne suffisaient pas.

* Le potentiel électromagnétique a en lui quelque chose
de fondamental qui disparaît quand on en prend le rotation-
nel pour obtenir la force électromagnétique observable
(Eddington).

Toutefois dans le problème de la matière, 1l ne parait
_pas exact de supposer une structure d'Univers continue, car
. l'expérience nous a révélé l'étrange loi des quanta. Les

+=

»
“

NT AE De (TA

204 APPENDICE

lois du continu ne sont probablement pas applicables à
l'électron, mais on ne voit pas où intervient une disconti-
nuité dans la constitution de l'électron.

Les généralisations de Weyl et d'Eddington comple-
tent la théorie d'Einstein sans l'altérer. On peut, dans la
description géométrique de l'Univers, considérer séparé-
ment le tenseur B., (ou g..) qui décrit le champ de gra-
vitation et le tenseur F,, qui décrit le champ électromagné-
tique : c'est ce qu'avait fait Einstein: |” “” intervalle ”
d'Einstein est absolu, puisque c'est l'invariant absolu
B., dx:dx. L'œuvre d'Einstein reste donc intacte; elle
nest atteinte en rien par l'ambiguïté que l'existence du
champ électromagnétique apporte dans la comparaison des
longueurs.

BIBLIOGRAPHIE

ÉORENTZ — EiNsTEIN — Minkowskir. — Das Relativitatsprinzip ;
nouvelle édition (Teubner).
Ce livre contient les plus importants mémoires originaux.
À. EinstTEIN. — La théorie de la relativité restreinte et généralisée,
mise à la portée de tout le monde. Traduit par M'* J. Rouvière.
L'éther de la relativité, traduit par M. Solovine.
P. LanceviN. — L'évolution de l'espace et du temps (Scientia,
1911).
Le temps, l’espace et la causalité dans la physique moderne. Bul-
letin de la société de philosophie (19 oct. 1911).
L'inertie de l'énergie. Conférence à la société de physique (17 mars
1913) publiée dans le /ournal de physique.
Le principe de relativité. Bulletin de la société des électriciens,

déc. 1919.

H. Weyz. — Raum, Zeit, Maæterie, édition 1921 (Springer, éd.).
Max von. Laue. — Die Relativitatstheorie, t. 1 (1919) et t. II (1922)
(Vieweg & Sohn, éd.).
AS. EnpiNcron. — Report on the relativity theory of gravitation
(1920) (publié par la Société de physique de Londres).

‘ Espace, temps et gravitation (1921) traduit par M. Jacques Ros-
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DE Srrrer. — On Einstein theory of Gravitation, and its astronomi-
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JEAN BecquereL. — Le principe de relativité et la théorie de la gra-

vitation (1922) (Gauthier Villars, éd.).

CHARTRES. = IMPRIMERIE DURAND, RUE FULBERT.

4

ET PAYOT & C'', 106, Boulevard Saint-Germain, PARIS-V{.

—
e

‘

| ÉMILE MEYERSON

|

|
,

DE LEXPLICATION
+ DANS
LES SCIENCES

_2 vol. moensemble.. . . . . . . . . . 40Ofr.

Expliquer les phénomènes, expliquer l'univers, est le but suprême
de la science, comme de la philosophie elle-même. Mais il y a antino-
mie entre l'instrument de notre connaissance, la raison, qui ne peut

1 r , ,- ch. ’ . .
- procéder que par le moyen de l'identité, et la réalité du monde, qui
échappe perpétuellement à l'identification et dont l'essence est d’être
irrationnelle. La réalité nous est-elle donc insaisissable 2 Tel est le

L « . 7, . A .

problème capital que pose et qu'élucide avec profondeur M. Emile

- MEYERsOoN dans son livre De l'Explication dans les Sciences qui

| devra désormais servir, pour employer une expression de l'auteur dans

« sa préface, de « prolégomènes à toute métaphysique ».

(La Nature.)

PAYOT & Cie, 106, Boulevard Saint-Germain, PARIS-VI:, |

D' ACHALME

Directeur de Laboratoire à l'Ecole des Hautes-Études.

LES ÉDIFICES
PHYSICO-CHIMIQUES

TOME I

L'ATOME

SA STRUCTURE, SA FORME

Un volume in-8 avec gravures de M. Raoul
LECLERC. : : : 5 02 0000

…Un livre excellent, clair et hardi. On y trouvera les derniers
progrès que nous devons à Perrin, à Weiss, à J.-J. Thomson. On y
trouvera davantage: un essai de concrétisation. L'ensemble de ce
volume constitue un tout séduisant, rationnel, propre à faciliter la spé-

:

culation scientifique ou philosophique et bien adapté à nos connaïis-B}
sances.

(L'Action Française.)

= LA « COLLECTION PAYOT » S'EST ASSURÉE DE
| LA COLLABORATION DE MM.

à HENRI ANDOYER, Membre de l’Institut, Professeur à la Sorbonne.

| PAUL APPELL, Membre de l'Institut, Recteur de l'Université de Paris.

LEC'E. ARIES, Correspondant de l'Institut.

AUGUSTE AUDOLLENT, Doyen de la Faculté des Lettres de Clermont.

ERNEST BABELON, Membre de l'Institut, Professeur au Collège de France.

JEAN BABELON, Aïitaché au Cabinet des Médailles.

E. BAILLAUD, Membre de l'Institut, Directeur de l'Observatoire de Paris.

LOUIS BARTHOU, de l'Académie Française, ancien Président du Conseil, Ministre
de la Guerre.

JEAN BECQUEREL, Professeur au Muséum National d'Histoire Naturelle.

PAUL RARURREE, Docteur ès Sciences chargé d'Enseignement pratique à la

Sorbonn

HENRY BÉRENCER, Sénateur.

A. BERTHOUD, Pro'esseur à l'Université de Neuch'tel.

GABRIEL BERTRAND), Professeur à la Sorbonne et à l'Institut Pasteur.

MAURICE BESNIER, Professeur à l'Université de Caen.

G. BIGOURDAN, Membre de l'Institut, Astronome de l'Observatoire de Paris,

F. BOQUET, Astronome de l'Observatoire de Paris.

Abbé J. BOSON, Docteur en Philologie orientale.

D" PIERRE BOULAN.

PIERRE BOUTROUX, Professeur au Co'lège de France.

EDMOND BOUTY, Membre de l'Institut, Professeur à la Sorbonne.

E. BRANLY, Membre de l'Institut, Professeur à l'Institut Catholique.

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BRETIGNIÈRE, Professeur à l'École nationale d'Agriculture de Grignon.

M. BRILLOUIN, Professeur au Collège de France.

- BUSSARD), Professeur à l’École nationale d'Horticulture de Versailles.

RENÉ CANAT, Docteur ès Lettres, Professeur de Rhétorique supérieure au Lycée
Louis-le-Grand.

D CAPIFAN, Membre de l'Académie de Médec ne, Professeur’ au Collège de
France, Professeur à l' École d ‘Anthropologie.

J. CARCOPINO, Ancien Membre de l'École de Rome, Professeur à la Sorbonne.

A. CARTAULT, Professeur à la Sorbonne.

EUGÈNE CAVAIGNAC, Professeur à l'Université de Stras!-ourz.

G. CHAUVEAUD), Directeur de laboratoire à l'École des Hautes-Études.

HENRI CHERMEZON, Docteur ès Sciences, Chef de travaux à la Faculté des
Sciences de Strasbourg.

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HENRI CORDIER, Membre de l'Institut, Prof® à l'École des Langues orientales.

M. COURANT, Professeur à l'Université de Lyon.

MAURICE CROISET, Membre de l'Institut, Professeur au Collège de France.

ÉDOUARD CUQ, Membre de l'Institut, Professeur à la Faculté de Droit.

L. DAUPHINÉ, Docteur ès Sciences, chargé d'Enseignement pratique à la Sorbonne.

P. DECHAMBRE, Membre de l'Académie d'Agriculture.

MAURICE DELACRE, Membre de l'Académie Royale de Belgique, Professeur
à l'Université de Gand.

2.

M. DELAFOSSE, ancien Gouverneur des Colonies, Professeur à l'École coloniale.

Comte DELAMARRE DE MONCHAUX, Président de la Section d'Aviculture
de la Société des Agriculteurs de France.

COLLABORATEURS DE LA « COLLECTION PAYOT» |

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CH. DIEHL, Membre de l'Institut, Professeur à la Sorbonne.

G.DOTTIN, Correspondant del'Institut, Doyen de la Faculté des Lettres de RE
ALBERT DUFOURCQ, Professeur à l'Université de Bordeaux.

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JEAN DUHAMEL, Secrétaire du Comité Central des Houïillères de France.
Comte P. DURRIEU, Membre de l'Institut, Conservateur honoraïre au Louvre’
RENÉ DUSSAUD, Conservateur au Louvre, Professeur à l'École du Louvre.
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: PROSPER GERVAÏS, Président de l'Académie d'Agriculture.

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GUSTAVE GLOTZ, Membre de l'Institut, Professeur à la Sorbonne

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A. GRENIER, Professeur à l'Université de Strasbourg.

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GEORGES GROMAIRE, Professeur au Lycée Buffon.

A. GUILLAND, Professeur à l'École Polytechnique de Zurich.

J HATZFELD, Professeur à l'Université de Bordeaux.

L HAUTECŒUR, Professeur à l'Université de Caen. PRE
HENRI HAUVETTE, Professeur à la Sorbonne.

FÉLIX HENNEGUY, Membre de l'Ins'itut, Membre de l'Académie de Médecine.
HENRI HITIER, Membre de l'Académie d'Agriculture.

JOSEPH HITIER, Professeur à la Faculté de Droit de Paris et à l'Institut national

agronomique.

PIERRE JOUGUET, Correspondant de l'Institut, Professeur à la Sorbonne.
KAYSER, D* des Laboratoires de Fermentation à l'Institut national agronomique.
G. LACOUR-GAYET, Membre de l'Institut, Professeur à l'École Polytechnique.
A. LACROIX, Secrétaire Perpétuel de l'Académie des Sciences.

HENRY LAFOSSE, Membre de l'Académie d'Agriculture.

L. DE LAUNAY. Membre de l'Institut, Professeur à l'École des Mines.

G. LE CARDONNEL.

HENRI LECHAT, Correspondant de l'Institut, Professeur à l'Université de Lyon.
E. LECLAINCHE, Membre de l'Institut, Inspecteur général au Ministère de

l'Agriculture.
G. LE GENTIL, Professeur à la Sorbonne.

Becqueral, Jean
_ Expose elementaire de 1a theorie
d'Einstein et de sa generalisation.

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