nié. un de LÉ bed sss LT 7 de te. #- dt cales «27127 ESésinigih pes, D res ht nn er ml rer ot De ter mn ms AD | du m . vs ' 12 È ns 3 a » cn = COAL LIRE « Léa td dos du 2 7 . D — at re re tn 7 er te 72 Lit 7 tes et re e +. née er nr gr et math n anne dite his dot DEP tien mme ba EN Te que re _- : sn — — _ es gt matt om nor. me lt Mr Re tree ens-snnre Orge eu mt ru a em ven ma Mar A ee à 00 er D tn que Re …— eh te 2. nr on née sn RE eu te AT GR Dont Le 4h Ah À — + à nt Gt. ee a e-vtntpr nes 1 se x -? mp — rm er ne er GE Qu om om Cr rs nn td mit digne mere PE em Ta mb Pi rm + partir tnt Ln nr PE 0 lg DRE Elo he Qi Le he hehet-errthf ee mehr mg rt bu arte Br OR te Loge Vo Eu, Ann ds CO TE TE nr qe rte RS er RS D Tee Mgr, + Pt tirtrane y, er D A eq TE ob rt go Po Smeg er ar a 9 me ue tt de tentes PA nn om om a tte rer ni nt my éane-cvarvere mer PES rereie Se SANS ns Photeambwtohs «tete rm) RQ n = np man D orge PA, - tn. pr Dngernnrtntner pe hr ri rer om qe 6" che De ps et . EN rte ere arr eng a di PE Er lt n'en pr em nt, 4-0, ns pt _ Dairt— Lames 0h, + otghgrm ot À meet nd à de 3 00 Pr Ur hr rite citrons LES Éhontiottpenetr mn. ds : ge or par nt Ce es de re es se > ou Ds — res nr retenue mé on ee ere té ee qe 2 DR ris nr hp re — ne. ne Der ms pr _ MA es dir rer = a em … ns tp se à, Pptgfen on tn one ee Den Mg CE Rem vor th he an | henqé-to4 rm ln de h Le he — _ 2 mue so = Len nn Pt ne ge on end eo qe gr nn, ARE dm ny ne PR ee eme D qd bles PRG En enr tn ee ar er CEA 6 re — e a. dunes An ee td rs D En nt om og on nt um te en nrdnt ten RSR ere mr he fe “0 D mare D tr * Pn ae n ® re os As 4 ” . at te Th te ro ds gg À Es AS qe nn pente a eu L nr a —— _ Dee ce D — te va dtate. pa "w + RS ee pat mr ER arte or Dar mn nt ur L A Fn - dr . … M nn ETS fat the — _r . Dee one à my Dre a D Cr bep 2 - ee Lang dphre arr bres- . _ . De De Dm in be ep Em mi ras + À — _— : Pt ge : ne de pe + ententes e. ne Ps re - hot SC PPT . …— re ut = 4 —æ à rt Qt Gone, on » Alpe ee _— tres ne 194 te ty * a ÿ we ne Er ea AE Cor es Fi tete PSE ju pp tu - rer nr se ‘en e e Le “ em pe 4 Dee : or AZ er te arr ar n ; - he » ré rage er Le se 20e 4 er ere en D ane te tee . A ne ns -- pu > es ee nn te tartes td tienne PNR RER er du” à tt et _— Fan th —. _. De 4 ue = - — re de ne nur Los r Eu LS c = = = - RCE EE CR ST TS ad 1 « er PES - = ns m. va TE a ve on dt ne Gr RL TO tr hole À ed ee . _ seb + ve me mhz de PR ter Meg cher prog rte Ste ae s re ar — >» 0 si ae: A La ag ” ve l : PR . 7: _ M ace ge bete À Gudtes & + = an n æ Le « net nd _ A 3 dE - Lot pe don, .— à « nn “ ee … ve - + PE Las en .. + - Lac Le — ad . . Le - NSP - ” ru tu - — Joe. = 0 tt mie em … ” = … .…— - ne Pt 93 + 1e el . _ 5 n e- à 2, gate. % - ts : … + te 4 us . = a mate de “ ue me dr à ep 2 | = =. ; ER = th +. reha : . a ge a Sd d e fo te LE … un Me - . .® CE 2 ne us a - * séire u > er , … . et — P0C 7189 Feunp 1939 HARVARD UNIVERSITY po fe ll Ÿ w LIBRARY OF THE MUSEUM OF COMPARATIVE ZOÛLOGY /C7 | Pis n'a | . , ACUMNENS : y e nr ns à n. s 1 49 Le . | : | ; Lt. : 4 “#4 LU . v d L 4 \ (al Pay, Jet : | | ht D 0 , : ’ ï LM ï ‘ | L il + | | | + L La | | : y : Li LL ‘ L ; set | | » i ‘ “ : a ! | 4 L] i : L os i : 4. . & : o a n . + È > °i | n ' : | | L | \ # : \ " | . L : , ; D - | k ' N mn i i + : Tr L æ L : | = | | | { > | ei : | | | ‘ [RL à L e L à M À 0 - L | : ' | É | F | | | : , : J ” . = L { - | . à b À : l . 0 l , / | | 1 | | | , L | L . A Ce N Ÿ | ‘ . 4 « æ | A OT ! é 1 - . : : y : ue L : | L ++ : + ! . 19 » h | | pe » , t \ ‘ Si, FU. t “« : E ù { Le Cu | | L 1 ' 0 ss es | , pr 4% à a te | : . î & * d a : d | : jp ir fe Le d y 0 : pp + SE U a à 4 ” j | LT : r ‘ EL] : Mu nt LL : (EN OC | Le | Ur est ee a à : Wet Cas ANT : : b { «a ; # l L | : : 4 ‘ s? L 4 4 ‘1, ïe 0 : . 7 | : o nl L : 4, + à : î Fa À # f ‘ Û l ae VI Le 5 : * LU t L , % Eu e n : 4929 Mar ! ñ ) À | CR i 0? CAES \+ , - : CPL TS Ve À ve Le ; : ; ET : pe L à L " L . A 94 he ' … « : . | : 4 4" | SR C4 es LU D L) } ER “ Fr S n : ‘ \ n] K i n" 51, ! ‘. PA Es à ; " Te OOSEE & de o =, \ i* : ne + . U al ET (UE "à | r NAN cs s- a OR rt tps : Re | ty ns y | 1,64 v 4 Lo pi | “ LA : : : À \ \ | L PIONEER ah Le « ARLES : Vs AN vi , vé : e A ut Dune, CA = ' : | | a d ; ler dr VS} d | ’ . SC PC * D Ê : ; L &..! \ ' Lu, #c4t L CAT, À We SM GUIE A | nn À # ne Ÿ . NA : d Fr ' È StÈ dd 0] 0 à A L : : be nl … | Fr" s | D ù SCIENCES f CPE ZAC EPEN a ERP GI Rate De | Nec temere, nec timide. 2 iR ne | TROISIÈME SÉRIE FAN RARES MORE PARIS, chez HERMANN, libraire, | rue de la Sorbonne, 6. TES BRUXELLES fe ; ea | M. HAVE, IMPRIMEUR DE L "ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE x VAT €; pe { Ed x FAR “ : { 4 en L =” ô MÉMOIRES SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE MÉMOIRES DE LA SOCIÈTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIEGE Nec temere, nec timide. TROISIÈME SÉRIE TOME XI — PREMIÈRE PARTIE = ——— pm BE ———— —— DEPOTS : LONDRES, | PARIS. chez WiLLiams et NORGATE, chez HERMANN, libraire, Henrietta Str., 14. rue de la Sorbonne, 6. BRUXELLES M. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE Rue de Louvain, 119 1921 TABLE DES MATIÈRES DU VOLUME XI. PREMIÈRE PARTIE. [. — Réponse de l’Université de Liége au manifeste de l'Alle- magne intellectuelle au monde civilisé, | IL. — Liste des membres de la Société (1921). III. — Liste des sociétés savantes, revues, etc., avec lesquelles la Société Royale des Sciences de Liége échange ses publications. MÉMOIRES. 1. — Recherches sur les systèmes triples cree par A. DEMOULIN. 2. — Essais arithmétiques, par E. Scamipr. | 3. — Recherches anatomiques sur le Taraxacum Vulgare Scurk., par M'e E. Frirscé. 4, — Observations anatomiques et physiologiques sur le Crinum Capense HEr8., par R. BEAURIEUX. "20 GES —— RÉPONSE DE L'UNIVERSITE DE LIÉGE au Manifeste de l'Allemagne intellectuelle au monde civilisé. = Le Conseil académique de l’Université de Liége saisit l’occasion de sa première réunion depuis que la liberté de parole lui est rendue, pour faire entendre une protestation qu'il lui pèse de retenir depuis plus de quatre années. Le 4 octobre 1914, la Gazette de Cologne publiait, sous le titre de : DAS GEISTIGE DEUTSCHLAND AN DIE KULTURWELT, le manifeste désormais fameux où quatre-- vingt-treize savants, écrivains el artistes, couvraient de leur honneur personnel les crimes de l’armée allemande. Ce document souleva chez les professeurs de l'Université de Liége la plus vive indignation. Au moment où les signataires du manifeste, au mépris de toute méthode scientifique, affirmaient, sans avoir pris la peine de s'informer, des faits dont ils ne pouvaient vérifier l'exactitude, nous avions, nous, sous les yeux les preuves éclatantes de leur mensonge. [ls affirmaient que « mille et mille fois, et malgré tous les averlissements, la population belge avait tiré traîtreusement sur les troupes allemandes ». Nous avions vu, au contraire, que dans nombre de villages du pays de Herve, à Mouland, à Berneau, à Barchon, à Battice, le eri « Man hat geschossen » servait simplement de prétexte à la férocité des soldats. Plusieurs d’entre nous avaient patiemment, scientifique- ment cherché des francs-tireurs et personne n’en avait trouvé un seul. Au contraire, nous avions constaté « mille et mille fois » que les mcendies et les massacres avaient été préparés et exécutés par ordre, à des endroits et à des heures fixés ; nous savions que des soldats allemands avaient tiré au moment voulu pour accuser la population belge. C'est un de nous, M. le Proff MEURICE, qui subit, comme bourgmestre de Visé, le plus odieux et le plus atroce des martyres, pour avoir répondu de l’innocence de ses administrés, quand les troupes allemandes, après huit jours d'occupation, organisèrent méthodiquement le pillage, le sac et l'incendie de la charmante petite ville, le massacre de 42 citoyens et la déportation de 600 autres. Nous n'avions pas besoin du témoignage — irrécusable et confirmé d’ailleurs — de nos collègues de Louvain pour mettre en doute que Îles troupes allemandes eussent « bom- bardé à contre-cœur une partie de la ville pour exercer des représailles contre une population frénélique qui les atta- quait traîtreusement dans leurs logements ». Nous avions vu autour des locaux universitaires du centre de Liége comment se prépare une échauffourée qui amène des massacres et des incendies de plusieurs rues. C’est de notre palais académique qu’une troupe allemande affolée tua 17 habitants innocents de la place de l’Université, et c’est là qu'on vit des Allemands repousser dans les flammes des malheureux qui se sauvaient. Les scènes qui se passèrent les 20 et 21 août 1914 à l’Institut Zoologique et à l’Institut d’Anatomie, où l’un de nous, M. le Prof DAMAS et son personnel coururent dix fois le danger d’être fusillés, nous édifièrent compiète- ment sur les procédés terroristes de l’armée allemande. Aussi, quand nous lisions dans le manifeste que les soldats allemands n'avaient jamais porté atteinte à la vie et la propriété d’un seul citoyen belge sans que cela fût com- mandé par la plus stricte légitime défense, nous pouvions à bon droit crier: mensonge! Et quand on nous traitait ( vu) « d’assassins » pour avoir mutilé des blessés, tué des méde- cins dans l'exercice de leur ministère, nous pouvions crier : calomnie ! Lorsqu'on affirmait ensuite d’une manière générale que ceux qui conduisaient la guerre allemande « ne méconnais- saient pas le droit des gens », nous n’avions qu’à montrer autour de nous comment étaient entendus les Droits de l’occu- pant : les communes frappées de peines collectives, nos usines dépouillées de leurs machines, les réquisitions dépassant les besoins de la guerre pour appauvrir un concurrent; nous n'avions qu'à montrer nos propres plaies, la façon dont se respectait la propriété privée des établissements consacrés à la science : nos.laboratoires de physique, de chimie, de métallurgie dévastés, nos hôpitaux, nos cliniques désorga- nisés et dilapidés, les vols opérés dans notre bibliothèque et dans nos collections. Quand on nous disait, enfin, que « les soldats allemands . sont étrangers à toute cruauté contraire à la discipline », nous n'avions qu'à parcourir notre pays à quelques kilomè- tres de distance pour dénombrer les tombes d’enfants, de femmes, de vieillards exécutés comme franes-tireurs, ou écouter le récit des supplices infligés aux victimes avant leur mort. Et qu'on n’invoque point l’excuse de l'ivresse de la victoire lors de l’invasion. Si ces atrocités ont cessé pendant l’oceu- pation proprement dite, c’est parce que le terrorisme n’était plus jugé nécessaire. Mais nous avons retrouvé la même cruauté et la même perversité dans les traitements appliqués aux prisonniers civils, dans ce crime à jamais inoubliable de la déportation en masse des ouvriers et, tout récemment encore, les explosions retardées et les excès sans nombre commis lors de la retraite des armées. Faux dans les faits, injurieux dans la forme, le manifeste nous blessait particulièrement dans sa manière de raisonner. ( vm) La violation de la neutralité de la Belgique était présentée comme condition de l'existence de l'Allemagne, contre toute vérité, contre toute vraisemblance, — et comme une opéra- tion avantageuse au point de vue stratégique, alors qu'il s'agissait d'obligation juridique et d'observation de la parole donnée. k Le militarisme prussien était en outre invoqué comme le soutien de la culture allemande, comme si le génie, la science et l’art dépendaient du nombre de canons et de régiments. | | Les quatre-vingt-treize signataires du manifeste ont mis leur honneur en jeu : « Nous conduirons cette guerre en | peuple civilisé, disent-ils. Notre nom et notre honneur en soni garantis. » Pour avoir avancé sans preuve et sans critique des faits reconnus Inexacts ; Pour avoir haineusement calomnié notre population Civile ; Pour avoir invoqué d'ineptes sophismes au service de leur . mauvaise cause: Pour avoir — au moins quelques-uns — signé par ordre ou n'avoir point rétracté quand la vérité leur fut connue ; Ces hommes se sont jugés eux-mêmes, ils se sont déshonorés. Liége, le 2 décembre 1918. AU NOM DU CONSEIL ACADÉMIQUE : Le Pro Recteur, Le Pro-Secrétaire, A. GRAVIS. 0. ORBAN. L'Administrateur-Inspecteur, Le Rapporteur, C. LE PAIGE. E. MAHAIM. (JUIN 1921) EUrTeAaU. Président, MM. M. Loxesr. Vice-President, G. CESÀRO. Secrétaire général, C. LE PAIGE. Trésorier-Bibliothécaire, J. FaRoN. Membres effectifs. 1878 LE Paie, C., administrateur inspecteur de l'Université, membre de l’Académie royale de Belgique. 1880 NEUBERG, J., professeur émérite à l'Université, membre | de l’Académie royale de Belgique. F 1884 Deruyrs, J., professeur à l'Université, membre de l'Aca- démie royale de Belgique. Usacns, P., docteur en sciences, répétiteur émérite à l'Université. : 1885 1887 1897 1898 1900 1902 1912 1919 1920 1921 LE à © GRavis, A., professeur à l’Université, membre de l'Aca- démie royale de Belgique. Lonesr, M., professeur à l'Université, membre de l’Aca- démie royale de Belgique. CEsiro, G., professeur émérite à l'Université, membre de l'Académie royale de Belgique. Micueecs, H., professeur à l’Université de Bruxelles. HugerT, H., professeur émérite à l'Université, inspecteur général au Corps des mines. l Lonay, H., docteur en sciences, professeur à l'École spéciale de commerce annexée à l’Université. Dexazu, M., professeur à l’Université, correspondant de l'Académie royale de Belgique. FarRoN, J., professeur à l'Université. JANNE, H., docteur en sciences, chargé de cours à l'Uni- versité. Damas, D., professeur à l'Université. FouRMARIER, P., professeur à l’Université, correspondant de l’Académie royale de Belgique. BourGeois, E., professeur à l’Université. DucHEsE, A., professeur à l'Université. ANTEN, J., ingénieur géologue, chef de travaux à l'Uni- versité. Fouarce, L., docteur en sciences, chargé de cours à l'Ecole spéciale de commerce annexée à l'Université. (141 } Membres correspondants. I. — Sciences physiques et mathématiques. _ 1875 DewaLque, Fr., professeur à l'Université de Leuvain. 1876 Barrour, Th.-G.-H., membre de la Société Royale, à Londres. 1877 TissaNDiER, Gaston, rédacteur du journal La Nature, à Paris. 1881 SÉéBERT, à Paris. ANGoOT, À., directeur du Bureau central météorologique de France, à Paris. 1883 Mirrac-LerrLer, G., professeur à l'Université de Stock- holm. GomÈs Teixeir4, F., directeur de l’Académie polytech- | nique de Porto. 1885 Picquer, répétiteur à l’École polytechnique, à Paris. VanËGer, J.-S., professeur, à Jicin (Bohème). 1888 Ocacne (Maurice D’), professeur à l’École polytechnique, à Paris. . 1898 Kortewec, D.-J., professeur à l'Université d'Amsterdam. Marans, Em., professeur à l'Université de Toulouse, Brocar», H., ancien officier du génie, à Bar-le-Duc. 1902 Verscuys, W.-A., docteur en sciences, professeur à l'École polytechnique de Delft. 1904 1909 1912 1912 1914 1919 1920 1871 1875 1875 ( xu ) Lerca, Math., professeur à l'Université de Brünn. W. KaPTEY, professeur à l'Université d'Utrecht. DIckSTEIN, S., professeur à Varsovie, Lesow, E., professeur agrégé de l’Université, à Paris. Maiccer, E., professeur à l'Ecole nationale des ponts et chaussées, à Paris. Picarp, E., membre de l'Institut, à Paris PaiNLEVÉ, P., membre de l’Institut, à Paris. DE LA VALLÉE Poussin, Ch., professeur à l’Université de Louvain, membre de l’Académie royale de Belgique. DEMoOuULIN, A., professeur à l'Université de Gand, membre de l’Académie royale de Belgique. SERVAIS, CI., professeur à l’Université de Gand, membre de l’Académie royale de Belgique. Branzy, Ed., membre de l’Institut, à Paris. Fer, H., professeur à l'Université de Genève. Prenrowski, S., docteur en sciences, professeur à Var- SOVIe. LE CHATELIER, L., membre de l'Institut, à Paris. Jorpan, C., membre de l’Institut, à Paris. GoursarT, E., membre de l'Institut, à Paris. II. — Sciences naturelles. CapELLINI (commandeur G.), professeur de géologie à l'Université de Bologne, recteur de l'Université. ARESCHOUG, professeur à l’Université de Lund. Ray-LankEsTER, directeur du British Museum (Natural History). LEXUS 1875 Packarp, professeur à l'Université de Salem. 1876 Bazrour, 1.-B., professeur de botanique à l'Université, à Oxford. 1877 Mac LacxLan, Rob., membre de la Société entomologique, à Londres. 1879 Werrergy, professeur à l'Université de Cincinnati. Bozivar, L., professeur, à Madrid. RiTsEMA, conservateur au Musée royal d'Histoire naturelle, à Leyde. 1881 TaRAMELLI (commandeur), professeur à l’Université de Pavie, recteur de l’Université. GEsTRO, D' R., conservateur au Musée d'Histoire naturelle de Gênes. SALvanori (comte Th.), professeur à l'Université de Turin. 1884 TRINCHESE, professeur à l'Université de Naples. 1904 Barrois, C., membre de l'Institut, professeur à l'Univer- sité de Lille. BouLe, Marcellin, professeur au Muséum, à Paris. Porris, A., professeur à l'Université de Rome. 1920 MAQuENNE, L., membre de l’Institut, à Paris. ) . - X PO. 5 PTS TT OS à 0,2 : "Po ACTA! A h v 44 à hi ne huile ls na) [ ji Me . 2 ch = à M (SES = APE l'a; Va "4 d A Vis LT Di fo À Re ti L } Le. . RON REC. Pa up Lun AMIE ét" RU \ Bal (A: MAIN is af JEU 4 KA È | de he) di à ÿ er CU à r LIEN PA £ és à \ AA + DUT GE | à 1 (EE E {} di +& t \ d' ) - LE Me > ‘ dvi h 4 3 ;- H i] LE { El { PT gs CE * À _ À re ) nn: 1 Le é ; | | | . ve , : \ , MN: œ 4" | ï (A4 52 | l "0e à | ve - LISTE DES SOCIÉTÉS SAVANTES, REVUES, ETC. AVEC LESQUELLES LA SOCIÈTÉ DES SCIENCES DE LIÉGE | échange ses publications. nr — BELGIQUE. Bruxelles. — Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. Observatoire royul. Société entomologique de Belgique. Société malacologique de Belgique. Société royale belge de géographie. Musée royal d'histoire naturelle. Société royale belge de botanique. Société belge de microscopie. Liége. — Société géologique. Association des élèves des Écoles spéciales. Mons. — Société des sciences, des lettres et des beaux-arts du Hainaut. DANEMARK. Copenhague. — 7idskrift for Mathematik : D'° Juez et Fozo- BERG (Romersgade, 9). Académie royule des sciences. ESPAGNE. Madrid. — Real Academia de Ciencias. { XVI ) FINLANDE. Helsingfors. — Societé des sciences de Finlande. FRANCE. Agen. — Société d'agriculture, sciences et arts. Béziers. Societé d’étude des sciences naturelles. Bordeaux. — Académie des sciences, belles-lettres et arts. Société linnéenne. Sociélé des sciences physiques et naturelles. Caen. Société linnéenne de Normandie. Cherbourg. — Société des sciences naturelles. Colmar. — Société d'histoire naturelle. Dijon. — Académie des sciences. Lille. — Société des sciences, de l’agriculture et des arts Université. Lyon. — Académie des sciences, des belles-lettres el arts (Palais des Arts). Société d’agricullure. Société linnéenne. Université. Marseille. — /'aculté des Sciences. Metz. — Académie des Sciences, Arts et Agriculture. Montpellier. — Académie des sciences et lettres. des Naney. — Société des sciences (ancienne Société des sciences natu- relles de Strasbourg). Vantes. — Sociélé des scuences naturelles de l’Ouest de la France. Paris. — /nstitut de France (Académie des Sciences). Société philomatique. Muséum d'histoire naturelle. Sociélé mathématique de France. École polytechnique. L'intermédiaire des mathématiciens (quai des Augustins, 55). at sos it aa À ci it tt da: ait sn nés sl ( xvn) Rouen. — Société des amis des sciences naturelles. Académie des sciences. Toulouse. — Académie des sciences. Faculté des Sciences. Troyes. — Société académique de l’Aube. GRANDE-BRETAGNE ET IRLANDE. Cambridge. — Philosophical Society. Dublin. Royal Irish Academy. Royal Society. Édimbourg. — Geological Society. Mathematical Soriety. Glasgow. — Vatural history Society. Philosophical Society. Londres. — Geological Society. Linnean Society. Royal Society. Manchester. — Literary and philosophical Society. ITALIE. Bologne. — Accademia delle Scienze (classe des sciences physiques et mathématiques). Accademia delle Scienze (classe des sciences morales). Catane. Accademiu gioenia di Scienze naturali. Florence. — /nstitut supérieur. Gênes. Reule Universita. Modène. — Societa dei naturalisti. Milan. — Æeale istituto lombardo di Scienze e Lettere. Societa lombarda di Scienze mediche e biologiche. Naples. — Societa Reale. Palerme. Societa di Scienze naturali ed economiche, Regia Universitd. Circolo matematico. ( xvin) Pise. Societa di scienze naturali. Nuovo Cimento, rédacteurs: MM. Berri et FeLic. Portiei, — Reule scuola superiore die agricultura. Reale Accademia de Lincer. Accademia pontificia de’ Nuovi Lincei. R. Comitato geologico d’Italiu. Société italienne pour l’avancement des Sciences. Rome. Turin. — Reale Academia delle Scienze. LUXEMBOURG. Luxembourg, — /nstitut royal Grand-Ducal, section des sciences naturelles et mathématiques. Société des naturalistes luxembourgeois. NÉERLANDE. Amsterdam. — Xoninklijke Academie van wetenschappen. Société mathématique. Delft. — Académie technique. Harlem. — Société hollandaise des sciences. Musée Teyler. Rotterdam. — Bataafsch Genootschap der proefondervindelijke wijsbegeerte. NORVÈGE. Bergen. — Museum. Christiania. Kongelige Frederiks Universitet. Videnskabs Selskabst. Gôteborg. — Xongl. Vetenskaps och Vitterhetssamhälle. Stavanger. — Museum. K. Norske Videnskabers Selskabs. Throndhjem. POLOGNE. Cracovie, — Académie des sciences. Varsovie. — Wiadomosci matematyczne ( XIX ) PORTUGAL. Lisbonne. — Académie des sciences. Porto. — Académie polytechnique, directeur : M. GomÈs TeixeiRA ROUMANIE. Bucharest. — Académie roumuine Kischinewv. —- Sociélé des naturalistes de Bessarabie. RUSSIE. Kazan. — Société physico-mathématique Kharkofr. Juriew. — Universile. Société mathématique. Moscou. — Société impériale des naturalistes. Saint-Pétersbhourg. Acadéinie impériale des sciences. Archives des sciences biologiques. Société d’archéologie et de numismatique. Société entomologique. SUÈDE. Stockholm. — Académie royale des sciences. Entomologiska fôreningen, 9%, Drottninggatan. Acta mathematica, rédacteur : M. Mirrac-LEFFLER Upsal. — Société royule des Sciences. SUISSE. Berne. Naturfcrschende Gesellschaft. Société helvétique des sciences naturelles. Genève. L'enseignement mathématique, directeurs : MM. Fesr et Buus. Neuchatel. Société des sciences naturelles Zurich. — Vaturforschende Gesellschaft. ( XX ) TCHÉCO-SLOVAQUIE. Prague. — Ceske Académie Société royale des sciences de Bohème. YOUGO-SLAVIE. Agram. — Académie Sudo-Slave des sciences. AMÉRIQUE. ÉTATS-UNIS. Arbor (Mich). — University of Michigan (Library). Austin. Baltimore. — American Journal of mathematics. Johns Hopkins University.) Texas Academy of sciences. Berkeley (Col.) — University of California (Press). Boston. — American Academy of arts and sciences. | Society of natural History. Cambridge (Mass.). Museum of comparative Zoology. Chicago. — Field Museum of natural history. University of Chicago (Libraries). Cinmecinmaés (0.) — American association for the advancement of sciences. Cold Spring Harbor (N.Y.). — Carnegie Institution (station {or experimentale evolution). Colorado. — Colorado College (bureau des publications). Des Moines (lowa). — Geological Survey. Lawrence (Kan). — The Kansas University (Science Bulletin). Lincoln (Neb.). — University of Nebraska. Madison. — Wisconsin Academy of sciences, letters and arts. Geological Survey. New-Haven. — Connecticut Academy of arts and sciences. ( XX1 ) New-York. — Academy of sciences. Museum of natural history. American Mathematical Society. Philadelphie. — Academy of natural sciences. American philosophical Society. Wagner free Institute of sciences. Portland. — Natural History Society. Rochester. — Academy of sciences. Saint-Louis (Mo). — Botanical Garden. Salem. — Essex Institute. San-Franceisco. — Californian Academy of sciences. Urban (11l.). — University of Illinois library. Washington. — Smithsonian Institution. Bureau of ethnoloyy. BRÉSIL. Rio de Janeiro. — Collège Pedro 11. CANADA. Halifax. — Vova Scotian Institute of natural Science. Ottawa. — Geological Survey of Canada. Toronto. — Canadian Institute. CHILL. Santiago. — Société scientifique du Chili. MEXIQUE. Merida. — Observatoire. Mexico. — Société Antonio Alzate. Observatoire météorologique central. Observatoire national. Tacubhaya. ( XXII ) RÉPUBLIQUE ARGENTINE. Buenos-Ayres. — Universidad. La Plata. — Fuculiad ile Cincias fisicos, mutemäticas y astron6- micas. URUGUAY. Montevideo. — Museo de historia natural. ASIE. INDES ANGLAISES. Calcutta. — Asratic Society of Bengal. JAPON. Sendaï. — 7ôhoku impérial University. SIBERIE. Irkutsk. Ostsibirische Abtheilung der K. Russischen geogra- phischen Gesellscha/ft. SYRIE. Damas. — Acadeèmie arabe. OCEANIE. ee AUSTRALIE. Adelaïde. — Royal Society of South Australia. Hobart-Towm, — Tusinania society of natural sciences. Melbourne. — Observatoire. Sydney. — Australian Association for advancement of science Linnean Society. Royal Society of New South Wales. ( XXII ) ILES PHILIPPINES. Manille. — Philippine Journal of Sciences. INDES HOLLANDAISES. Batavia. — Koninklijke natuurkundige vereeniging in Neder- landsch Indië. Koninklijke magnetisch en meteorologisch Observatorium. 1: CPR ÈS | ÿ ans f fa M SP Mar . , ‘ vis « fe | AR RU » à I EQMNE ) y 4} 1 { "TN RE" RECHERCHES SUR LES PROFESSEUR A L’UNIVERSITÉ DE GAND . MEMBRE DE L’ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE AACHERCHES SUR LES QUSTÈMES PRIPLES ORTHOGONAUX SECTION I. SUR DIVERSES PROPRIÉTÉS CARACTÉRISTIQUES DES FAMILLES DE LAMÉ. 1. Soit (S) une surface variable dépendant d’un para- mètre p>. Désignons par u et » les paramètres de ses lignes de courbure (*). M étant un point quelconque de la surface, envi- sageons le trièdre trirectangle Mxyz dont les arêtes Mx, My sont respectivement tangentes aux lignes de courbure v — const., u = const. qui se croisent en ce point. Les translations et rota- … tions de ce trièdre sont , lorsque « varie seul, À, 0, 0, 0, q, r; | lorsque v varie seul, ED pr Or; | lorsque 2, varie seul, EAN, De lots (*) Si (S) est un plan ou une sphère, on prendra pour réseau (#, v) un réseau orthogonal quelconque. PEN ES. à Ces quantités sont liées par les vantes : (D) @) = (3) NE (6) Ov dix-sept relations ee Wolf Dot Sui- C'OSPPAESE (3) (7) — = — 1,0 + nr, 2€ 8 — = PC — np. (8) + Pe N2P4 Les composantes Ôx, dy, dz du déplacement infiniment petit d’un point de coordonnées relatives x, y, z ont pour expressions dx — dx + Adu + Ede, + (qdu + qio)z — (rdu + rdv + r:dp,)y; 0y = dy + Cdv + n2do, + (rdu + rdv + r,des)x — (pidv + pido)z, 0% — AZ + Gdos + (dv + psde:)y — (qdu + q:do:)t. L'élément linéaire de l’espace, exprimé en fonction des para- mètres u, v, ps, est donné par la formule (9) ds? = (Adu + Ede,} + (Cd + notes) + Giles. 2. Supposons que les surfaces (S) ne soient ni des plans, ni des sphères et qu'elles forment une famille de Lamé. Les équations différentielles de leurs trajectoires orthogonales sont (10) us 3e EP = 0, Cdv + n;d9, = 0. S1 M décrit une de ces trajectoires, Mx engendre une série développable dont le plan tangent le long de Mx est nécessai- rement le plan æMz (*). On à donc, pour un point quelconque (æ, O, O) de Mx, Cdv + de, + (rdu + rdv + ride) æ = 0. (*) Si les surfaces (S) sont des plans ou des sphères, Mx pourra engendrer une développable. (€) Remplaçant, dans cette égalité, du et dv par leurs valeurs tirées des équations (10), il vient (11) C? + -|- ATie sn ACr, Sr 0 Gr): La relation (11) est une condition nécessaire pour que la surface (S) engendre une famille de Lamé. Je dis qu’elle est suflisante. | En effet, si l’on tient compte de cette relation, les équa- tions (7) et (4) s'écrivent 26 Cré, ON? Ari 2 oÙ A ou à ou, en vertu des équations (2) et (3), 5 AT à M5. où ov oÙ ou ou Ge FAX Le 1b On déduit de là 62 = AG(u, pe), Te — CY(V, pe). Portant ces valeurs de & et de n° dans la formule (9), il vient ds = Aldu + o(u,p2)de:P + C{dv + dv, p2)de,P + Gdes. Il existe des fonctions u(u, 02), 1(v, 02) telles qu'on ait {du + o(u,p:)dp2] = de, paldu + pv, pe)dee] = dés. (*) On est conduit aussi à la relation (11) lorsqu'on exprime que My engendre une série développable. Fr à à sm le. fs métis, GR hd LS Be sd à : à ns" nñ tt ts sl Se SSSR (5) Si l’on tient compte de ces relations, l'expression ci-dessus de ds? devient 2 A C? et, par suite, la surface (S) engendre une famille de Lamé. ECOLE. D. On voit, en outre, que pour déterminer les familles de Lamé de paramètres o, o4, 1l faut intégrer les équations différen- uelles du + o(u, s)ips = 0, du + dv, p2)dos = 0. 8. Des considérations qui précèdent résulte le théorème suivant, d’ailleurs bien connu : Pour que les surfaces (S) forment une famille de Lamé, il suffit que, lorsque le point M décrit une quelconque de leurs trajectoires orthogonales, la droite Mx (ou la droite My) engendre une série développable. Ce théorème entraîne comme conséquence immédiate la réciproque du théorème de Dupin, due à M. Darboux (*) : Si l’on a deux familles de surfaces se coupant à angle droit et si les lignes d’intersection des surfaces qui appartiennent à deux familles différentes sont lignes de courbure sur les surfaces de l'une des deux familles, il existe une troisième famille formée de surfaces coupant les précédentes à angle droit. JL. 4. Soit M un point quelconque d’une courbe (C) tracée sur une surface. Nous appellerons sphère de courbure géodésique de la courbe (C) en M la sphère qui passe par M et qui a pour (*) G. DarBoux, Leçons sur les systèmes orthogonaux, p. 10, n° 6. (63 centre le centre de courbure géodésique de la courbe (C) en M. Cette sphère est caractérisée par les propriétés suivantes : 1° elle est orthogonale à la surface au point M ; 2° elle renferme le cerele osculateur de (C) en M. Il suit de là que les sphères de courbure géodésique d’une courbe sont conservées dans toute transformation conforme. 5. Reportons-nous au paragraphe | et envisageons les lignes de courbure v — const., u — const. de la surface (S) qui passent par le point M. Soient G, G’ leurs centres de courbure véodésique et (Sc), (Sc) leurs sphères de courbure géodésique en ce point (*). | L’abscisse G du point G et l’ordonnée G’ du point G’ ont pour valeurs Les équations des sphères (S,), (S;,) sont + pp +2 —2yG = 0, 2? + y? + 2 —IxG'— 0. La caractéristique (F) de la sphère (S;) correspondant à un déplacement (du, dv, dos) du point M appartient au plan défini par l'équation æ[Adu + des + (qdu + qos)s — (rdu + rdv + rd05)y] + y[Cdv + nde, + (rdu + rdv + rde)æ — (pado + prdp2)#] + 2[ des + (rdv + pade:)y — (qdu + qude:)E] — [Cdv + nds, + (rdu + rdv + r,d0,)x — (padv + pride) ]G = RAGE (*) IT résulte du théorème démontré au n° 4 que les sphères de courbure géodésique des lignes de courbure sont conservées dans toute transforma- tion conforme. (**) Pour obtenir cette équation, nous nous sommes appuyé sur la remarque suivante : Soit f(x, y, z, t) —0 l'équation d'une surface rapportée à : À ; >» ; 4 ÿ 4 à e 4 à ER) La sphère (SQ) étant orthogonale à la sphère (S;,), pour que le cercle (F) soit orthogonal à (S4,), il faut et il suffit que, parmi les sphères passant par (F), il y en ait une seconde qui soit orthogonale à S,,); en particulier, 1l faut et il suffit que le plan de (F) passe par le point G’. Cette dernière condition s'exprime par l'égalité (12) (CrË, + Anim — ACr;)des = 0. . Si la surface (S) engendre une famille de Lamé, la rela- uion (11) à lieu; par suite, la relation (12) est vérifiée et la caractéristique de (S;) est orthogonale à (S,,). Donc : Si une surface (S) engendre une famille de Lamé, la caracté- ristique de la sphère (S;), relative à un déplacement quelconque du point M, est orthogonale à la sphère (S4,). Il est clair qu'en raisonnant sur (S;,), on trouverait que sa caractéristique est orthogonale à {S,) (*). Supposons à présent que, pour un seul déplacement (du, dv, dpe) du point M, extérieur à la surface, la caracté- ristique de (S;) soit orthogonale à (S,,). Dans ce cas, la rela- tion (12) sera vérifiée et, comme d£, est £ 0, elle entraînera l'égalité (11), laquelle exprime que la surface (S) engendre une famille de Lamé. un trièdre trirectangle mobile dépendant d'un paramètret et dont ë,n,&,p,q;r sont les translations et les rotations. La caractéristique de cette surface appar- lient à la surface définie par l'équation sf ce of of 9f RC +0% Den Cm) (GE pu qu) =: (*) Si dps — 0, l'équation (12) est vérifiée. Toute surface pouvant être considérée (d’une infinité de manières) comme appartenant à une famille de surfaces à un paramètre, on déduit de là le théorème suivant : Soient (Sc), (Se) les sphères de courbure géodésique des lignes de courbure qui se croisent en un point M d'une surface. Pour tout déplacement du point M sur cette sur- face, la caractéristique de (Se) [ou de (Ser)] est orthogonale à (Ser) [ou à (Sc)]. * (8) Les sphères (S,) et (S;,) jouant le même rôle dans la théorie, nous pouvons done énoncer le théorème suivant : Pour qu'une surface (S) engendre une famille de Lamé, il suffit que, pour un seul déplacement du point M, extérieur à la surface, la caractéristique de (S) [ou de (S;,)] soit orthogonale à (S;,,) [ou à (Sa)]- LLE 6. Dans une note publiée en 1904 (*), nous avons établi, par la géométrie, une propriété caractéristique des familles de Lamé. Montrons comment on peut la déduire de. la rela- tion (11). Donnons au point M un déplacement (du, dv, dp9); 11 en résultera pour le trièdre Mæxyz un déplacement infiniment petit. Exprimons que la droite GG’ appartient au complexe linéaire (L), lieu des droites invariablement liées au trièdre et qui, dans ce déplacément, sont perpendiculaires aux vitesses de tous leurs points (**). Il suffira d'écrire que la vitesse du point G’, considéré comme invariablement lié au trièdre, est perpendiculaire à la droite GG’. | = Les composantes du déplacement du point G/ sont Adu + £dPe Cuv + nde, + (rdu + ridv + r,de2)G', Cdo, — (qdu + qudv)G". La droite GG’ a pour paramètres directeurs G/, — G, 0. La condition indiquée se traduit dès lors par l'égalité (13) (CrË, + Arine — ACr:)dpe = 0. (*) Comptes rendus de l’Académie des sciences de Paris, t. CXLVIIE, p. 133. (**) Pour la concision du discours, nous dirons que le complexe (L) est attaché au déplacement considéré. (PI NN PE LAN. ri 1 x $ A ler prastqrts re: (9) Si la surface :S) engendre une famille de Lamé, la rela- tion (11) a lieu; par suite, la relation (15) est vérifiée et la droite GG’ appartient au complexe (L). Supposons à présent que, pour un seul déplacement (du, dv, dpo) du point M, extérieur à la surface, la droite GG’ appartienne au complexe (L). Dans ce cas, la relation (13) sera vérifiée et, comme d:, est 7 0, elle entraînera la relation (11). Par suite, la surface (S) engendrera une famille de Lamé. Un point étant marqué sur une surface, appelons droite g rela- live à ce point la droite qui joint les centres de courbure géodé- sique des lignes de courbure qui se croisent au point considéré. Cette dénomination admise, les résultats que nous venons d'établir peuvent être formulés comme il suit : Si une surface engendre une famille de Lamé, la droite g relative à un point quelconque M de cette surface appartient aux _ complexes linéaires attachés aux déplacements du trièdre Mxyz. Pour qu'une surface engendre une famille de Lamé, il suffit que, pour un seul déplacement du point M, extérieur à la surface, la droite g relative à ce point appartienne au complexe linéaire attaché au déplacement correspondant du trièdre Mxyz. 77. Appliquons ces théorèmes à la démonstration des pro- positions de M. Petot concernant les familles de Lamé com- posées de surfaces égales ou homothétiques. Supposons qu'une surface (S) engendre une famille de Lamé dans un mouvement hélicoïdal. Soit (H) le complexe linéaire attaché à ce mouvement. Marquons sur (S), prise dans une quelconque de ses positions, un point quelconque M et impri- mons à cette surface un déplacement infiniment petit. La droite g relative au point M appartient au complexe (L) attaché au déplacement correspondant du trièdre Mxyz. Or, ce complexe est identique à (H). Donc la droite g relative au point M appartient à (H). Réciproquement, si les droites g relatives aux différents points d'une surface (S) appartiennent à un complexe linéaire (H), cette surface engendrera une famille de Lamé (10) dans le mouvement hélicoïdal pour lequel le complexe (H) est le lieu des droites perpendiculaires aux vitesses de tous leurs points. Imprimons, en eflet, à (S), à partir d’une quelconque de ses positions, un déplacement infiniment petit et considérons le déplacement correspondant du trièdre Mxyz, relatif à un point quelconque M, marqué sur (S). Le complexe linéaire (L) attaché à ce déplacement n’est autre que (H). Or, la droite g relative à M appartient à (H), donc elle appartient à (L) et, par suite, la surface (S) engendre une famille de Lamé. En réunissant ces résultats, on obtient le premier théorème de M. Petot : Pour qu'une surface engendre une famille de Lamé dans un mouvement hélicoïdal, il faut et il suffit que les droites g relatives aux différents points de cette surface appartiennent au complexe linéaire attaché au mouvement hélicoïdal considéré. 8. Supposons qu’une surface (S) qui varie en restant constamment homothétique à une surface (S,), par rapport à un point fixe O, engendre une famille de Lamé. Soient M; un point quelconque marqué sur ($S,) et M le point homologue de (S), prise dans une quelconque de ses positions. Si (S) varie infiniment peu, le déplacement correspondant du trièdre Mxyz est une translation parallèle à OM, et, par suite, le complexe (L) attaché à ce déplacement est composé des droites perpendiculaires à OM,. Par conséquent, la droite g relative à M est perpendiculaire à OM,. Or, les surfaces {(S,) et (S) étant homothétiques par rapport au point O, les droites g relatives aux points M, et M sont parallèles. Donc la droite g relative au point M, est perpendiculaire à OM. Réciproquement, si une surface (S,) est telle que la droite g relative à un point quelconque M, de cette surface soit perpen- diculaire à la droite qui joint un point fixe O au point M,, la surface (S), qui correspond à (S,) dans une homothétie variable de centre O, engendre une famille de Lamé. Envisageons, en effet, la surface (S) dans une quelconque de té at : ae ali ci à d'scnlés dté . o id ndf) aétd, ‘+ ‘fa. — étuis” Lise déode li: Dé: “pis Mrs es: atit dre le PC A M dub td de, M Un Vice aan le fi ee nee CAPES fan: Ver e A1? ses positions et soit, sur cette surface, M le point homologue de M,. Si (S) varie infiniment peu, le déplacement correspon- dant du trièdre Mxyz est une translation parallèle à OM, et, par suite, le complexe linéaire (L) attaché à ce déplacement est composé des droites perpendiculaires à OM,. La droite g relative à M, et la droite g relative à M sont parallèles. La première étant perpendiculaire à OM,, il en est de même de la seconde. Cette dernière appartient donc au complexe (L) et la surface (S) engendre une famille de Lamé. COQ E. D. De ces considérations résulte le deuxième théorème de M. Petot : Pour que les homothétiques d'une surface (S) par rapport à un point O constituent une famille de Lamé, il faut et il suffit que la droite g relative à un point quelconque M de (S) soit perpendicu- laire à OM. IV. 9. Soumettons une droite d à une inversion quelconque I. Soient F, et F, les foyers du cercle (F) qui lui correspond. Désignons par l’ une inversion de pôle F, et par O le point qui correspond à F, dans cette inversion. Soit (2) une sphère orthogonale à d. A celte sphère corres- pond dans l’inversion I une sphère orthogonale à (F); celle-ci passe par les foyers de (F), done la surface qui lui correspond dans l’inversion [’ est un plan passant par le point 0. Par con- séquent : A toute sphère orthogonale à d, la transformation T qui résulte de la composition des inversions Let L’ fait correspondre un plan passant par 0. | A tout plan passant par O, l'inverse T° de la transforma- tion T fait correspondre une sphère orthojonale à d. 10. Nous aurons à invoquer ces propriétés dans la démon- stration des deux théorèmes ci-après. (12) À loule surface (S) qui engendre une famille de Lamé par rotation autour de d, la transformation T fait correspondre une surface dont les homothétiques par rapport au point 0 forment une famille de Lame. Soit, en effet, M un point quelconque de (S). En vertu du premier théorème de M. Petot, la droite g relative au point M s'appuie sur d, donc, parmi les sphères passant par le cercle d'intersection des sphères de courbure géodésique des lignes de courbure qui se croisent en M, il y en a une, (2), qui est orthogonale à d. Soumeltons la figure à la transformation T. A la surface (S) correspondra une surface (S') et au point M un point M. Si l’on observe que les sphères de courbure géodésique des lignes de courbure sont conservées dans |'inversion, on recon- naîlra immédiatement qu'à la sphère (£) correspondra un plan passant par O et par le cercle d’intersection des sphères de courbure géodésique des lignes de courbure qni se croisent en M’. Par suite, la droite g relative au point M’ sera perpen- diculaire à la droite OM’ et, en vertu du deuxième théorème de M. Petot, les homothétiques de la surface (S'), O étant le centre d’homothétie, formeront une famille de Lamé. A toute surface (S) dont les homothéliques par rapport au point O forment une famille de Lamé, la transformation T° fait correspondre une surface qui engendre une famille de Lamé par rotalion autour de d. Soit, en effet, M un point quelconque de (S). En vertu du deuxième théorème de M. Petot, la droite g relative au point M est perpendiculaire à OM, done le plan x du cercle d’inter- section des sphères de courbure géodésique des lignes de cour- bure qui se croisent en M passe par 0. Soumettons la figure à la transformation T*. A la surface (S) correspondra une surface (S'), au point M un point Met au plan + une sphère orthogonale à d et passant par le cercle d'in- tersection des sphères de courbure géodésique des lignes de courbure qui se croisent en M’. Par suite, la droite g relative au point M’ s’appuiera sur d et, en vertu du premier théorème NT POINTS Ce 7 | | ‘: j (45 ) de M. Petot, la surface (S') engendrera une famille de Lamé par rotalion autour de d. 11. Nous allons présenter une application de chacun des théorèmes que nous venons de démontrer. Si l’on connaît une surface dont les homothétiques par rapport à un point fixe constituent une famille de Lamé, on peut en déduire, par des quadratures, des surfaces qui engendrent des familles de Lamé par translation. Pour l'établir, 11 suffit de remarquer que les homothétiques d’une surface par rapport à un point fixe ont même représentation sphérique de leurs lignes de courbure et d'appliquer la théorie développée par M. Darboux au n° 240 (p. 455) de ses Leçons sur les systèmes orthogonaux. D'autre part, M. Egorov a montré que lorsqu'on connaît la représentalion sphérique d’une surface qui engendre une famille de Lamé par translation, l'intégration d’un système linéaire complet fournit une famille de Lamé composée des homothétiques d’une surface par rapport à un point fixe (*). Par conséquent : De toute surface qui engendre une famille de Lamé par rota- tion, on peut déduire, en effectuant de simples quadratures, une surface qui engendre une famille de Lamé par translation. De toute surface qui engendre une famille de Lamé par trans- lation, on peut déduire, en intégrant un système linéaire complet, une surface qui engendre une famille de Lamé par rotation. 12. Dans les paragraphes [, IT, HT, nous avons démontré trois propriétés caractéristiques des familles de Lamé. À notre connaissance, 1l en existe deux autres : la propriété où inter- (*) Voir G. DarBoux, Leçons sur les systèmes orthogenaux, p.439, n° 24#. (14) vient la distance de deux surfaces infiniment voisines (*) et celle qui est due à Ribaucour et à M. Darboux (**). Nous allons les établir au moyen des formules du paragraphe I. Conservons toutes les notations de ce paragraphe et dési- gnons, en outre, par æ, y, z les coordonnées du point M. On sait que æ, y, zx, ©? + y? + x? satisfont à l’équation 24 2C (14) ad | aN SM reed u90 A 9u | C3 Celle-ci s'écrit, en vertu des formules (2) et (3), À Cr DÀ Ar, TX Qu9U À Ju CG 5v Soit dn la portion de la normale en M comprise entre ce point et la surface de paramètre p» + dos. Des formules (9) et (10), on déduit d'où Ta dn S2 Es dos Par conséquent, lorsque M se déplace sur la surface (S), dn varie proportionnellement à €o. Caleulons l'expression (*) G. DarBoux, Leçons sur les systèmes orthogonaux, p. 75, n° 45. (**) Ip., ibid., p. 76, n° 46. à M dat BE D TT (15) Si l’on dérive l'équation (5) par rapport à v, il vient, en tenant compte des relations (1), (2), (7) et (6), o Ù = — Fab + Cr + QMaie — 40e — Aire + ATV. On a, d'autre part, Cr 26 Ar, ee qCr A7: — — — — — —= — 5) Cr Ar Dir Mn los Na Ter ï E + lG> + ATiPe C fa Par suite, Ce rm ete 15 Fe) QUOV À Du C av | ) (Cr, nm: / 0 us ACr;), R et R’ désignant les rayons de courbure principaux de la surface (S) : PSS A C mA Of q Si (S) engendre une famille de Lamé, une au moins des égalités il l SRE À (16) DR (11) Cré, + Ari ACr, = 0 est vérifiée. Par conséquent, le premier membre de la rela- lion (15) est nul; en d’autres termes, € satisfait à l’équa- üon (14). Réciproquement, si & satisfait à l'équation (14), une au moins des relations (16) et (11) sera vérifiée et, par suite, (S) engendrera une famille de Lamé. Donc : Pour que (S) engendre une famille de Lamé, il faut et il suffit que @ satisfasse à l'équation (14). (16) 13. Déterminons les systèmes eycliques normaux à la sur- face (S). Tout cercle (F) orthogonal en M à cette surface peul être défini par des équations de la forme 24 2? + Y? + 2? — 7 2=0 Le MUR RAS CAD GT nn TE ee L'équation 2 (18) EAP HÉCESE e} représente une sphère (£) tangente en M à la surface (S). Cherchons à déterminer 5 de manière que, lorsque M décrit (S), le second point de contact P de (£) avec son enve- loppe soit situé sur (l). Alors ce point décrira une surface orthogonale aux différentes positions de (F). Les coordonnées du point P satisfont aux équations 07 | & Se (As? LE 5 )x, u (19) he 8 — —= (Co? — p,5)y. . : (CS — 15 )y Les conditions de compatibilité des équations (17), (18) et (19) sont 27 Û ù — 05 = 2’ Fe u (20) 5 ; p' 20 R! R et R’ désignant, comme plus haut, les rayons de courbure principaux de (S). PNR 7 (AT) _ En égalant les deux valeurs de == u Le qu'on peut déduire des _ équations (20), on obtient l'égalité 0 4 l 1) AN 7 TPE ANROUNRE à 0 38 D an sat Pour qu’il existe deux sphères jouissant de la propriété * indiquée, il faut qu’on ait 20 94! 0 PRET Sn ON 50 Q 1 À — ATEN PE | F7 ouR! GR 2) É n) : On démontrera plus bas que si ces conditions sont vérifiées, le système (20) admettra une solution dépendant d’une con- . stante arbitraire; géométriquement, le cercle (F) sera ortho- gonal à une infinité de surfaces et engendrera, par suite, un _ système cyclique. On satisfait à l'équation (21) en posant 9À aÀ br neue 4Ù 0 — T Ps S Portant ces valeurs de 0 et de 0’ dans l'équation (22), il _ vient A1 | 2h 2 1 9 LLLES RTS CERN ‘à QUuav È ï) ue ju av e av - ou 23' _. RSR al ONE 2 (148 ) Substituons à s l’inconnue & définie par légalité H 9 Rate (24) [o 3 À Le système (20) deviendra À : (25) DS — + R'— —0 ov OV Si l’on écrit la condition d’intégrabilité pour x, on obtient l'équation (23'). Done, à toute solution À de l’équation (23) correspond une valeur de u dépendant d’une constante arbi- traire et définie par l'égalité 9X À OÙ . ov (26) LS D R du + R' dv. L'équation (24) donne ensuite 5. . On peut dès lors énoncer le théorème suivant : Le cercle (F) représenté par les équations a + y + +2 L— ; 9 log À ou à tx 2 2 2 Dites 7e — 0, ov où À désigne une solution quelconque de l'équation (23), engendre le système cyclique le plus général normal à la surface (S) (*). (*) Lorsque (S) est un plan ou une sphère, l'équation (22) disparaît. Par suite, le cercle (T) engendre un système cyclique quelle que soit la fonction À. (19) L'équation de l'axe de (FT), dans le plan des xy, est à log À à log À (27) ju Dv TI UNE y+1=0. Les surfaces qui coupent orthogonalement les cercles du système É cyclique sont les enveloppes des sphères représentées par l’équa- tion (18), s étant définie par les équations (24) et (26). On remarquera qu’en vertu des relations bien connues A o 1 2C à 4 av ov R au auR' D D D 4, 1° DR R R' les équations (23) et (14) sont identiques. 14. Faisons décrire au point M une trajectoire orthogonale des surfaces (S). L’axe du cercle osculateur de cette ligne est la caractéristique du plan xMy. L’équation de celle-ei est Caps + (padv + padp:)y — (qdu + qdo2)t = 0, ou, en remplaçant du et du par leurs valeurs tirées des équa- tions (10) et en tenant compte des relations (8) et (5), 9 log 9 log C (28) … av Sel y +1 = 0. 15. Démontrons à présent les théorèmes de Ribaucour et de M. Darboux. | Si (S) engendre une famille de Lamé, @ satisfait à l’équa- tion (14) et, comme on passe de l’équation (28) à l’équa- ( 20 ) tion (27) en changeant { en >, les cercles osculateurs des trajectoires orthogonales des surfaces (S), aux points où elles rencontrent une quelconque de ces surfaces, forment un système cyclique. Réciproquement, si cette propriété a lieu, (S) engendre une famille de Lame. En effet, l’équation (28) est alors de la forme (27), À dési- gnant une solution de (14). L'identification des équations (27) et (28) donne alogé 9 log À ologQ ologÀà ou M Ov ov On déduit de là que le rapport = ne dépend que de po. Or, À satisfait à l’équation (14); il en est donc de même de £o et, par suite, (S) engendre une famille de Lamé. VI. 16. Nous allons établir quelques résultats concernant les surfaces et les familles de Lamé définies au moyen des coordonnées pentasphériques. Nous déduirons ensuite de ces résultats une nouvelle démonstration des théorèmes du n° 5. Soient æ, .…, æs les coordonnées pentasphériques d’un point quelconque M d’une surface rapportée au réseau (u, v) de ses lignes de courbure. Ces quantités sont liées par ja celation (29) Sa? — 0 et satisfont à une équation de la forme | 1 (21) On a donc 2°; OT; ©; | : : 30 = Mm—+ 24 Dj — 0, ps dP2 T; 0, ;à 203 T; 0. pa IT. Désignons par (G’) lé système des sphères S’. La sphère S _est orthogonale aux sphères de (G') infiniment voisines de S/. S étant orthogonale à S’, il reste à prouver que l’on a (3) Em;,dm; = 0. Or, cette équation s'obtient en différentiant la première équation (4) et en tenant compte de la seconde. En particulier, si (G/) est un complexe, (G) sera conjugue à ce complexe. III. Pour toute variation infiniment petite de la sphère S, la caractéristique de cette sphère est orthogonale à S'. En effet, la caractéristique de la sphère S appartient à la sphère X définie par l’équation Zdm;.x; = 0. Pour que celte caractéristique soit orthogonale à S’, il faut et 11 suffit que Y soit orthogonale à S’, d’où la condition (32) Or, cette égalité est précisément la deuxième relation (4). Le théorème est donc démontré. On prouvera de même, en se servant de la relation (5), que les caractéristiques de $/ sont orthogonales à S. IV. Soient 2m; —= 0, 2m;x, = les équations de deux sphères orthogonales S, S’ dépendant de trois paramètres. Ces sphères engendrent des complexes (G), (G’). Si, pour toute variation infiniment petite de S, la caractéristique de cette sphère est orthogonale à S', les complexes (G), (G!) seront conjugués. | I s’agit d'établir les relations (1). Les sphères S, S' étant orthogonales, la première de ces relations est vérifiée. La seconde l’est ausst, car elle exprime la condition énoncée. V. Des résultats établis dans les n% [IV et V, résulte ce théorème : | Pour que deux complexes engendrés par des sphéres S, S' soient conjugués, \ faut et il suffit que pour touile variation infiniment pelite de S, la caractéristique de cette sphère soit ortho- gonale à S'. VI. Reportons-nous au n° 5. Soient 2MYEs; = 0, Zm;r; — 0 les équations des sphères (S;), (S;). Désignons par (G) le système des sphères (S;) et par (G/) celui des sphères {(S,,). Pour que la surface (S) engendre une famille de Lamé, il faut et il suffit que la caractéristique de (S,) relative à une varialion infiniment petite quelconque de cette sphère soit orthogonale à (S,,), c'est-à-dire qu'on ait Em;dm; = 0. l DPI A PU (33) Cette équation exprime que (S,,) est orthogonale aux sphères de (G) infiniment voisines de (S;). | Par suite, les théorèmes du n° 5 sont équivalents au suivant : Pour que la surface (S) engendre une famille de Lamé, il faut et il suffit que la sphère (S,,) soit orthogonale aux sphères de (G) infiniment voisines de (S;). Donc, si (G) et (G') sont des complexes, pour que (S) engendre une famille de Lamé, il faut et il suffit que ces complexes soient conjugués VIT. Nous allons rattacher à la notion de complexes de sphères conjugués, une transformation que M. Darboux a signalée dans ses Leçons sur les systèmes orthogonaux (p. 198, n° 115). Rapportons à trois axes rectangulaires deux complexes con- jugués engendrés par des sphères S et S'. Soient M (x4, to, æ;) le centre de la sphère S et R son rayon; M’ (x’,, x'o, æ':) le centre de la sphère S’ et R’ son rayon. Nous supposerons que le point M peut occuper toutes les positions dans l’espace. Si l’on met R? sous la forme (4) R? = — 2ÙU + Exi (”), l'équation de la sphère S peut s’écrire D 2) > 2>rx : 2U — 0. D'après une remarque faite au n° [, la sphère S’ est ortho- gonale aux sphères CT ARLES = LT ox, Da, D. (*) Faisons observer que JU est la puissance de l’origine des coordonnées par rapport à la sphère $S. (34) Les trois dernières se réduisant à des plans, le point M’ est à leur intersection. On à donc AU aÙ aÙ Si les dérivées partielles —; —; 2x 2 Xe 0%; une relation ou, ce qui revient au même, si le hessien de U n’est pas nul, le point (x',, Z'o, æ';) peut occuper œ5 positions et les équations (5) définissent la transformation à laquelle nous venons de faire allusion. ne sont pas liées par VIT. Caleulons le rayon de la sphère S/. Les sphères S et S' étant orthogonales, on a (6) RE +R Di xp, d’où, en vertu des relations (4) et (5), mp) 25 Da + at. IX. Si l’on pose R?— — 2U' + Ex?, les équations (4) et (6) donnent (7) U+ U= Eu r;. Différentions cette relation ; il viendra, en tenant compte des égalités (5), SP En | oU' MERE TÉ | 6 oU' 8 Le — —, @) TS ET Si l’on tient compte des équations (5) et (8), on peut mettre l'équation (7) sous les deux formes suivantes GraolE 45 (9) U 2, % U, oU' 10 Nc, Dr (10) U TE U Les équations (5) et (9) [ou les équations (8) et (10)] expri- ment que les variétés à trois dimensions de l’espace à quatre dimensions décrites par les points (2441, æo, æ;, U), (&,, æ,, æ,, U/) se correspondent dans la transformation de Legendre. Ces variétés sont polaires réciproques par rapport à l'hyperquadrique définie, en coordonnées ponctuelles X,, Xo, X;:, X,, par l'équation NPA XI OX. X. Une transformation ponctuelle étant donnée, désignons, comme dans le cas des transformations (5), par æ1, to, æ3 et %,, %, À, les coordonnées rectangulaires de deux points correspondants quelconques M et M’. Nous allons démontrer que les transformations (5) sont les seules pour lesquelles on a (11) Edxdx; — Zox,dx;, è è les signes de différentiation d et à se rapportant à deux ( 36) couples de déplacements des points M et M’ arbitrairement choisis. Cherchons, en effet, les transformations qui jouissent de celte propriété. Si l’on remplace, dans l'égalité (44), les 5x, et les dx, par leurs valeurs a | OZ: s OH h OT; — Lx, dx; ce >» ; UXz, R ñ x Olx il vient 0% x 0% LA da, D — dx, — Y x, ss = dx k k ( k ou Ôt; *. > à ; (dx;0æ, — dx; ÔX;) = 0 D k Ty ou encore D7, 02%, : 2% 0), | Es emicet td or È D) e — Ax,0x; — dxdx (CE ec péi du 91: 9% (dr 302) 07; O4, | 2 | (dr da, — Home ; . À M Pour que cette équation soit vérifiée quels que soient les dx, et les 5x,, 1l faut et il suffit que l’on ait O% 0% Ode: 50% dsn04 0% .s ER EU LISS = = dd'2 EM T3 OT OX 0X3 Par suite, x,, x,, x, sont les dérivées partielles d’une fonction Ü (x, æ», æ:). L'égalité (11) exprime donc bien une propriélé caractéristique des transformations (5). Soient £, l les droites portant les déplacements des points M, M’, relatifs à la caractéristique d, et +, 7’ tes droites portant les déplacements des mêmes points, relatifs à la ca caractéristique Ô. Il suit de légalité (11; que si les droites t 4 LA sont orthogonales, il en sera de méme des droites t et +. En particulier, si t et +/ se coupent en un point du cercle d’inter- section des 4e = e S’, v et = = seront lice | “À < SECTION IT. SUR LES FAMILLES DE LAMÉ COMPOSÉES DE SURFACES POSSÉDANT DES POINTS SINGULIERS. 1. Supposons qu'une surface variable (S) possédant un point singulier O engendre une famille de Lamé. Nous admettrons que le cône tangent en O ne renferme pas de plan. Deux cas peuvent se présenter : ou bien ce cône n’est pas de révolution ou bien il est de révolution. Dans le premier cas, le point O est fixe; dans le second, ce point est fixe ou mobile; s’il est mobile, la tangente à sa trajectoire coïncide avec l’axe de révolution du cône. Ce théorème, qui nous a été suggéré par l’étude de quelques cas particuliers (familles de Lamé composées de cônes ou de cyclides de Dupin), peut être établi comme il suit. Nous démontrerons d’abord que, sur la surface (S), les lignes de courbure d’un système passent toutes par le point O. Soit (S') une surface parallèle à (S). Etablissons entre les surfaces (S) et (S') la correspondance ponctuelle dans laquelle deux points correspondants sont situés sur une normale com- mune aux deux surfaces. Comme le cône tangent en O ne renferme pas de plan, au point O correspond, sur (S'), une courbe (C) ne possédant pas de point isolé. La courbe (C/) est évidemment une ligne de courbure de (S/); par chacun de ses points, 1l passe, en général, une ligne de courbure qui lui est orthogonale. Or, sur deux surfaces parallèles, les lignes de courbure se correspon- dent. Done, sur la surface (S), les lignes de courbure d’un sys- tème passent par le point O. Parmi les lignes de courbure de l’autre système, 1l y en à une qui se réduit au point O : c’est celle qui correspond à la courbe (C). Abordons maintenant la démonstration du théorème et sup- posons que le point O soit mobile. Comme les lignes de cour- (39) bure d’un système de la surface (S) passent par le point O, une des deux familles de Lamé qui constituent avec la famille donnée un système triple orthogonal est composée de surfaces (S4) possédant en commun la trajectoire (F) du point O. Supposons connue cette famille de Lamé. Pour en déduire une surface (S), marquons sur (F) un point O et menons par ce point, dans chacune des surfaces (S;), les lignes de courbure (Ko), (K). I est clair que le lieu de l’une d'elles, de (K2) par exemple, est une surface (S). Construisons enfin la troisième famille du système triple orthogonal. Soit (T) une ligne de courbure de (S), orthogonale aux lignes (K2). Par le point A où (T) rencontre une quel- conque des surfaces (S,), menons la ligne de courbure de (S;) qui est orthogonale à la ligne de courbure (Ko) passant par le point A. Le lieu de ces lignes de courbure est évidemment une des surfaces appartenant à la famille de Lamé cherchée. Si, en particulier, on prend pour (T) celle des lignes de courbure de (S) qui se réduit au point O, la surface correspondante, que nous désignerons par (S2), sera engendrée par les lignes de courbure (K) définies plus haut. Cette surface admet donc le point O comme point conique. Il est clair que si O varie, la surface (Sa) engendrera la famille considérée. On voit que, des trois familles de Lamé qui composent le système triple orthogonal, deux sont constituées par des sur- faces admettant des points coniques situés sur (F) et la troisième par des surfaces ayant en commun la courbe (T). Soient 9, 04, po les paramètres des surfaces {S), (S;), (So). Marquons, comme plus haut, sur (F) un point O et attachons à chacune des surfaces (S,) le trièdre trirectangle Oxyz dont les arêtes Ox, Oz sont respectivement tangentes aux courbes (K), (Ko). Ce trièdre dépend de la variable p,; désignons, suivant l’usage, ses rotations par p4, Qu, T1; d’après la théorie des sys- tèmes triples orthogonaux, q, est nulle (*). Soit © l’angle que (*) Voir G. DarBoux, Leçons sur les systèmes orthogonaux, p. 187, n° 106. ( 40) la tangente O€ à la courbe (T) fait avec Ox. Relativement au trièdre Oxyz. un des points de Of, situés à la distance un du point O, à pour coordonnées cos ©, O, sin w. En exprimant que ce point est fixe, on trouve que & est constant. Par suite, Ox et Oz engendrent des cônes de révolution autour de Or. Le cône tangent de la surface (S) est dès lors de révolution autour de Of et son axe de révolution est la tangente à la tra- jectoire du point O. Quelques mots suffisent maintenant pour achever la démons- tration du théorème qui fait l’objet de cette section. Si le cône tangent en O n’est pas de révolution, le point O est fixe, car s’il était mobile, ce cône serait de révolution. Lorsque le cône tangent est de révolution, son sommet peut être fixe, car tout cône variable de sommet fixe engendre une famille de Lamé. Enfin, on vient d'établir que si le sommet est mobile, la tangente à sa trajectoire coincide avec l’axe de révolution du cône. 2. Nous allons exposer rapidement une démonstration analytique du théorème actuel, mais nous nous bornerons au cas où, la surface (S) étant algébrique, le cône tangent en O est du second ordre. Rapportons la surface (S) au trièdre Oxyz dont les arêtes sont les axes du cône tangent. Les translations &, n, € et les rotations p, q, r de ce trièdre dépendent, comme (S), d’un paramètre u. L’équation de (S) est de la forme (1) O = 6 = a? + by? + ce + +. En vertu de l’hypothèse faite sur le cône tangent, abc est 0. En exprimant que la fonction + satisfait à l’équation (44), page 94 de l'ouvrage cité (la valeur de la quantité +’ qui figure dans cette équation étant celle qui est donnée dans le même Li (41) ouvrage, p. 106), on obtient une relation entre x, y, z, u, rela- tion qui doit être vérifiée, soit identiquement, soit en vertu de l'équation (1). On a, dans les deux cas, D 0, nf ay 0, (a — by — 0. Si le cône tangent n’est pas de révolution, le produit (a — b)(b — c)(c — a) est 7 0. Les relations (2) donnent alors £ — n — € — 0. Le point O est donc fixe. Si le cône tangent est de révolution autour de Oz, on à a = b £ c, et des relations (2) on déduit £ — 0, n —0.Si6 — 0, le point O est fixe ; si € n’est pas nulle, la trajectoire du point O est tangente à l’axe de révolution. (42) SECTION TT. SUR LA TRANSFORMATION DE RiBaucour. 1. Soient æ, y, z les coordonnées d’un point M qui décrit un système triple orthogonal (M) et u, wo, u; les paramètres des trois familles de Lamé dont se compose ce système. L'élément linéaire de l’espace étant défini par la formule (1) ds? — H?du? + Hiduè + Hidui, On sait que æ, y, z, x? + y? + 2? satisfont au système 2?w 2 logH; 5w elogH, 2 @ à QU; AU QUz ou; au; QU Soient (S4), (So), (S;) trois sphères tangentes en M aux surfaces de paramètres uw, Uo, U; qui passent par ce point. Proposons-nous de déterminer le système (M) et les sphères (S1), (So), (S3) de manière que le second point d’intersection P de ces sphères décrive un système triple orthogonal correspon- dant au premier et qu’en outre les surfaces de paramètres Ui, W, U; décrites par le point P soient respectivement tan- gentes aux sphères (S4), (So), (S3). Soient she és Ds dé db ee on DÉS - i ‘à chès DB ls à à RS k dé dé. +5 in 50 OM Le EE ( 43 ) les coordonnées du centre O; de la sphère ($,) (*). Cette sphère à pour équation 1 SX — &} + — S(X—à) _ ai} Lorsque u; est constant, ses points caractéristiques appar- tiennent à la droite définie par les équations f LES af PAS Gps . B, log H asa2 (us og 2 EE) = 0. (3) T; OUx OU; OU OUx À 95; 9x S(X — x) — US Le 5) ou; 1 9 . H; 9 Le log H, Æ)=0 ERNST E © ÿ S$ ï. ( OU au; OU; QU D’après l'énoncé du problème à résoudre, il faut et il sufit que cette droite coincide avec la droite MA. Les équations de MA sont 1 “pa 1 4) —S(X — x) — — — S(X — x) — — — S(X — x) —- @) OS; en di. k 1 æ) OU, (*) Les projections du segment MO; sur les axes coordonnés sont Lg 4 9y À 5% du oi du” a du ou ot 2y 9% (Hi Gus [Hi Gui |He Où ns Qt me cÿ Hi” © |” © [H; Par suite, on obtiendra le point 0; en portant sur la normale à e surface || de paramètre w;, dans le sens où u; croît, un segment égal à PSE Cette : U remarque sera utilisée plus bas. (4) En identifiant les équations (3) et (4), on trouve 29; 2 log H, e log H — 77% — 2 RS as DL (5) OUx QUx ou; 25; ologH; o log H, pd LT Erpindene à Fr 0 — 67 — 0, ou au; ou; | d’où, par permutations cireulaires, 05, , ologH, 2 log H, = _—— [ex ——————— — 537 — — Oo ME PP RCuTt que” 05x , dlogH, 2 log H; FT SE Le LL - TOR 0, OU: OU: qu (6) Las ou k 07 9 log H; 2 log H; — Gi — ie + Set ou; ou; Uy 25 e log H log H RE ©97 $S + o 10$ Hz Re: k ee Lx oUx eu Des équations (5) et (6), on déduit Il existe donc une fonction À telle qu’on ait 2 log À ou; Ti Si l’on porte dans les équations (5) et (6) ces valeurs des 5;, ces équations se réduisent aux trois suivantes : 97À o log H;, 9X a log H, À oU;oUx OU, OU; ou; OU VENT IT SON DCE PE PTT LS Cd: Si dé rer ? Pure Éic Eut La 14 rat (45) De là résulte ce théorème, énoncé par Ribaucour (*) : Étant donné un système triple orthogonal quelconque (M) décrit par un point M, on porte sur la normale à la surface de para- mètre u;, passant par ce point, dans le sens où u, croît, un H; segment MO, égal à | Her À désignant une solution quelconque OU - du système (2), puis on décrit, des points O,, O, O>; comme ceñtres, trois sphères (Sa), (So), (Ss) passant par le point M. Le second point d'intersection P de ces sphères décrit un système triple orthogonal (P) qui correspond au premier et la surface de paramètre u, passant par le point P est tangente à la sphére (S,). Pour la concision du langage, nous dirons que les systèmes - (M) et (P) se correspondent dans une transformation de Ribaucour. Les coordonnées (X, Y,Z) du point P ont pour expressions | ex » ou 84 ou; ou; à ou; JU; X=2+0Y Te Y=y+0Y- Fe 7 t ( (M 0% 9À TRETT 0 étant définie par l'équation 9À\ ? 8 Qu, 9) bre Les relations (7) et (8) donnent (9) S(X — x} — — 26. (*) Bulletin de la Société philomatique de Paris, 1869. 5 ( 46 ) En différentiant les relations (7), on trouve ox oX o1l0og0 QU; — = X — LR (0) Qu; ou; fn à log À|” ” ou; Des relations (10), on déduit la formule donnant l'élément d'arc dS décrit par le point P : a log |? Le 2 oui 2 dS — Ÿ B; ns du. ou; 2. Tout point Q de la droite MA a des coordonnées £,n, € de la forme (11) É=z+pX—2), n=y+eY—y), L—=z+p(Z—) Si a, b,c sont les cosinus directeurs de cette droite, on a £—x— a. MQ, X— x — a. MP d'où, à cause de la première des formules (11), (42) MQ — :. MP. Déterminons le point Q de manière qu’on ait (43) MQ. MP — A, k désignant une constante. Nous allons démontrer que le point Q décrit un système triple orthogonal qui correspond au système (M) dans une transformation de Combescure. De: ( 47 ) Si l'on tient compte de (12), la relation (13) devient ne | Ê Or, en vertu de (9), MP — — 99 Donc n À | L 2 # Si l’on porte cette valeur de © dans les formules (12), on obtient les coordonnées dun point Q : «) = (1 + ) | SE On déduit de là, en différentiant et en tenant compte des _ relations (10), o log ni LEP MCE CR , OU; 20 2623 log À| ou, 5 ou; Ces formules mettent en évidence la propriété énoncée. . 3. On sait qu'à toute solution À du système (2), on peut - faire correspondre un système triple orthogonal (A) correspon- . dant au système (M) dans une transformation de Combescure. Les coordonnées £,, n0, Co du point A qui le décrit sont _ définies par les équations k : (16) SE, — 2) = 2 ( 48) Lorsque & — — 2, le point Q coïncide avec le point A. En eflet, dans ce cas, les équations (15) deviennent X — # pu E—D— Pour justifier notre assertion, il suffit donc de démontrer que l’on a D). OU; de | OX S(X — x) NEA 0 —. Or, si l’on remplace dans cette égalité les différences X— x, ŸY — y, Z — 3 par leurs valeurs tirées des formules (7), on obtient une identité. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : | Étant donné un système triple orthogonal quelconque (M), considérons le système triple orthogonal (A) défini par les équa- tions (16). Ce système correspond au système (M) dans une trans- formation de Combescure. Si l’on marque sur MA un point P tel qu'on ait MP. MA — — 92, le point P décrira un système triple orthogonal correspondant au système (M) dans une transformation de Ribaucour. On peut aussi définir le point P en disant qu'il est l'inverse du point A par rapport à la sphère (£) de centre M et de rayon égal à /— 27. | Comme les plans tangents r4, ro, r3 aux surfaces coor- données qui passent par À sont parallèles aux plans tangents aux surfaces coordonnées qui passent par M, les sphères (S;), (Sa), (Ss) sont les inverses des plans T1, to, T3 par rapport à (2). Lorsque u, varie seul, le plan de la caractéristique de (2) coïn- cide avec le plan r;. En effet, l'équation de (£) étant SX — 2} 9, (4) hais dat ME à cn la caractéristique de cette sphère est située dans le plan défini par l’équation Or, celle-ci se déduit de l'équation (16) en remplaçant —. Lo, no, Co par +, y, z; le théorème est donc démontré. 11 suit de là que si u; est constant, la corde de contact de (Z) avec son enveloppe est la normale en À à la surface de para- melre u;. 4. Nous allons établir que la droite MA porte deux séries de points décrivant des . systèmes triples orthogonaux qui correspondent aux systèmes (M) et (A). Le système (A) ne change pas lorsqu'on remplace À par À+Lh, h désignant une constante arbitraire, mais le système (P), qui lui correspond dans l'inversion définie plus haut, varie. Tous les systèmes (P) ainsi obtenus correspondent à (M) dans des transformations de Ribaucour. Il en résulte qu'ils se correspondent deux à deux dans des transformations de Com- bescure. En effet, appelons trièdre (T) relatif à un point qui décrit un système triple orthogonal le trièdre dont les arêtes sont les normales aux surfaces du système qui passent par le point considéré. Cela posé, le trièdre (T) relatif au point Met le trièdre (T) relatif à un point P sont symétriques par rapport à un plan perpendiculaire à MA. Donc les trièdres (T) relatifs aux points P sont parallèles. C. Q. F. D. Si, dans les formules (15), k varie, le système (Q) correspon- dant varie. Tous ces systèmes (Q) correspondent à (M) dans des transformations de Combeseure (*). Par suite, les trièdres (T) | : k 3 (*) Les formules (12) et (14) donnent MQ — — TÉ MP, d’où, en faisant 1 k —…_k——72, MA— =. MP. De ces égalités, on déduit MQ — — 9 MA. Donc les 4 points ( divisent le segment MA dans des rapports constants. Pour démon- 4 ( 50 ) relatifs à un point P et à un point Q sont symétriques par rapport à un plan perpendiculaire à MA et, dès lors, les systèmes (P) et (Q) qu'ils décrivent se correspondent dans une transformation de Ribaucour. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, dû à M. Darboux (*) : Si deux points M, et M, décrivent des systèmes triples ortho- gonaux qui se correspondent dans une transformation de Com- bescure ou dans une transformation de Ribaucour, la droite M, M, porte deux séries simplement infinies de points décrivant des systèmes triples orthogonaux qui correspondent aux systèmes (M,;) et (M). Les systèmes décrits par deux points appartenant à une méme série se correspondent dans une transformation de Com- bescure. Les systèmes décrits par deux points appartenant à des séries différentes se correspondent dans une transformation de Ribaucour. Chacun des points M,, M appartient à une des séries. [L. 5. Soient (M) et (M’) deux systèmes triples orthogonaux qui se correspondent dans une transformation de Combescure. Conservons pour le système (M) les notations du n° 4. L’élé- ment linéaire de l’espace relatif à ce système est défini par la formule (1) et les coordonnées x, y, z du point M satisfont au système (2). Soit ds? = H£dui + H?du + H2déË trer cette propriété, on peut aussi s'appuyer sur le théorème suivant : Soient M, et M4 deux points décrivant deux systèmes triples orthogonaux qui se correspondent dans une transformation de Combescure. Pour qu'un point M, situé sur la droite M, M2, décrive un système triple orthogonal qui corres- ponde aux systèmes (Mi) et (M) dans des transformations de Combescure, il M1 faut et il suffi que le rapport — soit constant. 112 0 2 (*) Leçons sur les systèmes orthogonaux, %e édition, nes 214, 215 et 218. (51) la formule donnant l'élément linéaire de l’espace relatif au système (M). Les coordonnées x’, y’, z' du point M’ qui décrit (M’) satisfont au système 92w/ o log H; 9w' 5logH, 9! OU; Ur OUx OÙ; OU; OÙUx (17) Les systèmes (M) et (M) se correspondant dans une transfor- mation de Combescure, on à 0x ox! 0 (18) OU; ee OU;; OU; OÙ; OU; U; H | PONT DAS CS Par suite (x, x’), (y, y'), (z, z') sont trois solutions du système 2) 9w)! ou; ns ou; BH, Celui-c1 définit soit les trois dérivées de w, soit les trois dérivées de w’. Si l’on écrit les conditions d’intégrabilité pour w’, on obtient le système (2) ; si l'on écrit les conditions d’intégrabilité pour w, on obtient le système (17). Done, à toute solution w du système (2) correspond une solution w/ du système (17) donnée par la formule H: oo) H; 20 H; 20 — du, dus — du H, au ag H, ou 2 Ty ÉE OU3 ; , — et à toute solution w’ du système (17) correspond une solu- tion w du système (2) définie par l'égalité (5 2w)! gs 20" H; 2! GO) — — p D Re R < Era AR du. H nt ne | 3 OU (52) 6. Si À est une solution quelconque du système (2), le point À (£, n, ©) défini par les équations 19) RE ou; ou; décrit un système triple orthogonal (A) qui correspond au système (M) dans une transformation de Combescure. De même, si \' est une solution quelconque du système (17), le point A' (£’, n/, €!) défini par les équations Nas SA! 20 S(&! 129) Dee Eve ras décrit un système triple orthogonal (A) qui correspond au système (M') dans une transformation de Combeseure. La solution À étant arbitrairement choisie, déterminons par les conditions oi! SX (21) OU; OU: Hi 8 On déduit de là TH; 9À H} 9À H; 5À QUES QUEUES du LS, LE Sue | H, ou, DA 7 Ho ; En vertu des relations (18) et (21), les équations (20) peuvent s’écrire C2) SE — a) = Le rapprochement des équations (19) et (22) montre que les segments MA, M'A’ sont équipollents. On a vu (n° 4) que la droite MA porte deux séries de points MERE ( 53) décrivant des systèmes triples orthogonaux qui correspondent aux systèmes (M) et (A). Ce sont : {° les points Q qui divisent le segment MA dans des rapports constants ; 2 les points P définis par l'égalité MP. MA — XX + à), h désignant une constante arbitraire. De même, la droite M'A’ porte deux séries de points décrivant des systèmes triples orthogonaux qui correspondent aux systèmes (M') et (A’). Ce sont : 4° les points Q/ qui divisent le segment M'A’ dans des rapports constants ; 2° les points P’ définis par légalité M'P/. M'A’ — — 9 + h'), À, désignant une quelconque des valeurs de X et h/ une constante arbitraire. Un système (Q) et un système (Q') se correspondent dans une transformation de Combescure. En effet, les trièdres (T) rela- _tifs à un point Q et à un point (’ sont respectivement parallèles aux trièdres (T) relatifs aux points A et A’, lesquels sont parallèles. Un système (P) et un système (P/) se correspondent aussi dans une transformation de Combeseure, car les trièdres (T) relatifs à un point P et au point A sont symétriques par rapport à un plan perpendiculaire à MA, et les trièdres (T) relatifs à un point P’ et au point A’ sont symétriques par rapport à un plan perpendiculaire à M'A’. Or, d’une part, les droites MA et M'A’ sont parallèles et, d'autre part, les trièdres (T) relatifs aux points À et A’ sont parallèles. Done, les trièdres (T) relatifs aux points P et P/ sont parallèles. C. Q. F. D. 7. Par l’origine O des coordonnées, menons un segment OA, équipollent au segment MA. Le point A5 (6, n5, &) décrit un système triple orthogonal qui correspond au système (M) (54) dans une transformation de Combescure. En effet, si l’on rem- place, dans les équations (19), les différences £ — x, n — y, £ — z par leurs valeurs £, n,, &, il vient IR" HK np | ’ Désignons par (Q;) les homothétiques du système (A) par rapport au point O et par (P;) les inverses du même système par rapport au même point. Un système (Q;) et un système (Q) se correspondent dans une transformation de Ribaucour et il en est de même d'un système (P;) et d’un système (P). Pour le démontrer, on raisonnera comme à la fin du n°6 en ayant égard aux propriétés suivantes : les trièdres (T) relatifs à un point Q; et au point A; sont parallèles; les trièdres (T) relatifs à un point P; et au point A; sont symétriques par rap- port à la droite OA; On peut déduire les systèmes (P;) et les systèmes (Q,) des systèmes (P’) et des systèmes (Q'), par un passage à la limite, en prenant pour (M’) un système homothétique au système (M) par rapport au point O, puis en faisant tendre vers zéro le rap- port d'homothétie. La considération de cette figure permet de démontrer que la transformation de Ribaucour ne conduit pas à des systèmes triples crthogonaux différents de ceux que fournissent l’inver- sion et la transformation de Combescure. En effet, le système (M) et un système (P) se correspondent dans la transformation de Ribaucour la plus générale. Or, pour passer du système (M) à ce système (P), on peut procéder comme il suit : 4° déduire de (M) le système (A;) (transforma- ion de Combescure); 2° déduire de (A;) un svstème (P;) (inversion) ; 3° déduire de (P;) le système (P) (transformation de Combescure). On voit que la transformation de Ribaucour peut être rem- placée par une inversion et deux transformations de Com- bescure. (95 ) Cet important résultat et la méthode par laquelle nous venons de l’établir sont dus à M. Darboux (*). 8. Dans le n° 7, nous avons attaché à la figure formée par les systèmes (P) et les systèmes (Q) la figure formée par les systèmes (P;) et les systèmes (Q;). Démontrons que, réciproque- ment, étant donnés un système triple orthogonal quelconque (A;) et le système triple orthogonal (M) qui lui correspond dans la transformation de Combeseure la plus générale, la parallèle à OA, issue du point M, porte une infinité de points Q et une infinité de points P décrivant des systèmes triples orthogonaux qui correspondent, dans des transformations de Combesceure, respectivement aux homothétiques et aux inverses du système (A;) par rapport au point O. Par le point M, menons un segment MA équipollent au segment OA;. Le point A décrit un système triple orthogonal qui correspond au système (M) dans une transformation de Combescure. Désignons, en effet, par £, nr, £ les coordonnées du point A°, par £, n, € celles du point A et conservons pour le système (M) les notations du n° 1. Les systèmes (M) et (A;) se correspondant dans une transformation de Combescure, il existe une solution À du système (2) qui satisfait aux équations Si l’on remplace, dans ces équations, E,, n,, G par leurs valeurs Ë — x, n — y, ë — x, on obtient le système (19). Donc (A) et (M) se correspondent dans une transformation de Com- bescure. À est donnée par la formule es QU Us Us (*) Leçons sur les systèmes orthogonaux, 2% édition, p. 401, n° 218. (56) Cela posé, les points Q sont ceux qui divisent le segment MA dans des rapports constants. Quant aux points P, ils sont définis par l'égalité MP.MA = — 9), + h), À, désignant une quelconque des valeurs de À et h une constante arbitraire. LEE. 9. Si deux surfaces se correspondent ponctuellement de manière que deux points correspondants soient les points de contact de ces surfaces avec une sphère et si cette correspon- dance à lieu avec conservation des lignes de courbure, nous dirons que les deux surfaces se correspondent dans une trans- formation de Ribaucour. Si deux surfaces se correspondent ponctuellement de manière que les plans tangents en deux points correspondants soient parallèles et si cette correspondance a lieu avec conservation des lignes de courbure, nous dirons que les deux surfaces se correspondent dans une transformation de Combescure. Les transformations de Ribaucour et de Combescure jouis- sent de propriétés toutes semblables à celles qui précèdent. Nous allons les exposer rapidement. 10. Soit (M) une surface rapportée au réseau (u, v) de ses lignes de courbure. Désignons par x, y, z les coordonnées du point M qui la décrit, par €, c’, c’! les cosinus directeurs de la normale en M, et par R,, R, les rayons de courbure prinei- paux en ce point. En vertu des formules d'Olinde Rodrigues, (x, c), (y, c'), (z, cl’), (Sx?, Sex) sont quatre solutions du système 9À ou Es 0, au ou 3) A A cm MAME 2 Dot ——= 0. (ÔT) Celui-ci définit soit les dérivées de X, soit les dérivées de nu. Si l’on écrit la condition d'intégrabilité pour À, puis la condition d’intégrabilité pour x, on obtient les deux équations ) OÙ. n) au PR = eo) av ( ; æ) au ( . æ) 4 3À A1: 5À * HSjisran ov \R, ou ou \ R; ov La première est l’équation fangentielle relative au réseau (u, v), et la seconde, l’équation ponctuelle relative au même réseau. A toute solution & de l'équation (23) correspond une solu- tion de À de l’équation (24) donnée par la formule nr | RE du RO rue, 3 du ov et à toute solution À de l'équation (24) correspond une solu- tion p de l’équation (23) définie par légalité 1 5À 1 À U == — { — — (du + —-— dv. R, ou R; ov Soient & une solution quelconque de l'équation (23) et À la solution correspondante de l'équation (24). Le point A dont les coordonnées £, n, € satisfont au système / SE — æ) = u, o({ - ou S —(C—Z)— —;, (25) ou È ou oc cm | S pr (Ë—2)= pre décrit une surface (A) qui correspond à (M) dans une transfor- mation de Combescure. (58) Marquons sur MA les points P définis par l'égalité MP.MA — —9{) + h), À9 désignant une quelconque des valeurs de À et h une con- stante arbitraire. Chaque point P décrit une surface (P) qui correspond à (M) dans une transformation de Ribaucour. La sphère dont les surfaces (M) et (P) constituent l’enveloppe est l'inverse du plan tangent à la surface (A) par rapport à la sphère de centre M et de rayon égal à Ve 200 + h) (- Les surfaces (P) se correspondent deux à deux dans des transformations de Combescure. Les points Q qui divisent le segment MA dans des rapports constants décrivent des surfaces (Q) se correspondant deux à deux dans des transformations de Combescure et correspon- dant aux surfaces (P) dans des transformations de Ribaucour. 11. Soit (M’) la surface qui correspond à la surface (M) dans la transformation de Combescure la plus générale. Dési- gnons par +’, y’, z! les coordonnées du point M’ de (M') qui correspond au point M et par R;, R, les rayons de courbure principaux en ce point. Les cosinus directeurs de la normale en M’ sont évidemment c, c’, c'/. (æ', c), (y', c'), (z', c''), (Sx'?, Scæx') sont quatre solutions du système : oN , 2 0 TS RE CR o\ ou R; —— — ov ie Ov Celui-ci définit soit les dérivées de \/, soit les dérivées de x’. Si l’on écrit la condition d’intégrabilité pour À’, puis la condition (*) G. DarBoux, Leçons sur la théorie des surfaces, IVe partie, pp. 137 et suivantes. (59 ) d'intégrabilité pour u/, on obtient l’équation tangentielle et l'équation ponctuelle relatives au réseau (uw, v) : 9 #) 9 ( +) 9 Re |, (26) ov ( Ÿ ju ou * on DA AUOX! SP JE ov \R, ou ou KR: 0v Les équations (23) et (26) sont identiques, attendu qu’elles admettent toutes deux les solutions e, c’, c”’. La solution x de l’équation (23) à laquelle correspond la surface (A) étant solution de l’équation (26), le point A’ dont les coordonnées £/, n', C’ satisfont au système SE! — x!) = p, oc ou S on ou Mj=r2", (28) PAS e S oc Er ; 9! 1 ER Cie À décrit une surface qui correspond à (M’) dans une transforma- tion de Combescure. Le rapprochement des équations (25) et (28) montre que les segments MA, M’A’ sont équipollents. A la solution y de l’équation (26) correspond une solution À de l’équation (27) définie par l'égalité ou dv. v ou Fe > / , À EST | R, ju du —- R; à Marquons sur la droite M'A’ les points P’ tels qu’on ait M'P'. M'A! — — 9(X + h'), À, désignant une quelconque des valeurs de \ et h’ une constante arbitraire. ( 60 ) Chaque point P’ décrit une surface (P’) qui correspond à (M’) dans une transformation de Ribaucour. Les surfaces (P/) se correspondent deux à deux dans des transformations de Com- bescure. Les points Q’ qui divisent M'A’ dans des rapports constants décrivent des surfaces (Q') se correspondant deux à deux dans des transformations de Combescure et correspondent aux sur- faces (P’) dans des transformations de Ribaucour. Une surface (P) et une surface (P’) se correspondent dans une transformation de Combescure et il en est de même d’une surface (Q) et d’une surface (Q'). 12. Par l’origine O des coordonnées, menons un segment OA; équipollent à MA. Le point A; (& U,6, &) décrit une surface qui correspond à (M) dans une transformation de Combescure. En effet, si l’on remplace, dans les équations (25), les diffé- rences 5 — x, n — y, € — x par leurs valeurs £,, n6, G, il vient Sc re Po 2}, Oh ou SE ou oc ou grep ov bé OÙ Désignons par (Q;) les homothétiques de la surface (A;) par rapport au point O et par (P;) les inverses de la même surface par rapport au même point. Une surface (Q;) et une surface (Q) se correspondent dans une transformation de Combeseure et il en est de même d’une surface (P;) et d’une surface (P). La considération de cette figure permet de démontrer, par un raisonnement tout semblable à celui du n° 7, que la trans- formation de Ribaucour peut être remplacée par une inversion et deux transformations de Combescure. On peut déduire les surfaces (P°) et les surfaces (Q;) des sur- didisbol (61) faces (P’) et des surfaces (Q’), par un passage à la limite, en prenant pour (M’) une surface homothétique de (M) par rapport au point O, puis en faisant tendre vers zéro le rapport d’homo- thétie. 13. Dans le n° 12, nous avons attaché à la figure formée par les surfaces (P) et les surfaces (Q), la figure formée par les surfaces (P?) et les surfaces (Q;). Démontrons que, réciproque- ment, étant données une surface (A;) et la surface (M) qui lui correspond dans la transformation de Combescure la plus géné- rale, la parallèle à OA;, issue du point M, porte une infinité de points Q et une infinité de points P décrivant des surfaces qui correspondent, dans des transformations de Combescure, respectivement aux homothéliques et aux inverses de la surface (A;) par rapport au point O. Par le point M, menons un segment MA équipollent à OA;. Le point A décrit une surface qui correspond à (M) dans une transformation de Combescure. Désignons, en effet, par £, n, &, les coordonnées du point A;, par €, n, € celles du point À et conservons pour la surface (M) les notations du n° 10. Les surfaces (A;) et (M) se correspondant dans une transformation de Combeseure, il existe une solution de l’équation (23) qui satisfait aux équations Scë, = pt, 2€ ,, OH d'à oc PR ou wo Si l’on remplace, dans ces équations, les quantités E, n6, G par leurs valeurs £ — x, n — y, C— 3, on obtient le système (25). Donc (A) et (M) se correspondent dans une transformation de Combescure. (62) < A la solution x de l'équation (23) correspond une solu- tion À de l'équation (24) donnée par la formule £ oC , OC ou Ov Cela posé, les points Q sont ceux qui divisent MA dans des rapports constants. Quant aux points P, 1ls sont définis par l'égalité MP.MA — —9(), + hi), À, désignant une quelconque des valeurs de À et h une con- slante arbitraire. IV. 14. Considérons, dans l’espace à cinq dimensions, un système point (M) à trois indéterminées u,, wo, uz (*). Les coor- données 8, du point M qui le décrit satisfont à un système de la forme 9° 2 20 (29) = lip + du ——* OU;oUx OU; OUx Soit MT, la tangente à la courbe décrite par le point M lorsque u, varie seul; nous supposerons qu'elle n'est pas isotrope; ses paramètres directeurs sont — Faisons corres- pondre à cette droite la sphère (S,) de l’espace à trois dimen- sions définie, en coordonnées pentasphériques, par l'équation is Th == 0. h OU; (*) Pour tout ce qui concerne ces systèmes, consulter l'ouvrage de M. GuicHaRD : Sur les systèmes triplement indéterminés et sur les systèmes triple-orthogonaux (collection Scientia, n° %5). A LE de (63 ) Soient P et Q les points communs aux sphères ($S:), (So), (Ss). On reconnaît aisément que la caractéristique de Îa sphère (S,), lorsque u, varie seul, appartient à la sphère {S,). Donc, lorsque u, est constant, la sphère {S,) touche son enve- loppe (E,) aux points P et Q. Les systèmes triples (P) et (Q) décrits par les points P et Q jouissent, dès lors, de la propriété suivante : Les surfaces de paramètre u, passant par les points P et Q sont tangentes à la sphère (S;). Par conséquent, lorsque u, varie seul, les points P et Q - décrivent des courbes tangentes au cercle d’intersection des sphères (S,) et (S,) et la droite PQ engendre une développable. Il suit de là que les lignes principales de l'enveloppe (E;) ont pour paramètres w,, u, et que les cercles principaux de ladite enveloppe sont les intersections de la sphère (S,) avec les sphères (S,) et (S,). Donc, en vertu d’un théorème dû à Ribau- cour (‘), Sur la surface décrite par le centre O, de la sphère (S;), lorsque u;, est constant, le réseau (u,, u,) est conjugué et les tangentes aux courbes de paramètres u,, u, sont respectivement 0,0,, 0,0... Si le système (M) est O, les tangentes MT;,, MT,, MT; seront deux à deux orthogonales et il en sera, par suite, de même des sphères (S41), (So), (S:). Les systèmes (P) et (Q) seront donc orthogonaux et 1ls-se correspondront dans une transformation de Ribaucour. Or, pour que le système (M) soit O, il faut et il suffit que la somme 26% vérifie le système (29). Donc : Si cinq solutions 0, d'un système de la forme (29) sont telles que la somme de leurs carrés vérifie ce système, les points d'inter- section P et Q des sphères (S,;) définies par les équations (*) Voir G. DARBoux, Leçons sur la théorie des surfaces, Le partie, p. 593, n° 473. ( 64) \ décrivent deux systèmes triples orthogonaux (P) et (Q) qui se correspondent dans une transformation de Ribaucour. Cette élégante proposition est due à M. Darboux (+). L'éminent géomètre l’a démontrée sans faire appel à la notion de système point 0; celle-ci, en effet, n’est pas indispensable pour établir le théorème en question, mais elle va nous conduire à de nouvelles propriétés des systèmes triples ortho- gOnaux. 15. Rappelons d'abord comment on déduit du système (M) les systèmes point qui lui sont parallèles. Soit ds? = Hiduf + Hidui + Hidui la formule donnant l'élément linéaire du système (M). Si lon désigne par £? les cosinus directeurs de la tangente MT,, on a 0» = HE ou; (30) Soient (M;) un quelconque des systèmes point parallèles au système (M) et 6, les coordonnées du point M, qui le déerit. L'élément linéaire de ce système étant défini par la formule ds? = HSdui + Hdu + HFdé, on aura cn DRE OÙ; H; OU; H; | 20, 32 — = HE}. (32) ne € L'intégration du système (51) fournira les H;; le système (32) donnera ensuite les 4,. (*) Leçons sur les systèmes orthogonaux, 2% édition, p. 402, no 219. . (65) On établit aisément que, dans un espace à un nombre quel- conque de dimensions, l’inverse d’un système point O est un système point O0. Si donc on soumet le système (M,) à une inversion dont le pôle soit à l’origine des coordonnées, on obtiendra un nouveau système point O. Les coordonnées du R ‘ 5 Re 0 A point M’ qui le décrit auront pour valeurs +, si l’on pose 6 (33) g! — X0. L'application du théorème de M. Darboux à ce système fournit le théorème suivant : Les points d'intersection P' et Q' des sphères (S;) définies par les équations ao ñ Ol & pe décrivent deux systèmes triples orthogonaux (P') et (Q') qui se correspondent dans une transformation de Ribaucour. Il est clair que la méthode qui nous à permis de passer du couple (P), (Q) au couple (P’'), (Q') peut être poursuivie indé- finiment. 16. Désignons par (2) la sphère définie par l'équation 210 d} == 0. Nous allons démontrer que les sphères (S,), (S;) sont inverses par rapport à la sphère (>). A cet effet, nous établirons d’abord une formule relative à l'inversion. Étant données les coordonnées x, d’un point P, proposons-nous de calculer les coordonnées x, de son inverse P’ par rapport à la sphère (S) définie par l'équation Im nXn = 0. Pour que deux points soient inverses par rapport à une =: ( 66 ). sphère, il faut et 1l suflit que ces points soient les foyers d’un cercle appartenant à cette sphère. L'équation générale des sphères passant par le cercle dont P et P’ sont les foyers est L(æ, ESS x )Xn — 0. Parmi ces sphères figure la sphère (S); on peut donc écrire, À et u désignant des paramètres convenablement choisis, (34) | Ln = hln + My. On déduit de là Ex — Or + um ou, en tenant compte des relations Ex? = 0, Ex? — 0, 0 —2ÀEmyty + Emi. Par suite, } et y n'étant définis qu'à un facteur commun près, il est permis de poser La formule (34) devient alors XL, — — Zn 2m, + 2m, Èm,T, (35) Le = — DM, + 2mMm;2m,%;,.- Il suit de cette formule que l'inverse de la sphère Eu,X, — par rapport à la sphère (S) a pour équation EurXn 2m RE 2EmaX 52 = CGT) Par conséquent, l'équation de l'inverse de la sphère {S;) par rapport à la sphère (©) est La D—2 D li, 30 2 — 0 h è ou; _ ou, en vertu des relations ; ch où (86) ui 8 D H; H,” - déduites des égalités (30) et (32), 1 DES DLLD ChLEES ou encore, à cause de la relation (35), sL f t n sa 6 æ, = 0. À mt où; À Cette équation représentant la sphère (S;), le théorème est démontré. Il résulte de ce théorème que les points P et Q ont pour inverses par rapport à (2) les points P’ et Q’. Nous suppo- serons que P, P’ ; Q, Q' sont des couples de points inverses. D’après les propriétés de l’inversion, les systèmes (P), (P’) se 4 correspondent dans une transformation de Ribaucour et il en est - de même des systèmes (Q), (Q'); les points P, P’, Q, Q' sont concycliques. CFA sis The Folio y …. 17. Les sphéres (S,), (S;), (S;), (S,) ont deux points communs _ A,, B, situés sur la sphère (Z). _ En effet, les sphères (S,), (S;) étant inverses par rapport à la sphère (2) se coupent suivant un cercle (F,) situé sur cette - sphère. De même, les sphères (S,), (S;) se coupent suivant un (68 ) cercle (F,) situé sur (£). Par suite, les sphères {S,), (S,), (S,), (S:) ont en commun les points d’intersection AÀ,, B, des cercles (F,) et (F,). Lorsque u, est constant, la sphère (È) touche son enveloppe aux points A, et B.. En effet, les points de contact de (£) avec son enveloppe appartiennent aux sphères définies par les équations et, en vertu des égalités (56), ces équations représentent les sphères (S,) et (S,). à 18. Les considérations qui précèdent s'appliquent aux réseaux O de l’espace à cinq dimensions (*}. Soit (M) un tel réseau. Les coordonnées 6, du point M qui le déerit et Ja somme de leurs carrés satisfont à une équation de la forme Le cercle (F), intersection des sphères (Si), (So) respectivement définies, en coordonnées pentasphériques, par les équations 20 C*} — Th — 0, 2 CR RE 0, Un engendre un systéme cyclique et admet ces sphères comme spheres focales. | (*) On trouvera la théorie de ces réseaux dans le mémoire bien connu de M. Guichard Sur les systèmes crthogonaux et les systèmes cycliques (Annales scientifiques de l’École normale supérieure, années 1897, 1898 et 1903). ( 69 ) . En effet, les sphères (S;), (S2) sont orthogonales et lorsque wo (ou uw) varie seul, (S;) [ou (S2)] a pour caractéristique le cercle (FT). | | … Cette correspondance entre les réseaux 0 de l’espace à cinq dimensions et les systèmes cycliques est due à M. Guichard (*. Æ Île conduit au théorème suivant qu’on établira en imitant le or raisonnement fait par M. Darboux au n° 219 de ses Leçons sur à systèmes orthogonaux : . Si une équation de la forme QUO ou, do + Re Lo ‘admet sept solutions liées par une relation quadratique à coefji- “cients constants, on peut obtenir sans calcul une infinité de 5 cycliques. — Voici une application de ce théorème. L'intégrale générale de F équation @ = fu) + g(u2). Par suite, on obtiendra un système cyclique en résolvant à) Péquation kR=1 SG) + gn (ua) P = k=1 d 5 appartient à un type classique. 19. Soient (M,) un réseau parallèle au réseau (M) et 4, les | coordonnées du point qui le décrit. L’inverse du réseau (M;) . par rapport à l'origine des coordonnées est un réseau 0 ; les *Q) Mémoire cité, 2 partie, chap. VII. (70) , RENE , LPS coordonnées du point M’ qui décrit ce réseau sont fu si l’on ! A ! 6 pose 0; — 20. D'après le théorème établi au début du n° 18, le cercle (T'), intersection des sphères (S,;), (S;) respectivement définies par les équations | E——:am—=0, Z=r-m—0, engendre un système cyclique et admet ces sphères comme sphères focales. Les systèmes cycliques lieux des cercles (F) et (F') ont entre eux les relations suivantes : Les sphères (S;), (S;) sont respectivement les inverses des sphères (S4), (Sa) par rapport à la sphère (È) définie par l'équation 20,r, == 0. Par suite, les cercles (T), (T') sont inverses par rapport à (2). Ils se coupent, dès lors, en deux points situés sur cette sphère. Ces points sont ceux où (2) touche son enveloppe. (71) SECTION IV, SUR L'EMPLOI D'UNE FIGURE DE RÉFÉRENCE MOBILE FORMÉE DE CINQ SPHÈRES DEUX A DEUX ORTHOGONALES. On sait tout le part que l’on peut tirer, en géométrie infini- tésimale, de l’emploi d’un trièdre de référence mobile. Certaines questions se traitent plus aisément lorsque, faisant usage des coordonnées pentasphériques, on prend comme figure de référence un système mobile de cinq sphères deux à deux - orthogonales. La présente section est consacrée à l'exposé de cette méthode et de quelques-unes de ses applications. PREMIÈRE PARTIE. LES MOUVEMENTS A UN PARAMETRE. CHAPITRE PREMIER. THÉORIE GÉNÉRALE. + 1. Nous rappellerons d’abord la définition des coordonnées pentasphériques. L’équation d’une sphère quelconque (£) rap- portée à trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz peut être mise sous la forme 2 2 ° )RPPPE R? Dax + Lay + Last + à sb. LR lé ae R L+p+22+R + ja - GT (*) G. DarBoux, Leçons sur la théorie des surfaces, 1rè partie, n° 150. Lie nt. d ( 72 Les quantités «4, ..…., à; ne sont définies qu'à un facteur commun près; nous les appellerons les coordonnées de la sphère (©). Si cette sphère ne se réduit pas à un point, Xaÿ n'est pas nulle, et il est, par suite, permis de poser Lorsque cette relation sera vérifiée, les coordonnées «4, .…, as seront dites métriques. Une sphère a donc deux systèmes de coordonnées métriques : St «1, …, a; est l’un d’eux, l’autre sera TA A» ...7 EEE As. 2. Nous appellerons pentasphére lout système de cinq sphères deux à deux orthogonales dont les coordonnées: métriques sont données en grandeur et en signe. Considérons un pentasphère quelconque (P;) et a none par (Z,), .…, (3) les sphères qui le composent. Soient &,, ..., ay les coordonnées métriques de fa sphère (£,). Les quantités y sont les coeflicients d’une substitution orthogonale à cinq variables. Soient x, y, z les coordonnées d’un point quelconque M. Posons ve X; 2 2 RER R2 (1) Te — 24,7 + 24; + L 203% + Lis a »2 2 2 2 Le CES À désignant un paramètre arbitraire. Les quantités X4, ..…, Xs sont les coordonnées pentasphériques du point M PAPOOPE au pentasphère (P;) (*). 3. Une sphère quelconque {S), rapportée à (P;), a une équa- tion de la forme | (2) Zm,X, = 0. (*) G. DarBoux, Leçons sur la théorie des surfaces, Vre partie, n°,152. 1 \ LPS 2 | Et) * Les quantités My, …, My ne sont définies qu'à un facteur commun près; nous les appellerons les coordonnées de la e {S). Si cette sphère ne se réduil ès à un point, DEN CEE € Lorsque cette relation sera vérifiée, les coordonnées mi, .….,ms ordonnées métriques : si m1, …, m, est l’un d’eux, l’autre sera ZE ms, LOCK INVIE ms. : + Pour obtenir l'équation de la sphère (S), en coordonnées x, LEZ remplaçons, dans l’équation (2), les coordonnées X,,..., X; par leurs valeurs (4), il viendra | + 110 2 2 ABES ! | 2 2 2 2 H2Ea;a | SET Su en + 9 i am; £ LL ee 0 R R Ca x? 2 22 D nr 2 > 1'72 2 + ia. Éd 2 ce PL ="; R J … Les équations(3) définissent une substitution orthogonale. On RU my = Eat, VAT SEE Da} — Sm£. (74) De la relation (5), on déduit que si 4,, .…., & sont des coordonnées métriques de la sphère (S) rapportée au trièdre Oxyz, my, .…, m3 seront des coordonnées métriques de la même sphère rapportée à (P,;) et réciproquement. 4. Considérons à présent un second pentasphère (P) et désignons par (S4), .…, (S;) les sphères qui le composent. Soient «y, .…, ay les coordonnées métriques de la sphère (S,;) rapportée au trièdre Oxyz et m,,, ..…, m;;, les coordonnées métriques de la même sphère rapportée à (P;). Les quan- tités 44 sont les coefficients d’une substitution orthogonale, et il en est de même des quantités m,. D'après les relations (3) et (4), il est permis de poser J (7) Mix == DORE j Exprimons les coordonnées pentasphériques æ4, .…, x; du point M rapporté à (P) en fonction des coordonnées penta- sphériques X,, ..…., X; du même point rapporté à (P5). La définition des coordonnées pentasphériques donne, À dési- gnant un paramètre arbitraire, a? + ÿ + 2 — R (8) . = Dot + Zoo + 243% + oi >1| 8 ee 2 2 LÆ R2 re Sn ou, en tenant compte des formules (6), 1? —- y? - x? net BR? M; (ar + 2aoy + 238 + da RER = à its x? + yÿ° —— ge + » AUS TI ON . hit Éd + ” D. 3 (75) *“ 3 Or, en vertu de (4), la quantité entre parenthèses est égale à <. Par suite, si l’on fait À — }, ra (9) fre Em: Dr … Telles sont les formules relatives au changement de sphères _coordonnées. Comme elles détinissent nne substitution ortho- EN , . gonale, on en déduit 2 EL L (40) X, = 2m; . >: j | B. Soil (4) MX; = 0 ‘Ÿ p _ l'équation d’une sphère quelconque rapportée à (P;). Formons . l'équation de cette sphère rapportée à (P). A cet effet, rempla- . çons, dans l'équation (11), les coordonnées X;,, …, X3 par leurs valeurs (10), il viendra ») M;2my tn = — 0 j h 2x, 2mM, == 0 h j où encore, en échangeant les lettres h et j, É e Ex Ë MinM, = 0. a j Cette équation peut s’écrire ! e eo à condition de poser A2) m; = Ein M;,. #0 ( 76 ) On déduit de là (43) M, = 2 Man 6. Dans les n® 2 et 4, nous avons défini analytiquement les coordonnées pentasphériques X,, …, X3 et æ1, …, æ du point M rapporté respectivement aux pentasphères (P;) et (P). Rappelons la définition géométrique de ces quantités (*). Le second membre de l'égalité (4) est égal à R> Y; désignant la puissance du point M par rapport à (Ÿ,) et R, le rayon de cette sphère. R,; est donné par l'égalité | 1 dia + Tous R R Lorsque la sphère (£,) se réduit à un plan, le second mem- bre de l'égalité (1) est égal au double de la distance du point M à ce plan. De même, le second membre de l'égalité (8) est égal à FR S, t désignant la puissance du point M par rapport à {S,) et La R, le rayon de cette sphère. R, est donné par l'égalité Exprimons les R; en fonction des R, et des coefficients m En vertu des formules (6), l'équation ci-dessus s’éerit ÿ" Line re k (*) G. DarBoux, Leçons sur la théorie des surfaces, Le partie, n° 150. 7 cotes duéde Or 1 SU TeS à 10 ALES Donc il Ms 14 CHE RER #4 R; D R; IL. 7. Désignons par T une transformation conforme quel- + conque. Soient, relativement à (P;), X4, .…, X3 les coordon- - nées d’un point quelconque M et X,, .…., X! les coordonnées ÿ du point M’ qui lui correspond dans cette transformation. 24 …, X; s'expriment en fonction de X,,..., X; au moyen de Ja substitution orthogonale (D) X,— 26,X. Des relations (15), on déduit _ (16) ex L'équation de la sphère (S,) est EmyX; = 0. j Formons l'équation de la sphère (S;) qui correspond à {S,) - dans la transformation T. A cet effet, nous exprimerons d’abord 3 En X; en fonction de X,, .…, X:. On a, en vertu de (16), EmyX; — Em En; X n — EX EU; J 1 v J . ou, en échangeänt j et h, \' rue, \° AS ; EmyX; — EX 2 Gain j | tn18-1 ou enfin à » v VW (17) Zm,X; = En;,, J $, à condition de poser (18) My = Ennin. t Dès lors, l'équation de la sphère (S;) est Zm;X; = 0, J les coefficients m;; étant donnés par les relations (18). Celles-ci définissent une substitution orthogonale. Or Em, — 1, donc 19 2 = 7 ’ , EMy — 1. Par suite, on peut prendre les quantités m1, .…, mis comme coordonnées métriques de (S;). Les coordonnées métriques des sphères (S;), ..…, (S;) étant ainsi choisies, dési- gnons par (P’) le pentasphère qu’elles déterminent. Nous dirons qu'il correspond au pentasphère (P) dans la transfor- mation T. 8. Soient x, .., x; les coordonnées du point M rapporté à (P) et x;, …, æ; les coordonnées du point M’ rapporté à (P’). On à, en vertu des formules (9), MR ee | Lj = ZMyÿX;, J æ, = Em;X;. : Donc, en tenant compte de (17), 9. Du pentasphère (P) nous avons déduit, au moyen de la transformation T, le pentasphère (P’). Montrons maintenant (DE) que, étant donnés deux pentasphères quelconques (P), (P') + il y a une transformation conforme et une seule, en vertu de . laquelle (P’) correspond à (P). …_ Soient (S;), ..…., (S;) les sphères qui composent (P) et ….m,, …, M; les coordonnées métriques de (S,); (Si), …, (S:) J Le . les sphères qui composent (P') et m;, .…., m; les coordonnées “ métriques de (S;). Les quantités m,, sont les coefficients d’une … substitution orthogonale, et il en est de même des quantités m4. …— La transformation conforme dont il faut établir l’existence est définie par des équations de la forme (15), les coefi- + cients 0, satisfaisant aux équations (18). Pour déterminer ces … coefficients, multiplions léquation (18) par m,, et addition- É nons les équations obtenues en faisant à — 1, 2, 5, 4, 5, il viendra + mix = PLU nn u | 26,,Zm;xm;r h î Ee ou f) in = ÊMriie Î On vérifie aisément que les 8,, sont les coefficients d’une «substitution orthogonale. Le théorème est donc démontré. II. 10. Rapportons à un pentasphère fixe (P,) un pentasphère mobile (P,) dépendant d’un paramètre u. Désignons par “(S:), …., (S;) les sphères qui le composent et soient m;, ..…., m; _les Données métriques de la sphère (S;). Les quantités m … sont les coefficients d’une substitution orthogonale à Fo variables, c’est-à-dire, on à ‘2 L 2m, = 1, Emi = 0, CNE 260,10) E Î 1) (49) 22 HN ES . Em, = 1, Emmy — 0. at 34,9,1#1) î ( 80 ) 11. Nous allons former un système de cinq équations différentielles linéaires à cinq inconnues admettant les solu- ions (Mn, Mons Myns Many Msn) (R = 1, 2, 5, 4, 5). A cet effet, choisissons, parmi les équations (19), les sui- vantes : j D — Emi = 0, J _ Em, === 0, J Emiymss; = 0, J mir == 0, j À iv,d!, dv", 1" désignant les nombres 1, 2, 5, 4, 5 pris dans un ordre quelconque, et dérivons ces équations Ge rapport à u; il viendra mm, ; DErp D SR | Nr, Dm, — — He EUR Ut à din; - Fe. ro ere din; M; ; À 4) > Ÿ Î u j dm. d'/111 DURE + 2m = 0 Additionnant ces égalités après les avoir multupliées par Mn Mins Myrns Mirnns Mrrn ON Wrouve, en tenant compte des relations (19), | Min ee dm; RE — M; i'] Dr === Mir DUP L du L LS (20) in. Msrrrr — Mr] Dr Er Mirrn my je FPE ti OR (81) Posons_ hi | dm, Dot): dy = Ÿ M; £ à 4) ik D dope _ d’où, en vertu des relations (19), D (2) Ci 0, ir + ax = 0. . À cause des formules (21) et de la première relation (22), _ légalité (20) peut s’écrire n:. dm; | (23) er Det D GrMrn: S1 l’on fait, dans l'équation (23), t — 1, 2, 5, 4, 5, il vient Min du Mon == = on — sMan — a4M an — disMisns we = aan —— Man — GoyMan — AsMisn» Man du dm du dM:n = — lgin — User aan — AssMsns = — Min — daMon — daMan — Us Msn pra = — Main — soon — Man — san Par suite, (m,,, my, My, My, Min) (h = 1, 2, 3, 4, B) sont cinq solutions du système | 1 dm, RENE ZT Me — QagMg — aa — dis, dm: | NI (halle re an OS, À dm; (24) nec am — Ge — Usa — Assis, du dm, L'ART Er Qui rt PEU CERTT UhALLE — ass, dm; \ = — dy — se — sg — sam, . \ du 6 (82) Par analogie avec une dénomination adoptée dans la théorie du trièdre mobile, les dix quantités a;, (*) seront appelées les rotations du pentasphère (P,, ). 12. Indiquons une interprétation géométrique des rotations. Supposons que, lorsque u devient u + du, les sphères (S;), ..., (S.) deviennent (S,), . .. , (S:). Les coordonnées métriques de la sphère (S;) sont m,;, + a” du +--(j= 14, 2, 3, À, 5). L’angle (S,, S;) des sphères {(S,), (S;) est donné par la for- mule (**) d m.. cos (Ss, Sx) = mir; + ET du +). J ( Si 4 est Z k, celle-ci peut s’écrire, en tenant compte des égalités (19) et (21), sin É — (S,, | — (ju bn .…. On déduit de là T 9 RE (S;, Sx) ir = lim du—0 du 13. Les rotations jouissent d’une propriété très importante que nous allons faire connaître. Si l’on soumet le pentasphère (P,,) a une transformation con- forme quelconque, les rotations du pentasphére (P,,), qui corres- pond à (P,) dans cette transformation, seront égales à celles del). (*) Les quantités &ix (i-£k) sont au nombre de vingt, mais elles se réduisent à dix en vertu d’une des relations (22). (**) G. DarBoux, Leçons sur la théorie des surfaces, re partie, n° 156. ( 83 ) - Pour établir ce théorème, nous nous appuierons sur les résultats du n° 7. Prenons respectivement pour penta- … sphères (Po), (P), (P') les pentasphères (P,), (P,,), (P;,) et con- _ servons toutes les notations du dit numéro. | Soient a;, les rotations de (P;). On a, d’après les for- _ mules (21), | Pis , AM; dix — pà Mij —_— : du ou, en tenant compte des formules (18), ’ My die = (ES Gumn. En D) j h h’ du AMyn Le m, ES D > ih du D jh*jih AMyn = Em —- h du Or, Myn dy = D) M . ix 2 Mn y | Donc Air = ik° C: Q. F. D. IV. bi] 44. Dans le n° 11, nous avons attaché à tout pentasphère mobile (P,,), rapporté à un pentasphère fixe (P,), dix quantités que nous avons appelées ses rotations. Nous allons à présent démontrer que, étant donnés un pentasphère fixe (P) et dix fonctions a,, de u (a, + a; = 0), il existe un pentasphère (P,,) et un seul qui, rapporté à (P,), admet ces fonctions comme rotations et qui, pour u — wo, coincide avec un pentasphère (P0,) arbitrairement choisi. PPT DR LP ee 1 Mn ss D OS A à - le 5 RS, ss 2 don if ( 84) Soient (S)), .…., (S;) les sphères qui composent (P9,) et mas --, M4, les coordonnées métriques de la sphère (S). Les quantités m, sont les coellicients d’une substitution ortho- gonale. Soient, comme plus haut, (S;), …, (S;) les sphères qui composent (P,,) etm,, .…, m; les coordonnées de la sphère {(S,). Il s’agit d'établir que le système (24) admet un seul système de cinq solutions (m,,, ..., ms) (h = 1, .…., 5) jouissant des propriétés suivantes : 1° Les quantités m,, satisfont aux relations (25) Em, =1, 2 Emyin = 0 AGE PRES EE h 2% Pour u = uw, m;, est égal à m9, (i, h — #, .…., 5). Déterminons cinq solutions (m,,, .…, m.,) du système (24), telles que, pour u = u,, on ait m,, = m,, ..…., ms, = m9. On démontre aisément que si (m,, ..., m:), (m,, ..…., mi) sont deux solutions du système (24), Zmi — const., Zm,m; —= const. Par suite, 2m, const, 2m Const RNA è à Or, les quantités m£, étant les coefficients d’une substitution orthogonale, (Mn le Emmy = 0. à Ü Donc Mn? c 2e EminMinr = 0. À t Ces égalités entraînent, on le sait, les égalités (25). Le théorème est donc démontré. ( 85 ) Tous les mouvements de (P,,) qui correspondent aux choix possibles de (P9,) se déduisent de l’un d’eux au moyen des 0 “ transformations conformes. Soient, en effet, (P°,), (P,°) deux pentasphères fixes arbitraï- rement choisis et (P,,), (P,,) les pentasphères qui admettent comme rotations les fonctions données et qui, pour u = wo, coincident respectivement avec (P0,), (P,). I existe une trans- formation conforme T et une seule en vertu de laquelle 44 correspond à (P9,) {n° 9). Nous allons établir que (P;,) corres- pond à (P,,) dans cette transformation, ou, ce qui revient au même, que (P;,) coineide avec le pentasphère (P,,) qui corres- pond à (P,,) dans la transformation T. Les pentasphères (P,;,), (P,,) ont mêmes rotations, car il en est ainsi des pentasphères (P,,), (P,) (n° 43) et des pentasphères (P,,), (P,,). D'autre part, ces deux pentasphères coineident avec (P7) pour uw = %. Donc, en vertu du théorème ci-dessus, ils coincident pour toutes les valeurs de u. 15. Reprenons le pentasphère mobile (P,,) considéré au n° 10 et désignons par M un point mobile ou fixe. Soient, à l'instant u, X1, ..…, X; les coordonnées du point M rapporté à (P,) et x, ..., æs les coordonnées du même point rapporté à (P,). X4, .., X3 seront dites les coordonnées absolues du point M et x, .…, æ3, ses coordonnées relatives. Les formules (9) et (10) donnent (26) d'; — ZMrX», R (27) X; — My: hR À l'instant u + du, le point M occupera une position M’. Soient X4, .…, X; les coordonnées absolues du point M’ et %1, .…., &3 les coordonnées du même point rapporté au penta- sphère fixe qui coïncide avec (P,,) à l'instant u. (86 ) On à, en vertu de la formule (26), T; = > Min X h° h Or, = aX, ŒX, du? Ka Ai du te due 1.2 Donc sn (ne Base) ou a dXy ŒX, du? Ty = L + Zur rs du + Zn Fr LA Nous poserons dx ÔT, — Par Fe du, je & % , OT; — D nr du, d’où ÔX; aX, 28 — = D min —, ee du Dur du dr, ŒX, (28) rs = DE he? L'expression de x; deviendra TX; D id Fe ME OR CL re HA _ZR x 5 | ee (81) : “Fa ‘" Be. Æ ÔX; dx, du? De nr us “a le es s quantités érivation dx, dm - —— — re 2m M, h # L2 LA Ô , + LA _ Par suite, l'expression (28), de = peut s’écrire a | 4 | Ôx, dm dx; { — = — + sa DE à du D "du = du … Remplaçant = par sa valeur (23), il vient dx; ao Xn D dixMrn PR, a - C7 dt, s ee = Lan L'kr + > _—. # Or, la formule (26) donne > MnXn = Tr h . On a donc D E: @) no int 2 din + “R Nous allons exprimer, en fonction des x; et de leurs dérivées, 22 A CT: E mere (=1,2,8,..) | Caleulons d’abord © 7, De la relation (26), on déduit par ( 88 ) ou (30) dry = Dayxlrdu + d%,. R D+i, | “Caicurons à présent ? PACE - (p > 1). On a 0%, d?X h 9 î (28), PE Aa a ) 0H, “ee (28)y44 RE if nn du?+ = dut De la relation (28),, on déduit par dérivation d dx; dX, dm d’riX À rs ce h PUR +Y Mn R du du? du? du - du? 02+1% = ’ U # LU Par suite, l'expression (28),,, de = peut s’écrire Ce A se dl GP du 0 A du de Remplaçant — — par sa valeur (23), il vient dx, d dæ, ro ik Man du? oPTip, FA LT du? ou Sn, D. OX, à Dax Qi} LES eg Ta : du? Le * du? ner du? Or, la formule (28), donne dX; CNbEr Lu qe — de. h ( 89 ) On a donc 0P+ip, ÔTy d OU, dur DU du? du du (31) Moyennant une convention évidente, cette formule se réduit, pour p — 0, à la formule (29). 16. Soient, relativement à un pentasphère fixe, æ,,..., x; les coordonnées d’un point mobile A. La sphère définie par l'équation | Zdx;X; — 0 passe par le point À el est orthogonale à la trajectoire de ce point. Cette sphère passe par le point A, car en différentiant la relation Zx? — O, on trouve Zx;dx, — 0. Pour tout déplacement virtuel du point A à la surface de la sphère, on à, d’ étant la caractéristique relative à ce déplace- ment, > dr, d'x; — (). Cette égalité exprime l’orthogonalité de la sphère et de la trajectoire du point A. Le théorème que nous venons de démontrer fournit l’inter- prétation géométrique suivante des quantités dx, : La sphère définie par l'équation DOLX, == 0 passe par le point M et est orthogonale à la trajectoire de ce point. En effet, les quantités dx, sont les différentielles des coor- données du point M rapporté au pentasphère fixe qui coïncide avec (P,,) à l'instant u. 17. Caleulons la différentielle de l’arc de la trajectoire du point M. On sait que si æ,,..., x; sont les coordonnées (90 ) d'un point mobile prises par rapport à un pentasphère fixe, la différentielle de l'arc de sa trajectoire est donnée par la formule (*) On à done, pour la trajectoire du point M, __. Zûxi 74 (ax? 2%) : du ae 2: (Za;x;Ÿ “i (39) ds? ou G) ds a; désignant l’inverse du rayon de la sphère {S,). D’après la formule (14), cette quantité a pour expression (84) a = Ye. 18. Si le point M est fixe, on à les Y; étant des constantes et 6 un facteur de proportionnalité. Portant ces valeurs des X, dans les équations (28), et (26), il vient | ÔT; dû = — Emi, a = 0 À miY: du du - îh 4 () = îih “à (*) G. DarBoux, Leçons sur la théorie des surfaces, 1re paitie, n° 152. (**) Nous désignons par Ri, …, R; les rayons des sphères qui compo- sent (Pr). (M) 6. diog ÿ — — T3. du du a | Les ri sont donc proportionnels aux x,; ils seront nuls si l’on a pris 6 constant. Pare . ÔL; . Réciproquement, si les = sont proportionnels aux x;, le point M est fixe. On a, par hypothèse, D: Ôx;, E. (35) ve — WXT;. Des équations (28),, on déduit Par suite, C, désignant une constante, fodæ X, ZE Ce Les X, étant proportionnels à des constantes, le point M est fixe. 19. Soient, relativement à un pentasphère fixe, [(Xs 4» FN X,, X:) == 0 (92) l'équation d'une surface et X1, ..., x; les coordonnées d’un de ses points. Les sphères (Z) définies par l'équation OZ; dans laquelle À désigne un paramètre arbitraire, sont les sphères tangentes à la surface au point x.. D'abord, les sphères (£) passent par le point x, En effet, EL æ, — O0, la fonction f(X4, Xe, X3, X4, X:) étant homogène. Pour tout déplacement du point x, sur la surface, on a o & | v D -dæ, — 0. Par suite, les sphères (£) sont orthogonales à la OL sphère € dx, X, — 0. Or (n° 16) celle-ci passe par le point x, et est orthogonale au déplacement dx, de ce point. Les sphères (2) sont donc tangentes à la surface au point x,. Il résulte de ce théorème que les sphères tangentes à la sphère l'en A ih ai ad Zm,X, == 0 au point x, ont pour équation On peut aussi établir ce résultat en remarquant que cette équation définit un faisceau de sphères parmi lesquelles figure la sphère donnée et la sphère de rayon nul dont-le centre est le point x,. 20. Soit (S) une surface définie relativement au penta- sphère mobile (P,,) par l’équation (36) Fr Lo La La Bay U) = 0. OP OT TP PE EN ER CUT PET ET (93) _Cherchons la caractéristique (F) de cette surface. La trajec- toire d’un point quelconque x, de (F) étant tangente à la surface (S), on a (n° 16 et 19) ou, en tenant compte de la formule (50), NE SSL (Gun +) Ü ou encore NT — — —( D a, D ikTR T 5, du Or, l’équation (55) donne par dérivation of dx; of + OX; du ou Par suite, l'équation précédente peut s’écrire Por PO PARU R SE" À OX; k ou Cette équation définit une surface qui coupe la surface (S) suivant sa caractéristique. 21. Soient m1, ..., m,; les coordonnées d’une sphère (S), variable ou fixe, rapportée à (P,,) et M,,.., M; les coordon- nées de la même sphère rapportée à (P,). M,,..., M; seront _ dites les coordonnées absolues de (S) et m,,-..., m3, ses coor- données relatives. Les formules (12) et (13) donnent (37) M = 2 MinM y, h (38) M, == D MniM pe h (94) A l'instant w + du, la sphère (S) deviendra (S'). Soient M,,…., M; les coordonnées absolues de la sphère (S') et mr, ……, my les coordonnées de la même sphère rapportée au pentasphère fixe qui coincide avec (P,,) à l'instant u. On a, d’après (37), di en D MinMn Or, Donc Ro Eee ou Nous poserons dM QUE +2 Min — du, h du dm — D Min d né ue, d'où om dM 39 “28 SES (39) mp, our Le Ex 5 mn 2 EE MEET. = L'expression de m, deviendra 4 2m; ma = m3 Dm + om; CM; du du du? 1.2 Exprimons, en fonction des m; et de leurs dérivées, les _ quantités om d?m- 4 5 Pr …. de (p + >: 5 ei | Les relations ei ie … €t (37) se déduisent des rela- . tions (28);, (28)», … et (26) en remplaçant x; par m; et X; par … M,. Or, celles-ci ont conduit aux formules (29) et (31); donc _celles-là donnent _ 5m (40) = Lu ka pa D Mr + d à?m;, _—__ — Ÿ ay =— + — À du? +1 "du du du? 4 > (41) _ Lorsque le rayon de la sphère (S) est nul, ces formules se _ réduisent aux formules (29) et (31), appliquées au centre de cette sphère. Dans ce cas, en effet, les coordonnées de ce point sont .: STOMOPPELTT 22. Calculons l'angle de des sphères (S) et (S’). Si l’on pose 2 A, (96 ) on à, en vertu d’une formule connue (*, ou, en tenant compte de (40), . dm; \? / LR RE É RS A 2, (43) de D 0 dxMr + a) du Appliquons cette formule au calcul de l'angle de, de deux sphères (S,) infiniment voisines. Dans ce cas, m, = 1,m, = 0 (k' - k); donc (44) do, — Dre du£. 28. Si la sphère (S) est fixe, on a les N, étant des constantes et 0 un facteur de proportionnalité. En procédant comme au n° 18, on trouve om, dlog® —= 1 165 du du Ê Les = sont donc proportionnels aux m;. Ils sont nuls lorsque Xm° est une constante À différente de zéro. En effet, des relations (45), on déduit ZM? — GEN;. Or, 2M° — Em — h. Donc 8 est constant. C. Q. F. D. ü Be Rs : éciproquement, si les +7 sont proportionnels aux m;, la sphère (S) est fixe. (*) G. DarBoux, Leçons sur la théorie des surfaces, Lre partie, n° 156. Le, ts. » ( 97 ) Ce théorème se démontre comme le théorème analogue du n° 18. 24. On a vu (n° 11) que le système (24) admet les cinq solutions (my, …., Msx). Il admet aussi la solution (as, ..…, a). On a, en effet, (n° 17) 14 Mas a, — . BÉksre R à nel R. 5 Ms ds — R, à HMS R. Les R;, étant constants, de ces formules et de la théorie des systèmes d'équations différentielles linéaires résulte le théo- rème énoncé. 25. Dans certaines questions, au lieu de désigner les rota- tions d’un pentasphère par la notation a;, nous poserons Ag =D, G3—=G Au —7T, (46) Us —= dy = Us — # Qys = à, Us M gx = V, — P. Le système (24) s’écrira dm, nr Me — QMa — Em, — Àms, | dm; ErNQRE PM — TM — M4 — UM, dm; (47) Pre OM — PM — Cm — Vs, dm = Em + me + Cm — pm dms 57 M4 + HM sQ VM3 + PM (98 ) Les formules (29) deviendront | à = Âs + Et + qu — ra + © o BDs + nds + TDi — pts + “a, (48) = vas + Ca, + pas — qu + ue = Eu Ds — Et — NU — Cas ee _ … = — pds — Àdy — Ts — VXs + . (A suivre). ERRATA Page 9, ligne 14, au lieu de — rna, lire qéa — rna. Page 9, ligne 15, au lieu de 2, lire — Ps, dP2 Pa Page 15, ligne 4, ajouter en vertu des égalités (5) et (8).. Dans la note de la page 18, au lieu de (22), Lire (23). Page 99, ligne 8, en remontant, au lieu de du lire de. Page 392, ligne 16, au lieu de IV et V, lire TITI et IV. Page 49, dernière ligne, remplacer les signes + par des signes —. Page 49, ligne 3, au lieu de Es, lire 2 Gi Ti Page 43, lignes 11 et 12, au lieu de MA, lire MP. Dans la note de la page 43, faire précéder du signe — les expressions qui figurent aux lignes 9, 4 et 6. Page 45, faire précéder du signe — l'expression qui figure à la ligne 5. Page 46, ligne 6, au lieu de MA, lire MP. | Page 58, ligne 9, au lieu de 7 lire Xo. Page 59, ligne 12, au lieu de © — , lire _ Page 77, ligne 2, au lieu de a, gl ds. Page 96, ligne 6, au lieu de mx — 0, lire my, = Ù. d SCHMIDT LA oquar 4 2 R HONORAIRE DES MINES INGÉNIEU » Ce mémoire a été présenté à la Société royale des Sciences de Liége dans sa séance du mois de février 1912. Dire des suites récurrentes, et procède d’une pro- riété des déterminants récurrents qui nous semble fonda- e< D. Le lecteur la trouvera au n° 14. Cette propriété nie connue depuis longtemps — déjà Spottiswood la die { ) — pour les cireulants, que l’on peut considérer _ comme les déterminants récurrents les plus simples ; mais, L 11 notre connaissance du moins, on n'a jamais songé à la E: généraliser pour les déterminants récurrents quelconques. 2 En considérant les déterminants récurrents suivant un . module premier, la propriété fondamentale permet de hs | déduire quelques théorèmes exposés au chapitre V. Les … chapitres IV et VI s'occupent spécialement des circulants. , Plusieurs années se sont écoulées depuis la rédaction de ce mémoire. Poursuivant nos recherches, nous avons ren- f L _ : *) Journal für reine und angew. Math, t. LI (1856). PIRATES AE L) LA LE 70 * Le GE, à He! Re ve contré plusieurs propositions nouvelles que nous avons * formulées, sans démonstration, dans un appendice. La propriété fondamentale des déterminants récurrents paraît devenir particulièrement féconde si on l'applique | à la théorie des nombres algébriques. Elle permet de simplifier la solution de certains problèmes, notamment À celui de la décomposition des nombres algébriques en leurs facteurs idéaux premiers. Mais cette théorie ne se. prêtant pas à un exposé succinct, et la place dont nous disposons étant très restreinte, nous avons dû renoncer à aborder ce sujet. LUE «550, 2 * SR ; (. Préliminaires D Les suites récurrentes jouant un grand rôle dans nos recher- De, nous croyons utile d'expliquer notre terminologie et de résumer ici quelques notions dont nous aurons besoin ultérieu- | rement ir a | Suivants : , E- botinn Lucas, Théorie des fr Paris 1891, pp. 299 et #: | suivantes. PS D M. D'OcaGnE, Mémoire sur les suites récurrentes. (Journal | Der École Polytechnique, 64° cahier [1894], p. 151.) 11 En. Muzzer, Des conditions pour que l’échelle d’une suite À récurrente soit irréductible. (Nouvelles Annales de Mathéma- ‘tiques, 3° Série, L XIV [1895], pp. 152 et 197.) En. Maier, Sur une application : à l’analyse indéterminée de la théorie des suites récurrentes. (Association française pour l’Avancement des Sciences, 24°session [Bordeaux], 1895, p. 235.) …. Farz Cox, Ueber die in recurrirender Weise gebildeten … Nous avons principalement consulté les ouvrages ou articles ” FE PE sY— % À » Grôssen und ihrem Zusammenhang mit den algébraïschen ne Gleichungen. (Wathematische Annalen, t. XLIV [1894], p. 475) Les démonstrations que nous donnons de quelques-unes des propositions diffèrent de celles qui sont dues à ces auteurs. à 1. Soit une suite indéfinie.de nombres : LES (1) Lo Lys Lo, .…., Lys …… Lys ec. L 7 ct L " si IA Si, pour toutes les valeurs y 2 n, on à 230) (2) dy = y + Uly-a + Lee À et Andy n — 0, la suite (1) est dite récurrente d'ordre n ou de degré n. 4 M. d' pa Ha dit qu’elle est d'échelle LÉ ec À -_ (an: Uys Ans ve an). | rs 4 Si ao = 1, l'échelle est représentée par (dy Qs, .…., An) Les quantités a, &+, .…, 4, sont des constantes quelconques. Le polynome f(&) = 00%" + aa 4 e, HAUT has + an” est dit le générateur de la suite (d'Ocagne), ou l’ échelle de récur- rence (Lucas), et même simplement l'échelle. 4 La signification du terme échelle de récurrence variant suivant les auteurs, nous renoncerons à son emploi et dirons que la suite (1) satisfait à la loi de récurrence x, = 0, ou encore qu’elle 3 a pour polynome générateur f(x), el ns plus brièvement, qu'elle obéit à la loi f(x). “2 On remarquera que l’expression «, se déduit du polynome ] f(x) en remplaçant les exposants de x par les indices corres- e. MT Ve its À FER RARES nts et en majorant ensuite ceux-ci d'un entier positif ur rabréger le Dune: nous Fe que «, est Va transformée ciale de x'-f(x PR ne suite récurrente est déterminée quand o on en connaît le nome D ni et n termes consécutifs. Le à 2. La suile (4) admet aussi le polynome générateur À SR He _ g@)=f(@Xx— ep). | LEE 74 (ax” + (It am + + + And” Yæ #3 eo) fe _— = ae 5 aa" he : + ant — o(agt" Æ aa + LE an). ES L., La transformée indiciale de &""1g(x) est x, — Pay égalée Fe à zéro, elle permet d'écrire les relations . : | Re 2 ; -: LT PA u— Fac Er pan. pd | 10e T4 1 es ; à 2 Or, si Jon prend pour les n + 1 termes initiaux de la suite ES nt pour polynome générateur g{x) les n + 1 premiers PE termes de la suite (1), on à | + 4 \ : 2 An Ta An == 0, …,; | à ÿ és done aussi pour » Zn + 1, 6 KE RES = 0 La à nouvelle suite obéissant à Ja loi g(x) sera par conséquent | tique avec la suite (1) ; Nous prolongeons la suite seulement à droite; Lucas la prolonge niment à droite et à gauche % - x RES 3 k à { Fe # ai Tire a “ je DEP \ RE 4 Pr | TS TR 4 (4) a. Posons gilx) — f(x) L(x), V(x) étant un polynome de à degré qg. D’après ce qui précède, la suite (1), obéissant à la loi de récurrence f(x), satisfait aussi à la loi g4(x). Mais, 1 inverse-. ment, une suile obéissant à la loi de récurrence g,(x) ne satisfait pas; en général, à la loi f(x); en effet, la suite ayant pour loi g,(x) peut se construire en prenant arbitrairement les n + q termes initiaux ; les n premiers de ces termes peuvent être Æp, Lis, 1 Mais les q termes initiaux suivants sont, | généralement, différents de æ,; Æyjs +. Ænsgte | Si une suite admet le polynome générateur f(x) sans admet 4 tre de générateur d’un degré inférieur à », on dit que la suile obéit à la loi de récurrence irréductible fx). Nous dirons encore qu’elle est dans ce cas de rangn. On peut toujours supposer que le coefficient a, de æ dns le polynome générateur f(x) est différent de zéro; car, s'il | était nul, la suite considérée ne serait plus d'ordre n. Si les coellicients 4, 4,_,, .…, 4x,, du polynome générateur f(x) sont nuls, et que l’on supprime les n — k termes initiaux Los Lis cs Tn_x_1 de la suite ({), on peut dire que la partie 1 restante de la suite obéit à la loi de récurrence ; | À 4 A2 + QUE + GR + ee Æ aya. Les n — k termes initiaux dé la suite (1) échappent en « quelque sorte à la loi de récurrence ; par cela même des suites récurrentes de ce genre ne présentent pas d'intérêt pour nos développements. Nous supposerons donc, en général, que le 4 coeflicient a, du terme x, du polynome générateur f(x) est # différent de zéro. On remarquera toutefois que, sauf les cas spécifiés expressément, les théorèmes démontrés dans ce cha- pitre sont vrais, même si a, est nul. 3. Leume. , outre f(x), la suite (1) admet encore le poly- nome générateur fi(x), elle obéit aussi à la loi de récurrence Ci(x) + C'ffx), C'et C7: désignant des constantes ou des poly- nomes quelconques. | 1 F2 AURAS CODE SAS TS À TS ms ie 2# ne ; £ Ex: NE: 4 | bin ù ESS otre : Co + = 53 - A e , Supposons { d’abord Cf ) et C'filx) de même degré m et soient | ù CI) = po2" + ant + + + onp, D CAE) = ar OL Lex, d'a get Co Ci, er Cr C6 Cas ce Cm désignant dès constantes. Le Pour toute valeur u Æ m on aura | can + Bus + «+ HCmBu-m = 0, le Col + CTu-4 DE bel Cnlu-m = 0 ; donc aussi LR + 2 À 3 (© + Cody + (4 Hot 2 + (On + Cn)Lo-m = 0. 1. 88000 "TE 21 AN . Jl en résulte le lemme énoncé ci-dessus. Es le polynome C'fi(x) était seulement de degré m — à, il F sutirait de supposer ===... = 04, —=0,c +0. pe 2 L _ | Tuéonène. — Si la suite récurrente (1) admet deux poly- nomes, générateurs f(x) et f(x ), elle admet aussi comme généra- r leur plus grand commun tliviseur. 1 D En eflet, la recherche du p. g. ec. d. des fonctions f(x) et “fifx) conduit à des polynomes f(x), f(x), .…., f,(x), entre les- quels il existe les relations | Le + E 1 | D {@U® +k@ | 1O=R@M® +. À l x Ka) = fr (d) hr () + f(&), fi) =f(S) par), : où ne &), dut sas ., VA(x) désignent des polyÿnomes. Par hypo- M. 7, É 2: “hi Dre ." “ D à DES 1 ALE - Lust P Æ L Li Li + dE + SR (6) PRES Le thèse, la suite (1) obéit aux lois f(x) et f1(x); donc, d'après le lemme précédent, elle obéit aussi à la loi f(x) — f(x) bifx), c'est-à-dire à la loi fo(x). En continuant ce raisonnement, on. voit qu’elle obéit aussi à la loi f,(æ); or f,(æ) est le plus grand commun diviseur des polynomes f(x) et f(x). SR ‘4 I suit de là que si la loi fi(x) est irréductible, f(x) est un multiple de f(x). Donc une suite récurrente n'admet qu'une seule loi irréductible. Free — 7 A8] 4. Nous appellerons matrice de la suite récurrente (1) la matrice | .. Li T3 Lo Li D PS A ou RSR RE RE tt qui peut être prolongée indéfiniment à gauche et au-dessous. Nous dirons que tout déterminant formé avec 4 lignes et k colonnes de la matrice est un mineur d'ordre k de M, ou un : déterminant d'ordre k extrait de M. es Lorsque nous voudrons spécifier qu’un mineur d ordre # est 24 formé au moyen de k lignes consécutives et de k colonnes conié- cutives de la matrice M, nous dirons qu'il est régulier, par opposition aux mineurs irréguliers qui ne sont pas formés au moyen de rangées consécutives de la matrice. Un mineur régu- lier d'ordre n sera appelé un déterminant récurrent de loi F(x). Pour passer d’une ligne d’un mineur CÉSURES à la suivante, il suffit évidemment d’ajouter une unité à l'indice de chaque élément. Nous représenterons un tel mineur par sa première ligne et doublerons la première barre (*). | (*) Nous emploierons cette notation toutes les fois que, pour passer d’une ligne d’un déterminant à la suivante, il suffit d'ajouter une unité à l'indice 4 de chaque élément. Nous entourons d’une double barre, à dEGRE et à gauche, une matrice rectangulaire d'éléments. 1 & da ina |() 8e F. par FE db rh el Yi 8 sont des suites re espectivement de n + 1 et de n nombres entiers, 1! faudrait montrer que le déterminant de (n + 1) ordre vs : £ 2 128 Ty 4 Th La+8 TL,+8 … Tn+8 < 2 Loty Lot CO Tn+y ; | Lay) Æprg +. Lnyp est nil. OMS ELA Fe La loi de récurrence (2) permet d'exprimer un terme qu elconque de la suite (1) en fonction des termes initiaux > Lis ++. Es. Faisons-le pour les n + 1 termes x,, æ&,, .…., » Dhs 24 aurons ainsi les n + 1 relations à ta 2 La — Put à 4 5 Qotn + + + SaLos 1 = Poly s + Qon-2 + 2. + Sites En = Pyty si + Qulne +... + Sims, EC) HANKEL a étudié de tels PAIN dans l'écrit « Ueber eine 1 (besondere Klasse der symmetrischen Determinanten », (Inaug. Diss. eipzig. Gttingen 1861). Il les appelle orthosymétriques. | |StLvesren les a appelés persyméfriques. 3. FROBENIUS leur donne le nom de déterminants récurrents (Sitxungsber. _ _ & (8) | 75 ee où P,, Qu Sas Py, .… sont des fonctions des coefficients du polynome f(x). Il est évident que les relations (4) ne cessent pas d’être vraies si l’on ajoute un même nombre entier à aux indices des x, puisque cela revient à faire commencer la suite récurrente au terme x,. Remplaçons dans le déterminant (3) les éléments par leur valeur tirée des relations (4) et de celles qui s’en dédui- sent en ajoutant respectivement $, y, …, 0 aux indices des x. On voit aisément que le déterminant résultant est le produit de la multiplication par lignes des deux déterminants - Vu Ln-4 Ty-2 ..… To 0 LB Dee DEEE # | Tn1+9 Ln-219 + X6 0 DD TEE ONE | a P es By LD ne sie b PR Se Les déterminants D, et D, étant nuls, il en est de même du déterminant (3). Remarque. — Tous les mineurs de la matrice M d’un ordre supérieur à n + 1 sont évidemment nuls. D On appelle rang d’une matrice ou d’un déterminant l’ordre de ses mineurs non nuls d'ordre le plus élevé. i Akad. Berlin, 1894, p. 953 ; Journal für reine u. angew. Math., t. CXIV [1895], p. 200.) | | S E. PascaL les appelle déterminants de Handkel. (Die Determinanten, trad. HerM. LEITZMANN, Leipzig 1900.) Te 6. si n Fe r termes consécutifs d’une suite récurrénte admettant te polynome générateur e | ba + D + + | coïncident respectivement avec les termes x5, X4, …, Le _, de la | suile (1) de loi f(x), les deux suites coïncident également au delà P. terme X;1»_1. Ts si En effet, CE Loir Hu respectivement les termes - qui suivent x,,,,_, dans la suite (1) et dans celle de loi (3), on 3 _alesn+r- 1 relations es | Aoln hu OnlG, — 0, Aln+i + ln +... + ati —=0, L # L2 L L L2 . L . . L2 . . ., doX n+r-1 + Uln+r-2 A de Ne + Anlyi — 0, $ loln+r 7 Un +r-4 + +ax — 0. # | RRS ces égalités membre à membre après les avoir D multipliées respectivement par b,, b,_,, .…, b4, bo. En vertu de … la loi de récurrence exprimée par le polynome (5), les coefi- _cients de dy, do, .…, a, de légalité résultante sont nuls; donc * celle-ci se réduit à la relation Gran + bed + 2e + bite à) + Put = 0 Or la quantité entre parenthèses est évidemment égale à — b,x',4,. On a done “4 _ En faisant commencer les deux suites au terme Æy, On . démontrerait de même que leurs termes d'indice n +r a 1 |oïncident, etc. x j L es, Ne Re e : A 12 h LA . Ne 4 F" LS < EE MERE ot y * È L + W-1 % LT À L (40) HS RES 7. Une suile récurrente est de même rang que sa matrice (*). Supposons que la suite récurrente (1) obéisse à la loi de récurrence irréductible d'ordre r (6) a LE bat bat BAS EE On a les r égalités — Ly = Vis 5 Dty se + ce + bo = | — Len =D + bis +. +b,x, e dote e . ei S . CAR LÉ 4 CTP S . . — Lay = Dilop_s + Dates + ce + bd, à (1) Je dis que si l’on considère b,, bo, bd, comme des incon- nues, le déterminant du système (7) est différent de zéro. En eflet, si l’on avait | | Ai | &us me Æo | — 0, le système d'équations (7) admettrait plus d’ une solution. Dési- gnant par b,, b,, …, b! une solution différente de bi, DE te D, on aurait les égalités - Re: dr. = bits 7e bite MPASE bo — Lyy = bit, SF Dry à er b,æ e L L] e L . LL LA . L e ° L . ., — Loop = Vilop_o + Dlays + +++ + D,X, 4. (8) Or il est facile de voir que la suite récurrente qui obéit à la loi de récurrence + D D + D ee: (*) L. KRONECKER a donné de ce théorème un énoncé différent dans son mémoire « Zur Theorie der Elimination einer Variabeln aus zwei _alge- s braischen Gleichungen ». (Monatsber. Akad. Berlin, 1881, p. 560.) gi ANT 27: VAR" 0 LE PT RE "ST 2 Ne CRT NÉ PE ET RAR RE dE AP + UPS. ; ee AE TR - na 2 SE - ” F 1 Le He Let { i DES. LE Pr. . k Eu mie , STE . Ce PE re Dans CRT “e t dont les termes initiaux sont æp, Lys Lo, c., Lys coïncide a vec la suite (1). En effet, en vertu des relations (8), les À termes æ,, Bysys ve) Lo SONT CoMmmuns aux deux suites. Dès | Er lors celles-ci coïncident dans: toute leur étendue comme ayant “4 alor la suite (1) obéirait à deux lois de récurrence diflérentes Ede même degré r, l’une de ces deux lois-étant irréductible ; ce . qui est impossible [3]. 3 : Tous les mineurs de la matrice M d’un ordre supérieur à r …. étant nuls {5]et l’un au moins des minêurs d'ordre r étant é _ différent de zéro, la matrice est de rang r [5, Rem.]|, c’est-à-dire _ de même rang que la suite récurrente considérée. : Remarque D. — Si la suite récurrente (1) obéit à la loi + (6) et que l’on pose FA _— LS À, — | 2 Ty {re L_y744 — (y Fr r—1, r, a) on a la relation * En effet, à la première colonne du déterminant À,,,, ajoutons Le r—1 suivantes multipliées respectivement par b,,09,...,b,_; _ les termes de cette colonne, en vertu de la loi de récurrence (6), 4 _se réduisent à — 0,x,_,,,, — b,x,_,32, .…, — b,x,. On en _ déduit immédiatement l'égalité (9). _ On voit aisément que l’on a aussi l'égalité ao A =(—IN TA, donc: si une suile récurrente est de rang r, tout mineur régqu- À ler d' ordre r Er sa matrice esl différent de zéro. €) Le renvoi à un autre paragraphe est indiqué par le numéro du ns | paragraphe en caractères gras entre crochets. termes consécutifs Los Lys ces Lay COMMUNS [6] (*}. Mais ; À 1 1 der “ x (e # Cette conclusion ne serait pare pas permise SI b, était nul [2]. A ; REMARQUE IT. — Un mineur irrégulier d'ordre r de la matrice M ‘ de rang r est divisible par À,._,. Soient a, b, .…,g,et 8, Yo ce € respectivement FR suites de r et de r — 1 nombres entiers distincts entre eux. Considé- | rons le mineur irrégulier d'ordre r Ta Tr …. dy Lits Lo+3 .… Li+g I Ed La+y Ty+y .… Lot CRE Late. Voys + Lyxs La loi de récurrence (6) permet d'exprimer un terme quel- conque de la suite récurrente (4) .en fonction des termes initiaux %o, Æy, …, &, On obtient ainsi pour les termes x, %y, ……, &, les r relations | La — Ko, A Lots = he à No Ty = Rod + Lors + ee + No Los Lg = Ki + Lit, + .…. + No, (11) où K,, L,, N,, K;,, .… sont des fonctions des coefficients du He f (x ). I est évident que les relations (11) ne cessent pas d'être vraies si l’on ajoute un même nombre entier aux indices des x. Remplaçons dans le déterminant I les éléments par leur valeur tirée des relations (11) et de celles qui s’en déduisent. en ajoutant respectivement f, y, …, e aux indices des x. On Le 0 N, = Ts ne. 4" EL, . +à N, à L LA < à — On a les égalités suivantes, semblables aux relations (11) MR. | LL DCR Qt + 02, + 2 +, * 4e à Ta = Rd, + La, + + + Nc, SE & dy = Ka, + La, +... +N;x, ï à - Sr u ere . 0 . 0 . 0 . . d + Fe: ; : Re re } ; A, : 10e Le — K.æ,_1 GR Lex,» 3 Nr à Neo. 5 7 +208 . : VAR. ns. : D énplaçons dans le déterminant D les éléments par leur _ valeur tirée des relations (12) et de celles qui s’en déduisent 7 en ajoutant respectivement 4, 2, .…, r — 1 aux indices des x. ; Fes & bon est facile de voir que le déterminant résultant s'obtient en : multipliant successivement les lignes du déterminant be 0 0 FNOEr. ue LS Ç SRATE RUES FPOT VOR DRE ALES | D’ — N; . L, K; J . Fe sw Ne | .….. N, K. 7 pa les colonnes du déterminant Ne “4 À ie » lé # ea 2 £ On a donc la relation (13) | 1= DD! DAS 07 ONE En ajoutant une unité aux indices de tous les éléments du mineur irrégulier [, on obtient un nouveau mineur fi. Si l'on 3 exprime les éléments de 1, en fonction, non plus de &ç, 2, .…., æ,_,, mais de &i, &o, .…, æ,, et que, sauf cette différence, on procède comme on vient de le faire pour 1, on trouve F, = D'DAS et, en tenant compte de l'égalité (9), “3 rs Es L = {— 1), D'DTA, = (1) CSS de Plus généralement, si I, est un mineur d’ordre r de la matrice M de rang r, I, le mineur déduit du mineur 1, en augmentant les indices de ses éléments Le nombre 29, on à la relation : $ L = (1), qui est une généralisation de la relation (10). ee # À 2 Remarque II. — Les mineurs irréguliers d'ordre r peuvent 3 être nuls. | Supposons, par exemple, que ” soit nul.On déduit du système d'équations (7) une valeur de b, donnée par une fraction dont le numérateur s’obtient en remplaçant la seconde colonne du | déterminant A, par —%,, — ®%9, …., 74 OR conclut que le mineur irrégulier : E — UD Lyy Lys y ve do + de la matrice M est nul. | ss RER Le) *S Va 2 " e. Si lon exprime les éléments du mineur E en fonction de Los Lis …., Lys, ON arrive à une relation analogue à l’éga- té (13). Elle donne la valeur de E sous forme d’un produit Le de trois déterminants. L'un d’eux, À,,, est différent de zéro; donc F un des déterminants correspondant à D’ ou à D’ devra 4 2 ue nul. F8. Eu dans le cours de cette étude nous ne considé- _rerons que des suites récurrentes à termes rationnels, nous K Fa + #4 _rateur [ (x) sont entiers. Un tel polsnome sera dit irréductible, à coefficients entiers d’un degré inférieur. D Si le polynome générateur est irréductible, il en est évidem- . ment de même de la loi de récurrence à laquelle obéit la suite. Mais la réciproque n’est pas vraie. Ainsi une suite fondamentale + d'ordre n, c’est-à-dire celle dont les n termes initiaux sont _ même si le polynome générateur est réductible. “Eèps 9. Étant donnée la suite récurrente (1) obéissant à la loi de Dore f(x), la suite EU Ant Bte & Ce, = ef » Alo + Bts 4 +2 Cæyn+ -: AVE ae où A, B, C, .… sont des constantes, obéit également à la loi de … récurrence f (x a 1 s. En effet, si l’on pose U = Az, +Bze +Cæ, U = Alu + Brgu + Cæy1 ; Up —= ATyin + Bts» + Crin D | _ ilest facile de voir que Un + Uüpa + dns + 2e + Ant = 0: | pouvons supposer que tous les coefficients du polynome géné- ù ou même premier, s'il n’admet pas pour diviseur un polynome 4 … 0, 0, …, 0, 1, obéit toujours à une loi irréductible d'ordre n, ( 16 ) É | Es La même relation à encore lieu si l’on augmente les indices des w d’un nombre k, puisque cela revient à faire « commencer la suite (1) au terme x,. Le théorème est donc démontré. 10. Dans la suite, nous rencontrerons des systèmes de. congruences linéaires à plusieurs variables considérées suivant un module premier. Leur théorie est analogue à celle des Ares d'équations linéaires, en vertu du principe que, si l’on ll s’en tient aux opérations rationnelles et aux modules premiers, - les congruences sont soumises aux mêmes règles de calcul que 4 les équations (*). | 1 Les démonstrations des n° 1-9 utilisent exclusivement des équations linéaires ; les théorèmes qui y sont établis doivent. 4 donc avoir leur analogue si l’on remplace les équations par des & congruences suivant un module premier. É Pour le moment, nous nous contenterons de signaler cel point sur ARE nous reviendrons [80]. 4 _ 11. Certains théorèmes sur les. congruences linéaires sul- 4 vant un module premier sont encore vrais pour les modules composés. Le suivant nous sera utile : à Si les éléments de chaque ligne (ou de chaque (colonne) d'un déterminant vérifient pour le module m une méme congruence “ linéaire homogène, dont un coefficient au moins est premier à m, ce déterminant est congru à zéro (mod. m). es Soit le déterminant de n? éléments j HA dy yo CE] lin Any Upg +. Um (14) ya Aye …. nn È / (*) On lira avec intérêt les pages que M. E. CAHEN a consacrées à la ques- tion (Théorie des Nombres. Paris 1914, $$ 414-419), ainsi que le mémoire de. T.-J. STIELTIES « Sur la Théorie des Nombres ». (Annales de la Fa des | Sciences de Toulouse, t. IV [1890], 3e fase., p. 49. Es "231 \ # sn". "AT 2" LÉ Ur? LL LS hs ra ar FA 1e tv à L. Lo rage He F x Hi: LA M Le 5 w ÿ 4 ; TA + “ D 'X É a (17) ee o “à la congruence 0 “4 DR ERG, Fe. EL X,a —0 (mod. mn), : \ = LL. Définition des formes + (/). le D. te de la variable æ. Dé : Par pu Po Pr les racines de l’équation ) 0. Si parmi elles il se trouvait des racines multiples, T — Ps T — > .…., TL — Ps, .., TL — On. E - / k a » L = De 2 # te . Se xt Fi - he #4 à en M 5 "| / RG xS K F8 ne | Led } ES RTE À L Ÿ AA "us Hire Te A | pt 1 S 3 PET TT CS ETS À, MALE L ‘ AY nue PACS TS TE | DORE, et 47 Lan Les TT FU EE A É-ERRT ET: PSS EE GE 7: (18) On aura C* expressions semblables de F; leur produit est une forme homogène des variables &,,, æ%,_1, .…, Æy, &o de degré C'*. Cette forme étant une fonction symétrique des n racines de l’équation f(x) = 0, ses coeflicients sont des fonc- . tions réelles des coefficients a, 4, .…, a, de f(x). Parmi les différentes formes engendrées de la sorte, la plus” simple correspond à m — 1. Dans ce cas, la forme résultante IL(x, — æ,e;) est la forme du n"° degré à deux variables DR QE Do + ARE + 2e + An MTS À? + AT. Une autre forme partieuHerement simple correspond au cas où m — n — 1. C'est à l'étude de ses propriétés que ce travail sera consacré. La forme considérée est du n° degré à n varia- bles. Nous l’appellerons forme associée de f(x) et nous la repré- señterons par o(f) ou par ox" + a,x"7° + a,2"? + :- Le ax"). En désignant par F, la transformée indiciale de = ie SES + o(f) est égal au produit de n facteurs F,, Fo, …, F, a nous appellerons les facteurs F de o(f). Nous dirons que le facteur F, correspond à la racine p,. Enfin nous représenterons par P(Co» C4 +. €) la valeur que prend +(/) quand on y remplace les Vaables Los Lis ces Lys respectivement par Cp, C4 es » C-ie REMARQUE. — Si l'équation f(x) — 0 est irréduetible, on peut considérer F, comme un nombre algébrique du corps de nombres déterminé par p;; les facteurs F,, Fo, …, KF, sont alors des nombres algébriques conjugués (**) dont la norme est o(f). | eur. (*) I est bien entendu qu'il s’agit du polynome obtenu en divisant f:æ) par & — Pi. ; (**) Davin HizBERT, Die Theorie der algebraischen Zahlkôrper. (Jahres- bericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, t. IV [1894-1895], p. 178.) _ Lt. > En 5 aux + &- = 2? + AR + a. e FC) = à + at? + @ù + a À 2 Se £ 53 F0 o(f) 1 9 A PE 1 f f 2 è : 5 Fy = Di — (p2 + Pa) + P2PaTo À P = Lx — (es E Pa)da + PaP4Tos Ë F3 — de al N° om pe) + PaPaloe ire enant compte des relations LR à Ve | te ” 4 r& Re: . D Spies = Un Paps — — das con trouve “RES _#n= 2 + (aide — a5)ri + Gi + Ga + Lutirè Le (a + dyd3)Toti F3 (ai + a2)x Le + 2040604 + HA TTe | + (4e + 303) dotaTe. ; | 5 ie RE opamen: de la forme &(f) en fonction des coefti- cents du polynome f(x) devient très long pour des degrés supérieurs. Les suites récurrentes conduisent à des expressions + 3 us maniables de e(f). Ne ù “3 Fr Soit < | RU a nm. une suite récurrente ayant f(x) comme polynome générateur. cr Fe > Rù En ( 20 ) , | L Le ss p étant une racine de l'équation f(x) — 0, on peut écrire . FC) = 6 — XD + + be) a+ Un Hess + 0 nt — PAT + Lo bn) La loi de récurrence exige que la transformée indiciale de | æ&""f[(æ) soit nulle; on à donc Li dy + bits +" + bnnty-n+1 DE P(y-4 + bit ++ VAE HE à Posant k | AC | À y = Ly + Dlys + ++ + by y on a les relations (2) == Pa = PAS + D On remarquera que Mn St la transformée indiciale F5 fG) (*) æ—p"/ Soit | | _ @) Ty Vo dy une suite récurrente obéissant à la loi f(x) et dont les n termes initiaux seraient | Los Mis Mes +, psy Una — U: à Comme la suite (3) obéit à la loi f (x), elle donne lieu aux relations suivantes analogues aux relations (2) / (4) NU Mines =D 0 = D CD (*) Voyez note (*), p. 18. RU | D =. (sm) ee ; SRE k à DOS. ; | Ÿ LS ny M + Dit + + + by D nya 4” n° $ FER Mn = Tps À bals + ee + ba | #1 ee = Lynn —U + dans +. + by x = F —u. ss \ * : Ne \ ŸE | Donc si l’on faitu — F, il vient n,_, — 0, et, en vertu de (4), Mn © On © nt © spa Us N On ue encore dire que si u — F, la suite (3 ) a pour poly- | nome générateur : . Re bee | 7 Be s Mais: alors le déterminant d’ ordren | | à 4 . LHERCRES | | ’ #5 La': Ed vo = || T4 th + | s CL < \ Le | est ul [5]. L’équation b{u) — O étant du n° degré en u et : Ce ’annulant pour u — F, ses racines sont F,, Fo, …, F,. Le ee. parois de ces racines est égal, à un facteur constant près, au : 200 … terme de {u) indépendant de u. Or ce terme est précisément » is F3 le déterminant fe x A | dos de eo |. EX Comme le terme x%_, a pour coefficient l’unité, aussi bien dans la forme g(f) que dans le déterminant 4,_,, il s'ensuit à 10 e(f) = D Dre ; L \ Remarquons que l'égalité (5) est une identité si l’on y con- Dondère les quantités Lo» LA ++, Tn-4 COMME des variables arbi- 2 =}. A e ReT (22) SE DER Ps | s M traires, Æy, nya ee» Lon+ Étant exprimées en fonction de ces … variables au moyen de la loi de récurrence. RS REMARQUE I. — Si la suite récurrente (1) est de rang r RARE 5 ARE ET EE URL ‘ Be L'unS VAPEUR fe ci se GT A a ER 2 UE Û Fe: F ä #4 2 ÿ ‘% DUR ME AE pie TES DD Dur Pi 2 a %: PA HE + < ET RS RE EU MEN LA Le MERE à D st ce NS Te ETS LE ATEN LES L AT HN as + LT ARS ESA C7 LT À x nt Fa “ % pee 4 pH Lt US. PONT PES cs LME AN RE L ‘y < és mat r D fe v# A4, ps ÿ EE 4 a: UT ere re rase Eu ; LT ff : APTE +7 : LS = bre LÉ CE RU ER: L / 1e CA Pr 4 Lt ; AN AE DU PA SD À Le DER « NA El) DE TARN se SR IT CARE È COUR /F ER Lt NS 44 XP OEER PT np s RL, ME LS à AN tai Mer IN égale "e ë sad PU SET A FO EL UE Le LA FF \ + AE LEA: NAS Ÿ À ‘ POREET CS } PE ms ia: l4 1% 0 54 SL UE TRAET SL FA ’ À ae v CU à 6 1 pee d'la MP) au 2e Le La De. A MURS, Se mi, Pa Y L &- NP RES 255 CES 7 (28) La première ligne est composée d'éléments quelconques ; les autres lignes sont des permutations circulaires de la première, les éléments étant disposés de telle sorte que ceux de la diago- nale principale soient égaux entre eux. L'élément de cette diagonale sera appelé élément diagonal. Le déterminant À est symétrique par rapport à la seconde 4 diagonale. Représentons par (r,s) l'élément qui dans un déterminant appartient à la ligne de rang r et à la colonne de rang s. Un circulant normal (*) est alors caractérisé par la rela- tion (r,s) = (r+1,s+1), de sortequ'ona : (r,s)=(r+1,s+1)=...—=(r +1, s +. de On sous-entend ici, et de même plus loin, qu’un indice \ négatif ou de rang supérieur à n est à remplacer par son ; résidu positif par rapport à n. ; RE Si l’on échange deux de ses rangées parallèles, le cireulant n’a plus sa forme normale. 1 En effectuant des permutations circulaires sur les colonnes ou les lignes d'un circulant normal, celui-ci conserve la forme normale. On peut de la sorte amener tout élément à, à devenir … l'élément diagonal. N. En effet, en échangeant la première colonne successivement avec chacune des suivantes, le circulant conserve la forme normale, l'élément diagonal devenant a, ,. La transformation multiplie le circulant par (—1}*1. Opérant de la même manière … sur la DER colonne du nouveau circulant, et continuant ainsi jusqu'à ce que & devienne l'élément diagonal, le déter- minant primitif sera multiplié par (—1)*#%%, Il garde son signe, à MOINS que à ne soit pair et iimpair. (*) Plusieurs géomèêtres adoptent comme forme normale le circulant où la | » » # s LA Lä e k seconde diagonale se compose d'éléments égaux. Le déterminant est alors : symétrique par rapport à la diagonale principale. ë ] L "LS RE v} À A DL : ES "1 (29) Pour amener a, à devenir l'élément diagonal, il suffit d'échanger la première ligne successivement avec chacune des . suivantes. Le nouveau circulant sera égal à (—1)"* A. F7 Séargé HD Er ve *Méisiin RE sn On peut également amener a, à devenir l'élément diagonal en effectuant des permutations circulaires sur les à premières lignes. On trouverait que le nouveau circulant est égal au primitif multiplié par (—1)"#*, > Remarque. — Nous représenterons un circulant normal par sa première ligne en doublant la barre de droite, celle de gauche restant simple. Ainsi nous écrirons À = | ln (Pr .…. UP un | 19. Concevons une circonférence divisée en n parties égales et supposons qu'aux points de division on inscrive consécuti- vement les nombres _(1) RUN vas: Un (le Joignons par des droites les sommets pris de m en :m du polygone régulier convexe a, 4,_;, ..., &, 4, en commençant par @, ; Si m est premier avec n, on obtient un polygone régu- lier étoilé. | Ecrivant sur une même droite les lettres qui désignent les sommets successifs du polygone étoilé, on aura la suite (2) k ns An-ms An-2m» éd Un ? que l’on peut appeler une permutation étoilée de (1). Considérons la suite (2) comme étant la première ligne d’un circulant normal A,. On a le théorème : Tout circulant normal À, dont la première ligne se déduit de la … premiere ligne du circulant À en prenant les éléments de m en m, le terme initial restant le même et m étant premier à n, est égal à À. Désignons par C, (i — 1, 2, …, n) les colonnes successives Cdi _ Lo “à he “i A [ cr tr : LU PTS ASS DR RBUE Man \ …. CRUE HER ; Daft W 2 x M : CR a ( \ * , ar © >" = ” p re er DR RS ER M + ; | du: 14 Sr ue, A c < re : , 30 : rs > QE. CHU ( ) 4 F Lz # } Mt À Fer - du circulant A. Soit A’ le déternn obtenu en plaçant ces colonnes dans l’ordre | [a LL + Ci Cigms Caremr +, des 14 HEC A 2 L, (i= 1, 2, .…., n) étant les lignes : successives de #4 nant À’, + A! le déterminant obtenu en plaçant ces lignes “4 dans l’ordre L, Li» L 42m es Liin-im: Le déterminant An est numériquement égal ? à À, car les deux transformations que nous venons d'opérer sur à cireulant A le multiplient par la même puissance de — 4. Je dis que A/’ est un circulant normal. En effet, en employant la notation des ù doubles indices [18], un élément (i, k)' du déterminant A’ est égal à l'élément (à, 4 + (k— 1) m) du circulant A. De même, ; pour un élément (i, À) ‘’ du déterminant A’, il vient 4 i ED (LHE Om) = (LED += Dm) donc aussi Fire è G + A EAN Eine LE Mais(18] NE | (r, s)= (+15 +). | re . Si l’on fait Fe eo PNR) UE te 4 En de a on voit que (Ga, k)"= (Gi +1,k +1)". A’! est donc un circulant normal; et comme les premières … _ j : # > 08 EE — > Remanque FE, — Un circulant qui se déduit de A par une # Dermutation- non étoilée des éléments de la première ligne peut avoir des valeurs différentes de A. Ainsi il est facile de … voir que les circulants | 4, 43 do alet|a@ de a; | sr ont pas, en Pneraf la même valeur numérique. iaroue IV. — En vertu de ce qui Drécsde. un circulant au du circulant A par une permutation étoilée des … éléments, l'élément initial restant le même, a la même valeur … numérique que À. Si l'élément initial change, le circulant peut LE” de signe, mais seulement si n est pair. … REMARQUE V. — Les permutations circulaires peuvent être - | envisagées comme un cas particulier des permutations étoilées. _ On peut encore dire que les lignes d’un circulant normal - sont des permutations étoilées directes, tandis que les colonnes | - sont des permutations étoilées inverses. | . Si l’on définit comme circulant normal celui dont la seconde _d d ae se compose d'éléments égaux, les lignes etles colonnes n sont constituées par des permutations étoilées directes. RAI doit être entendu par là que, m étant premier avec n, on ag PC ps Ru / ds » M > ” TR T Ya M 4 + n LVETIR nu? La . } + + a < à ÿ “ ER = L # ( 32). Ne » . - : 20. Considéronsune suite récurrente ayant le polynome géné- rateur f(x) = x" — 1. Les termes initiaux étant æ&p, æ4, …., Æ un il vient : - 4 Ty — Lo Tu = dy LD e7 Ton = Ln = Lo ... On voit que la suite récurrente est xD Toy Lys es ny Los Lys es ns Lys Mys se. CA PIS, DES À \ PSS Pour faciliter l'écriture, nous représenterons les termes initiaux par @y, do, ..., @,. La forme associée de f(x) sera, dans ces conditions, représentée par le cireulant A MT 4 5 MOVE | (Me 21. Les racines de l'équation (3) a" —1—0 sont données par £ (4) | D D Deer Dee où l’on pose ; OT: A PTT p = COS — + 15siIn —- - ë LS “ * Nous désignons par y l’une quelconque des racines de la suite (4). | La transformée indiciale de Et—AÀ. a — = À — n Ras LL 190 HEMASEE. DA VA F yT FE est, en remplaçant x, par a,,, (k — 0,1, .…, n — aÿ An + Yan #7 Van à mes EVA PP ee LS CNE "4 àS A Fos ee I TARE T RE ae 4 SERRE Fe % 1, OI Pop re MOSS a LM RSR Pt PRE Re: de AE Ë SE LE RO PS - À à = È ” EN + CR ; ee Fa te, RE Mis ( 33 (a: FA L. in Fa S ‘ige T < + “ LT EE are A — FFF ES | Rappelons que on (3) n’a que la seule racine selle = si n est impair, et deux racines réelles p0 = 1 ; 31 Lg? SE sin est pair; les autres racines L* et L"* sont # jm aginaires conjuguées deux à deux, h étant CHERE entre 0 etn exclusivement et, de plus, différent de ; 3 Sin est pair. Il 6 en 1 résulte que #3 RS F= 4ù +04 + +, Eee Les autres facteurs F de A sont imaginaires conjugués deux à 172 - 22. on a la son, | / DE . « ne” - naA À É- à te de a; .. Mrs | TRS UT ©: | - Fee En effet, le circulant A est égal à la somme de tous les dé éterminants qui s’en déduisent en réduisant chaque colonne à sa première ou à sa seconde file (*). Si l’on prend les premières 4 files des colonnes, le déterminant résultant est A ; les détermi- - nants obtenus en prenant plus.d’une fois une seconde file sont Le ee | | : 0) Lorsque les éléments d’une colonne sont des polynomes de k termes, nous. appelons file la colonne réduite respectivement à ses premiers, pponde.… …, kmes termes. | : US : D. 3 2 ? | J wi rue s : ne a LS 7. ut ne “e KT, Pa #7 NÉE a ce. 15 fe n , 7 TA: d EN : “+ > * Fe ; à sd ! ’ : F7. à L'ATERL, ce ge wi { a ps” 4 Fi PET EURTON SE Ê pa Chen 0 A n » De ue A "2 $ vs à Fe AMUTE A late DAT È Tour FEES" CAE Æ ) C7 3 L 1. “ 4 . f Le Le 4 + 4 X £ b. è A à à ; ; Rs Ÿ AURT : ; h 3 U ri A " n “0 rie £ : 1 » ph A dt 2 ANT TU Sin nées Dre pi Ne or n pes x ; CRE EUR S'de “ ? 7 à Te Tu ul Ds pe 2. a _… L ar Ant” : ie GRR UE nr f Yi ET } 24 qe / Favre WW £. f | - € Fe. *e Et GA AA ZX A LOTS y Fa NT PR 1 sr æ EN VIS CU dm 4 HE LS Pa t “A LC ; Re | ee EE Se AN à SRE AS FR (34) | Lt nuls; enfin ceux qui ne contiennent qu’ une seconde file sont du type * _—r ah An1 .….. Ayn+4 (o 4 Ayn4 .. UP un un ln .. Am+2 [e 4 lym ..… 3 Us (6) | se | ae ln-1 An-2 .. mn (4 Am-2 ……. Un dh 4 ar , #/ \ \ Or, si à la (à — m + 1)" colonne du circulant À on ajoute toutes les autres colonnes, les éléments de la colonne trans- formée seront tous égaux à Za; en mettant Za en évidence, on aura précisément le déterminant (6) où l’on aurait mis « en évidence. On a donc bien l'égalité | | na = Rs On peut encore arriver autrement à cette relation. L'égalité (5) devient pour le circulant A’ LS ATP CRIER KES où l'on a [21] | F=@n+a+ans +a ++ +a=F+ne, F= an +4 + (ans + ap + + (au Ha = An + Ang + 2e + MP + al HE pÉ v ee pi) = FE, =1,9,;...5M0= 04 Donc | a 0 < À 7 A = (Fo + na)FFe F1 = À + _ : 23. Examinons dans quelles conditions le circulant d'or- dren, Q — | b a a. a || peut être égal à l'unité pour des valeurs entières de a et de b. | le it D ha PE Me 7 ( 35 ) a Je) ; RS Ajoutons — a aux éléments du circulant Q. On obtient le ‘ 54 ir ireulant | EL 00.0 |, qui est égal à [22] Per Lu 4 xs l g N: | Q 3 PRE | STE (n — 1)a + b'a | 3 ; à À 15 = . | | #4 ue 4 eu il est aussi égal à (b — di On en conclut que | | se Q — (b— a)" Un — Da + 6] 253 ! Ÿ | ASS Fe | Ceute rélation peut encore s'établir autrement. - ar ne . | 3 | : Fe Dr. . | ; Q — EEE, … ER Le < ; ee BU Rbta,+a +. az = De + d “52 RS io = b + api + ap + + + api R LAS Te Pet “ a(1 + p° + o2i Lo + a) 0 k > On retrouve donc la relation (7). Le 55 Cette expression de Q ne peut être égale à l’unité, pour des | SA - valeurs entières de a. et de b, que si la valeur numérique | 4 Less (n —1) a + best l'unité. + _ En convenant de combiner dans les formules ci-après respec- é ER _tivement les signes supérieurs et les signes inférieurs, il vient, = ;- sin est pair et que Q = +1, PO | b—a=+t, KE 4 PR )a Ep = 1.- | ÊE È % | ! CURE É _Ils’ensuit que na — 0. Donc a—0,b—=—+1. P RS | Si Q—=—1, ,n étant pair, on combinera la relation (8) avec. no (na +b= +1." | ; se È | ; Fr A QC AR AT DR RENTE RER AR EN RAS TPS PES RS : 36 ® FL en & tes On en déduit que na — + 2. Le problème n ‘admet à solu- "4 tion que si n — 2. Il vient alorsa= +1, b=0. 4 Si n est impair el que Q = + 1, UE (8) est à combiner “4 avec Re" PR) NE se Si l'on prend dans le second membre de l'égalité (8) le #4 signe +, il vient a — 0, b — 1; si l’on prend danslesecond membre de l'égalité (8) le signe —, on déduit de na =2l solution a — 2, b—1,n=— 1, Tqiéble est évidemment à. : rejeter. . FRE PES On peut se dispenser d'examiner lé cas où Q ——1, n'étant impair; en eflet, le signe du cireulant ‘Q changeant avec celui de ses éléments, on déduit des résultats précédents Lt la ‘2 valeur Q = —1 correspond à a — 0, b = — 1. FRET (ES 24. Le circulant d'ordren | FES | CT d307..0000 027 C0 ; ne dans lequel l’élément b occupe le (s + 1)"° rang, est égal au produit des n facteurs RIRE ES C— (a+ p'hXa + prb) … (a+ pb) “4 2 b F, b. P b P | PES 4 Posant + — — y, il vient, CAP Xp) 22e pr) TARN EE J 12 Si s est premier à n, les quantités ; F (9) D =") sont distinctes et égales aux racines de l’équation (3). 7-1 = 1 : TA él. ÉROTRNSE E ÉRQ EE é PERS 4 RES -: Vo VER ES PTT . + PT : gr à NES LÉ ue D 2! à en 2 RE ee 7 ds pre En PAR TN ee k LÉ ne 21 4e ue ra \ ’ - = es Te Se + LR PE > NERO CR RÉ D de VE ( 37 } FE TASER Los “pe, u La =. Y , à A cn en AE. - saute: 7" ea 3. À setup premier à n s’il est égal à l'unité, c ’est-à- dire PAR Lab O .… O0. Dans ce cas on arriverait encore au om ême résultat en développant le circulant C suivant les éléments de la première colonne... | anne Soit alors = $S — s'o, = Nc, . | ce / | = Le F a étant le p. 8. C. d. des nombres S et n. En écrivant les 0 uantités (9) sous la forme A M LOT GT, 7 pns’e, on constate qu’elles forment une suite périodique. Jus- là p"7=— 9" — 1, ces quantités sont distinctes, mais ensuite | retrouve les termes précédents. La période comprend n/ : Mérmés et le Sombre de périodes est de . 2.9, DOC 0 AT fé"! 1 cd 4 cc ( — Le = 5 == es F4 x AE, à Sa . — 1e" TQ — es) + » HT a DIE à Or, drb Æ e' f sont les n'racines de l’ équation y" —1 = 0, F p pans 0 Lido #1 Dbçg —1Y = AN a) 0 TE = La —(— bd)" Te. # Le D va = ” : E- E ED: Soit le circulant _kKe Fr run B éléments À et n — 8 éléments 0. Je dis qu ‘il est ge: à 6 ou à zéro, suivant que B est ou non pre- vier à D. Sir m'est pas premier à n, les quantités (9) ne sont plus « id à 27 t f ! L'ELV"r7 ef 4 4 r A. 4 f£i sr w fs" ASS j © INR, < las / & y : Le Fer ’ 2 LS. MITA SE, Ç Ne NEA Per A Le À SU D + NE 6 ÉCOLES DELA TS. a 7 V2 oz POUND. Ars) RS Ar acer LE a, 7 sh Ÿ Lt D VD e ù 1 F F , À L KL ES ft A n ss ns PE ai er LOU ele : 5 M er : 4 +, a ou EAU k eq k à CAR.) : | = 1 OUPS FLE VO Pr AE A 2 Fr En Léu tre. ee | Jet 4e TES a y Er” 41 PAUL v CA M ERA STE Lz bo Re ‘ NES FÈRCS De se UE PROS dr Lt CERN < OMS w # LA ES Fr ris E Fr f à f se " ed | 4 + Es, 2 : ( 38) ; È st PER S. 4 En effet Q est égal au produit de n facteurs F,, dont l’un, F,, est égal à la somme 8 des éléments d'une ligne, les autres sont de la forme Bi A4 pt + pe pi ee (621,9, 5 R 21); donc pit pré —1 pui-n8 LR ‘5 Q = PRES RAC PRE Si 8 est premier à n, les résidus suivant n des nombres 8, 28, .…, (n — 1)6 reproduisent les nombres 1,2, ...,n—1 L: à l’ordre près; par suite, les numérateurs des fractions du second membre de l'égalité (10) reproduisent, à l'ordre près, 4 les dénominateurs, et l’on à Q = 8. ES Si 6 et n ont un facteur commun &, soit 6 — B/C; n — nt, Dans le second membre de l'égalité (10) se trouve . PUE = À +. pr Ps À pur LÈE À PRET PET Re ee Or b est une racine de l’équation x"? — 1 — O, sans être racine de l’ équation æ —1 = 0. Donc Q = 0. Remarque. — Si 8 est premier à n, on a RES CE BE. Fi = 1 - Donc F4, Fo, .…, F,_, sont des unités complexes. [12, Rem.]. 4 26. Le circulant d'ordre n (11) 0 = OL ANÉ AAC est égal à (— 1) *t mn. Considérons les circulants C= | LA 4 27 USA CSV 120-0770 y | . 1,0 à valeur est CR & 4 \ | M Pere D = (Her D. << \ ec C— CC + de = C = Er 117 n) Pour y = 1, il vient | | HSE ee _C=Q=(—1)"n. à : On peut encore établir cette relation en posant | x Q = FE. En SAN E RE EF = TE n, LT, — = pe! + pi + … + péri AA "Be A HO He pit) OU A | 0 | STE = | Late LR, = ——1 Hot (= 1,2,...,n —1). ; = VS "Ah p € \ Fe ke ; æù + x % a“ w ARS LUE x a: g © -# lex Té © : a . ee [q°A =) [=] © l | Dre | PLAT LE le [es = Er | — NE de A | fe — Dents : = | > ds \ A À AUS F œ © 5 an — = ® x © = HT ACTE © = [œ} ere © 5 LE Dani TES RE | CES CS] Nr | | 74 ETES Si 9) th rS1 RM: | ta bat sure Tr PTT < a Î Po » 2 Ré LÉuAS t “ re ue = de ob: . à DS Le, D. va F + « PATES 2" ; v = 7 + ts J « Du fe) > Fa k TE Le MR (49 ÿ 1 COOP SNS _ L LE Cr À SX | £ : Pia 1 Le; CESR Comme io A9" ne représentent également les racines de l'équation (3), on a | | A4: 24 EC) = (1 Gt 1), < OT TC Dre ® est la valeur de = CG D z Pour z = 1, done Les © ANn=4 Re à = pen | Li REMARQUE Î. — Si aux éléments du circulant (4) c on oute n° — 1, on à [22] PRES x es 1 y nt= |nt—1 n° n°... nt nt+A4|. Remarque 11. — Le produit des facteurs F,, F2, …, F,ideQ est égal à n. Si n est premier, F4, Fo, …, F,_, sont des nombres premiers complexes; dégagés des unités COMIRIETES _. ils sont égaux entre eux; en effet, ona DA) GE tel), (=). et, ainsi qu’on l’a vu [25, Rem.|, 1 + p +... + préest une "à “unité complexe, car, si n est premier, à est premier à n._ REMARQUE III. — Une observation déjà faite par Kummer (*) 4 complétera la remarque précédente. Il ne s'agira jamais de chercher quels facteurs de n, mais seulement combien de ces facteurs, sont contenus dans un uombre complexe donné. (*) E.-E. RKUMMER, Mémoire sur la théorie des nombres complexes compo- 7 sés de racines de l’unité et de nombres entiers. (Journ. de Liouville, t. XVI : | (1851), p. 377.) | RD Re LS LE RAT + 2! 2 LA … x "+ Aie + IIS, ER “# we. S- + té PRÉ Ep dr ; ; #1 em 4" Pr . Fe si in = - SE ” D” * 27. Dans la suite nous reneontrerons des cireulants d'ordre im impair n —2n + 1 tels que \ E- L. ÉTe | à Up ee A Ag A +. pa y | lont les éléments sont disposés symétriquement autour d’un même élément a. Nous dirons que ces circulants sont symétri- * D ques, l'élément a, étant un axe de symétrie. _ dont les n termes initiaux sont constitués par 5 PRE ligne du cireulant (12), il vient A F T'AS … di & un + Ap'1 An lh; An CE a do un ...… EP: Les éléments de cetle suite peuvent être considérés comme étant groupés symétriquement autour des deux éléments consé- # cutifs dy due H s'ensuit qu'il existe pour le circulant (12) E- un second axe de symétrie qui tombe entre les éléments con- = écutif Ar nie : On peut de même envisager des circulants symétriques d'ordre pair n — 2n/ tels que L 2 / a. k. & | An An1 CCC un un é … ly-1 ln; ] 2? BU). a Apt ce g ie. Os ns ||. …_ Si l’on prolonge la suite récurrente de loi x" — 1 dont les n | termes initiaux Sont constitués par la première iB0e du circu- _ lant (15), il vient , : An An s.. Qi ee Op nr nr Aya ++ Ai A Les termes . de cette suite sont groupés symétriquement s autour des termes 4 41 el a,, a,,. Le circulant (13) présente E. _Sil’on prolonge indéfiniment la suite récurrente de loi 4° — 1 mat £ \ Ho I 2 É A hs NS EE np7,2"7 PER | TE + PA PMR LUN 2 | 3, ] ’ i . * . TRS } CT A PRE CAGE EN RAP ELLES D NAR VA LARRRN E MRERMEE 1 Pr 2 MS £ ” A A Le, Ne (42) donc deux axes de symétrie qui tombent respectivement entre les éléments consécutifs a, a, et a, ar. PSE En procédant de la même façon pour le circulant (44) on verrait que les éléments ay et a, constituent des axes de symétrie. Remarque. — Les cireulants déduits d’un circulant symé- trique d'ordre n en prenant les éléments de m en m, m étant premier à n [19, Rem. 1}, sont aussi symétriques. Un circulant symétrique ne change pas si, conservant l'axe de symétrie, on renverse l’ordre de ses éléments. | NE Sur les congruences o(f) = 0 (mod. p) (*). 28. Comme nous ne considérons dans ce chapitre que des : ‘4 suites récurrentes, dont tous les termes sont des nombres entiers, nous supposerons que tous les coefficients du polynome générateur f(x) = a" al Van e Let au | — sont des nombres entiers. Si le coefficient de x” était le nombre ao différent de l’unité, on remplacerait f(x) par af(x), & étant l'associé de aç pour le module premier p que nous allons envisager, de sorte que açjt = 1 (mod. p). Soil (1) Lo; di, | Lo; Se ns ..… une suite récurrente de loi f(x). Formons la suite @) és Dir Tes + us tes (*) Pour ce chapitre, nous avons consulté surtout J.-A. SERRET, Cours d'algèbre supérieure, t. II, 3e édition. Paris, 1866. VIARS dat à Gl à its ta i TT ai # æ _ (43) dont les termes sont congrus respectivement aux termes cor- respondants de (1) suivant le module p. Nous convenons de dire que les suites congrues (1) et (2) obéissent, suivant le module p, à la loi de récurrence f(x). | | Dans l’étude de la congruence +{f) =0 (mod. p), la suite (2) peut être substituée à la suite (1). Nous supposons même Îles termes de (2) compris entre O et p — 1. d, 4, ..., &, étant des nombres congrus à 44, do, ..., 4, suivant Le module p, on peut encore dire que les suites (4) et (2) admettent (mod. p) le polynome générateur A QATAR + .., + ad. On remarquera que l’on substitue ainsi à f(x) un polynome de la forme f(x) — p£(x). Cette substitution a souvent lavan- _ tage de permettre la décomposition du polynome générateur en facteurs. Soit, par exemple, f(&) = 2 — Da? — 9x —5. | On a | | f(x) = 2 + à? — 3x + 1 = (x —1)(x? + 2x — 1) (mod.3) = A — 22? — 6x —18 — (x — 9)(a? + x +2) (mod.13). Toute suite qui admettrait (mod. 3) le polynome générateur x? + 2x — 1 admettrait aussi le générateur f(x) — x5 — 21? OP 0. Si, parmi les coefficients 44, @o, .., dns Il ÿ en à qui sont divisibles par p, on supprimerait de f(x) les termes correspon- dants. On suppose donc a, incongru à zéro (mod. p). 29. S'il existe un polynome E(x) tel que f(x) — p£(x) soit décomposable en facteurs rationnels L,(x), bo(x), ..., on dit que f(x) est divisible par les fonctions bi(x), La(x), ..., suivant le module p (*). (*) J.-A. Serre, Loc. cit, 8 340, p. 121. MATE PA ir 3 IL peut arriver qu’il n'existe pas de polynome E(x x) tel que f(x) — pË(x) admette des diviseurs rationnels; dans ce cas, la fonction f(x) est dite irréductible (mod. p), ou fonction première (mod. p). Il est évident qu’alors la congruence \ = f(æ) = 0 (mod. p) n'admet pas de racine entière, car, si elle admettait la racine entière r, on pourrait assimiler æ — r à l’un des facteurs d(x). La décomposition de f(x) — p£(x) en facteurs Re est unique en ce sens que les facteurs d” une seconde décom- position sont respectivement congrus à ceux de la première (mod. p) (*. | = 30. Pour les raisons déjà exposées [10], on peut étendre aux suites récurrentes, suivant un module premier b, certains résultats : établis PRÉEACUE RS pour les suites: récurrentes ordinaires. | Ainsi, on a le ihévrèue suivant analogue à celui du n° 2 : Une suite récurrente qui admet (mod. p) le polynome générateur fix) admet aussi le polynome g(x) divisible par f(x) (mod. p). On peut démontrer directement celte proposition. En efet, soit 7 g(æ)= f{x)h (x) + pfi(x). La suite récurrente (1), obéissant à la loi [{æ}, admettra aussi (mod. p) le polynome générateur f(x) h(x). Or, si g1(x) repré- sente ce produit effectué, les coefficients de g(x) ne diffèrent de ceux de g;(x) que par des multiples de p; done [28] la. suile primitive (1), ou encore toute suite congrue à celle- -C1 (mod. p), obéit aussi à la loi g(x) (mod. p)._ | Si une suite récurrente admet le polynome générateur [(x) de degré n sans admettre de SARPRAIQUES d'un degré inférieur (*) J.-A. SERRET, loc. cit., $ 343, p. 195. € : : Fe: "715 “ee à (4 ) Dos. p), nous dirons qu’elle obéit à une loi de récurrence irré- … ductible (mod. p.), ou encore qu'elle est de rang n (mod. p) [2]. D de celles qui ont été développées précédem- ment. Nous nous contenterons de les énoncer. Les propositions Re: suivantes se déduisent : a) Du n° 5. Si une suite récurrente admet (mod. p) comme Ps. générateur deux polynomes f(x) et f.(x), elle admet aussi comme générateur leur p. g. €. d. (mod. p) (*). b) Du n° 6. Si n + r termes consécutifs d’une suite récurrente De obéissant (mod. p) à une loi f(x) de ‘degré r sont respectivement _ congrus (mod. p) à n + r termes consécutifs d'une suite récurrente . deloif(x) de degré n, les deux suiles sont gs (mod. p) dans toute leur étendue. 3 _ €) Dun° 7. Le rang Œun déterminant (mod. p) étant l’ordre … de ses mineurs incongrus à zéro (mod. p) de l’ordre le plus ne élevé, le déterminant : MA uié I Th Ty. ... æ | , oùn =n—1, est de même rang bd p) que la suite récur- : rente (1) dont F PO 31. Nous dirons qu’un système de valeurs déterminées 4 (3) Co» Cr …. C4 …._ constitue un système de racines, ou une solution, de la con- gruence nt): : p(f)=0 (mod.p), … lorsque ces valeurs, substituées respectivement aux n variables Los Lys .., Ln_4 de w(f), satisfont à la dite congruence. 4 (*) Pour le procédé de recherche de ce p. gr ce. d., Cf. J.-A. SERRET, loc. cüt., LS 341, p. 122. JlL-est d’autres théorèmes dont la démonstration découle « a | ASIE NOR Ra 0 Considérons les n valeurs (3) comme les termes initiaux d'une suite récurrente (c) ayant f(x) comme polynome géné- rateur, et désignons par C,, Guy) ---, les termes ultérieurs de la suite. On aura [14] pour le module p. | (Co Cis +. Ca) = I Cr CRE 2 Co | =0. Mais on a aussi ["7, Rem. I] =n" Ca + | = (Ta, I ns Cn—2 .. Col; { donc (Ca Co cs 5) = (— D'a,g(co, C4 © QE) bad =; | et, plus généralement, pour y Zn —1, (Ris Chatte en a (AN ar loco, Cr, Ca) = 0. On en conclut que n termes consécutifs quelconques de la suite (c) constituent également une solution de la congruence (4). La même chose peut se dire de n termes conséeutifs de toute suite dont les termes sont respectivement congrus (mod. p) à ceux de la suite (c). | | 32. La congruence (4) peut se remplacer par la suivante : g()—=A1=0 (mod. p) ÀA,_1 étant le déterminant récurrent défini précédemment [14, Rem. []. Si ce déterminant est congru à zéro (mod. p), son rang (mod. p) est < n — 1. Donc [80, c].la suite récur- rente (c) obéit alors (mod. p) à une loi irréductible de degré < n —1. On en conclut que pour que la congruence (4) ait des solutions, il faut et il suffit que f(x) soit réductible (mod. p). Si f(x) est une fonction première (mod. p) R9} la con- gruence (4) n’admet pas de solution. | E- A ru 0 Lei lé ET 7. 114 AS Ve À ? à pd SCO ini tt Es nds célafri Fr és z ‘4 KL Æ é ” SN 2 La Ame. k un in té f Ms de OC ARENT Fa. ta tient mé, 2 te dit Li È tres td à in or péciye dis 4 Si delhé à Gén 40): égig | j - é 7? k 7) 33. Le polynome f(x) étant réductible (mod. p), soit (16) — 4" + ba"! + b,x"? re + ba . un de ses facteurs (mod. p) de degré r < n. Prenons arbitrai- rement les. valeurs €, €4, ..., C,_1, et considérons-les comme les termes initiaux d’une suite récurrente dont le polynome * générateur serait d(x). Je dis que dans ce cas Don Ca vers Cyi) — free te | est divisible par p””. En ‘effet, à la s°° colonne (s — 1, 2, ..…, n—r) du déterminant | c,_1 2 ... €o | ajoutons les sui- vantes multipliées respectivement par b4, bo, ..., b,. Les n—r | premières colonnes du déterminant transformé sont divisibles { par p; ce qui démontre la proposition. Il se peut du reste que le déterminant soit divisible par une - puissance de p supérieure à la (n —r)"*. Remarque L. — On peut encore dire que si la suite (c) est de rang x (mod. p) [30|, le déterminant récurrent | ©,_1 @,_9 .… Co | est divisible par p—. - Remarque IL. — Si ® (Cos C1, +. Cn1) est divisible par p à … la première puissance seulement, la suite (2) est de rang n — 1 pour le module p. 34. — On rapprochera la démonstration développée au numéro précédent de celle du n° 41 : comme cette dernière, elle est évidemment extensible au cas où l’on remplace Île module premier p par un module composé m. On a donc le théorème : Pour qu'un système de valeurs constitue une solution de la congruence &{f) =0 (mod. m°"), il suffit que ces valeurs soient (mod. m) les termes consécutifs d'une suile récurrente dont le polynome générateur est d'un degré r < n et divise f(x) (mod. m). w u K Fra d “- Ce) Mais si cette condition est suffisante, elle n'est pas nécessaire lorsque le module est composé. Sins soit f(æ) = 2° — 92 — 9x — 5. La congruence o(f) =0 (mod. 39) admet la solution 13, 28; 25 (mod. 39). On vérifie que la suite 43-08 D AE ET AE obéit à la loi de récurrence (5): © Oé+Mx+1B8 (mod.3%) | _ Celle-ci ne divise pas f(x) (mod. so puisqu'on à la seule 4 décomposition . 2 — D? — Ir — 5 =(x — 29) (a + 20x L 2) (mod. 39). ne a vu [28] quelles sont les oo ete du polynome — 2x? — 9x — 5 pour les modules 3 et 13 divisant 39. . Les remarquera que le trinome (3) est identiquement ot à “4 à zéro (mod. 3) et que, multiplié par 5, il devient æ? + 72+2 (mod. 43). + | 35. — En définitive, la détermination de toutes les solutions de la congruence (4) nécessite la connaissance de la décompo- sition du polynome f(x) en ses facteurs irréductibles (mod. p). Si, pour des valeurs déterminées des n variables, la forme o(f) prend la valeur N, on conclura que le polynome f(x) est, réductible pour tout module premier p divisant N. Le degré d È auquel N contient p donne une limite inférieure du degré n — d de la fonction Ÿ(x) qui divise f(x) (mod. p). L'étude de la suite récurrente fondamentale de loi f(x) donne d’autres indications concernant le nombre et le degré des diviseurs de f(x) (mod, p). Mais, si les formules résultantes sont simples, les grandeurs | à qu’elles renferment ne peuvent se déterminer qu’au prix de 2 N. C4) “à reste déjà si l’on veut calculer la valeur numérique ‘de É: N = #(f) dans un cas déterminé. 4 TS ES VI. \ Sur les congruences o(z® —1)=0 (mod p). | 86. Pour que le circulant À — | a, 4,_1 ... a, || soit divi- | ble: par un nombre premier p, il faut et il suffit [32] que ; la suite 2 @ UPE 0, RCE Ap-4) PE dy; @; À obéisse (mod. p) à une loi de récurrence d{x) divisant le …._ binôme æ*— 1 (mod. p) et d’un degré n, moindre que n. - Nous dirons, pour la brièveté du langage, que Le circulant À, - et même, plus simplement, que A obéit à la loi b(x) (mod. p). | 4 Si l’on renverse l’ordre des termes de la suite (1), la nouvelle suite obéit à la loi de récurrence x“®(x-1). Nous dirons que …. les deux lois D(x) et &b{x-1) sont inrerses l’une de l’autre. à Un circulant symétrique ne change pas si, conservant l’axe de symétrie, on renverse l’ordre de ses éléments [27]. Il obéit - donc, pour tout module premier qui le divise, à la fois à une - loi de récurrence Ÿ(x) et à son inverse. _ On remarquera que la réciproque n’est pas vraie. Ainsi, * pour le module 41, ona L—1—=(x —1)(x —3)(x —4)(x —5)(x — 9). - Le circulant non symétrique 115 — | 3, — 2, 4, — 4, 0 | 3 obéit à la loi de récurrence irréductible x5 — 8x? — 3x — 1 — (x —1) (x — 3) (x — 4) (mod. 11) et aussi à l'inverse de … cette loi, vu que les deux lois inverses l’une de l’autre se _ confondentici. | EE ais 4 ’ DANS EN PTS SE IR : pe "VE T CR RATS Re « L'Aee w." : Le Te 2 de, g: “€ 2 À Re LS te KES ÿA PET DUT. : 37. Supposons que le module premier % soit de la forme 1 p=1 (mod. n). En ce cas la congruence CARS % | à AC 5 Sci (2) g"—1=0 (mod.p) Br A. \ Me: | £ a n racines réelles distinctes (*) r4, ro, ..., Tu que l'on peut encore représenter par r0, rt, r2, ..…., 1 si r est une racine primitive de la congruence (2). | SSSR. On peut envisager les développements du n° 14 au point de 4 vue des congruences (mod. p). | 4 La transformée indiciale (mod. p) de Fe ce a — 1 AU — 77 | - RES TL — T D —T $ A > ; L - > "rh est, en remplaçant æ; par &1 (= 0,1,2,...,n —1) [20], An + Ta + Vp-o Hi. +4 (mod. p) SE E | , VERRE PR Représentons par #5, #1, ..., f,_, l'expression précédente quand on y remplace r successivement par r?, ri, re FANS fl vient [21] | Se A. : A=f, ff, RATES # Nous dirons que £,, £,,..., f, , sont les facteurs f du circulant À (mod. p) [12]. È On remarquera que, pour le module p, re Lo = An + An + 4 d = Fo, F, ayant été défini au n° 24. (*) En effet, n étant un diviseur de p — 1, le binôme æ* — 1 est diviseur algébrique du binôme xæ?-1 — 1, lequel a (mod. p) p—i racines. Donc = congruence (2) a # racines. ee + re s 4 51 Re | a suite (1 (4) obéit (mod. p) à une loi de récurrence irréductible dé egré moindre quen — 1, A serait divisible par une puissance dep eur à la première (33, Remarque 11}. Soit E £ f nr J D | M) PE). r) ———— mod. & ra C d. p) F celte loi; sa Aranaformée indiciale étant congrue à zéro (mod. p), 6 Dors que f, = 0 ee C’est du reste à; seul facteur is À + La ru Ve —- né (mod. ?). >: (4), [80, a], donc à une loi de récurrence de degré < n —1, k: qui est impossible. - > | REMARQUE. — Si-A = p et que F,—1, les facteurs F4, dE, “ERA TEE définis au n° 21 sont les n —1 facteurs pre- L iers complexes de p. Leur norme, c'est-à-dire le produit à L eu Fo, ..., Fi est égale à à D. . Il n'existe pas toujours de cireulant égal à p. Cependant Kummer () admet dans ce cas l'existence de n — 1 facteurs premiers idéaux dont le produit est égal à p. Nous dirons, par * Rréuant idéal. 2: & 88. Le Ro dele premier p étant encore de la forme p=1 100 à [0 La. 4 De : | Re €) E.-E. KUMMER, loc. cit. * “A LS " est divisible pr pà h} première puissance nt, | < de degré n—1, car si la loi irréductible était (mod. p) d’un once qui serait le p. ss c. d. (mod. p) des polynomes (3) et. Bogie qu'à un facteur premier idéal de p Son un Eos n), supposons que la suite (4) soit (mod. p) de rang d'80|. die y - Kad L + Rs. LENS 5 b EX: :: 278 d LE w ; AE | P 7 à gi LP ULE ue di "1 Lx 272" 1N NRSINRECIER DTA HU Î Le ' UE 2 es i ‘ : ve: 2 (32) La loi de r récurrence irréductible à laquelle elle obéit | pourra s'exprimer par a" — 1 (x — 7°) (&œ — r")…. ce — 7!) | QUE 4 les racines r’, r", ...,r! étant au nombre de n — d. La suite récurrente (1) admettra aussi (mod. p) les polynomes généra- teurs obtenus en divisant x” — 1 respectivement par æ —r!, æ—r",...;xrOnen conclut que | | Ê= #, Led pe (mod. p}. Donc le rang d du cireulant A, suivant le module p, déter- mine aussi le nombre n — d de ses facteurs $ qui sont congrus . à zéro (mod. p). Inversement, si n — d facteurs f de A sont congrus à zéro (mod. p}, le circulant A est (mod. p) derang d. : En effet, la suite récurrente (1) admet alors comme générateur : (mod. p) chacun des polynomes correspondant à l'un de ces n — d facteurs f, donc aussi leur p. g. c. d. qui est de degré « d, puisque les racines r0, ri, r?, ..., r7! sont toutes dtietes On rapprochera ces conclusions de la Remarque I du n° (4. 39. Supposons ensuite que pour le module premier p la congruence ER su ARE = ami Latt Lt... m0 ao ?) AE E | x —1 À soit décomposable en s facteurs irréductibles de degré d > 4 de sorte que n—1 — sd. Si la suite (1) est (mod. p) de rang n — d, le déterminant A sera divisible par p°[83, Rem. I]. En particulier, si À — p°, et que F, — 1, les facteurs F;, Fo, ...,F, 1 de A sont: des nombres complexes premiers. M On peut démontrer que ces facteurs peuvent être combinés s par s de façon que leur produit soit égal à p. Comme nousne M ferons pas usage de cette proposition, nous renonçons à l’établir; au surplus, la démonstration n’en est aisée que si l’on a recours + ta Ë # EE . 34 _ par des voies différentes (*). _ On sait que Kummer est arrivé à des résultats analogues _ 40. n étant premier, supposons que le circulant A soit divisible par n après que ses éléments ont été débarrassés, s’il ya lieu, du facteur commun n*. On détermine aisément à - quelle puissance n divise le facteur F.. Pour savoir à quel degré n _ divise À, il reste à déterminer à quelle puissance 0 l’un des . facteurs F, (i = 1,2,...,n—1), par exemple F,, contient p—1, p ayant la signification définie au n° 21; car 1l est évident que F, (i — 2,3,...,n—1) contient autant de fois …. p—1 que F, contient de fois p — 1. Ceci est du reste conforme à une remarque précédente [26, Rem. IH]. _Remarquons que F, peut contenir au plus n — 1 fois le facteur. p — 1 ; en effet, F, est une fonction de degré n — 1 au _ plus en p, et ses coefficients numériques, par hypothèse, ne sont pas tous divisibles par n; or, si F, était divisible par 4 1)"; tous ses coefficients seraient divisibles par n, ainsi qu'il ressort immédiatement du développement de (o — 1)”. Pour que F, soit divisible par p — 4 à la puissance 0 au plus, 1l faut et 1l suffit, en tenant compte de la relation n—e(p—1)"1[26, Rem. IIT}, que cette fonction et ses dérivées . par rapport à p, jusqu’à celle d'ordre à exclusivement, soient - divisibles par o — 1. Or les indications fournies par ce critérium ne sont modifiées en rien si l’on ajoute à F, un ou plusieurs termes Cn’p" où C est une constante numérique, et où n et n! sont des entiers positifs, n seul étant astreint à la condition d’être plus grand que zéro. Mais alors le eritérium que nous venons d’énoncer peut se remplacer par lesuivant : Pour que F, soit divisible par p — 1 à la puissance 8 au plus, til faut et 1 suffit que cette fonction et ses dérivées par rapport à p jusqu'à celle d'ordre 8 exclusivement soient congrues à zéro (nos n) pour p — 1. ! (*) E.-E. KuMMER, loc. cit. aux imaginaires de Galois, dont nous préférons éviter l'emploi. Ph Ü Ce eritérium peut se transformer. De ce que | TS Re n—{1=(x—1} (mod. n), il résulte que la congruence æ"° — 1 =0 (mod. n) a n racines réelles. On peut donc, comme dans le n° 37, lès facteurs f (mod. n) et écrire Ne Li fire frac - (mod.n}. Sen où #, est la transformée indiciale de an — 1 LE; = (x — rÿr-4 (mod. n), D Liz \ r étant égal à l'unité. | Pour les valeurs p — 4 et r — 1, les facteurs F; et f, coïn- cident. L'analogue peut se dire des dérivées successives de Fi - et de f, prises respectivement par rapport à o et à r. Si l’on remarque en outre EN es la valeur r —1, les dérivées successives de f, par rapport à r sont, au signe près, 4 les transformées indiciales des dérivées de (a At par rapport à æ, le critérium précédent peut encore s’énoncer comme il suit : Si p — 4 divise le facteur F, à la puissance 8 au plus, la suite récurrente (4) obéit à la loi irréductible (x — 1)°79 (mod. n). Remarque. — Si n est premier, le circulant d'ordre n (5) [0% TRE ne SRE RE EAU obéit à la loi de récurrence irréductible (x — 1}*71 (mod. n). En effet, de ce que pour le module n on à (x = 12 LOS SEA RE (n— xt +n—1, LT | ( 54 ) | pi. $ # 2 Fu 3 È | D une, mat on |eonelut que le cfrèulant } est divisible par n à la puissance à + 2 au plus. On à du reste vu précé- demment [26, Rem. I] qu'il est égal à nr? #; CT are _ Multiplication des formes o(x" — 1). ._ A1. Etant donnés deux circulants de même ordre n E sa A— |0, An ..… a; ||, = Se. Be bu ee bill 08 convenons d en effectuer le produit en multipliant les - lignes de A (ou de B) successivement par celles de B (ou de A); 4 ce produit donne ainsi lieu à deux variantes que nous s désignons # respectivement par AB et BA. 4 54 En posant | LR Ab Pa be tes db e,, | | nbn- + Onda + +22 + Gba = 64, con trouve | É 3 Es ‘: > 1 : x Es +4 8e Ve AB—]|C Cns .. Gl,;, ; CR ee, s é È 8 Èe | REMARQUE. — On pourrait encore effectuer la multiplication Res de A par B en combinant les lignes (ou colonnes) de A succes- RS D rement avec les colonnes (ou lignes) de B. On obtiendrait Le % ainsi un nouveau circulant qui, en général, diffère des cireu- 24 ; DRAC - ” je | à LA + » TV V2” à : AT ts" \ … > L ei # LA | Le Se , Tr (é. à 4 TES RC SOLS CAGE Re s : - SE En ä Ÿ nt as Cr À 4S TN \ ! WA 7 Pie , CN n en on Suss - (186) Lx PE s D Cr lants AB et BA. En se conformant à nos conventions, on arriverait au même produit en multupliant A par le circulant * déduit de B, en prenant ses éléments ie n—1enn—1,le terme initial restant le même. NEA ei — 492. Il est intéressant de voir | faut combiner les facteurs - Fa € Es F— a, + dn_3 + An-20° RP Den AL à Le ; \ de A avec les facteurs | LY L “ { F'— b, + bn1P Fin D-2p° 25 Fe < bip" * | x 4 de B pour donner les facteurs = y + Cp 1 Gp eee GIP | Se 4 du produit AB. | 2 Ajoutons membre à membre les Fe (1 ) après Les avoir multipliées respectivement par 4, p, e?, ...,p""1; la somme, ordonnée par rapport aux quantités &,, 4,_y,..., ay est An (On + bip +- bp? CORRE biaptet + An On + np Æ bip? + +: + RE) HG ap + ce + hp) = F". L. Y Désignons les quantités entre parénihèses DRE (EX CET TERRE qi À de sorte que F" — Ann + An-1Qn-4 He ei UP Il est facile de voir que | < In = Une» Ps : AE: “4 An-2 = Un = nf?» > Le L L L1 ue LA (57) l= Un (An RE An-1P + An? + SE dp"*) is InE. \ {he x Or q, correspond à la transformée indiciale dore F7 = [21] D'ailleurs pour p° — 4 on à F, —F,F;. On en ne que lé facteur F de AB qui correspond à la racine p est égal au produit du facteur de À correspondant à la même racine par - — celui de B correspondant à la racine conjuguée de p. On a donc “Ja relation D FF 43. Le circulant AB: obéit, pour toul module premier divisant À, à la même loi de récurrence que. le circulant À, et, pour loul - module premier divisant B, à la loi inverse de celle à laquelle obéit le circulant B. - En effet, la suite c4, co, :.., €, peut s’écrire, en remplaçant bits... ©, par leurs valeurs (1) et en ordonnant par rapport “aux éléments 6, ba, …, 0, | > CG = Vis + Dos + +++ + bu, CU ae de RSR ee — Re + = Ce VE 4 sex L. 3 EE: 4 Ê Les différentes colonnes des seconds membres de ce tableau Ex sont constituées, à un facteursprès, par la suite récurrente Le _ A4, do, ..., dy, &y, .…. En vertu du théorème du n° 9, la suite —.. Ci, Co, .. ; En, C'est-à-dire le circulant AB, obéit à la même loi _ de récurrence que la suite a, @, ROSE c'est-à-dire que Île _ circulant À. | On démontrerait de même, en ordonnant les valeurs c4, …. GCo,..:,0, par rapport à di, do,..., 0%, que le circulant AB obéit à la loi de récurrence inverse de celle à laquelle obéit F. le circulant B. x. Ë à 1 » 4 LE. | à pros ie à L'ILE 44. Étant donnés deux circulants : LS C= {On Ga ce Gal | | | | (27. ER À — | Op Any ce } : 4 obéissant suivant le module À à la méme loi de récurrence de degré < n, dont un coefficient au moins serait premier à À, à existe toujours un troisième circulant à éléments entiers j 4 M B—|b, bris ... bi tel que C — AB. RUE 0 En effet, pour qu'il en soit ainsi, il faut que les égalités Andn + Ann + eee + Gb = Cu 4 Un + Anbn-s es + ah=e À 451 Anibn + An-2Dn-4 25 L . . LE] + + dodi = Cn = 1 donnent pour b,,b,_1,...,b, des valeurs entières. Or ces valeurs sont exprimées par des fractions dont le dénominateur _ êst égal à A; les numérateurs sont divisibles par A, puisque les colonnes de leurs déterminants sont des suites récurrentes qui obéissent à uné même loi de récurrence (mod. A) [11]. Les valeurs de b,, b,_1, ..., b, sont donc entières. 45. En rapprochant le théorème du n° 44 de ceux des n* 3 et 50, on conclut que le circulant AB obéit pour tout module premier p à une loi qui est le p.qg. c. d. de la loi irréduc- tible à laquelle obéit le circulant À (mod. p) et de l'inverse de la loi irréductible à laquelle obéit le circulant B (mod. p). re Reste à voir si la loi ainsi définie est également irréductible pour le cireulant AB. Nous nous bornerons à élucider ce point pour les deux seuls cas suivants : p=1 (mod. n), et p = n. 46. Si p =1 (mod. n), la condition nécessaire et suffisante à pour que le circulant AB obéisse (mod. p) à une loi irréductible 24 de degré d est que n — d des facteurs f" (mod. p) de AB soient & _ congrus à zéro (mod. p) [38]. … Or, la congruence x" — 1 —0 (mod. p) ayant n racines 4 le on peut étendre les conditions du n° 42 aux facteurs f _ (mod. p) et écrire la relation 7 ; #=$f; ni (mod. p) | analogue à à l’égalité (2). Il en résulte que la congruence F #/ =0 (mod. p) exige que f, =0 ou que f,_, —=0 (mod. p). : _ On voit que la loi irréductible à laquelle obéit le circulant AB est précisément la loi à Len il obéit en vertu du théorème du n° 2 ._ Æ'7. Supposons maintenant que p —n, n étant premier. _ D'après ee qu'on a vu {26, Rem. Il], le problème qui nous « Droccupe revient à déterminer à quelle ee l’un des fac- …. teurs F; (i —1,2,...,n — 1) de AB contient p — 1. Il résulte de la relation (2) que c’est à la puissance 0 + 0’ si les facteurs … F,et F,_, contiennent o — { respectivement aux puissances Get 9". On en conclut [40] que si les circulants A et B obéissent …_ respectivement aux lois irréductibles (x — 1)" (mod. n) et (x— 1)" (mod. n), le produit AB obéit à la loi irréductible (x — 1} (mod. n). Cette loi est d'ordre zéro, c’est-à-dire que tous les éléments . du circulant AB sont divisibles par n, pour 8 + > n. On remarquera que si à et 0 sont compris entre O et n, autrement dit si les circulants A et B sont divisibles par n sans … que tous leurs éléments le soient, le cireulant AB obéit toujours (mod. n) à une loi irréductible d’un degré moindre que la loi définie au n° 43. 48. Si l’on transforme les circulants A et Ben prenant leurs . ééments de m en m[19, Rem. 1], l'élément initial restant le même, _le produit des nouveaux circulants se déduit du circulant AB en + prenant les éléments de m en m, l'élément initial restant le méme. 4 PIC. ASC dl Page CSG Re pe F Late AE Lo TL En Se NT à he Ti Le r è TL, (Le re “ Fr ce sd / 3 7. on € ee "x + > y “ grue 4 (60) Pen 0e ONE A, et Bi étant les ctaitia transformés, désignons Dar Es Fu Faili=0,4,.., 0 respectivement un facteur F de A4, B,. AB. On voit aisément que Fi; = Fu Mi étant l'associé de m pour le module nr premier, par hypothèse, : am; de même F;,—F,,. Tenant compte de ces égalités, la rela- tion (2) permet d'écrire | \ 1 1 F/ 27 F, il, Ni — Fils MN—Ù — £ Mais ce qui est l'expression même de théorème. \ STE AAA: : \ Remarques sur les circulants ARR à l'unité. 49. Un circulant d'ordre n, n élant impair, ne peut étre égal . à l'unité que s'il est symétrique [27]. Supposons que le circulant (1) [an Ana + dl soit égal à l'unité. Le circulant (2) PAPE PER EC | est aussi égal à l'unité [19, Rem. I]. PAER Divisant le circulant (1) par le circulant (2) on obtient un circulant STE 3 GE ll BE PRE dont les éléments sont entiers [44]. i Représentons respectivement par F,, F;, F;'{(i = 0, 1,2,..., 1 n — 1) les facteurs F des cireulants (1), (2), (3) [211. Ces fac- teurs salisfont aux relations [42] | © 3 24 (4) F; PS F; is 7,258) (8) : Fr = Fri. | (61) ; Maïs, comme le ‘cicculant @ ) se déduit du circulant A) en” È Dent l’ordre des éléments, l'élément initial restant le { LA 5 D oh, | FF. # EE MGibgliae les égalités (4) et (5) membre à membre, et ; lénant compte des relations (6), il vient 0. E FF ve È Si l on rapproche l'égalité (7) de la relation (2) du n° 42; on 3 Doit que le produit des circulants OA bus ee Xe ba ve dl _ doit être égal à un circulant dont tous les facteurs F sont égaux … à l'unité, c’est-à-dire au circulant | 4 0 O ... O1. . Effectuons le produit (8); il vient [41] D Ha ++ —1, _ 1 nt yE a bib; = 0, . L LA . L LZ Le .9, D», ASEUIER I ET) - On conclut de là que tous les éléments b sont nuls, sauf un seul, par exemple b,, qui est égal à +1. Il est facile de voir … que le signe + est seul à considérer si n est impair; en effet, és facteurs F!' sont au nombre den; leur produit a pour valeur —… + 1, puisqu'il est égal au circulant (3). Si, de plus, on tient à pere de la relation (7), on voit que Fÿ doit être un à +1, _ C'est-à-dire que b, = + 1. . Dès lors il vient, p ayant la signification définie au n° 21, 00 or Vian î À EN o ER - | SE ; Fax - 4 Lay Si, dans la relation (4), on remplace Fes par sa ‘valeur (0), L on obtient : | | DRE: F, Ts ptiFi. à à Len TS > : Mais . ms tre < AR EN a Fi = Ap + An4p° + A0” + eee + ap", | p*tF; — anp*t SE GR de | Fiies re en _S Ces deux expressions devant être identiques pour toutes les valeurs 0, 1,2,...,n— 1 de à, on conclut CARE Er A An = (17708 , Ap1 — Apr) nt Ant pig An+t-R 2 | [l « a c'est-à-dire que le circulant (1) est symétrique. Si l’on pose TERRES Mb=ntik, ss NES MES il Mort La ? nes LS ss : 4 Il Me de là que l'indice n — À caractérise un axe de 4 symétrie du circulant (1). Un ad axe est caractérisé es l'indice n—##. L'un de ces indices est entier, l’autre est fractionnaire, c’est-à-dire que l’un des axes de symétrie | : coincide avec un élément du cireulant (1 (1), l'autre tombe entre. É: deux éléments consécutifs égaux [27]. < 200 STE Remarque. — Il est facile de voir que les développements précédents peuvent s'étendre au cas où n est pair, à condition 22 que l’on affecte du double signe les seconds membres ses égalités (9) et (10). La conclusion finale : serait que (14) An — = An-hs An = E Re ni — == Untt=n Dans toutes ces égalités, il faudra prendre le même signe. Donc, si l’on fait abstraction des signes de ses éléments, ke circulant (1) est encore symétrique si n est pair. IÈSS LE SSSR ER uciderait comme ci-dessus la question des axes de au surplus la question a déjà été traitée au n° 27. ns que le cireulant (14) du n° 27 peut être égal à l’unité, s non le cireulant (15), car le facteur F, de ce dernier est _ ir ou nul suivant que l’on prend dans les égalités (11) le e + ou le Le. | J ne # on | x F60. Lemme. — Le nombre n étant premier impair, soit le | Le F6 ] lant symétrique d'ordren RTS re pl : ee 1 TE PE | | | 14 (3 la valeur numérique est 2 [24]. Soient As; Az, À, Es es ù LE = “g) les circulants déduits de À, en prenant les éléments Se deux en deux, de trois en trois, ..., de en [19, Rem. I}, AE ément initial restant le méme. Je dis que le produit A,A9...A, Lo. un circulant de la forme s x È PR OR. al, :, : ne. : 2 b—a— +1. : : bte Ris dors chacun des cireulants A4, Ao, ..., Au, On prend les pu. éments de i en à (i —2,5,..., u), l'élément initial, qui est PR. ui xe de symétrie [27], és FA même, le produit se déduit TA ni cireulant C en prenant également les éléments de à en i, “ie l'élément initial restant le même [48]. Or, les x nouveaux , LENESE ireulants ne diffèrent de eenx qui ont donné le-produit C que FES l'ordre, et comme ils sont symétriques, leur produit est 1 oi dépendant de leur ordre (*). On en conclut que le circulant IRIS symétrique C ne doit pas changer si l’on prend ses éléments re Ts 0) Ceci résulte immédiatement Le principe de la tu exposé | nes 41 et 42. , | (64) x deieni(i=,3,...,u), l'élément initial restant le même; mais alors il doit avoir la forme (12) que nous avons prévue. Reste à montrer que la relation (13) doit avoir lieu. Considérons le cireulant | 54 0, 0°: 00 ESS qui se déduit du circulant (12) en retranchant a de chaque élément. On à vu [22] que | { (14) Q = 2% — na; mais ON à aussi : CRE (15) | Q = (b— ay. | D'après une observation déjà faite au n° 42, le facteur Fo. du circulant C doit être égal au produit des Le F, des circulants A,, A9, ..., A4. On à donc l'égalité (16) 2 = (n—1)a + b. Éliminant d entre les relations (15) et (16), il vient (17, | Q = (24 — nay’. Pour que les égalités (14) ét (17) soient compatibles, 1l faut que | (18) 2 na — +1. La combinaison des relations (16) et (18) donne l'égalité (13). 51. Examinons dans quelles conditions le cireulant symé- trique B, d'ordre n Y ind € nd nd ... nus Nu Ndy Nu + nds nd || peut être égal à l’unité, n étant un nombre premier impair. 5 g Soient Bo, B... pie B, les renants déduits du ciroulin: B, Æ en prenant les éléniente. de deux en deux, de trois en trois, FER de x en y, l'élément initial restant le même [19, Rem. f[]. | Supposons que le produit des cireulants B4, Bo .…, B, soit le CI ireulant D. Si dans chacun des cireulants B4, Be, Re O00 _ prend les éléments de i en i (i = 2, 3, ..., u), l'élément dtral restant le même, le produit se déduit du circulant D en prenant pue les éléments: de à en t, l'élément initial restant le même [48]. Or les nouveaux cireulants ne diffèrent de ceux qui ont donné comme ‘produit le circulant D que par l’ordre, Let, comme ils sont symétriques, leur produit est indépendant - de leur ordre. On en conclut que le circulant D ne doit pas _ restant le même. On peut donc écrire D If 0 Forest. k + Us: l'on fait did d; =.\—d, 1e 0, les éléments des Erculants B, et A, [50] ne “différent que par la constante . multiplicative c; de même les éléments des circulants D et C % à tenant nor du théorème du n° =. +4 _ f—=bh+h—1, Go) : - y =a#+h—0, . c ne peut être divisible par n, car sinon tous les éléments du a=0 (mod.n). ès s lors la relation (18) Opus la condition DENET (mod. n?). Fe 5 6) \ È _ changer si l’on prend ses éléments de à en à, l élément initial ne diffèrent que par la constante c“. On peut donc poser, en . h et h’ ne contenant que des éléments divisibles par n. Comme Rcuont B; seraient divisibles par n, la relation (19) exige À Te EE AN CS TEL RES DE EE ec SR LL RP ME Te Lo + a à LS À #7 Cr US ë l #É, y? er es WE ha PET y ER CNRS L) : ; LMP MR EE sr YA: PAT |; Fa TRAIT TES i RES" bee + +: ATNE TS CE ne À < UP ASS < > | 661) m - ri R v 4 ES V2 On sait (*) que cette congruence n’est AIDE que pour de. très rares modules, si toutefois elle l’est, Remarqüons en outre qu’elle constitue une condition nécessaire, mais qui, peut-être, 5 è n'est pas suflisante de l'existence de cireulants du type Bi égaux à l'unité. Cette existence reste donc très problématiques » (*) Dans le Journal für reine und angew. Math., t. TI (1898); p. 29, N.-H. ABEL avait posé la question suivante : «#1 — 1 peut-il être divisible << par 2,1 étant premier et « un nombre entier (4 < a < pe): C.-G.-J. JAcoBI : e, résolut la question par l'afirmative et montra que la plus petite solution du probleme était donnée par la congruence 319 — 1 —=0 (mod, 412). Cane für reine und angew. Math., t. III [1828], p. 301.) Plus récemment, J.-J. SYLVESTER, Comptes rendus Acad. Se., Paris, t. LIT (4861), p. 161, M.-A. STERN, Journal für reine und angew. Math. st. QC (4887 p: 489, et D, MIRIMANOFF, Journal für reine und angew. Math. t. AE A P. 295, se sont occupés de la question. Te de E. Lucas, Théorie des nombres, Paris, 1891, p. 493, sénat que, pour a — 10, le seul nombre premier Re mo satisfasse à la Reste posée D Abel est he 487. \ APPENDICE | É ta publication de ce mémoire, qui était à l'impression en _été 4914, à été retardée par les tristes événements que l’on sait. Continuant nos recherches, nous avons rencontré quelques =. propositions que nous voudrions signaler pour prendre date. Si dans un polynome de degré m en x on remplace les = exposants par des indices, on obtient une nouvelle fonction _ dans laquelle on peut considérer les éléments x,,, FAN SEE - comme des variables indépendantes. Nous dirons que la nou- . velle fonction est la transformée indiciale ou, plus brièvement, l’indiciale de la fonction primitive pour la variable x. Nous ferons précéder la fonction qui subit la transformation indi- ciale de la lettre gothique 3 affectée au besoin d'un indice qui précise la variable sujette à transformation. Modifiant quelque peu les notations employées dans ce _ mémoire, nous représenterons un déterminant récurrent [4] . par le dernier élément de la première ligne placé entre deux doubles barres, un indice désignant le degré du déterminant. Les éléments des déterminants récurrents que nous envisage- rons sont toujours des transformées indiciales, et c’est la _ lettre sujette à la transformation indiciale qui subit la ma]ora- tion de l'indice pour passer d’une rangée du déterminant à la voisine. Nous conserverons à f(x) [1] et à p; [15] la signification qu'ils avaient dans ce mémoire ; nous désignerons par vo, dy, ... les éléments de la suile récurrente fondamentale [8] de loi f(x) et par G(x) une fonction entière quelconque de degré m …. dont y, serait le coefficient initial et r,(j —1,2,...,m) les racines. f | 2 … déterminer une fonction œ et une seule,-de degré n—1 au 24 dans l'expression , M dr ou de - Ford -4 LB On a la relation | NE SE es ER : 4 TLIX—GEDI=IR IX GE) À | | HAEX ; | ë 4 dont on déduit | | | Me (2) M (G(0:)) = 1 D G(v) ||, SR Re M (G (p,)) étant la norme du nombre algébriqué G (e,) (°). ( 68 ) " FE k | L ASUS Fer 5 On à les propositions suivantes I. — La suite AT SR NE AC ù , EL mn ‘ (1) :: 3G(v), BvG(v), 36), # ER à PE + est une suite récurrente de loi [. Inversement, ‘étant donnée une: suite récurrente Lo Las Los « +7 de 1OI f,on peut toujours plus, telle que | | FA AÈTE de NS m6 Geo 2»... 2 a . TL. LS les fonctions fet G ont un ne grand € commun : diviseur de degré QT la suite récurrente (1) est de rang jee n — ni. | LES FT IH EPILE nombre algébrique G(p4l € est identique } à celui 2 4 obtenu en faisant | FES ps —_ » s — JoiG(o) Fe Se 9.50 1) Fe (*) Voyez note (*) p. 18. 4 (t*) C'est là, sous un énoncé différent, la PRORORES qe tai l'objet 4 du n° 14. à (69) - Dre" | delar relation e) on déduit x es $ .. a (Ge) eHie-n-10o0. : : Ar AY A 1 HR * 136) lA,07], on conclut de la proposition IT et de la rela- tion Fe que, pour que les fonctions Î . G aient ny racines Bonn Er (his te 7 a @æ), DU a - | ie” s | vi 4 : in ; 7 3 D Lee Ge S ve ë > — Ee On peut, “dans cette formule, donner à h toutes les valeurs te entières aussi bien positives que négatives si l’on convient de _ k prolonger la suite fondamentale à gauche (*). 4 € Le A est le 7 RUN de P on à l'égalité +74 . A CR » , A is est ÉRpreon ie théorème connu. VI. —— Si H(x) est une fénetion entière oué qui É Eu reste peut se réduire à æ0, c’est-à-dire à l’unité, et que lon pose ] V; = DH(v) { G(v) G—0,1,2...), L] 0 Voyez note (*) p. 3. “a re a) étant de même rang que le déterminant (o) Ils Re v. — 47 particulier, si Ge ) est égal à | la dérivée f'(x) de — J4 ARRIBSDIE dur 217% Ce FT Lx A rs C2 Se is LI x D ST. Ron A Se Va | à ". " 5 Fr se ‘ Ë Rs la suite | | 2e ; Vo Vas Vos ve % } pet est une suite récurrente de loi CPARRE 13, { X0° — G(v) LS NI. — On a la relation VO En > ECONAELOIPEEICOLONE VIE. — Si la fonction f(x) satistait à l'égalité : 4 f@)=A@R@), : où f1(x) et f(x) sont des fonctions entières de degré ny et ho, on a la relation D 126 @) 14 = 126, x 126@ le Vos Yt» Vos - +. EL TG 34, Zo, .-. désignant respectivement les 4 suites fondamentales de loi LE ét fe ra IX. — Si l'on désigne par w,, la Fransfornite indiciale de wf,, où w, est une variable, par w,, 5; Wip,as Wwp,m +++ leS à éléments de la suite fondamentale de loi G°, le produit TO 11 “ ar Lee encore égal à Cam 3 f (ww) a 3 FL) + *: re 1 f (en) L s sara nt? à la condition sm=n+m. (*) En exposant nos notations, nous n'avons considéré que des détermi- nants récurrents à une seule variable. Le cas se présente ici d’un déter- minant récurrent à plusieurs variables w4, Wa, We, ... Il va de soi que ! pour passer d’une rangée du déterminant à la voisine, € on PAGE d'une unité l'indice de chacune de ces variables. Ed x (35 D en far 0e Ne ET RTS LT Sd RENTE er RS F LA - nf . gr an À 4 re 7 . ' ; AE a imentaire We problème suivant : Existe-t- il des nombres Lu {Ge). _algébriques entiers : 25 FES _ coeficients entiers, p étant un nombre premier. 72 Le cas le nu is est celui où lorsque f et G sont des fonctions à = == Gi (mod. p), p=ci+ Ÿ Lips et Fe + sont fonctions de degré moindre | que m. ra De celle égalité on déduit aisément, en tenant compte de la eu G (+) p il IX, que la condition suffisante Pour que soit Donae ÉRReREE CE de Æ 4 Cr € La Epoque, c 'est- à-dire la démonstration que cette con- | din qui est suffisante, est aussi nécessaire, ne présente pas non plus de difficulté. A ne. Si la relation (5) n’a pas lieu, il faut cependant que la fonc- # tion G contienne (mod. p) tous les facteurs premiers (mod. p) ‘ de f. On déterminerait la fonction Q de moindre degré qui, 2 multiplie par /, donne un produit congru (mod. p) à une à puissance entière à de G: On écrirait une relation analogue : ‘à à (5) dont le premier membre serait Q/. Les conclusions sont les mêmes aus ci-dessus. bre 2 4 ’ si CRT 4 Ed ; nt Pas, PA , SE v ge juin 499. 6.78 AS » un nombre algébrique entier est que dans la relation (5) SUR LE à PAR M'e E. FRITSCHÉ . RÉGENTE À LA SECTION NORMALE DE L'ÉTAT, À LIÉGE BRUXELLES HAYEZ, IMPRIMEUR DE. L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE Rue de Louvain, 112 1914 INTRODUCTION Les plantes les plus communes peuvent fournir d’intéres- sants sujets d'étude. Habitués à les voir journellement, nous sommes ordinairement peu portés à fixer notre attention sur elles. Le vulgaire Pissenlit ést l’une de ces plantes trop négli- gées, comme le prouve l’étonnante découverte relative à la production parthénogénétique de ses graines. C’est le développement de cette plante à partir de la germi- nation qui a provoqué d’abord mes observations; puis ce fut la structure de ses organes souterrains où l’on reconnait si difficilement, à première vue, ce qui appartient à la tige et ce qui fait réellement partie de la racine. Quelques expériences enfin ont servi de confirmation à mes constatations. Je considère comme un agréable devoir d'exprimer ma pro- fonde reconnaissance à M. le Prof. Gravis : c’est à ses excellents conseils que je dois d’avoir mené à bien cette étude. TV te 2 à, nm 'u ùé BP bn etienne tete à Été pt tes Fr RECHERCHES ANATOMIQUES SUR LE TARAXACUM VULGARE Scark. I. — CARACTÈRES EXTÉRIEURS Le Pissenlit, très commun dans les prairies, aux bords des chemins et dans les pelouses de nos jardins, est une plante vivace à tiges souterraines si peu apparentes qu’il n’est pas possible de les distinguer extérieurement et qu’il est même difficile de les reconnaître par les caractères anato- miques. Les feuilles, insérées au niveau du sol, s’étalent en rosette. Des hampes florifères apparaissent au tout premier printemps et se succèdent jusqu’au milieu de l'été. Les organes souterrains forment souvent, chez le Pissenlit, un enchevêtrement qu'il est malaisé de décrire à première vue. Nous avons donc fait des semis et nous avons étudié tout le développement, à partir de la germination, pendant plusieurs années. R La plantule à deux cotylédons épigés; elle produit bientôt une première rosette de feuilles, et sa croissance est si rapide que, dès le mois d'août, elle possède une prernière hampe qui passe l’hiver à l’état de bouton et qui fleurit au printemps sui- vant. Nous étudierons d’abord une plante à l’époque de sa pre- (6) mière floraison (c'est-à-dire au printemps qui suit le semis); puis nous décrirons les modifications qui se manifestent succes- sivement pendant les années ultérieures. A. PLANTE A L'ÉPOQUE DE LA PREMIÈRE FLORAISON (fig. 1). — La tige, très courte, ne dépasse pas le niveau du sol; elle est continuée inférieurement par une racine (racine principale) qui donne naissance à deux ou trois racines secondaires et à un grand nombre de fines radicelles. Les feuilles de l’année pré- cédente ont disparu en laissant quelques cicatrices indiquées en traits noirs dans la figure 1. Vers le haut, un grand nombre de feuilles sont insérées très près l’une de l’autre et sont dispo- sées en rosette étalée à la surface du sol. Parmi les hampes florifères, on en distingue une au centre qui est déjà bien épanouie, alors que les autres sont encore à l’état de boutons. La position des hampes latérales est difi- cile à déterminer à première vue, car les entre-nœuds de la tige sont très courts. Des coupes transversales dans cette région (fig. 2) montrent que la hampe du centre termine la tige principale, tandis que les autres hampes sont le prolon- gement de chacun des sommets de bourgeons latéraux ; ceux-ci occupent chacun l’aisselle d’une feuille; 1ls portent déjà eux- mêmes plusieurs bourgeons dont un certain nombre possèdent leur hampe terminale bien apparente. Il y a donc une grande quantité de bourgeons d’âges différents ; c’est ce qui explique l'apparition successive de nombreuses hampes florales. La surface de la racine principale présente, dans toute sa longueur, des plis transversaux. Après la floraison, qui se termine vers les mois de Jjuillet- août, les hampes se flétrissent; 1l se produit une nécrose au sommet de la tige principale et de chacun des bourgeons. La croissance est donc définie. Le sommet de la tige meurt, ainsi qu'un certain nombre de bourgeons qui tous étaient terminés par une hampe. La végétation n’est cependant pas arrêtée : des bourgeons latéraux ont pris naissance ; ils portent déjà une hampe terminale à l’état de bouton, et passent l’hiver à l’état F1G. 1. Plante à l’époque de la première floraison (p. 6). — Fi. 2. Coupe transversale passant par la base des hampes (p. 6). — FiG. 8. Plante d’un an, vers le milieu de l’été (p. 8). — Fig. 4. Plante à l’époque de la deuxième floraison (p. 8). — Fi. 5. Plante âgée de plusieurs années (p. 8). — FiG. 6. Plante très vieille (p. 9). i 203 +8 latent. Ce sont des bourgeons de remplacement. On peut done observer, à cette époque, des rameaux morts à côté de sommets en pleine végétation (fig. 3). R En même temps, 1l y a décortication : tous les tissus de la racine qui étaient plissés meurent et se décomposent. Une surface subérisée lisse apparaît. B. PLANTE A L'ÉPOQUE DE LA DEUXIÈME FLORAISON (fig. 4). — Au printemps suivant, il y à donc plusieurs bourgeons qui se déve- loppent (ordinairement deux ou trois) ; 1ls étalent chacun leurs feuilles à la surface du sol ; les rosaces qu’elles forment s’entre- croisent et semblent n’en former qu’une. Chacun de ces bourgeons se comporte comme la tige mère, c'est-à-dire que son sommet se prolonge en une hampe et qu'il produit un grand nombre de bourgeons latéraux; les uns se développent immédiatement, les autres attendent le prin- temps suivant. | | A la fin de l’année, une nouvelle décortication à lieu elle fait disparaître les cicatrices foliaires de la tige princi- pale. C. PLANTE AGÉE DE PLUSIEURS ANNÉES (fig. 5). — Une plante âgée est toujours pourvue de nombreux bourgeons de rempla- cement, mais beaucoup d’entre eux meurent. Il n’y a ordinai- rement qu’un seul bourgeon qui persiste au sommet de chacun des rameaux et qui continue la végétation. Pendant Îles premières années, la plante ne possède donc que deux ou trois rameaux; ceux-ci s’allongent par la superposition de bour- geons latéraux qui, chaque année, prennent la place du sommet disparu et forment de véritables sympodes. Les décortications successives font disparaître les cicatrices foliaires ainsi que les cicatrices résultant de la destruction des hampes successives. Celles qui sont visibles à la partie supé- rieure des rameaux sont assez récentes ; elles sont d’ailleurs en voie de disparition. Il est donc impossible de déterminer l’âge d’un Pissenlit à partir de la deuxième floraison. (9) … D). PLANTE TRÈS VIEILLE (fig. 6). — Lorsque la plante est très vieille, âgée de quinze à vingt-cinq ans par exemple, on remar- quera qu'il s’est formé un grand nombre de divisions longitu- dinales dans les tiges et dans les racines. Cette disposition nouvelle sera expliquée lorsque nous étudierons l’anatomie des ! ès vieilles plantes. IL. — ANATOMIE A. PLANTE A L'ÉPOQUE DE LA PREMIÈRE FLORAISON (fig. 1). — Tige. — On reconnait la tige aux cicatrices foliaires qu’elle “porte encore à cet âge. La coupe, figure 7, montre que les faisceaux sont bien distincts et disposés en un cercle. Chacun d'eux possède un cambium qui à produit du bois secondaire et du liber secondaire (fig. 8). Les vaisseaux du bois sont formés de cellules courtes dont les parois ont des épaississements en “anneaux ou en spirales très rapprochés les uns des autres (fig. 9). Les cellules du parenchyme ligneux sont prismatiques, allon- #ées dans le sens de l’axe de la tige; elles sont disposées assez régulièrement en séries rayonnantes (fig. 8). Les cellules du parenchyme libérien sont également prismatiques ; elles se | ‘superposent en séries longitudinales et sont juxtaposées en “bandes radiales très régulières (fig. 10); au sein de ce paren- . chyme existent des zones plus étroites, concentriques et sombres, constituées par des îlots de cellules grillagées entre- «mélées de laticifères. Ceux-c! sont fréquemment anastomosés entre eux. Le tissu fondamental, tant interne qu'externe, à “pris un assez grand développement ; ses cellules sont à peu près isodiamétriques et ont des parois minces ; elles sont en voie de … destruction dans le parenchyme externe; dans ce dernier sont méparpillés de nombreux faisceaux foliaires. Racine (fig. 11, 12). — Le bois primaire est représenté par Mudeux pôles centripètes; le bois secondaire, produit par une zone cambiale continue, est formé d'éléments semblables à ceux “de la tige. Le-liber secondaire est ici très développé : c’est lui &: PL [] ES D j : 4 i 1 h: Anatomie d’une plante à l’époque de la première floraison : FIG. 7, 8, 9, 10. Coupes " ; faites dans la tige. — FiG. 41, 12. Coupes faites dans la racine (p. 9). (M) qui produit la tubérisation. Les massifs de cellules griilagées “ont disposés assez régulièrement en cercles concentriques au sein du parenchyme libérien. Les couches situées vers la péri- _phérie sont en voie de nécrose : c’est la portion de l'écorce Done: à disparaître aprés la floraison. Si l'on compare les figures 7 et 11, on remarque que la tige présente un tissu fondamental interne (moelle) très déve- Joppé, qui fait complètement défaut dans la racine. Le liber “secondaire a pris de grandes proportions dans la racine, tandis “qu'il reste insignifiant dans la tige. Ces deux caractères permet- “ient de reconnaître ces organes à l'œil nu et de déterminer “aisément leur limite dans les jeunes plantes. C’est ce que repré- “sente le schéma 23 (voir plus loin, p. 18). B. PLANTE A L'ÉPOQUE DE LA DEUXIÈME FLORAISON. — Tige. — «La coupe faite un peu au-dessous de la naissance des rameaux (fig. 15) permet de reconnaître trois groupes de faisceaux dont le bois est complètement entouré d’une zone cambiale propre. Cette disposition, bien différente de ce que nous avons constaté “au stade précédent, provient de ceci : après la disparition de “la hampe terminale, la majeure partie du tissu fondamental interne (moelle) est morte. Cette nécrose a provoqué le recloi- “sonnement des cellules restées vivantes, et ainsi s’est produit r\n cambium que nous appellerons « cambium adventif » pour | le distinguer du « cambium normal » situé entre le bois et le | liber du faisceau primitif : ). Mais au lieu de former une zone (1) M. le Prof. A. Gravis qualitie d’adventive toute zone cambiale qui prend naissance plus ou moins tardivement par recloisonnement de cellules appar- . tenant à un tissu primaire ou secondaire déjà différencié. Il oppose ce terme à celui de zone cambiale normale, laquelle prend naissance de très bonne heure entre le bois et le liber d’un faisceau et qui de là s’étend sou- vent dans le tissu fondamental voisin. L'apparition d'un cambium adventif est provoquée parfois par une nécrose, mais plus souvent par une simple diminution de la vitalité de certains éléments histologiques. Gette apparition M est le résultat d’une réaction de l'organisme à une exeitation interne. … Conformément à la Loi des surfaces libres de M. Eug. Bertrand (1), un (3) Bulletin de la Société botanique de France, t. XXXI, séance du 11 janvier, 1884. (12) continue contre le tissu mort, le cambium adventif rejoint, en certains points, la zone cambiale normale pour former avec elle une zone continue contournant le bois des trois groupes de faisceaux visibles dans la figure 13. Chacun des trois anneaux générateurs se compose donc de deux portions : une externe provenant du cambium normal, une interne représentant le cambium adventif. Ce dernier produit du liber secondaire adventif. Le liber adventif ne diffère d’ailleurs pas du liber normal avec lequel il se met en continuité ; il est centrifuge par rapport au massif ligneux qu’il entoure : dans la figure 13 et les figures suivantes, le cambium normal est indiqué par un trait interrompu, tandis que le cambium adventif est représenté par une ligne pointullée. A certains niveaux, on peut remarquer l’un des massifs ligneux complètement isolé; on n'v distingue plus du tout la limite entre les deux portions de cambium. Dans d’autres massifs, on peut encore constater la jonction de la zone cambiale adventive à la zone cambiale normale. Il existe aussi des portions de cambium normal devenues inactives entre les massifs ligneux; elles sont en train de disparaitre. Si au lieu d'examiner la tige au-dessous de la naissance des rameaux, on observe la coupe d’un rameau, on lui trouve la structure normale que nous avons décrite dans la tige au stade précédent. cambium adventif produit du liber secondaire adventif vers la région exei- tante, et du bois secondaire adventif du côté opposé. La genèse des tissus adventifs rappelle entièrement celle des organes adventifs chez les végétaux : racines adventives sur une bouture de tige; bourgeons adventifs sur une bouture de feuille ou de racine, etc. Les tissus adventifs ont été désiende par Van Tieghem sous les noms de «tissus secondaires » ou de « tissus tertiaires » selon qu'ils se forment au sein d’un tissu primaire ou d’un tissu secondaire. Il y a un grave incon- vénient, semble-t-il, à donner un nom différent à des formations homologues parce qu’elles apparaissent dans des tissus d’âge différent, En appliquant au Pissenlit la nomenclature de Van Tieghem, on serait obligé de qualifier de tertiaires les tissus qui, dans la racine, correspondent exactement à ceux qu'il faudrait qualifier de secondaires quelques centimètres plus haut, dans la tige de la même plante. = _ = ARE ES ASE Pt Ÿ \ AE M Le u“ 7 b { PE ASIA. » CA à Ÿ AE UT Ÿ Lau fl \ # y f > L ER € PALETTE Anatomie d’une plante à l’époque de la deuxième floraison : FIG. 13. Coupe transver- sale d’une tige (p. 11). — Fic. 14, 15, 16. Coupes transversales d’une racine (p. 14. - Anatomie d’une plante âgée de plusieurs années : FiG. 17. Coupe . transversale d’un faux-rameau (p. 15). — FiG. 18. Coupe transversale de la racine (p. 15). RE TS TETE PRE MES EME 0 EE NERTEN pape TER - … Pe- d D û W ( 14 Racine (fig. 14). — La nécrose, produite dans le tissu fonda- mental interne de la tige par la disparition de la hampe termi- nale, a atteint quelques cellules ligneuses vers le centre de la racine. Celle nécrose a donné lieu, par réaction, à la formation d'un cambium adventif qui forme ici une zone continue dans le bois secondaire (fig. 15). Il peut arriver que la zone normale et la zone adventive se joignent en isolant deux ou trois portions du bois secondaire, de façon à constituer des groupes séparés comme dans la tige. Le fonctionnement de ces zones génératrices donne du liber dont les parties les plus vieilles nécrosées se détruisent, ce qui a pour effet de provoquer une division longitudinale dans la racine. La figure 16 représente une coupe passant par une de ces formations. Plus bas, dans la racine, on peut retrouver la structure nor- male, identique à celle que nous avons observée dans la racine d’une plante plus jeune. Continuité des zones. cambiales. — L'examen des coupes transversales successives montre que les trois massifs libéro- ligneux de la figure 43 correspondent aux trois rameaux de la plante et que le cambium adventif de la tige se trouve dans le prolongement du cambium normal de ces rameaux. C. PLANTE AGÉE DE PLUSIEURS ANNÉES. — Tige. — Nous venons de voir que dès la deuxième année, l'apparition du cambium adventif détermine, dans la tige, la formation de plusieurs groupes libéro-ligneux distincts. Chacun de ces groupes possède une zone génératrice propre, en partie normale, en parte adventive. La production du liber est plus active que celle du bois. À la périphérie de chaque anneau libérien se produit une décortication qui a pour effet, à la longue, d'isoler les divers groupes libéro-ligneux. Lorsqu'elle est vieille, la tige du Pissenlit se partage donc longitudinalement en plusieurs portions plus ou moins cylin- driques qui simulent des rameaux. Nous désignerons ces portions sous le nom de « faux-rameaux ». Chacun de ces (15) faux-rameaux se trouvant en dessous du rameau véritable auquel 1l correspond, il semble que la ramification commence . beaucoup plus bas que dans la plante jeune (1). La figure 17 représente la coupe d’un de ces faux-rameaux. On y distingue encore six faisceaux de la tige primitive. Racine. — La coupe reproduite par la figure 18 montre, outre la structure normale d’une racine déjà vieille, une zone cambiale adventive formée au sein du bois secondaire. Dans cette figure 18, le cambium normal est indiqué par un trait interrompu, le cambium adventüf, par un trait pomuilé ; le bois secondaire normal est figuré par des hachures, le bois adventif, par un quadrillé ; le liber normal est très développé dans l'écorce; le liber adventif peu abondant vers le centre. Le cambium adventif de éette coupe commençait à produire des ilots.de liber adventif (fig. 19). VERRA EN AEHUAUR A NRAIA N< GRAS NAS EEE ACIER D Re ice 3 EX K à CEE . A KA ty ds Re de se nie don se ARE A OK { Pr RS Yan CHYTÉ D, TR SS ÊE ie RE RE EC 4 Pt SES nee Pas DE) É HET DES NlYSTRQ S OP l UT AS se Dresrerer RTE CS V2 OT SUR AT OP T R DENTS ITA ÉHILELC NZ goss en E A SR RAT TS CS EE DR nd RD D 1 LT LEE ENT CC orez CLÉS Lx RE TE OES 7 à à eue BARRE AE RESTOS Oh Notes Bancs ts aD CRE RERO EE EE RSR AT EAN ENS ETC RER RE RES OT ROLE + ASE ERA PRRNOU TE LE SERRES SEE OT TT RCI OU ERA ECTS EXT EPP ETS CUS | SR a _ (ET SR SAR Re CR RE CCE en aaspe d'EPS to PSS LOS ON OR LRO 19 RER RO F1G. 19. — Coupe transversale de la racine d’une plante déjà vieille. (1) Oa ne peut déterminer l’âge auquel se fait cette division longitudinale ; elle a lieu beaucoup plus tard chez les Pissenlits cultivés parce que le liber produit est beaucoup plus abondant; les couches de la périphérie se touchent alors et se fusionnent. de 1 un [OS 4 = init —— == —_— jbl se Fo) u SÈ ; ARS Se WI W \q LE « ," ty Vite TE Bun * SSL 4 + = SIN È Ai ee ERA no RS pt \ x ts LU ar V7 N ASS NES Lee = N° \Ÿ S CZ AU à d NS pi à Nes RÉ = \ Ex NA > FiG. 20. Plante très vieille (p. 17). — F1G. 21. Coupe transversale de la tige dans la région des faux-rameaux (p. 17). — Fig. 22. Coupe transversale de la racine dans la région des zones cambiales adventives (p. 47). (17) Il va de soi que la structure tout à fait normale de la racine se retrouve dans les coupes pratiquées plus bas, c’est-à-dire dans la région plus jeune de la racine. D. PLANTE TRÈS VIEILLE (fig. 20). — Tige. — Lorsque la tige du Pissenlit s’est divisée longitudinalement, par suite des nécroses et des décortications qui se sont produites, elle est remplacée par plusieurs portions plus ou moins séparées que nous avons nommées « faux-rameaux ». Au sein de chacun de ceux-ci, les mêmes phénomènes de nécrose, d'apparition de nouveau cambium, de décortication et division longitudi- nale peuvent se produire. Il en résulte la constitution de faux-rameaux de second ordre. Dans la coupe reproduite par la figure 21, ces faux-rameaux de second ordre ne sont pas encore complètement séparés. [ls sont disposés en deux cercles concentriques irréguliers. Si par la pensée on rejoint les diverses portions de zones cambiales entre elles, on remar- quera qu'il y a, à ce niveau, quatre zones génératrices concen- triques : celle de la périphérie est la zone normale; celle de l’intérieur est la zone adventive apparue en premier lieu; les deux autres sont les deux zones adventives apparues en dernier lieu. Racine. — Ce que nous venons de dire se montre, en toute évidence, dans une coupe pratiquée dans la racine quelques centimètres au-dessous de la coupe représentée par la figure 21. Cette coupe est dessinée à la figure 22 : on y distingue nette- ment quatre zones génératrices continues et concentriques. La nécrose qui a séparé les faux-rameaux de second ordre à péné- tré jusque dans le bois de la racine qui est maintenant scindé en deux bandes continues et concentriques. Le nouveau cam- bium adventif s’est étendu de part et d'autre des tissus morts. La racine peut aussi se diviser longitudinalement comme la tige. La partie inférieure d’un faux-rameau peut donc être constituée par une partie de vieille racine. En ce cas, la zone génératrice entoure un ilot de bois secondaire, tandis que s’il Le VAN Gi Y 3 S É d [e 4 ‘| L , Fr x portions résentant Lige ? rameaux P és normeaux Faux de te ù _ - tant des -?ameaux Faux tepresen ça NN KE \\ ANAL ee tant la disposition longitudinale des différents tissus. — F1G. 23. Dans r emas represen # Racine normale porlions de racine Sch — Fic. 24. Dans une — Fi. 95. Dans une à l’époque de la première floraison (p 19). une plante de la deuxième floraison (p. 19) époque ès vieille (p à l’é plante plante tr 19) D, eU 2 , # ler d 4 t2 LR re 4 6 A sont Lipa DUR à 7 4 -: à fl ei L A MR SES, LUS RSS j ++ don ju tr ba " FES Luis, . RS DSi c Er ad “À 1. ” t ; - = = PRE RO) ra 4 Lyme - k49:) s’agit d’un faux-rameau représentant une partie de tige, la zone génératrice entoure le bois de plusieurs faisceaux. On comprend que cette distinction n’est pas toujours facile à faire quand on examine une très vieille plante. ScHÉmas. — Les schémas représentés par les figures 23, 24, 25 résument le mode de végétation du Pissenlit : la figure 23 représente la plante à l’époque de la première floraison ; on y voit la hampe terminale À, quelques feuilles et un bourgeon latéral. La limite entre la tige et la racine est marquée par l’absence de moelle dans cette dernière où le centre est occupé par du bois secondaire. Dans la figure 24, où l’on suppose la plante à l'époque de la deuxième floraison, on voit que la hampe terminale A à disparu; la nécrose (représentée en noir) a pénétré dans la moelle de la tige, mais n’a pas encore atteint le bois de la racine. Un eam- bium adventif s’est formé le long des tissus nécrosés (en poin- tillé dans la figure) et a déjà produit du liber adventif. Au sommet, deux rameaux nouveaux se sont formés ayant chacun leur hampe terminale B et quelques feuilles, ainsi que des bourgeons. Ces rameaux présentent les mêmes caractères que la tige principale du schéma de la figure 23. Dans la figure 25, la nécrose produite par la disparition de la hampe À à pénétré assez bas et a atteint le bois secondaire de la racine; le cambium adventif a produit du liber dont la décortication à provoqué une division longitudinale en deux faux-rameaux. Les hampes B ont produit, de la même façon que la hampe A, une nécrose qui a pénétré dans la moelle des rameaux et même dans le bois des faux-rameaux de premier ordre; le cambium adventf qui s’est formé à produit du liber dont la décorticalion a eu pour résultat la division longitudi- nale en faux-rameaux de second ordre. Des hampes C terminent les tiges normales à l'extrémité de ces faux-rameaux; elles pourront, à un moment donné, être le point de départ de rameaux de troisième ordre, et ainsi de suite. Quant aux cicatrices foliaires et aux sommets morts, ils sont (20 ) représentés vers la partie supérieure de la plante (en a, b); les autres, situés plus bas, ont complètement disparu par suite des décortications répétées. En résumé, le Pissenlit se comporte un peu comme les Saules taillés en têtards dont la tête s’évase de plus en plus en se ereu- sant au centre et dont le tronc finalement se partage souvent longitudinalement en plusieurs parties isolées. Il va de soi que selon l’âge, la vigueur des plantes, les circonstances locales, ete., le nombre, la longueur et le degré de séparation des faux-rameaux sont très variables. Ces faux- rameaux peuvent parfois se séparer incomplètement en restant adhérents dans le haut et dans le bas (fig. 6). I arrive plus rarement que l’un d'eux s’isole complètement de la plante mère, de façon à constituer une plante indépendante. NOTE BILIOGRAPHIQUE Dans un article intitulé : Sur quelques phénomènes déterminés par l’apparition tardive d'éléments nouveaux dans les tiges et les racines des Dicotylédones (thèse présentée à la Faculté des sciences de Bordeaux, en 4879), M. G. Dutailly à mentionné le Pissenlit : Il rappelle les observations du célèbre botaniste de Bary concernant la faible production du bois secondaire dans la racine et le grand développement du liber (p. 24). Il signale la présence de deux et même trois zones concentriques cambiales dans la racine (p. 40); 1l observe une lacune qui a provoqué la formation d’un cambium à côté des tissus nécrosés, c'est-à-dire en dedans du massif ligneux. Il mentionne égale- ment la réunion d’une zone cambiale nouvelle à la zone nor- male et le fonctionnement commun des deux zones (pp. 46, 47). Mais l’auteur ne paraît pas avoir constaté que le point de départ de la nécrose, c’est la disparition de la hampe terminale. Son attention s’est portée sur des nécroses isolées, et « acei- dentelles » (p. 47) qu’il appelle « canaux sécréteurs » ; mais 1} néglige le gros massif ligneux, isolé par la zone cambiale, qui est un fait habituel et constant chez le Pissenlit. Les figures 2, . < à Ë PR ES mn en L F SCENE FER STI A ET a A dl A , L 3% Pen ” (21) 4, 5, 6 de la planche IV indiquent d’ailleurs qu'il s’agit d’une tige et non d’une racine, comme le croit l’auteur. Celui-ci n’a _ pas fait remarquer non plus que ce massif ligneux n’est qu'une partie de la tige et que le fonctionnement des zones cambiales produit un liber dont la décortication provoque des divisions longitudinales et la séparation des portions que nous avons appelées « faux-rameaux ». IH. — EXPÉRIENCES. J’ai eu l’occasion de faire aussi quelques expériences qui se rapportent aux observations anatomiques qui viennent d’être exposées. | 4. Allongement des tiges. — Le Pissenlit est l’une des plantes qui semble le mieux mériter le qualificatif « acaule » que les anciens botanistes prodiguaient bien à tort. Pour mettre en évi- dence les tiges du Pissenlit, 1l suffit cependant de recouvrir une plante, pendant l'hiver, d’une couche de 20 centimètres de terre. Dès le printemps, les bourgeons se développent en tiges grêles, à longs entre-nœuds, garnies de feuilles rudimentaires en forme d’écailles pointues (fig. 26). Ces tiges traversent rapidement la couche de terre et arrivent au niveau du sol. Elles produisent alors des feuilles normales rapprochées les unes des autres (fig. 28 et 29). Ces tiges ascendantes sont faciles à reconnaître extérieurement, leur structure est également bien caractérisée (fig. 27). Elles ne tardent pas à s’épaissir, à se tubériser et à présenter l’organisation que présente la tige du Pissenlit ordi- naire. Chaque sommet produit une hampe terminale puis des bourgeons latéraux qui, durant l’année suivante, provoqueront la ramification et la constitution d’une rosette de feuilles serrées. Lorsqu'elles sont suffisamment âgées, les tiges ascendantes se décortiquent et plus rien ne peut les distinguer des tiges normales si peu reconnaissables extérieurement chez le Pis- senlit. ÿ £ “ + £ 1° Ÿ 7 Ÿ 4 " } L.9 liges Poation ; 2acine. +6 (OIPSS F1G. 26. Tige allongée, grêle, à son premier état de développement (p. 21). — F16. 27. Structure anatomique de cette même tige (p. 21). — Fi. 28, 29. Tiges allongées ayant produit une rosette de feuilles rapprochées les unes des autres (p. 2). — Fig. 30. Formation de deux tiges adven- tives (p. 23). J/ adyentives. FFT IEEE En mo EE Tr RP EE OT Da DU UNS TE ri sms PET LL ET -rodaioeswm— => Fr Lois (28 ) Des plantes retournées la tête en bas, d’autres placées hori- zontalement à une certaine profondeur ont produit également des tiges ascendantes, grêles, à longs entre-nœuds. 2. Membres adventifs. — Le Pissenlit produit très facilement non seulement des racines adventives, mais aussi des bourgeons adventifs, et cela sur ses racines aussi bien que sur ses tiges. Pour provoquer l'apparition des bourgeons adventifs, 1l suflit de supprimer soit le sommet de la plante, soit toutes ses tiges. Les tiges nées de ces bourgeons adventifs, ayant à traverser rapidement une couche de terre plus ou moins épaisse, se comportent comme les tiges ascendantes dont nous venons de parler. La figure 30 nous montre deux de ces tiges portant chacune, actuellement, une rosette de feuilles et une jeune hampe. 3. Cicatrisation. — Les sections et autres blessures faites à un Pissenlit se cicatrisent aisément dans le sol. On peut même déchirer longitudinalement les organes souterrains en plusieurs morceaux et les recouvrir de terre. Les tissus mis à nu sont bientôt nécrosés, et en dessous d’eux, une zone cambiale adventive prend naissance par recloisonnement de cellules vivantes. La zone génératrice nouvelle fonctionne comme il à été expliqué dans la première partie de ce travail, en produisant du bois secondaire et du liber secondaire. Ce dernier, en se subérisant à la surface, produit une cicatrisation si parfaite qu'après quelque temps il ne reste plus de traces de la blessure ou de la déchirure. Résumé et conclusions. Le mode de végétation du Pissenlit constitue un cas assez spécial : la ramification est sympodique ; les hampes sont termi- nales, et les sommets sont successivement remplacés par un ou deux bourgeons latéraux. Chaque année, après la florai- son, les parties souterraines subissent une décortication qui (24) enlève les cicatrices foliaires ainsi que celles des bourgeons morts; on ne peut donc déterminer l’âge d’un Pissenlit vieux. La disparition des hampes florifères est le point de départ d’une nécrose qui pénètre jusque dans le bois secondaire de la racine. Cette nécrose provoque la formation d’un cambium adventif. Celui-ci est situé du côté interne des faisceaux de la tige ; il ne tarde pas à les contourner, à rejoindre la zone nor- male et à isoler un certain nombre de massifs ligneux. Chacun d'eux correspond à un rameau. Dans la racine, le cambium adventif forme souvent une zone continue à l’intérieur de la zone cambiale normale. Il arrive aussi qu’il rejoint la zone normale en isolant des portions de bois secondaire. Les zones cambiales nouvelles fonctionnent comme les zones normales, c’est-à-dire qu’elles produisent du liber dont les couches externes tombent à la fin de l’été par décortication, ce qui produit une division longitudinale dans la tige aussi bien que dans la racine. La structure interne, pas plus que les caractères extérieurs, ne permet de détérminer l’âge exact de la plante : le bois secon- daire, en effet, ne forme jamais de masse volumineuse parce qu'il est subdivisé à diverses reprises, le liber ne vit jamais plus d’un an. Un Pissenlit ne grossit pas; on remarque, en effet, que dans des conditions identiques, les organes souter- rains adultes conservent sensiblement le même diamètre; celui-ci varie, au contraire, avec le milieu ; c’est ainsi que dans un terrain fertile, ces plantes deviennent très grosses par la formation d’un liber abondant. Le Pissenlit est une plante capable de supporter les plus mauvais traitements. Il peut être enfoncé à une grande profon- deur : les bourgeons se développent en liges à entre-nœuds très longs qui portent le sommet au niveau du sol où il reprend la végétation normale. La plante peut être décapitée, mutilée, déchirée longitudinalement : le cambium adventif cicatrise aussitôt les blessures; des bourgeons adventifs se développent, produisent des tiges qui continuent la végétation, un moment interrompue. JUN LES #4 |. — CARACTÈRES EXTÉRIEURS s È à N: AS — Plante à l’époque de la première floraison . 6 BB. — Plante à l’époque de la deuxième floraison. 8 ÿ C. — Plante âgée de plusieurs années . . . . 8 Êe PP Plante trés vieille‘: : … 9 " DR À ‘Al , “10. A OM . : . . . . Re A. — Plante à l’époque de la premièrefloraison . . . . 9 B. — Plante à l’époque de la deuxième floraison. . . . 11 PC. .— Plante âgée de plusieurs années .. . . . . . . 14 D anietrésuvieltle Sun. 1,0 0... . : 47 M 2 Ds. . . .. . . JA Re? ES: M OnDEMENt des Ses a EN D 0 0.0, 12 924 Re. 2. Membres adventifs . . . . . . . . . . . . 23 MR Ne ie re 98 L A 4 ME 4 D D [ns 1 D, 1.098 h, s ù Fe née EN . “ne SE re PR D en ee DE Die Pre nu 208 re La D .-, Fa n'a ‘ Fan nd ; . - ; ve 4 pe À " À LUNETTES | OBSERVATIONS ANATONIQUES ; ET PHYSIOLOGIQUES CRINUM CAPENSE Here R. BEAURIEUX DOCTEUR EN SCIENCES BOTANIQUES BRUXELLES HAYEZ, IMPRIMEUR DE L’ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE Rue de Louvain. 112 1914 sÉ" n l 2 à ps % SE [au PA 1 L VU RS QTERN UT ET IA TE dt TT LE . Le er à INTRODUCTION Le Crinum Capense Herb., encore appelé Crinum longifolium Thunb. ou Amaryllis longifolia L., appartient à la famille des - Amaryllidées. Cette plante est originaire du cap de Bonne- - Espérance. Chez nous elle est cultivée en pleine terre et résiste … bien aux intempéries de notre climat. Elle fleurit abondam- ment pendant la dernière quinzaine de juin et le commen- - cement de juillet. Ses fruits mürissent dans le courant du mois d'août. Ils contiennent un nombre variable de graines qui ont … un albumen charnu, contenant des corps chlorophylliens et beaucoup de suc cellulaire. Quand les fruits mürissent, leur péricarpe s'amincit progressivement, et finalement se déchire mettant ainsi les graines en liberté. Ces dernières tombent sur - le sol sans pouvoir y pénétrer. Elles germent néanmoins quelques jours après, même si la terre est sèche et s’il ne pleut pas. Le cotylédon s’ailonge ordinairement beaucoup en cherchant à s’enfoncer dans le sol. La racine principale, au contraire, ne se développe que si le cotylédon est parvenu à “ s'implanter dans un substratum suffisamment humide. La germination du Crinum Capense se produit done dans (49 des conditions incompatibles avec celles de la germination des graines en général. C’est ce qui m'a décidé à soumettre ce phénomène à une observation attentive. Après avoir étudié l'anatomie des graines mûres et celle des plantules, j'ai fait des expériences sur la pollinisation, l'influence de divers agents sur la germination, le siège de la croissance et du géotropisme du cotylédon, le rôle des stomates situés sur le suÇOIr. Liége, Institut botanique, le 90 juillet 4944. OBSERVATIONS ANATOMIQUES ET PHYSIOLOGIQUES SUR LE CRINUM CAPENSE Hs. HISTORIQUE Les graines du Crinum Capense ont souvent été qualifiées de —. bulbiformes. C’est qu'autrefois, en effet, on leur avait attribué |a valeur d’un petit bulbe; mais dès 1824, Achille Richard (1) avait déjà reconnu que ces prétendus bulbilles étaient réelle- ment des graines. Prilleux (?) découvrit quelques-unes des particularités que présentent les ovules et les graines de la plante qui nous occupe, et 11 vit, notamment, que les ovules sont entièrement —. dépourvus de téguments. Il constata qu'un grand nombre (4) Acx. RicHarpD, Observations sur les prétendus bulbilles qui se déve- — Joppent à l’intérieur de quelques Crinum. (Ann. des sciences naturelles, D dre série, 1. II, p. 12.) 4 (2) PRizceux, De la structure et du mode de formation des graines bulbi- formes de quelques Amaryllidées. (Ann. des sciences naturelles, 4e série, vol. IX, p. 97.) où: d'ovules ne se développent pas, mais il erut que ces ovules sont cependant fécondés. Si tant de graines restent rudimentaires, c’est par suite de cette loi générale du balancemerit organique qui condamne à l’atrophie les organes voisins de ceux qui prennent un développement excessif. Quant à la pellicule sèche qui entoure les graines à leur maturité, Prilleux pense qu’elle représente un reste du nucelle, mais il n’en donne pas la démonstration. Alex. Braun (1) reconnut que dans les Æymenocallis la partie charnue de la graine représente le tégument externe de l’ovule considérablement hypertrophié. Dans les Crinum, au contraire, la partie charnue est constituée par un albumen très volumi- neux dont les cellules contiennent beaucoup de suc cellulaire. Il existe cependant des ovules qui se transforment réellement en bulbilles. Chez le Calostemma Cunninghami, Baillon (2) a constaté la formation d’un bourgeon allongé implanté au fond du sac embryonnaire; les téguments ovulaires et le nucelle forment les tuniques de cette sorte de bulbe. Une racine adven- tive prend naissance dans le plateau correspondant à la région chalazienne. Ce cas n’a rien de commun avec.celui du Crinum que nous allons envisager. (4) ALEX. BRAUN, Mémoire sur les graines charnues des Amaryllidées. (Ann. des sciences naturelles, 4e série, vol. XIV, p. 5.) (2) BAILLON, Recherches sur le développement et la germination des graines bulbiformes des Amaryllidées. (Association française pour l’avan- cement des sciences. Congrès de Lyon, 1873.) (7) CHAPITRE PREMIER ANATOMIE $ 1% — L'ovaire et le fruit. L’ovaire renferme trois loges (fig. 1) qui, à l’époque de la flo- . raison, sont complètement occupées par d'énormes placentas et par les ovules disposés sur deux rangs dans chaque loge. Dans ë . l'épaisseur de chaque cloison existe une glande septale (fig. 1). Ovaire et ovules. — F1G. 1 : Section transversale d’un ovaire (P1.— pla- centa; Gl.= glande septale). — F1G. 2 : Un placenta et deux ovules grossis davantage (Pl. — placenta; S.e. — sac embryonnaire; S. — saillies couvrant la route des tubes polliniques). (8) Les ovules ne possèdent ni primine ni secondine. Dans le voisinage de la région correspondant au micropyle, le funicule porte des saillies qui couvrent la route que suivront les tubes polliniques (fig. 2). Vers la fin de la floraison, le sac embryon- naire occupe déjà la majeure partie de l’ovule; le nucelle est réduit à trois ou quatre assises de cellules en voie d’écrasement. Après la floraison, l'ovaire grossit rapidement : les cloisons se résorbent, les ovules se développent, les placentas et le péri- carpe deviennent plus épais. Quand le fruit commence à mürir, le péricarpe s’amincit, se ride et se dessèche graduellement; à la maturité, il n’en reste qu’une mince pellicule qui se déchire et met ainsi les graines en liberté. Les fruits renferment un nombre très variable de graines. Souvent on n’en compte que deux ou trois, parfois même une seule; dans d’autres cas, on peut en trouver de’quinze à vingt et même davantage. Leur grosseur est également fort variable : lorsqu'il n’y à qu’une graine dans un fruit, elle est excessive- ment volumineuse (diamètre : 50 à 35 millimètres); quand il y en a plusieurs, elles sont d’autant plus petites que leur nombre est plus grand. On remarque alors que quelques-unes d’entre elles sont assez grosses, tandis que les autres sont beaucoup plus petites ; leur diamètre est de 5 à 20 millimètres. Nous verrons plus loin qu’en opérant une pollimisation arti- ficielle, au moyen d’une grande quantité de pollen, on obtient des fruits contenant une quarantaine de petites graines. Chaque graine se compose d’un albumen volumineux et d’un embryon qu’il est assez facile d'isoler. L’albumen est charnu, aqueux; les réserves alimentaires se trouvent à l’état dissous dans le suc cellulaire. Dans les cellules il y à d’assez nombreux corps chlorophylliens très petits. La fonction élaboratrice de ces derniers ne semble pas être très active : les graines maintenues à l’obseurité donnent en effet des plantules aussi robustes que celles qui ont germé à la lumière. F9) La surface de l’albumen est constituée par une mince pelli- cule sèche, subérisée. Après la fécondation, l’ovule grossit fortement, le nucelle se déchire, s’effrite et disparaît. L’albumen est alors mis à nu, mais les cellules de la périphérie se recloi- sonnent, subérisent leurs parois. La graine continuant à grossir, le suber déjà formé se fendille ; il s’en produit alors un nou- veau, auquel succède encore un autre. Ces phénomènes se répètent, jusqu’à ce que la graine a atteint son volume définitif. La pellicule qui l’entoure à sa maturité, appartient donc à l’albumen et non pas au nucelle : il n’y a pas de spermoderme. L'étude de l'embryon dans la graine’ mûre est réservée au para- graphe suivant. S 2. — L’embryon dans la graine mûre. Dans la graine mûre, l'embryon mesure de 5 à 40 milli- mètres environ de longueur. Il est à peu près cylindrique : l’une de ses extrémités est conique et correspond à la pointe de la radicule; l’autre extrémité, plus arrondie, est le sommet du cotylédon. L’embryon est plus ou moins arqué et orienté de telle façon que la radicule est dirigée vers la face où se trouve le hile (fig. 3). Des coupes longitudinales montrent que l’hypoco- tyle est très court; que le cotylédon est au contraire très long ; qu'il y a en outre l’ébauche de deux feuilles recouvertes par la gaine du cotylédon (fig. 10 et 11, voyez p. 12). Coupes transversales : 1. Une section pratiquée vers le milieu du cotylédon montre une structure déjà notablement différenciée : Neuf faisceaux montrant une ou plusieurs trachées et le liber nettement reconnaissables (fig. 4). Parenchyme méatique à grandes cellules contenant beaucoup de sue cellulaire. Épi- derme avec de rares stomates complètement formés. 2. Le sommet du cotylédon est arrondi en forme de calotte. Il est garni de nombreux stomates tous ouverts (fig. 9). Les (10) cellules stomatiques sont presque aussi grandes que dans les plantules âgées de deux ou trois mois. 5. La gaine cotylédonaire est très courte; elle est close et recouvre les feuilles 4 et 2 (fig. 6). Celles-ei sortiront plus tard en élargissant l’étroite fente qui existe entre la gaine et le limbe (fente cotylédonaire) (fig. 5). Embryon dans la graine mûre. — F1G. 3 : Coupe de la graine montrant l'embryon au sein de l’albumen. — FiG. 4 : Section transversale vers le milieu du cotylédon. — FiG. 5 : Section au niveau de la fente cotylédonaire. — Fig. 6 : Section au niveau de la gaine du cotylédon. — Fig. 7 : Section au niveau du nœud cotylé- donaire. — Fig. 8 : Section de la radieule. — F1G. 9 : Épiderme du sucoir. 4. Au nœud cotylédonaire (fig. 7), on retrouve les neuf fais- ceaux dont six déjà sortis et trois autres L M L au niveau même de leur sortie. 5. L’hypocotyle est très court et encore au stade procam- bial. Mes HT) 6. La racine principale contient un seul massif central de procambium; on y reconnaît vaguement six pôles ligneux dont le développement sera centripète (fig. 8). Coupes longitudinales. Deux principalement sont à considérer : [. La coupe longitudinale passant par le plan de symétrie de l'embryon, montre les régions suivantes (fig. 10) : 4. L’hypocotyle, extrêmement court; 2. La radicule contenant les histogènes du faisceau, du parenchyme eortical et de la coiffe; 3. La région située entre le nœud cotylédonaire et la fente cotylédonaire (c’est-à-dire la gaine du cotylédon) : elle renferme le sommet végétatif de la tige principale, la feuille! dont le sommet est déjà dirigé vers la fente, et la feuille? ; 4. Le corps cotylédonaire, très développé, est cylindrique. . I. La coupe longitudinale perpendiculaire au plan de symé- trie, rencontre les mêmes régions ; la fente cotylédonaire évi- demment n’est pas visible (fig. 11). Par contre, on remarque les trois faisceaux principaux qui aboutissent au sommet et se terminent en pointe libre. Les coupes longitudinales successives, comme d’ailleurs Îles coupes transversales, montrent clairement qu'il y a au sommet du cotylédon des stomates nombreux, rapprochés les uns des autres, bien visibles, et qu’ils sont déjà largement ouverts. Partout ailleurs, sur le cotylédon, les stomates sont rares. L’embryon observé dans la graine mûre, est remarquable par ses dimensions qui dépassent de beaucoup celles de la plupart des embryons monocotylés; par le grand nombre de faisceaux cotylédonaires; par le haut degré de différenciation des tissus : faisceaux avec trachées complètement formées, P cellules du parenchyme grandes, contenant beaucoup d’ami- (42) don, et laissant entre elles des méats pleins d’air; stomates entièrement conformés avec fente ouverte. 3 FA 5 È - £ £ z = Embryon dans la graine. — F1G. 10 : Coupe longitudinale suivant-le plan de symétrie de l'embryon. — Fig. 11 : Coupe longitudinale | perpendiculaire à la précédente. (Cot. — cotylédon,; F.c. = Fente cotylédonaire ; G. ce. — Gaine du cotylédon; Hyp. — Hypocotyle ; Rd. — Radicule; Fei — première feuille.) it nt. de (43) $ 3. — Structure des plantules. CARACTÈRES EXTÉRIEURS. La figure 12 représente une plantule âgée de deux mois et demi. On y remarque un bulbe allongé (4 centimètres environ de longueur et 5 millimètres de diamètre). Ce bulbe est recou- vert par la gaine du cotylédon; il est surmonté du corps cotylé- donaire qui n’est que partiellement visible, sa partie supérieure restant toujours emprisonnée dans l'albumen. (Cette partie supé- rieure du cotylédon est indiquée en pointillé dans la figure 12.) La feuille! entièrement développée et la feuille? en voie d’allongement sortent du bulbe. L'hypocotyle est tellement court qu'il ne se reconnaît pas extérieurement. Outre la racine principale, une racine latérale est déjà assez développée. La figure 12 montre aussi la graine flétrie, mais non encore complètement vidée. CARACTÈRES ANATOMIQUES. Une section transversale, pratiquée tout à la base du bulbe (fig. 13), montre que la gaine cotylédonaire contient dix fais- Ceaux : m''m'm£LMLmm'm'm!". Ces faisceaux s'élèvent parallèlement dans toute la longueur de la gaine, puis se rapprochent un peu et passent tous dans le corps cotylédonaire sauf le petit faisceau m//’ (fig. 14). Plus haut, vers le milieu de la région libre du cotylédon, la coupe est presque circulaire, présentant pourtant un petit sillon médian à la face interne. Les neuf faisceaux sont disposés en cercle (fig. 15). La région emprisonnée dans la graine montre la même structure jusqu’à un niveau très rapproché du sommet du cotylédon. Dans la partie supérieure du suçoir, la plupart des faisceaux s’anastomosent de la manière représentée par la figure 16. è { ‘| mmm_ MLmmr" 16 Plantules. — Fig. 12 : Plantule âgée de deux mois et demi G). — ‘= F1G. 13 : Section transversale du bulbe montrant la gaine du coty- Le lédon et celles des premières feuilles. — Fi. 14 : Section au niveau de la fente cotylédonaire élargie — Fig. 15 : Section vers le milieu de la partie libre du cotylédon. — FiG. 16 : Parcours des faisceaux dans l’extrémité supérieure du cotylédon. — F1G. 17 : Épiderme du suçoir. +4 OR e Lot (45) HISTOLOGIE A. Le cotylédon. — !Les faisceaux du cotylédon sont d’iné- gale grosseur : le M n’est pas le plus fort, souvent même il est très petit; les deux L sont gros; les m, m’, m/' sont de taille décroissante. Le parenchyme ne présente rien de particulier. L’épiderme montre de rares stomates sur la partie libre du cotylédon:; ils sont plus nombreux sur sa portion terminale enfermée dans l’albumen; à son sommet leur nombre est encore beaucoup plus grand. | Ces stomates quoique restant au contact de l’albumen sont parfaitement différenciés et largement ouverts (fig. 17). Il ne semble pas cependant qu'ils puissent livrer passage à des gaz, ni servir à la respiration ou à la transpiration. Il y aura donc lieu de rechercher par des expériences dont il sera rendu compte plus loin, s'ils ne sont pas des organes absorbants. Il est à remarquer aussi que le cotylédon ne se termine pas par un suçoir renflé comme on en voit dans les genres Phoenix, Tradescantia, etc. Le cotylédon se termine simplement par une calotte hémisphérique sur laquelle les stomates sont plus rapprochés que partout ailleurs (dix stomates environ par milli- mètre carré). Les cellules épidermiques de la gaine et de la partie aérienne ont une cuticule épaisse. Celles de la partie emprisonnée à l’intérieur de. l’albumen ont une cuticule plus mince. Quant à la forme des cellules épidermiques, elle est partout sensiblement la même; 1! n’y à pas de cellules prolon- gées en papilles, comme on en a décrit à la surface de cer-. tains suçoirs cotylédonaires. Cette absence de papilles absor- bantes semble confirmer l’idée que les produits de la digestion de l'albumen sont réellement absorbés par les stomates. B. Les feuilles. — La feuille qui se développe après le coty- lédon possède aussi une longue gaine et un limbe, ce dernier SL» atteignant une douzaine de centimètres de longueur. La gaine contient onze faisceaux (fig. 13) : m'm'mLiMilmmm. Ces faisceaux courent parallèlement dans toute la longueur de la gaine, mais leur nombre se réduit à neuf puis à sept. La coupe transversale du limbe de cette feuille montre cinq faisceaux (fig. 18). Les stomates ont la même forme que ceux qui se trouvent sur le cotylédon (fig. 19). 20 c 9 ï 18 Première feuille d’une plantule. — F1G. 18 : Coupe transversale du limbe de la première feuille. — Fic. 49 : Épiderme de cette feuille. — Fi. 20 : Terminaison des faisceaux au sommet du . limbe, La terminaison des faisceaux au sommet de la feuille (fig. 20) montre que les deux faisceaux marginaux m se jettent sur les L. Vers le sommet 1l n’y a donc que trois faisceaux qui se ter- minent sans s’anastomoser. Le médian se termine par quelques trachées élargies; les latéraux se terminent par une seule trachée. (ET) Dans la feuille? il y a douze ou quatorze faisceaux. La feuille 5 . en contient au moins quatorze dans la gaine : m'!! m'! m' m EF i M i L m m' m'! m'!! m'"!. C. La racine principale. — Son faisceau contient six pôles. Ce faisceau ne présente rien de particulier au point de vue … histologique ; le parenchyme cortical non plus. D. La racine latérale contient huit pôles. E. L'hypocotyle. — Nous savons déjà que l’hypocotyle n’est pas reconnaissable extérieurement, tellement il est court (1). Pour résumer ce qui précède, 1l convient de jeter un coup d'œil sur la figure 21 qui représente schématiquement la coupe Cote Fe FR Fe Fe Ft CTP OUELLE LIL LLEILLL EN [je à Coupe longitudinale schématique d’une plantule. — F1G. 21 : Cot. — coty- lédon; fe. 1, 2,5, #— les quatre premières feuilles ; R. p.— Racine principale; R. 1. — racine latérale. (1) Dans un mémoire intitulé : Recherches anatomiques et éthologiques d'embryologie végétale, M. le Prof. A. Gravis a fait une étude détaillée de — J’hypocotyle et de la région dans laquelle s'établit le contact entre les fais- …. ceaux cotylédonaires et le cylindre central de la racine. Il a comparé la - structure de cette région à celle de diverses autres Monocotylées. (18) longitudinale d’une plantule. Ce dessin a été exécuté d’après la série complète des coupes transversales successives pratiquées dans la plantule qui à fait l'objet de la description précédente. Cette coupe nous montre l'insertion du cotylédon et de cinq feuilles; leur emboitement constitue le bulbe. C’est dans la gaine de la feuille ?, la plus épaisse en ce moment, que les réserves alimentaires et l’eau se sont déposées en majeure partie. Les gaines des feuilles5, #, 5, etc., s'épaissiront ultérieu- rement et deviendront le siège des substances qui seront éla- borées plus tard. Au-dessous du méristème de la tige, on reconnait les faisceaux qui sortent dans les feuilles. (Ils sont représentés par des hachures.) Tout en bas, la racine princi- pale est reconnaissable à partir du nœud cotylédonaire, tandis qu'une racine latérale est insérée au nœud, | Variation de la structure des plantules. Les diverses plantules que nous avons examinées n'étaient pas entièrement semblables; elles différaient assez notable- ment par le nombre des faisceaux cotylédonaires et par le nombre des pôles de la racine principale. Ces variations proviennent d’une vigueur différente des plantules. Le poids des graines est très variable; les dimensions de l'embryon varient du simple au double, Il en résulte que, placées dans des conditions semblables, les plantules prennent un développement différent. nc tb où à. De d f 4 ; 14 | Fe : : » À 4 { (19) CHAPITRE II PHYSIOLOGIE $ 4. — Observations sur la pollinisation. Nous avons vu précédemment que les fruits provenant de fleurs pollinisées naturellement peuvent renfermer un nombre très variable de graines. Certains fruits ne contiennent qu’une seule graine, d’autres en renferment un petit nombre, d’autres encore une dizaine, une vinglaine, parfois même davantage. D'une façon générale, les graines sont d’autant plus volumi- neuses qu’elles sont moins nombreuses dans un même fruit. Le nombre de graines que peut porter une même plante varie aussi très notablement d’une année à une autre. D’ordi- naire, la plupart des fruits ne contiennent que peu de graines, et celles-ci sont très grosses. D’autres années, la plupart des fruits renferment des graines plus nombreuses mais de médiocre grosseur : dans certains fruits, alors, on peut compter plus de cinquante graines de petite taille (1). Voici quelques indications à titre d'exemples : Fruit contenant 1 graine pesant . . . . . . 15825 — 10 graines pesant en moyenne . . 5,46 — 23 — — PIN 27 1 — 40 — — AL — 02 — — 0 1.0 Il est à noter aussi que dans un même fruit se trouvent sou- vent une ou deux grosses graines, un nombre variable de graines de moyenne grosseur, et généralement plusieurs graines (2) Dans les trois loges d’un ovaire de Crinum Capense, il y a générale- ment quatre-vingt-dix ovules. ( 20 fort petites. À ces dernières on peut appliquer la loi du balan- cement organique invoquée par Prilleux (voir Historique, p. 6). Mais nous pensons que les ovules qui avortent complètement n'ont pas été fécondés. Si nous délaissons ce point spécial pour nous occuper seule- ment des variations du nombre de graines, nous sommes amenés à nous demander comment s'opère la pollinisation. Nous remarquerons d’abord que toutes les fleurs sont fortement penchées par suite de la courbure du tube du périanthe, que les filets des étamines sont courbés de façon à ramener les anthères vers le haut et que le style lui-même est dirigé de façon que le stigmate vient se placer obliquement en dessous des étamines (fig. 22). Une telle disposition rend possible la pollinisation directe à la suite d’une secousse. En effet, en secouant la hampe florale, on peut voir tomber du pollen sur le stigmate. Il y a lieu de faire remarquer que si le pollen est mis en liberté sans que la hampe soit secouée, 1l ne tombe Fi. 22. — Fleur coupée longitudinalement { À ). pas sur le stigmate; l'intervention du vent ou d’un autre agent agissant de même, est donc nécessaire. Mais quelle relation y a-til entre ce mode de pollinisation et la variabilité du nombre de graines? Pour être utile la secousse qui projette le pollen doit être faite au moment où le stigmate est nubile. Tout le pollen qui tombe sur le stigmate n’est pas efficace; une grande partie n’y reste pas adhérente parce qu'il ne retient le pollen que lorsque sa surface est visqueuse, ce qui arrive à l’époque à laquelle 1l est nubile. Il faudra donc que pendant SE para 4 AS SAR NE ST (21) la courte période durant laquelle la fécondation peut être réali- sée, le vent souffle assez violemment pour provoquer la chute du pollen. Dés lors, en prenant en considération, d’une part, que les fleurs s'épanouissent les unes après les autres; et, d'autre part, que les agents atmosphériques (surtout le vent) n’agissent pas loujours avec une égale efficacité, on comprend, aisément, que la quantité de pollen qui tombe sur le stigmate au moment propice puisse être variable d’une fleur à l’autre, et que, par conséquent, le nombre d’ovules fécondés soit différent d'un ovaire à l’autre, et parfois très petit. $ IL est probable que dans son pays d’origine, si pas de nos jours, du moins autrefois, certains insectes intervenaient effica- cement dans la pollinisation du Crinum Capense; et ainsi s’expliquerait le grand développement, le coloris du périanthe, le parfum et le nectar que sécrètent les glandes septales. Il ne semble pas qu’en Europe cette plante reçoive la visite d'insectes capables de la polliniser. $ 5. — Observations sur la germination. La germination des graines du Crinum Capense se produit constamment quelques jours après leur dissémination. Ces graines ont un albumen charnu, gorgé d’eau, qui leur permet de germer dans un milieu absolument sec. Grâce à cette parti- cularité, on a pu placer des graines dans des conditions très différentes les unes des autres, conditions qui ont eu un contre- coup marqué sur la manière d’être des plantules. Les expé- riences ont porté sur un très grand nombre de graines afin d'éliminer les particularités qui pourraient résulter de causes accidentelles. Toutes les descriptions qui vont suivre ont été faites d’après des plantules âgées de quatre à cinq semaines. A. — GERMINATION EN TERRE. Lorsqu'une graine est recouverte d’une mince couche de terre (3 centimètres environ), le cotylédon reste assez court; sa gaine se renfle de bonne heure pour former le bulbe; la Germination (4) — F6. 23 : Graine placée à une faible profondeur en terre. — FiG. 24 : Graine profondément enterrée. — Fig. 25 et 26 : Graines germant à la surface du sol. — Fi. 27 : Graine germant sur la table du laboratoire. — FiG. 98 : Graine suspendue à un fil. — Fi@. 29 : Graine fixée à un support rigide. — Fie. 30 : Graine maintenue par un flotteur à la surface de l’eau. — ne A Graine flottant librement à la surface de l’eau. à A, LAS ? Mt dirénct ms 5 (23) racine principale et la feuille ! se développent normalement (fig. 23). Lorsque la graine est enfouie plus profondément (à 15 centi- mètres sous la surface du sol), le développement se fait comme dans le cas précédent, sauf que la feuille 1, ayant à traverser une plus grande épaisseur de terre, doit s’allonger considéra- blement (fig. 24). B. — GERMINATION À LA SURFACE DU SOL. Suivons le développement à partir du début de la germina- tion. Après avoir percé l’albumen, le cotylédon s’incurve vers le bas, s’allonge, touche le sol, et par ce fait repousse la graine. Celle-ci, d’abord dérangée de sa position première, finit par culbuter (fig. 25), entraînant avec elle le cotylédon. Mais la région inférieure de ce dernier, qui est douée de géotropisme positif, se dirige de nouveau vers le bas en s’allon- geant, et le même phénomène se reproduit. Il peut en résulter une série de culbutes; le cotylédon s’accroissant au point de mesurer 2 décimètres de longueur, s’est enroulé assez réguliè- rement en hélice (fig. 26). D’autres fois, quand par suite d’une forme moins régulière, la graine est renversée successivement dans différents sens, ou oscille sans se renverser, le cotylédon décrit des sinuosités irrégulières et traîne sur le sol. Il peut arriver que la grande longueur du cotylédon et les sinuosités qu’il décrit constituent une cause de stabilité suffi- sante : l'extrémité inférieure du cotylédon pénètre en terre. Alors seulement la racine principale commence à se développer et à s’enfoncer régulièrement dans le sol. Le bulbe ensuite ne tarde pas à se renfler. Mais très souvent la plantule manquant de stabilité ne par- vient pas à pénétrer en terre. En ce cas, la gaine du cotylédon s’épaissit un peu et forme un mince bulbe qui n’a pas de racine, et qui passe immédiatement à l’état de vie latente. Si l’expé- rience est faite chez nous en plein air, ce petit bulbe est exposé aux intempéries de l'hiver et périt. Si l'expérience est réalisée (24) à l'abri des gelées, le bulbe peut entrer en végétation au retour de la bonne saison. En résumé, les graines germant à la surface d’un sol complète- ment nu manquent de stabilité, et cette circonstance suffit pour modifier considérablement le développement des plantules. C. — GERMINATION DANS L'AIR SEC. 1. Graines déposées sur la table (fig. 27). — Les conditions sont fort semblables à celles de l’expérience précédente. Elles en diffèrent pourtant, par l’instabilité encore plus grande de la graine et par l'impossibilité absolue, pour la région inférieure du cotylédon, de s’enfoncer dans le substratum. Le cotylédon mesure de 20 à 50 centimètres; il est enroulé en hélice ou irrégulièrement sinueux. Il n’y a n1 bulbe n1 racine. 2. Graines suspendues à l'extrémité d'un fil (fig. 28). — Stabi- lité relative. La graine ne peut plus culbuter, mais elle peut osciller. Le cotylédon s’allonge un peu moins que dans le cas précédent (15 à 20 centimètres). Il est presque rectiligne; un peu incliné du côté opposé à la lumière incidente, sous l’action de l’héliotropisme négatif de sa région inférieure. Ni bulbe ni racine. 5. Graines fixées à un support rigide (fig. 29). — Même manière d’être. Action plus marquée de l’héliotropisme négatif. D. — GERMINATION DANS L'EAU. 1. Graines maintenues à la surface de l’eau au moyen d'un fotteur (fig. 30). — Il est à noter que ces graines sont fixes. Le cotylédon mesure une quinzaine de centimètres, la racine une dizaine de centimètres. Le bulbe ne s’est pas développé (1). 2. Graines flottant librement à la surface de l’eau (fig. 31). — En vue de cette expérience, on a choisi des graines moins (4) En prolongeant l'expérience, on a constaté la formation d’un bulbe allongé. rfi RSS nJ NT a In MES ENT Ware (25) denses que l’eau. Elles ont été jetées dans un aquarium où elles flottaient donc librement, sans aucun point d'appui, pou- vant osciller en tous sens avec la plus grande facilité. Le cotylédon ne mesure que 6 à 8 centimètres; la feuille { en mesure 4 à 5 (dans l'expérience précédente, elle n’avait pas encore commencé son développement). La racine n’atteint que quelques millimètres et forme un crochet dirigé vers le bas. L’axe de [a plantule est horizontal. Quand les plantules sont âgées de six semaines, leur racine atteint une dizaine de centi- mètres. 3. Graines complètement immergées. — Il s’agit de graines plus denses que l’eau et d’autres moins denses, qui ont été maintenues immergées au moyen d'un poids. Ces graines germent très tardivement et à des intervalles considérables. E. — RÉSULTATS DES EXPÉRIENCES. Les plantules obtenues dans les diverses expériences décrites €i-dessus, ont été tenues en observation pendant plusieurs mois. Dans l'énoncé qui va suivre, nous tiendrons compte de la façon dont elles se sont comportées pendant toute la durée de nos observations. Il est à présumer qu’eu égard à leur grosseur, les graines du Crinum Capense ne sont pas enfouies en terre : dans les condi- tions naturelles, elles restent donc à la surface du sol, exposées à la lumière, souvent privées de l'humidité qui est nécessaire à la germination des graines en général. Ce qui confirme cette hypothèse, c’est l’étonnante adaptation des graines de Crinum à de semblables conditions de germina- tion. Elles possèdent, en effet, une particularité, bien rare, qui leur permet de se passer, lors de la germination, de l'humidité du milieu ambiant. Elles ont, en effet, un albumen volumineux, charnu, gorgé de liquide, protégé contre la dessication par une pellicule de suber très efficace, comme le prouvent les graines qui n'étaient que faiblement ridées après avoir séjourné pen- dant deux mois sur une table, dans un laboratoire où l’air était très sec. (26) Mais un autre danger résulte du fait que les graines ne sont pas recouvertes de terre : c’est leur peu de stabilité, qui permet la culbute des plantules. Dans ces conditions, la région infé- rieure du cotylédon ne peut s’enfoncer directement dans le sol; elle est constamment déplacée de la direction que son géotropisme positif tend à lui faire prendre. La racine en serait donc réduite à se développer dans l’air souvent sec, donc dans un milieu incompatible avec son fonctionnement. Cela n’arrive pas. La racine ne se développe pas dans ce milieu défavorable, mais le cotylédon s’allonge considérablement, au point que sa longueur même peut constituer une cause de stabilité pour la plantule. D’autres fois, une stabilité suffisante provient du fait que la graine est maintenue en place par les aspérités du sol ou les feuilles mortes qui le couvre. C’est seulement lorsque la région inférieure du cotylédon à pu pénétrer dans une terre assez humide que la racine principale peut commencer son développement, bientôt suivi de celui des racines latérales (1). $ 6. — Développement de Ia racine principale. [est établi, par plusieurs des expériences précédentes, que l'accroissement de la radicule est toujours tardif. D’autres expé- riences ont été réalisées en vue de déterminer quels sont les facteurs qui provoquent ou retardent cet accroissement. Elles ont été effectuées au moyen de plantules âgées d’une quinzaine de jours et provenant de graines ayant germé sur la table du (1) La pénétration de la racine principale en terre est facilitée par l’inter- vention d’une couronne de poils fixateurs spéciaux qui, sous l'influence de l’humidité, prennent naissance à la surface de l’iypocotyle. Ges poils, qu'il ne faut pas confondre avec les poils radicaux, ont été découverts par M. le Prof. A. Gravis qui fera connaître leurs particularités morphologiques et physiologiques dans un prochain mémoire intitulé : Recherches anato- miques et éthologiques d'embryologie végétale. Une analyse de ce mémoire paraîtra dans le volume VI des « Archives de l’Institut botanique ». (Note ajoutée pendant l'impression.) TS OT TS TT RS Ch), à LL, (27) laboratoire dans l'air sec. Le cotylédon seul s'était allongé et mesurait une dizaine de centimètres de longueur ; la radicule n'était pas plus longue qu’au sortir de la graine, c’est-à-dire qu'elle mesurait moins de 1 millimètre. 1. Plantules déposées sur du sable sec. — Bien que l'extré- mité inférieure du cotylédon ait été enfouie à 4 centimètre de profondeur dans le sable, afin de lui donner une fixité suffi- sante, 1! à été constaté, un mois après, que la racine principale n’avail pas encore commencé son développement. 2. Plantules déposées sur du sable humide. — Placées comme les précédentes, ces plantules possédaient, après quinze Jours, une racine principale longue de 1 centimètre déjà. L'influence de l'humidité est done manifeste. 5. Plantules suspendues dans l'air humide. — Sous une cloche dont l’atmosphère est saturée d'humidité, la racine principale ne tarde pas à s’allonger et à se couvrir de poils absorbants. 4. Plantules au contact de l'eau liquide. — Les graines en germination ont été déposées sur une lame de liège flottant à la surface de l’eau de façon que la région inférieure du coty- lédon seule fut immergée. Dans ces conditions, la racine prin- cipale prend un rapide développement. 9. Plantules dont la région inférieure est maintenue verticale- ment vers le haut. — 11 n’est pas facile de maintenir, pendant quelques jours, la région inférieure du cotylédon dans une position verticale, la radicule étant tournée en haut. Par suite de son géotropisme positif, le cotylédon se courbe et ramène son extrémité inférieure vers le bas avant que la radicule ait manifesté le moindre accroissement, même si on opère dans les conditions les plus propices au développement de la racine, c'est-à-dire en plaçant l'extrémité inférieure du cotylédon dans l’eau. La figure 32 représente le dispositif qui a donné les meilleurs résultats. L’extrémité inférieure de la plantule à été (28) introduite dans un tube en verre, fermé au bout supérieur et rempli d'eau. Les résultats ont été quelque peu différents et en corrélation avec le diamètre du tube employé et la grosseur du cotylédon. Germination (2). — F1. 82 à 37 : Plantules disposées de façon que l'extrémité inférieure du cotylédon soit verticalement dans l’eau, la radicule tournée vers le haut. Tube de 5 millimètres de diamètre (fig. 32). — Le cotylédon à continué à s’allonger, mais 1l s’est recourbé en formant un coude qui lui à permis de s’accroître vers le bas; 1l NOIRE DS L ETC 7 PTE VER E Dear (29) est sorti du tube (fig. 33) et, après quelques jours, la racine à commencé à se développer. La figure 34 représente une plan- tule, trois semaines après la mise en expérience. Le géotro- pisme positif du cotylédon est bien évident. Tube de 5 millimètres de diamètre (fig. 35). — Le diamètre est trop faible pour permettre au cotylédon de se recourber. Dans certains cas, une mince racine à pris nais- sance, s’est repliée en formant un coude semblable à celui du cotylédon, dans l’expérience précédente; elle s’est frayé un passage entre le cotylédon et la paroi, et finalement s’est développée à l'extérieur (fig. 56). Dans d’autres cas, la racine n’a pas trouvé l’espace néces- saire pour se recourber. Elle n’a pu. s’allonger que de 4 à 5 mil- limètres en formant un commencement d’hélice (fig. 37). 6. Plantules suspendues à un fil. — La région inférieure du cotylédon était seule immergée dans l’eau. L'expérience a été faite à la lumière et à l'obscurité. Les plantules placées à l'obscurité ont toutes développé leur racine plus rapidement que celles exposées à la lumière. RÉSULTATS DES EXPÉRIENCES. 11 résulte des expériences qui précèdent qu’au point de vue du développement de la racine principale, l'humidité est un facteur indispensable, l'obscurité, un facteur favorable mais non nécessaire. La racine principale manifeste aussi un géotropisme positif intense dès le début de sa formation. Elle ne se développe même pas du tout quand elle est dans l’impossibilité de se diriger vers le bas. Dans le Crinum Capense, l'apparition de la racine princi- pale est toujours tardive, même dans les conditions naturelles les plus favorables. Contrairement à ce que l’on voit d’ordi- naire chez les autres plantes, c’est le cotylédon qui sort le premier de la graine. ( 30 }) $ 7. — Croissance intercalaire du cotylédon et influence des agents extérieurs sur cette croissance. À diverses reprises, nous avons pu constater l'énorme allon- gement du cotylédon et la direction verticale vers le bas qu'il tend toujours à prendre. I! y a lieu de se demander si cet allon- gement se fait dans toute F longueur du cotylédon, ou bien si une région est plus spécialement le siège de l'accroissement intercalaire. Dans une première catégorie d'expériences, on a enlevé, de la région inférieure du cotylédon, une portion plus ou moins longue, supprimant donc du même coup la radicule. Les graines ont été piquées sur une lame de liège de façon que la surface de section fut dirigée vers le haul. Lorsque la partie enlevée mesurait seulement { millimètre, le cotylédon a continué de s’accroître de 1 centimètre environ, en dirigeant, après courbure, son extrémité libre vers le bas. Quand on a enlevé 5 millimètres du cotylédon, les plantules mulilées ont cessé de s’accroitre et n’ont plus manifesté le _moindre géotropisme positif. Il ressort de ces expériences que la croissance du cotylédon et son géotropisme sont localisés dans sa partie inférieure, sur une courte longueur. Cette dernière ne peut être déterminée que très approximativement par des expériences comme celles dont il vient d’être fait mention. Il est évident, en effet, que la blessure doit amoindrir considérablement la vitalité de la région voisine de la surface de section. D'ailleurs, voici, pour ce qui concerne l'allongement du cotylédon, une Fa ts plus concluante : Il s’agit de plantules âgées de quelques jours, qui ont germé sur la table, dans le laboratoire; leur cotylédon mesure de 4 à 6 centimètres de longueur. On y à fait des marques à l'encre de Chine de demi en demi centimètre de distance, puis les graines ont été fixées à un support convenable, de façon que la plantule puisse librement s’accroître vers le bas, dans Pair. (31 ) La figure 38 montre une des plantules au moment de la mise - en expérience. Son cotylédon mesurait extérieurement 4 centi- … mètres : des traits à l’encre de Chine ont été tracés à distance _ de 5 millimètres les uns des autres de façon à délimiter É huit segments. Le segment le plus proche de la graine porte le n° 1. Des mensurations ont été faites quotidiennement, aussi _ longtemps que le cotylédon à continué de s’accroître, c’est- Germination (2). — FiG. 38 et 39 : Expérience sur la croissance inter- calaire du cotylédon. — F1G. 40 à 43 : Expérience sur le géotro- pisme. - Fic. 44 et 45 : Expériences sur le phototropisme (dans l'expérience représentée par la figure 44, la lumière venait obli- quement du côté gauche ; dans celle de la figure 45, la lumière venait verticalement d’en bas). — FiG. 46 : Crinum Mac Owani, graine enfouie dans du sable see et retrouvée deux ans et demi après. (32) à-dire pendant un mois. La figure 59 représente la plantule à la fin de l'expérience : le segment n° 4 ne s’est allongé que de 1 millimètre; les segments n° 2 et n° 5 chacun de 3 millimètres; les segments n° 4 et n° 5 chacun de 6 millimètres; le segment n° 7 s’est accru, pendant les premiers jours, de 5 à 6 milli- mètres journellement, puis l’allongement à été de plus en plus lent; enfin quand ce segment à atteint 50 millimètres, sa crois- sance s’est arrêtée. Le segment n° 8 s’est allongé moins rapide- ment que le précédent au commencement de l’expérience; mais, après quelques Jours, l’accroissement s’est accéléré et n’a cessé que lorsque le segment mesurait 95 millimètres. Ces constatations prouvent donc bien que l'allongement du cotylédon résulte de l'accroissement intercalaire d’une région voisine de sa partie inférieure, et que cette région de maximum d’allongement est de faible étendue. Abordons maintenant la question de l’influence des agents extérieurs sur la croissance du cotylédon. 1. Géotropisme. — Le géotropisme positif du cotylédon est suffisamment établi par plusieurs des expériences relatées pré- _cédemment. Quant au siège de ce géotropisme, il se trouve principalement dans la région inférieure du cotylédon, mais la courbure qui s’y manifeste d’abord peut se déplacer ensuite vers la région moyenne, comme le prouve l’expérience sui- vante : | De grosses graines ont été déposées, dans l’obseurité, à l’or1- fice de flacons vides, le hile étant tourné vers le bas. Le coty- lédon s’est allongé verticalement dans le flacon. Lorsqu'il eut atteint 7 ou 8 centimètres, la plantule à été retournée, fixée au moyen de deux épingles, comme l’indique la figure 40, et main- tenue dans l’obscurité. Vingt-quatre heures plus tard, une courbure en demi-cercle s’était produite dans la région voisine de la radicule (fig. 41). Les jours suivants, il y eut non seule- ment allongement du cotylédon vers le bas, mais encore dépla- cement de la courbure comme on peut le constater dans les figures 42 et 43. MLD LR DS AE TS LL ( 33) L'explication de ce phénomène semble résulter des considé- rations suivantes : La courbure géotropique se produit d’abord dans la région du maximum de croissance intercalaire, c’est-à-dire dans la région du cotylédon la plus voisine de la radicule. La courbure géotropique se manifeste ensuite et successivement dans les régions dont la croissance est de moins en moins rapide, c’est- à-dire dans les régions de plus en plus éloignées de la radicule. La courbure géotropique, enfin, s’efface dans les régions où elle s’est produite d’abord, parce que ces régions sont graduel- lement amenées en dehors de la verticale, et alors la gravitation défait ce qu’elle à fait. Quoi qu’il en soit, on comprend combien ce phénomène est utile à une plantule qui, se développant à la surface du sol, se trouve brusquement retournée par une culbute comme nous l'avons expliqué plus haut (p. 23). Dans cette circonstance, la radicule est ramenée près du sol, non seulement par la crois- sance de haut en bas du cotylédon, mais encore par le dépla- cement simultané de la courbure géotropique. Quelques expériences ont été faites aussi en fixant, dans diverses positions, des graines sur le disque tournant verticale- ment d’un chinostat. Les cotylédons se sont développés inditfïé- remment dans une direction quelconque sans manifester de courbure. 2. Phototropisme. — Lorsqu'une graine est fixée au moyen d’épingles sur la partie verticale d’un châssis de fenêtre à l’in- térieur du laboratoire, le cotylédon s’allonge en descendant, mais 1l s'incline du côté de l'ombre. On peut disposer l'expérience autrement. Plusieurs graines sont fixées à divers niveaux dans une petite boîte tapissée intérieurement de papier noir ; le fond de cette boite est percé de trous. La boîte elle-même est suspendue devant une fenêtre, le plus haut possible, de façon à être éclairée obliquement par en dessous. Lorsque les graines germent, leurs cotylédons sortent par les trous du fond et descendent obliquement dans 3 (34) l’air en se dirigeant vers l’intérieur de l'appartement (fig. 44). La déviation est variable selon l'intensité de la lumière. D'autres graines encore ont été fixées dans une sorte de petite armoire placée sur la tablette d’une fenêtre et éclairée au moyen d’un miroir incliné de façon à y faire pénétrer la lumière verticalement de bas en haut (!). Malgré cet éclairage tout à fait anormal, les cotylédons se sont allongés vers le bas, mais en se dirigeant obliquement vers les parties les plus sombres de la petite armoire (fig. 45). Le phototropisme négatif du cotylédon du Crinum Capense est donc toujours moins intense que son géotropisme positif. Dans les conditions naturelles, l'influence de la lumière et celle de la gravitation agissent d’ailleurs à peu près dans le même sens et s'ajoutent l’une à l’autre pour amener la radicule au contact du sol. 5. Influence de la chaleur et de la lumière. — Comme on devait s’y attendre, la température de notre pays en août et en septembre n’est pas celle qui convient le mieux au dévelop- pement du Crinum Capense. Une chaleur plus élevée hâte la germination et active l'accroissement de la plantule. Le coty- lédon s’allonge plus vite et atteint une longueur de 30 cen- timètres lorsque la température est portée à 25° pendant quelques heures chaque jour. Lorsque la température ne dépasse jamais 20°, le cotylédon mesure seulement une dizaine de centimètres. Dans les deux cas auxquels il est ici fait allu- sion, la germination s'était produite à l’air dans l’obscurité. Au-dessous de 18°, l'accroissement du cotylédon cesse à peu près complètement. Lorsque le cotylédon est normalement exposé à la lumière du jour, il verdit et par suite la fonction d'élaboration s’étabiit dans toute la partie aérienne. Cette fonction concourt à pro- (t) Voir A. GRAvIs, Exercices et Traité de botunique. Gand, J. Vander- poorten, 4919, p. 471. fl 2 7 AE L'ee né Le MES art RE * D, “D e . A + : a 2 PU VONT (39 ) voquer l’allongement si utile du cotylédon lorsque l’enracine- ment s'effectue difficilement. 4. Effet des conditions défavorables à la végétation. — Lorsque la plantule rencontre des circonstances très défavorables à sa végétation (froid, obscurité, sécheresse), le cotylédon s’allonge peu, la racine principale ne se forme pas, l’albumen diminue de volume en se ridant fortement : l’eau et les réserves alimen- taires qu’il contenait vont s’accumuler dans la gaine du coty- lédon qui se renfle très lentement en formant un bulbe mince, de forme allongée. Après quoi, la plantule passe à l’état de vie latente, attendant des conditions meilleures. C'est ce que l’on voit ordinairement après une couplé de mois lorsque des graines ont germé sur la table du laboratoire ou sur la terre au jardin. Une expérience bien curieuse a été réalisée accidentellement au moyen d’une très grosse graine de Crinum Mac Owani. Sitôt après sa maturité, à la fin d'octobre, cette graine avait été déposée dans du sable sec, conservée dans une chambre noire non chauffée et oubliée. Lorsqu'elle fut retrouvée deux ans et demi après, elle était dans l’état que voici : contre la graine complètement ridée et desséchée, s'était formé un bulbe long de 50 millimètres, épais de 235 millimètres. Le cotylédon ne s'était allongé que de la quantité strictement nécessaire à la formation du bulbe; la racine principale, les racines latérales et les premières feuilles ne s'étaient pas développées (fig. 46). Le bulbe paraissant encore vivant à été placé dans du Sphag- num humide dans une serre modérément chauffée. Il n’a pas tardé à entrer en végétation après avoir attendu pendant plus de deux ans à l’état de repos complet! S 8. — Rôle des stomates situés sur le suçoir. Nous avons déjà parlé précédemment de l’existence de sto- mates sur le suçoir cotylédonaire, c’est-à-dire sur la partie du cotylédon renfermée dans lalbumen. Ils sont très nombreux ( 36 } (dix par millimètre carré), avons-nous dit, sur la calotte hémisphérique du sommet; plus bas leur nombre diminue considérablement. La présence de stomates sur un organe qui est destiné à rester inclus dans l’albumen, à ne jamais venir en contact direct avec l’atmosphère, est tout à fait exceptionnelle. Il semble qu’une fonction nouvelle est dévolue à ces stomates. Leur situation, en effet, écarte, de prime abord, l’idée d'échanges gazeux entre le suçoir et l’albumen dans lequel il est emprisonné. D'ailleurs, on peut constater que les stomates dont il s’agit, ne fonctionnent pas comme des stomates aéri- fères : ils ne peuvent s'ouvrir ni se fermer suivant le degré de turgescence des cellules stomatiques. Des lambeaux d’épiderme vivant ont été traités par des solutions titrées de nitrate de potasse dont la concentration a varié de 0,5 à 25 °/,; en aucun cas la fente stomatique n’a changé de diamètre, alors même que la plasmolyse des cellules stomatiques s’est produite. D'autre part, on ne peut admettre qu'il s'agisse ici de stomates aquifères permettant à l’eau en excès dans l’embrvon de sortir sous forme de gouttelettes liquides. Loin de contenir trop d’eau, l'embryon doit en absorber beaucoup, comme le prouve la germination des grammes placées sur une table, dans un labo- ratoire où l’air est sec. Nous avons vu que c’est dans ces condi- tons surtout que le cotylédon s'allonge démesurément, et c’est uniquement dans l’albumen que l'embryon peut puiser l’eau nécessaire à cet énorme accroissement. Comment le fait-il ? Précisément par l’intermédiaire du suçoir sur lequel se trou- vent les stomates. Et dès lors, ces derniers ne serviraient-ils pas plutôt à absorber l’eau et les matières dissoutes contenues dans l’albumen”? De multiples expériences ont été faites dans le but de répondre à cette question. Sans entrer dans les détails, voici les procédés mis en œuvre et les résultats d’en- semble : On a expérimenté sur des plantules qui avaient germé sur une table; elles étaient âgées de cinq à trente jours et leur cotylédon mesurait de 3 à 20 centimètres de longueur. Quel- (31) ques-unes d’entre elles ont servi à l’expérience suivante : _ l’albumen à été enlevé par petits morceaux de façon à mettre à . nu toute la surface du suçoir ; celui-ci a été plongé pendant … un temps plus ou moins long dans un bain colorant (violet de Russie, éosine, action successive du tanin et du chlorure ferrique). Chez d’autres, le suçoir n’a pas été extrait de l’albu- men, mais des piqüres de matières colorantes ont été faites dans l’albumen dans le but de permettre à la couleur de diffuser et d’arriver Jusqu'au suçoir. Voici maintenant les résultats les plus probants, reposant sur un grand nombre de constatations : vu extérieurement, le sommet du suçoir apparaît toujours plus coloré que le reste. Des lambeaux d'épiderme arrachés de ce sommet et examinés de face, au microscope, montrent les cellules épidermiques ordinaires faiblement colorées; les cellules stomatiques, au contraire, sont toujours très foncées et leur coloration est la plus intense sur les parois bordant la fente des stomates. Si l’on examine des portions d’épiderme arrachées plus bas sur le suçoir, le degré de coloration des cellules stomatiques est le même, mais comme ces dernières sont beaucoup moins nom- breuses que sur le sommet, il est compréhensible que l’épi- derme paraisse moins coloré. Des coupes transversales ont été pratiquées à différents niveaux dans le suçoir, et leur observation confirme ce qu’on pouvait déjà augurer par le simple examen de l’épiderme vu de face. Les coupes faites dans le sommet paraissent entièrement colorées, la coloration diminuant d'intensité de la périphérie vers le centre. La matière colorante est surtout localisée dans les parois des cellules; leur contenu est à peu près incolore. Certaines coupes ont été failes juste au niveau de grands méats et elles nous permettent de constater un fait qui, tout en confir- mant le rôle nouveau que semblent remplir les stomates, aurait comme corollaire une fonction nouvelle des méats. Certains de ces derniers sont, en effet, remplis de matière colorante et les parois qui les bordent sont particulièrement colorées. Ce même fait a d’ailleurs été observé dans des coupes pratiquées 3* (38 ) plus bas dans le suçoir. Dans ces dernières, l’épiderme et seu- lement une ou deux assises de cellules périphériques du paren- chyme étaient colorées; tout le reste était incolore, sauf les trachées qui, parfois, étaient rattachées à la zone colorée externe par une traînée de matière colorante, localisée dans un méat. Avant de tirer les conclusions des faits observés, remarquons qu'il n’y à aucune raison de supposer que le sue cellulaire de l’albumen, tenant en solution les matières de réserve, soit absorbé d’une autre façon que les matières colorantes dont nous nous sommes servi : nous supposons donc que l'absorption se fait de la même manière dans les deux cas. Cela étant, il semble qu’il faille considérer comme suçoir toute la partie du cotylédon qui reste enfermée dans l’albumen. Mais l'absorption n’est pas également active partout. Elle se fait lentement, par osmose à travers les membranes des cellules épidermiques; elle se fait bien plus rapidement, par diffusion, aux endroits correspondants aux stomates. Cela ressort claire- ment de la coloration intense que prend le suçoir dans la région où les stomates sont les plus nombreux, c’est-à-dire à son sommet. Cela ressort surtout de la coloration très foncée qui se manifeste dans le voisinage des stomates. L'absorption est encore activée par la circulation qui se fait dans certains méats. Nous comprenons d’ailleurs aisément la présence de matière colorante dans ces derniers, vu qu’ils communiquent par l'intermédiaire des stomates avec le milieu dans lequel se trouve le suçoir. Chez toutes les plantes, les méats intercellulaires sont nor- malement remplis d'air. Malgré leur faible diamètre, l’eau n’y pénètre jamais par capillarité, même lorsqu'on plonge dans l’eau une coupe très mince faite dans un tissu vivant. Il semble donc que les parois des méats ont la propriété d'extraire les gaz dissous dans un liquide (suc cellulaire) et de les faire passer à l’état gazeux. Or dans le suçoir du Crinum Capense, nous trou- vons une exception, bien rare semble-t-il, qui consiste dans la présence de liquide dans certains méats. D’autres méats voisins sont encore remplis d'air. Il y a donc dans £e cas une modifi- (39) cation, véritable adaptation, de certains méats à une fonction nouyelle qui est la circulation du liquide absorbé au dehors. Cette adaptation est d’ailleurs corrélative à celle des stomates du suçoir qui, comme il semble établi par les constatations précédentes, sont devenus des organes absorbants. | CONCLUSIONS Les organes floraux du Crinum Capense sont disposés de façon à permettre la pollinisation directe à la suite de chocs imprimés à la tige florifère par le vent. L'efficacité de cette disposition semble assez variable et cela nous amène à penser que le nombre souvent très restreint des graines, leur grosseur et leur mode de germination si exceptionnel ne sont peut-être que des conséquences lointaines d’une pollinisation incom- plète, en ce sens qu'un petit nombre de grains de pollen parviennent aux stigmates. Lorsqu'un ou deux ovules seule- ment sont fécondés, ils prennent un développement considé- rable : l'embryon est volumineux et l’albumen est le siège d'une énorme prolifération de cellules. Celles-ei restent gorgées de liquide et permettent une germination immédiate de l’em- bryon qui est lui-même déjà notablement différencié au moment de la maturité du fruit. D'autre part, le volume considérable de la graine, mettant obstacle à son introduction dans le sol, nécessile un accroissement considérable du cotylédon, la racine ne se développant que tardivement, lorsque l’extrémité infé- rieure de la plantule a été introduite en terre. Remarquons que chez la plupart des autres plantes, l’em- bryon et l’alhumen, étant presque complètement desséchés, passent par un état de vie latente. A l’époque de la germina- tion, c’est tout d’abord la racine principale qui s’allonge et s'enfonce en terre. Elle y absorbe de l’eau, qui permet le développement de l’hypocotyle, l’épanouissement des cotylé- (4) dons et l'allongement de la tige. Dans le Crinum Capense au contraire, l'embryon et l’albumen étant gorgés d’eau ne passent pas par une période de vie latente. La germination se faisant à l’air (à la surface du sol ou au milieu de débris de feuilles mortes), la racine ne peut se développer immédiatement sans courir le risque de périr ou tout au moins de ne pouvoir fonctionner pendant un certain temps. Aussi c’est le cotylédon qui s’allonge et fait les efforts nécessaires pour placer la partie essentielle de l'embryon (la gemmule et la radicule) dans les conditions indispensables à leur végétation. Ces considérations nous montrent le lien qui semble exister entre la pollinisation, la grosseur des graines et les particula- rités de leur mode de germination. Rappelons encore le rôle nouveau dévolu aux stomates situés sur le suçoir et aux méats qui leur font suite : l’absorption de l’eau et des matières dissoutes de l’albumen. Notons enfin que l’allongement du cotylédon, si considérable dans certaines circonstances, se fait par accroissement intercalaire de sa région inférieure, voisine de son insertion sur l’hypocotyle; c'est d’ailleurs dans cette région aussi que se trouve localisé le géotropisme positif du cotylédon. La structure de l'ovaire et du fruit, celle de l’embryon dans la graine mûre et des plantules en germination ont été décrites dans la première partie de ce travail. Les conditions naturelles qui président à la germination, l'influence des agents extérieurs sur le développement de la racine principale et sur l’aceroisse- ment intercalaire du cotylédon ont été envisagées dans la seconde partie. | INTRODUCTION . . . . . - L1 e. . . . . . . e . CHAPITRE PREMIER. — ANATOMIE. _g4. me... . . . .. . . . ; n 2. L’ embryon dans la graine mûre. . . . . ; 3. Structure des RSR RTE NE en us 0 CHAPITRE Il. — PHYSIOLOGIE. $4. Observations sur la pollinisation . . . . . . . ET 4 S5. D vahonsenria germination . . . . . . . . . . 6. Développement de la racine principale. . . . . . . 7. Croissance intercalaire du cotylédon et influence des agents exté- 3 MAUR EeCHeICTOISSANCe, à à … 4 . . .. $8. Rôle des stomates situés sur le suçoir. . . . . . ,. . nn Ou Pl ty 13 19 24 26 30 39 39 uw Gr f FN CANERIDEEATE | M” Wa _ Nec temere, nec timide. TROISIÈME SÉRIE. _ TOME XI — DEUXIÈME PARTIE \ : A PET FA et DÉPOTS : MNT, LONDRES, | PARIS, Ge r chez WiLLiAMS et NORGATE, chez HERMANN, libraire, _ Henrietta Str., 14. [N BRUXELLES M. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE _ Rue de Louvain, 41149 1922 rue de la Sorbonne, 6. MÉMOIRES SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES ee DE LIÈGE ne NOV 7 1922 MÉMOIRES DE LA SOCIÈTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE —— Nec temere, nec timiile. TROISIÈME SÉRIE TOME XI — DEUXIÈME PARTIE DÉPOTS : LONDRES, PARIS, chez WiLLiams et NORGATE, chez HERMANN, libraire, Henrietta Str., 14. rue de la Sorbonne, 6. BRUXELLES M. HAYEZ, IMPRIMEUR DE L'ACADÉMIE ROYALE DE BELGIQUE Rue de Louvain, 119 1922 OU TABLE DES MATIÈRES DU VOLUME XI. DEUXIÈME PARTIE. — Sur les courbes du quatrième ordre et de u troisième classe, par CL. SERvVAIS. | . — Note sur les courbes trochoïdales, par C. De Jans. — Notes de géométrie et Je trigonométrie sphériques, je A. GoB. . — Sur une classe de déterminants, par L. FouARGE. - Sur les fonctions implicites, par V. LECLERCQ. . — Genèse et anatomie des péricarpes et des spermodermes chez les polygonacées (Poligonum be L), par L. Lonay. | ———"2p0 Efreee -—— LES COURBES QUATRIÈME ORDRE TROISIÈME CLASSE PAR CI. SERVAIS PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE GAND SUR nn COURDBES QUATRIÈME ORDRE ET DE LA TROISIÈME CLASSE 1. Notations. — Soient XYZ un triangle réel inscrit dans une conique ; E, F deux points réels ou imaginaires conjugués de cette courbe; A, B, C les points d’intersection de EF avec les côtés YZ, ZX, XY du triangle; (ABC...) et (A'B'C'.....) deux ponctuelles projectives ayant pour éléments doubles les points E, F; P un point réel ou imaginaire de Z; P,, Po, P> les points (PA, YZ), (PB', ZX), (PC', XY); 4, mo, s; les points (XP, EF), (YP, EF), (ZP, EF) ; P,4, Poo, P;; les seconds points d’intersection des droites PA’, PB’, PC’ avec la courbe E. 2. Les deux triangles XYZ, PEF inscrits dans la conique Y sont circonserits à une conique ©’. De la projectivité (ABC...) x (A'B'C! …) _ on déduit l’involution PŒF, BC, B'C) ou P(EF, BP, CP.) qui montre que les droites PE, PF sont tangentes à une conique inscritè dans le quadrilatère BCP;P,. Cette conique FA est 2’; par suite les trois points P,, Po, P- sont sur une tan- gente à cette conique. Donc Si P est un point réel ou imaginaire de la conique Y, les droites PA’, PB’, PC’ rencontrent les côtés YZ, ZX, XY du triangle XYZ en trois points P,, Po, P; situés en ligne droite. Si les points E, F sont les points cycliques, la droite p est une pédale oblique du triangle XYZ; son enveloppe est l’hypo- cycloïide de Steiner (*). Les propriétés de la courbe de Steiner s'étendent par projec- tion aux courbes du quatrième ordre et de la troisième classe, mais en recourant au principe de continuité si les points E, F sont réels. Les démonstrations du présent travail sont indé- pendantes de la réalité ou de la non réalité de ces points. 3. De l’ensemble des points P de X, on déduira un ensemble de droites p correspondantes. Un point réel S est le centre de perspectivité de deux ponctuelles situées sur XY, XZ et projetées respectivement des points C’ et B’ suivant deux faisceaux projectifs qui engendrent une conique 5. Cette courbe ayant un point réel X commun avec la conique Y coupe cette dernière en trois points P, M, N, en général distinets de X ; l’un est réel, les deux autres sont réels ou imaginaires conjugués. Les droites p, m, n relatives aux points P, M, N de la conique À passent par le point considéré S et PUS seules de cette propriété. Donc L’enveloppe des droites p est une courbe de la troisième classe C-. Le mode de génération, corrélatif de celui de Grassmann pour les cubiques planes, établit aussi ce résultat. 4. Si le point S est situé sur la droite EF = B’C' les fais- ceaux (B') et (C’) (3) sont perspectifs. La conique « dégénère en deux droites, l’une EF, l’autre passant par le point X et ren- contrant la conique 2 en un point P. Pour cette position (*) STeiner, Journal de Crelle, t. 53, pp. 231-937; DER complètes, t. IT, pp. 641-647; CREMONA, Idem, t. 64, pp. 101-193. (5) spéciale du point S, les droites m, n coïncident avec EF ; par suite, La droite EF est une tangente double de la courbe C;. 5. La droite p = P, Pa P; (2) rencontre EF en un point +; les couples de côtés opposés du quadrangle XPP,P; déter- minent sur la tangente double EF l’involution Geipie RCE: BIC): Donc La tangente réelle ou imaginaire p de la courbe deduite du point P de la conique È rencontre la tangente double EF en un point x dont les conjugués +4, to, r; dans les involutions | (BC, B'C,EF), (CA',C'A,EF), (AB’, AB, EF) sont respectivement sur les droites XP, YP, ZP. 6. Les ponctuelles décrites par les points P et r,, respecti- vement sur la conique X'et sur la tangente double EF, sont les sections d'un faisceau de rayons de centre X et sont projectives. Les points + et x, conjugués dans l’involution (BC', B'C, EF) (5) décrivent deux ponctuelles involutives; par suite, les ponc- tuelles (P) et (x) sont projectives. Ainsi Les tangentes p de la courbe C>; déterminent sur la tangente double EF une ponctuelle (x) projective à la ponctuelle du second ordre (P) formée par les points V de la conique (2), desquels elles sont déduites. Les points E et F de la ponctuelle (x) correspondent respectivement aux points K et E de la ponctuelle (P). 7. L'involution déterminée sur EF par le quadrangle . XPZP;; inscrit dans la conique À est identique à l’involution (EF, BC’, x x) (5); par suite, la droite ZP;; passe par x. Donc . Les droites XP,,, YPo9, ZP;; concourent au point d'intersec- tion x des tangentes p et EF. | (6) RevarQuE. — Cette propriété donne la construction connue de la tangente p issue d’un point + de la tangente double EF et celle du point P de Y relatif à cette tangente. Cette construction montre que les droites XA’, YB', ZC! sont tangentes à la courbe C;. Le triangle XYZ est circonscrit à la même courbe. Les tangentes issues des points E et F se confondent avec la tangente double EF. Ces points E, F sont les points de contact de cette tangente EF. | 8. Les droites AP,,, BP> se coupent en un point S; le quadrangle P;,,P29PS donne l’involution (AB/, A’B) dont fait partie le couple EF (5); les points E et F sont donc sur une conique circonserile au quadrangle. Cette conique n'est autre que Ÿ; par suite, Les droites AP,,, BPo9, CP-; concourent en un point S de la conique Y. 9. Si l’on désigne par % le point (PS, EF); par t la tangente à la courbe C; issue de G; par T le point de È relatif à cette tangente; par G1, Ge, © les traces de XT, YT, ZT sur la tangente double EF, on a l’involution (5) (AROU UAB. EP oobne Cette involution est identique à celle déterminée par le quadrangle P,,P2PS inscrit dans Ÿ, sur la droite EF; par suite, la droite P,4P99 passe par le point &; et par analogie les droites PoP;;, P11P;3 passent par les points G;, Ge. Donc Les côtés du triangle P,, Pos P;3 déterminent sur la tangente double EF trois points T1, Go, ©3 tels que les droites XT1, YG», ZT; concourent en un point T de la conique È. La tangente t à la courbe C; deduite du point T passe par le point d'intersection de la tangente double EF avec la droite PS (8). | PRET PRE cms (7) 10. Les droites XS, YS, ZS rencontrent la tangente double EF aux points 61, co, s3. Le quadrangle XYSPS inscrit dans X et coupé par la droite EF donne l’involution (EF, BC, xs). Donc Les conjugueés 5,, 59, s3 du point r respectivement dans les involulions ; (EF, BC, (EF,CA), (EF, AB) sont situés respectivement sur les droites XS, YS, ZS. On conclut de ce théorème : Le point x et le point S se correspondent dans une inversion trilinéaire définie par le triangle XYZ et les involutions de rayons X(EF,BC) Y(EF,CA) Z(EEF, AB). Dans cette inversion la tangente double EF correspond à la conique à. 11. Du point S de Z on déduit la tangente s à la courbe C;; cette tangente rencontre EF au point 5. On a l'involution (5) (EF, rx, 504, GG1) identique à celle déterminée sur EF par le quadrangle PSTX inscrit dans la conique Y. Car XT passe par &, et PS passe par & (9). Il en résulte que les points x et s sont respectivement sur ST et PT. Par suite, Les tangentes p, s, t de la courbe C> déduites des sommets P, S, T du triangle PST rencontrent les côtés ST,, TP, PS sur la tangente double EF. 12. La tangente au point P à la conique X rencontre EF au point P,. Le théorème de Desargues appliqué aux quadrangles PPP55P95, PPXT inscrits dans la conique Ÿ conduit aux involutions identiques (EF, B'C,P,G), (EF, P,Gs om). (8) On a donc les involutions (EF, B'C: OT, P,Ta) (EF, C'A', OT P,T:2) (EF, A'B;, OT) P,Gs). Ces involutions montrent que le point de la conique E relatif à la tangente à la courbe C; issue de P, joue par rapport au point T le même rôle que S par rapport à P. 13. Toute droite issue du point o (11) rencontre la conique À en deux points M, N. Le quadrangle XPMN coupé par la transversale EF donne l’involution (EF, ox) dont fait partie le couple B'C' (12) ; par suite, les six points M, N, X, P, B’, C' sont sur une conique Z’. St des points B’, C’ on projette les points de È respectivement sur XZ et XY, on obtient les ponctuelles perspectives (P,MN... X) 3 (P.MsNs... X) et les droites p = Po P;, m= Mo M;, n = N) N; tangentes à la courbe C; concourent au centre de perspectivité Q des deux ponctuelles. La droite QC’ coupe XZ en un point U de X’. Les coniques 2 et Ÿ’ ont pour cordes communes XP, MN ; donc si par les points X, P on mène les droites XZ, PC' coupant È en Z et P;3, Z’ en U et C’, les droites CU = C'Q et ZP;; se coupent sur MN. On en conclut : Les droites XP,1, YPoo, ZP;3 déterminent sur une corde quelconque MN de la conique Ÿ, issue du point s (14), trois points en situation perspective avec A', B’, C'. Le centre de perspectivité Q est à l'intersection des tangentes p, m, n de la courbe C; déduites des points P, M, N de la conique X. Remarque. — La condition nécessaire et suffisante pour que trois tangentes p, m, n Soient concourantes est que les trois points P, M, N soient situés sur une conique passant par les PP 2 La ENT PS0 En De de SD ans dt “ut GE ù (9) points X, B’, C’. Ces derniers points peuvent être remplacés par Y, C’, A’ ou par Z, A’, B. 14. Les droites XP,,, YPoo, ZP;; étant respectivement identiques à 7X, *Y, +2, la propriété (15) montre que les faisceaux Q (A'B'C/x), x (XYZ) sont perspectifs. On en conclut le mode de génération suivant de la courbe C; : Étant donnés un triangle XYZ et trois points collinéaires A’, B', C, la droite p issue d'un point x arbitrairement choisi sur la droite A'B'C' et telle que les rapports anharmoniques (FX, rY, rZ, p) et (A/B'C/7) soient égaux, enveloppe une courbe Cz. Remarques. — [. La droite Xx et la tangente p issue de % rencontrent le côté YZ en deux points X’ et x'; on a (X'YZ 7!) À (A!B'C'x) et les droites p, A’X' sont tangentes à une conique inscrite dans le quadrilatère ayant pour côtés EF, YZ, YB’, ZC'. Du théorème de Desargues on conclut : Soient p la tangente à la courbe C>; issue du point x de la tangente double EF; X' le point (YZ, X7:), la tangente p et la droite A'X/ sont conjuguées dans l'involution définie par les couples de droites projetant du point (p, A'X') les points Let B', Y et C. Il. De l'hexagone de Brianchon ayant pour sommets successifs B', x, (p, C/Z), (A'X', C'Z), X', Y on déduit la construction suivante de la tangente ‘p issue d’un point donné 7 de EF : La droite Xx coupe NZ en X'; soient X' = (A'X/, C'Z), X/ = (Xr, B’ X”’), la tangente p passe par le point (YX/", C'Z). IE. La tangente p détermine une conique (x) du faisceau de coniques inscrites dans le quadrilatère (EF, YZ YB', ZC'); la droite A’X/ est tangente à la conique (x) et décrit autour du point A’ un faisceau projectif au faisceau des coniques (x). Mais (10) le faisceau (A! X’) est perspectif au faisceau (Xx); par suite, la ponetuelle (+) est projective au faisceau de coniques. Ainsi Si une ponctuelle (x) est rapportée projectivement à un faisceau tangentiel de coniques et si son support est une tangente commune, la seconde tangente menée d'un point 7 de la ponctuelle à la conique correspondante enveloppe une courbe C. Ce mode de génération est bien connu. 15. — Les droites p, m, n sont les seules tangentes à la courbe C; passant par le point Q (15), car X, P, M, N sont les seuls points communs à È et Ÿ/. En général, les droites m, n sont distinctes de p; cependant si M = P, ce qui correspond à la position particulière TP pour la corde MN (11), les droites m et p coincident. Done La tangente t déduite du point T (9) passe par le point de contact C,, de la tangente p. La construction du point de contact C, de la tangente p est ainsi ramenée à celle du point T. La droite AP,, coupe la conique © en S (8); la droite S x passe par le point T (11). Les tangentes m, n à la courbe C; coincident si la droite MN est tangente à la conique 2. On en déduit : La polaire du point s (11) relativement à la conique © ren- contre celte courbe en deux points V et V'. Les tangentes à la courbe C; déduites de ces points ont leurs points de contact sur la tangente p. Ce sont les seuls points de C; situés sur la tangente p et distincts du point de contact C,. La courbe C; est du quatrième ordre. On la désignera par la notation C4. La propriété (15) appliquée à la position parles PT de la sécante MN montre que Les droites XP,, et PT se coupent sur la droite joignant le point A’ au point de contact €, de la tangente p. Dans le cas où MN est tangente à la conique Y on a : Les tangentes menées du point s à la conique 2 rencontrent la droite XP,, en deux points situés sur les droites joignant le point A' aux points d’intersection de la tangente p avec la courbe Ci. RTS PR. Ne Lt Ce Rahas 4 € ni Le (11) 16. — Le théorème de Desargues appliqué au quadrangle PSTP,, inscrit dans la conique Y conduit à l’involution (EF, As, A'x) et le conjugué du point + dans cette involution est situé sur TP,,. Ainsi On a les involutions (EF, As, Ar), (EF.Bo,B'r), (EF, Uo, Cr), el les conjugués du point + dans ces involutions sont situés respectivement sur les droites TP,,, TPoo, TP>3. COROLLAIRE. — Les points x et « sont correspondants dans la projectivité (ABC … EF) À (A'B'C'... EF), et, par suite, (EFxo) — (EFAA'). 17. — De l’involution (BC’, B'C, EF) (5) on déduit Y (CC'EF) x Z(BB'EF). Ces faisceaux engendrent la conique È. Par suite, Les droites YC’ et ZB', ZA’ et XC', XB' et YA’ se coupent en des points X,, Y;, Z, situés sur la conique È. Les points X,, Y,, Z,, sont les points de la conique £ des- quels on déduit les tangentes YZ, ZX, XY de la courbe C£. Les tangentes XA/, YB’, ZC’ sont déduites des points X, Y, Z. L'égalité (EF7s5) — (EFAA’) montre que le point X joue par rapport à X, le même rôle que ie point S par rapport au point P. Par suite (8), Les couples de droites X,A' et XA, Y,B' et YB, Z,C' et ZC se coupent sur la conique È. (12) De la projectivité (6) (P) À (x) et du corollaire (16) on déduit | (EFPS) — (EFX,X) — (EFY,Y) — (EFZ,Z). Par suite, La droite PS enveloppe une conique bitangente à la conique È aux points E, F et tangente à chacune des droites XX, YVs, Zu. 18. Une droite MN passant par le point & (15) rencontre XP,, en un point G de la droite A/Q, Q étant le point de concours des tangentes p, m, n. Si la droite MN tourne autour du point 5, l'involution (MN) décrite sur la conique È est pro- Jective à la ponctuelle (Q) sur la tangente p. Dans la projec- tivité (6) | @) A (x), l'involution (MN) correspond à l’involution (uv) sur la tangente double EF. Par suite l’involution (uv) et la ponctuelle (Q) sont projectives. Ainsi Les couples de tangentes issues des points Q d’une tangente fixe p déterminent sur la tangente double EF des couples de points conjugués dans une involution (y) projective à la ponc- tuelle (Q) (*). Dans cette projectivité au couple EF de linvolution (y) correspond le point r = (p, EF) de la ponctuelle (Q). 19. Les tangentes à la courbe C déduites des points P,4, Pos, P;3 Sont respectivement P;x;, Poro, P:7x; (Rem. 7). De même Si Sy, So, S3; sont les traces de la tangente s sur les côtés du triangle XYZ, les droites Sioy, Sao, S:63 Sont tan- gentes à la courbe C. Le théorème de Desargues appliqué aux (*) E. WEYER, Théorie der mehrdeutigen geometrischen Elementargebilde, p. 84; J. NEUBERG, Mémoires de la Société royale des Sciences de Liége, 1906, p. 45. ; PPT ESS VS TT (13) quadrangles XP,,PS, YPPS, ZP;:PS, inscrits dans X, donnent l’involution unique (An, Br, Cr, Ao,, B'o,, Clos, n©, EF). Les trois premiers couples de cette involution proviennent des couples de tangentes menées des points P,, P9, P; de la tan- gente p. Par suite, les tangentes issues des points A’ et s4, B' et 5, C’ et 5; se coupent sur la tangente p. Ainsi Les tangentes XA' et Sisy, YB' et Soco, LC’ et S:o: de la courbe C;, passant par les sommets opposés du quadrilatére complet formé par les quatre tangentes XY, YZ, ZX, s se coupent en trois points de la tangente p. _ La tangente p est la corésiduelle des quatre tangentes considérées; sa construction est aisée si l’on connait ces quatre tangentes. La droite AS rencontre Z en P,, (8), les droites XP,,, A’P;,, coupent respectivement EF, YZ aux points x et P, de la tangente p. Les données p, XY, YX, ZX vermettent de construire la tangente s formant avec XY, YZ, ZX le quaterne dont p est la corésiduelle. La droite Xr coupe Ÿ en P,,; la droite AP;, rencontre Z en S. De ce point on déduit s. 20. Par le point ps passe une troisième tangente à la courbe C#; elle détermine sur EF le point o conjugué de 5 dans l’involution (4/61, B'oo, Co, EF) (19). Le quadrangle SSXS,, inscrit dans Z détermine sur EF l’involution (4/54, sS,, EF) en désignant par S, la trace sur EF de la tangente en S à la conique È; par suite, S, = p. Ainsi La corésiduelle p du quaterne (XY, YZ, ZX, s) rencontre s en un point tel que la troisième tangente à la courbe C# passant par ce point, la tangente double EF et la tangente en S à la conique 2 sont concourantes. Si g est la tangente à la courbe Cf issue du point P, (12), (44°) l’une des involutions (12) montre que la tangente t- est la corésiduelle du quaterne (XY, YZ, ZX, q). Par suite, La tangente au point P à la conique Y rencontre EF en un point P,, par lequel passe une tangente q à la courbe Cf. La corésiduelle du quaterne (XY, YZ, ZX, q) passe par le point de contact de la tangente p déduite de P. CoRoOLLAIRE. — Les droites XG, YG, ZG rencontrent la conique Ÿ aux points Ty, Too, Ts; les droites AT,,, BTo, CT;; concourent en un point Q de la conique È duquel on déduit la tangente à la courbe Cf issue du point P, (8, 19). 21. Les droites Xs, Yo, Zs rencontrent la conique Z aux points Syy, So», S35. L'involution X(EF, B’C', ox) (12 détermine sur È l’involution (EF, B'"C', SP) et les droites EF, B’'C/’, S,,P sont concourantes. Par suite, Les couples de droites XB’ et XC/, YC’' et YA’, ZA’ et LB’ déterminent sur la conique ZX trois cordes rencontrant la tangente double EF aux points À,, B;, C. Les droites A,P, B,P, C,P passent respectivement par les points Si1, Sos, S=3 où les droites X5, Yo, Los rencontrent la conique Y. 22. Si la droite AP,, est tangente à la conique X, on a P;,=S (8), G=A (9); par suite (14), les droites joignant X et A! au point de contact d'une tangente menée du point À à la conique Ÿ rencontrent respectivement les droites EF et YZ en deux points situés sur une tangente à la courbe C#, dont le point de contact est sur la tangente XA'. 23. Soient R un point de Z; Ry4, Roo, R3; les seconds points d’intersection de Ÿ avec les droites RA/, RB', RC’. On sait (8) que les droites AR;;, BR99, CR;; concourent en un point S' de Y. Le quadrangle P;,;, R;, SS’ coupé par la trans- Rd Le si re Lits né 5 (15) versale YZ montre que les points (SS/, YZ) et (Py1 Rys, V2) sont conjugués dans l’involution (YZ, AA). Mais les conjugués des traces de la droite SS' sur les côtés YZ, ZX, XY, respecti- vement dans les involutions (YZ, AA), (ZX, BB), (XY, CO) sont en ligne droite ; par suite, Si P, R sont deux points de la conique À, P,1, Poo, Pxs, Rx, Roo, R;3 les seconds points d'intersection de cette courbe avec les droites PA', PB’, PC', RA’, RB’, RC’, le triangle ayant pour CÔtéS Pi1Ruy1, PooRoo, P35R33 et le triangle XYZ sont homo- logiques. Les droites AP,,, AR;,, rencontrent Ÿ en deux points S, S' tels que la droite SS/ et l'axe d’homologie rencontrent les côtés YZ, ZX, XY du triangle XYZ en des couples de points conjugués respectivement dans les involutions (YZ, AA), (ZX, BB), (XY, CC). 24. Les tangentes p, r de la courbe (# déduites des points P, R rencontrent la tangente double EF aux points 7, p, et le côté YZ en P,, R,. Les droites P,P,,, R;R;, passent par A’. Les faisceaux projetant de P;,, et R,, les points de EF sont coupés par YZ suivant deux ponctuelles projectives projetées des points x et © suivant deux faisceaux perspectifs. L’axe de perspectivité passe par l'intersection des tangentes rP, = p, pR, = r ainsi que par le point (YZ, P,, Rs). Si dans la génération de la courbe Cf (5) le point A’ varie sur EF, on obtient une infinité de courbes C4 inscrites au triangle XYZ, et l’axe de perspectivité trouvé est le milieu des points d'intersection des tangentes menées des points x et o à ces courbes. Par suite, cet axe ne dépend que de x et pet dans sa détermination ci-dessus on peut remplacer P,4, R;4, YZ, soit par Poo, Ryo, ZX, soit par P;5, R;;, XY ; 1l en résulte que cet axe joint les points (YZ, Pi4Ruys), (ZX, PooRoo), (XY, P::R;5) et est identique à la droite d. Donc L'axe d'homologie d des triangles XYZ et (P,3R11, PooRoo, Ps R;3) passe par l'intersection des tangentes p, r déduites des points P, R de la conique SE. (16) 25. Les droites P,,9, R;19 déterminent sur YZ deux points situés sur deux rayons homologues des faisceaux perspectifs (x) et (p); par suite, Les droites joignant le point x aux points (YZ, P,:p), (ZX, P99p), (XY, P;s50) rencontrent respectivement les droites ue YRo», LR; sur l'axe d'homologie d. Le quadrangle PR P,, R;, inserit dans ? et coupé par YZ montre que les droites PR et d déterminent sur YZ deux points conjugués dans l’involution (YZ, P,R,). Ainsi L'axe d'homologie et la droite PR déterminent sur les côtés YZ,, ZX, XY du triangle XYZ des couples de points conjugués dans les involutions (YZ, P4R:), (ZX, PoRo), (XY, P;R;). 26. Les tangentes aux points P,, et S à la conique -Ÿ, déterminent sur YZ deux points conjugués dans l’involution (YZ, AA); par suite, Le Si er formé par les tangentes aux points P,1, Pos, Ps de la conique Ÿ et le triangle XYZ sont Men dent L’axe d'homo- logie et la tangente au point S de la conique Ÿ déterminent sur YZ, ZX, XY des couples de points conjugués dans les invoiutions (YZ, AA), (ZX, BB), (XY, CC). Cet axe d'homologie coupe la tangente p en son point de contact. 27. Si trois tangentes p, m, n de la courbe C4 sont concou- rantes, les tangentes passant par leurs points de contact jouissent de la méme propriété (*). En effet, les côtés MN, NP, PM du triangle PMN rencon- tent EF aux points P,, M,, N,; les droites PP,, MM,, NN, cou- pent une seconde fois la conique È aux points T, T’, T/’ et les tangentes déduites de ces points passent respectivement par les points de contact de p, m, n (15). Les quadrangles (*) Mac LAURIN, Mélanges de Géométrie pure d'E. De Jonquières, p. 293. (Corrélatif.) (47) MT'T'N et PPMN inscrits dans Y déterminent sur EF la même involution CÉPPOMNEN,, EP,) et, par suite, la droite T'T/’ passe par P,. Mais XT passe par G1 (40) et l’on a l’involution (EF, B’C/, P,@4) (12); donc les points X, T, T’, 1/’, B’, C' sont sur une même conique et les tangentes déduites de T, T’, T/’ sont concourantes. (Rem. 13). 28. Soient X,Y12, un triangle quelconque circonserit à la courbe C£; A;,, B4, C4, les intersections des côtés avec la tangente double EF ; A;, B,, C, les traces sur EF des troisièmes tangentes issues de X4, Y4, Z,4. Les involutions (18) (B,C,, B;C, EF), (B,A;, B,A,, EF) établissent la projectivité (ABC, … EF) 7 (A!{B!C EF) (a) et dans le mode de génération (1) de la courbe C$ on peut utiliser le triangle XYZ, la conique Ÿ, = (X,Y,Z,EF) et la projectivité (a). Car la courbe ainsi engendrée sera l’enveloppe des droites joignant les points correspondants de la projectivité Te CE AA V2...) c’est-à-dire la courbe Cf (18). Par suite, dans tout ce qui précède, on peut considérer XYZ comme un triangle circonserit quelconque. On en conclut aisément que la courbe C£ est déter- minée par la tangente double EF, les points de contact E, F et quatre tangentes. (Théorème connu.) Remarque. — XYZ étant un triangle eirconserit quelconque, XA', YB', XC/ les troisièmes tangentes issues de X, Y, Z; p une tangente de la courbe, les traces P,, Ps, P; de p sur YZ, ZX, XY sont projetées des points A', B', C’ de EF suivant les droites concourantes A'P,, B'P>, C/P:. Si la droite p vient en coinci- 2 (18) dence avec YZ, on voit que les droites YC, ZB/ se coupent sur la droite joignant le point A’ au point de contact de la tan- gente YZ. Si l’on applique cette propriété au triangle circon- scrit XP,P;, on voit (19) que Les droites Ports, P3ro Se coupent sur la droile joignant A’ au point de contact €,, de la tangente p. 29. Soit U un point fixe pris arbitrairement sur la tangente double EF ; on a identiquement (notations 1) (EFUB) (EFUC) (EFUA') — (EFUB") (EFB'B) (EFUC) (EFUA) (EFAA'). D'après la projectivité (ABC... EF) X (A'B'C'….EF), on à (EFBB') = (EFAA!) : _ donc (EFUB) (EFUC) (EFUA') = (EFUC) (EFUA) (EFUB'), égalité d’où l’on déduit aisément que Si U est un point fixe de la tangente double EF ; B, C, A’ les traces sur la méme droite de trois tangentes concourantes quelcon- ques XB, XC, XA4/, le produit (EF UB) (EFUC) (EFUA’) est consiant. C’est le théorème de M. Humbert relatif à l’hypocycloïde à trois rebroussements énoncé sous forme projective (*). (*) HUMBERT (N.-A.-M.), 1893, p. 49. NEUBERG, loc. cit., p. 13. (49) $ II — Tangentes correspondantes. 30. Deux tangentes v, v’ à la courbe C$ dont les points de contact sont situés sur une même tangente p de cette courbe sont dites correspondantes (13). Elles sont déduites de deux points V, V’ de la conique Ÿ, alignés sur le pôle L de EF relativement à Z. Par suite (6), deux tangentes correspondantes déterminent sur la tangente double EF deux points conjugués par rapport aux points E et F. (STEINER, loc. cit., p. 642.) 31. Les langentes correspondantes p, p’ ont leurs points de contact sur la tangente t (13). Soient {’ la correspondante de t; P, P’, T, T’ les points de Z desquels on déduit les tangentes p, p',t,l!. Les droites TP, T’P/ se coupent sur EF (30); la droite T’P’ passe done par le point & (11) et les tangentes p, p', l sont concourantes (15). Ainsi La tangente t' issue du point de rencontre de deux tangentes correspondantes p, p' est la correspondante de la tangente t pas- sant par leurs points de contact (*). 32. Soient p’, m', n les correspondantes de trois tangentes concourantes p, m,n; P, P’,M, M’, N, N° les points de la conique Z desquels on les déduit. Par hypothèse les points c, M, N sont en ligne droite (15); par suite, la droite M'N’ passe par le point s (30) et les tangentes p, m', n' sont con- courantes (15). Par analogie les ternes (m, p', n'), (n, p', m') jouissent de la même propriété. On en conclut : Si p', m’, n' sont les correspondantes de trois tangentes con- courantes p, m, n, les droites p et p', met m', n et n’ sont les côtés opposés d’un quadrangle complet (**). Corozzaire. Deux couples de tangentes correspondantes p (*) Mac Laurin, loc. cit., p. 238; STEINER, loc. cit., p. 642. (F*) In., tbid., p. 237; In., ibid., p. 643. . ( 20 ) et p', m et m' déterminent un troisième couple de tangentes correspondantes n et n! joignant les couples de points pm et p'm', pm et p'm. 33. On désigne par G, G', l’ les points d’intersection de XP;,, avec les droites MN, M'N', Lo (52). La section du faisceau harmonique o& (ELMM') par la droite XP;,, est la ponctuelle harmonique (rl'GG'). Les droites A/G, A/G' ren- contrent la tangente p aux points Q et Q’ où concourent respectivement les tangentes m et n, m/ et n' (13); donc A’[' coupe p en un point I tel que (x1QQ') = — 1. Par suite, Les tangentes correspondantes déterminent sur une tangente fixe p des couples de points Q et Q' conjugués dans une involution (QQ'). Un point double + de cette involution est sur la tangente double EF (*). La droite joignant le point s (11) au pôle L de EF par rapport à la conique Ÿ rencontre les droites XP,1, YPo9, ZP;>; en trois points V, |’, F// tels que les droites A'F', B/[!, C'T//’ concourent au second point double 1 de l’involution (QQ'). | 834. On à vu (31) que les tangentes p, p’, t! sont concou- rantes; les tangentes f, {’ déterminent sur p deux points conjugués de l’involution (QQ”) ; la tangente f passe par le point de contact de p (14); par suite, le point pp' et le point de contact de la tangente p sont conjugués dans l'involution (00) (1. 35. Soient p, p' deux tangentes correspondantes variables; P, P’ les points de Z desquels elles sont déduites. Le faisceau (*) Mac LauRIin, loc. cit., p. 238 ; CREMONA, loc. cit., p. 102. (**) Mac LauURIN, loc. cit., p. 238. (Corrélatif.) 0 4 Ÿ Ù « 4 e à o L (21) harmonique A’(PP'EL) est coupé par YZ suivant la ponctuelle harmonique (P,P;AA;); les points P,, P, appartenant respec- tivement aux tangentes p, p’ (2), le point A, est un élément double de l’involution déterminée sur YZ par les tangentes correspondantes. Par suite, Les tangentes correspondantes déterminent sur les côtés d’un triangle XYZ circonscrit à la courbe C4 des involutions ayant respectivement pour éléments doubles À et À,, B et B,, et Cet C;; les trois points À, B, C sont sur la tangente double EF. Si A’, B’, C’ sont les traces sur EF des troisièmes tangentes issues des sommets X, Y, Z, les droites A'A,, B'B,, CC, concourent au pôle L de la droite EF relativement à la conique È = (XYZEF). 86. Le couple de points x = (EF, p), +’ = (EF, p') décrit une involution (xx/) (30) projective à la ponctuelle (x) décrite par le conjugué « du point A relativement au couple #7’. Les ponctuelles harmoniques (AA,P,P,), (Aurx/) sont perspectives et le point d’intersection des droites p= #P,, p'=#+'P, est situé sur le rayon Aya. Ce rayon décrit autour du point À, un faisceau projectif à la ponctuelle (x) et, par suite, projectif à l’involution (77). On en conelut : Les faisceaux qui projettent des points A1, B4, C1 (55) les points d’intersection pp’ des tangentes correspondantes variables p, p’ sont projectifs. Le point pp’ décrit une conique ® passant par les points de contact de la tangente double EF (*). Car si x coincide avec E, pp’ est identique à E. 3'7. — Les points de contact C,, C,, des tangentes corres- pondantes p, p' sont sur une tangente { (50); soient H = (pp'), G=(C,r/,C,'x), © = (EF, 4), K = (EF, HG), U=(f, HG). De (*) STEINER, Loc. cit., p. 642; CREMONA, loc. cit., p. 103. On peut aussi déduire cette propriété du n° 17. (22) la ponctuelle harmonique (C,C,,U&) on déduit que U est un élément double de l’involution déterminée sur € par les tan- gentes correspondantes (53); il appartient à la conique ® (56). La troisième tangente issue de H est la correspondante #! de t (51), elle coupe { en un point U’ de ® (56). Les droites = U'H et {== U'U rencontrent EF en deux points conjugués par rapport à E et F (31); par suite, les points H et U sont alignés sur le pôle Q de EF par rapport à la conique D. On a (HGUK) = — 1. (HUKQ) — — 1: ? donc (QKGH) — — 3, et les points G et H se correspondent dans une homologie dont le centre et l’axe sont Q et EF et le coefficient-d'homologie — 3. On en conclut : La conjuguée C,r' de la tangente p par rapport aux points E et F est l'homologue de la tangente p' dans une homologie dont l'axe est la tangente double EF, le centre le pôle Q de cette droite EF par rapport à la conique ® et dont le coefficient d’homologie est égal à — 5. Cette conjuguée C,7! enveloppe donc la courbe correspondant à la courbe C£ dans cette homologie (*). 38. — Quand la tangente p passe par Q, elle coïncide avec sa correspondante Cr dans l’homologie (Q, EF, À=—53); le point C,, est donc sur p et p =t. Ainsi par le point de contact d’une tangente à la courbe C# issue Q ne passe aucune autre tangente. Ces points sont les seuls points du plan autres que E et F jouissant de cette propriété. Car si € coineide avec p on a p=C,,r et la droite p passe par Q. Ainsi Les tangentes à la courbe C4 issues du pôle Q de la tangente (*) GREMONA, Loc. cit., p. 107; PainviN (N.-A.-M.), 1870, p. 270. | | | | (23) double EF relativement à la conique ® sont les tangentes de rebroussement de cette courbe (*). | On désignera ces tangentes par d&, d,, d, et les points de rebroussement par D;, D,, D. 89. — Une tangente quelconque p rencontre la conique ® en _ deux points pp’ et [ (35, 36) en général distincts. Dans cette hypothèse le point I ne peut appartenir à la courbe C#, sinon l’une des tangentes correspondantes qui se coupent en [ serait p et l’autre nécessairement p’. Par le point pp! passent les tan- gentes p, p', l (31); ce point ne peut être situé sur C4 qu’à la condition que l’une des tangentes p, p', par exemple p, coïncide avec l’. Dans ce cas t est identique à p’ et cette dernière est une tangente de rebroussement (38). Les tangentes correspon- dantes issues du point [ proviennent de deux points de la conique © conjugués dans les involutions ayant pour pôles le point L (50) et le point P, (12). Puisque { = p', ces points sont P et T = P’; par suite, [= pp’. Il en résulte : La conique D est tangente à la courbe C£ en trois points Ni, No, N3 qui sont les points de contact des tangentes nj, no, D respectivement correspondantes des tangentes de rebroussement dy, do, dg. Les points N,, No, N3 sont respectivement les points d'inter- section des droites n, et di, na et da, na et d3. Ces points avec EeF sont les seuls points communs à la conique ® et à la courbe Cf (*). 40. Les tangentes n,, n9, n; forment un triangle dont les sommels non;, n5n1, nyno Sont respectivement sur dy, do, d; (32). Le point Q étant le pôle de EF par rapport à la conique ®, les points N;3 = (ny, NoN3), Noo = (no, NN), N33 = (n3, NiNo) sont situés sur EF. Ainsi Les tangentes à la conique ® aux sommels du triangle (*) STEINER, loc. cit., pp. 642-643. (24) NiNoN, rencontrent les côtés opposés en trois points N,;, No, Nas situés sur EF (*). 41. Une tangente de rebroussement est réelle (38, 3); par suite, l’un des points N;, No, N3 est aussi réel. Ces points N;, No, N3 constituent un terne de la projectivité cyclique sur la conique ® ayant pour éléments doubles E, F. Donc Les points dr rebroussement de la courbe C# sont réels si les points de contact de la tangente double EF sont imaginaires conjugués et réciproquement (*). 42. Dans l’homologie harmonique ayant pour centre et pour axe le point Ni; ={(r4, EF) (40) et la tangente de rebroussement d,, aux éléments EF, E, F, d,, ny, no, n3, suffisants pour déterminer la courbe C4 (28), correspondent respectivement EF, F, E, dy, n1, n3, no. Par suite, Si Ni, Nos, Nas désignent les traces des tangentes n,, no, na sur la tangente double EF, la courbe C£ est conservée dans (es homologies harmoniques (N11, da), (Noo, do), (N33, da) (**). 43. Lorsque la tangente p est une tangente de rebroussement, on à C,, = pp' (38); et dans l’homologie (Q, EF, À — — 3) les droites C,T/, p' sont correspondantes (57); par suite, les points C, et C,, sont homologues. Ainsi les points D, et N3, Do et No, D3 et N3 sont correspondants dans l’homologie (Q, EF, = — 3). On en conclut : La conique Ÿ passant par les points de rebroussement et les points E, F correspond à la conique ® dans l’homologie (Q, EF, À == — 5). Ces deux coniques ont un double contact sur la tan- gente double EF (***). ) STEINER, loc. cit., pp. 642-643. (**) Mac LAURIN, loc. cit., p. 228. (Corrélatif.) (***) STEINER, loc. cit., p. 643. (25) 44. La tangente € — C,C,, coupe EF au point +; la droite Qt rencontre C, x’ et p’ aux points L’ et W'. On a (57) 1 = 5(QKUH) — (W'r' CH): donc (54), W' est un point double de l’involution déterminée sur la tangente p’ par les tangentes correspondantes et 1l est situé sur la conique ®. Le point W' est d’ailleurs l’homologue du point L’ dans l’homologie (©, EF, À = — 3) (37); par suite, L’ est sur la conique Y (45). Donc Si la tangente t = C,C,, rencontre la tangente double EF au point +, la droite Q+ coupe les tangentes p, p' sur la conique D et les droites CT’, C,,r sur la conique Y. Remarque. — Le point W ={(Qz, p') appartenant à la conique ® est l'intersection de deux tangentes correspondantes ; leurs points de contact sont sur la tangente p (51). 45. Deux tangentes correspondantes variables p, p' ren- contrent la conique ® aux points H = pp’, |, |’. Les points I, [’ décrivent sur ® une imvolution (Il) dont le pôle est le point Q (57). Le faisceau harmonique H (AA;,P,P)) (56) détermine sur d la ponctuelle harmonique (A;A,4Il). Le point A4 étant fixe, Le point A; décrit sur ® une ponctuelle (A;) projective à l’involutuon ([[/). Les points A; et H alignés sur le point fixe A décrivent les ponctuelles involutives (A;) et (H). Par suite, La ponctuelle (H) est rapportée projectivement à l'involution (IV). Les points E, F, N4, No, N; (59) de la ponctuelle (H) correspondent respectivement aux couples FF, EE, N, D;, N D;, N3 D; de l’involution (I). COROLLAIRE [. — Deux tangentes p, qg de la courbe Ci ren- contrent la conique ® aux points H et I, H, et Fi ; on a (HHEF) — Q(ILEF). (26) Si les points E, F sont les points cycliques on retrouve le mode de génération de l’hypocyeloïde à trois rebroussements : l'arc HH, du cercle ® est le double de l'arc F1. CoRoOLLAIRE IE. — On a (H N; N, N.) —= Q (IN,N;N3). CoroLLAIRE HE. — Si À, est un point fixe de la conique choisi arbitrairement, le lieu du point (A,H, [F') est une conique @ passant par les points A,, Q, N,, No, No, (AE, QF), (A4F, QE); les points E, F sont donc conjugués par rapport à la conique O. On déduit de là : Par les points Q, N4, No, Ns on fait passer une conique quelconque @ coupant ® en un quatrième point À,; une droite issue de Q rencontre la coni- que ® aux points I, Let la conique 6 au point U; la droite AAU détermine sur ® le point H; les droites HT, HI’ enve- loppent la courbe Cf (*). CoRoLLAIRE IV. — Une droite quelconque issue d’un point H pris arbitrairement sur la conique ® rencontre cette courbe en À; et là tangente EF en A. Si A, est le conjugué harmo- nique de A; relativement au couple Il de linvolution, homologue de H, la droite A,A est tangente à la courbe Cf et le point À, est un élément double de l’involution déterminée sur AA’ par les tangentes correspondantes. On peut supposer le point A; fixe et le point H mobile sur la conique ®; les ponctuelles (A) sur EF et (H) sur ® sont projectives; la ponctuelle (A,) et linvolution (IF) sont pro- jectives; par suite, les points A, et À de la tangente A,A décrivent respectivement sur la conique ® et la tangente double EF deux ponctuelles (A,) et (A) projectives dans lesquelles les points E et F de l’une correspondent respectivement aux points F et E de l'autre (**). (*) LAGUERRE, OEuvres, t. IL, p. 477. (**) SCHROETER, Journal de Crelle, t. 54, p. 38; NEUBERG, loc. cit., p. à. (27) . $ II. — Sur la courbure de la courbe Ci. AG. Une tangente variable p de la courbe C£ rencontre la tangente fixe x et la tangente double EF aux points P, et x. Si l’on désigne par X le point de contact de x, par Y, la trace sur EF de la seconde tangente y issue de X, le point d’intersection des droites XT, Y,P, décrit une conique Y, tangente en X à la courbe C#, passant par les points E, F et dont le rayon de cour- bure au point X est égal au quart de celui de la courbe au même point. Soient p1 la troisième tangente issue de P,, +’ sa trace sur EF ; lorsque P, se déplace ‘sur la tangente x, l’involution de rayons X (rx) et le faisceau Y, (P,) sont projectifs (24). Cette projectivité à un élément uni XY, et engendre une conique X4, lieu du point P,, = (X7, Y,P,). Le couple XE, XF est l’homo- logue du rayon Y,E (24) et la conique È, passe par les points E et F. Cette courbe ZX, est d’ailleurs la limite de la conique È circonscrite au triangle XYZ (7) lorsque deux des tangentes XY, YZ, ZX de la courbe C£ tendent indéfiniment vers la troisième ; par suite, le rayon de courbure de Y, en X est égal au quart du rayon de courbure de la courbe Cf au même point (*). COROLLAIRE. — Si Z4, Zo sont les points de la courbe Cf situés sur la tangente x, les droites Y1Z,, Y1/9 sont tangentes à la conique à. 47. Si W désigne le point (x, Y19), Q étant le pôle de EF par rapport à la conique D, X, le point (EF, x), (Li ZX W) = 1: (*) -Mathesis, 1889, p. 105. (2%) car W appartient à la conique ® (44) et est un point double de l'involution déterminée sur æ par les tangentes correspon- dantes. Les droites Y,Z,, Y,Z9 étant tangentes à la conique X4, l'égalité Liz XIW) = 1 montre que le pôle EL, de EF par rapport X,'est situé sur Y,Q. La tangente x’ correspondante de x coupe EF en un point X;, et, d’après l'égalité (50) (XX BR) A la droite XX, est la polaire de X’ relativement à X,. Le pôleL, est donc à l’intersection des droites Y,Q et XX, ; par suite (44), il appartient à la conique W. Ainsi le pôle L, de la tangente double EF par rapport à la conique X, est situé sur la conique b = (D, Do, Ds, E, F). 48. Au point de contact X’ de la tangente x on a une conique Ÿ; tangente à la courbe C£, analogue à 3,. La droite XX’ rencontre Y,Q au pôle L, de EF relativement à cette conique Z;. Donc Les pôles de tangente double EF par rapport aux coniques Z,, Y; relatives aux points de contact X, X! de deux tangentes cor- respondantes x, x’ sont alignés sur le pôle de EF relativement à la conique ®. 49. La tangente x' coupe Y,Q en un point W! par lequel passent les tangentes aux points Z,, Z (Remarque 45); il en résulte (37) que si z,, z, désignent les traces de ces langentes sur EF, les droites z41/9, z9/4 se coupent au point L,. Ainsi Si z,, za sont les traces sur la tangente double EF des tangentes dont les points de contact Z,, La sont sur la tangente x, les droites Z1L9, ZoL4 passent par le pôle LA de la tangente double EF relati- vement à la conique À. 2: él dll RP ES | | | (29) 50. Étant donnés un point X de la courbe C4, la tangente x en ce point, les points de contact E, F de la tangente double EF, construire le rayon de courbure au point X en supposant comme éléments également connus : 1° La tangente y issue de X et une tangente p; 2 Deux tangentes quelconques p et r. Dans la première hypothèse on à immédiatement le point Pi = (X7%, Y1P1) (46) et le problème est ramené à la construc- tion du rayon de courbure au point X de la conique ZX, déter- minée par X, x, E, F, P,,. Dans la seconde hypothèse, soient R= (x, r), p — TA ER MIT (Xp, RY), H=(EF, PuRy), = (Rire, PuRu),, U'=(P: Z Puhu), VV = (&, PuRu). On a (RiX VX,) = (UP,VH) (P,XVX,) = (U'R,VRB); (R,P,VX;) nt (UU'VH) 1 (Ru PuVH). Mais CR PiVXA) = (Ru Pa VH) ; donc U = U’. Par suite, Si p, r sont deux tangentes quelconques à la courbe C$; x, p, P1, R4 leurs traces sur la tangente double EF et sur la tangente æ; P,5, Rs les secondes intersections des droites Xr, Xp avec la conique Z,, le point U=(P,0, Rit) est situé sur la droite P,,R44. La conique 2, , les couples de droites (XR,,,XP,,), (x, P,4R,;1) déterminent sur EF des couples de points en involution. Par suite, connaissant le point U, la droite P,, R;,, est le rayon de linvolution U (EF, ze) conjugué au rayon UX,. La droite P,4R,, étant construite, on a immédiatement les points P,,, R,,,. et la conique Ÿ, est déterminée. ( 30 ) 51. La conjuguée x, de la tangente x par rapport aux tan- gentes p, p, menées du point P, de x à la courbe C{ détermine sur EF le conjugué harmonique X, du point X4 = (x, EF) par rapport au couple rm. Par suite, si P4 varie, la ponc- tuelle (X,) est projective à la ponctuelle (P,) (18) et la droite x, enveloppe une conique (5), conique pôle de la tangente x. Aux couples EF, X,4X; de l’involution (x x4) correspondent les points X, et X de la ponctuelle (P,); ces points sont done les homologues de X; et X, de la ponctuelle (X,) ; par suite La conique pôle (s) est tangente aux droites x et EF aux points Xl x. On voit immédiatement que si Z4, Zo sont les points de la courbe Cf situés sur la tangente x, les tangentes à la courbe en ces points sont tangentes à la conique s (*). 52. Ces tangentes passent par le point W (49), et, d’après la propriété (49), le point L4 est sur la polaire de W' relative- ment à la conique (os). Les points L, et X, sont d’ailleurs conju- gués par rapport à (os). Donc La polaire du point L, (47) relativement à la conique pôle (5) joint le point X; =(x, EF) au point d'intersection des tangentes aux points Z,, Z de la courbe Ci. Les droites W'Z,, W'Z3 séparant harmoniquement les points E, F, les secondes tangentes menées de ces points à la conique (5) se coupent en un point G de la polaire de W' par rapport à ©. La ponctuelle harmonique (X,X;EF) montre d’ailleurs que G est aussi sur la polaire de X, ; par suite, G = Li. Ainsi Les droites LE, L,F sont tangentes à la conique (5). 53. On a 1 (PPT?) = 9° (*) CREMONA, loc. cit., p. 111. DB) ou (ED). 4. SUD, CEA y Rp, “GG co sin (?4P). Si le point P, se rapproche indéfiniment du point X, lim p=æ, lim XP, : sin (xp) — 5e, lim XP, : sin (xæ,) — 594 2 et p, étant les rayons de courbure en X des courbes Cf et (5), lim sin (p4 x,) = lim sin (p4p) ; donc p4 — ce Le rayon de courbure p, de la conique pôle (5) au point X est égal à la moitié de celui de la courbe C4 au même point (*). 54. Il en résulte que p, est double du rayon de courbure de la conique Z, (46) au point X. Ces coniques X, et (5) tangentes en X sont homologiques, le coefficient d'homologie est égal au quotient des rayons de courbure ou d: L'axe d’homologie est la corde commune ; cette corde passe par X,, qui a même polaire XX; relativement à X, et (s) (47,51). Soient G = (XX;, X'X,), H= xx', & =(EF, XX); les droites GH et XX, se coupent en un pointS sur 24 (46). La droite HG rencontre XX' en U et l’on a (XX'UG) = — 1 —H(XX'UG) = (XX,GS); par suite, (XGSX,;) — RO et la droite X4G est l’axe d’homologie de Y, et ©. Ainsi la corde commune de la conique pôle (s) et de la conique È, (46) joint le point (x, EF) au point de contact X' de la courbe C£ avec la tangente correspondante x! de x. 55. On considère une homologie ayant pour centre le point X, pour axe la tangente x et dans laquelle le point Y, (46) (*) Corrélatif d’un théorème de Moutard, N.-A.-M., 1800, p. 195. (32) a pour correspondant un point S pris arbitrairement sur XY,. A la conique X, correspond une conique X ayant en X un contact du troisième ordre avec X,. Cette conique À, est engen- drée par l’involution de rayons X{x+,) et par le faisceau de rayons S(P,) projectif à cette involution. Par suite, X passe par les points de rencontre de SX, avec les droites XE, XF et par les traces sur EF des tangentes menées de S à la courbe C4, autres que XY,. Donc SiS est un point pris arbitrairement sur la tangente XY, (46), s et Si les tangentes à la courbe C issues de S et distinctes de XY,, les points (s, EF), (s,, EF), les traces de XE, XF sur la droite joignant les points S et (x, EF) sont sur une conique Yo ayant en X un contact du troisième ordre avec la conique X, (46). La conique E, est tangente aux droites SZ,, SLo (46). 56. Soient P un point de l’arête de rebroussement (C) d’une développable- (D); p la tangente en ce point; S un point de p; (P) le cône projetant de P la courbe (C) : un plan passant par S coupe les surfaces (D) et (P) suivant deux courbes dont les rayons de courbure au point S sont entre eux dans le rapport # : 5. En effet, soient R4, R, les rayons de courbure principaux au point S de (D) et de (P); w, e les angles de contingence et de torsion de (C) au point P; w’ l’angle de deux génératrices infiniment voisines p, p' du cône (P); e/ l’angle des plans tangents le long de ces génératrices. On a a CE 5 € donc égalité d’où l’on déduit aisément la propriété énoncée. Cette dernière est la corrélative d’un théorème de Bonnet relatif à (33) Ja section de la développable (D) coupée par l’un de ses plans tangents. 5'7. La développable ayant pour arête de rebroussement une cubique gauche est coupée par un plan « suivant une courbe Cf (*. Soient P’ un point de la cubique gauche; p’, x’ la tangente et le plan osculateur en ce point; P, p leurs traces sur le plan &. Le cône (P’) perspectif à la cubique gauche est coupé par le plan « suivant une conique tangente en P à la courbe C$ et passant par les points de rebroussement de celle-ci. Par suite (56), La conique tangente en un point P à la courbe Cf et passant par les points de rebroussement a au point P un rayon de courbure égal aux trois quarts de celui de la courbe au méme point. 58. Si le plan & passe par la tangente s au point S de la cubique gauche, la section est une cubique cuspidale, S et s sont le point d’inflexion et la tangente inflexionnelle ; le point de rebroussement est sur la cubique gauche. La considération du cône (P’) conduit à la propriété : La conique tangente à une cubique çuspidale en un point P et au point d'inflexion S, et passant par le point de rebrousse- ment de la courbe, a au point P un rayon de courbure égal aux trois quarts de celui de la cubique au méme point. 59. Si les points E et F sont les points cycliques, la courbe C£est l’hypocyeloïde de Steiner, la conique X, est le cercle décrit sur la moitié XS du rayon de courbure au point X comme diamètre (46). Par un point P du cercle X, on mène une parallèle à la tangente XY, (Y, est à l'infini sur EF) ; elle ren- . contre la tangente æ au point P, et le cercle Y, au point P4,5 la parallèle p menée par P, à la droite XP,, est tangente à (*) CREMONA, loc. cit., p. 118. (34) l'hypocyeloïde (46). Si l’on désigne par 0 et 4 les angles (x, XY,)et (x, p),ona XP, = XS sin d XP, : XP, — sin 0 : sin (6 + d); par suite, xs —— RUES sin d.sin (0+d) Ainsi si y désigne la seconde tangente issue du point de contact X de la tangente x à l'hypocycloïde de Steiner ; p une tangente quelconque; P, le point xp; 0 et 4 les angles (xy), (xp); p Le rayon de courbure de la courbe au point X, on a Er 2X P, sin 0 Per sin d. sin (8 +) 60. Soient G le second point d’intersection de la tangente y = XY, avec le cercle Y, ; PQ la corde de ce cercle parallèle à la tangente en G : la parallèle menée par Q à la droite XG rencontre + en Q, et Y, en Q,,. La droite P,, Q,, est parallèle à x; la parallèle g menée par Q, à la droite XQ,, est tangente à l'hypocycloide. Les droites p et q se coupent en V sur y. Le triangle P,VQ, étant égal au triangle isocèle P,,XQ,,, on conclut : | Les tangentes p, q issues d'un point V de la tangente y sont également inclinées sur la tangente x (*). Le rayon du cercle circonscrit au triangle formé par les tan- gentes x, p, q est égal au quart du rayon de courbure de l'hypo- cycloide au point de contact X de la tangente x. CoroLuaiRe. — Soient X, X’ les points de contact de deux tangentes correspondantes x, x’ ; P,, Q,, P;, Q,; les traces sur chacune d'elles des tangentes p, q issues d’un point quelconque (*) NEUBERG, loc. cit., p.13. GoB, Mémoires de la Société royale des Sciences de Liége, 1906, p. 14. ; | d utet lo : À TRSINETSSTRT \ (35) de la tangente XX'; b, P! les rayons de courbure de la courbe aux points X, X’:0ona p:p/=P,0, :P;Q. 61. On considère la parabole inscrite au triangle px, X étant le point de contact du côté x; d’après le théorème de Desargues, les tangentes VP,, VO, à cette parabole, les droites projetant de V les points de contact de la tangente à l'infini et de la tangente x définissent une involution dont un rayon double est parallèle à x. Le premier couple VP,, VQ, est éga- lement incliné sur x ; par suite, le second couple jouit de la même propriété; done L'axe de la parabole inscrite au triangle pqax (X étant le point de contact du côté x), et la tangente y sont également inclinés sur la tangenie x. 62. Cette propriété montre que le foyer G, de cette parabole est sur la droite y; il est d’ailleurs sur le cercle circonserit au triangle P,VQ,, et, par suite, VG, — XG. Si l’on prend pour point V le point de contact Y de la tangente y, le point G vient en X; par suite, VG = XG = XY. La distance du point V au foyer G, de la parabole considérée est constante; elle est égale à la tangente XY ou à la corde XG interceptée sur lu tangente y par le cercle X,. 63. Si le point V se rapproche indéfiniment du point X, la limite de la parabole est la parabole qui suroscule lhypocy- cloide au point X; la limite de G, est le point G; par suite, Le foyer de la parabole qui suroscule l'hypocycloïde de Steiner au point X est le symétrique par rapport à X du point de contact Y de la seconde tangente y menée par X (*). (+) LAGUERRE, N.-A.-M., 1870, p. 254; GoB, loc. cit., 1909, p. 8. (36 ) S IV. — Sur les quadrangles circonscrits à la courbe C{. 64. Soient XYZU un quadrangle dont les côtés sont tangents à la courbe Ci; 1, linvolution déterminée sur une tangente & par les tangentes correspondantes (53). Les couples de côtés opposés du quadrangle XYZU déterminent sur t des couples de l'involution [, (52) et tout couple de points conjugués de l'involution I, est sur une conique circonscrite au quadran- gle XYZU. D 65. On en conclut : Deux quadrangles XYZU, X,Y,Z,U: circonscrits à la courbe Cf sont inscrits dans une méme coni- que (H) (*). Cette conique rencontre la conique (56) en quatre points 4, do, 43, 23. On désigne par p4, p:, t les tangentes de la courbe C4# issues de «,; par P4, P;, les points de contact des tangentes correspondantes p4, p1 (56). Le point , est un point double de linvolution |; et la conique (H) est tangente au point «, à t; (64). Les points «, et P, sont conjugués dans l’involution L,, et la conique (H) passe par P4. Donc Les points de contact PA et P,, Pa et P;, P3 et Ps, P, et P, des couples de tangentes correspondantes issues des points aj, x9, @3, a, communs aux coniques (H) et D appartiennent à la conique (H). Les correspondantes 1, &, LL, LU des langentes ü — P,P,, Lb = Po P,, 5 = Pa P;, 4 = P, P, sont tangentes à la conique (H) respectivement aux points a, 49, 43, 24: (GOB, 1909, p. 12.) Les points P,, P;,...sontles seuls communs à la courbe Cf et à la conique (H) ; car si P est un tel point, la tangente p en P à C£ rencontre la conique ® en deux points dont l’un « est le conjugué de P dans linvolution [,; par suite, « appartient à (H) (64) et est l’un des points &, to, de, age (*) STEINER, Loc. cit., p. 45. (37) 66. Soient T,, To, T2, T, les points de contact des tangentes tu, to, l2, !, de la courbe C£. Sur les courbes unicursales ® et C£ les éléments 2, et 4, dont l’un détermine géométriquement l’autre, décrivent des formes projectives. Le faisceau de coniques (H) circonserites au quadrangle X YZU détermine sur la conique ® des quaternes (2, 29, #4, 43) appartenant à une involution du quatrième ordre et du premier rang. A cette dernière correspond sur la courbe C£ une involution analogue formée par les quaternes (4, to, (3,t;). Soient X, et X;, Yi et Y,, Z, et Z, les points de contact des tangentes correspondantes YZ et XU, ZX et YU, XY et ZU; les tangentes X,X,, Y,Y,, Z,Z, passent par un mème point H (27). Les quaternes (YZ, XU, XX, XX), (ZX, YU, Y,Vi, VAY,}, (XY, ZU, Z12, Z,Z;) sont les quaternes (4, lo, (3, t;) relatifs aux coniques dégénérées du faisceau (XYZU). Ces quaternes font partie de l’involution du quatrième ordre et du premier rang déterminée sur ia courbe Cf par les tangentes dant les points de contact sont alignés sur H. Cette involution et la précédente ont trois groupes communs et sout identiques. Donc les cordes P, P;, P, P:, P3 P:, P, P, communes à la conique (W) et à la courbe C# sont tan- gen'es à cel’ e dernière respec!ivement aux points T;, To, T3, Ty suués sur une droite d. Cel'e drot'e passe par le point concours H des droites joignant les poin's de contact de la courbe Ct avec les cÔ és opposés du quadrangle XYZU (*). 67. Le faisceau de coniques (XYZU) et le faisceau des droites d correspondantes sont projectifs; ils engendrent une courbe du troisième ordre circonscerite au quadrangle XYZU et passant par H. Les coniques dégénérées du faisceau conduisent aux points (X,, X;), (V4, Y1), (Z,, Z:) (66) de la cubique. Une conique (lu faisceau passe par le point N, (39) de la conique D; su =N, on a P,=N,, P,=D,, T, = D, et le point D, est sur la cubique. Une conique du faisceau est circonscrite au quadrangle (Q, non, nsn, run) (64); la droite d relative à (*) Gos, loc. cit., 1909, p. 14. (38 ) cette conique passe par le point de concours @ des droites joignant les points de contact des côtés opposés de ce qua- drangle ; done Q est un point de cubique. Aïnsi les sommets d'un quadrangle XYZU circonscrit à la courbe C4, les points de contact des six côtés, les points de rebroussement de à courbe, le point de rencontre Q des tangentes de rebroussement et le point de concours H des droites joignant les points de contact des côtés opposés du quadrangle sont sur une méme courbe du troisième ordre (*). 68. La projectivité du faisceau (XYZU) et du faisceau des droites d montre que les côtés du triangle XYZ déterminent sur les droites UD,, UQ (es ternes de points X'Y'Z!, X/'Y//L/! tels que (X'Y2'D,) = H(X/Y,2D,), (XVI O) = NA TA X,Y424 étant les points de contact de ce triangle. 69. Une conique (H) est circonserite aux quadrangles XYZU et(Q, nons, ns, Nino); d’après le théorème de Desargues appliqué au quadrangle XYZU, inscrit dans (H), les points d'intersection de cette conique avec la droite EF sont conju- gués par rapport aux points E, F (30); par suite, la conique (H) est harmoniquement circonserite à la conique D. La conique D est d’ailleurs circonserite au triangle N,NQN; conjugué à (H) ; par suite, les points d’intersection «;, 9, &;, «, des deux coniques (H) et ® forment sur chacune d'elles un groupe équianharmonique. [Il en est de même des tangentes f,, te, ts, t4 (66) à la courbe C£. Leurs points de contact sont d’ailleurs sur une droite d issue de Q (67); par suite, Une droite issue du point Q rencontre la courbe C£ en quatre points T,, To, T-, T,; les tangentes en ces points forment sur celle-ci un groupe équianharmonique. (*) Les tangentes de rebroussement de la courhe Cf coupent la tangente double EF en trois points de cette cubique. (39) ‘0. Les ternes de tangentes issues des points de la droite OT, déterminent sur la tangente double EF une involution du troisième ordre et du premier rang; les traces G;, Go, Ga, 64 des tangentes à la courbe C$ aux points T;, To, T2, T, sont les points doubles de l’involution; par suite (69), cette involution est sibi conjuguée. On en conclut que les secondes tangentes issues des points T;, To, T3, T, alignés sur Q, déterminent sur la tangente double EF un groupe (T:G:030:) équianharmonique. Car G;, G, ©, ©, sont les points de ramification de l’invo- lution considérée. | D’après les propriétés de l’involution cubique sibi conjuguée on a aussi les égalités (Ta Gr Di Gr) — 3; (GT: O3 O4) — — 1. $ V. — Triangles inscrits et circonscrits à la courbe Ci. ‘71. Soient sur la conique 2 un terne PQR de la projectivité cyclique ayant pour éléments doubles E, F; P', Q', R' les conjugués de P,Q, R par rapport aux points E,F. On sait que (PP'QR)——1, (QQ'RP)— 1, (RR'PQ) — —1. Lorsque le point P décrit la courbe Ÿ, on a les ponctuelles du second ordre (P), (Q), (R) projectives entre elles. La ponc- tuelle (P) est projective à la ponctuelle (x) (6), laquelle est projective à la ponctuelle (5). (Corol. 17). La ponctuelle (5) est rapportée projectivement à l’involution décrite sur 2 par le couple VV' (15) ; par suite, les ponctuelles (P), (Q), (R) sont projectives à l’involution (VV). La projectivité (Q) x (VV') a trois éléments doubles. On conservera les mêmes lettres P, Q, R pour désigner un terne particulier de la projectivité cyclique (EE, FF) pour lequel Q = V ; alors Q'= V’. D’après l'égalité (QQ'RP) — — 1 la droite PR passe par le pôle « de VV' relatif à Zet l’on a R=T (11). Par suite, le couple PP’ de l’involution ( 40 ) (VV') correspond au point R=T de la ponctuelle (P). Mais au point R de la ponctuelle (P) correspond le point P de la ponc- tuelle (Q); par conséquent, P est un élément double-de la projectivité (Q) À (VV) ; il en est de même de R. Ainsi Les éléments doubles de la projectivité (Q) À (VV) forment un terne P Q R de la projectivité cyclique (EE, FF). Les éléments doubles PQ’ R’ de la projecuivité(R) At VV’) jouissent de la même propriété (*). 2. Soient p, q, r, p', q'', r!' les tangentes à la courbe C4 déduites des deux ternes particuliers P Q R, P" Q" R' (71). On a vu (74) R=T, et le point rp est le point de contact C, de la tangente p (14). De même pg=C,, gr=C,, g'p'=C,,, r'q'=C,,, p'r''=C,., sont les points de contact des tangentes g,r,.p3 dr" R Parle, Sur la courbe C£ il existe deux triangles circonscrits par, p'’q''r"" inscrits dans la méme courbe (**). Is jouissent seuls de celte propriété. De la propriété (6) on conclut: Les côtés des triangles par, p''q'’r// déterminent sur la tangente double EF deux ternes de la projectivité cyclique (EE, FF) (**). ‘73. Les deux triangles pgr, p'/q''r!! se correspondent dans les homologies (42) ; donc les coniques(C,C,C, EF), (CCC, EF) jouissent de la même propriété et sont identiques. Les axes d'homologie passent par le pôle de EF relativement à la coni- que (C,CoUr CyrCyrCyn); donc les deux triangles pqr, p''q"”r" sont inscrils dans une conique ayant un double contact en E, F avec la conique D. (*) Les éléments doubles de la projectivité (P) x (VV') conduisent aux tangentes de rebroussement. (**) Go, loc. cit., 1906, p. 14. mb. à da NOTE LES COURBES TROCHOÏDALES à { Che Ci 4 Meta 0 LOL EPS D AL “es mi me hu à iii cd ds. nd ml. titi» fl me de à A Sd dép de DAT À LA Le NOTE SUR LES COURBES TROCHOIDALES 1. Nous considérerons dans cette note les courbes décrites par un point du plan d’un cercle qui roule sur un cercle fixe, connues sous la dénomination générale de trochoïdales ou de trochoïdes. Lorsque l’un au moins des deux cercles est ima- ginaire on obtient, sous certaines conditions, des courbes réelles, appelées pseudo-trochoïides. On sait que les trochoïdales peuvent également s’engendrer au moyen d’un parallélogramme articulé; 1l en est de même des pseudo-trochoïdes, mais, dans ce cas, le parallélogramme est imaginaire. Notre but est d'exposer un mode de génération cinématique des trochoïdes, que nous croyons nouveau, et qui, étendu aux pseudo-trochoides, fournit une description cinématique simple et entièrement réelle de ces lignes, dont on ne possédait jusqu'ici, à notre connaissance, en dehors des deux générations cinématiques à éléments imaginaires, que nous venons de mentionner, qu'une description réelle assez peu intuitive, due à Roth, et fondée sur l’emploi de deux spirales logarithmiques. 2. Nous dirons qu'un point se meut, sur une ellipse ou sur une hyperbole, suivant la loi harmonique, lorsque la vitesse € aréolaire de son rayon vecteur, issu du centre, est constante. _ Considérons un point P, décrivant suivant cette loi une ellipse dont le centre O est fixe, et qui elle-même est animée dans son propre plan d’un mouvement uniforme de rotation autour de ce centre. Rattachons à l’ellipse un système d’axes coordonnés rectangulaires OX’, OY”, tels que l'équation de la courbe, rapportée à ces axes, soil RE Re P (1) Soit © l’angle excentrique du point décrivant P; nous pou- vons poser æ'—acose, y —bsine. (2) Puisque le point P obéit à la loi harmonique, l’angle & croît proportionnellement au temps {; nous avons donc p=pl+a, (3) p et « étant des constantes. Ainsi x! = a cos (pi + «), y! = b sin (pt + a). (4) Choisissons maintenant, dans le plan Il de lellipse, un système d’axes rectangulaires fixes, OX, OY. L’angle que l’axe OX’ fait avec l’axe fixe OX, étant proportionnel à £, est égal à At, À désignant la vitesse angulaire de l’ellipse, et & une constante. Or, nous avons JUL ETES CE 8) — y' sin (At aie B), | y = x! sin (Xi + $) + y' cos (At + B). | G) En remplaçant dans ces équations x’ et y’ par leurs valeurs (4), (È) nous obtenons les équations paramétriques suivantes de la trajectoire du point P : æ = a cos (À + BB) cos (pt + à) — b sin(At+ B)sin(pt + «), y = a sin (Mt + Ê) cos (pt + «) + bcos(At+ B)sin(pt+ à); (6) t est le paramètre variable. En posant À+p=, ont (7) ces équations peuvent s’écrire b a — b HUE AE Pr br - — b 2 ENTRE cos (vt + à), sin (vt + à). Posant encore W+y=e, vt+Ù—= 0 +4, (8) elles deviennent a + b a — 2 be Ge. | 9 a+b. a—b ®) PT © D sin (& + b). \ Mais, en éliminant t entre les équations (8), 1l vient al a ) Le (6) en tenant compte des formules (7), et adoptant la notation 5 Atdres ge & + Ÿ Ep de (41) Ecrivons a + b EMA RG EE An arret ner c’est-à-dire a + b a — b R+2?r 9 —=R+r, D PM E—=— R + Les équations (9) deviennent, en tenant compte de (11), B = (+ r) cos w + hoos (To —Te-e8) | = (n + sin w + 1 sin (= ru Ta T8). r Posant enfin (R + 2r)a + R$B — re, ces équations prennent la forme 8 (R +7) 008 0 + Hans (TT we), (45) y = (R + sin o + Rain (T0 —e), Ce sont là les équations paramétriques générales des tro- (7) choïdes dont le pôle se trouve à l’origine des coordonnées ; w est le paramètre variable, R, le rayon du cercle fixe, r, le rayon du cercle.mobile qui roule sur le premier, h, la distance du point décrivant au centre du cercle mobile, e, une constante arbitraire. Par conséquent, si un point décrit une ellipse d’un mouve- ment harmonique et si en même temps l’ellipse tourne unifor- mément dans son plan, autour de son centre, la trajectoire du point décrivant est une trochoïde dont le pôle coïncide avec le centre de l’ellipse. 3. Il est bien connu que, dans les équations (13), on peut, sans nuire à la généralité, considérer R + r et k comme positifs ; et qu’alors, si r > O, la courbe (13) est une épitrochoïde, et si r < 0, une hypotrochoïde. Dans le cas des épitrochoïdes, les cercles fixe et mobile se touchent extérieurement si R > 0, intérieurement si R < 0. 4. En choisissant l’origine du temps au moment où le pont décrivant passe à l’extrémité æ/ — a, y —0, du grand axe de l’ellipse, on annule + (équations 4). En prenant pour axe des x positifs l’axe du plan fixe IT qui coïncide avec OX’ à l’origine du temps, on a également 8 — 0 et, par suite, e — 0. De cette manière, les équations (15) prennent la forme ordinaire des trochoïdes rapportées à deux axes rectangulaires passant par le pôle, l'axe des x positifs contenant un sommet de la courbe situé le plus loin possible de l’origine (apocentre). Ainsi, nous avons établi une description des trochoïdes, qui peut s'appeler leur génération elliptique, par opposition à la génération circulaire, qui utilise le mouvement de roulement, et à la génération articulée, qui emploie un parallélogramme. La forme et les dimensions de la courbe sont fixées par les constantes a, b, £. (8) On passe de cette génération elliptique à la description circulaire au moyen des formules (12), et inversement de cette dernière description à la génération elliptique par les formules R+92r aæR+r+h b=Rtrh ES. (9) 5. Remarque. — Les équations (12) deviennent illusoires dans le cas de E—1. Mais on sait qu'une même trochoïde, définie par les éléments R, r, k, admet une deuxième génération circulaire, dont les éléments R’, r’, h' sont liés à R, r, h par des formules établies par Euler. Ces éléments R’, r’, h se rattachent à la génération elliptique par les formules a LL RL à . AT (15) st Éd 2 ? l’un des systèmes (12) ou (15) pourra s’employer quand l’autre deviendra illusoire. On passe de (12) à (15) en changeant les signes de b et de £. 6. Rattachons encore entre elles la description elliptique des _ trochoïdes et la génération articulée. ‘Dans cette dernière, un parallélogramme a un sommet fixe 0; les côtés de ce parallélogramme ont des longueurs constantes h, h' et tournent uniformément autour de 0 avec des vitesses angulaires x, v, dont le rapport est y — Ë. L’extrémité mobile de la diagonale du parallélogramme, passant par O, déerit la trochoïde, dont la forme et la grandeur sont déterminées par les constantes h, h’, y. On trouve facilement des relations 0 a + b GS ( a E. 9 2 h 9 » KT ETES ou 1 PT ED D qui permettent le passage d’un mode de génération à l’autre. (9) Il est inutile de rappeler ici les formules bien connues pour passer de la génération circulaire à la description par un paral- lélogramme articulé, et inversement. ‘7. Discussion de la génération elliptique. — Supposons l’ellipse donnée, et faisons varier les vitesses p et À. Nous admettons qu’on ait défini, dans les plans superposés des axes fixes OX, OY et des axes mobiles OX’, OY’, un sens positif de rotation, le même pour ces deux plans. Nous convenons alors de considérer p comme un nombre positif, si le rayon vecteur de l’ellipse tourne dans le sens positif, dans le plan des axes OX’, OY/; nous le considérons comme négatif dans le cas contraire. De même, nous considérons À comme positif, si l’ellipse tourne dans le sens positif dans le plan des axes fixes. Si À et p sont de même signe, nous disons que les mou- vements du point P et de l’ellipse sont concordants; nous les appelons discordants dans le cas contraire. Enfin, nous suppo- sons R + r > 0. 49 Si — œ 0, r > 0. Done, si les mouvements ci-dessus sont discordants et que la rotation de l’ellipse soit plus rapide (en valeur absolue) que la révolution relative du rayon vecteur du point P qui la parcourt, ce point décrit une épitrochoiïde; 2 Si — 1 0, r <0,R+92r > 0. Donc, si les mouvements sont discordants et que la rotation de l’ellipse soit moins rapide que la révolution relative du rayon vecteur, la courbe engendrée est une hypotrochoïde, et le diamètre 2|r| du cercle mobile, défini par les formules (12), est plus petit que le rayon du cercle fixe (2|r’| est alors plus grand que ce rayon); :& GSO0,r <0,R + 92r < 0. Done, si les mouvements sont concordants et que la rotation de l’ellipse soit moins rapide que la révolution relative du rayon vecteur, la courbe engendrée est une hypotrochoïde, et le diamètre du (40) cercle mobile, défini par les formules (12), est plus grand que le rayon du cercle fixe; 4 Si 1 0, et mêmer > |R|. Si donc les mouvements sont concordants et que la rotation de l’ellipse soit plus rapide que la révolution relative du rayon vecteur, la courbe engendrée est une épitrochoïde, et le rayon du cercle mobile, défini par les formules (12), est plus grand que celui du cerele fixe. Il resterait à examiner les cas £ — + 0, E— +1, E—0, dans lesquels la trochoiïde dégénère; mais cet examen est inutile pour notre objet. Il importe surtout de retenir de la discussion précédente que la courbe est une épitrochoïde, si !£| > 1, une hypotrochoïde LE CA | 8. La trochoïde sera algébrique si £ est commensurable, car alors le rapport R : r (formules 19) est rationnel. La courbe devient une épicycloide ordinaire si 6 — __T, et une hypo- cycloide ordinaire si £ — ES C'est ce que montrent immé- diatement les formules (12), qui donnent, dans le premier cas, r — h et, dans le second, r — — h. Mais on le voit aussi géométriquement en examinant la vitesse du point décrivant, el en cherchant les conditions dans lesquelles ce point devient stationnaire; on à alors affaire à une courbe à points de rebroussement, et cetle courbe est une épicycloide si ces points se présentent à l'extrémité du petit axe de l’ellipse mobile, une hypocycloide s'ils se présentent à l’extrémité du grand axe. Deux trochoïdes définies par la génération elliptique sont LA (42 A semblables, si FNeL £ ont les mêmes valeurs pour ces deux courbes. Enfin, la trochoïde devient une rhodonée (rosace) si b = 0; on retombe sur la description bien connue de ces lignes, par un point doué d’un mouvement harmonique sur un segment de (CAD) droite qui tourne d’un mouvement uniforme autour de son milieu et dans un plan. 9. On sait que, dans la description circulaire, toute trochoïde est susceptible d’une double génération. Au contraire, une trochoïide donnée n’admet qu’une seule génération elliptique. 10. La construction de la tangente à la trochoïde résulte aisément du principe de la composition des mouvements. Soient OQ un demi-diamètre conjugué à OP, QOPU le paral- lélogramme construit sur OP et OQ, PU le sens du mouvement de P sur l’ellipse. La vitesse relative de P par rapport à l’ellipse sera p x 0Q —p x PU ; représentons-la par le segment D: | La vitesse du mouvement d'entrainement de P vaut et sera représentée, à la même échelle, par un segment dirigé PV, de longueur £ x OP, perpendiculaire sur O et dont le sens est fixé par le signe de £, c’est-à-dire par le sens de la révolution de l’ellipse. La résultante PW de ces deux segments dirigés donne la tangente à la trochoïde. On peut remarquer que l’on obtient PV en prolongeant OP jusqu’à son intersection S avec le cercle principal de l’ellipse, (1129 construisant le segment ST tangent en S à ce cercle, et de longueur £a, et joignant OT, qui coupe en V la perpendicu- laire PV sur le rayon vecteur. On pourrait encore, assez facilement, construire les deux systèmes de cercles qui définissent la trochoïde dans les deux modes de génération circulaire. | 11. Remarque sur les développantes de cercle et sur la spirale d'Archimède. — L'hypothèse a —, p—0, sous la condition 1 L é a ; que le produit ap ait une valeur finie (ou £ une valeur finie), conduit, par la dernière formule (12), à hk—%; en outre, R 2 à > ; = gp. Mais p—0 donne lË| = et, par suite, jr! =, tandis queR reste fini. Comme R +r20, nous prendrons r =; d'où &£— —c. Il résulte alors de la deuxième formule (14) que r—h—b—R est fini. La trochoïdale devient une dévelop- pante de cercle généralisée, courbe engendrée par un point du plan, lié invariablement à une droite qui roule sur un cercle fixe de rayon R; la distance du point à la droite est b—R —à, el l’on a (première formule 12) £ = KR. On voit donc qu’une telle développante peut être engendrée par un point qui parcourt une droite avec une vitesse constante (dont la valeur absolue est |[v| — pa), tandis que la droite tourne uniformément (avec la vitesse angulaire À) autour de l’origine des coordonnées, les rotations du rayon vecteur du point et de la droite étant discordantes. C’est d’ailleurs ce qu'un calcul direct montre immédiatement. Soient, en effet, MER y = — vi = — pat; les formules (4) donnent, en choisissant les axes de manière à annuler $, et en posant A — w, DT REE ; V æ — b COS & += wsino, y sin 0 sieste ou j qi At à a T = D COS 6 + -wsinv, a » (43) Le rayon du cercle fixe est R—b—5; en écrivant encore = R,ona ; x = (R +) cos w + Rwsinow, y —(R + Ô) sin © — Ru cos w ; ce sont les équations des développantes générales. On a alors æ'=R + à, y! = — ÀRi, v = ÀR. À la valeur b—0, c'est-à-dire à — —R, correspond la spirale d’Archimède. La génération elliptique conduit donc à la défi- nition ordinaire de cette courbe, tandis que la génération cir- culaire donne la spirale comme roulette. 12. Les pseudo-trochoïdes. — Reprenons maintenant les raisonnements précédents, en substituant à l’ellipse (1) une hyperbole Au lieu des équations (2), nous pouvons poser z'=ache, y'—=bsho, et, si le point P se meut sur l’hyperbole suivant la loi harmo- nique, l’équation (3) subsiste. Les équations (5) conduisent au système æ = a cos (Àt + B) ch (pt + &) — b sin (At + B) sh (pt + «), y = a sin (At + B) ch (pt + &) + b cos (At + B) sh (pt + à). 416) En conservant la notation (10), posons LE ob oinol : PPT ue les équations du lieu de P deviennent x — a cos £w ch (w + 2) — b sin Ew sh (w + e), y = a sin Év ch (w + €) + b cos Ew sh (w + €). Le Ce sont là précisément les équations paramétriques générales des pseudo-trochoïdes, dont le pôle est à l’origine des coor- données, w étant le paramètre variable. Nous sommes donc amené à la conclusion suivante : une pseudo-trochoïde peut s'engendrer par le mouvement d’un point qui parcourt une hyperbole conformément à la loi harmonique, pendant que cette courbe tourne uniformément autour de son centre. 13. Il est aisé d'établir les formules qui relient cette génération hyperbolique des pseudo-trochoïdes à la géné- ration circulaire définie par les éléments R, r, h, ou à la description par un parallélogramme articulé, définie par les éléments h, h’,y. Il suffit de remarquer que les formules (6) se transforment dans les formules (16) en remplaçant bpar-, p par ip, à par x, avec LA | On obtient alors sur- le-champ, par les formules (12), dans lesquelles £ sera rem- placé par — &, La—tb bæ+Ea %Æb—(—B)a, %a+(A—E) | _a+ib TIRE TIME) TOUS TRE) LOT VU TE (17 formules dans lesquelles £ désigne le rapport réels. Les équa- ons (15) conduisent pour KR’, r’, À’ aux valeurs complexes conjuguées de R, r, h. Les formules (14) sont remplacées par R+Lr—h PT ES RE SE ? iR Ces formules satisfont bien aux conditions que l’on sait être nécessaires pour qu'une pseudo-trochoïde réelle soit engendrée par le roulement de cercles complexes, à savoir que R+reth aient des valeurs conjuguées et que |R +r|—;ri —]|h|. 14. Quand k — — r, la courbe est appelée paracycloïde ; les équations (17) montrent que la condition équivaut à (15) On à alors R = a, 2 EN NRE e v Quand h = r, la courbe se nomme hypercycloïde; la condition en est et l’on a 15. La construction de la tangente aux pseudo-trochoïdes est analogue à celle exposée dans le n° 10. 16. Pour relier entre elles la génération hyperbolique des pseudo-trochoïdes et la génération par le parallélogramme articulé, nous avons les formules a + ib a — ib ie +4 on MEUTre RP POIL Mme 1 h — et les formules réciproques Dee À Te er ! se — — dE hELh be nv E = - — 4408 \ (Le À : Dre at 1,3 : à f nl [ , } M L 11" { Ÿ 14 \ nt } e Î : 1? p 3 { | : L2 | . a ®, a 16 GA M: Do: À "' ‘h n PU V» Fe gt | L Ads :Ltiaittes 14 er EMEA Fo D? u "1 DT RAT Cafe 4640 cb noi 10e FU = T [A ÿ * 1124 1114 toi / 4 AI Tr # LA 1f ce * ‘ +7 ‘ r : : Vo t : | )! L : Li { ! t NOTES GÉOMÉTRIE ET DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUES A. GOB ROFESSEUR A L'ATHÉNÉE ROYAL DE LIÉGE # Pot EL A Hs van Div 7 4 k \ {, à *, Er DRE à Le OrETIÉ TAN PE | LE 74 | us, AL x C) Lift 1 2 4D A6 à É : à pe ÿ we s Pa h .… r LP L , ; \ 7 CŒuT 1% CL R.Z De 7 à . ' _ . LL L "1 ç Î À F4 [AY vi 8 n 14 y + ! 0 ‘ À À ‘ L. } . k ’ ‘ 4 « D, L L "à . , LA LU ne don. ds. RÉ 210 NOTES DE GÉOMÉTRIE ET DE TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUES La présente note contient quelques théorèmes que nous croyons nouveaux. Elle renferme aussi diverses remarques de géométrie sphérique dont plusieurs, très simples d’ailleurs, sont bien connues; nous les rappelons ici, parce qu’elles nous servent dans plusieurs questions et qu’il nous à paru utile d'attirer l'attention sur les simplifications qu’elles peuvent apporter dans les démonstrations. Dans une note présentée à l’Académie royale de Belgique (*), M. G. Cesàro a exposé une méthode très simple et très féconde dans laquelle les formules de la trigonométrie sphérique se déduisent de deux triangles rectilignes (triangle des éléments, triangle dérivé) ; nous établissons d’une manière nouvelle l’exis- tence de ces triangles; enfin, dans la dernière partie de cette note, nous étendons la méthode de M. Cesàro au quadrilatère sphérique. (*) Bull. de l'Acad. royale de Belgique (Classe des sciences), 1905, nos 9-10, p. 434. (4) I. — REMARQUES GÉOMÉTRIQUES. 1. Soient O le pôle du petit cercle circonscrit à un triangle sphérique ABC (*), 2E l'excès sphérique de ce triangle; l'angle OBC est égal à 5 — (A-E), cet angle étant positif ou. négatif suivant que O est ou n’est pas du même côté que A par rapport à BC; en d’autres termes, le cercle ABC fait avec le côté BC un angle égal à A-E. Soit A’ le point diamétralement opposé à A: Paire du fuseau ABA’C ayant la même mesure que 2A, l’excès sphérique du triangle A’BC (triangle complémentaire de ABC) sera 2A-2EF, et, par conséquent, le petit cercle A’BC fait avec les côtés BC, AC, AB des angles égaux à E, C-E, B-E. 2. Soient O un point fixe de la sphère et A un point mobile sur un grand. cercle c (fig. 1); on porte sur l'arc de grand cercle OA un arc AM égal à OA; le lieu de M est un petit cercle parallele à c | et passant par le point O' diamétralement | | opposé à 0. En effet, soient P le pôle de c, M le point diamétralement opposé à M et N Rurl le milieu de OM’; les arcs AP et AN sont des quadrants, donc A est le pôle de NP et l’angle ONP est droit ; par suite, PM'= PO et PM=r—PO, ce qui démontre le théorème. Inversement, si M décrit un petit cercle et si O est le point diamétralement opposé à un point O’ de ce cercle, le milieu A de l’arc OM décrit le grand cercle parallèle au petit cercle donné. (*) Le lecteur est prié de tracer la figure. (5) 8. M. Cesàro a appliqué la méthode des projections stéréo- graphiques à diverses recherches sur la sphère; en particulier, il a retrouvé par cette méthode le triangle des éléments et le triangle dérivé (*). Sa démonstration ne diffère que par quel- ques détails de celle que nous donnons dans ce paragraphe; nous la reproduisons, non seulement à cause de sa simplicité, mais surtout afin d'en déduire une remarque déjà faite par M. Cesàro et dont il a tiré de nombreuses conséquences ($ 4); cette remarque nous sera utile dans la suite. Rappelons d’abord les propositions sur lesquelles nous nous appuyons; ces propositions ne dépassent pas le cadre de l’enseignement moyen et devraient, croyons-nous, être enseignées dans les cours élémentaires de géométrie à trois dimensions. a) La figure inverse d'un plan est une sphère passant par le centre d'inversion. b) La figure inverse d'une sphère est un plan ou une sphère suivant que celte sphère passe ou ne passe pas par le centre d’inversion. c) La figure inverse d'un cercle est une droite ou un cercle suivant que ce cercle passe ou ne passe pas par le centre d'inversion. d) L’angle de deux lignes est égal à l'angle de leurs inverses. e) Si À et À’, B et B' sont deux couples de points inverses, O le centre d’inversion et k la puissance d’inversion, on a Nip Ron le, OA . OB L'existence du triangle des éléments est une conséquence immédiate de ces propositions. (*) G. Cesàro, Les formules de la trigonométric sphérique déduites de la projection stéréographique du triangle. Emploi de cette projection dans les recherches sur la sphère. (Bull. de l'Acad. royale de Belgique [Classe des sciences], 1905, no 19, pp. 560-583.) (6) Soient ABC un triangle sphérique, B’ et C! les projections stéréographiques de B et C par rapport au centre d'inversion A;, diamétralement opposé à A (fig. 2). On a (e), le rayon de la sphère étant 1, et, par suite, la puissance d’inversion étant égale à 2, | puis b OB' = tg OA,B = tg à OC! — tg À Si l’on multiplie les côtés du triangle OB/C' par cos 5 cos à, on obtient b b C 5 cos L OC' = sin 9 cos 5° B'C!— sin =" OB' — sin ce sont les côtés du triangle des éléments. | Pour calculer les angles du triangle OB/C', remarquons que les côtés OB/, OC, B'C sont les inverses des grands cercles ABA,, ACA, et du petit cercle ABC; les angles du triangle OB/C' sont donc égaux aux angles que forment entre eux ces trois cercles; par suite (1), dr B'— B — , C' = C — E. Ainsi, le triangle des éléments est semblable au triangle ayant pour sommets les projections stéréographiques des sommets À, B, C sur un plan perpendiculaire au rayon OA, GATE Le triangle dérivé est semblable au triangle ayant pour som- mets les projections, sur le même plan, des points A, B4, Cou A, B, C, B, et C4 étant les points diamétralement opposés à Bet C. 4. Le côté BC a pour projection stéréographique un cercle (c) passant par B/ et C/; ce cercle fait avec B/C’ un angle égal à celui de l’arc BC avec le cercle A,BC(3, d), c'est-à-dire à E (1) ; par suite, l'arc B’C' du cercle (c) a pour mesure 2E. Ainsi, dans la projection stéréographique faite sur un plan normal au rayon passant par l’un des sommets du triangle, l'excès sphérique est: représenté par la projection du côté qui se progette suivant un cercle (*). 5. Voici une autre façon d'arriver au triangle des éléments : En A, B, C (fig. 3) me- nons les tangentes aux côtés du triangle sphé- rique; soient A’, B’, C’ les points d'intersection de ces tangentes deux à deux et T le point d’in- tersection des plans tan- gents en À, B, C. Les angles TAO, TBO, TCO étant droits, la sphère décrite sur TO comme diamètre passe par À, B, C; les distances du centre O’ de cette sphère aux plans AB/C/, BA'C’, CA!B' sont égales entre Fig. 3. elles, car ces distances sont les moitiés des rayons OA, OB, OC de la sphère O; par (0) (*) G. CESARO, loc. cit. (8) suite, les cercles AB/C/, BA/C', CA'B’, sections d’une même sphère par des plans équidistants du centre, sont égaux entre eux. Or, on a A'B — A'C; par conséquent, les angles BC/A’, CB'A' sont égaux. Posons \ BC'A'— CB'A’—#æ, AC'B'= CA'B'=7y, AB'C'= BA!C=Y%; nous aurons d+y=r—- 0, c+i=nm—B, y+:—=7r—A; d’où t+y+rz=rm—E, xc—A—E, y—B—EK, :—C—E. Les triangles AB/C', BA’C', CA'B' sont donc semblables aux triangles des éléments du triangle ABC. Pour calculer leurs côtés, remarquons que si M et N sont les milieux des droites AB, AC, on a OM.OC! — OA’, ON.OB' — O4. Les points A, B’, C! sont donc les inverses de A, N, M par rapport à O, la puissance d’inversion étant OA? ou 4; par suite (3, e), [Res MN B'C!' — ——. OM.ON Or, | ww. @ C b MN=—= 9 BC = sin 5’ OM = cos 9’ ON = cos 5: on a donc UUuU sir B'C' — SON AB' — OA tg AOB'— PU AC' = tg + b C” 9? 9 cos 3 5 sta he b : Il suffit de multiplier ces côtés par cos 5 COS 5 pour obtenir les côtés du triangle des éléments sous leur forme ordinaire. (ua } 6. Les relations qui concernent la surface d'un triangle sphérique, l’arc qui joint les milieux des deux côtés et son inclinaison sur le troisième côté, le rayon du cercle de Lexell se démontrent immédiatement si l’on observe que tous ces éléments figurent dans un même triangle rectangle; ce triangle permet d'obtenir d’autres relations remarquables. Soient O et O’ (fig. 4) les pôles des cercles circonserits au triangle ABC et à son complémentaire A/BC. Nous avons vu (1) que l’angle O’BC est égal à Sie E; par suite, lorsque BC est fixe et E constant, le point O’ est fixe; A’ décrit donc un petit cercle ayant pour pôle O0’; A décrit alors le petit cercle symétrique par rapport au centre de la sphère /cercle de Lexell); O’B est donc égal au rayon sphéri- que.….p.. du. cercle de Lexell. Soient M, N, P, M', N' les milieux des arcs AB, AC, BC, AB, A’C; les arcs MM’, NN’ sont des quadrants et O’M' est perpendiculaire à MM'; par suite, M est le pôle de OM’ et de même N est le pôle de O'N'; donc 0’ est le pôle de MN et de même O est le pôle de M'N’. Si K, K’, L sont les points de rencontre de MN avec O'B, O'C, O’A, les couples de triangles rectangles BKM et ALM, CK'N et ALN sont symétriques et l’on a MK — ML et NK’ — NL; par suite, KK’ — 2MN et l’angle BO’P a la même _ mesure que l’are MN. Si l’on remarque enfin que l’angle Q des ares MN et BC a A , 1 . T . même mesure que PP’, c’est-à-dire ques —> O’P, on voit que le ( 10) triangle rectangle PBO’, dont les éléments sont indiqués sur la figure 5, permet d'obtenir toutes les relations existant entre a, E, MN, p et Q. On obtient ainsi a (g — ee MN | Be = (A) 08 E — sn (@), sin E — sin MN.sin Q, (3) 2 COS p — cotg MN tg E — cos sin (, (4) sin e [l —_— 2 cos ( ALERT sinMN cosE @) Lorsque BC est fixe et E constant, l'arc QMNQ reste fixe. On peut encore déduire de là, par application du $ 2, que A décrit un petit cercle. 7. La figure précédente fournit la démonstration géomé- trique d’un théorème important qui nous sera ulile dans la suite : si d'un point O (fig. 4) on abaisse sur deux grands cercles ABA’, ACA' deux arcs perpendiculaires OM et ON, l'arc de grand cercle mené par A perpendiculairement à MN est l’isogonal de AO par rapport à l'angle BAC. Portons, sur AB et AC, MB — AM et NC — AN et soit O’ le pôle du cercle A'BC; ce point est aussi le pôle de MN et, par conséquent, l'arc de grand cercle Fi. 5. mené par À perpendiculatrement à MN est l'arc AOA’. Or, on a (1) angle MAO! — O'A'B — O'BA' = r — en Con E) s: 5 —(B—E). | L'angle OAC étant aussi égal à 5 — (B-E), les ares AO, AO/ sont iSogonaux par rapport à l’angle A. eee ve LEE. Fu Le Pipe er RE é r = F (208 7 La démonstration trigonométrique de ce théorème est immé- diate. En effet, les triangles rectangles AML, ANL donnent ; cos AML sin OMN ? sin ONM rh MAL — NT A sin NAL — mr d’où | sin MAL sinOMN sin ON sin OAN sin NAL sinONM sinOM sinOAM 8. On sait que les hauteurs d’un triangle sont les bissectrices des angles de son triangle orthique. La démonstration géomé- trique de ce théorème courant se fait d'ordinaire en passant par la trièdre; la démonstration suivante, basée sur le théorème précédent, est simple et ne nécessite que des constructions effectuées sur la sphère. Soient AA’, BB’, CC'les hauteurs du triangle ABC, AD et AE des ares de grand cercle perpendiculaires à A/B/ et A’C (fig. 6) (*. L'arc A/C' joint les pieds des arcs menés par © perpendiculairement à AA’ et à AB; donc AD est liso- gonal de AC par rapport à l'angle BAA'; les angles EAA’, BAC sont donc égaux ; de même DAA' = BAC; par suite, les triangles rectangles AA'D, AA'E sont symétriques et les angles DA'A, EA'A égaux. Comme il est aisé de démontrer Fig. 6. géométriquement que les arcs bis- secteurs des angles d’un triangle sont concourants, le théorème précédent permet de démontrer par la géométrie que les hau- teurs d’un triangle sphérique sont concourantes. 9. Pour démontrer les relations existant entre les rayons sphériques des cercles inscrits ou ex-inscrits à un triangle, les arcs qui joignent les sommets aux pôles de ces cercles, les angles que forment entre eux les ares bissecteurs des angles, on (*) Le lecteur est prié d’intervertir les lettres B! et C/ de la figure 6. (12) pourrait considérer les triangles polaires des triangles OBP, O'BP (fig. 4). Il est plus simple d'utiliser le théorème démon- tré au $ 7. Soient 1, l’, L’, 1’ (fig. 7) les pôles des cercles tritangents aux côtés du triangle ABC, IX et l’Y des ares perpendiculaires sur AC; AC joint les pieds des arcs " À JT" menés par [”” perpendiculairement sur [A et IC; done (7) les angles CI”, AIX sont égaux; il en est de même des angles AT'Y, P///1'C. Désignons par B Y Bus dps de D... les arcs AL, BI, CI, AI, .., par (, à)... 1es/angies-que +; font ces ares deux à deux, et par r, LEP r', r"', rl! les rayons sphériques des cercles tritangents. Les relations entre tous ces éléments sont fournies immédiatement par les tri- angles AIX, ATY, CIX, CL Y, etc.; nous indiquons dans la FIG. 1 17. figure 7! les côtés et les angles des deux premiers de ces triangles. On obtient ainsi ie ERA ù Se: gr = sit (pr, cos (Ge) = cos (p—a)sin A À “ sin (,0}) — cos g C0S7, cos da — — COtg 5 cotg (0), ete. (1 ) II. — ARCS DIVISANT LA SURFACE DU TRIANGLE EN PARTIES ÉQUIVALENTES. 10. Soit M un point quelconque de la sphère tel que les deux triangles MAB, MCA (fig. 8) aient même excès sphé- rique 2E'; on a ca AM sin E' À 59% 9 — sin(A, —E) b AM sin E' d Hu an b Le € B t E. #9. sin(A—E) cor. sin (A, —E!') FIG. 8. ou successivement, sin(B—Ë£) sin(A, —E") sin(C—E#Æ) sin(A, —E') sin (A, — E')— sin (A, —E") sin(B—E)—sin(C—E) sin(A;—E')+sin(A, —E') sin (B—EÆE)+ sin (C—E) Cette égalité peut s’écrire A; — À; B—C ou cos se Ÿ LU E') sin À 2 | sin (B—E + E') (6) : UT LA LB TE 7 Ni AO CS sin À, eos (= “—#) sin (C—EÆE +E') Construisons le triangle isoscèle PBC dont l’angle à la base - PBC est égal à E-E’; on aura sin Z : sin PAB sin PB sin PAC 11 sin PC sin PBA sinPA’ sinPCA sin PA’ d’où, puisque PB — PC, sin PAB f. sin PBA w sin (B—E + E') N sin À, sin PAC ‘sin PEX " "sin (OC —E PEN Donc l'arc AM passe par P. On déduit de là les théorèmes suivants : Si M, M’, M’ sont trois points lels que les six triangles MAB, MCA, M'AB, M'BC, M'BC, M''CA aient la même surface 2E, les arcs AM, BM’, CM’ passent par un méme point. Si les coordon- nées normales de ce point sont x, Y, zZ, on a 1 1 1 | sin(A—E+E) sin(p—E+E) sin(C—E if sin : Sin 3 — Lorsque les points B et C sont fixes et les surfaces 2E et 2E/ constantes, l'arc AM passe par un point fixe. (15) 11. Deux cas particuliers du théorème précédent sont remar- quables : a) Supposons que E’ — 7: dans ce cas M est situé sur BC et AM est l’arc bissecteur de la surface ABC. L'égalité (6) devient E sin À, : sin À, — sin (5 :) : sin (ce 5) Par conséquent : 1° Les arcs bissecteurs de la surface d’un triangle sphérique ABC passent par un méme point (*) dont les distances sphériques x, y, z aux côtés du triangle vérifient les relations E\ E E . pi . : . dE . ‘ F2 : 0 RE : . (, ni ; sin æ : Sin y : Sin 3 — sin (a — :) sin (8 — :) sin ( e ;) 2 Si la base BC est fixe et la surface constante, l'arc AM bissec- teur de la surface passe par un point fixe P. Indiquons encore les propriétés suivantes, dont la démon- stration est facile : 3° L'’are AM fait des angles égaux avec le côté BC et le cercle de Lexell. 4 On a la relation EN PA 7 PB Jan Vide b) Soit E’ — =; les arcs AM, BM, CM divisent ide la surface du triangle en Dé parties égales, L'angle PBC — = et l’on a 2E\_ sin À, : sin À, = sin (87): sin mn) 3 3 Ainsi : Si x, y, Z sont les arcs de grands cercles menés perpen- () Théorème de Steiner. (16) diculairement aux côtés du triangle par le point M tel que les surfaces ABM, BCM, CAM soient égales, on a DR. S 1 sin (a — +) sin (8 — +) sin ) Lorsque BC est fixe et la surface ABC constante, l'arc AM passe par un point fixe. | sinæ : Sin y : Sin? — 12. Soient M un point de l'arc BC (fig. 9), « l’angle AMB, et 2E, 2E, 2E/' les excès Dé at des triangles ABC, ABM, AMC; on a t 231 t js le sin « cotg E cos ——— — = ——-.———— —= S$| [e À — EE Po AT sin E". ë ; ; CM Ï E/! colg —— : coig _ = ie = sin à cotg E!" + cos «. En divisant membre à membre ces formules, on obtient PM À "2 __ cotg E" + cotg « 8) _ CM cotg E' — cotg 2 ES 2 Voici quelques conséquences de la formule (8) : a) Supposons E’ — E/ — >; cette formule donne BM.. CM PAR Part tue ue: + tnt DMX, à ME ou | BM — CM E sin = iga= sin Sig ‘tre (9) : Soit O Je point de rencontre de AM (fig. 9) avec l'arc élevé act ele. de (17) Do rrenent: a BC au milieu D de cet arc; DM est égal à — (BM- -CM) et dans les iriangies RerBles ODM, OBD on a ls relations . BM—CM tg OD — sin oh ig «a — sin 8 OBD. En comparant cette dernière égalité à la relation (9), on voit que l’angle OBD est égal D | 4 E A à ÿ5 on retrouve ainsi le théorème énoncé précédem- ment (11, a). b) Soient AM, BM’, CM” les ares qui divisent le tri- angle ABC en deux surfaces pot équivalentes et «x, f, y les À Fig. 9. angles AMB, BMC, CMA sous lesquels ces arcs rencontrent les côtés opposés; la relation connue BA CM' AM’ CM AM, BM' en de se transforme, si l’on tient compte de la relation (8), en la suivante E (cos 3 + cotg ga) CE à + cotg 4) (cote 2 +- cotg r) E E CE mo COS +) (eos s — Coig :) (cote 3 — (0tg 1} d’où E Diet —=—18—; (, 18 ) c) La formule (8) peut s’écrire ainsi : BM CM BM CM cotgaltg “a +tg—)]=t8 4 cotg E! — tg ce cotg E", ou à | HR . BM M . CM BM sin à cotg à — sin — cos 5 cotg E' — sin Ta F0 cotg E" 2 A7. BM<+CM . BM—CM\N . BM+CM . BM—CM | — [sin cotgE'—| sin gp cotg —|S +- sin sin 2 2 Si l’on suppose BC, E’ et E/’ constants, on aura donc entre BM, MC et 2 la relation BM — CM 2 sin : cotg « — (cotg E' + cotg E/') ST ue 2 + sin ; (cotg E' — cotg E"). Posons 2 sin 5 sin 5 (cotg E!! — cotg E') © — M, RE —— = cotg E' + cotg E'! cot E' + cotg E/! à l'égalité précédente deviendra BM — CN sin 27 M cotg a + N. | (10) Soient D le milieu de BC et L le pôle de l'arc DK. mené par D perpendiculairement à BC (fig. 9). Un grand cercle quelconque mené par L rencontre DK en K et AM en N; on a, dans le triangle LMN, cos MNL — cos à cos L + sin « sin Lcos ML BM — CM J — Cos «a Cos L + sin a sin L sin (19) ou en tenant compte de l'égalité (40), D TN) ul | — (cos L + M sin L) cos « + N sin L sin o. . Déterminons maintenant L par la condition (cos L + M sin L} + N?sin? L — 1; d’où tg L——2M:(M? + N° — 1); on pourra alors poser cos L + M sin L— cos +, Nsin L—sine, et l'égalité (11) deviendra cos MNL — cos (a —®); d’où MNL=+ (x —). Si l’on adopte le signe +, la somme des angles MNL, NML est constante et, par suite, la surface MNL est constante. Si l’on prend lé signe —, c’est la surface MN’L qui restera constante, N’ étant le point diamétralement opposé à N. Ainsi : Si la base BC d’un triangle ABC est fixe et sa surface constante, l'arc AM qui divise cette surface dans un rapport donné détermine avec le côté BC et un second grand cercle fixe un triangle de surface constante. On déduit de là que AM enveloppe une conique sphérique. _ d) Si, dans la formule (8), on suppose que AM soit médiane, on obtient | | 2 cotg « — cotg E' — cotg E". 13. En retranchant membre à membre les formules (7), D E après avoir fait E' — E' — g» ON obtient AM CM MN cotg 5 cotg ETRR cotg AT COS &, ( 20 ) ou AM 1 tg TS. COS à — 3 cotg ac cotg CM BMY\. ! } Soit N le milieu de AM (fig. 10); de N, menons NP perpen- diculairement sur BC. On a dans le triangle MNP | AM tg MP = tg MN cos à — lg cos a; donc 1 CM BM tg MP — 9 (cote ue cotg +) Si l’on suppose fixes les points M, B, C, la distance MP sera ni donc constante et le point N décrira un grand cercle per- pendiculaire à BC; par suite (2), A décrira un petit cercle dont le pôle est situé sur BC. Ainsi : Si trois points À, M, C situés sur un méme grand ÿ NET Los 7 cercle sont fixes, le lieu d'un Fig. 10. : . point À tel que les triangles ABM, AMC aient la méme surface est un pelit cercle. 14. Le théorème précédent peut être généralisé. Au lieu de supposer égales les surfaces des triangles ABM, AMC, admet- tons qu'entre les excès sphériques de ces triangles existe une relation de la forme mecôtgE'+n cotg Er: À _ m,n,gq étant des constantes, et proposons-nous de trouver le lieu de À, les points B, M, C étant fixes. Additionnons membre (21) à membre lés relations (7) multipliées respectivement par m et par n; nous obtenons | sin a (m cotg E' + n cotg E!") + (n — m) cos « AM BM CM — COtg rs (ri cotg 5 = + fn cotg 3) ou L AM AM BM CM g sin atg TR +(n—m)cosatg TR nouer + ncotg ne - (12) En M menons un grand cercle perpendiculaire sur BC (fig. 10), et du milieu N de AM abaissons sur ce cercle et sur BC les arcs perpendiculaires NQ et NP; on a AM tg MQ — sin a tg LE tg MP — cos Tee L'égalité (12) devient donc BM q tg MQ + (n — p) tg MP — m is DCS + n cotg _. (13) Si l’on prend comme axes coordonnés MB et MQ, MP et MQ sont les coordonnés de N et l'équation (13) représente un grand cercle. Le point N décrit done un grand cercle et, par conséquent (2), le lieu de À est un petit cercle. 15. La plupart des résultats précédents pourraient se déduire de la remarque de M. Cesàro rappelée au $ 4. Nous nous bornerons à démontrer au moyen de cette remarque une généralisation de la formule (6) du $ 10. Soient B', C' les points diamétralement opposés aux som- mets B, C du triansie sphérique ABC, M un point quelconque de la sphère et A,, B;, C1, B;, G, M, (fig. 41) les projections stéréographiques des points À, B, C, B’, C’, M sur un plan per- pendiculaire au rayon OA. Les droites B; A; B;, C1 A1 G, AiM4 (22) sont les projections des grands cercles AB, AC, AM ; les cercles B,CB;C, CM, Bi MB; sont celles des cercles BC, CM, BM. Désignons par 2E, 2E/', 2E// les excès sphériques des triangles ABC, AMC, AMB; les excès sphériques des triangles ACB', AC!B sont égaux à 2B-2E et 2C-2E. Il résulte de la remarque énoncée au $ 4 que les arcs B1C4, MG, M,B,, B; C4, GB, ont mêmes mesures que 2E, 2E/, 2E//, 2B-0F, 2C-2E; par suite, M Gi MCE SP ÉRER 1 Ne, AC'Bi= BE. A BIC 4, Soient A, et A, les angles FIG. 11. MAB, MAC que forme le grand cercle AM avec les grands cercles AB et AC; les angles MA, B,, M,A,C, sont égaux à r — A, et x — A, et l’on a, dans les triangles M, A,B,, M,A,C, sin A, MB, sinA MC sinE" MA, sinE" MA, sinA, sinE" MB sinE" sin M,CB:; sinA, sinE” MC sinE" sin M,BC/ ou sin A, sinE'”. sin (B—E+E") sin A, sinE/.sin (C—E+E") En faisant, dans cette formule, E/’ — E//' on retrouve la for- mule (6); on en déduit aussi le théorème suivant : Si 2E’, 2E/, 2E// sont les excès sphériques des triangles MBC, (23) MAC, MAB et x, y, z les distances sphériques du point M aux côtés du triangle ABC, on a sin æ : Sin y : Sin 3 — F DIE 5 ER ; sin E" L sin E’”! . y . + sin (A—E + EF * sin (B—E+E") e sin(C—E+E") HI. -— FiGuRESs RECTILIGNES ASSOCIÉES AU QUADRILATÈRE SPHÉRIQUE. 16. Premier quadrilatère rectiligne associé au quadrilatère sphérique. — Désignons par a, b, c, d les côtés AB, BC, CD, . DA, par f, g les diago- | nales BD, AC du quadri- latère sphérique ABCD et par 2E, 2E’, 2£/' les | excès sphériques du qua- ) drilatère ABCD et des ) uiangles ABD, BCD. | Construisons les tri- | angles dérivés des tri- | angles ABD, BCD et |; juxtaposonis ces triangles de façon à faire coinci- der les deux côtés égaux Fi. 42. à cos nous obtenons ainsi un quadrilatère (premier quadrilatère associé à ABCD) XYZU dont les éléments sont indiqués dans la figure 12. 17. Aire du quadrilatère inscriptible. — Lorsque ABCD est inscripüble, on à NL er) A ER EURE donc ÉlEXUZ — ALL C —E = 7. (4) Les points X, U, Z sont alors en ligne droite et HEC SD VS Ce à AE PAPE EE VA à Par suite, on a dans le triangle XYZ CRE ! HD OUEN ,4 ,d D 0 nn nd ae 7 à ous gt OS a b C d — 9 cos 5 cos cos cos 5 cos E; d'où où É EST COPA CON QUE . a; | LE d RARE: RACE RTNT 59 59 59 99 COS 9 COS 9 cos; cos 3 Pour calculer sin = et cos =, représentons par a/, b’, c! les 2 2 côtés XZ, XY, YZ du triangle XYZ; nous aurons EVENE 0 SCANS 2 ) fe PAPA A CITE Le ee 2 b'c! «ae! Or, a—d b— 0 p—c—d p—b—d 9p! — — 9 PRO AENERT ET MA se p cos î + cos 9 cos 9 cos 5 ; de même, DIE D EN D 008 tes 2p' — 2a! = 2 cos — b 2p' — 2! — 2 sin sin ——, p—a 2 2 2p' — 2c' — 2 sin Donc, FAST Re mn 0 2 1 éme FA — à à a À (14) ŒN tp b 4 C 5° S5 083 CSS p p—a—d p—b—d4 p—c—d E cos à COS 9 cos 5 COS 5 Te _— Eos cb L AT ê 9 Fo 9 89 Signalons encore les formules suivantes dont la démonstra- tion est immédiate au moyen du triangle XYZ : Ca à fc GLATA UN A A Ba COS ac Haba ans COS COS E = — 1 cos . cos : 2 2 su sin GC: Sin E b C a d PO AL A RE SE — COS COS à : COS à COS E : Sin 5 SN > +SMESsNs Ù 5 2 2 2R c 12 18. Second quadrilatére rectiligne associé au quadrilatère sphérique. — Soit D, un point situé du même côté que D par rapport à AC et tel que les triangles sphériques DAC, D,CA soient symétriques, de sorte que (*) ; AUE= 6 ED: = d, angle D, — angle D. Construisons, de la même façon que précédemment, le pre- mier quadrilatère rectiligne associé à ABCD, ; le quadrilatère (*) Le lecteur est prié de tracer la figure. (26) X'Y/Z!U' ainsi obtenu sera appelé le second quadrilatère recti- ligne associé à ABCD et l’on aura ($ 46) b X'Y'— cos = cos . YZ=-c08 5 COS L Z'U'=— sin 9 sin : U'X'— sin à sin à, VE UeACECn La diagonale X/Z' est égale à sin Lsin L. En effet, si A’, C’, D’ sont les points inverses de A, C, D par rapport au centre d'inversion B (puissance k), on a E #8 aoû k.sin — k. sin — PT RE nd 18 pi à tbe ME Mode lie re | l — — = _— 9 9 a 9 k . sin — C'D' — AA ART d’où à POST PAT MARGE MO er A'C': AD: CD'=sm;sins: sin; sin: sin Sins L’angle D’ du triangle A’/C/D' est égal à l'angle des cercles ABD, ACD, inverses des droites A’D’, C'D'; or, ces cercles font avec BD des angles égaux à A-E/, C-E/’ ($ 1); donc D’ — A + C — E — U’. Par conséquent, les triangles A’C/D/ et Z'X/U”, qui ont un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables et l’on a HN A0 L XI — sin sin Sr Les éléments du quadrilatère X/V'Z/U’ sont indiqués dans la figure 13. Ce quadrilatère se réduit au triangle X'Y/Z' quand ABCD est inscriptible. Le (27) 19. Surface du quadrilatère sphérique quelconque. — Le triangle X'Y’/Z' donne cos? cos? LA + co? cos? ÿ — sin? 0 sin? J g 2 9 y 2 DA cos E — DRE a b C d 9 g COS 3 COS 3,08 à d’où l a q a C b d\? Sin? —- SIN? — —: |. COS — COS — —"COS — COS — Dal à 2 p ( 9 9 ÿ 2 18 sin — — 2 —— © —— ——— ———— ———————: DA a b C d ee À COS — COS — cos -- COS — 7 ? d. 9 Lorsque ABCD est inseriptble, X’, U’, Z'sont en ligne droite; ainsi, suivant que ABCD est ou n’est pas inscriptible, le produit sin; sin à est égal ou inférieur à la somme des produits sin Fe 0 MC À à ; el Sin 7 Sin. La formule (15) montre que de tous les quadrila- tères sphériques que l’on peut former avec quatre côtés donnes, celui qui a la plus grande surface est celui qui est inscriptible. CG sin 5 20. Autres figures associées au quadrilatère sphérique. — En cons- truisant le triangle des éléments et le triangle dérivé du triangle po- laire d’un triangle ABC, on obtient des nouvelles figures pouvant servir à établir aussi bien que les premières les formules de la trigonométrie sphérique. En opérant sur ces triangles comme nous l’avons fait aux paragraphes 16 et 18 pour construire les quadrilatères XYZU, X'Y'Z'/U’, on obtien- (38) drait de nouveaux quadrilatères rectilignes associés à ABCD. Mais il est inutile de faire cette construction, car les formules que l’on obtiendrait par la considération de ces quadrilatères ne sont que les corrélatives des formules que nous avons déjà obtenues et s'ohtiennent en appliquant ces formules au quadri- latère polaire de ABCD. Nous signalerons les formules sui- vantes, dans lesquelles F et G désignent les angles formés par les couples de côtés AB et CD, AD et BC : G A C B D cos? 9 COS? — — SIN? — SIN? — — SIN? — SINn° — COS p — = : - = : 9 sin ‘3 sin Ê sin : sin D 9 9 ® 2 cos? à cos? ï — (sin _ Fe — sin 2 sin 5) p 9 9 2 2 , Z cos 9 — RE 0 an COM CON (16) L si AE A sin 9 sin 9 sin 9 sin 9 Suivant que ABCD est ou n’est pas circonscriptible, on a ; A C | OS - COS — — COS — COS — S — COS — c0BS So n Co pe one 9” ou v G A ss B COS — COS — bon D'un : # k k La — d Y Dr l'in an 2 Ÿ bn L'or fe or ds l'y » LEP RP R k k Er 2 ni) Comme ces relations doivent avoir lieu pour des valeurs arbitraires de æ4, æo, .… æ,, elles sont des identités. Par suite, leur vérification exige l'existence des conditions suivantes, que nous appellerons désormais « équations de réciprocité » : k=n k=n ( D Et Obuba—0; (hj—1,2...n:AZj). (12) R=1 R=1 On ne manquera pas de remarquer l’analogie qui existe entre ces égalités et celles que l’on emploie habituellement pour définir un déterminant orthogonal (*). (*) En partant d'un déterminant gauche, Cayley est parvenu, par une ana- lyse peu différente de celle que nous venons d’exposer, à donner une méthode pour la construction de certains déterminants orthogonaux de valeur + 1. Il se sert des sommes æ» + yr au lieu des différences æn — yn. (J. DE CRELLE, t. XXXIL.) On peut montrer que les deux procédés doivent conduire au même résultat; mais pour le cas envisagé ici, le procédé de Cayley amènerait pour les b;r et b';x des expressions plus compliquées que celles qui sont écrites. (12) 5. Appelons B le déterminant construit au moyen des b,, définis par les formules (10), de manière que l'on a Die Dyo .…. Oye bte 0.10. RE : (13) bad no AS ve B’ sera le déterminant dont les éléments b/;, seront délinis par les formules (11). ThéoRÈME |. — La valeur numérique des déterminants B et B' est l'unité positive. Le déterminant réciproque de B (B') est le déterminant B' (B). Pour démontrer la première partie de ce théorème, effectuons le produit, lignes par lignes, de B par le déterminant initial D. À cause des relations existant entre les nombres b,; et les éléments de D, le déterminant-produit s'écrit auD ayD a D ie: DR, + nr AL BD + 9; dyD U99D a D Dnjn a Mr" es ELAt D a, D D AynD 6,4D = D. 8,2D + 9; TE D. À présent, tenons compte des formules (2) : Ajn = An + Pins Pr = — Pine Après quelques simplifications, on arrive à mettre le second membre de l'égalité précédente sous la forme (Æ PUR < ! . De On obtient ainsi c’est-à-dire le résultat annoncé, B—1 (14) En faisant ensuite le produit B/D, colonne par colonne, on prouverait de même que l’on doit avoir : B'—1. La justification de la seconde partie du théorème résulte de l'expression des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un déterminant A soit le réciproque d’un autre déterminant ô. On sait que ces conditions se traduisent comme il suit : Soient c;; un élément quelconque de à, c’;; un élément de A. Si À est le déterminant réciproque de à, on aura n Cnr£nr —Ù; à Chrn = 0; (h,j = À a ils h AT }e k=1 Rk=A1 Les formules (12) et (14) montrent qu'il en est bien ainsi pour B, B’. C’est pour cette raison que les égalités (12) ont été appelées équations de réciprocité. 6. Il peut être utile de faire remarquer que si l'on pose UE = Yu + lex; Dig = Yjr + ÜE;x» on à Vin = Yu On = — En; _de sorte que les éléments de la ligne de rang s dans B et les éléments de la colonne de rang s de B’ sont des quantités ima- ginaires conJuguées. (14) Par exemple, pour n — 3, on à Yu tien Yeti Yis + leu | Yu — Eu Voile Yale | sd à ; Yu tien Ye Hit Yes Rite » B'— | Vy—teg Yor 1 Yates |- Ya Lu 2 (EM Yæ + (EE Y33 1e | Y13 Ex lys Yes — 12 Y337— Es | L'examen de ce cas particulier conduit immédiatement aux propriétés suivantes : 1° Tout mineur principal de B d'ordre n—X,(1—1,2...n—1) et le mineur principal de B' formé avec les lignes et les colonnes de B' qui ont mêmes indices que celles employées dans B, sont des quantités imaginaires conjuguées. 2° Jlen est de méme pour tout mineur : B,3, nns..nn de B el celui qui s’en déduit dans B' par permutation des indices «es lignes et des colonnes BP’, xn..….rm 3° Des relations qui existent entre les mineurs d’un déterminant et de son réciproque résulte l'égalité d'un mineur quelconque Br, .n.»x. de B avec le complémentaire dans B' du mineur ae Mnfn s ! B ha hakn 4° Pour que les déterminants B, B/ se réduisent l’un à l’autre, ou autrement dit, pour obtenir un déterminant orthogonal, il faudra satisfaire à certaines conditions particulières. On pourra, par exemple, trouver un déterminant orthogonal symétrique à éléments réels, ou encore un déterminant gauche orthogonal, les éléments de la diagonale principale étant réels et les autres purement imaginaires, etc. Notons, en passant, que les orthogonaux symétriques ne rentrent pas dans les orthogonaux construits au moyen du problème de Cayley. Nous reporterons plus loin une courte comparaison entre les propriétés principales des déterminants orthogonaux et celles des déterminants dont il est ici question. (15) 7. Nous nous occuperons d’un théorème fondamental pour la suite : | THÉORÈME Il. — La somme des mineurs principaux d'ordre À de B est égale à la somme des mineurs principaux d'ordre À de B'. (À = 1, ou 2,3...n—1.) Comme conséquence immédiate, cette somme est réelle. Pour À=n—1, on vérifie directement l'égalité n n 2 bin — LA bon h—1 R—1 DÉMONSTRATION. — Pour simplifier l'exposé, nous envisa- gerons le mineur principal B;5%,.1 de B, obtenu en supprimant les À premières lignes et les À premières colonnes. On se rendra aisément compte que cela ne nuit en rien à la généralité du raisonnement. Écrivons B;1,2, 1 COMme suit : Bi, 29...) = (Ù 0 … 1 0 … 0 ° Du Duo … DETRN ONE EN .… bu, Li |: Pier: D D,» He D Effectuons le produit, lignes par lignes, de B;5% 1 par D. Après des simplifications du même genre que celles qui ont été indiquées à l’occasion du théorème I, on trouve Un dy .. ay Œ) 4 .. (2 yo (22 ..… UE Œ) 40 .… (LE D . By.) = | dax 2x +. 4;] jp 4, £ A14,4 44,2 + 4,1 Dh,ih eee Up n (en A ye .. a, a,)41 .… dn (16) Ce déterminant n'est autre chose que D, où l’on a remplacé les À premières lignes par les À premières colonnes. On peut le calculer par application du théorème de Laplace. Le développement se fera en divisant le tableau carré en deux matrices rectangulaires horizontales, l’une d’elles comprenant les À premières colonnes de D. Concevons, d'autre part, le développement de D effectué suivant la même règle, mais en divisant le déterminant en deux matrices verticales dont la première est constituée par les À premières colonnes. On déduira le premier développement du second par substi- tution dans ce dernier au complémentaire de chaque mineur d'ordre n — À formé dans la matrice des À premières colonnes, du déterminant mineur de D que l’on obtiendrait en permutant dans ce complémentaire les indices des lignes et des colonnes. En se reportant à la première remarque de l'alinéa 5, on voit que cela revient à remplacer ce complémentaire par la quantité imaginaire conjuguée. A chaque produit de D par un mineur principal de B d’ordre À, Byrxsners….xm) COrrespondra une expression analogue, si la première matrice servant au développement est constituée des colonnes de D d'indices 4, ko, .…. kj. Faisons la somme de tous les produits possibles, en nombre C}. Le résultat est contenu dans l’énoncé qui suit : Le produit de D par la somme de tous les mineurs principaux d'ordre À de D est égal à la somme des C} développements de D obtenus, par la règle de Laplace, après avoir divisé D de toutes les façons possibles en deux matrices verticales dont l’une est formée de À colonnes; sauf qu'il faudra remplacer dans chaque terme le complémentaire du mineur d'ordre n — À par la quan- tité imaginaire conjuguée à la valeur de ce complémentaire. Ou encore, puisque chaque développement contient C; termes, Le produit de D par la somme des mineurs principaux d'ordre x de B est exprimé par la somme des (C;)2 mineurs d'ordre n — À de D, chacun étant multiplié par la quantité ima- ginaire conjuguée à son complémentaire. (17) Ceci dit, la démonstration s’achève facilement. On procédera avec les mineurs principaux d’erdre À de B’ comme on a procédé avec ceux de B. Écrivons, par exemple, 1 0 .… 0 FES LAS. 0 | … 0 LS EN es Une ee | © ‘: © nn DE RE (==) (==) © ju du .. PE Din sh Bhibns dei he Effectuons le produit D.B4,2,..», mais colonnes par colonnes. Nous pourrons répéter tout ce qui précède, à condition de permuter les mots ligne et colonne. En dernière analyse, le produit de D par la somme de tous les mineurs principaux d'ordre À de B’ s’exprimera par la somme des (C;)2 termes qui donnent précisément la valeur du produit de D par la somme des mineurs principaux d’ordre À de B. La justification de l’énoncé est ainsi achevée. TaéorÈème [IT — La somme des mineurs principaux d'ordre X de B est égale à la somme des mineurs principaux d'ordre n — X. Au point de vue de la vérification, cet énoncé n’est qu'un corollaire du théorème précédent. Nous avons jugé bon de le mettre en évidence, étant donnée son importance pour la seconde partie. En vertu de la troisième remarque de l'alinéa 5, on déduit que: la somme des mineurs principaux d'ordre À de B est égale à la somme des mineurs principaux d'ordre n — À de B". Il suffit dès lors de faire intervenir la proposition précédente pour se convaincre de l'exactitude du théorème HIT. 8. Définition de déterminants de valeur — 1, au moyen des B, B'. Tout déterminant orthogonal de valeur -- 1 provient d’un (18) déterminant orthogonal de valeur 1 dans lequel on à changé les signes des éléments d’un nombre impair de rangées. Il est évident qu'il n’en existe pas d’autre. Par analogie, nous définirons des déterminants B,, B; de valeurs — 1, vérifiant toujours les équations (12), en changeant dans B, B' les signes des éléments d'un nombre impair de rangées de mêmes indices. Alors, B; est le réciproque de B, dans lequel on à changé les signes de tous les éléments. Le procédé ne conserve d’ailleurs pas la généralité dont il Jouissait pour les déterminants orthogonaux. Si n est impair, il fournit bien des déterminants satisfaisant au théorème Il, en changeant les signes de tous les éléments, mais 1l n’en est pas de même pour n pair. Dans la suite, nous confondrons les notations B, B, et B’, B,; mais lorsqu'une distinction sera nécessaire nous représenterons par x la valeur commune de B et B'(u = +1). THÉORÈME IV. — Tout mineur de B' est égal au complémentaire du mineur homologue de B, multiplié par 11. Pour x — 1, ce théorème n’est autre chose que la remarque 3 (n° 5). Si u — — 1, le réciproque B/’ de B s'obtient en changeant les signes de tous les éléments de B’. Or, si l’on représente par BY un mineur quelconque d’ordre À de B’, on a, par une proposition bien connue, B,_ étant le complémentaire du mineur B; dans B. Revenons de B’’ à B’ : tout mineur de degré pair de B/’ devient mineur de degré pair de B’ sans subir de modification. Mais on a, dans ce cas, Vds Fr a ce qui est le théorème. Au contraire, s’il s’agit d’un mineur de degré impair de B/, (19) -1l passe dans B’ en changeant de signe. Comme on a alors HAT 1} le théorème est encore vérifié. Remarque. — Il est inutile de souligner l’analogie qui existe entre cette proposition et une propriété usuelle des déter- minants orthogonaux. 9. THéoRÈME V. — Aux termes des diagonales principales de B et B', ajoutons l'unité. Représentons par À, A! les déter- minants ainsi oblenus, par Az, Aÿ, leurs mineurs du premier ordre formés en supprimant la ligne et la colonne qui se croisent sur l'élément by, + 1, ou by; + 1. On a les relations À — A, + | . (A4 A'— A4 + pa, | su Le déterminant A est de la forme bu +1 by Din y ba Da au 4... Den bu De Det | et A’ donne un tableau semblable. Or, nous pouvons écrire comme suit le développement de A : Aya), +. +15 tu, (45) en représentant par à; un mineur principal de 72 éléments. Nous décomposons cette expression en deux parties dont l’une sera le développement de A,. Elle s'obtient en enlevant de (15) tous les mineurs qui renferment un ou plusieurs (20) éléments dont au moins un indice est 4. Nous l’écrivons ! ! ET EE URL (46) L'autre partie contenant les autres mineurs et le terme pourra se représenter par ban + 0 DO ER (AT) Appelons à, d;, ..…, les mineurs principaux de B'. On a, en vertu du théorème IV, | S/ RS l,, bin = pLÔ n—1 QE > CEST La lettre (k) indique qu'il s’agit de mineurs principaux ren- fermant des éléments de rang k; l'accent, au contraire, exclut de tels mineurs. Tenant compte des formules précédentes dans 17, on ramène celte expression à la forme e(i+ XD SRI ERA) Il suffit d'ajouter (16) et (17/) pour obtenir la première des formules (14). La seconde se démontre de même. CoROLLAIRE. — Si A —0, on a A'—0. Parmi les propriétés des mineurs de A (et A'), résultant de l'hypothèse À = 0, citons la suivante qui semble assez inté- ressante : TaéorRèME VI. — Soit B — B'— 1, A —0. La somme des mineurs principaux du premier ordre de À est nulle. En effet, on déduit, dans cette hypothèse, du théorème précé- dent (nu — 1) À a RE et en sommant ces égalités, écrites pour £—1,2,...n, Da. 0 Pine (18) | | | À (21) Fxprimons, d’autre part, £A,, ZA}, en fonction des éléments de Bet de B/. Pour ZA, interviendra un même nombre de fois chacun des mineurs principaux d'ordre À de B. Pour ZA; interviendra un même nombre de fois chacun des mineurs principaux d'ordre À de B/; (1—1,2,...n—1). On en conclut, eu égard au théorème II, ZA, = Da, (19) égalité qui, comparée à (18), exige DD CARE) SN. CENT C. Q.F.D. 10. THéORÈME VII. — Soient B, C deux déterminants de valeur u, B', C! leurs réciproques (ou les déterminants définis au n° 8). Soient, d'autre part, «1, ,...a,, By, Pa, ...f, deux séries de n quantités. Les déterminants ya + Paca LoDy> + Êre ce Lan + Gé | K = | by + EM &2099 + Bot ce Lndon + Sutie et = Pabss + ouc Pobio + dacie … Prbin + ali sont égaux (*). Les déterminants à étudier peuvent se décomposer chacun _ (*) Les théorèmes V et VII sont des propriétés de tous les déterminants de valeur + 1, que nous pouvons représenter en général par ®, %/. Ils com- prennent donc comme cas particuliers des énoncés se rapportant aux déter- minants orthogonaux, donnés par Siacci. (Annali di mat.. vol. V.) (2) en 2" déterminants d'ordre n à éléments monômes. L'un deux sera, pour le premier tableau considéré, { } à ? Dix, Je Dir Cas + Us) k \ Can Os eee 2x Ps, à Psy Das +++ Dar Cas ++ Cas; | (20) où © représente + 1, selon le nombre de transpositions que l'on à dû effectuer pour grouper séparément les colonnes des b;, et celles des €,, et pour supprimer les inversions de seconds indices dans chacun des groupes. On pourra alors appliquer le théorème de Laplace, après division en deux matrices verticales, l’une comprenant les b;,, l’autre les c,.. Considérons le second déterminant. Parmi les 2° termes provenant de la décomposition de K/, on trouve LA ! ! ! Cira .. Can Vas, CR] bis, | Pay, -.- 2x Ps, Me Psy See Ch, pe ba, : (21) On voit aisément que © a ici la même détermination que plus haut. Appliquons encore le théorème de Laplace : dans le déve- loppement de (21) interviendront précisément tous les com- plémentaires dans B’ et C’ des mineurs de B et C employés dans (20). L'égalité des expressions (20) et (21) en résulte. Comme, d’ailleurs, tout terme analogue à (20) a son corres- pondant analogue à (21), le théorème est démontré. 11. Nous allons faire une courte comparaison de quelques résultats avec les propriétés des déterminants orthogonaux qui s'en rapprochent. Nous prendrons même la question à un point de vue un peu plus général, en considérant tous les déterminants 8, æ! de ( 23 } valeur + 1, @/ étant le réciproque de @, ou étant le déter- minant @/ défini à l’alinéa 8. Les théorèmes IV, V, VII sont valables pour ces déter- minants B, B'. Puisque les déterminants orthogonaux répondent à la condi- tion B = , nous retrouvons, comme cas particulier du théorème V, une proposition de Siacci sur les déterminants orthogonaux, propo- sition qui s'exprime par légalité les notations étant celles du n° 9 (*). On formulera aisément, dans la même hypothèse, une autre proposition de Siacci, qui découle du théorème VII lorsqu'on y fait B=p, . Cæ C0 (). De ce dernier énoncé, Siacci déduit une série de corollaires qui se généralisent lorsqu'on envisage les déterminants que nous étudions. Voici les trois principaux, étendus aux déter- minants 8, B'; €, C’ : a) Si l'on a D NET C—=C' = — 1, les déterminants K, K' (théorème VII) sont égaux en valeur absolue, maïs de signes contraires. (*) Sracct, Annali di mat., vol. V (d’après E. Pascal : 1 Determinanti, p. 213). Nous n'avons pu consulter l’original. (**) In., tbidem. (%4) b) Posons, avec les mêmes hypothèses, A, — M... —=4, Fr} Bb. t,—9" il en résullera K = K'—=— 0. c) Soient B, R, C, C' des déterminants tous de méme valeur (soit + 1, soit — 1). Si l’on a pour n impair M D ee Di = Pire Be; : il vient encore K — K'—0 En résumé on voit qu'au moyen du théorème IT on peut définir une classe étendue de déterminants de valeur + 1 qui comprend, comme cas particuliers, les déterminants ortho- gonaux et les déterminants B, B'. Ces deux cas particuliers se relient par les déterminants orthogonaux symétriques. En dehors de ce point de contact, ces deux catégories sont bien différenciées. La première renferme les déterminants identiques à leurs réciproques (sauf, peut-être, aux signes près de tous les éléments), tandis que, pour former le réciproque d’un déterminant B (2° catégorie), on doit remplacer chaque élément par le nombre complexe conjugué, puis écrire les lignes pour les colonnes. 12. Pour terminer cette première partie, nous donnerons deux exemples de déterminants B, B’ construits suivant le procédé indiqué : (28 ) 4 10 0 Aa € UE Yi 1 —1—it=9, —A1—i —1+: 1 E ER, 1 1203 DRE | 4 5; #7} 1 — 3 |; TVESRT LT sentant toujours par D le déterminant dont il a été début (n° 4), et par R son réciproque. lication des formules (10) et (114), on obtient un ninant orthogonal symétrique | 1 2 2 Boss 2 1 2 A 47 2 2 1 : MS i serait facile de déterminer les conditions que doivent er les parties réelles et imaginaires des éléments de D “donner un tel déterminant. Nous ne nous y arrêterons pas. orsque les éléments de D deviennent réels, ce déterminant , ymétrique. Le déterminant B — B’ dégénère alors en un minant orthogonal dont les éléments de la diagonale prin- ile seuls sont différents de 0. On obtient un exemple pour n — 4, en posant Poor: 1 EG :—14+9i 48 1% 749% Du 149% 1+3 ARE 6. SG 3146) BRON | 18412 8+6i 39 464-410i —3i 24: 2 7-9; —8+Ali 16—1A0i En € Il en résulte — T + 24i 23 8 + 24i 23 9 + 15i nr 15 + 1 —— a AE = — 5 — Bi Fr — 4 + 40i ES 1. 9% Mr ( 26 ) 5 + Bi 40: SUIS Fr Sa 93 LES — JL 18 SD R EAUEES 93 TA ECO ARE 2H A6 —11—50i —13+97% AC 93 Mer 3 LB. 1262 38ù) 2-29 AU CE A 8 — 9Mi 9 — 45: 15 —15i V8 ai 23 23 = 91 Hp Dee 3 9% Tor Rs 93 nv 481 94°: — 14 EHESS RDS OT ROSE 23 l'AS 43 97 On 23 TiMacte 93 $ IL. 13. Ce paragraphe à pour objet l'étude de l’équation bu —2? by Da B(x) = bu OURS bise. pp | Mu DHMNEES) be: TE eme 2 Pour donner à la question toute la généralité dont elle est susceptible, nous supposerons que B et B/ sont les déterminants (27) les plus généraux, tous deux de valeur +1 (ou tous deux de valeur — 1), satisfaisant aux conditions suivantes : 40 Les équations de réciprocité D 'brbe 1, D bxbin 0, (hj—=1,%...n,hZj) k—1 A sont vérifiées ; % La somme des mineurs principaux d'ordre À de B est égale à la somme des mineurs principaux d'ordre À de B' : (Â=1,2,...n—1). Les déterminants orthogonaux et les déterminants considérés au $ [ formeront des cas particuliers. 14. Nous pouvons énoncer tout de suite une proposition générale : THéorëme VIT. — Si B— B/—1, l'équation B(æ) — 0 est réciproque. Pour n impair, elle admet, au moins, une racine réelle x —1. É THéoRèME VII. — Si B — B/ — —1, l'équation BL 0 est encore réciproque. Elle admet, pour n impair, au moins une racine réelle, x— —1, et, pour n pair, au moins deux racines réelles, = +1,x——1. Démonstration de la proposition VIIT. L’équation (22) développée prend la forme be eo D (— 1} ar 2) 5, + k—1 +ar)5,,+(—1)x 25, ,+1—0. (28) La notation Eè, représente la somme des mineurs principaux d'ordre n — h de B, c’est-à-dire la somme de tous les mineurs obtenus en prenant h lignes et h colonnes de mêmes indices, de toutes les façons possibles dans B : (1—1,2,...n—1). Mais, par application du théorème HE, il vient +R Sr br: >, —= Du etc. Par suite, lorsque n est impair, Les coefficients de deux termes équidistants des extrêmes (et les coeflicients des extrêmes eux- mêmes) sont égaux en valeur absolue et de signes contraires. D'autre part, si n est pair, les coefficients de deux termes de l'équation, choisis comme ci-dessus, sont égaux et de même signe. 3 Ce sont bien là des conditions suffisantes pour caractériser, dans les deux cas, une équation réciproque. On en déduit, en outre, que, pour n impair, l'équation B(x) —0 est satisfaite pour x—=1. Démonstration de la proposition VIII’. L'équation B(x)—0, mise sous forme explicite, s'écrit à présent B()=(— 1) + Ca bus LC AY REP, k SE a) 3, EE 90 — 1 = 0, avec les mêmes notations que plus haut. En vertu des hypothèses du n° 13, le théorème IV donne pour u=—1 pce ER T Dh ER yr: ee Dies Die Res (23) les éléments accentués étant toujours ceux du déterminant B. Cela posé, soit d’abord n impair. Il résulte des formules (23) (29) que les coefficients de deux termes équidistants des extrêmes et aussi les coefficients des extrêmes ont même valeur absolue et même signe. | On voit donc que, dans ce cas, l'équation D" 0 est réciproque et est vérifiée par la valeur x = —1. En second lieu, si n est pair, les coefficients de deux termes définis comme plus haut sont égaux en valeur absolue, mais _de signes contraires. Par suite, pour que l’équation consi- dérée soit réciproque, 1l faut et il suffit qu’elle ne contienne pas de terme de degré 3. C’est effectivement ce qui a lieu. En effet, d’après le théo- rème IV, on à 2 tw| et par la seconde hypothèse du n° 153, Ces relations sont contradictoires, à moins de poser or MO) 2 2 D'ailleurs, le polynôme B(x) est maintenant divisible par ax? — À, ce qui achève de justifier le théorème en question. COROLLAIRE. — Les équations B(æ)—0, B'(x)—0 sont identiques. ( 30 ) Nous emploierons cependant, quand l’occasion s’en présen- tera, les deux notations différentes B(x), B/(x), pour le même polynôme. 15. Avant de pénétrer plus profondément les propriétés de l'équation, objet de ce paragraphe, nous allons introduire quelques considérations relatives au polynôme p(x) = B(x).B'(— x). Effectuons le produit, lignes par lignes, des déterminants qui représentent B(x) et B'(—x). I viendra (ou—bu)t +12? (by —by)t (Day —b'n)t (bu—bie)t (bag — Dh) +128. (box —D'an)t p (&) = baba brr—ba)t (bn 12 ou, en posant ba=12 0, Fi ia 1 Le UM M QE be FA Da FES Din AE pie \ 1 — x? p (x) = UM 12 De LES D de 24 Don re À — 7? ba FA D PET. on Le bee x (*) La division du polynôme vw(x) par x" ne peut présenter ici aucun inconvénient. Les seules valeurs de + qui nous intéressent sont celles qui satisfont à l'équation B(x) — 0, valeurs comprises parmi les racines de æ(x) = 0. Or, on voit aisément que ces racines ne peuvent être nulles. (31) Mais le premier membre de l'identité (24) peut seulement changer de signe avec æ (si n est impair); il doit en être de même du second. Posons PRE 74 ee et développons suivant les puissances de y. Le polynôme by) = P(x) ne pourra contenir que des termes en y de même parité. Tenant compte du théorème VIII (ou VIIP) on conclut : THÉORÈME IX. — À une racine simple ou double y — 0 près, toutes les racines de l'équation p(y) = 0 sont égales deux à deux en valeur absolue, et de signes contraires. 16. Cette proposition permet d’en énoncer immédiate- ment une autre qui se rapporte au déterminant des diffé- rences Dj; — b}; : ni ba DE bb, — d'à à F2 Dan — bis V — D +. Von — Vo (25) Da — Din De — Von ce Onn — Van En effet, dans le développement de (y) suivant les puis- sances de y, le coefficient (nul ou non) du terme de degré n —h est précisément la somme des mineurs principaux d'ordre n—h de E. D'ailleurs, si le polynôme 4{y) est de degré impair, le déterminant E est nul. Par conséquent, THéorème X. — Soient b;,, b;; les éléments des détermi- (32) - nants B, B', définis au n° 15; E le déterminant construit au moyen des différences b;j — b;;; 2v + 1, un nombre impair quel- conque compris entre À et n (j, k — 1, 2, … n). La somme des mineurs principaux de E formés en choisissant de toutes les façons possibles 2y + 1 lignes et 2y + 1 colonnes de mêmes indices est égale à 0. En particulier, si n est impair, le déterminant E est lui-méme nul. REMARQUE. — Signalons que les déterminants E com- prennent, comme cas particulier, les déterminants symétriques gauches. Si l’on considère spécialement les déterminants B, B/ étudiés dans la première partie, le déterminant E se réduit, sauf un facteur + 22”, au déterminant (= Ey4Ë02 Te LA 7 | (26) ‘formé avec les coeflicients des parties imaginaires communes aux éléments de B et B’. Le théorème X s’énonce alors comme suit : THéorèMe X/.— Soient B, B' les déterminants dont les éléments sont définis par les formules (10) et (11) et soit (CEST E (26) le déterminant des parties imaginaires ie;, de ces éléments (à un facteur 1? près). | La somme des mineurs principaux de degré 2v + # de (26) est égale à zéro (2v+ 1 — 1, ou 5,5,...). En outre, lorsque n est impair, on a E — 0. Si les déterminants B, B’ sont symétriques, E est un déter- minant symétrique ; si B est orthogonal, E est symétrique gauche. Donc si B est un déterminant orthogonal symétrique, tous les éléments de E sont nuls. (33) . 17. Il nous reste à examiner quelques cas particuliers de l'équation B(æx) = 0. Nous supposerons, en premier lieu, que B se réduit à un déterminant orthogonal, et, pour éviter toute confusion, nous représenterons ce déterminant par S. Le premier théorème que l’on rencontre à ce sujet est un énoncé de Brioschi (Journ. de Liouville, vol. XIX, p. 253). Cette proposition s'applique, en fait, à des déterminants ortho- gonaux de valeur 1, obtenus par un procédé dû à Cayley (*). La voici sous sa forme originale : L’équation S (4) —10 a, lorsque n est impair, une racine égale à l'unité et n —1 racines imaginaires et deux à deux réciproques ; lorsque n est pair, les racines sont toutes imaginaires et deux à deux réciproques. La démonstration donnée par Brioschi suppose les éléments de S réels; la méthode de Cavyley, qui a pour point de départ des déterminants gauches, exclut les orthogonaux symétriques. On trouve le théorème de Briosch1 étendu au cas de S = — 1 dans 1 Determinanti de M. Pascal (p. 214) : Si S— —1, l'équation réciproque S(æx) = 0 a, pour n impair, la racine x — — 1 et aucune autre racine réelle ; quand n est pair, elle a les racines x —1, x=— —1 et aucune autre racine réelle. Encore ici, 1l est question de déterminants à éléments réels. Nous obtiendrons cette proposition en combinant, pour le cas particulier des déterminants orthogonaux, les énoncés VII] et VIT’ avec le suivant : THéoRÈME XI. — L'équation S(x) — 0 correspondant à un (*) Voir Journal de Crelle, vol. XXXII, p. 119, ou encore la note, p. 41. ( 54) déterminant orthogonal non symétrique à éléments réels ne peut avoir d'autre racine réelle que les racines + 1 données par les théorèmes VIIT et VII. Ces racines réelles sont d’ailleurs simples. ( En effet, le déterminant E (25) est maintenant symétrique gauche ; il en est de même de tous ses mineurs principaux. Nous savons déjà que l'équation ®(y) — 0 ne contient que des termes de même parité. D'une propriété des déterminants symétriques gauches, 1l résulte que tous les termes de cette équation sont positifs. En dehors de la racme y — O0, une telle équation ne peut admettre que des racines imaginaires. Soit pb + io, o - O0 une de ces racines. On obtient deux solutions de l’équation pro- posée, sauf peut-être le signe, en cherchant les valeurs de x qui vérifient l'égalité valeurs qui sont évidemment imaginaires. 18. Remarques. — I. Si l'équation d(y) — 0 est de degré impair, on à (théorème X) E = 0, ce qui fournit une racine y — 0, c’est-à-dire x — 1 ou x — — 1. Si l'équation est de degré pair avec S — — 1, le détermi- nant E s’annule encore. La racine y — O0 est alors double et l’on a æ — +1. Pour que y — 0 soit racine d'ordre supérieur à 2, il faut que le déterminant orthogonal auquel correspond l’équation S(x) — O0 possède des lignes et des colonnes de mêmes rangs, identiques. (3) - IT. Ce procédé ne fournit aucun renseignement sur la réalité des racines quand certains éléments de S sont imaginaires Il peut se faire alors, comme nous le verrons, mer toutes les racines soient réelles. 19. — Dans ce qui précède, la condition que les déter- minants orthogonaux considérés ne soient pas symétriques est essentielle. Pour. ces derniers on obtient cette HPRRCE extrêmement simple : THÉORÈME XII. — L'équation S(x) — O0 correspondant à un déterminant orthogonal symétrique (à éléments réels ou complexes) a toutes ses racines réelles et égales à + 1. La démonstration est immédiate, si l’on se rappelle que dans cette hypothèse tous les éléments du déterminant E sont nuls. Il en résulte que le polynôme & (x) est dans ce cas (4 — x?)r. Exemple. — Soit donné le déterminant orthogonal symé- trique 1 2 2 | DESERT UNE 2 l 2 à CNE ADN UN ù 3 3 3 eat 4 > 3 On obtient S(æ)= (x + 1} (& — 1) = 0. Avec les déterminants orthogonaux symétriques, nous sommes ramenés aux déterminants B, B’ étudiés dans la première partie. Les premiers, en effet (6), sont des cas particuliers des | ( 36) seconds. Il en est de mème pour d’autres déterminants que nous allons examiner. 20. On peut construire un déterminant gauche orthogonal tel que les éléments de la diagonale principale soient réels, les autres étant purement imaginaires. Un orthogonal de cette espèce s’écril Um UT .….. 1e, ae 140 A .. Î&, S — Er Ein Er 16e, LE] An Des éléments isolés, symétriquement placés par rapport à la diagonale principale, peuvent être nuls. Mais, nous suppo- serons que l’on n’ait point augmenté l’ordre du déterminant en lui adjoignant des lignes et colonnes supplémentaires à éléments tous nuls, exception faite pour ceux de la diagonale principale qui seraient égaux à + 1. | Nous énoncerons successivement deux propositions dont les démonstrations ne peuvent guère être séparées : THéorÈME XIII. — Soit S un déterminant gauche orthogonal dont les éléments de la diagonale principale sont réels et les autres purement imaginaires. 1° Tous les éléments de la diagonale principale sont égaux entre eux ; 2 S est nécessairement un déterminant d'ordre pair ; 3° On'a S 1: TaéoRèME XIV. — Toutes les racines de l'équation S(æ) = 0 sont réelles. Elles se réduisent à deux racines inverses l'une de l'autre dont l’ordre de multiplicité est : : (37) Formons le carré du polynôme S(&) = [+ (au — &) (ax — &) .… (&us — &)] Il vient, si l’on tient compte de la forme spéciale des éléments À — 2a,,x + x? 0 0 0 Se (2) = 0 À — ax + x? 0 0 0 …. 1 — 2a,,2 + x? Cette expression montre que les racines de l’équation S(2)=—0 sont comprises parmi les valeurs qui vérifient les équations du second degré a? — 2a,,% + 1 — 0; Co, (27) Les racines d’une telle équation sont d’ailleurs réelles si [4] > 1. Je dis qu’il en est ainsi pour tous les ay. En effet, considérons parmi les équations de réciprocité celles dont le second membre est l'unité. Elles s’écrivent af — (e So + sa + CE nn E;44 mn au 1a n)= 1: (j — 1:28. n), formules qui exigent | a;;| > 1. Les équations (27) ne peuvent admettre que des racines réelles. En outre, puisque l’on à nécessairement | ag | >1, il est vérifié qu'aucune de ces racines ne peut être + 1, ou — 1; par suite (théorème VIIP), St ( 38 ) Cela posé, remarquons que les solutions d’une quelconque des équations (27) sont réciproques et ne peuvent être égales entre elles. Mais toute racine de S?(æ) = 0 est double et, par conséquent, les équations (27) doivent être deux à deux identiques. La parité de l’ordre n du déterminant résulte de cette remarque. Il reste à montrer l'égalité des ag. Extrayons des équations de réciprocité les suivantes : —— 16e (au — Ugo) — (Ey5623 + EgdEx + + + Ein£on) = 0 — Vus (du — 33) — (22832 + EudEss + +++ + Ein£3n) 0 — Ein (Qu D Un) (Es, + EusEgn +‘ + Ey, n—1Ën—1 5 = (. Séparant les parties réelles et imaginaires, on voit qu'il résulte de là | dy = Ap = ee = yne Représentons par a la valeur commune de ces éléments. En tenant compte de ce qui précède, on pourra poser B(x) = (a? — 2ax + 1 = 0, équation qui admet les deux racines réelles PS GENE A, sa Net N n . à compter chacune 9 fois. La justification des énoncés est ainsi complète. 21. Par application du procédé indiqué à l’alinéa 8, nous pouvons obtenir des déterminants orthogonaux de valeur — 1. (39) Si l’on change, par exemple, les signes des éléments de la pre- mière colonne, le déterminant prend la forme remarquable | 1Eyo Île .…. En 162 (4 ÎEoa .. 16, S' — Îles RE VE a .. = — À. ie, GE 1e .. a On voit que S’ se compose d’un déterminant gauche bordé par une ligne et une colonne identiques. Voici la proposition que l’on peut démontrer : Taéorème XV. — Toutes les racines de l'équation S'(æ)=0 sont réelles. Deux d’entre elles sont + À et — 1. Les autres se , Q . n TT. 9 wples réduisent aux deux racines Se a + Va —1, a— Ve —1. En effet, calculons S’?(x). On à 4 + 2ax + 2° Der diet Dies, T À — 2ax + x° Ô 2ie,3X 0 1 — 2ax + à Qie,,æ Ô () Développons le déterminant. On obtient 1 — Dax + a? S'x)—(1+2ax+x?)(1 — ax +x?)! +4 à ALU —2ax+a?)?, ; R—2 ( 40 ) ou encore, si l’on tient compte de la condition, &— (eh + eh + + + e,) = 1, Se (æ) = (1 — Da + a)" (a? — AY. (28) Cette formule fournit le théorème. Exemples. — 1. Soit le déterminant orthogonal du deuxième ordre —i V2 L'équation S(x) — 0 est ici a — 9 V2x +1—0. Si l’on change les signes des éléments de la première ligne dans S, l’équation deviendra a — À = 0. [T. — On vérifiera aisément que le déterminant du qua- trième ordre NT: 2 Ge 9% î CRETE" Ra V: VE Æ EE Si” est orthogonal de valeur 1. (UE! L'équation S(x) — 0 s'écrit at — 4 /8as + 1427 — 4 3x +1 = ou (a? — 2x V3 + 17 — 0. Les deux racines doubles sont Nous changeons les signes de tous les éléments de la pre- mière colonne de S; de sorte que l’équation S/(x) — 0 a la forme 24 — 99/3 + 2% V3 1 — 0, c’est-à-dire (a? — 1) (at — 2x V3 + 1) A»: REMARQUE. — Nous avons supposé que l’on n’augmentait pas {n° 20) l’ordre du déterminant considéré ci-dessus. Il est évident que le procédé introduirait seulement des racines æ = +1. 22. — Nous avons tenté l’examen d’un dernier cas : c’est celui d’un déterminant orthogonal à éléments réels sur la diagonale principale, les autres éléments étant tels que b;, et by; soient des quantités imaginaires conjuguées : (7, & — 1,2, ...n; ET: Le polynôme S{x).S(—zx) a maintenant ses coefficients déterminés au moyen d’un déterminant gauche, dont nous n'avons pu rien conclure quant à la réalité des racines. En formant le déterminant S?(x), on peut aller un peu plus loin. Ce carré est symétrique et à éléments réels. Comme il n’y (42) a pas de racine æ — 0, nous pouvons diviser le polynôme 4 +2? par (2x)". Il dépend alors de l’expression 3, et en posant À + x? 3 = ; 2x nous sommes ramenés à une équation en z : R(3)—=0, qui à toutes ses racines réelles, d’après une propriété connue des déterminants symétriques. Écartons les racines éventuelles, æ — + 1, quand elles existent par les théorèmes VIIT et VIIF. Toutes les valeurs x sont fournies par des équations du second degré a? — 2x3 + 1 —0. Chaque valeur de z, telle que l’on ait | z | > 1, fournira deux valeurs réelles de x. 23. — Nous croyons qu'il n’est guère possible de rencon- trer, en se basant seulement sur la théorie des déterminants, d’autres classes de déterminants orthogonaux qui permettraient d’énoncer de nouvelles propositions sur l’équation S(x) = 0 ayant un caractère quelque peu général. L'introduction d’élé- ments complexes augmente beaucoup l'arbitraire de la ques- tion, et il semble qu’il faille, en général, se contenter des théorèmes VIII et VIP. Nous verrons, en note (p. 38), que l’on peut donner un procédé général de formation applicable à tous les orthogo- naux. C’est l'étude de cette méthode qui pourrait apporter de nouveaux renseignements. ( 43 ) 24. — Il nous reste à démontrer un théorème qui concerne les déterminants B, B’ de valeur 1, étudiés dans la première partie. TrHéorèME XVI. — I. Si tous les éléments de B, B’' sont réels, l'équation B(æ) —:0 a toutes ses racines réelles et égales à + 1. IL. Si les déterminants B, B' sont symétriques, toutes les racines de l'équation considérée sont imaginaires, abstraction faite d’une solution, x — 1, donnée éventuellement par le théorème NII. Nous supposons, comme plus haut, que l’on n'ait pas augmenté artificiellement l’ordre des déterminants considérés. La première partie du théorème est presque évidente. Car, si l’on écrit le polynôme (24) en introduisant l'hypothèse Dir = D3;, (HET PER À iset Ni), il se réduit à . (a — 1}. La seconde partie de l’énoncé implique les conditions br = bn, D = bye On a d’ailleurs vu, au $ 4°, que l’on a 0 dm tn (Ride. Ces relations portées dans (24) donnent, après division par (2i)"x", + À — x? ! € RE .. À 4 Dr 42 n À — 2° p(x) É42 TOR M UN = 2ix ix)" 4 29? Ein En Enn + (44) Ce déterminant est symétrique. Nous poserons 1 — a Mint (29) et nous développerons le polynôme suivant les puissances de y. À cause d’une propriété déjà rappelée des déterminants symé- triques à éléments réels, l'équation ® (y) = 0 n'aura que des solutions réelles. Si n est impair, l’une des racines sera y =0; elle rendra la solution x = 1 du théorème VIIT. Cette racine est simple (*). A présent, soit y—=p, une des racines autre que y —=0. En substituant cette valeur dans (29), on obtient une équation du second degré | a + Dpiæ — 1 = 0, qui fournit deux solutions réciproques appartenant toutes deux à l'équation B (x) —0, ou à B(— x) —0. Comme p est réel, il est visible que ces valeurs de x ne peuvent être qu’imaginaires. Cela achève la démonstration du théorème. 25. Si l’on fait sur les éléments des déterminants B, B, qui viennent d’être considérés, les seules hypothèses impliquées par leur construction, l’étude de l'équation B(æ) —"0 parait assez compliquée. (*) Les conditions qui définissent, dans le cas considéré, les éléments de B et de B' exeluent, en général, la possibilité d’une racine y —0, double ou triple. Si ce cas peut se présenter, il sera tout à fait exceptionnel. (45) Bien que les expériences que nous avons faites nous aient fourni quelques indications sur les racines réelles de B(x) = 0, nous ne possédons pas de données suffisantes pour pouvoir énoncer un résultat général (*). On pourra encore former l’équation by) = 0, et en posant IV =Ls l'écrire Xx(Z)= 0. Les valeurs réelles de Z satisfaisant à cette dernière équation sont les seules qui fournissent des valeurs réelles pour x. À fortiori, dans le cas le plus général de l’existence des propositions VILT et VIIT, le problème reste presque complète- ment sans solution. Mais il est hors de doute que des circon- stances très diverses peuvent se présenter et que les conclusions ne peuvent être formulées que pour des classes particulières. Au reste, le problème ainsi posé embrasse toutes les équa- tions réciproques. La relation b (y) = 0 n’est autre chose que la résolvante donnée par la théorie des équations. APPLICATION. 26. Comme application de la théorie précédente, nous allons considérer une classe toute spéciale de déterminants (*) La racine æ—1, provenant du théorème VIIT, subsiste toujours quand n est impair. (46) orthogonaux symétriques à éléments réels. [Is dérivent aisé- ment des déterminants inversément orthogonaux de valeurs maxima formés d'éléments égaux à 1 et à —1 convenablement combinés. Les déterminants inversement orthogonaux ont d'abord été étudiés par Sylvester (Phil. mag., t. XXXIV, 1867, p. 461) ; 1ls ont été ensuite repris par M. Hadamard (Bull. des sciences mathématiques, 1893). Il convient d'établir d’abord une propriété des mineurs diagonaux (principaux) de degrés impairs appartenant à certains déterminants formés d’après le théorème suivant de Kronecker (J. de Crelle, vol. LXXIE, p. 159) : Représentons par «y, les éléments d'un déterminant à d'ordre N, par à, les éléments d’un déterminant À d'ordre n. Si l'on forme lous les produits possibles ayy.a,, qui sont en nombre n?N?, on pourra les disposer en tableau carré en plaçant dans une même ligne les n.N produits correspondant aux indices constants h et r; et dans une méme colonne ceux des produits pour lesquels les indices k, S sont constants. Le déterminant obtenu par ce procédé a pour valeur \ SAN, Faisons N — 2 et posons (4 (e 2 Srtes | 4 2 : Bu B& | nous aurons A = OA | a um 4,0... me EME (30) ay Pa AP .… CACA A Be A2@ 2 +» + Ain aaBa URACA nes Un Pa aaPe 426 ee a, ne Un) Pour faciliter l'exposé qui suivra, nous écrirons schéma- tiquement 0 (CE) (D) Ces préliminaires posés, voici la proposition que nous avons en vue : THéoRèME XVII. — Soit H un déterminant satisfaisant aux conditions du théorème de Kronecker, construit au moyen d’un déterminant du deuxième ordre : ô — (ou Be — Bi) et d’un déterminant À d'ordre N. Soit, d'autre part, 2v + 1 un nombre impair quelconque de la suite | 495.791 —"1: La somme des mineurs diagonaux (principaux) de H de degré 2y + 1 (formés en choisissant de toutes les manières pos- sibles 2y + 1 lignes et 2» + À colonnes de mêmes indices dans H) contient en facteur le binôme Guy + Po DÉMONSTRATION. — Deux cas peuvent se présenter : 4° Si l’on à 2 +1 Zn, certains mineurs diagonaux d’ordre 2n—2y— 1 de H sont prélevés entièrement soit dans (A), soil dans (D). Pour ceux-là, on pourra mettre soit &”**, soit G5*: en évidence. Le déterminant H ne change pas lorsqu'on intervertit à la fois «4 et Bo, « et fi, (cela donne un nombre pair d’inversions) ; tout mineur de degré 2v+ 1, choisi entièrement dans (A), a pour homologue dans (D) un mineur de même degré, qui lui deviendrait identique si l’on remplaçait Bo par «. ( 48 ) Par conséquent, la somme de tous ces mineurs pourra s’écrire (ah 2 pH) M, (31) où M représente la somme des mineurs principaux d'ordre n—2v —1 de A. Plus particulièrement, la somme des éléments de la diagonale principale de H est j=1 (au + fe) >, Gj;. (32) 2° En dehors du cas précédent, un mineur de H diagonal et de degré 2v + 1 emprunte b lignes et L colonnes au schéma (A) et s lignes et « colonnes au schéma (D) (*). Les nombres b et sont de parités différentes, car on doit toujours avoir p+o—2v+1. Pour fixer les idées, supposons qu'il s'agisse des lignes et colonnes de rangs Hi, he, he et LE dhe TRS J les h; étant inférieurs à n, sauf peut-être l’un d'eux qui serait précisément n ; et les k;, tous supérieurs à n. Ce mineur pourra être développé par la règle de Laplace, en le divisant en deux matrices horizontales comprenant respecti- vement o lignes et s lignes. | L'expression de ce développement sera A PEles + ai PP ulo 4 5-4 + AB lle 2,620 + ee + 7 as TP op | (33) + BF Pa RE 0, 2» si l’on suppose 5 > p. (*) Plus exactement, le mineur en question est formé par le croisement de 2v+.1 lignes et 2v+41 colonnes de mêmes indices, p de ces indices étant inférieurs à #, et « d’entre eux supérieurs à 7. (4) On finirait, au contraire, par un terme en af, si p était supérieur à 5. Quant à la signification des coefficients !,_, ,_., elle est très simple : ceux-ci sont composés de sommes de produits de mineurs de À respectivement d'ordres n—p efn—5. À côté de ce mineur, considérons celui qui est formé au moyen des lignes d'indices k, — n, ko —n, ….k,—n, hi +n, ho + n,.… h, + n et des colonnes de mêmes indices. On peut voir facilement qu'il diffère du mineur qui précède par le changement de x, en Bo, « en 8, et réciproquement. Cela résulte du fait que ces deux tableaux occupent exactement la même position dans les schémas respectifs (A) (B) (D) (OC) (0) 10") 3 à (B) (A) 2? qui se déduisent l’un de l’autre en permutant les lettres «1, Ba et ao, B1. Par suite, le développement de ce nouveau mineur se déduira de (33) par simple permutation de x, avec fo, puisque & et fs entrent en produit dans chaque terme avec le même exposant. En réunissant le polynôme (33) avec celui qui vient d’être défini, on aura pour la somme de ces deux mineurs une expression de la forme (Bof + Péas) Le + (af PT HE a BE). oeil 5 + «+ “a (a p5 #4 14 ous FF) ae Te (54) CRETE Æ af) Po pe Mettons en évidence dans les termes successifs (ay Ba)”, (œ Ba)® *, .… (ay Ba), 1; il restera une parenthèse commune à tous les Lermes : PE? + ap, 5 — p étant un nombre impair, puisque s et P sont de parités différentes. On suppose toujours s > p. 4 (50 ) La somme (34) se résume dans l'expression (35) (BF + ag?) Pb D (35) OR 2 représente une expression algébrique dont les termes sont formés de produits de puissances de «4, Bo, do, By, multi-. pliés par des sommes de produits de mineurs de degrés bp et o« de A. On pourra, à présent, faire prendre à s et e toutes les valeurs possibles inférieures à 2» + 1, en les associant deux à deux de manière que leur somme demeure 2 + 1, ce qui exige notam- ment qu'ils soient de parités contraires. À chaque combinaison de & et de s, telle que l’on ait p+o—2y +1, correspondront deux mineurs diagonaux dont la somme se représentera par une formule analogue à (35). En réunissant toutes les expressions semblables à (33) et en y ajoutant éventuellement l'expression (31), on pourra repré- sentier la somme de tous les mineurs diagonaux de À, de degré 2y + 1, par l'expression polynomiale suivante : CPR PPS MR (EP PET) PE (36) où tous les exposants 2+1 et s —9 sont impairs. Il peut d’ailleurs se faire que le premier terme n'existe pas. Cela aura lieu chaque fois que 2v+1 sera supérieur à n. Quant au sym- bole È, nous l'avons affecté d'un accent pour rappeler qu’il ne se rapporte qu'aux valeurs de b et de « dont la somme est 2»+1, les valeurs o=0, 5—=2v+1; p—2v+1, 5 —0 étant exclues. (51) L'expression (36) démontre le théorème annoncé. En effet, “tous les binômes age + fr étant des sommes de puissances impaires semblables de «4 et Bo, _ils contiennent «, + f% en facteur. 27. Revenons à la question proposée. Sylvester a montré (loc. cit.) que pour tout ordre pair qui est une puissance de 2, il existe un déterminant à éléments réels + 1 et — 1, qui a une valeur plus grande que tout déterminant de même ordre formé avec une autre combinaison d'éléments +1 et —1. Ce détermi- nant, qu’il appelle inversement orthogonal, est égal à CR. Du déterminant d'ordre n, de valeur maximum, on déduit immédiatement un déterminant orthogonal de valeur +1, en remplaçant chaque élément 1 par — 1 par 2” le radical étant pris positivement. On peut construire ces déterminants orthogonaux de proche en proche, comme l'indique Sylvester pour les déterminants de valeur maximum, par des applications successives du théo- rème de Kronecker, au déterminant de deuxième ordre : Û et chaque élément F2 : APN We \: (37) G V Tous ces orthogonaux seront d’ailleurs symétriques. On a, par exemple, pour N — 8 — 95 : ; 1 LAN 1 1 UE. 1 1.000 Ve 2Ve 9V2 V5 22 2V2 2V5 A 1 1 1 1 1 1 (1 "0 Ve 22 942 2% © 92 V5" 1 Ain prove 24 1 1 1 L 1. V2 oV2 oVa oV2 2e 22 21 1 1 1 1 1 1 1 Ve 2V2 922 V2 9° 22 2° 1 1 1 ES 1 1 44 V5 02 22 V2 9% °\V2 218 1 1 Ve V2 V2 92 2% 2V2 2% (52) Lo | Lo _ [K2E Lo <= te | 9 LS) 19 19 | iC = 2 LE] _ to 1 1 1 1 1 1 1 2 2We Ve 92 2V: 2° °V% 1 1 1 1 1 18 En général, la méthode de construction indiquée revient à dire que si l’on à formé le déterminant analogue à S d'ordre 2—1, on obtiendra le déterminant d'ordre 2 , en appliquant le théorème de Kronecker au précédent, accompagné du déter- minant de deuxième ordre (37). Mais on a ici Par suite, en vertu du thcorème XVII, la somme de tous les mineurs diagonaux d’un ordre impair quelconque est égale à 0. (53 ) Cela posé, l’équation S(æ) = 0 ne contiendra que des termes de degrés pairs. D’autre part, puisque S est un déterminant Grthogonal symétrique, cette équalion à toutes ses racines réelles et égales à +41 ou —1. (Théorème XIT.) Donc elle se réduit à S(æ) = (2? — 1} * = 0. NOTE. 28. Pour répondre à la question suivante qui se pose inévi- tablement au début du $ IT : Comment peut-on obtenir un déterminant qui, avec son réci- proque, satisfasse aux conditions du théorème III (n° 6) et qui puisse étre considéré comme déterminant le plus général de cette espèce? nous nous baserons sur le théorème suivant : THéorèME X VIT, — 1° Soient D = (Edul» Ann) un déterminant d'ordre n dont les éléments ont été chnisis de façon arbitraire ; | He CHA AR.. A) le déterminant réciproque de D. 2° Posons On = Aix — A, (1 ESS F4 RP à À On à évidemment 0 (E=1,2...n) (BA) 5° Définissons n°? nombres by, b;», (h,]—1,2,...n) par les formules 1 4 L Don +7 L + D [BnaAun + Bne on + LA + Bnn1A 7in + BantAnun + …. + Brin Ann (1) | | by; n D LR 4 A L Pre e AL de 1e Bnn-1An-4 ; «Le Pnnt1An on ni L + Pan Ans Si nous disposons ces nombres en un tableau carré en plaçant sur une même ligne tous les éléments qui ont même premier indice el sur une même colonne les éléments qui ont méme second indice, nous obtiendrons un déterminant B satisfaisant aux con- ditions suivantes : 1° la valeur de B est 1 ; 2° les éléments du déterminant B', réciproque de B, sont définis par les relations : 1 L | È bin = 1— D Léna Ana + Pnone + +2 + Ban Ann + PantaAnnyi + 2e + PrnAml (ID) | 1 in ei — D LB n4À ja — BneA 2 ne À ce Bnn-1A;n- 4 dE Bnn1Ajn14 D EL à BarAnl 5° la somme des mineurs principaux d'ordre X de B est égale à la somme des mineurs principaux d'ordre À de B' (x—1, ou 2, 3,...0—1). La démonstration de ce théorème se fait en répétant les raisonnements indiqués aux n° 2 et 6. Donnons un exemple dans lequel tous les éléments des déterminants sont réels. (55) En posant : MANS 5 7 410, ue OR 1 | — 93 RSI L A Son Ch ETS WI 41 —11 140 8 199 75 169 35 7 93 93 93 93 93 93 35 143 ON CSARIENTE 157 98 4 Ir 93 93 93 93 93 93 7 10 119 65 83 76 93 98 93 dr 98 93 93 _ 29. La réciproque du théorème XVIII peut s’énoncer _ comme suit : THÉORÈME XIX. — Soient donnés deux déterminants B, B' d'ordre n qui satisfont aux trois parties de la conclusion du . théorème XVIII; on peut les considérer comme provenant, par _ application de la méthode du $ £°*', d'un certain déterminant D d'ordre n dépendant, en général, de n(n —1) 2 quantités arbitraires. En effet, puisque B et B’ sont donnés, on peut écrire par hypothèse : - 4° Les 2n? équations (l) et (Il) ; 2% Les conditions de réciprocité : "@l #0 M | n n (UT) bar —1; À babrr 0; (jh= 12.n); s k=1 k=—1 D 5 Les n égalités exprimant la troisième partie de la conclu- _ sion du théorème XVIII. ( 56 ) Mais on voit aisément que ces n(3n + 1) , . À; , . \ C , équations entre les fi; et les se (*) se réduisent à n° d’entre elles, pour lesquelles nous pourrons prendre les formules (1). D'autre part, les inconnues sont en nombre UE 0 AGEN SES : Ajn n(n—1). n? inconnues 7, —ÿ— inconnues f;z. Remarques. — I. Les équations [ sont bilinéaires. On se donnera, par exemple, les valeurs des $;, et il restera n? équa- | re tions entre les inconnues a Il faut d’ailleurs choisir les B;; de manière que le déter- minant formé avec les coefficients des inconnues ne soit pas identiquement nul. IH. Si B=B' est un déterminant orthogonal (de valeur +1), le théorème précédent revient à dire que les n? équations de réciprocité (I]) se réduisent à n(n — 1) in d’entre elles. C’est ce fait bien connu qui à été l’origine du problème suivant, résolu par Cayley (loc. cit.), et dont nous avons parlé déjà : Construire un déterminant orthogonal d'ordre n, en partant d’un déterminant gauche de même ordre dont tous les éléments de la diagonale principale sont égaux entre eux. (*) I] faut toujours supposer D -<0. (200) 80. On peut envisager une généralisation de ce qui précède : Construire les déterminants ®, 8 qui repondent aux conditions suivantes : 4° On a D 9. 2° Les équations de réciprocité sont remplacées par celles-ci : > h,50;x == L, + bnxbir == 0; Ex h = 1, 2: … M} k L est ut: rombre quelconque ; le symbole O est evidemment exclu. 3° La somme des mineurs principaux d'ordre À de ® est égale à la somme des mineurs principaux d'ordre À de 3. On peut énoncer le théorème suivant : THÉORÈME XX. — Tous les déterminants 8, B' se deduisent des déterminants B, B' en multipliant tous les cléments de ceux-ci par un même facteur convenable. Pour ce cas, le théorème III se modifie. Il est exprimé par la relation N—2N DÉTEDDES 31. !l resterait à construire les déterminants de valeur — 1 satisfaisant aux conditions du théorème I. Pour les déter- minants d'ordre impair, on pourra utiliser le procédé indiqué au n° 8. Pour résoudre le problème lorsqu'il s’agit de déterminants d'ordre pair, il conviendra de former les déterminants satis- faisant aux égalités 3 Dirbix = —1, 3 bxbnr = 0 k k et d'employer pour multiplicateur de tous les termese* oue”, suivant que l’ordre n’est pas ou est multiple de 4. ER ———— { (K: à Yi up ob ue ù sui ALL 0" A ie sis Fr LAURE NA M NN F | : “ at: RTE # re AMC AUD CLE DE PU LS s a 200 "À L LC = : PA | æ : A FX DAC LP ER gt CENT A | 44m | te '. 44} , #) | arr] d'in, da té | ES 13 " | | , . ME ANUS ni LR A #r r R ; Catrn M TR b SA CRE" ÿ DE Ÿe LI "a ; : 6e ; AN 4 à MI8M té ai DIET + bi QE \ ru RER A 2 Eu je CE MEME ti 48 LL se | n { € PAUL M NT “# a IL A 21 L lat | PA \ 1 De a) , , ee À à j ï ÿ: We \é + # #} : / (a , Le * | . = 1 À NT ñ à ET L' nt À tit (ù qi A NME MA! . Ù + hi . ; | 1 MADTUS! L . " ! VF & 0] ñ ñ $ d x - , | $ 1 p À Url A ; (1h M *- 7 L] » + N { bu # d 4 LUN ” " Et } in} 'R Ana t" e « L. i d | - | | LE 1 Jai $ . . 119 1 : : it LE 2: te | | 4: 11 . ‘ e < à ; * = ’ j 11 3 M HE 1 SUR LES FONCTIONS IMPLICITES PAR VICTOR LECLERCQ Docteur en sciences physiques et mathématiques. La Commission du Patrimoine universitaire liégeois a pris à sa charge . les frais d'impression de ce mémoire. re + LA “CE” Al 2 Lit LE AE 2 Eee. PT Li) n , 1 . PAT ue NS" . ' ? « FAri Tr au , M RL SL LL TE CS À, (ES 4 + . U - à « 1. Pt « LAS ve : . Fr À ML us "ait À SE ” " L éés Cr '« nee À à CCRPENIS . tn AL 0 33 1040871 NID LISMREMNST n 4304 A , 4 1 À , - ds re - rs LS ste TER À Th creme lene von ol - capte Ale tent à NSP JAN “# i NH EL di Vi ve 3 \ mt i # K, Pa À 4 €] = . d 1 À “ ch SUR LES FONCTIONS IMPLICITES0 INTRODUCTION. 1. Considérons n fonctions des variables y, ...y, æ1...x, : PUS md) ui 1,2.::n) (4) qui sont holomorphes et s’annulent pour le système de valeurs Yi. —=Yn—=%L—...—%,—0, que nous appellerons, pour abréger, point zéro, ou point (0). Si le déterminant fonctionnel :) PRE) P CET J, — (2) Sp ar: Lors ne s’annule pas au point (0), d’après le théorème des fonctions implicites, les équations F,—0 (i—1,2...n) (3) (*) Le présent mémoire a fait partie de la dissertation de doctorat pré- sentée à l'Université de Liége en juillet 1914, par Victor Leclereq. Le jeune Docteur poursuivait de nouvelles recherches sur son sujet d’études, quand le 12 octobre 1914, la mort vint anéantir les plus légitimes espérances. (Note de J. DERUYTS.) (4) admettent dans le domaine de (0) un et un seul système de solutions Yi = Gi (a... ds) VERRE pare (4) les +; étant holomorphes en æ,=...—x,—0. On peut donc dire que le théorème des fonctions implicites ramène un système d'équations holomorphes quelconques (3) à un système d'équations (4) algébriques (*) du premier degré en ÿy1...y, et à coeflicients holomorphes en x1...2x,, pourvu que l’on ait (J,), 0. | Mais si l’on à (J4)9—0, on ne peut plus rien conclure rela- tivement aux solutions de (3) dans le domaine de (0). On peut se demander cependant si, au moins en général, on ne pourrait pas alors ramener le système (3) à un système d'équations algébriques en y1... y, à coefficients holomorphes en æ1...æ,, les degrés de ces équations algébriques étant convenables. 2. Il en est bien ainsi lorsque le système (3) se réduit à une seule équation F (ya...) = 0, (Ô) comme le prouve le célèbre « lemme de Weïerstrass ». On a maintenant 2F J —_ Er Cbo (ge 0 et si l’on suppose en outre 2F DEF PF () os (=) — (, mais (2) Æ 0, oy? /5 9°" /o 2ÿ°/0 il sera équivalent, d’après ce lemme, de considérer, au lieu de (*) Dans ce qui suit, nous dirons souvent « équation algébrique », au lieu d’« équation rationnelle entière ». (5) l’équation (5), dans le domaine de (0), une équation rationnelle entière de degré p : DR te C0, UV, (6) les coeflicients a, .… a, étant des fonctions de x, x, seulement, holomorphes et s’annulant en x, = ... = x, — 0. Comme nous allons l'indiquer, ce lemme peut fournir, mais de manière bien peu satisfaisante, la réduction du système (3) à un système algébrique en y; ... y,. Considérons, en effet, chaque équation F; — 0 (j —1,2...n) du système (3) comme une équation en y4. D’après ce qui vient d’être dit, elle sera, en général, équivalente dans le domaine de zéro à une équation ppt 4e.» (7) rationnelle entière d’un certain degré p; en y, et à coefficients holomorphes en yo ... Yy %1 .… æ, S'annulant au point zéro (*). Pour un système de solutions y = Gi... Un — Gn %1 = € .… 2, — €, de (3), ces équations /; — Ü seront vérifiées, et ainsi le résultant de deux quelconques de ces équations par rapport à y4 Sannulera pour les valeurs yo = Co ... Un = Gn L1 = €; = E€, | Appelons, par exemple, Fo (Ye ee. Un + Mi. &s), M Ua Un davve Le) les résultants des équations (/1 fo) (fi fs) :.. (fr fn). Comme le résultant de deux équations algébriques est une fonction rationnelle entière de leurs coefficients, les fonc- tions F, ... F, seront encore holomorphes ; d’après ce qui a été dit, elles s’annuleront pour tous les systèmes de valeurs de Yo...Yn Æy...*, qui appartiennent à des solutions y; ...y, æ1 .… æ, des équations (5). (*) Nous supposons. bien entendu, que le coefficient de la plus haute puis- sance de y, est l'unité. Cette supposition sera toujours implicitement contenue dans toutes nos conclusions du $ 2. cn D'ailleurs, en supposant le lemme de Weierstrass applicable, les équations F’ = 0 sont, dans le domaine de zéro, entière- ment équivalentes à des équations f’ — 0 rationnelles entières en y» et à coefficients holomorphes en yz y... Yn Li .…. &, s’annulant au point zéro. Done, si nous adjoignons les équa- tions f! — 0 aux équations f; — 0 dans le domaine de (0), toute solution des équations (3) sera une solution des équations (f; — 0 f!' —0) et réciproquement. in opérant maintenant sur les équations f! —0 comme nous avons opéré sur les équations f; — 0, nous formerons des résul- tants F// qui ne dépendront plus que de y... y, æ1...æ,, el par le lemme de Weierstrass nous formerons des équations f'’ —0, équivalentes aux équations F’/ — 0, mais rationnelles entières en y. Ges équations f// — 0 pourront être adjointes au sys- tème (f; — 0, f' — 0) et toute solution des équations (3) sera solution des équations (f; —0 f'—0 f/' —0) et réciproquement. En continuant de même, on arrivera à un système d'équations CR a EN US D entièrement équivalent au système (5) dans le domaine de zéro. Ces équations seront respectivement des équations rationnelles entières en y Yo .… y, et à coefficients holomorphes respective- ment ef (Ye Yz-.. Un Due Le), (US. Un 21. Te tous ces coefficients s’annulant au point zéro. Mais, par un théorème que nous établirons dans fa suite de ce travail (théorème [, corollaire, $ 10), si f' est une fonction rationnelle entière de degré p en yo, dont le coefficient de yZ est l'unité et dont les autres coefficients sont des fonctions holo- morphes de y3...y, æ1...x, S’annulant au point zéro, toute fonction holomorphe a (yo ... y, x1 .…. x,) dans le domaine de zéro peut s’écrire identiquement A (Yo ce Yn La vee Ds) = YPt + AYPP ++ a HA (9) les « étant des fonctions holomorphes de y ... y» 1... seulement et } une fonction holomorphe de yoyz...y, Æ1...æ,. (CR) Si nous supposons donc que le polynôme f’ est le premier poly membre d’une des équations f” — O0 du système (8), à cause de f’ — 0, les coefficients des équations f; — 0 du système (8) pourront, d’après (9), se placer sous forme de polynômes entiers en ya à coefficients holomorphes en y;...y, æ1...x.. Ces derniers coefficients eux-mêmes se ramèneront de la même manière au moyen d'une équation f/ = 0 du système (8), à des polynômes entiers en y; à coeflicients holomorphes en y; ...y, DT ARE DIE 728 4 En continuant de même, et en faisant usage des équa- tions f//! — 0 … [= 0 du système (8), on arrivera finalement à des coeflicients qui seront des fonctions holomorphes de %1 .… æ, Seulement, et aiors les équations f; = 0 (1 =1,2...n) seront devenues des équations nes ne 20 (10) rationnelles entières en y... y, et à coefticients holomorphes en æ1 .… æ, dans le domaine de zéro. _ Si l’on opère sur les équations f’ — 0, f!! = 0... comme on a opéré sur les équations f; — 0, on ramènera également ces dernières à des équations algébriques SCENE GNT Eee er (14) respectivement entières en (ÿaYx ... Yn)» Y3 +++ Un) +++ (Un) Et à coefficients holomorphes en æ4 .……. x. Par le procédé employé pour obtenir les équations (10) et (11), on voit que dans le domaine du point (0), toute solution des équations (3) satisfera à ces équations (10) et (14). Inversement, toute solution des équations (10) et (11) sera solution du système (3). D'abord, on a identiquement H** — f”*. Ensuite, par le théorème rappelé plus haut et exprimé par la formule (9), on a fire s Hr— 22 APT — fr? 1 XHr + et ainsi les équations H*7 — 0 H**— 0 entraînent dans le domaine de zéro les équations f1 = 0 f** = 0. (8) En continuant de même, on verra que les équations (10) et (11) entraînent toutes les équations (8). Or, celles-ei sont équivalentes au système (3). Done toute solution de (10) et (11) sera solution des équations (3). Nous ne nous attarderons pas à examiner quelles sont parmi les équations (10) et (11) celles qui sont surabondantes et si l’on peut se borner à considérer seulement les équations (10). [Il nous suffit, pour ce qui va suivre, d’avoir montré que toutes les solutions du système (5) dans le domaine de zéro peuvent en général (c'est-à-dire lorsque le lemme de Weierstrass est applicable) s’obtenir par la considération d’un système d’équa- tions algébriques en Yy1...%, à coellicients holomorphes en dy... Œee 3. La question posée à la fin du $ ! semble donc résolue; mais il faut reconnaître que la méthode employée est lourde, manque d'élégance ; de plus, elle ne fournit de renseignements précis sur la réduction du système (3), que lorsque tous les calculs relalifs à cette réduction ont été effectués. | Tout d’abord, pour qu’on puisse mener cette méthode à bien, il faut que le lemme de Weïerstrass soit chaque fois applicable aux résultats F/, F/... que l’on forme successivement, c’est- à-dire il faut pour chaque résultant que les dérivées relatives à une même variable y ne s’annulent pas toutes au point (0). Or, de la réalisation de ce fait on ne sera averti qu’en effec- tuant les calculs. Il en est de même en ce qui concerne le degré final des équations (10) et (11) en les différentes variables y .…. y. D'ailleurs, ainsi qu’on peut s’en assurer par un exemple, ce degré variera considérablement suivant l’ordre dans lequel on aura pris les variables y1...7y, pour faire la réduction du système (3). Or, pour l'étude des singularités des fonctions y1 .… y, de æ1 .… &, définies par le système (3) dans le domaine de zéro, il est, au contraire, de grande importance de ramener le sys- tème (3) à une forme algébrique canonique. (9) _ 4. Ces‘ inconvénients n'existent pas dans le cas où le sys- tème (3) se réduit à une seule équation (3). Alors, le lemme de Weierstrass indique avant tout calcul la possibilité de la , . ° Pre ’ 9vF . , réduction si l’une des dérivées Sue € s’annule pas au point zéro, et l’ordre de la première dérivée qui ne s’annule pas caractérise en même temps le degré de l’équation algébrique équivalente à l’équation donnée. Pour obtenir les mêmes avantages pour les systèmes d’équa- tions (3), 1l est naturel de chercher s’il n'existe pas certaines combinaisons des dérivées de F, ... F, qui, pour les systèmes tels que (3), jouent le rôle des dérivées successives dans le eas d’une seule équation (5). | Le présent travail apporte, croyons-nous, la première contri- bution à la question envisagée de ce point de vue. Nous avons été assez heureux pour ramener les systèmes (5) à une forme algébrique canonique lorsque l’un des mineurs du déterminant fonctionnel J, (formule 2) reste différent de zéro au point zéro et lorsqu'une série de combinaisons de dérivées Jo J; 3, ..., qui seront définies dans la suite, ne s’annulent pas toutes au point zéro. Comme dans le cas d’une seule équation, la première des quantités J qui ne s’annulent pas au point zéro caractérise les degrés des équations algébriques équivalentes au système (3). l'e plus, ces fonctions J se réduisent aux dérivées successives de l’équation (5), si le système (3) se réduit à cette seule équa- tion (5). 5. L’obtention des quantités J9 J; ... ne constituait pas la seule difficulté du problème. Il fallait en même temps obtenir une méthode de démonstration faisant entrer en considération ces quantités Jo Js … On ne pouvait pas dans ce but songer à généraliser les démonstrations classiques du lemme de Weïerstrass qui sont basées sur les intégrales de Cauchy ou simplement sur la varia- tion de l’argument du logarithme d’une fonction le long d’un contour formé; en effet, les propriétés sur lesquelles elles (10) s'appuient où bien ne sont pas connues, ou bien ne subsistent pas pour les fonctions de plusieurs variables. D'ailleurs, il faut observer que les démonstrations classiques du lemme de Weierstrass établissent bien que l'équation (5) peut se ramener à une équation (6) dont les coefficients a sont holomorphes; mais elles'ne fournissent aucun moyen pour le calcul des valeurs d’un nombre quelconque de dérivées de ces coefficients au point zéro. La méthode de réduction du sys- tème (3) indiquée au $ 2 est ainsi 1llusoire; car, si même on voulait s'en contenter, comme on ne connaît pas les dérivées des coeflicients des équations (7), on ne pourrait pas connaître non plus les dérivées des résultants F/ — 0, et ainsi 1l serait impossible d'appliquer à ceux-ci le lemme de Weïerstrass pour les transformer en les polynômes f’ — 0. De toute façon, il fallait donc trouver une nouvelle méthode de démonstration du lemme de Weierstrass, si possible suscep- tible d'extension aux systèmes d'équations à plusieurs fonctions inconnues. 6. Nous sommes parti de l’idée que les coefficients a; … a, de l'équation (6), étant holomorphes, pouvaient être considérés comme définis par un système d'équations implicites à déter- minant fonctionnel différent de zéro et nous avons pu former aisément ces équations. En admettant, en effet, que les solutions de (6) satisfont à l'équation (5), on peut placer (th. T, $ 9) cette dernière sous la forme F — œy Ga DoYy? ? TE LR LE ne Pr GE: 0, les © étant holomorphes en x, .… æ, et a … a, et l’on peut voir que les équations gi 0... pp = 0 (12) définissent les a en fonctions holomorphes des x (théorème If, $ 11). | ù R in Pour achever la démonstration, il ne reste plus alors qu’à montrer que toute solution de (5) est solution de (6), si les a ont les valeurs définies par les équations (12). Cette méthode s'étend aisément aux systèmes d'équations. Considérons une variable auxiliaire € qui satisfait à une équa- ion algébrique en t de degré p : PE pt +... D, =, (15) à coefficients b holomorphes en x, ...æx,, et prenons en général Y = OL H ar +... ap (Gi=1,9%...n),, (44 où les a sont holomorphes en x, ... x,; si nous supposons que les valeurs (14) des y satisfont aux équations (3), on parvient (par des procédés analogues à ceux du théorème [, $ 9) à mettre ces équations sous la forme EF, QU + QD + Ho 0 (i—=1,9...n), les & étant holomorphes en les a, b et x. En prenant alors pour £ une combinaison convenable des y, linéaire à coefficients constants, les équations de condition qui en résultent entre les af jointes aux équations déterminent les a et b en fonctions holomorphes de x, ... æ,, et l’on achève encore la démonstration en montrant que toute solution du système (3) s'obtient par (13) et (14). Si l’on remplace maintenant t{ dans (13) et (14) par la combi- naison linéaire des y qu'il représente, on obtient n équations _algébriques distinctes en y... y,, à coefficients holomorphes en æ1 .… ©, et qui sont entièrement équivalentes au système (5) dans le domaine du point zéro. Cependant, en dépit de la simplicité de l’idée et de la symé- (12) trie des résultats, cette méthode ne laisse pas d’être extrême- ment compliquée lorsqu'il s’agit d'établir la démonstration dans tous ses détails. Aussi, bien que nous soyons persuadé que cette méthode conduirait dans le’eas général par l'introduction non plus d’une, mais de n'ivariables auxiliaires 4, ...t,, à la forme canonique des équations algébriques équivalentes au système (3), avons-nous adopté dans ce travail un autre procédé de démonstration. Ce procédé, qui nous à été signalé dans un cas particulier par M. le professeur J. Deruyts, à l’occasion d’un exposé de nos premiers résultats, s'étend aisément à un système quelconque d'équations (3) dont un des mineurs du déterminant J, est différent de zéro au point zéro. Il profite précisément de ce fait qu'un des mineurs du déterminant fonctionnel J,, qui est lui- même encore un déterminant fonctionnel, est différent de zéro au point (0), pour ramener le système (3) à une seule équa- tion (5) à laquelle s'applique le lemme de Weierstrass. 7. Nous avons reconnu que notre méthode de démonstration du lemme de Weïerstrass, esquissée au paragraphe précédent, avait déjà été imaginée par M. E. Goursat (*), en 1908. Notre méthode ne diffère guère de celle de M. Goursat que par le détail des démonstrations; mais nous continuerons néanmoins à l’exposer en raison de l'application importante que nous devrons faire des résultats qu’elle fournit aux systèmes de plu- sieurs équations. Cet exposé fera l’objet de la première partie de notre travail. Dans la seconde partie, nous étudierons les propriétés prin- cipales des quantités Jo J; .. et nous établirons la généralisa- tion du lemme de Weierstrass qui en est la conséquence. (*) E. GoursAT, Bulletin de la pres mathématique de France, 1908, p. 209. (43) [. — Cas d’une seule équation (*). 8. LEMME. — Si dans l'équation de degré p UP = BY He bot by, (1) les coefficients (réels ou imaginaires) satisfont aux inégalités î Biz G=12.p), (> 0), (2) re les racines y de (1) ne dépassent pas, en module, la quantité p. En effet, on a, à cause de (2), Bye hs gr — Il gi e 1h] re, ii +E à | * oral pl pui et Type Or, pour |y|>p,ona e e p° p” = << 4 et = D MST << } |y | \y| PER y |? Par suite, ue — by. —b,| >0 pour [y! >p, c'est-à-dire que (1) n’a pas de racine supérieure en module à p. (*) Dans cette étude on supposera connu le théorème des fonctions impli- cites pour un nombre quelconque d'équations. Comme on le sait, ce théo- rème peut s'établir au moyen de théorèmes élémentaires sur les variables réelles et des formules de définition des fonctions de variables complexes. De plus, les développements en séries des fonctions définies par les équa- tions données peuvent s’obtenir en calculant de proche en proche leurs coefficients, par différentiations successives de ces équations. CES 9. TaéoRÈèmE 1. — Soit F(y,æ,...x,) une fonction de yx, … æ, holomorphe dans le domaine A formé par la réunion du domaine défini par [y|Zr(r>0) et du domaine D de variation des x. Si l’on prend pour y une racine de l'équation P = Di ++ D, (3) où l’on a À TA (égalités exclues) (i = 1,2. p), (4) on aura F (y +. De) = ay + Yo Hop, les © étant des fonctions holomorphes des b et des x lorsque les b satisfont aux inégalités (4) et lorsque les x appartiennent au domaine D. D’après les conditions de l'énoncé on peut écrire Fyu 2) = YA", (5) n=0 où les À, sont des fonctions de x, .… x, holomorphes dans D. De plus, si l’on appelle M le module maximum de F dans A, on aura dans D M Ai < (6) Actuellement, soit b une quantité positive inférieure à r : Here ET) Alors si l’on a Di ei 8 lt ie (8) d’après le lemme précédent toutes les racines de l'équation (3) (15) seront en modules, inférieures à o. Or la série (5) étant conver- gente pour [y| Yibi + D Ya — ? Yi (ab, + a). Comme, d’autre part, 1=p _ 4,14 y = > y'a et que les « ne peuvent s'exprimer que d’une seule façon en fonction des b (*), on aura identiquement a — oi); + al, (= 0) (*) Les « ne peuvent s'exprimer que d’une manière en fonction des b; car s’il pouvait exister deux expressions différentes «/ et a//, on aurait p MA Se yi= 2 yo ia — Ë yo} et toute racine de l’équation (3) de degré p serait ainsi racine d’une équation de degré p — 1, ce qui est impossible si les racines de (3) sont distinctes. Le calcul des « étant indépendant de la nature des racines de (3), le résultat subsiste dans tous les cas. CAN") ou, par changement de { en {—1, = a b+aft (151). (10) Dans cette formule récurrente faisons à = p; il vient = bart (51) (41) Faisons à — p — 1 : pu = bp t+agt (51) et, à cause de (11), dub + batt (15 2) En général on aura En ET LU CC) comme on le voit en remarquant que la formule a lieu pour k# —  et que, à cause de (10), si elle a lieu pour le nombre k, elle est encore vérifiée pour le nombre k# + 1. En particulier, on déduit de (12) oi = Dao t + Dai? + ee. + bai? (Sp). (13) On observera aussi que l’on a a — b, d’après (3) et CE À — où = 0 … du ot, = 0 (14) Pt 1 Me UN Ces dernières formules traduisent simplement les identités WE ES = pes A en be (17) Limites supérieures des modules des «. — Lorsque les inéga- lités (8) ont lieu, on a en général [ail < pr, (15) En effet, d’abord si ! < p, on voit immédiatement par (14) que la relation (15) a lieu. Supposons qu'elle ait lieu pour tous les entiers inférieurs à /. Elle aura encore lieu pour l’entier /. En effet, par (15) et (8), on a p Mere de ete) RÉ cpfe + 2 À pt c’est-à-dire pl < pot, ce qui est la relation (15). De (12) et (15) on déduit encore i=R { 1=k À 2 A uT à bo HA ait à pri aktial < SRE 1) po 10 =) P et comme £ 7 p —A, FFSA 2 (46) Expression de la fonction F. — Au moyen des valeurs (9), le développement (5) de F s’écrira F— DA, (yP 1 + ay? +... LE on). n—0 Or, actuellement les séries pa = D Ant (E—1,2..:p) LT) n—0 sont convergentes à cause de (6), (7) et (16). b (18) On a, en effet, M [Anti < D" Er ou bien | M a\® ; .[Andk| < ook F (£) $ | (18) On pourra donc écrire F— œy?—* + Doy?? + aa ie Po» (19) lorsque y est racine de (3) moyennant (8). Propriétés des séries v,. — Les séries ©, considérées comme fonctions de b,...b, et x1 .… x, sont des fonctions holomorphes de ces quantités lorsque les x appartiennent au domaine D et lorsque les b satisfont aux inégalités (8). En effet, dans ce cas les séries +, sont, à cause de (18), des séries uniformément con- vergentes de fonctions holomorphes et sont ainsi des fonctions holomorphes. Comme dans tout ce qui précède o a pu être choisi aussi voisin qu'on le veut de r, on voit que si l’on donne les inéga- lités (4) (égalités exclues), 11 sera toujours possible de prendre p inférieur à r de manière à avoir les inégalités (8), et toutes les conséquences déduites de (8) subsisteront. Le théorème se trouve donc ainsi complètement démontré. 10. CoroLLAIRE. — Si b ... b, sont des fonctions holo- morphes de x, … x, dans le domaine du point x, =... —æx,—0 pour lequel elles s’annulent, et si l’on pose . Ho D MS, (20) la fonction F{yx; ... x) holomorphe dans le domaine de TS Ze OO EE 7 (19) — XL — .… —%, — 0 peut s’écrire identiquement dans ce domaine F(yxs "12 Ts) TE œay?—* + Doy? À ne pe ce Po Gi \z, les © étant des fonctions holomorphes de x, .. x, seulement et À une fonction holomorphe de yæxy ... æ,. En effet, les fonctions holomorphes b, … b, s’annulant pour Æ, =... — 2%, — 0 resteront aussi petites que l’on veut si x, ...æ, sont D nest petits; alors z sera de même aussi petit que l’on veut si y est suffisamment petit, el ainsi les relations (4) relatives à l’équation (20), qui est | RDA ES D EE (D, 2), seront vérifiées pour yx1 ... &, Suflisamment pelits. On aura donc, par le théorème que nous venons de démon- trer, Eu .., ds) = qua. D, +8, da.) PE eee + op, (Di... D, +3, .), (20) les © étant des fonctions holomorphes de b, .….. b, + x, x, x, dans le domaine de zéro. Mais si d, ... b, sont suffisamment petits, les © considérés comme fonctions de z seront holomorphes dans le domaine de z — 0 et l’on pourra écrire les développements se ? do, Cie bp + re) = (Din) +2 4, rie (= 1,2..n). On aura donc, par (21), F;(ya ds) = Qt + ee + 0, + À, (22) en posant MAD TH NE PAR E Se + termes en 3,2, etc. (23) by (20) Si l’on remplace maintenant dans la relation (22), z par sa valeur (20), et b, ...b, par leurs expressions en x, ...æ,, 1 ©, deviendront des fonctions holomorphes de x, .….. x, seuls, et À deviendra une fonction holomorphe de yxy .…. x. Comme d’ailleurs yæx; ... x, sont restés arbitraires, sauf la condition d’appartenir au domaine suffisamment petit du point y = ty =... — 4%, —0, la relation (22) sera dans ce domaine une identité. 11. Taéorème Il (lemme de Weierstrass). — Si la fonc- tion F(yx;, .…. x,) est holomorphe dans le domaine du point y = Li =. &, — 0; si de plus on à en ce point A pif PF = 0 (2) Sean É ) — 0, mais (2) ZLO, oY /o 9ÿ7 1 /o 9ÿ” Jo on peut écrire dans le domaine de y = x4 = .… x, — 0 : Fyt ds) = QP — y —.. —0D,) K (ya ….æs), (24) les b étant des fonctions holomorphes de x, ... x, s’annulant en ti —...—2%,— 0, etK une fonction holomorphe de yx1.….æ, différente de zéro en y = x, — …. — x, — 0. — Nous supposerons, comme dans le théorème précédent, que la fonction F est holomorphe dans un certain domaine A, et qu’ainsi elle donne lieu à un développement (5). D’après les conditions de l’énoncé on aura aussi en æ, — … — +, —0 (A) —0 (Ah = 0... (A1) = 0 (Ayo F 0. (25) Considérons actuellement les équations Px=0 (k—1,2...9p), (26) les fonctions + étant définies par les séries (17). (21) D’après le théorème précédent, ces fonctions sont holo- MOHENENU—..,0, 2%) —...— x, — 0. D'ailleurs on voit qu'elles s’annulent pour ce système de valeurs, car par (12) on obtient pour b, = .… b, — 0 (ax) — 0 pour LS p (RME) (27) el pour æ, — .… x, — 0, on a les formules (25). Nous allons montrer que le déterminant fonctionnel De ”, 3 4 se D rapporté au système æy = ... æ&, — by — .. b, — 0 est différent de zéro. Alors il résultera du théorème des fonctions implicites que les équations (25) définissent, dans le domaine de zéro, un système de fonctions b, ..b, holomorphes en x, .…. x, et s’annu- NÉ CDE— .. Æ, — 07 Calculons à cet effet les quantités Se) . Les développements (17) étant uniformément convergents et à termes holomorphes, les séries des termes dérivés sont aussi uniformément convergentes, et l’on a, à cause de (25), LL: 2 NON ECON ER EPA à Tr #3) x L (A, (Se) = D (A, ) (28) Or, la formule (12), qui peut s’écrire QU = po À Æ Dypaat * + ce + Ba PE (n = p +1 — KE), (29) donne (5) 0 pour. j< (30) î | et (2) c'est-à-dire, d'après (27) et (14), o4% O0}, — | —=0 pour n >» et | — | —1. Ex Rd Ed $ | Ha (1) D'après (28), (50) et (51), on obtient done 20" | 20" PE cire E Cero (TE l'as nine (5), 6 RANCE tee EE et ainsi On à 04 0®1 Pa UE Gi Gt [OC LES fe | o(b.:h)7, Le LA : . (æ) si (%) : : ScR ab 25 907 0 Voie 0. (Ab ce qui établit l'existence des fonctions holomorphes b, … b, de æ, .… æ, satisfaisant identiquement dans le domaine de zéro aux équations (26) et s’annulant en æ4 — ... — x, — 0. Considérons à présent l'équation sx (A5)o Æ 0, | © +, > * (-H YP — Pay D, = 2. (33) où D, … b, sont les fonctions de x, .… x, définies par les équa- tions ©; — O dans le domaine de zéro. En répétant les raisonnements du corollaire du Théo- rème [ ($ 10), on écrira identiquement dans le domaine de TRES, L (ya. ds) = YPO +... Ho, + À, où les © ont les expressions (17) et où À est une fonction holo- morphe définie par (23). Mais, actuellement, on a identiquement w, — 0 .… o, = 0, puisque les b satisfont aux équations (26). Par suite, on aura identiquement dans le domaine de zéro PURES LE) = 2 (34) D'ailleurs, pour y = x — … æ, — 0, on a by — ... b, —0et par (35), z — 0. D’après l’expression (23) de À, il vient donc c'est-à-dire, d’après (32) et (25), À = (A) Z 0: Aux notations près, l'identité (34) est la formule (24) de l'énoncé, qui se trouve ainsi complètement établi. 12. COROLLAIRE. — Il résulte immédiatement du théorème précédent que, sous les conditions indiquées dans l’énoncé, l'équation P(y%;1::#,)=10 est dans le domaine de zéro équivalente à l’équation algébrique à coeflicients holomorphes D — D — D, = 0. IL. — Cas de n équations. 1. SYSTÈMES ÉQUIVALENTS (*). 13. Considérons un système de n fonctions de m varia- bles y4 .… y : F (ya ge Um) Pa Pz (ya pes Um)» (m Z n), holomorphes dans un certain domaine A. ee {*) La notion de « systèmes équivalents » développée ici est une exten- sion de la notion d'équivalence des systèmes modulaires, en algèbre. (24) Soient Kg (Œl=—1,2.,n0) n? fonctions de y, .… y, holomorphes dans un domaine D inté- rieur à À. Si le déterminant [HE KuKl reste différent de zéro dans D, nous dirons que le système de fonctions (F; .… F,) défini par les relations Fi 73 KP SRE D K,,F, F4 axe K,5Fi Fr sen 7 K,,F; est équivalent au système (F, .. F,) dans D (ou encore, que les systèmes (EF, ... F,), (F,; … F,) sont équivalents dans D). Dans ces conditions, les équations F;,—0 (i—1,2...n) entraînent dans D les équations F; — 0 et réciproquement. Nous dirons que l’on passe du système (F, … F,) au système (F,… F,) par la « transformation équivalente » ane voi (D). (le kyt 20) “HS Si l’on résoud les équations F; = KP EM EN = D2..m par rapport aux F;, on aura EL +... +LL,F, (G—1,2...n), où les L sont aussi des fonctions holomorphes de y, … y, dans D. ( 25 ) Nous savons que la transformation | FFT Re) PP | e (T), Lu .…. Le qui est encore une transformation équivalente, est la « transfor- mation inverse » de la transformation T. On voit immédiatement qu’une transformation équivalente et son inverse, effectuées successivement, n’altèrent pas le système (F1... F,) (ou encore, ont pour produit la « transformation unité »). 2. ORDRE DES ZÉROS D'UN SYSTÈME DE FONCTIONS. 14. Notations. — Afin d'éviter des répétitions inutiles, nous définirons, dès à présent, des notations que nous emploie- rons continuellement dans la suite. Nous représenterons d’une façon générale par &,, les mineurs d’un déterminant, quelle que soit la nature de ce déterminant : 2F, 2F, Um : UP —— 0 — ay 0Y; Fe RE | GORE: | as es Es … à OYa Un Le mineur 4; correspondra dans le premier cas à l’élé- Fe Ur | Nous rencontrerons également souvent une quantité L, que nous écrirons, conformément à un symbolisme généralement adopté, 2F 2F k) Lx Sas (a ue = res y 5 db, ) , “| n \ Ce à L4 à ment a;,; dans le second cas à 1 élément ; en entendant que l’on doit développer le second membre ( 26) comme une k°®° puissance, puis remplacer les produits de dérivées =) ( 9 =) ; ue PACE (1 * 1) … D, —= k (EE) (ET u+e+ mn par les dérivées multiples correspondantes : 9" F, 21" +. oyn" Enfin, nous désignerons toujours par J,% ... J,... des déter- minants jacobiens qui vont être définis au paragraphe suivant. 15. Les invariants J. — Considérons un système de n fonc- uons RCE PES ANUS P) » au) holomorphes dans le domaine du point y; = ... — y, = 0, où elles s’annulent. Posons °F, °F Yi On FE TA (2) 0F, °F, TETE et supposons que l’un au moins des mineurs À, de ce déter- minant fonctionnel ne s’annule pas au point zéro. En changeant éventuellement l’ordre des fonctions F, ...F,, on pourra toujours supposer que c’est un des mineurs Re br (3) relatifs à la preiic ligne de J,, qui ne s’annule pas au point zéro. (27) . Cela étant, posons encore, LP Odx_1 OY1 OÙ» F, . 2P: J,— | OU aan leCkres D a6 0). 20e (4) 0F, °F, QU OYi À cause de (2), cette relation définira par récurrence les déterminants jacobiens J, J; ...J,… Dans ces conditions, si l’on a au point zéro (Fo 7 (] bte (Fr)o = 0 (5) DO (LL =0...(1,:)=0, mais ,(1,) £ 0 nous dirons que le système (F, .… F,) a en y, — ... y, — 0 un zéro d'ordre p (*). On peut observer que si le système (F, .. F,) se réduit à une seule fonction F{y), les quantités J,J,J;... se réduisent aux ae SF SF dy? y? Us expriment que le développement de F{y) en série de Taylor commence par un terme en y. La définition précédente de l’ordre d’un zéro concorde donc avec la définition algébrique de la multiplicité d’une racine d’un polynôme entier. On pourrait vérifier aussi que l’ordre du zéro d’un système (F, .… F,), tel que nous venons de le définir, ne change pas si l’on remplace ce système par un système équivalent ($ 45). Toutefois, la démonstration serait longue; aussi, nous borne- dérivées successives … et qu’ainsi les conditions (5) (*) On pourrait dire « zéro d'ordre p de première espèce », afin de rappe- ler que l’un des mineurs (b;x)o a été supposé différent de zéro. Toutefois, comme nous nous placerons toujours dans cette hypothèse, on peut se borner actuellement à la désignation plus brève du texte. ("26 | rons-nous à la faire actuellement pour une transformation équi- valente particulière, qui nous sera très utile dans la suite. D'ailleurs, comme on le verra, l’invariance de l’ordre du zéro d’un système (F,...F,), dans ses transformations équi- valentes, résultera à posteriori des théorèmes que nous établi- rons en nous basant sur la notion d’ordre telle qu’elle vient d’être définie ($ 22). 16. lHéorÈm: III. — Supposons que l’on remplace le système (F,...F,), de fonctions holomorphes en y; = … y, —0 et S’annulant en ce point, par le système équivalent (F, .…. F,) défini par les relations F, = Fi + LE, + PS + À,F, ( à. DURates (D), E'=F, (i= 9, s DPONE \ où ho .. À, sont des fonctions quelconques mais holomorphes RP RE À Désignons par J; .…. J, ... les déterminants J, … J, ... relatifs au nouveau système (F; … F,). Dans ces conditions, si l’on a (di)o 0 .. (J5-1)0 = 0, (6) on a, après la transformation équivalente T, (di) = 0 .… (9-4) = 0 Co = (po — Le théorème s'établit par récurrence. On peut d’abord observer qu'il suffit de le démontrer pour la transformation élémentaire T, : (1) F=F+XF,. Ge à vel (= 8 cn), Fo car on voit immédiatement que la transformation T s'obtient (2 ) par la composition des transformations T;, pour à —2,3...n Cela étant, on à en général pour la transformation T, J, = J, + ads +ods +. + and, + GF;, (8) les « et B étant holomorphes. En effet, d’abord pour Æ£ = 1, on à F, À oF; of. ol hors JET 9 D up OU: UP O1 OY1 ea OU} UP OU OUn ME NES FR “OU A A2 OU CUP F — Jj î FT MES OYa OV ce qui est de la forme (8). D'ailleurs, st la relation (8) a lieu pour une valeur k, elle a lieu aussi pour £ + 1. En effet, on a, en écrivant seulement la première ligne des déterminants, Ki -:RRETE Jx-4 = | à Ag car Jxu + ddz + aps + ce + Ax1do 0 . 204 2 LD AS URLS ENS | ; ; | ET TPE TAN EE ce qui est encore de la forme (8), qui est donc générale. Or, la relation (8) appliquée au point y; — ... y, — 0 fournit immédiatement notre théorème. On à, en effet, puisque les F s’annulent pour y4 = .… — Yy — 0, (1% Jo + (dx) 5 à af (Jz_1)o = À 5m à aE_ (Lo et ainsi les conditions (o= 0... (x) = 0 ( 30 ) entrainent he Ch (9) A cause de (6), cette dernière formule appliquée pour k — 1,2... p, fournit les relations (7), ce qui est le théorème. COROLLAIRE. — Jl résulte immédiatement de ce théorème que l’ordre du zéro d’un système (F, .… F,) reste inaltéré par une transformation équivalente telle que T. 17. Avant d'aller plus loin, il nous faut établir l'existence . d’une transformation équivalente telle que T, jouissant de pro- priétés spéciales. Ce sera l’objet des trois théorèmes suivants : TaéorèMe IV. — Considérons une forme algébrique /, de degré k, et n — 1 formes linéaires fo .… f,, les variables étant YiY2 + Un fa = n Up, …DrYi, So yer | Pak +Pn=k fi = aa + Æ dinlns (LE ARR n). | Supposons que les mineurs dby4, db ... db, relatifs à la première ligne du déterminant 1 { Pi (10) tnt ne soient pas tous nuls. Alors, si la quantité É—- (a + ee + Ru 2) (11) est nulle, il est possible de trouver n — 1 formes 9 .… ,, de degré & — 1 d’homogénéité, de manière à avoir identiquement h + gh + Æg, = 0. (12) (31) — Observons d’abord que la quantité L, est invariante au sens de la théorie des formes algébriques. Car la quantité In OYn RE OYa à of: Lu est invariante comme étant le déterminant fonctionnel des formes fif>...f,. 11 en est donc de même de sa puissance d'ordre k et aussi de la quantité L, que l’on obtient en rempla- çant, dans cette puissance, le système transformable des pro- duits de dérivées RES OUa | Un par le système cogrédient des dérivées multiples correspon- dantes cn OUT" ++. Un" Cela étant, comme les mineurs dbi1 .:. by, ne sont pas tous nuls, Supposons, comme il est toujours permis, dboyy Z 0. Alors les équations ÿ, Yi | | 1: —= EN + PUR (EP n Un + nl (13) b En yaYa + "s + lonYn | sont résolubles par rapport à yiyo .… y,, car le déterminant des coefficients est (32) Les équations (15) définiront donc une substitution linéaire inverse Ya = Ya Ye = Ana + ee + a, Y, Web | (14) Ur — Aa Ya Si PS ARS 14 ‘PP 2 Effectuons la substitution (14) et désignons par f,...f, n db... 3, Lx; les transtormées des quantités f,...f, dou... din Le: On aura d'abord fi Catane (45) Pa +" DPn=R les a, ,, étant les transformées des 4, .»,; Puis, comme on le voit immédiatement ES CAN CEA (16) De là résulte que les db;,;, qui sont les mineurs relatifs à la première ligne du transformé du déterminant (10), ont pour valeurs Bill db,; — 0 (= 23 mn et ainsi on à , Ofa h = (ai EE 4 ee du of: js ne 9Y: SET 0 D'ailleurs, l’invariant L, ne diffère de L; que par un facteur hf, 9Y4 numérique non nul et est aussi à un facteur numérique près 4j0...0- D’après les conditions de l'énoncé, on a L,; — 0; on a donc aussi L; — 0, ou encore 4j, .0 = 0. (33 ) ._ Ainsi, dans l'expression (15) de f', tous les termes contien- nent en facteur l’une au moins des variables Yo... Y,. On pourra donc écrire, et même en général d’une infinité de façons différentes, f, sous la forme fa == — A =— LION LIRE 4 a 77 Pole Prin ou encore, à cause de (16), St oué AT) ge... ®, étant des polynômes homogènes de degré k— 1 en LA DEN Si maintenant dans l'identité (17) on revient aux variables V1... Yh par la substitution (13) inverse de (14), f,..….f, se transformeront en f, .…f,, et les polyÿnômes homogènes & ...v, de degré k — 1 en Y, .… Y, deviendront des polynômes homo- gènes 9 ...v, de degré £—1 en yy...yn. Par suite, on aura l'identité fa + Cafe Re + Prfn NE 0, ce qui est la propriété annoncée. 18. THÉORÈME V. — Considérons n fonctions des variables Va Yn Li... X, : Min.) = 1,2,0® (18) holomorphes dans le domaine du point y; =... —y, —%1 =... — x, — 0 (point zéro), et supposons que l’un au moins des mineurs dy... db, relatifs à la première ligne du jacobien F …. 2F4 O1 UP 0F, 9F, OUa UP reste différent de zéro au point zéro, (#4) Si alors la quantité « k) L; — (au Aac°t + db, me) Ci On est nulle en y; —...y;—x; —...x,— 0, il est possible de trouver n—1 polynômes 6» ...0, homogènes de degré k—1 en y... y, et à coeflicients constants, de telle manière que les dérivées 9*F, J ] DUR OUEn Da + + ps =) de la fonction F; FR F, BK CA lee o,F, s'anpulent au point zéro. — Ce théorème se déduit aisément du précédent. Les fonctions F; étant holomorphes dans le domaine de Yi... Yn = Li =... —2,—0 admettent des développements F, == > A?, Dan! à —— Yon; (à — ce 2. n) Pa + Dn=0 et il en est de même pour les combinaisons linéaires des fonc- tions F à coefficients polynomiaux. Dans ces développements, les À sont des fonctions holomorphes des x dans le domaine de æi—:..2,=0: Comme les dérivées OPa+-+PnE AIT ATULUMES L9 OU". OU" rapportées au point zéro, ne diffèrent que par un coeflicient numérique des coefficients (À,,.,,)0 Correspondants, notre théorème sera démontré si nous prouvons qu'il existe une combinaison linéaire FE= FF +R +... +o,rF, (19) telle que les coeflicients des termes de degré k en y,...y,, dans son développement, s’annulent en x, —...—x,—0. (35) D'ailleurs, les polynômes &9 … @; ... 0, (i > 1) devant être de degré k — 1, les seuls termes de degré k des produits 4;F; seront fournis par les termes du premier degré des F;. On pourra donc, au point de vue de l’étude des termes de degré k de F;, limiter les F; pour à > 1 aux termes du premier degré de leurs déve- loppements en y; ...y,. et ne considérer dans F, que les termes de degré #. Appelons donc f, l’ensemble des termes de degré k de F4, et /; les termes du premier degré de F; pour à > 1, les fonctions F,.… F, étant déjà rapportées à x, — ... == x, — 0. Il est visible que la valeur de L, pour le point zéro ne dépend que des parties fi .… f, des fonctions F, ... F,. Or, comme par hypothèse (L;), — 0, en vertu du théorème précé- dent ($ 17) on peut trouver n — 1 polynômes homogènes de degré 4 — 1 en y1 .… y, donnant identiquement DRE ARR RER") (20) Si l’on porte les polynômes © ainsi déterminés dans la formule (19), la fonction F; jouira, d’après (20), de la pro- priélé que les coelficients des termes de degré k de son déve- loppement s’annulent pour x, = ... x, — 0, et d’après ce qui a été dit ci-dessus, cette propriété équivaut au théorème annoncé. Remarque. — Il'y a lieu d'observer que les coefficients des termes de degrés inférieurs à Æ — 1 dans les développements de F,et F, sont identiques, ce qui revient à dire que les valeurs des dérivées en y .… y, d'ordres inférieurs à k — 1, de F,et F; sont égales en y, =... = y» = 0. De plus, on voit facilement qu’il en est de même pour les dennees ordre = 1,040 point Yi — …. — y, — dy — — æ, — 0 si les fonctions F; s’annulent en ce point. 19. Taéorème VI. — Considérons encore le système de fonctions Ho dd) (4, 2.:7n) holomorphes en y1 = ... y, = Xi =... — &,— 0 et supposons ( ai } toujours que l’un au moins des mineurs cby .. by, du jaco- bien J, reste différent de zéro au point zéro. Si alors, en ce point zéro, on à (Kio = 0. .(F, L RE A (21) on peut trouver une fonction ® de la forme D — F + LE + SL + À,F,, les À étant des polynômes entiers en y, .…..y, de degrés au plus égaux à p — 2 et à cperiqnts constants, de telle manière que OPa + :* * Pn D OyP1 … OyPn nulent au point zéro. De plus, on aura au point zéro > toutes les dérivées , d'ordres inférieurs à p, s’an- 2 2% D) (do) Fe (au x = + = 2 db, #) ; (22) O1 0 — Plaçons-nous d’abord dans un cas particulier : supposons que toutes les dérivées de F, en y... y,, d'ordres inférieurs à h s’annulent au point zéro. Il est facile de voir qu'alors h) = dl : 23 Gi) (au? at ) (3) En effet, on à he Lu n ad, JL = db 15 70 2 2 Ato QU, c’est-à-dire oF J = Y X di, ne ——— + termes en Fe on 12 li Je (Ph) et, en général, h=22: PRES Re RS U OYi (Teao OYi, 2“F, | d'ordres inférieurs à h. termes en dérivées \ \ L D LA 0 4 F , Or, d’après notre hypothèse, toutes les dérivées De d'or- Po dres inférieurs à à s’annulent au point zéro; donc 2p, Gb = EE (ou = ram î CM Ya ee in ce qui, avec le symbolisme que nous avons adopté, n’est autre chose que la relation (23). Cette remarque, jointe aux théorèmes [IT et V, va mainte- nant nous permettre d'établir aisément notre énoncé. D’après le théorème V ($ 18), il existe toujours une combi- naison linéaire à coeflicients polynomiaux : RH gr ++, (24) telle que les dérivées o"F, Yi". OYn" s’annulent toutes au point zéro. ;ourvu que l’on ait, pour le système (F, .. F,), F,\" (a du + +du 2) = (0. 0 D’après le théorème 111 (16), les quantités (J4)o (do)o +. (d)o demeurent inaltéré; lorsqu'on remplace F, par la fonction F;, pourvu que, pour le système (F, … F,), les relations (21) soient satisfaites. (38 ) Or, dans le cas qui nous occupe, on a, d’après les hypothèses de l’énoncé, = (de + + du À) = 0 Donc il existe une transformation (24), telle que les dérivées CE °F, ] : . , premières — s annulent au point zéro. y En admettant, pour éviter la trop grande multiplicité des notations, que les fonctions F, .…. F, ont déjà subi éventuelle- ment cette transformation, nous pourrons supposer, comme RES ; 2 a 2 Ÿ plus haut, que les dérivées 33 d'ordres inférieurs à À n s’annulent toutes pour le point zéro. Mais alors, d’après (23) 9F 2F h) (Jo — (tu == = AE + din ) OUR | 0 OUn et si k < p, on aura d’après l'énoncé (J,),—0; c’est-à-dire qu'il existera encore une transformation (24) telle que les dérivées d'ordre h de F; s’annulent toutes au point zéro. Mais d'après la remarque du $ 18, cette transformation n’altère pas la valeur au point zéro des dérivées d'ordre inférieur à h de F4, et ainsi les dérivées de F, s’annulent toutes, jusqu’à l’ordre À inclus, au point zéro. Si l’on a encore (J,,,), — 0, on fera usage d’une nouvelle transformation (24), et en continuant de. même, on arrivera finalement à ane fonction dont toutes les dérivées en y4 y», d'ordres inférieurs à p, s’annuleront au point zéro. De plus, comme le produit de deux transformations telles que (24) est une transformation de même nature, on aura DR HF +. HAE, (25) où les À; seront les sommes des polynômes gi Correspondant aux différentes transformations (24) que l’on aura utilisées. Comme, d’après le théorème V ($ 18), les £/ sont des poly- ("399 . nômes homogènes de degré h —1, on voit que les À seront des polynômes entiers en y1 y, de degrés p—92 au plus. | Enfin, la relation (22) de l’énoncé résulte immédiatement de ce que, les relations (21) étant satisfaites, (J,), n’est pas altéré, en vertu du théorème IE, si l’on remplace F par ®, et de ce que pour la fonction ® on peut appliquer la formule (23) pour hk — p. Généralisation du lemme de Weierstrass. 20. Nous sommes maintenant en mesure d'établir la géné- ralisation du lemme de Weierstrass que nous avons en vue et que nous énoncerons comme sui : Taéorème VIL — Soient REPAS 1 Id D) G=dhe en) n fonctions holomorphes au point y, =... = y, = %1 = … — æ&, — 0 (point zéro), où elles s’annulent. Si ces fonctions ont pour x, —...—2x,—0 un zéro d'ordre p (*) en Yy— .. — Yn —0, On pourra écrire identiquement, dans le domaine du point zéro, des relations de la forme OR HN : (G— 1,9...) (2 les K étant des fonctions holomorphes de y, ... y, æ,...æ, dont le déterminant est différent de zéro au point zéro, et les H étant des polynômes entiers en y1... y, de degrés au plus égaux à p, et à coefficients holomorphes en x ... x.. _— Reportons-nous à la définition donnée au $ 15, du zéro d’un système de fonctions. Pour que le système (F, … F,) ait (*) De première espèce. (Voir la note du $ 15.) ( 40 ) en y =... — 2, —= 0 un zéro d'ordre p en yy = .… = y» = 0, il faut d'abord que l’un au moins des mineurs du déterminant fonctionnel J, ne soit pas nul au point zéro; en faisant éven- tuellement une permutation sur les indices des fonctions F et des variables y, nous pourrons toujours supposer CRE (7) De plus, il faut encore avoir ($ 45) (io = **: (4) = 0, (28) mais (h 7 0. (9) Cela étant, on observera tout de suite que si le théorème est démontré pour un système (F; .. F}) équivalent à (F,...F,) (*, il le sera par le fait même, pour le système (F, … F,). Car, par la définition des systèmes équivalents, les F; seront des combi- naisons linéaires des F’ dont le déterminant des coefficients ne sera pas nul au point zéro; par la supposilion faite, les F’ seront aussi des combinaisons linéaires des H dont le déterminant des coefficients sera différent de zéro, et d’après une propriété bien connue des substitutions linéaires, il en sera done de même pour l’expression des F en fonction des H. Nous pourrons donc d'après cela, remplacer le système (F; .… F,) par le système équivalent (DF, …. F,), où P—=F +R +... +XRFr,, (30) les À étant holomorphes au point zéro. Or, comme actuellement, les fonctions F, ... F, s’annulent au point zéro, d’après le théorème précédent ($ 19), on peut, à cause de (28), trouver une fonction ® de la forme (30) telle (*) Mais en partant, bien entendu, des conditions (28) et (29) relatives au système (F4 … F,). (4) a+ +0, D y?! … yen ” s’annulent au point zéro. De plus, moyennant l'emploi de cette fonction D, on peut écrire que toutes les dérivées d'ordres inférieurs à p, 2 es (a Li TR RNEENEN LS | (31) UP 0 Pour éviter la trop grande multiplicité des notations, nous supposerons que le système (F, ... F,) a déjà subi la transfor- mation équivalente que nous venons d'indiquer, et ainsi le système (F1 .… F,) jouira des propriétés suivantes : 1° Les F sont holomorphes et s’annulent au point zéro; 2 On a ( o1+ PaF, 0 90 nl our xp; (3 ee) P u Pat: PE P; ( ) 3° À cause de (31) et de (29), on a aussi CFE ue ee) 20 (33) et l’on suppose, d’après (27), (by) Æ 0. (34) Actuellement, considérons le système d'équations DE 0 (35) dans le domaine du point zéro. Nous allons ramener ce système à un système d'équations algébriques entières en 7/1... y,, à coefficients holomorphes en Xi ..… Le (42) Comme CEE.) dy Tr: (tu) (YU ++. Yn)o Z0, le système des n — 1 dernières équations (55) : F0, Fe 0: (86) vérifié pour le point zéro, définira dans le domaine de zéro, d'après le théorème des fonctions implicites, un et un seul système de fonctions Ye —= de (YaTa ce Ds) ce Yn = d, (Ya. Ts) (37) holomorphes dans le domaine du point zéro et s’annulant en ce point. On aura donc identiquement Fi Gi VE. LIEU NES, 3... n) (38) et au point de vue de la recherche des solutions du système (35) dans le domaine de zéro, il sera équivalent de considérer le système Fi (Ua cc Un Basse de) = 090 D BOY, ON ou encore le système G (yes 2) = Ki (gd. d, à... xs) = 0 39 Yi — Yi = RE En à 4e La fonction G (y; x .… x) est holomorphe et s’annule en ya = & = … — æ, — 0, De plus, en indiquant par [#] que l’on doit remplacer dans une expression #, yo .… yn par Vo .…. d,, on à de (AE 400 le pa OY1 L\OY Ye On Ur OYs re F F ! 2) Ty F 5: di | 2 ie ae = de > _ ) l+ termes en ë | ï Yi OV OYs TE Re eT dits LÉ (43) _et, en général, #G F, Re AU 2"G (EE re A, 2% ie me 1 2Ÿ | Yi OU OÙUs. OÙ‘: TA OUT A OU». OU + | termes en dérivées | | | d'ordres inférieurs à k. À cause de (32), il résulte de la dernière relation, pour =, — 0, o%G “# : L e = pour E—= 1,2... p—1 0 el : ) () = Fi ED (AU) 0 OU DU OY: OUi Or OÙi/0 Mais, des identités (38), on déduit aussi ToF, SE E ie LEO a à TE MAN ID EN 1 (HD SOLE 1e É OYa je ie OYn UP 6 due équations que l’on résoud immédiatement sous la forme rh _— — [db]. (i=92,3...n) et ainsi, au point Zéro, on à, à cause de (34), Gr). el, par suite, d’après (40) et (33), 27G 2 Gr) = Cu : A LT dou 6 °y .). F # Il résulte de ce qui précède, et du lemme de Weiïerstrass,,. (44) que dans le domaine de zéro la première équation (39) peut s'écrire identiquement G = (y + Dur + + + B)K, (1) les coeflicients b étant holomorphes et s’annulant en x, — — x, —0 et K étant une fonction holomorphe de y,æy … æ, différente de zéro au point zéro. Par suite, si l’on pose = y + by +. + b,, (12) l'équation G— 0 entraine H, — O0 et ainsi le système (355) est dans le domaine de zéro équivalent, au point de vue des solu- tions, au système H, = 0, y; — (ur 2) 02780 (65) Mais actuellement, nous pouvons appliquer aux fonctions d; le corollaire du Théorème I ($ 10, et écrire Du 23) = Qt + + HE (G—2,3...n) (14 les © étant des fonctions holomorphes de x, ...æ, et À; une fonction holomorphe de y,æ, .… æ,. Alors, en posant He y; — Di | moyennant (4 ==, 910) (45) qi = PP + + EP les solutions du système (43) et, par conséquent, celles du système (35), seront, dans le domaine de zéro, solutions du système H, =. H, — 0, (46) qui est algébrique entier en y; y, et à coeflicients holo- morphes en æ4 ... Z,. (45 ) Inversement, il est visible que toute solution de (46) sera solution de (43) et ainsi de (35). Le théorème annoncé va maintenant se déduire aisément du résultat précédent, par applications répétées du corollaire du. Théorème [ ($ 10), qui vient encore de nous servir. __ En effet, dans (45) les +; sont des fonctions holomorphes de y,%y .… æ,, qui s’annulent nécessairement au point zéro, puisque (H;), = 0. En appliquant le corollaire rappelé pour — 1, on aura donc identiquement dans le domaine de zéro Fr(YaYn Da ve. 0), .. 4, 2,4) EEK, (=1,2..n) F; étant une fonction holomorphe ne dépendant plus de y,. En opérant de même sur F; et faisant successivement usage de H,_, ... H;H2, on voit qu’on arrivera finalement à une expression E(YeUn Late) FT (tits) + Ko + HA K, (—=14,2..n), tous les K,; et F?7{ étant holomorphes, mais F7* ne dépendant plus de yo. yn. Finalement, en faisant usage du polynôme H, (formule 12), on écrira FU ce Ya Dao. Ds) = PUR + ee + (PH Ka + + + H,K, l (47) Het, dun) les f étant holomorphes et ne dépendant plus que de x, ... x On peut voir que les f sont identiquement nuls. Car, d’après ce qui précède, les équations H4 — 0... H,, — 0 entraînent F, = 0 ({ — 1,2, ... n), c'est-à-dire, d’après (47), fyPi + +IP=0 (1,2) (48) et ainsi, pour tout système x, .… æ,, toute racine y, de l’équa- uon de degré p H, TE 0 devra être racine de l’équation (48) de degré p — 1. Cela ne (46) peut avoir lieu, si les racines de H, = 0 sont toutes différentes, que si l’on à 1h O SU fPEE 0! | (49) D'ailleurs, il est évident que l'équation H, —Q peut avoir toutes ses racines différentes, et comme l'équation (48) à été formée indépendamment de la nature des racines de H, = 0, le résultat (49) subsiste dans tous les cas. 3 Par (47) et (49), on a donc identiquement dans le domaine de zéro FU ce Yn Lace ds) = Ka +. + K,H,, (—=1,2...n), (499 les K étant holomorphes, ce qui établit les relations (26) de l'énoncé. Pour achever la démonstration de notre théorème, 1l nous reste à montrer que le déterminant À des K est différent de zéro au point zéro. Dérivons les identités (49/) par rapport à y; (i — 2, 5 ...n) et considérons le résultat au point zéro. Nous aurons, à cause des expressions (45) des H, =) , © | —=(K, CS es Vi 1 ( ui) ‘ ) et ainsi, à cause de (32), C' nE | LT 0 Ka Kyo . Ki 2F: 2F, nn ee a A EM RL FA OC © Ris | & es à Le : O Ye /0 OY n /0 Comme on à (db11)0 0, on aura A5 Z 0, si (K44)0 0. (50 (41) Il reste donc à calculer (K41)o- On pourrait obtenir cette quantité en énvant l’iden- tité (49) pour { = 1, p fois par rapport à y,; mais il est beau- * coup plus simple d'opérer comme il suit : | Au-lieu de faire directement y, — ya = .:. = Yn = X4 — — æ, — 0 dans K44, nous pouvons d’abord, d’après (45), faire = pifi=2,38...n), puis y = 4 —...—2,—0. Faisons y; — v; Li l'identité (49) prise pour ! — 1. À cause de ha nous aurons identiquement dans le domaine de y, = x, Pr 0 | Fig... o, die. ds) = Ka (ie... , di... a). Hi (51) | Mais, par (44) et (45), on a identiquement — ÿ, — H,k, =, 2...R) et ainsi, par (51), Ku(yive … Pn Ti …. T3) . H, = FE (Ye do Ex EX . 10, PS Hk 7, . RE 1 à Dans le domaine de zéro, le second membre de cette rela- tion pourra être développé en série des puissances de H, 9 … H,X,, et avec la notation | | que nous avons déjà employée, l'identité précédente s’écrira Ki (Ye +. Pr LL) . H, — Fi (gage. Li «.. L3) … (53 — H, C |] + ….) + termes en H°, H°… (5) ; 1 Mais, d'après (39), GDS" d, di...) = G et, d’après (41) et (42), G = AK, K étant holomorphe différent de zéro au point zéro. i 48 ) Donc l'identité (553) peut encore s’écrire oF Ka(VaPe ++ Pa La ee Ds) Hi = HiK — Ha (2, ol …) + termes en H, H?... 2 et si H, est différent de zéro, 2F, — | +. | + termes en H,, H?.. Katie ….o, 2.2) =K—T2 u( Po Pa Li Ts) cÉ D'ailleurs, toutes les fonctions intervenant dans la dernière identité étant holomorphes. et, par suite, continues, cette iden- üté subsistera encore si H, — 0. En particulier, au point Vi = La = …. = Misthonaura = (| GX (EE) + (RE) | OYn ou encore, à cause de (32), (Kio = (Ko Comme (K), est différent de zéro, on aura bien, d’après (50), A, £ 0. C.Q.F.D. 21. Cas où le théorème précédent ne s'applique pas. — Lors- que l’un des mineurs ,, est différent de zéro au point zéro, le seul cas où le théorème précédent ne peut pas s'appliquer est celui où les quantités (Lo RL ERA sont nulles pour toute valeur de &. Ce cas d'exception est entièrement semblable à celui qui se présente pour une seule fonetion F(yx, .… x.) quand toutes les TRS: . ; ; L'an à ; dérivées 3x S'annulent au point zéro; il s’y réduit, en effet, si le ( 49) -système (F;, … F,) se réduit à la seule fonction F, car on a alors ($ 15) Dans le cas d’une seule fonction, on a maintenant F(yz,...æ)—=0 pour —=:..—4,—0, quel que soit y. De même, nous allons montrer que dans le cas de n fonc- tions F, ... F,, avec (J,), — 0, quel que soit k, et (4,,)9 £ 0, on peut satisfaire aux équations rapportées à x, — … — x, — 0, en prenant y, arbitrairement (mais voisin de zéro) et pour y2...y, des fonctions holo- morphes de y,. D'abord, à cause de (%,,)9 0, on peut écrire dans le domaine de zéro, en vertu du théorème précédent, F, FE K2 (Ye — 2) au Hot ie K:, Ur d,) RE . *. (54) FE, = K;2(%2 — Le) + ee + K7, (y, — (a) | les à étant les fonctions considérées plus haut (formules 37) et | les K’ étant des fonctions holomorphes dont le déterminant est différent de zéro. Dans le domaine de zéro, le système (54) pourra done se résoudre sous la forme Ye — de — L,K +... + L,F, Ya — Ÿ, Riz L,2F + F. + LE, | les L étant encore holomorphes, ( 50) D'autre part, par applications répétées du corollaire du Théo- rème [ ($ 10), on à identiquement FiQUu ce Ya duc D) = RU ee Von DE) PU OU VE, 7 AUN die V rm? di de La) + (Ya RE” d,_4) ]n—1 + (Y, TE d,) Jn = [on (Ya ce. La) F (Va — La) Jo Le p (ya — Ÿ,) Jn» les fonctions f, fo … f,_,, qu’on obtient successivement, dépen- dant chaque fois d’une variable y en moins et étant holo- morphes ainsi que les fonctions g. À cause des identités (55), on obtient donc finalement pour F, une expression de la forme FE, = F' (ya... ds) — AMF —.. —X,F,, (56) les À et F’ étant holomorphes, mais F’ ne dépendant que de Va ES Actuellement, remplaçons le système (F,...F,) par le système (F/F, .… F,) [cette transformation étant une transfor- mation équivalente ($ 13)]; d’après le Théorème HIT (K 16), les valeurs des J; pour le nouveau système seront également toutes nulles au point zéro. Appelons J; les expressions des J, relatives à ce système (F’F9 … F,). On a, puisque F’ ne dépend pas de Ua +. Un» n 2F' =] V4 1 4 = db. on Sr db Di f 2 PEN EIR ET TUE Pa n 9) 2F' 9F' 4 dy, — — + db, termes en — 58 : D ne nl oi ce et, en général, okF' RE! J, = dbi — + termes en y! pour à < k. (59) oÿ Or, maintenant, puisque (J;), — 0, quel que soit 4, et que (51) (41)0 7 0, on aura successivement, par (57), (58), (59), a - (D) dE — (0 et,en général, — (), quel t e g ( = quel que soit 4. =... = %,—0, on aura F' = O0, quel que soit y4, et pour = Ye (1 0 = Ÿn (y1 0 (60) les équations Fo — 0 … F, — 0 seront vérifiées. Comme les systèmes (F/F, ….. F,\ et (F1 Fo … F,) sont équi- valents, les valeurs (60) vérifieront aussi, quel que soit y, et pour x, =... æ, — 0, les équations M0 He 20, et ainsi la propriété annoncée se trouve établie. 22. Invariance de l’ordre du zéro d'un système (F1 ...KF,) dans les transformations équivalentes de ce système. — Nous terminerons en démontrant que l’ordre du zéro d’un système de fonctions (F, .…. F,) n’est pas altéré quand on remplace ce système par un système (F; .. F,) équivalent. Nous avons déjà annoncé cette propriété ($ 15) et nous l’avons démontrée dans un cas particulier ($ 16). Nous pouvons maintenant l’établir en toute généralité d’une façon bien simple. Plaçons-nous dans les mêmes conditions que dans l’énoncé du Théorème VII ($ 20). Comme toute transformation équi- valente de (F, .… F,) est, à cause de (26), une transformation équivalente du système (H4 .… H,), 1l nous suffira de démontrer que tout système (F, ... F,) équivalent à T FH PP DOUr D. .œ = Oltunrzéro d'ordre pen ÿ, = ..* — y, = 0. Il'en résultera, en particulier, que (H, ... H,) a en ce point un zéro d'ordre p, ce que l’on peut vérifier directement. (52) Supposons donc F, = KA, +... + K,H, (den a taste (61) re En K,.H, sa Dao + QE à Los | les K étant des fonctions holomorphes dont le déterminant K, ..… Ru à est différent de zéro au point zéro. En changeant éventuelle- ment l’ordre des fonctions F, nous pourrons toujours supposer que le mineur Dh: 0er (62) RS nn est différent de zéro au point zéro; ainsi il existera, dans le domaine de zéro, des fonctions holomorphes À; … À, telles que la fonction e— F, h Xe Le fre) + À,F, soit simplement de la forme DK. De plus, le système (PF, … F,) étant équivalent à (F, .…. F,), on aura nécessairement (K), Z 0. (63) Mais, en vertu du Théorème [IT ($ 16, corollaire), lordre du zéro du système (F; .… F,) est le même que celui du système (PFo …. F,). Il nous suffit donc d'établir que le système (DF, ... F,) a un zéro d'ordre p au point zéro. Or, cette dernière propriété résulte immédiatement de la forme (42) de H, , (53) Comme H, ne dépend pas de yo .…. y,, on a, en effet, pour le système (DF° ...F, 9KH, oKH, CU 0Yn °F, 9F; LE ERST our J, — OY OU — K — - JL, + termes en H.. OYa °F, °F, Ya OYn De même, H, H 3, = » du À Kb — + termes en PE 4 H, 5 Yi OV et, en général, 2“H, où |” oH, J, — Kob? - + termes en ..—etH | ou À ag" lapin d Donc, d’après (64), = 0 pour 'k=1,2..:0 —1 el (oo = K, (ob,,)? p! I PH (=) — 0 pour k < p, et P =p! EN. 0 y (64) (65) Mais, comme on le voit facilement, (41,1) n’est autre chose que le mineur à, (formule 62), lequel n’est pas nul, et ainsi, à cause de (63), on a (66) D’après ce qui précède, les relations (65) et (66) établissent la propriété annoncée. (54) 23. Remarque finale. — Les questions traitées dans les pages qui précèdent ont avec la théorie de l'élimination d'intimes attaches. Ainsi, la quantité L, (formule 11), qui a joué un rôle impor- tant, n’est autre chose que le résultant des formes f; .… f, du Théorème IV. On peut voir que L; — 0 est la condition néces- saire et suffisante pour que les équations homogènes admettent une solution différente de zéro, et cela même lorsque tous les mineurs db,4 .… by, sont nuls. D'un autre côté, on peut dire aussi que l'équation H; = 0 est, dans le domaine de zéro, l’éliminant en y, du système Mais, précisément, de cette parenté des deux questions pro- vient la difficulté de la généralisation complète du lemme de Weierstrass. | Il faut remarquer, en effet, que, dans ce qui précède, n —1 des équations F — O0 ont toujours joué le rôle d'équations linéaires, grâce au fait que l’un au moins des mineurs ;, du jacobien J, restait différent de zéro au point zéro; on pouvait en déduire alors n — 1 des variables y dont l'élimination dans l'équation F — 0 restante se faisait ainsi sans difficulté. Mais il n’en sera plus de même, si nous supposons que tous les (A), sont nuls. Les éliminants des systèmes d'équations s’'introduiront alors d'eux-mêmes dans toute leur généralité et, avec eux, toutes les difficultés de la théorie de l'élimination. Cependant, si par une méthode convenable on pouvait démontrer complètement la généralisation du lemme de Weïer- strass (*}, on pourrait, par contre-coup et à cause de la préci- (*) Moyennant une définition convenable de l’ordre du zéro d’un sys- tème (F1. F,) lorsque tous les (db;x)o sont nuls, cette généralisation sera très probablement comprise dans l'énoncé du Théorème VIT, K 20. (55 ) sion du résultat analytique, obtenir des résultats intéressants pour l’algèbre. C’est ce qui arrive notamment pour la multipli- cilé des racines d’un système d'équations algébriques. Considérons, en effet, un système d'équations algébriques Bu) MR tue tiaurpr (BT) à coefficients constants et dont y — .… — y, — 0 est une racine. Si l’on pose Y = Yi Et À Cons (68) les c étant des paramètres indéterminés, il existe, comme on sait, une équation algébrique EG) 0 dont toute racine y est de la forme (68) et fournit une racine Yi... Yn du Système (67) : c’est l’éliminant de ce système. Si cet éliminant à une racine y — O0 multiple d'ordre p, on dit que le système (67) à une racine y — ... — y, — 0 multiple d'ordre p. On à pu démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que y4 =. — y, —0 soit une racine multiple d'ordre 2 au moins du système (67), est que le jacobien J, de ce système s’annule au point zéro; mais, Jusqu'à présent (*), on n'a pas trouvé les conditions nécessaires et suffisantes pour que y1 — … — y, — 0 soit une racine multiple d'ordre 3 au moins du système (67) (*). Or, ces conditions sont précisément, outre (J4)9— 0, la condi- tion (Ja), — 0 et les conditions analogues (J;), = 0... (J27)5 —0 que l’on obtient en permutant le rôle des fonctions F dans (Jo) 5. (*) Voir l'Encyclopédie des sciences mathématiques, 1. I, vol. IT (Algèbre), p. 145. ( 56 ) A cause de (J,), — 0, on peut voir que ces conditions ne sont pas distinctes; mais, comme cela arrive fréquemment en algèbre, elles sont cependant toutes nécessaires. D'ailleurs, tandis que (J,), entre en facteur dans le coefficient de la première puissance de y dans E(y) — 0, le coefficient de y? est une combinaison linéaire de (Bo oo + (7005 ce qui montre encore les étroites relations des déterminants J avec la théorie de l'élimination. Il nous suffit d’avoir signalé ces propriétés, afin de prendre date. Nous les démontrerons dans un prochain travail, en nous basant sur nos résultats actuels. Liége, 22 juin 1914. GENÈSE ET ANATOMIE DES PÉRICARPES ET DES SPERMODERMES CHEZ LES POLYGONACÉES A. — POLYGONUM AVICULARE L PAR H. LONAY Chargé de cours à l’Université de Liége. La Commission du Patrimoine universitaire liégeois a pris à sa charge les frais d'impression de ce mémoire. + ET : « 24 , PR LL. Ê "DA € tar < \ \ / 1. Lu PL OA STAR ; RIT, re obilinal gi | he: hrs cs … « { 0 . _ je + CC h (=, LL 2 LE 4 + . L « | } n | L un + x TR QE | «o (Lie: } À £ W é », 4 + L Ÿ æ , x 4 L \ { on af ? { INTRODUCTION Dans la bibliographie déjà si vaste concernant les ovules et les graines, certains travaux révèlent une extraordi- naire diversité dans le développement et la constitution intime des différentes parties de l’ovule adulte. La plupart ne vont guère au delà de ce stade ou, s'ils le font, ce n’est que pour s'attacher uniquement au sort du sac embryon- naire ou plutôt de certaines de ses parties, tels l'œuf et le noyau secondaire après l'acte de la fécondation. Rares sont ceux qui s occupent des transformations que subissent, à la suite de cet acte, les autres parties de l'ovule et de l'ovaire; plus rares encore ceux qui cherchent à se renseigner sur le rôle qu'elles sont appelées à jouer pendant la maturation. Malgré leur petit nombre, ils montrent déjà combien ces transformations et les phénomènes qui les accom- pagnent sont susceptibles, d’un sujet à l’autre, de donner lieu à des interprétations qui ne sont rien moins que concordantes. Ce désaccord doit-il être mis sur le compte de diffé- rences réelles qui existeraient dans le mode de développe- ment, dans le rôle physiologique et dans la structure (4) définitive de parties homologues appartenant à des orga- nismes parfois très voisins? Cette question ne pourra être résolue que par la multiplication de recherches dirigées dans ce sens. Il y a là un vaste champ encore en friche. Parmi ces quelques rares travaux auxquels il est fait allusion, on peut signaler, plus particulièrement intéres- sants comme s'occupant de Polygonacées, ceux de Livpau (62) et de Srévens (104), au sujet desquels j'aurai l'occasion de revenir. Je me propose de me joindre à eux en apportant une modeste contribution en vue de la solu- tion de la question en ce qui concerne cette même famille. En effet, le présent travail a comme sujet une plante que tout le monde foule aux pieds, la Renouée des Oiseaux (Polygonum aviculare L), remarquable par son cosmo- politisme et par ses facultés d'adaptation aux milieux les plus divers. D'après certains auteurs, cette plante que l'on rencontre dans tous les pays du monde, est vraisemblable- ment la plus répandue qui soit. Connue du vulgaire sous le nom quelque peu méprisant de Trainasse, elle lui apparaît, en effet, le plus souvent, sous sa forme la plus humble, jusqu'au beau milieu des chemins et des rues de nos villes, s'insinuant entre les pavés où, sans cesse mutilée, mais non tuée, par les roues des véhicules et les pas des animaux, elle finit par acquérir une attitude si plate, un aspect si hirsute et des proportions de tous ses organes si réduites, qu'on la distingue à peine parmi le Paturin annuel, Graminée qui partage le plus souvent avec elle cet habitat peu confortable. Mais où notre Renouée justifie encore le mieux le nom de Traînasse qu'on lui a donné, c'est sur les chemins battus couverts de cendrées ou encore à la surface des sols compacts couverts de sables ou de cailloutis que seule à peu près elle ose affronter victorieusement. Dans de telles situa- (5) tions, elle forme parfois des tapis continus dont chaque plañte contribue à couvrir de ses longs raméaux éripotr: prés üun espace d’au moins 25 décimètres carrés, appliquée plus où moins étroitement contre le sol, suivant la nature plus où moins aride de l'exposition, car elle est capable, par sa sobriété extrême, de résister aux sécheresses les plus exceptionnelles. Alors elle est véritablement la Trainasse. Mais on ne la reconnaît plus quand elle a la bonné fortune de croître dans un sol frais, riche, à l’ombre tutélaire d’une haie ou d’un buisson. Elle élève alors ses rameaux droits vers le ciel, se couvre d'assez grandes et relativement larges feuilles Jlancéolées et prend un air d'élégance et d’embonpoint qui fait plaisir à voir. Une séule chose ne change pas : ce sont ses fleurs et surtout ses fruits. Toutefois le nombre de ces derniers est relative- ment beaucoup plus faible chez les plantes robustes de la dérnière catégorie que chez celles décrites en premier lieu. Chez celles-ci, — on sait que dans cette espèce de Renouéé les fleurs naissent en très petit nombre (2 ou 3) à l’aisselle des feuilles — à chaque feuille correspond un groupe de fleurs, tandis que dans les plantes ombragées et bien nourries, beaucoup de feuilles, surtout vers la base des rameaux, ne sont pas accompagnées de fleurs. Au cours de mes recherches, j'ai voulu constater les différences que pouvaient entraîner les modes de vie de ces formes si différentes d'aspect dans l’organisation et la marche du développement des organes que j'étudiais. Je me suis attardé à examiner comparativement différents stades dans un assez grand nombre de sujets. Je ne puis dresser, au point de vue des résultats obtenus à cet égard, qu’un procès-verbal de carence la plus absolue. Cependant, il y a une chose au sujet de laquelle je n'ai pas mes (6) apaisements, c'est la rapidité relative de la succession des phénomènes dans l’un et l’autre cas. Il semble très proba- ble, en effet, que la misérable Trainasse, exposée aux mille et une tribulations de nos rues, ait un intérêt primordial à former ses fruits dans un laps de temps plus court que l'opulente Renouée croissant à son aise au bord des haies, Tout intéressante qu'elle est, l'expérience n’a pas ététentée. Celle que je rapporte dans la critique historique de ce travail a été effectuée sur des plantes croissant dans un jardin, dans les mêmes conditions à peu près que les plantes robustes ombragées, Le plan que je me suis tracé dans l'exécution de ce travail présentait deux parties : la première consistait à suivre les transformations que subissent le péricarpe et le spermoderme au cours de leur développement, depuis leur première apparition sur le placenta jusqu'à l’état de maturité complète ; la seconde, à observer les phénomènes d'ordre physiologique qui accompagnent ou provoquent ces transformations. J'ai été amené ainsi à consigner les différentes étapes de la formation du sac embryonnaire et ensuite de l'embryon et de l’albumen, en fixant mon attention également sur les phénomènes concomittants qui se passent dans les autres parties de l’ovule et de l'ovaire. Le souci de la clarté de l'exposition aurait peut-être exigé de traiter de ces deux parties séparément, la première étant une question d’histologie pure, la seconde étant à la fois cytologique et physiologique. Mais désireux de marquer aussi fidèlement que possible la contemporanéité des divers stades et phénomènes, il m'a semblé préférable de ne pas séparer ces deux points de vue. En suivant pas (#3 à pas toutes les manifestations du développement, il m eût été difficile de procéder autrement. 4 Cependant, comme il existe une certaine indépendance dans l'édification du péricarpe, d’une part, et de l’ovule et de la graine, d'autre part, j ai pu séparer sans inconvénient ce qui à trait à l'un et à l’autre. Ce travail présente donc deux parties fondamentales : dans la première il est question du péricarpe. Cette rubrique comprendra d’abord l’histoire du développement du pistil, non compris l’ovule qu’il renferme, et ensuite l'explication du parcours des faisceaux dans le pistil dont l'étude offre un si grand intérêt au point de vue de l'inter- prétation de cet organe. La deuxième partie sera consacrée à l'étude de l’ovule et de la graine considérés, ainsi que le péricarpe, d’ailleurs, principalement à trois stades : genèse, état adulte, matu- rité, mais en observant, au passage, entre ces stades, les particularités anatomiques, cytologiques et physiologiques qui semblent les plus intéressantes au point de vue de la Biologie. J'ai voulu ainsi tirer tout le parti possible des matériaux dont je disposais. de fais suivre cet exposé de mes recherches d'un chapitre intitulé « Critique historique », où je rappelle l'état de nos connaissances au sujet des questions aux- quelles ont répondu mes observations, en faisant la comparaison et la critique des interprétations qu'en ont données les auteurs. M’étant, comme je l'ai dit, attaché . à établir la contemporanéité des phénomènes que j'ai pu observer, j'ai été amené, cela se conçoit, à me répéter assez souvent dans la rédaction de ce chapitre (1). (t) Une partie notable de ce chapitre a fourni la matière d’une commu- nication préliminaire à la Classe des sciences de l’Académie royale de _ Belgique (67). (8) Celui-ci est suivi d'un résumé qui constitue plutôt les conclusions générales qui se dégagent de mes recherches et où sont groupés les prineipaux résultats obtenus. Parmi ces derniers, il y a lieu d'attirer spécialement l'attention bienveillante du lecteur sur les points suivants : la genèse du pistil et de l’ovule; le parcours des faisceaux dans les carpelles ; la constitution du péricarpe mür; celle de l'ovule adulte; celle de la graine mûre; celle des anti- podes; le rôle de ces dernières; celui de l’assise protéique de l’albumen; celui surtout de l'Ep. N. (épiderme du nucelle) ; l’embryogenèse ; le rôle du suspenseur. Les figures illustrant le présent mémoire, quoique relativement nombreuses, ne constituent encore qu'une, sélection sévère — réduite au strict nécessaire pour éclairer suffisamment Le sujet — parmi les très nombreux dessins faits à la chambre claire, au moyen desquels j'ai pu concrétiser mes observations. Ces figures sont accom- pagnées d’abréviations qui sont conformes à celles que j'ai déjà employées ailleurs (63) et dont voici la signi- fication : ABRÉVIATIONS. a. — archespore. c.m.sac. — cellule mère du sac em- A. — albumen. bryonnaire. A. am. — albumen amylacé. Ch. — chalaze. A. cl. — cellules à contenu clair e. — externe. de l’albumen. e. A. — assise externe de l’al- A. d. — albumen en voie de di- bumen. gestion. Em.— embryon. ac. — acropyle. Ep. — épiderme. An. — antipodes. ét. — étamine. c? — cellule secondaire. H. — hypostase. H'— hypostaseen formation. | P. — primine. hp. — hypophyse. Pér. — péricarpe. i. — interne. Prot, — couche protéique. LB. — faisceau libéro-ligneux. s. — pièces du périanthe. m. — moyen, S. — secondine. D copie. sac. — sac embryonnaire. N. = nucelle. Sp. — spermoderme. ng! — noyau générateur de l’œuf. : su. — suspenseur. ng? — noyau générateur de la c?. PERS = ides. n.v. — noyau végétatif. 1 BASE 0. = cellule-œuf. Tf. = tissu fondamental. Ov. — ovule ou ovulaire (faisceau) t. p. — tube pollinique. Dans le texte même on trouvera un certain nombre de ces abréviations pour désigner notamment les différentes couches cellulaires de l’ovule et du spermoderme. Elles résultent de la combinaison de quelques-unes des abrévia- tions précédentes. C’est ainsi, par exemple, que Ep.e. Per. ou Ep. e. tout court signifie épiderme externe du péri- carpe; Tf. m. ou Tf. m. Pér. veut dire tissu fondamental moyen du péricarpe; Ep. 1. P., c'est épiderme interne de la primine; Ep. 1: S., épiderme interne de la secondine; Tf. N., tissu fondamental du nucelle, c’est-à-dire paren- chyme nucellaire, etc. Je crois que l'adoption de ces abréviations que j'ai déjà employées dans des publications antérieures et pour la première fois en 1900 (65) est de nature non seulement à faire gagner du temps et de la place, ce qui est déjà quelque chose à l'heure où nous vivons, mais encore à faciliter la lecture et la mémoire des faits séminologiques, en supprimant les longueurs fastidieuses que ne manque- rait pas d'occasionner l'emploi de ces périphrases tou- (10 ) jours les mêmes qui devraient revenir si souvent sous la plume. Il serait à souhaiter qu'elle se généralisât. Notons, pour terminer, que les nombres en chiffres gras qui sont mis entre parenthèses dans le texte renvoient aux numéros correspondants de la liste bibliographique qui précède les planches. Liége, Institut botanique, le 31 décembre 1921. RECHERCHES ANATOMIQUES ET PHYSIOLOGIQUES sur Île Développement et la Structure du Fruit et de la Graine DE POLYGONUM AVICULARE L Le Polygonum aviculare L. présente un pistil tricarpellé à ovaire uniloculaire, uniovulé par dégénérescence; un ovule orthotrope bitégumenté à placentation pariétale basilaire ; le fruit étant un akène trigone, la graine albuminée, l'embryon latéral, courbe. CHAPITRE PREMIER. LE PÉRICARPE. $ 1. — CARPELLES DANS LE BOUTON FLORAL. L'évolution des premières phases du développement de la fleur est très rapide. Pour trouver la première ébauche de la formation des carpelles, il faut s'adresser à des boutons de O"1 dont les pièces du périanthe sont à peine arrivées au niveau du gynécée en voie de formation. A ce stade, les éta- mines ne sont encore que des protubérances à peine marquées; (12) le sommet végétatif de l’axe floral s'arrête dans sa croissance; il s’aplanit momentanément, au point qu'il semble même s'invaginer très légèrement. Cela résulte de la formation, à l'endroit du sommet, d’un rebord circulaire qui prend aussi- tôt un développement rapide; mais à peine le rebord est-il formé que le sommet reprend sa forme convexe (fig. 1); comme nous le verrons plus loin, ce nouveau sommet est l’ébauche de l’ovule. Le développement du rebord circulaire est marqué immédiatement par la formation de trois éminences dont une est légèrement en avance sur les deux autres (fig. 2). Ces trois émiuences sont les ébauches des stigmates, le rebord étant celle de l'ovaire (fig. 3). À aucun moment donc, on ne peut voir chacun des trois carpelles individualisés; ils sont, dès le principe, connivents par la base. | Bientôt la cupule ovarienne dépasse le sommet de l’ébauche ovulaire. A cet état (fig. 4), la paroi du jeune ovaire présente > assises de cellules dans sa partie la plus mince et 9 ou 10 assises dans sa plus grande épaisseur qui correspond aux régions surmontées par chacune des ébauches stigmatiques. Ces cinq assises représentent, en allant du dehors en dedans, l'Ep. e., le Tf.e., le Tf.m., le Tf. i. et l’Ep. i. du péricarpé. L'examen attentif de la même figure montre que l’augmen- tation du nombre des assises dans la partie épaisse résulte du recloisonnement des cellules du Tf. m. En même temps que l'ovaire s'accroît et grossit en prenant . de plus en plus la forme trigone, les stigmates s’allongent en s'épaississant au sommet (fig. 5). Ces stigmates sont pour ainsi dire sessiles sur l’ovaire; ils déterminent entre eux la forma- tion d’un canal acropylaire limité vers l’intérieur par Ep. 1. et qui se resserre de plus en plus jusqu’à se fermer lorsque la fleur est épanouïie (fig. 12 et 13). Dans ce cas, cette portion de l'Ep. i. du péricarpe devient ce que les auteurs, et notamment War (127, fig. 15H), ont appelé le tissu cellulaire conducteur. Pendant ce temps, les cellules du Tf. m. et souvent celles du Tf. i. se divisent en deux dans le sens tangentiel, de manière à (43) amener les assises du péricarpe dans les régions latérales au nombre de 7, tandis que les cellules de l’Ep. e. s’accroissent ‘ beaucoup en hauteur et en largeur et que celles de l’Ep. i. s'élargissent quelque peu dans le sens tangentiel. Quelque temps avant l'épanouissement, on voit se différencier dans les angles, au sein du Tf. m., les cordons de procambium dans lesquels s'établit bientôt la différenciation libéro-ligneuse. $ 2. — CaRPELLES DANS LA FLEUR ÉPANOUIE. (Fig. 14 et 15.) Ep. e. à grandes cellules presque parfaitement cubiques, à parois minces et à cuticule mince, renfermant un protoplasme dense et un gros noyau. Tf. constituant un parenchyme chlorophyllien, divisé en RE CET, mn. et TL. 1. Tf. e. à une assise de cellules un peu plus grandes que celles des assises suivantes : Tf. m. à 2 assises de cellules ; Tf. à. à 4 ou 2 assises de cellules. C’est à la multiplication des assises du 7f. m. et du 7f. i. que sont dus les épaississements du Tf. aux trois angles de l’ovaire. Ep. i. à cellules à parois minces, aplaties tangentiellement et allongées longitudinalement. Faisceaux. — Dans chaque angle de la paroi ovarienne, il y a un faisceau différencié en quelques trachées et quelques cel- lules libériennes. Ces faisceaux sont les médians de chacun des trois carpelles. Au milieu d’un des côtés de cette paroi, un massif de procambium s’est formé dans le Tf. m.; nous verrons plus loin quel rôle 11 y a lieu d’assigner à ce faisceau en voie de formation. (44) $ 3. — DÉVELOPPEMENT DES CARPELLES APRÈS LA FÉCONDATION. Lorsque le tube pollinique à pénétré dans le sac embryon- naire, le pistil et plus particulièrement l'ovaire continuent de s'accroître,ainsi que l’ovule,et la croissance de ces deux organes semble marcher de pair. Nous avons vu (63, p. 13) qu'il n’en était pas toujours ainsi chez les Angiospermes. a) Ep. e. Peu de temps après la fécondation (fig. 20 et 21), les cellules de cette assise se recloisonnent dans le sens de la hauteur et s’accroissent considérablement dans ce sens; elles augmentent aussi l'épaisseur de leur cuticule. Plus tard, lorsque le pistil mesure 2 millimètres de hauteur (fig. 24 et 23), ces cellules sont redevenues presque cubiques par suite de leur accroissement en largeur ; elles commencent, à ce moment, à épaissir leurs parois externes et latérales. Elles présentent, à cet état, un aspect caractéristique sur les coupes non traitées, dû à ce fait que le protoplasme s'étend autour du noyau, en travers et à mi-hauteur de la cavité cellulaire, sous forme de disque, et apparaît donc sur la coupe comme une barre transversale. Elles ont alors, en moyenne, 43 L de hauteur sur 39 4 de largeur ; elles présentent déjà des inégalités à leur surface et leurs contours superficiels, vus de face, sont sinueux (fig. 55), tandis que, plus profondément, ils constituent des polygones régu- liers (fig. 57). Cette circonstance est due évidemment à l’iné- gale répartition des épaississements intéressant les parois extérieures. b) Quant aux autres tissus, Tf. et Ep. i, le nombre de leurs assises cellulaires reste le même; les cellules n’y accroissent leur volume que dans la proportion du simple au double dans les Tf. e. et Tf. m. et un peu plus dans les Tf. i. et Ep. i. Les cellules de celui-ci s’allongent assez bien dans le sens longitu- dinal (fig. 22). (15 ) * *X * Lorsque l’akène a atteint sa taille définitive, il a environ 8 millimètres de hauteur sur près de 2 suivant sa plus grande largeur (fig. 41, akène entier). L’Ep. e. est formé de grandes cellules palissadiques dont la hauteur varie de 62 à 75 L et dont la largeur de 58 & montre qu’elles n’ont pas augmenté dans cette dimension. Leur paroi externe est fortement mais irrégulièrement épaissie, ce qui explique les différences de hauteur signalées ainsi que la pré- sence de légères dénivellations à la surface de l’épiderme. Les parois latérales sont aussi très épaissies ; cependant, ces épais- sissements vont en diminuant vers l’intérieur, tantôt progres- sivement, et alors la cavité cellulaire est conique, tantôt brus- quement à partir du quart interne de ces parois, auquel cas la cavité cellulaire a la forme d’une cloche évasée vers ses bords. A ce stade, les ponctuations de ces parois ne sont guère appa- rentes; mais tous ces épaississements, qui sont d’ailleurs sclé- rifiés, sont déjà fortement imprégnés d’une matière colorante brune. Les parois internes sont très légèrement épaissies (fig. 42). | Le Tf. présente 5 à G assises de cellules un peu allongées longitudinalement ; 1l constitue un parenchyme dans lequel on distingue : Le Tf. e. à 1 assise de cellules prismatiques de 11 à 12 y de largeur, contenant des corps chlorophylliens, à parois très peu épaissies ; Le Tf. m. à 2 assises de cellules (3 dans les angles où elles sont plus grandes) plus cylindriques, laissant entre elles des méats et à dimensions, contenu et parois semblables à celles du Tf.e.; on y trouve çà et là des cellules contenant des macles d’oxalate de chaux ; Le Tf. i. à 2 assises de cellules (3 et 4 dans les angles) beau- coup plus larges que les précédentes, méatiques, à parois très minces, sans contenu. Ce tissu est résorbé dans les angles, où il fait place à de grandes lacunes. (16) Ep. i. à cellules tabulaires, à parois minces, sans contenu, appliqué contre la graine, même dans les angles, où il limite intérieurement les lacunes laissées par la résorption du Tf. i. Bien qu'arrivé au terme de sa croissance, le péricarpe con- tinue encore à modifier quelque peu sa structure jusqu’à la maturité complète. À l’Ep. e. les parois cellulaires externes et latérales augmen- tent encore considérablement leurs épaississements sclérifiés : outre du protoplasme, les cellules renferment une certaine proportion de tanin. Les cellules du Tf. e. se recloisonnent une fois dans le sens tangentiel. Le Tf. m. porte le nombre de ses assises à 5. Ces 5 assises de cellules renferment de la chlorophylle, du tanin et quelques macles. Quant aux Tf. i. et à l'Ep. i., leurs cellules s’écrasent. $S 4. — PÉRICARPE MÜR. Le fruit du Polygonum aviculare est un akène trigone, formé aux dépens des trois carpelles ouverts el concrescents par leurs bords qui ont constitué le pistil de la fleur. Cet akène pré- sente trois faces presque planes, mais abondamment garnies d’épaississements verruqueux qui leur donnent un aspect fine- ment chagriné et un éclat gras à l'œil nu. Les couches cellulaires constituant ces faces présentent les caractères suivants (fig. 52 et 53) : Ep. e. à cellules grandes, palissadiques (voir p. 15), à parois externes et latérales considérablement épaissies, imprégnées d’une matière colorante brune, garnies de ponctuations cana- liculées, ramifiées et à disposition caractéristique et réduisant la cavité cellulaire à l’état de canal central plus ou moins étroit, ce qui contribue à donner à l’ensemble de la cavité et ACTE) des canalicules afférents l’aspect d’un arbre ramifié. L’épaissis- sement des parois externes est très inégal, de manière à consti- tuer, à l’extérieur, des verrues de faible hauteur ou de très légères dénivellations qui donnent à la surface du fruit son aspect finement chagriné. Vues de face par l'extérieur, ces cellules présentent tout à la surface, un contour très sinueux, isodiamétrique (fig. 55); un peu plus bas, ce contour se régularise, mais on aperçoit à l’mtérieur les épaississements secondaires considérables de la paroi qui délimitent une cavité interne à contours irréguliers, à laquelle viennent aboutir des ponetuations canaliculées (fig. 56); plus bas encore, les contours de la cavité interne se régularisent en s’arrondissant et l’on ne voit plus de ponctuations dans la paroi épaisse (fig. 57). Tf. e. à 2 assises de cellules opposées à parois minces, à méats petits et peu nombreux. Tf. m. à 5 assises de cellules opposées à parois minces, un peu plus grandes, formant entre elles plus de méats que celles du Tf.e. et dont la disposition en alternance avec des der- nières n’est pas toujours très marquée. On y rencontre çà et là des macles d’oxalate de chaux. Tf. i. à 2 assises de cellules légèrement écrasées. Les cellules des 7 assises précédentes sont allongées longi- tudinalement. | Ep. i. à 1 assise de cellules fortement écrasées. Quand le péricarpe a subi la dessiceation complète (fig. 61), la forme arborescente de la cavité cellulaire de l’Ep. e. n’est plus aussi marquée et la disposition des couches cellulaires est difficile à reconnaître sans l'emploi de la potasse, et malgré celui-ci, le ff. i. se regonfle à peine. Nous pouvons conclure de ce qui précède que c’est pour ainsi dire uniquement à l’Ep. e. qu'incombe le rôle de couche protectrice, les autres portions du péricarpe ne constituant guère que des tissus-tampons destinés à éviter à la graine les conséquences d’une pression accidentelle excessive. ( 18 ) $ 5. — PARCOURS DES FAISCEAUX DANS LE PÉRICARPE. (Fig. 27 et 27°.) Une coupe transversale dans le fruit de Polygonum aviculare affecte sensiblement la forme d’un triangle isocèle dont les deux côtés égaux sont plus petits que le troisième. Les trois angles du triangle sont occupés par les faisceaux médians de chacun des trois carpelles qui entrent dans la constitution de l’akène. Théoriquement, au milieu de chacun des trois côtés, on devrait trouver les faisceaux latéraux établis par paires, faisceaux qui, dans les cas analogues, fonctionnent comme faisceaux placentaires. Voyons ce qu’il en est : L'ovaire est absolument sessile sur l’axe floral ; mais il ne le continue pas directement. L’axe floral est « épuisé », suivant l'expression de Van TieGHeM (115, p. 32). Des coupes longi- tudinales bien orientées, quand elles intéressent un stade convenable du développement de la fleur (fig. 19 et 19°), font voir que les éléments anatomiques se rendant dans l’ovaire ne sont pas en continuité directe avec ceux de l’axe floral. Ces circonstances sont une preuve de la nature appendiculaire des parties constitutives de l'ovaire. Quoi qu'il en soit, celles-ci reçoivent de l’axe floral quatre faisceaux A, B, C, D, A occupant l’angle sommet du triangle, B l’angle basilaire de droite (fig. 24) (*), C l’angle basilaire de gauche et D le milieu du côté basilaire BC. Il est à remarquer que c’est du côté AR que l'ovaire s’affranchit d’abord de tout contact avec les pièces florales voisines, tandis que dans la partie opposée, ce contact dure plus longtemps et s'étend même pour le milieu du côté BC à 0®"3 plus haut que le premier niveau considéré dans un ovaire de 1°"5. C’est le long de cetté région adhérente que chemine d’abord le faisceau D, et cette adhérence n’est pas terminée que le faisceau D se bifurque (*) Supposons l’observateur placé au milieu du triangle, le dos tourné vers le sommet. (19) pour former une branche interne destinée à l’ovule et une branche externe que nous continuerons d'appeler D. | Comme nous l’avons vu, les faisceaux A, B et C sont les médians des trois earpelles formant le pistil et que nous dési- gnerons par les mêmes lettres À, B et C. D'autre part, l’adhé- rence qui se prolonge au milieu du côté B C indique la région où se manifeste la concrescence congénitale des bords des carpelles B et C. La même chose se constate presque au même niveau pour les bords des carpelles A et C, tandis que pour voir la dernière trace de mise en contact des bords des car- pelles A et B, il faut s’adresser au premier niveau dont nous sommes parti. A cet égard, il y a lieu d'observer, et cela découle de ce qui précède, que c’est le carpelle C qui se dégage le dernier de tout contact avec les pièces florales qui l’envi- ronnenl. Quant au faisceau D, c’est le seul latéral qui se présente suivant la règle reconnue dans les carpelles d’autres plantes étudiées jusqu'ici ; 1l à les allures d’un faisceau placentaire. Il est assez difficile de déterminer à quel carpelle il faut le rattacher, si l’on s’en tient à l’examen de sa course initiale ; mais le fait que son parcours se termine dans une région dépendant sans conteste du carpelle © (base du stigmate, fig. 27b) est décisif à ce point de vue : le faisceau D doit être considéré comme occupant l'extrême bord gauche du carpelle C. Il n’est pas absolument exact de dire que cette position corres- pond au milieu de la paroi B C de l’ovaire, du moins en ce qui concerne sa moitié inférieure. En effet, la distance B D est double de la distance D C. Malgré cette proximité plus grande de C et malgré le fait que C et D font partie du même carpelle, 1l est remarquable de constater que jamais il ne s'établit entre eux de relation vasculaire, alors que B, après avoir accompli le tiers de son . parcours, envoie une anastomose vers D, en même temps qu'il contribue à fournir les éléments d’un petit faisceau e qui, dès ce niveau, court parallèlement à D, entre D et B, pendant l’espace d’un peu plus du second tiers du carpelle, après quoi (2% ) il va se rejeter dans B; vers le milieu de son parcours, B envoie une anastomose vers e. Au niveau même où e prend naissance, C produit également une ramification f qui s'étend parallèle- ment à D, entre D et C, sur un espace d’un peu moins d’un tiers de la hauteur du carpelle où 1l va se rejeter dans C ; un peu plus haut, C fournit un petit faisceau g qui s’allonge à moitié chemin entre A et C, pour s'étendre au même niveau que f, mais en se jetant dans À; mais auparavant, 1l s’est établi une anastomose d'abord entre g et À, puis, un peu plus haut, entre g et C. En même temps que se produit g, À engendre un petit faisceau hk qui parcourt l’espace entre A et B pour se rejeter en À en profitant d’une anastomose que B envoie à A et qui touche ce dernier au niveau de l'extinction de f et de g. Le tiers supérieur des parois de l’ovaire ne présente plus que les quatre faisceaux initiaux A, B, C et D. Ils s’éteignent tous en pointe libre à fa hase des stigmates, sauf C qui se prolonge presque jusqu’à l'extrémité du stigmate C, leque] dépasse d’ailleurs les deux autres. Les données qui précèdent sont résumées dans la figure 27 qui n’est que la projection sur un plan du parcours des faisceaux dans l’ovaire du Polygonum aviculare. Pour l'obtenir, j'ai supposé l'ovaire fendu le long des bords concrescents des carpelles B et C, puis étalé à droite et à gauche du faisceau A pris comme axe, les térmes droite et gauche étant pris dans le sens de l'hypothèse formulée précédemment en note. Ceci posé, j'ai repéré la position des faisceaux de bas en haut sur une série de coupes transversales successives dans le pistil arrivé à sa taille définitive. La figure 27 donne la perspective du même parcours. Dix-sept séries semblables ont été soumises à un examen attentif; onze se sont montrées conformes à la description qui précède, sauf en des détails minimes concernant les petits faisceaux e, f, g, h, et des anastomoses qui sont rarement plus nombreuses, souvent Je sont moins; c’est ainsi que notamment, dans trois ovaires, le faisceau D n'avait absolument aucune liaison anastomotique pas plus avec B qu'avec C ; dans'un seul (#4) cas, C envoyait une anastomose vers D en passant par f; mais ‘encore il ne m’a pas été possible de voir la jonction de cette anastomose s'établir nettement avec D. Dans un autre cas encore, g, au lieu de se jeter dans À est venu se rejeter dans C, non sans avoir toutefois envoyé plus bas une anastomose vers A. Enfin dans quatre ovaires, k avait simplement l’allure d’une anastomose plus ou moins allongée entre A et B. Quant aux six autres séries, deux présentaient des coupes transversales ayant encore, il est vrai, la forme de triangles isocèles, mais tels que les deux côtés égaux étaient plus grands que le troisième. Le petit côté correspondait au côté A C de l'exemple précédent, mais c'est la seule différence que ces ovaires présentaient avec les conséquences qu’elles entraiînaïent au sujet de la nervation des carpelles, dont l’allure générale restait d’ailleurs la même. Dans les quatre derniers ovaires, c'était toujours le côté B C qui portait le faisceau placentaire D ; mais celui-ci dépendait manifestement du carpelle B et c'était ce dernier qui avait tous les caractères que nous avons relevés chez C dans l’exemple précédent. Dans trois de ces ovaires, le côté A B était plus petit que les deux autres, dans un le côté B C était le plus grand. Nous pouvons tirer de ces faits les conclusions suivantes : 1. Le pistil de Polygonum aviculare est inséré obliquement par rapport à l’axe floral. 2. Les faisceaux qui l’innervent ne sont pas en continuité directe avec les faisceaux de l’axe floral. 3. C'est le carpelle qui se dégage en dernier lieu de toute adhérence périphérique qui est le carpelle fertile. 4. La situation de ce carpelle n’est pas toujours la même par rapport à l’axe floral. 5. Seul, le stigmate surmontant ce carpelle est vascularisé et il dépasse légèrement les deux autres. (22) 6. La masse du carpelle fertile est plus petite que celle de chacun des carpelles stériles. 7. Seul, ce carpelle présente un faisceau placentaire carac- térisé. 8. Le côté intéressé par le placenta est le dernier à se dégager des adhérences périphériques. 9. Ce côté est le plus large des trois côtés de l'ovaire. 10. L’ovaire est parcouru dans toute sa hauteur par quatre faisceaux, les trois faisceaux médians et le faisceau placentaire. 11. Tous ces faisceaux s’éteignent à la base des stigmates, sauf le médian du carpelle fertile qui se prolonge dans le stig- mate dépendant de ce carpelle. 12. La région formant le tiers moyen de la hauteur de l'ovaire est parcourue par de petits faisceaux issus des trois faisceaux médians et par quelques anastomoses reliant ces faisceaux entre eux. CHAPITRE IT. LE SPERMODERME. L’ovule du Polygonum aviculare est orthotrope, solitaire et ascendant ; il possède deux téguments. $ 1. — OVULE DANS LE BOUTON FLORAL. A. Genèse de l’ovule. — Nous avons dit au début du $ 4° du chapitre précédent qu'après la formation du rebord circulaire qui constitue l’ébauche de l’ovaire, le sommet végétatif de l'axe floral semble reprendre sa forme convexe à l’intérieur de Îa cupule ovarienne. Cependant, on s'aperçoit bientôt que ce som- met ne continue plus parfaitement l’axe floral, car sa base empièête légèrement sur le rebord du côté où s’est formée l’éminence, ébauche de stigmate, en avance sur les deux autres. En réalité, il ne peut être question ici de sommet végétatif, mais bien de l’ébauche de l’unique ovule que renferme l'ovaire. De ce que ce mamelon ovulaire s'appuie sur le rebord de la façon indiquée plus baut, il faut conclure qu'il dépend de celui des trois car- pelles qui prédomine pendant tout le cours du développement : de l'ovaire. Ce n’est qu'après avoir coupé longitudinalement - un grand nombre d’axes floraux jeunes qu’il m’a été donné de voir trois fois ce stade précis du développement du gynécée suivant l'orientation convenable (fig. 1, 2 et 3). La croissance du mamelon ovulaire prend d’abord de l'avance sur celle de la cupule ovarienne et bien avant que celle-ci n'ait atteint le sommet du mamelon, avant done que le mamelon ovulaire ne montre de traces de téguments, ce dernier présente déjà vers son sommet la cellule mère ancestrale (archéspore) (24) du sac embryonnaire, reconnaissable à son noyau très réfringent et plus gros que celui des cellules voisines. Cette cellule mére fait partie de la file de cellules qui occupe l'axe du mamelon ovulaire. Elle en est la dernière sous l’épiderme (fig. 2). B. Formation du sac embryonnaire. — En même temps que les téguments apparaissent sous forme d’un bourrelet circulaire à la base de ce que nous devons désormais nommer le nucelle, la cellule mère ancestrale du sac embryonnaire se divise en deux transversalement par rapport à l’axe de l’ovule. Un peu plus tard (fig. 4), lorsque les téguments ont un peu dépassé la moitié de la hauteur du nucelle, on constate que, des deux cellules issues de la division de la cellule mère ancestrale, celle qui confine à l'£p. N. est restée indivise, tandis que l’autre, située au-dessous et qui est la cellule mère primordiale du sac embryonnaire, subit deux bipartitions successives dans le sens transversal, formant ainsi quatre cellules filles disposées à la suite les unes des autres. Les autres cellules du nucelle, for- mant trois assises entre les cellules filles et l’Ep. N., s'étirent en longueur, commençant à se disposer en éventail : c’est le Tf. N. On peut déjà distinguer à ce stade quelles seront les limites futures du sac embryonnaire englobant les cellules destinées à être résorbées par la cellule mère définitive du sac. A ce stade aussi, la cupule ovarienne a longuement dépassé le sommet du nucelle et les lobes stigmatiques sont même déjà bien reconnaissables. En somme, l'ovaire est dès lors constitué dans toutes ses parties, bien qu'il forme au-dessus du nucelle un canal encore assez largement ouvert. Par ia suite, celui-ci se referme par la jonction des bords internes (fig. 5) et, de leur côté, les téguments dépassent Île nucelle (fig. 6). Pendant ce temps, la plus profonde des cellules filles, qui n’est autre que la cellule mère définitive du sac embryonnaire, se montre douée d’une activité particulière : elle commence par absorber la substance de ses sœurs qui la précèdent et qui n’en sont d’ailleurs séparées que par des cloi- sons facilement gélifiables, puis elle attaque les cellules du (25). .1f. N. qui se trouvent à ses côtés et s’agrandit ainsi aux dépens de toutes ces cellules dont elle finit par occuper la place. En même temps, les deux cellules de la file axiale qui la suivent vers la base de l’ovule se divisent en quatre; la tétrade contiguë à la cellule mère définitive ne tarde pas à être résorbée à son tour ; l’autre tétrade est destinée à former l’hypostase. Quant à la cellule hypodermique issue de la division de la cellule mère ancestrale (archéspore), elle s’est divisée dans l’entretemps en deux ou trois cellules par des cloisons tangentielles et per- pendiculaires; elles subsistent pendant quelque temps ainsi que les cellules du Tf. N. qui les environnent immédiatement, formant une espèce de « calotte »; mais tout leur ensemble subit également la résorption et la cellule mère définitive du sac embryonnaire vient confiner à l’Ep. N. Aussitôt son novau se divise, par trois bipartitions successives, en huit (fig. 7 et 8) et,-à ce stade, le nucelle, en dehors du sac embryonnaire, comporte un 7f. N. dont les assises ont perdu leur régularité par suite du recloisonnement des cellules en divers sens et de leur étirement pour se disposer en éventail autour de la moitié supérieure du sac. Au-dessous de celui-ci, l’hypostase se différencie en s’annexant des cellules 7f. N. L’Ep. N. forme une assise très nette et simple qui s’est carac- térisée de bonne heure par le contenu dense de ses cellules et les téguments finissent par envelopper complètement le nucelle. Le sac embryonnaire achève de se constituer lorsqu'il ren- ferme enfin (fig. 9), en haut, une oosphère et deux synergides, au milieu, un noyau secondaire et en bas, trois antipodes. Celles-e1 sont d’abord disposées de telle façon que deux sont serrées côte à côte dans le fond du sac, tandis que la troisième les dépasse en haut. Elles sont déjà nettement individualisées, alors que les autres noyaux du sac présentent encore divers stades de la division karyokynétique. Avant même que celle-ei soit achevée pour ces noyaux, les trois antipodes ont grossi el, à cause de l’étroitesse du fond du sac embryonnaire, elles se sont disposées toutes trois en file. A ce stade, on voit parfois une ou peut-être deux cellules du sommet de l’Ep. N. se diviser ( 26 ) en deux par une cloison tangentielle; mais ce cas doit être exceptionnellement rare, puisque je ne l'ai observé que dans un des très nombreux ovules examinés. | C. Formation des téquments. — Au moment à peu près où les bords de la cupule ovarienne atteignent le niveau du som- met du mamelon ovulaire, l’épiderme de celui-ci, au tiers de sa hauteur, manifeste une activité génératrice particulière, en même temps qu'il se produit des recloisonnements dans les cellules sous-jacentes; c’est le prélude de la formation des téguments. Comme toujours, la secondine se forme la première et la primine la seconde; mais celle-ci ne dépasse, si tout au plus elle l’atteint jamais, le niveau de la première. Les tégu- ments s’accroissent et restent composés chacun de deux assises de cellules et, vers l’époque où les noyaux du sac embryonnaire subissent leur dernière bipartition, ils finissent par envelopper complètement le nucelle, la secondine faisant tous les frais dans la constitution du micropyle. En effet, dès que ses bords dépassent le sommet du nucelle, ils commencent à s’épaissir de plus en plus tout en s’allongeant, d’abord parce que les cellules y augmentent beaucoup de volume, puis parce que celles de l’Ep. i. S. s’y subdivisent plus tard en deux ou trois assises irrégulières; elles comblent aussi l’ouverture micro- p\laire qui ne subsiste que sous la forme d’un canal très étroit el assez long. Enfin on constate que l’ensemble ovulaire se partage à peu près en deux parties égales, une moitié distale commençant au niveau d'insertion des téguments et l’autre moitié proximale ou basilaire constituée par un massif de cellules guère différenciées encore et destinée à former la région chala- zienne en haut et le funicule en bas (fig. 7). Toutes les parties de l'appareil sexuel étant ainsi formées, celui-ci n’est cependant pas encore complètement paré pour accomplir l'acte de la fécondation. L’ovule s'agrandit encore un peu; les cellules du Tf. N. se recloisonnent activement tout en s'étirant de plus en plus en forme d’éventail; les plus voi- sines du sac embryonnaire qui s’élargit sont écrasées; l'Ep. N., (2T ) au sommet, se creuse à l’intérieur par le travail du sac, ce qui provoque de plus une légère dislocation des cellules de l’Ep. N. tout au sommet. C’est sous l’espèce de coupole qui en résulte que sont logés les éléments du groupe synergique. $ 2. — Ovure ADULTE. (Fig. 10, 11, 14 et 16.) Quand la fleur s’épanouit, l’ovule est adulte, c’est-à-dire qu’il est apte à être fécondé. 11 mesure alors environ 0"*5 de longueur sur 0""18 de largeur, le pistil tout entier étant long d’un millimètre à peu près. Il comprend deux téguments minces et un nucelle épais; la primine est plus courte que la secondine (fig. 10 et 11, coupe longitudinale de l’ovule d’une fleur récemment épanouie). L’ovule du Polygonum aviculare est, en somme, pour employer la terminologie de Van TiiGHEM (119), bitegminé perpariété. 4° Primine à deux assises de cellules : Ep. e. P. à une assise de cellules relativement assez grandes à protoplasme clair. Ep. i. P. à cellules plus petites, à protoplasme plus dense. 2° SECONDINE à deux assises de cellules semblables, plus petites que celles de l’Ep. i. P. et à protoplasme aussi dense. Au niveau du micropyle l’Ep. i. S. se dédouble en deux cou- ches de grandes cellules formant un bord épais. 3° NUCELLE : Ep. N. à une assise de cellules plus grandes encore que celles de l’Ep. e. P., ne se dédoublant qu’excep- tionnellement au sommet où ces cellules sont bombées vers l'extérieur, renfermant un protoplasme dense et un noyau volumineux (6 u) et sphérique. Tf. N. de trois à cinq couches de grandes cellules de forme plus ou moins étirée en sens oblique (disposition en éventail), à contenu peu dense, celles avoisinant le sac embryonnaire étant écrasées. Sac embryonnaire oceupant presque toute la longueur du ( 28 ) nucelle, présentant assez bien la forme d’un entonnoir très allongé, ayant 0,""223 de longueur et dont le bout élargi s'appuie directement contre l’Ep. N. Le sac embryonnaire renferme vers le haut deux synergides el une oosphère qui semblent suspendues sous la coupole que forme l’Ep. N. L'oosphère dépasse notablement vers le bas les deux synergides ; leurs noyaux, pourvus d’un nucléole, sont sensiblement de même largeur et occupent le bas de chacune des cellules respectives, entourés de protoplasme granuleux ; mais tandis que le noyau de l’oosphère est bien sphérique, celui des synergides est plutôt lenticulaire, comme le montre, sur la figure, celui de la synergide de droite qui est vue de profil. Le noyau de l’oosphère n’est pas plus gros que ceux des cellules de l'Ep. N. (6 p). Ceux des antipodes sont plus petits ; ils renferment égale- ment un nucléole. Ces trois corps cellulaires ont un protoplasme très granuleux. Le plus inférieur est le plus petit ; il est clavi- forme ; les deux autres présentent l'aspect de corps sphériques pédicellés, insérés sur les cellules du nucelle qui forment l'hypostase. Très à l’étroit dans le fond rétréci du sac embryon- naire, les antipodes sont obligées de se disposer à la suite les unes des autres ; leur corps est beaucoup mieux délimité que celui des synergides. Enfin, entre les trois corps cellulaires du bas et les trois du haut du sac embryonnaire, mais beaucoup plus rapproché de ceux-ci, se trouve le noyau secondaire du sac. Il est beaucoup plus volumineux que celui de l’oosphère ; il a plus de 8 x de diamètre et il renferme un nucléole aussi gros que le noyau des antipodes. Mais il n’est pas plongé à même le protoplasme du sac embryonnaire ; de même que les autres noyaux dépen- dent d’un corps cellulaire propre, de même le noyau secondaire occupe le centre d’un corps protoplasmique particulier délimité par une membrane albuminoïde et qui mérite d’être considéré comme une cellule autonome à laquelle je propose de donner le nom de cellule secondaire. Elle est ovoide et mesure 15,5 u de longueur sur 9,6 de largeur. Son protoplasme est beaucoup ; (29 ) moins granuleux que celui de la masse centrale du er à du sac qui l'entoure. Le corps protoplasmique du sac embryonnaire présente une disposition remarquable que j'ai retrouvée assez souvent pour pouvoir la considérer comme étant un cas normal chez le Polygonum aviculare : Il comporte : 1° une masse centrale entourant la cellule secondaire; cette masse n’occupe pas, à la vérité, le milieu du sac, mais est fixée aux deux tiers de sa hauteur ; elle est donc beaucoup plus rapprochée de l’oosphère que des antipodes. De cette masse rayonnent : 2° des cordons protoplasmiques dont l’un, très épais et court, la relie au pro- toplasme entourant les synergides et l’oosphère ; un autre, un peu moins épais mais plus long, va s’épancher autour des antipodes et un certain nombre d’autres plus minces encore relient latéralement la masse centrale à l’utricule pariétale qui épouse la forme du sac embryonnaire. Sous ce dernier, une dizaine de cellules se distinguent des autres cellules voisines du nucelle par leurs dimensions un peu plus grandes et par leurs membranes un peu plus épaisses et réfringentes ; elles marquent le début de la différenciation de l’hypostase ; elles sont au niveau de l’insertion des téguments sur le nucelle et confinent par conséquent à la chalaze. A celle-ci aboutit un faisceau conducteur encore à l’état procam- bial qui, comme nous lavons vu plus haut (p. 19), est fourni par le faisceau placentaire D. Déjà à ce stade, on peut remarquer que le tissu accom- pagnant le faisceau conducteur se dilate au-dessous de la cha- laze sous forme d’une coupe dont les bords s’éteignent sous l'insertion de la primine (fig. 10, dessin d'ensemble). $ 3. — DÉVELOPPEMENT DE L'OVULE APRÈS LA FÉCONDATION. L'acte de la fécondation semble prendre un temps relative- ment considérable pour s’accomplir. En effet, nous avons vu que dans une fleur récemment épanouie, l’ovule apte à être ( 30 ) fécondé mesure 0®"5 de longueur. Ajoutons qu’à ce moment l’ovule remplit parfaitement la cavité ovarienne (fig. 40) et que, par conséquent, le micropyle touche le tissu conducteur du style, ce qui permet au tube pollinique de passer directe- ment de celui-ci dans celui-là. | À partir de ce dernier instant jusqu'à la maturité complète de la graine, les modifications qui frappent les diverses parties de l’ovule et les phénomènes qui les accompagnent sont assez nombreux et importants pour que nous nous voyions obligé de les considérer à diverses étapes entre ces deux périodes extrêmes, et comme ce sont ceux affectant le sac embryonnaire et ses dépendances qui régissent les autres, il est naturel de les envisager en premier lieu. | A. Dès que le tube pollinique entre en contact avec l’Ep. N., l’ovule et surtout l'ovaire prennent un accroissement rapide, à tel point que lorsque l’ovule atteint 0""75 de longueur sur Oun95 de largeur, l'ovaire mesure le double et sa cavité interne a O9 de longueur ; le sac embryonnaire est long de 0""45 et, à ce stade, les phénomènes de la fécondation ne sont pas encore arrivés à la phase active (fig. 17 et 18). En effet, le tube pollinique est entré dans le sac embryonnaire en se frayant un passage entre les deux cellules de l’Ep. N. se trouvant en face du canal micropylaire. Une de ces cellules semble avoir subi un commencement de désorganisation, puisqu'on ne lui voit plus de noyau. Le noyau végétatif du tube pollinique s’est arrêté à la base de l'appareil synergique; 1l à pris une forme vermi- culaire. Un des novaux généraleurs, très petil, est arrivé au contact du noyau de l’oosphère, mais 1ls sont encore au stade de repos. L’oosphère n'a guère changé de dimensions. L'autre noyau générateur s’est avancé au devant du noyau secondaire du sac en cheminant Île long du cordon protoplasmique anté- rieur, qui s’est considérablement allongé, en même temps que le noyau secondaire s’est d'autant éloigné de l’oosphère. Car, tandis que lors de la floraison (fig. 11), ces deux derniers noyaux n'étaient séparés que d’une longueur de O""O18, au (31) state actuel ils le sont de 0""154. Le second noyau générateur et le noyau secondaire sont à la prophase de la division nucléaire. [1 semble donc en devoir résulter que la formation de l’albumen est légèrement en avance sur celle de l'embryon. Quant aux synergides, dont une seule est à peine visible, sur la figure, à droite de l’oosphère, l’autre étant cachée derrière elle, elles sont déjà en voie de régression. Les antipodes se sont sensiblement agrandies, surtout celle qui se trouve en avant et que nous nommerons désormais la supérieure. Leur protoplasme est très dense et leurs noyaux se sont considérablement agrandis en prenant des formes irré- gulières, comme s'ils étaient prêts à subir une fragmentation. Les téguments montrent toujours leurs assises au complet avec les caractères qu'ils avaient précédemment. Cependant, le protoplasme des cellules de Ep. e. S. devient plus aqueux, plus clair que celui des couches voisines. À l’Ep. N., au contraire, le protoplasme devient tellement dense et granuleux que les noyaux s’y distinguent à peine. De même dans le 7f. N. le protoplasme s’accentue davantage ; mais ce tissu se résorbe de plus en plus dans la moitié anté- rieure, de sorte que le sac embryonnaire est largement en contact avec l’Ep. N. Cependant, 1l subsiste encore quelques cellules du 7f. N. autour des synergides qu’elles suivent dans leur résorption. Tous ces tissus tégumentaires subissent, dans le sens trans- versal, des recloisonnements actifs, surtout vers la base. On remarque aussi que l’hypostase se différencie nettement. Elle forme un disque de l'épaisseur de deux cellules, en moyenne, isolant le Tf. N. de la chalaze, celle-ci restant en contact avec l’Ep. N., la secondine et la primine. Non loin de celle-ci aboutissent les dernières ramifications du faisceau ovulaire, lesquelles sont encore à l’état procambial. B. Le noyau mâle finit par entrer en copulation avee le noyau de l’œuf. Le résultat de cette fécondation est la forma- tion d’un embryon composé de deux cellules séparées par une (32) cloison transversale par rapport au grand axe. La cellule supé- ricure formera le suspenseur, l’inférieure donnera naissance à l'embryon proprement dit. La cellule primordiale du suspenseur se divise de nouveau en deux par une cloison transversale. La cellule primordiale de l'embryon prend une cloison perpendiculaire. Ensuite, les deux cellules de l'embryon se divisent, chacune en deux, par une cloison transversale. Une nouvelle bipartition provoque aussitôt, par la formation de cloisons longitudinales, dans un plan perpendiculaire aux précédentes, l'existence d’un embryon à huit cellules. Les quatre cellules du sommet entrent de nouveau en division transversalement, tanilis que les quatre cellules de la base restent momentanément indivises. En même temps les deux cellules du suspenseur qui sont restées à l'état de repos jusqu'ici se recloisonnent, la supérieure, c'est-à-dire celle qui confine à l’Ep.N., transversalement, l'inférieure longi- tndinalement. Des deux cellules issues de la première, la supé- rieure, plus petite et plus étroite, forme bientôt un crampon attachant le suspenseur à l’Ep. N. et l'inférieure devient assez grande et contribuera seule, par des recloisonnements succes- sifs, à l'allongement ultérieur du suspenseur. Les deux cellules issues de la seconde sont destinées à former l’hypophyse, sur le rôle de laquelle HansTEIN (43) et plus récemment Souèces (101) se sont longuement étendus. On arrive ainsi à la constitution de l'embryon tel qu'il se présente dans la figure 25 (coupe longitudinale dans un ovaire de près de 2 millimètres). L'ovule à alors près d’un millimètre de longueur sur une largeur de 0""253. Le sac embryon- naire a atteint 0"*53 de longueur ; il renferme un protoplasme pariétal polyplastique parsemé de noyaux nucléolés à peu près équidistants. Vers la base rétrécie du sac, de minces cordons protoplasmiques traversent la région vacuolaire médiane du sac. Les synergides sont presque totalement résorbées; elles bordent la cellule-crampon du suspenseur. Les antipodes sont au même état où nous les avons vues précédemment. On ne voit plus de trace de cellules du Tf. N. dans la région micro- (33) pylaire du sac. Célui-ci confine de plus en plus largement avec Ep. N. Peu de changements dans l’aspect et la constitution des téguments : l’Ep. ti. P.se fait remarquer par son protoplasme chargé de grosses granulations, tandis que les cellulés de l'Ep. N. présentent toujours un protoplasme abondant et un gros noyau sphérique. | L'hypostase prend de plus en plus d’extension. C. Ovaire et ovule continuent de grandir, tandis que l’em- bryon s’accroit lui-même sans trêve, en prenant d’abord la forme sphérique, et que l'albumen s'organise en direction centripèté. Dans un ovule de 1""35 de longueur (fig. 28, 29, 30 et 51), l'embryon à 008 de diamètre. Il est parfaitement sphérique ; lé dérmatogène y est déjà bien caractérisé. On distingue nette- ment les deux cellules hypophysaires auxquelles fait suite vers la voûte du sac embryonnaire une file de quatre cellules formant le suspenseur proprement dit : d’abord deux cellules discoïdes, une troisième beaucoup plus grande et à grande vacuole que l’on pourrait qualifier de cellule nourricière, enfin une qua- trième qui est la cellule-crampon. Celle-ci justifie très bien le nom que Je lui donne par le fait qu’elle enfonce, entre les cellules de l’Ep. N. formant la voûte, des prolongements cellu- laires, véritables erampons par lesquels le suspenseur fixe l'embryon au sommet du sae. L'albumen s'organise activement en tissu qui se développe de la périphérie vers le centre ; celui-ci n’est pas encore comblé que déjà on peut constater des différenciations dans les cellules. D'abord tout à la périphérie s'étend une assise de cellules rectangulaires presque sans vacuoles dont l’axe externe-interne est un peu plus court que les deux autres ; c’est la future assise protéique. Au-dessous, sont des cellules allongées vers l’inté- rieur, présentant un contenu protoplasmique creusé de vacuoles. Bordant la cavité centrale, existent des cellules plus pétites, à protoplasme vacuoleux, qui se divisent activement. 3 (34) Enlin, entourant étroitement l'embryon, se trouvent des cellules plus petites en général que les autres cellules de l’albumen. Parfois les cellules rangées contre l’embryon prennent l'aspect d'un épithélium. Il y a lieu de noter qu'actuellement rien ne différencie la nature du protoplasme de toutes les cellules de l'albumen. Quant aux antipodes, elles méritent une mention spéciale. La première qui occupe l'extrême fond du sac, s’est peu agrandie et a pris une forme conique, la pointe en bas; son noyau resté unique est en voie de résorption. La seconde a un peu plus augmenté de volume et son noyau s’est fragmenté en deux parties, dont l’une montre également une tendance à se résorber, tandis que l’autre, contenant un nucléole, présente des signes d'activité très manifestes. La supérieure a pris un développement considérable en forme d’ampoule dont le centre est occupé par une grande vacuole entourée par un corps protoplasmique dense divisé en trois portions, résultat sans doute d’une légère plasmolyse, mais qui s’amincit en tous cas beaucoup dans la région en contact avec l’albumen. Le noyau de cette antipode s’est divisé par fragmentation en une ving- laine de noyaux de grosseurs variables, les uns en voie de résorption, les autres, munis de nucléoles, montrant une acti- vilé persistante, puisqu'ils continuent à se fragmenter. Dans les téguments, on remarque ce qui suit : PRrOINE : Ep. e. P. ; les cellules s’allongent longitudina- lement ; leur contenu devient de plus en plus clair. Ep.i. P.; les cellules sont allongées transversalement ; leur contenu est toujours dense. SECONDINE : Ep. e. S. résorbé en grande partie; là où elles subsistent, les cellules sont vides. Ep. i. S. se comporte comme l’Ep. i. P. NuceLe : Ep. N. Il se fait remarquer par ses cellules riches en protoplasme chargé de substances albuminoïdes. Au voi- sinage de la voûte du nucelle, les cellules de lEp. N. con- servent leur forme un peu papilleuse et assez petite (fig. 29), (35) tandis qu'ailleurs, les cellules sont assez grandes et larges, plus ou moins tabulaires ; elles occupent une épaisseur au moins égale à l’ensemble de la primine ; leurs parois transver- sales sont très minces et, dans les régions moyenne et basilaire, on constate que les noyaux s’allongent dans le sens de l’axe de l’ovule et montrent souvent en leur milieu un étranglement, chacune des deux parties présentant un nucléole, ce qui semble indiquer que ces noyaux se préparent à se diviser par simple fragmentation (fig. 50). Tf. N. Il se résorbe de plus en plus. Il n’intéresse plus que le tiers inférieur du nucelle (fig. 28 et 51); mais les cellules qui subsistent et qui dans leur ensemble forment un tissu en entonnoir renferment toujours un contenu abondant. L'hypostase occupe toute Ja région chalazienne, à part une lisière en forme de verre de montre comportant une épaisseur de deux ou trois cellules à contenu dense qui tapisse intérieu- rement les tissus vascularisés. L’hypostase est constituée par des cellules assez grandes, à parois fermes et à contenu très clair ; les noyaux y occupent toujours une position pariétale. Vers ses bords, elle est séparée de la lisière de cellules à contenu dense par une ou deux couches de cellules vides qui sont dans le prolongement des assises de la secondine; Lout à la base, les cellules de l’Ep. N. en contact avec ces cellules vides sont elles-mêmes vides sur une hauteur de deux ou trois cellules. D'autre part, il semble bien qu'il n'y à aucun rapport osmo- tique entre les cellules du 7f. N. et celles de l’hypostase, qui ne sont pas en contact non plus avec les cellules actives de l’'Ep. N. La lisière de cellules à contenu dense s’évanouit par ses bords au contact des cellules qui prolongent vers le bas l’Ep. 1. P. Le centre de l’hypostase est occupé par des séries de cellules plus grandes que les autres et mettant en rapport les cellules de la lisière avec les antipodes qui viennent se greffer sur les dernières cellules de ces séries en s’insinuant entre un petit groupe de cellules riches en protoplasme très granuleux et dont l'aspect est tout différent de celui des cellules du 7f. N. Ces cellules ne tardent d’ailleurs pas à disparaître par résorp- ( 36 ) tion. I est probable qu’elles ont pour origine les cellules du If. N. sur lequel reposait le fond du sac embryonnaire, comme le montre la figure 25. | En résumé, dans l’état actuel tout se passe dans l’ovule comme SI : | a) L’Ep. N. et le Tf. N. restent en rapport osmotique et sont isolés de tous les autres tissus vivants y compris les anti- podes (fig. 54). b) L’embryon est en rapport osmotique avec l'Ep. N. par l'intermédiaire du suspenseur; aucun échange osmotique ne semble se manifester entre l'embryon et l’albumen (fig. 29). c) Le faisceau ovulaire s’irradie au-dessous de la chalaze en sept ou huit branches (fig. 32) qui se dirigent vers la primine. Ce tissu vascularisé fournit des matériaux nutritifs à la lisière de cellules à contenu dense qui se continue vers la dr (Hig. 28). d) Les cellules de cette lisière sont en relation osmotique avec les antipodes par l'intermédiaire des séries centrales: des: cellules: de l’hypostase. e) Des échanges osmotiques s’établissent entre les antipodes et l’albumen. Ces constatations serviront à établir se loin des conclusions sur le rôle physiologique des diverses parties de l’ovule. D. L'ovule poursuivant sa croissance est le siège de change- ments assez notables pour nous y arrêter quand il atteint une longueur de 1765. L’embryon (fig. 34) est pourvu d’un, susperseur filamenteux composé de septcellules, non compris lhypophyse. Celle-er fait corps avec l'embryon proprement dit; elle constitue le point de départ du dermatogène: On disüngue nettement la démiar- cauon entre l'histogène du parenchyme cortical: et celui du cylindre central. Le parenchyme cortical, formé d’une:assise: de cellules sous-épidermiques suivant les côtés de l'embryon, se continue par une assise sous le sommet élargi; mais suivant deux points opposés du bordide:ce sommet, on voit se produire: (81) un recloisonnement tangentiel des cellules de ce parenchyme, prélude de la formation des cotylédons. A ce stade l’albumen a fini par combler sa cavité centrale (fig. 55); les cellules de son assise externe se recloisonnent tangentiellement; d’ailleurs les cellules profondes de l’albumen sont aussi susceptibles de recloisonnements par la voie mitolique. Dans les téguments (fig. 35), l'Ep. e. S. se résorbe de plus en plus; à l’endostome, les cellules commencent à subériser leurs parois. À V’Æp. N. la fragmentation des noyaux se poursuit assez activement; les cellules continuent de grandir et de s’épaissir. E. Dans un fruit de 2"%8, presque arrivé à sa taille défini- tive (fig. 36), l’ovule atteint 1"°77 environ. Il y a lieu de noter que jusqu'ici, nous avons compris dans la mesure de l’ovule la partie amineie de celui-ci, laquelle s'étend, sur une longueur de 0""5, depuis la chalaze jusqu’à l'insertion de l’ovule sur le fond parenchymateux de l'ovaire et qui est en définitive le placenta. Nous n'avons guère prêté d'attention à ce dernier tissu, bien qu’il présente, au stade qui nous occupe, une profondeur de 0%"66 depuis le fond de la cavité de l’ovaire jusqu’au niveau de l'insertion de ce dernier. En effet, ce tissu est un parenchyme qui n’affecte aucun carac- tère spécial; 4l n’est n1 amylogène, ni chlorophyllien ; peut-être fonctionne-t-il, à l’occasion, comme tissu aquifère, ce qui justifierait lesgrandes dimensions des cellules qui le composent; mais au stade présent, ses cellules commencent à subéniser leurs parois. C’est en son milieu que s’allonge le faisceau ovu- laire qui se continue jusqu'à la chalaze tout le long et au milieu de la partie basilaire amincie de l’ovule, autrement dit au milieu du funicule. Par suite de la croissance de l’ovule proprement dit, le fumi- cule se replie en S et, dès les débuts de ce repli, subit un étran- glement à un niveau peu éloigné du placenta (fig. 36 en h) ou s’opérera plus tard le détachement de la graine. ( 38) Au stade considéré, l'embryon a pris un notable accroisse- ment; toujours attaché au suspenseur formé de sept cellules en une seule série, il mesure 0""227 de longueur. On y distingue nettement, au point de vue histologique, trois régions : a) lépt- derme, dont les initiales sont formées par l'hypophyse,au voisi- nage de laquelle les cellules épidermiques montrent un recloi- sonnemeñt tangentiel qui forme la première assise de la coiffe; b) le parenchyme cortical, présentant trois assises de cellules et formé par trois initiales en deux étages ; ce) le cylindre central, comprenant sept assises. Les lobes cotylédonnaires sont nette- ment marqués et l’on peut même y suivre les prolongements des trois histogènes (fig. 37). L’albumen accuse une phase importante de son évolution : c’est le début de la formation des grains d’amidon. Ceux-ci se présentent dans toutes les cellules, sauf 1° dans celles qui sont au voisinage immédiat de l'embryon, notamment à sa base, où elles affectent une disposition particulière (fig. 37); 2° dans celles qui touchent à la grande cellule antipode, lesquelles renferment un protoplasme très dense chargé de matières protéiques (fig. 38), ainsi que 3° dans celles qui, de forme tabulaire et disposées en une ou deux assises, constituent la couche périphérique et qui montreront bientôt un contenu de même nature que celui des précédentes avec lesquelles on pourra les identifier sous le nom d’assise protéique. Les antipodes justifient bien lenr nom ; leur ensemble constitue, en effet, le contrepied de l’embryon; les deux infé- rieures forment pour la supérieure un pédicelle conducteur analogue au suspenseur et qui est ancré dans l’hypostase; la supérieure n'a jusqu'ici cessé de grossir ; elle à toujours la forme d'ampoule; elle atteint une hauteur de 0""12 et sa plus grande largeur est de 0""13; elle est à l’apogée de son développement. Son protoplasme dense, renfermant une trentaine de noyaux en voie de fragmentation, circonserit une large cavité vacuo- laire au centre. Elle s'insinue par une pointe centrale entre les cellules de la première rangée de l’albumen (fig. 38). Les téguments n’offrent pas de changements notables, si ce n’est que l’Ep. e. S. est complètement résorbé (fig. 43). (39) L’Ep. N., toujours très actif, présente des cellules à parois transversales tellement minces qu’on ne les aperçoit pas dans les coupes dont le protoplasme n’est pas éliminé. Ces cellules, outre un protoplasme très granuleux, renferment, dans la partie moyenne et basilaire, plusieurs noyaux allongés, issus par division du noyau antérieur. Quant au Tf. N., il continue à se résorber de haut en bas. F. Un peu plus tard, on constate que l’antipode supérieure diminue de volume. Elle entre en régression marquée tout en continuant de Jouer un rôle actif (fig. 39); ses noyaux conti- nuent, en effet, à subir des fragmentations répétées et multiples ; sa hauteur diminue (0""09), tandis qu’elle s’élargit davantage (O0""16). Elle acquiert une forme hémisphérique, en même temps qu'elle s’insinue par plusieurs prolongements entre les cellules de l’albumen qui lui sont contiguës. Celles-ci, plus petites que leurs congénères et remplies d’un protoplasme riche en matières protéiques, comme celui de l’antipode elle-même, sont le siège d’un recloisonnement actif. Derrière elles s'étend, avant d'arriver aux cellules d’albumen renfermant de l’amidon, un espace occupé par deux ou trois assises de cellules de plus en plus grandes, présentant un proto- plasme réduit à une mince utricule pariétale englobant du suc cellulaire qui contient probablement en dissolution des poly- saccharides autres que l’amidon (dextrines), mais où il n’y a Jamais trace de glucose n1 de saccharose, même dans les stades ultérieurs. En tout état de cause, 1! semble bien que ces cellules servent d'entrepôt à des substances ternaires dissoutes. Nous y reviendrons plus loin. C’est à ce stade qu’il m’a surtout été donné de me rendre compte des relations de l’Ep. N. avec les Lissus voisins (fig. 40). Séparé de l’Ep. i. S. par une paroi cuticularisée (fuschine, CI Zn 1), il ne peut avoir de rapports avec les dernières ramifi- cations du faisceau qui s’éteignent à la base de la primine au niveau même où l’Ep. N. se spécialise, d'autant plus qu’il en est séparé, en outre, par l’hypostase, de sorte que, en un mot, ( 40 ) l'Ep, N, ne peut avoir aucune relation vers l'extérieur. Mais il est en rapport intime avec le Tf. N. dont les cellules, situées (out à fait à la base et en contact, en ce lieu, avec l'Ep. N., présentent un contenu granuleux beaucoup plus dense que celui des cellules encore subsistantes du Tf. N. plus éloignées de cette région. G. Plus tard, le funicule de l’ovule se recourbe en $, ce qui provient de ce que l’ovule continue de grandir, alors que l'ovaire est arrivé à sa taille définitive (fig. 44). Celui-ci mesure 3 milli- mètres de longueur, tandis que l’ovule sans le pédicelle en mesure 2. L'embryon commence à se courber pour poursuivre son accroissement dans une direction excentrique, sur le côté de l'albumen; il atteint à ce momert environ 0""45. H. Lorsqu'il atteint 0""75, on remarque que les cellules de l'hypophyse se sont elles-mêmes recloisonnées tangentielle- ment et que le suspenseur s’est allongé et comporte dix cellules (fig. 46). L'ovule mesure alors 2""{15 sans le pédicelle qui s'est fortement recourbé (fig. 45). L'albumen est très compact ; dans les grandes cellules de la région centrale l'amidon s’accumule en grains de plus en plus gros ; à la périphérie, les cellules plus petites, plus ou moins tabulaires, sont disposées en deux, trois ou même quatre assises el renferment un contenu protéique ; elles se continuent à la base en une assise de cellules en contact avec l’anuipode. Mais derrière cette assise, on retrouve encore la région de trois ou quatre assises de cellules plus ou moins grandes de l’albu- men dont le contenu consiste surtout en un liquide clair (fig. 47). L’antipode continue à se résorber de même que ce qui reste du 7f. N, L’Ep. N. montre toujours la même activité. Les téguments sont encore représentés par les mêmes assises cellulaires : Ep. e, P., Ep. i. P. et Ep.i.S. Toutefois l’Ep. i. P. est en voie de disparaître par l’écrasement de ses cellules. (41 ; 1. Enfin l’ovule est arrivé au terme de sa croissance quand il atteint 2°"23. Il remplit parfaitement la cavité ovarienne et il en épouse la forme triquêtre (fig. 48 et 52). L'embryon, qui mesure 1""52, est logé le long d’un des angles de l’ovule entre la partie protéique et la partie amylacée de l’albumen, la radicule sous la voûte micropylaire et l’extré- mité des cotylédons au niveau de l’espace occupé, à la base de l’albumen, par les trois assises de grandes cellules presque vides. Jusqu'ici l'embryon est encore maintenu par le suspen- seur en contact avec l’Ep. N. Les cellules hypophysaires se sont encore recloisonnées tangentiellement, de sorte qu’elles forment actuellement une pointe au-dessous du dermo-calyp- trogène,qui lui-même comporte trois assises de cellules (fig.49). L'axe hypocotylé, intéresse les deux tiers de la longueur de l'embryon, le reste étant fourni par les cotylédons dont les cellules commencent à produire de la chlorophylle. Comme il vient d’être dit, l’albumen présente à sa base un assez grand espace formé de trois assises de grandes cellules presque vides à parois très minces et présentant des indices manilestes de résorption. Cet espace est clos, vers le bas, par une assise de petites cellules semblables à celles des assises protéiques de la périphérie de l’albumen et qui sont en contact avec l’antipode. Celle-ei s’aplatit de plus en plus ; elle est en voie de résorp- üon, bien que son protoplasme granuleux périphérique ren- ferme encore de nombreux noyaux. Quant au Tf. N., il est réduit à un mince disque de cellules toujours actives en contact, au fond du sac embryonnaire, avec l’Ep. N. encore aeuf également, l’hypostase s’opposant à tout autre rapport osmotique du Tf. N. (fig. 50). Les cellules de l’Ep. i. P. et de l’Ep. i. S. s'étant vidées sont écrasées. Même celles de l’Ep. e. P. s’affaissent quelque peu, bien qu'elles renferment un sue cellulaire abondant dans lequel apparaît un pigment rouge qui devient bleu verdâtre sous l’action des bases (fig. 51). (42) K. Avant d'arriver à l'état de maturité parfaite, l'embryon s'accroît encore de manière à remplir complètement, avec la plus grande partie de ses cotylédons, la cavité que laissent finalement, à la base de l’albumen, les trois assises de grandes cellules à la résorption desquelles nous avons assisté, cavité qui reste enveloppée par une assise de cellules protéiques. Les cellules de l’assise la plus extérieure de la couche protéique de l’albumen voient leur contenu se résorber. Dans la partie amylifère du même tissu, 1l se produit également une légère différenciation entre les cellules de la région centrale et celles qui les entourent. Quand cet accroissement est achevé, le suspenseur, l’antipode et ce qui restait du Tf. N. sont résorbés entièrement. L'Ep. N., dont les cellules sont presque totalement vidées, subsiste, mais est écrasé. La coloration du pigment des cellules de l’£p. e. P. devient plus intense ; la paroi externe de ces cellules s’épaissit et les parois latérales deviennent sinueuses. $ 4. — La GRAINE MURE. Le spermoderme de la graine müre est membraneux et de couleur rouge-brun. 11 est formé par la Primine, la Secondine et le Nucelle (fig. 54). Pme : Ep.e. P. à cellules allongées longitudinalement, à contours légèrement sinueux lorsqu'on les voit de face (fig. 58), à paroi externe épaissie, à parois interne et latérale minces, à couteau rouge-brun, facilement reconnaissables, même à sec. Ep. i. P. fortement écrasé, difficile à gonfler, même par la potasse à chaud, visible de face après macéralion, sous forme de petites cellules allongées transversalement (fig. 59). SECONDINE : Ep. e. S. résorbé. Ep. i. S. comme Ep. i. P., mais à cellules vues de face beau- coup plus petites encore et allongées longitudinalement (fig.60). ( 43) NuceLe : Ep. N. à cellules un peu allongées longitudinale- ment, à paroi externe épaissie, à parois interne et latérale minces, vides mais bien visibles, même dans une coupe faite à sec (fig. 62). Tf. N. totalement résorbé. ALBUMEN farineux, amylacé, avec une mince couche protéique à la surface. Il comporte d’ailleurs : a) Une assise externe que, pour abréger, nous désignerons par e. À. et qui est formée de cellules tabulaires, vides, à parois minces, parfaitement reconnaissables sur une coupe faite dans une graine müre fraîchement récoltée (fig. 54), écrasée dans la graine sèche (fig. 62), mais qu’on peut faire réapparaitre par la potasse même à froid (fig. 63). b) Une ou deux assises de petites cellules tabulaires, à parois minces et à contenu protéique abondant, en abrégé Prot. €) Un massif central de grandes cellules à parois minces, un peu allongées dans le sens radial, renfermant de l’amidon et dans lequel on peut distinguer deux régions : | «) Une région extérieure plus opaque, formant un Ussu très cohérent, à contenu très dense constitué par de l’amidon en grains assez petits, en abrégé 4. e. 6) Une région centrale plus claire, à cellules facilement dissociables, contenant de l’amidon en grains plus gros et moins tassés (fig. 52 et 64), en abrégé 4. 1. Emryon latéral, arqué, longeant un des bords de la graine triquètre; son plan coïncide avec la bissectrice de cet angle (fig. 52). A vrai dire, c’est l’axe hypocotylé et la moitié inférieure des cotylédons qui sont ainsi arqués. L’autre moitié des cotylédons est brusquement pliée à angle plutôt aiga que droit, pour s’introduire dans la poche creusée à la base de l’albumen ainsi que nous l’avons vu antérieurement (fig. 65). Un tel embryon mesure environ 2""4 en le supposant droit. La graine reste attachée au fond du fruit par un funicule fortement recourbé. (4) CHAPITRE IH. NOTE CRITIQUE ET HISTORIQUE. Selon Payer (79, p. 292), à l’origine, le pistil se compose, dans toutes les Polygonées à fleur ternaire, de trois mamelons qui « en croissant s’élargissent par leur base, deviennent connés et forment une sorte de coupe bordée de trois pointes ». On peut accepter cette explication, bien qu’en réalité les trois mamelons en question n'apparaissent guère au début, sur les bords de la coupe, que comme de très légères sinuosités, c'est-à-dire qu'il n’y a guère de délai entre l'apparition de la coupe et celle de ces sinuosités. Celles-ci, s’accentuant par la suile, deviennent de véritables mamelons. « Au fond de cette coupe », continue Payer, « on aperçoit le sommet de l’axe qui se revêt successivement de deux enveloppes et constitue un ovule dressé et orthotrope ». Dans l’exposé qui précède, nous avons fait valoir les raisons qui nous font rejeter l'opinion d’après laquelle l’axe floral deviendrait l’ovule. Réfutée par Van TiecHem (114), CELarowsky (13 et 14) et WarmNG (126), elle semblait être abandonnée par tous les botanistes qui, à l'exemple d’'Eicazer (20), après l'avoir acceptée, s'étaient par la suite rangés à l’avis des trois auteurs cités. Je n’y aurais pas insisté si COULTER et CHamBeRLaIN (17) n’avaient rouvert le débat en soutenant qu’il y a des ovules foliaires et des ovules cauli- naires et que ces derniers sont ou terminaux ou latéraux. « Dans le premier cas », ajoutent ces auteurs (p. 46), « le sommet de l’axe devient le nucelle, comme c'est probablement vrai pour la plupart des ovules orthotropes et certainement chez Naias, Zanichellia, Lilaea, Pipéracées, Juglandacées, Polygo- nacées et autres ». À leur suite d’autres auteurs admettent, avec (45 ) quelque réserve, 1l est vrar, qu’il y a des ovules de nature axile ; c’est le cas, notamment, de SERVETTAZ (93, p. 351). [l est toute- fois surprenant de voir ce dernier en contradiction avec lui- même, quand il dit, à la page 357, que l’origime de l’ovule se rattache aux feuilles. D'ailleurs on peut relever d’autres erreurs d'interprétation dans ce travail, par exemple au sujet de l’assise épithéliale dans le sens que lur donne M'e Gozprzus (27). Je n'ai pas l'intention, pour le moment du moins, de reprendre cette discussion sur la valeur morphologique de lPovule dans son acception générale. Mais en ce qui concerne celui du Polygonum aviculare, je rappelle ce que j'ai dit plus haut (v. pp. 12 et 25) en exposant les premiers développements du: péricarpe et du spermoderme : « Le sommet végétatif de l’axe floral s'arrête dans sa croissance ; il s’aplanit momentané- ment au point qu'il semble même s’invaginer très légèrement. Cela résulte de la formation, à l’endroit du sommet, d’un rebord cireulaire qui prend aussitôt un développement rapide ; mais à peine le rebord est-il formé que le sommet reprend sa forme convexe (v. p.12). « Cependant on s'aperçoit bientôt que ce sommet ne continue plus parfaitement l’axe floral, car sa base empiète légèrement sur le rebord du côté où s’est formée la proéminence, ébauche du stigmate, en avance sur les deux autres. En réalité, 1l ne peut être question iei de sommet végé- tatif, mais bien de l’ébauche de l’unique ovule que renferme l'ovaire. ; 1! dépend de celui des trois carpelles qui prédomine pendant tout le cours du développement de l'ovaire. » (V. p. 25). En retraçant ainsi la genèse des carpelles et de l’ovule: du Polygonum aviculare, j'ai calqué, semble-t-il, la description qu'a donnée WarmnG du même phénomène chez le Ficus Carica (126, p. 184) dont l’ovule est aussi « terminal », mais devient anatrope. D'autre part, cet auteur a trouvé que dans le Rlieum, les carpelles sont égaux et le restent et que l’ovule « est rigoureusement apical ». Je ne veux pas en disconvenir à cette place; mais il est évident que si le savant professeur de Copenhague avait pu observer, chez le Rheum, les mêmes dispositifs que ceux que j'ai constatés chez le Polygonum avicu- ( 46) lare, il aurait rangé cet ovule dans la même catégorie que celui du Pouzolzia et il aurait conclu, comme Van TieGHEMm (118, p. 596), qu'une étude attentive montre que l’ovule est en réalité latéral et non terminal, que son attache a lieu non sur le pédicelle, mais sur l’un des carpelles à sa base. D'ailleurs il convient de remarquer que les affirmations de CoucTEer et CHAMBERLAIN, sur les cas signalés par eux, ne reposent pas sur des observations personnelles ; ils se basent sur les recherches faites autrefois par PAYER (79), STRASBURGER (105 et 106), Braun (5), ete., et 1l est étonnant qu'après des argumentations aussi solides que celles que l’on rencontre dans les travaux de CELAKowskY, de Van TiecHeM et surtout de WarminG, les auteurs américains aient pu ressusciter l’idée qui fait l’objet de cette critique et 1! est plus étonnant encore que WarMING, dans un mémoire récent (127), n’ait pas cru devoir relever cette tentative. Il y a donc lieu d'admettre que, chez le Polygonum aviculare, l’ovule est d’origine foliaire, étant donné qu'il est une dépen- dance du carpelle et que le carpelle n’est qu'une feuille trans- formée. Je suis même porté à croire qu’il en est ainsi dans tous les cas, même quand les carpelles semblent faire défaut, car alors on peut conclure qu’ils existent en puissance. Mais quant à décider si l’ovule a, out où non, la valeur d’un bourgeon, c'est une autre question qu'il est inopportun d'envisager 1ci, mais au sujet de laquelle je ne puis m'empêcher de rappeler des observations que j'ai faites autrefois sur des bulbilles adven- tives, nées sur des morceaux de tuniques du bulbe de l’Orni- thogalum caudatum Aït. et dont «le mode de formation présente une curieuse analogie avec celle d’ovules orthotropes » . (66, p. 70). Que l’ovale et non seulement l’ovule, mais le pistil tout entier, n’est pas le résultat de la transformation de l’axe floral, mais est un appendice de cet axe, c’est ce que démontre l’ob- servation de la différenciation et du parcours des cordons libé- ro-ligneux dans le pédoneule et dans l’hypanthe chez le Poly- gonum aviculare. Il est indiscutable que, si c’est l'axe lui-même (,A,) qui se transforme en ovule, les éléments anatomiques et ‘ notamment les faisceaux libéro-ligneux de l’un doivent se trans- mettre intégralement et directement à l’autre, réserve faite des particularités qu'offre la course des faisceaux libéro-ligneux à l'endroit des nœuds. Or il n’en est rien dans le cas qui nous occupe. | Les éléments ligneux commencent à se différencier, dans les carpelles et dans le pédicelle de l’ovule ou funicule, peu de temps avant l’anthèse. À ce moment, ces éléments, dans le pédoneule, ne sont pas encore accompagnés des fibres ponc- tuées qui, plus tard, viennent gêner leur observation (fig. 19). Une coupe transversale dans le haut du pédoncule nous ren- seigne qu'il s’y trouve parcouru par quatre faisceaux. Au niveau de la base organique de l’hypanthe, en a, ces faisceaux s'arrêtent dans leur course axiale; 1ls se bifurquent tangen- tiellement, s’incurvent vers l'extérieur de manière à se rendre dans les pièces du périanthe. Les quatre faisceaux internes se rapprochent de la face interne de l’hypanthe el, au niveau de l'insertion du pistuil, présentent, en b, un massif formé de trachées courtes d’où ils envoient chacun, vers le bas, une ramification ; celle-ci contourne la commissure d'insertion du pistil et, en c, reprend une direction axiale pour s’introduire dans ce dernier, où elle va occuper l'angle d’un des trois carpelles, à moins qu'il ne s'agisse du faisceau placentaire qui, aussitôt entré dans le pistil, se bifurque en deux branches dont l’une est destinée à l’ovule. Plus tard, lorsque la fleur est fécondée de quelque jours (fig. 19), il s'établit entre les fais- ceaux C et À une communication plus directe, bien qu'oblique, par la différenciation d'un tissu fibreux dont les éléments prennent tous les caractères de trachées courtes. C’est ce que STRASBURGER (105, planche IIL, fig. 22) à assez bien représenté également en ce qui concerne le Polygonum divaricatum. Seulement son interprétation du parcours des faisceaux manque de clarté (p. 9) : « Trois faisceaux abandonnent l’axe floral pour entrer dans la région médiane des carpelles ; 1ls sont immédiatement suivis par trois autres, alternant avec les (48) premiers et qui vont dans les commissures. Alors les trois faisceaux restants de l’axe s’infléchissent pour se rassembler vers le milieu de la coupe transversale et s'unissent plus ou moins complètement par leurs trachées en un faisceau unique qui s'élève en droite ligne vers le haut, entre dans le funicule de l’ovule et s'éteint dans la chalaze au-dessous du nucelle ». — Faut-il donc comprendre qu’il y a dans le pédoncule six faisceaux dont trois concourent à la formation du faisceau ovulaire en restant indépendants de tous les autres ? Cela mé paraît peu probable et n’est, en tous cas, pas applicable au Polygonum aviculare, où j'ai minutieusement observé et décrit le parcours des faisceaux. Il n’y a donc pas passage direct du pédoncule ou axe floral dans le pistil. Celui-ci avec son ovule constitue donc bien une « création nouvelle », selon l’expression de WarmiNG (126), au-dessous de laquelle nous pouvons dire, en empruntant les termes de Van TieGnem (115), que l’axe floral s’évanouit. ES * * Considérant le nombre des assises cellulaires du péricarpe, nous avons signalé, à la page 12, qu’il était de 5 dans les parties minces et de 10 dans les parties épaisses de la paroi ovariénne très jeune; ces dernières parties sont celles qui deviendront les angles de l’akène trigone; elles seront les sièges des faisceaux libéro-ligneux ; déjà d’ailleurs nous avons remarqué que l'accroissement du nombre des assises se fait aux dépens du Tf. m. Plus loin, à la page 15, nous voyons que des massifs de procambium se sont formés dans le Tf. m. (fig. 15); c’est la confirmation de ce que nous avons vu ailleurs (65, p. 15, fig: 8, 35 et 291). Gr. KraUS (57), parlant du fruit du P. aviculare, dit qu'il est construit d’une manière tout à fait semblable à celui du P. Persicaria L. dont 1l se borne à figurer une coupe transver- sale de l’ovaire et une cellule de l’Ep. e. du péricarpe, une en coupe transversale et une pareille vue de face. Celle-ci a un contour beaucoup plus profondément sinueux que dans le (49) P. aviculare; de plus, sa paroi externe est beaucoup plus mince que nous ne l'avons vu. Emma SIRRINE (97) à examiné quatorze espèces de Polygonées, parmi lesquelles les Polygonum virginianum L., P. Convolvulus L., P. dumetorum var. scandens Gray, P. Hydropiper L., P. erectum L. et P. Persicaria L. Examen superficiel s’il en fut, car 1l ne s'adresse qu’à une faible portion d’une coupe transversale d’un côté de l’akène mür, pratiquée sans aucune précaution, comme le dénote l’état de dislocation des cellules de l’albumen sur les figures. D'ailleurs celles-ci, pas plus que Jes descriptions, n’ont guère de valeur, car elles révèlent les unes comme les autres un souci de simplification poussé à l’extrême. Évidemment ce sont les cellules de l’Ep. e. palis- sadique qui ont surtout absorbé l'attention de l’auteur. Au- dessous de celles-ci, le péricarpe comporte quatre assises de petites cellules arrondies que l’auteur dessine toutes semblables, disposées en séries radiales avec de grands méats entre elles ; c'est notre Tf ; mais il n’y a pas de trace, dans le dessin pas plus que dans la description, de cellules écrasées. Entre ces cellules « subpalissadiques » et les grandes cellules de l’albu- men, 1} n’y à qu’une seule assise de toutes petites cellules en « forme de chaîne ». C’est la quintescence du spermoderme dans la composition duquel entrent, comme nous l’avons vu, du moins pour le P. aviculare, l’Ep. e. P. bien reconnaissable, les Ep. i. P. et Ep. i. S. écrasés en une lame mince, et l’Ep. N. bien visible aussi. Quant à l’assise protéique de l’albumen, il n’en est pas question. Joxe (55) a observé, à un point de vue très spécial, il est vrai, les péricarpes de diverses Polygonées dont du genre Polygonum, les P. Persicaria, P. Hydropiper, P. aviculare, P. Convolvulus et P. orientale. Son exposé ne se rapporte qu’à la constitution de l’Ep. e. du péricarpe. Mais généralisant à l'extrême, il attribue à tous les Polygonum un épiderme iden- tique, en décrivant celui que figure un dessin qui accompagne son exposé et dont il ne nomme pas l'espèce à laquelle il s'applique, mais qui est sans conteste le P. Persicaria. (50) Harz (44) s'occupe, entre autres, du P. tinctorium Willd., où il trouve au péricarpe, au-dessous d’un épiderme formé de cellules très épaisses, peu allongées, hautes et larges de 55 pu, une couche brune presque aussi épaisse (28 u) consis- tant en trois à cinq assises de cellules sclérifiées, ponctuées et allongées transversalement, suivies d’un petit nombre d'assises parenchymateuses vasculifères et de l’épiderme interne. Le spermoderme brun foncé est semblable, d’après Harz, à celui ae Fagopyrum, auquel il attribue un Ep.e. P. à grandes cellules à parois brun jaunâtre et sinueuses, la paroi externe étant un peu plus épaissie que les autres. L'Ep. i. P., l'Ep. e. S. et l’Ep. i. S., à cellules à parois minces sont comprimés, sous l’Æ£p. e. P., en une membrane mince peu perceptible. L’albumen présente une ou deux assises protéiques à la périphérie, au-dessous desquelles s'étendent la masse des grandes cellules à amidon, facilement dislocables. Il est intéressant de noter, d’après cette description, la pré- sence d’un tissu hypodermique protecteur au péricarpe, chez un Polygonum. Je me réserve de vérifier le fait. * Y * STRASBURGER (105) a décrit et figuré les stades successifs du développement de l’ovule du Polygonum divaricatum jusque dans la fleur épanouie; nos descriptions concordent absolument, au point que J'ai cru pouvoir me dispenser de représenter certains stades figurés par cet auteur aux planches I et IE de son mémoire. Cependant, tandis qu’il établit comme caractère constant le recloisonnement tangentiel des cellules de l’Ep. N. formant la voûte au-dessus du sac embryonnaire, je considère ce fait comme accidentel chez le P. aviculare, attendu que Je ne l’ai constaté que dans un seul des nombreux ovules que J'ai examinés. Comme conséquence, 1l n’est pas question, dans notre espèce, que ces cellules obstruent jamais le micropyle qui y est toujours très étroit, alors que dans le cas étudié par (44) STRASBURGER (fig. 41) et dans ceux décrits par SCHIMPER (108), WaRMING et JoHANSSEN (128) et d’autres, il aurait un large orifice occupé par les cellules externes de la portion dédoublée de l’Ep. N. Souèces (103) décrit et figure une disposition ana- ‘ogue, mais beaucoup plus accentuée dans le Polygonum Persi- caria L., où le nucelle est surmonté d’un appareil pénétrant à travers l’endostome, jusque dans l’intérieur du style. Guic- LAUME (39) est absolument muet sur cette formation. Le sac embryonnaire du P. divaricatum n’intéresserait guère plus que la moitié supérieure du nucelle; il serait assez large et non effilé en entonnoir vers son extrémité chalazienne; au fond de celle-ci, les trois antipodes seraient disposées de manière que la supérieure couvrirait les deux autres qui s’y trouvent côte à côte. Dans le P. Persicaria ce serait au contraire l'inverse, d’après SOUÈGEs (103) : une antipode inférieure cou- verte par les deux autres disposées à côté l’une de l’autre. Jai insisté sur ce que dans le P. aviculare le sac embryon- naire occupe presque toute la longueur du nucelle, qu'il se rétrécit longuement du côté de la chalaze et que son fond, dans lequel les antipodes sont disposées à la suite les unes des autres, est presque au niveau de l'insertion des téguments. Notons, en passant, que la formation de cet entonnoir chala- zien étroit et profond est loin de correspondre, dans le cas qui nous occupe, à la résorplion des antipodes, comme Souèces (102) l’a fait remarquer à propos de l’Adonis. Cette disposition remarquable des antipodes que je signale ici à été mise en lumière également par Huss (51) chez l’Hel- leborus foetidus (p. 102, fig. 17) et chez le Cimicifuga race- mosa ou Actaea Cimicifuga (p. 112, fig. 40-42), par CouLrer et CHAMBERLAIN résumant les constatations d’autres auteurs dans les Composées (17, p. 101) et par Scamin (90) dans diverses Serophulariacées. Mais ne voulant pas anticiper sur la discus- sion des phénomènes accompagnant le développement de l’albumen et de l’embryon, je reviendrai plus loin sur le sort ultérieur des antipodes, (52) J'ai été amené à interpréter le noyau secondaire du sac embryonnaire autrement qu'on ne l’a fait jusqu’à présent. Se conformant à l’ancienne formule, Souèces (103) voit dans le Polygonum Persicaria « un très gros noyau secondaire, offrant, au sein d’un nucléoplasme assez clair, un nucléole et un nucléolule de grandes dimensions ». Or, d’après l’acception généralement admise depuis STRASBURGER (107), le nucléo- plasme est un réseau de filaments délicats comportant une substance fondamentale homogène, le nucléo-hyaloplasme, et des granulations, les nucléo-microsomes. Ceux-ci fixent forte- ment les matières colorantes. | Appliquant la technique habituelle de la coloration des noyaux, J'ai pu me convaincre que ce que l’on considère d'ordinaire comme le noyau secondaire comporte en réalité deux parties bien différentes. Ce sont les procédés de colo- ration par la safranine, par le violet de gentiane et surtout par la fuschine- vert d’iode qui ont donné les meilleurs résul- tats. Par ce dernier moyen, j'ai toujours obtenu la colora- tion rouge pour le protoplasme du sac embryonnaire et vert bleuâtre pour les noyaux proprement dits, tant chez les syner- gides, œuf et antipodes, que dans le noyau secondaire ; les nucléoles offratent une couleur violacée tendant plus ou moins vers le rouge, tandis que la région aréolaire qui entoure le noyau du sac et que l’on a jusqu'ici considéré comme une partie intégrante de ce noyau ne se comportait, dans la plupart des cas, pas autrement que les régions protoplasmiques des anti- podes, par exemple, ou bien se colorait moins fortement en rouge ; tout au plus pouvait-on y reconnaître des grumeaux colorés en violet bleuâtre; mais on en voyait de semblables dans le protoplasme des antipodes. Bref cette région aréolaire du noyau secondaire offrait des caractères parfaitement iden- tiques à ceux du protoplasme des cellules antipodes. Je me suis donc cru autorisé à voir dans ce que l’on a désigné sous le nom (58): de noyau secondaire, une cellule délimitée au sein du proto- plasme général du sac, tout comme le sont les antipodes, les synergides et l’œuf, cellule qui possède un protoplasme peu granuleux et un noyau pourvu d’un gros nucléole; je lui a donné le nom de cellule secondaire. * * *X J'ai décrit le développement de ce tissu que l’on trouve à la base du nucelle et sur lequel Van TiEGHEM est revenu avec tant d’insistance à plusieurs reprises, 1l ÿ à quelque vingt ans, en lui appliquant le nom d’hypostase (120, 121, 122, 123), Il y a lieu de déplorer le choix de ce terme, qui n’est pas de sa créa: tion et qui était parfaitement inutile, puisque les auteurs allemands en avait déjà choisi un qui, pour n'être pas d’une composition aussi savante, n’en dit ni plus ni moins à l'esprit. Je veux parler du môt « postament » qu'employaient déjà M. WesrerMaIErR en 1890 (129) et ADoLF OSTERWALDER en 1898 (75) et qui est définitivement entré en usage dans la terminologie botanique allemande comme en témoigne le mémoire de A.-H. Huss (51). N’eût-1l pas été plus simple de traduire « postament » par son équivalent français « piédestal » ou « socle », ou d'admettre purement et simplement le mot allemand avec sa consonnance française? Il serait temps, à mon humble avis, que, pour éviter la multiplication à l'infini des synonymes, les botanistes anatomistes et cytologistes s’entendissent pour appliquer, dans leur domaine, la loi de la priorité des termes qui aident les systématiciens à sortir de la synonymie embrouillée qui leur cause tant d’ennuis. Il est vrai que Van TrecHem semble n'avoir pas eu connaissance des publi- cations de WESTERMAIER et d'OSTERWALDER et que nous pour- rions lui retourner le reproche que Souëces (102) adresse à Huss (p. 232). M'e Marmine Gozprzuss (27) à donné le nom de pseudo- chalaze chez les Composées, à un tissu qui semble répondre, en bien des points, à la définition de celui dont nous parlons. Mais pourquoi pseudo-chalaze, puisque la vraie chalaze n’est pas (54) absente? T. Ferraris (24) donne à cet appareil le nom de coussinet et il en décrit longuement le développement chez le Romulea. Selon Van Tixcnem (128), les cellules de ce tissu, « sans épaissir beaucoup leurs membranes, les lignifient fortement; aussi prend-1l, par les colorants de la lignine, une coloration intense ». J'ai essayé la plupart de ces colorants, fuschine, vert d'iode, etc., mais Je n’ai guère obtenu de résultat probant ; seul le chloro-1odure de zine m'a donné la coloration jaune-brun caractéristique. Il n’est done pas nettement sclérifié ; cependant il répond à tous les autres caractères : les parois sont très réfringentes au début ; elles jaunissent par la suite et deviennent indigestibles. D'ailleurs la sclérification n’est pas indispensable suivant l’avis de Souèces (101, p. 570) qui à reconnu chez les Clématites une hypostase non lignifiée. Huss (51) pense égale- ment qu'il suflit que les membranes soient imprégnées par des substances aldéhydiques ou autres pour les mettre à même de résister à l’activité digestive du sac embryonnaire (p. 149). Mais il ne peut admettre qu'il y ait jamais subérisation des parois cellulaires. Cela n'empêche qu'après lui SCHWEIGER (91) déclare (pp. 522 et 530) que l’hypostase est un complexe cellu-" laire riche en matériaux nutritifs dont les cellules, qui doivent être considérées comme des cellules absorbantes, se subérisent dans l’ovule mûr et forment alors une clôture infranchissable. Tous les auteurs qui ont reconnu l'existence de lhypostase : OsrerwaLper, Huss, Van TIRGHEM, SOUÈGES, sont d'accord pour lui attribuer cette faculté de résistance. C'est même pour met- tre obstacle aux envahissements du sac embryonnaire et de l’albumen qu’elle existe, d’après Van TI£GHEM, et nous pouvons accepter cette affirmation ; car là où elle fait défaut, notam- ment chez les Gamopétales, on peut constater que le sac embryonnaire ou l’albumen déborde de ses limites normales sous forme d’haustoriums ou de suçoirs qui vont explorer les tissus sous-jacents dans la chalaze, le funicule, voire même le placenta, comme il résulte de nombreuses recherches (4, 2, 8, 4, 7, 8, 27, 34, 50, 54, 58, 59, 80, 90, 99). (55 ) = Souèces (101, p. 570) se demande si l'hypostase n'est pas réfractaire aux échanges. « On peut répondre, dit-il, qu’une membrane légèrement lignifiée n’est pas une membrane dénuée de propriétés osmotiques ; l’hypostase est un tissu essentielle- ment vivant... Résistant lui-même à la digestion, il permet aux matériaux nutritifs d'arriver au contact des antipodes tou- jours dans des proportions à peu près égales. » On ne peut mieux dire et cette réponse est conforme aux constatations que J'ai faites chez le Polygonum aviculare. D'ailleurs la sclérifica- tion n'exclut pas la présence de ponctuations dans une mem- brane, et si nous n’en avons pas pu mettré en évidence, c’est probablement à cause de la minceur des parois et de la petitesse des cellules. Huss (51 p. 148) en signale çà et là ; il a, malgré l'affirmation contraire de SouèGes (102, p. 232), bien compris le rôle de l’hypostase et ses rapports avec les antipodes ne lui ont pas échappé, puisqu'il dit, d’une part (p. 147), que ce tissu peut souvent, en même temps, jouer un rôle conducteur et, d'autre part (p. 449), qu’il est capable de s'opposer à l’activité dissolvante du sac embryonnaire. Mais pour jouer ce rôle con- ducteur, 1] n’est pas nécessaire que ces cellules soient allongées dans le sens de l’axe de l’ovule comme l’indiquent Wesrer- MAIER (129) et Me GoprLuss (27). OSTERWALDER (75, p. 284) s’est élevé contre la manière de voir de WESTERMAIER à Ce Sujet ; pour lui, ces cellules sont isodiamétriques ; cela résulte égale- ment des observations de Van TieGHEM (passim), de SOUÈGEs(101) et des miennes. Pour Huss, elles peuvent être allongées dans toutes les directions. Ces différences de formes correspondent, sans doute, à des cas particuliers. Je suis donc parfaitement fondé à dire que l’hypostase établit une communication entre les tissus eontigus au fais- _ ceau hibéro-ligneux de la chalaze (lisière de cellules à contenu dense) et les antipodes, d'autant plus que la disposition en séries des cellules du centre de ce tissu leur facilite singu- lièrement celle mission. Van T1eGHem (122 et 123) déclare que l’hypostase «se retrouve dans le fruit mûr telle exactement qu'elle était dans le pisul », ( 96 ) parce que « la même cause qui la fait indestructible la rend aussi incapable de toute croissance ultérieure ». Admettons encore le fait ainsi exprimé comme vrai dans certains cas par- ticuliers ; mais j'aflirme formellement avoir assisté au dévelop- pement progressif de l’hypostase dans le Polygonum aviculure. D'ailleurs le sclérenchyme n'augmente-t-1l pas de volume par la sclérification envahissante des parois des cellules situées de proche en proche ? Pourquoi refuser la même condition à l'hypostase ? Qu'une cellule d’hypostase une fois formée ne puisse plus se diviser, soit ; mais rien ne s'oppose à ce que des cellules voisines en prennent la nature si elles y sont déter- minées. Il est de fait, cependant, que l’hypostase ne prend qu'un accroissement limité et que vers la fin de la croissance de l'ovule fécondé, elle est suppléée dans son rôle isolateur, sur lequel nous aurons l’occasion de revenir, par les cellules cha- laziennes qui s'étendent sur son pourtour et qui finissent par perdre leur contenu et, partant, ne peuvent plus jouer qu’un rôle passif. Ce phénomène se produit vers le moment où le funicule commence à se replier à la base. Un peu plus tard, lorsque la courbure en S du funicule devient manifeste, les cellules de l’hypostase meurent à leur tour, devenant inutiles dans leurs fonctions conductrices, puisque le système libéro- lignéux chalazien n’a plus de rapports avec le faisceau du funicule. Il y a donc lieu de retenir qu’on est généralement d'accord pour attribuer à l’hypostase la double fonction d'empécher le’ passage des sucs digestifs et, à plus forte raison, des autres malé- riaux élaborés à l’intérieur du sac embryonnaire vers la chalaze et de permettre l'introduction, dans le sac, des matériaux nutritifs amenés par les conduits libéro-ligneux qui S'irradient dans la chalaze. Au sujet de la fécondation, remarquons d’abord que tous les biologistes s'accordent à donner le nom d’œu/, dans le règne (57) animal aussi bien que dans le règne végétal, à la cellule sexuée femelle, avant même qu’elle ait été fécondée par le sperma- tozoide ou son équivalent végétal. L’œuf ainsi considéré est souvent appelé aussi oosphére ou bien par les zoologistes œuf mür (*) (O0. Herrwic, 48). L’œuf que pond une poule peut ne pas être fécondé. Van TiecHem (118, p. 459) et ses adeptes n'appellent œuf que l’oosphère fécondée, « première cellule d’une plante nouvelle » ; c’est donc plutôt le premier état de l'embryon, l'embryon au stade unicellulaire; c’est l'œuf fécondé, soit ; mais Je crois que le terme œuf doit être conservé dans son acception adoptée par la généralité hormis Van Te:GHEM. J'ai dit que l’acte de la fécondation semble prendre un temps relativement considérable pour s’accomplir (p. 29). J’ar pu me convaincre, par des expériences faciles à réaliser, que plus de sept jours s’écoulent depuis la pollinisation Jusqu'à ce que l'œuf fécondé se cloisonne. Cela ne doit pas étonner outre mesure, puisqu'on à reconnu, selon Van TieGHE (118, p. 909), que pour beaucoup de plantes, sans partir de la pollinisation, mais de la fécondation de l'œuf, un délai de plusieurs semaines s'établit jusqu'à son premier cloisonnement ; dans les Chênes américains, cet intervalle atteint un an! Que la formation de l’albumen soit en avance sur le déve- loppement de l'embryon, c'est un cas assez fréquent dont témoignent les recherches de D.-S. Jonxson (53), FRYE (25 et 26), Guicnarb (37), TreuB (111), Burns (7), D'Hugerr (18), En. Scamin (90) et Ferraris (24), entre autres. Ce tissu est à cloisonnement tardif et pour ainsi dire simultané en direction centripèle, ce qui détermine la disposition rayonnante des cellules dans une coupe transversale d’un akène presque mûr. Il s’accuse dans l’ovule arrivé aux deux tiers de sa croissance. Son développement n'offre, au début, rien qui ne soit conforme aux faits signalés par STRASBURGER (106) et confirmés par (*) Les zoologistes parlent même de l’œuf immature, avant l'expulsion dès cellules polaires. ( 58 ) d'autres auteurs. IT se distingue par là de l'albumen du Sarra- sin, étudié par STEVENS (104), où une différenciation très nette ne tarde pas à se montrer en une région supérieure organisée en issu et une région inférieure, comportant un tiers de la longueur du sac, et qui constitue un polyplaste (p. 61). Au cours du développement, la partie cellulaire s'étend vers la base du sac embryonnaire empiétant sur l’espace occupé par la portion polyplastique. « Cependant, même dans le fruit mûr, la région chalazienne présente toujours un espace conte- nant des restes de la portion basale non développée du sac embryonnaire (fig. 7) », c’est-à-dire, si je saisis bien, de la portion polyplastique. | Il est remarquable que, dans deux espèces aussi voisines, la graine arrive à la même constitution définitive par des voies si différentes! Dans notre espèce, en effet, tout le polyplaste albu- minique se prend en tissu vers le moment où l’ovule atteint les deux tiers de sa croissance et où l'embryon, encore sphérique, a 0""08 de diamètre, et 1! y a lieu même d'ajouter que la partie de l’albumen, voisine de la chalaze, à cause évidemment de l’étroitesse de l’espace dont elle dispose, constitue un corps cellulaire massif bien avant que la cavité de la partie médiane soit comblée. Mais ceci fait, les cellules ne tardent pas à former de l’amidon ; c’est vers le moment où l'embryon déploie ses cotylédons, mais où également, depais quelque temps même déjà, les cellules de la partie chalazienne de l’albumen sont le siège de phénomènes particuliers : jamais ces cellules ne renferment des grains d’amidon; elles restent toujours claires; mais les cellules qui les suivent sont les premières à en former et cette formation se poursuit ainsi de loin en loin jusqu’à l’autre bout de l’albumen. Par la suite, les cellules restées claires, lorsque toutes les autres sont complètement remplies d’amidon et que la graine a presque cessé de croître, se vident, leurs cloisons se résorbent et elles laissent une cavité dans laquelle les cotylédons viennent loger la plus grande partie de leur masse. Ces phénomènes sont évidemment liés à ceux de la nutrition générale de l'ovule et de ses constituants. Nous avons vu (p. 39) que les cellules claires de l’albumen (59) : servent d’entrepôt à des substances ternaires dissoutes. La liqueur de Fehling m’ayant donné constamment des résultats négatifs ainsi que l’iode, j'ai été amené à penser que ces substances devaient être non pas des glucoses ni des saccha- roses, mais des polysaccharides autres que l’amidon. A quoi servent ces substances ? Évidemment à fournir aux autres cellules de l’albumen les matériaux nécessaires à leur crois- sance et à la formation de l’amidon. Elles ne profitent pas directement à l’embryon. D'où proviennent-elles? C’est le moment de parler des antipodes. * * *X Évitant d'envisager la grande diversité qu’offrent les Angio- spermes quant à la présence et au nombre des antipodes, je me bornerai à comparer mes observations avec celles qui présentent certaines analogies ou des faits de nature à étayer mes déductions quant à la fonction de ces organes. Rappelons-nous que les trois antipodes du Polygonum avicu- lare se disposent à la suite les unes des autres et qu’au moment de la fécondation, la supérieure surtout commence à augmenter de volume ainsi que son noyau. Celui-ci se fragmente dès que se produisent les premières cloisons dans l’albaumen. L’augmen- tation de volume et la fragmentation répétée des noyaux de cette antipode atteignent leur paroxysme au moment de l’appa- rition de l’amidon dans les cellules de l’albumen; elle à alors là forme d’une ampoule de 450 x de diamètre et renferme une trentaine de noyaux. Il existe assez bien d’exemples d’antipodes prenant un grand développement. Ils sont fournis par les recherches de GuIGNARD chez le Micotiana (38), chez les Commelina, Narcissus, Iris, Eranthis, Clematis, Hepatica, Eriobotrya, Anoda et plusieurs Composées (32 et 33); de D.-H. CamPgecz chez le Lilaea subu- lata H. B. K. (9), de Ferraris (24) chez le Romulea, de STRASBURGER (105) chez le Myosurus, de WESreRMAIER (129) chez d’autres Renonculacées, parmi lesquelles notamment les Nigella; de J.-B. Overron (76) chez le Thalictrum purpurascens, de D.-S. Jonnson (53) chez le Heckeria, de MerreL (69) chez le ( 60 ) Siülphium, d'OsrerwWaALDER (75) chez l’Aconitum Napellus, de SOUÈGES (101) chez diverses Renonculacées, de Huss (51) dans plusieurs Renonculacées, dans les Epimedium, Glaucium, Papaver et Corydalis, et d’autres auteurs renseignés par CouLTER et CHAMBERLAIN (17), mais dont je n'ai pu me procurer les travaux. Dans les cas qui précèdent, toutes les antipodes prennent de fortes proportions. Mais parfois une seule antipode manifeste de l’activité; c'est la supérieure, comme dans l’objet de notre étude et selon LLcLoxn (63 et 64) dans plusieurs Rubiacées ; mais ce peut être aussi l’inférieure qui fonctionne alors d’une autre manière, comme l’ont montré CHAMBER- LAIN (17) pour l’Aster Novae Angliae [contredit toutefois par M'e GozprLuss (27)}, Miss BENSON (3) pour les Amentacées et SERVETTAZ (93) pour les Eleagnus et l’Hippophae. Parfois aussi les antipodes deviennent nombreuses ou peuvent même former un tissu au fond du sac embryonnaire, comme 1l résulte des travaux de CamPBeLz (19 et 11), de J.-E. Gow (28), de L.-W. SHarP (94), de Juez (56), de P. Guérin (30), de C.-0. RosenpanL (85). Devant ces constatations, on s’est demandé quelle signification il fallait assigner aux antipodes et l’on en est généralement revenu de l'opinion que ces organes ne jouent qu'un rôle accessoire. Cependant l'accord est loin d’être établi sur la manière dont l'intervention des antipodes dans les phénomènes de la nutrition du sac embryon- naire et de l’albumen peut être Imterprétée. C’est WESTERMAIER (129) qui a amorcé la question; après lui, M'e Gozprcuss (27) l’a reprise à propos des Composées ; IKEDA (52) s’en occupe chez les Liliacées et Souèces (101) chez les Renonculacées; mais ce sont Lôrscner (68) et Huss (51) qui embrassent le sujet avec le plus d’ampleur. Celui-ci, après avoir fait un résumé historique complet des connaissances acquises à ce point de vue et exposé ses recherches dans Îles familles des Renonculacées, Berbéridacées et Papavéracées, discute les hypothèses émises par ses prédécesseurs. Il en arrive à la conclusion simpliste et presque négative que les antipodes ne servent que de relai aux substances passant de la chalaze (f61») dans le sac embryonnaire et qu’elles s’approprient une partie de ces substances pour leur propre accroissement. Il n’y à aucun argument, dit-il, pour terminer, qui permette de leur attribuer une fonction de résorption, d'élaboration, d’absorp- tion ou de sécrétion en faveur du contenu du sac embryonnaire. Il m'est difficile d'accepter cette manière de voir et j'incline plutôt à penser que, dans des cas comme celui que j'ai traité, les antipodes sont des organes sécréteurs destinés à transformer les matériaux nutritifs, amenés par les tissus conducteurs de la chalaze, en substances utilisables par le sac embryonnaire d'abord et par l’albumen plus tard. Ce sont les diastases qu’elles sécrètent qui maintiennent à l’état de dissolution le contenu des trois assises d’albumen qui leur font suite. L’argumenta- tion soutenue par Souèces (101) au sujet des antipodes des Clématites (p. 515) me paraît parfaitement fondée et applicable à notre espèce. D’après Souèces, la formation de vacuoles accuse des signes de dégénérescence; celle-ci débuterait assez tôt dans notre objet, avant même que la cavité de l’albumen soit comblée; et c'est cependant à partir de ce moment que l’activité de notre antipode se manifeste le plus. Je ne crois pas que, dans ce cas, la formation d'une vacuole soit un signe de dégéné- rescence, pas plus que la fragmentation des noyaux. L’anti- pode ne commence à dégénérer que lorsqu'elle à pour ainsi dire mis en train la formation de l’amidon et de la couche protéique de l’albumen. Dès lors son activité se ralentit et ne cesse que lorsque la graine a fini sa croissance. Chez le Poly- gonum aviculare, l’antipode n’est pas englobée par l’albumen pendant ce processus de dégénérescence, comme c’est le cas dans la Clématite; mais elle est repoussée contre la chalaze et elle détermine la formation, sous l’albumen, d’un espace qui en contient les restes et, en définitive, la graine présente Ja même constitution, à part l'embryon, que celle que STEVENS (104) décrit pour celle du Sarrasin. Mais STEvENs ne fait aucune mention des antipodes. Il n’attache aucune atten- tion à leur développement. Il se pourrait, dès lors, que ce qu’il (62) a pris pour la région inférieure polyplastique de l’albumen ne soit en réalité que l’antipode supérieure fortement développée. Pourtant l'ouvrage de CourTeR et CHAMBERLAIN (17) signale aussi des exemples d’albumens débutant dans leur évolution par la formation de deux chambres dont la supérieure devient un tissu, tandis que l’inférieure reste uni- ou plurinucléée, tout en prenant un certain accroissement, exemples tirés des recher- ches de HaLz (41), de Murgeck (73), de HoLrErTY (49) et sur- tout de SCHAFFNER (88), dont un dessin (fig. 79°) évoque puis- samment un des stades de la formation de l’albumen dans notre Renouée. Il en est de même, et à un plus haut degré encore peut-être, de celles qui accompagnent la note de W.-C. Coker (16). Au surplus, CouLTER et CHAMBERLAIN ren- seignent un assez grand nombre d’autres familles présentant des cas analogues à ceux qu'ont observés ces derniers auteurs et il semble que dans la majorité d’entre eux la chambre infé- rieure de l’albumen remplit le rôle que nous avons assigné aux antipodes (*. C’est notamment le cas pour les haustoriums contenant des noyaux libres d’origine albuminique signalés par Mme Bacicka-Iwanowska (1), par BizciNGs (4) et par PeL- TRISOT (80). D'ailleurs, 1l n’est pas nécessaire que cette partie inférieure de l’albumen reste à l’état polyplastique pour jouer ce rôle. Nous en avons une nouvelle preuve dans le mémoire récent de P. Laviaze (59). Mais encore, dans le cas du Sonchus décrit par cet auteur, ce tissu primitif finit-1l par passer à l’état de polyplaste par suite de la gélification et de la disparition des membranes cellulaires. Tous ces résultats des observations qui précèdent tendent à faire admettre que, dans l'ovule fécondé, se développe un organe d'origine antipodiale ou albüminique voué à une fonction diges- tive ou sécrétrice en faveur du contenu du sac embryonnaire ou de l'albumen. (*) Faisons remarquer ici que GUIGNARD (36) a trouvé que dans certaines Labiées, c'est la partie supérieure qui devient polyplastique et la partie inférieure qui se prend en tissu. (63 ) Nous avons vu que les premières cloisons se manifestent dans l’albumen quand l’embryon, mesurant près de O""O08, - avait déjà pris un certain développement ; l’assise cellulaire qui en résulte se recloisonne tangentiellement pour former, en direction centripète, le tissu albuminique ; puis, elle constitue finalement une couche de deux ou trois assises de cellules à contenu protéique et ce au moment où l’amidon apparaît dans les cellules sous-jacentes et où l’antipode com- mence à dégénérer. On peut admettre, avec SouÈGEs (101), que cette couche se différencie en couche digestive et que ses cellules héritent de la fonction de l’antipode, telle que nous avons envisagé celle fonction jusqu'ici. J'ajoute ces derniers mots en les soulignant, parce que SouëGEs termine son long exposé sur les antipodes en disant, sans y avoir fait allusion auparavant, que ces cellules fournissent au sac embryonnaire les substances diastasiques dont il à besoin pour digérer le nucelle ; cela équivaut à dire que les cellules de la couche digestive continuent à digérer le nucelle. Mais il n’en reste presque plus rien quand cette couche se différencie. Et puis, le nucelle ne commence-t-1l pas à se résorber bien avant que les antipodes soient constituées ? Évidemment, cette hypo- thèse de la digestion du nucelle par le sac aidé des antipodes est très séduisante, d'autant plus qu’elle est défendue avec beaucoup de talent par SouèGEs, et je comprends qu’elle s’accrédite auprès d’autres chercheurs, tels que LaAviALLE (59) qui pense que la résorption définitive du parenchyme tégu- mentaire (du Sonchus, où le nucelle disparaît entièrement de bonne heure) est due à une propriété digestive de l’assise externe de l’albumen qui sécréterait les diastases nécessaires pour compléter la digestion. Il convient donc, semble-t-1l, d'admettre que l’assise externe de l’albumen, assise protéique de GuiGnarD ou couche à aleurone de HABERLANDT, n'exerce sa fonction digestive que vis-à-vis de l’albaumen seulement, comme les expériences de HaBerLanoT (40) l'ont montré et comme l’admet également GuicnarD (36). J. GRüSS (29) se base sur quelques cas parti- ( 64) \ culiers pour refuser à la couche à aleurone des Dicotylées les mêmes propriétés qu'à celle des Monocotylées et spécialement des Graminées. C'est d'autant plus à tort qu'il a négligé d’ob- server des Dicotylées ayant un albumen farineux. Certes, l’objection tirée de ce que le nucelle commence à se résorber, bien avant que les antipodes soient constituées, peut tourner en faveur de l'hypothèse rappelée plus haut, en ce sens que le nucelle ne commence à se résorber que lorsque la cellule mère du sac a fini par supplanter ses sœurs, qu’on ne peut concevoir qu'il ne se résorbe qu’en faveur de cette cellule mère, que celle-ci, ancêtre des antipodes, contient ces dernières et leurs propriétés en puissance, qu’elle est donc capable de digérer le nucelle en sécrétant elle-même des diastases. Ceci est un peu hasardé, mais admettons-le. Ces diastases auraient pu agir directement sur les cellules sœurs qui n'étaient limitées que par des cloisons facilement gélifia- bles, mais non sur les cloisons cellulosiques des cellules du Tf. N. voisines. Il semble bien, en effet, que la disposition en éventail ou en Jet d’eau de ces cellules soit en relation avec le sens des courants osmotiques qui les traversent et que ces courants se produisent dans un sens longitudinal. Ils doivent donc se diriger vers la base du nucelle, vers la régiou chala- zienne. Mais avant que, dans la cellule mère, s’instituent les phénomènes avant-coureurs de la division du noyau, nous avons vu s'établir le groupe de cellules dont l’hypostase ture son origine. Îl est légitime d’admettre que ces cellules pré- sentent également déjà, en puissance, les caractères propres à l'appareil dont elles préparent la naissance. Elles doivent donc faire obstacle au courant osmotique du nucelle et celui-ci sera dévié vers la commissure tégumentaire où 1l rencontrera les cellules de la base de l’Ep. N. dans lequel il s’engagera. Mon hypothèse se justifie encore davantage dans la suite du développement. À mesure que le sac embryonnaire et, après lui, l’albumen et l'embryon se différencient, le nucelle se résorbe de haut en bas, cellule par cellule. Les produits de cette résorp- tion se dirigent vers le bas de l’Ep. N., ainsi qu’il résulte mani- (65) festement des figures 51 et 40. Ils n’entrent pas directement dans le sac embryonnaire ni dans les cellules de la couche digestive de l’albumen. Ceux-ci reçoivent en quantité suffisante Jes matériaux dont ils ont besoin de la chalaze par l’intermé- diaire des antipodes. Si j'admets que la couche protéique ou digestive de l’albumen hérite de la fonction de l’antipode, c'est que je considère que cette fonction consiste surtout à sécréter les diastases nécessaires pour digérer l’albumen sur Île passage de l'embryon. Plusieurs circonstances tendent à justi- fier cette manière de voir : Nous avons vu que les diastases sécrélées par l’antipode et par l’assise de cellules d’albumen qui la touche entretiennent à l’état de dissolution le contenu des trois assises de cellules de l’albumen qui sont à la base de ce dernier. Les cellules de l’assise protéique agissent plus tard de même à l’égard des cellules d’albumen amylifères sous- jacentes, dans la région que doit occuper l'embryon, tout le long d’une des arêtes de la graine. De ce côté, en effet, l’assise protéique est plus épaisse ; elle comporte quatre ou cinq assises de cellules ; celles-ci sont le siège d’une grande activité ame- nant la dissolution du contenu des cellules amvylfères sous- jacentes au fur et à mesure que l'embryon s’en approche. Partout ailleurs l’assise protéique est simple, parfois double, latente dans son action digestive qui semble ne devoir se manifester que lors du phénomène de la germination. Il résulte de ce qui précède que le développement de l’em- _bryon le long d’une des arêtes de la graine et la courbure des cotylédons à la base de l’albumen sont déterminés par l’action digestive, sur l’albumen, des cellules de la couche protéique et de l’antipode. Celles-ci creusent, en somme, dans l’albumen par ailleurs solide, un lit dans lequel l'embryon peut s'étendre sans rencontrer d'obstacle. On peut donc dire avec E. Hannic (42) que la courbure des cotylédons a lieu par des causes purement mécaniques, par suite des obstacles qu’ils rencontrent de la part de l’albumen solide, d’un côté, et de la couche périphérique de l’albumen, de l’autre. [Il y à, en effet, une très grande analogie entre le déve- 5) ( 66 ) loppement, dans la graine, des embryons du Polygonum avicu- lare et des Crucifères étudiées par Hannic. Mais cet auteur a tout à fait méconnu le rôle de l’assise protéique que Guicnar» (35 et 36) a mis en lumière chez les Crucifères aussi. Ce n’est, suivant HanniG, que l'embryon qui se fraie une voie dans l’al- bumen dont certaines régions, variables pour les espèces, sont plus facilement attaquées par les enzymes produites par l’em- bryon. On peut admettre que celles-ei interviennent sur le tard; mais Je ne trouve, dans le travail de HAanNniG, aucune raison qui rende mes déductions inapplicables à ses Crucifères. Bref, l’antipode et l’assise protéique de l’albumen n’exercent leur fonction digestive que sur les cellules de l’albumen et n’ont aucune action sur celles du Tf. N. Celles-ci se résorbent de haut en bas, cellule par cellule, avons-nous dit; les produits de leur résorption se dirigent vers le bas. Ce processus est en tous points comparable à celui que l’on constate dans les phénomènes que l’on à parfois appelés autophagie et qui se passent dans les plantes ou portions de plantes vivant dans un milieu dépourvu de principes nutritifs : Les organes les plus vieux se résorbent au profit des parties nouvelles et cette résorption, dans ces organes, progresse du sommet vers la base, des régions distales vers les régions proxi- males. C’est ce dont on peut s'assurer facilement dans des cultures de Maïs ou de Pois dans l’eau distillée. [Voir aussi Prerrer (82, tome I passim).] Examinons maintenant l’Ep. N., dont l’aspect et le rôle physiologique méritent de retenir notre attention. J'ai fait mention, pour la première fois, de l’Ep. N. à propos de la différenciation de la cellule mère primordiale du sac embryonnaire (p. 23). C'était peut-être un peu préma- turé; car alors nous ne sommes en présence que d’un mamelon ovulaire non encore différencié en nucelle et en téguments, ceux-ci ne faisant leur apparition qu’un peu plus tard. Sommes- (67) nous, dès lors, autorisés à appeler Ep. N. l’assise externe de cellules qui recouvre ce mamelon? Il faut passer condamnation ; car cette assise ne tarde pas d’avoir droit à cette désignation d'Ep. N. Comme nous l'avons dit à la page 25, elle se carac- térise d’ailleurs de bonne heure, vers le moment où le canal micropylaire se ferme pour ainsi dire et ce, en présentant des cellules à contenu dense, à noyaux sphériques, volumineux et qui, au moment de l’anthèse, sont plus grandes que toutes celles des téguments (p. 27 et fig. 11). L’Ep. N. reste simple au sommet; 1l est tout à fait exceptionnel d’y voir une cellule recloisonnée tangentiellement. Le tube pollinique, pour péné- trer dans le sac embryonnaire, se fraie un passage entre les deux cellules qui se trouvent en face du micropyle. Plus tard, il ne reste plus guère de trace de cette pénétration. Mais aussitôt après celle-ci, on remarque que le contenu des cellules” de l’Ep. N. devient plus granuleux et plus dense encore qu’au- paravant (p. 51). Cette assise est la seule du nucelle qui persiste dans la moitié supérieure de ce dernier. Il convient de noter que, dès ce stade, le Tf. N. est isolé de la chalaze par l’'hypo stase agrandie et qu'il n’a plus de rapport possible qu'avec l'Ep. N. qui, lui, reste en contact avec la chalaze pendant un certain temps encore. — L’embryon, qui se forme plus tard, se différencie en un embryon proprement dit et en un suspenseur dont la cellule supérieure s’insinue en crampon entre les cellules du sommet de l’Ep. N. (pp. 32 et 35, fig. 29). C’est à partir de ce moment que l'aspect et le rôle de cette assise deviennent surtout caractéristiques : sauf dans la région voisine du sommet, les cellules deviennent larges et grandes ; leur pro- toplasme est très dense et finement granuleux ; leurs noyaux s’allongent en forme de boudin dans le sens longitudinal et ils se fragmentent ; leurs parois transversales deviennent très minces ; il en est de même des parois internes, chez les cellules de l’Ep. N. approchant de la base ; celles-ci, généralement plus grandes, restent manifestement en continuité osimotique avec les cellules du Tf. N. contiguës, comme le montrent très bien, entre autres, les figures 31 et 40, etelles ne le sont qu'avec (68) celles-Tà, car, partout ailleurs, elles sont en contact, soit avec des cellules physiologiquement inactives, soit avec des cellules de l'Ep. i. S. dont elles sont séparées par une paroi cutinisée. Quant aux deux ou trois étages de cellules de l’Ep. N. voisines des antipodes, elles se vident de plus en plus et finissent par former, avec les cellules de l’hypostase vides elles-mêmes, une clôture qui intercepte toute communication de l’Ep. N. avec le dehors (p. 35), puisque, plus haut, les cellules de cette assise ont la paroi externe cutinisée. Ces caractères vont en s’accen- (tuant par la suite. A un stade plus avancé, les cellules de l'Ep. N. présentent même une striation très nette du proto- plasme dans le sens longitudinal, indice de la direction géné- rale des courants établis dans leur contenu cellulaire. Sous cet aspect, le protoplasme des cellules de l’£p. N. prend une forme qui rappelle singulièrement les notions d’ergastoplasme ou de kinoplasme données par quelques auteurs [ef. Souèces (100) qui donne la bibliographie du sujet]. Nous avons donc pu tirer de ces faits les conclusions sui- vantes (v. p. 56) : 1° L'Ep. N. et le Tf. N. ne sont en rapport osmotique qu'entre eux, à l'exclusion de tout autre tissu (cf. notamment p. 56 et fig. 51). 2% L’embryon est en rapport osmotique avec l’'Ep. N. par l'intermédiaire du suspenseur ; aucun échange osmotique ne paraît possible entre l'albumen et l'embryon, du moins tant que celui-ci n'a pas constitué complètement ses cotylédons. Toutes ces constatations nous forcent d'admettre que, dès le début de la résorption du Tf. N., les produits de cette résorp- tion se rendent dans les cellules de la base de l’Ep. N. Celui-ci se charge de les conduire vers le sommet, où ils sont transmis à l'appareil synergique d’abord et plus tard à l'embryon. Avant le développement de ses cotylédons, celui-ci ne tire et ne peut tirer toute sa subsistance que du Tf. N. par l'intermédiaire de l’Ep. N. Ce dernier joue ce rôle activement jusqu’au moment ( 69 | même de la maturité de la graine; car après que les derniers _ restes du Zf. N. sont résorbés, lui-même vide ses cellules au profit de l’embryon. C’est lorsque les cellules de l’Ep. N. sont entièrement évacuées que l'accroissement de l'embryon s'arrête et que la graine passe à l’état de vie latente. Dans le cas qui nous occupe, 1l n’est donc pas exact de dire que l’albumen digère les parties du nucelle qui l’entourent, pas plus qu’on ne peut affirmer que, dans les premiers stades tout au moins de son développement, l'embryon digère l’albumen. Celui-e1 s’édifie par les substances que lui amènent et préparent les antipodes et tant qu’il n’est pas arrivé à sa conformation définitive, l'embryon n’en tire aucun profit. En attendant, celui-ci se nourrit des produits de la digestion du 7f. N., digestion qui s'opère à l'intervention de l’Ep. N. qui affecte d'ailleurs tous les caractères d’une assise digestive. De l’Ep. N., ces produits sont amenés dans l'embryon par le suspenseur. Le rôle de ce dernier n'est donc pas simplement d’enfoncer l'embryon dans l’albumen; mais c'est surtout un organe d'absorption et de conduction en faveur de l'embryon. Il n’y a guère d'exemple jusqu'ici, dans les autres familles de plantes, d’un Ep. N. jouant un rôle aussi actif et aussi important que celui du Polygonum aviculare et probablement de toutes les Polygonées. ST&vENs (104), en effet, a également été frappé, en étudiant le Sarrasin (Fagopyrum esculentum), de l'allure spéciale de l’Ep. N. dont il décrit le développe- ment et les particularités qui concordent parfaitement avec ce que j'ai constaté. 11 lui attribue une fonction nutritive et l’assimile à ce que CouLTErR et CHAMBERLAIN (17, p. 105) appellent « nutritive jacket »; mais 1l n’insiste pas davantage sur le point de savoir au profit de quelle partie de l’ovule l'Ep. N. fonctionne. | Cependant Bizuies (4) signale la remarquable régularité et la persistance de l’Ep. N. dans l’ovule de l’Armeria plantaginea. D’après cet auteur, l’assise en question ressemble à un « tape- tum », mais elle n’en a pas la valeur physiologique parce qu’elle n’exerce, semble-t-il, aucune fonction digestive ou ( 70 ) absorbante. Dans les autres Plombaginées qu'il a examinées, à savoir : Armeria vulgaris, Goniolinum elatum et Statice lati- folia, 11 a retrouvé les mêmes caractères ; de sorte qu'il est permis de supposer que ces derniers sont assez généraux dans cette famille de Plantes. Il y aurait toutefois lieu de vérifier si Bizuies a suffisamment défini le rôle de l’Ep. N. Car si, comme il le dit, « l'embryon, dans le cours de son développement, ne trouve guère sa subsistance que dans le nucelle », je suis porté à penser que la persistance et l'aspect de l’Ep. N. trou- vent leur explication dans l’accomplissement d'une fonction digestive et conductrice comme il en est dans notre espèce. Dans les Erodium et les Pelargonium, le même auteur a égale- | ment trouvé un Ep. N. jouant un rôle actif; 1l y a là, en effet, outre un « tapetum » normal formé par l’Ep. i. S., un « tape- tum » accessoire tapissant intérieurement le premier et formé par l’Ep. N. Ce dernier se résorbe de bas en haut, le sommet persistant Jusqu'à la maturité, et contribue certainement au transport des matières nutrilives nécessaires au suspenseur et à l'embryon. C’est aussi le cas chez certaines Crassulacées, comme il résulte du mémoire de Mie C. Rompacu (83). Dans un travail assez récent, M. Mücke (71) attire également l’attention sur la persistance de l’Ep. \., auquel 1l attribue un rôle impor- tant sous le nom de couche périspermique. L'expression « tapetum » normal employée ci-dessus se jusüfie par le fait que la plupart des auteurs s'accordent à dire que, d'ordinaire, le « tapetum » ou « nutritive jacket » ou « columnar tissue » de SHREVE (96), ou « couche de revête- ment », selon l'expression de WarmiNG (126), ou « assise diges- tive », comme l’appellent Souèces (99) et LAvIALLE (59), dérive d’une assise du tégument et de préférence de l’assise la plus interne, Ep. i. T. ou Ep. i. S. selon le cas. Mais le fait que BiLLINGS et STEVENS ont, comme moi, reconnu que cette fonc- tion peut être accomplie par l'Ep. N. prouve une fois de plus qu'il faut se garder de donner à des formations morphologiques une définition physiologique. C’est d’ailleurs ce qui découle de l'exposé fait par CouLTER et CHAMBERLAIN (17, p. 105) en trai- (TA) tant ce point. Notons que ces auteurs considèrent comme _ assise digestive la couche de cellules entourant incomplètement le sac embryonnaire de l’Helosis guyanensis qui a été étudié par CHODAT et BERNARD (15), alors que ces derniers ne se sont eux-mêmes pas prononcés sur ce point. Mais de ce que les savants suisses ne rejettent pas l’idée de considérer ces cellules comme représentant le nucelle dont elles seraient une assise unique, soit l’£p. N., ce serait un exemple de plus d’Ep. N. remplissant la fonction d’assise digestive. On pourrait y ajouter celui des Droséracées; cependant Fr. X. LANG (58) a montré qu'après la fécondation, l’Ep. N., jusqu'alors remarquablement caractérisé, ne tarde pas à être résorbé chez les Drosera. Au surplus, aucun des auteurs qui se sont occupés de l’assise digestive, GuiGnarp (36), M° Bazicxa-Iwanowska (1), HEGELMAIER (47), Bicincs (4), H. MarsHazz Warp (124), SCHWERE (92), LAvIALLE (59) ni mêrhe Mie GoLpFrLuss (27), n'indique clairement dans quel sens s'opère le transport des matériaux digérés par cette assise. Ce dernier auteur dit bien que les « cellules épithéliales » (autre nom encore donné aux cellules de l’assise digestive) ont pour fonction de digérer les couches internes de l’ovule au profit du sac embryonnaire et de son contenu, et plus loin, que c’est par l'intermédiaire des antipodes que les substances digestibles élaborées par l’ovule entrent dans le sac embryonnaire; mais n’y a-t-1l pas lieu de considérer cette manière de présenter les choses comme trop générale et, dans les cas étudiés par ces auteurs, n’y aurait-il pas aussi une partie de ces substances qui emprunterait la vote de l’assise digestive pour se rendre vers l’embryon naissant? Les dessins qui accompagnent le mémoire de M'e GoLpFLuss, tout schématiques ou incomplets vers le haut qu’ils sont, me font pencher pour l’affirmative. On semble trop facilement admettre qu’en principe, les apports de substances ne par- viennent dans le sac embryonnaire que par la région anti- podiale. Cependant, révélée par les recherches de BaLicka- Iwanowska, de BizzinGs, de Burns (7), de Lanc, etc., l’exis- tence de suçoirs micropylaires en même temps que de suçoirs (72) chalaziens dans les ovules fécondés de certaines familles de Plantes (Campanulacées, Lobéliacées, Stylidacées, Lentibu- lariées, etc.) doit suflire pour indiquer que l'extrémité micro- pylaire ou, si l’on veut, synergique de l’ovule est aussi une voie de pénétration souvent employée par les substances nutritives destinées au sac embryonnaire ou à son contenu, l'embryon notamment, comme nous allons le voir. * *X * Bien que n'ayant pas en vue d'étudier d’une façon spéciale l'embryogénie du Polygonum aviculare, j'ai été amené à suivre le développement de l'embryon à l'effet de déterminer Ds \ 1 ET RU 777 à l $ ny, ë # 77 7 5 ” 7 nus l «7 1 } { 3 | hs va 14 Sgen" 4 ann FM 2 nm mm ; | " 5 M0 nie D... 4 FUL D. ni.) = 2 CR ÿ ë (On ND 7 % “5, £ on $ UT É H nn t HEQAUX / EE de lanamt -plan lourceaur l a nière - plan … Cmules ole Ca cawile ovanremme [TROUS æt D'TLUTIQUES » , d »} NE , - . ! > d } F. f \ à LITE à Ÿ L L 4 # ÉLIRE 4 s , DOCS: L' : p Je ” FuTTE MTE Ar | 2 TN Li +1)" ; À | AI D. 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L ; = à * en 7 me à . ve.} » hi 2 « _ e 2 … ous n . ms ne d 2 + æ - +, . A3 ai? - - 3 Fa = L l » = ; L éme c . Le - : ce A De 7 Poe > bd - L y _ 23 " F æ 7 . _ J < : et ' FM $ os. se PSE — e D) r C 4 s r r A , FI ns 2 : La . a: ts Î - Ar né œ va | ? - : Sr - A : es - : ; Le “ Ÿ - L f: ai " : NCHE A LA “ 1 27 æ? À 11 KE 4 | j L an . # à # 3 an 1297 ti4 5 # rs à EXPLICATIONS DE LA PLANCHE LIT. F1G. 28. — Coupe longitudinale d’un jeune fruit de près de 2mmÿ, Dessin d'ensemble. *%#$/, (p. 33). FiG. 29. — Sommet de l’ovule de la même coupe. 13/4 (p. 33). FiG. 30. — Portion de la région moyenne du même ovule. 175/; (p. 33). F1G. 31. — Base du même ovule. 17/4 (p. 33). Fig. 32. — Coupe transversale d’un fruit mûr au niveau de la chalaze. Dessin d'ensemble. 8/4 (p. 36). F1G. 33. — Coupe longitudinale d’un fruit un peu plus âgé que celui de la fig. 28. Dessin d'ensemble. %8/4 (p. 317). FiG. 34. — (Voir planche II.) Fig. 35. — Portion de la région moyenne de l’ovule de la même coupe. 175/4. (p. 37). Fi. 36. — Coupe longitudinale d’un jeune fruit de 2mm8, Dessin d’en- semble. 28/, (p. 37). Fig. 37. — Sommet de l’ovule de la coupe précédente. 173/4 (p. 38). 2 # 0 f \ à ] ; . : ” LA . sf CB, ” 3 * s L F 4 4 ' ‘ / | » 4 _ » - 12 | 0 d | LA ne. #” y À ‘ ‘ d L te » L be #s ‘ AT . " & . YA 1 : e . » AR . x nee a: x: Den ee sm n r s lt mn ne on FA] La . lé à JY UE ER DU 1te A AR 247} N + ' « . dt u” - 6 . : LLe - $ Va + . és 1 +4 p + + - f Lt v. «i + 4 . : PTE ne ss É L se AA ag 2" REP EU AE. % ++ “ Ven va ra intéfespt t 11 hr LI AV RC] VER LE UV ETC CRE à # « L: L ff NE rt'ie, LUS thé [ss OS à Lan ° HR . ”_* Tr PR D cl : L toy » # 4 È t LI à . : CENT fi di 15 F LA NN L Ye t 4/1 ' ñ y + k … 4 . 47 É x à 1 Ve # L | . r 1 Z i + : à s s . Ce - S . : : : - < : | 4 4 11 L 64 | Le _ wi f. " " A A* Fer ee 5 } \ ‘ LA - C4 È + / lie } (] d L A s } (" L Ne ET : | L € } Î - \#41 SALELT | 17 ant TE j T4 l : + re l } # F PA 0 . % w Ÿ ac , # ù ! y Fe + ARE DT : L CEE TE POS PAT Ë MIIMROUOU OL EQSL ILE TITANS MY EEE À ! Dr CU OS or L L” . À | . f f ! É ( " { ET MN IQ) Et MUC ET NT | , ds # D | : 4 ’ + x * 1 ! 34 ts 1 re L : Vas rt | | et j , Hip) 1 F2} 11D 1 : p w y - ' è - n-/t y j4 ' | sr | 2 = s { L 4 : à # ’ ! : . “1 $ . SE 18 + a 1 4 d ‘ MMA ee DT Hire Soi ue em lnilienol squ0T DRE : Les MNT ir | En : déte - \É L Ù lag 1 ! \ w, à Sig e nn es DAVOUDIS AIRE DJ | , Q ‘U LT er: 2 ; = 4141 IL : L: me 1 An. 01) 4 \ h : 4 13 } , ñ | : | ] ! . L L “ . « « : g. “ ® % L  as f # \ EXPLICATIONS DE LA PLANCHE IV. FiG. 38. — Base de l’ovule de la coupe de la fig. 36. 175/, (p. 38) FIG. 39. — Base d’un ovule un peu plus âgé. 173/, (p. 39). FiG. 40. — Autre partie de cette région basilaire. 173/, (p. 39). Fi. 41. — Akène mûr couché sur sa face large. 12/4 (p. 45). Fi. 42. — Coupe transversale dans le péricarpe d’un akène presque com- plètement développé. 75/1 (p. 15). FiG. 43. — Coupe transversale du spermoderme de l’ovule contenu dans ce même akène. 175/, (p. 38). F1a. 44. — Coupe longitudinale d’un jeune fruit arrivé à sa taille défini- ve, mais dont l’ovule ne mesure encore que 2? mm. Dessin d'ensemble. 22/4 (p. 40). FiG. 45. — Coupe longitudinale d’un ovule plus âgé ayant 2mm45. Dessin d'ensemble. 22/, (p. 40). FiG. 46 et 47. — (Voir planche V.) Fic. 48. — Coupe longitudinale d’un jeune fruit dont l’ovule est arrivé au terme de sa croissance (2mm93), Dessin d'ensemble. 23}, (p. 4). FiG. 49. — Jeune coifte de l’embryon de cette coupe. 173/4 (p. 41). FiG. 50 à 62. — (Voir planche V.) FiG. 63. — Coupe transversale du spermoderme d’une graine sèche faite à sec et traitée par la potasse à froid. 13/4 (p. 43). FiG. 64. — Cellules de l’albumen de la coupe représentée par la fig. 52. 173/, (p. 43). / F4 (Res À = C = | RD SE ; ET f LEE fe » Gi gl EE . | k N î NA è HET RT K »” « , " ; “ : = - ; % L | A de. sù UV f PLANCHE. aq ub SpA 86 a FRE , { R r , ; : - | ob &E … l - : < « L | j > r : : t 4 { \ , $ , : | $ : F £ ” : . { { « ; LD ft | , à + 0 | ‘ Û 1 . . ; : É 1 À . , : = L Ê # | \ Û * , EXPLICATIONS DE LA PLANCHE V. F1G. 46. — Sommet de l’ovule de la fig. 45. 175/, (p. 40). Fig. 47. — Base de cet ovule. 1%3/, (p. 40). FiG. 48 et 49. — (Voir planche IV.) FiG. 50. — Base de l’ovule de la fig. 48. 173/, (p. M). FiG 51. — Portion de la région moyenne de cet ovule. 15/4 (p. 41). FiG. 52. — Coupe transversale d’un fruit semblable à celui de la fig. 48, avec le périanthe (s.). Dessin d'ensemble. 22/, (pp. 16, 41 et 43). FiG. 53. — Détails du péricarpe de la coupe précédente. 173/4 (p. 16). FiG. 54, —- Détails de structure de la graine de la même coupe. 1%5/, (p. 42). F1G. 55. — Ep. e du péricarpe d’un fruit semblable, vu de face tout à la surface. 173/, (pp. 14 et 17). Fig. 56. — Le même vu de face au niveau du tiers externe de sa hau- teur: Us}, (p.17). F1G. 57. — Vue profonde de face du même. 1%/, (pp. 14 et 11). F1G. 58. — Ep. e. P. d'une graine mûre, isolé et vu de face après macé- ration. 47%5/, (p. 49). FIG. 99. — Ep. t. P. vu de face dans les mêmes conditions. 173/4 (p. 42). FiG. 60. — Ep. i. S. idee id. 173/, (p. 42). FiG. 61. — Coupe transversale du péricarpe d’un akène sec. 173/4 (p.17). F1G. 62. — Coupe transversale d’une graine sèche faite à sec et montée dans l’eau. 1%3/, (p. 43). FiG. 63 et 64. — (Voir planche IV.) F16G. 65. — Embryon isolé de la graine mûre. Dessin d’ensemble. ??/, (p. 43). house. dt dé Es“ ES 52 EpN SE sep | ve LA 7 DIX La rire PURE ON A ter 2 4 à Cr tu à A pa { Là .. " 2 vs Lt ni " A à | (le 4228 QUELS NES | <” Lr: LEE" LS 2 (2 Les! 4 (11 +# : ë vi, — , : L hd © C 2" Ne PAMALT + # à PS , # L : , C ke» ‘ F 6 LEA +7 Le i n : L $. L L. 17 , Le : é C1 AU t ï + Le d L M ; S | Fark) A. * mr à t 143: ù E* " nr - En nr vit y > pi #- : . ; rt PL À à « ire t > 2 Es ie ut : F ‘y L Le f , % = a “ à - sA : À { à . LE : L p Lde i 1 «C0 a a … n { : L] L TABLE DES MATIÈRES Pages. AO DR à enr) mi 3 MPa UOn des abréviations 0. D 4 « , 2 . . . : . 8 RE D Ho PéhiearpDe |... = +. Le 2. 0 L . A1 $1. Carpelles dans le bouton floral . . . . . . . . . A1 G2#Carpelles dans fleur épanouie.. . + + : +. :. … : 43 $ 3. Développement des carpelles après la fécondation . . . 14 Re RU M AU Re Ce, ve LL 16 $ 5. Parcours des faisceaux dans le Péricarpe . . . . . . 18 CHAPITRE Il — Le Spermoderme . . . . . . . . . . % M Ovaetdansiletbenion floral 4... 000. ur 93 en au, Er on $ 3. Développement de l’ovule après la fécondation . . . .: 29 Étape A. Fécondation de l’albumen . . . . . . . 30 Hiipe D Fécondation de l'œuf =. ….". +... ,.: 91 Étape C. Organisation de l’albumen entissu . . . . 33 Étape D. Comblement de l’albumen . . . . . . . 36 Étape £. Formation de l’amidon dans l’albumen . . . 37 Étape F. Différenciation des cellules claires del’albumen. 39 Étape G. Courbure de l'embryon. . . . . . . . 40 Phpe Hi Résorpton de l'Ep.£:p., : . 4 . . .: . ‘4 Étape 1. Résorption des cellules claires de l’albumen . 4 Étape À. Comblement par les Cotylédons de l’espace ainsi formé RL USER RP te 42 RP INOIMUEe. eee un de ae 1 42 CHAPITRE III. — Note critique et historique . . } HEURE 44 D Loncihusions généralés 3): : 5 . 0, 18 A bu. 7 À RENE 81 Explication des planches. ; Tr CO EE CR LIE 90 , En an Se 409 PUS A ’ Li - , * » Det . ’ , k : . 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