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ULFMTBRTaBLmT/C DT 07/18/88 R/DT 07/18/88 CC STATmmE/Ll 035/1: : ] a (RLIN)MIUG86-B50293 035/2: : | a (CaOTULAS)160122904 040: : | a MiU | c MiU 100:1 : I a Euler, Leonliard, | d 1707-1783.
245:00: | a Leonhard Euler's Medianik oder aiialytische Darstellung der Wissenschaft von der Bewegung mit Anmerkungen und Erläuterungen. ] c Herausgegeben von Dr. J. Ph. Wohlfers. | n Erster - [dritter] Theü. 260: : 1 a Greifswald, 1 b C. A. Kodi's Verlagshandlung, | c 1848-[1853] 300/1: : ]a3v. | b 19 fold. diagr. je 22 cm.
500/1: : | a Vol. 3 has added t.-p. Leonhard Euler's Tlieorie der Bewegung fester oder starrer Körper. 590/2: : jamath: Vol. 2-3 bound together 650/1:0: |aMechanics 1 x Early works lo 1800. 700/1:1: | a Wolfers, Jakob Philipp, jd 1803-1878, [eed. 998; : |cWFA !s9124
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On bchalf of
Preservation Division
The University of Michigan Libraries
Date work Began: _ Camera Operator: _
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Leonhard Euler's iy\
MECHANIK
oder
aiialystlsche Darstellung der Wissenschaft
von der BeAvegung
mit Anmerkungen und Erläuterungen
herausgegeben
Dr. J. Vh. JWoifers.
Zweiter Theil.
Greifswald 1850.
C, A. Kocli's Verlagsliaiitlliiiig, Th. Kiinike.
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V 0 r w 0 r t.
Bei dem Erscheinen des ersten Tlieiles dieses Werkes durfte ich nur vermuthen, dass dasselbe in dieser Form das Studium werde erleichtern können. Seitdem habe ich theils direct, tlieüs indirect erfahren, dass die ersten Ma- thematiker dieser Ansicht sind und ihren Schülern dieses Werk zum Studium empfohlen haben. Da nun zugleich von mehrern Seiten der Wuiiscli ausgesprochen wurde, dass der zweite Theil bald nachfolgen mOchte, so würde ich um so schneller dieser Aufforderung Folge geleistet haben, als ich beim Erscheinen des ersten Theiles diesen zweiten fast ganz bearbeitet hatte. Nur die gegenwärti- gen, den Wissenschaften höchst ungünstigen Zeitumstände haben das Ersclieinen um ein Jahr verzögert. Da ich übrigens diesen Tlieil ganz ähnlich wie den ersten bear- beitet habe, so darf ich in dieser Beziehung wohl auf mein dortiges Vorwort verweisen.
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Haiiptsächlicli in Folge meiner Entfernung vom Driickoi't sind leicler mehr Fehler im Werke enthalten, als wünschen» wer th ist, der möglichst grössten Sorgfalt von der Officiii nnd meiner Seite ist es jedoch wenigstens gelungen, die AnzaJil der Fehler in diesem Theile gegen die im ersten hedeutend zu vermindern. Für heide sind die niithigeii Verbesserungen hier angegeben,
Berlin im Juni 1849.
Der Herausgeber.
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V o r r e (1 e.
öo wie ich im ersten Tlieile die freien Bewegungen der Kör- per, welche durch lieliebige Kräfte angetrieben werden, aus- einander gesetzt habe, gedenke ich in diesem zweifeij, T heile die nicht freien Bewegungen zu behandeln. Dieser Unterschied in der Erklärung der Bewegung ist so wichtig, dass hiernach mit Recht das ganze Wejk eingetheilt worden ist. Bei der freien Bewegung niid nämtich der vom , Körper beschriebene Weg durch die ihm schon Inwohnende Bewegung und die Kräfte, sowohl die absoluten als auch den Widerstand, welche auf den KJirper einwirken, bestimmt; indem man voraussetzt, dass ausser den Kräften und dem Widerstände nichts vorhan- den sei, was die Bewegung des Körpers bestimmen könne. Die Haupteigeiischaft der freien Bewegung besteht demnach darin, dass der vom Körper beschriebene Weg gar. keinen Druck erleidet. So wird ein Kanal, welcher genau nach dem Wege, den der Körper beschreiben muss, gekrümmt ist, durch den letztern beim Durchgange durchaus nicht gedrückt wer- den, sondern der Körper vielmehr ganz frei durchgehen. Bei der nicht freien Bewegung aber setzen wir voraus, dass ausser den auf den Körper wirkenden Kräften und dem Widerstände, auch der Weg. vorgeschrieben und d^her der Körper gezwun- gen sei, auf diesem fortzugehen. Dieser vorgeschriebene Weg kann daher bequem wie ein Kanal angesehen werden, in wel- chem der Körper sich bewegt und aus weichem er nicht her- ausbrechen kann. Da also bei derartigen Bewegungen der Weg gegeben ist, auf welchem der Körper fortschreiten soll, so hat l!:ulci''s Mf^cliunik. 11. 1
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2 Vorrede.
man zu iintctsuclien, welche Gescliivindigkeit ein, dwrch iie- liebige Ktüfte und den Widerstand angetriebener, Körper in den einzelnen Orten haben wird. Ist diese bekannt, so kennt man die ganze Bewegung, Da aber ferner der Kürpev, wenn er nicht in diesen Kanal einge^cblissen wäre, einf andere Linie beschreiben wurde, so bphilt er in jenem wenigstens das Bestreben, narh der Linie foit^uschreiten, auf welcher er sich wirklich bewegen wurde, wenn er frei wäre Veinioge dieses Bestreliens Mird er gegen die Seiten dei Kanals dmcken, und wenn diese keine hinreichende Festigkeit haben}, wirklich her ausbrechen Aus diesem furunde muss man ausser der Ge schwindigkeit, nelche der Kurper m den einzelnen Oiten des Kanals biben mrd, auch den Druck bcstnnmen, «eichen er gegen die Winde ausübt, v<ie anch die Richtung dieies Druckes Hieraus ergibt sich die Festigkeit, wekhe die W&nde haben müssen, um den Korper zur uckyuh alten Derartige nitht fieiä Bewegungen kunnen tiich ohne Kanal auf andere Weise her vorgebrarht werden, wie man an Pendeln und Schleudern se hen kann, welche eben so den Kuipei zviingen, sich auf einer gegebenen Linie zu beilegen Durch Pendel kaiin nämlich, wie Huygeris gelehit hat, bewirkt werden, dass ein Korper eich aut jedei i orgesclinebene« Curte bewege Diess sieht man so wohl au einfach aufgehängten Pendeln, bei denen der Körper gezwungen mrd, sich auf der Peiiphene euies Kreisus zu bewegen, als auch an denjenigen, welche man zwischen zwei Cytloiden -inlzuhangen pflegt, und in welchem Falle der Körper sich ebenfalls auf einer Cycloide beilegen inuss Auf ähnliehe Wene ktun man hewuken, das« der Korper sich nothwendig inf jeder gegebenen Cune bewege Diess ist die erste Art der nicht Ireien Bewegung die niimlich auf einer gegebenen Linie tor seh ^cht Ausser ihi »erdieiit noch eine andere Art der nicht fieien Bewegung betrachtet zu werden. bei welchei zwir nicht der Weg selbst, sondern nur die Ober- fläche vorgeschrieben ist, auf welcher der KiSrper sich bewe- gen soll. Diese Art der nicht freien Bewegung ist weniger beschränkt, als die verhergehende, da dem Körper nodi die Freiheit gelassen ist, sich den, iiuf der gegebenen Oberfläche liegenden. Weg zu wählen.
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Vorrede. 3
Aus diesem Grunde muss diese Art der nicht iieien Bewe- gung so iiohandeit werden, dass man zuerst die Linie auf der gegebenen OberflKctie bestimmt, welche der dureh Krüfte und den Widerstand angetriebene Kürper beschreiben wird; zwei- feiis hat man die Geschwindigkeit des letztern in den einzel- nen Punkten dieser Linie zu bestimmen und drittens den Druck zu erforschen, welchen der Kürper gegen die Oberfläche aus- übt. Derartige nicht freie Bewegungen können aber, eben so wie die frühern, durch Pendel bequem dargestellt werden. Ein Pendel nSmlich, welches schief angestossen wird, so dass seine Richtung nicht in einer vertikalen Ebene liegt, wird krumme Linien verschiedeiigr Alt beschreiben, die aber aJIe auf der Oberfläche einer Kugel liegen, deren Mittelpunkt sich im \ufhangepunkf des Pendels befmdeb Die Untersuchung dieser Beviegung kommt düher darauf hinaus, dass man zu- er«t aul der sph-irischen Oberfläche die Linie bestimmt, welche der geworfene Korper beschreiben wird, hierauf die Geschwin- digkeit m den einzelnen Orten und drittens den Druck, wel- chen er gfsen die Obeiil'iche ausfibt. Auf ähnliche Weise kann man offenbar beniiken, dass die Pendcllinse statt an eine bpharibche an jede indere beliebige Oberfläche gebunden werde, indem man mnilich um den Aufhfiiigepuokt die derseihwi ent- sprechende abgeniLkolte Oberliäche anbringt Diess ist also die zweite \rt dei nicht fielen Bewegungen , welche auf einer gegebeneu Obeiflithe erfolgen, und mit der Bestimmung die- ser 7nei Alten bcbch'ifitigt sich dieser ganze zweite Theil.
um nun dasjenige lor.ubereiten, was zu dieser Behand- lung erfoderlich isf, h<ibe ich im ersten Kapitel die Grundlage und Principien auseinandergesetzt ,, aus denen man alles ablei- ten kann, w<is die Eikenntniss beider Arten nicht freier Be- wegungen betiiflt Ich habe nämlich bewiesen, dass ein durch keine Knfte angetriebener KOrper so wohl auf einer gegebe- nen Linie als <iuch auf einer gegebenen Oberfläche sich gleich- Turmig bewegen müsse dass aber auf der letztern der Weg des Korpers die kürzeste Linie sein werde, welche aürdieser Oberfläche geze^en n erden kann. Hierauf habe icfi äie'äilge- meinen Gesetze ectorstht, welche beliebige Krälte und auch der \\ider«fdnd in der Beschleunigung oder Verziigernni; der
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4 Voi-rede.
Bewegung und in der Erzeugung des Druckes befolgen. Aus- serdem wird die Lehre von der Cent'ifugalkraft dargestellt, welche letztere auch Kiirper, die durch keine Kräfte angefrie- hen werden, ausüben. Dieselbe entspringt nämlich aus der krummlinigen Bewegung, welche der Körper ausführen muss.
Im zweiten und dritten Kapitel betrachte und untersuche ich hierauf ausführlich die Bewegungen der Körper auf einer gegebenen Linie, so wohl im leeren Eaume, als auch im wi- derstehenden Mittel. Ich bestimme nämlich zuerst die Bewe- gung eines, durch beliebige Kräfte angetriebenen, Körpers auf einer gegebenen Linie, einer geraden oder krummen, indem er auf- oder niedersteigt. Ist die Curve so beschaffen, dass sie sieh zur Hervorbringung einer auf- und niedersteigenden Bewegung eignet, so bestimme ich auch die Schwingungen und vergleiche sie unter einander, hinsichtlich der erforderlichen Zeiten. Hier- bei bestimme ich zugleich die Natur und die Eigenschaften der, in einem Kreise oder einer Cycloide erfolgenden, Schwingun- gen. Alsdann behandele ich die umgekehrten Aufgaben, wobei ich besonders für gegebene antreibende Kräfte die Curven be- stimme, auf denen die Bewegung des Körpers eine gegebene Kigenschaft hat. Hierher gehören die Aufgaben über die Be- stimmung der Curven, auf denen die Körper gleichmässig sich von einem gegebenen Punkte ab- oder aufwörts bewegen und mehr derartige, welche entweder schon von andern behandelt worden sind, oder ■ auf welche unser Plan uns geführt hat. Unter diesen ragen vor den übrigen hervor die Aufgaben, welche die brachystochronen und fautochronen Curven betref- fen und welche beide ich zu einem höhern Grade der VoMkom- nienheit gebracht habe, als diess bis jetzt von sonst jemand geschehen ist. In Betreflf der brachystochronen Curven. ich nämlich einen Fehler berichtigt^ welchen mehrere s bei der Bewegung im leeren Räume, als im widerstehenden Mittel begangen haben. Ferner habe ich an die Stelle des Huygensschen Princips, welches an sichzwar wahr aher unzureichendist, ein anderes sich sehr weit erstreckendes ge^ setzt, woiiurch ich bewiesen habe, dass in~jedem Mittel u^ hei jeder vorausgesetzten Kraft diejenige Curve stets die bra- chystochrone ist, auf welcher der Körper sich so bewegt, dass
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Voircde. 5
der ganze Druck doppelt so gross als die Centrifiigalkraft wird. Auf ähnliche Weise gebe k-li eine neue und eigenth um liehe Methode, die taiitochroneii Cirrveii zu rmden (die früher gefun- denen tautochronen Curven hat niati nümlich nicht nach einer Methode dargestellt, sondern errathen), mittelst der ich nicht nur die, seit langer, Zeit aU tautochrotie Ciirve bei-übmte,, Cy- cloide gefunden, sondern ausser ihr unzühüge andere Curven dargestellt habe, welche der Bedingung Genüge leisten und unter denen ich selbst eine algeliraische Cuvve bemerkt habe. Ausserdem wird man aus andern verwandten Aufgaben im lee- ren Räume, wie auch aus der ganzen Behandlung dieses Ge- genstandes für das iriders fehende Mittel, den Vorzug und Nutzen dieser Methode überflüssig ersehen können. Uebri- gens wird man, wie diese Methode als ein Beweis des Fort- schrittes der Analysis und Mechanik betrachtet werden muss, eben so auch bei den Auflösungen verschiedener schwieriger Aufgaben nicht zu verachtende Hülf'smittel der Analysis wahr- nehmen, wodurch ich auch diese Wissenschaft bedeutend ge- fijrdert zu haben glaube.
Im vierten Kapitel endlich betrachte ich die Ue\ einer gegebenen Oberfläche, einejLehj:«.<->£elc niemand berührt hat und die auch sehr schwer zu behandeln ist^-well mall die Natur und Eigenschaften fester Kfirper noch nicht hinreichend erkannt und in Rechnung gezogen hat. Ehe ich über die Bewegung dieser Art irgend etwas aufstellen konnte, musste ich erst eine Methode-ausehiandersetzen , nach welcher man^ie_Eigenschaften der Oberflächen und der auf ihnen g^ogenen Linien linden und in Rechnung ziehen kann. Diess habe icE^mitteFst Gleichungen, welche drei Veränder- liche enthalten, erreicht, deren ich mich in dem Theil III. der Comnient. zur Bestimmung der kürzesten Linie auf jeder ge- gebenen Oberfläche und im vorhergehenden Theile dieses Wer- kes, zur Bestimmung der freien, nicht in derselben Ebene erfolgenden , Bewegungen bedient habe. Nachdem diese Vor- bereitungen getroffen waren, konnte ich endlieh dazu übergehen, die Wirkungen der Kräfte auf Körper, welche sich auf gege- benen Oberflächen bewegen, zu bestimmen und hieraus erhielt ich eine Verfahrungs weise, wonach man sowohl den vom Kör-
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.6 Vorrede-
tet beschriebene» Weg, als anch die übrigen Eigenschaften der Bewegung bestimmen kann. Da aber die Rechnung, so lange man die Sache allgemein betrachtet, sehr weitläiilitig und schwer zu behandeln wird, habe ich den Widerstand vernach- lässigt und alles auf den leeren liaum und die gewöhnliche Schwerkraft zurückgeführt und dann vorzugsweise die Bewe- gung schief schwingender Pendel erforscht, und die Anomalien dieser Bewegung, wie auch das Fortschreiten der Absiden sorgfältig bestimmt.
Diess ist der Inhalt des /weiten Theiles, nach dessen Vollendung ich mich bemühen werde, sobald als möglich die Bewegung endlicher Kiirpor und zwar zuerst der festen In Ord- nung zu bringen und nach gleicher Methode darzustellen.
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Kapitel I. Fon (Inf nicht freien Beiveifuny im AUijeineinen.
ErkL-iruug I.
%. 1. Mail sagt, ein Kiirper bewege sich nicht frei, wenn Kusseve Hindernisse ihn abhalten, nach deijenigeu Rich- tung fortzugehen, nach welcher er sich, im Vevhaitniss der ihm inwohnenden Bewegung und der antreibenden Kräfte, be- wegen müsste.
Anmerkung 1.
%. 2. Bei der freien Bewegung eines Punktes, welche vrir im ersten Thelle auseinander gesetzt haben, nahmen wir den Raum, in welchem der Kürper sich bewegte, als von al- len Hindernissen frei an. Jetzt, aber denken wir uns ihn so eingerichtet, dass der Körper nicht nach jeder Richtung fort- gehen kr>nne, nämlich wegen fester Wände, welche keinen Durchgang gestatten.
Zusatz 1.
%. 3. Findet also der Körper bei «einer Bewegung ein Hin-
detniss und kann er daher die Richtung, nach welcher ersieh
bewegen will, nicht beibehalten, so wird er entweder tiihen
oder in einer andern Richtung seine Bewegung fortsetzen müssen.
Zusatz 2.
§. 4. In welcher Richtung aber der Körper, nach deju Zusammentreffen mit dem Hindernisse, fortgehen werde, niuss nach den Umständen der Bewegung und der Lage des Hin- dernisses beurtheilt werden.
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8 Kapilci I. Von der nicht freien
Anmerkung 2.
§. 5. Diese Lelire scheint sich auf die Bewegung nach eltiein 8tosse zu beziehen, wovon in diesem Buche doch nicht die Rede ist; wir nehmen hier vielmehr Hindernisse anderer Art an, welche jene Kenntniss nicht erfordern. Es sind diess beständige Hindernisse, welche die Bewegung des Punktes beschränken und durchaus keine Zurückwerfung zulasseu; von dieser Art Ist eine Rühre oder ein Kanal, ein geradliniger oder gekrümmter, in welchem der sich bewegende kleine Körper fortgehen muss. In diesem Falle wird der Weg, auf welchem der Körper fortschreiten wird, durchaus vorgeschrieben und ea kann der letztere w egen der Testigkeit der Rohre nicht heraustre- ten. Da wir nun hier statt eines KBipers einen Punkt be- trachten, wird diesei »nh luf einer gegebenen Linie bewegen müssen und ni<hf lus ihr heiausfreten können Anmeikung 3
§, 6. Wir werden in diesem Buche zwei Arten von ge- hinderter oder beschränkter Bewegung betrachten, deren erste wir eben erwähnt haben und welche die Bewegungen von Punk- ten auf einer gegebenen, geraden oder krummen Linie um- faest. Die andere Art beschränkt die Freiheit der Bewegung weniger, indem sie nur eine Oberfläche vorschreibt, auf wel- cher der Körper sich beständig befinden soll. Diese beiden Arten verhinderter Bewegung werden wir in diesem Buche aus- einandersetzen.
Zusatz 3.
§. 7. Bei der ersten Art haben wir zu untersuchen, welche Geschwindigkeit der Körper oder vielmehr der Punkt an jedem Orte der vorgeschriebenen Linie haben, welchen Druck er ge- gen diese ausüben und welche Zeit er brtaucbcn wird, um ei- nen gegebenen Theil des Weges zu durchlaufen. Zusatz 4.
§. 8. Bei der Bewegung der zweiten Art muss man, aus- ser den im vorigen Zusatz erwühnten Umständen, noch die Linie bestimmen, welche der Körper auf der gegebenen Ober- fläche beschreibt. Hierzu wollen wir in diesem Kapitel die Quellen eröffnen.
Anmerkung 4.
g. y. Wir werden zuerst die Bewegungen beiderlei Art untersuchen, wenn der Körper durch keine Kräfte angetrieben
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Bewegung im Allgemeinen. 9
wird. Wir zeigen hier, mit welcher Geschwindigkeit derselbe fortgehen mass und mit welcher Kraft er überall gegen die gegebene Linie und Olteriläche drückt. Ist nur die letztere gegeben, so werden wir ausserdem den Weg bestimmen, auf welchem der, durch keine Kräfte angetriebene, Körper fort- schreiten wii'd. Hierauf werden wir die Prineipien auseinan- dersetzen, nach denen man beurtheileii kann, welche Äende- rungen durch antreibende absolute oder relative Kräfte . hervor- gebracht werden und so werden wir in den folgenden Kapiteln die einzelnen Umstände gesondert ableiten können. Anmerkung 5. §. 10. Bei diesen Bewegungen auf gegebenen Linien und Obei'äSchen abstrahiren wir von aller Keibung und setzen keine Verzögerung der Bewegung voraus. Wir nehmen daher an, dass diese Linien und Oberflächen höchst glatt und von aller Rauhigkeit frei sind, damit die Bewegungen hierdurch keine Verzögerung erleiden^ Auch jede rotirende Bewegung müssen wir uns fortdenken, indem hieraus Aenderungen in der fort- schreitenden Bewegung entspringen, welche wir erst im Fol- genden erklären können. Wir stellen uns demnach vor, dass der Punkt gleichsam gleitend sich fortbewege, so dass jeder seiner Theile, wenn wir uns sonst Theile in einem Punkte denken können, dieselbe Bewegung habe. Anmerkung ß. §. n. Alles dasjenige also, was über die Bewegung von Punkten im vorigen Theile gezeigt worden ist und in diesem gelehrt werden wird, k^nn auch Körpern von endlicher Grösse angepasst werden, wenn nur ihre Bewegung sich seihst immer parallel ist und alle ihre Theile mit gleicher Bewegung begabt sind. Diess wird sich noch deutlicher aus den folgenden Bü- chern herausstellen, in den Fällen, in welchen die Bewegung endlicher Körper von der einzelner Punkte nicht verschieden ist In diesen Büchern betrachten wir nur Punkte und da diese keine Theile haben, können die letztern auch keine verschie- denen Bewegungen haben.
Satz l. Lehrsatz. §, 12, Ein Körper oder Punkt, welcher sich auf einer ge- gebenen Linie bewegt und durch keine Kräfte angetrieben wird.
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10 Kapitel l Vo7i der nicht freien
wird stets diescllic Gesell tri ndigkeit beibehatteii , wenn nur zwei beliebige ziisainmcnhängende Elemente jener Linie nir- gends einen Winkel von cniliicher Grösse mit einander bilden. Beweis. (Figur 1.) Da der Körper, während er sich auf der Li- nie AM bewegt, durch keine Kraft angetrieben wird und da keine Reibung stattfindet, so kann die Bewegung des Körpers nur in, so fem eine Aendernng erleiden, als die Linie AM Mtn verhindert, sich frei zu bewegen. Hieraus haben wir zu erfor- schen, wekhe Aenderung der Geschwindigkeit entstehen ninss. Hat der K<ir]>cr in M die Geschwindigkeit e, so würde er, wenn er sich frei bewegte, mit derselben längs der Tangente Mv fortgeben, was aber jetzt nicht möglich ist. Weil er die Curve A3t nicht verlassen kann ; er wird also gezwungen sein, längs Mm fortzugehen. Wir denken uns daher die Bewegung des Körpers längs Mv in die beiden Seitenbewegungen längs Mm und Mn zerlegt, wobei Mnvm ein Rechteck ist. Offenbar wird die Bewegung durch Mu, deren Richtung normal auf dem Element Mm. der Curve ist, ganz aufgehoben werden und keine Wirkung in dei' Aenderung der Geschwindigkeit hervorbringen können. Der Körper wird daher mit der andern Bewegung auf Mm fortgeben und zwar mit einer Geschwindigkeit, welche sich zur vorhergehenden, wie MmiMv verhält. Es ist daher die Geschwindigkeit, mit welcher er das Element Mm beschreibt, _ Mm . c " Mv ' d. b. kleiner als c, iveil Mm als Katbete kleiner als die Hy- potenuse Mv ist. Die Abnahme der Geschwindigkeit ist also
_ Mv -Mm
"" J/v ■ .
Um den Werth derselben zu linden, sei MO — r der Krüm- mungshalbmesser der Curve in M und das Element MmT=ds; alsdann ist ^MOm = mMv und daher MO:Mm= Mm:viv, also
,„ = '!f. «nd M, = ^d.'H-~= ^V'?+7i?=rf.+ g.
Hieraus erhallt man das Decrement der Geschwindigkeit
— 2^2' Das Integral dieses Ausdrucks gibt das Decrement der Ge-
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i Allgemeinen. 11
seh windigkeit, während der Körper einen endlichen Theil der Curve AM durchläuft. Jener Awsdruek ist aber einem Diffe- rential zweiten Grades gleich, also sein Integral ein Differen- tial vom ersten Grade. Das Decrenierit der Geschwindigkeit nachdem der Körper einen beliebig grossen Bogen der Curve durchlaufen hat, wird datier unendlich klein und es bewegt sich der Körper gleicbfifrmig durch die ganze Curve j4^/, wenn nur der Kriinininngshalbniesser r nirgends unendlich klein wird. Zusatz 1-
%. 13. Auf jeder Curve , deren Krümmungshalbmesser nir- gendsunendlich klein wird, wird daher ein Körper sich gleich- lormig bewegen, wenn derselbe weder durch Kräfte angetrie- ben wird, noch eine Reibung erleidet. Zusatz 2.
§. 14. Ist der Krümmungshallimesser unendlich klein, so wird -f^ entweder eine endliche Grösse oder ein Differential
vom ersten Grade. In jenem Falle erleidet die Geschwindig- keit des Körpers einen endlichen, in diesem nur einen unend- lich kleinen Verlust.
ZusatB 3.
§. 15. Da aber flergleicheu Punkte auf allen Curven nur selten vorkommen und von einander entfernt sind, so wird der Körper doch den, zwischen zwei solchen Punkten gelegenen. Bogen mit gleichförmiger Bewegung durchlaufen. Anmerkung 1.
g. 16. Die Fälle, in welchwi der Körper plötzlich einen endlichen Verlust an seiner Geschwindigkeit erleidet, können keine andero sein, als wo die Curven Spitzen haben. An die- sen Orten wird der Körper gezwungen, direct umzukehren und zugleich stösst er normal gegen die Spitze. Hier wird also der Körper nicht nur einen endlichen Theil seiner Geschwindigkeit, sondern die letztere gänzlich verlieren müssen; ausgenommen wenn der Körper elastisch ist, wo er mit derselben Geschwin- digkeit, mit welcher er aufstösst, zurückgeworfen und so seine gleichförmige Bewegung beibehalten wird. In der Spitze bil- den nämlich zwei Elemente einen unendlich kleinen Winkel miteinander.
Anmerkung S.
§. 17. Ausser den Spitzen kann es aber andere Punkte
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12 Kapünl I. Von der nicht freien
der Curve geben, in denen der Kri'inimungshalbmesser unend- lich klein ist. Da aber zwei beliebige zusammenhängende Ele- mente fast in gerader Linie liegen und der hinterliegende Win- kel unendlich klein ist, so erhellt aus dem Beneise, dass der Kurper unmjiglich einen endlichen Theil seiner Geschwindig- keit verlieren kann. Da derartige Punkte selten vorkommen! wird der Körper sich dennoch gleichförmig bewegen.
Zusatz 4. 5- 18. Ist der sich beneidende Körper ebistisch , so wird er sich auf jeder Curve gleichfiirmig bewegen ; ist er nicht elastisch, so werden nur die Spitzen seine Bewegung sturen» nämlich dieselbe ganz aufheben.
Anmerkung 3. g. 19. (Figur 3.) Um diess klarer einzusehen, seien AB und BC zwei Elemente der Curve, /tßCtler Winkel, welchen sie bilden und CBD der unendlich kleine liiiiterliegende Win- kel, dessen Sinus =zdi, für den Radius ^1. Da dei; Körper, nachdem er das Elenient AB beschrieben hat, vermöge dBr ihm inwohnenden Kraft auf BD furtzugehen strebt und zwar mit der frühem Geschwindigkeit c, so denke man sich seine Be- wegung als eine doppelte, die eine in der Richtung BC, die andere normal auf BC, welche letztere keine Wirkung hervor- bringen kann. Fällt man von D auf BC das Perpendikel DC, so bewegt sich der Körper durch BC mit einer Geschwindig- keit, welche sich zur frühern verhält, wie BC : BD, d. h. wie V^l — (/i^:l. Die BC entsprechende Geschwindigkeit wird daher
und ihr Decrement =: -g— , welches einem Differentiale zwei- ten Grades gleich ist. So lange also auf einer beliebigen Curve der Winkel CBD unendlich klein ist, wird der Körper gleich- förmig fortschreiten. Entweder ist aber derselbe auf jeder Curve unendlich klein, oder es ist diess beim Winkel ABC der Fall, wie in den Spitzen. Nur diese werden also die Gleich- förmigkeit der Bewegung stören, wenn nicht etwa der Körper elastisch ist, wo dennoch die Gleichfilrraigkeit beibehalten wird.
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Bewegunif im Allgem
Sat7. % Lehrsatz.
§. 20. (Figur I.) Während ein Körper sich gleichffimiig auf der Curve AM bewegt, drückt er in den einzelnen Punk-, ten M normal gegen die Curve mit einer Kraft, welche sich zur Schwere verholt, wie die der Gescliwiiiiligkeit zukommende Hühe zum halhen Kriimniungshalbmesser. Beweis.
Sollte sich der Kiirper auf der Curve AM frei und gleich- filrmig bewegen, so inüsste eine, deiiseliien normal längs MO ziehende, Kraft vorhanden sein, welche sich zur Schwere ver- hielte, wie die der Geschwindigkeit zukommende Höhe zur Hälfte des Krfimmungshallimessers (Theil I, %. 553). Fände diese Kraft nicht statt, so wurde der Körper sich geradlinig fortbewegen. Im vorliegenden Falle verhindert aber der Kanal AM, in welchen wir uns den Körper eingeschlossen denken, ihn daran, auf einer geraden Linie fortzugehen; daher wird der Körper mit einer eben so grossen Kraft, normal gegen den Ka- nal, längs Mn drftcken. Wäre daher eine solche normale Kraft vorhanden, so würde der Körper sich frei im Kanal AM be- wegen, ohne einen Druck gegen ihn auszuüben; ist sie, wie hier vorausgesetzt wird, nicht vorhanden, so drückt der Kör, per notiiwendig mit einer eben so grossen Kraft gegen den
Zusatz 1. g. 21. Wird die, der Geschwindigkeit zukommende, Plöhe =^D, der Kriimmungsh all) messet MO = r und die Schwere, welche den Körper an der Oberfläche der Erde antreiben würde, = \ gesetzt; so wird die Kraft, mit welcher der Körper in M gegen den Kanal, längs Mit drückt, = — .
Zusatz 2. g. 22. Bewegt sich der Körper mit einer grössern oder kleinem Geschwindigkeit auf .^itf, so wird der Druck in M im doppelten Verbältniss derselben griisser oder kleiner, weil die Geschwindigkeit = W ist.
Zusatz 3. §. 23. Die Richtung dieses Druckes ist normal gegen die
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14 Kapitel I. Von der nicht freien
Ciirve und der Lage des Krümmungshalbmessers 310 direct entgegengesetzt. Verüiiigert man daher den letztern nach der andern Seite der Curve, so erhalt man die Richtung dieses Druckes.
Zusatz 4.
§ 24, Bewegt sich der Körper auf einer geraden Linie, so wird der Druck ^0, weil r^x 'st ; diess folgt auch aus der Natui der Bewegung. Ein Körper, welcher sich auf einer geraden Linie hene^t, wird nämlich von freien Stücken gleich- fijrmi^ foitstl leiten und daher nicht gegen den geradlinigen Kanal drücken
ZnsatK 5.
g 25 Ist die turve AM ein Kreis, so wird .ler Druck überall dei&elbe und desto grösser, je kleiner der Radius ist, vonusgesetzt, dass die Geschwindigkeit dieselbe hieihe; der Druck ist nämlich dem Radius umgekehrt proportional. Anmerkung 1
S 20 Dimit der Körper ^irh ^uf der Curve AM frei und gleichfjimig bewege, muss ei lang'* der Normale MO durch i^ine Kraft = — ingetrieben «ei len Hieraus ersieht man,
dass der K ipei nothwendig das Bestieben haben muss, sich nach der entgegengesetzten Richtung hin zu bewegen, weil son'it die-t, Knft nicht erforderlich wäre um den Körper auf der Curie zu erhalten Ist daher der Körper gezwungen, sich im Kanal .d;W /u bpwegen und wiid «ein Be-trcben nicht dureh eine normale Krilt aufgehoben so übt er dasselbe wirklich gegen den Kanal au= Dei letzteie niusa d iher so fest sein, dass er diesen D uck ■m-«halten kann Zusatz 6 §. 27. OSenbir kann also der k r| e bei seiner Bewe- gung, ohne i ptiid c i en ^ crlu*.! an Geschnindigkeit, eine Wir- kung ausübei «elcle in dem crklirtcn Drucke besteht,
Zusatz 7. S- 28. Aus der Bewegung allein kann also ein Druck entspringeil, gerade wie die erstere durch einen Druck oder durch Kräfte erzeugt wird.
Anmerkung 2. §. 29. Man ersieht hieraus, wie wir schon im ersl«n Theile
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UemrfjHiif) im Al/fjemcüien. 13
angedeutet haben, (lass es angewiss ist, ob -die Bewegung durch Kräfte oder umgekehrt diese durch jene erzeugt werden. Wir finden in der Natur beides. KrSrte und Bewegung;; wel- ches voo'Seiden die Ursache des ander» sei, ist eine Frage, die durch ScElitssfnlge und Beobachtung beantwortet werden muss^ iüs seile inr~Reinesn'eges vernunftgemSss, de» Körpern ein inwohnendes Bestreben zuziiselireiben , noch weit weniger, die Kräfte als für sieb bestehend anzunehmen. Derjenige, welcher alle Erscheinungen ans einer entstündenen Bewegung erklärt , muss angesehen werden , als ol> er eigenthüm liehe Ur- sachen der Erscheinungen annfihme. Wir haben Dämlich oben klar bewiesen, dass eine einmal bestehende Bewegung stets erhalten werden niuss; hier aber haben wir auseinander gesetzt, wie aus der Bewegung Kräfte entspringen. Dagegen kann man sich nicht vorstellen, wie Kräi'te ohne BewegnngbesteheD oder erhalten werden künnei). Wir schliesaen daher, dass alle KrSfte, welche wir in der Welt wahrnehmen, aus <ter Bewegung lier- vorgeben; einem eifrigen Forscher liegt es aber ol), zu bestim- n"IeTr7Tnrg Welcher Bewegung und der Bewegung welcher Körper jede einzelne, in der Welt wahrgenommene, Kral't entstanden sei.
Anmerkung 5. §. 30. Da man schwer einsehen kann, wie eine solche Wirkung, nändich ein beständiger Druck aus der Bewegung des Korpers, ohne Verlust an Geschwindigkeit hervorgehe, 8" scheint es derMiihe wprth zu sein, nach der Ursache die- ser Erscheinung zu forschen. Wir haben im vorhergehenden Satze gesehen, dass die Bewegung eines Körpers auf einer Cuive nicht absolut gleichförmig ist, sondern dass die Geschwin- digkeit wirklich einen Verlust erleidet, während der Körper sich durch die einzelnen Elemente der Curve bewegt. Diese Decremeiite sind aber Differentialen vom zweiten Grade gleich, so dass auch eine unendlich grosse Anzahl derselben die Ge- schwindigkeit des Körpers nur unendlich w^nlg zu vermindern vermag. Ich bin daher der Meinung, dass man di^^_jineod- lich kleinen Verluste j^eoen_DmcErz^cEm5^^[^sg£_JU»d.. werde hierin um so mehr bestärkt, als der Druck desto grös- ser wird, je grösser der Verlust der Geschwindigkeit ist. Da nämlich der Druck ia M = ~ ist und das ganze Element Mm,
während es durchlaufen wird, von dieser Kraft einen Druck erleidet, so kann man die Wirkung des letztem auf Mm=::dii
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16 Kapitel I. Von der nicht freien
durch — — darstellen. Oben haben wir aber das Decrement der Geschwindigkeit, während der Körper das Element Mm
hier Vw^ und da also
2r» '
gleich
dem Quadrat des Druckes, welchen das Element ^3llt erleidet. Zusatz 8. %. 31. Das Quadrat des Druckes, welchen 31m erleidet, ist daher dem Decrement von 2tj* gleich und wenn dieses ^^rfs^ ist, wird jener Druck der Schwerkraft gleich. Bieraus ergibt sich ein Mittel, um denselben kennen zu lernen. Zusatz 'I §. 32. Gibt man diess zu, so ist jenes, sich unzählige Mal wiederholende, kleine Deirement der Geschwindigkeit hin- reichend, um einen endlichen Druck zu erzeugen. So lange nun das Decrement von v^ mit rf»^ homogen ist, wird der Druck endlich , wird jenes unendlich grosser als rfs^, so wird auch der Drpick unendlich gross.
Erklärung 2. §. 33. Dieser Druck, welchen ein auf einer Curve sich bewegender Körper gegen diese ausübt, wird die £xJlirxfuj;^ ^^Ikraft genannt, weil ihre Richtung vom Mittelpunkt O des osculir enden Kreises ausgeht.
Zusatz 1 g. 34. Die Centrifugalkraft lerbalt mc!. daher zur Schwere, wie die der Geschwindigkeit zukommende Hofie 7ur Hälfte des Krümmungshalbmessers.
Zusatz 2. @. 35. Wird ein Körper gezwungen, sich auf einer Curve zu bewegen, so drückt die Centrifugalkraft gegen die letztere, wenn auch keine Kraft den erstem antreibt. Anmerkung. §. 36. Wird aber ein Körper auch durch Kräfte angetrie-
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Heweffung im Allgemeinen. 17
ben, so entspringt aus diesen ebenfalls ein Druck gegen den Kanal und es wird dieser daher auf doppelte Weise, theils durch die Kräfte, theils durch die Centrlfugalkraft gedrückt. Nun müssen wir untersuchen, welche Wirkuiigeu Ktäfte auf eJNeu Körper, der sich nicht frei bewegt, hervorbringen künnen.
Satz 3. Lehrsatz. %. 37. ("Figur 4.). Wird ein im Kanal AM sich bewe- gender Körper in M durch eine Kraft MN angetrieben , deren Bichtung normal auf der Curve ,4Mist; so wird die Geschwin- digkeit weder vernjehrt noch vermindert, sondern die ganze Kraft zur Erzeugung eines Druckes gegen den Kanal verwandt.
Aus dem vorigen Theile ist klar, das» eine Kraft, deren Richtung normal auf der Richtung der Bewegung ist, die Ge- schwindigkeit weder vermehren noch vermindern wird. Diess ist zwar dort für eine freie Bewegung bewic!sen worden, fin- det jedoch hier mit derselben Strenge statt, da eine normale Kraft den Kcirper iveder vor- noch rückwärts zieht. Bei einer freien Bewegung ändert aber eine normale Kraft die Richtung der erstem, welche Wirkung sie hier nicht haben kann. Sie* drückt daher den Körper gegen den Kanal und es findet dem- nach in der Richtung MN ein eben so grosser Druck gegen den Kanal statt.
Zusatz 1.
§. 38. Die Richtung einer sglchen normalen Kraft fallt also mit der Cetitrifugalkraft eTit^eder zusammen, oder ist ihr entgegengesetzt- Im erstem Falle vergrössert sie die letztere, im andern vermindert sie dieselbe.
Zusatz 2.
g, 3y. Da die Richtung der Centrifugalkralt nach der couvexen Seite der Curve geht, so tvird die normale Kraft jene vergiössern, wenn ihre Richtung ebenfalls auf die convese Seite fiillt; hingegen vermindern, wenn dieselbe nach der con- caven Seite gerichtet ist.
Zusatz .3.
§. 40. Ist die normale Krait ^ N und die Oentrifiiyal- kraft wie vorher = — , so wird die Curve durch die Kräfte Eiilei's Mechanik. II. -2
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18 Kapüsd I. Von der nicht freien
— + N oder — — N geilröckt, je nachdem die erslern beiden
zusamruen oder einander entgegen wirken.
Zusatz 4. §. 41. Ist die normale Kraft der Centrifugalkraft gleich lind entgegengesetzt, so erleidet die Gwrve gai keineii Druck oder es wird der Klirper kein Bestreben Iiaben, sich von ihr zu entfernen; in diesem Falle würde der" Körper die Curve frei beschreiben. Diess ergibt sich auch aus dem Werthe
— , welchen die Nonnalkraft in diesem Falle hat und wodurch'
bewirkt wird, dass der Körper sich gleichförmig und frei auf jeder Cuitc bewege.
Satz 4. Lehrsatz.
§. 42. (Figur 4.) Wird ein im Kanal AlV sidt bewegen- der Körper in M durch eine Kraft angetrieben, welche längs der Tangente MT gerichtet ist; so wird ihre Wirkung darin bestehen, dass sie die Geschwindigkeit des Körpers auf die- selbe Weise, wie bei der freien Uevvegung, vermehrt oder T«imindert.
Beweis.
Da die Richtungslinie- dieser Kraft die Tangente MT des Kanals ist, so kann weder dieser die Wirkung der Kraft ver- hindern, noch die letztere auf.den Kanal eine Wirkung ausüben. Diese Kraft wird daher die Geschwindigkeit des Körpers ver- mehren oder vermindern, je nachdem ihre Richtung mit der des Körpers zasammentallt oder der leztern entgegengesetzt ist, ganz so, als ob der Körper sich frei bewegte. Setzt man da- her die Geschwindigkeit des Körpers in M^Vv, das Ele- ment Mm = ds und die Tangentialkraft = T; so ist
dv = Tds, oder dv — — Tds, je nachdem T den Körper beschleunigt oder verzögert. Zusatz 1. §. 43. Bei der Bewegung der Körper auf gegebenen Li- nien erzeugt die normale Kraft nur einen Druck gegen diese, die Tangentialkraft aflicirt aber nur die Geschwindigkeit. Zusatz % 6. 44, Da die Kraft des Widerstandes wie eine verzö-
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Bewegung im Allgemeinen- 19
Sernde Tangentialkraft wirkt, so wird sie auch oben so auj' die Bewegung der Körper längs gegebener Ciirven wirken, wie auf eine freie Beweguiiff. Wenn daher ausser der beschleuni- genden Tangontiiilkraft T, ein Widerstand B vorhanden ist; ergibt sieb aus beiden vereint diQ Gleiehiing
dv ~ Tds—Rth.
Satz 5. Aufgabe. §. 45. (Figur 5.) Es bewegt sich ein Kurpei' auf einer gegebenen Linie AM in einem beliebigen widerstehenden Mit- tel und wird ausserdem durch eine, längs MP gerichtete, ab- solute Kraft angetrieben ; man soll die Wirkung der letztern, den Widerstand und den Druck, welchen die Curve AM er- leidet, bestimmen.
Auflösung. Es sei" die Geschwindigkeit \\i M — Vv, die Kraft des Widerstandes ~ R, die absolute Kraft MP = P und die Bichtung der letztern so heschaffen, dass, wenn man das Ele- ment Mm := ds annimmt und \on m auf MP das Perpendikel mn =^ dx fiillt, alsdann
31n = dy = Vds'-^—da:''
sei. Man zerlege die Kraft P in zwei Seitenkräfte, die eine längs MN, normal gegen die Curve und die andere längs der Tangente MT an der Curve wirkend. Da mm \Mimic\DMPT, so wird die ersfere Seitenkraft oder PT = --^— iind(liezi.weite
oder MT == - '^, welche letztere die Gesckivindigkeit ver- eis mebrt Da nun aber die Kraft des Widerstandes die Geschwin- digkeit vermindert, so dient nur die Kraft —j^ — R zur Ver- mehrung der letztern und wir erhalten daher die Gleichung dv t= Pdy—Rds (§. 42.). 't "dx ^^^^^ in..i7;i.L-f Hnoc die Curve einen Druck in der, nach ihrer convexen Seite hin liegenden, Rich- tung BJN in M erleidet. Da nun die Ce ii tri fuga! kraft ~ ?-
yGoosle
20 Kapitel /. Von der nicht freien
nach dersellien Seife hin drückt, so ist die ganze Kraft, welche im Punkte M längs MN einen Druck auf die Curve ausübt,
= —, — + — . Man kennt daher die Bewegung des Körpers
ds r
auf der Cnrvc inid den Druck in den einzelnen Punkten der letztern.
Zusatz.
§. 46. Aus diesen beiden Formebi kann man alles iiblei- ten, n'as die Bewegung eines Körpers längs gegebener Linien betrifft.
Anmerkung 1.
§. 47. Wir haben hier zwar nur Eine absolute Kraft vor- ausgesetzt, indessen kann man doch genügend einsehen, wie man die Wirkungen mehrerer Kräfte zu bestimmen habe. Wie bei der freien Bewegung muss man nämlich auch hier jede einzelne Kraft in je zwei Seitenkräfte, die eine normal und die andere tangential zerlegen und indem man die letztern, respec- tive vereinigt, erhält man dann Eine normale und Eine tan- gentiale Kraft, deren Wirkungen nach den Sätzen 3. und 4. bestimmt werden können.^
Anmerkung 2.
§. 48. Im Bisherigen haben wir -den Grund gelegt, um im Folgenden die Bewegung der Kürper auf gegebenen Linien abzuleiten. Ehe wir jedoch ähnliche Principien für die Bewe- gung auf gegebenen Oberflächen aufstellen, ist es zweckmäs- sig kurz zu zeigen, wie mandie Bewegung auf einer gegebe- nen Linie wirklich darstellen könne. Mittelst eines Kanals, in welchen der Körper eingeschlossen ist, kann nämlich eine solche Bewegung keinesweges hervorgebracht werden, ivejren der Reibung und anderer Hindernisse, welche nicht aufgeho- ben werden können. Am bequemsten kann man derartige, nicht freie Bewegungen mittelst Pendel erzeugen, wie Huygens zuerst gethan hat; wir werden daher im folgenden Satze zei- gen, wie man die Pendel diesem Zwecke anpassen kann.
Satz ü. Aufgabe, §. 49, (Figur 6,). Man soll durch ein Pendel bewirken, dass ein Körper sich auf einer gegebenen Linie bewege.
Anfiösung. Es sei ÄMß die Curve, aufweichet sich der Körper nach
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Beweffimg im AUffemi'lnen 21
der Voranssetzimg bewegen soll ; alsdiinu constriilre man die Evolute AOC dieser Curve nnd befestige ein nach ihrer Form gekiümnites Blech. Hierauf führe man einen Faden um dieses Blecb , befestige sein eines Ende im Pnnkt C des letztern und knüpfe an das andere Ende A den Körper, welcher sich be- wegen soll. Fängt nun dieser seine Bewegung an, so rauss er offenbar auf der Curve AMB fortgeben, weil der Faden, während er sich vom Bleche trennt, diese Curve durch Ab- wickelung beschreibt.
Zusatz 1. §. 50. Auf diese Welse bewegt sich ein Körper auf einer gegebenen Curve, ohne Reibung zu erleiden. Mittelst einer solchen Bewegung kann man sehr bequem dasjenige durch Versuche ausführen, was man in der Theorie findet. "
Zusatz % §. 51. Aus der Lehre von den Evoluten x'^t bekannt dass der vom Blech getrennte Theil MO de*, tidens normal auf der Curve AMB und ihr Krümmungshalbme'iseT in M ist
Znsatz 3. §. 52. (Figur 7.). Damit der Kiirper %iLh auf dei Pen pherie AMB eines Kreises bewege, beduf min keines ge krümmten Bleches, sondern man braucht nur A&-* eine 1 nde C des Fadens im Mitlteipunkt des Kreises zu befesti-,en
Zusatz 4, §. 53. (Figur 0.). Da der Faden MO der Krummungs balbmesser ist, so wird die ganze Centiifugalkraft dazu ter wandt, diesen Faden anzuspannen. Diesei mu*.» daher so- wohl hinreichend stark, als auch keiner Ausdehnung unter- worfen sein. Behält er nümlicb nicht immer dieselbe Lbnge, so wird er nicht die verlangte Curve beschieiben
Zusatz 5. §. 34, Kommt eine absolute Kraft hinzu, so wird man ausser der Centrifugalkraft noch eine normale Kraft haben, welche ebenfalls den Faden anspannt, wenn sie mit jener über einstimmend wirkt. Wirkt sie aber der Centnfugalk aft enti>e gen, so wird sie die Spannung des Ftdens vermindern und denselben zusammendrücken, wenn sie zugleich gc ssei als jene ist. In diesem Falle wird die Abnickelmg ohni ISutzeu sein. Da nämlich der Faden biegsam sein muss wird er der
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22 Kaji'te! 1 Von der nicht freien
Zusammendcückung nicht widerstehen «iiii daher nicht verhin- dern können, dass dei Körper sich von dev Cuivo AMB gegen die Evolute hin entfeine.
Anmerkung I.
§. 55. Ausser dieser Schwierigkeit leidet diese Erzeugung der Curvendurch Abwickelung- auch noch an dem !\Taiigel, dass man keine gerade Linie hervorbringen kann, indem man hierzu eines unendlich langen Fadens bedflrfen wörde. Auf ähnliche Weise kann, diese Abwickelung solchen Curven nicht ange- passt werden, welche irgendwo einen unendlich grossen Krüm- muiigsbalbmesser haben. Ferner kann man eben so wenig auf diese Weise eine Curve erzeugen, welche eine Spitze oder einen Wendepunkt hat; man kann sie daher nur bei Curven anwenden, welche überall eine endliche Krümmung haben, wo- bei man noch zu bemerken hat, dass der ganze Druck, wel- chen die Curve erleidet, nirgends nach ihrer concaven Seite hin gerichtet sein darf.
Anmerkung 2.
§. 56. Huygena, welcher zuerst die Lehre von den Evo- lufen ausgebildet hat, wandte sie sogleich zu eben diesem Zwecke an, wie man aus seinem ausgezeichnetem Werke „de horologio oscillatorio " ersiebt. Er hatte nämlich gefunden, dass alle Scliii'ingungen in einer Cycloide isocbronisch seien und wollte daher diese Bewegung bei einer Uhr anbringen, was er mittelst eines zwischen Cycloiden schwingenden Pendels bewirkte. Da nSmlicb die Evolute einer Cycloide selbst wie- der eine Cycloide ist, so bewirkte er auf diese Weise, dass der am Faden befestigte Korper sich in einer Cycloide bewegte.
Anmerkung 3. §. 57. Bei dieser Pendelbewegung hat man besonders zu bemerken, dass ausser dem Körper auch der Felden sich be- wegen muss, was keinesweges in den Plan dieses Buches, wo mir von der Bewegung eines Punktes die Rede ist, gehört. Ausserdem ist die Bewegung des am Faden befestigten Kör- pers nicht sich selbst parallel, sondern kreisförmig, nämlich um denJlittelpunkt des die Curve osculirenden Ki'eises, welche Bewegung hier ebenfalls nicht berührt wird. Wir werden. da- her in diesem Buche nur die Bewegung eines Punktes auf einer gegebenen Linie oder FlSche untersuchen und von der Bewegung des Fadens, wie auch von dör Kreisform des We-
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lieieeguiii} im AUffeincineii. 53
ges abstrahireti. In der Folge werden wir aber die Bewegung der Pendel, wobei wir auch den Faden und die Kieisform in Rechnung ziehen, auf die Bewegung eines Punkfes zurückfüh- ren; so dass dasjenige, was wir in diesem Buche behandeln, nichts desto weniger in der Praxis von Nutzen sein wird. Wir haben uns daher, wie schon bemerkt, zu denken, dass ein Punkt mit sich selbst stets paralleler Bewegung auf einer Cur ve oder Obeiiläche, ohne alle Reibung fortgeführt werde.
Lehrsatz.
§. 58. (Figur 8.). Bewegt sich ein, durch keine Kräfte imgetriebener, Körper im leeren Räume oder nicht widerste- henden Mittel auf einer beliebigen Oberfläthe ABV, so wird er gleiehfürmig fortgeführt, wobei wir von aller lieibnng ab- strahicen.
Beweis.
Da ein Körper auf, einer gegebenen Linie die ihm beige- brachte Bewegung fortsetzen kann, so wird er sich noch viel mehr auf einer gegebenen Obei-fläche bewegen können, weil seine Freiheit nocfr weniger beschränkt ist. Es sei also DMm die Linie, auf welcher er fortschreitet, so wird dieselbe gerade oder. krumm sein. Ist sie gerade, so findet kein Zweifel statt, dass der Körper mit gleichförmiger Bewegung fortschreiten werde. Ist sie hingegen krumm, wo sie durch eine Gleichung airsgedrückt werden kann, so werden znei beliebige zusam- menhängende Elemente entweder sehr nahe in gerader Linie liegen oder einen unendlich kleinen Winkel mit einander bil- den, welches letztere in den Spitzen der Fall ist.' In. jenem Falle erleidet, wie wir oben (§. 12.) bewiesen haben, der Körper gar keinen Verlust an seiner Bewegung, In den Spit- zen verliert er seine ganze Bewegung, wenn er nicht etwa elastisch ist. Geschieht daher nur die Bewegung auf einet Curve oder einem Theile derselben, welcher keine Spitzen hat, so wird sie gleichförmig sein,
Zusatz ]. g. 5Ö. Der Körper wird aber einen Verlust an seiner Ge- schwindigkeit erleiden, so oft er seine Richtung ändern muss, indessen ist dieses Decrement einem Differential zweiten Gra- des gleich und wird daher, wenn man es auch integrirt, nur einen unendlich kleinen Verlust hervorbringen.
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24 KupUel l. Von der nickt freien
Zusatz 2. %. 60. Ist nämlich die Geschwindigkeit des Körpers =c lind der Knimmungshalbmesser MO=:r, so jrird das Decre- ment der Geschwindigkeit, während er "das Element tls durch- lauft,
= '£'(§■ 12.)-
§. 61. . Der Beweia dieses Safses stimmt stanz mit dem des ernten (§- 12.) iiheiein und es findet kein anderer Unter- schied statt, als dass der KUrper sichin jenem Falle auf ei- ner gegebenen Linie bewegen musste, in diesem aber die Freiheit hat, sich seinen Weg auf einer gegebenen Oberfläche auszusuclien. Alle Bemerkungen, welche dort gemacht wur- den, gelten daher auch hier, Wir werden demnach sehen, welchen Weg ein, auf einer gegebenen Oberllnche sich bewe- gender, Kürpor durcMa.ufen niuss. Satz 8. Lehrsatz. §, f)2. (Figur 8.). Der Weg DMm, weichen ein auf der beliebigen Oberfläche .^-ßC sich bewegender Körper besehreibt, ist die kürzeste Linie, welche zwischen den Endpunkten D und M gezogen werden kann; vorausgesetzt, dass der KlJrper eich im leeren Räume bewege und durch keine Kräfte ange- trieben werde.
Beweis Hat der Kürper bereits die Curve DM beschrieben, so würde er oBFenJiar von M aus auf der Tangente Mn weiter ge- hen, wenn er nicht gezwungen wäre, auf der Oberfläche zu bleiben. Da also die Bewegung durch jMn nicht erfolgen kann, so zerlege man dieselbe in zwei Seltenbewegungen, von denen die eine auf der Oberfläche selbst liegt, die andere aber eine auf der Oberfläche seiikrccbte Richtung hat und daher durch- aus nicht in Wirksamkeit treten kann. Man lUlle daher von n auf die Oberfläche das Perpendikel nm, so wird die gerade Linie Mm das Element sein , auf welchem der Kürper von M aus fortgebt. Die Ebene nMm, in welcher so wohl das Ele- ment mM, als auch das unmittelbar vorher vom Körper beschrie- bene liegen, wird auf der Oberfläche normal stehen. Die kürzeste Linie, welche auf einer beliebigen Oberfläche gezo- gen ist, hat aber die Eigenschaft, dass die Ebene, in welcher
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Bewegung im AUgemehen. 25
zwei lieliebige zusamiiieii hängen de Elemente derselljen Hegen, a«f der Oberfläche normal ist. Die vom Kürper beschriebene Linie DMm ist daher die kürzeste auf der Oberfläche ABC.
Zusatz 1.
§. 63. Zieht man daher vom Punkte ß. In welchem die
Bewegung anfängt, die kürzeste Linie auf der Ohertläche ABC,
in der Richtung der Bewegung; so erhält man den "Weg, auf
welchem der Körper mit gleichförmiger Bewegung fortgehen
Zusatz 2.
§. 64. Ein auf der Oberfläctie ausgespannter Faden bezeich- net die kürzeste Linie und daher wird derselbe zugleich den Weg angeben, auf welchem der Körper an der Oberfläche ■fortgeht.
Zusatz 3.
g. 63. Ist die vorausgesetzte Oberfläche eine Ebene, so wird der Körper eine gerade Linie beschreiben, weil diese die kürzeste in elnpr Ebene ist. Auf einer sphärischen Ober- fläche, aber wird sich der Körper längs eines grossfen Kreises bewegen.
Zusatz 4.
§. 66. Da die Ebene, iu welcher zwei zusammenhängende Elemente der Curve DMm liegea, normal auf der Oberfläche ist, der Kriiinmungshalbmesser der Curve aber in derselben Ebene liegt und normal auf der Curve steht; so ist der Krüm. mungsbalbmesser MO der beschriebenen Curve perpendikulär auf der Oberfläche.
Anmerkung.
§. 67. Wie man auf jeder Oberlliiche die kürzeste Linie zu bestimmen habe, habe ich zuerst gezeigt in Comment. Acad. Imp. Petrop. Tom. IIL Dort habe ich dieselbe aber nach einem andern Princip bestimmt und da dieser Gegenstand sich noch nicht in den Lehrbüchern befmdet, so habe ich im folgenden Satze die kürzeste, oder die von einem Körper be- schriebene Linie bestimmt.
Satz 9. Aufgabe. §. 68. Man soll auf einer beliebigen Oberfläche die Linie bestimmen, welche ein Körper beschreibt, der, durch keine Kräfte angetrieben, sich auf ihr bewegt.
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26 Kapitel 1. Von ihr nicht freien
Aiifltisinig.
(Figur 9.). Um die Natur der vorausgesetzten Oliei'fläche auszudrucken, nehme man nach Belieben die feste Ebene ^iPQ und in ihr AP als Äxe an. Aus einem beliebigen Punkte M der Oberfläche föile man auf clie Ebene das Perpendikel MQ und von Q auf die Äxe AP das Perpendikel QP- Setzt man nun AP ~ X, PQ ~ y und QM = i, so wird die Natur der Oberfläche durch eine ^ieicliUDg zwischen x, ?/, z und Con- stant«N gegeben. Es sei
dz = Pdat+Qdy das DiflTerential dieser, Gleichung, wodurch man die kürzeste Linie auf dieser Oberflache oder die Linie, welche der Kiirper beschreibt, bestimmen soll. Diese Linie wird aber dadurch be- slimmt, dass ihr Krümmungshalbmesser mit der Normale auf der Oberflache zusammenföllt, daher wollen wir zuerst diese Normale und hierauf den Krümmungshalbmesser einer jeden, auf der Oberfläche gezogenen, Ciirve bestimmen. Aus d^m Zu- sammenfalten beider Linien wird sich die Natur der gesuchten CuBve ergeben.
Um die Normale auf der Oberfläche zu finden, schneide man die letztere zuerst durch eine Ebene MQB, wo BQ in der Ebene APQ , parallel der Axe AP, liegt und es gehe aus diesem Schnitt die CiirVe BM hervor. Die Natur der letztern wird durch die Gleichung
dz ^= Pdx ausgedrückt, welche aus der obigen allgemehien Gleichung der Oberfläche hervorgeht, wenn man in dieser y constant oder dy ■=■ 0 setzt. Man ziehe die zu dieser Omve BM gehörige Normale ME, welche die verlängerte BQ in .Ji schneidet und es wird alsdann die Suhnormale
id^ _
e£ = 5p ^ Ft.
Nun ziehe matr .EiV perpendikulär auf BE, so wird jede von i)l/n-ichiV£ gezogene geiide Linie ^JV normal auf jßM sein. Aut ähnhche Wei«e Rcrde die Oberfldche durch die Ebene PQM geschnitten und es entstehe so der J»chnitt Cßl, dessen Natur durch eme Gleichung zwischen z und y lus gedrückt wird, wäh- rend r coniitint ist und welche Gleichung sein wird dz = Qdy.
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Beicegung im Allgemeinen. 27
a sei MF die Normale auf dieser Curve im Punkte M , so ird die Subnormale
Hier ist das negative Zeichen angesetzt, weil man annimmt, (lass die Subnormale QF gegen P hin falle. Zieht man nun FN-^AP^ so wird jede von M nach FN gezogene gerade Linie normal auf der Curve CM sein. Die gerade Linie MN, welche nach dem Durch sc hnittspunkt N der geraden Linie FN und EN gezogen Ist , wird also auf beiden Cuti'en BM und CM und daher auch auf der Oberfläche senkrecht stehen. Man findet mithin den Ort dieser Normalen, indem man AH = x -fPs und HN = y — Qz annimmt.
(Figur 10.). Um aber den Krümmungshalbmesser einer beliebigen, auf der gegebenen Oberfläche gezogenen, Curve zu bestimmen, seien Mm und jMft zwei Elemente der Curve, de- .len in der Ebene APQ die Elemente Qq und qg entsprechen und während auf der Ase ^Pdie ihnen entsprechenden Elemente Pp und pTt einander gleich angenommen sind. Es ist daher
Pp^pic^dx, pq^^y-\-dy, 7tQ=y •\-'idy -\- dtly , Qg
qm = z + dz,
Pfi =; z-i-2dz + ddz, Mm — V diü^ + dy^+ dz^ und ./-,„. — , „ , , :, , dyddy + dzddx
Man verlängere Qi/anA Mm nach beiden Seiten, erstere schneide nQ in r, letztere die auf APQ errichtete Normale rn in n, Da nun Pp = y>Jt ist, so wird
qr^=Qq, mn = Mm, nr^y-^-ldy und m^^^^z-i-'idz. Nun consfrulre man in der Ebene Qm auf dem Element Jlfin die Normale MS, welche die Verlängerung von Qg in S schnei- det, so wird
QS ^ iqr,i-~QM)QM^ zdz
Zieht man nun in der Ebene APQ die Linie SR normal auf
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'28 Kapitel I. Fon der nicht freien.
QS, so werden alle, von M nac'i SR gezogene, Linien normal auf dem Element Mm stehen. Unter diesen IVormalen wird sich der Krümmungshalbmesser der Curve Mmfi befinden und zwar wird diejenige mit dem letztern zusaminenrallen, welche sich in der, durch die Elemente Mm wnd Wft gelegten. Ebene be- findet. Die letztere muss man daher bestimmen. In derselben befinden sich aber die zwei Elemente mn und n/i. und wenn mau beide bis zu ihren Durch schnitfspnnkten mit der Ebene APQ verlängert, so ergibt die Verbindungslinie beider Punkte den Durchschnitt jener Ebene mit der Ebene APQ. Die Verlän- gerung von ?7m oder wiü/ schneidet aber die Ebene APQ in T, wo sie mit der Verlängerung des Elementes Qrj /usainmentrifl't. Wir haben daher
QT — i^J^t±J^, dt
Die Linie MV aber, welche parallel 7*fi Ist, liegt in der Ebene mny. und schneidet in V die Ebene APQ; man erhSlt dann aus der Proportion
m—eti:roz= QM-.QV, QV = ^-
Die verlängerte Linie TV ist daher die Durchschnittslinie der Ebene nitifi mit der APQ und die Linie MR, welche nach dem Durch seh nlttsp unkt von SR und TV gezogen ist, ist zugleich normal auf 31m und in der Ebene ni)i|U gelegen , also der Krüm- mungshalbmesser der Curve in M. Der Punkt ß wird nun fol- gendevmassen bestimmt. Zieht man RX perpendikulär auf die verlängerte AP, so ivird
AX = idx(ili/ddy+dsddt) ^ ^. ^^^ {dx^ + dy"^) dd% — dz dy ddy
y„ tdx^ ddy -\- idz (dz ddt/ — dy ddt) ___
(dx^ + %2i ridi - dz dyddy ^'
(Figuren 9 und 10.). Damit nun die Normale MN auf der Oberfläche mit der Richtung des Kiümmungshalbmessera zu- sammenfalle, muss
An=:AX und im — RX
»ein ; wir haben also
P (dx'^-\- dy^) ddz — Pdy dz ddy = dx dy ddy + rf.r dz ddz
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Bewegunfi im AUgi
— Qidx'^\dy'^)ddz^- Qdydxüdi/=: da-^ddy + dx'^ddy — dgdtddz. Diese Gleichungen sind eioander nicht widersprechend, indem, wenn man ddy und ddi eliniinirt, sich ergibt
rfi = Pda: + Qdy, d. h. die Gleichung , welche die Natur der Oberfläche bestimmt. Verbindet man daher eine von ihnen mit der letzteren, so er- hält man die Curve, welche der Kiirper auf der vorausgesetz- ten Oberfläche beschrieben bat,
Zusatz 1. g. 6y. Aus der ersten Gleichung ergibt sieb für die, auf der gegebenen Oberfläche beschriebene, Curve
ddziddy =^ Pdy ds -\- dx dy: Pdx^ -\- Pdy^ — dxdt. Da wir aber haben dz == Pda:+ Qdy, so erbalten wir ddzuldy =^ Pdi-Ydx:Pdy~Qdx oder Pdyildz — Qdxildz = Pdzddy -|- dx ddy.
Zusatz 2. §. 70. Subtrahirt man auf beiden Seifen der zweiten Glei- chung Qäx^ddz— dy^dd/y , so erhalt man
— Q (dx^ \ dy^ + dl") dd% + Qdy dz ddy + %" ady = {dx^ -(- dy'^ + rft") ddy — Qih^ ddz ^dydz ddz, oder
ddy 1- Qddz _ dy ddy -\- dz ddz ~dy-\-Qdz ^ dx^ + dy^ + dz^' Diese Gleichung ist diejenige, welche ich in den Comnient. Äcad. Pefr. Tom. III für die kürzeste Linie auf einer beliebi- gen Obe'rfläche aufgestellt habe.
Anmerkung I. §. 71. So wie in diesem Falle, wo der Körper durch keine Kraft angetrieben wird, die Richtung des Krümmungshalbmes- sers mit der Normale auf der Oberfläche zusammen fallen muss, werden anch in andern Fällen, wo der Körper durch Kräfte angetrieben wird, diese Linien einen gegebenen Winkel mit einander bilden müssen. Um denselben allgemein zu bestim- men, sei (Fig. 12.) MN die INormaie auf der Oberfläche und MR die Richtung des Krümm u n gsh alb me ss ers ; alsdann wird, wie wir bereits vorausgesetzt und gefunden haben :
PQ=^y, QM=x, PH=hN=Pz. Qh=-Qz, PX=li.'e
yGoosle
30 Kapitel l. Von der nickt freien
_ zdx (dy ddy + dz ddz) . ^
~ {da;^i-dy^)ddz~difdzddy ^^
zdccr" ddy -\-xdi {dx ddy — dy dd^)
~ (dx^ -\- dy^) ddz — dydzddy Zieht man nun JSR und fällt das Perpendikel NO, so wird
Mfi - ^^±_^^^z^l — 3IQ^+ß.r.Nh-i-Qx.Qh '^ ~ 2MR " Mli
ferner NO = V MN'-'mW
_ -Qk]^ + MQmia:~Nh)'^+\Ra:.Qh—Qx.Nh\^
MR
Da nun tg RMN := -=rj^ ist, so evliält man, wenn man die frühem Werthe substituirt,
. njijnT _ ddy{dx-\-Pdz) —ddz (Pdy — Qdx) ^ ■ ~ (ddz - QMy) \fdx^-^ dy^^lz^
Wird dieser Winkel =0, so ergibt sieb
ddz ; ddy = Pdz -f dx : Pdy — Qdx , wie oben (§. 69.)-
Anmerkung 2. g. 72. (Figur 10.). Die Länge des Krämmiingshalbmes- sers MO findet man aus der Gleichung Mm ^ MO sin nmft. Es ist aber
„f = ^33?+*P u„.i ,„-,.,^=-i!^$±fiJ^%.n.y,
V dx^ + dy^+dt^ daher das von n anf die Verlängerung von nijt gefällte Perpen- dikel
_ V dx^ (ddy"^ H- ddz"^) + jdydd^ dz ddy)^ Vdx^+dy^+dz^ Da nun
s:Mm = MmiMO, so wird der Krümmungshalbmesser
_ii^^±d^^^d^^
■ MO --
Sftiä;'^ (ddy'^ + ddi^) + (dy ddz— dz ddy) ='
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ßewegunif Im Allgemeinen. 31
Dieses Änsdrucks für den K.r(immuugshalbnies^er bedürfen n'ir im folgenden Satze, wo wir deo Druck bestimmen werden, wel- chen ein. Riirper gegen die Oberfläche ausübt. Anmerkung 3. §. 73. Aus diesem allgemeinen Auedruck für den Krüm- mungshalbmesser erhält man den, der kürzesten Linie entspre- chenden, indem man ihn mit den Gleichungen
dd: = MfiPbj^ ^,„j ^^ ^ Pd^^Qdn Pdy — Qtix -^
verbindet. Alsdann wird der Krümmungshalhmesser der letz- tern Curve
ddz — Qddi/ __ idj:^ + dy^+di^) Vl^+ Q^ + i_ dPdx-\-dQ(hj Diese Curve beschreibt ein Körper, welcher durch keine Kräfte angetrieben wird, auf einer gegebenen Otterfläche.
Satz Vi. Lehrsatz.
g. 74. Der Druck , welchen ein auf einer Oberfläche sich bewegender und durch keine Kräfte angetriebener Körper ge- geti diese Oberfläche ausübt, erfolgt in normaler Richtung nach der convexen Seite der letztern bin und er verhält sich zur Schwerkraft, wie die, der Geschwindigkeit des Körpers zukom- mende, Hiihe zum halben Krümmungshalbmesser der vom Kiir- per beschriebenen Curve.
Beweis.
(Figur 8.). Es sei DMin die vom Körper auf der Ober- fläche ABC beschriebene Curve, die der Geschwindigkeit des er- stem zukommende Höhe =31; und der Krümmungshalbmesser JTfO der Curve = r._ Der Körperwürde, wenn er sich frei bewegen könnte, vonJW aus auf dem Elemente Mn fortgehen ; die Oberfläeho bewirkt aber, dass er durch das Element Mm fortgeht wo nm auf der Oberfläche normal steht. Die letztere wird daher durch den Körper in der Richtung mn mit einer so grossen Kraft ge- drückt, als erforderlich ist, um den Körper aus der Richtung
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32 Kapitel i. Von der nickt freien
Mn\n die Mm zu bringen. Diese Kiaft ist =s — und dieselbe
ist normal gegen die Oberfläche oder .längs des Kriimmungs- halbme'ssers MO gerichtet; mithin ist auch der Druck des Körpers gegen die Oherlläche normal, nfimtich längs mn ge- richtet und =:::—, wenn die Schwerkraft ^ 1 ist. Zusatz 1.
g. 75. Dioss ist also die Centrifugalkraft, welche der Kör- per auf ähnliche Weise gegen eine Oberfläche ausiiht, als ge- gen eine Cuive, auf welcher er sieh zu bewegen gezwungen wird.
Anmerkung 1.
§. 76. Der Druck muss nothweiidig normal gegen die Öherfläehe gerichtet sein. Wäre er diess nämlich nicht, so könnte man ihn in zwei Theile zerlegen, von denen der eine normal gegen die Oherfläche gerichtet wäre, der andere in ihr läge. Von diesen wird nur der erstere zum Druck gegen die Ober- fläche verwandt, während der andere die Bewegung des Kör- pers verändern wurde.
Zusatz 2.
g. 77. Die Länge des Krümmungshalbmessers r derjeni- gen Curve, welche ein durch keine Kräfte angetriebener Kör- per auf einer gegebenen Oberfläche beschreibt, haben wir oben (§. 73.) gefunden. Wendet man diesen Werth an, so wird die Centrifugalkraft
— ^■"Jddz—Qddy)
= '^■"\(l■Pdx^^dQdy\
(da:^ + dif + di^) V'PH-"Ö^+1 Anmerkung 2. §. 78. Von dieser gegen die Oberfläche ausgeübten Cen- trilfugalkraft gilt dasselbe, was wir oben (§. 20. nebst Zusätzen und Anmerkungen) über die Centrifugalkraft gegen eine gege- bene Curve angeführt haben. Die kürzeste Linie nämlich, welche der Körper auf der Oberfläche beschreibt, kann als ein Kanal angesehen werden, in welchem der erstere sich bewegt. Als- dann gilt von der Bewegung in diesem Kanäle alles dasjenige, was wir oben über die Bewegung auf einer gegebenen Linie, wobei keine Kräfte wirksam sind, angeführt haben.
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Uewegung im Allf/emeinen. 33
Satz 11. Aufgabe.
§, 79. Man soll die Wirkung bestimineti, welche eine be- liebit^e Kiaft auf einen, längs eiuer gegebenen Oberfläche, so wohl im leeven Räume als im widerstehenden Mittel, sich be- wegenden Körper ausübt.
Auflösung.
Wie auch die Richtung der Kraft, welche den Körper an- treibt, beschaffen sein mag, so können wir diese doch immer in drei Seitenkräfte zerlegen, deren erste, welche wir M nen- nen wollen, normal gegen die Oberfläche gerichtet ist. Die Richtung der zweiten, welche wir N nennen, wird so wohl auf der Richtung der Bewegung, als auch auf der Richtung der Kraft M normal sein und daher in einer Ebene liegen, welche die Oberfläche berührt. Die Richtung der dritten , T genannten, Seitenkraft stimme mit der Richtung der Bewegung überein und ivlrd daher eine Tangentialkraft sein, während die beiden erstem fjormalkräfte sind. Da nun die Richtungen die- ser drei Kräfte auf einander normal sind, so wird die Wirkung einer einzelnen von ihnen nicht durch die übrigen gestört wer- den können und wir wollen daher die Wirkung einer jeden zu erforschen suchen.
Die erste Kraft M, deren Richtung auf der Oberfläche nor- mal ist, wird keine Wirkung in Bezug auf eine Aenderung der Bewegung des Körpers ausüben, sondern ganz auf den Druck gegen die, Oberfläche verwandt werden. Sie wird daher den, aus der Centrifugal kraft entspringenden, Drncfc vermehren oder vermindern, je nachdem ihre Richtung nach der conv exen oder concaven Seite der Oberfläche hingeht. Sie sei gegen die in- nere Seite gerichtet; alsdann wird der ganze Druck gegen die Oberfläche und zwar nach der äusseren Seite bin
= '^^{dPd^ '\- AQdy] ^^ , ^
In diesem Falle wird nämlich der, aus der Centrifugal kraft ent- springende, Druck durch die Kraft M vermindert.
Die zweite Kraft N, deren Richtung in der Oberfläche und normal gegen die Richtung des Körpers liegt, wird nur die letztere verändern, ohne die Geschwindigkeit zu vermehren oder zu vermindern. Sie wjrd daher den Körper von der kür- zesten Linie ablenken und' bewirken, dasa dieser sich nicht Euler's Mechaaik. H., 'i
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34 Kapitel I. Von der nicht fi-eien
mehr in einer, auf der Oherllachc normalen. Ebene bewegej Wir müssen daher die Neigung der Ebene, in welcher die Be- wegung erfolgen wird, gegen die Ebene der kürzesten Linie, welche auf der Oberfläche normal ist, zu bestimmen suchen- Diesem Neigungswinkel ist ahei derjenige Winkel gleich, wel- chen dei Krümmung&halbmei-ser der beschriebenen Linie mit der Normale auf der Oberfläche bildet und diesen Winkel ha- ben «ir oben {§. 71.) allgemein bestimmt. Nachdem der Kör- per das Element Mm (Figur 10.) mit der Geschwindigkeit yv beschrieben hat, würde or, wenn die Kraft iV" nicht da wäre, durch ein anderes Element nach v (Figur H. ) fortgehen, so dass Mm und mv zwei Elemente der körzesten Linie sein wür- den , welche in eiber auf der Oberfläche normalen Ebene lägen. Die Richtung der Kraft N wird aber auf der Ebene des Pa- piers normal sein und es stelle vft dieselbe dar. Der Körper wird daher duieh diese Kraft von der Ebene des Papiers auf- wärts geführt werden, wßnn wir nämlich voraussetzen, dass die Eichtung der erstem so liege, wie wir sie bei der Lage der Elemente in der Figur angenommen haben. Die Kraft be- wirke also, dass der Körper sich durch das Element jHfi be- wege und um den Winkel vmfi von der Richtung mv abgelenkt werde. Diesem Winkel entspricht der Krümmungshalbmesser ^^ und da die Kraft JV diesen Winkel hervorbringt, die Ge- schwindigkeit des Körpers aber = VV ist; so wird nach der Wirksamkeit normaler Kräfte
Damit' nun die Neigung der Ebene Mm^, in welcher der Kür- per sich wirklich bewegen wird, gegen die auf der Oberfläche normale Ebene Mmv gefunden werde, falle man von v auf die Verlängerung des Elements Mm das Perpendikel vn. Alsdann wird fiM ebenfalls auf mn normal stehen und so {mv der Nei- gungswinkel beider Ebenen sein. Da (tv auf vn noimal ist,
nv wird bestimmt durch die Neigung der Elemente ßlin und mv gegeneinander oder durch den Krümmungshalbmesser der kürzesten Linie, deren Elemente Mm und mv sind. Setzt man diesen Krümmungshalbmesser = r, so wird
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ßewet/ung im Allgemeinen. Si)
mv^ , , N.r
r = ~ una so taunv = -= —
71V =" . 2v
wo für r sein Werth aus §. 73. substituirf worden ist. Diesem Winkel (Oiv ist aber derjenige gleich , welchen der Krümm ungs- halbmessei' der wirklich 1» esc hri ebenen Elemente IHm und mit mit dem Krümmungshalbmesser der Elemente Mm lind mv, oder mit der Normale auf der OberMche bildet. Die Tangente dieses Winkels haben wir oben (§. 71.) gefunden und bildet man daher die Gleichung
rf% ((Lx + Pdi) — ddz {Pdy - Qdx)
{ddz — Qddg) V"((i2 + rf^+ (^
_ jy(da;^-i-dy^+di-'}VJ^+ Q^'+l ,
IvidPdx-i-dQdy)
so drückt dieselbe die Wirkung der Kraft N aus. Da aber
ddx^Qddy = dPdx + dQdy, so geht die Gleichung über in
ddy idx + Pdx) ~ ddz (Pdy — Qdx) _ Nidx^ + diß + rft')J S/'P^ + Q^ + 1
Die drifte Kraft T hat eine Richtung, welche mit der des Kör- per» zusammenfällt und &ie wird- daher die Geschwindigkeit des letztern eben so sehr vermehren oder vermindern. Setzen wir voraus, dass sie beschleunigend wirke, so wird ihre Wirkung durch die Gleichung
dv = T\ftL^Td^Tfi^ ausgedrückt. Findet aber die Bewegung im widerstehenden Mittel statt und ist der Widerstand = R, so muss die Tan- gentialkraft r um ß vermindert werden und wir erhalten daher
dv = (7'- R) ^/dx-^ + dy'^ -I- rfja.
Zusatz.
ä- 80. Aus den beiden Gleichungen, von denen die eine
II, die andere dv bestimmt, kann man eine andere Gleichung
ableiten, welche v nicht mehr enthält. Verbindet man' diese
mit der Gleichung der Oberfläche
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36 Kap. I. Von der nickt freien Bewegung im AUgem.
dz = Pdx^Qdy; so kann man die Curve bestiiunien , welche der Kürper auf der vorausgesetzten Obetiläche be seh reiben wird. Anmerkung 1.
5. 81. In Betreff der Kraft N ist es gut, dass man be- achte, nach welcher Seite sie gerichtet ist, d. h. ob nach der rechts oder links liegenden Gegend des sich bewegenden Kör- pers. Je nachdem das Eine oder das Andere der Fall ist, wird tg(iMv positiv oder negativ anzunehmen sein. Hierum wollen wir uns aber nicht bekümmern, sondern die weitere Untersu- chung dieser Sache auf das letzte Kapitel dieses Buches ver- schieben.
Anmerkung 2.
§. 82. Wir gehen nun zum folgenden zweiten Kapitel überi in welchem wir die Bewegung eines Körpers auf einer gege- benen Linie im leeren Räume untersuchen werden. Im dritten Kapitel werden wir die Bewegung auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel und im vierten endlich die Bewegung auf einer gegebenen Oberfläche , so wohl im leeren Räume als auch im widerstehenden Mittel, untersuchen.
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Kapitel II.
f^oii der Bewetfunji eines i'unktes auf einer tfegebenen Linie im leeren Baume.
Satz 12. Aufgab e, §. 83. (Figur 15.). Ein Körper, welcher sich auf der Curve AM bewegt, wird überall durch eine Kraft 3IF angetrieben, deren Richtung der Axe AP parallel ist. Man soll seine Ge- schwindigkeit in den einzelnen Punkten, die Zeit, in i^elcher ein beliebiger Theil der Curve beschrieben wird und den Druck, welchen diese in den einzelnen Punkten erleidet, bestimmen.
Auflösung. Es habe der Körper schon, den Bogen AM beschrieben und es sei seine Geschwindigkeit in j4 =:^ VT, in M = V v. Man setze AP = x, PM=:jf, AM=s und zerlege die Kraft MF = p in zwei Seitenkräfte, eine normale = MN und ein« tangentiale = ßlT; alsdann haben wir
ds:<lx = MF:MT und dsxdy = MF-.MN. Mieraus folgt
MT = >^ und IHN = e^.
Offenbar wird die erstere, die tangentiale Kraft, die Geschwin- digkeit des Körpers vermindern und wir haben daher dv = —pdx {%. 42.) und v = C—fpdx.
Nehmen wir nun j pdx so an, dass es für a;=0 verschwinde so erhalten wir
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38 Kapitel 11. Von der BeAcegung eines Punktes
V = b'— j pdx.
Aus dieser Gleidmng ergibt sich die Geschwindigkeit, welche
der Körper in den eiazelnen Punkten hat und Kiigleich die Zeit (, in welcher der Bogen AM durchlaufen wird, indem
Die normale Kraft MN = ^-^ wird ganz dazu verwandt, ei-
ds neu Druck gegen die Curve längs MN hervorzubringen (§.39.) und sie wird den, aus der Centrifugal kraft entspringenden, Druck vermehren, weil MN nach der entgegengesetzten Seite des Krümmungshalbmessers MO fällt. Setzt man daher den letz- tern = r, so ist die Centrifugal kraft = — (§. 20.) und daher der ganze, längs MN gerichtete, Druck gegen die Curve __»«% ,'2v ~ ds ^ V - Zusatz 1. §. 84. Die Geschwindigkeit in 31 ist daher ebenso gross, als sie in P sein wörde, wenn der Korper mit derselben An- Ikngsgesch windigkeit V^ durch AP aufgestiegen und dabei in den einzelnen Punkten durch die Kraft p angetrieben wäre. Zusatz 2. §. 85. Die Geschwindigkeit hängt daher nicht von der Natur der Curve, sondern nur von dei' Höhe ab, welche der Körper zuröckgölegt hat. Ist nünilich das Element dieser Uühe
dv ^= — pdx oder dv = pdx, je nachdem der Körper auf- oder uiederstejgt Zusatz A. §. 86. Da II = b — jpdx, so wird, wenn man x = AC annimmt, für welchen Werth fpdx ^ h ist, die Geschwin- digkeit des Körpers im Punkt jB ^ 0. Derselbe wird daher bis B aufsteigen, dort zur Ruhe kommen und hierauf durch BMA wieder herabsteigen.
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auf einer gegebenen Linie im leeren Raunte.
Zusatz 4. §. 87. Vergleicht man die Zeit des Aufsteigen« daicb ÄMB mit der Zeit duich APC, so wird die Zeit des Aufateigens durch das Element jü/jm sich zu der, dem geradlinigen Elemente Pp entsprechenden, Zeit Techalton, nie ds : dx oder wie Mm : Pp.
Znsatz 5. g. 88. (Figur 16.). Ist daher AMß eine gerade Linie, so wird
Mm-.Pp constant, nämlich irr l-.w^BAC = AB-.AC. In demselben constanten Verhältniss stehen daher auch die Zeiten des Aufsteigens durch AM und AP, Zusatz 6. §. 89. Setzt man das Element Pp = dx als constant vor- aus, so wird der Rriimmungshallimesser r = — =— 4-t- > als» die
dxday Cen tri fugalkraft
2v dx ddy
l(b' — ■ 9 pdw) dx ä
äs^ di^
und der ganze Druck
pds'^'dy — 2{ö — 1 pdx) dxddy — dl^ '~ '
Anmerkung 1. g. 90. So wie man in dieser Aufgabe aus der gegebenen Curve und der antreibenden Kraft die Geschwindigkeit in den einzelnen Punkten, die zur Beschreibung jedes Bogens erfor- derliche Zeit und den Druck gegen die Curve in ihren einzet' nen Punkten gefunden hat; kann man, wenn von diesen fünf Grilssen zwei gegeben sind, die drei übrigen finden. Hieraus entspringen 10 Aufgaben, deren Auflösungen ^sich alle aus der vorliegenden Auflösung ergeben.
Anmerkung 2. §. 91. Auf lihnliehe Weise wird man 10 derartige Aufga- ben erhalten, wenn die Richtungen der antreibenden Kraft nicht einander parallel sind, sondern entweder nach dem Mittelpunkte der Kräfte hin convergireo, oder auf andere Weise bestimmt sind. Wird aber auch die Richtung der KrafE unter die ge- suchten Grüssen aufgenommen, so wird man, wenn von den
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40 Kapitel 11- Von der Bewegunfj eines Punktes
sechs Grössen je drei gegeben sinil, die übrigen drei bestim- men können; hieraus entspringen 20 Aufgaben. Anmerkung 3.
§. 92. Man wird ferner auch unbestimmte Aufgaben er- halten, wie wenn statt der, einem beliebigen Stück der Curve entsprechenden, Zeit die zur Beschreibung der ganzen Curve .^JHß erforderliche Zeit gegeben wäre, in vielcbem Falle un- zählige Auüösungen stattfinden würden. Wenn ausserdem meh- rere ganze auf- und abwärts gerichtete Bewegungen durch ver- schiedene Theile derselben Cu,rve betrachtet werden und das VerhSltniss derselben gegeben ist, so wird die Anzahl der Auf- gaben viel grösser werden. Zu dieser Art gehurt die Aufgabe: die Curve zu finden, auf welcher alle abwärts gerichtete Be- wegungen bis zu einem gegebenen Punkte in derselben Zeit erfolgen; diese, als die schwierigste Aufgabe werden wir zu- letzt behandeln. Jetzt aber wollen wir zuerst die Curve und die antreibende Kraft als gegehen annehmen, und die dahin gehörigen Aufgaben lösen. Hierauf wollen wir zeigen, wie man mittelst anderer gegebenen Grössen die übrigen bestimmen könne.
Satz 13. Aufgabe.
§. 93. (Fig. 17.). Die antreibende Kraft ist gleichförmig und fiberall abwärts gerichtet ; man soll die niedersteigende Bewegung eines Körpers, welche im Punkt A der gegebenen Curve AM von der Ruhe an beginnt, und den Druck bestimmen, weichen die Curve in den einzelnen Punkten M erleidet. Auflösung.
Man ziehe AP vertikal oder der Richtung der Kraft MF parallel und die rechtwinklige Ordinate MP, setze AP = x, PM=y und AM = s. Es werde die Kraft MF = ff gesetzt, wenn die Kraft der Schwere = 1 ist und die Geschwindigkeit m M = \v. Unter diesen Voraussetzungen wird die normale Kraft = S^ und die tangentiale = ^ (§. 83.). Da in die- sem Falle die letztere zur Beschleunigung der Bewegung dient, haben wir
dv = gfJa: und v t3 t/x , weil die Geschwindigkeit im Punkt -4^0 ist. In diesem Falle ist ferner der nach MO hin liegende Krümmungsh^b-
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auf einer gegebenen Linie im leeren Räume.
41
iijipaov^i ; - ,T-i "'* '^-^ B''s coiistant voüaussesetzt iiird; die
dsd(hj längs JtfiV gerichtete Centrifugal kraft wird daher
'ivdxddy
dl*
illien Jiichtanff wirkt die normale Kraft SLä und der ds
Punkt M längs ^IN a«s-
Nach ilei
ganze Druck, welchen die Ci zuhalten hat, wird daher
ds ds^ ds ' üs"
Die Zeit, in welcher der KOi'per deu Bogen AM di
I 2ga:dxddy
wird
=/f.=/^
\fljX
z. US atz 1.
§. 94. Die (Geschwindigkeit in M hSngt daher nnr von der Hiihe AP ab, ans welcher der Ki'irper nieder gestiegen ist und bie ist derjenigen gleich, welche ein durch AP, unter Antrieb derselben Kraft ^ herabgestiegener, Körper erlangt, Zusatz 2.
§, ftS. Auf welcher Ourve daher ein, durch die gleichför- mige Kraft g angetriebener, Körper von der Ruhe an herab- steigen möge, so werden die Geschwindigkeiten immer den Quadratwurzeln aus den durchlaufenen Hüben proportional sein, indem dieselben = VV = V ja; sind. Zusatz 3.
§. 96. Die Zeit, in welcher das erste Element Aa durch- laufen wird, ist =: / -^=. fär i« verschwindend klein. Ist
J \ gx daher der M%kel i>Jn<90o oder s ^ nx, so wird die Zeit, welche zur Zurüeklegung des unendlich kleinen Weges Aa erforderlich ist, imendücb klein und die zur Beschreibung von AM erforderliebe Zeit endlich, wenn die Curve nicht zwischen A und M aufsteigt oder öberbalb A in's Unendliche fortgeht. Ist aber der Winkel PAa = SO*", so wird
..=.«, wo ..>I.VS.= .? VI
y Google
42 Kap. IL Von dar Bewegung eines Punktes
Ist also K-<2, so wird die dem Wege Aa entsprechende Zeit nnendtich klein und die AM entsprechende endlich. Ist aber M = 2 oder > 2, so wird die dem Wege Aa entsprechende Zeit = CO oder es wird der Körper nie ans A heraustreten. Zusatz 4
§. 97. Ist mm n<2, so wird in A der Ktüramungshalb- messer unendlich klein. In dem Falle, dass die Tangente der Curve in A &ai AP normal ist, wird der Körper daher nur dann herabsteigen, wenn der Krümmungshalbmesser in A unendlich klein ist.
Anmerkung 1.
§. 98. Daraus, dass das erste Element in einer unendlich kleinen Zeit durchlaufen wird, sclitiesst man auf richtige Weise, dass die zur Üurchlaufung des Bogens AM erforderliche Zeit endlich sei. Da nämlich der Körper mit beschleunigter Bewe> gung durch AM herabsteigt, werden die folgenden Elemente viel geschwinder boschrieben und es wird daher die erforderliche Zeit endlich sein. Die folgenden Beispiele werden alles noch klarer machen.
Beispiel I.
§. 99. (Figur 18.). Es sei AM eine beliebig gegen die Vertikale AP geneigte gerade Linie, cos^^w, also x = ns. Die Zeit, in welcher der Körper durch AM herabsteigen w'ird, ist daher
2Vr.„2V3S_ 2A31 __ ÜAM
/v
Vgns Vgn ^fgn '^f.gnAM Sfg^ AP
Die Zeit, in welcher ein Körpei durch eine beliebig geneigte gerade Linie herabsteigt, verhält sich also direct wie die Qua- dratwurzel aus dieser Linie und indliect wie die Quadratwurzel aus dem Cosinus des Nelgungsivinkols MAP. Die Centrifugal- traft wird in diesem Falle = 0 und es erleidet die Linie AM nur einen Druck von der Normalkraft, welche hier
— s^ 1-» _ ^^ Zusatz 5. §. 100. Die AM entsprechende Zeit verhält sich daher zu der AK entsprechenden, wie
VAM : Vlk. Nach §. 88. verhält sich aber die Zeit durch AM za der durch AP, wie AM: AP. Wenn daher
yGoosle
auf einer gegebenen Linie im leeren Raunte. 43
AMiAP= ^TÄM: STÄiL^ VAM.ÄK: AK = AP. AK, was der Fall ist, wenn PK auf AM normal steht; so ist die Zeit des Herabsteigens durch AK gleich der durcli AP.
§. 101. Auch die Zeit des Herabsteigens durch das Per- pendikel PK wird der Zeit durch AP gleich sein. Es ist
nämlich casAPK = -r^ "nd es Fcrhält sich die Zeit des Her-
PK ~ AP^
~PK~
ahsteigens durch ^P zu der durch PK, ^^\f.\f~-^P:\f~P^
\ 1 \ PKiAP (Beis|)iei 1.) =: VaP : V3P ^1:1. ZusatB 7. §. 102. (Figur 19.). Man ersieht hieraus, dass ein KiSrper iu einem Kreise APP'B durch alle aus dem höchsten Punkte A gezogenen Sehnen AP, AP", wie auch durch alle nach dem tiefsten Punkte B hingehenden Sehnen PB, P'B in derselben Zeit niedersteigen werde; nämlich in der Zeit, welche er braucht, um senkrecht durch den Durchmesser AB herabzusteigen. Beispiel 2. §. 103. (Figur 20.)- Es sei die Curve A3IB ein Kreis, welchen AP berührt, sein Halbmesser =a; alsdauD ist(a—i/)^ -|-a;2 — ((3 oder y =: a—V^d^' — a:^. Es wird daher , !xdx _ ■ aäx
und weil v = gx und r ^ a, die Centrlfugal kraft — = -^,
die Normalkraft 2^ ^ :^, also der ganze Druck, welchen
US a
der Kreis in M erleidet
d. h. dreimal so gross, als die Normalkraft allein. Die Zeit, in welcher der Bogen AM durchlaufen wird, ist
/ds _ /■ ndx
Integral, welches weder von der Quadratur des Kreises» noch der der Hyperbel abhängt, sondern mittelst der Eectiüca- tion der elastischen Curve erhalten werden kann. Uio, indeS'
y Google
44 Kapitel II. Von der Bewegung eines Punktes
sen die Zeit des NiedersteigeDs durdi den Quadranten AB zu erhalten, babeD wir
/«_ "^^ _n4r^,i , 1 , 1.3 , 1.3.5 , . .
" Zusatz 8.
§. 104. Ist der Kfirper nach dem untersleu Punkte B ge- engt, so hat er die Geschwindigkeit Vffa- Vermüge dersel- ben wird er in dem andern Quadranten BD aufsteigen und bis /> gelangen, wo seine Geschwindigkeit verschwindet und von wo er daher wieder bis B nieder- und d^nn durch BA bis nach A anfsteigön wird. Die niedersteigende Bewegung ist aber der aursteigenden durch den Quadranten ähnlich, weil der Körper bei beiden Bewegungen in denselben Punkten dieselbe Ge- schwindigkeit haben wird.
Anmerkung 2.
§. 105. Andere Beispiele führen wir nicht an, weil wir im Folgenden, wo wir mehrere niedersleigende Bewegungen nach einem festen Punkte hin und auf einer gegebenen Linie be- trachten, deren mehrere anführen werden. Jetzt wollen wir zunächst diejenigen Aufgaben behandeln, welche sich auf die Bewegung längs einer gegebenen Linie, von einem festen Punkte und der Ruhe ab, beziehen; von dieser Art ist die nächst fol- gende.
^ Satz 14.
Aufgabe.
§. 106. (Figur 21,). Es sind unzählige einander ähnliche Curven AM, AM', etc. gegeben, welche ihren Anfangspunkt in in A haben; man soll die Curve CM"' M" M' bestimmen, wel- e'ie von jenen Curven die Bogen AM, AM' etc. so abschnei- det, dass diese vom niedersteigenden Körper in gleichen Zei- ten durchlaufen werden. Wie vorher, soll die antreibende Kraft überall abwärts gerichtet und gleichförmig sein. Auflösung.
Von den unzähligen gegebenen Curven nehme man eine beliebige AM', deren Parameter =« sei. Setzt man wie vor- hin AP =z X, PM' = y, AM' = i und die antreibende Kraft = g; so steige der Kürper auf der Curve AM' herab und es wird alsdann seine Geschwindigkeit in M' = ^ffx sein. Die Zeit des Herabsteigens durch AM' wird = / und es
t/ \ffX
y Google
auf einer gegebenen .Linie im leereit Räume, 45
sind von allen Curven AM, AM', etc. so grosse Bogen abzu- schneiden, dass liir s
P ds J 'sTgx
'sTgx
constant sei. Es wird aber dieses Integral auf die andern Cur- ven bezögen , indem man ausser * und x auch den Parameter fi Als variabel annimmt. Geschieht dless, so muss man
/
\ gx
-A
setzen, wo k die consfante Zeit bezeichnet, in welcher der Küt|)er durch jede Curve niedersteigen soll. Differentiirt mau
^„, dass man auch « als variabel ansieht, so
muss man das Differential = 0 setzen. Um das letztere zu finden, setze man
ds = pdx, so wird p, weil alle Curven als einander ähnlich vorausgesetzt werden, also Rir jeden Werth von a und x
E = ''
constant sein muss, eine Function von a und x von der
Dimension = 0 sein. Wir erhalten daher, indem wir / -^ , '. ■,
J V gx so differentiiren , dass auch a als variabel angesehen wird
-££+?<!« = 0.
\ i/X
Da p eine Function von a und x von der Dimension 0 ist,
so wird Ä ix / ^ — eine Function derselben Grössen von der
J \gx Dimension Ya sein. Ich habe an einem andern Orte, in Tom. IX. Comment. gezeigt, dass alsdann
+ ^ö = \k
\rgx
ist. Es wird demnach o =; ,— — — — ;.— und so, w
^ 2« aVg diesen Werth von q in obige Gleichung substituict pdx Icda pdaV^x _ jj
yGoosle
46 Kapitel II. Von der Bewegung eines Punktes
als Gleichung der gesuchten Curve. Wünscht man statt der- selben eine Gleichung zwischen rechtwinkligen Coordinateii zu haben , so muss man aus der Gleichung jeder Curve AM den Werth von «, welcher durch w und y ausgedrückt ist, sub- stituiren.
Zusatz 1. §. 107. Die zuerst gefundene Gleichung pilx __ pdaVw _ Mg VffX ~ Q Vfl ^«
ist hinreichend, um die Curve MM'M"M"'C im bestimmen. Denn aus eioer beliebigen Abseisse AP = x folgt der Para- meter « derjenigen Curve AM , deren, der angenommenen Ab- ecisse entsprechender, Punkt M auf der gesuchten Ciirve CM"'M'' liegt.
Zusatz 2. §. lOS. Da diese Gleichung aber eine Differentialgleichung ist und daher, nach Hinzufügung der Constanten , mehrern Cur- ven angehört, so hat man zu bemerken, das nur diejenige hin- zugefügte Constante der Auflösung entspricht, welche ftir eine gegebene Curve oder einen gegebenen Parameter a, einen in der Zeit Ä zurückzulegenden Bogen mittelst der Abscisse x bestimmt.
Zusatz 3. §. "low. Soll die Zeit k der Zeit des senkrechten Nieder-
steigens durch AC = b gleich sein, so haben wir k = - ■■-.
Substituirt man diesen Werth in die gefundene Gleichung, so geht diese ober in
pdx __ pda V~* da ^b
\n ^r- —^'
deren Integral so einzurichten ist, dass die Curve durch den Punkt C gehe.
Anmerkung 1. §. 110, Die vertikale gerade Linie AC wird aber stets eine besondere Art der Cui\ an AM sein, welche man erhält, indem man den Parameter entweder unendlich gross oder un- endlich klein annimmt. Am bequemsten wird daher die con- stante Zeit k durch diejenige ausgedrückt, welche der Körper braucht 1 um auf der Vertikalen AC, als einer besondern Art der Curven AM, herabzusteigen. Bei der Construction der gefundenen Gleichung
y Google
/^
auf einer oegehenen Linie im leeren Räume. 47
niuss man dann eine solche Coiistante !i in zu fügen , dass für x ^= b, a = 'X> oder = 0 werde, je nachdem der eine oder andere Wertli der geraden Linie AC entspricht. Anmerkung 2, g. 111. Kann man — — selbst inte griren, so ho darf man gar nicht der Gleichung, zu deren Aiiffmdung y hestimmt wer- den musste. Wenn man nämlich / --p=r wieder differentiirf,
J \fs^ indem man auch a als variabel ansieht, erh!Llf man q selbst und nur dieses Differential ninss man = 0 setzen. Am be- quemsten wird aber in diesen riillen die Aufgabe gelöst, wenn man sogleich _
^ _ j_ ^^i^j. _ aVj.
Mg^ Vg
setzt und statt a seinen Werfb, durch a^und y ausgedrückt, aus der für die Curven gegebenen Gleichung substituirt. Auf diese Welse, erhält man nicht nur die Auflösung iiir iihnliche Cur- ven, sondern auch für unähnliche, wenn man nur die Zeiten des Niedersteigens durch endliche Grössen ausdrücken kann. Beispiel I. §. 112. Sind alle Curven AM gerade Linien, welche auf verschiedene Weise gegen die Vertikale AC geneigt sind, so wird ___
y :=: nx und s = xV^l + ifl, wo n als Parameter zu betrachten ist Wir erhalten denmach
' Vgx J \gx - V .9 V g
Da aber n eine veränderliche Grösse ist, so substituire man statt ihrer ihren Werth ^ aus obiger Gleichung ; hierdurch er- halten wir für die Curve CM'" M" die Gleichung zwischen recht- winkligen Coordinaten
x^-\y^ =. hx oder •ip- = {^~x)x, (Figur 22.) also die Gleichung eines Kreises, dessen Durch- messer ^ b ist.
y Google
48 Kapitel II. Von der Beweijnntf eines Punktes
Anmerkung 3. §. 113. Dieser Fall ist der oben (g. 102.) bereits behan- delte, wo wir gezeigt haben, dass ein KOrper durch alle, vom hücbsten Punkte eines Kreises aus gezogene. Sehnen in .glei- chen Zeiten niedersteige. Dieser Fall betrifft aber nicht ähn- liche Cuiven, sondern wir haben dieses Beispiel angeführt, um den in der Anmerkung i. berübrfeil Fall zu erläutern,, weil für diese geraden Linien die Zeiten des Niederste! gen s durch endliche Grössen ausgedrückt werden. Die folgenden Beispiele umfassen aber ähnliche Curven, wie der Satz es verlangt. Beispiel 2. §. 114. Es seien alleCmven^ilf, ^M' etc. Kreise, welche die Vertikale AC in A berühren. Man setze den Radius eines jeden von ihnen ^ a; alsdann wird
^_5 — „ , j/2 I ^a
a — ti = \ a'' — x^ oder a — ^— t^ — -
Diese Kreise sind alle einander ähnliclje Curven, weil a, y und X in der Gleichung dieselbe Dimension einhalten und da- her allein die Homogeneität herstellen. Man muss den Ra- dius a als einen veränderlichen Parameter behandeln und da aus obiger Gleichung folgt
adx
so hat man p = --i:=3;z=, d. h. ^gleich einer Function von
a und X von der Dimension = 0, wie erforderlich. Für die Curve CM"'M" haben wir daher die Gleichung
adx da\x\ da. ^ö , da\h xda — adx
Dieselbe kann construirt werden, indem sie, wenn man
X = au setzt, in die folgende
da VT — du
übergeht, wo die Variabein von einander getrennt sind.
Um aber eine Gleichung zwischen rechtwinkligen Koordi- naten zu erhalten, muss man
„ _y^+x^ m,^ ^^ _ y'^d}i-\^1xydx—x^dy
yGoosle
auf einer gegebenen- Linie im leeren Räume. 49
setzen. Auf diese Weise erbalfeii wir folgende Gleichung
welche so integrh't werden muss, dass für .t =-6, ;/ =; 0 werde, well die Ourve durch den Punkt C gehen soll. Zusatz A. %. 113. (Figur 23.). Aus dieser Gleichung erhält man die Tangente der',Curve CM"'M'' in den einzelnen Punkten und aus der Lage dieser Tangente den Winkel AM'"M", unter wel- chem diese gesuchte Curve jede der gegebenen schneidet. Es wird nämlich
igAM"'M" = ^ ^
x— \ bx
Im Punkt C, wo 3; = 6 ist, wird x — ^bx = Ü und daher
jener Winkel =90<* oder die Curve CM"'M" in C airf ^Ciioiinal.
Zusatz 5.
§. 110. Nimmt man b grösser oder kleiner an, so wird auch die Curve CM'" M" eine andere und es entstehen auf diese Weise unzählige Curven, welche von den Kreisen iso- chrone- Bogen abschneiden. Diese Curven werden alle ein- ander ähnlich, well der Parameter b in der Gleichung mit x und y homogen ist. Ist daher Eine Curve CM"'M" gegeben, so kann man unzählige andere construircn, indem man nämlich ihre Abseissen und Ordinaten in demselben Verhältniss ver- grüssert oder verkleinert, in welchem diess mit JC oder b ge- schehen ist.
Beispiel 3.
g. 117. Es seien die Curven AM. AM', etc. alleXyctoi- den, welche in A ihre Spitzen haben und die vertikale Linie AC berühren. Setzt man den Parameter einer jeden Cycloide AM, oder den doppelten Durchmesser des erzeugenden Krei- ses ^ a; so wird nach der Natur dieser Curve
, , (Lx^^ax a j adw
1, dii = % ds — -
Falle
eine Function von a und x von der Dimension =0, wie erfor- derlich. Für die gesuchte Curve CM'" M" erhalfen wir daher Eiilci'a Meelinnik. II. 4
y Google
50 Kapitd If. Von der Bewegung eines l^iinktcs
atl^- _ daV^ ___ daSfb
, . xda — adx da V 6
oder 4, — = ■ — — - ■
Wünscht man eine Gleichung zwischen den rechtwinkligen Co- ordinaten x und y zu haben, so muss man den aus der Glei-
-/vis
dxV'icU:
-2ax
oder deren Differential, indem man auch a veränderlich setzt, sich ergebenden Weith von « subsfltuiren. Diese Gleichung
e^ibt aber, indem nian sie ^itferentürt und dabei auch a als veränderlich ansieht,
. , adxV^x-a-daV'Ji^ ady — vda = — ■-
ady — yda axdx — x'^da
, « ady-— yda __ axdx — x'^ da
' ß^V^ä" ~ «a V ax — ^x^
MultipHcirt man die Gleichung 4, mit — -^,, so erhält man 4V a
,. daV^ axda — a^dx
4« V w 4fl2 Vaa; ~ 'ix'^ und wenn man 5, und 6, addirt, - ad/y — yda , da VT __ (ax — 4^:^) da -f {\ax — a"^) dx ' «a V"2" 4« V"« 4«a ^^^=2^«
Diese Gleichung liisst sich infegriren, wir erhalten nümlich
2fl"
|
Dieselbe geht zm woraus |
■ Bestimmung von Va über in ö — X b — X |
|
|
% \ri |
- y'^i6A-V2y^x — 2/>x'- |
= + 2a;3 |
|
h — x |
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luf einer ger/ebenen Linie int leere» Räume.
10, Vo.r—'ix^^Vöa-^V^'
Substituirt man diese Werthe in die Gleichung
welche man ans 4, und ö, durch Elimination von da .erhält, so ergibt sich
jo xdii—iiäx — hdy , dx^f'-jl^—bx-^- -,^ " vT ~ V^^ '
als Gleichung Jer gesuchten Curve CM"'M". Zusatz 6. §.118. (Figur 25.). Au's dieser Gleichung findet man <Iie Tangente des Winkels, welchen die Curve CM mit der Ordinate PM bildet, oder
dy y^Tx-V^iby^'—b'^x+bx^ Ferner kennt man auch die Tangente des Winkels, nelchen die Cycloide AM mit der Ordinate PM bildet, indem
. V«-2ar Wttx—%x-^
-tg^
Ay V"2rc xSf'i
y\fx-i-V&y^-
(b — x)Vx
Da also die Winkel a und —ß einander zu 90" ergänxen, so bildet die Curve CM mit .jeder der gegebenen Cycloiden AM einen rechten Winkel. Die Curve CM ist daher eine, anf al- len Cycloiden rechtwinklige, Bahn. Zusatz 7. §. 119. Nimmt man AC = b von einer andern Grösse an, so ivird man auch immer andere Cur ven CM erhalten und findet so unzahlige rec!:twinklige Bahnen, welche einander ähn- lich sind. Ist daher Eine von ihnen gegeben, so kann man leicht" beliebig viele construiren.
Anmerkung 4. §. 120. Alld diese Curven, welche von beliebig vielen vor-
y Google
52 Kapitel II. Von der Uewegujig eines Punktes
liegenden Curven isochrone Bogen abschneiden , kann taian stets construiren , wenn dtess auch aus der Gleichung nicht erhellt. Durch die Quadraturen kann man nämlich von gege- benen Ciirvcn Bogen abschneiden, welche der Körper bei sei- ner niedersteigenden Bewegung in gegebener Zeit zurücklegt und kann so beliebig viel Punkte der -gesuchten Curve be- stimmen. Sind die abzuschneidenden Curveft algebraisch, so ist die Gleichung der schneidenden Onrve immer so eingerich- tet, dass, wenn man die uüthigen Substitutionen macht, die unbestimmten von einander getrennt werden können. Werden aber die abzuschneidenden Curven durch eine Differentialglei- chung ausgedrückt, so lägst die der schneidenden Curve an- gehürige Differentialgleichung sehr selten eine Trennung der tlnbestinimteii zu. Die Ursache hiervon ist, dass auf die be- sondere Weise, welche ich in diesem Falle der Cyclo iden an- gewandt habe, der Parameter a eliminirt werden mnss und diese Substitution nicht zur Trennung führt. Anmerkung!». §. 121. Man hat ferner zu bemerken, dass alle Curven, weiche isochrone Bogen abschneiden und deren Anzahl nach den" verschiedenen Werthen von b unendlich gross ist, ein- ander ähnlieh werden, wenn die zu schneidenden Curven es sind. Alan schllesst dies aus der allgemeinen Gleichung pdx ___ pda,\~x da\^
in welcher, da p eine Function von o und x von der Dimen- sion 0 ist, die Grössen a, h und x homogen sind. Aus der Gleichung der zu schneidenden Curven, in welcher a, x und y überall dieselbe Dimension bilden, erhält man aber a als Function vort x und y von Einer Dimension. Suhstituirt man daher dieselbe statt o, so erhält man eine Gleichung fär die schneidende Curve, in welcher 6, x und y dieselbe Zahl der Dimensionen bilden. Nimmt man nun b veränderlich an, so entstehen unzählige einander ähnliche Curven, in Bezug auf den Punkt A. Ist daher Eine von ihnen gegeben, so beschreibt man die übrigen leicht nach der Weise ähnlicher Figucen.
Anmerkung 6. S). 122. Dieser Gegenstand, welcher die Abschneidung isochroner Bogen betrifft, ist schon im vorigen Jahrhundert behandelt worden von.Joh. Bernoulli In Act. Erud. Lips.
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auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. ä3
Ä. 1697 UDd nachher von Saurin in Comment, Äcft<l. Paris.; heide haben sieh jedoch anderer Methoden bedient. Ich habe aber diejenige Methode angewandt, welche ich in nnsevn Comment pro Ä. 1734 gegeben habe und welche die bequemste zur Anfitiaung derartiger Aufgaben ist. An den genannten Or- teil haben aber jene Männer auch nur ähnliche Curven be- trachtet, gerade wie ich ; ohne Zweifel, weli für nicht ähnliche Curven die Auflösung zu schwierig wird und oft unsere Kräfte übersteigt. Dort werden aber diese Curven synch ronische genannt, weil zugleich durchlaufene Bogen abgeschnitten werden. Anmerkung 7. §. 123, Aus meiner Abhandlung, Tpmi IX. Comme»it. Acad, Petrop. , geht hervor, dass man diese synch ronischen Curven auf übnliehe Weise finden kann, wenn die gegebenen Curven nicht einander ähnlich, aber von der Ar); sind, dass lur dt = pdx, p eine Function von a und x von einer gegebenen Dimension wird. Man wird alsdann eben so leicht denWerth finden, welchen der Buchstab q bezeichnet. Ist etwa p eine Fanction von a und x von der Dimension n, so Iiat man, wie im §. 106., für die schneidende Cune die Gleichung
pdx ^ pdaV^ C2n-i-l)daVT _
..,:„ ^ . T «I. __ e„.!...lla„
Wird daher n
(L'c da
=: — oder x =^ ma
und es muss x in einem gegebenen Verhältntss zum Parame- ter a genommen werden, in welchem Falle die Construction der synclivonischen Curven sehr leicht ist. Hat aber p nicht einen Werth dieser Art, so ersiebt man aus meiner oben er- wähnten Abhandlung, auf Welche Welse man zur gesuchten Curve gelangt.
Satz 15. Aufgabe, g. 124. (Figur 26.). Es seien, wie vorbin, AM, AM' etc. unzählige einander ähnliche Curven und DE eine ihrer Lage nach gegebene gerade Linie; man soll die Curve AM'N linden, auf welcher der Körper In der kürzesten Zeit von A zur gera- den Linie DE herabsteigt.
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'öi Kapitel II. Von der Beweyiing eines Punktes
Auflr-sung. Hat ni:iii iiacli dem vorigen Satze eine beliebige Ctirvo CM"'M" bescbrietien, weiche isochrone Bogen AM abschnei- det, so ziehe man die Tangente ' GMH [tarallel der Linie DE. Offenbar wird der Kürper in der kürzesten Zeit auf der Curve AM, welche durcli den Berühr« ngspuiiltt M geht, znr geraden Linie GMH gelangen, weil alle übrige Punkte der letztem ausserhalb der Curve CM liegen und daher eine län- gere Zeit erforderlich ist, damU der Kiirper zu ihnen gelange. Da nun alle Curven, welche von den gegebenen Curven AM', AM', etc. isochrone Bogen abschneiden, einander ähnlich sind (§. 121.), so denke man sich eine von ihnen, welche die gerade Linie DE berührt. Ich behaupte, dass dieser Berüh- rungspunkt in iV liegen wird, wo die durch den frühem Be- rührungspunkt M gezogene gerade Linie AM verlängert die Linie DE sehneidet. Es folgt diess so wohl aus der Aebn- lichkeit der Curven CM in Bezug auf den Punkt A, als auch daraus, dass der Bogen AM'N dem Bogen AM ähnlich wird und die Linie DE unter demselben Winkel schneidet, unter welchem der zweite Bogen AM die Linie GH schnitt. Da nun der Körper in der kfirzeafen Zeit durch den Bogen ABI zur geraden Linie GH gelangt, so wird er nothwendig auf der Curve AM'N in der kürzesten Zeit zur Linie DE gelangen.
Zusatz 1. §. 125. Ist die gerade Linie DE horizontal, so wird der Körper am schnellsten zu ihr gelangen, wenn er längs, der Vertikalen AC herabsteigt, weil die Tangente der Curve CM in C horizontal ist; diess ist übrigens von selbst deutlich.
Zusatz 2. g. 126, Sind die Curven AM, AM', etc. Cycloiden, wie §. 117., so wird der Kürper auf derjenigen am geschwindesten zur geraden Linie DE gefangen, welche die letztere in N unter einem rechten Winkel schneidet, weil nämlich jede Cy- cloide mit der Curve CM einen rechten Winkel bildet,
§. 127. Ist daher DE vertikal oder parallel AC, so wird der Theil AM'N der Cycloide ihre Hälfte sein. Auf einer halben Cycloide erfolgt demnach die horizontale Bewegung am geschwindesten.
Zusatz 4.
§. 128. (Figur 27. ) Sind die Curven A31 gerade Linien,
y Google
auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. 55
M eiche vom Punkte aus nach der, ihrer Lage nach gegebenen, geraden Linie DE gezogen werden; so wird der Körper auf derjenigen AM am schnellsten nach WE gelangen, welche eine Sohne des Kreises ist, der durch A geht, seinen Mittelpunkt auf der vertikalen Linie AB hat und die gerade Linie DE be- rührt (fi. 112.1.
Zusatz ü. %. 129. Ist der Winkel DEA = n^, so wird, wenn J der Mittelpunkt des Kreise? ist, AJM = 00 - n, BAM = JMA = 22+^ uud AME — ^^~*. Wenn daher ÄGH horizoütal
gezogen ist, so halbire man den Winkel DGH ^= 90 — n mit- telst GF und Kiehe AM:^ GF, so wird AM die gesuchte Li- nie seil!.
Zusatz 6.
§. 130. Ist die Linie DE vertikal, so wird der Kürper am schnellsten zu Ihr herabsteigen, wenn er auf einer, unter 450 gegen den Horizont geneigten, Linie fortgeht. Der Kor- per bewegt sieh nämlich auf einer so geneigten Linie am ge- schwindesten.
Anmerkung.
§. 131. (Figur 26.). Auf ähnliche Weise kann man ßnden, auf welcher der unzähligen einander ähnlichen Curven AM, AM', etc. der Körper am schnellsten zu einer gegebenen Curve herabsteigen wird. Wenn nämlich die obige Linie GMH eine beliebige, die Curve CM in M herährende Curve ist; so wird der Körper auf AM am schnellsten zur Curve GMH ge]inigen, wenn nämlich die letztere ganz ausserhalb dei' Curve CM liegt Auf diese Weise kann man, wenn AM, AM', etc. nicht ein- ander ähnlich sind, bestimmen, auf welcher von ihnen der Kör- per am schnellsten zur gegebeneu Linie GH gelangen wird. Von den unzähligen Curven CM, welche isochrone Bogen ab- schneiden, muss man nämlich diejenige auswählen, welche die gegebene GMH berührt und es wird die, durch den Be- rührungspunkt gehende, Curve AM die gesuchte sein. Da es aber in diesen Fällen meistentheils schwierig ist, die Curven CM zu finden und noch weit schwieriger, diejenige zu bestim- men, welche eine gegebene Linie berührt, so werden wir die Untersuchungen nur auf die ähnlichen Curven beschränken. Satz 16. Lehrsatz.
§. 132. (Figur 2S,). Die Zeiten, in denen ein Körper die
yGoosle
3() Kapitel IL Von der Bewegung eines Punktes
einander äliDlicIicn Curven AM und Am, welche auf ähnliehe Weise vom Punkt A aus liegen, durchlänft, stehen im halben Vei'hältniss gleich liegend er Seiten. Beweis. Da die Curven AM und Am einander ähnlich sind, wer- den die Verhältnisse ÄMiAm; AP:Ap; PM:pm als conslaut gegeben sein und es sei
AM-.Am ^ AP-.Ap == P31:pm = N:n. Ferner verhält sich die Geschwindigkeit im Punkt HI zu der
mithin stehen die Geschwindigkeiten zu einander im halben Ver- hätttiiss gleich liegend er Seiten. Man nehme nun von M und m aus ähnliche Elemente an, welche also ku einander im Ver- hältniss Nm stehen; alsdann stehen die Zeiten, in denen diese gleich liegen den Elemente durchlaufen werden, in einem Vec- hältniss, welches aus dem directen Nin und dem indirecteu det Geschwindigkeiten , d. h. VN-.Vii zusammengesetzt ist, Mithin stehen die Zeiten, in denen gleichliegende Elemente der Curven AM und Am aurückgelegt werden, im Verhältniss
(1. h. im halben VerliäJtniss gl eich liegender Seiten zu einander. Da nun dieses Verhältniss constant ist, so wird es auch für die Zeiten gelten, in denen die ganzen Curven AM und Am durchlaufen werden.
Zusatz 1.
§. 133. Dib Zeiten, in denen ähnlich gelegene und ähnliche Kreisbogen von einem niedersteigenden Körper durchlanl'en wer- den, stehen also im halben Verhältniss der Hadien. Zusatz 2.
§. 134. Peadel, welche ähnliche Kreisbogen boschreihen, legen ihre Schwingungen in Zeiten zurück, die im halben Ver- hältniss der Pendellängen stehen.
Zusatz 3.
§. 135. Dasselbe Verhältniss der Zeiten findet statt, wenn die Pendel keine Kreise, sondern andere Cutven beschreiben; vorausgesetzt, dass diese einander ähnlich sind und dass ähn- liche Bogen beschrieben werden.
y Google
uuf einer gegebenen Linie im leeren Räume. 57
Anmerkung. §■ 136. üeberall aber setzen wir hier eine gleiclifümiige und abwärts getiubtete Kraft voraus, wenn wir aticb diese Be- dingung nicht ausgesprochen haben. Wir haben uns nämlich vorgenommen, diese Voraussetzung zuerst zu behandeln, ehe wir zu andern übergehen.
Satz 17. Aufgabe. §. 137. (Figur 29.). Es findet eine gleichförmige und ab- wüifs geri_chtete antreibende Kraft statt und ein Körper bewegt sich auf einer beliebigen Curve AM mit einer gegebenen An- fangsgeschwindigkeit in A. Man soll die Bewegung des Kör pers auf dieser. Curve und den Druck bestimmen, welchen die letztere in den einzelnen Punkten erleidet Auflüsung. Die antreibende Kraft sei :;= g \ind die Anfangsgeschwin- digkeit in A = VT, ausserdem' setzen wir AI^=x, PM~y, AM^s und die Geschwindigkeit in 31 =i V^v. Unter diesen Voraussetzungen haben wir nach §. 93.
tlv := gdx und v := r/a: + i, Ferner wird die Zeit, in welcher der Bogen AM durchlaufen
-m-f,
V ö + gx
Der ganv.e Druck, welchen die Curve längs der Normale MN auszuhalten hat, wird
gdy , ^vdxddy ,« qo , gdy i(b-\-gs) dxddy
-'di"^ ~^h^~" '^- ' ~df^ ~ d^ " '
wo das Element dx constant genommen ist. Diese Auflüsung unterscheidet eich demnach nur darin von der im §. 93. gege- benen, dass dort v ^^ gw war, hier aber v = b-i-gx ist. Aus diesen Formeln erkennt man demnach so wohl die Bewegung, als auch den Druck.
Zusatz 1.
g. 138. Ist AM eine gerade Linie, so ersieht man schon
aus §. 8S., dass die Zeit des Niedersteigens durch AM sich
zur Zeit des, mit derselben Geschwindigkeit Vfr begonnenen
Niedersteigens durch AP verhalte, W'ie
AM -.AP.
yGoosle
5S Kapitel IL Von ilm- Bewet/tmg eines Punktes
Der Druck aber wird, iveil die CeiitriE'ugalliraft verschwindet,
s^ 2-iL oder constaüt.
da
Zusatz %.
%. 139. Offenbar wird auch in diesem Falle, wo die-Be- wegung nicht von der Ruhe ab beginnt, die Geschwindigkeit allein von der Hübe abhSngig sein. Von welcher Beschaffen- heit daher auch die Curve AM sein möge, so wird man in je- dem Punkte die Geschwindigkeit des KOrpers kennen, wenn auch die Natur der Curve unbekannt ist. Beispiel 1.
§. 140. Es sei die Curve AM eine Parabel, deren Scheitel in A liegt und welche die vertikale Axe AP und den Parame- ter a hat. Wir haben daher
, _!!^ und lU = ^£^.«^-±1*^; mithin
Ferner wird, weil wir dx als constant voraussetzen,
adx^ . dxddy^ 2a
demnach der ganze Druck
tfo. _ XaQi\(}X) _ g<P- ~iab
Zusatz 3. §. 141. Ist daher h — 'A-, so verschwindet der Druck ge- gen die Curve und es wird in diesem Falle der Körper sich frei auf der Paiabel bewegen können. Diesen Fall haben wir im vorhergebenden Theile behandelt. Zusatz 4. §. 142. Für 6 = ^ wird die Zeit des Niedersteigens durch den Bogen AM
3,3 ~ «a: , dy~ \r^ """^ '^* ~ '
J 2V^\ ird, weil wir
ddy=^
vs
/ilx
y Google
auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. S9
Dieselbe wird also tlerjeiiTgen gleich, welche der Körper braucht, um von der Ruhe an sich durch die Ahscisse AP xu bewegen. ^Zusatz 5. §, 143. Ist (i >^-> 80 wird der Druck negativ, d. h. die Curve wird nach der, der Ase AP gegenüberliegenden , Seite hin gedrückt Ist aber ö< ^. so stellt ßlN die Richtung des
Druckes dar. Die Grösse des letitteru, in den einzelnen Punk- ten der Curve, ist aber dem Krümniungshalbinesser umgekehrt proportional. ' ^ Beispiel 2.
g.. 144. Es sei die Curve AM ein Kreis, dessen Radius = a ist und dessen Mittelpunkt auf der vertikalen Axe AP liegt. Wir haben demnach
ih^ = -,( dx^ oder as = ^ . — -.-
2/-' V 2aa:— ^E*
Die Zeit, in welcher der Bogen AM durchlaufen wird, ist daher
/rfi- _ /• adx \/'b-{-gx J >/Tax—x^.\h-\-ya: ' Ferner da ^£I^__1, <]er Druck, welchen der Kreis im Punkt M erleidet.
* dx iU " ih^ 1J a a
~ —^ — '^
Zusatz 0.
§. 143 Für 6 =: 0, l^ird die Zeit durch Logarithmen aus- gedrückt, aber = co. Der Körper wird also in diesem Falle beständig in A bleiben, was auch aus §. 97. erhellt.' Da die Curve nämlich in A auf AP normal und der Krümmungshalb- messer nicht unendlich kloin ist, so wird der Körper nicht her- absteigen können.
Zusatz 7.
g. 146. Ist b =^. odßr die Anfangsgeschwindigkeit so gross, als der Körper beim Fall durch eine, der Hallte des Ra-
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60 Kapitel II. Von der Betccgunff ehtcs Ihtnktes
diua gleiche, Höhe erhmgt, so ist der ganze Druck der Ceii-
trifugalkraft gleich, d, h. = -^ , oder der durchlaufenen HShe
proportional.
Erklärung 3.
§. 147. (Figur 30.). Eine schwingende Bewegung ist eine solche, bei welcher ein KOrper sich wechselweise vom Anfangspunkt M. der Bewegung entfernt und sich ihni nähert. Bewegt sich etwa der Körper auf der Cutve MAN, so wird er zuerst auf MA h^rab- und dann auf AN hinaufsteigen, bis er seine Geschwindigkeit verloren hat. Hierauf wjrd er von N wieder längs NA nieder- und auf dem Bogen AM hinaufstei- gen, hernach wieder herabsteigen und diesen Hin- und Hergang fortsetzen. Diess wird eine schwingende Bewegung genannt. Zusatz 1.
§. 148. Eine schwingende Bewegung besteht also aus ei- nem wechselnden Nieder- und Aufsteigen längs einer krummen Linie. Beim Niederste! gen liewegt sich der Körper mit beschleu- nigter Bewegung, beim Au&teigen verliert er aber die erlangte Geschwindigkeit wieder.
Zusatz 2.
§. 149. Jedes Niedersteigen erfolgt auf dem Theile einer Curve, auf welchem der Korper vorher aufstieg. Da nun im leeren Räume die Geschwindigkeit nur von der Höhe abhän- gig ist, so wird ein Korper in deniselben Punkte der Curve dieselbe Geschwindigkeit haben, mag er im Auf- oder Nieder- steigen begriffen sein.
§. 150. Es folgt hieraus, dass die Zeit des Niedersteigens durch MA der Zeit des Aufsteigens durch AM gleich sei; auf ähnliche Weise müssen die Zeiten des Aufsteigens durch AN und des Niedersteigens durch NA einander gleicli sein. Zusatz 4.
§. 151. Der auf dem Bogen .^JV aufsteigende Körper wird bis zum Punkt JV gelangen, wel<:her eben so hoch als der Punkt M liegt, von welchem er herabgestiegen war. Uiess folgt daraus, dass die Geschwindigkeit nur durch die Höhe bestimmt wird.
Zusatz 5.
g. 152. Ist die Curve AN gleich und ähnlich der Curve AM, so wird die Bewegung durch die erster« gleich der durch
y Google
uuf einer gegebenen Linie im leeren Räume. 61
die letztere. Alle nieder- und aufsteigende Bewegungen erfol- gen daher in gleichen Zeiten.
Zusatz 6.
§..153. Sind die Curven -4^ und .^iV" einander nielit ähn- lich, so wird doch die Zelt durch jIlj4iV gleich der durch NAM, oder es werden die Zeiten des Hin- und Herganges einander deich.
Znsatz?,
§. 154. Weil der Körper stets dieselhe Hohe erreicht, inusa diese schwindende ße^vegting offenbar immer fortdauern. Zusatz. 8.
§. 155. Zur Hervorhringung einer schwingenden Bewegung eignet sich daher jede Curve, welche zwei, Boni untersten Punkt A an aufsteigende. Bogen hat, wie MA]S. Anmerkung 1.
§. ISO. Wir haben hier die Eigenschaften der schwingen- den Bewegung auseinander gesetzt, wie sie sich aus der Vor- aussetzung einer gleich rürni igen und abwärts gerichteten an- treibenden Kraft- ergeben. Dieselben fmden aber auch statt, wenn die Kraft auf beliebige Weise Ton der Höhe abhängig, oder nach einem festen Punkte gerichtet ist ; diess werden wir in der Folge deutlicher einsehen. Im widerstehenden Mittel verhalt sich aber die Sache anders, indem weder das Aufstei- gen durch eine gegebene Curve ähnlich ist dem Niedersteigen auf derselben, noch der Körper heim Aufsteigen dieselbe Höhe circicht, aus nelcher er herabgestiegen war. Anmerkung 2.
§. 157. BJan pflegt die Bewegung tluieh ü/^iV einen Hin- gang, die folgende durch NAM aber einen Hergang zu nennen und es besteht daher eine &ch«ingende Bewegung aus wech- selnden Hin- und Hergängen. Eine Schningung wird aber von einigen die aus einem Hin- nud Heigange zusammengesetzte Belegung genannt, andere nennen sonobt den Hin-, als auch den Hergang eine Schwingung Wir werden hier die Benen- nung im ersten Sinne annehmen und daher eine Schwingung, als aus Einem Hin- und Hei^ange zusammengesetzt, ansehen. Jeder Hingang aber besteht, eben so wie jeder Hergang, ans Kiner auf- und Einer absteigenden Bewegung und es wird da- her eine ganze Schwjngung zwei auf- und zwei niedersteigende Bewegungen umfassen. Da nun die Zeit des Hinganges der
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62 Kapitel II. Von der Beviegung eines Punktes
des Herganges gleich ist, so wird die Zeit Einer Schwin- gung doppelt so gross, als die Eines Hin - oder Herganges sein. Zusatz 9.
g. 158. In diesem Kapitel handeln wir von der Bewegung im leeren Räume und werden daher, wenn wir die schwingende Bewegung untersuchen wollen, nurnöthig haben, die auf- oder niedersteigende Bewegung auf den zwei Theilen AM und AN der Curve zu betrachten.
Anmerkung 3.
§. 159. Es kommt hier nicht darauf an , ob die Bogen AM und AN Eine stetige Curve bilden, oder ob sie verschiedene Curven sind; wenn sie nur in A so miteinander verbunden sind, dass sie hier eine gemeinschaftliche Tangente haben, indem sonst die Bewegung eine Störung erleiden würde. Um die schwingende Bewegung zu untersuchen, hat man nur niltliig, die Bewegungen auf den Curven AM und AN, jede für sich zu bestimmen. Es genügt diess so wohl zur Bestimmung der Schwingungen, als auch der Relation, welche zwischen den grössern und kleinem Schwingungen stattfindet. Grössere Schwin- gungen nennt man aber diejenigen , welche auf grösseren Bo- gen, kleinere die, welche auf kleineren zurückgelegt werden. Anmerkung 4.
§, 160. Aus §. 49. ersieht mafi, auf welche Weise man Schwingungen mittelst Pendel hervorbringen kann; nämlich mit- telst der Evoluten der Curven AM und AN, um welche ein Faden geführt wird, Huygens hat auch jenen Gebrauch der Pendel den Schwingungen angepasst, wie man aus seinem Werke ersieht, in welchem er jene Bewegung zur Vervollkom- menuug der Uhren benutzt: Dieselben Schwierigkeiten, welche wir am angeführten Orte erwähnt haben, finden aber auch hier statt.- Wir werden daher nur die Bewegung eines Punktes auf gegebenen Irtnien hier zu erforschen suchen, und von allen Ver- hältnissen der Pendel , wodurch in unsern Plan Verwirrung kommen könnte, ahstrahiren.
Satz 18. Aufgabe.
§. 161. (Figur 31,) Es wirkt eine gleich fi innige und ab wärfs gerichtete Kraft; man soll die Zeit der auf und nieder steigenden Bewegung durch einen beliebigen Kreisbogen EA welcher im untersten Punkt A hegienzt ist, hestimnien
y Google
auf einer gegebenen Linie im leeren Ruume. 63
Auflösung, Es «ei C der Mittelpunkt des Kreises, CA ein vertikaler oder der Rielitung der Kraft g paralleler Radius. Man setze AC =^ II, die Hiilie des Bogens AE oder AG = h; alsdann ist die Ge'icliwindigkeit im untersten Punkt A = Vgl», weil der von E heiabstergende Körper eine so grosse Geschwindig- keit lialien wird, wenn er in A anlangt. Eine elien so grosse Gesclmiudigkeit muss ferner der Korper in denisellien Punkte haben, damit er bis E aufsteigen könne. Mau betrachte nun ein beliebiges Element Mm = di des Bogens AE und seUe AP= j-, so wird
fidx
PM—V^ux-x"^ und ds = -
Dio Geschwindigkeit im Punkt M, wird aber = ^fljTGP ^ */'g{b—x)' {^. yS.), und daher die Zeit, in welcher das Element bei der auf- oder niedersteigenden Bewegung zurück- gelegt "ird oder
dt -
Vg{b-x){^lax-^-^)' Dieser Ausdruck" kann nicht integrict werden und i daher sein Integral durch Reihen darstellen. Es wird aber.
V(6— a^H-'«*— ^^) V6c 26c
(3ÖM^ + 3c^^ (56ä+36^c + 3^r^ + ^c^)a^ ,
Multipliciren wir daher diesen Ausdruck mit — ^^^ und inteatiren,
so erhalten wir die Zeit, in welcher der Bogen AM zurückge- legt wird, oder
Wollen wir aber die Zeit haben, in welcher der ganze Bogen EA zurückgelegt wird, so müssen wir x -^ h setzen und er- halten alsdann
y Google
64 Kapitel II. Von der Bewegimg eines Punktes
Die Coefficienten in dieser Reihe sind die Quadrate der Coef- flcienten 1, 1, |, etc., welche man aus der Euf Wickelung von (I — i)-ä erhält. Aus jener Reihe lianii man daher die Zeit sehr genähert finden.
^ Zusatz 1.
§. 162. Je griisser der Bogen EA ist, desto grösser wird auch die Zeit, in welcher derselbe duchlaufen wird und die letztere ivird unendlich gross, wenn ä = 2« = c; weil der Körper bei der niedersteigenden Bewegung nicht den Halbkreis beschreiben kann.
Zusatz 2.
§. 163. Benegt sich daher der Körper schwingend auf dem Kreisbogen EÄF, so wird die Zeit Eines Hin- oder Her- ganges doppelt so gross, als die. Einer auf- oder niederstei- genden Bewegung entsprechende, Zeit, weil die Zeit durch ANF der durch AME gleich ist. Es wird demnach die Zeit Eines Hin- oder Herganges, d. h. einer halben Schwingung
■y^ 4c b4c2
Die ganze Schwingung wird in der doppelten Zeit ausgeführt. Anmerkung 1. g. 164. Die Reihe, durch welche, diese Zeit ausgedrückt wird, kann man sogleich auf folgende Weise finden. Man /er- lege das Element der Zeit in die Facforeu
<xdx 1
Vgibx-x^ ' V2^^ und verwandele den zweiten in die Reihe
2 . 4^3 Vc
wo 2n =; c gesetzt ist. Da aber riach der Integration x := h wird, so ergibt sich
/ilx _ p xdx _I.Tt6 p x^dx V^ltx — x^ J '<fbx — x^ 2 i/ '^bx—x^
X.Z-mb^ P x^da: 1,3.5 ,3 , .
yGoosle
auf einer gef/ebenen Linie im leeren Räume. 65
Hieraus erhält man, wie oi»en, die ganze Zeit des NieiJer- steigens
Anmerkung 2. §. 165, Damit man ersehe, von der Construction welcher Gleichung die Summirimg der Reihe
abhüngig ist, setze ich
b (2 , . o /^■-
— ^ und jene önninie^= e" '.,
wo c die Ba^is der naturlichen Logarithmen ist. Unter die- sen. Voraus Setzungen wird nach meiner Methode, die Reihen zu- Summiren, in Comnient. Acad. Petru[i. Tom. VI., folgende Gleichung gefunden
i^dt _ tdt t -(l-i-(2)a-
Konnte man diese Gleichung constriiiren, so würde man q
durch t und daher auch die Summe durch t oder — ausgedrückt
erhalten. Da ferner die an sich hetrachtete Gleichung keine Consfruction zulässt, so wird man sie dennoch eonstrniren kön- nen, weil die Summe der Reihe durch die Zeiten der Bewe- gung im Kreise, tnittelst der Quadrataren, angegeben werden kann. Ist ngmlich die Summe der Reihe gegeben, so folgt aus ihr die Construction der gefundenen Gleichung. Zusatz 3. g. 166. Setzt man den Bogen AE, auf welchem die auf- und niederste igen de Bewegung erfolgt, unendlich klein, so wird die Zeit der Bewegung durch denselben doch nicht unendlich klein. ■ Es verschwindet nämlich in dem Ausdruck der Zeit nur Ä und so wird diese, der auf- oder niederstei- genden Bewegung durch den unendlich kleinen Bogen AE entsprechende, Zeit
Euler's Mechanik. II. 5
dr, + •
yGoosle
66 Kapitel II. Von der Bev>egung eines Punktes
Zusatz 4 %. 167. Verbindet man <len aiidera Thell AF des Kreises vni AE, so werden die Schwingungen durch den verschwindend kleinen Bogen EAF unendlich klein und in endlicher Zeit zu- rückgelegt. Es wird niimHch die Zeit Eines Hin- oder Her- ganges, d. h. einer halben Schwingung _ 7t. \^2re
Zusatz 5
g. 16S. Die Zeiten derartige une 11 cl kleiner Schwin- gungen stehen daher in einem A e I alti s elchcs aus dem halben directen der Radien und len halbe directen der an- trelhendcn Kräfte zusammengesetzt st Zusatz b
g, 169. Dasselbe gilt auch e d e a treibende Kraft nicht gleichförmig ist. Wie ver n le I cl nin s e nämlich auch voraussetzt, wird man sie doch Is conat nt a nehmen dürfen, während der Körper, auf weide se kt sich über einen unendlich kleinen Bogen bewegt,
Zusatz 7.
§. 170. Man sieht ein, dass dasjenige, was wir ^ hier in Bezug auf die unendlich kleinen Schwingungen angeführt ha- ben, noch gelten wird, wenn auch die Curve E^F kein Kreis, sondern irgend eine andere Curve ist. Alsdann muss man aber statt des Radius a, den Krümmungshalbmesser der Curve im untersten Punkt A annehmen.
Zusatz 8.
§. 171. Derartige Schwingungen über einen unendlich klei- nen Bogen EAF wevAen mittelst eines Pendels hervorgebracht, dessen Länge dem Radius AC gleich ist. Die Zeiten unend- lich kleiner Pendelschwingungen verhalten sich daher direct wie die Quadratwurzel aus der Pendellänge und indirect wie die Quadratwurzel aus der antreibenden Kraft. Zusatz d.
g. 172. Ist die Gurve ANF nicht gleich und ähnlich der AME, so ist es für unendlich kleine Schwingungen hinreichend, den Krümmungshalbmesser in A z« betrachten. Es sei der- selbe =: K, so wird die Zeit der aufsteigenden Bewegung
TcVSß
durch den unendlich kleinen Bogen AF = p=^, und da die
2Vff
yGoosle
auf einer tfegeheuen Li?ne im leeren Räume. 67
Zeit (lor niederste igen den Bewegung durch den ebenfalls un- endlich kleinen Bugen EA = — T-jg ist; so wird die Zeit
Eines Hinganges, oder einer halben Scbiiingimg ober den zusammengesetzten Bögen EAP
ZusaU 10.
§. 173. Sind die Schningungen auf dem Kreise BAD nicht unendlich klein, so werden die dazu erforderlichen Zei- ten grusser, so i^ie die Schwingungsbogen zunehmen. Sind aber suiehe äcfiviingungen noch immer sebr klein, so verhält sich die zu einer soiehen erforderliche Zeit zur üüuer einer unendlich kleinen Schwingung, wie die Summe aus dem vier- fachen Durchmesser und dem Sinus versus des durchlaufenen Bogens zum vierfachen Durchmesser. Zusatz 11.
§. 174. Wird der Körper durch die Kraft g angetrieben, so ist die Hohe, aus welcher er in der, zur Beschreibung des unendlich kleinen Bogens £^1/j4 erforderlichen, Zeit herabsteigt, =; — ^-~ , oder sie verhält steh zum achten Theile des Radius,
wie das Quadrat der Peripherie des Kreises, zum Quadrat seines Durchmessers. Diese Höhe ist daher sehr nahe ^Jn.
Zusatz n. g. 175. Auf der Sehne des Bogens EMA sinkt (nach g. 102.) ein Körper ehen so schnell herab, als auf dem Durch- messer des Kreises. Setzt man daher x = 2«, so wird
t — Z-L.~ und es verhalt sich die Zeit des Niedersteigens
längs einer unendlich kleinen Sehne zu der durch den Kreis- bogen,
i 2«: 4«
•2 V2rt . ^ V2a
Vi ■ 2V5
d. h. wie der Durchmesser zum vierten Theile der Peripherie. Ferner verhält sich die Zeit des Niederstelgens durch den Durchmesser oder von einer, der doppelten Pendellänge glei- chen Höhe, zur Zeit einer ganzen, aus Hin- und Hergang zu-
y Google
(>8 Kapitel II. Von der Bewegung einen Punktes
samiTiengesetzten, SehwingiiDg, wie der Durchmesser zur Pe- ripherie.
Anmerkung 2.
g. 176. (Figur 3'2.). Sind die beiden Kreisbogen ÄE \xaA AF, über welcbe vereint die Schwingungen ausgeführt werden, nicht einander gleich; so können diese Schwingungen mittelst eines Pendels dargestellt werden. Man befestigt nämlich im Mittelpunkt K des Bogens AF einen Nagel, welcher den Fa- den CA, nachdem er den Bogen EÄ um den Mittelpunkt C beschrieben hat, in K festhält und so bewirkt, dass der Bo' gen AF um den Mittelpunkt K beschrieben wird. Satü 19. Aufgabe.
§. 177. Gegeben ist die antreibende Kraft; man soll die Länge des Pendels bestimmen, welches unendlich kleine Schwin- gungen macht und die einzelnen Hin- und Hergänge in Einer Secunde zurücklegt.
Auflösung.
Ist a die gesuchte Pend dl an ge und <; die antreibende Kraft, die Schwerkraft = 1 gesetzt; so wird die Zeit einer halben,
unendlich kleinen Schwingung = =-- Damit dieser Aus-
\9 druck Secunden angebe, muss die Länge a in Scrupeln aus- gedrückt und die Formel durch 250 dividiit werden, wie aus dem ersten Theile bekannt ist. Es wird demnach, da dieser Ausdruck 1 Secunde ergeben soll,
1 =. "^"^1 oder a = ^i^?iS = 3166,29.« Scrupel.
Diess ist also die Länge eines Pendels, welches in Einer Se- cunde eine halbe Schwingung macht. Zusatz 1.
§. 178. Die Längen von Pendeln, welche in derselben Zeit ihre Schwingungen ausfiihren, aber durch verschiedene Kräfte angetrieben werden, sind den letztern proportional. Zusatz 2.
§. 179. Ist die antreibende Kraft gleich der Schwere, d. h. = 1 , welcher Fall bei den an der Oberfläche der Erde statt- findenden Schwingungen, eintritt; so ist die Länge eines Pen- dels, welches die einzelnen Hin- und Hergänge in Einer Secunde ausfahrt, = 3',16629 = 3} Rh. Fuss.
y Google
auf einer geyebenen Linie im leeren Räume. 09
Anmerkung 1.
%. 180. Diese Lunge stimmt genau mit derjenigen über- ein, welche Huygens durch Versuche gefunden hat. Hier- aus erhellt, dass wir im vorigen Theile die Zahl 15625 Scru- pel, als Fallhiihe in Einer Secunde richtig angenommen hahen. Aus dieser Zahl ergab sieh nämlich die 250, durch welche wir die Ausdrücke der Zeiten dividiren müssen, damit diese Secunden ergehen. Da nun Huygens den dritten Theil der obigen Länge von 3',166 als allgemeinen Fu8S angenommen zu sehen wünschte, welche Länge man überall auf der Erde durch Beobachtung bestimmen kann; so wird dieser allgemeine Fuss — ]',055 Kbeinländisch.
Anmerkung 2,
§. 181. Durch Beobachtungen wird aber dieser allgemeine Fuss folgendermassen am bequemsten bestimmt. Man nehme ein Pendel von der Lange f, stosse dasselbe so an, dass es sehr kleine Schwingungen mache und zähle die halben Schwin- gungen, welche es während 1 Secunde ausführt. Diese Zahl
sei ^ n, so dass Eine halbe Schwingung in Secunde
ausgeführt wird. Nun sei die Länge des Pendels, welches in Einer Secunde eine halbe Schwingung macht, =z. Da nun (nach §. 171.) die Schwingongszeiten verschiedener, durch dieselbe Kraft angetriebener, Pendel im halben Verhaltniss ihrer Län- gen stehen, so haben wir
3600 , ./^ . .- , hY
und der allgemeine Fuss
°* ~ 3S880Ö(R) ■
Zusatz 3.
g. 182. Ein viermal 3166,29 Scrupei langes Pendel wird
also eine halbe Schwingung in 2 Secunden zurücklegen, iveil
die Sehwingungszeiten im halben Verhaltniss der Pendetlän-
gen stehen.
Znsatz 4. §. 183. Da der Halbmesser der Erde = 20382230 Rheinl. Fuss ist, 80 wird, wenn wir uns ein Pendel von dieser Lange denken, eine halbe Schwingung desselben
\[^
■ = 2536 Secunden
y Google
70 KiipUel II. Von der Betvpgunff eines Punktes
(laiiern. In 24 SfuiuJen wird es also 34 halbe, odor 17 ganze Schwingungen machen.
Zusatz 5. g. 184. Da die Zeit einer halhen Schwinsvimg = Z-l_f-^
Vff_
ist, so hat man die Zeit einer ganzen Schwingung =^ ■■ ■ -- -.
Die letztere Zeit braucht aber auch ein Körper, nm bei freier Bewegung die Peripherie eines Kreises zum Radius n zu durch- laufen, wenn er durch eine Kraft g gegen den Mittelpunkt hin- gezogen wird. Diess haben wir im ersten Theile gezeigt. Da- her ist die Dauer Einer Schwingung bei einem Pendel, des- sen Länge dem Halbmesser der Erde gleich, derjenigen Zeit gleich, in welcher ein an der Oberfläche der Erde fortgewor- fener Körper den Umfang einmal durchlaufen wurde. Auch Huygens hat gezeigt, dass ein auf diese Weise sich bewe- gender Körper in 24 Stunden fast 17 Umläufe machen würde.
Zusatz (i. §. 185. Da die Schwerkraft sich zu derjenigen Kraut, welche einen Kürpor an der Oberfläche der Sonne gegen ihren Mit- telpunkt hintreibt, wie 41:1000 verhält; so wird die Länge eines Pendels, welclies auf der Oberfläche der letztem seine halben Schwingungen in 1 Secunde ausfährt = 77,226 Rh. Fuss. Eben so wird auf der Oberfläche des Jupiters, ivegen der dor- tigen Schwerkraft -g^ > «'» solches Pendel 6, '448 und auf.
1015
lang sein i
dein Saturn, wo die Schwerkraft = -^ , das Pendel 4,'054
Satz 20. Aufgabe. §. 1S6. fFigur 33,). Ist die Curve BAD, auf welcher die Schwingungen stattfinden, eine Cycloide. welche durch einen Kreis zum -Durchmesser AC, auf der Basis BD beschrieben worden; so soll man die Zeit der Schwingung durch einen be- liebigen Bogen EAF bestimmen, wenn eine gleichförmige und abwärts gerichtete Kraft auf den schwingenden Körper wirkt.
Auflösung. Es sei der Krümmungshalbmesser in A, nämlich AO=sa,
y Google
uuf einer (/egebenen Linie im leeren Räume, 71
derselbe ist doppelt so gross, als der Durchmesser des erzeu- genden Kreises , also AC = { a. Man setze die Abscisse AP = X und den ihr entsprechenden Bogen AM ^= s, alsdann ist nach der Natur der Cycloide
s* = 2ax. Die Abscisse, welche dem bei der schwingenden Bewegung durchliiuieneii Bogen EAF entspricht, oder ^G sei ^ 6, als- dann ist die Gesciiwindigkeit des schwingenden Korpers im untersten Punkt A = Vgb, die im Punkt M = Vffi(t—ä:j und da ds = —-^ — -; so wird die Zeit, in welcher der Bogen AM zuräckgelegt wird
J \fg(b—x) 2>^t/ V' /.^ - ^"
JT, SO wird die Zeit Einer anf- oder
■"/'
niedersteigenden Bewegung = — -■ -_- «nd die Zeil Eines Hin- 2Vff
J1V2« oder Herganges durch den Bogen EAF = — -=-, endlich die
__ Vff
, .. . a i ■ 2n;V2a Zeit einer ganzen (Schwingung = F-^— "
Zusatz 1.
g. 187. Da in diesem Ausdnick der Zeit die Griisse 6, wodurch der Bogen EAF liesfimmt wird, nicht vorkommt, so werden die Zeiten aller Schwingungen auf derselben Cycloide einander gleich.
Zusatz 2.
§. J88, Die Zelt einer heliebigen Schwingung wird gleich der Scbwingungszeit durch einen unendlich kleinen Bogen und dieser stimmt mit einem unendlich kleinen Kreisbogen zum Radius OA überein. Daher ist die Zeit einer jeden Schwin- gung auf der Cycloide BAD gleich derjenigen Zeit, in wel- cher ein Pendel von der Länge a eine sehr kleine Schwingung ausfuhrt. Diess geht auch aus dem vorigen Satze hervor, in- dem nach g. 167. die letztere Zeit = ^^~, also mit der hier gefundenen übereinstimmend ist.
y Google
72 Kapitel II. Von der Bewegimff eines Punktes
Zusatz 3.
g, 189. Wird daher ein Pendel so angebracht, dass der schwingende Kfirper sich in einer Cycloide bewegt, so werden alle seine Schwingwngen, mögen sie gross jjder klein sein, in gleichen Zeiten ausgeführt. Ist daher AO ^=: 3106,29 Scni- pel, so werden die einzelnen halben Schwingungen in 1 Se- cunde ausgeRihrt.
Zusat» 4.
§. mO. Alle auf einer Cycloide niedersteigende Bewegun- gen, bis zum untersten Punkte A, sind demnach gleichzeitig odei-isochronisch; eben so alle aufsteigende Beweginigen vom untersten Punkte A an, bis da, wo die Geschwindigkeit ganz
aufgehoben ist. Jede dieser Zelten ist =: • p= •
2\rg
Anmerkung 1. %, 191. Wegen dieser Eigenschalt pllegt mau die Cycloide eine tautochrono Curve zu nennen, weil alle Schwin- gungen auf ihr in derselben Zeit ausgeführt werden. Huygens hat zuerst diese ausgezeichnete Eigenschal't der Cycloide ent- deckt und dachte sogleich daran, dieselbe bei den Schwin- gungen an die Stelle des Kreises zu setzen. Er führte diess auch an den Uhren ans. Jetzt aber haben die Uhrmacher diese Schw in gungs weise wieder verlassen, weil sie ihren Mut zen zu gering fanden. Gewiss bringt im leeren Räume jede Curve isochrone Schwingungen hervor, weit sie beständig von derselben Grösse sind. Im widerstehenden Mittel aber, wo die Schwingungen kleiner werden , verliert die Cycloide die obige Eigenschaft und ist daher von keinem Nutzen.
Anmerkung 2. §. 192. (Figur 32.). Man sieht ferner ein, dass, wenn zwei einander unähnliche Cycloiden AE und AF in ihren un- tersten Punkten vereinigt werden, die Schwingungen längs der zusammengesetzten Curve EAF in gleichen Zeiten ausgeführt werden. Da nämlich die Zeiten beider auf- und niederstei- genden Bewegungen von constanter Grösse sind, so werden auch ihre Summen, d. h. die Zeiten der halben und der ganzen Schwingungen einander gleich sein. Ist der doppelte Durchmesser des Kreises, welcher die Cycloide j4F erzeugt, =: n, so wird die Zeit der auf- oder niedersteigenden
y Google
auf einer gegel/enen Linie im leeren Räume. 73
Ben-egung längs AF =^ - — ^~ . Ein Hin- oder Hercang auf der KiiSitni menge setzten Curve EAF wird also in der Zeit
2V"ff und eine ganze Schwingung in der Xeit^
Kurückgelegt.
Anmerliuiig 3.
§. 193. Die Reihefolge würde erfordern, dass wir, ehe wir zu andern Richtungen der antreibenden Kraft übergehen, die Wirkungen solcher Kruiite bestimnifen, deren Richtungen noch parallel aber veränderlich sind und die Bewegung eines, durch eine tierartige Kraft angetriebenen, Körpers auf einer gegebenen Curve erforschten. Da uns aber noch keine Bei- spiele bcliannt sind, welche eine bemerkenswerthe Bewegung dieser Art enthalten und die Principien, nach welchen man die Bewegung auf einer jedeo Curve erkennt, bereits s gesetzt sind; so verschiel)en wir eine vollständige 1 bis dahin, wo wir die Cuvven erforschen werden, auf denen ein, durcii derartige Kräfte angetriebener, Körper nach einem gegebenen Gesetze fortgeht.
Satz 21. Aufgabe.
§. 194. (Figur 34.) Kin Körper «ird beständig durch eine beliebige Kraft nach einem festen Mittelpunkt C hinge- zogen und bewegt sich auf einer gegebenen Curve AM; man soll seine Bewegung auf der letzfern und den Druck bestim- men, n eichen die Cuive in ihren einzelnen Punkten erleidet. Auflösung.
Es sei die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers in A = VS^und der Abstand dieses Punktes vom Centrum , oder AC = a. Die Geschwindigkeit des Kinpers in einem beliebigen Punkt M der Curve] sei = V^v und die Kraft, welclie ihn von M gegen C hin treibt, = P, wenn die Schwerkraft = 1 ge- setzt ist. Man setze den Abstand MC = //, den Bogen AM ^ *; so wird das Element Mm =: ds und Mn = — %. Aus dem Mittelpunkt C beschreibe man die Kreisbogen MP und mp, 80 wird
y Google
74 Kapitel //. Von der Bewer/imy eines Punktes
AP=i a—y und Pp = Mn = —dy. Zieht man nun die Tangente MT und filHt auf dieselbe das Perpendikel CT, so wiid
MC: MT = Mm : Mn und MC-.CT = Mm : mn,
mT = ~''M und CT = i/'^^'lzZ'^. ds ds
Zerlegt man deninach die Cenfripefalkraft Pin eine tangentiale, längs MT und eine normale, längs MO wirkende; so wird jeue = - ^ "nd diese = PVds^~df^ ^^^^^^ ^^^^^. tialen Kraft folgt die Gleichung
dv = -Pdy. Setzt man ferner den Abstand AP = a, um welchen nämlicK der Körper bei seiner Bewegung von A bis M sich dem Cen- trum genähert hat; so ist
o — X ■= y, dx = — dy, mithin dv = Pdx. Ist daher P vom Abstände MC abhängig, so kann man das Integral
fpdx
darstellen. IVIan nehme das letztere so an, dass es l'iir x~0 verschwinde, alsdann wird
V ^ b-[- r Pdx
_ P ds
^ YbTfPdx '
Die normale Kraft ~ — * ~ " wird ganz daj;u verwandt,
einen Druck gegen die Curve längs MO hervorzubringen. Um diesen bequemer auszudrücken und mit der Centrifiigalkraft zu- gleich darzustellen, setze ich das Perpendikel CT^p, als- dann wird die normale Kraft =: — ^. Ferner wird der Kröm-
y
mungshalbmesser MO =:^i^, also die Centifugalkraft =■ ,■
und so die, zur Beschreibung des Bogens AM erforderliche, Zeit
y Google
auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. 75
:=—. — ^il , deren Wirkung derjenigen der Normalkraft
entgegengesetzt ist. Es erleidet daher die Curve in M einen Druck längs MO, welcher durch die Kraft Ppdy~'2bdp~'2dp fPdx
?/% hervorgebracht wird.
Zusatz 1. §. 195. Hängt also die Kraft P mir vum Abstände y ab, so dass der Körper in gleichen Abständen vom Gentrum gleich stark angetrieben wird; so wird auch seine Geschwindigkeit nur vom Abstände alihängig sein und daher der, auf der Curve AM sich bewegende, Körper in gleichen Entfernungen vom Centrum gleiche Gech windigkeiten haben. Zusatz 2. §. 196. Ferner wird die Geschwindigkeit im beliebigen Punkte M so gross sein , als derselbe Körper erlangen wörde, wenn er mit der Anfangsgeschwindigkeit V^ö von A durch j^P herabstiege, weil nämlich CP ::= CM ist. Zusatz 3. §. 197. Ist auch die Cmve AM selbst unbekannt, so kann man doch die Geschwindigkeit eines, auf derselben sich be- wegenden, Körpers in jedem Abstände vom|Centrum C ange- ben. Es ist nämlich im Abstände y
V ^ b-\- jPd^, wo X = «~-y- Zusatz 4. §. lyS. Ist die Curve ^^so beschaffen, dass der Druck, welchen der Körper auf sie ausübt, = 0 wird; so ist dieselbe diejenige, welche der mit der Geschwindigkeit \b in A an- fangende Körper, bei freier Bewegung beschreiben viürde. Für diese Bewegung haben wir daher die Gleichung
Ppdy = Ibdp^MpCpdx, oder weil dx = — dy,
Ppdy-yMpfpdy = 2bdp. Das Integral der letztern Gleichung ist
y Google
Kapitel II. Von der Bewegung eines Punktes
p'^J'Pdy--
wo h das von C auf die Tangente in A gefolltc Perpendikel bezeichnet. Aus der letzten Gleichung und dpr vorgehenden Differentialgleichung findet man, durch Elimination von f Pdy,
P ^ ^^'¥
p^dy wie wir (§. 502 des I. Theiles) für die freie Bewegung gefun den haben.
Zusatz 5. §. 199. Bei der Bewegung auf einer beliebigen Curve AM ist daher der Druck, welchen diese längs MO anszuhalten hat,
d.{p^(6_+J'Pdx)]_d.{p^(b ^■fPdx)\_ d.(p^v)^ _ _ .^. -^-^- ' - pdar(a~cc) ~~ pdxia—s)
Beispiel 1. g. 200. Es sei die Cutve AM ein Kieis, dessen Mittel- punkt in C liegt, alsdann wird die Bewegung des Körpers gleichförmig, weil sein Abstand vom Cenfrum immer derselbe ist. Wir haben demnach
v= l> und fpdx = 0,
,„/.
=fi
und es wird die Zeit, welche zur Besehreibung des AM erforderlich ist,
_^ AM
V"ft Vä'
Da femer y = a isti »ird auch p = a und dp = rf»/, und es ergibt sich der Druck, welchen die Curve längs MO oder nach dem Centrum C hin erleidet.
Hieraus ersieht man, dass, wenn 6 = — ^ ist, det Körper sich frei auf dieser Kreislinie bewegen wird. Beispiel % §. 20i. Es sei die Co ntripetal kraft P irgend einer Potenz der Abstände y proportional , oder P ^ ^ und die Curve eine logarithmische Spirale um den Mittelpunkt C; also
y Google
mf einer gegebenen Linie im leeren Rawne. 77
; my , dp = mdy und weil p 3= ^ '— ^ >
.fr
rlrd der
crj's = '■'"-r<-'+f»+i)y
Ferner ergibt sich (He, zur Beschreihung des Bogeitä AM er- l'orderliche, Zeit
Endlich wirtl der Druck, wolclien die Cmve in der Richtung 310 erleidet.
in^-\)f■' y {n + l)fy-
Zusatz 6. %. 202. Ist der Körper nach dem Centrum C gelangt, wo y = 0, so wird
es hat also die Geschwindigkeit daselbst einen endlichen Werth, wenn ij + l eine positive Zahl ist. Ist aber » + 1 ne- gativ, so wird in C
und es hat v denselben Werth, wenn w-f 1 = 0. Zusatz 7. g. 203. Ist M> —3, so erleidet die Curve im Centnim ei- nen unendlich grossen Druck, in der Richtung OM, d. h. vom Centrum ah; es überwiegt also in diesem Falle die Centrifu- galkratit. Ist aber «<— 3, so erleidet die Cutve einen unend- lich grossen Druck in der Richtung MO, d. h. nach dem Cen- trum hin. In diesem Falle ist also die normale Kraft öher-
"'^^''" ■ Satz 22.
Aufgabe. §. 204. {Figur Sr».). Ein Körper wird beständig durch eine Centrlpetalkraft nach dem Centrum C der Kräfte hingezo- gen und es ist die, zur schwingenden Bewegung geeignete, Curve EAF gegeben; man soll diese Bewegung bestimmen.
y Google
78 Kapitel II. Von der Bewegung eines Punktes
Auflilsuiig. Ist die Centripetalkraft einer beliebigen Funktion der Ab- stände vom Cenlrum proportional, so wird die Geschwindigkeit des Körpers, in gleichen Abständen vom letztern, wie in M und iV, dieselbe sein. In E und F aber sei die Geschwindig- keit = 0, alsdann wird sie im Punkt A, welcher dem Centcum am nächsten liegt, ihren grössten Werth haben. Man ziehe die gerade Linie CAO. Der Kürper wird daher auf dem Bo- gen EAF Schwingungen ausführen, zu deren Bestimmung es hinreichend ist, seine Bewegung auf beiden Curven AE und AF zu erforschen. Die grosste Geschwindigkeit des Körpers, welche er in A hat, sei = Vb, diejenige aber, welche er in einem beliebigen Punkte M hat, = W. Man setze den Ab- stand CM = CP = y und die, dem Punkt J/ entsprechende, Centripetalkraft = P. Es sei ferner CA — a, AP = x, AG = k, wo CG = CE genommen ist; also y := a-^x und CE = CG = a'\-k. Man setze den Bogen ^il/=i, es sei JW7' eine Tangente der Curve in M und CT ein, aus C auf dieselbe ge- l^ltes Perpendikel, Akdann ist
Ml- = tiL
ds und die Tangentialkraft
_ pMT_Pd^ 'MC ds ' Diese wirkt der Bewegung des Körpers bei zunehmenden y entgegen und es ist daher
dv ^ ~Pdy = -- Pdx und u = 6 — C Pdx,
f Pdx so genommen ist, dass es für x=:^0 verschwinde. Setzt man demnach d = 0, so wird (1er, aus der Gleichung b= fPdx sich ergebende, Werth von x der Abstand AG = k sein.
Die Zeit, in welcher der Körper den Bogen AM durch- läuft, ergibt sich
Integral fp
__ p ds
Pdx
und hieraus die Zeit, in welclier der ganze Bogen AE zurück- gelegt wird, wenn man die Integration so anstellt, dass das
y Google
auf einer qegebenen Linie im leeren Räume, 79
Integral = 0 wird, iodem man a: ^=^ le oder j Pdx = 6 setzt. Auf ähnliche Welse ßntlet man die, zur Besclirelbung des Bo- gens AF erforderliche, Zeit und die Summe beider ergibt die Zeit einer halben Schwingung.
Zusatz 1.
g. 209. Ist AF ^ AE, so werden die beiden enlspre- chenden Zeiten einander gleich und dahei' die Zelt einer hal- ben Schwingung gleich der doppelten, AE entsprechenden, Zelt.
Beispiel 1.
g. 20ti. Ist der Bogen JE^ii^ unencllich klein, so wird, well alsdann der Abstand voiri Centrum unveränderlich ist, die an- treibende Kraft P constant^j/. Ist nun der Krümmungshalb- messer der Curve In A oder AO = h, so wird AE ein mit diesem Radius beschriebener Kreisbogen. In diesem Falle ha- ben wir, nach der Fjatur des Kreises
= —äj — und MT = V ^-ä — CT^
_ '^iJB'if^ - o* - 4a3 A ■- 4BäA34- 2«" f' + iah^j^—y*
- 2k
Da aber y ^ a ■{■ x und x im Vergleich mit a und A unend- lich klein ist, so wird
„,, _ Viakcla+h) . , _ sd,j h(,a + a!)d^_
dx\fah
" V2(i.+*)« ' Ferner ist i- = ö — fgdx = b — gx und i'iir x ^ U, u = 0, i = ji, al.o _
— U ~ \ i dt ^ -^ = ^"'' ^^
„_,(. x,an ^_ V2^(i+4)'VE=i5'
D« I
n f^ *^^ — — n ist, so wird die Zeit, weiclie der J ^ kx — x'^
Körper hrauclit, um den unendlich Jrleinen Bogen AE zu durch- laufen.
y Google
80 Kapitel II. Von der Bewegung eines Punktes
Zusatz '1 §. 207. Ist das Gentium der Kräfte unendlich weit ent- fernt, also a ^ aor so werden die Richtungen der Kraut ein- ander parallel und daher wie vorhin, die zur Beschreibung des
Bogens AE erforderliche Zeit
_ jtV2A_
Wird aher der Kreisbogen AE eine gerade Linie, also A=-co, so erhalten wir die, zur Durchlaufung von EA erforderliche, Zeit _
Zusatz 3. §. 208. Vergleichen wir diesen Fall mit den Schwingun- gen eines Pendels, Welches ebenfalls durch die Kraft y, aber nach einander parallelen Richtungen angetrieben wird; so wird.
die Länge des isochronen Pendels = - "■ j . Die Zeit El- ß + A
ner nieder- oder aufsteigenden Bewegung dieses Pendels wird
nänilich
= '^'^•^"^ (§. 166.). 2V^ffCa+A)
Beispiel '2. §. 209. (Figur 37.). Es sei die Centripetal kraft irgend einer Potenz des Äbstandes proportional oder P — ^und£F eine gerade Linie. Es wird daher
AM = i = "^iß — «^j X = y~o= dx ^ dy. Es wird ferner
-r~,
und wenn man v = 0 setzt,
y+i = o"+H(« + l)fi/» = (« + *)"+',
oder indem man EC = c setzt
,d i,-=:i:
Ferner wird ds = —-ü-.y - , also die zur Beschreibung des Bo- gens MA erforderliche Zeit
y Google
J \fv J \
ydyVjn + lyf
V"(»,^-a>'Xc"+^-r+') Diess Integral muss so genommen werden, dass es für 1/ := a verscliivinde oder, um tJie z\ir Beschreibung von EA erforder- liche Zeit au erhalten, niuss man es von j = a bis ^ x= e ersti-eckeii. Eine halbe Schwingung aller, oder die Bewegung durch EAF wird das Doppelte dieser Zeit erfordern. Zusatz 4. §. 210. Setzt man die Centripetalkraft den Abständen pro- poitional Öder n ^ 1, so wird die, zur Beschreibung von AM erforderliche, Zeit __
-h
-f\
Setzt man aber A]^ ^= i, so wird c^ = «^ + i* und y'^ = a^ -\-i^, also die AM entsprechende Zeit
_ r rftVy
und die AE entsprechende
I rfcV»/' ^t'^y_
Alle Schwingungen längs dieser geraden Linie erfolgen also in derselben Zeit, indem ihre halbe Schwingungszeit = m V"2/" ist. Zusatz 5. §. 211. Ist die Schwingung unendlich Mein, so wird die Zeit einer halben Schwingung längs der geraden Linie eben- falls ;= mV^f; allein da alsdann die Centripetalkraft als con- stant betrachtet werden kann, so setze man sie =g =£ und es wird die Zeit einer halben Schwingung
= r^^ wie 6. 207. Vg
Zusatz 6. §- 212. Da die Rieht 11 ngslinien der Schwerkraft in der Wirklichkeit nach dem Mittelpunkt der Erde hin convergiren, so würde ein Körper an der Oberfläche der Erde, längs einer vollkommen horizont;ilen Linie, Schwingungen ausführen ken- nen, wenn tler Widerstand und die Reibung djess nicht ver- tultr's Mechanik. II. *>
y Google
82 Kapitel 11. Von der Bewegung ehies Ptmkles
lünderteij. Die Zeit einer solchen Iialben Schiringimg ntinic
aber (weil a = dem Halbmesser der Er<lc «nd ff = 1 ist)
2536 Secundeii befragen (§. 183.)-
Satz 23.
Aufgabe.
S- '213. (Figur 38.) Ein Kürper wird durch zwei beliebige Kriiftc angetrieben, von denen die eine die vertikale Richtung MQ uod die andere die horizontale MP hat; man soll seine Bewegung längs der gegebenen Curve AMB bestimmen- Auflösung.
Seine Geschwindigkeit sei in B = 0 und in M =. W, die längs MQ antreibende Kraft ~ P, die längs MP wirkende = Q. Man setae BR = t. EM ~ % und den Bogen BM ^ w, welche Buchstaben wir ffir die niedersteigende Bewegung des Kiirpers von der Ruhe in B an gebrauchen werden. Für die aufsteigende Bewegung von A an, mit irgend einer An- fangsgeschwindigkeit, welche Bewegung sich an f Schwingun- gen bezieht, setzen wir AP = QM = x, PM ~ AQ — y und den Bogen AM = s. Ferner setzen wir die Anf'angage- sclivvindigkeit in ^ =r V"fi; alsdann wird
t-{-x = cnnst., i-|-y = const., w-\-s = const- und daher
dt+dx = 0, dt-i-dy = 0 und dw + ds = 0. Zerlegen wir die Kräfte P und Q in normale und tangentiale, so entspringt aus P
die tangentiale Kraft = -; — und die normale = —, — ,
welche letztere den Körper längs MN antreibt. Ferner ent- springt aus Q
die tangentiale Kraft ^ -2pr und die normale =
Qdz ,
welche letztere der vorigen normalen entgegengesetzt ist. Beide tangentiale Krgfte beschleunigen die Bewegung durch BM i\tt<\
Qdi,
dv ^ Pdf+Qdz und V = ipdt + ßi
I beide Integrale so zu nehmen sind, dass sie rewpective = 0 und t = 0 verschwinden.
y Google
auf einer gegebenen Linie im leeren Unume. S3
Für die aufsteigende Bewegung haben wir
V = b— rpilx — f'Qdi,,
wo die Integi-ale so genommen sind, dass sie resfiective für A' = 0 und ^ ^; 0 versch winden. Setzt man daher in dei' er- sten Gleichung
v=^ Cpdi^fqdz
( = ßO und I = AD, so wird v ^ b.
Die Zeit, welche der Körper gehraitcht, um den Bogen BM zo durchlaufen, wird
^A
\A fPdt + fQdz und die '/m\ Beschreibung des Bogens AM erforderliche Zeit
_ r ds^
Sf't — fPdx-fQdy
Nimmt man das Element dt oder dx als coustaiit an, so wird der Krüniniungshalbmesser der Curve in M
„ _ di^
~ dt . ddz und so die längs ü/iV gerichtete CentHfugal kraft ^dtddx J fPdt \fQdt I
Die ganze Kraft, welche gegen die Curve in M und in der Richtung M2i einen Druck ausübt, ist demnach
1dtdd:^fPdt^fQdi^
„ Pd.z-Qdt _
clw ' ' dic''^
Zusatz 1. §. 314. Ist /»eine beliebige Function von x oder /, Q aber eine von y oder :, so können Pdx und Qdy integrirt werden. Man kann daher die Geschwindigkeit Vv und mit- telst der Gleichung der Curve auch die Zeit daistellen. Zusatz 2. g. 215. Da beliebige nnd beliebig viel antreibende Kräfte, wenn nur ihre Richtungen in derselben Ebene liegen, iu «el-
y Google
84 Kapitel II. Von der Bewegung eines Punktes
eher die Curve AMB sich befindet, sich in zwei Kräfte dieser Art zerlegen lassen; so erstreckt sich dieser Satz sehr weit und umfassf alle die Fälle, in denen die Richtuügen der KrSfle und die Curve in derselben Ebene liegen. Anmerkung.
g. 216. Dieser Satz erstreckt sich aber noch iveitor, wenn man noch einiges hinzufügt und iimfasst auch die Fälle, in denen nicht alle Richtungen der Kräfte in der Ebene der Curve liegen. Man mnss alsdann diese Kräfte in je zwei zerlegen, von denen die eine in der Ebene der Curve Hegt, die andere eine darauf normale Richtung hat. Jene in der Ebene der CuiTe liegenden Kra'fle werden, indem man sie auf dieselbe Weise, wie im vorliegenden Satze behandelt, eine Beschleu- nigung der Bewegung des Körpers und einen Druck längs jtfJV ergeben; die andern Kräfte aber, deren Richtungen normal auf der Cuivc stehen, werden nur zur Hervorbringung eines Druckes gegen die letztere verwandt. Hieraus entspringt ein doppel- ter Druck, welchen die Curve auszuhalten hat, der eine längs JHiV gerichtet , der andere normal auf der Ebene der Curve. Bestimmt man mm die mittlere Richtung der beiden angeführ- ten, so ist diese diejenige Richtung, in welcher die Curve ge- drückt wird. Wir haben daher nicht nötliig, derartige Fälle besonders zu entwickeln, sondern nur kurz die Bewegung der Körper auf einer Curve zu berühren, welche nicht in der Ebene liegt, in der wir die constante und abwärts gerichtete antrei- bende Kraft voraussetzen.
Satz 24. Aufgabe.
%. 2V7. (Figur 30.). Es exlstirt eine gleichförmige antrei- bende Kraft, deren Richtung nach unten zu geht; man soll die Bewegung eines Körjters auf einer beliebigen, nicht in dersel- ben Ebene befind liehen, Curve AM bestimmen.
Auflosung. Es sei ÄQ die Projection der Curve AM auf eine hori- zontale Ebene und indem man von den beliebigen, einander sehr nahe liegenden Punkten M und m auf diese Ebene die Perpendikel MQ und m^ gezogen hat, f>Llle man von Q und q auf eine beliebige angenommene Axe AP die Perpendikel QP und qp. Man setze AP ~ x, PQ =i/, QM = z und AM = s, die Geschwindigkeit des Körpers im Punkt ^=:V^6"und
y Google
auf einer f/egebenen Linie int leeren Räume, 85
in Jlf = Vir, ferner die Kraft, welche den Kiirper in M längs MQ antreibt, = ff. Man ziehe die Tangente MT, fälle auf sie aus Q das Perpendikel QT und zerlege die Kraft .9 in eine tangentiale und eine normale. Da nun
MQ-.MT — dsidz = Vdx'^-^-dy'^-X-di^xdt, so wird die tangentiale Kraft
= — g''' ^.
ferner da
MQ:QT = ds:^d}^^d^, die normale Kraft
_ fi's/ dx^\-d^
Die tangentiale Kraft verzügert nun die Bewegung des Körpers uud es wird daher
dv = ~ gdz oder v = b — </i. Hiernach wird die Zeit, in welcher der Körper den Bogen AM
durchläuft,
''%f^\djßjj^
Die normale Kraft betvirkt, dass die Curre in M längs einer, auf Mm normalen Richtung, welche in der Ebene QMmf]\\^%i, einen Druck erleidet. ILbcn 1^0 erleidet die Curve einen Druck
von der Centrifugalkraft
= '^ = Vhzßll,
dessen Richtung der des Krümm ungshalbmessera r entgege- gesetzt ist. Die Lage des letztem haben wir oben {%. 71.) ge- funden, wodurch die Richtung der Centrifugalkraft bekannt wird und ihre Grüsse ergibt sich aus dem Krüiiimungs Halbmesser, indem nach §. 72.
Vrfa;» {ddy^ + ddi^) + {dy ddi— did(^ Zusatz 1. g. 218. Die Geschwindigkeit des Kürpers hängt also auch in diesem Falle nur von derUOhe ab und ist im Punkt M eben so gross als diejenige, welche ein, durch QIU von Q mit der
-P
y Google
80 Kapitel II. Von (Irr ßcweguuff eines Punktes
Geschwindr^rkeit V^l> aufgestiegener, KJir per indemselben Punkte haben würde.
Zusatz 2. §. 219. Der Kürper »ird daher zu keiner gtiissern Hühe
als — ansteigen künnen, indem für j = — , « = 6 — 91 = 0
3 ff
wird; der Körper verliert also hier seine ganze Geschwindig- keit lind wird hernach wieder niedersteigen. Zusatz 3. §. 220. Man sieht anch ein, dass, wenn die Kralt nicht constant, sondern = P und veränderlich angenommen wäre, alsdann die Geschwindigkeit im Punkt M sich au» der Glei- chung
" = '-/"*
ergeben würde.
Anmerkung 1. §. 221. (Figur 40.). Denkt man sich in der vertikalen Ebene eine Curve AM, welche anf die Axe AQ bezogen wird und ist diese gerade Linie AQ gleich, der Curve AQ in der vorigen Figur, so wie QM gleich dem dortigen QM; so wird auch diese Curve AM der dortigen AM gleicfi sein. Steigt nun der Körper iiuf der Curve AM, mit der Anfangsgeschwindigkeit ^fb empor, wobei er durch dieselbe Kraft g angetrieben wird, so wird er im Punkt M auch die Geschwindigkeit
haben. Ferner werden auch die Zeiten der aufsteigenden Be- wegung auf beiden Curven einander gleich sein und man wird auf diese Weise die Bewegung des Körpers" auf einer, nicht in derselben Ebene befindlichen Curve auf eine Bewegung zu- rtickfflhren künnen, welche auf einer, in derselben Ebene be- findlichen Curve , erfolgt. Zwischen beiden Bewegungen findet kein Unterschied statt, wohl aber ist der Druck, welchen beide Curven erleiden, verschieden. Man kann daher auf diese Weise den Druck beliebig verändern, während die Bewegung auf der Curve dieselbe bleibt.
Anmerkung 2. §. 222. Wir haben bis jetzt die Gurve, auf welcher der Körper sich bewegt, die antreibende Kraft nebst ihrer Rich- tung als gegeben vorausgesetjst und hieraus die Bewegung des
y Google
auf einer ifcffebenen Linie im teeren Räume. S7
Körpers mid den Druck gegen die Curve ahgcleitet. Da nun (liess hin reichend sein kann, gehen wjr zu andern Untersu- chungen über, hei denen wii' andere Data annehmen und das Uebrigc suchen müssen. Zuerst sei der Druck in den einzel- nen Punkten der Curve gegeben «nd ausserdem die antreibende Kraft; man suche hieraus die Curve und die Bewegung auf ihr. Später werden wir andere Aufgaben bilden, indem wir andere Combinationen der in Rechnung kommenden Grossen annehmen.
Satz 25. Aufgabe. §. 223. (Figur 41.). Em Kfirper wird durch eine helie- bige Kraft bestündig abwärts gezogen; man soll die Curve JVff bestimmen, gegen welche er, nährend er sich auf ihr fortbe- wegt, iiherail gleich stark drückt.
Auflösung. Es sei AM die gesuchte Curve und man setze die verti- kale Abscisse AP = a:, die Ordinate P31 ~ y und Aea Bo- gen AM = s. Ferner sei die Kraft, welche den Körper in 31 antreibt, = P und die Geschwindigkeit in ^ = VT, als- daim wird die im Punkt M stattfindende Gesehivindigkeit
: SO angenommen i esen Voraussetzun
;s der Normalen M
1 V fPdx)Axddy
ds" ^
angenommen ist. De o man ihn = /t und
kds^ = Pdijds'^ + '2bdxddy+2dirddy fpd.i
Kimmt man aber ds als coiistant an, so erhalten wii cbnng
Adsdw ^ Pdxdy + 2bddy + 2ddy f Pdx.
Hieraus ergibt sich
wo das Integral / Pdj: so angenommen ist, dass es für a-=0 verschwinde. Unter diesen Voraussetzungen wird der Druck, welchen die Curve längs der Normalen MiV" auszuhatten hat,
= ^ + ^-T^r -<M3.).
wobei dx als constant angenommen ist. Da nun <lie constant sein soll, setze man ihn ^ k und wir erhal Gleichung
y Google
Kapitel II Von der Bewegung eines Punktes
dyPdx
^b -^-'fPdx ds^b -\-JPAx intl wenn man Integrirt
h
SßTfPdx ''*
Diese Gleichung kann man, wenn P als Function von x gege- ben ist, cnnstruirPH, weil sich iiielit y, sondern nur dy in ihr heßndet.
Zusatz 1.
§. 224. Es drückt C - ^^^- -:. die Zeit aus, in wel-
eher der K'irper von ^4 aus mit derselben Ani'angsgeschwindig keit, womit er sich rlurch AM bewegt, durch AP herabsteigt und es ist y ö + fPdx die Geschwindigkeit an demselben Orte. Dividlrt niiui daher diese Geschwindigkeit in P durch die Zeit, welciie zur Beschreibung von AP erforderlich ist, so wird der Quotient
_ iah
-■Idy'
durch welche Eigenschaft die Gurve bestimmt wird.
Zusatz %
g. 223. Man kann die dem Wege AP entsprechende Zeit
um eine consfante Grösse, nSmIich W vermehren und es wird
hierdurch der Winkel bestimmt, weichen die Curve in A mit
ksfc ^
AP bildet. Es wird &\nMAP ~ ~-^-= , also kann Vc nicht
grösser als :^~L angenommen werden, Fängt die Bewegung
in A von der Rühe an , so wird also Vb = 0 und es rauss auch c = 0 sein.
Beispiel. §. 226. Es sei die Kraft gleichförmig, also P — o> so tvird
■■ ;^>'iV''i+gar-2/fy"6-f2AV^ __ 2dy^fb-\-fjx
/kdx
yGoosle
auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. also
(^* !l g Vb +ga:
oder _
Hieraus folgt
, Ärfa; ! VT+crä + VT— Vö i
V g^ib-{-3Cc)—\k yfb + gx + /c( V^— Vä)}* Setzt man W^b-\-gx =^ t und — W^-■V^ft = A, s a^ := — — - und dx^-
_ Itdt .
niitliiii, wenn man diese Werthe siibstituirt,-
, _ 2At(f<(i — A)
^ "" g'»/ g^t^-kH^ + 2k^tk--k^h^' Diese Gteichimg lässt sich in drei Fällen tntegriren und zwar, erstens, «enn i = 0 ist. In diesem Falle ist also der Druck gegen die Curve = 0 und es wird sich der Körper frei auf derselben bewegen, nachdem er von A aus fortgeworfen wor- den ist. Der zweite Fall findet statt, wenn A =: 0, oder' V"ä = V^c ist. Aisdiinn wird
dg Ji
(is g und es leistet offenbar eine geneigte gerade Linie derÄnfgabe Genöge. Ist drittens k = g, oder der ganze Druck überall der antreibenden Kraft gleich, so wird
rf, — '^dt-JMdt ^ g SfMt^ß und wenn man integrirt
V 'iht~m + const. Da aber fiir cc ~ 0, i/ = 0 und ( = VT wird, so ergibt sich
est. = 2i!±aVT=?5 V^äiVTT-P.
oll »
Setzt man nun wieder * = Sfb-^gx und ^Tb- Vc = A = V~a; so erhalfen wir
y Google
90 Kapitel H. Von äi-r fieweijwff eines Punktes
Diess ist die Gleichung der gesuchten Curve und es inuss in ihr, da V^^ = vT— V^F ist, fl < fi eein. Soll der Körjier, seine Bewegung von der Ruhe an heginncii, so kann keine andere Linie, als die gerade Genüge leisten. Es muss nüm- lich c = 0 und 6 = 0 sein, damit der 'Winkel bei A reell werde. Wir erhalten daher die Gleichung — ^-.^ ^ "" V /A=^^ " Zusatz 3. §. 227. Die gerundene algebraische Gleichung wird, vverni man sie von der Irrationalität belVeit, vom fänften Grade. Setzt man in ihr a = i, so wird im Punkt A die Tangente der Cnrve vertikal. Die Gleichung der Curve wird in diesem Falle
Zusatz 4. §. 228. Soll allgemein die Tangente in A vertikal sein, so wird wie vorhin ^~c := 0 und die Differentialgleichung
, „ Mx t Vß+irT— Vi"; "2f — — ■ — — — —
md %.
die Tangente in A als horizontal voraus , S' dx\kVb-\-gx + (ff -k) V/7}
\ !,'^(b-\-ffx) — \k^Tigx-\-(9-'')^f
Anmerkung, §. 229. Man nennt diese Cuive die Linie des gleichför- migen Druckes und es beendet sieb eine Herleitung derselben in den Abhandlungen der Pariser Akademie, welche mit die- ser vortrefllich ubereinstininit. Uebrigens geht aus der Auf- lösung hervor, dass, wenn die Kral't nicht constant, sondern
y Google
auf (iner gtgcbtnen LlnU im leeren Räume 'tl
beliebig verandei lieh und = P ist die nefmitlene Gleichung doch eine Integration zulassen wird, neoii der Druck i^ei^en die Curve' i' seihst proportional sein aol! Es wird nimlich U =: mP und die Gleichung der gebuchten Cur» e
t,hj\[X^Jn, ^ „ ,„p,fa
woraus folgt
£/y Y A + fp'l^ = »'«'* Y ^ H- fPdx\ mds V^.
Ist c = 0, 80 wird die Curve eine gegen den Horizont ge- neigte gerade Linie. Durch V^c wird aber der Winkel he- stinimt, welchen die Curve in A mit der Vertikalen bildet, in- dem alsdann _
ds Vi
Nimmt man daher Vc = — V^ an, so wird die Ourve die Vertikale in A herShren. Ausserdem hat diese Curve die Ei' genschaft, dass die Zeit, in welcher der Bogen AM durch- laufen wirdj der Differenz m.AP — PM proportional ist.
Aus der Auflösung dieser Aufgabe ergibt sich auch die der folgenden, in welcher wir aus der gegebenen Curve und dem gleichen Drucke die Grösse der abwärts gerichteten Kraft herleiten wollen.
Sata 26. Aufgabe.
§, '230. (Figur 41.). Gegeben ist die Curve AM und die Anfangsgeschwindigkeit im Punkt A = Vo; man soll die Grösse der beständig abwärts gerichteten Kraft bestimmen, welche be- wirkt, dass der auf dieser Curve herabsteigende Kört)er gegen dieselbe überall einen gleich starken Druck ausübe. Auflösung.
Ist die gesuchte antreibende Kraft = P und haben a-, y, j und h die Bedeutung des vorigen Satzes, so haben wir, für rfs — constans, die Gleichung
kdsdx ■■
^ Pdxdy + -2bddy + 2ddy fpdx (§. 223.).
aus welcher man die Grösse P herleiten muss. Midtiplicirt man dieselbe mit dy und Integrirt, so ergiht sieh
y Google
92 Kapitel U. Von der Bctveguni] eines Punktes
kds rilx<lyz=i ihß rpäx-Vhdjp- oder Cpdx\b
Differentiitt man die letztere, so erhält man, weil rfs onslaiit ist,
p = — - H£^^ Pdxdv
dy dxdy^ J Das Integral fdxäy hat man so zu nehmen , dass für a; = 0
werde. Um diese Integration leichter anszufiihven , setzen wir
pdx
Es iFird ferner
dy=pdx, also rfs=rfa.Vl+/)' und idxdy^ds i -^
und
dy-^J •> p-^ J Vl+p^
pdx^
r^^pa '2kdp f pdx
Zusatz 1. §. 231. Aus dieser Gleichung ergibt sich auch leicht die Geschwindigkeit des Köriiers in den einzelnen Punkten, indem die, der Geschwindigkeit im Punkt itf zukommende, Hühe
., /"dj kds r, , ÄCl + K) /* pdx
t aber, in welcher der Körper den Bogen ird
ds _ 1 p pdn
• Zeit aber, in welcher der Körper den Bogen AM durch- läuft, wird
' pdx
Zusatz 2. §. 232. Man ersieht aus der gefundenen Gleichung, dass unter übrigens gleichen Umständen P desto grösser wird, je grösser k ist, indem der veränderliche Werth der Kiaft P in den Druck k multiplicirt ist.
Zusatz 3. §. 233. Obgleich die Kraft P nicht von der Anfangsge-
y Google
auf einer fjegebenen lAnie im leeren Räume. 93
schtvlndigkeit V^i abhängig zu Sein scheint, indem b sich nicht in dem Ausdruck befindet, so findet diese Abhängigkeit
doch wegen des Integrals / ■ " statt. Diess raus« nära-
J \l+p^
ücli so genommen werden, dass für ;»: = 0
werde. Verändert man daher die Anfangsgeschwindigkeit, so ergibt sich eine andere antreibende Kraft, wenn auch die vor- ausgesetzte Curve dieselbe bleibt,
Beispiel I. §. 234. Es sei AM eine Parabel, deren Scheitel in Ä liegt «ud nelche eine horizontale Axe hat, so dass wir haben
x'- = m. Es ivird daher
Diese Grösse muss =; Ä werden, wenn man a; ^ 0 setzt;
und
Im Punkt A wird die Kraft /'unendlich klein, indem so wohl der Zähler, als auch der Nenner verschwinden und der Werth dieses Ausdrucks ^= 0 wird. Die (Geschwindigkeit in A kann aber nicht willkfihrlicb sein, obgleich die Constante C durch ft bestimmt zu sein scheint, sondern es bann C nur einen sol- chen Werth haben, durch welchen der Ausdruck b H- j Pdx =^ -i-s / d^dii von endlicher Grösse wird. Es wird also b von a abhängig sein und sein Werth gefunden , wenn man in
y Google
04 Kapitel II. Von der Jieioeguvi/ eines Punkten
a: = 0 setzt, wodurch
* = 'f
wird. Mit der Geschwindigkeit \^6 ^ \^ka muss also der Körper herabzusteigen anfangen, damit der, ans der gel'unde- neii Kraft P hervorgehende, Druck überall gleich gross sei. Beispiels. 5. 233. (Figur 4-2.). Es sei die Curve AM ein Kreis, dessen Uadius = a ist und welcher die gerade Linie AP in A berührt. Alsdann ist
^_„- xdx X
y = a-^a^-x^, dy = ^^7^' ^ " V'^P
und Vi -f- y '^ = -V — — L- .
Hieraus folgt
/pda: „ rxflx _
- und daher
also für a: = 0, Ä = oo iierden würde. Wir haben demnach
d. h. die GeschM'indigkeit Ist gleichförmig und die antreibende Kraft verschwindet. Es ist närnlich klar, dass ein durch keine Kraft angetriebener Kfirper auf der Peripherie eines Kreises gleichförmig fortschreiten und die Centrifugalkraft ilberall von gleicher Grosse sein wird.
Beispiels. §. 236. Es sei die Curve AM eine Cycloide, deren Basis horizontal ist und welche mit ihrer Spitze die Veitikale AP in A berührt, so dass
, dx Viax
y Google
Feil td + p") /■ ptfa _fa/äjVS
wmuus für ai = 0, 6 = =c folgen »vurde. C =: 0 sein und wir erhalten
7 3 3 \r2a-
b ^- / Pdx
Wenn also der Körper auf der Cycloide AM, vod der ßuhe in A an, herabsteigt und durch eine Kraft abwärts getrieben ivird, welche der Quadratwurzel aus der Abscisse AP umgekehrt proportional ist; so wird er iiberalt einen gJeicfieii Druck ge- eeii die Curve ausübe».
Anmetkunü.
5- 237. Es kommen demnach Fälle vor, in denen man (He
Anfangsgeschwindigkeit \^6 nicht nach Belieben annehmen
darf, wie man aus diesen Beispielen ersieht. So oft nämlich
i-T^. ^oD wird, w&m man a^ = 0 setzt, wird die dem Inte-
eral / .I—JS— hinzuzufügende Constante in eisten tb ei Is dn- ^ J Vl+p^
durch bestimmt, dass die Geschwindigkeit nicht =» werden soll. Stets aber wird, wenn die Curve in A die gerade Linie AP beriihrt, für a; = 0
was denn auch in den angeführten Beispielen die Ursache war, dass die Anfangsgeschwindigkeit nicht beliebig sein durfte. Satz 27. Aufgabe. §. 238. (Figur 41). Wird ein Korper durch eine belie- bige Kraut beständig abwärts gezogen, so soll man die Curve AM bestimmen, auf welcher jener sich dergestalt bewegen wird, dass der ganze Druck, welchen die Curve erleidet, ein
y Google
SI6 Kapitel II. Von der Bewegung eines Punktes
gegebenes Verhältniss zu dem, aus der normalen Kraft ent- springenden, Druck habe.
A»fHis,>ng. Es haben x, y, s, b, v nnd P die bisherige Bedeutung, alsdann ist
v= b -\- Cpdx.
p, 1ddy{h-\-fPdx)
Nun vcrlialte sich der ganze Druck ^~^J- + — — ■ ■ , ■ ', ■ ■ ■,
ds dwas
wo ds als coTistant angenommen ist, zu dem aus der normalen
Kraft entspringenden Druck — y^, wie m:l; alsdann wird
(n:
- 1} Pda-dy = '2dihj(b + fpdx) ,
welches die Gleichung der gesuchten Curve ist. Da aber v = b -\- I Pdx, so geht sie über in
' V dy-
tmd wenn man integrirt
(™-i),.g(j)=2,.g(f).
Ferner
V '■'■ ds = a ^ dy
v^d^ (6 + />(?^)"^ da:
und dy = ■~-==^^^^— = —~^^z^^=^===^^=' V «•"-!-„'"-' y a"'~->-~(HJPdx)-"-'
als Gleichung der gesuchten Curve. Zusatz 1. g. 239. Die Geschwindigkeit wird = 0, wenn ^=xOoder
die Tangente der Curve vertikal ist, vorausgesetzt, dass -■;—
>0 oderm^l sei. tu diesen Fällen werden wir daher voraiis- setzen, dass die Curve in A die gerade Linie ^P berühre und die Anfangsgeschwindigkeit oder 6 = 0 sei.
y Google
§. 240. Ist daher m>l oder der gauze Druck griiaser, als der ans der normalen Kraft eiifspringemle, so wird die ge- suchte Curve die Gleichung haben
da: ( I Pdx\
dy = ^-^ -^L ^
wo / Pdx so angenommen werden miiss, daas es fiir .-j = 0
verschwinde.
Zusatz 3- §. 241. Ist m — 1, so verschwindet die Centrifugalkraft und es wird daher die gesuchte Curve eine gerade Litiie. Ana der Gleichung loigt
dd^j =;: 0 welches die Eigenschaft der gerade» Linie ist.
Zusatz 4, g. 242. Ist m = 0, ao verschwindet der ganze Druck und es wird sich alsdann die Curve ergehen, auf welcher ein Kör- per, der mit der Anfangsgeschwindigkeit ^ V"6 fortgenorfen ist, sich frei bewegen kann. Für diese Curve erhalten wir da- her die Gleichung
, dxVä
yo — a-{- I' Pdx
Zusatz 5. §. 243. Ist m<I, so wird die Centrifugalkral't der nor- malen entgegengesetzt, nnd daher die Curve AM nach unten zu concav. Setzen wir daher voraus, dass die Curve in A auf AP normal sei, so wird in diesem Punkte (i ^ " uud so die Gleichung der gesuchten Curve
' Vc,J>
§. 244. Für die freie Bewegung, bei welcher m = 0 ist, findet man also die vom Köriier beschriebene Curve, wenn der- Knier's Mei^Iiaiiik. II. T
y Google
88 Kapitel II. Vo7i der Bewegunfj eines Punfäes
selbe in A horiKontal mit dn- Gescbivindigkeit V^a fortgewor- fen «■ird, aus der Gleichung
^„ „ dxSfä
SfjP
Beispiel 1. g. 245. Es sei die anlrcibende Kraft gleichförmig, also P = // und fPdx •= ffx. In den Fällen, wo m>l und der
Kilrper voa der RuTie an nieclersteigt, erhalf man daher für die beschrieheue Cdrve, indem man ^ic statt« selut, die Gleicliimg
Ist aber Hi<i und wird der Kürper in A horizontal, mit der Geschwindigkeit ^ V^h fortgeworren, so ist die Gleichung der von ihm beschriebenen Curve
dy = -
Diese Curven sind daher algebraische, wenn respective^ ^
und ■"* ganze positive Zahlen sind. Die erste Bedingung wird erfüllt, wenn
m = 3; \; i; ?; V ; etc. ist, die zweite für
7n = {i; },; l; l; i; %; etc. Zusatz 7. g. 246. fFignr42.). Soll daher der ganze Druck dreimal so gross, als die normale Kraft sein, ist also in ~ 3; so wird
<ist=-^ä£=- j =-\f^«^j5+c. 0 = -c+c
V c*— a;^
nnd y z= c — Vc^ — ap^. Die Curve ist also ein Kreis, dessen Kadius =: c ist und wel- cher die gerade Linie AP in A berührt. Zusatz 8. §. 247. Ist der ganze Druck doppelt so gross, als die nor-
y Google
m,fe
r geyebem
: hin
I leeren Räume.
99
male Kraft, also m =: 2 oder ist die Cenlrifiigalkraft gleich (lor noi'maieii tinil mit ihr znsamnicnwirkeiiä; so w'in} die erste
Gleicbting _
Die Curve ist daher eine Cycloi<le, »veichc mit ilircr hSjiÜze in A die vertilfale Linie berührt.
Beis])iei 2. g. 248. Die antreibend» Kraft P sei eine ganz beliebige, man sucht aber Curven, vrelche so beschaffen sind, dasa der ganze von ihnen zu tragende Druck doppelt so srross sei, als die normale oder die Cenfri(iiga!ki'aft, welche letztere in die- eem Falle jener gleich ist. Wir haben also ni — 2 und als Gleichung der gesuchten Cuvve
y «■- f Pdx
11 fPdx = X setzt
", dxSfX Xdw dy ^
a~X VaX-X'^' Dieses Beispiel haben wir desshalb augeführt, weil wir in der Folge beweisen werden, dass die Curven von dieser Eigen- schaft zugleich die des schnellsten Medersteigens sind.
%. 249. Man sieht daher, dass unzählige Curven der Auf- gabe Genüge leisten , weil die Grösse a beliebig ist. Alle diese berühren aber die gerade Linie AP in A. Anmerkung 1.
§, 250. Es erhellt aus der Auflösung dieser Aufgabe, wie mal} umgekehrt die firösse der abwärts gei'icbteten Kraft zu bestimmen habe, wenn die Curve und das Verbälfniss des gan- zen Drucks zur normalen Kraft gegeben ist. Da nämlich
ti ^ di ■= a '^ dy oder v ^ V^l-f ^j^ _ « ^ p, wenn wie oben dy = pdx gesetzt ist; so wird
^/^
y Google
100 Kapitel H. Von der Betvef/wiff eines Punktes
Diffet<!Titiirt man diese Gleichuiig, so wird
Man bat hierbei zu bemerken, dass die Anfangsgeschwindig- keit bereits gegeben ist, indem b aus dem Ausdruck
(1 -I- p2) ;^ für a: :r: 0 folgt.
Anmerkung 2. %. 251. Auf äbiiliclie Weise findet mau, wenn die Bewe- gung des Körpers oder seine Geschwindigkeit in den einzelnen Punkten ond zugleich das Veihältniss des ganzen Drucks zur normalen Kraft' gegeben ist, die antreibende Kraft sogleich aus der Geschwindigkeit. Ist wieder W die Geschwindigkeit im Punkt M, so haben wir
so wie die Gleichung der gesuchten Curve
.T^A = »Mij Da n'tmlich v gegeben ist miies es bestimmt «ein durch x oder j und con^tante Ciios^en »eiche dtzu dienen die Natur dei Cuive a'iszudrucken
Lebrij,en& haben dieselben Aufgaben unter der \ oraus Setzung dass Centripetalknlte oder nichiert. antieibende Kräfte f,egcben sind, keine gr ssere Schwieiigkeit wenn sie -luch auf tei uckeltere Gleichungen fuhren Da sich aber keine einfache Beispiele 7ur Erläuterung anfuhien lassen so verlasee ich diese Aufgaben lieber und zwar um so eher, als in dt,r Folge wenn trn den biachjstochronen Cur \en die Rede ist Cnrven derselben Natur herinrtieten wer den welche ich dort sori^fnttig zu erkhren gedenke Jetzt gehe ich dahei zu denjenigen Aufgaben über bei wel chen min irgend eine Eigenschaft der Bewegung \oiaus«etzt und hieiaus in Verbindung mit -der antreibenden Kraft die Cur\e oder in Nerbindung mit dei Curie ^le antrei bende Kiaft «ucht Die zu leuhten \ufgdben nie wenn die Seile der Gesjchwindigkeiten oder die Snie der Zeiten gege
y Google
ouf einer geijebenen Linie im leeren Hauine, 101
ben ist, übergehe ich aber, <la sich aus dem Ausdruck der Geschwindigkeit die antreibende Kraft oder die Curve vou selbet ergibt und der Ausdruck der Zeit sehr leicht zur Geschwin- digkeit iiihrt. Wii' werden daher solche Aufgaben behandeln, in denen nicht die Geschwindigkeiten oder Zeiten selbst, son- dern gewisse von ihnen abhängige Relationen gegeben sind. Satz 28. Aufgabe.
g, 252. (Figur 43.). Ein Kürzer wird durch eine belie- bige, abwärts gerichtete Kraft angetrieben; man soll die Curve AM finden, auf welcher er sich gl eich förmig herabbewegt oder sich gleichfürmig von der horizontalen Linie AB entfernt. Auflo.ang.
Haben x, y, s, P und 6 die frohere Bedeutung, so ist die Geschwindigkeit im Punkt M, womit der Körper sich auf der Curve abwärts bewegt, oder
Vi' - y Ä -I- fpdx
und die kleine Zeit, i durchläuft.
v"^
Y»-i/i
Pda:
Die Bewegung längs der Curve AM soll aber der, gleichför- mig Ifings AP erfolgenden, entsprechen und wenn man daher annimmt, dass die letztere mit der constanteu Anfangsgeschwin- digkeit VT ausgeführt werde, so ist die, der Bewegung durch das Element Pp entsprechende, Zeit gleich der Mm entspre- chenden — -^-ß--- Wir haben also die Gleichung
^-= oder dy\'b=dj-d l'pda:
dx ds
vT ^b^'j'Pdx
Ich setze aber voraus, dass die Anfangsgeschwindigkeiten auf AM vuA AP übereinstimmen, damit die erstere die letztere in A berühre und der Kürper im ersten Augenblick geradlinig herabsteige. Da es nämlich wegen der beschleunigten Bewe- gung notliw endig ist, dass die Curve sich beständig mehr gegen den Horizont neige, so wird ihr Anfangspunkt am bequemsten
y Google
]02 Kapitel II. Von der Bewcf/ung eines Punktes
in A, wo sie eiae vertikale iiichtiing hat, angenommen. Gleicliiing dieser Cune ist demnach, wie oben
,hi\fh^d:g\ / ^V.r.
^f"
Zusatz 1. g. 253. Diese Curve hat hIni) die Ei^enscliaft, <!ass sie an jedem Orte sich um so mehr tlem Horizont znneigt, je griisser die Geschmndigkeit dea Kürpers ist.
Zusatz 2. §. 254. Im Iiüdisten Punkte A, wo die Geschwindigkeit des Körpers am kleinsten und = Vb ist, wird die Neigung der Cnrvc gegen den HoriBont am kleinsten oder die Tangente der Curve vertikal.
§. 255. Die Anlangsgeachwindigkeit V^ö kann nicht — 0 sein, weil ihr diejenige Geschwindigkeit gleich ist, mit wel- cher der Körper abwärts fortschreitet oder sich von der hori- zontalen Linie AB entfernt.
Anmerkn;ig 1. §. 250. Diese Curve wird die Linie des gleichrOrmigen Herabsteigens genannt, weil ein auf ihr niedersteigender Kör- per mit gleich liirmiger Bewegung vorwärts schreitet. Eine Her- leitung dieser Linie, unter Voraussetzung der Schwere oder einer gleich Jurmigen antreibenden Kraft, befindet sich in Act. Erud. Lips. A. 16tH). Es wird dort gezeigt, dass die Neilsche cubische Parabel dieser Bedingung Genüge leiste, wie aus dem folgenden Heispiele hervorgehen wird.
Beispiel L
§. 257. Es sei die antreibende Kraft gleiehl'ürmig, oder P = (/ und / Pih: = ffx. Für die gesuchte Curve habe» wir daher die Gleichung
und wenn man integrirt,
,V6=S;.!VJoaerj« = |.«>.
Diess ist die Gleiohting von Neii's Parabel, deren Spitze, in A die Vertikale AP berühren wird und deren Parameter
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auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. lOS
=:^^- ist. Man wird daher für jede andere Aufangegeschwin- digkeit eine andere Pyrabel aiizuneliiiien habe». Beispiel 2. §. 258. Es sei die antreibende Kralt /'proportional irgend einer Potenz der, um eine gegebene Länge vergrüsserfen, Ab- scissen, also
Für die gesutlife Oiirve haben wir demnach die Gleichung
d,Vb = ,i^\fS±SIEz^^ ed., % v^omysp
Ist « = 0, also P der wfen Potenz der Abstände des Kör- pers von der hori<(ontalen AB propottional, so erbalten wir
dy V(n+l)bf« ==: dx V",9hT und wenn man integrlrt,
,^aM^)^/'^=„-f3."* Ode, <s+!)|HJI'v.»-=..+..
Eine Constante wird nicht hinzugefügt, weil für a; ^= 0 auch ^ = 0 wird, jedoch muss H-^l eine positive ganze Zahl sein, weil sonst für a: i= 0
/^^- - (^/^
tri)/"
= CO werden würde, während es doch = 0 sein soll. Es muss also w + 3!>2 sein und es geniigen die Parabeln, welche mit ihren Scheiteln die Vertikale AP in A berühren. Ist m = ], also P ='^, so genügt die Apollonische Parabel, deren Pa- rameter =2^26? ist.
Anmerkung 2. g. 259. Man ersieht aus der Auflösung dieser Aufgabe, wie auf umgekehrte Weise j wenn die Curve als Linie des gleich förmigeii Herabsteigens gegeben ist, die antreibende Kraft bestimmt werden muss. Da nämlich
d^-^ö-^^dw^J'Pda:, so istfpdx = ^, und wenn man dx als constant ansieht, erhält man hieraus
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104 Kapitel II. Von der Bewegung eines Punktes p ~ if>dydihj
Die Kraft /■• ist also von der \nfano' ge el 1 £,ko i \ b b hängig. Die gegebene Curve as ie e so I e 1 aften e dass sie die Vertikale AP ^ be h e Setzt na le Kiümmungshalbmesser der Cur e Pu kt M^ s erhall
p _ ndsMy
Ist daher z. B. die Curve JM ein Kreis, welcher die Linie ^Pinj4 berührt, und seiii Radius=:«; so haben wir r—a, dy xdx , adx j
p — ^a^bx Die Geschwindigkeit des Kijrpers im Punkt M wird aber
Zusatz 4. %. 260. Alts der gefundenen Gleichung
dx _ ds
'^^ \fb + fPdx
geht Übrigens hervor, dass die Zeit, in welcher der Bogen AM beschrieben wird, gleich sei derjenigen Zeit, in welcher der Körper gleichlomiig mit der Geschwindigkeit V^6 die Ab- scii^se AP durchlaufen würde. Hierauf beruht eben die Linie des gleichförmigen Niederste ige sis. Satz 29. Aufgabe.
§. 261. (Figur 44.) Es zieht eine gieichfürmige Kraß überall, in vertikaler Richtung, abwärts; man soll die Curve AM bestimmen, auf welcher ein Körper gleichförmig, nach einer bestimmten Seite AP hin fortschreitet. Auflösung.
Es sei A3I die gesuchte Curve und man nehme als Ab- scissenase die Tangente AP an, welche nach der gegebenen Seite hin gerichtet ist. Die Aufgabe verlangt also, dass der, Huter Antrieb der gleichförmigen Kraft ff auf AM sich bewe-
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r f/et
Linie im leeren Baume.
105
gciide, Kürper in derselben Zeit nach M gelange, in welcher ein, mit gleichförmiger Geschwindigkeit := V~Ä sich bewegen- der, Körper die entsprechende Abscisse AP durchläuft. Die Anfangsgeschwindigkeit des ersten Korpers in Ä wird eben- falls — vT sein. Man setze AP = x, PM = y, AM— s und ziehe die vertikale Linie AQ, welche die horizontale MQ in Q schneidet. Die Geschwindigkeit des Körpers in M wird daher eben so gross sein, als diejenige, welche er in Q ha- ben würde, wenn er mit der Anfangsgeschwindigkeit V^A durch AQ herabgestiegen wäre. Setzt man also AQ=:z, so wird jene Geschwindigkeit = V^ft+yj. Nach der Bedingung dfir Aufgabe soll aber
da;
odei
ds
sein und wir erhalten daher die Gleichung
dyVb = dxVffi. Es wird aber s als Function von w und y durch den Winkel PAQ gegeben und es sei demnach sinPAQ^m, alsocQsPAQ = V I — ?n^- Wir erhalten alsdann PO=APtgPAQ =
mo = MP-po ^ g^i-^ VI-
0Q = MO. sin OMQ =
, ^n 5 I ; ^* a:rV"l-<«
z = mi/-\- w\' 1—m'' und «^ = ~^^'~~~"J
Subslifuirt man diesen Werth in obige Gleichung, so
d:iVb — dj;V'0(l—m^)+mdx^^ oder da:
V6(l-m^)+,/,V^' Integrirt man die letztere, so ergibt sich
y Google
106 Kapitel II. Von ifer lieweijuiig eines Punides
iSetzt man in diese Gleichung statt i seinen Werth jny-l-A-V^l—m^, so erliält man eine (jleicliung zwischen x und y, welche dio Natur der Curve ausdrückt.
Zusatz 1. §, 262. Die Curve, welche der Aufgabe Genüge leistetj ist daher stets transcendent, weil sie von Logonthmen ah- häiigt, ausgenommen wenn
m ~ 0 oder ni ^ 1. Im erstem Falle ist AP vertikal, im zweiten horizontal. Zusatz 2. §. 263. Ist m ~ 0, so fällt die Aulgabe mit der vorher- gehenden zusammen, indem alsdann z = a; ist und die Curve ausgedruckt wird durch die Gleichung
dy V"6 = dx ^f/x , welche wie ohen die cubische Parabel ergibt, Zusatz 3. g, 264. Ist m ~ I, also AP horizontal, so wird i ■=. ij. Wir erhalten daher die Gleichung
dy^b^=dx V ijy oder
-?^% , , .„«s
Diese Curve, eine Parabel, ist diejenige Bahn, welche ein in A mit der Geschwindigkeit V"6 horizontal fortgeworfener Kör- per frei beschreibt, wie wir im vorigen Theile gesehen haben, wonach die horizontale Bewegung gleichförmig ist.
Zusatz 4. g. 265. Ist X und y, also auch i sehr klein, so wird seiir
Der Anfang der Curve AM wird daher ausgedrückt durch die Gleichung
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mf einer gegebenen Lin
■.m,,-\-x^^^^^^, 50 erhaltCT) wir
g. 266, Ist ?H = 1 oder die Linie AP horizontal und sützt man die jenem Logaritlinius gleiche Reihe bis in's Unendliche fort, so vverdeo, wenn man die letztere substifnirt, alle Glie- der gegen das allerletzte, welches =;qo ist, verschwinden. Es wird, aber das unendlich vielste Glied ergchen
s = 0 odei' j =; 0, also wird in diesem Falle auch die gerade horizontale Linie Genüge leisten. Diess ist auch von selbst einleuchtend,, da der Klirpev auf der horizontalen Linie gleichförmig fortgehen und daher die horizontale Bewegung ebenfalls gleichförmig sein wird.
Anmerkung 1.
g. 267. Es erscheint wunderbar , dass die für w s= 1 sich ergebende Differential- und Integralgleichung nur auf eine Pa- rabel führt und die horizontale gerade Linie auszuscb Hessen scheint. Man muss aber bemerken, dass die horizontale gerade Linie auch Rir alle Lagen von AP Genfige leistet, weil die Bewegung auf ihr gleichiormig ist. £s ist ferner ei'sichtlich, dass unsere aJIgeriieine Gleichung diese gerade Linie nicht umfassen kann, weil sie nirgends die gerade Linie AP be- rührt, ausgenommen im Pall j« ^ 1, wo sie mit ihr zusam- meolallt. Aus diesem Grunde kann man, wenn m = 1 ist, die gerade Linie nicht direct finden.
Anmerkung 2.
§. 268. Auch würde man auf dieselbe Weise die im wei- tern Sinne angenommene Aufgabe lösen küiinen, wenn nSm- lich die antreibende Kralt nicht gleichtiirniig , sondern verSn- derlich utld beliebig gelegen wäre. JSetzt mati iiiimlicll P statt g und j Pfh statt 91 in die Differentialgleichung, so wird die Gleichung der gesuchten Gurve
y Google
108 Kapitel IL Von der Bewegung eines Punkten
dy's/"b=:dxy fPiU,
wo I densellien Werth nie vorher hat. Wenn daher P nur von der Hühe % und constanten Grössen alihäiigig ist, wird iPdt entweder integrirt oder durch Quadraturen dargesteEt werden können. Alsdann kann man auch die Gleichung der CuKve construiren, indem man zu der allgemeinen Gleichung
'V/p
I Pdz-V\ b{\~-m^)
gelangt in nelcher die \arubeln i und - i jn einander ^e trennt sind Ich wollte \bei die Aufgabe duich eme 7u weite Bezeichnuiit, nicht vernickelt machen Da iianilich die weitere Bezeichnunff nedei mehr Sihnieiigkeiteu an »ich hat noch einem besondern Gebiauch an^epasist werden kann so schien es nur zweckmis&ijjer nir die besondeie \ufgabe zu behau dein \us demselben Grunde habe ich die folgende \ulgabe von der isochionen paracen Irischen Cütve nur unter dei \or aussetzung emei gleichfurini),Pii abw^iti gerichteten Krift ge
Satz 30. Aufgabe.
§. 2t)9, (Figur 45.). Vorausgesetzt ist eine gleichför- mige und abwärts gerichtete Kraft; man soll die Curve AM finden, auf welcher ein herabsteigender Körper sich gleich- massig vou einem gegebenen Punkte C entfernt. Auflösung.
Es sei AM die gesuchte Curve, man nehme als ihre Tan- gente die Linie CA an, welche durch den gegebenen Punkt C geht; alsdann wird in A die Geschwindigkeit des Körpers am kleinsten sein. Diese Geschwindigkeit wird nümlich ganz dazu verwandt, den Körper von C zu entfernen und sie muss in andern Elementen der Curve nothwendig grösser sein, weil hier nur ein Theil derselben gebraucht wird, um den Körper zu entfernen. Der Punkt A wird also das obere Ende der ge- suchten Curve sein, die Geschwindigkeit des Körpers in dem- selben sei ■= \ b und mau denke sich den Körper mit die- ser gleichförmig längs AP fortgehend. Alsdann muss diese Bewegung mit der längs der Curve AM so (ibereinstimmen, dasa der Kürper nach beliebigen, gleich weit von C entrernteu
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auf einer gegebenen Linie im leeren Üaume. 109
Punkten P und M gleichzeitig gelangen würde. Man setze tlie Gesell H-indigkeit in M = VV, mache CP = CM = x und setze s:mPCM=t, für den Radius =1. Aiis C schlage man die Kreisbogen PM und pm, so wird Pp = Mn ^= rfjf und wenn man j^PCM = t ^ arc.sin.i setzt,
, __ dt 1 , xdt
t _ ^j-— -^a' ^° "'" — j; -r _ y-j^
lind Mm = V'J/«^-^ «»(*== y"(;.r^ + ^^ ■
Da nun das Element Mm mit der Geschwindigkeit Vi' in der- selben Zeit beschrieben werden soll, in welcher das Element Pp mit der Geschwindigkeit VT zurückgelegt werden wifrde;
~ = -^ oder dx\f(\-t'')(v — h)^a:dtVl,.
V 6 \ V
Es ist daher nüthig, dass man v bestimme. Zu diesem Ende ziehe man durch C die vertikale Linie CQ und die horizonta- len Linien AD und MQ. Während nun der Kfirper auf der Curve von A bis M gelangt, legt er in vertikaler Kichtung den Absland DQ zurück und es wird daher, wenn man die antrei- bende Kraft = g setzt,
■ü = b+g.DQ = (,+g{CQ—CD). Ist nun A€ = a, smACD = m, also cos^CÜ = \^h^ti^i
CD = «Vi-m=, cosMCQ = mt+V(l—m^)(_l-t^),
also
CQ = mtx-\-x\'\i-—iifi)il—e). Hiernach wird
und wenn man diesen Werth in obige Gleichung substituirt:
dx^ (1— (2)(,flff(^^-,,;3: vTr^^^ii^KT^^-s» VI^^"^
■^ xdtVJ, oder
y Google
110 Kupilel II. Von der
Diese Gleichung drückt die Natur der gesuchten Curve ans und es kann die letztere selbst constciiirt werden, wenn man im Stande ist, die Variabein x nnd t von einander zu trennen.
Zusatz 1. §. 270. Man ersieht ans der gefundenen Gleichung, dass unzählige Curven der Bedingung Genüge leisten, wegen der drei Grlissen: des Winkels ACD, der Geschwindigkeit = V^b, womit der Kütper sich vom Testen Punkte C entfernt und des Abstandes AC, welche man alle drei beliehig verändern kann.
Zusatz 2. §. 271. Nimmt man von diesen Griissen je zwei beliebig an und bleibt nur die dritte veränderlich, so wird diese un- zählige Curven ergeben, welche der Aufgabe Genfige leisten. Da man aber dieSe nicht allgemein construiren kann, so kann man auch nicht alle Ourven darstellen, welche den Bedingun- gen der Aufgabe entsprechen.
Zusatz 3. §. 272. Was die Figur dieser Curven betrifft, so müssen sie alle in A eine Spitze haben, da dieses der hiichste Punkt ist. Der zweite Zweig der Curve inuss nämlich von A aus nach der andern Seite von AP herabsteigen, den Fall ausge- nommen, in welchem CAP eine horizontale Linie wird und dieser Grund wegfallt.
Zusatz 4. §. 273. Der zweite, auf der andern Seite der geraden Li- nie CP gelegene. Zweig löst eben so gut die Aufgabe, als der hier betrachtete AM. Man lindet ihn aus derselben Glei- chung, indem man nur ( oder den Winkel PCM negativ an- nimmt.
Zusatz 5. §. 274. Aus dem blossen Anblick der gcfiindenen Glei- chung ersieht man, dass sie in zwei Fallen eine Trennung der Variabein zidä-sst, nSmiich wenn « ^^ 0 und wenn m =: 1 ist. Im ersteren Falle verschwindet der Abstand AC und es föllt der Punkt A in C, im zweiten wird CP horizontal. Diese beiden Fälle wollen wir in den folgenden zwei Beispielen ent-
Beispiel I. §. 275. Es falle der Punkt A in C oder es fange der Körper seine niedersteigende Bewegung in C an, es sei also n=0. Alsdann geht die Gleichung der gesuchten Curve über in
y Google
mf einer gegebenen Lin
daSTr/ :
worin die Variabein von. einander getrennt sind. Die Constru ctioii der gesuchten Cirrve kann man daher durrh Quadralnren ausführen; es wird nämltcii
J V^a-niw-
Vö J \/(l-i2)[W(?+V"(l—/«a} (1-^2)1
welclie Integration so ausgeführt werden iiiuss, dass für f=0, X = 0 werde. Die allgemeine Gleichung hat man so zu irite- griren, dass für.f ^ 0, .1: = « werde; in diesem Falle niuss also das Integral auf der rechten Seite so genommen werden, dass es selbst für f = 0 verschninde. Um die Con- struction desselben besser einzusehen, setze ich
cosMCQ = ra* + V(I— ™2)(I-^ = 9,
-f -z^_
_Ai^=z ''■'1-= nnd ^ ^il^' =
Vi — (2 VT^yS Vi
welches Integral so genommen werden muss, dass für i = 0 oder q — VT^^, .'c ^ 0 werde. Zusatz 6.
§. 276. Legt man der Grosse ö verschiedene Werfhe bei, so wenden alle sich ergebende Curven einander ähnlich. Bleibt nämlich der Winkel MCP unverändert, so hat man den Ab- stand CM =1 X der Grösse b, d. h. der die A.nfangsgeschwin< digkeit erzeugenden Hohe proportional anzunehmen. Zusatz 7.
§.'277. Wie auch immer der Winkel ACQ beschaffen sein mag, so ändert sich die Construction nicht, sondern man hat nur eine Cnnstante hinzuzufügen. Die ffir Einen Fall die nende Construction kann daher allen angepasst werden. Ynmeikung I
§. 27S Diese Aufgibe, welche das gleichfoimige Zurück weichen von einem festen Punkte betriftt, nai schon im \er gangenen Jalirhundert aufgestellt ihuI gelost worden m Act Lips. A. löyS Die dort hefindhchen Auflosungen btiinmen mit dem besondern Falle dieses Beispiels vollkommen ubeiein, in
y Google
112 Kapitel II. Von der Bewegung eines Punktes
dem dort keine allgemeine Äuflfisung gegeben war. Das fol- gende Beispiel wird daher durchaus ueue Curven ergeben, welche dieser Aufgabe Geniige leisten. Weil aber die folgende Consfructioii mit dieser übereinsfinimt, obgleich die Ciirven gäbziich verschieden sind, so schien es angemessen, auch den folgenden Fall unter die hier gegebenen aufzunehmen. Derar- tige Curven werden aber isochronisch - pa racentrisch e genannt, weil die Bewegung auf ihnen, von einem festen Cen- trum aus, gleichfurniig ist.
Beispiel '2. §. 279. Es sei die Linie CAP horizontal, also m = 1. In diesem Falle wird die allgemeine Gleichung
wo das Integral so genommen werden muss, dass für i = 0, a; — « werde. Nimmt man es daher so, dass es für f— 0 ver-
verschwiiidet , so erhalten wir
2V^-2V,^ ^ f dt
VT J VT-^*'
Die Construction dieser Gleichung stimmt mit der vorigen iiberein.
Anmerkung 2.
§, 280. Ich bezweifle sehr, dass man ausser diesen bei- den Fällen andere angeben könne, welche eine Trennung der Variabein zulassen. Wenigstens ist, so viel ich weiss, kein anderer von jemand entwickelt worden, wesshalb ich es nicht fär nüthig halte, länger bei diesem Gegenstande zu verweilen. Satz 31. A u f g a b e.
§. 281. (Figur 46.). Es findet eine gleichförmige und ab wSrts gerichtete antreibende Kraft statt; man soll die Curve AM bestimmen, auf welcher ein Korpur sich mit einer gege- benen Anfangsgeschwindigkeit so bewegt, dass er in gleichen Zeiten gleiche Winkel um den festen Punkt C besehreibt. Auflösung.
Mau nehme den Anfangspunkt der Curve in einem gewis- sen Punkt .^ an, in welchem die gerade Linie CA normal auf der Curve steht. Es sei V"ä die Geschwindigkeit In A und AC := a. alsdann ist die Winkelgeschwindigkeit proportional
y Google
auf einer tjegebenen Linie im lem-m Ra.uine^ 113
— — und derselben soll die Winkelgescinvindigkeit in den ein- zelnen Punkten M gleich sein. Es sei die (Jeschwindigkeit in M =■ VV, CM = x und mn = dx. Die anf CM normale Geschwindigkeit i findet man ans der Proportion
Jfln , ^y
Mm: Mit = 'Vv.z, also i =; — -.'j— ■
und wenn man diese durch CM dividirt, die Winkelgeschwin- digkeit in. M
_ Mn.Vv CM. Mm' Diese soll nach der Uedingung der ohigen Winkelgeschwindig- keit in A gleich sein und wir erhalten daher die Gleichung
Mn.aV'v^-ßlm.xSm. Ka sei nun die Vertikale DCQ gezo^.:en und sinJCO — m, cos A CO = Vr^Ti^ sin MCD = t und cosMCD = V^H^i^; Hiernach erhalten wir
CD = a VT^^^, CQ = -!€ Vi -^ und wie im "vorhergehenden Satze
Vi— i^' Vi-*''
Da luin der Körper aus der Hohe DQ herabgestiegen ist, wird Substituirt mau diese Werthe in die vorstehende Gleichung
) erhfilt li
xdt . r _____ ^ .
y^^«y ö + r/flVl-»t2-ff;cVl-
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|
|
Diese muss |
so integrirt |
vr werden. |
d..s |
tOi |
t = m. |
:e = n |
iverde und drückt dann die Natur der gesuchten Curve a G[iler'« Mechanik. II.
y Google
114 Kapitel IL Va^i der Bewegung eines Pvnktes
Zusatz 1.
§. 282, Fuhrt man statt der Sinusse der Winkel ACD und MCD ihre Cosinusse ein, setzt also
Vl^m^ = eos ACD = n und VF^T^ — cos MCD = 9; so wird die Gleichung der Curve
|
7 .,'7- dc/S/ u^li-^ r|<l^n — ga?■.Tf|- |
~bx^ |
|
•^■^'•'' v"i--./ |
|
|
_^ d<i dxVb |
|
|
V l-q^ V 6(o--^:E2)+ffaä(a« |
-qx) |
|
welche so iritegrirt werden muss, dass för q |
~ n, .X ~ a |
|
"'^'■^" Zusatz 2. |
|
|
§ 283. Da wo die Curve auf dem Radiu; |
s CM normal |
|
steht, wird dx = 0, also |
|
|
bia-^—x'^) = ,ja^(qx—un). |
|
|
So oft daher |
|
|
u^b-i-/pia^ — bx^ |
ist, steht die Curve auf dem Radius normal. Da aber q zwi- schen den Grenzen -(-1 und —1 liegen muss, kann x ehen- falls eine gegebene Grenze nicht überschreiten; denn fflr a; " OD, würde q = — (x> werden, was absurd wäre. Zusatz 3. §. 284. Steht CM normal auf der Curve, so wird die Win-
k.lg..chwi„digteit = ^.= ^Ss^EiB „„d .lie.e mus.
= J_-i sein. Jene Winkelgeschwindigkeit hat also ilirea grüss-
teii W^erth , wenn q ^ti ~i und wird desto kleiner, je grösser X ist. Ferner wird die Winkelgeschwindigkeit desto kleiner, je schiefer die Curve gegen den Radius MC geneigt ist und es kann daher die letztere nicht über einen gegebenen Abstand unter C herabsteigen, welcher Abstand x sich ergibt aus der Gleichung
.r\ar=«\^ft-i-S««+i/.r oder x"^ - ^ x- ^ (b^ffna)=0,
d. h.
yGoosle
««/■ einer ffegebenen Lhiie im leeren Raumi:. 113
•^ 2& +"V 46^ + ■r+' ■
Dioss ist der grüsste Abstand der Ciirve vom Punkt C. Zusatz 4,
§. 285. Da also die Curve sich nicht über einen gegebe- nen Abstand vom Centruni C entlernen kann, so wird sie eine in «ich zurfickkehrende sein. Sie wird nämlich nach Einem, zwei, drei oder unzähligen Unilänfen in sich selbst zurück- kehren, je nachdem man die Werthe von «, b, n und g an- nimmt.
Beispiel
%. 286. Verschwindet die intreibende Knft oder wird g :iz 0, so bewegt sich der Kuijiei gleiohlormig fort. Die be- schriebene Ctirvc hat nämlich ilsdtnn die Gleichung
Integrirt man dieselbe mit Loguithmen, so erhall man
oder
woraus dm'ch Reduction Tolgt
Es falle die gerade Linie AC in die Vertikale CD, alsdann muss, weil die Kraft g verschwindet, Rii t =z 0, x = a wer- den und wir erhalten
«Hc^ = 0, also a* = «^^H-«*«* "der x^ = ffl(l~t^. (Figur 47.), Diess ist die Gleichung eines Kreises, dessen Durchmesser = a und dessen Peripherie durch den Punkt C geht. Ist nämlicfa die Bewegung auf einem Kreise gleichior- mig, so ist sie es auch in Bezug auf jeden Punkt in seiner Peripherie.
Anmerkung.
§. 287. { Man ersieht aber, dass in diesem Falle auch die
Peripherie eines Kreises Genüge leiste, dessen Mittelpunkt im
festen Punkt C liegt, welche Auflösung die leichteste ist und
von selbst hervortritt. Man muss sich daher sehr wundern,
y Google
116 Kapitel II. Von *ler Bewegung eines Punktes
dass dieser Fall nicht in tler Auflüsung enthalten ist. Der Grund liiervon ist demjenigen ähnlich, welchen wie oben In §. 267. angefiilirt haben, wo wir ein ähnliches Paradoxon w ah v- iiahmen. Um einen Kreis anzugeben, dessen Mittelpunkt in ClSge. hätte eich x = a und rfa: = 0 ergeben müssen, was aber nicht möglich war, "^'1 ^ als enie veränderliche Grösse angesehen worden ist; hesojiders da in derselben Gleichung eine andere Auflösung enthalten ist, nach welcher x wirklich veränderlich wird. Aus der ersten Gleichung
erhält man aber für Vv= Vö, Mn.a = Mm.x und wenn daher überall x = a ist, wird auch Mis =: Mm sein.
Ich glaube aber, dass wir ein grosses Hü Ifsm Ute! zur Con- struction der, dieser Aufgabe genö'genden, Ourren erhalten wer- den, wenn wir die Auflösung nach einer solchen Methode er- langen können, »ronach wir von selbst für den Fall einer gleich- förmigen Bewegimg emen Riei^ erhalten, dessen Mittelpunkt m C liegt Da nanilich der einfachste Fall so verwickelt und verborgen ist, dais man ihn kaum entwickeln kann; so ist zu vermuthen, daos dt uich ■^ndeie einfache Curven in irgend einei allgemeinen Aull suog enthalten sind, welche man sehr sch«er diriu& herleiten k^nn
>5 itz 32 Auf ibc
^. 'HS (l-iour i'i ) i'm K rpei wird durch eine belie- bige Kraft gegen den Mittelpunkt C der Kräfte hingezogen; man soll die Curve AM bestimmen, auf welcher der Körper mit gegebener Geschwindigkeit herabsteigt und sich gleichför- mig gegen C hin bewegt.
Auflösung.
Die kleinste Geschwindigkeit des Körpers w A sei^\^/>, alsdann wird die gerade Linie CA die Curve in A beröhren, weil der Körper sich in diesem Punkte dlrect gegen C hin be- wegen miiss. Es sei AC = a, CM = x, die Geschwindig- keit m M = V^ti imd die Centtip etalkraft in demselben Punkt = P; alsdann wird
f'Pdx,
wo das Integral so genomman werden muss, dass es für xt=a
'->
y Google
auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. 117
versfjhwiiide , dass als« alsdann v=:b werde. Die Geschwin- digkeit in M miiss aber so gross sein, dass mil: ihr das Ele- ment Mm in demselben Zeittheilchen durchlaufen werde, iii
welchem das Element Pp mit der Geschwindigkeit S^f zu- riiükgelegt nird. Es wird also
Vb:V~v= Pp-.Uhn =: MT:MC oder
Bezeichnet man nun das auf die Tangente MT geliillte Per pendikel CT mit p, so wird
b.p^ = —(x:^—p'^) f'Pdx od(
Pdx
'> - l'Pilx Setzt man ferner s'wACM = i, so wird
Ist P als Function von ,t gegeben, so sind beide Gleichungen zur Construction geeignet.
Zusatz 1. %. 289. Ist die Ceutripetalkral't einer bellebii;en Potenz der Abstände proportional, also P = — , so wird
Suhstituirt man diesen Wcrth , so erhält man fiir die Curve AM die Gleichung
iutcgrirl weiden, dass für ce:=a, t=:Q werde.
den, dass für x^ usatz 2.
S. 2'JO. ISimmt mau / — — =^ arc. sin (
= « wird, wenn man t = 0 setzt, ho erhalt r.
y Google
/v
Kapitel, II. Von i/er Bewegung eines Punktes 1+1
YT^'^ (M+i)äv'ö7' (M^ryrviT^
log{
nenn man aus C mit dem Radins BC = 1 den Kreisbogen BSs geschlagen hat. Hieraus folgt, dass die Curve AM un- endlich viel Umläufe machen wird, ehe dei' Kürper nach C gelangt, indem fiir x = Q BS = ao «ird.
Zusatz 3. §. 291. Die ConstructioD dieser Curve ist demnach zum Theil von der Quadratur des Kreises, zum Theil von Loga- rithmen abhängig, wenn n + l positiv ist. Ist aber w + 1 nega- tiv, so wird das, jetzt durch Logarithmen gegebene, Glied ebenfalls auf die Quadratur des Kreises zurückgeliihrt.
Zusatz 4. §. 292. Diese Curve wird einen Wendepunkt haben, wo dp := 0 ist. Um denselben zu finden, differentilre man die Gleichung
x^fpdx
b -fPdx
und setze dann dp = 0. Hierdurch erhält man die Gleichung
-. 2(' Cpdxy ~'ib rpdx
Zusatz g. §. 2Ü3. Im Fall P — ^ ist, liegt der Wendepunkt da, wo
(w +1)26/'" 3:"+! = 2(ö''+i-a.'"+M^ + 2i(j* + l)/""(n"-|i— ajnl-i), woraus folgt
Substituirt man diesen Werth in das Integral, so erhält man den Winkel ACM, durch Vielehen die Lage des Wendepunk- tes M bestimmt wird.
Anmerkung 1. §■ 294. Da es aber sehr schwierig ist, i'ibei' die Natur
bPx --
yGoosle
derartigi müssen und äiei versuclii
Bogen BS == 3
die Glelcliung
auf einer gegebenen Linie r Curven
i leeren Räume.
Allgeiueinen etvFas berauazubi'ingen , 8<
jrziiglichsteii besondern Fällen übergehei in den ('n!genden lteis|)ielen auszuftthrei
die Centrip etat kraft den Abständen selbst P = ^ und H = 1. Setzen wir dalier den j wird die gesuchte Curve ausgedrückt durch
= io:
/.-l-V«^-:^y
VWf 2V^bf Va— V"oä
Aus derselben erhält man, fiir jeden gegebenen Abstand des Punktes M von C, den Winkel BCS, nach dessen Zuriickle- gung der Körper sich in jenem Abstände befindet. Zwischen dem Abstände MC =: a: und dem Perpendikel CT = p findet man aber die Gleichung
Der Weiidepuiikt «lieser Curve liegt da, wo dp — 0 ist, (1. h. wo
xi = 'Wac'-iiljfx'—a^—ianf.
Hieraus ergibt sieh
x' = a' + Mf—i'^iUf+T'T', weil äy nicht grösser als « sein kann, und dann
und _
x' Vii'^^bf
Der Cosimrs des Winkels, welchen die Cuvvc im Wendepunkt
mit dem Radius CM bil.
!t, wird
Verwandelt man die Gleichung der Curve in eil wird, indem man Sft^—x"^ = y setzt,
, ^^f-lL + -S? H- i + i + e
y Google
120 Kapitel II. Von der Bewef/muj eines Punktes
Im Anfangspunkt der Curve, wo x ivenig kleiner als a, also y sehr klein ist, wird daher
Aus dev ursprön glichen Gleichung folgt ferner, dass für Xrz^ü, s ^ oo wird; also wird die Cnrve in unzSblii^en Windungen um den Punkt € herum gehen und wenn der Korper dem Mit- telpunkte selinn sehr nahe, also x sehr klein ist, wird
x^ '2bf + a^' In dieser (iegend geht also die Curve in eine logaritbmische Spirallinie über. ^ Beispiel 2.
§. 296. Ist « = — 1 oder h + 1 = 0, s,) niuss man zur Differentialgleichung selbst zuriickgehen. Da nämlich P-^L^ so wird
und wenn man infegrirt
sVhf
Die andere Gleichung zwischen dem Perpendikel p und dem Radius Vector ar wird
^^ /■«''i»b(j)
Hieraus findet mim den Wendepunkt an der Stelle, ivo bf= 2/»|log(l)j"+2i/-log(l) „d., logg)
- —ä + VJTW'- V
mit Denutzung dieses Werthes wird alsdann
^ ! — fc + VlH^H
Setzt man ;i; ^ 0, so wird s = co, d. h. die Curve umgibt in unendlich vielen Windungen den Mittelpunkt C «nd es wird in diesem Falle
i-^ — 1 oder /; = x.
y Google
auf einer ffegcbenen Linie im leeren Räume. 12]
Zulet/t gellt also die Cuvve in einen uneriillich kleinen Kreis libev.
Beispiel 3- §. 297. Man setze w := — 2, also die Centfipetalkrafl dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportional. Alsdunn wird
X \ abx
- = »/^, so Gi'liält
,h^/"ab — jMi} — ,7„_ %
also 1^^ = also ^—
1 arc.tg.j/ = t si
-tg-J/
Wo man also auch den Abstand x annebnien mag, so iiiuss
^ ' " dem unterschiede zwischen der Tangente V — ^— nnd
2/ ' X
dem zugehörigen Bogen gleich sein, wobei der entsprecliende Radius = 1 gesetzt ist. Setzt man ;r = 0, so wird s == so , die Curve geht also in unzähligen Windungen bis zum Mittel- punkt € herab. Ferner wird, da
Wird X verschwindend klein, so ergibt sicli also
oder es geht auch hier zuletzt die Curve in einen unendlich kleinen Kreis über. Ist etwa «6 — /^, so wird
Der Wendepunkt liegt in dieser Curve an der Stelle,
1ax—Zx^ = 0,
Ist aber aO = ip.
y Google
122 Kiipltel II. Von der Bewci/uriff eines Pun/Ues
und es liegt der Wendepnnkt da, wo w = 'iV^i ist. Anmerkung 2, §. 2Ö8. Damit man aber ersehe, wie die unzähligen Spi- ralen beschaffen sind, wenn die Ccntripeta! kraft einer beliebi- gen Potenz det Abstände proportional oder i* = _ ist, be trachte man die Gleichung zwischen p und w, nämlich
Hier hat man zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem näm- lich H + 1 positiv oder negativ ist. Im erstem Falle «ird, für
X =2 0,
p2_ a"+^
und es geht die Curve AM, nahe am Mittelpunkt C, in eine logarithmische Spirale aber. Ist dagegen n + 1 negativ> so wird fiir T := 0,
'L = 1
und ea endet die Luriejl ¥ mit einem unendlich kleinen Kreise Femei wiirde unter dies eu Umstanden zugleich ^c^en die Be dingung der Aufgabe die (j.eschvnndi„keit des an C herankom menden K rpera unendlich grooi sein wenn die Cmve nicht in emen Krei« ausginge
Nachdem wir die Curven bestmimt hiben auf denen ein Kordel gleicht imig zum Miftelpuukt der Kiafte ^elansjt wol len wn nun diejenigen be-it mmen auf denen ei &ich t,lei hfor mig um dab&elbe Centrum beHe„t
Satz 33. Aufgabe. §. 299. (Figur 49.). Ein Körper wird beständig gegen den Mittelpunkt C der Kräfte hingezogen; man soll die Curve ^illf bestimmen, auf welcher er sich, mit gleichförmiger Win- kelgeschwindigkeit, um C bewegen wird. Auflösung. Es sei A der höchste Punkt der Curve, wo dieselbe nor- mal auf dem Radius AC ist; es sei AC — a und die Ge-
y Google
auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. 123
setiwindigkeit des Körpers in A =: Vb. Aladai
ser soH die Winkelgeschwindigkeit in den einzelnen Punkten M gleich sein. Man setze CM =^ x, CP = CM und es sei
die Gentrip etalkraft im Punkt M =r P; alsdann wird, wenn \^v die Geschwindigkeit in demselben Punkte bezeichnet.
-/
Pilx,
wo das Integral so zu nehmen ist, dass es iixx x ■= a vei schtvinde. Man ziehe die -Tangente MT, fälle auf sie das Pei pendikel CT := p, alsdann haben wir
x:p -i^ Mw.mn
die Geschwindigkeit durch nm =
__pYb -fPd^
p^b—fPd-x die Winkelgeschwindigkeit aber := ^ , welche
nach der Bedingung der Aufgabe — sein soll. Hieraus
ergibt sich die folgende Gleichung
bx'^^n^p'^b — a^p^rPdx oder p =
'VH''
Ptlw
Man beschreibe aus dem Mittelpunkt C, mit dem Radin = 1, den Kreisbogen BS =z s, alsdann haben wir
l:ds ^ x:nm oder mn = xds, ferner Mit — dx. also
Mm = Vdx^+x^dn^.
Da mm x:p= Vdä^+^d^:xds, so
man diesen Werth von p dem obigen gleichstellt, b(da:^-\-x^,h^) ^ a^ds^(0— fpdx).
d. h. ds = ■ ■ ■ — .
y aH -■ ijx^ — a^ f Pdx
yGoosle
124 Kapitel IL Von der limm-yung eines Punktes
Aus der letzten Gleichung lässt sich die Constructioii Jer Curve ableite».
Zusatz 1. $. 300. Je kleiner x ist , desto gvüssev wird b — fPdx uud desto kleiner auch
V- == sin CMT = ■'■'-- V^" _ .
■'"^ a\/ b—fPda^
Zusatz 2.
g. 301. Ferner kaiiu so wohl nach der V^irausselzung, als auch nach dieser Gleichung x rieht griisser als a werden, weil sonst p grösser als x werden wurde. Keiner der Radien CM kaun daher normal auf der Curve stehen, mit Ausnahme de« griissten AC
Anmerkung 1.
§. 302. Es ist von selbst klar, dass bei jeder vorausge- setztes Centripetalkrai't der um .den Mittel|iuiikt C beschrie- bene Kreis Genüge leisten werde, indem dei Körpei sich auf der Peripherie desselben gleichfiirmig bewegen inuss. Wenn auch die allgemeine Gleichung keinen Kreis zu enthalten scheint, muss dieser doch nichts desto weniger durch sie umlasst wer den, wie wir schon oben angedeutet haben
§. 303. Es ist ferner klar, dass keine undere den Mittel- punkt C einschliessende Curve, mit Ausnahme des Kreises, der Aufgabe Genüge leisten kann. Bei diesen Curven ist es nämlich unmöglich, dass alle von C aus gezogenen Linien normal auf der Curve stehen und einander gleich werden. Die Curven, welche ausser dem Kreise die Autgabe lösen, müssen daher durch den Mittelpunkt C gehen, damit nicht mehr als Ein Hadius auf der Curve normal stehe. Im folgenden Bei- spiele werden wir sehen, von welcher Art diese Curven sind.
Beispiel. §. 304. Es sei die Centripetalkraa den Abständen vom Centrum dl rect proportional, oder/*=:-^ und — jPdx^:^ — ö^~' Substituiren wir diesen Werth, so wird die Gleichung der ge- suchten Curve
y Google
■ i/egeOenen IJiiie im leeren Hauine. 125
iiicl vreuii man ßS — ( setzt , s — .1.. = = arc..i„<=iri2E|
Hieraus folgt leicht flje Oonstiiiction der Ciirvo, ivelclie eine algebraische sein wird, so oft V '-^^-^f~ fationnl ist. Es sei
\r?:±M^ ,.. ader Sil>f=^-, so wird -^ und vreiiii man mittelst imaginärer Logarithmen integrict
~^-\ )
oder
( ( V"=l + ^iT=^)'" = ^ + ^"=^ . Man lalle von M auf AC das Pevpentlikel Mö = y und setze CO — K, so "'ird I:( = x:i/ und ( = ?^. Wir erlialfeii da- her nun die Gleichung
fY"_a: + Va;''-«3
Ist etwa m =: 2 oder bf = -.- , so wird diese Gleichung und reducirt man dieselbe, so ivird
y Google
Kapitel IL Von der Betoef/unif eines Ihmkles
9 = -Vt?"°<"' = "V"tj'^
Verlangt man aber eine Gleichung zwischen den rechtwinkli- gen Cootdinateii u «nd y zu haben, so wird dieselbe vom sechsten Grade, nämlich
Die grilsste Ordinate y erhalt man iVir a: ^In, an ivelchei' Stelle
CQ=;«Vl=:aV"IV und QM = laVl^a^fJ^. Für andere Werthe von m erhält man die grösste Oidinato da, wo
Sata 34. Aufgabe. §. 30S. (Figur 50.) Die antreibende Kraft sei gleichför- mig ^= g und übeiall abwärts gerichtet, fefner sei die Ciirve AT gegeben; man soll die Curve iliWbestimmen, auf wel- cher der Kurper so herabsteige, dass die einem beliebige» Bogen AM entsprechende Zeit proportional werde der Qua- , dratwurzei aus der correspondirenden Ordinate PT der gege- benen Curve.
Auflösung. Man setze die gemeinschaftliche Absoisse AP = a: , die Ordinate der Curve AT, nämlich PT = (; so hat man, weil AT gegeben ist, eine Gleichung zwischen x und t, welche 80 beschaffen sein muss, dass fär ;r ^= 0 auch t =i d werde. Der Anfangspunkt der Bewegung wird nämlich tri A angenom- men und die Zeit von diesem Punkte an gezahlt. Ferner sei die Ordinate der gesuchten Curve AM, d, h. PM ^ y und der Bogen AM ^ s, endlich die Anfangsgeschwindigkeit in A = VT. Es wird alsdann die Geschwindigkeit im Punkt M = ^b-\-gx und die Zeit, in welcher der Bogen AM zurückge- legt wird, =: / — , welche nach der Voraussetzung
■J \ b -\- yx = V( sein soll. Wir haben daher die Gleichung
/
ds .r— , ds
— VT-- ■■■ — ^^ n i uucr — TT , - — — ■ _-j
■\b-\-gx \b+gx 'lyt
y Google
Linie ha leeren Räume. 127
di^ib-Vga:) = 4Uh^ = itdx^ + ildi/^
, , ^/'iidt^ + (ixdt^ — Ud^ aUod'u= -^ — == ~— -
Aus dieser Gleichung kann man, weil t als Function von a: gegeben ist, «lie gesuchte Curve AM durtd Construction ab- leiten. Man hat aber diese Construction so ausznliihren, das« für a: = 0 auch «/ = 0 werde, damit der Anfangspunkt der Curve AM in A liege.
ZiiSutK J. §. 300. Damit die Curve reell «'erde, muss
hd^+gxdf- > 4*(/xa oder -^'= > , *^^ ■
und, nenn man integnit, ^
sein. Wäre nämlich
. r- 2V^6Tff^-gvT
so würde die Curve AM eine vertikale gerade Linie werden, auf welcher ilie niedersteigende Bewegung am schnellsten er- folgt.
Znsata2. §. 307. Wird also in der Curve AT irgendwo
dt_ da:
WT ~ Vl+ffo: ' so wird die, diesem Punkte entsprechende, Tangente der Curve A31 verlikai. Wird unterhalb dieses Orfea dt , dx
2 VI VöTff"^'
80 steigt die Curve nicht bis 7m diesem Punkte herali, son- dern hat da, wo die Tangente vertikal ist, einen Rüekkehr- punkt.
Zusata 3. §. 308. Bildet die Curve AT m A mit der vertikalen Linie AP einen spitzen Winkel, dessen Tangente = m ist, so wird in demselben Punkte
, dt _^ mdx t^ dx
~ ""^' 2VT "" 2V^ Vf+gx' Bisa
y Google
128 Kapitel II. Von der llewcguni/ eines Punktes
VI (Ä + ffx) > iiX , was immer der Fall sein wird, wenn 0 niclit — 0 ist, Es wird abev alsdann
, fix \bin^ -\- qin^x — ima:
und für x =: 0, -~-=^rx>, oder in diesen Ftällen die Tangente
der Cuive in A horizontal, wenn nicht 6 = 0 ist. Hat man aber ö = 0, so wird
* = — I —
und damit alsdann die Gurre AM nicht imaginär werde, niusss
57n>4 sein. Es- bildet nun die Ciirve AM in A mit AP einen spit- zen Winkel, dessen Tangente
2
Zusatz 4. §. 309. Wird aber der Winkel, welchen die Curve A7' in A mit AP bildet, = ÖO»; so ist
und in diesem Falle wird auch die Tangente der Curve AM im Punkt A horizontal, ma;,' /i =^ 0 sein oder nicht.
Zusatz 5. §. 310. Ist (He Geschwindigkeit in J = « und fällt in demselben Punkte die Curve AT mit einer andern Curve zu- sammen, welche die Gleichung
- t ^ aj:" bat, wo n positiv ist, damit t mit a- zugleich wachse; so wird
dt = n^x'^^äx und d« =: ^£V^V^^!=?H^ .
Damit nun für a: =: 0, d^ nicht imaginär werde, muss
ji>2M — ] oder m<1 sein. In diesen Fällen wird die Curve ,^7' in A normal auf AP, nämlicli
y Google
i Liu
dt na , , nda:Vaii . . »x '^ ^ ati -j— ^= — jir """ "^ ^^ ~ "'^ aiicfi y :=: — --j — ^ .
Ferner wird dei-Kciiiiimungshalbinesser der Ciirve AM\m Punkt A — "'^ '^ff^ ~ 2(«+l)' Der Krümmungshalbmesser der Curve AM, deren Tangente in A horizontal ist, lavss also unendlich klein sein, wenn der Kör- per von der Ruhe an soll herabateigen können. Wäre er dless nicht, so würde der Körper im Punkte beständig in Ruhe ver- bleiben.
Zusatz Ö. g. 311. Wenn man daher voraussetzt, dass der Kiirper von der Ruhe in A an herabsteige, so muss, wenigstens im Anfang der Curve AT
2 \^t Vffx Man setze diiher
2 Vi Vffx uo p eine positive Zahl hezeiclinet, so wird, sol'eni mü nicht zu gross voruussetzt ,
Ü ^
wo jpdx so genommen werden muss, dass es für x ■
verschwinde. Suhstltuirt man diesen Werth von — -==, so'
2 VT
—Tr.^^ = — + pdx oder s = a; -I- Ijjdx V"^,
V gx V gx «/
als Gleichung der gesuchten Curve A3J. Zwischen x un
erhalten wir die Gleichung
= /dx Y ip V^ga
+gp^x.
Man muss hierbei aber bemerken, dass p keine solche Gross» sein darf, aus welcher sich für a^ — 0
apdx =: a^ ergehe.
ijuIccB Mechanik. II. B
y Google
130 Kapitel II- Von der Bewegung eines Punktes
Znsatz 7.
§. 312. Aus (lern Gesagten ersieht mn», dass, so lange p positiv blell)t, die Curve AM herabsteigt. Wirt! p=:0 iiiid hierauf negativ, so hat diu Curve in diesem Punkte eineSpÜKe uüd kehrt nach oben zurück. Wird p ■:= ca, wühreiid / pdx endlicli bleibt, so nird die Taiigütite der Curve AM in dem entsprechenden Punkte horizontal. Zusatz S.
§. 313. Wird 0 nicht := 0 gesetzt, so kann man aus der- selben Curve ji 7' unzählige Curven j4^7 herleiten. Je nachdem man nämlich die Anfangsgeschwindigkeit griisser oder kleiner annimmt, ergibt sich eine andere Curve AM. Anmerkung.
§. 3X4. Von dieser Aufgabe werden wir in der Auilösung der folgenden unbestimmten Aufgaben den häufigsten Gebrauch machen, in welchen letztern vrir nämlich alle Cufven suchen, auf denen ein Korj>or in derselben Zeit entweder zu einer be- stimmten geraden oder krummen Linie gelangt. Desshalb ha-; ben wir die Natur der Grossen t und p sorgfältiger erforscht, und wir können nun in der Folge von ihnen Gebrauch machen.
Satz 35.
Aufgabe. §. 315. (FigurSl.). Vorausgesetzt wird eine gtelchfiirmige, abwärts gerichtete antreibende Kraft g ; man soll alle Curven jiiffC bestimmen, auf denen ein, von der Ruhe an sich abwärts bewegender. Korper in einer gegebenen Zeit zur horizontalen geraden Linie BC gelangt.
Auflösung. Man setzt AP = x, PM = y und AB = a. Auf der Curve jiJVO driicte PiV die oben angenommene Grösse Cpdx aus; diese Curve muss alsdann die Eigenschaft besitzen, dass sie in A mit der Axe AB zusammentreffe und ihre Ordinalen wenigstens bis nach D beständig wachsen, djniit nämlich -pdx positiv werde. Nimmt man nun
,^fä.<^\
o\fgx-\'gp'^x in, so wird die dem Bogen .^üfC entsprechende Zeit
y Google
mf einer tßegebenen hin
Da man nun unzählige derartige Ciirven für ÄND substituiren kann, so ents|)iingen aus ihnen unzählige Curven AMC, auf welchen allen der Korper in derselben Zeit von Ä zur horizon- talen Linie £Cgelangen wird. Um diess ahcrzu erlangen, muss olche Grüsse annehmen, welche iiir ^—0
r iptlx (
verschwindet und fiir x= u, BD gleich wird, wobei p überall einen positiven Werfh beibehält.
Zusatz 1. %. 316. Wird für w = a, p = Q oder steht die Curve AND in D perpendikulär auf dei hoiizontalen Linie CD, so wird auch die Curve AMC peipendikular auf CD stehen.
Zusatz -1
g. 317. Wird für a- = 0 auch p = 0 . so ist die Tangente der Curve in A vertikal und dab&elbe ist der Fall, wenn für X ^a, pSfx — 0 wird. Wild aber für ä = 0, p'sfx=^<K, so hat die Curve AMC in Ä eine hoiizontale Tangente. Anmerkung 1
§. 318. Man sieht also, dass diese Aut^tbe höchst unbe stimmt ist, da man die Curven AMC -luf unendlich mannich faltige Weise finden kann. In den folgenden Beispielen will ich ein Verfahren angeben, nach welchpm man eine Reihe ton beliebig vielen Curven finden kann, welche alle dei Bedingung Genfige leisten.
Beispiel l.
§. 319. Man setze PN =:^jp,hr.^x und BD — V ö, so dass die Zeit des Niedersteigens = - — 2f?_|,y"■^^ve„lt;„,n^,gs. Für die Curve AND nehme man nur die Gleichung
I = aap' \ ßx an, welche die Eigenschaft hat, dass fiir x = 0, i oder ipAx =- Ü werde. Da min für x^a, : = V /' werden niiiss, so haben wir
y Google
kapital IL Von der Bereegiirtg eines Punktes : soll p =3 -^ stets positiv sein, wenn s<,a ist, also
'■l«:v -h yZ-««>0, mithin V"r>ß"2
sein. Su(»stj(uirt man diesen Werth, so erbalten wir
— a^^'V^ + A'V^^ a'^ + nf '
welche Gleichung, indem man für /" uiiuählige positive Werthe setzt, eben so viele Curven AND ergibt. Es wird ferner
ds 2arVT+/VT , ^r~ 'ia:\/~öh^ + fVgb^ P = ä^^ a-^ + af ''»t'pVff:r= ^-^ ,
woraus man ersieht, dass alle hieraus entspringende Cuiven AMC die gerade Linie AB in A berühren. Die Gleichung der gesuchten Curve AMC wird
und dieselbe enthält unitiililige Curven, welche der Aufgabe Genfige leisten und auf denen allen der Kiirper in der Zelt
|
ll |
Oli.O, |
italfi! |
n Li |
Die lioi |
■absteigt. Zusatz |
3. |
|
6 |
. 3-20, |
Diese |
Ciirvei |
11 laa.eii |
sic'i ; |
|
|
ili( |
th |
A |
+ prfa, |
+ lptlxV^ =
Die ganze Curve AMC viird also
y Google
Zusatz 4. §. 321. Unter allen diesen Curven wivd AMC ann lüngsten, wenn f = 0, indem alsdiinn
AMC — a+'VsöÄ. In diesem Falle «ird die obige Gleichung dci- Curve
Die Ciuve wird alier am kürzesten, wenn /'^i^co, wo
'AMC = a + lV^ und die Gleichung der Curve in
Anmerkung 2. §. 322. Alle in der Gieiclmng
_ x'VO + fxVT
W+^
enthaltene Curven AND sind Parabeln, so dass man mittelst dieser unzählige Curven gefunden hat, welche der Aufgabe Genfige leisten. In dieser Gleichung sind aber noch nicht alle
Parabeln enthalten, sondern, wenn man statt ihrer die folgende
anwendet, welche ebenfalls unzählige Parabeln enthält; so wird man wieder unzählige Curven jiiHCfinden, auf denen der Kör- per in einer gegebenen Zeit herabsteigt. Hieraus kann man ersehen, wie oft un zahl ige Curven ^J/Cgefunden Herden kön- nen, wenn man nur Kegelschnitte statt der Curve AIVD sub- stituirt. Nimmt man nämlich für die letztere die Gleichung
i^+aj — ßa-^+yx-i-Sai an, welche alle Kegelschnitte umfasst, die durch den Punkt -4 gehen; so muss
werden, ferner müssen -^ und -i— tXx__ positive Grösse.n
« c + 2-vT-Ö(i
sein, was, wie man leicht einsieht, auf unzählige Weise mög- lich zu machen ist. Betrachtet man hierauf alle algebraische
y Google
134 Kapitel IL Von der Bewegunfj eines Punktes
und hernach /.iigleich alle trän scen deute Curveii, so kann man die grüsste Menge dersellien darstellen.
g. 323. Mun nehme för die Ciirve AjSD dio allgemeine Gleichung
,^^± n" an, wo n eine beliebige positive Zahl hezeichnet. Es wird alsdann für x = 0, z ^ d und iiir x ^ a, z = VO, wie es erforderlich ist. Ausserdem vi'ird auch
" ilx ~ «»
P = -.
positiv sein. IJa mm p^{fx^=-^-~
iVffft
Diese Gleichung urafasst unzählige Curven AMC, welche alle reetificabel .fein werden, indem
AMC = a + -'^'^'jf.
g. 3'24. Ist V = l, so ivird
,j=jä.y ~~^r-~= — wt —
und
Die Cuive geht also In eine gerade Linie iiT>er, welche geneigt
absteigt. Man ersieht daher, dass es kürzere Linien als diese geneigte gerade Linie geben kann, auf denen der Körper in
y Google
auf einer t/egebenen Linie im teeren Räume. 135
der gegebenen Zeit von Ä zur horizontalen Linie BC gelangt. Macht man nämlich m<i, so wird die Linie^iliC kürzer. Anmerkung 3. §. 32S. Ist übrigens eine einzige Curve AND gegeben^ ans welcher die gesuchte -4M6' hervorgeht, so kann man aus ihr unzählige andere ableiten. Ist nämlich Eine Gleichung zm- schen x und s gegeben, eo nehme man
PN ^ (»*«— I"'— 1|^)^
Horaus für verschiedene Werthe von m unzählige Curvcn her- vorgehen. Auf ähnliche Weise kann man
setzen, indem fiir x~Q> PN = 0 und för ;r= a, PN=Vl wird, Ist allgemein P eine bel'iehige Function von a: und i, ji aber dieselbe Functiou, welche sich fär;ir — « und j— V'i ergibt, so kann man
PN z
. /'s
annehmen. Es wird aber P eine sofche Function sein müssen, dass P.z verschwinde, wenn x = 0 und s^^O gesetzt ist und i_L_.^_ positiv werde, wenigstens so lange x<« ist. Anmerkung 4. §. 326. Auf .ähnliche Weise liJst man die Aufgabe ganz allgemein, wenn P eine beliebige Function von a: bezeichnet, tvelche für a: = 0 verschwindet und A die Grösse, in welche P für a; := « übergeht und man nun
_ P.VJ
' ~ A
als ganz allgemeine Gleichung, der Curve AND annimmt. Es sei ferner
dP = Qd^, alsdann muss Q positiv sein, so lange ar uiciit grösser als «
wird. Es ergibt sich nun p ^ — ^ — und
als allgemeinste Gleichung der Curven AMC, welche durch den herabsteigenden Kürper in derselben Zeit beschrieben werden
y Google
13fi Kapitel II. Vov dir BfMpgunfj eines Punktes
kJiiinen, Man ersieht auf diese Weise, dass auch transcen- dente Ciirven tut /liVO s-.ibstituirt werden kÜDnen^ in welchen Füllen die Zeit, <lie zur Zurücklegung eines beliehigen Theils der Curve AMC erforderlieh iat, nicht algebraisch dargestellt werden kann. Setzt man
|
QVgbit = |
Ä, |
so mrf |
>i=J |
^ViAR + h". |
|
|
Nimmt |
man d.her |
fÜT |
ß eine |
beliebige runefion von .% |
|
|
muss man, um A |
ZU |
(imlen. |
|||
|
= Qd. |
SO integriren, dass es für a; = 0 verschtvinde und wenn man hierauf im Integral x^= a setzt, so wird sich A ergeben. Hier ist nur daran zu erinnern, dass für B eine positive Zahl an- genommen werden muss, so lange o: nicht grösser als a wird
und dass man darauf sehen muss, dass / --=^^ nicht unend-
J V^
lieh werde, wenn man es nach der vorgeschriebenen Weise annimmt.
Satz 36. Aufgab c.
§. 3-i7. (Figur 52.). Es wird wieder eine gleich förmige, überall abwärts gerichtete Kraft vorausgesetzt; man soll alle CuiTeii AMC bestimmen, auf denen ein Kürper von A aus in einer gegebenen Zeit, zu der geraden Linie BC gelangt, welche beliebig gegen den Horizont geneigt ist. Auflösung.
Es drücke die Ordinate BD der Curve AND die Zeit aus, in welcher der Kürper von A bis ÄC gelangt und man ziehe durch einen beliebigen Punkt M die Linie MQr^BC, so 'dass erstere die Vertikale AB in Q schneidet; alsdann dritcke die Ordinate QN die Zeit aus, in welcher der K<>rper den Theil AM zurücklegt. Denkt man sich daher unzählige Curven AND, welche alle in S dieselbe Ordinate BD haben, so werden diese alle Curven AMC erzengen, auf denen der Körper in einer gegebenen Zeit von A bis zur geraden Linie ßC gelangt. Die Curven AND müssen aber, wie oben erin- nert worden Ist, in A mit der Vertikale AB zusammentreffen und bis /> von AB divergicen. Man setze mm: t^ABC=f,% AP=x, PM=y, AQ=u, QN=t nnd AB=a;
yGoosle
|
aufe |
mer ijei/ebeneii Linie ii |
n leeren Räume. |
|
alsJann wird |
||
|
PQ = '^ und so u |
= '+!■ |
|
|
Da nun aber |
die Geschwindigkeit in |
1 M — Vtja; ist, |
die Zeit durch AM
_ r\ dx^-\-df- _
welche = i sein inuss. Wir haben daher
dt = Vt/^Hrfy' oder gxdt^-dx-^-^dy*.
Weil aber die Curve AND gegeben ist, kennen wir ( als Fun- ction voD u und da u = ^t'+T^» so wird ( durch a: und y ge- geben; wir haben daher, für die gesuchte Curve AMC, eine Gleichung zwischen x und y. Da nun ly = leu — kx, so wird
gxd(^ = {l-\-U^)dx'^—'ik^dudx-\-k^du% aus welcher Gleichung man x als Function von u linden kaun. Es sei zu diesem Ende dt = pdu, alsdann wird
gxp'^du^ = (k^-i-t)dx^~2k'^dudx + k'^du^ und il^ = /c-'dui:^/'\ff(&'^+l)j^x~kHdi^
Ä^+ t
Die Curve AND muss daher so angenommen werden, daas
überall p > — werde. Ferner muss man jene Glei
chung so integriren, dass für w :^ 0 auch x =: 0 werde- Zusatz 1. §. 328. Die Curve AMC wird in A die gerade Linie AB berühren, wenn für x = 0, dff = 0 wird. Alsdann muss aber (dt = dx und ^{k^ + l)p^x — k^ = 1 sein. Diess geschieht, wenn lür x = 0
p^x = -
ff
ist. Da aber in diesem Falle y uncndüchmal kleiner als a:
wird, so muss im Anfangspunkte x = u sein, woraus folgt,
dass die Curve AMC in A die Vertikale AB berühren wird.
y Google
138 Kapitel IL Von der Beiveijung eines Punktes
Zusatz Ü. §. 32y. Ferner wird die Curve AMC auf QJ/. normal ste-
■ oder dx := kdy = k^du
ist. Diess ist der Fall, wenn p^x =; - — —"--——.
Zusatz 3. §. 330. Im Punkt A selbst wird der Änsdiuck p'^x ent- weder einen endliehen Werth haben, welcher > -^.^ für x r= 0 ist, oder er wird = co werden. Im letztern Falle ba-
dx = Jr<xi.dUf also well du:=:dx + -ji-, dt/ = — 7idx.
in diesen Fällen wird die Tatigente der Curve AMC in A pa- rallel der geraden Linie BC.
Beispiel. §. 331. Es sei die Curve AND eine beliebige Parabel, also
2a Vm „ adu , c*
( = -^^~ > dt = — =ir^ und p = —~-^ . \ {/ \ i/u V t/u
Jene Gleichung wird demnach '
/I2 1 1\J 72J 1 dw V«' (A* +i)'x— /-S M
\u und ihr Integral
{+^/'a^{k^ + l)x--i^u + AVÜ]^.\±Va'^{/^^i-l).v~A'^u + BVu\?= C,
wo ^ = ±t:£EH^^iE, B= c.^-V^^^^^)r^_
_ —2A " ~ A-B also auch, well ro negativ ist
yGoosle
auf einer f/egebenen Linie im leeren Räume. 139
C ist die Constaiite, welcbe bewirkt, dass för x = 0 auch M =: 0 wertle. Dies« wird aber oEFenbar stets der Fall sein, welchen Werth auch 6' haben mag, wobei man nur den Fall auszuiiehmei) hat, in welchem p oder je selbst verschwinden. Nun kann n nicht verschwinden, wohl aber q, indem für «—1, p=0 und daher C^^ixi wird. Ausserdem erhält mau
+ V(A-*+1);b— /e^m"+W:^0, d. h. M— a: und y—O; in diesem Falle leistet also die vertikale gerade Linie AB Ge- nüge. In allen übrigen Fallen kann man, weil 6' beliebig ist, aus der einzigen Curve AND unKÜhlige Curven AMC ableiten- Ferner muss Ein Fall besonders behandelt werden, nämlich wenn
A — B oder /c* = -,,," -.r- ist.
Es wird alsdann
* 2 ist, also
und es wird ebenfalls C keinen bestimmten Werth zu haben brauchen. Ist c«>l, so wird JB und p negativ, mithin C=<xi- In diesem Falle wird entweder
A VÜ=s V^(^ + 1) x — k"^ u oder BVü~\''äH^l)^^^^ und beide Gleichungen gelten für gerade Linien, i^elche auf bestimmte Weise geneigt sind und durch den Punkt A gehen. Sie leisten auch allgemein Genüge, so, wenn etwa ß=l, «o A=^l und JB=0, folgt aus der ersten
u =: X und y r=: 0, wie bereits oben gefunden worden und aus der zweiten
x-i-'j- oder x = kg.
(Figur 53.). Diese letztere Gleichung entspricht der auf ßC perpendikulären Linie AM, durch welche der Körper in der-
y Google
140 Kapitel II. Van der Bewegung eines Punkten
selben Zeit herabsteigt, in welcher er die Vertikale AB durch- läuft.
Zusatz 4.
§. 332. Ist daher « weder gleich, noch griisser als 1, so findet man uQzahlij^e krumme Linien, welche der Aufgabe Ge- nüge leisten und also in einer kurzeru Zeit durchlaufen iver- deu. als die vertikale AB.
Zusatz 5.
§. 333. Da aus der einzigen Curve AND unendlich viele Curven AMC abgeleitet werden küiinen, so sieht man leicht ein, dass unendlich mehr Curven dieser Aufgabe Genüge lei- sten, als der vorigen.
Zusatz 6.
§. 334. Ist K<1, so kanu man durch die Bestimmung der Constanteu C beivirken, dass die gesuchte Curve durch einen bestimmten Punkt der geraden Linie BC gehe. Nimmt man hierauf andere Cucven ^iVD an, so kann man auf ähnliche Weise unendlich viele Curven finden, auf denen der Körper nicht nur in einer gegebenen Zeit zur geraden Linie BC, son- dern auch nach einem beliebigen , auf derselben gegebenen, Punkte C gelange.
Anmerk«„gl.
§. 333. In diesem Beispiele kommt der Fall, dass «=1 ist, zweimal vor, und zwar wurde im erstem mir die vertikale gerade Linie als Genüge leistend, im zweiten ausser dieser noch eine andere geneigte gerade Linie gefunden; in beiden Tällen haben wir aber dieselbe allgemeine Gleichung ange- wandt. Es sind uns schon uRers Fälle dieser Art aufgestos- sen, in denen Differentialgleichungen besondere Integralgleichun- gen enthielten, welche nichts, desto weniger durch Integration nicht dargestellt werden. So haben wir, im Fall dass « = I ist, die Differentialgleichung
ik^-{-\)dx— k^da __ _, j{«
deren Integral auf x =: u fiihrt. Inzwischen sieht man ein, dass auch die Gleichung
in ihr enthalten ist, wenn sie auch durch Integration nicht her- vortritt; wesshalb die zweite Integralgleichung eben so gut Ge- nüge leistet, als die eiste
y Google
mtf einer f/egebenen Linie im leeren Räume. 141
Man kani; Iiieinus allgemein schliessen. dass die Differential- gleichung
dt _ y.
in welcher T eine für i = 0 versch wind ende Fiinctiou von ( «nd V eine beliebige Function von ti bezeichnet, eben so die Integralgleichung t ^ 0, als die f -jp^^ 1 f''^« enthalte, wel- che letztere steh durch Integration ergibt. Meistens kann die Gleichung ( :^ 0, wenn t eine einfache Grüsse ist, vernach- lässigt werden; ist aber (, wie in unserm Falle, eine zusam- mengesetzte GriJsso, so vernachlässigt man sie mit Unrecht.
Einen ähnlichen Fall hatten wir oben (§. 299.) in der Gleichung
\ u^ h — hx'^— «a Cpdx
Wir haben dort bemerkt, dass die Gleichung ar ^^ a in ihr enthalten sei, wenn auch die Integration nicht durchgeführt werden konnte. Setzt man nämlich a — x=^t, also — dx^dt, so wird y a^h — bx^—a^fPdx eine Function von t, welche =: 0 wird, wenn man / =: 0 oder x = a annimmt. Was In- tegral iPdx musste nämlich so angenommen werden, dass es für a; = a verschwand. Setzt man daher diese Function von ( = T, so erhalten wir die Gleichung
woraus man mit Sicherheit sc hh essen kann, dass ( = 0 oder x^a und diher ein Kreis jener Aufgabe Genfige leiste, wie wir in % J02 angedeutet hihen Noch allgemeiner wird aber in der Gletthon^
wenn 7" fOr ( == 0 nicht verschwindet, die Gleichung 7' = 0
enthalten sein. Aus dieser folgt nämlich
t ^ constans und dt = 0, woraus hervorgeht, dass T = 0 in der vorausgesetzten Glei- chung
F* = *
y Google
142 Kapitel II Von der Bewegung eines Punktes
enthalten sei Hieraus erhalt man wenn t eine etwa aus » lind X zusaramensfe setzte Grusse ist, sogleich eine Integral- gleichung, welche durch Intei^ration kaum herauszubringen ist. Anmerkung 2.
g. 33b. Der Fall, dass BC oberhalb des Punktes A mit BA zusammentrifft oder ihr parallel ist, bleibt noch übrig und muss besonders behandelt werden. Wir werden aber in der folgenden Aufgabe nur den Fall betrachten, dass BC der vertikalen AB parallel wird und in einem bestimmten Abstände von ihr liegt; hieraus werden wir auf ähnliche Weise den Fall einer beliebig geneigten geraden Linie BC ableiten können. Satz 37. Aufgabe.
§. 337, (Figur 54). Ein Körper wird beständig durch eine gleichförmige Kraft g abwärts getrieben; man soll die un- zühligen Curven finden, auf denen er, indem er seine Bewe- gung in A von der Ruhe ab anfangt, in einer gegebenen Zeit zur vertikalen Linie AX' gelangt.
Auflö.„„s.
E^ sei AMC irgend eine der gesuchten Curven und man nehme als Axe die Vertikale AB an, setze AP =. x, PM^ AQ = y; alsdann wird die Geschwindigkeit in M == ^gx und die Zeit, in welcher der Bogen AM durchlaufen wird.
-r-
'tfgx
Ferner sei ANJi eine Curve, deren beliebige Ordinate QiV^die obige Zeit ausdrücke, also QN^=^ t eine Function von y; man wird alsdann aus der gegebenen Curve AND die Curie AMC ableiten können. Denkt man sich daher unzählige Cunen^iV^D, welche alle in E die gemeinschaftliche Ordinate DE haben, so werden sie alle Curven j^iWC hervorbringen, auf denen der Körper in einer gegebenen und durch DE ausgedr fielt fen Zeit von A nach CE gelangt. Es wird also
drirt
M'g \ wenn man dt = pdy setzt, hierauf differentürt und (
gp'^'xdiß ~ dx^-l-dy'^ und dx — d^Vgp^x-^l.
y Google
auf einer gegehenen Linie im leeren Räume. MJ
Diese Gleichung niPiss man so infegiiren, dass für x = 0 auch y = 0 werde und sie ergibt alsdann die gesuchten Curven AMC. Es sei R eine beliebige Function von y und man nehme JRdy so an, dass es für i/ — 0 verschivindet. Feiner werde JRdy = A, wenn man j/ ;:= AE = u setzt und für DE =^ VT habe man
Diese Gleichung wird, was man aueb für R sulistltuiren mag,
unzählige Cnrven ergeben, welche der Aufgabe Genüge leisten.
Zusatz 1.
§. 338. Der einfachste FaU findet statt, wenn R^l ist, indem alsdann in der Gleichung die Variabeln getrennt werden können. Es wird alsdann, weil j1 ;= tt ist,
- 3j[JL. du = ^JS= V glix — Werth von y ist imaginär und daher von keinem Nutzen.
Zusatz 2.
@. 339. Da aber ^gbiV^x—A'^ nicht Imaginär werden darf, so muss, wenn auch ar — 0 ist, ff^aT> — ^ sein, fi darf
also weder constant, noch eine mit y =: 0 verschwindende Function von y, sondern muss vielmehr eine solche Function sein, welche =00 wird, wenn man y = 0 setzt. Ausserdem muss sie aber. von der Art sein, dass j Rdy für j^O nicht
unendlich uerde, was geschehen würde, wenn R z= —, oder
spiel.
g. 340. Setzen wir also R z= -~=, so wivd/]^%= 2\'^^ nid A = 2 W und es gebt jene Gleichung über in
y Google
144 Kapitel II. Von der Bewegung eines Pwnktes
Diese ist homogen und setzen wir daher x-:rr.qy^ so geht i iihev in _ ___„
2(/% V^ + ^ydi} '<ifa = dij ^gbg — 4«
--■- , ^^ -=-^.
Vgh(, - 4« - 2y V^a % V a
Setzt man nun -jr- = n und V"wy — 1 = r, so erhalten wi
dy — 2rdr
Das Integral <ler letufen Formel ist von der Quadratur d Kreises abhängig, wenn n<,% ist. In diesem Falle aber i halten wir
logj/ = iogC+ " •~^^ilog(2»— «+ \^^^"4}
und dieselbe geht;
Damit diese Gleichung für a; — 0 nicht imaginär werde, mnss gleichzeitig ;y = 0 werden nnd man kann daher für C einen ganz beliebigen constanfen Werth annehmen.
Nach der Methode des g. 335. findet man aus der Diffe- rentialgleichung sogleich das Integral
1(l'^f~ä= ^gfiq—Aa oder 2a: V^ ^=: V gf/i/x — 4ai/'^ nnd hieraus
Diese Gleichung entspricht zwei geraden Linien, ausgenommen wenn gb<Sa, in welchem Falle die Gleichung imaginär ist. Ist n ^ 2, so erhalten wir
y Google
auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. oder los;;/ = — 2logi V2:c -y — VVi+SlogVjr
VTi — 3 -
und lag|V~'2a'— j — Vi/!-
1V0 man C ebenfalls heliehig annehmen kann.
Ist « <2, so hängt die Constriiction. der Cnrve zum Theil von Logarithmen, zum Theil von der Quadratur des Kreises ab, indem wegen des imaginären Werthes von V^w'^ — 4 die ge- fundenen Logarithmen imaginSr werden. In diesem Falle ist tue Construction dem analytischen Ausdruck vorzuziehen. Satz 38. Aufgabe.
g. 341. (Figur 55.). Es »vird ein Körper durch eine gleich- liirmige Kraft t/ beständig abwärts gezogen und es ist die Curve BSG gegeben; man soll alle Curven AMC bestimmen, auf denen der Kürper, herabsteigt und in einer gegebenen Zeit von A bis Eur Curve BSC gelangt.
Aufllisung.
Es sei AMC eine beliebige unter den gesuchten Curven und man ziehe durch einen beliebigen Punkt M die Curve MQ^ ähnlich der BSC in Bezug auf den festen Punkt A. Ferner drücke die Ordinate NQ der Curve AN die Zeit aus, in wel- cher der Körper sich durch AM , also die Ordinate DB die Zeit, in welcher er sich diirih die ganze Curve ^iJ/Cbewegt. Auf diese Weise wiiJ man umgekehrt ans der gegebenen Ctirve AND die Curve AMC ableiten können. Denkt man sich nun unendlich viele Curien AND. nelche alle in B die gemein- schaftliehe Ordinate BD haben, so weiden sie unzählige Cur- ven AMC erzeugen, auf denen allen der Körper, beim Herab- steigen von^, in der gegebenen und duii.h BD ausge drücktet Zeit zur Curve BSC gelangt. Es sei nun AB = a, BD = V'ft und man schneide von der gegebenen Curve BSC den Bogen BScoQM ah: aUdann i^ird
AQ:AB= P31.RS = AP-.AR = PQ-.HB.
Man setze ferner AP = x , PM = ^, AQ =: u, QN ^^ t, AB = r und RS ^ s; so hat man, da die Curve BSC gege- gehen ist , eine Gleichung awischen r und i und auch , weil die Eiilcr's Mechanik, ir. 10
y Google
146 Kapitel II. Von dir Bewegunr/ eines Punktes
Cutve AND gegeiien ist, eine Gleicliiing zwischen u tind t. Wegen der Aehiilichkeit dev Curven haben wir
Ferner \si die Geschivititligkeit, welche der Kitr|ier in M hat, =: V5S, also die zuv Beschreilning des Bogeiis AM erfoder- liche Zeit
\} Sfgx '
welche gleich * gesetzt werden muas. Hieraus folgt, wenn man die so erhaltene Gleichung diflfcrentiirt und dann ijnadrirt.
Da die Curve AND und daher ( durch w gegeben ist, so setze man dl =^ prf«, wo p eine Function von u ist und es wird.
weil
, wrfr + rdii, , , uds \ sdu dx — ' und dij = .
jene Gleichung hiernach üliergehen m die folgende: garup^du^ = {ndr^rdu]'^ -^{nds-\' sdu\^. Da ferner die Curve BSC gegeben, also s eine Function von T ist, so setze man rfs = tjdr , wo q irgend eine Function von r ist. Substituirt man diesen Werth, so erhält man folgende Gleichung zwischen u und r
garup^du^ = \udr-\-rdu\^-^\uqdr-^sdu\'^ und wenn man dieselbe auflest
du~ wO+^ä) "
Findet man hieraus eine Gleichung zwischen r und w, so er- hält man auch zugleich für die gesuchte Curve eine Gleichung zwischen x und y. Was aber die Curve AND betrifft, so sei P eine beliebige Function von u und es werde das Integral fpdu so genommen, dass es = 0 werde, wenn m = 0 und = A, wenn m = « gesetzt wird; alsdann nehme man VTfPdu
' = -ir-
als Gleichung der Curve AND an. Es wird daher
y Google
luf einer gegebenen Linie im leeren Räume.
MO man für P eine boliebige Function von u setzen kann. Zusatz I.
@. Zi'2. Setzt man m = Ü, ao leiscluiintleii zugleich x und y,_ wenn nicht etwa r oJei s i^ 03 werden. In jenem Falle kann man Lei tlev Integration dei gpfundenen Differen- tialgleichung eine beliebige Constante hinzufügen, weit es nicht tiuthig ist, dass für « ^ 0, r einen gegebenen Werth an- nehme.
Zusatz 2.
§. 343. Wegen der beliebigen hinzuzufügenden Constan- ten kann man daher aus einer einzigen gegebenen Curre AND unzählige Curven AMC ableiten, welche der Aufgabe Genüge leisten.
Zusatz 3.
§. 344. Ist die Curve BSC so beschaffen, dass nirgends r oder s ;^ 00 werden können , so wird stets eine einzige Curve AND unzählige gesuchte Curven jiÜ/C ergeben. Diese haben nicht nnr die Eigenschaft, dass die Körper beim Her- absteigen, auf ihnen zugleich zur gegebenen Curve ßSC gelan- gen, sondern auch die beliebige, der gegebenen ähnliche, Curve QHS zugleich treffen,
Zusatz 4.
g. 34S. Da man bei der Integration der gefundenen Glei- chung eine beliebige Constante hinzuliigen darf, kann man die- selbe so annehmen, dass die Curve ^il/C nach dem gegebenen Punkte C der Cnrve BSC hingehe. Auf diese Weise kann man unzahlige Curven AMC linden , welche alle im gegebenen Punkte C zusammentreffen.
Anmerkung 1.
§. 346. Wir haben vorausgesetat, dass die Curven QM der Curve BSC ähnlich seien, damit die in A errichtete Curve unendlich klein werde und alle Punkte der Curve BSC in A zusammenfallen, damit endlich x und y für m ~ 0 verschwin- den. Wir hätten aber auf dieselbe Weise die Curve QM ent- weder als congruent BSC oder nach einem beliebigen Gesetze von ihr abweiebend annehmen kGiinen. Es sei etwa Q eine beliebige Function von m, welche för k = 0 verschwindet nnd Rir w = a in i5 fibergeht; alsdann wird die Cnrve QM so von BSC abhängig seilt kiinneii, dass
y Google
148 Kapitel II. Von der Betepguvg eines Punktet Qr , Qs
nird. Für u= a fjeht nämlich QM in BSC und für m = 0 oder in A in einen Punkt über, wenn niclit die Curve BSC sich in's Unendliche erstreckt. Aber auch in diesem Falle kann man Hir Q eine solche Function annehmen, dass für T =^ x> 'loch Qr unti Qs verschwinden, wenn ti ^ 0 ist. Setzt man aber tlQ ^ Vilu, so erhalten wir die altgemoine Gleichung
Qdril + ,j-')+rdu(T+sq)
^ du Sfl^J^'^iU^^-iVs-Vr,)-'.
Dieselbe erstreckt sich sehr weit und ergibt aus einer einzi- gen Curve AND unzählige Curven AMC, ja sie ergibt auch unzählige Curven, welche durch den gegebenen Punkt C gehen, Anmerkung 2. §. 347. Wie allgemein auch diese Gleichung ist, so ist aoch QModBSC, well
Es kann datier noch eine allgemeinere Auflösung dargestellt
werden , in welcher man die Cmven QM als der Curve BSC
beliebig unähnlich votaussefctt, jedoch von der Art, dass für
u = a, QM in BSC übergehe. Man erhält diese Auflösung,
indem man für R eine beliebige Function von u annimmt,
welche für u ^^ 0 verschwindet und für m = « in D übergeht
und alsdann dR = Wdu setzt. Nun nehme man an, dass
Qr , Rs
.. ^ -g u.,d 3, == -^
sei, alsdann geht für m = a, a: in r und y in s über, fi'ir m— 0 aber werden x und y verschwinden, was auch r und s sei. Hieraus ergibt sich die folgende ganz allgemeine Gleichung
In dieselbe kann man ds statt dr einführen, indem man dr
t= ~ setzt oder man kann auch statt r seinen Werth — ein-
9 Q
führen und erhält dann eine Gleichung zwischen u und x. F,s ist feiner zu bemerken, dass, weil Q für h = 0 verschwin-
y Google
auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. 149
ilet, P eine solche Function von m sein muss, dass für wr^O, P^Q entivedei' endlich oder unendlich gross werde; doch iiiues man daruuf sehen, dass das nach richtiger Weise genommene Integi'al j Pdu nicht unendlich gross werde. Zusatz 5. §. 348. In der Gleichung, welche wir in der Aullösung gefunden hahen , lassen die Variabein sich trennen, wenn P ■= —p=^ ist. Es wird nämlich alsdann
X^b ^^^ du ^ tirg + >/■')
wo s und r/ durch r gegeben sind,
Zusatz 6. §. 349. Auf ähnliche Weise ist die Gleichung der An-
merkung 1. trennbar, wenn P^Q = V^ oder P =—— ist.
V Q IVlan erhält nämlich
dr(l + ^^) _ Vdu _ dQ
-.,±V^2^tÜ>"_(.-r,)^
worin die Unbestimmten u und r von einander gefiennt sind. Beispiel 1. §.^0. (Fig. 56.). Es bleibe P^Q=V\a.\siy, weil Vdtt^dQ'KU
fpdu = 2V^e; alsdann wird lur m = a, A=2VB und ^ =z \. Die Gleichung des Zusatz 6. wird demnach
Es hat also fPdn die erforderliche Eigenschaft, daSs es fflr « = 0 verschwinde , indem diess mit Q der Fall ist. Es sei nun BSC ein übet dem Durchmesser AB beschriebener Kreis, alsdann wird
y Google
s^ V
Kapite.l II. Von der ßticeijimg eines Puii/dei — — :, ds _ a-2r
Substitiiirt man diese Werihc in die vitijsfeheinle Gloielmiig, so geht isie ober in
flQ _ adr
In derselben sind nicht nur die Veränderlidien von einander getrennt, sondern sie lässt sich auch allgemein durch Logarith- men integtiren, indem sich in
OQ ^ _i'^'' ^^^^___ .
das irrationale Glied rational machen liisst. Man erhält als Integralgleichung
'"s y - 4^q^ '"'- \ yy \ ± -j^r^i^b
X log \ v^^i±Vj^3 .
Es ist hier passend zw faenierken, duss der Fall, in ivelchem
2 V"« 4a ::=: (ib oder V5 = —^--=-, derjenige ist, bei welchem die,
V // zur Zuriicklegiing einer beliebigen Curve AMC erforderliche, Zeit gleich ist der Zeit des Herabsleigens durch die vertiliale gerade Linie AB. Es wird niünlich alsdann lUi _ «(Tr^
und wir erhalten, wenn das obere Zeichen gilt,
dr ^^ 0 und r = const. =: c. Ferner nird s = \^ac — v^ und x:y = Vc : V^o — c oder
Diese Gleichung ergibt alle, in diesem Halbkreise von A aus gezogene. Sehnen, so wie wir auch schon früher bewiesen habe», dass die zur Beschreibung der einzelnen Sehnen er- forderlichen Zeiten einander gleich sind.
Gilt aber das untere Zeichen, so erhalten wir JdQ adr
yGoosle
|
auf einer gegebenen Linie |
im leeren Raunte. |
|
id wenn man integritt |
|
|
Q-* - -^ oder ^ir haben «luliec |
a~r ~ Q*- |
Eliniinirt man endlich r, so ergibt sich, iveiiii man -g — m setzt,
Diese Curven haben atso die Eigenschaft, dass ihre durch den Hidbkreis abgeschnittenen Boger. in derselben Zeit beim Nie- dersteigen durchlaufen werden , nämlich in der Zeit, in wel- cher die einzelnen Sehnen des Halbkreises zurückgelegt werden. Zusatz 7. §. 3ol. (Figur 57.). Die Curve, deren Gleichung
ist, hat die nebenstehende Form. Sie hat nitmlich den Durch- messer AF , we!ch,er mit der :Vertikalen jlP einen Winkel von 45" bildet und in A einen Knolen. Alle diese Curven sind aber einander ähnlich und künnenallen Kreisen angepasst werden. Zusatz 8.
§. 352. Nimmt man in dieser Curve einen beliebigen Punkt M an und denkt man sich einen, durch diesen und den Punkt A gehenden, Kreis, dessen Mitteiltunkt auf der Vertikalen AP liegt; so wird der Kürper den Bogen AM in derselben Zeit durchlaufen, in welcher er den Durchmesser des Kreises oder die Sehne AM zurticklegt. Diese Cnrve hat daher die Eigen- schaft, dasa der von A herabsteigende Körper jeden Bogen AM in derselben Zeit zurücklegt, als die ihn unters [jannende Linie AM.
Zusatz <!.
§. 353. In diesem Falle, wo /^Q = T*, ist es einerlei, ob Q = M ist oder einen andern Werth hat, indem sich die- selbe Gleichung zwischen x und y ergibt. Man kann diese so wohl aus diesem Beispiele, als auch aus der Gleichung er-
y Google
152 Kapitel IL Von der Betvegung eines Punktes
Beispiel 2. §. 334. (Figur 58.)- Es bleibe P^Q= V, so dasa wir die Gleichung halien
- sfj + Y^S*: (1 ^. ^aj _ (, _ ry)a
Ferner sei BSC ein Kreis, welcher aus dem Mittelpunkt A und mit dem Radius AB^a beschrieben worden ist; alsdann
Subslituirt man diese Werthe, so ergibt sich folgende Glei- chung
+ tt(lr
Yef-«')<'
Da r nicht grösser als a werden kiinn, muss hier gO'^ia sein, und hieraus wird sogleich der Radius bekannt, welcher der Aufgabe Genüge leistet, indem man
setzt In diesem Falle wird
gli X 4a '
welches die Tangente des Winkels ist, den derjenige Radius mit der Vertikalen AB bildet, auf welchem der Körper in der gegebenen Zelt V^ft zur Peripherie gelangt. Ausserdem erge- ben sich keine algebraische Curven, weil die Differential form el nicht rational gemacht werden kann. Beispiel 3. §. 355. Nimmt man die allgemeinste fiieicliung aus §. 347. und setzt man voraus, dass BSC eine horizontale gerade Li- nie sei; so wird r := a, dr ^ 0 und aus dr = ^, q = x> ■
Lässf man daher diejenigen Glieder fort, welche gegen jver- sehwlnden , so wird jene Gleichung
ABRds + AB Wsdu = + Ddu VgBab P^Q—A'^ a^ V^. Da nun Wdu ^ rfff und P, Q und V durch m gegeben sind, so ist die Integration zulässig, indem man erhalt
y Google
auf einer geifebenen Linie im leeren RaUme. ABRs
^- = €i,Cdu'»fgBahl^Q-A^a^
Aus dieser Gleichung ßndet man s, und da ^ =- -
M = 0, y = 0 wird, so muss C = 0 sein; vi dass man das Integral
Cdu \fgBabP^Q~~Ä^n''V^
so nimmt, dass es fär m =: 0 verschwinde. Es i
r^-
""1 V~^-J]i fdu'^'yBabP'' Q - A^a^ F» .
Uiess ist die allgemeine Gleichung fiir alle Curven, au I' denen der Körper von A zur gegebenen horizontalen Linie herabsteigt, Beispiel 4. g. 356- Man behalte wieder die vorige allgemeine Glei- chung (§. 347.) bei, setze aber voraus, dass BSC eine ver- tikale gerade, AB parallele und von ihr um die Länge / ab- stehende Linie sei. Alsdann wird
s = /, </s = 0, also 9=0 nnd, weil Vdu ~ dQ ist, gebt jene Gleichung über in
ADQdr ■\- ADrdQ = ± dti S/'^D^bP^ Qr — A'^ ß^p W\ Es ist aber Qr = Bx, also erhalten wir
Aüdx = ±du^ ffD^bl^x — A'^f^WK Hat man hieraus x gefunden, so wird fR
indessen kann man aus jener Gleichung nicht viel ableiten, weil die Veränderlichen x und u nicht von einander getrennt sind.
Anmerkung 3. §. 357. Aus der allgemeinen Auflüsung dieser Aufgabe kann man, da eine einzige Curve /liVD unzählige Curven -43/C ergiht, die Auflösung deijenigen Aufgabe ableiten, wonach man unzählige Curven sucht, anf denen allen der Kiirper von A aus nach einem gegebenen Punkte gelängt. Jede Curve AND ergibt nämlich eine andeVe Curve, welche durch einen auf BSC gegebenen Punkt geht und man erhält auf diese Weise unzählige Cutven dieser Art. Auf diesem Wege ist
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154 Kapitel IL Von der Bewegung el/ia Punktes
aber die Auilüsnng zu inühsain und schuierig und es ist Malier zweckmässig, eine andere eigenthifmliche anzuführen. Das Verfahren, «elcfiea wir anM'enden werden, ist aber so einge- richtet, dass man schon Eine Curve kennen muss, aus wel- cher man, wie wir zeigen werden, unzalilige ableiten kann. Diese Curve, welche bereits als bekannt vorausgesetzt wird, werden wie aus einer von beiden Methoden, wie aus §. 330. entnehmen, wonach eine Curve gefunden werden kann, welche durch einen beliebigen Punkt des Halbkreises gebt und in ei- ner gegebenen Zeit besclirieben werden soll.
Satz 39. Aufgabe. @. 358. (Figur 59.). Ein Korper «ud best in d ig durch eine glcicblilrmige Kraft g abwärts getrieben und es ist eine Curve AMC gegeben, auf welcher jener von A zum gegehe nen Punkt C gelangt; man soll alle Curven A^C finden, auf denen der KOrper in derselben Zeit von A bis C toctgtht
Auflösung.
Ist AB die vertikale Asc aller Cunen, so sei fui die ge gebene Curve AMC die Absctsse AP = t und die Ordinate PM = u, ferner sei ANC eine der ge'iuchten Curven Man nehme auf ihv den Bogen AN an, welcher in derselben Zeit zurückgelegt werden soll, als der ^Jf und verbinde die Punkte M und N durch die gerade Linie MIV. Nun construire man die Cuive 4LB so dass die Ordinate LP = MN werde. Diese Curie wird daher in A und ß mit der Axe ^S zusam- menfallen denn mit V nird zugleich N in A und C zusam- mentreften weil nach der Voraussetzung die Bogen i4^/C und ANC in derselben Zeit zurückgelegt werden. Man sieht aber ein, dass min aus der Curve ALB die andere ANC finden kann; denkt nnn sich daher unzählige solche Curven ALB, welche in 4 und B mit AB zusammentreffen, so wird jede von ihnen enip Cuive ANC ergeben und man erhalt aul diese Weise unzählige Cuiven, welche der Aufgabe Genüge leisten
Es fei nun PL = r,.so wird r irgend eine Function lon t sein; es sei -ibei für die Curve ANC die Abscis'ie AQ=:v und die Ordinate Qi\=j. Unter diesen Voraussetzungen wird MN— V(a;-0^ + (2/— w)^=r, also ^ =: w+\ i^—(w~tf. Da ferner die zur Beschreibung der Bggen AM und AN erl'or-
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UV f einer ffeffebenen Linie im leeren Baume. 155
derlichca Zeiteu als einander gleicli vorausgesetzt weiden, so haben ivir
J 'sfgt J yfgx
Feiner ergibt sich aus der obigen Gleichung ,
, , rdr — xdx + tdx-\- xdt — tdt
dy = du ± ■— __-^
Man setze nun
du = pdi und dr — qdt, so werden r, p und q Fnnctioiien von (. Ferner setze man der Kürze wegen .«— ( = i oder x = f+i, wodurch wir er- halten
''\^^.dx-^p-dt--Vd&Vidldz^-dz-+ ^P^-^^^"^ yg).3 di^—2qndtdz+i^ dx^
Hieraus erj^ibt sieb folgende Gleichung
— 2tdtdt+xäg^+ip^di^. Bestimmt man hieraus x als Function von t, so erhiilt man eine Gleichung zwischen x und j. Damit man aber sehe, was für eine Function von t man statt r annehmen muss, damit r för ( = 0 und t = AB = <t verschwinde; sei P eine belie- bige Function von t, welche für t — 0 versehwindet und Q eine, ebenfalls fiir i = 0 verschwindende Function von (. Fer- ner gebe Q für ( = a in /i üher, alsdann kann man r ^= P (A~Q) setzen. Substituirt man diesen Werth von r, so er- hält man, was auch für P und Q gesetzt werden mag, eine Gleichung für die gesuchten Curven.
Anmerkung I. §. 35t). Aus dieser höchst verwickelten Gleichung kann man wenig für die Aufgabe Krspri essliches schliessen, wenn auch diese Methode eigenthGmIich zu sein scheint. Oft muss aber aus der gefundenen Gleichung etwas Absurdes folgen, wie etwa, wenn die gegebene Curve AMC, die Linie des kür-
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156 Kapitel II Von der Bewegung eines Punktes
zesten Med ersteige ns ist, wo es keine andere Cuive geben kann, auf welcher das Heralisteigeü in derselben Zeit eifolgte. Es erseheint daher unserm Plane angemessen, die Linien des schnellsten Niedersteigens zu behandeln und diejenigen Auf- gaben aufzulösen , in denen unter allen Curven , welche ent- weder dieselbe Länge oder eine andere Eigenschaft gemein- schaftlich besitzen, diejenige gesucht wird, welche in der kär- zesteii Zeit zurückgelegt nird. Ferner wie man unter allen Linien, auf denen ein Körper in derselben Zeit herabsteigt, diejenige zu fmden habe, welche irgend eine gegebene Eigen- schalt be&itzt. lot es auch sehr schitei. alte Linien von der- selben Fallzeit darzustellen . so kann man (loch Eine von ihnen durch die Eigenschaft, «eiche sie vor den übrigen besitzt, heransflnden. Zur Behandlung dieses Gegenstandes ist aber die Methode der isoperimetrischen Curven erforderlich, welche wir als andern ärts behandelt hier nicht auseinandersetzen werden.
Anmerkung 2. §. 360. (Figui 5ri.). Die Auflösung dieser Aufgabe erhält man, nach §. 548., folgendermaa&en. Es nar doit du dr(\ \- q^)
-Sf, ± ^^0 + rf) -
(s — rt/)^
Es sei C der Punkt, in welchem alle Curven sich vereinigen sollen und man setze AE—fund EC=h, so dass für r=:f, s=;A werden niuss. Es sei daher S eine beliebige Function von r, welche für r = /" in F übergehe, so dass man
— £lZ' * F
setzen kOnne; diesen Werth substituire man in die obigo Glei- chung und integrire diese so, dass für u ^ a, r ^ f werde. Alsdann ergibt sich eine Gleichung zwischen den Coordina- ten der gesuchten Curve, nämlich AP = a: und P3I == y da- durch, dass ^ = — und y^ ^ ist. Der wiltkührlicbe Werth
von S wird aber unendlich viele Curven jijWC ergeben, welche die Punkte A und C verbinden und auf denen der Körper in der gegebenen Zeit = V^6 von A nach C gelangt. Es sei ferner dS = Tdr, alsdann wird q = -vr, also
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auf einer gegebenen Linie int leeren Räume. li>7
. dr(F^+h^T^
— F^r~k^ST± y ■^^^(Fa+A32'a)_(FAÄ~FA2>)2
~-Fh—JfiST±F^^^(F^-t-h''T^) -
(hS-
Diese Gleichung muss so ititegrirt werden, das« für u = a, r ==/■ werde und ntuii man dann j; ^ — und ^=2-^;— setzt;
so erhält man eine Gleichung zwischen w und y für unzäh]ii;e Curven AMC, welche der Aufgabe Genüge leisten. Satz 40. Aufgabe.
§. 36]. (Figur 60-). Man soll ein allgemeines Gesetz fin- den, nach ivelchem eine Curve eingerichtet scinniuss, damit ein anf derselben herabsteigender Körper am schnellsten zu einem beliebigen Punkte der Curve gelange. Auflösung.
Es sei AMC eine Curve dieser Art, auf welcher ein Kör- per In körzerer Zeit von A bis C gelangt, als auf jeder andern durch A und C gehenden Curve. Nimmt man daher auf ihr zwei beliebige Punkte M und ft an, so niuss der Korper, hei seiner Bewegung auf AMC, das zwischen diesen Punkten ge- legene Stück der Curve in kürzerer Zeit zurücklegen, als je- den andern zwischen denselben Punkten eingeschlossenen Bogen. Es seien nun die einander sehr nahe liegenden Punkte M und ft verbunden durch die zwei Elemente Mm und wji, alsdann muss die, dem Bogen Mm^ entsprechende, Zeit ein ininimum, d. h. sie muss nach der Lehre vom niaximum und minimum gleich sein der Zeit, welche den sehr nahe liegenden Elemen- ten Mn und wji entspricht. M;in ziehe nun zu AP als Abscis- senaxe die Ordinalen MP, mp und (iTt, nehme Pp^pn oder MG = mH an und verlSngere, wenn es nöthig ist, pm bis n; alsdann wird mn, in Bezug auf die Elemente Mm und m^i, unendlich klein sein. Bezeichnet daher temp. Mm die zur Be- schreibung von Mm erforderliche Zeit, so haben wir die Glei- chung
temp. jtfm-|- temp.»i(i = temp.TÜ/nH-temp.wji. Es sei nun die Geschwindigkeit des Körpers in M, womit der-
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1S8 Kapitel 11 Ion ilei Beuegvng eines Punktes
selbe also beide Elemente Mm und Ww zmiicklegen iviirde, = V'v, in in sei die Gesell» indigkeit = V^ti + rfw und in u = V^v + du-f-ddtc mit jener und der Körper das' Element m/ii, mit diesei das Element nfi zuiuckle^en Hiernrith erhält man jet^t die lol<rende Weichuni*
lUm Wfi _ J/k , Ttji.
\ r \ t H (Tt St. \ v+ilii+dilw Es ist aber
1 1 ddw
|
Vi |
' + du+ ddw |
Vv + du |
2{« + rfi<)*'"«-(-rf« |
|
id wpn |
a man daher ^ |
ron iJ/ (ind [i |
aus dio kleinen Kieisbo; |
|
g und |
vk schlägt; s< |
> erhält man |
|
|
«.9 — ' Vv 'V^ |
,4 |
+ dtt)\v-t-(hc |
|
|
s ist fern«' |
|||
|
1 1 |
rf« |
„,l 1 |
— -J— - 3./»
substiUiirt man diese Werthe und vernachlässigt, was nachlässigen ist; so erhält man die Gleichung
2v(?)th—jig) — m/t.du — JUm.ddw. Nun ist tiboT i^nmi/comMG und \mnhcomnfJ, alst ng:mn =l mG:mM und mk-.mn ;= fiHinifi. oder
«ß =
(jßf*. Mm) \MmJ Mm mn
Diese Gleichung ist homogen und bestimmt die Natur der Curve AMC, welche man die brachystochron e nennt und auf welcher der Körper in der kürzesten Zeit von A nach C
Zusatz 1.
§. 362. Setzt man MG = mll = da;, mG = dy und M)n = Vd^Td^ ^ ds; so wird Hft — di/+ddi/ und mji
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auf einer gef/ebenen Linie im leeren Räume. 159
~ ds-\-dds- Suhstltuirt man diese W^rthe, so eiliÄlt iiinn die Gleichung
o j 'ly ^- dydu fhddw
Bestimmt iiiaii mittelst der antreibendeu Kralte v, du und ddw, so erbäit man hieraus die Gleichung der biachystochrorien Omve. ddw wird aber stets mnso enthalten, dass dieses aus der Rechnung verschivindet.
Zusatz 2. §. 363. Es sei der Krümmungshalbmesser der Crirve ;)//«(( = r, so itird dieser nath der, der Axe AP gegenüberliegen- den, Seite gericbtet sein und r =::; — ; — r-r- ■ Es ist aber " dxddy
, dy dsddy — dydds dx^ ddy __ dx .
ds ds^ ds^ r '
mithin geht die Gleichung über in
2vdx __ dydu dxddta
~T' '^dT. ~i^r'
Hierbei ist zu bemerken, dass — die Centrifiigalkraftist, durch
welche die Curve in M, längs der auf ihr [lornialeii Linie, «inen Druck erleidet.
Zusatz 3. S- 364. Ergibt sieb aus den antieibeiiden Kiällen die Glei- chung
dv = Pdx + Qd^ + lidi , so erhält man
du= Pd.v+Qdi/ + Rdx und ddw = Q.mn+Ji.nff. Wird nämlich der Punkt »i nach n gebracht, so nimmt <^y u
t und ds t Q+ R.'^ und 1
du
2v „ Pdy— Qdx
Anmerkung 1.
g. 365. Aus der Aullüsung ersieht man, dass die gefun- dene Formel sich sehr weit erstreckt und sich auf beliebige antreibende Kräfte ausdehnen ISsst, selbst den Widerstand
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lüO Kapitel II. Von der Bewegwui eines Punktes
nicht ausgenoinineD. Welches nämlich die antreibenden KrSftf! sein mögen , so kann man so wohl du als auch ddw hestim- men uud wenn man alsdann diese Werthe suhstituirt, erhalt man eine Gleichung fuf die gesuchte brachystochrone Curve. Diess (indet jedoch nur statt, wenn die Richtungen der Kräfte in derselben Ehene liegen, indem nämlich die gefundene Cur ve ebenfalls in derselhen Ebene liegt. Liegen die Kräfte nicht in derselben Ebene, so kann man dennoch mittelst dieser For- mel die brachystochrone Curve in einer gegebenen Ebene fin- den. Man findet nämlich in jeder gegebenen Ebene eine be- sondere brachystochrone Ciirve, wio auch die antreibenden Kräfte beschaffen sein mögen.
Eine andere Frage aber findet statt, wenn man unter allen Linien, welche zwei Punkte verbinden und auch nicht in der- selben Ebene liegen, die brachystochrone Curve sucht. So oft die Richtungen der antreibenden Kräfte in einerlei Ebene liegen, findet kein Zweifel statt, dass auch die brachystochrone Curve sich darin befinde. Wäre diess nicht der Fall, so wür- den die Kräfte in schiefer Richtung wirken und den Körper nicht in dem Maasse beschleunigen , als diess geschehen könnte. Aus dieser Auflösung erhält man daher so wohl die absolut brachystochrone Curve, wenn die Richtungen der Kräfte sich in derselben Ebene befinden, als auch die in einer gegebenen Ebene liegende brachystochrone Curve, wie auch die antrei- benden Kräfte bescliaffen sein mögen. Anmerkung 2.
§. 3Ö). Diese Frage über die brachystochrone Curve oder die Xjinie des schnellsten Niedersteigens hat zuerst Joh. Ber- nouUi aufgestellt und es existicen mehrere Auflösungen der- selben, so wohl in den Act. Lips., als auch in den Abhand- lungen der Englischen und Pariser Akademie und anderwärts. Dort ist diese Aufgabe, unter der Voraussetzung von abwärts gerichteten und von Centripefalkraften gegeben. Niemand aber hat eine Fundamental-Aufgabe, wie wir hier, gegeben, welche sich so weit erstreckt, dass sie auf beliebige Kräfte und auch auf den Widerstand ausgedehnt werden kann. Alle haben näm- lich angenommen, dass
ddw ^ 0 sei, was immer ßilschlich geschieht, wenn nicht die Richtung der Kraft mit MG oder mll zusammen lallt. Desshalb beging Herrmann einen Fehler, indem er sich eines solchen Satzes
y Google
auf einer gegeltenen Linie im leeren Rumne. 161
bediente , um die brach ysloclirone Curve hn »i<1 erstehen den Mittel r.u finde» (Comm. Aciid. Petrop. A. 1727); ich habe diese in denselben Commei)t, A. 17H4, mittelst dei' vorliegen- den Aufgabe, verbessert.
Satz 41. Aufgabe. ä. 367. (Figur 60.). Ein Körper wird beständig durch eine beliebige Kraft abwSrts gezogen ; man soll die brachy- stochrone Curve AMC finden, auf welcher der Körper ani schnellsten von A bis C herabsteigt. Auflösung. Unter der Voraussetzung i\cr vorhergehenden Figur und Bezeichnung sei die Kraft, welche den Körper abwärts treibt, = P; alsdann haben wir
-ß
Pdx.
welches Integral so genonjuien werden muss, dass es riira:=0 verschi'inde , weiiii iiir niiniiieh voraussetzen, dass der Körper seine Bewegung in A von der Ruhe an beginne. Wir erhal- ten daher
da — Pda: ^ dv und ddv: := 0 weil dx unveräiiidert bleibt, wenn m nach w ilbergebl. Die Gleichung (§. 362.) wird demnach
ds ds
und wenn man integrirt
2loo; f'-^^ =l()gu— logn = log ( -^ oder <id;i'^=vd!fl und dx^ CPdx—ady^-dy'^fpdx. Für die bracbystochrone Linie haben wir also die Gleichung dx ^ fPi
Y^fp.
in welcher die Veränderlichen a: und y von einander getrennt sind. Die Länge der Curve ergibt sich ferner aus der Glei- chung
Eulfc'j Mcoliflnik. II. '^
fPdx fPdx
yGoosle
Kupild IL Von iUt Beieegwiy e;
■ = *V"^=,
ZusatK ]. §. 3(5». Im Piuikt.-!, ho ,iie Oescliivindigkoit (I*!s Körpers verschiviiidet, wird fpilx ~ 0 oder th/ = 0, il, h. flie Tan- gente der Cane im Punkt .4 ist vertikal und fallt auf J/». In dem Punkte, wo /^//.■e = a wird, ist ^ =^ «) , alsQ die Tan- •^eiitc der Cui've horixuutal.
Zusnti 2. §. 369. Da ddw ^ 0 und (/*/ = Pd.x ist, so wird ^
r= (^ fg. 363.). Ks ist aber ^ die normale Kraft, welche
ds ^ ' ds
im Punkt M längs det, gegen die .4xe ^P hin gezogenen. Normale einen Druck ausübt; die normale Kraft ist daher der Centrifugalkraft gleic-i und nach derselbe» Seite hin gericlitet. Die brachystochrone Linie hat also die Eigenschaft, daes der ganxe Druck, welchen sie erleidet, doppelt so gross ist, als die normale Kraft allein. In der Folge werden wir beweisen, dass diese Eigenschaft bei allen brachystochronen Curven, so wohl im leeren Räume als auch im widevsteheuden Mittel, stattfindet.
Zusatz 3.
§. 370. Wegen der beliebigen Grösse a gibt e- unend- lioh viele brachystochrone Curven, welche alle in 4 ihren An- fangspunkt haben. Man kann mittelst eines bestimmten Wer- thes Ton a auch bewirken, dass die Curve von A aus durch einen gegebenen Puntt C gehe und dies» wird diejenige Linie zwischen A und C sein, auf welcher die Dauer dei Bencftung am kürzesten ist.
Zusatz 4.
§. 37L (Figur 61.)- Da die Ciirve AMC irgendwo eiuc horizontale Tangente hat, so sei .fiC dieselbe und man nehme in C die vertikale Axe C'Q an. Es sei CQ = -X, QM = Y und CM i::^ S, alsdann wird dX = ~dx, d.Y ^ —dy und dS = —ds. Ferner «Ird fPdx = a— fpdX, wo/Pi/X so angenommen wird, dass es für X = ii versühwiiide. Beziebt man daher die Curve auf diese Axe CQ, so wird
y Google
tilupi- fjcgabeiien hhiie im leeren
dX\fa~fp,lX .
'-- ■' oder dS = ^—^
\ffp.,X V/'
'PdX
Ziisutz 5.
g. 372. Diese Curveii haben alle, auf Leiden Seitof] der Axe CQ, zwei gleiche und ähnliche Bogen «nd auf gleiche Weise liegt die Curve auf beiden Seiten der Axe AB. Der- artige Curven werden also unendlich viele, einander parallele, Durchmeäser hahen, welche um den Abstand BC von einan- der entfernt sind; wenn nicht etwa die antreibende Kraft so ungenoiniuen wird, dass sie obeihalb ^ negativ auefällt, in wel- chem Falle die Curve CMA sieb nach oben ausdehnen und- ihre concave Seite abwiirts wenden kann. Beispiel 1.
§. 373. Es sei die autreibende Kraft gl eich förmig oder P =^ g, alsdann wird jPdoc = gx und «eun man gb statt « setzt, die Gleichung der brachystochronen Curve unter dieser Voraussetming
dxSfx ,_ , _ dx'STb
d,j:
üezieht i
uls<
|
- ü:51^ „i„ d. - |
ax s 0 |
||
|
jileichiing |
auf die Aie CO, «» e |
rhsKeii w |
|
|
dXVb^ 'fx |
■^ oder dS |
VX |
|
|
Ä = |
= 2VM. |
||
|
UTig geht |
hervor, dass |
diese <:iir\ |
e eine ('> |
Aus dieser Glei
cinido ist, welche man auf der horizontalen Basis mittelst ei. nes Kreises vom Durchmesser = 6 au beschreiben hat und zwar ist diese Cycloide abwärts gerichtet. Diese haben Job, Bcinoulli und andere ausgezeichnete Geometer schon frü- her gefunden. Sind dalier zwei beliebige Punkte A und itf ge- geben, so findet man die Linie, auf welcher der Körper am schnellsten von A nach M herabsteigt, indem man eine Cy- cloide beschreibt, deren Spitze in A liegt, deren Basis horizon- tal ist und welche durch den Punkt M geht. Diess «ird leicht mittelst Einer beschriebenen Cycloide bewiikt, weil sie alle einander ähnlich sind. Es wird ferner die Zeit, in welcher der Kürper von A nach M gelangt, d. b. die kürzeste Zeit
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104 Kapitel II Von der Bewef/mi/ eines Punktes
und die Länge der Cuive AM
= Pd^S/J ^ 2b - 2 V^H5^.V)- J Sfb-ct
FeniBt "ird, weil y = f --^1^=. = — '<^bT-^-' ^ \b
C .^ — die dein Bogen AM entsprechende Zelt
^ 2y + 2VF:^-^ ^ %_ ^^^ sin. vors. .T,
in einem Kreise, dessen Durchmesser ^= b ist. Beis,n«l2. §. 374. Ist die antreibende Kraft P einer beliebigen Po- tenz der Abscisse CQ proportional , also /* = ^ ; so wird
Es wird also die brachystochrone Cnrve ausgednickt durch die Gleichung
« = 1^ V'ci.TTW^ .vird. Ist daher w — 1 oiler w> 1, so ivird die Cun e CM utiendlit h gross oder mit der geraden Linie BC identisch. Die Spitze A der Curve oder den Punkt, in welchem die Bewegung an- fangt, erhält man indem man
dX-
auninimt. Es ergeben sich algebraische Cnrven, wenn _ 1—2.1. " - 1+2». ist, wo Hl eine beliebige ganze und positive Zahl bezeichnet.
y Google
|
auf einer gegebenen Lh |
lie im teeren Räume.. 165 |
|
In diesen Fallen wird n negativ u |
""<•■'""" "+'=1TSS |
|
positiv. Ist in = 1, so wird |
»=-.,.,WK=- |
|
V|a/-i-Ät; ferner F= C—\liif-'\—Xl\l V mithin vollständig |
ind 0 — C'-{liif-l)l, |
|
Diese Gleichung wird, wenn man ten Grade. Anf ähnliche Weise sehe Cmven, welche unter gewis |
sie rational macht, vom sechs- (indet man andere al^^ebrai- ;seu Voraussetzungen brachy- |
stochrone sind.
g. 375. Aus der gegebenen Auflösung dei: Aiilgabe folgt zugleich die Auflösung der umgekehrten Aufgabe, nach »el- cher man eine solche abwärts gerichtete antreibende Kraft sucht, dass die Curve eine hrachystochroue werde. Diese Curve muss aber in ihrem untersten Punkte C eine horizontale und irgendwo in A, wo die Bewegung beginnt, eine vertikale Tangente haben. Ist etwa die Gleichung der gegebenen Curve dY = RdX,
|
dl- |
y„-fpdx \jjpdx |
, m fpdx^ |
a- f'pdX, |
|
£ll«0 fpdX = Setzt man wird |
den Krümtnungshaibmesser im Pu -''*"' und P- ^'""' |
-%tdXdyddV dS> nkt M = r, so |
Es verhSIt sich daher der Krümmungshalbmesser im Punkt M zu einer gegebenen Linie, wie der Sinus des Winkels, wel- chen die Tangente der Cune in M mit der Vertikalen bildet, zur gesuchten antreibenden Krait. Die Höhe, welche der Ge- schwindigkeit des Körpers im Punkt M zukommt, wird ferner
y Google
K«inld II. Von de- He
-/'
,, , V nfta ad Y^
niitliiii ist die Geschwindigkeit des Kiir]iers dem Sinus des {^eiiaiiufen Winkels proportional, Ist etiva die ('nrve CMA eil], mit dem Uadius — c lieschriehener, Kreis, ^o halten wii'
u,i,| p = 2«(<'--^) — 2« ■4/'
Die ahwiirts ziehende Kraft ist also der Ahsclsse AP propor- tional und dieser ist ferner auch die Gusohivindigkeit = -y=
V"« =
propoi
A u tu e r k u II g 2. §. 376.(Fig.60.) Nachdem wir die brachystrochone Linie, unter der Voraussetzung einer abivärfs gerichteten antreibenden Kraft, gefunden haben, würde die Reihefolge erfordern, dass wir die- selbe Bestimniiing, unter der Voraussetzung von Centripetal- kräften, ausführten. Der Fundamentaleati (§, 361.) ist aber so eingerichtet, dass die Elemente Mm und rnji. der Curve auf die Axe AP und die rechtwinkligen Ordinalen MP und mp bezogen wurden, was ffir den Fall, dass Cen tri petalkräfte wir- ken, weder bequem noeh passend ist. Es scheint zwar, als ob man die Elemente MG «nd 7nfi als nach dem Ceufrum der Eriifie conver^rend ansehen könne ; allein der Fehler, welcher daraus entspringt, dass diese Elemente nicht einander parallel sind, wie es der FundanientaJsafz erfordert, nird fälschlich vernachlässigt. Man kann diess einleuchtend machen, indem man den Krümmungshalbmesser bestimmt, welcher, wenn 3fG #mä wJirc,
sein würde und welcher Ausdruck nicht mehr stattiiudet, wenn MG und tnU nach dem Centrum hin convergiren. Ehe wir daher zu den bracbystochronen Curven, unter der Vorausset- zung von Centi'ipetalkraften , tibergehen, müssen wir aus dem Fundamentalsatz eine allgemeine Eigenschaft ableiten, welche einer beliebigen Voraussetzung von Centripetalkräften ange- passt ist. Mau wird hieraus ersehen, dassHerrmann in sei-
y Google
! i'oi teeren Haume.
mi
ner Phnronomie und andeie, welche biuchystochronc Ciirven für C etiti'ipe tat k rufte gegeben haben, sieli Urigor Weise eines Princips bedienten, uelclies nicht mit der Wahrheit Uberein- slinunt. Diess werden wir bald zeigen. S ata 4-2.
Lehr
Uta,
g. 377. (Figur CO.)- Wie attcli die antreÜ.endeii Krüfte beschaffen sein mügcn, so ist diejenige Linie die bvachysto- chrone, gegen welche der auf ihr sich bewegende Körper einen doppelt HO starken Druck ausübt, als vermöge der Centrifugnl- oder der Normalkraft allein hervorgebracht werden würde. Beweis.
Es mügen beliebige und beliebig viele antreibende Kräfte stattÜiiden, so kann man sie doch alle in je zwei zerlegen, von denen die eine längs MG und die andere längs JHP gerichtet
Die
erstere 1 der Bedeutung des
werden
beiden Kräften entspringt die i
die tangentiale ^ . ^
P, die [efztece ^ Q, w, y, s und i origen Satzes genommen. Aus
™„UeK™tl=™2+«!and
e auch die Gleichung
ds
, dv = Pdx—Qdi/. Vergleichen wir mit der letztern diejenige Gleichung, "eiche wir iti g. 364. ausgefahrt haben, nämlich
•gativ und ß r= 0 und 2v Pdf/ H- Qdx r ~ ds "
2«:..
aber die Ceiitrifugalkrafit und -
, Pdy + Qd^ ds
Kraft, welche beide in M gegen die Curve drücken. Da beide einander gleich sind, erleidet also die Curve einen doppelt so starken Druck, als wenn Eine allein wirksam wäre.
Anmerkung 1. §. 378. Im folgenden Kapitel werden wir beweisen, dass eben dieser Satz auch in jedem widerstehenden Mittel statt- lindet, Wir hätten diess zwar hier ohne grössere Mühe zei- gen können, es erschien uns aber angemessener, diesen Sat»
y Google
168 Kfipilel 11. VtiH der Bewegung eines Punkh-s
in (Ins folgende [va|iitel /^u übertragen, weil dieses für die Be- handlung des Widerstandes bestimmt ist. Zusatz 1.
%. 379. Mittelst dieses Satzes ist es leicht, mifer jeder Voraussetzung der antreibenden Kräfte die bracliystüchronen Curven zu besfimnten. Wir haben diess znm Theii schon frü- her ausgeführt, als wir diejenigen Curven bestimmten, auf de- nen der ganze Druck ein gegebenes Vevhälfmss zur Ceiitrifn- gal kraft hat.
Zusatz 2.
§. 380. Alis der Gleichung dv = Pdx — Qdi/ folgt v = fPdx ~ fQdy, welche Integrale so zu nehmen sind, dass sie für *■ = 0 und y = 0 verschwinden; vorausgesetzt, dasa die Bewegung in A von der Ruhe an beginne. Zusatz 3.
§. 381. Substituirt man den für v gefundenen Werth, ho erhalten wir als Gleichung der brachystochronen Curve
nach der Voraussetzung r auf die der Axe AP entgegenge- setzte Seife lallt; wir erhalten daher die folgende Gleichung
g. 382. Da diese Gleichung eine Differentialgleichung zwei- ten Grades ist und daher eine doppelte Integration erfordert, ^ kann durch die eine Integration eine beliebige Oonstante hinzMgetiigt und durch die andere bewirkt werden, dass für ,r ^= 0 auch y — 0 werde. Es ergeben sich daher unend- lich viele braebystouhrnne Curven, unter der Voraussetzung derselben antreibenelen Kräfte. Ferner kann man durch die beliebige Constante bewirken, dass die Curve durch einen ge- gebenen Punkt gehe.
Zusatü i).
§, 383. Die Zeit, in welcher der Kiir|ier von A naeh M gelangt, ist
y Google
nuf einer t/egebenen Linie im leeren Räume. 169
J SffPäa: -fddy ^ ^ A/^ + Qdx'
Mclcher Ausdruck iius der Gleichung der Curve abzuleiten ist Diese Zeit muss aber die kürzeste sein von allen denjenigen, welche der Kilrper liraucht, um eine der, znischen Ä und M gezogenen, Curveii zu besch reiben.
Anmerkung 2. §. 384. So wie ferner unter jeder Voraussetzung der an- treibenden Kräfte diejenigen Curven frei beschrieben werden, auf ivelchen die Centrilugallcrail der Normalkraft gleich und entgegengesetzt ist; kann diess auch bei den brachystochronen Curven geschehen, auf denen beide Kräfte ebenfalls einander gleich, aber nach derselben Seite gerichtet sind. So wie fer- ner jene Eigenschaft aller frei beschriebenen Curven auch im widerstehenden Mittel stattfindet, wird dieselbe aufalle bracby- stochrone Curven im widerstehenden Mittel ausgedehnt. Salz 43. Aufgabe. S. 085. (Figur 02.). Ein KOrper ivlrd durch eine belie- bige Kraft beständig nach dem Mittelpunkt C der Kräfte hin- gezogen ; man soll die brach ysto ehr one Curve AM bestimmen, auf welcher der Kiirper am schnellsten von A nach M gelangt. Auflösung. Man ziehe vom l'unkt A, in welchem nach der Voraus- setzung die Bewegung ihren Anfang nimmt, die gerade Linie AC nach dem Mittelpunkte der Kräfte, eben so die Linie j)/C und fälle auf die Tangente MT das Perpendikel CT. Nun setze man AC ~ a, CM = ^, CT = p, die Ceniripetal kraft im Punkt M = 1^ und die tieschwindigkeit 'in demselben Punkte ^ Vv. Alsdann haben wir
d.v ^= — Pdy und t; — — f i'iljh welches Integral so zu nehmen ist, dass es für y = n ver- schwinde. Die normale Kraft wird =: --f^ , uelche der Ceu-
trifugalkraft gleich und dieselbe Richtung haben niuss, damit nach dein vorigen Satze die Curve eine brach ysto eh rone werde. Die Curve muss dahev gegen C cooves sein und der Krüm- mungshalbmesser auf die, vom Mittelpunkt C abgewandte Seife
y Google
170 KapiU?l II. Von der ßea-etjitng eines Pim/äes
fnilen. Da nun lij-^ der Auatliiick des KiüuimoiigshaJftmesHers
dp ist, wenn dieser nacli dein Mittelpunkt C hintaltt, so wird im
gegenwärtigen Falle dieser Ausdruck =: ■— J-~J smt nifissett.
Hp Die Cenlrifugalkraft wird daher
uiid es muss dieselbe der Normalkraft — gleich sein, wnriins die Gleichnng entspringt
V J'Pdy ■ Litegrivt man dieselbe, so erhalten vviv
^-==— l'pdy oder p ^ \ ^b Ppäy;
diess ist die Gleichung der gesuchte» Curve. Schlägt man vom Mittelpunkte C aus den liTeist)ogeii PM = ^> so wird
'<• P* = -yi V. a . a- Hieraus erhält adyy — b i , ^f^^fPc von ;7 substituirt.
Diess ist eine Gleichung zwischen y und dem, mit dem Ra- dius = « beschriebenen, Kreisbogen s, welcher den Winkel ACM misst und woraus die Constnictlon der gesuchten Curve folgt.
Zusatz 1.
§. 386. Da wir haben v — — Ppdy = '^^ so ist die
Geschwindigkeit des Körpers an jedem Orte dem, aus 6' auf die Tangente gelallten, Perpendikel proportional; auf ähnliche Welse, wie sie bei der freien Bewegung diesem Perpendikel umgekehrt proportional war.
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inif einer ifCf/ebenen Linie im leeren Räume. 171
Zusatz 2.
§. 387. Es sei der Kruiiimuasshalbmesser im Punkt M=t,
so "irrt nach der CeJingwng der Aufgabe
2^ _ Pp „._„ „ _ -^H^ _ 2ra ----, aisor _-^ - -^^.
Da aber im Aiifannspunkt A der Ctirve p =: fi oder jJf die Tangeute der Curve ist, so wird daselbst auch der Krümmungs- halbmesser = 0. wenn nicht etwa zugleich die Oentripetalkraft P iti A verschwindet,
Zusatz 3. §. 388. Die grüsste Geschwindigkeit hat der Kfirper da, wo dp = 0 ist; dort ivird aber nach der Gleichung der Ourve auch dy = 0. Der Körper bewegt sich daher in demjenigen Punkte der Curve am schnellsten, in welchem die gerade Li- nie CM auf ihr normal steht. Jenseits dieses Punktes wird die Curve sich vom Centrum entfernen.
Anmerkung i. §. 389. Die Geschwindigkeit des Kiirpers in den einzel- nen Punkten der brachystochronen Cnrve ist nicht proportional dem Sinus des Winkels, welchen die Tangente der Curve mit der Richtung der Centripetalkrafl hüdet. Es ist nämlich s'inTMC = ^, die Geschwindigkeit hingegen proportional p gefunden.
y
Diese Eigenschaft ündet nicht statt, wenn der Mittelpunkt der Kräfte unendlich weit entfernt ist und die Richtungen der an- treibenden Kraft einander parallel sind. Diess geht aus §. 367. hervor, wo die Geschwindigkeit proportional war -^ , d. h. dem
Sinus des Winkels, welchen das Element der Curve mit der Richtung der antreibenden Kraft bildet Herrniann glaubte aber (Comm. Acad. Petrop. Ä, 17'27), dase diese Eigenschaft allen brachystochronen Curven, so wohl im leeren Räume als im widerstehenden Mittel, zukomme. Daher sind die von ihm, für das widerstehende Mittel, wie auch im leeren Räume liir Centripetalkräfte gegebenen, brachystochronen Ctirven keine derartige. Er fand tiiir diesen Fall die Gleichung
-/fti.
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Kapitel II. Von der Üeweffitaif e
%. 390. Es sei die Centripetal kraft den Abständer Es wird daher
/'
fity _ ^^^ und V ^- _ ^
ist die Gleichung zwischen p und i/, welche der hra- chystochroiien Curve in diesem Falle angehürt. Die andere Gleichung zwischen dem mit dem Radius a beschriebenen. Bogen s, welcher den Winkel ACM misst und y ist die fol- gende
Den untersten, oder den dem CentruJii am nächsten liegenden Punkt dieser Curve findet man, indem man entweder dy = 0 oder p = y setzt. Es wird alsdann
, = »Vt
welclies also der kürzeste Abstand der Cnrve vom Punkt C ist. Der Kriiniuiungshalttmesser dieser Curve Ist in einem be- liebigen Punkte
In dem Punkte der Curve, weicher dem Mittelpunkt am näch- sten liegt, " Ird also der Krümmungshalbmesser am grJissten und
Setzt man nun tgACM = *= (, so wird '^ = -^^ und wenn man ferner
scl^t; so erhält man die Gleichung
^(_ dfj dg
i i - f, '/
Aus derselben ersieht man, dass die Ciuve eine algehrtiische
ist, so oft ,~r-?r^ ei" Quadrat ist. 6 + 2/
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|
auf einer gegebenen Linie in Die Länge der Curve AMisi allgei iinil ilaher im vorliegenden Fülle |
1 leeren Räume. 173 „ei,,-/" ^ÖL |
|
Aus dieser <ileichuiig folgt, dass dii AM eine Hypocycloide ist, welche ei |
6 + 2> B brachystoi'broije Curve ntst«!lit, indem ein Kreis auf der concaveii Seite |
f'+'ff
des, ans dem Mittelpunkt C nitt dem Radius AC beschrie- lieneo, Kreises AE Cortrollt. Da man nun ö nach ßelieben annehmen kann, so werden offenbar alle, auf der Peripherie AE entstandene, Hypocycloiden brachystroclione Curven sein. Beispiel 2. §. 3«]. Es sei die Centripetralkraft dem Quadrat des Ahstandea umgekehrt proportional, also etwa P := '-. Als- dann wird
/'
My - - '-- i- !--
r , r ^ rAizii)
"■!) '> '
Diess ist, unter dieser Voraussetzung, die Gleichung der bra chystochroneri Cnrve zwischen ^und;?. Die andere Glcichunj?^ zwischen dem Bogen s und dem Abstände y, wird in diesem Falle
ds--
~ yVny^-\-bry-„l>r Den tiefsten Punkt dieser Curve bestimmt man, indem dy = Q gesetzt wird, mittelst der cubischen Gleichung
(„j^+bry = «i>P-
Uebrigena ist diese Gleichung zwischen * und y hinreichend, um die gesuchte Catve zu construiren. .
Änmeikuiig 2. §. 392. Aus dem, was wir iu diesem und den vorherge- henden Sätzen aufgeführt haben, ersieht man, auf welche Weise
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1"'4 Aafntel II J ok ihr Ilewcfpütg eines Punktes
nun bei jeder vorausgesetzten aiitreilienden Kraft iliejeiiige Linie zu tinden hibe luf welcher ein Kürper von einem ge- gebenen Punkte zu eniera andern am geschwindesten gelangt. Nun iiiub-. daher luch die I inie bestimmt werden, auf welcher ein K rper von einem i,e„ebeneji Punkteam schnellsten, nicht zu einem andern Puilvfe, sondern zu einer gegebenen Linie gelaugt Gewiss wiid die gebuchte Curve eine der unzähligen hrachj'.tochronen sein welche von ihnen es aber sei, werden wii jm fo!:;enden Satze eikläien.
Siit7. 44. Lehrsatz, §, 393. (Figur G3,). Ein Körper gelangt von einem gege- benen Punkte A zu einer gegebenen Linie ßM am schnellsten auf derjenigen brachystochronen Curve AM, welche ÄTÖ unter einem rechten Winkel schneidet; und zwar geschieht diess unter der Voraussetzung einer jeden antreibenden Kraft.
Es sei J(W die Linie, auf welcher der Körper am gesclinin- desten von A nach BM gelangt, alsdann sieht mau zuerst ein, dass diese Linie eine brach ystochrone sein wird. Gäbe es nämlich eine Linie, auf welcher der Körper schneller von A nach M gelangte, so würde diese eher der Bedingung Genfige leisten. Ferner schneidet die Curve AM die andere BM im Punkt M unter einem recbten Winkel. Wäre diess nicht der Fall, so würde man die sehr kleine Normale jAn zu ziehen haben und weil alsdann mn<,mM wSre, mi'issfe der Kfirper durch Amn schneller, als durch AmM zur Ciirve BM gelan- gen. Damit diese Ailsiiahine nicht stattfinden könne, mtiss nothwendig AM auf BM normal stehen. Unter den unzähli- gen von A nach BM zu ziehenden brachystochronen Curven wird diejenige, welche auf der letztern normal steht, also die Eigenschaft haben, dass der Körper auf ihr am schnellsten von A nach B3I gelangt.
Zusatz 1. §. 304. Sucht man daher unzählige Curven, auf denen der Körper in einer gegebenen Zeit vom Punkt A nach der Linie £ylf gelange; so muss diese gegebene Zeit grösser sein, als die der brachystochronen Curve AM entsprechende, indem sonst die Aufgabe eine unmögliche werden wärde.
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mtf filier gf.f/eln'nen Linie im leeren Räume. 175
Zusatz 2.
§, 3fl5. Trifft es sirii . dass mehrere farachysfochrone Ciir- ven auf B91 normal stellen, so werden »ich auch mehrere kür- zeste oder längste Zeiten eigeben. Nach dieser Methode wer-- den nämlich so «ohl die minima, als auch die masima dar- gestellt. ^ Zusatz 3.
§. 396. Üa die Zeit, »reiche der brachystochronen Curvc AM entspricht, ein minlmuin ist, so ersieht man aus der Me- thode der maxima und minima, dass, ivenn man sich zwei eiii; ander sehr nahe liegende brach ystochrone Curven auf BM normal atehend denkt, alsdann die heiden eiifsjuccheliden Zel- ten einander gleich sein n erden.
Zusatz 4.
g. 3<I7. Wäre iWner die Curve B!fJ so beschaffen,, dass sie alle aus A gezogene brach ystochrone Ourven unter rech- ten Winkeln schnitte, so würden die Zeilen, welche allen bis Bin gezogenen brachystochronen Curven entsiirechen, einan-' der steich sein.
Zusatz 3.
§. 3Ö8. Diejenige Curve, welche von allen aus A gezo- genen brachystochronen Curven gleichzeitige, oder in derselben Zeit durchlaufene. Bogen abschneidet, wird daher alle jene Curven unter rechten Winkeln schneiden und so eine auf ih- nen rechtwinklige Bahn sein.
Zusatz G.
§. 309. Wenn umgekehrt eine Curve von unzähligen an- dern Curven isochrone Bogen abschneidet und mit denselben rechle Winkel bildet, so werden jene alle braehystochrone Curven sein.
Anmerkung.
§.400. Man sielit leicht ein, dass diet^er Satz auch liir- das widerstehende Mittel gelten wird, indem die Zeit, welche dem »ai-BM normalen Element mn entspricht, auf ähnliche Weise kurzer sein muss, als die dem nicht perpendikulären Element mJfl entsprechende Zeit; hierin liegt aber die ganze Kraft des Beweises. Sind daher vom Punkt A aus unzählige Curven gezogen und kann man das Gesetz der antreibenden Kräfte und des Widerstandes linden, bei welchem jene Curven alle brach ystochrone sind; so kann man auch die rechtwinklige Durchschniltslinie der letztern linden. Man braucht nämlich
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176 Ktipltel 11. Vim der ßt-wegiuiff eines Punktes
nur die Curve z« snclien, welche von jenen gleich zeitige Bo- gen abschneidet Eben diese Methode, die rechtMinkligen DnrchschnittslJnien zu finden, hat schon Joh. Beinoiilli in Act. Lips. A. 1607 dargestellt.
Satz 4!i. Aufgabe. §. 401. {Figur 64.). Man soll von allen den Curven, welche die Punkte 4 und C mit einander verbinden und von gleicher Länge sind, diejenige AMC bestimmen, auf welcher der Kör- per am schnellsten von A nach C gelangt; vorausgesetzt, dass die antreibende Kraft gleichförmig — .r/ und abwärts gerichtet sei,
Anflösung, Man ziehe die vertikale Linie ^Pund die horizontale PM, setze AP=ä:, PM = y und AM = s; alsdann wird die Zeit, in welcher AM zurückgelegt wird.
-f-s
Nach der Methode der rsoperimetrischpn Curven, über welt;he ich eine besondere Abhandlung mit allgemeinen Formeln, aus denen die Auflösung besonderer Aufgaben leicht abgeleitet wer- den kann, in Comment. Acad. Petiop. A. 1733 gegeben habe, haben wir die zwei Grössen
AM — j = fds und die AM entsprechende Zeit =/ ~=^ J ' t/ \ gx
zu betrachten, von denen die eine, in Bezug auf die andere ein maximuni oder mlnimum sein soll. Es kommt nämlich auf dasselbe hinaus, ob man von allen Curven von gleicher Lunge diejenige aussucht, welche die kürzeste Zeit erfodert, oder unter allen Curven von gleicher Zeitdauer die kürzeste bestimmt. Nach meinen Formeln ergibt jds die Grösse rf . (^) und
r^ die Grösse <;.f^-_^') ,
\(ls ygarJ beiden einem beliebig Vielfachen der andern gleich gesetzt werden. Durch Integration erhalten wir daher
's \ X
1 die letzlere Gleichung, so erbalten
ä.yi .r,zj(v;-v;) = „AV.
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o()ef
»odiirch die gesuchte Curve zu bestimmen ist. Zusatz ].
§. 402, lii der gefundenen Gleichung sind die zwei vvill- kührlichen Grössen a und m enthalten , mittelst deren man be- wirken kann, dass die Curve durch einen gegebenen Punkt C gehe und zugleich von gegebener Länge werde. Alsdann wird diese Curve, unter allen gleiih langen und durch A und C gehenden, am schnellsten zurückgelegt. Zusatz 2.
§. 403. Wird so wohl « als vt =-co gesetzt, so ergibt sich eine Cycloide, welche nicht nur unter allen Curven von derselben Länge , sondein unter allen überhaupt am schnellsten zurückgelegt wird.
Zusatz 3.
§. 404. Setzt man j« =; 0, so wird dg ^ 0 oder die Cnrve eine vertikale gerade Linie. Setzt man «=0, so erbalten wir (ly= ~^^— oder eine beliebige, durch den Pjinkt A
gehende, gerade Linie. Unter allen Linien, welche in dersel- ben Zeit zurückgelegt werden, ist nämlich die gerade Linie die kürzeste.
Zusatz 4. §. 405. Setzt man m = 1 , so ergibt sich eine algebrai- sche Curve. Wir erhalten nämlich di/ = — — und,
wenn man integrirt
1 = liVS' + 18 ■
Diese Curve lässt sich auch rectlficiren, wir erhalten n.nndieh 2« _ aa + 2V^~2^ 4/ ^r-
Enlci's Mcdianik. 11. 12
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178 Kapitel II. Von der Bewegung eines Punktes
Ferner lässt sich auch die Zeit, welche zur Besehreiliung des Bogens AM er Co r<l eil ich ist, algebraiscli darstellen; dieselbe wird nSmlicIi
J Vgw 3V"ff 3V"^
Reducirt man die Gleichung der Curve, so wird sie vom fünf- ten Grade.
§. 40), Setzt man in dieser Curve a: = j. *<> "''•''I *"s
Tangente der Curve in diesem, so hestiminten Punkte horizon- tal und die in demselben gezogene vertikale Linie ein Durch-
4« messer der Curve. Wir erhalten an diesem Orte y = j^und
. 2«
'. Zeit, in welcher der Kiirper bis xn diesei
Punkte gelangt, -~ -— -i I" derselben Zeit ivflrde der_Kür- per geradlinig durch ein© Länge =ia herabsteigen. Anmerkung. §,407. Indem wir diese Betrachtungen ober das schnell- ste Niedersteigen verlassen, gehen wir nun zu denjenigen Cur- ven ober, auf denen mehrere herabsteigende Bewegungen zu einander ein gegebenes Verhältniss beobachten. Hierher ge- hurt insbesondere die Untersuchung der tautochronen Curven, auf denen entweder alle niederste igen den Be»;egungen bis zum untersten Punkte, oder die ganzen Schwingungen in derselben Zeit Erfolgen. Hierzu können später andere Aufgaben kommen, welche so wohl schwierig sind, als auch dazu dienen, die van uns gebrauchte Methode zu beleuchten.
Satz 4Ö. Aufgabe. §, 40S. (Figur 05.). Man soll das allgemeine Gesetz der tautochronen Curven linden, auf denen ein Körper stets in der. selben Zeit zum Punkt j4 gelangt, wobei der Anfangspunkt der nieflersteigenden Bewegung beliebli; auf der Curve AM ange- nommen ist.
AulUsung. Man nehme die gerade Linie 4P als Axe an. setze den
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=n
imf einer ffei/ebewen Linii; hn leeren Rmime. 17Ö
Theil der Ciirve AM = s, die GescbwiiKÜgkelt in ^ = VT und die im (»uiikt M stattfindende = Vv. Alsdann wird die Zeit, in «elclier der Kürper den Bogen AM ziiriicklegt ds
welches Integral so genommen werden muss , dass es lur *=0 verschwinde. Setzt mau liierauf in denisellien v ^^ 0, so er- hält mau die Zeit des Herabsteigens von dein Punktej in wel' chem die Geschwindigkeit = 0 war, bis zum Punkte A, oder die ganze Zeit des Niedersteigens. Diese muss durch dieselbe Grösse ausgedrückt werden, welchen Werth auch (i haben mag; mithin darf weder im Ausdruck der Zeit, noch in dem der Curve AM, b vorkommen. Diese Curve soll nämlich eine con- staute Zeit des Niedersteigens hervorbringen, nie auch im- merhin b sich ändern möge. Es sei nun v aus z und k Kusani- mengesetzt und zwar beziehe sich i auf die Curve, sei also nur von AM. der Abscisse AP und Ordinate PM abhängig, enthalte aber 6 nicht ; A sei hingegen mir aus b und constanten Grössen gebildet. Es sei feiner v eine solche Function von A und X, welche ^ 0 wird, wenn s — A und ^ b wird, wenn man i— ah setzt, \\a a eine beliebige Zahl ist. Nimmt man ferner
ds =■ pdt als Gleichung der gesuchten Cui-ve an, so muss p eine solche Grösse sein, in welcher weder b noch h vorkommen, weil diese Grössen nicht in die Gleichung der Curve treten dürfen. Uie dem Bogen AM entsprechende Zeit wird also durch
>(=
V'v
ausgedrückt, welches Integral so genommen wird, dass es für V 1= b oder x =. ah verschwinde. Setzt man hieraut in dem- selben z = A, so erhält man die ganze Zeit des Nledersfei gens, worin A nicht vorkommen darf. Üiess geschieht, wenn '^ oder .£i= eine Funktion von A und t von der Dimen-
Vt, Vv
sion 0 ist Ist nun v eine Function von A nnd i von der Di- mension m, so muss
sein, wo C eine constante und von b unabhängige Grosse be-
f%
s
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180 Kapitel II. Von dee Bewegung eilten PuvfiUa
zeichnet. So oft man also Jiir v eine solche Function gefunden hat, evhält man liir (tie gesuchte Cucvc die Gleichung
Die letztere Constanfe ist erforderlich, damit i vecschwinde, iventj in i entweder x oder ^ = 0 vril-J. Zusatz I.
§. 40ö. Damit man diese Methode anwenden ki^ne, mus» also V durch endliche Grossen ausgedrückt sein und jener Aus- druck in eine, aus h und tb*et:ehende homogene Function ver- ivandelt werden können.
Zusatz 2.
§. 410. Es ist nothwendig, dass 11 = 6 werde, nenn ma« z = «h setzt, vvesshalb auch in der hiu zugefügten Constanten kein, h vorkommen wird. Es ist daher ausreichend, wenn man eingesehen hat, dass (Ut z=^tth, v=^b ivecde und es braucht alsdann die Integration nicht ausgeführt zu werden. Zusatz 3.
%. 411. Man sieht ferner ein, dass die Curve im Punkt A eine Tangente hallen muss, welche auf der Richtung der an- treibenden Kraft normal ist. Wäre dies« nicht der Fall, so wurde die Zeit des Herabsfeigens durch einen unendlich klcL nen Bogen ehenfalls unendlich klein sein.
Anmerkung. %. 412. Diese Auflösung gilt nicht nur, nenn, wie in der Figur, die Curve dur.ch rechtwinklige Cnordinaten ausgedrückt wird; indem es gar nicht darauf ankommt, durch welche Grüs- sen wir die Natur der Curie ausdrücken wollen, wenn nur 6 nicht in i vorkommt, wogegen e beliebige, von der Curve ab- hängige, Linien und Grössen enthalten kann. Nach dieser Methode können, im leeren Räume und unter einer beliebigen. Voraussetzung der antreibenden Kräfte, tautochrone Linien ge- funden werden, weil die Geschwindigkeit stets durch endliche Grössen ausgedruckt- werden kann. Wenn aber, wie diesa im widerstehenden Mittet der Fall zu sein pflegt, die Geschwin- digkeit sich nicht durch endliche Grossen ausdrücken lässt, so findet diese Methode keine Anwendung; sondern man muss eine andere aufstellen, welche auch dann ausreicht,' wenn die Geschwindigkeit nur durcheine Differentialgleichung gegeben ist.
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««/■ eim->- (le^ebenm Linie im leeren Räume. 181
Satz 47. Aufgabe. ^. 413. (Figur fiS.). Ein Kürp-er wir.l durcl. eitje liclie- inge Kraft abwürts getrieben ; mau soll eine taiitochroiie Linie finden, auf tvetclier alle uiedersteigen.de Bewegungen in der- selben Zeit erfolgen.
Auflösung. Bei der Figur mid ßezeiülinung des antreibende Kraft im Punkt M = P, =: y und AM ^ s ; alsdann wird
V =:. b- fPilx,
-ß
wo das Integral so angenommen wird, dass es für x=0 ver- schwinde. Setzt man nun b ^ h und i Pdx = i, sn wird v eine Function von s und h von Einer Dimension, iielehe — 0 wird für x = h, nnd =: b für 1 = 0. Wir haben daher nach fllem vorigen Satze m = 1, mithin
, Cdi
ds = — ^ I
VT
Wünscht man eine Gleichung zwischen a: und i so wird
: ^ nnd . = 2V^= ^S[afpd:c .
\ afPda: \ j Pdx
Zusatz I.
>vivd die
§. 414. Da fPda; fiir a: = 0 verschwindet, Tangente der Curve im Punkt A horizontal , wenn nicht auch zugleich P verschwindet. Irgendwo hat auch die Curve eine vertikale Tangente und, meistens daselljst eine Spitze; diess
ist der Fall , wo PPdx = aP^ und daher J = 0.
§. 415. Im untersten Punkte A dieser Curve ist ihr Krüm- mungshalbmesser gleich der Suhnormale = ^3-^ = ~, weil daselbst s = y wird. Dieser Krümmungshalbmesser wird daher
= 2n/*, wo P die im Punkt A antreibende Kraft bezeichnet.
y Google
Zusatz 3. §. ilü. Aus «lei» Kriimmungsha1biness«r und der antrei- benden Krai't in A findet man die Zeit der auf- oder niederstei- geiiden Bewegung durch einen unendlich kleinen Bugen (§A7'2.)
i\rp -"^« ■
und hiermit stiitinit die Zeit einer jeden auf- oder niederstei- gendenBewegungüberein. Unter der Voraussetzung derSchwer- kral't = 1, wird also ein Pendel von der Länge 2« unendlich kleine Schwingungen in derselben Zelt zurücklegeu. Beispiel 1. §. 417. Es sei dio antreibende Kraft überall eonstant, also 1* ^ fi, alsdann wird
'' ^r , , t}^\fiia~CE
Pdx -^ fix, s = ^\ uqx und üy =; , ' — ■
V a:
Man ersieht hieraus, dass die Ciirve eine nach unten convese Cycloide ist, ganz übereinstimmend mit der brachystochronen Curve, unter derselben Voraussetzung- üass auf der Cycloide alle nied ersteigen den Bevregungen in derselben Zeit erfolgen, haben wir bereits oben (§. 187.) bewiesen. Beispiel 2. §. 418. Es sei die antreibende Kraft einer beliebigen Po- ; alsdann wird
fi
■ ("■«?«"
/-
I H -|- 1 als positiv vorausgesetzt wird, liv, so würde för ,t = 0, jPdx — <» ! Voraussetzung wäre. Es wird also
f, - ■ v"/"
Aus dieser Gleichung ersieht man, dass, wenn n ~ 1, die Curve eine beliebig gegen den Horizont geneigte gerade Linie ist. Ist aber ji > 1 , so wird die Curve im Anfangspunkt A ima-
glniiv und bleibt es so lange, bis
wird.
y Google
tiiif finev ger/ebcncn Liiiic im leeren Rauuie. 183
Anmerkung 1. S. 419. Aus der allgemeinen Gleichung gulit hervor, iJass die gerade Linie AP ein DiTrchmesser der Curve ist. Del omi im leeren Raunte die aufätei^enden Bewegungen den niederslei- genden ähnlich sind, so iverden alle halheri Schtringuiigen auf der, bis zur andern Seite verlangeiten , Curve MA isochron sein; folglich sind es auch die ganzen Scbningnngen. Wegen der willktihrlicheu Grösse a gibt'es ferner unendlich viele tau- tochronc Ciirven AM und wenn man daher zwei beliebige von ihnen so im Punkt A verbindet, daes sie daselbst eine gern ein- achalllicbe horizontale Tangente haben; so werden so wohl die ganzen , als auch die halben Schwingungen auf ihnen igochron sein. Das Pendel nmss nümlich so eingerichtet werden, does es im Schwingen derartige Curven beschreibe.
Anmerkung 2. g. 420. Man ersieht auch aus der Auiliisung, dass die ge- fundenen Cui'ven die einzigen sind, welche der Bedingung Ge- uHge leisten. Man kann nämlich keine andere Function von x für p substitüircn, ivodurch beviirkt werde, dass im Integral für i; = 0, 6 und A gänzlich aus der Formel herausgehen. Diess ist bei andern Methoden, welche man zur ÄutiGndung tautochro- ner Curven angewandt bat, nicht hinreichend klar.
Anmerkung 3.
g. 4^1. Aus der Gleichung i = 2 y a fpdx fol^t P =
1^^, woraus wir ersehen, von welcher Art die antreibende
2adx
Kraft sein muss, damit die gegebene Curve eine taiitochrono "
sei. Die abwärts gerichtete Kraft muss nämlich
einem der Curve entnommenen Ausdruck, pro|)orlional sein. Ist daher die Curve nicht rectificabel, so ISsst sich der Werth der aufreihenden Kraft nicht algebraisch darstellen.
Aufgabe. §. 422. (I^igur titi.). Kin Körper wird durch eine beliebige Kraft beständig nach ihrem Mitteliiuukt C hingezogen; man soll die tautochrone Linie B/I/.4 linden, auf weicher der Körper alle
y Google
184 Kapitel II. Von der BeweguiH/ eines Punktes
niedersteigenden Beivegangen bis zum Punkt A in derst'lheii Zeit ausführe.
Auflösung. Man setze CA = c, CM = y und die in M antreibende Kralt = P; femer sei die Geschwindigkeit im Punkt A=i^^ und in iff =: V^. Nimmt man tPdy so an, 'lass es für j/^c verschwinde , so wird
« = 4 -fpdr.
und wenn man daher b statt h, wie auch J Pdy statt i an- nimmt, 80 wird V einer Function von k und i von Einer Di- mension gleich, mithin m = 1. Setzt man nun den Bogen AM = s, so wird
s =2 2V^^ = 2 V"« /a^^ und <;« = .-^'t- - <^ \afPdy
Man Kiehe in yl/ eine Tangente an der Cmve und fälle auf die- selbe vom Mittelpunkt C das Perpendikel CT — p, alsdann wird
ds = ■ .. y^l und y^ fpdy — (y^—p"^) aP^
y ip- — p^ 'J
oder
.ßfPdy
p" — r — ^pä~ '
als Gleichung der gesuchten Curve. Zusatz I. §. 4'23. Im Punkt A, wo fPdy — 0 ist, wird
p — y,
oder es steht die gerade Linie CA senkrecht auf der Curve.
In diesem Punkte ist die Geschwindigkeit des Körpers aui
grössten, weil derselbe dem Mittelpunkt C am nächsten liegt.
Zusatz 2.
§, 424. Setzt man /)=0, so erhält man den Punkt B der
Curve, in welchem die gerade Linie CB die letztere berührt.
In diesem Punkte, dem höchsten der Curve, wird diese eine
Spitze haben und mau findet diesen Punkt aus der Gleichung
oPä — ipdy.
Es kann y keinen grössern Werth hüben , als den, welcher aus dieser Gleichung sich ergibt.
y Google
■.er f/eyehenen Linie im leeren Räume.
§. 42i5. Alis der Gleiehui
s=: 2y alPdi,,
worin das Wurzelzeichen positiv oder negativ genommen wer- den kann, ergibt sich, dass die Ciirve zviei einander gleiche und ähnliche Zweige AB und AD habe. Desshalh werden die ScIiH jnguHgen , welche auf der Curve BAD erfolgen, unter sich gleich sein.
Zusatz 4, ler Krüromungshaihmesser im Punkt A ist = in wird nach §. 208. die Zeit, in welcher der In unendlich kleines Stück der Curve herabsteigt,
= .\fä
nnd eben so gross sind alle Zeiten des Niedersteigens. Daher werden alle Schwingungen, welche längs der Curve BAD er- folgen, isochron sein niit den Schwingungen eines Pendels, dessen Länge = 2« ist.
Beispiel 1. §. 427. Es sei die Centripetal krall den Ahständeii vom Centrum direct proportional, oder P — ^; alsdann wird
lind «2 = .,ß — f^y^-'tl .
Der Krümmungshalbmesser dieser Curve im Punkt jW, welcher allgemein = ^jJ ist , wird
~ 2«-/\ 2«
Ist daher ^la<,f, so wird die Curve gegen das Ceiilruni hJti convex, wie in der Figur, Ist 2« =■ f, so geht die Curie in eine gerade Linie über, welche in A auf AC normal sieht. Der Punkt B, In welchem CB die Curve berührt, ergibt sich ferner aus der Gleichung
p~Q oder (f-'2a)ij^~c'^f, woraus y=CB= -^=L^ folgt- So oft also />2n, oder die Curve gegen C onvex ist, wird
y Google
IWi Kapitel II. Von der Bewuffuiif/ ehies Punkies
dieselbe in B eine Sjiitze haben. In diesen Fällen ist die Curve eine Hypocydoide , welche entstellt, indei
tven Seite eines Kreises vom ßadius B€ = -
--■V7
VT-
Kreis heramrollt , dessen Durdiinessec = BC — AC ^ ' — ist. In diosein Falle stimmen also die tau-
tochroiien Curven mit den oben (§. 390.) gefundenen brachy-
stocliroiien Curven ütievein. Ist aber 2«>/, iii welchem Falle die Curve gegen f-' hin concav ist, so wird BC imaginär und es kann die Curve nicht niebr eine Hypocydoide sein. Wir erhalten alüdann
'' — 2o ■
also j> stets grcisser als AC, ausgenommen in ,(. SefKt man c = 0, so eigibt sich
E?.
Y^
2«
in diesem Falle werden also alle tautochrone Ciirven logarith- mische Spirallinien, welche um den Mittelpunkt C beschrieben sind. Ein Körper wird nämlich auf dieser Curve stets in der- selben Zelt zum Centrum C gelangen, wo er auch immer seine niedeifiteigende Bewegung begonnen haben mag. Unter dieser Voraussetzung der Ceotripetalkralt werden also tautochrone Curveti sein;
1) alle Hypocycloideii ,
2) alle beliebig gezogene gerade Linien,
3) alle logarithmi seile Spirallinien und
4) unzählige andere Curven, welche in der Gleichung
P -2«
enthalten sind, wenn nur 2a ^f und c nicht ~ 0 ist.
Unter dieser Voraussetzung der Centripetalkraft hat New- ton in den Prlncipien und Herrmann in seiner Phorouomie und in den Corament. Acad. Petrop. A. 1727 nur Hypocycloi- den gegeben, obgleich der letztere eine eben so allgemeine Gleichung, als die unserige hatte.
y Google
mif einer i/egelienen lAnie im leeren Räume. 187
Beispiel 'i.
§. 4-28. ]\lan setze die Centripetalkralt dem Quadrat des Ahstandes vom Centrum umgekehrt proportional, also P =:(^; alsdiiuii wird
/>',(,=-'" + P,-.r(i-Jä. ,=AM=v\fiSEä
J II " es ' '■!!
„,„1 j/.^iäliti-p'^Jil.
Hieruus evi^il)t sich der Krüminiingshalbmesser , oder
dp •iacPr^^ey^— 6^ '
da ivo Ltlso p verschivindct, wird auch der Krümm ungs halb- inesser ^ 0. Diess geschieht, wenn
acf^ + cs^—ij* = 0 oder ^ = cy^ + acf'^ ist, aus weicher Gleichung sich der Werth von BC ergibt. Setzt mau ßC= k, so wird
iveichei) Werth von « man annehmen kann, weil & eine belie- bige GrOsse ist. Uebrigens ersii-lit man, dass diese Curve zwischen A und B eine» Wendepunkt haben kann, und zwar wird diess der Fall sein, wenn sie im Punkt A eoncav gegen C, d. h. wenn 2«/ä>c* ist.
Beispiel 3. §. 429. Es sei die Centripetalkraft überall constant oder P — 1, alsdann wird fPd^ = y — «■ Schlägt man nun vom Mittelpunkt C mit dem Radius CM den Bogen MP, so wird
/pdy=AP und ;!=^iJ/=2V«f^r^) = 2V^r7^>- Ferner erhalten ivir
woraus man BC iindet, indem man p = 0 setzt. Es ergibt sich daher
y^ßC=a + c und AMB = 2V'^i^^'2a=z2(BC—AC). Der Krümmungshalbmesser im Punkt M wird
y Google
Kapitel II. Von dvr Bewegntii/ i
1 iintei'sten Punkt A
Die Curve wird daher in A concav j^egen 6', worin 2n>-c, sie wird couvex, wenn 2h<c und es wird in diesem Punkte der KrCImmungslialümesser ;^ oo , wenn 2« = c ist. Im ersten Falle, HO die Curve gegen C eoiieav ist, hat dieselbe einen Wendepunkt da, ho
y^=^t, oder y'=CM=\(o. \- i-) = \H€ dp "*
wird. Ist c ^= ü, so dass der Punkt A mit dem Mittelpunkt
C zusammentallt , so wird y eine Sehne dieser Ourve und
AM = 'l\^'mj. Der Krömuiungshalhmesser dieser Curve im Punkt C M'ird
^ 'j V^"-?'
y
Die Curve kann datier mittelst der Quadratur des Kreises con- struirt w erden.
Satz 4Ö. Aufgabe.
§. 430. (Kigur 67.). Ein Körper wird durch beliebige Krätte angetrieben; man soll die Curve AM linden, auf wel- cher derselbe in gleichen Zeiten bis zum Punkt A herabsteigt. AufiSsung.
Wie auch die autteibenden Kräfte beschaffen sein mögen, so können sie alle auf zwei reducirt werden, von denen die eine den Körper beständig längs üfÖ abwärts, die andere längs MP horizontal tortzieht, Die erstere sei = P, die letz- tere = Q und man setze AP = x, PM = y, AM ~ s, die Geschwindigkeit im Punkt A '^ STb und die in M ^= \v. Unter diesen Voraussetzungen ivird
i — fptLr — fQdy,
aa ö = h, wie auch fPda: + JQdy = i setzt; ! Function von Aund z von Einer Dimension, also
y Google
auf einer {jegeheneti hmie im leeren Räume. 189
III = 1 ( §. 408. ). Wir orhalten femer für die gesuchte Curve die (ileichimg
s=zi\^^=-2^a(/'pda-l-/htlA o.lei
, , aPdx-^- aQdy
Da iibev rfs ^ y dx^ + f%^> «o erhalten wir
'^^~ fPdx^fQily-aW^ '
!in Anfangsputikt ^, wo v x= 6, a\so fPdx^ fQdy = 0 isf,
«irtl
Af.T+ e*/j = 0 oder dy.dx =. —P:Q. Wie man aus dem Vorh ergehen deu ersielit, wird die Zeit ei- net jeden niedersteigend^n Bewegung gleich der Zeit, in wel- cher, unter der Voraussetzung der Schwere = 1, ein Pendel von der LSnge ^^ 2« herabsteigt.
Anmerkung. §. 431. Hat man die Curve, auf welcher alle niederstei- genden Bewegungen in derselben Zeit erfolgen, so kann man leicht die Curven angeben, auf denen alle Schwingungen in derselben Zeit ausgeführt werden. Da nämlich im leeren Räume die aufsteigenden Bewegungen den niedersteigenden ähnlich sind, so wird jede Curve, welche fär die letztern tautochron ist, es auch für die erstem sein. Zwei im Punkt A verbun- dene tautochrone Curven werden dalier eine Curve bilden, auf welcher alle Schwingungen isochron sind. Auf diese Weise wird jedorli die andere Aufgabe, alle Curven za finden, welche isochrone Schwingungen hervorbringen, nicht vollkommen ge- liist; indem es unendlich viele Curven geben kann, welche dieser Bedingung Genflge leisten, deren Theile aber nicht ge- eignet sind, die niedersteigeuden Bewegungen allein ku iso- chronen zu machen. Man kann aber die Aufgabe so stellen: es ist eine Curve gegeben, man soll eine andere finden, welche mit ihr verbunden alle Schwingungen von gleicher Dauer her- vorbringt. Ehe wir aber zu dieser Aufgabe übergehen, wollen wir eine andere mittbei.len, nach welcher eine Curve gesucht wird, die einer andern gegebenen hinzugefügt werden muss, damit
y Google
1*J0 Kiipitd U. Villi der fiewef/mii/ eines Punjdt's
alle nie«l ersteigen den Bewegungen auf dieser Kusaminengese ta- ten Curve in gleichen Zeiten ausgeführt nerdeti. Diese Aul- gahe wurde mir, als eine buchst schwierige, einst von Dan. Beinoulli vorgelegt; nach der Methotie. welche ich bei der Aursuchung der tautochronen Curven anwende, kann auch diese Aufgabe gelOst werden.
Satz 50. Aufgabe. §. 432. (Figur 68.). Unter der Voraussetzung der gleich- förmigen, abwärts gerichteten Schwerkraft ist die Curve ANB gegeben; man soll ilie ihr hinzuanftigende BMF ünden, damit alle I liedersteig enden fSewegungen auf dieser zusanimeiigesetK- ten Curve bis zum Punkt A in gleichen Zeiten erfntgen, in welchem Punkte der Cnrve BMF die Bewegung auch begin-
Aul'losung. Fängt die Bewegung im untersten Punkte B der gesuch- ten Curve an, so wird die uiedersteigende Bewegung nur auf der gegebenen Curve BNA erfolgen und es müssen der Zeit, welche derselben entspricht und gegeben ist, die Zeiten ulier niedersteigenden Bewegungen gleich sein. Es sei AD — n, AQ = M, AN = t und eine Gleichung zwischen u und ( ge- geben, für die gesuchte Curve sei BP = ar und BM =^ s. Bei einer beliebigen niedersteigenden Bewegung sei nun die. der Geschwindigkeit im Punkt B zukommende, Höhe = 6; alsdann wird die Geschwindigkeit im Punkt M = Vb — x und die in N stattfindende — Va + b—u. Die Zeit der nledet- steigenden Bewegung dmch die unbekannte Curve FMB wird ds
das Integral so genommen, tlass es iöv x =. Q verschwinde und nach der integralion x ^^ h gesetzt. Ferner wird die, der bekannten Curve BNA entsprechende, Zeit
dt
=/v
=/.
Sfa\b~a
intcgrirt, dass es fiir m ^ 0 verschwinde und nach der In- tegration 31 =^ a gesetzt. Der Ausdruck f" tU J ^b^Tn muss daher so beschaffen sein, dass, wenn man ihn zu dem Ausdruck der Zelt durch BNA addirt, aus der Summe die
y Google
m( ,
i Linie im leere» Räume.
läl
Grösse b gaiiK verschwinde. Alsdann wird die Zeit des gan- zen Niedersteigens constant und nicht von b oder dem Punkte der Curve BMF, in welchem die niedersteigende Bewegung
hegiiint, abhängig sein. Es sei nun dt
r
- /t + aft + ßb^ + y(i^ + Sil* -i- etc.
Va-^-b-
_|_ g\Äi".j-^6 V"ö + 66" VT+t63 V7) + etc. FäDgt mm die niedersteigende Bewegung im Punkt B an, so versclivrindet b und es uird die Zeit des ganzen Niedersteigens = /c; und eben so gross muss die Zeit des ganzen Nieder- steigens durch die zusanmiengesetiite Curve sein, in welchem Punkte der Curve £MF die Bewegung auch anfangen möge. Es sei mm die Natur der gesuchten Curve BMF ausgedrückt durch die Gleichung ds=~Ada: ^fx — Bwd.r V^ - Ca:^dx Vx - D:cMw V"^ — etc:
— F . dx -— Gxda; — Hx"^ dx — J.z^d.v — etc. DasVerhälfnissderPeriiiherieznm Durchmesser sci=si:l,sodass
log(-I)^ -1
V^-lJog(-t).
aber, wenn man nach der Integration a; ~ 6 setzt.
J V6-» ,/
/'
V6— » './ Vlj-
'2.4.6 ' Gxd.'c
— l.'iGbVfi,
Damit mm die Summe dieser GUedev in Verbindung mit der Summe derjenigen, welche die dem Bogen ßiV^ entsprechende Zeit ausdrückt, gleich k werde, müssen die gleichartigen Glie- der, welche h enthalten, einander aufheben. Wir erhalten daher
1-n.A = ff
oder A — ^
1
yGoosle
192 Kapitel II. Von der lietoefpuig eines . foriiev
. i
inler F :
3 " 2 ■ 2 • 3.3 e 3.5 2.4 2
H = \
'J.4.6 ,), _ ,_ 3.5.7 i
3T577 "^^ ^ " ■'-2T."6-2'
Da nun, »veil die Curve ANB gegeben ist, «, ß, y, etc. und f, 5), ö, t, etc. bcLaniite Griissen sind, so erhalt man l'üi' die gesuchte Cnrve BMF die Gleichung
,_ (i^i^ *A-_. 2-4. w^, 2.4.6 _^ , , ,
tegrirt.
> = — ^ !«■
- J^S^^ + I"-' +1:6''"' +478:8" +""■^
Für diese Reihe gebe ich folgende Coiistructiou : Man nehme
die Differenz
P dt p dt
so, dass sie für u ^ 0 verschwinde und setze dann u = u; alsdann wird sich eine gewisse Function von b eigehen. Nun setze man x(X — j) an die Stelle von 6 und bezeichne das sich ergebende Resultat mit It, infegrire hierauf Rdz
VT'
indem man a; als constant betrachtet, von i = 0 bis i — J; alsdann wird sich eine Function yoa x ergeben, »velchc
sein wird. Auf diese Weise erhält mau die Gleichung der gesuchten Gurve.
y Google
auf einer i/ei/ebenen Linie im leeren Räume. 193
Anmerkung 1.
@. 433. Diese durchaus eigeiithilm liehe und leichte Coh' struction ergibt sich aus derjenigen Methode, deren ich mich bei der, einst von Riccati aufgegebenen, Gleichung bedient habe. Sie hat den Verzug, dass man, wie auch iuimerhin die gegebene Ciuve beschaffen sein mag, die gesuchte stets con- sti'uiren kann, selbst wenn die für die Curve eich ergebende Gleichung sich durchaus nicht behandeln lässt. Sie ergibt aus- serdem sogleich die, endliche Gleichung, welche man sonst durch die Summalion der Reihen finden würde. Zusatz 1.
§. 434, Setzt man in der für die Cuive jSÜ*/'' gelimdenen Gleichung x = 0, so ergibt sich
und hieraus lindet mau die Neiguns; der Curte im Punkt B gegen die Vertikale BP. Damit man nun sehe, auf welche Weise beide Curven mit einander zusammenhangen, muss man auch die Lage der Tangente, welche die Curve ATiß in dem- selben Punkt B hat, bestimmen,
Zusatz 2. §. 435. Es sei DQ = p und BN = 9, alsdann wird dt -tlg und « — M — p; demnach wird die, ß!VA entspre-
chende, Zei
J Sfb+p
Vb+p '
wo nach der Integration p ■=: a gesetzt wird. Im Punkt ß sei df/ = Ldp, alsdann wird allgemein
dq = Ldp -f Pdp, wo P eine solche Function von p ist, welche verschwindet, wenn man p = 0 setzt, d. h. im Punkt jß. Wir ivollen daher sehen, was für ein Glied, wenn ja verschwindet, die Gleichung
/
/■ df/ _ P Ldp
iber = 2i VTTö— 2Z, V"6"
■geben "ird. Es wird aber
und wir erhalten daher in der anfangs angenommenen Reihe Eulec's .%lei:hanik. II. 13
y Google
194 Kapitel II- Van der Beioef/ung eines Pniifäes
d;is Glied ~-2L\'"b . ^velcliea mit tleiii t^h übereinkommt. Es wird daher
7, = --|.™d ,(, = -?*,
woraus man ersieht, «las's die gegebene oiid die gesuchte Curve
im Vei'bindungspnnkt B eine gemelnschafliithe Tangente haben.
Anmerkung 2.
§. 43Ö. Ich haiie behauptet, dass 2Z. V"fi + a — 2X\''6 in der Reihe das Glied — 2ij V~ö ergebe. Ans V^A + h folgen nämlich die Glieder V^a -!■ — -7^ + etc.,' weltlie mit den an- dern verglichen werden müssen. Das Glied hdp ergibt allein ein Glied von der Form ^\b und nur aus diesem kann man auf die Neigung der Curve in ß schllessen. Anmerkung 3.
§. 437. Die von mir gegebene Constructlon der gesuchten Cnrve kann auch so abgeändert werden , dass man, nachdem in
a = a gesetzt norden ist, li = .-es und das sich ergebende Resultat =; fi setzt, hierauf
Rdz
für .V = constans von 1 = 0 bis « = I integrirt, worauf das
resultirende bestimmte Integral ^ -~-ß^ werden wird.
y X
Beispiel l.
§. 438. Es sei die gegebene Curve ANß eine {lycloide, so dass man hat
t = '-i Vcü oder dl ^ ;4^ ■ Alsdann wird
/■ dt __ p dt ^ rjbtV£_ _ rdusf7 ' xlog(^±*:^3fi^^E^E^).
yGoosle
anf eine,r f/ef/ebenen Linie im teeren Räume. 195
• u = a wiril (lor Ausdruck iiul' der rechte» Seite
»Vc + V c,lo„^^^^_^_^. if man nun 6 ^ xz, so wird
+ 2ji: >/T- 2 W. V^ . log (— 1).
Die beiden letzten Glieder heben einander auf, weil ^=V^ — 1 Xlog(— 1) lind wenn man nun im vorstehenden Ausdruck i = l setzt, so geht derselbe über in
Dieser muss =:i —^ gesetzt werden und wir erhalten daher
-2Vac + 2\^«H-;<;),
d. h. s^ANB = AlSliM=-- 2\^c(AD+BP). Hieraus ersieht man, dass die gesuchte Curve JiME die Fort- setzung der gegebenen AND ist, so dass sie vereinigt eine ganze Cydoide bilden. IJiess ergibt sich auch a«s der Natur des Taute cht on ismus , welchem letztem, wie wir gesehen ha- ben, die Cydoide Genüge leistet.
y Google
106 Kapitel tl. Von der Se-wegunf/ ehies P^tmMes
Beispiel 2. g. 439. Es sei ANB eine gerade, beliebig gegen den Ho- rizont geneigte Linie, also
dl = ndii HTLi! / ■" — — / —7 ■■— .. ■ — — — 2n V «■— M J \ a—u J '>/a-\l,~u
Nimmt man daher diese Integrale von »f ^^ 0 bis u — a und setzt man A = xx, so wird
Es ist aber
wenn nach der Integration i = I gesetzt wird und bei der- selben Sabstitntion
Mithin wird
»(<■ + .») ,„ ,,„ /-h^sn ^ «^ ' " ■»,«+»/ V"..'
Differentiirt man diese Gleichung, so erhalten wir
Die dieser Gleicbung entsprechende Curve kunn nicht über eine
y Google
auf' elunr ifeyKbenen Linie im leeren Itawiic. l'J7
gegebene Höhe, also nur etwa bis zum Punkt F, wo ds^dx ist, aufsteigen; und es ergibt sich unter Voviiussetzung der ietzten Gleichung
n-J. ^ }_ ^^^ ^.^^ /i^H ") n tt'*'" *'"' (^a-fa; /'
Mimmt man nun are.sin. f — — — -j =: /t an, so <lass sinji =
sin ~" -it und uoSjA ^ w ~ . ■'^— ivird; so ergibt sich
Nimmt man etwa DA/i = 60^ an, so wicd n — sec.60" = 2 »( ^ 0 und BE = X = a =^ AD.
Nimmt man ferner T)AIi>W an, so wird n = fiecDAB >2 und w;>a. Für O/4ß<60'' wird hingegen ;t<«.
Aus der Differentialgleichung er*ileht man übrigens, wie wir schon bemerkt haben, dass im Punkt ß, «o a: ^^ 0, ds = ndx wird. Hiei'auf wird, weil .t>0 ist, ds<.ndx bis tum Punkt F, wo ds t=: dx ist.
Zusatz 3. §. 440. Ist BNA eine horizontale gerade Linie, so wird n = secöO" = 03 und a ~ ü. Hat man aber «V«^ V"/^
so wird __
a ^~ — ^!l^^ßL
und wenn man integrirt
Uie Curve wird daher eine Cycloide, deren unterstes Element die Stelle der gegebenen Curve einnimmt-
§, 441. Wird die Differentialgleichung
ds =■ ndx — arc. sin. f — - — 1
noch einmal dift'eientiiit , so erhalt i
y Google
198 Kapitel 11. Von der Beweijimg eines Punktes
das ^= — — —p=^ .
n{a-{-x)Vax Im Punkt B \si also der Krümmungshalbmesser = 0. Anmerkung 4. §. 442. Aus der allsenieineu Differentialgleichung
ergibt sich, dass für x = 0 stets dda = so wird, ausgenom- men, wenn k = 0 ist. So oft also das letztere nicbt statt- findet, wird der Krflmmimgshalbmesser der gesuchten Curve im Punkt B = 0; ist aber « =; 0, so ergibt sich derselbe
Hieraus ergibt sich, in jedem aufgestellten Beispiele, sogleich der Werth des Krammungshalhmessers der Curve im Punkt B. Beispiel 3. §. W3. Es habe die gegebene Curve AISB eine Gleichung vol. der Form
(/( = Cti^du, alsdann wird die dem Bogen NA entsprechende Zeit ' _. /■ Cw^du
J \r'^w^i'
Man setze a-fi = f und f—u = r^ oder n = f—r^> als- dann wird
«"-/ -»n r + — j^—/ I j 2.3
^^„_3j.6 etc.
Ferner folgt aus r = Va + b—u, ■-- " ^— 2(fr, undso
\ a^ o—u
Das Integral muss aber verschwinden , wenn man u = 0, also r = Vf netzt und es wird daher die hinzuauRigende Coiistante
y Google
auf, einer yer/ebcnen Linie im leeren llaume. 199
= 2CS'-"+l|l- JL + !fci_Z!fe=Ä'"^etc.l = 2Cff/>.«,
V/O iV. statt der, iiinerbalb Aer Klammern liefinillichen, unend- lichen Reihe gesetzt ist. Wenn man nnn u =■ a oder r ==: \^ setzt, so erhält man die Zeit des ganzen Nieder^^teigens durch BNA
Führt man nun statt f wieder seinen Werth ein, so wird diese Zeit
+ ""+"?'7«""'^"-='-"°-i
2.4.b
Dieser Ausdruck muss mit dem, für die Zeit angenommenen /c+«ö+)362^-j,63^etc. + £V6 + »j6V*+ öö« V^^töa^ö etc. verglichen «erden, und man erhält auf diese Weise
XiCNa"-
l2. + l)(2«-l)C2«-3)o 2.4.6
Mittelst dieser Werthe eihält man
iCNa'ilx 1 (2n + l)V^ (2n + 1)(2»— l)j Vi
(2,i-M)(2..-l)(2»^3)a^'\^^^^ j
y Google
0 Kapitel II. Von ih-r lietvenuiif/ eines Puiu ) (las zneite Glied auf der rechten Seife
t. Iiifegrirt man diese Gleicirang, so ergibt sich _ C(a+a^)"+^ — C«"+' « + 1
— WJSo'^x . {2u-\-\)x (2rt + l)C2K /T^ ■ * 3 ^
Sfn' ' * 3 ' — 3 g„
(2«+l)(2«-lX2«-3)£_^ .
+ 3.577«« ''"=■ <
Diess ist die, der gesuchten Curve ßiHF entsprechende, Glei- chung, welche so oft aus einer endlichen Anzahl von Gliedern bestehen wird, als n einem Gliede der Keihe
— h, ä, ä, 2, t^tc. gleich ist. Ferner hat man
VI-
|
iv=y",ip (!-;,')" u. |
'S |
'a-c")"f'* = ^ |
|
" x/ |
'a- |
p«)-,ipi |
|
"» = -^/^- |
= arc.sii].;j oder / |
|
|
= s» = iV, |
||
|
tar n = ,■ |
« = \. |
|
|
., « = 5 |
- = I5. |
|
|
., » = ä |
- = l*|. |
|
|
„ .. = i |
„_ 3.5.7.« " 4.6.8.4 |
|
|
Ferner wird für n = 0, |
JV= 1, |
|
|
„ « = 1 |
^=r |
|
|
„ 1. = 2 |
^-ifl- |
|
|
„ H = 3 |
-=l^:l- |
|
|
Ist etwa die Curve ANB |
ine |
Cycloide, also n= — |
y Google
nuf einer tjeqedenen JAnie im leeren Räume. 201
s = 2CV"M^^— 2C'Vrt, ivie wir oben (§. 438.) gefunden haben. Anmerkung 1). §. 444. Ist also dt = Cwdu, so findet man den Wertli von s im vorigen §-, und wenn dt einem Aggregat beliebig vie- ler Glieder von dieser Form gleich ist, so ersieht man aus der Natnr der Methode, dass alsdann s dem Aggregat der, aus den einzelnen GlieiJern entspringenden , Reihen gleich sein wird. Ist daher die gegebene Curve eine beliebige, so bat man hiernach eine Reihe von Gliedern von der Form Cwdu zu suchen, welcher dt gleich ist; aus ihnen allen wird man alsdann den Wertli von s erhalten. Ist etwa die Natur der gegebenen Curve ANB bestimmt durch die Gleichung . . ^_ du V c , du \u
VT "TT '
so ergibt das erste Glied auf der rechten Seite, weil C = V"^ und H == — i ist.
Das zweite Glied ergibt, weil C ^ —^ und k = ^, also iV
^ 2 (tt + x)i - 'jg Vfl — --Ix \fx
Nimmt man daher beide Werthe von * zusammen, so wird die fi;esuchtc Curve ausgedrückt durch die Gleichung
_ 2 ja + 3c + a:) \^^Ti —%{a\ 3..-) Sfä— Ix V^- 3V7 Beispi el 4, §. 443. Es sei die gegebene Curve ein Kreis, dessen Durch- messer =: r. ist, alsdann wird
" ' -^ 2c Vc
Behandelt man nun jedes Glied dieser Reihe nach der i geschriebenen Weise für sich, so erh!tlt man, indem man einzelnen Resultate zusammen nimmt :
y Google
Kapitel iL Von der Be.weyuni} e
|
■'•=-f\ |
1 |
1.3 (o + i)i , |
||
|
l.V^S |
1.3 X |
^a; |
||
|
äJv'c |
2.4'c 3.1.3 2.2.4 |
|||
|
Hlerau. erliSIt i |
ni.n |
|||
|
M, 1 |
1 |
„ ^ |
1 |
i_i |
|
cdx \fl |
«+a;)(»^ |
„-:,) * |
vsF-i;-" |
v-^ä |
|
I |
1 1 |
.v^. |
||
|
■^os''-?v^ |
V"Sr 2, |
rvT^ |
||
|
ifi |
. 1 |
1 |
1. vs |
1.3»V~S |
|
l.2da:'''- |
V.--^ |
Ji VS |
2c\^c |
2.4«»»^« |
|
«» ,1 |
i I |
_ I |
l.Vx |
1.3aVi |
|
1.2.3d«« ■ |
*vs=: |
c2 Vti |
2t Vc |
2.4c»Vc |
Aufgabe.
§■ 44Ö. (Figur 69.). Unter dev Voraussetzung dergleich- föimigen, abwärts gerichteten Schwerkraft ist eine beliebige Curve AM gegeben; man soll eine Curve AN von der Art finden, dass die Schwingungen, welche auf der zusammenge- setzten Curve MAN erfolgen, alle unter sich isochron werden. Auflösung.
Es sei in der gegebenen Curve MA die Äbscisse AP:=u und der ihr entsprechende Bogen MA =^ t; alsdann hat man, weil diese Curve gegeben ist, eine Gleichung zwischen * und M. Hierauf setze man in der gesuchten Curve AN die Ab- ecisse AQ = x und den Bogen AN = s. Ist nun die, bei einer beliebigen Schwingung der Geschwindigkeit im Punkte zukommende. Hohe — b, so wird die dem Bogen MAN ent- sprechende Zeit
— C ^* [- f -J?—
yGoosle
nvf idner gegebenen Linie, im leeren Raunte. 203
Setzt man in diesem Ausdruck m = 6 imd sc ■^ b, so ergibt sich die Zeit Einer halben Schwingung mid da dieselbe con- staut sein soll, niifss in der sie ausdrückenden Formel die ßrcisse h ganz versclnvlnden. Nun setze man
dt^'^!^^-Pdu und ds ^ 'J^-Q,l.,
\U \ X
alsdann wird die Zeit Einer halben Schwingung
nathdem liieriii u = l> und auch j, = A gesetzt noidet ist Die lieiden ersten Glieder diese- Autidrucks sind -ibei schon so eingerichtet dass nenn min in denselben « = 6 ui d x =: 6 betzt, 6 selbst verschwindet indem unter dieser Bedin gung
wird Werden daher die zwei letzten Glieder so eingerichtet, dass sie fui u ^ 6 und x ■=^ h einander aufheben, so eihitlt man das Geiuchfe Ferner müssen P und Q nothwendig
solche Grossen aem, welche h nicht enthalten, weil sie in die
Gleichungen dei ( iirven eintreten. Es wird nun / - — —-■■
' J S'lj — n
~r
■ziL-=^ gleich 0 werden, wenn/* eine solche Functio
i Q von X ist. Da aber nichts im Wege steht, ur I diese Gleichung als
banden an und es muss alsdann Q = P sein. Forner ergibt sich aus der gegebenen Curve
P =^l-'fL
du Vm und wir erhalten für die gesuchte Curve die Gleichung
,J, = *^' _ <B + 'i^? „,1„ , + < ^isTlli + 2 S^iu.
V M V M
mittelst deren man die Natur der gesuchten Curve AN bestim- men kann.
y Google
KapUei IL Von der Bewe.ijiintf t
g. 447. (Figur 70.)- Nimmt mmi daliec AI^ = u = x an, so ist AM = l und AN = s; also
MA + NA = t+s ^ '2(V7-i-\rh)\"AP. Die Summe der, derselben Ahscisse entsprechenden. Bogen ist also der Quadratwurzel aus der Äbscisse pvoportional. Zusatz 2.
§. 448. Die gesuchte Curve AND muss demnach so be- schaffen sein, dass die Summe der Bogen, d. h. MA + AN gleich sei dem Bogen einer Cycloide, welche deraellien Äb- scisse AP entspricht. Aus dieser Eigenschaft folgt von SfU>st, dass alle Schwingungen isochron sind. Zusatz 3.
g. 440. Die Zeit Einer Schwingung ist daher der Zeit der niedersteigenden Bewegung auf einer Cycloide gleich, deren Krömmungshaihmesser im untersten Punkte =: 2 (V7+ V"A)^ ist. Ein Pendel von dieser Länge wird sehr kleine halbe Schwingungen hervorbringen, welche mit den Schwingungen auf der Curve MAN isochron sind. Ein Pendel von der Länge
wird aber gaii/e isochrone Schwingungen hervorbringen. Zusatz 4. g. 450. Da die Grösse k nach Belieben angenommen wer- den darf, so werden unendlich viele Curven AND der Bedin- gung Genüge leisten; man wird dieselbe ferner so bestimmen können, dass die Schwingungsdauer von einer gegebenen Grösse werde, Soll etwa Eine Schwingung mit der Schwingung eines Peudels von der Länge Ji isochron sein, so miiss
iL=:H'^7+ VA)^ oder VÄ ^^ j- V"Ä also L>2f
§. 45L Ist die gegebene Cnrve AM eine Cycloide odei
dnvy
indem ihre Gleichun:
——.- , au wird die gesuchte AN ebenfalls eine Oyclo-
ire Gleichuns _
- ££VA
yGoosle
auf einer gegebenen Linie im leeren Räume. 205
ivird. Auf zwei derartigen Cycloiden werden niclitnurdie gan- zen Schwingungen isochron sein, sondern auch die einzelnen auf- und nled ersteigenden Bewegungen auf jeder einzelnen in dersellien Zeit ausgefiihrt werden.
Beispiel 1. §. 452. (Figur 71.). Essei die gegebene Curve ^Meine, beliehig gegen den Horizont geneigte,, gerade Linie, so dass dt ^ nt/tt
|
viril i |
alsiinn otliil |
It raaa , indem |
,„.„ V .T |
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'N = ,j, so « |
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L |
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Läa?e t |
los isochronen |
Pendels be |
zeiclm. |
und mittelst welcher Gleichung man die Curve construiron UaiiTi. Die letztere wird aber in D einen Wendepunkt haben und es ergibt sich dieser Punkt, indem man
annimmt. Im untersten Punkt A ist ferner der Knunuiungs- halbraesser der Curve := L.
Man hat hier noch zu Ijemerken, dass für « = 1, in wel- chem Falle AM eine vertikale und iiiit AC zusammenfallende gerade Linie ist, die gesuchte Curve algebraisch wird. Es wird nämlich alsdann
'h = ■ ^7:;^ '
1 integrirt
( V"I-2V"i2:K) V^i- 2V il^
%«-Gtj/ = — 6I-V^'2Z,.r + 24t.K-16.TV"2i.T,
y Google
206 Kapitel II. Von der Jinvet/mig eines Punktes
Diese Gleichung wird , nenn man sie ganz rational macht, vom 4ten Grade. Die Sjjitze dieser Ciirve erhält man, indem man
x = AC — \L setzt, in welchem Falle
y = CD = >L «ird.
Beispiel 2. S. 453. Es sei die gegebene Cm've Aifl ein Kreis, dessen Radins = a ist, also
Setzt man ^ ^=VY+ VJi, so, erhält man hieraus dtiV^L ndu _ dx V^i nda;
(i.-^^-'
V"2k Viau-u^ Va» \f-la
Aus der letzten Gleichung folgt ferner
,l,=d:,S[''- 2. Vi
■kTT
Die Si>it/e der Curve AND liegt da, wo --~ ^ 1 +
Setzt man in dieser Gleichung Z =: n, so erhalten wir
.c = 0 und 4x^—Uax^-{-\'7a'^a;~Ha^= 0. Setzt man hingegen £ = 2«, so erhalten wir
a:« — 3«a:3_^3a2^a_2„3.j;^.„4 =; 0, also w = u = AC.
In diesem Falle ist die Länge des isochronen Pendels t^ {a.
Anmerkung. @. 454. Wenn man also bewirkt, dass ein Pendel auf ei ner zusammengesetzten Curve dieser Art seine Schwingungen ausführe, so werden diese eben so isochron sein, als ob er- steres sich auf einer Cycioide bewegte ; aus diesem Grunde kann man jede Curve zum T au tochron Ismus anwenden. Es bleibt hierbei noch zu niitersucheo übrig, wie die gegebene
y Google
(/«/■ ehici- geyebenen Linie im leeren Baume. 207
Curve bescliaffen sein muss, damit tlie gefundene mit ihr Eine contiiiuirliche Curve bilde; diess noüen ivir im folj^enden Satze zii zeigen versuchen.
Sata 52.
§. 4S3. (Figur 70.). Unter der Voraus setz an j; der gleich- fijnnigen, abwärts gerichteten Schiverkral't soll man eine coii- tinniriichc Curve MAN finden, auf iveleher alle halbe Sihwin- gnngen in gleichen Zeiten znrflckgeiegt werden. Auflösung.
Es sei MAN eine continuirliclie Curve,^ AP=:a:, AM=t und AN ~ s- Man nehme eine n«iie Unbeslinimte x an und es seien a: und * ao durch i gegeben, dass für i positiv der Theil AM und fiir i negativ der Theil AN der Curve sich ergebe. Da nun für beide Theile x denselben Werth erhält, muss x eine solche Function von t sein, welche dieselbe bleibt, mag I positiv oder negativ angenommen werden, d^ h. es muss a; eine gerade Function von z sein. Ferner muss t eine solche Function von s sein, dass daraus s hervorgehe, wenn man —i statt +i setzt. Da aber der Bogen « auf die andere Seite der Axe fällt, so vrird sein Weilh, in Bezug auf die Curve AM, negativ sein; es muss daher t, nenn man darin ~z statt +i setzt, in —s übergehen. Es sei nun Ji eine ungerade und S eine gerade Function von z, und man setze
i= R + S; alsdann wird
— s = — fl+Ä oder s — R- S and t + s = 2ß. Nun sei die Lange des isochronen Pendßls = « und da nun \-"2^=V"7+VÄ (§. 449.), so muss tA-s=z->V^2^ a ii7.),
. PS
ß — \^2«3: und .T = ;^
sein. Da s eine gerade Function von t sein muss, so wird diese Bedingung dnrch den vorliegenden Ansdrufk von selbst erfüllt, indem R eine ungerade und daher ß* eine gerade Function von z sein wird. Es sei nun R = z, so wird z = 'VÜäx und es muss S eine gerade Function von V'2«x odervon V^x sein. Auf diese Weise erhalten wir fiir alle continulrlicho tautochrone Curyen die Gleichung
y Google
Kiipitel H. Von der BeiKeguiifi i
Es sei nun dS ^= — — — — , alsduim w iril T eine bei
\2ax gerade Function von \a?, also Ä eine gerade sein. deiiLTiacli _
, _ dx V"o Tdx _ adx ~ Td.c
\^-2aa^ V2öi
vorausgesetzt dass PN = 1/ aei. Aus dieser Gleiclinng erge- ben sich unendlich -viele continuirliche tautochrowe Curveii.
Zusatz 1.
§, 456. Die auf diese Weise gefundene Curve AN ist tautochron mit ihrem continuirliche» Theile AM. Durch die vorhergehende Aufgahe werden aber unendlich viele andere Curven AM gegeben, welche in -Verhindiing mit JiVisochrone Schwingungen hervorbringen.
Zusatz 2.
§. 457. Nach dem vorhergehenden Satze bringt jede Curve AM, deren Gleichung
ist, mit .der Curve AN isochrone Schwingungen hervor. Die Länge des hiermit isochronen Pendels ist aber
= '^" + ^^ (§• 450.)
Zusatz 3. §. "458. Unter diesen unzähligen Curven AM, weiche mit j4iV isochrone Schwingungen hervorbringen, ist diejenige mit der letztern continuirlich, bei welcher c ^^ a ist. Die Länge des isochronen Pendels wird alsdann ;= «, wie wir sie ange- nommen haben.
Zusatz 4. 5. 4o9' Setzt man (;^0, so wird mit der Curve AN auch diejenige AM tautochron sein, deren Gleichung
dt = -^^ oder t ^ S
yGoosle
auf einer i/eyedenen Linie im leeren Raunte. 2011
ist. In diesem Fülle wird die Länge des Pendels = -r- Sii oft daher T ^ VSöa; ist, wird eine gerade Linie IflA, welche so geneigt ist, dasssec.7U^/» = Y - oder cos. 31AP=^~, den Tautochronisnius mit AN hervoihriiigen. Z s tz d g 460 D d e Cq ve JiV I kt J f I Axe AP no mal stel e nu'is so rd ot! e 1 „ f r =0 T = 0. Daa^elle fol^t luch la aus lass a — T ne ^sten*. im An- fa eap nkt A pos t se n Wil de ntin I U f r :e = 0,
r ^ go was a f z Hge We e gescl e! e kann, jedoch so !ibs $ zugle ch = 0 te so n us&fe d e Tu e AN nach de ■v 1er Se te der Axe 4P fallen De Cu ve iirde als- tann n ^ e e bp t e hal en u d d«r Kl per acl lern er auf M4 ! e 4I gest egen e du et £ ulnef gaf AN em- po ste gen was ge e l e N lu der S 1 e sein wörde.
Zusatz (). §. 46L Wenn T für a: ~ 0 verschwindet, so wird der Krümmungshalbmesser im l'unkt A, welciier wegen s = y m diesem Purdde = ^ ist, = «. Die Schwingungen werden
daher mit den sehr kleinen Schwingungen eines Pendels, des- sen Lange — a ist, übereinstimmen, wie wir angenommen
§. 462. Der Thell AN der Curve wird im Punkt D eine vertikale Tangente und zugleich eine Spitze hahen. Man fin- det diesen Punkt aus der Gleichung
) A6' = X dieser Gleichung entsprechend angenommen wer- n musa. Der andere Theil AM wird auch eine Spitze ha- in, wenn irgendwo
rd.
Zusat!^ 8. §. 403. Wird S ^ 0 und 7' = 0, so erhält man
Kiilcc'ä Merhaiiik. II. 1*
y Google
210 K. II. VM. Bew. eines P/tiikies aufehier geg. L. im leeren K. ,
Die Ciirve ist daher eine Cytioide urrl zwar AN glpieh und ähnlich AM, folglich ist die Cycloide eine coutinnii liehe Ciirve, auf welcher alle SehwinguNgen in derselhen Zeit zu riick gelegt
Beispiel, g. 464. Es sei T = \''W;r, in ivelehem Italic (5ie Cuive AN auch eine tautoehroue ist und AM uiit AC einen Winkel
bildet, dessen Cosinus = V r '^*- ^^" erhalten
ds — "''■'■' ~ "'■''' ^^^ und j = V^>^ - "" >
_ lU-y a^-^aVlhx-^-'lhx-'iax
•V^i«.-e
= "'«\^E-
'VI'
Diese Clleiehung stimmt mit derjenigen überein, welche wir im §. 432, für diejeuige Cui've gefunden haben, die mit einer 1 Linie tautochron ist; man hat nur L statt a und n
setzen. Ist daher etwa l> — a, so findet man
auch eine algebraische Curve NAM , welche tautocbron ist und aie Gleichung "
oder, wenn man infegrirt, die folgende
3v = a - ( VTT- 2 V"2^)\/"« —2 V^Si^ hat. Diess ist dieselbe, mit einer vertikalen geraden Linie tautochrone, CuTve, wie wir oben (§. 452.) gefunden haben.'
Die Lange des isochronen Pendels ist = a, wenn der Körper in dieser Curve schwingt, hingegen ^ \a, wenn er auf der geraden Linie AC und dem Theil AN der Onrve schwingt. Ist aber D eine Spitze der Curve, so wird
a; = ÄC — ia und es geht der andere Zweig AM in's Unendliche fort.
Ausser dieser tautocbronen algebraischen Curve wird man kaum andere finden können.
y Google
Kapitel III.
Von der Betvegung eines Punktes auf einer gegebenen Linie im widerstehenden JUiltel.
Satz 53. Aufgabe. §. 465. (Figur 72.). Ein Kürpef wird, in einem beliebi- bigen widerstehenden Mittel, durch eine gleichfüriiiige Kraft j abwärts getrieben; man soll seine Bewegung auf einer gege- benen Curve ^^ und den Druck bestimmen, ii eichen die letz- tere in den einzelnen Punkten auszuhaltcn hat. Auflösung. Mau setze auf der Vertikalen AP die Abscisse AP = w, die Ordinate PM = y und den Bogen AM^s; es sei femer die, der Geschwindigkeit des Körpers im Punkt M zukommende, Hühe = V und der Widerstand in demselben Punkte = R, Offenbar würde, wenn gar kein Widerstand stattfände, naeh dem vorigen Kapitel du = <jtlx sein. Der Widerstand ver- mindert aber dieses Increment von v und ist der Tangential- . kraft R gleluhgeltend ; die Wirkung desselben allein würde darin bestehen, dass dv =: — Rds wäre. Wirken also dieKraft g und der Widerstand R zugleich auf deuKUrper, so erhalten
dt; 3t; jjrfla: — Rds, ans welcbei- Gleichung die Geschwindigkeit des Kürpers in jedem Punkte M abzuleiten ist. Fängt der Körper im Punkt A, von der Ruhe an, heralizusteigen , so muss man die Integration so anstellen , dass für 3: = 0 auch v = 0 werde. Beginnt
y Google
212 Kapitel lll. Von der Beivegunff eines Pimktes
aller der Körper seine niederste igen de Bewegung in A mit ei- ner gegebenen Geseliwmdigkeit, so muss man die Integration so ausliihren, dass IVir x = Q, v der, jener Anfangsgeschwin- digkeit zukommenden, Höhe gleich werde. Hat man nun die Geschwindigkeit des Körpers gefunden, so erhält man zugleich die Zeit, in welcher jeder Bogen Auf zurückgelegt wird.
^fi
Was nun den Druck bctdlTt welchen' die Curvc in 31 anszii- balten hat, so wird derselbe durch eine doppelte Kraft her- vorgebracht, nämlich durch die Centrifugal- und die normale Kraß. Setzen wir voraus, dass die Ourve nach «nten convea und das Element dx constant sei; so wird die Länge des Krüramuogslialbmessers , welcher nach ävr entgegengesetzten Seite der Normale j17iV gerichtet ist,
dxddi/ Die Centrifugalkraft, durch welche dieCiirvo einen Druck längs der Normale MN erleidet, ist daher = 2W^rf%. Nach der-
seihen Richtung drückt auch die normale Kraft = -^^-^ gegen
die Curve. Diese Kraft entspringt nämlich nur aus der abso- luten Kraft ff, weil die Richtung der Kraft des Widerstandes in der Tangente liegt und diese daher keine normale Krait er- zeugt. Die ganze Kraft, durch welche die Curve im Punkte/ nach der Richtung der Normale JHJV einen Druck erleidet, ist daher
gdy ivdxddy
ds ds^
Zusatz 1. g. 4G6. Der Ausdruck der Kraft, welche auf die Curve einen Druck ausübt, stimmt also mit demjenigen fiberein, wel- chen wir für den leeren Raum gefunden haben. Die Curre wird indessen im widerstehenden Mittel nicht durch dieselbe Kraft wie im leeren Räume gedrückt, weil die Geschwindigkeit, wovon die Centrifugalkraft abhängig ist, in beiden verschieden auslallt.
Zusatz 2. §. 467. Bei dieser nieder steigen den Bewegung hat der Körper nicht, wie im leeren Räume, die grösste Geschwindig-
y Google
|
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in dem Punkt B, |
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erhSit, i; |
ndi |
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e widerstehenden Miltel. 213 11 die Tangente horizontal ist;
gesetzt wird, den Ort, an welchem der Körper die grOsste Geschwindigkeit hat, aus der Gleichung r/da: = Rds oder j-
ä Winkels bezeichnet, welclier
ß dx , 4
ff' ds Tangente der Ciirve mit einer horizontalen Linie bildet.
Zusatz 3.
g. 468. Die Geschiviiidigkeit des Körpers nimmt also bis zu diesem Punkte, in welchem sie ihren grössten Werth hat, beständig zu, jenseits desselben wird sie aber wieder kleiner, weil alsdann Rds'>gdx und daher dv negativ wird. Zusatz 4.
g, 469. Ist der Widerstand der 2n(tcn Potenz der Ge- sell windigkeit proportional und das Mittel ein gleichfiirniiges, der Exponent des letztern =:k, also V^A die Geschwindigkeit, bei welcher der Körper einen der Schwerkraft gleichen Wider- stand erleidet; so wird
ti = j^ und dv = ffdct — -y^— ■
Zusatz 5. 5. 470. Nimmt man aber die Äbseissen auf der Äxe liQ an, also BQ = x, QM = y und BM = s, so sind die Dif- ferentiale dieser Grossen, in Bezug auf die vorhergehenden, negativ und daher
dv = ~~ffdw-\-Kds. Diese Gleichung muss so integrirt werden, dass für x = 0, V =z b werde, wenn V"6 die Geschwindigkeit des Körpers im Punkt B ist. Ferner wird der Druck , welchen die Curve längs MN auszuhalten hat,
__ ffdi/ 'ivdxddy
Zusatz 6. g, 471. Ist das Mittel gleichförmig und sein Exponent = A, so sei der Widerstand einer beliebigen Function von -v, welche = F, proportional. Es sei nun K eben solche Function von 1c, als V von d ist; alsdann wird
y Google
^ uß<l dv = - ffilt + ^
2U Kapilel 111. Von der Bewegung
"o nq als Axe angei
Aiimerkun^^ I. ä- 472. Ich habe hier eine tloppelte Formel, »reiche das liicre- ment der GeschwimJigkeit darstellt, für die beiden Äsen j^P und BQ gegeben, weil wir in der Folge uns bald der einen, bald der andern bedienen weiden. Beginnt die herabsteigende Bewegung nämlicSi stets in einem festen Punkte, wie in Ä, so werden wir die erste Formel, für AP als Axe, benutzen. Da- gegen werden wir die zireife Formel, fiir BQ als Axe, anwen- den, wenn mehrere niedersteigende Bewegungen auf derselben Curve bis zu einem festen Punkte B zu betrachten sind, wie diess bei der schwingenden Bewegung gebräuchlich ist. Anmerkung 2. %. 473. E)a die Formel, nach weicher die Bewegung des Körpers auf einer gegebenen Curve bestimmt werden muss, so beschaffen ist, dass die imbestimmten (irüssen in wenigen Fäl- len von einander getrennt werden kiinnen; so kann man aus ihr nichts schliessen, was sich auf die Bewegung bezieht. Es ist daher zweckmässig, nur diejenigen Fälle zu entwickeln, in denen die Gleichung
dv = ±gdx-Y ^
entweder eine Trennung der Veränderlichen öder eine Integra- tion zufSss't. Diese Fälle lassen sich im ganzen auf drei all- gemeine zurückführen. Der erste ist derjenige, in welchem der Körper sich auf einer geraden Linie bewegt; indem alsdann
, 7 1, ^Kdv
ds = iidx und dx = ■-,,— - -^ gK—nV
wird, in welcher letztem Gleichung die Veränderlichen von einander getrennt sind. Der zweite Fall findet statt, wenn V eine Function von v von nur Einer Dimension ist: alsdann lässt ,die Gleichimg eine Integration zu. Der dritte Fall ist derjenige, wenn so wohl V, als die Gleichung der Curve so eingerichtet ist, dass alle Glieder der Gleichung Functionen von V und sc von derselben Dimension bilden ; alsdann können nämlich-, nach der bekannten Be rnoullischen Regel, die un- bestimmten Grössen von einander geti'ennt werden. Diess tritt aber ein, wenn in Vds nur Eine Dimension von v und x vor- kommt.
y Google
auf einer gegebenen Linie im mdirstehenden Mittel. '215
Aiisäer ilieseii Fallen wfii'deii noch zwei andere esistiren, »eiche die Integration zulasse», aber nicht hieher gehören. Der erste Fall ist derjenige, in welchem der Widerstand ver- schirindet , der ahcr im vorigen Kapitel genügend behandelt worden ist. Der zneitc Fall findet statt, wenn die antreibende Kraft g verschwindet, den wir aber nicht zu behandeln brau- chen, n'eil die Bewegirng auf einer beliebigen. Linie mit derauf einer geraden übereinstimmt um] über diese im vorhergehen- (leti Thcile genug gesagt worden i^t. Ausserdem liisst auch die Gleichung in vielen Fallen eine Trennung der Veränder- lichen zu , wenn F = v^ ist ; so oft nämlich die Gleichung der Curve so eingerichtet ist, dass die in Kede stehende Gleichung auf diejenige zurückgeführt werden kann, welche Riccati einst aufgestellt hat. Allgemein aber kann auch in diesem Falle die Geschwindigkeit durch eine R§ihe dargestellt und durch einen endlichen Ausdruck bestimmt werden, tut wie ich eine allgemeine Constructiou von Riccati's Gleichung gegeben habe. So oft also die Natur der Sache es erfordert, werden wir ausser den drei dargestellten Folien sogleich auch denjeni- gen entwickeln, in welchem der Wide rstantl dem Biquadrat der Geschwindigkeit proportional ist.
Anmerkung 3. §. 474. Da diese Abhandlung über die Bewegung im wi- derstehenden Mittel an sich schwierig und verwickelt ist, wer- den wir sie nicht, wie wir im vorigen Kapitel getban haben, mehrem Voraussetzungen der antreibenden Kraft anpassen. Für uns wird daher die antreibende Kraft stets gleichftjrmig und abwärts gerichtet sein, ohne dass wir uns viel um Centripetal- kräfte bekümmern. Da wir nun die antreibende Kraft als gleich- iiirmig voraussetzen, so ist es angemessen, auch das wider- stehende .Mittel gleichförmig anzunehmen. Eine Flüssigkeit nümlicb, welche einen Widerstund erzengt, vermindert die Schwere des Körpers und wenn sie nicht gleichförmig wäre, würde man auch die absolute Kraft wicht mit Recht als gleich- flirmig voraussetzen können. Ferner werden wir aus demsel- ben Grunde die Curve , auf welcher der Körper sich bewegt, als ganz in derselben Ebene liegend annehmen, wodurch wir viele nutzlose Schwierigkeiten beseitigen. Satz 54. Aufgabe. %. 473. (Fi^ur 73.) Ein Körper wird in einem beliebigen
y Google
216 Kapitel I\I. Von der Bewei/unff eines Punktes
widersteh CT) den Mittel, durch eine gleichförmige Kraft g bestSn- dig abwärts getrieben; man soll seine Bewegung bestimmen, wenn er auf der gegebenen Curve AI^ emporsteigt nnd den Druck, welchen die letztere in den einzelnen Punkten M ev- leidet.
Auflösung. Auf der vertikalen Linie AP sei die Abscissc AP — x, ferner PM = y und AM = s, die Gesehwiodij^keit des Kilr- pers im Punkt .4 = "^b, '\\\ M = Sfv nnd der Widerstand im letztern Punkte = R. Während der Kiirper emporsteigt, wird also so wohl die antreibende Kraft ff, als auch der Wi- derstand H der Bewegung entgegengesetzt sein; "ir erhalten daher auf ähnliche Weise, wie im vorhergehenden Satze, die Gleichung
dv =: — gdx — ßds. Alis derselben musa man v so bestimmen, dass für x = 0, V = ö werde. Da ferner der Widerstand auf den Druck, wel- chen die Curve üu erleiden hat, nicht elnwii'kt, so wird der ganze Druck, welcher im Punkt M gegen die Cuive, nach der Richtung der Normalen MN ausgeübt veird , __ ffdy %)dxddif ils ds^
voraugesetzt, dass dx constant sei. Hier bezeichnet ^-^ die normale und — ^•"dxdd^ ^.^ Centrifugalkraft, beide längs MN
gerichtet.
Zusatz ]. §. 476. Beim Aufsteigen des Körpers auf einer beliebigen Curve wird also seine Geschwindigkeit beständig vermindert und man findet den Punkt D, in welchem die letztere ganz verschwindet, iudein man in der Gleichung
dv ^ — gdx — Rds nach der Integration ti = 0 setzt.
Zusatz 2. §. 477. Wenn der Körper auf der Curve DMA herabstiege, so würden wir die Gleichung erhalten
dv == ~ gdx -y Rds (§. 470.1. woraus man ersieht, dass die aufsteigende Bewegung nicht, wie im leeren Räume, der niedersteigenden ähnlich ist. Würde
y Google
mft
' f/ßß^^ei
i wkleritekenden Mittel. 217
aber der Widerstand negativ oder beschleunigend, so «ürde jene Aehnlichkeit stattQndeit. Die med ersteigen de Bewegung im widerstehenden Mittel wird also mit der aufsteigenden, in einem eben so stark beschleunig enden Mittel «bereinstimnion, und umgekehrt.
^ Zusatz S.
§. 478. Da die Gleichuii|T Rir die aufsteigende Bewegung nur darin vou der, der niedersteigenden Bewegung entspre- chenden Gleichung verschieden ist, dass der Widerstand R einen negativen Werth annimmt; so wird offenbar in allen den Füllen, in denen die letztere Gleichung eine Trennung der Ver- änderlichen oder eine Integration zulasst, diess auch bei der erdfern Gleichung stattßnden.
atz 4.
g. 479. Ist ß = - Bewegung die Gleichii
erhallen wir für die aufsteigende
und fiir die niedersteigende Bewegung
dv = — gdx + -j^ .
Kann man daher die erstere iritegriren, so erhält man zugleich das Integral der letztern, indem man —K statt -^-K setzt.
Ann
rkun
g. 480. Den drei oben erwähnten Fällen, in denen die gefundene Gleichung eine Trennung der Veränderlichen oder eine Integration zulässt, entsprechend wollen wir so wohl die niedersteigende, als die aufsteigende Bewegung behandeln; vorausgesetzt, dass die Curve gegeben sei, anf welcher die Bewegung erfolgen soll. Hierauf wollen wir, wenn die an- treibende Kraft, der Widerstand und der Druck gegeben ist, die Curve suchen. Drittens werden wir, wenn eine gewisse Eigenschaft der Bewegung vorausgesetzt ist, die Curve" bestim- men, welche unter der Voraussetzung eines gegebenen Wider- standes Genüge leiste. Ausserdem werden andere Aufgaben folgen, in denen von den vier Gegenständen: dem Wider- stände, der Bewegung, dem Druck und der Curve zwei gege- ben sind und die übrigen gesucht werden. Ferner werden wir auch unbestimmte Aufgaben erhalten , in denen alle Curven ge-
y Google
'J18 linpilel lll. Von dev Bewegung einen Pun/des
sucht werden, auf »veldien der Kiirjier beim Herab s( ei gen ent- weder dieselbe (leschivintligkeit erlangt , oder welche er in derselben Zeit zurücklegt. Hierauf wird die Lehre von den bracbyatocli Tonen Curve!» folgen und endlich eine Abhandlung über die scliniiigende SJevvegnng diis Kapitel bcschliessen. Sat/. 55. Aufgabe.
S- 481. (Fignr 74,), In einem beliebigen gleichfiirniigen widerstehenden Mittel und unter Toraiissefzung der gleiebftir- inigen rSchwerkralt ff soll man die Bewegirng eines Körpers bestimmen, welcher auf der, beliebig gegen den Horizont ge- neigten, geraden Linie AMB herabsteigt. Auflösung.
Ist AP ^ a-, so wird AM = s = nx und, da das wi- derstehende Mittel ein gleicbfürniige.s ist, der Widerstand ß
_ F K'
V^, s.
Setzt man daher die Geschwitidigbeit i
d« = ijix — ~- (S. -IIB-) Ode' ix = - '*
■ff/f-
in welcher die unbestimmten (jriisseii sind. Wir erhalten daher
Kdv
~-h
gK-nV
wo die Intfgration so ausgeführt werden ninss, d;iss für x=i) auch v=iO werde, vorausgesetzt, dass die herabsteigende Be- wegung in A von der Ruhe an beginne. FiiHJet aber eine An- fanggeschwindigkeit statt, so niuss diese durch Integration eingeführt werden. Die Zeit, weiche dem Wege ^^/ entspricht, ist
/ds _ Pndx _ p
(f,K-nV)\v
welches Integral so genommen werden muss, dass es, für VtT gleich der Anfangsgeschwindigkeit in A, verschwinde.
Der Druck, welchen die Linie in einem beliebigen Punkte il/ auszubauen bat, ist conslant, nämlich gleich der Kormal- kraft
ds ~ n indem wegen ddy = 0 die Centrifugal kraft verschwindet.
y Google
iiuf eim^r )jegehenen Lttüe Im widerste/iende» Mittel. 210
Zusatz 1.
§. 482. Die Gescfnvindigkeit des Kurpeis nimmt so hmge zit, als ffK^nV also dv positiv ist. Ist einmal ffK = nV, so wird rfii = 0 und dev Körper weder bescliieimi^t noch ver- zögert. Seine Geschwindigkeit wird hingegen rerniindert, wenn im Änfang6))unkt A, i/K-<.nV ist.
Z.ieat!i 2.
§. 4S3. Pgngt der Körper seine herabsteigende Bewegung in A von der Ruhe an, so wird seine GeschHincligkeit immer aunehroeu, wenn r/Ky nV ist. Die grüsste Gesehnindigkeit isrlangt er erst, wciiti er einen unendlich grossen Weg zurück- gelegt hat.
Zusatz 3.
§. 484. Je grösser der Winkel iJj4Cist. desto kleiner wird die letzte Geschwindigkeit, welche der Körper erlangen kann. Die grösste letzte Geschwindigkeit, mit welcher der Körper gleicliliirmig fortschreiten wird, erlangt dieser, wenn er auf der vertikalen Linie AC herabsteigt. Zusatz 4.
g. 485. Ist der Widerstand der 2mten Potenz der Ge- schviindigkeit proportional, so wird V^v'" und K^k'", also
gk-"- nnd die dem Wege AM entsprech
=/,
-/
{gk"' — »v'")V^D
Beispiel 1. g. 486. Es widerstehe das Mittel im einfachen Verhältnis r Geschwindigkeiten, es sei also 2i)i = ), alsdanü wird
-h
Vi - »V »
Die Zeit, welche zur Besciiieibiirig des Weges AM erforder iicli ist, nird aber
y Google
AC
220 Kapitel III. Vmi dir Bewi'gtmff eines Pmiläci Setzt man diese Zeit = (, sn erhalten wir
H- -——-%, etc.
Hat daher licr Kl'.rper beim Herabsteigen durch AB die Ge- schwindigkeit V^d erlangt, so findet man hieraus die Hiihe
Beispiel 2. §. 487. Der Widerstand des Mittels sei dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional: alsdann ist m = l und r U. _k ( gl, \
vorausgesetzt, dass der Ki'lrp er seine herabsteigende UeweguNg von der Ruhe an begonnen habe. Ist daher e die Zahl , deren Logarithmus = 1, so wird
S-^J'~ n.a « = .??L<fIr:l) = »*(i_,~ V).
gk~nv '• n
Hat der Küqier im Punkt B die Geschwindigjteit ^b, so »vird
Steigt der Körper unendlich weit hinab, so wird
Die dem Wege AM entsprechende Zeit wird
Durch Reihen wird so wohl der Weg w, als auch die Zeit bequem ausgedrückt, was wir für einen beliebigen Werfh von m in folgendem Beispiele »eigen werden.
y Google
mf einer gegebenen Linie im tciderstekenden Mittel. 221
Beispiel 3.
g. 488, Es sei der Widerstand der Srnteii Potenz der Ge- Tidii(keiten proportional, alsdaan wird k^dv "■■■ dv ,
Aufgalie.
g. 489. (Figur 75.)- Ein Mittel ividersteht in einem lie- liebig vielfachen Verhältiiiss der Gesell windigkeiten und es ist ein Punkt A gegeben, von welchem aus unendlich viele gerade Linien AM gezogen "sind. Man soll die Curve CMD von der Art bestimmen, dass ein, auf einer beliebigen jener geraden Linien, etwa AM, herabsteigender K.irper im Punkt M stets dieselbe Geschwindigkeit habe.
Auflösung.
Es sei der Widerstand der 2mten Potenz der Ceschnin- digkeit proportional, man setze AP^=x, AM=^z und t=:wa:. Ferner sei die, der Geschwindigkeit im Punkt üi/ zukommende, Höhe :=v, welche constant und =6 sein soll. Wir haben daher
dx - /"'^^ (Ö. 485.),
wo, wie früher, k den Exponenten des Widerstandes und .7 die nach unten z« antreibende Kraft bezeichnet. Um die Natur der Cutve CM zn finden, muss man also die vorstehende Glei- chung so integrlren, dass für u ^^ 0 auch ^ — 0 werde, hier- auf aber b statt V Und — statt w setzen, auf welche Weise man eine Gleichung zwischen i und x erbalten wird, welche die
y Google
222 K/ipitel IJI. Vo» der Bewefjunfj eines Pmikles
Natur der Curve ausdrückt. Wir haben oben {§. 488.) diese Gleichung durch eine Reihe integiirt und erhalten nach dersel- ben, indem vrir b an die Stelle von v setzen:.
■^ ^ ff ' (,«+1)5''^"' (2,«+l)5^ÄS'" Setzt man mm überall y™ statt n und multiplicirt die GleicIiiiTin mit q, so erhalten wir
'^ - / + (»+l)i,"«- + »m+i}ft"- '"■ Differentiirt man diese Gleichung und dividirt sie aiil' beider Seiten duri:h Ödq, so erhült man
qflx+xdt/ ^ 1 1 6^" _,_ *!^2!^ efc, — . ^"'
bdq g tp-k'" ff^It'"" ff/C" —b'"q"'
oder qdx^xdri = -; r-^— '
Da über (z"" = ti =:— , also 5 — — ■, so erhiilt man, indeu
man diese Werthe in <lie vorstehende Gleichung substituirt,
3- "' .z"'di-\-{yn—\)^x '"dx
bk™i "* . ^ "■ dz — bk'^i^x '"dx
— . ffA'-'x -/>'"%
Multiplicirt man diese Gleichung mit
so geht sie über in die folgende
xdt + (m — \)zdx = — V r — ■
' ^ ' gkVx — b'"i
Die Construction der Curve folgt aber leichter ans der Glei- chung
„X = r '•'"''1
Oben hatten wir qx gleich einer Reihe gefunden und hält aus derselben, wei
-n+l^am+l d. h. gleich einer harmonischen Reihe, also x -
y Google
auf einer gegebenen Linie im widevstehenden Iflitiel. 223 Ist cUhei- ^ = CO , so ivJrd
Die gerade Linie AE wird also eine Asyiiijitote der Curve und
cos CAE= ~. Den Abstand des Scheitelpuitktes C der
Curve vom I'unkt A, oder die Linie AC findet man mittelst der "bigeu Reihe für x, indem man t =: x und ^ ^ 1 setzt.
Es muss aber iiothwendig b"'<.ffk'" sein, indem sonst der
Seheitel C vom Punkt A unendlich weit entfernt sein würde,
Zusatz 1.
§. 490. Setzt man die Ordinate PM — y, so wird
und wenn man diese Werthe in die gefundene Gleichung sub- stituirt, geht diese über in
Zusatz 2.
g, 4ÖI. iVIan setze in dieser Oleiciiung i/ = pa-, so geiit sie über in
xpdp + mdx-\-mp^dx = — " "
und wenn man diese auf beiden Seiten mit (l+p^) '■''" raul- tiplieirt und dann integrirt, so erbält man
J tjh'» — li^\ I -yp^ welcher letztere Ausdruck durch Quadraturen bestimmt wer- den kann.
Zusatz 3. §. 49'2. Verschwindet der Widerstand und bewegt sich der Körper im leeren Räume , so wird k ~ tx, und man findet aus der obigen Reihe
nx = ~ oder X ■=■ -\ ' 9 9
also wird CM eine horizontale gerade Linie,
y Google
2^24 Kapitel III. Von der Bewei/ung eines Pun/des
Arinievkung 1. g. 493. Da man aber aus dieser allgemeinen Gleicliung wenig Bchliessen kann, was sich auf rlie Kenntniss der Curve bezieilt, so wollen wir diese Untersuchung in besondern Bei- spielen welter verfolgen. Wir werden aber solche KeLSjjiele wählen, in denen die Formel
gk"'—li"'q"' eine Integration, wenigstens mittelst Logarithmen, zulässt, da- mit wir zu endlichen Ausdrücken gelangen, aue denen man leicht die Natur der Curve ersehen kann. Beispiel 1. 5- 494. Es sei der Widerstand den Geschwindigkeiten proportional, also 2m ^ 1 und m ^ J, Man setze AC = a, alsdann wird, weil die Geschwindigkeit, welche der Körper beim Niedersteigen durch .iJC erlangt, =: VT sein soll:
« = -«.ViU2!,ths(-jß^) («. 486.). Ferner ist \^f/ =:n —- oder q — ^ und daher
bdi/STtt
f) VA - V^
welches Integral so angenommen werden muss , dass tiQr xz=x oder q-=\, x = a oder dem angegebenen Werthe gleich
werde. Es wird demnach _
Diese Gleichung geht, indem man -^ statt ^substituirf, üher in
.' = - 2. VU + 'inkx log ( S'^yt \
Ist tj ^^ 1 , so wird
x = «=. = -2m+V.los(-^=). Es werde ferner q — 1 +</</, alsdann erhalten wir
..,.., =-.,VH+;§^ =
oV*
aVk—Vb g'ik—\fb
y Google
auf einer ffegebencn Linie im widerstehenden Mittel. 225
Ferner ist -i== ~ ~ cosMAC, also smMAC=: Vd^t. Da-
her wird, wenn MA m't CA zusammenfällt, dx uiietKlHch viel mal kleiner als das Inciement des Winkels ^jiC, und hieraus folgt, dass die Tangente der Curve im Punkt C horizontal ist. Für ä=od ist die Tangente der Curve oder die Asymptote AE, wobei
cosEAC =: ——^zt wird. Uebris^en.'? hat diese Curve, auf der
ffVk andern Seite der Vertikalen AC, einen CMD gleichen und ähnlichen Bogen.
Anmerkung 2, g, 495. Man kann auch nilgemein zeigen, dasa die Tan- gente der Curve im Punkt C horizontal sein muss. Setzt man nämlich n = 1, so ergibt sich aus der x gleichen uneadJichen Reihe
ird das gleich-
Nun ist aber co837^C= -und smMAC = \ !i!:r-J _ y-.^^^
indem man 1 + dn sfcitt n setzt. Das Increment von AC ist daher unendlich vielmal kleiner als das increment des Winkels MAC uml daher AC normal auf der Curve ß31C. Beis|iiel 2.
§. 4<)6. ist der Widerstand dem Quadrat der Gesch.vin- digkeit proportional, also m — 1 ; so ivird, indem man AC
x^ a = /c\og(-0j^ und l> = ffk{l~e~K Ferner ist y :^ h =; — und so
|
"■' g ■ (m+DflVc" — |
|
|
Nimmt nu |
n 11 um das Element dn zu, so |
|
zeitige liK |
■reraeot von AC |
gHe'^ll
y Google
226 Kapitel III- Von der Beibegung eines Pmktei
Um die Ciirve zu coiistniireM, wendet mau alier am hcf|i» sten die Gieichiii
---G/4)
an, hl welclier j ~ AM uud q = bbcMAC ist. Anmerkung 3 §. 4Ö7. In der Auflösung der Aufgabe haben »ir um die Gleichling der Curve CMD zu linden, die Summ ation einer ge- H'iRStJn Reibe angewandt; dieselbe Gleichung Hnn man aber folgendermassen ohne Reihe eihalten. Di wir haben
so drückt eben diese Gleichung die Natur der gesuchte Curve BUS, ivfiin man nach der Integralion v ^ 1/ und « — — setzt.
Differeiitiirt i
eränderiich aiininmit und setzt ü an hier auf 11 =; b und n--^ —; so ergibt sich eine Diflerentiai-Ieichun"
X " an
zur Bestimmung der gesuchten Curve. Um diess aus/ufübren, «etze ich n = , wodurch «ir erhalten
-f-.
lun / — j , indem man nirlif r
J gl" — nV
^f-
ffk'"p'"
k-p^_
iSefzenwirnunderKiirze wegen -;- — >- = P, s» sei, wenn
gk'-p-' — v^ wir auch ;» als veründerüch annehmen, die Differentialgleichung
dx ^ Pdv f Qdp. Da nun P eine Function von v und p von der Dinicii.sion 0 ist, so erhalten wir
X— Pv + Qp, also Q ^^ — ^ p p
und wenn man diesen Werth von Q substiluirt, ergilit sich die Gleichung
Setzt man hier statt p wieder seinen Werth n ~"', so gebt die Gleichung über in
y Google
'.benen Linie im widerstehenden Mittel. 227
mndx-\-xdn -
Utk"' dv-^h"* vdn
in ivelcher Gleiehung n eben so, wie v und ^ als veränderlich angenommen ist. Setzt man nun v = b, dv = 0 und n =z ~, so erhält man die Gleichung
sdz-l-(m~'l)idx = '
gk"'X — Ö™*
welche mit der oben gefundenen übereinstimmt. Satz 57.
§. 498. (Figur 76.)- Der Widerstand steht in einem be- liebig vielfachen Verhällniss der Geschwindigkeiten; man soll die Curve AMC linden, welche so beschaffen ist, dass ein auf der beliebigen Sehne AM herabsteigender Körper in einer gegebenen Zeit von A nach M gelange. Auflösung.
Man ziehe die Vertikale AC, setze AP = w, AM = x und — =: w. Es sei ferner die Geschwindigkeit im Punkt M
= V^, der Widerstands— und die Zeit, in welcher der
Körper von A nach M gelangt = (, welche letztere constant sein soll. Nach dem Vorhergehenden haben wir
/k"'dv , . p nh-"dv ,. ,„« ,
— r— iiml t — I ■ ■ ■ ■■ — — —-^ (ö. 483.)
Um daher die Natur der Curie AMC zu. finden, muss man beide Gleichungen, wenn es möglich ist, wirklich integriren und den Werth von v aiis der einen in die andere substituiren ; hierauf— statt n setzen, wodurch man eine Gleichung zwischen
x und z erhält, welche die Natur der gesuchten Curve aus- drückt. Lassen sich aber die Integrationen nicht bequem aus- führen, so muss man beide Gleichungen differentiiren, indem man auch n als veränderlich betrachtet ; wenn man hierauf rf( = 0 setzt, so hat man v aus beiden Gleichungen zu elimi- niren, wodurch man eine Gleichung zwischen n und a, oder weil n =— , awischen i und x erhält, welche die Natur der 15*
yGoosle
228 Kapitel lH Von der Bewegunij eines Punktes gesuchten Cune aiisdiuckt BJan setze zu diesem Ende » = i , alsdann erhilten n ir
J «1 P'-"" J <!
-.-)V,7
Wenn man nun p eliet filk dls veränderlich betraelitet, so ha- ben wir für das l>iffeiential der ersten bereits gefiititlen
1, pd.r — xdp = —i- — -y- — — — ' ü (ft. 49/.1
Umdie 2le Gleichung zu differentiiren, setzen wir— — — — — — -
= P und dt =. Päv + Qdp. Da nun P eine Function von V und p von der Dimension — m — ^ ist; so erhalten
(ä-»)( = /•«+ Oy, .I.O Q = fl=^"->-' - ^' . Ip p
SuJist'ituirt man diesen Werth von Q in die vorhin angenom- mene Gleichung, so ergibt sieh
^ k-[rdv-^dp) a-1m)tdp
Es sei jefKt i = 2 Vc" und dt =: 0, alsdann erhalten wir
' '^ C9'<-i»--«-)Vn
und wenn man nun aus den zwei Gleichungen ilv eliminirf, so ergibt sich
pdx-xdp~{%n—l)p"Ujp\rZio&^v ^fv=-
1 — \)p'"dpV~c' — ffr
(■2/H — 1) p^-"^ dp Vc" ' wenn man x = rp gesetzt hat. Diese» Werth von V"u suV stituire man in die Gleichung
(^2m-l)dpV7==-^^^^I^:^^P}- oder die -^,
__ If{pdv~-vdp)
Ist etwa m = .^ oder der Widerstand den Geschwindigkeiten proportional, so wird
y Google
. Linie im widerstehenden mitel. 229
pdv =^ vdp (
oder i^ — «.
Unter der Voraussetzung dieses Widerstandes ist daher die Cnrve AMC ein Kreis, ganz wie im leeren Räume. Unter andern Voraussetzungen wird man, wenn nkUt eine von bei- den Gleichungen sich integriren lässt, nach der Elimination von V eine Differentialgleichnng zweiter Ordnung zwischen i und X erhalten, welche die Natur der Curve ausdrückt.
atz 1.
§. 499. Setzt man v und V^M=
du
so wird pdv — vdp Substituirt man diesen Werth
~ {%n-l)p'"-ldp>rc' in die Gleichung
dr /i'"p^da . , _ k"'du
pm-% ff/c'^p'»~u'"p"' gk"' —HP''
so erhält man eine Gleichung zwischen p und r, aus welcher die zwischen a: und z gebildet werden wird. Zusatz 2. §. 500. In einem Mittel, welches im einfachen Verhält- nJss der Geschwindigkeiten widersteht, wird also die Curve AMC ein Kreis sein. Unter dieser Voraussetzung des Wider- standes werden daher die Zeiten des Niedersteigens durch die einzelnen, von A aus gezogenen, Sehnen einander gleich. Beispiel 1. §. 501. Es sei der Widerstand dem Quadrat der Geschwin- digkeit proportional, also m := 1, alsdann wird
und ausserdem
:^l.g(p^-)8.'187.).«I.. .=^(1-
'-v^W'-(^i^°-'
»)
y Google
230 Kapitel III. Von ihr Bewegung eines Punktes Eliminirt man dalier v und setzt — statt n, so ergibt sich
In dieser Curve wird
Ais '^I' Setzt man daher AC = a, so ivird
oder
Es wird daher
V^.logfe^T+y ct_l) = VT.Iog[e^F^ V e*-li, die GleidiTiiig der Curve AMC. Ist der Widerstand sehr klein, so wird Ä sehr gfoss und daher
'°H' + V j + •>/, + svii = vf + T2M^ ■
Auf ähnliche Weise ergibt sich
,„,(,»+ V. '-11 =vt+iT.-V^
und daher die Gleichung der Curve AMC
y Google
\uf einer gefiebenen Linie im widerstehenden Mittel 231
Hieraus ersieht man, dsiss, wenn der Widerstand gänzlich ^ achwindet oder k — <xi ist,
also die Curve AMC ein Kveis wird.
Ist das Mittel ein sehr lockeres, so erhalten wir, ind wir -j^ vernachlüssigen , die Gleichung
und indem wir dieselben diflferentiiren
adx{aA-Qk) = 12iirfi + 3t2rfs.
Setzt man nun die Ordinate PI\J = y, so ergibt eich aus = Vxä^?,
j __ zdz — xdx
und wir werden die grüsste Ordinate oder den Ort, wo i Tangente der Curve vertikal ist, erhalten, indem wir uh^=j:< setzen. Wir erhalten hierdurch
u* + 6rt/c = 12ia7+3wr (
^ + 6hA
' 12i + az ) die Gleichung
LS erhalten wir sehr genähert
(4V2— 5)n2 „ _(3V"'I--
\r2 ^ 48Ä
Die Curve hat also die grössfe Breite in einem Punkte, wel- cher aber der Mitte von AC liegt und sie ist daseihst breiter als AC.
Zusatz 3.
§. 502. Wenn also eine gerade Linie oder eine andere
Curve die Curve AMC so in ü/ berührt, dass die erstere ganz
ausserhalb der letztern liegt; so wird ein von A auf der Sehne
AM heralistoigender Körper geschwinder zu jener Linie ge-
y Google
%yi KnpiU'l ill. Voti ihr Bewefpivg eines PiinhUs
iangeii, als wenn er sich längs irgeiid einer anilerii, von A nach jener hingezogenen Linie bewegte. Beispiel 2. §. 503. Es sei m eine positive Zahl imd ilev Wiiierslaiid sehr gering, also k sehr gross, alsdann kann man
gli-^—nv- ~^ ff g^k'" setzen und es wird in diesem Falle
" ^ -I- ;
^ {%m-\.l)g'^k"'- Aus der orsten Gleichung ergibt sich
und wenn man diese Werthe in (Ho ziveite Gleichung substi ttiirtj so erhält man
'£li^=nA- «V/'"-^^"' n^9^"
[Ja aber k =: — , so geht dieselbe über in
^^■-' + (2». -1- V) (2Hi + 2) k'- C2,«+2)Ä:a»' ■ I das Miüel sehr locker ist
Verschwindet der Widerstand günzüch, so erhalten wir
d. h. es wird die Ciirve ei» Kreis, dessen Durchmesser = JC ist (§. 501.).
Anmerkung, g. 504. Ist daher die Ciirve AMC bekannt und eine be- liebige Linie gegeben, so kann man die gerade Linie AM be- atlmmen, auf welcher der Körper am schnellsten vom Punkt A zu der gegebenen Linie gelangen wird. Man hat nämlich die Curve AMC zu eonstruiren, welche die gegebene Linie etwa in M berühre alsdann wird AM diejenige gerade Linie sein, auf welcher der Körper am schnellsten von A zur gege-
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. '233
benen Linie gelangt. Auf ähnliche Weise wird in der vnrher- gehendeo Aufgabe, wenn die gerade Linie oder Curve die Curve CMD (Fig. 76.) in M berührt, der Körper, weleher-von A längs AM \ns, zw der, die Curve CMD berührenden, Linie herabsteigt , eine grüssere Geschwind igk ei t erlangen , als wenn er auf irgend einer andern, vf»n A nach jener Curve gezogenen, geraden Linie herabstiege. Hiernach können die Aufgaben ge- löst werden, in denen man die gerade, von A nach einer ge- gebenen Cnrve gezogene, Linie sucht, auf welcher der Kör- [ler herabsteigend entweder die griisste Geschwindigkeit erlangt, oder diese Curve am schnellsten erreicht Wir wer- den daher nicht länger bei diesen Aufgaben verweilen, sondern zur Befrachtung der aufsteigenden Bewegung längs gerader Linien fortschreiten.
Sat» 58, A u fg a b e. §. 505. (Figur 77.), Unter der Voraussetznng der gleich- fiirmigen Schwerkraft g und eines beliebigen gleichförmigen widerstehenden Mittels soll man die Bewegung eines Körpers bestimmen, welcher mit gegebener Anfangsgesehwindigkeif vom Punkt A, längs der beliebig gegen den Horizont geneigte» ge- raden Linie Aß, aufsteigt.
Auflösung. Man ziehe die horizontale Linie AC uud setze das, von M auf tlieselbe gefällte, Perpendikel BIP = x. so wie AM = nx. Es sei ferner die Anfangsgescbivindjgkeif in A=^b, die Geschwindigkeit im Punkt M = \^v und der Widerstand dii.selbst = -ff ■ Unter diesen Voraussetzungen wird
,lv = -jrf..- -„- (S. 473.). .1.0 il^ = -jTT--^
»-=/,
Diess Integral i verschwinde unt
wo ß derjenige Punkt ist, Geschwindigkeit verliert. E durch Altl aufsteigt, ündet
|
ffK + , |
iV |
|||
|
mmen m |
i-erden |
, dass es |
fii |
r v^b |
|
lierauf T>=^0 |
setzt, so » |
>rg |
ibt sich |
|
|
^ BÜ, |
||||
|
[1 wefchem de |
r Körper s. |
eil |
le ganze |
|
|
ie Zeit, |
in > |
iclchcr d. |
er |
Korper |
y Google
Kapitid Hl. Von der licweijunfi eines Punktes -nKdv
J (9'
UgK^-nV)^/^' welches Integrai ebenfalls so genommea wird, dass es fiir v — b vcrschivinde und wenn man hierauf i; — 0 setzt, so erhält man die Zeit des ganzen Aufsteigens durch A31ß. Endlich wird der Druck, welchen die Linie ^l^B auszuhalten hat, über-
„•^9
l constant und gleich der normalen Kraft ^i— Zusatz 1.
-1
§. S06. Wird die Linie AMB horizontal, also ^LAMP =■ 90» und n =:^ OD ; so erhalt man, indem man AM = ; ~ n:e setzt:
■ -Kdv
-r-
und die Zeit, in welcher der Kurp
r AMz
■ücklegt,
-/i
Kdv
Zusatz 2. g. 507. Ist der Widerstand der 2mten Potenz der Ge- schwindigkeit proportional, also V = V" und K :^= k"'; so
erhält man
-fl
gk-" 4- W' 1 Wege j4i)!/ entsprechende , Zeit
nk'" dv
-/,
(,*»+««-) v^«
§. 508. Verwandelt man beide Ausdrücke erhält man
i.|4-+>
-,-+11
■ |4«.+i_
»fi|
etc.
und die AM entsprechende Zeit Setzt man nun ti = 0, so wird
BC= -
„4™ 1-1
und die Zeit des ganzen Aufsteigens durch Aß
etc.
y Google
r gegebenen Linie im wider stellenden Mittel. 235
Beispiel 1.
§. 509. Es sei der Widerstand ilpii Geschwindigkeiten pro- portional, also m = s alsilann erhalten wir
Hieraus ergicbt sich die ganze Hlilie, welche der Ki'.rper zu erreichen vermag, oder
ßC = ?VM _ m. log ftyi+iViN
n n^ y g^ifk J
Ferner wird die Zelt, in welcher der Körper durch AM auf-
und die Zeit des ganzen Aufsteigeiis durch ABID
=2V^iog^^^^l±^:VT),
V g^fk ^
(Figur 78.). Es sei daher der Körper auf der geneigten Linie AC herabgestiegen und wenn derselbe mit der in C erlangten Geschwindigkeit auf CB bis Ä aufsteigt, so sei AC= N.AD, BC = n.BE und die Geschwindigkeit im Punkt C = VT; alsdann wird
" VVi-iVVT/
Fei
BE.
» ' V gS'lc J
y Google
2VTiog (9^
236 Kapitel III. Van der Bewegung eines Punktes Die Zeit des Herabsleigens liurth AC ivivd
utid die Zeit des Atifeteisens durch Cß
g^k )
Hiernach kann die al>- und aufsteigende Beiveginig, läng» ge- rader Linien mit einander verglichen iverden. Zusatz 4. g. 510. Wenn man diese Logarithmen durch Reihen aus- drückt, so ist es klar, dass ttninüglich BE = AD werden kann, indem unter jeder beliebigen Voraussetzung des Wider- standes, nie man aus den Reihen (§§. 508 und 488.) ersieht,
ßJE < - und AD-S-- ist. Den Weg ^C kann man aber dem
.9 ü
Wege BC gleich machen.
Zusatz 5. §. SIL Man kann aber leicht beivirken, dass die Zeit des Niedersteigens durch AC der Zeit des Aufsleigens durch Cß gleich werde. Es muss nämlich
g'V^ ^gS^Ti\n sfb ^^^^ ^ „ fl'g VI
gSfh—iasrh gSfk "'" " g Vk—NVb
sein. Es wird also m > iV oder ^ BCE <, ACD. Die Re- lation zwischen n und JV ist aber von der Geschwindigkeit im Punkt C abhängig.
ZusatK 6. §. 512. Ist aber Z. BCE = ACD oder JS == n, so wird die Zeit des Aufsteigens durch BC kleiner, als die Zeit des Ni*fdersteigeiis durch j4C, und zwar gilt diess unter jeder Vor- aussetzung des Widerstandes. Die erstere wird nämlich
<?!L:^. die letztere >?'i^, wie man aus den oben
9 9
(§§. 508. und 488.) gegebenen Reihen ersieht,
Beispiel 2. §. 513. (Fig. 77.). Es widerstehe das Mittel im doppelten
Verhältniss der Geschwindigkeiten, es sei also m := 1. Wir haben alsdann
y Google
attf einer (legebenen Linie im widerstehenden Mittel. 237 /• -Mn _ * , fgli + nb^
,,\e e.„e\. AB = l.\o. (If^j^y Die Zeit des Auf'steigens durch AM haben wir
Hieraus folgt die Zeit des ganzen Aufsfeigeris durch AB
(Fig. 78.). Ist nun der Körper auf der geneigten Linie AC herabgestiegen «nd steigt er hierauf mit der in C erlang- ten Geschwindigkeit Vö" längs CB wieder auf, so müge wie vorhin AC^=N.AD und HC = iiBE sein und es wird alsdann
N ^ \ffk — NbJ ^ \gk — Mj
und die Zeit des Nied erste! gens durch AC
Ferner erhalfeD wir
JiE=^i-e ßtiJit\ ,BC=u Jos (5--'j-)
niid die Zeit des Aufsteigens dnrch CB
Znu«tz 7.
Vs
g. 514. Bei diesem Widerstände kann man leieht bewirken, dass AC = BC werde. Es musa alsdann
gk _gA + w6 . ISgk
,jk-m ^ ~<jk-m '
also n > iV und ^ ßC£ < ^t'O sein. Beispiel 3. §. 51S, Es sei der Widerstand sehr klein und der 2mten Potenz der (leschwindigkeit pro^ortionul, alsdann wird k eine
y Google
238 Kapitel Hl. Von der Bewegung einea Punktes
sehr grosse Zahl. Setut man daher die Geschwindigkeit Im PunktC=V"6 und AC ^ N.AD, nie auch BC=n.BE, steigt ferner der Körper län;»« AC herab und längs CB hinauf; so wird
und die Zelt des Herabsteigens längs AC
Für die aufsteigende Beireguiig eriiaiten wir
und die dem Wege CB entsprechende Zeit
= ?!^ 255-V5_ , |5„g,,
s (2«. + i)a'i-* " '
Soll man dalier bewirlisn, dass AC = BC werde, so nrnsa
g ^"(m + 1) ,,»/<- J (,m + l)g'U-- oder, weil /i sehr gross ist,
sein. Sollen aber die Zeiten des Auf- und Absteigens einan- der gleich sein, so wird
Anmerkung 1. §. 510. (Figur 79.). Im Fall .lass, wie in diesem Beispiele, der Widerstand sehr gering ist, kann man die Curve AMD von der Eigenschalt bestimmen, dass der von C mit der Ge- echwindigkeit ^b aufseigende Körper auf jeder geraden Linie CM zur Curve AMD gelange. Setzt man nämlich CM =^ i
nnd MP = X, so wird n ■:= - und x= - — -. — , ,, „t— .
X g {m-\-l)g'li">
hieraus erhalten wir die Gleichung
i.ö-'+i = im-\-\}gbk'-'x^{m + \)gH":'c-^.
Es sei mm CP — v und man setze ■;^ — . .,— , ' ^= A a'sdann (m f 1)(/Ä"'
Hird diese Gleichung
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. '239 f V^-~-f^^^b:c-g.T^oä&vf^y^=(b-^^P)x^~2gl,xU^g^:c*. Setzt man y = 0, so erhält man a: = 0 und x = 'LSzJ.
= CA. Die Cuvve gellt daher auch durch den Punkt C, je- doch kann dieser Theil derselben der Aufgabe nicht Genüge leisten, weil wir die folgenden Glieder vernachlässigt haben, was mit Unrecht geschieht, wenn« oder — ebenCalls sehr gross
ist. Die Gleichung ergibt aber eine, der Ellipse ähnliche Curve, welche über der kleinen Axe CA beschrieben sich sehr weit ausdehnt. Die wahre Curve hat indessen die Gestalt AMD, deren Asymptote die horizontale Linie CE ist, wenn nämlich m > 1 und ihre Gleichung wird, indem man alle Glieder mit- nimmt.
|
xdz |
-|-(m^I): |
'.d. |
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497.). |
||||
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Ist |
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iclit In |
's Unend- |
|
licl |
street |
:en, sondf |
F ■ |
da |
in CE lalle», wo |
Ist nämlich m «^ 1, so kann der Kfirper in horizontaler Rich- tung nicht in's Unendliche fortschreiten, siindern verliert seine ganze Geschwindigkeit m endlicher Entfernung. Anmerkung 2. §. 517. Wenn das widerstehende Mittel nicht gleichlonnig wäre, so würde die Linie keine gerade sein, auf »elcher die Bewegung sehr leicht bestimmt werden kann. Dasselbe ist auch zu bemerken, wenn die antreibende Kiaft nicht gleichför- mig wäre. Ist die letztere etwa = P und der Widerstand
= ^, wo Ö eine eben solche Function vom veränderlichen
Exponenten q des Widerstandes, als V von v ist, so wird die Bewegung des Korpers auf einer beliebigen Curve ausge- drückt durch die Gleichung
1 Gleichung derjenigen Curve, auf welcher die Bewe; r leicht bestimmt wird, ist nun
y Google
240 Kapitel III. Von der Bercegung t
Pdx =
±A±V
Iti dieser Gleichung, welche die Bewegung auf der Ciirve be- stimmt, sind die Veränderlichen von einander getrennt. Wollten wir daher derartige Hypothesen weiter vcrlolgen, so müssten wir statt der geraden Linien Curven annehmen, ivelcho durch die Gleicliußg
PQdx = Ads bestimmt werden. Da wir uns aber vorgenommen haben, nur die Voraussetzung einer gleichfiirmigen anlreibenden Kraft und eines gleichförmigen Widerstandes ausfubrüeh zu behandeln; 60 lassen wir diese Untersuchung liegen und gehen zu denje- nigen Fällen ähcr, in welchen v nur eine Dimension hat. Diess ist der Fall, wenn der Widerstand dem Quadrat der Geschwin- digkeit proportional ist.
Satz 59. Aufgabe.
J. 518. (Fig. 80.). Unter der Voraussetzung der gleich- förmigen Schwerkraft g und eines, dem Quadrat der Geschnin* (ligkeit proportionalen, W^idersfandes steige ein Kürper auf der beliebigen Curve AMB heralt; man soll seine Bewegung und den Druck bestimmen, welchen die Cutve in ihren eiiuelnen Punkten auszuhalten hat.
Auflösung.
Auf der vertil^alen Axe nehme man die Abscisse AP = x an, setze den Bogen AM = s, die Geschwindigkeit im Punkt M = V^ und den Exponenten des Widerstandes = A; als- dann ist der letztere selbst = -r- Die Bewegung des Körpers ivird ausgedrückt durch die Gleichung
dv = gdx
Q.).
Um sie zu integriren, so das Integral
nultiplic
V ,e^= I ge ^da: welches so genommen werden muss, dass für
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 241
die, der Anfangsgeschwindigkeit im Punkt A zukommende, Hülle übergehe. Soll datier die nied ersteigende Bewegung von
der Riilie ab beginnen, so muss für s = 0, den, Ist diess geschehen, so hat
, / geMx = 0
V ^ ffe * / ^d.T. wird die Zeit des Hevahsteigens durch AM
■/,
</./.
'c''da:
Set^f man ferner PJfl = g und nimmt dx als coiistant an, so wird der Druck, welchen die Curve im Punkt M längs det Normale itfiV" ansziihalten hat
^ fflM + -g^ ''dxddyfe^d.
Zusatz 1. §. 51!'. Der ünick, welchen die Curve auszuhallen hat, lässt sich umformen in
e''dydx welcher Ausdruck sich, nachdem für eine gegebene Ciuve / ^dx bestimmt worden ist, allen einzelne« Fälieii bequemer
anpassen lässt.
Zusatz 2. §.520. Der. Korper hat beim Niedersteigen die grSsste Geschwindigkeit <la, wo
. = .2^, d.h.wo>-^^y;Ä,.
oder </. log f r i^dx^ = ^^
in welchem Punkle die Tangente der Ciirve offenbar nicht ho- rizontal ist.
EuIci-'b MecMiiik. II. IG
y Google
M'i Kapitel III. Von der Bewegung i Zusatz 3.
/'
«, S21. Ist / e''dx =^—^- , so wird dx = ■ ■■■■v- + 7--—,
— «" _l ^<-'
Diückt datier diese Gleichung dio Natiir der gesuchten CiirT«
V =1 ff"" und die dem Wege AM entsprechende Zeit
(2~,0V",9 ' vorausgesetzt, dass » <2 sei. Ist nämlich Ji = 2 oder n > 2, so wird die Tangente der Curve im Punkt A homontal und der Körper bestSndig daselbst verbleiben. Zusatz 4. 5.S22. Auf ahnliche Weise ersieht m;iQ auch, dass, wenn x eine beliebige Potenz von s oder ein Aggregat derartiger
Potenzen Ist, e^da7 stets integrlrt und daher die Geschwindig- keit durch endliche Glieder dargestellt werden kann. Zusatz 5. §. 523. Werden aber die Abscissen auf der vertikalen Axe BQ angenominen und setzt man die Geschwindigkeit, vvelcho der Körper im B haben wird, = V"i, setzt man ferner BQ = x und BM = s; so wird
dv = — gdx H- ^
und indem man Integrirt
V. e~^ = h — g fe~hlx.
Das Integral ist nämlich so genommen, Ansa je 'ilx (äv x =z Q verschwinde. Wir erhalten daher
fif.
e *dx
y Google
auf einer gegebenen Linie im tciäersleheiiden Mittel. 243
die Zeit, in weldier der Körper beim Ilefabsteigeii den jen MB zurücklegt,
''(Ix
Zusatz 6. 5. 524. Ist daher die Geschwindigkeit im Punkt B, näm- lich VT gegeben, so kann man auf der Cime BMA den Punkt
A bestimmen, in welchem die herabsteigende Bewegung be- gonnen hat und die Geschwiiidigkeit = 0 war. Man muss nämlich den Ort suchen, an welthem
/.-
ist. Ferner wird der Ausdruck der Zeit denjenigen Zeitraum ergeben, innerhalb dessen der Kclrper durch den ganzen Bogen AMB herabgestiegen ist, wenn man in demselben, d. h. in
fei^':
■■>/'-
/e ''dx=^— i 9
nach der Integration
§. 525. Wir haben hier eine doppelte Weise, die Bewe- gung zu erforschen, angeführt, damit man sie sowohl der nie- dersteigenden Bewegung, welche von einem gegebenen Punkt« ausgeht, als auch der niedersteigenden Bewegung bis zu einem gegebenen Punkte anpassen könne, wie diese bei der schwin- genden Bewegung zu geschehen pflegt.
Salz 60. Aufgabe, g. 5-20. (Figur 73,). Es findet eine gleichfiirniige antrei- bende Kraft und ein gleichförmiges Mittel statt, welches im doppelten Verhalf niss der Geschwindigkeiten widersteht; man soll die Bewegung eines, auf der gegebenen Curve AMD hin- aufsteigenden, Körpers und den Druck bestimmen , welchen die Curve in ihren einzelnec Punkten auszuhalten hat.
y Google
244 Kapitel III. Von der Bewegung eines IHinktes Auflösung. Auf der vertikalen Linie AP setze man die Abscisse AP — X, den Hagen AM = s, die Geschwindigkeit im Punkt A =z V^ft und in M = S^v . Es sei ferner die aliivärts an- treibende Kraft = «/ und der Widerstand = j. Unter diesen Voraus.^et/ungen hüben vrir
dv =x— ij,U — i^ (§. 475.),
woraus, nach der Slultiplication mit c^, ald Integral enisprins*
V . e^ — I) ~ u f e''dx ,
fehlx so genommen, das.s es für jr == 0 verschwinde. Wir haben daher
-o ^ 6 , e~ ^ - f,e " '■ f e^dx und die, zur Beschreibung des Cogens AM erfordcvticlie , Zeit
Ist die Geschwindigkeit gefunden, so erhält man den Druek, welchen die Curve im Punkt M nach der Richtung der Nui- male MN erleidet.
^ ffjk-^^^A'1'ä (S. 475.),
wo PM — y und d.v als constant angenommen ist.
Zusatz 1. §. 527. Setzt man daher v = 0, so wird gf ehlx=zb, aus welcher Gleichung mau den Punkt D erhält, his zu welchem
der Körper von A aus ansteigen kaim ; die Zeit des ganzen Anstei- gens durch ^MO erhält man, indem man imAusdruck der Zeit,
nach der Integration, ebenfalls g j e^dx = b setzt.
y Google
luf einer gegebenen Linie im widersUkemlen Mittel. 243
§. 528. Wenn man in der Formel , weiche den Druck darstellt, statt v seinen Wertb setzt, go geht sie über in
f/dy 2e ^lidxddy und hierfiir kam] man setzen
'Ige \lxddgj ^dx
e^dydx
Zusatz 3. §. 529. Für die herabsteigende Bewegung erhält man, ivenn die Geschwindigkeit im Punkt A eljenfalls = VT ist, den Druck, welchen die Curve im Punkt M längs der Normale JtfiV erleidet,
Zusatz 4.
§. 530. Wenn man daher so wohl die aufsteigende, als auch die niederste igen de Bewegung in Bezug auf die Axe AP bestimmt, so kann die Gleichung, welche die erstere Beivegung atisdrOckt, in die auf die zweite sich beziehende Gleichung verwandelt werden, indem man — A statt + k setzt, und um- gekehrt. Ist also die herabsteigende Bewegung längs der Curve AM bestimmt, so hat man auch die aufsteigende Bewegung, und umgekehrt.
Anmerkung.
§. 531. Weil die Formeln, welche die auf- und niederstei- gende Bewegung bestimmen, eine so grosse Verwandtschaft mit einander haben; so können diese beiden Bewegungen ieicht mit einander verglichen und daher die Schwingungen auf einer gegebenen Curve bestimmt werden. Diess werden wir im fol- genden Satze, 80 weit es allgemein möglich ist, ausführen. Satz 61. Aufgabe.
i;. 53-2. (Figur 81). Es seien die beliebigen Culvcti MÄ und TiA in ihrem untersten Punkte A mit einander verbunden und es steige ein Körper auf der Curve MA in einem gleichförmigen.
y Google
24ß Kapitel Hl. Von der Bewegung eines Punktet
nach den Qua<!raten der Gesclnvindigkeiten widerstehenden, Mittel heiah; man soll diese herabsteigende Bewegung mit der auf
der Curve AN ansteigenden Bewegung vergleichen. ÄTiHilsung. Es sei die Geschwindigkeit im Punkt Ä = Vö, auf der vertikalen AxeAPAXa Äbscisse ^^i* — ar und der Bogen Aßf := s. Für die Cnrve AN der ansteigenden Bewegung sei aber AQ := t und AN = r. Ist nun die Geschwindigkeit des nieder- steigenden Klirpers im Punkt M =: Vv, so haben wir nach
f ? /• _°
V — de'- — ge'^ ^ e '■•dx.
Ist ferner die Geschwindigkeit des auf ^iV aufsteigenden Kör- pers im Punkt N = VV, so haben wir nach §.526.
''P
Verschwinden daher die Oeschwindigkeiten in den Punkten M und N, so dass IMAN der, in Einet halben Schwingung be- schriebene. Bogen ist; so wird
* = fc'id^f und - = fe^dt.
ff J ff J
Denkt man sieb nun eine andere halbe Schwingung, in weither der Bogen mAri beschrieben wird und ist in diesem Falle die Geschwindigkeit im Punkt A ~ Vö + M, so wird
-^ — -^/ K ''dx-\-e ''dx, also e ''d.i: 9 J
=^ — oder c " . /^ := — .
.9 ^9
Auf ähnliche Weise erhält man für die aufsteigende Bewegung
und es folgt iius beiden Gleichungen
p AM^ , , „ ... AM-k-AN Q- ::=e '■ oder \oä;Pp — logy(/= ^— — ■
Ist also der in Einer halben Schwingung beschriebene Bogen MAN gegeben und fangt hierauf der Körper in dem sehr we- nig hüher liegenden Punkte m an, herabzusteigen, so findet
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 247
man den Punkt n, welchen er oberhalb JV erreicht; es wird nümlich
Zusatz I. @. 533. Sind daher MAN und mAn zwei, in den einander sehr nahen ^Schwingungen beschriebeneti, Bngen, so ist stets
lind zwar in einem desto hljhcrit Grade, je grüeser die Summe AM ^ AIS beider Bogen iJ^t; es «ird also auch stets AQ<:.AP
Zusatz 2.
§. 534. Im leeren Räume ist Ä = go, also c '^ == I und so Qy=:.Pp, wie auch AQ^^AP. Ein im leeren Räume schwingender Körper wird daher zu einer eben so grossen Hübe ansteigen, als diejenige, aus welcher er herabgestiegen ist. Zusatz 3. g. 535. Ist der Widerstand sehr gering , also k sehr gross, so ^yhd
^J^±^. MAN ^ (, , MAN\ „
Zusatz 4. §. 336. Ist der Punkt O der Ort, an welchem der herab- steigende Körper die grosste Geschwindigkeit hat und setzt man A(J ^= s und AS = a:; so wird
i_ /i DU n«k I „ k^^ „„A h <. / o */fT-l-^— ^
-=b.i^-
- ge' Je ''dx und b =^ g 1 e "aj:+-
Wenn daher der Körper aus m herabsteigt, so wird der Punkt der grössten Geschwindigkeit in o liegen, wenn
dh = ge~ hlx + "— ?
ist, wo dl/ := ov und der Krümmungshalbmesser im Punkt O durch p bezeichnet ist, also wenn man hat
y Google
Kapitel lll. Von der Bewerjung eines Punktes
Zusatz 5. §. S37. Die Zeit Einea Hinganges durch MAN erlii n, indem man in dot Summe der Integrale
dt
(H
nach der Integration res^iecfive / ^ ''(to=— imtl auch/ c = - setzt; diess wird also die Zeit Einer Laiben Schwingung,
§. 538, Aus dem Bisherigen ergibt sich noch folgende ele- gante Eigenschaft. Es steige der Köt|iei' von A mit der Ge- schwindigkeit = \^6 bis N hinauf «nd wenn er nun aus JV durch NA wieder herabsteigt, sei seine Geschwindigkeit im Punkt A == V^c. Steigt er nun von A mit der Geschwindigkeit = Vr+pö bis zum Punkt n hinauf, so erlange er, wenn er von n bis A wieder herabsteigt, im letztern Punkte die Ge- schivindigkeit V^c + dc. Alsdann ist
df,_ 4?
ind ■ — =
.*3'/,
Qq''
rkung.
§. 539, Ks lileiht noch übrig, dasa wir diese allgemeinen Resultate auf Beispiele oder gegebene Curven anwenden, wo- durch ihr Gebrauch um so klarer werden wird. Wii' werden aber als gegebene Curve nur die Cycloide annehmen, weil man
bei ihi
■p..
leicht darstellen kann und auch die Gleichung
zwischen s und ;r eine algebraische ist. Wir wollen also so wohl die herabsteigenden Bewegungen, als auch die Schwin- gungen in einer Cycloid© untersuchen , woraus wir ersehen
I vom Isochronismus abweichen. Wie
y Google
auf einer gegebenen hinie im widerstehenden Mittel. 249
wir bewiesen haben, werden sie nämlich im leeren Räume alle in derselben Zeit zurückgelegt.
Satz 62, Aufgabe. §. Ü40. (Figur 82.). Es sei äie gegebene Curve die Cy- clülde JCB, welche auf der horizontalen Basis AB durch Fortrollen eines Kreises, dessen Durchmesser^CO, beschrie- ben worden ist und es steige ein Körper auf ihr aus A herab in einem Mittel, welches im doppelten Verhällniss der Ge- schwindigkeiten widersteht; man soll die Bewegung dieses KOrpers bestimmen.
Auflösung. Es sei CD -— ^a, AL = x und AM r nach der Natur der Cycloide
s =: a-Va*— 2ö^ oder "iaa; = 2os— ^a Ist die Geschwindigkeit im Punkt M = Vv, so h
V =: ffe * / e^'dx.
Da luin dx = ds~~--, so wird
f e''dx=^ke''-[--— ~ " «■
Substitiiirt man diesen Werth, so erhält man
(ik-\-k'^~ks -T ak-^Ifl
v^y.-~l~ f,e *. — -— .
Die a;iösste Geschwindigkeit findet statt, wenn " ,1a " ^' ~~n '
haben
'"-^m-
Man kann auch den Punkt N finden, in welchem < seine ganze Geschwindigkeit verliert, indem umn i
y Google
2f50 Kapilel III Von der Bewet/ung eines Punktes
folgt. Ans dieser Gleichung bat man ilen Werlh lies Bogen» * = ACN hetzuleiteii.
Die Zeit, in welclicr (1er Kürper den Bogen AM beim Her- alisteigen zurücklegt, findet man
J V Sil<i + t-i-e '(0+4)1 um endlicli den Druck zu bestimracti , weleheji die Curve er- leidet, haben wir
ds a 1 a
und so den Druck im Punkt M
Wir haben demnach die Oescbwindigkeit, die Zeit und den
Druck bestimmt, wodurch die Bewegung des Körpers bekannt
§. 541. Da nun I erhält man, indem man a+k = c oder u — c — k setzt,
P = fe=& =.+*-.-(«M)+«.+/,)i - ai§f
|
+ ^3^-- |
|||||
|
= |
0 |
1.2/," + 1.2.3*."°' |
|||
|
oder |
|||||
|
.1 - |
fK |
^r |
3- |
1.2/i + 1.2,3/,» 1 |
«+*).^ |
|
Zusata 2. |
|||||
|
s. |
642. |
Im li |
ieien |
R.iiiiie, wo * = « l |
5t, wird |
y Google
auf einer gegebenen Linie im mderste/tenden Mittel. 25t
wie bereits bekannt Ist aber der Widerstand nur sehr ijerhig, also k sehr gross, so erhalten wir
Zusatz 3.
§. 543. Im leeren Ramiie-wird daher die (Geschwindigkeit des Korpers in den beiden Punkten, in denen s = 0 und i = 2« ist, d. h. in den beiden Spitzen A und B verschwin- den. Im widerstehenden Mittel aber findet der eine Ort des Verschwind ens da statt, vn> s = 0 i.st und der andere mnss ans der Gleichung
abgeleitet werden. Hieraus findet man
|
Ilt |
Ilaher |
k seht |
■ gross, |
, SO tvird sehr nahi |
||
|
' = |
2ff/: |
Zusatz |
;=2a- 4. |
2«a 3A |
||
|
§. 5« |
1. Die |
vorher |
gefundene |
Reihe gphf , |
||
|
rin |
a+i |
statt c |
substituirt, ilber i |
n |
||
|
.= |
:: 2«- |
3/7 +ÖF" |
etc. |
Der hieraus folgende Werth von s gibt den Bogen ACN a
welchen der Korper bei seiner Bewegung beschreiben kann.
Zusatz 5.
§. 545. Der Bogen AO von Ä bis zu dem Punkt O, welchem der Körper die grilsste Geschwindigiteit hat, ist
= '■'•=• inr) == « - S + £ - Ä + £ '*'■■
tmd
y Google
252 Kapital IH. Von der Beweffung eines Punktes
Zusatz ß. §. 546. Im Punkt C hat man s = « und die, der dorti- gen Geschivindigkeit zulconimendß, HOlie
"~ r; 27375^3 "*" 1.2.3.4.0/:*^**'" ^ Man ersieht hieraus, dass die Geschnindigkelt im Puukt C niemals verschwindend klein werden kaiui, indem die ihr zu- kommende Hohe
wird. Daher ist der Bogen ACN stets grosser, als der ßo-
^^" Zusatz 7.
8. 547. Die der griissten Geschwindij;keit in O zukom- mende Hljhe ist
Daher ist der Ueberschnss dieser Hühe über die, der Geschwin- digkeit im Punkt C zukommende, Höhe oder
V —V -S'|i_2.4A2 1.2.3.aAä+].2.3.4.6Ä**^ i
indem v-'—v' = gh — d—\o^\^-:^j~g\ — -k.--~c *J. woraus durch gehörige Reduction der vorstehende Ausdruck entspringt.
Anmerkung. §. 648. Bei der Auflösung dieser Aufgabe sf.üsst die Be- trachtung auf, dass wir a>is der Formel, welche nur die nie-
y Google
mif einer gegebenen Linie im widerstehenden Mutet. 253
dersteigende Bewegung des Korpers bestimmt, auch die auf- steigenile längs CN abgeleitet haben. Es kann daher ein Zweifei entstehen, ob ditse aufsteigende üewegung auch ge- setzniässig bestimmt sei; diess ersieht man aber leicht aus der Formel , ivelche eben diese Bew egiing bestimmt. Wir haben uns der Gleichung
dv = gda: — Uds bedient, welche in dem, jenseits C liegenden Punkte M, wo dx negativ wird, in die Gleichung
dv ■= — gdx—Rds übergeht und diese enthält in der That die Natnr der aufstei- genden Bewegung. Hieraus ersieht man die Continuität zwi- schen der auf- und niedersfeigenden Bewegung, vermöge wel- cher sie ohne zwischen liegen den Sprung mit einander zusam- menhängen. Da wo nämlich die Curve anfingt, sich nach oben umzubiegen, geht zugleich die Formel, welche die nie- dersteigende Bewegunf! bestimmt, von selbst in die, der auf- steigenden Bewegung entsprechende, Formel ßber. Dieser Zusammenhang findet in jedem beliebigen widerstehenden Mit- tel statt , wie man auch aus den allgemeinen Formeln ersieht, welche nur in dem Zeichen von dx von einander verschieden sind. Ist daher die Gleichung einer beliebigen' Cnrve gegeben, so hat man nicht nüthig zu untersuchen, auf welchem ihrer Theile der Körper auf- oder niedersteige, sondern eine jede der beiden Formeln wird, wenn sie der Gleichung angepasst ist, die nähre Bewegung längs der gegebenen Curve ergeben. Man bat nur darauf zu halten, dass die Abscissen auf der ver- tikalen Axe angenommen werden und dass man diejenige von beiden Foimeln anwende, welche mit dem Anfang der Bewe- gung übereinstimnil.
Sat^ 63. Aufgabe.
g. 549. (Figur 82,). Die gegebene Curve sei die Cyclo- ide ACE, welche über der horizontalen ]3asis AB beschrieben ist und nach unten zu liegt, ein Korper führe auf ihr seine Schwingungen in einem Mittel aus, welches im doppelten Ver- hältniss der Geschwindigkeiten widersteht. Man soll die schwin- gende Bewegung bestimmen.
Auflösung.
Es, sei der Durchmesser des Kreises CD = \a, auf dem-
y Google
254 Kapitel IIL Von der Beicegung eines Punktes
eelljen die Abscisse CP = cc und der Bogen CM ^ «; als- dann ist nach der Katur der Cycloide
t ::= \ lax , also x '= ^ und dx =^ — ■
Nun steige der Korper auf dem Bogen MC herab und es sei
seine Gesehwindiglieit im Punkt C = V^ö und in jüf = VV; alsdann haben iviv
/'"*"-=/-
^ sds _ Ifl-k'^i
^ eHaö-ffi^)+ffk^+fffa
U-2^ 1.2.3A^ X.-2.3.4A2
'^ l. ü. 3. 4. 3^3
Man erhält daher den Bogen, auf welchem die ganze nieder- eteigende Bewegung vor sich gehl, indem man, für v — 0, den Bogen s aus der Gleichung
{_ffk^+ff/cs ^ - gk^-ab
herleitet. Setzt man der Kürze wegen — -— = /( , so «rhäjt
V g man hieraus
. ,^2 3^3 11^4
*=^+3Ä + m^ + im«""^-
Dieser Reihe Ist der Bogen CM gleich, wenn nämEich der Körper in M angefangen hat, herabzusteigen. Die gross te Ge- schwindigkeit hat der Körper im Punkt O, indem man aus der Gleichung
^ gkl_
^ ~ gU^ — ah
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 255
anniiiiint. Die, dieser grössteii Gescluviodigltcit ankommende, Höhe wird
^2^ rrt^S^'ln^r-lü.
i etc.
üni die Zeit zu be'-timmen, ist e^ zvietkm issig, di<^selbe auf den Punkt O der srnissteii Geschmndifjkeit zu beziehen und die, zur Besclireibiioi? des Bo^phs 310 erlorderliche, Zeit zu bestimmen. Ich set/e daher die Get^chHiiidigkeit im Punkt 0 = VV und 310 = q, alsdann erhalten Hir
|
CO=ff, ai |
=!,k'll |
-e «**) und |
s = MO\ |
'«■'=y,+«- |
|
Subatituiit ma |
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ist, so s |
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|
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+ ilif.«"'- |
|
|
Kihtl man dii |
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Jeihe um, so |
ergii>t sich |
|
|
~§ + |
etc. |
|||
|
Fängt mm dei daselbst v ~ |
c Kfirper 0 ond z |
im Pnnlit M — c, mitliin |
all liera)>£usteigen, so ist erhalten wir |
|
|
,i»/_Y"ä'«S |
,ie , |
ooVSTc |
2(12 C3 |
aV-3V2öc |
fk'^^fg
Aus derselben Formel erhält man, indem man 9 negativ an- nimmt, die Kcwegung durch OCJV,' oder weil es gleichgültig ist, ob man q oder k negativ annimmt: so erhalt man, wenn iV der Punkt ist, bis zu welchem der Körper anfsfeigt.
yGoosle
256 Kapitel lil. Von der Bewegung eines Punktes
Die Zeit, welche zur Beschreibung des Bogens MO erfordert wird, erhält man aber folgeiidermassen. Es ist
j , adz adi , ad%y'iat Aa^idx
. a^td^^fWi , ^ p= etc.,
und wenn man diese Gleichung durch \v = V c — i dividirt, das Element der Zeit
{_cz~%'^) :igkVc—i 12gk^V^gV'c3
\35g^k^'^c-7. 4Z2g^k-^\^g Vcz~i^ Diese Gleichung muss so infegcirt werden, dass für ti = c, s = 0 werde und wenn man hierauf i = c setzt, so erhält man die Zeit, in welcher der Kürper durch den Bogen MO herabsteigt. Demnach ist die, zur Beschreibung dieses Bogens erforderliche Zeit
VV '^if^ 12g&^ V^2g 135.92^8 ß*^-
Setzt niiui nun k negativ, so wird die Zeit, in welcher der Kör- per von O bis N aufsteigt, oder
Sf^g 39Ä ^ ngk^'sf'ig Vi^g^k^
Aus beiden Gleichungen ergibt sieh die, zur Beschreibung des Bogens MCN erforderliche, Zeit, d. h. die Zeit Einer halben
Schwingung ^_^
^ !lVj« ^«c\^ ^t,
Sfg \2gh^ V~g
Zusata 1. §. 550. Ist daher die gnisste Geschwindigkeit des herab- steigenden Körpers = Vc", so wird, weil CO — —. ist, <cV"2^ 2«aca
Vg ^f' 18gk^^ '3-VP . . etc.
yGoosle
aaf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 257
Ferner wird der ganxe Bogen der aulsteigenilcu Bewegung, oder
VJ JyÄ ISff/fi V^ff 135.9243
+ -" "^ - — = etf. I080<f Ä^ Vff
Aus beiden Gleichungen folgt
V^.9 9.94" W 540fl''i« VV
Zusatz 2. §. 551. Setzt man den ganzen Bogen der niedersteigenden Bewegung oder MC z= E und den fnlfiendtn Bogen der aul- steigenden Bewegung oder CN — ^', ivie auch die Geschwin- digkeit im Punkt C = VT; so wird ab ~- E^ E^ , E* £6
Setzt man hierauf ä negativ, so ergibt sich auf dieselbe Weise at_F' P P F^. _F'_ i^^Ti + 3i + 8/,» ' 301' ^ mt' '^
Durch tileichstelliing dieser beiden Wcithe von -- nndUmkeli-
; erhält man
ind die, der grössten Geschwindigkeit zukommende HiJbe ff^_gE^ jlE±
Zusatz 3. g. !)52. Da F der Bogen der aufsteigenden Bewegung in der ersten halben Schwingung ist, so wird er auch der Bogen der niedersteigenden Bewegung In der nächst folgenden halben
Eiilcr's Mechanik. II. 17
y Google
258 Kapitel lll. Von der ßewegvnff eines Punktet
Schwingung sein. Setzt man den Bogen der wiedei' j gendeu Bewegung in dieser Ii.ilben Schvvingiiiig ^ G, a r- IT ^-E^ , 16E* 28E^
^- ^ ~ -äF + "Üp- ~ TöA?
Aufiihnliche Weise ktinnen beliebig viele der (olgoiiden SchniTi- gungen bestimmt werden.
Zusatz 4.-
g. 553. Aus der Gleichung, welche die Zeit ausdrückt, ersieht man, ilass diejenige Zeit, in welcher der Körper von M bis O gelangt, stets kleiner ist, als die zur Zuriicklegiing des Weges OiV effoderliche Zeit. Auf ä! nliche Weise ist auch der Bogen ON grösser als OM und CN<,M€. Zusatz 5.
§. 554. Sind die Schwingungen unendlieh klein oder ist c eine verschwindend kleine (üriisse, so stimmen die Schwinr gungen mit den im leeren Räume erfolgenden uberein. In den einzelnen Ausdrücken fallen uämlich dieselben Glieder aus welche fiir ^ = qo verschwinden würden. Mit den sehr klei- nen Schwingungen sind also diejenigen isochron, welche ein Pendel von der Lange a unter Antrieb der Kraft ff, oder von
der Länge - unter Antrieb der Schwere = 1 iin freien Räume
ü macht.
Zusatz 0. §, 555. Werden aber die Schwingungen grosser, so neh- men auch ihre Zeiten an Dauer zu, daher hat unter dieser Voraussetzung des Widerstandes die Cj-cloide nicht die Eigen- schaft des Tautochronismos. Je griisser nämlich in jeder Schwingung die grJisste Geschwindigkeit wird, desto grosser wird der Üeberschuss dieser Schwingungsdauer über die Dauer einer sehr kleinen Schwingung.
Anmerkung 1. §. 556 Unsere Behauptung, dass die sehr kleinen Schwin- gungen mit den im leeren Räume eifolgenden übereinstimmen, findet statt, wenn n und Avon endlicher GrJisse sind. Ist näm- lich a = ■K oder /t unendlich kipin. so werden die folgenden Glieder in
■'■■ . r~ ■ + ■ ~r=- *3tc..
yGoosle
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 259
welche die Zeit ausdrjickei», ii'iuht versehwiiKlerj, wenn auob e unendlich klein ist. Es werden also ifur dann die sehr kleinen Schwingungen auf einer jeden Curve, im leeren Räume «nd im widerstehenden Mittel, mit einander übereinstimmen, wenn weder der Kriinimungsbalbmesser im untersten Punkt der Cuvve, noch der Widerstand unendlich gross ist. Beispiel. §. 557. Als Beispiel wollen wir den Fall entwickeln, in welchem der Widerstand so gering und daher/; so gross w dass die Bruche, in deren Nennern k mehr als zwei Dimen- sionen hat, mit Sicherheit als =:0 angesehen werden künnen Setzen wir daher die grüsste, im Punkt O stattfindende Ge- schwindigkeit = V"c, so dass CO :='-? ist, eo wird der Bo- gen der herabsteigenden Bewegung oder
und der Bogen der folgenden aufsteigenden Bewegung oder
CN= F = ^l?^ ~ — + J^l!il^
Hievaus findet man
££^ ffZJy ff£^ 2ß 3«Ä Uk'^ '
Die Zeit der halben Schwingung durch MCN wird = " ^ j"
yff
igung hat der Rn-
24A3
gen der herabsteigenden Bewegung oder F den oben bemerk- ten Werth und es folgt hierauf der Bogen der aufsteigenden Bewegung
4Ef IßE^
'. E-
yGoosle
260 Kapitel III. Von der Sewp,f]ung eines Ihtfiildes
Die dieser halben Schwingung entejue eilende Zeit wird
= — =^ + -= j:^, wo Jas letzte Glied ver-
nachlässlgt werden kann , well in seinem Nenner Ä* vorkommt- Bei der dritten halhen Schwingung ist der Bogen der herab- steigenden Bewegung =^ G und es wird der Bogen der auf- steigenden Bewegung
Allgemein wird in derjenigen halben Schwingung, welche durch die Zahl n bezeichnet wird, der Bogen der herabsteigenden Bewegung
^ £ _ -2(«-l)£^ Hn-D^F^
«nd der Bogen der hierauf folgenden aufsteigenden Bewegung
3/r + 9fta '
Nach n halben Schwingungen wird daher der Körpi 2nE'- 3k "' "9Ä2 '
welcher kleiner ist, als der Bogen E der niedersteigenden Be- wegung in der ersten Schwingung um die Grosse -^ts — Q/a" ■
Ferner wird die Zeit der, durch die Zahl n bezeichneten halben Schwingung
__ ?rV2ä . Jc^VJfl _ je(« — I)-E»V2^
Bezeichnet man den ganzen Bogen 3ICN der ersten halben Schwingung mit A, so wird
wo das dritte Glied von selbst versciiwindet. Hieraus folgt der ganze Bogen, weither In der wtcn Schwingung beschrieben wird,
^ 34 + 5»
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 261
Zusatz 7. §. 558. Wenn n halbe Sehn ingunsen erfolgen, der Bogen. der niedersteigenden Bewegung in der ersten = E und der Bogen der aufsteigenden Bewegung -in der letzten halben Schwingung = L gesetzt wird; so hat man
Wird dieser Ausdruck mittelst der Iteihe mit griisserer Annä- herung genommen , so stimmt er fast mit einer geometrischen Progression von demselben Anfange iiherein und man kann
daher
'"- 3/c + 2nE setzen, woraus 3/c {E—L) = InEL folgt. Zusatz S. g. 55y. Wenn man also, nachdem eine Anzahl hall>«r Schwingungen ausgeführt ist , den Bogen der nied ersteiget) den Bewegung in der ersten =;E und den Bogen der aufsteigenden Bewegung in der letzten halben Schwingung t;=: h kennt; so kann man die Anzahl der halben Schwingungen fmden, indem
" ~ '•lEL wird.
Zusatz 9.
%. 560. Offenbar wird die Abnahme dec Bogen nicht von der Länge des Pendels abhängig sein, indem man aus n und £■ immer denselben Bogen ü findet, wie gross auch die Länge a des Pendels sein mag. Ferner ist stets n proportional
h~E
Anmcikung 2. §. 561. Derartige Versuche in Betreff der Schwingungen im widerstehenden Mittel betrachtet Newton viele in seinen Principien, Buch II, wo er den Bogen der ersten niederstei- gendeii , den Bogen der letzten niedersteigenden Bewegung und die Anzahl der Schwingungen, so wohl in der Luft, als auch im Wasser und Quecksilber bemerkt. Wenn nun diese Mittel einen, vollkommen im doppelten Verhältniss der Geschwindig- keiten stehenden, Widerstand leisteten, so müssten die dortigen Resultate mit diesen Formeln übereinstimmen, dergestalt dass
y Google
2(12 Kap'del III. Von der Beiuegimg eines Pnnl.-tes
die Abnuhme des 13o<;cn$ der Zahl der Sclivringungen und dem ersten und letzten Bogen zusammen proportional wäre. Itl» habe auch beobachtet, daas dieses bei den giös^ern Schwin- gungen stattfindet, in denen die Geschiiindigkeit nicht ■/.» klein ist Bei sehr kleinen Schwingungen aber nimmt man eine sehr grosse Abweichung von dieser Regel wahr. Hieraus schliesst man, dass, je grösser die Geschwindigkeit des KOqjers in der Flüssigkeit ist, desto naher der Widerstand dem doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit komme; dass aber eine sehr langsame Bewegung ausserdem einem andern Widerstände un- terworfen sei, welcher bei den geschwindem Bewegungen gegen den, dem Quadrat der Geschwindigkeit proportionalen, Wider- stand verschwindet. Bei diesen Versuchen nahm Newton auch den Widerstand zum ThetI im einfachen, zum Thcil dem %ten und zum Theil dem doppelten \'erhältnlss der Geschwin- digkeit proportional an, lionnte aber dennoch den sehr lang- samen Bewegungen nicht Geniige leisten. In der letzten Aus- gabe der Pi'incipien erkannte auch Newton selbst seine frü- here Theorie als unzureichend an und zeigte aus mehrern Gründen, dass jener eine Widerstand der Flüssigkeiten, wel- chen er vorher als den Geschwindigkeiten proportiotial ange- nommen hatte, constant oder den Zeitmomenten proportional sei. Wir werden daher diesen Widerstand, mit dem den Quadraten der Geschwindigkeiten proportionalen in Verbindung, im folgen" den Satze betiachten; besonders da die Autlösung der Gleicbnn- gen und die Bestimmung der Geschwindigkeiten durch diese Hinzuffigung nicht sehivieriger wird. Zusatz 10. §: 562. Was die Zeiten der ganzen und halben Schwin- gungen beti'ifft, so werden dieselben offenbar um so kurzer, je kleiner die beschriebenen Bogen werden; wenn die letztern ganz verschwinden, wird die Zeit der halben Schwingung
Zusatz n. §. 36.3. Der üeberschuss der Zeit einer jeden halben Schwingung über die Zeit der kleinsten halben Schwingung ist, wenn ein sehr geringer Widerstand stattfindet,
~ 24A2V> '
yGoosle
auf einer ijegeltenen Linie im widerstehenden Mittel- 263
wo E den Bogen der niedersleigeitden Bewegung in jener halben Schwingung bezeichnet. Der erwähnte Ueberscbuss ist daher dem Quadrat dieses Bogeiis oder des ganzen, in der halben Scbningung beschriebenen, Bogens proportinnal.
Anmevliung 3. §. 50ä. Die Cycloide, von welcher Huygens bewiesen hat, dass sie geeignet sei, den Isochron Ismus der Pcndc! her- vorzubringen, verliert daher diese Eigenschaft in einem Mitte), welches im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten wider- steht und kann desshalb in der Luft nur dann hierzu dienen, wenn entweder die Schwingungen sehr klein, oder unter sich sehr nahe gleich sind. Daraus aber, dass die grössern Schwin- gungen langer dauern, kann man scbliessen, dass die wahre tautochrone Curve, unter dieser Voraussetzung des Widerstan- des, stärker als die Cycloide gekrümmt sei. Wie nämlich die Cycloide in einem Kreise von demselben Radius, welcher die Cycloide in ihrem untersten Punkfe osculirt, enthalten ist, so wird auch die viahre tautochrone Curve in der Cycloide ent- halten sein und ihre Krümmung mehr, als die Krümmung der Cycloide, \o\n untersten Punkte an abnehmen.
Satz 64. Aufgabe. §. Se.'i. (Figur 82.). Der Widerstand des Mittels ist zum Theil consfant, zum Theil den Quadraten der Geschwindigkei- ten proportional; man. soll die schwingende Bewegung eines Körpers auf der Cycloide MCB bestimmen, ivenigstens für den Fall, dass der Widerstand sehr gering ist,
Auflösung. Es sei wie vorhin der Durchmesser des erzeup^enden Krei- ses CD =: Va«, CP =: X und CM = «. Ferner sei die Ge- schwindigkeit des Körpers im Punkt 6'='\'T und in M = Vv. Die Krall, welche den Küiper beständig abwärts treibt, sei ^ g, der constante Theil des Widerstandes =A und der Theil desselben, welcher dem Quadrat der Geschwindigkeit propor- tional ist, = j. Alsdann ist k im Vergleich mit v, s und a sehr
gross und h im Vergleich mit r/ sehr klein. Nun wird die niedersteigend c Bewegung auf dem' Bogen 3fC bestimmt durch die Gleichung
y Google
'J64 Kapitel HI. Von der Bewegung eines Punktes
dv= - gdw + /xls -i- ^, ivorüiis folgt
v = l>c^^ ~ c* fe" * (j}d.x — hds) . Nach <ler Nüfur <Ier Cycloide ist aber iIj: = ---, also
fe%d. =.?i^=^^ri=^'i2.,„iy,- l-M, = /,£ ^ M,- f , demnach ergibt sich
Die Gcsclurindigkeit hat ihren griissteii Werth, wenn dv — 0
Setzt mal) nun die griisste Geschwindigkeit, welche im Punkt O stattfindet, = Vc", so wird
CO = — + ^VLUilab=g!^—/mk-gk^.e ä*' Setzt man ferner den Bogen MO = ^, so wird
und
^ ^ ac + gk^+gkfj-!//^.e'' Da nnii w < c ist, so setze ich c — ti = t, wodurch
uz+gk^-i-</kq=:gf!^,-ß
und
2£ ~ ^ -1- ?! j- -?i g ^ 2 ^ ök* 2U^
wird. Kehrt man diese Reihe um, so wird
■ V^9 V' ISg/flVg '
yGoosle
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel- 265
Nimmt die niedersteigende Bewegung im Punkt M ihren An- fang, so wird daselbst v = o und z = (;, also
Vg ^9'' \^gkWg
Aus derselben Formel erbält man den Bogen der aufsteigenden Bewegung, oder
Vg "^%Ä + i8yÄ^v^5' und da in beiden Gleichungen Ä nicht vorkommt, die zur Be- schreibung des ganzen Bogens MON erforderliche Zeit, wie oben (S. 549.)-
'^ W '^Ugk^S'^g' Der ganze Bogen der niedersteigenden Bewegung MC wird
= MO+OC='^^+'^I+l^ + ^^^, 9 V^g ^al^ l»gk^yfg
und der ganze Bogen der aufsteigenden Bewegung oder
^'^-^^-^^^-■~J'^-Vg~ 3ffÄ+ l^jh-Vr Setzt man demnach 3IC — E und CN = F, so wird 'iha 'iE^ UaE 4E^ ~ U ~ 3A + Zgk ^ M^ "
In der folgenden halben Schwingung ist F der Bogen der nie- dersteigenden Bewegung und der Bogen der aufsteigenden Be- wegung
*-_/,■ '*/'" 4£g IGhaE 16jE3 '^ - ^^ g~ U + Zgk + OÄ^ ■
Allgemein wird der Bogen der aufsteigenden Bewegung in derjenigen halben Schwingung, welche durch die Zahl n an- gezeigt wird
— 1.- H^ 2H£g 4Äi£ ^^
— *■ 0 " Zk "■■ Zfß + OÄ*
Sff/t.E — dnkak
— 'Zgk-y^gnE '
Setzt man demnach, nachdem« halbe Schwingungen ausgeführt sind, den Bogen der niedersteigenden Bewegung in der ersten
y Google
^6Ö Kuiiih'l III. Voll der Bewf.ymKj e<
= E und den Bogen der aufsteigenden Bei ten halbeii Schtviiignng ^ h; so wird
j. ^^ ZgkE — Qnhak ^ " Zok + 'lgnE' oder
_ SffHE-L) " ~ 2</EL + Gkak ' Die Zeit aber, in weichet eine Ijclieliige durch MCN ausgeführt wird, ist
wo statt f sei« Werth gesetzt ist.
Zusatz 1. §. sau. iSetzt man c =^ o, daniit nian den Ort erliatte, in welchem der Körper sich in Ruhe befinden wird, so findet man
IliC = ^^^. ff Der Körper kann daher nicht nur im Piuiiite C, sondern auch
ausserhalb desselben, in einem Abstände ~ diess- und Jen- seit» C, in Ruhe bleiben. In einem wideri, teil enden Mittel dieser Art wird man daher aus dem Zustande der Ruh« eines Pendels nicht genau die vertikale Linie erkennen, sondern man
wird um einen Winkel =^ ärc. sin. — fehlen kilnnen. !/ Anmerkung L §. 567. Es wird leicht durch Versuche erwiesen, dass ein derartiger Widerstand im Wasser stattlinde, weil man wahr- nimmt, dass bei sehr langsamen Bewegungen in demselben der Widerstand durchaus nicht den» Quadrat der Geschwindigkeit proportional ist. In einer Flüssigkeit kann es aber, ausser dem, dem Quadrat der Geschwindigkeit proportionalen. Widerstände keinen andern, als den eonstanteti geben. Diess wird auch durch die Versuche bestätigt, welche la Hire angestellt und durch welche er gezeigt hat, dass im Wasser ein Pendel auch ausserhalb der vertikalen Stellung in Ruhe verharren könne. Diess würde tinmöglicli sein, wenn der Widerstand nur von der Geschwindigkeit abhängig wäre. Aus den Versuchen, welche Newton über die Verzögerung der Pendel in der Luft ange-
y Google
stellt hat, kann
2 Zoll im Dl r Schwerkraft, t h 1
Diese geringe Griisse,
'11 widerstehenden- Mittel. 267
Jass der Widerstand einer constant und etwa
; O,"-.'06205
Itiien die an einem Faden aufgehängte Kugel vomier vertikalen Hichtimg abweichen kann, ist unmerklich; jedoch kann die Abweichung desto grösser und bemerkl)arer werden, je kleiner und leichter die angewandte Kugel ist.
Zusatz 2. §. 56S. {Figur 83.). Um diesen Ahweichungswinkel zu fin- den, kann man die Gleichung
g ^i« Zok anwenden, welche aus der obigen abgeleitet ist. Für E kann man aber zweckmassig einen kleinen Bogen annehmen, damit die vernachlässigten Glieder um so unmerklicher werden. Zusatz 3. §. Ö69. Ans der Gleiclumg
_ \>//i(E~L) " — iffE'L + Okak
ersieht man, dass, je grosser der bei der Schwingung beschrie- bene Bogen ist, desto kleiner das Glied G/mfe im Vorgleich mit dem 2ffEL werde. Hierin liegt der Grund, nesshalb man diesen Widerstand mir bei sehr kleinen Schwingnngeil wahr-
§. 570. Da k so wohl nach der Voraussetznng sehr klein ist, als auch in sehr lockern Flüssigkeiten, denen dieser Satz angepasst ist, wirklich last verschwindet; so wird auch in dem Ausdruck der Zeit ha gegen f/E verschwindend klein und die " " 1 Schwingung entsprechende Zeit
r halber
Vff ■24Ä'V.9
Ein conslanter Widerstand ändert dalie nicht.
die Schwingnngszeiten
y Google
268 KaplUl III. Von der Beweffimg eines PunHes
Anmerkung 2. §. 571. Belraditet man auch diesen constantcn Widerstand in Verbindung mit dem, dem Quadrat der Geschwindigkeit pro- portionalen, Widerstände, so wird die Rechnung dadurch weder weitläufiger noch schwieriger. Aus der grüsslen Geschwindig* keit W erhält man nämlich den ganzen, in Einer halben Schwingung b esc hvi ebenen. Bogen auf dieselbe Weise, mag dieser constante Widerstand vorhanden sein oder nicht; in bei- den Fällen ergibt sich dieselbe üleichung. Daher scheint eben hieraus zu folgen , dass dieses Gesetz <les Widerstandes in der Natur stattfinde, dass man aber andere Widerstände, als diesen und den , dem Quadrat der Geschwindigkeit proportionalen in der Wirklichkeit nicht finde. Dass aber Flüssigkeiten einen doppelten Widerstand aiisiihen, hat mau schon früher beobach- tet; der eine, weichet dem Quadrat der Geschwindigkeit pro- portional ist, wird bei den geschwindem Bewegungen allein wahrgenommen, der andere wird nur bei sehr langsamen Be- wegungen bemerkbar. Jener Widerstand entspringt aus der Kraft der Trägheit der flüssigen Theilchen und durch sie ver- liert der Körper an seiner Bewegung, indem er jene Theilchen entfernt. Dass dieser Widerstand dem Quadrat der Geschwin- digkeit proportional sei, wird keiner bezweifeln können. Der /weife Widerstand entspringt Jiber aus der Zähigkeit der Fli'Is- sigkeit, vermöge deren die Theilchen der letztern an einander haften und sich schwer von einafider trennen. Während daher der Körper sich durch einen gegebenen Raum bewegt, muss eine gegebene, eben diesem Raum proportionale Anzahl Theil- chen von einander abgerissen werden ; daher stimmt dieser Widerstand mit einer absoluten Kraft überein, welche die Be- wegung des Körpers verzögert und auch durch gleiche Räume eine gleiche Anzahl Stösse auf den Körper ausübt. Dieser Widerstand oder diese Kraft ist daher der Bewegung des Kör- pers immer entgegengesetzt und wirkt längs der Richtung der letztem auf den Körper ; sie ist demnach eine tangentiale, stets constante und verzögernde Kraft. In diesem Falle fordert aber die Natur von der Rechnung eine Ausnahme, wenn der Körper sich in Ruhe befindet. Da nämlich diese Kraft constant ist, so würde sie auf gleiche Weise auf den ruhenden und auf den sich bewegenden Körper wirken müssen; ein ruhender Körper kann aber, well er die Theilchen der Flüssigkeit nicht von einander trennt, nichts von dieser Kraft fühlen. Es kommt
y Google
mf einer gegebenen Linie im mtl erstehenden Mittel, im
noch hinzu, dass diese Kraft der Uichtnng der Bewegung ent- gegen nirkt und daher auf den ruhenden Kiir|ier. welcher keine Richtung hat, aueh keine Wirkung ausüben kann. Sucht man aber die Bewegung auf einer krummen Linie, so hat nmu die Tangente der letztem immer iiis Kicbtungsliliie der Bewegung anzunehmen, wenn auch der Kürper sich wirklich in Kühe be- lindet und es zeigt daher die Rechnung auch eine Wirkung dieser Kraft auf den ruhenden Kör|ier ; in diesem Falle muss also eine Ausnahme von der Rechnung stattfinden. Man muss demnach behaupten, tiass ein Pendel inneihalb eines kleinen Raumes um C herum in Kühe verharren künne, weil sein Streben gegen 0 nicht hinreichend ist, die Theilcben der Flüssigkeit von einander zu trennen. Der Korper kann daher in jedem behelligen Punkte jene« kleinen Raumes in Ruhe bleiben, nenn auch die Rechnung zeigt, dass er im Punkt C selbst nicht in Ruhe bleiben künne.
Anmerkung 3. §. 572, Aus dem, was wir theils allgemein, tJieils in Be- zug auf die Cycloide angefahrt haben, ersieht man, nie in einem Mittel, welches im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten widersteht, die Bewegung eines Körpers auf einer beliebigen Cuive bestimmt werden kann. Wir haben zwar ein gleichfiir- mig widerstehendes Mittel und auch eine gleiehfurmige antrei- bende Kraft heti'achtet; aber aus der aufzulösenden Gleichung erhellt, dass dieselbe auch integrirt werden künne, wie un- gleiehfiirmig so wohl das Mittel, als wie verändeilich die an- treibende Krall sein müge. Stets wird . iiiimlich die, der Ge- schwindigkeit zukommende, Hiihe v nur Eine Dimension in der Gleichung haben. Ich gehe daher zu andern Voraussetzun- gendes widerstehenden Mittels aber; da jedoch die Bewegung nicht für jede beliebige Curve bestinitut werden kann, wollen wir zuerst diejenigen Curven aufsuehen, welche eine Bestim- mung der Bewegung zulassen. Wir haben hier aber, unserm Plane gemäss, diejenigen Curven angenommen, welche zu einer homogenen Gleichung fuhren, in welcher die unbestimmten Grossen überall dieselbe Zahl der Dimensionen haben. Wäre der Widerstand der 2mten Potenz der Geschwindigkeit propor- tional, so hätten wir die Gleichung
dv = + gdx ± -j-^ und damit dieselbe homogen würde, niüsste
y Google
Kapitel 111. Vau der Bfwcijung i
sein. Wenn mnn aljer auch a; und s um gegebene Gi'cisscn vermehrte oder vermiiiderte, so würde anf einer Cnrve, deren Gleichung wäre
die Benegung" bestimmt werden küiinen. In einem Mittel, welches im einfuchen Verhältniss der Geschwindigkeit wider- steht, wird daher die Curve eine Cycloide und wir lilinnen die Bewegung auf ihr bestimmen.
Satz 65. Ä u fg a. b e.
@. Ö73. (Figur S2.). In einem Mittel, welches im einfachen Verhältniss der Geschivindigkeiten widersteht, soll man die schwingende Bewegung eines Körpers auf der Cycloide ACB bestimmen; vorausgesetzt, ilass so wohl das Mittel, als auch die antreibende Kraft gleichfürnilg sei. Auflösung.
Es sei wieder wie früher der Durchmesser deserzeugenrleu Kreises oder CD :== y^n, die Ähscisse CP = ^' und der Bo- gen CM = s. Man setze die Geschwindigkeit Im Punkt C = V^ö, dieinitf^^ Wv, die beständig abvTärts treibeude Kraft =^
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; aufsteigende Bewegung längs CN |
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y Google
uuf einer gegi'.benen Linie im loiderstehemlen Mittel. 271 2/(itdu =^ — ijasds — auih. üeX'/.t man u ==. ps, so s^ht die Gteicluiiig der niedecsteigenden Büiveguiig Über in
ih 2kpdp
s (ip — iin — ihp^ liitegrrrt man diese lefsitere, so erliült man
'o' 2i!-<V"i -'4) i\^'a'-i!,«'' odei'
log (; = log ßAiVt—a'sVv^-gus'VM — vs4si
.|4aVfo— n. + .V^
Setzt man nun s=o und ^. = 6. so wird log C= log (2«2/,V Ä) und »vir erhalten demnacli die Gleichung
2«SV7i
_ ?Is^Sä
_ UuVkv—as + *Vb'— 8ff«^-j jdaVEi ~ m— >Vi.2-%o4 ■ In dem andern Theile 6'iV der Cuvve erhält man , für die auf- steigende Bewegung des Körpers, indem man CN ~ s und ^^/c negativ annimmt, die Gleichung
(4aVii + OS + .\^o»— Sjoii
y Google
272 Kapitel III. Von der Bewegung eines Pttnlctes Wird die grOsste Geschwindigkeit, welche im Punkte O statt- findet, = Vc gesetzt, so erhält man CO = " l und
Uffk—a—Va^Sffa/A Diese Gleichungen finde« aber nur stß.tt, wenn a'^'^Sgak oder
k < ß- ist. Ist nämlich & > er, so werden die Gleichungen
Off o?
von Logarithmen und der Quadratur des Kreises zugleich ab- hängig.
Setzen wir A — ^, so erhalten wir
' {p-uf p-ik ^''-{p-vS
integriit
log. = log C- log C;,-J) + ^^
= log c-iogf^4--;|^+ — ^
log » = log C — log \iaSfkv-~as\ + log s + '^^j:^Z^,- Für i - 0 und v = b wird also log C=log ^Aa^fhh), mühin /4Vi^^x _^
^ ^ WU ) 4VÄL^s
Da nun stets 4 VTii > $ sein mnss, so wird beim Niederstei- geu die Geschwindigkeit niemals =: 0. Ist also die Geschwin- digkeit im Punkt C, d, h. V"ö reell, so wird der Anfang der iiied ersteigen den Bewegung imaginär. Wo also auch der Korper seine niedersteigende Bewegung begonnen haben mag, so wird doch die Geschwindigkeit im untersten Punkte C stets = 0 sein. I3m daher die Bewegung zu untersuchen, wenn die nie- dersteigende Bewegung in einem gegebenen Punkt E ihren Anfang nimmt und (JE = f ist, haben wir für s = f und V = 0,
yGoosle
|
enm |
s Lim |
ie im |
. widerstehenden Mittet. |
273 |
|
log |
C - |
log (~ «/) — 1 |
||
|
(r |
f |
^) = |
'i\ kv—s |
Es nuiss also stets AVkv <, s und im Punkt C, wo s ~ 0 ist, auch c = 0 sein. Die griisate Geschwindigkeit, welche im Punlit O stattflniüet, erhält man, indem man in der vorstehenden
Gleichung Vv =" oder s = 8 \^/;v set/.t «nd es ergibt
sich demnach
'»!■•© = -•»■""•=¥= ™'
wo e, nie gewöhnlich, die Basis der hyperholischen Loga- rithmen bezeichnet. In diesen Fallen , in welchen der Bogen der herabsteigenden Bewegung reell ist, giht es keinen Bogen der aufsteigenden Bewegung. Steigt aber der Körper mit der Anfangsgeschwindigkeit = \^6 in C, durch den Bogen CN empor, so wird, iyilejn man V/i nejtativ setüt, diese Bewe- gung durch die Gleichung
\ AV^kO / i\kv-+s , aujigedriickf. Hieraus erhellt, dass
!■ + 4 Vkv < 4V"M oder VV < Vö — JH^
sein muss. Den ganzen Bogen CN der aufsteigenden Bewe- ffung findet mim, im!em man v ^ 0 setzt, airs log { -~^ \ = — 1, also
s=.€N='yJ±.
Ist k <. ^ , welchen Fall wir schon behandelt haben, so wird
der Widerstand noch grösser und es wird daher, wenn die niedersteigende Beilegung in einem gegebenen Punkte ihren Anfang nimmt , die Geschwindigkeit im Punkt C um so mehr = 0 sein; für eine gegebene Geschwindigkeit in C wird der Anfang der niedersteigenden Bewegung imaginär. Die Glei- Kiilci''s Meoliaiilk. 11. l8
y Google
274 Kapitel lU. Von der Bewegunff eines Punktes
chung, welclie ivlr für die niederste! gen de Bewegung gegeben haben, Hi daher imaginär, wenn die Constante nicht durch einen gegebenen Anfangspunkt dieser Beweijnng bestimmt wird. Es sei demnach CE = /'/ alsdnim erhalten wir ans der frühem Gleichung
und wenn man ä ^z 0 setzt.
log ßJl\^ -^ ,0, /«-\«'-%.XN
voransgesetüt, dass v nichts 0 sei indem für diesen Pill die Gleichung nicht gilt. Diesdlie CNt!i?lt ilm off™li ii einen Wi- derspruch , weil
«^1 > sP <"'«'■' '"''^"' ""»' •' -"tatt f setxt, JJ > ^*^ n t D l — =1 2.1:, 80 mfissle v ^ 'igx sein, was
ab d t w I n I Räume v = gx ist und im widerste-
h d n M i( I ft nb n ch Uieirier sein moss,
r d f t d Bewegung gilt aber die oben gefundene
Gl I u 1 I i t den ganaeii, auf diese Welse be-
h I n B n t ^ indem moti i; =^ 0 setKt, ans der Gl h
|
V .= - äsai |
.^CQ. |
|
|
2»S („+V„»-8,ri-| |
||
|
ieht aus dem Bishi;ri_t;en, tlass, wem |
1 enlwcder |
"<5 |
|
r^ ist, die Schwingungen nicht ; |
lusgeftihrt |
werden |
oder k =
kUnnen, weil keine aufsteigende Bewegung folgen kann, im Fall keine niedersteigende verausgegangen ist. Wir haben demnach besonders die Fälle zu untersuchen, in denen k "> ^ und der Widerstand geringer ist, und weil der letztere hier beliebig klein angenommen werden kann, so werden auch die Schwingungen ausgeführt werden können. Nehmen wir demnach die obigen Substitutionen vor, so erbalten wir
y Google
oiderstekenden Mittel. 273
welche Gleichung, iiideni man q = ;
stets positiv ist, = B^; so erhalten wir
log C - I,g , = log V-?MTP + jIj »c. tj. (I)
Substitiiiit mau mm für i) und ß' wieder ihre Werthe, so er-
giht sich die Gleidiung
log C = log V 2ai. \^U~ asVv-i-^s-'V'k
Um die Constaiite C zu bestimmen, setzen viir s = 0 und V = I) , wodurch »vir erhalten
log € = log y 2rt6V^Ä + 4^. arc. tg. x
und es ergiht sich auf diese Weise für die uied ersteigende Be- wegung die Gleichung,
>-?] , ^^^^^i i
o , 1 iBh I
Für (lio iiTiIsteigende Bewegung durch den Bogen 6'JV erlialten wir aber, indem viir V/c negativ setzen, die Gleicliiiiig
,._ ) yliat VI I
y Google
276 Kapitel 111. Von der Bewegung eines Punktes
Setzt man nun v ■= Q, »a erhält man t[eii ganzen Bogen MC der niedersteigen den Benegung aus der Gleichung
und den ganzen Bogen CN der aufsteigenden Bewegung aus der Gleichung
\us diesen &lei(,h«igen «cheint zn ir 7u fulgen dass die Bo gen dei diif und i lederstei enden Beilegung emanier gleich heiei ^IIem dies« let niclit derF II indem es wi endlich >iele Bogen _,illit deren langenten einander gleich und ^ ■
sind ui d lon welchen min den einen fi r die aufsteigende und den -indem für die il stcisiendc Benegun^ nehmen nui'-'. Da es nun unendlich Mele Bogen gilt welche der Tangente = entsprechen so kann ein jeder \on ihnen der Aulgite
angepasst nerden Nimmt min nun die-ie Bogen in ihrer ReiheloUe an so ei gehen »>iih nach und nach alle der auf ui 1 ibsfeigenden Beweging entsprechenden Bogen so lange der Kurper seine iSchMingunf,en foituetzt Di nämlich die gefundene Gleichung eine illgenieme i-it so niuss «le alle Orte angeben an denen die Geschivmdi^kett de<« schwingen den Körpers jemal« -= 0 mrd Unter dieser ^ onussetzin^ des ^^lder«tandese^Iangt man lUo den ^ ortheil, diss sogleich lur eine behebit,e ttibumguio ? B die hiiidertste der ßu send r luf ui d niedcisfei-ei den Bene„ii_ 1 esfm int i ci
i /■4ß/A
i Hird dieselbe Tangente den Bogen
D, w \-D, 2re-|-0, ^7t^'D, ete. icn. Für den Bogen MC der niedersteigenden Bevve- I der ersten Schwingung mass man nun den Werth D len, wodurch wir die Gleichung
y Google
auf einer tjegehenen Idnie im widerstehend i-n Mittel. 277 oder die Abscisse des ßogens MC, d. h.
0
erhalten. Ferner wird die Abscisse des folgenden Bogeiis der aufsteigenden üevvegung, oder die Abscisse des Bogons der nie d ersteigen den Bewegung, in der aweiten halben Schwin- gung, d. h.
CQ = -e -^^Bi^. 0
Auf ähnliche Weise wird die Abscisse des Bogens der nieder- steigenden Bewegung, in der dritten halben Schwingung
— " e"* -iBh .
ff
Allgemein wird die Abscisse des Bogeus der niedersteigenden Bewegung, in der (n + l)ten halben Schwingung (, "C^+P)
ff Dieselbe Abscisse koiiimf dem Bogen der aufsteigenden Bewe- gung in der wten halben Schwingung zu. Die Schwingungs. Zeiten werden wir im folgenden Satze behandeln. Zusatz I. g. 574. Nur wenn k'> J- ist, können die Schwingungen ausgeführt weiden, weil der Körper am Ende der ersten nie-
derst«igenden Bewegung zur Ruhe gelangt, wenn i<i- oder
^ff
Ä = »- ist. Ist aber it>.^-, so werden die Schwingungen be- »5 Off
b ,"'""+-"' ständig fortdauern, weil der Ausdruck —e '^'"^ weder ver- schwinden, noch negativ werden kann. Zusatz 2. g. 575. Der Bogen einer niedersteigenden Bewegung steht zu dem Bogen der nächstfolgenden aufsteigenden Bewegung In einem gegebenen Veihältniss , indem das Vcrhältniss ihrer Absei ssen
y Google
278 KupiUl II!- Von der Bewegung eines Punktes also das der Bogen selbst
iiilf}iiri uiialihiingig v<m der con&tanteu Gescliwiiidii^f^eil: V"ft ist. Zusatz 3. §. 576. Auf ähnliche Weise verhall sich der Bogen der iiie- d ersteigenden Beweg ring in der ersten halben Schwingung, zirui Bogen der aufsteigenden Bewegung in der nten halben Schwin- gung, wie
Wird dahet die Zahl der halhen Schwinguniien vevdojipelt, so wird auch dieses Verhaltnlss das doppelte.
Zusatz 4.
g. 577. Die Bogen der niedere teigenden Bewegung, in beliehig vielen auf einander folgenden halben Schwingungen, hilden eine geometrische Progression, deren Glieder im Ver- haltnlss i;e ^^'' abnehmen. Daher stehen auch die ganzen. In den auf einander folgenden halben Schwingungen beschrie- benen. Bogen in derselben iPi'ogression.
Anmerkung i. §. 578. Für den Winke! D können unendlich viele Werlhe angenommen werden, um nun zu sehen, welcher von Ihnen far den Bogen der niederstelgenden Bewegung genommen wer- den muss, betrachte ich den Fall, in weichem k ==-,derBo-
|
gen der i |
»ufsleigend |
en B.v.cguM |
„ ^ ^ ' ''*" |
oder |
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%kb b Abscissc |
e-2 ist. In |
diesem Fallt |
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und die |
des Bogen; |
BeweguDs |
|||
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^es |
muss daher |
■2 und |
^+JJ ^ |
ABk
— 0 sein." Es ist alie ABk _
-. tg.(n:-| ü), also re + /> = 0, hieraus ersieht man, dass :r + /> der kleinste Bogen
y Google
eher der Tangente kleinsten
gegebenen Linie im toidersfu/ienden MMel 279 JßÄ „.,, ,.,,, ^._ _.._ ,.,.^. ,_„
, i'ilik\ ^
so wird D = E — tu. In der ersten halben Schwingung wird demnach die Abscisse des Bogens der niedersteigenden Be- wegung
g 2h
und der Bogen selltst oder
Setzt man ferner — = tgr^' — r, so wird der Bogen der
niederste! geil den Bewegung in der ersten halben Schwingung
oder
Der Bogen der aufsteigenden Bewegung in der ersten, oder der niedecsteigendeii Bewegung in der zweiten halben Sehwiii- gung wird ___
Ferner wiid der Bogen der niedersteigenden Bewegung in der dritten halben Schwingung
und der Bogen der niedersteigenden Bewegung in der n + lten kalben Schwingung
welcher letztere zugleich der Bogen der aufsteigenden Bewe- gung in der «ten halben Schwingung ist. Der Exponent der geometrischen Progression, welche diese Bogen bilden, ist.
y Google
'2S0 Kapitel lll. Von der Bewegung eines Punktes
Zusatz 5. %. 579. Hieraus kann man auch, in einer beliebigen hal- ben Schwingung, die Geschwindigkeit im untersten Punkt C herleiten. Setzt man die letztere, in der wten halben SchiTiii-
gung ^ V^j3, so wird der Bogen der aufsteigenden IJewe-
__
gmg = --■ ■ --■ - '
r \ — C und da derse he — e ^ ■ »/
Die Geschwindigkeiten im Punkt €, während der auf einan- der folgenden halben Schwingungen, bilden also ebenfalls eine geometrische Progression, deren E:xponent
ist.
Zusatz 6. g. 580. Setzt man n negativ, so lernt man die halben Schwingungen kennen, welche vor der ersten stattgefunden haben können. So würde in derjenigen halben Schwingung, welche der ersten vorangeht, der Bogen der niedersteigenden Bewegung
' ff
gewesen sein nmssen.
Zusatz 7. §. 581. Piiiigt in der ersten halben Schwingung die nie- dersteigende Bewegung im hüehsten Punkt A der Cycloide an, so wird der Bogen dieser Bewegung = «. Wir haben
Vi-'
und die Gosüliivindigkeil im untersten Punkte C oder
Zus.at7, 8. §. 982. Wenn der Widerstand last verschwindet oder k sehr gross ist, so wird
y Google
|
auf einer gegebenen Li» |
ie im u |
■iderstehenden Mitte, |
|
|
»a also T |
= tg£ sehr gros* |
) oder |
= OD ist, so wird i |
|
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aE = iTC und der |
Bogen |
der niedersfeigendf |
|
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|
|
vie auch |
der Bogen der aufsteigend |
en Bewegung |
|
|
= 0- |
I)V^^ |
%. 583. Ans der Audiisung dieser Aulgabe kann man tin- ter andern ersehen, welche Umsicht man zum öfter n anzuwen- den hat, um Schlüsse aus den Gleichungen abzuleiten. Wenn
ist, sind die, I denen, Gleichu der erstem ße gen scheint. IS beiden Gleichui
ir die ib un ] aufsteigende Bewegung ^nkm Igen so beschaffen difs aus ihnen der Bogen legunj
dem Boger f man ntmlirb i n die folgende
I gleich 1 ■ eigiht Sic!
äJZ.
- V«^ - Sgft/.:,
2fl6 !a+V«2-%flÄf ■ Uieiis würde sich auch nothwendig so verhalten, wenn die nie dersteigende Bewegung nicht bewirken müsste, dass 6 — (i würde. Ist das letztere aber der Fall, so findet gar keine auf steigende Bewegung statt und es muss die Gleichung für die niedersfeigende Bewegung durchaus verändert werden, Went wir daher nicht aus dein Fall, in welchem
% ist, abgenommen hatten dass ö — 0 sei so würden wir au$ der Gleichung nur schwer die ^\ahrheit hiben -ilileiteu kön nen Dasselbe trifft auch ein »enn «ir unter derselben Vor
aussetzung das» Av
1 und das-s die niedersteigende Be-
wegung m einem gegebenen Pimkte begonnen habe die Ge- schw mdi.rkeit im Punkt C suchen Setzen nir namlicb s— 0, so fuhrt die Gleichung zu etvias \bsurdcni mc zei^t nämlich
y Google
y8'2 Kapitel III. Von der Bewef/mu/ eines Pimldes
in (Hesem Fall iiitlit, ilass auth ii = 0 sei, was doch statt- finden nmss, Es sind numlicli nur diejenigen Glieder fortge- lassen, in denen sich « Itefand , -.wahrend mit demselben Rechte die Gbrigen , v enthultendtin , Glieder hätten vernachlässigt werdet! mttssen. Mao kaan daher nicht finden, dass lur «=1} auch tj=;0 sei, sondern nur weil aus der Gleichung etwas Ah' surdea folgt, wenn nicht v = 0 ist, schJiesst man aus s = (i auf V = 0. In andern Fällen aber, in denen man nicht so leicht das Absurde diuchschaiit, wird man einen Fehler schwer vermeiden können.
Satz fi6.
g. 584 (Figur S-2.). In einem gleichfilrmige» Mittel, wel- ches im einlachen Verhältniss der Geschwindigkeiten wider- steht, erl'olgen alle niedersteigenden Bewegungen auf der Cy- cloide Äl^C in gleichen Zeiten, ebenso werden die aufstei- genden Bewegungen auf der Cycloide CNB alle in gleichen Zeiten ausgeführt; vorausgesetzt, dass die antreibende Kraft gleichförmig und abwärts gerichtet sei.
|
Fü |
Y CM = s und V in |
der riüliern Bccieii |
fcung |
habt |
|
|
für die |
nied ersteigende Uev |
regiiog, di |
e Gleichu |
ng |
|
|
,(„=-■22?^ |
; (§. 573.) |
||||
|
Setzt V |
mn „u„ Vv = ,: » |
der GesL |
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|
|
Punkt M proportional und |
da dl) ^ |
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, so |
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|
|
Gleichung üiier in |
|||||
|
■2«<i« = |
-^ + |
uds VI' |
worin u und s überall dieselbe Dimension einhalten. Setzt man daher den Anfangspunkt der niedersteigenden Bewegung in E, den Bogen CE = f und integrirt man die vorliegende Gleichung so, dass &jlx s = f, u = 0 werde; so erhalten wir eine Integralgleichung, in welcher w, f und * überall dieselbe Zahl de* Dimensionen bilden. Hieraus wird sich daher u gleich einet Function von f und s, von der Dimension ;= 1 und das Element der Zeit — , gleich einer Function von f, s und ds von der Dimension = 0 ergeben. Integrirt man dasselbe so.
y Google
auf einer gegebenen Linie im tviderstehenden Mittel. 283
daas es für s =s 0 verschwiiiJe, so wird das Integral auch eine Function von f und s von der Dimension = 0 und stellt so die Zeit dar, welche zur Beschreibung des Eogerts CM erforderlich ist Setzt man daher in dieser Function s := f, so wird f selbst übeiall verschwinden und so die Zeit des ganzen Nie d ersteigen s durch den Bogen EC einer Function gleich werden, welche Hur aus den constanten Grfissen g, a und Ä zusammengesetzt ist und in welcher weder f, noch ir- gend eine andere Grösse vorkommt, die sich auf den Punkt £ bezieht. Die Zeit des Nied ersteigen s durch EC wird also durch dieselbe Grnsse ausgedrückt« wo auch der Punkt E an- genommen werde und es werden daher alle niedersteigen den Bewegungen in gleichen Zeiten ausgeführt werden.
Setzt man in der Formel , welche die Zeit der hlederstei- genden Bewegung ausdrückt, — V^ statt |-V^ft, so erhält man die Zeit der aufsteigenden Bewegung auf dem Bogen CNli, welche daher ebenfalls constant sein wird, wie gross auch der durchlaufene Bogen sein mag. Zusatz J.
g. 585. Da u einer Function von / und s, von der Di- mension ^ 1 gleich ist, so wird y eine Function derselben Grossen von der Dimension ^ 0. Setzt man daher s ■=. nf so wird -^ gleich einer constanten Grösse, in welcher f sich
nicht befindet. Bei verschiedenen herabsteigenden Bewegun- gen werden also die Geschwindigkeiten, in homologen Punk- ten der ganzen Bogen, den Bogen /" projiortional.
Zusatz 2.
g. 586. Da bei der nied ersteigenden Bewegung die Ge- schwindigkeit da am gvossten ist, wo
so (indet man den Punkt O oder den Bogen CO aus einer Gleichung, in welcher / und s überall dieselbe Zahl der Di- mensionen bilden. Es wird daher s oder CO proportional f. Bei mehreru niedersteigenden Bewegungen sind also so wohl die griissten Geschwindigkeiten seihst, als auch die Bo'gen CO den ganzen Bogen der »iedersteigenilcn Bewegungen propor-
y Google
28J Kapitel III. Von der Bcwei/any eines Punktes
•LMSixii. 3.
§. 587. Weil die dem Bogen MC entsprechende Zeit einer
Function von f und * von der Dimension 0 gleich ist, wird
auch die F.M entsprechende Zeit eine Funktion derselben
Grössen odei von f und EM, von der Dimension =. 0 sein.
Zusatz 4 g. 588, Es folgt hieraus, dass nicht nur die Zeiten der ganzen iiieders teigenden Bewegungen, sondern auch die Zeiten der n red ersteig enden Bewegungen durch ähnliche Theile der gan/.en Bogen einander gleich sind. Diess findet auf gleiche Weise hei den aulsteigenden Bewegungen st;i(t.
Zusatz 5. g. 589. Da also so wohl alle niedersteigendeu Bewegungen, als auch alle aufsteigenden isochron sind, so werden alle halben Schwingungen in gleichen Zeiten ausgeführt. Ferner werden in dem Falle, dass
wo der Körper seine Schwingungen bestündig fortsefzt, diesel- ben alle in gleichen Zeiten ausgeführt.
Zusatz 6. g. 5Ö0. Die Cycloide, welche im leeren Räume eine tau- tochrone Cnrve ist, behält also diese Eigenschaft in einem Mittel bei, welches im einfachen Verbältniss der Geschwindig keiter) widersteht. Ausserdem behält dieselbe auch den Tau- tochronismus hei in einem Mittel, dessen Widerstand constant oder, wie Newton sagt, den Zeitmomenten proportional ist (§.570,).
A nmerkung 1. g. 591. Diesen dreifachen Tautochronismus der Cycloide hat auch Newton in seinen Principien bewiesen. Was den Widerstand betrifft, welcher den Geschwindigkeiten proportional ist, so hat Newton den Beweis daraus hergeleitet, dass, wenn in verschiedenen niedersteigenden Bewegungen die Theile der Bogen den letztern proportionai angenommen werden, an denselben Stellen die Geschwindigkeiten auch den ganzen Bo- gen proportional sind. Sind nämlich die Geschwindigkeiten und die Elemente der Bogen den letztern selbst proportional, so
y Google
anf einer (/egebenen Linie im Kiderstekenden Mittel, 285
werden tlie, diesen Elementen enfsprecheriden, Zeiten oiiiaiider gleich.
Anmerkung 2.. ^, S9'2. Oijgle'ieh :ius dem Bisherigen hervorgeht, dass die Zeiten so wohl der verschiedenen aufeteigenden , als der nie- dersteigendeu Bewegungen jede unter sich gleich sind; so bann man doch nicht bestimmen, wie grnse die Zeit der einen oder andern Bewegung ist und eben so wenig kann man die Zeit der niedersteigenden Beivegnng mit der Zeit der aufsteigenden vergleichen. Die Gleichung, welche die Relation zwicben s und M bestimmt, ist nümlich so verwickelt, dass man aus ihr das Element der Zeit — nicht, dmch eine einaige Veränder- liche ausgedrückt, herleite» kann. Aus-^erdem erleichtern un- endlich kleine Schwingungen, welche früher die Berechnung der Zeiten sehr leicht machten, bei der vorliegenden Voraus- setzung des Widerstandes die Arbeit nicht. Denn wenn man auch den ganzen beschriebenen Bogen als uneiidiieb klein vor- aussetzt, so verschwindet in der Gleichung
■"Wh
Vi.
(V 2«i|2 Vk —aus + gs'^ 'sfk
welche durch Integration aus der obigen hervorgeht, nicht ein einziges Glied gegen die übrigen. Es wird ferner die Zeit des Aufsteigens von den Grössen «, /c und g abhängig sein, allein man ersieht nicht, wie sie aus ihnen zusammengesetzt ist. In- dessen ist es doch gewiss, daifs, je grösser unter übrigeos gleichen Umständen g ist, desto kleiner die Zelt wird, dass diese aber zunimmt, wenn a grösser wird. Wird k aber grösser, so wird die Zeit kleiner, weil alsdann der Widerstand ab- nimmt.
üntei- dieser Voraussetzung des Widerstandes verschwindet der letztere bei sehr langsamen Bewegungen nicht, wie bei dem Widerstände, welcher dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional ist Hieraus scheint zu folgen, dass, wenn der Widerstand in einem grossem Verhältniss als dem doppelten der Geschwindigkeit zunimmt, derselbe bei sehr langsamen Bewogiingen vernachlSssigt werden könne; dass er hingegen
y Google
286 Kapitel III. Von der Bewegung eines Punktes
wenn er lu einem iileinerii Vcrhältniss zuiiiiiinit, auch bei sehr laii!*siimcn Bewegungen in Befidelit gezogen nerden mösse. Satz 07. Aufgabe, g. 593. (Figur 82.). In einem glejchfiirmigen Mittel, wel- ches im 2mten Verbültniss iler Geschwindigkeit widersteht, s»ll man die Bewegung eines Körpers auf der Curve CMA bestim- men. In welcher ein jeder Bogen CM der 1 — inten Potenz der Abscisse CP proportional ist.
Aufliisnng. Es haben x, s und v die frühere Bedeutung, es ist also
■' ^ W" ' * ~ T^~?rt ■^ der Widerstand im Punitf M =: -^ und wenn der Körper auf dem Bogen MC herabsteigen soll, so erhalten wir die Giei'
chung
, , , a'"'>f"Ax
dv ^ — gdcc + .^ .
Für die aufsteigende Bewegung auf derselben Curve haben wir die Gleichung
a™v"'dx
Beide Gleichungen lassen eine Trennung der Veränderlichen zu. Setzt man nämlich v =, xt, sp. erhält man füi' die iiieder- steii^cnde Bewegung die Gleichung
Ulx + xdt ^ — gdx ^- ^-^ —
~-h'"dt dx
k«^{9-\-t)-a«'t'» X und für die aufsteigende Bewegung die folgende
— li^dt __ dx
k-^(g+t)+a'"t'"^^' In beiden Gleichungen sind die Veränderlichen ( und x , von einander getrennt, so dass man vermittelst der Quadraturen ( durch X bestimmen kann. Die bei der Integration hinzuzufu- gende Constante bat man zu bestimmen entweder durch die
y Google
mif einer gegebenen Linie im widerstehenden Itfittel. 287
gegebene Geschwindigkeit im Punkt C, oder durch denjenigen Punkt in derCurve, in welchem die niedersleigende Bewegung anfängt oder die aufsteigende aüfhürt Setzt man die Abscisse, weiche dem ganzen Bogen der nieder- odtr aufsteinenden Be- wegunsf entspricht, gleich f; so wird, neii die Differential- Gleichungen homogen sind, v eine Funktion von /und a; von der Dimension =1 so nohl bei de» niedevsteigenden als auch bei der lulste uzenden beiieaUng. Es wird also V^v eine Fun- ction ton / und a; von der Dimension = '/^ und die Zeit dea
Nieder steigen '5 durch 31C =- j rr^ ^ a"' 1 ' — TT^j gleich
einer Function lon f imd i von der Dimension = V^ — m. Weil sich aber für r ::=: f die Zeit des ganzen Wiedersteigens ergibt, so wird diese | lojioitional fi—'" und eben so wird die Zeit des ganzen Aufateigeni sich verhalten, wenn nämlich f die Abscisee des Bogens der ganzen aufsteigenden Bewegung bezeichnet
Set7t man den ganzen Bogen der nieder- oder aufsteigenden Beweguuif ^=. A bo wird weil A proportional /■'—"' ist, die
ganze Zeit des Auf oder Nied ersteigen» proportional A- - ■ä™. Die Zeiten mehrerer niedersteigenden Bewegungen stehen also
im ■ ~ "'lathen \erhilh)iss der ganzen beschriebenen Bogen
2 — 2m und in demselben \erhältniss stehen aueh die Zeiten der auf- steigenden Beviegungen unter sich. Zwischen den erstem und den let/lirn Zeiten finlet iber keine Vergleichung statt.
§. ^04 ■\\eil die Olsüi windigkeit oder V"i einer Function von f und x von der Dimension Yz gleich ist, stehen für x = 0, bei mehrern niedersteigenden Bewegungen, die im Punkt C erlangten Geschwindigkeiten im halben Verhaltniss der Ho- hen, aus denen der Körper herabgestiegen ist. Ferner stehen die Höhen, zu denen der aufsteigende Körper gehiwgt, im dop- pellen Verhaltniss der Anfangsgeschwindigkeiten im Punkt C.
Zusatz 2. g. M5. Da die Zeiten der auf- und niedersteigenden Be- wegung /'i— '» proportional sind, so werden alle die.se Bewe- gungen in gleichen Zeiten ausgeführt, wenn m = Vg oder der Widerstand den Geschwindigkeiten selbst proportional ist. Die
y Google
288 Kapitel ///. Von der fiewfgmiff eines Punktes Cime ist ferner eine CycloiJe, «ie wir oben (g, 584.) gezeigt hiiben.
Zusatz 3.
§. 596. Da Hir haben ds = '^, so wird s = £"^Z
Wenn tlaher nicht m < 1 ist, wird die Curve AMC negativ, oder was dasselbe ist, iniagitJäi'. Es inuss nämlich stets die Curve grösser sein, als die Abscisse. Zusatz 4. §. 597, Ferner mtiss stets ds > dx sein und damit nun, für a; :=ü, -j- !> 1 werde, miiss m eine positive Zahl sein.
Unser Satz erfordert daher, Aass m innerhalb der Grenzen 0 und 1 liece.
Zu s atz 5. g. 598. In diesen Fällen ist der griisste Werfli von .-v = a und in diesem Punkte dx ;= ds, also die Tangente der Curve vertikal. Die letztere hat daher an dieser Stelle eine Spitze, denn sie kann nicht hoher aufsteigen , weil für a^ > «, ds < tla: werden würde, was unmiiglich ist.
|
s |
.. 599. Liegt ,n |
. zwischen den |
Grenzen 0 und 1, |
so hat di< |
|
|
Cnrvc |
i im Punkt C |
eine horizontal |
e Tan2;ente |
und e. |
s wird dei |
|
Krüni |
iniungshalbmessex in demselb< |
in Punkte |
|||
|
sds a^"-.. dx~ 1 |
-m ' |
||||
|
inden |
1 man ^ = 0 |
setzt. Dieser |
Halbmessci |
■ wird |
daher uu |
|
endlii |
^h klein, wenn |
1 m < 'A, von |
endlicher |
Grösse |
, wenn n. |
|
= ^2 |
und nnendlich |
gross, wenn ; |
m > Va ist. |
Zusatz 7.
§. 600. Die Zeiten sehr kleiner nieder- und aufsteigender Bewegungen sind unendlich klein, wenn m < V^, von endhcher Grösse, wenn m ^ Ya und unendlich gross, wennm > Ya ist. Sie stehen also mit dem Krümmungshalbmesser, welcher dem untersten Punkt 6' der Curve angebrirt, in gleichem Verbältniss, Anmerkung.
§. öOl. Wir haben hier Beispiele von Curven, auf denen für einen Widerstand, welcher in einem kleinern Verbiiltniss als dem doppelten der Geschwindigkeit steht, die Bewegung eines Kör[jers bestimmt werden kann. Widersteht aber das
y Google
auf einet f)<f/iln.iien Linie im widerstehenden Mittel. 289
Mittel in einem giossern Veihaltuiss, als dem doppelten, so hat die Curve nirgends eine hothanMe Tangente und es kann dabei' niemaU die nieder und aufsteigende Bewegung bestimmt werden (§. 59*^ ) Damit wir aber an einem Beispiele sehen, welche BcHe^ung ein Korper in einem Mittel habe, das in einem grossem \eihaltniRä als dem doppelten der Geschwin- digkeit widersteht wollen wir eine solche Bewegung in einer Oycloide und in einem Mittel, welches im vierfachen Verhalt- niss der Geschwindigkeit widersteht, bestimmen. . Wir wit!:ten gerade diese Vorau«eef?iin^, well unter dersellien die Geschwin- digkeit sich bequem durch eine Reihe bestimmen lässt. Satz GS. Aufgabe.
g. 603. (Figur 82.) In einem gleichförmigen Mittel, wel- ches im vierfachen Verhältniss der Geschwindigkeiten wider- steht, soll man die nieder- und aufsteigende Bewegung eines Körpers auf der Cycloide ACß bestimmen. Anfl.-lsung.
ff, CP = .r und CM = s seien in der frühem Bedeutung genommen, also
Es sei ferner die Geschwindigkeit im Punkt C = V~6. in
M =: V^i und der Widerstand in dem letztern — -^, wo k
der Exponent des Widerstandes ist. Wir haben daher fiSr die nied ersteigende Bewegung die Gleichung
|
dv = - |
- ffda: + |
_ ffsds |
|||
|
und fiir die autsteigende Bew |
egung |
||||
|
dv = ~ |
i/sds |
v-^ds k^ ' |
|||
|
Setzt |
man im erste: |
rn Falle v |
= - |
tds ' ' |
vor,,,. 1 |
|
staut |
folgt |
||||
|
dv ^ — |
tds~ |
||||
|
so wi |
rd die Gleichi |
m", wenn |
man |
diese Werthe d; |
|
|
tuirt 1 |
;ind gehörig reducirt: |
||||
|
Kul. |
»'s Modinaih. |
II. |
1» |
y Google
290 Kapitel Ul. Von der Bewegung eines P
f^ddü = ^
Vßrwaiidelt man diese Gleicliung in eine Reihe, f --/+/'* -i 2.3fl/t'^3.4BÄ^^2. 3.3.6
^ + ^
^ 3.4 6.7.«-V;«^2.3.5.6.8.9ff3Ä6 Um die Constanten f und A zu bestimmen, suche man den Werth von ti fuv s = 0; es wird daher
o — r-
Da ferne, Kr . = 0, d. = !?f =^. .» wl,d, „eil dv = k'Mx gA»
i» /« •
welche letztere mit der vorherigen h ^ — ~ übereinslimmt. Nach Substihition dieses Werlhes erhält man füir die nieder- steigende Bewegung
, 6s . gs^ bgs* , -""
Für die aursteigende Bewegung erhfijf man hieraus, indem man — k^ statt k^ oder — s statt s setzt:
_ 2« Zak^^'2.^.6a^A^^3.i.6aH*
"^ /ä 2.3rä2 3.4oA* ' 2.3.5.6aH* Aus diesen Gleichungen erhSlt man den ganzen Bogen der nieder- oder aufsteigenden Bewegung, wenn man d = 0 setzt und den Werlh von s sucht. Ist etwa & sehr gross, so wird der ganze Bogen der niedersteigenden Bewegung,
=.'^ + ^, + -"'""% ,tc. = E. "Tg ^^3'^ 25i/2A*V^2fl6 Der hierauf folgende Bogen der aufsteigenden Bewegung werde durch F bezeichnet und es wird alsdann
y Google
imf einer uegehenen Linie im widerstehenden Mittel. 291
Zusatz 1. §. 603, Ist daher der Wiclersfand höchst gering, so (viiti die S'iirame dei' Bogen der nieder- und aufs teigeiiden Bewegung oder der in Einer halben Sdiivinguiit; beschriebene Bogen sehr nahe
= ^ + '=TF-
Zusatz 2. §. 604. Der unterschied zwischen den Bogen der auf uod der niedersfeigenden Bewegung wird
~ loffftä" 60aA« '
derselbe ist daher dem Bi([uadrat ihrer Summe [iroportional. Anmerkung 1. g. 605. Man ersieht hiera«s, dass in einem sehr lockern Mittel, welches im vierfachen Verhältniss der Geschwiodigkei- ten widersteht, der Unterschied zwischen den Bogen der auf- und nled erste! gen den Bewegung der vierten Potenz der Summe dieser Bogen proportionFil ist, weil
Oben (§. 557.) haben wir aber gesehen, dass in einem eben- Talls sehr lockern Mittel, welches im doppelten Vcrhaltniss der Geschwindigkeit widersteht.
A + /' = 1^^ und ■£< — '' = T— 7 ^ — ^7"~~
V^ Zgk <ok
war. Bei <liesem Widerstände wird also der Unterschied zwi- schen den Bogen der auf- und niedersteigenden Bewegung dem Quadrat der Summe heider Bogen proportional.
Ferner wird in einem sehr lockern Mittel, welches im ein- fachen Verhältniss der Geschwindigkeiten widersteht.
y Google
292 KapHel III. Von der Bewetjung eines Pttnktex
£= V:2^+-Y:^„,Kir=.:y:^'-£^^(§. 582.), V> ^ AgSfk ^g Ag\r~k
EA.F= 2V-2^ und £ - F = ^1 = ^1^^?)^.
oder der Unterseliied zwischen den Bogen der auf- und nieder- steigenden Belegung ihrer Summe proportional.
Hieraus scheint zu folgen, dass in einem beliebigen sehr lockern Mittel, welchem im 3niten Verhaltniss der Geschwindig- keiten widersteht, der üoferschied zwischen den Bogen der auf- und niedersteigenden Bewegung auf einer Cycloide der 'Ernten Potenz der Summe dieser Bogen proportional sei. Ferner kunn man vermuthen, duss unter dieser Voraussetzung
_ V2^ , 2.4.6.... 2m. nö™
alsc
Vff ^3.5.7.. ..(2». + l)5Ä".
p_ V]2^_%4_6^^. Um. ab'«
yfg 3.5.7.... (2™+l)j,A'"'
3.5.7....(2B»-hi)'22'"- V-
sei. So oft also m eine ganze, oder 2w eine gerade Zahl ist, kann man eine Gleichung zwischen E — F und E -^ F ange- ben. Ist aber m eine gebrochene Zahl, ho kann man den Werth des Bruches
I.2.3.... m
3.5.7....(2yK + l) nach der Inferpolationsmetbode, welche ich in den Comment. Acad. Petrop. A. 1730 dargestellt habe, bestimmen. Aus der- selben folgt, dass, wenn %n eine ungerade Zahl i.'it, der Werfh dieses Bruches die Quadratur des Kreises enthatte, wie wir diess in dem Falle, wo 2m = 1 ist, bereits gefunden haben.
Anmerkung 2. §. 606. Was nun den Satz betrifft, dass der Unterschied zwischen den Bogen der nieder- und aufsteigenden Bewegung auf einer Cycloide in demselben Verhaltniss der Summe beider Bogen .stehe, welches zwischen dem Widerstände und den Geschwindigkeiten stattfindet, wenn crsterer nänilich sehrgering
y Google
ob/" einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 293
ist; so hat ihn Newton in den Prjpcipien hemesen. Man kann diesen Beweis auch ans der Gleichung
ableiten. Setzt man nämlich
2o «0 wird Q im Vergleich mit h und ^ sehr klein sein. Wir erhalten daher
a tt k"'
«nd so für die niedersteigende Bewegung
" ^J (2.4) --^-
WO das Integral so genommen wiid, dass es für s = 0 ver. schwinde. Wir erliaiten demnach für die niedersteigende Be- wegung
"-" 2a^J ^^:^
und für die aufsteigende Bewegung
„ - A _ S^_ r{2ab~gs'')^th
2a J &aky^ ■
V2oft Setzt man nun v ^::^ 0 und weil alsdann sehr nahe s ^ — =^
\g
ist.
so erhält man
' aV7 ' J (2"*)-
Sq^löb , r (2ab—fff)^<h
_(2oi)"
> nach der Integration s = — =;^ gesetzt wird. Da aber in V^9
y Google
Kapitel II!. Von der Bewegung eines Punktes
|
diesem Ausdruck von yflie Dimensionen von Vä" und s sind, so wird 9 die Form iV6™ haben. Wir haben dah die niedersteigeude Bewegung den Bogen |
., |
|
un»l für die aufsteigeiide Bewegung den Bogen demnach _ £ - F = 2IV4- , £ + f ■ = '^~ VI. V,9 |
|
|
iVs.(£ + F)«- _W-ir P {•iai-g,')'d, "— 21— 1„> '""'^' \ 2,6 J (2oM)» |
|
|
«0 man nach der Integration v = iTHS^ m «etzen hat. |
Di' |
ist der Beweis desjenigen, was wir in der vorhergehenden An-' merkung durch Induction hergeieitel haben. So ol't nniniich m eine ganze und positive Zahl Ist, wird N rational. Ist aber 3//t eine ungerade ganze Zahl, so wird A^ von der Quadratur des Kreises abhängig. Allgemein wird
2.4.6.... SnißÄ""
' "" 3.5.7....(2w + l)ffÄ" "
Sats 69.
Aufgabe.
§. 607. (Figur 84.). lu einem Mittel, welches im vierfa-
chen Verhältniss der Geschwindigkettea widersteht, steigt ein
Körper auf der Curve AMC von einem gegebenen Punkt A
herab und es ist seine Geschwindigkeit in den einzelnen Orten
gegeben; man soll seine Geschwindigkeit bestimmen, wenn er
die niedersteigende Bewegung in einem andern Punkt E be-
Auflosung. Es sei CP = X und CM — s, ferner die Geschwindigkeit des von A herabgestiegenen Körpers im Punkt M = V^w und nach der Voraussetzung durch x und s gegeben. Wenn dage- gen die niedersteigende Bewegung in dem beliebigen Punkt E beginnt, sei seine Geschwindigkeit in ^ = VT! Die Glei- chung, welche zur Bestimmung der Bewegung dient, ist
y Google
nuf ehter gegebenen Linie im widerslehenden Mittel. 295 dv = — gdx 4- -p- ,
woraus sich der Wertli von v ergibt, wo auch die Bewegung begoDDCD baben mag. Wir Itabeo daher auch
J J I M^t'"
mi = — ydx -f- -Ta"- Setzt man nun ■v ■=. u — 9, so wird
dv = (Zu — dq = — gd^ -\- ^ (k — {j)^
— — „d-r 4- ^ _J^J^ .j/^^^
, 2ouds , q^ds , da , luds ds
Multiplicirt mau die letzte Gleichung mit e 1=' und integrirf, so ergibt sieb
' '' =c,+y / p
•/■■-
|
c+fe "' .ds |
|
|
Hiernach erhalten wir |
|
|
3 /^,.fi |
^-
in welcher Gleichung die Integrale / -p- und 1 e . ds
so genommen werden müssen, dass sie für .( =0 verschwinden.
y Google
2ft6 kapitel HI. Von der Beutgnig CDiei Punktes
Es sei nun die GeschniTid gkeit cles K rpers im Punkt C wo s := 0, werra er von A herab«tei.,t = \ n und wenn ur von E herabsteigt, = V^b alsdann erh'ilfen wir
und die obige Gleichung geht über in
k^-{-ia—b) I e *' il^
aus welcher Oleichung man, weil w durch s gegeben ist, die Geschwindigkeit ^v des Körpers, welcher aus einem beliebi- gen andern Punkte der Curve AMC herabgestiegen ist, erhalt. Ist daher die Geschwindigkeit im Punct C = V^ gegeben, so findet man den Punkt E, in welchem der Körper die nieder- steigendo Bewegung begonnen hat, aus der Gleichung
{a—b)k^.(
kU-(a-(>)J'e *" .ds
Der hieraus sich ergebende Werth von s bezeichnet den Bo- gen CIUE. *
Zusatz 1. §. 60S. Aendert man den Werlh von v so, dass so wohl im Zahler als im Nenner 6 ohne Coßfficienten erscheint, so erhält mau
y Google
widerstehenden Mittel. 21)7
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X /.a |
|
|
Es wird daher v ~ 0, wenn wir Iialien |
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Zusatz 2.- |
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§, 600. Da wir olien hatten |
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*-"j? = -.*'. |
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-/.„. |
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so ergibt sich, wenn wir diese Gleichung mit e *' ciren und hierauf integrireu |
" inultipü- |
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/■"^ >./.-/"" |
wo die Integrale so genommen werden , dass sie für s =r 0 oder ;c = 0 verschwinden. Wir haben ferner
du^ gda^^u^^ also fü^ = log ß) t fS^
oder
Mittelst dieser Gleichung kann man dx statt ds in die obige einführen.
Zusatz 3. §, 610, Ist der Widerstand sehr gering, also k sehr gross,
e ds gegen A* verschwinden und wir erhalten
y Google
'298 Kapitel !JI. Von der Bewegung eines Pun/ites 2bfuds 1a Cutis
f iCuds N { 'hCuds 1
Zusatz 4. 5-611. Dafernei
Y
2 / «ds / uds
wird das Element der Zeit
(Ä« + fuds)\ffy _ „ + — ^!!lJ
mng fi« = ~ gdx + '^erhalten wl genähert M=«-5'x+/'^^:ipl!?^, also /^tirfs^ /*(« -Sa:)ds
Juds Aus der Gleichung fi« = - gdx + '^erhalten wir aber sehr
ind wenn man diese Werthe olien substituirt
y Google
Ktderslehenden Mittel. 299
^
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Anmerkung. §. ßl2. Die Voraussetzung, dass der Widerstand dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional sei, liat vor allen übrigen, die des constanten Widerstandes ausgenommen, den Vorzug, dass die Gesell windigkeit eines auf einer beliebigen Curve sich bewegenden Kürpers in allen Punkten der Curve aus der Gleichung der letztetn abgeleitet werden kann. Eben so hat unsere jetzige Voraussetzung vor den übrigen den Vot- zug, dass aus einer einzigen nieder- oder aufsteigenden Be- wegung zugleich alle derartigen Bewegungen Jiergeleitet wer- den können. Unter andern Voraussetzungen des Widerstandes hat nämlich die Operation, welche wir hier angewandt haben,
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300 Kapitel III. Von der Betoe.gimg eines Punfttes
keinen Erfolg und rührt eben so wenig zu einer Gleichung, in welcher <lje Unbestimmten von einander getrennt werben kön- nen. So wie daher der coiistante Widerstand der einfachste, ist und hierauf der, den Quadraten der Geschwindigkeiten proportionale folgt, wird nach ihnen diejenige Voraussetzung als die einfachste anzuseheo sein, nach welcher der Wider- stand im vierfachen VerhäUuiss der Geschwindigkeit steht. - Es scheint zwar, als ob man aus diesem Satze wenig Vorth eil fiir die Bestimmung der Bewegung, unter dieser Voraussetzung des Widerstandes erlangen könne, weil Eine niedersteigende Bewegung als gegeben angenommen wird, diese aber elien so schwer, als jede andere zu finden ist. Betrachtet man aber mehrere niedersteigende Bewegungen und vergleicht sie unter sich, so enthalt die Gleichung
dv ^^ — gtl^ 4-
v^d':
in der Wirklichkeit drei veränderliche Grössen, nSmlich ausser V und s oder a: die Geschwindigkeit im Punkt C, welche bei verschiedenen niederste igen den Bewegungen sich verändert. Da wir nun die Auflösung dieser Gleichung auf die Gleichung
ti^ds Ä' '
welche sich auf eine einzige niedersteigende Bewegung bezieht, reducirt haben ; so wird jene Unbequemlichkeit der drei Ver- änderlichen auf diese Weise aufgehoben. Ausserdem können mittelst dieses Kunstgriffes mehrere niedersteigende Bewegun- gen unter sich verglichen werden, was unter andern Voraus- setzungen des Widerstandes unmöglich ist. Man kann hier- nach, unter dieser Voraussetzung, auch mehrere umgekehrte Aufgaben auflösen, welche unter andern Voraussetaungen sich gar nicht behandeln lassen.
Satz 70. Aufgabe. §. 613. {Figur 85.). Der Widerstand ist, im Vergleich mit der antreibenden absoluten Kraft, sehr gering und einer beliebigen Potenz der Geschwindigkeit proportional; man soll die Bewegung eines Körpers auf einer beliebigen Curve AM bestimmen.
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utif einer t/egefjenen Linie im widerstehenden Mittel. 301
Auflösung. Es steige ein Körper auf der Curve AM von A an Eierab und man setze auf der vertikalen Axe die Abscisse AP = x, den Bogen AM = s und die stets abwärts ziehende Kraft = g. Es sei fei'ner die Geschwindigkeit im Punkt M :=: V^v und der Widerstand daselbst = -y— , also der letztere der 2m-
ten Potenz der Geschivindigkeit proportional. Unter diesen Voraussetzungen haben wir die Gleichung
dv ^= gdx Y^-
Da alter der Widerstand als sehr gering vorausgesetzt, also
I V^ds
sehr klein ist, so haben wir sehr nahe
Setzen wir diesen Werth v und integrircn, so erhalten \
. = ,.-g/w.
und auf ähnliche Weise noch weiter %
■ Cx^-ds + "J^^-l r x-'-^dx r x'-ds .
Die Integrale müssen so genommen werden, dass sie füra;^0 verschwinden. Man erhält aus der letzten Gleichung
1 1 ^ f ^'"^ mg^'^ f a?"~ ^ds j x^ds
^v V"ff^ '2k"'gxVgx 'il!^"'g^xW gx
^g^-(fa:-d.y
^' M^-"g'^x^V^gx~
und so ist die Zeit des Herabstelgens durch ^^sehr genähert
Wünscht man aber die niedersteigende Bewegung bis ku einem festen Punkte C zu haben , wobei der Anfangspunkt dieser Bewegung in E liegt, so setze man die vertikale Höhe des Punktes E Ober C = a (Figur 84,), also CD =: a, femer €P — X und CM = s. Wollen wir nun unter dieser Annahme
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3(ß Kapitel HI. Von der Bewegung eines Puftktes
diesen Fall auf den vorigen zurückführen, so hat man a—x statt X und — ds statt ds zu setzen. Setzt man ferner die im Punkt M stattfindende Geschwindigkeit des Körpers = V^v, so erhält man sehr genähert
=g{a-a:)^-^^ßa-a)'"ds-\■ X /(ft - xY- ' dsjla—a;)'« ds.
k^
Diese Integrale mössen so genommen werden, dass sie für X = a verschwinden. Ferner erhält man die, dem Bogen EM entsprechende, Zeit sehr genähert
-/v|lN + -^/"-^'" "'/"-*■*■
wo die I te ale 'eder für x =i a verschwinden müssen.
Ste g[ der fc. rper aus C auf der Curve CME mit einer Gescht nd gke t a f vermöge welcher er bis zum Punkt E gelange k n te so erden dieselben Gleichungen slattfinden, wenn n an dar ur — A"" statt /{" setzt. Es wird daher sehr genähert
X ßa-x)'^^ds ßa—wy^ih
sind die, dem Aufsteigen durch ME entsprechende, Zeit eben- falls sehr genähert
wo alle Integrale für ar := ß verschwinden müssen. Auf diese Weise kann man so wohl die niedersteigenden Bewegungen eines Körpers auf einer beliebigen, als auch seine Schwingun- gen auf einer hierzu geeigneten Curve in einem sehr lockern Mittel hestimmen.
Zusatz 1. g. 614. (Figur ^.). Es erhellt hieraus, was auch von selbst einzusehen ist, dass, wenn der Körper in einem wider- stehenden Mittel auf der Curve AM herabsteigt, seine Ge- schwindigkeit im Punkt M kleiner sein wird, als wenn er im teeren Räume auf derselben Curve herabgestiegen wäre. Fer- ner wird die Zeit des Herahsteigens Im widerstehenden Mittel grösser sein, als im leeren Räume.
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auf einer gegebenen Linie im leeren Räume.
Zusatz 2." (S. 615. (Figur 84.). Die der Geschwindigkeit im sten Punkt C zukommende Hülio erhalt man, indem i dem Ausdruck von ii, 37 = 0 setzt; geschieht diess, man sehr genähert
V = gu-\-9~r{a~^)"'ih.
wo man nach der, auf die oben vorgeschrieljene Weise a geführten, Integration ^ = 0 setzt. Nimmt man aber das tegral f(a~x)"'th so, dasa es für a; = 0 verschniade,
wird \m Punkt C
tß-
a:)'"ds.
wo ma« nach der Integration w = a zu setzen hat, U'iess be- zieht sich auf die niedersteigende Beivegung. Zusatz 3. g. 616. Für die aulsteigende Bewegung erhält man abei die Geschwindigkeit im Punkt C, vermöge welcher der Kör- per bis zum Punkt E aufsteigen kann, aus der Gleichung
= ga+f^ßa-.ry';h,
wo also dys Integral für a: — 0 verschivinden niuss und in demselben, nach der Integration, a: = n gesetzt wird. Zusatz 4. §. RI7. Es sei die Geschwindigkeit im Punkt C, welche der Körper nach dem Herabsteigen durch EMC erlangt hat und vermöge deren er wiederum auf derselben Curve empoi;- steigen wird, = V^H. Setzt man nun wie vorhin DC = a die Höhe, welche er beim Wiederaufsteigen erreichen wird, =T a — ß; so wird 8 eine sehr kleine Grösse sein. Es wird daher
oder auch
yGoosle
304 Kapitel III. Von der Bewegung eines Ptmides
Zusatz 5. §, ftl8. Da die Zeit des N lederst eigens durch KM
= -/v||-^ + '£?>-)--/«-^)-
ist, wo die Integrale für x t^ a verschwinden müssen, so ist die CM entsprechende Zelt
wo die Integrale so gcflommen werden, dass sie für x = 0 verschwinden. Auf ähnliche Welse erhält man bei der ausstei- genden Bewegung die, dem Bogen CM entsprechende, Zeit
§, 619. Die ganze Zeit der nieder- oder aufsteigenden Bewegung durch CI\IE erhält man, wenn man in den beiden letzten Formeln, nach der Integration, ;» = o setzt.
Anmerkung. §. 620. Nachdem ich nun hinreichend dasjenige ausein- ander gesetzt habe, was sich auf die Bewegung eines Kör- pers längs einer gegebenen Curve bezieht, gehe ich zu den umgekehrten Fragen über, bei denen aus andern gegebenen Grössen die (Jnhekannten erforscht werden. Zuerst stellen sich Aufgaben dar, in denen das Gesetz der Beschleunigung oder die Scale der Geschwindigkeiten gegeben ist und die Curve gesucht wird, welche eine jener Scale entsprechende Bewe- gung in einem beliebigen widerstehenden Mittel hervorbringe. Die absolute Kraft werden wir aber, wie bisher, als constant und abwärts gerichtet voraussetnen.
Satz 71. Aufgabe. §. 6-21. (Figur 86.). In einem Mittel, welches in einem beliebig vielfachen Verhältniss der Geschwindigkeiten wider- steht, soll man die Curve AM bestimmen, auf welcher ein Korper so herabsteige, dass er in den einzelnen Punkten M eine, der Ordinate PL der gegebenen Curve BL als Höhe zu- kommende, Geschwindigkeit habe.
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auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 305
AllflüSHItg.
Es sei AP =. X und PL = v, alsdann hat man eioe Glei- chung zwisclieti X und v, weil die Car\e BL gegeben ist. Es sei nun ferner AM = s and der Widerstand der 2mtei) Potenz der Geschwindigkeit proportional; alsdann haben wir d>e Glei- chung
wo ff und k die fiüliere Bedeutung haben. Aus ihr ergibt sich
, ff/i'" dx — Ä™ dv
in welcher Gleichung die Veränderlichen von einander getrennt sind, weil nach der Voraussetzung v durch x gegeben und wesshalb dieselbe zur Construction der Curve AM hinreichend ist. Da stets ds'^dx seip muss, wenn die Curve AM nicht imaginär werden soll, so ist es notbwendig, dass
■f ■ 'b-dx oder ria: >■ — .-— — -
|
" 9k-'. |
_„m |
|
|
sei. |
Da wo nämlich dx f^-'^^^- gk'" - V'' |
|
|
ist, |
wird die Tangente der Curve AM vertikal, , , k"' dv |
<vo aber |
|
ist, |
wird die Curve AM gar nicht statthaben kü Zusatz I. |
nnen. |
g. 622. Da wo die Tangente der Curve BL vertikal ist, wird dv ^ 0 und an dem entsprechenden Orte der Curve AM
i — ff/'"! '^^ •
in diesem Punkte hat der niedersteigende Korper also seine griiaste oder kleinste Geschwindigkeit. Damit nun dieser Punkt auf der Curve AM nicht imaginär werde, muss
gk'^-^vm oder v<kV^
Zusatz 2. S- 623. Fiele die Curve BL irgendwo in die Axe AP, so miisste, damit daselbst v =: 0 würde,
Enler's Mechanik. II. 20
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306 Kapitel III. Von der Bewegung eines Punides
ds ^= cc sein, vorausgesetzt, dass m positiv ist. In diesem Punkte wird die Curve A31 eine horizontftle Tangente haben, in welche sie
ausseht.
Zusatz 3. g. 624. Es habe die Ciirre AM irgendwo eine hnrizontale Tangente, alsdann wird äk gegen ds verschwindend klein und wir ei'balten daher
In dem entspiechenden Punkte der Curve BL wird also die Tangente horizontal, weil dv unendlich viel mal grösser als dar ist und die Ordinalen weiden abnehn«
|
§. ms. |
Die Tangente |
der Cur VI |
8 A3I ist, wie |
|
|
heil |
i hallen. |
da vertikal, wo |
||
|
d.'>: = |
A"-dv |
|||
|
~ ,,k-^~v'-> |
||||
|
ist. |
Damit |
also die Curve |
im Anl'ai |
igspunkt A, wo |
|
seh |
windigkeit =0 ist, eine |
s' vertikale |
Tangente habe. |
|
|
seihst dv = |
= gdx oder |
V = gn::
sein. In diesem Falle wird daher die Tangente des Winkels welchen diu dem Punkt A entsprechende Tangente an der Curve BL mit AP hildet, = g.
Zusatz 5. §. 62t>. Da (Is = S^U^rZ^-'^, so wird das Element der Zeit oder
ds __^ f/k"' dx — k'" dv
Die Zeit des Niedersteigens durch den Bogen AM wird dem- nach
Anmerkung 1. §. 627. Erstreckte sieb die Cnrve BL fiber AB hinaus, 80 würde auch die Curve AM siuh nach ölten zu ausdehnen. Statt der niedersteigenden Bewegung wurde alsdann eine, ISngs
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auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Büttel. 307
jener Curve aufsteigenJe der Aiifgatie Genüge leisten. Es wird nämlich in diesem Falle x, und daher auch sein Element dx
negativ und wir erhalten die Gieichuug
<ls ■=
— f/A™ dx -~ /:"■ rfv
welche aus der, die Natur der aufsteigenden Bewegung aus- drückenden, Gleichung
dv =: —fjdx -j—
hervorgeht. Auf ähnliche Weise wird, wenn die Curvo BL »a beschaffen ist, dass sie wiederum aufsteigt, auch die Curve AM wieder eine Richtung nach ohen annehmen und theiJs durch nieder-, theils durch aufsteigende Bewegung der Aufgabe Ge- nüge leisten.
^ Beispiel l.
§. 628. Sucht man eine Curve AM, auf welcher der Kör- per sich gleichRirmig mit der Geschwindigkeit V"ft bewegt, so wird Bh eine gerade, der Axe AP parallele, Linie sein und wir haben
V = h, also dv = 0.
Hiernach wiid
rfs™^^^^ und i^^^Ü^,
(fM lfm
also ^,1/ eine gerade Linie, welche mit der vertikalen Axc AP einen Winkel y bildet, so dass
•'' = Ä ^
■ gk-
Je grosser also V^6 oder die Geschwindigkeit ist, mit weichet der Körper sich bewegen soll, desto kleiner wird der Winkel, welchen die gesuchte Linie mit der Vertikalen AP bildet. Wird
t,^ ^gk'-', so wird die gesuchte Linie mit der Vertikalen AP identisch
Wäre aber
/)"''> gk"', also coS)'>l,
so würde die Auflösung zu einem imaginären Resultate führen. Ferner wird die Zeit, i« welcher der Theil AM der Linie bei der niedersteigenden Bewegung zurückgelegt wird.
y Google
308 Kapitel III. Von der Betoeijung eines Pnitklcs
Beispiel 2. g. 629. Man siidie eine Cuvve AM, auf n-eluher rler Kör- per so heraltsfeigt, dass seine Geschwiiitligkeit in den einzel- nen Punkten der Quadratwurzel aus der Hohe /4/-*pTo|>ortiüunl sei, welches eine, jeder Bewegung im leeren Räume zukom- mende, Eigenschaft ist Es wird «laher
V = tij: und dv =:: adx. Substiluirt man tliese Wertiie, so ergibt sich
, r/k"'ils cil-v^dx , (a — ie)k"'x^~'"
ds = '—T'^r jr~^, ""*' * = (i— 1 '" — '
wo keine Constante hinzuzufügen ist, wenn nur 1 — i«>0 oder 711 <,1. Ist oher m ^ I, so wird die Curre eine Tractories welche über der, durch A gehenden, horizontalen Linie he- schrieben worden ist. Auf tiersellien fängt der Kürper aus unendlicher Entfernung, nämlich aus dem Durchschuittspunkt der Tractorie mit der Asymptote, seine niedersteigende Bewe- gung an. Eben so hat, wenn jn>l ist, die Ourve eine der Tractorie Ähnliche Form.
Es tnuss aber stets tt<iff sein, worans mati ersieht, dass der Körper im niderstehenden IVlittel keine so grosse Geschwin- digkeit erlangen kann, als im leeren Räume. l)afernerrfs><Za:
sein muss, so hat man ((/— «)ä'">(i™ä^, also a;<; — y"^!!^. Der Eürper kann daher nicht tiefer herabsteigen, als bis zu dem Punkte, in welchem
die Tangente der Curve vertikal und weicher Punkt ein Riick- kehrpunkt der Cune ist.
Mjn erhält ferner die Zeil, iii welcher der Körper durcli den Bogen A^ herabsteigt,
Dicelbe kann also nui dann ton endlicher Grösse sein, wenn »(■^^ ist, wogegen sie =:^ao wird, wenn m=i ist. In diesem Falle wird nämlich die Cuive eine abwärts gerichtete Cycloide, in deren Scheitelpunkt A der Körper beständig bleiben wird. Zusatz 6. g. 630. Man ersieht daher, dass in einem widerstehenden Mittel die Belegung des Körpers nicht über einen gegebenen
yGoosle
auf einer i/egeltenen Linie im widerstehenden Miitel. 309
Punkt hinaus fortgesetzt werden kann und zwar so, dass die
Geschwindigkeiten stets im halben Verhaltniss der Hohen stehen.
Zusatz 7.
§. 631. Es erhellt hieraus, dass alle auf diese Weise ge- t'unden«!) Curven iu A eine horizontale Tangente haben. So lange derKrünrniungshalbmesser in demselben Punkte von end- licher Grilsse ist, wird der Körper niemals herabsteigen. Für 2Ai<l oder nt < ^ wird der Krümmungshalbmesser = 0 und es kann der Kürper herabsteigen, was man auch daraus er- sieht, dass die Zeit endlich ist.
Anmerkung 2-
§. 632. Fängt der Kürper im Punkt A an niedorzusteigen, ist also daselbst v = 0, aber auch zugleich die Tangente der Curve AM nicht horizootat, so wird im Anfangspunkt der Be- wegung der Widerstand verschwindend klein und , dv = t/dx.
Damit sich also für AM eine Curve ergebe, deren Tangente in A nicht hnriznntal ist, muss die in demselben Punkte mit AP zusammentreffende Curve BL so beschaffen sein , dass im Anfangspunkt
V =:z yx
werde. Der Winkel (3, welclien die Tangente an der Curve BL in A inlt der Axe AP bildet, muss also ka gross sein, dass
tgjS = 9 werde, sonst würde die Curve AM mit AP keinen spitzen Winkel bilden. Beim weitern Herabsteigen niuss aber stets ii<,gx sein, weil bei einer beliebigen Höhe, aus welcher ein Körper herabgestiegen ist, derselbe eine geringere Geschwin- digkeit erlangt, als im leeren Räume. Ferner kann im wider- stehenden Mittel ein Körper keine grössere Geschwindigkeit erlangen, als wenn er längs einer vertikalen geraden Linie her- abstiege. Da diese nämlich die kürzeste ist und am geschwin- desten beim ]Siederstcigen zurückgelegt wird, so ist der Körper der Einwirkung des Widerstandes am wenigsten ausgesetzt. In einem widerstehenden Mittel muss daher die Curve BL so beschaffen sein, dass v überall kleiner werde, als es beim Herabsteigen des Körpers längs AP und in demselben Mittel der Fall sein würde. Da wo v grösser wird, als dieser Werth beträgt, wird die Cnrve AM imaginär.
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310 Kapitel Jll. Von der Bewegung eines Punktes
Anmerkung 3. @. 633. (Figiir-87.). Auf ähnliche Weise verhält sich die Sache, wenn Rir die aufsteigende Bewegung die Curve BLD 80 gegeben ist, dass ihre Ordinate PL die Höhe sei, welche der Geschwind iglieit des auf der gesuchten Curve AME auf- steigenden KSrpers im Punkt M zukommt. Setzen wir nämlich AP= x, PL = V und A31 = s, so wicd , __ —g/^'"dx — k'^dv
Damit nun ds nicht negativ werde, muss dv einen negativen Weith halten, d. h. es muss die Cutve BL der Axe AD be- ständig näher kommen. Es niuas ferner — dv'^gdx, oder wenn man den Winkel, welchen die Tangente an BL mit der Axe AD bildet, durch c bezeichnet, so muss
sein. Dicss ist aber noch nicht Ijiiireichend, sondern es muss
-dv-gdx>'^^ oder _d„ > fe^^l+^'^S
sein. Diese letztere Bedingung kommt darauf hinaus, dass PL kleiner sein muss, als die der Geschwindigkeit, welche der Körper beim Ansteigen längs JPmit der Anfangsgeschwin- digkeit ^ ^ AB im Punkt P haben würde, zukommende Höhe. Beim Aufsteigeil längs der vertikalen Linie AP erleidet näm- lich der Körper, nach Verhältniss der zurückgelegten Hohe- durch den Widerstand den geringsten Verlust an seiner Ge- schwindigkeit. Im Punkt D aher muss der Winkel ADB so gross sein, dass fi'ir w ^ 0
werde; in der Nähe des Punktes E, wo die Geschwindigkeit — 0 ist, verschwindet näniltcb die Wirkung des Widerstandes. Wäre dieser Winkel grösser, so würde die Corvo AME in E eine horizontale Tangente haben, wie wir in der vorhergehen- den Anmerkung auch in Betreff der niedersteigenden Bewegung erinnert haben.
Satz 7-2. Aufgabe. §. 634. (Figur 88.}. Es ist die Curve AM gegeben, auf welcher ein Körper sich im ieeren Räume bewegt; man soll
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luf einer 5
'lenen Lin
i widerstehenden Mittel. 311
eine Cuive am so bestimmen, dass, wenn ein Körper auf ihr im widerstehenden Mittel herabsteigt, die Geschwindigkeiten in den Punkten « und A und eben so, wenn der Bogen am = AM angenommen wicd, die Geschwindigkeiten in den ein- zelnen Punkten m und M einander gleich werden. , AuflJisung. Zieht man die vertikalen Axen AP und ap, und die ho- rizontalen Linien MP und mp, so sei Aßl =: am = s, AP = ( und ap =■ X und man hat alsdann, weil die Curve AM gegeben ist, eine Gleichung zwischen s und t. Ferner sei die Geschwindigkeit in den Punkten A und a = V^, so wie die in den Punkten ilfund in =: W. Dienach unten antreibende absolute Kraft sei :=g und der Widerstand der 2mten Potenz der Geschwindigkeit proportional. Unter diesen Voraussetzun- gen hat man, für die Bewegung im leeren Kaume auf der Curve AM, die Gleichung
dv =^ — 'gdt oder v =r: b — gl. Ferner hat man, für die niedersteigende Bewegung im wider- stehenden Mittel auf der Curve via, die Gleichung
dv =^ — gdx + -
und wenn man hier die Werthe von dv und gehenden Gleichungen substitnirt; so erhält I (b—gty^ds
-gdt = ~-sda^+^
- oder da: ~
dt
(P-ffJrds
Da nun aber eine Gleichung zwischen ( und s gegeben ist, so kann man statt ( seinen durch s ausgedruckten Worth setzen und erhält so eine Gleichung zwischen w und s, welche der gesuchten Curve am angehört.
Zusatz 1. §. 035. Ist 2i auf der Curve AM dt niederstelgeuden Bewegung, also hier i
■ Anfangspunkt der — 0, so wird die
wird daher auf der ,-eguug erhalten.
Höhe des Punkts B über A = ~. Man
ff Curve «1116 auch b als Anfangspunkt dei indem man den Bogen amb = AMB annimmt. Zusatz 2. §. 636. Aus der Auflösung geht hervor, dass stets dx ">dt ist, es wird daher auch x^-t oder apyAP sein, indem
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312 Kapitel ///. Von der Beu-egung eines Punkfes
ein Körpec im widerstehenden Mittel aus einer grössern Höhe herabsteigen muss, damit dieselbe Ceschnindigkeit wie im lee- ren Räume erzeugt werde.
Zusatz 3. §. 637. Weil auf den Cntven AJl und am, bei gleich angenommenen Bogen, die Geschwindigiieiten einander gl.etch sind, so werden anch die Zeiten, in denen gleiche Bogen j^ili und am besclirieben werden, einander gleich sein. Es wird demnach die Zeit des IN ied erste igens im widerstehenden Mittel auf der Cui-ve Oma, gleich der Zeit im leeren Räume, auf der Cmve BMJ.
Zusatz 4. §. 638. Damit die Turve bmn nicht imaginär werde , muss überall tlx-i^ds sein; es muss daher auch sein
dt + ^tz:ff^Z^<_ds oder gk"'dt<gk'-'ds-{(i~gt)'-'di,. gk-"
Diess wird aber stattfinden, wenn glc^di<,{gk'"~b'")ds ist, welcher Fall lür ( = 0 gilt und sich auf den Punkt a bezieht, vorausgesetzt aber, dass ( nicht irgendwo einen negativen Werth habe. Man hat demnach nur darauf zu sehen, dass der Punkt a reell werde, was der Fall ist, wenn nur mcht gk'"dt'>{gk'" — d"')ds wird.
Zusatz 5. g. 639. Damit die Curve am nicht imaginär werde, ist
vor allem nothwcndig: dass b<.kV'g sei. Es sei im Punkt A
ds = adt, alsdann wird a>l und si> gk"* <,<t(ffk'"—b'") oder;
<Y.zfepi).
Hat daher die Curve AM im Punkt A eine horizontale Tai gente, so muss, weil alsdann a — oo ist,
& < A V'g
§. 640. Es sei ferner, wenn im Punkt A, ds := adt ist.
y Google
auf einer gegebenen Linie im wüler stehenden Mittel. 313
alsdann wird im Punkt a, wo ( = 0 ist, dx = — + _— _ds = ds, also
da ~ In diesem Falle hat die Gurve am im Punkt a eine vertikale Tangente.
^ Zusatz?.
§. 641. Im Anfangspunkt der Bewegung, In S ist v = 0 also b =: at oder t = —. Im Punkt b wird daher ebenfalls
tp — p, also (Za; ;= dt, indem die Elemente der Curveu ein- ander gleich angenommen werden; es sind daher die Tangen- ten beider Curven, in den Punkten B und 6, gleich stark ge- gen die Ahscissenaxe geneigt.
Anmerkung I.
§. 642. Weil man, ivenn die Curve j4yU gegeben ist, nicht absolut die Curve arti, construiren kann, sondern ausserdem die Geschwindigkeit im Punkt A =^ Vb oder der Anfangspunkt B der niedersteigenden Bewegung gegeben sein muss ; so wird man eine andere Curve am finden, wenn man auf der Curve AM einen andern Anfangspunkt annimmt. Die Curven BMA und bma stimmen daher, in Bezug auf eine einzige niederstei- gende Bewegung, nur in so fein mit einander flberem, als bei gleichen durchlaufenen Wegen die Geschwindigkeiten einander gleich sind. Beginnt aber die Bewegung in andern Punkten, so findet diese Uebereinstimmung nicht mehr statt. Ea cxiati ren daher keine zwei Curven, auf denen alle niedersteigenden Bewegungen bis zu einem gegebenen Pnnkte mit einander über einstimmen, von welchen Curven die eine im leeren Räume und die andere im widerstehenden Mittel angenommen «itd Beispiel 1
g. 643. Es sei AMB eine beliebig geneigte gerade Linie, so dass s = ot ist und man sucht eine Curve amb au! wel- cher ein Körper im widerstehenden Mittel auf ähnliche Weise fortschreitet, wie auf AMB Im leeren Kiume Setzt man den Werth von ( ^ — in die allgemeine Gleithun^ s) geht diese für die hier gesuchte Curve über in
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314 Kapitel Ul. Von der Bewvijung eines Punktes tiiid wenn man diese integrirf:
<^ ^ (™ + ]).-?*;(:'" (,» + 1), ^2 <.-/."' ■ Damit der Punkt a nicht imaginär werde, muss i + -^ < 1 sein. Wäre nämlich
so vTÜrde die Curve in diesem Punkte eine vertikale Tangenie haben. Der infiglichstgWisste WerUi von b ist daher ^=
k\ SS^^ZLJ. und setzt man voraus, der Körper sei auf der
geneigten Linie ßßlA aus einer so grossen Höhe heraligestie- gen, dass b den vorstehenden Werth erhielte; so ergibt sieb iur die Curve amö die Gleichung
fc = '<i + t*i5S3gf:?lE 4.
Auf dieser Gurve isf der Anfangspunkt der nledersteigenden Bewegung in ö anzunehmen, wo
ds = fdw oder s =: ninö ^ i V — -J^— .
Ist der Widerstand dem Quadrat der Geschwindigkeit propor- tional, also m = 1, so wird ttr = 'il + M^IT-U.-?? ds =
Diess ist die Gleichung einer Cycioide, welche auf eiuer hori- zontalen Basis mit einem Kreise beschrieben ist, dessen Durch-
Zusatz 8. §. 644. (Figur SS.). Es sei daher über der horizontalen Basis CS die Cycioide AMB mittelst des Kreises ANC er- zeugt und es widerstehe das Mittel im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten, der Exponent desselben sei = k. Man
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 315
nehme auf dem Kreise ANC die Sehne AJS — ^an unti ziehe
die horizontale Linie PNM and an jtf die Tangente ^T. Setzt man nun voraus, dass ein Koiper im leereu Räume auf MT, ein anderer im widerstehenden Mittel auf der Curve M/J her- absteige; so werden beide Kör|)er jn gleichen Zeiten gleiche Weee zurüukleaen.
Beispiele §. 645. (Figur 88.). Es sei die Cnrve A31B eine wach unten au liegende Cycloide, deren erzeugender Kreis den Durch- messer jr- Iiat; alsdann wird
.?2 = 2o(, oder t = ^ anä. dt — ~ .
Substituirt man diese Werthe, so erhält man für die Curve amö die Gleichung
, __ sds (2aÄ — gs^)"" ds
Pfir die erste Curve AMB, welche im leeren Räume beschrie- ben wird, ist, ivenn man den ganzen Bogen AMB=c setzt,
' = ?-';
wenn man daher diesen Werth substituivt, wird die Gleichung der Curve umh
Damit diese Curve im Punkt « nicht imaginär werde, muss
o'"— ic'^"'<2'"u'"Ä'" oder ■^-- < — V^n , d. h, es muss die dem
" 2a y " .
Bogen BA entsprechende Höhe k kleiner als -^ vV ^^^'"■^^"'■e
so würde im Punkt 6:^ = 1, also die Tangente der Curve amö vertikal. Ist daher B die Spitze der Cycloide, so wird
y Google
316 Kapitel tll. Von der Bewegung eines Punktes
und wenn aussertletn j""— iö™ = 2"'/£'" iat, damit die Tangente der Cucve amb im Punkt a vertikal werde; so hat man die Gleichung
. i>^'^'-s''Y'ds
Die dieser Gleichung entsprechende Curve hat in a und b ver- tikale Tansenten.
Zusatz 9.
§, 646, Da also der Körper im leeren Räume so auf einer Cydoide herabsteigt, dass seine Beschleunigungen den zu durch- laufenden Wegen proportional sind, so wird die niedersteigende Bewegung im widerstehenden Mittel und auf der Curve umb dieselbe Eigenschaft haben, wenn man den Anfangspunkt die- ser Bewegung in b annimmt. Diess zeigt sich aus der Glei- chung dieser Curvei indem amb = c wird. Zusatz 10.
g. 647. Nimmt man auf der Curve AMB einen tndeLn Anfangspunkt B der nied ersteigenden Bewegung an, so Imdet man eine ganz andere Curve amb, weil in deren Gleichung die Länge des Bogens AMB ■= c enthalten ist. Wenn dahei die Cycluide auch eine tautochrone Curve im leeren Kaumi. ist, so ist doch die Curve amö keine solche im widerstehenden Mittel, weil verschiedenen nied ersteigenden Bewegungen auf AMB eben so viel verschiedene Curven im widerstehenden Mittel entsprechen.
Anmerkung 2,
§. 648. Die in diesem Beispiele entwickelten Cur\en sind eben dieselben, welche Herrmann im zweiten Theile der Comment. für die tautochronen Curven in widerstehenden Mit- teln gefunden hat; er hat aber zugleich gezeigt, -dass dieselben der Bedingung nicht Geniige leisten können. Uebrigens ersiebt man hieraus, dass man auf ähnliche Weise im widerstehenden Mittel diejenige Cutve finden könne, auf welcher der Körper auf dieselbe Weise aufsteigen wird, wie im leeren Räume auf ?iner gegebenen Curve. Es seien nämlich A und « die An- fangspunkte der aufsteigenden Bewegung, jener im leeren Räume, dieser im widerstehenden Mittel und es sei die An- fangsgeschwindigkeit := V^Ä; alsdann erhält man für die Curve amö die Gleichung
da^ = dt~i^Strdi
y Google
auf einer riefjebencn Linie im toidersichenden Mille/. 317
Aus deraellien ersieht man, dass die Curve amö nur dann inia- ginSr werden kann, wenn die Ciirve AMB es ist. Damit näm- lich amb nicht imaginär werde, mnss dx<^(ls sein; dx ist aber
kleinev als dt und dt <. ds. Ist etwa AMB eine vertikale gerade Linie, so kann man die andere Curve «mÄ angeben; setzt man nJunlich AB = c, so wird
ö =^ ffc und s = t, also ds = dt. Man (indet daher für die Curve amb die Gleichung
lind wenn man integrirt
,— i(c_,).ti_,.,-ic.-fi
"-•+ („+1,/,™
Passt man diese Gleichnng einem Widerstände an, welcher dem Quadrat der Geschwindigkeit iiroportional ist, setzt also »1 = 1; so erhalt man
_ •■2(k-c)s + s-^
'^ 2%
Diese Gleichung gehört einer folgend ermasseo beschriehenen Cy- ctoide an. (Ji^igiir 89.) Man beschreibe die Cycloidej4ii/S, deren erzeugender Kreis den Durchmesser AC=^ hat, auf der hori- zontalen Basis BC und nehme den Bogen AM = k—c an; alsdann wird M der Änfangsiiunkf der aufsteigenden Bewegung, Wenn ein Körper von demselben mit der Anfangsgeschwindig- keit t=: V^ in einem Mittel , welches im doppelten Verhält- niss der Geschwindigkeit widersteht, längs MA aufsteigt, so wird diese Bewegung auf dieselbe Weise erfolgen, wie die Bewegung auf einer vertikalen geraden Linie im leeren Räume und mit derselben Anfangsgeschwindigkeit. Satz 73. Aufgabe. §, 649. (Figur 90.). Es findet eine gleichfiirmige und ab- wärts gerichtete Kraft statt, und. ein Mittel widersteht in einem beliebig vielfachen Verhältnlss der Geschwindigkeiten ; man soll die Curve AM bestimmen, auf welcher ein Körper so herab- steigt, dass er längs der horizontalen Linie AH gleichförmig fortschreite.
Aufls.ui.g. Es sei A der höchste Punkt der Curve, durch welche«
y Google
318 Kapitel lU. Von der Bewegung eines Punktes
die vertikale Axe AP gezogen ist «nd die Geschnindigiteit, mit welcher der Körper gleich Tür mig in horizontaler Richtung fortschreitet, sei ^ Vft. Man nehme die Abscisse AP = x, die Ordinate PM^y und den Bogen Ai\l = s an, ferner sei die Geschwindigkeit im Punkt M, womit der Körper das Ele- ment Mm. — ds durchlaufen wird, = V^- Wir haben dem-
ds: dv^V^: Vb und v^ -j-r, ■ Haben nun jr, k und — die frühere Bedetitiing, so wird
dv '^^ gdx
und wenn man in diese Gleichung den vorher bezeichneten Werth von v substituirt, so wird sie die Natur der gesuchten
Curve .ausdrücken. Setzt man nun ds=pdy, so wird v^^hp'^, dv ^= ''Ibpdp, dx = dySj p^ — 1 und daher die obige Glei- chung
2bpdp ^ gdyW'p^—i-
Hieraus folgt dy = ;. . - — und die Consfru-
gk"' V p^ — 1 — b"" ^2™+i etion der gesuchten Curve ergibt sich folgen der niassen, indem, 1 man
'ibk'"pdp
•'=f^
it, alsdann
t/ ghF'^fp^ — 1 — ö"'p''"i"^ sein wird.
Zusatz I.
§, 650. Substituirt man wieder ~ statt p^ und bestimmt
man y und x mittelst v, so ergibt sich
f kvdvSfb ^^^ ^^ P h-^ dv V"^^
J gk"-W^~v"-Vv'
yGoosle
auf einer ijegefienen Linie im widerstehenden Mittel. 319 Ferner hat man, für ^ =:: »s ds =: -'' ^_ , rfar = '' , '^ — und auch ds =: - -^— .
Vi> VT \^^r=Ä
Zusatz 2. §. 651. Da in «1er Gleichung
, k"'dv'srb
•> g/f<\rv~b-V'Vv
die Veränderlichen von einander getrennt sind, so kann man ans ihr eine besondere Auflösung heilelten, welche der Auf- gabe Genäge leistet, indem man den Nenner — 0 setzt, also
die Gleichung
gk'" yf^T^—v"' V^= 0 bildet. Hieraus ergibt sich die Geschwindigkeit VV= const.
c"' als Gleichung einer geneigten geraden Linie, wie wir schon oben (§. 627.) gefunden haben.
Zusat-c 3, §. 652. Damit ferner der Körper mit der gegebenen Ge- schwindigkeit V^6 in horizontaler Richtung fortschreite, mnss man c aus der Gleichung
ableiten. Hat man diesen Wertb gefunden, so erhält man die Neigung der geraden Linie, welche der Äulgahe Genüge lei- stet und die Anfangsgeschwindigkeit im Punkt Ä =i \c, mit welcher der Kürper gleichförmig längs dieser geraden Linie her- absteigt.
Zusatz 4 §. 653. Verschwindet der Widerstand und bewegt sich also der Körper im leeren Räume, so wird /(^co, .r= / — und V = ,9(1+3:). Ferner wird
y Google
320 Kapitel 111. Von der Bewegung eines Punktes
dg=L - _ ■ ■■' — — ^ga+yx — ö und wenn man integrirt
»/ = l V(s^+gx-ö)ö -| ^(ga~ !>)(>■
Diese Gleichung entspricht einer Parabel, welclie ein gewor- fener Körper frei beschreibt.
Beispiel. g. (534. Ist das Mittel ein sehr lockeres und daher k selir gross, so wird mit grosser Annähen
gk-"Vv—ö~v"-\rv Wir erhalten daher
" 9 J ff^A-^V^iv-ö) g
Aus der zweiten Gleichung erhält man mit grosser Annäherung
V = gx~ /"SÜZi^üi^^, J k>'^Sfgx~-b
und substituirf man diesen Werth in die Gleiclning
d —^'^T>.
so erhält man eine Gleichung zwischen x und y, welche die gesuchte Curve bestimmt.
Satz 74. Aufgabe, g. 655. (Figur 91.). Man soll eine Curre AM finden, auf welcher ein, in einem beliebigen widerstehenden Mittel her- absteigender, Körper sich gleichförmig bewege; vorausgesetzt, dass eine gleichförmige und abwärts gerichtete absolute Kraft auf ihn einwirke.
Auflösung. Es sei AP = X. PM = y, AM = s und die gleichför- mige Geschwindigkeit, mit welcher der Körper herabsteigen
y Google
auf einer f/egebenen Lhite im tnidersiehenden Mittel. 35il
soll, = V6". Ferner haben v, ij und \- die l'nihere Bedeii- tun,^, alsdünn ist
d-a = gdx j^ .
Nach der Bedingung muss aber ßhn:3JN = \^v:V^, also V = -—-5 oder th = ;=- sein. Subsfituivt man diesen
dx^ Vir
Werth in die vorhergehende Gleichung, so ergibt sich
, , v'"+kdx , , IC^dvS^h'
dv=^fiax— r=^ oder (/a:=— — ^= ^^.
l^ yfb gk«' VT- v"' W
Wir erhalten demnach
/i'»dvVJ ,_ r k">dv'^v
» V 6 - ■^" V"v i welchen Gleichungen man die Construcüoti der gesuchten Ciirve ableitet.
Zusatz 1 §. 656. Wünscht man aus diesen drei Gleichungen eine abzuleiten, in weichet nur x, y und s enthalten ist, so kann man diejenige nehmen, aus «■elcher v sich am leichtesten lin- den lässf und seinen Werth alsdann in die eine oder andere der beiden übrigen substltuiren.
Zusatz 2. %. 057, Da die Gleichung
die Veränderlichen von einander getrennt enthält, so kann man eine besondere Aullösung erhalten, indem man den Nenner
gk'^'sfb — v'^'Sfv^^ setzt. Hieraus erhfilt man
und daher
s Meulmnik, II.
"t. A '■""(-
yGoosle
322 Kapitel III. Von der Beim:^nvf} eines Punktes
Es leistet also eine geneigte gerade Linie tleiiiige, wenn iler KiJrpei' sich mit der gegebenen Geschwindigkeit ■V^v auf ihr hewegt.
Anmerk ung 1. g. 658, Dass in der ror hergehen den und dieser Aufgabe eine geneigte gerade Linie einer besondern Auflösung Genffge leiste, kann man daraus ersehen, dass im widerstehenden Mit- tel eine geneigte gerade Linie sich finden ISsst, auf weicher ein Körper sich gleichförmig bewegt, wie wir oben (§. 627.) gezeigt haben. Dieser Fall leistet aber beiden Aufgaben Ge- nfige, wenn nämlich ein Körper auf einer geraden Linie mit gleicliftirmiger Bewegung fortschreitet, wird er auch so wohl horizontal, als vertikal sich gleichförmig bewegen, ja selbst nach irgend einer beliebigen Richtung wird die llewegung - gleichRirmig sein.
Zusatz 3. §. 659. Im leeren ßaume ist >t = co und es wird daher
.T =— Oller V = fix, ds= ——-M—umii dti^ --'t=
Integrirt man die letzte Gleichung, so erhSit mau
Die gesuchte Curve ist in diesem Falle eine rectiflcabüle cu- bische Parabel, wie wir schon oben gefunden haben.
Beispiel \.
§. fi60. Setzen wir den Widerstand den Geschwindigkeiten selbst proportional, also m = Y^, so wird rdv^/'U
Jo\
- — C- Vl>k . log (;, Vll-v),
/ g^Tbk—v odei , wenn für ;r = U, auch d = 0 ist,
\ijVM-J Aus derselben folgt
gV l/k — v
y Google
auf einer (/eriebenen Linie im widerstehenden Mittel 3'23 Substitiiirt man diesei» für v geiundeiieo Werth , so erhält man
\.vS g (1 - e" ^^^) vu
ih =: -
Vö
= dx \l — =1— — r-^— — ist, so setze
(hl alier anch ds - ..^ » ^— — ^__
'j c= M^, iilso rf« = 2udu und es ergilit sich
ds = -2^^>^= 2ffÄ|«^ - 9au Vk .
In dieselbe bailn man den vorher gerundenen Weith von « suhstitijiren , um eine Gleichung zwischen x und s zu erhalten. Beispiel 2. §. 601. Es widerstehe das Mittel im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten, es sei also in = 1 nnd daher
- kdv'sfb , , hdvSfv
dx — , , — und ds = —= — = .
f/kSfb - v^fv ffkVb - fV^v
Das Integral der letzten Gleichung ist woraus folgt
vi = gl V6(i!«-l)c "'=,jls(l-e ff) Vi. Aus (lieser Gleichung erliiilt man
/-v=\fsl,(l-
■1)^6
uncl wenn man diesen Werth in dx := — ==- substituirt ,
VT
y Google
3'24 Kapitel IIL Von der ßeweyung eines Punkies ergibt sieh eine Gleicliiing zwischen s und x für die geeuehfe
Anmerkung 2. %. 602. So wie wir in den beiden letzten Aufgaben Cur- ven besfimnit haben, auf denen ein Körper sich s') bewegt, dass er entweder in h o vi koh taler, oder abwSrts in vertikaler Richtung gleichRirniig. loitschr eilet ; kann man auf ähnliche Weise rVie Aufgabe lösen, dass der Körper nach irgend einer beliebigen Richtung sich gleichförmig entferne. Die Untersu- chung selbst lasse ich hier fort, weil aus der Auflüsung nichts Abgeschlossenes sich ableiten lässf. Aus demselben Grunde berühre ich hier nicht die Aufgabe von der isochronen para- centrisclien Curve im widerstehenden Mittel. Ich ftige aber hier, wo ein gewisses Gesetz der Geschwindigkeiten voraus- gesetzt wird, eine nicht wenig interessante Aufgabe hinzu, welche bis jetzt noch niemand für das widerstehende Mittel behandelt hat, ja welche, für die Bewegung im leeren Räume aufgestellt, nicht einmal eine Aufgabe ist. Man sucht nämlich diejenige Curve, auf welcher ein Körper zu einem gegebenen Punkte mit der grössteu Geschwindigkeit gelangen wird; im leeren Räume wird ein, auf jeder beliebigen Curve sich bewe- gender, Körper an demselben Orte stets dieselbe Geschwin- «ligkeit erlangen.
Satz 73. Aufgabe. §. 663. (Figur 9-i.). Unter ullen Ciirven, welche die Punkte A und C mit einander verbinden, soll man diejenige bestim- men, auf welcher ein Körper beim Herabsteigen von A nach C die grösste Geschwindigkeit erlange; vorausgesetzt, dass der Widerstand In einem beliebig vielfachen Verhältniss der Ge- schwindigkeit stehe und eine gleichförmige Kraft abwärts ziehe- Auflösung. Damit der Körper zum Punkt C mit der grössten Ge- schwindigkeit gelange, müssen zwei beliebige Elemente Mm und nifi der gesuchten Curve AMC so liegen, dass der Körper bei ihrer Durchlaufung das grösste Increment der Geschwin- digkeit erlange. Erlangte nümlich der Körper durch andere Elemente Mn und nji einen grössern Zuwachs an Geschwin- digkeit, so würde er auch im Punkt C eine grössere Geschwin- digkeit haben. Nach der Methode vom Grössten und Kleinsten findet man daher die Lage der Elemente Mm und mfi, wenn
y Google
auf einer ge^elienen Linie int widcrsie/iender) Milicl. 3'25
man sie mit den ihnen sehr nahe liegende» Elementen Mn und «ft vergleicht unddie Iiicreniente (lerGeschwindigkeiten, welche durch beide erzeugt werden, einander gleich setzt. Man ziehe zu diesem Ende auf die vertikale Äxe AP die Ordinalen MP, nmp und jim und es seien die Elemente der Äxe einander gleich, also Pp = p7C. Man ziehe ferner die Vertikalen MF und m'G und normal auf den Elementen der Curve die kleinen Linien mfnnä ng. Wir haben datier das, dem Wege Ultit entspre- chende Element von v, wenn g, k, v und 2wi die frühere Be- deutung haben,
. Mm
dv — g.MF
W-
und das Increment der, der Geschwindigkeit zukommenden. Hübe, während der Körper den Weg mfi zurücklegt,
dv' ^g.mG -1 ^__1__^,
wo ^v' die Geschwindigkeit im Punkt m bezeichnet. Wah- rend daher der Körper die Elemente Mm und mfi zurücklegt, erbalt die Höhe v das Increment
dv + dv- ^ g iMF+ niG) - '^^^
i . nrn ""'• Mm) "'
\vA-g.MF ,-— -wft
Indem er ferner die Elemente 31n und wfi durchläuft, erbugt
V das Increment
i . ^.^ V'" ,Mn} "'
ii" + <J ■ MF— —-, . nu.
Setzt man diese beiden Incremente einander gleich, so erhalten
wir die Gleichung
0 — i^™ {Mn — Mm) + \v-\-g.MF~—j^—\'".n^ - jt<+ff.iUr-H!L:^j"'.,„,,. Es ist aber Mn — Mm = fn, rnft — nji = mg,
y Google
326 Kapitel Ul. Von iIit Bmjei,uni/ r. — -•^'"'"'.Jtfm.
Siibstifuirf man iliese Werthe in (lie vorfiergüheiule (üleklHins, so wird (lieselljc nach kurzer Umformung
a = V \nf - m!j\ - m.ff.MF.mff
— '!^L-\Mn.7m~ Miii.mn) .
Es ist aber
Mn . >(fi — 3Im . ntj* = i»/a . nf — Mm - mg , ferner, weil A "/'« "^^ mMF, also nf: mn ^= niF : Mm,
f mF. mn
"'" Mm und weil A "tnii co mG(i, also mg:mri = jiG:mn, __fiG .nrn '""~ m^ Subst'ituirt man diese Werthe und divifliit durch mn, so ergibt sich die Gleichung
iMm wjftj ■ "^ ' mfi.
m.v'-im(..mF Mm.i.Gi /(«' ( 31m »Jfi (
Die beiden ersten Glieder dieser Gleichung sind Differentiale ersten Grades, das dritte aber kann, weil es einem Diffe- rentiale zweiten Grades gleich ist, verworfen werden; wir er- halten daher
m.ff.MF.jiG tfiG _ mFi ___ ^
/»jt h(')A Mm)
oder
-■(19=
Mm
Mittelst dieser Gleichung bestimmt man die Lage der Elemente Mm und mfi. Um uns der Symbole zu bedienen, sei AP = X, PM = y nnd AM =■ s, alsdann wird Pp = p-n, = dx, mF = % und Mm = ils; wir erhalten also die Gleichung
y Google
uitf einer •ler/ebeiwn Linie im iciilerstc/tcndcti MiUcl. ^327
Dit (iiuiumeicluin^ der Bewegung ist ferriev
und ueiin itj iii m (deseC«, den,, aus der voiii ergeh enden Glei- chung sich eigebeiitleii Woifii von gdx ~ — "^ ''fy^) feMbatituirt &o erhalt min
Es sei dy ^ pth und t^— •" ^ k, alsdann gehl diese Glei- chung durch Subatituhon die6>er Werfhe über iii
p,U, + t^ ,„l,, + "~g'"''= 0
und null eihtit hienus durch Integration
» = ^^^^-
Mittelst des so erhaltenen Werthes von w ergibt &iüh
i[[id wenn man diesen Werth in die obige Gleichung
m . gpdx + vdp = 0 oder m . gpds V 1 — ;'^ -|- ^'*'/' — 0
sübstituirt; so erhült man eine Glecihung zwischen p und s,
also auch zwischen y «ml s.
Um aber die Curve zu coiistmiren, ist es angemessen, die
Rechnung folgend erniassen anzustellen. Ist dy = pds, so hat
man folgende zwei Gleichungen;
m..(fpds\'^\—p^~\-vdp^^w\Adv=!f(hSfi.—ffi — —rj^ -
Aus der ersten folgt (/« = -"■■■ — und substituirt
m . ffpVl — p^ man diesen Werth in die zweite, so geht diese über in:
y Google
328 Kapitel III. Von der Bewegtmg eines Punktes
nindv + vdp = -7—^— .
gk'"V^l~p^ Üividirt man diese durch V^+^.p^, so ivird sie iritegrahel und man erhält durch Integration
pg&"'
-.c+:
: .. ..!?.. . i,„(| j; — _ -l.
IV/) + V 1 ' — p^ "
Wir habet! daher
|
-/*^ |
|
|
pV'-p + Vi-p' |
(1 — p3)i . y^ß/>+ Vi — /j2
Vermittelst dieser Gleichungen kann man die gesuchte Curvc leicht uonstruiren.
Zusatz 1. §. 664. Wird der gegen die Axe gerichtete Krüniniuiigs- halhmesserl im Punkt M durch )■ bezeichnet, so ist 'l-(-f) =: _ *i£ und wenn man diesen Werth statt dp substituirt; so
erhalt man
mgdii_v ^^^^ 2mgdy_'2v ds r ds r
Es ist aber — die Centrifugal kraft des, auf dieser Curve sich
bewogenden, Körpers, deren Richtung von der Axe abgewandt
y Google
auf einer gcffebenen Linie im widerstehenden Mittel. 329
ist, ferner ist 2^ die normale Kraft. Auf der eesuchten Curve
ds ist daher die Ceutrifugalkral't der normalen Kraft entgegenge- setzt und es verhält sicli jene zu dieser, wie
Im : 1, d. Ii. wie der Exponent der Gescimindigkeit , dessen Potenz der Widerstand proportional ist, zur Einheit. Zusitz 2 §. 665. Alte diese Curien haben -it-io ihre concaie Seite nach unten zii gewandt. Da nämlich die normale Rt-jfit ahwarto gerichtet ist und der Krümmungshalbmesser nach derselben Seite hin liegt, so mnss auch die concate Steife der ( urve eben dahin liegen.
Zusatz 3. g. 666, In einem Mittel, welches im einfachen Verhältniss der Geschwindigkeiten widersteht, ist 2m = 1 und — =
^-^•, also die Centrifugalkraft der normalen Kraft gleich und
entgegengesetzt. Die der Aufgabe Genüge leistende Cutve wird daher diejenige Bahn sein, welche ein geworfener Kürp er frei beschreibt.
Zusatz 4. g. 667. Da it. der Gleichung
mfjds
kdpyg
p(I-y,a)i\/"^H^
die Verändei- liehen von einander getrennt sind, so wird man aus ihr drei besondere Auflüsuugen erhalten. Die erste ergibt sich aus der Gleichung
ap + V~l — p'^ = 0, in welchem Falle die Geschwindigkeit ^ oo und eine beliebige gerade Linie Genüge leisten wird. Die zweite Auflösung folgt aus der Gleichung
1— p2=0, also p^=\ oder dy^ds, diese entspricht mitliin einer horizontalen geraden Linie. Die dritte Ibigt aus
;) = 0 oder dy =: Ü,
y Google
330 Kapitel HI. Von der Betveguvfj eines Punktes
»10 also eine vertikale gctaile Linie Genüge leistet, welche stets die Eigenscliaiit liat, ilass ein auf ihr herabsteigender KOrper den grussten Zuwachs der Geschwindigkeit erhält. Beispiel 1. g. 668. Es widerstehe das Mittel im einfachen Verhältiiisa der Geschwindiglieiten, es sei also m = V^. Von den drei gefundenen Gleichungen nehme man diejenige, welche dy ent- hält, alsdann wird jetzt
_ _ 'Jgkdp^
deren Integral ist
/= C-
Da aber p =z tM und VI — /** = ^-, so eeht dieselbe über in ■^ d^ US
« — c- JsMm^,
ttdy -\- dx ' oder wenn man die Constante C vernachlässigt, ivodurch die Natur der Cnrvo sich nicht ändert
aydy •{■ yda: -{-'iffhdy =:0.
IJividirt man diese Gleichung durch y und inlcgrirt auf's neue, so erhidt man
ay-\-x-\-'igk\a^y—C. Diess ist die Gleichung einer logarithmischen Curve, eben der- selben, welche wir im ersten Theile, als unter dieser Voraus- setzung des Widerstandes beschrieben, gefunden haben.
Beispiel 2.
g. 669. Es sei nun der Widerstand dem Quadrat der Ge- schwindigkeit proportional, also m ^= 1. Nehmen wir die Gleichung, welche ds enthält, so wird dieselbe iu diesem Falle
pV'l ~p^{«p + VT— /'*) i Integral ist
ßp
Es wird daher ferner
: = /, l.g (S
y Google
auf einer gegebenen Linie im tniderstekenden Mittel. 331
j tt;)-|- V^l — p"^ ^''^LiJ?£
^ -^ ßp ~~ßdy
oder
§ehly — cidy=:dxvi\i\ds=d^ l + (j3c*— «)" .
Diess ist die Gleichung der gesuchten Cnrve, welche die Ei- genscha^ besitzt, dass die Centrifugalkratit des Körpers doppelt ao grosä, als die Normalkiaft ist. Die Curve erleidet daher immer nach ohen zu einen Druck durch eine Kraft, welche gleich der Normalkralt , oder halb so gross als die Centrifugal- feraft ist. Auf derselben wird aber der Körper sich so bewe- gen, dass die, der Geschwindigkeit im Punkt iH zukommende. Hohe
_ t/k _ i)kda __ gkds
t t dx A- ttdy
ßpe" ßdy.e'' ivird.
Anmerkung 1. §. 670. Da unter jeder Voraussetzung des Widerstandes ein besonderes VerbSltniss zwischen der Centrifugal- und Nor- malkrafE stattfindet, der leere Raum aber wie ein Fall eines jeden Widerstandes betrachtet werden kann; so wird auch im leeren Räume jede Curve Genüge leisten müssen. Alle Curven haben iiKmlicb in demselben die Eigenschaft, dass auf ihnen bei gleichen Fallhöhen gleiche Geschwindigkeiten erzeugt wer- den; man kann, daher keine einzelne bestimmen, welche mehr als alle Übrigen der Aufgabe Genüge leiste.
Anmerkung 2. g- 671. Es ist bemerken sw ertb , dass auf allen gefundenen Curveii die Geschwindigkeit nirgends = 0 wird. Man kann daher die Aufgabe nach dieser Methode wicht so lösen, dass man nnter allen von A bis C stattfindenden niedersteigenden Bewegungen diejenige, von der Ruhe an beginnende, bestimme, auf welcher der Körper die gtOsste Geschwindigkeit erlangt. Dieser Bedingung wird nämlich nur die vertikale Linie, welche durch € gelit und mit der durch A gezogenen Horizontalen verbunden ist. Genüge leisten. Unsere Aufliisung ist aber so beschaffen, dass sie diejenige Lage zweier beliebigen benach- barten Elemente bestimmt, welche die griisste oder kleinste Zunahme der Geschwindigkeit hervorbringe. Nach dieser Me-
y Google
33'2 Kapitel tll. Von <hr Brnvet/ung eines Punktes
thode findet man daher diejenige Ciirve, auf tvekher der sicli liewegende Körper einen grlissern oder kleinem ZtivFacbs an Geschwindigkeit erhült, als auf jeder andern A mit C verbin- denden Curve, wenn der Körper im erstem Punkte seine nie- dersteigende Bewegung; mit dersellien Geschwindigkeit beginnt. Aus dem Gefundenen kann man aber schlicssen, dass auf diese Weise sich diejenige Curve ergeben werde, auf welcher die Geschwindigkeit den geringsten Zuwachs erhält, oder auf wel- cher der Kürper mit der am meisten gleich fürmi gen Bewegung fortrückt. In diesem Si»ne siebt man leicht ein, dass die Be- wegung nicht von der Ruhe anfangen kttnne. Obgleich es nämlich gewiss ist, dass, wenn die Puncte A und C in einer vertikalen Linie liegen; durch eine Bewegung auf der letztern, welche in A von der Ruhe an beginnt, die griisste Geschwin- digkeit in C erzeugt werde; so ergibt docli die Rechnung nicht diese Auflösung, wenn auch die vertikale Linie aus ihr folgt- Die Anfangsgeschwindigkeit im Pmikt A ergibt sich aus ihr
■= \ k^fg, welche so gross ist, dass sie keinen Zuwachs mehr erhalten kann. Mit dieser Geschwindigkeit bewegt sich der Körper daher gleichförmig von A bis C herab und erhält auf diese Weise keinen, d. h. den allerkleinsten Zuwachs an Geschwindigkeit. Die Aufgabe hätte daher, damit sie mit der Autliisung übereinstimmend würde, so aufgestellt werden müs- sen; Unter allen Linien, welche die Punkte A und C mit ein- ander verbinden, diejenige zu bestimmen, auf weicher der Körper bei seiner Bewegung den geringsten Zuwachs an Ge- schwindigkeit erhält und zugleich die Anfangsgeschwindigkeit im Punkt A, welche dieser Forderung entspricht.
Anmerkung 3. §, 672. Nach der vorgeschriebenen Ordnung sollten nun Aufgaben folgen, in denen die, einem gegebenen Gesetz der Zeiten entsprechenden, Curven bestimmt würden. Da aber die Gesetze der Zeiten sich meistentheils auf die Gesetze der Ge- schwindigkeiten zurückfuhren lassen, führe ich derartige Auf- gaben nicht auf. Eine einzige Untersuchung dieser Art uher die brachystochronen Curven werde ich aber behandeln, weil sie, obgleich die Bedingung der Zeit vorgeschrieben ist, nicht auf die bereits entwickelten Verhältnisse der Geschwindigkeiten zurückgeführt werden kann. Hierbei werde ich diejenigen
y Google
auf einer ffegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 333
Vorschriften ttenufzen, welche üben über lüe brathystochronen Curven im leeren Faunie vorgetragen worden sin<l. Satz 76. Lehrsatz. §. 673. (Figur 93). In einem beliebigen witlersfehenden Miltel lind unter einer beliebigen Voraussetzung der absoluten Kräfte, Ist diejenige Curve JiHC die braehystochrone oder die, welche die schnellafe niederste! gen de Bewegung von A bis C bewirkt, auf nelcher die Centrifugal kraft der Norinalkraft gleich und nach derselben Seite gerichtet ist. Beweis. Welches auch die absoluten, auf den Körper im Punkt M wirkenden, Kriifte sein mrigcn, so kann man sie doch in zwei aufeinander normale zerlegen, deren eine ML = /', die an- dere MN — Q ist. Man setze das Element der Curve Mm == dl, ziehe die Perpendikel vil und »n« und setze Ml = mn = dx und ml = Mn = dy. W sei die Geschwindigkeit im Punkt M, R die Kraft des Widerstandes und r der Krüm- mungshalbniosser im Punkt 71/, welchen ich als nach oben ge- richtet voraussetze; es ist also, für d.v ^ constans. _. ds" da: . ddif Unter diesen Voraussetzungen haben wir die Gleichung dv = Pdx + Qdy — Rds,
weil ^''^ i ^^^ die, aus den Kräften P und Q entspringende
Tangentialkraft ist. Oben (§. 364.) haben wir aus der Natur
des ßrachystochronismus gefunden, dass, wenn dv =: Pdx -f Qdij + Rds ist, alsdann
2i; _ Pdy - Qdx
wird. Diese Formeln unterscheiden sich von den hier vorlie- genden nur im Zeichen von R, und diess kommt nicht in
Rechnung. Es bezeichnet ferner — die, längs der Normalen
MO wirkende, Cenfrifugalkraft und ^^^^ die ebenfalls
längs MO wirkende Normalkraft, welche aus beiden Kriiften P und Q hervorgeht. Wenn daher die erstere der letztern
y Google
334 Kapitel III. Von der Beteegung eines Punktes
gleich ist und mit ihr einerlei Richtung hat, so ist die Curve eine brachystochrone.
Zusatz J. g. 674. Setzt man die Normal kraft, weiche aus der Zer- legung der ahsnhiten, den Körper antreihenden, Kräfte ent' springt, = iVund die aus denselben entspringende Tangential- kraft = T; so hat man
dv =. {T — R) ds und
1v
Die Verbindung beider Gleichungen ergibt die brachystochrone Curve.
Zusatz 2. §. 673. Wie auch der XVidersfand heschaffen seiii mag, so wird stets
= -^ " 2 ■
Hieraus findet man leicht die Geschwindigkeit auf der braehy- stochronen Curve. Man kann auch statt der Gleichung die Proportion setzen
1: N^'k-r: ., welche sich ohne Mühe in Worten ausdrücken lässt. Anmerkung, §. 676. Eben diese Proportion Ondet bei der freien Bewe- gung geworfener Körper statt, indem auch liir diese die Ceu- frifugalkraft der Normalkraft gleich ist. Der Unterschied be- steht aber darin, dass hei der freien Bewegung die Richtungen beider Kräfte einander entgegengesetzt sind, wfihrend sie auf den brachystochronen Curven zusammenfallen. Oder es fallen bei der freien Bewegung die Richtungen des Krümmungshalb- messers r und der Normalkraft N zusammen, in den brachy- stochronen Curven aber sind sie einander entgegengesetzt.
ds^ Desshalb haben wir hier r = ^ .,- angenommen, wahrend
bei der freien Bewegung . = - ^^ war.
Znsatz 3. §. 677. Da aus der Formel des Brach ystochronismus die Gleichung
y Google
mif einer ffegedenen Linie im widerstehenden Miitel. 33!»
folgt so evhalt man, wenn man diesen VVerlli von 11 fiberali in die andere (ileichung
dv = (T ~ R) ds substituirt, eine Gleichung, welche die Nulur der braehysfo- clironen Curve ausdruckt.
Zusatz i. §. 678. In einem beliebigen widerstehenden Mittel nnd bei beliebigen, den Kürper antreibenden , Kräften werden daher alle diejenigen Curven, auf denen der ganze Druck, welchen sie auszuhallen haben, doppelt so gross ist, als entweder die Oenfrilugalkraft oder die aus der Zerlegung der antreibenden Krüfte hervorgehende Nornialkraft, brachystochrone Curven sein.
Satz 77. Aufgabe. S- 679. (Figur 91.). In einem gleichfönnlgen Mittel, wel- ches in einem beliebig vielfachen Verhältidss der Geschwindig- keiten widersteht und unter der Einwirkung einer gleichförmi- gen und abwärts gerichteten absoluten Kraft, soll man die brachystochrone Oiirve-.4JI7 bestimmen, auf welcher ein Kürper am schnellsten von A bis M herabsteigen wird. AntlBsung. Es sei auf der vertikalen Axe die Abscisse AP =; jr, die ihr entspreche Tide Ordinate PM — «/ und der Bogen der ge- suchten Curve oder AM = s; ferner sollen o, v und — in der frühem Bedeutung genommen werden. Unter diesen Vor- aussetzungen ist die Normalkraft = ^J^, welcher die Cenfri-
fugalkraft — =; TT (§■ ^'^^■) g''^'«^'' seiji rauss, viiraus-
setzt, dass dx als constant angenommen werde. Aus der Gleichung
ffdy _ '2vdxfldy
y Google
336 Kapitel ill. Von der Bewegunfj eines Punktes oder weil dsdds =: dyddy ist,
'Idxdds Aus der letzten (ileichuHg erhiilt man durch Differentation
, (fd/tp-dds; , gdsdyddy fjdsdy^dH
2d(rddii dxdils 2da:dds^
gdy^ gd^ gdsdy^iPs
idx dx tdmdds^
Die Grundgleicbung Tür die niedereteigendc Bewegung in dies Mittel ist aber
dv = gdx -
'">ils
und verbindet man beide Gleichungen mit einander, so ergilit sich, indem man auch den Werth von v substititirt :
gdsdy'^dH ^gdy^ ff™rff"+ *f/g°"
'Wxdd^ "5rf^ h»>k'«dx'»dd^'
ds.dH — Zdds^
hlf"+^dy^"
~ ^&"'dx'"—^dds'"
welche Gleichung die Natur der gesuchten Curve ausdrückt. Um dieselbe zu reduciren und zur Gonstruction geeignet zu machen, setzen wir ds = pdx, also tly = da: V^p^ — 1, dds = dp.dx und rf^jf = dxddp. Substituirt man diese Wertbe in die vorstehende Gleichung, so geht sie über in
pdd.p — Zdp"^
gm- lpm+ ^dX^ip^ — 1)"*— '
Nun sei ferner da: = r/dp, woraus ddx - oder
folgt. Substituirt man diese Werthe in die letzte Gleichnng, so erhält man
pdpdq „ , „ _ ffm - l^m+ lqmUpm(p^ -^ l)m-l
—^ '^'^P i^-xU-dp"^
oder
_ pt^g + Sqdp g™—^p"'+^dp(p^—l)"'-^
^+1 s-'-iÄ"'
yGoosle
mif einer get/cbenen Linie im toidersteh enden Mittel. 337
Um die linke Seife dieser Gleichiinn infegrabel zu niathen, mulHplicire man mit wp — *"—^, Hodurch maii erhült;
__ ml/'" - ^/> - ^^dp(p^ — I)"* - ^
unil neun man inlegrirt;
ivo P eine gewisse Function von p und gegeben sein iv wenigstens nenn man die Quadraturen angibt. Unter die Voraussetzungen haben wir
p^tj = P, q = - ,
ferner, iveil dx — ijdp \a\.
'=/??^"=/^-'=/-
Hieraus ergibt sich die Consfructioii der bratbystochronen Curve, Zusatz I. §. 6Sfl. Es sei A der Punkt, in welchem die Bewegung ihren Anfang nimmt und die Geschwindigkeit = 0 ist. Hier hat man also
. = 0 odcrf;-^'^ = 0, Ma:dds
wovans dy = 0 folgt, weil ds nicht = 0 werden kann. In die- sem Punkte hat die Curve daher eine vertikale Tangente. Zusatz 2.
§. 6ÖI. Da im Anfangspunkt die Bewegung im widerste- henden Mittel von der im leeren Räume nicht verschieden ist, so wird der Anfangspunkt A der Curve AM von der Spitze einer Cycloide, welche die brathystochrone Curve im leeren Räume ist, nicht abweichen. Im Punkte A wird also nicht nur eine rertikale Tangente stattfinden, sondern auch der Krüm- mungshalbmesser unendlich Idein sein. Zusatz 3.
§. 082. Da im Punkt A, dij = 0 und allgemein dy = dx \ p^ — 1 ist, so wird in demselben Punkte
,, = 1.
liulor's Mevlianik. II. 'i'i
y Google
338 KnpiUl HI. Von tler Beweffuny eines Punkh's
Aus der gegebenen Gonstruction der Cnvve erhält man datier den Punkt A, indem man p = 1 setzt. Jeue Integrale müssen dalier so genommen werden, dass für p — 1, x, y und s ver-
Zusatz 4. §. 683. Da V = ;?f~^, «ü wird, wegen f/s ^ prfa; uml dds = dpdx,
-2dp und weil dx = (/dp,
_ f/pr/(jfi- 1) __^ fll^JP^-zll 2 2>2
Hieraus ersielit man, dass v verscliwiridet. "cnii p = 1 nird. Zusatz 5. §. 684. Im linliehigen Punkt M ist der Krümm ungshall»-
rfx . ddy dx . dds Da aber ds = pdj:, so wird
r — ' /^-. . - =p^q\ p^ — 1^ ■ / — — .
Im Punkt ^, wo p =^ i ist, wird dalier i- = 0. Znsatz 6. g. 683. Es sei ß derjenige Punkt dei brachystocJironen Curve, in welchem die Tangente horizontal ist. dort wird also rfy =; ao , mithin auch /» = » . Man flndet demnach den Punkt B, indem man p ;= cc set/.t und es wird in demselben
Beispiel 1. §. 686. Setzen wir den Widerstand verschivindend klein,
so dass die Bewegung im leeren Räume vor sich geht, so wird Ä =. 00 , mithin
d^.dh - Sdds''^ 0. Dlvidiren wir diese Gleichung durch dsddn und integriren, so ergibt sich
log ddü— 3 log ds = lüg C,
yGoosle
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 339 oder
dc/s ] __ dx
(Is^ adx adx'^' weil dx consfanf ist. Integriit man iliese Gleichung aufs neue, so ergibt sich
--L~ ^ 4. r
Ms^~adx'^ '^ '
oder wenn man die Constaoten verändert und du ^ pd.x setzt,
- « =^,% + C/)2;
also da liir p ~ ] , a: := 0 werdea niuss.
V«
lieh der Cycloide angehört.
Beispiel 2. §. 687, Es widerstehe das Mitte! im doppelten VerhEJltniss der Geschwindiekeiten ; alsdann ist m = \, — / -^=: ^i^ also
P kp
P — '•!'' — "J^_ ' C/<p — i , 7cp~a'
indem man C = - setzt. Wir erhalten demnach
oder
i Ap — a /ids — adä;
weil ds — pdx ist. Wir haben daher feroer
i/c—a) ekh^=fids — afla: und wenn man integrirt,
Ä (A — ») e^ — As — ax + k (k - a). Eliminii't man nun aus den zwei letzten Gleichungen die Ex ponentialfudction , so erhält man
y Google
340 Kapitel 111- Von der Beweffung eines Punktes
ksds — axds — ahds + akdx = 0. Wollen wir aber die Exponentialfunclion durch eine Reihe aus- drücken, so wird
k (k ~ a) e^ — fc (k — a) = k {k — a)
^ If + OTP + i7i:wrk^ + 1.2.3.4.P ^**i
und wenn man diese Reihe eubstitnirt und reducirt
In dem beliebigen Punkte M wird
2p3 ^lp{kp — o)
(Figur 940- Im Punkt Jff, in welchem die Tangente der Curve horizontal wird, hat man p = cß und daher
. = Alog(,4-J = ^^/B,J=pA_
und
x= AD= - k+ ^^- log ^^i-J .
Verlängert man nun die Curve über B hinaus, so findet man die Natur der so entstehenden Curve BNC, indem man auf der Äse BQ die Ahscisse BQ ::;: t und den zugehörigen Bogen BN = i setzt- Unter diesen Voraussetzungen wird
AP=x=AD~t=-k--t + ^\og (~A
und
AM]y^s:=:AMB +BN—z + /f\ag (j^Y.
—k~a- • Substituirt man diese Wertbe in die obigen Gleichungen, erhält man
Hieraus folgt
at = k'^e^ — 1) — Äi,
yGoosle
auf einer gegebenen Linie im widerstehettdcn Mittel. 341 oder, durch eine Reihe ausgedrüclit,
als Gleichung der Cnrve BNC. Für den Zweig BMA, in wei- chem der Bogen BM liegt, wird aber t negativ und ilaher die entsprechende Gleichung
"' ~ O ~ r^TsTA "•" r.2.3.4.Ä2 ^ ^*''"
=^ ÄV^"^ — 1)+Ai. Die Curve BNC wird chenfalU in einem Punkt C eine verti- kale Tangente haben und man fmdet diesen Punkt, indem man dl = dt setzt. Auf diese Weise erhält man
Ferner wird i = CE = k
- k oder I = k log (~4-^) ^ •BA^6' .
«3
Hieraus ersieht man, dass der Punkt A höher Hegt, als der Punkt C und dass die Curve an beiden Orten Siützen oder Rück kehr punkte hat, und zwar so, dass so wohl AD als CE Durchmesser der Curve sind. Das letztere ersieht man dar- aus, dass
Holil positiv, als audi negativ genoiumen
Anmcrtung 1. §. 688. Unten wird man sehen, dass diese brach ystochrone Curve mit der tautochronen , unter der Voraussetzung desselben Widerstandes, übereinstimme. Es findet aber zwischen den tautochronen und brachystochronen Bewegungen der Unterschied statt, dass, um den Tautochron Ismus zu erhalten, der Kürper auf dem Zweige CNB nieder- und auf dem andern aufsteigen muss, da Im Gegentheil für den Brachystochroniamus die her- absteigende Bewegung auf AMB stattzufinden hat. Indessen
y Google
342 Kapitel III. Von der Bewegung eme^i Punktes
scheint diese UebereiDStimDuing heider Curven der Äufmerlf- samlieit wfirdig zu sein, da man dieselbe auch im leeren Räume wahrnimmt.
Beispiel 3, 5. 689. Es widerstehe das Mittel im vierfachen Verhält- niss der Geschwindigkeiten, so dass m ^ 2 wird. Wir halien daher für die gesuchte Curve die Gleichung
2Ä*rfa:
Zur Construction der Curve haben wir
P^ k^J p* V fllp^— 3Mp2 Ij- „I
femer
J pVÖip*'-^.
t/ V ffip* — 3k/)' + np\ tJ p\ g\p* — Znp'
und
^-J\
käpyrinip"^ - 1)
/>V ,9tp*-— 3m^3 _^ „y,]
Man erhält also die Construction dieser Curve allgemein. Da aber n eine beliebige Zahl bezeichnet, so setze man ti = y^, alsdann wird
_ p kdpyf^ _2/tV3(2p— 1) p
t/ pSf <!■'*/ ^p"^ — p ^yp
und da für p = 1, 1/ = 0 wird, allgemein ^ 2/cV^Ü(2p-l) 2/iV-T
Setzt man p ^ .., so wird y ^ öß = ^^-<^^" ^, fer-
I2Ä2_4%V"3ff--£-»,*
. <i»
y^96A9)/ V%— 24.9AV— 89%3V"39 - 5^" ~ ~]2Ä«— 4%V"3ff — ot'^ '
also
y Google
=/v
ner gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 343
Uiess ist die Gleicliurit; Äwisfihen den Conrdinaten x und y, i'ür die gesuchte Curve.
Änmerkuiig 2.
g. 690. In einem Mittel, welches im eirjfachen Verhälttiij^s der Geschwindigkeiten widersteht, kann man die brachysio- chrone Curve nicht einfacher bestimmen, als wie sie sich sogleich aus der allgemeinen Construction er^bt; daher haben wir die- sen Fall des Widerstandes nicht in einem Beispieleausgefuhrt. Was aber die Übrigen hieher gehörigen Aufgaben betrifft, in denen man die Cuive sucht, auf welcher ein niedersteigender Kiirper am schnellsten zu einer gegebenen geraden oder kaim- men Linie gelange; so werden sie anf ahnliche Weise für ein ividersteliendes Mittel, als für den leeren Raum aufgelöst. Aus dem Punkt A gehen nämlich unzählige brachystochrone Curven aus und von ihnen muss man diejenige auswählen, welche die gegebene Linie unter einem rechten Winkel schnei- det; duss nämlich der Körper auf ihr am schnellsten zur letz- tern Linie gelange, ist im vorhergehenden Kapitel bewiesen worden. Aus einem ähnlichen Grunde schneidet diejenige Curve, welche alle brachystochrone Curven nnter rechten Win- keln trifft, von allen isochrone, d. h. solche Bogen ab, welche der niedersteigende Körper in gleichen Zeiten durchläuft. Alles dieses verhält sich anf dieselbe Weise, wie auch der Wider- stand und die absoluten Kräfte beschaffen sein mögen. Wir wollen nun aber diejenige Aufgabe entwickeln, in welcher die Lehre von den brachystochronen Corven ganz allgemein auf- gefasst ist.
Satz 78. Aufgabe.
§. 691. (Figur 95.). In einem beliebigen widerstehenden Mittel und bei beliebigen antreibenden Kräften, soll man die brachystochrone Curve .dJi/ bestimmen, auf welcher ein Körper beim Nicdcrsteigen am schnellsten von A nach M gelange.
y Google
344 Kapitel III. Von der Bewegung eines Punktes
Auflösung. Es sei A tler Anfangspunkt der Bewegung, durch ihn die beliebige gerade Linie AP als Axe gezogen und AP — x, PM = y und AM — s. Ferner sei V^i^ die Gescbwindigkeif des Körpers im Punkt M nnd R der, belieljtg von ihr abhän- gende, Widerstand. Welche absolute Kräfte nun auch auf deu Körper einwirken mögen, so kann man an ihre Stelle doch immer zwei Kräfte substiluiren, die eine = P, längs ML und parallel mit AP, und die andere = Q, IKngs MN und normal auf AP wirkend. Aus diesen Kräften erhält man die Gleichung
dv = Pdj: + Qdy — Bds. Nach der Natur des ßrachystochronisnius haben wir 2v ^vdxddy _ Pdy — Qdx ,g „-, .
wo r den nach oben gerichteten Krümmungshalbmesser der Curve im Punkt M bezeichne! , fiir welchen wir also, dw als
constant angenommen, r ^= + — — t-v~ gesetzt haben, Aa man
sonst »■=:; — -7^4-,— hätte annehmen müssen. Aus obigen bei-
dxday den Gieichungen erhält man, indem man v eüminirt, die ge- suchte Gleichung der brachystochronen Curve. Es ist nämlich — Pdyd^— Qdxds^ idxddi/ welchen Werfli von v man in ß, so wie sein Differential in die andere Gleichung subsHtuiren muss, um die Gleichung der gesuchten Curve zu erhallen.
Zusatit ]. §. 692. Die Gleichung der Curve wird, wenn man auf die angegebene Weise v eliminirt, eine Differentialgleichung vom dritten Grade. Wendet man daher auf diese eine dreimalige Integration an, so kann man auch drei Constanten hinzufSgen und dailurch bewirken, dass a:, y, s und i; zugleich verschwin- den und dass ausserdem die Curve durch einen gegebenen Punkt sehe.
^ Zusatz 2.
§. 693. Da also immer eine brachystochrone Curve darge- stellt werden kann, deren Anfangsinrnkf in A liegt und welche durch einen gegebenen Punkt geht; so kann man vom Punkt A aus unzahlige brachystochrone Curven ziehen.
y Google
r gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 345
§. 694. Ist die Gleichung der brach ystochronen Curve ADl gefunden, so kennt man auch die Geschwindigkeit des auf ihr
|
herabsteigenden |
Körpers |
in den einzelnen Pu |
nkten. |
indem |
|
|
Pdyds^—Qdxds^ |
|||||
|
Mxddy |
|||||
|
ist. |
Zusatz 4. |
||||
|
§. 695. Ist |
die Ge^ |
fchwindigkeit gegeben, so |
I kann |
durch sie die Zeit bestimmen, in welcher der Kürper den Bo- gen AM suröfiklegt , indem dieselbe
=/Ä=/
V^dxd(h/_
V-ü J ^Pdy~Qdx wird, welchen Werf h mau, da bereits eine Gleichling zwischen X und y gefunden ist, wenigstens durch Quadraturen darstellen kann.
Zusatz 5. §. 696. Wenn daher diejenige Curve zu finden wäre, wel- che alle von A aus gezogene brachystochrone Curven unter rechten Winkeln durchschneiden soll; so würde man die Con- etruction dieser Linie erhalten, indem man von allen
/-:
Sfidxddy
\fPdy—Qdx
gleich gross abschnitte. Auf diese Weise werden nämlich von diesen unzähligen Curven isochrone Bogen abgeschnitten, welche, weil alle Curven brachystochrone sind, an einer sie rechtwinklig durchschneidenden Curve enden werden. Beispiel. g. 097. Es sei der Widerstand den Quadcaten der Ge- schwindigkeiten proportional und sein beliebig veränderlicher
Exponent = q, alsdann ist B = — und da nun dv = Pdx -f- Qdi] — ^^; so wird, wenn man integrirf,
v.e/?= CxPdx -^ QdiA.ef <! .
■.J'\Pdx+ Qd>/).i
Da aber . = j^]- Qäxds^
idxddi/
y Google
34G Kapitel I/l. Von der Ueweffuiif/ eines PuiiJäes
■■idxddy r\Pdx + Qd-y\ eJ ?= eJ ~v .ds^ {Pdy — Qd.v\,
in welcher v nicht mehr enthalten ist. Diese Gleichung wird jedoch, wenn man die Integralzeichen durch Differentiation fort- schafft, eine Differentialgleichung vom dritten Grade. Ausser- dem verhindern die unbestimmten Werthe von P, Q und g, dass man sie zur Construction vorbereite. Anmerkung.
§. 698. Dasjenige, was wir hier aus den zwei Kräften P und Q, in Bezug auf die hraehystochronen Curven, ahgeleitet hahen, erstreckt sich sehr weit. Wie viele Kräfte nämlich auch den Körper antrcihen mögen, so kann man sie stets in zwei dieser Art zerlegen; vorausgesetzt, dass sich nur ihre Richtungen alle in derselben Ebene befinden. In diesem Satze sind daher auch die brach ystnchronen Cuiven , unter jeder be- liebigen Voraussetzung von Centripetalkräften , enthalten; wir werden aber dieselben, weil eich weder elegante noch con- struii'bare Gleichungen ergeben, nicht weiter verfolgen. Indem wir daher diese Untersuchungen, bei denen ein gewisses Ge- setz der Geschwindigkeiten vorgeschrieben ist, verlassen, gehen wir zu den folgenden Untersuchungen iiher, in denen wir Cur- ven suchen, welche durch den, auf ihnen sich bewegenden, Körper einen gegebenen Druck zu erleiden haben, Satz 79. Aufgabe.
§. 699. (Figur 96.)- Unter der Voraussetzung der gleich- formigen Schwere und eines gleichförmigen Mittels, welches in einem beliebigen Verhältnis» der Geschwindigkeiten wider- steht, soll man dieCurve des gleichen Drucks AM, d. h. die- jenige Curve bestimmen, welche durch einen auf ihr herab- steigenden Körper überall gleich stark gedrückt wird, Auflösung.
Es sei AP = X, PM = y, AM = s und v, r/ nebst
^ in der frühern Bedeutung genommen. Während daher der
Körper über das Element Mm fortschreitet, wird
dv =^ gdx——. — - .
Setzen wir voraus, die Curve sei nach unten zu convex, so dass MR die Richtung des Krümmungshalbmessers ist; so
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 347
wird itfß =: r = -i=^n- . dw als cohstant vorausgesetzt. Die
dxddif Uichtiing der Centrilugal kraft wird daher auf der Normalen i^iV
liegen .nd ihre Grösse ist =^ = ?^^. In derselben Richtung erleidet aber die Cutve einen Druck durch eine Nor- malkraft, welche aus der Verlegung der Kraft ML ^ g ent- springt und =^1 ist. Die ganze Kraft, welche längs MN einen Druck gegen die Curve ausübt, ist daher = SJJ. + "^^d^f-il „„d da sie constant sein soll. kJinnen wir sie = ag setzen. Hieraus ergibt sich die Gleichung
agds^ = gdyds'^ + ^vda^ddy oder v = "-'^^^l^— -
Es sei nun ds =■ pdx , also dy = dx^p^ — l und ddy = pdpdx , ^i^^^^i, ei-hiin ^a„ durch Substitution dieser Werthe "ipi—l '
|
Uffjl^llx^- |
-gib'p'Vp'- |
-1 |
|
|
2.1 |
Vy»-1 |
||
|
«w- |
'rf.^Vp=- |
-i—Späx^p^- |
-1) |
2d.p
Es sei ferner dx = ^gdp, wodurch wir
1; = gpq[ap\p^ — l — p^-f-1) =^ I*.f/ erhalten, wenn gp {«pVp^ — l- p^ +1] = P gesol.zl "ir.l Es wird demnach
dv — Pdq-VqdP, v"' = P-'q"', und wenn man diese Werthe in die Gleichung dv ^ gd^ - V^^ substitiiirt,
Pdq -V qdP = t,dx - — ^^" '- .
Es ist aber dx = ^dp und ds = pdx = '2pi/dp, also, weil man diese Werthe substiluirl.
y Google
348 Kapitel IJl. Von der Bewegung eines Punktet
welche Gleichung nur die zwei Veränderlichen p und q ent- hält, indem P durch p gegeben ist. Um diese Gleichung zu consfruiren, setze man
wodurch mau loicht erhält
, , 'hngudp 2mpdp
Multplicirt man diese Gleichung mit e "^ ^ und integriri,
2wie ^-^ P pe ^^ ^ .pdp " A" ./ P
Hieraus findet mau u durch p itusgedrückt und nachdem ni dasselbe bestimmt hat, wird
-^ P.u- *^ PJ
Da aber P = gp{apV^p^ — 1 — ;)^ + l| ist, so wird
ff(ip_ dp dp^ ^ (1 — ftgjrfp^
P p aVp^^^ «2jO— «V"i»^— 1
nnde^"'^-^ '^=p^'"(p—Vp'^--l) " .(ap~'Vp'^~l) - . Es ist ferner
'^'f.pdp_p.,'-fi 1 /■„■™/4
also wird
y Google
mf einer (jegehenen Linie
1 widerstehenden Mittel. 349
jp^ip—Vp'^—l)
(ap-
<jk'«p^"(pS/p'^~\) - (np — \ p^ — 1) Da min ilso auf «liesfi Weise u ina p finden kii n «o wird die Constiucfim der gefuthten tune aasfilirbir aem
Zusitz 1 S "00 Die gefundene Curve n rd dther die Ti^enschaft haben dass mb in jedem Punkte T/ m der Richtunir IHN, durch eine cnnstante Krift eg einen Druck erleidet n elcher skh 7ur hchn erkrafl ML = g nie b 1 verhiit Zusitz 2 ^ "Ol Nimmt man a nesitn in h,a ei le det die Curve üheiall, m dei der \orhergehei den entgegengesetzten Richtung MR einen gleichen Druck In diesem Falle niuss daher die Cur*e nach unten zu cotcat sem weil die CentrifugalLraft der Normalkraft entgegengesetzt ut d ^r sser als die'-e sein miiss, deren Kithtang immer auf JüTiV lie-,t Zusatz 3 Ist u ^ 0, BO ergibt sich i gar keinen Druck ausübt, reiche ein geworfener Kürpi
%■ 702. der Körper diejenige, w beschreibt.
703.
ine Curve, auf welche Diese Curve ist aber r bei freier Bewegung
itz 4
: I, oder der gir die Curve überall nach unten z
Normalkraft überallj ausgenommen wenn ds ~ dg, kleiner als n ist, SO muss die Centnfugalkraft mit ihr zusammenwirken; es muss daher der Krümmungshalbmesser auf die, il/i\ ent- gegengesetzte, Seite fallen
■ Druck = i II Lx sein Da i
dt -
pit
Man erhält daher eine hosondere Auflösung, weil die Unbe-
y Google
350 Kapitel III. Von der Betvegimg eines Punktes
stimmten in diesev Gleichung von einander getrennt sind, in- dem man P :^ 0 setzt. Wir haben daher
gplap\^p^ — 1— jö^ + l} 4= 0 oder ap = V"^^ — 1,
d. h. -^ = -^ UDd wenn man integriit us — y. dx dx fa j
Diess ist die Gleichung einer geraden Linie, welche mit der Vertikalen AP einen Winkel bildet, dessen Sinus = c ist. In diesem Falle wird die Cenfcifugalkraft =0 imd die Normal- kraft ^ ug.
Beispiel. §. 705. Es sei K ^= 1 oder man suche diejenige Curve, welche überall durch die Kraft g einen Druck erleidet. In die- sem Falte wird die Integration einfacher, indem
= ip'^^-p^f2>^—lf'".
Wir erhalten daher
""^ W" ak'«\p^-{-pVp^^-i\->-» '
welche Gleichung eine Integration zulässt, so oft 2w eine ganze Zahl ist. Setzt man nämlich p^ +p V"]?^^ = ^^4^' ^'^ "'"''' « = ■''..T— , ilp=^ -^—7= är und
r + 1
1 f{r~\){r-\-lf"'dr
Es ist aber unter dieser Annahme
r — ip^—l^^p^fp^—l oder VT=p+ V/'^— 1. Ist daher etwa m ^^ g, oder der Widerstand den Geschn digkeiten proportional , so wird
„ — .jLtL !™-_^ r(r'-i)_dT
lg Vir is(r + l)\rij rVi-
~J1±L 1 -„ ^
2,Vfc 4j(,+ i)\^i ^!'"*^'' + *^; + ''i
y Google
auf einer gegebenen Linii: im idderstehenden Mittel. 351 oder wenn man 4/3 statt ß sefat,
" 35(r+I)VÄ Setzt man nun statt r wieder seinen clincli p ausgeiliifckteii Werth, so wild
„ p' + l+p Vp"-
VVA 3//(p2_J.;;V^,-2-_])V"A ■
Es sei /S = 0, alsdann wird
«nd da /* = ffpip — '^'^-^i) V]^-^,
Anmerkung. %. 706. Eine ähnlicbe Integration der Formel, weicher u gleich ist, erhält man auch, wenn k 3= — 1 ist, in welchem Falle sich eine nach unten concave Curve ergiht, auf welcher die CenfrifugaJkraft der Normalkraft entgegengesetzt imd gi'Üs- ser als diese ist, indem ihr Unterschied j/ beträgt. Es ergibt sich aber ferner ganz dieselbe Gleichung, als wenn k^I ist, ausgenommen dass ^fp^—\ das entgegensetzte Zeichen liat. Was die übrigen hieher gehörigen Aufgaben betrifft, in denen man andere Gesetze des Druckes voraussetzt; so führen sie entweder zu sehr verwickelten Rechnungen oder sind bereits behandelt worden. Wir haben nämlich gesehen, dass die Cur- ven, auf denen der ganze Druck doppelt so gross ist, als entweder die Centrifugal- oder die Normalkraft allein, brachy- stocbrone sind. Ferner haben wir Curven, auf denen ein an- deres Verhältniss stattfindet, bereits oben behandelt, als wir solche Curven suchten, auf denen die Bewegung so wenig als möglich beschleunigt werde. Es folgt daher, dass wir nun zur Aufsnchung von Curven übergehen, auf denen mehrere ver- schiedene auf- und nied ersteigen de Bewegungen ein gegebenes Gesetz unter sich befolgen, welche ünterMuchungen mit bedeu- tender SchH'ierigkeif verknüpft sind.
y Google
a32 Kapitel 11/. Von der Bewef/avg eines Punkten
Um derartige Aufgaben zu lüsen, müssen wir nämlich die Geschwindigkeit des KOcpers in den einzelnen Orten durch Grössen ausdrücken können, welche die Natur der Curve be- stimmen. Diess kann aber, wie wir oben bemerkt haben, nicht bei jedem vorausgesetzten Widerstände geschehen; es lassen sich daher solche Aufgaben nur unter besondem Voraussetzun- gen des Widerstandes auflüsen. Vorzugsweise hat man aber diese Behandlung dem Widerstände, welcher dem Quadrat der Geschwindigkeit proportional ist, anzupassen; weil in diesem Falle die Grundgleicfaung durch welche die Geschwindigkeit bestimmt wird, eine Trennung der Veränderlichen zdfisst und die Geschwindigkeit seihst dargestellt werden kann. Hierauf kann man auch den Widerstand betrachten, welcher dem Bi- quadrat der Geschwindigknit proportional ist, da man unter dieser Voraussetzung die Geschwindigkeit auf eine gewisse Weise kennen lernt. Endlich werden, wie auch das Gesetz des Widerstandes beschaffen sein mag, wenn dieser nur sehr gering ist, derartige Untersuchungen leichter durchzufuhren sein. Bei diesen Aufgaben sucht man aber entweder das Ver- hältniss der Geschwindigkeiten, welche bei verschiedenen nie- dersteigenden Bewegungen auf derselben Curve erlangt werden, oder das Verhältniss der Zeiten, in denen verschiedene nieder- oder aufsteigende Bewegungen ausgeführt werden. In beiden Fällen hat man aus dem gegebenen Verhältniss entweder der Zeiten, oder der bei verschiedenen niedersteigenden Bewegun- gen erlangten Geschwindigkeiten die Cuvven selbst zu suchen. Satz 80. Aufgabe.
g. 707. (Figur 97.). In einem gleichförmigen Mittel, wel- ches im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten wider- steht und bei einer abwärts gerichteten absoluten Kraft, soll man die Geschwindigkeiten im Punkt A mit einander verglei- chen, welche ein Körper bei verschiedenen niedersteigenden Bewegungen auf der Curve MA erlangt. Auflösung.
Es sei die Geschwindigkeit im Punkt A, welche ein Kör- per bei Einer niedersteigenden Bewegung erlangt, = V ö und im Punkt M = V"t7. Man setze AP = x, AM = s, die im Punkt M antreibende und beliebig veränderliche Kraft = P und den Exponenten des Widerstandes =:/i. Unter diesen Vor- t haben wir die Gleichung
y Google
auf einer gegebenen Linie im vndersiekenden Mittel. 353
und wenn man integrirt,
i,.e~*= C-^T'^Pdic.
Nimmt man das Integral /e ^Pdx so an, dass es für ar = 0, s r^ 0 «nd V ^^ h verschwinde, so wird vollständig
v=:=e'^ib-~fe~ipda:).
Es sei mm M der Anfangspunkt der nie<l ersteigen den Bewe- gung, wo also i; — 0 ist, alsdann findet man diesen Punkt aus der Gleichung
^-'
Päx.
Nun setze man voraus , dass die niedersteigende Bewegung in einem andern, M sehr nahe liegenden, Punkte m anfange und dass alsdann die in A erlangte Geschwindigkeit = V 6 +dö sei. Wir haben dann
-/-
b-\-d/>= je f'Pd.r.
d. h. gleich der Summe aller e ^ Pdx von A bis m, wiihvend in der vorhergehenden Gleichung je ^Pdx die Summe aller Differentiale voh A bis M liezeichnef. Jene Summe übertrifft
daher diese um das letzte Element e"^ Pdx, wenn A3I = n und Pp = dx gesetzt wird. Es wird daher
ans welcher Gleichung sich eine Relation zwischen dem beim Niedersteigen durchlaufenen ßogen MA und der im untersten Punkt A erlangten Geschwindigkeit ergibt.
Zusatz 1. §. 708. Ist daher der Bogen der niedersteigendon Bewe- gung AM = s gegeben, so wird die im Punkt A erlangte Ge- schwindigkeit
Euters Mechnnik. II. 23
y Google
3i54 KapHel III. Von der Jleivef/mii/ eines Pun/des
=vy>
Wird aber der Punkt M und die Gescliwindigkeit in A als veiSndeilich angesehen, so findet zwisclien ihnen die Glei chung statt
Zusatz 2.
§. 709. Alis dieser Gleichung erhält man also, wenn ir- gend ein Verhiiltniss zwischen den Bogen der niedersteisen- den Bewegung und den im Punkt A erlangten Geschwindigkei- ten gegeben ist, eine Gleichung für die Curve AM, welche der aufgestellten Bedingung Genüge leistet. Zusatz 3.
§. 710. Wenn das Mittel nicht gleicbfiiniiig, sondern be- liebig ungleichturmig und sein Exponent :^q wKre, so würden wir statt der (iblgen Gleichung die folgende erhalten haben:
db=e "' B.Pffe, welche man auf ähnliche Weise benutzt. Zusatz 4. §. 711. Da c = 2,718218284..., also e>l ist, so wird
ei oder aucb e *<1 und daher
Im leeren Eanme würde aber d(i ^= Pdx sein. Anmerkung I. %. 712. Auf ähnliche Weise verhalt sich die Sache bei der aufsteigenden Bewegung, wenn nümlich der Körper mit der Geschwindigkeit V"6 vom Punkt A aus durch den Bogen AM = s emporsteigt. Alsdann wird im gleichförmigen Mittel
d!>::=e^.Pd,c und im ungleichfOrniigen
d(,=:e-^ IPdx. Diese Gleichungen werden aus den vorhergehenden, für die niedersteigeude Bewegung geltenden, abgeleitet, indem man darin ~s statt + * setzt, durch welche Substitutioji stets die
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 333
niedersteigeode Bewegung in eine aufsteigende verwandelt wird. So wie nun für die ersfero stets db<,Pdx war, wird für die letztere immer
db > Pd.r.
si'in, weil e^ oder aueli e'' 'i "> l ist.
g. 713. In einem nidersteh enden Mittel kann dal für die auf- riocli für die niedersteigende Bewegung
=/""
Pdx seio. Im letzteren Falle
und eben so wenig b =: a i
müsste nämlich e^ = c oder s ^ A log 0 = Const. sein, in welcher Gleichung keine Linie mehr enthalten wäre. Zusatz 6. g, 714. Man kann auch keine Curve finden, für welche hei der nieder- oder aufsteigenden Bewegung b = JQda^ wäre, v/o Q eine beliebige Function von s und x bezeichnet; es niiisste denn fär a^ = Ü und * = 0
Q _
P-'
Es wird nämlich Q ■■
-. e^-' 1 .P und für s=Q, e-'' 1
§. 71S. Der Grund hiervon liegt darin, dass für x — ü, s verschwinden soll und es muss daher
db = e^ 1 Pdx
so integilrt iverden, dass es für ;c =: 0 verschwinde. Wiid aber b so gegehen, dass db durch <?^ ausgedrückt ist, so kann die Gleichung durch dx divldirt werden. Man kann sie dwher diesem Gesetze nicht anpassen, wenn sie nicht zufällig schon von freien Stücken diese Eigenschaft besitzt. Wäre aber der gegebene Werth von b so beschaffen, dass man hiitte
db = Rds oder b ~ fhds.
"ß"
y Google
356 Kapitel HI. Von der Bewegung eines Punktes
wo fi (lir Ä = 0 veiscliwiinlet ; so wiiiile die Gleichung der ge- suctiten Ciivve sein:
Rds = e-"^ ü .Pd.r, welche stets einer reellen Ciirve angehört, wenn nur JRiU po- sitiv wird und di'^dx oder e'"^ i .P^R daraus hervorgeht. Beispiel 1, §. 710. Es sei die antreibende Kraft gleichförmig oder P = g und das widerstehende Mittel anch gleichförmig; man sucht die Curve MA, welche die Eigenschaft hat, dass ein Körper |jei den einzelnen niedersteigenden Bewegungen auf der- selhen bis zum Punkt A Geschwindigkeiten erlange, welche im halben Verhältniss der durchiaufenen Bogen stehen. Es wird demnach V^d proportional V* , oder Ä = as, ads ^ d/i =
ge ^dx oder
ii^ ds ^^ gdx. Integrirt man diese Gleichung, indem man eine Constaute unter der Beilinguiig, dass für .^ = 0 auch s = Q werde, hinzufugt; so erhält man
C^ÄCJ- i) = gx oder ^-^^^
u»d j = [•)g(c'Ä + g.v) — \og,i/t.
Differetitiiit man diese Gleichung, so erhiilt man die folgende
dl __ gdx
k " ak-\-gx' aus welcher man ersieht, dass die Curve eine Tractorie ist, deren Faden die Länge k hat und welche über der, um —
vom Punkt A abstehenden, horizontalen Basis (Figur 98.) be- schrieben ist. Man construire die Curve auf folgende Weise. üeber der horizontalen Basis CE und mit dem Faden BC'=k beschreibe man die Tractorie ßA und ziehe hierauf, im Ab- Stande DC —. — von CE die horizontale Linicü^; auf diese
.9 Weise wird der Theit BA der Curve der Aufgabe Genüge lei- sten. Wir setzen aber voraus, dass BC vertikal und B der
y Google
auf einer fjegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 357
liUchste Punkt dec Tractorie sei, wesslialb nothnendig c<.g sein miiss. Wäre nämlich a>g, so würde CD';:fCB und da- her der Punkt A imaginär. Wäre c = *;, so würde der Punkt A in B fallen und daher nur ein Punkt Genüge leisten. Wäre K =: 0, so würde der Punkt A unendlit^h weit entfernt sein und der niedersteigende Korper seine ganze Geschwindigkeit verlieren. Da also k<»/ sein muss, so wird
b <.()$.
Beispiel 2. §. 717, (Figur öö.)- l^nter der obigen Voraussetzung des Widerstandes und der antreibenden Kjaft wird eine Curve AMF gesucht, auf welcher alle vom Punkt A anfangenden aufsteigeuden Bewegungen sich so verhalten, dass die ganzen, bei den einzel- nen Bewegungen zurückgelegten. Bogen den Quadraten der Anfangsgeschwindigkeiten in A proportional werden. Wir ha- ben demnach wie vorher
h = an und dft ^ ads. Da aber für die aufsteigende Bewegung, indem man ,v negativ
sel^t, dO = ge^di ist, so hat man
und indem man integrirt
Aus dieser tJleicbung ergibt sicli e * =:: ——,, "i"' 7:
Aus der letzter» Gtelcbung ersiebt man, dass die der Aufgabe Genüge leistende Curve wieder eine Tractorie ist, welche auf der horizontalen Basis CE mittelst eines Fadens von der Länge k construirt ist. Dieselbe ist aber abwärts geneigt und ihre Spitze liegt in B, wenn ßC = k angenommen wird. Man
nehme Co = ~ und ziehe die horizontale Lime DA, alsdann
9 wird A der Punkt sein, in welchem alle aufsteigenden Bewe- gungen anfangen müssen. Man ersieht auch hieraus, dass et nicht grösser als g sein kann, weil sonst der Punkt A imagl-
y Google
35S Kapitel III- Von der Bnwegunii eines Punktet
när werden würde. Ist al)er a ^ g oder 6 = i/s, so l^lit 4 in B und es wird der, bei einer beliebigen aufsteigenden Be- wegung beschriebene, Bogen ^ -.
Anmerkung 3. g. 718. Mehr derartige Beispiele übergehe ich hier, weil sie leicht nach der gefundenen allgemeinen Formel aufgelöst werden können. Auch füge ich keine derartige Untersuchungen (Vir andere Voraussetzungen des Widerstantles, wobei die Auflö- eung muglicb ist, hinzu; theils weil solche Aufgaben noch nicht behandelt worden sind, theils weil sie nicht merkwürdig genug sind, um ihre Auflösung wönschenswerth zu machen. Ich gehe zu werthvöllern Aufgaben über, in denen man taut ochrone Cur- ven sucht, auf welchen alle auf- und nieder steigenden Bewe- gungen in gleiciien Zeiten ausgefJibrt. werden.
Satz 81, Auf g a b e. g. 719. (Figur 07.). Eine gleichfiirinlge Kraft istnach ten gerichtet und ein gl eiell förmiges Mittel widersteht im dop- pelten Verhaltniss der Geschwindigkeiten; ftian soll die tauto- chrone Curve AM finden, auf welcher alle nied erste! gen dei wegungen bis zum Punkt A in gleichen Zeiten ausgeführt werden,
Auflösung. Man betrachte eine beliebige niedersteigendc Bewegung bei welcher der Körper im untersten Punkt A die Gescbwin , AM ^ s, die Go nehme o, k unc
digkeit vT erlangt. Man setze AP - schwindigkeit im Punkt M = Vv j in der frühern Bedeutung an. Unter die gen haben wir
dv = — yda: f ~^-
und wenn man integrirt
, Voraussetzun-
-/-
.ijdx).
wo l e '' fjdx als ftir a" = 0 und « =: 0 verschwindend genom- men wird. Aus dieser Gleichung erhält man den Anfang der
y Google
r gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 359
V := 0 oder /e ''gdx
nied erst eigen de 11 Bewegung, indem man
=: h setzt. Die Zeit, in welcher der Bogen MA durchlaufen wird, erhält man ferner
i-,
\[.-j>
3 sich die Zeit der ganzen niedersteigenden Bewegung , indem man nach der Integration / e ^.gdx = b setzit'.
/-
ird die Zeit der gnnzen niedersteigenden Bewegung du
=/v
indem nach der Integration t ^= b gesetzt wird. Duinil nun dieser Ausdrucli stets denselben Wcrth beibehalte, miiss der- selbe eine Function von b und. ( von der Dimension fr sein, wonach für ( =; 6 das letztere aus der Foimel ver.«ehw!nden wird. Es muss daher du eine Function von t von der Dimen- sion 2 sein, denn von b kann u nicht abhängig sein.. Es ist demnach noth wendig
Au ■^,
wo a eine Constante ist, in welcher b nicht vorkommt. Unter dieser Voraussetzung wird die S^eit Einer ganzen niederstei- genden Bewegung
^ /•* dt^^
welcher Werth stets unverändert derselbe bleibt, wii oder der Anfang der niedersteigenden Bewegung sie möge.
Die gesnchte tautöchronc Curve wird demnach durch die Gleichung
adt ds — ^ ,
du = -~yr=.=^-—=e ™(M,
yGoosle
360 Kapitel III. Von der Beweyung eines Punktes oder ivenn man integtirt,
ä. h. weil für s — 0 auch * = 0 wird, vollständig
2ßV~7= U (l—e~^) oder ( =: ^ (1 -e" ^"'>.
/> __« — - /i
Da nun aber t ■= f e ~^gdx, so wird dt = e ''ffdx = ^ (1 -,
e~^)e~^dx, und setzen wir a^g = a oder ß = Y r- so er- halten wir
atl-e = kie^— 1) ds und wenn wir integriren
Diese Gleichungen genügen zur Oonstruction der Curye, weil die Veränderlichen s miAx von einandergetrennt sind. Wflnaeht man aber eine von den £xponentialfunctionen freie Gleichung zu haben, so erhalten wir aus der einen
und wenn man diesen Werth in die andere substitnirt, axds-^-ksda = 'iakdx. Zusatz 1.
5- 720. Da a =: Y - ist, so wird die Zeit Einer nieder-
steigenden Bewegung = ji ^ — ■ Ifi leeren Räume aher und für die Schwere = 1 haben wir die Zeit der niedersteigenden
wV'27 Bewegung eines Pendeis von der Länge f, = ■ — -~- gefun- den (§. 166.). Es ist daher die Länge des isochronen Pendels
im leeren Eaume — — . ff
Zusatz 2. S- 72!. Wenn daher ?? = 3', 166 Rhelidändisch ist, so
yGoosle
auf einer ge<febene7i Linie im. teiderstc/iendeu Mittel. 361
wird die nie d ersteigende Bewegung in einer halben Secunde erfolgen; es muss also
a = ],5S3.f/ Rhein!. F«ss
Zusatz 3. g. 722. Die der Geschwindigkeit im Punkt M znkommenile Hillie ist
V == e}{lj~ re~^.gda:)=e^ib-t)
nndda( = -?^!Il:^'3:^i.t;sowird
V - J U ■9^-^ (^ - g^ ^'^ ^ ) ^ '^^'^^' ~fßH>!^ ~ 1) '
Zusatz; 4. g. 723. Setzt man n — 0, so ergibt sich der ganze Böge» der niedersteigenden Bewegung aus der Gleichung
Setzt man daher jenen Bogen — /, so hat man
_f_ ah = gk^il~e ^i-)^ »nd es vviril, wenn f gegeben ist,
.„ l _/. _ »
g. 724. Die Gleichung der Curve ax = 2/c2(«2f -!)_/;« geht, weil
.^::= 1 + 4 -l -^j^yi + j_2.3'{2/.)^ + •''*^-
ist, über in
~ 1.2,2^ l.a.3.« '^ 1.2.3.4.84= '
y Google
3(^2 Kapitel III. Von der Beiccfiuno eines i'unfdes
Anmerkung ]. §. 72S, Es ist aiigemessseii hier zu bemerkeii, dass diese Cutve (iHTch eine ähnliehe Gleichung ausgedruckt wird, als die- jenige, durch welche eben die hrachystoclirone Curv« für die aufsteigende Bewegung ausgedrückt wurde. Dort (§. 687.) hat-
"• = O + rfb + TTTWÄii' + "'"■■
welche Gleichung von unserer jetzigen nur darin verschieden ist, (lass wir hier 2a statt des dortigen a und 2£ statt des dortigen^ Ilaben. Die hrachystochroneCurve kann daher auch zurErzengung des Tautochron Ismus eingerichtet werden, indem man den Bogen der aufsteigenden Bewegung der niedersteigenden Bewegung in einem Mittel, dessen Widerstands- Es jjonent halb so gross ist, zutheilt.
Zusatz 0. §. 726. Um die Fortsetzung der Curve MA jenseits A zu finden, muss man s negativ annehmen, wodurch man erhält
' l,a 1.2.3. 2ä
1.2.3.4.4Ä3
Uleselbe Gleichung würden wir aber auch erhalten haben, wenn wir k negativ angenommen hätten. Geschieht diess aber, so wird die niederstetgende Bewegung in eine aufsteigende verwandelt; daher wird die Fortsetzung der Curve jenseits A zur aufstei- genden Bewegung dienen und diese stets in derselben Zeit,
niimlich %\ - ausgeführt werden. ' fl
Zusatz 7. , %. 7'27. (Figur 100.). Dieselbe zusammenhängende Cnrvo BMANC wird daher, so wohl für die nieder- als die aufstei- gende Bewegung; tautochron sein. Auf dem Bogen BMA wer- den nämlich alle niedersteigenden , und auf dem Bogen ANC alle aufsteigenden Bewegungen in derselben Zeit ausgeführt. Alle halben Schwingungen, welche auf dem Bogen BMA an- fangen, werden daher unter sich isochron und es wird die Zeit
Einer halben Schwingung = ijtXI — .
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 363
Zusat« 8. §. 728, Verschwindet der Widerstand, ist also A = ao, so muss dieCiiive in eine Cycloide ^b'eigehen , welche im lee- ren Räume eine tautnchrone Ciirve ist. Diess zeigt die durch eine Reihe ausgedrückte Gleichung, welche in diesem Falle in
2«^ = ^ oder s" = iax übergeht, vvelches die Gleichung der Oycloiile ist. Zusatz 9. §. 729. Die Curve BMANC wird, ähnlich wie eine Cy- cloide, in B und C vertikale Spitzen haben, welche man fin- det, indem man dy = 0 oder ds :=dx setat. Man erhält als- dann für den Bogen AMB = s die Gleichung
a:^k(e^'<—D oder s = 2/clog(~^) =
AMB.
Seine Hübe BD erhält man ferner = 2Ä — '^log^lj^y
Für den Bogen der aufsteigenden Bewegung, d. h. ANC, er- hält man die Gleichung
und
Weudet mau die Reihen an, so ergibt sich
und
,.,. , 2fl2 2«s , 2n* , ,
CE = a H- -^ + -— + ,— + etc.
Zusatz 10. §. 730. Man ersieht hieraus, dass die Spitze C des Bo- gens der aufsteigenden Bewegung hühei liegt, als die, dem Bogen der nied ersteigen den Bewegung zugehörige, Spitze A. Ferner liegt die Spitze des Bogens ANC unendlich hoch, wenn k ^^ a und sie wird imaginär, wen« «>A ist. Uebrigens er- hellt aus der Gleichung, dass so wohl BD als auch CE Durch- messer der gefundenen Curve sind.
y Google
'' Vä -v^« - \raoJ
304 Kapitel ill. Von der Ikwcijung eines Punkles
Zusatz 11. §. 731. Hat der Körper in der Mitte der halben Schwingiirij;, d. h. in A die Geschwindigkeit VT, so ist der Boj^en der auf- steigenden Bewegung
kV7,
d. h. vrenn man den Logarithmus in eine Reihe auHüst, und der folgende Bogen der aul'steigenden Bewegung
Zusatz 12. §. 732. Gesdiielit die niedersteigende Bewegung vom Punlft B aus, so dass der entsprechende Bogen
|
ÄMB = 2ilogrÄ!j |
|
|
Ist, so wird Der Bogen dei |
;■ nächstfolgenden aufsteigcndt |
Zusatz 13. g. 733, Aus der Gleichung dieser Curve geht hervor, dass dieselbe im Punkt A eine horizontale Tangente haben wird. Wird ferner ds constant angenommen , so ist der Ki'ümmungs-
halbmesser im Punkt M oder r = ^^ = ^Il^J^^-,^ dd.v . dax
(Theil I, %. 578.). Aus dx = ^(e^^l)ds folgt nun ddx--^^^^ e^l^üs^, mithin
Ä
4a*- 4/(3 («24^ 1)3
yGoosle
auf einer getjehenen Linie im widerstehenden Mittel. 36S
Setzt man tlalier s = 0, so wird iler Krümmungshalbmesser im untersten Punlit, A = 2«; in B und C ahei wird derselbe = 0 (S. 729.).
Zusatz 14. §. 734. Der Krümmungshalbmesser hat nicht im untersten Punkt A seinen gtössten Werth, sondern man findet, nach der Methode der maxima den grOssten Krümmungshalbmesser auf dem Bugen der aufsteigenden Bewegung und zwar im Punkt 0, wo
AO =3 2A l
-(Ä)'
In diesem Punkte wird der Krümmungshalbmesser ^ , ■ — — ,
y/i^ — # woraus man ersieht, dass, wenn nicht A > a ist, die Krüm- mung der Curve ANC stets abnehmen iniä der Punkt O niv-
Änmerkung. '2. §. 735. In dieser Aufgabe haben wir zwei Curvon gefun- den, auf deren einer alle niedersteig eil de, auf deren anderer alle aul'steigende Beivegungen in gleichen Zeiten ausgeführt werden. Da aber auf der ganzen Curve JBAC alle Hingänge oder halbe Schwingungen in gleichen Zeiten ausgeiuhrt werden, vorausgesetzt dass sie im Theile ßA der Curve anfangen; so wärde diese Curve zur Hervorbringung isochroner Schwingun- gen in einer Flüssigkeit geeignet sein, wenn nur die Hergänge auch unter sich isochron wären, worüber aber nichts bekannt ist. Weil aber in Flüssigkeiten ausser dem, den Quadraten der Geschwindigkeiten proportionalen. Widerstände noch ein änderet wahrgeuoramen wird, welcher wahrscheinlich den Zeit- momeutcu proportional oder constant ist; so ist es der Mühe werth, die tdutochrone Curve unter Her Voraussetzung zu be- stimmen, Ans'i dieser Widerstand mit jenem verbunden sei. Diess kann man leicht nach dem Vorhergehenden ausföhren. Es sei namlich der constante Widerstand = h, alsdann hat lu m lui die nieJersteigende Beweguug die Gleichung
rfif = — ffdw -\- hds + -T- ■
Setzt man daher in der vorhergehenden Operation statt r/dx überall fjdx — ftds, so erhSJt man auf .ahnliche Weise die ge-
y Google
366 Kapitel III. Von der Beilegung eines Punktes
nfigende tautochvone Ciirve- Es ergibt sich nämlich für (iiö Curve der niederstelgenden Bewegung die Gleichung
ax = (~ ~k\ s + 2/(2 (e^i _ l)
und für die aufsteigende Bewegung
ax = (k — 2^'■^ * 4- 2Ä2 (c~2i _ ]) .
Diese Curve ist eben so, wie die vorhergehende, eine conü- nuirliche, indem die eine Gleichung in die andere übergeht, wenn man s negativ setzt. Es ist noch zu bemerken, dass,
H-enn k = — ist, die tautochrone Curve eine Traclorie BAF
9 wird (Figur 98.}, welche die horizontale Asymptote CE hat und zwar
wird die letztere vom Punkt .d um dieLnnge-4£=:-^ abstehen,
Uie Länge des Fadens, womit diese Tractorie beschrieben wird, ist = 2A.
Dass aber auf einer Curve dieser Art, welche nirgends eine horizontale Tangente bat, eine halbe Schwingung ausge- führt werden kann und irgendwo der Punkt A des Gleichge- wichts existirt, ist nicht zu verwundern; da wir schon oben bemerkt haben, dass unter der Voraussetzung eines solchen Widerstandes der Kiirper auch an einem abschässigen Orte verweilen könne. In diesen Fällen aber, wo die Curve jenseits A hinabzusteigen f>itfihrt kann kerne Rückkehr stattlmden und es können daher luch keine Schwingungen ausgeführt werden. Obgleich n\mlich dci Ivurpei luf eiiiei genejc,ten Ebene wohl zur Kühe gehngeu k^nn, so ist ea doch unmug lieh, dass er *ul derselben emporsteige In jedem Punkte des Theiles AI der Curve kann n'intlich der Körper m Ruhe ver harren.
Anmerkung 3
§. 736. Nicht iiel schwierig, er wird die AuÜ jsung der Aufgabe, wenn die abwärts gerichtete Kiaft nicht constant, sondern beliebig veiänderbch = P und der Exponent dea \\i deratandes ebenfilU veränderlich = (/ gesetzt wiid Min er hält nämlich bei der nicdcrstocenden Bewe^un^ dis Element der Zeit
y Google
auf einer t/e(/e/)enen Linie im wiihrsieheMlen Mittel. 367
efiVi-fe-f'i'
ß-
eJ ^
' f^^ e-f •! .ds^
sei). Di0feventiirt man diese Gleichung auf's neue, indem man ds als corjstaiit voraussetzt und für dt seinen Werth j-
Ji
sulistitnirt, so erhält man für die Curve, auf welcher die nie-
dersteigenden Beivegungen isochron sind, die Gleichung
(i.ds* „ j, , ,,, , Pdxds
--ä-2~ ^^ Pijddx + tjdPd.x — - — =— .
Die Fortsetzung dieser Curve jenseits A ivird für die aufstei- genden Bewegungen geeignet sein.
Anmerkung 4. g. 737. Diese tautochrone Curve, unter der Voraussetzung eines den Quadraten der Geschwindigkeiten proportionalen Widerstandes, habe ich zuerst in Comment. Tom. IV. aufge- stellt und dabei eben die hier benutzte Methode angewandt. Hietauf zeigte mir aber Job, Bernoulli schriftlich an, er habe bei demselben Widerstände diese tautochrone Cnrve ge- funden, seine Methode belindet sich in Comm. Acad. Paris. A. 1730. För andere Voraussetzungen des Widerstandes, den der Geschwindigkeit selbst proportionalen ausgenommen, hat, so viel mir bekannt ist, niemand bis jetzt tautochrone Curven bestimmt. Diejenigen Curven nämlich, welche ich in Act, Lips. A. 1726 unter dem Namen tautochroner gegeben habe, leisten der Forderung nicht Genfige; wie Herrmann, welcher zuerst auf dieselben verfallen war und nachher auch ich gezeigt habe. Die Schwierigkeit dieser Methode, tautochrone Curven zu fin- den, besteht aber darin, dass unter andern Voraussetzungen des Widetstandes die Geschwindigkeit nicht allgemein aus der Grundgleichung abgeleitet werden kann. Wie man aber nichts desto weniger für andere Widerstände tautochrone Cuiven flu-
y Google
368 Kapitel IIL Von der Bewegung eines Punkte»
den küiine, lässt sich aus dem folgenden Satze ecTiliessen, in welchem man fär solche sehr lockere Mittel, die in irgend ei- nem vielfachen Verhältnisa der Geschwindigkeit widerstehen, tautochrone Curven bestimmen soll, Sat? 82 Aufgibe
§. 738. (Figur Ü7 ) In emem '.ehr lockein Mittel, welclies in einem beliebig vieifichen Verhaltmas der Geschwindigkeiten widersteht und unter der Voraussetzung einer gleich filrmigen abwärts gerichteten Rraft, soll man die tautothroneCune ^^ bestimmen, auf wclchei alle nieder und auf»tcit,ende Bewe- guDgen in gleichen Zeiten ausgeluhit werden Auflösung
Es sei die Abscisse AP = r der Bogen -iM ^ s und der ganze, bei irgend einer medersteigenden Belegung be- schriebene, Uogen ;=: / Es haben g, v, J und j— die frü- here Bedeutung und es i'ii hier / sehr gios-., bo dass man , die Briicbe, in deren Wennern h ihere Potenzen als die w/te ™n k vorkommen, als leraihwindend ansehen kann. Unter diesen Voraussetzungen haben v,k, nich der Natur der nieder- steigenden Bewegung die Glei<hui>g
dv = ~ gdi + -j^
Fehlte nun der Wideistand gänzlich, so nuide die gesuchte Curve eine Cycloide sein, deren Gleichung gx :=^ ßi^ ist; da aber das Mittel ein sehi lockeres ist, so nird die Curve von einer Cycloide nicht sehr verschieden sein Wii nehmen dem- nach als Gleichung der gesuchten Curve die folgende an:
Da aber eben du = — gdx + ^^^ und das Glied ^Ll£ sehr klein ist, so wird sehr nahe
also, vrei! föf j = ^, d = 0 wird, ebenfalls sehr genabelt « = o (P _ .«) + A (f - !') .
y Google
auf einer geffebenen Linie im tvidemlehenden ülittel. 369 Setzt man nun
„ = „(/»-,')+ i(/-"-,.)+ Q, 80 erhalten wir '
rh = - 2«»;. — "'''*~'* + ilQ
= ~ f,dx + ^^
indem man die ülirigen, fiir v™ zu setzenden, Glieder vernach- lässigt, weil in ihren Nennern k mehr als m Dimensionen hat. Wir erhalten demnach
«=£/"'"-'^'-*'
das Integral so genommen, dass es füv s = /" veiscJiwinJe. Wir haben also
und hiera
1
/jr-'-j+o-y (/"-<»)-<&
•/^ V"o(/»-s«) 2<<li»(/»-.»)i
indem man wieder, ans dem bereits angegebenen Grnnde, die folgenden Glieder vernachlässigt. Hieraus ergibt sich nun die Zeit
- /^_*- _ /* 'fc t_ /*(/•' -s')ifa
welcher Ausdruck so integrirt, ditss er für j ^= 0 verschwinde, die Zelt ergeben wird, in welcher der niedersteigende Körper den Bogen MA = s zurücklegt. Die ganze Zeit des Nieder- steigens durch den Bo^en f nird man daher erhalten, ivenn man nach der Integration * = / setzt, welche Zeit aber con- stant oder so beschaffen sein muss, du^s sie nicht mehr von f ahhängig sei. Das erste tllied
Euler's Mechanik, 11. 21
y Google
370 Kapitel lll. Von der Bewegung i
/v
wird aber, zwisclien den Grenzen 0 und /' für s, = — ■— ,
woiin also /nicht mehr vorkommt. M'ären daher die beiden übri- gen Glieder so hesuhaffen, daas sie, nachdem man iu ihnen s=:/ gesetzt hat, einander aufhoben, so wurde man der Forderung Genüge leisten und die ganze Zeit des Niedersteigens constant
nach der Integration s = f gesetzt wird. Es ergibt aber
f
Vielfaches von /~"— 2 und das andeie Integral
J^ '' ,.-g a»j ein Vielfaches von/'^^*. Man mache
daher n — 2 = 2m — 1 oder n = 2m + 1 und nehme ß so an, dass diese beiden 'im — Iten Potenzen von f einander aufheben.
Um nun zu ersehen, was für Coefificienten diese Potenzen von f haben werden, wollen wir die einfacherri Fälle betrachten und von ihnen auf jene allgemeinen schliessen. Es wird
1.3'
Hieraus schliessen wir, dass /»/(/•!fa.-M_^,.gB.4-iys
"/'^
r(f--.,-)ds_2AS,... 2.« „ ^,_, (f~fl): ~ 1:3.6. ..(im-l)'^''
werde. Der Coefücient des andern Gliedes läsat sich a
y Google
auf einer gegebenen liinie im widerstehenden Mitte!. 371
selben Analogie ableiten. Es wird nämlich, wenn man eine Reihe entwickelt.
l.ü.3.7
Multipliciren wir diese- Reihe mit ■ ^ ' ■ —
und setzen hierauf s ~ f; Ba erhalfen wir
Xfü
(P_s»)ä
../--M-l^
^ 1.3.5 1.3.5.7 ^ ^ . 2ff( + l
Setzt man die beiden erhaltenen Werthe einander gleich, so ergibt sich
L3,5^12^i-1)__ •^ ^.4.6...'J/«.(2»t + l) ■ Substituirt man nun diesen Werth von ß und setzt, der Hö- rn o gen eYtSt wegen — statt a; so erhalten wir für die tauto-
chrone Curve, welche sich auf niedersteigende Bewegung be- zieht, die Gleichung
_ «a 1.3.5... (2»i-l) s'''"+^ ^■^~ a '^'2.i.6...2m{2m + l)'o'".Ä'"' Will man statt derselben eine Gleichung haben , welche s durch o) ausdrückt, so ergibt sich durch TJmkehrung
_- 4A " 1-3.5. .. (2m— 1) gg'"a;'»
s — \ gax — 2.4.6.. .2m(2wi + I) " 2Ä'" ' Ferner wird die Zeit einer jeden niedersteigenden Bewegung auf dieser Curve =: " °) gleich der Zeit, in weichet ein
Pendel von der Länge ~, im leeren Räume und unter Antrieb der Schwere = 1, Eine niedersteigende Bewegung ausführt (§. 720.)- Dieselbe Gleichung der fautochronen Curve wird in
y Google
37'J Kapitel HI. Von der Betveffmiff eines Punkles
die Gleichung derjenigen Curve, auf welcher alle aufwteigeiiden
nSfä Bewegungen in gleichen Zeiten nämlich — ^— ausgeffihct wer- den, verwandelt, indem man — Ä™ statt Ä"*, darin setzt. Zusatz 1. §. im. Ist 2iH + 1 > 2 oder m > Va. so wird der Kriim- mungsholbmesscr im Punkt yl = ^, derselbe, welcher sich für die Gleichung
ergibt. In diesen Fällen wird also der Kürper eine sehr kleine niedersteigende Bewegung in derselben Zeit, wie im leeren Räume ausführen, oder es wird die niedei'steigende Bewegung auf dem untersten, unendlich kleinen Theilchen derCurve die- selbe, wie im leeren Kaume sein, wenn nur m > % ist. Zusatz 2. §. 740. Ist ffl:=:y3, so hat s in beiden Gliedern zwei Di- mensionen ; der Krüiiiniungsiialbmesser im Punkt A ivird daher
nicht mehr = ^, sondern kleiner sein. In diesem Mittel,
welches im Verhältniss der Geschwindigkeiten widersteht, wird daher die Zeit des sehr kurzen Niedersteigens durch einen kleinen Kreisbogen grösser, als im leeren Räume und zwar in einem gegebenen Verhältniss.
Znsatz 3.
§. 741. Ist in < Vü> aber doch m > 0, so wird der Krümmungshalbmesser im Punkt A unendlich klein, also im leeren Räume die Zeit einer sehr kleinen niedersteigenden Bewegimg unendlich klein, während sie im -widerstehenden Mittel einen endlichen Werth hat.
Anmerkung I.
§. 742. Was diesen Fall, in welchem m < Va ist, betrifft, 60 folgt das eben Ausgesprochene zwar aus der Gleiciiung, welche wir als in einem sehr lockern Mittel der Aufgabe ge- nügend vorausgesetzt haben. Wenn aber ni < y^ ist, werden die drei Glieder, aus denen die Gleichung besteht, nicht hin- reichend sein, ob auch das Mittel sehr locker ist. Die zwei Glieder, denen </x gleich gesetzt .ist, müssen nämlich als die
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 373
eivei Anfangsglleder einer convergit enden Reilie, in welcher die folgenden gegen die ersten verschwind end klein sind, betrachtet werden. Für die ganze Reihe haben wir aber die Form
in welcher die Exponenten von s in einer arithmetischen Pro- gression fortschreiten und man kann diese Form theils durch ÄJialogie, theils auf dieseihe Weise, nach welcher wir bei Be- stimmung des zweiten Gliedes verfaliren sind, linden. Aus dieser Form ersieht man, dass, wenn m < '/j ist, die Be- schaffenheit der Curve im untersten Pnnkt A oder für s = 0 nicht aus den beiden ersten Gliedern erkannt Werden kann, wie gross auch k sein mag. Da nämlich jene Exponenten ah- nehmen, so wird in den spätem Gliedern s m den Nenner kommen und daher für s = 0, a.' = 05 werden. In diesen Fällen wird also die Curve in A nicht Ijegrenzt und der Krüm- mungshalbmesser daselbst nicht bestinmit werde» können. Die- ser Mangel findet nicht statt, wenn die Exponenten von s wachsen.
\nmeikung 2. g 743 Hieiau? eigiht sich ein VerCahreu, die taulochrone Cur^e in emem Mittel 711 finden welches in einem beliebig vielfichLn \erhaltniss der Geechnnidigkeiten widersteht; wenn luch das Mittel nicht em «ehr lockeres ist. Da nämlich die Gleichung der t'kutochronen Cuive von der Form ist:
so können wir auf dieselbe %\ eise nie wir aus der Bedingung des Tautfchronismus den 'Werth des CoefTicienten A gefunden hiben auch die Coeflicienten dei übrigen Glieder bestimmen. ^\egen der '>o sehr zu '< tm inen gesetzten Integial form ein wird aber die Arbeit fast unuberwmdhar sein, allein sie wird sehr erleichteit wenn man nur die Muhe angewandt hat, den einen Coefiicienten B oder h chsten« die zwei JS und C zu bestim- men, wed man ilsdann auf die folgenden nach der Analogie ^chlieasen kann Es kommt noch hinzu, dass wir fiir in =: 1 nach S 724
yGoosle
374 Kapitel III. Von der Bewegung eines Punktes
haben, welche bekannte Reihe kein geringes Hiiifsmittct zur AufTinduiig der allgemeinea darbieten wird. Das Glied B muss aber aus der folgenden Gleichung gefunden werden;
,/ ir-'Y- - '"^ J ^ (/'-.•)• '
^
-^ ff'
!/■'-+'
(/'-."lä
r-
alle Integrale von s = /" bis j = 0 genommen.
Der Coefliclent A ist bereits bekannt, indem allgemein A - 1-3.S... (2»t-l) " 2.4.6...2n(('2nt + l)
ist. Entwickelt man die obige Gleichung fiir den besonder Fall, dass m = 1 ist, so iindet man B = ^hj während zi
Reihe Öbereinstimraen.
Wären ferner die Wertbe der Coefficienten bis in' s Unend- liche bekannt, so würde man eine, aus einer unendlichen Reihe bestehende, Gleichung für die gesuchte tautochrone Curvp haben und wenn ihr Gesetzt bekannt wäre, so könnte man sie nach meiner Methode der Suramirung von Reihen in eine Gleichung verwandeln, welche nur eine endliche Anzahl von Gliedern enthielte. Diese Methode halte ich fast für die ein- zige und sicherste, um unter andern Voraussetzungen des Widerstandes die tautochrone Curve zu finden. Zusatz 4.
§. 744. Wenn daher die Gleichung
ff^ = - + ■
yGoosle
auf einer gegdemn Ltme tm wtdei siehenden Mittel. 375
dci liulochronen (. ve liir die med erste lobende ßewegimg ent- spricht ■■o wird fi die lufsteigende Belegung die Gle'ichuog
c = !* — ^^"^^ _L -gy*" _ ß^g
die tautoclirone Tulce daretellen Man c li-ilt diese Cleiclmog lus jer er indem man i" negativ setzt
Znsat? 5 § 7-i3 Min ersieht hieraus d-is^, so oft m eine ]iositive giiize Zahl iit die für die aulsleigende Bewegung geeignete tautochroie Curve iJ\C die Fortsetzung der, der niederstei- genden Bewegung entsprechenden tautochronen Curve BMA sem nird Es en;ibt sich nämlith dieselbe Gleichung, ob man Z™ oder * nD,jln setzt
Zus^tz b § "Hl M^n -.icht ferner da^-i die Curve '^IVC, auf welcher der Korper stets m derselben Zeit emporsteigt, in wel- cher er auf der Curve BMA herabsteigt, weniger als diese gekrümmt ist. Sie wW auch eitie Spitze C haben, welche höher liegt, gerade wie in einem Mittel, welches im doi^pelten Verhältuiss der Geschwindigkeiten widersteht.
' Zusatz 7.
§. 747._In einem Mittel, welches im einfachen Verhältniss der Geschwindigkeiten widersteht, werden a:11e Exponenten von j = 2; in diesem Falle werden also die Curven, welche so wohl für die nieder- als aufsteigende Bewegung tautochron sind, halbe Gycioiden. Die Curve für die aufsteigende Bewe- gung hat aber in ihrer Gleichnng einen kleinern Ooefficienten von s* und wird daher mittelst eines griissern Kreises be- schrieben, als die Curve der niedersteigenden Bewegung; vor- ausgesetzt, dass die Zeiten beider Bewegungen einander gleich sein sollen. Inzwischen bringt aber dieselbe conti rtuirliche Cyclo- ideauch isochrone halbe Schwingungen hervor, jedoch sind die Zeiten der aufsteigenden Bewegungen kürzer, als die Zeiten der niedersteigenden Bewegungen.
Anmerkung 3.
g. 748. Ist m eine ganze Zahl, so kann man mittelst der gegebeneu Formel leicht den Werth des Coeflicienten A be- stimmen. Ist nämlich m = 1, so wird A = 7^; ist j;i^r; 2, so
y Google
376 Kapitel III. Von der Bewegiiitg eines PtmMes
. Ist aber m keine gat
eZnIil,
ist der
Werth von^ schwerer darKustellen, es muss nämlich die Reihe
der Wevthe von A ioterpolirt werden. Für Brüche aber, deren
Nenner.^ 2 ist, kann man den Werth von A durch die
Quadratur des Kreises bestimmen. Man erhalt nämlich, wenn
13 5 7'., *n = 9' 9' 3-' ^, etc. ist, respective
A =
2.1 2.4.1
i.l
etc.;
, 2h + 1 .
also wenn m =z — ^ — i
«' = 7, + '.
■ 3.8. 7... (2» + t) („+!)» 211.1.»'«+«
3.5.7...(2» + l)(» + l)M./," Wenn aber m einen beliebigen Brnch bezeichnet, s
(2m +
lyj" *(1-
wic ich in Coinment. A. 1730, in der Dissertation über ilie transeendenten Progressionen, gezeigt habe. Zusatz 8. §. 749. Sucht man nun fiir die einzelnen widerstehenden sehr lockern Mittel die fautoehronen Curven der niedersteigen- deu Bewegungen, so entsprechen denselben folgende Glei- chungen ;
m = 0 o» = '
S» =
■ -V
■- - +
3a5 40<i«4"
y Google
■ gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 377
Man bildet hieraus die Gleicliungeu der tautochronen Curven für die aufsteigenden Bewegungen, indem man die letzten Glie- der negativ annimmt.
Anmerkung 4. g. 750. Diess mag hinreichend sein, in Betreff der ein- fachen tautochronen Ciirven, auf denen entweder nur alle nie- dei'gteigende , oder alle aufsteigende Bewegungen in gleichen Zeiten ausgeführt werden. Ausser diesen Curven kann raan aber noch andere mit dem Namen tautochroner belegen, auf denen entweder alle halbe oder alle ganze Schwingungen iso- chron sind, deren Anzahl, wie im leeret) Räume, unendllcli gross ist. Was aber die ganzen Schwingungen anbetrifft, so ist diess eine eigentliche Frage des Widerstandes, denn im leeren Räume sind alle halbe Schwingungen einander gleich. Da aber bei diesen Untersuchungen zwei Curven zu finden sind, von denen die eine sich auf die aufsteigende, die andere auf die niedersteigende Bewegung bezieht pso wollen wir, ehe wir derartige Aufgaben für den Tautochronismus lösen, andere leichtere. Sätze in Bezug auf je zwei Curven, welche für auf- und niederste! gen de Bewegung gelten, voranschioken.
Satz 83. Aufgabe.
§. 751. (Figur 101.). Vorausgesetzt wird eine gleichförmige abivarts gerichtete Kraft und ein gleichfürmiges Mittel, welches im doppelten Verbältniss der Geschwindigkeiten nidersteht. Zu der gegebenen Curve MA soll man eine andere, mit ihr in A zu verbindende, .^iV von der Beschaffenheit finden, dass ein durch den beliebigen Bogen MA der gegebenen Curve herab- steigender Körper auf der gesuchten Curve durch einen , MA gleichen, Bogen AN wieder emporsteige. Auflösung.
Es haben g und A die frühere Bedeutung, ferner sei V^ die Geschwindigkeit, welche der Körper durch die niedersfei- gende Bewegung im Punkt A erlangt hat und mit welcher er die aufsteigende Bewegung auf der Curve AN beginnt. Ferner sei für die gegebene Cuvve AM die Abscisse AP ;:^ x und der Bogen AM ;=: s, für die gesuchte Curve AN aber die Ab-
y Google
378 Kiipitel ill. Von der Bewegung eines Punktes
scisse AQ = t und dev Bogen AN = t. Setzt man ferner die Geschwindigkeit des nied ersteigen den Körpers in JW = Vv und die des aufsteigenden Körpers in iV = V^wi; so hat man
V = e'' (0 ■ — tJ I e ^(Lr) «nd für k negativ,
«;=c"^ (b~f,fe>-dt). Der ganze Bogen der niedersteigenden Bewegung ergibt sich aus der Gleichung
= sfe-'.l
und eben so der ganze Bogen der aufsteigenden Bewegung aus
6 =g Pei-dt.
Zwischen den Bogen der nieder- und aufsteigendenden Bewe- gung Undet demnach die Gieicliiing statt
oder, indem man differentürt
Da nun beide Bogen einander gleich sein sollen, also )• — »■ ist, so erhalten wir die Gleichung
e '^ dx = dt: . Die CuvveilW ist gegeben «nd man hat daher eine Gleichung zwischen s und x, wenn man demnach den aus derselben sich ergebenden Werth von dx als Function von s nnd ds in die letzte Gleichung substituirt; so erhält man eine Gleichung zwi- schen * und t, oder weil s ^= r ist, eine Gleichung zwischen r und t, welche die Natur der gesuchten Curve jl.ZVausdrüclie»
Zusatz 1. g. 752. Wird der unterste Thei! der gegebenen Curve MA durch die Gleichung
X = eis" ausgedrückt, so erhidt man für den untersten Theil der ge-
y Google
luf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 370
suchten Ourve ^JV die Gleicliiing dt ~ (cne. '' . s"— ^ ds. Di aber hier s ein sehr kleiner Bogen ist, wird e '^ = 1 — -t-
setzen kaan. Die unterslen Tlieile beider Curven werden dem- nach einander ähniidi.
Zusata 2.
_ 2»
g. 733. Alis der Gleichung e '<dx=dtM^i, dass stets dt<,dx oder t<.a:, d, h. AQ<.ÄP wird. Der Punkt iV wird daher stets niedrigei'- liegen, als der ihm entsprechende Punkt M. Hieraus folgt, dass die Krümmung der Curve AM gegen j4B grösser sein wird, als die Krümmung der Ourve AN. Zusatz 3.
%. 754. Die Curve AN kann daher AM nicht gleich und ähnlich sein, weil sonst die Punkte M und N, welche die einander gleichen Bogen AM und AN begrenzen, in derselben Hohe liegen mussten.
Zusatz 4.
§. 795. Stiege der Körper auf der Curve MA aus einer unendlich grossen Höhe herab, so wurde er. Heiler im Punkt Ä nur eine endliche Geschwindigkeit erlangt, auf der Curve AN auch nur zu einer endlichen Hühe ansteigen können. In diesem Falle , wo die Curve AM sich iu's unendliche erstreckt, wird die Curve ANC eine bestimmte Höhe nicht übersteigen können, sondern ciue horizontale Asymptote £f7 haben. Diess erhellt auch daraus, -dass für s = oo, rft = 0 wird. Anmerkung 1.
§. 756. Wie man aus dieser Aufgabe ersieht, aufweiche Weise mau aus der gegebenen Curve MA der niedersteigenden Bewegung die Curve AN der aufsteigenden Bewegung herzu- leiten hat; eben so wird man umgekehrt die erstero leicht durch die letztere bestimmen können. Ist nämlich eine Glei, chung zwischen ( und « gegeben, so wird
rf.B = e'^dt die Gleichung der Curve AM.
y Google
380 Kapilel III. Vim der Bewetjxmg eines Punktes
Zusatz 5. §. 757. Der Oiirve MA der niedersteigen den Bewegung entspriclit die Cui've AN der aufsteigenden Bewegung, deren Gleichung
dt = e''~i' dx sein «inl. Niramt man nun ^iV als Curve der niedersteigenden Bewegung an, so erhält man die Gleichung der ihr entsjjro- chenden Curve der aufsteigenden Bewegung, indem mau ihre Abscisse
eetzt.
=/.-",„=/.-
Zusatz 6. g. 738. Wenn man auf diese Weise die ferner entsjin chenden Curven sucht, so erhält man die folgende Reihe vo Gleichungen:
die dem Bogen s entsprechende Abscisse der Curve l = X
dx
=ß
g. 739. Zwei auf einander folgende Curven dieser Reihe haben die Eigenschaft, dass, wenn man sie Im untersten Punkt A mit einander verbindet, der auf der erstem herabsteigende Körper auf der zweiten durch einen Bogen aufsteigt, welcher dem Bogen der niedersteigenden Bewegung gleich ist. Fär die unendlich vielste Curve der Reihe, d. h. für wi=:qo', wird aber
■jU
:^ — r-=0; die Abscisse de
Cut
■ aufsteigen-
y Google
auf einer r/effebeneii Linie im imlerstelienden MiUel, 381
den Bewegung =: 0 «itd daher diese Curve eine (lorizonlale gerade Linie.
Beis|)iel 1. §. 760. (Figur 102,). Es sei die gegebene Curve eine ver- tikale gerade Linie, also x -= s und dx = ds. Für die ge- suciite Ciivve Ä]SE der aufsteigenden Bewegung haben wir daher, wenn AQ ^i und AN=-s gesetzt wird, die Gleichung
dt = c" '^ds, oder wenn man integrirt
Eliminirt man aus beiden die Exponentialfunction , so erhalten
2(rfs =■ Ms— Ml oder IM^^W^ = i/^/e.
Aus dieser Gleichung ersieht man, dass die Curve ANE eine Tractorle ist, welcha ober der horizontalen Asymptote BD, mittelst eines Fadens von der Länge y^k erzeugt worden ist, wobei die Höhe AB der Asymptote = y^Ä. Mimmt man nun eben diese Tractorie ANJE als Curve der niedersteigenden Bewegung an, so wird ihr für die aufsteigende Bewegung die- jenige Curve entsprechen, in welcher dem Bogen «die Abscisse
= t e ''' ds zugehört. Dieselbe ist also wieder eine Tracto- rie, deren horizontale Asymptote um y^Ä über A liegt, wel- chem Ahstande zugleich die Lßnge des erzeugenden Fadens gleich ist.
Alle Curven der obigen Reihe werden ferner Tractoiien
sein, deren Fadenlängen der Reihe nach siud; -^i ^, j, ^, etc. Man kann nämlich die vertikale gerade Linie als eine Tractorie ansehen, deren erzeugender Faden ^= — =: oo ist.
Die letzte Tractorie dieser Reihe geht in die horizontale, durch A gezogene, gerade Linie fiber.
Beispiel 2. §. 761. (Figur 102.). Es sei die gegebene Linie der nie- dere teigenden Bewegung die beliebig gegen den Horizont ge- neigte gerade Linie il!/j4, sodass, ivenn man il!/jl=i und j^/*^
y Google
382 Kupitcl tu. Von der ßcwegunff eines Punktes
X setzt, _ = ß, also ilx ^= -■- wird. Für die gesiiclito Curvi AN erhalten wir clemiiinach die Gleichung
adt = e " ds, oder, wenn man iiitegrirt,
., = |(i„,-r,.
Aus beiden Gleiehnugen vereint folgt
'iatds ~ kd^ — feadt oder
a-0«
Diese Gleichung gehört ehenfalls einer Tractorie an, welche mittelst eines Fadens von der Länge ^, über der horizontalen
Asymptote BD erzeugt ist. Hierbei ist Aß=^^ und es miiss
die Tractorie durch den Punkt A gehen. Die folgenden Curveo der Reihe sind alle, wie im vorhergeheiidea Beispiele, eben- falls Traatorien, deren erzeugende Fäden die Längen
k k k k .
0' 2' 4' 6' haben und bei denen die Absfände der Asymptoten vom Punkt A die Reihe
bilden. Sie bilden nämlich alle mit der Vertikalen Aß den gleichen Winkel MAP.
Zusatz 8.
§. 762. Von diesen Tractorien hat diejenige, welche der ersten oder der geraden Linie MA vorangeht, die Eigenschaft, dass der auf ihr herabsteigende nnd nachher auf der geraden Linie AM aufsteigende Kflrper auf beiden gleiche, Wege zu rück legt.
Zusatz 9.
S. 763. (Figur 103.). Um daher die Curvc CA der nieder- steigenden Bewegung zu finden, welcher die geneigte gerade Linie AM entspricht, beschreibe man Über der horizontalen
y Google
anf einer geriebenen Linie im widerstehenden Mittel 383 Asymptote, mit einem Fadeo von der Läiige ~, die Tractorie
CA, nehme auf ihr die Ordinate Ab ^ ^ an und ziehe vom
Punkt Ä aus die geneigte f^erade Linie AM. Alsdann wird CA die Cuvve der niederste ig enden Bewegung sein, welcher die gerade Linie AM für die aufsteigende Bewegung ent- spricht. ^ Anmerkung 2.
g. 7fl4. Dieser Fall kann als Beispiel der umgekehrten Aufgabe dienen, aus der gegebenen Curve der aufsteigenden Bewegung die der n ledersteigenden Bewegung entsprechende Curve herzuleiten.
Beispiel 3.
g. 765, (Figur 101.)- Es sei die gegebene Curve der niedersteigenden Bewegung die Cycloide MA, deren Natur
durch die Gleichung 2«a: = s^ ausgedrückt wird , wo ~ der Durchmesser des erzeugenden Kreises ist. Wir haben daher dx = — , woraus sich für die andere Curve AN der aufstei- genden Bewegung die Gleichung ergibt.
adt = e * . säs , oder wenn man iiitegrirt.
«.= *■(,-.-").
Da J
ses Werthes die Gleichung
atsds =: — -
Die derselben entsprechende Curve hat, ivie schon bemerkt, in A eine horizontale Tangente; sie hat aber auch eine hori- zontale Asymptote BC, deren Höhe AB man erhält, indem.
man s =: xi setzt. Es wird nUmlich in diesem Falle e *=:0
und s.e '■" := 0, also
y Google
SHi Kapitel I/l Von der Bewegung einen Punktes
Hienuf ersielit imn. dass die Curve irgendwo einen Wende- punkt haben mu&&, «nd zwar findet man denselben da, wo für dt con^tint, dds — 0 ist Aus dieser Bedingung folgt aber
\ =. oder s ^ -y; nimmt man daher den Bogen AN = ~ an, so ist N der gesuchte Wendepunkt. Demselben ent- spricht die AbscLSSo AQ = -, r^ — oder BQ s= -^ . Es
4 2ae '2ae
VTii'd (laber stets
AB:BQ^e:'2 = 2,71828... ; 2. Anmerkung 3. ' g. 766. Die hier aufgestellte Aufgabe rührt von einem Un- bekannten her, sie steht in Act. Lips. A. 1728 und ihre Aiif- b'isung gab nach einer andern Methode D. Bernoulli in Comment. Acad. Pefrop. A. ]729. Ausser dieser Bedingung stellte aber jener Unbekannte noch die Forderung auf. Eine continuirliche Curve zu bestimmen, deren einer Zweig zur nieder- und deren anderer zur aufsteigenden Bewegung diene. Curvcn dieser Art gibt es unzählige, wie wir im folgenden Salze entdecken werden.
Satz 84. Aufgabe. g. 767. (Figur 101.). Unter denselben Voraussetzungen wie vorbin soll man eine continuirliche Curve MAN von der Beschaffenheit finden, dass bei jeder halben Schwingung, vTelcbe stets auf dem Bogen Üf-d beginnt, der Bogen MA der niedersteigenden, dem Bogen j4iV der aufsteigenden Bewegung gleich werde.
Auflösung. Diese Aufgabe ist von der vorhergebenden nur darin schieden, dass dort die Curve MA gegeben war, während die- selbe hier ebenfalls gesucht werden soll aus der Bedingunj dass beide Curven MA und AN Eine continuirliche hildei Wahrend nun, s, x, t und k die obige Bedeutung haben, fin' det die Gleichung statt
dt =: e ^dx . Da aber MAN eine continuirliche Curve sein soll, muss die Gleichung zwischen s und x so beschaffen sein, dass, wenn
y Google
mif einet gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 385
lari in derselben — s statt n setzt, woilurcli dev Boaen AM i AN libergeht, alstlann der Wertli vun x werde
'=/'""'
dx.
Ich setze daher dx ^ Mds, v/o M eine gewisse Function von s ist, die in N übergehe, wenn man — x statt * setzt. Ge- schieht daher das Letztere, so geht x in t (iber und es wird dt = — Nds. Da aber auch
dt ~ e~~^dx ■= r^Mds.
Es sei ferner ü/ =: e''.P und es gehe, wenn man — s statt s setzt, P in Ö ober; alsdann ivird
iV = e^'KQ. iSubstituirt man nun diese Werthe von M und iV, so wird
Q^- P. Hieraus ersieht man , dass P eine solche Function von s sein muss, welche in — /* übergeht, wenn man — s statt + s setzt und diese nenne ich gewöhnlich eine ungerade Function. Ist daher P eine beliebige ungerade Function von s, i,. B. tts, u^ , fts'j etc., so wird
Mds = dx = e><Pds oder x~i e^Pds.
Diess ist die Gleichung der gesuchten Gurve. Zusatz 1. g. 708. Aus dx = c^Pds folgt log dx =^ ^ V '"g P + log ds und wenn man diese Gleichung differentiirt, indem man ds als eonstant betrachtet, so ergibt sich
^J^ = ^ f ^ oder kPddx — Pdxds + MxdP . ilx k P
Die letztere Gleichung ist frei von der Expoiientialfunetion, EiiIoi'g MeL-haiiik. II. 25
y Google
386 Kapitel III. Von der Betoei/img eines Pmikte»
Zusatz 2. §. 769. Weil P durch * gegeben sein muss, licfitjden sich in der erhaltenen Gleichung keine vor Sil der liehen Grössen unter einander gemischt, daher genügt sie zur Gonstruetion der in ihr enthaltenen Curven.
Beispiel. 5- 770. Es sei P = -, alsdann wird ax = f ehds =
Äse* — A^e* H- /i^, welches die Gleichung Einer und vielleicht der einfachsten Geniige leistenden Curve ist. Eliminirf man
aus dorselhcn die Exponentialfunction e*, so geht sie «her in a.vsds = ajcsdx — ]c^adx + h^sds.
Setzt man ferner statt e' die ihr gleiche Reihe, so ergibt sieh die Gleichung
" = Ä + O* + 0-«ä + CTW. + ""■
Die derselben entsprechende Curve hat also im Punkt A eine horizontale Tangente, und es ist ihi Kröramungshalbmesser da- selbst r^= «. Damit die Curve nicht imaginär werde, muss dx
< ds, also s. e * < ß sein, Je grösser s wird, desto grösser
wird auch s.c*^ und da, wo s . eJ' ^ a ist, hat die Curve AM eine vertikale Tangente und einen Riickkehrpuukt.
Für den Zweig AN erhält man , indem mau — s statt s setzt, die Gleichung
'=ß
''.sds oder dx =
e hds
so lange also e *..v < a ist, wird die Cuive nicht imaginär.
Wird aber irgendwo c~*.j = a, so hat die Curve daselbst einen Rückkehrpunkt und einen vertikalen Durchmesser, Nimmt man aber a hinreichend gross an, so ist es möglich, dass stets
e ^.s < o bleibe; in diesem Falle wird die Curve AN sich in's Unendliche erstrecken und eine horizontale Asymptote BC haben. Es wird ferner
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mitlei. 387
e'i'.s — Q
in den Ijeiileii Fällen, wo s = 0 uiul = x ist, daher wird diese Function einen grössten Werth haben, welchen man fin- det, indem man ihr Differential ^= 0 setzt Hieraus folgt s
= k und an dieser Stelle das niaximum von e ''.* =— , Ist
n > - , so hat die Curve AN eine Asymptote BC, deren
Hiihe BA ~ — ist. Ist aher ((<-, so wird AN «bon so,
wie der andere Zweig, einen Rückbehrpunkt haben, welchen man mittelst der Gleichung
bestimmt Im eistern Falle niuss die Curve ^ZV^ einen Wende- punkt h iben, und 7"ar wird sein Ott N bestimmt durch die Gleichung
AN = h.
Satz 85. Aufgabe.
g. 771. (Figur 101. )■ Unter der Voraussetzung der Schwer- kraft und des vorhergehenden Widerstandes ist die Curve ^^i gegeben, auf welcher die niedersteigenden Bewegungen ausge- führt werden. Man soll für die aufsteigenden Bewegungen eine Curve AN von der Beschaffenheit bestimmen, dass die Zeiten einer jeden aufsteigenden und der vorangegangenen niederstei- genden Bewegung einander gleich werden. Auflösung.
Es haben */, h, AP r=. w, AM ~ s, AQ = t und AN = r die frühere Bedeutung, ferner hezeichnet yö die hei einer gewissen niedersteigenden Bewegung im Punkt ^ erlangte Ge- schwindigkeit, mit welcher der Korper die aufsteigende Bewe- gung durch .^IV beginnt. Bezeichnen \^v und Vwidie respec- tive in iJi und N stattfindenden Geschwindigkeiten, so haben
v^e<'(b-sße~ld^ »nd w=^e~'>'(l} - gj'e'' dl^ .
Fernei' wird die Zeit der niedersteigenden Bewegung durch den Bogen MA
y Google
Kapitel in. Von der Ji,!w<;t/un;/ eines PiiiiMi-s
J e^S *
./-:-
md die Zeit tler durch i^en Bogen JJVaul'steigeiitlcn Bewegung
/v<
ff f e'' dt
Setzt man in diesen beiden Ansdriicken nach der Integration
</ / e ^' äx =:^ b und g j e^'dt = li,
so sollen beide sich ergebende Zeiten sich einander gleich sein. Um diess zu erlangen, setze man
</ /e ''dx = Ä und fffe^ =: 1
wo X, T, -S und ß solche Functionen sind , welche verscliwir den, wenn man x, s, t und r=^0 setzt. Man muss daher bt
werde, wenn man nach der Integration X —. b und T =■ (i setzt. iS und ß aber, so wie auch X und 1' sind Grössen, welche von l> durchaus nicht abhängen und dasselbe Verhäli- niss zu einander behalten iniissen, welchen Werth auch b ha- ben mag. Es wird daher der Forderung Genüge geschehen, wenn R eine solche Function von T, als S von X Ist, oder wennman K =: S annimmt, muss auch T := X werden. Es ist aber
S = 2a(i —e"^^ und n = u(c^-l\
alao, weil ß := S gesetzt ist,
2 = e^f + e" äF oder r='2k log (2 - e~ ^J ■
yGoosle
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 389
Da aber unter dieser Voraussetzung X =: T oder e ''dx = e^ dt sein muss , so erhält man
t = I e ^ dx. Ferner ist
mithin wird
Hieraus erkeont man die Construction der Curve, nimmt man nämlich den ßogen
AN = r = 2/i log A — e'^^
an, so wird die demselben eil tsprecli ende Al)scisse
AQ=t=^
Die Gleichung der Curve A!V erhält man aber Tiequemer aus der zwischen s und ,t gegebenen Gleichung. Da uämlicb
- 2A log ("a - c^A
_ p dl
j(2e-i-l)-
ist; so erhält man, wenn man diese Werthe von g und x in
die zwischen ihnen gegebene Gleichung suhsfituirt, eine Glei-
chungzwischenrund(, welche der gesuchten Curve ^JVangehilrt.
Zusatz 1.
§. 772. Aus der Gleichung r =: 2k log ^2 —e'^''^ er- hält man
y Google
Z90 Kapitel III. Von der Bewef/ung eines Punktes
Damit aber die Curve AN nicht imaginär werde, rauss ilr > dt oder
'^''di . dx
( '2e2(. .
1 und es ivird AN so lange reell bleiben, als dx
<h-> -
'ie^'- — 1
S- 773. Es ist über stets e^ > 1 und wenn daher ds > dx ist, so wird um so mehr
|
2.2t _ |
1 |
|||||
|
:in. Ist dah;er |
die gegebene Curve i |
reeir |
, so |
wird |
es auch |
die |
|
Bswchte sein. |
Zusatz 3. |
|||||
|
%. TIA. Di |
i « =. - ^ii log ( 1 ds «^'''■ |
dr |
^0 |
ist, sc |
. erhalten |
wir |
|
2-e^t 2c' |
-k . |
— ] |
l |
|||
|
oraus man leichter die Relatioii |
chei |
1 ds |
und dx |
in |
Rechnung ziehen kann.
Zu^at? 4 §. 775, Aus der Auflusung der Aufgabe erhellt zugleich,, auf welche Weise man die umgekehrte aufzulösen !iat< Ist nämlich die Gurve AN dei aiiKteigonden Eewegung oder eine Gleichung zwischen t und r gegeben, &o bildet ^man ans der- selben eine Gleichung zwischen r und s, mittelst der Werthc
y Google
iuf einer ijerjebencn Linie im widerstehenden Mittel. 301 . und .■ = 24 log A — c^a).
{= r 2£
§. 776. Um die Form der Ciirve in der NShe des Punkte» A zu erforschen , setze man s «nd r Äusserst klein und es wird alsdann
c ^ ^ 1 , also dr =: fl\ und df ^= dx . Man ersiebt also , dass die untersten TLeile der Curven MA niid AN einander congment sind,
Beispiel 1. §. 777. (Figur 102.). Es sei als Linie der niedersteigen- den Bewegung die gerade MA gegeben, welche beliebig ge- neigt ist, so dass man s ^^ ax oder ds = adx hat. Da nun
ßs 3= und da: = ■
2c~äft _ 1 |2e~^ — l| '
ist, so erhält man für die gesuchte Curve die Gleichung zwi- schen i und r
dr = ~ oder «rf(= 2e'''^^dr — dr.
2e-« _ l
Integrirt man die letztere, so ergibt sich
at = U fl— c~i") - r;
oder wenn man die Esfjoneutialf'uiiclion in eine Reihe verwan- delt,
'' = *■ - ri + iTOT^-oixsp + "''•
und im untersten Punkt A
adt =i ilr. Diese Curve wird irgendwo eine horizontale Tangente haben und zwar findet man diesen Ort, indem man dt = 0 setzt. Es wird alsdann
fiiät = 2, r =: 2Ä log 2 und cf := 2U (1 ~ log 2).
yGoosle
392 Kapitel III. Von der Bewegung eines Punktes
Wird j- >■ 2£ log 2, so nimmt ilt einen negativen Weith -■ Mild es wird daher die Curve wieder hinabsteigen, his — dt ^ ilr
wird und diess geschieht, wenn
1 — 2 e ■« - ß oder
= 27. log (j-lr^)
■ 2ä 1o£
ist. Da nun a nicht kleiner als 1 werden kann, so wird, wenn a ::=. i. ist, die vertikale Tangente unendlich weit von A ent- fernt sein. Ist aber c > 1, so wird jenseits der borizontalen Tangente nirgends eine vertikale Tangente stattfinden. Hin- gegen wird diesseits der erstem eine stattfinden da, wo
ist. Im Fall dass die gegebene gerade Linie vertikal, also « = 1 ist, hat. man
r = 0
oder es wird die Tangente der Curve im Punkt A vertiltal.
Zusatz 6. §. 778. Bezeichnet s den ganzen Bogen MA der nieder- steigendeo Bewegung, so stellt r den ganzen, hei der folgen- den aufsteigenden Bewegung beschriebenen. Bogen AN dar. Ist daher Her ersfero gegeben, so wird der Bogen der aufstei- genden Bewegung
k log (^ - e ^'^ .
Da wir nSmlich X =^ T vorausgesetzt haben, so bezeichnen f und r die ganzen, bei beiden Bewegungen beschriebenen,
Beispiel 2. §. 770. Es sei die gegebene Curve 31A oben die tautö- chrnne Curve der niedersteigenden Bewegungen, welche wir vorher unter der Voraussetzung desselben Widerstandes ge- funden haben; alsdann -wird die Curve AN die Eigenschaft haben, dass auch alle aufsteigende Bewegungen in gleichen Zeiten ausgeführt werden, nämlich in deo, den niedersteigen- den auf MA entsprechenden, Zeiten. AN wird daher die be- reits gefundene taufochrone Curve der aufsteigenden Bewegung sein, welche mit MA continuirlich ist. Um diess aber auch
y Google
auf einer tjegebcnen Linie im widerstehenden Mittel. 393
durch Rechnung zu zeigen, nehmen wir für MA die Gleichung der tautochi'onen, den niederste igen den Bewegungen enlspre- chenden, Cuive oder
adx = /c(e^—l)d.i (§. 719.) ^n, woraus folgt
aw = W^{e^^i)-ks.
■ und
dx=~
i2c ^''— IP j ergibt sich, nach der Substitution dieser Werfhe
adt _ fidr {l — e'^i
oder
adt = ÄU — e~"!rfi-. Diese Gleichung wird aus jener abgeleitet, indem man ( statt X und ~r statt s setzt. Daher ist die Curve AN mit MA con- ttnuirlich und die tautochrone Curve der aufsteigenden Bewe-
^""^^"" Zusatz 7.
§. 780. Ist demnach der Bogen s auf dor tautochronen Cnrve der niedersteigenden Bewegungen gegeben, so wird der Bogen aul der folgenden tautocbronen Curve der aufsteigenden
r =2/dog(2-e a*).
Nimmt ferner die niedersteigende Bewegung in der Spitze der tautocbronen Curve eben dieser Bewegungen ihren Anfang, wo- bei man den Ort dieser Spitze aus der Gleichung
Jk = ^-^ CS. 729.).
iindet; so wird der Bogen der aufsteigenden Bewegung, oder
y Google
394 Kapilel 111. Von der Beteegung eines Punktes
wie wir oben (§. 732.) gefunJen haben.
§. 781. Da also die. tautochrone Ourpe, unter (lleser Vor- aussetzung des Widerstandes, der Aufgabe Genüge leistet und continuirlich ist, so wollen wir diesen Umstand benutzen, um mehrere contiuuirliche €urven zu erforschen, deren zwei Zweige die Stelle der Curven MA und AN- vertreten können. Diess werden wir im folgenden Satze ausführen. Satz 86. Aufgabe.
§. 782. (Figur lOJ.). Unter den vorigen Voraussetznngen soll man diejenigen Fälle bestimmen, in denen zwei Curven MA und AN, auf welchen die nieder - und folgenden aufstei- genden Bewegungen in gleichen Zeiten ausgeführt werden. Eine continuirliche Curve bilden.
Auflösung.
Unter Jieibehaltiing der Bezeichnungen des vorigen Satzes muss, ausser der Erfüllung der dort gefundenen zwei Gleichungen
2 — e^H- e~^ und e~^(h: = e^dt,
bewirbt werden, dass die Gleichungen zwischen s und x und zwischen *■ und * unter Einer und derselben Gleichung begrif- fen werden. Nehmen wir zu diesem Ende eine neue Verän- derliche X an, durch welche der Punkt M auf der Curve MA so bestimmt werde, diiss,wenn man x negativ setzt, man auf dieselbe Weise den Punkt N auf der Curve AN erhalte. Es nmss daher s eine solche Function von s sein, dass dieselbe, wenn man darin — j statt +z setzt, den Bogen AN ergebe, d. h. weil dieser wegen der negativen Lage = — r ist, dass s in — 'T übergehe , wenn man — i statt +z setzt. Setzen wir daher
e^" = l- Q. Es muss also Q eine ungerade Function ^
y Google
auf einer gegebenen Linie im .widerstehenden Mittel. 305
den entgegengesetzten Werth annimmt, wenn man i negativ setzt. Ferner wird
."•=(I+0)' unil e»=(l-e)', also auch
dx{\-\-Qf = dt{i-Q)^ und es muss x eine solche Function von z sein, welche in ( tiliergeht, wenn iinin z negalii' setzt. Man setze nun
dx = Mdx und es gehe M in IS i'iber, wenn man z negativ annimmt; ols- daiin wird
dt = ~Ndz
und SU
M(l + Qf = —N(l — Q)^. Es sei daher M = /*(1 — Q)^, wo jP ebenfalls eine ungerade 'Function von z ist, alsdann wird iV = — /■*(! + ö)* und so M{l + Q)^ = — iV{l— Q)ä, wie erforderlich. Nimmt man dem- nacli für P und Q beliebige ungerade Functionen von z an, so ergibt sich
dx = Pdzil^Q}^ oder x—fpdzii-Qf und
Es entstehen auf diese Weise uiizShlige Curven MA, deren CO ntinuir liehe Theife AN aufsteigende Bewegungen hervoi'briu- geUj welche mit den auf 31A erfolgten niedersteigenden Bewe- gungen isochron sind. Weil aber zwei Functionen P und Q in den Gleichungen vorkommen, bestimme man eine von bei- den, setze etwa Q = — i; alsdann erhalten wir
* = 2Älog (t—t) ^^^ x~rPdz(X'\-if.
Aus der ersten Gleichung folgt i = 1— c ^ und substituirt man diesen Werth von z in die zweite, so erhilt man eine Gleichung zwischen x und s zur Bestimmung der gesuchten
Zusatz 1. §, 783. Ist s = 0, so wird auch » = 0; daher muss das Integral /Pdx(l+z)^ so angenommen werden, dass es für i
y Google
396 Kapitel UJ. Von der Bewegung eines PunhUs
=0 verschwinde. Wivd nämlich s^O, so muss auch z« gleich a; =; 0 werden.
Zusatz 2.
g. 784. Aus s = 2Alog (Ar) ^^'s' '^« ^ 7^ """1 ^'i (/a; = P(fa(l + i)^ ist, so erhalten wir
ds___ 2A
Die Curve wird demnach reell sein, wemi nicht etwa P(l — s") (l+i)>2A wird.
Zusatz 3.
S. 785. Im untersten Punkt j4 ist j = 0 und -j— = ttS^s
muss daher /-* eine solche ungerade Function von i sein, welche für z =: 0 kleiner als ^k wird. Diess ist aher nur möglich, wenn die Function, welcher P gleich ist, för i ^ 0 verschwin- det und in diesem Falle wird im Punkt Ä die Tangente der Cui've horizontal.
Beispiel 1. §, 786. Da P eine ungerade Function von j sein muss, so setze man
alsdann erhalten wir
Es ist aber
1=1- substituirt man daher diese Werthe, so erhält man
(te_ g^
Diess ist die Gleichung der tautochroncn Curve, welche wir oben gefunden haben, auf deren Theile itf.iJ alle niedersteigende Bewegungen in gleichen, auf deren andern Theile AN aber alle aufsteigende Bewegungen in denselben Zeiten ausgeführt werden. Beispiel 2. §. 787. Es sei
_6nt — 2«i^
yGoosle
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 397 alsdann tvlrd
..=/:
(1-.)« - 1-,
Ferner wie vorhin i = 1 — e ^*, also ^ _ a (1 — e~St)g (i_ c~^j
n|l_e 2t-jiij4g2J:_ij
Setzt man statt der ExponentlalCunc Honen die ihnen gleichen
- ilflx s' -^ -" -"
Reihen, so erhält man -■ ■■■■ =r s" ^
+ etc. = öar, wo « = -^ gesetzt ist.
48/(3 ^96F 640^4 4/ci'
Satz 87. Aufgabe.
g. 788. (Figur 101.). Unter der Voraussetzung der gleich- förmigen abwärts gerichteten Schwere und eines gleichförmi- gen Mittels, welches im doppelten Verhältniss der Geschwin- digkeiten widersteht, ist eine beliehige Curve MA gegeben, auf welcher ein Körper niederateigt. Man soll eine Curve AN finden, welche mit jener in A verbunden und so zur aufstei- genden Bewegung des Körpers geeignet ist, dass alle, auf der Curve itfJJV erfolgende, halbe Schwingungen in gleichen Zeiten ausgeführt werden.
Auflösung.
Es sei wie früher AP = ce, AM = s, AQ=t, AN = r, ferner worden g und k in der Öfters erwähnten Bedeutung ge- nommen, endlich seien Vv, Vft und Vw die respective in den Punkten M, A und N erlangten Geschwindigkeiten des Körpers. Wir haben alsdann
vz^c'-ib-gj'e ida;),w=ie 'Hb - gj^e^ dt)
so die Zeit, in welcher bei dieser halben Schwingi tn MA und AN durchlaufen werden,
/fh P dr
e^\ b-gferhlx J e'^y ö-ffje^d
yGoosle
398 Kapitel Ul. Von der Bewcfimig eines Punktes Dieser Ausdruck wird die ganze Zeit einer halben Schwingung ergeben, wenn man nach der Integration gl e ^dx^b und
g I ^dt = b setzt. Diese Zeit soll nun stets einen constan- ten, von b unabhängigen Werth haben und aus dieser Bedin- gung musiS man eine Gleichung zwischen t und r, mittelst der zwischen x und s gegebenen Gleichung herleiten. Wir setzen der Kürze wegen
g fe~'^dx = X und g j c'^dt =: T,
1 diese Werthe,
f _dS_ r dR
einen constanten Werfh haben, wenn man nach der Integration X ■= b und T = b setzt. Es werde allgemein T — X, so werden wir, weil T von X nicht abhängig ist, für die Zeit den Ausdruck haben
CdS^dR
und dieser muss so beschaffen sein, dass, wenn man nach Akx Integration X := b setzt, b ganz aus der Reebimng ver- schwinde. Diess wird geschehen, wenn man dS + dR —
f\
Vx
«/
STbX-
wird. Setzt man k == ^^ , so wir^d diese Zeit = % \f^t Vg Vi,
und es wird f die LSnge eines Pendels hezeichnen, welches im leereu Räume und unter Antrieb der Schwerkraft =g sehr kleine halbe Schwingungen in derselben Zeit zurücklegt, in welcher diese halben Schwingungen auf den Curven MA und ^iV ausgeführt werden (§. 167.).
y Google
auf einer gegeheneu Lini^ im widerstehenden Mittel. 399 Ua nun d5-|-rfß = ^^f, .„ wird S+}f=2\fWl Es ist ahev
^,\[,fß
S = 2/< (I - e »'■) und ß = 2* («'
,» = «"' S + jY if Pr'dx undr = 2tlos|i!"''
+ |V 'iffe'^dx].
Der iliesem Werth von )- eiitspreclicnde Werth von ( ergilit
sieh aber ans der Gleichung T=iX oder e^dt^=e ^dx, wor- aus, folgt
<=r .rj^^^T^^
Aus beiden Gleichungen ergibt sich die Conatructioii der ge- suchten Cutre. Die Gleichung der gesuchten Curve AN fin- det man aber bequemer aus der gegebenen Gleichung zwischen X und s, indem man
s = -2//bg[e^-^;V 'iff>^dt\ und ^ _ r rff ^^ __
setzt und diese Werthe in die gegebene Gleichung «ubstitiiirt, wodurch man eine Gleichung zviiocheii * und ( erbalt, welche der gesuchten Curvo AJS angehoit Zusatz 1 §. 789. Da sehr kleine Scbwuigungen mit denen im leeren Räume ab ereinstimmen, wenn die Tansente dei Cuive MA in A nicht horizontal oder der Krumm ungsbalbme&s er daselbst unendlich klein ist; so wird der Krümmungshalbmesser der ge-
y Google
400 Kapitel III. Von der HeiKegung eines Punktes
suchten Curve AN im Punkt A = 4/. Es wird nlimlich in diesem Falle die Zeit einer sehr kleinen niedersfeigenden Be- wegung ^ 0 und die Zeit der anfsteigenden Bewegung =
^ Zusatz 2.
§. 790. Ist aljeT der Krßmniungshalbraesser der Cuvve M^ im Punkt A von endlicher Grösse, etwa 3= ä, so wird die Zeit einer sehr kleinen niedersteigenden Bewegung
^5^'(g. 16R.).
Da nun aber die Zeit Einer halben Schwingung = — ^ ist, so wird der Krümmungshalbmesser der Curve AN in A
Damit nun die Curve AN nicht imaginSr werde, muss 2V2/' >V^ oder f>\k sei».
Z.isatz 3.
§. 7Cll. Ut f = h, •,» wu'd auch {iVf- V'h\^ = f=h und es haben in diesem Falle beide Curve» im Punkt A einen gleichen Krümmungshalbmesser und eine horizontale Tangente. Anmerkung 1.
g 792 So Mie wir hier lu** dei gegebenen furve der nie dersteigenden Bewegung die Curie der aufsteigenden Bewe guiig heigeleitet hihen kann man auf ähnliche Weise die er stere aus dei letztein herleiten ist nimlich eine t leichun^ zwischen t und r ^egehen s< bniicht min l«i bei le nur die Werthe
!Älogte ^''^-jS -Iffe ■
zu substitiiiren , um die gesuchte Gleichung zwischen x und s zur Bestimmung der GurVe der niedersteigenden Bewegung zu erhalten.
y Google
auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 401
Zusatz 4.
§. 793. Da f unzählige Werthe haben kann, wenn nur f >iA ist, so kann man mit jeder gegebenen Curve der nieder- oder aufsteigenden Bewegung unzählige Curven von der Art verbinden, dass die auf ihnen ausgefäbrten Schwingungen alle isochron werden, ganz wie diesa im leeren Räume geschehen kann.
Zusatz 5.
§. 794. Da wir in der Aullüsung T ^ X gesetzt haben, so ist in dieser Gleichung eine Relation zwischen dem ganzen Bogen der niedersteigenden Bewegung und dem Bogen der entsp rech enden aufsteigenden Bewegung enthalten. Ist der er- stere etwa = s, so wird der letztere oder
!-.2/dogie~5F4.-VY IfCfk^xY
Beispiel 1.
§. 795, Es sei als Linie der niedersteigenden Bewegun- gen eine vertikale gerade Linie PA gegeben, für welche also s — 3: lind d,s = dx ist und wonach
P
|
••+jV 2A(1- |
-e i)| Ode, |
|
-+V|^i-. |
r*). |
|
. ih |
Ferner erhalten i
ei' dt ~ ds. Eliminirt man nun s, so ergibt sich für die Curve i gendeii Bewegung die Gleichung
Eulei''s MKclianik. II.
e2«y 4;
yGoosle
4(K Kapitel 111. Voji der Bewegung eines Punktes
iD welcher die Veränderlichen von einander getrennt sind, so dass sie zur Construction der Curve ausreichend ist. Die In- tegration dieser Gleichung hängt übrigens von der tjnadratur des Kreises ab.
Für den leeren liiunii erhiilt man, indem man /f^r:!» setzt, dte Gleichung
_ drVW ,
welche letztere auf die, im vorigen Kapitel (5-464.) gefundene, Gleichung zurttckgeftlhrt werden kann. Beispiel % §. 796. Es sei als Linie der niedersteigenden ßeiveguu- gen die tautochrone Curve gegeben, »veli^he wir eben gefun- den haben und deren Gleichung ist
üdx = kds\e^~l\ (§.719.). Es wird daher
2^2,
je ~^dx~ - j tls\e
V
- i 1 -- e 2* i^
"JV /rUT=iü=|^.
Wir erhalten demnach ferner
I- ^- \^-(i r«j=^'-'^+'' "(v"°-vy)
md e 2*=-
Hieraus folgt
ds=
STTf-e^.V^ [e^.\rä^\r^'^
Da aber ferner e^dt = e ''dx, so wird
y Google
mf einer f/eijebeiieit Linie im witlerstelr.enden Mittel. Kt3
|,«\^a_V"2/P
i-^ra^-Vifl''
wo ■V^K ■<; VS/" sein muss. Die gefundene Gienhuiiq uinPiest alle taiitochrone Curven der aufsteigenden Bewegung und wird irgend eine dersellien mit der tautochronen Oune der nieder- steigenden Bewegung verbunden , so werden aul dei so zusam- mengesetzten Curve alle halbe Schwingungen isochron '.cm mus sen Nimmt min /=2a lUo V"7='"V n d.n, so und obige Gleicbunij
mit = Idr{l—e~'^) Diese entspricht deijenieen tautochronen furve, auf welcher ille aufsteigende Bewegungen in derseHien Zeit erfolgen, in welcher lul der f,egebenen tautfcbionen ( nrve die niederstei- genden Bewegungen vor sich gehen und es ist jene eine Fort- faetzung lon dieser
Beispiel 3. §. 7ö7. Es sei als Linie der" niedersteigenden Bewegun- gen die tantochrone Curve der aufsteigenden Bewegungen ge- geben, es ist die Fra^e, was für Curven mit ihr verbunden werden müssen, damit die halben Schwingungen auf der ver- einigten Curve isochron werden. Fär die Curve MA haben wir demnaqh die Gleichung
adx = kds{i~-e'^\ und es wird
e ''da:—-Jds\e '' — e ^*| =
Hieraus folgt
P^*=« ai^- !l_e «*lV|^(H-2« ^'')
yGoosle
404 Kupiiel lll. Von dei
M)j:
Aus beiden Gleichungen folgt die.Constmction der Curve, Anmerkung 2. §. 798. Dieses Beispiel haben wir angeführt, damit man ersehe, mit nelcher Curve die tautochroiie der aufsteigenden -Bewegung verbunden werden muss, damit alle halbe Schwin- gungen in gleichen Zeiten ausgeführt werden. Aus den ge- finidenen Formeln ersieht man aber, dass die gesuchte Curve nicht die tautochrone der iiiedersteigenden Bewegung ist; denn in jenen Formeln ist die Gleichung
nicht enthalten, was sich bei einem angestellten Versuche so- gleich aelgeo wird. Wenn daher MA fiir die nieder- und AN für die aufsteigenden Bewegungen tautochron sind, und wenn auch alle Hingänge durch MAN in denselben Zeiten ausge- führt werden; so werden doch die Hergänge durch JV^jM oder die folgenden halben Schwingungen nicht isochron sein. Ein Pendel, welches mau längs der Curven MA und AN schwin- gen lässt, wird daher keine isochrone Schwingungen machen, wenn auch wechselweise die halben in M anfangenden Schwin- gungen iu gleichen Zeiten ansgefilhrt werden. Diese zusam- mengesetzte Curve MAN ist demnach nicht geschickt, um die Pendelbewegung im widerstehenden Mittet gleichförmig zu ma- chen. Das beste Hiilfsmittel gegen diese Unbequemlichkeit wird aber sein, wenn man einen Fall bestimmte, in welchem AN der ("urve MA gleich und ähnlich würde. Satz 88. Aufgabe.
§. 799. (Figur 101.). Die Curven MA und AN haben die Eigenschaft, dass alle halbe Schwingungen, welche auf der erstem anfangen, in einem Mittel, welches im doppelten Ver- hältniss der Geschwindigkeiten widersteht, unter sich isochron sind. Man soll die Fälle besfinimeti, in denen diese zwei ver- einigten Curven MA und AN Eine continuirliche Curve bilden. Auflösung.
Es seien .'c, s, l, r, // und k in der vorigen Bedeutung
y Google
anf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 403
geiiomineii, ferner sei /"die Länge eines isochronen Pendels im leeren Räume; alsdann haben wir die Gleichungen
fe '' = \j vf.
e ''dw und ^dt:=e ''dx,
welche eine Relation zwischen beiden Curven enthalten. Da diese nun zwei Zweige einer continuirlichen Cucve sein sollen, so inuss die Gleichung zwischen x und s so beschaffen sein, dass, wenn x \n t übergeht, wegen der entgegengesetzten Lage allgleich s in — r übergehe. Wir nebiuen zu diesem Ende eine neue Veränderliche x an, von welcher * and x der- artige Functionen sind, dass fär i negativ ^ in i und s in —r Ob ergehe. Es sei
/'
''dx -
setzt man nämlich t negativ, in welchem Falle r in — s und — s in r übergeht, so ergibt sich
ke" ^~ke^^~ zVTf, welche Gleichling mit der vorigen übereinstimmt. JSun sei P eine beliebige gerade Function von 2, welche also ihren Werth nicht ändert, wenn man — i statt i setzt und man nehme
ke~^=—itVW-i- P an, alsdann wird der Aufgabe Genüge geschehen. Setzt man nSmlich —i statt i, also auch — r statt s, so erhalten wir aus dieser Gleichung
ke'^i' — ke~ ^ := zV'lf, wie verlangt wird. Der andern Gleichung f e}dt^= f c ^ dx
geschieht schon durch die Annahme f e ^ dx = i^ Genüge,
indem, ivenn man — t statt i, also — r statt s und dt statt dx darin setzt, dieselbe in
y Google
406 Ktrpitel III. Von der Bewegung eines Punktes
ßidt ■= ja = /^
überijelit. Durch die Veränderliche i, wovon P eine beliebige gerade Function ist, wird die Cuvve MA , deren Foitsctzung AN ist, so bestimmt, dass
md f/^=2e*i(fc=
werde. Wir haben demnach
^ = S&^ /l_-i_%=- „nd s = U log ( ^^' -) .
J{2p~iV^^fi^ y^ip—z^fifj
Setzt man, so wohl zur Vereinfachung der Formeln, als auch um die Ausdrücke bequemer homogen zu mache«, z = — =>
V7
WO u von der Dimension =^ 1 ist, so wird P auch eine gerade Function von n und wir erhalten
Z at 1 g "^00 i\r n n d d I u M I ge t ut throne Curven MAN finde k enn ! /* g 1 ine gerade Function
YOi l t tu t L e fcrl 1 I en a: und s wird man
abe e I Ite wen a au den be de letzten Gleichungen die a h n /* enthalte eA nde I 1 eliminirt
Zusatz % . §.801. Aus. = 2/.log(p^)fo!gt,7. = ^flp^
und e^= p-^-- oder i»— ?/ = /re~^*; also
' "' - {P^ur Verbindet man mit dieser Gleichung die andere
*^— f -(P-u)^' so erhält man
e^.ds^fjdu-dP) dx '2udu
welche Gleichung oft sehr bequem ist, um u zu climiniren.
y Google
auf einer ffcgef/cnen Liinie im widerste/icndeH Mittel. 407
Anmerkung 1. @. 802. Da fiir s = 0 auch ^ = 0 wmlen m«as, ao hat man zuerst xu untersuchen, fVir »velchen Werfh von u die
Griisse s vorschnirnle. Hierauf hat mau (!as integral
/,
als auch bei der enn diese nämlich
So anzunehmen, dass es verschwinde, nenn man darin fSt u jenen Werth substituirt. Diess ist zu beobachten so wohl bei der Construction der Curve, welche vermittelst der zwei gefi denen Gleichungen ausgeführt werden k: Bildung der Gleichung zwischen a: und j aus der Integralgleichung
abgeleitet wird.
Uehrigeiis kann man, wenn man statt u und P heÜebige Vielfache derselben anwendet, statt der beiden gefundenen Gleichungen die folgenden
— ^^ f^
^n\'
benutzen. - Hier ist die Constante c ganz beliebig und kann daher so bestimmt werden, dass s in demselben Falle ver- schwinde, in welchem diess mit x geschieht. Es verschwin- det aber s, wenn u = 0 ist, indem
Pe hx = %^ = y^ »nA fl Ur^Ow
= Ol
es muss daher c dem Werthe von P gleich sein, weichet dieses für h = 0 annimmt. In demselben Falle muss dabei auch ,r = Ü werden, wodurch man die Constante bei der ii tegration des Werthes von x bestimmen kann. Es muss also fiir P eine solche gerade Function von «angenommen werden, dass dieselbe = c werde, wenn man w =: 0 setzt.
Zusatz 3.
§. 803. Da die Lange eines isochronen Pendels im leeren
Räume — f ist, wenn man die Schwerkraft = g setzt und da
sehr kleine Schwingungen im widerstehenden Mittel von denen
im leeren Räume nicht verschieden sind; so wird der Kriim-
y Google
408 Kapitel III. Von der Bewegung eines Punktes
mungshalbmesser der Ciirve in A =^ f, wenn nUnilich die Tan- gente in demselben Punkte horizontal ist. Beispiel I. g. 804. Da P eine gerade Function von u sein niuss, so sei P constant ^= c ^= h, wodurch für m := 0, s ^ 0 wird. Es ergibt sich daher
k—u=h.e~^oAexu^k(\ ~ e~"^"A.
Ferner haben wir, weil dP = 0 ist,
dx 2m las
und aus beiden Werthen von u
tii = /„/. i.ä-II.
Diess ist die Gleichung der tautochroneD Curve für die nieder- steigende Bewegung und setzt man dieselbe ober A hinaus fort, so erhalt man die tautochrone Curve der aufsteigenden Bewegung und es werden alle halbe Schwingungen auf dieser conti uuirl ich en Curve isochron sein, nenn dieselben nur auf dem Zweige MA ihren Anfang nehmen. Beispiel 2. g. 803. Es sei P ~ h + — , alsdann wird es denselben
Werth beibehalten, wenn man auch u negativ setzt. Unter die- ser Voraussetzung wird
e^Hs _ f(a — 2«) , _ fiidx
dx ~ ^la.u '="~^''«-
%ae'^i'ds H- fdx\
Substituirt man dfesen Werth von u in die vorstehende Glei- chung, so ergibt sich
yGoosle
mif einer (/e/}e/ienen Linie im widerstehenden Mittel 400 zieht maa aua derselben die Wurzel, so ergilit sich
|
'"^ Uiei. |
--y |
«(«i»_l)'4i(e»»-I) ' |
|
In dem besoiideri |
1 Falle, (lass |
a = 4A ist, geht dieselbe über in |
|
««»<& |
_l±e« |
|
|
rdx |
,ä_, |
|
|
Diese Oleichung i |
enthält offenb: |
arderei) zwei, von denen die eine |
|
lili=Ue' |
'*(Z.,-ie3S-I| |
— /yx=4Äe3t ds t e'"'+li
ist. Die letztere ist nicht zu benutzen ,, weil IVir s = 0, dx nicht verschwindet und weil es einen negativen Wecth hat. Die andere ergibt, wenn man sie integrirt
fx ^ \W V~ V + ffi •"'«^'"^/'^~ 8/c^i2c«*— Sc^"-!-!).
Setzt man diese Cut ve über ^hinaus fort, vevfauscht man also X mit ( und s mit — r, so erhält man zur Bestimmung dersel- ben die Gleichung
Führt man endlich statt der Expo nential Functionen die ihnen gleichen Reihen ein, so erhält man die Gleichungen; sä , 5s= , 19.^ , , ,
24/e "^ 384A2
f* — ö iuJ,^ nK/l t2 "**'■
V^v../.
U& i^ = —= I e '' dx ist , so Vi ^dx. Eliminirf man aber u, na ergibt s
y Google
410 Kapitel llt. Von der Bewe.fjuvg eines Punktes
Setzt man jenen Werth von u in diese Gleichung, nämlich in /-* = Ä + — , so erhütt m[in sogleich eine Gleichnng zvvijichen
s und X.
Beispiel 3. g. 8()7. Setzen wir voraus, dass P = Vk^ + u^ oder pa ^ /c^ + M^ sei, so substitiiire man für P und m* ihre oheti ge- gelienen Werthe und wir erhalten alsdann
/^ e" S -h 2Ae" ^ Y i/^f/'e~ * dx + Va/Y'ß"' * '?-c
= /i^ + %fre~~^dx.
oder
vT.,/«-
Erhebt man diese Gleichung zum Quadrat, so erhält man:
2/" /e~ * <te = Ä^ 1 e* + e~ ^ - 2 1
und wenn man dlfferentiirt
2ß~kda:~kdsie^—e~^\ oder 2/yar==Ät?s ie"*"- Ij. Das Integral der letzten Gleichung ist
2^^ = — I ^^ ~ 1 '
o^er, wenn man auf der rechten Seife in eine Reihe ent- wickelt
Anmerkung 2. §. 808. Die in diesen Beispielen für ein, im doppelten VerLältniss der Geschwindigkeiten widerstehendes, Mittel ge- fundenen Curven sind so heschaffen, dass die Bogen MA und ASS einander unähnlich werden. Da also alle ilied ersteigende Bewegungen auf der erstem Curve anfangen müssen, so wer- den die folgenden halben Schwingungen, welche auf der Curve NA anfangen, nicht taiitochron sein. Aus diesem Grunde kann
y Google
auf einer gegebenen Linie im widurstehenden Mittel. 4tl
man diese Cuiven den schwingeniJeii Bewegungen nicht , an- passen. Man würde diesem Uebelstande althelfpn, wenn man ein Paar derartiger Curven 31A nnd AN fände, welche einan- der congruent wären; denn in diesem Falle könnte auf beiden die niedersteigende Bewegung vor sich gehen. Es ist kein Zweifel, dasä ein solcher Fall existire, die Auffindung desselben würde aber, weil diese zwei Curven vielleicht nicht continuir- lich sein werden, eher zum vorigen Satze gehören. Man niuss nämlich eine Curve der niedersteigenden Bewegung suchen, wel- cher eine ihr congrnente Curve der aufsteigenden Bewegung ent- spricht. Diese Aufsuchung ist aber, wegen der Mangelhaftigkeit der Analysis, so schwierig, das s ich zweifele, oh jemand vor einer bedeutenden Kr Weiterung der letztern würde zum Ziele gelangen können. Die Frage kommt nämlich darauf hinaus, dass man eine Gleichung zwischen s und a* von der Art finde, dass, wenn man in derselbei
- -24 log k»^ jV Wf^
dw ] statt s und
setzt, dieselbe Gleichung sich wieder ergebe, welche man vor- her hatte. Diese Bedingung kann zwar auf vielfache Weise erleichtert werden, jedoch sehe ich nicht, auf welche Art man ihr wir4 Genüge leisten können. Ist das Mittel sehr locker, also k sehr gross, so ist es nicht schwer, aus dem Angeführ- ten einen Fall zu flnden, in welchem die zwei Curven MAvnA AN einander gleich und ähnirch werden. Ich habe, nachdem iuh die Hechnung bis zu Ende durchgeführt, die Gleichung
gefunden. Die dieser Gleichung entsprechende Citrve hat, wenn man sie über A hinaus weiter führt, einen dem Bogen AM gleichen und ähnlichen Zweig AO und es wird daher ein auf derselben schwingendes Pendel die einzelnen halben Schwin- gungen in gleichen Zelten ausfuhren. Aus der Gleichung folgt
aber ^
s« == — 9*3 -I- U VW + Afx und s= V — OÄ^ ^ uVU'^-[-Afx. Da. aber k sehr gross sein soll, so wird
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412 Kapitel III. Von. der Bereeifiiiir/ einen Punkt ,_»A,5_AV27S ,,, _- fdx ^fd^ffffi
dy = di:\ I-,
V ix 124» V f-
/adx~xilx a^ p xdx
^l^adx
Diese CuTve kann fast auf dieselbe Weise, wie eine Cycloide mitteiät der Rec tific.it ion des Kreises beschrieben werden. Zusatz 5.
§. 809. Nimmt man a = l\f% oder f = la = IkS/Z an, so geht die Cuvte in enie Elhpse über, deren horizontale Axe doppelt so gross als dif \ertikale, welche letztere = a = ÄV 3 ist. Es ist aho möglich, dass in einem widerstehen- den Mittel eine Ellipse tautochron werde und mehr der Auf- gabe Genüge leiste, als eine Gycloide. Anmerkung 3.
§. 810. (Figur 104.). Die Constiuction der, in der vorigen Anmerloing dargestellten, Curve in einem sehr lockern Mittel ergibt sieh auf folgende Weise. Ueber einer vertikalen geraden Linie AB ^ a = ^/^ beschreibe man einen Halbkreis AOB und mitteist desselben, über der horizontalen Grundlinie BD die Cycloide AFD und denke sich die letztere zugleich in der umgekehrten Lage AGD beschrieben. Nachdem diess geschehen ist, construire man die gesuchte Curve AMC, indem man über- all ihre Ordinate
PM=PF ~~.PG oder auch PM — (l + ^) PO
annimmt, auf weiche W>ise man unendlich viele Punkte der Curve kennen lernen kann. Für den letztern Werth von PM bedarf man der Cycloide nicht. Die Curve AMC hat aber ir-
y Google
auf einer ffe.f/eOetien Linie im widerstehenden Mittel. 413
gendwo eine vertikale Tangente oder eine griissfe Ordinate JP^, welche man findet, indem man
(%rr;0,d.h.Y ^^ - ^ Y^-^—^Osetzf, woran» lolfe't
- 3(tA^ "^ ifi + dk'^' Nimmt man die Äbscisse AP gleich diesem Wertlie an, so wird die ihr entsprechende Ordinate Pitf den grössten Werth haben. Satz 89. Aufgabe. §, 811. (Figur 88.), Unter der Voraussetzung der gleich- förmigen und abwSrfs gerichteten Schwerkiaft ^ ff, ist eine beliebige Curve am fiir die niederste igen de Bewegung im leeren ßaume gegeben. Man soll eine Curve AM tiir die niederstei- gende Bewegung in einem gletcUfÜrmigen Mittel, welches im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeit widersteht, von der Art bestimmen, dass alle niedersteigende Bewegungen aai MA mit den auf ma erfolgenden respecfive isochron werden , wenn die Geschwindigkeiten in den untersten Punkten « und A ein- ander gleich sind.
Auflösung. Es sei für die Curve am die Abscisse ap = t und der Bogen am = r, für AM sei AP = cc und AM =z s, ferner werden k, b und ff in der frühem Bedeutung genommen. Die Zeit der niedersteigenden Bewegung Im leeren Räume ist alsdann
wenn man nach der Integration yt ^ b setzt. Für die Zeit der niedersteigenden Bewegung im widerstehenden Mittel haben wir ferner den Ausdruck
'/■
"dw
wenn man eben so nach der Integration ff f e ''dm =b setzt. Beide Zeiten werden daher einander gleich sein, wenn — = </j-und ic hlx^t
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4!4 Kapitel III. Von der Bewegung elves Punktes
ist, indem alsdann für beide Beweguneen die Zeit / ■ — —^ —
*' ^ J V6-fft
|
1. Da ,lso |
||
|
^=e^^^-(Lr=(lr ist, |
so erliiiit man durch Integration |
|
|
24 (l-e"ä) = r md |
«-=^. |
woraus folgt |
|
I, . = 2t |
;»^(.^)- |
|
|
iLodcTe Glerclmng /e |
^d.j: = t ergibt e' |
"^dx = dt, (1. |
|
-ur^-'Yu.,, |
^. „ i't^t^* |
nd so |
^■-/(^--
Ist daher eine Gleichung zwischen * und r zur Bestimmung der Curve am gegeben , so iiann man mittelst dieser zwei Glei- chungen, weiche s und x durch ( und r bestimmen, die ge- suchte Curve AJfl eonsfrujren. Eine Gleichung zwischen ic und s findet mau aber bequemer aus der zwischen t und r gege- benen, indem man in dieselbe 2ä (I — e ^) statt r und je^'^ilx statt ( substituirt.
Zusatz 1. §. 812. in der ]\ähe des untersten Punkts /l, wo ( und r verschwindend kleine Grossen sind, wird
i=r + ^und:r - .1. . rdl ,
+/?
mithin ist die Neigung der Curve MA in A gegen die Ase AP gleich der Neigung der Curve ina in a gegen die Axe ap. Zusatz 2. %. SIS. Ferner ist der Krümmungshalbmesser im untersten Punkt «, wenn die Tangente horizontal ist, = — und in A, weil die Tangente ebenfalls horizontal ist,
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auf einer i/egefienen Linie im tdderste/ienden Mittel. 413
_sds _ / ,r^\/'t r\!ir )v& /. r^N rdr
~ä^~y'^uj K 'Ujlt — dl \ Uj ~ dt ' weil r unendlich klein ist.
Zusatz 3. g. 814. Hai demnach die Giirve ma in a eine horizontale Taiigetite, so ist dasselbe im Punkt A der Gurve 3TA der Fall und es sind die Krümm ungshalbmess er in beiden Punkten ein- ander gleich.
Zusatz 4. §. 815. Hat man daher im Ipeveii Räume eine Curve ma gefunden, auf welcher die Zelten der niedersteigenden Bewe- gungen ein beliebiges Verhältnis» zu den in a erlangten Ge- schwindigkeiten haben; so wird dieselbe Aufgabe für das wi- derstehende Mittel durch die Curve J!/J aufgelost, -welche man nach der vorgeschriebenen Weise aus jener ahleitet- Zusatz 3. §. 816. Ist daher ma eine Cycloide, d. h. eine im leeren Kaume tautochrone Curi-e, so wird MA die oben gelündene tautochrone Curve der niedersteigenden Bewegungen im wider- stehenden Mittel. Setzt man nämlich r^ = ^at, so wird rdr = adt und indem man für r und t ihre oben gefundenen Werthe substituirt,
2Ä (1 — e~äi) -^ = ae~Mx <}<ietada^=2Ms{e^^—l] .
Beispiel, g. 817. Es sei am eine beliebig geneigte gerade Linie, so *s r = nt wirdj alsdann wird die Zeit, in welcher hei nie- ■steigender Bewegung die Geschwindigkeit Vö erzeugt wird, nd,t _ „ 2M>Afi =^ S
Dieselbe Eigenschalt hat daher auch die Curve MA, dass nämlich die Zelt einer beliebigen nied ersteigenden Beii'egung im widerstehenden Mittel, in welcher die Geschwindigkeit Vit erzeugt wird.
-/v
oder ehen dieser erlangten Geschwindigkeit proportional ist. Da aber r = nt und dr = ndt ist, so substituire man in die
y Google
Hß Kapitel III. Von der Bewer/ting eines Punktes
;Heite Gleicliung für dr und dt ihre eben gefiindeneii Wertlie md es ergibt sich aisdann
— ^ nc ^dx oaeTndx=:e^''ds .
(Figur 103.). Diess ist die Gleicliüiig der, mit einem l'V den von der Länge 2A erzeugten, Traeforie CA, welche im Punkt A dieselbe Neigung hat, als die gegebene Gurve ma im Punkt ß.
Anmerkung 1.
§. 818. Wir haben hier die Curve MA bestimmt, auf wel- cher alle niedersteigende Bewegungen im widerstehenden Mittel in denselben Zeiten ausgeführt werden, in welchen die nieder- steigenden Bewegungen im leeren Raunte auf der Curve ma erfolgen, wenn die letzten Geschwindigkeiten in A und a ein- ander gleich sind. Auf dieselbe Weise kann man eine Cnrve ßlA bestimmen, auf welcher alle aufsteigende Bewegungen im widerstehenden Mittel in denselben Zeiten ausgefohrt werden, in welchen ähnliche Bewegungen im leeren Räume und mit derselben Anfangsgeschwindigkeit auf der Curve ma erfolgen. Im widerstehenden Mittel wird nämlich die niedersteigende Be- wegung in eine aufsteigende verwandelt, indem man k negativ setzt und man erhält daher, indem man AP = s und AHI =
oder umgekehrt
t =: /^*<isund)-=2A((!-^— 1).
Mittelst dieser Gleichungen liann man leicht die Curve A31 construiren und ihre Gleichung Untlen.
Anmerkung 2. §. 819. In dieser Aufgabe haben wir aus der, für den leeren Raum gegebenen, Curve der niederateigenden Bewegung die entsprechende Cui've im widerstehenden Mittel hergeleitet. Man sieht aber leicht ein, dass man umgekehrt aus der für das widerstehende Mittel gegebenen Gurve 31A die andere am für den leeren Raum herleiten kann. Da nämlich
z:2ä(1— e !"')und(
=/■
Wa:
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auf einer gegebenen Linie im widerstehenden Mittel. 417
ist, so wird mittelst dieser zwei Gleichungen die Construction der Curve am ausgeführt. Die dersell»en Curve entsprechend« Gleichung zwischen * und r findet man bequemer aus der, zwi- schen X und s gegebenen Gleichung, indem man in dieselbe
r-^% statt .r und 2A log Q'L.) ,tatt s
substituirt Alles, was hier ausserdem über die niedersteigende Bewegung gesagt worden ist, gilt auch von der aufsteigenden, wenn man nur, wie in Anmerkung 1., A negativ setzt. Anmerkung 3. §. 820. (Figur 105.) Die hier mitgetheilte Herleitung der einen von beiden Curven am und ^M aus der andern findet auch statt, wenn man die Gleichung der gegebenen Cuvpe nicht hat, sondern diese auf it^end eine Weise mit der Hand gezogen worden ist. Aus den gefundenen Formeln kann man nämlich eine Construction ableiten, welche von der Gleichung nicht mehr abhängig ist Im vorigen Kapitel (§. 432.) verfielen wir auf die Aufgabe, im leeren Räume mit der gegebenen Curve ae eine andere cm so zu verbinden, dass alle niedersteigende Bewegungen aus einem beliebigen Punkte der Cui've cm bis a in gleichen Zeiten ausgeführt werden. Aehnliche Beispiele lassen sich für das widerstehende Mittel aufstellen, wonach eine , aus den Theilen zweier verschiedenen Curven zusammen- gesetzte, Linie eine tautochrone werde. Ist nämlich acrn eine derartige tautochrone Curve für den leeren Raum, so kann man aus ihr nach der Auflösung dieser Aufgabe eine ähnliche zusammengesetzte Curve für das widerstehende Mittel finden. Nach der aufgestellten Methode findet man nämlich aus der gegebenen 'Curve ac die andere AC und wenn man hierauf bp = t, cm = T, BP = X und CM ^ s, ferner ab = a, ac = c, AB = A und AC — Csetzt; so wird, da zwischen ( und r eine Gleichung gegeben ist,
AkHt
^P==^ +^=/"^^/^- ^„und^^== C+.
= 2^'o<Mi!=:^)-
Wäre ferner für das widerstehende Mittel die Curve j^Cgege. ben und suchte man die andere Curve Cü/von der Eigenschaft, dass alle niedersteigende Bewegungen auf MCA in gleichen Zeiten ausgeführt würden: so hätte man die Auflosung auf Euler"* Mechnnik. II. 2T
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ilBKap.JII. r.d.ßew. e. Punkt, mif e. geg. Linie im widerst. M.
ähnliche Welse ausKuriihven. Ans äer für das widerstehende Mitte! gegebenen Curve AC findet man nämlich, nach Anmer- kung 2., die eben so beschaffene Curve ac für den leeren Raum. Ist diese gefunden, so sucht man nach §. 432. die ihr hinzuzufügende cm, damit alle niedersteigende Bewegungen im leeren Räume isochron werden. Endlich sucht man nach der hier gegebenen Methode aus der zusammengesetzten Curve acm lür den leeren Raum die ähnliche Curve ACM für das widerstehende Miftelj von welcher letztern zusammengesetzten Curve der Theil AC bereits bekannt ist, indem wir durch den- selben die Curve «c bestimmt haben. Dieselbe Aufgabe, weiche im leeren Räume so viel Schwierigkeit an sich hatte , wird da- her auch im widerstehenden Mittel aufgelöst.
Indem ich nun diesesEapitel heschliesse, bitte ich den wohl- wollenden Leser, ehe er zum folgenden übergeht, dasjenige zu wiederholen, was im ersten Kapitel dieses Theiles von ^. 58. bis zu Ende vorgetragen worden Ist.
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Kapitel IV.
fo« der Bewetfung eines Punldes auf einer gegebenen Obeifäche.
Satz (JO. Aufgabe. S. 821, (Figur 106.). E-^ ist der Weg Mmf, auf einer be- liebigen Oberfläclie gegeben; man soll seine Lage in ßezug auf die gegebene Ebene APQ, den Krümmungshalbmesser jenes Wegee in M, so ivohl seiner Lage als Länge nacli, wie auch die Normale auf der Oberfläche bestimmen. Auflösung, m Mch Beliehen die Ebene APQ «nd in ihr die in Bezug auf welche man die Lage der Curve len soll; sn lalle man von den drei einander sehr i l'unkten M, m und (i des gegebenen Weges auf der Oberfläche, die Perpendikel MQ, mg und (iq auf die Ebene APQ: ferner ans Q, q und 9 auf die Axe AP die Per- pendikel QP, ffp und qit. Nimmt man nun A als Anfangs- punkt der Ahsclssen an, so sei AP = x, PQ = y «nd QM = s. Die Oberfläche wird ferner als gegeben angesehen, wess- halb eine Gleichung, welche ihie Natur ausdrückt, zwischen den drei Veränderlichen x, y «nd z gegehen sein wicd und es sei dieselbe
dz=P'1^^-Qihj, Verbindet man mit dieser Gleichung eine andere, so wird auf diese Weise eine gewisse, auf dieser Oberfläche liegende, Linie auegedrückt werden und da wir die Linie Mm^ als ge-
Nimmt 1 Axe AP an JWntft bestini nahe liegender
y Google
420 Kapitel 11 f oh der Jieu.egung emts Ptuilü»
geben vyraiisbPtzen, nird ilso msser dicker Gleichuii|f «oi fi eine aüdere gegeben sein, welche wir hier iber nicht njfliig haben darzustellen E« seien nun die Elemente Pp und psü einander gleich und = dx =^ constari« E'* nird daher pi/=:i/ -^di/,}tQ=i/ -{-''2di/-\-(M^,qm^=z+(huaä Qit^=x-{-2(h-\-dib . Unter diesen Voraussetzungen sei MN die Normale auf der Oberfläche im Punkt M, ferner iV der Punkt, in welchem diese Nonnale die Ebene APQ schneidet, fallt man nun von N auf die Äxe AP das Perpendikel NU; so wird
Es sei ferner MJi die Lage des Krümmungshalbmessers der Curve Iffmji und R sein Durch schnitfspunkt mit der Ebene APQ. Fällt man alsdann aus R auf die Axe AP das Perpendikel RX, so hat man
AX= idx\dyddy ^ diddt\ , ^ ^^^^ \dx'^ -\- dy^\ddi — dydxddy V p „ zdxMdy + tdAdzddt/ — dyddz] .. ,g ^, ■^ \da:'^+dy^\ddi-dydzddy ^ ^*' ''
Die LSnge des KrOmmungshalbmessers erhalt man, niinilich MO = {fLc^ + dy^+di^'
S^djP'Xddiß + ddi'^\ + \dyddz — diddy}^
Man denke sich hierauf die Ebene, in welcher die Elemente Mm nnd mfi liegen, erweitert, bis sie die Ebene APQ durch- schneide und es sei RKJ die Durchschnittslinie beider Ebenen. Treffen nun die in A und /■♦ errichteten Perpendikel jene Linie respective in K und V, so haben wir
Da ferner XR~ PV:AX~AP=PV:PJ, so haben wir
p,„ (AX-AP)PV XR—PV~
Es ist aber
AX—AP=
sdx\dyddy -Y dzddi\
[dx^ + {lip']ddz — dydiddy und
^ß p p zddyddz\dz^ — dy'^\ + xdydilddy^ — ddz^j
ddi{(dx^ -{- dy^)ddz — dydiddy] Substituirt man diese Werthe, so ergibt sich
y Google
utif einer gegebnen Oberfiäche. 421
p, t}a;[dyddy ^ihddi\\tddy—yddi\
~'ddyddi\di* ~ dy^ + dydt[ddy^—ddt^\ , idasddy — ydxdds diddy — dyddx Hierauf erhalten wii-
. j_ p . AP— ^'^x^'ily — ydxddz — xduldy + xdydds
diddjf — dyddi, und nun
,jr PV.AJ zdxddy — ydxddt — xdzddy \ xdyddz
PJ dxddi
Die Neigung der Ebene, in weichet die Elemente Mm und nifi liegen, gegen die Ebene APQ findet man, indem man von Q daa Perpendikel QS auf die Durchsclmittslinie fiJ' fällt, worauf die Tangente des Neigungswinkels oder
iljQSM ^ H wird. Da aber
JV:PJ=QV:QS,
. ^cM — QM.JV_ Vdx^ddz^ + {dzddy—dijddzr'
tg ^X>M^-pj-^^y. rfirf^—^ ■
Zur Bestimmung des Winkels NMR, welchen der Krümmungs- halbmesser mit der Normale auf der Obei-ttäche bildet, haben
te N3IR == t%it^ + Pdii~ddi,i^y--^d^ ,„ ,^j , ldds-Qddy]Vd^+dy'^ + di^ '
Aus dem Bisherigen kann man alles ableiten, was zur Bestim- mung der Lage der Curve Miiiji erforderlich ist, Zusatz i. §. 822. Die Projection der Curve Mmjt auf die Ebene APQ ist die Curve QqQ, deren Natur durch eine Gleichung zwischen X und y ausgedrückt wird. Man wir<l daher diese Projection erhalten, indem man mittelst der Gleichung dz=Pda:-\-Qdy
und derjenigen Gleichung, durch welche die auf der Oberfläche gezogene Curve bestimmt wird, eine neue bildet, worin nach der Elimination von x nur x und y vorkommen.
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422 Kapitel IV. Von der B,
Zusatz 2. g. 823. Elimiiiirt man auf ähnliche Weise x, so ergibt eich eine Gleicbuiig zwischen y untl z, welche der Projection der
Curve JH/Mfi auf eine, auf der Ase AX [jerpeiidilitiläre. Ebene entspricht Endlich wird eine Gleichung y-wischen x und i, worin also y nicht mehr vorkommt, die Projection der Curve Mm(i auf eine Ebene darstellen, welche die Ebene ^PQ längs der Axe AX normul schneidet.
Zusatz ;J.
g. 824 Die Natur der Curve iU(/<,a wird diirüli ihre Pro- jection auf zwei Ebenen, welche loty-fero auf eiminder normal eteben, genau erkannt. Dieselbe Kenntniss erlangt man auch durch Eine Projection, in Verbindung mit der Oberfläche selbst. Zusatz 4.
5- 82Ö. Um daher eine beliebige Cui've auf einer gegebe- nen Oberfläche bestimmt zu bezeichnen, ist es nuthig, dass ausser der Gleichung -
welche die Oberfläche bestimmt, eine nur zwei Veränderliche enthaltende Gleichung gegeben sei, welche eine beliebige Pro- jection der Curve Mtnji ausdrückt.
Zusatz 3.
§, 826. Wird die Oberfläche durch eine Ebene geschnitten, so wird auf ähnliche Weise, wie ein Kegel zur Erzeugung der Kegelschnitte durch eine Ebene geschnitten zu werden pflegt, die aus obigem Schnitt eutspiingeiide Curve in derselben Ebene liegen. In diesen Fällen wird daher so wobt die Lage der geraden Linie JR , als auch die Neigung der Ebene JMR gegen die Ebene APQ constaut sein.
Beispiel.
g. 827. Es sei demnach eine beliebige Oberfläche gegeben, welche durch die Ebene JMR geschnitten wird; man suche die aus diesem Schnitt entspringende Curve. Zu diesem Ende setze man AJ =:^ a, AK = h und tg QSM = m. Wir haben
_ %dx(hli} — ydxddt
diddy — dyddt
, zd.-eddr/_ — ydxddi — xdiddy -j-xdyddz ■
dxddx
y Google
tiif einer gegebenen Oberfläche. 423
dxddy Verbindet man diese Glcicliiingen mit der
dz = Pdx + Qdy, welche die Natur der Oberfläche ausdrückt, so wird die Natur der durch diesen Schnitt entstehenden Curve bestimmt werden. Aus den zwei ersten Gleichungen folgt
h _ diddy — dyddz . ddz __ ddy II dxddi adz bda:-\-ady '
woraus man, weil dx constant igt, durch Integration erhält
— logrfi = — logjÄrfa'+arf;'/} — "— l<'g c oder cdi^= Odx-\- udy
und indem man auf's neue iiitegrirt
CS = hx + ay+p.
Wenn man aber in die erste Gleichung statt ddz seitjen Wertb
adzddy
substltuirt, so geht dieselbe über 1
^ bzdx-\rafy-nydz ^^^^ abdz^bxd. = In.lr. bdz
-i-azdy—iiydz. Dividirt man die letztere durch z^, so erhält man leitbt durch Integration
,._£» = *£±a „dor »= = (.» + 0J+06.
woraus man ersieht, dass das obige f^ = ab ist. Die Coii- staute c wird ferner durch die dritte Gleichung bestimmt. Diese wird nämlich jetzt
dzVa^+b'^ , dtV^+b^ 111.1
7n=— — L^ oder — — — = bdx-\-aay;
bdx + ady m
also c = y. ■" ■ ■ "■ ■ . Ausser derjenigen Gleichung, welche die Natur der Oberfläche ausdruckt, haben wir demuach die fol- gende
aus wek-hoj die Natur der gesuchten Curve abzuleiten ist. Da aber die ganze gesuchte Curve in der Ebene JMH liegt, wird dieselbe sehr bequem durch rechtwinklige Coorditiaten ausge-
y Google
424 Kapitel IV. Von der Bewegunrj eines Punhies
drückt, welche in derselben Ebene angenommen werden. Nimmt man demnach JR als Äxe an, so fülle man von M auf dieselbe das Perpendikel MS und setze JS ~ ( und MS = u. Ans der Proportion
JA- AK =:VP:PV folgt PV=\iu^-^)^^»Ax>unQV=.y^-PV='^^^±^!^
Ferner haben wir
QS^~ und rS:z.i
ausserdem ergibt sich
MS = t
Wir haben demnach
£Vi+i"Jl „„,1 .,.<^,^'»("+'')Vg±g=j;.
■_ üni X-
BfVl+W^+^M
und wenn man diese Werfhe von % und x in die obige Glei- chung
/«M^_
suhstituict ; so ergibt sich endlich
__ au-MSf\\m
Setzt man diese Wertfae von ic, y und i in die Gleichung der Oberfläche, so erhält man eine Gleichung zwischen den recht- winkligen Coordinaten ( und u, welche der gesachten Curve angehört.
Zusatz 6. §. 828. Fällt die Durchschnittslinie JR der schneidenden Ebene in die Äxe AX, so wird ft = 0 und nimmt man J in Ä an, setzt also x statt a-\-x; so erhält man
y Google
Zusatz 7. §. 8'29. Ist die Durch Schnitts 11 nie JR der Ebenen Sitfß und APQ normal auf der Axe AX, so wird 6 = <» und wir
erhalten
I ^ — ■ , « = — ( und X = - ^ . — d .
Zusatz 8.
g. 830. Da die für s, j und ä: zu suhstltuirenden Werthe nur von Einer Dimension in Bezug auf ( und « eind, so wird offenbar die Gleichung zwischen t und u nicht mehr Dimensio- nen haben können, als die zwischen i, y und x. . Zusatz 9.
§. 831. Ist daher die Gleichung zwischen z, y und x von zwei Dimensionen, für welche ausser der Kegelfläche noch unzählige andere entsprechende Oberflächen gegeben sind, so werden alle durch eine Ebene entstehende Schnitte Kegel- schnitte sein.
Anmerkung.
g. 832. In Comment. Tom. Ifl und zwar in der Abhand- lung, in welcher ich die kürzeste Linie auf einer beliebigen Oberfläche bestimmt habe, habe ich vorzfiglieh drei Arten von Obertlächen behandelt, nämlich cylindrische, konische und ge- drehte oder runde. Die allgemeine Gleichung
fh = Pdx-\^ Qdy ergibt aber cylindrische Oberflächen, wenn Pverschwindet und Q nur von y und x abhängig ist, so dass die Abscisse a: in der Gleichung derartiger Oberflächen gar nicht vorkommt. Alle einander parallele Schnitte sind nämlich auch gleich und für sie findet die Gleichung
dx = Qdy statt. Zum Geschlecht der Konoiden rechne ich alle Ober- flächen, welche entstehen, indem man von den einzelnen Punk- ten einer Curve gerade Linien nach einem festen, ausserhalb der Ebene der Curve gelegenen, Punkte zieht. Diese Ober- flächen haben die Eigenschaft, dass alle einander parallele Schnitte einander ähnlich sind und ihre gleichUegenden Seiten sich wie die Abstände der Schnitte vom Scheitel des Kegels verhalten. Die Gleichungen derartiger Oberflächen haben, wenn
y Google
426 KapUel IV. Von der Bewegung eines Punktes
ein Sclieitel sich in A befindet, die Eigenschaft, dass x, »/ und I zusammen überall dieselbe Dimension bilden. Unter ge- drehten oder runden Obeillächen endlich verstehe ich solche, nelche durch Umdrehung irgend einer Curve um eine Axe ent- stehen. Ist ^A' diese Axe, so wird, wenn man x constant setzt, die Gleichung zwischen y und c einen Kreis bestimmen, dessen Mittelpunkt in P liegt. Daher hat die Gleichung der Curve die I'orm
dz^Pdx-^J^ oder- i(h-\ydy = iPilx , wo zP nur van x abliitngig ist; oder es ist Q = — ^ anA P
K
vo X eine Function von x bezeichnet. So ■
bei diesen gedrehten Oberflächen alle, auf der Axe normale. Schnitte Kreise sind, kann man sich auch Oberllächen denken, deren auf der Axe normale Schnitte beliebige einander ähn- liche Curven sind. Alle solche Oberflächen haben di« allge- meine Eigenschaft, dass jede beliebige Function von x gleich ist einer Function von y und i von derselben Zahl der Dimen- sionen. Ist diese etwa = n, so wird die Gleichung
Pdx = Rdz-t-Qdjf die Eigenschaft haben, dass
E^+Qy=^npPdxoier ^'^^^^'^^ = i^'i^-V Qäy
wird. Hieraus kann man sogleich den Schluss ziehen, ob eine gegebene Gleichung einer Curve dieser Art entspricht. Satz 91. Aufgabe.
§. 833, Auf einer beliebigen gegebenen Oberfläche soll man eine Linie bestimmen, welche ein auf der erstem «ich be- wegender und durch keine KtSfte angetriebener Körper, so wohl im leeren Räume, als in einem beliebigen widerstehen- den Mittel beschreibt.
Auflösung.
Da der KJlrper »ach der Voraussetzung durch keine Kräfte angetrieben wird, so wird die von ihm auf einer Oberfltäclie beschriebene Linie die kürzeste sein. (§. 62.). Die Kraft des widerstehenden Mittels vermindert aber nur die Geschwindig- keit des Körpers, ohne seine Richtung irgendwie zu ändern;
y Google
auf einer get/ebenen Oberfläche. 427
daher iviid der ira widerstehenden Mittel vod einem Kürper auf einer beliebigen OberflSohe hescbriebene Weg gleichfalls die kürzeste Linie sein. Wenn man also wie vorhin AP= a:, PQ ==1 ^ und QM = s setzt, so sei
dx z= Pdx+Qdi/ die Gleichung, welche die Natur der Oberfläche ausdrückt, fer- ner seien Mm und m(t zwei Elemente einer beliebigen kürze- sten Linie. Für die letztere haben wir die Gleichong
Pdiddy+iLeddy = Pdyddi — Qdxddz gefunden {§. 69. )> also
;; — (Prfi + Ax) ddy " Pdy—Qdx ' Biffcronlürt man ferner die obige Gleichung der Oberiläcbe,
ddz = dPdx^^Qddy^ilQdij und ans der Verbindung dieser zwei Gleichungen
dd« - iPd!l-Qil^)(dPdx-\-dQdy) .
.hl, - {Pih\-'l.x){dPdx-\-dQdy)
**'** d^TP^Q'')
ist daher das Element Mm gegeben, so fmdet man das fol- gende )Mft auf der kürzesten Linie, indem
itQ =L PQ+2dy + ddy und qii. = QM + 2dz + ddz und die Werthe von ddy und ddi eben gefunden worden sind. Hierdurch wird also die Lage jedes folgenden Elements be- stimmt und die Natur der kürzesten Linie aus jeder beliebigen ihrer Projectionen erkannt werden.
Zusatz L g. 834. Wenn in der Gleichung der Oberfläche P und Q nur durch a: und y gegeben werden, so bezeichnet die Glei- chung
,, _ (Pdy ~ Qda:) (dPdx +dQdy)
'"'^ d^a+W+ (P) "
die Protection der kürzesten Linie auf die Ebene APQ. Zusatz 2. g. §35. Für die kürzeste Linie JUfwijt hat man demnach, indem man die Elemente der Ase einander gleich, also dx coDStant annimmt;
y Google
428 KapiU'l I V, Von ihr Bewef/ittiff eines Punktes
Durch diese Gleichungen lernt man den Punkt fi kennen, wenn die zwei vorhergehenden M und m bekannt sind. Zusatz 3. §. 836. Da für die kürzeste Linie der Winkel RUIN vet- schwindet (%. 7J.). so fallt li in N und es wird die Lage des Krümmungshalbjnessers eine solche, dass
JX = x + Px und XR ^ —Qz—y wird. Ferner ergibt sich die Länge des Krüminungshalbniessers
~ (IPiU-ydQdy
Zusatz 4. §. 837. Die Ebene JMR, in welcher die Elemente der kürzesten Linie Mmi>. liegen, wird folgenderwiassen bestimmt. Wir haben
Qdi + dy
i {Pdy — Qdw) +ä:{dy-{. Qdi) dx + Pdz
Zur Bestimmung des Winkels, welchen die Ebene JMR mit der APQ bildet, haben wir
(g QSM = :^^M±gS!^±ffi!, also «»c qRI^= ^^(1 H P^ + Q') (tto^+%' + «^i') „der
\riX + />ä + Q^) (rfa:^ + dtß-Vdi^)
Beispiel \. §. 838. Es sei die Oherfläche eine beliebige cylindrische, welche AP zur Äxe hat, alsdann wind ihre Natur ausgedrückt durch die Gleichung
ds =: Qdy, indem P aus der allgemeinen Gleichung dz =■ Pdx-^Qdy ver- schwindet. Für die Projection der kürzesten Linie auf dieser
AK =- —y + -
yGoosle
auf einer gegebenen Oberfläche. 429
Oberfläche, gefallt auf die Ebene APQ, erhalten wir demnach, weil P = 0 uüd <Z/» = 0 ist, die Gleichuns
nt^nn nimlith Q hup durch y gegeben ist. Ist hingegen Q ai» Function von g und i gegeben, so mues man die letztere Co- ordinate eliminiren vermittelst der Gleichung
dz — Qd^. So ist m einem Kreiscyiimier
Im Allgemeinen drückt aber 1 dt/ Vi -\- Q^ den Bogen eines, auf der Axe AP normalen, Schnittes aus und setzt man die- sen Bogen = s, so erhält man
a;C =: s. Hieraus ersiebt man, dass, wenn eine solche Oberdiiche auf eine Ebene entfaltet wird, die kürzeste Linie eine gerade sein wird, wie bekannt.
Beispiel 2. §. 839. Es sei die vorausgesetzte Oberfläche eine koni- sche, deren Scheitelpunkt in A liegt; alsdann kann ihre Glei- chung so eingerichtet werden, dass s einer Function von a: und ^ von Einer Dimension gleich werde. In der allgemeinen Glei- chung
di = Pdx + Qdy sind daher P und Q Functionen voij x und y von der Dimen- sion 0, mithin, wie ich schon anderwärts gezeigt habe,
Px^ Qy = 0 oder Q = - — . Hieraus folgt
__ (ydx^-xdy) iydP - Pdy)
yGoosle
430 Kapitel IV. Von der Bewegung eines Punktes endlich
fld^ --
SubstituJrt man diese Wertho, so ergibt sich
P (yd/g ^ xflx) {ydx-^xdy) (ydP— Pih/} . ,jdx(y^-\-P^y'' + P^^^) Selzt man fei'ner y =: pa:, so wird /* einer gewissen Function von p allein gleich, weil ersteres eine Function von a: and y von der Dimension 0 ist. Es wird aber dy = pdx+xdp, ddy =■ xddp-\-^xdp
P(p\xdx +px'^dp + xda:)(pxdP—Ppd.r — Pa:dp)x^dp
~~ px^dx{p'^-\-P^p'i+P^)
oder
., _ Pdp{p^dxfpxdp-\-dx){Ppdx-\-PxdP-pxdP) '^ ~ pdx{p-^^P^+P^p^
Ans dieser Gleichung ist die Projection schwer zu erkennen. Auf welche Weise man auf einer solchen Oberfläche die kür- zeste Linie zu bestimmen Iiabe, habe ich ausführlicher in Com- nient. III. pag. 120 gezeigt, üebrlgeiis ist dasselbe von der kürzesten Linie zu bemerken, wie im vorigen Beispiele, dass sie nämlich, wenn man die konische Oberfläche in eine Ebene entfaltet, in eine gerade Linie übergeht. Anmerkung. §. S40. Ich verweile hier nicht hei der Bestimmung der kflrzSsten Linien auf andern Arten von Oberflächen , well ich diesen Gegenstand a. a. O. vollständiger auseinander gesetzt habe. Ich gehe zur Bestimmung derjenigen Linien über, welche ein durch beliebige Kräfte angetriebener Kcirper auf einer Ober- fläche beschreibt. Vorher müssen wir aber die Wickung einer jeden Kraft genauer untersuchen.
Erklärung 4. §. 84L Drückende Kraft nennen wir in derFolge die- jenige normale Kraft, deren Richtung normal auf der Oberfläche ist, in welcher der Körper sich bewegt.
Zusatz. S- 84'i. Diese drückende Kraft vermehrt oder vermindert die Centfifugalkraft, je nachdem ihre IJichtnng der Richtung
y Google
unf einer f/ef/ebenen Oberfläche. 431
des Kriimmungshalbmessers der kürzesten Linie entgegenge- setzt ist oder mit ihr siisamiiien fällt (S' 7d.). Erklärung 5.
g. 843. Ablenkende Kraft nennen wir in der Folge diejenige normale Kraft, deren Richtung in der, die Oberfläche berührenden. Ebene liegt und auf dem vom Kürpev beschrio- benoD Wege peqtendikulär sieht.
Zusatz.
g. 844. Diese Kraft lenkt also den Körper von der kür- zesten Linie, welche er ohne die Einwirkung aller Kräfte be- schreiben würde, ab und zieht ihn diess- oder jenseits dersel- ben hin, je nachdem ihre Richtung nach dieser oder jener Seite hin geht.
Satz H2. A u f g a b e.
§. 845. (Figur 106.). Man soll die Wirkung der driieben- den Kraft auf einen Körper bestimmen, weicher sich auf einer beliebigen Oberfläche bewegt und ausserdem durch keine Kräfte angetrieben wird.
Auflösung.
Da diese Kraft normal gegen die Oberiläche gerichtet, ihre Richtungslinie also MN ist, wird sie weder auf die Geschwin- digkeit, noch auf die Richtung der Bewegung einwirken, son- dern ganz zur Erzeugung eines Druckes aaf die Oberfläche ver- wandt werden. Der Körper wird daher auf derselben Linie fortgehen, auf welcher er, wenn diese Kraft nicht vorhanden wSre, sich bewegen würde und diess ist die kürzeste Linie (5- 833.). Er bewegt sich also auf der Linie Mmfx,, deren Krämmungshalbmesser MO in die Normale MN auf der Ober- fläche fallt. Es sei demnach MN die I-tichtung dieser drück- enden Kraft, welche also gegen die Oberfläche nach innen zu, längs MN drückt. Setzt man sie ^M und nimmt man an, dass der Krümmungshalbmesser MO nach derselben Seite hin falle, so wird die Centrifugal kraft der drückenden Kraft enfge- gangesetzt sein und ihre Wirkung vermindern. Da nun Mm^ die kümesfe Linie ist, so hat man ihren Krümmungshalbmesser
, _ MO - _ (rfa!'+<y + rfj')V^n-/''+a'
die Ccntrifugalkraft = — , wo \^v die Gesciivvindigljeit des
y Google
432 Kapitel IV. Von der Bewegung eines Punktes
Kürpers in M beieichnet und so die ganze Kraft, welche ge- gen die Oberfläche längs MN drückt,
__ '■IvjdPdx + dQdy) . ^
Die Lage der drückenden Kraft ist endlicl] bereits nach dem Olligen bestimmt worden, indem wir
AH = a:^-Px und fl^ZV =: —Qt~y gefunden haben, wo wir viim Punkt iV, in welcbem die Nor- male MN mit der Ebene APQ zusammentrifft, das Perpendi- kel Nil auf die Axe gefüllt hatten. Znsatz 1.
§. 840. Da weder die andere normale ablenkende, noch die Tangentialkraft, noch die Kraft des Widerstandes, wenn dieselbe vorbanden ist, auf den Druck gegen die Oberfläche einwirken, so wird offenbar, was auch für Kräfte ausserdem auf den Kürper einwirken mögen, der Druck stets so gross sein, als wir ihn hier angegeben haben. Zusatz 2.
g. 847. Wie weit also der vom Körper beschriebene Weg auch von der kürzesten Linie abweichen mag, so erfolgt doch der Druck gegen die Oberfläche stets längs der, auf der letz- tern normalen Linie oder längs des KrKmniungshalbmessers der kürzesten Linie, nicht aber längs des Krflmmungshalbmes- sers der wirklich beschriebenen Curve, dessen Länge man auch zur Bestimmung der Grösse des Druckes nicht bedarf. Anmerkung.
§. 848. Aus diesem Grunde haben wir auch den Ausdruck des Krümmungshalbmessers der kürzesten Linie angewandt, in welchem die Differentiale zweiten Grades nicht vorkommen, damit derselbe nicht von der Lage der zwei Elemente Mm und mfi, längs welcher der Körper sich wirklich bewegt, abhängig werde. Dieser Krümmungshalbmesser muss nämlich durch das einzige Element Mm bekannt werden, denn wenn der Körper wegen der ablenkenden Kraft nicht mehr die kürzeste Linie beschreibt, müssen auch die Differentiale zweiten Grades ddg und ddz nicht mehr im Krümmungshalbmesser der kürzesten Linie vorkommen.
Satz 93. Ä u fg a b e.
g. 84'J. (Figur 108.). Man soll die Wirkung der Tangen-
yGoosle
auf einer gegebenen Oberfläche. 433
tialkraft, welche den Körper längs der Tangente MT zieht, bestimmen, wenn dieser sich auf einer beliebigen Oberfläche bewegt.
Auflüsong. Es sei diese Tangentialkraft =: T und es schreite der Kür- per über das Element Mm mit dec Geschwindigkeit VV fort. Da diese Kraft die Bewegung vermindert, so wird
dv = —T.Mm = —T .\fdx^ ^ dy^-{-dt^, wo wir die früher aufgestellten BeBeichnungen beibehalten. Ansserdem wirkt diese Kraft weder auf einen Druck, noch auf eine Ablenkung von der kürzesten Linie ein. Um die Lage der Richtungslinie dieser Kraft zu finden, verlängere man die Tangente MT, bis sie die Ebene APQ in T schneidet; als- dann wird dieser l'unkt auf dur Verlängerung des Elements qQ liegen. Es wird daher
df.^fd^Td^ =- z:QTunA QT = ^^'^^±^.
Aus T fölle man auf die Axe das Perpendikel TF, alsdann wird
idx — xdx = yi:fi',aiso/'i' = -^ uwi^c —
Ferner erhalten wir, weil
tix -.dy := -
Durch AF und FT wird die Lage des Punktes T bestimmt.
Zusatz. §. 850. Da man den Widerstand auf die Tangentialkraft zu beziehen hat, so ersieht man hieraus, wie dieWirkung des Widerstandos bestimmt werden muss. Ist dieser nämlich =R, so erhalten wir
dv = ~-(T+R) Vrfa;« H- dy'' -J- rf?. Satz 94. Aufgabe. §. 851. (Figur 109.). Han soll die Wirkung der ablen- kenden Kraft jVauf einen Körper, welcher sich auf einer belie- bigen Oberfläche bewegt, bestimmen, Euler's Mechanik. II. 2S
y Google
i'U Kapitel IV. Von der Bewegunn eines Punktes
Auflösung. Man setze wie vorliln AP = x, PQ =i y, QM = i und es Merde die Natur der Oberfläche durch die Gleichung
(U = Pdx + Qdy ausgedrückt. Ferner bewege sich der Körper mit derGeschwin- digkeit W durch das Element iWn», nach dessen Zuriickiegung er, wenn keine ablenkende Kraft da wäre, durch das Element nifi längs der kürzesten Linie fortgehen würde; alsdann würde
sein (g. 835. )■ Nwn komme die ablenkende normale Kraft hinzu, welche eine Richtung nach vorn zu habe; diese wird daher bewirken, dass der Körper nach Durchlaufung des Elements Mm nicht längs mfi fortschreitet, sondern nach vorn hin abge- lenkt wird. Nehmen wir nun ah, ergehe ISngs mv fort, so werden Mm und mv zwei Elemente der vom Körper beschrie- benen Curve sein. Fallt man daher von v auf die Ebene APQ das Perpendikel v<$, so wird
nß — y + 2tli/ + dili/ unil^ ev ~ z -}- 2di + ddi. Hieraus folgt
,r„ - (P%- Qdcc) {dPdx + dQd;,) _ . , ,
^9 d^(T^WTW) ^
„a- „ß - idx-\-Pdx)(dPdx-\-dQd.y) _ , .
Setzt man diese 'Ausdrücke der Kürze wegen respective ^rff^Tj — ddy und = dd^ — ddi; so wird der, dem Elementarwinkel fHUf ents[Hechende Krümmungshalbmesser
y Google
r //er/ebitnen Oherfläcke.
-^
1*8
^ 5" 2,
? I- ä.
Aus der Gleichung (h =^ Pdx + Qdy I'olgt aber
ddx ~ Qddy — dPdx-ydQdy und ti'eiin man diese beiden Gleichungen benutzt, so erh.'tlt man
V-— (t^a^' H- tf.v" -I- di^)i Vi + -P^ + O''
' ~ —ddy{dx-VPdz)-{-ddi{Pdy—Qdx) '
yGoosle
43(i Kapitel IV. Von der Bewegung ehics Pun/ctes ddz {Pdy - Qda:) - ddi, {dx + Pdt) = ~ {dx'^ + dif + di^)i
Anmerkung L
§. 852, Die letztere Formel stimmt mit derjenigen iibereiii, welche wir oheii {%. 79.) zur Bestimmung der Wirkung einer derartigen Kraft gei'unden haben. Der Unterschied besteht nur im Zeichen des Buchstaben N, indem wir die so benannte Kraft doTt offenbar negativ anzunehmen hatten. Auch hier konn- ten mr über das Zeichen keine Gewissheit haben, weil die ausgezogene Quadrate« i'zel eben so gut positiv als negativ sein kann. Dieser Zweifel wird aber sogleich gehoben, wenn man die Rechnung auf einen speciellen Fall anwendet ; weil die Formel so beischaffen sein muss, dass der l'unkt v dies- seits (t falle, weon, wie wir hier vorausgesetzt haben, die Kraft N nach vorn hin gerichtet ist. Mittelst eines Beispiels habe ich auch das Zeichen der Quadratwnvzel bestimmt und so diese Formel gefunden.
Zusatz 1.
§. ^3. Verschwindet die ablenlsende Kraft N, so wird der Körper seine Bewegung auf der kürzesten Linie fortsetKen, was auch aus der Gleichung hervorgeht. Für iV ^= 0 erhalten wir nämlich
ddg{dx-\-Pdz) = ddi{Pdy—Qdx) d. h. die Gleichung der kürzesten Linie-
Zusat? 2
g. 854. Was also auch lui eine drnckende und Tangenti- alkraft und welcher Wideratdiid auf den, aul emer Oberfläche sich bewegenden, Körfier wirken mögen, wenn nur keine ab- lenkende Kraft da ist; so wird der Körper stets auf der kür- zesten Linie fortgehen.
Anmerkung 2.
g. SSÜ. (Figur 110.). um die Lage dieser ablenkenden Kraft zu bestimmen, hat man zu bemerken, dass sie in einer Ebene liegt, welche die Oberflache berührt und zugleich nor- mal gegen die beschriebene Curve gerichtet ist. Es sei demnach MG ihre Richtung und G der Punkt, in welchem di^se die Ebene /(/*Q durchschneidet; wir haben daher anzunehmen, dass die Kraft N den Körper längs MG ziehe, während wir vorhin
y Google
auf einer gegebenen Oberßuvhe. ^37
voraussetzten, dass sie nach vorn hin dränge. Zuerst muss die Durch Schnittslinie der, die Oberfläche in M berilhrenden. Ebene mit der Ebene ^PQ bestimmt weiden, und es sei dies s die gerade Linie TVG. Man findet diesell>e, indem man zwei Tangenten der Oberfläche bis zu ihren Durchschnittspnnliten mit der Ebene APQ verlängert und die letztern durch eine gerade Linie verbindet. Es sei demnach MT eine Tangente der beschriebenen Curve, so dass sie auch die Obei-flfiche be- rührt; alsdann wird, wie wir bereits gefunden haben,
AF ==^-^ — x und FT = 2/ - ^ (g. 849.).
Ferner denke man sich die Oberfläche durch die Ebene PQiS geschnitten und es sei ]^V die Tangente dieses Schnittes; alsdann wird aus
dz = P^}x^ Qdy, für (/.-c = 0, QV = ~.
Man kennt also den Punkt f und es wird die verlängerte gerade Linie TF der Durchschnitt der, die Oberfläche in M berüh- renden, Ebene mit der Ebene APQ sein. Der Punkt G, in welchem die gerade Linie MG die Ebene APQ schneidet, wird ferner auf der geraden Linie TV liegen. Auf der Linie TQ nehme man
.QS = '~J^L=
\dx'^+di/^ an, alsdann wird MS normal auf dem beschriebenen Element Jäm sein. Errichtet man auf QS das Perpendikel SC, so wer- den alle, aus SG nach M gezogene, Linien auf dem Element Mm senkrecht stehen, also auch MG und es liegt daher der Punkt G auf der geraden Linie SG und im Durchschnitt der letztem mit TV- Ferner ist
PL = y^y-^'d^
da: ' Z.FJM = PLS = TQP
und setzt man nun GE = t, so wird
LE = ^ und PE = y''y+t'b/ + ''^-
da: dx
Da ferner i^^FTWco PTPFcx) WEG, so haben wir FP:FT+PV= PE:EG — PV, d. h.
dj'- dx ■'■^Q + '^
yGoosle
438 Kapitel IV. Von der Bewegung einen Pun/des woraus
Qdx — l'dy ■"
^ Qilx—Pdy
folgt. Der Punkt G ist also bestimmt und zieht m;ni die Li- nie QG, so erliäit man
^ ~ (Qdx—Pdy)^^ {Qtla^—Pdi/y'' Qdx ~ Pdy '
Äff- ^ V^(<aH^T^^(i + /-'H^)
- ^^— Qdx^Pdy Satz 95. Aufgabe.
§. 8S6, Ein Köipec bewegt sich auf einer Oberfläche und wird durch beliebig viele Kräfte angetrieben; man soll die nor- malen KrSfte bestimmen, nämlich die drflckende und ablen- kende, wie auch die Tangentialkraft, welche aus der Zerlegimg aller Kräfte entspringen.
Auflösung.
(Fig. 108.). Was für antreibende Kräfte auch da sein mügen, so kann man sie doch auf drei zurückführen, deren Eichtungen mit denjenigen der drei Coordinaten x, y und s übereinstimmen. Es seien nun die drei Kräfte, welche den Körper in M angreifen und ihn respective längs dreier Linien ziehen, welche PA, QP «nd MQ paiallel sind, E, F and G. Von diesen drei Kräf- ten hat man nun eine jede wieder in je drei zu zerlegen, die normale drückende, die normale ablenkende und die tangentiale Kraft. Da aber diese drei Richtungen auf einander normal sind, so werden aus jeder der Kräfte jE, F und. G normale und tangentiale Kräfte hervorgeben, wenn man sie in den Co- sinus des Winkels multiplicirt, Vielehen ihre Richfungslinien mit diesen bilden. Fangen wir mit der tangentialen Kraft an, deren Hieb tun gsli nie MT und wobei
AF='^-.'v, FT=v-'-'^M, (iT='-^!^J^^±^~ und l^T dl •' dz dx
- -V'^^+ dy^ +"^
y Google
avf einer geijebenen Oberfläche. 439
ist. Hiernach wird der Cosinus des Winkels QMT , welchen die Richtung der Kraft G mit der Ilichtiing der tangentialen Kraft bildet,
und so die aus der Kral't G entspringende tangentiale Kraft Gdz
Der Cosinus des Winkels, welchen MT mit der QP piiriille- len Richtung der Kraft F bildet, ist
««1. - ^nii' PQ—Fr QT du
Ö2' TM ^ax-^^dy^^az^'
die aus der Kraft F entspringende tangentiale Kraft ist daher F.äy • Sfdx^-^-d'f-^ dz^ Ferner ist der Cosinus des Winkels, ivelclien die Richtung der Kraft E mit MT bildet,
_ (/£
~ Vdx'^-Väy^^-dz'^' demnach die aus E entspringende tangentiale Kraft Edx
\da:^-i-d>/^ + dz^
(Figur 106.). Nun betrachte mau die drückende Kraft, deren Richtung MN ist und wobei mau hat
An=a: + I'x oder PH=Pz, HN=—y—Qi oder QP-yBN ^-Qz. Hieraus folgt QN = t ^T P'' + Q"" und MN = z ^fi^^ P^ -{■ Q\ Ferner ist der Cosinus- des Winkels, welchen die MQ paral- lele Richtung der Kraft G mit MN bildet, _ J/Q_ 1
MN V'H-/*'» hÖ«'
und so die aus G entspringende druckende Kraft
V 1 + P''ä + Ö*
Ferner ist der Cosinus des Winkels, welchen die 0/* parallele Richtung der Kraft F mit MN bildet.
y Google
440 Kapitel IV. Von der Bewegung eines Punktes
— cos PQN.smNMQ
__ QP+ HN QN ^
demnach die aus (1er Kraft F entspringende drötkende Kraft
Vl + P^+Q^ Auf ähnliehe Weise «ird die ans der Kraft E entspringende drückende Kralt
^ ~EP
(Fignr 110.). Da endlich MG die Richtung der ablenkenden Kraft ist und da wir haben
PE = ■'t+ If "«a QP+EG = •'f+™'' ,
Qda; -~ Pdy Qdx — Pdy
so wild der Cosinus des Winkels, welchen jtfG mit der Rich- tung der Kraft G bildet,
Qdx- Pd'i
^{dx-^-\-df-\-di:^){\-\-PHW)'
und die aus G entspringende ablenkende Kraft
GjQdx—Pdy)
VJd^Tdy* + di^) (l + i*2 4- y aj ■ Ferner ist der Cosinus des Winkels, welchen MG mit der Richtiingslinie der Kraft F bildet,
^JO V {dx^ + dy* + dz^) (I + /*» + e«; und so die aus F entspringende ablenkende Kraft ^ Fjdx-i-Pdii)
^(riSM^yqprfi^) (1 + p^TW) '
Endlieh ist der Cosinus des Winkels, welchen die Richtungs- linie der Kraft E mit MG bildet,
_-~PE ^dy-Qdz
MG V" {d^r^ h df + rfi2) (iTj_ p'i^Q^) und so die aus E entspringende ablenkende Kraft
^ -Ejdy-yQdz)
VlJlxHdy'^-ydi^) (1 + P* + «^) " Da wir nun früher die tangentiale, drückende und ablenkende Kraft respectivfi T, M und N genannt haben , sö sind die drei
y Google
ttvf einer ijcgebencn Oberfläche. 441
vorausgesetzten Kräfte E, F m\A G auf diese zurüekgefülirt ; inilem wir jetzt haben:
T = Edx-\-Fdy-VGd^ ^ ^ -£f-Fg+^ ^^^ Vdx'^ + dy^ + dx^' V"l + /*^ + , Q3
jy _ —Eidy-\-Qdz)^F(da:-\Pdj)-\-G{Qilx—Pd.y)
Zusatz 1. 5. 857. Wird daher ein Körper durch die drei Kräfte E, F und G angetrieben und ist V^tj die Geschwindigkeit in M, so haben wir
dv^ - T^fd^TdfÄ^^ (§8490 =—Edx—Fdy~Gdt. Zusatz 2. §. 838. Bewegt sich ausserdem der Kürzer in einem wi- derstehenden Mittel und ist der Widerstand im Punkt M^R, so wird
dv = ~ Eda; — Fdy — Gd'.—R Sfdx^ -|- dy^ + d?.
Zusatz 3.
§. 839. Setzt man in der Gleichung 2v = Nr (§. 851.),
durch welche die Wirkung der ablenlsenden Kral't N bestimmt
wurde, statt der letztern ihren aus der Zerlegung der Kräfte
E, F und G entsprungenen Werth; so ergibt sich
ivddi (Pdy — Qrf:g) — "ivddy (da: + Pd£)
dx^+dy^+di*
= — E (dy + Qdj) + F(,dx-\-Pdz) — G {Pdy - Qdx).
Zusatz 4. §. 860. Wenn man daher aus diesen zwei Gleichungen, durch Elimination von v. Eine bildet und diese mit der Glei- chung
dl = Pdx-\-Qdy
verbindet, so erhält raaii eine Gleichung, welche den vom Körper auf der Oberfläche heschriebenen Weg bestimmt.
Zusatz 5. §. 861. Die Kraft, durch welche die Oberfläche längs der Normale einen Druck erleidet, welche Kraft so wohl aus der normalen drückenden Kraft M* als auch der Centrifugallcraft entspringt, ist
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Ü'i Kapitel IV. Von dar Beweffung eines Punktes
_ iG-EP-~FQ)(<Lt^+{h,'^+dx^)+'->v((lP(l:r + dQdy) ^ g^-
indem für M sein gefundener Wertli siiljsfituirt worden ist. Zusatz 6. §. 862. Nach Zusatz 3. hiihen wir ^ __(da;^+dy^+dit^){S(ds+Qd£)-F(dx+P<lz}+G(Pdy-Qdx)\
— ddz {Pdy — Qdx) + ddy {dx + Pdz) und substitiiirt man diesen Werth von 2ti in die Gleichung des Zusatz 5, so wird, nach gehüriger Reduction, der ganze Druck _ ! Gdxddif — Fdxddz + Ed,ydd^~Ed^ddy\^f^ +P^i^Q^ ddz(Pdy - Qdx) — ddy {dx + Pdz) ~ Anmerkung. §. 863. Da die drei Kräfte E, F und G aufeinander nor- male Riditungsiinien haheri, so ist die ihnen gl eich geltende Kraft
= Ve^+ fh~g^-
Diesen drei Kräften halten aher, wie wir gefunden haben, die drei Kräfte M, N und T, deren Richtungen ebenfalls auf ein- ander senkrecht sind, das Gleichgewicht; die ihnen gleichgol- tende Kraft muss daher sein
Setzt man hier statt M, N und T ihre durch E, F und G ausgedrückt gefundenen Werthe, so niuss \fE^ -(- f* + G^ herauskoramer], was nach Anstellung der Rechnung sich be- etfitigt. Diess dient zugleich als Probe, oh die weitläufige Rechnung, nach welcher diese Auflösung hergeleitet wurde, richtig angestellt worden ist oder nicht. Stellt man diese Probe an, so zeigt es sich, dass die Formeln richtig sind. Satz 06. Aufgabe.
§. 864. Unter der Voraussetzung der gleicbfiirmigen und abwärts gerichteten Schwerkraft g soll man die Linie bestim- men, welche ein auf einer beliebigen Oberfläche geworfener Körper im leeren Räume beschreiben wird. Auflösung.
(Figur 108.), Es sei APQ eine horizontale Ebene und M ein, so wohl auf der gegebenen Oberfläche, als auf der vom Körper beschriebenen Curvc liegender Punkt; es wird demnach
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nvf einer gegebenen Oöerfiäche- 443
MQ vertikal und so die Riclilung der Schwerkraft sein. Es sei AP = X, PQ = y und MQ=i, ferner (fc = Pdx+Qdy die Gleichung , welche die Natu» der Oberfläche ausdrücltt und \^v die Geschwindigkeit, mit welcher das Element Mm durchlaufen wird. Diese AufgaT»e ist ein besonderer Fall der vorhergehenden, indem G ^= g, JS == 0 und F = i) ist; wir erhalten daher die zwei folgenden Gleichungen dv=—gd!: (§. m'7.)»aii1vddz{Pdy—Qdx)-'2vddyidx^Pdz)
+ gidx^+dg^ + di^)(Pdy — Qd.r) = 0 (g. 8Ö9.). Setzt man die Goschnindigkeit, welche der Korper hat, wenn er in die Ebene APQ gelangt, ^= V^ö; so erbält man aus der ersten Gleichung
V = b—gz. Aus der zweiten Gleithung folgt
ddg (da: + Pdt) — ddi (Pdy - Qtlx) und so
dv ^ diddz jPilif ~ Qdx) — dxddy (dx + Pdi) 2v ~ {Pdy — Qdx) (da:^ + rfi/^ + dz^)
welche vermittelst der Gleichung dz^Pdx-{- Qdy übergeht in dv _ dyddy \ dzddx ____ Pddy 2v ~ dx^-i-dy^^ Pdy— Qdx ' Integrirt man diese, so ergibt sich
und man muss in jedem beaondern Falle untersuchen, ob
Pddy
eine Integi ifion ■zuh'-st Ist dies» der Fill
Pdy — Qdx
erhält man v durch Differentiale dch ersten Grades ausgedruckt
und weil v = b — gz ist erqibt eith eine Differentiaigleuhung
vom ersten Grade, welche die JNatur der beschriebenen turve
ausdrückt.
Ferner erhält man den geaen die Oherfl^the normalen Druck
gdxddy^l^^p^^^Q^
{§■ 862.),
■" ddz(,Pd^~(idx)~ddy{<hv+Pdz) und wenn man die Differentiale zweiten Grades fortschafft (nach §. 861.) denselben Druck
y Google
444 Kapitel IV. Von der Bewegung eines Punktes — —ff _ 2(6— g^) idPdx± dQdy)
Zusatz J. g. 865. Die Geschwindigkeit eines Körpers , welcher sich UDter der Voraussetzung der gleichförmigen und abwärts gerich- teten Schwerkraft g auf einer beliebigen Oberfläche bewegt, wird ganz eben so durch die Hiihe bestimmt, als «enn der Kör- per sich in derselben Ebene bewegte. ZusatK 2. §. 866. Wird die kurze Zeit, in welcher das Element Mm zurückgelegt wird, = dt gesetzt, so hat man
V^
Aus der oben gefundenen Gleichung erhält man also
und so
ddt _ Pddy dt Pdy—Qdx'
Zusatz 3. §. 867. Aus den gefundenen Gleichungen erhält man ferner ,,,,,, _ s(I'dii—Qd^)(da:'i^d^+d,')
. (dPdiV+ dQdj/){Pdy— Qdx) ,
, , „ (dx + Pdi) [ilPdx + rfQrfy)
, gQ {Pdy — Qdx) jdx^ + dj^ j- dp^)
2<fa(6-j.)(i+^»+e») ■
Wir haben demnach
dzdd,~ d«dd, - sP(Pd!/-Qda!)(.da:' + ds' + d,')
_ jdPdx + dCldii) (dg \ (jdi)
und es ergibt sich der Krümmungshalbmesser der beschriebe- nen Curve (nach §. 821.)
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mf einer gegebenen Oberfläche.
^^d^\dz^){b^gi)W\A-P^^-Q^
S^g\Pdy~Qdx)\dj:^-{-dyHd£^)-\-i(b'-gi)KdPdx-\-dQdv)'^' Anmerknng. §. 868. Den Gebrauch clieser Formeln in bcisontlern Fällen, in denen man -eine bestimmte Art von Oberflächen betrachtet, werden wir in" den folgenden Aulgaben ansf'ührlich darstellen und denselben Beispiele besonderer Flächen hinzufügen. Satz Ö7. Aufgabe. §. 869. Unter der Voraussetzung der gleichRirmigen ab- wärts gerichteten Schwerkraft g soll man die Bewegung eines Körpers auf der Oberfläche eines beliebigen Cylinders, dessen Axe vertikal ist, bestimmen.
Auflösung. (Figur 112.). Da wir die Axe des Cylinders als vertikal voraussetzen, so werden alle horizontale Schnitte einander gleich; es sei daher ^SQC die Basis des Cylinders, auf dessen Ober- fläche der Körper sich bewegt. Man setze ji/* — .c, PQ=:=g und es sei z die Höhe des Körpers über dem Punkt Q auf der cylindriscben Oberfläche. Die Natur der letztern wird aus- gedrückt durch die Gleichung
0 = PdiC^Qdy oder Qdi/ = —Pdj;. Diese Gleichung geht aus der allgemeinen dt = Pdx -\- Qdy hervor, wenn P und Q unendlich gross werden, oder der etwa angenommene Coefficient von d,i verschwindet. Man muss da- her in den vorher gefundenen Gleichungen P und Q als un- endlich gross ansehen, wenn sie auch von endlicher Grösse sind und es werden dieselben nur Functionen von x und g sein, ohne dass z darin vorkommt. Stellt man die Rechnung auf diese Welse an, so erhalten wir
V = b—g%, ferner, indem dx gegen Pdi verschwindet, wegen der Propor- tion P:Q = dy. — dx,
Pdzddg — Pdyddz -\- Qdxddz _ g {dx^ + rfgg) jdx^ + rfy" -H dx"^) dydzddy — dy'^ddz—dx^ddz Wir erhalten daher
y Google
446 KupUel IV- Von der Bewegunff eines Punktes
dv _ idytMy+^dzddi _ 2% ddy V dx^+dy^+di^ dx^+dy^
log V = log (rfa;ä + d^^ + dz^) - log (dx^+ dy'^) + Const. , o '^ — äx^-i-dy^+dt^ . f>--ffz ^ di^
c dx'^^-dy'^ ' c ^ d^^dif'
Aus der letzten Gleinhung erhalf man
-<fi) (dx-^ + dy"^) = cdi^ oder ^fäx-^ -[- dy^^ =
f
2^c(/>-v~ffz)
MO / V^rf.T" + dy^ den , bei der horizontalen Bewegung be- echriebenen, Bogen der Basis SQC bezeichnet. Setzt man das kleine Zeittheilchen, in iveldieni das Element Mm durch- laufeo wird, = dt, so ethätt man
^f'sCd^^d
die Zeiten sind daher den, auf der Basis entsprechenden, Bo- gen proportional. Ferner wird die Gleichung
*f 3
der auf der cylindri sehen Oberflache beschriebenen Curve ent- sprechen, wenD man sich diese Oberfläche in eine Ebene ent- faltet denkt; alsdann wird I Vd-x'^-l- dy'^ die horizontale Ab- scisse und z die vertikale Ordinate bezeichhen.
Die Projection der beschriebenen Curve auf die vertikale Ebene, welche die horizontale Ebene längs ^C schneidet, wer- den wir erhalten, wenn wir vermittelst der Gleichung
Pdx + Qdy — 0 y elimmiren, damit eine Gleichung zwischen x und z, den Coordinaten dieser Projection, entstehe. Da nun dy =^ ~ p -^dx, so erhalten wir
y Google
|
auf einer gegebenen |
Oberf |
Sehe. |
447 |
|
|
V dx-' |
+'V=fvp^+e^. |
|||
|
9 |
Eil), |
|||
|
man in P\ |
ind Q für y seinen (luv |
eil ^a |
.HSgedriickten Werth |
|
|
setzen hat. |
Der l>ruck, welchen die Oberfläche auszuhalten hat, ent- springt allein aus der Centrifugalkralt, neJI die X^ichtungslinie der Kraft g in der Oberfläche selbst liegt. Es wird derselbe, weil wir P und Q als unendlich gross ansehen müssen, — 'ii.b—gziidPflx fdQdy) (dj!^-\^dg^+d:i^) Vl^~(p und veiinoge desselben hat der Körper das Bestreben, sich von der Äxe des Cylinders zu entfernen, wenn dieser Aus druck positiv ist.
Zusatz 1. @. 870. Die Curve, welche der Körper auf der Cylinder- fläche beschreibt, geht, wenn man diese in eine Ebene aus- breitet, in eine.Parabel über, nändich in diejenige Bahn, welche ein in einer vertikalen Ebene geworfener Körper beschreiben
Zusatz 2. §. 871. Betrachtet man die Bewegung des Körpers auf der cylindrischen Oberfläche als zusammengesetzt aus einer vertikalen, welche nach oben oder nach unten gerichtet ist und aus einer horizontalen; so ist die letztere gleichlormig. Da nämlich
so sind die Zeiten den hei der horizontalen Bewegung beschrie- benen Bogen proportional. Die vertikale Bewegung ist aber eine gleichrörmig beschleunigte oder verzögerte.
Zusatz 3. §, 872. Verschwindet die horizontale Bewegung, so wird der Körper in einer geraden Linie auf- oder niedersteigen, ganz als ob die Bewegung eine freie wäre. Dieser Fall tritt ein. wenn c = 0 ist, wo auch V^dx^+dy^ = 0 wird.
y Google
448 Kapitel IV. Von der Bewegung eines Punktes
Beispiel. §. 873. Es sei die Basis des Cyünders ein Kreis, BQC ein Quadrant desselben und der Radius AB =: a; alsdann ha- ben wir
^^+y^ — "* ^^^ xdx-\-ydy = 0. Vergleicht man die letztere Gleichung mit der allgemeinen
Pdx+Qdy = 0, so hat man P ^= x und Q =: y = Vo^ — x\ Die Projection der, auf dieser Oherfläche beschriebenen Linie auf die verti- kale Ebene, welche Über AC errichtet ist, wird ausgedrückt durch die Gleichung
"^^ — —2\^'<i/>—<:-yt) _
/v
Wird daher c ^= 0, so erhätt man dx = 0 und a; = ccnstans; in diesem Falle wii'd also die Projection eine gerade Linie. Die Curve aber, welche für einen beliebigen Werth von c die Projection ist, findet man mittelst der Rectification des Kreises. Der Druck, welchen die cylindvische Oberfläche auszuhal- ten hat, ist
_. 2 (b —ffi) jdx^ + rfi/') _ 2c
~ a{dx^^^üy^^^d%^) ~ a '
weil f?£M^M;!^ = ^ = ^ZVff; , Dieser Drück ist also
«* +%^ c c
überall constant und c proportional. Zusatz 4. §. 874. Wegen derselben Gleichung wird der Druck, wel eben ein beliebiger Cylinder auszuhalten hat,
2cidPdw + dQdy) ^ 2c(</fi/a7 ^— )
~ (dxH'^^)\^I^+Q^
idx-
_ IcQ (QdP - PdQ) dxiP^+Q^)i ■
Anmerkung;. @. 873. Nicht nur auf einem vertikal stehenden Cylinder kann man die Bewegung eines Korpers, mittelst ihrer Zerle- gung, leicht bestimmen, sondern sie wird mit derselben Leich- tigkeit erkannt, wenn die Axe des Cylinders horizontal liegt. Hat nämlich der Körper keine horizontale Bewegung in der
y Google
auf einer gegebenen Oberfläche. 44'J
Richtung der Axe, so wird er beständig auf demselben Cylin- derschnitt verharren und sich auf demselben, wie auf einer gegebenen Linie benegen. Tritt aber eine horizontale Bewe- gung hinzu, so wird diese immer dieselbe bleiben und die andere Bewegung nicht stören. Durch Verbindung dieser beiden Bewegungen erkennt man aber leicht die wahre Bewegung des Kürpers,
Satz 98. Aufgabe, g. 876. (Figur 113.). Ein Kfirper bewegt sich auf der Oberfläche eines runden Körpers, dessen Äse die vertikale Linie AL ist, im leeren Räume und wird durch die gleich- förmige Schwerkraft g angetrieben ; man soll seine Bewegung
Auflösung. Es werde der runde feste Körper durch Umdrehung der Curve AM um die verlikaie Axe AL erzeugt, al.sdaun werden alle horizontale Schnitte desselben Kreise sein, deren Radien Ordinalen der Curve AM sind. Die Gleichung, welche die Natur dieser Oberfläche ausdrückt, wird sein ■ xdx -|- iidy
wo Z eine beliebige Function von i bezeichnet; es wird nämlich
Ist daher eine Gleichung der Curve AM zwischen AL = s und LM = y^l'Zdz gegeben, so kenntmanauch Z. Nach dem dieses vorausgeschickt ist, haben wir also P = -^ und Q r= ^ (g. 864.) und wenn man diese Werthe substituirt, so
erhalten wir, zur Bestimmung der beschriebenen Curve und der Bewegung auf derselben, folgende zwei Gleichungen V =^ b —g^ und
=; log {dx^ + %* + dt^ — 2 log {xdy —ydai) + const.
Wir haben daher
Eiilf^r's Hleclianik. II. 'i-'
y Google
430 Kapitel IV. Von der Bewegung eines Punktet
'" ^ {xdy—ydx)^ ~ Setzt man 3;*+j^ = u^, so wird u eine gewisse Function von I, Dämlich
und *8 i^eht die obige Gleichung über in die folgende
Die Projection auf die horizontale Ebene erhält man durch eine Gleichung zwischen a; und y, wenn man aus der Glei- chung
a;^ -I- j/'^ = 2 iZdz
I als Function von x und y substitnirt und es ist ein Bogen dieser Projection =: I Vdx^^d}^. Die Projection auf die vertikale Ebene erhält man, indem man y eliminirt, wodurch sich ergibt
udx—xdu .r ri^a + rft-^
c^/'ciu^—x'^ V u^l,b—gi)-€^'
diese Gleichnng lässt, wenn man sie durch ti dividirt, eine Constructinn zu.
Der Druck, welchen die Oberfläche nach der Axe hin aus- zuhalten hat, wird ferner
ffZ _ 2c^Z(dx^ + di/^)—2e^dZ(xdw + .ydi/)
Vx^ + y« + Z^ ~ Z(.Tdy - ydx)^ V^2 ^ _^a _,. ^a
Zusatz 1. §, 877. Wird das Zeittheilehen, in welchem der Körpet das Element Mm znrScklegt, = dl gesetzt, so hat man ddt xddy
dt xdy—t/dx ' also wenn man integrlrt,
adt= xd^—yda: und at = a:y — 1 fydx.
Hier bezeichnet fydx den Flächeninhalt der Projection auf die horizontale Ebene.
y Google
mif einer ifeffebeneti Oberfläche. 4SI
Zusatz 2. §. 878. Nimmt man an, dass der Kuvper sich ISngs der Projection in der horizontalen Ebene bewege, so wird im Punkt Q
{xdy — ydx)^ '
Aus dieser Bewegung in der Projection wird man die Bewe- gung auf der Oberfläche finden liönnen.
Zusatz 3. §. 879. (Figur 114). Es sei daher BQC die Projection der Curve auf die horizontale Ebene, auf welcher der Körper so fortrücke, dass seine Bewegung der des Körpers auf der Oberfläche selbst entspreche. Alsdann wird die Zeit, in wel- cher der Bogen BQ durchlaufen wird, proportional -^ — ■ fi/d^
oder dem entgegengesetzten Werthe jydx—'^, d. h. dem
Sector BAQ.
Zusatz 4. @. 880. Das Element der Fläclie BAQ ist = ydx~xd^
Zieht man nun die Tangente QT und fallt auf sie von A das Perpendikel AT = p, so wird
ydx - xdy _ Qq.AT __ p \f dx^ -(- dy^ 2 ~ 2 ~ 2
Demnach ist im Punkt Q
Zusatz 5.
§. 881. Der Körper wird daher, wenn er sich in der Pro- jection bewegt, eben so fortschreiten, als wenn er eich frei bewegte und durch eine gewisse Centrlpetalkrafl nach dem Centrum A hingezogen wurde.
Zusatz G.
§. 882. Es entspreche der Punkt B dem Anfang der auf der Oberfläche erfolgenden Bewegung, alsdann wird, da die erste Richtung der Beuegfing gegeben ist, das Perpendikel auf die Tangente in B bekannt sein. Es sei demnach AB:^f
y Google
452 KopÜel IV, Von der Bewegung eines Pu7i/c(es
und das eben orwälinte Perpendikel = k; alsdann wird die, der Geschwindigkeit in B zukommcDtle, Höhe
~ P" ZüsatK 7. §. 883. Die nach dem Punkt A gerichtete Cent ripetalktaft, welche bewirkt, dass der KOrper sich auf der Projection ßQC frei bewege, wird
_ 2cMp
V x^-i-y^ ist.
Eine Gleichung zwischen u und i druckt aber die Natur der Curve aus, durch deren Umdrehung die vorliegende-Oberfläehe etKCugl ist und ist daher gegeben.
Zusatz 8. ■g. 884. Es ist ferner V dx'^ + dij'' = —j:- ^ -^r-. und ydx —
xdy = Substituirt man diese Werthe in die oben
yu^—ji^ gefundene Gleichung, so etbalten wir
i^du'^ _ c^dz^-^-u^du'^ib-
t\du^+d.
^^dx^-^-u^dw^ib-gz)'
§.885. DaaUo -« = _L'=_£!^i+J^i*Zlg!> ** p^ u^du^-^^dx-^)
ist, so wird das Differential der letzten Grösse, dividirt durch du, die Centripetal kraft ergeben, welche im Punkt A erfor- derlich ist, damit der Körper sich auf der Projection BQC frei bewege, der Bewegung auf der Oberüäche entsprechend. Zusatz 10. g. 886. Ist fl = 0, so wird auch p ^ 0; in diesem Falle wird die Projection auf die horizontale Ebene mit der durch A gehenden geraden Linie identisch sein. A^f derselben wird der nach A herankommende Körper so angezogen werden, dass die Cenfripetalkraft den Werth
du '\ f/aä+rfja )
yGoosle
Inf einer gegehenen Oberfläche.
453
Zusatz IL §, 887. Wenn die erste Richtung des Körpers horizont»! war, so wird die Tangente in B normal auf AB, und daher A — /! In diesem Falle wird aber die Geschwindigkeit auf der Oberfläche gleich der in der Projection und wenn für «=/, 1 = 1 wird,
*-5«^ä(§. 88-2.).
Zusatz I!2. §. 888. Ist ausserdem die ('entripetalkraft trifugalkraft gleich, so wird die Curve BQC t die, aul' der OberHäche beschriebene, Curve ei Bewegung so wohl auf der Oberfläche, als in -gleichförmig. Es sei , wenn u :=: f und z^ i ] alsdann wird, weil p =^ f und u ^^ f'ist, in dem Falli ein Kreis beschrieben wird
2c* = ginf^ (Siehe §. 892,).
in B der Cen- id daher auch Kreis und die der Projection :t, dt = mdu;
§. 88C dividirtma
so erhält
Zusatz, Die Peripherie unseres Kreises i
Sjr/" und [dieselbe durch die Geschwindigkeit V js^=V ^^i J lan die Zeit Eines Umlaufs im Kreise
Es wird daher ein Pendel von der Länge -i-, unter Vorausset- zung derselben Schwerkraft, mit diesen Umläufen isochrone ganze Schwingungen ausführen.
Zusatz 14. §. 890. Auf der Oberfläche, welche durch Umdrehung der Curve AM um die vertikale Ase AL erzeugt wird, kann ein geworfener Körper einen Kreis vom Radius LM in der- selben Zeit beschreiben, in welcher ein Pendel von der Länge der Subnormale LS eine ganze Schwingung ausführt.
Zus
; IS.
§. 891. Ist daher die Curve AM eine Parabel, so \ 1 alle Umläufe auf den horizontalen Kreisen, welche i h auf dem parabolischen Konoide denken kann, in gleic
y Google
4S4 Kapitel IV. Von der Betcei/uiiff eines Punktes
Zeiten ausgeführt. Ferner wird die Länge des Pendels, wel- ches in derselben Zeit eine gunze Schwingung macht, dem halben Parameter gleich sein.
Anmerkung I. §. 892, Was für eine Curve AM man auch annehmen mag, so wird, wenn man- die Centrlpetalkraft der Bewegung in der Projection gegen A hin aus der gegebenen Formel bestimmt und sie der Centrifugalkraft gleich setzt , durch Verbindung mit der Gleichung
sich ergeben
In diesem Falle wird nämlich so wohl die Projection, als auch die auf der Oberfläche beschriebene Curve ein Kreis. Um diesa besser einzusehen, setze man dz ^^ r/du, alsdann wird die
Centripetal kraft
~ «^1 + 9^) u^duß+q-'f
Setzt man nun u ■=■ f , i ■=■ i, b -\c^ und (f = m; so wird die Ceotripetalkra
ra+m^)
Beispiel. g. 893. (Figur 116.). Es sei die Oberfläche die eines Kreiskegels oder AM eine beliebig gegen die Axe AL ge- neigte gerade Linie, also
I — «IM und dt ^ mdn.
Da nun d(f z= dm ■=■ 0 und q =^ m ist, so wird die nach A
gerichtete Centripetal kraft, weiche bewirkt, das» der Körper
sich frei auf der Projection BQC bewege,
He^m^ + gmu^
- „>(i+,»») ■
Dieselbe ist mithin üusammengesefzt aus einer constanten und einer, dem Cubus des Abstandes vom Centrum A umgekehrt
y Google
auf einer geffebenen Oberfläche. i35
proportionalen, Kiaft. Ist «=::0, so wird die ProjeclioQ eine durch A gehende gerade Linie und die Centripetal kraft coii- stant
Der Körper wird sich also tnit gleichförmig beschleunigter Be- wegung dem Punkt A nähern, die Bewegung auf der konischen Fläche wird mit der auf- oder niedersteigend eu Bewegung auf einer schiefen Linie übereinstimmen und ebenfalls gleichförmig hescbleunigt werden,
(Figur 114.). Wird aber die Projectlon krucnmlinig und die Tangente in B normal auf AB, so hat man
i = «,/-nnd b-omf= ^^ (g.887,),
ivo AB — f gesetzt ist. Wir erhalten also in diesem Falle
A — c^-rg»'/"" P
und wenn der Körper steh in einem horizontalen Kreise be- wegt, ausserdem
'ic^—gmp. (§.888.). Damit diess eintrete, muss also
„ „ £! _ g"*/*
" - /-^ 2 sein und es werden die Umläufe auf diesem Kreise in den- selben Zeiten vollendet, in welchen ein Pendel von der Länge J~ ganze Schwingungen ausfuhrt ( § Sb*) )
Ist 'Jc^ nicht gleich ymf^ wohl iber b = — ■ _ ' so
wird die Curve BQC zwar m B eme auf AB normale Tan gento haben, allein diese Projection wird kein Kreis sein fct dagegen sehr nahe Iv^ ^= g"*/"* ^o wird die Curve auch nicht viel von einem Kreise verbchieden sein und zugleich verschi« dene Absiden haben, in denen die Tangente aul dem Radius senkrecht steht. Die La^e dieser Abeiden bestimmt ni in nai,h Satz 91 des ersten Theiles Da nimlich die (.entiipetalkraft
- »•(!+»■»)- ist, so vergleiche man diesen Ausdruck mit dem u. a. O. auf- gestellten
y Google
Kapitel IV. Von der Beteef/ung eines Punktes
alsdann haben wie y =^ letzten Gleichung 'folgt
ic^m^-f-fftna^
dP Zgm\
..mitbin gj-i ='''"' + g^'. ■^ffinu" ydP ir/u^
Absidenlinie von di
Setzt man nun u ^ f, so wird A'\ hergehenden Absida um einen Winkel von
«.,v^
abstehen. Da aber sehr nahe 2c' = ffinf^ ist, so zwischen zwei Abslden enthaltene Winkel ebenfalls t
ihr nahe
.r^^.
Ua
1 stets -
->V3 ist.
irJ dieser Winkel >103«55'
Anmerkung 2. %. 8'J4, Ein Beispiel für eine sphärische Oberfläche füge ich hier nicht hinzu, weil ich den folgenden Satz der Bestim- mung der Bewegung auf einer solchen Fläche widmen werde, indem dieser Gegenstand 'einer besondern Behandlung wiirdig ist. Wird nämlich ein Pendel nicht längs einer vertikalen Ebene angestossen, so wird die Linse sich anf einer Kugellläche be- wegen und entweder Kreise oder andere nicht wenig elegante Curren beschreiben, wie jedem, welcher einen solchen Ver- such anstellt, bekannt sein wird. Der Fall aber, in welchem das Pendel Kreise beschreibt, ist schon von Joh. Bevnoulli in Act. Lips. A. 1719, unter dem Titel der Wirbelbewegung, auseinander gesetzt worden. Ist aber die Curve kein Kreis, so hat, so viel ich weiss, noch niemand die Bewegung des Pendels betrachtet und bestimmt.
Erklärung 6. §. 895. Eine Wirbelbewegung wird die Bewegung eines Pendels genannt, welches nicht in einer vertikalen Ebene an- gestossen worden ist, in diesem Falle wird dasselbe sich nicht in einer vertikalen Ebene bewegen, sondern eine gewisse Curve beschreiben, welche auf einer Kugellläche liegt, deren Radius die Pendellänge ist.
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auf einer gegebenen Oberfläche. 457
Satz 99. Aufgabe. §. 896. Ei» Pendel wird zur Wirbelbewegung angetrieben; mau soll seine Bewegung und die krumme Linie bestimmen, wekhe es auf einer sphärischen Oberfläche beschreibt. Auflösung. (Figur IIU.). Da der sich bewegende Körper an ein Pen- del befestigt ist, wird er auf einer KegeHläf^e fortschreiten, deren Radius der Länge des Pendels gjeich ist. Es sei diese Länge oder MS =-- n, alsdann wird, weil die Curve AM ein
Kreis ist, LA := z — a — V^a^ — u^, dt — ■~^- -^-^^^ ' , M , aP'du 2yrfy __ 2n^
und 1-^q^ =: -2" — 2 ■
Wir erhalten daher die nach A gerichtete Centripefal kraft, welche bewirkt, dass der Körper sich in der Projection BQC (Fignr 114.) frei bewege, "
_ 2f<« - 2g(iu+3gu Va^ - u^ (g^ j^gg.). Zur Bestimmung der Curve BQC erhalten wir die Gleichung
und diese reicht hin, um die Curve zu construiren. Es sei die Tangente in S perpendikulär auf den Radius AB, was immer irgendwo der Fall sein muss, wenn nicht etwa die Pro- jection eine gerade Linie ist; weil die Ccntripeta ! kraft abnimmt, wenn m kleiner wird. Man setze AB = f, alsdann wird
i=a--\^a^—f^ und b—ffi^b—ga \gVa'^—P = %■ Wenn nun ausserdem 2(.-» — -jM— — {§■ 888.) ist, so be- wegt sich der Kürper auf einem Kreise, dessen Radius = f ist und mit der Geschwindigkeit V ^ = V ■^^L_(§-889.) Es ist daher'die Länge eines Pendels, welches in denselben
y Google
458 Kapitel tV. Von der Bewegung eines Punktes
Zeiten ganze Schwingungen ausfÜihrt = V «^ — f^- Ist hin- gegen nicht 2c* =;: —r- - 1 jedoch der Unterschied beider
sehr gering, so wird die Curve BQC nicht viel vom Kreise . abweichen. Um die Lage der Absiden dieser Curve zu linden, haben wir nach Satz 91. des ersten Theiles y = m und
|
P |
(24 |
jo + 3s V ■.'-«•: |
) |
|
|
dP P |
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|||
|
.-■2jo)V «'-«'' |
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|
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|
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-fg„)\rai-:mi+3<!(a^u') ' |
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Da nun |
die Curve fast ein \ |
Kreis ist, so setze mau » = f und |
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|
2&- |
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_ 29 V «•-/-= |
||
|
alsdann |
»ird |
Fdj ' |
= ^-¥- |
|
|
Hievaus |
folgt der Winkel, ii |
elcher zwischen z |
wei Absiden liegt |
|
|
= 180». |
«. |
.3/-'
Um einen so grossen Winkel liegt daher der Ort, in welchem das Pendel am weitesten von der Äxe entfernt ist, von dem Orte ab , in welchem es der Äxe am nächsten ist.
Zusatz 1. §. 897. (Figur 117,). Damit das Pendel AB =^ a bei der Wirbelbewegung den Kreis BDCE beschreibe, muss die der Geschwindigkeit zukommende Höhe
_g.BO^
~ IAO sein.
Zusatz 2, g. 8fi8. Die Liingo eines Pendels, weiches in derselben Zeit sehr kleine ganze Schwingungen macht, in welcher ein ündauf auf dem Kreise BDCE ausgeführt wird, ist ::=. AO.
Zusatz 3. 6. 899. Es stehen daher die Zeiten, in welchen das Pen-
y Google
auf einet gegebenen Oberfläche. 459
del AB verschiedene Kreise bei der Wirbelbewegung durch- läuft, im halben Verhältniss der Höhen AO.
Zusatz 4.
§, yOO. Damit also ein Pendel von der Länge « einen ho-
rizontiklen grösste« KreiS, dessen Radius = a ist, beschreibe,
miiss die Geschwindigkeit unendlich gross sein und es wird
jeder Umlauf in einer unendlich kleinen Zeit ausgeführt werden.
Zusatz 5. g. 901. Ist der Radius BO sehr klein, im Vergleich mit der Lunge AB ^=^ a des Pendels, so werden die Umläule der Wirbelbeweguta gen mit den ganzen Sehwingungen desselben Pend'els übereinstimmen.
Zusatz 6. §. ÖO'i. Ist die beschriebene Curve kein Kreis, aber eine ihm sehr nahe kommende Figur und BO sehr klein, so wird der Winkel zwischen zwei Äbsiden ^ 90".
Zusatz 7. §, 903, In diesem Falle wird die vom Körper beschrie- bene Curve eine Ellipse, deren Mittelpunkt in A liegt. Diese schliesst man aus der Oentripetal kraft, welche alsdann den Abständen proportional wird.
Zusatz 8. @. 904. Je grösser der Radius BO ist, desto grf.sser wird der Winkel zwischen zwei Äbsiden. Wird BO = BA, so wird jener Winkel = 180".
Zusatz 9. g. 605. (Fig. 118.). Ist der Winkel BAO=M",so »\rd BO=f ■= «sin30'* ^ \a und der zwischen zwei Äbsiden enthaltene
Winkel ^ ^^ = 99O50'. Die Protection auf die horizontale
VT3 Ebene wird also die Figur abcdefghlk etc. haben, in welcher a, c, e, g, i die obern und 6, d, f, k, k die unteren Äbsi- den sind.
Zusatz 10. §. 906. In dieser Figur bewegt sich die Absidenlinie recht- läufig und schreitet während jedes einzelnen Umlaufs ungefähr um 39** in diesem Sinne fort.
y Google
im Kup.IV. V. d.Beiv. einen PunktcK <mf einer grg. Oberß.
Zusatz 11. §. 907. Ist aber jener Winkel BÄO<,W, so wird das Forts eil reifen der Absiden kleiner als vorbin. Um die Grosse des Winkels, um welchen die Absiden fortschreiten, fi'ir je- den Werth des Winkels BÄO kennen ku lernen, setzen wir
« -1 , V" . ^fL etc
Ist nun /■ selir klein, so wird die AbsidenlJnie wahrend Eines Umlaufes sehr nahe um
rechtläufig fortrücken.
Zusatz 12. §. 908. Demnach ist die Fortrßcliung der Absidenlinie während der einzelnen Umläufe sehr nahe proportional dem Quadrat des smBAO.
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen
zu
Lcoiihard Eulcr's Mechanik
oder
analytischer Darstellung der Wissenschaft von der Bewegung.
y Google
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen.
Zu ä- 12. (Figur 2. ). Sind m und m' die Endpunkte dea in M halbirten Elements mm' der Curve, ferner mM' und m'M' die Tangenten an diesen Endpunkten; so ist mM'v derjenige Winkel, weichen beide Tangenten mit einander bilden. Da nun Om— Om'=OM=r, so ist ^ OmM' = Om'M' = 90" und mM'v = 180" — mM'm' = mOm'. Der letztere Winkel estspricht aber dem Winkel MOm in Figur 1., weil der hie- sige Winkel mM'v dem dortigen niMv entspricht.
Zn fi. 12. bis 19. Aus der Art der Herleitung von ^ , wonach
gesetzt ist, also alle folgenden Glieder, in deren Nennern hö- here Potenzen von r vorkommen, vernachlässigt worden sind, geht hervor, dass r keinen unendlich kloinen Werth haben darf, indem sonst diese Vernachlässigung nicht statthalt sein würde.
Da nun , wenn T irgend eine Function von s bezeichnet, ddT von der Form Ads^ sein wird, so kann man, wennrnicht
unendlich klein ist, %-^ einem Differential vom zweiten Grade
gleich setzen und es wird sein Integral einem Differential vom ersten tirade gleich werden.
Wird r unendlich klein, so kommt es auf das Verhältniss des ebenfalls imendlieb kleinen ds zu r an, oh ^ selbst end-
y Google
464 Anmerkungen und Erläuterungen.
iich oder unendlich weide. Wir hallen nun das Decrement der Geschwindigkeit
Es seieu zuerst ds und r Grüssen von' gleicher Ordnung, s dass man — = 1 setzen kann, so wird das Decrement
ds Ist r^ von derselben Ordnung wie ds, also ■ -^ = 1
so wird das Decrement
ds ds^ , ds^ *2 ~ T "''16 ■ ■
16 "
also, «eil ds selbst unendlich klein ist, das Decrement ^ - oder ein Differential ersten Grades (§. 14; )-
Ist r von einer hühern Ordnung als ds, so dass man ■ =; 0 setzen kann, so wird das Decrement
NT,
f»^
also wird die ganze Geschwindigkeit in einem solchen Punkte vernichtet (§. 16.)-
Zu §. 31. Ist nämlich —d.2v^ = —ivdv = ds^, so wird
2v ,
yGoosle
Anmerkungen und Erläuterungen. 465
Zu §. 68. Ich habe hier, wie im ersten Tbeile, bisweilen eine zweite perspectivisch gezeichnete Figur hinzugefügt, wo- durch vielleicht me! r Anschaulichkeit herbeigeführt wird.
(Figur 9.). Weil £iV perpendikulär auf BE ist, so steht es auch senkrecht auf der Ebene BEM und so das Element der Curve BM in M senkrecht auf der Ebene MEN. Mithin wird umgekehrt jede von M nach NE gezogene gerade Linie normal auf BM sein.
(Figur II.). Man ziehe J'F# ^J#eW und ÄF# QF #BJE und setze den Winkel QTD = a und DTV =: ß; so
tg. = 1^ = f^, mithin sin. ^ -^L^ und ID da: ^fdx^-\-diß
Vdx'^-\-dy^ ' Ferner hahen wir bereits oben in diesem g. gefunden
Ml " dz Vitü'+iif
also wiril
TS= Qr+QS = '-^^^!±MiS^.
Ausserdem
S H'= OS . «in « = t4'&!^ .QW^ PN= -^Ä^ . dx^ + d.y^ dx^ + d'k^
QT'^ ddxida;^ + dg^) '
PD=Qn — QP='-!f-~y, DV=QV~QD
dxddg— dgddz '' ^ didih
7'Z>=rQcos« — i^. Wir haben feiner
tS|3
_DV dtddg— djfddz
DT dwddt
tfp f« -I ß\ = JSfL+MÄ ~ dxdzddg
iSk«-! W i„tgctg|5 (dx^Vdißjddz-^dydzddy Euler's Mechanik. II. 30
y Google
406 Anmerkungen und Eflanteruntjen.
^^ ^^' Vdx^ + dy^.\(dxHd?l-^)ddz^didyddi,\
NX=SHs\\
dxdt Vite^+f/^^
^dx^-^df'
1 dx ddij {dx^ + %' + dz-^)
'ifdx^ + dy^ \ {dx'^ + %^) </'/* - dz d>/ddy ] und ao ir ff I P.Vt YT - '^dxldyddy+diddz]
unti
XR = SRcosa—SW—PQ
_ K^jg'' ^7f/ff H- uh (di ddy — dy ddi) _ "" {dx^^dy'^)ddi—dzd/yd>ly
Zu %. 71. (Figur 12.). Zur Heileilung des Wectiies von tgllMN niiigcn folgende Details angegeben werden. Es ist
Qm=zQk^ + hN^, NR^=(Qx~Q/iy+(xR—hNf; also
Mn - ^R^ + ^JV"— ^^'^ „ MQ^ + Rx.Nk + Qx.Qh ~ ' '2MR Mit
Ferner
- ^MR^.Mm-{D]Q^ + Ri^.Nh + Qx . Qk]^ ~ MR
= V{<MQ'^ -f- QR^)(MQ^-\- QN^) - VWO* —2MQ^ . ffa:. Wt
— fia^2 . iVA^ _ ^mg^-Qx . Qh—IRx . Qx.ISh.Qh
^Qx^.Qm-. MR = V 1 MQ^\Qx-' H- fla;^ -f QA^ + Nk^-'JRx . Nh—^Qx.Qh]
— 2ßar . Qa: . QA . A A — Äara . iVA* I : jtfÄ _'>/"MW{Qx -QhY^^MQ^jRx—Nhf^iiia: .Qh- Qx.N^
Substituirt man nun <lie frühem Werthe, so wird
y Google
Anmerkungen und Erläuterutiffen. 467
NO =V i^[\'h:^ädy+dz'^ddi/ -~dydiddz-\-QdxMdz-\-Qdißddt — Qdyd%ddy\'^-\-{dxdyddy-{-da;dzdd% — Pilx'^ddz — Pdy^ddz + Pdydzddy]^ + {Qdwdi/ddy + Qdxdsddx + Pd-x^ ddy + Pdz^ ddy — Pdydzddi \ * t : MR\{dx^-\-dy^)ddz—dj/dzddy\. Da aberrft=jP(ij;+Qdj, also di^ddy~Qdydiddy=Pda;d.zddy, - dydiddi + Qdy^dd.t = — Pd^dyddz, dxdzddt ~ Pdx^ddz = Qdxdyddz und Qdxdyddy -(- Pdx'^ddy = d.rdzddy; so erhält man
iVO = t2 y j , dxMdy^-Pdxdxddy - Pdxdyddz + Qdx^ddz (^ + ! dxdyddy+Pdydzdfly — Pdy^ddz+Qdxdyddz | " + \dxdzddy + PdzMdy—Pdydzddz-\-Qdxdzddx\^] : MR{(da:^ + dy^)ddz—dydzddyi
L^'^f+^fJr^^ . V I rf%^ i rf.^^ + 2/»rf3:rf>
j«ß j (rfa;^ + dy^) ddx - dy dz ddy | ' + P^dz^ ( — Mdyddz i P(fa:rf« — Qdj^ + /«rfjfds - PQdxdz \ + ddfiiP^dy'^—'>PQdxdy +.Q^dx^)]
_ z^ I rf% ! (/;c +Pdz\— ddz ! Prfä? — Qdx i | V^rf^^+rf^rf^ — "^ " MR[\dx^ + dy''\ddz~dydzddy]
Durch gleiche SabstitHtion erhalten wir
j z^ I (dx^ + %*) rf«/= — dydzddy \-^ Pz^dxi dyddy l
_ i + dzddz\— Qz^{dx^ddy + dzjdtddy ~ dydd£)\\
^"" B K i ((/a;* + <(*/^) </(/!— dydzddy \ "
oder, H-eil Pdx = dz-Qdy MO = ^^\ddz\dx^ ^dy^^dz^l— QfMy \dx^ + dy^ + dz'^j j MR I (dx^ + %*) t/di — dydzddy \ Mittelst der för JSO und MO erhaltenen Werthe ergibt sich der im Texte aufgeführte Werth von t^RMN.
Zu §. 72. (Figur 13.). Wir hahen Wfi = Vr^^nr^oJ^ = Sfddiß + ddz^,
_ Vd^dy'' + dx^ddz^ + dy^ddz^ + d?ddy'^—Mydzddyd7lz ^fdx^-Vdy^+dz'^
^ Vdi''(ddy'' + ddz^)+(dyddz—dzddy)^
~ V(B^ + dß + d^
Aus s:mn = MmiMO folgt, weil Mm = mn,
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen.
MO:
V äx'^iddy^+ ddt^) -f (dyddz -dzddy)^ Zu §. 73. Zur ErlSutemng der hier ausgeführten Reducti- onen bemerken wir , dass aus
ddz = ^i^±M. und dz = Pda^-^Qdy
folgt ,, ,.,, ,, l Pdz + dx ^1 ddy{P^ + Q^+l\dx
also
Pdy - Qdx _ V' j^ QM^t
dxddyy/W^^W^^ ddz—Qddy ' Ferner ans
dz = Pdx+Qdy, ddz = dPdx-\-Qddy-\-dQdy
also dd%-Qddy = dPdx-\-dQdy.
Zu §. 79. Da ftv normal auf der Ebene Mmv, also mn
senkrecht auf einer, durch n parallel mit ^iv gezogenen, Linie
steht, da ferner mn auch senkrecht aufjiv ist; so ist mn auch
■normal auf der Ebene fxvn, mithin mwft =: 90" oder fut mif
|
Zu |
§. 96. |
Für PAa<m'> ■ und f^_ |
.yird -^i == i dx |
*ecP^« = |
|
|
also für klein. |
X verschwindend klein |
J Sffjx |
ebenfalls |
||
|
Für |
PAa |
= 90" wird aber ds dx ns« |
Uf = X |
||
|
Oir |
s = |
Oun |
d M>I, also s" = |
: CLX. WO ß |
M. |
i v|;-J V^■^-^^V^•
yGoOsle
AnmerkmiffpM und Erläulerwiir/en, 469
abo ftir n>l und <2 und s unendlich klein, A*-^ unend-
lieh klein, hingegen für n>2 und « unendlich klein, f-^l^
J y gx
Zu g. 97. Aus s" = ßx folgt rfs r= J^2, «n«! '^«^ = — '=^ — , ferner aus ds^ = dx^-\-dy^ , für (fce constant, ddy
dsdds (» — l) (/** , 1 T^ .. I II
= - — ;— ^= — i T^ und so der Krumniunsshalbnicsser
, ds' asdif tidi/
~ dx ddy K(w — l)s"— Ws n{n~\) »"—^ds'
Ist nun K<'2, so wird für PAa = ^0'> in J , -? =: 1 und da-
ds her in diesem Punkte, oder für s =z 0
•■ = -^^ = »-
Zu §. 99. Die Cen tri fugal kraft —wird==0, weil r=cc. Fer- ner, weil dxi=ndsun.(ldy'^^:r2ds'^~dx^~ds'^(l—n^, die Normal kraft
Zu §. 103. Es wird nämlich -^ . „J^ = -^=.
/ a ,^ . a , (I , 1 a:" 1.3x* , 1.3.5*6 , , )
(«--*»)-.= -^*-ä |ä + 2^s+ O^ +27176 F+^'"|
1 , , , 1 a5 , 1.3^5 . 1.3.5 *'<! L f i
^ Vf "^ 2 ^ + O ^ + 27476 ^ ■•■ ^^'^-^ mithin
/" adx „ 4 fa ,-, , 1 , 1.3 , 1.3.5 ,,,,
Zu §. 106. Da & eine Function von a und a: von der Di- mension 4 ist, setzen wir allgemein
k = a'".xi-'" + a"^'-xl-'» + a'»-^xi-'» +etc. Nun haben wir
y Google
|
m |
Aiimerkuni/en Ui |
^ti, Erläuterwngen |
||||
|
du : |
= t<i' |
-m)a-a:-^i + a- |
,«)«"^->i!:l— + C |
*i- |
m)a— ■ - + eto. |
Irf» |
|
+ |B.»--l:ri— ' + (.11-1) |
„.-=^1 -. + („,_ |
■2) |
„m-^B^i |
:-m |
||
|
+ elo.; |
Wo, |
|||||
|
und |
da in |
i Texte |
rfÄ = -^= da) + Q'fZo
ist; so erhalten wir, indem man beide Wectlie von dk mit ein ander vergleicht, weil a «iid x von einander unabhängig sind;
, -ß=a!-l-qa= (,],— m)(i"'^i-"' + (| — m)a'"-'3:i-" + Q~m) Vgx
am-Hjpi-m^ etc. + ma"'a:i-"' + {m— 1) a-"-^ x'^-"' + (wt - 2)
am-a^S-ni-l-etc.
=ziia"'a;;-"' + a'"-iic'-'" + a"*-''a;i-"'+ etc.} — ^c.
Zu g. 114. Aus ;r = OM oder w =- folgt </m=2~^'^'
Da nun
da \b __ — (Zw
so erhält mau, wenn man die vorstehenden Werthe siibstituirt, y^ dy -\-'2i/xdx —
%'S"+j(')
«23,V6
dx
folgt.
7 . j '/* dv + 'iyxdx— x'^ dy . ri—
y Google
Anmerkunr/en und ErläuleTungen. 471
Zu g. 115. (Figur 23.). Ist M"' N eine Tangente an der Curve AM'", RM" eine an der Curve CM"'M", so haben wir, wenn der Winkel IH"' NC durch ß unä M'" liN darch a bezeich. net wird, in Bezug auf die gegebene Curve AM'"
tgö ^ '^V- = -^ ^ -1^-, (g. 114.)
und in Bezug auf die gesuchte Curve CM"' M"
tg« = -^y=. __jKgit^^:=|fyM-. (.. 114.).
Mithin wird
i^AM"'M"=^i^{^^ß) = fi^^ 2x1/ i/i^^-j-x^—^-cVÖx)
— ^^~y^ y^^- -r ^' ^■y^ yfbx—x'^^i>x _ y ^
1 + 23rff ff(ffa-f.^a — 2^ V^) ~ a:— V'i;«
Zu §. 117. (Figur 24.). Setzt man den Radius des er- zeugenden Kreises ia = r, den unhestimmten , s,- und y ent- sprechenden, Mltteipunktswinkel in jenem Kreise ~ y; so wird X = r — ■rcosy und y=ry — rsinj'
|
»■"'^ |
= T slnj-. |
. ^ = r |
— rcosj |
.= ,T, |
|
|
demnach |
|||||
|
% |
.r |
a. |
x |
\^J |
|
|
dx |
rsiri, |
Vr--(r- |
-x)^ \ |
Il,x-x |
' V 2r-« |
|
und we |
im man in |
a letzten . |
Ausdruck |
ZSlikr |
und Nenner mit |
|
V'aH^ muUipiicirt, |
|||||
|
* |
VS |
||||
|
,te |
V « — 2x |
||||
|
Aus y- |
"7 v-jc |
1 ^*' |
von selbst ^ = dx |
'•f'hix |
|
|
-s- |
-ft |
- 2a:)! ■ |
|||
|
Setzt 11 |
«an nun V |
a— 2a: = |
t, worans V"2a; |
= V,.-.»und |
|
|
dx = |
-idz foigt |
. so wird |
y Google
472 AiimerkunißC'it und ErläKtertciigen.
da "'J la ■
Nitch dec allgemeinen Integrationsformel Piu+cx'^dx_ (g + cj')'!-' 1 c(3»i+3-iii) /■(a+cj'^'iia: / X" - (m-Doa,— ■"' a(m--l)J x—'
erhalten wir
^ 2 pdai\nii _ _ 2a: Vf^
demnach
V"2S
rf.« \rä2— 2aa:' mithin, wenn man beide Gleichungen addirt
dy = .V.,„ . ^V^ .■ + i|Vg^ .
üin die Gleichung ady —yda i a«V2 '*] zuintegriren, haben wir
pady—üda^ 1 ^ ^ . fda^b ^_lVJ J a^W2 Va'« J X.,Vä 2V^-
Feraer setzen wir
«% — g(Jfo daVT (ax — 4a:^) da -\- (iaj; — a^) dx
a^ V"2 4« V«" ~ 4aa Vn3;-':i:c*
(ax —4x^) da 4 (4aa' — a^) dx
= i¥*Za^- + iVi/a
ia'^yfax—'iu:'-
und wenn wir die unbekannte Function, deren Differential die- ser Ausdruck ist, ^ ip(.x,a) setzen, so bitben wir d(f>{x, a) _ j^ dq> (x, a) _ ^ dx ' da
ind ^(x,u)= pfldx = pNda oder tp(,x,u]
/xdx 1^ /* _ dx _ aVax — 'lx^ ^J Vax—'
yGoosle
Anmerkunffen und Erläuterungen. 473
Nach der allgemeinen Int^gralformel
/^<?^ v^M-fia^+c^ — A r . '^„^
erhalten wir daher hier
tpix, a) =^Jmdx = ^ V!^£=^,
welchen Werfh wir auch aus fNda = f(a£~-4£)Ja ^^.
J J 4a^\ax—2x^
halten haben würden.
Zu §.123. In diesem Falle ist k::^ f^^vonder Dlmeii-
J \ gx sioQ M-fl in Bezug auf « und ;*:, also
k =; a'n:i;''-'->-'n + a'n-i.^n+l-'» + «"'-''a:«+5"-'»+ete. dk = ^-^ t^da = {{n^-\^m)a-a^'l-'^■in -f i- h,)«'-^
jrn+J-'n + etc. Ux + im«'»-ia:''+'-'" + (m — l)«'"-2.-c'i+l-'"
+ etc.!rfa mithin
V ff.r
aVg
oder weil & = —j.-^. für die schneidende Curve die' Gleichung Vir
pdx _ pda^x __ (2w + l)f/KV6"
v^ » « ■
Zu §. 143. Der Druck ist dem Krümmungshalbmesser um- gekehrt proportional, weil nach §. 140. 1 ^_ dxddy _^ 2«
r rf^" (« + 4ar)V7^'+l^'
also der ganze Druck
— ^^zr25
- 2f' ■
yGoosle
474 Anmerkunyen und Erläuterungen.
Zu §.145. Für 6=0 wird die Zeit =-^ P ^£
und da tmcb. der allgemeinea Integiairorniel
r dx —\
J x-^iß^ + yx^)" ß(m + n-l)x-(ßx+yx''y'
ß(m + n-l)J x'^-^^ßx + yx'^)»' in unserm Falte aber m+n — 1 = 0, / = —1, ß = 2« unil 2« + m— 2 = —\ ist
a p dx _, — l
W-/ VxV^ax~x^~ 2a.0.V^V'25i=^
i_ r Wx.dx _ ^
2.2a.Öy Vä^^"^ Zu §§. 161. ui.d 164. Um die Reihe, welche die Zeit des
Niedersteigens durch den ganzen Bogen EA ausdrückt, auf ! Weise zu erhalten, setzen wir
a f'- dx _^ f' dx
* V7 IcVc 2.4c^vV 2.4.6. c^Vc
Aus der allgemeinen Integralformel
p x-"dx 1_^
J (ßx ^-yx--')" yi2n-m-l)
i x""-^ p x"'~^dx I
\ (ßx+yx'^)^-^^''^ V {ßx+yx^)-\'
folgt p x^d^ _ -x'»-yV"bF^~^^ . (2w— 1) b p x«--'-dx
Setaen wir nun allgemein das bestimmte Integral
so verschwindet in diesem Falle das Glied ~- ■ — ■~'^-
für ^=0 und x=:b und wir erhalten
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. Wir haben aber
^. = /"tJ?= = S«-(-4.) = », weil f-^M=
also, indem wir V^c t:= V^'2a setzen, V2J,
= 77s; i"+17-2''' + i073 2T4"
+
1.3.5 1.3
2.4.60' 2. 4.« "^'"-l
«VI« ,
Zu ij- IßS- *" 'JßJ' erwähnten Abhandlung, Comment. Acad. Petrop. Tom VI., beschäftigt sich Euler damit, unter andern Reihen, solche zu sumniiren, deren Formen durch die folgen- den allgemeinen Glieder dargestellt werden :
Zum Behuf der Summiriing der ersten Reibe bringt er eine Integration, zum Behuf der zweiten eine Differentiation, und zum Behuf der dritten zwei Differentiationen in Anwendung. Die hier vorliegende Reihe entspricht keiner von denen , welche Euler behandelt hat, ihr allgemeines Glied würde nämlich von der Form
(y + S)'^(2y + S)^...(ny + 6)^
sein. Ohne speciell auf den Inhalt der erwähnten Abhand- lung einzugehen, was zu weitläufig sein würde, wollen wir die vorliegende Reihe den dort gegebenen Vorschriften gemäss be- handeln; wir werden so zu der im Texte angegebenen Diffe- rentialgleichung gelangen «nd Euler's Verfahrungs weise wird auch aus diesem besondem Falle klar werden.
y Google
476 Anmerkungen und Erläuterungen.
Wir betrachten zunächst die Reibe als endlich, sefzeu ihre zu suchende Summe = s, ferner — zz^ x, wo notliHcn- dig'x<I ist und haben so
Denken wir uns dieselbe mit px'^ mulflplicirt, wo p und 7t noch KU bestimmende Gonstanteii sind und infegriren wir in Bezug auf x; so ergibt sich
/1.3.5...(2h— 1)Y px^+"+^ K, 2.4,6. ..2« / Tc + n + l' Vm p und ro zu bestimmen, setzen wir, unabhängig vi>n dem Werthe vod n,
(2n — l)p = n + n f 1, also p ■= ^ und it ^ — i; und erhalten
\ 2.4. 6. ..2« J ^ '
^ / 1 y3;,i'+l ^1.3.5...(2.i-3)V
+ ^.-Oy* »+« ^'A 2.4.6. ..2« ^
Diese Gleichung multipliciren wir auf's neue mit p,r" und li tegriren wieder, so ergibt sich
I.3.5-(2k-3)Y (2«-l)pa:''+»+i
Um wieder p und ro zweckmässig zu bestimmen, setzen w unabhängig von 7i,
(2w — \)p = Ji + w + äj also p = ^ und jc = — 1 und erhalten so
l, 2.4.6.. .2» ^ '
oder weuu wir mit Vä' multipliciren;
y Google
AnmeTkungen und Erläuterungen. 477
/].3.5...C2»-3)N
/].3.5...C2»-3)Y ,.
V 3. 4. 6.. .2» y ■ Diese Gleichung niuttipliciren wir wieder mit pa:" nnd diffe- rentiiren sie alsdann in Bezug auf ie, wodurcli wir erhalten
Zur Bestimmung voh ^ und m setzen wir, Hnabfiäogig von 7i,
p(7t-{-n) =:: '^«, also ^ = 2 und n =; 0, wovauf wir erhalten:
i^M^5/I/tl=i,ri
/1.3.5...(2«_3)Y 1 ,
V2.4.6...C2n— 2V 2n "
Wir inultipliciren aufs neue mitpa;" und differcntüren in auf j;, wodurch wir erhalten
|p<i.S.-.,j,v:j/'f/>|f|? ,
. /''V 1 , ,1^ ^. /1.3.5...(2m~3)V + (?; ■4P(» + i>»' + --(.,.,.6...'(i,.--lij
Setzen wir zur Bestimmung von p und %
p(n: + w— I)— 2n, also p = 2 und jc =; 1; so ergibt sich
/-l'.3.5...(ä»i-3)Y , V2.4.6...(2m -2V
y Google
478 Anmerkungen und Erläuiertmgen.
Die Glieder auf der rechten Seite stellen die ursprungliche Reihe, weniger dem letzten Gliede derselben dar und nir kön- nen daher die Gleichung 5, so schreiben:
"' dx'^ l, 2.4.6...Ü«V ^ ■
Ist nun die Reihe eine ins Unendliche fortgehende, also w = 00 . so wird der Factor
,^1.3.5...<2»-1)V
V. 2. 4.6. ..2m J
nothweiidig kleiner als 1, dagegen, weil ^<1, :r" unendlich klein. Wir werden daher das zweite Glied auf der rechten Seite vernachlässigen können und erhalten so
''• —— ^^^ä ~— — *■
Aus derselben folgt sogleich durch Inlegration
sdx.
Diflferentiiren wir auf der linken Seite wirklich, so ergibt sich leicht
Differentiiren wir diese Gleichung, so ergibt sich iJx psdx , 2.«/ar Isilx da: /* , xjx-^ xi S' X ^'J
10, f'-^ + 4= ßdx+-% a-x) = 0.
Differentiiren wir diese noch einmal, so erhalten wir nach i fach er Reduction
11, '■^ (1 ^ .^) _ i{^ fsdx = 0. V.T '^^ J
Nun wollen wir die im Text angegebene Substitution vorn
y Google
Anmerkungen und Erläulertttiffen. 479
b ^ /"—
men , also ä; = - = riTiä ""^ s := e^ * setzen. Da also
so evbalSen wir nach vollzogener Stibstitutbii leicht
12, 29«*' ' - Isdaf =l 0.
Diese Gleicbung diffeientüren wir endlich «ach einmal und ectzeii sfalt sd^ seinen Wetth, so erhalten wir
o.lcr
, , q^dt idt
Zu S- l^*^' E'^ verhalt sich nämlich die Zeit einer .lehr kleinen Schwingung zu der einer unendlich kleinen, wie
1 + 1.^:1 ^ 4c + 6:4c.
Zu §• 174. Allgemein ist dv = gtLn, also <1ie Zeit des , Nieiiersteigens eines Körpers durch eine llühe w oder
uiid ist diese Zeit derjenigen gleich, welche der Körper zum I<jiedersteigen durch den unendlich kleinen Bogen EMA braucht ; so wird
11^ = ifV^ oder a:^^=^ 1,234. o.
Zu §. 184. Im Original ist dieser §. ßlschlieh mit 185 bezeichnet und es pflanzt sich diese falsche Zahl .fort.
Zu @. 185. Nach den Angaben von Hansen in Schuma- chers Jahrbuch von 1837 ist die Schwerkraft auf der Sonne = 28,36, auf dem Jupiter = 2,45 und auf dem Saturn = 1,09, wenn die auf der Erde ™ 1 gesetzt ist. Hiernach wird die Länge des Secundenp endeis auf der Sonne =s 89' ,796, auf dem
y Google
480 Anmerkungen und Erliiuterungen-
Jupiter = 7',757 und auf dem Saturn =;3',451; die auf der Oberfläche der Erde = 3',16629 gesetzt. Zu g. 186. Nach §. 117. haben wir
adx I P adx
ds =-
ad
Um dieses Integral auf das hier vorliegende zu Übertrag« muss man dasselbe von x ^ la — x bis ^ :=: la nehmt
|
j. =: _ V a^— aa;r und für w |
— irt |
s = 0 |
|
|
ferner „ x |
= äa- |
-a:,=-Vi, |
|
|
so wird offenbar |
|||
|
1 = 1 |
f2^ oder «2 |
= 'lau |
|
|
Zu §. 201. Es ist |
|||
|
«=/t?= |
.-/■^. |
= C- |
|
|
und da (üi y :^ a, v z |
= S;.='!l |
||
|
Der Druck längs MO |
»Ipd |
||
|
7" ' y ^J ' |
9 f <" |
j,Hi Tor- |
+ («-H);'"l |
Zu g, 202. Ist M -fl negativ, so wird
lind für ^ = 0 , w = X .
Für M +1 = 0 oder h = — 1 , ist
„ = -y^ (S- 201) = - /-iogj + C,
.l... = 6 + /log(i) und für 5 = 0, V = 6+/iogao = «j .
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen, 481
Zu §. 203. Für n-> -3 oder j*+3>0, wird .1er Üruek im Centrum, wo ^ = 0 ist,
= -x (§.201.).
Für M<; — 3, also «+3<Ü, wo daher so wohl n + 3, als auch M-J-1 und n negativ sind, wird der Druck allgemein m{n\-%)f« „ 2wi& 2m/'" _
im Centnim, wo y =: 0, wird also in diesem Falle der Druck = + 00 . Zu §- 206. {Figur 36.), Es ist in der nebenstehenden Figur, nach der angegebenen Bezeichnung
6'7'= COcose— .(HO = («+A)cosp— A und
^2 — (a + AJ^ + A*— 2A(a + A)cose; elimißirt man aus diesen beiden Gleichungen cos^, so ergibt sich
rr — ^ + 2ffA— )/■*
^' " 2Ä ■
Da X im Vergleich mit a und A unendlich klein ist, folgt aus
y = a-\-x, y^ ^^ a^-^-^ax, y'^ = u* + 4n^^ und aus ds =
V2öAj;(u + A)
»Ä( V «A
gegen .
Hätte mau xdx nicht vernachlässigt, so würde, weil allgemein
ist, zu dem Ausdruck der Zeit noch hinzugekommen sein das Glied
Vh r * xdx Aji * / A
2a (« + A) gj^ ^k^ZI^ " T V 2« {a^. h) g '
ßJT V"2Ä
Dieses kann man aber eegen - — — vernachlässigen,
weil k, im Vergleich mit a, als unendlich klein vorausgesetzt ist. Euler^H Meuhaoik. 11. :il
y Google
4tQ Anmerkuvgen und Erläuterunt/en,
Zu §. 209: { Figur 37.)- Die längs MA wirkende Seitcii-
kraft wlrd~2^ «ö _ ^ ^ kralt wird - f„- ^jj — f„- jjjf
wo CH = CJ, oder =^?t.fß-, also
-r,^™a. = c-j^
^rfw «nd f = C-^^~^, aber für v ^ 0 «nd
C.+ l_y.+ l
und auch b -
Zu §. 213. Wir können statt der Gleichung
V = ^Pdn /hdz
uDinittell)ar setzen
■V = — fpdo! - fkdy.
Wenn aber t = BD und 2 = AD sind, so-.ist ;r ^ 0 und ^ = 0, mithin wird alsdann
Zh §. 223. Für ds = consf. haben wir (nach g. 578. des
I. Theils) den Krümmungshalbmesser im Punkt 31, j- = ^^^,
ddy positiv, weil die Cuive gegen AP convex ist. Mithin _ Pd^j ^ib-\-fPdx)ddy ds dsdx
oder kdsdx — Pdydx^^lbddy VMdy fPdx. Zu §. 225. Aus dem Ausdruck der Zeit
^b^-fPdx folgt nämlich
/>
y Google
|
Anmerkungen und Erläuterungen. |
483 |
|
'j.\n: /-W und für X = 0, 2sin^JP = ^~ oder ^^ = |
■.AM AP |
|
<iu.a^<^^. |
|
|
Zu §. 2^26. Um die Gleichung |
|
gV'iltt-
zu integriren , setzen wir V^ 2A( — li^ =
t -h = '-^^i^ nud dt='~, al"o 2/1 A
= 5J5 V 2« - /.^ j g j
Oller HS = "^tn^tliÜ^ V mt-lf + Comt. folgt.
Fäogt der Körper seine Bewegung in A von der Ruhe an, also ö = 0; so mus's auch c := Ü sein. Indem sonst aus
!?« = * + H<^^-^)
für X = 0, d. h.
ÖS
werden würde. Alsdann geht die allgemeinere Gleichui sehen dif und dw über in
, kdx kx f , ,
dv = — , n'oraus ii = — r ■ ■ iolat.
Mich dSnkt übrigens, dass die Gleichung
, iktdut—h) '
sich allgemein intcgriien lässt. Es wird zunächst
I,
2A1 /^ Prfj
')/
VC9' — li"^) (2 + 2,5;* Ai - k^ /fi tdt
*/:
V(ff2 — A«) t" + 2/(2 Af — A-^A'' '
yGoosle
484 Aimierkuniie» wifl Erläulerwigefi-
Da allgemein
/a^'dx _ 1 j x'"-^
(a + Si + e:!:*^- e(2«-m-l) I (» + Sa: + <■«') —i
80 wird, wenn wir »j = 2, j; — ^, « = — ä^A^, .6 = 2Ä^A, — it^ iiod\3; = / setzen
3A^/t /*__
Das zweite Glied auf der rechten Seite kOnnen wir mit dem zweiten der obigen Weichung 1, zusammen nehmen und erhalten so
Da aber allgemein
hi^»^±if) ptdt___h<:2,f-\-k^) p
Das zweite Glied auf der rechten Seite nehmen wir mit dem dritten üliede det rechten .Seife in der Gleichung 2, zusam- men und haben so
Ztfk^h^ fdt__ 3/;^k^h^ . /k^k-H9^—k'^)t p\ "*' 2(g^-k^y^J R-^(ff-^-k^)i ^\ v"^ä^:p ^ )• indem allgemein
Nehmen wir die Werthe uus 2, 3, und 4, zusammen, so er- halten wir nach [,, indem wir mit — niultipliciren, allgemein
y Google
Anmeriwigen und ETläuterungen.
Zh §. 228. Ist die Tangente in A vertikal , so wird
-v- = 1 y= = ü oder \ c^^O.
ds n g\fb
Ist sie horl.o„l«J, so wirf * + *ö5W4) ^ ^
= kVe.
Zn §- 229. VH ist die Constante der Integration und ist 0. so wird
* = „.. ds
Das Differential der, zur Beschreibung des Bogens AM er- l'orderlicheo , Zeit ist
ds d^ — mds
YTVfPda: '«vT und so die Zeit selbst
_ if—ms PM — m . AM
Zu S- 234. Unmittelbar wird der Äusdrucli
für X = 0, unendlich ivcrden, und nur dann einen endlichen Werth annehmen künnen, nenn in diet^em Falle sein Zähler, d. h.
A«3 + 2/fa''C = 0, also C = — ^ iTird.
Ferner wird
4x» r
yGoosle
486 Anmerkungen und Erläuterungen.
für X =■ 0, die Form — annehmen. Es ist aber
d^X _ f., 3a4 + 10(f£MJ6£^
"^S - »^^ (ß2+43:2)ä
j— ^ = 24; offenbar
/' ::^ 0.
Zu §, 243. Ist «I < 1 , so erhalten wir
'Iddy ( 6 + J'Pdx ') ___{V-~m) Pdy dwds ds
also die Centrifugalkräft der normale» gleich und entgegenge- setzt. Steht die Curve in A senkrecht auf AP, ist also -^- = 1, so wird aus der allgemeinen Gleichung
|
«~& = a^ |
^dy, in diesem Falle b " a. |
|||
|
Zu |
§. 245. Setzt n, |
lanin der, für |
m> 1 geltenden |
Glei- |
|
chuDg |
||||
|
dg |
i ergibt sich, indem (vir x un |
|||
|
Vc— |
—X"'-' = J, s< |
d tLc |
||
|
eliminiren |
||||
|
*=-^ |
_ (c— 1-.«)» |
"-».2!rf! |
||
|
UBd sie |
ist algebraisch , |
3~i» |
dne ganze [lesitive |
Zahl |
In der für m<I stattfindenden Gleichung , c ^ ds
tze man
V(c+.r)i-'"-o»-" = I
yGoosle
Anmerkungen und Erläuterungen. iS7
Hüd eÜmlnire a; und dx, so ergibt sich
welche Gleichung algebraisch ist, wenn -^ eine positive
ganze Zahl bezeichnet Damit ^ positiv und ganz sei, setzt man diesen Bruch = u, woraus — 3 + 2m "* ~ 2m 4-1 folgt und wo u alle ganze Zahlen von 0 bis x bezeichnet. Es muss also
m = 3; Tri -rr', ete. sein.
Für ^ =M folgt m =: =-^ =0; L|; |; etc. 1— (» * 1 + M ' 2 ' 3 4 '
Zu §. 253. Es wird .-7- , d. h. der Cosinus des Winkels, welchen die Curve mit der Vertikalen ÄP bildet, desto klei- ner, je grosser y 6+ tPdx, oder die Geschwindigkeit des Körpers ist. Der Winkel selbst wird also desto grösser.
Zu 5. 257. Aus ^ = :^ folgt ^^ =WJ- , also
in ^, wo ^ = 0 ist , -^-^^» und daher in demselben Funkte
dx^ eine Spitze der Curve, welche hier AP berührt, weil tgMAP
= ^« = 0.
dx Zu §. 259. Far ^ = 0 wird /p(;a;=Ound^ = tgJl!M/*
und für a: = 0
0 = A + /7. also vollständig
fpdx =
yGoosle
i Anmcrkunfien mid ErlätttPrungeTt
i so
Zu §. 261. Um ^ie Gleichung dx = dtVJ_
V"6(l -»■!>)+,„ V^ zu integrireii, setzen n'ir
V"«(l — »?) + mV"^=«, won«cri (&= -^1 u~V^b (1— >»»)|<i«.
r 1^6(1^».»)
und weil für x =. 0 auch i ^ 0 wird.
Zu §. 375. Aus cosMCQ = y =: 7nt+ VTl~m^)<h:^ folgt
-sinjWCQ d.MCQ = rf? =
d.MCQ - MOn = — -y^t = *"
VI-?" V^l_(«
X !l>2E?r:£VTjTP \^1 - o«
l_,a = »■'(l-l')+(<i(l-»i')-2>»l'»^(I-n,i)(TZ.lä)
Zu g. 28d. Es wird nämlitli ,
Mn_^ xdt ,
-"'» V""3JIl — <>) + »»rfi' desto kleiner , je grösser (ite ist.
Zu §. 286. Die Integration der Gleichung
y Google
Anmerkungen nnd Erläuterungen.
geschieht nach der Formel
und weil hier b = — 1, erhält man umnittelhar
^^ log ( - a: V^ + V^^=F2) = ;^^ )og{-i V"^
allein wenn log« = log^ ist, so hat man auch log(— ß) =:: Iog(— (3), mithin
^r^ i(,g^^^^EIri>^ÜEZj=v'=Tiog(iV^- VT=iS),
HO c die Constante der Integration ist.
Zu @. 288. Aus sin -JtW = t folgt m» = a: rf . ^C^
Vi — f
, ferner
Zu g. 2yO. Um den Werth des Integrals
" — da: Va»+i~;cn+»
/^
I lindeil, setzen wir «"+1 — a:"+* ^: j* und erhalten s
1 r— </j:V«"+t— a^4i
•itn + l)tf'J X
2 C ~^~- ~ 2
j-'£^z^=fl a.
y Google
Anmerkungen und Erläuterungch /■+2? + 2« ■^
2 ( «n+i , /■+2i+2« 2 -^ 1
/
.= £« =
Vl-P (» + l)l\^6/--i
(»+l)äVv
/■" (» + 1)V"' (« + !)/'"
(a + 1)«4/'" a:-t' = 2(o-+>-a:"+'P + 2S(..'+l)/-- und
Aus der letuten Gleichung folgt
*r}lB^+M-26/'"(w+l)+(w+lj'6/"|g-16CT^("+i)-l66/''(»+l)a"n
± J V(w+;J)262^+8fl"+i6f"-
oder
q„f i„ -cn+i _ _ (w + 3) 6/""
Zu §. 295. Ich habe die einzelnen Resultate so aufgeführt, wie sie im Original stehen, allein ich habe sie zum Theil an- ders gefunden, wesshalb ich dieselhen hier so darstellen werde, wie ich sie erhalten habe. Uehereinstimmend mit dem Original habe ich
oder
yGoosle
Anmerkungen und Erläuterungen. also
X = V «2 + SV— V2a2 bf+ iWp'. Ferner
und der Cosinus des Winkels, welchen die Curve im \ punkte mit dem Radius CM bildet.
= 1^1-?? = ^
V2Ö/^
Für V"«'^ — x^ ^ ;v, wird die Gleichung der Curve Zu §■ 297. Für «& =: ip hat man nämlich
und daher, wenn dp = 0 ist, ^^(3»:* — ß^) = 0, also entwe- der x =^ 0 oder ^ aV"^.
Zu S- 298. Es ist V = * — /p</a; = A— ^^:iz"_^, (/ _ (k-|-1)/"
Soll nun » + 1 negativ, etwa = — fi sein, so wird
\r^-.
y Google
2 Anmerkunffen und Erläuterungen.
Zu §. 304. Die Gleichung der Curve
ds-
ve +!)(--..)
lässt sich schreiben V ■ 7, „ ds = -7 — ■ - . oder weil
Y " n.J.- = "* ""d s — arc,sin(, wenn man integvirt
m.are.isiiii = arc. cos — .
Für diese schreibe mao die, aus den Relationen zwischen Tangente, Sinus und Cosinus entspringende Gleichung
...... ...(^^)=.e...(V^).
Da nun allgemein
. , , 1 , /l + « (:k) . V^=I\
Vi— (*
oder nach einfacher Reduction
m log (\rprp+ i\rri, = i„, ^»H-V»'-g'^
Da ( ^ sins ^ ^, so erhält man femer
(.
y Google
AmneTkunffen und Erlmtterungen. 493
und für in = 2,
—a}/^-iax^—ay'^+'iay\ra:'^-y^V'—i = x^+a:^'^'a^—ä!^V^^^
also
ax^ — 2ai/^ = x^ «iid 2a;^ V.T^— y* = w^ V «'^ — x^.
Beideo geschieht Genüge, wenn y = x y ^-^ — - und m
2« ■
Aus w^ = — F^r-— erhält man den grüssfen Werth dev. ■^ 2«
Ordinate ^, wenn man in
2j^^ 2._£-3»'^ 'i» = 0, als. «(2.-3:.) = 0 .etzt. da; 2« da:
Dem einen Werthe x = 0 entspricht y = 0 mid -^ = oo,
her y = 3" VVfi = « V^*/ar ein maximum und an dieser Stelle CQ= SnV%' = aV"^.
Ffir einen allgemeinen Werfh von m erhalten wir aus der obigen Gleichung
m\ogiyV"i + \^x^—i/^)— m\og a:=log{x+Vw''~u^) ~\oga, durch Differentiation
a:- ^
y V— 1 + Vä*-j2 X V'a;^— «2
und wenu man ^ — 0 setzt, dx
■ inx m ^ 1_
oder nach einiger Reduction
also
my V^a^—x"^ ^^ ux.
y Google
i Anmerkuvgen und Erläuterttngen.
Zh §. 307. Für -^ = _^i= wird 2 Vi \b-\-gx
|
dy _\ {b-\-gx)dP—Udx dx 'iyftdx |
-=o. |
||
|
also die Tangente der Curve vertikal. |
|||
|
Für -^J- < _'^^_ wird "^41 Ima Curve früher umkehren. |
ginär, also muss die |
||
|
Zu |
g. 310. Wäre « = 2n - 1 odei |
r M = 1, ; mit einer |
so würde |
|
% = |
dx . ■ — ■ -■' ■■■ und wir hätten es 2W |
geneigten |
|
|
gerader |
1 Linie, statt mit der Curve ÄM^-> |
uthun. Füi |
r_n<2«-J |
|
oder«: |
>l wird dagegen dy - dx'^ ''^^''''^~^~' |
— und in |
|
|
A, wo eudlich |
a^ = 0, (?», imaginär. Für m>2h |
— J oder ; |
«<1 «ird |
|
A,_^V.>.'-4„ |
'l." |
||
|
-2V^.!C ' |
|||
|
und fiür |
dx }iz!} ^x 2 |
||
|
Es scheint mir nicht angemessen zu sein. |
aus dieser |
Gleichung |
|
|
durch Integration die |
|||
|
"Jil ._ |
|||
|
herzuleiten, weil diese doch nur für den Punkt A gelten kann. |
|||
|
Aus dei |
: allgemeinen Gleichung |
IH |
|
|
, ^ dxS uip,-^^^- |
2V^:
yGoosle
Anmerleunffen und Erläuterungen.
dx^ '
(n--i) —-
also allgcnieio der KrÜDimungshalbmesser
(j + ^V
— \ dx'^J _ x'^.^agrfi.M ix<}ifi — ix^-
ddi - 2(«-])
dx^
a so in. Punkt A, d. h. för a: =0, derselbe — 0. Zu §. 312. Wir haben allgemein
dy ___ V gxdt"^ — 4/(/a;^ rfa; " 2 VT. rfa:
V ff^ j|^ + 2/) V7J ^ dx'^^idx'^M^ ^ +J'pdxf
2{2\ ~ + ßnlx\dx
also wenn y> = oo und zugleich ipdX' endlich ist,
und so die Tangente der Curve AM horizontal. Zu §. 321. Weil
|«+l/_4 M.
«+/■ '^ «+/■'
so wird offenbar A31C = a + ^ f.' V"^hö am grössten, wenn /" — 0. Da aber auch
8o wird AMC am kleinsten, wenn f := co. Im ersten Falle wird AMC = « + ^Vgaö und im zweiten :r:: « H- 1 Vgab. Zu §. 322. Aus i^+ßi = ßx^ + yx + Sxz folgt
y Google
496 Anmerkungen und Erläuterungen.
„^dz _ 'ißx-VrVjz ' dx ^%\a~&x'
Damit nun p von a: = 0 bis a: = « positiv bleibe, i
wohl
t al. auch M^L±Z+iVT
positiv &
.^;-/:. ,
Zk §. 324. Ist «<i, etwa n ^ \—'^ oder 2w = 1-/', so wird .
AMC = a + l=f VJS".
Es ist aber i^<i, sobald /■<2, indem für 4^= i + '«
„ L_
'1(1- f)
wird ; wir haben daher
Zu §. 329. Es wird die Curve AMC normal auf QM sle-
= 0 und ) mittelst der Gleichung
äu = dx -\-^, dy = - kdx. Zu %. 331. Um die Gleichung
V M
2U integriren , setze man
V^(F+1)"F-^"^ — r also 1 ''^(^'' + 1)'^— ^"«^M
yGoosle
Anmerkungen und Erläuterungen. 497
a^ik'^-^hdx-k'^du = 2nH/r + r2rf«
A III • II < ^urdrA-r^du + k^du und (A* + l)rf:c = — ' ^ — '-. ,
Substituirt man den letzten Werth in obige Gleichung, so ent- steht
Aus r2+ß%- +Jt2(i _ j^aj ™ q folgt r = + ^ ^ ^ , wo Die obige Ditferentialgleichung wird daher entweder
M (r Durch Zerlegung in Partialbrüche wird die erstere
du '2rdr 'irdr _ j.
IT + {A-E)ir^A) {A-B)(,T~-B)~'^ und wenn man integrirt
_J)/(-B (r-^jB)^-Ä =
Setzt man der Kürze wegen ^fa^{k^'\-\)x — k^u = a, so j^eht diese Gleichung über in
_ a-f _ ^B
{s - A^uy-B .(a — B\fu)^-B — c.
Die zweite Differentialgleichung würde eben so ergeben haben <iA __ _ as
und da
so werden die Integrale beider vereint dargestellt durch
Kulec's Meclianih. II. ^^
y Google
498 Anmerkungen und Erläuterungen.
VTO re ^=: -^ — = und 9^^'t'~d' "'^^ ^ """^ ? !^'^ entgegenge- setzten Werthe der im Original aufgestelifeii sind. Ich weiss nicht, ob ich bei der Herleitung einen Fehler begange.n habe, auf die" folgenden Betrachtungen übt aber dieser Unterschied ebenfalls einen Eintluss aus. Ua hier q negativ ist, so schrei- ben wir die Gleichung so :
wo C die Constante ist, welche bewirken soll, dass iflr x=zO auch M ^ 0 werde. So lange ti und p endliche Werthe haben, bleibt C ganz unbestimmt, indem für a; — 0 und m =: 0
CO-i-B^Oi-K, also C=^;
luv jeden constanfen Werth von C wird also die ausgespro- chene Bedingung erfüllt. Nimmt man aber a = l an, so wird A = 1, B =0, 71 = 2 und ? — 0, also
und da für a; =: 0 auch m ^ 0 sein soll, in diesem Falle
6' = 0 und +V{/c^+l)x—k-^u+ Vu = 0. Es wird demnach (Ä* + l)a;=(A'+l)« oder ar^^M und weil j(=^ -\- ^, y ^ i); es leistet also in diesem Falle die vertikale ge- rade Linie AB Genüge.
Ist ^ = ß oder Ifl = ,,,"^ „ , so wird die Differential-
4(1—^2)
gicichnng
du , 2rdr
(-nT
= 0,
nun integrirt
'-« (■■ T °i)' ± -^■
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. 4Ö9
Ist ß>l, so wird 1— ft*<0 und a*^4(l — «aj^as, «4^ also im vorliegenden Falle B negativ und q positiv. , Wir erbalten daher
^■BVu\?^ c und da aus x = 0 und m = 0, C = 0 folgt," allgemein A^u = a\k'' + l)a:—k^n und B^u = ci^{k'^-\-\)x—k^u,
beide Gleichungen geraden Linien entsprechend. Für a = 1, wo A =^ \ und ß ::= 0, folgt aus der ersten
u t= X und y =: 0; aus der zweiten
u= -^-w und wed u = a^ + |. ^ = f'^- Zu §. 340. Es ist
und
.^ „„ .i„(2r-«-VlI^-^)(2»— »+ V^^:^!)
r nr+ — _ _ ^ _ ^ ^_
C dt _ ] , /2r~«-v"ii5z::4^
# — - — — — , Log 1 r 1, wenn h^ S. 4
oder w > 2, . arc. tg. ( -""^ "' ), wenn n^ < 4
oder w <. 2, 4 ^^ __-^ ^^ wenn m i= 2 ist.
Zu §. 350. Zur Integration der Gleichung
y ~ — 2(n-+2rä±rV(S&— 4)-)(«-^) :ze man
alsdann v
y Google
500 Anmerfiu»t/en uvd Erlänterunijen.
Sb^~ai' ig — all r . -'(in-ü'i)
_ ~2(4a-g6).A (4-.T lind wenn man diese Werthe siil>s(ituirt nnd dann rediicirt, dQ __ 2oi dt „ +4(idt 2« g6+'2«i ^
"e -Ci+i)(j4-oi") (4«-j6)(2f)^4«-9''',?6-"j' Integrirt man n«n, so wird . ^. d<! , „,- , , 2ff//6 /^ dt
4u-,4 ^V^ V5'=5/ 4o-„« »(, a-r > \ g6
Aus
folgt
x^\-y'i=:^aVr (a —7) uad xy = -^ r(a — r) also
Zu §. 351. (Figur 57.) Aus der letzten Gleichung folgt
dl/ ix\_xv--may
'■'^ max — 4y ^x^
y Google
Anmerkungen und Erläulerungen. 501
Es H'ird also ^ = 0 für V^— 0; d. h. im Punkt A, wo ar=0 und y = 0, berührt der Zweig AM die Abscisscnaxe AP, Fer- ner wird -2 — an füj. y" _ o, also wird in A der Zweig ANF auf der Äbscissenaxe senkrecht stehen. Der andere Werth für ^| ^ 0, nämlich i.x\^'^ —ma VIJ — 0 bezieht
sich auf eine detachirte Curre, welche derselben Gleichung, die vom 4ten Grade ist, angehört und hier nicht betrachtet zu werden braucht.
|
Soll x = y sein, so wird Zr' |
^ = max oder x =; ~ = |
|
Dieser Werth bezieht sich auf dei |
1 Punkt F. in welchem |
|
Durchmesser AF die Curve sehn» |
»iJet, dieser bildet also |
|
der Äbscissenaxe einen Winkel vt |
.n 450. Aus ^ = ^ o |
|
maV'i—4yV^ = 0 folgt |
|
|
^- %v?,^_i&y |
,-"-^-1?^:- |
|
Setzen wir diese Werthc in die i |
ursprüngliche Gleichung, |
wird dieselbe
^+y^^«,« Ig oder y = ^ V3 und .■>: = '^-V^,
d. h-, weil V2r> 2, gehört der Werth von ^>^ oder der Punkt li der Curve, in welchem die Tangente an derselben senkrecht auf AP steht, einer grössern Abscisse an, als der Punkt /'. In A ist ferner ein Knotenpunkt der beiden Zweige AI^F und JNF.
"Zu §§. 361 und 36-2. (Figur 60.). Wenn im g. 361. gesagt wird, dass nach der Lehre vom maximum und niinimum die Zeit durch Mvift der Zeit durch Mnii. gleich sein müsse; «o ist diess der geometrische Ausdruck des Satzes, dass das erste Differential der, zur Beschreibung des Cogens iHm^ erforder- lichen, Zeit = 0 sein muss.
Ferner sollte wohl, nach der Bezeichnung der Variations- rechnung, die Geschwindigkeit in M ^ Vv, die in m — V"tp-frfv und die in m = V^v + rfv + iJ(ti-(-riu) gesetzt sein.
y Google
502 Anmerkungen und Erläuterungen.
so dass das im Original gebrauchte ddw = S {v ■\- dv) sein niüsste. Setzt man analog GM =^ dy, GN =r. dy -\- Sdy , 11^ ~ dy-\^ddy
und Mm =: ds, il/n = dx\Sds, rnji = ds-\^dds; so erbalten wir, weil dx constant sein siill, ans
und aus
ds + dds — V rf.2'*+ (dy + ddy)^i mjt =:7 dX(f-! + rf(/s) _ (rfi/ + rfdy) ö(/y __ Hji.mn ds + drfs infi
Durch diese Gleichungen wird die geometrische Bedeutung der, in der Variationsrechnung vorkommenden, Zeichen klar.
Da Mn~Mm = ng und wfi — w^ = mh ist, so folgt aus der Gleichang
|
W^ V |
»IC , |
»c |
||
|
, + *i + (i<i» |
||||
|
oder der folgender |
||||
|
Mm vT |
fflfl _ |
^^.^- |
nji. |
Hfl . (/(/m> |
|
2(e +<*«) V"« + |
||||
|
sogleich |
||||
|
ddu, Wv + dm |
. 375. Da <ZÄ* = (/A^ + t/Fa = (fi^+ij ^i^'a,
folgt; so wird
_ -'JadXdY
dS*
P = S. 376. Es ivird nämlich
%adY
rdS '
yGoosle
Atimerkungen und ETlmtteTungen. !
jijf. ^ /mG\ ^__ . .dy dxds^ dxd&^
dd.y{d^ — rfy*) dx ddijj
Zu,§. 385. Es ist Mm^ = Mg^ + mg^ = ?!^^!+^£!. Da aber ^MgmcoMCT ist, so haben wir
«:« — Mm:mn, mithin »* :=: ■ ± ß^ ■ — ^-^^ und
Zu §. 388. Aus der Gleichung
-fPdg=^^ Ode. -Pdg = ''jf- folgt dg — 0, wenn rfp = 0 ist. Ferner aus
^ ~ a^dg^-\-g^ds^ ii) diesem Falle
« = « und so 2 = sin CMT == 1 oder CMT = 90".
Oberhalb des besprochenen Punktes ist dy negativ, in dem- selben =: 0 und unterhalb desselben wird dg positiv und so
der Abstand y grösser werden.
Zu §. 390. Aus
Xfi^+S^—aH
igdg :
—^^bfqdq dy
und so
dt '2/'y' dg
|
W + « (' + «')' |
|
|
Vl'tl |
|
|
(l+« |
r')|2/-,H»(l+i')l |
|
,1, |
ä, |
y Google
Anmerkungen und Erlüuterunget, AM ^f^i^ + ,l,f.
iSf:
-Ms'fpd,
Zu §. 401. Aus lfls= iVdx^+dy'^ erhalten wir, nenn da: constant ist, nach der Lehre der Variationsrechnung
/■-^ ebenso ä/"-^ = -^= . % - /Sj,,! . ^L . 'J \ gx J \ goc ds\ gx J dsy gx
Damit nun jdsmiA j — — ^einemmaximumoderminlmunigleich
werden, muss
■(.^i'=0 und auch d.^^^=Q; ^U<,d.^=C.d. ^M^ «* dsV^^gx ds dsV^gx
sein, wo C eine beliebige Constante bezeichnet.
Zu §. 403. Für fl = X und «, = x erhalten wir aus
ri3^(\'^-V^) = »,rfjV':^,(Zy=rfiV'^ oder dy=^dx y j£^, die Gleichung einer Cycloide,
Zu S. 405. Um die Gleichung
\/'a-'iVax zu integrircn, setzen wir i/ a — iS^ax = i, also
_ (4o+ lV"oj, + 6.») ^a-iVa: eil m x=0,y = 0 also C = ~,
+ C,
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. (4<.+4V'JJ+6a.)yAii-2\^S"
mVu
\A.-2\r5? 2n\^a '
also
■" °° 6V7 "'' 5"
Endlich erhalten wir
(4 Vö- 2 V^) \/'<,—i\ris
Dass die redueirfe Gleichung vom fänden Grade sein wird, ersiehl man ans
n -
t\n
fi
Zu §. 406. Um die Länge x' iler geraden Linie zu erhal- ten, durch welche der Körper in derselben Zeit, als durch den Bogen herabsteigen wird, setzen wir
' th:' ^ 2VP „ 4V^ V^' Vr," 3VV'
woraus x' = f« folgt.
Zu §. 415. Der Krümmungshalbmesser ist, für (ir^icon-
Staus, r =: — , . , =— -j-tj ■ '^""' 'st tfa— — p^ - .
dxddfi dxdds *r fr,,
also rfs^ = — ^i , (frfs = V « '^--^ -^ ■ — ■
Pdx
jPd^ fPdi\ß
x\[ aP'— fPdn thi^ ^ ; also mittelst dieser Werf he
"TSü
y Google
506 Anmerkungen und Erläuterungen.
fPdx ' \f fpdas fPib:\ffPdx
^^ iE 'i'iiflPdxfpix-kP'iW)
weil im Punlit A, fPdx = 0 ist, aber
Offenbar aber Ist 2aP=:'-~=^, wenn . = ,, wird, wi in Ä.
§. 426. Aus der Gleichung
g'fpd,
p" = !l' ge- folgt
2,jdsfPds ,p. taPdP.y' fPdy
■2pdp='i>ldt/ fpi aP^ ^ fl=^
oder
dp yP—laP-^^^^Cpäy PiyP-yij'Pdy —'laP^) '
als Ausdruck für den Krümmungshalbmesser in einem belie- bigen Punkte. Im Punkt A wird aber y = p = t: und fPdy = 0, also hier
ydy _ 2acP
dp c — 2aP'
Zu §• 428. Der Ausdruck des Krümmuiigshalbmeasers
S^ wird im Punkt C, d. h. für y = c, dp
___ 'iac^p _ lacp .
■~ "iacP -c*~ iaP — (-» ' also positiv, wenn 2n/^>ca.
Zu §. 432. Aus den beiden Gleichungen
y Google
Anmerkun'fien und Erläuterungen. 507
e''*'^~''= cosi + sintV^ — 1 «ntl c~*^~ ' =cosi— siniV" — 1 folgt
und wenn man i = ;c setzt,
1, jrV"=I = log(^l) und 2, -TcV=I = log(^]).
Aus der ersten folgt
^ = iMinl) _ und aus der zweiten
Den zweiten Werth von n hat Euler im Original anwenden wollen.
Nach der allgemeinen Infegralformef
/ r — ^ —\ bx — ;iM^.i6.nrc.8in I 1 1
erhÄit man
r ix Mit _ r" J \r-iz:i J '\
Vb—x J \fl,x-x' Ferner nach der Formel
/x"'dx 1 j:*"-'
ibx-Vex'r ~ c (In - m - 1) ■ (ix +cx')—'
6(»i-») r "•"-^'d "■ c(J» — m-ljj ibx+ex ftxixMlc _ f' _x'ilx _1.3 ,.
j; "vüs "~J V&^r^ 2. ■tu '
etc. Da allgemein
y Google
508 Anmer/cuitffen und Erläuterungen.
Nach der allgemeinen Formel
/x^dx __ ^ «w /'a;'"-^ <fcc
(o+6.T)-~ »<'»+l-»)<«+*»)"-' »(>»+l-")J ("+6.'»)" ivitd
J Vi-»
J Vb-X
Vb^^
_ 2.2 , 2
6.|.26V4 = |^-26»V6 ete.
Zu §. i32, 433 nnd 437. Ans der angenommenen Glei- ehurig
f" '" - = t + oft +|S4» + !'*■+«<• + ete.
+ S Vf + iiiVT + (»■\''S f i6' vT . + ete. folgt für b = 0,
also
" — etc.
_ gVT— tjÄVT— öfii'VT— ^*^V6— etc.
Nach S. 432. soll man b = x'(\—i) setzen und / -— ? bestim- men, wobei :r als constant zu betrachten ist; nach §. 437. soll
man hingegen b = xz setzen und / -■■ bestimmen, x
wieder als constant betrachtet. Heide V er fahrungs arten sind
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. SO!)
ndem aus x (\. — j) = i, i = ~ — , dz^ -=- und
X d.x
Rdz _ Rdh
ari ^ 0 folgt ;;=:—, 1 — 1=-_— , dz=— imd
Wir ivolleii mm die aweife Substitution vorijehmen uriii erhal- ten so Rdt Kxidz _ ßx^z^dz _ yxH^dz fa^i^ris
Vi=:^~ VT^ VT^ V^i^ VT^^i
also nach den obigen Integral Tornieln
r^^d^
2.4.6
X2öai*— etc.
1 ../■- 1-3 *r- 1-3.5 „ „^z- — ^ jii; V ;r — 274 «i?.*'V «-2.476 ^ ^
— etc.,
welche Ueihe auf der rechten Seite offenbar = — r= ist, wie
\ X man mit einem Blick auf die för s im §. 432. gefimdene Reihe ersieht.
Dieses Verfahren ist demjenigen ähnlich, welches Euler bei der Aullösung der Gleichung des Grafen Riccati, Comm. Acad. Petrop. Tom. VI, pag. 231. seqq. in Anwendung ge- bracht hat. Dort stellt er sich die Aufgabe, die Gleichung
ax''dx := dy -\-y^dx zu consttuiren. Die Regel, welche erfindet, ist die folgende; Setzt man f = «3^"+^, so bilde man das Integral
J^ (]+6.»)-t"( I
y Google
510 Anmerkungen und Erläuierunff&n.
wobei f oder x als constant betraehtet wird. Man kann auch statt 1 setzen =— — und dann von m = 0 l>U m =^ 1 integri- ren. Setzt man das so erhaltene bestimmte Integral = JS, so
— ^
Es würde zu weitläufig sein, diese Regel hief herzuleiten; on dem angeführten Orte wird der Leser das Nfihere finden.
Zn §. 438. Es wird r duVc __ /• du Vc. _ _ Vc I jft — 2»/
=_.v-ei.g( — j;^^== — ^; + ^-" '"« ( i v=i )
Der Ausdruck auf dec rechten Seite wird für m =: a
und fiir M ;= 0,
mithin
= - V -c .log(— 1)+V -cLos(^ j^pj — J
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. 511
Setzt man b ^ x^, so wird R z= — it Vc -|- V — c
, '/Vxz + V^^\ c ,. (^I U- 1-
loffi — =^ — ;=li lerner, wenn man mit —^=,^ miiltipli- clrt und integrht
^ V 1 — 1 (/ V 1 — s
= - 2n:V^ Nun wird
_2V^:
Vx J y'^y — "
wenn man a^i + a = y sotzt; oder wenn man jetzt setzt und ^ nebst dy eliminirt:
y Google
512 Anmerkungen und ETlauteruvgen.
indem nach der Integration statt t sein Werth
gesetzt ist. Es wird demnach
V^ Wj-1-Vs/ V^
/*^=-2»vv+2>A7.vrn,.,(_i,_^V=T
V-l.log(-l)
Einige der hier gefundenen Ausdrücke welchen von den im Original enthaltenen ab, allein die Endresnitate stimmen uberein.
Zu g. 439. Wir haben zu bestimmen:
Nun ist
— inVH;
-ij^^, = -2.v^.VJ^-„V^.„
y Google
ÄnmerJcungen und Erläuterungen.
'^rm
Endlich ist
J Vi— I ^ Va-(a— ^)i-^j''
" 'JVa~-(a-x)z — a:z^
^ 'ix J V"o— (a— ^)i-^=^
= --^ arc. si... (^i^^2-)+2«V^=:(^^)73ir.
+ -'■ ■-■ -■' arc. sin. ( — -! 1 .
Innerhall» iler Grenzen i = 0 untl i = 1 wird aber
. /a — x-V-'ixzS . , . /a—x\
arc. sm. ( — ■■ ■■ ' 1 = arc. sin. 1 — arc.sm.i — ; — I
V « + *■ / \a-{^xj
--'Hm
und
Nimmt man daher die einzelnen Glieder zusammen, so erhal- ten wir
2« V«+,mV^-^^^i^arc sin (1^^')=-^ %i V «+,mV X ^- arc. sm. \^^^ ^J ^.
Für M = see. 60" = 2 folgt aus 2;1 = re:ft, fi = ^w und m = co5i* = 0. Für j(>2, hahen wir- <4ji. Aus'n:n-1
— jc:;i folgt aber tc— fi ^ —, also ist je — (i<BJC oder ft>in;
hingegen fi^jji, wi positiv und x <,a Eiiler's Mechanik. 11.
y Google
514 Anmerkungen und ErlautPTungen
Zu §. 441. Aus der Gleiclimig
ds = nda: arc. sm. ( — ; )
folgt für tieii Punkt B oder a:=0, ds=ndx, dy^^dx^n^^ Ferner aus der Gleichung
iiadx^
dds -
für 37 ^ 0, (Ms = —00. Da mm ullgemeni der Krümniungs halbniesser
— _ rfs" ds'^dy
dxddy dxdds '
so wird im Punkt B
r = 0. Zu g. 44'2. Aus der Gleichung
folgt
rfrfs =
^ - \ X
+ |^2toetc.^.
Für 3; = 0 wird (/»■ = — %da;, dy = dx\ ^^ ~\, dds =
— OD ; mithin stets im Punkt B
r = — ^-^ = 0.
dxdds
Ist aber » = 0, so wird für a; := 0, <7(/j = — \7idx'^, ds und dy behalten die obigen Werthe und wir erhalten so lur den Punkt B denKrümmungslialhmesser
4 " -t^ 3j) V 4
Zu §. 443. Es ist. allgemein
/"+-'--^*^^+.4Ti/«+
y Google
Anmerkungen und Erläuiemngen. 51S
und
Für n = 0
/(l—p^)''dp=p und N= r (l^p'^)^dp-~l.
Zu §. 44ä. Um den Ausdruck
,, , \ du , \.du ^ftt , 1 . 3 udu Vm , 1
dt = \c \ ~=^ + — ~ -f --— etc.
nach der Vorschrift des §. 443. zu behandeln, haben wir in Bezug auf das erste Glied in der Klammer
und so das hieraus sich für ds ergebende Glied
ds' z= Xcdx — -
V c (K+:e)
In Bezug auf das zweite Glied ist
n=\, C= — lp=:, iV=j, u^=Sflx, 2n + l=2, 2n~l=0 2c V c ■*
und so das hieraus eiilspringeiide Glied
In Bezug auf das dritte Glied ist
2n— 1=2, 2m-3=0 und es entspringt daher hieraus das Glied
y Google
Anmerkungen und ErtäuleT«ni/ei.
*2.4c2V^ß*
/4 Vx , 4.2^V^\ >
_ ,1.3 (a±w)i 1 .3^ V/t; 3.1 .3« V^
Niniint man nun die so erhaltenen einzelnen Glieder so erhält man
ed£ c 1 . V^±i + U^iL+^e
Ü t Vc(a-i-x) 2c W 2.4caVc
2cV^
- l.V^ , 1 -3^ V^^
Vca^-.!'^ Vcr 2c1/'c 2.4c» Vc '
so werden die beiden obersten Zeilen innerhalb der Klammer durch
1 . l -,J-j
dargestellt. Setzt man ferner
1 1 L^i^ö^?-^ ^^^ ».^ -
Vca;— a>2 Vcar 2cVc 2.4 2.4c2V^
io wird
a dD_ 3.1.3 V^
yGoosle
Anmerkungen und Erläulerunffcn. 517
Zu §. 44y. Ist der Radius des evaeugeiiden Kreises =r, so wird die Gleichung der Cycloide
und da hier
s — 2(\^f+ V"Ä)V1*, also ^^2?=^^/+ VT und
4r = 2(V/+ VT}«;
so ist die Zeit Einer Schwingung gleich der Zeit des Meder-
steigens in einer Cycloide, deren Krümmungshalbmesser im
untersten Punkte
=4r=2(V7+VÄ)a ist. Ein Pendel von der Länge \ Ar = h (^7^+ ^A)* wird doppelt so schnell schwingen und daher in derselben Zeit eine ganze Schwingung machen.
Zu §. 452. Der Wendepunkt ist da, wo ^ = **, also
_ L
" 2(»+l)»
. , <irl\^L— MV~2^t ,■ , . ,., i da^Wl^ Aus ds = — ^^ ^^-3 ' folgt das = — l ■ ==r
und so der Krümmungshalbmesser aligemein
dxdds Y^27
Für a: =; 0, oder im Puiikt A wird also derselbe = L.
Um die Gleichung
rfari^L— 2V2E
dri = ^;
EU integriren, setzen ivir \ L — 2\^'ii;c=; V i und erhalten
2W-, '
0 y =-
Xy i-2V"2E + C,
und da liir vr = 0, 3^ = 0, also C — IL ist,
(Vi- 2V"2;) t' L_2V2E' S=!X.- 1
y Google
518 Anmerhutiijen und Erläuterungen.
Z« 5. 453. Ich erhalte aus der Gleichung -^^ = I +
, uachüeni die Wurzelzeichen fortgeschafft sind,
eioe von der im Original abweichende Gleichung, nämlich
— l^a^ia-— 16a»3: + 4rt2Z,a — 8a3i+4a« = 0. Aus dieser folgt für 1, = a
a; = 0 lind ix^-^iOax^ + ila^x-S'ia^ = 0 und für L— 2a
a:^~Gax^+15a^a:-'~Ua^x+a* = 0. Aus dieser ergiht sich nicht der einfache Werth a; = a des Originals, dieser scheint aber auch nicht stattfinden zu können, indem, wenn man L = 2a und a; =:^ a in die ursprüngliche Gleichung setzt, dieselbe iibergeht in 1=1+1, was unmüglich ist.
Die letzte Gleichung des §. 4S3. lautete im Original so; .r* — 3ax^ + 5a^a:^ — 'ia^x — a* =: 0, welcher zwar a ebenfalls Genüge leistet, die aber nicht ans der allgemeinen Gleichung hervorgeht.
Zu g. 455. Setzt man etwa T = (V^}^+\ so wird 7^
-f
V^äS (« + 1)^20 (n+l)V4<.^ ' '
also iS eine gerade Function von V a^.
Zu §. 460. Die Curve AIS muss im Punkte A auf AP normal stehen, weil diess ,bei der mit ihr continuirlichen AM der Fall ist, es muss daher
, füx X ~ 0, also ist Tiothniendig 7"- 0. Würde in die- Falle 7'=». so hatten wir |^ = — cn u Curve AN auf die andere Seite der Äxe AP.
sem Falle 7'=». so hatten wir F- = —<r, und es fiele die dx
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. 519
Zu g. 461. Da für x =.(i, T verschwindet, so haben wir
ds =: ■ ■■-, rf« = — — i=r- uiid ddy=^ — - — ;= ; aW den
Krümmungshalbmesser
^ _ _dsl_ ^ dxddy Z\i §. 4fi'2. Die Tangente der Cnrve A!\ wird da vertikal, «o ^ = 0, also
(a— 7')3 - '2a:c = 0 und n— 7" = V 2«a' ist. Eben so hat AM eine Spitze, wenn
Zu §. 464. Aus der Gleichung
t= V"2^4 s^V^+f-^=i\r^ + ^rx)Vx
ersieht man, dass ( mit 3: in's Unendliche wächst, also wird auch AM = t in's Unendliche aufsteigen.
Zu §. 484. Je grösser der Winkel BAC ist, desto gn'is- ser wird n = sec. ßAC, desto kleiner also gK—nV, also auch desto kleiner die letzte Geschwindigkeit. Diese wird daber am grössten, wenn n den müglichst kleinsten Werfh hat, d. h. wenn m = 1, also ^BAC =■ 0 ist.
Zu §. 486. Setzt man in x = f J^"^-^, gVk~nVv
2 Vi
J j }fi ' n'* "
= _ 2Vli igt./ gVI N indem für a!=0, «=0 und C=-??(5,V'4 + ^lc.gfe,\^J),
y Google
520 Jmufr/cungeji und Erläitierungen.
Ds
\ = _i_ / J, + : ^ ,
so wird
f-, vt" v^v-=^^^' + '"'^^-"^-'^
1/ C9VÄ— nVn)\v .'/ »* "
Xlog(sVt-«Vi)l + Con>t.
indem für a; = 0 und i; — 0, die Zeit — 0, also Consf. = — -S\^Ä+2VÄiog(,9VT) ist.
Zu §. 487. Es wird P n&dv __^^,. i _ /* V^.rfti
J(}U-nv)Vv '"' J igH-^^+tifü)
= »' S||ß(*"^ _y^;S)-?^^log(t-#-t-'«)]
indem C= 0(8- 486.).
Zu §. 489. Setzen wir die Summe der unendlicl)en Reiiie
a « + « a+ia 80 wird durch Differentiation ^_.a^-i^3;a+n-i^^n+2«-ietc.=:a:''-^(] + a;« ( ä"" etc.)
y Google
Anmerfcungen und Erläuterungen.
Setzen wir 1— a:"=e!f, also ^«-^=(1 — es) " und dx = — — eydy(\ — es) ~^, so wird, wenn man diese Werthe sub-
px^-^d.v_ _ Pjl—ey} « c -J \-x- J
Sollen wir das erste Integral in Bezug auf x von :i; = 0 bis X ^^\ nehmen, so müssen wir das zweite von y = 0 bis y = — X erstrecken, indem aus 1 — :»" = eV ffir ;(;=0, ^=1 also y = 0 und fflr ^ := 1, eS ^ 0 also ^ z::: —ao folgt.
Setzen wir nun der Kiir/.e wegen = n, so erhalten wir
n.(n^l) e^'J
(1 - ev) « d,/ ^y - nes + j .^ Für y~~cc wird die Reihe auf der rechten Seite = „ «=0 „ ., „ „ „ „
— etc.
+
..(«-1) 1 ..(»-l)(»-2) 1.2 "-2 1.2.3
■ --- +
-/
2 l.ii.K 3 1.273S
In so fern man nun die endlichen Glieder auf der rechten Seite gegen das erste unendlich grosse vernachlässigen kann, wird
P'x'-^dx 1 , X , .
Offenbar darf a selbst nicht = cc werden , weil sonst — nicht mehr notbwendig = co sein würde, ausserdem darf auch n niclit = CO sein, weil sonst n ^= — — =: ao werden und da- her die folgenden Glieder nicht mehr gegen das erste verschwin- den würden. Beides leuchtet auch aus der Reihe
y Google
Anmerkungen, und Erläuterungen.
hervoc, welche unmüglich =00 werden kfinnte, \v tt =: 05 wären. Diese Fälle aiisgenomnieri , ist als»
Damit die Reihe
nicht = <;
wohl füf ö'" = (/Ä™ üder-
—5 — Sl, wurde sie um so mehr =;oo werden, weil
l + — -^ + s — TT etc. = CO ist.
Zu §. 491. Da iPprfp + m(tc-[-m^^rfic= ia-d.(l + p*) + n( (I+p^)Äc ist, so wird
X <ü. (I +;»") + (1 -k-py^dxS
Zu g. 494. Da .7 = H-d$ ist, so wird (ßx = dx+dx . dg = dx, ^g = (t + ^9)= = 1 + s'/q- ^= (l+<^9)-i = l-W?.
yGoosle
Atunerl:unf/en und Krl&uteTungsn. 523
oUer ibrein Differential
, , , iqV^U , iiMqTb ijdx + xdi} ^ —-^^+ •' ,' T^ I
tlx + xdf, -— — df/Ülk-i f^ ^ ^- -^rjz
Es wird liiernaeh ilx =; di/l — a;+ - _■ — - — ~], also dx pro-
(A) """'■'
^ Üjl^-y-l ^2(l + dq)Vdq
~~lVdq, also d.MAC proportional Ydq. Der Natur der
Saclieüacliist tZo sehr Wein uod dahert^rfoStir/ oder— t— =— — _ ^'^ ' dq Yd(,
~ (», wenn rf^ und Vdq unendlich klein sind. Set/cn wir nun kurz ^MAC = a, so ist
_ j„ ('v X da , . da , ^
»-"««• a;=iW33;+*''=^E + 's«
und da ^ = X, weil es proportional --==.; so wird auch ax Ydq
-^ — 50 und so die Tangente der Curve im Punlit C perpen-
dikulär auf AC oder lioriKontal.
Zu §. 495. Es gilt hier dieselbe Schliissfolge, wie im vo- rigen §. , indem
ilMC-^arc.cos. (-), d.MAC'.
(})■'
Vdn
lix -
l{m-H)„'k' ' (2».+l),>i>. ""■■ \
y Google
524 Anmerkungen und Erläuterungeti.
Zu §. 497. Da P eine Function von v und p mension 0 ist, so können wir
setzen. Wir erl. alten demnach
J-« — />i7<i — __ — — -I- C f
=/-
'^+* = ^TS=+ ^' "" = '■ •''""'■ '• ™-'
Zu §. 498. Dass Pv + Öp = (h—m)t werde, kann man ganz ähnlicli wie im vorigen §. beweisen, indem man, weil P eine Function von v und p von der Dimension — m — i ist,
P = -^r. + ^T^ etc. ,
setzt und übrigens wie in der vorhergehenden Anmerkung ver- fährt.
dr^-0, r=Const. — a und x=rp^ap. 2m §. ÖOl. Aus der Gleichung
erhalten wir fiiir i ^ a; = ^C
e5_l_uVt_i(3 ,.^ J-_ U ' ' + !)'■
-33—- uuBi- e-_ . , —
■'\ff Af'c
'■■(-^to
y Google
Anmerkungen und Erläutentuffen. Aus
ir.n
unti
folgt
2VSlog{e^+V flS_]| = V^riog le^ + V c^— Ip oder
V^log ie^ + V ßi— 1|= Vriog leäF+ Vefc—I). Um aus der Gleichung
einen sehr genäherten Werfh von z zu erhalten, setzen wir
und erhalten, indem wir diesen Werfh substituiren, zur Be- stimmung der Coeflicienten a und ß die Gleiehuügen
W^ti' = 12/t2 und lOkttH 48k^aß = ik, oder
y^2 48A
also
Hieraus
- +
(4^2 — 5) gg
V 2" 48Ä
yGoosle
Atimcr/(unffen und Erläuterungen. a^-\-Qak
PM =
_a _ (3 VT--_4)a2 2 48/i
und
' l 12*»^2~2 + 244 °-
üiespr gr ssfe Werth von ^ liegt also da, wo x etwas kleiner als ^ («f also etwas über der Mitte vonAC und weil auf der
Inken hete.von AC ein congruenter Theil der Curve liegt, s ist ihre Breite an diesem Orte, oder
2Pm>a, d. h. >AC.
Zu §. 510. Soll AC = BC oder iV.^O = n.BIi sein,
AD:BE =: jiiZV
sein. Da nun AD^BE ist, so muss w > iV, i < A , d. Ii.
6iuBC£<sin^fö oder BCE^ACD
Zu g. 513. Kach §. 487. wird, indem man — w statt +w
2VnJ
■'-Vir
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. Zu §. SIS. Aus der Gleichung
gt, weil k sehr gross «nd daher sehr nahe n =: N ist, 1 4. ^^^ 1 4. (^+")^'"
+ (m + l)ffÄ"' Zu 5- 516. Aus der Gleichung
folgt
dx _ hlf^x—gle^x^—h'^zx '^~hk^:\ (frt - 1) % isjh«' x^-b-"z)' also, wenn m — 1 ^-O und 1 = 50 ist,
^=0, dx=<i und a:=Const.; dz
mithin CE die Asymptote.
Ist dagegen m<l oder m — 1<0, so wird für x = 0 Ä" k'"b^~'"
und in diesem Ahstande von C trifft also die Curve die Linie CE.
Zu §, B19. Weil dx constant und daher dsdds ^ dydd/y ist, wird
X Celdx l, df- , Idyddy dx^ P i ,
-^ e^^y^ \ ^ 1 2e ''dxddyje''dx 1
y Google
Anmerkungen und Erläuierwigen.
/io
Zu§.ä21. Es kann weder n^2 noch w>2 seirj", indem iD beiden Fällen
und daher in A
^ = sec MAP = X
«nd so die Tangente der Curve daselbst horizontal werden würde. Der Ansdruck der Zeit wird in diesem Falle Tür beide Werthe von «, = «).
Zu §. 5-22. Ist etwa x = oi", so wird
fe^da;=nufe''s''-'^ds—nake^s'^~^—na(n—l)kfe^s''-^ds
= nakei^S^-^ - nt({n ~\) k'^ e^ s"-^
-[-cai{n~l){ii—^)l^fe'^s^-*ds etc.,
wo man zuletzt auf Se''ds = ke'' kommt, also eine endliche Zahl von Gliedern erhält.
Zu §. 533. Dass stets (iq<Pp sei, folgt aus §. 535. und zwar ist um so mehr Qq<,Pp, je grosser MAN ist. Da nun Qq — d.AQ, so muss auch
AQ<:.AP sein.
Zu §. 536. Die nach dem Original in diesem §. aufgeführte Gleicliung
.=, /;-...+««'
scheint nicht richtig zu sein, vielmehr muss sie, da sie i <2v == 0 hervorgeht, so heissen:
y Google
Anmerhtngen and Erläuterungen. 529
b=gj. •■äa: + ~^e '.
Eul er leitet aus der erstem ab, dass der Körper seine grüeste Geschwindigkeit im Punkt o erlangen wird, nachdem er seine niedersteigende Bewegung in m begonnen hat, wenn
db = ffe ''dx +
gkdy
ist, MO p den Krümmungshalbmesser der Curve in (^bezeich- net. Offenbar hat er diese Gleichung gefunden, indem er die obige
'/"'"
differentiirt, woraus
,, —7t nlidxdds
db:::^ye "dx — ■ 11^
folgt, indem fiir rfar constant, n = — —■■■'■■■■■■ _ ^- ~. — ^ igt, dxddy <lx das
Ist hingegen die hier aufgestellte Gleichung
die richtige, so ergibt sich aus ihr durch Differentiation dft — ( , kdy — T M-x —(ds kdy - / g ' p ds k p
oder, wenn wie im Original ov^^dy und AO^s gesetzt ist.
Zu §, 540. Die Geschwindigkeit wird am grüssten , wenn dv = Q oder
_5A , gjak^]^) -{ds ^ . -i ak + k^ a ' * k ~ ' ^ 3^ ■ "
— ^ und kii^ — a-yh ist. Substituirtman den vorletzten Wer (h in die allgemeine Gleichung
so ergibt sich
Euler's Mechanik. II. S4
y Google
030 Anmerkungen und Erläuterungen. gak — gka gkdx
, ^V ^ t/1 I
dsddjf — dyddi
d,ddy ^—^^_
rfs« ds^ 'Sr-2^
und wenn r den Kriimiiiungshalbraesser der Cucve im Punkt M bezeichnet,
1^ dxddy __ 1
Hiernach wird der Druck, welchen die Curve in demselben Punkte erleidet, oder
■2% -I, ^ ^gV^gjf . 2»A. « + ^- !_29A " -^^ - .
ds^ T a ^ ^ aV"2^ ^ ' ^-_
ae' V iax
Zu 5- 54;!. Ich erhalte aus der Gleichung
" ~ rSÄ "" 1.2.3/(2 + TP2XW ^**''
einen Werth von «,- welcher von dem im Original gegebenen etwas verschieden ist, daher theile ich hier meine Herleitung mit. Setzt man der Kürze wegen ~ = q , so ist die gege- bene Gleichung
^ "^ 2 ~ 6i + 24F "läOlä ^'"^ Nimmt man nun
s = ag + ßq^ + yq^-i-Sq* etc. an, so haben wir
' S^= (»^q'^ + 2ctßq' + (ß^ + 2ciy)q^ etc. s^=: a^q^'{-3cfißq'* etc.
also, wenn man diese Werthe subslituirt
'=ä-« + (l -£)»"+ ll-if + äjpi»'
y Google
Anmerhungen und ET/äuteTutiffen. 531
ileninach
_9^_£ — Aa-i ?_j,_i6_2__io
"~ ' '^~Zk' ^~ ;S& 3A 24Aa- (j^a g^a g^a ' 4/:* 3Ä "''60A^ 135ÄS
« = 2«, (i = - '^' und , = ä"-^'-
Zu §. 544. Mit dem obigen viergiiedrigen Ausdruck von s ergibt sich, wenn man für c seinen Werth « + A setzt,
* ~ "" sk +Mä isg^s
Zu §. 545. Mittelst meines Werthes von s erhält man OiV=^CiV— ^0 = «-^+ ^. etc.
und
Zu §, 549. Aus der Gleichung
^ — gk^ — ab '
srhätt man, indem man
y Google
632 Anmerkungen und Erläuterungen.
Nimmt man nun
s= «^ + (3^^ + yA^ + SA* + s^s etc. an, so erhält man zur Bestimmung der CoefiGcienten a , ß , y etc. die Gleichungen
+ ^^ + 21^^ = "'
U ' 7iȀ* ' 540 A3 Das dritte und vierte Glied finde ich von den im Original ge- gebenen verschieden.
Die eio^tcinen Integrale in dem Ausdrucke der Zeit erhält man nach §. 432. und hiernach erhalte ich das vierte Glied auf der rechten Seite
Zu §. 351. Ich erhalte die Reihe, ivelche /"ausdruckt, et- was verschieden, nämlich
F=E~
'3k ~^9k^ rssk^^m&'i
Uie Reihe, nelche c durch E bestimmt, ergibt sich durch Umkehrung aus
Zu S- 552. Unmittelbar wird, mit Benutzun:^ meiner Reijie (8- 551.)
„ _ 2F« 4f » 44f« I04F1
'- ar+M"" 135t'"*'405«-(
und wenn man hier für F seinen Wertli in Ju setzt und re- ducirt
p 4£2 10£3 328£« , 1376£5 ,
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. 633
wo die Jetzten Glieder natürlich von den im Original gege- benen abweichet
Zu g. 557. Unmittelbar erliält man die, der halben Schwin-
TC V2^ TT«/. V5^
gung durch MOS entsprechende, Zeit — ■ ^ + - "'^J-.,:'^ \ g 12 jf.';'' V f/ und wenn man hier statt e seinen Werth durch E setzt, die- selbe wie im Text. Eben so muss man, wie im §. 552, H erst durch G ausdiücken und dann für G seinen durch E aus" gedrückten Werth setzen.
Setzt mau in der Gteichung
El= aA-^ßÄ^-VyA^, so erhält man sogleich k — i, ß = ^ und y = 0.
Zu §. 565: In so fern, als der Widerstand nach der Vor- aussetzung sehr gering, k also sehr gross ist, haben wir mit grosser Annäherung
.1 I. _ 2Aa Aar,
~ 9 ^' Es wird jedes Glied vernachlässigt, welches im Nenner eine die zweite enthält, ausserdem werden die L, weiche eine höhere Potenz von k enthal-
höhere Pot-em Glieder fortgelassi ten. Setzen wir ;
= ÄTund Vc=«Ä + ^Ä2,
-'.^f^
Vj Hli \%gk'^S'g
- v.^
Zk V'ia
Aae _ ,-_ 2Aa 4.^ ! iL 1
' Zgk~ .9 -^gki-la
2j6a. _ 2E^ AhaE AE^ g Zk '^ Zgk ^' 9Ä^"
yGoosle
534 Anmerhurtgen und Erläuterunrfeti.
Das Glied J^-.ir- ist bereits von einer hohem Ordnunsr micl
daher fortzulassen. Die Summe
^ ä ^ ' ~^
geht ganz ähnlich, wie §. 558. über in Sff/cE—Gnka/c Zf}k -{-ignE Die Zeit ist
Zu S- 573. Es wird
—pdp
ap-ga—Upfl / S? „ f_, J 2
A
dp
gleich einem Logarithmus, ivenii '* ■ f? "s 77 a oder A<^
" " Kreisbogen . 4.g>^, „ /t>g^
hingegen
-ß.
<ip
4 .??--?: i=j! _ »,, " 2* «« " 8.
u'
Soll in O die gtiisste Gescliwindiglfeit = W stattfinden,
CO = j= .
ffVTE
y Google
Anmerkungen und Erläulerungen.
aosVT '
In der Glelchirng
, /4Vfa— A
nmss stets 4V'ÄL>* sein. Wäro namlicb iyfkv = t, sti erhielten wir
log 0 = « ;
Wäre 4VS;<., » „«,d. l„g|-'J=i^"l = --;ji^.
Aus keiner dieser beiden Gleichungen , welche überdem nicht melir richtig sind, kann man ein Resultat ziehen.
Zu §. 574. Wenn ft > ^ ist, wird B = ^L33^-^ stets üg Ali
reell, mithin tgß = reell und positiv, also auch nn-{- D
reell und positiv. Der Ausdruck der Abscisse
ge äiJit kann daher gar nicht negativ und erst dann=;0 werden, wenn n ^ OD ist. Unter diesen üniständeu dauern also die Schwin- gungen ins Unendliche fort.
Zu §. 575. Setzt man die Ahscissen der niedersteigenden und der darauf folgenden aufsteigenden Bewegung gleich x und x' , die Bogen selbst ^ s und «'; so hat man
rner ist t = V^ua; und s' = \^2ax' , also
f.i' — V^:V^ = 1 ! «"*»*. Zu $. 600. Die Zeiten dei auf- und niedersteigen den Be-
y Google
S36 Anmerkungen und Erläuterungen.
wegung sind proportional A^-^'", wo A den durchlaufenen Bo- gen bezeichnet. Ist dieser daher sehr klein, so werden die
unendlich klein, wenn m*^i oder 1 — 2m >0
endlich „ m=:i „ 1 — 2wi=:0
unendlich gross, „ )ß>5 „ 1 — 2m <0.
Zu S- 602. um der Gleichung
k-'ddz = SB^ a
entsprechend, z durch eine Reihe darzustellen, welclie nach
steigenden Potenzen von s fortgeht, nehmen wir
i = a+ßs+ys^ + ds^ + £ti^^ fs» -f ijjf» + ds* + KS^+h^ etc.
an und erhalten, indem wir diesen Werth und den daraus fdr
ddz sich ergebenden substituiren ,
y = 0,t=0,K=Q etc.
s -j- ^'_ +
ftff^ s°
2.3«Ä2 T" 3,4aÄa^ 2.3.5.Qa^k*~^ 3.4.6.7 n^Ä«
4. "y " etc
nnd I =:: a
dz
und da allgemein
_ Ifldz
'- oder ß =
Mit Benutzung dieses Werthes von ß und der Reihen für t und ^ erhält man, aus der eben angefii^hrten Gleichung v = —
k^dz ,
I Text enthaltenen Werth von i gsds , v'^ds
Zu g. 606. Aus dv=--'ifi+ "^ un.l v = ö- ^ ^■Q folgt, weil Q im Vergleich mit d und |^ sehr klein ist.
y Google
Anmerkungen und Erläuternngen. ö37
sehr nahe v = b — 31- und daher, wenn man diesen Wertli
2m in die erste Gleichung substituirt und die zweite differentiirt
ah™ a
Das= — ■p=' + q und y selir klein ist, so kann man, iii- dem man 9^ vernachlässigt.
setzen und erhält su für d ^: 0
*J (2«*)
woraus der Werth von fj folgt.
Ist m eine positive und ganze Zalil, so kommt man, weil allgemein
wnd weil nach der Integration « = V — oder lab — i/s^ =5 0 gesetzt werden muss , zuletzt auf
/ (2« 6 —gs'')ds:='iabs—\gx^ ~ s^ah — .t/j^) +l,9s* = 'uA V ~ ' es wird daher in diesem Palle
''-V ^gbj i^labUr
eine rationale Zahl.
Ist 2ra eine ungerade ^aiize Zahl, so liommt man zuletzt auf
Setzt mall der Kürze halber \ — = ö, 'so wird allgemein
y Google
r»38 Anmerkungen und Erläuterungen.
Wenn m>l ist, wird aber j(2«6 — .ys*)™ so wohl fiir s"=1), als auch für s — e verschwinden und wir haben demnach
'i' = (2^Äp.-V %Ä 2^+ry (^«ö-i'^'')"'-^'^^
etc. — 1 iri^ 2»e.(2m-2)(2m-4)...4.(2a6)'»-^
X f" (^af>—gs^)ds
Das letzte bestimmte Integral wird aber, wie oben, = ig
X_V __, mithin ö T fl
_ - 2.4.6...2ma.A"- ^ ~ 3.5.7...(2m + iX9.vt:'"'
Zu §. 611. Aus du = -gdx + ™* erhält man, weil Ä sehr gross ist, genähert u = a — yx und wenn man diesen Werth von u substituirt, u = a~gx + PijiZ^O^L^ ,
Zu §. 621. (Figur 86.) Man denke sich an der Curve AM eine Tangente gezogen, welche verlängert die Axe AP unter
einem Winkel y schneidet; alsdann wird da, "" -'-—
gk"'~v--
ist, ^ ^ cosy = 1, >• = 0, mithin die Tangente vertikal.
„ , , ^ k'"dv . . . ,- da: ^ ,
Da wo aber da: <,—, ist, wird -^- = cos v > 1, was
gk'-'—v"' ds
unmöglich ist.
Zu §. 622. Man denke sich auch eine Tangente an der
Curve BL gezogen, welche die Axe AP unter einem Winkel
ß schneidet. Wo dieselbe vertikal ist, wird
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. 539
tel? = T- =^ 0, also rfv =^ 0 und ds = ^ .
" dx v">
Damit der entsprechende Punkt der Cnrve AM nicht imaginär werde, muss
ds'>dx oder g/i'^^v"' und v*:^k^g sein, Aus dv = gdx-— folgt, wenn t/^ coustant ist, ddv =
-7,;— • also, weil rfu— 0, ddv^
und die Geschwindigkeit in diesem Punkte ein maximuni oder minimum, je nachdem — j—^ positiv oder negativ ist.
Zu §. 623. Da wo V ^ 0 ist, wird ds = il^'"'^^ — '^'"^'^ = aö, vorausgesetzt, dass m positiv sei. Es wird zugleich
g; = c.a, = 0, , = », also die Tangente der Curve AM horizontal.
Zu §. 624. Wie vorhin wird da, wo die Tangente der Curve AM horizontal ist,
ds '
also dx verschwindend klein gegen tu* und so
o , also |3 ^ OO".
Zu §. 629. Für m = 1 erhalten wir * = (?Z1^^ |og^
Allgemein wird für
l und y = 0.
yGoosle
540 Anmerkunffen und Erläuterungen.
Für m =: i wird s = — ^-~7^ .— , also die Curve eine Cy- cloide. Es wird ferner in diesem Falle dx_ V^
also für ar = 0,
~ = cosy = 0 und ;[. = 90".
Zu g. 631. Aus j£— t'"'^"' folgt allgemein, för
X =,0. ^ = CO« y = 0 und y = 90". Da ferner aus du ds . ' '
= -^ ^j— ^ , dds = — . — m ni+i~ — ■ " "" allgemein
der Krümmungshalbmesser
r = _^iL_ = ds^ V'ih'^^^d^ da: ddy dx dds
so wird hier
Für 2m = I oder m =^ l wird in ^ r von endlicher Grösse, ■für 2ff(<l oder m<4 wird r ^ 0, endlich für 2ni > 1 oder m > j wird r = 00 und auch die Zeit ^ oo •
Zu §.632. ■ Ist die Tangente der Curve AM in A nicht horizontal, also nicht cosy ^ 0 und eben so wenig ds ^= ^; so wird für w = 0
und daher auch der Widerstand verschwindend klein.
aus ds ■■
— nk'" dx ^^ k™ dv
— dv— gdx > ■ ■'"■■ und wenn mau integrirti
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. 541
Fßr die lüngs AP, mi( der Anfangsgeschwindigkeit = ^AB ansteigende Bewegung hat man aber
also LP<,v.
Zu §. 636. Da allgemein (< — , abo h—f/t positiv und
da ferner ds positiv ist, so wird i VJ^ positiv und ver-
möffe der Gteichnng (tr = dt^- ^ ,
da:-^ dt.
Zu 6. 643. Wäre - + -^ =^ 1, so würde im Punkt a, wo s = 0 und a: = 0 ist, -^ = 1, also die Tangente der
was unmöglich ist, weil der Cosinus eines Winkels nicht grös- ser als I werden kann.
(Figur 89.)- Dass die gefundene Gleichung w = s — ~
einer Cycloide angehört, ersieht man leicht folgend ermassen. Setzt man AP~l> PC=a:, AM=C, MB = s und AC=^r = ^ ; so hat man bekanntlich
d. h. weil jf e=4j- oder a=4r~-s und |=2r— ar ist, (4i-— s)a ^ S)-(2r— a:)
ZuM44. Aus,. ^.-,^ folgt g = I--?, d.h. im Punkt M
und i
d^ _ , ak — k __ 1 ds cik a
y Google
542 Anmerkungen und Erläuterungen.
Zu §. 645. Die Gleichung der im leeren Räume beschrie' benen Curve AMB ist
ind daher, weil im Anfangspunkt A « — 0 ist, ivenii i ;anze Curve AMB=c setzt.
llie Gleiclmiig der Curve amlt, nämlich
~?^-L 9"'-^i<i'^~s^)'lds
d.x = ^ +
wird für den Punkt (
■'' ^''Zf't*
und es muss gm—ic^i^<i,2"'a'"/c'" sein, damit dx<^ih und die Curve nicht imaginär werde. Aus der Gleichung
folgt so wohlftir s = 0, also im Punkt a, als auch für j = a = c, also im Punkt 0
da: ,
Zu Ö- 653. Die Gleichung
lässt sich auf die Form
bringen und vergleicht man diese mit der allgemeinen Glei- chung vom zweiten Grade
Ay^ + Ba:y + Cx^^-Dy + Ea:+F = 0-
so ist B^ = 4-4C = 0, also entspricht dieselbe einer Parabel.
Zu §. ^4. Aus der Gleichung
ff J g^&'"\^ir-b erhält man, weil A sehr gross ist, mit grosser Annäherung
y Google
Amiierkungen und Erl&utertinffen.
a,-~~ Oller v =z ga: und snbstifulrt man diesen Werfh i iintev dem Integmlzeif^hen ; so erhHlt man
/C" \ gw — O Zu §. 660. Das Integral der Gleichung
v-yy / V.'''^"Vj,„v^t^
18 !eicht der im TiiXt angegebene Ausdruck folgt. ,u g. 663. Anaing der Gleichung
:en ivir unmittelbar, mutati« niutandis
€lv' = g.mG~—j^;
da v' = v-\-dv
[v-\-g.MF-^^^^jß^r.in,^ dv' = g . mG — —— j—^ ■
Aus dem Werthe von dv+dv', welcher den Elementen Mm und niji zugehört, erhält man den, den Elementen M» und rtft entsprechenden, indem man in jenem Mn statt Min und W(i statt jwfi setzt. Es wird iinn dv + dv' ein maxi- mum sein, wenn S(dv + dv') = 0, d. h. wenn der Unter- schied der beiden eben erwähnten Werthe von dv+dv' = 0 oder beide Werthe einander gleich sind.
Führen wir, ausser den im Texte erwähnten Symbolen, noch die folgenden ein; fiG^dy' ^^df/ + ddy und mft = ds' =: ds + dds; so haben wir
y Google
544 Anmerkungen und Erläuterungeit.
Min ils ' m^ ds' ' Mm inp rf« rfs' " V dsj
MF.(i.G _ dx.dAf' dx{dy-\-ddy) dx . dy
wifi ds' ds-\-dds ds
wenn wir die zweiten Differentiale, in Beziig auf die ersten, als unbedeutend vernachlässigen. Endlich wird
niti.mF _ Mm.fiG _ (ds + dds) dy _ ds(di/-l-ddi/) Mm iuji ds ds-\-dds
_ 2dydds — dsddy ~ ds
Aus der Gleidiiing
j ■ j v"'+'dp
erhält man, indem man sie durch v'^-^-'^p^ dividirt
und so durch Integration
J_ _ C_ \[lER oder «-"=: — S^
wo a = — Cffk" gesetzt ist.
Zu S- 664. Ist dx constant, so hat man r — ; — ±-^
dx ddy '
allein da unter vorstehender Voraussetzung dy ddy^'= dsdds ist, so erhält man nach geringer Umformung
d (^\ ~ dx^ddy _dx ^„ j mqdy — _ " ,/ (^3t\^ H-. ' \dsj ds^ r ds dx \ds/ r'
= Oonst.
:t: ß, also dy:=:ßds; mithin leistet eine beliebige gerade Linie Genüge.
2gkdp
2uS.66S. UmdieGleichung dy=——^~ — =t=:zz=^ ;:=.-:
^^ {ap-\.\ri-p^)^^[-
integtlren, setzen wir orp + V I — p'^ = pz und erhalten
y Google
«ib
Anmerkunfien mid Er/äuterunffen. 54S
Zu §. Ö69. Setzt man wieder
so geht <lie zu iiitegi'irende Gleichung
kdp
p^l—p^ (ap + V^l ~-;>^)
ds = — .
Zu §. 677. Der Inhalt dieses Zusatzes ist eigentlich mit dem des Zusatz 1. identisch ; ich habe ihn nur mit aufgenom- men, um die Keibefolge der %^. nicht zu etüren.
Zu ö. 687. Es wird unmittelbar * = /*, "^'^^ ~ -~ k J kp^—ap
.=0 wird, vo)]»tändig s = ''"'"S d/fl"? ) ■ ,6». A„si,=|/Ö'l^''f.,..l=_,»^
, ,2AV3^2/^V3(2f7— 1) ,
vv V'ffp
Zu g. 692. Die Bedingung, dass x, y, s und v zugleich verschwinden, dient zur Bestimmung Einer Constanten, feiner, weil die Lage eines Punktes in der Ebene durch zwei Coor- dinaten gegeben wird, die Bedingung, dass die Curve durch den gegebenen Punkt M gehe, zur Bestimmung der beiden übrigen Constanten.
Zu §. 699- Ich erhalte den allgemeinen Werth von u an- ders, als er im Original aufgefahrt ist, wesshalb ich meine Herleitung speclell anführe. Es ist
fs^= r\^ I '^p I a-"'^)dp I
Eiilcr's Mechanik. II. 35
y Google
546 Anmerl.migen und Erläuterunffen.
Nim ifit / ^ = logp, feiner, wenn man p = secqo setzt,
== ^-iog(;> + Vp3 — ]}, Um das dritte Integral zu finden, setzen wir V^p^—\ = pz, also p = y - ■ ■ 1 (?p=^ — — y. — .zrrr uud erhalten so
Setzen wir j^zr^iyT^— ^~7 + Ji^a' ^« "'''<' i3 ~ —
l — ftS /■ rfp
<* t/ K/J — V /;^ — 1
_ /• rfj 1 Pl + n: ,
= -ioB(.,,-v^;?^^)_iios(,. + Vi;5^^)
+ SloB(l~^~0) ■I log ;» + 2^ log (/' - \^;>^-l)
= ~Iog(ap— V/*^ — 1)-2^ log(p+ V"7)ä-I)
+ 5 logCy-Vi^T^i). Demnach haben wir JS^^[osp+- log (p + Vp' — I)— log(op— V"^5rrT)
= l0gp— l0g(Kp — Vp» -1).
y Google
Anmerkungen und Erläuterungeti. 347
Ferner
J l' 'imrj %ngj '
also
Zu §. 703. Wir haben ^ ^ r^dp_ ^^^ p _ pdp ___
um (las Integral zu bestimmeu, sclzen wir, wie im §, 699.
\^;>2- 1—pz, p = ^j--^, ^/'''-l = y-f^-ä' P*^?*
= (Ttl-?yi. /■- Vl;^=T=^-==j und
Wir erhalten daher, nach Substitution dieser Werfhe
= 18s4|^iog(l + .)-ilog(2-j)+l. J_| = 18,/,jl|.g(|±|)+j^5L_j = ,8^4
xs'iogfei^SSu 2^=^i
Das erste Glied ist von dem im Original angegebenen ver- schieden.
y Google
S Anmerlsviigen und ETlSuieTungen.
Zh §. 716. Wir wollen einige UemeTkuiigen über die, ne- ; bekannte, Tractorie hiniiufiigen. Da BC vertikal ist, so t man im Punkt B
^ = sec ABD^l,
qdx
1 Falle
(tk+ga:'
<l. h. f)B—k--"-=l{C-~ = BC—€D = BC—AE »dei 9 ff
AE ^ l\
9
Im Punkt A Ist .«^0, AG lÜo Tangente an der Ciirve, also
und AG=AE.s^QEAG = k—BC.
Im beliebigen Punkte H ist IIL die Tangente an der Ciirve, demnach
Jff=^£+x^ *? + ^, -^=secJff£ = -*^ jf d^ ak-^gx
und HL=HJ.secJHL=A =BC.
Zu g. 731. Hat der Körper in A die Geschwindigkeit Vft, 80 ist nach §. 723. lür s=0.
Hieraus ergibt eich der Werth von ANC, indem man ä nega- tiv setzt.
Zu §. 732. Ist AMB — 2ÄIog(^^±^'Y so hat man nach
§. 731.
yGoosle
Annievkungen und Erläalerangen. 549
also
Setzt man k negativ , so erhält man den folgenden Bogen der aufsteigenden Bewegung, oder
Zu g. 734. Wir haben allgemein nach %. 733. i-' = 4ii'i!'"»— 4t» +8/i»«~"— 4Ä~S,
& -^ 4 « -Si" + 4 " — ~" ^{TT' '•+4*— 4i« 2*1 Damit nun r oder r» ein inaximum werde, haben wir
-|-e 2*+4Ä-4Äe ^*= 0 oder -^l = log(^^^J .
Da also « negativ ist, so liegt der gesuchte Punkt auf dem Bogen der aufsteigenden Bewegung in O, wo
Hier wird
In Ä ist der Kramniungshalbmesser = 2a und daher in Q stets grösser oder die Krümmung geringer, wenn nur A > « ist. Zu §. 736, Im Original heisst das dritte Glied auf der rechten Seite der Gleichung
y Google
530 Amiierkungen und Erluiiffnmgcn
1^ = PqMx etc. , ^Pdxds, mir scheint der Werth — '- — richtigev zu sein.
Zu %. 738. Es wird r(f—i)di_ , r ds f id, _ ,
also
r'(f->)ds _i _ , 1
Ferner
rif'-,')d> ^ A „ _ '' _,. 2 r ^'
also
/■yy.-..)rf, _ 2
V/ + S ,
also
J (r-s')i •'^ 1.3'-
Es ist unmittelbar
yy'-<')-ci!=
/■'-..- 'j/--
172X7 ' •' '"°-
und da dieses Integral für s:^f verschwinden nn
y Google
Anmerkungen und Erläulernngvn. IJ5l
„.(,»^l)(.,-2)
1:2:377 ' ' '"•
1.2.5 ' "
1.3.5 1.3.5.7
i die Reihe 1 — 1—7, +
gesucht. Man setze
^2™=,H.(^2_iji„=,i_|.,«(3.a_i)+^i^^(^a_i)._^etc.,
raiiltiplicire auf beiden Seiten mit dx und integrire alsdann von a;=0 bis ;r^l. Auf diese Weise erhält man
=»'(—')(f+^)-»/6' +•'■)'"
Setzt man a:^ — 1^7', so wird allgemein
. •itixT'-i ä'n.(«-l) /V._.,,,.
(2»+I) (2»-l) "^ (2» + 1) (2» -l)J
y Google
552 Arimerhungen und E-rläuterwtf/en.
Ist n, »vie es hier der Natur der Sache nach sein muss, eine ganze positive Zahl, so wird man bei gehüriger Entwickelung zuletzt auf die Glieder kommen:
. 2"-'.»(w^1)<«-2)...2 y, 2".»(7.-I)(«-2)...2.1 - (2m+1)(2«-1)(2m-3)...3^ "^(2)*+1)(2«-1}(2k-3)...3,1 ' Alle Glieder, das letzte ausgenommen, werden so wohl für x=:0 als flir 3:^=1 verschwinden, das letzte hingegen liir x:=0 verschwinden, dagegen für 3;=! ergeben: 2-'.«(»-l)(B-2)...2.1 ^ (2k-M)C2m— 1)(2m-3)...3.1 ' Miiltiplicirt man diesen Ausdruck ouch in den ihm zugehörigen Binomialcoerficienten
mim-l)(m-2)...(m-,i + l) . 1.2. 3. ..K so erhält man das allgemeine Glied der oben angenommenen Reihe
_ m(:m-l)(m-^)...{m-n-i-l)
~ "^ 1.3.5...(2m-|-1)
Für m =: 1, 2, 3 etc. erhält man die auf einander folgenden einzelnen Glieder und so
S^Tfl - ^ O + ^T:3."5 1.3.5.7 +^*
Zu §. 740. Da m=l, also 2m + 1 = 2 und 2m--l=:0 ist, so finde ich auch in diesem Falle
Ist nun ds constant, so wird der Krümmungshalbmesser
du V^d^^dx- _ V g^ c' — 4s''
ddx 2
derselbe also in der Nähe von A <^, dagegen in A si
Zu §. 741. Ist m<J, also 2m-l<;0 und 7«>0, also 2»i + l>l, so wird, wenn man den weitlSufigen Coefificienfen von «'''"+1 kurz durch f^ hezeichnet, weil 2m— l negativ ist, s^ , ,, , 2srf* a(:lm^r\)i^'"ds
■^ a '^ äff äff
,1^1^ = ^_ j*<2m+l)2Hi^''"-^tfe^ _
yGoosle
Anmerkungen und Erläuterungen. S53
Es wird daher in A, d. h, fürs=0 der Krümmunga halb messe r =; , d, h. unendlich klein.
ff«
Zu §. 743. Um die zur Bestimmung des Coefficicnten B dienende Gleichung zu erhalten, haben wir, wie iii §■ 738 und nach §. 742.
^^ = « + ■^•n^ + ^^!F«' und
oder weil fät s = f, v = 0 wird
Wir erhalten demnach
I, rf.^-__i -^ ____ + ^^^
_ '2sds _ iim-{-l)As^-"ds ^ 4i„Bs*--^ds
^' -A^ - a^k^ + «^™-iÄ^
Da nun nach der Grundgleichung dv ^ — gdx + ^ ■ ^ ist, so
erhalten wir mittelst der vorhergehenden 3 Gleichungen dQ oder der Kürze wegen, indem man auf beiden Seiten integrirt:
-gdx=
0= pittrfrds ^'^^ßP- J ar'k'»
aj„-i(^2™+i_,.,„.|-i),/.
+ ^s^TTi^^sS; + ~ - ^-j^ - '
wo das letzte Glied sich ergehen hat, indem man unter dem Integralzeichen statt Q seinen genäherten Werth / U — s J <fa
gesetzt hat. Diese vier Glieder miiss man statt Q In den obi- gen Werth von v substituiren, um diesen vollständiger au er- balten und man erhält hierauf
y Google
AumeTkunnen und Erlauieru
Vir V/^^^ä 2 ■ «m^m
2 ■«•■>-' *''-J (/-»-
-•I' (/'-*'-«'■+')'
.,/r-
■(/'■
ir-
-/
■isjds(p-s'^)'"-^jds(r ~sy
Diesen Werth inuss man mit ds inultipliclren und dann so in- tegriren, dass die Integrale für s =:z f verschwinden, um die Zeit des Wiederst eigens zu erhalten. Das erste Glied auf der
rechten Seite ergibt, wie im §. 738., die constante Zeit^—-?^,
die zwei nächstfolgenden Glieder müssen einander aufheben, wodurch der Coefficient A bestimmt wird, endlich müssen auch die 6 folgenden Glieder einander aufheben und hierdurch er- hält man die, zur Bestimmung des CoefiQcienten B dienende, Gleichung wie im Text.
Zu §. 746. Für gleiche Werthe, von * und ds erhält nian den der Curve ANC entsprechenden Krümmungshalbmesser — V^V^^i-^ + A" s^'»-V'^
und den der Curve BMA entsprechenden
^ VZZ^i^^ZZEJ, (S. 739.)
also nothwendig r>r' und daher jl JVC weniger gekrümmt, als BMA. Da ferner für ßTtf^ sz=A'^x—B'x'" und für ANC^ s = A' ^x-\-B' X'", so wird, für j- — I, aus der erstem
y Google
Anmerkmifjen und
^x — 1) ■ f!i . '„:!) und aus der [etztern Wx = 2 — ff~i^ ' also der letztere Werth grösser, als dei' erster«. Die Spitze der Curve ANC liegt daher hober, als die der Curve BMA. Zu g. 748. Für m = \, also«=2m + 1 = 2, haben wir zur 1tp«tiiiimung von A die Gleichung
fi A(f— 1») _ rt <fa
J (P~'V J 'if-p.
Nun ist
) und
jds V^f^ — s*= äs V /■* — s'* + b/* arc. sin . ( ^- J u / ds\ p — «2 ^ ij V/'^ — Ä^~^/^ \ l-Jt — are.sin. {j)\>
= ^sV7^^^*-4/^are.siu. (^^^ '') ;
/
ilbiii
i_ !_ r 'i'
arc. sin. •log (/'-.=)-.,
■SS).
X
y Google
55ti Anmerkungen und ErlllulCTuiiijeii.
Durch Substitution dieser Werthe erhält man
t = ISfä oder A z
Vä.
Für H( = J oder « = 4 haben wir Nun wird
Ferner
J lj^W~^ " •'
-{•'' + ,VI«g (/■'-'*)+*/""
L(^^)
-TV^logCZ-^-s*); also innerhalb der Grenzen 0 und f,
Wir haben daher
ß Vä 2.1
|J/'2ir = ä/^.c<\^ß und ^ = -ö— =r^i^ TT->
*>" 3.2.M«V«
Für m =^ I oder n = 6 haben wir
y Google
innwrltimgen und Erläuteruni/en.
/Id
Das Glied auf der linken Seite wird
A. h. innerlialli der Grenzen 0 und f, r= '^f^-^TcA.
Das Glied auf der rechten Seite wird, nach einer etwas weitläufigen aher nicht schwierigen Integration
— oV«J2.6 4.8 + 0.4 2 6.4.2.2^" '
|
5.3 .^'■~■ |
V |
f- U- |
5.iS .4.2. |
|
|
^|f.^ |
+ 6 |
|||
|
also innerhalb der Grenzen 0 und f. |
||||
|
= |
==^r. |
|||
|
Wir haben daher |
||||
|
3.Ö . |
" 3 |
2.4. |
1 |
|
|
ü.4"^ |
3. |
5.3. jr, |
flV«' |
|
|
analog für m ^ ; |
; ond » ^ |
= 8, V |
||
|
^ = 3:1 |
2.4.6.1 5.7.4jra»V"o |
etc. |
||
|
ffl,,,.-2.+ i |
^ — |
2.4.6.. |
.2m.1 |
3.5.7...{2«+l).(^+l)jio2»V«'
Zu §. 753. Sind die Krümm ungshalitmess er der Curven AM und AI^ respective q und p', so hat man
_ a Sfdr'^—di^
dadds """ "^ dtddr
Da nun dx"^ dt und dr=ds, a\sn auch ddr^dds ist, mithin ;if^ stärker gekrümmt, als ^iV.
y Google
558 Anmerkungen und Erläutertmgen.
Zit §. 770. Ist ds konstant, so hat man den Kiümmunirg.
halhmesser allseinein = — — =^— — ~; also w'wA derselbe in
dda; A, wo « = 0 ist, =1 a.
Aus der Gieichang der Curve AN, nämlich
axsds^-aisdx — k^ad^ + k^sds oder aj;=:—ka ^
k^a dx .
"■ ds
\ k-^
x=^'^ = BA.
Der Wendepunkt iV findet statt, wo der Ki
= 0 oder sx=k = AI^ ist.
Tangente der Curve vertikal. - n als Secante von MAP kann nicht kleiner als 1 werden , I'flr a =: 1 wird demnach v = 2/c |og/'j-A_) = a> und fiJr ((>l, v = 2Älog^-=^) d.li. ima- ginär. Diesseits A findet die vertikale Tangente da statt, wo dt = dr oder 2c~«*-l=:c, also r= — 2;felog^i^) ist. Für a =: 1 wird also r = 0. Za §. 787. Es wir,I
da aber
y Google
Anmerkungen und Erläuterungen. I wird sogleich
Zu §. 788. Da nämlich auch dS + ilR = ^^, ali
s =-2ÄlogJc2t_l y 2fßdt\.
Ferner aus (/;e =
=/;
il-le^i>^iffeiu\'
Zu §. 790. Aus der Zeit der «lederst eigen den Bewegung
= ".l-^j und der Zeit der halben Schwingung = ^^-.^f..
^\rg ^ "^ \rg
folgt die Zeit der aufsteigenden Bewegung
^ ^vw^ .^ v^ , ^\/"(2 vr- v"ä1^
V? 2VV V"29
welche nur dann nicht negativ wird, wenn V"2/"Ü> — „" *'''®^ /■> Ih Ist. Aus dem letzten Ausdruck folgt die Länge des isochronen Pendels oder des Krümmungshalbmessers der Curvc JiVin A
= (2\^7'— VI)*.
Zu 6. 792. Im Original stand, man solle die Werthe
s=—2k]ogfe^'^—~\ 1f ß^dtj und dt
-y-^^y^fß-dti^
±
y Google
RfiO Anmerkungen und Erläuienmgen.
subsiitiiiren. Mir schien die im Text angegebene Lesart die
riclitii^ere zu sein.
Zu §. 795. Aus t=l— . rf . . __ folgt
'^+V"¥(i--"^:
1 i' dt = ds.
*)F
Aus der letzten Gleichung muss j und ds eliminirt werden, damit man eine Gleichung zwischen r und t erhatte, weiche der Curve der aufsteigenden Bewegung entspricht. Mir ist diese Elimination nur auf dem folgenden, etwas weitläufigen
Wege gelungen. Aus
1, e^^r'^ + V^O-e""^) oder eMe^-^f)
folgt
Äe'^— 2/- /ii^—2f
wenn der Kürze wegen
±\ iP+ 2fk - tfk e* = R gesetzt wird. Ferner
|
' |
/H-2/- |
|
und so au. 2, und 3, |
|
|
4, ti-2/=S£: |
|
|
wie auch aus 2, |
|
|
s, «i-«"' |
J 2/-«» + R |
y Google
Anmerkunffen und Erläuterurtf/en. 5öl
Aus 1, folgt durch Differentiation
JL L _.' 'if -"L
ß, , ,.. . „ ^ — ^ ^^ ^^- ,
ivenn man 6, und 7, mit einander inultiplicirt , mittelst 2, nnd 5, (* + 2/) eä-rf, _ (1f^^ R)(ki - -if) -ß (*»" + «) oder nach 4,
(t + 20«»i» _ _ * (2ffM-^K.)fie''^K)
8. ^,vv)■'ät = m-t)■lrT'J!^/i^=Mm±MM.
|
Setzt man e^~:i^, also e^ft — ;^ |
so wird |
* = |
M* „nd |
|
«St/r . Yoxm '^''"^^ so «i |
« * |
von |
tier Form |
|
2** «„iJ, F„,m,„ f,H,e„ , |
. |
kannt auf Kreisbogen.
Für den leeren Raum is, i = od und setzt i
8o erhalt maii
«[1(1 wenn man integrirt, weil t und r zugleich verschwinden, entweder
t=2V'ifiif-r)-4f-r oder l~^f-r-2^'if{1f-r). Euler'8 Mechnnik. U. »6
y Google
562 AnmeTkungen und Erl&uterungen.
Zu §. 706. Der KTÖmmuiigshalhmesser im Punkt A ist nach §. 733. —2a und nach §. 790 =^ k, und da /(</./■ sein muss, so ist auch iiothwendig
2«<4/'odev VV<V"'i7".
Zu §. 808. Die fiir ,v inid .v respective zu setzenden Aus drücke
n d^
evhält inart aus g. 788., indem man s sfatf i- und x statt f sub- stituirt, damit NA die Curve der uiederstcigenden Benegung
Da k sehr gross sein soll , nehme man x=ciii'^ + ßs* an und setze, um zuoäelist a zu bestimmen, ^^0^ alsdann er- hllt man
<iii!=V2A + ö
3 k\^:
1— je "y •2ffetdx = l~^Vyi und . 4.rV27F
/;
-i.-iSl\rß
i'dxi'^
welches statt x z« setzen. Ferner
2/, ^ 84"
y Google
Anmerkungen und Erlüuterunfien. 563
und -2ilogl«ä-lY'"2^,s^,_2V2S:-V^f-g. statt s, oder %fx — Xx\ -i- +— statt s^ zu setzen. Da also X = tts^ angenomnien ist, so ergibt sich, nach Substitution der
Aehnlich wie vorhin, aber vollständiger, wird
|
=1-1 . |
4s» 7i-' ■ 3Ä^ 18/-3 |
-2p/i', |
|||
|
r |
dA' |
4 + |
- -x- t |
||
|
ju-i. |
^H^fß. |
rf.rl2 |
.f+ P |
||
|
statt a- KU setzen. |
|||||
|
Ferner |
~2Ä " |
24/?^ |
7.' 144/;^ |
||
|
«^-^V^2/'yii,?^=,. |
/i |
||||
|
-SAlogleÄ' |
-^^fß |
irf»| = |
' + 3t |
+ W+W.' |
|
|
statt s, inithiii : |
- + fH'S |
+ 4|!A' |
' statt |
)■'* ZU setz |
ei.. , |
y Google
364 Anmerkungen und Erläuterungen.
;e = ^-^+(Ss'* nach der Annahme folgt daher ^-^ + |3s*
Nehmen wir, weil /; sehr gross ist, s^ — y.v-ySx'^ an, s< gibt sich 'y — 2/'«n(l ^ = - ö/ä • ^^^° ^*''"" ""^'^
,iß-i
■ — V if — IS»
Zu §. 810. (Figur 104.)- Setzt man PA~x, PO = y' VS^^ und AO = I, so wird A = i '"'"' ■— '
.=A0= Att=,. Pf = /^ixlT^ (/ \ ax — x^ J '
2 Voa;— a: W — X
PG --
Zu S- SIS. (Figur 105.) Ist am, ein Kreisbogen zum Ra- dius q, y die zur Abscisse ( gehörige Ordinate, und r der
Bogen; so folgt aus y* = ^Qt~t^, ^ = ^^', ^^
Ist aber r und j, wie im Punkt a, unendlich klein, so kann man setzen
_ , nlr
Zu g. §. 836 und 837. Verschwindet der Winkel RMN. sa wird nach §. 821.
dd7/(flx-^Pdz)—ddz(Pd,j-Qdx) = 0 oder
ddy = dd. .^^F^- ^ dx-\- Pdz
y Google
Anmerhuntjcn und Erläuterungen. 565
Diesen Werth von ddy hat man in die verschiedenen allge- meinen Ausdrücke zu substituiren, um die besonderri, in die- sen g.g. aufgeftihrten , zu erhalten.
Zu§. 839. (Figur 107.)- Ist etwa der auf AP vertikale Durchschnitt ein Kreis, so hat man a^ ^ y^-\- 1^, aber weit AR eine gerade Linie ist, rt := ax und so
- -j=JU^ dy. Sfa^x'^-y'^ ■'
Hieraus sieht man deutlich, dass P und Q Functionen von x und y von der Dimension 0 sind. Es wird aber alsdann in A% = PdxYQdy, dz eine Function von x und y von der Di- mension =: I und daher, wie in §. 123.
Pa!-\-Qy = %, was auch aus dem hiesigen Beispiele zu ersehen ist und es wird nicht i wie im Original P.a; + Q^ = 0, sondern xdP-\-ydQ ■=. 0. Demnach erhalten wir
, , _ JPdy - Qdx){ydPdx—xd.Pdy)
'"^" ydx{\^P^^-Q^)
Setzt man y = px , so wird in dem hiesigen besondern Falle p ~ — ^ , also eine Function von p allein und
/rf — xdpdPjQdx ~ Ppdx— Psdp) "^^ pdxa + P'+Q'')
welche letztere Gleichung natiirlich von der, nach dem Origi- ginal im Text gegebenen, verschieden ist.
Zu §. 855. (Figur 111.) Aus dz = Pdx-VQdy folgt für
(Figur 110.) äusQä=-^= _.
: ;^, also il/Ä normal auf TM. QS
Da SG perpendikulär auf QS ist,
yGoosle
tS66 Anmerkungen und Erläuterungen.
anf der Ebene MSQ und die Ebene MSG normal auf MSQ und umgekehrt das Element ISm normal auf der Ebene MSG.
Es ist MP =. Vy^T^ nnd wenn wir fiir die Linie J die Gleichung
anndimen, wo t = V^ + i^ ist, so wird u. = tg PML '- dv ydy + zdz .
Z„g.S69. Eswird.i. = yi^ii±^t+i^ = :^^^^,
drf( = . ^y^'^y und so '^'= <Ä^ also V^c . Vrf.T2 + %2 dt da^^'+d^
logdt =: ilog(_da:^ + di/^)—laga und orff = V"*te^ +^-
Zu g. 876. Ans u^ = x^ + y^ folgt mcJk = xdx + yrf^, K^rfw® = x^dx^-\-y^dy^^ Ixydxdy , {xdy — ydx)^ =^ x^dg^ -i-y^dx^'i^x^dx^ + y'^dy^—u'^difi — u^{dx^-{-dy^)-ifldu'^.
Die Gleichung
rHd^^±df_±d^ _ /,_„^ (xdy-ydx)^ ~ " ./ ergibt hiernach «"(6— (7i)(rf:c2 + rf»/*')— «M*t«(6-^5) = c^idx^ + dy^) + c^dz^
t^du^jb-g-.)
Vu^ib^gz) Ua ferner
1 a _ 0"'w — xdx)^ (udu—xdx)^
u'^du^^'inxdtidx -{■ u^dx^ ,
ind </a;2-hf/ä(^;
und ^^x — xdu^^^ rfn^ + rfta ~"
yGoosle
Aniiier/tunffcn und Erläuterungen. 567
Wir h.ben dP = ^J^-"'^ „nd rfO= ^*=Ä«, also
nach §. 864. den nach der Axe hin gerichteten Druck gegen die Oberfläche
„ „ , Zdx^ — xdxdZ + Zdy^-ydydZ
— — gZ _ 26-3 Z (rfj:^ -f- (fy^) - 2cä<ZZ jxtlx ^ ydy)
~ V^^M^a + Z^ Z(ar(%-yÄr)2.V^H^H^
Zu §. 890. {Figur 115.). Es ist LM = u = f, tgLBM
dt m in.
Zu §. 891. Ist AM eine Parabel, so haben wir u^^qz, *'^\£und
iS = w. Xi= l=constans. 2m 2
Zu §. 8%. Weicht BQC weitig von einem Kreise ab, so hat man sehr nahe u ^ f, Sc" = -.-.CL=. /^^ = /^
Vß^— /■^
= — ■ "■■''" - und aus der letzten Glei- ßt+(6- i7«)(«^-n +5- («"-D^ chung, nach der Elimination von c"
Zu §. 901. Ist BO = f sehr klein im Vergleich mit ^B :-= «, so wird
^a
die Zeit Eines Umlaufes in der Wirbelbewegung
= 2fn : V /^f^ - (fi. 896.) =2jrV?^ .
d. b. eben so gross, als die Schwingungsdauer eines Pendels von der LSnge a.
y Google
( Anmerkungen und Erläuterungen.
Zu §. 902. unter iJerselben Bedingung wird der Winkel
V"4««-3/^
, ~ 180O
V"*^?'
Zu g, y03. Ferner wird die Centripetalkraft
= f
2f> + 3ga
also dem Abstände f proportional.
Zu §. 904. Je grösser BO = /' ist, desto- kleiner wird ia^—3/^, desto grosser der Winkel
ISO» . ^ ?-„^^
V4«-' - 3/-*
und für /'==«, "ird der letztere = 180».
y Google
Inhalts - Verzeic'hniss.
Kapitel 1, foH der nicht freien Bewetjun^ im all- gemeinen-
§. I. Erklärung der nicht freien Bewegung
(f. 12. Lehrsatz. Ein Körper oder Punkt, welcher sich auf einer gegebenen Linie bewegt und durch keine Kräfte angetrieben wird, wird stets dieselbe Ge- schwindigkeit heil)ehälten , wenn nur zwei belie- bige zusammenhängende Elemente jener Linie nirgends einen Winkel von endlicher Grosse mit einander bilden
§. 20. Lehrsatz. Während ein Körper sich gleichförmig auf der Curve AM bewegt, drückt er in den ein- zelnen Punkten M normal gegen die Curve mit einer Kraft, welche sich zar Schwere verhält, wie die der Geschwindigkeit zukommende Höhe zum halben Kram mungsbalbni esse r
§. 33. Erklärung der Centrifugalkraft
§, 37. Lehrsatz. Wird ein im Kanal 4^ sich bewegender Körper in M durch eine Kraft MN angetrieben, deren Richtung normal auf der Onrve AM ist; so wird die Geschwindigkeit weder vermehrt noch vermindert, sondern die ganze Kraft zur Erzeu- gung eines Druckes gegen den Kanal verwandt
§. 42. Lehrsatz. Wird ein im Kanal AM sich bewegender Körper in M divch eine Kraft angetrieben, wel-
y Google
870 Inliults- Virrzeichniss.
St che ISnga der Tangente MT gerichfef ist; so wird ihre Wirkung darin bestehen, dass sie die Geschwindigkeit des Korpers auf dieselbe Weise, wie hei der freien Bewegung, vermehrt «der ver- mindert
§. 45. Aufgabe. Es bewegt sich ein Kürper auf einer ge- gebenen Linie AM in einem beliebigen widerste- henden IVlittel imd wird ausserdem durch eine, längs MP gerichtete, absolute Kraft angetrieben; man soll die Wirkung der letztem, den Wider- stand und den Druck, welchen die Cuive AM erleidet, bestimmen
§. 49. Aufgabe. Man soll durch ein Pendel bewirken, dass ein Körper sich auf einer gegebenen Linie be- wege
g. S8. Lehrsatz. Bewegt sich ein, durch keine Kräfte an- getriebener, Körper im leeren Räume oder nicht widerstehenden Mittel auf einer beliebigen Ober- fläche ABC; so wird er gleichförmig fortgeführt, wobei wir von aller Reibung abstrahiren ^. 62. Lehrsatz. Der Weg DMin, welchen ein auf der beliebigen Oberflfiche ABC sich bewegender Kör- per beschreibt, ist die kürzeste Linie, welche zwischen den Endpunkten Dund M gezogen wer- den kann; vorausgesetzt, dass der Körper sich im leeren Räume bewege und durch keine Kräfte angetrieben werde
§. 68. Aufgabe. Mao soll auf einer beliebigen Oberfläche dieLtnie bestimmen, weiche ein Körper beschreibt, der, durch keine Kräfte angetrieben, sich auf ihr bewegt
§. 74. Lehrsatz. Der Druck, welchen ein auf einer Ober- däche sich bewegender und durch keine Kräfte angetriebener Körper gegen diese Oberfläche aus- übt, erfolgt in normaler Richtung nach der con- vexen Seite der letztern hin und er verhält sich zur Schwerkraft, wie die der Geschwindigkeit des Körpers zukommende Höhe zum halben Krtim- mungshalbmesser der vom Körper beacliriebencn
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In/talis- Verieicfmiss. 571
g. 7y. Aufgabe. Man soll die Wirkung bestimmen, welche eine beliebige Kraft auf einen, längs einer gege- benen Oberfläche, so wohl im leeren Räume, als im widerstehenden Mittel sich bewegenden Kür- zer ausübt 33
Kapitel If, f^on der Bswei/itnt/ eines Punktes auf
einer gegebenen Linie in% leeren Räume 37
S. 83. Aufgabe. Ein. Körper, welcher sich auf der Curve AM bewegt, wird überall durch eine Kraft MF angetrieben, deren Richtung der Axe AP paral- lel ist. Man soll seine Geschwindigkeit in den einzelnen Punkten, die Zeit, in welcher ein be- liebiger Theil der Curve beschrieben wird und den Druck, welchen diese in den einzelnen Punkten erleidet, hestimniea 37
§. 93. Aufgabe. Die antreibende Kraft Ist gleichförmig und überall abwärts gerichtet; man soll die nieder- steigende Bewegung eines Körpers, welche im Punkt A der gegebenen Curv^ AM von der Ruhe an beginnt, uud den Druck bestimmen, welchen die Curve in den einzelnen Punkten M erleidet 40
§. 106. Aufgabe. Es sind unzählige einander ähnliche Cur- ven AM, AM', etc. gegeben, welche ihren An- fangspunkt in A haben; man soll die Curve CM"'M"M' bestimmen, welche von jenen Curve n die Bogen AM, AM', etc. so abschneidet, dass diese vom niedetsteigenden Körper in gleichen Zeiten durchlaufen werden. Wie vorher , soll die antreibende Kraft überall abwärts gerichtet und gleichfürmig sein 44
§. '1Ü4. Aulgabe. Es seien, wie vorhin, AM, AM', etc. nnzählige einander ähnliche Curven und DE eine ihrer Lage nach gegebene gerade Linie; man soll die Curve AM'N finden, auf welcher der Kürper in der kürzesten Zeit von A zur geraden Linie DE herabsteigt 53
%. 132. Lehrsatz. Die Zeiten, in denen ein Körper die ein- ander ähnlichen Curven AMxiwA Am, welche auf ühnliche Welse vom Punkt A aus liegen, durch-
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Inhalts- Verieichniss.
läuft, stehen im halben Verhaltniss gleichliegen- der Seiten !
g, 137. Aufgabe. Es findet eine gleichfiirmige und abnärts gerichtete antreibende Kraft statt und ein Kürp^r bewegt sich auf einer beliebigen Curve AM, mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit in A. Man soll die Bewegung des Körpers auf dieser Curve und den Druck bestimmen, welchen die letztere in den einzelnen Punkten erleidet I
§. 147. Erklärung einer schwingenden Bewegung i
§. 161. Aufgabe. Es wirkt eine gleichfürmige und abwärts gerichtete Kraft; man soll die Zeit der auf- oder niedersteigenden Bewegung durch einen beliebi- gen Kreisbogen EA, welcher im untersten Punkt A begrenzt ist, bestimmen '
§. 177. Aufgabe. Gegeben ist die antreibende Kraft; man soll die Länge des Pendels bestimmen, welches unendlicli kleine Schwingungen macht nnd die ein- zelnen Hin- und Hergänge in Einer Secunde zu- rücklegt
g. 186. Aufgabe. Ist die Curve BAD, auf welcher die Schwingungen stattfinden, eine Cycloide, welche durch einen Kreis zum Durchmesser AC, auf der Basis BD beschrieben worden; so soll man die Zeit der Schwingung durch einen beliebigen Bo- gen EAP- bestimmen, wenn eine gl eich förmige und abwärts gerichtete Kraft auf den schwingen- den Körper wirkt
§. 194. Aufgabe. Ein Körper wird beständig durch eine beliebige Kraft nach einem festen Mittelpunkt C hingezogen und bewegt sich auf einer gegebenen Curve AM; mau soll seine Bewegung auf der letztern und den Druck bestimmen, welchen die Curve in ihren einzelnen Funkten erleidet
§. 204. Aufgabe. Ein Körper wird beständig durch eine Centripetaikraft nach dem Centrum C der Kräfte hingezogen und es ist die, zur schwingenden Be- wegung geeignete , Curve EA F gegeben ; man soll diese Bewegung bestimmen
§. 213. Aufgabe. Ein Körper wird durch zwei beliebige Kräfte angetrieben, von denen die eine die verti-
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Inhalts- Verieichniss. 573
kale Richtung üfQ und die andere die horizontale MP hat; man soll seine Bewef>ung längs der ge- gebenen Curve ÄMB bestimmen 82 §. 217. Aufgabe. Es existirt eine gleicbfürmige antreibende Kraft, deren Riclitung nach unten zu geht; man soll die Bewegung eines Körpers auf einer belie- bigen, nicht in derselben Ebene befindlichen Curve bestimmen 84 §. 223. Aufgabe. Ein Körfier wird durch eine beliebige Kraft beständig abwärts gezogen; man soll die Curve AM bestimmen, gegen welche er, wäh- rend er sich auf ihr heiabbewegt, überall gleich stark drückt 87 §. 230. Aufgabe. Gegebe« ist die Curve AM und die An- fangsgeschwindigkeit im Punkt A = V^A; man soll die Grösse der beständig abwärts gerichteten Kraft bestimmen , welche bewirkt, dassder auf dieser Curve herabsteigende Körper gegen die- selbe überall einen gleich starken Druck ausübe 91 §. 238. Aufgabe. Wird ein Körper durcb eine beliebige Kraft beständig abwärts gezogen, so soll man die Curve AM bestimmen , auf welcher jener sich dergestalt bewegen wird, dass der ganze Druck, welchen die Cujve erleidet, ein gegebenes Ver- hältniss zu dem, aus der normalen Kraft entsprin- genden Druck habe 95 §. 252. Aufgabe. Ein Körper wird durch eine beliebige, abwärts gerichtete Kraft angetrieben; man soll die Curve AM finden, auf weicher er sich gleich- fiirmig herabbewegt oder sich gleichförmig von der horizontalen Linie AB entfernt 101 §. 261. Aufgabe. Es zieht eine gleichfiirmige Kraft Über- all, in vertikaler Richtung, abwärts; man soll die Curve AM bestimmen, auf welcher ein Körper gleicbförmig, nach einer bestimmten Seite AP hin fortschreitet 104 g. 269. Aufgabe. Vorausgesetzt ist eine gleichfjjrmige und abwärts gerichtete Kraft; man soll die Curve AM finden, auf welcher ein herabsteigender Körper
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inhalU- Verzeichniss.
m einem gegebeneu Punkte C entfernt lUS
§, 281. Aufgabe. Es findet eine gleichfiirinige und abwärts gerichtete antreibende Kraft statt; man soll die Curve AM bestimmen, auf weichet ein Körper sich mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit so bewegt, dass er in gleichen Zeiten gleiche Winkel um den festen Punkt C beschreibt llü
§. 288. Aufgabe. Ein Körper wird durch eine beliebige Kralt gegen den Mittelpunkt C der Kräfte hingezogen; man soll die Curve AAl bestimmen, auf welcher der Körper mit gegebener Geschwindigkeit her- absteigt und sich gleichförmig gegen C hin be- wegt 116
§. 299. Aufgabe. Ein Körper wird beständig gegen den Mittelpunkt C der Kräfte hingezogen; man soll die Curve AM bestimmen, auf welcher er sich, mit gleich lurmiger Winkelgeschvrindigkeit, um C bewegen wird 122
§. 305. Aufgabe. Die antreibende Kraft sei gleichfürmig = g und überall abwärts gerichtet, ferner sei die Curve AT gegeben; man soll die Cutve AM be- stimmen, auf welcher der Körper so herabsteigt, dass die einem beliebigen Bogen AM entspre- chende Zeit proportional werde der Quadratwur- zel aus der correspondirenden Ordinate PT der - gegebenen Curve 12G
§. 315. Aufgabe. Vorausgesetzt wird eine gleich Rjrm ige, abwärts gerichtete antreibende Kraft (f\ man soll alle Curven ^iHC bestimmen, auf denen ein, von der Ruhe an sich abwärts bewegender, Köqier in einer gegebenen Zeit zur horizontalen geraden Linie BC gelangt J30
g. 327. Aufgabe, Es wird wieder eine gleichförmige , über- all abwärts gerichtete Kraft vorausgesetzt; man soll alle Curven AMC bestimmen, auf denen ein Körper von A aus in einer gegebenen Zeit, zu der geraden Linie BC gelangt, welche beliebig gegen den Horizont geneigt ist 130
§. 337. Aufgabe. Ein Körper wird beständig durch eine gleichförmige Kraft g abwärts getrieben ; man soll
y Google
Inhalts- Verzeichviss-
die unzähligen Curven finden, auf denen er, in- dem er seine Bewegung in A von der Ruhe ah anfängt, in einer gegehenen Zeit zur vertilsalen Linie E€ gelangt 142
§. 34]. Aufgabe. Es wird ein Körper durch eine gleichlüt- mige KrafE g beständig abwärts gezogen und es ist die Cürve JSÄC gegeben; mau soll alle Cur- ven AMC bestimmen, auf denen der Körper her- absteigt und in einer gegebenen Zeit von A bis zur Curve BSC gelangt 145
g. 358. Aufgabe. Ein Körper wird hestiiudig durch eine gleich fiiimige Kraft g abwärts getrieben und es ist eine Curve AMC gegeben, auf welcher jener von A zum gegehenen Punkt Cgelangt; man soll alle Curven ANC finden, auf denen der Körper in derselben Zelt von A bis C fortgeht 154
§. 361, Aufgabe. Man soll ein aljgemeiues Gesetz finden, nach wekhem eine Curve eingerichtet sein muss, damit ein auf derselben herabsteigender Körper am schnellsten zu einem beliebigen Punkte der Curve' gelange 157
§. 367. Aufgabe. Ein Körper wird bealändig durch eine beliebige Kraft abwärts gezogen; man soll die brachystochcone Curve ^liWC finden, auf welcher der Körper am schnellsten von A bis C herab- steigt 161
§, 377. Lehrsatz. Wie auch die antreibenden Kräfte be- schaffen sein mögen, so ist diejenige Linie die brachystochrone, gegen welche der auf ihr sieh bewegende Körper einen dopgelt so starken Druck ausübt, als vermöge der Centrifugal- oder der Normalkraft allein hervorgebracht werden würde 167
15. 385. Aufgabe. Ein Körper wird durch eine beliebige Kraft beständig nach dem Mittel|iunkt C der Kräfte hingezogen; man soll die brachystochrone Curve mitbestimmen, auf welcher der Körper am schnell- sten von A nach M gelangt 169
§. 393. Lehrsatz. Ein Körper gelangt von einem gegebe- benen Punkte A zu einer gegebenen Linie BM am schnellsten auf derjenigen brach ystochronen
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Inhalts Veneichniss.
Curve AM, welche Bjff unter einem rechten Win- kel schneidet; und zwar geschieht dieas unter der Voraussetzung einer jeden antreibenden Kraft 174
8. 401. Aufgabe, Man soll von allen den Curven, welche die Punkte A und C mit einander verbinden und von gleicher Lfinge sind, diejenige ^^C bestim- men, auf welchei der Körper am schnellsten von A nach C gelangt; vorausgesetzt, dass die an- treibende Kraft gleichförmig = g und abwärts gerichtet sei 176
§, 408. Aufgabe. Man soll das allgemeine Gesetz dei tau- tochronen Curven finden, auf denen ein Körper stets in derselben Zeit zum Punkt A gelangt, wo- bei der Anfangspunkt der niedersteigenden Be- wegung beliebig auf der Curve ^itf angenommen ist 178
@, 413. Aufgabe. Ein Körper wird durch eine beliebige Kraft abwärts getrieben; man soll eine tautochrone Linie finden, auf welcher alle niedevsteigenden Bewegungen in derselben Zeit erfitigen 181
g.422, Aufgabe. Ein Körper wird durch eine beliebige Kraft beständig nach ihrem Mittelpunkt C hinge- zogen; man soll die tautochione Linie BMA fin- den, auf welcher der Körper alle niedersteigenden Bewegungen bis zum Punkt A lo derselben Zeit ansmhre 183
§. 430. Aufgabe. Ein Körper wird durch beliebige Kräfte angetriehen; man soll die Curve AM finden, auf welcher derselbe in gleichen Zeiten bis zum Punfet A herabsteigt 188
§. 43''2. AuTgabe. Unter der Voraussetzung der gle'chfürmi- gen, abw.irts gerichteten Schwerkraft ist die Curve AIVB gegeben; man soll die ihr hinzuzufügende BMF finden, damit alle niedersteigenden Bewe- gungen auf dieser zusammengesetzten Curve bis" zum Punkt A in gleichen Zeiten erfolgen, in wel- chem Punkte der Curve BMF die Bewegung auch beginnen mag 190
§. 446. Aufgabe, unter der Voraussetzung der gleichför- migen, abwärts gerichteten Schwerkraft ist eine beliebige Curve vlil/ gegeben ; man soll eine Curve
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Inhalts- Verieic/ndss- 377
Seile AN von der Art fiinlen, dass die Schwingungen, welche auf der zusammengesetzten Curve MAN erfolgen, alleninter sich isochron werden 202
§. 453. Aufgabe. Unter der Voraussetzung der gleichför- migen, abwärts gerichteten Schwerkraft soll man eine conti nuirli che Curve MAN linden, auf wel- cher alle halbe Suhwingungen in gleichen Zeiten zurückgelegt werden 207
Kapitel III. f^on der Bewegung eine^ l'unkles auf
eine)' gegebenen Linie im widerste/teiiden Utittel 211
§. 465. Aufgabe, Ein Körper wird, in einem beliebigen «ider steh enden Mittel, durch eine gleichilirmige Kraft § ahnJirtB getiieber; man snil seine Bewe- gung auf einer gegebenen Curve AM und den Druck bestimmen, Mielchen die letzterein den ein- zelnen Punkten auszuhalten hat 211
§. 475. Aufgabe. Ein Klirperwird, in einem beliebigen wi- dersteljenden Mittel, durch eine gleichfürmige Kraft ff beständig abwärts getrieben; man soll Seme Bewegung bestimmen, wenn er auf der ge- gebenen Curve AM emporsteigt und den Druck, welchen die letzitere in den einzelnen Punkten M erleidet 215
g. 481. Aufgabe. In einem beliebigen gleichförmigen wider- stehenden Mittel und unter Voraussetzung der gleiehförmigen Schwerkraft ff soll man die Bewe- gung eines Körpers bestimmen, welcher auf der, beliebig gegen den Horizont geneigten, geraden Linie AMB herabsteigt 218
g 489. Aufgabe. Ein Mittel widersteht in einem beliebig vielfachen Verbältniss der Geschwindigkeiten und es ist ein Punkt A gegeben , von welchem aus unendlich viele gerade Linien AM gezogen sind. Man soll die Curve CMD von der Art bestim- men, dass ein, auf einer beliebigen jener geraden Linien, elwa AM, herabsteigender, Körper im Punkt M stets dieselbe Geschwindigkeit habe 221
@. 498. Aufgabe. Der Widerstand steht in einem beliebig vielfachen VerhRltniss der Geschwindigkeiten; Eulec's Mecbnnib. II. »T
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578 Inhalts- Vertciehniss.
Seite man soll die Curve AMC finden, welche so be- schaffen ist, dass ein auf der beliebigen Sehne AM herabsteigender Körper ifi einer gegebenen Zeit von A nach M gelange 227
, §. 505. Aufgabe, unter der Voraussetzung der gleicbfür- migen Schwerkraft g und eines beliebigen gleich- förmigen widerstehenden Mittels soll man die Be- wegung eines Körpers bestimmen, welcher mit beliebiger Anfangsgeschwindigfeeit vom Punkt A längs der beliebig gegen den Horizont geneigten geraden Linie AB, aufsteigt 233
§, 518. Aufgabe. Unter der Voraussetzung der gleichför- migen Schwerkraft und eines, dem Quadrat der Geschwindigkeit proportionalen , Widerstandes steige ein Körper auf der beliebigen Curve AMB herab; man soll seine Bewegung und den Druck bestimmen, welchen die Curve in ihren einzelnen Punkten auszuhälten hat 240
g. 526. Aufgabe. Es findet eine gieichfiirmige antreibende Kraft und ein gleichfürmiges Mittel statt, welches im doppelten Verhaltniss der Geschwindigkeiten widersteht; man soll die BevFegung eines, auf der gegebenen Curve AMD hinaufsteigenden, Kör- pers und den Druck bestimmen, welchen die Curve in ihren einzelnen Punkten auszuhalten hat 243
%. 532. Aufgabe, Es seien die beliebigen Curven MA und NA in ihrem untersten Punkte A mit einander verbunden und es steige ein Körper auf der Curve MA in einem gleichförmigen, nach den Quadra- ten der Geschwindigkeiten widerstehenden, Mittel herab; man soll diese herabsteigende Bewegung mit der auf der Cur,vei^iV ansteigenden Bewegung vergleichen 245
§. 540. Aufgabe. Es sei die gegebene Curve die Cycloide ACB, welche auf der horizontalen Basis AB durch Fortrollen eines Kreises, dessen Durchmesser = CD , beschrieben worden ist und es steige ein Körper auf ihr ans A herab in einem Mittel, wel- ches im doppelten Verhaltniss der Geschwindig-
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Inhalts- Verxeichniss. 579
Seite keiten widersteht; man soll die Beilegung dieses Körpers bestimmen 249
§. 540. Aufgabe. Die gegebene Curye sei die Cycloide ACB, welche ober der horizontalcTi Basis AB beschrieben ist und nach unten zu liegt, ein Kör- per führe auf ihr seine Schwingungen in einem Mittel aus , welches im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten widersteht. Man soll dieschwin- gende Bewegung bestimmen 253
g. 565. Aufgabe. Der Widerstand des Mittels ist zum Theil constant, zum Theil den Quadranten der Geschwin- digkeiten proportional; nian soll die schwingende Bewegung eines Körpers auf der Cycloide MCB bestimmen, wenigstens für den Fall, dass, der Widerstand sehr gering ist 263
§. 573. Aufgabe. In einem Mittel, welches im einfachen Verhältniss der Geschwindigkeiten widersteht, soll man die' schwingende Bewegung eines Körpers auf der Cycloide ACB bestimmen ; vorausgesetzt, dass so wohl das Mittel , als auch die antreibende Kraft gleichförmig lei 270
§. 384. Lehrsatz. In einem gleichfoimigen Mittel, weiches im einfachen Veihaltnis^i dei Geschwindigkeiten widersteht, erfolgen alle niedersteigenden Bewe- gungen auf der Cycloide AMC in gleichen Zei- ten, ebenso werden die aufsteigenden Bewegun- gen auf der Cycloide CiVBallein gleichen Zeiten ausgeführt ; vorausgesetzt, dass die antreibende Kraft gleichförmig und abwärts gerichtet sei 282
§. 393. Aufgabe. In einem gleichförmigen Mittel, welches im 2mten Verhältniss der Geschwindigkeit wider- steht, soll man die Bewegung eines Körpers auf der Curve CMA bestimmen , in welcher ein jeder Bogen CMÄet 1 — mten Potenz der Abscisse CP proportional ist 286
§. 602. Aufgabe. In einem gleichförmigen Mittel, welches im vierfachen Verhältniss der Geschwindigkeiten widersteht, soll man die nieder- und aufsteigende Bewegung eines Körpers auf der Cycloide ACB bestimmen 289
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880 I'tihalls- Verzeickniss.
Seite
%. 607. Aufgabe. In einem Mittel , welches im vierfachen Vevhältniss der Geschwindigkeiten widersteht, steigt ein Körper anf der Curve AMC von einem gegebenen Punkte A herab und es ist seine Ge- schwindigkeit in den einzelnen Orten gegeben ; man soll seine Geschwindigkeit bestimmen, wenn er die niedersteigende Bewegung in einem andern Punkte E beginnt 294
§. 613. Aufgabe. Der Widerstand ist, im Vergleich mit der antreibenden absoluten Kraft, sehr gering und einer beliebigen Potenz der Geschwindigkeit pro- portional; man soll die Bewegung eines Körpers auf einer beliebigen Curve AM bestimmen 300
§. 6'ii. Aufgabe. In einem Mittel, welches in einem belie- big vielfachen Verhaltniss der Geschwindigkeiten widersteht, soll man die Curve AM bestimmen, auf welcher ein Körper so herabsteige, dass er in den einzelnen Punkten M eine, der Ordinate PL der gegebenen Curve BL als Höhe zukom- mende, Geschwindigkeit habe 3W
§. 634. Aufgabe. Es ist die Curve jlilf gegeben , aufwei- chet ein Körper sich im leeren Räume bewegt; man soll eine Curve «mso bestimmen, dass, wenn ein Körper auf ihr im widerstehenden Mittel her- absteigt, die Geschwindigkeiten in den Punkten a und A und eben so, wenn der Bogen am=^AM angenommen wird, die Geschwindigkeiten in den einzelnen Punkten m und M einander gleich werden 310
§. 649. Aufgabe, Es findet eine gleichfiirmige und abwärts gerichtete Kraft statt, und ein Mittel widersteht in einem beliebig vierfachen Verhaltniss der Ge- schwindigkeiten; man soll die Curve ^jtf bestim- men anf weither ein K )rper so herabsteigt, dass er Kngs der hori/ontilen Linie AH gleichfilrmig I ortschreite 317
g. 655 Aufgabe Min «oll eii e Curve AM finden, auf iiekher ein in einem beliebigen widerstehenden
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Inhalts- VcneieUniss.
Mittel herabsteigender, Kürper sich gleichfurmig bewege ; vorausgesetzt , dass eine gleichrümiige und abwärts gerichtete absolute Kraft auf ihn ein- wirke 320 §. 663. Aufgabe, unter allen Curven, welche die Punkte A und C mit einander verbinden, soll man dieje- nige besthnmeD, auf welcher eiti Körper heim Herabsteigen von A nach C die grüsste Geschwin- digkeit erlange ; vorausgesetzt , dass der Wider- stand in einem beliebig vielfachen Verhältniss der Geschwindigkeit stehe und eine gleichförmige Kraft abwärts ziehe 324
§. 673. Lehrsatz. In einem beliebigen widerstehenden Mit- tel und unter einer beliebigen Voraussetzung der absoluten Kräfte, ist diejenige Curve AMC die brachystochrone oder die, welche die scbnellsfe niedersteigende Bewegung von A bis C bewirkt, auf welcher die Centrifugal kraft der Normalkraft gleich und nach derselben Seite gerichtet ist 333
§. 679. Aufgabe. In einem gleichfiirmigen Mittel, welches in einem beliebig vielfachen Veihältniss der Ge- schwindigkeiten widersteht und unter der Einwir- kung einer gleich form igen und abwärts gerichteten Kraft, soll man die brachystochrone Curve AM bestimmen, auf welcher ein Körper am schnellsten von A bis M herabsteigen wird 335
g. 691. Aufgabe. In einem beliebigen widerstehenden Mittet und bei beliel>igen antreibenden Kräften , soll man die brachystochrone Curve AM bestimmen, auf welcher ein Körper beim Niedereteigen am schnell- sten von A nach M gelange 343
g. 699- Aufgabe, Unter der Voraussetzung der gloichfür migen Schwere und eines gleichförmigen Mittels, welches in einem beliebigen Verhaltniss der &e jBchwindiglceiten widersteht, soll man die Oune des gleichen Drucks AM, d. h. diejenige Curve bestimmen , welche durch einen auf ihr herabstei- genden Körper äberall gleich stark gedrückt wird 346
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Inhalts- Verseickniss.
§. 7Ö7. rfafgafce. ia emem gleicfiffitmigen Mittel, welches Im doppelten Verhältiiiss äei Gesell Bindigkeiten widersteht und bei einer abwärts gerichteten ab- soluten Kraft, soll man die Gescbuiudigkeiten im Punkt A mit einander vergleichen, welche ein Köcper bei verschiedenen niedersteigenden Be- wegungen aut der Curve MA erlangt 352
§. 719. Aufgabe. Eine gleichfürmige Kraft ist nach unten gerichtet und ein gleichförmiges Mittel widersteht im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten ; man soll die tautochrone CnrVe AM finden, auf welcher alle niedersteigende Bewegungen bis zum Punkt A in gleichen Zeiten ausgeführt werden 358
g. 738. Aufgabe. In einem sehr lockern Mittel, welches in einem beliebig vielfachen Verhältniss der Ge- schwindigkeiten widersteht und unter der Vor- aussetzung einer gleichförmigen abwärts gerich- teten Kraft, soll man die tautochrone Curve AM bestimmen, auf welcher alle nieder- und aufstei- gende Bewegungen in gleichen Zeiten ausgeführt werden 368
§. 751. Aufgabe. Vorausgesetzt wird eine gleichförmige abwärts gerichtete Kraft und ein gleichfürmige» Mittel, welches im doppelten Verhältniss der Ge- schwindigkeiten widersteht. Zu der gegebenen Curve MA soll man eine andere, mit ihr in A zu verbindende, ^iV von der Beschaffenheit finden, dass ein durch den beliebigen Bogen MA der ge- gebenen Curve herabsteigender Körper auf der gesuchten Curve durch einen, MA gleichen. Bogen AN wieder emporsteige 377
§. 767. Aufgabe, Unter denselben Voraussetzungen wie vorhin soll man eine continuirliche Curve MAN von der Beschaffenheit finden, dass bei jeder halben Schwingung, welche stets auf dem Bogen MA beginnt, der Bogen MA der nied ersteigen- den , dem Bogen AN der aufsteigenden Bewegung gleich werde 384
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Inhalts- Verzeichniss. S83
Solle
§. 771. Aufgabe. Unter der Voraussetzung der Schwerkrai't und des vorhergehenden Widerstandes ist die Cnrve MA gegebeu, auf welcher' die niederste!- genden Bewegungen ausgeführt werden. Man soll für die aufsteigeuden Bewegungen eine Curve AN von der Beschaffenheit bestimmen, dass die Zei- ten einer jeden aufsteigenden und der vorangegan- genen niedersteigenden Bewegung einander gleich werden 387
§. 782. Aufgabe. Unter den vorigen Voraussetzungen soll man diejenigen Fälle bestimmen, in denen zwei Curven itf^ und AN, auf ivelchen die nieder- und folgenden aufsteigenden Bewegungen in gleichen Zeiten ausgeführt werden. Eine continuirliche Curve bilden 394
g. 788. Aufgabe. Unter der Voraussetzung der gleicbfür- migen abwärts gerichteten Schwere und eines gleiclifiirmigen Mittels, welches im doppelten Ver- hältniss der Geschwindigkeiten widersteht, ist eine beliebige Curve 31 A gegeben, auf welcher ein Kurper niedersteigt. Man soll eine Curve AN finden, I h n t j n 4. verbunden und so
zur auf t d n B des Körpers geeig-
net ist da all afl C ve itf^iV erfolgende halbe S h n n 1 I n Zeiten ausgeführt
werden 397
%, 799. Aufgabe D C n 3U n A AN haben die Ei- genschaft, dass alle halbe Schwingungen, welche auf der erstem anfangen, in einem Mittel, welches im doppelten Verhältniss der Geschwindigkeiten widersteht, unter sich isochron sind. Man soll die Fälle bestimmen, in denen diese zwei verei- nigten Curven MA und AN Eine continuirliche Curve bilden 404
%. 811. Aufgabe. Unter der Voraussetzung der g
gen und abwärts gerichteten Schwerkraft = g, ist eine beliebige Curve am für die niederstei- gende Bewegung im leeren Räume gegeben. Man soll eine Curve AM fiir die niedersteigende Be- wegung in einem gleichiurmigen Mittel, welches
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584 Inkalls- Verieichniss.
Seile iiii doppelten "Verliältniss der Geschwindigkeit widersteht, von der Art bestimmen, dass alle iiie- d ersteigenden Bewegungen auf MA mit den auf ma erfolgenden respective isochron vierden , wenn die Geschwindigkeiten in den untersten Punkten a und A einander gleich sind 413
Kapitel If^. Von der Bewegung eines Punktes auf
einer gegebenen Oberfläche 4(9
§. 821. Aufgabe. Es isl: der Weg Min^ auf einer beliebi- gen Oberfläche gegeben; man soll seine Lage in Bezug auf die gegebene Ebene APQ, den Krüm- mungshalbmesser jenes Weges in M , so wohl seiner Lage als Länge nach, wie auch die Nor- male auf der Oberfläche bestimmen 419
§. 833. Aufgabe. Auf einer beliebigen gegebenen Oberfläche soll man eine Linie bestimmen , welche ein auf der erstem sich bewegender und durch keine Kräfle angetriebener Korper , so wohl im leeren Räume, als in einem beliebigen widerstehenden Mitfei be- schreibt 4-26
§. 841. Erklärung der drückenden Kraft 430
§. 843. Erklärung der ablenkenden Kraft 431
§. 845. Aufgabe. Man soll die Wirkung der drückenden Kraft auf einen Körper bestimmen, welcher sich auf einer beliebigen Oberfläche bewegt und aus- serdem durch keine Kräfte angetrieben wird 431
§. 849. Aufgabe, Man soll die Wirkung der Tangential- kraft, welche den Körper längs der Tangente yl/3' zieht , bestimmen , wenn dieser sich auf einer be- liebigen Oberfläche bewegt 432
§. 851. Aulgabe. Man soll die Wirkung der ablenkenden Kraft iV anfeinen Körper, welcher sich auf einer beliebigen Oberfläche bewegt, bestimmen 433
§. 8äö. Aufgabe. Ein Körper bewegt sich auf einer Ober- fläche und wird durch beliebig viel Kräfte ange- trieben; man sofl die normalen Kräfte bestimmen, nämlich die drückende und ablenkende, wie auch die Tangentialkraft, welche aus der Zerlegung al- ler Kräfte entspringen 438
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Inhalts- Verzeichniss.
5- 864, Aufgabe. Unter der Voratissetzung der glekhlor- migen und abwärts gerichteten Schwerkraft */ soll man die Linie bestimmen, welcbe.ein auf einer beliebigen OberflSche geworfener Ki)r]iet im lee- ren Räume beschreiben wird 442
g. 869. Aufgabe, unter der Voraussetzung der gleichför- migen und abwärts gerichteten Schwerkraft g soll man die Bewegung eines Körpers auf der Ober- tläche eines beliebigen Cylinders, dessen Axe ver- tikal ist, bestimmen 445
§. 876. Aufgabe. Ein Körper bewegt sich auf der Ober- fläche eines runden Körpers, dessen Axe die ver- tikale Linie AL ist, im leeren Räume und wird durch eine gleichförmige Schwerkraft g angetrie- ben; mau soll seine Bewegung bestimmen 449
§. 895. Erklärung der Wirbelbewegung 456
g. 896. Aufgabe. Ein Pendel wird zur Wirbelbewegung an- getrieben ; man soll seine Bewegung und die krumme Linie bestimmen, welche es auf einer sphärischen Oberfläche beschreibt 457
Antnerknn^en und Erläuterungen 463
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