p^.^

r,.;*:„^;2t:

W-L». •

^r-w-

m m-'.%^-m

■ \M.^M

■ » w ..f-tr;» '»;^ .-

■LM.... m ^

M^' #

j^

f.Jl-

ft:

^«

Ü^'"

:m"_*- rt ...1^

■«'ä'V*"

ä:*

-m m■T#:^r^-^•^■■•

-*''l*:.

MZM.

■p',*H:

■tl.«

*t't-rr:,'!^'

:^^f*-2:*

-'■**^»^:

•ji^-. ' ■■;■?*■

^;«^t

■^- «■f'.^^-^sWf^/'iMJ;^ ■■

M . ■■(.;- ««.■4 •«SS,

i .^.\.;t

Ä.m:;,,,*

f. ■**':'■ 1p ' i

M m 1

^^.:mz:-m

■w : ^

'^■/t^

W\	^^.^	m.	l^^H
■J	i B	i	SMpr
^	m- ■	w	Ik^H
I'^^	i: w	Ii	«*: ■	-J
^■*	^m^ '■-	Sfs	''t	1- ■•
	^m'		jj	»*

p' 1	^S'^»			«■!
		j^SiiM	»^«
i^m	i:- ■ w	■• *: W H^^ i
			PHe^bIe^II^^^h	t ■
-*v^'^	m ;~:^ " ^^	-ü'
	HK-^M^|BE^^9	Bw99^^	m'j	j

-w:i^:

... • ^- . 't^'

mzM^

:w.:m

M -^'m

}am

amsmaamm

C. G. J. JACOBI'S

GESAMMELTE WERKE.

HEKAUSGEGEBEN AUF VERANLASSUNG DEIl KÖNIGLICH rREüSSISCHEN AL\DEMIE DER WISSENSCHAFTEN.

Gft

b

t:

^M-^^^

SUPPLEMENTBAND.

HERAUSGEGEBEN

E. L 0 T T N E R.

BERLIN.

DRUCK UND VERLAG VON G. REIMKl!.

18.S4.

C. (i. .1. .lACOltlS

YOIILESILNGEN ÜBER DYNAMIK.

(iKII AI.TKN

AN DER l'NlVi;i;sir.\T /(■ KnMi;sl!i:i;(i IM W IN THU.SEMHSTKIi ls4-2— l.s4:3 UND NACH KINI-.M V(»N ('. W. l'.olM'll A I! DT AUSGEARBEITETEN IIEETE

iii:i?Ars(ii:{ii:ni:N

A. (' I, E B S C H.

/AVKITE. HKVIDlUTi; AlStiABE.

B E i; L 1 X.

DRUCK CNO VKin.AC VON li. i; KI.MKK. 1SS4.

-6

S|

^

Y o r w () r f.

l)vy xorlieiiendt' Su})i)U'iiKMitl)an(l zu ( . (f. -1. .liicdbi s gv- saiinncltfii A\\'rki'ii cnrliält die im Jaliiv l^dC) noii A. ("Iclisdi lK-raiisiiX'(reI)L'iR'n ,,\ <>rli.'siiiiu,X'ii iihrr I)yiiaiuik'' iii v'uwv /.weiten, rc'\ idirtiMi Aiisaalic', oliiic die damals iliiu'ii l)c'ifi'etu<itfii t'üut' Al)lmu(l- luiiLit'U aus darohis Naclilassc. Hie k't/.tercii nu'issen uämlicli, nacli ik'ui tiir die I Icvausualu' (Kt dacolii sehen A\ (.'vkt' testuestellteu l'lane, in dit'sen ihri'U l'laty. finden und werden, mit dei" eheiithlls von ("lehseli lierausgX'o-ebenen u'nissen Abliandlunu' ., Nova nietliodus, ae(|uati()nes d i t't'eren t ial e s partiales primi orclinis iiiter numerum \ a ri a I) i 1 i u ni (| uemen n (] ut' propo si tas in te ji'rand i" imd einigen kleineren \ereinigt. i\v\\ Inlialr des tunt'ten Bandes I)ilden.

A\ ie in der Vorrede zur ersten Ausuabe der .A orlesunu'en" bemerkt worden ist, liegen denstdben die xon daeol)i im Winter- semester 1<S42 — 4;5 an der l'niversitiit zu Königsberg gehaltenen und von st'inem damaligen Zulnirer ('. \\ . l'xirehard t mit grosser Sorg- falt und Treue ausgearbeiteten \"orträge zu ( irunde. Ww von (Tebseh bei der Herausgabe an dem l)orehardt"sehen Texte xorge- lunnnienen Veriindei-una'en betreffen durehweu" nur Aeusserlielies.

VI

Auch der Herausgeber der neueu Ausgabe, Herr E. Lottner, hat luu- au L-iuigeu Stelleu. wo er deu Ausdruck uicht geuau oder uiclit deutlich genug l'aud, leichte stylistische Aenderungeu augebracht, im Uebrigeu aljer sich darauf beschränkt, die in der ersten Aus- gabe stehen gebliebenen, nicht zahlreichen Druck- und Rechen- fehler zu berichtigen.

15. März 1884.

Weierstrass.

liilialtsvorzoiolniiss.

Seite

Kr>tr \'ii rU'siiiig. liiiiU'itiin^' 1

Zwiiti' V oilcsunfT. I'ir r)ifl"eionti;(l<rlekIiun<^cn dci- Hewcgiinjr. Syinliclisrhc Korinfl für (lipsell>en.

hie Kiäftofuiicliijii f;

liiillc \orl osuug. I>,is l'riMri|i der Krhaltung der liewetruiig des Scinverptinkts 15

Vierte \ii rle.suii<r. l);is Primi]) der Krhaltuii«- der leljendigeri Kraft 18

Kniifle Viirl esiiii jr. Das I'rineip der Krlialtimg der Fliiclieiiriuinie 31

Seclisie Vii rlesuiii;-. Ha^ I'rineip der l<leiiisteM Wirkung •. 4.'".

Sielieiite \' n rl es iiiig. Fernere lietraelitiingen iilier das I'rineip der kleinsten Wirkung. Ilie La-

yjvinye'solien Midtiplieatoren 51

Ai'hte \' 11 riesung. |ias //aw(i7(oH'selie Integral und ilie zweite Ijuip-any^' m-\\c. Form der dynainisclien

• ileielmngen 58

Neunte Vorlesung. Die llamiliuit'^i-\w Form der l!ewegiing>gleiclmngeu fi7

Zrliiite Vorlesung. |ias Prineip des letzten Mnitiplicators. .\usdeliiiung des Euler'schen Multi-

plieators auf drei Veränderliehe. Aufstellung des letzten Multiplieators für diesou Fall 71

Elfte Vorlesung, leliersicht derjenigen F.igenseltuften der Deternnnanten. welche in der Theorie

des letzten Multiplieatiirs benutzt werden 85

Zwölfte Vorlesung. l>er Multiplieator für Systeme mit l>eliel>ig vielen Veränderlielien 90

Dreizehnte Vorlesung. Fumtionaldeterininanten. Ihre .Vnweiiilung zur Aufstellung der partiellen

Difl'erentialgleiehung für den Midtiplieator I0<)

Vierzehnte Vorlesung. Die zweite Form iler den Multiplieatur definirenden (.ileiehung. Die Multi-

plieatoren der stufenweise redueirten Systeme von Diiferentialgleiehungen. Der Multi|ilii-ator hei

jienutzung partieularer Integrale lOfi

Fünfzehnte Vorlesung. Der .Multiplieator für Systeme von DilTerentialgleiehiiugen mit höheren

Differentialquotieiiten. Anwendung auf ein freies System materieller Punkte 118

Seehszehnte Vorlesung. Beispiele für die .Aufsuehung des Multiplieators. .\nziehuug eines Punkts

naeh einem festen t'entrum im widerstehenden Mittel und im leeren Kaum 125

Siehzelinte Vorlesung. Der Multiplieator für die P.ewegungsgleiehungeii unfreier Systeme in der

ersten Lagranye'm'hi'n Form 132

.Aehtzehnte Vorlesung. Der Multiplieator für die Peivegungsgleichungen unfreier Systeuie in der

//«mi/ton'seheii Form 1-41

Neunzehnte Vorlesung. Die //«mfV/oHsehe partielle Differentialgleichung und ihre Ausdeltnung

auf die isoperimetrischen Probleme 14;^

Zwanzigste Vorlesung. Nachweis, dass <lie aus einer vollständigen Lösung der Hamilton' sehen partiellen Differentialgleichung abgeleiteten Integralgleichungen dem Systeme gewöhnlicher Diffe- rentialgleichungen wirklich senügcn. Die riamilionifhe (ileiehung für den Fall der freien l>e- wegung 157

Einundzwa nzi gsle Vorlesung, rntcrsuchnng des F'alles, wo t nicht explicite vorkomnil. . . . 1G3

Zw ei und z wanz igste Vorlesung. Lngranye'f. ilethode der Integratiou der partiellen Differciitiul- gleicliungen erster Ordnung mit zwei unabhängigen Veränderlichen. .Anwendung auf ilie mecha- nischen Probleme, welche nur von zwei Hestimmungsstückeri abhängen. Die freie Bewegung eiiu'S Puidits in der Kbene und <lie kürzeste Linie auf einer Obertläche. • 168

— vrii —

Seite

1 1 1 e i Uli il / wa II /.i;i-ste \'o ilrsii uy. Iteiluctiuu iliT |uiitielK'ii hiHVroulialjfloiiiiuiig fiii dirifiiincn

rrulilciiie, in «(.■Iclii'ii (las I'rincip der Erhaltung des Schwerpuidcts gilt 178

\' icriiii d zwanzigste Vorlesung. Bewegung eines Planeten um die Sonne. Lüsiiug des l'nihlcins

in l'idarcoiinlinateii IS.'l

Ki'i iit'u iid z wauzi gste Vorlesung. Lösung desselben Problems durch Einführung der .•abstände

ilo Planeten vun zwei festen Punkten l'.il)

Seelisiindzwan zigste Vorlesung. Elliptische C'oordinaten 1;IS

Sie bell II iidz wa u zigs t e Vorlesung, (ieometrische Ijedeutung der elliptisilieu t'nindinateii in der l';briie und im l'aume. Quadratur der nUeiHächr des Ellipsoids. IJectitication seiner Kiiiinmiings- linieii :i<>7

Ach t nndzwanzi gste Vurlesung. llie kiiizesti' Linie auf dem dreiaxigeu Ellipsuid. jias Pnildciii

der Karteupidjectiiiii --'Li

N eu iiu iiilz wairz igst e Vorlesung. Anziehung eines Punktes nach zwi'i festen Centien '2il

liiei ssigste Vorlesung. Das j4Ae/'sche Theorem :i.Sl

Ei n 11 uddreiss igs te Vorlesung. Allgemeine rutersuchungen über die partiellen liill'erenlial-

gleiehungen erster Ordnung. Die verscliiedeueu Formen der Integrahilitätshedingungeii 2'M

Z w eiun ddre issig st e Vorlesung. Direcier ISeweis für die allgemeinste Form der Iiilegraliilitäts- bedingungen. Einführung der Funcliniien //. welche, willkürlichen Consfanten gleicligesetzt. die ;) als Functiniicn der q bestiinnien "i!48

Dreiunddreissigste Vnile.- iiug. l'eliei simiillaue Lilsiingen zweier linearen partiellen DilVerential-

gleichungen 2.51!

V ieinndd reissi gs te Vorlesung. .Vuwendiing der vorhergellenden l'nfersuchung auf die lutegratinn der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung und insbesondere auf den Fall der Mechanik. Satz über das aus zwei gegebenen Tntegialen der dynainischeu Difl'erentialgleichungeu herzuleitende drifte Integral -M

Fü n fu iiddreissigste Vorlesung. Die beiden Rla^Mui v.iu Integralen, welche mau nach der niimilioii' riehen Methode für die mechanischen Probleme erhält. Bestimiuuiig der Wertlie von (7, i'O für dieselben '-i'i

Sech SU n dd reissigste Vorlesung. Die Stürungstheorie 279

Anhang. Die Integration der nicht linearen partiellen Dilferentialgleicliungeu erster Ordnung, vim

A. a,-/jscii. . . '....' -".ti

Vurlcsuimeii über DMiamik.

Erste Vorlesiiiij;.

E i u 1 e i t u n g.

Diese Vorlesungen werden sieli mit den Vortlieilen bescliäftiijfen. welche mau l)ei der Inteiiration der Diffeivntiulgleichunüen iler Bewegung aus der be- sonderen Form dieser Gleichungen ziehen kann. In der ..Mecanique analyti<jue" findet man Alles, was sich auf die Aufgabe liezieht. die Differentialgleichungen aufzustellen und umzuformen, allein für ihre Integration ist sehr wenig ge- schehen. Die in Keile stehende Aufgabe ist kaum gestellt: das Einzige, was man dahin rechnen kann, ist die ^K-thode der ^ ariation der Constanten, eine Näheruniismethode. welche auf der l)esonderen Form der in der Mechanik vor- kommenden Differentialgleichungen beruht.

I nter dei' grossen Menge von Aufgaben, welche die Mechanik darliietet, wollen wir nur iliejenigen lietrachten. welche sich auf ein System von n ma- teriellen Punkten lieziehen. d. h. von n Körpern. <leren Ausdehnung man ver- nachlässigen kann und den-n Masse man im Schwerpunkt betindlich aiminmit. Wir wollen ferner nur solche Pi-ol)leme berücksichtigen, bei welchen die Be- wegung allein von der Contiguration der Punkte und nicht von ihrer (iesdi windig- keit abhängt. Hierdurch sind also namentlich alle Probleme ausgesclilossen, bei welchen der ^^ iderstand in Rechnung zu ziehen ist.

Wir werden zuerst die Differentialgleichungen fiir die Bewegung eines solchen Systems aufstellen imd dann die Principe diu'chgehen, welche für das- selbe gelten. Diese Pnneipe sind:

1 . Das Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunkts. '1. Das Princip der Erhaltung der leliendigen Krat\.

3. Das Princip der Erhaltung der Flächenräume.

4. Das Pi-incip) der kleinsten Wirkung oder, wie es besser heissen sollte, des kleinsten Kraftaufwantles.

Jacobi, Werke. Siipplenieutb.iuil (Dyu.imik). 1

Die drei ersten dieser Principe geben Integrale des aufgestellten Systems von Ditierentialgleiehungen: das letzte Princip giebt kein Integral, sondern nur eine symbolische Formel, in welche das System von DifFerentialgleichungen sich zusammenfassen lässt. Dasselbe ist aber darum nicht minder wichtig, LagroJige hat sogar ursprünglich aus ihm alle seine Resultate in der Mechanik hergeleitet. Später, als er dieselben streng begründen wollte, verliess er das Princip der kleinsten Wirkung imd nahm (zuerst in der von der Pariser Akademie ge- krönten Preisschrift über die Libration des Mondes, dann aber vorzüglich in der „Mecanique analytique") das Princip der virtuellen Geschwindigkeiten zur Basis seiner Entwickelungen. So wurde also das Princip der kleinsten Wirkung, welches die Mutter aller neuen Resultate gewesen war, zu geringfügig behandelt.

Ich habe ein neues Princip der Mechanik hinzugefügt, welches darin mit den Principen der Erhaltung der lebendigen Kraft und dem der Flächenräume übereinstimmt, dass es ein Integral giebt, aber im Uebrigen ganz anderer Natur ist. Erstens ist es allgemeiner als jene Principe; denn es gilt, sobald die Differentialgleichungen nur die Coordinaten enthalten; ferner: wähi'end jene Principe erste Integrale der F(.irni geben: Function der Coordinaten und ihrer Differentialquotienten gleich einer Constanten, Integrale also, aus deren Diffe- rentiation Gleichungen fliessen. die durch Benutzung der gegebenen Differential- gleichungen identisch Null werden, liefert das neue Princip bei Voraussetzung der vorhergehenden Integrale das letzte. Nach diesem Principe kann man näm- lich unter der Annahme, dass ein Problem der Mechanik auf eine Differential- gleichung erster Ordnung zwischen zwei Variablen zurückgeführt ist, den Multi- plicator derselben allgemein angeben.

In Fällen, wo die übrigen Principe ein Problem auf eine Differential- gleichung erster Ordnung zurückführen, wird also durch das neue Princip die Aufgabe vollständig gelöst. Hierher gehört das Problem der Anziehung eines Punktes nach einem festen Centrum. M'obei das Gesetz der Anziehung beliebig ist, ferner das der Anziehung nach zwei festen Centren, vorausgesetzt, dass die Anziehung nach dem Newfouschen Gesetz stattfindet, und die Rotation eines von keinen äusseren Kräften soUicitirten Körpers um einen Punkt. Bei der An- ziehung nach zwei festen Centren ist freilich ausser der Anwendung der älteren Principe ein von Euler durch besondere Kunstgriffe gefundenes Integral nöthig, durch welches erst das Problem auf eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen zwei Variablen zurückgeführt wird; aber diese Gleichung ist äusserst

— 3 —

r<)ni|ilifirt. iiml iliro Iiiti^gration ist ciiK-s der ^rüsstcii Meisti-rwerke Eulers. Durch (las ik-iK' Princi]) erii'iebt sich ihr Miiltijilicator von scll)st.

Ik'soiiders liervorziiheben ist diejt'uiife Chissc von Prolilenien. iiii- wclclie ziifileich ilas Priiici|j der lebendigen Kraft nnil ilas Princi]) «ler kleinsten \\ irkiinir gilt, lliiiiiilloii hat nämlich bemerkt, dass man in diesem Falle die Aufgabe auf eine nicht lineare [lartielle Dilferentialgleichung erstei- Ordnimg znriickfnhren kann. Hat man eine vollständige Lösimg dersell)en gefnnden. so ergeben sich sofort alle Integralgleichungen. Die durch die partielle DitFereiitialirleichun"" definirte Function nennt Ihmiilton die charakteristische Function.

Hamilton hat den schönen Zusauniienhang. den er gefunden hat. etwa.s unzugänglich gemacht und verdunkidt. uml z\yai' dadurch, dass er seine clia- i-akteristische Function noch zugleich von einer zweiten ])artielleii Dilferential- gleiclumg abhängen lässt. Die Hinzufügung <lieser Bestimmung inaclit die ganze Ivntdeckung unniithig com])licirt. <la eine genauere T iitersiicliung zeigt, dass die zweite ]iartielle Differentialgleichung vollkommen iiljerflüssig ist.

Wir wollen zur I'nterscheiilung folgende Bezeichnungen einführen: Die Integrale der gewöhnlichen Dilferentialgleichimgen wollen wir Integrale oder Integralgleichungen nennen, die Integrale der partiellen Ditferentialgleichnng dageu'eu Lösuniren. Ferner wollen wir bei eniem Svsteni von Differential- gleichungen Integrale und Integralglei^-hungen unterscheiden. Integrale seien diejenigen ersten Integrale, welche die F'orni halten: Function der Coonlinaten und ihrer Differentiahiuotienten gleich einer Constanten, und deren Differential- ([uotient mit Benutzung des gegebenen Systems von Differeiititilgleichungen identisch gleich Null wird, ohne dass man andere Integrale zu HiUfe ruft: Integralgleichungen heissen alle nlirigen Integrale, in diesem Sinne geben also die Principe der lebendigen Kraft inul der Mächenräume Integrale und nicht Integralgleichungen.

Durch die //(/»»7A<;^sche Entdeckung hat das System «ler Integral- gleichungen der mechanischen Prolileme eine sehr niei'k würdige F'orm erhalten. Wenn man nämlich die charakteristische Function nach den willkürlichen Con- stanten, welche sie enthält, difterentiirt. so giebt dies die IntegTalgleichungen des gegebenen Svstems von Differentialiileichuniren. Dies ist analog dem Satz von LagraiKje. wonach sich die Ditferentialgieichungen eines Problems, für welches das Princip der klehisten Wirkung gilt, als partielle Ditferentialquotienten einer einzigen Grösse darstellen lassen. Obgleich nun Hamilton die in Rede stehende

r

— 4 —

Form fler Integralgleichungen, welche sie vermittelst der charakteristischen Function annehmen, aufgestellt hat. so hat er doch nichts zur Auffinduna; der letzteren gethan. Hiermit werden wh' uns beschäftigen und mit Hülfe der ge- wonnenen Resultate die Anziehung nach einem festen Centrum. nach zwei festen Centren und die Bewegung eines der Schwere nicht unterworfenen Punktes auf dem dreiaxigen EUipsoid (deren Bestimmung mit der .Auffindung der ki'irzesten Linie auf dem EUipsoid übereinkommt) behandeln.

Der von Hamilton entdeckte Zusammenhang giebt auch neue Aufschlüsse über die Methode der Variation der Constanten. Diese Methode beruht auf Folgendem: Die Integrale eines Systems von Differentialgleichungen der Dynamik enthalten eine gewisse Anzahl \Yillkürlicher Constanten, deren Werthe in jedem besonderen Falle durch die Anfangspositionen und Anfangsgeschwindigkeiten der sich bewegenden Punkte bestimmt werden. Bekommen nun die letzteren während der Bewegung Stösse, so ändern sich dadurch nur die Werthe der Constanten, die Form der Integralgleichungen bleibt dieselbe. Bewegt sich z. B. ein Planet in einer Ellipse um die Sonne, und bekonant er während der Bewegung einen Stoss, so wh"d er sich nun in einer neuen Ellipse oder vielleicht auch in einer Hyperbel, jedenfalls in einem Kegelschnitt bewegen, die Form der Gleichung bleibt dieselbe. Treten nun solche Stösse nicht momentan auf, sondern werden sie continuirlich fortgesetzt, so kann man die Sache so ansehen, als ob die Constanten sich continuirlich änderten, und zwar so, dass diese Aenderungen die Wh-kuna" der störenden Kräfte genau darstellen. Diese Theorie der Variation der Constanten wu-d in dem Verlauf unserer Untersuchung in einem neuen Lichte erscheinen.

Das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft umfasst eine gi'osse Klasse von Problemen, unter welche namentlich das Problem der drei Körper gehört, oder allgemeiner das Problem der Bewegung von ii Körpern, welche sich gegenseitig anziehen.

Jemehr man in die Natur der Ki'äfte eindringt, desto mehr reducht man Alles auf gegenseitige Anziehungen und Abstossungen, desto wichtiger wird also das Problem, die Bewegung von n Körpern zu bestimmen, welche sich gegen- seitig anziehen. Dieses Problem gehört in die Kategorie derjenigen, auf welche unsere Theorie anzuwenden ist, d. h. welche sich auf die Integration einer ])artiellen Differentialgleichung zurückführen lassen. Man erkennt hieraus die

Xotliwendiirkeit. die partiellen Ditfeiviitialf;loichiinLfon zu stiirliren: aber seit ö() Jahren*) hat man sich nur mit den linearen partiellen Differentialgleichniiiren besehäfti<:r;t. während für die nicht linearen nichts freschehen ist. Fiir drei Varialilen hat liereits Ln'jraiKji' das Problem absolvirt: für mehr Xariaiili-n hat P/cJ) eine zwar verdienstliche aber unvollkommene Arlieit «reliefeii. Nach l'Juff muss man zui- Lösuns der partiellen Dilterentialiileichnnii' zunächst ein System von «rewölmliclien Differentialgleichuufien intejiriren. Xach Inteiji-ation derselben hat man ein neues System von Differentialgleichimuen aufzustellen, welches zwei Variablen weniii'er enthält, dieses wiederum zu intetrriren u. s. w.. imd so ge- langt man enrllich zur Integration der ]>artiellen Differentialgleichung. Hiernach hatte also ILimUton diu-ch seine ZurückfühiMuig der Differentialgleichung der Bewegung auf eine partielle Ditferentialgleichmig das Pi'olilem auf ein schwie- rigeres zurückgeführt: denn nach l'fcff erfordert die Integration einer partiellen Differentialgleichung die Integration einer licihe von Systemen gewöhnlicher Diti'erentialgleichungen. während ilas mechanische Problem nur die Integration eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen erfordert. Ks war ilaher hier die umgekehrte Zurückführung von grösserer Wichtigkeit, wonach eine partielle Differentialgleichung sich auf ein einziges System V(ni Differentialgleichungen zurückfuhren lässt. Das erste /;'/W/^sclie System stimmt nämlich mit dem. auf welches <lie Mechanik führt, üljerein. und es lässt sich nachweisen, dass die übrigen Systeme alsdann entbehrt werden kiinnen. So wie in diesem Falle kelu't sich die Zurückführung eines Prol>lems auf ein anderes sehr häufig um. uidem der Fortscln-itt der Wissenschaft das Erste zimi Zweiten macht und um- gekelnl. r)as Wiclitige in solchen Zurückfiihrungen ist der Zusammenhang, der zwischen zwei Problemen nachgewiesen wii'd. Der in Rede stehende Zusanunen- hang lässt erkennen, dass jeder Fortschritt in der Theorie dei" ])artiellen Diffe- rentialgU'ichungen auch einen Fortschritt in der Mechanik herlieiführen muss.

Ein tieferes Studium der Differentialgleichungen der Mechanik zeigt, dass die Anzahl der Intesrationen sich innner auf die Hälfte zurückführen ]ä.sst. während die andere Hälfte ilurch Quadratm-eii ersetzt wird. Es giel't ein merk- würdiges Theorem, welches zeigt, dass ein qualitativer Lnterschied zwischen den InteiO"aIen stattfindet. Während nämlich euiiü'e InteiH'ale nicht mehr Be- deutung haben als (Quadraturen, giebt es andere, welche für alle übrigen zu-

*) Diese Vorlesungen wurden im Winter 1842 — 43 gehalten. C.

— 6 —

sammen2;enoiniuen gelten können. Dies Theorem lässt sich folgendeniiassen aussprechen: Keimt, man ausser dein durch das Princip der lebendigen Kraft ge- gebenen Integral noch zwei InfegraJc der dynamischen Gleichungen^ so kann man ans diesen beiden ei)i drittes finden. Ein Beispiel hiervon sind die sogenannten Flächensätze in Bezug auf die drei Coordinatenebenen: gelten von diesen zwei, so lässt sich der dritte daraus ableiten.

Hat man nach dem angeführten allgemeinen Satze aus zwei Integralen ein drittes gefunden, so lässt sich hieraus und aus einem der früheren ein viertes finden, u. s. w. bis man auf eines der gegebenen zurückkommt. Es giebt In- tegrale, welche liei dieser Operation das ganze System der Integralgleichungen erschöpfen, während bei anderen sich der Cyclus früher seliliesst. Dieses Fundamentaltheorem Ist schon seit 30 Jahren zugleich gefunden und verborgen. Es rührt nämlich von Poisson her und war auch Lagrange bekannt, der in dem erst nach seinem Tode erschienenen zweiten Theil der .,Mecanique analytique" dasselbe als Hiilfssatz brauchte*). Aber dieser Satz ist immer in einer ganz anderen Bedeutung genommen worden: er sollte nur zeigen, dass in einer Ent- wickelung gewisse Glieder unabhängig von der Zeit seien, und es war kerne ge- ringe Schwieriiikeit, in demselben sehie heutige Bedeutuno; zu sehen. In diesem Satze liegt zugleich das Fundament für die Integration der [lartiellen Differential- gleichungen erster Ordnung.

Zweite Yorlesuiig.

Die Difl'erentialgleichungeu clor Bewegung. Symbolische Formel für dieselben.

Die Kräftefunction.

Wir wollen zunächst ein freies System von materiellen Punkten be- trachten: wir nennen es ein System, weil wh- annehmen, dass die Punkte den äusseren Kräften nicht unabhängig von einander Folge leisten, in welchem Falle man jeden Punkt für sich lietrachten könnte, sondern dass sie gegenseitig auf einander einwirken, man also nicht einen ohne die anderen betrachten kann. Dies System sei ferner ein freies, d. h. ein solches, in welchem die Punkte den Einwirkungen der Kräfte ohne Hinderniss folgen. Irgend einer der Punkte des

*) Mec. aual. Sect. VII. GO, 61. (Band II. p. 70 folgg. der dritten Ausgabe.)

Systems lialn- <lic Masse m. flie i-e(lit\v'ml\lit!.eii Coordiiiateii flesselbeii zur Zi'it / seien x, i/. :. und die- C'()iu|M)iieiiteii 'ler auf iliii wii-keudeii Kraft X. i. Z: dann hat man l)ek:iniitricli l'i)lHeii<le (ili-icluin^cii der lifweü'iiiifr:

7)1

(he „ (Py „ d-z „

(/<- ' dt' ' dt' '

und ;ilmliclic (ileicliim^en ^ielit es für alle Punkte des Systems. Die Grössen A. ). X liänj:vn \(in den Coordinaten aller // Punkte ali und kiJmien auch ihre Differential(|Uotienten nach (Irv Zeit / entlialti-n. was namentlich immer statt- lindet. s()l)al<l der Widi'rstand ni liedinimii' zu ziehen ist.

Die ()l)i<4X'ii DiHerentialüleichiinucn tl'.-v l>e\venuiiii' kriniieii in eine äusserst vortheilhafte symlinlische Foi'in dadurch ^eliracht werden, dass man Je<le iler- selhen. nachdem man dii' i-echte Seite auf Xull ueliracht hat. mit einem will- kürliclu'n Factor mnilijdicirt uml die Producte addirt. Man erliidt so die (ileichunii':

i:''iif-^'A"''!it^-^1"^i"'ii^-^'-^ "• '^^ ^- =0'

wo sich das u. s. w. auf ;Umliche (Hieder iiezielit. welclie von den ührisren Punkten des Systems herrühren, indem man nun l'ordert. dass diese (ileichunü' für alle Wei-tlie (hr Grössen /, fi, /' . . . gelte. re|)räsentirt dieseli>e das ganze obige System von Dinerentialgleichimgen. Di^r l'eliersichtlichkeit wegen wollen wir die Factoren /.. //. y . . . mit »)'.('. <)'//, <)'r l)ezeichnen. wo ,r. y. c rein als Indioes anzustdien sind, l nsere symbolisclie (deichung wii'd dadui'ch

wo sich die Sunnne auf alle Pimkte des Systems bezieht. Diese Gleichuna" muss also für alle Werthe \on <h: ')'//, d':. . . . bestehen. Die symbolische Be- zeichnung in dei'selben ist sehr wichtig: es tritt nämlich häufig iler Fall ein. dass ein Symliol als Grösse betrachtet und damit gerechnet und opei-irt wird, wie es nbcrhauiit mit (irössen geschieht: hiervon werden wii- >|)äter ein Bei- spiel hallen.

Kine besondere Behandlung lässt der Fall zu. wo nur Attractionen nach festen Gentren oder Attractionen der Punkte unter sich lu'trachtet werden. In diesem Falle lissen sich die Componenten X. Y. Z. . . . als partielle Differential- ((uotienten ein und derselben Grösse darstellen. Ldf/ratu/e hat die wichtiire Be- mei'kung gemacht, dass wenn man einen festen Punkt mit einem beweüTichen

verbindet, die Cosinus der Winkel, welche diese Linie mit den drei Coordinuten-

axen bildet, die partiellen Diiferentialquotienten einer Grösse, der Entfernung

der beiden Punkte, sind. Der feste Punkt habe die Coordinaten a, b, c. der

bewegliche die Coordinaten .r. y. :, der beide Punkte verbindende Radiusvector

sei r; man ziehe durch den festen Punkt ((/, h, c) drei Gerade parallel den

Coordinatenaxen und zwar nach dem positiven Ende derselben gerichtet: die

Winkel, welche der Radiusvector r mit diesen Geraden macht, seien a, ß, y.

Man hat dann folgende Gleichungen:

r' = (.v-ay+(y-hy-^-(z-cy-.

dr .r — a di- ii — b , dr z — c ^

--- = = cos«; ^— = -^ = cosjJ; -^- = — - — = cosy ).

d.r r öy r dz r

Ist nun R die Kraft, mit welcher der Punkt (.r, y, :) von dem Punkt (a, 6, c)

anoezogen wird, so sind die Componenten. welche auf den Punkt {x, y, z) nach

der positiven Seite der Coordinaten hin wirken:

= -r1l, _r^^ _r^, ö.i- ' dy oz

oder wenn wir

jRdr = P

setzen :

_ dP _5P _ßP

dx ' dy '' dz

Die Componenten sind also die partiellen Differentialquotienten einer Grösse — F. Dies findet auch bei der gegenseitigen Anziehung zweier Punkte, j) und yjj, statt. Ihre Coordinaten seien x. y, z und Xi, y^, j,, ihre Entfernung r, also

r- = (a'— .rJ-+(!/— .y,)'+(c — ^,)% R sei die Kraft der Anziehung zwischen p undj)i; dann sind die auf p wirken- den Componenten:

			^a.'	^y '	oz
und	die	auf p	1 wu'kenden Componenten:
			R „ , a»,	R ,	dr
wek	^he	resped	dve gleich und entgeg	engesetzt	sind, da
			dr X — .r,	dr ' dx, "	.r — .s,
	dx r	;■

*) Es wird hier wie im Folgenden immer für die partiellen Differentiationen das Zeichen d, für die vollständigen das Zeichen d gebraucht.

also :		dr 8r öcC, dx
Führt	man	nun wiorler

9 —

, , dl- dr dr dr

uml ebenso: ^ — =

öy, ay ' dz, dz

P= RJr

fRc

ein, so sind die auf p wirkemlen Componenten

_ÖP _oP dP

ä.F ' % ' dz

und die auf pi wirkenden Componenten

_dP _dP_ _dP d.r, ' dy, ' dz,

Betrachten wir jetzt )t Punkte, welche sicli geirenseitig anziehen. Ihre Massen seien ?/(,, riu, . . . m„. ihre Coordinaten .r,, vy,, r,, .n,, t/,, c,, . . . .r„, ?/„, z„, die Entfernung von ?», und in., werde mit r,, bezeichnet, das Integral derjenigen Fimction von r, j, welche die zwischen beiden Punkten wii-kende Anziehung aus- drückt, mit P,o, worin man sich das Pi-oduct dei- Massen ?»,, iiu als Factor ein-

Für das At'/r/oMsclie Gesetz /.. B. wird I\.^ = ' — ^•1

Dies vorausgesetzt, ist die Componente der Kraft, welche auf den Punkt m, wirkt, in der Richtung der .r-Coordinaten:

^ d(P,.+PuH hP.n)

dx, und analog für die beiden anderen Componenten. Daher hat man für den

Punkt '»ii

d\ _ 6(P,.2+/V:iH hA.„)

"'■ dt' ~ d.v,

dy, ö(P,+Pj3H hP,.0

' df dy, d% ö(P,,^p,,^ ^P,„)

Aehnliche Gleichungen giebt es fiir die iibi-igen Pimkte des Systems; für den Punkt ')ti.j z. B. ist die in Klaimnern eingeschlossene Grösse, deren Differential-

(juotient genommen wird, gleich Pi.i+^lsH ^^\n- Di^ Grössen P haben aber die

Eigenschaft, dass jede derselben nur von den Coordinaten der beiden Punkte abhängt, deren Indices angehängt sind; dalu'r verschwinden bei der Differentiation nach ,i\, i/i oder z^ die Dilferentialquotienten von /V,, K^, ... R^,,, -P^, -•• i''„_i,n,

J,icobi, Werke. Supplemealhand (Dynamik). 2

— 10 —

und es bleiben nur die Differentialquotienten von P,2, P^, ... P,,^ übrig. Es werden also die auf den ersten Punkt bezüo-liclien Differentialcleicliungen ganz ungeändert bleiben, wenn man auf der rechten Seite in der Klammer zu der

Summe Pls-hPi.sH l--fi,n noch die Summe aller übrigen P hinzufügt. Eine

ähnliche Aenderung kann man bei den anderen Gleichungen in der in Klannnern eingesclilossenen Grösse anbringen und erhält dann in den Diflerentialgleichungen des ganzen Systems die Differentialquotienten einer und derselben Grösse:

ü= -(Pu-^P,.H hPl.„+P2,.H hP,,,-^ hP„-,.0-

Wii" haben auf diese Weise für irgend einen Punkt des Systems die Gleichungen

d'-^i du <fy, dU d"-z. SU

' df d.v. ' ' dt^ dy. ' ' df dz.

Diese Bemerkung, dass man in allen Gleichungen eine und dieselbe Grösse U einführen kann, scheint sehr einfach, und dennoch ist es das Uebersehen' dieses Umstandes allein, welches Eider verhindert hat, die Allgemeinheit der Lagrange- schen Resultate zu erreichen. Eiiler kannte das Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft nur für Anziehungen nach festen Centren. Am Ende der ,.Nova methodus imieniendi airvas maximi minimive proprietate gaudentes" hat Eu/er in dem „Appendix de motu projectonim'' mit sehr un^-ollkonnnenen Aus- drücken der Differentialgleichungen für die gegenseitige Attraction sich begnügt. Erst Daniel BernouIIl. hat in einer der philosophischen Classe der Berliner Akademie eingereichten Abhandlung*) diese Bemerkung gemacht und dadurch dem Princip der Erhaltung der lebendigen Kraft seine wahre Bedeutung ge- geben. Lagrange hat alsdann diese Bemerkung auf die Probleme angewandt, welche sich Etiler in dem Aufsatz „de motu projectorum" gestellt hatte, und ist dadurch auf seine Hauptresultate gekommen.

Der Ausch-uek U ist von Hamilton mit dem Namen Kräftefunction (force function) belegt worden. Der partielle Differential quotient dieses Ausdrucks nach einer Coordinate einer der betrachteten n Massen giebt die Kraft, mit welcher diese Masse von allen übrigen angezogen wird, nach der Richtung dieser Coordinate gemessen.

Für das Newtons,ehQ Attractionsgesetz wird die Kräftefunction

*) Mem. de I'acad. de Berlin 1748.

— 11

also für (Ifii Fall (hv'u'r Körper

., m,m„ m.m. m.,m.

■'"i',^

In der llicoric der Ziirücklüliruii"" der DiflFer('iitial<£leicliim<f('n «Icr HcwerruiiiX auf eint' iiartielle Ditfeivntialiileichunjx ei-ster Oi-iliuinfi hat man es immer nnr mit der KräftefunetiDii zu tliun. dalier ist ihre lOinfüliriini: von <ler höchsten Wichtigkeit. Vorläufig wei'den wir sie srhr gut zur aljgekihzten Darstellung der Gleichungen benutzen können.

Es ist von Interesse, sich klar zu machen, wie weit man die Grenzen der zu lietrachtcnden mechaniscdien Pi'obleme ausdehnen kann, ohne die Ein- führung der Kräftefunction aufzugellen.

Bei der gegenseitigen Anziehung der Punkti' ist es nicht nöthig voraus- zusetzen, dass das Gesetz, nach welchem zwei Punkte einander anziehen, für je zwei Punkte des Systems dassell)e sei, sondern man kann hierüber jede be- liebige Ainiahme machen, vorausgesetzt, dass die Anziehung lediglich von der Entfernung abhängt und dass irgend eine blasse //(, mit derselben Kraft von einer der anderen Massen ?/;, anuezoüen wird, wie rti, von 7?),. Die Bemerkuno; dieser Ausdehnung i>t nicht ohne allen Nutzen: so hat z. B. lii.^.sc/ das Be- denken lu'rvorgerufen. ob im Weltsystem zwisrhen je zwei Köriiern <lasselbe Anziehuna'sux'setz stattfijidet . nicht als ob sich die Function der Entfernung; in dem Gesetz änderte, sondern er machte die Hypothese, dass ein Körper des Sonnen- svstems z. B. die Sonne selbst den Saturn mit einer antleren Masse anzöge als den Uranus. Diese flypothese wüi'de also die Einfiihrung der Kräftefunction nicht stc'iren. Aussei' den gegi'useitigen Anziehungen der Massen können aber auch Attractioiieii nach festen Centren hiu/.ukonnnen. Man kami sogar an- nehmen, was freilich nur eine mathematische Fiction ist. dass jedes der festen Centren nicht auf alle Massen wirkt, sondern nur auf eine oder auf eine be- stimmte Anzahl derselben. AVird z. B. die Masse //(, nach einem festen Centrum huigezogen. dessen Masse k und dessen Coordinaten a, h. c sind, so kommt, wenn das iV^firto^sche Gesetz stattfindet, zu der Kräftefunction der Term

hinzu, und ;"ihnliche Tenne erhält man für die übi-igen Massen, weim das feste Centrum / auch auf sie einwirkt. Endlich können noch constante piarallele Kräfte hinzukonunen. welche ebenfalls nicht auf alle Massen zu wirken lirauchen.

— 12 —

"Wenn z. B. auf die Masse m^ eine constante Kraft wirkt (wie die Schwere), deren Componenten nach den Eiehtungen der Coordinatenaxen A, B, F seien. so kommt zur Ivi-äft-efunction U der Term

hinzu, und ähnhche Tenne für die anderen Massen des Systems, wenn auf sie die Constanten Kräfte A, ß, r oder andere wirken. Fiir den Fall der festen Centren ist noch zu bemerken, dass, wenn sie auf alle im Problem vorkommen- den Massen wirken, was natürlich in der Natur immer stattfindet, man dieselben wie beweeliche Massen ansehen kann. Hierdurch kommen zwar überllüssirre Glieder in die Ki'äftefunction, nämlich diejenigen, welche die gegenseitige Attraction der festen Centren ausdrücken würden, indessen sind diese Glieder reine Constanten und fallen bei jeder Differentiation heraus.

Die symbolische Form, unter welche wir die Differentialgleichungen der Beweguno- trebracht haben, war:

welche Gleichung wu- besser so schreiben können:

f irj^. cPy. d'Z. 1

^ ^ '[ df • dt' ^' dt' ■) !.•'.■->,'>.*

In dem Fall, wo man die Kräftefunction einführen kaitn, wu'd

X =— Y = ~ Z =^

■ o.e. ' ' du. ' ^' dz. '

daher :

( d-x. d.-i/. d-z. \ (öü . du ^ dU . -t

In dieser Gleichung nun, wie m der obigen, sind die dx^ ... als willkürliche Factoren anzusehen, welche jeden Werth annehmen können, und .r, . . . als In- dices derselben. Betrachtet man aber für einen Augenblick d'x,, d'y,, f)j, als un- endlich kleine Incremente von .t,, y,, Z;, so wh'd nach den Regeln der Differential- rechnung die rechte Seite der letzten Gleichung.

also hat man

f d\v. d'y. d'Z. i

— 13 —

Hierin ist (MJ vorläiiiiii,- nur als ein abfjekiirztes Zeichen ffn" rlie Summe (i4.) anzusehen, welclie mit derselben nur üliereinstinnnt. wenn man flie ()' als un- endlich kleine Incremente ansieht. Ohfileich nun diese Bezeichnung nur einen Sinn hat. wenn dir Kräl'ti-I'iniction existirt. so hat man sie socar in manchen Fällen mit XOrtlieil auf die .alljienieinere (ileichung (1.) angewendet, inn die Rechnung lieiiucmer'zu maclicn. dcddcli kann dies nui- unter dem \'orbehalt geschehen, dass man in der Entwickelung von tfU den partiellen DifFerential- (lUdtienten diu'ch A, zu ersetzen hat. Hierdunh kommt man. wenn man

' C\l\

es nur mit linearen Sul>stitutionen zu thun hat. in der IJegel zu richtigen Re- sultaten. Dies ist der kühne Weg, den Lui]ran<i<' in den Turiner Memoiren, freilich ohne ihn gehörig zu i-echtfertigen, eingeschlagen hat.

Die Bezeichnung r)'f/ ist auch sehr vortheilhaft. wenn man für die Coor- dinaten .r,. _i/,, 5,, x.^, y.,, :.., . . . n'„, y„, z„ neue 3// \'arial«le (/,, q.,, ... ^3„ einfülv't. Man braucht nämlich dami um- diese neuen \'ai-iablen in U einzu- setzen und nach den Regeln der Ditfei'entialrechnung zu entwickeln:

.rr ö U .. öU . d U ^

zugleich muss man aber für d\i\ setzen:

d.c. dx. d.r. c.r

dq, ■" dq, '■ %,„ ''" . cq^ ''

Die Richtigkeit dieser Behauptung lässt sich folgendermassen nachweisen: Die 3» DiflFerentialgleichungen der Bewegung sind:

""•'■■ du </■■>,■ du <i--. dU

' (h- d.c. ' dt- d)/.' • dt' dz.'

wo dem / alle Wertlie von 1 liis 11 inclusive beizulegen sind. Denkt man sich

• • ^'^, ^I/i ^^■

diese 3?; Gleichungen resyjective mit ^r-^, ^7-^, -^^ multiplicirt und addirt. so ° a<y, cq. oq^ <■

erhfUt man:

f"' [ de dq, df- dq, df dq, j dq, '

Solcher Gleichungen erhält man 3//, indem man füi- ry, nach einander alle q einsetzt. Diese 3« Gleichungen vertreten nun das ursprüngliche System von Gleichungen vollkommen, so dass das eine unmer für das andere sesetzt werden kann. Multipliciren wir das letzte System mit willkiü-lichen Factoren dqi, d'q.^, . . . ()'q^ . . . d'q-^^ und addii"en. so erhalten wu- eine neue symbolische

— 14 —

Gleichung, welche das letzte System von Differentialgleichungen und daher auch das frühere ganz ersetzt. Diese symbolische Gleichung wird aber:

{d'x.

cl-x. dx. fpy. dy. dh. dz. i dU

dcjs df dq, dt' dq^l T dq^

oder wenn man die Summationen auf der linken Seite dieser Gleichung in um- gekehrter Ordnuno; ausführt:

( d'x. dx. d'-y dt/. d''-z, dz. ) ^JJ

Diese Gleichung ist dieselbe, in welche (2.) übergeht, wenn man für Sü

du ■ ^"^i ^11- ^^^

^-=—d)j^ und für d'x,, d'y^, ch, respective ^-^i)q,, ^-^~dq^, J^-^öq^ em- .-i dqs ^ '^qs s ^qs s ^qs

setzt. Somit ist also die oben angegebene Regel fi'ir die Substitution neuer Variablen bewiesen. In der transformirten Gleichung sind alsdann wiederum die d'q, als von einander unabhängige Grössen zu betrachten und es zerfällt so die transformirte symbolische Gleichung in das soeben angegebene zweite System der 3/; Gleichungen.

Aber in diesen Rechnungsvortheilen liegt nicht die Wichtigkeit unserer symbolischen Gleichungen (1.) und (2.). Die wahre Bedeutung dieser Dar- stelluno" besteht vielmelu- darin, dass sie auch noch dann l)eibehalten werden kann, wenn das System nicht mehr ein freies ist. sondern wenn Bedingungs- gleichungen hinzutreten, welche die Verbindung der Punkte ausdrücken. Aber alsdann sind die Variationen nicht mehr als ganz willkürlich und von einander unal)hän<'i<'' zu behandeln, sondern als virtuelle Variationen, d. h. als solche, welche mit den Bedingungen vereinbar sind. Nehmen wir z. B. an, dass di-ei Bedingungsgleichungen existiren

/=0, y; = 0, xp = 0, so werden die zwischen den Variationen existirenden Relationen, welche sie zu virtuellen machen, durch folgende Gleichungen bestimmt:

äf = 0, S(f> = 0, Sip = 0, oder entwickelt:

— 15 —

Jede Ik'diiijruiifrsirleicliung i.ni'bt also eine lineare Relation zwischen den 3« \'ai'iationeii . . . r).r,. «Vy,. «)';,. ... Hat man /// BedinjirnnjiSffleichungen. also auch m Relationen zwisdien den Variationen, so kann man alle N'ariationen durch Zn — //( dei'selben ausdrücken und erhält dm'rli Sulisiltiition derselhien unsere symbolische Gleichun<r frei von in Variationen. Alier diese Klimination der m Variationen wii-d äusserst comijlieirt. l']in Auskmil'tsniittel für iiie.se Sehwierio-- keit hat Ldf/m/uje in der Einiiihrunji; eines Systems von Multiplicatoren i<;ef'imden.

Die im Obigen enthaltene Ausdehnung unserer symbolischen (Meichuno' auf ein durch Bedingungen beschi'änktes System ist. wie sich von selbst ver- steht, nicht bewiesen, sondern nur als Behauptung histoi-isch ausgesprochen. Dies ausdrücklich zu sagen, scheint nöthig zu sein, demi obgleich Lnjtldce diese Aus- dehnung in der Mecani((ue Celeste ebensowenig bewiesen hat. als es hier geschehen ist. sondern sie auch nur historisch behauptet, so hat man dies demioch für einen Beweis gehalten. Poinsot hat gegen diese Meiinmg eine eigene Ab- handlung*) geschrieben und sagt dai'in sehr richtig, dass sich die Mathematiker liäufig (hn-cli den sehr langen Weg täuschen lassen, den sie zurückgelegt halieii. zuweilen aber auch din'cli den sehr kinv.en. Durch den langen Weg lassen sie sich täusclien. wenn sie durch sehr weite Rechnungen endlich zu einer Identität konnneii. diesellje aber für einen Satz halten. Ein Beispiel von dem Entgegengesetzten giebt unser Fall.

Diese Ausdehnung zu beweist-n. ist keineswegs unsere Absicht, wir wollen sie vielmehr als ein Pi-incip ansehen, welches zu l)eweisen nicht nöthig ist. Dies ist <lie Ansicht vieler .Mathematiker, namentlich von Gauss*').

Dritte Vorlesiina:.

i*:is Priiicip tlor Erhaltung der Rewoguns des Schwerpunkts.

Wir wollen nun zum Beweise der allgemeinen Principe übergehen, welche für die bisher lietrachteten mechanischen l'robleme üvlten. Das erste

*) Lioiivillis, Journal, vol. 3, p. 241.

*") Wahrscheinlich hat sich Gauss in iliesem Sinne mündlich zu Jacobi p;eäussert: ein hierüber niedergeschriebener Ausspruch desselben scheint sich wenigstens nach Herrn Professor Scherings gütiger Mit- theilung nicht zu finden. C.

— 16 —

derselben ist (vgl. die erste Vorlesung) das Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunkts.

Nehmen wir zuerst den einfacheren Fall, m welchem eine Ki'äftefunction cxistii-t, so haben wu-:

d^a. cPy. d^z.

(d'x. (fy. d'z. 1

2, I

6U.

Wh" wollen annehmen, dass sowohl U als die Bedinaunosgleichungen nur von den Differenzen der Coordinaten abhängen, so dass sie sich gleich bleiben, wenn man alle x um eine und dieselbe Grösse vermehrt, und ebenso, wenn dies bei allen y oder allen z geschieht. Dann ist die Annahme:

6x^ = Sx., ^ • ■ ■ = (?,e„ = X,

«^i/i = «^.y^ = ••• = %" = f«>

fc, = fc, = • • • = 6z„ = V, eine mit den Bedinoungso-leichunoen vereinbare. Bei dieser Annahme er- halten wir:

(d'^x. d-y. d-z. ] dU dU dU

Die rechte Seite ist aber = 0. In der That, da unserer Annahme nach U nur von den Differenzen der Coordinaten abhängt, so kann man, wenn

gesetzt wird, der Grösse U, insofern sie von den ^r- Coordinaten abhängt, die Form geben:

U^F(l, i„ ... i-„_x). Dann ist zugleich:

dU_dF dU__dF öU _ 8F ^U _ __dF^_dF^_ dF

also:

dj;, dx„ 6x„ dx

und ebenso:

Sonach zieht sich unsere obioe Gleichung zusammen in:

o o

f d-.r d^y. d'-z. ]

— 17 —

uiul fla diese Gleicliuiig i'ür alle WCrtlie von /. //. /' liestelieii inuss. so ist

d'u: '/■'/ </':

2m. -.-,'- = 0, 2:/» -^ = 0. 2'/«

0.

dt- Setzeil wir jetzt

Vot. = M, 2m. r =- .V.l, 2my = MB, 2m : = MC, so^dass .1, /.'. r. wie bekannt, die dmi-dinaten des S(liwL'r|iimkts di-s Systems sind, so kann man statt der obigen Gleiclaingen aucli folgende schreiben:

welche integrirt geben:

• (3.) A = aWH-«'i^, B = ^W+^V, C = /")-4-yV,

d. li. der Scliwerpnnkt bewegt sich in einer gerailen Linie, deren Gleichungen in den laufenden Coordinaten ^4. /). ('

^_ßO>) B—^'"^ C—y(">

a' ii' )■'

sind, und t)eweirt sich in derselben mit der constanten (reschwüidiifkeit

In dem allgemeineren Fall, in welchem die Kräftefunction nicht existirt, hat man statt der (rleichung (I.) folgende: f d-.r. d'hr d'z. \

mid da dieselbe für alle Werthe von /.. u. i' gilt.

d'X: d'-y. d'-z

57«.

,„ —2X, 2m~^= 2Y, 2m—r^ = 2Z.

dt- •' ' df •' ■ dt'

oder, wenn man die Schwei-iiunktscoordinaten einführt,

d. h. der Schweri)uukt bewegt sich so. als ob alle im System wirkenden Ki'äfte parallel mit sich selbst verschoben im Sdiweriiunkt angebracht wären, und als ob zugleich die Suuune aller Massen im Schwerpunkt ihren Sitz hätte.

Sind die auf diese Weise [)arallel verschobenen Kräfte in ihi'er neuen Lage im Gleichgewicht, ist also

2X, = 0. 2Y, = 0, 2Z,=0, so wu'ken auf den Schwerpunkt gar keine besclileunigen<len Kräfte. Dies findet statt, wenn nur gegenseitige Attractionen in dem System wirken, da alsdann Jaoolii, Werke. Supplcmentbaiul (Dynamik). 3

— 18 —

Wirkung und Gegenwirkung, in denselben Angriffspunkt verlegt, sich zerstören (dieser Fall ist schon oben behandelt, da nämlich alsdann immer eine Kräi'te- function existirt): es findet aber nicht statt, sobald feste Centren im Probleme vorkommen.

Alles bisher Gesagte gilt natürlich nur. wenn die Bedingungsgleichungen nur von den Diff'erenzen der ;i-Coordinaten, der ^-Coordinaten und der j-Coor- dinaten abhängen. Ein solcher Fall ist das Seilpolygon, wenn man auf die Aus- dehnung des Seils keine Rücksicht nimmt. Damit in diesem Fall auch die Kraft efunction allein von den Diff'erenzen der Coordinaten abhänge, müssen die Endpunkte des Seils nicht befestigt gedacht werden, da sonst diese Punkte wde feste Centren in die Aufgabe eintreten. Bei einem ganz freien System gelten natürlich die Gleichungen (4.) unter allen Umständen. Giebt es eine Kräfte- function, die nicht bloss von den Differenzen der Coordinaten abhängt, was der Fall ist. wenn feste Centren oder constante Kräfte vorhanden sind, so gelten auch in diesem Falle die Gleichungen (4.) und nicht die Gleichungen (2.).

In dem Ausdrucke: „Princip der Erhaltung der Bewegung des Schwer- punkts" bezieht sich das Wort Erhaltung darauf, dass die Bewegung des Schwer- punkts durch dieselben Gleichungen dargestellt erhalten wird, als wenn keine Bedingungsgleichungen da wären. Wenn z. B. beim Seilpolygon die Verbindung der Punkte fortfallend gedacht wh-d, so werden die Gleichungen der Bewegung des Schwerpunkts nicht geändert, denn dieselben sind unabhängig von den Be- dingungsgleichungen. Die Modification ist nur die, dass die Summen ^X;, ^Y^, ^Zi andere Werthe erhalten, sobald die Coordinaten der einzelnen Punkte andere Functionen der Zeit werden. Sind aber diese Summen noch überdies Constanten, was z. B. der Fall ist, wenn das System allem der Schwere ausgesetzt ist, so ändert sich in der Bewegung des Sclnverpunkts durch die Bedinguiigsgleichungen gar nichts.

Vierte Vorlesung.

Das Princip der Erhaltung der lebeodigeu Kraft.

Eine Hvpothese über die Variationen, die sich unter allen Umständen mit den Bedingungsgleichungen verträgt, ist, dass man für jeden Werth von i

d.v^ ihj. dz.

dt ' '^> dt • dt

— 19 —

setzt. Führen wir diese Werthe der Variationen in die svniliolische Gleichini^r ''-.') der zweiten Vorlesung ein, welclii- iiir den Fall der ExistiMiz einer Kräftefnnction gilt, so geht dll in dU über, und wir erhalten nach Division durch dt

~df "•" ^ü'' i/f "^ HF' ~jr]~ ~dr'

Diese Gleichung lässt sich direct integriren: ihr Integral ist

r d'x.

^'■^ ^-A{'¥)A-'iri-^{'wi\=^'^''^

wo h die willkürliche Constante der Integration ist. Hi-zcichnet man das Element des von der Masse >h, in der Zeit dt durchlaufenen Weges mit d-<,. ihre Ge- schwindigkeit mit i\, so hat man

(/.r \ ■> ( ili/^ \ ■ r dz. \ ' / rf.s_

m^m^m-m

die obige Gleichung niiinnt also die Form an:

i^m.v': = U-^-h.

Dies ist der Satz von der lel)endigen Kraft. Lebendige Kraft eines Punktes nennt man nämlich das Quadrat seiner Geschwindigkeit multiplicirt in seine Masse: die lebendige Kraft eines Systems ist gleich der Summe dei- leljen- digen Kräfte der einzelnen materiellen Punkte. Demnach lässt sich die Gleichung (1.) in Worten so aussprechen: Die halbe lehendiije Kraft eines Systems ist gleich der Krö'ftefunction vermehrt um eine Constaiite.

Das Princip der Erhaltiuig der lebendigen Kraft i>t. wie die Herleitung desselben' gezeigt hat. unabhängig von den Hedingungsgleichungen. und hierauf beruht ein grosser Theil seiner Wichtigkeit. Es gilt, sobald die Kräftefimction existu't: eine Erweiterung der Fälle, in welchen die Kräftefunction eingeführt werden kann, musste auch eine Ausdehnung dieses Princips mit sich führen. Daher ist nach unserer früheren Bemerkimg Daniel Bernonlli derjenige, welcher dieses Princiii zu seiner heutigen allgemeinen Bedeutung erhoben hat, während man es vor ihm nur für Attractionen nach festen Centren kamite.

Durch Subtraction zweier Gleichungen (1.). welche für zwei vei*schiedene Zeiten gelten, kann man die willkürliche Constante /) eliminiren und erhält dann den Satz: Beice(jf sich ein System von einem Ort :>im anderen, so i.<t die Differenz der lebendigen Kraft des Systems für Anfany and Ende gleich der Diffiren: zwischen den Werthen der Kräftefunction für dieselben Monwnte. Die Aen<lerung

3*

— 20 —

der lebendigen Kraft ist also nur von dem Anfangs- und Endwerth der Kräfte- function abhängig, die Mittelzustände haben auf dieselbe keinen Einfluss. Um dies anschaulicher zu machen, nehmen Avir an, es bewege sich ein Punkt auf einer beliebigen Curve von einem gegebenen Anfangspunkt nach einem gegebenen Endpunkt hin: ist nun die Anfangsgeschwindigkeit gegeben, so ist auch die Endgeschwindigkeit eine und dieselbe, die dazwischen liegende Curve mag ge- staltet sein, wie sie wolle. Die Geschwindigkeit muss hier natiü-lich nach der wü'klich erfolgenden Bewegung in der Richtung der Tangente der Curve ge- messen wei'den: derjenige Theil der Geschwindigkeit, welcher, wenn der ur- sprünglich dem Punkte mitgetheilte Stoss nicht in der Kiclitung der Tangente der Curve wirkt, durch den Widerstand derselben vernichtet wird, ist hier nicht mitzurechnen. Dieselbe Unabhängigkeit von der Gestalt des durchlaufenen Weges findet auch bei einem System statt. Als Corollar hiervon ergiebt sich der Satz: Wenn die Bewegung eines Sgstems von de)- Ali ist, dass es in dieselbe Lage zurückkehren kann, so ist hei der Rückkehr auch die lebendige Kraft die- selbe; wobei vorausgesetzt wird, dass das Princlp der lebendigen Kraft überhaupt gilt. Auf diese Unabhängigkeit von der Gestalt des durchlaufenen Weges oder, was dasselbe ist, von den Bedingungsgleichungen (denn von diesen wird die Gestalt des durchlaufenen Weges bestimmt) bezieht sich im Namen des Princips das Wort Erhaltung.

Der Ausdruck lebendige Kraft rülu-t von der Bedeutung her, die dieses Princip in der Maschinenlehre hat, deren Basis dasselbe seit Carnot geworden ist. Man hat in dieser Disciplin festgesetzt, dass die Hälfte der lebendigen Kraft, also -l-^m,rf, gleich der Arbeit der Maschine, oder, wie man sich in diesen practischen Dingen ausdrückt, \21myj dasjenige ist, was an einer Maschine bezahlt wird. Dies verhält sich nämlich so: Man nimmt in der Maschinenlehre, insofern die Reibung nicht in Betracht gezogen wh'd, als Princip an, dass nur zur Fortbewegung einer Masse in der Richtung der auf sie wu-kenden Kraft (und zwar im entgegengesetzten Sinn ihrer Wh'kang) Arbeit erforderlich ist, während eine Bewegung in einer darauf senki'echten Richtung ohne Arbeit ge- schieht. Man nimmt ferner an, dass die Arbeit einer Maschine gemessen wh"d durch das Product der bewegenden Kraft in den Weg, den die von ihr in Be- wegung gesetzte Masse zurückgelegt hat. Ein Gewicht horizontal fortzuschieben wh'd also nicht als Arbeit angesehen, sondern nur es zu heben, und die Ai'beit des Hebens wü-d gemessen durch das Product des gehobenen Gewichts in die

— 21 —

Hölle, lim welche es «rehoben wonlen. Dies ist «lie Ai-lieit. welehe z.B. hei der liaiuiiu- liezalilt wird.

In eiiieni System von m;it<-riellcii l^imkteii ist jeder dt-rsellieu .\ii;irilfs- jiiiiikt iler in ihm wirki-nden Kraft. Indem diese An<:riirs]iunkte bei der Be- weiiiuif'' des Systems versehoben werden, müssen auch ilie in ihnen wirkenden Kräfte yerscholien wcrdi-n. Aber die \ (■nückiinii" der AiiLrritfsptmkte «reschieht im .Miaeineinen nicht in der Kichtnng der Kräfte, die in ihnen tliätig suid. sondern unter irneiKl einem Winkel (fegen (rn'sell)e: <laher iniiss man. um die Ai'beit des Systems zu bekommen, die Kraft nicht in den durchlaufenen Wejx ninltiiiliciren. sondern in die Projection des durchlaufenen Weges auf die Iiichtunir

... . I, 1 -1 1- I- 1- '^'•'■- (^'U- ^''-

der Krait. In dem lunkt ni wirken (he Kräite in,-—!-, »', — ~, '»,— r-o mid

<lf' dt' df

zwar wirken dieselben |tara]lel den Coordinateiiaxeii. Die Verriickung yon //(, in dem Zeiteleiiu-nt dt ist ds^. die Projectioiien derselben auf die Coordinaten- axen sind ri'spectiye (/.c,. r/y,. f/j,, daher ist die auf Fortliewcgimg des Punktes in, \erwandte .Vrbcit im Zeiteleuicnt dt

( d".r. d'ir d':. 1

[ df ' df ^' dtr •) und die bei der Bewemmu" des (;anzen Systems im Zeitelement dt jieleisteto Arbeit

ff/v. d-i/. d'z^ 1

' [ df ' dt' ''' dt- '] ' ^ • '■" woraus man für die Arl)eit in der yon /„ bis t^ yerHossenen Zeit erliält

Die halbe Ditferenz des Anfangs- und Endwerthes der Summe -i"'«,'",' ist also das Maass für die Arbeit des Systems. Dies ist der wahrscheinliche Grund des yon Lcdim: t'ür diese Summe eingeführten Namens „lebendige Kraft", über dessen Entstehung man yiel gestritten hat.

In dem Fall, wo die Kräftefunction eine liomogene Function ist. und wo man es mit ehiem treien System zu thuii hat. kann man dem Satz yon den lebendigen Kräften, der in Gleichung (1.) enthalten ist. eine sehr interessante Form geben. U sei eine homogene Function der t"" Dimension: dann ist be- kaimtlich

V ' c^.r. ''' ötj^ ' dz. )

Hat man es mit euiem freien System zu thun. so kann man

äd\ = .V o}. 6y. = 1/ 10, öz = z Ol

93

setzen, wo o) eine unendlich Ivleine Grösse bezeichnet, und erhält dann mit Berücksichtioung der Gleichuns; für die Homogeneität von JJ

Daher wii-d unsere symbolische Gleichung (GL (2.) der zweiten Vorlesung)

/ cTx. cVxi. (T-z. \

•\ ' elf '^' elf ' (W ) wo der gemeinschaftliehe Factor o) weggelassen ist. Addiren wu* hierzu die mit 2 multiplicirte Gleichung (1.). so erhalten \\\v

( d-x. fd.r.\- d-ii fdij\- d-z- rdzy]

M^^iiF-A-dt) +^'^+(ir) ^^--dt^A-di)} = ^'-^'^'^^''

oder

oder auch

oder, wenn wir

'dt\' dt ^' dt ' dt ) "- ^ J ^ ^2m,^(x;^yj+z;) = (k+2)U+-2h

setzen und mit 2 multiplieiren:

(2.) \j^.: '' =(2k+i-)ü+ih.

Der Ausdruck ^Z'jn.jf kann auf eine merkwürdige Art umgeformt werden, nämlicli so. dass nicht mehr die Entfernungen aller Punkte vom Anfangspunkt der Coor- dinaten vorkommen, sondern nur die gegenseitigen Entfernungen der Punkte und die Entfernung des Schwerpunkts vom Anfangspunkt der Coordinaten. Transformationen dieser Ai*t sind Lieblingsformeln von Lagrange. Die in Rede stehende erhält man folgendermassen: Es ist, wie leicht einzusehen,

{2 m!) (2m.ar ) — (2m. *.) " = 2m.m., (,?•- + .v'r, — 2x. .r .,),

wo auf der rechten Seite die Summe nur auf verschiedene Werthe von i und ^', jede Combination einmal gerechnet, auszudehnen ist. Aehnliche Gleichungen giebt es für ?/ und z: addht man alle rh-ei, so erhält man ■

(2mX^m,0^:-h>/^+z:y)-(ß^n,xy-(2m,y;)'-(2«i,zy = 2vi.m.. \Q^—x.y^(_y—y.y-^(z—z.y-\-

Nim führe man wie fi-üher die Coordinaten des Schwerpunkts ein und setze

2m = M, 2m.x. = MA, 2my=MB, 2mz- = MC,

— 23 —

lenior be/oicluu' man die KnttL'nimiti" ilcr l^iiiktc ?«,, m,, von einander mit r,,,;

aisdaun ist

(3.) M:Emr-—M-(A-^B--\-C') = :2mm.r-.,.

^ ^ 11^ ^ II' 1,1'

Hierin liat man nach dein FrülkTcn

zu substituiren. Führt man diese Sulistitutiom-n ans nnd differentiirt zweimal naeli der Zeit, so konnnt

d'i^m.r'-) d'i^m m /•'■'. ")

nnd wenn man dies in die (üeichnng (2.) einführt.

oder endHeh. wenn man

4h— 2 M(a"-^ß' ■■-{-/"■) = 4A' setzt,

(4.) J^^;^ = (.2.+4)r4-4//.

fn der Gleiclnnif!; (3.) sind die Grössen /', die lia<lien Vectoren dei' ma- teriellen Punkte des Systems vom Anfangspunkt dei- ("nnrdinaten aus gereehnet, y Ä- -\- B' -\-L"' der IJadius \ ectur des ScJnwrpunkts von eliendalier gerechnet; diese Grössen ändern sich daher, sohahl mau den Anfangs])unkt der Coordinaten verlegt. Die Grössen r,,, sind dagegen unabhängig von der Wahl des Anfangs-, [lunkts- der Coor(Hnaten. denn sie sind die Entfernungen je zweier Punkte des Systems unter sich. Man nehme nun den Scliwerpunkt zum Anfangspunkt der Coordinaten. wodurch .4--f-ij"-l-('" ^ 0 wird: zu gleicher Zeit Ijezeiclme man die liadien Vectoren vom Scluvei'jiunkt aus gerechnet mit o, dann geht die Gleichung (3.) über in

C;").) MZ)ii o'-=2ni.m.,)r. .

Wenn mau aus (heser Gleichuuü' und (S.) ^m,m:,r',,. eliminul. so erüiebt sich:

(G.) ^mr- = ^my^^M{A--^B--{-f"),

d. h. die Sunnne ^i>ii''i fi'i' ii'gend einen Piuikt genonnnen (wenn derselbe als Anfangspunkt tler Coordinaten betrachtet wird) ist gleich derselben Sunnne für den Schwerpunkt, vermehrt um das in die Smnme der Massen aller materiellen Punkte nudtiplicirte Qiuuh-at der Entfernung jenes Punktes vom Schwerpunkt.

— 24: —

Hieraus sieht man, dass ^»i,r'r für den Scliwerjmiikt ein Minimum ist, und dass diese Grösse proportional dem Quadrate der Entfernung vom Schwerpunkt wächst; ^?H,?7 wird daher einen constanten Werth annehmen für alle Punkte, die auf der Oberfläche einer um den Schwerpunkt als Mittelpunkt beschriebenen Kugel liegen. Ein ähnlicher Satz gilt für die Ebene, wo der geometrische Ort der Punkte, für welche .^/»,77 constant bleibt, ein Kreis ist.

Die Formel (6.) köimen wir auch selbständig beweisen. In der That verriicken wh- unser fi-üheres ganz beliebiges Coordinatensystem parallel mit sich selbst, so dass der neue Anfangspunkt der Coordinaten in den Schwerpunkt fällt, und bezeichnen in dem neuen Coordinatensystem die Coordinaten unserer n materiellen Punkte mit ^|, »j,, ,C, : l^, >;.>, tT,; ... I,,,.»;,,, t„, so haben wir für jedes ?'

wo A, B, C als Coordinaten des Schwerpunkts durch die Gleichungen ^7)1. = M, ^ma-=MA, ^niu=MB, 2 ms = MC

definu't werden. Daher ist

27)1.7'- = 2m..v--\-2m.-ir-\-2m.z^

-hlm.L-: -\-2CI'm.'C-hC-2m .

Nun ist aber

MA = 2m X. = 2m:i-^2m.-.A = ^m.'S-hMA, •

daher

ebenso

^m ri = 0, .S«* .^ = 0.

Hierdurch erhalten wir

Em.r- = 2m.Qi:^if^^^)+M{A'^B-+C-),

übereinstimmend mit Formel (6.).

Eine ähnliche Formel ergiebt sich für die Differentiale. xA.us unseren bisherigen Formeln nämlich linden sich die Differentialformeln

dx. = dl^-{-dA, dy. = dri.-+-dB, tfc. = d^.-hdC, Imxl^. = 0, 2mxb}. = 0, 27n.d^. = 0, und hieraus erhält man

2m.(ßa]+df.-^dz-) = 2m^(i:ril+drf:-^d^)->rM(dA"^dB'^dC'')

oder, wenn wir durcli dt' (lividiren

(T.)

-.l(:r)V(f)V(5)l

-'.{(l)vß')'-(l)V-"{('")-(^;f^(^)"|.

(1. h. (lio absolute lebciiiliuo Kraft «K's SysttMUs ist uk-icli (Km* relativen It-lien- digen Kraft flesselben in Bezielnniü auf den Schwerpunkt (oder, wie man sieh ausdrückt, um den Schwerpunkt) vermehrt um die absohite lebendige Kraft des Schwerpunkts. Daher ist die absolute lebendige Kraft des Systems immer "Tösser als seine relative lebendlire Kraft um den Schweriiunkt.

Man kann die relative lebendige Kraft \nn den Schwerpunkt in den Satz der lebendigen Kräfte einführen. Dieser Satz war in der Gleichung

*-.i(^^)'-(-j:'-)-(^)V-"

enthalten. Ti-ansforniirt man die linke Seite die.ser Gleichung mittelst der Glei- chung (7.). so findet sich

Es ist aber

"-i-{(#)'^-(f)^-^(^)l-»-*-"(«--r-/').

also dasselbe, was wir bisher mit /(' bezeichnet haben. Mithin wird

(8.)

*-.|(f)-(^) -ff )■!---■

Der Satz der lel)endigen Kräfte gilt also el^ensowohl für die relative lebendige Kraft um den Schwerpunkt, als für die absolute: es ändert sich hierbei nur die Constante h in li . Man darf übrigens nicht vergessen, dass hier voraus- gesetzt wird, es gelte das Pi-incip der Krhaltunir der Beweirunii" des Schwer- punkts: denn auf dieser Voraussetzung beruht die Substitution von c'-^-if-^y'-

.... {(lAV {dBV (dCy ,^ T^ , ,.^ ,

inr \ if) ^\jr) ^\if) ' ^'i=* hesultat (N.) konnte man übrigens vorher- sehen. In der That. falls das Princip der Ij-haltung der Bewegung iles Schwer- punkts gilt, suid L und tue Bedingungsgleichungen nur von den Differenzen der Coordinaten abhäniriü": diese Ausdrücke bleiben also uniieändert. wenn man

JacoM, Werke. Supplemenlbami (Ltynamik). ' 4

— 26 —

^,, /;,, ^i an die Stelle von a-,, y^, c,. setzt, wo

ferner hiit man

daher

dt- ' (/i= ^' c/<^ ^ ^'

d^x. ■ d"-i. d-ii. dhi. d"-z. d-L.

df' dt- ' dt- dt- ' dt" dt-

Die symbolische Gleichung

'V dt- ' dt- '^' dt- •)

und die ßedingungsgleiehungen des Problems gelten also noch, wenn man für .r,, )/,, ;:,, . . . die Grössen $,, )^,, 'C., setzt, d. h. diese Gleichungen gelten eben so wohl fiir die relative Bew^egung inn den Schwerpunkt als für die absolute. Dasselbe musste daher auch mit der daraus gezogenen Consequenz, dem Satz der lebendigen Ki'aft, der Fall sein, wobei sich freilich die Constante der In- tegration ändern konnte, was auch wirklich eintritt.

Aus der obenstehenden Auseinandersetzung sieht man, dass man im Falle der Gültigkeit des Princips der Erhaltung der Bewegung des Schwerpunkts nur nöthig hat, die relative Bewegung des Systems um den Schwerpunkt zu be- stimmen. Alsdann suche man die Bewegung des Schwerpunkts, und man er- hält aus der blossen Addition beider Bewegungen die absolute Bewegung des Systems.

Das Sonnensystem liefert ein Beispiel fiu- diese Kategorie von Problemen. Aber wu" kennen nur seine relative Beweaune;. Zur Bestimmunc; der Bewesun"" des Schwerpunkts fehlen uns alle Data; denn hierzu müsste es wirkliche Fix- sterne geben, was sehr zweifelhaft ist, und diese müssten uns so nahe sein, dass sie in Beziehung auf eine 40 Millionen Meilen lange Linie (grosse Axe der Erd- bahn) eine einigermassen in Betracht kommende Parallaxe gäben. Arcjelander hat in neuerer Zeit die Verhältnisse von cc:ß':y' (Siehe Gl. (3.) der dritten Vor- lesung), d. h. die Richtung der Bewegung des Schwerpunkts zu bestimmen ge- sucht und zwar nach einer von dem älteren Herschel angeregten Idee; indessen beruht diese Bestimmuno; nur auf WalirscheinlichkeitsOTünden.

Wh' kehren jetzt wieder zur Gleichung (4.) zurück, welche für den Fall, wo U eine homogene Function k^" Ordnung ist, das Princip der Erhaltung der

— 27 —

lebendigen Kraft in <1li- interessanten Form

■ ' .: '■' = (2^-+4)tV4// Mdf

e-nthit'lt. Mit Berücksichtifrunir «In- Gleiehunjr (5.) kann man liieifiir schreiben

wo die p, die vom Scli\vi.T|)unkt aus ^ezoü'enen Radien W-etoren >ind. Füi- das Sonnensystem ist />-= — 1, also hat man

wo-

mm..

>' : I.'

Ueber diese Gleiclnmg lassen sich mehrere Betrachtunuen anstellen. \\ äre die Attraction uniL;vki-lirt [irii|inrti()nal nicht ilcm '^>nadrate der Entfernung, sondern dem Cübus dersell)en. so könnte man die obige Gleichung integriren. Denn in diesem Falle wäre k^ — 2. 2/-(--4 ^ 0. also, weim 2£ri\nr, zur Abkürzung mit R bezeichnet wird,

df Aber alsdann wurde das Sonnensystem auseinandergehen, denn eine zweimalige Integration ergiebt :

R = •2/i't'+l,"t->r/<"',

es würde also mit wachsender Zeit Ji ins Unendliche wachsen. Da aber R = 2^)y}-p-. so inüsste wenigstens ein Kc'ii'per des Sonnensystems in eine un- endliche Entfernung vom Schwerinmkt desselben rücken.

Aehnliche Betrachtungen zeigen, dass für den wirklichen Fall des Sonnen- systems, d. h. für die dem Quach-ate der Entfei-nung umgekehrt projjortionale Attraction die Constante h' negativ sein nuiss. wenn «las Sonnensystem stabil sein soll. In der That, insofern im Sonnensystem nur anziehende Kräfte wirken, ist die Kräftefunction U eine ihrer Natur nach positive Grösse. Nun hat zwar Bessel die Hypothese gemacht, dass die Sonne eine abstossende Ivj-aft gegen die Kometen besitze, und hat hiermit die Erscheinung in \'erbindung gebracht, dass alle Kometenschweife von der Somie abgekehrt sind: indessen ist dies doch noch nichts Gewisses und man wii-d vorläutig bei allgemeinen Betrachtungen von

4*

— 28 —

dieser ahstossenden Kraft absehen müssen. Demnach ist also U eine noth- wendig positive Grösse. Dies vorausgesetzt, erhalten wir durch Inteoration der Gleiclumo;

dt- z-orfschen den Grenzen 0 und t

It

oder, wenn fi den kleinsten Werth von U zwischen den Grenzen 0 und t bedeutet,

<1R

_l^—B[,>(2a-\-Uy,

clR

wo B'„ der Werth von — ^ für t = 0 ist. Die zweite Integration dieser Gleichung zwischen den Grenzen 0 und t giebt. wenn B„ der Werth von B für t = 0 ist.

R-R-R'j>(a^2h'y oder

R>R,+R[f+(a+2h'y- Hier ist a eine nothwendig positive Grösse, da U seiner Natur nach positiv ist. Wäre nun '2Ii positiv, so wäre es auch ff+2/('. also würde B mit wachsen- dem f ins Unendliche wachsen, d. h. das Sonnensystem wäre nicht stabil; 2h' muss also negativ sein. Aber sein numerischer Werth darf nicht grösser sein als der gTösste AYerth. den U zwischen 0 und / annimmt: denn sonst wären alle

j Elemente des Integrals 2l (^U-h2h')dt negativ, man könnte daher

—R:^<-2ßt

(IR

setzen, wo ß eine positive Grösse ist. nämlich der kleinste numerische Werth, den 6 + 2/*' zwischen 0 und f annimmt: die Integration giebt

R<R,-^R'„t~ßt', d. h. B näherte sich mit wachsendem t der negativen Unendlichk(?it. was absm-d ist. da B eine Summe von Quadraten bedeutet. Man kann alle diese Betrachtungen in der Behauptung zusammenfassen, dass U-\-2h' in den Grenzen der Integration weder lauter positive, noch lauter negative Werthe haben kann, die Stabilität des Sonnensystems vorausgesetzt. U-\-2h' muss also vom Positiven zum Negativen fortwälu'end herüber und hinüberschwanken, d. h. U muss um — '2h' herum-

— 29 —

sohwankiii. I)'nsc S(li\v;uikiinü;en von U müssen hIht in lu-^riinrnten cnillichen Givn/.i'ii i'inuvschlossen sein: «lenn «icsetzt U \vct<1i- /m cuht Z>-it inicndlicli ^ross.

m.vi., so kann dies. <l;i Ij ^= ^ -^ — ist. nnr dailinTli licxhi'lnii. ila-> sicli zwei Köi'per

i.i'

uncnillicli nalic koinnicn. Da ilann ihre Attraction nnciullicli uross wird, so würden sie sieli nie wieder trcnnt-n kiinm-n: es Idcilit also von derZcifiui ein iK'vlinnntrs /■;;, = (). initliin U^o<z. nnd es wird, sowie man i'ilier diese Zeit

hinaus inleni-irt. H(f/-)-2/(')f//"'. mithin aueli //. einen unendlich i:r(i»en ]iositiven

Wertli ei-Iialten, welclu-n Werth amdi // halpe. I-]s nn'issten also andere Körper des Soiniensystems sieli nnendlieli weit entfernen, mithin mnsste die Staliilität aufhören, f/ muss also um — 2// herum Schwankiniirt'n maclien. die zwisclien bestimmten endliehen (Jrt'uzen einiivsehlossen sind, von welchem N'erlialten die periodischen Funetionen ein üeispiel gehen, deren eonstanter Tei-m = — 2/i' ist. Dies wird dni'ch die Formeln fiu' die t'lliptische IJeweiiiniij: hestätii^t. In diesen

ist b= . — '2/i' = ~ . faliii'esehen \'on einem constanteti. heiden Oi^issen femeiii-

saineii Factor) /' muss also um n herumschwanken, was in (\i-v That iler Fall ist.

ferni.'r muss die Fnt wiekeltniir V(»n nach der mittleren Anomalie den constanten

Terni - enthalten, und auch dies lindet wirklich statt. I>ei dei- "•e""enseiti<'"en Anzielumi:' zweier i\r)riier üchen neixative W erthe \on //' die elliotische I]ewe<iimfr Ii = {) entspricht der paraholischen. und positive Werthe p'lieii die hvperholisehc Bewegung, was elieni'alls mit unseren Kesultaten ühereinstimmt.

Den Satz, dass U um —2/i' oder U-h'2h' um Null herumsehwankt. kann man auch so ausdrücken, dass 2U-i-2/i' um U herumschwankt: 2(J^2/i' ist aher nach Gleichung (8.) die lebendige Kraft (um den Sehwer])unkt): also muss der Werth der K-bendigen Kraft um den Werth der Kräftefunetion herum- schwanken. W i-rden alle Entfernungen im System sehr gross, so wird die Kräftefmiction sehr klein, also nach dem Satz der leliendigen Kraft auch diese. Mithin werden ebenso die Gesehwhidigkeiten sehr klein, oder je mehr die Ent- fernungen wachsen, desto kleiner werden die Geschwindigkeiten: hierauf beruht die Staliilität.

In diesen und ähnlichen Hetrachtungen liegt der Kern der berühmten Untersuchungen von Lajthtce. Liu/raiii/c und loissou über die Stabilität des Welt- systenis. Es existirt nämlich der Satz: Xinnnt man die Elemente einer Planeten-

— 30 —

bahn veränderlich an und entwickelt die grosse Axe nach der Zeit, so tritt diese nur als Argument periodischer Functionen ein. es kommen keine der Zeit proportionale Terme vor. Diesen Satz hat zuerst Laplace nur für kleine Excentricitäten und die erste Potenz der Masse bewiesen. Lagraiuje dehnte Um*) mit einem Federstrich auf beliebige Excentricitäten aus. Poissou endlich bewies**), dass er auch noch gilt, wenn man die zweite Potenz der Masse be- rücksichtigt; diese Arbeit ist eine seiner schönsten. Bei der Berücksichtigung der dritten Potenz der Masse kommt schon die Zeit ausserhalb der periodischen Functionen, aber noch mit denselben multiplicirt vor: wird noch die vierte Potenz berücksichtigt, so tritt t sogar schon, ohne in periodische Functionen multiplicu-t zu sein. auf. Das Resultat fiir die dritte Potenz gäbe also noch immer Oscillationen um einen Mittehverth. aber für / = co unendlich grosse, bei Berücksichtiguno; der vierten Potenz sind al.ier überhaupt dero-leichen Oscillationen nicht mehi- vorhanden. Auf ein ähnliches Resultat konnnt man bei den kleinen SchwinOTnoen; bei Berücksichtrounir höherer Potenzen der Verschiebungen kommt man hier zu dem Ergebniss, dass kleine Impulse mit wachsendem t zu immer gi'össeren Schwingungen führen.

Aber alle diese Resultate beweisen genau genommen gar nichts. Denn indem man die höheren Potenzen der Verschiel »ungen vernachlässigt, ninnnt man an, dass die Zeit klein sei. und kann nicht hieraus Schlüsse auf grosse Werthe von t machen. Man hätte sich daher gar nicht wundern dürfen, wenn auch für die erste und zweite Potenz der Masse die Zeit schon ausserhalb der pe- riodischen Functionen vorkäme; denn die Berechtigung zur Entwickelung und Vernachlässigung der höheren Potenzen der Masse liegt nur in der Annahme, dass / eine gewisse Grenze nicht übersteigt. Man bewegt sich daher in einem Kreise.

Ein anschauliches Beispiel hiervon giebt das Pendel. Die Stellung, m welcher die Kugel senkrecht iiber dem Aufhängungspunkt sieh befindet, giebt ein labiles Gleichgewicht des Pendels. Man erhält hier die Zeit ausserhalb des Sinus imd Cosinus und und schliesst daraus mit Recht, dass ein unendlich kleiner Impuls eine endliche Bewegung giebt; aber es wäre sehr falsch, aus dem Um- stand, dass die Zeit ausserhalb der periodischen Functionen vorkommt, zu schliessen, dass die Bewegung des Pendels nicht periodisch sei, denn die Kugel

*) Mem. de rinstitut, 1S08. **) Jourual de Fecole polytechnique, cab. 15.

— ?A —

iMtii't in (Iciii vni-licnvnik'ii F;ill ])L*riofliscli um ilircii Auriiänirungspiinkt. Ebenso falsch wäiv es. aus diMii lusiiltatc. wrlclu's .-Icli lici 15<-n"icksiclitit{un<£ <lei' höheren Potenzen der Masse im Sonnensysteme eriiielit. /.n si-hüesÄeii. dass es nicht staliil sei.

Fünfte Vüi'lcsiniü.

Diis I'riiii'ip der Eiliahun;; der l'Iächonräuino.

Indem \\\r die Annalmu' machten, ilass die Ki-;U'tei'unction U und (he BeiHnguni:siileichung"en migeändert blieben, wenn man sfimmtliehe .r-Coordinaten um ein und dasselbe Stück ändei-t. siiunntliclie (/-('(Hii'ihuaten um ein zweites, sämmtliclie r-Conrdinaten um ein di'ittes. famlen w u' das I'i-mci|( t\i^-v I-j-hahnng der Bewegung des Schwe'i-]innkts. \)'k' angegejienen Aenderungen dei- Courdinaten konnnen darauf hinaus, dass man den Anfang>]iunkt derscHten vei'Iegt. die Coonhnatenaxen aber paralK'l bleiben lässt.

Wir wollen jetzt eine andere Annahme machen: Ks snilen die FJedingungs- gleichungen ungeändert bleiben, wemi man bei ungeänderter .i-Axe die Axen dei' // und j um einen lieliel>igen Winkel in ihrer Mbene di-eht. Setzt man

y = /'cosr, c =^ rsiiir, so kdunnt (Hes mit der Vermehrung <h's Winkids r um einen l>eliebigen ^^ inkel ()r überein. Bezeichnet man l'nr die verschiedenen Punkte des Systems die

Winkel r respective mit t\. /v, . ... *•, so müssen also U und die Be-

dingungsgleicluüigen ungeändert bleilien. wenn sjhnmtliche v um denselben Winkel ()/• geändert werden, d. h. sie nu'issen nur ron den Differenzen i\ — 1\, abhängig sein. Hierher gehört ein ganz freies System und ül)erhau|it jeder Fall, wo luu- die Entfenumgen je zweier materiellen Punkte des Systems vor- konnnen. Durch k^inführung von r und *• wird nämlich der Ausdruck für eme solche Distanz:

'',■' , = (•^i — -''J'+O'! cos i\ — r.xof, i"..)'-l-0', sin i\ — ;-._..siii f,)" = G»>— •'■2)'-)-'1-l-'1— 2'V.cosCf,— <■,), also nur von der Differenz i\ — *\, abhängig. Ebenso gehört der Fall hierher, wo die Punkte des Systems <>ezwuni>en sind, sich auf einei" Rotationsfläche zu bewegen, deren Kotationsaxe die Axe der .r ist: alsdaim konnnen nämlich die r in den Bedingungsgleicluuiiien aar nicht vor. Ferner ist zu bemerken, dass.

— 32 —

wenn feste Punkte in dem Problem vorkommen sollen, diese in der Axe der x liegen müssen.

Bei dieser Annahme über Ü und die Bedinsangso-leiehunixen wird man also sänimtliche r, gleichzeitig um ()''• vermehren kiimien. Hierdurch bleiben die X, ungeändert, die ?/,■ und ;r, aber werden variirt. denn es ist

i/- = rxosv-, ^. ^ r sine, also erhält man

Sx. = 0, Si/- = — /•sini-.. 6v, 6z = »vcoscdi- = — r Je = i/.öc

als die filr unser Problem geltenden vu-tuellen Variationen der Coordinaten. Die Einsetzung dieser Werthe in die symbolische Gleichung (2.) der zweiten Vorlesung führt zu der Gleichung:

( d-ii. d-z. \

'[ ' dt^ ^' dt' J

fiü' die anseii'ebenen Verschiebungen bleibt U unoeändert. also ist dU^=0. und man hat

f d'-z. d-u. 1

Wir wollen hier sogleich bemerken, dass diese Gleichung in dem allgemeineren Fall, wo statt d'U auf der rechten Seite der Ausdruck ^{X^d'x,-i-}]d'y^-i-Zidzi) steht, ebenfalls gültig bleibt, wenn nur

(2.) 2(Tz-Z^i,) = 0

ist. Ist dieser Ausdruck nicht gleich Null, so tritt er auf der rechten Seite der Gleichung (1.) an die Stelle der Null. Nehmen wir also an. dass entweder eine Ki-äftefunction U von der angegebenen Beschaffenheit existire oder dass in dem allgemeineren Falle, wo sie nicht existii't, die Gleichung (2.) erfüllt sei. Dann «füt die Gleichuni»; (1.) hi der oben ano-eo-ebc^nen Form: ihre linke Seite ist aber inteaTabel, und man erhält ckurh Inteuration:

f ilz. du. 1

(3-) ,.,{,,-^-z^-^ = a,

wo ci die Constante der Integration bedeutet. Führt man wieder die Polar-

coordmaten r, und v, ein. so ninnnt (3.) die Form an:

de. (4.) ^m r^—^ = K.

' ' dt

— 33

lii dieser ( ilcicliiinü' ist «his Priuei]» der iM'haltiiiif;- dei- Flädien enthalten. Es ist näiulicli hekaiiiitlieli i''(lr üleieli dem di)|)|(i-ltcii Fläelieiieleuient in Polar- eooi'dinateii. also ei-ij,ielit eine iiDcInuali^e Iiiteurati(»n der Gleicliiiiij»; (4.) x'on 0 Ins / den Satz: Mnlliphcirl iiinii ji-dcu di-r Flachi'iiriiiiinr. uwlclic ffni de)) ))i)f ibc Eltviiv (!(')• ij: j))-(>j)C))'(c)) Nodiiii fVr/o/v// i/) dx-si')- Ehi-iti- lit'schrli'ht')) D-crdd)), i)) die M()-<sc des d():i)(/<'ho)-)t/c/j )ii<)l('ri<-ll<'ii l')ii)Lti's. so isl ilii' Sdudih' )lrr l'ro- )hictc ji)'(ijt)i)i)(i)i(i/ (!<■)' Zeil. I)ies ist das Ix-rüliintc Priiici]) \(ni (In- I^i-lialtini"' <lei" Fl;ielieiii'ämue. l'>s i;ilt. wie uesai:!. wenn l' und die- I5ediiinii||osn](.iclmii,,x.ii dailiii'cli nicht u'eän(h'rt werden, dass man ihe Axen dei- y iukI r in ihrer r^hi-ne um (he Axe di-r .r drelit. eine 1 ly|iuthese. wehdie man l'i'n- (he l>edinü'nnii's- irleiehnnueii anaivtiseli so ausdi-ücken kann, da» l'iii- jede Bedin<'"un""s<>Ieichinii>" I' =: 0 (he ( iK'i(dnni"'

nk'ntiseli erl'ünt sein niiiss.

Dass liei (h-r Norliiii üeln-auclitiMi Transformation ifd:- - zdij ^=^ i"di- nur (his DitK'rential dei'( Ir(')sse /■ xoi'konimt. ist ein in xieK-n Ffdleii >ehi' wiehtiu'er l instand: ans (heser Transtormation gelit unter Anderem an(di her\iir. dass ijdz — zdii in eine homoiivne Function — 2'"'' ()r(hiunü' \"n // und : niulti|jhcirt ein voU- stümhii'es Difl'erential ist. da es sich als Fi'odiict von dr in eine Function von v allein darsttdlf.

In dem Fall, wo U und die Beihnunnusiileichuiiü-en auch unverändert hieihen. wenn man die Axen der .( und c um die der // und (he Axen der .(■ und // iun die der : dreht, liat man ausser der (ileichunu- (8.) nocli zwei ähnliche, nämlich

^ / 'hl, •'■>■. \ -'"Y'Ut—"-,!))-^-

Dies n'ilt z. i). für )i sich frei im iiaum heweu'ende K(>r])er: in diesi'm Fall iiat man daher innner \ier Integi-ale. die drei Fiächensätze imd den Satz der lelien- digXMi Kraft.

i"]s ist ein sehr merkwürdiu'er Fmstand. auf ilen wir schon in der Fin- leitunii' aul'merksani üemacht halien. dass von diesen Flächensätzen entweder nur einer ^ilt . oder alle drei. Wir werden es als ein reines Resultat des Calculs. als eine Mosse Folovruni;- einer mathematischen Identität hewiesen sehen, dass

Jacobi, WiTke. .Su|)|ili>iiu'iilli;i!ni (llyn.iiiiikl. 5

(6.)

— 34 —

der dritte Fläeliensatz iniiner aas den beiden anderen folgt. Wenn alle drei Fläehensätze gelten, so kann man. ohne der Allgemeinheit der Lösung zu nahe zu treten, zwei der Constanten «, ß, y gleich Null annehmen. Diese Constanten werden nämlich in jedem Probleme durch die Beilingungsgleichungen bestimmt: aber, wie dieselben auch beschaÖen sein mögen, immer lassen sich die Coor- dinatenaxen so A'erlegen. dass im neuen Coordinatensystem zwei der Constanten verschwinden. In der That. die neuen Coordinaten seien |,, >],, tT,, dann sind die allgemeinen Transformationsformeln der Coordinaten

i. = (u-^ 4- by^ +CS.,

t- = a'\L'.+U'ii.-\-c"z.. Die Constanten (/, h. c\ a'. //. c. a", />". c" genügen unter anderen folgenden

neun Gleichungen:
b'e"—b"c' = a,	c'a"-	-c (t = b^	a'b"—a"b'	= <-,
b"c — bc" =a',	c"a-	-ca" = b',	a"b—ab"	= '•'
bc'—b'c =a",	ca'-	- c'a = b",	ab'— a'b	= c"

Demnach ist mit Berücksichtigung dieser Gleichuno-en

ö"

dC

'h

daher

/ dt,- d)].\

(7.) :v,„,|,^_._^_^^.__LJ _ aa+bß^ey

Hieraus sieht man. dass, wenn die Flächensätze für ein Coordinatensystem in allen drei Coordinatenebenen gelten, sie für jedes Coordinatensystem gelten*). Wir wollen die neue Cunstante a((-\-hß-\-cy unter einer anderen Form darstellen.

*) Die bisher betrachteten Flächensätze, welche sich auf einen unbeweglichen Anfangspunkt der Coordinaten beziehen, kann man auf das Sonnensystem nicht anwenden, weil man im Weltraum keinen festen Punkt hat. Aber man überzeugt sich leicht, wenn man

X. = ^.+A, j,, = l),+ß, :, = ,3, + C setzt, wo ..4. B. C die Coordinaten des Schwerpunkts sind (dritte Vorlesung), dass die Flächensätze (3.), (5.), Ci-) auch noch gelten, wenn man für .v-, i/^, ;. beziehungsweise jv, t)^, j- setzt, sobald man zugleich «, ß, y um

J/(/3(")/ — yC0J;5'),

J/(yOOf<'— «(")/),

il/CnC")^'— /3(")«') •verändert, d. h. dass jene Flächensätze auch noch für den Fall gelten, wo der gleichförmig und geradlinig be- wegte Schwerpunkt als Anfangspunkt der Coordinaten betrachtet wird.

— 3ö —

üezeiclinet man rlio Winki-I. wi-lclio die Axe der | mit dt-n Axen der x. >/. z I lüdet, mit /, //i, n, so ist

a = cos/, b ^ cos/«, f = cos«. Setzt man imcli

« , ja y

— ^ ^=r- = COS/., ,- = COS/I, — T=^_^^=^ = COSV,

l/;7^-+-,J-+)'' l/a=-4-;}=4-y' |^--'-l-,i-+«'

S(j hat man

(m-\-h^-\-i-y ^= ]/aM-/iM-p.(cos/cos/-f-cos?«cos//4-cos7(cosi').

Aller da eos/-'H-eos^tt'-+-cos/'- ^ l . so lassen sirli /.. ti. r als die Winkel an- sehen, welidie i'ine jii'wisse (Jerade /. mit den Axen der x. ij. z hildet. Be- zeichni't man den Winkel, welehen diese (Tei"a<le mit der c-Axe bildet, mit V, so hat man

cos/cos/-i-cos««cos/<+cos«cos r = cos F, also

aa-\-bß-\-cY = ]'u--\-,i''-^y' . cos V.

Die Constante des Fläehensatzes l'iir die Kheiie der i^. '~ ist also = l'fr-t-/y--t-;''' mnltiplieirt in den Ct)sinns des Winkels, welehen die Axe der ^ mit der nach obiger .Yngabe eonstrnirteii (Geraden L liildet. Dassellie gilt natürlich ITir die beiden anderen Flächensät/.e in dem neuen Coordinatensystem. nnr dass statt V die Winkel I ' nnd ( " zu nehmen sind, welche die Gerade I. mit den Axen der )^ nnd 1' bildet. Lässt man nun die Axi' di'r ir mit der (leraden 7, zusannnen- t'allen. so wii-d der Winkel I'=U. zu gleicher Zeit wird I" = 90" und T" = 90", daher cosl = 1. cos f '^(1. cos I " = U. Hieraus sieht man. dass die Constanteii der Fläcdiensätze für die Ebenen der |, ij und i. jT wii-klich Xull werden und zu- gleich wird die Constante des Fläehensatzes der Ebene der t,. 1'

d. h. gleit'h dem Maxinuun. welches sie überhaupt erreit-heii kann, da ihr Werth in dei- allgemeinen Form l'«'-'-1-/y'H-;''-. cos I enthalten ist.

Die auf diese Weise bestinunte l'^bene der }^. .' hat Lttp/ace mit dem Namen der nnveränderli(dien Ebene belegt: er hat geglaubt, dass man sie dazu be- nutzen könne, zu tinden. ob im Eaui' dei' -lahrtansende ."^tösse im Sonnensystem vorgekommen sind, da durch solche ihre Lage geändert wei-den müsste. (xeben umgekehrt zwei zu verschiedenen Zeiten angestellte Messungen verschiedene Lagen für diese Ebene, so müssen Stösse während dieser Zeit voraekonnnen sein. Dies Ist aber der geringste Nutzen der unveränderlichen Ebene. Schreil>en

— 36 —

wir für ilii,' neuen Koordinaten wieder die Buc-listaben der frühem .r, y. :, so dass die Ebene der //. j die unveränderliche wird, so haben wir die drei Flächensätze

wo

Für den Fall zweier Körper kann man diesen Flächensätzen eine interessante o-eometris(die Deutunjr neben. In diesem Fall hat man

( dz. dt/.\ f dz., di/A

( d.i' dzA f dx„ dzA

( dl, d.l'\ ( dy.. d.r..\ ^

Durch Elimination von m^ und m., aus den beiden letzten Gleichungen folgt:

^^■^ V'-df~'-'^^!^)V''w ■■'' dt )-h dt -'^ dt ,)-r^'^F~^^'7/rj

Diese Proportion hat eine einfache geometrische Bedeutung. In der That. man denke sich in m^ an die von ??), beschriebene Curve eine Tangente gelegt, durch diese Tangente und den Anfangspunkt der Coordinaten denke man sich eine Ebene E^ gelegt, auf diese Ebene eine Normale N^ im Anfangspunkt der Coor- dinaten errichtet. Die Cosinus der Winkel, welche iV, mit den Coordinatenaxen bildet, seien p^. q^. /\: dann hat man für den Punkt »*, die beiden Gleichungen

P,'Ar, + </////, + r,(7-, = 0, welche sich auch in Form einer doppelten Proportion schreiben lassen, nämlich:

Prlr'^ = 0/,'/-, — -,%,) : (-,"'■!•, — ■'■,"'--,) : (■'■,%,— .'/i''-'',)- Ebenso erhält man. wenn man für den Punkt ni.j die analoge Construction macht, indem man die Ebene E.j der E^ entsprechend und die Normale X., der jVj ent- sprechend construirt und hierdurch die Cosinus p... q.j. /■., bestimmt:

Hieraus geht hervor, dass man die Gleichung (8.) vermittelst der Grössen 2'n 5n 'n I>2} 1-iy '2 Schreiben kann:

,j,:r, = q.,:r„.

ot

Die "•('oinetrisclu' Bcfleiitiinf!; diosci' fücicliiiiii: Iä--st ^-icli Ic'ulit fiii<li'ii. I)"«- (Tlcicliimiicn fiel- (Ifradcii A', und A., >iinl

.( ij ~ 1 ■'■ .'/ __ :

P, ~ </, ~ '■. }\ ~ '/■-■ " '■-■

DiiluT li;it iiiaii ;ils ( ilciclmuucii ilnii' l'idjrctidiicii aiil' ilic Eliciie <liT ij:

T "" '". 1': ~ '■-• '

AIk'i- (Im ''\x'-i'\=' (li'-i'i- ^o ^iixl diese lieideii (ileieliiin^icn ideiitisrli. d. li. A, und A., IwiIhmi dieselbe Projectidii in der Mln-ne ^V-v //_, (ider aiieli. A, inid A', liefen in einer Ebene, welche M'ukreclit aul' iler dec ij: steht, und welche, da A^, und A\, din'cli ilcii .\nl'ani:'s|innkt der ('iHirdinaten uehen. die Axe dei' X enth;Ut. Hieraus Igelit tiu' die l-^benen l\ und /■,'., iici-xor. dass sie die Kl>eiie der //. r in einei- und <lcrscllicn Linie schneiden. Es t;ih also t'iir die freie Be- weiiun^' zweier Massen ///, und }ii., der Satz:

Wi'im in<ni .tick in iiij kikI tii.j TioifjiiifiH an dir lidhitifii dir hridm Pind'fe f/ezof/eii latd durch dii-sr Tiituji'nti't} und den ScJurcrpirnkf dis Sijsfrm.s (dieser ist der Anlauüspinikt ^Iw Courdinaten) Ehrhrn <iilrii( di-id,t. sa scliiu'idca dlcselheii die rrm-cräuderlicht' Ehenc (die Ebene der y, r) in einer vnd der.<elhen Geraden.

Diese geoiiietriselie Deutung: rührt von Pninsot her. Ich habe von derselben eine interessante Anwendung' auf das Pi-oMeni der di'ei Körper frciuacht*).

Sowie aus dem Satz (V'V K-Iiendiu'en Kral't die Staliilität des Weltsystems i'üeksiclitüch >einer Dimensionen ali^eleitet wurde, so kann das Eriiici]) der Flächen <lazu benutzt wei'den. die Stabilität dessellien rücksichtru-li der Eorm seiner Bahnen zu beweisen. Der friilu-r erwrihnte Beweis sollte zeigen, dass die grossen Axen der Ellipsen, in welchen sich die Planeten liewi-gen. nicht iiber gewisse (xrenzen hinauswachsen krmnen: ebenso kann man aus dem Satz der Flächen beweisen, da» die Excentrieitäten sich nur zwischen gewissen (ii'enzen xei'ämli'rn krmnen. und liier\'on hängen die Formen der Bahnen ali. Abel- aussei' dem 1 ebelstaiide des früheren Bewc-ises. dass fiir ilie Berücksichtigung der h()hei\-n Potenzen dennoch säcnlare Terme vorkommen, d. h. solche, welche (Vu' Zeit ausserhalb der periodisclu'n Functionen Sinus und Cosinus enthalten.

*) CnlUs Journal. BJ. l'fi. p. ll.\ Math. Werke. VA. I. p. ."0.

— 38 —

leidet dieser Beweis an der Uiiyollkoinuienbeit, dass er nur für Himmelskörper mit einigermassen beträehtlichen Massen gilt. In der Gleiehung nämlich, aus welcher man das in Rede stehende Resultat zieht, sind die einzelnen Terme in die Massen der Himmelskörper multiplicirt, und daher influiren die Körper mit kleinen Massen so wenig auf die ganze Gleichung, dass man auf ihre Excentricitäten hieraus keinen Schluss machen kann. Die Stabilität der Form der Bahn gut auch in der That nicht von den Kometen; sie gilt auch nicht einmal für die kleineren Planeten, z. B. den Mercur, dessen Masse .so gering ist. dass sie bisher nur nach Muthmassungen geschätzt werden konnte, und dass der erste von Encke herrührende Versuch, dieselbe aus Beobachtungen herzu- leiten, nur durch die ausserordentliche Nähe möglich wurde, in welche der nach ihm lienannte Komet dem Mercur kam.

Wenn zu den geoenseitioen Attractionen der materiellen Punkte noch Anziehungen nach festen Centren hinzukonnnen, so hört das Princip der Flächen auf zu gelten, es sei denn, dass diese Centren in einer Geraden liegen. Nehmen wir diese Gerade zur Axe der .r. so gilt alsdann der eine Flächensatz m der Ebene der y. z. während die andern beiden zu bestehen aufhören. In der That. betrachten wir einen materiellen Punkt h), und denken wh" uns durch denselben eine Ebene -E, parallel der Ebene der y, z gelegt. Die Resultante aller Anziehungen, welche der Punkt m-, durch alle in der Axe der $ gelegenen festen Centren erleidet, wü'd von ihm aus nach einem ge^vissen Punkte der A'-Axe hin gei'ichtet sein; man kann dajier diese Kraft in zwei zerlegen, von denen die eine parallel der Axe der x durch den Punkt 7?), geht, die andere -von dem Punkt »(, nach dem Durchschnittspunkt der Ebene i?, mit der Axe der x ge- richtet ist. und daher in dieser Ebene liegt. Die letztere Ki-aft wollen wu- mit Q, bezeichnen und dieselbe in zwei Componenten parallel den Axen der y und z zerlegen. Behalten wir die früheren Bezeichnungen bei. so ist die Componeute parallel der ^-Axe

= Q.cosy.,

uml die Componente parallel der j-Axe

= Osini'..

Daher kommt in der symbolischen Gleichung der Bewegung zu dem früheren SV jetzt noch der Ausdruck

2'Q (cosi; . . A/ -I- sin v^ . fc )

hinzu. Wir haben also, wenn wir unter IJ nur denjenigen TheU der Kräfte-

- :v.} —

niiictlon verstellen, welcher von der cesenseitim-n Attnietion rler Punkte lien-nln-t.

, </-./■ (Pu fPz \

oder, wenn wie ol)en

J.c ^ 0, Sil = — r siiw ()> = — z.öc, dz = r cosr Je = u öv

ii"esetzt wird, wtulurcli öL verschwimlet,

/ d''z. d-ii \

'Y' dt- ' dt' ) '

und d;dur durch Inteiirnt ion

, ( 'ih 'hl. \

d. h. das l'rincip der Ei'haltiniu i\vv Flächen uilt l'nr die Ehene. anf welcher die (ierade senkn'clit steht, in der sänuntliche l'esten Centra enthalten sind. In diesem Fall hat man also zwei Inteiirale. den Satz lier leliendioen Kraft und einen Flächensatz. Treten aber in das J^rohlem mehrere feste Centra ein. wi'lclie nicht in ^'erader T/niie liei>"en, so existirt kein Flächensatz mehr, und man hat nur noch das eine Inti'ii'ral des j-'i-incips tlvv leliendiii'c'n Kral't.

Ninnnt mau i'il)erdies an. dass die Centra niciit fest seien, sondern eine eigene, von den ülii-ii;en mati-rielleii Punkten des Systems unahhäniiige BeweüUiifr haben, so dass diese Beweiiiuiij; eine iiegebi'ue Function der Zeit ist, so liört auch das Pi-incip di.'v leliendiuen Kraft zu bestehen auf. Solche Fälle konnnen in der Natur vor: hierher oehört z. !>. die .\ttraction eines Kometen durch Sonni' und diipiter. wo die Iialmen von Somie und Jupiter als <iefjeben anzu- sehen sind, luid der Komet als ein materieller Punkt, der auf jene Halmen gar keinen Fintluss hat. Hier hört, wie gesagt, das i*rinci|) der lebendigen Kraft zu bestehen auf; denn dieses beruht wesentlich darauf, dass man für die Ent- fernung /' eines materiellen Punktes (.r. y. •) von einem Centruni (c, b, c) die

Difterentialgleichunif

(/.;• -t- ^ dl/ H </;

r r r

hat. Aller (VK^se Differentialgleichung setzt voraus, dass a. h. c Constanten sind: sie hört also in imserem F'alle zu i>estehen auf und mit iln- das Princii) der lebendigen Kraft. .Man kaim zwai- noch innner die auf die einzelnen Punkte wirkenden Kräfte als partielle Diiferentialquotienten eint'r Function L darstellen,

— 4U —

aber diese Fiiiict'uju enthalt jetzt ausser den Coordiuateii nueli die Zeit explicite : es ist daher jetzt nicht mehr

dt \dx. dt '^ dy. dt '^ dz^ dt j'

sondern es kommt jetzt auf der rechten Seite noch iler partielle Dififerential-

quotient -^ hinzu, so dass

rdlJ(^ d]J(^ dUd-i\_dU dU "[ d.v. dt '^ d'i/^ iTf^ dz. dt )^^¥ 'dt '

Nun war die Ditferentialgleichnng des Satzes der lebendigen Kraft

^-. (dx^f^ dy^d%_ <h^d%\ _ fdl^'^ ^IL'IK öUdz^\ ~"'\ dt dt- '^ dt df "^ dt dt' } \dx. dt '^ dij. dt '^ dz. dt )'

Diese wm'de. indem man fih- die rechte Seite —r- setzen konnte, integrabel.

dt '-

Jetzt aller muss man für dieselbe —^ -, — setzen und kann daher nicht mehr

dt at

integriren. Wenn man in der Gleichung

^ /dx. d-.v. dy. d-y.^ dz. t^'^X du dU ^'"'\ dt dt' "^ dt dt' "^ dt dt- l^lft dt '

U in die Summe CZ+T' zerfällt denkt, wo V die Zeit explicite enthält, U aber

nicht, so ero'iebt sich

/ d,r. d'-x. dl/, d'y. d: ip: \

^^•> -'"'{rdV-dt^^-jf-ji^+^iH^)

du dV dV T/F^TtT dt '

Dies ist die Gleichung, welche an die Stelle der Differentialgleichung des Prhicips der lebendigen Kraft tritt, die aljer jetzt kein Integral mehr liefert. Ebenso wenig gilt jetzt noch das Princip der Flächen: man hat also kein einziges Princip, welches ein Integral gäbe. Dennoch habe ich bemerkt, dass es eine Hypothese über die Bewegung der festen Centren giebt und zwar eine dem eben erwähnten Fall der Natur sehr nahe konnnende Hypothese, unter dei'en Annahme man aus der Combinatiun beider Principe ein Integra! erhalten kann. Diese Hypothese besteht darin, dass man anninunt. die festen Centren bewegen sich in Kreisen mit gleicher Winkelgeschwindigkeit lun eine und dieselbe Axe, so dass man für die Coordinaten irgend eines Centrums Qi, h, e)

a = f'onst.. b = ßcofint, c = lismiit habe, wo n für alle Centren denselben Werth hat. und wo die ,r-Axe gemein- schaftliche Rotatiunsaxe ist. Dies konnnt in der That mit dem Fall der Natur

— 41 —

>ehr iiaho ülii-iviii. denn Sonne ini'] •lujiiter lu-wi-jicn mi|i ui ilcr Ekliptik um ihivii genieinscliat'tlichuii Sc!i\ver|iinikt in I>lli|»M-n mit ^iln- klcinei- Hxccntricität f^iui'ivtahr =^77). dir mithin al> KrciM* anzusehen sind. Ihre rniUiuf'szeit i.-t uleieli gross, und setzt man diese =7'. so hat man zui' liestimmung von // die (Ueichunu; iiT ~ 'Irr.

Wir woHeii nun untersuchen. \va> in diex-m Fall aus dei- Ditlerential- gleichuuLi- des Princips der Fläclien wird. Wenn wir dei- Alliremeinlieit wegen ausser den Centren nicht einen einzelnen materiellen Punkt annehmen, sondern ein ganzes System von Punkten, so wird in unseivni Fall die Krältefunetion aus zwei Complexen von Ternien bestehen. Der erste Complex rührt von dei- oeo'enseiticeii Attraction der materiellen Punkte her und umt'asst Glieder der Form

oder, wenn wir wieder, wie im Voi'hergehenden. i\ uml )\ einfühi-en. der Form

mm.

V(" •■' y" i-'-l-/"'. 2/V/-,C0.s('f- iv)

'Vi i y \ r II' \ I 1'/

Der zweite Com])lex rührt von der Anziehung der Ceiitren her und umt'asst Glieder der Form

iv '--cy

oder, wenn wir auch hier i\ und r, einführen und zugleich h^ liiionü. c^=ii6mnt einsetzen.

m.fi

(B.)

y(.r. — a)--|- /■■-^;i-—2r.ß cos(i'. — 7if)

Beide Complexe hleihen unverändert, wenn man alle Grössen r, um diesell>e Quantität vergrössert und zugleich f um den ir"' Theil <lerselhen. wenn man alsoTt'ür jeden Werth von /

6r = ndf

setzt, welche \ ariatioiien für unseren Fall virtuelle sind. Wir wollen den ersten Complex von Termen U, den zweiten V nennen. In der allgemeinen .symbolischen Gleichung

/ t/-.r (Pii d-z \ fp fif- fiiT

Jacobi, Werke. .Suppleiueutbaud (I)ynainik). 6

— 42 — tritt in diesem Fall U -\- V an die Stelle von U, also winl die rechte Seite

In f^ist Glicht explicite enthalten, die erste Summe wird daher «ileich du: in V aber ist / allerdings explicite enthalten, es fehlt also zur zweiten Summe noch

n TT n TT

-:=—d't, um das vollständige d'V zu geben, d. h. sie ist bleich d'V ^öL und

dt o o ' D dt

man hat

/ (/-.f. f/-!/. rf-r. \ f5 P'

'\ dt- ' dt- ■^' df 'I dt

dt.

Die obigen Variationen sind aber so eingerichtet, dass U und V diu'ch sie un- eeändert bleiben, daher hat man 'JU^O und i)V=0: ferner ist

J.iv = 0, (3V = — ;• siur Jr. = — nz.dt, dz. = r.cosv.äv. = nii.St, also

d% (''i/A dV

l d'z. d'xi. \

(10.) n^m^^-^-z^ =

dt

Dies ist die Gleichung, welche in unserem Fall an die Stelle der Differential- gleichung des Princips der Flächen tritt: V ist ein Aggregat von Termen der Form (B.), wo n in allen Termen dasselbe sein muss. alle übrigen Grössen aber von einem Gliede zum anderen verschiedene Werthe annehmen können. — Nun war die Gleichung (9.)

/rf.r. d\v. dy. d'y. dz. d'z\ du dV dV '\ dt dt' ^ dt dt- ^ dt dt- ) dt ^ dt dt oder

,^ f/ f/'^^V C^^iY C^'^YX dU dV dv *-^'- rf^tl^j +l^j +l7/rj J = -w^^—df-

Wenn man (10.) von dieser Gleichung abzieht, so erhält man

oder durch Integration

Dies ist das aus der Combination der Principe der lebendigen Rraft und der Flächen entstandene Princip, welches gilt, wenn Attractions-Centra sich um eine Rotationsaxe mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegen. In diese Kategorie gehört zum Beispiel die Bewegung an der Oberfläche der Erde oder

— 43 —

in iK'rt'U Xälic. ilciiii ilif Erde ist ein A^irivirat soli-lici' AnziL'lninü;.scc-iiti\-n. l'ntcr ilic'sen (u'siclits|iuiikt niüsstc andi in ilor Tliat «lic Aut'i:alic p:'ias>t wcnlen. wenn die Verscliieilenlieit iler Dielitijikeit ilei- Erde unter verschiedenen Me- ridianen beträchtli(di wäre. I iiter dieser Voranssetziinu: würde, wenn ziiLdeieh der Mond i\rv lü'de nfdier wäi-e inid diese sich lani^-ainei- lieweii'te. die An- /.iehunu' des .Nhmdes durch die ICi-de unter Anderem auih eine Function <]es Stinidenwink'els sein. Alsdiuui w;iren die Mnnu-nte <ler 'l"i-;i:^heit in Ik-zuif auf die verschiedenen \K'ri(Hanel>enen verschieden, was >ich in den Ijeoliaclituniren entdecken hissen inüsste.

Sechste A'orlesuiii;.

Das l'riacip der kloinsteii Wirkuiit.'.

Wir kommen jetzt zu einem neuen Princiji. welclies niclit. wie die früheren, ein Integral giebt. Dies ist (his „principe de la moiudi'e action". fälschhch der kleinsten Wirkuii:;- genannt. Die Wichtigkeit desselben liejit erstens in der Form, untei- welchei- es die Diffei-entia]<j,leichan<>eii der Bewesim.U" darstellt, und zweitens dai'in. dass es eine Function ;nii:iebt. welche, weiui diese DifrerentialiileichuMiien i'ri'üUt sind, ein .Minimum wird. Ein solches .Mininumi existirt zwai- bei allen Aufgaben, aber man weiss in der Regel nicht wo. Während daher das Interesse dieses Princips gei-ade darin besteht, dass man das Minimum allgemein ina/rhi'n kann, legte man in trüberen Zeiten ein über- triebenes (iewiclit darauf, dass ein solches Minimum überhau])t existire. Ein Beispiel des in Rede stehenden Princips kommt in ilei- schon frülu'r citu'ten .Vl)haiidlung von Eii/er .de motu projectorum" vor. Xaehdem er dasellist das- selbe für die Anziehungen nach festen Centren bewiesen hat. gelingt ihm dies nicht i'ür gegenseitige Attractionen. fiii- welche ihm die (.Teltung des Princips der lebendigen Kraft unl)ekannt war: er liegnügt sich daher zu sagen, für gegen- seitige Anziehungen würde die Rechiumg sehr weitläufig, indessen müsste das Princip der kleinsten Wirkung auch hier gelten, denn die (irundsätze einer ge- sunden Metaphysik zeigten, dass hi der Xalur die Kräfte nothwendig immer die kleinste Wirkung hervorbringen müssten (wegen der den Körpern inwohnenden Trägheit, wie er meinte). A1)er dies zeigt weder eine gesumle. noch überhaupt irgend eine Metaphysik, und in der That ist En/ei' nur durch Missverständniss

— 44 —

des Namens „kleinste Wii-kung" zn diesem Ausspruch veranlasst worden. Maupertuis wollte mit diesem Namen ausdrücken, dass die Natur ihre Wirkungen mit dem kleinsten Kraftaufwand erreiche, und dies ist die wahre Bedeutung des Namens .principe de la moindre action".

Dies Princip wird fast in allen Lehrbfichern. auch in den besten, in denen von Poisson, Lagi'ange und Laphce, so dargestellt, dass es nach meiner Ansicht nicht zu A-erstehen ist. Es wird nämlich gesagt, es solle das Integral

I ^iii C-ih.

(worin r,= — '- die Geschwindiokeit . des Punktes »!, bezeichnet) ein Minimum

V 'dt -" _ . . -, ^

sein, wenn man das Integral von einer Position des Systems zur anderen "aus- dehne. Es wird zwar dabei gesagt, dieser Satz gelte nur. so lange der Satz der lebendigen Kräfte gelte, aber es wird zu sagen vergessen, dass man durch den Satz der lebendigen Kraft die Zeit aus obigem Integral eliminh-en und alles auf Raumelemente reducii'en müsse. Das Minimum des obigen Integrals ist übrigens so zu verstehen, dass. wenn die Anfangs- und Endpositionen gegeben sind, das Integral unter allen von der einen zur anderen Position möglichen

Wegen für den wirklich durchlaufenen ein Minimum wird.

ds. . Elimhiiren wir die Zeit aus obigem Integi'al. Setzen wh- i\^—'- ein,

dt

so wuxl

j ^rn^v-ds. = l

2m.ds'

i t

dt

Aber nach dem Satz der lebendigen Kraft ist

oder

i^»?,'7 = CM-Ä,

m.ds'

dt

1 _ /2(I^+Ä) dt ~ \ ^m.ds-

Führt man diesen Werth von -,- ein. so ergiebt sich

dt ^ • ^^ ^^

flm^v.ds^ = f]/2( U-\-fi)Yl7n.ds\

Die Differentialgleichungen der Bewegung geben integru't die 3« Coordinaten des Problems durch die Zeit ausgech-ückt : zwischen je zwei Coordinaten kann

— 4') —

ilKiii aber «l'u- Zi^-it vliiii'mircii mid crli.'ilt. wenn man will. ?>ii — 1 Coordiiiatcn (lui'cli eine aiisiieilriirkt. z. !!. ilurcli ,(,. l ntei- lüesi-r \ orau-^etzunL^ kann man

nirk -1 '/',i

Intearal in der Form

fCii- 2^)11 ds' den Ausdriiek 2.iii,\ ' ] d.r sui'stituiivn und ei-li;ilt demnaeli das

Jl/-2(r+/o]/-«.,(-'Jj)^/.r„

mit welclier nun ein uanz lie>timmtei- [Seiirit!' verbimden ist. Lassen wir. um keiner Courdinate den \ or/.Ui:' zu li'eben. das Inteii'ral in der l'rühen-ii Furm

so können wir das l^i-ineij. tlrr kleinsten Wirkuni»" so aussprechen:

Si/ul zivei Positionen des Si/s/enis f/et/eben (d. h. kennt nniii dw Werthe. ice/c/ie für ,r, =i'/ und a\^=l) die ii/jrii/en on — 1 i'oordinaten erludten). und dehnt nuin diis Iiite</r(d

auf die (jonze Bahn des Si/stems r(n> der ersten Positiem zur ziceden aus. so ist sein Wert!) für die u-ir/,/iche Baku ein Miniunon in Beziehunfj auf <dle nunjUchen Bahnen, d. h. solclie. welche mit den IJedinuungen des Systems (weim es deren giebt) vereinbar sind. Es wird also

ein Minimum oder

(1.) ä C]/2(r7H-A) \:Sm.ds- = 0.

Es ist schwer eine metaphysische Ursache t'iir das Princip der kleinsten Wirkung zu linden, wenn i's in diesei- wahren Form, wie notliwendig ist. ausüH'sprochen wird. Es üiebt Minima ganz anderer Art. aus denen man ebenfalls die Dill'erential- gleichungen der Bewegung ableiten kann, welche in dii'ser Rücksicht etwas viel Ansprechenderes haben.

Zu dem Princip der kleinsten Wirkung niuss noch eine Beschränkung hinzugesetzt werden. Das Minimum des Integrals tin<let nämlich nicht zwischen zwei behelligen Positionen des Systems statt, sondern nui- weim die Endposition der Aniiingsposition hinlänglich nahe ist. Wir werden sogleich erörtern, welche Grenze hier nicht überschritten werden darf.

•rf —- ^

n

— 4G —

Betrachten wir zunächst einen besonderen Fall. Es Itewege sich ein einzehier materieller Punkt auf einer gegebenen Oberfläche tlurch einen antang- lichen Stoss fortgetrieben . ohne dass Anziehungskräfte auf ihn wirken. In diesem Fall ist U=0 und die Summe -Z'w/fe; zieht sich auf vu/s- zusammen: es wird also

fds oder

'

em Minimum, d. h. der materielle Punkt beschreil)t eine kürzeste Linie auf der gegebenen Oberfläche. Aber die kürzesten Lmien haben ihi-e Eigenschaft, ein Minimum zu sein, nur zwischen gcjwissen Grenzen: auf der Kugel z. B.. wo die grössten Kreise kürzeste Linien sind, hört chese Eigenschaft auf. wenn man eine Länge betrachtet, die grösser als 180" ist. Um dies einzusehen. wh*d man nicht die Ergänzung zu o()0'' zu Hülfe rufen dürfen, was nichts beweisen würde, da die Minima nur immer in Beziehung auf die unendlich nahe liegenden Linien stattzufinden Itrauchen: man überzeugt sich vielmehr davon auf eine andere Art. B sei der Pol von A; man verlängere den grössten Kreis AuB ülier B hinaus bis C und lege den grössten Kreis AßB unendlich nahe an AcB, dann ist AcdiC = AßB^BC = Aß^ßB^BC. Es sei ferner ß unendlich nahe an B und /)Y' ein grösster Ki-eisbogen, so ist ßC<ißB-\-BC, also ist die gebrochene Linie Aß-hßC kleiner als der grösste Kreis AceBC. Auf der Kugel also ist 180" die Grenze der Minimum-Eigenschaft. Um diese Grenze allgemein zu bestimmen, habe ich folgenden Satz auf- gestellt, auf welchen ich durch tiefer liegende Untersuchungen gekommen bin: Wenn man von einem Punkt einer Oberfläche nach allen Riclitungoi kürze.'ite Linien zieht, so können zivei Fälle eintreten: zicei nnendlich nahe ki/rzeste Linien laufen entweder fortwährend neben einander, ohne -sich zu sclineiden, oder sie schneiden sich iviederum. und alsdann bildet die Continuität aller Durchschiitts- pwikte ihre einhüllende L'urre. hn ersten Falle hören die kürzesten Linien nie auf kürzeste zu sein, im zweiten sind sie es nur bis zmn Berührungspunkte mit der einhüllenden Curve.

Das Erstere findet, wie sich von selbst versteht, bei allen developpablen Flächen statt, denn in der Ebene schneiden sich die durch einen Punkt gehenden

liiillendeii i zu ei^elen weicte und ff' "' iki \'

;iii aiit mim L.„.

sieli ji ilit n<

liir ii- ■

«#;.' •i»\s m:^ •»•* ■■??•

1^"^

^'B^

■B VHr . Si^ - . ^B^'v. VW«: Ältt-^" b%^ J.

.. ■^^.- *-^- i^ j^ ^ r 1* -^ >. p. wt ^:- w w m w- r #-

*, -' -m- -^^

CiiTJuIcn nie \vit'<li'r: ferner liiulpt es auch, wie ich irehnKleii hahe. hei aHcii (■(iiicav-eoiix ixeii I'l;i( hell >tatt. d. h. I>ei (leiijenifitMi . in welchen zwei aiii' ein- ander senkrechte Xi)i'iiialschnitte ihre KrinnniuiiLLshall'niesser na<-h ent^etren- iiesetzten Si'iten haheii. /. l!. liei dem einxlialiüen II\ |ierliiiluid {[]\i\ lui (Icni hNpei-liulix hcn I'ai-aliiildid. llieianit snil iihri^'ens niclit fiesaf^t sein, dass es nicht auch e(iii<-a\-c()iica\'e I''l;teiien liehen krniiite. wdehe in diese KatciTorie üeln'lren. weniüstens ist die rnuK'iülichkeit hier\(in nieht lu-wieseii. I^in I)eisj)i(d der /.weiten Art üieht das Iie\()hiti(>nselh|»s()i(h Nehmen wir dasscUie weniir \'(in iler Kun('l \erschiedcn an. so werden die kiirzoteii LiniiMi. welche dnrcli einen lieliehiuen Punkt der ( )lierfl;iche u'ehen. sieli zwar nielit . wie aiil' der Kni;cl. in dem Pule sämmtheh x-hneiden. alier sie wi-i'deii in iler (icirend des Pills eine kleine einhüllende ("nr\e liildeii. in diesem I instande sclieint hei obertläiddichei- IJetrachtmiü" v'm Paradoxon zu heilen: ileini die einhüllende Curve hat im Alliit-meineii die i^iiicnscliait. dass ilas System \"(in ("m'\en. welclies von derselben ein<iehüllt wird, nicht in den inneren Paiim <ler einhülK-nden ein- tivten kami. Demnach würde es einen Flächentheil uelnai von der I>eschatrenheit. dass sich nacli ii'ü'end einem Punkt im Innern de>se|lieii \'on dem ni'ü'ehenen Pmikt keine kürzeste Linie ziehen lie^se. was unniriiiTnh i-t. [)as Paradoxon lö.s.st sich ai)er durch ilie genauere Hetrachtiinu.' lU-r ein- hüllenden Curve ant". wie aus i]vv nehensti'henden Zeiclmimii' zu ersehen ist. in welchei- A/iCI) die einhüllende Cnrve. welche uniicfahr die (iestalt der Evolute der Ellipse hat. und l'Fd eine kürzeste Linie darstellt. \ oii A' her tritt sie in den voll t\i-\- einhüllenden ('ur\e lieurenzten l'^k'ichentheil ein. lierührt dann die Cnrve in i'inem Punkte /•' und luM-t von da an auf. kürzeste Linie zu sein. — Diese Eiiion.schaft der kür- zesten Linien, dass sie aufhören solche zu sein, wenn sie ihre livuieinschaftliclie einhüllende CiU've berührt halten, ist. wie jiesaji't. durch tieflicir'enile Betrachtunti'eti liefundi-n worden: sie lässt sich alier nach- träiilich sehr leicht einsehen. Denn indem zwei uiieiidlicli nalu' kiirzeste Linien sich schneiden, wird im Diirclisclmitts|iimkt nicht nur die erste, sondern auch die zweite \'ariation Null, der l'nterschied redncirt sich also auf unendlich kleine Grössen dritter (^rdnuno-. d. h. es findet kein Minimum mehr statt. —

Wir kehren jetzt wieder zu der aJlüemeinen Betrachtung des Minimums i'ür das Princi|i «.ler kleinsten Wirkimg zurück. Die willkürlichen Constanten.

jf

//

r/

.1.

K

r^'

X

D

— 4G —

Betrachten wir zunächst einen besonderen Fall. Es bewege sich ein einzelner matei-ieller Punkt auf einer gegebenen Oberfläche durch einen anfäng- lichen Stoss fortgetrieben, ohne dass Anziehungskräfte auf ihn wirken. In diesem Fall ist U=0 und die Summe ^m^ds] zieht sich auf wds' zusannncn: es wird also

r/s

oder

ein Minimum, d. h. der materielle Punkt beschreilit eine kürzeste Linie auf der segebenen Oberfläche. Abei" die kürzesten Linien haben ihre Eioenschaft. ein Minimum zu sein, nur zwischen gewissen Grenzen; auf der Kugel z. B.. wo die OTössten Kreise kürzeste Linien sind, hrtrt diese Eio-enschaft auf. werm man eine Länge betrachtet, die grösser als 18(1" ist. Um dies einzusehen, wird man nicht die Ergänzung zu 360" zu Hülfe rufen dürfen, was nichts beweisen würde, da die Minima niu" inuner in Beziehung auf die unendlich nahe liegenden Linien stattzufinden brauchen: man überzeugt sich vielmehr davon auf eine andere Art. B sei der Pol von A: man verlängere den grössten Kreis AaB über B hinaus bis (' und lege den grössten Kreis AßB unendlich nahe an AaB, dann ist ActBC = AßB+BC = Aß-\-ßB^BC. Es sei ferner ß unendlich nahe an B und ßC ein grösster Ivreisbogen, so ist ßC<ißB-\-BC, also ist die gebrochene Linie Aß-hßC kleiner als der grösste Kreis AccBC. Auf der Kugel also ist 180" die Grenze der Minimum-Eigenschaft. Um diese Grenze allgemein zu bestimmen, habe ich folgenden Satz auf- gestellt, auf welchen ich durch tiefer liegende Untersuchungen gekommen bin : We)ui mioi von eiiioa Funkt einer überjlüche nach (d/en Richtungen kürzeste Linien zieh/, se> Ivnnen zivei Fälle eintreten: zicei unendlich nahe kürzeste Linien laufen entweder fo/ia-dhrend neben einander, ohne sich z}i schneiden, oder sie schneiden sich wiederum, und alsdann liddet die i'ontinuitä't aller iJnrchschnitts- punkte ihre einhüllende L'urre. hn ersten Falle hären da/ kürzeste)! Linien nie auf kürzeste zu sein, ira ZH'eiten sind sie es mir bis zum Berühruiajspunkte mit der einhüllenden Curve.

Das Erstere findet, wie sich von selbst versteht, bei allen developpablen Flächen statt, denn in der Ebene schneiden sich die durch einen Punkt gehenden

— 47

Cu'radfii nie wicilcr: l'cnici- findet es ;iucli. wie n-li nrfimdiMi lialic. liei alli-ii roncav-eoiixi'xcii Fläclicii >tatt. il. Ii. lu-i (Iciijeiiiü'cii . in wi-lrlu-n zwei auf i-iii- aiidi-r siMiki'icIitf Niirinalsclinitte ihre Ki-iniiiuuliLisIiall'iiiesscr naeh entireiren- ;j;esetzt('n Seiten liaben. /.. W. In-i ileni ciiiscliaüüen Il\ iicrlioloid und liei dein hviierbolischen Paralioloid. Hiei'init soll übriiit-ns niclit iresaijt sein, dass es nielit aueli eoiK-av-concave Fläclien uclieii kirnntr. wi-lche in diese Kategorie üehören. wcniustens ist die l'nniöglichkeit hiervon nicht Ix-wiesen. Ein Beispiel der zweiten Art ^iebt das IievoliitionselHpsoid. Xchnit-n \\\v dasselbe wenijr von dt-r Kiiiid verschieden an. so werden die kürzesten Linien, welehc durch einen ludicliii^cn Punkt der ( )bci'Häclie uehen. sich zwar nicht, wie auf der Kuuel. in ileiu P(jle säinnitiich schneiden, aber sie wenlen in dei' (Teirend des Pols eine kleine euihüllende Curve bilden. In diesem I'instande scheint bei oberflächlicher Betrachtuuii" ein Paradoxon zu liefen: deiui ilie einhüllende Curve hat im Allgemeinen die Eigenscliaft. dass das System von C'urven. welches von derselben eingehüllt wird, nicht in den inneren K'ainn der einhüllenden ein- treten kann. Demnach würde es einen Flächentheil geben xon der Beschaffenheit, dass sich nach ii'gend i-inem Piuikt im Iimern desselben von dem gegebenen Punkt keine kürzeste Linie ziehen liesse. was unmöglich i-t. I)a " lösst sich aller durch die genauere Beti'achtung der ein- hüllenden Curve auf. wie aus der nebenstehenden Zeichnung zu ersehen ist. in weicher AIW!) die einhüllende Cm-ve. welche ungefähr die (iestalt 'U-v Evolute der Flllipse hat. und l'['(j eine küi-zeste Linie darstellt. \'on J\ her tritt sie in den von der einhüllenden Curve liegrenzteii Flächentheil ein. berührt dann die Curve in einem Piuikte F und hört von da an auf. kürzeste Linie zu sein. — Diese Eigenschaft der kür- zesten Linien, dass sie aufhören solche zu sein, wenn sie ihre gemeinschaftliche euihüllende Curve berührt haben, ist. wie gesagt, durch tiefliegende Betrachtungen gefunden woi-deii: sii' lässt sich alier nach- träglich sehr leicht ehisehen. Denn indem /.\\v\ unemHich nahe kürzeste Linien sich sclnieiden. wird im Durchsclmitts|iunkt nicht nur die erste, sondern auch die zweite Variation Nidl. der Unterschied reducirt sich also auf unendlich kleine Grössen dritter Ordnung, d. h. es rindet kein Minimum mehr statt. —

Wir kehren jetzt wieder zu der allgemeinen Betraclitmig des Minimums für das Princiji <ler kleinsten Wirkung zurück. Die willkürlichen Constanten.

aradoxon

-^ 48

welche nach Iiitegratlon der Differentialgleichungen der Bewegung ül)rig bleiben, können am einfachsten diu'ch die Anfangspositionen und Anfangsgeschwindigkeiten der Bewegung bestimmt werden. Sind diese gegeben, so sind hierdurch alle Constanten der Integration bestimmt, und es kann keine Mehrdeutigkeit statt- finden. Aber bei dem Princip der kleinsten Wirkung nimmt man nicht die Anfangspositionen und Anfangsgeschwindigkeiten als gegeben an. sondern die Anfangs- und Endi)Ositionen. Daher muss man. um die wirkliche Beweguna' zu erhalten, durch Auflösung von (Tleichungen die Anfangsgeschwindigkeiten aus den Endpositionen ableiten. Diese Gleichungen brauchen nicht linear zu sein, daher kann man mehrere Systeme von Werthen der Anfangso-eschwindio;- keiten erhalten, und diesen entsprechen dann mehrere Bewegungen des Systems aus den gegebenen Anfangspositionen in die gegebenen Endpositionen, welche sämnitlich in Beziehung auf die ihnen unendlich nahe liegenden Bewegungen Minima geben. Indem man nun das Intervall der Anfangs- und Endpositionen von Null an continuirlich wachsen lässt. ändern sich auch die verschiedenen Systeme von Werthen. welche man aus der Auflösung der Gleichungen für die Anfangsgeschwindigkeiten erhält. Sobald nun bei dieser Aenderung der Werth- systeme der FaU eintritt, dass zwei Systeme von Werthen einander gleich werden, so ist dies die Grenze, über welche hinaus kein Minimum mehr stattfindet.

Diesen Satz, der iibrigens für die Mechanik im engeren Siime von gar keiner Wichtigkeit ist, habe ich im Cre/Zeschen Journal*) bekannt gemacht, aber nur als Notiz ohne Beweis. Als Beispiel zu demselben woUen wir die Bewegung der Planeten um die Sonne wählen. Gegeben sei der eine Brennpunkt ^4 der

Ellipse als Ort der Sonne, die grosse Axe a der s' Ellipse und ausserdem zwei Positionen p und q des Planeten. Bezeichnen wh- den zweiten vorläufig un- bekannten Brennpunkt mit />, so sind durch die ge- gebenen Stücke die Entfernungen des Punktes B von den beiden Planetenörtern p und q bekannt; diese Entfernungen sind nämlich = a — Ap und = a — Aq wegen der bekannten Eigenschaft der Ellipse. Dies giebt aller für B zwei Lagen H und B' , die eine oberhalb, die andere unterhalb der Verbindungslinie von y> und q. Es giebt also zwei Ellipsen, mithin auch

*) Bd. 17, p. eSfolgg.

— 49 —

zwei BewL'giinjreii des Planeten, welche für die ii;eüebenen Stücke möjrlicli sind. Damit beide Lösungen zusaniinent'ajien. müssen die Pinikte li nnd B' in die \'erlilndunij;slinii' von /; und (j ralleii. d. li. //, li nnd </ müssen in ^eradei' Linie liefen, mithin '/ in j/ . Der Punkt // liezeichnet also die (irenze. ühei' welche man von /< aus das Integfal niiht ausdehnen darl'. ohne dass es aufhört ein Minimum zu sein.

\\ ir keinvn jetzt zu der eigentlich mechanischen Bedeutimg des Princips der kleinsten Wirkung ziu'ück. Diese besteht darin, dass in iler (xleichumi Tl.) dieser N'orlesung die Grundgleichunüeii dei- Dynamik für den Fall enthalten sind, in dem das Princip der lebendigen Kraft gilt. In dei- That. die Gleichung (1.) war:

Hier können wir alle Coordinaten nach Elimination ihn- Zeit al> Functionen von ehier. z. Ix von .r,. ansehen, und demnach schreiben:

oder

oder, weim wir

setzen,

dx.

dl,

dz

da;, ''■' dx^ ^■' d.r.

l'nter Einführung der iH-zeichnungen

haben wir endlich

,JJ>,/,r, = 0. •

oder es ergiebt sich die Regel: Man setze in \ l'(lj\ für .7",. ?/,. z, rospective .i-.-l-J'.r,, ?/,+<)'(/,. r,-i-<)w, ein. wo ()>,, dij,. i):, in den unendlich kleinen Factor u multiplicirte willkürliche Functionen sind, welche innerhalb der Integrations- grenzen nicht unendlich werden, entwickele nach Potenzen von « und setze das ui die erste Potenz von a multiplicirte Glied gleich Null. Hierbei ist zu Jacobi, Werke. Supplementl)aücl (Üynamik). 7

50

Lemerkeii, dass erstens, weil die Grenzen des Integrals gegeben sind, von ihnen keine Variationen herrühren können, dass ferner aus demselben Grunde alle Variationen an den Grenzen verschwinden müssen, und endlich, dass d'x^ über- haupt Null ist. weil .t\ die unabhängige Variable ist. Demgemäss erhält man nach den Regeln der Variationsrechnung:

J [ du-. ' O'i. ' cz ' ÖJ-. i '-' i t i

Nun ist

dy'. ''• az\ ')

dP

-clx.

dP

fdP .,; _ [SP dd^

J ß^^' *«,«-r,— j g^^, ^j ""^, — g^, ^.^; , ,

-öuy

6x (Li;

oder, da d'.v an den Grenzen der Integration verschwindet.

•dP

J 6a:'

dx.

Aehnliche Gleichungen gelten für y, und ;,. Die Benutzung derselben giebt:

Sjpdr^ =

dP

d

dP

6P

dr

dP

d.v

dx.

\ dy,

'%-

dP

dz.

dp

dz'.

dx.

Es ist aber

1 ,

dP

.dP

B dx'.

1

' J- dx,

P = }/AyB, A^ 2{U+h), B = v,„_(^.;^+,/;'^+2;=),

"d^ "~ ^F ^ dx. ~y A dx.' dx' ~

al^o hat man

„ m.x.; B ' '

dx. dx^

Setzt man nun (s. S. 44)

(2.)

so erhält man

dP

,fB dU

' \ A dx. ■

d,i

/4"-.

dt.

dP

dx'.

dx.

dx.

jBfdU d-x,\

— 51 -^

iiiiil A(.'hiiliclics für //, und c,. Fülii-t man dicsk- ■AuMlrückc ein. so cr^i'u'ljt sii-li :

•r ^1 IV er • dt' ) ' V dl/. • de ) ■'' \ de ' df ) '\ '

Da ilk'sc \'ariatii)ii alxT nach iiiiseiviu Pi-iiicipi' ViT.-rliwiiiili'ii soll, so liat man

\\ dx. • df ) • \ dl/. • de J •^' \ de, • dt' ■}

oder

fd-.x. d'i/ dh. \ { ciU SU all \

^ ^ '\ df ' df ' dt 'I V O.C '. cy ''' dz. ')

welches ilie fVi'ihere syinliolischc (ilcicliiuii:: ist.

Die (iieieliunü; (2.) ist nichts Anderes als iK-r Satz der lelieudiizvn Krait: (k'nn durch ')uadrirnnü" findet man

Bdj;\ ^ Adf oder

-"'.{(^)^+(^^+(^)l=^(^'^^>

Dies war vorauszusehen, denn durch den Satz der lebendigen Ivi-aft hatten wir die Zeit aus dem Tnte;iTal des Princips dei- kleinsten Wirkunir eliiuuiirt.

Siebente Yorlesinifi:.

Fernere Betrachtungen über das l'rintip der kleinsten Wirkunj. Die Lai/ran^/rscheu .Multiplicatoren.

Ausser dem I ehelstande. der l)ei der gewöhnlichen Ausdrucksweise des Princijis der kleinsten WirkuniX darin lieut. dass man den Satz der lehendiiien Kraft niclit in das Integral einführt, kommt noch der liinzu. dass man s;igt. das Integral solle ein Grösstes oder Kleinstes werden, statt zu sagen, seine erste Variation solle verschwinden. Die \ erwechselung dieser keineswegs identischen Forderungen ist so sehr Sitte geworden, dass man sie den Autoren kaum al> Fehler anrechnen kann. Es findet sich in dieser Eiicksicht ein sonderbares Quidproquo bei Ldgraiiije und Poisson, welches sich auf die kürzeste Linie bezieht.

LiuirdiKie saat ijanz richtig, in diesem Falle könne das Integral nie ein Maxiniinn werden, denn wie lang auch die zwischen zwei Punkten auf einer gegebenen Oberfläche gezogene Curve sein möge, so könne man immer eme noch längere ano-eben: und hieraus schliesst er, dass das Integral immer ein Minimum sein müsse. Foisson dagegen, der wusste. dass das Integral in gewissen Fällen, na- mentlich bei geschlossenen Oberflächen, ülier gewisse Grenzen hinaus aufhört ein Minimum zu sein, schloss hieraus, in diesen Fällen müsste es demnach ein Maximum sein. Beide Schlüsse sind falsch : im Fall der kürzesten Linien kann das Integral allerdings nie ein Maximum sein, vielmehr ist es entweder ein Minimiun, oder keines von Beiden, weder Maximum, noch Minimum.

Die Elimination der Zeit aus dem Integral, welches bei dem Princip der kleinsten Wirkung in Betracht kommt, darf nicht etwa durch das Princip der Flächen oder irgend eine andere Integralgleichung des Problems, sondern sie muss gerade durch das Princip der lebendigen Kraft geschehen; nur so kommt man zu ilem Princip der kleinsten Wirkung. Layrouge sagt an einer Stelle, er habe in den Turiner Memoiren die Differentialgleichungen der Bewegung aus dem Princip der kleinsten Wirkung in Verbindung mit dem Princip der lebendigen Kraft hergeleitet. Eine solche Ausdrucksweise ist nach den oben gemachten Bemerkungen nicht zulässig. Lagrange wandte die soeben von ihm erfundene Variationsrechnung auf das schon von Etiler benutzte Princip der kleinsten Wirkung an, gebrauchte aber hierbei das Princip der lebendigen Kraft in der Ausdehnung, welche Daniel Bernoulli demselben gegeben hatte, und auf diese Weise kam er zu der allgemeinen symbolischen Gleichung der Dynamik, von welcher wii- ausgegangen sind und welche wir hier noch einmal hinschreiben wollen: sie war:

wo auf der rechten Seite äü zu setzen ist, wenn das Princip der lebendigen Kraft gilt. Abstrahirt man davon, dass öU nach dem in der Variationsrechnung üblichen Sinn lun- dann für die rechte Seite obiger Gleichung gesetzt werden kann, wenn die Grössen A". Y^, Z, die partiellen Diff'erentialquotienten einer einzigen Function IJ sind, und betrachtet man es rein als symbolische abgekürzte Bezeichnung, so hat man

(2.) ^-^\-1f'-'^^-^'^^''-^'1^''~\ = ''' .

— 53 —

aucli. wiMiu di-r Satz 'h-v Icliciidigoii Kraft nicht gilt. Diese (jleieliiing ist nun. wie schon früher erwähnt wurde, aiicli noch richtig, wenn Bedingiingsgleichiiiigen stattfinden, alu-r dann sind dit- Variationen nicht mehr alle von einander unah- hänffiii". Hat man //( HediniiimgSüleicduiniren

(3.) /•=0, y=0, •...,

so existiren zwisclien den Variationen die //< lielaticjiien

(4.)

\^ d.r. • dy^ ^' os. ')

u. s. w.

Vei'niittelst dieser //; Gleichungen kann man /// von den o// \'ariationen ()'.r,. <)'^,, ()'z, . . . aus der Gleichung (1.) eliniiniren. und indem man die übrig bleibenden von einander unabhängig setzt, zerfällt die symbolische Gleichung (1.) in die Diflerentialgleichungeri di'r Bewegung. Aber • diese Elimination würde sehr mühsam sein und hat ül)ei-dies manche Uebelstände: deim erstens müsste man gewisse Coordinaten vuv den übrigen bevorzugen und einhielte dadurch keine symmetrischen Formeln, und ausserdem wäre die Form der Eliminations- gleichungen für jede Anzahl von Bedingungsgleicliungen eine andere, durch welchen Umstand die Allgemeinheit der Untersuchung sehr erschwert werden würde. Alle diese Schwierigkeiten hat La(/r(i»</e durch Einführung von Multi- plicatoren besiegt, eine Methode, welche schon Eakr bei den Prol^lemen .de maxirais et minimis- häutig angewendet hat. Da nämlich die \ ariationen «?■.?,. <))/,, i):, ... in den Gleichungen (1.) und (4.) linear vorkonnnen. so kann man die Elimination von m derselben folgendermassen bewerkstelligen: Man multiplicire die Gleichungen (4.) respective mit den Factoren /.. it ... und addire sie zu (1.); die resultirende Gleichung heisse (/.). Nun bestimme man die Factoren /.. ,u ... so. dass in der mit (7^) bezeichneten Gleichung m der in die Variationen c).r,. r)'(/,, ()r, . . . multiplicii'ten Ausdrücke identisch verschwinden: dann geben die in die übrig bleibenden ;>« — m Variationen nudtiplicirten Aus- drücke gleich Xull gesetzt die Differentialgleichungen des Problems. Man sieht auf diese Weise, dass man in der (ileichung (L) sämmtliche 3« in die Variationen (h\. ()>/,. «)'c, . . . multiplicirten Ausdrücke gleich Null zu setzen und dann diese Gleiehuniien so anzusehen hat. dass »( dei"selben die Multii)licatoren /.. // . . . definiren. die übrigen aber, in welche die so bestimmten Multiplicatoren einzu-

— 54 —

setzen sind, die Differentialgleichungen des Problems geben. Mit andern Worten, aus den ?yn Gleichungen . in welche die Gleichung (Z) zerfällt, wenn man die Variationen alle als unabhängig ansieht, hat man die /); Multiplicatoren /, // . . . zu eliminiren und erhält dann die 3» — m Differentialgleichune;en des Problems. Anstatt aller diese Elhnination auszuführen, thut man Ijesser die unbekannten Multiplicatoren in den 3/i Gleichungen zu lassen und auf diese die ferneren Unter- suchungen zu üTÜnden. Diese 3// Gleichungen werden alsdann von der Form

(5.)

(T-x.

'dt ' ö.v. dx.

d' m

dt- oy. dy.

df ' dz. dz.

wo für alle n Werthe von /' ül)erall dieselben Multi[)licatoren /, ,m ... vor- kommen. Dies ist die Form, welche Lagrange den Gleichungen der Bewegung emes durch beliebige Bedingungen gebundenen Systems gegeben hat.

Die zu den Ki'äften Ä', J', Z; hinzukommenden Grössen drücken die Wirkung des Systems aus, d. h. die Modification , welche die sollicitii-enden Ki'äfte durch die Verbindungen der materiellen Punkte erleiden. Zu diesem Resultat gelangt man auch in der Statik, indem man Ijeweist. dass, wenn in den n Punkten des Systems die Kräfte

. df dw . df dq, . 6f dqi

A^+/.(^-H---. A^^+i"-^-!---. ■'-3^-H/'3^+--- dx. dx. du. dy. ' dz. dz.

parallel den Coordinatenaxen angebracht werden, dieselben durch die Verbindung des Systems aufgehoben werden, woraus hervorgeht, dass die durch die Ver- bmdung des Systems aufgehobenen Kräfte nicht bestimmt sind, sondern die un- bestinmiten Grössen /, /n ... enthalten. Die Einführung der Multiplicatoren /, ,it ... ist daher nicht ein blosser Kunstgriff der Rechnung, sondern diese Grössen haben m der Statik ihre ganz bestimmte Bedeutung. Aus dem soeben ausgesprochenen Satz der Statik kann man nun auch auf die Gleichungen (5.) der Bewegung kommen und zwar, indem man den Uebergang von der Statik zur Mechanik auf folgende Betrachtung gründet:

Wegen der Verbmdmig des Systems können die materiellen Punkte den ihnen mitgetheilten Impulsen nicht Folge leisten. Um die wirkliche Bewegung

00

zu ei-initt(.'lii. iiiiiss man dalici- sok-lic KrälU- liiii/.iisft/.cii. deren Coniplcx von der \ ('rl)nidiiii<i' flcs Systems aufi:i'li')l>en wird, lun-li deren HmzufniiimiX es flalier so anznsel)en ist. als wenn die l'inikte ileii an -ie aniieliracliteii Ki'äi'ten nlnie Ilimlerniss iolüten: mit andern Worten, nach Hinzni'niiunii von Ki'ät'ten. dureli welche die W-rbindnnir iles Systems auf^feliolien wird, kann man das System als ein freies hetraeliten. Dies ist als ein Prinei]) anzusehen, und aus ihm i-y- ji'ehen sieh pinz von seihst die (ileiehun_ü;en (ö.).

Ehen dieses Piinei]». welches uns die Modilieatioii der heschleuninenden Kräfte durch die \ erhindun^en des Systems ü'eiXt'hen hat. dient auch dazu, die Moditication der munientanen KriU'te durch die \'erl>indungen fies Systems zu finden. J)ie Formeln, welche man hier anzuwenden hat. sind ganz die näm- lichen. Wirken auf den Punkt //(, die momentanen Imjiulse <',, /\. c,, so sind die mit Ik'rücksichtiu'un.H' der \ erliindunu.' des Systems liieraus foli^enden modi- ficirteu Imjiulse:

((>.)

O.r.

8w d<,

dw

wo die Grössen ä^, ti^ bleiben.

wieder für alle J-*unkte des Systems dieselben

'•I- ,"i • • • ilitl'ei'entiiren

lestunmen will, so Zin- IJestinununfj

Wenn man die (li'össen /.. tt ... un muss man die (Heiehuniien /= 0. y = ü .. der Grössen /, it ... muss man zweimal dilferentüren und dann die zweiten DiflFerentialquotienten der Coorflinaten aus tU-n Gleichungen (5.) substituiren: zur Bestimmung der Grössen /-i. ,«i . . . hat man aber nur einmal zu ditlerentiiren. denn die momentanen Impulse sind den Gescliw'mdigkeiten. d. h. den ersten Ditrerentiakinotienten. pi'oportional. Wir wollen die Gleichungen zur Besthnmung von /,. ,</, ... wirklich entwickeln, indem wir annehmen, dass die momentanen Impulse </,, />,. c, am Anfang der Bewegung erfolgen und dass das System in diesem .Moment sich in vollkommener Kühe l)efHidet. Unter diesen Umständen können wir fiir den Anfang der Bewegung die beschleunigenden Kräfte ganz au.sser Acht lassen, da dieselben nur unendlich kleine Geschwindigkeiten er- geben würden, und haben daher, wenn wir zur Bestimmung von /,, ,«, . . . die

— 56 — DitFerentialgleichungen

dt "^ dij^ dt "^ dz^ dt J '^'

"lö^v c/< "^ö;/^ dt '^ dz. dt]

u. s. w.

1-11 • '^■''i '^^ ''^^ • 11-

bilden, für —7^, — r^> -y^ die Grössen (6.) zu setzen, nachdem sie durch m, di- ät dt ' dt ^

vidu't worden sind. Dies giebt folgendes Resultat: man setze

in. \ o.i\ ' ay. ' dz. ' J

{f, r) — -^,,^ 1^ Q^^ ^^, ^ Qy^ Qy^ -+- 5,_ 5^j'

m.\dx. a.r, Öi/; d^,. ö-,. Ö2,; dann hat man zur Bestimmung von Aj, /^i ... die Gleichungen

o = ^+(/-, /0A,+(/; 7')/A+(/; '/')v,+---,

11. s. \v.

Von derselben Form werden die Gleichungen zur Bestimmung von A, /< . . .,

nur dass .4, B, C ... hier andere Werthe annehmen.

Wir kehren jetzt zu den Differentialgleichungen (5.) zurück. Wenn wir

dieselben der Reihe nach mit dx^, J'j/,, J"J; multipliciren und alle 011 Producte

addiren, so erhalten wir wieder die symbolische Gleichung, die wir oben mit (Z)

bezeichnet halten, nämlich

fd'x. d'y. d'z. \

(8.) v„,_|_^fo^.+_ZLj^.+_^& j =. dXr^A*/.4-A'% + -,

welche Gleichung mit dem System (5.) gleichbedeutend ist.

Um den oanzen Umfang von Problemen zu betrachten, welcher in den Gleichungen (5.) enthalten ist, müssen wir auch auf den Fall Rücksicht nehmen, in welchem die Zeit in den Bedingungen ex})Iicite vorkommt. Auch dann noch gelten die Gleichungen (5.). Um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie

('■)

Ol

ilk' Zcnt in den ßfdiiifXimji'en ontlialtcn sein kann, nclnnt' man z. B. an. lYiv materiellen Punkte seien mit l)e\veulichen Centivn. deren Be\veii;un;r jfeiiet>eii sei. in Nerliiiidunü' gesetzt und zwar so. dass die Centra auf die materiellen Punkte wirken, oluie dass lieactinn stattfinde. Zu diex-r Annahme abei' ist es nütliiu:, den liewegliclieii Centren Massen zu gelien. wclelie im \'erb;iltniss zu den Massen der matei-lrllen Punkte imendlleli gross sind. In diesem Falle gelten iur die materiellen Punkte die (^leieliimgen (').) nline Weiteres: die be- wegliehen Centra aber brlialten die gegebenen Bewegungen unverändert bei. In der That. es sei M die als unendlieh gross zu behandelnde Masse eines Centrums. j> eine seiner Coordinaten. so ist die in der Piehtuiig der Coordinate j) wirkende Kraft proportional M: nenni-n wii- ilicsi-lbr }Il\ so haben wii- mit Rücksicht auf <lie \'erliindungen des Systems

ilf' dp ' cp

Aller nach Division durch ilie unendlich grosse Masse ^J lallen alle übrigen Glieder fort, und man erhält

Dassell)e gilt für die übrigen Coordinaten. d. h. die Centra folgen ihren gegebenen Bewegimgen ohne Kücksicht auf die \ erbindungen. Die Werthe von /.. ii ... unil /-i, «1 . . . werden hier freilich andere als früher: denn l)ei den DiHeren- tiationen konnnen noch die partiellen Differentialquotienten nach / hinzu. So kommt ■/.. B. zu .1 ('(TleichuuüX'n (".'^f) der Term — ' -. zu U ebenso , hinzu u. s. w.

Die Zeit kann zwar noch ganz anders in die Beduigungen eintreten, z. B. wenn die Verliindung zweit-r Punkte locker wii-d oder sich ausdehnt, etwa diu'ch steigende Temperatur: imlessen wird man alle Bedingungen dieser Art auf bewegliche Centra zurückführen können, wemi man nur als Grundsatz festhält, dass zwei Verbindungen, welche auf dieselben Gleichungen führen, durch einander ersetzt werden können. '

Die Zeit kann übrigens auch eine >ehr erschwerende Kolle spielen, z. B. wenn sich im \'erlaufe dersellien die Massen verändern. Bis jetzt hat man aber noch nicht nöthig gehabt, diese Annahme im Weltsystem zu machen: denn um zu entscheiden, ol) dergleichen stattfindet, haiieii die Beobachtungen noch nicht Schärfe aenng.

Jacob i. Werke. Supplemeutbami (l)yuamik.. 8

— 58

Achte Vorlesiiiia;.

Das Hamilto7ische Integral und die zweite Lagranffeticlie Form der dynamischen Gleichungen.

Man kann statt des Princips der kleinsten Wirkung ein anderes siibsti- tüiren. welches auch darin besteht, dass die erste Variation eines Integrals ver- schwindet, und aus welchem man die Differentialgleichungen der Bewegungen auf eine noch einfachere Weise erhält als aus dem Princip der kleinsten Wirkung. Man scheint dies Princip fi-üher deshalb unbemerkt gelassen zu haben, weil hier nicht, wie bei dem Princip der kleinsten Wirkung, mit dem Verschwinden der Variation im Allg-emeinen zugleich ein Minimum einti'itt. . Hamilton ist der erste, der von diesem Princip ausgegangen ist. Wir werden dasselbe benutzen, um die Gleichungen der Bewegung in der Form aufzustellen, welche ihnen Lafpnnge in der Mecanique analytique gegeben hat. Es seien zunächst die Kräfte V,, };, Z, partielle DifFerentialquotienten einer Function U; ferner sei T die halbe lebendige Kraft, d. h.

..*..,,, = i.,„,{(^)V(^)V(^)'), _

dann besteht das neue Princip in der Gleiclumg (1.) dj(T-i-U)dt = 0.

Dies Princip ist, mit dem der kleinsten Wirkung verglichen, hisofern allgemeiner, als hier U auch t explicite enthalten darf, was in jenem Princip ausgeschlossen ist: denn in ihm muss die Zeit durch den Satz der lebendigen Kraft eliminii-t werden, der nur gilt, wenn U die Zeit nicht explicite enthält.

Die Gleichung (1.) werden wir benutzen, um die Zurückführung der Differentialgleichungen der Bewegung auf eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung nachzuweisen. Wie Hamilton gezeigt hat, kann man durch theil weise Integration die Variation (1.) in zwei Theile dergestalt zerlegen, dass der eine ausser, der andere unter dem Integralzeichen steht, und jeder für sich verschwinden muss. Auf diese Weise giebt der Ausdruck unter dem Integral- zeichen gleich Null gesetzt die Differentialgleichungen des Problems und der Ausdruck ausser dem Integralzeichen die Integralgleichungen desselben.

Das neue Princip lautet vollständig ausgesprochen folgendermassen :

— 59 —

Es seien die Positionen drs Sjistcnis :u i'ukt (jcfiehenen Anfamjszeil t„ luid zu einer (jegehenen Endzeit /, (jegehen: da im Iml iinni zur lifstiunnunfj der iririclich erfohjenden Bewegung die Gleiclumg

(1.) i)\{r+U)dt = 0.

Hut i-t ilas Iiitrii'ral von /„ l>is /, aiis/.ndclnu-i). U ist die Kräftel'uiictidn und kann die Zeit aucli i-xplicitL- ontlialtm. und T ist die iuilln' lebendige Kraft, man hat also

dr. all dz

Wenn man die in diesem i'i-mi'i|i vorgcscinMeliene \ ariation ausführt, indem man nach den liebeln der Variationsrechnung den Coordinaten die Variationen «)>,. ())/,, if:, hinzut'ügt. die inial>liängige \ ariaMe / aher unvariirt lässt. so erhält mau

sJTdt = fsTdt= f-7.,,(.r;jy^-,v;rf^;-hs;,jj;)j^

, , , . '^'5^, däy. chh

oder, indem man für ()>. r)w. <)z, die Ausdrüeke — —. — ~, — ,-^ einführt

•^ dt ■ dt ■ dt

und theihveise integrum ,

,' „ / / dSj-- dSii ddz \

'J ''' =J ''"¥'w-^y'~dr^^'-dr)''

= 2vi(j-'S,r-^i/'d>/.-^z'Sz)— [im (,r"ä.r -{->/' 6>j -hz"d:)dt,

WO x'-y !/,", -" die zweiten nach / genommenen lyill'erentiaKjuotienten von ,r,, ?/,, z^ sind. T)a al)er die Anfangs- und Endj)ositionen gegeben sind, so verschwinden ()".{',. ihj-, äz; an den Grenzen der Integration, die ausser dem Integralzeichen stehenden Glieder werden gleich Null, so dass

6 I Tilt = — ( } v,» (.(.l/J,;. ^^;'J,y.-t-;"J- )| dt.

Man hat also

(•_>.) ö\{T-^-U)dt = -j\:inr{.r';ö.r^-\-iiyy.-Jrz\'6z) — SU\dt,

WO

\8x. • d(/ -^^ dz. 'y

eine Gleiohtmo;. aus welcher in der Tliat die trühere in der zweiten Vorlesunir (p. 12) gegebene symbolische Grundgleichung (i'.) der Dynamik folgt.

" 8*

— 60 —

Das in der Gleichung (1.) enthaltene Princip ist srhv nützlieh bei der Ti'ansformation der Coordinaten. Sie gilt fiir jedes Coordinatensystem; in einem neuen System hat man daher nach den neuen Coordinaten ebenso zu variiren. wie früher nach den alten, und die ganze Substitution, welche vorzunehmen ist. beschränkt sich auf die beiden Ausdrücke T und U.

Wh- wollen dies zunächst auf Polarcoordinaten anwenden: die Trans- formationsformeln sind in diesem Falle:

z. = r siücf sini/',.

Hieraus folgt durch Differentiation

<J.r. = cos(f..dr. — 7'^s'mg ..dg .,

Jij. = sm(f .cos ip.dr.-hr. cos g>. cos ip.d(p^ — r.sm(f sin ipdip., ,

dz. = siny.sini/'.t7/v-t-7vcosf/.sin(/'.rf^ -!-?•. sin 9-. cos i/'.rft/;.,-

daher ist oder

dj:':+dy:-hd:'-^ = dn-\-rhi(p^^r- sin" (fi.dtfi-,

AVO

dr. d(fi. dip.

Man hat also sofort:

(3.) T= ^ v,„ (,.;=+y;.^_,;.) _ i^m^'-'r^r-cf^^+r-sin^gM^:^).

Inter dieser Voraussetz uns; und der Annahme, dass auch U durch die neuen Coordinaten ausgedrückt sei, werden wir die aus ^j(^T-hU)dt^ü hervorgehende Gleichung nach den allgemeinen Regeln der A^ariationsrechnung finden.

Ist P eine Function mehrerer Variablen . . . p . . . und ihrer ersten Dif- ferentialquotienten ...p'.... wobei vorausgesetzt wird, dass alle p von einer unabhängigen Variabein t abhängen, und soll die erste Variation von | Pdf ver- schwinden, soll also

äj'pdf = 0

sein, wo das Integral von ?„ bis ^j zu nehmen ist und wo die diesen Werthen von f entsprechenden Werthe der p gegeben sind: so führt dies, wie die in

61 —

der siT'listi-n \'ürlesuiig (p. 00) ausgel'ühi-ten Entwickfluiigon gezeigt haben, zu

(Irr Gleichuiiü;

(4.)

0 = 2-

dp' dP

dt dp

dp.

In miscrcui Falle sind r,, y,, i/', die Grössen //. und I'-= T-hU: ferner erhält Li die ])ill'crential(jUotienteii /•'. «/:'. i// nicht: daher i-rhahcn wir

0 ^^

dt dr. br.

Nun ist nach (3.)

BT

ör'. ' ''

dr+2-

,/ :

jT

%; cT vU

dt dtp. ö(f._

dtf.+:s

dU>'. oT dU

dt dtp. öip.

6ip..

ST , ,

—_- ^ m.r: (f.,

CT

dxp\

mr-iiiv<fxp',

dT . ,„ , . „ , „. äT ■> ■ o ,'- dT „

dr^ also hat man

r fdr'. \ SU\

oder

d(r'-Änu-W') \

Sind Bedingungsgloiohungen vorhanden: /"=0, tD = 0.... so konunt auf der

rechten Seite dieser (^leiehung zu d'U nocli das Aggregat /.()/'— udiO^ hinzu.

und man hat also in diesem Falle

(5.)

d{rsiü'-(f.U>'.) dt

«J^.J

eine Gleichung, welche in 5u Gleichungen von folgender Form zerfällt:

62

(G.)

d'r.

m

{^-'\SP;'-'-.sin=5P,.<//;.=}

or.

-t-A

^1

dt d{r-sm-(f.ip\)

, . • ^ ,,1 dU

IL dir

8f

am

dr. dm

dU

i-l

df

-H-

das

dt dii>. ' " diiL ' '^ dip.

Von vorzüglicher Wichtigkeit ist die Transformation dei- ursprünghchen Veränderhchen in neue, die so ge\\-ählt sind, dass. ^^\•nn Alles durch sie aus- gedrückt ist, die Bedingungsgleichungen von selbst befriedigt werden. Wenn nämlich m Bedino-ungsgleichuno-en vorhanden sind, so lassen sich alle Sn Coor- dinaten durch 3« — in derselben oder auch durch o» — hi Functionen derselben ausdrücken. In den meisten Fällen ist es sehr wichtig, nicht die Coordmaten selbst, sondern neue Grössen einzuführen, um Irrationalitäten zu vermeiden. Bei der Bewea'uns eines Punktes auf dem Ellipsoid z. B. sind die Formeln

X ^ acosTj, y = bsrnr^cosl.

csmrjSinQ

welche die Gleichung des Ellipsoids identisch befi-iedigen . von der grössten Wichtigkeit. Wir wollen die neuen 3« — m ^ k Grössen q^. q^, ■ ■ ■ qt nennen: sie sollen so beschaffen sein, dass, wenn man a\. y^, z^, .r,, y^, c, ... durch sie ausdrückt und in die 7n Bedingungsgleichungen f^ 0. w = U. . . . diese Aus- di'ücke einsetzt, die linken Seiten dieser Gleichungen identisch verschwinden, d. h. es soll identisch

(7.) f(q„ q„, ... q,) = 0, ü}(q„ q,, . . . q^) = 0. ...

sem. ohne dass zwischen den q irgend welche Relation stattfindet. Hierdurch werden die Differentialgleichungen der Bewegung bedeutend vereinfacht. Für ii'gend ein Coordinatensystem nämlich ist nach Gleichung (4.) die allgemeine sym- bolische Grundo-leichung der Dynamik, wenn Bedingungsgleichmigen stattfinden.

d-.

äT

dq: dT

Sq^ = 6 U->r ). äf-+- itdüi-h-

df dq^

WO sich das Summenzeichen auf alle q erstreckt. Aber für unsere Grössen q gelten die Gleichungen (7.) identisch; daher hat man nach Einführung dieser Grössen <)/'= 0. diö = 0. etc. und die obige Gleichung reducirt sich auf

,dT

dq'^

dT

Sq = dU,

C3

wclclic "m / |)iiri'i-cnti;tlL''lii<'hnriircn dci' Form

' ör/; oT ÖU

dt d(j^ dq^

zerfallt. I)ics ist die F(ii-iii. in wcIcluT Lii///-(iiii/i' schon in <\vy alten Ansirabe ilei- Mt'caniiiuc analyti(|iu' ilie Diffeivntialali'ic-Iinn^icn der ISewt-oung rjarfrc-sti-lit hat.

hfiikt man sich alle Coordinaten ihu'ch die (o-iissen fj ansiredrückt. so erhrdt Tnan <lurcli I)ilVei'cntiation:

d.i-, djr. dx.

Cq, cq.^ '- dq^ '>■

dy. dl/. dir

'^■ = 'öq;'^'-^'dq:'^^^--^^q;'^^'

dz. dz. dz.

oq, dq, '- oq,^ ''

Wenn man diese Wertlii' in T= };2i)ii,(.i','-hy','-hz]-) einsetzt, so erhrdt man einen Ausdruck, der in IJeziehunü; aui' dii' (ir(>ssen (f,. (f... ... q[ eine homotiene

Function zweiten (irades ist. deren Coet'ticienten hekannte Functionen von (y,. q.j. . . . (/; sind. Setzen wir

dT

so köinien wir die (ileichunu' (S.) auch so schreihen:

'Ij's _ d(T^i-)

dt dq^

Dies ist zwar noch nicht die schliessliche Foi'in der (ileichunii'en der l>eweu'uii,i:. sie ei't'ordert vielmehr eine l'eriiere Translormation: aher ehe wir hierzu iilieri;ehen. wollen wii' das ISisherii:!' aul' den Fall ausdehnen, wo keine Krät'tel'unction existirt. sondern wo au die Stelle von ()L in der ursprCni^lichen symlMilischen (ileichuni:' der liewegunu.' ^(^X,öi\-{-Yßyi-'!-Z,dz^ tritt. \\ enn

vU Alles in den Grössen ii ausiieilrückt ist. so ist i)U=^-t-, — ()>/ . Veririficht

' ' s cq^ ■<

man dii's mit dem ehen erwidniten Ausdruck .2.'(A'()'.f,-|- }'<)';/, -i-Z,()'j,) und er- innert >ich an die in der zweiten \'orlesunL;' (p. 13) gegehene Regel, wonach

bei ehier Transl'ormation der Coordinatt-n für ().i\. ih/,. (V-, beziehimgsweise d.v. cy^ dz.

^ ■. ' d'(i . ^ - ' dq . .2!" -5-^ »)■</ zu substituiren sind, so sieht man. dass an , dq^ U , cq^ Js . dq^ A<

— 64 Stelle von

der Ausdruck

^9.

( 8.T.

%. dz

' dq^ ' dq^

dz. \

a TT tritt, und also an die Stelle von -i:, — der Ausdruck

^%

dx. dl/. dz.

dq^ ' dq^ ' dq^

Vermöge dieser Aenderung wird Gleichung (8.) durch folgende ersetzt:

/ dx. dii. dz. \

^ ST

d-

N, dT

(11.) ^ -V^ = Q .

Wenn man hierin für .'^ die Werthe 1 liis k setzt, so erhält man für. den vor- liegenden Fall die Gleichungen der Bewegung in den Grössen q ausgedrückt.

Wir wollen die Gleichung (11.) noch auf anderem Wege veriticiren und zwar, indem wir von den in der vorigen Vorlesung (p. 54) gegebenen Gleichungen (5.)

d'^x. m

de	"' ' " ex. ' •" dx.
dt'	„ , df düi
d'z. ' dt'	„ . df cm

4^

^\dx,

dx. dy. dz. ausgehen. Multiplicu-t man diese Gleichungen mit -^, -^, -^ um! sunnnirt

ö^-/ dq^ ■ dq^

in Beziehung auf i, so erhält man als Multiplicator von X

_df_öx^ _df^(% _5/ _^\ _ ^/"Cgn <?.■»• --gj ö?» "*" ^y^ ö?, "^ ÖS. d^ J ~ dq^

Der xVusdruck rechts aber verschwindet nach (7.), und dasselbe gilt von den Coef- ticienten von ,«...: daher erhält man mit Berücksichtigung der Gleichung (10.):

f d''x. dx. d'-y. dii. d'z. dz. )

Um die Gleichung (11.) zu verificiren müssen wu" also zeigen, dass ihre linke Seite mit der linken dieser Gleichung identisch ist. Dies wii-d folgendermassen

— G') —

iiacligewit'seii. Es ist

T=^:?/".G<^+i/;^-i--;^).

ilahor BT

, ^'-i^

°'L

-II,

^'1. '' %.

Nun haltcii wir uIilt die DiireiviitiulfflLnchüniren

ö.r ö.f O.r

y,

ö,, '^-^	1 — = —
Öq^ oq„
% ,	cz.
%, '^'	Öq.^

(Jr

(ir

dz

'h'

Hieraus foli>t:

ferner:

dx'.

d-.r

ö%	^'J,öq,
Sy',	^'Ui
09,	^'IP(L
dz' t	ö''-z.

dx. dl/.

d'x vq^cq, '■

^ "^X

6z\ c-x

Oz^

dx

%^

dt

^%

^If'h

°'y. ^, ^ ^ _^,

d-z. c'z.

., -' q'.H i — - — r^— 51 =

^(L

dt cz

1

df

Die Substitution dieser ^Vertlle in -r—r luid — — üiel)t

^r-7- =: Zin\x

8.

daher ist

^3,

ST Ö9s

c?.

^y.

= Zm \x

dx

"~'A

cz cq^ ' C'</^

^y,

:-)■

(^

^-i/.-

«^^s

dt

dz

dT

oq[ BT

dt dq

H

(Lv'. 6d' (hi cu. ih\ 6z. Ift Bcq

d\

dt oq^ dt cq

/"(/, Ol/. d'z. dz.

)

6z' \ •' dg, }

/ d\t. o.r d'y. Ol/. d'z. dz. \ ■

^ "'" l </^-- dq^^ dt' eq['^ dt' OqJ'

Jacolii, Werke. Siippk-moiitl'aini (Dvnamik).

— 66 —

wodurch die Identität der Gleichungen (11.) uml (12.) bewiesen und zugleich die erstere veriticirt ist.

Somit hat man, wenn keine Kräftefunetion vorhanden ist, Gleichungen der Form (11.) als Gleichungen der Bewegung, wenn aber eine solche existu-t, Gleichungen der Form (8.) oder, was dasselbe ist, der Form (9.), nämlich

dp, ^ ö(T-hU) _ dT

dt d(i ' P^ ~ d(i[ '

Aus der Form dieser Gleichungen ergiebt sich auf der Stelle ein be- merkenswerthes Resultat, und zwar: Kann man die neuen Variablen so icä'hlen. dass eine derselben q, in der Kräftefunetion nicht vorkommt und dass cur Dar- stellung vo)i T nicht die Variable q, selbst, soiideni nur ihr Differoitialquotient q[ gehraucJU wird, so ergiebt steh aas diesem Urnstande jedesmal ein Integral des vorgelegten. Systems von Differentialgleichungen und zivar |)j,^Const. , oder.

dT was dasselbe ist, ^ , = Const. Denn unter der eemachten Voraussetzung ist

dq[ *^ *^

oiT+U) ^^1^ ^^^^^^ ^^^^ ^^,^j^^^^ _1Z:l = o. jj, = Const. Dieser FaU tritt z.B. bei

6(1 "' "" dt

der Attraction eines Punktes durch ein festes Centrum ein. Befindet sich das Centrum im Anfangspunkt der Coordinaten, so hat man in Polarcoordinaten (Siehe Gleichung (3.))

U=-^, T=^»/(r'--hr-(f.'--hr-üm-(f:ifi'-),

es kommt also (/' in U nicht vor und in T nicht (/' selbst, sondern nur dessen Difterentialquotient ip', daher hat man

— = mr sm (fip = Lonst.

dtp'

oder, indem man den Factor m in die Constante eingehen lässt,

r's'mq' . ip' = Con.st.,

was man übrigens auch aus der dritten Gleichung (6.) hätte ableiten können.

Dies ist das Princip der Flächen in Beziehung auf die Ebene der y, z. In der

That, es ist

,5 = rcm(f, y = rsinycosi/', z = rsiny. sin i/',

also

-J^.tp'=^^-'^',

— 07 — oder nach Multiplicatioii mit y- = i" nur y co^i' if.\

: . ; , fh du

' ''dt dt

und es ist ilaher

r-sin-(f.Ui =y-^jf '~- k ^ '^"■■*^' das Pi-inciii drr Flächen für die El)ene der y. :.

Noinite Yorlosuiiy;.

Die //rt?Hi7^on.sche Korm der Bewegunesgleichungen.

Nach dein Hrschi-inen der ersten Ausiial)e der Mecanicjue analvtlijue wurde der wichtigste Fortschritt in der rinlorniunii- der Ditrerentialcleichunuen der Bewegung von Poisson in ehieni Aufsätze gemacht, der von der Methode der Variation der Constanten handeh und im Ib'™ Hefte des polytechnischen Journals

steht. Hier führt Poisson die (xrösscn » = -:^- für die Grössen o' ein: da nun.

^ cq ■■ •

wie schon oben bemerkt. T eine homogene Function zweiten Grades der Grössen q' ist. deren Coefficienten von den q abliängen. so werden die p lineare Functionen der Grössen q : zur Detinition der j) hat man also /• Gleichungen der Form p.=zw., wo ü5, in Beziehung auf q^. q'.,. . . ■ q[ linear ist. Lö>t man diese k li- nearen Gleichungen nach den Grössen q' auf. so bek<inmit man Gleichungen der Form q', = I\,, wo die A' lineare Aus(hMicke in den j> sind, deren Coefficienten von den q alihängen. Diese Ausihnicke von q': wollen wir in die Gleichung (9.) der voriiien Vorlesuuij einsetzen, d. h. in die Gleichunü;

^/^, ^ d(T+U) ^ 6T du dt dq. dq. dq.

r> TT "^ rj^

wo —^ — nur die q enthält, während — - noch überdies Function der Grössen q' ist und zwar eine in Bezug auf (hese Grössen homogene Function zweiten Grades. Setzen wir nun o' ^ A' ein. so wird -^ — eine honiouene Function zweiten Grades der Grössen j),. Dadurch wird die obige Gleichung von der F(jrm

dt ='-'

r

— G8 —

wo F; ein Ausdnick in den p und q ist und zwar zweiten .Grades in Bezuo-

auf die ». Diese Gleichunoen mit den Gleichungen q, ^= — -^ = K. conihinirt

■ dt '

geben :

da. dp.

^'■■^ dt '' dt ~ '■

Dies ist die Form, auf welche Pof.'^.^o)/ die Gleichunrren der Beweüunf brin"t. wo Ä' und F, weiter keine variablen Grössen enthalten, als die p und die q. Von diesem System von '2li Gleichungen gelten die merkwürdigen Sätze, dass

dK. dK., dK dP. dP BP

(2.)

dp., dp. ' dq., dp^ ' dq^. öq. '

von welchen Fotssoii am angeführten (Irte die erste Gruppe genau ebenso angiebt, während die übrigen sich aus seinen Resultaten unmittelbar hin- schreiben lassen.

Die Gleichungen (2.) zeigen, dass die Grössen A' und P, als die partiellen Difterentialquotienten einer Function nach den Grössen p, und — q^ anzusehen sind. Diese Bemerkung, die ohne Weiteres aus den Gleichungen (2.) hervoi-geht. macht Poisson nicht; noch weniger sucht er jene Function zu ermitteln. Diese Bestimmung hat vielmehr HamiJton zuerst gemacht, und durch die Einführung seiner charakteristischen Function wird die ganze Umformung ausserordentlich erleichtert. Auf dieselbe kommt man fast von selbst, wenn man aus der in .der vorigen Vorlesung angegebenen zweiten Laffrangeschen Form der Differential- eleichunü'en den Satz der lebendiiren Kraft herleiten will, eine Herleituns;. welche nicht ganz auf der Hand liegt. Der Satz der lebendigen Kraft ist. wenn man den Fall mitberücksichtigt. in welchem in der Kräftefunction 6^ die Zeit explicite Vorkommt.

/" PTT T= U—j-^df-hComt.

oder ditFerentiirt

dt

d(T—U) du

0. (Seite 4U.)

dt ' df

Um dies Resultat aus der (in Gleichung (9.) der achten Vorlesung enthaltenen) zweiten Layrangeschen Form der DiiFerentialgleichungen

''/', _ d(T-i-U) _ dT

dt dq^ ' ' '■ dq'.

Pi

69

lici-ziiK'itL'i) . vcrl'ährt iiiiin aiil' IoIlicikIi-' Art. T i>t ciiu- Iiohkj^'i-iil- Fmictioii zwfit.eii Grades der (Ti-ö>st'ii r/. also hat man. wie ln-kaiiiit.

' cq, d(J., '■ C</,. ^''^'

'■'A.

oder

'^=-4f-^'

und hiei'aiis erliidt man durcli vollstäiidiov DillVreiitiatimi

dT= -</'4?^+^4^.Y- V %[ >lq'^^^<l,,

oder, da die zwi'itc und dritte Sunnuc cmamk'r aul'liclH'u. (3.)

dl = ^11 d~^~-, .i-7, — aq = ^qdp. — -i-- dq.,

welche Gk'ichimif identisch i>t. Fülirt man liici-in für d '.—, ^ dp- seinen Werth ans (!).) der vongen \ Orlesniiü- ein und dividirt diurh dt. so ergiebt sich

dT

dt

e-cr^u) , ^CT -iq,

öq,

q — - -^

dq- dt

dU , dU ÖU

alsd nahen \vn"

~ dq,'^' dt

dcr—u) eu

et

dt

et

( I. \v. z. I). \v.

Dil' identische Gleiclumg (o.) führt mit Leichtigkeit auf die Hann/foiinchc

cliarakteristische Function. I)ie iiartielieii DilVeiviitialquotienten ^ und .—r=P:

'■^'/i '^'7,

nämhrh. vwlclie auf der rechten Seite der (ileichung (o.) vorkommen (\'on den

letzteren die Ditferentiaie). werden gel>ildet. indem man 7' als Functionen der

Grössen 7 imd tf ansieht. Führen wir alier durch ilie sclmn olien erwälniten

linearen Gleichungen q.=^K. die (irössen [i, für 7! ein. m> wird dadurch T eine

Function der Grössen /) und </. und die unter dieser Hypothese gebildeten

r)iirerential(|Uotienten von 7' nacli y/ und q, wollen wir zur (_ nterscheidung mit

(-. — 1 und (--5 — I liezeichnen. Dann ist

'--^-{'B'^M^-y,.

— 70 — also nach Gleichung (3.)

Da diese Gleichung identisch sein niuss. so folgt aus derselben

... (dT\ oT

Die Gleichung (4.) zeigt, dass zwischen den Grössen p und (/ eine Art von Reeiprocität stattfindet; denn durch Zusammenstellung mit der früher aufge-

stellten, -^^-r = P,- erhalten wir die beiden Gleichungen

dq. -* '^

dT (dT\

eine Correlation, wie sie ähnlich in der Theorie der Oberflächen zweiter Ord- nuns vorkommt. Setzen wir den in (ö.) aefundenen Werth von -^ — in die Gleichung (9.) der vorigen Vorlesung ein, so erhalten wii-

<^Pi föT\ dU

-m-

dt \ dq. ) dq.

Aber da U die p gar nicht enthält und ebenso wenig die q\ so ist

Ferner kann man, weil U kein /* enthält, die Gleichung (4.) auch so schreiben:

_^ _ ( d{T—U) \

dt ~\ dp. y

Also haben wir, wenn

(6.) T—U=R

gesetzt wird, ' .^^ ^^g, _(dH\ dp. _ rüH\

^^■^ dt ~\ dp.}- dt \ dq, ):

woraus man sieht, dass H ^= T — U die characteristische Function ist. Aus diesen Gleichungen ergiebt sich der Satz der lebendigen Kraft von selbst; denn aus den beiden Gleichungen (7.) folgt

/ dll \ dp, ( dB\ dq,- _ \dpj dt ^l dqj dt

— 71 —

iuhI 'lies in I)i'ziclmnij: nuf alle / smnmirt jr'iobt:

.111 dll _

(1. li. den Satz t\vv K'lifiiiliL''en Kraft.

I)a (.'S sich von selljst versteht, dass in den Gleichungen (7.) die Cxrössen j) und (y als die \'ariahlen anzusehen sind, so kann man die Klannnern inii die hirterentialquotienten fortlassen und erhält:

dq, _ dH dp, SU

^^■■> ~dt ~~d^' -dt--" dq: ■■ '' ~ ^~^-

In dem allgemeineren Fall, wo keine Kräftel'unction e.xistii-t. tritt an ilie Stelle

Q = -U^;' ^yV' +^'^ ).

V oq cq f'Y /

WO die Sunune üliei- alle .c, y, z auszudehnen ist. und es treten also an die Stelle der Gleichungen (8.) folgende:

dq. ST 'fp 6T

^ ' dt ~ dp, ' dt ~ dq, ^ '•■

Wenn keine Bedingungsgleichungen vorhanden sind, fallen die Grössen (/ mit den

Coordinaten zusammen: die erste der Gleichungen (8.) wird identisch, die zweite

geht über in das System

d% SU dy, SU' <''=, 5U

m.

von — , - (M- Ausdi-uK

' dt- d.i-, ' ' dt- cy, ' '■ dt- dz,

welches die ursiirinigliclie Form der Bewegungsgleichungen ist.

Zclnite Vorlesiniii.

Das Princip des letzten ^hihipiicators. Ausdeliiuiii«,' des J'Juhischen ^hlltipHcators auf drei \'erändc'iliche. Aulstelluiiif des letzten ^hdtiplicators für diesen l'all.

l)as Pi-incij) des letzten .Multiplicators leistet in allen Fällen, wo die In- tegration eines Systems von Ditferentialgleichnngen der Ijewegung liis auf eine l)itt"erentialgleichung erster Ordnung zwisclien zwei \ arialilen zurückgeführt ist. die Integration dieser letzten Gleichung din'ch Angal)e ihres Multi[>lieators. Vorausgesetzt wird hierbei, dass die sollicitirenden Kräfte A,. i,. Z, nur von den Coordinaten und der Zeit abhäniicn.

— 72 — Wenn wir in das System der ursprünoliehen Differentialgleichungen der

Beweeunc die Diflerentialquotienten — r^, — r^. -V- als neue Variable .t,, y,. r, ^ - ^ (« ■ dt ' dt "^

einfiihren. so nimmt dasselbe folgende Form an:

dd __ _ fjf firr. dx

m.

m.

■y.>

dt ■ d.v. ' ' d.ir ' ' dt

dy] „ , 6f dm dy,

dt • Ol/- dy. dt

(H r, ,df am dz^

Dies sind 6« Differentialgleichungen; aber zwischen den in ihnen vorkonnnenden 6n von t abhängigen Variablen .r,, ?/,, z^, a;', y-, c] ... bestehen schon '2m Re- lationen, nämlich :

/• = U, ra = 0, ....

\ d.i\ • dy^ •'' dz^ 7 ' \ üx. ' %,. ^' dz. ')

Auf den linken Seiten der letzteren ■;» Gleichungen sind respective die Terme ^~, -qT-, . . . hinzuzufügen, wenn t in /'. to, ... explieite vorkommt. Man hat also noch 6» — 2/« Integralgleichungen zu rinden.

Setzen wir nun zuerst voraus, dass t weder in A'^, J', Z,, noch in /', (5, ... explieite vorkommt, so kann man durch eine der (Sn Gleichungen.

etwa durch die Gleichung -^^x\ oder dt^-^. aus den übricen die Zeit eli-

'^ dt ^ x\ '^

miniren und hat dann ein Svstem von Cut — 1, Differentialgleichungen, dessen vollständige Integration Q>n — 2?» — 1 Integrale erfordert. Gesetzt, diese Inte- gration wäre geleistet, so kann man die (i/^ Grössen .i-,-, ?/,■, z^, .;■', y-, z\ ... durch eine derselben, z. B. durch .ij, ausdrücken. Denken wir uns auf diese Weise x\ als Function von i\ dargestellt, so giebt die Gleichung dt-

X,

mtea'ru't

f+Const. = I -^J-

.' .7'

<

es konnnt also, wenn die Zeit nicht explieite vorkommt, die letzte Integration auf eine blosse Quadratur zurück, und die Zeit ist dann immer mit einer will- kürlichen Constanten durch Addition verbunden. Dies findet z. B. bei der elliptischen Bewegung der Planeten statt. Nehmen wir alier an, das System der 6;; — 1 Differentialaleichunoen, welche nach Elimination der Zeit erhalten

— 73 —

wurden, sei nicht vollständig iiitegrirt. sondern e> fehle noch eine Integration, man habe also nicht ü« — 2»* — 1 Integrale get'inideii. sondern nur (in — 2)n — 2: alsdann kaini man nicht alle Variablen dm-ch eine einzige, z. [>. .c,. ausdrücken, wolj aller dinrh zwei, z. B. .i\ und ?/,. In diesem Falle lileibt noch eine Ditle- rentialgleichung zwischen .r, und (/, zu integriren übrig: hat man nämlich aus

-,- = v'i das Ditlerential der Zeit durch c/^= — ,' eliminirt. so erhält man dt "^ ' .r\

wo .;■', und ;/', nach unserer Annahme Functionen von .i\ und (/, sind. Von dieser Differentialgleichung nun giebt das von mir aufgestellte Princip den Multiplicator an. Nachdem man sie mit Hülfe desselben integrirt hat. findet man. wie üben bemerkt, die Zeit (hu'ch eine i)losse Quadratur. Wenn also diese nicht exjilicite vorkonnnt. so braucht man nur {\n — 2//( — 2 Integrationen aus- zuführen, lun die beiden letzten ohne weiteivn Kunstgritl" zu erhalten.

Kouuat die Zeit aber explicite. also nicht blos in ihrem Differential vor, so lässt sie sich aus den Differentialgleichungen nicht eliminireii. AVeiui jedoch alsdann 6» — 2?» — 1 Integrationen ausgeführt werden k<")mien. din-ch welche >ich Alles auf die Integration einer Differentialgleichung von der Form

du\ — :c\df = 0

reducirt. wo .i\ Function von .r, und t ist, so erhält man wiederum durch das Princip des letzten Multijjlicators das letzte Integral.

Nachdem wir gesehen hal)en. was d.is in Iiede stehende Pnncii> leistet, gehen wir zur Herleitung desselben über. —

Als Euler schon an sehr vielen Beispielen gesehen hatte, dass man Dirtei-entialgleichungen ei-ster Ordnung zwischen zwei Variablen durch Multi- plicatoren zu vollständigen Differentialen machen und so integruvn könne, dauerte es doch noch sehr lange, bis er zu der Einsicht gelangte, dass dies eine allgemeine. Eigenschaft dieser Differentialgleichungen sei. Dies lag daran, dass ihm die Vorstellung, die Integralgleichung nach der willkürlichen Con- stante aufzulösen, sehr fern lag. Wäre ihm diese geläutiger gewesen, so würde er auch nicht daran verzweifelt halien. die linearen partiellen Differential- gleichungen auf gewöhnliche zurückzufühivn. ein Problem, welches er für schwieriger hielt, als das noch heute ungelöste. Differentialgleichungen zweiter Ordnimg zwischen zwei Variablen zu integriren. während die Zurückführung der partiellen linearen Differentialgleichungen auf gewöhnliche jetzt zu den

.lacobi. Werke. Supplcmcnlband (Dynamik). 10

— 74 —

Elementen gehört. Euler hat auch nie die Theorie des Miiltiphcators auf ein System von Difterentialgleichungen ausgedehnt, obgleich in diesem Falle das Verfahren ebenso einfach ist. wenn man sich die Integralgleichungen nach den willkürlichen Constanten aufgelöst denkt.

Nehmen wir zuerst eine Ditferentialgleichung zwischen zwei Variablen .(• und ji, und zwar sei sie in Gestalt der Proportion

gegeben, welche mit der Gleichung

X%— F<7.r = 0 identisch ist. Denkt man sich das Integral auf die Form F=Const. gebracht, so erhält man durch Differentiation die Gleichung

dy "^^ du'

deren linke Seite nur um einen Factor M von der linken Seite obiger Differential- gleichuno; verschieden sein kann: man hat also

rF dF

imd hieraus ergiebt sich zur Bestimmung von M die Gleichung

^ ^ d.v dy

Dehnen wu- die Theorie dieses Multiplicators M auf ein System zweier simultanen Differentialgleichungen zwischen drei Variablen aus. Dasselbe sei in folgender Form vorgelegt:

(2.) cLr:-Jy:d: = X:Y:Z,

die InteoTalo'leichungen nach den willkürlichen Constanten aufgelöst seien

(3.) /■=«, v = ß;

dann hat man

^d.+ -l^cly + ^/-,I. = 0, ^.Ir+^cJy + ^dz = 0, 6d- dy dz ox dy dz

und hieraus ergiebt sich

' J ' ~ \ dy dz dz dy )'\ dz dx dx dz )'\ dx dy dy dx ) Setzt man

^_df_dif^ df_d<f_ ß^_^_^ df^d^ ^.^ df d<f df d(f

dy dz dz dy ' dz dx dx dz ' ' dx dy dy dx '

= 0.

— 75 —

so ist also

dj::dij:dz= A:B:<:,

was mit dem vorgelegten System (2.) verglicht-ii zu iKt Piuijortiuii

A:B:(:=X:Y:Z

führt. Es giebt also einen Miiltiplicatur M von der Reschalfenheit. dass

' J = MX, B = MY, <:= MX.

Aber die Grössen .1. />, (' boiViedigeii idcntisdi die KV-lation

dA dB de

daher hat man für M die (rleiehung

d{MX) 6{MY) v{MZ)

d.i- dy 6z

oder

„53/ „dM ^dM idX dY cZ],, , (4.) X-^ \-Y-^ \-Z~^ h\^. 1 — 5 — h .- \M = 0.

^ ^ o.r Ol/ dz \ o.t dy oz J

Da f = cc uml y= /^ Integrale des vorgelegten Systems (2.) sind, so nuiss (If nnd dif vermöge dessellien identiseh vcrsehwinde'n. ohne dass die In- tegraliileichunaen zu Hülfe genommen WL'rden. Es ist abei-

öf , df , df , , d(f , dq , da ,

<// = -^ili--\ ^<hj-\-^jL^dz, d(f = ^^d.v-h-~di/-{-~.^~dz:

' er oy dz " d.r dy '' cz

folgliili erhält man vermöge des Systems (2.)

^ ^ d.r oy dz a.r oy cz

welche (xleiehungen als die Detinitionsgleiehungen der Integrale des Systems (2.) anzusehen sind.

Man kann hieraus lieweisen. dass jede Function von /' und y. einer Constanten gleich gesetzt. eVtenfalls ein Integral des Systems (2.) ist. In der That. ist w irgend eine Function von /' uml <f . so multi[jlicire man du.- (ilei-

chunuen (ö.) respective mit -^c-^ und — — und addire: alsdann erhiUt man ^ ^ ' df c(f

\ df d.r oq d.c I \ of dy dq cy I \ cf c: c(f c: )

oder

(G.) x^+Y-^+Z ^^ -

dx dy dz

10*

— 7G —

also ist w ein Integral von (2.). Umgekehrt ist aber jedes Integral von (2.) nothwenclig eine Function von /' und (p. Denn gesetzt es gäbe ein Integi-al w^y. welches keine Function von /' und (f wäre, so gilt für ö) die Glei- chung (6.). Nun sei cj eine beliebige Function von /', (f und cö. Multiplicirt man daim die Gleichungen (5.) und (6.) respective mit -31^,. -^ — Lmd — — und addirt. so erhält man

8x dy dz

Ibloiieh ist auch w ein Integral der Gleichungen (2.). Es ist aber oj eine ganz beliebige Function der Grössen /', y, c5. und diese sind von einander unab- hängig. Daher könnte man /', (f, w als neue Variablen t'i'u' die ursprünglichen .r, y. : einführen und diese ursprünglichen Variablen durch /', y, Cö ausdi'ücken. Demnach kann man jede Function von .r, y. : als Function von /', (f, w dar- stellen, und eine willkürliche Function von /', <f, w ist gleichbedeutend mit einer willkürlichen Function von ,r, y, z. Man kann also jede Function von x, y, z für üi setzen, d. h. jede Function von .?■, y, z einer Constanten gleich gesetzt ist em Integral des Systems (2.), was unmöglich ist. Es kann also nur zwei von einander unabhängige Integrale des Systems (2.) geben und jedes dritte ist eine Function zweier von einander unabhängigen. /' und (/:.

Man kann dies Resultat dazu benutzen, um aus einem Werthe des Multi- plicators M alle anderen abzuleiten. Es sei N ein zweiter Werth dieses Multi- plicators. so hat man

x^^+F^^+z-^+^:;^+-^^+^;^ j/=o.

ej/ . ,, QM ., dM . {dX^ dY_ dZ

l dx dy dz

^ u., „>.x, ^^., l dX dY dZ\.,

dx 8y dz l dx dy dz i^

dN dN dN f dX dY , äZ

dx dy ^ dz l dx dy

Wenn man die zweite dieser Gleichungen mit J/, die erste mit N multiplicirt und die Resultate von einander abzieht, so ergiebt sich

0 = x{M4^-Nm^Y{M^-Nm+zhl^--Nm, [ dx dx ) y oy oy J l dz dz J

oder, wenn man durch j\I- dividirt,

<4) «(I) ,^{S)

o = x ;, ^ +F ,^ ^ +z -

dx dy dz

^ = Const. ist also ein Integral des Systems (2.), mithin -r^ eine Function von

/ /

/' und y, odor

(7.) N=MF(f,,fy.

(I. h. ist M ein Wcrtli dflü Mnltij)liciit(irs. so sind alh' iiliri^jfn Werf/w unter der Form MFQ\(f^ cntlialten. Aber, wk- vorausnc-st'tzt ist. sind f = (e niid <f == ß die Integrale von (2.). also wird F(/', y) = Const. : d. Ii. wenn man die Integ^ral- •rleichung'en zu Ilülte ninnnt. so sind die verscliiciienen Wci'tlie des Multiplicators nur um eonstante Factoren von einandei- verschieden. —

Wir wollen nun sehen, welchen \'oi'theil die Kenntniss eines Werthes von M (lewährt: hierdurch findet man nicht wie hei einer l)itferentialtrleichun<T zwischen zwei Variahlen das Integral seihst, sondern man findet nur vermittelst der Gleichungen A=MX, 1'>^=MY, (' = JIZ Werthe der Grössen

, df 6(f Bf 6(f r, 8/ d<; df ötf cf acf df d(f.

dy 6z dz di/ ' dz ö.e dx dz ' ' ö.r ö^ dt/ dj:

Der Vortheil. den man hiei'aus ziehen kann, tritt ei'st dann ein. wenn man ein Integral z. 15. y schon keimt und das andere /' sucht. Man l'ühre statt einer iler N'arialilen /.. !>. statt r den Ausdruck '/ «-in. so dass : als Function von (f, .V und // dargotejlt wird: wir wollen uns denmach das zu suchende Integral /' durch .(. y. </ ausgedrückt «lenken und die luiter dieser Hy]iothese

gebildeten partiellen r)ifVerential(|uotienten mit (--,7). (tt^)- (^^I bezeichnen,

dann liaben wir

o<v \ öx ) \ d<f ) öx oy \ oy J V dtf I ay tiz \ d(f ) dz und erhalten für die Grössen ^4, B. (' die Ausdrücke

i-(M\Sv o_ (Sf\d<f^ r-(lL\^v (Sf\d^

\dy) dz' ^ ~ V dx ) dz' -\ dx J dy \ dy ) dx "

Aus denselben ergiebt sich. dass. wenn man das Integral <y = /^ und einen Werth <les Multiplicators M kennt, man /' liestinnneu kann. Denn denkt man sich /■ durch .c. // und <f = ß ausgedrückt, so ist

■'^=(*)"-(f)"."-(f)'"-

oder da dcf = 0 ist.

— 78 —

Aber aus den obio-en Gleichungen für A und B hat man

B

\dyj dw ' \d.v)

also

Da nun

so wu'd

dl/ ) d(f) ' \ d,v ) (5y '

Adij—Bilv ,1t = ■^-

dz A = MX, B = MY.

(8.) df = -^ (X,h, — }\Lr),

und es ergiebt sich daher

dz

^^ (Xdy— Wir) = f=a

als zweites Integral des Systems (2.). Hier muss man A' und Y, welche als Functionen von x, y, z gegeben sind, durch x, y und (f^ß ausgedriickt an- nehmen. Unter dieser Voraussetzung ist. wie wir aus Gleichung (8.) sehen, — ?; — der integru-ende Factor der Differentialgleichung Xdii — JV,? = U. Somit

haben wir folgenden Satz:

Ist. das System von Differentialgleichungen

dx:dy:dz= X:Y:Z gegeben, und kennt maji erstens ein Integral (f = ß desselben, sowie zweitens einen Werth des Multiplicators M des Systems, tvelcher der partiellen Diß'erential- gleicliung •

dM

d.r ' " 6y genügt, so ist

M d<f "57

der integrirende Factor der Differentialgleichung

Xdy — Yd.c = 0,

„u.,. ^dM ..dM \dX dY dZ\., ,. öy dz { d.r Oll dz i

— 79 —

vo)-{i)isf/eset:t, dass sotcoh/ ans dem auf/ec/elwiien Factor, als ans X and Y rer- niö(/e des schnn (jcfuitdenen hdi'(jrals y: = /y du- Varnddi- z flinnnirf si-i.

Man krimiti^ diesen Satz für selir iintVnclitliar lialtcii: dfiiii wäliivinl zur Keimtniss des zweiten Integrals /' die Li")>uiiu der ])arti»-IKMi DilK'reiitialirleichung

da) a>i az

erfordert wird, haben wir. um M zu liestinanen und dai-aus das zwi-ite Iiitc^iral f y.n finden, die viel eoni|)]ioirtere Difterentialgleichnng

d.r Ol) dz \ ö.r oif oz )

ZU lösen. Es seheint als« ein leichteres PrdliK-ui aui' ein schwierigeres zurück- geführt zu sein: imlessen ti'itt hier ein eigenthüniliclier tnistand ein. Die partielle Differentialcleichuns. welche /' iletinirt. alsd die (Heicluinü:

ex Ol/ oz

lässt die Lösung /'= Const. zu: aher iliese eviilente Lösung giebt kein Integral des vorgelegten Systems und muss daher ausgesclilossen werden. Ein solches AusseWiessen einer Lösung ist bei dein .Multiplicatni- M nicht nöthig. und wenn z. B. M einer Constanten gleich gesetzt eine Lösung der Gleiolumg (4.) giebt. so ist dieser Werth von M als Multiplicator eliensowohl zu l)rauchen. wie jeder andere. Der Fall, dass man J/^ Const. setzen kann, tritt ein. wenn ,,, . cX ö Y öZ ,-

(y.) -7. — I — .^ — I — ^- = 0

ox cy oz

ist. denn alsdann reducirt sich die Gleichung (4.) auf

oj; dl/ cz

man kann also J/= Const.. z.B. =1. setzen und hat ilen Satz: Wetin in dem System der Diß'erentia/g/eichnnfjen

dx:d!r.dz = X:Y:Z X. Y. Z Fnncfinnen von x. y, z sind, weich' der Bedinynny

dX dY dZ

H — ;^ 1 — -.,— = 0

d.v Ol/ dz

genügen, n-enn man. ferner ein Integral (f ^ ^ ß des Systems ken)d. aus dieser Gleichung z in den Grössen .r. y. ß ausdrückt und deu gefundenen Werth in

— 8U —

X, Y, ^ einsetzt, so ist äz

-J—(Xdy-Ydr) = df

ein vollständiges Differential, vnd man findet also durch blosse Quadrattcr das zweite Integral /'= a des Systems.

Es ist noch ein zweiter allgemeiner Fall zu erwähnen, der den eben ge- nannten in sich schliesst, laid in welchem sich ebenfalls M allgemein bestimmen lässt. Führt man nämlich in die für M geltende G-leiehung (4.), nachdem man dieselbe mittelst Di\'ision durch MX auf die Form

1 ( dM Y dM Z dM \ 1 ( öX dY oZ \_

M V dx ^ X dij '^ X dz r X\ dx '^ dy ^ dz )~

gebracht hat. die aus dem vorgelegten System (2.) folgenden Werthe

Y__dy^ '/■ _ <h X ~ (ix ' X ~ ,lx

ein, so erhält man

1 / ÖM ÖM dy dM_dz\ 1 / 8X 6Y dZ\_ W\ ÖX '^~df~dF~^'driü)'^'X\~dy~^~of^ öz )~

/ dX cY dZ\ ^ .^

M dx ' X l dx ry dz ) "

M\ ÖX dy dx ^ dz dx r X\ öx ~^ dy

oder

1 dM 1 / dX c Y BZ

oder endlich

d\gM 1 ( 'dX dY ^Z\ .

Ist nun -^i- 1 — ^ 1 — ^--1 ein vonständioer Differentialquotient nach .v, also

A V dx dt/ dz J "- '■

von der Form -j~. so hat man dx

d\g.M d'i " ■ - 0,

M=C.e~i. Hieraus eroiebt sich der Satz:

Das vorgelegte System heisse

dx:dy:dz = X:Y:Z, es sei ferner der Ansdriick

X\ dx '^ dy ^ dz )

— 81 —

gleich ~ , d. h. gleicl) irfjend einem rolhU'iiuVKicn llißWeidialquejüenten nadi x, endliclt si'l <f = ji ein lii'kaimles J/((e;/r('/ des Sijs/t'ins: dciiii ist

-^iXdy-Ydy)

dz

ein vnJlständi()es Dißerenfial, voiwisf/esetzt, dass hierin vennöf/e des Integrals <f = li Alles in X und y (insgedrückt sei. Man kann iiati'irlirli iliL^s Hi-siiltat auch so auss]irt'cli('n. dass dii' In-iden Vcrändi'rlicliL'n di's Dineivntialaiisdnicks, von wclclu'in der iiiteprireiido Factor angogcljcu wird, nicht .c und // sondern x und z oder ij und : sinil.

Wir wölken HcispieK- zu diesen Sätzen gelien. \l> sei zuerst euie ge- wöhnliclie DitVerentialgleichung zweiter Ordnung zu integi'iren. nämlich

Führt man eine neue Variable z = -~~ ein. so hat man die heiden r41eielnmi;en

(ix ^

d^ ' dx

also

(/./• : dij -.dz ^ \:z:u; daher ist nach den früheren Bezeichnungen

A' = l. F=c, Z = «. Um den ersten der In'iden aufgestellten Sätze anwenden zu können, niuss

d.v cy ' c:

sem: ui dem hier vurlieiienden rall ist — t, — ^U. -t^ — =v. —^ — = ^; — , also

er ^y oz cz ■

hat man die ISedinuuni;'

oz d. h. es darf in " nicht c oder, was dassellie ist. nicht — ,--- voi-komineii. In- dem man diese Annahme macht, erhidt man das Theorem: Es sct die liijf'erentiahjleichung

d-lj

d.

't- = /(->■■!/)

Jacohi, Werke. .Supplementbauil (Dyiiamik\ II

— 82 — zu integriren, wo f kein -—■ enthält, man kenne hiervon ein erstes Integral

welches nach —j- aufgelöst

oder

gehe, dann ist

(l>/ y

dy^xp(,r,y,a)(hv = 0 1

dx

in X, y und a ausgedrückt der integrirende Factor dieser Differentialgleichung.

Ein Beispiel zu dem zweiten Satze giebt die Variationsi-echnang. Das einfachste Problem derselben ist dasjenige, in welchem das Integral

/'/'(•^'^'^)

dx

ein Maximum oder Minimum, werden soll. Diese Aufgabe führt auf die Diffe- rentialgleichungen

d^

y

dx dy ' dx

Die erste derselben giebt entwickelt

d^ip d^ifj , d-ip dy' _ dip _

dxdy' dydy' dy'' dx dy

man liat also

dip d'ip d'ip

dy^ _ dy dxdy' dydy' ^ _ dx ~ dhp_ ~

dy'-' oder, wenn man zur Abkürzung

« = 5*/^ s"-4' 9-'*/' y _ a> dy'

dy dxdy' dydy' dy'' dx setzt,

dy' V

dx d'-ip

— 83 — Nun ist aiisscivk'Ui

also hat man

nj-^y

dx:dy: (hf = 1 : y' : u.

Es tritt hier ?/' an die Stolle der Varialileii. welche oben mit : bezeichnet wurde, und es ist also

X = l. Y=>/, Z=u.

Damit der zweite Satz Anwenduni: finde, niuss der Ausdruck

1 f ax JF 6Z \

X V ö.r dii c: )

X V dx 8ij

ein vollständiger Dirterentialcjuotient nach .v sein: im vorliegenden Fall ist dei-selbe

cu

du also fragt es sich, ob sich „ t als vollständiger DifferentiaKjuotient nach .r dar- stellen lässt. Es ist

also

	c
	c-W
	6y"
	d-ÜJ cv	Ö'Uj
Sit	%'■■■ ß>/	öy" '
öy'	(d'W	V

Aber zugleich wu'd

, cUl' f 6 6-W c 6-ip dy \

ciici/' \ 6j: Öu'" cu cu'' dx )'

cy' (^l/^y' c.rcy'' cydy'' ^il^if' \dx öy'" cy cy' dx

und da zufolge der Gleichunii

cy' dx

-~r im Zähler und Xemier von ^^-r sich iorthebt. so erhält man dy dy'

d ö'üi c c'W dy d o'ip dy'

6u öx dy'' cy cy'' dx cy' öy'' dx

— 84 oder

QU _ dx dy'- _ ^ dy"

dy' d'ip du:

dy"-

^ du lat -^rr ein > dy'

nach Gleichung (11.)

Es ist also in der That -5-y ein vollständiger DiÖerentialqiiotient nach .r. und

als -TT ^

dlgM _ ^ dy'-

d.r du;

Man hat demnach einen Satz, der für alle Probleme der Variationsrechnung gilt, in welchen das Integi'al

JH'U;>J,!j')J-r

ein Maximum oder Minimum werden soll. Damit diese Bedingung erfi'illt werde, muss zwischen x und y die Differentialgleichung zweiter Ordnung

d^'t dy' _ dip

dw dy

bestehen, .welche folgende Eigenschaft besitzt: Kennt man ein erstes Integral derselben

^(■'■'^'^) = « und bringt dasselbe auf die Form

dy—F(.r,y,a)d.r = 0, SO ist

1 d"-ip d<f dy'-

fl dy dx

in X, y und a ausgedrückt der integrirende Factor dieser Differentialgleichung.

In diese Kategorie von Aufgaben des Maximums oder Minimums gehört

z. B. die Bestimmung der kürzesten Linie auf einer gegebenen Oberfläche. . Diese

Aufgabe führt auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung: kennt man von

derselben ein Integral, so lässt sich der Multiplicator der noch zu integrirenden

Differentialgleichung erster Ordnung bestimmen.

— 85 —

Was bis jetzt von dem einfachsten Fall der N'ariationsreclimniir jresajft woivlen ist. lässt sich auf" den allireiiieinsten ausdehnen, in wehdieni nntei- dein Inte^ralzeiclien eine Function steht, die helieliiL'' viele vom einei- Varialilen ./ ah- häni;ifi"e \ ai-iaMe y, Z, f. . . . und vmi jeder ilie l)itl'eiviitialijUotieiit(Mi liis zu eiiiei- behehiir lioheti Ordnuuu liiu entliidt. W eiui eine sokdie Aufirabe lii> zu eiiirr Differential<ileichunii erster Orduuuu; zwischen zwei Variablen zui-ück'L'^eführt ist. so lässt sich die letzte Integration ebenfalls ansfiihren. At)ei- um dieses Resultat zu üewinnen. ist es nöthiii einiü'e Sätze über die Ausdrücke anzuführen, widehe bei der Auflösuni^ der linearen (Tleichiuiiivn vorkommen, imd welche von Li'jt/ace Resultanten, von Gauss Determinanten, von Cduc/iy alternirende Functionen ge- nannt worden sind.

Elfte Vorlesuiii!:.

Uebersicht derjenigen Eigenscliafton der Determinanten, weiche in der Theurie des letzten Mulliplicators benutzt werden.

Setzt man

P = (",— ö,)("3— «,) ...(«, — «,)... («„ — a,) (ff,— ß,).. .(«,—«.,)... («„ — «.,)

(»n ff;.-l).

SO hat das so detinirte Product /'' die Eii;enseliaft. dass es durch irücnd eine Permutatioii der Grössen <r^. a.,. . . . <i„ oder, was dasselbe ist. der Indices 1. '2. ... II niu' das Zeichen und nicht seinen absoluten Werth ändert. Von diesen Rernnitationen soll hier nur Foli^endes angeführt werden:

Man bezeichne die Indices I. '2. ... //. nachdem man ihre Ordnung auf eine ganz beliebige Art geändert hat. mit i\. /., . . . /, und die Permutation.

durch welche

L 2. o. ... s ... n in

i\. /.,. /.. ... /, . . . ;'„

übergeht, mit •/. Wie auch die Permutati(tn •/ beschatfen sein mag. so kann man immer die Iiidices 1. :.'. ... n in gewisse Gruppen von der Beschatlenheit

— 86 —

theilen. dass duvch die Permutation J die Indices. die zu einer Gruppe gehören, entweder in einander oder sammt und sonders in eine andere Gruppe übero-elien, so dass jedenfalls die zu einer Gruppe gehörenden Indices bei einander bleiben. In Rücksieht auf diese Gruppen kann man alsdann wiederum die Permutationen klassifich'en. so dass für einige derselben alle Gruppen in sich selVist üV)ergehen. für andere eme bestimmte Gruppe von Indices in eine zweite iibergeht u. s. w. Dieser noch keineswegs erschöpfte Gegenstand ist einer der wichtigsten der Algebra: in allen Fällen, wo bis jetzt die Auflösung der Gleichungen möglich fewesen ist. ist hierin der Grund zu suchen.

Die wichtigste dieser Klassificationen der Permutationen ist die in positive und negative Permutationen, von welchen die ersteren P ungeändert lassen, die letzteren P in — P verwandeln. In die zweite Klasse gehört z. B. der ein- fachste Fall, in welchem man nur zwei Indices i und /' mit einander vertauscht. Man sieht dies auf der Stehe ein. wemi man P auf die Form

P = ±{ai—a,)n(ai—a^)n{ai — ax)n{a,,—ai,) bringt, wo k sämmtliche Indices bedeutet, die von i und i' verschieden smd. und /i-, k' sämmtliche Combmationen der von / und /' verschiedenen Indices zu je zweien, wobei die Vertauschung zweier in derselben Differenz vorkommenden ausgeschlossen ist. Um zu beurtheilen, ob eine Permutation •

ij) { '• -• '■ ■ «

positiv oder negativ sei. vergleiche man der Reihe nach jedes / mit den nach- folgenden Zahlen. Ist /li die Anzahl derjenigen Fälle, in welchen das grössere t vor einem nachfolgenden kleineren steht, so ist (•/) eine positive oder negative Permutation, jenachdem ,/< gerade oder ungerade ist: oder einfacher: (•/) ist positiv oder negativ, je nachdem man durch eine gerade oder ungerade Anzahl von A'ertauschungen je zweier Elemente aus 1. 2, 3 ... /^ die Permutation

•tj, 4,- h ■ ■ ■ ^n erhält.

Um von dem Bisherigen zu den Determinanten überzugehen, Ijetrachte

man die ir Grössen

ffp /j,. f,, ... p,.. K, c,. ... p,,

u„

Man Ijilde das Product

«„» K> ^„» • • • Pn- a, b., c, ... /)„,

— 87 —

|ici-miitirc in iliiii (\\v Iiiiliccs aul' ;iIIl' iii(')olic|K'n Arten. isi-\n- ilciii jcilrsinal i\'- siiltirciHlcii I*rii<lii(ti' (las Pins- oflci- Miiiuszciclu-ii. icnai-lnli-iii die Pfnuiitatiori i'iiu' |)(>sitiw oder iic^ativc ist. iiiid MiiiiiiiiiT alle diese Pi-(idiicte mit den iluieii ziikomiiieiideii Zt'iclieii. I)er dadmcli entstandene Ausdinck

wo das d()])|)t'lt(' \'()rzeiclieii in dei' aniie^'etunien Bedeiitiiiiü" <feiioiiiiiieii wt-rden iimss. ist die Deteriviinaiite der tr Grössen (', ... />„. und diese //- (Jrössen werden die Elemente der Determinante 7? iienannt. .Man kann sich Ji ans fler I'jitwiekeJnnii' \<in /' dadnreli ent>tandiMi dt'nken. dass man in jedem (üiede das- jenijiv II, Welches in demsellien nicht auftritt, zin- nnllten l'ntenz erhöhen als Factoi' hinzni'üut und sodann t'üi- jeden Werth des Inde.x / an die Stelle der Potenzen n','. d], ir. . . . "p' hezieluniüsweise n,. i,, c,, . . . y>, setzt. Die De- terminante R hat i'oliiende Fundamental-Eiüenschai'ten:

1. Permntirt man zwei Indices / und /■ odi'r zwei Unchstaljen z. 15. a und // mit einander, so ü'elit JI in — /i" nlier. Daraus i'olut. dass. sobald zwei li'eihen \(in (Jrüssen mit einander zusananenfalleii. sohald also

« =«., f'^^f',, ■ ■ ■ /' ^ /', - oder

1^1, = /(,, '/., = li... ... (1 = h .

die Deti'rminante li vi-rschw\iidet.

'2. Die Determinante li ist in ISeziehuni: auf alle Grc'isseii. die in einer Peihe stehen. hom(i^;en und linear, also sowohl in Beziehunii' auf die (-rrössen

a^, Ir, . . . /< , als auch auf die (Trossen

f/r Hr ■ ■ ■ 'J„- Daher hat man

'/',•

Setzen wir

so ist ebenso

„ öß dR , 8R

Ca ' dh ' di>-

„ oR ÖR 6R

^ = ~T — f/>-+"r, — .'/-.H 1—5 — .'/„•

ÖR . oR _ 6R _

dc^ ' ■' 8/'^ " ■ ■ ■ dp,

— 88 —

Aber durch Vertausclmng der Iiidiees / umi k geht R in — R über. also, wie

hieraus ersichtlich ist. A, in — .Ij, B, in — i?j u. s. w..- mithin geht der Terni

von .1,, der in h^ multiplich-t ist. in den Term von — .1^ über, der in h, inulti-

plicirt ist, d. h. in R haben ujjf. und aj), entgegengesetzte Factoren, oder es ist

a-R _ d"R dcrdbi, öa^ob.

Ebenso hat man für drei Indiees /, k, 1

6'R Ö'R d'R d'R d'R c'R

da.dbi^oc^ da^,db^dc. dafib.dc^ da^db^dc. da^cbßc^ da^db^dc^''

und hieraus ergeben sich folgende Darstellungen von R:

R = ^l{a},^-a^b;)-^^,

I k

R = ^^^lcr(b,c-b^eJ-^a^(^c-b_c;)-^aXLc-b^c,)\ .f^f.^ .,

I k l

wo die Summationen auf alle von einander verschiedenen Combhiationen der Indiees 1. 2. ... n zu zweien und zu dreien auszudehnen sind. Diese Dar- stellung einer Determinante durch Producte von Determinanten niederer Ord- nuno- findet sich zuerst in einer Abhandlung von Laplace über das Weltsystem in den Pariser Memoiren von 1772. Laplace und Cramer in Genf sind über- haupt die ersten, welche die Eigenschaften der Determinanten gehörig unter- sucht haben.

0. Die oben angeführte Gleichung

dR dR BR

%1 °92 <^9n

giebt, wenn man a für g schreibt:

QR dR dR

R = a,

Dieser Gleichung sind noch a — 1 andere hinzuzufügen, welche sich dadurch beweisen lassen, dass R identisch verschwinden muss, wenn man zwei Reihen von Grössen einander gleich setzt: sie lauten:

, dR , cR , cR

0 = b.— hb.-,-r. 1 hb„^ — .

Ort, ■ Oßj ca„

- ^ 6R 6R 6R

-\-c.,-. 1 \-c„-

ca, " Co., öa„

6R öR 6R

' ' da, ^ ca., " oa„

— 89 —

Aul' iru'scn Foi'inL'lii ImtiiIiI ilic Aiil'l(")>uiiLi der liiiraivii ( ilcirliiiiiurii. J).-iiii hat iiiaii ilas SystiMii

o,.f,-t-i,.r,H |-y',.'-„=,'y,.

"■.■>\-\-fj-.-i\,-\ !-/',•'„ = .'/■.. •

-[,.r.,-\ \-p..

II .1- = II ,

ob, ' db, ' liat. so fi'liält man

du, ' Od., , etc. \vi) /i ilic ()l)c/ii aiiLicufliiMif ]!t-iI(MitiniL;"

(Ulli nuiltiiilii'irt iiian diese (ileicliiiiiL!;en i-espective mit oR 0R_ uR^

db:,

/? = 2-i./,A /,

I .' in

8R 8R c'R

' C«, VII.. ■ Cll„ • "

aR ÖR nR

- üb,-'' db., ''■ cb„ ■'"'

ÖR

-. — . mit

„ ÖR dR 6R

dp, d]K oy-„ ■'"

4. Mit lli'ili'e dieser Fcirmeln liewei^l man einen merkwiiriliüen Satz filier die \ ariatioii l\^^\^ I )eterminante J(. Man luv.eicliiie die X'ariatioiieii der (xrössen (I,. //,. ... j>, mit ()(/,, ()/',. . . . ()'ji, lind liilde iolnvnde // Systeme von liueaivii

(TleielmimXMi:

1) a,a-', +/.,.,■; +.

a.y. -hb..y„ -4-'

-/'.■'■' = '5''.,

U ,!■

-h ■'•:.

2) «,<'+/.,<'

</...'■',' -hb..i''

eiiulK.'li

II. s. \v. u. >. \v.

a .(■"'+/^ .r,"^H hl' ■'■"" = r)/> .

Jacobi, Werke. Snppleinentbaiitl (nviKunik").

12

— 90

Nun ist

^i öR , ÖR „ BR

dp. ^'J

Vl>ei' nach den obi^'en Formeln fiir die Auflösunii; der Cxleichuno'en hat man

BR ^ dR , dR , ^öR ,

Rd\ ^ ^; — oa,-\ — ^ — off.,H \-^-, — da ^ ^—t: — da.,

' da ' oa„ ■ oa " ; du. '

md ebenso

u

also

Rd\, = 2-;r-, — ob., Rd:, = ^^^ — de, . . . Rd- = ^^^ — dp.;

oder

Zwölfte Vorlesiniii-.

Der Multiplicator für Systeme von Diflereutialgleichuugeu mit beliebig vielen Yer.'inflerliclieu.

AVir Avollen sogleich von dem o;eo;el)euen Satz über die Variation der De- terminante eine Anwenduno; auf ein System von Differentia]oieichuno;en machen. Es sei folgendes System gegeben:

^ ^ f/.v Od- - (iv (Lc

Dieses System, in welchem A'i, X.,, X„ beliebige Functionen von .r, .Ti, .v.,, . . . .r„

sein können, sei integrirt durch folgendes System von Gleichungen:

-i\ = f„(d;a^,a..,...a„'). Setzt man hieraus die Werthe von .i\. .Cj, . . . .r„ in A"i, A'o. . . . A", ein und

l)estimmt auch die Diiferentialquotienten ' ' . — 'j^-. ••• ' " als Functionen

^ cLv ' ax ' u.v

von X und den n willkiü-lichen Constanten «, . «2, ... «„, so wu-d dm-ch diese Werthe das System (1.) identisch erfüllt, d. h. die Gleichungen (1.) gelten für jeden Werth der Veränderlichen x und der willkürlichen Constanten «i, a.,, . . . a„; daher kann man sie nach jeder dieser n Constanten differentiii-en. Aus jeder

— 91 —

(liT Gleicliunueii (1.) cntstelu'ii auf d'u'.sc W c-isc // (ilcicliuiiiicii. im GaiiZi^n // Syisteme von je u Gloiclumgon, also //-' (ili.'icluiiij;vii. säiuiutlicli von der Form

düt dX; cv, dXj P.i:. oA'. ö.r„

d.v dl-, duk d.i:, ' du,- d.r„ ba„

Das aus der ersten (ileieluuiij: -' '- = A', folüvudc System i>t:

,v dx, dX, 6.V., oX, d,r„ öX, öc.

da, ö.«', a«, o.v^ d«, du-,,

d.v, dX, d.i\, dX, , d.v„ 8X,

da„ dd\ du., d.v., da., v.r„

d.v, cX, 6.V., dX, d.v„ cX, cic,,

da„ dx, da,, d.v„ . du,, d.c„ d.v

Dil- aus den ülM'iüvn Gleiclnmiivn (1.) tolji'endeii Systi-me sind:

2)

endlich

n)

d.v,	ÖX.	d.v..	dX., dx„	+ ■	■■-\-	d.v,, du;	5ä; d.v,,'	=	CU,
da.	d.v, '	oa.	dv '
da;	dX.,	d.r..	ex,		■■-h	d.v„ du.,	dX., c.v„	=	Ca.,
da.	d.v, '	5«,	c.v„		d.r '
d.v,	sx., 1	d.v..	dX.,	[	■• +	d,v„ du,,	cX., d.v,.	=	cu„
da,,	d.r, '	ou„	d.v.,_		d.v •
■	. . .		u. s.	\v.	11. s. \v.
d.v.	5X„ ,	d.v..	dX„	1		d.r,.	dX„		CU,
du,	a., '	du,	d.v.,		'	du,	o.v„	d.v ■
									'^ da..
d.v,	dX„	d.v..	dx„	1 ,	■• +	d.v„ du..	dX„ d.v„	=
du.,	d.v, '	du..	O.V.,		d.v '
d.v,	d'x„ ,	d.i-„	cX„			d.v,.	dX„	z=	, d.v„ U-t; ca„
da,.	d.v, '	CUn	d.r,			du,.	d.v„	d.v
									li^

92

Vergleicht man diese Systeme mit denen, welche in N". 4 der vorigen Vorlesung bei Gelegenheit des Satzes von der Variation der Determinante aufgestellt worden sind, so findet man, dass jene in diese durch die folgenden Annahmen übergehen:

dx, , dx., dx„

ca.-, oic, ^ ■ da„

d.

i\

h,

dun ' "" du,, '■■■-'« da„ Pd\ dx., dx,,

^ = -±«/'-..---i'„ = ^±-

öttj du., dun '

SX., „ dx„ ■ . „_ dx.

bx., '

dX„

ax.^ '

BX„

dx.^ '

d

dx^ - dx.. ' dx„

A ~dv

Daher lässt sich der vollständige Differentialquotient von Ig/f nach .c in der merkwürdigen Form

^ ''kR _ dX^ I dX.. I ,Ml

^'■^ rf*- Sx, ~*" ,^.r„ "*" "^ dx„

darstellen, wo

^ ^ V _j_ cix^ dx., _ _ _ dx„ _ ~ dßj da., ö«„

Nach vollendeter Integration des Systems (1.) findet man also R aus der Glei- chung (2.) durch eine Quadratur nach .r. Aber es giebt Fälle, in welchen die Determinante R vor allen Integrationen angegeben werden kann, nämlich wenn

sich die Summe -=H-H — ^r-^-\ 1--^^ mit Hülfe des Systems (1.) in einen voll-

ö.r, dx., dx„ • ^ ^

ständigen Difterentialc[uotienten nach x transformiren lässt, oder, was ein noch einfacherer Fall ist, wenn X^ kein ;r,, AT, kein av. u. s. w. A', kein .r„ enthidt.

VIT • X <5^, öX, dX„ ,, 1 ,

Alsdann ist ^H-H — --^H h-^— = 0; daher

dx^ dx^ dx„

ü, i( =r Lonst.

dx

— 93 —

DiM- in der Glcidinim' (2.) eiitli.-tltt'iK' Satz ist zin-rst vnii ]/ii,in-ill<- und zwar in dirscr Furiii aiil'^cstidlt worden (^Lioiinlli- donrnal Bd. o. p. o4>>): in cinci' an(!rn'n Form, in wclclu-r die willkürliclK-n Coiistantt-n (c din'cli niialiliän;L;ip:* \'arial)Ii' .c und ditsr durch Func-tionon /' von den \ ariaMcii ,r ersetzt sind, kounnt dersellie in einer meiner AMiaiidIiniü;en {('rclli- Journal Üd. '2-2. p. .']."!(I) voi-. Lldtirilli- liat aus diesem Satz ni<dit den Nutzen ifezoL^en. welelien er für die Iiitejinitiüu ücwährt. Ehe wir zu dieser Anwen(hmi{ üheroehen. wollen wir dein iiewonnenen Er^ehniss eine etwas alluemeinei'e Form uehen. imlem wir daran eine ^'eränderung■ anhi'inui'n. die zwar sehr imwesentlieh scheint, ohne welche aber nichtsdestoweniger seine Anwendbarkeit sehr viel liesehi'änkter sein wurde.

Schreibt man das System (1.) in Form der Proiiortion tL-:,LF,ul.r..:...:J.r, = 1 : X,: X: ...: X ,. SO lässt sich dei'selben. diu'ch Multiplication mit einer willkiirlichen Gnisse A' auf der ivchten Seite, ilie früher lietraclitete (iestalt

(3.) ,1.1- : ,Ac, : <l.r.^ :...: <l.f„ = X : X^: X: ... : X,

ueben. wemi man gleiclizeiti<i A',. A\,. . . . .\„ iieziehunusweise durch die (Quotienten -^ ' . " ' . . . . ^ " ersetzt. Duivh diese Veränderung; üeht die Glei- ehung (2.) in

igi? Kx) Hx) ^{x) ^ix)

— f- = — ^-— — I — -r^-'-h . , .

ö.f c*.*', r.r, r-r^ c-.c

IfcX, ÖX.. ' 6X„\ 1 r„ cX „ cA' .. dX \

A V c,i\ c.i;, c.r„ I A \ c,i\ - er,, r ■./■,, '

über. Das .sulistractive Glied auf der rechten Seite dieser Gleichung kann man

mit Hülfe der Gleichungen

A, (l.i\ X. (7.«\. A'„ </.f„

X </.(' " A (U- ' ' .' X lU

auf die Form

oder

1 / cX (Lr^ cX (b:, cX (!.r„ \

X \ CJ-, (U- a.f.-, d.v c.f,! i/.r )

1 { JX cX \

X \ d.t c.r )

bringen. Setzt man dies in den Ausdi-uck vi)n — ^ — ein. so eraüebt sich

1 / ÖX, üX.. cX^\ 1 / t/A cX \

X \ c.r, d.i., c,r„ ) X \ du- c.v )'

d\gli ___ 1 j cX, , ÖX.. ^ ^cA, d.i- ^" ' ' ^

— 94 —

oder

dk(XR) 1 { ax dX, öX„ dXA

^ cLr X \ dx d,i\ o.c, d.i;, J

Man kann also, wenn sich ^r^l^s- — I — ^ — I 1 — ^~^ I durch das li-ecebene Sv-

A V dx dd\ dd\ j ° ■-

steni (3.) in einen vollständigen DitierentiaLjaotienten nach x transformiren lässt.

oder wenn ^^ 1 — t^ — I [- " = (.) ist. 7? vor allen Inte"Tationen bestimmen.

d,v dd\ d,r„ ^

Im letzteren Falle hat man

XR = Const.. also

— X~'

wo. wie fri'iher.

^ ^^_ d.r, d.v, ^ _ ^ d,v„ _

~ öß, da., ö«„

Setzen wir nun voraus, das System (3.) sei in der That von der Be- schafFenlieit , dass sich B vor aller Integration angeben lässt. nnd nehmen wir an. man habe schon v, — 1 Integrale gefunden, das »'° fehle noch, so kann man die >i — 1 Integralgleichungen in der Form

■'••.•5 = f/3 Gl-, •'•l,«J-«.V ■■««)>

x„ = f/„(,i', .;■,,«.„ «,,,...«„)

darstellen, und es bleibt alsdann die Differentialgleichung

X<h:—X^d.V = 0

zu inteirriren übris;. deren Integral auf eine Gleichung von der Form

führt. Aus der Vergleichung mit dem obigen vollständigen Integrationssystem der Differentialgleichungen (1.) folgt überdies, dass die gegenwärtig mit (fi be- zeichnete Function dieselbe ist, welche olien mit /', bezeichnet wurde, und dass die Functionen y,, y?,, ... <f„ respective in /ö, /j, .../"„ übergehen, wenn man für :i\ seinen Werth ^^ substituirt.

Schliessen wir die Dift'erentialquotienten der Grössen x.^, x^, . . . x„, insofern wir sie als Functionen von x, x^, c:.,, cc., ... «„ ansehen, zur Unter-

95 —

x-heidung vun den bisher botniclitL-tfii Ditleiv , iitieiiti-ii in Klaiiimcrii t/u

>() wird

5,

wo / und / alK- Werthe- von 2 bis // inclusive anneinnen können. Für I: ^ I erliidt man

e.r. _ / a-f \ 8,.^ ^ du, V d.i\ ) 6«, '

eine Gleicliuni:'. welche man unter der allgemeinen Furmel mit begreit'eu kann, wenn man berüeksichtiirt. dass

ist. Es gilt demnach die Formel

Bctf, \ da^ ) \ du; ) Ba^ von / = 2 bis i = II und von k=l bis /• = /?. Ilierdurcli \vir<l

' 8..', U 5<t, r l a^ j da, ) ll ßu, J'^l Ar, j 6«;i"' IV 6a„ ) ' l 6.., ) ca.. I"

d. li. H wird die Determinante ans den Grössen

V ö«, /"^V ar. >/ 5«, ' V da, r\ d.r, I du, • \ a«, /^V c.r, / e«, •

V c«. / V c.i\ / ca. \ ca., J \ er, I ca, \ c«, / ^ er, I ca._ ( d.v[ \ , f d.,; \ du-, (S^\Jc.rAd.r, _ _ _ (_^:^lW(^\ % .

V ö«, J V c.r, J C«, ' V da, ) ' \ d.r ' c«, " ' da ) ' V d.e, ) ca.

da, d..;

'da:

da..

da,,

\ da,, r\ c.i; J da,r \ da,, )^\ d.r, ) da,. ' \ da,, .r\ d.r, I da,.

Bezeichnet man mit li, uml mit /r, die Determinanten, in welche die vorgelegte Determinante 7? übergeht, wenn man die // Grös.-en der zweiten Verticale l'ür li, auf ihren ersten Terni. für li-, auf ihren zweiten Term reducirt. so ist J\ als lineare homogene Function jener ii Grössen gleich der Summe Nun

7i, un<l lt.. Aber II, hat den ü-emeinschaftlichen Factor l^'"' ). nnd nachdem

' - - = V e.r, )

man denselben herausgezogen, fallen die Grössen der ersten und zweiten

— 96 —

Verticalreihe znsaiumeu, d. li. B., ist eine nach Xr. 1 der vorioen Vorlesnnu.- verscliwindende Determinante, und B wird gleich B^, d. h. B Meibt unver- ändert, wenn man (he Grössen der zweiten Veilicah'eihe auf ihi'e ersten Terme rcihicirt. DasseHie gilt von den Grössen der dritten, vierten. . . . y/'" Vertical- reihe. und es ergielit sich daher B gleich der Determinante aus den Grossen

du.

5«,

«„ ' \dtt„ r \du„ )' ■ ■ ■ \ öu„

Stellt man nun diese Determinante als lineare Function der Grössen der ersten Horizontalreihe dar und berücksichtigt. <lass nach (ö.) dieselben mit Ausnahme

von -„— - alle verschwinden, so erhält man B als Product von

m

ff, öa, „ 5,

d. h. als Product von -~- in die Determinante ^"i

<^'' « = -^±(l^)(l^)-(lt).

deren Elemente diejenigen sind, welche von dem letzten Schema übrig bleiben, wemi man die erste Horizontalreihe und die erste Verticalreihe fortlässt. Man hat also schliesslich

Diese Gleichung ist von der höchsten Wichtigkeit. Da man nämlich nach unserer Annahme B aus dem gegebenen System (3.) a priori linden kann, ohne irgend eine Integration gemacht zu haben, da ferner Q vermöge der /i — 1 bereits ausgeführten Integrationen bekannt ist. so liefert die Gleichung (7.). wie wir sogleich sehen werden, die noch übrig bleibende ""' Integration, indem sie für die Difterentialüleichuno-

in welcher A' und A'^i als Functionen von x und .r, ausgedrückt sind, den inte- grirenden Factor bestimmt. Das vollständige Integral dieser Gleichung sei

(8.) F(,;.rJ = a,

— 97 —

ilicraus crgiclit Meli durch Auriüsiiiig für .c, iIlM'sl'Uh- Aiixlnick . «Ifii wir nln'u mit

■'•, =9', (■'■,«,. <;,....«„)

iH'/eicliiii't liiilx'ii. Dlo Siil)stitiitii)ii dirsi-s AiisdiMicks für .c, iiiaclit ^S.) zu einer ideutiticlien (ileicliuiig. daher erhält uiau (hn-tdi DilVeivutiation iiadi r;,

cF. r.,; ^ j d.i\ ö«| oder, ihi nach (ileieliung (7.)

ar, _ R ■ C-«, " Q ist.

cF ^ Q c.c, /(■ ■

iie/.eichnet man mit ^\ den Integrirenden Factor von A(7,(, — A,<^/.r. .■^o liat man

NX = ^. -A-X, =4^. also aus der ersten dieser (üeiehunü'en

(9.) X= ' ^^ = -'L.

A o,i\ A /i

A = py i.st also der integrii'entle Factoi' der (ileielunig Xi/.i\ — X^il.i=(K Also hat man den Satz:

hf in fli'iii Sjj.'^few rni) D>Jfer('/i/nih//eichn'/i(/('it

J,v : il.T^ : (/,('., : . . . : </,(„ ^= X : X, : X„ : . . . : X„ ,

der Austlnick

1 ( 5X aX, c"X„ \

A \ c'.r ä.i\ v.v„ )

cm r()ll.'<(('('n(li(jer iJilfcreiitidhpiotk-itt nach ,r. kcn)it man v — 1 Interirali- des

Stj..^frnis. aus icelchcii sich dir Veriradcr/ichen .v.j, x, r„ <ds Fanctioncn

von X, .r, und den. n — 1 n'iULi'irUclica Conslantcn der Inleyration durcJi die

(ileichunyen

a;.,=(f^(.r,.i\,a„...a„). .v^ ^ (/^(.v,.r^,(c,...a„), . . . u;, = q„Qv,.>\,a.,...a„)

darste/leu lassen, und bleibt deuiimc/i allein die J)iß'erentiali/Ieichunf/

Xd.r—X,dv = 0 ZU integriren übrig, so ist

.laoobi, Werke. ?u|ipleiiientlinnil (Dynamik). 13

— 98 — der infvf/rireiu/e Facto i' dieser Diferentialgleichioujen, wo

XR =

' X \ d.e öa\ Od-,, )

und

Q = v± ^•^- ^-^'s . . . ^'^'''

^«2 da^ da„

Wenn -^s 1 — n— ^H 1 — ^^^0 ist. so wird A'7?^Const.. und in diesem

d.v dd\ d.T„

Fall ist die Determinante Q selbst der integrirende Factor der DifFerential-

fileicliung Xda\ — X^dx = 0.

AVenn man die Gleieliung (4.) dieser Vorlesung mit der Gleichung (1 1.)

der zehnten Vorlesung zusammenstellt, so zeigt sich, dass die Difterentlal-

sleichuniT. welcher — loXi? genüot. die nämliche für /; + l Variable ist, welche

wir damals (für ein System zweier Differentialgleichungen zwischen drei Variablen)

für IgJ/ gefunden haben. ]\Ian kann daher

lgJ/=— IgA'Ä

setzen, oder

M= '

XR •

und es ist unter den Voraussetzungen des soeben ausgesprochenen Satzes

MQ der integru-ende Factor der letzten Differentialgleichung A7/.r, — A'if/.i'=0, wo M

aus der Gleichung

„ dlsM 8X 8X, dXn ^

X — f 1-^ H^-i-H h-TT^ = 0

(Lv d,v o.i'j dda

ZU bestimmen ist.

Die im Vorigen betrachtete Determinante Q kann man auf verschiedene Weise bilden. Die einfachste Darstellung ist die in Form eines Products. So- wie wir nämlich vermittelst a\ die Constante «i aus den Variablen x-,. x^, ... .r„

eliminirten und dann die Determinante B als Product von -~- in die Deter-

minante Q darstellten, deren Ordnung um eine Einheit niedriger ist, als die Ordnung von B, so können wir wieder vermittelst .r, die Constante «, aus den

Variablen ,r,, x,. . . . x„ elimüihen und dann Q als Product von ^f-^ in die

Determinante P^ 2!±:-^^-7^ ^r^ darstellen. Auf diese Weise hat man

d«3 oa^ oa„

fortzufahren; man eliminire vermittelst .i'^ die Constante «3 aus x^, x-^, . . . x„.

— 99 —

vi'i'iüitti'lst .(', die Coiistaiitt' «, ans .r-,. .r, r„ ii. s. w.. sn dass man f<)lL''(.'U<Ic

Darstolhni'!; Ült lütt'm"alü;leiclinn''vn i'rhält:

(F.)

•'■| = ■'''l (-''j «P "..• ":P "i- • • • 'f«-l 5 «")•

.l', = F„{-K,.V^,(C.., «,,, «, «„_,,«„).

•'■, = F^ (.V, ,r, , .;■., , ,»■,, , ((^ ,...«„_, , «„).

x„ = F„(.v, ,f| , .t:^, .t:^, .l•^, . . . .(•„_,, «„) ;

alsilann ist (10.)

f.'«i Pff., cV<3 c«„ '

wo iur d'u' Grössen .x\ bis .r„ die Ansdrücki- /•', Itis 7'', zu setzen sind, und t'üi- dieselbe Darstellnngsart der Jntejiraljileichuiiüvn hat inau

(11.)

ca., ößj c'«„

Die hier gebrauchte Transl'urniation lu'steht also in Folii'endem:

Sind n Grik'fscn .c, . .(':; f„ Finxiiniwii roii n cnideren «i. (c, . . . c.,,.

fto (hiss

■>\ =/;(«,.»,.... «„),

'>; = f, («,.«. ..■■('„).

.V = /■ («,.«,, « ).

und üfel/f tixüi durch siicccssirr EhuuiKituui d><' (i rossen .r, , x\, nuisscn dar:

•''l = -'''l ("l ■ '<2- «3; ■ • • ««-1 , Un), •''■.. = •''^'.(•'■l- «s: «3! ■•• «'.-!• ««), .(•3 = /'3 (.(•, . .r,, «,. . . . «„_, . «„),

.r„ folgender-

so ist

df, df, Sf„ _ dF^ dF, BFn

ca. da.. di(„

da,, '

oder loenn tvir die Differentiationen der Grössen .v in der ersten Darstellunr/ ohne Klamwern, in der zweiten mit K/trmmern bezeichnen.

2+

öj;, 5,c., ^a^ öu..

Oß„ \ au ) \ ca., } \ öu„ )

i;r

— 100 —

Die Form (F.) der Integralgleichungen ist diejenige, welche sie für den Fall einer einzigen Differentialgleichung höherer Ordnung bei successiver Integration von selbst annehmen. Die successive Integration der Grleichung

_y(„+,) = ^'(^W, y(.-.), ^(«-S), ...y"^ y'^ ,,^ ,,)

gii'bt:

*/(-') = /; (<^„«„_,,^("-^),...y',y,^,.r), y" = /■„_,(«„' «„_!, «,.• }i', >j, 'i-%

!/' =f„ («„'«„-,' ((,,«,.*/,. 0-

Gehört nun die vorgelegte (Tleichung i/'"'^^' ^f '/.uv Kategorie derer, für welche der Multiplicator M sich a priori bestimmen lässt, so ist für die Differential- U'leichunij; erster (_)rdnuna'

der intearirende Factor

wo

<J =

dCn öu„^i da.-, da

Dreizehnte Yorlesuiiü;.

Fuuctionakleterniiiiauteu. Ilire Amvenilung zur Aufstclliintr der partiollen Dift'erentialgleicluiiig für den Multiplicator.

Determinanten der Form

- ■ " dd\ da:, üd-,,

werden von mir Fiincficiual-DeferniiiKinfeiK von Cduclii/, welcher in den Comptes rendus der Pariser Akademie einige Sätze darüber gegeben hat, „fonctions differentielles alternees" o-enannt. Functional-Determinanten werden also aus

den ir partiellen Differentialquotienten .-, von n Functionen /, , /.,. ... /„ ge-

bildet, deren jede von den n Grössen .r,, ,i\,, . . . .r„ abhängt.

Ich habe im 22""" Bande des Cre//eschen Journals eine Abhandlung über Functional-Determinanten erscheinen lassen, in welcher die Analogie nachge-

— 101 —

wie-seii wird, \wlclii' zwisclieii den Fiiiictiiiiiiil-Di'tcnniiiaiiton in ProlilL-mcii mit iiK'Iiri'reii X'ai'ialticii iiml den Dil]l^r(.'uti;dt[ii(>tic-iiti'n in Prolili/iin-ii mit ciinT \ arialili'ii stattliudet. In folgenden, iiasi'Ili>t lii-wiesenen Sätzen sprielit >ich diese Analogie ans:

1. Ist / runetion von </ uml '/ riniction von .f. so i>t -,— ^= -/--,-

' ' ' ihr (t(J Ihr

Dem entsjiriclit f'iir n \'arialile der Satz: Smd /'. f.,. ... /', Fnurf/miei/ ron y,. </.j. ... <f„ uixl diese Kieüertun Fniicli<men emi .r, . ,)\, c,,, .so ist

~ 8.t\ ri.r., c'.r,, \ 6<f ^ d<j . ^'</.,J\ c.'', d.c, c.r„ )

2. Dies kann in andei'er (iestalt auch so ausgedrik-kt werden: Sind /' und (/ Functionen von x, so ist

''f

elf _ Jl.r d(f d(f

Hierzu liat man tili" // \ ariaMe den analogen Satz: Sitifl f[. f._. ... f[ mid y,. if_. ... </■„ Fiiitctioiien von .r, , x.,. ... ,r„, ■<<> ist

v-f- J'/'l. J'f^-, . . . ^^" = Af, C.j\, d.r.,

~ c.c, er., dj„

und dalier. wenn man f,^.i\. f.^.v.^. ... f,^.r„ setzt. V-f- p-'-'i ^'-''j c^-<'„ 1

3. Aus der (deicliiuig erniebt sieh:

	Öf/,	oy,,
n(.r,y) = 0
an
dl/ c.c
d.i- du

Hierzu hat man folgende Analogie: .\>is den n Gleichrtnyen zieisclien '2ii Vuridldiii

^„ (y. r i/.r • • • i/„ ,•'•„ -i-,, • • • -O = 0

— 102

ergieht sieli:	( »--'it;^;	Clj., e.r.	^!l„			ö/7„
	c.i;,			oIJ„

4. Damit die Grleicliuiig ivr^O zwei gleiche Wurzeln habe, muss ziigleicli F',i' = () sein. Hierzu gieljt es folgende Analogie: Damit die Gleichmgen

t\ Gr, . .V,. . . . ..„) = 0. /: (,(• , .?-,, . . . ,r„) = 0, ... 7=:,G'-, , .V,. . . . -r,,) = 0

zwei :n.'i(ini)'iU'i>f(i//('i)(k' SysfcDie von ^]^(r:ehl habe», naiss zugleich

^^dK 6F„_ dF„

^ein.

0

ö. AVenn für alle AA erthe von ,r der Differentialquotient — - versehwindet.

^ er

so folgt liiei-aus i^'^Const. Hierzu hat man die Analogie: Siihald f'i'ir alle Wi/ihc von J'i. x.j. . . . .r„

ÖF, dF, dF„

■K-

= 0

ö,v^ d.r.-, d.r„

ist, miiss zivischen den n Fiiactionen F^. F.,, ... F„ eine Gleichung

n(F.F.^....F„) = ü

bestehen, in welcher die Variablen .i\. .c^, r„ niciit e.vplicite vorkommen.

Dies gielit für ;/ ^ 1 auch in der That TI(F) = 0. also F^Const.. \rie es sein muss.

Diesen Beisjnelen fiir die erwähnte Analogie lassen sich viele andere hinzufügen, welche theils in der angeführten Abhandlung, theils in der im 12'"' Bande des (Ve//csclien Journals erschienenen ,,de binis quibuslibet functio- nibus homogeneis etc.'' zu rinden sind.

Indem wir von der Betrachtung der Functional-Determhianten ausgehen, gelangen wir dazu, für den allgemeinen Fall von «-4-1 A arialilen die Theorie des Multiplicators eines Systems von Differentialgleichungen in anderer Art. als es in der zwölften Vorlesuno- o-eschehen ist. zu befunden, nämlich auf dem- jenigen Wege, den wir in der zehnten Vorlesung ffir den Fall von drei Variablen lietreten halten.

Das System

dd- : f/,r : d.t:, : ...: clr,, = X : X : X,: ... : X„

1U3

-ci iiitciiriil (liircli ilic (■IcicliiiiiLirii

/', =«,• /.. = ":■ • • ■ /'„ = «„>

in wrlclicii «,. (c.. ... fi„ die willkiiiTiclicii ('<iii-t;iiittMi luMlfutrii. Die iiiiniitti- liaiTii DilVci-fiitialc tlrrsi'HuMi sind

et-

d.c

d.i-„

df: , Sf„ , df., ,

~4^dj:-\ — r,'^(h\-\ — Tp- (Ir.,

C7.4' e.V. ax., - ö.i;,

df df 6f df

c.r (l.r^ (l.r,, " c\i;,

welche, da die willkürlielien Constaiiteii durcli die DilVerentiation verscliwiindeii sind, mit di'ni vomi'Ieuti'U System identisch sein mi'issen. FCiut man zn ihesen // in Pxv.ielnmii' anf d.v, (Li\. ... (/.i'„ linearen Gieiclumgen als /j-i-l"' die ideii- tisclie (Ueichnnü

öf 7 ^f , of ,

ÖJ; d.v, ' 5,/'.,

öf

./.^•„ = df

liin/.n. wo /'eine l>eliehiii'e Function von .(', ,r,. ... .)„ liezeichni't. und wendet auf (Tk-sc ii-h\ (ileicluniu'en die in No. '.] der idl'ten X'oi'lesiinLi' enthaheneii Aiit-

h")sun<j,stormeln l'i'n- lint'are ( ileiehnniien an, so eruelieii sich t'iu' (/.r. d.i die Wert he:

Rd.c = Adf, A',/./' = A,df . . . Rd.r,, = A„df

<U:

wo

-v-^JL^^ ^f^

R = :^±

ex ex,

Cx„

a4L-+a,4L+...-^a.-^

ex ex ex„

A

vR , 6R

e

R

IL

dx

-. öf e— Tr- ox,

d-fn

Ollgleich diese aus iler Hntwieklung von // nach den partiidlen Dül'e- rentialiiuotienten von /' sicli ei-gehende Bestimmung der (rrössen .1. .1,. ... .4,, gerade diejenige ist. deren wir uns im Folgenden zu hedienen hahen werden, so ist es. namentlich um die Analogie mit dem in der zehnten \ orlesnng ge- gobenen Fall \on drei \ ai-iaMen zu wrloltien. \on Interesse, die (irrissen .1

— 104 — eine ans der anderen, ohne B zu Hülfe zu nehmen, abzuleiten. Zunäehst ist

" ö.r^ o.e., ö,r„

Aus A erhrdt man nach No. 2 der elften Vorlesung A._. indem man die Ditl'e- rentiationen nach ,r und nach a\ mit einander vertauscht und das Zeichen ändert. Diese Regel, ^-li aus A herzuleiten, kann man durch folgende gleichbedeutende ersetzen. Man ]3ermutü-e die nach sämmtlichen »-t-1 Varialilen x genommenen Differentiationen cyclisch. an die Stelle der nach x, a\, x.,. . . . x„_i, x„ ge- nonnnenen setze man nämlich lieziehungsweise Differentiationen nach x^. x.,. X.. . . . x„, X. und ändere überdies das Vorzeichen oder behalte es bei. je nach- dem die Anzahl »H-l der Aariablen gerade oder ungerade ist. alsdann ver- wandelt sich A in A^. Die letztere Regel hat den Vortheil. dass durch blosse AViederholung derselben Operation sich ^1, in .4^,, A„ in .^43 u. s. w. verwandelt. Indem man aus den für dx. (li\, . . . dx,, erhaltenen Werthen J/eliminü't.

ergiebt sich

d.e : fl.r^ : ...: dj;, ^ A : A^: ... : A„,

Avas mit dem gegebenen System

dx : f/.fj : . . . : d,r„ = X: X^: .. .: X„ übereinstimmen muss. Es muss also die Proportion

^4: ^1 : ... : A„ = X : X^: ... : X„

bestehen, d h. es muss einen Multiplicator M von der Beschaffenheit geben, dass

MX = A, MX^=A^, ... MX„ = A„ ist. Es ktnnmt jetzt darauf an. die für ;; ^ 2 bereits in der zehnten Vorlesung bewiesene identische Gleichung, der die Grössen A genügen, auf den allgemeinen Fall auszudehnen, also zu beweisen, dass die Gleichung

statttindet. Wenn man auf die Zusammensetzung der Grössen .4, A^ ... A„ Rücksicht nimmt, so sieht man leicht ein, dass auf der linken Seite dieser Gleichung nur erste und zweite Diiferentiakjuotienten der Grössen /',, f.,. ... /'„ vorkonnnen k(')nnen und zwar die letzteren nur linear, d. h. niemals das Product zweier Differentialquotienten zweiter Ordnung. Ferner, da in A keine Diff"e- rentiationen nach x, in A.^ keine nach ,r, u. s. w. in .4,, keine nach ,r„ vorkonnnen. so können die in dem Ausdruck

cA dA, dAn

dx a.r d.t;.

— lOf) —

;iui'ti'ct\'iiilvii /.\V(.'iti_'ii l)in'('i'c'ntial(|ii()tieiitcu nicht \()i) ih-r Form ^-^ soiulerii

O.f'

I

mir von <1(M' Form -^ -^ — sein, wo ; von /■ vci-scliirilcu ist. M;in k:imi also ö.iv nx^

(k'ii licti-aclitctcn Ausdruck -i" ." ' als eine Summe von Tci-mcn ilcr Foi-m

o.e.

'•* dxdx,

I k

darstellen. Der Wertli von 7''J.' wird mit Ilüli'e iler Formeln

u.c dd\ ö.c„ ax a.i\ da;„ '

dR , dB

A, = TT? , -^k

I k

'"' 1

i^'niutk'lt, uihI zwar sind <lazn iiui* (Vk* iK'idrii DiiFfiT'iitialiniotKMitt'n „-' uinl

. *' zu untersuclien, denn in ilen üljriü'en kommt -^-.' — ofrenliai- nicht vor. Öx^ ^ dx.öx^

])a nun die (!i-össen .1, und .Ij. st^llist Determinanten sind, so ki'iniien sie tbl-

<;'endermaysen dargestellt wH'rden:

j = g^^. df, ^ 6Ai df, ^ ^ 6A, g/. ^ ^ dA, af„

e.r^. c?.*'^. dx^ dx^ j^^ a^, e/, ^ 5^,. c/, ^ ^ a^t. a/:. ^ ^ a^i/; a/;__

a.r. ö.f. Ö.C. 5.

n .1

Hieraus ero-eben sich als Beitrao- zu dem Iietrachteten Ausdruck .^ „ zwei

'^ '^ üx.

'^'^' u:..i:. .;..... t ^)^^. ^1^^ i.(^i.... "A,

in -j^ — ~ — iiuilti|)licirte Tenne. Der eine rührt aus " her und ist axöx, ^ öx.

I k

„ df, dx.dx '

d-^ — öx,.

dA,

der andere i-iihrt aus -~ her und ist

ö^i;- av:<

„ o/s dx.öx, öx.

Jacobi, Werke. .Suppleiiicutliunil (liyiiamik). 14

— 106 folglich wird

(,,). öA, , dA, d'R , d'R

'' S^ 6^ d4^8^ ö-^ö-^^^

k ( _ I Ar A: I

Die in N°. 2 der elften Vorlesuna; enthaltene Formel

d'R d'R T d'R d'R

oder

da.dh, da, dl). dadb, da.db.

i k kl i k kl

giebt im vorliegenden Fall

d'R d'R

8-^dS- 6-^d'f^

also

dx. d.r. öa; dx.

k kl

M

F'[' == 0.

t,k

Auf diese Weise ist die identische Gleichung

o

dA . dA dAn ^ Q

dx dxj dx

allgemein bewiesen. Aber wir hatten

A = MX, A^ = MX,, . . . A„ = MX,;

daher ergiebt sich

8(MX) , d(MX,) ^ ^ d(MX„) _Q^

dx dx, dx„

v/elches die partielle Diiferentialgleichung fCu- den Multiplicator M ist.

Yierzehiite Torlesiiiig.

Die zweite Form der den Multiplicator definireuden Gleichung. ])ie Multiplicatoren der stufenweise reducirtcn Systeme von Differentiaigloicliungen. Der Multiplicator bei

Benutzung ])articularcr Integrale.

Wir können nun die fernere Untersuchung für ?^ + l Variable ganz auf dieselbe Weise -führen, wie in der zehnten Vorlesimg für 3 Variable. Indem wu* die partielle Differentialgleichung für den Multiplicator 31 entwickeln, er- halten WU"

,, , ^ dM ^. 8M ,. dM l dX dX, dX„] ^, ^

^ ' dx dx, dxn l ox dx, dx„ J

— 107 —

Diese DillViviituil^fleieliunii,' wcrdi- durch i-iiie ;iiiil(.-iv Grösse N hefriedifft, dann liat man uiteli

dX,.

^ dN ^ dN „ dN f ÖX dX,

ax ' o.f oj-„ l d.v ö.r

rjj:„

. 1 . . y

Multiplicn-t man die zweite dics^T (ilciclumgen mit , , <lie erste mit -jy^r und zieht; sie von einander iih, s(j crhidt man'

M-T, iV-^— il/ 1\^ — M ,, N-^ —

]tf» *" ' AP ^ ' IT- ~

oder

d.h. -.. ist eine Lösung der (driclnm^

(2.) X-^+JC,-^+... + X„ f =0.

Zur vollständigen Inteuration einer solchen (deichung ist die Kenntniss von )i von cinamler uiial)liäiigigen Lösimgon /, . f... ... /', nöthig. d. h. von

n Functionen /', , /ö, . . . /|,, welche den (UeiehungiMi

x4^+x,-^+...+x„-^- = o,

d.c ' d.i\ " d.v„

df vf cf

X-^ + X,-.-i^H hX„-^- = 0

a,v, dui\ o.v„

genügen, ohne dass eine iler // Functionen ehie Function der ülirigen ist. Kennt man solche ii Functionen, so ist <iie allgemeinste Lösung

Dies beweist man. indem man die oliiüen ii Gleichuntren resiiective mit ~r^^-.

dF dF

^j , ••• -^ir- multiplicirt unil dann addirt. I'iine (/; -f- 1)'"' Lösung /),^,, welche

von den /; ührigen unabhängig wäre. giel)t es nicht: denn gesetzt es gäbe eine solche, so würde nach der eben angewandten Sclilussweise folgen, dass jede Function dieser /; + l Lösungen

</(/■,-/;.-•/:,./:,+,)

[V

— 108 —

li-leichtalls eine Lösunp; ist. Da aber /',, /j. . . . /'„, /'„+i von einander unal>-

häno'io' ano-enommen \verden, so kann man sie als neue Variable tiir .r, .r, r„

einführen, niid ilaher ist eine willkürliehe Function von f\, /j, . . . /"„, /^,4.i üleichbedeutend mit einer willkürlichen Function von .r, .r,. . . . .r„. Der in Rede stehenden Differentialgleichung für /' würde demnach jede beliebige Function von X, .r, .... .f„ genügen, was unmöglich ist. Es kann also nur n von einander unabhängige Lösungen /i, /"j, ... /*„ geben.

Diese n Lösungen der partiellen Differentialgleichung (2.) haben die Eio-enschaft, dass sie durch die Litegralgleichungen des Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen

(3.) (7.C : f/.i'j : . . . : </,;•„ = X : X, : . . . : X„

Constanten gleich werden. Denn da diese Litegralgleichungen die Grössen X. X^. ... X„ den Differentialen dx, ch\, . . . dx„ proportional machen, so kann man in der fiir irgend ein /' geltenden partiellen Differentialgleichung, also in

der Gleichung

<9/ 5/-. Sf-

X-^-t-X,-^H [-X„^ = 0,

die Grössen X, Xj. ... X'„ durch die denselben proportionalen Differentiale dx, f/a'i .... dx„ ersetzen und erhcält

df. df. df.

oder

und daher

f. = Const.

Lidem man annimmt, dass die Constanten, welchen /;, /;, ... f„ gleich werden müssen, n von einander unabhängige willkürliche Constanten «,, «.,, ... a„ sind, erhält man die allgemeinste Integration, deren die Differentialgleichungen (3.) fähig sind, und es bilden also

/, = «n /; = «., ■•• /■, = «, ••• /„ = «„.

ein vollständiges nach den willkürlichen Constanten aufgelöstes System von Liteo-ralen iener Differentialgleichungen. Umgekehrt, wird die vollständige In- teoTation der Differentialgleichungen (3.) durch n Gleichungen mit n von ein- ander unabhängigen willkürlichen Constanten geleistet, d. h. durch u Gleichungen der Beschaffenheit, dass es unmöglich ist, aus denselben eine von allen n Con- stanten freie Residtante der Elimination herzuleiten, und ergiebt die Auflösung

ü.v
= «., . . . .	/: = ('.

— 1 09 — flieser n Gleiehungen iiat-li ileu (-'onstanteii <lic Wt-itli«' «lerselln-ii

so erliält man iliircli Differentiation

• • + -—</.<•„ = 0.

Da alier /i = «i. fo = f<j, ■■■ t„=^<'„ ein volistäniliues System von Integralen der Differentialgleiohunaen (8.) hilrlen. so sind die Differentiale dx, d.i\ . . . d.r„ den Grössen X, Xi . . . X„ proportional, so dass

£-f. df. 5f-

a.r ö.i\ v.r„

d.h. /', . /[,. . . . f„ sind Lösun<ren der Gleicliimi; (2.).

Es ist also vollkommen dasselbe, ob man saut: /, . /!,. . . ■ f„ sind n von einander unabhängige Lösungen der [lartiellen Diffeivntialgleichung (2.). oder ob man sagt: /,:=«,, f.^ = cc.,, ... f\^a^ bilden ein vollständiges System von In- tegi'alen der Differentialgleichungen (o.). Nun liabt-n wir gesehen, dass

Y

die allgemeinste Lösung der Gleichung (2.) ist. ferner dass ~ eben dieser

Gleichimg genügt. Hieraus folgt, dass, wenn M eine bestimmte Lösimg der Gleichung (1.) ist und ^\ irgend eine Lösung, ^ eine Function von /', . f\. ... [\ sein nuiss. Dies giebt

ist M ein Multiplicator. so ist also

M.FCt\.f.,...Q

die allgemeine Form, unter welcher alle Multiplicatoren enthalten sind. Durch die Litegralgleichungen des Systems (3.) wird aber f\^=a^. f2 = ('j- ■■■ fn^^n- bei Benutzung der Litegralgleichungen unterscheidet sieh also diese allgemeine Form nur durch einen constaiiten Factor von J/. Um Verwechselungen zu vermeiden. wolK-n wir den bestinnntcu Werth des Multiplicators M mit M., be- zeichnen, den allgemeinen mit J/. ferner mit — die Function von /\. f.^. . . . /'„,

mit welcher M, zu nudtipliciren ist um M zu erü'eben. so dass J/= J/,

Alsdann kann man die am Ende der vorigen Vorlesung vorkommenden (Tlei- chungen

~ 110 ~

auch so sclu'eiben:

(4.) i/„X = .4ra, .17;,X^ = J,55, ... 2I,X„ = A,.üj.

Mit Hülfe des Systems der Differentialgleicliiingen (3.) lässt sich die für M gefundene partielle Differentialgleichung (1.) transformiren. Die Gleiehung

ÖX, , aX„'

du;,

= U.

0.

„ dM „ dM „ GM , J oX

oder, was dasselbe ist,

^[ dM X dM X„ dM\ ,,[ dX dX, dXA

seht näuilich unter Berücksichtisuno; von ("3.") in

„ dM ..( dX dX, dXn\

CUV V OX Cd\ OXn '

oder in

... ^ dlsM dX dX, cX„

(o.) X— 5 1 — h-^H f-^^=0

Cl.V OX ox^ ox„

über. Diese Gleichung ist, da für die Grössen .r. .v, r„ die Differential- gleichungen (3.) bestehen, mit der Gleichimg (1.) vollkommen identisch: man kann vermittelst (3.) den Uebergang von (1.) zu (5.) sowie den umgekehrten Ueberirang machen.

Aus der Gleichung (5.) lässt sich der Multiplicator 21 häufig bestimmen.

Ist -^ h ., ' H 1- „ " = 0 , so findet man J/= Const. In anderen Fällen

ax ö.r, öx„

lässt sich vermöge der Differentialgleichungen (3.) der Ausch'uck

dX dX, cX„ '

1 ( dJi

X \ dx

dx^ dx„

m einen vollständigen Differentialquotienten nach .v transformh-en , eine Trans- formation, welche fi'eUich häufig noch grosse analytische Kunstgriffe erfordert. Ist eine solche möglich, so erhält man ebenfalls 31 aus (5.)

Hat man nun auf h-gend eine Weise einen Werth 2I„ des Multiplicators M gefunden, so besteht der Nutzen, der sich hieraus für- die Integration des Systems (3.) ziehen lässt, darin, dass man vermittelst J/j den integrh'enden Factor derjenigen Differentialgleichuno; anheben kann, welche nach Auffinduno- von » — 1 Integralen zu integrii'en übrig bleibt. Zufolge der ersten Gleichung (4.)

hat man

M,X = Am,

wo tö eine Function der n Lösungen der partiellen Differentialgleichung (2.)

oder, wie be'wäesen worden, eine Function der n Integrale des Systems (3.) ist.

_ III —

Nehmen wir nun an. man kenne )i^l ilu-sfi- Intci^i-ale. nänilidi /[. /',. ... /'„, so (lass um- noch /', zu liuclcn i\\'v'i<j. lileilit. so luhn-n wir statt /( — 1 ilci- unuh-

hänji'in'en VarialiJrn. u;imlich statt .i-j, .<;, c,,, die- (Ircissi-n /[. /',. .... /, i-in

und (h'üc'ken .MK's ihu'ch .r. .r,. f\. /j. ... /;, aus. l'ntersuchen wir, weicht; Verum k-i'un^' dadurch in der Determinante

~ d.i\ 6.1:, d.r„

hervorji'ebracht wird. Sclireilteii wir (hcsell)e als lineare Function der partiellen T)ifferentiali|Uotienten von /',:

A = J^n^^4LB.^...-^ ^^ IK,

Ö.i-, d.r., - (i.r„

SO bestehen nach <ler Fimilanientaleiuenschai't dei' Determinanten die GK'ichunuen

0= f^Z?, + ^Ä,+ ...4- ^/'wy,,, 0.i\ o.r._, c.i;,

O.r, ü^„ ■ OJ

r,,

df df 8f

0-l\ 0.1:, - c.r„

Denken wir uns nun /v, f.,, ... f„ für .Cv, .r^ f„ eingeführt, so dass /i unter

der Form

/; = '/'(•'■,■'■,./:./;,•■•/:)

dargestellt wird, und schliessen wir die unter dieser Hypothese gebildeten Ditferentialquotii'uten von /', In Klammern ein. so ist

dx..

g/; _ ( df\ \ 6t: (dfA 6f, ( 6f\ \ 6 f..

da;, . V df, ) Ö.r„ ^\ df^ ) d.v„ ^ ^V c/;, ) d.v„ '

und hierdurch wii-d mit Berüeksiehtisruno; der frülu'ren (Meichunuen

m-'^-

wo

' ~ ö.r, d.c o.Vn

— 11-2 — Substituirt man diesen Werth von .4 in die Gleichung

so ergiebt sich:

(6.) J/„X=(^).Z?,n,.

Da nun /"i das zu suchende Integral dei- noch übrig bleibenden Differential- aleichunu;

ist. in welcher aus A' und A'i vermittelst der bekannten n — 1 Integi-ale die

Variablen .r.,. ;r3, . . . .r„ eliminirt sind, so muss durch den zu bestimmenden

mtegrü'enden Factor diese Diiferentialgleichung in

df, = 0 oder

{^hA^)"'-o

übergehen; folglich ist der gesuchte integrirende Factor

X \ d.v, )

oder nach (6.)

d. h. man hat identisch

B oder

^(x./.,-x,/.o = {-^}M+{-§-y. = df^^

"^^(Xd.i-^—X^d.v) = ö7df^.

Hierm ist w eine wülküi-liche Function von /"[, fl. ... /"„. Inzwischen werden, mit Hülfe der gefundenen n — 1 Integrale, /ö. fl, ... f„ Constanten gleich, also wird w eine blosse Function von /\ und töf//', ebensowohl em vollständiges Difterential als df\ selbst. Man kann daher tö im Di\'isor fortlassen und erhält -n^ als Midtiplicator der Diiferentialgleichung

Xda-—X,dx = 0. Somit gelangen wir zu folo'endem Satze:

Es sei das System von Differentialgleichungen

da: : d.i\ : (7,i\, : . . . : d.v,, = X: X^i X,: ... : X„ vorgelegt, man kenne n — 1 Integrale desselben,

— 11.3 —

man kenne ferner eine Lösunr/ ]\f der ] Jißereii/in /fj/rirJoi n//

^ ilhM dX dX, öX„

X — f- — I — 5 H^-i-H H^^ = 0:

fl.C O.V OJ•^ Öd-„

ist rerniöf/e jener n — 1 Integrale das rorge/ef/te System auf dir hilTerentudyleichnnfj erster Ordninn/ zwischen zwei Variahlea

zurückgeführt, so ist der integrirende Factor derselben

M_

d.r.. d.r^ ö.r„

Dies ist (k'rscilie Satz. iKt in <]ri- /.wöli'ten X'orlcsuiig aul'gestellt wimle. Dort l'undeii wir für den Multipiicator ik-n Ausiiruck

da., da^ 6it„

iber da /[> = fi.j, f:K'^<<:\- ■■■ /„ = «„^ f^'» ''^it man. nach einem p. 101 No. 2 an-

geführten Satz über Funetioiialileterminanten.

d.r„	da.	d.r. dttn		1
da.	du:.	da-	Bfn d.tn

SO dass beide Multiplieatoren identisch sind.

Der Name des zum System der Dilferentialgleiehungen (3.) geliörenden Multipheators, den wu- der (hu'ch die (Tleichung (1.) oder (ö.) definirten Grösse M beilegen. em])fiehlt sich deswegen, weil dieselbe für den Fall zweiei' Variablen, x und ;r, . mit dem Ealeravheu Multi[)licator oder integrii'enden Factor zusammenfällt.

Wir haben bisher gezeigt, dass. wenn durch n. — 1 Integrale das System auf eine Differentialü'leichunü" zwischen zwei \ ariablcii zurückireführt worden ist. der Multij)licator dieser Ditferentialgleichung aus <lcm Multipiicator des Systems hergeleitet werden kann. Abei' dies ist nur ein sj)L'cieller Fall eines allgenanneren Satzes: kennt man nämlich nicht n — 1 Integrale, sondern eine kleinere Anzahl, etwa n — k, so dass man das gegebene System zwischen // -^ 1 Yarialilen auf ein System zwischen A-f-l ^'ariablen zurückführen kann, so lässt sich, wie wir sogleich sehen wer<len. aus dem Multipiicator des gegebenen Systems der Multi- piicator des zurückgeführten Systems bestinnnen. Diese Verallgemeinerung wird uns zugleich in den Stand setzen, eine ilen Midtiplicator lu'treffende. las jetzt unberührt gebliebene Frage zu erörtern. Wir haben nändich bisher vorausge- setzt, dass bei jeder Integration des vorgelegten Systems von Dilferentialgleiehungen ehie neue willküi-liche Constante liinzukomme. Es ist aber nothwendig, die

JacoM, Werke. Suppleineutbaiul i^Dyiiamik). 15

— 114 —

Fracje zu beantworten, ob und in welcher Weise die Methode des letzten Miüti- plicators sich auch auf den Fall ausdehnen lässt. wo die wUlküi-lichen Constanten besondere Werthe annehmen, und wo man daher schliesslich nicht mehr zur vollständigen Integration des voi-gelegten Systems von Differentialgleichungen gelangt. Um zu zeigen, wie man aus dem Multiplicator eines gegebenen Systems den Multiplicator des reducu-ten irgend einer Ordnung finden kann, verfahren wir stufenweise. Wir nehmen zunächst eine Integralgleichung fn^i<n als ge- o;eben an. wodurch sich die Ordnung des Systems um eine Einheit erniedrigen lässt. und suchen den Multiplicator des so reducirten Systems auf Für das gegebene System (3.) äx : dx^ :...: (Ix„ = X: X^: ... : X„

wird der Multiplicator 31 durch die Differentialgleichung (1.) oder (5.) definh-t. Nehmen wir aber alle Integrale des Systems als bekannt an, so ist nicht mehr die Lösung einer Differentialgleichung nöthig, sondern wir können M unmittelbar finden und zwar aus jeder der Gleichungen

MX = tüA, MX^ = raJ MX, = mA„,

wo A = 2:±-^-^...^, ^, = (_iy^^±^-|^...i^4f^ „. s. w.

ox^ öx^ 8x„ ■ ' '^ -' d.c ox^ dxn dx

und Co eine Function von /"i, /j, ... /'„ ist. Betrachten wü- die erste dieser

Gleichungen, also

MX = .CA.f.^,...0,±^^...^.

Gesetzt, das Integi-al f„ = cc„ sei gefunden, und es komme x„ in demselben vor, so lässt sich .r„ durch f„ und die übrigen Variablen x darstellen; wüxl dieser Ausdruck von x„ in f\, /„. ... f„_^ substituu-t, so sind diese Grössen Functionen von .r, , X.2, . . . x„_i und /„. Schliesst man die unter dieser Hy]3othese ge- bildeten Diflferentialquotienten in Klammern ein. so erhält man für die Elemente der Determinante ^1 folgende Werthe:

\ dx, J \ df^ ) dx, \ dx, ) \ df^J dx, \ dx, J \ df^ ) dx, dx,

v^rKdf^ ) d.v, ' V dx, )^\ dfj dx., ' ■■ V dx., r\ df,^ ) dx, ' dx, '

\dx„_,r\äfjdx„_^^ \dx^_,r\ dfJ dx^_^- ••■ \dx„_,r\ df„ Ja.;_,' e.;._,'

( df, \ df. (1L\ILl^ f^V.-A ^fn ^fn

\öfj dx^ ' \dfj dx^ ' ■•• l df„ ) dx^ ' ö^„

— 115 —

Wie p. 95 gezeigt ist, kann man hier rliejenigen Tenne der ersten « — I Vertical- ivilien fortlassen, welche den Elementen der letzten Verticalreihe proportional sind: dabei verschwinden die ersten » — 1 Eleinenti' ik-r letzten Hoi-izontalreihe.

so dass ^^ Factor der Determinante wird, und man erhält daiier oder, da f„ = a„ ist,

_ 0, .« = .(;;,/:....c,.»>|^-(i^)(lt-)-(fer)-

Xuii hahe man vermöge des Integrals f^^=:ci„ aus dem gegebenen Svstem (3.) j'„ und (Li„ elimuiirt und sei dadurch zu «lern redueirten Svstem

(8.) ' </.'■ : <l'\ :...: </,/•„_, = Ä' : X, : . . . : A'„_,

gelangt. Ist tt der Multiplicator dieses Systems, so hat mau zu seiner Be- stimmung die Gleichung

V o.i\ J \ o.r, / V o.c„_i / wo F eme willkürliche Function von /', . /j. ... f[_^ ist. Ein Werth von /u entspricht der Annahme F=ty(/'i,/v, .../!,_!.«„)• derselbe wird durch die Gleichung

'--("■■■^^-«.)^-(l!f)(*)-(le7)

bestimmt. Aus dieser letzteren und aus (7.) ergiebt sich dui'ch Division

M ^ öf,.

oder

M

et

oj:,, •

Dieser Ausdruck also ist der Multi}»licator des Systems (8.).

Auf dieselbe Weise kann man weiter gehen: kennt man ein Inteüral /'„_i = f^„_i des Systems (8.) und reducirt dadurch dasselbe auf folgendes:

(Lv : dd\ : ...: </.r„_2 = X : X, : . . . : A'„_o. WO iV„_i eliminirt ist. so ist der Multiplicator dieses Systems

3f„ (^f'-^\ '

15*

— IIG —

Eliraiiiirt man durch ein neues Integral /*,_:,. = «„_2 die V^ariable x^_^, so erhält man als Multiplicator des so entstehenden Systems den Ausdruck

M

wo die Klammern bedeuten, dass /'„_i durch /", und .i\. .r.,, . . . .r„_,. und dass /;,_2 durch f„, f„_i und .r^. .y,, . . . ,r„_., auszuilrücken ist. Indem man so fort- fährt, kommt man zuletzt auf die Differentialgleichung

(Lc : d,i\ ^ X : X,

oder

und ihr Multiplicator ist

X(ir, — X^d.t = 0, M

wo die Differentiationen so zu verstehen sind, dass die Functionen /"„. f„_^. . . ■ fj in der Form

/^,-2 = y„-2C''''''.v^,-«3,----2'„_2, /;,_!,/;,),

dargestellt angenommen werden. Bei dieser stufenweisen Reduction wird die jedesmal hinzukommende Integralgleichung dazu benutzt, um eine Variable zu eliminiren. Das erste Integral f„ = nr„ z. B. wh'd dazu benutzt, um .r„ durch .1", .t'i, ... .«„_! und (i„ auszudrücken und den erhaltenen Werth in A^ A'^i, ... A^_, zu substituu*en. Hierbei haben wu- zwar bisher «„ als eine willkürliche Con- stante aftgesehen; indessen ist leicht einzusehen, dass in dem Raisonnement nichts geändert wird, wenn man für «„ einen bestimmten Werth «„ setzt. Nur wh-d in diesem Fall das reducirte System nicht mehr gleichbedeutend mit dem gegebenen, sondern entspricht nur dem besonderen Fall, wo in der Integral- gleichung /„ = «„ flif willkürliche Constante «„ den besonderen Werth a,, hat. Obgleich man also im Verlauf der Integration der willkiü-lichen Constante a„ einen besonderen Werth geben und dadurch ein besonderes Integral des ge- gebenen Systems in die Rechnung einführen darf, so muss man doch das voll- ständige Integral /"„ ^ «„ kennen, weil zlu- Bestimmung des Multiplicators /<

— 117 —

aus .1/ ilif Kenntniss von f,, uotlnvciidig ist. Es jrenüfrt also nicht, ein pur-

tioulares Inti'irnil .r,, ^= «/»(.r, .t, a'„-i) ohne willkiirlichr Constaiito zu kennen,

sondern man niuss wissen, wie dies jjarticulare aus dem vollständigen IntcL^'a! f^^cc^ hervoriiegancen ist. und weichen Werth man der willkürliehen Constante «leireben hat. Hierin liegt eine Ausdehnung des Prineips des letzten Multi- plicators. welche man tolgenflermassen aussprechen kann: Es sei das System von Differenhahikichvngen

</.(■ : t/j;, : . . . : (Lc„ = X : X^: ...: X„ gegeben: ein Integral desselben mit einer icdlkürhchen Consta nie sei bekannt vnd auf die Form f^^ c(„^= Const. gebracht. Man U-ge der Constante irgend einen particidaren Werth a„ bei. löse /'„ = a„ nach x„ auf und setze seinen hieraus hervorgehenden Werth in A', A',. ... A'„_i ein. Hieran/ erhält man das erste redncirte Si/stcm von Dißerentialgleiclinngea

il.r : (ld\ : . . . : </.r„_i ^= X : X^: ... : Xn—\ . welches aber nicht mehr die Allgemeinheit des vorgelegten Sijstem.i hat, sondern nur den Fall a„ = a„ repräsentirt. Von dem ersten reducirten System von Diß'e- /'entiah/leichungen sei iciederiim ein Integral mit einer icillki'irhchen Constante be- kannt vnd auf die Form /'„_i ^= «„_i = Const. gebracht, tco /',_, eine Function

von ,v, .i\ r„_i i.^f. Man lege der Constante a,,_-^ den besonderen Werth a„_^

bei, löse f„_^^a„_i nach .v„_i auf und setze seinen hieraus hervorgehenden Werth iji die Grössen X, X,. ... X„_« ein, so dass sich das zweite redncirte System von Dijferentialyleich ungen

(/■(• : (/.r, : . . . : (/.(„—v ^ A : A, : . . . : A„_2 ergiebt, und fahre auf diese Weise fort, bis man auf die iJifferentialgleichung

(Ar : d.L\ ^ X : X, kommt: dann ist auch jetzt der Multiplicator der letzten TJiJferentialgleichung

M_

Hier sind al)er f„. /',_,. . ■ . f, nicht mehr « — 1 Integrale des vorgelegten Systems, sondern nur f„^cc^ ist ein solches: /],_j ^ «,,_, ist ehi Integral des ersten reducLi'ten Systems, welches den besonderen Fall»«„ = rt„ des gegebenen dai"stellt: /i,_o^«^_o ist ein Integral des zweiten reducirten Systems, welches den besonderen Fall «„_, = «„_, des ersten reducirten Systems darstellt u. s. w.

— 118 —

Hiermit ist der Umfang erschöpft, den wii- dem Princip de's letzten Multiplicators zu geben vermögen; wir gehen jetzt zu den Anwendungen des- selben über.

Fünfzehnte Vorlesung,

Der Multiplicator für Systeme von Differentialgleichungen mit höheren Differential- quotieuteu. Anwendung auf ein freies System materieller Punkte.

Alle unsere bisherigen Betrachtungen betrafen Systeme von Differential- gleichungen, m welchen nur Differentialquotienten erster Ordnung vorkommen. Systeme dieser Art kann man als emen liesonderen Fall derjenigen ansehen, in welchen die Differentialquotienten auf beliebige Ordnung steigen. Aber auch umgekehrt kann man durch Vermelii'ung der Anzahl der Variablen ein System mit höheren Difterentialquotienten auf die Form eines nur Differential- quotienten erster Ordnung enthaltenden Systems zurückführen, so dass jenes ein besonderer Fall von diesem wird. Mit dieser Zurückführung eines be- liebigen Systems auf ein anderes, in welchem nur Differentialquotienten erster Ordnung vorkommen, wollen wü" uns zunächst beschäftigen. Man habe ein System von i Differentialgleichungen zwischen 2-1-1 Variablen t, x, y, z, . . ., wovon t als die unabhängige, x, y, z, ... als die abhängigen Variablen an- gesehen werden. Die höchsten Differentialquotienten, welche in diesen Diffe- rentialgleichungen vorkommen, seien der m'" von x, der «"* von y, der p'* von z, etc. Nehmen wir ferner an. dass man nach diesen höchsten Diflerential- quotienten auflösen könne, so dass die Differentialgleichungen folgende Form bekommen :

^^■^ -^-"^^ ~^-^' ^je-" ••■'

wo die höchsten Difterentialquotienten, die in ^l, B, C . . . vorkommen, der (m — 1)"' von .T, der (m — l)" von y, der (y) — 1)'" von j, etc. seien, so ist dies die canonische Form der Differentialgleichungen, hi Beziehung auf welche alle Untersuchungen anzustellen sind. Auf diese canonische Form (1.) wird sich nicht immer unmittelbar jedes gegel^ene System zurückführen lassen; dies wbd z. B. nicht angehen. M«enn in der emen der gegebenen Grleichungen die höchsten

Differentialquotienten — — . -^-^, ^-^, . • . nicht vorkommen. Alsdann muss ^ dt'" dt" dt"

— 119 —

man zur Kliiuiiüition (Wc Dilforeiitiatioii liiiizufriircii. (Tcsctzt z. R. in der in liedi' stt-liciulcn Gleiclmiiij: wären «lic lnH-listen l)i|}'(.'ri*ntial<|noticnt('n

^ . — —. ... Hilf] CS wäre ,M < i' :_, 7t <- . . . . so dilVcivntiire

dt"-" ' flf"-" ' dt''-" '

/'" man »mal nacii / nnd ln-imtzt' <lit' so crlialtcnt' ( licirluniLi'. nm '— ans diMi

df'"

iiliriucn (ik'icinniu;i'n zn ciiniiniriMi. Findet sicii nnter ilen ans dieser Elimination

hcrvoriielienden (ik'iclnniüen wicdernm eine, in welcher keinei- iler liö(disten

I)ilV('rential(|notienten von y. : ... \orkonnnt. so hat man diese von Neneni

zn difl'ei'entiii'en n. s. \\ . GonnLit anch diese l>etraehtnnLi' inn zn zeii;en, dass

die Zin'iickti'iinaniL;' ant' die canonisclK' Foinn in jedem Fall möüTieh ist. so 2"it*l)t

es doch vorlänti^' keine allLivnieine Methode dieser Znn'iektiihrnnii. Eine solche

anfznstellcn würde eine sehr schöne Aufgabe sein'): sie kommt damit iiberein^

die Anzald der willkürlichen Constanten zn I)estimmen. welche in <]en Integralen

eines gejfehenen Systems von Ditferentialgleichunuen enthalten sind, diese Anzahl

ergiebt sich unmittelbar ans dei- canomscheii l'"oi-m. sie ist nändich m-^n-n]) -i '

Die Aufhalte, den Grad der F^Iiminationsoleichuni;' aus einem üeiivbenen Svstem

aljxebraischer Gleichuuüen zu bestimmen, hat daher mit <ler in liede stehenden

einige Aehidichkeit.

Ein besonderer Fall der canonischen Form ist <ler. in welchem man alle Variablen, ij , c. ... bis auf zwei. / und .r. eliminirt und nach den Ditfe- rentialf]Uotienten von .r nach / ordnet. Diese Fllimination ist über für unsere Betrachtung nicht nöthig: wir iirauchen nur. wie gesagt, die Differential- gleichungen auf die Form (1.) riMlueirt anzunehmen, wo die höchsten Differential- quotienten in .1. /). ('.... der (//( — I)" von ,c. dei' (/; — l)'" von //. der (/( — 1)'" von z . . . sind.

Dies voi'ausgese-tzt wollen wir iii-h n -hp-\ i neue Varial>le ein- führen, nämlich:

*) JaKiM selbst hat diese Aufjrabe srelO.st; An(leiUunL''en darülioi finden sich in seiner Abhandlung über den ilultiplicator {Crelles Journal. Bd. XXIX, p. SO), wo auf eine weiter zu erwartende .AbhandlunLj hin- srewiesen ist, welche diesem Gesrcnslande ffewidmet sein sollte. Von den beiden im Nachlasse vorjrefundenen .\ufsiilzcu über das vorliesrende IVoblem war der eine, welcher eine sehr vollsländijjre Auseinaii<lersetzun^ der Resultate erhält (de aequatiomim dilTcrentialium systemate non normali ad foimani normalem revocando) der '■rsten Ausgabe dieser Vorlesniiiren beiirefüst worden: der andere, die Beweise enthaltend, findet sich im (U. Bande des mathematischen Journals abiredruckt (de investiirando ordine svstematis aeijuationum difleren- tialium vulirarium cujuscunque). Beide Abhandluiisren erhalten jetzt im fünften Bande der ffesammelleu Werke Jacoliis ihren I'latz. Anm. d. Ueraussebers.

— 120

(2.)

dx ,

-df^ ''

-dt^ 'J

dz ,

~df' ~

d.r' dt ' ■	■ -'"-'= dt
dt ■ ■	•^ dt
dz' dt ■ ■	. . Z'V-^l = , dt

dann kann man alle diese Gleichungen mit den Gleicliungen (1.) zusammen als folgendes System darstellen:

(3.)

dt : dx : </.(•' :	. . ,Ar'"'-')		( 1 : y : .r" : .	.-.A
■.dxj-.dy' :	..dl/"-'!		■■ir-y"---	. : B
: dz : dz' :	...dz'i'-^'		. -.' . ^''	. : ('

Wen<let man auf dieses System die allgemeine Theorie an, so erhält man als Düferentialgleichang für den Multiplicator

d\g,M dA dB dC

ox^'"-''

(4.)

0

+

dt dx'-'"-'' ö^'"-') ' ös^p-i)

Man kann daher M in allen Fällen angehen, in welchen die Summe

■ (JA dB ^ 6C

ein vollständiger Diff'erentialquotient ist. Wenn z. B.

dA 8B dC

+

+

ist, was namentlich immer der Fall ist. wenn .4 kein d'-'z

7 »t - 1

d X

B kein

A y_

dt"-'

C kei

m

dt

p-i

enthält u.

so hat man M = Const.

und kann daher nach unserer Theorie, wenn man die Differentialgleichungen (1.) auf eine Differentialgleichung erster Ordnung zwischen zwei Variablen zurück- geführt hat. den inteiiTirenden Factor derselbeii anheben.

Diese Betrachtung würde von keinem sehr grossen Interesse sein, wenn nicht solche Fälle in der Praxis vorkämen. Dies findet aber statt. Soliald nämlich die Bewegung eines freien Systems materieller Punkte bloss von ihi*er Configuration abhängt, so dass der Widerstand des Mediums nicht in Betracht kommt, so sind die Differentialgleichungen der Bewegung

d'y. __ d'z,

(5.)

dt'

= X.

dt'

= T,

m

dt'

Z .

■2\ —

wo A,. }\, Z_ lnAwv (.■i'>tcii UillcrL'iiti;iI(jiii)tH'iitcii nitlialteii: ilalicr liat mau

also

ö.v: du: dz'

I ^1 t

<lhM

(U

und (las Princi|p des letzten .Mnltiiilicators ist aiiweiidhar. l'^s findet al«'r soi:ar. wie wir später naeliweisen werden, noch fin- ein dnreli ii';^\Mid welelie \ erliin- ilunii'en lieschränktes System seine Anwcudun:;'.

I'jiiie lirsomlcre IJftraelilimii' verdient dci- l"a!l. wo in der canoni^clieii Form der DilR'rentialuieieliuuii'en. d'\r _

(ß.)

''"!' =B. .'''"- = r

df ' dt" df

die Grössen .1. />'. i\ ... kein t enthalten. In diesem Fall kann man t uanz eliininii'en. und /.wai" eiuiiudi daihu'ch. dass man in der unter (o.) ueu'elienen Form <ler Diirerentialuleiehimüvn auf Ay-v huken .Seite lU . al^t' der rechten das ihm eutsprechende (died I lortlässt. .Man ei'hfilt aut diese ^\ eise ein Svsteni.

dessen ( )rdnnn^ um eine k>iuheit nieih'iLier. nfnulich i:leich tu A- n + pA 1

ist. Hat man y\\y:-> Systi'ni intei;rirt. mithin alle ^'ariaMen. also aucli x. dm-ch eine. 7.. V>. x. ausü-edrüekt. so eriiielit sich /. wie schon t'ri'du-r erwrdmt. aus der Diflei'eutialüleichuim'

d.r — .r\lf = 0.

Also hat nui

m

'" d.r , .

Man findet daher / (hu'ch lilo-se (j|uadi'atur.

Hat mau nun einen Multiplicator M. der von / frei i>t (hierher i:ehöi't

uameutHch der Fall, wo

dA ÖD

dC

ß,,.'«—Vj + d}/'"-'' "^ öc-''-'-'

.. = (I. also J/=Const.

ist), so gielit dieser Werth von M den letzten Multiplieator des Systems

(»(-H" -H/'H 1)'" Ordnmiu. aus welchem / eliniinirt ist: man kann also die

lie/di'ii letzten lulei^rationen ausführen. IJe^itzt man dauei^en nur einen ^VeI•th von

M. der f euthrdt. so kaim mau hiei'aiis keiiuMi Nutzen für die (*//-i-»-|-y;-i 1)'"

Inteji'ratiou ziehen, sondern nur iur die (in-{->> -h/>-\ )'". welche den AVerth

Jacolii, Werke. .SunpleiiU'iitKauil (liyiKuiiik). • 16

— 122 —

\un t liclci-t iiml IxToits auf eine (^tiiailratiir /.iii-i'ickgetulirt ist: und zwar l)esteht dieser Nutzen darin, dass man aiieli <lie t^luadi'atur ersparen und ( durch Aut- lösiniu,' einer Gleichung bestimmen kann. In der That, nach der ersten der (Tleiclumgen (-i.) der vorigen Vorlesung liatten wir für den ^Iidtiplicator M des daselbst mit (3.) bezeichneten und zwischen den V^ariablen ,r, .r, , . . . ,f„ statt- findenden Systems »'"' (3rdnung die Formel

rf df df

(7.) MX=w^±^l^-^...^,

d,).\ dd'.-, dd:„

wo f\ = tc^, i'., = (e.-,^ ... f\^^^i(^ die Integrale jenes Systems darstellen und w eine Function von f\, /J,, . . . /',, d. h. da diese Grössen durch die Integrale des Systems zu Constanten werden, eine Constante bedeutet. Dies wollen wir auf das System ((i.) anwenden. Sind

die Integrale des nach Elimination von f aus (G.) erhaltenen reducirten Systems, und ist

/ = /■— |-^^ =^ Const.

das letzte, den Werth von t liefernde Integral von (6.). so ergiebt sich aus Formel (7.), indem t, ,r, ,r', . . . .r'"' ", y, y' , ... //'""", j:, z , ... z^'-'\ ... an die Stelle von .c, d\. ... .r„ und demgemäss 1 an die Stelle von A' gesetzt wird, iiir den Multiplicator M des Systems (6.) die Formel

J/=P5^:

dx d.v' dx" af("'-i) dy dij("-'^ dz ar'*'-')

Aber es ist f=t — j~r- '^^'O ■'^■' *?iiie gegebene Function von .v ist, daher

X

mithin

dx — .r" dx' ~^' dx" ~^' • • • &("-') ~ ^ ^^^-^

X dx' dx" dz(p-^)

Die rechte Seite dieser Gleichung ist zugleich ein Multiplicator des von /

freien Systems (_)n-^)i-\-p-\ 1)'" (Jrdnung: denn für den Multiplicator dieses

Systems, welcher mit fi bezeichnet werde, ergiebt die Anwendung von (7.) die Formel

df\ df, '5/',.,+.,+p-i

nx' = Const. Jdz-

dx' dx" dz(J'-')

— ]-2?, —

wo //. w'u- sich von si.'ll)st verstellt, ein von / livin- AnMlrnrk ist. Wir

li;ilx'ii also

J/= Const./i,

un<l da .V der Annalnne nach f cnthäh. so cruR'ht sich / diu-cli Aiiriösimiz; «licser (iK'ichinii:'. Inzwischen wis-cn wir vcrniönc der inis licrcits ln-kannti-n Jx'stinnniniu' von /

t = — ,--t-Cünst.. .' .(■

dass die Constantc mit f additiv vcrlmndcn sein niu>s: damit diese Verhindun<r von f mit der Constante aucli ans der olii^en (üeichiuii:' t'üi' .1/ lierv(ii-i;ehe. ninss M von der Form

sein, wo ^V i'rei von / ist. Alsdann erhäh man dui-cli die Logarithmen

mf = l.^r -' - -|- laCullst.

AVenn .1. I>. (\ ... die Varial>K- / nicht enthalten, so jfielit also .1/. wenn es / elienl'alls niclit t-nthidt. die vorletzte Integration. Kntliidt daueiien M die A'arialile /. so kann man (hn-(di die Keimtniss von .1/ die (^>uadratur er.-j)aren. welche sonst znr Bestinunimu' von / iiothwendiu' wäre.

Zu dem ersten Fall ueln'nvn die Ini- die Beweiiimu' eines Svstems xun n materiellen Punkten geltemlen Ditlerentialüleichnnu'en (.3.). da der uns 1)ekannte Werth J7^ Const. des Multiplicators der.selhen von / frei ist. I)ie Ditilerential- lileichuniien (J.) liilden ein System der (u/-" Ordnung, welches nach unserer .Methode durch die (>// + ] \ ariaMen a\. .r]. _;/,. ;/'. r,. r' und f darüestellt wird. Kennt man (i/^ — '2 ^= i' die X'ariable / nicht enthaltende Integrale

/', =(-',. f ■:='(... . . ■ /', = <f. dieses Systems, kann man also alle aMiängiüeii VariaMen dinvh zwei, etwa ,r, und (/,, ausdrCicken. zwischen welchen die noch zu inteurirende Diileiviitial- <:ieichung' erster Ordnimg

■*v(!/i —.'/','/•'•, =0 stattfindet, so lässt sich der integrirende Factor R ilieser letzteren angehen. Bezeichnet man die nach Ausschluss von .(, .und (/, von den Cw; Variahlen •^'ij •''!? i/,? i/'; -,? -,' übrig bleibenden 0« — '2 = f mit pi. p.j. . .. p,. so ist

"" o«, 8tt„ cu,.

Ki*

— 124 —

Avo vorausgesetzt ist. dass man für die A'ariableu p^, p.,, . . . p,. ihre aas den Inteo-ralen f\ = c(^. f, = c-j- ■■■ /,= (■,■ '^'^''i ergebenden Werthe substituirt lialie. Sind die tieü'ebenen i' IntegTalgleichungen weder nach den V;irial)len jjj, p.,, . . . p,., noch nach den willkiirhchen Constanten f^j. a.j, . . . a,. aufge- h'jst. und werden sie mit

fü, = 0, pj, =0, ... m, = 0

bezeichnet . so ergiebt sich nach den in der dreizehnten \ orlesung ausge- sprochenen Sätzen über Functionaldeterminanten für den integrirenden Factor

R der Bruch

^ . 953, dm.-, cm,.

ö«, «5«., du,.

K ■= ^ :;-^^ ~ —

. cm, cm., cm^

dp^ dp.-, dp,,

Unter der oben gemachten Annahme, dass die Integralgleichungen nach den willkürUchen Constanten aufgelöst seien, hat man cö, ^ /] — ci, zu setzen: dann reducirt sich der Zähler des Bruches auf 1 . und der integi'irende Factor wird

1

R

S-^

cf\ df._, df,.

ö/'i dp., dpy

Ein umfassenderer Fall, in welchem die den Zähler des oljigen Bruches bildende Determinante sich bedeutend vereinfacht, ist der, wenn «3i nur «i enthält, cöo nur «1 und cc, u. s. w. und allgemein w, nur a^. (c.,. ... «,; dann reducirt

. , ,. -r, . . ^ „ , dm, dm„ cm,, . , . r^^

sich die Determinante ^±-T~-^r^ r — aut den emen ierm

o«, o«, üa,.

dm dm., cm^

da^ da., du,.

Diese Form der Integralgleichungen kann natürlich durch successive Elimination immer erzielt werden. Der analoge Fall für den Nenner von R ist der. wenn ß), von allen Variablen p^, />,, . . . p,, nur die eine p^ enthält. (0., nur p^ und p: u. s. w. . w, nur jj,. p.,. . . . p,. Alsdann reducirt sich die Determinante

«-, , cm, dm., dm,. ,, •, . rp

.Zdz -T^ ^^-^ =; — aut den einen 1 erm

op, dp., dp,,

dm dm., dm^

.^P\ ^Pi ^P>-

Wenn wir nicht /' vollständige Integrale kennen, sondern nur /' be- sondere, d. h. solche, in welchen den Constanten «i. ... cc,. besondere Werthe oeoeben sind, so können wir die Determinante im Nenner von R wohl bilden,

PO"

I L>:)

iliL- 1111 Zäliler \"()ii // aliiT nicht, denn hiciv.u wäi-i- c- uiitliit:' zu wissi-u. imicr welclu'i' Fdi'iii iI'k' Constaiiteii in (Wv Inti'nralL' cintivtcn. Steht es aln-r fest, ilass, ehe (K'ii willkürlichen Constanten hesondere Werthe lK'i;j,X'le;j:t wm-dcii. in (T), nur r:,. in (7>. niii' r;, und r^, u. s. w.. in üj- nur f^, . (i... . . . «, \orl« minien.

SD hraucht uns ausserdem nur noch (Tk- Fui-in liekannt zu >ein. in welcher c^ in (T)| . f^, in ö)^, .... a, in w, .... c^. in ß>,, enthalten waren, um die Deter- minante im Zidiler \"i)n R hildeii zu kruinen. ^^'ir liraucheii daiieüeii nicht zu

wissen, wie v)., \n\\ <c.. uj. vo\\ c.

r^, .... ii), \n\\ ((.

(i..

(!.

alihäiii^t.

ilenn. wie wir licsehen liahen. rediicirt sicli die ^anze Determinante auf den

... OC5, CC5., C5J,. ,,. T-" n • i • i l .

einen li'rni ^r— i--:^^ ^ IJu-ser tall tritt Ihm der Inteui-atiun einer ire-

c*«, C-«. at(,.

wohnlichen DitVerentialiileicliunii' höherer Ordnung' ein. wenn vorausp-setzt wird, dass man jede fiiteuTation vollst.ändig ausführen kann, alier dann, um weiter zu inteurireii. der willkürlichen ronstaiite einen liesoiideri'ii Wcrtli ii\'lien iviu>s.

Seclizeliiite Yorlcsunji-.

lH'i>pie]c für die Auisucliiiii«; dos ihiltiplicator;;. Anzieluuii; eines l'unkts nach einem festen Ceiitruni im widerstehenden Mittel und im leeren Kaum.

Wir wollen, um die .\nwendliarkeit <ler Theorie des Mnltiplicators zu zeiji'en. zunächst einen Fall betrachten, in welchem, aliweicheiid von allen ühriu'en Beispielen, auf welche sich diese rntersiicliuiiij.'en hezieheii. A, . J'. Z niclit hloss Functionen der Coordinaten sind, sondern auch die' Geschwindiu- keiteii enthalten, wo also .1/ nicht eine Constante wird. Dieser Fall ist der eines Planeten, welelier sich in einem widerstehenden .Mittel um die Sonne I>e- wegt. Oline Berücksicliti2;ung des Widerstandes sind liekanntlich die (ileichungen für die Bewogiing eines Planeten folgende:

dt"-

— k-

dh,

,.3 '

^ = -/r

</-;

dt- r^ • </r /•' •

wo ,r. ij. : die heliocentrlschen Coordinaten des Planeten sind. /• seine Knt- fernuiig von der Sonne und Ir die Anziehung, welche die Sonne in der J'-iii- lieit der Fntfernung ausül)t. Ist r = \'x"- + y' '■-{-::'' die Geschwindigkeit des Planeten in iK-r Iiichtnng der Tangente seiner Trajectorie und f der ^\ iderstand in derselhen Uichtung. so sind die Componeiiten des Widerstandes nach den Axen

126

der X, y und ^ respeotive

Diese Grössen sind auf der rechten Seite der DifFerentialgleiclmngen mit dem- selben Zeichen hinzuzufügen, welches die von der Attraction herrührenden Terme haben. Die Bewesunssiileichuno-en werden also:

d--r ^ _pj^

y

V

/^.2 J)^

2^

■k'-

ly

dt- )'■■ V

Nehmen wir den Widerstand proportional der /;"" Potenz der Geschwindigkeit,

an. wo /' eine Constante ist. so hat man demnach die Differentialgleichungen

d'.v

(1-)

dt'

dSj

dt'

dh

l df

— Ir-

-f-v-'j" =A,

-PJi^-f.^-ry' = B,

-f.if-h' =C

Die Vergleichang dieses Systems mit der allgemeinen Form (1.) und (3.) der vorigen Vorlesung ergiebt rit^^))=^j)^'2: also erhält man nach Formel (J:.) der nämlichen Vorlesung für den Multiplicator M des Systems (1.)

0

dhiM . dA dB , dC

dt ' d.v' ' dl/' ' dz' oder, wenn num für A, B, C ihre Werthe setzt.

d\gM _ JdCv—'.r') dt " ' 1 d.v'

du'

dz'

/■ f.i , ^ -.N o/ T <9r , dv , dr \\

Aber es ist

also

dv

d.l-'

dv

d,'

V ' 5^'

S>/'

, dv

	\	. a*	1 1	,7
V	:	dv dz'	=	V
	.r'	"■+>/	'-hz	'2

— 127 —

1111(1 >s{)init

Fiir 11 = — 2 liätte man domiiafli J/=Coiist. Dieser Fall kann al»er in der Xatiir nicht vorkoninien. denn sonst inüsste der ^\ iderstand flesto ^erinacr sein. je schnoller der Pianet sicli beweate. Wir wollen also nntersiiclieii. ob. aiirli ohne diese Annahme t'iir //. r""' sieh in einen \"ollständiti'en I)iirereiitiali|iiotienten \er\vandehi lässt. Der Satz der leliendiueii Kraft und ilie Fläeheiisätze gelten für dieses Problem nicht mehr: iintei'sncheii wlv indess. welche Form die ihnen entsprechenden Gleicliim^en hier annelniu'ii. Cm die dem Satz der lebendigen Kraft analoge Gleichmiij.- zu erhalten, muss man die drei Gleichunuen (1.) re- spective mit x', ij, z' multi|iliciren und a<ldiren: dann ergielit sich

Nun ist

also oder

und

, d'x , (Pi/ , <l"z /••'., , ,^ , ,^ ,..

•^'^j^-i-!/'-jf+=' -jf-r- = - 73- (•'••'•'+y.'y'+"-)-A-"-'(-'-'--i-i/' •'+---).

, (P.v , (Pii , <Pz de , , , dr

'' np-^'J -dt^' ~ip- = 'HF- ■«■+.y^+--^ = '--dr-

dl- k' dr . ,^|

dt /■-' dt

dt ' dt

t—ir- = >^'—T. /V'-

Dies ist zwar auch ein nierkwürdiiies Resultat: aber wir brauchen nicht l'v"-^'(lf, sondern ^v^-'dt.

Um die den Flächensätzen entsprechenden CTleichuiiaen zu erhalten.

11 • 1 rn • 1 /INT/'.. '/"- 'P'l d'.c il'-z

liarieii wir aus den (TleuMimiüen (!._) die Grossen }/ —rr, : ,:' . :—t^ X

i/t- ' dp ■ dp dp

■i'—j!: y—rpr- zu bilden; dann eruiebt sich

df ^ df

d'z d'-i/ . , , ,

P.v d'z

a\t

.c-

dP dp

-f.c'-^(z.v'-,rz'%

d'ii d'x , , , , ,^

— 128 — und (lurcli Integration

(3.) -/■. f'—hk = lgO;;'_-,/)_]g„ = lg(-,'_.,~')_lg,i = lg(,,^'_,;,,')_lgj,,

wo Iü;«. Ig/A lg;' die willkiirlielien Constanten der Integration sind. Man erhält also liierans erstens das i2;esnelite Inteü'ral ( r"~V/^ uml zweitens zwei Inteirral- gleicliungen, nämlich

(4.)

« ß Y

welche aussagen, dass die Grössen yz' — zy', zx' — :cz', xy' — yx' in constantem Yerhältniss stehen, ein Ergebniss, welches sich hätte voraussehen lassen. Denn da der Planet in einem widerstehenden Mittel nicht aufhören kann sich in einer Eliene zu bewegen, so müssen die in Rede stehenden Grössen, welche mit dt multiplicirt die Projectionen des von dem helioeentrischen Radiusvector be- schrielienen Flächenelements darstellen, sieh nach einem bekannten Satz wie die Cosinus der Winkel verhalten, welche die Normale der Planetenlmhn mit den drei Coordinatenaxen bildet.

Aus den Gleichungen (2.) und "(3.) folgern wir

\gM= (n+2)f.jv^'-hh = -(n^2)\g['"^' '^■''' ).,

also

oder, mit Fortlassung der Constante j'"^',

1

Wir können somit in der That das Princip des letzten Multiplicators auf diese Aufgabe anwenden. Das vorgelegte System (1.) ist sechster Ordnung, und führt n.ach Elimination von t auf ein reducirtes System fiinfter Ordnung. In- dessen können wir, da die Bewegung in einer Ebene vor sich geht, die eine Coordinatenebene. z. B. die der ,c, //, mit der Ebene der Bahn zusammenfallen lassen; dann ist c = 0 zu setzen, die letzte Gleichung (1.) fällt fort, es bleibt ein System vierter Ordnung und, nach Elimination von t, ein reducirtes System dritter Ordnung übrig. Von diesem letzteren ist uns aber kein einziges Integral geo-eben, denn von den drei Gleichunji'en , welche an die Stelle der Flächen- Sätze treten, existirt jetzt nur eine, und diese ist keine Integralgleichung, sie

li?!i

lii't'frt mir i'üi' jr'^df (K-ii drilteii in (ß.) ucuvlicin-n Aiisilnick. Hat man

mm von ilcm in lü-ilc stcliL'nilrn System jlrittcr <)i-i]uunif zwi-i Iiiti-^n-alc mit t\f\i ln'iilen willki'ii-liclR'n Constanti-n «,. f^ p-l'nn'l'-n. >o (las> .i' im<l //' ai- l'4mctinnt'n \n\\ .r uml // liarufstellt wenli-n ki'innt'n. umi Mi-ilit iK-mnacli nur norli liii- Dilli'reiitialuk'ioliung erstt-i- ()rclmmu;

,r',Ijj—, /,!.,■ = 0

zu intciii-ii-cn üliriL!.'. so ist ihr Multi|)licator

S.r dt/ 8.1-' Oj/ da, oa., da., da,

Ais zweites Beisjiiel der Anweudunu' des letzten Multiplicators wollen wir ein solches nelnueii. hei welrliem wii- nieht i\v\\ .Multi[ilicator einer unliekamjlen Diiferentialiileicinniü' erhidten. sundei'u alle Integrationen vollkommen durch- fiUiren kcumen, nämüeh <lie üewegung eines Planeten um die Sonne in einem nicht widerstellenden Mittel. Man überzeugt sich leicht, dass die Jiewegung in einer l-lliene vor sich gehen muss. und dass man dalu'r nur ein Svstem \iei-tei' oder, nach l'"liniinatioii von /. ih'ittei- ()rdnung erliält. Ilierx'on gehen ilie Principe der leliendigen Kral't und der l'liicheu zwei Integrale und das Pi-incip des letzten Multijtlic'ators ilas dritte. Px'i ilie>er Autgalie müssen sich also, wie man a |iriori einsieht, die Integrationen vollständig aust'ühivii lassen. Das zu integriremle System von DiH'eri'utialgleichungen ist. wie wir schon olien gesehen halten.

•r (Pi/

(.-,.)

■ /,■•■

■pA.

wo /■" die Anziehung der Sonui' in th-r Einheit iler Entlernung bedeutet. Die

beiden Integrale, welche das Pi-iiicip der lebendigen Kral't und iV-v Flächen

liefern, seien

f.,=a, f,=ß,

wo /', und /.j Functionen von .r. y. ,r' und y' sind: dami findet man für die zwischen .r und // ültrig lileibende Differentialgleichung als letzten .Multijdicator den Ausdruck

J dx' dij S.v' dl/ \ M

\ da

M\

vß dß da

) <5/;

df, c/; df.

6.1-' öl/ 8>/ dx' wo M der Midtijilicator des Systems (.j.) ist. Alter ila wir es hier mit einer ganz freien liewegung zu tlum haben, so ist nach iler vorigen \'oi'lesung .laoobi. Werke. .Siipplemontliaiui (Ityiiaiiiik). 17

— 132 —

iM'i-i-ith in '1er {ilnftfii Vorlebuiig j*. 33 c-i'wäliiite Foi-iii eines l-'rodiiet^ von xdy — ydx in eine homogene Function — 2"'' Onlnung von x und y, welches

sich immer als Product einer Function des C>uotienten — in sein Differential

x

darstelj<>n jässt und dahei' »-in vollständiges Differential ist. Jn dem vorliegen- den l'all Jiat man

¥)'

Dci' Ausdruck '"^''i ,— ist also ein vollständiges Differential, was zu l»e- xx'^yy

weisen war.

Wir wollen jetzt zu den Differentialgleichimgen der Bewegung eines nicht ireien Systems übergehen.

xdii — ydx \ X J , ^ u

— -^ — -^ — — f/arctg-^

Siebzclinte Vorlcsiiiig.

Der Multiplicator für die T3eweguiigsg]eichungeii unfreier System*! in der ersten

Layrani/eHchan l'orni.

Wii- halj(-ii in der siebenten Vorlesung p. 54 gezeigt, dass die Differential- glei(;liung(;n eines .Sy8tem.s, welches durch die ßedingungsgleichungen

if =0, ip = 0, ra = 0, . . . gebun'len ist. auf folgende Form gebracht werden können:

' dC (Jx. ax^ rix.

d'^yi ,, . ölt dip 553 ,

' dt' dy. dy. dy.

d'z, ,, . d(P dtp , öcj ,

r.,_^=4.4-/.^^--t-/.^^- + v- -4-..,

( t l

wo die .Multi|jlicatoren /, ju, p, . . ., wie ebendaselbst bemerkt ist, durch zwei- malige Differentiation der Gleichungen f/ = 0, i^ = 0, iD = 0, ... zu bestinnnen sind. AVenn man diese Bestimmung von k, //, v, . . . ausführt, so findet man, wie wir sogleich zeigen werden, dass diese Grössen von .r', y', z' nicbl unab- hängig werden; daher kann man hier den .Miilliplicatoi- M \\\v\\\ gleidi 1 .setzen,

— 133 —

sondmi iiiii>s zu doM-n lirstiiiiiiiiin;: ;iul' ihr ( üriclmn^' (4.) <li'i- liiiirzrliuicji N'MrIcsiiiiti' \i. Il'o ziii'ückiirlicii. Xadi iIci'-cUmmi winl li'ii' »las S\'st<-iii \>>]\ Dill'i'i-i'iitialiilricliuMiiXMi

,//■'" ,//" rit''

iIiT Multiiilicator M diii-cli ilic (ilrirluniLT

j%^ uA FjB rx'

ilrtinli't. Hieraus (.Tuiclit sicli [\\v diMi vorlicmMiilcn Fall

dt 7 ''"■ ^ ö.r. v.i:' Oll. Öl/'. az. iJz. )

1 ( dW du dW du aih ein \

; m. \, ö.i:. 5,r dl/, eil/. öz. 8z'. )

-f-

wii aid' <\{'V i'cfliti'ii Seite jeijeui dei' Multiplical oi'eii / . // . ... eine Suiunn eiitspriclit. I'i'ii' die Anwenduiiii' iler '! Iieurie de> .\Iidti|ilieators M ist es ii/Jtliii:' • lass die reelite Seite dieser (üeiidiuiiL;' ein vollstrnidii^ei- I )in'ei-eiitiali|Uc)lii-ht \vii-il (iii zu iiritei'suelieii. oli dies der l'ali i>1 . müssen die W'ertlie \u\\ /.. u. ;/, .. o<lei' \veiii<;"stens diejeniLien ihrer uai-h den (lr<'i>>en ,r,'. //,', c,' ticnouirnenei I)inereMtial(|Uotienteii ermittelt werden. Zur lie-limmniii:- <lieser \\'erthe ditl'e- reiitiire man eine der I)ediniinn2;s.nieiehuni:cn. z. I!. y^O, zweimal hinter ein- ander nach /. I)ie erste l)ilit'erentiati(in t^ieht

V d.t'. ' ay ^' dz. ')

'!J. <lie zweite Differentiation führt zu der (ileichunu'

V dx. • o;/. ' dz. ' J

wo 11 den 'l'heil des liotdtats dai'stellt. welcher aus ih-r I)illei'entiatiou der Factoi'en

-7^. J , -./ liervor<;vht imd eine homogene Function zweiter Ordnuni:' der dx. dl/. ^ dz. '^ '^

3» Grössen ;r'. )/,', c- ist. Ijezeielmet man <lurch die I'eihe //,. p... . . . p..,, den

Coniplex aller 'du Courdinateii .r,, i/,, ;,, so kann man der Function it die Gestalt eeben:

O"

dp; ' ' ^'P,^Pk

— 132 —

bereits in der fünften Vorlesiuio; p. 33 erwähnte Form eines Products von xdy — V'/.r in eine homogene Function — 2"'' Ordnunü' von x und y, welches sich immer als Product einer Fimction des <^)nt;>tienten -^ in sein Ditferential darstellen lässt und daher ein vollständiges Diiferential ist. In dem vorliegen- den Fall liat man

Der Ausdruck — ^ — ^^-V- ist also ein vollständiges Differential, was zn be- tcx+yij

weisen war.

Wir wollen jetzt zu den Differentialgleichungen der Bewegung eines nicht freien Svstems übersehen.

Siebzehnte Vorlesung.

Der Multii^licator für die Beweguugsgleichungen unfreier Systeme in iler ersten

La(/raf2(/(vchcn Form.

Wir hallen in der siebenten Vorlesung p. .i4 gezeigt, dass die Ditferential- c'leichunoen eines Systems, welches durch die Bedinoiin!j;s2;leichune;en

fj = 0, (/' = 0. ü-j= 0, . . . o-ebunden ist. auf folgende Form gebracht werden können:

'''■''• V , : ^f _L.. ^^ _L^„ ^^ _L

)ll

If C.V- Cd-. Od:.

''■-; „ . dq dW , d-j

' ilf- dz. dz. dz.

wo die Multiplicatoren /, f(, v, .... wie ebendaselbst bemerkt ist, durch zwei- malige Difterentiation der Gleichungen (f = i). )/' = 0. cö^O. ... zu bestimmen sind. Wenn man diese Bestunmung- von /l, ,», r, ... ausfülu-t. so findet man, wie wir sogleich zeigen werden, dass diese Grössen von x', y\ z' nicht unab- häneio- werden: daher kann man hier den Multiplicator M nicht aleich 1 setzen,

133

soiidiTii iiiiiss zu (k'^scii l)c>tiiiiiiiiiii:: auf ilu- ( ili-iiliuiiL;' ^4.) «Icr tiinrzi-linti-

v^V

\ oi'lcsiiiiii' [>. Ii'll zm'firki^clu'n. Nacli iK-iv-i-Hh-ii wiril li'ir ila> S\->iciii ndu hin'crciitialiiii'irlmiiiieii

d !J

dt'" df" dt''

flcr Mnlfiplicator M diircli lüc (ilcirliiiiiij.'

dhM oA cB

0

dt c'.r'"'-'^ dl/"-*' dz'i'-*'

(l<.'liiiii't. Il'u'i'aus (.Tüiclit sich für <k'ii \'(»rlR'ü\'iiilcii Fall

r:(f (i). d(j 0/

dt "

T 7/J. V Ö.f. 0,i'' du. eil' 8z. cz'. I

I J t *' I *J I I ( ^

^. 1 / 9(/' c)/( 9ii' vn oip nn \

T m. V o.i^ 9,r' ö'/^. VI)'. 8:. dz'. )

Wo aiii der rechten Seite ji-ileiu dei' Miilti|ilieat(ii'eii /.. // . ... eine Smiiiue luitspriclit. Für die AiiwiMiduuL;' iler TIuMii-ie des Miilti])licati)rs .1/ ist es nöthii:'. dass die rechte Seite dieser (ileicliiiiii:' ein \iill>täiidiL;'er I)itK'rentia!ijiiotieiit wii-d. I ni zu iintersuclieii. oh dies der Fall i>t . müssen die Werthe von /.. //. r. ... oder weiiiii'stens iliejeniuxMi ihrer nach den (ii'ri»cn ,r', ;/,'. z] lieiioniinenen I)iiVerential(|Uotienten ermittelt werden. Vaw IJestinnnuiiü,' dieser Werthe ditt\'- rentiirt' man eine der I)edingunü's<ileichunuen. /.. \\. y^U. zweimal hinter ein- ander nach /. Die erste I)itl'erentiation u,ielit

die zweite DilTerentiation führt zu der Gleichunir

wo II den Theil des Kesnltats darstellt, welchei" aus der Ditferentiation der Factoren

-^r~' -^—> ~-n hervoruelit und eine hoinoucne Function zweitei' ( )rdnuni>' der ö.r. 8i), dz. ^ -

3« Grössen .r'. (/'. :] ist. Bezeichnet man durch die Keihe p^. p.j. . . . y>.,„ den Com])lex aller 3// Coordinaten .r,. ij,. -,. so kann man der Function x die

Gestalt geben:

„ d'u ,, -, 8'(f

cp: '■ cpoji^

— 134

wo die letzte Summe nur auf von einander verschiedene Werthe von / und k auszudehnen ist. Auf dieselbe Weise leitet man aus den anderen Bedingungs- o-leichungen durch zweimalige Differentiation die Gleichunoen

Sili „ dip , 5t/' ^,

Cr.

-'■■+TiJ-''''+^ -"'-*"■

■)■

dtS ,, 053 •_,,

S>/,

■I/,

^") + "-

0.

:0.

ab. wo nach der oben eingeführten Bezeichnung der Coordinaten die Functionen r, IC, . . . die Werthe

"i'i

o'm

^i',-%

dp- ' dp.

c-m

-P,P

*'

haben. Um nun Z, jli, v, . . . zu erhalten, hat man in diese Gleichungen die

aus dem vorgelegten System al^geleiteten Werthe von x' , y'/, z]' einzusetzen. So ergiebt die durch zweimalige Differentiation aus y hergeleitete Gleichung:

dip

oder wenn man

o.e. m. d.r.

I

dz. m. I dz. oz.

Öö5

1)1 . \ d

d(f d<f d(f d(f

düy

dcp

= 0.

dx. d.v. ' dy. dy. ' dz. dz ~ m. V (9.i\ dd-. du. du. dz. d

I t I tJ l O l I

"" m.\ dd\

dx. dm

dx.

d(f dm d<f

öy, Sy.

dz.

dü5 \

dz, A

m. \ ox. öl/. dz. )

135

setzt,

«,-t-«/.-f-/-'/(-|-''i'H = 0.

Eine sdlclic liiieari' Gk'lclimiü' zw i-clicii <!fii (ri-ri-scii /. ii . r. ... ci'Iiält luaii

für ji'ili' einzelne «ler Heilin*iungsgleicliniii:cii y=(). i/'=(). vj^O .... Führt

man allüeniein. wie in iler sit4)enten \'oi-lesnnii- ji. .')(!. die Bezeichninig

,,. , ^, l f öF d<l) dF ö<I) öF c<I> \

//(. V d,v. o.e. öy. ü;/. oz. cz. )

ein. so (lass

(F'I>) = ('IkF) wird, inid setzt

" =('/'</)• ''■' =('/''•')! ''• ^ ('h ~')- • ■ ■

«'=((/'•'/)• '>' ={4',4'\ c' ^(ii>,öi), ...

a" = (fTj, (f). //" = (p, (/')• <•" = (<"• "')• • • ■

SO dass zwischen diesen Grössen ilie (ileiehinigen

a = u, u = c, I) ^ c , bestehen, setzt man ferner

VI \ a.i\ vir

^4

m \ cU\ Oll. az. J

az. Gm

' m. \ d.v. du. dz. )

SD hat man ziu- JjestnnnnniL;- vtm /., //. r .

«I +rt ).-\-h H-\-<- V- 1-, -H«' /-t-// //-f-c' )■- ii\-\-u" ).-'!- b" n-{-c"v -

die (ileielinnu'en = 0.

= 0,

Anstatt dieselben nach /.. //. v . . . aufzulösen und aus den so gefundenen

Wertlien dureh Ditferentiation ,, ", . .,' , . ... abzuleiten, dilferentiire man viel-

dx. o.r

I 1

mehr nnmittelliar die vorgelegten linearen (Tleiehungen [lartiell. was die liechnung bedeutend vereinfaelit. Die Gi'össen a, b, c. . . . a, b', c\ . . . enthalten nämlieh die Diii'erentialquotienten ,r|, ;/', z', gar nicht und sind da- her bei dieser Ditierentiation als <■( instant anzusehen: ferner sind die Grössen '?i, t\. H\, . . . respective von >i, i\ «•, . . . nur um Ausdrücke verschieden,

— 1-36 —

die ebenfalls die Ditferentialquotienten .r', ^y', :', nicht enthalten, daher ist

dii, du dv. dv , , ..,,

= -^rr-- -^ I ^ -^ , 11- s. w.. also enialt man: d,v. d.r. ■ da-. ax.

du dl , d,n dv

-H« -^r-r + b ~^, — \-c

d.r'. ' 5.1'' ' d.v' ' dy. '

i I I I

de ,5/ j, du ' , dr .

ÖJ'. d.r] - d.c'. d.r]

dw „ d?. dii „ dy

dx. ox. d.v. ö.K

Die Fmietion >' wurde durch die Gleichuno'

"=-'lr"'"~w'«

definirt, \yo die Grössen jj die oii Coordinaten ,r,., ;(/,.. c, liedeuten und in der zweiten Summe rechter Hand / Aon /' verschieden ist. Durch Differentiation nach j)'; ergiebt sich

du i)^" <^'9

dp] A=i dj:.dr, ^^'

oder indem wir für j>, wiederum .r, und fi'ir die Grössen |*j, die Grössen av. y^.

.setzen

du ^■/-"/ 5-V , ^^^^,^ ^Jt_A.

d.v'. "a",V a^^a^^ " '■ dx.dt/,. ^'"^ dx.dz,. V

A- ( i-

Die Summe rechts ist aber der vollständia'e Ditferentialquotient von -^^ nach t.

^ öd

also hat man

du _ ., f^-'',

In dieser Gleichung kann man, wie sich von selbst versteht, y oder c für ,c schreiben, ferner r, ?f- ... für u. wenn man zugleich if. iO. ... für y setzt.

Man erhält also :

, Ott • , (9(1' , dta

du c«; dl- dx^ dw c/x

dx'. " dt '■ dx' " df • dx'. ■' df '

( / (

und ähnliche Gleichungen für die nach y], z] genommenen partiellen Differential- quotienten. Hierdurch verwandeln sich die obigen linearen Gleichungen für die

/-i .. dX dfi dv ■ T i' 1 1

Grossen -tt-t-. -^^. ^tt • • • i'i 'be iclo-enden: OX- dx. dx.

137

rf4^

(/^ d.i' Ox. o.e.

I I I

, dm d—T. —

öj- ö;. 9„ 3).

2 j;^ — 1-« -3^ + '^ ^' -+< "s ,- + ••• = «'.

rfi o.e. . d.v. d.f.

lin iI'k'sc liin'an'ii ( ilcicluiiim'ii aiit'/.iilrisru. iiiiiss man lickaiiiitlii-li il'u- Dcti-r- iiiiiiaiiti' ilcr (ii'(')sseii

«, b, r, ...

« , o , c , ...

rt", /y. r", . . .

also, in aliu\>kiuv,ter IM■/^■i(■llnllIlL; ilu' l)i'ti'i'iiiliiaiitc

CV.

liliK'ii: (laini hat mau. um ,t ,- zu liestiiiuiicMi. die ol)iüVii (Fk-ic-liuiiüvii mit

O.'

-^ — , —„—;-. -^^TT. ••• ZU iiiiiltiiiliciivn uml erhält (hurh Adthtioii: da da' da" '

,1^ ,/4^ ./4^

„ n/ ^ dR ö.*'. 67? Ar ßß ö^f,

0= ß-^-^+-2-.: ^ + 2-^, j~^ l-2--7r rr^H

d.c- o« dt Ort (/' C« (/i'

EIh'Iiso i'i'hält mau:

, d(f , dW , cm

d-i: — d-^ — d— —

^ du -, dR d.v. 8R d.r. ÖR o.r

d.v] ^' ob dl ^" 66' dt ^ db" dt

., d(f , dW , döi

d ^' d „ d—

„ dv ^ dR U.V. dR d.r. ÖR f-''

d.v. oc dt ■ VC dt ac dt

.Vehulicln' GK'ichuuiiVn gelten t'iu' die nach //,' und -', ueuummeueu DiH'ereiitial- quotieuteu VdU /.. //. f. .... Die Werthe aller dieser Dill'ereHtial(|Uotienten

sind in den olien u'eiielieuen Ausdruck wm — 7— ~ einzuset/.eu. welchen man in

■ ' dt

iulgenih'r Art onlneii kann:

Jacolii, Werke. .Supplomcutli;iiul (Dynamik). IS

138

d\gM dt

^ 1 ( d(f 8?. dip 8/1 dm dv

~ m. \ öi». dx'. dx. dx'. dx. dx'-

^ 1 f d(f 81 , 8ip di.1

~ ?«. V

',■ V 8>/, dij'. dy. dij ^ 1 f dg) 81 ^ dtp 6ft ~ m. V dz. oz'.

8z. dz

■) .

om dv

8üj dv

dz'.

Dann erhält man für das Prodiict von B in die erste der drei Summen rechter Hand das Erüebniss

-^sV +

~ da " m. dx. dt

j4^

„^ 1 ( d(f 8?. 9(/' 5,« ^ cm dl

" 711. V dx. dx'. dx. du

III I

d~^ d

d

d(f

dx. dx'. ' dx. c dW

m dv \

^~dZ^ j

cm

^•^i ^ ^ dR ^1 dg dx. ^ SR ^ 1 dg o-i\

da' tn, dx, dt

dtp

d-

da" " m, dx, dt

, dm d^r-

_^ dR ^1 8ip o.r, dR ^\ dii' ex. ,^ SR ^ 1 diM c<.«.

" db ^ m. dx. dt " dV ~ m. dx. dt ^ db" " m. dx. dt

.^'5i? ^1 dm ex. .-, dR_^ l _d^

dtp dx.

dm

de m. dx. dt

\-2-

dc' " m. dx. dt

-^ dR ^ r cm

de" VI. dx. dt

Die Elemente der Determinante B stehen aber, wie wir gesehen haben, in den Beziehungen zu einander, dass

7 ; tri / rr

1} ^ a , c =^ a , c ^ I) , . . . ,

und naeh einem bekannten Satz über die Auflösung linearer Gleichungen folgen hieraus die Relationen

SR__dR_ dR__dR_ dR _ dR

db ~ ö«' ' de ~ da" ' de' ~ db" ' " ' "'

Mit Berücksichtigung hievon kann man der rechten Seite obiger Gleichung auch die Gestalt

dR „\ d

dg dg dR ^ 1 d dg dtp dR ^ 1 d dg dm

da " m. dt dx. dx. da' " m. dt dx. dx. da" vi. dt dx, ex.

dR ^ 1 d dtp dü> _-^ dR ^ 1 d dtp om

db' " m. dt 8x. dx. "^ db" " m. dt dx. dx.

i I I III

dR ^ 1 (/ dm dm

de" " m. dt dx. dx

— 139 ~

"•eben, oder indeiii man wicilcr iur 2 . ,-• '2-^~n-, 2 .,,„ . . . . resneetiv

^ va ■ da ' ab '

vR öR ili (jR o7i' vR 1 -1 1- ,• I 1

-^"7- + -57— , -^-fV-^-s—, -iriTr + -^-r, ■■■ scla-cilit. die tol-iende:

da ■ ob da de dh de '^

SR ^1 d d(p öf/ dR ^ \ d d((j dip oR ^ \ d dqi öa ^

+

da " m dt d.r. d.r da' " m. dt B.r d,r. da" " m dt dx d.i-

l I t t t t III

dR ^ l d vtiJ d(f< dR ^ 1 d dip dip dR ^1 d dtp dm

db " m. dt dx. dx. dU " ni. dt dx. dx. ob" ~ m. dt dx. dx. III I t t t I I

dR ^ \ d dm du. dR ^1 d dm düj dR „1 d dm dm

_l ^ —^. — I- - — V _r — I — ^ 1- • • •

de m. dt dx. dx. de' m. dt dx. dx. de" w dt dx. dx.

irr Irr r i i

-H

Setzt man dir analtiu.X'ii WCilhc Iur A'w hcidcn anderen in (K-ni Ausdi'uek von

dXvM , I ^. 1 • , • 1 1 n- 1 r rr

— -. — voi'konunenden .^uninien und ei'innert sieli der \\ertlie von a. (i , a , ... dt . T j

b, U, //', ... c, c',- c", .... so erhält man

r/lg 71/ _ dR da _^_^ öA'_ da" dt~~~da dt '^.da' ^'dT '^ ~d7," ~dr ^ dR Jb_ dR^ dU_ dR db" "*" db~ dt '^ db' 'dt '^ db" dt '"' dR de dR de' dR de"

oe dt de' dt de" dt

dR dt	:
	R	d\«M dt ~	dR dt

also

und mit Vernaclilässigunii' eines (.'onstanten Factors

M=R. Aus der eiü'enthiimlichen Form iler Grössen a. a'. a" . ... //. //. //'. . . . c, c'. c". . . . kann man auch eine merkwürdiiiv Darstelluiiir ihrer Determinante ableiten. Wh- haben oben

« = (^' 9)> "' = (y> 4'): ('" = (<f, ••^)- ■ ■ ■

* = (V'.y)- '>'=(ii',UO- /'" = (</', ni). ... c = (m, (f). e' = (m, i/j), c" = (<«, ra). ...

gesetzt, wo dit' in Klammern eino-eschlossenen Grössen dem Ausdruck

, ,. „ l { du dW du ddi du. dW \

(y.t/O = - — Hj^ -ET- + ^^ -^^^ + -^ ^-~

in. V dx. dx. Ol/ Oll. dz. cz. )

18'

— 140 —

jiualog geliilik't sind. Diese Summen lassen sich etwas einfacher darstellen. Avenn. wie im Anfanij; dieser Vorlesung p. 133, alle 3// Coordinaten mit einem Bachstalien und angehängten 3;; Indices bezeichnet werden. Führen wir statt der Coordinaten selbst denselben proportionale Grössen ein und setzen

SO dass die 3/; Grössen ]'in,..i), y?«,.)/,, l'?H,-.r,. mit den 3« Grössen fj, ^-i. ... |;i„ identisch sind, so geht der Ausdruck (y, i/') in die Form

über, in welcher sich die Summation von i=l bis i^Sn erstreckt. Deter- minanten, deren Elemente in der hier vorliegenden Art zusammengesetzt sind, lassen sich als Sunnnen von Quadraten darstellen. (Siehe meine Abhandlung „de formatione et proprietatibus determinantium", Crelles Journal Bd. 22, p. 285.) Ist m die Anzahl der Functionen (f, yj, CO, . . . ^ oder, was dasselbe ist, der für das mechanische Problem o-eltenden Bediniiungsgleichunoen, und bildet man alle möglichen Determinanten der Form

v_(_ 5y dip dm SC

wo /, /', i", ... ?''"'~'^ je m verschiedene Zahlen aus der Reihe 1. 2. ... on bedeuten, so ist (he Summe der Quadi-ate dieser Determinanten gleich B. ^'on diesem zuerst A'on C'auchij*) veröifentlichten Satze habe ich in der oben ange- führten Al;)handhmg eine schöne Anwendung auf die Methode der kleinsten Quadrate gemacht. Für den Fall, wo ein Punkt sich auf einer gegebenen Oberfläche l>ewegt. ist die Gleichung dieser Oberfläche. ^==0. die einzige Be- dingung: daher reduciren sich die partiellen Determinanten, aus deren <>iuadraten

D +4-11 +• ^y 1 69^ d({ 1 d(f 1

M zusammengesetzt werden kann, aut ^rl— = ^ — 0^— , ^t|— ^ ^ — ^r^— und

^ — , SO dass

öS, Vm öz,

wird. Der Fall vi^S)!, der freilich in der Mechanik nicht vorkonunt (da die Anzahl m der Bedingungsgleichungen höchstens gleich 3» — 1 sein kann), ist der einfachste in Beziehung auf den Determinantensatz; denn alsdann reducu't sich die Determinante R auf ein einziges Quadrat.

*) Journal de l'ecole polytechnique, cah. 17.

— 141 —

Dureli du- (ili-ichuiig

lialu'ii wir iiir ein dunli irncinl welche iM'irniniiiiL;('ii ilX'IiiiihIl'IK's System nii'l für die erste Laf/zut/tf/cf^rhc Fui-iu der I)iirereiiti;iluleicliiiiigeii den Midtiidicator des Systems, mithin unter der \'oniiisset/.üni.f. dass alle IntetiTale liis anf eines bekannt seien, aneh den letzten .Midtiplicator gefunden.

Achtzeliiite Vorlesiinii.

I)ei' ^hllli|)li^;lll■l• l'iir die ]!i'\vo2ung.sgloi('liiini.'cii imfi-oicr Systeme in der Hdinilftmschan l'uiiu.

^^ ir wollen jetzt <\v\) .\iidt:|ilirat()r der Dirterentialuieichimü' eines nn- fi'oion Systems für die ll(iiiiilt(iit^c\w Foi'in der I)illerentlalL;'lei(duniL;'en aufsuchen. Es sei T die liajlie leliendiiiV Kraft, ii <lie Anzahl <ler materiellen Punkte. /;* die .Vnzahl der l)edin_ü'uniisgleicliun<;en: da neiien / auch /■ als reiliendes Element gebraucht werden soll, so möge die Zahl ?mi — ;/; von jetzt an nicht mehr mit k. sondern mit // beze'ichnet werden. \\ ir dachten uns in der achten ,Vor- lesung }). (i2 die 'r>n Coordinuten als Functionen von .1// — //( neuen \'ariab]eM (/,. q.^. ... (/:(„_,„ so dargestellt, dass die Hedingungsgleichungen durch Substitution der auf diese Weise ausgedrückten Cooi-dinaten identisch befriedigt werden, und erliielten dann T als homogene Function zweiter Ordnung der Grössen q], deren Coefticienten die (Irössen (/ entlialten können. Wir führten ferner die Grössen pi = -j , an Stelle der (j[ ein und erhielten so in dei- neunten ^ oi'lesung p. 71

zwischen den 2(3// — rn) \'ariablen »y, und //, die DitVerentialgleichungeii der Be- wegung in der auch für den Fall, wo keine Kräftefunction existirt. gelten- den Gestalt

_^ _ AL ^li_ — _ H, dt ~ dp. ' dt ~ c,/, "^ ""' wo

*•="/ ö.(", C'v, cz, \

Q, = 2i X,^^ + Y, ~-~ -HZ, -,.^ • h=i\ dq. oq^ cq. )

Diese Diflerentialgleichungen kaim man auch folgendermassen schreiben: dt: dq^ : dq.. :...: dq„ : <//-, :...: <//»„

, öT ST er ÖT ,, ÖT , ,,

= 1 --^ — i-r. — :...:-^ — : — -5 hQ.:...: ^ hQu-

°Pi '^Pi ^P.u oq^ ■ cq^.

~ U2 — Wendet luaii auf dieses System die Theorie des Malti[)licatoi's an. so ergiel.it sieh

<h " rlq. " dp.

Da nun A"^,, Y,. Z, für die Probleme, welclie wir betrachten, nur von den Coor- dinaten .r,, ij,, z,- und nicht von ihren Ditferentialquotienten abhängig sind, so enthalten auch die Functionen Q, nur die Variablen q, und nicht ihre Diff'erential- quotienten und daher auch keine der Variablen p,: also ist

daher

	-1 — ei,
(UgM dt "	_^ d"-T ^ ä"-T
	M = Const.

Man kann also M gleich 1 setzen, so dass der Multiplicator hier denselben Werth hat, wie bei dem ganz freien System. Um den letzten Multiplicator für diesen Fall anzugeben, muss zunächst aus dem auf die 2,«'^ Ordnung steigenden Syst^n von Differentialgleichungen

dt ~ dp. ' dt ~~ dq. ^ '^'''

WO i die Werthe 1 l)is ,« durchläuft, f eliminirt werden, welches, wie wir voraussetzen nicht explicite in den Grössen Q, vorkommt. Kennt man von dem dadurch erhaltenen reducirten Systems (2w — 1)"" Ordnung 2fi — 2 Integral- oleichuniren

o O

CJj = 0, 55., ^0. ... «'.,„_o = 0

mit ebensoviel Constanten «i, a.,, . . . cc.,,,_.,, so kann man vermöge derselben alle, 2,« Variablen q und p durch zwei derselben, etwa (^i und q., ausdrücken; alsdann ist nur noch (he Differentialüleichung

	dp, dp.
zu integriren.	deren Multiplicator ^^ Cte, 3t3, Ö55,„_2
	^^_^ um^ dm., dm^_.^ dm^^_^ ^^3 9q, dq dp^	0'^2„-2
	Sp.

ist.

143 -

Wenn die Ki-ällf A,. }]. Z, du- |>;ii-licllcii hilVci-cntialiiiioticiitt^-ii einer Function U sind, welclie ausserdem nocli / explicite enthalten kaini. wenn also

Y 8 ü „ '• f ' -/ ö V

c^.r. cu. dz.

so wird Q: = ^i — . und die l)itrerential'deielnnii:eii der BeweiiMuiti" üvlien. fsielie d</. ■ ■ . . . ^

p. 71) wenn man

T— U = II

setzt in die einlache Form

_^/, _ cll ''/', Sil

IlT ~ ~8p7' '~(lf ~ 8q7

über. An die>e ILnnH/oii^vhe Form der Ditrerentialiileichutiiien werden die

ferneren l ntersuchungcn. welche den Kei-n dieser \'or!esuni:'en liilden. anl<nü|)t'en:

das l>isliei-iij,e ist als Kinleltuni:' dazu anzusehen. .

Xeuiizehiito Vorlcsuiii;.

Die 7/«?«///o«sclie piirtielle IViiroreiitial<j;k'i(:liun!.' und ihre AustloliiiuiiL' auf die

isüperimetrisciicn l'rul)leuie.

Die /A/;/(/7/o;;sclie Form der ])ill'erentialiileichunij.'en dei' IJeweiiuni:' wurde in der achten und neunten Voi-lesunji' ans dem Princip lu-r^eleitet. dass. wenn die Aidaniis- und Endwerthe der Coordinaten üeuehen sind, die ^ ariation (h^ Integrals UT^Uyit verschwinden muss. Man kann dies Princip allgemeiner so aussprechen, dass es auch gilt, wenn nicht die Anfangs- uml Endwerthe seihst, sondern andere für die Grenzen stattfindende Bedingungen gegeben sind. In diesem Fall ist nämlich nicht die ganze \ ariation des Integrals ( (7'-i- 6^)f/^ gleich Xidl zu setzen, sondern nui- der unfei- dem Integralzeichen stehemle Theil derselben: die Variation lässt sich als<lanu ohne Integralzeichen ausdrücken, oder was dasselbe ist, die ^'ariation von T-hl wird ein vollständiger Dilferential- quotient. Iin dies klar zu machen, müssen wii- auf die in der achten Vorlesung gegebene llerleitung zurückkonnnen.

Es sei 7' die halbe lebendige Ki'aft und f die Kräftefunction. welche ausser den Coordinaten auch / explicite enthalten kann: man denke sich die on Coordinaten als Functionen von ?>// — m ^ u neuen \ arial)len </,. (/o. ... ']„

— 144 -

so (larji'estellt. dass die m Bedingaiig8i;leiclmiigen durch diese Ausdrücke identisch erfüllt werden; ferner sei

dann hat man. da (f Function der Grössen 71, ... (/„ und q[. . . . </„ ist.

^ dq^ •'' dq] ■'' '

Es ist aber

also wird, weiui man zwischen der unteren Grenze r und der olieren f integrirt und die der unteren Grenze t entsprechenden Werthe durch einen oben ange- hängten Index 0 bezeichnet.

dq'. ^' dq'. ^' d(l

Durch Einsetzung; hiervon ergiebt sich

.i-^'<

Nun ist. da q', in U nicht vorkommt,

n ^ ^y - ^^ -

^^■^ dq'. öq'. ^''''

ferner verschwinden zufolge der Diiferentialgleichungen der Bewegung in der 2>. 63. Gleichung (8.) gegebenen, zweiten La(jraiuje»iA\^w Form die sämmtlichen auf der rechten Seite unter dem Integi-alzeichen stehenden Ausdrücke

d(p dq'. _ d{T-hU) oq'.

dq. dt "~ dq. dt

daher bleil)t fiu- die gesuchte Variation allein der V(jm Integralzeichen freie Tlieil derselben übrig, und man hat

öfcpdt = 2^öq-^^Sqf = ^p^6q-2pyq:.

Nach der früheren Annahme waren die iVnfangs- und Endwerthe der q ge- geben, also f)'(/, ^ U und dq" = 0, und es verschwand demnach die rechte

— ]4r) —

Seite fler It'tzteii GleieliiiiiLi: dies ist iiiieli iler gegeiiwärtig'eii allgeiueiiiereii \ Oraussetzimi'' nicht di-r Fall, (in den Sinn, in welclieni die Valvationen "■«- nomnieii sind, richtig /.u verstehen, niuss man sieh ei'innern. dass der unter dem Integralzeichen stehende Tlieil der gesuchten N'ai-iation niu' vermöge der Differentialgleichungen der Bewegung, welche als erfüllt angesehen werden, versehwindet. Die Grössen '/, und 7', sowie die Grössen y>, müssen daher als ü'eirebene Functionen von t und 'In Constanten betrachtet werden, inid die Variationen d'q- sind lediglich die \ eränderungen der (y,. welche aus Verän- derungen der Werthe der 2fi willkürlichen Constauten herrühren. Die Werthe dieser Variationen <i(j,. welche der untei'en Grenze r des Integrals entsprechen, sind die Gn'issen ()Vy','. Indem wir das Integral, dessen \'ai'iati(jn l)etrat:htet winl. mit V liezeichnen. also

(2.) V^\,f,lt=\\T-^U),h

setzen, lässt sich die obige Formel so schreiben:

\d V = 7), 6q, +2'/)'/, H h/', %, H ^Pj'h.

^"^ \ -r"M-p"M 1'':^ i'lß'i:^

(9 V ein Ausdruck, dem noch das Glied -^= — <)/ hinzuzuiuoen ist. wenn man t nicht

et '-

als unabhängige Variable ansieht.

Diese Dai'stellung der A ariation von V ist sehr wichtig. Nach Inte- gration der Differentialgleichungen der Bewegung kann man nämlich sännntliclie Varialilen und daher auch (f als Function von f und den '2 u Integrations- Constanten darstellen und ei-hält aus dieser Darstellimg von (p ilurch Quadi'atur V ebenfalls als Function von f und jenen 2,« Constanten. Die Wahl der Grössen, welche das System dieser Constanten in den Integralgleichungen bilden, steht in unserem Belielien. Wählen wii- dazu die 2« Anfangswerthe </','. p'. so bilden die 2//-t-l Variablen t. ij:, p, und die 2 u Constanten (/,', p", zu- sammen ein System von 4,</-l-l Grössen, welche vermöge der Integralgleichungen durch '2 u Relationen an einander gebunden sind, und von welchen daher irgend 2 fi als Functionen der übrigen 2//-+-1 anzusehen sind. Denken wii- uns z. B. die Werthe der 2,i< Grössen y;,, j>" durch die 2,u + l Grössen t, q,, </',' ausge- drückt und diese Werthe der ;*',' in I^ eingesetzt, welches uns bereits als Function der 2/<-f-l Grössen f, q% p'l bekannt ist. so ergiebt sich hierdurch V^jifdf als Function der 2//-H1 Grössen t, </,. q.j. . . . q^. q". q'^, . . . ql. Indem man

Jacobi, Werke. .Supplemeull>:iinl (Dynamik). 19

— 14G — man diese Darstellung von T" variirt, dabei aber t unvariirt lässt, wird

,„ er , SV ^ ^ _^sv

Vergleicht man dies mit der Darstellung (3.) von 8V, so erhält man

Andererseits ist nach der in (2.) gegebenen Deünition von V

dV

'f = 'dr-

Aber t ist in V erstens explicite enthalten und ausserdem implicite vermöge der Grössen q^, q^, ... q^: daher hat man

_ dV _ 6V . ^öV dg.- ^'"~" dt ~ dt '^"' %, dt '

oder mit Hülfe von (4.)

eine Gleichung, die unter Einführung der Function

(5.) i/' = -Z',2,'— ?>

in die folgende

dV (6.) ^+-^ = 0

übergeht. Die Gleichung (6.) ist. wenn man i/' in der gehörigen Form dar- siellt, eine partielle Differentialgleichung für V. In der That, die Gi"össen </,' und die oben durch die Gleichungen

eingeführten Grössen |), bilden, wie wir wissen, zwei Systeme von Grössen, welche sich mit Hülfe der Grössen g, und t durch einander ersetzen lassen, sodass jeder gegebene Ausdruck der 3,t/ + l Variablen t, q,, q], p^ sich zu- gleich als Function der 2,wh-1 Variablen t, q,, q\ und als Function der 2,w-j-l Variablen t, q-, pi darstellen lässt. Ein solcher Ausdruck ist

(5.) ll: = 2p./-<f.

I

*&"

(10 P--Ö,.

Indem wii- if als Fiiuctioii der Grössen /, */,, ji, darstellen und l'iir ilie Gi'össen j>i naeh der ersten der (ile'udinn^en (4.) die partiellen Diiferentialqiiotienten

setzen, wird i/> selilicsslicli durch die Grössen /. 7,. <]... . . . q^,

d'L ^^^ ' ' "■ '- ■■■ ^"' %,

^9 — , . . . -.=; — ausged rückt, und die Gleieliunj!; (ß.) nimmt die Gestalt an:

^-*-

/ aV dV aV\ ^

Dies ist die ILtnv'lfonsche partielle Differentialiileieliunir. welcher V^\(fdt genügt, wenn man es als Function von /, (^i. q.^. . . . (y„. und q'^, q'i. ... q'j^ an- sieht. Die Integi'ation der Diirerentialgleiclmngen der Bewegung giebt also i'ür diese partielle Differentialgleichung eine Lösung, welche jli willkürliche Gonstanten q'l, ql ... ql enthält.

Alles Bisherifie ü'ilt nicht liloss i'üv die mechanischen Probleme, sondern auch, wenn y, anstatt gleich T^U zu sein, eine beliebige Function von t. %.■! ?2) • ■ • 5,uf ?'i- l'ij ■ • ■ 'lu bezeichnet. In den mechanischen Problemen aber bekonunt ip, wie die Entwicklungen der neunten Vorlesung bereits gezeigt haben, eine einfache Bedeutung. Denn wt'un man in

H> = ~P,q' — 'f für (f den Wertli

einsetzt, wo U nur von den Grössen q, alihängt und 7' eine homogene Function zweiten Grades der Grössen q, ist, so wiril

er

und die partielle Ditlerentialgleichung geht in

über.

Das Resultat der bisherigen Betrachtungen lässt sich zunächst für die mechanischen Probleme folgendermassen aussprechen:

19*

— 148 — Wenn

ist, and H durch die Grössen p, nnd q, ausgedrückt 2cird, so sind

dt dp. ' dt ~ dq.

die Diß'erenfialgleichtingen. der Beicegung. Man betrachte die Beivegang in

dem Intervall r his t und fi'ihre als unllkiirliche Constanten in die Ldegral-

gleichungen die Anfangsicerthe q\, q'.l. ... ql und p{. p". . . . j)", ^'*'"- Ferner setze man in H

dV Pi =

so ist

Pi'-	d'J,
8V	-4-H —
6f

eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung, icelche V als Function der Variablen t, q^, q.,, ... <]„ definirt. Nvn bilde man das Tntegj'al

f(T+U)dt,

WO T-hU vermöge der Integralgleichungen eine blosse Function von t und den 2ju Constanten q1, qt, ... 5^, p", p'i, ■ ■ ■ p'l^ i'^i, und drücke das Resultat der Quadratur- durch t, q^, q^, ... q^ und q", q'i, . . . q",, aus: dann ist der so dar- gestellte Werth des Integrals

V= f'(T+U)dt

* T

eine Lösung der partiellen Diff'erentiaJgleichwnj

Tritt an flie Stelle von Z"-!- U eine beliebige Function (p der Grössen q^, q] und t, so müssen zugleich an die Stelle der Differentialgleichungen der Bewegung diejenigen gesetzt werden, welche den unter dem Integralzeichen

stehenden Theil der Variation dj(fdt verschwinden lassen. Um die Analogie

vollständig- zu machen, muss man diese Differentialgleichungen auf dieselbe Form bringen, welche die Differential oleichunuen der Beweüun"; durch Hamilton er-

— 149 —

lialtni haben, und zwar imlcni man aiicli hier (Ir- iJÜlVTcntialiinoticnten q\ durcli

ilie (ii'össeii j). = -^— i-rsetzt. die Ftnictujii i^' =^ ^p/j\ — y enit'ührt und dann

ähulicdi wie in der neimten Vorlesunu' verfährt. Bihlet man von dei' Fimction ip die ^'ariation

und sulistituirt liierin t'iir ()<f seinen Werth

c^y. ''' ^' '' et '

der. wenn man die Wahl der unaVdiängigen Variable unentschieden lässt. aueli ein ()'f iiroportiunales (ilied entliäit. so ersieht sieli

Verii'leicht man diesen Ausdruck vdii rVi/' mit ilemjenigen. welchen man erhält, wenn i/' als Fimction der Grössen (y,. ji, und / dargestellt wird, also mit dem Ausdruck

in welchem die unter der letzteren Annahme gebildeten partiellen Diiferential- quotienten zur Unterscheidung in Klammern eingeschlossen sind, so folgt aus der Vergleichung

, f Cti' \ C(f f öl/' \ _Öf/ f Cljl \

V cyi, /■ c-/^ V 6y, /" bt \ et )

Durch die zweite dieser ilrei Gleichungen verwandeln sich die Differential- gleichungen

^7, S<f

dt d(/. '

die erfüllt sein müssen, damit der unter dem Integralzeichen stehende Theil der Variation <)'j ff dt verschwinde, in

■ dt ~ \ öq. j' während die erste der drei Gleichungen mit

dq.

dt \ dp.

— 150 —

identisch ist. Die Differentialgleichungen aller isoperimetrischen Probleme, in denen sieh nm- erste Differentialquotienten unter dem gegebenen Integrale be- finden, nehmen also die Form

<ll, __{ Bip\ dp, _ ( SU' \ dt ^ V dpj' dt ~ \ dqj

an, und die Integration derselben liefert stets eine Lösung der partiellen Diffe- rentialoleichung erster Ordnung

-ip = 0.

et

Unter Fortlassung der jetzt nicht mekr zur Unterscheidung nöthigen Klammern um die Differentialquotienten ( , j. 1 ^^ 1 kann das für den allge-

memen Fall gewonnene Eesultat so ausgesprochen werden:

Es sei (f irgend eine gegebene Function von t, g,, q^, ... q^ und q\. ql, ... q'^, man führe für die Differentialquotienten 5,' neue Variable

'' = V ein, setze

^ = ^l\9' — ^ und drücke die Function xp durch die Variablen p^, 5, und t aus: dann sind die Gleichungen

'%, _ 60 dp, _ 6w dt dp. ' dt dq.

die Differentialgleichungen, icelche erfüllt sein müssen, damit der unter dem Integral- zeichen stehende Theil der Variation S ig: dt verschicinde. Man bezeichne ferner die Werthe der 2ju Variablen für die untere Integralgrenze r mit q\, ql, ... q"^, p1, p'l, ■ ■ . p°f, und führe diese Grössen statt der willkürlichen Constanten in. die In- tegralgleichungen des Systems ein. Endlich setze man

BV

dann ist

^^^,. = 0

öt

eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung, welche V als Function der Variablen t, q^, q.^, ... q^ definirt. Bildet man nun das Integral

(fdt,

/;

— 151 —

iv(i (f rcriiiiKje der InlvijnihjklduüKjcn eutt- blosse FuKCtion von t und den 2u ( iinsinntcn q^. qZ, . . . q'l, y/,'. p", . . . p", ist, und drückt das Resultat der Quadratur als Function von t. q^. q.^. ... tj^ und (/','. q'.l, ... q"^ aus: so ist der so darge- stellte Wcrth des I/itegrals

V= f (fdt eine IJJsang der partiellen Differentialgleichung

Der in CJloiolumj;" (5.) entlialtiiK' Ziisaimnenbaiig der Fimctioiion (f und (/■ stellt eine Art von Keriproeität zwisclien densellien lier. Setzt man näinlieh

wo

P, = -TTT-

ist, und (/ als Function der (/,, q', und t angesehen wird, so ist gleielizeitig

, dW

vorausgesetzt dass i/' als Function der q,. p, und t angesehen wird: daher hat man auch

in welcher Gleichung an Stelle der j), lYw Grössen q] vermittelst der Gleichungen

, Öl//

''^^

einzuführen sind. ^laTi k;nin also dinrh Gleichung (7.) zu jeder gegebenen

Fundion </' von t inid von den Grössen (/, und p^ eine zugeordnete Function

(f voll f und von den Grössen q^ und q] linden: demnach stellt die Gleichunu;

öV — ^ h (/' = 0 die alluemeinste i)artielle Difterential<ileiclumu- erster Ordnunu" dai-.

cf ■ ■ ' o r- r

welche F als Function von f, 5,. q... ... q„ deünii't, F selbst nicht enthält und

dV . . . . . .

nach —^ — aufgelöst ist. Es lieirt hierin ein merkwürdiüer Zusanmienhano- zweier

dt ■^ ^

weit aus einander liegenden Probleme, der isoperimetrischen der betrachteten Art und dei- Integration <h'r jiartiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Dieser Zusaunnenhang lässt sich aul' dii' übrigen isoperinietrisidien Prolileme. in

— 152 —

welchen sich höhere als die ersten Ditferentialquotienten unter dem Integrale

befinden, ausdehnen.

.... 5 F

Die gefundene Lösung der partiellen Differentialgleichung --^-i-(/' = 0

enthält, wie wir gesehen haben, die // willkürlichen Constanten q'l, qll. ... q"^. und da in </' die Grösse T^ selbst nicht vorkommt, so kann man zu dieser Lösung V noch eine willkürliche Constante addii-en und hat dann eine Lösung mit ,«-f-l willkürlichen Constanten. Die Lösung V ist daher das, was man eine vollständige Lösung einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung nennt: denn eine solche muss so viele von einander unabhängige Constanten enthalten, als von einander unabhängige Variable in der Differentialgleichung vorkommen. Sowie nun die Integration der betrachteten isoperimetrischen oder Be- wegungso-leichuneen diese vollständioe Lösuno- der partiellen Difterentialoleichuno-

■ ifj = 0 liefert, so kann man umgekehrt aus der als bekannt vorausge-

dt

setzten vollständigen Lösung die Integralgleichungen der betrachteten isoperi- metrischen oder mechanischen Differentialgleichungen bilden, und zwar sind die- selben in den bereits oben (Seite 146) gegebenen Gleichungen

enthalten, welche auch im Fall der in Rede stehenden isoperimetrischen Pro- bleme gelten. Wh- haben also die Integralgleichungen unter derselben Form dar- gestellt, wie früher die Differentialgleichungen, nämlich vermittelst der partiellen Differentialquotienten einer Function V. Dies ist die Erfindung Hamiltons. welcher die Function V mit dem Namen ihe principal function belegt. Das

dV zweite in (4.) enthaltene System von Gleichungen -rr-^ = —p" giebt die wahren

Integralgleichungen, das erste System -^ — =pi giebt die Grössen p^ oder 5,

in t und 5, mit ,u Constanten q^l; dies ist das System der ersten Integral- gleichungen, aber es ist von grosser Wichtigkeit, dass auch diese durch die partiellen Differentialquotienten von V dargestellt werden können. Wie wir später zeigen werden, Itrauchen die /u in V enthaltenen Constanten nicht die

Anfangswerthe q'l zu sein, sondern wenn man nur überhaupt eine vollständige

dV Lösung F der partiellen Differentialgleichung ^ -i- if = 0 mit irgend welchen

Constanten kennt, so lassen sich immer die Integralgleichungen durch die partiellen

153

J)itr('nMiti:il(|U()tii.'iiti'n (iiesL'i' Lösuiiii nach di-u in ilu' cntlialti-ncn Ci)nstant<-n darstclK-n.

Hdinillnii. Aw Seine I'j-tindiniu' in zwei Aliliancllun^'i-n in den nliilosonliical Transactions') dari^-estcllt liat. delinirt T nicht liloss dnrcli die eine ijai-tieHc

' r) ]/

I)if1ei-entiali;leichinio; — ^ l-i/'^O. sondern er steht znuleicli mx-h eine /weite

partielle Ditlerentialülcichnnü' anf. welcher V ehenfalls iicnünen soll. Diese

kann man alier i'oi'tlassen. weil sie sich ans der sciion anfirestellten herleiten

lässt nnd weil ihre TlinzniViiinni:' nur tV-v I'ntersni'hnnu' ihre Einfachheit nimmt.

Denn dit' Frai;e der ßestinnnunu; einei- Fnnction dur<-li zwei sininltane partielle

Diilei-entialiileiclumiien kann hei iV'U jetzigen Mitteln der Analvsis im .Mlne-

nieinen nicht iieantwortet werden.

Im diese zweite partielle Diiremitialüleichinii:" ans der schon u'elnn-

denen -A-- \-w^(\ herznleiten. hranchen .wir ioliicndt-n leicht zn heweisen-

ot ^ ■

den Satz:

Es sei ein System von n [/eirö/i/i/ic/ieti Dij}'erenfia////eic/i>i/i(/cn ztnsc/u/i

den //-t-1 V(iri(il>h-n t. .?•, . .r, r„ vnr(j<le<jf . die dem Ai>fti»f/sirer//if r >-nii

t ('iitsjirecliendcu Werthe der i'ihriijen Varialih'}) seien .r','. .r".-... ,(•',;. aitd innii Jtidic dem Sj/sfoii der ro/yefef/feii Diji'erciititihjJeichuntjen dureh dns Si/sfcm dir Jntetjrtdfj/e/chn/ii/en

p-,=/-,(^r, .<,..;;,.....;;). ■'■,. = f,.(f, ',.<■':.. v: -•;;)

ffenii(/f. hinrii erhall man durch VertanschiDnj der V<rri(ihleu t. .i\. .r. r„ mit

ihren A/i/<i)if/sireiihen r, .r','. .r'.l. . . . .r", ein i//eichbedentendes Sj/ste)n ron Intefjnd- (jleiclinn(je)i, so dnss man das h'istifje Geschäft der Elimination fjan: ersparca nnd die lnte(jral(jleich\nnßn nacli den villl,nrlichen Constanten aiit'(/rl"'st n/mc indtirc Eechnuny foh/endermussoi dai'steilm kann:

.r" =/;(r, !-,.(•,.,(•.,. ....;■„). .(■:: = f,(r,f,a;,.r..,....v„).

■>■" = f„(r, t, ,v^, .i:., . . . .r„). Der Beweis dieses Satzes ist 't'oloender: Genriüt dem ueaeheiien Svstem von

*) 1831. 1'. II., und is;;.i. P. 1. Jacobi, Werke. Snpplementiiaiul tl'vnninik).

20

— 154

Ditferentialgleicliungeii das System der Integralgleichungen

= Fxi^y "r «2, •■■ «»)•

{(■.)

i'r. = F„{f, «,, cf._,, . . . «„).

so folgt hieraus für die Anfangswerthe dasselbe System von Gleichungen, nämlich

<; = -F;(r, «,,«„...«„),

.1-,'; = F„(r, «,,«,,...«„).

Das System (.4.) muss aus (C.) und (J).) durch Elimination von cc^. c... ... «„

hervorgehen. Aber die Systeme (C.) und (/).) gehen in einander über, wenn man Mnit rund zugleich .r, mit x\, x-, mit 4'. ... ,r„ mit .(',; vertauscht: folglich

muss man in (/l.) eben diese Vertauschung vornehmen können, und das aus derselben sich ergebende System (B.) muss mit (.1.) gleichbedeutend sein.

Aus diesem Satze lässt sich eine bemel■kens^Yerthe Folirermio; ziehen. Die Gleichungen (ß.) sind Integrale, d. h. solche Integralgleichungen, die. wenn man sie diflferentiirt und die Differentialgleichungen zu Hiilfe nimmt, em identisch verschwindendes Resultat geben. Jede der Gleichungen (^4.) hingegen enthält » Constanten, von denen keine iibertlüssig (supervacanea) ist*). Daher erhält man, wenn man eine derselben, z.B. a\^ f\(f, t,x'1,x", ...,i'!,), ditferentiirt, die Differentialgleichungen zu Hülfe nimmt und diese Operation fortsetzt, nach und nach alle Integralgleichungen. Einen solchen Xutzen kann man im Allgemeinen aus der Kenntniss eines Integrals, Const.^F(jl,T,Xi,x.2....x„), wo r einen be- sonderen Werth von t bedeutet, nicht ziehen. Ereignet sich aber der Fall, dass die Constante gerade der dem Werthe t von / entsprechende Werth der einen Variable, x^ z. B., ist, so kann man aus dem einen Integral mit nur einer Constante alle Inteoralo-leichunoen herleiten. Dieser Fall tritt ein. sobald sich für i'=r die Function F(t, r, x^.x,, ... x„) auf .i'i reducirt; alsdann kann man nach obigem Satz die Variablen mit ihren Anfangswerthen vertauschen und erhält daher aus dem einen Integral

Const. = F(t, T, .c,, .»2, . . • .1«)

*) Siehe die Abhandhing „dilucidationes de aequatt. diff. vulg. systematis", Grelles Journal, Bd. 23.

— 155 —

die 1 iitcgnilglcicliiing

.^■, = n', ',<,•»■$, •■••*•:;),

Ulis welcher sicli iliirch siiccessive Dill'eivntüitioii alle ülii'm<Mj lierleiteii lassen.

Wir woljiii min seilen, was lu-i der Vertanschung der XariaMen mit ilnvn Ani'anuswerllieii ans l wird. Die lietraeliteten isojurinietriselien odei- dv- naniiselien Diirerentialgleiehnngen seien dui'ch das System

'72 = t: ('' «1 , «s> • ■ ■ i%l K = '': ('> «, • «•... ■ • • «,^)t

?„ = X„(', «, . "..., • ■ • «.„)• /'„ = •-„('- «, . 'f.. • • • «,,„)

integrirt. .Man liat dann zngleieh. indem man l'i'ir / den Anl'angswertli r setzt.

'l'l = X, (', «, , «•., • • ■ %)^ 1'" = '"^, (r, <r, .«,,.... «.,„).

<l" = 7. ('j «!• «-.? ••• «■> )• P" = ^ ('- ",. « «. )■

In dem Integral

ist y i'ine Fnnctitm x'on /. (/i- '/:'• • ■ • '/„• /'i- /'l-. • • • /'„• also, nach lunsetznng der Wei'tlie Villi (/,. ...7,,. /*,. .../'„ ans den Jnregralgleielmngeii. eine lilosse Fnnetion \oii /, r.-,. a... ... c..,^,. .Man kann demnaeli

1'/ '/' = '/<'. ",-'^ ■■••'.',„) setzen lind erliält

Die auf diese Weise bestinnnte Grösse 1' wird eine vollstämlige Lösung der. iiartielleii Diirereiitialüleichnnu -^ |-(/i = (i. wi'im vermöge der oliiuen :?*/ (ilei-

cliungeii für 7,. ij-,. ... </„. 7','. q'L ... ry',', die Constanten «,. ((.,. ... «■,,, eliminirt worden sind. Aber von diesen '2u (Tleielumgeii geht die eine Hüllte in die andere über, wenn man t mit r und die Grössen <y, mit den Grössen </'/ ver- tanseht. Dalier mnss jede der Grössen cc^. «,. . . . r^>„ als Fnnetion von /, q^. q.,. . . . (/„, r, </,'. <i". . . . q'l, ausgedrückt von der l>escliarteiiheit sein, dass sie ungeändert bleibt, wenn t mit r, 7, mit </,'. <y. mit (fl.... q„ mit </,', vertauscht

20'

— 15G —

Avird. Berik'ks^ichtigt man dies, so erhellt, dass durch diese Vertauschiing

V= <D(t, «,, a,, ...a,p — <D(r, «,, «,,... «,^) in

</)(r, «,, «,,, ... c(.,p — <Ii(f, «,, ff.,, •••«.,„) d. h. in — V üliergeht.

Bei allem Bisherigen haben wir keine liesondere Hypothese über die Ditferentialgleichangen gemacht. Jetzt müssen wir. um den von ILnnilton be- trachteten Fall zu erhalten, annehmen, dass in (f> die Variable t nicht explicite vorkommt. Dies findet in der Mechanik statt, wenn die Zeit t nicht in der Kräftefunction U und demzufolge auch nicht in \f.i^II=:T — U enthalten ist. Dann tritt in die Difterentialgleichungen der Bewegung

dip di^i dip dtp dtp

dt : dq. : dq.. :...: dq : dp :...: di\^ = 1 : ~— : -^^- : . . . : ^r-^ : ^^^ : . . . : ^-i-

■ " dp, ap, ap^, dq, dq^

m\v das Difterential der Grösse t ein; durch Fortlassung von dt und 1 eliminirt man die Zeit ganz, drückt nach Integration des übrig bleibenden Systems alle Variablen durch eine. z. B. q,. aus und bestimmt diese letztere als Function der Zeit, indem man die aus der Difterentialformel

• "->

dp, (Jurch Quadratur hervorgehende Gleichung

Otfi

dp,

1,

nach (/i auflöst. So erhält man q, als Function von t — r, und da die übrigen Variablen bereits als Functionen von q, ausgedrückt sind, so hängen sämmtliche Variablen nur A'on der Differenz f — r ab. Dies gilt auch von der Function T'^. welche ebenfalls die beiden Grössen t und r nur in der Verbindung 6 = t — t enthält, und man hat daher

üt ^ dv ~ de '

AVerden nun die Grössen t, q^, q.,, . . . q„ mit ihren Anfangswerthen r, cfl, q?,,

dV ... (/,', vertauscht, so geht T in — V. ö in —6 über, und -^^ bleibt unver- ändert. Bezeichnet ferner ip^ den Wertli, in welchen ip übergeht, wenn die Grössen q, und />. = -- — mit den Gnissen q'; und »',' ^ ^-^ vertauscht werden.

^ cq^ J' J ' g,^"

SU liX'lit ilk' Cik'icliuiij.

157

,, öV dV

m

dV dV

ö = -öF -^ •'"« = - ör^*^'

0

ül)er. Dies ist dir /.weite ILniiiltnit^vh^- pai'tielle DitlVreiitialgleirliuiiji'. voii der wir also iiacliüewieseii lialuMi. dass sie ans dei' zuerst aiiliii'stollten diii-cli \'er- taiix'liiiiiu' der \ arialileii mit ihren Aiitaiiüswertlieii ali^eleitet werden kann.

Zwaiiziy:ste Vorlcsmiu".

Nacliwois. dass dio aus oiiior \iillst;iiidiixon Losung der ll<iiiult<insi-\\Qi\ partiellen Diirercutial-

gloichun«; ahgoleitetcn Integral^loichuimeii dem Systeme gewöhnlicher DifTerential-

gh'ieluuifjon wirlilich geniigen. Die lldiiiiltoHi^chQ Gleichung für den Fall

der freien Bewegung.

Wir wollen jetzt den uinuekeiirten W'eu' einschlau'en und naeliweisen. wie man. \on dei' lietracliti'ten partiellen 1 )iirerentiali:leieliuiiü' ausgehend, zu den dvnaniisclien oder isonerimetrisclien I)iirerential::leielmni:eu iielanü'en kaim.

hs sei

(1.) 4r-^^' = «

eine- /lelicbif/e partielle Diß'en'iitidhjlcichioui erster Ordiutny. welche V seihst nicht

oithJlt. so (hiss 1// irgend eine Fimcti()}i der Ci rossen t. cj^. q.^. ... (y„. jh- l>j. ■■•}>„

SV ist, ■ICO p-^-^ — : nnin kenne eine fillständn/e Lösumi T der ixirtiellen J)ilfe-

re)üial(jleichn)i<i (1.). d. h. eine Lösung, irelche (iiisser der mit l' dnrcli Adddion rerbiindenen noch jn wilWürlicIie Constanten r^,. r^.. . . . «„ enthält. Setzt nuni nun

dv _ j c r _ , ^:11 _ .

8a, ~''" c^ ~''^' ■ • • ca., ~''"'

ICO /)', . //>. ... /y„ neue willkiirlic/ie (Jonstanten bedeuten, so sind diese Gleichungen, rerbanden mit den Gleichungen

dv _ ar _ A^_

— 158

die Inkgralgleichuiiycii des Systems von Dijf'creiüi.alyleiclviiiyt'n

(3.)

dt

ö?.

dt dp., '

ICO i die Wertlie 1. 2. ... « anninunt.

Bei «lern Beweise dieses Satzes haben wir zu berücksichtigen, dass. wenn die als bekannt vorausgesetzte vollständige Lösung für V in die partielle Differentialgleichung (l.) eingesetzt wird, die linke Seite derselben eine identisch verschwindende Function der Grössen t, q^. q.-,, ... <]„, «i, «.,, ... «„ werden muss. und dass demnach ihr nach einer dieser Grössen genommener partieller Differentialquotient ebenfalls identisch verschwindet.

Um die erste Hälfte der Differentialgleichungen (3.) aus den Gleichungen (2.) herzuleiten, verfahren wü- folgendermassen. Indem wir die Gleichungen (2.) nach f vollständiu' differentiiren. erhalten wir das System von Gleichungen

(■!•)

d'V , d'v </g. ^ d'V dg, da^dq^ dt da^dq.^ dt

^ d'V dq, , 5"-V Jq,

öa.ßt

cT-r

ou^dt

da^dq^ dt öu.-,dq.^ dt

d'V dq, d'V dq..

öß, dq,, dt öa.-,dq„ <lt

da et da dq, dt daäq., dt

da dq dt

Es wiirde nun darauf ankonunen. diese in Beziehunff auf

dq, dj..

dt

dt

dt

linearen Gleichungen aufzulösen und zu zeigen, dass die aus der Auflösung

hervoro-ehenden Werthe mit den Grössen -J^, -^ —

dil'

identisch sind.

Aber diese Identität wh-d sich auch ohne Auflösung der Gleichungen er- sehen, w^enn man nachweist dass die Grössen — ^^ und die Grössen -^ — dem-

ö ' dt op.

selben System linearer Gleichungen genügen. Zu diesem Nachweis müssen wir

dV

die partielle Differentialgleichung

dt

-\-y.t = u nach den Constanten «i, a.,, . . . ci^.

partiell differentiiren und hierbei bedenken, dass von den Grössen t, qi und . deren Function i/' ist, nur die letzteren, also p,, die Constanten

P.

dV

d'l

li, . Ci., .

. . «„ enthalten. Die Differentiation nach «; ergiebt

0 = —

d'V dip dp,

ddi dp..

et da.

dp^ da. dp., da.

dip Sp,. dp^, da. '

— 1.j9 —

iiihI i|;i n= -. . (;., = -^ — . . . . y) := -- — , also -- - = ^ -,t — , SO erlialt mau f.'(/, ' " d(j., ' öij da. o«,Ö7t.

aus iliisiT dlficliuiii:' l'ür ^=1, '2. ... ii ciu Systi-ui von liucai-cii (ileicliuufrt,'U. wi'lclics sich \iiu ilcui Svsti'iu ^4.) iiiii' iladurdi luilcr-clii'iiU't. dass dir (-Ji-r'issen —--

<k.

an die Stelle der ,'- ü'etrotou sind, lllei'aiis scliliesseu wir - ,'-^-A- fsielie

'/' ' , dt dp ^

die ISeuiei'kuu^ aid' der iolji'eudeu Seite).

Vmv AMeituuu *\vv zweiteu Iläli'te der l)iirei-entialL;leicluni2'«'U fo.). also

der Gleieliuiiüeu

'.It

üW

,' . ueluueii wir die zweite llrdl'te «lei- lutei:ral-

U'K'iidiuiiiieu zu lliill'e. d. li. die ( üeieliuutiX'ii

dV

6V/,.

1','

welche das System der ersten luteu'ralu'li'iclnuiiieu hildeii. indem sie Kehttionen zwischen den (Ircissen q, und (j[ mit // willkürhchen Constanten darstellen. Die

dl'.

(ileiclumu.' ?', = ^.^— iJ,'iel)t. nach / vollsländi^' diilereiitiirt. d<j, ■

dt Of/^.cV Sil^cq^ dt Bqcq., dt

d'V dq^^

CUf.Cq (It

^7^

^ , ., . .... d"V 6-V 6-V . c-//, dl)..

Sclu'eilien wir liir -„ — ^- -. -t^ — ;; — . ••• -. — „ — ri'Siiective -t — . —'- .

11 i r 1 !• 1 ^M • 1 ''7t ^^' <''/•> Bil!

und nenutzen die sclion i:elunilenen (iK'i(iiun"-en —~^=-7r-^. -;—- = -.- . •■

dt Vj\ t/t dp.,

'''lu e*/' • 1 f • 1

— 77- = -^^r—. so orüieht sich dt 6p^

(5-) .u - j.. a, ■ a.. .3., ' ;;.. a., ' ■ ß^^^ Q^,^

Indem wir andererseits die Gleichun<i- — r^ 1- (/' = <• iiartiell nach </ differen-

tiiren. linden wir:

(h\ _ 6-V dp^dt!i_ _%_ eil' dt dq.dt dq. Sj>^ cq. dp.^

V

df

^Pf. dW

, 6"V dtp dp, dip dp., dW ^P.. . oW

dq.dt dp, dq. dp„ dq. ' ' dp^^ dq^ ' dq.

und diese Gleichunu' von (5.) abgezogen führt zu dem Ergebniss

_^__dip_

dt - -d^-

— IGO —

Hiermit ist aiicli <He zweite Haltte der Ditterentialgleicluingeii (o.) hergeleitet.

also der ()l:)en autgest<?llte Satz vollständig bewiesen. Es ist wichtig, dass nach

dem erhaltenen Ergebniss die in V enthaltenen f.i Constanten willkürlich gewählt

werden k()nnen und nicht die Anfangswerthe 9". (fU . . . q'l zu sein brauchen:

denn zur Einführuno; der Anfanffswerthe hat man Gleichunsren aufzulösen oder

Eliminationen zu bewerkstelligen, in den meisten Fällen also lästige Operationen

auszuführen, die jetzt vermieden werden krmnen.

Ein Punkt des vorstehenden Beweises verdient eine nähere Erörterung.

. . . , ''?,

Indem wir sahen, dass die liir die Grössen — r— auto-estellten Gleichuniren (i.)

dt =■ !D \ /

auch für die Gr()ssen ~~~ wlten. schlössen wir hien.us. dass die Grössen

'/'/, . , „

nur

r^ und "^ einander o-leich sind. Zu diesem Schlüsse sind wir alnn*

It djj^

■ (Iq.

dann berechtiiit . wenn die Grössen — r^ durch das Svstem linearer Gleichun-

(it

gen (4.) endliche und vollständig bestimmte Werthe erhalten. Dies findet nun bei einem System linearer Gleichungen immer statt, sobald die Gleichungen sich nicht widersprechen, oder sobald nicht eine oder mehrere eine Folge der übrigen sind. Im ersten dieser Fälle werden die Werthe der Variablen un- endlich, im zweiten Falle unbestimmt: beide unterscheiden sich nur durch die Werthe der ganz constanten Tenne, denn gesetzt, die letzte Gleichung eines Systems folge aus den übrigen, so müssen diese mit gehörigen Coeflicienten multiplicirt und addirt die letzte geben. Aendert man nun in der letzten Glei- chung den ganz constanten Terra um eine beliebige Grösse, so folgt sie nicht mehr aus den übrigen, sondern widerspricht ihnen. Beide Fälle kommen also darin überein. dass. wenn man die ganz constanten Terme auf die linke Seite schafft, die rechte Seite der einen Gleichung, etwa der letzten, sich als die Sunuue der rechten Seiten der mit gehörigen Factoren multiplicirten übrigen Gleichungen darstellen lassen muss. Indem man für die in der letzten Hori- zontalreihe stehenden Coefficienten die hieraus hervorgehende Darstellung ver- möge der übrigen einsetzt, zerfällt die Determinante B der in Rede stehenden Gleichungen in eine Summe von Determinanten, deren jede zwei zusammen- fallende Horizontalreihen besitzt, also verschwindet. Es wird daher auch R = 0, und der Ausnahmefall, in welchem der obige Beweis ungültig wird, tritt also (insofern die Coefficienten der linearen (irleichungen endlich bleiben, was wir

— 1 ( 1 1 —

iniiner aiiiicliiucir) iiiii' ilaiiii (.'in. wenn iVw Dctcriiiiiiautc der linearen (jleicliuii"L'n verschwiiidet. Die Coefricieiiten dei- liueanMi (ilcicluinfreii (4.) sind

d'V d'V d'V

du, 5y, ' ö«, dq.. ' ' ' ' ca, dq^ '

a-F d'-V S'V

da da, ' da d'/., ' ' ' ' ß^ Q,,

foliilicli kann man iluv Determinante auf die naclisteliende d()|)|)elte Weise. ^ dV „ ÖF -) 5r ^.y ^ „y ÖV

Sy, öy, öy„ da, du.. da^

als Funetionaldeterminante darstellen. Ans dieser dopjjelten Darstellimü' von li

fülii't beilänti^ ein allgemeiner Satz nl)er Functionen von 2u \ arialilen q,. q </«•

ofi. ('.... ... «„. Wäre nun 1{ = 0. so wären naeli Xo. .') der dreizehnten

TT 1 / i.iiN T /' .. dl dl dV , ,,

V orlesunü" (P- i(>-) uie ürossen . -. -r, — . ... -.- -. als riuictionen von '-- ' ru, ca., ra

9i- <]j- ■ ■ ■ 'lu betrachtet, nicht unabhängig von einander, d. h. es müsste

• I dV dV bV , • /ii • 1 • • 11

zwischen -^^ — . -^ — . ... . — . a,. rc ... f.;,,. / eine (Tieiclunii:' existuvn. welche dttj ou,, dtt_ 1-1/

5,. </;,. . . . q^ nicht enthielte. Aus der zweiten Darstellung; von R tolgt. dass dann zuuleich zwischen -t^ — . -^ — . '. . . -^ — . </,. q. «„. t eine (Tleichun"-

existhvn müsste. welche «, . (c.,. ... «„ nicht enthielte. Man hätte also eine

Gleichunii' der Form

,1 Tri, c*r cV dv\

0 = Fu, 11,. II (1 , -T — . -^ — . . . . , .

d.h. eine partielle Diilerentialgleichimii- erster Ordnung, welcher die voraus-

cV . gesetzte Lösunu' I «enüiren müsste. uml welche ^ — nicht enthält. Dies ist

cV abi'i' uimiöiiTich. wenn 1 wirklich eine vuUständuH' Liisimi:' von ^ -t-w = 0

j ^ ot

sein soll. Damit nämlich

f =/■('• (h. <Am ••• '/„, '-',• '■'.• ••• «P + <^'

dem Begriir einer foli<fä'iHUgi'ii Lösung genüge, ist es nothwendig. dass mau zui- IClimination der «-(-1 Constanten (c,. a... ... «„. (' alle ,/'-t-l Ditiereiitial-

JacoLii, Werke, ^uppleinentliaiul (Dynamik). 21

— 162 —

quotienten

vV ^ ^c£_ H^ ^ _cf_ eV_ ^ _dl_ dV_ _ _6l_

Bf ~ dt ' dq, ~ tq, ' dq, ^ dq„ ' ■ ■ ■ dq^ ~ irq^

brauche. Kann man. auch ohne die CTleichans; -^^— ^—^ anzuwenden, alle

'^ dt dt

//^l Constanten eliminh'en. so dass man auf eine Crleichung der Form r-( dV BV BV\ 'l

kommt, und nehmen wir an, bei der Elimination der Coustanten könne man

von den Gleiehunü'en (6.) nicht mehr als die eine — ^s — = - missen, während ' ^ ^ St . dt

iede der übrigen CTleichunsen -^ — = -tJ— dabei erfordert werde . so muss es

möglieh sein, einer der Constanten «j. «.,. ... «^ einen besonderen Werth

beizuleoen. ohne dass eine der Gleichunsen -^^ — = ., zur Elimination der

Bq. dq.

Constanten erforderlich zu sein aufliört. Denn zwischen u Gleichungen kann

man im Allgemeinen nur « — 1 Grössen eliminiren. Die Constante. der man

den besonderen Werth beilegte, ist daher überflüssig (supervacanea), und die

Function / ist so anzusehen, als enthielte sie nur ju — 1 Constanten. Daher ist

T" = f-{- C nicht eine vollständige Lösung der partiellen Differentialgleichung

BV . ^

ip ^ 0. sondern nur der Gleichung F = 0. was unserer Voraussetzung

1

Bt

widerspricht. Die Determinante R kann also nie XuU werden . mithin ist der Schluss, den wir bei dem Beweise der Gleichungen (3.) machten, gültig.

Wh' wollen zum Schluss dieser Voi'lesung die partielle Düferentialglei-

chung — ^ ^ */' ^ ' * fiii' che freie Bewegung von h materiellen Punkten wirklich

aufstellen. In diesem Fall ist t/' = T — U. für die Grössen q sind die on Coor- dinaten .r,, ?/,, j, zu setzen, und da T ^ i^m,(.r,'--|-^,'--t--^,'"-) ist. so folgt aus

^ rri

den Gleichungen », = ^^r . dass an die Stelle der Grössen p hier die Grössen '^ ^ cq.

ö V vh.r':. ni.y'-. nhz'^ treten. Da oleichzeitis p = -^^ — zu setzen ist. so hat man

die Gleichungen

' , BV , SV , BV

' ' C.I-. "^' oy. ' ' dz.

oder

1 er , 18V , 1 SV

' tn ex. "^' m. oy ' m. Bz.

— lf.8 — Die SLibstitiition dit-scr WL-rtlit.' in T gii-lit

iiinl (l;i U c'iiR' l)l()sso Fiinc-tion der Zeit iiinl iler Grössen (y d. Ii. dci' Coor- dinateii ,r,, ^^, und :, ist, so li;it man

Dies ist die partielle Dirterentialiileicluni«'' erstei" Ordnun»". von deren Lösun<' die Integration der Ditierentiulgleiehiuiüen <\vr ße\ve<:inig in dem Fall aliliängt. wo die Bewegung ganz frei ist. und wo eine Krät'tef'uuction U existirt. welche ausser den Coordinaten aiieli (Vu' Zeit t explieite enthalten darf. Hat man eine vollständige Lfismig iler (Gleichung (7.) d. h. einen Wertli \i)ii V. der aus>er der zu 1 hinzuzui'ügenden Constante 3» Constaiiten a^. a.^. ... «3,, enthält, so sind die fiir / := 1. 2. ... o» ü'eltenden (ileielinuLTeii

da die Integralgleichungen iler fiir > = l. '2. ... >/ geltenden Ditl'erentialgleicliimgeii

«^'■'•,- dU d'ii. QU '/'-, dU

der Bewegung

7)1.

dt- ö.r ' ■ dt' 0>/. ' ■ dt' dz^

deren erste Integralgleichungen in dem System

in.-- — . — ;; — ^ VI.— , — . — j^ — = m.

Ö.V. ' dt ' du. ' dt ' dz. • dt

enthalten sind

Eimii'dZAvaiiziüsto Torlosiniff.

Untcrsucluiiiii des Falles, wo t iiiclit exiilicite vorkniiiint.

Fine hesondere Betrachtung erfordert dei* schon ohen liei'vorgehobene Fall, in wH'lchem / in 1/' nicht Norkonunt. In diesem Fall kann die ]»artielle

Differentialiiieichunii' ~ j- (/' ^ 0 auf eine andere, welche eine \ ariahle

ot ^

weniger enthält, /.nrnckgefiihrt wenlen. Dies liernht auf einer sehr merk- würdigen Transformation cK'r ]iartiellen Dilferentialgleichungen. durch welche

21*

f::ir

ü^Ilt

^in^

■^ZM

die eine der unabhängigen Variablen und der nach derselben genommene par- tielle Differentialquotient ihre Rollen vertauschen.

Es werde z als Function der ti Variablen ,r, . x^, ... x„ angesehen, so dass. wenn pi. p.,. . . . p„ die nach .i\. a,, . . . .r„ genommenen partiellen Differentialquotienten von z bedeuten,

(1.) dz = p^da^,-h-p,dj^,^ ^PJ^'^^

ist. Indem man das Glied Pid,i\ auf die linke Seite schafft und überdies 3.\dpi auf beiden Seiten abzieht, verwandelt sich die Gleichung (1.) in

,/(; _p_ .(■,) = — .'■, '//>, +1K d.v, H h|^„ f/.;'„ ,

also, wenn wir

(2-) 2— ;',■''■ = y

setzen, in

dl/ = — ,Vjdj\-^p„d,v„-\ [-p^dx^^.

Daher hat man. wenn i/ =^ : — Pi~^\ ftl^^ Function von j),. A, .r.,, ... .r„ an- gesehen wird.

dy dxi du dy

dp, ~ ''" dx, ~P'' da; ^■? = ' ■ • • d.v^ ^"^

Genügt nun z der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

-,[ dz dz

(3.) 0^F(,

•'> Pu P2, ■■■ P,) = H

dx, ' d.v„

dz äx

und führt man anstatt :; die neue Variable y = z — Jj^x,. anstatt x^ die neue Variable ^^ ein. so verwandelt sich die partielle Differentialgleichung (3.) in

(4.)

0 = F

(-

%

■ '^'2 ) '^'3 >

du du "' -^ " dx., ' dx.

dx )'

dp, ■ -' ^' "' ^" dx, ' dx^ ' •■• dx^ Diese Transformation, welche sich im dritten Bande von Eii/ers Integralrech- nung findet, ist besonders dann von Wichtigkeit, wenn x, in (3.) nicht vor-

kommt: denn alsdann kommt gleichzeitig

dp,

in (-1.) nicht vor. und es kann

daher p, bei der Integration als Constante angesehen werden. Wenden wh* dies auf die Gleichuno;

(5.)

dV

{-IpUjr. 'h- ■■■ (h,

d V d V

dV

h

0

dt ' '^V- '■'' ■■" '"' dq, ' C(7, ' ■■■ dq^

an. Da in 1/' kein f vorkommt, so tritt in den oben gegebenen Formeln t an Für f ist jetzt eine neue unabhängige Variable dV

die Stelle von x^.

dt

. 0:^'

l- 7

% W- ^W % B s.

P ' W w ¥' -1^^- P ^'

: .•►•■;•;»;«>;!,»:

flftb' iMk ' 0Btfl' flifc*' ^Bl'' flBi' fl^h' "^PiL ^M ■ Wm-i: WKF' W ^B 1^

^^n 'SHI* SV^ vl0 ^IBEi" flÜB'

fl» ?» ~» ~» -> -^

-» -f *^

I* ^<P ^p> <B ■»- ^ •■ «•. oi sn («» «B « ll^;,' dgc «K te4to

^^^ ' ^^^ ^^^ ^^^ ^^B' flV 3B ' mV H^ 31^ H^^ Ml^< ^RB ' 'VM iVb ^^m

I n^ ^ ^ ^fc*"^^^**^»** ** ** **" ^"^ *** ** ""* *"* ""*

** "1 ••► *• •* ■• •< • •• ■• in> ftm "^a "r» — * — ■ «

. m. -m '^'mmt m m- m m « «. -> -^ -» -, -^^.

itm m a», •mi^' «k» (om

leln / i

— Hi.j

für r eine neue aliliän<i'is;p Vai'ial'lr

V einziifrilircn. so dass

dt

dW

wird. uiHl

dV dW dV a\V

oV _ d\V

ög^ <?f/i ' 8'/.. b'/.. '

Wir k()niu'n d'u' Foriiu'ln t'üi' ilicsc Transtnrmation aiicli lieweisen. ohne ilif I)itVrrriitialiilciclmtiü'

d V = ;), (Iq , + p., clq.. -) h /<^^ Jry,^

ÖT

^Ö)!

dt

ZU iK'uut/.rii. In ihr Tliat, V ist riiu- Function \-on /. (/,. </.. ... </„ iiml von <lcn willkürlicluMi ("onstantt'U <c^. c. Si-tzcn wir nini

W=V-t^l

St

und l'i'ilnvn in IT l'i'ir / t'ini' nv\iv \ ariaMc (( vermittelst dci' (iK'icliung

dV dt ein. so wird / eine Finietion von (c und von di'u ausser / in I vorkoninionden

Grössen, und

W= V—f,t

wii'd eine Function von ((. (/,. </.. ... '/„ inid von den Constanten r;,. c^_,

Unter Berücksichtigunif der verschiedenen ISedcutiniu' der Dilleivntiationen für die Functionen V und W hat man dalier

ü\V _ 8 V ot _ et __ __ Sa 8t da va

ew öv üV dt St SV

a

Sq. Sq. dt cq. Sq. dq. '

dAV__8V_ öV__dt__ 6t__ 6V da. du. ot da. du. da.

Wenn also nach unserer Annalinie in der Function i/' der (ileichiuiü' (5.) die Zeit / nicht ex])hcite vorkommt, so führt man diu'cli die Gleichungen

SV r- 8 V ,,.

af et

für / und V ilie neuen \ ariaMeii te und U' ein und traii>formirt hierdurch (ö.) in

	Jä??
-Ä-	"^	tim

r'^c^Tj^^i^lt

?^^.-:^

■^^ ■

^& VI« '•-

— 164 —

die eine der unabhängigen Variablen und der nach derselben genommene par- tielle Differentialquotient ihre Rollen vertauschen.

Es werde z als Function der n Variablen ,r, . a'j . ... .r„ angesehen , so dass. wenn /)i. j).,. . . . p„ die nach j\. x.,, . . . .r„ genommenen partiellen Differentialqudtienten von " bedeuten,

(1.) dz = j,^(h-^^p,<h'^^ ^pA''^

ist. Indem man das Glied PiCli\ auf die linke Seite schafft und iiberdies Xidpi auf beiden Seiten abzieht, verwandelt sich die Gleichung (1.) in

d(z —p^ u; ) = —.;■, dp, -hp, d.f„ H h;^, f?J „ ,

also, wenn wir

(2.)_ ^'-Pr'',=i/

setzen, in

dl/ = —j-^dp^^p^d.r^^ hv^-'-;,-

Daher hat man. wenn y^z — p^j\ als Function von jjj. x^. x-^, ... x„ an-

gesehen wird.

^i/ _ „ %

8.- -P- ■■ ■ -är- = ^''-

Genügt nun z der partiellen Differentialgleichung erster Ordnung

(3.) 0 = F(x^, a;, . . . .r„, p„ p„ ... pj = fL;, .c, . . . .e-_, -^, -^ , ... —^\ ,

und führt man anstatt z die neue Variable y = z — j^i-r,. anstatt x^ die neue Variable -~ ein. so verwandelt sich die partielle Differentialgleichung (3.) in

Diese Transformation, welche sich im dritten Bande von Eii/ers Integralrech- nung hndet. ist besonders dann von Wichtigkeit, wenn x, in (3.) nicht vor- kommt: denn alsdann kommt oleichzeitig ~~— in (4.) nicht vor. und es kann

- dp^ ^

daher y), bei der Integration als Constante angesehen werden. Wenden wh* dies auf die Gleichung

ev ' ( dV dV dV\ _

(5-) -öT+'^l'^" 'J^-- ■ ■ ■ '^"' li^' "5^ ' • • • ^j = °

an. Da in (/' kein f vorkommt, so tritt in den oben gegebenen Formeln / an die Stelle von x^. Für f ist jetzt eine neue unabhängige Variable

dV

a = — -. — , dt '

— 165 —

für V eine neue aliliäiin'iüc \';irialile

M'= r—t"J = V—fu ot

einziifülircn. so dass

_ _ dW

du

wird. iiihI

dv _ dW^ dV^ _ öjr ÖV _ a w

Wir köniiL'ii die Foriiu-In für diese Ti-anstonnatioii auch lieweiseri. ohne die Differeutiahjiloichuiiü

zu henutzen. In der That. V ist eine Fiinctidii von /. (y,. </.. ... (/„ und von den \villki'irH(du-n Constanten ((,. «.. Stützen wir nun

ot und i'ülnvn in TI' für / eine neue A'arialde a vermittelst i]^_-v (ileiehnng

ÖV dt ="

ein, so wird t eine Function \(>\i (c und \dn den aus>er / in V vorl<omnienden

Grössen, und

ir= V—fa

wird eine Function von a. (/, . q^.. ... (/„ und von den Constanten «,. «0

Unter Berücksichtigung der verschiedenen Bedeutung der Differentiationen für die Functionen V und W hat man daher

_öw^_^_r_o^^ _^_ __

ö« dt da va

SW^_dV_ ^X_J^_ g< _ ÖV

dq. dq. öt öq. dq. dq^ '

dW _ dV^ 6V _o^ _ o^_ 3V_ Sa du et da du da

Wenn also nach unserer Aimalune in der Function y der (ileichung (ö.) die Zeit f nicht ex|ilicite voi'konunt. so fühlt man durch die Gleichungen

füi' t und I die neuen \ arialilen a und \V ein und tran>forniirt hieniurch (ö.) in

( dW dW dW\

(6.) «+</'('/. 'Ä.---V-ä<^'^;^'--- -8^)

166 —

0.

d V Nach Integration dieser Gleichung rindet man V aus der Gleichung I — t „ = TF,

ö F 5 H^ . . . . •

welche, nachdem —7. — = «, ^ = ^ — darin substitnh't worden ist. m

dt öa

V w ^^

V = n — a —^ —

da übergeht. In F muss überdies statt cc wiederum t eingefülii"t werden und zwar vermittelst der Gleichung

5 W _

welche nach a aufzulösen ist.

Es scheint auf den ersten Anblick, als wenn auf diesem Wege aus einer vollständigen Lösung TF der Gleichung (6.) noch keine vollständige Lösung F der Gleichung (5.) folgte. Da in TF die Anzahl der Constanten ft beträgt, so müssen in der allgeleiteten Lösung F daher ebenfalls ,« Constanten vorkommen. Soll F aber eine vollständige Lösung sein, so muss sie jii-hl Constanten ent- halten. Diese fehlende Constante kann man indessen leicht hineinbringen. Da

nämlich f selbst in Gleichung (.5.) nicht vorkommt, sondern nur — ^r-- so wird

eine Lösung F der Gleichung (5.) nicht aufhören eine solche zu sein, wenn man t um eine willkürliche Constante vermehrt oder vermindert, also t — t an Stelle von t setzt. Dadurch verwandelt sich die zwischen F und TF bestehende

dV . Transformationsformel TT = V — f —^ m

W= V-(t-T)-^ = V-a(t-r),

, . ö IF

und / wird nicht mehr durch die Gleichung ^^ — ^ — t, sondern durch die

'^ ort

Gleichung

dW

da eingeführt. Alsdann enthält T^ die genügende Anzahl ,« + 1 von Constanten, nämlich die /tt — 1 Constanten «, , a.j, ... «„_,, welche ausser der additiv zu TT-^ Tiinzuzufügenden in TT^ vorkommen, die additive Constante selbst und die mit f verbundene Constante r. Die Integralgleichungen der isoperimeti'ischen Differentialgleichungen sind daher

— 167 —

dV ^ üF ^ öV _, , oF ^, ,

— — = 5,, -7^ — =^ ;?„, . . . -^ ^ß , und ,- — ^ tonst.

ö«, '^" (9«,, '^- 3«„_, ' "-' er

Da T nur in «Kr Xi-rliiinlunii t — r vorkoinmt. so ist

er _ _ ^ f' .

ör ~ er'

also kann die letzte der u Iiitegralgleiehiinji:en ilin-<li

^ — ^ ( onst. et

c V ersetzt wenlen. Hieraus i^eht liervor. dass die (ilcichiin"^ -.-^=u. mittelst

- et

deren wii- (i l'ür / cintuhrttMi. ein Integral i>t, und dass ic als Conslante be- trachtet werilen niiiss.

aV

Wie wir iieselien lialien. sind die beiden (ileichunaen .- - = « und

e n'

-, - ^ r — / gleichbedeutend, überdies sind die itartiellen DitFerentialiiuotienten

QV dW . .

- und ~^^ — . wo / eine der Zahlen 1 liis u — 1 dai-stellt. einander Ldeich:

ra da. ' '

also kann man die Integralgleichungen auch, ohne ( zu Ilült'e zu nehmen, un- mittelbar durch W darstellen und erhält dieselben unter der Form ,- - e W ^ G W ^ c ir _ , 5 U' _

l'lbenso kann man das System der ersten IntegTalgleichungen

er _ er _ er _

durch ir ilarstellen und erhiUt. da -? — = --, ist. dasselbe unter der Form

dw dw ew

Im Fall der Mechanik ist i^' = T—U. und man hat daher den Satz: Wenn die Kn'i/tefunction U die Zeit t nicht e.ip/icite enthält, so das-^ der Sat: der lebendigen Kraft gilt, so drücke nutn die halbe lebendige Kraft T durch

die Grössen (/, und p, = -r^-r «»•>• Hierauf setze man in der Gleichung der

^ ' öq.

lebendigen Kraft.

0 = ,r^c'' = u-r-T—U, cW

o'/,

an Stelle rem p,. so (h'ss diese Gleicliuag in eine partielle Differential-

— 16S —

gleichung fnr W übergeht. Ke)uit hkhi eine roUstäiidige Lösung derselben, welche ausser der mit W additiv verbandeneu Constanlen die ,u — 1 Constanten «1, «2, ... «^,_, enthält, so sind

8W , dW , dW. , (9W

da, ^" 5«, ^■' ■ ■ ■ (9«„_i ~ ''^''-" da ^ ^'

die Integralgleichungen der Differentialgleichungen der Bewegung, zu loelchen man noch die Gleichungen

dW _ dW _ BW _ dW _

als das System der ersten Integralgleichungen hinzufügen knin.

Die 2ju in den Integralgleichungen enthaltenen Constanten sind

«,, «2, . . . ß„_i. «,

ß>, ß-- ■ ■ ■ ß^^r T. ■

Im Fall eines ganz freien Systems ist a = on. zugleich treten an die Stelle der Grössen /), die Grössen

es wird

und die partielle Differentialgleichiuig ninmit die Form an:

, vi ifdwy (dwy (dWY\ ^.

ZweiuiHlzwaiizii'ste Vorlesung.

Lagrcniges Methode der lutegration der partiellen Dift'ereutialgleicbungeu erster Ordnung mit

zwei unabhängigen Veränderlichen. Anwendung auf die mechanischen Probleme, welche nur

von 7,wei Bestimniungsstiicken abhängen. Die freie Bewegung eines Punkts in der Ebene

und die kürzeste Linie auf einer Übedläche.

Nachdem wir die mechanischen Probleme auf die Integration einer nicht linearen partiellen Ditterentialoleichuno; erster Ordnung zurückiieführt haben, müssen wir uns mit der Inteiiration derselben, d. h. mit der Aiifsuchuno- einer vollständigen Lösung, beschäftigen.

Im dritten Theil von Eulera Integralrechnung kommen sehr schöne Untersuchungen über die Integration der partiellen Differentialgleichungen vor.

— 1G9 —

lOr ln'li;iiiiK-lt /,\v;ir iiiiiurr nur lifsoinlviv Füll«'. iiiiK-sscii i>t ci' so liliicklicli in ilei' Aiit'tindiiiii:' (Icrsellu'ii. dass sic-h lueisti-iitlicils ijnrcli die s|)ätei' iivluiidcii«' alliiciin-inr Mrthoile si-incn lirsiiltatcii wcni^ orlcr nidits liinziisctzfii lässt. Etiler^ ArlicitiMi lialu-ii iilifi-liaii|it das üI'ossi^ \ crdiiMist . dass iiln-rall die Fidli* uiüülicli>t \(i||stäiidiü; aiiiiL-l'iilirt sind, in wclclicii s'nli diirdi dir aiiüX'treljeiicn Mi'tliodon \\\\i\ Mittel ProMcnie vollständig aut'lriscn lassen. Seine Beisjiifle jieben datier innner den ganzen Inhalt seiner Methoden nach dem danialiu(*n Stande Ai'V \\ isst'nsehat't. unil es ist in dei' Iu'u.'el eine I5cn-irlierinii:" di-i-si-llien. wenn man den /•.'"/'-/■sehiMi licispu'lfn ein ncnes hin/.usetzi-n kami. da ihm scltm ein dnreli seine Mittel l('i>liares entpiiiii'en ist.

Li'l/nfiiije hat seine allgemeine Inteurationsmethode der partiellen hilVe- rentialgleielumsivn erster Ordnnnu-. welche ein dnrchans nener (iedanke in der Integrali'eclnnmii' ist. zuerst in einer Alihan<llnin:' ücgehen. welehe zu den Sehrit'ten dei- Bei'liner Akademie vom .ialire 177l' gehört. In dieser .Mihand- hnig ist die /nrücktrihrimg i\^t nicht lineai'en pailiellen DilVei-entialgleichnnuen erster Ordnung anl' lineare enthalten: es werden die liegrille der vollständigen und allgemeinen Lösnngen auCgestellt . die letzteren ans den ei-steren hei-geleitet nnd die .Methoden zur Aut'iindung der vollständigen Lösnngen angegelien. .\lles beschränkt sich aber nur auf den Fall \'on di\'i \ ariablen. von welchen zwei von ehiander unabhängig sind. Ltii/niiti/i<. Methode ist folgemle:

Es sei die partielle Ditferentialgleiehung erster Ordnung

ep(.r, y, z. p. ,/) = 0 vorgelegt, wo ,r. // die unabhängigen \ ariablen sind, c die abhängige, und

ö-

oz

^ d.r ' '^ Si/ '

sodass zwischen den Diil'erentialen der drei Vaiüableu die Kelation

besteht. Die vorgelegte DilFerentialgleiehimg gebe, nach 7 aufgelöst.

dann liat man

dz = p<l.i-+yX-i; ,'/. -, ;>)'/'/■

\ m eine Noilständige Lösung J zu finden. <\. h. eine Liisung. welche

zwei willkürliehe ConstanK'U enthält, ist es otfenl>ar nm- ntithig. einen Werth.

p ^ löQi, ij. z, (1^ zu tinden. weleher. in den Ausdruck pd-i'^ /,<lll substituirt.

denselben zu einem vollständigen Ditferential macht, worauf r aus der Gleichung

Jacohi. Werke. Supplementband (Dynamik^. ■ '2'2

— 170 —

dz = p (I.r -i- X dy , /ai bestimmen übrig l)leibt. Das Letztere erfordert die Inte- uratioii einer oewöhnlichen Ditferentialgleichuno- erster Ordnnng, durch welche in r ausser a eine zweite Constante h eintritt. Es kounnt also darauf an. p als Function Co von .)'. ij, : und einer willkürlichen Constante a so zu bestinnnen, dass der Ausdruck pd.v^ /(.r, y. :. p)d}j ein vollständiges Differential wird. Hierzu ist erforderlich, dass p nach y differentiirt denselben Werth gebe wie / nach .r dirterentiirt, d. h. es muss die Gleichung

^IL^^J^— «^X , dx dz ^ dx [ dp dp dz \

'.« ~^ dz dj; )

odei

dy dz dy dx dz dx dp

dx , dx d^dp ^ (dx_\d^

dz ^ o/j dx du \ Op ^ J dz

dx dz dp dx dy \ o/

erfüllt werden. Dies ist. da / eine bekannte Function A'on x, y, :. p ist, eine lineare partielle Diiferentialgleichung für p, welche drei unabhängige Variable .r, y, z enthält, und das vorliegende Problem ist also darauf zurück- geführt, von dieser linearen partiellen Differentialgleichung für p eine Lösung p^(jii(x,y,z,a) mit einer willkürlichen Constante a zu linden. Der Umstand, dass man nur eine solche Lösung zu kennen braucht, wird von Lcynmye um- ständlich hervoiVehoben.

Betrachten wir jetzt allein den Fall, wo z selbst in 'P und daher auch in / nicht enthalten ist, wo also die vorgelegte partielle Differentialgleichung die einfachere Form

(1.) . «PC^', >/, p, '/) = ö

hat. Li diesem Fall kann man auch p als Function von .i, y, a ohne z so bestimmen. <lass pdx-hx^^y «?iii vollständiges Differential wird. Da jetzt sowohl

~ als 4^ verschwinden, so reducirt sich die lineare partielle Differential-

dx

Statt aber anzunehmen, die gegebene partielle Differentialgleichung (1.) wäre nach q aufgelöst, M^ollen wir dieselbe vielmehr in ihrer ursprünglichen Gestalt in die Rechnung einführen. Denken wir uns ferner die Gleichung p = m(.v.y.a) nicht nach jJ», sondern nach (/ aufgelöst, also auf die Form f(p:, y, pi) = a gebracht, so haben wir uns der Formeln

dz dz	»^ 11 j k?V^ 1 (^ « n
gleichung für p auf
	dx dp	6p
	dp dA-	dy

— !■

		diP			r)*V>
dx	S'J _	du-	5x	— ^[L — _	dp
du-	~ du; ~	d^ ' dq df	dp	vp •5/-	diP dq
	dp _	dx	dp	ö.!/
	dx ~	df ' dp	'^y	öf dp

7M bi^dii'iicii. iiml iiiilnii wir dii^sc ^\^•l■lllt• in dw oliiüc lim-aiv partiellL- Dille- rentialii'leii'liuiiu Im' J> i'insi'tze'ii. uclit (licscHic in ilic lolgeiide lineare jiai-tielle Diirerentialiileicliunu' Inr /' filier:

(2.) ^^.^/' +i^^^_4^4^=o.

dp d.K dq dij d.r dp

Kennt man \(in dersellten eine Lösiniu' /' olme (.Onstante. 8o Kedari' es im \()i'- lieiiendeii Fall zni' Bestimnumti der vollstämliLien Lösimu' z von (1.) keiner weiteren Jnteü'ration einer DiHerentialaleiehunj;'. Demi wenn man jene Lösnnu' / einer willküiTiehen ('(instanten a uleicli M'tzt nnd aus der (Heiehunü'

/■(•'•> ;i: P) = « in \'erliinduiiu' mit der vorj2;ele<i"ten Dideri'ntialuleielumii'

p und q als Functionen von ,r und // lie>timmt. so sind dieselben A'on der Besehairenheit. dass jidx-i-qdi/ ein vollständiires I)iirerential wird, da die dafür erforderliche IJedinaung (2.) erlullt ist. und man erliidt daher r aus der Formel

durch blosse Quadratur, so dass die zweite in der vollstäiidiiien Lösunu - ent- haltene willkürliche Constante additiv mit c verbunden ist. was sich voraussahen liess. da in (ileiclnmu- (1.) - selbst fehlt.

F]s kommt also nur darauf an. eine Lösunji der linearen partiellen Dille- rential<ileichnnj>- (2.) zu tinden, in welcher die partiellen DiiTerentiahjuotienteii

-r — , v^-. -^^ — vermoii'e der (Tleiehunü" (1.) als runetionen von .v. i/ und p oluie q Gp dq dx ^ . V / ./ / 1

darnestellt vorausgesetzt siml. Aber bekanntlieh ist diese lineare partielle

Ditl'erentialgleichung (2.) nichts anderes"), als die Detinitionsgleichung derjenigen

") Siehe zolmlc Vorlesunj p. 75.

22*

— 172 —

Functionen /' von .r, y, p. welolie einer Cont-tanten a gleich gesetzt ein Integral des Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen

( o.) iu- : ciii : lip = -^ — : -^^ — : ^ —

■ op cij o.f

"eben. Die üanze Untersuchuno- ist also darauf zuriickseführt. ein Integral des Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen (3.) zu linden.

^Vir können dieses Systems noch dadurch yeryollständioen, dass ^y'w \-ernnttelst der (Tleichung ?P ^ 0 die Grösse aufsuchen, ^yelcher dq proportional ist. Die Gleichung ''P = 0 differentiirt giebt

^r— d.r -+- ^^ du -+- -^— dp^ — ^-^ (/(/ = 0. c/.r VI/ dp 0(j '

Aber nach den Differentialgleichungen (3.) hat man die Proportion

6iP oiP

op öd' .

SO dass ^^—a.v-h-T^ai) lur sich yerscliwimlet: es muss daher auch -^^(/ij-h^^do O.e d/' -' dl/ "' cq ^

für sich yerschwinden, und man erhält

, , Öip dqi

du : du = -^ — : ^^ —

^ ^ dq dl/

Das System (3) lautet daher A'ollständig:

(4.) «.<■ : (/(/ : dl) : d(/ = — — : -^^ — : ; — : ^ .

^ ^ "^ ^ ^ dp oq du- dl/ ■

ein in Beziehung auf .c und p einerseits, und i/ und (] andererseits symme- trisches Resultat, woraus die Richtigkeit der Rechnung heryorgeht. Dieses System tritt an die Stelle yon (3.). wenn wir die Integrationsmethode dahin yerallgemeinern. dass wir in die Function /' auch q eintreten lassen. AVir können nämlich die Gleichung /"(.c. y. p) = a als das Resultat der Elimination yon q zwischen einer Gleichung

(5.) F{.r, >/, p, q) = a

und ^P(x,y,2h 9) ^ '^ ansehen, so dass, wenn, wie oben, / den aus der Auf- lösung der Gleichung ^P = 0 heryorgehenden Werth yon q bezeichnet, identisch

wu-d. Daher muss F(x, y, p. yj der linearen partiellen Dillerentialgleichung (2.) eenüfien. was für F zu der Diöerentialüleichunii-

v<P BF cip dF c<l> dF dF / d^P dy, 'c<i> dy dtp dyX

dp Bx 8q dy dx dp dy \ dp d.v öq dy d,v dp )

— 173 —

t'iilii't. Alifi' <la ^ (Wv (ili'icliuiiii '^^ (•'•,'/• /^? /) = " i'lfiitisch l)cri-icili<!t. so li.'it man

Ö<Ii Olli diji

ßx J^>' ^Z ^ _ «^V/ t;/ vji

'da ~ ' c*^i ' dy ~' rJUi ' 6j, ~ ÖJp ' dx öx öx

fTicrdiircli rc<liicirt sicli der auf der linken Si-itc «Icr ohi'i'en (ilcichiiiii: in -. -

rjy

niult nilicn'tc AnMlrnck auf — -, . nml man ci-hiill

dVi dF dili dF vili dF öilf dF

(b.; -^— -= — h ^-- — -j - •, .1 - — -- = •-'.

dp a.r oq dij d.r dp dij ciq

worans lii'i'voi'üelit. dass F ^= <i in ilcr Tliat ein Inti'oi-al des Svstoins von l)ill'civntialiiK'i('hnnL!,vn (4.) ist. Da f'^.v. !/. ji) ^= a das lu'snltat der Elimination \()n (/ /wischen F(.c, i/. p, (j) = a nnd ''/^ (.c. (/. y*. (/} = ( t ist. so folgen aus den (Tleiclinnii'eii l-\.r. i/. ji. q') ^ a nnd ''PY.r, //. y*. </) =^ " diesellieii Wei-tlie von p nnd f/. wii' aus f(.v. //. ji) ^^ a und ''I^U. if. p. ij) ^ 0. Bernrksielitiiit man ülier- dii's. dass •'/>'= (I ein Inte^i'al iler I )ill'ei'eiitial2leiclnmü<'n (4.) ist und /war ein allu'c'iiieines. wenn in *\i-v l'^unetinn <*/*' eine additiv mit dersellien verlunidene (yOnstante enthalten ist. snnst aher ein |iarticulai\'s. mi kann man das u'ewonuene Krii'ehniss in ilen i'olii;einK'n Satz zusannnent'assen : Ist (lie parttelle Diffcn-ntidhilciduiiHj

(1.) */'(■'•-. y,R.v) = <:'

(jeyelxni. wo p = ~^. 7 = ~-. so bilde man das Sy.stciit (jeicöhiihchcr Diffe-

reutiahjk'icIniiKjcn

,' , , , , ^'i' dil> Sili o«f'

(4. ) (Li' : (/(/ : (//' : U(i = -? — : -;^ : ,, — : „ •

cp aq C' dij

Kennt man von deinselhen ausser dem a priori (jegebenen Inteijral </*' = ti noch ein zireites.

(5.) • F{.v.y.p,q) = .,,

so /lesfimme man aas (I.) and (.').) j) and q als Fanction von x und ij: dann erhält man : darch die Formel

~ = j(p<l''--^'l''!/) vernnttelst einer blossen Qaddratar.

Die CTleiehungen (4.) sind von derselben Form, wie die DitVerential- iileichimiien der Bewegung, nur sind an die Stelle der Grössen (y,. q... y^,. p,.

— 174 —

(/'-+- f^ ir hier die Grössen ,r, y, p. q. '^\ a getreten. Folglich erhalten wir eine neue Integralgleichung von (4.). wenn wir z nach einer darin enthaltenen willkürlichen Constante differentiiren und das Resultat einer anderen willkür- lichen Constante gleichsetzen. Eine solche in j enthaltene Constante ist c. wir hallen somit in der r-rleichuno;

_dz_

da

=/(lf"-+l^"*

das dritte Integral des Systems (4.). Dass wir zu demselben durch blosse Quadratur gelangt sind, ist ein bedeutender Nutzen, den wir aus der Zurück- führung des Systems gewöhnlicher Ditt'erentialgleichungen (4.) auf die partielle Difterentialgleichung (1.) gezogen haben. Fügen wir. um die Analogie der Diiferentialgleichungen der Bewegung vollständig durchzuführen, zu der Pro- portion (4.) auf der linken Seite dt, auf der rechten 1 hinzu, so wird, wie wir in der vorigen Vorlesung o'esehen haben, f durch die Gleichung

o

d.

-—I(t""--Ii ■'■■>) = '-'

bestinnnt. wo a die in '^P = i/' + « enthaltene Constante ist.

Nachdem Hamilton die Zurückführung der dynamischen Differential- gleichungen auf eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung gefunden hatte, brauchte man also auf dieselbe nur die seit 65 Jahren bekannten Methoden anzuwenden, um für alle Probleme der Mechanik, welche nur zwei zu bestimmenilen Grössen. </-, und q.,. enthalten, ein wichtiges Resultat zu gewinnen.

Gilt für die betrachteten mechanischen Probleme der Satz der lebendigen Kraft. SU hat in der Gleichung 0 = y*'^f^+(/' die Function (/' den ^Yerth

die Gleichung

T= U-u,

welche den Satz der lebendigen Ki-aft, ausdrückt, und in welcher U eine Function von (],. q._, allein, T eine Function von <],. q-:,, p^, jh ist. geht nach Einsetzung der

r^ TT'' 11 Tl r

Werthe /;, = -^^ — . i>., = -t, — in die partielle Differentialgleichung fiir IT über, und die Differentialgleichungen der Bewegung heissen

(h : (/(y, : </</„ : <"7p, : dp., = 1 :

o dip dtp dip dili

o}\ ■ %. ■ dq, ' dq.

Das zur Bestinnnung der vollständigen Lösung W nothwendige zweite von t

— 175. —

Ih'U' liiti'ynil (iiL'^LT DiirL'rL'utialjili'U-liuiiiiVii m'I

-^'XV. ''/:•> /Ar/',) = ",

alsdann hat man

ir=^|(/V/,/,-H/.,//v,),

• las dritti,' xoii / iVi-'k' Integra! ik-r DillVi't-ntiali^li'icliuiiiicn 'k-r Ik'Wciiimü' ist

■^ '- = /y

du '

und / winl durch che Cile-ichuiia'

511-

~K — = r — t au

ouiiicführt. Dies Tu'sultat kann man unalihänLiiii' \<n\ der 'riu'f)rie der iiai't'udk^n

Dirt't'renfialiik'k-hnnu't'ii so anss|)i-t'cdu'n:

11(7/// tiKin für i'iii l'r<ihkni der MicIidiiiL'. trclchr.< nur zirei zu Iw/ittiioiieiidcn

(irnssoi. (j^ und q.j. e/iflu'df. und in u-clchein der Suf: der lehendtgen Km/f T = U — u

3T

(jdl, uus.^crdon noch cm Litc(jral i'X'j.^'l:- 1>;- l>j) '= " kennt, wo /;, = ^ , , äT . ■ ■ - d(j,

1).. = -7:r-r-. SO iH'sttrnine )uun dn.f den (ilen-hun'ii'n w = T — b = — f.' u/ul F ^ a

die (1 rossen /*, um! p.. als t'uncliouen ron </,. (/.,. u und a: dünn sind (he beiden iibri(jen Iutei//'(iie durch die (ihiehuinjen

(jegehen, sodass in diesen vier Integralen dir rollsfändtge Integration der Diß'e- rentialgleichiingeii der Bewegung, d. h des Sgstems

dt : da : da., : dp : dp., = 1 : -,t- - : -^ — : .- — : —

enlhalti.li ist.

Dk's sind n'aii/, nrue Forniehi: sie «iclten z. ]>. für die Bewe^iinii' eines , l'nnkts in der Ebene oder auf einer krunnnen Oliertläche, wenn der Satz ik'i' k'bendinXMi Kraft gilt.

Fiir ilie freie Beweginiü' in der Eliene hat man. wenn die Masse des l'niikts Aev l'ymheit üieieh gesetzt wird.

d'' X d U d'i/ 6 U dt- ~~dx' dt- ~ dg '

— I7(i —

und ilci- Satz der lebendigen Kraft ist in dem Integral

K-'-'"+!j"') = U-a enthalten. Kennt man ein zweites Integral, d.h. eine zweite Gleichung, nach welcher eine Fmiction von .r, y, ,r', ;/' einer willkürlichen Constanten a gleich wird, und hestinnnt man aus beiden .r' und y' als Functionen von ,v, y. a, a, so ist die (-rleicliung der Trajectorie

und die Zeit wird durch die (Tleichung

J V 6a da ■^ J

ausgedrückt.

Diese Formeln habe ich als die einfachste Frucht der Zurückführung mechanischer Probleme auf partielle Dift'erentialgleichungen bereits im Jahre 1836 der Pariser Akademie mitgetheilt. Bei dem Interesse, welches dieselben in Ansprucli nehmen, und da sie sich auf den elementarsten Fall der Mechanik beziehen, verdienen sie in den Lehrbüchern derselben eine Stelle zu tinden. In den I'nterricht an der polytechnischen Schule sind sie bereits üliergegangen. Poissoii hat in Lioiiril/ei^ Journal*) einen Beweis oder vielmehr eine Veriticution derselben gegeben.

p]in zweiter in den obigen Formeln enthaltener Fall ist der, wo sich ein Punkt, nur von einem anfänglichen Stoss getrieben, auf einer gegelienen Ober- fläche liewegt. Ein solcher Punkt beschreibt die kürzeste Linie, deren Be- stimnnnig von einer Ditfei'entialgleichung zweiter Ordnung abhängt. Nach den früheren Betrachtungen erglebt sich. dass. wenn man von dieser Dilferential- gleichung ein Integral kennt, man hieraus die zwischen den Coordinaten allein stattfindende Gleichung der Trajectorie durch blosse Quadratur ableiten kann. Da in diesem Falle die Kräftefiuiction U verschwindet, so wird die partielle Ditferentialgleichung

T-t-« = 0.

Sind ,r, y. z die Coordinaten des sich bewegenden Punkts, so wird

\ df } dt-

I

*) Bd. i, p. 335.

— 177 —

Man sehe a; y als ilie oheii mit q^. (f., Ijezeii-lmctcii iM-stimiiiiiii^fsstiii-ke an. dann liat man den ans der (jrleicliung iler OberHäelie liei-vorgelienden Wertli

dz = p(.h-{-ijJij einznset/.en und erhält

.) T — <i-y'-^<lir-+- ( /"•/■'• +7'/'/) [

dt' oder

2 T = ./^"+_y'-'4-(/,.r'-|- Y./)^

Sind i;. t^ die ol)eii mit //, /a, hezeiehneten Grössen, so \vii-d

dT

»? = -QJ- = !l +'l(l'f-^'/.'/ )• Indem man setzt, findet man durch Auflösung iiaeh .r'. i/

und da man auf 7'. als homogene Function zweiter Ordnung in ,;' und i/\ die Formel

anwenden kann, so ergieht sicdi

' 1 -+-/''-+- '7 '"■ l+7''-'-l-<7-

Die partielle Diti'erentialgleicliung in 11 wird daher:

Diese Gleichung lässt sieh durch Einführung zweier neuen "Variablen an Stelle von .r und y in n)amiigfacher Weise transformiren. Ein Beispiel dafür wird in der Folge die Substitution liefern, mit deren Hülfe wir die kürzeste Linie auf dem ch'eiaxigen Ellipsoid liestiminen.

Die angeführten FiUle gehören zugleich zu den Anwendungen des Princips des letzten Multiplicators. welches die letzte Integration bei mechanischen

Jacobi. Werke. Siipplcmentliand (Ityiianük). 23

— 178 —

Problemen mit beliebia- orosser Anzahl von Bestimmungsstücken leistet. Wir sind so cUu'ch ganz verschiedene Betrachtungen zu demselben Resultat gelangt.

Dreiiiiidzwaiiziiiste Vorlesung-.

Reiluction der partiellen Differentialgleichung für diejenigen Probleme, in welchen das Princip der Erhaltung des Schwerpunkts gilt.

Wir wollen jetzt untersuchen, welcher Nutzen für die partielle Diffe- rentialgleich img aus dem Principe der Erhaltung des Schwerpunkts zu ziehen ist.

Sobald sich die Variablen so wählen lassen, dass eine derselben in der partiellen Differentialgleichung T^U—cc nicht selbst vorkommt, sondern nur der nach dieser Variablen genommene Differentialquotient von W, so können wir diux'h dieselbe Art der Transformation, durch welche 11" aus V hergeleitet wiu-de. die in Rede stehende Variable aus der Differentialgleichung fortschaffen und so die Anzahl der in ihr vorkommenden Varia!:)len vermindern.

Betrachten wir den Fall eines freien Systems von n materiellen Punkten, wo T ^ \Zm,(x'l-[-y'^-\-z'^), so haben wir (siehe einundzwanzigste Vorlesung p. 168) die partielle Differentialgleichung

(1-)

^^ mWdx. J

dW

1 = U—a.

Gilt das Princip der Erhaltmig des Schwerpunkts, so hängt U nur von den Differenzen der Coordinaten ab, also lässt sich, wenn man

i'i = .1', — .r,i, Sj^.;-o— >r„, . . . ^-„_i = .r„_i — r„ setzt, U, als Function der .r- Coordinaten betrachtet, bloss durch die Grössen $ darstellen. Bezeichnet man die partiellen Differentialquotienten von IT mit eckigen Klammern, wenn man IF als Function von .r,, .r,, ... x,„ und ohne dieselben, wenn man IFals Function von ,;,, ^o . .. '§„_^, x„ ansieht, so erhält man

d\V

r a wn ^ (dw dw ^ ^ air \ ^

ai"«-i

dW

ü.c„

und mit Benutzung dieser Formeln ergiebt sich für die in Gleichung (1.) vor-

kommende Sunnne .Z-

nii

an

die neue

Darstellune

179

^"■^ ~ m, L ar,- . " m, \ ÖS, / w;„ V ö.r„ ~ 0^, j '

Wo flu- aiil (la> irilifiidf ICIciiiciit t sich lic/irliciide Siiiuiiic \<ni 1 liis //. die Hill' (las rfiliciidf l']|ciiu-iit x sicli liczicliciiden von I liis // — I aiis/.ii<!cliin'ii >iiid. Nacli l']inriil)niiiü' dieser Darstellniiü' in die |jartli'llc DitriMvntialuIeichiiug (I.)

sind die in-spi-üniilieheu Narialilen ;i\. .r,^ ;■,_,. .v„ vollstiindiLi: diiivli |,,

;^o, ... |„_, . .;■„ ersetzt, und die N'ai'ialile .r„ konunt niclit mehr sellist vor. sondern nur die nach derselben «ienoinniene .Ahieitunji \on IT. Daher ist für .r„ die neue \ ariahle a' vermittelst der (jleichunu'

emzuluhreii und liu- zusehende Variable

die neue als Function von c,. i" c„_, und a an-

wo «I, eine willkürliche Constante bedeutet. Mit lieuutzuni:' iler (ileichuuLii'n

I

1

1

ö|, 5?, ' dl,

geht der Ausdruck (2.) jetzt in

d'Sn-i ö;..-i

(3.)

1

über, und indem man die ri'clite Seite von (o.) in (1.) substituirt und bernck- sichtiii't, dass bei dei- Dillerentiation na(di //, oder j, die Ableitunii'en von TT und ir, einandi'r gleich sind, verwamlelt sich (1.) in eine partielle Diti'erentialii'leichung für II ,. in welcher die \ ariable ((' nur sellist voi-koiumt. aber nicht <ler I)itVe-

n'ntial(|Uotient

Im \(>n den \'ariable

n (t unil

ir, wiederum rf'ickwärt>

dn

den l eberii'ang zu .r„ und IT zu machen, bedient man sich der (Tleichiniiien

5 W,

«0 — •'•«•

ir=ir

,s\\\

8(t' " ' du

Man kann den Aus(h'Uck (o.) noch mehr veivinfachen. wenn man die in Beziehung auf die jiartielK'n Ditferentialijuotienten der alihängiiien Variable linearen (ilieder durch eine neue Transformation herausschalft. die der Kednction der Gleichung eines Kegelschnitts auf seinen Mittel])uukt analog ist. Setzt man nämlich

wo //j. <j.,. . . . //„_, noch zu bestimmende Conslanten bedeuten, so dass

— ISO

ö w. ö ir.

ois

dh

-9,

^Yil•d, so geht der Ausdruck (3.) in

(40

Vii

ÖW

L Cr, J

1 /S"-^^J'^ 1 ü

«(,, l ü-, -^»J »/„ l •^»- ö;., J

über. Sei ./ einer der Indiees •*. Suelit mau auf der rechten Seite von (4.)

p TT''

niultiplicirte Glied auf und setzt seinen

das in die erste Potenz v

on

Ois-

Coefficienten gleich Xull. so erhält man (5.)

&,■ "'—-{'.

= 0.

7?is' VI,,

Diese Gleichung muss für die n — 1 Werthe von .•.-' gelten. Multiplicirt man dieselbe mit ?»,, und summirt von .s' ^ 1 bis s' ^ n — 1. so ergiebt sich zu- nächst der Werth von .^^g,. nämlich

[u — U.'/, = '-,

\ in„ 7 ' m„

oder wenn man wie in der dritten Vorlesung die Bezeiclumg

einführt,

Indem man diesen Werth in (5.) einsetzt, findet man für g,, den einfachen Werth

a'

so dass die Transformationsformel von Tb, in TT;, folgendermassen bestimmt ist:

(6.) W, = W,+ jjrIn>,^,.

d W Durch Substitution der AVerthe von </, in (4.) wuxl der von den Grössen -^^

unabhängige Tlieil jenes Ausdrucks

1 1 a'^

und man erhält

('•)

a w

L öd-.

— - ■/«,, l ai, ; ^ m„ r <5|, ; ^ m

AVenn man diesen Ausdruck in die Gleichung (1.) einsetzt und berücksichtigt, dass TT", von TT 2 um Grössen unterscliieden ist, die von den A'ariablen y^ und

— ISI -

r, nicht ;ilili;iiiii\'ii. dass iilso lici ilcr J)iircri'iiti;itii)ii ikhIi y, oiKt c, nicht nui' ilic Alileituniivn \im IT iiml \V, . sondern auch ilic von 11', und ]\\ cin.tndci- gleich sind, so geht die (Heichung (1.) in eine partielle I)ilVerentialgleichung U\r die alihängige VariaMe Tl., üher. Diese Differentialgleichuni! i-ntliidt nii-ht mehr ;!// unaMiängige \'ariahle .'',. //,, :,. sondern nur noch ."!//— I : flenn die /? ^'ar•ialllen ,r sind durch die >/ — 1 X'ariaMen i' ersetzt, inid die neu eingefulirte (ir(")S>e d' ist als Constante zu hetrachten. da di'r nach dei-sellieu gi-nonmiene I)ill'erential(|Uotient \(in II. nicht \(iikonnn1. Nachdem man die pai-tielle DiHerentialgleichunu' lür IL, integrirt inid vermöge (Jleichung ((!.) 11', au?- IK, hestimnit hat. geschieht, wie schon oben hemei-kt. <lie Kini'ühriuig von .r„ ver-

n ]V

möu'e der (lleichunü; -^ ,'- ^ «„ — •''„. welche iia<li Krsetzunu' von Tl' durch IT in

o« «- .1

an-., 1 ^ ..

'-— '■'' = ^,/-*-7/-"''-

üliei'geht. Diese (ileichung ist zugleich ein Integral der DilVerentialgleichungen der Bewegung, welche sich aui' die |»artielle Ditleri'iitialgleichung (I.) zui-fick- lidiren lassen, und zwar dasjenigx'. welches nach Aul'stellung der zwischen den •5// — 1 \ arial'len i',. //, und :■ bestehenden Integrale hinzuzufügen ist. ganz

ähnlieh, wie die (ileichuui:" t — /■=—,; — ^ - .—■ , dui-ch welche liieraul' f ein-

o(f Ca '

geführt wird, zugleich das letzte Integral bildet. Setzt man die beiden 'rransformationen

zu einer zusannnen. so ergielit sieh die Formel

\V. = n — "- '£ m..r, 4- «' «0,

in welcher man indf'ssen. da Tl sellist in Gleichung (I.) nicht vorkommt, wegen der mit Tl verbundenen willkürlichen Constante das Glied a'cc,, weglassen kann. So wie durch diese Transformation die >> Varialilen ,r, der partiellen Differentialgleichung (1.) auf die // — 1 Variablen c, = .r, — ■(•„ zurückgeführt worden sind, so kann man durch zwei neue Transfoi-mationen dersell)en jVrt die '2/i \ ai'iablen y, und c, auf die 2(/; — 1) NariabU-n V, = //, — ,'/ undl'^=r, — :„ zurückführen, und wenn man schliessrKdi alle Transformationen zu einer zu- sammensetzt, so erhält man folgenden .Satz:

— 182 —

Im Fall eines freien Systems von n tnaterieUen Funkten, fi'tr ivelches sich die Differentialgleichungen der Bewegung auf die partielle Differentialgleiclmng

zurücktTihren lasseUj setze mun

«wi(? führe für W eine neue abhängige Variable

AI • ' M "^' M ' ' ein: dann verwandelt sich die partielle Diferentialgleichnnr/ (1.) in

wo

^ = "-' 2M -

Nach Integration dieser partiellen Differentialgleichung für il werden die Variablen .r„, y„, c„ durch die Gleichungen

eingeführt, und schliesslich wird die Variable t durch die Gleichung

— — ^ da

bestimmt. Da sich aber die vier Constanten a', ß', y und « zu der einen Constante ß vereinigt haben, so hat man

da _^dn :^_Ü_i^ dii__Y_dQ_ da _ da

JH^llW dß' ~~ AI dß ' dy' ^ AI dß ' du ~ dß ' und hierdurch gehen die obigen vier Gleichungen in die folgenden über:

- da

ß' , ... 1

l^o-i/„=i/('--0+j7^'«,'i.

Die letzteren drei Formeln stimmen mit den in der dritten Vorlesung (p. 17

/o — ^" = 17 ('■— '^ "^ i7 - "'^ ^^^-

— is:', -^

iinter (•>.)) ""■ *'i^' tivrailliniuv Bewogiing (k-s Scli\v<'i'[)mikt.s gegebenen überein, wenn man sie aul <iie Form

«„-f- jy {( — r)= •'•„-!- ,y -2^ '" . i , = ,^ ^ '" i -c, ,

y' 1 1

^''"'" J/ <^''~'^) =^ """^ .1/ -"''^' =" 1/" -"'•"'

liriiiut. ila die (li'össeii auf der rrcliteii Seite nichts anderes sind, als die Coordinateii des Scliweriiiiiikts.

VicruiHlzwaiiziijste Voiicsuiis.

BewcfjuniT (>ines l'lanclru imi die Soiiiic T>'isuii'4 in Pcilarcooi-dinaton.

Den ferneren ailgeineinen Betrarhtunucn mri^e die Uebandliing einiger Beis]tii'Ie naeii der //^///(///o//sehen Methode vorangehen. l)as erste Beispiel soll die Bewegung eines Planeten um die Somie l)ilden.

Im Fall eines freien Systems \-on // matei'iellen Fiuiktcn ist die partielle Ditterentiidiileieluniu". auf dii- sieh die Ditferentialüleiehunuen der Bewemiriii" zurückführen lassen, (siehe |i. lliS) foiuende:

Für die Ik-wegung eines Planeten, dessen lielioeentrisehe Coordinaten .r. }j, z seien, redueirt sieh die Summe auf einen Terni: setzen wir ferner die Masse des Planeten gleich I und liezeichnen die Anziehungski-aft der Sonne in der

Einheit der Hntfernunii; durch F, so ist die Kräftefunction U ^ - , wo r = x--\-y--hz'', und man hat

Da auf der rechten Seite dieser (ileielumg der Raflius Vector vorkonmit. so ist es zweckmässig, statt der rechtwinkligen Coordinaten .r. ij. : Polareoordinaten durch (Tu' Formeln

,/• = r cosr/, 1/ = r siiu/ rosi/', z ^ r siiu/ sin i/'

einzuführen. .Vlsdann wird <lie halbe lebendige Kraft

— 184 —

also

oT , BT . , fiT , . ,, ,,

Diese Grössen sind die früheren Grössen /», also irleich — — . -^ — . ^r— zu setzen:

■' - dr 0(p ' dil'

man hat also

, _ ajT ; _ J_ £lü' , _ 1 ö W

'' ~ Sr ' ^' ~~ r' dcp ' ^' ~ r-sin-tr- d/// '

und hierdurch wird

Die partielle Differentialgleichung (1.) verwandelt sich denmaeh fi'ir Polar- coordinaten in folgende:

Diese Gleichung ^vollen wir dadurch integriren, dass wir sie in mehrere zer- spalten, deren jede nur eine unabhängige Variable enthält. Wenn wir das erste Glied der linken Seite allein der rechten gleich setzen, so giebt dies

^ (d wy V

eine Differentialgleichung, welche nur die eine unabhängige Variable >■ enthält, und es bleibt alsdann die Gleichung

V dg) ! sin y \ oip ) i'il)riü\ welche r nicht mehr enthält. Diese Zerspaltung kann man noch etwas allo-emeiner machen, indem man auf der rechten Seite der Gleichung (2.) das

Glied -^ additiv und subtractiv hinzufügt und dann die Gleichung (2.) in die beiden

Jdw\ V- ß . ,\(swy- 1 (dwy\

zerlegt. Das Integral der ersten Gleichung ist

W=ft^-2a-^^:h-+F(g, iiO,

and indem man diesen Werth in die zweite einsetzt, erhält man für F((f, i/') die Differentialgleichung

Diese partielle Differentialgleichung lässt sich aber wiederum in zwei zertheilen,

— 180 —

von (Ifi)t'ii jcdf nur eine imjililiänjiiirc \ arialilc nitliält. Mau iüiri.' uänilich aui

(k'r rechten Seite wieder -t-~— adiütiv und sulitraetiv hinzu und zerle<i;e die

siirt/ , °

CTleichunü in

J^y=^-J^ nnd M'~) = ^ -V B(/ I ' siii-f/ - \ OU'J '

Das Int('<rral der ersten Gleichung ist

und znf'olav der zweiten niuss /'(v) der (Ueichuiii:

üeni'igen. d. li. es ist

also

er

nv, >P) = l]'-2,-i^J^-<hf-i-]'2Y.W

und schliesslich

(3.) ir=^f|/-;^

-—2u—'':</r

4-|| 2:1- -''-d<f+]''2^.ip.

Dies ist eine vollständiiiv Lösung der DillV-rentialgleichung (2.). demi sie enthiUt die nöthiiie Anzahl willkürlicher Constanten. Man erhält also die InteoTal- üleichungen der Beweü'uiiii' unter der Form

8W

„- = (t'—f,

oc.

wo ci' die früher mit r bezeichnete Conslante ist. Die Aust'ührimg der Üitfe- rentiationen giebt:

(4.)

t—u'

l/^---??

drf

1^

/ =

/ (fy

I SUl (/

' sin^

t/'.

1-2)'

Es ist zu bemerken, dass sich die Methode, din'ch welche wir die Gleichung (2.) integrirt haluMi. auf eine lieliebige Zahl von Variablen aus-

.!.■» colli, Werke. .Supplemenlbaml (I'ynnmik). 24

_ isi; —

ilelmeii lässt. Dies beruht auf Folgeudeni. Man setze, wenn man ii Variable i\. Xo, . . . .r„ bat,

^'i =rcos9:,,

x„ = rsiny, co.sy.,,

■«3 ^ vsin</| siny^cos^-j,

,r ^ /'siny^, siiu/,_,8iny3...siu^^_,,siny^_j, dann ist

d^,-^(l.ri-\ \-d.rl

= dr-\- r" d(}\-{-r- Aiv if ^ dql-\- r"' t^nv (f ^ suvcf.,d(fi-\ h'''siiry, sin"y sin'"f/^^_,/7y^_j.

Die obige Methode lässt sich daher ohne Weiteres an^venden, sobald die rechte Seite der partiellen DifFerentialgleichung sich auf die Form

/■o-)+4a(^.)+-^

Y.(?...)-+--+

1

-/;,_! (9-„_i)

bj'inoen lässt.

Die willkürlichen Oonstanten />'. /, wie sie in den obigen Integral- gleichungen (4.) vorkommen, haben sehr merkwürdige Eigenschaften, welche ihre Einführung in das Störungs- Problem sehr wichtig machen. Es ist daher interessant die geometrische Bedeutung dieser Constanten zu untersuchen. Dieselbe ergiebt sich folgendermassen.

Setzt man den Ausdruck, der in den nach r genommenen Integralen unter dem AVurzelzeichen steht, gleich Null, so erhält man eine Gleichuno; zweiten Grades in r, deren Wurzeln den grössten und kleinsten Werth dar- stellen, welchen der Radius Vector annehmen kann. Die Wurzeln der Gleichung

ai-—/rr+ß = 0 sind also (/(! + (') und (/(l — e). wo c die halbe grosse Axe, e die Excentricität der Planetenbahn ist. Dies giebt die Gleichungen

(5.)

«

also

« =

■2ä

= ^r(i-^'0,

-^«(1— ■)=-

JL

9

WO j) der Parameter ist.

Setzt man den Ausdruck unter dem Quadratwurzelzeichen in den nach ff genommenen Integralen gleich Null, so erhält man den grössten odei" kleinsten

— 187

Wcrtli von siny. n;iiiilicli | , ■ Xiin ist cosy = ~. wo .)■ die EntiV-niiiii^

des PIniic'ti'ii \(iii ilci' l'"J<li|itik (Mliciu' dci' //. :") lic/.i'i<-liiii-t. iolLiiii-li kann (-'»if l'is /N Null almchnicu: es üiclit also kt-ni Mininiiun, soudcrn nui- ein MaxiMiiiin \()M cosy, iuhI flu's limk't statt, wenn '/ ^~ iM)' ./ ist. wo ./ irK- Nei^iniü' ilci" PlaiK'tcnliahn uci^cn die l']kli|»tik hedi-iitct. Diiscni Wci-tli cntsprirlit flalaM'

der Mininiinnswcrtli I '- \()n sin<y. d. li. es wii'd (f..) |/-|-.= sinO)0"-J) = cos.y,

(7). ]7 = cos7lV= i' Cn,.J\J,.

Vm die <;-eonu>ti'isclu' [M'di'utunii' i]rv ("onstantcn «'. //. /' zu liestiinnien. iiiuss man erst die (Irmzcn der in (4.) voi'koinnieiiden Intep'ale näliei" fest- sitzen. Man kann nänilicli \u\- die nnlere (irenze i-ines dieser Integrale entwedi-r einen ii'eiiclu'ni'n Zalilenwertli nehmen, oder einen solelieii Wertli. welcluT die in dem Inteiii'al enthaltene (^)ua(lrat\vniv.el N'ei'sehwinden macht. (nter der letztei'i'n Annahme, die wir im I'^oIliciuKmi machen werden. h;ini:en die (ii-eiizen von t\c\\ willkih'liclien Constanteii ((. />'. ;' ali. um! da die Iiiteiji'alü'leiehimü'eii (4.) aus der (ileichimir (•>•) durch Dill'erentiation nach diesen Constanten her- vor^Li'i'hen. so kr>m:te m;in nu'inen. dass zu den (ileieluni;i"eii (4.) neue Tei-me. die \'on <len (Irenzeii herrühren, hinzukonunen müssen. .\liei' die hinzu- konnneuden Tenne sind nach den hekamilen li'e:;cln Acv Dillerentiation in die Wi'rthe nmlti|ihcirt . welche die in (lleichmiu' (•>.) untei' den Intt-i^ralzeiclien stehenden l'^nictionen l'iir die unteren Inteiiralurenzeii annehmen, und da dii'se Wei-the vi'rschwinden. so Meihen 'üe ( lleiclnmuen (4.) unüX-äiidert.

[ nter diesen \ oraussetzunu'en lassen wir das nach /• i:"enonimeiie und in (h'V ersten Oleichunu' ;^4.) xorkonunende Integral von dem A\'erth ^/(l — c). wolclien /■ im Perihtd anninnnt. als der unTeri'U Intefi'ralü'renze ani'anuen. F;"illt alsdann die ol)ere Oi-enze in den n,-unlichen Wertli \on r, so u'ielit die erste (ileichunii (4.) f - d' = 0. d. h.

(8.) f/ =r \\\.i-th der Zeit l'ür den Durchü'anij,' dui-chs Perihel.

V\n die Be(leutun<;" von // zu linden, hestimme man zunächst den Werth des nach y genommenen in iler zweiten (deichunu' (4.) vorkonnnenden Inteurals

(/(/ / siiu/(/y

a>

■ly

• ' ' .surf/

] iß—'ly — 2ßcoii'-<f

•24'

1 -SS —

als dessen untere Grenze wir (p = 90"— J zu nehmen haben. Durch die Sub- stitution

cos (f = y -!— ~ cos r^,

sin 9)

d^. = |/-

ß-y

»inij(hi

o-eht dasselbe in

l' Ö J l/2r3— :

in r^chj

d. h. in

W = /(/>?

V2p'J ^

über. Für die untere Grenze y) = 90"— •/ wird nach Gleichung (G.) siny? = cos-/=l/— , also cos^=y^-- — . daher cos// ^ 1. sin// ^ 0. Demnach ist das

nach // genommene Integral von der unteren Grenze )j = 0 an zunehmen, und es wird

so dass die zweite Gleichung (4.) in

ß'

y-2ß

übergeht. Aus der zwischen (f und tj stattfindenden Relation kann man die geometrische Bedeutung von tj erkennen, denn <f ist die Hypotenuse eines

i'echtwinkligen sphärischen Dreiecks, dessen Katheten )] und 90"—./ sind. Nun sei EE die Ekliptik, Pihr Pol, BB die Ebene der Planetenbahn, 0 der auf- steigende Knoten; man ziehe durch P senkrecht gegen BB den grössten Kreis PQ, welcher EE in R trifft, dann ist QB = J, also PQ = 90"-J. Trifft ferner der Radius Vector, welcher vom Mittelpunkt der Kugel, der Sonne, nach dem Planeten gezogen ist, die

Oberfläche der Kugel inp, so ist pP=<f, und hieraus folgt cosy ^sin./.cos(jjQ), d.h.

,/ = pQ = 90"— Op. Op ist die Entfernung des Planeten vom aufsteigenden Knoten 0, welche wir mit i' bezeichnen wollen. Demnach ist

— IS!)

ß' =

,= |/^_2.-^ ^'-^

T'iu p" zu licstiiiiiiKMi. Imuiclit iniiii jet/t nur den Zeitpunkt zu UfhiiR-u. in wi'lclu'üi (\vi- Planet dinrli das Pcrilici liimlui-cliu'i'lit: daiui \vir(l das nach /• HononnuLMic Intciiral oK'icli Null, und man crlirdt

(<:),) p" = (nO"— Knlibrniniu.- iIcs PiTÜit-ls vom auisteiiivnden Knoten).

Endlich ersieht sich /' aus der tlrittcn dlcichunu.' (4.). Für <f = 9U" — •/. d. h. wenn der Padius Vector (]i.'^ Planeten die Ku^Lcd in (l triÜt, wird <las nach (f ^enonnnene Integral gleich Null, und man erhält

Vi/

wo 1/'' den dem Punkt (/ entspri'chenden Wei'tli des \\ inkids i/' ht'deiitet. Da

nun tiri/' ^ ~ i>t^. ^<> liezeiclmet (/■' di-n Winkel, welchen die Axe der y mit

der Ebene l'<jh' l)ildet. d. h. es ist. wemi die Axe der // «lurch ilen Widder- punkt r ueht. (// ^ I7i' = rO-|-(>/i* =: der Ijäiiüe des auisleigeuden Knoteii.s + !)()". Man iiat also

(10.) ;''= (9(r+Läntie des autsteiticndeii Knotens).

]2y

Somit sind alle in den (ileichunjien (4.) vorkommemlen Constanteii Iiestimmt.

I)ei der Integration der iiartiellen DiiVerentialuleichuniJi; (2.) hätten wir

auch den Pinstand henutzen können, ilass in (2.) niclit w seihst vorkommt.

sondern nur V — Die in Folsie dessen anzuwendende Transformation

,,, ,,. c ir

Ol!) wüi'de uns zu der nur zwei imalihänü'ige \ ariahle enthaltenden partiellen Ditle- rentialii'k'ichunü;

üetuhrt liahen. Indessen würde die Integration ilerselhen ein Veriähren erfordern, welches von dem ohen angewandten nicht wesentlich verschieden ist.

— 1 oo — Füiifun(lzwaiizii;ste Vorlesung-.

Lüsuiig dcssellien Problems dmrli Einluliruiig der Abstünde des Planeten von

zwei festen Punkten.

Zwischen zwei Radien Veetoren der Planetenbahn und der iln-e End- punkte verbindenden Sehne giebt es sehr merkwin-dige Kelutionen, zu welchen man, ^Yenn man von den gewöhnhchen Differentialgleichungen der elliptischen Bewegung ausgeht, nur durch coniplicirte Rechnungen gelangt. Wir werden diese Relationen ohne Schwierigkeit aus der partiellen Differentialgleichung her- leiten und haben dabei nur die Hypothese zu machen, dass sich W durch den heliocentrischen Radius Vetor r und die Entfernung p des Planeten von einem anderen Punkt M ausdrücken lasse, eine Hypothese, deren Richtigkeit zwar nicht ohne Weiteres a priori einleuchtet*), die aber in der Rechnung ihre Bestätigung finden wird.

Die Coordinaten des Punkts M seien n, h, c\ so dass

ist. Unter der gemachten Hypothese, dass sich TP dunh r und f) ausdrücken lasse, hat man

dW _dW dr öj^_öe_ _ öjfj^ dW.e—a

d.v dr dx öq dx dr r d(j q '

8 W_ aTF_5r_ dWdQ_ __ dWji_ 8W )/ — />

dl-/ dr dy dQ äij dr r dg q ^

dW^dW dr dW_dQ__d\V^ dW z—c

dz dr dz dg dz dr r dg q

Diese Ausdrücke sind in die partielle Differentialo-leichunü; einzusetzen, daini verwandelt sich deren linke Seite in

{dwy fdwy ,, , , , , ,x . . ^, 1 dwdw

Der in Klammern stehende Ausdruck ist gleich /■''4-(r' — r'f,. wo also geht (1.) in

*) Zum Beweise bedarf es der aus den Flächensätzeu hervorgehenden Folgerung, dass die Bewegung des Planeten in einer Ebene geschieht, und der bekannten Thatsache, dass für einen innerhalb der Ebene variableu Punkt die beiden Entfernungen von zwei festen Punkten als Bestiramungsstücke angesehen werden können.

101

('"■)V(^"')=

^ f ;■ ^ ^ CO /

r--^Q- — /'•■ rjWaW 'II,'-

rij er cj() r

über. Das Prodiict ilcr licidcii |»;irticIK'ii Dlircrc'utialqtioticiitrii kann inun weL^- sc'liallon. wenn man anstatt /■ und o ihre Sinunjc und DitlVivu/.

(7 ^ i'->rO, ()' = /■ — (/

einführt, so dass

dW __FiW d\V dW' _b\V _d\V

vr 8a da' ' vy ha ca' wird. Alsdaini eru'K'lit sich

2(^'':)V2(t':')v^+^^{(e,'''f-('^'ryu-^-2«

^ ca I \ na I 11) W da J V ca I J ''

und nach Muk"n)lication mit rn

odoi'. nachdem für r. o ihre Wci-tlu'

/• = i(a-\-a'). o = },(a—a') suhstituirt sind, schhesslich

(2.) (a^-r;){^^I^J-(a'^-r::){^^y=/r(a^a^)-ia(a^-a'^).

l)iesi> [lartielle DilVm'ntialolcichuuLi; lässt sich nach dem liereits in der voriiivn Vorlesunii; anixewamhen \'ertahren (hu'ch Zerspaltnuü' in zwei üe- wöhnHche DiHerentialiih'ichimü'en inteji;riren. von denen die eine nur o und

'"'TT'' ^ TI ' '

-,— . (he andere nui- a' und ^, entliäU. Indem man sich auf (h'r rechten

da ' da

Seite eine willkürliche Constante />' zudeich additiv und sulitractiv hinzugefügt denkt, gelangt man zu den beiden Ditlerentialgleichungen

imd hieraus folüt für TI' der Werth

4«o'--l-/c-''c'-f-p\

U-=± \<la^/^"^^^'^±l - i!a-A!Z±^^!±^L^jtl. J I' -a^^rl -' 1 a'^-r;

Die Vorzeichen der beiden Wurzelgrössen oder, was dasselbe ist. dei" Integrale sind willkürlich und unabhängig von einander. Man darf also für II' ebenso- wohl die Summe als die Dilferenz lieider Integrale setzen, gelangt unter beiden Annahmen zu richtigen Integralgleichungen und kaim nur die grö.ssere oder geringere ICinfachheit der sich ergebenden Formeln als (Jrund für die Wahl des einen oder anderen Ausdrucks gelten lassen. lMitschei<len wir uns für die Difterenz imd setzen zm- .Alikürzunii

(3.) F(^)

192 —

so haluMi wir als Lösung der flleichnng (2.) den Ausdruck

(4.) ir = I Jff ]/T(^ - j da' |/i^') ,

dem wir auch die Form

(4*.) W = f" ,/sYFi^)

n'

geben können. Hieraus folgt z. B. für die Einführung der Zeit in die elliptische Bewegung des Planeten die Formel

, _ _ dir _ , r a\h , ,• g'-f/ff'

deren rechte Seite im Allgemeinen aus elliptischen Integralen' besteht. Da sich aber die Zeit in den Coordinaten. wie bekannt ist. durch Kreisbögen ausdrücken lässt, so ergeben sich hieraus Folgerungen für die elliptischen Integrale, welche auf das Fundamentaltheorem der Addition fiihren.

Der Ausdruck (4.) ist eine vollständige Lösung der i)artiellen Diffe- rentialgleichung (2.), denn man kann ausser der darin enthaltenen willkürlichen Constante />' noch eine zweite C additiv zu demselben hinzufügen. Alier der Ausdruck (4.) ist auch eine vollständige Lösung der partiellen Differential- gleichung (l.): denn in Beziehung auf diese sind nicht allein /? und ( ', sondern auch die G-rössen r^ I), c willkiirliche Constanten, da sie in (1.) nicht vor- kommen, während sie in den Ausdruck (4.) eingehen. Als Lösung von (L) enthält daher (4.) mehr als die nöthige Anzahl von Constanten, d. h. es sind überflüssiiie Constanten in demselben. Will man dergleichen vollständii!;e Lösungen einer jmrtiellen Diflferentialgleichung. in welchen überflüssige Con- stanten enthalten sind, zur Integration des damit zus;unmenhängenden Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen anwenden, so darf man zwar noch imiiier die nach sämmtlichen Constanten genommenen Diiferentialquotienten neuen willkürlichen Constanten gleich setzen, aber diese neuen Constanten sind nicht mehr unabhängig von einander. Andererseits steht es frei, ülier die über- flüssigen willkürlichen Constanten nach Gutdünken zu verfügen, und diese Ver- fügung kann im vorliegenden Fall dergestalt getroffen werden, dass das elliptische

Integral |f/.y'|/i'^(.s), welches den Ausdruck (4*.) von Tl^ bildet, sich in ein cir-

culares vci-wandelt. Dieselbe Verwandlnnu' findet alsdann auch für die hieraus

— 1 9?, —

lici'iicIi'itrU'ii clliiitix-lii-ii Jiitcj:raK- statt, wclcln- in di-ii pai-ticllcu .\ljleituuii:i-'U \()ii 11 nach den in /''(x) ciitlialtciu'ii Coiistaiiti-i) xiirkoiiiiiuMi.

Diese SiK^-cialisiniiiu «K-s liiteuTals j i/s\ [•'!'. <j kann auf /.wci Arten jre-

sclielicn. Die erste liestelit darin, dass dci' Z;di!er — .', «•^"-^- /."'•v -1-/^ von Ffs) zu i'ineni vollstäntliixen (^)iia(lrat <ienia(;lit wird, die zweite dai-iii. dass <lieseni Zähler ein ^enieinschaftlieher Tlieiier s — ;•„ mit d''ni Nenner s'- — /•,'■ von i'X')

jjreffeuen wn-d.

Wir wählen die zweite Art luid zwar ans lolifendeni Gnnide. Leitet man ans (4*), ohne eine Specialisiruni;- di-r konstanten vora-eiiommen zu liahen.

da

. weh-h

die (ntenraliileieliunuen lier. und imter liii-scn die (ileieliunix a' da a in o", r/' und /•„ entlialten ist. die Foi'm

(5.) a' =vm-^-^i^-^-^<'\-icV^-a^<y^'R

'da da J c — *" .' a — /-^

annimmt, so darf man i]\c Iiicrin vorkommenden elhptisehen Inteirrale nicht von .)' := (I. jl = />. -T = <: anfauiien lassen, weil alsdann o = (). a = o' = r„ wäre, und die Inte^-rale we^-en der in ihnen enthaltenen ( — if)"" Potenz von (/■ — rl, o'- — rl anendlieh würden. Dies L'nendliehwerden der ^nte^rale in (.'j.) wird durch die ohen ei'wähnte t'rste Art der Specialisirimif nicht verhindert, wohl al)er durch die zweite. Da es alier gerade notliwendiii ist. in den Formeln, die abii-eleitet werden sollen, p ^ 0 zu setzen. s(j entscheiden wir uns fiir die zweite Art.

Wenn wir also annehmen, dass der Zäliler von /'"(.v) füi- >■ = /•,, ver- sehwindet, so erhalten wir demnach zwischen /)' und r„ die lielation

(6.) fl = Ut>-l-lr,;,

Dadurch wird

F(s) =

K' — /•:

4«,

also

(<•)

' fs-\-r..

Dies ist der Wertli von W, aus dessen Dilferentiation sich die merkwürdiuen Formeln für die elliptisclie Beweuiinu" er^'el)en. die von Euhr un<l Lfiuihcr/ entdeckt, von (Ulicrs und Gau.ts bei der In'stinmiuni:- der Kiemente der Bahn benutzt wordiMi sind.

Ja colli, Werke. Siiii|ilenientbaiu) (Dyiianiik). 2-")

~ 194

Das System iler ersten Integralgleiclmngeii wird darcli die Formeln d^_d W dy__d W Jz __dW dt ~ al^' "df^lhf' ~df~^dF

gebildet. Wir haben l^ereits oben -.:— , -^—, -^— darch -^^ und ^— und die

*^ da- dy dz dr dQ

dW dW

letzteren Grössen darch — — und ^;— p ausgedrückt. Indem wir diese Kelationen

da da '^

in einander substituiren und l'iir ^r-, ^^t ün'e aus (7.) sich ergebenden Werthe

aa ' da ^ ^ °

(8.)

~dr

dt dz

1u

— "2'

X — a

\a setzen, erhalten wir die Gleichungen

k-

cr-+-r,.

(l^-^)/

ff+'-n

A«-

^)l/^-*""(7

J^	,r — a
r	Q
y	y-h
r	Q
z	z — c

-1«.

ff +■/•

k'

ff-hn

-Iß,

deren Richtigkeit man prüfen kann, indem man sie quadrirt und addirt, und hierdurch, wie es sein muss. den Satz der lebendigen Kraft ableitet.

Das Sys,tem der eigentlichen zwischen den Coordinaten stattlindenden Intearalgleichuno-en wird gebildet durch die Formeln

dW , _ 6 W

db' ^ ~ de '

wo (/', //. c' neue willkürliche Constanten bedeuten. Aus Gleichung (7.) ergiebt sich

dW , ,, " /'"' ds da

da

-U- —

(■^+o=]/^

-if

oder indem man fiU- ^y— , ^— ihre Werthe —

da ' da

setzt und Ijcrück-

sichtigt, dass

-W

ds

'-^'■■H^,

'F7T7

ist,

dW

da

(t-^)/

k-

-i«— —

P

o+>\

Q J f ff-i-'r„ - \ '<\ Q

dW dW Mit Benutzung dieses Werthes und der entsprechenden Werthe von -rrp, -3—

erhält man die gesuchten Integralgleichungen in folgender Gestalt:

— 1!)-)

(9.)

, ( a .1- — «\,/ P , (a .e — rt\,/ Ir

,,-b

-),/^_i„

p / I (T+/V.

Die Bestiiimimiu' «lei- Coiistantcü «' . h' . <■' ^vscliielit . iiulciii man (» ^ 0 setzt, was ein für (> stattliat'ter Werth ist. da in Folüc der in (Tleicliimi;- (0.) enthaltenen Specialisinmg iler Constanteii der Punkt (". h.c) ein Punkt der IManetenlialm wird').

*) l'in diese Heliaiiptuiif^ zu erweisen, ist es iicittnvendiL'. :iut' lieii imcli nicht s[)ei iaiisirteii Werth (4*.) VMii ir zurriokziikoinriieii. iJersellie ist eine vi.llständiL'e I.msuhl' der |iartielleii DitTerentialsleichunfr (-•), liiiil auf diese letztere winl das l'nddeni der PlaueteiiKetteirnn'j. uuli-r Ilinzufü^iinif der lileiehunp; der l'lanetenhahn-Kbene. zurückgeführt, wenn mau eine I.üsuu',' in il<-n Varialdeu n, n' Micht und a, li, r nicht als willkürliche, snudern als geireliene Constunleii ansieht, llicrauv fol<rt. dass. wenn man aus (4.) die neue

ein-

(ileichunü

<':^'

herleitet, wn ß' eine willkürliche Cnnsiante liezciclinet. diese mit der (ileichung der

l'Ianeteubalm-Khene zusammen die l>aliii liestiinmt. Die Ausfnhrunf.' der iMIl'ereiiliatii.n nach ß ■rielit. wenn zur Alikürzunof

gesetzt wird,

fiß

[>ies ist in transocndenter (iestalt das Integral der Differentialgleichung

U

deren Integralgleichung in algebraischer (iestalt zufolge des A'wi'fischen Additionstherirems der elliptischen Integrale, und zwar nach der von Laijmuye gegelienen Fnrm dessellien. (Miscellanea Taurinensia IV, p. IUI) die folgende ist :

(I-)

= |/G-+ /.-(o + ö') — i« (o + o')-'-

o — a

wo G' die Integrationsennstante liedeutet.

Um nun die Bedingung dafür zu erhalten, dass iler Punkt («. '/, c) in der Planetenliahn liegt. d. h. dass n = 0 gesetzt werden kann, woraus dann j- = o, ^ — /i, c = c, r = r„. ß = <t' = ;„ folgt, unter- suchen wir zunächst den Kall, wo o unendlich klein ist.

Es sei 0 der Winkel, welchen der Hadius Vector i,,. von der .Sonne aus nach dem Punkt {a,h,c) hin gerichtet, mit der Tangente der Plaueteidiahu im Punkt (n. fc. c), von diesem Punkt aus nach dem unendlich nahen Punkt {x,i/,:) hin gerichtet, Ididet, dann hat man für unemllicli kleine Werthe von o

>■ — r„ = pcosW uml demzufolge

,j| , ( n — r„ = (■ — r„-f o = ;i4-C">Ö)o

in' — r^ = r — r^ — o - — (I — COsU)y.

Hieraus ergielit sich, dass für unendlich kleine Werthe von <> die beiden tirössen V/in) und yr(n") pro- portional Vi) werden, dass also auf der linken Seite von lileichuug (I.) der Zähler Vj (.") -r Vj\o') pri'portioual yö, der Xennei n — n' proportional;), der ganze Bruch also unendlich winl, während die rechte Seite einen

•7 :»♦

— 196 — Indem wir also den heweixüelieii Punkt (,r, jj. z) mit dem festen ((/, h, c) zusunnnenfallen lassen, erscheinen die Brüche -^ , — . unter der

Q 0 0

Form \y. Ihre wahren Wertlie sind cosi. cos*;, coslT, wenn wir mit i. rj, £ die Winkel liezeiehnen. welche die Tangente der Planetenbahn in («, h, c) mit den Axen der x, y. z bildet. Da überdies & = (;' = ;■„ wird, so ergeben sich aus den Gleichungen (9.) die Bestinnnungen

(10.) a= — 2cü.s^'l/-^-^ \a, b' ^ — 2cos?;l/-^-^ \a, c' ^ — -JcGstl/ij^; i«.

-''o -''o -'o

Dieselben Werthe mit ente'eo-eno-esetzten Zeichen er2;eben sich aus den Glei-

"ö^o

1 /o S i-- V /-i •• '^''•' '''/ (J~ .^ . , 1

chnno'en (<S.) tur die Grossen -^— , — jt-, —j--, wenn man o ^ 0 setzt, und es

'^ ^ ■' dt dt ^ dt ^

sind demnach — (i\ — h\ — c die Componenten der Geschwindigkeit des Pla- neten im Punkte («, h, e)*).

endlichen Werth beluilt. Der Werth o = 0 ist also nur dann zulässig, wenn die Function

/(,) = (.■:'_ '■;;)(- i f' S-+ k-h + ß)

den Factor s — (■„, welcher für s = a und s = n und für unendlich kleine Werthe von i> propcrlional p wird, noch ein zweites Mal besitzt, d. h. weun die zwischen fl und >■„ oben aufgestellte Relation

(6.) ;i = 4«r^-A:=.„

besteht.

') Wenn man die Gleichungen (9.) quadrirt und addirt, so erhält man zwischen a', b', c' die Relation

a"--{-b''-\-c'

■-(v-)-

welche nichts anderes ist, als der Satz der lebendigen Kraft für den Punkt {a,li,c). Diese zwischen den C'onstanten u', h', c bestehende Abhängigkeit bestätigt dasjenige, was über das Verhalten der Lösungen mit überflüssigen Constanten oben im Text bemerkt worden ist, und zeigt, dass die drei Gleichungen (9.) nur für zwei gelten. Diese zwei, auf welche sie sich reduciren lassen, kann man folgendermassen erhalten. Eliniinirt man zwischen den Gleichungen (9.) die beiden in denselben enthaltenen Wurzelzeichen, so ergiebt sich

(III.) (6c'— 6V).r + (m'— c'o)i/ + («(/— aV;).- = 0

als die Gleichung der Ebene der Planetenliahn, welche durch die Werthe x = a, y = ft, ;: ;= c befriedigt wird, ilultiplicirt man ferner die Gleichungen (9.) der Reihe nach mit a. b, c und addirt die Resultate, so erhält man

( —(rm' + M'+ «')(" — "')

^^^'^ ■)=(- + '■„) ("'- '■„) \~-^ L „ + (a - r„) (,.' + ,■„) I ■■' -J^ i „

als (rleichung der Bahucurve in der Ebene der Bahn. Die Identität dieses Ergebnisses mit dem in Gleichung (1.) der vorhergehenden Anmerkung für den vorliegenden Fall enthaltenen lässt sich leicht verlficiren. In- dem man die frühere Definition des Winkels 0 beibeliält, hat man

aa' -\- hb' -\- cc' = — 2(\,cosöl/^5 nCt,

woraus unter Berücksichtigung der Gleichungen (11.) hervorgeht, dass die Gleichung (IV.) für unendlich kleine

— 197 —

Es bk-il)t ji't/.t nur iHjcli i'ilirit;' du' Zeit (■iiizuli'iliivn , \v;i?> diircli die

1? I ' * ö]V .

I'oriiu'l a — f ^ -;::— oder du

(11.)

ds

■ 1^ "

üesfliiclit. Dies Iiitt'i;r;d liilirt aul' Kreislioiii-n: iiidcii] iniiii diesellieii ;nil' «lie ^■i'liOriiie Koriii ln-iiiü't. ei-li:ilt man die von (üii/ss in dei- theoria niotiis li'eii-elienen Foi'uieln'). Del' Annalnne (i = (• i-ntspriclit die paralioiiselie IJeweLTnnii;. sie erüiel)t die /.ni' liestinmiuiiii; der l']leniente einer Koiiietenliahn dienenden Formeln.

Während die Gleielumuen (7.) liis (11.) Ini- zwei vom ISrennpunkt uiis- li'ehende KadiiMi \'eetoi'en /■, /■„ und die sii- vei'liindende Seime o liei dei' in einem Keticlselmitt stattfindeniK'u Ik-vw^unü' eines Planeten lieltt-n. ei^üchen sieii alli^e- meineiv Formeln l'iir diese l>e\veüuiiu'. wenn die Spceialisirimü' ((!.) niclit \"or- ü'enonunen wird, der Pimkt (n. h. r) also nicht in dei- Planctenlialm liei^t. .\ls- dium li'ilt t'f'u' ir dii' (ileichunii; (4.): in ihi' sowie in den dai-aus ahneleiteten Integralgleiehunii'en konnnt die Differenz zweier i'lli])tiselien Inteuraie vor. die von di'rsell>en Form sind und sieh nui' durch ihre Argumente a uikI a unter- scheiden. Nach dem Additionstlieorem (U'r eHi|itischen Integrale lässt sich diese Differenz in ein Integral mit einem neuen .\rgumont o" . vermelirt um eine algeijraische und eine circulare odei" logarilhmische Function \'on a und r,\ transformiren. !)a nun die Integralgleichungen, wie wir wissen, keine elliptischen Integi'ale enthalten, so muss das neue .\rgumeiit <>" , welches algehraisch von o und o al)häiigt. einer Constante gleich werden. Die (üelchung a" = Const ist also eine der Integralgleichungen**) und zwar die (ileichung der Bahucurve. während der alsdann ührig bleibende algebraische und logarithmische Theil den Rest der Integralgleichungen liei'ert.

Die aus (4.) folgenden allgemeinen Formeln haben auch noch ilie merk- würdige Eigenschaft, dass sie, abgesehen \()n einer zu erw.ähneiiden Moditicatioii. noch gelten, wenn nach dem Punkt Qi. h. c) eine zweite Attractionskraft wii-kt.

Werthe von o ein identiscljes Resultat liet'ort, vorausgesetzt, (iass ilie Wurzeliri'üsseii [' — '- ' c

' ' " + 'o ■■ '

[/ — pj- hn sicli alsdann beide dem mit demselben Zeielioii <jenonimenen Wenjie \~ .; « ufdiern.

" T''ii ' ' 'Ir^

*) Vgl. Crctts .Journal Ed. 17, p. \2-2.

*') Vgl. hierüber die Anmerkung auf |>. U)ö.

— 198 —

Alsdann sind aber c, l>, c nicht mehr willkürliche, sondern gegebene Coiistanten, wir lialjen ausser a nur die eine Constante ß und eine willkürliche ^ erf'ügnng iil)er dieselbe steht uns nicht mehr frei. Die Modification. welcher li'eüvnwärti^ die partielle Differentialgleichung (2.) unterliegt, deren rechte Seite

/i-(a — a') — iu((j" — ff'-) ^ 2''o(~ «)

I

ist. besteht darin, dass zur Kräftefunctiou U^ — ein zweites von der Attraction

nach dem Punkte (a, h, c) herrührendes Glied — hinzukonunt. dass also die

S rechte Seite sich in

2ro(-^-f- — — «) = /'-(ff— ff')+//'((T+ff')— i(<<7'— ff")

verwandelt. Demnach geht die partielle Differentialgleichung (2.) in die fol- gende über:

Da man diese Gleichung in die l)eiden gewöhnlichen Differentialgleiclumgen (<;=_, .;;)(^y= ,^+(P+/.'^)ff_i„ff^, (a''-r;:)(^y = ß+(/r-k'^y-iaa'' zerlegen kann, so erhält man füi' ir die Lösung

J y c"- — r\ J r a'' — /•;' '

in welcher sich die beiden ellij^tischen Integrale nicht mehr durch das Argument allein, sondern auch durch die Form unterscheiden. Fi'u' das Problem der Attraction nach zwei festen Centren im Räume ist die hierin enthaltene Anzahl von Constanten nicht genügend. Für das Problem in der Ebene hingegen (und hierauf lässt sich das Problem im Räume zurückführen) ist der obige

r^ irr

Werth von TP eine vollständiüe Lösung: -^^ = ß' giebt die Bahn des Punkts, -^^ ^= (c — t die Zelt.

QU

Seclisiiiulzwanzigste Vorlesung.

Elliptische Coordinaten.

Die Hauptschwierigkeit bei der Litegration gegebener Differentialglei- chungen scheint in der Einführuns; der richtigen Variablen zu bestehen, zu

— 1 99 —

(leren Aiiliimluiiii' es keine ;ill<;eiiK'ine lu'^vl üielit. .Nfan uiiiss ihilier <l;is uiu- üekeln'te XCfliiln'en einsclilaii'en und uacli erlaiiuler Kennt niss einer inerk\vürili;z'eM Snlislitntiiin ilie l'rolpK-nie aul'snclien, liei wH'lelien die^ellie mit (ilück zu liraiwlieM ist. Ich lialie eine solche Suhstitutioii der lierliner Acadeiuie in einer aiicli im ('/■('//eschen -hjurnal") alijj;e(h*uckten Note mitL^ctlieilt und eine l'eihe \iin ProMemen liesonders ans der Meclianik anLii'lidii-t . liir welche sie anznwemlen ist. Diese Anwi'iidiiarkeit lnTuht \()rnehmli<-h daraid'. das> der Ansdruck

(6r\- f iU'Y (ßvy , • , /- r . • .• i /. .

1^ ) ^~ \ a )"^\ ^- ) ^""■'' '" den neuen (. uorduiaten eUK* eniiaclie destalt

ainiimuit. Indem wir uns vorhehalten. jene Pnilileiue. zu welchen die liereifs in (]ry voriüi'u \ Di'lesuiiLi' heiläutiu' heliandelte Attraction nach zwei testen Centren elienl'alls Licluirt. i\vv iieihe nach diu'chzu^ehen. liei^inneu wir damit, die erwrdnite nierkwfu'dige Sidistitutiuu selli>t aulV.ustellen. und zwai' Acv All- U"emi'inheit weji'cii sogleicli i'i'u' euie ln'lieliii:e Anzahl von A'ariahlen. I'jS sei die (ileicliung

0-)

voi-i;c]ej;'t. Die (irr)ssen (iy.(i.,....(i„ seii-n nach ilu'er (irösse irt'ordnet. sodass

wo das Zeichen <C f^o zu verstelu'U ist. dass die Dill'erenzen ('„ — r/,. a.j — a.,. ...

]iositive Zahlen sein sollen. Die Zähler sind sänuntlicli ]io>itiv. was dadurch anoedeutet ist. dass für dieselhen (^hiadrate gesetzt worden sind. Multiplicirt man die Gleichung (1.) mit dem Product ((/i-|- /)(('.> 4-/.). ..((/„ + /). so erhrdt man eine (ileichung n'"' Grades in /. deren Wurzeln wir mit /.,. /... . . . /„

bezeichnen wollen. Es i.st leiclit zu hewi'isen. dass diese n Wiu'zeln sänuntlicli reell sind. In dei- Thal, lassen wir / von — cv. his -f-^ alle Werthe durch- laufen und imtersuclu'U wir. welche Werthe die linke Si'ite <\r\- Gleichung (1.). die wii- mit /. hezeichnen wollen, dahei annimmt. Für /. = — c^ wird L = 0; mit wachsendem / wii-d L negativ und dm-chläuft alle negativen Werthe. his es lür /= — if„ unendlicli wird. Da nämlich (i„ die grösste der Zahlen (ij. (I.,. ... (f„ ist. so erreicht / zuerst den Wertli — c,,. d. h. i'„-h/> ist der erste

Nenner, wehdier verschwindet. Ehe /. den Wertli — c,, erreicht hat. ist ('„-|-/.

negativ, und indem sich </„-!-/ der Null nidu'rt. wiixl — ^^^ = — oc. Wächst

*) Bd. XIX. p. 309.

200

/ weiter, so wird r^„-H/ positiv. — '-^~ macht daher einen Si)rani'" von — 30

«„-H/t ^ ^

nach -1-^. nnd da die übrigen Brüche endlich und zwar negativ sind, so gilt.

was \'on — '-^ o-ezeigt worden ist, auch von L. Wächst nun 1 weiter und

konnnt in die Nähe von — f'„_,. so wird L = — co. hat also von / = — c/„ bis ^. ^ — <i„_, alle reellen Werthe durchlaufen: daher ninss in diesem Intervall wenigstens eine Wurzel der Gleichung liegen und zwar nur eine, weil L von / = — ('„ bis / = — (Y„_, continuirlich abnimmt. Bei X ^ — f/„_, macht L wieder <len .Sprung von — oc nach +00. und dasselbe gilt nun für das weitere Fortschreiten, so dass in jedem der Intervalle — a,, liis — "„_i, — ff„li bis

— ('„_.,. ... — «3 bis — (1.2, — a.j bis — (/j eine und nur eine Wurzel der Gleichung liegt. Hat nun / den Werth — r/, soeben übersehritten, so ist L = +oc. und indem Z von da an weiter wächst bis nach +00, nimmt L liis 0 hin ab: in diesem Intervall — Oi bis -t-co muss also ebenfalls eine Wurzel liegen. So haben wir nachgewiesen, dass die Gleichung (1.) n reelle Wurzeln 2,. /.,,.../„ hat. Wir wollen dieselben der (Grösse nach geordnet annehmen, so dass X^ zwischen -)-co und — (/,. Ä zwischen — c^ und — ff,, u. s. w. endlich /„ zwischen

— ('„_i und — ff„ liegt. Man hat also

Wenn man diese Werthe für Z in die Gleichung (1.) einsetzt, so ergiebt sich daher folgendes System identischer Gleichun<ren :

(S.)

•VÜ-1

.?«

«,+/'. ■'<•?

a.,-hl,

■'•»-1 , .;•"

(7,+A, a^+Ä.,

•».'

«„_!+/,

■'•,;-l

"„-!-/.

e,-|-/l„ a.,-\-Jl„ «„_i-|-/„ a„-\-/.„

Sehen wir die Grös.b"en a als constant, die Grössen x und / dagegen als variabel an, so ist deren gegenseitige Abhängigkeit also von der Art, dass, während die Grössen /,, /,. ... .^.„ aus den Grössen X], xi. ... xi durch Auflösung der Gleichung //'"' Grades (1.) gefunden werden, umgekehrt die Grössen ;c'f ,;)':!... .r^ durch ein System linearer Gleichungen als Functionen von /, , X.^ . . . /„ zu bestimmen sind. Es kommt jetzt auf die Auflösung des Systems (.S.) an. wozu wir von den verschiedenen anwendbaren Mitteln das der successiven Elimination

201 —

.. I «n-r/., «,.-)-/., ,

wählen. Zuci'>t crnninii'cii wir \ ci-iiiittclst der ersten (Tleicliuiitr x'i uns den iibriüen. I ni es /.. B. ans der zweiten zn eliininii'en. iniissen wir ilie er>te mit f/„-t-/| nndti|ilicirti' (iK-ielnniLi' vi>n iler zweiten mit //,, \- ?.., niulti|ilicirten alizielien niid crludten

Mit üenntznni;' der Identität

nnd nacli Fllrtla^^nIlJi' des allen (.TÜedern ^enieinschaitliclien Factors /v— /., geht diese Gleichniiii in

(",4-/,) («,-+-/,) ''■'^ («,+/,)(«,+ /J •'■-■^■••^ („„_,4-;j („_,+ ;. j •'— ~ über. Macht man diesellx' Elimination zwisehen der ei-sten nnd dritten, der ersten imd vierten. . . . emHicli dei' ersten nnd //""" (ileiclnmii' des Systems (.S.), so erhält man folgendes System (/^— l)'" Ordnimu':

(S,.)

a,—a„

-.'T-f

«., — «„

«„_, — «„

(fl,-i-/j.,)(a,+;.._,) ' ' ' («,-t-/, )(«.,-)-;.,,) - («„_,+ ;.,)(a„_i+/.,)

^i-i = 1,

«, — «.,

a„_i — «„

(«,+;.,)(a,-H;.,) ■ ' (a,+A,)(«,+;.3) • ■■ («„-.+/,) («»-.-4- A,)

•^n— 1 li

", ö„

Von diesem ersten redncirten System (/; — 1)'" Ordnun;j; kann man wieder aul dieselbe Weise zn einem zweiten redneirten System (/; — 2)"'' Ordnnng i'ibergelien.

wobei man nnr zn tiemerken branclit. dass. wenn man ^.— .rr. " ^-'i.

«,+/, a,-t-/,

.■■-"^ r-if,-!- :>1* iiPH>^' Variable ansieht, das System (.S,.) anf die Form des

Systems (.S.) znrnekkonnnt. So erhält man das zweite redncirte vSystem:

S,)

(a, — a„)(«, — «„_])

{a., — «„)(«,— «„_i)

(a,+/.,)(a,-|-;.,)(a,-H/3) ' (ö.,-|_/J(ö..-^_Ä,)(a,,+;.3) ' - (a„_.-|-/,)(a„_2-|-A,)(a„_24-A3)

(ff, — «„)(«, — rt„_i) ^,j («,,— »7,)(«,.— «„-i) ., ^ (o„-2— a„)(a„-.— a„_i) ^., __j

((/, — «„)(«,— «„-0 2 (a„— a„)(a,— «„_,)

(a„_2 — «„)(«„ -2 — a„_,)

(a,H-/l,)(a, -1-A„)(a,-+-2„) ' (a„-HA,)(«,+A,)(a.,-|-A„) ' ■ (a„-2+/.,)(a„_2-t-Ä„)(a„_2-f-A„)

nnd wenn man auf diese \\ eise fortfahrt, koiinnt man endlich zn dem System

Jacol)i, WiM'kt'. f>up|iIonK'iilliaiul (Iiynamik). 26

■«■«-•> = 1,

— 202 —

(tS„_,), welches nur die eine Variable .i'i enthält und nur aus einer Gleichung besteht. Diese Gleichuno-. deren Form aus dem Fortoanri; der Rechnung "'e- schlössen wird, ist

(«j — «„) (a , — a„_, ) . . . (a , — "., )

(a,-F-;.,)(«, + /l,)...(ff,-l- ;.„_,)(«,+''-«)

-x': = 1,

und man ei-hält also die folgenden aus der Auflösung von (.S.) hervorgehen- den Werthe:

... _ («i + /,)(ft|+/J--.(«,+A„--i)(«,+/„)

(2.)

(«,—«,)(«,— «3)... («,—«„)

(«,+;.,)(a,+ AJ...(a..+Ä„-i)(a,-h-/l„)

(a,— «,)(«,,— rtj. ..(«,,— a„)

(a,n — a, ) («m — « j ) • ■ ■ (a,j

\)(am — «,„+])... (a„, — a„)

x-„

(g„+2,)(a„+/,). ■ .(ft„+Ä„_i)(«„+^) («„ — «,) (a„— a,) . . . (a„— «„ -,)

Da diese Ausdrücke Quadraten gleich werden, so miisseu sie positiv seui, was. sich auch leicht nachweisen lässt. lu dem Ausdruck von .rf z. B. ist im Zähler der erste Factor positiv, die übrigen negativ, also hat der Zähler dasselbe Zeichen wie ( — 1)"~'. im Nenner sind alle u — 1 Factoren negativ, derselbe hat also auch dasselbe Zeichen wie der Zähler, folglich ist der Bruch positiv. Aehnliches gilt von den Wei'then der übrigen Grössen a'l, .i|, . . . .r-„.

Man kann die Ausdrücke (2.) auch prüfen, indem man sie in das System (.S.) substituirt und zeigt, dass dasselbe identisch erfüllt wird. Hierbei I »raucht man den aus der Theorie der Zerlegung in Partiallirüche liekannten Hülfssatz. wdiiach die Summe

V

(«,„ — a , ) («,„ — «,-,)... (ff.,,, — ff „,- 1) (a,„— a„,+i) . . . («„,—«„)

l der Einheit gleich

für s ^ l. 2, ... n — 2 verschwindet und für .s' = n wird, während sie für jeden höheren Werth )i — 1-1- r von s der Summe der Combinationen mit Wiederholungen zu /■ der Elemente f,, (U. ... «„ gleich ist, ein Satz, dessen Consequenzen ich in meiner Inaugural- Dissertation*) erörtert habe. Die der Grösse /, entsprechende Gleichung des Systems (S.) ist

*) Disquisitiones analytieae de fractionibus simplicibiis. lierolini 1825. (Ges. Werke, Bd. III., p. 3f.t".)

— 203 —

1 = _fi I ^ I 1 •''" . = "^ ■''"•- .

a,-hXi a„-\-/.i «n4-A, „,=, a„,-f-A,

Dniiiit (liesolbo dm-di (Ik- Wertlu' (2.) der Grössen .;■'/. .r^. . . . ./;; erl'iillt werde, iiuiss die (lleielmiig

CS ) 1 = "Z" ("».-t-^-i)(«--f- /,,)■■ ■(a„. + A._,)(«„. + /.,.t-i). ■■(«,„ + /„)

m =1 («.«—«,)(«-7> — «.)...(«„, — «„._,)(«,„— «,„+i)...(a,„ — «0

eine identisclie .sein, was in der Tliat dmrh iK-n elien erwähnten Satz verifieirt winl. da im Zälder (i"~^ die liücliste Potenz von */„, ist nnd diese den Coel'ti- cienten 1 liat.

Die dnreh die Formeln (2.) detinirten Grössen .17, ri, . . . .vi (rennten noch anderen Gleichunü'en. die sieh dnreh den aniiei'nhrten Satz ehenf'alls anf der Stelle erueben. Dividirt man nämlieh die (jrössen .r|;, nicht Itloss ilnrch (i,„-\-^;. sondern dnreh «las Prodnct der Faetoren ",„--1-/,. (',„^P-t. wo /.,. Ä^ zwei verschiedene Winv.cln der (Tleichunji' (1.) bedenten. so erhidt man eine Snmme, welche sich von i\i-v rechten Seite der Gleiclmng (3.) nin- dadnrch untersclieidi't. dass der Zähler in Beziehimg anf </„, nicht bis auf die (/< — 1)'% sondern nur bis auf die (u — 2)"' Potenz steigt. Daher wirr! die .Suinme Xnll. und man hat die Gleichung

(i.-) ^> ^■- --I '^ i I ^ = 0

Üntei'suchen wir. was aus der linken Seite der Gleichung (4.) wii-d. wenn ^,, /.), nicht mehr von einander verschiedene Wurzeln, sondern eine und dieselbe Wurzel der Gleichung (1.) bezeiclmen. Es fragt sich al.so. welchen Werth der Ausdruck

(5.) M •'• "^ •'■"

erhält, weim derselbe din-ch die / allein dargestellt wird. Durch Substitution der Werthe (2.) an die Stelle der .r ergiebt sich

J^l^ ^ "^" (a,u-+- / ^ ' ■ ^ ' +Ä-l)(«„. + /,+l)...(ff,^H-/n) _

„,=1 (",«+'',• ,.. .—«,„_,) («,„^ «,„+])... (ff ,„ — a„)

Der Zähler des unter dem Summenzeichen stehenden Bruches ist eine Fimction (>i — 1)'"" Grades von «,„. Setzen wir in demselben fin- jedes f ,„+/., den Aus- druck </,„-+-/, -I- /, — /,, entwickeln darauf den Zähler nach l*otenzen von r/,„-)-/.,, so wird das von <'„-!-/., freie Glied

(/, - /,) (/,- /,) . . . (A,_, — Ä,) (;.,+, - /,) . . . (/.„ - ;.,).

26*)

— 204 —

Alle iibrigeu Glieder der Entwickliinij; zuscammengenommen und durch den Factor «,„ + /, des Nenners dividirt bilden eine Function (n — 2)"" Grades von a„, und fallen daher zufolge des erwähnten Hülfsatzes bei der Summation nach 711 heraus. Demnach reducirt sich der Ausdruck von ÜT, auf

m=\ «m-+-A, («,„ — a^){a„i — a^)...{a„, — «,„_,)(«„, — a„,+i). ..(«,„ — «„)' und da nach der Theorie der Zerlegung in Partialbrüche bekanntlich

=1 a,„-\-Xi (a,„ — «,)...(«,„ — «,„_,) (rt,„ — «„,+,). . .(«,„ — «„) (ö,-l- A;)(fl';+/,). . . («„H-Ä,)

ist. so ergiebt sich für il/, schliesslich der Werth

.f.. ., _ (/,-/,)(/,■ — /,)...(A. — Ä,--,)(A,—^,+0. ■.(;.,— ;■„)

d. h. man luit die Gleichung

(/, — / , ) (/,: — A,)...(A, — Ä,_,)(/i,— /,+,).. . (/,- — A„)

Dies Resultat lässt sich auch auf einem anderen etwas einfacheren Wege ab-

(«, + A,) (öoH- A,) . . . (a„ -+- Xi) sich auc leiten. Man setze

(8.) « = i-{^b- + -4:T-+--+-4:Tf'

sodass die Gleichung v = 0 mit der Gleichung (l.) identisch ist: dann lässt sich der durch Gleichung (5.) definirte Ausdruck M, mit Hülfe von n in der Form

darstellen, und man wird daher den Ausdruck (6.) von ilT, aus » ableiten können, wenn man vorher in der rechten Seite Aon Gleichung (8.) die Va- riablen .r;. xL . . . .r'i durch die Variablen /, . Z.,. . . . /„ ersetzt hat. Um diese Transformation zu erlangen multiplicire man n mit dem Product der Nenner (a^-h^)Qi-j-i- /.)... ((!,,-hX), dann erhält man einen ganzen rationalen Ausdruck n'" Ordnung in /, welcher fi'n- die Werthe /,. -i,. ... /i„ von >i verschwindet, und in welchem der Coefficient von Z" die Einheit ist. Also hat man (a^-h/.)(ai-hX)...(a„-\-X)u = (yi— ;.,)(/—;.,,)...(;.— ;.„), oder

_ (/-A,)CA-A,)...(A-/„) ^ "^ (a,+A)(a,+ A)...(a„+A) '

eine Gleichung, aus deren Zusammenstellung mit (8.) man. heiläufig bemerkt,

— 2(JÖ —

schliesseii kann, «lass sich dii- Wei-tlu- (2.) dci- (rpössi-n .(7. .vi *•; als <]'h-

m*ii"ativ ireiioiiiMii'iu-M Zähler tU'V Pai-tialhrüclu' . . .-, . . . in dj-i-

Zerk'fiunüf des PjimkIr's (8'.) dcHiiiren lassen. Indem wir den Aii.sdruck (8*.) von » nach / diH'erentiiren und dann /. = /., setzen. <'i-halten wii-

' ~ V 5/ ;/=', " («,-+-/,)(«.. -^/-.) • • •(", -^/,)

übereinstimiiiend mit (6.).

Die bisher jxewonnenen Resultate setzen uns in ilen Stand, ohne weitere Keehnunu' zu <ler obi^ren Substitution die aus «lerselben fol<j;enden Diflerential- l'ormeln hinzuzufügen. Weim man von dem in den (4leiehuniren (2.) enthaltenen Werth von .i~„

., ^ («„,+/, )(a,„H-/.,.) ._■ . .^. ..... ^. . (ff,„ + /.^^|) (a„.-|-/.„)

■ '" ~(rt„ — «,)(«'. — "•..)•••("". — "m-l)("„. — ",„^.). .-(«,„ — «„)

den Logarithmus nimmt und dann düf'erentiirt. so erhält man

Hieraus ergiebt sicli inr die Summe der '^Uladrate <ier DiHerentiale von .?,. X.,. . . . x„ die Foi'mel

' ■ m=l(am-|-/,) ,„=1 (ö „,+/.„)■ • m^lCam+Z-n)'

•2 ^ -. :r'^^ -. . d/..d/..

m=l (a„.-t-/.,)(rt,„H-/J

Nach Gleichung (4.) vei-schwindet der Coefticient von d/.^d/.... und ebenso werden die Coel'ficienten aller Producte der Ditierentiale von zwei vei-schiedenen Grössen / gleich Null. Die Coefficienten der Quadrate f//'f. r//;. . . . d/.l dagegen sind nacli (rleicliung (5.) die Grössen 3/,. J/,. ... M„. also haben wir

(9.) \{dx\^dj:U h(Ai-;i)= J////;+.V.rfzjH ^MJ/.l,

wo die Coefficienten .1/ durch (Jleichung (6.)

(«,-+-/.,)(«.,+/,)• ■•(««-+-/.) detinirt smd. (iiebt man dem Begriff der lebendigen Kraft ^(jv\' -^ .v.r ^ .r'^') eines sich frei bewegenden Punktes mit der Masse 1 eine Ausdehnung auf n Dimensionen und setzt

SO kann man diesen Ausdi'uck T vermöge Gleichung (9.) auch durch die Va-

— 206 — riabk'ii ). und deren Differentialquotienten nach t darstellen, und erhält

(10.) sr=4c.<^+.ifH — y£^) = M^}:;^M^):-^ — \-m,j:;;.

Der erwähnten Ausdehnung auf n Dimensionen entspricht die HamütonsohQ partielle DitFerentialgleichung, deren linke Seite der Ausdruck

ist. Derselbe geht aus 27" hervor, indem man darin

dx\ da\ ' dx., dx.-, ' dx'n dx„

suhstituirt. Kommt es nun darauf an. den Ausdruck anzugeben, in welchen dei" obio;e bei der Transformation der Variablen .r in die Variablen X überoeht, so findet man denselben nach der neunzehnten Vorlesung, indem man auf den transformirten Ausdruck von 2T die Gleichungen

		er	dW	BT	dW		dT	d»'
		5a;	-dx,	' ^Z '	^ dX, '		" ■ dx:. -	dX„
anwendet.	Im	vorlieg	enden	Fall ist ÖT_ dX\	nach = MX', =	Gl = 4	iichung ( dW dXr	10.)
also hat man
				x:	4 d W Mi öXi
in
			2T =	-U^x';-	-hMJ.	;+
einzusetzen	und	erhält	auf diese Weise

wo jM; nach (6.) zu bestimmen ist, oder, was dasselbe ist.

m^ vf^^'V^^ iv («.+Ä,)(«,+A,)...(a„+A.) (dwy

^ ^-' "\dx, ] (A— A,)...(>1,— A._0(A,— >l,+i)...(A.— >l„) \dXi ) '

— 207 — Siebciimidzwaiiziiiste Vorlesiiiiü:.

Geometrische ncdoutung der elliptischen Coordinaten in der Ebene und im Räume. Quadratur der OberdJiciie des F,lli])soids. Recfificatii)n seiner Kriimmungslinien.

(u'lieii wif nun ;iMi' ilic ucoMu-trisclH' IJcilciitnnii; näluM' ein. wclclu- die in der vorigen V'orlesuna; ani'gestfllte Substitution liir // ^^ 2 und n = 3 liat. Für den Fall von zwei X'ariaMfu liat man dir (ileicliiing

Sicilt man .r, inid .r._. als rc(dit winklige Cooi'dinafan au. so ist diese (Tleielmng die eines Kegelseiniitts und /war i'iner I']lls|)se, wenn ?. in den Grenzen — d, und -t-oo liegt, also heide Nenner positix* sind, dagegen einer Hyjjerhel. wenn ^ zwischen — a, und — u.^ liegt, also dei- erste Nenner negativ, der zweite positiv ist. .Vendert sich, indem a^ und </., constant bleiben, die Grösse ^, so stellt die Gleichung ein System confocaler Kegelschnitte dar. Sind .v, und ;i:._, gegeben, so giel)t es innner zwei Wei'the xon /. welche <lie Gleichung befriedigen. i\i'v eine liegt zwistdien - ", und ^:. der andere zwischen — a^ und — (lo, d. h. von einem System conlocaler Kegelschnitte gehen durch einen gegebenen Pimkt immer zwei und zwar i-iiu- l'>Hij)se und eine Ilyj^erbel. Die Variableu /., und /. für .r, und .r., einl'ühren heisst daher geometrisch, die Punkte in der El)ene dui'cli die Ellipse und Hv])erbel bestinunen, welche durch dieselben gehen und zwei gegebene Punkte zu Brennpunkten haben. Setzt man Aj = Const.. so erhidt man all(> Punkte auf einer EHi](se iles Systems confocaler Kegelschnitte, setzt mau /.,, = Const.. so giel>t ilies alle l*imkte auf einer FI\"])erbeI. Die beiden Systeme der confocaleii Ellipsen un<l Hyperbeln haben mit dem gewöhnlichen Coordinatensyst^'m ilas gemein, dass je zwei Curven eines Systems sich nicht schneiden, und dass jede ('nrve des einen Systems alle Curven tles anderen Systems i-echtwinküg durchschneidet. In der That. schneiden sich eine der l'Mlipsen und v'mv der Hyperlicin im Punkte (,r|..n,). und ist demnach

E = ~^^-^ ^ = 1. //= -^^ + -^^- = 1.

SO bildi'n die Normalen an Ellipse und lly[)erhel im Punkt (.(,. .r,) mit den

. ,,.. , . , ,, . ... dB SE , . dll eil , .

Axen Wmkel. dei-en Cosmus sich wie -., — :^^ und wie -, — : , — verhalten.

äXj da-., cc, Od:.,

— 208 —

Sollen diese Normalen senkrecht auf einander stehen, so niuss die Relation

dE dB dE dH

dx da da., d.r.,

od

er

+ v . ,:; . ,^=0

bestehen, und da dieselbe zufolge Gleichuno; (4.) der vorigen Vorlesung eine identische Gleichinig ist. so ist hiermit die Orthogonalität von Ellipse und Hyperbel bewiesen. Hieraus geht eine Erleichterung bei der Bestimmung des Flächenelements hervor: denn während dasselbe im Allgemeinen gleich

j-J^-i?, _±L ^\(jz^fi;,,, ist. braucht man im vorliegenden Fall nur die

Bogenelemente von Ellipse und Hyperbel in einander zu multipliciren. Nach Formel (9.) der vorigen Vorlesung ist das Quadrat des Bogenelements einer beliebigen Curve

(1.) 4QIa]-^da^ = ^ fe^'-^T '^^'+ ? r^'S?"^' , , n <'^'-:

Hieraus ergiebt sich das Bogenelement der Ellipse, wenn man P.^ constant, also rfAi = 0 setzt, das der Hyperbel, wenn man L. constant. also r//,, = 0 setzt. Diese Bogenelemente sind daher

■* - ' (a.-hL)(a„-hX„) y (a.

und das Flächenelement ist das Product derselben, d. h.

Ganz analoge Betrachtungen können für drei Variable, d. h. für den Raum angestellt werden. Es seien ,r, , x.,, .c., rechtwinklige Coordinaten: dann stellt die Gleichung

^H ^H —^ = 1,

a,-t-/ «.,+/- «3+''-

wenn man ?. variiren lässt, ein System confocaler Oberflächen zweiten Grades

dar. Die Sätze über confocale Oberflächen zweiten Grades (d. h. solche, in

denen die Hauptschnitte die nämlichen Brennpunkte haben) gehören zu den

merkwürdigsten der analytischen Geometrie: ich habe einige der wichtigsten

im 12'™ Bande des Crefechen Joui-nals*) zuerst bekannt gemacht. Wenn

*) Schreiben an Siebter p. 137.

— 2O0 —

(7ii's/es in st^-ineni Apercu liistoricjin.'') ilii-sellioii. ohne nu-inL- Priorität zu it- wälinen, als neu I)L'zeichiiet. so nuiss man sich daran L-rinnern. dass in jenem Werke alle deutsch (reschriel)enen Abhandlungen des ('/v/A-schen Journals tin- beriicksiditifrt geblieben sind").

Die confocalen Oberflächen tlu-ilcn sich in drei Systeme, in ein System von Ellipsoidcn, für welche / z.wischen — «, und -f-oc liegt, in ein System von einschaligen Hvperludoiden, für welche P. zwischen — r/, und — n.. liegt, und in ein System von zweischaligen Hyperboloiden, für welche / zwischen — (f-j und — (f^ liegt. Im ersten Fall sind nämlich die Nenner c^-h/.. ('■,-\-/.. rt.,-f-/ sänmitlich positiv, im zweiten Fall ist «j-l-/ negativ, während (i..-\- /. und ":;-h/. positiv sind, im dritten Fall sind ii,-t-/. und n.,^-/. negativ, a .-^ /. |)üsitiv. Für jeden Punkt (,f,, x.,. .r,) giebt es drei Werthe /.,, /.. /.., von /. welche der obigen Gleichung genügen, und zwar entspricht Aj einem Ellipsoid. /.., einem einschali<ren Hyperboloid und /, einem zweischaliiren Hvi>erl)oloid. Von einem gegebenen System confocaler Oberflächen zweiten Grades geht also durch einen gegel)enen Punkt innnei" <-iii l-^llipsoid. ein einschaliges Hyperboloid und ein zweischaliges Hyperboloid. Von diesen drei Systemen schneiilet jedes die beiden anderen rechtwinklig. Biiwt hat zuerst bewiesen, dass die Schnitt- curven zugleich die Krümmungscurven dieser Oberflächen sind. Charles Dnpvi hat in seinen Developpements de geometrie gezeigt, dass dieser Satz immer gilt, wenn drei Systeme von Flächen sich gegenseitig orthogonal schneiden. Lame hat in neuerer Zeit von der Theorie der confocalen Oberflächen intei-essante Anwendungen auf die mathematische Physik gemacht.

Dass die drei durch einen gegebenen Punkt des Raumes hindurch- gehenden confocalen Oberflächen sich gegenseitig rechtwinklig schneiden, geht aus der geometrischen Deutung von Gleichung (4.) der vorigen Vorlesung her- vor. Es versteht sich von selbst, dass auch die drei Durchschnittscurven je zweier von diesen confocalen Oberflächen senkrecht auf einander stehen. Hieraus folgt, dass je zwei der Bogenelemente dieser Diu'clischnittscurven in einander multiplicirt das Flächenelement der beide Bogenelemente enthaltenden confocalen Oberfläche liefern, und dass das Product aller drei Bogenelemente der Durchschnittscurven das Raumeleraent im Coonlinatensystem (/(./../j) darstellt.

*) Xote XXXI, p. 384. ") .Vpercu historique, p. 215, .\umerkuug.

.lacobi. Wölke. Siipplcmentbaiul (Dynamik).

— 210 — Der Ausdruck für das Quadrat des Bogenelements irgend einer Ranm-

cui've ist nach Formel (9.) der vorigen Vorlesung

dj;--\-dd-'l-+-cLvl =

's

(2.) J (A.-/,)a-/3) ,_„, a-A,)(^-/3) ,,,, a3-A,)(A-A,) 1

l Tl(«,+;0(".+^0("3+A,) ■■-+-(«,+A,)(a,+A,)K+/,) -^^(a,+/3)(«,+;.3)(«3+A3) '^'J

Setzt man in diesem Ausdrucke eine der Grössen -^i, 2,2, ^3 constant, so be- zieht er sich auf eine Curve, welche auf einer der confocalen Oberflächen, z. B. füi- ein constantes Aj auf einem Ellipsoid, liegt. Setzt man ferner in diesem Ausdruck zwei der Grössen ^,, ^o, ^3 constant, so bezieht er sich auf die oben erwähnten Durchschnittscurven und zwar auf diejenigen, welche auf einem confocalen Ellipsoid liegen, wenn man Ä^ und ^.o oder -?.i und A3 constant setzt, dagegen auf den Durchschnitt zweier confocalen Hypei-boloide, wenn man A._, und ^3 constant setzt. Hiernach erhält man für die Bogenelemente der Durchschnittscurven auf dem Ellipsoid

^ ^ - =|/(«, + A3)(«,+/3)(«34-;.3) ^ - 1/ («_+^.j(a,+2,)(«3+A,)

und für das Flächenelement des Ellipsoids

^-^3 . . , . , 1/ (i-A.)(;-3-/,)

4 ' '^ («,+ ^-...)(«.:+^-...)(«3+^-.)(«,+4)(«=+^3)(«3 + ^3)

Integrirt man dieses Differential und dehnt es auf alle möglichen Werthe von A, mid ^^3 aus, d. h. von k^ = — (/., bis >io = — a^ und von A3 = — a^ bis A3 = — «.>. so erhält man einen Octanten der Oberfläche des ganzen Ellipsoids. Dieses Doppelintegral theilt sich aber ganz von selbst in die Summe zweier Producte von einfachen Integralen und gieht für die Oberfläche des Ellipsoids den Ausdruck

(4.)

(«,+;.,)(«,+;.,) («3+;.,) '-_^ "' ^ {('i^K)(.(^-2-^K){az-^K)

1/ kzAj r "\u, . Ä3I/-

... ..... ^5 '^1

welcher aus elliptischen Integralen zusammengesetzt ist. Di«? ist der Weg, auf welchem Legendre die Quadratur der Oberfläche des Ellipsoids gefunden hat*). Seine Arbeit ist besonders deshalb von der grössten Wichtigkeit, weil dabei zum erstenmale die Krümmungslinien als analytisches Instrument zur Transformation der Coordinaten angewendet werden. Nimmt man in obigem

*) Exercices de calcul integral, I., p. 185 oder Traite des fonctions elliptiques, L, p. 352.

— 211 —

Ausdruck il'u' liitt'ixnik' in beliebigen engeren Grenzen, so erhält man nicht die Oberfläche des ganzen Ellipsoids, sondern ein Stück rlerselben, welches zwisclien zwei Krüniinungslinien der einen Art inid zweien der anderen Art einge- schlossen ist.

Um das Kauinelenieiit zu erhalten, niuss man das Fiächenelenient des Ellipsoids mit dem Bogenelement der von den beiden Hyperboloiflen gel)ildeten Durchschnittscurve multlijliciren. Füi- dieses Bogenelement ergiebt sich, indem man /.., unil /., constant setzt, der Ausdruck

m 1/ (^.-^.XA-/^)

folglich ist das Raumelement

V-(«,+;.j(«,+ ;.,)(«, 4- ;.j(ä,+;..j(«,+/.,)(«3-i-^)(«,+^-J(«-..+'''3)C"3+^-J

Indem man dies DifTerential dreifach integrirt und zwar innerhalb solcher (Tn-nzen. wi-lche die niögiichen Werthe von /.; . /.._,. /.;, nicht überschreiten, bekommt man einen Raum, welcher durch zwei conf'ocale Ellipsoide, zwei con- focale einschalige Hyperboloide und zwei contbcale zweischalige H\iierl)oloide begrenzt wird. Das dreifache Integral theilt sich ganz von selbst in 6 Glieder, deren jedes ein Product tlreier einfachen Integrale ist. Die beiden Bocenelemente

^d/.Al ■ . ,, _/ .-- und J./;..,l/^-^^-i^^^^^-^^.

welche wir bei der Quadratur des Ellipsoids mit einander multiplicii'ten. sind nach dem /^///cfechen Satze die Elemente der Krümmungslinien auf dem EUipsoid. Die Integration dieser Elemente giebt die Rectification der Krümmungslinien. und wh" erhalten für die Boiien derselben die Integrale

rö^ 1 L-. i/ (/-,-/. )(A3-/.,) r I (/-/,)(/ -A3)

welche zu den J/;c//schen Integralen gehören und zwar zu der Gattung, welche auf die elliptischen Integi-ale zunächst folgt.

212

Aclitiiiidzwanzisste Yorlesun^.

Die kürzeste Linie auf dem dreiaxigen Ellipsoid. Das Problem der Kartenprojectiou.

Die Formeln der beiden letzten Vorlesungen führen auf einem sehr einfachen Wege zu der bereits in der zweiundzwunzigsten Vorlesung (p. 177) erwähnten bisher fiir unausführbar gehaltenen Bestimmung der küi'zesten Linie auf dem dreiaxigen ElUpsoid. Dieselbe wird von einem materiellen Punkt beschrieben, der gezwungen ist. auf der Oberfläche des Ellipsoids zu bleiben, und der, ohne dass eine sollicitirende Kraft auf ihn wirkt, nur von einem an- fäno'lichen Stoss 2;eti*ieben wh-d. In diesem Falle verschwindet also die Ki-äfte- function U.

Bezeichnen x■^, i\, x-^ die rechtwinkligen auf die Axen des Ellipsoids bezogenen Coordinaten des sich bewegenden Punktes, so wird der für denselben stattfindende Zwang, auf dem Ellipsoid zu bleiben, durch die Bedingungs- gleichung

d-] j:': .r'l

ausgedrückt. Es kommt nun darauf an, x^, x.,, x^ als Functionen zweier neuen Variablen so darzustellen, dass diese Werthe, in die Bedingungsgleichung ein- gesetzt, dieselbe identisch befi'iedigen. Solche Werthe sind diejenigen, welche wü- für xl, xl, xl in 2.^, Z,, ^.3 gefunden haben, wenn wir darin i, als constant, 2,^, A., als variabel ansehen. Durch die Grössen /o, /I3, welche die Stelle der früher mit q bezeichneten Variablen vertreten, und durch ihre Ditferential-

quotienten /l = -^, /ä = -j^ haben wir die lebendige Kj-aft auszudrücken,

IT ,• -r -, ., T T- • 1 1 3T , dT ■

alsdann tur /, und Z;, die neuen V ariablen ,«, = jirr '•Hi'd ,«3 ^ -^ emzu-

führen, welche den früher mit p bezeichneten Grössen entsprechen, und

«„ = S-rr = -=-^r-, «o = TTTi- = -^TT- z^ sctzen. Auf diese Weise ergiebt sich T ■ - cv.!, dl.. ■ '^^ d).\ dl.^

ausgedrückt durch L. L. -=^, ^-^, und die Gleichung T-hff = 0, die man

auch in der Form T=h schreiben kann, wenn man a ^ —h setzt, ist die partielle Diiferentialgleichung des Problems, durch welche W als Function von l., X-i definu-t wird. Wenn man in Gleichung (10.) der sechsundzwanzigsten Vorlesung die Zalil der Variablen auf drei beschränkt , so erhält man für -die

— 2 1 :; —

iL'ht'iidigc Ki'al't 27' diL' rraiisl'oniiation.sruniiel

3/^ _ (;.,-;.,)(;.,-;.3) ,^ ^(;. _;.,)(;. _;.j

4/ ^ (;.3-/..XA,-;.,)

Al)i'r da die Beweiiuiii;' auf dem HIlipsoid gesdiielit, so ist /, constant, /.[ = 0 und Hieraus ergiel)t sich

^^ - JA üA, ' ^ ' - J/, aA3 ' und man erli/Ut i'ür 27' den Ausdruck

Die gesuchte i)artielle Dill'eivutialgleichung ist ilemnach

,,(«,+/,)(.,,+ A,)(»3+A,) / cnry-' .^ (",+A,)(«,+A,)(a,+A,) / övry_ - (Ä-A,XA-A3) \d>.J^- ' i).-).X). -?..;) ^\ö).J-"

oder

(1) («.+A,)(«,+A,)(«3+A,) / ö_iry_ ^+A^X^^^^+A3)0^^_M3) j'i'lT^ y,(A,-A,).

Diese partielle Diftereiitialgleichung theilt sieh wieder ganz von sellist in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen, deren jede mu* eine dt'r unabhängigen Varialilen enthält, wobei man wieder aui' der rechten Seite eine willkürliclie Constante zugleich additiv und subtractiv hinzufügt. Auf (Hese Weise erhält man die beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen

(«,+A3)(«,+A3)(«3+A3)/ä]rY^

Der Coefficient von I -„-- | ist positiv, denn von <len drei Factoren des Zählers ist nur der erste negativ und /..^ — }.^ ist ebenfalls negativ, daher miiss i/<(/.2H-/y) positiv sein: der Coefticient von ( ;^^- ) dagegen ist negativ, denn die beiden ersten Factoren des Zählers sind neuativ und der Nenner /.. — /, ebenfalls.

— 214 —

folglich muss ■J-A('i;i -+-/:?) negativ sein. Die Constante h ist aber positiv, weil sie der halben lebendigen Kraft, einer ihrer Natur nach positiven Grösse, gleich ist. Da sonach ^»o-H/? positiv, Z^-h/i negativ sein muss, so hat man die Un- gleichheiten

welche beiden Bedingungen sich sehr wohl mit einander vertragen, da A^^Z^ ist. Wii* erhalten aus den obigen gewöhnlichen Diiferential!j;leichun<i"en folgende vollständige Lösung der partiellen Ditferentialgleichung (1.):

(2.)

'- \J "4 („, + AJ(a,+ A,)(«,+A,) ^J "'l^ («,+^-3)(«2+^:.)(«3+^jr

Hieraus ergiebt sich für die kürzeste Linie auf dem dreiaxigen Ellipsoid die

d W Gleich uno; ^-r = Const. oder

- dß

Die Gleichuno- für die Zeit ist r — f = ^ — = ^^. oder da TF von /; nur

cu ch '

durch den Factor l^A abhängt und demnach -^j- = -^^^^-TFist,

dh 2h

(4.) '-' = -W^^'-

Bezeichnet s den Bogen der kürzesten Linie, von dem Punkt dei-selben an gerechnet, in welchem sich zur Zeit r der bewegliche Punkt befindet, so giebt

der Satz der lebendigen Kraft T = \[^\ = L ds = VJh.dt,

s

= y2Kt-r).

Hieraus erhält man durch Vergleichung mit (4.) für den Bogen s die Gleichung

.V = -4=- TF oder

]/2h

, _ , I Ln l/ ' (l-^-:)(K-^ß) I fn J i^-^,)(L-^ß) 1

■ ^L' ^T („,4-A,)(«,+ /,)(«34-;.0 •' '-'F («.+Ä3)(a,+Ä3)(«3+;.3) j'

wodurch auch die Rectification der kürzesten Linie ausgeführt ist.

So haben wir durch den blossen Hinblick auf die partielle Differential- gleichung ein Problem gelöst, welches bisher fiir unlösbar galt. Obgleich die angewandte Substitution das wesentlichste Erforderniss zu dieser Lösung ist, so

— 215 —

erleiclitert ducli auch die Mfthodo der ZurücklCiliniiii:' aid' die narticlk- Ditle- ivntialifleic'liunü; die Diii-clit'ülininii lu-deiitcnd. In dt-r 'J'liat l'aiid MiikIuhj. als er die von mir veröHeiitlieiite Sultstitiitioti anwenden wollte, aiii' dein üMiclien Wege der IntejiTation einer o-ewölniliclitn I)in'erential<j;leichiin2; Sc-liwieriLikciten. die er naeh seiner eigenen Angabe nicht üherwunden halten würde, wenn ihm nicht das von mir angegebene Resultat schon liekaimt gewesen wäre').

Durch dieselbe Substitution, welche mis schon die Läsung mehrerer schwierigen Proldeme gegeben hat, können wir auch das Problem der Karten- projection f'ih' «las dreiaxige Elli])soid i'i'Ieiügen. Unter den verschiedenen Arten eine ki'unnne Oberfläche auf einer Ebene darzustellen, wie dies bei den Karten iK'ithig ist. zieht man diejenige Art der Projection allen übrigen vor. bei welcher die unendlich kleinen Elemente ähnlich bleiben Mit dieser Pro- jection hat sich im vorigen dahrhundert Linnfxrt vielseitig beschäftigt, wovon man sich in seinen Beiträgen zur Mathematik näher unterrichten kann. Da- durch veranlasst imternahm L<nnbcrtv> damaligei- College Lagrange eine Unter- suchung desselben CTegenstandes und gelangte zur \'ollständigen Lösung für alle r mdrehungsflächen. Die Ko])enhagener Gesellschaft, welche später auf die Lösung dieser Aufgabe i'ür alle krummen Oberflächen einen Preis gesetzt hatte, krönte die von Gauss eingesandte Abhandlung. Li derselben geschieht dei- Lagraiir/e»c]\on Arbeit, der nur wenig hinzuzusetzen war. keine Erwähnung.

Die leitende Idee bei der Lösung des Problems der Kartenprojection ist folgende. Wenn man einen Punkt auf der Olierfläche mit den unendlich nahen Punkten verbindet und dassellie mit den entsprechenden Punkten in der Ebene vorninnnt. so müssen die entsprechenden Längen proportional sein, damit die unendlich kleinen Elemente ähnlich seien, und umgekehrt. sin<l die entsprechenden Längen proportional, so sind die unendlich kleinen Elemente ähnlich. Diese Proportionalität ist analytisch auszudrücken.

Die Coordinaten ,r, ij, z eines Punktes der Oberfläche seien als Functionen zweier Grössen /; und (/ gegeben: daim wird das (.»uadi'at des Bof^enelements irgend einer Curve auf der Oberfläche durch den Ausdruck ds- = d.r-\-dy--i-(lz- = A 'lp-^2Bdp(lq->rCdq- dargestellt. Das (^)uadrat des entsprechenden Bogenelements in der Ebene ist

da" = dir-\-dv'-.

*) Vgl. Grelles Journal Bd. XX, p. 325.

— 216 —

wo u and r die rechtwinkligen Coordinaten in der Ebene bedeuten. Damit

nun die unendlich kleinen Längen einander proportional werden, muss do' = inds-

sein, wo m irgend eine Function von j^ i^nd q sein kann. Das Correlations-

system zwischen den Grössen u, v und j). q muss also em solches sein, dass

die Gleichung

du--\-(Ir- = 7n(Adp"-{-2Bdpd<j-\-Cdff)

bestehe, wo Vrii das Aehnliclikeitsverhältniss bedeutet.

Diese Differentialgleichung befriedigt man folgendermassen. Man löse Adp--i-2Bdpdq-\-Cdq'^ in die beiden Imearen Factoren

auf und denke sich m in die Factoren a-{-bV — 1 und c — bV — 1 zerlegi. dann lässt sich obio-e Differentialgleichung in die beiden auflösen:

Kann man nun a und b so bestimmen, dass die rechten Seiten dieser Gleichungen vollständiii'e Differentiale werden, so erhält man durch IntegTation ?( und r als Functionen von p und q. Den integrirenden Factor a+by — 1 bestimmen heisst nichts Anderes als die Differentialgleichungen

o^i^.c/,4-(^+]/c-|:.i/=ä)./,,

integriren. und diese Integration ist also die schliesslich zu lösende Aufgabe.

Ist 5 = 0. so müssen die Factoren a-hb^—l und a—b]/—! gefunden

werden, welche

]/Ä.dü-h\C.\'^l.dq und ]Ä.dp^\T.]^^-[.dq

integi-abel machen, und alsdann ist Va--{-b- das Aehnliclikeitsverhältniss.

Ist die Oberfläche ein dreiaxiges Ellipsoid, so erhält man nach Em-

führung der Grössen Aj, /,, ^.3, von denen .?., constant gesetzt wird, in Folge

der Gleichung (2.) der siebenundzwanzigsten Vorlesung füi* das Bogenelement

ii-o-end einer Curve auf demselben den Ausdruck

, ,-. . ,- . (/,,—;., )(Ä.,—A,) ,.„ , (A3— ;.,)(/,— A,) ,,.

* («, + /.,)(./, -+-A,)(«3+;.,) ■'^' (a,-hLXa,+?.,X^,-h?.,)

^\,

— 217 —

iiiiil iiiun liut also die Factoreii zu liiiik-ii. welclu' die Ausdrücke

.,/ a-A,)(A-;.,) . J (A3-A,)(/,-/-,) ^-- :

*r («,-f-;,)(«,+/..,)(«3+^-.) ■ ^l' («,+^-J(«...+Aj(«3-+-/3) ^^ '•"'-

intO""raliel niaelien. Diese Faetoren siml , " _ — für beide Ausdrücke: daher

2

ist a = — . b = 0. und die Dlfferentialü'leichuniren. welche die Correlation

A.-A3 ■ . .-

von II, V und ;;, q geben, werden

Hieraus fol<it:

'' =J'''^i/(«,+/.)(a;4-A;)(«3+Äj- '• =.'''^-^' l' K

-^•3)(«2+^-3)(«3-H^-J '

und <las Ai-bnlichkeitsverhältniss ist

mit der so bestinunten (Irösse \ »i müssen also die Länjien auf dem Ellipsoide multiplicirt wenlen. um die entsprechenden Läniien in der Ebene zu «reben.

Die Formeln, welche wir für die kürzeste Linie auf dem dreiaxisjen Ellipsoid gefunden haben, erleiden eine wesentliche Veränderimg für den Fall eines Umdrehungsellipsoids. Es sind dabei zwei Frdle zu unterscheiden, der erste ist (h'r des abgeplatteten S[)häroids. in welchem die beiden grösseren Axen einander uleich sind, wo also (/„ = a.,. der zweite ist der des vei'länserten Sphäroids. in welchem die beiden kleineren Axen einander gleich sind, wo also a.., = a,. Wir wollen von diesen beiden Fällen nur den ersteren behandeln, da der letztere ganz analog durchzufühivn ist. Man verfährt hierbei bekannter- massen auf die ^^ eise, dass man zuerst <i.j und c-. unendlicli wenig von einander verschieden annimmt und erst schliesslich zusanunenfallen lässt. Es sei also zunächst

wo w eine unendlich kleine Grösse bezeichnet. Xach den allgemeinen Be- trachtungen lieü't /, zwischen — c. und — c. also im vorheizenden Fall zwischen

.Ia<'olu. Werkt'. v"^upplenitMitWand ([»ynatnik). 28

— 218 —

— a.2 und — O'a + f'j); man kann daher

A3 = — («„-l-(osin^y)) setzen, d. h.

«jH-zlj = — cosiir^',

«3+^3 = oj — wsiir^^' = wcos^y, (//j = — w.'2s\n(fCiMnfJ(f'. Hieraus folgt:

y— («,+A3)(a3+A3) Dies haben wir in die Gleichung der kürzesten Linie zu substituü-en , d. h. in die Gleichung

^'■^ ^^4.+;. v..+t)r'VAjrg+Aj +fa-/r;^

r= Const.

Von den im ersten Integral unter dem Wurzelzeichen stehenden Factoren werden a^-\~ ?.., und «3 + /0 einander gleich, das Integral verwandelt sich daher in ein elliptisches. Das zweite aber geht über in

und die Gleichung (3.) erhält die Form

J^^arVca.+Ajtf +A.J --F(«.,-.;)(^-a..,) -^ = ^°°^"

Die Ausdrücke der Coordinaten für die Punkte der Oberfläche des dreiaxigen Ellipsoids waren

•.=l/S

-A,)(«,+ ^2)(«. + ^3)

(a, — a,)(a,— g,) - I' («2— «i)(«..— «3)

' f («3 — «,)(«3— '«s) '

diese werden im Falle des abgeplatteten Sphäroids

r a, — a..

4-/,,

r n„ — a, ' - - Da die allgemeinen Formeln fiir x.. und x, in einander übergehen, wenn a.^

— 219 —

mit <t.^ vertausflit win!, so küiiiite eine olicrfläcliliclie Bctrachturiff glauben maclien, es niüsste. wenn a., = (i, ist. aucli .r._, = x. sein: dies ist aljei'. wie wir sehen, keineswegs der Fall. l)ie alsdann geltenden Formeln sind dieselben welche man erhält, wenn man die Coordinaten .i\ und F,d-f-.rj des Meridians des Sphäroids nach der für die Ebene gültigen Substitution durch /, und Z, ausdrückt und für die Länge auf dem Sphäroid den Winkel '/ einführt.

Auch fiir die im X'origen abgehandelte Kartenprojection erhält man iiei der Anwendung auf das Sphäroid l)es()ndere Formeln. Dieser besondere Fall der Projection führt den Xameii der stereographischen: die charakteristische Eigenschaft der.sell)en. dass sich die homologen Curven auf der Oberfläche und in der Ebene unter gleichen Winkeln schneiden, i.st niu- ein anderer Aiisdruek für die Aelmlichkeit der unendlich kleinen Elemente.

I)ie partielle Diifei'entialgleichung. deren Integration uns die Gleichung der kürzesten Linie auf dem l^llijisoid gab. war von der Form

,,-JS\V\"- ^,. JSWV

wo

/•(>-)

CoiLSt. .

Auf iler rechten Seite dieser (Tleichung steht eine Constante. weil wir den sich bewegenden Punkt keiner Kraft unterworfen annehmen, ausser einem anfäng- lichen Stoss. Man kann sich nun die Frage stellen, von welcher Beschaffenheit Kräfte, die auf den Punkt wirken, sein müssen, damit die daraus hervor- gehende Form der obigen Ditferentialgleichung die nämliche Methode der Lite- gration zulasse, wie wir sie bishei* angewendet haben. Die allgemeine Form, unter welche sich die Kräftefunction zu diesem Behufe bringen lassen uuiss. ist. wie man leicht einsieht.

weil alsdann die Trennung in zwei gewöhnliche Ditferentialgleichungen «ielinirt. Aber dieser analytischen Form wird man im Allgemeinen keine mechanische Bedeutung abgewinnen: wir wollen nur einen Fall betrachten, der eine solche zulässt. nämlich den Fall, wo die Kräftefunction die Form /.^.-f-Zj hat. welcher

Ausdruck sich aui' die Form -^ — ?- bringen lässt. mithin unter die in Kede

stehende Kategorie gehört. Dieser Fall entspricht dem mechanischen Pri)l)lem.

28*

— 220 —

wo ein auf der Oberfläche des Ellipsoids sich bewegender Punkt einer Kraft unterworfen ist. die ihn nach dem Mittelpunkt proportional seiner Entfernunn- von demselben zieht. In der That, in diesem Fall ist die Kraft, die auf den Punkt in der Richtung des vom Mittelpunkt ausgehenden Radius Vector r wh-kt, gleich kr, folglich ist die Kräftefunction \kr = ^k(.v\-^xl-\-xi). Rufen war uns die allgemeinen in der seclisundzwanzigsten Vorlesung (Gleichung (2)) gegebenen Ausdrücke von ix\, £, ... .r'; durch i, . P..,, . . . X^ ins Gedächtniss zuriick, also die Ausdrücke

,2 ^ (am+-^i)(am+A;) (a„.+A„)

(«„,— a, )(«„,— «,)... (o„,— «,„_,)(««— «m+O-- •(«-—««)

«",+(A,4-/,,H — hA„)«.;;r'H — \-x,x,...k

(«m— «, ) («m— «2) . • . (a„,— ö,„-|) («„.— a,«+l) . . • («m— «„) '

bekannten Sätzen über Partialbrüche

.!--,-t-,r; = «,-t-rt..-|-«,+ A,-f-A.,-|-P.,

so folgt nach den bekannten Sätzen über Partialbrüche <Ue merkwürdige Formel Für n = 3 wir<

"3"

In dem von uns betrachteten Fall ist /.^ constant, also erhalten wir für die I^-äftefunction

SO dass sich in diesem Fall die partielle Differentialgleichung mit derselben Leichtigkeit integrh-en lässt wie früher.

Man kann diese Betrachtung noch ausdehnen und annehmen, dass die hinzukommende Kraft nicht mehr nacli dem Mittelpunkt des Ellipsoids gerichtet ist. In dem eben betrachteten Fall war kr die Kraft in der Richtuno; des Radius Vector, daher die Seitenkräfte in der Richtung der Coordinatenaxen kx^, kx.2, kx,,. Geben wir jetzt den Coordinaten verschiedene Coefficienten vi-^, m^, »ij, so wird die Integration auch noch möglich sein, wenn wnr diese Grössen einer Bedingungsgleichung unterwerfen. In der That, sind die Componenten in der Richtung der Coordinatenaxen m^x^, nux.^, m^o-'j, so hat die Ivi'äftefunction den Ausdruck

(«,— «2)(«1 — «3) ^ ' (»2— «l)(ö-i— «3)

, 1,„ («3 + ^,)(«3+^J(«3+^3) '~"f"'3 7 \? N I

(«3 — «l)(«3— «J

lässt sich also unter der Gestalt

221 •

(larstellen und ist daher von (k-v richtigen Form, wenn (' vei-schwindet. rl. h. wenn

w, («, + /.,) ^ 7».,(f,.,-4-;.j ^ w3(«,-f-;.,) ^ ^

(«1— «..)(«> — «3) («:;— «■)(«,— «3) ("3— «.)(«3— «J Ist diese Bedingungsgleichnng durch die Werthe von ?/),. }/;_., //<:, erfüllt, so lilcilit die iVülu-re Inteirrationsniethode ziilässiü.

>eumiii(lzwaiizii?ste Vorlesiiiiir.

Aiizicliuiiü; eines Punkts nach zwei festen Centren.

Wir gellen jetzt zu der Bewegung eines von zwei festen Centren an- gezogenen Punktes i'iher. Besehränken wir uns zunächst auf den Fall, wo die Bewegung in einer Ebene vor sich geht, was inuner der Fall ist. wcim die Richtinig der Anfangsgeschwindigkeit mit der A'erbiudungslinie der festen Centren in einer Ebene liegt. Diese \ erbindung.sliuie sei die Axe der .?•.,. die in der Mitte zwischen den l)eiden um 2f von einander entfernten Centren senk- recht darauf stehende die Axe der .r,. Drficken wir nun .r, imd .n, durch /., und Ä.2 aus luid wählen die Constanten </, und (/_, der Substitution so. dass die beiden festen Centren in die Brennpunkte des confocalen Systems fallen, so wird lue zu integrirende DilFerentialgleichung

^ ^ f., — /.., Vc/, / ''-,— ''•, \o/.„ } - - '

wo U ebenfalls durch /., und /..> ausgedrückt werden muss.

Die Entfernungen des angezogenen Punktes von den beiden Centren seien r und i\, dann hat man

r = (.«%+/■)•+..■; , r\ = (^,- /)'+.;■; ,

oder

Nach der Fundameiittileigenschaft der Ellipse ist

/■• = («,+/.,)—(«,-)-;.,) = «,— «„

die Substitution

' a, — a., ■ I a., — «,

Hefert überdies, wie wir wissen, die Gleichung

•^'i+'^l = a, + a._.4-Ä,-i-/._,:

222

daher wird

i}''«,-|-/,-t-Va„+A„|-,

r; = .r;+.r--+/=-2/;r,, = 2a, + A.+A,-2]/(a,+A,)(a,+A,) also

Wenn man diese Aasdrücke in die Kräftefunction

L '

substitnii't, so ergielit sieh

j.^ (m-\- m I ) |/äj4- A, — (m — ?«, ) |/aj4- A,

Setzt man iHesen Werth von U in die partielle Differentialgleichung (1.) imd multiplicirt mit Ä^ — x.,. so erhält man:

(3.) I 0',+/.)(-.+/.)(^) -(«,+A.J(«.+A.)(-^

und da man diese Gleichung durch Einführung einer willkürlichen Constante ß in die beiden gewöhnlichen Differentialgleichungen

(a,-f-A,)(a,4-Ä,) auflösen kann, so wird

^ ' j '► («, + /, )(«,+AJ J ■•' («.+A,)(a3+/J

Will man hier die Irrationalität untL-r dem Quadratwurzclzeichen fortschaffen,

so setze man

und erhält

\r— l'i i/2(/iF-+(»>+»»i)j)+2|J— /m.,) , f^^j2(hq'-h[m—m,)q-i-2ß—ha,)

" — j'77 ^2_^'2 ^j'"'!' 52_^-.

Aus (4.) ergeben sich die Integralgleichungen unter der Form:

^ — tifi' öh

223

Ldf/ni/ifje liat sit-li in dem ersten Ijamle «liT Turnier Memoiren beniiiht. Kräi'te zu finden, welelie man den Attractionen iiacli den beiden festen Centren hinzufügen kann, ohne (hiss (He £«/trsche Lösunü; dieses Problems aufhört, die Integrution zu leisten. Obgleich diese Intcrsuc liiniu' zu keinem wesentliehen Resultat geführt hat, so ist sie dennoch von dem grössten Interesse, und zwar nicht bloss füi' den damaligen Stand der Wissenschaft, sondern noch gegen- wärtig. Die Kraft, welche man nach La(/r(nn/c hinzufügen kann, ist eine nach dem in der Mitte zwischen den beiden festen Centren liegenden Punkt ge- richtete und der Entfernung proportionale Attraction. Dies stinunt mit dt-m. was wii- rücksichtlich der kihv.esten Linie auf ilcm Kllipsoid fanden, vcjllkoinmen überein. Denn durch diese Kraft konnnt in der Kraft efunction der Term -i^/>'(.rj-l-.n) ^ .L/(/|-}-Z,-l-rt,+(/.) hinzu, also auf dei' rechten Seite der par- tiellen Differentialgleichung, d.h. in ^U(/.i — /...). dei- Ausdi-uck i/'(/.,) — V'C'^'j)- wenn man i/'(/) = ^k\/.--h(<'i-i-a<_^^.\ setzt. Zugleich sind dann i/'C-^-i) ""f^ "/'(•^-i) respective die Glieder, um welche in den nach /.. und /.., genommenen Inte- gralen des Ausdrucks (4.) von W die Zäliler unter den Quadratwinv.elzeicheii zu vermehren sind.

Wir haben durch die obigen Formeln das Problem der Attraction eines Punktes nach zwei festen Centren. wenn die Bewegung in einer Ebene vor sich geht, vollständig gelöst: es bleibt jetzt noch übrig den allgemeineren Fall hierauf zu reduciren. Dies geschieht durch das Prinei]) der Flächen.

l in die Aufgabe in ihrer grössten .VllgiMiieinlieit zu behandeln, wollen wir annehmen, ein Punkt werde nicht durch zwei, sondern durch eine beliebige Anzahl von festen Centren, die in einer Geraden liegen, angezogen. Alsdann, und selbst wenn noch überdies eine constante Kraft jtarallel derselben Geraden hinznkonnnt. gilt in Beziehung auf die Ebene, welche auf dieser Geraden senk- recht steht, das Princip der Flächen. Ist nun die Anfangsgeschwindigkeit des sich bewegenden Puiikti's mit der Geraden in einer Ebene, so fnidet die ganze Bewegung in dieser Ebene statt, und man hat nicht iiöthig den Satz der Flächen anzuwenden. Liegt dagegen die Anfangsgeschwindigkeit mit jener Geraden nicht in einer Ebene, so beschreibt der Punkt eine Curve doppelter Krümmung. Hierlu'i ist es nun von grossem Vortheil . die Bewegtmg in zwei zu zerlegen: denkt man sich nämlich durch den Punkt und die Gerade, welche die Centra enthält, eine Ebene gelegt, so kann man sich vorstellen, dass die- selbe um die Gerade rotire, und ausserdem der Punkt sich in der rotirenden

— 224 —

Ebene bewege. Diese Zerlegung, welche unter allen Uaiständen möglich ist, würde im ^allgemeinen keine Vereinfachung bewh'ken; aber in dem betrachteten Fall wii'd es durch das Princip der Flächen möglich, die Bewegung des Punktes in der Ebene ganz von der Rotationsbewegung zu trennen, so dass man zuerst die Bewegung des Punkts in der Ebene sucht und. nachdeni diese gefunden ist, den Rotationswinkel dieser Ebene (von einer bestimmten Lage derselben an gerechnet) durch eine blosse Quadratur erhält. Wie wir sehen werden, sind die Differentialgleichungen der Bewegung des Punktes in der rotirenden Ebene von den Differentialg-leichuno-en. die man erhält, wenn die Beweguns; überhaupt in einer Ebene bleibt, nur dadurch verschieden, dass ein Term hin- zukommt, welcher propoi'tional -^3- ist, wo r die Entfernung des Punktes von

der die Centra enthaltenden Geraden bedeutet. Diese Gerade, welche die festen Centra enthält, sei die Axe der x: stellen wir ferner die Differential- gleichungen der Bewegung des Punktes, ohne die Ausdrücke für ilie Kräfte wirklich hinzuschreiben, in der gebräuchlichen Weise durch die Formeln

o

d''x </•;/ „ cPz

dt- ~~ ^ ' dt- ~~ ' dt- ~~

dar, so findet die Bedingungsgleichung

yZ-zY=0 statt. Diese Gleichung, welche aussagt, dass die Kräfte Y, Z sich verhalten, wie die Coordinaten y, :. d. h. dass die Richtung ihrer Componente durch die Axe der x geht, ist mit dem Princip der Flächen gleichbedeutend; denn setzt

man -— und —r^ für Y und Z, so erhält man dt- dt

d-z d'-y ^ und hieraus durch Integration

^ dt dt

at

Um nun die Bewegung des Punktes in der durch die .i'-Axe gehenden Ebene von der Rotationsbewegung dieser Ebene zu trennen, müssen wir

y = 7'cos(f, z = rsixiif

setzen, so dass x, r die Coordinaten des Punktes in der rotirenden Ebene sind und (f der Rotationswinkel, von der Ebene der x, y an gerechnet. Dann

2->:

liat man

dt

>h

dt dt

\¥~-

dt

f/'y d"-s [ dl, V- ( dz V { dl/ <'z y

r ^-dt^^'w Ul^idt) l^^r+^7?r)

yf+z' i^^qii^ (f-hzy

Die lieidoM letzten Glieder üeben. zu einem einzii^en vei-finiift.

(r-'4(;r)v(:;HV(,f+=^y

oder, da naeli einer liekamiten Formel

ist,

o'=-')i(:n-(;;;-ri-(^;r-4r-(^i-'ir

oder scbliesslieh. mit l>eniitzunu; des Fläcliensatzes,

Man hat also die CTleielumij;

dy d'z d'r ''de"^' dt'

i/Y-\-zZ «-

dt' ]/y'-^z' >■' >• '•'

Nun sei R die Kraft, welche auf den Punkt in der treuen die Axe der x senkreehten Richtung wirkt, also die Resultante der Kräfte }' und Z. dann hat man

r r

und daher

yY-k-zZ = ''^-^R = rR,

-dF = ^^7^'

W w hallen also die beiden Gleichungen der Bewegung des Punktes in der

.Jacolii, Werke. Supplementband (Dynamik). 29

— 226 — rotirendeu P^lieiie in der Gestalt

(0.) rfF = ^' ^=^+7»-

Da nun in dem Fall, welchen wir betrachten, die Kräfte von dem Rotations- winkel ip ganz unabhängig sind, so hängen A' und R nur von x und r ab. Man kann daher diese beiden Gleichungen selbständig integriren und erhält, wenn man durch die Integralgleichungen x und r als Functionen von t be- stimmt hat. den Rotationswinkel <f aus dem Flächensatz. Derselbe verwandelt sich durch Einführung von /■ und (f in

(6.) r -^ = a,

so dass y durch die Formel

C dt V = «j -^

bestimmt wird. Demnach haben wir das ursprüngliche System von Difterential- gleichungen sechster Ordnung in x, //, ;, t auf ein System vierter Ordnung in .r, /■, ;" zurückgeführt, und da hierin t nicht explicite vorkommt, so kann man es auf die dritte Ordnung reduciren, indem man es auf die Form bringt:

(7.) d.v:dr:(h':dr' = .i:':/:X: (ä-H^)-

Kennt man zwei Integrale dieses Systems, so erhält man das dritte durch das Princip des letzten Multiplicators und hierauf die Zeit durch eine Quadratur. Sind z. B. alle Variablen x, x' und r' durch r ausgedrückt, so ist

-/^.

eine Gleichung, mit deren Hülfe man auch (f, ehe r durch ( ausgedrückt ist, als ein nach r genommenes Integral

r dr

darstellen kann.

Es konnnt also jetzt niu- noch dai-auf an, von dem System dritter Ord- nung (7.) zwei Integrale zu kennen, um das Problem vollständig zu lösen. xVber das eine dieser Integrale liiebt der Satz dei- lebendigen Kraft, welcher bekanntlich bei Attractionen nach festen Centren und bei gegenseitigen An- ziehungen immer o-ilt. In der That. setzt man in der Gleichuns;

'((^)"+(l)+(^)"l=i(^"^->-*+^''-:

)

— 227 —

im vorliegenden Falle

Y=-^Ii. Z=~R.

r ' r

ferner

oder da nach dem Princip der Flächen ^- = —.. wird.

so ei'ffiebt sich

*{(t)'+(^)"I=/<^-''-'-«*)-*;;:-

welches (.-ine Integralaleichuna- des Systems (7.) ist. Es k<nnmt jetzt mir noch darauf an. ein einziges Integral zu rinden: das Prohlem der Anzielumg eines Punkts durch ehie l)eliel)ige Anzahl fester Centren. die in einer Geraden liegen. und auf den noch überdies eine constante Kraft parallel jener Geraden wirken kann, ist demnach darauf zurückgeführt, eine einzige Integralgleichunir eines Systems zweiter Ordnung zu finden.

Sind nur zwei feste Centren vorhanden, so findet man diese IntCirral- gleichung nach der am Anfang dieser Vorlesung auseinandergesetzten Methode. Die Coordinaten .r und r sind dieselben, welche oben mit .r, und .r, liezeiclmet wurden: aber die Kräftefunction ist nicht mehr die nämliche. Wenn die üanze

Bewegung ui einer Ebene stattfindet, ist ilu- Werth ) (AV.r-r-/if//-).. jetzt dagegen kommt das Glied — i^ oder nach der früheren Bezeichnuno-

hinzu. Damit nach Ilinzufügung dieses Gliedes zur Kräftefunction die partielle Differentialgleichung (1.) noch (hu'ch die nämliche Methode integrii't wei'den

könne, muss sich dasselbe auf die Form -^ =~(/(^'!)-H '/'(''•:v) '""higen lassen,

und dies ist wirklich der Fall: denn es ist nach (2.)

— 228 also durch Zerleuuna' in Partialbrüche ,

^■n ~^""(«.+^J(«.+4)

]■

Zur rechten Seite der Gleichung (3.) oder, was dasselbe ist, zu ^U(^.^ — ?..?) kommt also iler Ausdruck

1

-^-^«=-"'H^-^l = -^-/'=-^

, . ^,

-i«V-

«,H-A„

hhizu. und wir erhalten demnach gegenwärtig die partielle Differentialgleichung Aus derselben ere'iebt sich:

(«■)

+k1

/i/ü,+i(w+wJVa,+;.— itr/'	1	^^^
(rt, + /,)(a,4-A,)
/	1
/i^'^lo+iO»— m,)V«.,-+-A„— i«-/'	^^

(«,+/,) («,+AJ

und hieraus durch Differentiation nach der Constante ß die zu suchende zweite Integralgleichung des Systems (7.):

„ dW

Dies ist die Gleichung der Curve, welche der sich bewegende Punkt in der rotirenden Ebene beschreibt. Es ist jetzt noch die Bestimmung des Rotations- winkels (p auszuführen, bei welcher indessen eine Schwierigkeit übrig bleibt. Drückt man nämlich das Differential von (f , welches nach Gleichung (6.) und in der gegenwärtigen Bezeichnunü' durch die Formel

dt il(f = (( — ^

'"' ge""eben ist, in den Grössen A, und io ans, so erhält man zunächst kein voll- ständiges Differential. Denn das Differential von t ergiebt sich, wenn man in die zur Bestimmung der Zeit dienende Gleichung

dW

t—T =

dh

für W seinen Werth (8.) einsetzt, unter der Form

rf( = F,(A,)(/;.,4-/';(l,)rf/l,,

I

— 229 —

iin<l dieser mit

imiltiplicirte Aiisrlnick '/wht iiielit iiniiiittelliar ein vollstäiiili<res Ditterciitial. soiideni kann ei->t in ein solches mit Ilülie der zwischen ilen \'arialilen /, und /.._, stattfindenden Gleichuni:- (9.) verwandeh wei'ilen.

Diese Schwieriirkeit kann man vermeiden, weim nian das Pi-olilem dei- Anziehung nach zwei festen Centren aucli tiir den Kaum, olme auf jiarticuhire Betraclitungen einzudrehen, «ranz uml gai' auf eine partielle Ditferentialgleicliung ziirückfiihrt. l)ie allgemeine partielle Ditferentialgleicliung lüi- eine freie In-- weuimii'. liei welcher der Satz dei- lehendiü;en Kraft uilt. i>t

Indem wir fiir y und ; l'ularcnordinaten einführen und

y = /'cosf/, z = ysiiu/ setzen, erhalten wir

\ o.r ) V er ) I- > ff/ ^ Da in U die \ arialile y niclit vorkommt, so kann man nach der allgemeinen, schon oft gebrauchten ^K•thode

W= H' + (C7

setzen, wo Tl', eine Mosse Function von .r und /■ ohne '/ ist. llierdurcli wird

d.c ö.f ' er er ' rt/

und die ])artielle Diflerentialgleichung in 11 verwandelt sich in

(^)-(=y^)'- ---:-«•

Diese DiHeivntialgleichung stimmt genau mit derjenigen ülterein. welche wir oben durch die Reductioii der Bewegung im Kaum auf die Bewegung \\\ der rotirenden Rhene erhalten haben: denn auch jene Betratditung zeigte, dass von

h das Glied -^-^ abzuziehen sei. so dass die jetzt einuei'ührte Constante u mit

der früher so bezeichneten genau üliereinstinnnt. Der oben erhaltene Aus- druck (8.) von ir genügt daher der Diflerentialgleichung (I<l.) für TF, . und man findet aus demselben II duivh die (Tleit-hung

— 230 — Hieraus sehen sodann die beiden Inte^i-aliileichunüen hervor:

cß dß ' c'(£ di( '

von denen rlie erste dieselbe ist. welche wir schon oben fanden, während die

0 TT''

zweite den Werth von ir durch die Gleichuni'' r/ — (/: = -^=-i liefert. Hierin ist

^ ' da

an die Stelle von W^ der Ausdruck (8.) von W zu setzen. Die beiden Inteo-ral-

gleichungen, durch deren Zusammenbestehen die Curve doppelter Krümmung

definirt wird, in welcher der Punkt sich bewegt, sind also

wo

1
iA/,+i(«+«oV.'.+A,-i«Y^^^^^^-	+-ß
(«,+/,)(«,+;.,)
1
in,+i(«.-"^)V.7,+/,-ißY';^^-	^ß

und die Zeit wird durch die C-rleichung

_ '^— ^ ~^ ~ ~dh

ausaedrückt. Nach Vollziehung; der Ditt'erentiationen erhält man die fertiü'en Formeln

Uli

^■=j

|/«..+/l, V[i/; ;., +i (w -Hm, ) (V-h/, + ,:?](«, -1-/, ) — i fr /'

• («,+ ÄjK^+A, l'[iÄ/l,-|-i(>»4-TO,)l ",+/.,-|-/i](a.-t-Ä,)— ^«Y' J i«/=f/A,

-\

\X, dl.

Auch hier kann man, wie oben, die Irrationalität unter den Quadratwurzel-

— 231 — zeichen iladui'cli lieseitigeii. «la.ss man an Stelle von /.. . / «lif Grössen

als Variable euii'ülirt.

Di'cissiiiste Vorlcsuiiii".

Das ^l/'<7sclic Tlii-iHL-iil.

Um (lii- Wielitiakeit <lei- in iler seelisundzwanzitisten \'(jrlesiniü: voi- getraueneii Snlistitiition. die uns nun sehon die Lüsiinu" einer lu-ilie von niechaniselu'ii i^i-ohlenien o-efreben hat. schliesslich an eincui besonders nierk- w'iirdiuen l)eis|)icl zu zeigen, wullcn wir sie auf das .l/y»'/sche Theorem an- wenden. Dieses Theoreni iiezieht sich iiäinlich aid' ein gewisses Svstem <se- Avöhnlicher DiHerentialiik'ichungen und uiel>t zwei verschiedene Svsteme von Intecralgleichuniien desselben. \'on denen das eine durch transcendente Fimctionen. das andere rein algeliraisch ausüedrückt ist. Diese in ihrer Form so ver- schiedenen Systeme von Inteuralgleichungen sind nichtsdestoweniger völlig identisch.

Nach unserer .Methode wird da> Sy>teni der gewöhnlichen Differential- gleichungen auf eine |iartielle Ditlerentialgleichung erster Ordnung zurückgeführt: von dieser wird eine vollständige Lösung gesucht, und die nach den will- kürlichen Constanten genonnnenen DilVeiviitiali|U()tii-nten dersellien. neuen Con- stanten gleich gesetzt, liefern das System dei- Integralgleichungen. Die Lösunii' der partiellen Diirerentialgleichung kann •a\h'v sehr von einander abweichende Formen annehmen: durch .Vufsuchung dieser verschiedenen Formen erluUt man der Gestalt nach verschiedene Systeme der Integralgleichimgeii. welche atier in ihrer Bedeutung mit einander üliereinstinunen müssen. Dies ist der We^;'. auf welchem wir das .l//c/sche Theorem lieweisen werden. Wir irehen vrm der partiellen DilVerentialgleichung

(AL-jv(^-)V._(An-,,„

V 0,l\ I \ o.e.-, I \ rj.v,, J

aus. welche für n = 8 dem einfachsten der mechanischen Proldeme. der gerad- linigen gleichförmigen Bewegung eines Punkts im b'aume. entspricht. Dieselbe ersetzt die gewöhnlichen Difterentialcleichungen

Unter Benutzung dei- in iler sechsumlzwanzigsten Vorlesuni; aufgestellten Sub-

232

stitution ergiebt sich das Abelache Theorem, und zwar in einer viel exphciteren Form, als der von Abel gegebenen.

Da in der Gleichmig (1.) die Varial:)len .r,. .r,. . . . iv„ selbst nicht vor- kommen, so erhält man eine vollständige Lösung T", indem man

(2.) V = ft, .r , + ß, .r..-\ h «„ .r„

setzt. Denn alsdann haben die Constanten (t^, a.,. . . . «„ nur der Bedingung

(q-f-«;H — i-«;;_i+«» = 2k

zu genügen, sodass

«„ =y2Ii — «j — al ««-1,

und V enthält daher, abgesehen von der Constante, die man noch addiren kann, n — 1 Constanten, ist also eine vollständige Lösung. Als Integral- oleichunoen erhält man

dv , ö r , öv

8 V

«n-i, -^^ = t — r.

oder

-.!'„ = «,,

■ .r„ = «!, ,

ß„-i ,

•l'ii—l 'l',i «n— 1 1

oder endlich, wenn man die letzte Gleichung in die anderen einsetzt.

(3.)

X.-, = a..(t — r)-|-«!,, ,;■„_! = a„--i(f — r)-\-a'„-i,

welches für n = 3 in der That die Gleichungen der geradlinigen Bewegung sind.

Führen wir nun in die Gleichung (1.) an die Stelle der Variablen x die

Variablen ^ ein, so erhalten wir nach Formel (12.) der sechsundzwanzigsten

Vorlesung:

ri ^ y («,+A,)(«,+A,) (a„+A:-) (dVV^ ,,^

Man erkennt hier nicht unmittelbar, auf welche Weise in dieser Gleichung die

— -233

Variabk'ii von ciiiandi'i' i^vtrciint wxrdrii kömicii. Alter t-s i>t iiui" iiötliiir. sich an den in der sechsiind/waii/.iu'.-ten \ orlesiuii: [\>. 202) jfeiiel»eiiei) Hülfksatz aus der Thenrie <ler Partialln-Mclie zu erinneiMi. die aus denisell>eti tollende Formel

in welcher r. c,. ... 6-„_. wilikürhche ("(instanten sind, aufzustellen und diesen .\iisdriick tiir .', /' i" (^0 '^" ^"listituiren. I)et'riedii;t man <lie hieraus hervoi-- gehende (ileiclümir

v (».->-A.)(»,+/.,) («„+/,) ( dVV

(ü.)

= js:

f+f,/, -+-(•„/.,'

-<-„_./r'+^Äzr-'

(/;-/,)(/;-/,)...(/;-/(. ,)(A;-Ä+,)---(//-/„)'

indem man die entsjirechenden (TÜedei- lieider Seiten einander gleich setzt und auf diese Weise die |iartielle l)it1'erentiali:leichunLi' ^(i.) in die // uewühnlichen I)itVerentiaIuleichuni:en

(«,+/,)("-..+ ''-0- •■(".+ >-) (^; ) = '■ + r,/, + c,//

für ''^ l. '2. ... II zerleiit. so erii'ielit sich für 1' die vollständige I.ösunu

(«n+/,)

dV

= f — T,

und hiei'atis folgen die liiteuralüleichungi'U

dV _ , oV _ , ''^^' _ <

welche unter Einführung der Bezeichnung'

/■(A) = ('•+'•, /4-<-,/-H |-c,-2/"---+-^ÄA"-')0',4-;.)('',-f-/).. .(«.-+-/.)

die Gestalt aimelnnen:

• vfaö

(8.)

4(t-,) = ^i

T/xä:)

Jacobi, Werke. .Suppleincntliaml ([»ynamik).

;:;li

— 284 —

Die? siiiil il'u- traiiscendeiiteii Integralgleichungen des Systems gewr)luilicher Ditterentialiileichunoen

^ vy(Ä) ' y/(/.,) ■ v/'(A.-) v/(/,) _ .

während in (o.) die a]gel}raisL-lien Integralgleichungen des nämlichen Systems enthalten sind.

In dieser algebraischen Integration der Differentialgleichungen (9.) be- steht das Abe/sL-he Theorem, und zwar tritt dasselbe hier in einer Form auf. welche vor der urspriinglich von Abel gegebenen den Vortheil bietet, die sonst mit grossen Schwierigkeiten verknüpften Untersuchungen über die Realität der Variablen und über die Grenzen, innerhall) deren man sie zu nehmen hat. wesentlich zu erleichtern. Der obige Beweis des .-löefechen Theorems hat daher etwas wesentlich Neues gegeben, und wenn auch Richelof sjjäter aus dem .-lÄfVschen Theorem selbst dieselben Folgerungen hat herleiten können*), so ist doch immer der hier angegebene Weg derjenige, welcher zuerst imd natur- gemäss darauf geführt hat.

Da die Constanten c, c^. ... c„_-, ganz willkürlich sind, so muss man sie so bestimmen, dass die unter den Wurzelzeichen stehenden Ausdrücke /'(/,) positiv, mithin alle Integrale reell werden.

Aus dem Bisherigen ergiebt sich das Ahehch^ Theorem noch nicht ganz vollständig: denn die Function /'(/) ist von der (2n — 1)"". also von ungerader Ordnunü'. und es ist daher nfithig. den anderen Fall, wo /'(/) von der 2«'*"' Ordnunii ist. und der hier als der allgemeinere erscheint, besonders zu be- trachten. Man erhält denselben ' dadurch, dass man auf der rechten Seite der partiellen Differentialgleichung (1.) zu der Constante '2h noch andere Glieder addirt. Die angewendete Integrationsmethode bleibt zulässig, wenn man zu h

die Quadratsunnne .q-f-a-JH V-x'i in eine Constante k multiplicirt hinzufügt.

In den Variablen / nimmt dieser Ausdruck die Form an:

/■(.'•; + .cH h-i-D = K'h+<'.-^ !-«„+/, +/.H 1-/„)-

und indem \\\v für /; eine neue Constante

// = /(+/■(«, + r/.,H hrt,,)

einführen, haben wir auf <ler rechten Seite von (4.) an die Stelle von \h gegenwärtig den Ausdruck

^//+i^-(/,+;.,H — h/.„)

*) Crelk% .Journal VA. XXIH. p. 35-1.

>35 —

zu sotziMi. 'I'i"iiis(iiiiiiiri-ii wir <K'iiSL'Il)eii mit l>riiiitziiiig des olteii ci'wälmttMi IICillss;it/,cs in ciiifi- dci' (iK'icIuiii;:' (").) aiiaio^rii W'i'isi-, so iiiidcii wir. dass auf (Ifti rcclitrii Seiten der (ileichiiiij^vii (.").) und ((!.) sicli weiter iiielits ändert, als duss unter dem Sununenzeiclieii im Zidilei' das (Jlied

hinzu kummt und h sieh in // xcrwandeh. In den traiiMH-ndeiiten lntei;ral- ük-ichuniien (rS.) des .lA^VscIien ThiM)i'em> tritt denmaeh an die Stelle dei' i'ridieren Function Qlii — l)'"' Oivlnunu' /(''•) ii'e;j.'euwärtiii' die l''unetion 'lit'" Oi-dnun^;'

(lo.) /•(/)= |r4-r,/-t-c/^H ho,_.A"---hU'z"-'+A /•/"!(«, 4- z)(",-t-z)... («„-HZ).

Die aluehraisclien Inteiiralüleichuniieii werden in diesem Fall etwa> comiilieii-ter. Die iiartielle DiH\'rentialüleichunü- in .r,. .(. c,, aiisiix-drückt lautet

(11.)

(f/T-crr—i^'d"

■lh^2h{.r] + .rl-\ f--'-;)

(Uld lässt sieh dallel' in i'oliiende Zerlegen: fr / rVv

WO

\ci.r„ I

Hieraus findet sicdi:

Denkt man sieh nini mit llidi'eder oliiaen Relation/)',, durch h inid die ühriiien [i ausL;edrückt und hezeichnet ilie unter die>er ll\'|iotliese i^ehildeteii DitVerenlial- (|Uotienten Non I mit Klamnii'rn. so ii.eh('nvn zu (K'u der partiellen Dill'erential- i;-leichimi;' (I 1 .) ents|)rt'chenden u('wr)hnlichen Ditrei'cntiabieichunu'en die Integrale

Bezeichnet man daiieii'en ohne Klammern die Ditlereiitiali jiiotieiiten \ un I. hei deren rrildiniü auf dii' zwischen den (irrisseu />', . [i.,. .. . /)'„ hesteheiide Iielatioii keine Rücksicht i^eiiommen wird, so ist

(a<)

(dv \ i ''_ ö V ( c V \ _ ., irr

8V_ d r fdv \ i ''_ <5 V ( c v\ . ^ v

(9p.' I bß„ ' \ 8^., 1 3ß., f)p„ . . ,. . w,.

Mau kann daher den Inteiiraliileichungen durch Fint'ührimu der BezeiclmuiiiJ: r, . T... ... r, liir die Constanten 2i:>'[~r. '1 1->\ — j. ... — r die symmeti'ische

Gestalt gellen:

30*

— '23(i —

•2-=--= —=L^ =''+/,,

Diesc^ (Tleichungen ilrücken alk-rflin^s niclit unmittelliav einen algebraischen Ziisauinienhang zwischen den Variablen x aus. Aber derselbe tritt sofort her- vor, wenn man die Werthe der sämmtlich auf Kreisbogen, oder sämmtlich auf Logarithmen führenden Integrale bestiunnt und liemerkt, dass die hieraus sich ergebenden Werthe der Variablen .r entweder alle durch Sinus und Cosinus, oder alle durch Exponentialgrössen dargestellt werden, deren Argument das Product von f in eine und dieselbe Constante bildet. Man erhält daher alge- liraische Relationen, wenn man / zwischen den obigen Gleichungen eliminirt. Den Werthen der Variablen r kann man die Form ceben:

.■„ = ]/--A.«inn/-2/,(^+r„)].

Die aus der Elimination von / zwischen <liesen (Tleichungen hervorgehenden Relationen lassen sich so darstellen, dass einr einzige vom zweiten Gi'ade, alle üliriu'en linear in Beziehuni'- auf .c, , x,,, ... .r„ werden.

Das System gewöhnlicher Differentialgleichungen, welches der partiellen Differentialgleichung (11.) entspricht, ist

U-; jf, — .A^,, .^^, —./..(,,, ... ^^^, -nx„.

Man sieht also aus dem Bislierigen, dass, wenn man von den Differential- gleichungen (9.) in /, . /o. . . . /!„ unter der Voraussetzung, dass /'(/) die ganze Function 2»'" (Ordnung (10.) von / sei. ausgeht und die Substitution der Variablen .c, , x.,, ... .!„ für /,. /.,. ... /„ vorninnnt. man auf diese einfachen Differentialgleichungen (12.) in .r,, x.,, . . . .r„ konnnen muss. Diesen Gang der Untersuchung habe ich in meiner Abhandlung über das .4/>(7sche Theorem im 24*"" Bande des (rt/Zeschen Journals genonnnen. ^ohne jedoch die hier aufge- deckte Quelle anzugehen.

•^ö(

Auf i'iiH- äliiiliclii' Art liat Liiijri'ii</i' im ersten Bamli' «Kt 'riiriiici- Meiuoireti in ili-r Aliliandiuiiji iilier ilic Attraction nach zwei testen Centren das Fnndaiuentaltlieoreni iler elli|)tlsclien Transzendenten liewiosLMi, welches ein specieller Fall (/; = 2) dieser l iitersiichnnii' ist.

0

Khiiiiiddrcissiüste A Orlcsmin.

AllgcMiK'int' L iitcisiiciuinucii iilicr die |iiiriic'llcii ])illciciitiiilgleicluint(eii erster Orduuii«;. Die verschiedenen Formen der lntegral)ilit;itsbedingun!»en.

\\ ir werden uns Jet/.t mit allgemeinen I utei'siieliunux'H ülier die partiidlen Ditlerentialuleielnmücn erster < Irdiiimi:' liescliärtiij.'en und liierliei annehmen, dass die gesnchte Function seihst in der DilVerentialiiieichunü- nicht vorkommt. Diese .\nnahme ist keine wesentliche r)e>chr:'iiikimu. <la sich ih-v alliiemeine Fall immer auf diesen /.nri'ickl'i'ihren lässt. In der Thal, wemi <lie \'oi'^'ele<i'te I )in'erential^leiclmnu' die ^^esnchte Function I' enthält, also die Foi'm

dV öl' vV

d(j., ' ' " ' df/„

hat, so führe man eine neue unahhänniue \ ariahle </ und eine neue ahhän<j;ijie ir durch die ( ih'ichinü:'

W = q V ein: dann wii'd

uW ^. c\V dV dW dV

0(/ C7, d(j, d(j„ d</„

also

y__dW dV_l^ö}V ^_ 1 ^

d(j ' ö(/, q dij, ' ' ' ' d(/„ <i c'v/,,

Dahei' lieht die vorgelegte Ditf'erentialg'leichung in die t'olgende üher:

II' 1 ÖW 1 dW

= 'l>\l, ^ ^

-1 'In '/:■

'/«]

Vn <7.

• '/"ji

{) = tl,{ - , ---.,, ... „ ,

^ äq q dq^ q dq„

welolie zwar eine nnal)hängige Variahle mehr enthält, nämlich </. in welcher aher TC nicht seliist auftritt, sondern nur seine DifJ'erentiahiuotienten nach q. Vi? 'i-'' ••• Hn- ^^ i'' kömien uns also, ohne der Allgenieinlieit zn schaden, auf den Fall heschränken. wo

238

fdV dV dV \ ,,

die «ieiiebeiif DirtViviitialiileieliuiiu' ist iiiul V selbst in der (Tleicluiug nicht vor- kommt. Setzen wir zur Abkiirzimu'

dV cq.

SO hallen wir denniaeh die (Tleiehimi:'

(1.) ^0-',, /',, ... /'„, 7,, '/,. ... 7,,) = 0.

Wenn wir znr Be.sthnniung von V dieselbe Methode anwenden wollen, die wir nach LiKjrcdKji' tnr den Fall von u = 2 in der zweiuiulzwanzigsten Vorlesunü; durchgetiihrt haben, so müssen wir <lie Grcissen /;,. p.,, ... y>„ als Functionen von q^. q.,. ... q„ so zu bestinnnen suchen, dass

(2.) /', '/'/> H-l'-> '%.H ^-/'" "''/"

ein vollständiges DitVerential wird. Alier wir stossen hierliei auf eine eigeu- thümliche Schwierigkeit. Da nändicli die (Gleichung (1.) schon eine Kelation zwischen ilen Grössen // und </ ist. so brauclien wir noch // — 1 andere Re- lationen, um sämmtliche (xrössen /Jj. y^. ... p„ durch q^. q,. ... q„ ausdrücken zu können. Wir haben also über n — 1 Functionen der Variablen q^. q.^. ... q„ zu vert'üiien und müssen diese so bestimmen, dass der Ausdruck (2.) ein voll- ständiges Differential wird. Um dieser Forderung zu genügen, müssen die

sämmtlichen — - Bedingungsgleichungen der Form

dq, ~ dq. oder, was unter Einführung der abgekürzten Bezeichnung

damit übereinkonnnt. die ^^ — - Bedingungsgleichungen

(/,/,) = Ü erlullt sein, während man nur über // — 1 Functionen zu verfügen hat. Für 11^2 sind zwar diese beiden Anzahlen einander gleich, nämlich gleich 1. in allen anderen Fällen ai)er übertrifft die erste Anzahl die zweite.

Diese Si-hwierigkeit hat bisher die Analysten davon ;ibgehalten. die Z(////(?////('sche Methode auf eine grössere Anzahl von Veränderlichen auszudehnen.

— 239 —

\\"n- wcnli'ii uu> iliircli ilicsi-lhc niclit aliscliivckt'i) lassi-ii. sondern, da \\\v a |)i'i(ii'i wissen, dass sich die Auliialir. oh^ileicdi sie mein- als licstininit zu sein sclu'int. deunocli lösen lässt. \ ielnieln- untersuchen, wie es zugeht, dass man

diU'ch /> - \ ['"uniiiDueii die —-^ — - I5e<]iuL;iuiiis,t:'leicliunii'en erlullcu kaiuj.

lOs ist Von \i>i'n herein ein Iiustaud zn henierken. iler l)ei dieser l'nter-

snchiniu zu Statten knuiinen niuss. weil diuch ihn lüe ^ — - Bodiniinniis-

lileichuiiii'c-ii in W-rliinduni:' mit einander i:elira(dit werden. Sind ii;imlich /. /', /" drei lielieliinc Indices. so hat man die Identität

df/. dq^. Ö(J..,

Hieraus l'oliit zwar noch ni(dit. dass. wenn (/". /) = <• imd ('. /') ^ (t ist. auch

(/'./") vei'sehwiudet . wohl alier dass dieser letztere Ausdruck alsdann imah-

hängig Voll Y, ist. so dass. wniii t-r i'i'w iriieiid einen \\ ertli \on </, xersidiwindet,

er rilierhau|)t Liieieli Null ist.

I in die vorlieii'ende Frage erscliö]>fend zu hehandeln. niüsseii wir zii-

nä('hst die InMlingungsgleicdumgen transtormireii. In der liisherigcii Form die.-er

dp. dp, . , •

(ileicliunii'on. ., - ^ -^^ . werden die (ir(")ssen n nur als FuiictioiKMi <ler (Tr(')ssen (i

angesehen, d. h. man setzt voraus, dass die Ji IJolationen zwischen den Grössen ji und (j. \dii welchen die eine durch ilie (ileichuug (I.) gegeben ist. wrihn-nd man ühei" die i'ihrigen // — l zu vert'ügen hat. nach den ii (irössen y;,. yy.,, ... yj„ aufgelö.st sind. Dies ist eine für die in Kede stellende Untersuchimg zu ex- plicite Form". Wir wollen eiin' andere Hypotliese über die Darstellung der Grössen yv,, p.,. . . . p„ machen und annelinleu. man habe

j>„ dargestellt als Function von q^. q... . . . q„.

I>n-i - - - - y;„. ,/j. q.-.. . . . ,y„,

)>n--i - - - - yy_,. /,„. q^. (J,, . . . ry„.

Ih - - - - p,^^, ... p„_,, y*„. </,. q,, ... q„,

ih - - - ' - Pj- ]h p„-x- p,.- <h- q>- ■ ■ ■ <].■

Wir wenleii die unter dieser Hypothese genommenen Di(Fereiitial(|n()tienten von p, nach /',_,. p,^.j. . . . p„, q^. tp,. . . . q,^ ohne Klammern sclireihen. ^v;"^hrend wir die nach der ursprünglichen Hypothese gel>il(leteii Ditf'erential-

— -240 —

(}Uotieiiteii. nach welcher säiuinthche j) nur Functionen von (y,. q.,. ... q^ shul. in Klammern einschliessen. Diese Yerämlerunii' der Darstelluncsweise erfordert.

dass wir die in den -^ Bedinii;iini;si;ieichungen vorkonnneiKlen und jetzt

einzuklammernden i)iti'ei-entia](|Uotienten in andere umsetzen, was nun ausixef'ührt werden soll.

Die --^^ Bedin^'ungsgleichun^'en können wir in folgender Weise

anordnen:

(dp^\ _ (dp, \ /öj-, \ _ (dpA ( Sp,\ _ (d_K.^Ä (j^,^\ _ ( op„ \

f öA \ _ (drA ( dp.^_\ _ (^JP^\ (Jhh^) _ ( ^P.. \

\dqj ^dqj' ■•■ V6y,„^,,/ V dq, I' "\ Ö7,, ) \ dq.^ )'

(3.)

Irgend eine dieser Gleichungen, etwa ( vp^j = ( ^/^ wurde oben, nachdem das

Glied rechts auf die linke Seite gebracht worden, durch (/. /,) = (I liezeichnet. so dass wir z. B. <lie Gleichungen der ?i)'"" Reihe.

W,J V Ö5„, )• \dq,,J \ dq,,, }■ ■ ■ ■ \dqj-~\dqj-

abgekürzt durch

(///, /«-Hl) = U, (w, ■?«-f-2) = 0. ... (;«,«) = ()

darstellen. Ist nun / irgend einer der Indices /;/-t-l. iii-h'2. ... ji, so hat man

öp ( dp \ dp

(^i'„.\ ^/',„ (^P.n+^ . dp,,. (^P.„+-Ä , ,^f^\

\dcjj c)y-„^,V äq, )~^dp„^^,\ dq, j + -+ dp,, \ dqj

oq.

l^P i\ [dp ■>\ (dp \

oder wenn wir I '""^ I, \-jr^)- ■ ■ ■ (75^) '"'f Hülfe der Bedingungsgleichungen

(0.) durch die Ditierentialquotienten von p, ersetzen.

— 241 —

Die Bt'<linfjunc:saloichiinnen der ?y*'™ Reihe wenlen dalicr. wenn wir sie in nni- gekcluter Ordnung von (»),«) = 0 anfangend selireiben:

^7',^ / öpr\ ^rL_ (Jp^^ \

(4.-)

5/>

=(- )•

ein System von Gleichungen, welclie wir. nachdem die rechts stehenden niiedei* auf die Unke Seite geschalft worden simi. tiurcli die ahgekürzte Bezeichnung

((w,«)) = 0, ((m,n—l))=0. ... ((w. /)) = 0. ... ((,„, ,„ + !)) ^ 0

darstellen. Diese (ileichmigen (4.) sind nicht mehr mit ileneii der »/'■" Reihe des Systems (3.) idt'iitisch. weil wir hei ihrer lüldung die (ileicIunmiMi der folgenden Reihen dieses Systems zu Hülfe genonnnen hal)en: die (Tleiciiungen heider Systeme stehen vielmehr in der ihu'cli dii' Relation

op

dp dp

0— 1,04-in^ (', '4-1)-

ö/',-,

^P,-

^Pn

(i, «)

ausgedrückten \'erliiudung. Wendet man alter auf af/e Horizontalreihen des Systems (3.) dieselbe Transformation an. \ermittelst welcher aus di-r */*'" Horizontalreihe die GK'iclumgen (4.) hergeleitet worden sind, sn /,v/ (/,/.< fru/ts- fonnirfi' Si/ston iiut dmii urspränf/licheii System (^S.) (jliuchlx'di-nteitd. l'm dies ein- zusehen, schreibe man das transformirte System in lungekehrter. also in fol- gender Ordnung:

((k— 2, «)) = 0, ((« — 2. n — 1)1 = U,

((?<— 3,w)) = 0, {{n — %n — l))=y), ((«_3, «— 2)) = 0,

Jacobi, Wfrkf. Su|i|ilemonlliauJ (l)yn;unik).

31

— 242 — dann ist

((«-1.«)) =(«-1.«):

((„ _ 2, n)) = (« - 2, «) - ^"'-' (« - 1 , «) ,

in -1

((w — 3. ?0) = (« — 3. w) — -^^^^ (71 — 2. «) — -J^^ (» — t w) .

{(71-2. «-!)) = («-2, «-1) + ^^ („,_1, „),

dp , op ,

{(71 — B, n—2)) = (>i - 3, 71—2) + g^ (w— 2, w— 1)+ ^^ («—2, w),

Hieraus sieht man. dass aas den neuen Gleichungen auch die ursprüngUchen folgen, dass also beide Systeme gleichbedeutend sind.

Um nun aus dem System der ri-leichungen (4.) die eingeklammerten DifFerentialquotienten ganz wegzuschaffen, bilde man aus demselben das neue

System

((»,,, «)) = 0,

dp. , {(tu, w-1)) ^ {(vi, n)) = 0,

dp _,_, dp ^, {(m, m+l))-^{(m, ,«+2))- 1^((«^' ")) = 0;

dann fallen aus diesem neuen System vermöge der Gleichungen

V dq^ ) dq^'

(dp„_A_dp^_^ ^dp\ dp^_^ ydq, ) dp,, \dqj^ dq^ '

/ dp. \ ^ dp. rdp,^^ \ ^ ^ dp. rdp\ ^ dp. ^

^ dq^ ) dp,^^\ dq^ ) ■'■ dp,,\dqj dq^'

— 24 o — die einjicklaniinertci) DilfcrcntKihiiiotieiiteii ffaiiz licraiis. und inaii i-rhält:

'^/',„	^/'„	VI'				-^■T"'- c*'/«	_ -^7',,
"P,.+^	«^'/„H-.
dp„,				i '^'"	^;^.-,	, '^'"				1
^P.,.+x	' öp„	%.	^'/„_,
ö/',„	ö;,.	1 ^^"•	C"/„,+2	. '^"'	ö/'.	, ''7'„.	•5/',			^... '"l.^.
^^„.+>	ö^„.,	' ^P,„+L	' ö;>„	ö'/„	^'h	ö/>..,
									^P: °P,		cp.

(5.)

'h\.. ^P,n^X ^ ^Pu, ^P.n+X _^ ^ ^P» ^P,n^X ^ ^P,„ ^¥„.^. ^;\^^ ^A,^ ^p^

^P„ S'/u ^7,,.

Dieses System ist mit dem System (4.) irleichbedeutend. so dass sowolil die (jleicluiiiiien (4.) aus den CTleichtiniien (ö.) hergeleitet werden kömieii. als auch diese aus jenen, wie aus der Bildung der Gleicliungen (5.) von selbst hervorgeht.

Sämmtliohe Gleichungen des Systems (ö.) sind in folgendem allgemeinen Schema enthalten :

^P,n ^Pi . ^P,n ^P. ^ , ^P,n ^P. , ^P„. ^Pi o;;,„ op. ö;),„

^Pi g/',„ ^ ^y,

oder

Diese (Gleichung ist mit Ausnahme der beiden letzten Glieder ganz symmetrisch;

denn wenn sieh die ;c\veite Summe mn- auf die Werthe i-hl bis /t erstreckt,

während die erste aueli noch die Werthe 7/n-l l)is / umfasst. so rührt dies

nur daher. <lass un>tM-er Hypothese uarli in /*, die \'arialilen /^, .., . p,^._.. ... />,

vorkommen, die \ anablen pi. /*,,. ... />,_, aber nicht, so dass lüe (•rrö>seii

öPi

^ nur dann von .Null verschieden sind, wenn /,■">> ist.

^'* -. . . . ' . .

\\ ir können aber die Aufgabe der Transformation der Bedini;'imi>s-

31*

— 244 — gleichuiiiren noch alloemeiner fassen. Irijend eine derselben ist

t>

0", n

' °^- (ä^)-(-|r)=o,

wo /), und ji,. nur von den Grössen q^, q.,. ... r^,, abhängen. Nehmen wir nun an. ]); enthalte ausser den Grössen (^j. q.,, ... q^^ auch noch p^. p,. .... ebenso p,, ausser den Grössen (/,, q.. ... q„ auch noch yj^,. p,., .... und schreiben wir untei- dieser Hypothese die Differentialquotienten ohne Klammern, so ist

Oq., öp^ \ dq^, ) dp. dp.. \ dp,, cp,. fop^.\ dp,.

V öq.. I oq., op^ \ dq,. ) dp.^ \ Oq., )

(dp;.\^ dp,, cp,. /'c-?'.-\ f^P, (^Py\

\ dq. ) ?q. bp^, \ dq. ) dp^. \ dq. J '

oder wenn wir die Differentialquotienten (^:r-^|, l-^^^l^ ••• ("^^)' (";5^)' •••

dm'ch die Differentialcjuotienten von y< und von /), ersetzen, denen sie nach

den Bedingungsgleichungen (3.) gleich sind.

/- dp, \ _ dp. dp, / dp,., \ dp. / dp.. \ _ dp. dp. r dp.. \

\dq..}~ dq.. dp^ ^ ^(/^ / dp. \ dq^ ) ~ dq.. '^ ^ dp^ ^ ^'h ^'

f dp,. \ ^ dPi- dp,- f dPi \ dp,' f dp. \ ^ dp., dp.. / dp. \

\ dq. ) ~ dq. dp^. \dq^, ) dp.,. ^ dq.,. J dq. ^- dp^. \dq^,J'

WO sich die Summation nach ^ auf die Werthe -r. /. ... bezieht, und die Summation nach ;^' auf die Werthe ;^', /.', .... Durch Einführung dieser xA.us- drücke «Teht die Bedingungsgleichung (i. i') = U über in

(6) ^P, ^P.- , ^ ^>. ( °Pi- \ ^ ^Pi' ( ^Pi \ ^ Q

dq, dq, . dp^ ^dq.J ,. dp.^.\dq^,)

Man kann allgemein beweisen, dass die Differenz der beiden Summen, welche

eingeklammerte Differentialquotienten enthalten, ihren Werth nicht ändert,

weim man die Klammern fortlässt. In der That. es ist

dp., \ dp., dp., /dp . \ / dp. \ dp. 'dp. f dp.

\oq^) d<i "7 dp \dq^ J' \dp^,) dq^, ^ dp.^ ^dq^,J'

daher

dPi ( dp, \ _ dp^ / dp. \ ' da) V dp,. \dq^.}

dp, ^ dqj ,. dp^. \dq^

.\dqj rr dp^. dp, \dq,.j-

dPi dp, dp., dp. ^ dp. dp., (dp^.\ ^^dp.. dp

dp, dq, X- dp^. dq^, , ,■ dp^ dp^. \ dq^ J ,- , dp^. dp^ \dq^

— 245 —

'ti. so ist

da .sk-li aber die beiden D()J)|k-Isuiiiuil'1i in Foijic der IjL'diii^uii^s^i'li'icIiiiiigt'n

( '^'''' ] = ( [-' ] ücuvnseitl-- auflicbi ' aij I \ atj^. / ■ ■

und (0.) vci-\vainK'It sich in

^Vi % .y.^-P' ^-P-

5/», ö</, X- ö/>,, <y^,. '

(T.)

öp. ö/>.. öp. df.. 8p^. dp.

0.

eine (ileicliimg. welche sich \(iii Aw trühcren nur durch das Fehlen iler Klaiii-

niei'n unterscheidet.

Obiiii'icli wir (7.) ans (/. /') = O hergeleitet haben, so sind doch beide

(ileichiniu'en nicht üleicliliedeiitend: denn wir haben iiei der rraiisforniation von

den (ibriuen Beilinü'nnysgleichiuiü'en noch folgende benutzt:

/ dp^ \ ^ / ö/... \ (^ ö/v \ (^P, ^ (vp^\ ^ { op^ \ ^ r't/„ ' ^ rj(/^ r V öq. I \ ry,, /' V W/^ ) ^Öq^J'

und zwar l'ür alle Wertlie von >: und ^'.

Wenden wir die Formel (7.) auf den Fall an. wo die (irr)ssen /*, inid y*._, als Functionen \'on /^,. p,. . . . p„. </,. q.^. . . . (/„ ausgedrückt sind. Hier ist /= 1. /' = 2 zu setzen, inid -.' sowohl als ,r' erhalten alle Werthe von •'> bis )i. Wii- lial>en daher

"/'._ '^/^L _^ % % _^ i_ f^ ^/'■.^

oq., dq, dp,, Sp, dp., bp^ öp^ dp,

hh S<h. c?'/, ö'y, dp„ öf/„

In dieser (Jleichung sind nur die beiden ei-steii Tenne unsyinmetrisch. und dies lic'gt an dem Noiv.ug, den wir den (irössen p,. p.j geben, indem wir voraus- setzen, dass sie exjdicite durch die übrigen ausgedrückt sind. L)ie l nsynunetrie verschwindet, wenn wir statt dessen aniudunen. dass zwei (tieichungeii be- stehen, welche alle (irössen y>,. p... ... /i„ und </,. </.. ... </„ enthalten, und

dass man sie sowohl nach p^ und p.^. als nach zwei beliebigen anderen Grössen p und /;,. aid'l()sen kann. Diese beiilen (ileichinigen seien

q = a. L'' = /), WO (f und 1/' Functionen von p^. p.,. . . . p^. (/,. q.^. . . . <j„ und (/. I) Constanten

bedeuten. Alsdann wu'd eine vollständige Symmetrie dadurch hergestellt, dass tlie in der (lleichung (8.) vorkommenden partiellen l)ill"erential(|Uotienten der

(8.)

0

24 H

Grössen /J|, Pi darch die partiellen Differentialquotienten von <f und i/^ ersetzt werden. Da Gleichung (8.) die Form

(8*.)

0 =

hat, so ist es für die beabsichtio-te Transformation erforderlich, die Grössen

dp,

dp., 1 dp, dp„ dp.-, dp, , , ,. ^''■- und -rf^^r^ ^^f-L durch di

^ a ""•• ^ 3 - 3 T - will LH .lie partiellen Differentialquotienten

dq, dq, dp^ dq^. Ö/4 dq^ ' 1

von (f und i// auszudrücken. Wir müssen hierbei die Grössen /*, und p, ver- möge der Gleichungen (f = a und tp = b als Functionen aller übrigen p,. p,, ... yO„, (/,, ... 7„, diese aber als von einander unal)hängig betrachten. Durch Differentiation der Gleichungen (f ^= a und >p = h nacli q^ und q., erhalten wii-

dp, dq^ d\p dp,

d(f dp.-, ep, dq, dip dp..

d(jj

dq. dW

0,

0,

d(f dp, d(f dp..

dp, dq.. dip dp.

dp^ dq., d ip dp..

dp, cq, dp., dq, dq, "' dp, dq, ' dp., dq..

Hieraus ergelien sich miter Einführung' der Bezeichnuno-

d(p

dip

öq-.

= 0, = 0.

iV =

dq dW d(f dip

die Werthe

d(f> dip

dp, dp., dl(-i dq)

dp., dp,

(9.)

dq, dp, dq, dp, dq,

N

dp,

\ dq.,

^1

dq., d(f dtp

dqt dip dip d(p

dp., dq., dip dqs

dp, dq., ' dUi d(p

dq, J dp, dq, dp., dq., dp, dq, dp, dq.

Durch Differentiation der Gleichungen i/' = a und xp = h nach p^ und q^ er- halten wir

(10.)

d(p dp, dtp dp., dtp

Sp, öp, dip dp,

dp, dp^ dip dp.

dip

0, 0,

dtp dp, d(p dp, dq

^1\ S'h dip dp,

dip dp.,

dw

dp, dq^ dp>, dq^

^1,

0, 0.

dp, dp,. dp, dp,. op^.

Hieraus ergeben sich, unter Beibehaltung der obigen Bedeutimg von N. für die nach p, und q^ genonnnenen Differentialquotienten von p, und y>., (hirch Auf- lösung iler unter t'inauder stehenden linearen Gleichung-en die Werthe

j^dp^ ^ , öy dili

dp,

dp, dp,

_ XT dp.,_ dq diji

dp, ~ dp, dp,

dip dtp dp, dp, '

dl/' dtp

N

7 dP>

dtp dip

dp, dp,

dq, dp, dq,

„ dp, dtp dW

dq, " dp, dq.

dip dtp ö(/' dtp

Sp, 5?,

247

und wenn wir jetzt ilcii Ausdrurk — ^-' — J-- ^^ -^"'- bilden, so cflialten \vii-

eine Gleiehiiii;:'. deivii linke Seite durch diis f^liiailrat von A tlieilliar ist. Widn-end die rechte Seite A' einmal als Faetui- eiithidt. Nach Fortlassniii:' des beiden Seiten ixenieinschaftliclien Theilers A er^^ielit ^ich die Fi)i"niel

an ^ ^--- -^■- — -^^ -^ ' = -^ - ^' -*^ '-'-

hei deren Herleitiin<j; man aucli die HehniiLT des ixeineinsanien Theilers A ver- meiden kann, wenn man z. I). die beiden in der ersten Horizontalreilie stehen-

den Gleiehunüen (!'••) nach „' und

dp,

auflöst und m dem für er-

haltenen Ausdruck an die Stelle von J '■ und - ihi'c olieii erlialtenen \\ erthe

setzt. Durch die Formeln (9.) und (11.) verwandelt sich die Gleichunir (8*.) in „ Sq cü' 8(f dtp 8Ui r(f dil< c<f *^^" | c(f ÖW cW 6<f j

■^ cp, Ö(J, 6p., Sq, cp^ cq, dp, Sq, ' i^,. { cp. oq^ Cq. ^dq. j

Wir haben daher, weim wir alle Glieder vereinigen, eine von 1 bis n sich erstreckende Suiniue

(12.) 0 = S" I-^ -^ — -^ — ^ \

t^i I op^ iq^ dp. aq. J

und somit den Satz:

Svid (f = a U)id w = /; zirci hehchif/e rou den u Gkichungeit. welche

JO,. p.2. . . . p„ als Functionen von q^. q q,^ .■^o lie.-'linnnen. d('-<s

I\(>'h+P2^'h~' -Prß'ln

ein vollständige.^ Differential ist. so yniis.<!e>i ■"ie der Hrdingung genügen.

G<f rill cq eil) aq cd'

OL'' '^q ^P„ ^'1.'

(12.)

Blp cq etil öq

l ^P, f^?,

und zwar üt diese Gleichung eine identische, da in ihr die inllLürlichen Con- ttta)>ten a und h nicht rorkomnien.

Die (ileichung (12.) enthält das in (7.) geuelieiie Kesultat als besonderen Fall. Denn nimmt man an. dass die Functionen (/. v von der Form

f = P,—f(p, ' P, ,•■••'/,. y. ••■ - 7 J-

W=p^—F(p^„ p^.. .... r/,, 7,,, ... qj

sind, so nebt Gleichunji (12.) in Gleichuno- (7.) über.

248

Zweiuii(l(lreissia;ste Vorlesung.

Directer Beweis für die allgemeinste Form der Intewrabilitätsbedingungen. Einführung der Functionen H, welche, willkürlichen Constanten gleich gesetzt, die p als Functionen

der 17 bestimmen.

Wir wollen das Theorem, zu welchem wir am Ende der vorigen Vor- lesunii' gelangt siml. direct beweisen.

Denken wir nns die a Gleichungen, welche P\dq^^ p.,dq.,-\ hp„dq„

zu einem vollständigen Differential machen, und zu welchen die Gleichungen u) ^ a, ifi ^ h gehören, nach j),. p,. ... yj„ aufgelöst, und diese Werthe in die Gleichungen (f = n und 1/' ^= h suhstituirt. so werden dieselben identisch erfüllt. Demnach erhält man aus der partiellen Differentiation von (f = a und ip ^ h nach ü'gend einer der Grössen q wiederum eine identische Gleichung, wemi hierbei die Grössen p als Functionen der Grössen q angesehen werden. So ergiebt sich aus der Differentiation von (f = 0 nach 5,

oder

Ebenso ergiebt sich aus der Differentiation von 1/' ^ ^ nach f^j.

,=1 dp, \ Öq^ J Öq^

Multi})licu-t man die erste dieser Gleichungen mit -^-^ und summirt nach i von

1 bis n, multiplicirt man die zweite mit -J^ und summirt nach k von I bis n,

^Pk so erhält man die beiden Resultate:

j, ^ Qip d(f ( dp, \ ^ J" _^ ^£. _ Q^

1=1 k=\

^P, '^Pk ^ '^?,- ' '-1 "l'i '^^P

*■=" '='' Öcp Ulp ( dp. \ i^« ^(f Sllj

i=i ,=1 dp f. dp. \ dq^. ) ~" '■"

AVenn man diese Gleichungen von einander abzieht, so fallen die Doppelsummen heraus, denn da die Grössen p aus den 11 Gleichungen bestinnnt sind, welche p,dqy^p.jdq.j-\ t-/^,r/(y„ zu einem vollständigen Differential machen, so ist

(-^) = (^)=- bleibt also abri,

ode

— 249 — t=i öp^ dq^ ,=1 dp. öq. "

c'in Resultat, welches mit Gleicliiiiiji' (l?-) iler voriuvn VorlesiuiLi" nl)ei-eiiistiniint. Mail sieht aus diesem Beweise, dass zur Herleitung der Gleichung (I.) die sämintlichen Bedingunosoleichuiiiien

V oq^ J c</_ /

iiiithii: sinil. denn nin- vei'nn'ige diesi'r (lleichlieit hel)en sich fjie I)()|i|jelsnrnrnen. die sich aui' alle Wcrthe von / und /■ erstrecken.

\)\(' (ilelchung (1.) setzt, wie schon l'rüher l)emerkt wiu'de. nichts weiter voraus, als ilass die Gleichungen <{ ^ >' nnd w f> irgend zwei von solchen » Gleichungen seien, welche />|C/'/i -;-/>...'/'/_ : — ! /),,'l<i„ zu einem vollstäniligen Dirt'erential machen. In dieser Allgemeinheit genonunen können c und h so- wohl willküi'liche Constanten si'in. als auch lu-stinunte Zahleiiwerthe. z. 1!. Xidl. Auch iiher dw Natiu' der Functionen <f inid ly l)rauchen wir nichts fest zu setzen. Diest' Functionen kiinnen .sell)st willkürliche Constanten in sich ent- halten, köimen aber auch von solchen frei sehi.

Nach diesen verschiedenen Cmständen wird es sich richten, oh die Gleiclunig (1.) eine identische ist. otler nicht. Sind a und h nicht willkihTiche Constanten, so braucht sie keine identische zu sehi. sondern kann durch die Gleichungen (p = a und i/' ^ b sell)st erfüllt werden. Dies ist aber der Fall. der am seltensten stattfindet: viel häutiger tritt, wenn die Gleichung (1. nicht identisch erfüllt wird. <ler Fall ein. wo dieselbe eine dritte von den // Glei- chungen ist. welche l>,(/(]i ''Pj'/'Ij^' ~pjl^„ z;u einem vollständigen Differential

machen: alsdann lässt sich ans Gleichung (1.) und einer der Gleichungen </: — c. (/' = h durch blosses Ditferentiiren eine vierte Gleichung lu'rleiten. Diese wieili'rum ist entweiler eine identische, oder i'iiie Folge iler uns bisher bekannten drei, oder endlich eine vierte (iK'ichung des Systems der /i Gleichungen, u. s. w. So wird es xorkominen kruinen. dass man aus y = a und u> = l> durch Itlosses DitFerentüren ii verschiedene Gleichungen herleitet, welche das System der n Gleichungen erschöpfen: aber mehr als d von einander unabhängige Glei- chungen {<f = a und ifj ^= h mitgerechnet) kann man nie erhalten, da alle durch

Jacübi. Werke. Supplementbanil (Itynaniik). o2

- 250 —

die nämlichen n Werthe von p^^, p.> , ... p„, welche Pidq^-\-p..dq._-\ \-p„d(l

zu einem vollständigen Difterential machen, befriedigt werden müssen. Wir sehen also, dass, wenn wir über den Character der Gleichungen (f = (/, ip = b nichts festsetzen, sich auch nichts Bestimmtes über die Natur der Gleichung (1.) aussagen lässt.

Diese nähere Bestimmung ergiebt sich, wenn wir zu der Forderung, dass (p = a. if = h zu dem System der n. Gleichungen gehören sollen, welche

Pidqi-{-p-,dq..-\ hpjlq,, zu einem vollständigen Differential machen, noch die

hinzufügen, dass

f''= J(/', d<I,+P, '%H H/'/Zf/J

eine vollständige Lösung der vorgelegten partiellen Differentialgleichung sei. welche also ausser der durch Addition zu V hinzukommenden Constante noch )i — 1 willkürliche Constanten enthalten muss. Nehmen wir an. die vorgelegte partielle Differentialgleichung enthalte selbst eine unbestimmte Constante h imd sei nach ihr aufgelöst, sie sei also von der Form

(f(p„p,,-.-P„,q.,(J..,.--qJ=f', und die vollständige Lösuns; V enthalte ausser h die n — 1 willkürlichen Con- stauten /*, . lu, . . . A„=, : dann sind

dv _ dv __ > dv _

die richtigen Gleichungen, welche p^dq-^-\- p..dq.^-\ hp,,dq„ zu einem voll- ständigen Differential und sein Intecfral zu einer vollständiiien Lösung der partiellen Differentialgleichung machen. Diese n Gleichungen denken wir uns nach den n darin enthaltenen Constanten /;. /<,. . . . /i„_i autgelöst und das Resultat auf die Form

/, = IL />, = B,. h., = H,, ... hn-x = H„-, gebracht, wo H, H^, ... H„_, nur Functionen von p^, p.,, ... p„, q^. </.., ... q„ sind; dann ist die erste Gleichung, h = H, offenbar nichts anderes als die gegebene partielle Differentialgleichung, da sie die einzige ist, welche von den willkürlichen Constanten /«,, K. . . . /;„_, frei ist. Es giebt also, wäe wir sehen, jedesmal ausser der gegebenen Diflerentialgleichung h ^= H = (f noch n — 1 von jener, sowie von einander unabhängige Gleichungen von der Form

\ = H^, h^ = B^, ... /(„_, = //„_! und von der Beschaffenheit, dass, wenn die Grössen pi. p.^. . . . p„ aus diesen 11 Gleichungen bestimmt werden, \{pidq^^pidq._-\ \-p„dq„) eine vollständige

— 251

Lösung' der partiellen Dirtefeiitialgleicliiiiiu.' // = // ist Es ist miiiiöfflich. aus diesen n (Tleiehiinjfen

/(

/^,_, ganz frei

eine aiidei-e licrzideiten. welche von den Constanten /;. A,. wäre: denn sonst könnte man aus dieser Gleichiinji" und ans h = II eine der Grössen ji cliniiniren und bekäme alsdann eine partielle Ditfereiitialixleicliuiitr, in welcher die Anzahl der Variablen, nach denen dilFerentürt wii-d. luii eine Einheit <j;eringer wäre, als in der vorgelefiten. und welcher trotzdi-m der Aus- druck V =: Up^dq^^p.,dq.,-\ l-/)„r/(/„) ueiiüiite: T könnte dahei' keine roU^fön-

digo Lösunii der (ileichung li — II ^nn. Es ist also unnKiglich alle ("unstanten auf einmal fortzuschatlen: hieraus folgt, dass. wenn wir eine aus ilcn n Gleichungen h = H, /<, = //,. . . . /(„_, = //„_, hergeleitete und von allen Constanten li.

h.. ... /(„_, freie (ileichunu' erhalten, dieselbe eine identische sein nu

Dies,

Gleichung niuss nämlich durch die Werthe der Grössen /*, . /;., . ... jk. erfüllt

werden, welche wir aus jenen » Gleichungen bi'stimnu'ii. Aber diese Werthe

von /j,. p.^. . . . /)„ i'iithalten wieder el)ensoviel von einander unabhängige

Grössen li. h^. ... Ii,,^^. daher nuiss jene hergeleitete (ileichung. wenn sie nach

der Substitution dei' Wei-the von /^,. /*.,. ... ji,, identisch befriedigt werden soll.

auch schon vor der Substitution eine identische sein. I'>ine solche hergeleitete

Gleichung ist die Gleichung (1.). wenn darin für '/ luid i/' zwei der Grössen //

gesetzt werden: daher ist

dlij^alU öH, oJIr . öH, dll,

dp, 8(1, dp, d<j.. "* dp,^ dq^

eine tdoifij^che Gleichinig. In dem Falle also, wo y- ^ (/ luid U' = h zu dem System der Gleichungen /;, = //, gehören, bleibt ül)er die Xatur der (Tleichung (1.) kein Zweifel, sondern wir wissen, dass sie alsdann eine identische sein

muss. Daher sind die — , — - Gleichungen, welche wii' erhalten, wenn wir

für (fi um! 1/' alle Combinationen zu zweien der (Grössen //, setzen, die Be- dingungsgleichungen, denen diese Grössen genügen" müssen. Wir haben auf

diese Weise wiederum — , — - Bedingungsgleichungen, welche durch n Func- tionen erfüllt werden müssen, von denen die eine. //. bekannt ist. während die II — 1 übrigen //,, H.^, ... H„^^ zu suchen sind.

32*

— 252 —

Führen wir nun die Bezeichnung

dH, dB, dH. Slh . . dB. dBt

(B^,B,)

£/', dq, dp, dq, dp^ Bq^

dBt dB. dB, dB. dB, dBi

dPr dq, dp.^ dq, dp^^ dq,^

ein (welche mit der in der vorigen Vorlesung gebrauchten Bezeichnung (/, A:) in keiner Beziehung steht), so dass für jeden beliebigen Werth von H^ und H,

(B,, 7/,) = --(/7,, //,), (B, B) = 0 ist. Sollen dann /; = H. A, = H^. ... /i„_, ^= H,._, die Gleichungen sein, welche V zu einer vollständigen Lösung der vorgelegten partiellen Differential- gleichung h = H machen, so müssen die Grössen H den ,^ — - Bedingungs- gleichungen genügen, welche man erhält, wenn man in

für die beiden von einander verschiedenen Indices {, k alle möglichen Com- binationen zu zweien der Zahlen 0, 1. ... a — 1 setzt.

Diese — - Bedingungsgleichungen sind nothwendig. damit die aus

den Gleichungen /(; = H^ hervorgehenden Werthe von p^, p.,, . . . p„ den Ausdruck

p,dq,+p, dq, H \-ji^ dq^^

ZU einem vollständigen Differential und sein Integral zu einer vollständigen Lösunir der vora'eleü'ten partiellen Difterentialaleichunfr machen. Es bleibt nur noch übrio- zu beweisen, ilass sie auch ausreichen, d. h. dass. wenn sie einfüllt sind, auch wirklich pidq^-i-p-jdq-,^ ^P„d(]„ ein vollständiges Differential wird,

mithin ihe —^ — - Gleichungen

bestehen. (Der zweite Theil der Aussage, dass J(2),c?9, -t-lJorfg^H ^pndq^

eine vollständige Lösung sei, versteht sich alsdann von selbst, da die Con- stanten h , . lu .... /i„_, willkürlich und von einander unabhängig sind.) Wir haben also nachzuweisen, dass aus den Bedingungsgleichungen

{B,, B,) = 0

die Bedingungsgleichungen

\ da,. ) \ dq, }

dq. J \ dq^ folgen, sowäe oben aus den letzteren die ersteren hergeleitet worden sind.

— 253 —

['in diesen Nachweis zu l'üliren. müssen wir zu den (Jleiohiniifen zuriirk- kehren. welclie am Aiifaiifie diesei- \'()rlcsmiii: liei dem directen Beweise rlei- Gleielnin;f (J.) voi-kamt-ii. Indem wir nur xoii der XOraiissetzmii: aiisiiin^iMi, dass ifj = (i lind i/' =^ // zu dem System ilcr // (r|cicliuiii:cii L''elir»ri'ii. welelie zur Bestinimuiiir von /*,. p... ... \k, als Fimctioncn \<>i) </,. ry.,. ... ry,, dii^iicii.

dass mithin y- ^^ (t und ^) - h durch <lic Ausdrücke der Strossen y/ in Yi- q.,. ... (/^ identisch erl'ülh werden, erhieheii wir die (Tlcicliuniren

(1.

,=i *=i cp. (^;\. V öVy, / ' S op^ r,f^

,=, «•=, ^/',. '^I\ ^ %, ' *■=> öy>, 8<i^

( '"l'i. \ I '-'I' \ Indem wir alsdann die iHMliiiounii'sixIeichunu'en 1 — 1 ' |- 0 voraus.^etzten.

■ ^ C(/^ I V ni^ )

hoben si(;h die D()|)|)elsuminen heim Suhtrahiren auf. und wir ei-hieiteii die

neue Form ih-r Bedinii'uiiLjselcichunu'en: jetzt, wo wii' die üediimunüsirleicliiinifen

(-^^* | = (-^| niclil xoraussetzen rh'iri'en. sondern beweisen wollen, erhalten V ciy, ; V tiq, )

wir durch .Vbzii'hen beider obioen (Tleichuiiiien. und wenn wii' an die Stelle

von '/ und i/' die Functionen 11^ und //.; setzen.

(2.) 0= i'^'l^' ^m^^-i"'^ Ikl'l^" c//,_^ c^j. ;=i fei 9/'j f-;)^ IV r</^ ) \ a<i^ )) ,=, l rp. ri^ cp^ dq^ \

Die i'infache Sunniie. welche das zweite (ilied der rechten Seite dieser (ilei- chimg bildet, ist nichts anderes, als die oben mit (//„. //.,) bezeichnete Grösse:

die Üoppelsumme. welche das erste Glied l>ildet. lässt sich auf — ^^^^ — - Tenne

zurückführen, da die (ilieder, in welchen / -= k ist. verschwinden, und von den übriiien je zwei, welche durch Vertauschunu' von / und /. aus einander her\(jr- gelien, sich zu einenfvereinigen. Auf diese Weise verwandelt sich Gleicliung (2.) in

..* y dp, dp. op^_ rp. j IV c</, ; \ cq. n

wo die Sumination auf alle von einandei' verschiedenen Comliinationen vun /und /.• auszudehnen ist. Solcher Gleichungen erhält man —-^ — . indem man für //,. 11^ }i' zwei verschiedene der Grössen //. 77, . ... //^, setzt. Ks ergiebt sich so em oystem von r^ Gleichungen, welclie m nezieliung aul die — -., — -

254

Grösjsen (^5-^) — ('^5~^) linear sind, und in welchen (H^, H^ die Constanten

öp^

dq^ ) \ dq.

Glieder bilden. Zu beweisen ist. dass. wenn diese letzteren Grössen ver- schwinden, auch die ersteren sämmtlich gleich Null werden. Nun ist in einem Systeme linearer Gleichungen das Verschwinden der Unbekannten stets eine nothwendige Folge des Verschwindens der constanten Glieder, wenn nicht die Determinante des Systems gleich Null ist*), in welchem Fall die Werthe der Unbekannten unbestimmt werden. Dass dieser einzige Ausnahmefall hier nicht stattfindet, kann man. ohne den Werth der in Eede stehenden Determinante selbst zu ermitteln, dadurch beweisen, dass man die Auflösungsformeln des Systems (2*.) aus der in (2.) gegebenen Form der Gleichungen dieses Systems auf folgende einfache Weise herleitet. Mau setze zur Abkürzung

Ö-Ör, (a)

und bezeichne mit B die aus den tr Grössen a'-"^ gebildete Determmante. wo ce die Werthe 0, l. ... // — 1 und i die Werthe 1. 2, ... « annimmt, sodass

ß=-.5'±«,ff.:,a;'...a(''-i); ferner setze man

iC«)

dR

da Nach Einführung dieser Bezeichnungen und nach Vertauschung von a und /? lässt sich die Gleichung (2.) folgendermassen schreiben:

Diese Gleichung gilt nicht nur, wenn für « und ß zwei von einander ver- schiedene Werthe aus der Reihe 0, 1, ... n — 1 gesetzt werden, sondern auch wenn beide Indices einem und demselben dieser n Werthe gleich werden. In diesem letzteren Fall ist Gleichung (3.) eine identische, dit in der nur formell verschiedenen Gleichung (2*.) alsdann alle Glieder einzeln verschwinden.

Multipliciren wir Gleichung (3.) mit A^"'> Ai^\ wo r und .^' Zahlen aus der Reihe 1, 2. ... n bedeuten, so ist es nach dem eben Bemerkten gestattet, in Beziehung auf jeden der Indices « und ß unabhängig von dem anderen von 0 bis n = l zu summiren. Aendert man im Resultat die Ordnung der Sum- mationen, welche einerseits nach / und k, andererseits nach a und ß auszu-

*) s. p. 160.

— 2Ö5

fülii-i^ii sind, uml bezc^ichnet mit M^^ die Doppel^JiunniP SO erjfic'bt sich

(4.) J z M. [( '^) - ['''^ )\ = "T 'T^'A^VL^ y/.).

Die eiiil'aclK'ii Suninicii. als deivii Prndtict sirli J/,^. darsti^llt. sind*) tiliMcli 0. oder üloich li, je na(h<leui / von /• u\\f\ k von .< vei-schieden ist. («ler / mit r und k mit .^' zusainmenfällt. Es ist also

M.M = 0. ausser wenn ü'Ieiclizeitijf / = /' und /' -= .v wird, und in diesem Falle ist

M,.. = /<■•■: Gloichunu' (4.) üvht daher üljer in

Hieraus sieht man. dass. wenn die (iiv'issen (//„. //^) sämmtlich üleieh

Null sind, wit' wir voraussetzen, auch sämnitliche (inVsseii ( „' 1 — 1 . ' | ver-

schwinden, es sei denn, dass Ji tlleich Null wt'rde. Aber das Verschwinden des Ausdrucks

bedeutet, dass die Functionen H. //,. ... //„_; der GnJssen /),. //,. . . . p,, nicht iuiabhän<iiü' von einander sind, die Gleichungen //= /( . 77, = /;,. ... //„_, = /(„_i also nicht hinreichen, um ans ihnen die \ ariablen />,. p.,. ... j)„ als Functionen von q^. (j... ... (y„ y.u Ijestimmen. Von diesem einziii'en und selbstverständlichen

Ausnahmefall abgesehen, kann man also auch umgekehrt aus den ,^ He-

dingungs<i"leichun<ien

die — ^'^ ursprünglichen Bedingungsgleichungen ableiten.

*) S. elfte Vorlesung No. 3, p. 88.

256

Dreiiiii{l(lreissi«;ste Vorlesung.

üeber sinuiltaue Lösungen zweier linearen partiellen Differentialgleichungen.

Die Aufgabe, die vorgelegte partielle üift'erentialgleichung H=h zu integriren. ist jetzt darauf zurückgeführt, n — 1 v^oii einander, sowie von H un- abhängige Functionen H^. //,, . . . //„_, der Variablen /),, p.^, . . . p„, q^, q.^, ... q„

zu finden, welche die — ^^ — — Bedingungsgleichungen

(für die Wertlu- ü, 1, ... n — 1 der Indices «, /V) befriedigen, und die man )i — 1 von einander unabhänffijien willkürlichen Constanten /i, , /;,, ... h,,. gleich zu setzen hat. Zwischen irgend einer dieser » — 1 Functionen, z. B. H^, und der uns bekannten Function H besteht also die Bedingungsgleichung (H, 7/]) =t u. d. h. Hl genügt der linearen partiellen Differentialgleichung

dH r3H, oH dB, dll a/7,

8p, dq, dp., dq„ 8p^ dq^^

dH dH. dH dH dH dH

= 0,

öy, dp, dq., ^p., dq^ dp„

oder, was dasselbe ist, H^ = Aj ist ein Integral des Systems isoperimetrischer

Differentialgleichungen*)

j , j , , , dH dH dH dH dH dH dq, : (VI.-, ■....-.dq : dp, : dp., : ...-.dp = ^r — •—,--- : ...: -t^ — : ^ — : ;; — : . . . : ^^ — ,

welclies fiir H = T — U in das System der Differentialgleichungen der Mechanik übergeht. Das Nämliche gilt von den Functionen fi>r ••■ -^„-1- welche den analogen Bedingungsgleichungen (//, H^) ^ 0, . . . (Ä i?„_i) = 0 genügen. Sämmt- liche n — 1 Gleichungen

H,^h,. Ä = /^, ... H„-,=h,.J,

sind d:du'i- Integrale des oben aufgestellten Systems isoperimetrischer Differential-

gleichinigen. Aber diese Bestimmung der Functionen H,. H.^, ... i/„ _, ist nicht

ausreichend. Durch dieselbe geschieht nur den Bedingungsgleichungen

(77, 77,) = 0, (77, 7?J = 0, ... (77", 77„ 0 = 0

Genüge, und die übrigen \y — (""!) ^ 9 — Bedingungsgleichun- gen (^Ha,Hß) -= 0, welche unter Ausschluss von H zwischen je zweien der n — 1

*) Vgfl. p. 150.

— 257 —

Fuiictioiu'i: //, . Il_. ... /I„_, liestt'lKMi soIKmi. \vcr<lcii iliircli il'u- >n lu-tiiiiiiiti-ii \\\M'tlu- ilicscr Fuiictii)iicii iiiclil ln-fVicdint. es sei (Iciiii. <l;i» in.ni dir// — I Intc- üTuk' ciiiCiis ilazii aiisürwiililt lialn'. \\ ir UriinuMi iiidit cniiiial a |)i-ii>ri wi-M-ii. oll für <lii' iTstc zu siicliciiili' Fiiiictioii //, riii i:'aii/. Iiclicliiui-s Iiitciri'al üciiDiiiim-ii worden darf, und nli sich alsdann die Ciliriucn // — :? I-'uncfionen so licstiinnicn hissen. <hiss sie sowolil mit // und mit //, . al> aurh unter sich alle jem- Be- diiiiiun^en ertiillen.

Eine iivnaueiv l ntersuciiunu.- zeiut. das> //, in der Tiiat imter dm Inte- gralen iianz willkürlich ausii.'e\vrddt wi-rden kaim. da-^ //, al.-o nm- dci- IJediniziniir

(//.//,) = <) zu ^eni'iu'en l>i-aucht : da^s. welche Function //, man auch «lieser HedinunniX entsiirechend nehmen mau. es imnu-r t-ine zweite Fimction //_ liieht. welche ^leichzeitii:' die heidi-n liedinuunu'en

erl'idlt: dass ferner, welche Fimction //. man auch die.'-en lieiden l)e(rmi:uni:en entsprechend nehmen mau', e^ inuuer eine dritte Function IJ^ ^ieht. welche gleichzeitig die drei iMMlinunnueii

(//. //J = 0. (//, . //.) = 0. (JL . IQ = n erfüllt: uml dass man in «lieser Weise iort fahren kann, his alle Functionen //,. //,. . . . //„_, liestinunt sind.

Wir sehen, dass die vorliegende l ntersuchung uns mit .\othweniligkeit zu der Beantwortung dw Frage drängt, oh und untei- welchen Bedinu'ungen es möglich ist. mehreren [lartii-llen Dill'erentialgleichungen gleichzeitig' zu ueiiügen.

l)ie zu lietrachtenden lineaivn jiartiellen DitVerentialgleiclnmgen seien, lan die Fi'age in ihrer grössten Allgemeinheit zu iiehandeln. von der Form

ä.i\, ' a.i'. - d.r, c.r„ Wir wollen die linke Seite diest'r (Ticichung. in welcher -F. .1,. ... .!„ ge- gebene Functionen von .(„. .r, r„ sind, mit .!(/) hezeiclmen. so dass wir

die BiltUmg eines solchen Ausdrucks als eiiu' mit d^'v imhekaimten Function /' vnrgenonnnene Operation ansehen. Es sei also

ö.c„ d.r, c.r„ ,^„ a.r.

und enenso

Jacnhi. Workt". Su]ipleinenlbaini (Uynaniikj.

2:),s

A(f") und B(J') sind zwei verscliiedent- Operationen dieser Art. welche man mit der Fmiction /' vornehmen kann. Wendet man nach einander beide Ope- rationen an. so ergeben sich, jenachdem man mit der Operation .1. oder mit der Operation B beginnt, die beiden Aus(h'ücke 7j(.4(/')) und x4(Z)(/')). welche (hnrh (he Gleichungen

d.>-,d.

Z ZA,B,^^^

l'k k=0 ;=ü

d.i'i dxi '

=1) A=ii

derinirt werden. In beiden Ausdrücken sind im Allgemeinen nur die in Dift'e- rential(|Uotienten zweiter Ordnung von /' multiplicirten Glieder einaniler gleich; in der Differenz beider bleiben allein Glieder übrig, welche die ersten Difteren- tiahjuotienten von /' enthalten. Für diese Diti'erenz. wek-he wir C'(/') nennen wollen, ergiebt sich

),=„■=„ QA. ßf i=„ k=n ßB ßf

o.i\- da'i S j—ij ' dxi dx^

oder wenn die TJezeiclmung

Vk

B —A

dAj

° Ar;

aß:

ö<.

.-1,

e^i,-

a.r.

dAi

eingefiihrt wird.

d.r„

=11 oxi ° a,c„ d.'-, o.c„

Bestehen nun, wie wir in der folgenden Untersuchung annehmen werden, die » -\-\ Gleichungen

<\ = 0, C, = 0, . . . (■„ = 0, ist also für die Werthe 0. 1. ... )i des Index / die Gleichung

erfüllt, so hat man oder

n dAi n öAi

dB,

■B,

A,

dB,

c\r„

o.v^ dx^

SB^

CXa

= 0

<Xf)=B{A{f))-A(B{f)) = 0 B{A{n) = A{B{f)).

— 2.')!) —

(1. ii. CS ist u'U'H'li.ui'iltiL;'. uli man ziu-rst dit- ()|»iTatinii .1 iukI «laiiii die < )j)i'i-ati(iii I'> aiiwfinlct. oclfi" /.lU'i'st die < )|i('i'atinii I', iiiiil ilaiiii ilir < )[)ci"itioii .1.

l)u-s(.- l iiuljlKiii^'i;ikeit (k's lii'siiltat> Noii der ()rdiiuMii'. in dn- die Ope- rationen .1 niid II aiiiicwendot wenli-n. ist von urossn- Widitigkeit. denn sie lässt sich auf eine beliebiiio Anzahl von Wicdei-hohnim-n lu-iflei- ()|)erationc-M

ausdohiR'ii. Bczeichnot man mit .V. A' 1" die zweimal, dreimal. ...

///mal liinit reinander anuewandtc Oju'ration .1 und cIhmiso mit /!■'. I','. ... Ii"' die zweimal, ijrelmal. ... »//mal hintereinandt-r anii'ewandte Opei'ation Ii. so folut aus der (lleiclumi;- l'>{A{f) = •!(/>(/;) 'Ii'" allgemeinere

B-(A-{f)) = A-(n-if)).

.Aus di(.'sem Resultat kann mau liei der I nti-rsucliiniu' dei- Iiei<K'n linearen pai-tiellen Diilereiitiali^leichnniien

.i(/-) = o. iKr) = ^>.

wenn diesellien den // -1- 1 r^edini;iin::si;leicliun;j;en C, = O üenÜ2"en. den L!.rr)s<ten Nutzen ziehen, tlieils um die Lösunii'en jeder einzelnen DilferontialiiK-ioliuni:'. theils mn ihre simultanen Lösunuen zu finden, (u'setzt. es sei uns eine Lösuno- /", dor Diftei'entialifloifhuuij; .!(/) = " bekannt, mau lialie also identisch

AU\) = 0, so folii't hieraus

ß(yl(/-,))=ß(0) = U.

Aber da nach unserer Voi-aussctzunu' die // -i- 1 I>edinuunaen (', = i» erfüllt sind, man also die Iioiheufolüc der Opei-ationen .1 inul // umkehren kann, so ;iieht aus der (Tleichunii

IH'KQ) = '>

die Glcichunii'

AUKfd) = 0

hervor, d. h. />(/') ist ebenfalls eine Lösung' von .!(/) = 0. Nach der Xatur dieser Lösmiij; sind drei verschiedene Fälle zu unterscheiden, wobei man sich zu erinnern hat. dass die partielle Ditlerentialgleichunü- /!(/') = <• ausser /", noch // — 1 voneinander und von /', unabhäno;ioe Lösunuen f.. /'j. ... f„ und ausser- dem die e\ideiite Ltisimti' /'=Const. besitzt. Ls kann />'(/,) entweder erstens eine von /', unabliäufiige Ij(")suni;' f. sein, odei' zwe'itens eine Function von /, . welche auch eine Constante werden kann: drittens aber nniss es als ein beson- derer Fall hervoruehoben werden, wenn />'(/,) dem constanten Wei'the Null

o6

— 2(;ü —

«ileich ii'et'muli'ii winl. Wir lialiL'ii also die divi Falk'

B(f,) = t:. B(f,) = F(Q, B(t\) = 0. Im ersten Fall haben wir aus der Lösunii,' /', der jjartiellen Differentialgleiehnnu" A(f) = 0 eint' zweite Lösimg /l = B(f\) gefunden, im firitten Fall haben wir zugleich --!(/',) = ü und B(f\) = 0, d. h. f\ ist enie simidtane Lösung von Ä(f) = 0 und /j(/') = ": den zweiten Fall werden wir später behandeln.

Ln ersten Fall, wo B(fj) gleich einer neuen Lösung /!, ist. kann man auf dieselbe Weise weitergehen. Da nämlich Ä(f.?) = 0 ist. so erhidt man />*(.!(/!,)) ^ ij(0) ^ 0. oder nach Vei'tauschung der beiden Operationen

d. h. ^"(/',) ist ebenfalls eine Lösung von J(/') = C Es sind hier wiederum drei Fälle zu unterscheiden, nämlich:

Im ersten Fall hat man eine dritte von /', und /J, unabhängige Lösung /j = B'Q'^) von -1(/') = 0. im dritten Fall ist /j = B(f,) eine simultane Lösung von Ä(f) = 0 und B(f) = 0: auf den zweiten Fall, in welchem B-(f]) eine Function der frfUieren Lösungen /, und f.j = B(f\) ist, die auch in eine nicht verschwindende Constante übergehen kann, werden wir später zurückkonnnen. Durch wieder- holte Anwendung der Operation />' entsteht aus dei' einen Lösung /', die Reihe von Grössen /', . B(f,). /•"''(/i). B''(/\). . . ., welche sämmtlich der partiellen Diffe- rentialgleichung ^-1(/) = *' geniigen. Es sind nun entweder die n ersten Grössen dieser Reihe von einander imabhänoiee Functionen und bilden alsdann ein voll- ständiges System von Lösungen der Gleichung A(f') = 0, oder es wird schon eine jener »Grössen, etwa B"'(f\), eine Function der vorhergehenden /j. /j(/|). /•>-(/',). . . . />"'~'(/'i). welche sich auch auf eine nicht verschwindende Constante oder auf Null i'educiren kann.

Der fiir die Auffindung der Lösungen von ^4(/') = 0 ungünstige Fall, in welchem nicht der ganze Cyclus derselben durchlaufen wird, erleichtert ge- rade die Aufiindung der simultanen Lösungen von A(^f) = (• und i>'(/) =^ 0-

Die allgemeinste Lösung von^ ^-1(/') = 0 ist eine willkürliche Function ihrer // voneinander unabhängigen Lösungen /', , f.,, ... /'„. Um eine simultane Lösung von x4(/') = 0 und /j(/) = *-* ^^i erhalten, muss diese willkürliche Function von /', . /',, ... f„ so bestimmt werden, dass sie auch der Gleichung 7j(/') = 0 genügt. Führen wir zu diesem Behuf in den Ausdruck /)'(/) ^"'"' "

2(il

fiel- //-t-I \':ii-iaMfii .*„, .v c,, z. !>. I'ui- .r,, .i\, ... J„ 'l'u' Fiiiictioneii

/',. /;, . ... /;, als iifiu' \'arlalilr ein. uml lirzcicliiicii wir dii' unter dieser neuen

llvpotliese beilüdet eil I )illcreiitial<|ii<)tieiiten vnn/ init I .' - |. -r-.- . -^.- . ... -..,.— .

wo der neue ])ill'ereiilial(|nutii'nt ( ) \ oii dem Irühereii . - vülli;:; ver-

srhieilen ist. so erhalten wir

H ^ ^-»-o ^ **^l ^/i ^-«-'o

und. wenn /' eine der Zalilen 1 liis // lieileiiti-t. dalier wird

oder eiidlicli. du 2il>,-pr^ uiclits andeiH's i>t als i'>(f)).

Nim darf/', wenn es eine I.risiiiii:' \(in -IC/)^" sein soll, nur von den (Tr(')ssen

l\ abhängen, .r,, uher nicht mehr enthalten: also hat man (^— 1 = "r '""1 'ü^' (ileicdumg /j(/') ^ 0 rediicirt sieh auf

d. h. auf

^(/■.)^+/>'(/;)^;^-+-+/^(/:,)^ = 'j-

Aher in Folge der von uns \-oi-ausgesetzteii // 4- 1 inv ' ^ ". 1. ... // stattfindenden Bedingungen

r,- = />'(J,)--K«.) = t' ist mit iler Li")simg j] von .!(/) = tl gleiclizeitig aueh />'(/!) eine Lösung von .!(/') = (t. die evidente Lösung /'^ (3oiist. mit dazu gerechnet, folglich sind die Orrissen l>(/\). /»(fj)' ■ ■ • ■^^'(/") ^^ämmtlieh Lrisungen von .!(/') = '•: und da lue ;dlgemeinste Lt'")sung von -!(/) ^ " eine willkürliche Function von /;. /;. ... /;, ist. so sind /<'(/',). /'(/■■)• ••• ^Kf) sämintli(di Functionen der

— 202 — Grössen /', . f.. ... f„, fülgHeli ist (Ik- Gleicliung

eine {»artielle Difterentiulgleicluing. welche /' als Function von /', . f., ... /', de- finirt. Sie lässt » — 1 voneinander unabhängige Lösungen y:,. (f,. ... y"„_i zu, und ihre allgemeinste Lösung, die zugleich die allgemeinste simultane Lösung von A(f) = 0 und B(f) = 0 darstellt, ist daher eine willkürliche Function F(^(fi, (f'.j- ■■■ f',,-0 jener » — 1 von einander unabhängigen Lösungen. Solche si- multane Lösungen existiren hiernach stets, wenn die »-f-1 Bedingungen r*. = 0 erfüllt sind.

l m nun den Nutzen zu zeigen, den die wiederholte Anwendimg der Operation /> auf die Lösung /', von A(f) = 0 gewährt, wenn es nicht mehr auf die Hestimmung der allgemeinsten, sondern einer particidaren simultanen Lösung von ^1(/') ^ 0 und /?(/') = () ankommt, nehme ich an. die Grössen B(f\) = /:,, B-(/\) = /;. . . . B"'-'(f\) = /'„.. wo m kleiner oder höchstens gleich n, seien von einander und von f\ unabhängige Lösungen von -4(/') = 0. da- gegen sei I>"'(f^) keine von /', . fj. ... /'„, unabhängige Lösung: dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

1. Ist />'"(/;) gleich einer Function F(/\. f.,. ... f,„) von /', . /:,. ... /;„. welche auch in einen constanten nicht verschwindenden Werth üliergehen kami. so lässt sich die simultane Lösung von A(f) = 0 und ß(/') ^= " immer so bestimmen, dass sie nur von f\. f.,. ... /"„ abhängt, die übrigen Lösungen fm+\- fm+'j- ■ ■ ■ f,i ^''^»-'i" iiiL-lit enthält. Denn durch diese Hypothese reducirt sich die obige partielle Differentialgleichung, welche die simultane Lösung f als Function der Grössen /\. f.,. ... f„ detinirt. auf die folgende:

^•^ dt\ ^^' df, ^ +^"' ö/;„_, +^^^.-^--- -f"^ a/:,, ''■

welche mit dem System gew(")hnlicher Differentialgleichungen

.//;:;//;:...:';//;„_,:,//;„ = /;:/;:...:/;,>(/;. /^.. ../;„)

übereinkounnt. Fügt man diesem System noch die Variable / hinzu, indem man die m gleichen Verhältnisse dem Verhältniss df : 1 gleich setzt, so hat man

dt '■-" dt '2' ■■■ dt '"■' dt ^w, ■/=.•••/,„; oder

,. _ «/^ ,. _ iP_u_ f _ ''nVL ^ _ d-t\

'■ ^ dt ' '' " dt- ' ■ ■ ■ '"■ '/*""-' ' dt fit" '

2(i3

iiiiii (iiMii/.iiioiii'e

dt-

lA.. 'IL 'i-'-'t. \ V" dt ' ■■■ df'-' )

Ist mm </", = Const. ivfrerul ein von t freies Inteüi-al ilieser Din('rentiiiiL''Ieichiin!i; )ii'" Oi'dnuni:'. so ist /'= y, eine simultane Lösnn^ Vdii .!(/') = (' mnl />'(/) = 0.

■2. Ist Jl'X/d = •'. so liat man d = li{B"'-\l\)) = ß(f,„) uuA (I = .l(/;„): also ist /;„ = />""-'(/;) eine simultan.' Lösun^u' von .1(/') = U nu<l /;(/") = ().

Das mitei- 1. erhaltene l'esultat erleiilet eine Ansnalmir liir /// = I. d. Ii. wiMin liereits />'(/i) sich auf eine Fiinrtion von /', oilcr auf cini- \'on Null Vfi- schiedene Constante reducirt. Dies eisieht man schon (hiraus. dass die Difte- i'entialiileichunü; zwischen /', und / alsdann erster Ordnun«:' ist. also kein von / freies Integral liesit/.t. Die partielle Dilfcrcntialiileichung. welche /' als Function von /', . /.' /'„ delinii't. üelit alsdann in

S =0

ülier und gielit die evidente Li'isung /'=('on>t.. welche unlirauclihar i>t. In dioem I'\'dle kann man aus dei' Lrisung /', allem gar keinen Nutzen ziehen. soiKJei'n es ist nrilhig. eme neue L(')simg f. (](-y (ileichung -!(/) = " zu kennen. Wendet man auf /J, die Operatiuu />' an. wie früher aui'/j. und ist />(/',) nicht eine Function nou /[, allein, so ergiel)! sich nach <lem ohigeii \ ei'falnvn aus /,', eine siimdtane Li'isung von .!(/') = 0 und />'(/') ^ (». Ist dagegen /<(/.^,) eine Fmiction von f.j allein, so dass eine siumltane Lösung aiu'h aus /l allein nicht gefunden werden kann, so tindet man eine solche dennoch durch gleichzeitige Bemitzung von /', und /'.,. Ist nämlich

fKf\) = ">(/]). lKf.D = na

so kaim man anni'lunen. dass f eine Function von /', und f., allein ist. und ei-hält zm- Hestimnumg dieser Fmiction die partielle Dill'erentialgleichung

- '^(/;).f-i-*/^(/;)-|- = o.

welche auf die gewöhnliche Ditferentialgleichinig

führt und den .\usdruck

/ =

als I

lie gesuchte simultane Lösung gieht.

204

Vieruiuldreissigste Vorlesung-.

Auvveudung der vorhergehenden Untersuchung auf die Integration der partiellen Differential- gleichungen erster Ordnung und insbesondere auf den Fall der Mechanik. Satz über das aus zwei gegebenen Integralen der dynamischen Differentialgleichungen herzuleitende dritte Integral.

Um die Eriix-bnisse der in der vorigen Vorlesung angestellten Unter- suchung über simultane Lösungen linearer partieller Dirterentialgleichungen auf den Fall anzuwenden, der uns zu dieser Untersuehung veranlasste, und auf den wir bei der Integration der partiellen Differentialgleichung H = h (p. 2'i")ff".) stiessen. wollen wir zunächst die » + 1 unabhängigen \'arial)len .ry. x^, ... .r„ durch eine gerade Anzahl 2)i von Variablen .Tj, .r.,. . . . ,r,„ ersetzen, deren In- dices wir mit 1 anstatt mit t) beginnen lassen, so dass die Ausdrücke ^1(/'), ij(/') jetzt durch die Gleichungen

ö,C| - ä.r., dx2„

B(f) = /y,^ + Ä,-|^-+...+ ß,„^

d.>\ - ö.v., d.r-2„

dehnirt werden, und die 2>t Bedingungsgleichungen

C, = B(A,) — A(Iii) = 0 für ''=1, 2, ... 2;; bestehen. Ferner mögen an die Stelle der 2// unabhän- gigen Varial)len ilie Grössen p und q treten, so dass

a-, =(/, , .r.,=q.,, ... ,i;, = q„, ,v„+i=p,, ,f„^_j = p, r.,„ = p„

wird, und endlich seien die Coefticienten .4,. li, durch die Gleichungen

A =^ A =^ \ =^- A =_-'^ A =— ''^ A = ^f

^' 6>, • ' dp,' ■■■ ^ " op/ "+' öq,'^"^' dq,- ■■' -" Oq/

ß _ ^^3[ B.=^. B„ = ^- B„ , = -^ B ; = - ^-^ /i., = - ^-^'

' ö;', ' - dp, ' " 'di'^^ ' ""^' ö(/, ■ "^' dq, ' '" "" dq^^

bestimmt.

Alsdann erhalten wir

Öjj^ dq, dp, dq., ■■■ ö;;„ dq^ dq, dp, dq., dp, '" ö</„ 5/>„ '

B(f) = ^I1-_^^J^_^ ^.^ ^At _ ^ AC ^ ^^ ^L ^</' ^f

f^P, ö'L dp, i^q, ■■■ ö/'„ ^y„ d<], op, dq, dp, '" dq^ dp^'

oder nach der in der zweiunddreissigsten Vorlesung (p. 2.01) eingeführten

- 2Ü.J Bezeichiiiiiin'

A{f) = {'f,n.

JKf) = («.",/).

(in (lif Wertlu' <ler 2» Grössen (', für ^=1. 2. ... 2// zu ci-lialtcii. theileii wir ilu'S(,-llnMi in tXw heidcn (Inippcii (\ uinl T,^ für /= 1. 2. ... n: fJaim ergiebt sicli

c„, = «(..u.)-.i(A..)= (v..-^)-(„ -4^;;-).

oder wenn ni;in die Identität berücksiclitiü't.

Aber da der Ausdruck (y. i/') t'iue lineare Function sowohl der Ditferential- (juotienten von y, als der Differentialquotienten von w ist. .so sind die rechten Seiten (Tu'ser Gleichuniren nicht> .\uderes als die nach p, und </, jivnonnuenen Ableitungen von (jf. if): es ist also

r _ i(MO

'^i — ', >

r _ ^(y- </')

(-.„ + , T^ ,

und die sännntlichen '2/i Iji'dingiuia's.üleichunucn f'=(). r,_,^^() für /= 1. 2. ... )i sind erfüllt, sobald identisch

(</■ 0) = 0. d. h. sobald f ^ il' eine Liisunü der linearen partiellen Ditferentialgleichunu' .!(/') = (y, /') = 0 ist. Wenn diese eine Bedingungsgleichung

(y, </o = 0

befriedigt wird, e.xistiren also stet> simultane Lösungen der Gleichun<i"en

(?,/') = 0, (d'.n = o.

und man kann zu ihrer Iiestinunung die Ergel)nisse der vorigen Vorlesung benutzen.

Hiermit ist die am Anfange der nämlichen \'orlesung aufgestellte Be- Jacobi, Werke. SuppleinentbanJ (Dynamik). o-l

— 2(!(; —

hanptiing bewirsen. wonach man. wenn //, iruvnil euK' der Bedingung (//. //,) = 0 genügende Function bedeutet, innner eine zweite Function /Z, bestimmen kann, welche den beiden Bedingungen (IL IL?) ^ 0. (JI,, IL?) = [) gleichzeitig genügt: und zwar gelien die Untersuchungen der vorigen \'orlesung nicht nur den Beweis für die Fxistenz. sondern auch die Mittel zur Bestinnninig \o\\ II.,. Die weitere \'erfolgung jener rntersuchungeii giel)t alsdann unter Voraus- setzung der soeben detinirten Functionen //, . //, die Mittel ziu' Bestinunun<>' der neuen Function //,. welche gleichzeitig den drei Bedingungen f//. //,) = 0, (//,. Ä,) = (I. (//,. //;) = 0 genügt, u. s. w.

Aber in der vorigen \ orlesuug halten wir nicht nur simultane Lösunii'en zweier linearen ]iartiellen Diti'erentialgleichungen ^-1(/') = 0. /<'(/') = •'. welche den Bedingungen () = B(A^ — ,l(/>^) ^ 0 genügen, bestinnut. sondern, was nicht minder wichtig ist. aus cuu/' Lösung /', von .!(/') = U dui'ch wieder- holte Anwendung der (Operation li eine Reihe neuer Lr>simgen /j(/',) = f... I^(_f^ = t)i- ■■■ Ij( /„,-,) ^ f,„ hergeleitet, liis die nochmalige Wii'derholung auf eine Lösung />(/]„) = /]„+, führte, welche eine Function F( /[ . f. . . . . f,,,) der früheren oder eine Constante ist. insbesondere auch gleich Null werden kann.

Lidern wir auch hiervon Anwemlung auf den vorliegenden Fall machen, tritt indessen eine Moditication ein. welche auf folgendem Imstande beruht. Ln Allgemeinen besitzt .!(/) ^ 0 nur die eine evidente Lösung f = Coust., und überdies ist uns na(di der Hypothese, von welcher wir ausgingen, nur die Lösung /= /'i bekannt. In dem besonderen Fall aber, wo A(f) ^= ((f. f"), /j(/') = ((/'• /') wird, während die Bedingungsgleichungen (', = () din-ch die identische Gleichung ((f, i/') ^ 0 erfüllt werden, kennen wir. wenn /'= /', eine L(')sung von ((f. /') ^ 0 ist. schon \'on xornherein ausser /', eine zweite Li'isung (/'. und überdies konnnt zu der allgemeinen evidenten Lösung /'^ Const. gegen- wärtig noch die besondere /'= y hinzu. Hier ist daher /'„,^, auch dann keine neue Lösinig. wenn es einer Function IX<f, y, /',./!. •••/!„) gleich wird, die ausser /', . f.,. . . . /'„, noch überdies </- und */' enthält. Mit Rücksicht hierauf, luid weim wir den Fall, wo die Function /' sich auf eine Constante oder diese auf Xidl redu- cirt. nicht ausdrücklich erwähnen, sondern initer der ISezeichnung i''(y. V- /i •/•.■••■ A") mit begreifen, erhalten wir das Resultat:

Ist /i eine Lösung der /' detinirenden linearen partiellen Ditferential- gleiclumg ((/, /') := U, und wird die Bedingungsgleichung ((f, i/') ^ " erfüllt, so ist (f/'i /i) = /j wiederum eine Lösung von ((f,f)^=0, und zwar im Allge-

■2rü

iiii'iiK-ii ciiic luiu- Li'isiiiiLi. in Ih's<)IiiK-ivii l'iillcii kann o nlici' ciin' Fniictiiin y'(y. (/'. /,) \'i>n 1/', /\ und iliT i-vi(k'ntiMi Liisunu </ \vci-ilrn. Inilc-ni man so lortiahrl .ni-l (./-,/;,) = /;. (i/'. fd = /\^ ••• (V- /;„ ,) = /l,- ('/'■ A) = /l,^, «>tzt. winl man im Allücnicinrii lanlci- neue Liisiniiien /',. /',. ... /'_, \uu i'y. / ) ^ (» erliaiten. lii> /'„, , , eine Fiim-tidn l''[(f •'/'• />■/■■■■■■ /,„) <l<-i' x-lion x'orlnT liekannten 1/', /,. /',. ... /', imii ilei- evidenten Lösimiu' </ wird.

I.ässt man nun die Function '/ mit Ai-v Function // zii-anum-nlallen. weiclu- die linke Seite der |iai-tiellen Ditlereutialüieiclnin^i' fl — // liildet. >o i>t es /.\veckm;is>ii:. aucli die ül>ri::c I5e/eiclniuni: zu ämlei-n. Man setze </ = II. 1/' = y/,. /■ = //.,. /;, = //;;. u. s. w.. und das oKi^iC lu-sultat lautet:

Sind die (ileiclumuvn (7/. //,)-- tl und ,7/. //,) = 0 erliillt. d. li. sind //, und // l.iisunixi'n der // detinirenden linearen partiellen Dillerentialulei- cliunu, 1^//. //,) = <•. >o ist (//, . //) ^ //;; elient'alls eine I.ösuuli dieser DitVereii- tialiiK'ichunu:. imd zwar un .\lli;emeinen eme neue Lcismig. in liesonderen Fällen indessen kann //, eine Function xdu //. //. . //_ werden. Indem man mit dieser Operation lorttahrt und (//,. //j -= II,. {11,. //.) -= //,. ... (//,. //,„ ,) - //„,. (//,.//„)=//,„+, setzt, wird man im .Vll^emeinen lauter neue Lösuiiuvn //,. //-.. ... //„ von (//.//,) = (I erhalten''. l>is// ., eine Fimction dei' liereits lie- kannten //. // . ... fl . die evidente Lrisimi:' // mit einln-i:'i'itlen. wird.

.\iier. wie wir wis>en. ist es von gleicher l)e<leutimü. ol> wii- sauen. //, sei eine Lösunt:' der //, detinirenden linearen partiellen l/ilVerentialiileicliimii- (//. //) -= (». d. h. der (ileichuuii

811 eUj an aii. . f ii ou^

dp, 6<j, dp, ?v,_, '^ C7'„ c//,,

öll dU^_dU_oll. _ _ dU öll^ cq, dp, dq, dp., c</_^ dp^^

oder ob wir sa^vn //, . einer willkni'liclien Coustante A, uleicli gesetzt, sei ein

Intcural des Systems iie\v(')lmliclier I )itVei'entiali:lei(diimL;cn

(/'/, : (lip, : ... : </</ : ilp^ : dp,, : ... : dp

_ du r'7/ oll . _ dll^ _dll _ eil

dp, ' cp., dp^^ ' di/^ ' dl/., c(/ '

d. li. ein von / freies Jnteii'ral *\i-s Systems isopei-imeti-isclier UitVerential-

= ().

*) Ks ist nielit zu überseheu, dass die Giösseu //, . H,. 11,. ... hier irgend vvelclie I."isiin2'en «ter Gleiduing (//, /r) = 0 liedcuten und nicIit das specielle System derjeniffen l,»suiis;en, welche, ("onstanlen gleich gesetzt, die zur vollständigen Lösung der ))arliellen hiflerentialirleichung II = h führenden (ileii-JMUicreu bilden. (S. zweiunddrei.ssigste Vorlesung p. ■i.')(l.)

208

^IflC

hiiimen

(/(/,	aH	<h.	hll
dt ~	5/', '	dt	f'i'.
dp,	dH	'//'•2	BIJ
dt	^9, '	dt	- dq, '

dt

dt d<y„ '

welche, wenn man // = T — U setzt, wo T «lie lKill)e lebendige Kraft, U die Kräftefunction bedeutet, in das System der Differentialgleiehim^en der Be wegung übergehen. Wir können daher das gewonnene Resultat in folgendem Satz aussprechen :

Das 'System der isopei-nnefrisrheii J)ijf<>rei>ti(i/(//etc/iU)igen

</(/, _ dH dq., _ dll %„ ÖH

dt 'IP,

dp, OB

dt dt

üp., rU

dt	^Pn
'h\	dll
dt	^'l,
■ ■ ■ q„-	Vi- /'

dt dq,

in icelc/iein II eine Function der Vnriab/en q^, <!_.. . . . </„, j),. jk . . . />„ nluie t bedeutet, and n^dches für H^T—U in da.^ System der dy/ni)nischen Diffe- rentialgteichnnyen i'iheryeht. sei roryclcyt. Kennt man zwei von t freie Inteyrale II, = h,, //, = Aj dieses Systems, and bildet man. den Ausdrack

Ih

{IIJI.) =

dH,

cp, dK

so ist

dH,

dq,

dji

dp, dq,

H

dH, dH.

dH dH.

dp, dH,

dH,

■Jp., dq..

dPn ^'l.

dH, dH,

dp,, dq^^

n-i) h. eine dritte a-illlyärliche Consta nte liedeatet, im AI/gemeinen ein neues Integral des Si/stems. In hesomleren Fällen kann II, eine Functi.o)i von H. II, . //, oder ein constanter Zalilenu-erth. die Null nicht ausgeschlossen, sein: in diesen Fällen i.^t //, ^ /«., lei/> neues Integral, sondern eine Gleichung, welche anter Voraus- setzung derj'rüheren Integrale //, = /(,, //, = h, und des evidenten Integrals H= h identisch erfüllt wird. Fährt nwn mit dieser Operation fort und bildet ans //, und IL oder IL und II., den Ausdruck (II,. II,,) oder (IL, IQ. so ip'ebt dieser, gleich einer Constaide gesetzt, im Allgemeinen wieder ein. iieues Integral u. s. w.

Dies ist einer der merkwürdigsten Sätze der ganzen Integralrechnung und für den besonderen Fall, in welchem man II = T—U aetvA, ein Funda- mentalsatz der analytischen Mechanik. Er zeigt nämlich, dass, wenn der Satz der lebendigen Kraft gilt, man aus zwei Integralen der Differentialgleichungen der Bewesunir im Allcemeinen durch blosses Differentiiren ein drittes, hieraus

— 20!) —

ein vitTtcs. etc. abliMtcii kiiiiii. so dass man eiitWL-der alle Integrale eriiält. oder doch wenigstens eine Anzahl dei'sellien.

Xaclidern ich diesen Satz «fei'nnden hatte, machte ich den Akademien zu ilerlin und Paris davon, als von einer ganz neuen I"]ntdecknng. Anzeige. Aher hald darauf liemei-kte ich. <lass dieser Satz seit oO Jahren schon zugleich ent- deckt und vei-horgen war. da man seinen wahren Sinn nicht geahnt, sondern ihn nur hei einem ganz anderen Prolilem als Hnll'ssatz gebraucht hatte.

Hat man für ein hestinnntes mechanisches Problem die obigen Diff'e- rentialgleichungt-n integrirt und will, nach der von Luf/ranf/e und Laplare ent- wickelten sogenannten Störungstheorie, die Moditicationen liestiinmen. welche die IJewegnng durch das Hinzutreten neuer kleiner Kräfte erfäln-t. so wird man auf gewisse, aus den //,. </, zusanunengesetzte Ausdrücke geführt, welche von der Zeit unabhängig sind, ein Pesultat, welches zu den grössten Hnt- deckungen der genannten (ieonieter geluH't. P<ns.<o)i. der die I ntei'suchimg etwa> anders anordnete, fand, dass diese von / unalihängigen Ausdrücke uenau \ on der Form (//. //,) seien. Diesei' /'<>^v.^•';/^sche Satz wai' weu.en der Schwie- rigkeit seines l>eweise> berühmt: abvr man legti- so wenig Wcrth auf den- seltien. dass J.dt/rdufjc ihn nicdit einmal in die zweite .\usgaln> der .Mecani(|ue analyti(jue aufnahm, sondeiMi seine Foi'meln als die einfacheren vorzog. Aber gerade dieser /''/*,s>o//sche Satz stimmt im \\ esentlichen mit ilem oben ausge- sprochenen übereil!. Denn wenn jene .\usdrncke (//,, Ilt). welche bei Pui.<so)i als Coefficienteii in der StTtrungsfunction auftretiMi. unatihängig von (K-r Zeit sind, so müssen es Functionen sein, welche im lu-sprünghchen Problem Constanten gleich werden. Aber diese Bemerkung war \drher den (Teometern entgangen, und es bedurfte in der That einer neuen Kntdeckung. um den Satz in seiner wahren Bedeutung hervortreten zu lassen.

Dass die Wichtigkeit dieses seit so langer Zeit entdeckten Satzes Niemand ei'kaunt hat. dazu hat i-in eigenthiimlicher l'mstand beigetragen. Die Fälle, in welchen man denselben anwan<lti'. waren nämlit-h gerade solche, in welchen der neugebildete Ausdruck kein neues Integral gali. sondern wo der resultirende Ausdruck identisch gleich Null oder gleich einer von Null verschiedenen Zahl, rtwa = 1. wiu'de. Diese Fälle, welche in der allgemeinen Theorie als .Vus- nahmetidle erscheinen, sind überhaupt in der I^'a.xis sehi' häutig. Damit nämlicli ein Integral mit irgimd einem zweiten comliinii't nach inul nach alle Integrale liefere, muss es ein solches sein, welches dem besonderen Problem eiuenthüm-

— 270

Hell angelK'ii't. Alit-i- du' erste-u IiitL'iii'aK-, welrlii' für f'ui V()i-_ij.vleu'ti_'S ProMeiu p;efunden wcnk-n. sind in dt-r ReüX-l diejenigen, welohe aus den alliicnu-inen Prinei[)en (z. B. der Erlialtunu; der Flächen) folgen, mithin dem 1 besonderen ProMem nicht eigenthinnhch angehören: dahci- kann man nicht verlangen, dass ans ihnen alle Integrale abgeleitet werden sollen.

Wir sehen, dass eine gewisse Polarität, d.h. eine qualitative \ ers(diie- denheit unter den Integralen liesteht. Früher kannte man diesell)e nicht, jedes Integral li'alt für gleich viel werth. tnid der einzige Nutzen, den man daraus zu ziehen vermochte, war. die Onlnung des gegehenen Systems um eine Einheit zu ei-niedriü'en. Jetzt aber sehen wir. dass es gewisse Integrale //, = A, und H., ^ h , giebt. aus denen man alle übi-igen ohne Weiteres herleiten kann. Dieser F^all ist sogar der allgemeine. Stellen nämlich die Gleichungen //, = /;,.

H., ^ h H,„ = /i,„ sämmtliche Integrale dar. und bildet man aus den linken

Seiten derselben nach Willkiir eine Function

F( 7/,. //,....//,„) = ;/,„+,.

welche vorher oeü'elien sein kann, so wird man in einer unendlich ül)erwiegenilen Mehrzahl von Fällen aus //„,+, und einem der gegebenen Integrale, z. 1>. aus -ff„,+i und //, . alle übrigen herleiten krunien. und dies ist der allgemeine Fall, da //„,+, einer willki\rlichen Constante gleich gesetzt die allgemeinste Form eines Integrals darstellt. Die ersten Integrale, die man bei der Lösung eines Problems tindet. sind aber in der Regel nicht, wie //,„+,. aus denjenigen, welche dem Problem s|)ecitisch angehören und aus den generellen, welche sich aus den all- gemeinen Princi])en ergeben, zusanuuengesetzt. sondern sie sind gewöhnlich Hin- die von generellem Hal>itus. und daher erhält man aus ihnen nirht die sämmt- lichen Integrale des Prolilems.

Die Anwendung des allgemeinen Theorems auf die freie Bewegung giel)t den Satz:

Ki'iuit iiuui zwei roii t freie Iiifeijni/c if ^ li^ und y» = A., cA-.s' Sf/sfeins

VI:

CPX;

dU

dhl,

u)id hildct iiiiui den Aii.'^dnick

('/• </') = ^

m,

'"' " dt-

?(f Olli

du_

"';

d-z, df

0(f ö Ü'

dv

'dz. '

t

d(f dd'

d.r d/-, ö^; dy, dz'.

— 271 —

Sil isf IUI .Mliji niiiiiii'ii

(V, </-) = /'. i'iii //i Urs Jiitt'i/ni/: III Iiesöiidercn Fällen hdim nhcr mich (jf. (/') mir I'iincfio)i (Iri- ('(iiistiiiitrii li^. Ir, und (Irr an Salz dir Irlimduiru Kriift T — f= /t i'or- Lniiiiiiriidrii ('oiis/iiii/r h oder riii murr Z<dilrinrrrlli und zwar mich tjleirh ^nll irrrdrii.

Aul ilioc W Cisi' kann man aus /.wi'icii ilt-r Fläfheiii^ätzc' <li^'ii ilrittfii lierli'itcii. Iliciv.u lialicii \\\v mir

(f = 2" /«,(,(;, y, — .'A-'i). '/' = —/«,(.'■,;, — -,•»■,) zu sctzt'ii. alsilami \vii-<!

— m,.i:, ' =0.

: III, .f, , ^ , = U.

fi tll r

1 I. -^ — :^ )ll, .f, ,

oz .

all)

az.

C.r.	= »i.y'i.
d(f	= — ">,.'//,
8U> d.r.	= niiz';,	dtp
da'	= —/«,;,,	Ol/

lahei'

also ist

(9, >P) = l>.

der ilritlc Fläclu'usatz.

P<)isso)i mai'lit in seiner lieri'ihmten AMiamllunii' ülier die \ ariation der Coustanteu im 1 .')'*" Hefte des Journals der jxtlyteelinisclien Srliule eine Anwen- dung" seines oben erwälmten Stiiruniistiieorems auf die Stfirunüen der Kotations- heweuung uin einen festen Punkt. Hierbei wird er genötliigt. dieselben Rech- nungsoperationen vorzunehmen, welche wir soeben genuicht liaben. Dalier ist in seinen Rechnungen die Herleitung (U's (h-itten Flächensatzes aus d<Mi beiden anderen enthalten: alnM' er erwähnt dies mei-kwürdige Resultat mit keiner Silbe.

Ai'hnlielie J-Jetrachtungen kann man anstellen, wenn man zu den drei Flächensätzen die drei Gleichungen des l^'inci]»s der l]rhaltung des Schwerpunkts hinzufügt und untersucht, aus wie vielen ilieser (i Integrale sieh die übrigen eroeben.

272

FüiifiiiHUlreissigste Vorlesung.

Die beiden Classcn von Integralen, welclic man nacii der IJaiiulfoii^idwn Methode für die racclianischen Proi.ileme erhält. Bestimmung der '\\'erthe von (q, (/') für dieselben.

Wenn von dem System der Dirt'erential;n'leicluinu;en

,,,,,, , , , , , dH dH dH hU fiJI Sil

dp, dp, (9/)„ d</, 5(7, d(j„

welches das evidente Inteü'ral H = h i)esitzt. zwei von f freie Integrale //, ^ h, und IL = hj i^egeben sind, so kann man zwar, wie wir f!;eselien haben, im Allgemeinen a priori nieht mit Ik'stinnntheit sagen, oli (II,. IL,), einer willki'ir- liohen Constante ü'leich gesetzt, ein neues Integral ist. oder ob sich (JI,.II,?) auf eine von h. h, und It., abhängige Constante oder auf eine reine Zahl und endlich diese auf Null reducirt. Diese Frage lässt sich aber vollkommen ent- scheiden, wenn //, ^ h, und //, ^ h.j Integrale sind, welche zu dem diu'ch die ILiuii/foiii^i'he partielle Differentialgleichung gelieferten System gehören. Wir werden nämhcli sehen, dass. wenn y^^ ^ Const. imd i/' ^ Const. zwei von den II<i)iv'/t(i)ischeu Integralen sind, (y, </') entweder =0. oder =+1 wird. Zwei Integrale dieses Systems geben also nie ein neues Integral. Tni diesen Satz zu beweisen, liediirfen wir eines Hülfssatzes. welcher zeigt. wa> aus dem Aus- druck (y. V'') ^\'h'd. wenn in y und y ausser den Grössen <],. q.,. ... q„. p,.

p.,. . . . ))„, noch (/( Grössen ö),. w.,. ... lo^. ... (7),„ vorkommen, welche Func- tionen von (/,. q.j. ... q„ und p,. p... ... p„ sind. In diesem Fall kann man

sowohl die nach den \'ariablen /' und q genommenen Differentialquotienten von (f und (/', als auch den Ausdruck (y, i/v) auf zwei verschiedene Arten l)ilden, je nachdem man auf das Vorkommen der Variablen p und q in w,. w.. . . . O,,,

Rücksicht ninnnt. oder nicht. Bezeichnen wir diesen lieiden Bildungsweisen gemäss die DiflFerentiakjotienten von y und i/' mit oder ohne Klammern und den aus <f und i/' gebildeten Ausdi'uck mit doppelten Klammern ((y, i/')) oder mit einfachen Klannnern (y, y). so ist

Die nach / iienommeneii Sunnnen erstrecken sich auf die \\ erthe 1. 2. ... //,

und lüi- i\\{- (■iii;;('kl:iiiiini rtcii l)illi-iviiti;il(jii(itii-iiteii in (2.) gulti-ii die ( ilcicliiiiiiieii

l^j \_ ä(j ^. '(j rc5^ ( rtl> \ _ c<t}i c<(/' cüSr

\ dp. } cp^ "7 r'S'j cp. ' V S]K ) cp. , 8tü^, c^p^

( S(/ \ d<f> dtf otSt ( r>*l' \ ^"•'.'' y. '"'''-'' i^rai

in wcIcIkmi ilir Snnnneii nacli / und / ' von I i>is /// zu ucinncn sinil. Wenn man diese Auifdrückc in (2.) snhstituirt . so erhält man als li'esiiltat eine ein- t'aelie Siunnie nacli /'. eine doiiiielte Sinunie uarli / und / (mlei- /') mid eine dreifache Sunnne nach /. / und / '. V.> wird nämlich

^ / f<y 0(/' c-raj. C(f riü< Öc3j \ yi^^' '^'f ^''* '^'*''' "^'Z '^^''~' i

~ T V^/J, fW^. Ö7. (3(/. ÖCT^, Ö/>, / , i V C/^ ÖRJ^ 57. C7_ ÖWj. 0/7_ I

T if cra^ oi^^, \ öy. d(p Sp. d<i I '

oder wenn man in den doi)|ielten und ih-eii'achen Smnmen die Ordnimi;- der Summationen umkehrt mid die in (?k) begebene Detinition <ler in einfache Klanunern eingeschlossenen Ausdrücke von der Form (<^. (/') herik-ksichtigt.

ii.'i, «/')) = (y. V)

_L V V '^y '^•'Z' r- - >

k k' CöSi,. eis,,.

Da die Summationen nach /■ und /' auf dieselheu \\\'rtlie I Ms ;/; ausge- dehnt werden, so kann man in der ersten Sunnne der /.weiten Zeile /. statt /.' schreiben. In ik-v dritten Zeile verschwinden die Glieder, für welche ilie Werthe von / imd /,' /.usannneni'allen. wegen des Factors ((D^. w,j: von den übrigen (iliedern kaim man je zwei zu einem vereinigen, da (ß)^. (5;) =^ — («>^. (7),.) ist. Daher braucht man die Sinnme nur auf die Combinationen je zweier von einander verschiedenen Werthe /. / ' zu l)eziehen und erhält dami (cD; . ü)..) in

( Ott diii öäi 6u \ , . ,. . , . , . . 1 1- 1- 1

l^r^-^-^— • =r^^ — T^ mnltiiMicn-t: also eririeljt sich schliesslich

l ; äiSt ^^ t vüSk ;.f V c-"5v öüjj. d^k öcj^','

Des späteren (Tebrauchs wegen wollen wii- die Formel (4.) specialisireii. .lacobi. Werke. Siipplementbaiui (l>ynr»inik). 35

— 274 —

indem wir für die (Trossen (D,. tw.. ... CO,, die bereits t'riilier*) betraeliteten )i von willkürlichen Constanten freien, nur von den Variablen q^. q.,. . . . q„, Pi. ])-,. ... ji,, abhängigen Functionen 77. II,. ... 77„_i setzen, welche, » von einander unabhängigen willkürlichen Constanten h. h,. ... Ji„_j gleich gesetzt, die Variablen p,. p.., . . . p„ dergestalt als Functionen der Vai'iablen </,. q.,. . . . q„ bestimmen, dass

ein vollständii;es Differential und sein Integral eine vollständige Lösung V der

partiellen Differentialgleichung II = h wird. Alsdann ist, wie wir gesehen

haben, identisch

(7A,77;.) = 0.

folo-lich verschwindet in der alluenieinen Formel (4.) die nach /'. /' li'enom- niene Doppelsuunue. und wir erhalten

(.0.) ({q, uo) = (y^ ^')-^^ {-jf-^ i<{^ ^'^~-f 'm; ^"^^ ^*^'

w(i die Summen von /= <) bis k ^ ii — 1 auszudehnen sind.

Specialisiren wir nun diese Formel noch mehr. Nach unserer bisherigen Annahme enthalten die Functionen (f und </' die Variablen p und q erstens explicite und zweitens implicite vermittelst der Grössen 77. 77,. ... 77„_, .

Nehmen wir gegenwärtig an , dass die Functionen (f und )/' '^i<? Variablen p nur in der letzteren Art. also mir implicite enthalten, eine Form, welche durch Einführuna; der n (Irössen 77 als neuer Variablen an Stelle der )i Grössen p immer zu erreichen ist. Da mithin '/ und i/' lediglich in </,. q... ... </„, 77,

7/i. . . . 7/„_i ausgedruckt shid. so tritt unter ilieser Hypothese eine wesent- liche Vereinfachung iler in Gleichung (ö.) vorkommenden Ausdrücke

ein. Die Differentiahiuotienten ~^, ^^-^ verschwinden für jeden Werth von i. es wird

*) S. zweiunddreissigste Vorlesung, p. 250.

I

27Ö

1111(1 ilci- allgemeine Aiisdi-iick (.">.) von ((y:-, i/')) uiiiimt jetzt die eiiil'aelie (iestalt an:

In iliesir (lieieliiiiiL; ist die S|M'cialisinmii: des Hülfssatzes (4.) eiitliulteii. deivii wii- uns liei ISetraclitun^ der Iluiiiillnn^Aww l'"ui'ni dei' Inte^i'ale zu bedienen lialien. I in initef diesen X'ni'aussetzunuen die Inteni-ale des Systems dei- Dille- rentialüleichnniien (1.) in der //c///////<'//sclien Fni'in vollständii:' Iiinziischreilien. seien, nntei- üeiKelialtunji" der soi-lien ij,('lirancliten IJezeielmnn;:'.

// = /,, //, =/, //„_, =/,„ ,

die Gleif'lnmu'en. welclie die \'arial>len /;,. /<._,, ... /j„ so liestinuneii. dass

eine vollstfindiue L(')sunü' der partiellen I )ill'ei'entiali:leielninii' // = // wird. l)ann sind, wie wir wissen*), die Inteii'rali^leichunucn des S\-stems (1.) in dei- Ih'- wiltiDt^chvw l'^orm:

(<•)

dV

dV dh

= /', ■

dv

p.r

t+h\ -^,- =i'\, ..

dV

WO /i'. h\. ... A|,_, neue willkürliche Constanteii liedeiiten. Aher diese Tn- te'ii'ralgleiehunü"en sind noch nicht >;imnitlicli nach den willkürlichen Constanten aut"gel()st. \ n\ sie nntei' dieser I'oimu d. h. nach unserer 'rerminologie als liiti- f/ra/e zu erhalten, stützen wir h'ir die erste Hallte der liitegralü.leichuni;eii (7.) die (himit gleichhedeutenden Integrale

// = /,, 7/, =/, //„.., =/,„_,,

und in die zweite ll/ilth' dei-sellien. welche hereits nacli den willküi'lichen Con- stanten /;'. //, . . . . /;',_, ani'gelöst sind, substituiren wir liu- //. Aj. ... /(„_, ihre Wertlie //. //,. ... //„ , . l)aini ergehen sich, wenn //'. //,'. ... //„'_, die Functionen dei- \'arial)len 7,. </.. ... (]„. //, , p.j. ... //„ hezeiclmen. in welche

durch diese Suhsiitution die (Trr)ssen

dl' dV

]'

ühergehen. die in

6// ■ c"//, ■ ■ ■ " ^/,„

der zweiten Zeile des Systems (7.) stehenden Integralgleichungen in Form der Integrale

ii' = t+i,\ H[=h\, /!■ = /<:, ... y/;,_, = y);_, .

*) S. zwanzigste Vorlesunir, p. 157.

— 27(; —

Die Gi'üs^;en //'. //,'. . . . //„L, enthalten die Variablen j)^. ji.,. . . . ]>„ nur Im- jilicite vermittelst der (Trossen //, //, . ... //„_i. denn die Function T und deren

Ditierentiahiuotienten -,^7— .-^^^ — , ... -^, sind lediiiTich von (/,. (/.,. ... q,,,

' öh 0/1, 0'ln-\

h. //|, ... /?„_, abhängig, uml daher die (xrössen H' , //,'. ... IT„_x Itidiglich

von den (Trossen <y,. q... . . . </„. //. //, . ... //„_,. Es sind also //', //,'. ... Hl_^

genau von derjenigen Form, in welcher die (xrössen (f und 1/' in (41eichung (6.) nach unserer Aimahme dargestellt sind. Dasselbe gilt, wie sich von selbst versteht, von den (Ti'(')ssen //, H^, ... i7„_, . wenn wir sie als Functionen ihrer selbst betrachten, nur dass alsdann auch die Varialilen (/,, r/.. ... «/„'nicht

explicite in ihnen vorknnnnen. Auf Ausdrücke der Form {{Hl. H'ßf) oder ((//„. //-;))• '^*^'i'^'" dop])elte Klannnern wir von nun an zur Vereinfachung der Bezeichnung fortlassen werden, lässt sich also die Formel (H.) für {{(f. 1/')) anwenden.

Wird in ((i.) zunächst (f ^ //^. (/; = IJ'ß. gesetzt, wo <( und ß Zahlen aus der Reihe 0. 1. ... )i — 1 bedeuten, so ergiebt sich

Aber nach der Detinition der (xrössen Hl ist

3V . ■ , vorausii-esetzt. dass in -— füi' die (Crossen h, die Cmissen //, ""esetzt werden.

Da aus der zur 15estimmung von I' dienenden (41eichung

für den Dirt'erential(|uotienten von V nach /;„ der Werth

d V ri dp, , dp.. , ö/J„ X

folgt, so ergiebt sich hieraus durch [lartielle Ditieivntiation nach <y,

d(j. Ph,,

also nach Ersetzung der (rrössen h^ durch die entsprechenden (irössen' H^

dir dp.

Mit Benutzung dieser (Gleichung erhalten die in Formel (8.) vorkonnnenden

277 —

iKii'li / fi'i'iKniimnicii SmiiniiMi dir ciiilarlini \\ ri-thc

T' -^v, ci/', r cy-, "677,, 0/7« '

"^ r;«y ci/J. , Bp. dJJß dll-;

und (cS.) urlit filier in

oder jla . ,, Ifii- alle \'(>ii « \n'rsfl)ic(lciu'ii Wrrtlic \'mi /' Ncrscliwimlft . für eil:

/■ =: a aller Avv |->iiilieit iilcicli wird.

{II.. il,) - .//_ . Qj^_^

Die rechte Seite dieser ( 1 leiellllllii' ist i^leiell Null: denn lie/eicluiet I ' die l'nnctidu. in welche V ül ergeht, wenn die (ir(")ssen /t^ durch ilie eiitspreclien- deii //, ei'setzt werden, so ist

'i

dV ,„ dV .., dV - ,,- rjV

Jl =

also

" ~ dll ' ' 077, ' "-• ~ <•//.. • • • ■ " dH„

dl,', __ c*JI^

'6ii,i ~ tili:;

und liiei'aus Inlul :

. ' . . '>

(//„,//-.) = o.

Setzen wir nun. um Ausdrücke \iin dei- Form (//J. //.) nin/.iifoi'men. in (().) I'üi' (f und (/' die \\ erthe (f = //'. 1/'^ II',- ^" t'i'.U'it^'ht sich

(Kl.) („.. /,,) = -^■^/;L^iLf':_4« +^l^i i^i* . * ö77^ , dl/- dp. T di'i^ ' f^f/,. cp.

.Mit Heiiiit/unu- von (ileichnna; (!).) erhält (He erste liierin vorkommeiKle. nach / ü'enonunene Summe den Wertli

T ti(/. dp. T dp. dH„ dll,,

Die zweite nach / ixenonuneiie Summe daü't'iien \ersch windet: deim da wir lue (irössen </,. </.,. ... (/„ und //. //,. ... //„_, als unalihäiniige Variable an- sehen, so eiithrdt // kein (/ . und die I )itl'erential(|Uotienten -.—- sind sänimtlich

ö(y.

— 278

jrleich Null. Auf diese Welse geht Gleielunig (10.) über in

vUfl dlh _ c<IJß

(Ha, Hß)

'-¥ SH, dH^

öH.. '

I da

umi tia

üleicli (I oder gleich 1 ist. je nachdem /i von (i verschieden oder

demselben gleich ist, so hat man t'iir je zwei von einander verschiedene Werthe von « und /i

(E:,iiß) = o.

dagegen, wenn a = ß ist.

{ICIL) = -1.

Endlich ist nach den Bedingungsgleichungen, durch welche die Grössen

H delinirt werden.

(i7,„ 7/0 = 0.

Wir halten also für die Grössen H^, und H'^ folgende identische Glei- chungen erhalten:

(H,,H,^ = 0, {U:,U'ß) = 0, {HaJi'ß) = 0. von welchen die beiden ersten ffir alle Werthe von « und /i gelten, die letzte aber nur fiir vcjn einander *'erschiedene Werthe von a und /y, während für a ^= ji die Gleichung besteht:

(iia,ii:) = 1.

Man kann diese Resultate in folgenden Satz zusammenfassen:

Es sei das System der isoperimetrischeil DifferentialgleicluüKjen

ihj, _ dH dq., _ dH (iq„ _ cH

(10

dt dp, ■ (/;■

dj)^ _ _ dH_ dj)^_ ^dt ~ ö</, ■ dt

dH

dt

dt

dH

dq„ ' Clt C(J^^

vorgelegt, in welchem H eine gegebene Function der Variablen q^. q.2, ... q„, 2^1. Pi, ... p„ bedeutet, und icelches fi'ir H^T — U in das System der Diffe- rentialgleichungen der Dynamik im Fall der Geltung des Princips der lebendigen Kraft übergeht. Man betrachte die partielle Differentialgleichnng

n = h,

dV

, , dV dV

in welcher />. == -,-, — . p., = -^ —

07, -' ' 05,

P:

d'l„

gesetzt ist, und auf welche sich

das System (1.) zurückführen lässt. Es seien

H,=h^, H, = l,.^, . . . H„_, = h„.

■27'.)

(Itc (ik'icIiniKicii . wc/c/w mit 11 =^ k znsdiiiiiii-n y*, . y>„, . . . j/„ so (tis Functionen von Yi, q.j, . . . (y„ Iwutunnten, da.ss

ein follsldndKjts hi/l't'/'i'iitni/ iiiid sein Inlfijrnl

V = I ( /', -Ay, -t-/-', '/'/, H hy,, < A/„ )

cnii' x'oUst(lndi(j(' IJ'isinni der pnrtnd/en J)ilferentia/(//cic/ii'/i(j // = h n-ird. lie- zeichnet man nnn ntd II' , //,'. . . . //„'_, die Functionen der Varitiblen ry,, q... . . . y,..

/', . p.^. . . . /)„. in irc/r/if die J)ijferenfiii/<pii}/ienfen

dV dV

dV

i'iher-

dh ' 6'A, ' • • • BK_, yehen. wenn die Constunten li. //,. ... //„_, durch die Functionen II, II,, ... //„_, er.s-etzt icerden. und stellt nwn das zum Si/sfem der Di/ferentin/f/leichnngen (1.) //e/i'irende St/stetn der Inteijrali' in der //min/toiisc/ien Form. d. h. in den (ilei- c/inni/en

II =/,. //, =/,,. 7/, =A,. . . . lh_, =A„_,,

ii'^f^h\ ii\ = h\. J{^ = /'[. ... //', = a;,_,

(iiif, so luihen die 'In Functionen IL II,. ... JI„_,. IF. II[ . IF„_,, icelche die Unken Seiten dieser Inteijrn/e hdden, die FnjenscIwJ't, dnss, wenn man in dem .[iisdriic/i

da dUi da dü) da dW

('/, 10

c/l. vq., dtp 8(f dip d(f

dif) d(p dp dii

öl\ oq, dp, dq,

jiir <f lind ifi injend zwei ron den '2n Grössen 11, II ,. ... //„_,. //'. //,'. ... //,'_, setzt, derselbe rerschwindef. mit einziger .{nsudlime dir Comhimitinnen ron II und IF. II, lind Hl. ... //„_, lind II',_,. deren jede, j'i'ir if und (/» (jesetzt, den .[nsdriick ((/,, if.i) de)' Einheit [//eich nuicht.

Vonnittelst dieses Satzes kann man sehr eintaelie Formeln lur die \ ariation dei" Constanten aiil'stellen, was den (legenstand der näelisten XOr- lesima" bilden wii-d.

Seclisuiuldrcississte Vorlesini!?.

Die Störunsjsthcoric.

Wenn man in der Dynamik die TluMtrir der X'ariation der Constanten anwendet, so nimmt man an. das> sich (his System der Din'erentialiileichiiniieii

— 2Sit —

der Beweiiiuiij; äiiilei-t. iinleiu zu tk'r charakteristisclie'ii Fitiiftiuii // eine Str»-

i'inigsfLinction i2 hinzukommt, welche ausser den Variablen 7,, q... . . . (j„. /),.

po, . . . p„ auch die Zeit / explicite enthalten kann, dass also die Difterential-

o"leichnn<ien in folgende übergehen:

'l<Ii __ QU da <!]>, _ öH cQ

^ '■' dt dp^ ö/<_ ■ i/t G'/^ cvy

Ist ntni a gegen II sehr klein, so kann man die Werthe der Variablen />, nnd q, im ungestörten Problem (für £i = 0) als Näherimgswerthe ii'ir ihre Werthe im gestörten Problem brauchen und die neuen Werthe von /*, und </, so dar- stellen, dass sie dieselbe analytische Form l)ehalten. dass aber an die Stelle der früheren willkürlichen Constanten (oder Elemente nach astronomischem Sprach- gebrauch) jetzt Functionen der Zeit ti'eten. Statt, wie im ungestörten Problem, die Cirrössen ji, und </, als die zu liestimmenden Variablen anzusehen, sucht man im gestörten vielmehr diejenigen Functionen, welche an die Stelle der alten willkürlichen Constanten oder Elemente treten . d. h. die gestörten Elemente werden die A^ariablen des neuen Prolilems. Dies gewährt ilen Vortheil. dass man als erste Näherung nicht Functionen der Zeit, welche constante (Grössen enthalten, sondern die Constanten selbst, die Elemente des ungestörten Pro- blems, erhrdt.

Es kommt nun darauf an. die Differentialgleichungen der gestörten Elemente aufzustellen. Erinnern wir uns zunächst an die Hami/fonsehe Form der Intearale des unoestöi'ten Problems, also an das in der voi-inen Vorlesuns; betrachtete System

(// =/,. 7/, =/r. ... //„_,=/;„_,.

^^ \B' = //-\-t. n\=h\. ... //„'_, = //;,_,,

und bezeichnen wir irgend ein von t freies Integral des ungestörten Problems mit

(/ = rt, wo (f eine von willkürlichen Constanten nicht afticirte Function der Variablen (/j, (/,,, ... (]„, j>^. pi. ... p„ und (i eine willkih-liche Constante bedeutet, so dass sich y als Function der 2/; — 1 Variablen //. //, . ... //„ ,. //,', ... //,|_, mid a als die nämliche Function der 'In — 1 Constanten li. h,. ... h„_i, h\, ... /(!_, darstellen lassen muss. Im gest(")rten Problem ist a keine Constante mehr, da "rfT

also nicht mehr gleich Null, man erhält vielmehr unter Benutzung der

da

Differentialgleichungen (1.) für —- den .Ausdruck

— 2KI — da _ '^"Z rj(f ilq, b(f >IP; \

dt ~ r", \ <5</, "(iT'^'df^ dt )

_ yf d(f si/ _ d<i 01/ \ -£/ s<f an _ b<f en \

,=1 V 07, o/', öj> c'7, / , ;i ^ d<{^ dj\ Vji^ c'i I

oder, was dasselbe ist.

(3.) % =(II,y)+(P.,<f.).

Da <f -^ II fiii von / freies Iiitei:i-ai des uiii:e>tiirteii ProI>Ieiii> ist. so ireiiü;,ft <f

dei- liiieai-eii partiellen Dirterentialiilei(dimiu- (//. '/) = i'. und iUt Aiisdrii<-k rediicirt sieh aul'

Die reclite Seite ilieser (Tleieliuiiu- enthält ausser dem in Si explioite vurkoni- inenden / die '2 11 \'ariaMen «y,. q... ... (/„. />, . ji.. ... }>„. t'nr welche wir

jedoch die '_'// Fmictionen //. // . ... //„_,. // . //, . ... //,'-, dei-selben al>

neue Vai-ial)le i'inführen wollen. Die Kintuhruny.' der neuen Variablen in ii. giebt für (i2. y) die Transformation

(4.) (ß. <!) =*£' Ifi (Ih- '/)+£' '{ni<^'^' ^>

Führen wir die neuen \'arialilen auch in (f ein und ln-rücksichtiücn . ilass if

von der einen derselben, von //'. unal)häu<iiii' ist. dass also .~r, verschwindet.

- ' oll

so erhalten wir für die Ausdrücke (//^. y"). (//j, <fi) die Transformationen

Al)er nach dem in der vorigen \ orlesung liewiesenen Satze verschwinden tlie sänuutlichcn Ausdrücke (JI^, II). (//,.//'). (//'•//.)■ (//;'. //') niit Ausnahme derjenigen (//;. //,'), (///, //J. in welchen / und .••■ denselben Werth haben, und von diesen werden die ersteren der positiven, die letzteren der negativen Einheit gleich. Dadurch rediiciren sich die .Vusdrücke von (//;. (f). (H-,. (f) aui' die einfachen Werthe

H

Jaoobi. Werke. Supplcineiitbancl (Djuamik). 36

— ^s-> —

In Folge dessen geht Gleichung (4.) i'iher \u

(„ „^ _*=r' _iß_ _^!t_ _'^v"' JIL Jv_

und Gleichunu; (3*.") siebt für — r- schliesslich den Werth:

7a _*="-' da C(f *=;7i ri2 öf/

(^•) ,/* -^ ;3 w ;; 17' ^

dt ^, ÖH^ aHl ,% dHl dH^ Die partiellen Differentialquotienten der Störungsf'nnction sind hier in die

Grössen , .,, und ^-77— mnltinlicirt. also in Ausdrik-ke. welche die Zeit nicht

öUl ö//, '

explicite enthalten, da t in <f nicht vorkommt. Dies ist der heriihmte Pols-

.?on-sche Satz.

Specialisiren wir die Formel (5.). indem wir für (f die einzelnen Grössen

H. //, , ... i?„_, , H[. . . . i/J_i und demgeniäss gleichzeitig für a die Grössen

A, /f, . . . . /(>,_,. h\. . . . }i'„_^ setzen, so erhalten wir für /■ = 0. 1. ... u — 1

(6.) ''^- - '■"-

und für /,■ = 1, ... 11 — 1

Es bleibt jetzt noch übrig, dasjenige Integral des ungestörten Problems zu betrachten, durch welches die Zeit eingeführt wird. d. h. das Integral

//' = //li-t. Da jetzt /«'-+-/ an die Stelle von (/ und H' an die Stelle von y tritt, so ver- wandelt sich Gleichung (0.) in

dh'

dt	ÖHI
dhl	da
dt ~	sih

dt

und da (i7, //') ^ 1 ist. erhält man

dJi'

dt

eine Gleichung genau von der Form (3*.). nur dass h' und H' an die Stelle von a und (f getreten sind. Indem man in Gleichung (-i.) ebenfalls H' ah die Stelle von (f treten lässt. ergiebt sich (SL 11') gleich dem partiellen Differential-

(juotienten ^fr • und man erhält daher schliesslich

dh' _ _cfi_

dt ~^ d/I '■ d. h. Gleichung (7.) gilt auch für /.■ = Ü.

— ■2h:\ --

Die (Wciclmii^X'ii (ß.). wclclir tili- das iiiijivstörtc ProMcin flas System sciin'i' Intcü'rali' ilai'stcllcn. sinil i'ür das i^cstörtA' um- ilic Dctii)itioiis^lcicliui)'reii dor iioiK'ii \'arial)l('ii h, //,. ... /(„_,. /'', /(',. ... /<!_, imd die-iiLMi dazu, dit- alten Varialdcii 7,. r/.,. . . . r/„, />,. jt.. . . . /;„ oder deren Functionen //. //,. . . . //„..,. //'. //,'. . . . //„'_, dui'cli die neuen \ arialilm auszudrüekcii. Inflein man diese Sulistitntinn in der Strirnni^slinietion \'i)i-imnin1. also in dersidlien //.

//,. ... //„_,. //', //;. ... //,;_, duivh /,. /,,. ... />„_,. i,:^t. /,;. ... /,'^, ,.,•-

setzt, so dass il eine Finietion der '2ii-^\ \'ai-ialilc-n h. lt.. . . . Ii ,. h' . },' h'

I 11 — I \* • • • "- tt — 1

und / wird, gellen die Ditl'erentiaLuotienten

o.Q

rii ■ ff» aii . ,

1" -r^ ^i.- "'^er.

und man erhiilt l'iu' dii' \ arialilen. wcjelit' im gestöi'ten Prolijem an die Ste der (Jonstanten des miiiestiirten treten, die Diircrentialgleichuiiuen

<M _ dn ilh^ _ _ Gii dh„^, da

(8.)

g.Q dh\ dh ' dt

dh. ' •

dt dt

öh'„_i 6.0

Dieses System ist von der nämliclu'ii Form, wie die Difrerentialülei-

chimgen der heweiiunü' des im<restörten i^rolilems. nur da.ss an die Stelle der

Variablen 7,. 7,. ... </„. /),. ji... ... y/„ und der Fimction // der-selben die

Variablen /i. Ii /'„-i. I>' • li\- ■■■ li'„--[ niid die Function — .<2 treten, von

denen die letztere noch überdies die Zeit / e.xplicite enthält. Die Inteijration

dieses Systems ist daher nach den früheren allgemeinen Beti'achtungeii *)

gleiohljedeutend mit iler IJestiimnung t'iner vollstämligen Lösung der partiellen

Difrerentialgleichung"

^-0 = 0. ot

welche, nachdem die Variablen //. h\. ... /i|, , ilni'ch die Diirerentiahjuo-

tieiiten --,— , ^vr— . -.. ■., ersetzt wonlen smd. > als l'unetion von /. /i.

all d/i, ' ohn-\

/',. ... /(„_, detinirt.

Die hier aufgestellten Differentialgleichungen des Störimgsproblems stimmen darin mit den von La(/n/>if/e und Laplticf gegebenen Differentialgleielmngen überein. dass die gestörten Elemente die gesuchten Variablen sind, und dass die rechten Seiten der Differentialgleichungen durch die Differentialquotienten der Störungsi'unetion nach den gestörten Elementi'u ausgedrückt werden. Aber

*) S. Zwanziyst.' VnrU^^nn? |i. l"i

ob

— 284 —

bei ihnen kommen im Allgemeinen in jeder Diffei-entialgleichimg alle Diflf'e- rentialquotienten fler Stöi'ungsfunction vor. nnil die Coeflicienten derselben sind Ausdrücke der Form (y. (/'). deren Bildung sehr mithsam ist. Das Nähere hierüber findet man in IjKjrdiKjri^ Mecanique analyti(|ue. in welcher die Weit- läuftigkeit der nothwendigen Rechnungen mit dei' grössteu Geschicklichkeit ab- gekürzt ist. sowie in Kucken astronomischem Jahrbuch von ISoJ. In dem ein- fachen Falle der planetarischen Störungen ist man nacli <li'ii älteren Formeln genöthigt, In Ausdrücke von der Form Qf, )/') zu berechnen. .

Nur dadurch, dass wir die Elemente des ungestörten Problems gerade in der For-m genoinmen haben, wie sie die HamiIton?.che Methode giebt, ist es uns m(")ü-lich ü-eworden die Differentialgleichungen so zu vei'einfachen. dass in jede)- um- eiu Differentialquotient der Stc'irungsfunction vorkommt, und dass der Coef'ficient desselben sicli auf die positive oder negative Einheit redueirt. Diese Wahl der Elemente ist von der grössten Wichtigkeit: deshalb haben wir bei der Bestimmung der Planetenbewegung durch die Hdiiiilfonsche Methode die dort eingeführten w'illkürlichen Constanten ihrer geometrischen Bedeutung nach genau erörtert.

Anstatt die Varialilen h^ und h[ fiir die urspriingliclien Variablen /), und q, in das Svstem gewöhnlicher Differentialgleichungen einzuführen und so auf

indirectem Weae zu der ijartiellen Differentialgleichung -7- i2 := tl zu ge-

langen, w^erden wir uns im Folgenden die Aufgabe stellen, die Einführung jener neuen Variablen unmittelViar in der partiellen Differentialgleichung

(9.) 4|--^7/^-ß = 0,

<lie zum Störungsproi)lem in seinen ursprünglichen Variablen ausgedrückt gehört, zu bewerkstelligen. Imlem wir hierbei von der zum ungestörten Problem ge- hörigen partiellen Differentialgleichung

(10.) i^4-yy = u

eine vollständige Lösung T^, als bekannt voraussetzen, welche zur Bestimmung dei- neuen Variablen //^ und h[ ei-foi'derlich ist, werden wir ^'on der partiellen Differentialgleichung (9.) unmittelbar zu der partiellen Ditferentialgleiclumg

(11.) ^-^ = ^

iiberiiehen.

— 2^:. -

Die [iMiticIlc I)ill'('i'eMtial<ileicliiniL: (0.). In welcher die Grössen }>,. I).,. ... )>„ (liircli <iic |i;irtu'lli-ii Diflereutiakiiiotieiitei) —. — . —. — . ... -. — er-

setzt sind, ist lilelelibedeiiteMd mit dci' totalen DifVcreiitialüleicliiinir (1-2.) dV = —(J/-^fi)(n-^p^,l<j,-{-p,(/'j,-i \-j>,d^j„

\v(i in // und Si wieder ii,. ii /'„ an die Stelle von -^' . -tt — . . . . -r^, —

Uetri'ten sind.

ln<KMn wir als nene \ arialtle die Finictionen einführen, welche im un- ijestörteii l'i'oMcm willki'irlichcn Constanten gleich werden, hahen \vii- eine Snh- stitntion zn hewei'kstelliuen . welche \o\\ derselben Natnr. wie die in der eln- undzwanziusten Vorlesnnu' betrachtete, alier allfienieiner als jene ist. Im vor- liegenden Falle wie dort sind nicht nin- für die unabliänüiuen Variablen (/,.

q (/,. / und 'iüv die j^esuclite Finiction V derselben neue Vai-iabh- einzu-

fiihieii. sondern die ni-uen \ ariableii sind nocli iiberdit's \un y*, . p.,. ... />,

d. h. von den nach </,. q... ... q„ benommenen Difllerential(|uotienten von I

abhäniiisi". Die in lu'de stehende Transl'oi-mation jjeschielit folnendermassen: l)ie partielle Difierentialiileichung des ungestörten Problems ist

(10.) ^"+/^ = ^>'

welche wir in der einundzwanzigsten Vorlesung*) diu-ch die Substitution

auf die Gleichung

// = h

zurüekgefiihrt hal)en. Die vollständige Lösung W dieser partiellen Difllerential- gleiclumg ist eine Function von </,. q.j. ... (/„, welche ausser /( noch die /t — 1 willkürlichen Constanten /(,, /i.,, . . . /;„_, enthält. Haben wir sie gefunden, so ist das System der Integralgleichungen des ungestörten Problems: üW _ elf _ d\V __

BW ,, dW ,, cW

Da /(. /( . ... /(„_, im ungestörten Problem Constanten sind, so genügt TP der totalen Differentialgleichung

,/ \V = p^dii^^p.Jq„-\ V-i>,dq„.

*) p. 16Ö.

f-; = w—ht

— 2«6 —

Im Stöningsproblein dagegen treten an die Stelle der willkürlichen Constanten Functionen der Zeit; h, A, , ... /;„_, werden variabel, und es kommt zu dem vollständigen Dift'erential von TF die Summe

dW „ dW „ dW „ dh 4- -^7^- dh.-\ h —, (/Ä,„_i

hinzu. Man hat also im Störungsproblem

(13.) (i W = ;j, (/(y, -hp,(!q,-\ ^P„<lq„-^{f+h')dh^h\ dh^ -^h\dh.,^ (-/'Ui'tt,,-! •

Diese Gleichung wird durch die Integralgleichungen identisch erfüllt, wenn man die früheren Constanten als variabel ansieht, d. h. wenn die Integralgleichungen nicht mehr die des ungestörten, sondern des Störungsproblems sind. In demselben ist also diese Gleichung eine identische. Daher wird die totale Differentialgleichung (12.) für dV nicht verändert, wenn wir die Gleichung (13.) für dW von jener abziehen. Nehmen wir die Differenz mit entgegengesetztem Zeichen, so ergiebt sich

d{W— V) = {H+n)dt-^{f^h')dh+h\dh^ -+-Kdk-i h/'L-KM,,-..

Durch die Integralgleichungen des Störungsproblems wird aber auch identisch . H^h, folglich ziehen sich die auf der rechten Seite stehenden Glieder Hdt-htd/i in d(ht) zusammen. Indem wir diese Grösse auf die linke Seite bringen, er- halten wir

,/( w—ht— F) = ndf+h'df,-i-h\ dh^^ hÄ;>-if/Ä,.^i

oder, wenn wir

W—ht—V= V — V=S setzen,

dS = ndt+h'dh+h\dh^A \-K^idhn-i,

und diese totale Differentialgleichung ist gleichbedeutend mit der oben erhal- tenen partiellen Differentialgleichung

(...) §-«=0.

in welcher die Grössen h', h[, . . . /(',_; durch die Differentialquotienten -^y-, -~r-- , . . . -^, zu ersetzen sind. Endlich ist die partielle Differentialglei- chung (11.) diejenige, auf welche sich das System gewöhnlicher Differential- gleichungen (8.) zurückführen lässt. So sind wir auf dem kürzesten Wege zu

2H',

d/t bii 'dt ~ ~ vh' '	d/,, _ dt ~	c.Q - öh\ ' •	dh„_, ■ ■ dt	_ SS2
dh' cii	dh\ _	a.Q	dK_,	dn
dt ~ öh '	dt	- r/,, • •	dt	&hn-i

demselben Svstem von DifferentialfrleichiiriLfen (8.)

iielanjrt. welches wir fVi'ilier auf aiideiTin Wejre iieiiuidon hatten.

Dieses System von DiUerentialgleichnngen «lewährt den X'ortheil. dass man die erste Correction der Elemente dnreh blosse Qnadratnren findet. Dieselbe ergieltt sich, weim man in Si die Elen)ente als constant ansieht und ihnen die Wertlie beilegt, die sie im unjiestörten Problem hatten. Dann wii-d £i eine blosse Function der Zeit /. und die corrigirten Elemente werden durcli blosse ^ihunli'aturen erhalten. Die In'stinnnimir der höheren Correctionen ist ein schwieri<i"es Prolilem. aiil' das hier nicht einü'eganifen wei-<len kann.

Es pilt noch ein anderes merkwiirdices System von Formeln, welches sich ebenfalls auf die Einführimü" der Constanten /;. /(,. ... //„_.. //'. h'.. ... //|,_, als Elemente bezieht. Von den beiden Hauptformen, unter welchen man die Inteijralsrleichuncen darstellen kann, haben wir nämlich bisher dieienice

H = h. //, =/,,, ... •//„_, = yi„_,, //' = i,'^t, n[ = f,\, ... //,;_, = /,; ,

betrachtet, in welcher die Gleichungen nach den willkürlichen Constanten h, und h[ aufgelöst und die Grössen II,, und Hl lediglich Fimctionen der Variablen ^, , q.j. ... q„, j)^. p.^. ... p„ sind. Die zweite Hauptform ist diejenige, in welcher die 2/< VariabU-n ^, . </.,. ... </„. /;, . p.,. ... p„ als Fimctionen von / und von den Constanten /;. /;,. ... /*„_,. h', h[. ... /il_, dargestellt werden, 'le nachdem man die eine oder die andere Form wählt, hat man es in der Störungstheorie entweder mit den partiellen Differentialquotienten der Grössen //j und fll nach den \ ariablen q, und p,. oiler mit den Differential(|Uotienten 1er \ arialilen (j, tmd p, nach den willkürlichen Ccmstanten hf. und //;. zu thuii: h. man niuss entweder, wie hrmoJi, die DifferentiahpKjtienten der Functionen, welche den Elementen gleich werden, nach den \'arialilen bilden, oder, wie Luyniufp'. die Difierentialquotienten der \ ariai)len nach di'u Elementen. In jedeni Fall hat man ein System von 4//- DifFerentialijuotienten zu l)i]den. Die Constanten //, und h\. welche man dui'di die lhnnilt<jn<-c\w Form der Integral- eleichunuen erhält, haben nun au.-sei' den schon anueführten merkwürdiiren

— 288 —

Eigenschaften auch noch die. dass beide Systeme von Difterentialqnotienten entweder gleich, oder entgegengesetzt werden.

Nach dem in der vorigen Vorlesung bewiesenen Satz hat mau nämlich:

l(iH„H)=o.,(R„u, )=o....(//;,i7,_,)=o,(fi;-,s,)=o,(Ä;,Ä;^,)=o....(5.-,s^,_,)=o.

In diesen 2/? Gleichungen sind die 2n partiellen DitFerentialquotienten von H^

dq, ' oq, ■ ■ ■ ■ &q„' ÖJ\ • dp, ' ■ ■ ■ Öp^ '

die wir als die Unbekannten des Systems ansehen wollen, linear enthalten. Als Coefticienten dieser 2/; Unbekainiten rinden sich in den Gleichungen (14.) die 2?? Grössen

SH 811 _1K. HL HL og

und die entsprechenden aus der partiellen Diiferentiation von H^. H.,. ... H^_^. H'. H[. . . . H'_i. H,', H'^i. . . . //,,_, hervorgehenden Grössen. Auf der rechten Seite der Gleichungen (14.) steht überall Null, mit alleiniger Ausnahme derjenigen Gleichung', deren Coefficienten Ditferentialquotienten von R- sind, und in welcher die rechte Seite der Einheit gleich ist.

Das nämliche System von linearen Gleichungen, d. h. ein System, in welchem die Coefficienten und die rechten Seiten ganz dieselben sind, er- hält man abm- für ilie nach h] genommenen Differentialquotienten von — ^Jj, — p.,. . . . — j)„. (ji. q.,. ■ ■ ■ <i„- In der That, die Integrale

H=/,, g, =/',, H..=h,, ... Ih=/u, ... g„_i = /(„-!,

ir^t+h', H[=h\. i/.;

h'...

II. =h],

IIu-\ = fln-l

werden identische Gleichungen, wenn man sich in denselben für die Variablen qi. q... ... q„. />,, p... ... p„ ihre Werthe in t und den 2« willkürlichen Con- stanten eingesetzt denkt. Daher kann man sie nach jeder der willkürlichen Constanten partiell differentiiren und erhält durch Differentiation nach h] das System von Gleieliunoen

(15.)

ÖH

dB,

öHi-

OB'

= 0.

dh':

= 0,

öbI-,

6h,

■0,

= 0.

8IL

dh:

OB,'

= 0.

dB>^

dh]

dii:^^

■ 0.

dh,

dh-

dB„—i dh]

dBn-l

dh'.

= 0, 0,

von '

Ms/i-...;««- ««^ •«■^ W

mrmk

Ij.- «Ht^' s^.^ ,Jaig|i vfi

-^ .*->^

it- Y? -*;

fe-^K

1t'

'^•^«•.•.'•.•.•^•.••.■*J»*«f%^*»*^

^^B^^^B* ^^ ^HB ■■§ ^^^ ■ ^^ fl^ ^^h> <^K ^^«^ ^^ ' ^^ tf*- ""^^-^^^T .^^^T.: ^^"^

■^^L^^^ ■' ^_^^ •■ ^ •» ■»■ lÄ «»ä: MiEr «Ml aiK •^ I ^t ^1 •► •<» ^ «( '4 «B Oi Ml. OIB «m ^31 — ^ _n

— j ~-i i^ -^

"•i -> ^ -1 «

« ^ ^ ~> n». "^ "-> -t -n

« w*^*^ ^a» ■•«. pw «1^, I«

vif

— 28!) — von welc'lu'ii illc erste /. I>. in i^ntwiekelter Foim iuIiiLMuleniia.s.scii lautet:

^P, 6/,', n'-. c/i',

^Pn oh'i '^'h i-li. ^'/v öh]

— ^" =0

^7„ c//;

Dies System iintersclieiilet sieh \nii ilem Svsteiii (\A.\ nur «ladureli, dass ii

m

der Stelle dei' Iriiheren l nbekaunteu

dlh eil		3/', '		c-n,
iiCiienwärtiLi' die (li-össen
op, h', dh\ ' c)h'. ' ' '	^P„ bh] '	~a/,r'		^7„ ■ ■ hl,'.

stellen. Alier wenn in zwei Sy.-tc-nien linearer (ileichunuen die Coet'lieienten und die constaiiten Tei-nu- einamler üleicli sind, so sind os .aucli ilie I'nbe- kannten. es si>i denn, dass die n'enieinsrlial'tliche Determinante der Systeme, d. h. im NorlieiL'enden Falle der Ansdi'uek

^_^ ^/ 6//^ _ vll,,^, bir dH[ dff:_, öq, dq, dq,^ ap, dp.. '" cp^^ ■'

verselnvinde. Dies ist indessen niemals dei- Fall, denn s(Uist wären die 2« (Irössen //. //,. ... //„-,. // . //,'. ... //,_, ni(dit von einander unabliänuijje

Fnnetionen der 2/* \ arialilen r/,, y... ... '/„. />,. pj. ... p„. und das System

der Intetri'ale wäre imzulänulieli. um diese 2// \'arialilen als Fnnetionen von

h. //,. ... /',_,. Ii'-r- f. /l'i.

/(„_, zu liestinnnen. Denmaeli sinil I>eide .Systeme

f'/.	dll:	•5'/.,	cHi	^q„ a//,
c//,	^P. '	dlii	- 6p., ' •	öh', ~ cp^
ö/,'	811,	dp., ch',		•5?,. Dil, ■ ■ ah'. ~6q„

von l'nbekannten einander üleieh. d. li. man hat

(IG.)

Diesem System von Formeln, welches aus der \'er;;lei(:lum;L; der Sy- steme (l-t.) uü<l fU'.) heryor<xe<i"ani>"en ist. steht ein anderes zur Seite, welches durch iilosse Vertanschnn^ ans diesem herüvleitet werden kann. Die Systeme (14.) imd (l'>.) lieben nämlich wiederum richtiüe Gleiclumussysteme. wenn man für alle Wertlie des Index / an Stelle der Grössen ohne Strich //. /(, die negativ genonnnenen entsprechenden Grössen mit einem Strich — ///. —/(,', da- gegen an Stelle der Grössen mit einem Strich //,'. /;,' die positiv genommenen entsprechenden Grössen ohne Strich //. /i, sclnvilit. Diese Ai't yon \'ertan- J.ioohi. Werke. .Supplementbaiid (Dynamik). 37

"^

ri

IZ«

9 h. (m m%, m^-, »1

<£

mmt^

jrrt:

Wt-it'^^.^

Wmi CJli,, «Ät;

3M.

r"<~

».

MELm.

W^

— 288 —

Eigenschaften auch noch die, dass beide Systeme von Differentialqnotienten entweder gleich, oder entgegengesetzt werden.

Nach dem in der vorigen Vorlesung bewiesenen Satz hat man nämlich:

l(H„ 11 )=0. (//,.//, )=(X...(lf,.H,_0=O.(H,JI, )=0. (TI„H^+0=O. ...(//.•, ^„-,)=0,

^"''^■''iciT;, //O=o.(ff,, //;)=o. ...(//,, //;Lo=o,(//,,//;)==i,(i/,,i?/+o=o, ...(//.,^

In diesen 2)i Gleichungen sind die 2« partiellen Differentialqnotienten von H;

dllj dH, dH^ dlh SHi_ SH^

'W öq,' • ■ • dq^ ' dp, ' dp,' • • ■ dp^ '

die wir als die Unliekannten des Systems ansehen wollen, linear enthalten. Als Coefficienten dieser 2/i Unbekannten linden sich in den (Tleicluuigen (14.) die 2 h Grössen

dll _öif _ dll_ ^H_ _dE^ dH_

"^K"' "dp," • ■ ■ 6p„ ' dq, ' dq., ' • • • dq^

und die entsprechenden aus der partiellen Differentiation von //, . fL. . . . H„-i, H\ H[, ... 11!^,, Hl, H'_^^. ... H„_, hervorgehenden Grössen. Auf der rechten Seite der Gleichungen (14.) steht überall Null, mit alleiniger Ausnahme derjenigen Gleichung', dei'en Coefficienten Differentialquotienten von Hl sind, und in welcher die rechte Seite der Einheit gleich ist.

Das nämliche System von lineai*en Gleichungen, d. h. ein System, in welchem die Coefficienten und die rechten Seiten ganz dieselben sind, er- hält man aber fi'ir die nach h] genommenen Difterentialquotienten von — p^, — p.,. ... — p„. (/,. q.,. ... q„. In der That, die Integrale

// = /,, //, =Ä,, H, =h,, ... Hi =/u, . . . Il,-, = h„_,,

ir = t-\-h', H[ = h[ , //.; = ä;, ... /// = a;, ... //,Li = /'Li

werden identische Gleichungen, wenn man sich in denselben für die Variablen (^1, q.,, ... 9„, /',, j)j, . . . p„ ihre Wertlie in t und den 2« willkürlichen Con- stanten eingesetzt denkt. Daher kann man sie nach jeder der willkürlichen Constanten partiell differentiiren und erhält durch Differentiation nach /t- das System von Gleichungen

dH ,, dH, _^^ ÖH.^i _,. öH, _^ dH+, ,, dH„-, _„

— o, , , — V, ... — —7 — '-'i „,/ — '-') .,,1 — ^j ■■■ ^,f — ^1

(15.)

dh[ ' d/i'i " dh'i ' dh'i ' dh] dhi

öa; ' dii, dh] dh[ dh[ dh.

— 28",) - \(>n wi'k'ln'ii <lu- i-i->tf /.. I). III ciitwiikcltri- I'di'ih lulHciiili-niiassiM) lautet:

f7', öa; «^z', a/,; <^/^, 6/1', -^'/i c//,' ^'/, ü/y,' "" c'//_ ,-/,;

Dies Svstciii iiutnxliciilft sich von ilt-iii System (14.) nur dadiii-cli. dass an der Sti'lK- der iVi'ilicrcn Unbc-kaniitcii

öll. ^H^ rll, rilh <^n. vE^

;Li\'fiOi 1 wä rt ii;' die 0 i-(')ssc 1 1

__^i^ _iT^__ _ _ _ "P« ^q, Sq., ^'l„

stellen. AIht wenn in zwei Systemen linearer (ileieininü'eii die (Jüeftieienten uml die constanten 'l'ernie t-inander üieicli sind, so sind es au(di die l'nlie- kannlen. es sei denn. da>s ijie n'einein-cliartlielie Determinante der Svstenn'. d. h. im \()r!ie!j.cnden Falle <ler Ausdruck

verschwinde. Dies i<t indessen niemals der Fall, denn sonst wären die '2n (Irösseii //. //,. ... // ,. // • //,, ... Il„-^ nicht von einander unahliänuitie

Functionen der 'In \ arialileii */,. (j,. ... (/„. p^. p.,. ... p„, und das System der inteurale w.'ire un/.ulänulich . um diese '2 /i \'ariaMen als Functionen von />. //,. ... /',„,. h'+t, li\. ... //,',_, zu liestimmen. Demnach >ind Keiile Systeme \on riiliekannten einander üleich. d.h. man hat

(IG.)

I

f-'/l		dlli	öy, _	0/y,	•^7,, _	^Jl
cl>\		'^K'	'bi;':^	'S 'i » CJK	dU,	Sp.
	= -	dii.		Sq.. ' ■	oh'	d.'l. f'7„

Diesem Sy>tem von Formeln, welclies aus der W^riileiehunu der Sy- steme (14.) und fl"».) hervorL:.'en'aniivn ist. steht ein anderes zur Seite, welches durch Mosse \ ertauscliunii' aus diesem hergeleitet werden kann. Die Systeme (14.) imd (1").) ü'elien nämlich wiederum rieht i<ie Gleichun;i"ssystenie. weini man i'nr alle Werthe des Index / an Stelle der Grössen ohne Strich // , /(, die negativ genonnneiien entsprechenden Grössen mit i-ineni Strich — //,'. — /(', da- gegen an Stelle der Grössen mit einem Strich //,'. h] die ]>ositlv genommenen ents|)rechenden Grössen ohne Strich //,. /i, schreibt. Diese Art von \ ertaii- J;K-oUi. Wi'ilie. Siipplemcntband (Üynamik). 37

— 290 ~

scluiiig nuit;s daher auch auf das System (Ul.) anwendbar sein und ergiebt aus demselben das neue System von Formehi:

(17.)

Wir fassen das ganze Forme:system (IG.) und (17.) in den vier Gleiehungen zusammen

^^'h	BH,	dq.	cii:	^%	dB.'
■y/>,	cp, '	dh, ~	5p, ' •	• ■ dh,	ÖPn
n\	dii;	ö/'.	du:	Sj\	dir.
dh;	dq, '	cht	dq, ' ■	■ ■ dh,	ö'/„

^%	du,	^'7.	dB:
dh',	ÖP, '	dh.	dp,
^ih	dB,	n\-	du:
dh'.	dq, '	bh.	ö'A

und sprechen das gewonnene Resultat in nachstehendem Satz*) aus:

Denkt man .^tch niDiittckt (/t'.< in der ILntiilloiiscJien Fonn aiifgesteUten Systems der Iiiteijrale

B=h, B,=h //„_,= Ä„_i,

ir = h'^u B\ = h\, ... //,;_, = AU

einerseits die Constanten, li,.. h'^. diirc/i (he Varuthlen p,, q, und dn> Zeit t ans- qedräckt, andererseits aus denselben Gleichungen diese Varieihlen durcJi dte Con- stanten und t darijestellt. so sind die hei der ersteren Darstel/une/su-eise e/ebildeten partiellen Differentialquotienten der Constanten nach den Variablen p.. q, und die bei der letzteren Darstellnngsiceise (jebildeten partiellen Diff'erentialquotienten der Variablen p., q, nach den Constanien abgesehen vom Zeichen paaru-eise einander gleich.

*) Dieser Satz ist unter ilem 21. Xov. 1838 iler Berliner Akademie mitgetheilt. (S. d. Monatsbericlite a. d. J. 1838, p. 178.)

(Ende der Vorlesungen über Dynamik.)

A 11 h a 11 iX.

Jtjcnlii wurde im Frühjahr 1S4:! dnn-h schwere Krankfieit verhindert, seine Vorlesungen üher Dynamik 7.U Enile zu führen. Die Anlage derselben zcicrt hiulän'jjlieh, dass er als Schluss derselben seine Methode der Integration nicht linearer partieller DifTerentlalirleichungen erster Ordnung vorzutragen beabsichti'^rte. welche sich in einer im Jahre 1S38 verfassten vollständisr aussrearbeiteten Abhandlung unter seinen nachgelassenen l'apieren vorgefunden hat, und welche von mir im G()-!='" Bande des mathematischen Journals veröfTentlicht worden ist. l'nler Zugrundelegunff dieser AbhandUuiir versuche ich hier im Sinne Jacobii die Lücke zu er- gänzen, welche am Schlüsse seiner Vorlesungen über Dynamik geblieben war. CUhsch.

Die liitciiralioii der nicht liiicaicii partiellen Ditleieiitiakleiclimiueii

erster Ordming-.

Die liiii'u'ratioii der partiollen Dltferentialirieicliuiiü" f ^= It oder II ^= h

wurde in der z\veiiinddreissij;sten Vorle.siniir (pp. 2')!. :?.")2) auf das System der

n{n — 1) . ,, /M • 1

— ^ - snnultanen (ileicliiniiren

(1.) (fl,,lh) = 0

zinnickuefnlirt. Sind die Finictionen // dit:->en (dclehiiiin'en ireinäss bestimmt so liefern lüe (ileicliiiniien

(■2.) // = Ä. //, =A,, ... i/„-, =A„_,

solche Ausdrücke iler /*. l'fir wtdclie

• IV = 7', '/7,-f- /',,'/'/,, H ^Pn'l'L,

ein vollständiges Ditl'eivntial winl. Statt nun aber die sinmltane IntL-üration des Systems (1.) mit Hiilie der in der vieriinddreissiüsteii \ orlesiing darge- legten Principien tortznt'ühren. kann man sieh <iie Aufgabe stellen, sofort die Aiisdrneke zu linden, welche yv,. p... ... y<, in Folge <ler Gleichungen (2.) an- nehmen. Denki'ii wir uns. wie in ili-r einunddreissigsten \ orlesimg (p. 239) ati.seinandergesetzt ist. />, als Fimctii)n der Urössen q und von /).. p,. ... p„ ausgedrückt, hierauf y/, als Function der Grössen q imd von p^. p^. ... p„ be-

?^

stiiuiut u. s. w. Wenn j),. p.^, ... p^ gefunden sind, .so kann man. ehe man zni- Aufsuchung von p,^^ übergeht, die ersteren Grössen durch jj,_^., p,^.. . . . p„ und die q ausdrücken. Die / Gleichungen, denen die Function p,^^ dann gleich- zeitig zu genügen hat. rindet man aus Gleichung (7.) der einunddreissigsten Vorlesung (p. 245). wenn man in dieser /' der Reihe nach durch die Zahlen 1. 2. ... i ersetzt und /h-1 an die Stelle von / setzt. Da p,. dami von /^+, , ;>,+2> • ■ • pn- dagegen p,^^ nur von jJ,+i. p),^^. . . . ]i„ ahhängt. so gieht die an-

ieführte Gleichung folgendes System:

(3.)

0 =

'-/',

'^/'h

., dp,

^Pi+^ ^P,

■7';-

1 op,

^'L

^l\

1

'+1

Sp.

cp, ^/Vi

'-!>. ^/',

^V,+^ Sp,

^Pi+i Sp„

Bp,

dq.

dq,^, op,+o dq._^.

^1'.^

vp.

cp.

^P. ^Pi+x

Bp, ^P:+

c/',+, ß?,+, 5^+2 öq.^

^P,+, ("9,+,

^■Pn

^(In

Sp: ^ Bp,^^ op. gy,_n cP: op.^^ dp,

1 '^i I * • • f—

^■Pi ^l'^+^ ^Pi ^P^+i oP: Ö/^,+i

^Pi ^Pi+1

Wir können dies System noch dadurch umformen, dass wir nicht p■_^.^ als Function von p,^... J>,+3. • ■ ■ ]'„, <7i,. <7i, • • • </„ betrachten, sondern eine Gleichung

/• = Const. einführen, welche zwischen p,_^^ und diesen Grössen besteht. Dann ist. wenn

Bf ^Pi+, , df

^P,+, ^-P,

^Pn

= 0.

lUK

d für jeden Werth von /r.

df öp,+, _^ 6^

^Pi+i ^'h.

n,,

Wenn man also die Gleichungen (3.) mit -^ — multiplicirt. so nehmen die-

selben .folgende Form an:

•o*-- •*

.?•• fS U Ä: -fe fa^-

^Ka

'i'

-^ "TT- -"V 1» ^

^

'■■f all-

'■'/,

, wenn

(iie-

(4.)

^/" _^ _ t'/), df_ _^ dp, _5f_

(5/), a/ dp, Bf

t*7>,+, c/</,+, c^p.^.. d(j^_^.

P)p, Vf

dp, öf

C?/', of ^p. Sf

Sp, Jf

Die siiiiiiltiiiif lnlcLi.i"itiiiii dieses Systems sti'it/.t >ieli auf die S;itze. welclie am luide i]i.'V einimiMi'eissiiisteii \ oi-leMiiiü' Hiid in dei- \ienmddreiss:i:sten \'oi-lesiiiig <i;ei;'elieii wurden. \>\ p.^ irgend eine dei' (ii-rjssen y;,. p

'f-P, = *' die dleielmnu'. vei'mö^'e deren j)^ sieh durch /',j.,. j',^..,

. // . imd ist p„. (],. q,. ... q„

ausdi-i'iekt. so ist

^(9,—pJ ^ ^V. ^ ^P^

ist aller /(<'/-|-l. so liat man

= 0.

Dio Gleidiiuifien (4.) können daher aiicli mit Tlülfe der ])e/eielmiin;L^ (y. y) so üosclirielieii weivhMi:

Bildet man nun den Ausdruck (y, — Px-'fi — /'/.)• '^^''* '^^ ^- ii'i^'^'"*^ zwei der Zahlen 1. '2. ... i bcdeuti'n. so tindet man

Denn sowohl (f^ — y>^ = 0. als y, — y(-= (I nehöreii dem .S\>tem von Gleiehuni:'eii an. welche zur Bestimmung der p dienen: nacli dem am Ende der eiiiimd-

^i^i^-

•■ ;. m

fp" .-i»

292 —

stimmt u. s. \v. Wenn ^^i. pn, ... /), gefunden sind, so kann man. ehe man zur Aut'suelumn- von p.^j übergeht, die ersteren Grössen durch ^j,_^,. p;^... ... p„

und die 7 ausch-üeken. Die i Gleiehungen, denen die Function ^j,_,_, dann gleich- zeitig" zu genügen hat. tindet man aus Gleichung (7.) der einunddreissigsten Vorlesunii' (p. 2-lrr)). wenn man in dieser /' der Keihe nach duivh die Zahlen 1. 2. ... i ersetzt und /h-1 an die Stelle von / setzt. Da /j,, daim von /',+,,

p,^,. . . . p„. dagegen p,+, nur von p,^,. p,^

a'etuhrte Gleichung folgendes Svstem:

(3.)

0 =

^i'n

rij

P,

O/',.

^7^.

. . . j)„ abhängt, so giebt die an-

^P,

d'L

PA

^'P,+i

SP.^.

^Pi

öp;+. ^q,+.

Cq,

rp.

^Pi+2 Ö?,+2 Op, ^P.+,

^P:

^P,+, ^Pi

Cp

sp,^

^•pi ^p.+,

^P,+i 0(h+.

dp. 8p.^

^■P„

^P,

ö;Vi ^'■1.+^

<^F,+:! P'J'.H

^p„

"-'(In

op,+. oq.^.-,

AVir kömieu dies System noch dadurch umformen, dass wir nicht ^J,_^i als Function von p,^-.. p.+z- ■ ■ ■ }>„: 9\- </l- • • • 9,, betrachten, sondern eine Gleichung

/■ = Const. einführen, welche zwischen p,^^ und diesen Grössen besteht. Dann ist, wenn

■1:

df n\.

df

^P,.

^'P,

und für jeden Wei'th von h:

öf 3/'h

^P,

Sf

^P,.

^'h.

o^li.

= 0,

0.

Wenn man also die Gleichungen (o.) mit -^ — multiplicirt. so nehmen die- selben .folgende Form an:

cp

■+i

293 •

(-1-)

«^/" L ^P^ ^f ^ ^P^ ^i

^/J„ c/ C^/j (5/'

d,K vf _%_ o/'

c^/^, ö/' t/^, af

'='/',+, '^7,0., C/',^, tv/_^.,

Die siiiiiilrnnc Integration dieses Systi'ins stützt sicli aiil' die Sätze, welelie ;nii Kndi- der einiinddreissiij.'>teii \ DrleMiiii;' und in iV-v viernnddreissiiisten X'orlesnni:' <j,ei:elien wiu'den. Ist }i.^ irgend eine iler (Trossen yy,. [>.,. . . . /i . und ist

die (ileieliunLi'. \i'rnir)i£e deren ji^ sieli dureli y,^,. p,+-- ■■■ P„- 'j\- '/•.' ansdri'iekt. so ist

(p.

^9, ist aller /(<r/+l. so liat man

^7/i

^•7,,

r)(f/ — /' )

Die (ileichunjien (-1.) kötnien dalur aneli mit Ilülie i]vv üezeielninn^f (y. 1/') so ü;esoln'iel)en werden :

■ O-'O (/•.y,-/',) = 0. (/•,r/-y,,) = 0. ... (/•.y-y.,) = 0.

Büdi't man nnn den Ansdruck ((f^ — Pz- 'f' — /'')• ^^'* '^^ ^- 'i\-t'nd zwei der Zalilen I. '2. ... i iiedenteii. so tin<let man

if.-P.-<J,-p,) = ^^■ Denn sowohl y^, — y>^ == (». als y-, — y;^ = (i gehören dem System von Gleieliiingen an. welelie zur Bestimmung iler p dienen: naeh dem am Ende der einund-

— 294 —

dreissigsten Vorlesung gegebenen Theoreme niuss also obiger Ausdruck ver- schwinden. Nun wurde in der vierunddreissigsten Vorlesung dargethan, dass, wenn (y, i/') ^ ^^ ^"-'S einer Lösung F der Gleichung

'(f,v) = o

die M-eiteren:

F' = (F, (/'), F" = (F', I/O u. s. w.

sich ableiten lassen. Wenden wir dies auf irgend zwei Gleichungen

des Systems (."i.) an. so folgt, dass aus irgend einer Function F, welche der Gleichuuii'

o-enün^t. eine Reihe von anderen Lösuniien derselben Gleichuni; gebildet werden

Co ' ■ ■

kann, nämlich

F' = (F V-r,l F" = (F\ <f-p,) u. s. w.

Endlich folgt also auch der Satz: Ist F eine simnUane Lösung der G/eicImiif/en

(/; '/ .-/', ) = ''• ( A f. -i\ ) = 'j' • • • (/' f,.-i -P/,-, ) = *-'•

so sind an eil

simultane Lüsunr/en derselben Gleichungen.

Nehmen wir also an, es sei eine gemeinsame Lösung F der ersten /( — 1 Gleichungen (5.) gefunden, und es werde eine Lösung gesucht, welche auch noch der /;""' dieser Gleichungen genügt. Dann tritt die Frage auf. ob es eine dieser letzteren Gleichung genügen<le Function '/> gebe, welche nur eine Function von F, den aus ihr entwickelten Lösungen F'. F". . . . /'•>'"'' und von den Grössen (/,,. 9,,+,. ... ^7, ist, welche letzteren offenbar die /; — 1 ersten Glei- chungen (■").) (oder (4.)) befriedigen. Die Zahl u ist dadurch beschränkt, dass F''"' sich durch <lie vorhergehenden Functionen K F', . . . F'"'^' und durch </;,, '/;,+]• • • ■ '/, ausdrücken lässt. dass also

Nun ist die (Tcsannntzahl aller gemeinsamen Lösungen, welche h — 1 von ein- ander unabhängige lineare partielle Differentialgleichungen mit den '2 n. — i Variablen 7,. 7,,. ... <]„, /),+i. i>,+-,, ... p,, überhaupt zulassen können:

daher ist die Anzahl der Argumente der Function II höchstens dieser Zahl

gleich, also

„4- ,;_(/,_!) ^- 2« — / — (Ä — 1),

295 —

oder

K"-'l-

Seilen wir nun eine Lösuiii: '/' «Kt (Ik-'u'liuniX

(6.) (0,y^_/,J = O

als eine Function der Arirumente von 77 alKin an. so ei'halten wii

(7.)

0 = (*,y,-/.J

r<7'

F

BF

%^iF'''-'',f-P,)

, X <:''7J , X ö0 , .

Da in (iei- //""" GleichuniT <lt's Systems (4.) o<ler (5.) nur nach <y, . nicht aber nach 7,^1 . '//j.;. ... </, ihfl'crcntiiil wlriL so verschwinden (he Coel'iicienten

(.<l,.+v'h.—Pk)- ('I>,+2-V, — P,)r ■ ■ ■ (7,- '/,—/',,)' und man findet ausserdem:

lierücksichtiiit man ferner das Bildun<:sgesetz der Functionen ]\ so sieht man. dass die GleichuiiL;" ((i.) oder (7.) in folgende übergeht:

(8.)

r0 „, 6<I) „,, c(l> „ d(I>

-ä^ +^ -äF +^ -^>- +-^"^F(^

= 0.

Der Anlilick dieser Gleichung lehrt, dass es wirklich iriöglich ist. eine Func- tion '/' in der angegebenen ^\ eise zu bestimmen: denn die Coefflcienten dieser (ileichung enthalten nui- die \ariatilen. von denen 0 al'hängig gedacht wurde. Um eine Lösung dei- (üeichung (8.) zu finden, braucht man nur ein integral des Systems

JF _ cF

= 77

oder, was dasselbe ist. ein erstes Integral der Differentialgleichung u'" Ordnung

d''F

<f€

= 11

ZI

1 suchen, wo in 7/ die Grössen 1'. F" . ... F" '• durch

,iF iPF

,/"-■/-

zu ersetzen smd.

Man kann dieses Resultat in folgendem Satz aussprechen: Wenn riuat eine simiilkine Lösung der ersten h — l Gleldinngen des Systems (4.) oder (.').) kennt, so erfordert die Auffindung einer Lösung, u'elche auch noch der h'-"

~ 296 —

Olcidiiniij finiihjl. mir (he Krinif/u'ss i'in>'S ersti-n Integrals einer Dijferetifidl- ijleichioit/. dere» Ordnung die 2(«— /)''' nleht i'thersteigt.

Um nun rilic^rliaupt e'nn^ siuuiltauL' Lösuiij;' des Systems (ö.) zu linden, liat man nur den soeben durch^emacliten Process /mal liintereinander auszu- zutuhren. Man sucht eine Lösung F der ersten Gleichung (5.) oder ein Integral des Systems von 2(». — /) Differentialgleichungen

f'?. c'/,-+i ' d'h ^^i+i ' ■ ■ ■ dq, dq^ '

%,+■ ^ _ ''P, ^^g,+2 ^ _ ^p, ^,_ ^ dp,

Man entwickelt daraus die anderen Lösungen derselben Gleichung

r = (F, <r,-p,). F" = (F\ cf, -;.,), • • • ^■'''^ = n(F F', . . . f"-'\ q, ,q,,... q,).

Jedes erste Litegral der Gleichung

<I"F „/„ \lF d-'-'^f \

welches eine willkiu'liche Constante enthiUt. liefert dann eine Lösung, welche den beiden ersten Gleichungen (5.) genügt. Sei *!' diese Lösung: man bilde

(/>' = ((P,y,-i>,). 0" = (<P',if',~p,), ... a>(-->=n((P,(I>',...0'''-'\q,,q,,...q,). Jedes erste Litegral der Differentialgleichung

</''» „f. ^lt> (f'*^ ''""'^^ \

welches eine willkiirliche Constante enthält, giebt dann eine Fimction. welche den ei'steu drei Gleichungen (5.) genügt, u. s. w.

Die Auffindung einer simultanen Lösung des Systems (ö.) oder (4.) er- fordert also die Kenntniss je eines ersten Litegrals von i Differentialgleichungen, deren erste von der 2(n — iy" (_)rdnung ist. während die anderen auch von niedrigerer Ordnung sein können.

Der ganze Verlauf des Litegrationsgeschäftes erfordert also zunächst die Bestimmung von yj, ans der gegebenen partiellen Differentialgleichung. Hat man diese geleistet, so sucht man erstens ein Litegral des Systems von 2(h — 1) Differentialgleichungen:

%, S'h ' '''/, '^'h ' ■ ■ ■ dq^ ö</„ '

dq, ^ __ j%_ dq^ ^ _ _cp^ ^<L_ ^ _ _rp^ _

dq, c;a, ■ (-/</, vp, ' ' ' ' dq, dp,,

Aus dem gefundenen Litegral bestimmt man j)-, als Function der q und der

tolfiX'iiilt'ii //. iiiiil iihIciii man iIh-m' Fiiiiction in den Aiixlrnck xoii y*, ciniiilirt. sti'llf man //, m :j,K'lclici' \\\'isc ilar.

Ilifraiil' sncht man zirci/c/is i-in Inte-^ral des Sy.stiMu.s von 2(// — 2) l>ill'c- rcntialüK'iclmniivn:

<A

^<h

,/,

ih

in

"7„ _ r/>,

F

'/'/, ^/':; ' ''7, r-/', ■ ' ' ' <l<h f^V.. '

woln-i lue I )itV«'i'iMitiali|ni)ti(Mitcn \iin //, in iK'in neuen jetzt i'estji'eset/.ten Simie zu nehmen >iuil. l'/ui luteii'i'al dieses Systems sei /''^("onst. Mau liilde

f9/'' d)'.. öF r*j)., dJ'' av.. BF

r*/», d/-' f'/»„ BF 8/1., BF

öPr. öii, 8p, B(j^ dp,, ctj,, ■

8F' dp.. BF' BiK. BF' B/>.. BF'

•^7-.. ^'h n':^ '"h r>i\ f^% dp,,

cp.. BF' Bp., BF' Bp., BF'

t^/'ii <^7:, -"V". ''"/, " ^/;, ^7„ u. s. \v.

liis man zu einer Kunctiou / " i;elanu"t (," -2(// — 2)). wek'lie sicli als Funetioii

von <j,. 1'. /•■'. . . . F "-'■ darstellen lässt. Ist dieselbe

/A.") = /J(F,F',...F("-'',,j.^).

so suelie mau ein ei'stes liiteui'al

,. JF_ il'F '"^

dq., ' di[i ' '" dq"'

der DiiVerentialiileiehuiiu //"' Oi'dnunix

<l> ( /■

= Coiist.

d'-'F \

dq"-' '7:.j dq" \ ' dq.. ' ilql '" dq"'' '''}

luid i)ilde du- (ileielimit:'

'/'(/■", F\ /•'■', ... F("-'\q.,) = Cunst. Diese ( Jleiciiiuii: dient zur |}e>tiunnimi: von p.. Hat man dieses durch yy,. j):^, . . . ji„ und die <j aus;j.i'drüekt und dadureh auch /(,. //. als Functionen eben dieser Grfjssen dargestellt, so sucht man drittens eui Integral des Systems tre- wöhnliclier l)ilVerentialuleichuuij,en

dq, 8q^ • ,/<y, 0,/. ' ' ' ' </</, Bq„ '

dq, ^__oy',_ dq, ^_ ry>, l''^" _ ^ _ ^P\_ .

dq, Bp, ' dq, cp, ' ■ ■ ■ dq^ Bp„ '

.lui-ulii. Welke. .Su|>|ilciin>iilliaiiii (Iijiiainik). 38

298

Ist dieses Iiitei:i'al "'/» ^= Coiist.. so MMe iiuiii wieder

c<P ci>., ö<P öo., 6*1' öp., ö'P

6p., (HS äp., c<P

cp., öip

dp, e<j, cp, dq.

</;'■ =

c*'

Sp.. 6<ii' dp., dli'

■:q.. dq, dp, dq, dp,

dp., c9i' dp, e«P'

dp, o«P'

dp, d<P'

dp, dq, dp- dq,

u. s. w. bis man zu i-iner Fuiietitju

■qii") = //(«/>, «/'',...*/>">-'), </_,,(/3) celangt (^i'l^-'IQi — .")). und suche ein erstes Integral

V '/q, 'iq. 'l'i'^r ' ''

der Dittei-eiitialiileichunii- if'" Ordiuiiiii;

op^ Oq^^

Aus der Fiiiietion

bilde man nun die weiteren Functionen

X'

dX dp, dX dp., dX

ö/»3 dX dp^ dX

dp, dq, dp, dq,

X" = 1^^spl.^^1_^1pi_^'

cq, cq, dp, dq, dp,

dp^ dX' dp^ dX'

+ ^^'^-	dX
^(Jn	^Pn
Öp,	dX
^Pn	S'Jn
1 ^^'	dX'
^%	^Pn
dp.	dX'

dPn ^'In '

dp, dq, dp, dq,

11. s. w.

bis man zu einer Function

A-w = n(X,x\...x^<^-'\q,)

gelanjit ((>^2(« — o)). Man suche sodann ein erstes Integral

^ / ^ ,IX </"-'= X \

fi X, —, — .... , , ,, , yJ = ( oust.

der Differentialgleichung (/" Ordnung

d<'X , (' dX (/"-"X \

d<E

— 29!) —

Die (tli'icliiiiiii;

/.' ( A-. X',...X '«''\ ,j, ) = Tonst.

iliciil ilaiiii ila/.ii. //, ilui'cli />:,. ji..- ■■■ j>„ "i"l '''^' 'J auszudrücken, iiiid also aiK-li />! . /', . /J-. iliii-ch <l'K^sf (inisseii (larznstcllcir.

Iixlciii mau auf dicsi' Wcisi' l'uit fährt , i:«-laiii;t man i^Mirllicli ila/.ii. yy, . />._,. ... y>„ , als FiiiictioiU'ii xoii y*,, iiml Noii doli (ri-rtsseii ij zu Ijcstiiiiiiicii. Mau sucht dann die letzte (Ircisst- p,, durch d'n' </ alleiu aiiszudrfickeii. Dies jicscliieht. imleiii man zunächst ein Integral H des Systems

'//'„ rp^ '1<I„ dp,

''<h ~ <^'J„ ' '/'/, ~ 3/>„ ■ allleitet. .Mau liildet sodann

„, f'.E' dp.^ dS dp., dS

"~ d<i., 8,/^^ f^p^ öp^ üy„

_,, dB' dp., dS' dp.^ ds'

Voll denen jedenfalls die letztere, wenn nicht schon die erstere, sich durch .= , Iieziehungsweise .= . .= iiml die (ri-rissen ry.,. (p,. . . . (y„_, ausdrücken lässt. Man intcii'rirt dann entweder, wenn

ist, die (Tleichiinii' oder, wenn

=■" = /y(=-. z ',</,, 7,,..., /„_,)

ist. die (ileichimu'

</■■=• {-dB \

<lql \~' J(j..

Indem man den l)itferential([Uotienten von E wieder dturli 3" ersetzt, gelangt man dann im ersten Falle zu einer Function ¥ ^ }\S, (j-j. q^. ... lJ„_^). im zweiten Falle zu einer Function }'= i (.5". E'. <p.. </.. ... </„_,). Aus der Function i werden sodann die Functionen

y = ^Y I ^/'3 SY dp, dY

Y" = gy , dp, dY' dp, dY'

aiigeleitet. u. s. w. Indem man so fortfährt, gelangt man endlich zu einer Function Z. aus welcher man die Functionen

'/:=-.

— oon —

?Z C7»„_, QZ ^P„_i dz

^„ _ dZ' , 5/.„_, ,5Z' <5/'„_, ;)Z'

ableitet. Ist schon Z' eine Function 7/ von Z uml 7„_i, so inteni'irt man (Tu- Gleiclinnü;

dZ .., .

und ihr Integral liefert ilie letzte (Tleichunn', verni()ue deren [>„ sich durch die <i ausdrückt. Ist aber erst

Z" = /y(Z,z',v„_,).

so sucht man ein erstes Inte^iral <ler Ditt'erentialü'leichunii zweiter Ordnung

(FZ

i n — 1

Ist dieses Integral

© I Z, —. — - — . (/ , I = Const. , so ist

@(Z. Z', ry,,_J = Cunst.

die Gleichunii; ziu' Bestimnumg von p„.

Durch diese Operationen ist die Autsuchun^' einer vollständigen Lösung der vorgelegten partiellen Ditferentialgleichung soweit geführt, dass nur noch die (Quadratur

^' = j (l\'h,-\-j',<!ij.,-{ hp„d,]J

auszuführen bleibt. Wenn man alle \'oi'konimenden Systeme auf je eine ge- wöhnliche Ditferentialgleichung höherer (Ordnung reducirt. so ist im (Tanzen je ein Integral zu suchen für

1 Differentialgleichung 2(« — 1)'" Ordnung,

2 Differentialgleichungen 2Qi. — 2)'" Ordnung,

i Differentialgleichungen 2()i — /)'" Ordnung.

// — 1 Differentialgleichungen 2'"' Ordnung.

Aber nur im imgünstigsten Falle erreichen alle Differentialgleichungen wirklich die hier angegebene Ordnung. Im Allgemeinen wird von jeder Klasse nur cni)' Gleichung jene Ordnung erreichen, die Ordnungen der anderen aber werden sich mehr oder minder erniedrigen.

(D

^ 2985

fma

"^ • V ' I

3 J32

Supol.

Jacobi, I'arl Gustav JaVob Gesamelte ','erke

PLEASE DO NOT REMOVE CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET

UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY

m\m

:;':s;';i;';:;':^'fe;i|p'-:?''^^^

■X'\'Z

>y^.}'i^

■-;^/!^;•:H^;':^■^>^li'''■'■;';:'■;:;iy;;

':i ''':■'.-•:;■.

-::'•■•'--:-.■'■•-■•■ v;;;i;-:?.

;;;:v:,.t\;-;'i;;,:::>:;;;;;:i:v:;;:;::|;:,:;;;:::v^

'■>:.: V'r,-;;^f,^

MM'MW'töißi '

■y-

'('■»

;-i';.'

";''vv'':v!;'!''r:'f'i:'"''''' .'i^'j'"!/^^

;;f*:

''•i ;;'■'• i-''''!:'-''vl^^|i-:''--''^

m

MTmZX

rvi

«"■*:

il6«*»vV?4*«*

.•"►.^^^P-

m::m

mrilCt:^^«rM

— L .Ä C « * ^"^ mm ■-. '.

* - ^.« * ,« r.» « -« ■« * ■ ■•■t * -^ ^ =

«Fi

,.'«'zWr^m*«:*'i

' Ä ' Ä -Ä « 'If Ä Ä ,•

^**i*5?*s«Ä?,?«*;***i«;*«*i

«:^-r^^

öi-

m ,.«t.

^ii^

irrit^c '^

ä::^C.

^IjFfi"^,:

^^^a"-"-- .^u.^«"--

^»^"^ 'tm fim Xm ■mm

B jM ,Mm :im 4 *4 I ..OB -MB :«■ ^ -^m my *,

€***

# #• 1i W

;. ^■I.w•

■r:,1*^...m■.

^::b.

*.: m<

«rf^».*'	* ) ■*»*.'
*■
■ 1 ■ 1 ■ 1	■ ■
'
1
E- _

IWZ:W

^W..M

'■'f: li

m'^-w-

*"W

..i*r'rp

^^ -f;

:,.B^.:#^.,B....;^ -

■" "1^ 3r #"M "■

w^M.^MjM.::^-.'^

■Mm M M ^^^^

wcmZM.

-s?»

m'^^

l*':'«%

w -n -m

::^ :il^^

■-"v..-!;v-.«<^

«B^i. 'Wj^,

■ ^^' M -^ :,

::^^...w. .;,.t^ ^ *>^

^./t-.:::^ ■..#•.'

1. 1

L I 9 l 11

E » »

1 » J 1

i «

1 1 '

I ?

l i I

. l

! S

', I

I ' 1 i

I ' I '

i t

«,".«

-W-T» «•-■«- «" ■■*

\	■ ■■	1
		1
	Hl ^H ^H ^H	m-
	^^^1 ^^^H ^^^H ^^^1	m
	"
	^^^^^B ^^^^^1 ^^^^^1 ^^^^^1

1

«:■ lt.

i

4

mzmz^

I

a:^M:

^^5

r :4L^^^

.#.^:

^:«.rii.

i«\:«.

4' €

« z* rat

« •«?

tlt:

1«

«^^

:r:.r.

.m_^, «

*J€

M

■K^-

1

# . ^

:ft -C

l«k#i

m

t-t:-

Ä

<MC

.^^.*.*

JH

.^ ."€

»}m: m

^^€r-

<r ■.^;

t«:''^^'

:nc-.

c ; ^

i^^

^4