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HARVARD UNIVERSITY

LIBRARY

OF THE
MUSEXXM OF COMPARATIVE ZOOLOGY

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SEP 28 1927

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MEMOKIAS

DE LA

■. I, ' J ¡ I

REAL ACADEMIA DE CIExN6IAS

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

nis

MADRID

TOMO XVIII. -Parte I.

F. GOMES TEIXEIRA.— Sobre o Desenvolvimento das Func?oes em Serie.

^^.i

MADRID

Calle lie Poiitejos, 8.

1897

^

SEP 28 1927

ME\40RIAS

DE LA

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS

físicas y naturalbs

DE

MADRID

Tomo XVIII.

SOBRE

DESEPOLVipiEHTO DUS FO)IG(0ES

EM SERIE

PROFESSOR NA ACADEMIA POLVTECHNICA DO PORTO,

ANTIGO PROFESSOR NA UNIVERSIDADE DE COIMERA, SOCIO CORRESPONDENTE

DA ACADEMIA REAL DAS SCIENCIAS DE MADRID, ETC.

MEMORIA PREMIADA, FUERA DE CONCURSO,

y publicada por la

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS,

físicas y naturales de MADRID
(Tomo XVIII. - Parte I.l

MADRID

IMPRENTA DE D. LUIS AGUADO

Calle de Hontejos, S.

1897

INTRODUCCAO

Versa esta Memoria sobre o assunipto do thema segiiínte, proposto
pela Academia Real das Sciencias de Madrid:

<^ Exposición raxonada y metódica de los desarrollos en ^-ie de las fun-
ciones matemáticas. Teoría general de los mismos. Significación de las
llamadas series divei'gentes. Investigación de una serie típica, de la cual,
á ser posible, se deriven como casos particulares las series de magor im-
portancia g uso en análisis, como las de Taglor, Lagrange g cualquiera
otra análoga. »

O desenvolvimeuto das fnncjóes em serie tem sido empregado pelos
geómetras urnas vezes com o fim de calcular os valores numéricos que to-
mam estas func9oes para valores determinados das variavcis, outras vezes
para estudar as propriedades das mesmas func55es. Quer se empreguem
para um, quer para outro fim, é conveniente variar quanto possivel a forma
d'estes deaenvolvimentos, já para obter s(5ries mais rápidamente conver-
gentes, quando se destinan! ao primeiro fim, j;í porque ha propriedades que
se manifestam nos desenvolvimentos de urna fóraia e ficam ocultas nos
deaenvolvimentos de outra forma.

O problema geral do desenvolvimeuto das func^oes em serie consiste
em procurar, dadas as funcfóes /"(x), 'i,{x), ^.,(x),..., as condiyóes para
que seja

f(x) = A, H, (X) + A, O, (x) + ... + A„ 0„ (.r) + ...,

A , A,... representando quantidades constantes, e determinar estas cons-
tantes. Na impossibilidade de resolver este problema com toda a genera-
lidade, tíem os geómetras considerado os casos particulares que, ou por
stia simplicidade ou por sua importancia ñas applicacoes da Analyse á Geo-
metría, d Mecánica e á Physica, teciu merecido preferencia. Assim foi
considerado o caso de í), (:<), &,, (x),... representarem potencias inteiras de
urna funcjao, o caso de estas funceocs serem os senos ou os cosenos de
múltiplos successivos do arco .t, o caso de estas funcvoes representarem
potencias inteiras, positivas ou negativas, de muitos binomios da forma
X — a, X — b..., etc. Cada urna d 'estas questóes exige bastante espafo para
ser tratada de unía maneira completa; porisso aqui limitar-nos-hemos a tra-
tar da primeira, isto é, do desenvolvimento das func9oes em serie ordena-
da segundo as violencias inteiras de uma funcyao dada.

Principiando pelo caso mais simples, consideraremos primeiramente os
dcsenvolvimentos ordenados segundo as potencias inteiras e positivas de
uma variavel independente, tanto no caso d'esta variavel ser real como no
caso de ser imaginaria, expondo os differentes methodos empregados pelos
geómetras para resolver esta questao. Assim estudarenios primeiramente o
methodo, appresentado por J. Bernoulli e Taylor e completado por Lagran-
ge e Cauchy, para o desenvolvimento das funccoes de variaveis reaes; de-
pois a extensño d'este methodo, esboeada por Cauchy e completada por
Darboux, ao caso das fuucyóes de variaveis imaginarias. Em seguida, con-
tinuando o estudo de desenvolvimento das funcjoes das variaveis imagi-
narias e considerando a questao n'um ponto de vista menos elementar, ex-
poremos o methodo de Cauchy, fundado na theoria dos integraes curvilí-
neos, o methodo de Riemann, fundado na theoria das funccoes harmóni-
cas, e finalmente o methodo de Weierstrass, fundado na theoria das series
inteiras. Cada um d 'estes methodos éo objecto principal de um dos pri-
meiros cinco capítulos.

O desenvolvimento das fuuc55es em serie ordenada segundo as poten-
cias inteiras, positivas e negativas, é tambem considerado. A formula dada,

para achar estes desenvolvimentos, por Ijaurent é demonstrada no capitulo
terceiro pelo nietliodo de Caucliy e no capilulo cpiiiito pelo methodo de
AVcierstrass e Mittag-LefUer. A bella denionstra<;ao que Mittag-Leffler deu
d'esta formula ñas Acta Mathematica , foi apresentada pelo eminente geó-
metra de urna niancira bastante resumida; a<pii apresentamol-a com todos
os desenvolvimentos necessarios para ser fácilmente comprehendida, modi-
ficando mesmo algumas passagens com o fim de a tornar mais elementar.

No capitulo sexto demonstraremos a formula de Bunnaiin, i|Ue d¡í o
desenvolvimento das func5Ses em serie ordenada segimdo as potencias in-
teiras e positivas de urna funcgao dada, e d'ella tiraremos a de Lagrange,
que só différe d 'aquella na notajao. Em seguida faremos, nos num. 61 e 62,
uma applicacao, que julgamos nova, da mesma formula ao desenvolvi-
mento das funcjoes em serie ordenada segundo as potencias de sen a: e á
demonstra^ao de duas formulas devidas a Euler. Finalmente, ])ara respon-
der á ultima parte do programma proposto, daremos uma formula, que dá
o desenvolvimento das fuucjoes em serie ordenada segundo as potencias
inteiras, positivas e negativas, de uma func^ao dada. Esta formula, que
julgamos nova e que estudamos nos num. 64 e 65, coniprehende a de Bur-
mann, e por tanto a de Taylor e Lagrange, e ainda a de Laurcnt.

Terminando estas considerajoes preleminares, devemos dizer que, na
exposijao dos assumptos, supposemos sómente conhecidas do leitñr a theo-
ria algébrica das quantidades complexas, os principios geraes mais elemen-
tares da theoria das series e os primeiros principios do Calculo differen-
cial e do Calculo integral. Porisso, antes de entrar em cada queslao, apre-
sentámos alguns estudos preleminares que certamente serílo couhecidos
por muitos dos leitores. Devenios ainda dizer que fizemos acompanliar cada
assumpto pelas indicajües bibliographicas e históricas que nos pareceram
convenientes.

CAPITULO PRIMEIRO

ESTUDO DA SERIE DE TAYLOR NO CASO DAS FUNCfOES
DE VARIAVEIS REAES

1 . As series de forma mais simples <jue se podem empregar, para des-
envolver as func^óes, sao as series da forma

(1) A, + A^ {.V - «) + ... + A„ {X - ar + ....

onde a, A„, A, ... representara quantidades constantes e .r urna quantida-
de variavel. Consideremos, pois, em primeiro logar estas series, determi-
nando as condi^oes para que qualquer funcf'áo dada f {x) seja susceptivel
de um tal desenvolvimento e procurando os meios para calcular os coeffi-
cientes A,,, A¡ ... Supporemos em primeiro logar que a func9ao f(a') é real,
assim como as quantidades x e a.

2. Gregory, ñas suas Exercitationes gcometricae, publicadas em 1668,
e Mercator, na sua Logarithmotechnia, publicada no mesmo anno, apre-
sentaram os primeiros desenvolvimentos de funcjoes em serie ordenada
segundo as potencias da variavel, dando o primeiro o desenvolvimento de
arctang a-, e o segundo o desenvolvimento de log (1 -[- j:). Alguns annos
depois Newton apresen tou, ñas suas cartas a Leibnitz de 13 o 24 de Ou-
tubro de 1676, os desenvolvimentos em serie do binomio, do seno, do co-
seno o da exponencial.

o iniíneiro geómetra que den, poréiu, urna formula assaz geral para o
desenvolvimento das fiuiC(;oes em serie, foi Joáo Bernoiilli, que publicoii
cm 1694, ñas Acta crudifonim , um artigo em que apresentou a formula
scguinte (Veja-se Opera onni/a, t. i, p. 125):

/F{.r) ch-=.rF(.r) - 1 X'- F' (.r) + ~ .v--F"{.r)

de que fez algumas applicaeucs a fuucyoes particulares, a qual elle tirou da
idcntidade evidente

F(.r) dx = [F(x) + xF' (.r)) dx — y (2,/.-i'^'(.r) + x'F"(x)) dx

+ ¿ {3-r:'-F"(x)+x-'F"'(x)) dx-...

- 1.2. ..{» — !) (*" ~" ^' -í'"-'^^'"-" W + .c"-^F<--^Hx)] dx

j.n — 1

+ 1.2...(w— 1) ^ '•""•''

integrando ambos os menibros, pondo /? = x, e determinando a constante
arbitraria, introduzida pela iutegrayáo, pela condiyao de ser nuUo o integral
f F{x) d X, quando .>• = 0.

Analysando esta demonstracao, vé-se que a conclusao tirada pelo cele-
bre geómetra 6 demasiadamente lata, e que o que se pode af firmar é qne
este desenvolvimento teiu logar todas as vezes que a quantidade

(— l)"-i

\..-2...(n — l)J ^ ''^''

tende para zero, quando a tende para o infinito. Assim modificada, é esta
demonstracao ainda hoje empregada.

3. A serie de Bernoulli, que vimos de considerar, nao está ordenada
segundo as potencias da variavel. O primeiro geómetra que apresentou
uma formula, que dá immediatamente o desenvolvimento das funcgoes em

— 7 —

serie ordenada segundo as potencias da variavcl, foi Taylor, que, no sen
Mctl/odiis incrcinaüornin, puljlicado ein 1715, den para este fim a formula

/•(.c+/,) =/•(.,■) +/./•'(.*•) 4- •••+j7|^ru-)+-.

seni todavia fazer conhecer as condi(,'oes para que este desenvolvimento
seja convergente.

O methodo em[)regado por Taylor, para chegar a esta formula, é fun-
dado na theoria das differen^as tínitas. Esbozado pelo sen author na obra
citada, foi depois desenvolvidamente exposto por Euler ñas suas Institu-
tiones calculi differentialis. Eis resumidamente em que consiste este me-
thodo.

Sejam \ ?j, \- y, A= y ... as different;as da funcefio ¡j = f(.r), correspon-
dentes á differen^a constante A x da variavel independente ./;. Teremos,
como se ve por induc^'ao fácil de completar,

r,. + <.y,, = , + /,-.,,+ ^Ví^A-, + MiiMpai,,+...,

onde /.■ representa um numero inteiro positivo, e onde o numero de ter-
mos que entram no segundo membro ó igual a /l -f- 1 ; e, pondo k A .i: = h,

Fazendo tender A x para zcro, ou /,■ para o infinito, vem a formula pedida

A- + "l = /W + "g- + |"'-S-

Esta demostragáo é evidentemente viciosa. Tcm, entre outros inconve-
oientes, o de se fundar em que o limite para que tende unía somma de
parcellas é igual á somma dos limites para que tendem as parcellas , theo-

— 8 —

roma que é vcrdadeiro quando as parcellas sao em numero finito, mas que
nem seniprc (cm logar quando, como no caso actual, o numero k-\-l das
parcellas tende para o infinito.

A formula de Taylor nao difiero cssencialuicnte da formula de Bernoul-
li , da qual resulta por urna mudanca de nota^ao. Mudando, com cffeito, na
formula de Bernoulii prinieiramente F(.r) cm /' (J/ — jc), e depois .r em 1/
e // oni .r-\-Ji, vem a formula de Taylor. Porisso J. Bernoulii, depois da
pubiicai/ao da obra de Taylor, reclamou para si a prioridade da descoberta
da formula precedente. (Opera omnia, 1. ii, p. 584.)

4. Maelaurin, no seu Trcatise of Fluxions, publicado em 1742, apre-
sentou outra demonstra^áo da formula de Taylor. Adraittindo que toda a
funceao que teni derivadas de todas as ordens é susceptivel de ser desen-
volvida em serie ordenada segundo as potencias de x:

f [x] = A^-\-A,x-\- A^x- -\- ...

determinou os coeffi cientos Ag, A¡, A, ... por meio das igualdades se-
guintes:

/'(.r)=J, + 2.4,.r+3 4,.c^ + ...,
r(.r) = 2.U+2.3.43.c + ...,

que dao

A, = f(0), J, = /"(0), A,^= I f"(0),.

Achou assim a formula

/"W = /'(O) + xf (0) + \- x-f" (0) + ,

ainda hoje conhecida polo nnme de formula de Maelaurin.

Da formula de Taylor passa-sc para esta pondo primciraincnte .x = O
e depois mudando li em x. D'esta passa-se para a de Taylor mudando
primeiramcnte /' (,r) em /' (./■ -|- //) e depois trocando li por x.

— 9 —

A demonstra^-ao que jncccde teni, entre outros inconvenientes, o de
n'ella se suppñr estabelecida antecipadameute a possibilidade de a fiinc-
jao ser desenvolvida em serie ordenada segundo as potencias inteiras e po-
sitivas da varia vel.

5. O inconveniente que vimos de notar na deiuonstra^ao de Maclaurin
tem-o tambem a demonslrayao que Lagrange deu da formula de Taylor
n'uma memoria apresentada em 1772 á Academia das Sciencias de Berlin
(Oeuvres, t. iii, p. 441). Parte, com effeito, da igualdade

fi.r + h) = f{x) + A/i + Blr + Clr + ...,

A, B, C, ... representando fnncyoes de .r que pretende determinar, e, para
isso, muda n'estc desenvolvimento x em x -\-l e. h em h-\-l, o que o leva
a dois desenvolvimentos, que devem ser idénticos, e que dao, pelo methodo
dos coefficientes indeterminados, as quantidades B, C, ... Achad'este modo

que, pondo por dcfinijáo A = f (x), vem B^ — /" "(.r), C= ~ — — f"'(x),etc.

Foi porém este grande geómetra o primeiro que recouheceu o papel
fundamental da formula de Taylor na Analyse, e o que deu os primeiros
passos para o estudo das condigóes para o desenvolvimento das func96es
pela serie de Taylor, apresentando na sua Tliéorie des fonctions analyti-
ques, publicada em 1797, a formula seguinte:

(1) /•(.r+^)=/-(.r)+/^r(x)+...+ ^J'^^^^^^ r-'w+i?,,,

onde é

(2) ^"=T£r^"^-'+^^^'''

9 representando uma func9áo desconhecida de n, cajo valor está compre-
hendido entre ü e 1. Quando i?„ tende para O, para n ^ 03, a serie de
Taylor tem logar; no caso contrario nao tem logar.

6. Para demonstrar a formula anterior apresentou Lagrange dous me-

— 10 —

thodos, dos quaes vamos dar urna ideia succinta, empregando, para simpli-
ficar a exposii;áo do primeiro, as iiotayóes do Calculo integral.

O primeiro methodo foi publicado na Théorie des fonctions analyti-
ques (Oiivres, t. ix, p. 69).

Pondo

f{x + h) = f(x -i-h- /^í) -f- /n /•' (X + /; - Irx)

esta iguaklade determina urna funcyáo Pdc ,r e x, que é nulla quando ^ ^ 0.
Derivando os seus dous membros relativamente a x, vem

o que dá

1 . 2 ... (n - 1)

r x''~'r(.r-J¡-h—hx)dx.

Pondo agora x = 1, obtem-se a formula (1) com a seguinte expressao
do resto i?,,:

Temos assim urna expressao do resto da serie de Taylor por meio de
um integral definido.

Para d'esta expressao de i¿„ tirar a formula (2), demonstra Lagrange
um thcorenia que coincide no fundo com um caso particular do theorema
hoje conhecido pelo nóme áe primeiro theorema dos valores medios dos in-
tegraes definidos. Applicando-o ao integral que entra na expressao de i2„,
suppondo para isso que a funcyáo /"" (.r -\- h — h \)é continua no intervallo
de X = O a ;. = 1 , vem

/ ^''- ' f" [x 4- h — hx)dx = — /■" (X -\-h — h'h),

— 11 —

V representando urna quantidade comprehendida entre O e 1. Pondo agora
1 — ^' =0, temos finalmente

^A.= 1 o" ,. /•"(-'■ + ^^^^)>

se a func^ao /'" (.r) fór continna no iutervallo (./•, .r-\-li).

7. A segunda demonstrayáo dada por Lagrange das formulas (1) e (_')
foi publicada ñas suas Lcrons sur le calcul des fonctions (Oeuvres, t. x,
p. 85). Esta demonstrayáo, mais simples e directa do (jue a anterior, é fun-
dada no theorema de Calculo differencial , segundo o qual as funcyóes cres-
cem com as variaveis, quando as suas derivadas de prinieira ordem sao
positivas, c decrescem, quando estas derivadas sao negativas.
Consideremos a serie de expressóes

f-ix-{-h')-L,

f—'(x-]-h') — r-'{-r) — Lh',

p-'-^.r: + /,') _ /•"-^ (x) - /•"-' (X) h' - L -^,

t\x+h')-f{x)-f'{x)h'-...-r-H.r: ''"^

1.2...(n — 1) 1.2...W

Todas estas e.xpressoes sao nullas quando é /?' = O, exceptuando a primei-
ra, e cada unía d 'ellas é a derivada da seguinte relativamente a //; appli-
cando, pois, o theorema que vimos de recordar, vé-se que, se a primeira
tiver um signal constante quando // varia desde O até h, todas as outras
téni este mesmo signal quando h é positivo, e o signal contrario quando h é
negativo. Representando, pois, por M e N o maior e o menor dos valores
que toma f{x -\- li) quando h' varia desde O até h, e dando á L os valores
M e ^V, temos as desigualdades

12

quando li é positivo, e as desigualdades coutrarias, quando h é negativo.
Em ambos os casos, tira-se d'estas desigualdades a igualdade seguinte:

f(x + h) = f(x) + hf'{:r) + ...+ , /'" ' ,//-"-'W ' ^'^'"

1.2... {n - 1) ' '•^' ^1.2... n '

K representando urna quantidade nem superior a M, nem inferior a N.

Suppondo agora que a func5ao /■" (,r) é continua no intervallo de o- a
x-\-h, deve existir um numero a-,, coniprehendido entre x ex-j-h, tal que
esta func5ao toma o valor A' quando x = x^ ('). Como a este numero se
pode dar a forma j-j-O/?, O representando urna quantidade comprehendida
entre O e 1 , temos

K=f"(x-{-H/i).

Substituindo este valor de A' na formula anterior, véem as formu-
las (1) c (2).

8. Cauchy, no tomo i, pagina 29, dos seus Exerdces de Matkématiqíies,
publicados em 1826 (Ocnvres, t. vi da 2." serie), deu urna nova demonstra-
§áo das formulas (1) e (2), e partindo de um caso particular d'estas for-
mulas, apresentou em seguida luiia nova expressao do resto R,^, mais pro-
pria para o estado do desenvolvimento em serie de algumas func9óes.

Applicando, com effcito, ¡í func(;ao de x.

? (^) = /'(•'• + h) — f[x) - (X + h -x)f' (í)
a formula

(') Este principio, considerado por Lagrange como evidente, foi mais
tarde demonstrado por Cauchy no seu Cours d'Analyse.

— 13 —

que resulta das formulas (1) e (2) poudo n' ellas n= 1, e attendendo á
ignaldade

' ^ ' í.2...(n — l) ' ^ ''

.{,1-1}
obtem a formula de Taylor

(1) /•(x+/o=A-')+/'/"(')+-+-f7¿^;J^r-'(.r)+A„
com a expressao do resto

9. A expressao do resto, que vimos de achar, foi objecto de urna ob-
servagao interessante de Pringsheim (Malhoiiaiische An)ialen, t. 44),
Mostrou, com effeito, este geómetra que, apcsar de 9 ser func9ao de n, é
condÍ9áo necessaria para que a serie que resulta de (1) pondo « = ce cou-
virja para a func^ao f {x), que esta expressao de i?„, considerada como
funccclo de duas variareis independentes ^ e n, tenda para O, quando n
tende para o infinito e 9 varia entre O e 1. Conclue-se d'aqui que o co-
nhecimento da func9ao B nada adiantaria a resolu^áo do problema que tem
por fim desenvolver f (jc) em serie. A demoustrayao d'este theorema, que
nao será dada aqui, pode vér-se no trabalho de Pringsheim já citado e n'u-
ma nota de E. Pascal, publicada na Rivista di Maiematica (Roma, 1895).

10. As expressoes do resto da serie de Taylor de vidas á Lagrange e
Cauchy sao casos particulares de urna expressao muito geral, dada por
Schlomilch primeiramente no seu Haudbnch der Differentialrechnuncf,
publicado em 1847-1848, e em seguida n'um artigo publicado no Journal
deLiouville (2.^ serie, t. iii), que obteve por meio da igualdade, devida á
Cauchy,

A' (x) representando uma funeyáo que nao seja nuUa no intervallo de j? a
X + //.

— 14 —
AppHcando, com effeito, CíBta ignaldade á func^ao considerada no n.° 8

c {X) = f(X + //) - /(>.:) -{x-{-h- ■^) f (X)

1 ir-X-h — xV~'

-|(x+/.-.rr(^)— ■-^^■..(/-i) ^""''^''

vem o resultado

(1) f[.c+h)=f{x)-\-hr{.r)-\-...+ ^ ,/'_"¡^i) /•"-'(^•)+-R...

^^ ^ ^^" 1.2...(«— 1) • ^'{x+U) ' ^^^'"''•

Pondo

ii{x) = {x-\-h-xy\

vem para J?„ a expressao

•^■"' ^-=1 2.,..ll),/"'^ + '""'

a qual, seni ter tido outros usos que nao teuham as formulas de Lagrange
e Cauchy, tem todavía a vantagem de as contér a ambas, correspondendo
uma a jü = /i e a outra a jj = 1 .

A formula (2") foi tambem obtida por Roche, partindo da expressao
de i?„ por meio de nm integral definido, anteriormente achada (n.° 6), (Jour-
nal de Liourille, 2.^ serie, t. iii).

11. Ñas demonstrajóes das formulas (1) e (2), dadas por Lagrange,
suppoz-se que a func^áo /"' {x) é continua no intervallo de a:" a ;r -|- //. A
mesma hypothese se é obrigado a fazer na demonstragao das formulas (1)
e {2'"), dada no n." anterior, quando se adopta, para estabelecer a igualda-
de {'^), a demonstragao que deu Cauchy d'esta formula, pois que n'ella o
illustre geómetra suppoe que tp' (;) e <]>' (i) sao func9Óes continuas de x
no intervallo de ,r a x-\-h. O. Bonnet porém, dando uma nova demons-
trayáo da igualdade (3), que só exige que as funcjoes »'(«) e \' [x) sejam
finitas e determinadas no intervallo considerado, permittiu que se esten-
dessem as formulas (1) e (2'") ao caso de f" (í) ser discontinua, se toda-

— 15 —

via for finita e deteí-minada no ¡ntervallo {,v , .r -\- h). Seja F {:) urna
fuucvao (lue atlmitte unía derivada 7'" (;) llnita e determinada, no in-
tervallo de ; = a a ■. =«-)-/?, e que 6 nnlla nos extremos d'este inter-
vailo. Quantlo i varia desde a até a-\-h, a funcíao J'(v) deve principiar
por crescer (eui valor absoluto), para depois decrescer; porisso e por ser
continua, deve, no intervallo considerado, passar por iim máximo on por
um mininio negativo ('). Deve, pois, existir um inimero x, tal que seja
F' (í) = O, quando ; =: .r, , e a este numero, que deve estar comprehendido
entre .r e .r -\- h, pode dar-se a forma ,r, == .r -(- O h (onde O < O < 1).

O theorema que vimos de demonstrar é conhecido pelo nome de iheo-
rema de Rolle, por ter sido dado por este geómetra para o caso particular
das func9oes inteiras. Para tirar d'elle a formula (3) basta por

Fi.) = , (.) - , (.) - [-1 (.) - ^ (.)] |^±|^.

A funcyao F {\) é nuUa nos pontos x = x e \=x -\- li; logo temos a
igualdade

.■.^,,^-,.,,,+,.^,i|g+;¡-|M^,,

da (jual se tira a formula (3), quando (]/'(*) é differente de O no intervallo
■X ^ X & x=^x -\- h.

12. Viu-se nos dous números anteriores que a formula de Taylor,
com a expressao do resto dada por Schlomilch, pode ser deduzida do
theorema de Rolle por intermedio da formula (3). Hommessham Cox,
n'um artigo publicado no t. vi do Catiibridí/e and Dublin Malheniatical
Journal, tirou-a directamente d'este theorema, applicando-o á func^áo

F(x) =-f{x + h)+f(x)^ {X + h-x) r {X)

+ 1 (- + ^» - ^r- f" (-0 + ... + -'^+'¡;:!;7)' ^"- ' ^^^

o A existencia d'este máximo ou mínimo negativo, que O. Bonnet consl-
derava evidente, foi rigorosamente demonstrada por Weierstrass. (Vejase,
por exemplo, o t. i do nosso Curso de Analyge).

— 16 —
que é nulla quando x=x e quando ,'. =x~\-h. Temos, com effeito, a eqiiagáo

[/•(i. + h) - f{.T) - ... - i.2^'."„!_i /"~'W]

da qual se tira, pondo a;, = ;/" -\- OA, as formulas (1) e (2'").

E 'conveniente observar que a expressao de F{x.), de que se partiu, é
a que resulta de substituir na expressao de F{x), dada no numero anterior,
a (x) pela expressao dada no num.° 10 e'l(i{z) por (x-\-I/ — z)''. Logo o me-
thodo que vimos de expór coincide no fundo com o methodo dado nos nú-
meros 10 e 11.

13. Fundados nos mesmos principios podemos dar urna formula mul-
to geral, que contem a formula de Taylor { ').

Para isso appliquemos a igualdade

'^ [x + /^) = o {t) + h 'J (.r + m
ú. funcgao

c? (O = /-(X) + hf (X) + ... + ^-|-^ f {t)

_ n^ - (X +/._., r (.) - ... - \\\-T^^ r

-'M

- ^F{x) + h F' (r) + ... + -j-|i-^ F'^ (X)

f{x + h)-f{x)-hf'(x)-...—^^^f{x)
F(x + h)~F [I) -hF'(T)-...- . f , i^í^ (.r )

1 . éJ ... /L

(1) G. Teixeira: .S'íír ¡íwe formule d'Analyse. (Nouvelles Anuales de Mathé-
matiqueK, 3." serie, t. v.)

— 17 -

Teremos, supiiondo // ~T / ^ 1 e /« ^ /.■ -j- 1 c cffcctiiamlo algiius cálculos
simples, a igualilade

f{x + h) - f(x) - hf {x) - ... - j^-2 7. 1 f' (^^
F{x-^h)-F(i) - hF' (y)-..._ -^_ ir' (j.)

^ 1.2...(¿-{-l) ' ' ' I - I 1.2... (M— 1)

1 . 2 ... (A ■+ 1) '•" I - ^ 1.2...(w — 1)

onde

O//).

" 1.2...(m — 1) 1^^^"!'

se o segundo membro d'esta igualdade se conserva diff érente do zero
quando 8 varia entre O e 1.
Pondo n'esta formula

F{i) = ir, k = m — í, l=)i — l,
F'"(x)=l.2 ... »t , F"' {X -f' J/^) = 1 . 2 ... iri ,

obtem-se a formula de Taylor coiu urna expressáo do resto que coincide
com a que resulta da formula de Scblijmilch [2'") dando a p um valor in-
teiro positivo qualquer.

14. Se a funcyao /"" {x) for continua no ponto x, temos

/•»(x + 'J/^) = /-''(r) + c,

E representando urna quantidade que tende para O quando h tende para 0.
Podemos porisso, substituindo este valor de /"" (./• -f- h h) na expressáo

2

— 18 —

do resto dada por Lagrange, escrever a formula de Taylor do ni(^do se-
guí nte:

/•(x + h) = f(x) + hf (.r) + ... + -j-|^ r (X) + y-|^ e.

Esta formula tem mesmo logar, como mostrou Peano, n'um artigo pu-
blicado no t. IX do Mathesis, quando f" (x) nao é continua no ponto ,v, se
todavía é n'este ponto finita e determinada. Esta extensao da formula an-
terior pode ser tirada muito simplesmente da formula demonstrada no nu-
mero 13, como vamos ver.

Mudemos para isso na referida formula m e n em )i — 1, e ponha-se
depois X = tJ, Z = « — 2, k=^ n — 2. Teremos

/■ {h) — /■ (0) — /¿ /■' (0) — ... — ~r-J'" — /'"-'( 0)

' ' ^ ' ^ ' 1.2... (n — 2)' ' ' ^ yn>- . ^Q/^j

F{h)-F(0)-hr(0)~-...~ ^ J'"~'' -F"-'-(Q) ^""'1'*^"

1.2... (n — 2)

Appliquemos agora esta igualdade ás fuDC9oes

/■(//) = c (í + //) — -^ (j) - ho' (J) — ... - ^ ^'" ^^ o" (;)

J/"

F(h)

1.2... n ■

Como é

/•(0) = 0, f'(Ú) = 0, ..., /"-M0) = 0,
y^ " - ' (//) = -^ « - . I j. ^ /,) — .^ " - ' (X) — h -^ " (X),

vem

íil»

1 . 2 ... M I hh ~ • ^•^'J-

— 19 —
Mas, eni virtude da (lefiní^fio de derivada, Icnuis

onde £ representa urna nuantidade infinitamente pequeña com h.
Logo temos a iguaidade

da quai so tira a formula pedida mudando -^ em /".

15. Temos até aqui considerado o descnvolvimento de /"(./■ -\- h) se-
gundo as potencias de li. Para acliar agora o descnvolvimento de f [x) se-
gundo as potencias de x — a, basta desenvolver f(a-\-h) segundo as po-
tencias de // e substituir depois // por x — a. D'este modo tiram-se das
formulas (1) e (2'") as seguintes:

f(x) = f {a) + (X - a) r (a) + ... + ^I^^^- /■" - " («) + R„ ,

das quaes se tira o descnvolvimento de f (./■) cm serie ordenada segundo as
potencias de ./■ — a, quando, h tendcndo para co, R^^ tende para 0.

16. Terminaremos o que temos a dizer sobre a serie de Taylor, no
caso das variaveis reaes, expondo urna observajáo importante, devida á
Cauchy. Fez notar este grande geómetra, ñas suas Lecons de Calctd diffé-
rentiel, que, sendo uma funcfáo desenvolvida pela serie de Taylor, pode
obter-se um resultado convergente e todavía este descnvolvimento nao re-
presentar a funcefio que Ihe deu origem. Para dar um cxenqjlo d'este tacto

_ 1
apresenta a func9áo e~ -\- c *' que, sendo desenvolvida em serie,
díí o resultado.

^ ■^'+1.2' 1 . 2 . 3 "^ ■■■

20 —

1

— X- - — X-

que tende para e~~ e nao para c -\- e ^"" . Só qiiando o resto de

urna serie, obtida pela formula de Taylor, tender para O quando n tende
para co , d que podemos affirmar ((ue a serie tem para somma a func^áo.
Esta circumstancia mostra claramente a necessidade que ha de considerar
o resto no deseuvolvimento das func<,'ijes em serie.

Os geómetras que prinieiro empregaram a serie de Taylor nao faziam
esta discussáo do resto, nem inesmo attendiam, na maior parte das vezas, á
questño da convergencia das síries (jue empregavam. Muitos resultados
verdadeiros foram mesmo obtidos pela serie de Taylor em circumstancias
ein (jue esta serie era divergente. Analysando poréra o methodo empregado
para os deduzir, vé-se que o emprcgo que faziam da serie de Taylor equiva-
lía ao emprego da formula

/■(/ + h) = f(T) + hf (^1 + - + , T „ f" (^) + T^

n

em questoes em que nao era necessario conhecer s.

1 7. Por nieio da formula de Taylor, com as expressoes do resto dadas
por Lagrange e Caucliy, tem-se adiado o desenvolvimento em serie de
algumas funcgoes importantes. A diftlciildade que se encontra porém geral-
niente em verificarse o resto ií„ tende ou nao para O, quando n tende para
o infinito, limitarla consideravelmente o uso da serie de Taylor, se Cauchy,
fundando-se em metliodos de natureza mais elevada, nao tivesse dado o
meio de evitar esta discussáo, tirando a possibilidade do desenvolvimento
da considerayáo immediata da funcjáo. Vamos deduzir o theorema célebre
que Cauchy deu para este fim, empregando para isso primeiramente o me-
thodo por elle seguido, depois o methodo proposto por Riemann, e final-
mente o methodo empregado por Weierstrass. Porém, antes d'isso, vamos,
conservando-nos ainda no ponto de vista elementar, estender ao caso das
func95es de variaveis complexas o theorema de Taylor e as expressoes do
resto obtidas n'este capitulo.

CAPITULO II

ESTUDO DA FORMULA DE TAYLOR NO CASO DAS FUNC^OES
DE VARIAVEIS COMPLEXAS. METHODO ELEMENTAR

18. A extensao da formula de Taylor ao caso das funcgoes de varia-
veis complexas foi feita pela primeiravez por Cauchy, J!Í por um processo
elementar, que aquí vamos expñr, já por um processo de natureza superior,
que será exposto no capitulo seguíate. O processo elementar, a que vimos
de nos referir, foi publicado pelo célebre geómetra ñas suas Lerons de Cal-
cul differentiel, publicadas em 1829.
Seja

urna funcjáo da variavel complexa

a- = p (eos 10 -|- i sen lo) = oc''",

e supponhamos que ./•, quando varia, percorre urna recta que passa pela
origem das coordenadas e faz um ángulo m com o eixo das abscissas, e que
F(x) admitte as derivadas F' {x), ..., F" (j-) finitas e determinadas. Teremos,
derivando F{x) ti vezes relativamente a p.

_ 00

Supponhamos agora que as derivadas de o (o) e '| (p) até á ordem n — 1
sfio millas (jiiando p = 0. As formulas (1) c (2'") no n.° 10 mostram que é,
n'este caso

Ycm portanto

F(.,)= ^ ., ^¡„|),^ [(1^0,)"-''," (0,p)+/(l - íí _.)»-'' ¿" (f), p)].

Applicando agora esta formula á func<;rio

j^- (T) = /-W- [/-(O) + ^7' (") + -+ 1.2IV-1) /'""'"^1'

cujas derivadas até á ordem n — 1 sao nulias quando p ^ O, vem a fornui-
la pedida:

(1) /•u')=/-(0)+a'r(0)+...+ 1 _2!."(J-i) /'""''o)+-^"'

^"^T.2...(»-l)jJ"~'^''""''^"''''^^ + ''^'"''-'"~'''^"^''-'

Cauchy punha 7* = 1, mas, como se vé, o seu methodo é applicavel
íjualquer que seja j].

19. A'expressao de 7',,, que vimos de adiar, pode dar-se urna forma
mais propria para a sua applicacáo ao desenvolvimento das func^oes em
serie. Para isso, basta notar que, por ser F" {.r) z=f'^(x\ temos, repre-
sentando por,/', e .i\ os valores de :r cujos módulos sao 'í,p e 0. p,

.c» /■« (j-,) = p" c'"'- F" (,r,) = p" [-i» (O, p) -f ?•-!;« (e, p)j,
X" f" (xj = p" e" ''^ F" (r,) = p" [*" (fJ, p) -f i'}'' (O, p)].

— 23 —
Podemos, pois, escrever a expressáo de R„ da maneira seguinte:

4-/(1— 'U"-í'J¡ j:'7"l.r,) [ I,

representando por i?| j;" /■» (j,) | a parte real de x" f" (J,) e por j\ x" f" (i\) \
o coefficiente de i na parte imaginaria de x"' f(x,}.

Como porém .r, e ,r, rcpresentam pontos da recta que passa pela orí
gem das coordenadas e faz o ángulo m com o eixo das abscissas, temos

Logo podemos dar :í expressfxo de i?„ a forma

(2') ■"■■■' ''' '-

j + / (1 — ^J.) " --'' J ¡ •'•" A" (^'. •'■) I ■

Esta formula foi empregada por ¡Mansión, n'nma memoria publica-
da nos Aiinaícs de la Sociétc sc¿entifi(iuc de Brit.rcUes (t. ix, 1885), para
achar o desenvolvimento em serie das funcróes elementares e"^, (1 -)-•'')'"'
log(] +.'■)> etc.

20. Mudando f{.v) em fi-r-\-h), e trocando k por ,r, pode dar-se ás
formulas (1) c (2') a forma

f(.r + h) = f(.c) + /./'(.r) + ... 4- ^ ■^^'_"~/_i) f-' (•'■) + K,

+ / (1 — Oj«-¿' J I /¿« f" (./■ + 0., A) I
21. N'uma memoria importante, publicada em 1871) no Journal de

— 24 —

Liouville (t. II da 3.'^ serie), apresentou Darboux urna expressáo do resto
da serie de Taylor, no caso das funcfoes de variaveis complexas, mais
simples do que a precedente e que é a verdadeira extensáo das formulas
dadas no capitulo anterior.

Para achar esta expressáo fundou-se o eminente geómetra no seguin-
te lemma geométrico :

Se um ponto M descreve urna recta AB, variando sempre no mesmo
sentido, e se um ponto m está ligado com ilf de modo que, quando il/ des-
creve esta recta, o ponto m descreve a curva acb, existe pelo menos urna

_ ds . .

posiyiio d 'estes pontos onde a rasao — — da differencial do comprimeuto

do arco da curva para a differencial do comprimento da recta é igual ou

, ab

maior do que , ,, .
AB

Se fosso, com effeito, para todas as posÍ9oes dos pontos considerados

ds ab

<

da ^ AB'

teriamos, representando por p, e p.^ os valoi'es que toma p nos pontos A
e B,

P'' ds ^ ab í'^'

7 ií'^<-abJ ^?'

e portanto

are acb < ab,

o que é absurdo.

22. Posto isto, sejam

duas funccoes de urna variavel complexa z, continuas em todos os pontos
de urna recta que une o ponto correspondente a j ao ponto correspondente
a .»■ ~\~/t, c supponhamos que, quando z percorre esta recta, Xt -\- i F, per-

— 25

corre tambcni a recta AB, variando seiupre no mesmo sentido, e JY-[-?' Y
porcorre o ai'co de curva acb.

Por serení a, b, A, B, os pontos correspondentes aos números comple-
xos tp (,t), <p (.r -{-h), '\i (.r), (p (•» -f" h), temos

ab
~AB

Temos tambem

rfs _ y/ dX'-}-dY'

d? ~ ^ dx;-~{-dY;

d^h(K)

í'(*)

¿'W

Logo, applicando o lemma precedente, vé-se que existe um numero .<■,,
correspondente a um valor de A (z) representado por um ponto da recta AB,
e portanto comprehendido entre x e ./• -\- li , tal que é

e portanto

?'(•»•,)

^'{^d

>

y {x -\- h) — ip (.r)

']'(.-r + A) -A(.r)

y(j;4-fe)--f(.r)

^'(■r,)

A (a, 4- A) -¿(/O ¿'(.r-.)'

li representando um numero comple-
xo, cujo modulo nao pode ser supe-
rior á unidade.

A esta igualdade podemos ainda
dar outra forma. Seja KL a recta des-
cripta pelo ponto X, K, Ne L os pon-
tos correspondentes aos imaginarios
.r, .r, e ■r-\-h, tu o ángulo d'esta recta
com o eixo das abscissas, p', r/', R, b
as distancias GK, OL, ONe CO. Te-
remos

Figura 1.1

.,- = 6-(-p'e'% .í--f-/¿ = ¿-|-p"c''^ ,L', = b-\-Re''^,

— 26 —
e portante

h = (p"— p')p'"', .T^—x = {R— p')e'''";

mas

i?-p'<p"-p';

logo

i?^p' = e(p"-p'),

B representando urna qiiantidade real comprehendida entre O e 1 ; e por con-
sequencia

.r, — ./• = O (p" — p V" = ^h.
Temos pois a igualdade

y(.r+//)- o(,r) Y'(.r + 8/0

A formula que vimos de adiar difiere só pelo factor h da formula cor-
respondente do numero 10.
2;í. Pondo

■^ (i) = (,,■ + // -O'',

e notando que, se representarmos por p o módulo de í, temos

; =5_|_peíto^
vé-se que é
X, -|- '' í', = 'I (O = (p" — p)í'í''í"^ = (p" — ^)P (cos/»n) -)- /sen /xd),

e portanto

X, = (p" — p)'' COSIJO), y, = (p" • — p)'' sen jno,

1 (,,, + /, __ ,y f" (,) _ ... _ _(£dz^_^i_ f.-i (,),

— 27 —

e

F, = .T, tangjjw.

Logo, qiiando i descreve a recta KL, ^ (v) descreve urna recta A B.

Podemos, pois, applicar a foniuila (:>) á £1111053.0 precedente, o que dá

Applicando esta formula á funcjao considerada no numero 10,

-f W = f (•'■ + /') ~ /■ (í ) - (.'■ + /' - ^ ) /" (O

1.2... (n — 1)
vem a formula de Darbou.r
[{■r + h)=fi-'-)+l>n-'-)+.:+ i.2!"(ü-l) /""^n.'0 + i?H,

"■ = S 2. (ni 1),^" '- + '""'

que é a extensao ao caso das variaveis complexas das formulas (1) e (2'")
do numero 10.

24. Mansión, na memoria já citada, deu uma demonstrayao puramente
analytica do theorema de Darboux. Mais tarde, no seu Resume du Cours
d'Analijse, publicado en 1887, deu á expressáo de /r„ uma outra forma,
que serve para os mesmos fins que a anterior, da qual nao difiere essen-
cialmente, mas cuja demonstra9áo analytica é mais simples e directa.
Parte para isso da expressáo de i?,¡ dada no numero 20 , onde póe

I . 2 ... (n — 1) p

(I fj )n-p

— 28 —
o que dá

R„ = BC eos (¿ -f- r) + BDi sen (6 + f/) = He'",
representando por H a quantidade

H= [B' C eos' {b + f) -f- i?-' D' sen^ (6 -f í/)] ^ .

Suppondo agora C> Z>, temos H- ^2 B- C-e portanto H== a, í? C\/2,

onde >. , representa um factor positivo igual ou inferior á unidade.
Logo

i?„ = >^\/2c'r«-'-'-

ou

onde I X I ^ 1. E'esta formula que pretendíamos achar.

Se for Z> > C, demonstra -se o theorema do mesmo modo, pon-
do ^=X, B D p/2.

25. Por meló de qualquer das formulas, que vimos de achar, póde-se
obter o desenvolvimento em serie das funcjóes elementares c^, (1 -{-xf,
log (1 -(- ,(•) ..., procedendo como no caso das func9oes de variaveis reaes.
Aqui vamos considerar sómente a funcf;ño (1 -j- ,r)*, de cujo desenvolvi-
mento temos de usar adiante.

Temos n'este caso

a+.)-=i+-T"- "-''■;"'-' + " „- + /?.,

a ^ 1 1 . -j ... (í

1.2... (H—1) yi^H.cJ ^^^'■'' •

— 29 —
1) Se o modulo p de ,c é menor do que :i unidade, a quantidadc

k(k-l)...ik-n-\-l) „
1.2... (» — 1) °

tende, como é sabido, para O quando ii tende para o infinito. Além d'isso é
1 — 9

1 + 6j-

]_--í = 1—9 ^

\ l-|-9=f- -)-29pcosa) ^ 1 — 9p

Logo E,i tende para O quando ii tende para ce, e o binomio conside-
rado pode ser desenvolvido em serie ordenada segundo as potencias de x
pela formula

(i+..)'=i+'r'''^-';-;";° + ".-.

(1 = 1 1 . - ... a

2) Se o módulo p é maior do que a unidade, a serie precedente é di-
vergente.

O estudo do caso em que p é igual á uuidade nao será aqui feito. A
respeito d'elle pode consultar-se a memoria de Abel sobre o binomio
(Oeuvres, t. i) ou ainda os trabalhos de Mansión anteriormente citados.

Deve-se observar que, no caso de k ser um numero fraccionario ou um
numero in-acional, a func9áo (I -■)- .r)* tem muitos ramos. A serie ante-
rior dá o desenvolvimento do ramo que se reduz á unidade quando ,/■ = 0.
Para adiar o desenvolvimento dos outros ramos basta attender a que estáo
todos comprehendidos na expressfio l'' il -|-.r)*, onde se deve substi-
tuir J* pelos seus diversos valores e 1 1 -f- .n'' pelo desenvolvimento que
vimos de achar.

CAPITULO III

CONTINUA^AO DO ESTUDO DA SERIE DE TAYLOR,

NO CASO DAS FUNCfOES DE VARIAVEIS COMPLEXAS.

METHODO DE CAUCHY.

26. O niethodo para o estudo da serie de Taylor, que vamos agora
expór, é devido a í'aueby e 6 fundado n'uma tlieoria importante, devida
a este grande geómetra, da qual elle fez muitas e notaveis applicacOes.
Esta theoria, que vamos expúr succintamente, foi publicada em 1825 na

sua bella e importante Mómoire sur les inté-
grales défitiies prises entre des limites ima-
gin aires.

Consideremos urna curva composta de
muitos arcos (%. 2.'') AB, BC, CD, ... taes
que, em cada um, a cada valor de .<• corres-
ponda um único valor da ordenada, sejam
X a, b, c, d, ... as abscissas dos pontos A, B, C, ...
e y,, y.,, y., ... funcyOes de ,r, que represen-
taní os valores que toma // respectivamente nos arcos AB, BC, CU, ... Cha-
ma-se integral ciirrilineo de f(jL',y) dx tomado ao longo da curva ABCD...,

que designaremos por S, e representa-se pela notayáo / f {.v, y) dx a

O

Fio-, o_a

somma:

I f(-e,y,)d.c-{-J' f{x,y,)dx-^ j' f{x,y.)d.c -^ ...

31 —

D'esta (]efini(;rio resulta immediatatncnte que, se a curva S fAr des-
cripta no sentido DCBA, contrario ao precedente, o integral ao longo
d'esta curva conserva o mcsmo valor absoluto e muda de signal.

Posto isto, vamos demonstrar o theorema fundamental, devido a
Cauchy:

Se na dira Un/ i finia por urna curra fechada ABO{ñg. 3.") as func-

(■<7es (f (.c, y), -L (¿c, y), —7^, —^ foron, continitas B

e tircr loaar a coiidicdo —~- = —~- , o integral

dy d.v

de -i (./', //) dx -f- '} {.v,y) dy, tomado ao huyo da
curva considerada, é millo.

A demonstracáo que Cauchy den d'este theo-
rema é fundada nos principios do Calculo das va-
riacOes. Mais tarde Riemann deu outra demons-
trayáo do mesmo theorema, fundada n'um theo-
rema importante de G. Green, que adiante sera
estabelecido. Aqui vamos apresentar uma deuions-
tracMO mais directa e que é fundada nos principios mais elementares do
Calculo integral.

Consideremos primeiramente urna área ABC D (fig. 4.') limitada por
uma recta AD parallela ao eixo das or-
denadas, pelas rectas AB e, DCparalle-
las ao eixo das abscissas e por uma linha
recta ou curva BC, e sejam

X = /", (s), y = f, (s)

Fig. 3.a

D

Fig. ifl

as equacOes da linha ABC {f¡ e f, repre-
sentando uma funcyáo ao longo áe AB
e outra fune(;áo ao longo de BC,e s representando o comprimento dos ar-
cos d'esta linha, contados a partir do ponto ^) e s, o valor que toma s no
ponto C.

Integrar a expressáo ce (x, y) d x -(- A (x, y) dy ao longo de A BC en-
tre os pontos A e C, cujas coordenadas sao {pc„, y„) e {x^, i/,), é procurar

— 32 —

o valor que toma no ponto a a funC(,'rio u das variaveis x e y que satisfaz
á cond¡9ao

e que é nulla quaudo s = 0.

Para determinar ti, podemos empregar as equacOes

dti du , , ,

que dáo primeiramente

n= I ^{x,y)dx-\-^{y),

e depois

I / s '/" d í'^ , (IM (y)

dy '

ou, notando que, s (,*-, //) e —i- sendo, para cada valor de y comprehen-

dido entre ¿/„ e //,, funcyoes continuas de ./• e y no intervallo de .r„ a .v, o
theorema de Leibnitz relativa a differenciafáo dos integraes é applicavel
ao integral que entra n'esta igualdade,

Jcr. dy ^ dy

dy '

ou

ay - rv- ,¡,j - -i (■'■„, y) t- -jf->

vi-^ >w — ^y 7^7 "•' + du ^ ' ^-^ '^^ ~ ''(•'■" ^) "I

m

e portante

Temos pois

'a;,, ' i/o

O valor que toma a no ponto (.r, , y/,) é pois igual á quantidade

.Vo

Analysando esta expressáo, vé-se que a primcira parcella coincide com
o resultado que se obtem integrando w (x,y)(hr -\->!^(x.y) dy ao longo
de yí D, e que a segunda parcella coincide com o resultado que se obtem
integrando a mesma expressáo ao longo de DC. Logo temos, represen-
tando por (^BO, {ABO, etc., os integraes da expressáo considerada,
tomados respectivamente ao longo de ABC, ADC, etc.

(ABC) = {ADC) = — [CDA),

e portante

{ABCDA)=0.

Consideremos agora uma área limitada por um contorno qualquer S.
Decompondo-a, por meio de rectas auxiliares, parallelas aos eixos coorde-
nados, em áreas parciaes limitadas por contornos /S', , 5, , ... , Sf,, que este-
jam ñas condicóes que vimos de considerar, temos

/ [? (oCil/) d.r + ¿ (.r , ?/) dy] = 2 / [» {■r,y) dx + i {x,y) dy].

Com effeito, no segundo membro d'esta igualdade eutram os integraes

3

— 34 —

relativos a todos os lados das figuras em que se dccompoz á área dada. Os
integraes que correspondem ás rectas auxiliares sfio dous a dous iguaes e
de sigua! contrario, por ser cada recta descripta duas vezes, cada uiua em
seu sentido, quando (a?, 2/) descreve os contornos de duas figuras adjacea-
tcs reunidas pela recta considerada; e os integraes correspondentes as
linhas que fazem parte do contorno S dño urna sonima igual ao primeiro
membro d'esta igualdade, por ser S a somma d'estas linhas.

Basta agora attender a que os integraes que cntram no segundo mem-
bro sao todos nullos para concluir que é

'S

O theorema que vimos de demonstrar tem applicayOes importantes em
Analyse e em Physica matliematica. Aqui vamos inmediatamente appli-
cal o á demoustrayüo de uní theorema relativo ás funcyOes de variaveis
complexas, por meio do qual Cauchy deduziu a formula de Taylor.
27. Consideremos urna funci,'rio da variavcl complexa z ^ j; -\- i>j

fix) = u-\-iv,

onde u e ;• representam f uncyOes de x e //, e supponhamos que esta func^fio
admitte derivada. Sabe-se que n'este caso u e v satisfazem ás equayoes

. dti dv du dv

dy dx ' dx dy '

e que, reciprocamente, se u e v satisfazem a estas equa^oes, ?< -j- / v ad-
mitte derivada. Sabe-se tambem que esta derivada é dada pela formula

., du . . dv

As funcyóes que satisfazem a estas condÍ95es sao as únicas que ha inte-
resse em estudar, e dá-se-lhes o nome de f uncyoes monogeneas ou anali/ticas.

— ñó —

A funci/fio [[:) pode tcr imi só valor pai'ii cada valor de z ou miiitos.
No primeiro d "estes casos a funcQfio diz-se uiiiformr ou monodroiiia. No
segundo caso, se cousiderarmos, para doteriniíiar coiiipletamento a funcyño,
um dos valores que f{z) toma no ponto (fig. 5.") /> como valür inicial, o
valor que a func^ño toma n'iiin ponto qualquer D
da área A, limitada pelo contorno MNP, quando z
descreve a curva B<'D, deve ser determinado
pela condiyáo de f(z) variar de urna maneira con-
tinua quando z descreve esta curva. Se este valor
é sempre o mesmo, qualquer cjue scja a linlia des-
cripta pelo ponto z, quando vae de -B a 7J sem
sair da área A, a func5rio diz-se ainda uniforme
ou monodi'oma na área considerada. No caso con-
trario diz-se multiforme ou polydroma.

Se a func9áo f{z) é monogenea, uniforme e
continua em todos os pontos de urna área A e, além d'isso, as derivadas
parciaes de u e v relativamente sl .r e ij sao funcgóes continuas d 'estas va-
riaveis, diremos, cora Qauchy, que a funcfáo f(zi é sijnecticn na área A.
28. Posto isto, temos por defínicao. representando por 5 o contorno
da área A,

I f{x) dx= I lu -\- ir) 1 d.r -\- idy
= / ijírf.c — vdiji-\-i I ivd.r -\-udy]. -

Fig. 5.a

Se a funccáo f^zi é synectica na área A, temos tambem, em virtude do
theorema demonstrado no numero anterior e das formulas i A i,

/ ívdy — tidj:) = 0, I \ udy -\- vdx¡

0;

e portan to

— 36 —

Podemos pois ennimciur o theorema seguinte:

Se a funcrao f(z) fúr synectica na área A, limitada por itina curva
fechada, o intec/ral de fix) dx, tomado no longo do contorno da área, é
nidio.

Este theorema, publicado por Caiichy em 1825 na sua Memoria céle-
bre sobre os integraes tomados entre limites imaginarios, atraz citada, é a
base dos trabalhos d'este eminente geómetra sobre a theoria das funccóes
de variaveis complexas. Entre os corollarios que d'elle se deduzem nota-
remos os seguintes, de que teremos de fazer uso:

1.° Se a funcrao fix) fúr synectica na área limitada por ama curra
c.rfcrior S e pelas curvas interiores c,,c^, ... , temos

r fix)dx= I' f,,ul:-{- /' f(x}dx-\-...
'-^S '-'c, •''c,

os contornos S, c , , c^ ,... sendo descripios iodos no mcsmo sentido.

Com effeito, o contorno fechado ifig. 6.") ELGDEBAHABFE li-
mita urna área na qual a funccño é sy-
nectica; logo o theorema precedente é
applicavel, e temos, representando por
\f {El)), (DGD), etc., os integraes de
f(i)dx tomados ao longo de ED, D GD,
etc.

Fig. 6."

{ED)-^(D6D)-}-{DE)-\-{EB)-^{BA)
+ {AHA) + lAB) + )BFE) = 0.

Mas

{ED)=—(DE), (BA)

(AB).

T^ogo temos

{DGD) -f {EB) + {AHA) + {BEE) = O,

ou

{EFBE) = {T)GD)-\-{A HA).
u que deniouslra o theorema eunuuciado.

— 37 —

2.° Se f{z) for synectica na dren limitada por i/ni iniiro contorno S
e se a representar uin ponto do interior d'rsla área, scni

f^^-é,.i:m

Temos, com effeito, representando por r luna circumferencia de raio p,
cujo centro seja o ponto representado por a e que esteja collocada no in-
terior da curva S,

I' f{^)dK _ /' f{x)d:

— a

Mas, pondo z — ^ « ^ p e"^, vem

''c ^ "' ''o

Logo, pondo £ = /■(« -|- p e"") — f(n), temos

Por ser continua a funcjño /"(■.), : tende para O quando p tende para O,
e temos portanto a formula procurada

2~
í lSlLɱ = ¿ f f{a)d.o = 2ir.f{a).

3.° Se a funcfíño f(x) fór synectica na área limitada por ion contorno
exterior S e por um contorno interior S', e se a representar um ponto do
interior d'esta área, é

1 /• fix)dx, .

— 38 —
E'o que resulta dos dous corollarios precedentes, que dáo

/' f{x)dz _ r f(x)dz . r f(z)d%
.Ir. % — a . /. „ X — a ,_l % — a '

^"■*=w./

1 /"• n-.M

c

a

20. 'S'f a fimcruo f[\ i é synectica na arca limitada pela curva S, te-
mes, n ' iiui ponto qualqiier a do interior d' esta ái'ea, a iyualdade

1.2...n r f(%)d%

que dá as derivadas de f\a i.

Temos, com effeito, por dcfinii;áo

f'ia) = \\m I J^ ■ j |rf;;

' ft=o./^ h \ x — a — h % — a_\

mas

logo

' +^^ +

h-

— a — h z — a '^ (x — a)' {z — a)' (;x — a — h) '

„ , r f(z)dz . ,. p

hfiz) dz

(z — a)' (z — a — h) '

Basta attender agora a que temos, i-epresentando por M o maior valor

que toma

{z—ay (z — a — li)

(piando z descreve a curva <S' e notando

({UG 6\d z\^\d.x -\- idij\ = \f d.r -\-di/- = ds (s representa o compri-
mento do arco que une o ponto (.r,¿/) ao ponto fixo que se toma para origem
dos arcos),

IX ^

f{z) dz
af- \z ■ — a

<

f{z)dz
iz — a>^ iz — a — li)

MS,

39 —

para concluir (iiie a segunda das parcellas qno cntraní na exprc'ssfio de f [a)
tende para O quando h tcnde para O, e ipic portanto temos

^'"" = 17.-./

' f \z\ dz

^ [z — a)'

Do mesmo modo se acham as derivadas seguintes:
30. Habilitados com os theoremas que vimos de demonstrar, podemos
agora estender, seguindo Cauchy, a formula de Taylor ao caso das func-
5oes de variaveis complexas.

Seja /"(./■) uma funcyño synectica da variavel complexa x na íírea limi-
tada por iim contorno S, sejam a e ./■ dous números representados por dous
pontos do interior da mesma área e í nm numero representado por nm pon-
to do contorno.

A identidade

(- — x)

dá, substituindo x por x — a q x. por ;; — a,

X — a I 1^ i.i' — a)"—^ I {X — a)"'

;— .r x--a~ (i-aí- ~"'^ {x—aT ~ (x — a)" (z — x) '

e depois, multiplicando ambos os membros por f(i) dz e integrando ao
longo do contorno S,

P f{x)dx ^ I' f{x)dx r f{x)dx

, , „-, r f(^)dz I „ P f(x)dz

- 40
Temos porérn (números 28 e 29)

Logo é

fuv> = fm) + ,.,• -«I /•',«, + ... + ^I:^=g^/'«-i ,«, + i».,,

onde

_ (x — a)» Z' f\z)dz

' " ~~ 2 ^^^ ,./¿, (.2 — «)" (2; — «) ■

Temos assim a fonmila de Taylor com urna expressáo do resto da
qual Cauchy deduziii, na sua importante Mémoire sur le Calcul des residuo
d le Calcul (les liniiles ('), apresentada em 1831 á Academia de Turin, o
seguinte theorema, que constitue uma das suas mais bellas descobertas:

Se a fimcrao f(z) é sijnectica na área limitada por urna circiunferen-
cia, cajo centro c o ponto correspondente aa,e se x representa um ponto
qualquer do interior d'esta área, tem logar o desenvolvimento em serie

f(x) = f[a) + {X — a) f'(a) + ... + \'' ^^ "^" f»- (a) + ,

Snpponliamos, com effeito, que S representa uma circumferencia cujo
centro é o ponto correspondente a a. Para todos os pontos z do contorno e
para todos os pontos x do interior, tem u'este caso logar a desigualdade

I ^ — « I < I -z — a\.

(') Exercices d'AHahjse et de r/iijsique niathématique, t. ii . p. 50.

41 —

Por outra parte, da desigualdade seguinte, que resulta iuuncdiatairiente
da no(,'ao de integral definido,

= 1
< 9t-

X

.i' — a
z — a

f{Z)

Z — X

dz

deduz-se, notando ([ue é \dz\^\/ d,r¡' -\- di/,^ = ds (pondo z = .i\-^iy,)

fíz)
e representando por 31 o maior valor que toma ~ , quando z des-

creve a circumfercncia .S", e por c, o valor que toma z no ponto de S mais
próximo do correspondente a a,

B„

<

S3I

2t.

a- — a "

Basta attender agora a que é | .r — a | < | 2:, — a\ para concluir que
I B„ I tende para O quando )i tende para o infinito, e portanto que f(x) pode
ser desenvolvida pela serie de Taylor.

31. Nao nos occuparemos aqui a deduzir as consequencias importan-
tes que se tiram d'cste theorema neiii a mostrar o papel fundamental que
elle representa na theoria geral das funcyoes ( ' ). Faremos sómente excep-
gáo para o principio seguinte, porque teremos de fazer d'elle uso adiante.

Seja f{.r) ama func5áo synectica na área ^4 limitada por um contorno S,
e procuremos o numero de raizes que a equajáo /"(./■) = O tem no interior
d'este contorno.

Sejam a, b, c, ... estas raizes e m, n, ... os seus graos de multiplicida-
de, e rcprescntem-se por iS', S" , etc. circuniferencias cujos centros sejam
os pontos correspondentes a a, h,... e cujos raios sejam táo pequeños que
ellas nao cortem o contorno S e cada uma contenha no interior só urna

raíz.

(') Para um estudo desenvolvido da theoria geral das funcgoes'moiioge-
neas pode consultar-se , entre outras obras , a seguinte : A. R. Forsyth , Theo-
ry of Fiinctions of a complex variable , London, 18i>3.

— 42 -
Teremos (n." 28 — 1.°)

f f'{z)Az _ i f^zfd^ /• f^z,dz

e, em virtude do theorema anterior,

f{x\ = u- — ai'" P.^.r — a),
/■| .!■ I = I ./• — b )" P, I .r — a) ,

P, (.r — a), P., (./■ — a), ... representando series ordenadas respectivamente
segundo as ¡)otencias de .r — a, ./■ — b, ..., e a primeira igualdade tendo
logar na área limitada pelo contorno .6", a segunda na área limitada pelo
contorno iS", etc.

Das igualdades anteriores tira-se

f'.ix)

m

, F\ {X — a)

.r — ({

- " 1

' P, (.r — a) '

P'..i.V—b,

fi.^)

x-b 1

P,U--6) '

6 portanto (n.° 28)

1 P f\z>dz _ m P dz _

2'^ Js' f^^> ~ 2í7T .7^„ z — a ~"''

1 /' f (z) dz _ n P dz _

2 ¿71 ._/^,„ fiz) -'2i^ J^. z-b -"'

Temos pois

'"' f iz) dz

m

+■• + -^1

s f"-

— 43 —

Esta formula d¡í o numero de raizes da equayño / (.r) = O, contidas no
interior do contorno S, expresso por mcio de um integral curvilíneo toma-
do ao longo do contorno.

32. Passando agora a considerar os desenvolvimentos ordenados se-
gundo as potencias inteiras, positivas e negativas, da variavel, seja f{x)
urna funcyáo synectica na área annular limitada por duas circuraferencias
concéntricas de raio ReR',e sejam ./• um ponto qualquer do interior d' esta
iírea e a o centro das circuraferencias.
Temos n'este caso (n.° 1'8 — 3.°)

1 /" fizidz 1 / ■ f izidz
ft.ri — ' '

_ 1 /' fizidz 1 /•

Z X

representando por S e S' as circuraferencias de raio B e B' consideradas.
Applicando ao priraeiro integral a analyse desenvolvida no n." 30, vera

P f{z)dz /' fizjdz . P f{z)dz

Jg z — .r ~J^ z—a '"'■' "',_/^, (z — a)*

,g [z — a)

Para achar o segundo integral partiremos da igualdade

r 1 I z — a , . iz — rt)"-^ [z — aY "i

|_.r — a "•" f.r — ar ' "■ ' {.r—af- '" (.r — af (.r — z) J'

Z — .1

que dá

■- ... : / íz — rt i"-i f (Vi d.r -\- E' ,,

'-',<?■

— 44
onde

jf' ^_ I I ^~" \" f'Z)dz

Por ser, ao longo de S' , | ;r — a \ < | ./■ — a \ , vé-se, procedeudo
como se fez no n.° 30 a respeito de 7i'„, que ] /?„' | tende para O quando
n tende para o infinito.

Logo temos a foniiula

„ = i (x—a)"

onde

= ——. — / 10 — a)'^~^ f \z) dz.

'-' S'

A formula que vimos de achar é conhecida pelo nóme de formula de
Laurent e teni urna importancia consideravel na theoria das funcyoes. Foi
apresentada por este geómetra á Academia das Sciencias de Paris em 1843
e foi objecto de um parecer de Cauchy, onde se indicam diversos modos
de a obter (Comptes rendas, t. xvi).

Pondo X — a =i?'e"", pode-se ainda exprimir A,, e B,, por meio de
integraes definidos:

2-

^'" = '2^E^X '^''"^'''

R'" P^^'

e'"')e'^"^di:

CAPITULO IV

CONTINUAgAO DO ESTUDO DA 3ÉRIE DE TAYLOR

NO CASO DAS FUNC9OES DE VARIAVEIS COMPLEXAS.

METHODO DE RIEMANN

33. Seja /"(.r) = ii-\-iv urna fimccáo monogcnca da variavcl comple-
xa ;r = r -(- w/. Já disseiiios que as funcyües u e v devem satisfazer ás
equa5oes

du dv dv du

dy dx ' dy dx '

e portanto ás equa9Qes segnintes, que resultam das anteriores:

d'u _. d^u d^v , (Vv_ .

rfP'+d^"' 'dx''^'dtf~^ ■

As propriedades das funcyóes tnonogeneas podem, pois, ser tiradas das
propriedades das func5oes que satisfazem á equacáo ás derivadas parciaes
de segunda ordem

d^Z , d'Z
ás quaes se dá o nome de funccoes harmónicas.

— 46 —

Para vc-r como por este methodo, proposto por Riemaan ('), se obtem
a formula de Taylor e o thcorema de Canchy demonstrado no n.° 30, va-
mos estudar algumas propriedades das fiinc^oes harmónicas das quaes te-
remos de fazer uso (■).

84. Para estudar as propriedades das fimc(,'(jes que satisfazem íís
equa9óes (2) fundou-se Riemann n'imi theorema importante, publicado em
1828 por G. Grecn, que varaos primeiramcnte demonstrar.

Consideremos o integral duplo seguinte, referido a urna íírea A limitada
por urna curva que nao possa ser cortada em mais de dous pontos pelas
rectas parallelas aos ei.xos das coordenadas:

/ / fi.r,y>d.rdy= I

'^ 'Ja ' 'a

f{x,y)dx,

Fig. 7.»

onde .r, = íl, (i/), .i\_ = 9^ (¿/) sao as equa-
yOes (fig. 7.=") dos arcos MQP e MNP da.
curva, que limita A, e a, b sao as ordena-
das dos pontos J\I e P, onde as ordenadas
sao miuima e máxima; e seja

I fi.r,yHl.r = F{.r,y>-\-C,

C representando urna constante arbitaria.
Teremos

/ / í>-r,ytd.vdy= I F(.i\_,y)dy— I Fix^,y)dy.

( ' ) Grundlagen für eine aUgemeine Theorie der Functionen einer veriinder-
lichen coniplexen Grosse, 1851.

(-) Para um estudo mais completo das fnnccSes liavmonicas vejase Pi-
caro, Traite d' Anali/xe , t. ii, 1892.

— 17 —

Por outra parto, reprcsciitaiulo por s' a mirva i|iio Hinita .4 o altcndcii
do á dcfiniti-áo de integral ciirviliiicii <la(la no n." 'Jii, temos tambein

/■ F{x,y)dy= f Fix,,y)dy-\- f F,.r,,yuly,

o integral sendo tomado ao longo d'esta curva n'um sentido tal que A
fique á esquerda de um observador que percoiTa o seu contorno (sentido a
que se dií o núme de directo ou positivo).
D'estas igualdades resulta a formula

(«, • f f'r ' ■•; !/< d.rdy = rr ^flll d.rdy = / V, .,•, y , dy.
'' ''a •' ''A ''S

Do mesmo modo se demonstra a fornuila

ib)

I f f'^';y)dxdy= I I 'f/f''^ d.rdy=— I F,(x,y)dx,

suppondo que o contorno 5 é ainda descripto no sentido directo.

As formulas precedentes podem ser estendidas ao caso de A ter urna
fórraa difiérante da que vimos de considerar. Decompondo A em outras
figuras A,, A^, A., ... cujos contornos nao sejam cortados pelas rectas pa-
rallelas a eixos coordenados em mais de dous pontos, estes contornos sao
formados por porjoes do contorno A, as quaes representaremos por S^,
S^, ... e pelas linlias auxiliares empregadas para fazer a descomposijño de
A ñas figuras A,, A.^, ..., as quaes representaremos por s,, s^, ... Logo te-
mos, suppondo que os contornos A,, A^, ... sao descriptos no sentido di-
recto,

/ / f{x,y)dxdy = Z I I f(x,y)dxdy

= 2 / F<x,y,dy-{''Z I Fix,ydy.
"1 ~ »i

48 —

E'íacil poivmde vít qiiecadalinhas,,s,, ... (• descripta duas vezes,uuia
em cada sentido, quando sao descriptos os contornos de duas áreas separa-
das por esta linha; portanto, a cada parcella da somma 2 / f{^, y) '/¿/ cor-

responde outra ignal e de signal contrario, esta somma é nulla e temos

/ / f{oi:,y)dxdy = Z I F(cc,y)dy= / F{x,y)dy.
■' -'a •-'Si '-'s

35. As formulas [a) e (h) sao as formulas de Green, que pretendíamos
achar. Antes de as applicar ao estudo das func95es harmónicas, observa-
remos que Riemann tirou d' ellas o theorema de Cauchy demonstrado no

n.'^ 26, applicando-as ás funcgSes -j- e -^. Vem, com effeito,

/ f -r^dj-dy= I 'hi.r,y)d)i, I / ^d.rdy=— / 'f(.r;y)d.r,
J Ja ^^-^ ' ''s ' ' • ' '\-i -I ''s

e portante

/ / i^~^~(h')'^^'^^^ / ['f ''■'■^•*'^•■^ + 'í''^•'^'2')'^2/]•

Basta attender agora a ijue as func§5es u e A consideradas no n." 26 sa-
tisfazem por hypothese a condicáo -~ = -j^, para se ohter a igualdade

/ [^{x,y)dx-\-'\i{x,y)dy] = 0,

•J c

que pretendíamos demonstrar.

36. Passando agora ao estudo das func95es harmónicas, vamos prime-
ramente achar, fundados ñas formulas de Green, uma expressáo d'estas
func9oes por meio de um integral curvilíneo.

_ 4í) —

Sejain U e V diias funcooes de ,r e // continuas, assim como as suas
derivadas parciacs de primeira ordem, ua área A, limitada por mu uontür-
no .'^. Applicaiulo o theoroma de Greeii ¡i fiinc(;ao

dU dV dU dV rrí^^'^' I '''^^\
dx dx dy dij "*" \ dx- ~^ dij- /'

que é Í2;ual a

dx V d.r '^ di/ \ di/ ''

veta

e ]iortanto, se ['^representar urna fnnceño harmónica,

r r ¡du dV . dr dv\ , , f ^^¡dv . ^v \

. / . ¿ (^ z7 + ^ 777 ) '■'"'' = . /, ' Kix 'y - -di '■•■)■

Do mesmo modo se acha, f7 representando nma fiinccáo Larmoniea,

/•./:(4?4í+ff)"->-X'-(""-"-f"->

D'esta igualdade e da anterior resulta a seguinte:
queda, pondo U^ 1, visto que 1 é nma solucao da equagáo (2),

X(^"-f"-)=»-

50 -

Se a área A fór limitada por iim contorno exterior C (fig. 8.") e por um
contorno interior c, teremos, applicando a formu-
la (3) ao contorno único BCBBAFEAB, e re-
presentando por (BCDB), (BA), etc. os inte-
graes da func9ao que entra em (3), tomados res-
pectivamente ao longo de BCDB, BA, etc.,

{BCDB) + {BA) + (AFEA) -j- (AB) = O,
ou, por ser {BA) == — (AB),

(BCDB)-\-(AFEA) = (i,

{BCDB) = {AEFA).

Fig. 8.«

OU

Porisso, suppondo que os contornos C e c sao descriptos no sentido indi-
cado pelas flechas , podemos escrever a igualdade

dy

É fácil verificar que a func(,u"io

U=\og z,

onde

z = \/ {x — ay + (2/ — hf ,

satisfaz á equajáo (2), e portanto que a funccáo log z é harmónica. A for-
mula anterior dá porisso, suppondo que o ponto (a, b) está no interior da
curva c,

(5)

— 51 —

37. Tomemos agora para contóniü interior c urna circumferencia de
raio f. e centro («, //), o siipponliauíos (]iie a funcyáo Fe suas derivadas
parciacs de primeira ordem sfio funcyoes continuas de x e v. Teremos,
pondo

.t; = rt -j-p eos/, ;y = i -)- o sení,

e attendendo íí formula (4),

= í Vdt= r Va

.2-

'dt.

o

Tornando explicitas as variaveis x ey que entrara en V, podemos subs-
tituir F por V{ji',y) e temos, applicando o primeiro theorema dos medios
valores dos integraes definidos,

f Vdt = f V{a + p eos í , ^; + p senií)

= 2tzF(« -f- ? cosí, , i -(- p sen/,) dt,

t , representando um numero comprehendido entre O e 2 ti. A igualdade an-
terior dá portanto

/ 1 ( — j^dij T^^rfii') =27iF(a 4-pcosí,, & + psení,),

e, fazendo tender p para zero,

P -.^ / d\o^z , rflogjs , \ „ -r^ , ,,

— 52

D'esta igualdade e das igualdades (5) e (6) tira-se finalmente a formula
seguinte :

(7)

J Via, h) = —^ 1^ I log . (^ dy - -^ d.)
d\ogz ^_ d\ogz ^^\n

■''^^'^'y- dy

que dá os valores da funccao harmónica V expressos por meio de um in-
tegral definido e que representa no methodo de Riemann o mesmo papel que
a igualdade {B) do n.° 28 representa no methodo do Cauchy.

38. Para dar um segundo passo para a resolu9áo da questáo que esta-
mos considerando, vamos tirar d'esta formula outra que dé os valores de V
expressos por um integral definido ordinario. Para isso vamos poréni pri-

meiramente demonstrar um lemma de
que teremos de fazer uso.

Consideremos um circulo de cen-
tro O e raio R (fig. 9."), e seja A um
ponto colloeado no interior d'este cir-
culo, cujas coordenadas sao a e ¿.

Vejamos se existe um ponto B, ex-
terior ao circulo, tal que seja constan-
te, para todos os pontos da circunfe-
AM

rencia, a razao

BM'

Fig. B.a

Representando por a e j3 as coor-
denadas do ponto B, por x e y as do ponto M e por c" uma constante , te-
remos

AM

mi"

{x-aY-\-{y-br

{X-

^■r + iy

e poi-tanto, sendo O a origem das coordenadas.

R' — 2ax — 2 hy -j- a' + Ir = e'- {R' — 2 a;* — 2 ¡3^ + a= + fi"),

— 53 —
ou, pondo a= p eos ti, b = ^senz,, a = p,coscp,, ¡j = p, sen (jj,,

R- — 2p.rcos» — 2p,í/sen(e-f-p-=c' [R' — 2p,a;cos!p, — 2p,seno,-)-p,-].

Satisfaz-se a esta igualdade pondo

(8) P,

R'

o ^ CD,

Ji' r-ri>

como é faeil verifiear, e ve-se que é p, ;;> R.

D' estas igualdades conclue-se o lemnia seguinte:

Dado inn circulo de raio R e iim ponto A no interior, existe outro
ponto B, exterior ao mesino circulo e situado sobre a recta que une o pri-
meiro ponto ao centro do circulo, tal que a razao geométrica das distan-
cias AM e BM (í constante, qualquer que seja M. A distancia do ponto B
ao centro do circulo é dada pela primeira das formulas (8) e o valor da
constante é dado pela segunda.

39. Posto isto, tomemos para contorno da integra§ño na igualdade (7)
a circumferencia a que vimos de nos referir, e notemos que a igualdade (3)

dá, pondo U= — log \(x — y.f + (// — í^)'] = log - , e attendendo a que

log V, e V sao fuuc<;Oes continuas de x e g no interior da área A,

C

e a que a igualdade (4) dá, por ser — constante,

1 /• z (dV . dV \
:^— I log — I -^ — di/ -, — dx) = 0.

2 TI ./ ¿1 V dx ■' dy )

Sommando membro a membro estas igualdades e a igualdade (7), vem
1 /^T-F^logs, , rflogs, ,

C ^ -^ dy

d\o3:z , , rf log2 ,

dx dy

— 54
ou

^ («>«>) = - 4- f V [^íi-^ da - lP ax

x — a I .'/ — '' j 1

ou, por ser e = -j^ = -^,

— (,T — a) dy -\- di — /)) dx I

— (ap' — aR') dy + (Pp' — hR') dx],
ou, attendendo ás igualdades

°'^' ' ' a h p p- '

Pondo n'esta formula

x^Rco^'l, y^RsQn<\

e attendendo á igualdade

z* ^^(x — af -\- {¡j — h)' = (R eos ti* — p costf)- -|- (R sen']> — p sencf.f
= /?" -j- p- — 2i2pcos (<h — cp)

vem a formula

y i._JL r^"" ^^'^'' "°^ 'l^>-^ sen ^) (fí- — p-) d¿
*"' '' "■ 27. 7o /" - 2Rp eos (^ — c) + p= ' '

— or-> —

que determina, por meio de uní int(\í;r;il definido, os valores que a func9áo
harmónica !'(«, b) toma no interior do contorno C.

40. Partindo d'esta integral, vamos exprimir os valores da funcjáo
harmónica por meio de mu dcseuvolvimento em serie.
E' fácil de ver que é

jR'--f B I R_

ü;^ — 2iepcos(4/— o)+p"- "^ i2_peiOi-r) ^ i2_pe-¿0^-<p) '

ti =1-1- V _P_^±mi('i — <f)

i2_pe±í('t'-?) ^mti i2'"

+ i^"- i2_pe±íC^-<P) '
e portanto

P 1 + 2 2 -fc- eos /«(>!--«)

E' — 2 ñp eos (']> — 'f) + p" ' m = 1 A'"

p" 2 [/?p eos (n + 1) (I — tt) — p' eos 71 (^ — o)]
"I ^ ■ ü^ — 2i?p eos (i — o) + :r

Logo

n

V(a,h)= 2 P™ («m eos m (js -)-?>,„ sen m cp)

«1=0

1 p"+' P'^'' V [R eos (?» + !) ('i^ — g) — p eos n (>j> — cp)]
+ TT /r , A i?-^ — 2i2p eos (A — tp) + p' ' '^'

onde

• ^-Jo

V(Rcos'!^,Bsen'í¿)d-\i,

"m = —5¡ír I V(R eos <]>, Rson <S¡i) eos m'5¡id'¡¡i,
■kK Jq

bm^'—n^ I V (R eos ']i,R sen '\f) sen iíKÍ^d'];,

.2-
'0
e m = 1, 2, 3, ...

— 56 —

Fazendo tender n jiara o infinito e attendendo a que, por ser p ■< Tí, o
ultimo termo da expressáo anterior de V(a,h) tende para zero, esta for-
mula dá o desenvolvimento em serie da funcfáo harmónica:

(0) V {a , /*) = ^ p™ (r/,„ eos m c -j- h,„ sen ;/? 'i\

VI = o

4 1 . Estudemos agora as series

(«) F= I «„,p'"cosw?-f, F,= V /,„,p'"sen»ícp,

ííi. = 0 iit = o

((uc entram na formula que vimos de achar, e notemos que estas series sao
convergentes, como acabamos de ver, quando c e p representaní as coor-
denadas polares dos pontos de um circulo de raio R' inferior a E.

Como a serie 2 f^m ^"" ^ convergente, os valores absolutos das seus

7)1 = O

termos nao podem exceder uui numero positivo A, convenientemente es-
colhido; temos pois

I «m I ^^ < -■!)

8 portante

Esta desigualdade mostra (jue os termos da serie

m = l

sao menores do que os termos correspondentes da serie

P, m = l V -n /

a qnal é convergente quando p, < 7?'; logo aquella serio é tambem con-
vergente para os mesmos valores de p,.

— 57 -
Soja Miioni /i',, o resto da serie (/;), isto ó, scja

^''» = 2 in I rf,„ I p

ni -I

Por ser convergente a serie considerada, a cada valor de o, por mais
pequeño que seja, corresponde uní numero «, tal que tí \ R„\ •< o, quan-
do w >■ » , .

Mas os termos da serie

00

(C) 2 l>t('m ?'" ' ^^''^ '"'f!

«1 = 1

(pie é formada pelas derivadas relativamente a [¡ dos termos da priineira
das series (a), sao inferiores em valor absoluto aos termos corresponden-
tes da serie [b], quando é p -< p,, qualquer que seja ;:. Logo temos a des-
igualdade

I 2 «m «¿p"'~' eos /MCp 1 -< S,
m = n

para w> )í,, a qual mostra que a serie (c) é uniformemente convergente
para todos os valores de s e p correspondentes aos pontos do circulo de
raio p,.

Basta agora applicar um theorema bem conhecido, relativo áderivayao
das series, para ver que tem logar a igualdade

dF * ,„_,

— ^— ^ 2 «m»«P COSHÍtp.

rfp m = l

Do mesmo modo se demonstra a igualdade

(IJ^ í m n._l

— ; — = — >, a mo ' sen m-i.

do ,„ = i

A segunda das series (n) pode ser considerada do mesmo modo e ob-
téem-se resultados análogos.

— 58 —

42. Posto isto, vamos agora vOr como a fonmila (9) conduz com a
maior facilidade á resolu9áo da questao que se pertende resolver.
Seja

/•(.) = ,, + iv

a func9áo proposta, que suppomos synectica no circulo de raio R, e seja
(X, y) um ponto (até agora representado por (a, b)) do interior d'este circulo.
As fimcfóes u e ;■ satisfazem, por hypothese, ¡í equacáo (2), e temos
portante, em virtude da formula (9),

M :^ 2 p'" («CT eos ;rt!í -|- 6,„ sen wío),

m = 0

QO

V = 2 f '" {'^m eos m o -\- p„, sen m o).

m = 0

Mas, por ser a; ^ p eos a, ¿/ = p sen -i, temos

rfu sentí (/p rfp f/o eos 'j

• , -J^^coscp, -^ = sencp, -^ =

dx p dy ' ay di/ p

e portanto

JHir — " '' :^ ;»3"'~' eos (»< — 1)»,

íZ(p"'cosm*) „,_,

H íj_ . 111 ^" '

■■ jwp'""' sen (m — 1) 's,

á (p'" sen wíti)

dx

(10)

í?(p"' eos wts) „, ,

-it — ^ = _w,p"'-i sen h; — 1)»,

É/(p"'sen?«o) ,„_, , ,.

— t — ^ !_ ^ ¡ji 3 '« 1 eos [m — 1) o.

dy

Substituindo agora na igualdade

du dv

dx dy

— 59 —

os desenvolvimcntos de u c v anteriormente escriptos, e attendendo ás
igualdades anteriores, vcm

00

2 «íp'"~ ' [rt,„ eos (m — 1) r -)- /'m sen (m — 1) -j]

m = l

= y, ?«p'"~' [— a,„sen(w — l)s-(-¡3,„cos(w — 1) tp],

ni=:l

Pondo n'esta equa5áo .; = O, vem a seguinte:

m = l )ii = l

que, dcvcndo ter logar para todos os valores de i, na vesinhanr-a de p ^ O,
mostra que é

A mesma equagáo dá depois a seguinte:

00 00

S h„, ni p '" ~ ' sen (m — 1) '-f = — 2 o^m "' p '" ~ ' sen {m — 1) <c,

m = l m = l

que, depois de dar a -i um valor determinado qualquer, devendo ainda ter
logar para todos os valores de p, na vesinhan9a de p = O, mostra que é

&,„ = — a,„, (>n>0).

Temos pois a igualdade

f(z) = u-^iv = a^-i-ici^

OD

H~ 2 ?'" [C'm eos m ci -|- ?),„ sen m ^ — ih,^ eos ??« c. -|- /a,„ sen m o] ,
ou

OD

/'(s) = a„ + '^-o+ 2 ?"■(«,„ — ¿7íJ (eos ;«s 4- ¿sen m-i),

ou finalmente

/'(2) = «o + í='o+ 2 («m — '^m)2"
m = l

— 60 —

Temos pois o theorema de Cauchy já demonstrado no n." 30:

A funccóo f (z) c siisceptivcl de ser desenvolvida em serie ordenada se-

gimdo as potencias inteiras e positivas de z, quando z representa um ponto

qualíjuer do interior do circulo de raio E. no qual é synectica.

43. Para completar esta questao, resta ainda determinar, seguindo o

mesmo methodo, os coefficientes do desenvolvimento precedente. Para isso,

vamos considerar as series da forma

f\{z)^=ii^-\- iv^= V a,„p'" (eos >M!i -[~ ' sen í«'i),

oo

¡\. [z) = «., -\-Jv., = — i 2 !'„,?'" (eos m-f-\- /sen ni's),

m = 1

que cstao ñas condicóes das series que entrain na formula anterior, isto é
que sao convergentes para todos os valores de i e p que sao coordenadas
polares dos pontos de um circulo de raio B.

Temos, attendendo ás formulas (10) do n.° anterior,

du ^ _

— -i-= y /;m„,p"'-'cos(/« — l)tp,

U X ¡n = 1

dv '^

—j-^^ S ?«a„,p"'~' sen (?« — 1) '^,

CtX in = 1

dit ^■

— r-^ = — 2 "í«mp'" 'seu(in — 1) o,
a !j m ~ 1

dv '^■'

-—-!-= V nia,„ñ"' ' eos (■/« — 1) 'i.
dij „, = i

Vé-se pois que as igualdades (1) sao satisfeitas pela func5áo u, -\- ir,,
e portanto que esta func^áo é monogenea. A sua derivada relativamente
a. z é pois dada (n.° 27) pela formula

d.r di

= 2 IX (I ,,1?'" '[cos(m — l)tt-|-/sen(//i — l)'f]^ 2 nta„,z"' ';

7a = 1 m~i

- fil -

o qiio inostra iiup so obtcni esta derivada derivando cada termo da serie

111 = 1

Como a derivada de f, (x) está tambein ordenada segundo as potencias
inteiras e positivas de x, conclue se do niesmo mudo que é nionogenea e
que admitte urna derivada. .

f/'(z)= i «/(w-l) «,„.-"' -^

dada por uma serie cujos termos se formam derivando os termos do desen-
volvimento de f^' (í).

Continuando do mesmo modo temos a formula geral

f," (-') = 2 w ('» - 1) - ('" — " + 1) «,„2"'"",

í;i = n

que, pondo v ^ O, dá

1.2... n
Considerando do mesmo modo a func^ao f, (í), vé-se que é

1.2...»
Temos pois finalmente

., /,"(0) + /'/(0) _ r(0)

(tn - ^0« — 1 . 2 ... n 1.2 ... ?i '

o que dá a formula de Maclaurin

f(z)=f{0)+ S -jV^-^"-

Mi = 1 J- • ^ ••• >>■

— 62 —
Pondo f(x) = F(\ -\- a), deduz-se d'esta formula a de Taylor

'^ F'" (n)
m = 1 í . ¿ ... m

011, mudando x em í — a,

F{z) = F{a)-\- S .\ ^ ' (z — a)"
™ = i 1.2... )n

que tem logar quando é | v — a | <; i?.

CAPÍTULO V

CONTINUAQÁO DO ESTUDO DAS SERIES DE TAYLOR E DE LAURENT

NO CASO DAS FUNClJOES DE VARIAVEIS COMPLEXAS.

METHODO DE WEIERSTRASS E M I T T A G - L E F F L E R

44. Se, para os valores de x visinhos de uin valor a, ti ver logar o
desenvolvimento

(1) f{x) = rt„ + rt, {x — «) + a, i.v — riY- + ...

a funccño f{x) diz-se regular na vesinhanja do ponto a. Se esta proprie-
dade tiver logai- para todos os valores de a representados pelos pontos de
urna área A, a func9á,o f{x) diz-se regular na área A.

Viu-se no Capitulo III que as funcjóes analyticas sao regulares ñas
áreas em que sao synecticas. A theoria d' estas func9óes coincide portauto
com a theoria das func95es regulares n'uma certa área, e pode porisso ser
feita, sem a intervenecáo da theoria dos integraes curvilíneos, por meio
das propriedades das series da fdrma (1). Este modo de expor a theoria
considerada, cuja primeira ideia remonta a Lagrange, tem sido empregado
principalmente por Weierstrass e Mittag-Leffler nos seus bellos e impor-
tantes trabalhos sobre as func95es analyticas. O presente capitulo é desti-
nado a estudar por este methodo os theoremas de Taylor e de Laurent.
Para isso principiaremos por recordar algumas propriedades das series da
forma (1), de que teremos de fazer uso.

— 64 —

45. A área que representa os calores de x para os qaaes é conver-
gente a serie (1) é limitada por urna circumfer encía, cuja centro é o ponto
que representa a, e esta serie é ahsohitamefnte convergente no interior da
circumferencia considerada.

Com effeito, seja x, um valor de x para o qual a serie seja convergente.
Os modules

\aA^ l«i li^i — «|,-> I«,JI-«, — a r, -

devem ser todos inferiores a um numero B, visto que | a,, 1 1 x, — a. " tende
para zero quando n tende para x ; e portante temos, qualquer que seja n,

\a„ i \x,-a\"<B,

o que dá

¡a^Wx-al" <B

.f — a

Suppondo que os valores que se dáo a .r satisfazem á condicáo
I a; — «I <l.í-, — n \,
vé-se que os termos da serie '

sao inferiores aos termos correspondentes da progressao convergente

S B

l!=0

X — a

logo, para os valores de x considerados, a primeira serie é convergente e
a serie (1) é portante absolutamente convergente.

Como os valores de .r que satisfazem á condÍ9áo \ x — a\ < | x, — a\
sao representados pelos pontos do interior de um circulo de raio igual a
|x, — a I com o centro no ponto correspondente a a, vé-se que, se a sé-

— 65 —

rie (1) for convergente no ponto .r,, é absolutamente convergente em todos
os pontos do interior da circumferencia que passa por este ponto.

Fazendo agora variar x, obtem-se urna serie de circumferencias cujos
raios ou crcscem indefinidamente ou téem uní limite superior. No ])rimciro
caso a serie 6 convergente em todo o plano, o que se exprime ainda dizcndo
(jue ella ó convergente n'um circulo de raio infinito. No segundo caso o
limite considei'ado é o raio de uma circumferencia tal que a serie (1) é con-
vergente quando x representa um ponto do interior do circulo que esta
circumferencia limita e é divergente quando x representa um ponto exte-
rior. Ao circulo que vimos de considerar deu Cauchy o nome de circulo
de convergencia da serie (1). A serie (1| pode ser convergente sómente no
ponto X = a; n'este caso o raio do circulo de convergencia é nuUo.

40. Consideremos agora a serie

a„ -\- a, {j- — a) -j- a„ {x — a]'- -f- ...
+ r/_. (.r — a)-' + «_, (,r — n)-' + ...

A serie que forma a primeira linha d'esta expressao é convergente
quando \x — a ^ -< R, II representando o raio do circulo de convergencia
d'esta serie.

A serie que forma a segunda linha da mesma expressao é convergente

1
X — a
representando o raio do circulo de convergencia da serie

para todos os valores de x que satisfazem a condiyáo

R',R'

a_ , .í/ + a_ , ¿/' + « - , í/"' + -,

e portanto quando é x — « | > -jjr-

Logo a serie considerada só é convergente quando é i? >• ^f-^ e, n'este

caso, a área que representa os valores de x, para os quaes ella é conver-
gente, é limitada porduas
ponto correspondente a a.

gente, é limitada por duas circumferencias de raio R e —¡rf com o centro no

R

— 66 —
47. Se urna serie

", + "= + '«-. + •••'

cujos termos sao funcjoes de urna variavel x, é convergente para todos os
valores de x representados pelos pontos de nma área A, para cada valor
de a; o resto

-"'/I = ^' « + 1 1 ^' ¡i + - ~r •••

tende para zero quando n tende para o infinito. A cada valor que se dé á
qiiantidade positiva o corresponde pois um numero «, tal que é | i?„ | < S,
quando n > ll^. Se este numero é o mesmo para todos os valores de x con-
siderados, a serie diz-se uniformemente convergente na área A.

Posto isto, temos o theorema seguinte:

Se a serie

«ü + », " + «o w' + - + ff„ "" + -.

onde u representa urna funcf-uo de x, fúr convergente quando I u | < R,
esta serie é imiformemente convergente na área A que representa os valo-
res de X que tornain | u | <; p, f representando qualquer numero positivo
inferior a R.

Com effeito, por ser a serie proposta absolutamente convergente quan-
do ' í¿ ] ^ p (n.° 45), a cada valor da quantidadc positiva o corresponde um
numero n^ tal que é

l«»+.lp"+'+l««^-Jp"^^ + -<s,

quando n > »,.

Temos porém, para todos os valores de x representados pelos pontos
da área A,

|i?„ 1 = 1 «,..,«" + ' + «„..,«"+"- + ... I

^ l«,.+ . I I «!'"''+ I «n^. |híi" + ^ + ...

— 67 —

IjOgo, para toilos os pontos da área A, temos | i2„ | << S quando » > n,,
o ((lio mostra (iiic a scñ-io proposta ó uiiitoniiciucnte convergente na área ^.
4S. Se a serie

F(.r)= "i:'" a„.v."

fo)' convergente n'ian anncl circular dado c se, em todos pontos do inte-
rior d'esffí annel que tcein o inesino ¡nodulo o, o módulo de F (x) fór me-
nor do que uma quantidade positiva L, o módulo de cada termo da serie
será lambem menor do que L.

Con effeito, multiplicando a serie proposta por x~"' , vem

/•'(,r)= S a„.v"-"' + a„

n. = ííí -)- 1

,f = l-

n = ?n + 1

72 representando luna (piantidade que tende para zero quando /,■ tende para
o infinito.

Mas, como por hypothese é

! x-'"F{x) ' <L '.-'",

e como, por mais [)cqueno que scja o valor que se atribua a uma quanti-
dade positiva o, existe sempre um valor /.■, tal que é | i2 | << o, quando

k > A', , temos

ou

x-"'F{x) — R I <Lp-'"-f-o,

<Lp-'"+S.

n = A;

V ri_,.c"-"'-\-a,„-^ S a_,x"

n = /rt H" 1

Dando agora n'esta desigaaldade a ./; os valores

a, = p,?eí9,p.2*0^...,.,(a-l)¿e

— 68 -

e a. k um valor maior do que os differentes valores de /,■, correspondentes
a estes valores de x, temos as desigualdades

n^m — 1 n = k

w=m— 1 , , ., n = 7i: i

71 ^ — oc w = m -\- 1 I

que dáo, sommando-as e attendendo a que o modulo de uma somma de
quantidades nao pode exceder a somma dos módulos das parcellas,

n=in — 1
n = — CD

n = m-j-l

+ ««,„ I <a(Lp-"' + S),

ou, pondo

e dando á quantidade O um valor que nao seja raíz da equa9áo

1— c("-»»)''9 = 0,

isto é, um valor tal que A seja finito,

n = m — l n = l,

)! = — 00 í! = )« + l

<a(Lp-"' + S),

ou

«mH-

5

<Lp-'" + S,

60 —

i'epresentando por B ;i parte do primeiro mcmbro da desigualdade prece-
dente independente de a,,,. D'esta desigualdade tira-se

(a)

«mi ^Lp-"'+2,

porque se fosse

«m I >Lp-"'+0,

podia dar-se a a um valor tao grande que fosse

B

Lp-"'+5,

ou á fortiori

«m +

B

>Lp-"' + S,

visto ser

^1 i I I ^'

> \a„

Da desigualdade (a) tira-se o theorema enunciado; porque, se fosse
I a„ 1 > Lp~"', podia dar-se a 5 um valor tao pequeño que fosse

|«„|>Lp-"'+o.

O theorema que vimos de demonstrar é devido a Cauchy. Aqui serve
como lemma para a demonstra9íío do theorema seguinte.

49. Se urna funcrao i [x) for susceptivel de ser desenvolvida na serie
uniformemente convergente dentro de um annel, comprehendido entre duas
circumfereneias de redo R e R' eom o centro na origem das coordenadas:

(1)

f(x) = /■„ (X) + /•, [x) + ... + /;, (X) + ...,

e se as functues f„ (x), f, (x),... forem susceptivcis de ser desenvolvidas em

— 70 —

series ordenadas segundo as potencias inieiras de x, convergentes dentro
do mesmo annel:

j /•„ ix) = A.!"' 4- A /"' .V + .4;"' x^- + ... + aJ"^ X"- + ...

(2)

) -^Aj"\r~'-^Aj"^x-^^...^A_.

i"! -m I
, ,/ -p ...

a fnnccao f (x) será tatnbem snsceptivel de ser desenvolvida eni serie orde-
nada segundo as potencias de x:

j f(x) = A„ + A^ X + .L .r^- + ... + A,„ x"' + ...
(3J

e será

ÍA„. = Aj°' + Af' + ...-^A„r + ...
(4) j

Este theorema representa um papel importante na theoria das funcfoes
analyticas. E' devido a Weierstrass, assim como a demonstrajáo que vamos
dar d'elle (').

Seja p urna quantidade positiva tal que J2' ■< p •< 2?; por ser unifor-
memente convergente a serie (1) na circumferencia de raio p, a cada valor
da quantidade positiva 3, por mais pequeño que seja, corresponderá um
numero h, tal que as desigualdades

l/'»4-.(-^)+/n..(íí^) + - I <Y^

I /„-p- , (.'-■) + fn-^p+, (a') + ... I <Y"-'

seráo satisfeitas por todos oí valores de » superiores a /i, e por todos os va-
lores de .<• que téem o módulo p, qualquer (jue seja p; logo a desigualdade

I /„+ , í^-) + /■«+. (■'■) + - + /•„ + ,, W i < s

será satisfeita pelos mesmos valores de n e x.

(') Monatsbericht der Kon. Akademie de Wissenschaften zii Berlin (18«0).

— 71 —
Mas temos, sommando os desenvolvimentos de f,^^.^ (x), ..., f„ . ,, (x),

('' + i')^ j,m

/•„-.. (■r)+-+/-.-.,.(«')= s (,l„/«+^'+...+^„/''+^>).

Logo, em \nrtude do theorema demonstrado no n." precedente, temos
a desigualdade

da qual se conclue a convergencia das series (4), applicando para isso o
criterio fundamental de convergencia e divergencia que se deve a Cauchy.
Considerando agora outro numero positivo o, tal que seja i? > p, > ñ',
podemos dar a ??, um valor tal que seja tambem

I ^J"+^' + ^„'"+^^+... + ^,;"+^' I <s?r'",

quando n > n^, por maior que seja p; e portanto
Pondo para brevidade

o que dá

.4,„ = 4'„, + .4"„„ 1^"„, I <5p.-"'
vem, para os valores de x cujo módulo z é inferior a p,, a desigualdade
\A\\ + \A\.x\+.-+\A',.x'\+..

<4i+^+...+(t)"+...]<v'±7'

— 72 —
da cjual se conclue que a serie

,r„ + . 4". ,. + ... + ^",„ .,- + ...

é absolutamente convergente.

Considerando outro numero z,, tal que seja o > p,, > R\ vé-se do mes-
mo modo que temos a desigualdade

I A"_, ..- I + I A'^_.^ .,- I +...+ I A'L,., .r-" I +... <o— £_,

? — P-.

da qual se conclue que a serie

I-,-'--'

é tambem absolutamente convergente.
Temos depois

m = oo

É It „

ín = — ix

d'onde se tira

i: /;„(■'■)- 2; ^^.r"- v' /;,(,r)- ¿ .1",,, .,.'",

" = 0 m = -<x m = )!-)l M=— 00

e portante

I m=0 »!=—{»

.0.

Como a o se pode dar um valor tao pequeño quanto se queira, tira-se
d'esta desigualdade

ín = QO

2 /;«(^)= 2 A,„.,-"\

7Í1=0

isto é a igualdade (3), que se quería demonstrar, e vó-se que esta igualdade

- 73 —

tcm logar para todos os valores de x cujo iikhIuIo ostíí comprehendido en-
tre f, e Pj. Como p, e p^ sao táo próximos de R e R' quanto se queira,
ve-se que a igualdadc anterior tem logar para todos os valores de ,r repre-
sentados pelos pontos do annel limitado pelas circunferencias de raio R c R'
e com o centro na origem das coordenadas.

No que precede pode ser R' = O, e entao o annel circular, que vimos
de considerar, reduz-se a um circulo de raio igual a R. ív 'este caso os de-
senvolvimentos (2) e (3) nao contéem potencias negativas de .r.

50. Antes de entrar no assumpto que forma o objecto principal d'estc
capitulo, demonstraremos finalmente as proposigoes seguintes:

1.° A somma e o producto de fimcroes regulares, na vesinhanra do
¡loiito n, Silo regulares na resinhanra do mesnto ponto.

Com effeito, se as funcfoes f(.r) é F[x) sao regulares na vesinhanca
do ponto a , temos , para valores sufficientemente pequeños de | .r — a\,

f(.r) = a, + «, (.r — a) -\- «, (x — af -\- ...,
F{.r) = /)„ + />, (./• — a) + Ik (x — af + ...;

e d'estas igualdades tiram-se, eni virtude de theoremas bem conhecidos
relativos ás opera9óes sobre series, as igualdades seguintes:

f{.r)-^F(.T) = a,.±h„-\-{a,±l>j(-'-~")-\-(a.±h,){.>- — ar-]-...
f(.r)F(.r) = a„b„-\-{aJ),~\-a,b^,)(.i- — a)-\-(aJ),-\-a,b^-{-a,b,){x — af-\-...

que téem logar para os mesmos valores de | ^ — « |.

2." A func(ao [f (.r)]'^ e tatnbem regular na vesinlianfa do ponto a,
qualquer que seja o valor de i [a], no caso de k ser inteiro e positivo, c
quando i {a) é differente de xero, nos outros casos.

O caso de k representar um numero inteiro positivo já foi considerado,
visto que n'este caso f/ (x)]'"' representa um producto de factores.

Nos outros casos temos, suppondo a„ = f(a) differente de zero,

[f(xrf = «„ [i + -^ (-r - «) + ""; (^' - aY + •••]'

= «„[l+P(.r-<,

— 74 —
representantlo por P (x — ff) o desenvolvimento

P (.r - a) = (.r -a)\^+^ (.r - a) + ...].

Dando a | ./; — a \ valores tao pequeños que seja

i P(X — tt) I <1,

podemos desenvolver | f{.i:)f em serie ordenada segundo as potencias x — a
por meio da formula de Newton (n." 25), e teremos

[/•(x)]'' = a„ [l + hP(x - «) + ^^— ^ P (■'■ - af + •••]•

Esta serie é uniformemente convergente na vesinhanea do ponto a
(n." 47), assim como os desenvolvimentos de P{x —a), \P{x — a)]-,...;
logo a func9ao [f{x)f é susceptivel de ser desenvolvida (n.° 49) em serie
ordenada segundo as potencias de a; — a, na vesinhanca do ponto a.

3° G quociente ^ ;\ é regular na vesinhanrxi do ponto a, se i (a) fór

i (x)

differentc de xero.

Este principio é urna consequencia dos dous anteriores, visto que po-
demos escrever a expressao considerada debaixo da forma F (x) \ f (x)\~ ' .
4." Se F (y) for regular na vesinhanra do ponto y = b e se y ^ f (x)
fór regular na vesintuinca do ponto a, a que corresponde y = b, F [f (s||
e regular na vesinhanra do ponto a.

Temos, por hypothese,

F{j/) = h.. + /-, (// — h] -f- />, (// — bY + ...,
_y _ /, = a, (,r — a) -f a, (./• — a)' -\- ...

Substituindo na primeira serie g — b pelo seu desenvolvimento e or-
denando o resultado segundo as potencias de {x — a) vem (n." 49) um re-

— /D —

.siiltiido da forma

A + A , (.r - rt) + .1, {x - af + ...,

o que demoDstra o theorcma enunciado.

51. Postas estas proposifoes relativas ás series inteiras, vamos agora
deduzir a serie de Taijlor e demonstrar o thcorema de CdKclnj relativo ao
raio de convergencia d'esta serie.
Se a serie

1 1 1 /•{•?•) = «„ \- ", (■'• - (') + o. (./■ — ar + ... + n„ (./• - «)" + -

for convergente no interior de urna circuniferenda de centi'o a e raio R,
isto r qiiatido | x — a | . c R, e .se x„ representar um ponto do interior d'esta
circianferencia, a funcrüo f (x) admitte nina derivada finita no ponto x^ e
esta derivada é dada pela serie

f '(■'■„)= i «a„(.r„ -«)"-',

n = l

cajos termos se forma»/ derivando os termos da serie proposta.
Em segundo logar temos

f(-r) = f(.v„) + {X - .r„) r i-rj + ... + -yf^^ f" (-^..l + -

e este desenvohimoito tcm logar para todos os valores de x qite satisfaxein
á condi(do

I -^M — « \-\-\ x — x„\ <B,

isto é, para todos os valores de x representados pelos pontos de um circtdv
de centro x„ contido no interior da circumferencia de raio R.
Com effeito, pondo na serie proposta x = .r„ -(- h, temos

7Í=0

— 76 —

Esta sóvie, considerada como funccao de k, é uniformemente conver-
gente quando \x„-\-h — a\ <i2, cu ¿i fortiori. quando é |x„ — «|-|-j/¿| <i?.
Desenvolvendo pois os binomios que n'ella entram e ordenando o resultado
segundo as potencias de h, temos (n.° 49)

/■(.r,, + h) = f(.T„) + hf^ (.r„) + Irf, (.r,.) + ...

onde é

/;(•'■„)= S r> a„ (■>■„ — ar,

n = l

Pondo agora h = x — a;„, vem

com a condigno \x„ — ff ] + | ./; — x„ i << E.

Para d'estas formulas tirar o theorema enunciado, basta notar que a
ultima dá, passando /'(.f„) para o primeiro membro, dividindo depois os
dons membros por .r — .r„ e fazeudo finalmente tender x — x„ para zero,
/i (■'''.i) = /' (-í^ii)' Basta em seguida notar que cada urna das funcjoes

se deduz da anterior como f {x„) se deduz de /'(.r„), para ver (pie é

/;(^J =/"(.'■„), fAx.) = f"'[-r.„),...

52. Se a funcrcio f (x) for reyular no interior de ama circúmferencia
de centro a, o desenvolvimento

f(.r) = fia) + (.r — a) f (rr) + ^ {-v — af f" (a) + ...

— 77

tem logar para todos os valores de x representados pelos pontos do inte
rior d 'esta circumferencia.

Esta proposicao coincide com o theo-
rema de Cauchy, demoustrado no n.° 30, e
pode ser demonstrada do modo seguinte.
(Fig. 10.)

Seja (c) a circumferencia considerada.
Por ser regular a funccao /' (.r) na vesi-
nhanca do ponto a (ao qual corresponde
o centro A da circumferencia) existe uma Fig. lo.

circumferencia (c,), de ralo i,, tal que é, em toda a área que ella limita,

(1) f(x) = fia) + (.V — a) f [a) + -y (.r - af f" [á) + ...

Por ser tambem regular a mesma funccao na vesinhanca do valor h
de X, correspondente ao ponto B interior a (c,), existe uma circumferen-
cia (<*,), de centro B e raio p, , tal que é, em toda a área que ella limita, x'
representando um ponto qualquer d'esta área,

f[^') = /V') + (-i-' - b] /■' ib) +\{x'- br f" (h) + ...

Representando porém por L o máximo val6r de | f(x') | na circumfe-
rencia de raio igual a | x' — b \ e centro b, temos, applicando o theorema
demonstrado no n.° 48,

1

1.2... tu

r(b)

x' — b I'" < L.

Notando que é

e applicando outra vez o theorema do n.° 48 á f unc9áo

^ n{n-l)...(n-m + l] ^^ __ ^^„_,„ ^^, _ ^^,„ ^^^.^^
■^ 1 .2 ...n Xl -2 ... ni

78

cujo múdulo é inferior a L, vem

n [n — 1) ... {» — m -\- 1)
1 .2...MX 1.2 ...m

h — a |"-''« I oc' — h i'» I f" (a) \ < L,

ou

n (?í — 1) .,. (« — m -\- 1)
1 . 2 ... ?z X 1 . 2 ... íH

¿/ — « I"

¿c' — h

f" (^) I < L

b — a

e portanto, sommando todas as desigualdades correspondentes aos valores

m = 0, 1, 2, 3, ...,«,

\f"(a)\\h-n\- /
1.2...» I

y.' /} I \** ííl— H

^^^ — ) <^' 2

,-', I / OT---0

A — rt

011

ou

I /•» (ff) 1 1 J- — ft I"

1 .2...;/

</.

p, ^ !¿;--a

.1? —

a

\h-a\{l +

■' -r' )

Esta desigualdade mostra que a serie (1) é convergente quaudo é

£C ff I <C\íl ■

«1(1+-— -).

e basta attender a que \b — a\ o \x' — b\ differem de o, e o, táo pouco
quanto se queira, para concluir d'ella que aquella serie é convergente no
interior da circumferencia de raio igual a o, -j- p,,.

Considerando urna circumferencia de raio p. com o centro no interior
de (cj vé-se por urna analyse semelhante que a serie (1) é convergente no
interior da circumferencia de raio igual a p, + p, -)- o..

— 70 —

Continuanclo do niesmo niódo, obtem-se uiua serie ?|-)-?o-f-p--(- o, -(-...
cuja sonima li representa o raio de convergeneia da serio (1).

Demonstrado assim que o segundo membro de (1) ó convergente no in-
terior da- circumferencia de raio R, resta demonstrar que coincide cora f(x)
em toda esta íírea.

Para isso, representemos por a (.r) a differenya entre /"(.r) o a aéric que
entra no segundo membro de (1), e notemos em primeiro logar que 6, por
hypothese, -^ (,r) ^ O no circulo (c,).

Tomando um ponto b u'este circulo, tao próximo quanto se queira da
sua circumferencia, temos a igualdade (n." 50 — 1.°)

o (,r) = o (¿) + (X - h) 'J [h) + 1 (,r - hf c." (¿) + . .. ;

mas, por h pertenecer ao circulo (c,), é ti (¿) = O, ti' {jn) = O, ...; logo te-
mos 9 (íc) ^ O em todos os pontos da área d'este segundo circulo, que é
em parte destincta da anterior.

Continuando do mesmo modo até considerar toda a área do circulo de
raio R , ve-se que 'i (.r) é nulla em toda esta área, e portanto que a igual-
dade (1) tem logar para todos os valores de x representados pelos pontos
d'esta área.

53. A demonstracao da formula de Lmireiit por meio das proprieda-
des das series inteiras foi duda por Mittag-Leffler ñas Memorias da So-
ciedade das Sciencias de Lihje (2.'' serie, t. xi) e no tomo iv das Ada vta-
thematica. Para expor esta demonstracao sao necessarias algumas notas
preleminares que vamos appresentar.

Sejam x Q y duas variaveis complexas ligadas pela relacáo

."-^w- 1 [(§)"+(!)"]■

onde n representa um numero inteiro positivo e R um numero positivo. E'
em primeiro logar uecessario procurar qual é a área que, no plano de re-
presentafáo dos y, corresponde a uma área ^4, limitada pelas circumferen-

cias de raio i? (1 -I- o) e -- — r — , com os centros na origem das coordena-

— so-
das, onde sao representados os valores de x. Su])pomo3 que a quantidade 3
é positiva.

Para resolver esta questao procuremos primeiraiuente qual é a curva
descripta pelo ponto correspondente a 1/ quando o ponto correspondente a .f
descreve urna circumferencia de raio igual a ñ (1 -)- o), com o centro na
origem das coordenadas, o representando urna quantidade positiva nao su-
perior a p. Para isso basta por em (1)

«/ = A' -)- i Y, .r = R(l-\-o) (eos -^ + / sen -i),
o que da as equa^oes

(2) ^

que determinara os pontos (X, Y) da curva pedida, fazendo variar -i desde O
até 'Ztz, e que mostram que esta curva é uma ellipse.

A curva, cujas equacoes vimos de adiar goza das propriedades se-

guintes :

1.° O seu centro coincide com a origem das coordenadas. Os sens eixos
coincidem com os eixos das coordenadas e sao iguaes a

2.° A distancia de cada ponto da curva á origem das coordenadas é
dada pela formula

(3) A-+r^ = l[(l+£r + -^^_+o„o3.„,_3,„,„,^)j_

Como a derivada de X- -\- Y- relativamente a o é positiva, vé-se que
X* -j- y* cresce quando o cresce. Esta circunstancia far ver que as curvas
correspondentes aos diversos valores de S nao se podem cortar e que as

— 81 —

curvas que corresponden! a menores valores de S estáo nn interior das ijiic
correspondeni a maiores valores de o.

Pondo cni (2) o = O, vócm as eqiiaeoes

X = cosn<:, 1'= 0;

logo quando x descreve urna circiimferencia de raio R com o centro na
origem das coordenadas, i/ descreve urna recta que une os jiontos ( — 1, 0)
e (1, 0), os qnaes estao pois no
interior de todas as curvas co-
rrespondentes aos diversos valo-
res de o.

Do que precede conclue-se
que, quando (fig. 11) o varia des-
de O até p, a curva correspondente
á circumferencia de raio i?{l -j- o)
varia desde o segmento de rec-
ta pj, que une os pontos ( — 1,0)
e (1, 0), até á curva A CBD, a£-

fastando-se sempre da origem das coordenadas em todas as direcjóes.

i?

Fig. 11.

3.° Quando x descreve o circulo de raio

curva representada pelas equa(;oes (2).
Pondo, com effeito, em (1)

1+'

¡/ descreve ainda a

X-j-iY, .. = -

R

+ '

(eos o -\- i sen •.;)

véem as equa5oes

-'^=y[(l.|5)n +(1 + 5)"] eos», y,

i'=T[7r:f:sr--(i + 2)"]sen«..

Notando que a curva representada por estas equaeoes nao se altera

6

— 82 —

qiiaiulo se muda o cm — ■:,■, ve-se que coincide com a curva rc|)reseütada
pelas eqnagoes (2).

4." Por cada ])onto do jilano de representacao dos // passa unía das
curvas dadas pelas equaeoes (2).

Com effeito, a eqnaefio (1) dK para x, quando y é dado, 2n valores:

a- = R Sjn ± y/if- — 1 .

Seja .í' um d 'estos valores. Quando x descreve uma circumferencia de
ralo I x' I com o centro na origem das coordenadas, y descreve uma das
curvas representadas pelas equayoes (2), que passa pelo ponto correspon-
dente ao valor dado a //. Os outros valores de ./; devem ter todos módulos
iguaes a \x' \, visto que por cada ponto nao pode passar niais do que uma
das curvas representadas pelas equa(,'ües (2).

5." A niaior e a menor distancia dos pontos da curva representada pe-
las oqua(;oes (2) á origem das coordenadas podem ser ohtidas procurando
os valores de -i que tornam a expressao de X- -\- F', dada pela formula (3),
máxima ou minima; o que dá para valor da distancia máxima

t|<' + ^i- + ot]

e para valor da distancia minima

Reflectindo nm pouco sobre as propriedades que vimos de indicar po-
demos concluir que ao annel circular A coinprehendido entre as circiimfe-

roldas de raio R (1 -|- p) e -j — j — , com o ceñirá na origem das coordena-

das, coi-responde no 'plann de representacao dos y uma superficie B limi-
tada por lima curva fechada composia de nm só ramo e tendo no interior
os pontos y = 0 ey^drl.

54. A demonstraeao, dada por Mittag-Leffler, do theorema de Lau-

— 83 —

rcnt funda-se ainda n'iiin Icniíua demonstrado jxir M'eicrstrass na sua ht'lla
e importante memoria sobre a tlicoria da? ftinci/Oes inteiras ('), que vamos
estabelccer.

Seja f(x\ urna func(,'rio de .r monogcnca, uniforme c regular na lírca .1,

limitada pelas circumferoncias de raio R (I -\- z) e - — — , com o centro

1 + ?
na origera das coordenadas.

Pondo ainda

a cada valor de y correspondem 2n valores x,, .r, , ..., a;,,,, para x, e entre
estes valores so existem alguns iguaes quando é // = dr 1. Por meio d 'estes
valores podemos formar '2n funcyoes F„,F^, ..., F.^^_^ de // taes que a
igualdade

i- = 2« — 1

(5) E F,x'' = f{.v)

seja satisfeita quando a x se dáo os valores .r,,.T^, ...,.r. „. Para isso hasta
notar que, em virtude da formula de interpolacao de Lngrange, temos,
quando as raizes x,, .r,, —jX.^,, sao todas difforcntcs, isto é, quando // é dif-
f érente de -f- 1 e — 1 ,

onde

77 (.r) = (.r — .r,) ... (x — ,r, J = .r-" — 2.í/i?" .r" + /?'",

e que temos tambem

■^^N _ .•»"-'+.r,.r^"-^ + ...4-./V"-' — 2.y/?".r,"-'.

: ./■

{') Abhandliingen der KOnigl. Akademie der Wissenschaften su Berlín, 1870.
TJma traduc^áo franceza d'esta memoria foi publicada nos Aii?inles de l'Ecole
Xormale Superieure de París (2.* s. , t. viu).

— 84 —

Logo, para ser satisfeita a iguaklade (5) pelos valores x^,x^, ..., .r^„ que
correspondem a valores de y dif ferentes de rb 1 , hasta pnr

=1 n'(.T,)'

f.2n .y^,*«-Y(.r,) '-S» ,. — 1

onde ;r, , x^, ...,a^j„ sao os valores de x dados pela igualdade

x = R\Jii±\/ij-~\,

e onde é

ir (J.J = 2n£c„"-' (x," — ,yi?").

Posto isto, vamos agora mostrar que as funcjoes de y representadas
por F„, F^, ..., F^,,_ I sao todas regulares na área B.

Seja b um dos valores dados a y, representado por um dos pontos da
área B, e supponhamos em primeiro logar que b é differente de dz 1.

Eserevendo a rela^ao entre x e y debaixo da forma

a; = R \l(!j — h) + /' ± V{y — b)'- -4- 2 b (y — h] + /r — 1

e applicando os theoremas demonstrados no n.° 50, vé-se em primeiro lo-
gar que o radical

\/(/y — /')= + 2 M,V — //) + /r — 1

é regular na vesinhan9a do ponto ¿, e em seguida que as quantidades x„
sao regulares na vesinhan^a do mesmo ponto.

A func9áo /"(x,.) é tambem i-egular (n.° 50 — i") na vesinhanga do ponto
considerado.

— 85 —

Basta agora attender a que as expressóes de F„, í\ ,..., F,„_^ sao com-
postas de soinnias, productos e quocientes de func5oes regulares ua ve-
siuhan9a do ponto b e que //' {x^) só é nullo quando b = ± I, para concluir
que estas func<;oes sao regulares (n.° 50) na vesinhanca do ponto b consi-
derado.

Supponhamos agora que é 6 ^ 1. As expressóes de í',,, F¡, ..., í'i„_,
sao compostas de parcellas da fórma

Temos primeiramente, na vesinhanja do ponto // ^ 1,

v/// - 1 = (// - 1) a [1 + ., Cv - 1) + ...] = (// - 1) --í P(// - 1),

P{y — 1) representando um desenvolvimento ordenado segundo as poten-
cias inteiras e positivas de y — 1.

Temos depois, na vesinhunya do mesmo ponto,

JL J_

a- = 7? [y — 1 + 1 ± 0/ — 1) ^ P{¡/ — 1)] " ,

e , pondo {y — 1 ) "^ = i e representando por A„, o coefficiente do termo de
ordem »i -|- 1 no desenvolvimento d'este binomio,

=R[i+i^A,„[t'±tP(ñy].

o segundo membro d'esta igualdade pode ser desenvolvido segundo
as potencias de t (n." 49), e temos portanto um resultado da forma

m=0 m=0

a;= S B,^f'"± S ií.„+, ¿^'" + '.

— 86 -

Em virtiule d'esta igualdade e dos theoremas demonstrados no n.° 50,
vé-se que ^ (x^ é da forma

m — r) 1)1 = Tj

m = 0 m = 0

ou

ín = r _í_ 771 = X

771 — 0 777 = 0

Basta agora attender a que cada um dos signaes que affectam a se-
gunda das series, que entram n'esta formula, corresponde a sua raiz da

equagao 'f (.r) — í/ = 0, para concluir que os termos dependentes de (¿/ — 1) -

l- = 27l

devem desapparecer na somma S A (x^) e que deve ser

1=1

í' = 2»t 771 = 00

l' = l 771 = 0

Vé-se pois que as expressoes de F„, F^, ..., F^,^_^ sao ainda regulares
na vesinhan9a do ponto y ^\.

Do mesmo modo se mostra que estas expressoes sao regulares na ve-
sinhan5a do ponto ?/ = — 1.

As func5oes F„, F,, ..., F,„_ , foram determinadas de modo que, para
cada valor dado a ?/, os valores correspondentes de x, dados pela equa-
yao (i), satisfafam á equayao (5). Pondo pois >/ = -^ (x) n'esta equai;-áo,
temos o theorema seguinte:

A igualdade

/•(.r)='^s"V,[-í(^)]ír'^

f = 0

é satisfeita por todos os valores de x representados pelos pontos da. área A.
As futicróes de y representadas por F„, F, , ..., que entram n'esta igualdade,
sao regulares na área B.

Dev&-se observar que, para establecer esta igualdade, excluiram-se os

- 87 —

valores de x correspondentes a // = 1 e a // = — 1. Basta i)()rt'ni attender
a que os seus dous raeuibros adniittein (n." 51) derivadas finitas n'estes
pontos, e a que portanto sao continuas, para concluir que ella ainda tem
logar para estes valores de x.

55. Fundado ñas proposiyóes que vimos de demonstrar nos dois nú-
meros anteriores, obteve Mittag-Leffler o theorema de T^aurent do modo
seguinte.

Supponhamos que f{x) representa urna funcyao monogenea, uniforme
e regular na .-írea limitada por duas eircumferencias de raio R' e R" e seja R
\\m numero compreliendido entre R' e R".

Representando por 1/ urna qiiantidade positiva arbitraria, podemos dar
a p um vali">r tao pequeño c depois a n lun valür tao grande que seja

R{l+f)<S", -^>R-,

Vin-se no n." anterior que as func^oes F„ (y), I\ (y), ..., F,„_ ^ (>j) sao
regulares na área B, correspondente aos valores de x representados pelos
pontos do annel compreheudido entre as eircumferencias de raio i? (1 -)- o)

D

6 -z — I — , com os centros na origeni das coordenadas. Como pordm o pri-

meiro membro da ultima desigualdade representa o minimo valor da dis-
tancia dos pontos da curva, que limita B, á origem das coordenadas, vé-se
que esta área contcm no interior o circulo de raio 1 -\- h. Logo temos, para
os valores de y representados pelos pontos d'este circulo (n." 52),

FAii) = A,r + Ary + A.ry^ + ...

Por outra parte, dando a z um valor positivo sufficicntcmente pequeño
para que seja

i[(i+."+(rT7)-]<'+''

— 88 —

e notando (jue o primeiro membro d'esta desigual Jade representa o má-
ximo valor da distancia da origem das coordenadas aos pontos da curva
que limita a área B, , correspondente ao annel ^4, , limitado pelas circumfe-

rencias de raio i? (1 -)- -) e . — , com o centro na origem das coordena-
das, vé-se que os módulos das quantidades representadas pelos pontos da
área i?, sao menores do que 1 -j- h.
A serie

4:<'^-T:i>,-[(x)"+(4)"r

é portante (n.° 47) uniformemente convergente na área A¡, e temos, para
os valores de x representados pelos pontos d'esta área (n.° 49),

Vl — OD

Sommando agora todos os desenvolvimentos d'esta fórraa que corres-
ponden! aos diversos termos da somma

r=2i! — 1

/■(-r)= 2 FAy)x''

!=0

obtem-se um resultado da forma

1/1 = 00

(6) f{x)= 2 ^m-^'",

«l = — 00

que tem logar para todos os valores de x representados pelos pontos da
área A^. Basta agora fazer variar R desde R' até i?" para concluir que a
formula (G) ton logar para todos os valores de x representados pelos pon-
tos da área limitada jielas circumfercncias de raio R' e R", com o centro
na origem das coordenadas.

A formula (6) é a fornuda de Laarcnt, que pretendíamos obter.

— 89 —

Applicaiulí» a fonmila (G) :í fiinc(;rio f{x-\-a) e nuuUiiulo no resultado
X eni .r — a, obtcm-se o descnvolvimcnto

/"(•'■)= 2 A,„{x-ay",

m= — 00

que tem logar para todos os valores de x representados pelos pontos do
anael coiuprehendido entre as circumferencias de raio R' e R", com o cen-
tro no ponto correspondente a a.

oG. O methodo que vimos de dar nao é proprio para o calculo dos coef-
ficientes do desenvolvimento. Estabelecida porém a possibilidade d-i desen-
volvimento, é fácil obter a expressño, por meio de integraes definidos, dos
coefficientes.

Multiplicando, com effeito, os dous membros da igualdade anterior por
(x — a)~" , obtem-se um resultado da forma

(.i. _ a)- V(.r) = A„+1 A^ (x - a)'",

onde m é differente de n. Pondo agora x — a= Re. , R representando
urna quantidade qualquer comprehendida entre R' e R", e integrando os
dous membros da igualdade entre os limites O e 2-, vem a formula

2-

i^\ — niñ ,,,
e ) e dn,

já obtida no n.° 32.

CAPITULO VI

SERIE DE BURMANN. SERIE DE LAGRANGE.
GENERALIZAgAO DA SERIE DE BURMANN

57. Passemos agora a tratar do desenvolvimcnto do /'(.r) ein serie or-
denada segundo as potencias inteiras e positivas de urna f unc9áo dada 9 (x),
isto é, em serie da forma

.4,, -j-A^'l (.<•) + -4, 'r- {,■) + ... + A„ H" (.,•) + ...,

procurando as condi^oes para que este desenvolvimcnto teniía logar e o
valor dos coefficientes A,,, A^, A.,,...

Supponhamos que as funcyOes /"(í) e O (■. ) sao sytiecticas na ííreii A li-
mitada por um único contorno fechado 5, que O (;) admitte um único zero
no interior d'este contorno e que, designando por :r um valor representado
por um ponto do interior da área A e por a o valor que torna nulla esta
funcjao e pondo O (x) = (x, — a) © [x], a desigualdade

\Ha-)\ <|9(z) I

ou

x — a\\@(jc)\<\z-a\\S{z)

— 91 —

é satisfeita por todos os valores ele ; «jiic correspondcm aos pontos do
contorno 5.

N'este caso a eqiia<;ao

9 (2) — O (x) = O

tem iiina única raiz ■. = x no interior do contorno iS. Com effeito, o nu-
mero d'estas raizes é dado pelo integral (n." 31)

1_ /• V{z)dz

"~ 2¡T. ./^, (j (.) _ ij (.,.) '

ou, descnvolveudo-o em feérie,

1 r rv(z)(íz r^'{z)dz 1.

mas o prini<íiro termo d'esta serie 6 igual á unidade, visto representar as
raizes da e'quayño O (•.) = O comprehendidas na área A, e os ontros sfio

nullos, por ser, pondo ; ^ s e

ntj

r ■- >

logo é « = 1.

Posto isto, consideremos o integral

^,_ . , f(z)H'(z)dz

— f

2¿7t J^ fj(z)_f)(,r)

Como o denominador da f uncyáo integrada é nullo quando x.=x e este
zero é o único que este denominador tem na íírea A, temos (n." 2S — 1.°),

— 92 —

representando por C urna circumferencia cujo centro seja o ponto x e ciijo
raio seja igual ao raio do circulo de convergencia da serie

e (z) - 9 (.r) = [z - X) e' (x) + y (2 - x) 6" (.r) + ...,

U =

1

" 22;-

Je (2

f{¿)^'{z)dz

-a-)[6'(.r)+4-(2-a-)9'

'(X) + ...]■

mas (n/

"28-

-2.°)

U =

1

2ÍT.

-í-

f(z)^'{z)dz

M + 4-(2-.r)fj"(.r) + ..

2 X

- = /■(.'■);

logo

fi-r)-

1 /-' /-(z) 5' [z) dz
2ir. Jg Hz)~H(x)-

Se attendermos agora a que, por ser ¡ 8 (,r) | < | 9 (í) |, tem logar o des-
envolvimento em serie

1 , 0|.r) , I e"{j) ^

e (2) — 9 (a-) ~ 9 (2) ^ 9' (2) I - I 9»+ ■ (2)
vé-se que é

Para determinar os integraes que entrara n'este desenvolvimento, no-
temos que a integragáo por partes dá, quando ?? > O,

f f(z)^'{z)dz __ f(z) . 1 P f (z) dz _

J 9» +'(2) ~~ tiH" [z) ~^ n J 9" (21 '

— 93 —
e portante temos

r f(z) 6' (z) dz _ 1 P f (z) dz _j^ f f'iz^dz
J^ fi"-^'í{z) ~ n Jg O» (3) « J^ (2 — a)" 6" (2)

da"-' [«"(«I I

1.2... n da'

Logo temos a formula

, 6" (x) <r-' r fia) 1 I
i~ 1.2...n rfrt"-' L0"(«) ]'"■■■'

devida a Burmann, que a appresentou em 1796 á Academia das Sciencias
de Paris.

58. Pondo na formula precedente

9 (£C) = t,

t representando um numero dado tal que seja \t\ < ! 9 (O |> qiiando ', des-
creve o contorno S, esta formula dá o desenvolvimento em serie, ordenada
segundo as potencias de t, da funcjáo f (x) da única raiz d'esta equa9rio
que, como vimos no principio do n." 57, existe no interior de S.

59. A formula de Burmann contem como caso particular a formula
de Taylor. Pondo, com effeito, n'ella 6 (x)^x — a e tomando para o con-
torno S da integracáo uma circumferencia de raio R e centro a, limitando
urna área na qual a func^áo f(x) seja synectica, temos, para todos os pon-
tos X do interior da área e todos os pontos x da circumferencia que a limi-
ta, | .c — ff I «< I * — a\; s. formula de Burmann é pois applicavel e dá

f{x) = fía) -\- (x — a) f (a) -\- — (x — a)* f" (a) -|- ...

— 94 —
00. Pondo na formula de Biiimann

(2)

z — a

0(2) '

cp (j) representando unía fune9rio synectica na área A e tal que seja, jiara
todos os pontos x do contorno d'esta área,

,r — a

tp(a;)

<

z — a

'f C^J

vcni a formula de Lagrange

I , 1 í.c — ai" rf"-' [/" (g) g." (a)]

"^■■■'1.2...» z.''{x) da"-'' "!■••

Pondo n'esta formula

X — a

o [x)

vem a seguinte:

/( jj = fia) 4- if (a) 'i (a) + ^ ¡^ — '-' ^ / ' ^ '-'
'2 í/«

, j 1_ ■„ ^" -'[/•'(«) y" («)] I

' ■■■ "^ 1.2...ÍZ í/«''-' I •■■'

que determina a funcfao /"(.t) da raiz x da equa9áo

X = a-\-iz (x),

95 —

que existe no interior do contorno .^, qiiundo par;i todos os pontos •. do
contorno teni logar a desigiialdade

t\ <

?(2)

No que precede tirou-se a formula de Lagrange da formula de Bur-
mann. Esta ultima formula nfio é todavia mais geral do que a primeira.
Pondo, com effeito,

o (2) :

0(5

na formula de Lagrange vem immediatamente a de liurmann.

A formula de Lagrange foi pela primeira vez publicada pelo grande
geómetra n'nnia memoria appresentada á Academia das Sciencias de l^er-
lin (Nouvelle méthode poiir resondre les équations literales par le moi/en
des series, 1770; Oeuvres, t. iii) a qual fo! pouco tempo dcpois seguida
d'outra sobre a applicacjáo d'csta formula á rísoluyfio de algumas equa(;oes
(pie apparecem em Mecánica celeste. A demonstra9áo de Lagrange é fun-
dada em considerajóes algébricas e nos desenvolvimentos em serie d'al-
gumas funcyoes elementares. Laplace na sua Mecánica celeste obtem esta
formula de urna maneira mais simples dednzindo-a directamente da serie
de Maclaurin. Nenhum d'esto geómetras deu todavia as condicjóes para
que a serie seja applicavel. O primeiro geómetra que estudou a questño da
convergencia da serie de Lagrange foi Cauchy, que applicou a esta serie
os mesmos methodos que táo bom resultado Ihe tinham dado quando ap-
plicados á serie de Taylor. Os resultados a que chegou dáo logar a deffi-
culdades; abriram todavia a Ronché o caminho para a resolugilo definitiva
d'esta questilo (Journal de l'Ecole Polytecknique de París, cad. 39), o qual
coincide, á parte as nota5óes, com o que foi empregado no n." 57 para de-
duzir a serie de Burmann.

61. Para terminar o que temos a dizer sobre a formula de Burmann,
vamos fazer applicafáo d'esta formula ao desenvolvimento das funcyoes
em serie ordenada segundo as potencias de sen x.

— 96 —

Temos de por n'este caso f¡ (.r) = sen x e de procurar um contorno tal
que seja, para todos os valores de x representados por pontos do interior
d^este contorno,

I sen íc I <; I sen z | ,

X representando um ponto qualquer do contorno.

Para resolver esta questño, vamos estudar as curvas definidas pela
equayao

I sen 3 I = c,
c representando urna constante, oii, pondo \ = x■^-\- ii/^,

(1) -j- v/ sen" d\ cos" /y, — eos" .r, sen' ¿y, = e,

onde sen' //y, e eos- i y, sao quantidades reaes dadas pelas formulas

sen- t,j, = — ^ j , cos^ ?.y, = ^ ^ j .

Como o valor do primeiro membro d'esta equagao nao muda quando
se muda .r, em .t, -)- ~, vé-se que y, é urna funcgfio periódica de x, cujo
periodo é igual a -; basta portanto considerar o ramo da curva que corres-
ponde aos valores de x-, comprehendidos entre ^ e -)- -^.

Vtí-se tambem que a curva é symetrica relativamente aos eixos das co-
ordenadas; podemos portanto considerar sómente, para a discussao da
curva, os valores de x^ e </, que sao positivos.

Posto isto, supponhamos primeiramente c ^ 1.

Vt'-se immediatamente, pondo na equagao :r, = O, que o ramo conside-
rado da curva corta o eixo das ordenadas no ponto cuja ordenada é igual
a log {c-\-\/ c" -j- l). Ve-se tambem, pondo y, = O, que a curva corta o
eixo das abscissas no ponto cuja abscissa é igual a are sen c.

— 97 —
Resolvendo ;i e(]iuu;aü (1) rclatlvainoato a eos' iij,, vein

eos* i¡|^ = r -)- eos- .r, ,

e portaiito

,-2/. _^ ,?/.

ou

2 = — y c- -)- eos' x^ ,

e'-^^' zp \/ r'- 4- eos' .r, e'^' + 1=0.
Esta cqiia(;rio díí

e' ' ^ ± v^ c" -|- eos- a-, ± v^ f ' — eos- .r, ,
e portante

y, = log [± v/ C -f- eos- .r, ± \/ c- — eos"- ,r, ].

Esta igualdade faz ver, em primeiro logar, que y, d imaginario qnan-
do X, > are sen c. Para cada valor de a;,, inferior a are sen c, a mesma
igualdade d;( para í/, dous valores reaes e dous valores imaginarios. Dos
dons valores reaes deve-se approveitar aquelie que, para x\ = O, d;í

2/. = log (c + v/ C -)- 1),
isto é o valor

(-) .'/i = log [y/ c- -|- eos- .r, -]- \/ c- — sen- íc, ];

o outro corresponde á equa9ao

— V^ sen' j\ eos' ¡i/^ — eos' x, sen" i y, = c.

Obtém-se por mcio da igualdade (2) todos os pontos da curva eompre-

7

- 98 —

hendidos entre os pontos en jas abscissas süo O e aro sen c, e vé-se que ?/,
cresce desde O até log (c ~{-\/ c' -\- l) qiiando .r, diminue desde are sen c
até 0.

A equa9áo

sen 2x,

y

¿sen 2?' i/,

dá as tangentes á curva e faz ver que as tangentes ñas extremidades dos
eixos sao perpendiculares a estes eixos. Para tirar esta conclnsáo de ve -se
observar que a quantidade /sen 2iy, é real.
A eliminayño de y^ entre a eqnajáo

eos 2rí/, =20" -|-cos 2,r,,
que resulta de (1), e a equajao

sen- 2;r, eos 2///, = eos 2.r, sen" 2/_y,

que resulta de formar í/," e por dcpois ?//' = O, leva ú equagao

eos 2.r, = — c"- ±\/ c^ — 1 ,

a qual mostra que nao ha pontos de inflexño quando c < 1.

Ve-se pois que cada urna das curvas representadas pela equagao
I sen x\= c é coniposta, quando e ^ 1, de um numero infinito de ovaes
iguaes cujos centros sao as raizes da equayfio sen a- = O e cujos eixos sao
iguaes a 2 are sen c e 2 log {c -\- \/ c' -\- l) , o primeiro eixo coincidindo
com o eixo das abscissas e o segundo sendo parallelo ao eixo das ordenadas.

Vé-se fácilmente que, se for e > 1 , as curvas representadas pela equa-
gao I sen z\= c nao cortara o eixo das abscissas e nao podem porisso dar
logar íí contornos fechados contendo no interior os pontos que correspon-
dem ás raizes da equagao sen x ^= 0.

Quando c varia desde 1 até O, as ovaes representadas pela equagao
I sen ; I = c variam de tal modo que aquella que corresponde a menor va-

— 99 —

I6r de P é interior jíquclla que corrospondo a iiiaior valor de c e (limiiiiu'iii
continuamente até se rednzireni a iiin ponto. Kstas curvas resolvem a ques-
tfio proposta, isto 6, cada unía d'ollas limita uma ¡írea tal que

I senx I -< I sen z \,

■X representando nm ponto qualqiier do contorno e .r uin ]>oiito qiialqner
do interior.

Seja pois /"(;) uma funccao syncctiea na ¡(rea A limitada i)i)r uma oval
cuja equafáo seja [ sea v | = e. A formula de ]!iii inann é ueste caso appli-
cavcl e temos

/•(.,■) = /-(O) -j- vi, sen X -(- A, sen" x -\- ...

onde A,,A^,... sño quautidadcs constantes, que podcm ser dctermiuadas
por mcio dos integraes

^ _1_ r f(z) eos zdz ^ I P f (,-) dz

" 2ÍT. J^ sen« + ia: 2ni- J^ sen" s '

ou por meio da expressáo

" 1.2...n d.v"-' L senVr J'

onde, depois de effectuadas as deriva^oes indicadas, se dcve substituir .r
por aquella a das raizes da equa9ao seu a; = O que corresponde ao centro
da oval considerada.

62. Consideremos, por exemplo, a funcoao

f{.v) = sen kx,

¿representando um numero qualquer, real ou imaginario, e ponha-se « = 0.
Teremos

k í' eos k zdz
" 2nnz J„ sen" 2

0).

— 100 —
Mas

/eos Uzdz f eos lizdz P eos hz eos- zdz

^^"^ ^ .1 sen" + '-z ~ J sen" + '2

e, integrando por partes o ultimo termo do segundo membro,

y' eos kzdz í' eos kzdz _. eos /, .; eos z

sen" 2 "" , / sen" ^=2 ■ (m + 1) sen"+' z

k /' sen /.'z eos 2f/3 _. 1 /' co?. hz sen zdz

' "77+T,/ sen"-*-'z ' « + 1 , / sen"^'.: '

ou, integrando por partes o penúltimo termo do segundo membro,

eos kzdz . eos kz eos z

/' eos kzdz /' eos kzdz . eos kz eos z
sen" 2 ./ sen" + ^2 "+" (« + l)sen"^'z

/,■ sen A-2 |_ F P eo&kzdz .__\__ P eos kzdz

n-\-l ' n sen" z ^ n(n-\-l) J sen" 2 "•" ?i -f- 1 ._/ sen" z

Portante

P coskzdz P eos kzdz j^ F P eos kz

J ^sen" z ^ ._/„ sen" + ^2 ' n {n + 1) ^/o sen"

zdz

z

"' eos /r2rf2
5

_JL_ /

/í -)- 1 , / „ sen" 2 '

ou

P eos /i-2íZ2 «* — k^ P eos /^zdz

./„ sen""*"" 2 n{n-\-l) ,/„ sen" 2

Temos pois a igualdade

/ ^ A 11* — k

(« + l)(n + 2) »•

— 101 —

A analj'se que precede nao tein logar (|iiaiulo 6 ii = 0. Vamos poriím
mostrar que a foruuila a que cliegiímos ainda toui logar ii'cste caso.
Por ser

1 f sen/,-

„ sen

z eos zdz

>

/sen /cz eos zí?2 cosA'ZCOs^í 1 P eos kzdz

sen z k sen z I: , / sen' z '

temos, com effeito,

. _ ^ f eos kzdz 2_

" TH^ ,1^ sen^ z — ~" r ^^'

e portantü

^í — TT A,-

9

Posto isto, da igiialdade (a) tira-se, quando n é par, notando que ¿4„ é
igual a zero,

Por ser (n." 28 — 2.°)

k P eos kzdz k P eos kzdz

^. = -;p- / =^7-- / ^ = 'm

¿m ^ „ sen z ¿nz ,J

'S 2(1 ^

1.2

a mesma igualdade dá, quando n é impar,

_ in^-k'){(n-2r - ^■') ... (1 - a ,
"^^ 1.2...(;í + 2)

— 102 —

Logo, se X representar um ponto da oval cujo centro é a origeni das

coordenadas e cuja equaeao é | sen ;í. | = 1 , temos

sen Icr = k I sen ./■ ; — - — - sen ,r -{ ; — ; — - — ; — z — sen .r + ... I.

L 1.2.d ' 1.2.. 3. 4. o 'J

Do mesnio modo se acha, no caso da fnnccao eos Icx,

Ir Ir {Ir ">-)

eos /.-.r =1 ^- sen' .r -j — - — - — - — ¡- sen* .r

Estas formulas sao devidas a Eider.
63. Os coefficientes do desenvolvimento da funcyao f{x) em serie or-
denada segundo as potencias de urna f unc^áo 8 (.r) podem ser expressos
ainda por meio de determinantes, como fer ver Wronski.

Seja

f(x) = ^(a) + .4 , f) (.r) + A, h'^ (,■) + ... + AJ" (x) + ...

e 9 (x) = (x — á) 0 (x). Teremos, derivando esta serie, pondo depois x = a
e notando que as derivadas de ordem n das potencias de B (x), superiores
a n, sao nullas quando x = a,

Estas formulas dáo A^, A,^, A., ... expressos por meio de determinantes
que nos dispensamos de escrever.

— 103 —

Wronski considcrou mcsmo a questño do desenvolvimciito das fiinc^ocs
cni si^rio da fcuTiia

0, {X),0, (X), ... sondo func^Oes dadas. O resultado a que, a esta respeito,
chegou foi modernamente demonstrado por Ch. Lagrange, astrónomo do
Observatorio de Bruxellas, <le iim modo nuiito simples (Cowptcs reiuhis
de l'Académie des Sciences de París, 1S84).

Sejam /"(;), '), (í), 'i. (;), ■■■ fuiíct'ocs synccticas na área limitada por imi
contorno S e x e a doiis pontos do interior d'csta área. O determinante

/■(.'•) M-r) ... 9„(.r) I

fia) \(n) ... fi„{(')

!■'{■'')= fia) \'(a) ... V(«)

/■"-'(«) f,"~'(a) •■• 0„""'(«)

é millo, asiiim como as suas n — ^ 1 primeiras derivadas relativamente a .r,
quando x = a; logo, appiicando á func^ao F(x) a formula de Taylor e o
theorema de Cauchy (n.° 30), temos

J_ r (.r-a)"F{z)dz
^■""^ 2/- X {z-a)"(z — .r)

Esta igualdade dá, desenvolvendo o determinante F{x) segimdo os ter-
mos da primeira linha,

A,f(.v) = A, \ (.-■) --AJL (.;•) + ... ± Aj„ (.r)

a)"Fíz)dz

1 P (.v — arF
U^ ,L (z — o)» (z

onde A^, A^, A., ... representam os determinantes menores que se obtéem

— 104 —

supprimindo no auterior a primeira linha e successivamente a 1.*, 2.\ 3.", ...
columna.

N'esta formula, que conduz á serie a que Wronski deu o nñme de lei
suprema, entram os determinantes A„,A,,A.^, ... e F(i), que sao compos-
tos de um numero de columnas que tende para o infinito quando )i tende
para o infinito; porisso é de uma applica^áo táo defficil que {fóra do caso
já considerado de O, (.r), 0^ {z), ... representarem potencias de uma niesma
func9ao) nao tem servido nem parece poder servir para desenvolver func-
fáo alguma em serie.

64. Terminaremos o que temos a dizer sobre o desenvolvimento das
func9oes em serie appresentando uma formula que dií o desenvolvimento
de f(x) em serie ordenada segundo as potencias inteiras, positivas e nega-
tivas, de uma func^ao O (.r), quando f{x) é synectica sómente n'um annel
limitado por duas curvas S e s e x representa um ponto do interior d'este
annel.

Seja S o contorno exterior eso contorno interior do annel, seja a um
numero complexo representado por um ponto do interior da área limitada
por s e supponhamos que, para todos os pontos do contorno S, é

iH-r)] <\Hz)\
e que, para todos os pontos do contorno s, é

I 9 (X) !> I 9 (2) |.

A equagao O (;) — 9 (,r) = O tem uma só raiz v = .r no interior do con-
torno 5 e o theorenia de Cauchy demonstrado no n." 28 dá

r f(z) 9' (z) dz ^ P f(z)k'(z)dz f f(z)(i'(z)dz

Jo 9 iz) — 9 (X) J 9(2,-9 ix) + ,/ fj(z) — Hx)'

c representando uma circumfcrencia descripta do ponto x como centro com
um raio sufficientemente pequeño para ficar no interior do annel.

— 105 —
Temos porém (n.» 28 — 2.°)

1 r f(z)^-(¿)dz __ 1 P f(z)^'(z)dz ., ^

2i- I ()(') — Oír) "" "íTT / i —IW-

Logo

' ^""^ 2 i - I . /^ O (2) — e (a;) , 7^ 9 (2) — 9 (a;) J"
O primeiro integral já foi considerado no n.° 57 e dá

^1 r m^'{¿)dz _ 1 r rm^íd^,., , rm^íz^dz

+ ... + 9«rr, r A^) Q' (^) dz j

-'5

Para desenvolver o segundo integral era serie, notemos que, por ser,
em todos os pontos % da curva s, o módulo de 9 (í) menor que o módulo
de 9 (.r), temos

1 ^ J_ri I 1^ I I ^"'^) I 1.

9(zj — 9(.r) 9(£c) L I" 9(,r) ' '""^ 9»(j) i~"'J'

e portanto

Logo temos a formula

f{x) = A„ + A, 9 fa^) + ^,9' [x) + ... + A, y (.r) + ...

9(.t) ' 9-(£cj ^■■•1 (j"(^^

106

onde

2ÍT. J^^ 0» + '(2) '

^. = - ^ ífy^) ^''-' (2) &' (2) ÍÍ2

Esta formula contem a formula de Burmaim, que corresponde ao caso
de a funcfáo /"(í) ser synectica na .'írca limitada por s. N'este caso, com
effeito, o integral que entra na expressáo de i>„ é (n." 28) nuUo.

Pondo

f) (2) = 2 — rt

e tomando para contornos S e s duas circumferencias de raios Rere de
centro a,é\x — rt| <. \ x — a| para todos os pontos x. da circumferen-
cia interior, e \x — a|> \ x — a\ para todos os pontos z da circumfe-
rencia exterior. A formula anterior é pois applicavel e dá a seguinte:

f (x) = .4,, + ^ , (X -a)-\-...-\-A„ (.r - a)» + ...
, B. , B. , , B„

X — a ' {X — af [X — a)

^ + -'

onde

A..

B..

1 /"• f\z)d¿

!íTT J

2ir. J [z — a)""^' '

^ — / f<z\{z — at" ^dz,

isto é, a formula de Laurent já considerada nos n."* 32 e 55.

65. Os integraes que entrara na formula geral, que vimos de appre-
sentar, podem ser expressos por meio dos coefficientes do desenvolvimento
obtido pela formula de Laurent, no caso de a funccáo f(x) admittir, na
área limitada pelo contorno interior s, sómente um numero limitado de
pontos singulares em que dcixc de ser synectica.

— 107 —

Sejam, coni cffeito, b, , b^, ..., b,„, ..., ¿/,. estes pontos, c^,c^, ..., (\., c cir-
cuinferencias cujos centros sejam os pontos representados por b,,b,,..., bi¡,a
e cujos raiüs sejam assaz pequeños para que a .-írea limitada por cada urna
d 'ellas nao contenha outro d' estes pontos, alóm do centro.

Temos, em virtude do theorema de Cauchy demonstrado no n. " 2S - 1.",

^J_ f fiz)H'iz)dz ^ 1 f t" (^) dz

= y 1 rf'(.^)dz 1 P r (z) dz

.n'^i 271ÍT. J e«(z) ^ 2í^í- ,/ ¥{z) •

Cm

Mas, representando por a um qualquer dos pontos b,,b.^, ..., ¿;. , tem
logar, na vesinhanja do ponto a, o desenvolvimento (em virtude do theo-
rema de Laurent)

, /• (x) = M, + i¥, (,r - a) + M, {x - y.y + .

(■^'^ \ N N X

' 4- - ' I í^J I ^ U..

~ ./■ — a ~ (.;■ — 7.)-^ ~ (,r — a)^' ~ '

e portanto o desenvolvimento

/•'(.r) = J/,+2.K(.r-a)+..,

(.r — o.y- (.r — a)'' (.r — a) '

Substitnindo esta serie em logar de /" (í) na expressáo de .-1,,, vé-se que
as I; primeiras parcellas d'esta expressáo podeui .ser decompostas n'uina
somma de parcellas d'esta forma

J. P dz

— 108 —
que sao millas (d.° 28) quando ¡3 "^ O, e que sao iguaes a (n.° 29)

\ fi« í ,-\ 1 .

■ ^ h

l.2...Q-l)n [d.r^~^ ifi"(.'))j^_.

quando ¡ü > 0.

Por ser (l {x) = (x — a) 0 (x), vé-se que a ultima das parcellas que en-
tra na expressao de A,^ é igual a (n.° 29)

1 r ^"-' / f (.0 w

1.2... («—1) n Lííx-"-' V0"(^) )\'^^a

quando a nao coincide com um dos pontos b^,h.^, ..'., ij., e que se decompóe,
procedendo como se fez a respeito das anteriores, em parcellas da forma

1 r tiz

2 ni- J^ e»(z)(2 — rt)"+P'

cujo valor é

1 r rf^+í^-^ / 1 \i

1 . 2 ... („, + ,3 -\)n L,/,,.n+p-l I fc)« (.,.) jjj^^

quando a coincide com algum dos pontos 6,, b., ..., 6j..
Para os coefficientes i?,^ temos do mesmo modo

e os integraes que entrara no segundo membro reduzem-se, como no caso
anterior, a integraes da forma

1 /' fJ" (z) dz

•2nir. ,1^^^ (z-hjy

— loó-
os qiiaes sao millos quando p ^ O e igiiaes a

1 rdP-H"(.iO|

1.2...(fi-l)n L dx^'-^ J'

quando p >■ 0.

Para determinar os coefficientes do desenvolvimento (A) (ou, o que é
o mesmo , os integraes de que elles dependem segundo a formula de Lau-
rent), quando o numero de parcellas fraccionarias que n'elle entram é in-
finito, nao existe regra geral. No caso (o mais importante ñas applica<;oes)
de o numero d' estas parcellas ser finito, isto é, no caso de ser

/•(.-■) = i/„ + ii/, (x - «) + J/, (.r -ay--{- ...

N N TV

_J -^^i I th L I ^^n

x — a {x — a)- '" (,t. _rt)''
podem calcular-se estes coefficientes desenvolvendo em serie

por meio da formula de Taylor.

Reconhece-se que a func9áo está n' estas circunstancias procurando se

existe um numero fi tal que o producto (x — <i.y^f{x) tenda para um limite
finito e determinado quando x tende para a.

Para fazer urna applica9rio d' estes principios, consideremos a funcjilo

/■W= ^

sen (.r — h)

Por ser

,. x — h

hm — - = 1 ,

x = i sen {x — o)

temos

X — b

/■(•^) = -:r^r+ ^" + ^^> (•^- - ^) + •••'

— lio —
e portanto

f (•'■) = - -J^rhn^ + ^^. + -'^^. í'^' - '') + -

Podemos pois determinar A., por meio da formula

"'^ -ZniT-. J^ H" (z) ^■Ini-J^ 6» (2) '

que dií

, l__ r dz 1_ r f {z) dz

2nÍT. J (i"{z){z — by- ^ 2ni- J O" (2)
c, c

1 rrf9-"(.r)-i L^\J^l^(l_!£lJ\]

~ ni d.r i^^j/ 1.-'...// Lf/.r"-' V (-)"(./•) }\^^

_ O' (h) 1 r d"-' / eos (.r — h) \^

~ 'W+^'ih) 1.2... n Idx"-' V, sen= (.r — b) h" {.c) )\ _

Para calcular 5,, temos a formula

2ni- .1' 2nir. J (z — h)-

que dá

Temos pois o desenvolviniento

2

sen(.r — ?)) „ti <)» (.r)

I „t o ) 9" ^ ' ('') 1 • '-^ - n L rf.r" - ' V sen"- (.r — /;) W" (.r) 7^^^ ( ^' ''

ISTota- a.o r:L." SI.

Depois (le appresentar a memoria precedente ¡í Academia, occiij);ímos-
nos especialmente do desenvolvimento das funcyües em serie ordenada se-
gundo as potencias de sen x em uma memoria publicada no Jornal de Crcl-
le (Berlín, tomo 116, p. 14), onde appresentíímos uma formula, para oh-
ter este desenvolvimento, de applicacao mais fácil do que a que resulta da
formula de Burmann.

Seja

/■(.r) = .4,, -f- .4, sen T + ... -f- A„ sen " x -f- ...
Derivando esta igualdade e pondo depois .c ^ O, vem

/■(0) = A„

r(0) = .4„

r(0) = -.4. + 6.1„

/■"(0) = — 8^, + 24.4,,

/v(0) = .4, — 60.4,4-120/1,,

/•VI (0) = 32 A, — 480 J . + 720 A, ,

— 112 —
e portanto

A, -/"(O),
A=/"(0),

^.=|[r(0)+/"(0)], '

^^ ^ w f^' ^*^' + ^^ ^"' ' - ^ + ^ ^' *^*]'
^^ = w [^" ^^* + -^ ^"' ^*^^ + "^^ f" ^^']'

Em geral, podemos escrever

A.,, = K[p-) (0) + A p--^ (0) + ... + L /" (0)j,

*^^ ' ^.. „ + . = A" [/<^'»+" (0) + A' /•(2«-i) (0) + ... + L' f (0)],

onde K, K' ,A, A' ,..., L,L' representara quantidades constantes, que va-
mos determinar.

Consideremos para isso a funcfao sen kx, ciijo desenvolvimento segundo
as potencias de sen x é dado pela formula

sen hx = k sen x — k — ^ — ^ sen^ x -\- ...

+i-irt'^'-'-"^;-;;;¡;;!^'^"-'».en^....+...

Applicando a segunda das formulas (1) a esta funejáo, vem

A^,^^^ = (— 1)« A-' [/.•2«+i — A' A-2»-i 4- ... ± L' k].

— 118 —
Comparando este resultado ao segiiintc

, _ (J- - ] '') (/,•' - 2') ... (/,■' - (2n - 1)-)

'l.n^i— (• ^) '' 1.2...(2w + l)

e representando por s'"'^s„ + , a somma das combinayóes dos números

1%3%5%...,(2«-1)%

tomados in a lu , temos pois

7.-' 1 yl'=s<" B'—s^^^ L' = s"'^

1.2...(2« + 1) ' * 2;H-1' — 2n + l'-' "^ * 2h + 1-

Podemos pois escrever

'''' ^ — '— 1.2...(2« + 1.)

Esta formula pode ser escripia symbolicamente do modo seguinte:

/-lO) [f ,0) + V] \r- (Oi + 3-J ... [f (0) + (2n - 1)-]
(^dj ^.„^.— 1.2...(2/i+l)

onde se devem substituir, depois de effectuar as mult¡plica55es indicadas,
as potencias do /'lOj pelas derivadas de ordem igual ao expoente da po-
tencia.

Para determinar os coeffieientes K, A, B, ..., L da primeira das formu-
las (li, podemos considerar a func^ño eos Z.?:, cujo desenvolvimento se-
gundo as potencias de sen x é dado pela formula

eos kx =1 ^ sen x ~\ — - — - — ¡— sen' x

, , ,„/.■'( k' — 2' I ... (Ir — (2 n~2 1')
- ... -f (- 1 ." \.2...2n '^'^ "" + -

— 114 —

Comparando o valor do coefficieute de sen-"x n'esta formula com o
valor dado pela formula

A,„ = (- 1)" K [k-^" - .4¿-2(«-i) + ... ± Lk'}
e representando por 5 ''g^^ a somma das combinagoes dos Humeros

2% 4% 6% ...,(2 «-2/
tomados m a m, vem

1.2... 2?i

K= , / ,„ > ^^5%„. i?='S^%„, Z = 5^ „,

Podemos pois escrever a formula geral seguinte

(*^ '■^-'= 172:727^ '

cu symbolicamente

f (O, ir- 1 01 + 2-] [f (0) +4-] ... [r (0) + i2n - 2i']
<-^^ '^^"— 1.2...2n ■

Para fazer uma applicaoao das formulas precedentes vamos desenvol-
ver a func9áo

m representando um numero inteiro positivo.
Temos n'este caso

quando é « ■< ?w, e portanto

^„ = 0,.4, = 0,...,.4,_,=0.

- 115 —
Temos depois

1.2...2m ~ '

^ * á »l ^ ■i

1.2... (2 ;« 4-2) (2m+l)(2»« + 2) '

•'^s m 4-« ^^^^

.CÍ2) f^m /^^ <j(2)

1 . 2 ... ( 2 »?i + 4,1 (2m-\-l) (2 jm + 2) (2 jn + 3) (2 in -\- 4)
Como é

f""-'' (0) + ^''\,„+i />^"-'' (0) + - + ^""2„+i f (0) = '^'

temos tambem

.4, =.4. ==/!, = ... = 0.

Temos pois a formula

l .r2»' = sen'^'" .r f 1 + —

\ L (2;«-

(6)

\ ' (2w + l)...(2/« + 4) ""■ '- ' (2?w + l)...(2w + 6)

Do mesmo modo se acha a formula

i .r^'" = sen'^'" .r 1 1 + ,^ i .w"/' i 9^ sen' x
^ L {2m-f-l) {2m-\-2)

Cj(2) o(3)
j " 2m + 4 , I '^ 2m + 6 b _|_ 1

^ (2w + l)...(2/« + 4) '''" -'"^ (2«í + l)...(2m + 6) '^'' -^^-J

1 j2. + i = sen2'" + i j 1 1 + —— ^-j£i¡Ü±^^ sen» X
j L (2 w + 2) (2 m -\- 3)

r^ (2m + 2)...(2»2+5) '*'" '^^ (27w + 2)...(27n+7) '^° •^^^-J

N'um artigo publicado ñas Xouvelles Animles (4." serie, t. ii), apprc-
sentámos oiitra demonstra?;!© d' estas formulas.

— 11(1 —

A formula (6), pondo ni ^ 1 e notando que é

s^'\ = 2'-, 5<% = 2^4^ s'% = 2^4•^6^...,

dá a formula conhecida

2 1 2 4 1

•r' = sen' x -\- ^ . -^ sen' x -f- -^^ . — sen'' .;• -|- ...

Do mesmo modo a formula (7), pondo ??; ^ O e notando que é
dá a formula conhecida

a; :^ sen x -j- -;^ — ^ sen ,r -|- — sen .r -f- ,

índice

PAgB.

Inti'oducí.ao 1

Capitulo primeiro. — Estudo da serie de Taylor no caso das funovOes

de variaveis reaes ... 5

Capitulo II. — Estudo da formula de Taylor no caso das funcíjOes de

variaveis complexas. — Methodo elementar 21

Capiti'lo III. — Continuacfüo do estudo da serie de Taylor no caso das

funcfOes de variaveis complexas. — Methodo de Cauchy 80

Capitulo IV. — Continuacífto do estudo da serie de Taylor no caso das

funcvoes de variaveis complexas. ^Methodo de Riemann 45

Capitulo V. — Continuac9áo do estudo das series de Taylor e de Lau-

rent no caso das func<;5es des variaveis complexas. — Methodo de

Weierstrass e Mittag-Leffler 63

Capitulo VI. — Serie de Burmann, serie de Lagrange. — Generaliza^ao

da serie de Burmann ''O

Notaaon."ei 111

3 2044 093 250 512

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