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HARVARD UNIVERSITY.

L I B K A R Y

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY.

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MEMOEIAS

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

¡■■r I

EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES

ns^A-iDüiiD

TOMO XXII

F.

GOMES TE XE RA.-

-CURVAS ESPECALES NOTABLES

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"madrid

IMPRENTA DE
Calle d

LA «GACETA DE MADRID»
e PontejoB, núm. S.

1G06

*

MEMORIAS

DE LA

REAL ACADEMIA DE CIENCIAS

EXACTAS
KISICAS Y NATURALES

DE

MADRID

Tomo XXII.

TRATADO

DE LAS

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U-

ISPE

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{

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AI

j,

PREMIADA POR LA REAL ACADEMIA DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICAS Y NATURALES
EN EL CONCURSO ORDINARIO A PREMIOS DEL AÑO 1897,

POR

K. GOMES TEIXEIRA

PROFESOR EN LA ACADE\aA POLITÉCNICA DE OPORTO,

ANTI&UO PROFESOR

EN LA UNIVERSIDAD DE COIMBRA , ETC.

^m

MADRID
IMPRENTA DE LA "GACETA DE MADRID,,

Calle de Pontejos, núra. 8.
IQOS.

INTRODUCCIÓN

Lema: «L'Algébre n'est qu'une
• Góomótrie ócríte, la Góomótrie eat
•une Algebre figurée». — Sopftíe Ger-

Versa esta Memoria sobre el tema siguiente, que la Real Acade-
mia de Ciencias de Madrid propuso, por primera vez, en 1892, y
reprodujo en 1895:

«■Catálogo ordenado de todas las curvas de cualquier clase que
han recibido nombre especial, acompañado de ima idea sucinta
de la forma, ecuaciones y propiedades generales de cada una,
con noticia de los libros ó autores que primeramente las han
dado a conocer. -i)

En el lapso de tiempo comprendido entre aquellas dos fecbas,
llamó Haton de La Goupilliere , en el ínter media ií'c des tnathé-
maticiens (tomo I, p. 37.), la atención de los matemáticos sobre
las ventajas que ofrecería reunir en una obra especial el estudio de
las curvas notables. Respondiendo á este llamamiento, sólo se pu-
blicó, sin embargo, una lista de nombres especiales dados á diversas
curvas, por Brocard, en el tomo IV de la Revista á que acabamos
de referirnos (1).

(1) Después de redactado el presente trabajo se han publicado algunas
obras, consagradas al mismo asunto. Así, á fines del año 1897, fecba en que
fué presentada esta Memoria k la Real Academia de Ciencias db Madrid,
publicó Brocard una obra titulada: Notes de Bibíiographie des courbes géo-
métriques, en la que este sabio geómetra da noticias breves , pero substancia-
les, de las curvas mencionadas en la lista á que en el texto aludimos. Poste-
riormente, en 1901, publicó Basset un libro titulado: Anelementary Treatrise
011 cubie and quartic curves, en el que s,e estudian sucintamente algunas cur-
vas notables, y, con extensión, las cúbicas circulares y las cuárticas bicir-

— VI —

En el trabajo que tenemos el honor de presentar á la Academia
nos colocamos en punto de vista diferente del de este ilustre geó-
metra. Limitándonos, en efecto, al programa propuesto, consi-
deramos las curvas á que se han dado nombres especiales, y no
los nombres especiales que toman las curvas en determinadas cir-
cunstancias. Debemos, empero, observar que existen nombres que
se pueden considerar en los dos sentidos indicados. Así, por ejem-
plo, la palabra catenaria, tomada en sentido general, representa
cualquiera de ks curvas que aparecen en la solución del proble-
ma del equilibrio del hilo flexible, cujas condiciones pueden va-
riar de una infinidad de modos; en sentido estricto, representa la
curva correspondiente al hilo pesado de densidad constante en todos •
sus puntos, primitivamente estudiada por Leibnitz, Jacob Bernoulli,
Juan Bernoulli, etc. Esta última es la curva que designa aquella
palabra, cuando no se dice explícitamente lo contrario , y así entra
su estudio en el programa propuesto.

La colección de curvas con nombre especial que vamos á estudiar
no es completa. Por falta de tiempo dejamos de considerar algunas
de que tenemos noticia, y ciertamente existen, además, otras de que
no tenemos, actualmente, conocimiento. Creemos, sin embargo, no
haber dejado de considerar curva alguna de las que tienen impor-
tancia por su teoría, por sus aplicaciones ó por su historia. Si esta
Memoria mereciera la alta aprobación de la Academia, al publicarla,
se añadirán, ó en un suplemento ó en los lugares que les corres-
pondan, algunas de las curvas que aquí faltan. Debemos observar,
además, que no estudiamos las cónicas, por .ser su teoría, tan cono-
cida, objeto de todos los libros de Geometría analítica.

El orden en que haremos el estudio de las curvas comprendidas

culares. Finalmente, en 1902 ha publicado Loria otra obra magistral, dedi-
. cada al estudio de las curvas planas notables, y titulada: Spezielle algebraiche
und transcendente ebene curven, riquísima en informaciones históricas y bi-
bliográficas,

— VII —

en este trabajo es el determiíaado por las ecuaciones de aquéllas. Así,
principiamos por las cúbicas, consagrando el capítulo I á las cúbicas
circulares, y el II á las otras cúbicas á que se han dado nombres
especiales. Estúdianse en los capítulos III y IV las cuárticas bicir-
culares, y en el V otras varias cuárticas. En el capítulo VI se con-
sideran las curvas algébricas de grado superior al cuarto, que han
recibido también nombres especiales.

Terminado lo relativo á las curvas algébricas, pasamos á consi-
derar las transcendentes en los capítulos VII y VIII; éste último
dedicado especialmente alas espirales, tomando esta palabra en su
sentido geométrico,

■ En los capítulos IX, X y XI se estudian ecuaciones que, según
un parámetro que en ellas entra, representan, unas veces, curvas al-
gébricas, y otras, curvas trascendentes; tratando en el primero, de
las parábolas é hipérbolas de cualquier orden, en el segundo, de las
curvas cicloidales, y en el tercero, de varias clases de curvas no com-
prendidas en los grupos anteriores.

Pasando, después, á las curvas de doble curvatura , estudiamos
las curvas esféricas en el capítulo XII; y otras varias que no lo son
en el XIII.

El último capítulo está dedicado á las teorías de la pollodia y de
la herpoUodia de Poinsot.

Debemos advertir que algunas veces nos alejamos del punto de vis-
ta general que adoptamos para disponer las curvas. Así, la hipoci-
cloide de tres retrocesos no va colocada junto á las otras cuárticas,
ni las parábolas cúbicas han sido colocadas junto á las otras cúbi-
cas, por no ser conveniente separar el estudio de estas curvas del
estudio general de las clases á que pertenecen. Colócanse también
en un capítulo especial la pollodia y la herpoUodia de Poinsot, á
pesar de que una de estas curvas es plana y la otra de doble curva-
tura, por no ser conveniente la separación de dos curvas, cuyas
teorías están estrechamente relacionadas.

— VIH —

En el tema propuesto por la Academia se pide, respecto de cada
curva, la indicación del nombre del geómetra que primero la con-
sideró. Se ha hecho esta indicación en la mayor parte de las curvas
estudiadas; y respecto de aquellas otras en que esto no ha sido po-
sible, se citan, al menos, los trabajos más antiguos sobre las mis-
mas de que se ha tenido noticia.

P. S. A lo que precede, escrito en el año 1897, debemos aña-
dir hoy algunas palabras.

Advertiremos, en primer término, que al redactar esta obra he-
mos procurado hacerlo de un modo elemental. Muchas cuestio-
nes podían haber sido tratadas con mayor concisión , por procedi-
mientos especiales ; pero nos ha parecido que obra de esta natura-
leza, si ha de ser útil, debe ser accesible á todos los lectores que
pretendan estudiar cualquiera de las curvas en ella consideradas,
aunque estén desprovistos de conocimientos científicos profundos.
Por esta razón hemos empleado siempre los métodos más generales
y conocidos.

Añadiremos también, por creerlo un deber, la expresión de nues-
tro agradecimiento hacia persona que , por desgracia, ya no existe!
Nos referimos al sabio Secretario de la Real Academia de Ciencias
de Madrid, Sr. D. Miguel Merino.

Grande fué el servicio que nos prestó este hombre ilustre , cuyas
altas cualidades de corazón é inteligencia tuvimos muchas ocasio-
nes de apreciar. El dirigió con minucioso cuidado la publicación de
esta obra; revisó escrupulosamente su texto castellano, traducido
en un principio del portugués por persona que desconocía la cien-
cia matemática, y llevó su cooperación en ella hasta darnos en
muchas ocasiones preciosos consejos, que contribuyeron eficazmen-
te á mejorarla. Todo esto en lucha constante con dolorosa y cruel

IX —

enfermedad (1) que acabó por hacerle su víctima. El interés afec-
tuoso que dedicaba á este trabajo lo expresó él mismo en repetidas
ocasiones por modo elocuente, diciendo á sus amigos que «no que-
ría morir sin terjiinar la publicación de esta obra, á la que amaba
tanto como su mismo autor » . Desgraciadamente , Dios no escuclió
su ruego, y al consignar yo aquí mi agradecimiento por los valio-
sos servicios que me prestó, sólo puedo dirigirme á su inolvidable
memoria, expresando, al mismo tiempo que mi acendrada gratitud,
mi respetuosa y profunda veneración.

(1) La enfermedad del Sr. Merino fué la causa de que la impresión de esta
Memoria, que comenzó en el año 1900 y marchó con regularidad durante los
dos primeros años , se demorase después , y aun se suspendiera en varias oca-
siones.

CAPITULO PRIMKRO

CUBICAS NOTABLES

LA CISOIDE

1. Consideremos una circunferencia de radio igual á a (fig. 1); señale-
mos en ella un punto fijo O; y por la extremidad opuesta, A, del diámetro,

:m*

S\

'~^^^~. ^1

/
/

/

M

M"

\

T^\\

A.

X

Figura 1.a

que pasa por O, tracemos la recta A M, tangente á la misma circunferen-
cia. Tracemos además otra recta cualquiera, OM, que pase por el punto O,
y sobre ella tomemos el segmento OP, igual á MN. El lugar geométrico
de las posiciones del punto P, cuando OM varía, es la curva designada
con el nombre de Cisoide de Diocles.

Por ser OP = OM — ON, representando por o la longitud de OP y
por 9 el ángulo POG, la ecuación polar de la cisoide será

2

2a „ r. 2asen2 9

— 2a cosíl =

F ■

cosS eos 9

de la cual se desprende, en coordenadas cartesianas, esta otra ecuación

2a — X

2. Problema célebre en la historia de la Geometría, y en el cual con
grande insistencia se ocuparon los antiguos geómetras, fué el de hallar
dos medias proporcionales entre dos segmentos de recta dados: conocido
también por el nombre de problema de Délos, y que comprende el famoso
de la Duplicación del Cubo. Y entre los varios procedimientos inventados
por los geómetras de la antigua Grecia para resolver este problema, existe
uno, atribuido á Diocles por Edtocio ( Archimedis Opera omnia cuín
commentariis Eutocii, ed. Heiberg, Lipsiae, 1880-1881, t. iii, págs. 78
y 152), el comentador de Arquímedes, en el cual empléase la curva que
acabamos de definir, sin todavía atribuirla, por entonces, el nombre de
cisoide. En las obras de Pappo y de Proclo desígnase con este mismo
nombre una curva, que aquellos geómetras no caracterizan suficientemente
para que pueda afirmarse con plena seguridad de acierto que se trata de
la curva empleada por Diocles, del cual ni por incidencia se hace mención
en las referidas obras.

Después del Renacimiento de las Ciencias Matemáticas estudiaron la
curva de Diocles algunos geómetras célebres, entre los cuales figuran
Sluse, que determinó el volumen de su sólido de revolución alrededor de
la asíntota, y Httygens, que determinó sus áreas, en cartas que uno al
otro se dirigieron en 1658; Wallis, que resolvió los mismos problemas
por sus métodos analítico-geométricos, en un trabajo especial que consa-
gró á esta curva (Opera, t. r, p, 542); Fermat, que resolvió también
el problema de sus áreas (Oeuvres, t. iii, p. 248), y el de sus tangen-
tes (Oeuvres, t. iii, p. 141); Newton, que determinó la longitud de sus
arcos en su Methodus fluxiotium etc., y que propuso un procedimiento
mecánico para trazarla (Arithmetica imiversalís, t. ii, p. 83 de la tra-
ducción de Beaudeux, París, 1802); etc., etc.

— 3 —

3. La forma de la cisoide * se determina fácilmente por medio de una
de sus ecuaciones anteriormente establecidas. Vese que la curva es (fig. 1)
simétrica relativamente al eje de las abscisas, y tangente á este eje en el
origen de las coordenadas, en donde posee un punto de retroceso ; que se
aleja indefinidamente del mismo eje, cuando :r crece desde O hasta 2a;
que corta en dos puntos Las paralelas á Oij , comprendidas entre esta recta
y la recta JJ/, cuya ecuación es x = 2a; que no corta á las demás para-
lelas á O y; y que AM es una asíntota de la curva. Y con igual facilidad
se concluye también que la circunferencia, cuyo diámetro es O A. corta á
la cisoide en dos puntos, E y F, que se proyectan en su centro.

4. Por ser (fig. 1) p = OM — ■ ON, tenemos

í¿ p d.OM d. ON

dh dH (-/ O

El primer miembro de esta igualdad representa la subnormal polar de la
cisoide en el punto P; y los dos términos del segundo miembro represen-
tan, respectivamente, el primero la subnormal polar de la recta AM en el
punto M, y el segundo la subnormal polar del círculo ONA en el punto N.
Luego, para construir la subnormal de la cisoide en el punto P, basta tra-
zar por il/ una recta 31S, perpendicular á AM; y por el centro del cír-
culo y por el punto A'^ tirar la recta NC, que corta á OS en el punto T.
El segmento OS es la subnormal de la recta en el punto M, y OT la. sub-
normal de la circunferencia en el punto A'^.- tomando OT' = OS -\- OT,
O T' será, pues, la subnormal de la cisoide en el punto P.

5. La tangente á la. cisoide en el punto P corta á la recta AM en
otro punto, M' , cuya ordenada y^ está dada por la fórmula

di/-.
yi=y + —^{2a — x);
dx

ó, poniendo .r = pcos 'i = 2a sen -^ O, é y = 2a

í/j = 3a tang h:

sen 3 6
eos fJ

* De xViao;, ó cissos: yedra. — Por la semejanza de su figaia con el contorno
de la hoja de este nombre.

— 4 —

igualdad de la cual se desprende un método muy sencillo ¡lara iiazar la
tangente á la cisoide en el punto P. con solamente advertir que

C'Á' = a tang 0.

Como la ecuacifín del círculo ()XA es p^LV/eosí), resulla también,
representando por í/., la ordenada del punto M" , en (jue su tangente en
el iS'^ corta á la recta AM,

_(/.-, = a tang H.

El radio vector OPcorta asimismo á la recta AM en otro punto, M. cuya
ordenada ij^ tiene por expresión

?/r5= 2fl! tang 9.

Luego el punto en que el radio redor del punto P de la cisoide corta á
la asíntota equidista de aquellos otros dos en que cortan á la misma recta
las tangentes á la cisoide y al circulo, trazadas por los de intersección
de ÜP con ambas curvas. { Longchamps : Association franraise, Congres
de Grenoble, 1885.)

De esta propiedad de la cisoide resulta otro medio de determinar sus
tangentes.

0. Partiendo de la ecuación polar de la curva, obtiéuese fácilmente la
siguiente expresión de su radio de curvatura

f<sen9(l + . 10082 ())■■■= iV3 ^,,

U = í — ■ — = cot - 'J:

3cos'*(i 24rt2

en la cual A" representa la longitud de la normal. La primera expresión
de A' muestra que la cisoide no tiene puntos de inflexión ;í distancia finita.
7. El área limitada por la cisoide, el eje de las abscisas, y una paralela
al eje de las ordenadas, tirada por el punto (f,//), se halla expresada por
la fórmula

A= x\ di

«^0 V 2rt — .r

'i-

— 5 -

(x + 3 a) \x(2a — x)

o are t

a'

'-^"^ Vi^]-

La cual, cuando ,r = 2 rt, doblando el resultado, se convierte en esta
otra:

Ijiiego el valor del área limitada por la cisoide y por su asíntota es igual
á tres veces el área del circulo de radio a. (Wallis: /. c; Hdygens: /. c;
Fermat: /. c).

S. La rectificación de la cisoide puede obtenerse por medio de funcio-
nes elementales. En efecto, partiendo de la ecuación polar de la curva,
resulta que

ds =
y, [íor consiguiente,

2\'3 asenÜA / 1

- I / eos -"J -|- -- dn;

eos ■' O

s = -¿a

Vi + 3 eos - &! Vi + 3 eos 2 Op

eos o,

eos Bn

eos o

- yjo log

, + y 3~ + cos-^0,

«««^^.+YY

+ cos2'í.

representando por H ,, y por 'J^ los valores de H en las extremidades del arco
que se quiere rectificar.

í). El volumen del sólido engendrado por la cisoide, al girar alrededor
de su asíntota, hállase asimismo fácilmente por medio del Cálculo Integral,
y tiene por expresión

r= 2 t:- a^:

igual al volumen del toro, engendrado por el círculo en que se basa la cons-
trucción de la cisoide, haciéndole girar alrededor de la misma asíntota. — Tan
interesante relación entre los volúmenes de los dos sólidos considerados fué

— 6 —

descubierta por Sluse (Carta á Hut/gens de 10 de Febrero de 1658). En
la revista Mathesis (1886, p. 241 y 273) puede verse una generalización
del teorema de Sluse, debida á Massau.

1 0. Para terminar lo que tenemos que decir sobre la Cisoide de Diocles,
veamos cómo, por medio de esta curva, resolvían los antiguos el problema
de la duplicación del cubo: esto es, el problema que tiene por objeto, dado
un segmento a de una recta, determinar otro segmento a, enlazado con el
primero por la relación

a3^2a3.

Descríbase para ello el círculo de radio CO, igual á 2a, y la cisoide
correspondiente (fig. 1); trácese después una recta AP que corte la para-
lela CE al eje de las ordenadas en un punto D, tal que sea CD =a; y
tírese finalmente por el punto P, en que ^4Z) corta á la curva, la recta OP.

Tendremos, poniendo KC= ¡i,

J'Á'=2a + ¡3 y KE=2a — p;
y, por lo tanto,

OK . KX = FK . A'í; = 4 «2 — ÍJ2. _

Pero, aplicando el teorema de Menclao á la transversal PDA del tria'n-
gulo OKC^ se obtiene

PK.DC. O A

OP.DK.AC

6 , por ser ^ O ^ 4 « , DC = a , y, por definición de la c urva, PK = KN,

2 a KN ^^

(OK—KN){?. — a) ~

O, más sencillamente:

KN{p+ a)= OK([i — a).

Eliminando en esta ecuación KN y OK, por medio de las ecuaciones

OK . KN= i a" — {i- y OK^ = 4 a^ + p^,

resulta esta otra:

7 —

83 = 4(^3.

Y suponiendo que a sea media proporcional entre ny [j , ó que c(2 = a¡'i^
hallaremos finalmente que a satisface ií la condición indicada, a3 = 2 a^:
ó que a resuelve el problema de la duplicación del cubo.

1 1. Consideremos, como en el núm. 1 , una circunferencia (fig. 2), cuyo
centro sea C; un punto O de esta
circunferencia; y una tangente AM,
que corte á O A oblicuamente. Si tra-
zamos una recta ON, de posición va-
riable, y tomamos en ella, fí partir
de O, un segmento OP igual á NM,
el lugar geométrico descrito por P,
cuando OA'^gire alrededor de O, es
la curva, á que se ha dado el nom-
bre de Cisoide oblicua. Cuando O
coincide con Aq, resulta la Gisoide
de Diocles, denominada también Ci-
soide recia.

Por ser OP = OM — ON, re-
presentando por a el ángulo cons-
tante AOC, por íl el ángulo MOA,
por p la recta OP, y por 2 a el diá-
metro de la circunferencia, hallaremos que

/

/

c.

Y

/ ^

/

B

0,

^

=^<;

E i

/

n!^^

D
M

./

V

\ N

A

\

\

¿

H

^

FÍK:nra 2.»

OiV=2«cos(a+'i),

OM

eos a

-, y 0A=:2a eos a.

OA eos (fJ — a)
De donde se deduce para ecuación polar de la cisoide oblicua:
2 a eos 2 a

P =

eos (O — a)

2a eos (9 -|- a),

que también puede escribirse como sigue :

sen ^ O

2rt ■

eos

;e

o, en coordenadas cartesianas, tomando por eje de las abscisas la recta O A,
y de las ordenadas la perpendicular á esta recta, levantada por el punto O:

(x^ -\- y'^) {x eos o. -\- y sen a) = 2ay'".

12. Para determinar sencillamente la figura de la curva de que se tra-
ta, conviene adoptar como nuevo eje de las abscisas la recta OX, que for-
ma con O A un ángulo igual á a. Y así tendremos:

x^ X eos a — Y sen a , y = X sen a -|- Y eos a ;
y, en consecuencia,

X (A'2 + y2) = 2a (X sen a + I'cos a)2;

6

y 2aX sea oL cosa. ± X \2aX — X'^

X — 2 a eos - a

En esta forma, la ecuación de la curva es de fácil discusión.

Vese, en efecto, que 1'== O cuando X = O, y que Y resulta imaginaria
cuando X es negativa, y cuando X > 2 a: luego la curva pasa por el
punto O (fig. 2) y se halla por completo comprendida entre el eje de las
ordenadas y una paralela á este eje, tirada por el punto (2«,0). Las rectas,
paralelas al eje de las ordenadas, que pasan por los puntos del eje de las
abscisas, comprendidos entre el origen de las coordenadas y este punto
(2a,0), cortan á la curva en dos puutos.

La recta BM, definida por la ecuación A' = 2a eos - a, es asíniota de
una rama de la curva, y corta á la otra rama en el punto B, cuya ordenada,
EB, se halla expresada por la fórmula

„ „ a cosa eos 2 a
EB=^

sen a

La curva toca á la recta DC\, que limita la zona en que está compren-
dida, en el punto C¡, cuya ordenada es igual á 2a cot a.

Poniendo Y = O, vese que los puntos O y F, donde la curva corta al

eje de las abscisas, tienen por abscisas JV^ = O y Jt = OF = 2a sen'^ y.
Y también es fácil ver que en el punto O es 1" = — tang a: luego el ori-
gen de las coordenadas es un punto de retroceso, y la tangente á la curva
en este punto forma ua ángulo igual á — a con el eje de las abscisas.
Como, por ser OF -\- OE = 2a, se concluye sencillísimamente que
OF=ED.

La fórmula (1) muestra además que la hipérbola, cuya ecuación es

a sen 2 a

} = X,

X — 2 a eos ^ a

y que tiene la misma asíntota que la curva considerada, corta por mitad á
todas las cuerdas paralelas á la misma asíntota.

13. IjS. .•subnormal polar Aq lacisoide oblicua tiene por expresión (fig. 2)

d^ _ d.OM d.ON
""" rfO ~ dS) r/Q '

y es igual á la diferencia entre la subnormal de la recta AM y la de la cir-
cunferencia, en los puntos M y A'^ correspondientes. Luego el método em-
pleado en el ndm. 4 para trazar la normal á la cisoide recta es aplicable
también á la cisoide oblicua.

Y, del mismo modo, el método de Lonqchamps para trazar las tangentes
á la cisoide recta, expuesto en el núm. 5, es también aplicable á la cisoide
oblicua, como fácilmente se deduce con auxilio de la Geometría Analítica,
ó por un método geométrico más sencillo, empleado por aquel ilustre geó-
metra. (Geométrie Analytique ii deux dimensions, Paris, 1884, p. 19-22.)

14. La cisoide es curva unicursal. Poniendo, en efecto, .r ^ ti/ en la
ecuación de la curva, hallada en el níim. 1 1 . resulta

2at

X =

(sena 4- ¿ cosa) (1 -j- ¿2) • (sen/ -|- ¿ cosa)(l -f- ¿^) '

Y por medio de estas ecuaciones se concluye que la recta, cuya ecua-
ción es

n X -\- V y = \ ,

— 10 —

corta á la curva en tres puntos, en los cuales t adquiere los valores deter-
minados por la ecuación

(A) i^ eos J. ~\- t' sen a — {2au — eos a) t -j- sen a — 2av ^ 0:
valores, f^, ioY t^, relacionados por esta condición

(2) t, + ¿o + (, = - tang a.

Del mismo modo se ve que la circunferencia, cuya ecuación es

^-+ y- — 2kx—2ki/ + l=Q,

corta á la cisoide en cuatro puntos, determinados por valores de t, que sa-
tisfacen á esta otra expresión condicional :

(3) t\ + ('., + í'g + ¿'^ = - 2 tang a.

Las relaciones (2) y (3) fueron halladas por Balitrand (Nouvelles An-
uales des Mathématiqíies, 1893, p. 448), quien dedujo de ellas algunas
propiedades de la cisoide, y las soluciones de algunas cuestiones relativas
á esta curva, entre las cuales mencionaremos las siguientes:

1." Poniendo en (2) /, = /o = '3. se ve que la curva posee un punto
de inflexión, y que el valor de / en este punto resulta de la igualdad

¿ = tang a.

Las coordenadas del punto de inflexión son, pues,

9a , 27o.

é ¿/=-

cosa (9 4" tangía) sena (9 -|- tang'-a)

2." Poniendo en (3) t\ = I' .¿ = ^'n = ^'-i> concluiremos que existe un
punto de la cisoide en que la circunferencia osculatrix tiene con la curva
un contacto de tercer orden, donde se verifica que

t^ tang a.

— 11 —

Las coordenadas de este punto son:

16a

x = é y ■

cosa (4 -|- tangía) ' sena (4 -\- tang'-a)

3.° Poniendo en (2) /j = i.^, hállase la ecuación
2 <^,-|- ¿3 = — tang a,

por medio de la cual se determina uno de los puntos en que la tangente
toca y corta á la cisoide, cuando se supone dado el otro.
4.° Poniendo en (o) l\ = t'.j = t\, resulta la ecuación

3/'., + ¿'^ = — 2 tang a,

que parecidamente determina uno de los puntos en que la circunferencia
osculatriz de la cisoide toca y corta á esta curva, cuando el otro se supone
conocido.

15, Es fácil ver (jue se puede dar á la ecuación de las tangentes á la
cisoide la forma

(cosa -|- 2 I sena -\- 'if- cosa) X^ (sena — V- sen a — 2 t^ cosa) Y = 2a.

Luego, si por el punto (Xj, ¿/J se tiran tangentes á esta curva, los valo-
res de t en los tres puntos de contacto se desprenderán de la ecuación

2t^ y^ eos a -\- (í/j sen a — .jXj eos a) r-
— 2x^t sen a -|- 2a — x^ eos a — ?/, sen a = 0.

La condición para que estos tres puntos de contacto estén sobre una
misma recta exige que esta ecuación coincida con la (A), ó que

2x. sen a », sen a -I- x. eos a — 2a
2 í/j = í/j — 3 cot a . .Tj =^ í — -^ ■ — ^ •

ó que d/j = — 3 x^ cot a.

Luego los puntos por los cuales se pueden tirar tangentes á la cisoide,
de manera que los de tangencia resulten en linea recta, corresponden á la
recta que tiene por ecuación y ^ — 3 .-r cot -i (Baliteand, 1. c).

— 12 —

De las mismas ecuaciones condicionales se deducen además los coeficien-
tes u y V de la recta ux -\~ v ij = I, que pasa por los puntos de contacto
considerados. Esta recta tiene, pues, por ecuación

a eos -a — sen -

^^^^,COSa+« ^._^,

6 a eos a 6 ax^ coi a

y, según esto, corta al eje de las abscisas en un punto que no varía con
(X,, y,). (Balitrand: /. c.)

16. Ya hemos visto que la cisoide corta á su asíntota en el punto cuyas
coordenadas son

a eos a eos 2 a

2«cos-o'. é ij

sen a

Pues, eliminando la a entre estas ecuaciones, hállase la ecuación de l;t
curva descrita por aquel punto, cuando -j. varía:

x(x — a)'^

y- = — •

2 a — .(■

Ecuación correspondiente á la curva denominada csfrofoidc , de que trata-
remos poco más adelante.

17. La Cisoide de Diocles y la oblicua son casos particulares de una
clase de cúbicas que reciben el nombre general de cisoides: cúbicas que se
obtienen sustituyendo, en la construcción expuesta en el número 1 1 , la
circunferencia y la recta AM por una cónica cualquiera y por una recta
arbitraria, no paralela á las asíntotas de la cónica, cuyas ecuaciones sean

^.r2 + fia?/ + ('/y2 + Z>x +£•?/ = O, y ux^v)j = l

Para hallar la ecuación de las cisoides, así consideradas en general, re-
presentemos ante todo por p, y p., los radios vectores correspondientes al
mismo valor del ángulo B, y referentes el primero á la cónica, y á la línea
recta el segundo; y las ecuaciones cartesianas de ambas líneas se transfor-
marán en estas otras:

{A eos 2 H + 7? sen fJ eos O + C'sen '- <i) o, + Z> eos f) + ÍJsen 'i = U,
(« eos O -f r sen h) p., =: 1.

— 13 -

Y si tle estas ecuacioaes, comljinadas con la expresión fimdamental,
p = p., — pj, eliminamos ahora los valores p^ y p.,, obtendremos la ecuaciúii
polar de aquellas curvas, de la cual inmediatamente se desprende esta otra
en coordenadas cartesianas:

= Ax- + Bxy^ C y- + (Dx+ Ey) (íí.r + v y).

Aplicando á esta ecuación el método de las asíntotas, fácilmente se con-
cluye que la recta ux 4- i'U ^ 1 lo es de las curvas á que se refiere, y las
cuales poseen además otras dos asíntotas, reales 6 imaginarias, simétricas
de las que posea la cónica , con respecto al origen de las coordenadas.

Y asimismo se concluirá, mediante sencillas consideraciones geométri-
cas, que cualquiera de aquellas curvas presenta, en el origen, un nodo,
cuando la recta considerada la corta; un punto de retroceso, cuando la
toca; y wn punto aislado, cuando no la encuentra: con la advertencia de
que, en los dos primeros casos, las tangentes á la cisoide en el origen pasan
por las intersecciones de la recta con la curva.

Las cisoides son, en todos casos, cúbicas unicursales. Y, por referencia
á ellas, demostró Zakradnik que es condición suficiente, para que una cd-
bica unicursal sea una cisoide, que posea tres asíntotas reales distintas, ó
sólo una asíntota real á distancia finita. (Archir der Matliematih und Plnj-
sik, t. LVI, p. 8.)

II

LA CONCOIDE DE SLUSE

1 !S. Dase el nombre de ( 'oncoide de Sluse á la curva cuya ecuación en
coordenadas polares es

a (pcosO — rt) = /,-2cos-9,

y en coordenadas cartesianas

1 1 1 a (x — a) Í.r2 + _!y2) = /■2 ^2.

— 14 —

Curva notable, de la cual trató primeramente Sluse en su interesante
correspondencia matemática con Huygens (Oeuvres de Htiygens, t. ix, prí-
cjina 246); olvidada luego por mucho tiempo; y sobre la cual llamó re-
cientemente la atención Gino Loria en un artículo publicado en el Mathe-
sis (1897,^. 5).

Sluse obtuvo del modo siguiente la curva de que tratamos, cuyo nombre
procede de xóy'/.y,, en latín y castellano concha.

Sea O un punto dado, y AB una recta dada también. Por el punto O tra-
cemos la recta variable OC , que corte á la AB en el punto C ; y sobre
esta recta, prolongada, tomemos, á partir de C, un segmento CD tal que sea

OC.CD = h\

representando por k- una constante conocida.

El lugar geométrico (fig. 3), descrito por D, cuando OC varía, es la con-
coide considerada.

Para verlo basta advertir que

y A

\

\

c

.,'■

\

\

,-

\

B

!

c, >

C'D=OD-OC=OD

y en

OB

eos COB
/.•2 k-^ eos COB

OC

OB

Ó, suponiendo que OB = a, y
tomando el punto O como polo
y la recta Ox, perpendicular ;í
la AB, como eje polar.

Fignra 3.»

CD=^-

a „-r, k'^cosd
y Cl)= .

cosf)

Expresiones de las cuales se desprende inmediatamente la ecuación po-
lar de la curva, y de ésta la cartesiana.

19. De la última (1) se deduce con facilidad que la Concoide de
Sluse posee la forma indicada en la figura 3.", simétrica relativamente
al eje de las abscisas; que la recta AB^ dada por la ecuación x = a, es

— 15 —

asíntota suya; la abscisa del vértice Ci igual á ; y el punto O

ct

un punto aislado del lugar geométrico, representado por aquella ecuación.

La Concoide de Sluse tiene además dos puntos de inflexión á distancia

finita. Para determinarlos, expresemos x é y en función racional de un

parámetro variable t, poniendo y = tx ea la ecuación de la curva. Y así

obtendremos por de pronto

X = a -\ e w = a I H .

a{l + P) a(l-\-t^)

Los valores de t, correspondientes á los puntos de inflexión, resultan,
pues, determinados por la ecuación siguiente:

dx d-y dy d^-x _ 21^- fc^ + a^ _ 3 ^2 ¿2 _
dt dt'^ ~ dt dt- ~ a^ ' (I + Py ~ '

3a2
y las coordenadas de aquellos puntos por estas otras:

9\ 9

4a(a2 4-A;-) , _^ 4 (a^ 4-/^2) 2

£c = ^ ^ — é y~

4 a- + ^'' 4(a3 + fc-)V'3

SlüSE atribuye á Huygens la primera determinación de estos puntos
(Oeuvres de Huygens, t. iv, 1891, p. 292).

Eliminando, finalmente, k entre las ecuaciones anteriores, hállase la
ecuación de una cisoide. Luego el lugar geométrico de los puntos de in-
flexión de las Concoides de Sluse, que poseen la misma asíntota y el mis-
mo punto singular, es una cisoide.

20. Si tomamos sobre la recta OD (fig. 3) un segmento CD', igual á
CB, el lugar descrito por D', cuando OC varía, será otra curva, denomi-
nada también Concoide de Sluse, y cuya ecuación es, como fácilmente r
puede verse,

a{x — á} (x^-\-y^) = — fe' x"-.

— 16 —

De las fórmulas obtenidas anteriormente para la concoide primeramente
considerada, deddcense las aplicables á la segunda, mudando Jc^ en — Jc^.
Siendo además cosa sencilla averiguar que la forma de esta nueva curva
es la indicada en la (fig. 4.^), cuando a^ > k^; y en la (fig. 5.^), cuando
a^ <; k-. En ambos casos OB = a; debiendo advertirse que en el se-
gundo la curva carece de puntos de inflexión reales á distancia finita, pero
que tiene dos imaginarios. Cuando k^= cp-^ la curva se reduce á una ci-
sotde.

Figura 4.*

rignra 5.'

in

LA ESTROFOIDE

21. Consideremos una circunferencia de centro C y radio CA (fig. 6),
y por su centro tracemos la recta KL, que forme con CA el ángulo a.
Tracemos después la recta de posición variable OD, que pasa por el pun-
to fijo O, y sobre esta recta tomemos un segmento 031, igual á ED. El
lugar geométrico de las posiciones del punto il/, cuando OD varía, es la
curva denominada estrofoide *. Si a = 90°, la estrofoide se dice recta; y

oblicua, si a 90''.
<

* De jTpoitov ó strophium: corona ó guirnalda de flores; ó sxpo'flí: espira ó
revuelta.

17 •—

Por ser OM = OD — OE, representando por p, r? y G el segmento
OM, radio OC, y ángulo DOA, nos resultará que

0D = 2a cosO, y OE^

a sen a

sen (a — 0)
De manera que la ecuación polar de la estrofoide será ésta:

P = 2a cosO —

a sen a

sen (a — 2 9)

sen(a — fJ) ' sen(7.— Q)

Para obtener la ecuación cartesiana de la curva, tomemos para eje de las

Figura (i. a

abscisas la recta O r, perpendicular á la recta dada KL ; y para eje de las

ordenadas la O y, paralela á KL. El ángulo AO x es igual á — a, y las

coordenadas, x é y, del punto M tendrán por expresión:

a; ^ p eos (íl -| ''') = ? [eos O sen a — sen 9 coa a] ,

¿k

2/ = p sen (9 -| '^- ) = p [sen O sen a -j- eos 9 eos a] .

— 18 -

De las cuales se desprenden los valores de sen O y cosí), que, sustiluí-
dos en la ecuación polar de la estrofoide, producen la siguiente ecuación
cartesiana de la misma curva:

(1) (x^ -(- y^)x= a [{x^ — y'^) sen a-^ 2 xy cosa].

22. La más antigua noticia, conocida hasta la fecha, referente á la
estrofoide recta, hállase consignada, según advirtió G. Loria (Bolletino
di Bibliografía, etc., 1898, p. 3), en dos cartas, escritas por Verdus á To-
rricelli, por los años 1645, de las cuales se deduce, con probabilidad de
acierto, que Roberval, antes que ningún otro geómetra, se ocupó en el
estudio de esta curva, designada por entonces con el nombre de Pteroide *.
Las cartas á que nos referimos fueron publicadas en el Bolletino de Bon-
compagni (t. viii, 1875).

Después estudiaron la misma curva Moivre (Phylosophical Tra?isac-
tions,niD}; y Agnksi en sus Tnstituxioni Analitiche (Milano, 1748,
2). 378 y 391); etc.

MoNTüCCi parece haber sido el primero que la dio el nombre de estro-
foide, en un artículo publicado en 1846 en los Nouvelles Anuales des Ma-
thématiques {t. \, p. 470). Lehmus, en sus Atifyahen aiis der hiiheien
Mathematik (Berlín, 1842, p. 120), la llamó cucumeide **; y Booth logo-
clclica, en un artículo que sobre ella publicó en el Quarterly Journal of
Mathematics ( 1858 y 1859), y después en su Treatise on some Xeir Geo-
metriml Methods (1873, t. i, p. 292).

Referentes á la estrofoide oblicua, los más antiguos trabajos conocidos,
en los cuales se trata de ella, son las Leetiones geometricce de Barroav i 1 669,
p. 69), según recientemente advirtió Aubry, y dos memorias de Casali,
publicadas en los Instituti Bononiensis Commeiitarii (t. iv, 1757), en los
cuales atribuyese la invención de estas curvas á Torricelli (Loria, 1. c).
Y con posterioridad trató del mismo asunto Quetelet en una memoria
intitulada: De qidbusdam loéis geometricis necnon de curva focali, publi-
cada en Gaud por los años 1819, en la cual atribuyó á la curva el nombre
de focal con nodo: por cuyo motivo todavía suele designarse con el de
focal de Quetelet. — Véase más adelante.

- * De Ttxspóv, ó pteron, ala: la curva alada.
** De ..íA:\i.%:y cucuma, ó cuciiwisj cohombro, ó especie de pepino.

— 19 —

Las estrofoides recto y oblicua han sido con posterioridad objeto de mu-
chos trabajos notables, cuyos títulos se pueden ver, por lo que respecta á
los anteriores al año 18(i0, en una lista publicada por Tortolini en los An-
naü di Matemática, t. iii, y transcrita en los Nouvelles Anuales des Mathe'-
matiqíies (1861 , p. 82); y, también en otra más extensa, y de fecha más
reciente, publicada por Gunther en sus Paraboliches Lot/aritmen itnd
pnraboliche Trigonometrie. (Leipzig, 1882.)

23. Tras de estos preliminares, pasemos al estudio, por de pronto, de
la estrofoide recta.

La ecuación de esta curva es

y' =

x^{a

r. + a

de la cual se deduce que su forma será la indicada en la figura T."* Porque
en efecto, la curva corta
al eje de las abscisas en p
los puntos (J y C, donde
ea x = O y x= a; á ca-
da valor de x, compren-
dido entre — « y + « >
corresponden dos pun-
tos reales de la curva,
simétricamente dispues-
tos con respecto al eje
mencionado; y la recta
PQ, que tiene por ecua-
ción X = — a, es asín-
tota de la misma curva.
Además, en los puntos
cuya abscisa es igual á

la(V5

FifíUl'.T

ij, el valor absoluto de ¡y resulta máximo. Y el de origen, O,

de las coordenadas es un punto doble de la curva, donde las tangentes for-
man ángulos de 45*^ y — 4.5" con el eje de las abscisas.

— 20 —

24. Partiendo de la ecuación de la estrofoide recta, en coordenadas
polares,

eos 2 9
eos 9

hállase, para expresión de su radio de curvatura, R, la que sigue:

a(l + sen2 2í)r

ñ =

4 cos''fJ(l +2 sen2fi) "

Y por medio de esta fórmula vese que la curva no tiene puntos de infle-
xión reales á distancia finita; y que en el punto C es E= — a, y tam-

4

bien, en el O, R = a^2.

25. Si por el punto C trazamos la recta CMN, y representamos por w
el ángulo NCO, las coordenadas de los puntos M y N resultan determi-
nadas por la ecuación de la curva, y por la correspondiente á la recta

y = — (x — a) tang w.

Y, eliminando la y entre ambas ecuaciones, resulta la siguiente:

, a tang w ,

;r = it — . = ± a sen w.

yl + tang ^ w

La cual muestra que las proyecciones de Ai y iV^ sobre el eje de las absci-
sas equidistan de O, y, por lo tanto, que los puntos M y N, en que las se-
cantes trabadas por C cortan á la curva, equidistan también de los pun-
ios F, en que las mismas secantes cortan á la recta OF.

Y como también

Jí'0 = «tango) y i''71/= rttangw,

resulta probado que FO = FM= FN; 6 que el punto F, no solamente
equidista de los M y iV, sino asimismo del O. De manera que

CN =CF^FO, y caí = CF — FO.

— 21 —

Y, en consecuencia, dado el parámetro a, que figura en la ecuación carte-
siana de la cstrofoide recta, nada más sencillo que la construcción, por
pares de puntos, de esta curva.

26. Adviértase además que de las expresiones

CM= CF— MF= —^ a tang w y

eos W o j

CN= CF-{- FN= —^ 1- a tang w,

eos w '

se concluye esta otra

CMxCN=a^.

Por lo tanto, el producto de las distancias del punto C á dos puntos
de la curva, colocados sobre una recta que pase por G, es coJistante, cual-
quiera que sea esta recta. (BoOTii: 1. c.)

27. El área limitada por la estrofoide, por el eje de las abscisas y por
una paralela al eje de las ordenadas, tirada por el punto {x, y), tiene por
expresión

Jo'' V « + -'*^

dx

L V a + x 2a2 4 J'

Poniendo x^a, y multiplicando por 2, hállase para valor del área
comprendida en la parte cerrada de la curva,

A,=2a2 «2.

2

Y como el valor del área comprendida entre la curva y la asíntota se ha-
lla análogamente expresado por la fórmula

A., = 2a^-\- — a'^,

' ^2

resulta que la suma de las dos áreas es igual á áa^.

22 —

28. La determinación de la longitud de los arcos de la estrofoide recta
se obtiene por medio de las integrales elípticas de 1." y 2.^ especie: para
demostrar lo cual se apoyó Booth (I. c. , p. 304) en la consideración de la
curva inversa de la estrofoide. Pero aquí resolveremos el mismo proble-
ma directamente, ó sin auxilio de aquella curva.

Aplicando á la ecuación polar de la estrofoide la fórmula

ds ■■

V= + (^í

d^,

dedúcese que

eos 2 9

1 +008 20

cos22e

■ dJh

ó, si 26 = oj,

¿i

ds =

«\/í

seaiiídu)

^yi-Sen^o. yi-i-

sen- (O

dM

(1 -j- senw)

V^

— — sen-w

Poniendo ahora senw = t, é integrando, resulta esta otra ecuación:

a\/2

V2 r r tdt _ í'_dt__ _ r

dt

{i + í)\/F{t)

en la cual

— 23 —

Pero empleando una fórmula , ya demostrada en la teoría de las integra-
les elípticas, hallaremos la igualdad siguiente, fácil de verificar además por
simple diferenciación:

2\/F(t) r dt r ^^ i r ^^'^^

^ _ _ r dt r dt rjh

^ + ^ J {t -\- l) \/F{t)' 'J \J F{t) J \/ fit)

y ésta otra luego, poniendo t^ = x,,

r tdt V2 r di

J \/F(t) 2 -' V(i — *) (2 — *)

= -^log (2* - 3 + 2 \/(l-x)(2-,í) )
V/2

= 4= log (2¿2 - 3 + 2 \/2'\/m).
\/2

Eliminando en la expresión de s las integrales

r tdt r dt

y poniendo seuo) en vez de t, y Acó por \ / 1 sen^w,

hallaremos que

.s= — log(2sen2w— 3 +2 v/2 coswAw)
2

\2 cosioAo) a\2 /^sen^wdw

+ ^

senw -|- 1 2 J Aw

P

— 24 ~
Y, con auxilio de la conocida fórmula

obtendremos, finalmente, la expresión buscada de s:

s= — log (2sen2w — 3 + 2 y 2 coswAw)
«V 2 eos wAw

sena) -|-

^-«\'^(/sr-/--).

dependiente de integrales de la 1.*^ y 2.* especie de Legendre.

29. Consideremos ahora la estro foide oblicua.

Partiendo de la ecuación cartesiana de la curva, puede hallarse fácil-
mente la forma de ésta, resolviendo por de pronto aquella ecuación relati-
vamente á y; lo que da

fí.rcosa ± xV a^ — x'^

y = -

X -\- asena

De donde se infiere que la recta (fig. 6) P Q, determinada por la ecua-
ción x^ — asena, es asíntota de la curva y secante á ella también en

el punto H, cuya ordenada tiene por valor ^ '-.

f > J 1 cosa

Cuando es a; = rh a, los dos valores de y, correspondientes á cada va-
lor de a-, tienen por expresión

dr acosa

y =

± 1 -f- sena

y en los puntos correspondientes, f/y T, á que éstos de y se refieren, las
tangentes son entonces paralelas al eje de las ordenadas.

En el intervalo comprendido entre x = — a y x^= a, y es real; é ima-

— 25 —

ginaria para los demás valores de .r. Luego la curva se halla por completo
comprendida en la región limitada por las paralelas al eje de las ordenadas^
que pasan por U y V.

Los valores de y son asimismo iguales á cero, cuando es x = 0. Luego
el origen de las coordenadas es unpmifo doble: en el cual los valores de y'
tienen por expresión

cosa — 1 1 , cosa + 1 1

2/n = = — tang — a, e í/, = — — = cot —a.

•^0 sena 2 ^ sena 2

Luego, representando por o,, y (.jj los ángulos formados por las tangen-
tes, en el punto doble, con el eje de las abscisas, hallaremos que

a TI

^ 2 -^ ' 2

Lis tangentes en el punto doble son, pues, perpendiculares una á otra.

Puédense también determinar geométricamente estas tangentes. En efec-
to, J/ tiende (fig. 6) hacia O cuando la recta variable OD propende á con-
fundirse con 0K^ ó con 0L^. Luego 0K^ y OL^ son las tangentes á la
curva en el punto doble O.

La curva corta al eje de las abscisas en el punto O y en el punto D^,
donde x = asenv.: valor de x este último á que corresponde, además del
de y ^ O, c\ de y= acosa, que designa también el de la ordenada del
centro C de la circunferencia, considerada en el nCimero 21.

La expresión de y muestra que la hipérbola, cuya ecuación es

a X eos a

X -{- a sen a '

y que posee la misma asíntota que la curva considerada y pasa por los pun-
tos U, O y T, corta á todas las cuerdas paralelas á la asíntota en dos par-
tes iguales.

30. Por ser p = OD — OE, vese que la subnormal polar de la curva
en el punto M es igual á la diferencia entre la subnormal polar de la cir-
cunferencia (fig. 6) ADO en el punto D, y la subnormal polar de la recta

— 26 —

ÜK en el punto E. Luego el método empleado en el número 4 para trazar
las normales á la císoide es también aplicable á la estrofoide.

31. La propiedad de la estrofoide recta, demostrada en el número 25,
es propiedad también de la oblicua. Trazando, en efecto, por el punto C
(fig. (j) la recta (M/, que pasa por el punto il/de la curva y corta la pa-
ralela á la asíntota, levantada por O , en el punto F, hallaremos que
FM= OF: bastando advertir, para persuadirse de ello, que los triángulos
MCO y CED son iguales, por ser CD = CO, OM=ED, y EDC = COM.
Luego

MC=EC, y MEC=EMC=FMO.
Y, por lo tanto,

FOM = MEC = F^[0, y MF= OF,

conforme nos proponíamos demostrar.

32. Tomando las rectas OL^ y OK^ (fig. 6), esto es, las tangentes á la
curva, en el punto doble, para ejes de las coordenadas, la ecuación de la
estrofoide se transforma como sigue:

í/'-) X eos — -\- y sen — = 2ax;j.

Y, suponiendo después que y = t.r , hallaremos

2at

(¿2-1-1)1 eos— + ísen— 1

-, é

2af^

{t- + 1) eos 1- ¿sen —

Advirtamos ahora que la recta, cuya ecuación es

tix + ry = I,

— 27 —

corla á la curva en tres puntos, que corresponden á los tres valores de f,
dados por la ecuación

a
eos — = 0.
2

¿3 sen — 4- eos — 2av \t'~ 4- sen — • 2au \t -4-

2 L 2 I L 2 J ^

Luego, representando por t^, t.^ y t^ estos tres valores de t, resulta que

a
^1 ^2 '3 ^^ — ^^^ — •

Y del mismo modo se concluye que una circunferencia cualquiera corta á
la estrofoide en cuatro puntos, determinados por los valores t\, t'^, t\, t\
de /, que satisfacen á la condición

t\ t'.2 t\ t\ = cot- — .

Por medio de estas relaciones hallaron Balitrand y E. Vai.dés mu-
chas propiedades interesantes de la estrofoide, consignadas en dos artícu-
los publicados en las Nouvelles Anuales des Mathématiqíies (1893, p. 430;
y 1894, p. 243). Y por su medio también pueden resolverse las mismas
cuestiones que en el caso de la cisoide fueron resueltas por medio de las
fórmulas ('!) y (3) del número 14. Como, por ejemplo: que la estrofoide tie-

ne un punto de inflexión allí donde t = — \/cot — ; y otro punto, co-

_Ycot^;

Y cot ^ , á

rrespondiente á i = \/ cot — , donde la circunferencia osculatriz y la

curva tienen un contacto de tercer orden: etc., etc.

3ÍÍ. Como ya anteriormente se indicó, la estrofoide interviene en la
resolución ó análisis de muy variadas é interesantes cuestiones geométri-
cas. Casali primero, y más tarde Quetelet, dieron con aquella curva al
tratar de resolver el problema que, á título de ejemplo y como aclaración
de lo que precede, vamos á exponer ahora.

Sea (fig. 8) ASB la sección producida en un cono de revolución por el

28 -

plano dirigido por el eje .SÁ' del mismo cono. Otro de los planos que pa-
san por el punto A y por la tangente Aij al círculo, de diámetro AB y per-
pendicular al eje SK, es también perpendicular al plano ASB, y determi-
na, por su intersección con la
superficie del cono, una cónica,
AGC, cuyo eje, AC, forma con
AS un ángulo en A , que desig-
naremos por 'j¡. Y sean además
F y F' los focos de la cónica
considerada.

Si tras de esto suponemos que
el plano secante, dirigido por la
tangente invariable Ay , gira
alrededor de esta línea, á cada
nueva posición suya correspon-
derán otra cónica y otros focos,
situados éstos siempre en el pla-
no ASB, sobre la recta móvil
AC Pues bien, el lugar geomé-
trico que todos estos focos determinan constituye una nueva curva, focal
de QuETELET, cuya ecuación y forma consiguiente se trata ahora de en-
contrar.

Recuérdese para ello que, representando por t el áugulo ^íS'A", y por d
la distancia ^.S, la curva resultante de la intersección, con la superficie
cónica, del plano secante que pasa por Ay , tiene por ecuación

Figara 8.»

í/'-^cos'^o-^ .rsencf [f?sen2o- — .rsen(ti -|- 2<s)

*.
¡

y que, en consecuencia, el semi-eje mayor, m, de la cónica, y la distancia, c,

* En la fig. Q,y = Gti, 6 y- = PBxRQ; y x = AR. Y como de los trián-
gulos APR, QCR y 4SC resulta que

PR =

i?Q = (4C-x)i51iíi+^;y AC-

dí<en27

sí-n('f + 2o)

inmediatamente se concluye la ecuación del texto.

— 29 —

de cualquiera de los focos al centro de la misma, se hallan expresadas por
estas fórmulas:

dseu2u íísenucosítp 4- ü)
m = y c ^ -^ — ■ — -

2sen(cf + 2ff) sen(cp + 2^)

Luego, designando por r el radio vector del punto F6 del F', en el sis-
tema de coordenadas polares, que tiene por origen el punto A, por eje fijo
la recta AS, y por ángulo variable el ci, la ecuación de la focal será ésta:

(/sen2T tZsen(TCOs('f + ff)

2 sen (te -|- 2 (i) sen (tp -|- 2 t)

Para demostrar por procedimiento puramente analítico que esta ecua-
ción corresponde á una estrofoide oblicua, el camino es un poco largo y
molesto; pero, en cambio, á esta conclusión puede llegarse con suma sen-
cillez, basándose en consideraciones de orden elemental geométrico.

Tracemos, en efecto, por A la recta AOB, perpendicular á la SK; y
por el punto O la OED, paralela á SB. Y del triángulo AEO se deducirá
sin dificultad entonces que

AE senAOFJ cost EO senjE'.áO cos((p + tr)

AO senAEO sen(-p + 2 a) A0~ sen AEO ~ sen(« + 2t)

De donde, advirtiendo que AO = dsewj, se concluye que

r = AEzfEO.

Propiedad como característica de la eshvfoide (Núm."* 25 y 31),
de la cual inmediatamente se deduce que la focal es una curva de aquel
nombre, con un nudo en O; tangente en yl á la generatriz del cono tíA;
secante á esta misma generatriz en »S'; y que tiene por asíntota la SB:
conforme lo indica la fig. 9, construida valiéndose de la anterior expre-
sión de /•, y en la cual se indica con suficiente claridad la construcción

30 —

(le los puntos N' y N", il/' y M", U y L" , etc., con sólo advertir que
LO = LTJ = LL", MO = MM' = MM", NO = NN' = NN".

Designando por 2 a la
longitud del diámetro AB,
la ecuacióu de la focal có -
nica puede escribirse como
sigue:

«cos^

Fiaufa 9."

sen(!j; + 2cr)

acos(tíi -|- '^)

sen (<í -)- 2 (t)

Y cuando a ^ O, ó cuan-
do el C07W se transforma
en cilindro, la ecuación an-
terior se convierte en esta
otra, correspondiente á la
estro foide recta:

r = (1 _i_ eos ti).

seno

Discrepa por su forma esta ecuación de la primera, contenida en el nú-
mero 24, correspondientes ambas á la misma curva, por no hallarse ésta
referida, en uno y otro caso, á idéntico sistema de coordenadas polares.

— 31 —
IV

LA TRISECTRIZ DE MACLAURIN

34. Dase el nojpbre de trisectrix de Maclaurin á la curva cuya ecua-
ción polar es

p= — 4rtcosO,

eos

h

y la cartesiana

^•(x--'-fí/-') = a(?/--^ — 3x^):

así llamada por ser una de las curvas que pueden emplearse para resolver
el famoso problema de la trisección del ángulo, y por haber sido conside-
rada por primera vez por Maclaurin en su Treatise of Fluxiotis (p. 198
del t. I de la traducción francesa del P. Pesends). Modernamente ha sido
objeto de varios trabajos, de los cuales mencionaremos los siguientes:

ScHOUTE: Sur la cotisíruction des courbes unicursales par points et
par tangentes. (Archives Néerlandaises , t. xx, 1885.)

A. Lima: Sobre urna curva do terceiro grao. (Jornal de Sciencias Mathe-
maticas, t. v,p. 13.)

LoNGCHAMPS: Essai de la Géométrie de la Regle, etc., París, 1890,
p. 102.

35. Escribiendo la ecuación cartesiana del modo siguiente:

v^

+ x

■X

vese fácilmente que la curva á que se refiere tiene la forma indicada en la
figura 10: simétrica relativamente al eje de las abscisas; con una asíntota,
AB, dada por la ecuación j: = a; un punto doble. O, en el origen de
las coordenadas, en el cual las tangentes forman ángulos de ±: 60" con
el eje mencionado; un vértice, V, á la distancia del origen O, determi-

— 32 —

nado por la igualdad .r ^ — 3a; y dos puntos, N y iVj , cuyas coordena-
das son

x = — a\/3 é y = ±a\/Q\/3 — 9,
donde el valor absoluto de y es máximo.

36. De la ecuación polar de la trisectriz se deduce un procedimiento
sencillo para construir esta curva. En efecto, el primer término de la ex-
presión de p representa los radios vectores Oj de los puntos de la recta AB,
referidos al punto (J como origen; y el segundo representa los, p,, , de la
circunferencia de radio igual á 2a, con el centro en el punto C, cuyas co-
ordenadas son (2fl, 0). Luego la curva propuesta puede ser construida
tomando, á partir del punto O, sobre la recta variable MOM.¿, un seg-
mento 0^í, igual á Oi¥j — OMc„ 6 p^ — po: lo que determina el pun-
to M, generador de la curva, conforme il/OJ/o varía de posición.

37. Por ser p = OiM^ — OM2, tenemos

d9

dOM^ dOM.¿

dh

df)

— 33 —

De manera que la subnormal de la curva en el punto M {OK^), es igual
á la diferencia enfre la subnormal polar de la recta AB, en el punto
J/j (OK^), y la de la circunferencia en el punto J/o ( — OK). Igualdad que
sugiere un procedimiento muy sencillo para el trazado de la normal en M
á la curva, indicado en la figura, y análogo al expuesto en el Núm. í, al
tratar de la cisoide.

38. En la trisectriz de Maclaurin, el radio de curvatura en cualquier
punto se deduce déla siguiente fórmula:

R:

_3_

ají +8cos^e)^
24 eos ''Q

segCui la cual, la curva carece de puntos de inllexión á distancia finita.
íi9. Por ser

cls = — ^ — V 1 + í-i eos -^ H (V¡
ad^ , 8ad<í

cos2fiVl +8cos2e Vl+8cos--e

para determinar la longitud de los arcos de la curva considerada, sirve la
fórmula

s = — f — -^ p dfj

cos2'J y 1 — — sen^e A / 1 _ ^ sen^S

La primera de estas integrales representa la longitud de un arco de hi-
pérbola. Aplicando, pues, la fórmula de Legendre, según la cual la recti-
ficación de la hipérbola depende de las integrales elípticas de 1." y 2.* es-
pecie,

r'i dM p (¿9

Jí' cos'^O Vi— /''^sen'^f) Jo Vir^^AÍ^"s¡i^

L_ f ym^^T^d, + tange Vi -A-^sen^rj

1-A-Jo 1-/'"'

— 34 —

Q

y poniendo por /j- su valor numérico — , hallaremos que

y

Yl-_sen-^e

sen29 d^

yi-|s»»«].

4- tangf) \ / 1 sen-fl

La longitud de los arcos de la triseetrix de Macla urin depende, pues, de
una integral elíptica de 1.^ especie y de otra de 2."

40. El área recorrida por el radio vector de la trisectriz, cuando 6 va-
ría desde 6^ hasta 6^, se determina por la fórmula

A = — [tangfij -f 4 8en2(), — tangO^ — 4 sen2&o].

En la cual fácil es ver que cada uno de los términos del segundo miembro
representa el área de un cierto triángulo rectángulo.

Poniendo ^q= '^^ y ^i = — , y multiplicando el resultado por 2, conclú-

O

yese que el área limitada por la parte cerrada de la curva es igual á Sa^ y 3.
(Maclaurin: /. c.J

41. Para justificar el nombre de trisectriz, aplicado á la curva de que
se trata, concluiremos demostrando cómo, mediante su consideración, se pue-
de resolver el problema de la trisección del ángulo. Sea FC = a (fig. 10):
pues, poniendo FOV= a y FOV=m, nos resultará

OF sen FG O , n sentó

o

OG sen GFO 2 a sen (oj — a)

Mas, por ser G = tí — a, la ecuación polar de la curva será

-j- ia cosa.

cosa

— 35 —
Y, eliminando p entre las dos últimas ecuaciones, resulta la igualdad

4 sen^a — 3 sena

tangió = = tangSa:

3 cosa — 4 eos 'a

la cual prueba que el ángulo FOV es igual á la tercera parte del án-
gulo FQV.

V

LAS CÚBICAS CIRCULARES

AMPLIACn'lN Y RE3UMKS DE LO HASTA AHORA EXPUESTU

42. La cisoide de Diocles y la oblicua, la estro f oide , la concoide de
81use,y la trisectri>, de Maclaurin, pertenecen á una clase de curvas, deno-
minadas cúbicas circulares, que tienen por ecuación común la siguiente:

íl) (ax + hy) {.r2 + y^) = Pj:'^ ^- Qxy ~\- Ey^- -]- Tx + Uy + V,

y á las cuales corresponden una asíntota real, determinada por la ecuación

Pb'^— Qab^Ba^

ax-\-by =

a^ + ¿2

y dos imaginarias con coeficientes iguales á + ' y — i; representando
por i el radical \ — 1.

Por medio de la ecuación inmediata anterior, vese fácilmente que, si
cambiamos la dirección de los ejes coordenados, adoptando para nuevo eje
délas ordenadas una paralela á la asíntota real, desaparecerá el término
que contiene el producto ¿^ de la (1), y esta ecuación se reducirá á la
forma

(2) [jy^ + y^) X = P,x^ + Q,xy + R,f + T,x + U,y + V,.

Y, trasladando después el origen de las coordenadas al punto (O,' , Qj),.

— 36 —

la ecuación general de las cúbicas circulares podrá representarse como
sigue :

(3) («2 + 2/2)0. = Ax^ + A'y^ + 2 Ccc + 2 C'i/ + F:

ecuación de que nos serviremos para estudiar las curvas á que se refiere.

43. Comencemos por demostrar que las cúbicas circulares son envol-
ventes de círculos, cuyos centros se hallan situados, según los casos, sobre
distintas parábolas.

Y para ello fijemos, por de pronto, la atención en el círculo cuya ecua-
ción sea

(4) ' ..^2j^y2^2{a.X^¡iy^y),

y busquemos las condiciones á que ha de satisfacer este círculo, para que
resulte bitangente á una cualquiera de las curvas comprendidas en la
ecuación (3).

Para resolver este problema adviértase, en primer lugar, que los puntos
de intersección con el círculo de la curva, en particular ahora considera-
da, son los mismos, también de intersección, del círculo con la cónica, á
que corresponde la ecuación

(5) 2 (ax + pí/ + Y) a- — (^a-2 + Ay'^ + 2 (7íc + 2 C'y + 7^) = 0.

Mas , para que el círculo resulte bitangente á la cúbica (3) , deben reunir-
se en cada punto de contacto dos puntos de intersección del mismo círculo
con la cúbica, y, por lo tanto, deben ser también bi tangentes el círculo
y la cónica de que se trata.

Investiguemos, pues, las condiciones para que esto último se verifique.

Para ello, designando por h un parámetro arbitrario, tomemos la ecua-
ción

I 2 (7.x + 3w + y) .oc — {Ax-^ + A' y^ -\-2Cx + 2 C'y + F)

(A) {

I - k [x^- + 2/-^- 2a^ - 2¡3¿/ - 2y) = O,

que representa todas las cónicas que pasan por los puntos de intersección
del círculo (4) con la cónica (5).

— 37 —

Pues para que las dos curvas, (4) y (5), sean bitangentes, necesítase y
basta que la ecuación (A ) represente dos rectas en coincidencia una con
otra, 6 que el primer miembro de la ecuación se resuelva en un cuadrado
perfecto de la forma {Kx -j- Ly -\- J/)-. Y, para que á esto haya lugar, ne-
cesítase también y basta que se verifiquen las siguientes condiciones :

\K^ = 2a — A — h; L'^= ~{A' + h); M^ = 2hy — F;
(B) {

¡ KL = ^; KM = ^ + ho. — C; y LM=h<^ — C'.

De estas expresiones condicionales, las tres primeras sirven para deter-
minar los valores de K,Ly M. Y de las cuarta y sexta, por eliminación de
K, L y M, con auxilio de las tres primeras; y, después, de la quinta, por
eliminación de las mismas cantidades, valiéndose ahora para ello de las ci-
tadas cuarta y sexta, en unión de la segunda, se desprenden las relaciones
siguientes :

1 [i-^ = — (2a — A — h) {A' + h),
(6) hh<^-C'f = -{A' + h)(2h^(-F),

í p(Ap-C')=-(^' + /»)(y-C+Aa),

como expresión de las condiciones de bitangencia del círculo y de la cúbica
considerada.

De la primera y de la segunda de estas tres ecuaciones se deduce, por
de pronto, que

1 ñ2

(7) _ a = — (.4 + ;?.) P

(8)

2 2 (^' + h)

2h L A' + h J"

Y de la última, poniendo en ella por a y y sus valores, acabados de
obtener, esta otra:

C"2 F h

2h[A' -irh) 2/» ^2

— 38 —
equivalente á esta otra:

(10) h'2{A + h){A'+ h) + F {A + h) — 2 Ch {A' + h) — C"2= 0.

De la cual se deducen, en general, cuatro valores para h: los cuales, á
su vez, sucesivamente sustituidos en las (7) y (8), determinarán los que de-
ben poseer las constantes a y y, que figuran en la ecuación del círculo (4),
para que éste sea bitangente á la cúbica considerada, permaneciendo, des-
pués de todo, arbitraria la constante p.

De donde resulta demostrado que e.risten, en general, cuatro series de
círculos, bitangentes á la cúbica circular considerada , de cada una de las
cuales es, por lo tanto, envolvente la misma cúbica.

Además: como a y p representan las coordenadas del centro del cír-
culo (4), la ecuación (7) nos enseña también que los centros de los círculos
de cada serie se hallan situados sobre una misma parábola.

El análisis anterior pide modificación cuando cero sea raíz de la ecua-
ción (10), ó cuando FA' = C"-.

De las ecuaciones (6) ded fícense entonces estas otras:

'■^l^~^' PC" = .l'(T-6'); y FA' = C"'.

La primera de las cuales determina el lugar geométrico de los centros de
una serie de círculos, bitangentes á la cúbica á que estos mismos círculos
se refieren; y la segunda el valor de y.

Cuando — A' sea raíz de (10), ó cuando C = O, también pide modifi-
cación el análisis precedente, deduciéndose entonces de las ecuaciones (B)
estos resultados:

P = 0, y {2r-A + A')i2A'y + F) = -(y-C-A'xr:

el primero de los cuales expresa que, en este caso , los círculos bitangentes
de la serie tienen sus centros sobre el eje de las abscisas, reduciéndose la
parábola á dos rectas, ambas en coincidencia con el mismo eje; y el segun-
do determina el valor de y, del cual dependen los de los radios de aquellos
círculos.

— 39 —

44. Sustituyendo en la ecuación (4) la y por su valor, tomado de la
(8), la de los círculos bitangentes á la cúbica considerada será ésta:

ÍC2 + //2 — 2a.r — 2|3¿/ — i I i?'- M^L^IL] = 0:

A L ^ + h J

6, llevando en cuenta la ecuación (7),

2C"P F . C'a

í .r2 + «2 _ 2 0.x — 23?/ ^

U) .4'

+ A /¿ A. {A'+ h)

A [2a— (4 4-/í)]=0:

á condición, bien entendido, de no ser h igual á cera, ni tampoco igual
á — A'.

Si, por excepción, /? = O, la ecuación de los círculos bitangentes, dedu-
cida de la (4),

.,.-2 + ^2_2(«ÍC + pí/ + Y),

y de la condicional, pág. 38, pC" = ^' (y — C), por eliminación de la y,
será ésta:

(12) oc^ + 2/^— 2aj-— 2py=2(7 + p-^.

No debiendo en ningún caso olvidar que en estas varias ecuaciones a y ¡3
representan cantidades, positivas ó negativas, que satisfacen á la (7), y A
una raíz de la (10).

45. Todos los círculos illi, correspondientes á una misma raíz de la
ecuación (10), diferente de O y de — A', cortan ortogonalmente al círculo,
determinado por la siguiente :

A' ^h ^ h

ri3) < ^

k(A4-h) = 0,

siempre que no sea nulo el radio de este último círculo: cosa de sencilla

— 40 —

comprobación, formando las derivadas y' é T', de y é Y, sustituyéndolas
en la expresión condicional y' Y' -{- 1 = O, y contando con las ecuacio-
nes (11) y (13).

Y, además: como la (13) no depende de a ni de ¡3, concluyese que el
círculo á que se refiere y representa es constante con respecto á todos los
círculos (11), cuyos centros corresponden á una de las parábolas compren-
didas en la ecuación (7). Deduciéndose del mismo modo y con igual facili-
dad que los círculos (12) cortan también ortogonalmente al representado
por la ecuación

(U) ^[2^ ya ^A^ 7^2(7 = 0.

A'

Luego todos los círculos bitangentes á la cúbica circular (3), que tunen
sus centros sobre la misma parábola (7), cortan ortogonalmente á un cír-
culo fijo.

46. Sustituyendo en la ecuación

Z£C + L2/ + il/=0

K, L y M por sus valores, dados por las ecuaciones segunda, cuarta y
sexta de las (5), dedúcese esta otra:

px —{A' + K)y + hp — C = O,

que representa la recta, definida por los dos puntos de contacto del círculo
bitangente con la cúbica, y correspondiente á valores determinados de
kyp.

De la cual se desprende además la siguiente proposición, hasta ahora in-
advertida, creo: todas las rectas que pasan por los dos pu7itos de contado
de ¡os círculos bitangentes á la cúbica, y pertenecientes á la misma serie,

C '
se cortan en un punto fijo, que tiene por coordenadas — h y — •

47. Trasladando el origen de las coordenadas al centro del círculo (13),
para lo cual es menester que sean

2C'

X = x'—2h é y — y'~

h

— el-
la ecuación fll) se transforma en la que sigue:

A + k h

A \- ha. + h i A + Aj = 0.

h{A' + h)

Y aplicando al círculo representado por esta ecuación la transformación
por radios recíprocos, 6, lo que es igual, poniendo

kx. , ky^

.r^ + 1/,- • x^ + y^

A- = — — H h /ía + h [A + K),

h hiA' + h)

infiérese que

^2 + y 2 _ ux, -2.x,- -^^yx - 2fi¿/i - Y

H \- ka. -\-h{A + ]i) = 0:

h[A'-^h)

ecuación que coincide con la que se trataba de transformar.

Análogo cálculo, aplicado á las ecuaciones (12) y (14), nos daría la
misma conclusión.

Luego los círculos de que es envolvente la cúbica circular (3) no expe-
rimentan alteración alguna, ni tampoco, en consecuencia, la misma cúbi-
ca, cuando ésta se transforma por radios recíprocos, tomando por centros
de transformación los centros de los círculos representados por la ecuación
(13), ó por las (13) y (14j, cuando cero es raíz de la (10). De donde re-
sulta que las cúbicas circulares son analagmáticas : nombre aplicado á to-
das las curvas que coinciden con alguna de sus transformadas por radios
recíprocos.

48. Con el nombre de focos de una curva designó Plücker los pun-
tos por los cuales se pueden trazar dos tangentes á ella, cuyos coeficientes
angulares sean -\- i y — /. Cuando una de estas tangentes, ó las dos, to-
can á la curva en lo infinito, llámase singular el foco correspondiente:

— 42 —

aplicándose el calificativo de ordinarios á los focos de donde parten tan-
gentes, cuyos puntos de contacto con la curva se encuentran situados á
distancias finitas de los mismos.

En la Geometría Analítica establécense reglas generales para determi-
nar el número de focos de cada especie: número dependiente de la clase
de la curva, que, tratándose de las cúbicas circulares, es igual á seis
cuando no poseen ningún punto doble, á cuatro cuando tienen uno, y á
tres cuando tienen un punto de retroceso. En el primer caso, el número de
focos ordinarios es igual á 16, cuatro de los cuales son reales; á cuatro en
el segundo, contándose entre ellos dos reales; y á uno, también real, en el
tercero.

Para demostrar del modo menos complicado posible esta tan interesante
proposición, recordemos íSáímoí^ , Higher Curres planes, ed. 3.", núme-
ro ñl) que, en términos generales, la clase n, de una curva plana alge-
braica, se halla determinada por la siguiente fórmula de Plucker, cuyo
fundamento razonadamente expondremos como nota complementaria de
esta obra:

71 =z m {m — 1} — 2o — 3 v.

En la cual representan: m el grado ú orden de la curva; o el número de
sus nodos; y v el de sus puntos de retroceso. Tratándose, en particular, de
las cúbicas, m será igual á 3; y, por lo tanto, m = 6, si la cúbica no posee
ningún punto doble (5= O y v ^ 0); á 4, cuando posea uno (o = 1 y
V ^ 0); y á 3 cuando presente un punto de retroceso (o ^ O y v ^ 1).
Fácil es ver además que, poniendo en la ecuación de una curva C

I a) ^==^ y ./•=_,

aquella curva se transforma en otra, C, cuyos nodos y puntos de retro-
ceso son los puntos en que se transforman los de iguales nombres de la
primera, y que será, por lo tanto, de la misma clase.
De las ecuaciones (a) se deduce, en efecto, esta otra:

ax d.r^

— 43 —

según la cual — :— !- tendrá tantos valores en el punto íx^, y,) como ten-
d.r ^

ga —^— en el (.r, y): con la particularidad, además, de que, si en este pun-
dx

to la derivada admite valores iguales, también en el [ír^, y^ ) los admi-
ra"

tira la

dVx

dx^
De análogo modo: si en la ecuación de las rectas

Y=iX + A,

ponemos

(y)

r=ii y x =

X,

1

aquellas rectas se transformarán en estas otras, determinadas por la ecua-
ción Y^ = i -\- A X ^, y que pasan por el punto lO, ¿i. Y como, teniendo
en cuenta las relaciones íai, (¡3) y lyi, la ecuación de la tangente á la cur-
va C, en el punto (x, y),

V dy

fía-
se transforma en la

^i—!/,=-f^iX,-x^),

de la tangente á la f" en el (x^,y^), resulta, en conclusión, que las tan-
gentes á la primera curva, cuyo coeficiente angular es igual á i, se trans-
forman en las tangentes á la segunda, dirigidas por el mencionado punto
[O, i). Pero el número de tangentes á la curva C", que pasan por el punto
(0,¿), es igual á n, cuando este punto no pertenece á la curva; á n — 1,
cuando (O, i) coincide con un punto ordinario de la misma; á n — 2, cuan-
do coincide con un punto doble, etc., etc.; según también al final de este
libro nos reservamos demostrar. Luego el número de tangentes á C, de
coeficiente angular i, será también igual á n en el primer caso; á n — 1 en
el segundo; á n — 2 en el tercero, etc.

— 44 —

Aplicando tras de esto la transformación (¡y.) á la ecuación de las cúbicas
circulares, hállase la siguiente:

Fx,^ + A',/,^x, + 2 C'f/,.r,^ + 2 C.t,^ + ^.r^ = 1 + y,^,

por medio de la cual se ve que [O, i), es un punto ordinario de la curva
que representa.

Luego el número de tangentes á la cúbica circular, con coeficiente an-
gular igual á i , es n — 1 : representando, cumo en el caso general, por 7i
la clase de la cúbica considerada. Pero como una de estas tangentes debe
coincidir con la asíntota, de coeficiente angular /, que, según ya se vio en
el Núm. 42, posee la curva, el número de las mismas, con el expresado
coeficiente angular i, y puntos de contacto á distancia finita, se reduce á
n — 2.

Y por los mismos pasos se concluye también que ii — 2 es asimismo el
número de tangentes á la cúbica circular, con los puntos de contacto á dis-
tancia finita, cuando el coeficiente angular es — i.

Las tangentes del primer grupo cortan á las del segundo en (n — 2)^
puntos, que serán precisamente los focos ordinarios de la ctibica circular á
que n en particular se refiera: 16, 4 ó 1 solamente, conforme sea n igual
á 6,4 ó 3.

De los focos á que nos referimos serán reales los que resultan de la in-
tersección de cada tangente del primer grupo con su conjugada del segun-
do: cuatro, en consecuencia, cuando la cúbica carezca de puntos dobles;
dos, cuando posea un nodo; y uno, cuando presente wn punto de retroceso.

Los focos singulares reales resultan de la intersección de las asíntotas
conjugadas, ó susceptibles de permutación por el cambio de / en — /. Por
referencia á la ecuación (3), estas asíntotas tienen por ecuación

y = ±i\x-— (A—A')],
hallándose definido el foco singular real por las coordenadas

— 45 —

49. Tras de lo que precede, pasemos á determinar los focos ordina-
rios de las cúbicas circulares.

Si x^ é í/j representan las coordenadas de uno de estos focos, las rectas
cuyas ecuaciones sean

i/ — i/i = i {X — «ij é y — y^ = — i (X — x^)
serán tangentes á la curva. Luego el círculo imaginario

que comprende á las dos, debe ser bitangente á la misma curva, y hallar-
se, en consecuencia, comprendido también entre los círculos representados
por la ecuación (11), cuando cero no sea raíz de (10), ó por las (11) y (12),
cuando lo sea.

En el primero de estos casos (y de análogo modo puede tratarse el se-
gundo), de la identidad

x^+f-2ax-2'<y —-^ 2/.a - —

A -\- h II

H ^^— - + h (A + A) = (.r - x,)^ + (í/ - y,)^

h{A' -\- h)

se deduce que

a"i = a é «/i = 13;
y también

^l^ + y»^+4^+^^-^i+T-;,Jl; -^^(^ + ^^) = 0-
A -\-h h h (A + h¡

Comparando esta ecuación con la (13), concluyese que los focos están
situados sobre las circunferencias de los círculos representados por la úl-
tima ecuación. Luego los puntos de intersección de cada una de las pará-
bolas representadas por la (7), con el circulo correspondiente por la (13),
son los focos ordinarios de la curva. — Teorema descubierto por Hart,
según puede verse en Salmón (Higher planes curves, 3." ed., n.°* 168

y 271).

— 46 —

50. Anteriormente vimos que, cuando h = — A' es raíz de (10), una
de las parábolas (7) se reduce á dos rectas, ambas coincidentes con el eje
de las abscisas, sobre el cual pueden, en tal caso, existir focos que pasa-
mos á determinar.

Adviértase para ello que, si el punto (a'j, 0) fuese un foco de (3), cada
recta determinada por la ecuación

IJ=±Í [X — x^)

debe representar una tangente á esta curva, á la cual cortará, en conse-
cuencia, en dos puntos coincidentes. Y como los valores de .c en los puntos
de intersección de estas rectas con la cúbica se hallan definidos por la
ecuación

(2xi — ^ + A'} x^ — {x;^ + 2^' j, + C) X-]- A' x;^ — F= O,
cuyas dos raíces han de ser iguales, resulta esta otra:

(15) .f,* — 4^' ¿CjS + (2 C + 4^.4') x;^ + (8i^+ 4 CA') x,
-\-C^^iF{A' — A}=^0.

La cual sirve para determinar el valor de x^ y muestra que sobre el eje
de las abscisas existen en este caso, por regla general, cuatro focos.

5 1 . Tratemos ahora especialmente de las cúbicas, además de circula-
res, unicursales. Estas últimas curvas, como ya es sabido, poseen nn pun-
to doble que, tomado por origen de las coordenadas, permite reducir siem-
pre la ecuación ^2; á la forma

(16) X {x^ + ¿/2) = P, x^ -^Q.,xy + R., f.

Y si después se traslada el origen de las coordenadas al punto (O, — Q.¿¡,
la última ecuación se reduce á la forma (3), en la cual

A = P,; A' = R.] 2C = - (^^\ W = R^ (?.,; y T = - R.-> Q\,.

Aplicando tras de esto la ecuación ílOi á la determinación de h, obtié-
nese la siguiente:

- 47 —

//' + A» I P., + R,) + h-^ I n R., — - QJ) = 0.

4

De donde se infiere que, en este caso, dos, por lo menos, de las series
de círculos, consideradas en el Núm. 43 , y de que la curva es envolvente,
coinciden.

Adviértase además que los círculos que pasan por el punto doble de la
curva, y son tangentes á la misma curva en otros puntos, tienen cuatro
puntos comunes con la cúbica, reunidos en dos; y por eso el análisis del
Núm. 43 determina, no solamente los círculos bitangentes, sino también
los que, siendo no más que tangentes, pasan por el punto doble. Luego la
curva es, en el caso de que se trata, envolvente de tres series de círculos,
en general: bitangentes cuando no pasan por el punto doble; y nada más
que tangentes cuando pasan por este punto.

Si la cúbica considerada tiene un punto de retroceso, las series de cír-
culos, á que venimos refiriéndonos, redúcense á dos. Pues derivando dos
veces, con relación á jc, la ecuación (16), y poniendo luego x = 0 é y^O,
los valores de y' en el origen de las coordenadas se hallan representados
por la expresión

Q^±yQ./-iP,R.,
2R.,

¡I z^ » ".a 2 2

¡J o

Luego las dos tangentes á la curva en este punto coincidirán una con otra,
y el punto será de retroceso, si

En cuyo caso la ecuación que determina los valores de h tendrá tres raí-
ces iguales á cero.

52. El método expuesto en el Núm. 49 para determinar los focos de
las cúbicas circulares, es siempre aplicable á las curvas de este nombre,
sean ó no unicursales. Pero, en el caso de serlo, dedúcense de su aplica-
ción soluciones extrañas, 6 pseudofocos, que es necesario excluir. Lo cual
procede de que el método citado, no solameute sirve para determinar los
focos propiamente dichos, sino también los puntos por los cuales se puede

— 48 —

trazar á la curva una tangente, cuyo coeficiente sea igual á -)- ¿ ó — i, y
otra recta además que pase por e\ punto doble, y cuyo coeficiente angular
esté respectivamente representado por — i ó por 4^ i. Estas últimas rec-
tas tienen, en efecto, dos puntos comunes con la curva, reunidos en uno,
como los tangentes cuyos coeficientes angulares sean — * y + i- lo cual
constituye el fundamento del método referido. Luego, si x' é y' represen-
tan las coordenadas Aú punto doble, el punto (x^,ii^), hallado por el mé-
todo referido, no será foco cuando, siendo diferente del {x,y'), resulte
situado sobre cualquiera de las rectas

y — y' ^± i(x — x'),

que pasan por el punto doble, y tienen por coeficientes angulares -{- i
6 — i, pero que no pueden ser tangentes á la curva, porque, de serlo,
tendrían cuatro puntos comunes con ella: lo que es absurdo.

Y como por el punto doble no pueden trazarse rectas que sean tangen-
tes á la curva en un punto diferente de éste, porque tales rectas tendrían
más de tres puntos comunes con la curva, concluyese también que aquel
punto solamente merecerá el nombre de foco cuando las tangentes en este
punto tengan por coeficientes + » y — '.

53. Para aplicar las doctrinas acabadas de exponer, consideremos, en
primer lugar, la estrofoide recta, que tiene por ecuación (^Núm. 23)

(íc^ -)- y'^) x = a (x'^ — y^),
y de la cual, cotejada con la (3), se deduce que

A = a, A' = — a, C=0, C" = O y F=0.
Valores que, sustituidos en la (lOj, dan por resultado
A = 0, h = a y k = — a.
A la primera solución corresponden la parábola

2 2a

— 49 —
y los círculos, dados por las fórmirlas (12) y (14),

Ix - a)á + {y - p)2 = a2 + [¿2, y X'^ + Y^ = 0.

La curva, en este caso, es la envolvente de los círculos, cuyos centros
coinciden con la parábola, representados por la primera de estas ecuacio-
nes: no correspondiendo ningdn foco ala intersección de la parábola con el
círculo A^- -[- r- = 0, porque este círculo equivale á las dos rectas
Y= zh iX, que pasan por el punto doble de la curva.

A la solución /« = — a corresponden la parábola

4a
y los círculos

x^ -f 2/2 _ 2ax — 2|3í/ + 2ay. = O y X^ + F-^ — 2aX = 0.

Y la curva, como en el caso anterior, es la envolvente de los círculos
representados por la primera de estas dos ecuaciones, cuyos centros descri-
ben la parábola: verificándose además que aquella parábola y el círculo á
que corresponde la última ecuación se cortan en los puntos (0,0) y [ — 2 a,

± 2ai\2 ]. El primero de estos puntos es doble y no puede ser foco; y
los otros dos son los focos imaginarios de la curva.

A la solución li = a corresponde la recta ¡3 = 0, resultando entonces de-
finidos los focos situados en esta línea por la ecuación

a'i4 + 4a,V — 4a2x,2 = 0.

De la cual se deduce que las coordenadas de los focos reales de la estro-
foide son

[-2a(l±\/2"), 0].
Como segunda aplicación, consideremos la cisoide de Diocles,

{x^ + </^j d? = 2ay2.
De la ecuación dOj se desprenden entonces para h estos valores:

4

— 50 —
// = 0, y h = — 2a.

Al primero de los cuales corresponden la parábola

y los círculos

{X - a)2 + (¿/ - p)2 = a2 + p2 y A"^ + 72 _ o :

siendo la cúbica ahora considerada envolvente del sistema de círculos por
la primera de estas dos ecuaciones representados.

De la intersección con la parábola del círculo A'- -|- Z'^ = O, no resul-
tan ahora focos, porque el círculo equivale á las dos rectas T= dz iX,
que pasan por el origen.

En cambio, si A = — 2a, hallaremos que fi = O, y los focos resultan
determinados por la ecuación

según la cual, la curva posee un fo-
co, en el punto (Ha, 0).

54. Continuando el estudio de
las cúbicas circulares unicursales,
demostremos ahora que estas cur-
vas pertenecen á la clase de las ci-
so¿c?es (Núm. 1 7), y que, por lo tanto,
pueden obtenerse por medio de la
construcción indicada en el mismo
número, para obtener las cisoides
en general, reemplazando la cónica,
de que entonces se habló, por un
simple círculo.

Representemos, en efecto, por G
(fig. 11) el centro de una circunfe-

Fignra 11.

rencia que tenga por ecuación

^ + f-Y(B^-P^)x-Q^y = Q^

— 51 —

y sean, además, KL una recta fija, definida por la ecuación .v=: — R^,
y OD otra recta, móvil, que pase por el punto O, origen de las coordena-
das. Si tras de esto señalamos el punto 31, de manera que OM sea igual
á ED, el lugar geométrico de las distintas posiciones de M, cuando la
recta OD varía de situación, girando alrededor de O, será la cúbica re-
presentada por la ecuación (16 1.

En efecto: si p^ = OD, p2== OE,y p = OM, hallaremos, lepresentan-
do por & el ángulo de MO con el eje de las abscisas, que

p = Pi — p2J Pi + (-^2 — í*o)cos0 — Q.¿sen^ = 0; j p.^cosB = — R.^.

Y, eliminando Oj y p^ entre estas ecuaciones, y contando con que .r = pcosfl
é ¿/ = psenO, obtiénese la ecuación (16) de las cúbicas circulares unicursales.

La forma de la curva así resultante depende de la posición de la recta
fija KL. Repitiendo, á título de ejemplo, lo ya expuesto en términos gene-
rales al tratar de las cisoides en el Núm. 17, advertiremos que, si aquella
recta corta á la circunferencia ODA, la curva poseerá un punto doble
en O, y las tangentes á la curva en este punto pasarán por los puntos de
intersección de KL con la circunferencia. La cual será una estrofoide, si
KL pasa por el centro C de la circunferencia; ó semejante, en la forma,
á la estrofoide en cualquier otro caso. Si la recta KL es tangente á la cir-
cunferencia, las intersecciones de KL coinciden, y la curva posee un punto
de retroceso en O: caso de la cisoide. Y si la recta KL no corta á la cir-
cunferencia ni le es tangente, O será, ciertamente, un punto de la curva;
pero, en los alrededores de este punto, la curva resultará imaginaria. El
punto O será, pues, entonces un punto aislado de la curva resultante.

Adviértase asimismo que, por ser

dp _ dOD dOE

fíO ~ dfi d^'

el método explicado anteriormente para trazar las tangentes á la cisoide,
á la estrofoide y á la trisectriz de Maclaurin es aplicable á todas las cúbi-
cas unicursales circulares.

55. La rectificación de las curvas que estamos considerando depende
generalmente de integrales elípticas, como ahora veremos.

- 52 —
Poniendo en la ecuación ( 16 1 de la curva y = tx, resulta que

. = ^^, é y^ ^^(') ■

expresiones en las cuales

De donde se deduce que

ds^ _ dx^ + dy^ _ \F{t)Y^ - 2tF{t) F' jt) + (1 + ^ [F' (t)]'^
df^ df^ (<- + !)-

En la expresión de ds entra, pues, la raíz de un polinomio de cuarto
grado relativamente á t, y, por tanto, el valor de s depende de las integra-
les elípticas, que en el caso de la estrofoide recta y en el de la trisectriz
de Maclaurin fueron ya, poco más atrás, reducidas á integrales normales

de Legendre.

ds~

Y en el particular de que el numerador de admita como factor un

dt-

polinomio de segundo grado, relativamente á t, que sea cuadrado perfecto,
se obtiene s por medio de funciones elementales, conforme se vid en el
caso de la cisoide.

50. Terminaremos cuanto nos parece en esta ocasión pertinente decir
á propósito de las cúbicas unicursales circulares, mencionando dos traba-
jos sobre tan interesante asunto, presentados por Longchamps á la Asso-
ciation Franr-aise poiir V Avancement des Sciences, en los Congresos de
Grenoble (1885) y de Nancy (1886). En el primero de estos trabajos de-
muéstrase que las tangentes á la circunferencia DAO, en el punto D, y
á la cúbica en el M, cortan á la recta KL e>i dos punios equidistantes
del E; y en el segundo propónese un método para construir los puntos de
inflexión de las cúbicas unicursales circulares rectas. En el número 5 fué
considerado el caso particular del teorema anterior correspondiente á la
cisoide.

CAF'ITULO SEGUNDO

CUBICAS NOTABLES

(Continuación).

EL FOLIUM DE DESCARTES

57. Dase el nombre de foliiim, ú hoja de Descartes, á la curva cuya
ecuación, en coordenadas cartesianas, es

(1) a-3 — 3a.í-¿/ +í/3 = 0.

Curva de que, antes que ningCín otro geómetra, habló Descartes al Padre
Mersenne, en sus cartas del 18 de Enero y 23 de Agosto de 1638 (Oeu-
vres, ed. V. Cousin, 1824, t. vir, p. 11), en la primera de las cuales desa-
fiaba á Fermat á encontrar por su método las tangentes á esta curva, y en
la segunda expuso la solución del problema por él discurrida.

Ocupáronse también en el estudio de esta curva Roberval, que le dio
el nombre de galand (antiguo vocablo francés, sinónimo de noeud de ru-
bandj ó ¡lo)' de jazmín; Fermat, en carta dirigida también al P. Mersen-
ne, recientemente publicada en el Journal de Mathématiques Spéciales,
1883, p. lü, donde determinó las tangentes por dos distintos métodos;
Juan Bernoulli (Opera omnia, t. iii, p. 403), que precisó la posición
de su asíntota y halló los valores de las áreas; el Marqués de L'Hopital,
en carta á Huygens, de 1693, á propósito asimismo del último de estos
problemas; Maclaurin, en su Treatise of Fluxions (p. 198 del tomo i
de la traducción francesa del P. Pesenas), que la comparó con la trisec-
triz, considerada en el nñmero 34; etc., etc.

58. Como la ecuación del folium no se altera cuando se cambian x por y

— 54 —

é y por ,r, resulta que la bisectriz del ángulo de los ejes coordenados es
un eje de simetría de la curva. Conviene, pues, efectuar un cambio de
aquellos ejes, tomando la bisectriz como nuevo eje de las abscisas. Para lo
cual sirven las fórmulas

X

Y

é y =

X

+

Y

V2 V2 "^ V2 ' V-'

que transforman la primitiva ecuación de la curva en esta otra:

A'2 (3a — y2X)

r2 =

3 (a + V2 X)

De cuya consideración fácilmente se desprende que la curva tiene la for-
ma indicada en la fig. 12;
con un punto doble en O;
con la recta DL, cuya
ecuación es

X ^0D =

Figura 12.

V2

como asíntota; y el vérti-
ce A, situado á la distan-
cia del origen O, igual á
3a

w

Poniendo Y' ^ O en la
ecuación

2YY' {a + V2 X) + ^2 Y-' = X {2a — ^2 X),
y eliminando después Fpor medio de la ecuación de la curva, hállase que

— 55 —

Al primero de estos valores de X corresponden los puntos B' y B", cuya
ordenada Y es máxima, en absoluto; y al segundo corresponden valores
imaginarios de Y.

Y si en la ecuación anterior ponemos por Y su valor en X, y hacemos
luego ^Y = O, nos resultará 7' = ± 1 : lo cual prueba que las tangentes á
la curva, en el punto doble O, forman ángulos de 45'^ y — 45'^ con el eje
de la misma curva, y coinciden, por lo tanto, con los ejes de las coorde-
nadas á que antes se hallaba referida. (N.° 57).

RoBEEVAL fué el primer geómetra que procuró definir la forma del ío-
lium de Descartes; pero, conforme advierte P. Tanxery ( Intennédiaire
des Mathématiciens , t. iv, p. 126), ni él ni Descartes echaron de ver que
la curva se extiende hasta lo infinito: circunstancia notada, no sabemos si
con antelación á los demás geómetras, por Juan Bernoülli (1. c), quien
logró determinar también su asíntota real.

59. La ecuación del folium, referida á coordenadas polares, es

.3a(2cos2fl— 1)

"^2 (3 cos9 — 2 cos3 9)

De la cual se deduce un procedimiento sencillo de construir la curva, es-
cribiéndola del modo siguiente:

26cos'i

eos 9 \ eos O /

36 77 I '
2 o eos n

eos O

donde b =

3 a.

V'"

Tracemos, en efecto, una circunferencia de centro C (fig. 12) y radio
igual á — b; una tangente á esta circunferencia en el punto A; y la recta

variable OS. Y tomando después sobre esta recta el segmento BU, igual á
BS, hallaremos, representando por O el ángulo SO A, que

0S = -^ y 05 = ¿cos9.
eos 9

— 56 —
En consecuencia:

OU=OB-{OS — OB)^2hco&H ^—, y

eos o

OS +US=0S+2 [OS — OB) = -^ ~2b cosO.

eos O

Luego

os.ou

?■■

os + US

Para construir, pues, el punto J/de la curva, contenido en la recta OS,
basta construir una cuarta proporcional á las tres rectas

OS, OU y 0S+ US.

60. A cada folium de Descartes corresponde una trisedrix de Ma-
claurin, cuyas ordenadas guardan con las del folium la relación constante

de y 3 á 1. (MaclaurIn, 1. c.)

En efecto, si en la ecuación (Núm. 35) de la triseetrix,

n , — A'

ponemos

se deduce esta otra:

a
a, =

Vi

., X-^ (3a ~ V2 X)
y- := — ^

a + V2 A^

Y, comparando esta ecuación con la del folium , renglones antes conside-
rada, concluye también que

4 = 4. . ,, = Vír.

— 57 —

El foliiim y la trisectriz que acabamos de considerar poseen la misma
asíntota y el mismo eje, siendo además la subnormal de la segunda triple
de la subnormal de la primera.

(51. El folium de Descartes es una curva unicursal. Poniendo en (li
y = tx, obtiénense las fórmulas que dan los valores de .r é // en función
del parámetro t :

dat , ^at^

U

l+P 1 + ^3

Y por medio de estas fórmulas vese, como en el número 32, que los
valores de ¿, en los puntos en que la recta, cuya ecuación es

¿í.r4- í;¿/ = 1,
corta al folium, satisfacen á la condición

Si la recta pasa por un punto de inflexión de la curva, en este punto se ve-
rificará que i!j ^ í^ ^ 'sJ 7) en consecuencia, t^^ -\- l = (i. Ecuación de que
se desprenden tres distintos valores para ¿j, á los cuales corresponden tres
puntos de inflexión: uno real y dos imaginarios, situados todos en lo infinito.

02. Para hallar el área limitada por un arco del folium, por el eje de
la curva, y por las paralelas al eje de las ordenadas que pasan por los
puntos cuyas abscisas son JY,, y X^, emplearemos la expresión

Ja-„

de la cual, poniendo

a + \J2 X

é integrando, resulta que

— 58 —

representando por Xq y x^ los valores de v en los puntos cuyas abscisas
son A^p y A'j. ^

Si Ap ^ O y A, = — —, y, por tanto, ar^ = yS y ; j ^ O, multipli-

cando el resultado obtenido por 2, se hallará el valor del área A^, limitada
por la parte cerrada de la curva

A,

2

Y poniendo A'p = 0 y Aj ^ —, lo cual exige que sean ;íq = y 3

y x^=¿= oo , con sólo doblar el resultado se verá que el valor del área com-
prendida entre la curva y su asíntota es también igual á — á^.

03. Partiendo de la ecuación (1), obtiénese también fácilmente el
área B, limitada por un arco del folium; por una de las tangentes á la
misma curva, en el punto doble 0; y por dos paralelas á la otra.

Poniendo, en efecto, // = -^ en la ecuación (1), hállase que

t¿

x^ -\- u^ ^3au'^; y 2u^ du -\- x^ dx = iau^ du
Con lo cual

/yd.r = I - — dx = I íiaudu — 2?¿3 du) = 2au" u'* =
J u' J 2

ax^ 1 «'* 1 1 x^

De manera que, representando por .Tq é tj^, y x^ é i/^ las coordenadas
de las extremidades del arco considerado, hállase, en fin, que

2 ^ V ,Vi i/o I

Resultado obtenido por Juan Bernoülli (1. c.) y el Marqués de L'HóPi-
TAL (1. c).

— 59 —

II

LA ANGUINEA DE NEWTON

64. Newton, en su Enumeratio linearum tertii ordinis, publicada
en 1701, did el nombre de anguinea, 6 serpentina, á la curva que tiene
por ecuación

x^ y -\- abfi — a^ .r = O :

curva que constituye una de las setenta y dos especies de cúbicas que el
gran geómetra enumera en aquel célebre trabajo.

Para estudiarla, supongamos primeramente que a y b poseen el mismo
signo. Escribiendo entonces la ecuación bajo la forma

y

tt" X

x^ -\- ab

y llevando también en cuenta la igualdad

, a^ (ab — x^)
y = >

sin dificultad se concluye que la curva (fig. 13) pasa por el origen de las
coordenadas; que se extiende indefinidamente en el sentido de las abscisas
positivas y negativas; que O es un centro; que sus ordenadas adquieren un
valor máximo y otro mínimo en los
puntos A y B, correspondientes á

las abscisas .r= \ab y x = — V'^^-
y que el eje de las abscisas es asín-
tota suya.
La igualdad

?/

2a^ {x^ - 3ab) X

(.r2 + abf

Fignra 13.

muestra parecidamente que son puntos de inflexión de la curva el origen O
de las coordenadas, y aquellos otros cuyas abscisas son iguales á -|- y 3ai

- GO —

y — y ?>ab. En el primero de los cuales ij' = , y la tangente á la cur-

86

va es paralela á la hipotenusa del triángulo rectángulo que tiene por vér-
tices el origen de las coordenadas y los puntos (O, a) y (86, 0).
65. La ecuación de la tangente á la curva en el punto (x, y),

■^ (a-2 + a6)2

da, poniendo Jí = O,

2f'x

r=

Y por medio de esta fórmula se puede construir el punto en que la tan-
gente corta el eje de las ordenadas, y, como consecuencia, la tangente.
66. La expresión del radio de curvatura es

m a'* íc2

K •■

2{x^' — ?,ab)f

)

representando por N la longitud de la normal á la curva en el punto (,r, ij).
67. El área A, limitada por la curva, por el eje de las abscisas y por
una recta paralela al eje de las ordenadas, tiene por expresión

A^ í yd.v = ^

, .r^ -I- ab

log .

ab

Y, en particular, el área A^, limitada por la curva, por el eje de las
abscisas, y por una paralela al de las ordenadas, trazada por el punto don-
de // es máximo, ó .r ^= \ ab, se halla representada por la fórmula

así como el área, limitada por la curva, por el eje de las abscisas y por la
recta paralela al eje de las ordenadas, que pasa por el punto de inflexión,
lo está por esta otra:

A.^ = a- log 2.

— 61 —

'Se ve, pues, que el área de OAP es igual á la de ACRP.
68. En el caso de que a y b tengan signos contrarios, la forma de la
curva seiá diferente de la hasta ahora considerada, porque entonces ij tiende

hacia x cuando x tiende hacia \ — ab y hacia — \ — ab; y las rectas,

dadas por las ecuaciones x = \ — ab y x = — y — ab, son asíntotas de la

curva. Como, además, // es negativa en el intervalo de .r^ O á j"^ y — ab

y en el de .r ^ — y — ab á ¿t' = co , y positiva en los otros intervalos,
concluyese sin dificultad que la curva posee la forma indicada en la figu-
ra 14, en la cual OP = V — ab y 0Q = — y — ab, con dos puntos de
inflexión imaginarios y uno real en O.

09. Cuando a y i sean del
mismo signo, hállase ligada la
anguinea con el círculo que
tiene por ecuación

(-!)

+ r

Figura 14.

mediante una relación alge-
braica muy sencilla.

Supongamos, en efecto, que a-^aó y «- = aí3, y la ecuación de la
anguinea se transformará en esta otra:

.y =

ap.r

.r2 + 7.2

En la cual se transforma asimismo la del círculo, si por X é Y se ponen en
ella las siguientes expresiones:

(1)

A^ =

Y=¿/.

Luego á cada punto {X, Y) de la circunferencia considerada corresponde
otro punto (.r, y) de la anguinea, ligado con el primero por medio de las
anteriores últimas relaciones.

— 62 —

Además: representando por KL (fig. 15) una recta, dada por la ecua-
ción y = OL = a; por M un punto cualquiera de la circunferencia consi-
derada; y por mP y mB otras dos rectas, paralelas á los ejes coordena-
dos, de los triángulos POM y LOB, se deduce que

OP
OL

PM PM

Y

X

LB

Ptn

Pm

Luego las coordenadas, x = Pm é 1/ =^ OP^ Y, del punto tu satisfacen
á las relaciones (1), y, en consecuencia, 7)i será el punto de la anguinea
correspondiente al M de la circunferencia. De donde se desprende un pro-
cedimiento muy sencillo para construir
la primera de estas dos curvas.

Más todavía: la ecuación de la tan-
gente á la circunferencia en el Jí tie-
ne por expresión

X,

Fisura 15.

X^
dX

(IX

y,- y), <5

dy

dy

Y,

■y

y á la anguinea, en el m, esta otra:

X,-a:^^{Y,
dy

y), 6

xy

dx

X,

dy

Y como de la relación X = se deduce parecidamente que

dX , dx

dy

dy

dX dx

por eliminación de la Jl y de los coeficientes diferenciales

dy ' dy

entre estas varias ecuaciones, se desprende, finalmente, la que sigue:

y — "-

xy

X,

5'i

= 1:

— 63 —

á la cual deben satisfacer las coordenadas A'^ é Y^ del punto de intersec-
ción de las dos tangentes consideradas, á la circunferencia en M, y en m
á la anguinea. Pero la ecuación de la recta que pasa por P (O , y) y por
B (,r , y) tiene por ecuación precisamente la que se acaba de deducir: luego
aquellas dos tangentes se cortan sobre esta recta. Y, por lo tanto, uniendo
con el punto ?» el de intersección de la tangente d la circunferencia con
la recta PB, se obtendrá la tangente á la anguinea.

in

EL TRIDENTE DE NEWTON

70. También comprendió Newton esta curva en su ya mencionada
Enumei'atio linearum tertii ordinis, asignándola por ecuación ésta:

y

7)1 X

Para hallar la forma del tridente^ supongamos primeramente que m y D
son positivas. En este caso // tiende hacia co cuando x tiende hacia O, pa-
sando por valores positivos; y hacia — ce cuando x se aproxima á O, pa-
sando por valores negativos. Luego la curva tiene por asíntota el eje de las

Fisur.1 l(i.

Figura 17.

ordenadas, y, por relación á esta asíntota, la disposición indicada en las
figuras 16 y 17.

Cuando x tiende hacia ± co, ¿/ tiende hacia -f- co. Luego las dos ramas

— 64 —

de la curva se extienden indefinidamente, en el sentido de las ordenadas
positivas y de las abscisas positivas también, la rama de la derecha; y en
el sentido de las ordenadas positivas y de las abscisas negativas, la rama
de la izquierda. '

A las rectas paralelas al eje de las abscisas, que tienen por ecuación
y = k, corta la curva en un punto ó en tres. Uno de estos puntos hállase
siempre situado en la rama izquierda del tridente, y los otros dos, simul-
táneamente, en la misma rama, 6 en la opuesta de la derecha. La ecuación
que determina las abscisas de estos puntos,

,r3 + Bx'^ + (C— 7nl:) x + D = 0,

tiene, en efecto, por ser — D el producto negativo de sus tres raíces, ó
dos de éstas imaginarias y una real negativa; ó las tres negativas; ó dos
positivas y una negativa.

De análogo modo: las abscisas de los puntos de la curva, donde y es
máxima 6 mínima, dependen de la ecuación

2x^-hBx^ — D ^^_ ^ 2x^ + Bx^- — D = 0.

La cual, por ser positivo el producto de sus tres raíces, y nula la suma de
los productos de las mismas, tomadas de dos en dos, ó tiene dos raíces
imaginarias y una positiva, 6 dos negativas y positiva la restante. Luego
uno de aquellos puntos pertenece siempre á la rama colocada á la derecha
del eje de las ordenadas; y los otros, cuando existen, pertenecen ambos á
la rama situada á la izquierda del eje.
Por ser

2 {x^ + B)

y

mx"

vese que la curva tiene un punto de inflexión real, cuyas coordenadas son

C -B\/l^

x = —\Jd é y

m

En cuanto precede hemos supuesto que m y D eran positivas. Pero, si

65

una ó ambas cantidades son negativas, fácil es ver que la curva conserva
la misma forma, y que únicamente varía su posición por referencia á los
ejes coordenados.

7 1 . Para concluir, expondremos en dos palabras el procedimiento dis-
currido por LoNGCHAMPS ( Essüí SKI- la Oéométrie de la Regle, etc., Pa-
rís, 1890, pág. 110) para construir fácilmente la curva de que se trata.

En primer lugar, advirtamos que la ecuación del tridente puede escribirse
de este modo:

^.3 _^ 5a,2 _^ J)

C_
m

m X

La cual, mediante un simple cambio del origen de las coordenadas, se re-
duce á la siguiente, algo más sencilla:

íc3 + Bx^ -f D

m X

Hecho esto, tracemos la parábola
(fig. 18), cuya ecuación sea

X2 = mY;

y en el plano de la curva señalemos

un punto 7>, que tenga por coordenadas a y b, siendo

a = —B

D

ma

Tracemos después la recta AB, paralela al eje de las abscisas; la recta,
de posición variable, AC; la paralela al eje de las ordenadas CM; y la
recta B3í, paralela á la ^ C. Y el lugar geométrico descrito por M, cuan-
do AC varíe de posición, será la curva pedida.

En efecto: representando por x' é ^' las coordenadas del punto C, y por
xé t/\as del M; y expresando, además, que este punto M corresponde á la
recta B2Í, y el C á la parábola, hallaremos que

X-

'='«/; é í/ — 6:

ix -

■a .

X

— 66 —
De do'nde, por eliminación de x' é y', se desprende la ecuación del tridente

y =

j-" — a j'2 + ahm x^ + Bx"^ + D

m X

mx

IV

LA CONCOIDE PARABÓLICA DE DESCARTES

72. Consideremos una parábola (fig. 19 1 BAC, cuyo vértice A se
mueva sobre una recta fija (el mismo eje de la parábola), que tomaremos
por eje de las abscisas; un punto fijo D , situado en el eje de las ordena-
das; y otro E, móvil con la parábola, de tal ma-
nera que la distancia AE ^^ conserve constante.
La recta DE, cualquiera que sea su posición
variable, cortará á la parábola en dos puntos J/
y N , generadores de una curva á que Descar-
tes, en su Oeometría , publicada en 1637, don-
de la consideró y mostró el papel que representa
en la construcción de las curvas del 5.° y del 6.°
grado, dio el nombre de concoide parabólica,
por la analogía de su generación con uno de los

modos de generación de la concoide de Nicomedes.

73. Para hallar la ecuación de la concoide parabólica, póngase

Figura 19.

OA = h, AE = h, y OD= — c;

y sean además

w2 ==a(x — b) é Y

b + h

X — c

is ecuaciones de la parábola y de la recta DE.
La condición para que la parábola y la recta se corten es

b^h

c;

67

y la ecuación de la curva considerada se obtendrá por eliminación del pa-
ráraefro variable, b, entre esta ecuación y la do la parábola. Operación que
da por resultado el que á continuación se expresa:

^_ (y -\- c) {y^ — ah)
ai/

del cual se deduce fácilmente que la concoide parabólica es un tridente,
como los representados en las figs. 16 y 17, aunque en distinta situación
con respecto á los ejes coordenados; que corta al de las y en los puntos

(O, — c), (o, V a/¿ ) y (o, — y ah ); tiene por asíntota el eje de las absci-
sas; y posee una inflexión en el punto real, correspondiente á la orde-

nada y ach .

74. Algunos autores, como, por ejemplo, A. Conté (V. Nouvelles
Aúnales de Math., 1894, pág. 414), designan también con el nombre de la
curva de que traíamos á la obtenida, trazando un haz de rectas divergen-
tes, que pasen por el foco de una parábola cualquiera, y señalando sobre
todas ellas, á partir de sus intersecciones con la misma parábola, segmen-
tos de longitud constante.

Pero la curva así formada, cuya ecuación polar es

P = r «-')

2(1— eos e)

y la cartesiana

i {x^ + ¡r^ + kxy^ = (a + 2/.- + 2a-)-^ {x^ + if),

no coincide con la estudiada por el célebre fiiii<lador de la Oeometría Ana-
lítica ; y á la cual aplicó Moxtucla el nombre de concoide parabólica de
Descartes, en su Ilistoire des Mathcniatiques (t. ii, p. 340), y Chasi^s
simplemente el de parábola de Descartes, en su Aper^u historique
[2." ed., p. (30).

G& —

LA CUBICA DE AGNESI

75. Tracemos una recta fija O A (fig. 20); una circunferencia de radio
igual á — a, con el centro C sobre esta recta; y una perpendicular AK á

ó

la misma recta. Tírense después la recta variable fW y las paralelas á los
ejes de las coordenadas, iVm y Mm. Cuando, pasando siempre por O, la

recta 0]<! varía de situación, el punto m
describe una curva, cuya ecuación, repre-
sentando por X é y las coordenadas OP
y mP, es la siguiente:

mr

= " , ^ y

-"",6

MP

OP y/.,. („ _ ^.)

X

(1)

a:¡j" =^aP-{a — x).

Denomínase esta curva cúbica de Agne-
si, por habci sido estudiada por esta mu-
jer ilustre con el nombre de versiera *, en
Figura 20. SUS Listüuxioni analitiche ad uso della

giovenik italiana. Milano, 1748 [t. i, pá-
ginas 380-381 y 391-393). Aun cuando, según recientemente advirtió
AuBRY (Jouriial des Mathématiqnes spéciales, 1896, jp. 480), la misma
curva había ya sido considerada anteriormente por Fermat (Oeuvres,
1. 1, París, 1891, |J. 279; t. iii, 1896, p. 233), quien determinó su área;
por James Gregory (Gcometrice pars universalis. Padua, 1668); por
Barrow (Lectiones geométrica. Londres, 1669); etc.

76. Por medio de la ecuación de la curva, resuelta con relación á y,
y de su derivada

1/

«■' + /-

9

rij

y

■■• De verteré, ó versura, en latín, según Cantor. Peirce denomina en in-
glés la misma curva Tlie Witch of Agnesi. — La hechicera, en castellano.

69 —

fácil es ver que la curva tiene la forma indicada en la figura 21, línea

A^ A Ay En efecto, el eje de las ordenadas es asíntota de la curva, y el

de las abscisas un eje de simetría. En el punto A, cuya distancia á O es

igual á «, la tangente á la curva es perpendicular al eje de las abscisas.

Y de la ecuación y" == O se concluye que la

curva tiene dos puntos de inflexión, deter-

3
minados por la abscisa común — a, y por

4
las ordenadas á esta abscisa correspondien-

\/3"

tes, ±

■a.

77. La subnormal en un punto {x, y) de
la cúbica de Agnesi se expresa por la fór-
mula

de la cual se desprende, por procedimiento
muy sencillo, la construcción de la normal
en el mismo punto.

78. Represéntese por y^ la ordenada
del punto M, y por y la ordenada del pun-
to m ffig. 20), correspondiente al M. La
ecuación de la tangente á la circunferencia
en el punto AI es

Figura 21,

Y -.'/,=

dx

(X — x);

y la ecuación de la tangente á la cúbica en el punto m esta otra :

Además, ay^ = xy ; y, por lo tanto,

ady^ = xdy -(- ydx.

— 70 —

Pues eliminando //j, dy^ y di/ en la última ecuación con auxilio de las
tres anteriores, obtiénese esta otra:

X — a A' ,

1 -\ — == 1,

xy a-

á la cual deben satisfacer las coordenadas de los puntos de intersección
de las dos tangentes consideradas. Y como esta ecuación representa, cuan-
do se consideran A' é Y como variables, una recta que pasa por los pun-
tos iV y P, cujas coordenadas son (ff,, y) y (x, 0),el punto de intersección
de las dos tangentes debe hallarse en la recta PN. Para construir la tan-
gente á la cúbica de Agnesi en el punto m, basta, pues, trazar la tangente
á la circunferencia en el punto 21 y unir el punto en que esta tangente
corta á la recta PJV con el punto m. ( Godefroy.)

79. El área limitada por un arco de la cúbica de Agnesi, por el eje de
las ordenadas, y por dos paralelas al eje de las abscisas, que pasan por los
puntos cuyas ordenadas sean i/^é y^, está determinada por la fórmula

are tang — ! are tang

a

v]-

Para hallar el área A ^, comprendida entre la curva y su asíntota, basta
suponer que y^^ -\- co é yQ = — <x>.Y entonces, de la fórmula general
anterior se deduce que

,2.

A^ = na

igual á cuatro veces la del círculo director de la misma curva.

80. El volumen del sólido engendrado por la cúbica de Agnesi, cuan-
do la curva gira alrededor de la asíntota, ó eje de las ordenadas, se halla
expresado por esta fórmula:

T'

81. Como inseparables de la curva que acabamos de examinar, son
otras dos, con ella en su generación estrechamente relacionadas.

- 71 —

Una de estas curvas, denominada también cúbica de Agnesi, aun cuan-
do tan sutil geómetra no fijase su atención en ella, tiene por ecuación

xy'^ = a^ (2 a — x),

y ha sido recientemente considerada por Longchamps en su Essai sur la
Géométrie de la Figle ei de l'Equerre (Paris , 1890).
Y la otra, definida por la ecuación

(2íc - a) (;i-2 + .v2) ^ax^,

y representada en la fig.^ 21 por la línea A.^ A A.^ylo fué por Peano, que
la denominó visiera, en sus AppUcaxioni del Calcólo Infinitesmale (To-
rmo, 1897, p. 7).

GiNO Loria, que llamó la atención de los geómetras sobre las relacio-
nes de ambas curvas con la de Aonesi, renglones antes estudiada, aplicó
á la primera el nombre de psendoversiera; siendo de advertir que ya ésta
había sido mencionada por Leibnitz en sus cartas á Huygens, año 1673,
conforme, muy poco há, anunció AuBRY (Journal de MathémaUques
Spéciales, 1896, p. 180); y que la visiera de Peano es, simplemente, una
concoide de Slüse (Ntám." 18), que tiene un punto aislado en el origen de
las coordenadas, y por asíntota la recta que pasa por el centro C del cír-
culo director, y es perpendicular al eje O.c de las abscisas. Curva, por otra
parte, que resulta engendrada por el punto medio del segmento 3IN{ñg. 20),
conforme el m engendra la versiera: así como la pseudoversiera de Long-
champs resulta también de la misma
versiera con sólo doblar las abscisas de
sus puntos, sin alterar la longitud de las
ordenadas.

82. \jü. pseudoversiera hállase ade-
más muy de cerca relacionada con la
cisoide de Diocles.

Sean, en efecto (fig. 22), m un pun-
to de la pseudoversiera; KL una recta
fija, cuya distancia al origen de las coordenadas y al punto fijo C supondre-
mos igual á a; MC una recta variable que gira alrededor de C ; y niM y

P L

Figura 22.

mB dos rectas paralelas á los ejes. Y con esto tendremos, suponiendo que
mP^ xj, MP = Y, 0P=^ X,

y

2a — X

Por medio de esta igualdad, la ecuación de la pseudoversiera transfór-
mase en esta otra:

^,^ i2a-xy ^

que corresponde también á una cisoide de Diocles.

Para convencerse de esto último, pongamos el origen de las coordena-
das en el punto C, de manera que x -\- Jí^ 2a, y hallaremos entonces

r^:

.Y 3

2 a — X

con lo cual la coincidencia de una curva con otra es evidente.

83. El método de transformación acabado de aplicar débese á Ma-

CLAüRiN. Y puede ser también emplea-
do para derivar de la pseudoversiera
el folium de Descartes.

Designemos por »« un punto de la
pseudoversiera; por KL (fig. 23) una
paralela al eje de las ordenadas, cuya
distancia, OL, á este eje sea igual á

— a -\- \ 3 a; y por O' un punto cuya

distancia á O lo sea á - a. Trazando
2

la recta mB, paralela á O.r; después

la recta O'B; y, por último la mM,

paralela al eje de las ordenadas, obtiénese un punto M, que pertenece al

folium de Descartes. En efecto, poniendo mP=^ y, MP^ Y, y OP^x,

resulta que

K

m ,

3

M|'-'

,/''

-' i

0 0

P

L

X

Fisnra 23.

- 73 -

1

íc a

Y 2

y

V's

aVS

y, en consecuencia, contando con la ecuación de la pseudoversiera, poco
antes consignada,

Y= ^-^

a A / 2a — X

2V3

Ecuación ésta que representa un folitim de Descartes, conforme puede
verse con sólo llevar el origen de las coordenadas al punto O', poniendo

para ello x = X ^ a. Porque entonces resulta

A' A /3a — 2X _ X \ I U — V2 X

y'g- V 2A + a ~ s/l\ T+\l2X

donde b =

V/2

84. De la. pseudoversiera se puede también derivar una anguinea de
Neivton por medio de la i rans formación de Maclaurin.
La ecuación de la pseudoversiera

2a^

f + a^
y esta otra,

2^27

A':

72 + a-^

que representa una anguinea, dan, en efecto, poniendo Y= y^ y dividién-
dolas luego miembro por miembro, la siguiente relación entre las abscisas,
correspondientes á la misma ordenada:

X ffl^

a"" aay'

— 74 —

Por consiguiente, si KL es la recta (fig. 15), que corresponde á la
ecuación

I ^ LA = ,

m un punto de la pseudoversiera; y mB y niM rectas paralelas á los ejes
de las coordenadas, M es un punto de la anguinea considerada.

La interesante correspondencia aquí establecida entre la pseudoversiera,
la cisoide, el foliiim de Descartes y la anguinea, no sabemos que antes de
ahora haya sido puesta bien de relieve por nadie.

VI

LA CURVA DE ROLLE

85. Dase el nombre de curva de Rolle á la cúbica que tiene por ecua-
ción

(1) j-2/2= «(</ + *• ) 2, a>0.

La cual, resuelta con relación á y, se convierte en esta otra:

ax ± X \ ax a^ x

X — o _ -

± x"^ — a'-

Con cuyo auxilio y el de las dos siguientes, derivadas suyas,

a^{±x'^—2a^) , „ a'^[—l±^a~^x~^)
2 (±;r2— a2) 4 (±íc2-a'0'

vamos á determinar la forma de la curva.

En primer lugar advirtamos que, según la ecuación (2), la curva debe
hallarse situada por completo del lado de las abscisas positivas (fig. 24).

Las ecuaciones (2) y (3), poniendo en ellas .r = O, muestran además que

75 —

R

e\

/
10

A

1

\\^

F

■— 1

D

c\

/M

Figni'a 24.

el origen de las coordenadas constituye un yunto de retroceso de primera
especie, formando la tangente en este punto un ángulo de (—45°) con el
eje de las abscisas.

Al signo superior de la expresión de ij corresponde una rama infinita OC,
cujas ordenadas son nega-
tivas y crecientes, cons-
tante é indefinidamente, en
valor absoluto, cuando ,r
varía desde O hasta a/ y
una rama infinita, EGM,
cuyas coordenadas son po-
sitivas y crecientes hasta lo
infinito, lo mismo cuando x
se aproxima al valor de a
que cuando propende luego
hacia co. La recta AB, que
tiene por ecuación ,r = a , es una asíntota de estas ramas.

La expresión de ij' , correspondiente al signo superior, es nula cuando
x = ia: luego la curva posee un punto G, cuyas coordenadas OD y DO,
son ;x;=4aé_í/ = 4rt, donde y adquiere un valor mínimo.

Consideremos ahora la rama de la curva correspondiente al signo infe-
rior de la expresión de //.

Como en este caso es ;/ negativa, cualquiera que sea x , esta rama se

halla por completo debajo del eje de las abscisas; y, como es // = — — a,
cuando x = a, vese que corta á la asíntota en el punto cuyas coordenadas

son j- = a é V = «• El coeficiente angular de la tangente en este

2

punto es igual íí , y, por tanto, independiente de a.

o

En la rama de la curva que estamos considerando no existe punto algu-
no en que la ordenada sea máxima ó mínima; y como y tiende hacia — oo
cuando ,r tiende hacia + ^> concluyese que aquella rama se extiende in-
definidamente en el sentido de las abscisas positivas, alejándose cada vez
más del eje de las abscisas.

La expresión de y" muestra que en las ramas que corresponden al signo

— 76 —

inferior de la expresión de y no existe punto alguno de inflexión á distan-
cia finita; pero que sí existe uno en la rama EGM, correspondiente al signo
superior de la misma expresión. Las coordenadas de este punto son x^'da

. 9

é w ^ — a.
^ 2

86. La ecuación de la tangente á la curva de Rolle es

J-/ 1 J- ^\

Y-y= ^ ^ Y^^^-"^^-

(± x^ — ajf

Y la ordenada del punto, en que esta recta corta al eje de las ordenadas,
tiene por expresión

1 —

2S/ax

87. La cuadratura de la superficie, limitada por un arco de la curva
de Rolle, por el eje de las abscisas, y por dos paralelas al eje de las orde-
nadas, trazada por los puntos cuyas abscisas son íCq y Xj, se obtiene por
medio de la fórmula

^ ^ 2 Va r± "' V"'' - -^o V-^'" + ^''^ - ^°^ ^^ ± g (V^^ - ^7J

Lo í5

\/a;o=P\/a _

88. La ecuación (1), que acabamos de considerar, está comprendida
en la ecuación más general

a' //- = a (;/ — ni x)"^,

estudiada por Elgé en un artículo Sur la courbe de Rolle, publicado en
el Journal de Mathématiques Spéciales (1896, p. 32), en el cual se expo-
ne un método para construir la curva de Rolle por medio de una parábola.

— 77

VII

LA CÚBICA MIXTA

89. Filé dado por Longchamps (Essai de la Géométrie de la Regle
et de V Éqnerre, Faris, \ 890, jj. 116) el nombre de cúbica mixta á la curva
que tiene por ecuación

y cuya forma se determina fijando la consideración en las siguientes expre-
siones:

Va , \ I a x—2b „ \ I a

ib — X
-b 4:{x—bf

Sean, primeramente, a >- O, y 6 > 0. La forma de la curva será en este
caso la indicada en la figura 25, compuesta de dos ramas, simétricamente
dispuestas con relación al eje de las
abscisas.

La recta AB, definida por la ecua-
ción X = b, es asíntota de la curva;
y, por ser í/' ^ O cuando x^=co,
tiene ésta además una asíntota pa-
ralela al eje de las abscisas, á dis-
tancia infinita. Luego cada rama de
la curva presenta forma hiperbólica
por una de sus extremidades, y forma
parabólica por la otra: circunstancia
que dio origen al nombre por el cual la curva en conjunto es conocida.

Ijas ordenadas adquieren además dos valores, máximo y mínimo, en

los puntos By B, donde x = 2b é y ^=±2 y a ¿> . En tanto que los pun-
tos E y F, cuyas coordenadas son (4 i, — y 3 \J ab), son puntos de infle-

ó

xión, y el O punto aislado de la misma curva.

Fianr,! 25.

— 78 —

En el caso de ser rt-<Oy¿>0,la curva tiene la forma indicada en la
figura 26: convirtiéndose entonces los puntos de inflexión y los de ordena-
da mííxima y mínima en j^uníos imagi-
narios, y el antes aislado O en un nodo.
Y cuando sean «<0y6<0, ó
a > O y 6 < O, hállanse curvas de las
mismas formas en los anteriores supues-

— j tos ya consideradas.

90. La cúbica mixta puede cons-
truirse por medio de una parábola
(LoNGCHAMPS: /. c), conforme ahora
veremos.

Fignva 26. Sea ^B (fig. 27) una recta que tiene

por ecuación x = b; y M un punto de la parábola, cuya ecuación es
í/2 =: ax. Tomando sobre la recta OM, lí partir del punto M, una longitud
MN igual á OC, N será un punto de la cúbica mixta á que nos referimos.
En efecto: supongamos que COB= O, y ON^ p;
y hallaremos que

0C = -

eos O

y 031=

a eos 9

2F

sen

y, por lo tanto,

?■■

h
cosE

+

a eos O
sen^d

Ecuación polar ésta de la curva descrita por N, cuando OM varía de
posición, girando alrededor de O; y que, expresada en coordenadas carte-
sianas, concuerda con la de la cúbica de que se trata.

91. La rectificación de las cúbicas mixtas depende de las integrales
elípticas. En efecto, suponiendo que y = tx, la curva puede ser represen-
tada por las ecuaciones

X ■■

a + br-
¿2

a-\~br-
t

De manera que

ds

_\/b^-i^' — 2a

bt^ + a^t^ + ia^
<6

dt;

- 79
6, poniendo t'^ = %,

b-^x. — 2ab-{-— + ^'''

ds = , dz.

2 \/62;t3_2a62;2 + a2« + 4a2

Sabido es además , y fácil de verificar <5 comprobar por diferenciación, que
ia^dz ^_^f \\¿F(x)l _ (^ _ dx b^ _ dx,

donde

F (í) = ¿2 .3 _ 2a¿x2 _j_ a2 . _j_ 4 ^2.

Luego

¿2

*2._f2a6-ÍÍU^
1 \ 2 / 2x 1

ds = — ,

2^ ^F(x)

Y, poniendo ahora

14^]'

I 7 j. 2 a
3 ¿

de la expresión anterior se deduce la que sigue :

, , tidu / 4 1 , \ du

ds = o — , I — a o

V4m3 — g^u — g^ V3 2 / y 42*3 — ^^ „ — g^

I _^! ^^'* ^ . _ A f^ r V ^ "^ ~ g'i ^ ~ g-2 í.

2* (m + A) \/4i^3 —g^u — g.^ 4 L M + A J '

designando por g^ y g^ estas otras expresiones:

Luego la rectificación de las cúbicas mixtas depende de las integrales
elípticas de L", 2." y 3." especie

;du í* udu í* du

\4:u^—g^u—g.¿ J '\J iu^—g^u~-g.¿ J {u-{-k)\iú^—g^u—g.¿

reducidas á la forma normal adoptada por Weierstrass.

VIH

EL FOLIUM PARABÓLICO

92. Con el nombre de foUiim parabólico se designa la curva dada
por la ecuación (Longchamps: Géométrie de la Regle et de l'Equerre,
París, 1890, jj. 120)

x^ — a (ir- — //■-) — bxy = 0.

Cuando es 6 ^ O, la curva resulta simétrica relativamente al eje de las
abscisas, y el folium se denomina recto; y cuando h es diferente de O, el
folium se llama oblicuo.

Fácil es ver, por medio del método de las asíntotas, que el folium para-
bólico carece de asíntotas á distancia finita, y que, como la parábola, tiene
una dirección asintótica única, que coincide con la dirección del eje de las
ordenadas.

93. Escribiendo la ecuación del folium parabólico bajo la forma

tj = x-

b±\¡h'^—4.a(x — *
2a

y atendiendo á la igualdad

Fignra 28.

2« 2aS¡h^—'ka{x—a) '

también se ve fácilmente que la cur-
va es de la forma indicada en la figu-
ra 28, con un punto doble, O, en el origen de las coordenadas, donde las
tangentes á las dos ramas de la curva que allí se cruzan son perpendicu-
lares una á otra, según demuestra la fórmula

b ± \/b'-- + 4a2

— 81 —

En el punto A, donde la curva corta el eje de las abscisas, es .r = a; y
en el punto D, correspondiente á la misma abscisa, y = b.

94. El foliiim parabólico es una curva unicursal. Poniendo en su
ecuación y = tx, se desprenden estas otras:

x = a[\~f^) + bt, y = a[V — t-)t + brK

De las cuales se concluye la siguiente:

dat^ — 2bt — a

dy_
dx

2at-

Luego los valores de t en los puntos C y E, donde las ordenadas adquie-
ren un valor máximo y otro mínimo, serán éstos:

í =

b ± \/b^ + 3fl^
3fl

y el de ¿ también, en el punto B, donde x pasa por un valor máximo, y la
tangente á la curva es paralela al eje de las ordenadas, este otro:

M,

95. Y, por último, es de advertir que la curva de que se trata, puede
ser construida por el sencillo método
que sigue (Longchamps, /. c):

Sea OABC (fig. 29) un rectángulo,
cuyos lados O A y AB sean iguales á a
y b. Por el punto O trácese la recta ar-
bitraria OD, y por el D la perpendicu-
lar DE á esta recta; por el Í7 luego la
perpendicular EE á DE; y por el í\
finalmente, la perpendicular í'Jf á OD.
El lugar descrito por M, cuando OD varíe, será el folium parabólico que
se trata de construir.

A
Fif;ui-a 20,

— 82 —

Representando, en efecto, por O y p las coordenadas polares MOA y OM
del punto M, serán

cos'j

MI) = FE=DE tangO = -— tangS = "'^"°^'^~^ tangS.

eos 6 eos 6

Y de estas igualdades y de la siguiente

^=OM=OI) — MD

resulta la ecuación de la curva, referida á coordenadas polares:

n a tangO — /;

cosS eos 6

tangO.

De la cual sencillísimamente se deduce la ecuación del foUuní, expresada
en coordenadas cartesianas, renglones antes expuesta y discutida.

IX

LAS PARÁBOLAS DIVERGENTES

90. Así denominó Newton en su Enutheratio linearum tertii onlinis
las curvas comprendidas en la ecuación

(1) y^ = a.c'^ + hx'^ + cx + d:

las cuales, según el mismo gran geómetra nos enseñó, desempeñan impor-
tante papel en la teoría general de las cúbicas: como que la misma ecua-
ción (1) puede representar la perspectiva de todas las curvas de este últi-
mo nombre.

Por qué camino logró Newton descubrir tan interesante propiedad,
nadie lo sabe, ni es fácil adivinarlo. En la obra citada encuéntrase, sí,
enunciada la proposición bien explícitamente; pero no formulada su de-

— 83 —

mostración, que discurrieron antes que nadie, y publicaron por separado,
los geómetras Clairaut y Nicolb, en el volumen de las Memorias de la
Academia de Ciencias de París, correspondiente al año 1731.

El bello teorema de Newton á que nos referimos equivale al que ahora
procuraremos demostrar, enunciado en estos términos:

A nialqnicr cúbica corresponde una parábola divergente, deducida de
la misma cúbica por transformación homográfica.

Designemos por f(X, F) ^ O la ecuación de una cúbica cualquiera; y,
aplicando á ella la fórmula de Plucker (Salmón, Hygher plañe curves,
S." ed., n.° 82),

r. = 3w(m — 2)— 6o — 8v,

en la cual m representa el orden ó grado de la curva, 3 el número de sus
nodos, y V el de los puntos de retroceso, desde luego se concluye que,
por referencia á las cúbicas, el de puntos, i, de inflexión es siempre im-
par: por lo cual ha de ser real uno de ellos, cuando menos.

Sentado esto, concibamos en el plano de la cúbica un triángulo, cuyos
lados ¿i, A' y A" sean respectivamente segmentos de recta, tangente el
primero á la cúbica en un punto de inflexión real; de dirección arbitraria
el otro, pero sujeto á pasar por el mismo punto; y el tercero de posición,
que nos reservamos determinar ó definir más adelante. Y designemos por
[X, Y) un punto de la cúbica en particular considerada; y por x,^, jc^ é y^
las distancias respectivas de aquel punto á los tres lados del triángulo, ó
las coordenadas trilinealcs del punto (X, Y), por referencia al triángulo
de que se trata. En tales supuestos, podremos escribir que

x^ = a^X + b^Y-{-c^; tjy = a.¿X^b.^Y+ c^\ %^ = a^X'\-b^Y-\- c^.

designando por las letras a^,b^y c^; cr.3, h.^ J ("2] y a^, b^ y c^, cantidades
independientes de X é Y, y dependientes de las ecuaciones de las rec-
tas A', A" y A, conforme se consigna y explica en los tratados corrientes
de Geometría Analítica, y nos consideramos dispensados de reproducir
en este lugar.

Sustituyendo los valores de X é Y, desprendidos de estas ecuaciones,
en la ecuación de la cúbica considerada, obtiénese otra ecuación homogé-

— 84 —

nea en coordenadas trüineales, también de tercer grado, y de forma fácil
de precisar. Para lo cual basta advertir que la recta A corta :í la cúbica
en tres puntos., reunidos en el de iuterseccifín de las A y á', y cuyas dis-
tancias á A' son, en consecuencia, nulas; y que la ecuación de la cúbica
así deducida debe, por lo mismo, ser de forma tal que de ella se despren-
dan tres valores de i\, iguales á cero, cuando á la vez se suponga que
:íj ^ 0: de la siguiente, en suma:

ax^ = X, (t/,2 + Ax;^ + Cx;^ + Dx, u, + Ex, x, + Fy, z,), 6
ax¿' = X, (Ax-^ + Ex, X, + Cx;^) + y, x, (y, + Dx, + Fx,).

Advirtamos ahora que, aplicando á esta curva la ecuación

1 ''1 t

representativa de la polar del punto (Xq, ¿z,,, x^), relativamente á la curva
f{x„y,,x^^Q,y tomando para punto (.'y , y^ , ;? y) el de intersección de
las rectas A y A', en el cual se verifica que Xq ^ O y x^ = O, dedúcese que

x,y,{2y,-^Dx, + Fx,) = i).

Luego la recta x, = O y la 2y, -\- Dx, -\- Fx, = O constituyen la polar
del punto considerado. Pues si para completar la definición del sistema
adoptado de coordenadas trüineales convenimos en que el segmento A"
corresponde á la recta representada por la última ecuación, que debe re-
ducirse entonces á y,^Q, hallaremos finalmente que D = O y F= 0.

Luego, referida á los ejes así establecidos, la anterior ecuación de la
cúbica podrá escribirse de este modo:

(2) ax,^->ri'x,^x,-\-cx,x,^-\-dx,^ = y,'Z^.

De la cual se deducirá otra en coordenadas cartesianas, x é y, ligadas
con las X é T por las relaciones

(3) j^= ^1 = «i^+^i y+q ^ .'/i___«2_-Y+Í2r+co

«3 ^ + ¿3 5' + rg ' x, «3 A' + ¿3 r + c.

— Bo-
cón sólo poner en ella xz^ por .T^,éyx^ por ij^: encontrándose entonces
precisamente la de partida (1).

Luego á cada punto (A", YJ de una cúbica cualquiera corresponde otro
punto (x, y) de alguna de las cdbicas comprendidas en la ecuación (1),
hallándose ligadas las coordenadas de ambas curvas por las relaciones (3),
que definen la irans formación homográfica de una curva en otra, confor-
me nos propusimos demostrar.

De este género de transformación trató profundamente Chasles en su
importante producción matemática, titulada Mémoire de Gcométrie sur
detu- principes géncraux de la science: la dualitc et I' homographic: en la
cual aquel tan ilustre geómetra enseña que la transformada homográfica
de cualquier curva representa una perspectiva de la misma curva. Propo-
sición que al final de este libro demostraremos, para completar así, con lo
ya en este párrafo expuesto, la demostración del teorema de Newton,
renglones antes enunciado.

í)7. La ecuación (1) puede simplificarse desde luego, ó reducirse á la
forma

(4) í/2 = ax^ -\- ex -\- d,

con solamente trasladar el origen de las coordenadas al punto ( ,0 ).

\ Za )

Para ver cuál es la forma de las curvas contenidas en esta ecuación, ha-
bremos de considerar diferentes casos, comenzando por advertir que el eje
de las abscisas es siempre un eje de simetría de la curva de que se trata; y
para fijar las ideas, supondremos también siempre que a > 0.

Caso 1.° — Admitamos que las tres raíces a, p y y de la ecuación

ax^ -\- ex -\- d = 0

sean reales y desiguales, y que a ;> (3 > y.

La curva corta en este caso al eje de las abscisas en los puntos A, B
y C , cuyas abscisas son iguales á '>'■, p y y. Y entonces las ordenadas se-
rán reales y crecerán indefinidamente con x , cuando sea x >■ a; imagi-
narias, por el contrario, cuando ,r esté comprendida entre a y p; reales y
finitas, cuando x se halle comprendido entre p y y; ^ imaginarias de

— 8fi —
nuevo cuando .r •< y. I^iego la curva se compondríí de una rama cerrada
(fig. 30) CLBMy de una rama infinita NAP.
Por medio de la derivada

3 a j'2 -)- c

(5) .í/' =

2. y

Fignra 30.

vese que las tangentes en los puntos A, B, C son perpendiculares al eje

de las abscisas. Y, valiéndonos de
^a ecuación

. ^ax'^Ar c = 0,

que, en virtud del teorema de
Rolle, debe tener una raíz, com-
prendida entre p y a, á que co-
rresponde un valor imaginario de
jl , y otra, comprendida entre ¡5
y y, á que corresponde un valor
real de //, determinaremos la abs-
cisa de los puntos L y .1/, donde el valor absoluto de las ordenadas es
máximo.

Advirtamos afín, antes de abandonar este asunto, que, escribiendo la
ecuación de la curva del modo siguiente:

ij- =za (x — a) (x — p) ix — y) ,

se obtiene, para determinar //', la igualdad

, a[3ai^-2(a+ft + T)a? + «P + °^T + PT] .

y — ,

y, para determinar la abscisa de los puntos L y M, la ecuación

3a;2 _ 2 (a + p + y) x + a,3 + ay + ^y = 0.

Sustituyendo en el primer miembro de esta ecuación x por y, y luego
por — (P + y)) hállanse resultados de signos contrarios: lo que prueba

87 —

que los puntos L y M se proyectan sobre el eje de las abscisas, entre el
medio, ?7, de ^5 y el vértice C.
Caso 2.»— Si es a = [i, (5

_f^=.a(x — af{x — y),

y será real y crecerá indefinidamente cuando sea x >■ a; real y finita en el
intervalo de x ^ a. á x = y, é imaginaria
cuando x -< y. La curva es en este caso
unicursal, y de la forma indicada en la
figura 31. A los puntos C y i? ó .4 co-
rresponden los valores de x == y y a^ =^ a-
En los L y Jií. cuya abscisa es igual á

2y + a

— ■ , el valor absoluto de y es máxi-

3

mo. Y e\ B 6 A será un pimto doble, en
el cual las tangentes forman con el eje de
las abscisas ángulos cuyas tangentes tri-
gonométricas son iguales á rh ya (a — y).
Caso 3.°— Si ¡3 = y, ó

Figura 31.

f- = a (x - a) (X - p)2.

y será real cuando sea x

a, é imaginaria cuando a; <; a. En este caso
la curva es también unicursal, y tiene un pun-
to aislado C 6 B, cuyas coordenadas son (|3, 0),
y una rama infinita que pai-te del punto (a, 0)
(fig. 32).

Caso 4.° — Si las raíces a y p son imagi-
narias, poniendo a.=.p -\- iqy ¡3 ^^ — iq,
hallaremos que

yi^^alix-pf + q^ix-^);

Fisura 32. 7 '* curva poseerá solamente una rama infini-

ta, que pasa por el punto (y, 0), parecida á la
rama, infinita también, de la fig. 30, y carecerá de puntos singulares.

— 88

Caso 5.° — Si a ^ p = y, la curva se reduce á una parábola semicúbica,
que estudiaremos por separado más adelante, cuando especialmente trate-
mos de las parábolas en general. Por el momento, basta advertir que la
parábola de tercer orden, al íiltimo supuesto correspondiente, segtín se de-
duce de las expresiones

1 3

y = a^

3

'X-

= — «2

■a)'

(x — a) '

es de la forma indicada en la fig." 33,
con un pimto de retroceso (a, 0) en A;
y una asíntota en lo infinito, paralela
al eje de las ordenadas.

98. Tratemos ahora de cuanto á
los puntos de inflexión de las pará-
Fiffnra .S3. bolas divergentes concierne , comen-

zando por considerar las curvas de este
nombre que no son unicursales.

Derivando la ecuación (5), adviértese sin dificultad que será ¿/"=0,
cuando x sea igual á go, y además cuando

(6)

(Sax^ -\- cf — I2ax (ax^ -\- cx-\- d)

0.

A .T = 00 corresponde un punto de inflexión, situado en lo infinito.
Y como la ecuación (5) muestra también que será y' = co, cuando sea ésta
asimismo la expresión de .r, concldyese que la tangente á la curva en aquel
punto será paralela al eje de las ordenadas.

De la ecuación (6) se desprenden cuatro valores de .t, á cada uno de los
cuales corresponden dos de y, deducidos de la (4). Luego la curva admite,
además del que acaba de indicarse, otros ocho puntos de inflexión, reales
ó imaginarios, situados á distancia finita.

Poniendo sucesivamente en la ecuación (6), a; = a y a: = co, obtiénense
resultados de signos contrarios. Luego entre a é a existe un valor real de x,
que satisface á esta ecuación, y al cual corresponden, en consecuencia (figu-
ra 30), dos puntos de inflexión de la curva, N y P.

— 89 —

Por medio de la misma ecuación (6) podría sencillamente demostrarse
que la curva no tiene otros puntos de inflexión reales, fner:i de los indica-
dos. Pero más sencillo todavía, y preferible á esto, nos parece deducir la
exactitud de la proposición como consecuencia del siguiente importante
teorema, publicado por De Gua en 17iO (Usagc de VAnalyse de Descar-
tes, etc.), y de nuevo por Maclaurin (De linear um geometricarum pro-
prietatibus generalibus) , en 1748, que á continuación demostraremos, por
referencia exclusiva á la clase de curvas que estudiamos ahora:

Cualquier recta que pase por dos punios de inflexión de una cúbica,
cortará á esta curva en un tercer punto del mismo nombre.

Para ello, comencemos por escribir la ecuación (6) de este modo:

(7) .. + 2¿.^ + 4^.-¿ = 0;

y designemos por a^, a^, a^ y a^ sus raíces.
Pues para que la recta que tiene por ecuación

y = Ax -\- B

pase por los puntos de la cúbica, cuyas abscisas son a^, «g y a^, es me-
nester, y basta, que estas raíces satisfagan á la ecuación

(8) x^ x^- A .X A = 0:

a ' a a

y, por lo tanto, que los primeros miembros de las ecuaciones (7) y (8) sa-
tisfagan á la siguiente identidad :

^4 + 2-;c2 + 4-x-^ =
a a óa^

(,r.

,/„ A^ 3 I C-2AB ,d — B^\
\ a a "' j

de la cual, por igualación de los coeficientes de las mismas potencias de x
en ambos miembros, se desprenden las siguientes ecuaciones condicionales

— 90 —

para que tres puntos de inflexión correspondan á la línea recta conside-
rada:

A^^ — aa^; c = — 2AB—aa^^;

Dos de estas ecuaciones servirán para determinar los valores, ^ y 5, de
los parámetros de la línea recta; y los otros dos para decidir si los tres
puntos de inflexión se hallan ó no sobre esta recta, conforme aquellos
valores concuerden 6 no con los de los mismos parámetros que de ellas se
deduzcan.

Pues bien: si de la primera ecuación se toma el valor de ^, y el de i?
de la cuarta, y ambos se sustituyen en la segunda, hállase este resultado:

que igualmente se obtendría poniendo en la tercera los valores áe AB y
de B", procedentes de la segunda y de la cuarta. Y basta advertir que
este resultado coincide con el que se deduce de la (7), poniendo en ella x
por «j, para concluir que los tres puntos de inflexión, determinados por a^,
ag y «4, se encuentran situados sobre la misma línea recta.

La demostración precedente no es aplicable á las rectas paralelas al eje
de las ordenadas. Pero basta advertir que cualquiera de estas rectas, sobre
la cual existan dos puntos de inflexión, corta á la curva en un punto situa-
do en lo infinito, y que este punto lo es de inflexión también, para concluir
que asimismo se halla comprendida dentro del enunciado y condiciones
del teorema á que la demostración expuesta se refiere.

Del cual teorema se desprende además que la cúbica considerada sola-
mente posee dos puntos de inflexión reales á distancia finita.

Porque, en efecto: si poseyese cuatro puntos de este nombre, podríanse
por ellos trazar cuatro rectas distintas, no paralelas al eje de las ordena-
das, que cortarían á la curva en cuatro puntos reales, de inflexión tam-
bién, en virtud del teorema anterior. Luego todos los puntos de inflexión
de la curva serían reales: conclusión absurda, porque, poniendo en la
ecuación (7) x ^^ y y .r = co, sucesivamente, hállanse resultados de signos

— 91 —

contrarios: señal de que la ecuación posee, por lo menos, una raix, real en-
tre Y é 00 comprendida. Y precisamente á estas raíces ó valores reales de x
corresponden, conforme ya anteriormente se vio, valores imaginarios de y.

99. La doctrina referente á los puntos de inflexión, que acabamos de
exponer, debe modificarse cuando se trate de aplicarla á una curva uni-
ctirsal.

En efecto: como las coordenadas de un punto doble deben satisfacer á
las ecuaciones

y = 0 y 3ax^-{-c = 0,

á la ecuación (6) satisfarán en este caso, no solamente las abscisas de los
puntos de inflexión, sino también lus de los puntos del primer nombre.
Pero, aun entonces, es, sin embargo, fácil obtener una ecuación, apropia-
da solamente á la resolución exclusiva del problema de que ahora se trata
conforme pasamos á indicar.
1.° Sea c. = p, ó

//- = a tx — a)'^ ( X — y).
Por ser

" a/~ 3.f — 4:y + a

.V = v« 1~'

4(.í- — y)2

disponemos, para determinar los puntos de inflexión de la curva, de las
igualdades ^c = oo, y también

3 27 '

las cuales, como a > y, muestran que la curva posee dos puntos de infle-
xión imaginarios y uno real en lo infinito.

2." Si p ^ y, como en el caso anterior, dispondremos, para determinar
los puntos de inflexión, de las ecuaciones x = co, y de estas otras dos
además:

1 -1/1

,r = ^ - (4a — S) é y2 ^ „ (a — 8)3;

3 27

— 92 —

de las cuales se deduce que la curva tiene dos puntos de inflexión reales,
á distancia finita, y oti'o, real asimismo, en lo infinito.
Y 3.° Si a = [j = y, resulta que

^ -4 •

ix — a)

2

Según lo cual, la curva posee un punto único de inflexión, correspon-
diente á x = cc.

100. La cuadratura de las áreas limitadas por un :irco de la curva, por
el eje de las abscisas, y por dos paralelas al eje de las coordenadas, depen-
de, en los casos 2.° y 3.°, de las integrales

j (.r — a) (ir — yP dx é í (x — a)^ (x — ¡Í) dx:

iguales á

En el 2.° caso, el área A de la parte cerrada de la curva se halla expre-
sada por la fórmula

Q A.

^ = -^ (a — y) 2 ,
15

Pero, en el caso de no ser la curva unicursal, la cuadratura del área con-
siderada depende de las integrales elípticas, como vamos á indicar ahora.
Efectivamente, en aquel caso

A = j ydx = I \/ax? -{- ex -{- d. dx:

6, poniendo

< c . d

•'i a a

A = -^j \l4.x'^—g^x~-g^.dx.

— 93
Pero

ó, poniendo también

áx^—g^x — g.¿ = F(x),

f^F^, .. = 1 r^^F'ix)-2g^-Sg, ^^
J 3J VFix)

Si advertimos ahora que la integración por partes da

J F{x) J

nos resultará que

r\fF(^) dx = — x\jF{x) — ^ CsjYix) dx

_ 2_ r xdx _ r dx

3 'J \/fJ^) J \/Í>)'

Luego

j 5 5 j \//'(^.) 5 j \/^(^)

Vese, pues, que ^ depende de dos integrales elípticas, una de i.* espe-
cie y otra de 2.", que hemos reducido á la forma normal, adoptada por
Weierstrass.

101. Reduciendo la ecuación (4j de la cúbica considerada á la
forma

4

— 94 —

X é y podrán también representarse por funciones elípticas; y, empleando
la función p (u) de AVeierstrass, se hallará que

X =^ p [u] é 11 = — y a p (n).

ó

Y, partiendo de esta representación de las coordenadas, lógrase construir
la teoría de las cúbicas parabólicas por un método ingenioso, ideado por
Clebsch (Vorlesungen iiber Geometrie, ii), y extender luego los teore-
mas obtenidos en este caso á las cúbicas de cualquier otro nombre, fun-
dándose en la propiedad que posee la primera curva de poder represen-
tar la perspectiva de todas las demás.

Respecto á esta tan interesante materia, en cuya detallada exposición
no podemos detenernos en la ocasión presente, deben consultarse la obra
citada de Clebsch y el tomo ii del Traite des FoncHons Elliptiques de
Halphen. En la primera de estas obras utilízanse las notaciones de Jaco-
bi; y en la segunda, como en otras muchas, las de Weierstrass. También
puede verse el tomo iii de nuestro Curso de Analyse Infinitesimal, 1892,
p." 245 y 254.

X

LAS CÚBICAS DE CHASLES

102. Ijas parábolas dicergentes no constituyen el único grupo de cú-
bicas, que pueden representar las perspectivas de todas las curvas de este
nombre. La misma interesante propiedad posee otro grupo de cúbicas, in-
dicado por Chasles en su Aperrii hisiorique (2.° ed., p.''* 14tí y 348),
cuya ecuación general se desprende de la deducida en el Núm. 96

aaSj^ -(- feasj^ % + cíCj z,^ -\~ dx^^ = y^ x^ ,
poniendo en ella

^_x,_ a^X-\-b,Y+c, ^ ^^_x, ^a^X+b,Y+c,_^
y i a.¿ X + ¿2 3^ + Ca ' y^ a., X + b., Y + c.¿

— 95 —
con lo cual se obtiene esta otra, que es la buscada:

(1) y = ax^ -\- bx^ ¡j + c.x¿/' + dyK

Entre las parábolas divergentes de Newton y las cúbicas con centro de
Chasles, aunque de muy distintas apariencias, existe una relación analí-
tica sencillísima. Pónganse, efeclivamente, en la (1), en vez úa x é y, estos
otros valores

(2) ,r = A é ,y=— ;

Y, Y,

é inmediatamente aquella ecuación, del segundo grupo de curvas, se trans-
forma en la que corresponde al primero mencionado:

(3) \\ 2 ^ a AV' + ¿ A7 + c A'i + íí .

Las ecuaciones (2) definen una transformación homográfica, designada
por el nombre de transformación de Neirton, ya empleada, y en parte
también estudiada, en el Nám.° 48. Tanto que, aplicando ahora lo que ya
entonces se dijo, podemos concluir que cualquiera de las curvas, represen-
tadas por la ecuación (1), no tendrá ningún punto múltiplo, si la curva
correspondiente, comprendida en la (3), no le tiene tampoco; y, por el
contrario, que si la curva definida por la (3) posee un nodo, ó un punto
de retroceso, asimismo le poseerá, de igual nombre, la curva á que la ecua-
ción ( 1 ) se refiera. A lo cual podemos además agregar que los puntos de
inflexión de la curva representada por (1), corresponden á los de inflexión,
también de la curva, en la (3) contenida: proposición esta última, que se
demuestra tomando la ecuación, calcada en la (,3) del Núm. 48,

dx dX^

dy d\\

y combinándola con la segunda de las ecuaciones (2): lo cual da por resul-
tado

d^x ^ 3 d^X^
dy-^ ~ ' dY;^ '

— 96 —

Vese, pues, que los puntos de inflexión de la curva (1), se deducirán
de los de la (3), poniendo en las ecuaciones (2) los valores encontrados
de A'j é Fj.- de donde se desprenden los de x é ¿/.

103. Representando por a, p y Y las raíces de la ecuación

aP-\-bV^-\-ct-\-d=Q,
la (1) puede escribirse de este modo:

(4)

II = a{x — iii) (x — pí/) {x — y i/).

Por medio de la cual se determina fácilmente la forma de las cúbicas

de Chasle8, conside-
1^ rando los mismos casos

que en el estudio análo-
go de las varias figuras
parabólicas, poco antes
(núm. 96), considera-
das. Mereciendo, por de
pronto, advertirse que
todas las cúbicas de
Chasu;s poseen un cen-
tro, en coincidencia con
el origen de las coorde-
nadas, y un punto de in-
flexión en el mismo cen-
tro, y que la tangente á
la curva en este punto se
confunde con el eje de
las abscisas.

Caso 1.°— Si las raí-
ces a, ^ y Y son reales y desiguales, la curva consta de tres distintas ra-
mas, como las representadas en la fig. 34. Las rectas KL, K^ L^ y K.¿ L2,
que tienen respectivamente por ecuaciones

Fignra 34.

£c — ay = 0, x — ^¡j = 0, íc — y,í/=0,

- 97

serán asíntotas de la curva. La rama AOB temlr;! tres puntos de infle-
xión, en A, O y B, situados en línea recta. Pero las otras dos ramas care-
cerán de puntos de este nombre.

Caso 2.° — Si a == p y a. > y, también la curva poseerá tres asíntotas
reales, dos de las cuales serán una á otra paralelas, y estarán determinadas
las tres por estas ecuaciones :

X ■

■•(1/ y x = ay±\/—

V «(a — y)

Corresponde este caso al segundo de los considerados en el estudio de
las formas de las parábolas
divergentes: por lo cual la
curva posee un punto de in-
flexión real en el origen de
las coordenadas; dos ima-
ginarios; y un nodo en lo
infinito. Hállase su forma
indicada en la fig. 35.

Caso 3."— Si « = ¡i y
a <; y, la curva tiene una
asíntota real y dos imagi-
narias; un tiodo también en
lo infinito; y tres puntos de
inflexión reales: conforme
indica la rama fínica AOB
de la primera figura antece-
dente, á que substancial -
mente se reduce la cúbica en el caso de que se trata.

Caso 4." — Si a ^ p =y, la curva carece de asíntota á distancia finita,
y posee un punto de inflexión en O, y otro de retroceso en lo infinito: ase-
mejándose su forma á la de la rama AOB de la figura segunda. -

Caso 5.° — Y si a y ¡i fuesen raíces imaginarias, la curva correspon-
diente tendría dos asíntotas de este nombre, y una real además, determi-
nada por la ecuación ,T = yiy,- y constaría de una sola rama, sin puntos
dobles, y con tres de inflexión en línea rcc(a, como la AOB de la fig. 34.

7

FijIuiM 35.

— 98 —

A las cinco formas de las cúbicas de Chasles, que acabamos de consi-
derar, y á las otras cinco de las parábolas divergentes, poco antes también
consideradas, corresponden cinco distintos conos, sobre los cuales, en vir-
tud de los teoremas de Newton y del mismo Chasles, pueden adaptarse
todas las cúbicas. Las propiedades de estos conos fueron expuestas y ana-
lizadas por MoBiüS en el volumen, correspondiente al año 1853, de las
Abhand. der K, Sachs Ges. zti Leipzig; y por Cayley en el correspon-
diente al 1866, de las Transactions ofthe Cambridge Philosophical Society.

XI

CONCLUSIÓN. -SUCINTA NOTICIA BIBLIOGRÁFICA
SOBRE LAS CÚBICAS EN GENERAL

104. Con lo expuesto en los dos últimos párrafos, á propósito de las
parábolas divergentes y de las cúbicas de Chasles, damos por terminada la
parte de este libro, referente al estudio de las curvas de tercer orden, indi-
vidualmente consideradas, más notables.

A la exposición de la Teoría general de las cúbicas abren camino, y pue-
den servir como de introducción, las propiedades apuntadas de ambos gru-
pos especiales de curvas, apoyándose para ello en el teorema de Newton,
ampliado pot Chasles, que permite pasar de lo particular á lo general, ó
extender :í todas las cúbicas, en su importante y fecundo concepto de pers-
pectiías de las parábolas divergentes, ó de las cúbicas del mismo Chasles,
los resultados más salientes del estudio de aquellos dos tan interesantes
grupos.

Con el plan de nuestro modesto trabajo es incompatible el intento de
exponer la Teoría general de las cúbicas, ni en somero esbozo siquiera.
Limitémonos, por lo mismo, para concluir, á la consignación de algunos
nombres y fechas, de sumo interés en la historia del asunto.

Newton, en primer término, estableció las bases de la Teoría en su obra
fundamental, ya en las anteriores páginas varias veces mencionada, que
tiene por título Enumeratio linearum tertii ordinis, 1706, en la cual se
encuentran consignadas las diversas formas que pueden presentar las cúbi-
cas. Libro, poco después, continuado y completado por Stieling con otro

— 99 —

que tituló Lincee tertíi ordinis newtoniance, 1717; por Maclaurin, en su
Geometría orgánica, etc., 1720; por Nicolk, en su Traite des Ligues du
troisiiine degré, 1729 y 1731; por Euler, en su Iniroductio in analysin
infinitornm, 1748; por Cramer, en su hitroduction d l'Analtjse des Lignes
courbes, 1750, etc., etc.: los cuales fueron sucesivamente completando y
demostrando los resultados descubiertos por Newton, y enriquecieron la
doctrina matemática de estas curvas con nuevas y muy interesantes pro-
posiciones. En la magistral Historia de las Matemáticas, por M. Cantor
(Vorlesungen üher Geschichtc der Maihematil-. Leipxig, t. iii, 1898), pue-
de verse la parte que á cada uno de los hombres eminentes mencionados
corresponde en el desenvolvimiento de tan l)e]lo y fecundo capítulo de la
Geometría de las Oiirvas planas.

Mucho más tarde, Plucker, en su Si/stem. der analyfischen Geome-
trie, 1835, propuso una nueva y más completa enumeración razonada de
las curvas de tercer orden, estudiada de nuevo por Caylp^y en el lugar
renglones antes mencionado, donde se halla consignada su Classification
of cuhic Curves. En la sutil y minuciosa consideración de estas curvas se
ocuparon con posterioridad Salmón, en su ya clásico libro titulado Higher
plañe Curves; Durege, en su obra titulada Die ehenen Curven dritter
Ordnung, Leipxig, 1871; y Clebsch, en sus Vorlesiingen ilber Geome-
trie, traducidas al francés, y distribuidas en tres tomos con el título de
Lé'.oiis de Géométrie (1879-80-83), en el segundo de los cuales se trata
ampliamente de la materia á que ahora nos referimos.

De estos y de otros muchos trabajos, de empeño y transcendencia, sobre
la Teoría de las Curvas, hallará el curioso lector muy numerosas y bien
digeridas noticias en la obra del insigne profesor italiano G. Loria, titu-
lada II Fassato ed il Presente delle principalc Teorie Geometriehe (Tori-
no, 1896, p. 61).

CAPÍTULO TERCKRO

CUARTICAS NOTABLES

I

LAS ESPÍRICAS DE PERSEO *

105. Desígnanse con el nombre de espiricns de Persea las curvas re-
sultantes de cortar el toro ** por planos paralelos al eje de la superficie:
curvas en que por primera vez, según testimonio de Proclo, en cuyos Co-
mentarios se mencionan (ed. Taijlor, p. 139 y p. 146), fijó la atención
Perseo, geómetra que se supone haber vivido cerca de 130 años antes
de J. C. En un Vocabulario de términos geométricos , más antiguo que la
obra de Proclo, atribuido á Herón de Alejandría, advirtió Chasles,
en su Aperru historique (1875, p. 271), que se citan también estas curvas;
pero sin expresar quién fué el primer matemático que las inventó ó dio á
conocer á sus sucesores.

La ecuación del toro, 6 del sólido engendrado por un círculo, cuando

* Raíz común de los vocablos espírica y espirales parece ser la palabra
griega snEToa: espira en castellano, derivada del latín spira, que significa
«linea curva á modo de caracol; adorno de mujer para la cabeza; torta ó ros-
ca; rosca de la culebra; nudo de los árboles; cinta ó cordón pava asegurar el
sombrero; basa de columna...»

Pero, aun cuando aquellas dos palabras procedan del mismo origen , los dos
conceptos geométricos á que corresponden son uno de otro muy distintos, por
más que, confundiendo las especies, no han faltado autores, según Chasles
y MoNTUCLA , que atribuyeran sin fundamento á Pbrseo la invención de las
espirales.

** Del griego Tfjpoí, en latín torus, que, entre otras muchas y muy varia-
das acepciones, tiene las de cuerda delgada ó cordón, y de moldura, relevada
en redondo, en las basas de las columnas: bocel.

— 101 —

gira y da una vuelta completa alrededor de una línea recta (eje del toro),
situada en su mismo plano, es la siguiente:

[l ±yj x"^ + x^Y = B? — /,

suponiendo que por eje de revolución se haya tomado el de las y, y que
R represente «1 radio del círculo generador, y Ha distancia del centro de
este círculo al eje de la superficie.

La sección producida en ésta por un plano paralelo á su eje conserva
siempre, por definición, la misma forma, cualquiera que sea la posición del
plano, mientras su distancia al eje permanezca constante.

Suponiendo, pues, el plano secante paralelo al de las xy, 6 x^ c, para
ecuación de la sección, referida á un sistema de coordenadas, trazadas en
aquel plano, paralelamente á los ejes de las a; y de las y, y cuyo origen sea
el punto de intersección del mismo plano con el eje de las z, hallaremos

(1) [l±ylx^-\-c-^T = R'- — y'^: 6

(2) («2 + y2 _|. ;2 ^ c2 _ 2í;2)2 ^ 4 ¿2 (a;2 ^ c%

Las espí ricas de Persea son, pues, curvas de cuarto orden, cuya forma
es fácil determinar.

106. De su ecuación, ó de su definición geométrica, resulta, en primer
lugar, que las curvas consideradas no tienen ramas infinitas.

Y las ecuaciones

[y^ + a;2 — /2 + e^ — R^) x = O, {y^ -f- 3^2 + /2 ^ c^ — i?2) ,, = O,

obtenidas por derivación de la ecuación anterior, relativamente á x y á y,
muestran además que el origen de las coordenadas es un punto doble cuan-
do se verifica la condición

(3) l±c = -±R,

y que este caso es el único en que las espíricas admiten puntos de aquel
nombre á distancia finita. En cualquiera de estos supuestos, los planos se-
cantes, generadores de las espíricas, son tangentes al toro; y, no conside-

— 102 —

rando el caso de ser c = — I — R, porque c debe ser positiva , ni el de ser
c = l -\- R, porque entonces no existe curva, la ecuación (2) adquiérela
forma

(ÍC2 + /)2 = «2 .y2 _^ ¿2 ^2^

en la cual

a^ = 4:lc y ¿"-^ = 4/ (/ 4- c), cuando / -|- c = i2,-
y la forma

(;r2 + !/2)2 = ¿2 ,,,2 __ ^2 y2^

donde

a'^ = álc, b'^=z:4:l(l — o, cuando es / — c = R.

En estos casos, que más adelante estudiaremos con mayor detenimiento,
las espíricas reciben el nombre de lemniscatas *.

107. Cuando no se verifica la condición (3), las espíricas se componen
de una 6 de dos ramas cerradas, completamente separadas una de otra, y
simétricas relativamente á los ejes coordenados. Para determinar la forma
y la posición de estas ramas procuraremos, ante todo, hallar los puntos
en que las abscisas ó las ordenadas adíjuicren valores máximos 6 mínimos.

La ecuación, derivada de la (2),

(£C2 + ,/2 4- /2 4- c2 — i22j ydll -f (íC^ -^ ¡¡I _ ¿2 ^ ^2 — R^) xdx = O

muestra que el valor de y será máximo ó mínimo cuando sea a; = O, y tam-
bién cuando .r^ -)- y^ — ^^ + c^ — R^ ^ 0. O, en otros términos, cuando
se verifique alguna de las igualdades

£c = 0 ó x = ±y/l^ — c^,

d las cuales corresponden los siguientes valores de y, desprendidos de la
ecuación (1), por sustitución en ella de estos valores de x:

y

= ± Vi?2 - (l±cf é y = ± R,

* De /'vT^ij.via.'.oí, ó lemni»cus: faja ó banda: ó cinta estrecha, anudada en
figura de ocho; etc.

_ 103 —

excluyendo los de tj = ±'\R- — il'^, que no satisfacen á la ecuación í/'^O.
Y la misma ecuación muestra que x adquirirá valores máximos ó míni-
mos cuando y = 0, 6 x" + </-^ + /- + c^ — R^ = 0: ecuación que, com-
binada con la (1), produce para x valores imaginarios. Luego las espíricas
sólo admiten abscisas máximas ó mínimas en los puntos determinados por
las coordenadas

£C

■-±y{±R — l)'^ — c^, é ij = Q.

Esto sentado, consideremos diferentes casos, correspondientes á las dife-
rentes distancias del plano secante al eje del toro: los tres primeros en el
supuesto de que el toro sea abierto, 6 l> R; y los otros en el de ser
cerrado, 6 I <cR.

Caso 1."— Sea I > R (toro abierto) yl^c<l-^R.

De los puntos en que las ordenadas son máximas ó mínimas, sólo resul-
tan reales los siguientes:

[x = 0, y = ±MR''-(l—c)^];

j de aquellos en que las abscisas son máximas ó mínimas, estos otros por
junto :

[íc = ± VcR + O^^^, ,y = o].

La curva presenta , pues , en-
tonces la forma de un óvalo
(fig. 36), cuyos ejes, DE y EC,
son iguales á

2V-R- — (¿— cV^ y

2 \/{R + ¿)2 — C2

Caso 2° — Cuando sean
l> R y l—R<c<l, de

los puntos en que y es máxima ó mínima resultan reales los determinados
por estas expresiones:

- 104 —

Y de los puntos en que x es máxima 6 mínima, son reales los siguientes:
[x = ±\/iR + lf-c^ .í/ = 0].

La curva tiene, pues, la forma indi- .-

cada en la figura 37, en la cual

FB=2yJ{R + lf-e',

HD = 2 yR^ — (l — cf,

PQ = 2 \/p - c\ y AC=2R.

Caso 3." — Si son l>- Ry c <l — R, y resultará máxima ó mínima
en los puntos

y X, análogamente, máxima ó mínima
en los que tienen por coordenadas

«— <H^

í X

Figura 38.

[x = ±\l{±R-lf- c\ ^ = o] .

Luego la curva será de la forma in-
dicada en la figura 38, en la cual

OA=\¡{R-lf-(?; OC^S/^R-^-lf-c-; DB=2R; y OL=\/r'^c^

Caso 4."— Supongamos ahora que K.R (toro cerrado), y l<c<R-\-l.
En este caso y es máxima 6 mínima en los puntos ,

[,r=0, y = ±\'R^-il-cf],

- 106 —

cuando es e >> 7? — 1; y también en los mismos puntos, y en estos otros
además:

[íc=0, y = ±\jR^-{l + c)^,

cuando sea c <i R — /.

Y, de análogo modo, x será máxima ó mínima en los puntos

[x = ±^(R + lf~c^ ¿/ = o],

cuando sea c > i? — /; y máxima y mínima también en estos mismos pun-
tos, y en los siguientes además,

[x = ±\/iR~D^^c^ >/ = q],

cuando sea c <C R — 1.

En el primero de estos casos, la curva se compone de un óvalo único,
cuyos ejes son iguales á

2\/R^-{l-cf y 2 V^(i?+/)2 — c2;

y, en el segundo, de dos óvalos, uno dentro de otro, cuyos ejes son respec-
tivamente iguales á

2 \jRi -a- cf, 2 \J{R + If - c2; y
2 V^^— (¿+c)2, 2\/(R — lf-c^-.

Caso 5.°— Si soa I <: R y R — I <^e <l, las ordenadas serán máxi-
mas ó mínimas en los puntos

[x = ±}/l-^-c\ y = ±R], [x^O, y=.±\/R2-(l^c)^];
y máximas 6 mínimas las abscisas en los puntos

[x = ±\/{R-\-l)^-c^, ^ = o].

- lOG —

La curva tendrá, pues, una forma parecida á la que tenía en el segundo
caso.

Caso 6.°— Y, por último: si I <:,R, c <:iR — I, y c <,l,\a, ordenada
y será máxima 6 mínima en los puntos

[a-==0, !j:=±\/m — {l±cf'\, {x = ± \Jl^ — c\ y = ±R\,

y la abscisa, x, máxima ó mínima también en los puntos

[x = ±\/{±R — l)^ — c'-, i/ = o].

La curva se compone, pues, entonces de una rama, semejante á la cur-
va considerada en el segundo caso; y de un óvalo, colocado en el interior
de aquella rama, cuyos ejes tienen por expresión

2\/r^ — {1-\-c)^ y 2\l{R — l)^ — c\

108. Investigando las asíntotas de las espíricas por el método cono-
cido, hállase que estas asíntotas son imaginarias, y están definidas por las
ecuaciones

y = ix ih il é y = — ix rt il.

Las cuales enseñan que las espíricas poseen dos puntos dobles e7i lo infinito.

109. Para determinar los focos de las espíricas, comenzaremos, tras
de esto, por advertir que las asíntotas, cuyas ecuaciones acabamos de
hallar, se cortan en cuatro puntos, que son (Núm. 48) focos singulares de
la curva á que las asíntotas se refieren. Dos de estos focos serán reales, y
tienen por expresión analítica la siguiente: (r = ± /, y ^ 0); y los otros
dos imaginarios, determinados por las coordenadas {x = 0, y = zh i 1).

Los focos ordinarios (Nfim. 48), también pueden determinarse fácil-
mente. Para lo cual propusimos recientemente un procedimiento elemental
y sencillo en el volumen correspondiente al año 1900 de El Progreso Ma-
temático, que pul)lica en Zaragoza el profesor Sr. Galdeano. Pero el méto-
do que á continuación vamos á exponer, de carácter elemental asimismo,
nos parece todavía más sencillo.

— 107 —
Consideremos, en efecto, la recta, representada por la ecuación

y = ix + /.-,

que debe tener con la curva definida por la (2) dos puntos de intersección,
cuyas abscisas se desprenden de esta otra:

4 (A'^ + ^2) £c2 _ 4¿¿ (/.2 4_ ¿2 _^ c2 _ 7¿2) ¿p
-|_ 4¿2 ¿i _ (¿2 _^ ;2 ^ g2 _ J¿2)2 = 0.

Para que la recta en cuestión sea tangente á la curva, los puntos de inter-
sección de ambas líneas deben coincidir uno con otro, ó ser iguales, en
consecuencia, las dos raíces de la ecuación anterior. Luego deberá verifi-
carse que

A-2 (A-2 + /2 _^ g2 _ ^2)2 _^ (/.2 _^ ;2) ^4 ¿2 ¿¿ _ (/.2 _^ ¿2 _^ ^2 _ ^2)2J ^ Q,

6

(A:2 4- ¿2)2 _ 2 (A-2 + ¿2) (c'-^ -f /¿2) + (c^ — R^f = O :

ó, como fácilmente se desprende de aquí,

Jf = (c± Rf — P.

La ecuación de las tangentes á la curva considerada, de coeficiente an-
gular igual á -\- i, tendrá, según esto, por expresión

y = + ix ± V(c ± Rf — /2.

Y si el coeficiente angular fuese — i, hallaríase, para ecuación de las tan-
gentes, esta otra:

y-

— ¿X ± V(C ± i?)2 — ¿2

Todas estas tangentes constituyen, pues, dos grupos de cuatro rectas
cada uno; y las intersecciones de las rectas de un grupo con las del otro
determinan díex y seis puntos, que son precisamente ios focos ordinarios
de la espírica considerada.

— 108 —

De estos dicí y seis focos habrá reales cuatro, correspondientes á las
intersecciones de las rectas de un grupo con sus respectivas conjugadas
del otro. Siendo menester, para precisar sus coordenadas, distinguir en la
discusión diversos casos.

1.° Si es r- < [11 — cf, los radicales que figuran en las ecuaciones de
los dos grupos de rectas serán reales, y los cuatro focos de este nombre
tendrán por coordenadas

[^ = 0, í/ = ±V(c±i?)2-/2].

2° Si l^^ {R -{- c)^, los mencionados radicales serán imaginarios ; y,
escribiendo las ecuaciones de las rectas á que corresponden de este modo,

// = i[x± y/l^ — (o ± Rf] , é
j, = — ¿ [a- ± Vf_(c±í?)2],

adviértese inmediatamente que las coordenadas de los focos reales serán
éstas:

[x = ± Ml^ — (c± Rf, .í/ = o].

3.° y si (/2 — c)^ ■< P << (i? 4~ ^)^) ^^ análogo modo se concluye que
las coordenadas de los focos reales serán

[x = ±y/P-(R-cr, g = 0\, y [.r = 0, >/ ^ ±\\r + c)'' - T^.

110. Las precedentes conclusiones deben modificarse cuando sea
l = R±c, 6 cuando (Núm. 106) el origen de las coordenadas constituya
un punto doble de la curva.

Porque, en efecto: si l^ R — c, las ecuaciones de las rectas, secantes
á la curva en dos puntos coincidentes uno con otro, y que tienen por coefi-
cientes angulares i 6 — i, se reducen á las siguientes:

g = ix, g ^=ix±2 \ Re; 6
¡I = — ix, ¿/ = — ix±2 yj Re.

— 109 —

De las cuales las y = ix é y ^ — ix pasan por el punto doble , donde
tienen dos puntos comunes con la curva, sin ser á ésta tangentes, por lo
cual no determinan ningún foco. Mientras que las otras rectas se cortan
en cuatro distintos puntos y determinan cuatro focos ordinarios , de los
cuales son reales dos, definidos por las coordenadas

[x = 0, .y = ±2V-Kc].

Y del propio modo se concluirá que, cuando sea l^ R -\- c, la curva po-
see también cuatro focos, y entre ellos dos reales, cuyas coordenadas tie-
nen por expresión

[x = ±2 y Re, y = o].

111. Las espíricas de Persea son caso particular de muy extensa cla-
se de curvas, denominadas también espíricas, que comprende todas las
secciones planas del toro: curvas estudiadas por Paga ni en una Memoria
premiada en 1824 por la Academia de Bruselas, y después por Darboux
(Nouvelles Anuales, 1864, p. 156); por La Gouknerie (Journal de Liou-
ville, 1869, p. 9); etc. Siendo de advertir que las espíricas, en general, se
hallan á su vez contenidas en otra clase más amplia de curvas, de que
trataremos más adelante.

II

LAS CASSiNICAS

112. Pertenecen á la clase de las espíricas de Perseo las curvas pla-
nas, engendradas por un punto móvil, de tal modo que el producto de sus
distancias á dos puntos fijos, situados en el mismo plano de la curva, sea
constante. Distínguense en particular estas curvas con el nombre de óvalos
de Cassini, 6 simplemente de cassínicas, por haber sido consideradas por
el célebre astrónomo Dominico Cassini, que pretendió sustituirlas á las
elipses de Kepler en el estudio del movimiento de los astros.

— lio —

Sean 21 la distancia de los puntos fijos considerados, F y F' (fig. 39),
y >?i la constante dada. Designando por M el punto generador de la curva,
por definición resulta que

MF X MF'

m.

Y tomando la recta F F' para eje de las abscisas, y su punto medio como

origen de las coordenadas.

V/(..^_/)2+,/2xV/(,X+0'^ + .'/^

(x'- + y^ + Ff = wi2 + 4/2 .r2..

ó, poniendo m^ = iP c~,

(ÍC2 + / + ¿2^2 _4 ¿2(^2 + ^2).

113. Comparando esta ecuación con la (2) del Núm. 105, vese que
las cassínicas coinciden con las cspírícas resultantes de cortar el toro por
un plano paralelo al eje, y cuya distancia á este eje sea igual al radio del
círculo generador de la superficie.

Poniendo, pues, i2 = í» en los resultados obtenidos en el Núm. 107,
por referencia á las espíricas, concluyese sin dificultad que las curvas de
Cassini, desprovistas de puntos duplos, á distancia finita, admiten tres
formas diferentes.

Caso 1." — Si / >> 2c (caso 3.° de las espíricas), la curva se compondrá
de dos óvalos, como en la figura 33.

Caso 2." — Si 2c ;> / > c (caso 2." de las espíricas), la curva tendrá la
forma indicada en la figura 32.

Caso 3." — Si es Z ^ c (caso 4." de las espíricas), la curva presentará la
forma de una elipse. Tanto, que algunos autores aplican entonces á la cur-
va el nombre de elipse de Cassini (fig. 36).

En el caso de ser Z= 2c, la curva se reduce á la llamada lemniscata
de Bernoulli, que más adelante especialmente estudiaremos, y la cual tie-
ne por ecuación

(x2+y/2ja,= 8c2(a;2-/^

— 111 —

114. La ecuación de las cassinicas, en coordenadas polares, es

p4 _ 2 /2 p-2 eos 2 8 + /i = 4 1^ cK

Y, partiendo de ella y apoyándose en las fórmulas conocidas

senF— p — , cosr = — -,
ds ds

en las cuales s representa la longitud de los arcos de la curva, y F el án-
gulo de la tangente con el radio vector del punto de contacto, se obtendrá
fácilmente la expresión del radio de curvatura de las curvas consideradas
por el método siguiente (Cesaro: Lexioni di Geometría intrinseca, Na-
poli, 1896, j;. 42).

Derivando la ecuación de la curva relativamente á s, y contando con
las anteriores igualdades, dedúcese que

{A) p2cosF=Z2cos(29— F).

Y, eliminando p entre esta ecuación y la de la curva, se hallará la si-
guiente:

{B) Zsen2f| = 2ccosF.

Derivando de nuevo esta ecuación, relativamente á s, obtiénese

, „. ¿6 dV

ícos2tí = — csenK ;

ds ds

y, por lo tanto,

dV
ds

1
c

eos 2 9
senF

d9
ds

1
c

eos 2 9

P

Advirtamos ahora que, si por o se representa el ángulo formado por la
tangente á la curva con el eje de las abscisas,

9 = ce 4- F.

- 112 —

Y, en consecuencia, recordando la igualdad conocida — '— = — , en la

ds R
cual R representa el radio de curvatura,

(¿9 1 I ^r

= cos26.

ds R rp

Notemos, asimismo, que de las expresiones {A) y {B) se desprende
esta otra

o /^ (eos 2 e eos F + sen 2 6 sen F) o. , 9 , jr

p-^= ■ = í- eos 2 a + 2cí senF.

cosF

La cual, combinada con la ecuación de la curva, produce los siguientes
resultados:

cos2t) = -í — ■ y sen r = -í ■ ,

2¿2p2 4c¿p2

Luego, finalmente:

1 senF , I „. 3p4 + ;4— 4/2c2

— = 1 eos 2 y ^ — ' .

i? p cp icip^

Igualdad ésta que determina el radio de curvatura de las cassínicas, en
función del radio vector, p, del punto á que se refiere.

115. Aplicando á las cassínicas el procedimiento de investigación de
los focos, explicado en el núm. 109 al tratar de las espíricas , en cuya
clase se hallan comprendidas, encuéntranse los mismos resultados de en-
tonces, con la simplificación consiguiente al supuesto de ser ahora 72 = c.

E inmediatamente se infiere que las cassínicas tienen dos focos singu-
lares reales, definidos por las coordenadas (dr /, 0). Y cuatro más ordina-
rios, reales también, cuyas coordenadas son

{x = ±l, .v = Oj y {x=±yl'ir^lé', y = 0),
cuando l^ 2c; y

{x = ±l, ¿/ = 0) y (£c = 0, ¿/ = ±V4c2 — /O,
cuando Z <; 2 c.

— 113 —

De donde se concluye que los puntos F y F' (figura 39), que tienen
por coordenadas x=^±l é y=0, pueden considerarse á la vez como
focos smgidares y ordinarios de la misma curva.

110. Por medio de la expresión de R, renglones antes obtenida (Nú-
mero 114), determínase fácilmente la condición para qne la curva tenga
■puntos de inflexión reales, así como so determinan también las coordena-
das de estos puntos. Buscando, en efecto, los valores de p que correspon-
den á los de R == co, hállase que los pimtos reales de inflexión de la curva
son los de intersección de ésta con la circunferencia definida por la ecuación

^2 ^ y o _ p2 _ Y 1 ^4^2 ¿2 _ ;i)

siempre que se verifique la condición de ser / < 2c, y que al mismo tiem-
po corte la circunferencia á la curva de que se trata. Condición esta última
que se determina eliminando ^'-' entre las ecuaciones de ambas curvas con-
sideradas (Núms. 1 12 y 1 16), y expresando luego que el valor de :r-, que
satisface á la resultante, es positivo. De donde se desprende que ha de ser

V

^{iPc^ — l'^]-{-P>2lc, 6

(l — 2c)(l — c)<0,

6, simultáneamente, Z < 2c y l^ c: como en el caso segundo de los con-
siderados en el Núm. 113, y también en el de la lemniscata.

117. La rectificación de las curvas de Cassini se obtiene por inter-
medio de las integrales elípticas de primera especie, conforme mostró Ser-
ret en el Journal de Liouville, t. viii, p. 145, y en su Cours de Calcnl
Dif. et Integral, t. ii, 1880, p. 260: de donde procede el análisis á conti-
nuación empleado para hallar las fórmulas de resolución de tan interesan-
te problema.

Sea, en primer lugar, Z > 2c; en cuyo caso la curva se compone de dos
óvalos iguales. Considerando uno de estos óvalos, tracemos por el origen
de las coordenadas dos rectas que le corten; y sean 0^, y 6j los ángulos que
estas rectas forman con el eje de las abscisas. Entre ambas rectas quedan

8

— 114 —

comprendidos dos arcos del óvalo considerado, cuyas longitudes, s y Sj,
vamos á determinar.

Poniendo en la ecuación polar de la curva 2c ^ I sen 2a, hallaremos que

p2 = p [cos29 ± V^cos2 29 — cos^ 2a ].

De donde se deduce que

dp p sen 2 O

d^ \/cos-20 — cos2 2a '

, , dp2 „ 1— eos- 2a 4c2p'^

o- -I í— = p2 = . T

dP cos2 29 — cos-2a /2(cos2 29 — cos2 23i)

Las longitudes de los arcos considerados se hallan, pues, determinadas
por las expresiones siguientes:

Vcos20 + \/cos^ 29 — eos- 2a

eos- ¿ J.

^^ 2c I

-'e^ V/cos--2 29

„ r'' Veos 2 9 — V/ cos'^29 — cos2 2a

Si=2c / =

«^eo Vcos2 29— cos"^2a

rf9, y

■ m.

De las cuales, por adición y substracción ordenadas de ambos miembros
y llevando en cuenta la identidad

[Vco829 +\/cos^29 — cos2 2a ±Vcos29— V/cos"-^ 2 9 — cos'^ 2 a ]
= 2 (cos29±cos2a),

se desprenden, por de pronto, estos resultados:

d9

s + s,

s — Sj ^ 2e

o/g V eos 29 — eos 2 a

V eos 2 9 -f- eos 2 a

- 115 —

que fácilmente se transforman luego en los que siguen, poniendo en el
primero sen O = sena sen;, y en el segundo sen O = cosa sen A, y repre-
sentando por <f(, y íi, y por '^Q y ¿^ los valores de o y de ¿, cuando sean
9=9,y9 = rj^:

J„ \ l — sen'^ a sen^ es
J,l \l — eos '^ asen""

De donde se deducirán los valores de s y Sp mediante el cálculo de dos
ititegrales elípticas de primera especie.

En el supuesto de ser I << 2c, pondremos 1= 2csen2a; y, represen-
tando por s y Sj las longitudes de dos arcos tales que los radios vectores
de las extremidades del uno sean perpendiculares á los radios vectores de
las extremidades del otro, encontraremos

„ r"' Vcos2e + \/cos2 2fl-f cot2 2a ,.
s = 2e I — — 1====:^ dH y

J% Vcos2 29 + cof^2a

r®' V — eos 2 á + \/cos2 2 e + cot2 2 a ,.

Sj = 2c I , dH;

Ja V cns^ 2 '1 4- cot.2 -2 a

y, por lo tanto, hallándose h^ y 9, comprendidos entre O y — ,

4

s + ., = 2c v/2- f ' Vo°t2a + V^cos-^ 29 + cot^^ ^^^ ^.
«>'o„ Vcos'^29 4-cot2 2a

.-.,== 2c V2 I V-eot2a-fV^cos^29 + cot^2a ^,,

V'cos2 29 + cof^2a
Poniendo abora

i / — TT^ — i TTT" 1 — 2 sen^ a sen^ es

V eos- 20 + cut2 2 a = ■-

sen 2 a

— \w —
en la primera de estas integrales, y

i / o ot, I ., o 1 — 2 cos2 a sen''^ ¿
V cos^ 2 y -(- cot^ 2 a = i-

sen 2 a

en la segunda, concluyese, finalmente, que

t/<f„ V 1 — sen- a

íij V 1 — sen- a sen^ o

sen^ ij/

De manera que también en este caso s y s^ dependen de integrales elípti-
cas de 1.^ especie.

118. Para hallar el área A, limitada por un arco de las curvas de
Cassini y por los radios vectores correspondientes á los puntos extremos
del arco, partiremos de la fórmula

A=—i p2¿Q^i_(gen29. — sen26J±— \ Zl^ —sen^2^ d^.
2 Je/ ^ ^Je„ V i-'

Cuando sea Z << 2c (fig. 36 y 37), se empleará en esta fórmula el sig-
no -)-. Pero cuando Z> 2c (fig. 38), adviértase que entre las rectas que
forman con el eje de las abscisas los ángulos O,, y Oj se hallan compren-
didos dos arcos de cada óvalo; debiendo entonces emplearse el signo — ,
cuando se consideren los arcos más próximos del origen, y el -)-, cuando
se atienda á los más distantes.

En cualquier caso, la integral que figura en la expresión de A depende
de las integrales elípticas, como pasamos á demostrar ahora.

Supongamos primeramente Z ■< 2c, ó — - •< 1. Pues en este caso,

2c

rV/i£l _ sen2 28 ¿e = — C\/ 1 - -il sen2 29 di

Y el área depende de una integral elíptica de segunda especie.

— 117 —
Pero si Z>> 2c, poniendo

tang2')= . ^sec<p, y =k^.

nos resultará la igualdad

í V "^ ~ ^''°' '^'' '^^ ^ i V "^ ^"^"^ 29 - /¿2 sen2 29 M
_ 2c^lfi r sen2cp<¿(p 2c^ \ p <¿(p

"^ [1 — ¿'-^ sen^ cp] 2 J
Por la teoría de las integrales elípticas sábese además que

•^ (1 — /¿2sen2-p)^ 1-^Hj yi— A;2sen2(p J

expresión de certidumbre comprobable por diferenciación.
Luego

rVi^-sen^29.e=l£Ír,_ÍL

-i^-

fc^ sen- -i dv

k^ sen» costa

2 \/l - /.■

2 sen^ o.

Y, en este caso, claramente se ve que el valor de A depende de las in-
tegrales elípticas de 1.^ y 2.^ especie.

119. Los óvalos de Cassini desempeñan un papel importante en la
teoría de las funciones analíticas, porque limitan las áreas de represen-
tación de los puntos en que aquellas funciones pueden ser desarrolladas

— 118 —

en serie, ordenada segdn las potencias enteras y positivas de un producto
{x — a) (x — b), en el cual a y b son dos nfltneros complejos, figurados por
los focos de la curva, y a; la variable. (Véase, por ejemplo, Hoüel: Cours
de Calcul Infinitesimal, t. iv, 1881, p. 42.)

120. De los óvalos de Cassini han tratado varios distinguidos geóme-
tras. Primeramente los estudió, en 1781, por medio de la Geometría pura,
Malfatti, en un trabajo titulado Della curva cassenia7ia. Y más tarde
ahondaron mucho más en el análisis de las mismas curvas Garlin (Nou-
velles Añílales des Mathématiques , 1855, p. 305); Lagüerre (BuUetin
de la Sociélé Phylomatique de París, 1868, p. 40); Darboux (Sur une
Classe remarquable de Courbes, etc., París, 1873, j;. 78); Serret (1. c);
etc., etc.

III

LAS LEMNISCATAS

121. Dicho queda poco antes que el nombre de lermiíscatas se apli-
ca á las espíricas, representadas por una ú otra de estas ecuaciones:

(«■2 + .y2)2 _ ¡j2 .J.2 _ „2 y2^

La primera de las cuales, según se demostrará poco más adelante, repre-
senta las curvas inversas y las podarías centrales de la elipse; y la segunda
las inversas también y podarías centrales de la hipérbola. Por eso J. Booth
(A Treatise on some Netv Oeometrical Metkods, London, t. ii, 1817, p. 163)
dio á las primeras el nombre de lemniscatas elípticas, y el de lemniscatas
hiperbólicas á las segundas.

En la primera de las dos ecuaciones precedentes se puede siempre su-
poner que b> a; y, por medio de las fórmulas (Núm. 106)

R = l-^c, l=-\/b^-n\ y c = ~,
2 4í

se determinan el toro y la posición del plano paralelo á su eje, que produ-

— 119 —

ce, por su intersección con aquel sólido, una lemniscata elíptica dada. Y,
por medio de estas otras ,

R=l — c. l = — \/a^-^b\ y e=—,

se resuelve la misma cuestión, cuando se trata de la lemniscata hiperbólica.

En el primero de estos casos el toro será cerrado, y en el segundo
abierto; siendo en ambos tangente al toro el plano secante.

122. Las lemniscatas pueden obtenerse también buscando las curvas
que satisfacen á la condición. (Booth, /. c.)

(1) o^p,^ = e'>±rrh

en la cual p, pj y r representan las distancias de cualquiera de sus puntos
á otros tres puntos fijos, F, F' y O, colocados en la misma recta, á igual
distancia, e, del O el i^ que el F'; y f una constante dada (fig. 39).

Por ser, tomando el punto O como origen de las coordenadas, y la rec-
ta FF' como eje de las abscisas,

p2 __ ^2 _j_ (^ — e)2, ^ ^ =^ y^ -\- {x -\- eY y r''- ^ x'- -\- xf' ,

la ecuación cartesiana de las curvas consideradas será ésta:

(a;^ + %ff = (/2 + 2 e2) x^ ^ ({"- — 2e^) y"-.

Ecuación que representa una lemniscata elíptica, cuyos parámetros son

a2 = /-2_2e2 y b^ = p + 2e^,

cuando f^> 2e^; y, si P <2e2, una lemniscata hiperbólica, con estos
otros parámetros:

62 = /-2_^2e2 y a2 = 2e2— /^2_

Previas estas nociones generales, estudiaremos ahora separadamente
cada una de las lemniscatas mencionadas.
123. Lemniscata elíptica. — La ecuación

(«2 -)- ^2j2 ^ Qj2 ^2 _^ ¿2 jfi

— 120 —

de la lemniscata elíptica muestra inmediatamente que la curva es simétrica
relativamente á los ejes de las coordenadas; que corta al de las abscisas
en los puntos (± b, 0), y al de las ordenadas en los puntos (O, ± a); que
el origen es un punto aislado de la misma curva; que no posee ésta ramas
infínitas reales; y que cualquier recia, trazada por el origen de las coorde-
nadas, la corta en dos puntos rea-
les, diferentes del punto aislado O
(fig. 40).

La ecuación

muestra además que las tangen-
tes en los puntos C y D son pa-
ralelas al eje de las abscisas, y
que las correspondientes á los
puntos E y F\o son asimismo al eje de las ordenadas.

124. La determinación de x é ;/ por medio de la ecuación

^ + V = — tt")
2

Figura 40.

combinada con la ecuación de la curva, produce resultados imaginarios.
Luego no existen más puntos en que la tangente sea paralela al eje de las
ordenadas que los ya encontrados: (¿/ = O, .r = ± ¿), ó los E y F.

La circunferencia x^ -\- y^ =^ — ¿■^ corta á la curva en cuatro puntos,
cuyas coordenadas se deducen de estas ecuaciones:

x^

i (¿-2 — a^)

é y^ =

4 (¿2 _ a?)

Luego, cuando sea 6^ ;> 2a^, existen cuatro puntos, G, H, J, E, coloca-
dos sobre aquella circunferencia, en los cuales la tangente es paralela al
eje de las abscisas.

Por ser a; = O y .r ^ ± V ¿- — 2a- cuando es y ^ a, vese que las pa-

— 121 —

ralelas al eje de las abscisas, trazadas por los puntos C y D, cortan á la

curva en otros dos puntos reales, cuyas abscisas son iguales á ± y ¿- — 2á^,
siempre en el supuesto de ser b'^ >■ 2 a.

Y en el caso de ser 6'^ ■< 2a^, no existen aquellos cuatro puntos en que
la tangente es paralela al eje de las abscisas; ni tampoco las paralelas al
eje de las abscisas, trazadas por los puntos C y D, cortan á la curva en
puntos reales. La lemniscata se asemeja entonces por su forma á la elipse.

125. En los ndms. lOtí y IOS quedó advertido que la curva de que
tratamos posee un punto doble en el origen de las coordenadas, y otros dos
del mismo nombre en lo infinito. De manera que esta curva de cuarto or-
den, con tres ¡juntos singulares , pertenece á la categoría de las unicur-
sales. Y, efectivamente, poniendo en su ecuación y = tx, y luego

\/a^t^-{-b^=at + z,

encuéntranse las expresiones

2a^z{z^-{-b^) _ a {z^ ^ b'2) {b-^ — z-^)

é y —

r^ + 2 (2 a^ — 62) Í--2 4- ¿4 >t4 + 2(2a2_¿2)^2_^¿4

para determinar los valores de a; é // en función racional de z.
12G. La ecuación polar de la lemniscata elíptica es

p = ± \/a2 sen-2 Q j^ ¿2 cos^ 0.
De la cual se deduce, para expresión del radio de curvatura R, la siguiente:

3

^_ [(a2_^¿,2)p2_^2fc2]2

Y de aquí se concluye que la curva tiene un punto de inñexión doble ais-
lado en el origen de las coordenadas, y otros cuatro, de inflexión también,
sobre la circunferencia de radio igual á

V3a2¿a
2 (a2 + b^)

— 122 —

Buscando los valores de 6, correspondientes á éste de p, obtiénese la
igualdad

sen^ « =

2 (6* — a'*)

la cual, combinada con las desigualdades O < sen"^9 •< 1, muestra que los
valores buscados de 9 solamente serán reales cuando sea 6^ >> 2 a'-. En este
supuesto, la curva tendrá, sí, los cuatro puntos de inflexión reales que
acabamos de determinar (fig. 40); pero no cuando sea b'^ <. 2a^, en cuyo
caso no poseerá ninguno.

127. Los focos ordinarios de la lemniscata elíptica se determinan in-
mediatamente por las fórmulas del Núm. 110, sustituyendo en ellas R y c
por sus valores

R = / y c ■■

que resultan de las igualdades anteriormente establecidas:

E = Z + c, l = — ^b-^~a-, y c = — .

2 4:1

De donde se concluye que la curva posee cuatro focos ordinarios, deter-
minados por las intersecciones de las rectas

± ^62 — a2 (7_^ iX) + aó = O, y

±\/b^ — a^ (Y— iX) + ai = 0:
dos imaginarios, y reales los otros dos, definidos éstos por las coordenadas

ab

z= O é y

\/¿2 _ o2

Y, además, otros dos focos singulares reales, cuyas coordenadas son (Nú-
mero 109)

— 123 —

a; = ± — V^¿2 — «2 é ij = Q,

en coincidencia con los puntos F y F' de la figura 39.
128. La lemniscata elíptica es la podaría de la elipse,

a2 0-2 -f ¿2 y2 = „;2 ¿2^

relativamente al centro. (Serret: Journal de Lioimlle, 1843, p. 497.)

En efecto: las ecuaciones de la tangente á la elipse en el punto (x , y)
de la curva, y de la perpendicular trazada desde el centro á esta tangente,
representando por Jt é Y las coordenadas de un punto cualquiera, en ge-
neral, son

b^yT^a:^xX = a^b^ y d^xY^b^yX;
á las cuales satisfacen estos valores de x é y:

b^X , a^Y

X ■■

6 y =

que, sustituidos en la ecuación de la elipse, la transforman en la de la
lemniscata hasta ahora considerada, primera del núm. 121 , sin más dife-
rencia que el cambio de las :c é y por las X é Y.

129. Entre la elipse y la lemniscata elíptica existe otra relación, no
menos notable que la anterior, que pasamos á demostrar.

Aplicando, en efecto, á la ecuación de la elipse,

a'2 ?/- + ¿'^ ^•■■^ = a- ¿^

la transformación por radios vectores recíprocos, definida por las expresio-
nes conocidas

abX , abY

X ^■

jf2_|_y2 •' A2 + y2

hállase precisamente la ecuación de las lemniscatas elípticas. Luego la lem-
niscata de este nombre es la curva inversa de la elipse, relativamente á
su centro, conforme, al definirla en el Núm. 121, ya se adelantó.

— 124 —

130. A lo expuesto sobre las lemniscatas elípticas, consideramos pro-
cedente agregar en este libro la deducción, en coordenadas tangenciales,
de la ecuación de estas curvas.

Para ello advirtamos ante todo que, por ser

la ecuación de la tangente á la lemniscata en el punto (x,y),

Y^y'X + y-u'x,

podrá escribirse de este modo

y_lb-'-2 jx^ + y^)] xX + (x^ + ,/^r
[2{x^ + y^^)-a^]y

6

wF+vJf +1 = 0:
en la cual

^^^ I2ix^ + y2)-a2]¡j ^._ [b-^-2ix^ + y^)]x

(a;a+?/2)2 ^ {x^ + y^f

Mas, poniendo x^ -|~ y^ = r^, de esta ecuación y de la correspondiente á la
curva se deduce que

x^ = ^ e (/■^ ■■ —

¿2 _ a2 ■- ¿,2 _ „2

Luego

^ _ i;2r2_a2y2(¿,2_,.2-^ ^^ ^ (¿,2 _ 2y2)2 (^2 _ a2)

y, por lo tanto,

(a2 í,2 _^ ¿2 J^2 J^ 4j ^4 =^ 4 (^2 ^_ ¿2) ^2 _ 3^2 ¿2^ y

(Ui -j- 1-2) ^6 = ((j2 _|_ 52j /2 _ a2 ¿2.

— 125 —

Y, eliminando r entre estas ecuaciones, se hallará, para ecuación en coor-
denadas tangenciales de la lemniscata elíptica (Booth, 1. c, t. i,p. 145),

02 ¿2 (fflS j,2 J^ ¿2 j^2 _!_ 4)3 _ («2 _^ ¿2)2 (^2 ^.2 ^ ¿2 ^^2 _^ 4)2

— 18 a2 ¿2 (u^ + |;2) (a2 í;2 -|- ¿2 1^2 _|. 4) ^ ^g („2 _|_ ¿,2) („2 _^ j;2)
+ 27 a'' ¿4 ('m2 + f2)2 = 0.

131. Con auxilio de esta ecuación puédense también determinar de
nuevo los focos de la curva, conforme se indica á continuación.
La recta, en general, á que corresponde la ecuación

será tangente á la curva y tendrá por coeficiente angular ± i, si ii y v sa-
tisfacen á la ecuación tangencial de la misma curva, y si además se esta-
blece entre ellas la relación v = dz iu.

Mas, poniendo en la ecuación de la curva, renglones antes deducida,
± iu en vez de v, obtiénese otra, que inmediatamente se descompone en
las dos siguientes:

(62_a2)M2-f 4 = 0, y

«2 ¿2 (4 _ «2 „2 _j_ ¿2 j^2) _ (^2 ^ ¿2)2 = Q.

A los valores de u que se desprenden de la primera, y á los de í>, deduci-
dos de la V = ± iu, corresponden las rectas

2r±í(2^±\/¿>2 — a2)=0,

que coinciden con las asíntotas de la curva, y determinan por sus intersec-
ciones los focos sijigulares de la misma.

Y á los de u, desprendidos de la segunda, y de v, sometidos á la mis-
ma condición, v = dz iu, corresponden las rectas

± \/¿2 _ «2 (Yj- iX) -\-ab = 0,

que, por sus intersecciones, determinan los focos ordinarios.

— 126 ~
132. Para rectificar la lemniscata elíptica, tenemos la fórmula

ds- a'' sen- íl + 6'' eos- f)

1^ ~ a^ sen2 'j -^ ¿2 cob^ G '

<5, poniendo 9 = u,

rfs- a* cos"-^ (O -)- ¿'' sen'' w

Si además suponemos que

tangw = — - tang),,

de donde se desprende esta otra igualdad

a^ ¿4 di

ato = —

b- a* sen^ \ -{- i* cos^ X
nos resultará

«3 ^>

ds = —

¿2

1 sen^ A \ / 1 sen^ X

L 6* J V ¿2

De manera que el valor buscado de s depende de una integral elíptica de
tercera especie. (Booth, 1. c, t. i, p. 196.)

133. El área limitada por la lemniscata elíptica se obtiene por medio
de la fórmula

2 Jo 2

Área, como se ve, igical á la mitad de la suma de las áreas de los círcu-
los cuyos radios son iguales á los semiejes de la curva.

134. Lemniscata A¿per6ófoca. — Consideremos ahora la curva cuya
ecuación es

(£C2 + iff = ¿2 jc'i _ «2 ^2.

— 127 —

Y comparando esta ecuación con la de la lemniscata elíptica, inmediata-
mente se concluye que las fórmulas referentes á esta curva serán aplica-
bles á la segunda, ó lemniscata hiperbólica, con sólo poner en ellas — a^
en vez de -)- d^.

La lemniscata hiperbólica tiene la forma indicada en la figura 41 : simé-
trica relativamente á los ejes de
las coordenadas; sin ramas infini- „ t|

tas, ni posibilidad de ser cortada
en más de dos puntos, diferentes
del O, por las rectas que pasan
por el de origen O, perteneciente
también á la curva; y secante al
eje de las abscisas en los E y E',

á las distancias ± b del mismo O. Punió doble este último de la curva, en
el cual se reúnen dos puntos de inflexión y se cruzan dos tangentes, cuyos

_ b
a '

Por ser ahora

Figura 41.

ángulos, ü) y 180° — (o, se hallan definidos por la expresión tangw :

[b^ - 2(a^±f)]x

y

[2 (x' + y^) + «2] y

vese que las tangentes á la curva son paralelas al eje de las ordenadas en
los puntos E y E', y al eje de las abscisas en los G, H, J, K, de inter-
sección de la curva con la circunferencia a;^ -f~ 2/^ = — b^- Las coordena-
das de estos puntos se hallan determinadas por las ecuaciones

x"

4 (¿2 -f- «2)

é y-^:

4 (¿2 4- a2)

El radio de curvatura, en coordenadas polares, tiene por expresión

R

[(¿2 — gg) p-¿ -^ a2 ¿2]1

[2 (¿2 _ a2) p2 + 3a2 b'^] p
De la cual, contando con la ecuación polar de la misma curva, se des-

_ 128 —

prende que las lemniscatas hiperbólicas no poseen puntos de inflexión rea-
les, fuera de los dos que están reunidos en el origen de las coordenadas.
Lo que sí poseen es cuatro puntos de inflexión imaginarios , que propen-
den hacia lo infinito, conforme el valor de b tiende al de a.

Pero, además áe\ punto doble en el mismo origen, las lemniscatas hiper-
bólicas tienen otros dos puntos dobles en lo infinito, y son, por lo tanto,
unicursales : pudiendo obtenerse la expresión de sus coordenadas, x é y,
en función racional de la variable x, con solamente cambiar en las fórmu-
las del núm. 125, a- en — a-. Pero las fórmulas así obtenidas contienen
coeficientes imaginarios, y, por lo mismo, es preferible deducir otras, po-
niendo en la ecuación de la curva y = tx, y luego \ b- — a- 1- = (b -j- olí) z:
de todo lo cual resulta

_ 2ba^%{l-\-x^)

(a2 + ¿2j x'^ + 2 (a^ — ¿2) ^^ + «2 ^ ¿2

2b-^ax{í — 'x^)

'' ~ (a-2 + ¿2) .í'^ 4- 2 (a2 — 62) ^2 ^ «2 _^ ¿2 "

135. Para rectificar las lemniscatas hiperbólicas, partiremos de la
ecuación de la curva, referida á coordenadas polares,

p = ¿2 eos-' O — a^ sen'-' Q :

de la cual se deduce esta otra:

fZs2 «4 sen-2 O -f ¿4 cos^ O

dí|2 b^ cos2 6 — «2 sen2 fj

Y, sustituyendo en ésta (Booth: 1. c, t. 11, p. 164) por O una nueva varia-
ble, (i), ligada con 9 por la relación

„ , b'* sen2 (.0

sen- 9

0.2 />2 _j_ ¿í gg^2 (jj _j_ (^4 (,(jg2 ^

obtiénese, en primer lugar,
ds b (Z9 b~ a (a^ -j- V^) costo

d^ cosco (/co (a2 62_j_¿;'.sen2(u)-|-a'*cos2oj)y¿2^^2

— 129
y, después,

./.= ''

ayjc^^l, j^j^üz=^,,„.„jyi___a^

+ ¿2

La longitud de los arcos de las lemniscatas hiperbólicas depe7ide, según
esto, de una integral elíptica de tercera especie, cuando es b^a; y de otra,
de primera, cuando a^b. (Booth: 1. c).

136. Para obtener el área limitada por la mitad OKEOO de la cur-
va, empléase la fórmula

1 r^'^r.-

(52 C082 fl _ «2 sena G) í¿9 = — — O, + .í!_±ü g^^ 3 9, :

en la cual 9, = are tang — .
a

O, en otra forma:

¿,2_a2 h .1 ^

A = are tang — -\ ab.

2 ^ a 2

137. La lemniscata hiperbólica considerada es la podaría central, y la
curva inversa también, con relación á su centro, de la hipérbola

¿>2 y^ — a^ x^ = — a^ b^ :

cuyas asíntotas forman un ángulo igual al de las tangentes á la misma lem-
niscata en el mencionado centro.

138. Cambiando a^ en — a^, en las ecuaciones de los Núms. 127 y 130,
obtiénese la ecuación tangencial de la lemniscata hiperbólica y cuanto al
número y posición de sug focos se refiere : deduciéndose , en particular, que
las coordenadas de los focos ordinarios reales de la curva son

— 130 —
Y que las coordenadas de los focos singulares reales,

o; = =t — \/a2 _|_ ¿2 é ¿/ = 0,

¿i

asimismo corresponden á los puntos i^y i'" de la figura 39.

IV

LA LEMNISCATA DE BERNOULLI

139. Entre las lemniscatas hiperbólicas existe una que ha recibido
nombre especial: la correspondiente al caso de ser a==b, denominada
lemniscata de Bernoulli por haber sido encontrada por uno de los geó-
metras de este nombre (Jacobo) al resolver el problema de Leibuitz, que
tiene por objeto determinar la curva descrita por un punto grave, que se
aproxima uniformemente á un punto fijo dado. (Acta eruditorum , 1694,
p. 336; Opera, t. i, p. 609.) Las principales propiedades de esta curva
fueron después descubiertas por Fagnano en 1750 (Produzione matemá-
tica, t.ii, p. 317), por métodos geométricos; y en seguida por Eüler, que
expuso su teoría analítica. (Mem. Acad. Petrop., t. v,p. 351.)

140. La ecuación de la lemniscata de Bernoulli, referida á coordena-
das cartesianas, es

(íc2 + y2)2 ^ «2 (^2 _ ^2).

Y en coordenadas polares, la ecuación de la misma curva tiene por ex-
presión :

p'' = cfi eos 2 6.

Directamente, por medio de estas ecuaciones, ó poniendo i ^ a en
los resultados anteriormente obtenidos, por referencia á las lemniscatas hi-
perbólicas en general, deddcense las siguientes propiedades de la lemnis-
cata de Bernoulli.

La curva tiene, como todas las lemniscatas hiperbólicas, la forma seña-

— 131 —

lada en la figura 42, en la cual el valor de a se halla representado por OE.
Y las tangentes en el punto doble O forman ángulos de 45° con el eje de

las abscisas, según de la fórmula tangw = ± — se deduce, por ser abo-

ra ¿» = a.

Poniendo en la igualdad (1) del
Núm. 122 /•= O y «^ = 2é\ baila-
se que p Pi = — a^- Luego, la lem-

niscata de BernouUi pertenece á la
clase de las cassínicas, existiendo en
su plano dos puntos fijos, F y F',
tales que el producto de las distan-
cias á ellos de cualquiera de los pun-
tos de la curva permanece constan-
te. Las coordenadas de los puntos
fijos considerados, 6 focos de la cur-
va, al propio tiempo ordinarios y
a

singulares, son

vr

0.

Los puntos G, H, I, K, donde la ordenada y es máxima (en valor ab-
soluto), corresponden á la circunferencia de radio igual á — t^, con el

centro en el punto O: luego los puntos de ordenada máxima y los focos
se encuentran sobre la misma circunferencia. Aquellos cuatro primeros
puntos tienen por coordenadas

_a_\/(3_
4

y ±-

i\/\

141. Partiendo de la ecuación polar de la curva, obtiénese el valor
del ángulo V, que la tangente á la misma curva forma con el radio vector
del punto de contacto, por medio de la fórmula

tangF

__ pt¿9
íZp

^cot2f):

— 132 —

de la cual se infiere la siguiente

F=--2(i,

que permite construir por fácil procedimiento la tangente.

142. El radio de curvatura de la lemniscata de BernouUi tiene por
expresión

3p

P
Y como BenF= eos Sí) = -¡V. resulta que

p = 3i2 senF.

Luego la proyección del radio de curvatura sobre la dirección del radio
vector correspondiente es igual á la tercera parte del mismo segundo ra-
dio. Lo cual permite determinar fácilmente el centro de curvatura de la
curva de que ahora se trata.

143. La lemniscata de Bernoulli es unicursal , y por eso x é g pue-
den expresarse en función racional de una tercera variable. Expresión de
la cual dedujeron Em. Weyr y Schoute algunas propiedades importantes»
relativas á sus tangentes.

Si, en efecto, se pone en la ecuación de la curva y=:tx, y después

Yl — t^ = {l -{- t)x, hállase, por de pronto, que
x = a e y = a-

** + 1 í;4 + 1

Y sustituyendo estos valores en la ecuación de la tangente,
Y-y = y'{X-x),
hállase, en función de x , el siguiente resultado:

(^4 + 4*2 -f 1) (1 — i2 i ^ a — *2) (3;4 _j_ 4.2 ^_ 1) •

— 133 —

Luego, si por un punto (a, ¡3) trazamos tangentes á la lemniscata consi-
derada, los valores de %■ en los puntos de contacto deben satisfacer á la
ecuación

(1) (P + a)^,6 + 3 ((3 — a)x" + 4a*3 — 3 (p + a)z^ _ (^ _ a) = 0;

y las seis raíces de esta ecuación, ó los seis valores de x, prueban que,
por el punto dado, pueden trazarse seis tangentes á la curva, reales 6 ima-
ginarias.

Esto sabido, busquemos ahora la condición para que cuatro de los pun-
tos de contacto se encuentren en línea recta.

La definida por esta ecuación

ux-\-vy-{-l = (i

corta á la curva en cuatro puntos, á los cuales corresponden los valores
de X dados por esta otra

(2) x* -I- a(M — v)k^ + a{u -f í;)x -j- 1 = 0.

Expresando, pues, que el resto de la división del polinomio (1) por el
polinomio (2) es idénticamente nulo, hallaremos las condiciones para que
las ecuaciones (1) y (2) tengan cuatro raíces comunes, y, por lo tanto,
para que cuatro de los puntos de contacto estén en línea recta.

Pero el resto de que se trata, tiene por expresión

\ • — a (m -|- v) — 3 a (u — v) — a^ (u — vf I x^

+ r* ^-^ + a^ (M - vrl { (¡i + a).

Luego, para que las raíces de la ecuación (2) lo sean también de la (1),
será menester que se verifiquen estas condiciones :

— 134 -

4 B — a

- {u + i;) — 3 -i- (u — V) — a^ {u — íf = O ;

a

(u ~v)—S ^-^^^^ (u-\-v) — «2 (tí — ?;)2 (u -\-v) = 0; y

4 '^ ~ "• + a2 (m — ?;)2 = 0:
(5, eliminaado de la primera y de la tercera (u — v)^ por medio de la última,

De la primera y la tercera se deduce que

2(S+a) 2(B — a)

|3^+72 •' |32 + 72

Y, sustituyendo estos valores en la segunda y la cuarta, obtiénese por
resultado, idéntico en ambos casos, el que sigue:

(j32 _|. ^2)2 =^ ^2 («2 _ ¡-j2).

El cual nos enseña que el punto (a, P) debe corresponder á la lemnisca-
ta considerada.

Luego los puntos por los cuales se pueden trazar cuatro tangentes á la
lemniscata, de manera que los de contacto resulten todos en línea recta,
son puntos de la misma lemniscata considerada.

Este teorema fué encontrado y demostrado por Em. Weyr, en un tra-
bajo titulado Die Lemniscate in rationaler Behandlung. (Abhandl. der K.
bohm. Gesellschaft der Wissenschaften , Prag, 1873.) Y á Schodte per-
tenece la demostración geométrica del mismo, inserta en los Verslagen de
la Academia de Ciencias de Amsterdam {serie 2.*, t. xix, 1883, p. 220).

— 13B —
La ecuación condicional

«2(^2 — ^2) __ 4

representa la envolvente de las tangentes á la lemniscata, tiradas por todos
los puntos de la curva, referida ésta á coordenadas tangenciales, u j v.
Para hallar la misma ecuación, referida á coordenadas cartesianas, habrá,
pues, que procurarse la de la envolvente de todas las posiciones que pue-
da tomar en un plano la recta

ux -{- vy -\- 1 =0,

llevando en cuenta la condicional anterior. Y con esto, eliminando v, u y

du

entre ambas ecuaciones y las

dv - ^^ A

x-\-y = 0 y u — v—— = 0,

du du

se hallará la que sigue:

x^ — y^ =

Expresión abreviada de este otro teorema, también de Em. Weyr:
La envolvente de las tangentes á la lemniscata , trazadas por todos los
puntos de la curva, y que además tocan á ésta en otros puntos distintos
de los primeros, ó de origen, es una hipérbola equilátera.

144. Las condiciones para que los puntos de contacto de las tangen-
tes á la lemniscata considerada, trazadas por el punto (a, |S), correspondan
á una cónica, se determinan por análogo procedimiento al empleado en el
caso anterior, comenzando por reemplazar la ecuación de la línea recta
por la siguiente, de una cónica cualquiera:

ux^ -\- vy^ -\- ivxy -\-hx ■\-hy -\-\=^.

Y por los mismos pasos, ya dados en el párrafo precedente, se hallará
que los valores de x, en los puntos en que esta cónica corta á la lemnis-
cata, deben asimismo satisfacer á esta otra ecuación:

A« + A'X? + B%,^ + C^J" + Dx* + Ax? 4- Í?;t2 + C* + 1 = 0:

_ 136 —
en la cual

A = a{h — k); B = (u -\- v — w) (fi; C= {h + k) a;
D = 2 (a^ u — a^ V + 1); y E = a{u -^ v -\- w).

Las condiciones, pues, para que los puntos de contacto de las tangentes
á la curva, trazadas por el punto arbitrario (a, ¡3), correspondan á la cóni-
ca, se obtendrán expresando que es idénticamente nulo el resto de la divi-
sión del primer miembro de la última ecuación, por el primero de la (1); y
así hallaremos:

C—L — ZAK=0; D-j-3 — AL—3K(B—3K) = 0;

4:A — L(B—3K) = Q; E + K+ 3 [B ^ SK) = 0;

C+AK=0; y l + iB-3K)K=0:

en el supuesto de ser también

A = — y L =

Eliminando C de la primera ecuación por medio de la quinta, y B — 3^
de la tercera, por medio de la última, obtiénese el mismo resultado: luego
una de estas ecuaciones no es realmente distinta de las otras.

Las ecuaciones primera y quinta, de las seis condicionales anteriores,
determinan los valores de C y ^; y, conocidos estos valores, de las
A^a(h — }c) y C = a{h -{- k), se concluirán los de h y k. Y, asimismo,
de las ecuaciones segunda, cuarta y sexta se deducen los de B, D y E,
poco antes expresados por medio de otias tres ecuaciones de primer grado
en función de u, v y w. Luego estos tres coeficientes de la cónica pueden
darse también por conocidos; y como determinada por completo, en con-
secuencia, la ecuación de la cónica.

Dedúcese, pues, de todo lo expuesto el teorema siguiente, debido á
ScHOUTE, quien le dio á conocer en su trabajo titulado Notix über die
Lemniscate, publicado en los Sitxungsber. der K. Akad. dcr Wissens-
chaften von Wien, 1883, p. 1252:

— 137 —

Los seis puntos de contacto de las tangentes á la lemniscata de Ber-
noulli, traxados por un punto exterior á la curva, hállanse situados
sobre una cónica, susceptible de fácil determinación.

145. Poniendo a^b en la ecuación, referida á coordenadas tangen-
ciales, de las lemniscatas hiperbólicas, obtiénese la correspondiente á la
de Beinoulli:

27a4 (M^ + «2)2 ^ [4 _^ ^2 (u¿ _ v^)f.

140. La longitud de los arcos de esta curva hállase también sin difi-
cultad mediante la fórmula

_ p d^ ±. r^ ^ -

Jo \/cos2(J "^2" Jo \ /] i r~ '
' ' 1/1 sen"' (P

V 2

después de establecer entre <f. y B la relación

sen^ 6 = — sen^ ©.

De manera que, por referencia á la lemniscata de Bernoulli, s depende
de una integral elíptica de primera especie. (Fagnano.)

Y todavía con mayor sencillez se demuestra que el área limitada por la

mitad de la curva es igual á — a^.

147. Esta misma lemniscata es \a. podaria de la hipérbola equilátera

x^ — • y'^ = a^ ,

relativamente al centro. Existiendo además entre ambas curvas algunas
relaciones notables, enunciadas por Charpentier en los Nouvelles Anua-
les de Mathématiques (t. iv, 1845, p. 142), de las cuales reproducimos tres
á continuación:

1." Entre las coordenadas de la lemniscata, X é Y, y de la hipérbola,
X é y, existen las relaciones

x = , í/ = ,

— las-
que se desprenden de las encontradas en el ndm. 128, cambiando para
ello d?' en — a-, y poniendo después 6 = a. Y de las cuales se deduce la
ecuación

(1) (a;2 + 2/2) (^2 _j. 72) = „4.

Luego el 'producto de las distancias del centro de la lemniscata á cual-
quier punto de la hipérbola y al punto correspondiente de la misma lem-
niscata, es cofistante.

2.* Representando por p y pj los radios vectores de la lemniscata y de
la hipérbola, sábese que

p = reycos2í), y p, = — - ;

Veos 28

de donde se deduce esta otra relación:

(2) pp,=a2.

Luego el producto de los radios vectores de la lemniscata y de h, hipér-
bola, que forman el mismo ángulo con el eje polar, es constante.

S."^ Y, asimismo: de las dos ecuaciones (1) y (2) se deduce también
esta otra:

Pj2 = JÍ2 _|_ 72.

Según la cual un punto cualquiera de la hipérbola y el correspondiente
de la lemniscata están sobre dos rectas simétricas con respecto al eje real
de la hipérbola.

148. De la expresión poco antes obtenida de los arcos de lemnis-
cata de Bernoulli, por medio de integrales elípticas, deddcense, con auxi-
lio de los teoremas referentes á la teoría de estas integrales, consecuencias
importantes sobre las propiedades de los mismos arcos, algunas de las cua-
les pasamos á indicar sucintamente.

Por de pronto , apoyándose en el teorema de la adición, de las integrales
elípticas de L* especie, es fácil deducir que si s^, s^y s, representan las
longitudes de tres arcos, pertenecientes al primer cuadrante de la curva,

— 139 —

comprendidos entre su vértice y aquellos puntos de la misma curva, donde
la amplitud cp tiene por valores ¡pj, tf g y ¡i, se verificará que

«3 Sj Sg,

cuando sea

cosp = coscpj coscpg ip sencpj sen^g \ / 1 sen^ p.

Fórmulas que determinan la amplitud fS de un arco de lemniscata, igual á
la suma ó á la diferencia de otros dos arcos previamente dados.

Y del mismo teorema mencionado, suponiendo que sea «^ = tpg, con-
clúyense estas otras igualdades:

Sg = 2 Sj y eos ¡j = cos^ (f j — sen^ i

.yi-lsea^íi,

que determinan la amplitud, cfj, del arco de lemniscata, de longitud igual
á la mitad de la longitud de otro arco dado, cuya amplitud sea |3.

Caso particular interesante del problema que acabamos de considerar
es aquel en que se pretende dividir un cuadrante de lemniscata en dos

partes iguales. Suponiendo para ello que |Í = — , la amplitud del arco pe-

2

4,_

dido se desprende de la igualdad tang'^j = y 2. Y si, tras de esto, represen-
tamos por (jj y pj las coordenadas polares del punto que divide por mitad el

cuadrante de que se trata, llevando en cuenta la igualdad sen2(ij= — sen'-^tpj,
dedúcese que

sen^6.=. \ y cos^fJt= , \r^'

2 I+V2 2 I + V2

y, por lo tanto:

(1+V2")

— 140 —

De donde, representando por x¡^ la abscisa del punto buscado, inmediata-
mente se infiere que

*i = Pi cosíii = a y 1 — — V^-

Resultado final por primera vez encontrado por el eminente geómetra
Fagnano, quien asimismo enseñó á dividir un cuadrante de lemniscata
en 2"", 3 . 2'", y 5 . 2'" partes iguales, cuando m sea número entero, con
auxilio simplemente de la regla y el compás.

Los estudios de Fagnano sobre las propiedades de los arcos de lemnis-
cata ejercieron gran influencia en el progreso de las Ciencias matemáticas,
y sirvieron de base para la fundación de la Teoría de las Integrales elípti-
cas. Continuólos más tarde, ampliándolos considerablemente, cuando ya
esta teoría se hallaba substancialmente constituida, el gran geómetra Abel
(CEuvres, t. i,pág. 361, 1881), el cual demostró que los cuadrantes de la
lemniscata pueden dividirse en ti arcos de igual longitud, con auxilio de
la regla y del compás, cuando n es un número de la forma 2'" (suponien-
do entero el exponente m), ó un número primo de la forma 2'" -}- í, 6 e\
producto de números de estas formas. Ocupándose más tarde en la mis-
ma cuestión LioüVille (Journal des Mathématiques, 1843, p. 507); KiE-
PERT (Journal de Crelle, t. cxxv, p. 255); etc., etc.

149. La lemniscata de Bernoulli posee otras muchas propiedades, cuya
detallada exposición sería casi interminable, entre las cuales nos limitare-
mos á mencionar la que sirve de base á un procedimiento muy sencillo
para construir la curva, también á continuación expuesto y demostrado.

Considerando un punto O y una circunferencia tal, qne las tangentes á
ella trazadas desde el mismo punto formen un ángulo recto; tirando des-
pués por O una secante cualquiera, OP, á la circunferencia; y tomando
luego sobre esta secante, de cada lado del O, un segmento OM = OM',
igual á la cuerda QP de la circunferencia, que la misma secante determi-
na, obtiénense dos puntos, equidistantes del O, que pertenecen á la lem-
niscata definida por la ecuación

p2 = a2 00829,
en la cual a representa el diámetro de la circunferencia.

— 141 —

Tomemos, en efecto, como origen de las coordenadas el punto O (figu-
ra 43), y como eje de las abscisas la recta OJÍ que pasa por el centro Cde

la circunferencia. Designando por a el diámetro de ésta, será 0C= — p-,

y la ecuación cartesiana de
la misma

tw)

4

6, en coordenadas polares,
la siguiente: M

Pi2-rty2p,cos6+— =0.
4

Fignra 43.

De la cual se deducen estos dos valores de pj, representados en la figura
por OPy OQ:

OP=-^cos94--V2cos29 — 1 y 0^=-^cos9 — -Vscos^Q— 1-
V2 2 * V2 2 '

Cuya diferencia, OP — OQ = QP, es, por definición, igual á OM—OM' = f:
representando p el radio vector del punto M, 6 del M', correspondiente
á la curva buscada, y ángulo 9.
Resulta, pues, que

p = aVcos29, ó p2 = a2cos26 (Núm. 140).

Consecuencia á que puede llegarse también con suma facilidad trazando
la perpendicular CR á OP, y advirtiendo que

QR'^ = QC^ - CR^ ; QR = -p; QC=-a; y (7JZ = -^senO.

2 2 ' \J2

CAPÍTULO CUARTO

CUARTICAS NOTABLES

(Oontinnación).

EL CARACOL DE PASCAL

150. Consideremos una circunferencia, y en ella un punto fijo, O (figu-
ra 44): si por este punto trazamos la recta OM, y á partir del punto M
tomamos dos segmentos, MA y MB,
iguales Á h, el lugar geométrico des- \
crito por los puntos A y B, cuando
OM varía de posición, girando alre-
dedor del punto fijo O, es una concoide
del círculo, á la cual Robeeval apli-
có el nombre de Caracol (limafoii) de
Pascal, en la memoria titulada Obser-
vatiotis sur la Composition des Mou-
vements et sur le Aloyen de trouver les
lonchantes des Ligues courbes, inserta

en el volumen correspondiente al año 1730 de las Metnorias de la Aca-
demia de Ciencias de París, p. 42. En aquella notable disertación, el mis-
mo Roberval estudió el modo de generación y algunas propiedades de la
curva, entre las cuales se encuentra una, cuyo descubrimiento atribuye á
Pascal; y además estableció el procedimiento para trazar sus tangentes.
Así como con posterioridad, en su Traite des Indivisibles, expuso un pro-
cedimiento para determinar las áreas limitadas por arcos de la misma curva.

A lo que precede debe agregarse que, estudiando cuidadosamente P.Tan-
NERY la historia del descubrimiento del caracol, advirtió que la doctrina á

Figura 44.

— 143 —

esta curva concerniente, no sólo consta en la primera de las dos memorias
citadas, sino que también fué expuesta por el mismo Roberval, antes del
año 1044, en sus lecciones orales de Geometría , apuntadas por uno de sus
discípulos, y que dieron origen á la memoria mencionada: con la particu-
laridad de que el apellido Pascal, que allí se lee, no se refiere al célebre
geómetra y filósofo Blaise, sino á su padre Étienne.

151. Fijando de nuevo la atención en la figura 44, designemos por C
el centro del círculo considerado; por a la longitud del diámetro del mis-
mo círculo; y por 9 el ángulo AOC.

Por ser OM^ a eos 9, la ecuación polar del caracol de Pascal será

(1) Q = a cos6 ± h; á condición de ser < 9 < — .

2 2

Ó esta otra, en coordenadas cartesianas, tomando el punto O para origen
de las coordenadas, y el radio OC, prolongado, para eje de las abscisas:

(x^ -\- y^ — ax)^ = h^ (íc^ -j- y^).

152. Para determinar la forma de la curva, consideremos tres distin-
tos casos, comenzando por observar que en los tres la curva es simétrica
con respecto al eje de las abscisas.

Caso 1.°— Sea h < a.

De la expresión

p = a cos9 -(- h

resulta que, cuando 9 varía desde O hasta — ,

¡o decrece, desde O A = a -\- h (fig. 45) hasta
OJ) = /}^ y el punto generador de la curva
describe el arco AMD.

Considerando después la ecuación

p = a cos9 — h,

dedúcese que, cuando 9 varía desde O hasta arceos — , p decrece desde

a

— 144 —
OB = a — h hasta O , y el punto generador de la curva describe el arco

BRO. Y cuando, después, 6 varía, desde are eos — hasta — , el radio vec-

a 2

tor p resulta negativo, y variable desde O hasta — h: con lo cual el punto

generador de la curva describe el arco OQE.

Como á los valores de 9, comprendidos entre O y , corresponden

arcos de la curva simétricos de los precedentes, con relación al eje de las
abscisas, concluyese que la curva tiene la forma indicada en la figura 45.
Siendo

dy a cos2Q ±: /icosO

dx a sen 2 () ± /í- sen 6

será — "— = O en los puntos que satisfacen á la ecuación
dx

acos26±: Acos9 = 0:

de la cual, contando solamente con las soluciones á que corresponden va-
lores de 9, comprendidos entre y — , se deducen estos resultados:

ó ¿i

4a ■ 4

Luego existen en la curva dos puntos, M y N, determinados por estas
ecuaciones, donde las ordenadas son máximas.

Y por ser — — = oo , cuando
dx

:sen29±/¿sen9 = 0.

escribiendo solamente las soluciones á que corresponden valores de 9, com-
prendidos entre y — , hallaremos

ú ¿

8en9 = 0 y cos6= :

2o

145

de manera que en los puntos A, B, P, Q, cuyas coordenadas son

(^ = 0, p^n±J>) y |0 = ±arccos , p = h\,

\ 2a ^ 2 J

las tangentes son paralelas al eje de las ordenadas.

El punto O es un punto doble de la curva, y los ángulos de las tangen-
tes en este punto con el eje de las abscisas son iguales á ± are eos — .

a

Caso 2° — Supongamos ahora /?> a.

Por resultado de una discusión, análoga
á la que precede, se hallará que la curva
es en este caso de la forma indicada en la
figura 46, en la cual OD=h, OA=a-\-h,
OB^ h — a; existiendo en ella dos pun-
tos , M y N, cuyas coordenadas polares se
deducen de estas expresiones

„ —h-\- \/h^ + 8a2
costí = ■ — ■ y

4a

á

y donde la ordenada cartesiana, y, adquiere valor máximo, en abso-
luto.

En los puntos .á y jB las tangentes son paralelas al eje de las ordena-
das. Y, cuando h <; 2a, existen, además de estos puntos, otros dos, P y Q,
donde la tangente es también paralela al mismo eje, hallándose sus coor-
denadas determinadas de este modo:

coso =

h

2 a

y p:

1

ll.

La curva tiene además un pimío aislado en O.
Caso 3.° — Sea, finalmente, h = a.

10

— 146 —

La forma de la curva será entonces la representada en la figura 47, con
un punto de retroceso en O, á la distancia 2 a del A. Los puntos M y N, en
donde las tangentes son paralelas al eje de las abscisas, se hallan definidos

por las fórmulas O =

1 3

— TI y p = — h; y los P y Q, en donde las tan-
6 2

gentes son paralelas al eje de las ordenadas,

por estas otras:

6 = ± -1 t:
(5

y p = __a;

las cuales, juntamente con las anteriores,

muestran que los puntos P, O y N se hallan

en línea recta, así como los puntos Q, O y AI.

En este caso especial, la curva recibe el

nombre de cardioide *.

153. Aplicando, para determinar los puntos de inflexión del caracol

en los tres casos considerados, la fórmula conocida

Fignra 47

'P

d92

+ 2

m

o,

obtiénense las ecuaciones

cosS :

2a2 + h^
3ah

y p =

2 (a^ — k^)
3h

que determinan los valores de í y p en estos puntos. Pero advirtiendo que,
para ser 'i real, debe ser eos 'i ^ 1, y, por lo tanto.

2a^ + h^ — 3ah = (a — k}

(«_l/,j^O,

se ve que sólo existen puntos de inflexión reales cuando A > a, y ^ < 2a;
y que el número de estos puntos será igual á dos, separados uno de otro,
si h <c2a,6 confundidos en uno solo, de doble inflexión entonces, cuando
sea k = 2a.

* De /.apoia: corazón, poi- analogía remota de figura.

— 147 —

154. Por ser (fig. 44) p = 0M± h, tenemos — — = ■ . Luego

la subnormal polar del caracol, correspondiente á los puntos A y B, es
igual á la subnormal polar de la circunferencia, correspondiente al pun-
to M. Para construir las normales al caracol en los puntos A y B, basta,
pues, trazar la recta OD, perpendicular á OM, y la recta MC, que corta
á la anterior en el punto D. El punto D pertenece á las normales pedidas.

155. El caracol puede considerarse desde muy diverso punto de vista,
conforme el siguiente interesante teorema de Roberval expresa:

La podaría de la circunfereucia , con relación á un punto cualquiera
de su plano , es un caracol de Pascal.

Para demostrarlo, designemos por /¿ el radio de la circunferencia, y
por a la distancia de su centro al punto de referencia de que se trate.
Pues si por origen de las coordenadas se toma este mismo punto, y por
eje de las abscisas la recta que le una al centro, la circunferencia tendrá
por ecuación

la tangente en cualquiera de sus puntos (a;j,j!/j) esta otra:

y^y -\- (oCi — a) x = y^^ -\- j?i^ — ax^ = ax^ + h^ — a^;

y la perpendicular á esta tangente, trazada por el origen de las coordena-
das, la que sigue:

(x^ — a)y — y^x = 0.

Eliminando de estas tres ecuaciones los valores de x^ é y^, se hallará la
ecuación de la podarla, y se verá que concuerda con la del caracol, poco
antes (Núm. 151) consignada.

156. Demostróse anteriormente (Nóm. 152) que el caracol de Pas-
cal, cualquiera que sea su forma particular, posee en todos los casos un
punto doble á distancia finita. A lo cual puede agregarse que también po-
see otros dos en lo infinito.

Probarémoslo comenzando por hallar las asíntotas de la curva, poniendo
para ello en su ecuación y = ux, y buscando el límite hacia el cual se

— 148 —

aproxima indefinidamente u, cuando x tiende hacia oo. Del análisis nece-
sario para esto se desprende con facilidad que, en su límite, u admite dos
valores iguales á -|- i, y otros dos á — i.

Pues poniendo tras de esto y = ± ix -\- v , y buscando análogamente
el límite de v, cuando x tiende hacia co, hállase la ecuacií'ín

{±2¿lími' — «)2 = 0.

De donde se deducen para límf dos valores iguales á — ai, y otros dos

á ai.

2

Luego la curva posee dos asíntotas, que coinciden con la recta repre-
sentada por la ecuación y = iíx <" |> y otras dos con la representada

por la í/ = — ilx — — a |. Y, en atención á que cada una de estas rectas

es tangente en lo infinito á dos distintas ramas de la curva, concluyese que
ésta tiene asimismo en lo infinito dos punios de retroceso.

157. Por tener tres puntos duplos, el caracol de Pascal es curva yí«¿-
cursal: de manera que sus coordenadas pueden expresarse en función ra-
cional de un parámetro variable. Para obtener estas expresiones advirta-

mos, por de pronto, que la ecuación (1), en donde 6 varía desde

hasta — , puede sustituirse por esta otra:

p = ct cos9 -(- h ,

en la cual h posee un solo signo, admitiendo que 8 pueda variar desde O
hasta 2u.

Esto sentado, póngase tang — 6 = /, y hallaremos

„ 2¿ l_¿2

sentí = y eosü = :

1 + ¿2 1 ^ ¿2

valores que, sustituidos en las ecuaciones rr = p cosí) é y ^ p senO, darán

(1 + ¡!2)2 '' (1 _(. ¿2)2

- 149 —

Las últimas fórmulas sirvieron de punto de partida á G. Pittarelli
para el estudio, bastante minucioso, que hizo del caracol, en su memoria
sobre Li iumache di Pascal, publicada en el Giornale di Matematiche
(Napoli, t. XXI, 1883, ^J. 145 y p. 173). Pero aquí nos limitaremos á ob-
tener, por medio de las mismas, la ecuación tangencial de la curva.

Partiendo de la expresión

dy /¿ eos 9 -|- a eos 2 9

dx /? sen 9 -|- a sen 2 9

la ecuación de la tangente al caracol será

(Acos9 + acos29) Jí + (/ísen9 +asen29) 7= (fe + a cos9)2;

ó, sustituyendo sen9 y cos9 por sus valores en función de t, esta otra:

[/í + a — <oat^ — {h — a) ¿''] .Y + 2 [h + 2a + (fe — 2a) t'^] t Y
= [fe + a + (fe — «)í2]2.

Por medio de la cual se puede obtener la ecuación tangencial de la cur-
va considerada. Comparándola, en efecto, con la ecuación

2iX-\-vY-\-\ = 0,
resulta

fe + a — 6a<2 _ (^ _ a) ^4 h + 2a-\-{h — 2a) t^ ^
u^ y v = — ¿ t.

(fe + a + (fe — a) <2)2 (h^a-\-ih — a) fif

Bastando ahora eliminar t entre estas ecuaciones para obtener la ecuación
buscada, que, según Pittarelli (1. c, y. 155), es como sigue:

(«2 — ¿2)3 (^^2 _|. ^2)2 4- í: (m2 + í;2) _^ L = 0;

en la cual designan abreviadamente K y L\o que á continuación se indica:
K=2(h^ — a2)2 ¿2 u2 __ 2 (fe2 _ «2, ^ (4^2 _j_ 5^2) ^
+ 8 (fe2 — a2)2 — 36 fe2 (fe2 _ «2) + 27 fe*, y ~
L = (au-\- 2)3 [a (h^ — a^) u — 2^2].

— 150 --

Mediante esta ecuacióa pueden hallarse los focos del caracol de Pascal
por el método general conocido, ya empleado anteriormente para determi-
nar los focos de las lemniscatas. Pero, en el caso de que ahora tratamos,
preferible es valerse de otro más elemental y sencillo, que pasamos á ex-
poner.

Consideremos la recta .

y = ix + k,

y busquemos los valores que debe tener k para que la recta sea tangente
al caracol, ó para que corte á la curva en dos puntos, coincidentes uno
con otro.

Eliminando para esto la y entre las ecuaciones de la recta y de la cur-
va, obtiénese esta otra:

{2ki — af £c2 -f 2 [(2ki — a) k^ — h^ ik] x + k^ — h^ k' = O,

que determina las abscisas de los puntos de intersección de ambas líneas.
Y, expresando ahora que los dos valores de estas abscisas son iguales, ob-
tiénese la condicional siguiente:

[(2Á'¿ — a) k^ — /¿2 ikf — (2ki — a)- (k'* — h^ k^) = O, ó
k'"(a^ — h^ — 2aki) = 0.

De donde se deduce:

k^O, y k== 1.

^ 2a

A la primera de estas soluciones corresponde una recta, que pasa por
el punto doble de la curva; pero que no es tangente á ésta, y que así no
determina foco alguno.

Y á la segunda corresponde la tangente á la curva

Del mismo modo se vería que existe otra tangente á la curva con el

— 151 —

coeficiente angular igual á — i, cuya ecuación sdlo difiere de la anterior
por el signo de i.

Y buscando la intersección de ambas rectas, se concluye que la curva
posee un foco ordinario , cuyas coordenadas son

a^ — h?.
« = , é y = 0.

2a

Debiendo agregar á esto que las asíntotas, cuyas ecuaciones renglones
antes se obtuvieron, determinan también por su intersección un foco sin-
gular de la curva, definido por las coordenadas

03-= — a, é M = 0.

158. Entre las distancias r y r' de los puntos del caracol al origen de
las coordenadas y á su foco ordinario , existe la siguiente relación notable:

2Ar- + 2a/ = A2 — «2,

de fácil comprobación, sustituyendo en ella r y r' por sus valores respec-
tivos

y advirtiendo que con esto resulta una ecuación que coincide con la carte-
siana de la curva.

De la relación anterior, y de la que sigue

x^ -\- y^ — ax = hr,

desprendida de la ecuación cartesiana de la curva, infiérese también sin
dificultad que las distancias r y r' del origen y del foco ordinario á los
puntos (x,y) de la curva sotí funciones racionales de las coordenadas de
estos puntos.

159. El caracol de Pascal, puede ser engendrado por un punto situa-
do en el plano de una circunferencia, á la cual se supone invariablemente
unido, cuando ésta rueda sobre otra fija, de radio igual á la primera.

— 152 —

Si el punto generador de la curva es exterior á la circunferencia móvil,
obtiénese el caracol de punto doble (fig. 45); si interior, el cat'acol de punto
aislado (fig. 46); y la cardiode (fig. 47), cuando corresponda á la misma cir-
cunferencia. El caracol pertenece, pues, al grupo de las curvas denomi-
nadas epicicloides , de las cuales trataremos más adelante, y entonces se
demostrará la exactitud de la interesante proposición que acaba de enun-
ciarse.

160. La longitud de los arcos del caracol depende, cuando /?, ^ a, de
una integral elíptica de segunda especie. Pues, en efecto,

.XV.=+(fy— €V'

^ha , 1 „ ,

(a + hf

Ó, poniendo — 9 = tp.

s =^2 [a -\- h) \ \ / 1 sen^ ts . d'.o.

X V ia + hf ' ■

16 í . De la fórmula precedente pueden deducirse, por referencia á los
arcos del caracol, teoremas análogos á los demostrados en la teoría de las
integrales elípticas, por referencia á los de la elipse. Como ejemplo, fije-
mos la atención en el teorema llamado de Fagnano.

En el supuesto de ser

k^= ^^"' é I Vi— /.■2sen^=í</'f = ^(A;, «),

enséñanos la teoría de las integrales elípticas que

k'^ sen '-f eos (f k- sen G

rt/i \ 1 T-t/7 iN T-./7 '^A /i"^sena cose
E (k, cp) + E {k, •!^)-El k, - = . ^

\ 2/ \/l_/,--^sen2

Y/Í_/,--^sen2=p \l , .,1

' 2 1/ 1 — «''sen-— 'J

¥

2

cuando entre tp y ^ existe además la relación siguiente:
coste cosi]> = sentp senA \1 — k^ .

- 153 —

El) la fig." 46 señalemos dos puntos del caracol, m y m' , cuyas amplitu-
des satisfagan á la igualdad anterior, y tendremos

are Am = 2 (a + A) ¿7 (/.: , cp) ; are ^/w' = 2 (a + A) ÍJ [k ,\); y

are AB=2{a-\- h) EUc, —Y

Por otra parte, representando por V el ángulo que forma el radio vector
del punto m con la tangente á la curva en el mismo punto, resulta que

í¿f) acosO + h

tangF=p-— = -— ;

cíp «sentí

y, por lo tanto,

«sen 8

CCS V = ■

V-

(a + h) \l 1— Fsen^ — 9

Con lo cual una de las igualdades anteriores se transforma inmediata-
mente en la que sigue:

E{k, cp) + E(k, .{.) -EÍk, ^\ = ^l^±J^cosV.
\ 2 / 2a

Ó, finalmente:

are ^ /« -|- are ^/»' — are ^j5 ^ are Am — are Bm'

= — ¡^ — ■ — — eos F= 4/icos V.
a

Para construir, pues, la diferencia de longitudes de los arcos Am y
Bm' , basta tomar sobre el radio vector del punto m, una longitud igual á
4 A, y proyectarla sobre la tangente á la curva en el mismo punto.

162. El área A, recorrida por el radio vector del caracol, cuando H
varía desde O hasta S, se halla expresada por la fórmula

^ = J- /;í2 _^ i- ciA e + — «a seu2() + ah sen9.
2 \ ¿ f 8

— 164 —

n

LA CARDIOIDE

163. Ya dijimos en el Núm. 152 que recibe el nombre de cardioide,
propuesto por Castillos (Phylosophical Transactions of London Boyal
Society, 1741), el caracol de Pascal que tiene por ecuación

p = a + acos6: (O ^ O ^ 2 ir);

y vimos también cuál es la forma de esta curva, representada en la figu-
ra 47. Limitarémonos ahora á dar cuenta de algunas propiedades de la
misma curva.

Poniendo, en las fórmulas del Núm. 157, h = a, obtiénense, para de-
terminar las coordenadas x é y de la cardioide, en función del parámetro
arbitrario t, las fórmulas

2a (1 — ¿2) íat
X = e w ^ :

(1 + r-)2 (1 + fif

de las cuales se deduce, como ecuación de la tangente, la que sigue:

(1 — 3<2) X-\-t{3 — ¿2) T= 2a
Como se deduce, para ecuación tangencial de la curva, esta otra:

27ffl4 (^2 -f v^) — 2a2 (au + 2)3 = 0.

Concluyese también de lo expuesto en el Núm. 157, que la curva po-
see un foco singular I — a, O j, y que no tiene focos ordinarios.

164. Los cuatro puntos de intersección de la recta

ux -\- vy -\- I = O
con la cardioide, se determinan por medio de la ecuación

¿4 + 2 (1 —au) f^ + A^avt -f 2aii + 1 = 0,

- 155 —

resultante de sustituir, en la ecuación de la recta, x é ij por sus valores
expresados en función de t.

Por otra parte, los valores de t en los tres puntos de contacto de las
tangentes á la curva, trazadas por un punto (a, P), resultan de la ecuación

(1) .3 + ^,._3. + i^ = 0,

que se obtiene sustituyendo, en la ecuación de la tangente á la curva, XéY

por a y p.

Y dividiendo uno por otro los polinomios que forman los primeros miem-
bros de las dos ecuaciones anteriores, resulta, representando por Q el co-
ciente y por R el resto de la división,

Q=t-i^, y

R = U— 2au + ^^f^+ Uav — 8 — — — ] t

+ 2aM + 1 + 3 - ■ ^^~°'.

Las condiciones para que los tres puntos de contacto con la curva de
las tangentes que pasan por el punto (a, p), correspondan á la recta consi-
derada, serán, pues, éstas:

a2 a 2 a
5— 2aM + 9 — = 0; 4aí; — 8 = 0; y

p

Las dos primeras determinan los parámetros u y v de la recta. Y la terce-
ra, eliminando de ella la u por medio de la primera, se transforma en la
siguiente:

pa ^ «2 ^ aa = o,
que, consideradas a y p como variables, representa una circunferencia,

- 156 —

que tiene por centro el punto j a, O |, y cuyo radio es igual á — a. De

todo lo cual resulta demostrado el teorema siguiente:

Las tres tangentes á la cardioide, trazadas p o?' cualquier punto de la cir-
cunferencia, de centro j «, O j «/ radio igual á — a, tocan á la curva

en tres puntos, reales ó imaginarios, situados en línea recta.

El cuarto punto de intersección de la recta que pasa por los puntos de
contacto de las tres tangentes que acabamos de considerar, se halla defi-

nido por la ecuación Q= O 6 í = 3 — .

165. Representando por t^, t^j t¡ los valores de i en los tres puntos
de contacto de las tangentes á la cardioide, trazadas por el punto (a, ¡3),
de la ecuación (1) se desprende que

(2) t, + t., + t^=—3^; t,t.^ + t,t^ + tj^=-i; y t,t.,t^=^ ' "'~''-

Por ser t = tang — fi, la condición para que las bisectrices de los án-
gulos formados con el eje polar por los vectores de los puntos de contac-
to, correspondientes á dos de estas tangentes, sean perpendiculares una á
otra, es ^, ¿g == — 1. Y en este caso

2a — a , o « + «

3 p ) / 1 I „ p

Sustituyendo ahora en la segunda de las ecuaciones (2) ¿j ^g; t^ -\- t,/, y íg
por estos valores, resulta

Luego los puntos del plano de la cardioide, tales que dos de las tangen-
tes á la curva, trazadas por cada uno de ellos, la toquen en otros puntos,
correspondientes á una recta que pase por el origen, se hallarán también
situados sobre una circunferencia, de centro definido por las coordenadas

1 3

— a y O , y í/e radio igual á — a.

— 157 —

160. Para rectificar la cardioide no es menester, como tratándose de
los demás caracoles, emplear las integrales elípticas. Así resulta de la ex-
presión integral siguiente:

.<••== 2» I V/l — sen'¿ — e í/t) = 4« sen — 6.

De la cual se deduce que la longitud total de la curva es igual á 8 a.

La rectificación de la cardioide fué por primera vez obtenida por La
HiRE, conforme consta en las Méinoires de l'Académie de París, 1708.

III

LOS ÓVALOS DE DESCARTES

167. Sean r y / las distancias de un punto variable, M, á dos puntos
fijos, O y O', llamados focos (fig. 48); y, representando por h y k dos can-
tidades constantes, supongamos que

(1)

r zb hr' •

M

/

•B

O" N O'

Fignra 48.

El lugar geométrico descrito por M, con-
forme r y / varían, de magnitud, constitu-
ye una de las curvas denominadas Óvalos de
Descartes, en memoria del ilustre geómetra
de este nombre, que las descubrió y definió
al tratar de resolver el problema de óptica

que tiene por objeto determinar la forma de la superficie de separación de
dos medios transparentes, distintos en densidad, necesaria para que los
rayos emitidos por un punto luminoso en el primero sean transmitidos,
por refracción, á otro punto fijo en el segundo. Problema resuelto en su
Dióptricu por Descartes, y más tarde, en el concepto geométrico, minu-
ciosamente estudiado por el mismo autor en el libro ii de su célebre Geo-
metría, publicada en 1637.

En el mismo asunto que Descartes, y á propósito del mencionado pro-

— 158 —

blema de Óptica, ocupóse también Roberval en una memoria titulada
De resolutione cequationum, por primera vez publicada en 1693, mucho
después de fallecido el autor, y de nuevo, en 1730, inserta en el tomo vi,
pág. 157, de las Mémoires de l'Académie des Sciences de París. Siendo de
creer que las investigaciones de tan eminente geómetra, concernientes á la
materia de que se trata, fuesen hechas antes de publicar los resultados de
las suyas Descartes; pues no de otro modo se explica que Roberval no
mencione á este propósito el nombre del gran filósofo, y aun advierta ex-
plícitamente que las curvas á que en su trabajo se refiere no habían sido
hasta entonces por ningún otro matemático consideradas.

Sobre los óvalos de Descartes, conocidos también por el nombre de
curvas aplanéticas , propuesto por Herschel, se han hecho con posterio-
ridad numerosos trabajos, catalogados por Ligüine en el Bidletin des
Sciences Mathématiques (2." serie, t. vi, 1882, p. 40); y más tarde por
Brocard, en el Intermédiaire des Mathématiciens (t. iii, 1896, p. 238).

1<»8. Para hallar la ecuación de estos óvalos, expresada en coordena-
das cartesianas, tomemos el punto O como origen de las mismas, y la rec-
ta 00' para eje de las abscisas; y designando por a la distancia 00', ha-
llaremos que

r = \l^+^' y r' = \J y^ + (X - af.

Ecuaciones de las cuales se deduce que

/2 _. y2 — 2ax-\- a^;

y, contando además con la (1), este otro resultado:

(2) (1 — /^2) r^ + 2 A2 aa; + ¿2 _ «2 h^ = ±2 kr.
Ó el siguiente, si en la expresión anterior se pone el valor de r:

(3) [(1 — fñ (x' + ¿/-) + 2 ali^ x + M^ — d^ h^f = 4 k^ (x^ + y%

De la ecuación (2) se concluye inmediatamente que los puntos de los
óvalos de Descartes son las intersecciones de la circunferencia de radio
variable, r, y centro O, con las rectas correspondientes, paralelas al eje de

— 159 —

las ordenadas, representadas por aquella misma ecnación, dispuesta, para
mayor claridad, en esta forma:

gi jji — A:^ ± 2 kr — (1 — U^) f^ d^ ii" + r^ k^ — {r=f. kf

Y, según que el valor absoluto del segundo miembro sea mayor, igual ó
menor, que r, así esta ecuación representará rectas exteriores á la circun-
ferencia, 6 tangentes á ella, ó secantes de la misma en dos distintos pun-
tos (puntos de los óvalos), simétricos con respecto al eje de las abscisas.

Notemos además que, en razón del doble signo de k, á cada valor de r
corresponden dos distintos valores de x, 6 dos pares de puntos de los óva-
los, situado cada cual en distinta recta. Pero si á /• le atribuímos un nuevo
valor, i\ , puede suceder que alguno de los dos valores de x así obtenidos
coincida con alguno de los que antes se obtuvieron: como sucede cuando
se verifica que

r2 /í¿ — (r — kf = rj2 h^ — (r^ + kf.

En cuyo caso, por el punto cuya abscisa es x pasará una recta, paralela
al eje de las ordenadas y secante á los óvalos en cuatro distintos puntos:
número máximo de intersecciones de una recta con una curva de cuarto
grado. Siendo menester, para esto, que

2k

r — r, = .

^ l — fi^

De manera que los radios de las dos circunferencias que producen cuatro
puntos de la curva, situados en la misma recta, paralela al eje de las or-
detmdas, han de tener una diferencia constante.

169. Antes de pasar más adelante, conviene advertir que el caracol
de Pascal se halla comprendido, como caso particular, entre los óvalos de
Descartes. Si, en efecto, en la ecuación (3) de estos óvalos se supone que
/i;2 = a^ h^^ obtiénese la ecuación del caracol. Y no solamente en este caso
coinciden con el caracol aquellos óvalos. Porque si la (1) se escribe en
esta forma:

r'±~r=±-, ó r'±h,r = ±lc,,
h h ' '

— 160 —

suponiendo para ello que Ti, = — y /;:, = —, fácilmente se ve que aque-

h h

Ha ecuación (1) representará un caracol cuando sea Aj^ = a- h^, ó k= a.
170. Veamos ahora si la curva representada por la ecuación (3) admi-
te otro foco, O", colocado, como los O y O', sobre el eje de las abscisas.
Para esto es necesario, y basta, que exista un sistema de valores de /.:,,
ftj = 00", y h^, tal que la ecuación

(1 — h^^) f^ + 2a, h^' X + k;^ — a;^ h,^ = ± 2k^ r

coincida con la (2), ó que /.-,, a, y /«, satisfagan á las ecuaciones condicio-
nales siguientes:

aW _ a,h,^ k^—a^W ^ k^^-a,^h{\ _A_=_A_

Eliminando en la segunda de estas ecuaciones ]i^ y a, por medio de la
primera y tercera, obtiénese esta otra:

F ft,* — («2 + k"^) h'^ h;^ + «2 ft4 = O :
de la cual se deducen para h^ los valores

%, = ±%, y h = ±^.

Los primeros valores de h^ así obtenidos producen estos otros : k ^=k^
y a = «i, y no conducen á resultado ninguno nuevo. Pero de los segun-
dos se concluye que

a, = y /c, ^ it .

1 (l_fti)a -^ ]c(l — h^)

Y, en consecuencia, representando por r" la distancia MO", los óvalos de
Descartes, que tienen por ecuación

, ah ,, , T{^ — a~hr

a.') r ± r" = ± ,

^ k (1-mk

— 161 —

y por focos el origen de las coordenadas, O, y el 0'\ separados uno de
otro por la distancia

00" ''-"'''

aíl — h^)

coinciden con los representados por la ecuación (1).

Advirtamos además que de las ecuaciones (1) y (1'), por eliminación
de r, resulta una nueva relación lineal entre r' y r". Y, por lo tanto, cual-
quier óvalo de Descaries puede ser definido de tres modos distintos, como
lugar geométrico de los puntos cuyas distancias á otros dos fijos estáíi
ligadas por una reí-ación lineal. Importante resultado debido á Chasles.
(Aperr.u historique, 1837, note 21.)

Pero es de advertir que el foco O'' , á que acabamos de referirnos, no
existe en el caso de convertirse el óvalo en caracol de Pascal.

171. Para determinar la forma de la curva, representada por la ecua-
ción (.3), resolveremos varias cuestiones previas.

1." Busquemos en primer lugar los puntos en que la curva corta al eje
de las abscisas.

Poniendo para ello j/ = O en la ecuación (3), resulta

(1 — /i2) .r2 + 2 a/22 a- + /,.2 _ ^2 ,,2 = h- 2l:,r.

De la primera de estas ecuaciones, ó adoptando como signo del segando
miembro el -(-, se desprende que

_ {l-±ah){l=f.h) J,±ah

1 — li^ 1 ± h

Y de la segunda

_ (/,■ r¡i ah) (± h — l) _ k zp ah
'' ~~ 1 — //-^ " l±h'

La curva corta, pues, al eje de las abscisas en cuatro puntos reales,
dados por estas ecuaciones,

_ Ic±ah _—k±ah_

^~ l±.h ^ '* ~ l±h

11

— 162 —

puntos distintos, bien entendido, excepto en el caso de ser fc^^l, <5
A;^ = a-, ó k^ = (Ph", de las cuales debe ahora prescindirse, porque aque-
lla curva es entonces una cónica, ó un caracol de Pascal, ya estudiado an-
teriormente.

2° Busquemos, en segundo lugar, los puntos múltiplos de la curva
considerada.

Y para ello, determinemos los valores de x é y, que satisfacen á la
ecuación (3) y á las siguientes, derivadas suyas con respecto á las mismas
coordenadas x é y:

[(I — h^) (o,--' + y') + 2a}fix + U^ — a^ h^¡ [(1 —h^) x + ah'^] = 2h^ x, y
[(1 •- K^) (x^ + */■-') + 2ali^ X + /•■■•^ — a^ f/-] (1 — h^) y = 2 1:^ y.

La última ecuación admite dos soluciones:

y=0, y (l-/^¿)(^-2 + ^^)+2aA^x + A'í-a^/í^ = -

Pero esta segunda solución no es compatible con la primera de las an-
teriores, y no conduce, por consiguiente, á punto singular alguno. Y á la
solución y =^0 corresponden puntos colocados sobre el eje de las absci-
sas, distintos todos unos de otros, salvo, como ya se advirtió, cuando la
ecuación (3) corresponde al caracol de Pascal.

La curva de que ahora tratamos no posee, según esto, puntos múltiplos
á distancia finita. Pero sí dos puntos de retroceso imayinarios en lo infinito.

Para verlo basta investigar sus asíntotas. Si con este objeto supone-
mos primeramente que y = xx, y, á continuación, x = ce, ha'Ilase que
limí. = ±i.Y si después escribimos y^± ix -j-it y x ^ ce, deducire-
mos la ecuación

[± 2 / (1 — A2) limu + 2a/i^]- = O,

que determina lim?í; y por ser dobles sus raíces infiérese, en conclusión,
que cada una de las ecuaciones

, . r , «¿2 -I

representa dos asíntotas, una con otra coincidentes.

— 163 —

3.° Por ser imaginarias las asíutotas buscadas, asimismo se infiere
que la curva á que corresponden no tiene ramas infinitas reales. Conclu-
yéndose de esta propiedad y de la anteriormente advertida, de carecer la
curva de puntos málliplos á distancia finita, que los óvalos de Descartes
se componen de dos ramas cerradas, completamente separadas una de otra.

4." Para hallar los puntos en que ¡j adquiere valores máximos 6 míni-
mos, partiremos de las ecuaciones

(2') {l—k}')7^-^2alt}'x-\-h^ — á^Ji^ = 2kr, y x^-\-y^ = 7^:

en las cuales se hallan expresas x é // en función de la cantidad positiva ó
negativa r, que tomaremos como variable independiente. Y en tal supues-
to, se hallará que

dy dx

— — r — X

dy dr dr

dx dx dx

dr dr

Por consiguiente, los valores de r á que corresponden valores máximos
ó mínimos de y, se deducirán de la ecuación

. dx

dr ~ '

6, en virtud de la ecuación (2'), de esta otra:

(1 ^ h^f ^3 — 3 (1 — /¿-') Ir- — (a-' h-^ + ^■■■í A^' — St^ + a-' /*'') r
— h [Jc^ — a- h^) = 0.

La cual será menester que resolvamos para hallar luego, por medio de
las ecuaciones (2') y x- + y~ = ?■-', los valores buscados de x é y.

Como de la primera ecuación se desprenden tres valores de r, á cada
uno de los cuales corresponden un valor de x y otros dos, iguales y de
signos contrarios, de y, dados por las últimas, concluyese que el número
de puntos que satisfacen á la cuestión son seis, distribuidos por mitad á
uno y otro lado del eje de las abscisas. Pero de cada uno de estos grupos

- 164 —

(le tres puntos, dos deben ser imaginarios; porque, si no lo fuesen, una
rama de la curva tendría dos puntos de ordenada máxima ó mínima á cada
lado de aquel eje, y uno no más la otra: lo que es de toda evidencia absurdo.
Los puntos en que x es máxima ó mínima se obtendrán por análogo
procedimiento. Siendo fácil ver que las ecuaciones

dx

y = 0 y — = 0,

dr

.í/ = 0 y A' — (1 — /^;^)r = 0,

determinan los valores de r, á que corresponden valores máximos 6 míni-
mos de X.

A la segunda ecuación corresponden estos valores de x é y:

,,= g^ + Tc-^ — a^ h^

n = ^ \/4n^ A2 — (fl-^ + k^ — a^ h^f .

■ 2a(l~]ñ

A los cuales corresponden dos puntos, reales 6 imaginarios.

Y á la solución í/ == O, los cuatro puntos en que la curva corta al eje
de las abscisas, anteriormente determinados.

5." Para hallar los puntos en que la curva corta al eje de las ordena-
das, póngase .c = O, y resultará

±k±h\/a^^ A;2 — h^ «2
(4) !/ =

/<2

Vese, pues, que el eje de las ordenadas, ó no corta á la curva, como
sucederá cuando sea a^ -\- P — a- /¿^ <; O, ó la corta en cuatro puntos.

Tomando para origen de las coordenadas el foco O', la ecuación de la
curva se transforma en ésta:

[(h^ - 1) (x;^ + ¡j{') - 2ax, + k:^ - a^^f = ik^ Ji' (x;^ + y;\

— 165 —

Y poniendo en ella x^ = O, obtiénense los valores de las ordenadas de
aquellos puntos en que la curva corta al nuevo eje de las ordenadas,
dados por la expresión

_ ± Jch ± Sja^ h^ + l'-^ — a^

"' W^i •

De la última fórmula se deduce que cuando Ji^^- 1, tj^ es real; y de
la (4) que y será real cuando sea li^ << 1. Luego una, por lo menos, de las
perpendiculares al eje de los óvalos, que pasan por los focos O y O', corta
á la curva en cuatro puntos reales.

172. De todo lo cual se concluye que la curva á que nos referimos
consta de dos distintas ramas, que, en vez de cortarse — salvo el caso del
caracol de Pascal, de que ahora prescindimos — se encuentran una dentro
de otra. La interior, cerrada y convexa, ó sin ningún punto de inflexión,
posee un eje de simetría, AB, que puede suponerse coincidente con el de
las abscisas, y en cuyos extremos, A y B, son las tangentes á la curva
perpendiculares al mismo eje; y otros dos puntos, My N, de ordenada má-
xi)na en absoluto. Y la exterior, de la misma forma general, ó de la indi-
cada en la fig. 46, poseerá en este caso cuatro puntos: los A y i?, en los
extremos del eje horizontal, y los P y Q, simétricamente colocados con
respecto á este eje, donde las tangentes á la curva son perpendiculares al
mismo eje; y otros dos puntos también, M y N, de ordenada máxima,
como en el caso primero.

173. Las normales á los óvalos de Descartes pueden obtenerse por
un método general conocido, aplicable á todas las curvas referidas á coor-
denadas bipolares.

En el caso de los óvalos á que co-
rresponden los signos superiores de la
ecuación (1), tomando los segmentos de
recta MA = 1, y MB = h, figura 49,
la normal á la curva en el punto M será
la diagonal del paralelógramo cons-
truido sobre aquellos segmentos.

Para demostrarlo basta advertir que la ecuación de la normal á uno
cualquiera de aquellos óvalos, en el punto [x, y), es

— 166 —

x — x _ y— .y

dr , , dr' dr , , dr'

dx dx dy d;/

6, por ser

dr X dr' x — a
= — := costo; := = costo ;

dx r dx r

dr 11 dr' y
=-<- = sen(o; y =^í-^sen(jj,

dy r dy r

representando por w y w' los ángulos MOx y MO'x,

X—x _ Y— y

cosw

-\- h cosü)' seno) -)- h senw'

Y basta ahora advertir que las coordenadas x^ é y^ del punto C se ha-
llan expresadas por las fórmulas

£c^ = ¿c — (costo + h costo' I é y^^ y — (seno) + h sentó'),

y que estas coordenadas satisfacen á la última ecuación, para concluir que
la normal coincide con la diagonal MC del paralelógramo referido.

Y á la misma conclusión se llega, tratándose de un óvalo correspon-
' diente á la ecuación r — hr =±k, cuidando de tomar el segmento MB

en dirección opuesta á MO'.

De la propiedad que acaba de demostrarse, infiérese inmediatamente
esta interesante consecuencia: que los óvalos de Descartes resuelven el
problema de Óptica, anteriormente mencionado; porque los rayos lumino-
sos OM que parten del foco O do un óvalo de Descartes, interpuesto en-
tre dos medios transparentes de diferente densidad, y cuyo índice de re-
fracción es k, se refractan, cuando llegan á la curva, segdn rectas MO',
que se cortan en otro foco O'. Para persuadirse de lo cual basta advertir
que la igualdad

senOMA^ senOMN

seaO'MN sen ACM

= h.

- 1C.7 -

resultante de considerar el paralelógramo AMBC, coiacide con la <[ue
expresa la ley de la refracción.

174. Poniendo en la ecuación (3)

V= (1 — /¿2) (.r2 -(- f) + 2a¥ .r + A'2 — a¿ A^ y U= ,r^ + .y^,

resulta

F2 = 4 /,■■-' ¿7.

Y con estos antecedentes, escribamos la ecuación

(5) 4A:2f2_^2i!F+í7=0:

la cual, suponiendo que sea t un parámetro variable, representa un sistema,
ó conjunto, de círculos, cuyos centros coinciden con el eje de las abscisas.
Pues bien: si nos proponemos hallar la ecuación de la envolvente de es-
tos círculos, daremos, sin variante, con la (3i, correspondiente á los óva-
los de Descartes. Lo cual constituye interesante propiedad de los mismos
óvalos. '

175. Efectuando la transformación, por radios vectores recíprocos, de
la curva representada por la ecuación (3), tomando el origen de las coor-
denadas para centro de la transformación, para lo cual debe ponerse en
esta ecuación

encuéutrase la que sigue:

[(1 - ¡ñ t^' + 2«/i--^ t;^ X, + (A--^— «2 K^) [j^^i + f,^^)f = 4/¿2 í/' (.r,- + ,/^%

que coincide con la (3) cuando

1 — /í2

Luego los óvalos de Descartes pertenecen á la clase de curvas que
MouTARD (Btdletin de la Société Phylomatique de Paris, 1864), designó

— 168 —

con el nombre de analagmáticas , las cuales poseen la propiedad de no
alterarse por resultado de la transformación mencionada. Transformación
aplicable :í los óvalos de Descartes de tres maneras distintas, puesto que
puede tomarse para origen de las coordenadas cualquiera de los tres focos
de la curva, sin alterar la forma de la ecuación (3).

1 7G. Cada una de las rectas definidas por la ecuación y = ± ix corta
á la curva á que corresponde la ecuación (3) en dos puntos situados en lo
infinito, y en otros dos coincidéntes uno con otro, cuya abscisa se deduce
de la ecuación

(2a/22£C + A:2 — «2/^2)2 = 0.

Luego las rectas consideradas son tangentes á la referida curva, y ésta
posee, en consecuencia, un foco ordinario en el origen de las coordena-
das. Y como se pueden tomar los puntos O' y O" para origen de las coor-
denadas sin alterar la forma de la ecuación (3), asimismo resulta que estos
puntos son también focos ordinarios de la curva. De manera que la desig-
nación aplicada á los puntos O, O' y O", en los Nüms. 1G7 y 170, con-
cuerda con la noción general de foco propuesta por Plücker.

A lo que precede puede agregarse que la curva no posee más que estos
tres focos ordinarios reales.

Veremos, en efecto, poco más adelante, al tratar de la determinación
del numero de focos de la clase de curvas denominadas ctiárticas bicircu-
lares, entre las cuales, como caso particular, se hallan comprendidos los
óvalos de Descartes, que el número de los focos ordinarios de éstas es
igual á nueve: reales tres, y seis imaginarios. Bastando, para determinar
estos últimos, advertir que las rectas, de coeficiente angular igual á ±i,
que pasan por los focos O, O' y O",

¡j = ix, !i==i(,r — a'i, t/ = i{,r — fli¡, é
// = — /.r, 1/ = — i(x— a), 1/ = — i [x — a^),

son tangentes á la curva: por lo cual los nueve ¡nmtos en que las tres pri-
meras cortan á las tres últimas representan precisamente los nueve focos
de la curva, reales tres, los O, O' y O", y los otros seis imaginarios.
Pero, además de los ordinarios, la curva posee focos singulares, entre

— 169 —

los cuales existe uno real, coincidente con la intersección de sus asínto-
tas. De las ecuaciones de estas líneas, poco antes encontradas, se infiere
que este foco tiene por coordenadas

X = é y = 0.

1 — 7*2

177. Poniendo en la ecuación (3) x = r cos6 é ij = r sen9, hállase la
ecuación de la curva, referida á coordenadas polares,

(1 — h^) f^ + 2 [aJi^ eos 6 — /,:) r + U^ — a^ h^ = 0.

Y de la eliminación de cosG entre esta ecuación y la polar de una recta
cualquiera, p [A cosO -f 5senf)) -|- C= O, se desprende otra ecuación de

cuarto grado, en la cual el coeficiente del segundo término es igual á

4/,;
. Luego cualquier linea recia corta á la curva en cuatro piin-

los tales que la suma de sus distancias, positivas ó negativas, á un foco,
es constante. (Salmón: Higher ¡jlanes curves, ed. 3.", 280).

La ecuación polar de los óvalos de Descartes, (íltimamente considerada,
fué utilizada por Genocchi (Comptes rendus de l'Académie de Paris, 1875)
para obtener la longitud de los arcos de estas curvas, demostrando por su
medio aquel ilustre geómetra que la rectificación de los óvalos cartesianos
depende de la rectificación de tres arcos de tres elipses diferentes.

178. Los óvalos de Descartes pueden ser definidos y trazados por
muy diversos procedimientos, de los cuales mencionaremos tan sólo los
dos siguientes:

1.° El lugar geométrico de los puntos tales que la razón de sus dis-
tancias á dos circunferencias fijas sea constante, es un óvalo de Descartes.
(Newton.)

Representando, para demostrarlo, por R y R' los radios de aquellas cir-
cunferencias; por r y ;•' las distancias de un punto cualquiera de la curva
á los centros de las mismas; y por h una constante, considerando las di-
versas posiciones de aquel punto con respecto á las circunferencias, dedú-
cese que

, r — B

± = /' , ó r ::f.kr' ^ R qzJi R'.

r' — R'

- 170 —

2." Consideremos dos circunferencias y un punto fijo, situado en la
recta que pasa por sus centros. Si tiramos por este punto una secante á las
dos circunferencias y unimos los puntos de intersección con ambos cen-
tros, los radios prolongados se cortarán en otros puntos de posición varia-
ble, conforme la secante varíe, que describirán óvalos de Descartes, con
focos coincidentes en aquellos centros. Construcción elegante, debida al
geómetra Chasles (Aperru historique, note xxi), quien la dedujo, como
consecuencia ingeniosa del teorema de Menelao.

Aplicando, en efecto, el mencionado teorema al triángulo CMC (fig. 50),

Fisura 50.

determinado por los centros G y C de las dos circunferencias y por el
punto M de la curva, y á la transversal KA, obtiénese desde luego la igual-
dad siguiente:

CA MA' C K

AM A' C CK

De la cual, representando por E. y R' los radios CA y C A' ; por ;• y r'

^ R KC ,

las distancias de 1/ á C y C"; y por h la constante — --TT^T' ^^ des-

R' KC

prende esta ecuación bipolar de un óvalo de Descartes:

r —hr' = R — hR'.

- 171 —

Y del mismo modo se encuentra, aplicando el mencionado teorema al
triángulo CM' C" y á la secante KA, esta otra ecuación:

r — hr' = —{R-hR').

A todo lo cual agregó Chas les, como interesante complemento, que la
recta LM que pasa por el punto de intersección L de las tangentes á las
circunferencias, en los A y A' , es tangente á la curva engendrada por la
construcción expuesta, en el punto M. Para demostrar lo cual basta ad-
vertir que

AM = ML x eos A ML, y A' M= ML x eos A' ML; 6

eos A3IL _ AM _ r — R _
eos A' ML ~ A' M ~ r' — R' ~ '

De donde, representando por MS una recta, perpendicular á la ML, se
infiere que

sen UMS

s^nSMA'

■ h.

Luego, por lo dicho en el Núm. 173, il/5 será la normal á la curva en
el punto M, y ML la tangente. Pudiendo determinarse por los mismos
pasos la tangente al óvalo en el otro punto J/', obtenido por igual cons-
trucción, y á la vez casi, que el primero.

179. Los óvalos de Descartes desempeñan papel importante en la Óp-
tica, como lo demuestra el hecho de haber motivado su descubrimiento,
conforme ya más atrás queda advertido, la resolución de un interesante
problema de esta ciencia. A lo cual añadiremos que Quetelet (Nouveaux
Mémoires de VAcadémie de Briixelles, t. iii), y Sturm (Annales de Ger-
gonne, t. xv), encontraron estas mismas curvas como solución del proble-
ma que tiene por objeto determinar las cáusticas secundarias, por refle-
xión y por refracción, del círculo: esto es, las curvas que cortan ortogo-
nalmente los rayos reflejados ó refringidos en un arco de este nombre.

— 172 —
IV

LAS CUÁRTICAS BICIRCULARES
180. Los Óvalos de Descartes satisfacen á una ecuación de la forma

(1) r±hr' ±kr" = Q,

resultante de las ecuaciones de los mismos óvalos

r±h^ r' = ± h\ y r±h.,r" = ± k.-,.

Circunstancia que nos impulsa á estudiar las curvas definidas por la ecua-
ción (1), en la cual r, r' y r" representan las distancias de los puntos de
una cualquiera de aquellas curvas ¡í tres puntos fijos, situados: uno en el
origen de las coordenadas (0,0); otro en el eje de las abscisas, á la distan-
cia a del origen [a, 0); y el tercero allí donde las coordenadas son (a, p).
Por ser

r2 = a-2 + f, r'í = ,r^ + f~2a ,r + a^ r"'^ = (x - a)'^ + (,/ - ;3)2,
la ecuación cartesiana de las curvas, definidas por la (1), será

([(1 4- h- — /,-2) (./••-' -f f) — 2 [ah- — a/.-2) X + 2, y /.■■-' // + h:^ci^

(2)

( - (a2 + ¡32) Iflf = 4/^2 [x^ + !f) \!r + .r2 + a^ _ 2ax\.

Ó

(,t2 + ¡r- ^pa- + qy +'1^ = ^2 (.^-2 ^ _y2, (^-2 ^ „2 _ 2ax + «2),

suponiendo que

2{y.k^ — ah^) 23/1-2

I _|_ 1,2 _ /.2 1 _|_ /,2 __ ¿2 •

1 + //-^ — /, - 1 + ^2 _ /.i

— 173 —

La ecuación que acabamos de obtener es de cuarto grado, excepto
cuando (1 + ''^ — Z»^^)^ = ifi^> ^ 1 ± /¿ dz ¿ = 0: en cuyo caso se reduce
al tercero, y representa una cúbica circular (Núm. 42).

181. Veamos ahora si existe otra ecuación de la forma (2):

1(1 + /.,2 - k;^) {cc^ + ¡ñ - 2 [ah;^ - «j k;^) íc + 2p, k;^ ¡j + h^^ a'
- (a;2 + p;^) A^2] = 4/^,2 (^2 ^ ,^0) ^^^o ^ ^., _j_ ^^, ._ .,^_^^^

que represente la misma curva á que la anterior se refiere.
Para esto deben verificarse las expresiones siguientes:

2(a,AV-«V), „ = _lMll_.

i + V-A-r ' i+h^-k-^'

^_ Va2-_(a¿+P3^_ ^___2A^__

o

(3)

de las cuales, eliminando primeramente a^ y ¡3^ entre las tres primeras, y
después Á'j- por medio de la última, resulta esta otra:

^ia^ + ap + l)k^+{Pl±^^-ajk,+^=0.

Ecuación de la cual se desprenden dos valores para k^: uno, el mismo //,
que nada nuevo nos dice; y otro, que, sustituido en las ecuaciones anterio-
res, producirá un sistema de valores reales para k^, a^ y p^, á los cuales
corresponde una nueva ecuación de la forma (2), representante de la mis-
ma curva.

Luego, si una curva satisface á una ecuación de la forma (1), existe un
cuarto punto tal que la misma curva satisface también á otra ecuación de
igual forma, pero con distintos coeficientes:

r±h^r' ± k^r" = 0,

— 174 —

representando ahora r" la distancia de los puntos de la curva al nuevo
punto considerado: de manera que la curva puede ser analiticameide re-
presentada ó definida de cuatro modos distintos, como lugar geométrico
de los puntos cuyas distancias á otros tres fijos están ligadas por una
relación lineal homogénea.

Procediendo como en el Ndm. 17G, al tratar entonces de los óralos de
Descartes, fácilmente se concluye que los puntos fijos (O, 0), (O, a), (a, P)
y (a,, ¡3^), á que acabamos de referirnos, son focos ordinarios de la curva,
únicos de este nombre, y reales además, que la curva posee, conforme
mostraremos poco más adelante.

Y también conviene advertir desde luego que el teorema acabado de
enunciar deja de verificarse cuando, en la ecuación que sirve para deter-
minar h^, el coeficiente de h^^ es igual á cero, y también cuando las dos
raíces de la misma ecuación son iguales. A estos casos excepcionales per-
tenecen los óvcdos de Descartes, que, según ya queda establecido, sola-
mente poseen tres focos oí'dinarios reales.

182, Deduciendo el valor de k^ de la segunda de las ecuaciones (3), y
sustituyéndole en las primera y tercera, resulta

de las cuales, por eliminación de k'^, se obtiene esta otra ecuación:

rtü + 2/

^>-r + iV - «'-1 + — ¡j — Pi = 0.

Por lo tanto, el punto (a^, Pj) corresponde á la circunferencia de radio
igual á

cuyo centro tiene por coordenadas

— 175 —

1 ap + 2l
— a y .

2 2q

Y como á la ecuación de esta circunferencia satisfacen taaibién las coor-
denadas de los puntos (O, 0), (a, p) y (O, a), de lo dicho se concluye que
los cuatro focos ele la curva corresponclcn á la misma circunferencia que
se acaba de definir.

183. Las cuárticas que acabamos de considerar estiín comprendidas
en la extensa é importante clase de las representadas por la ecuación

( (J5' + ff + 2 [nix + ny) {x^ + f)

(4) <

( + A, x^ + L\ x!i + C\ iñ + B,x + E,y + F, = Q,

á las cuales se da el nombre de cuárticas bicirculares : sobre cuya teoría y
propiedades han discurrido con grande ingenio muchos eminentes geóme-
tras. Como MoüTARD (Bulleíin de la Société Phylomatique de Paris, 1860),
que las encontró al estudiar las curvas analagmáticas de cuarto orden;
Darboüx, que trató de ellas, á la par que de las curvas resultantes de la
intersección de la esfera con las superficies de segundo orden, en varias
disertaciones notables publicadas con posterioridad al año 1864, en una
de las cuales, titulada Sur une Classe remarquable de curves et de sur fa-
ces cdgcbriques , se hallan reunidos los resultados importantes de sus inda-
gaciones sobre este asunto; La Gournerie (Journal de Liouville, 1869),
que extensamente analizó la ecuación procedente de la general, en los
supuestos de ser /i ^ O, i?^ = O, £", = O, en la cual se encuentran com-
prendidas todas las espíricas; Casey (Transactions of Royal Irish Aca-
demy, 1869); etc.

184. Principiaremos el estudio de las cuárticas bicirculares procu-
rando averiguar cuál es la naturaleza de sus puntos situados en lo infi-
nito, pudiendo recurrirse para lograrlo á cualquiera de los varios métodos
conocidos, como el de las asíntotas, por ejemplo. Mediante el cual se de-
duce, poniendo primeramente y = zx, que lím — = ± i; y después, si
y = 'ázix -\- u y x = cc, que

«2 -|_ {n =p m i) u — — (Ji -~Ci±B^ i) = 0.

-i

— 176 —

Si las raíces de estsi ecuación son desiguales, la curva teudní dos pun-
tos en lo infinito y cuatro asíntotas: luego estos puntos serán dobles. Y si
las raíces son iguales, dos de las cuatro asíntotas coincidirán con las otras
dos, y los puntos serán de retroceso. Condición que se verifica cuando

{n qi mif + .4^ — €\ ±B,i=0,
ó

n^ — ?«2 j^A^—C, = 0 y 2 m n = — B, .

Fácil es ver que estas ecuaciones quedan satisfechas cuando la (4) se
reduce á la de los óralos de Descartes, y, por consiguiente, que las curvas
de este nombre tienen dos puntos de retroceso en lo infinito, como ya an-
teriormente vimos.

A las ciidrticas hicircidares , con dos puntos de retroceso en lo infinito,
aplícase el calificativo especial de cartesianas: hallándose, en consecuen-
cia, comprendidos, como caso particular, en este grupo de curvas los men-
cionados óvalos del mismo nombre.

185. Para continuar el estudio en el párrafo anterior iniciado, vamos
á precisar las condiciones para que el círculo que tiene por ecuación

sea bitangente á las curvas de que tratamos: asunto interesante que se re-
suelve por el siguiente método, propuesto por Darboux (1. c, p. 114 de
la edición de 1873).

Redúzcase primeramente la ecuación (4), por traslación del origen de

las coordenadas al punto (——, "— )' 7 P»^' "^^ cambio de dirección

de los ejes, en virtud del cual desaparezca el término que contiene el pro-
ducto xy, á la forma

(5) («2 + ,^2)2 - 4 {Ax^ + A' iF + 2 Cx + 2 C y + D) = 0.

Para expresar que la curva correspondiente á esta ecuación y al cír-
culo se cortan, habremos de considerar estas otras dos ecuaciones:

(6) p-^—[Ax^^A'y^ + 2Cx-^2C'y + D) = <^, y .r^- + ^--^— 2P=0;
la primera de las cuales representa una cónica.

- 177 —

Mas, para que el círculo sea i>¡tangente íí la curva (5), deben reunirse
por pares los cuatro puntos de intersección del círculo con la curva, y,
por lo tanto, deben ser también bitangentes las curvas (6).

Redúcese, pues, la dificultad á encontrar las condiciones para que estas
últimas curvas sean bitangentes. Lo cual se consigue restando una de otra
ordenadamente aquellas ecuaciones (6), después de multiplicada la segun-
da por ua factor h, encontrándose de este modo la siguiente:

/■ = P2 — {Ax^ + A ' f + 2Cx + 2C'!i-\- D) — h (x!^ + .?/2 — 2P) = O,

que representa todas las cónicas que pasan por la intersección de las (6).
Pues para que estas curvas sean bitangentes, será menester, y basta, que
la última ecuación deducida represente dos rectas coincidentes, ó que /"sea
un cuadrado perfecto.

Para determinar las condiciones en que esto se verifica, puede emplear-
se el siguiente procedimiento.

Supongamos que el coeficiente A' -\- h — ¡j- de ¿/^ en la ecuación pre-
cedente no sea igual á cero; y de la misma ecuación se deducirán enton-
ces dos valores para //, que solamente serán iguales uno á otro cuando
tenga lugar, como identidad, la expresión siguiente:

(C — p/i — Py — ap j)2 = (¡32 — A' — h)
X [(,9.2 _ i. _ /í) íc2 _|_ 2 (ay -f afe — C) íc — I> -h '2yh + y^],

que se resuelve para ello en estas tres ecuaciones de condición:

/ ( .1' + h) a2 4- (.4 + h) (pa — A' — h) = Q;

{A) j a|3 (C -^h- ¡3y) + (^2 _A'- h) (ay — C + o.h) = 0; y
( (C" — ¡3/? — Py)2 — (p2 _ A' — h) {f — D-^- 2y/i) = 0.

V

De la segunda de estas ecuaciones, eliminando [3- por medio de la pri-
mera, se deduce que

y = — fi+ . , , +■ — —

A-i-h A' + h

y de la tercera, eliminando por de pronto y con auxilio de la que acaba

i>

- 178 —
de obtenerse, y después, del resultado así obtenido, oC^ por medio de la

primera, que

h^ + D ^^ 77^1 (^' + fi — P"') = 0:

C^ C^

A^h A' ri- h

6, por ser el segundo de los factores componentes diferente de cero,

}fi + T) = 0.

A + h A' + h

Supongamos, por el contrario, que A' -\- h — jS^ sea igrial á cero. Re-
solviendo entonces la ecuación f = O por referencia á x, lo que es posi-
ble, por cuanto los coeficientes en ella de x^ é ?/'-, no pueden ser simultá-
neamente nulos, hállanse los mismos resultados, renglones antes obtenidos.
De manera que las ecuaciones adecuadas á la resolución del problema
propuesto, son, en cualquier supuesto, las siguientes:

(7) H e = 1,

h-j-A h^ A'

(81 r — °~ — e:i-+/.=o,

' A + h A' + k

(9) h^+D -^ =0.

A + h A' + ¡1

De la íiltima de estas ecuaciones se desprenden cuatro valores para h;
y de las otras dos, después, los valores correspondientes de dos de los
parámetros, a, ¡3 y y, del círculo pedido, quedando arbitrario el tercero.

Vese, pues, que existen generalmente cuatro series de círculos hitan-
gentes á la cuártica considerada, la cual resulta, á su vez, envolvente de
cada una de aquellas cuatro series.

La ecuación (7) revela además que los centros de los círculos de cada
serie están colocados sobre una cónica , y que las cuatro cónicas asi obte-
nidas son homofocales.

La ecuación general de los círculos bitañgentes á la cuártica considera-
da se obtiene sustituyendo, en la segunda de las ecuaciones (6), por y su
valor, desprendido de la (8); y así resulta esta nueva ecuación:

— 179 —

(10) x^+if — 2a.r _ 23'/ — 2 -^ 2 — ^-^ i- 2h = 0.

A-\-h A' + h

En la cual a designa una función de 3, determinada por (7), y ¡3 una can-
tidad arbitraria.

En los casos de ser C^ O, ó C' = Q , 6 A = A' , de la ecuación (9) so-
lamente pueden deducirse tres valores de h. Pero, advirtiendo que las ecua-
ciones {A) quedan satisfechas por los valores h^ — A y a = O , en el
primero de aquellos casos; h= — ^' y |3 ^ O, en el segundo; h = — A
y C'» = Cp, en el tercero; y por los valores correspondientes de y, que
de la tercera de aquellas ecuaciones (A) se desprenden, concluyese que en
los tres casos existe una serie de círculos bitangentes á la cuártica consi-
derada, con los centros respectivamente colocados en las rectas a;== O, ó
í/ = 0,ó C'x=Cy.

186. Adviértase también que todos los círculos representados por la
ecuación (10), y correspondientes al mismo valor de h, cortan ortogonal-
mente al círculo fijo, que tiene por ecuación

(11) A"2+72 + -^^^^ l_:L}í^ 2^ = 0:

h + A h-j-A'

como de ello es fácil cerciorarse, deduciendo de esta ecuación y de la (10)
los valores de las derivadas ij' é Y', sustituyéndolos en la expresión
y'Y' -\- í =0,y fijando la atención en aquellas ecuaciones.

187. Pasando ahora á determinar los focos de las cuárticas bicircu-
lares, comenzaremos por advertir que su número puede ser previamente
obtenido por el método empleado en el Núm. 48, al tratar de los focos de
las cúbicas circulares, conforme á continuación se indica.

Poniendo en la ecuación de las cuárticas de que ahora se trata x = —

x^

Vi
é y= , transfórmase aquella ecuación en otra, que representa una cur-

va de la misma clase que cualquiera de las primeras, con dos puntos dobles
(O, ± ¿), correspondientes á los que la curva, en particular considerada,
posee en lo infinito. Y como en virtud de un teorema general, mencionado
en aquel Núm. 48, se pueden luego trazar á la nueva curva, represen-
tando por n su clase, n — 2 tangentes por cada uno de los puntos (O, ±¿),

— 180 —

resulta que la curva propuesta poseerá n — 2 tangentes de coeficiente an-
gular /, y otras tantas de coeficiente — i.

Sentado esto, si la cuártica (5) tiene dos nodos en lo infinito, por la fór-
mula de Plücker, consignada en el Ni'im. 48 . será de 8." clase, y el nú-
mero de sus tangentes, de coeficiente angular i, ascenderá, en consecuen-
cia, á 6; (5 solamente á 4, si los puntos de contacto con la curva han de
hallarse á distancia finita, en razón de que dos de aquellas ,se?'s tangentes
coinciden con las asíntotas.

Del propio modo, ó por los mismos pasos, se concluirá que el número
de tangentes, de coeficiente angular — i, es también igual á 4. Y como los
dos grupos de tangentes consideradas se cortan en 16 puntos, otros tantos
serán, por definición, los focos ordinarios de la curva á que el razona-
miento se refiere.

Si la cuártica de que se trata posee dos puntos de retroceso en lo infi-
nito, será de 6." clase, y sus tangentes, de coeficiente angular i 6 — i, as-
cenderán á 4 en cada caso, d solamente á 3, prescindiendo de la que tam-
bién es asíntota á la curva: de manera que los puntos de intersección de
ambos grupos de tangentes, ó focos ordinarios, se reduce entonces á 9.

Con todo lo cual queda demostrado el siguiente teorema:

Las cuárticas bicirculares poseen diex y seis focos ordinarios, y entre
ellos cuatro reales, cuando los puntos en lo infinito sean dobles; y nueve
focos ordinario^ , de los cuales son reales tres, en el caso de las cartesianas
(Lagüerre, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de París, 1865,
p. 70.)

Todos estos focos deben estar en las cónicas, representadas por la ecua-
ción (7), como centros de círculos bitangentes de radio nulo.

De análogo modo: si (a, h) representa un foco, debe existir un valor de a
y otro de ¡3 tales que sean

A + h A -\-h

= [x-af + {!l-bf.

Y, por consiguiente,

'j. = a; P = c', y a- -\- h~ = 2h ■ — .

A-^h A' + h

— 181 —
De donde se infiere esta otra ecuación:

2 , ,., , 2Ca . 2C'b

' A-\-h A' + J/

La cual nos enseña que los focos correspondientes á cada valor de h
deben encontrarse en la intersección de la cónica, correspondiente al valor
de h considerado, con la circunferencia del circulo (11): resultando por
este motivo cuatro focos en cada cónica. Teorema descubierto por Hart
(Salmón: Higher planes curves, 3." edición, n." 271.)

La doctrina precedente debe modificarse cuando la cuártica conside-
rada sea unicursal, 6 posea tres puntos dobles. Porque entonces fácil-
mente se concluye que la curva tendrá cuatro focos ordinarios , si posee
tres nodos; un sólo foco ordinario, si posee un nodo y dos puntos de re-
troceso, ó dos nodos y un punto de este nombre; y que carecerá de focos
ordinarios, cuando sean tres sus puntos de retroceso.

Para la determinación de estos focos deben tenerse presentes las obser-
vaciones hechas en el Núm. 52 , al tratar de las cúbicas circulares uni-
cursales.

188. Las cuárticas bicirculares tienen además dos focos reales singu-
lares en los puntos de intersección de sus asíntotas, las cuales pueden ha-
llarse aplicando las fórmulas del Ndm. 184: á la ecuación (5). Para ecua-
ciones de estas asíntotas obtiénese entonces:

y = ±ix± \/ A — A' .
Y, en consecuencia, las coordenadas de estos focos serán

x = 0 é y = ± ^/a — A',

si A> A'; é

y-

:0 y x = ±ylA'—A,

si A' > A.

Luego estos focos coinciden, como ya notó por vez primera Casey, con
los focos de la cónica (7).

— 182 —

189. Trasladando el origen de las coordenadas al centro del círcu-
lo (11), para lo cual basta poner

2(7 ^ , 2(7'

h+A " h + A'

la ecuación (10) se transforma en la siguiente:

x--\- 11^ X — 2a.x II — 2pw

h + A h+ A' - ^^

-^2h-j-^^ -i--^ = 0.

{h + A)^ (h-\- AT

Y aplicando al círculo, representado por esta ecuación, la transforma-
ción por radios vectores recíprocos, mediante las relaciones

x= ^ , //' = ^ — , y

(h + Af (h + A'f
obtiénese la siguiente:

h -\- A ' h -\- A

(/í + 4)2 {h-\-A'f

que coincide con aquella primera de donde procede.

Los círculos de que la cuártica bicircular es envolvente no varían, pues,
por resultado de la transformación considerada, ni varía tampoco su en-
volvente, que, por esta razón, debe mirarse como una analagmática , rela-
tivamente á los cuatro centros de los círculos representados por la ecua-
ción (11).

190. Terminaremos lo que nos parece substancial advertir á propósito

— 183 —

de las cuárticas bicirculares, determinando los focos de las cartesianas, y
demostrando que tres de estos focos se hallan en línea recta.

Poniendo A = A' la ecuación (5) podrá escribirse de este modo:

(a;2 + f — 2Af = 4.{2Cx + 2C' y + A^ + D).

Ecuación de la forma

según la cual, la curva á que se refiere es la envolvente de las circunfe-
rencias representadas por esta otra:

4¿2_2F¿+ Z7=0,

cuyos centros están sobre la recta definida por la ecuación G'x = Gy: con-
forme puede verse hallando las coordenadas de estos centros, y eliminan-
do luego la t entre las ecuaciones que las determinan.

Poniendo ahora -it- —2Vt+ U= B-[(x — x^)'^ + {ij — yg)'^], para
determinar x^,, y^, B- y t, dispondremos de estas ecuaciones:

. B-^ = -2t, C=-B-^x„ C'^-B^y„ y

é{r^i-At) + A^ + D= E^ (x^ -\-y,^) :

de las cuales se concluye que ha de ser

8 (<» + Af^) -\- 2 {A^ + D)t -\- (C2 + (7'2) = 0.

Por medio de esta ecuación determínanse los valores de ¿; y los de íCq,
?/q y B^ con auxilio de las tres anteriores. Con lo cual queda probado que
existen tres valores de t que reducen á simples puntos las circunferencias
consideradas, y, por lo tanto, que existen tres focos sobre la recta que
acaba de mencionarse.

Añadiremos, para concluir, que en este caso la ecuación (9) se reduce
á la siguiente:

(/í2 + D) (h + A) - C-2 — C"2= 0.

— 1«1 —

Para los valores de h que satisfacen ií esta ecuación, la {1\ representa
círculos: luego la curva tiene los seis focos restantes en las intersecciones
de estos círculos con aquellos otros á que la (11) se refiere.

Tratándose de los óvalos de Descartes, C = 0; y entonces los tres focos
coinciden con el eje de las abscisas.

191. Casey demostró que la longitud de los arcos de las cuárticas
bicirculares puede expresarse por integrales elípticas, cuyos módulos son,
en algunos casos, imaginarios (PhylosopJ/ical Transaciions of Boyal So-
ciety, London, 1. 167). Siendo de advertir que, cuando esto sucede, la lon-
gitud de aquellos arcos puede también representarse por integrales hiper-
elípticas de primera especie, conforme enseñó R. A. Roberts (Proceedings
of the London mathematical Society, 1886, p. 99).

CAPITULO QUINTO

CUARTICAS NOTABLES

(Contínuaciúu).

LA CONCOIDE DE NICOMEDES

192. Sean O (fig. 51) un punto fijo, y AB una recta dada, perpendi-
cular al eje de las abscisas. Trazando la recta OC, y tomando, á partir-
de C, las longitudes CM y CN,
iguales á una cierta longitud h,
obtiénense dos puntos, My N.
Y el lugar geométrico descrito
por M y N, cuando OC varía
de posición, recibe el nombre
de Concoide de Nicomcdes , y
tiene por ecuación en coorde-
nadas polares, designando por
a la distancia OD,

R>.

Y

A

y-Tí

\

x\

^^

L\

y'

C

^

y'

~

\

y'

6^

yin

'\

D

(1) p = '

eos

o

•±/¿.-

Figura 51.

en la cual el signo superior corresponde á los puntos de la curva situados
íí la derecha de A B, y el inferior á los situados á la izquierda, admitiendo

K

que 9 varía desde

hasta -I

2 2

El punto fijo O recibe el nombre de polo de la concoide; el de base la
recta AB; y ú segmento h el de intervalo.

— 186

La ecuación que corresponde al signo inferior puede también escribirse
de este modo:

•P^

Luego

eos {k -f- 0)

a

h.

eos 6

+ h

representará todos los puntos de la curva colocados á uno y otro lado de
la recta A B , si suponemos que 9 puede variar desde O hasta 2 tt. Pero
aquí nos atendremos á la (1).

De la cual se deduce la siguiente , expresada en coordenadas cartesianas:

r

x^(h-\- a — x)(h — a-\- x)
(x — af

193. Para hallar la forma
de la curva, consideraremos
separadamente los casos de
ser h> a, h = a, h << a.

Caso 1.°— Si h > a (figu-
ra 52), la curva será simétrica
relativamente al eje de las abs-
cisas , y pasará por el punto C,
cuya abscisa, OC, es igual á
a-\-h; por el O, origen de las
coordenadas; y por el D, cuya
abscisa OD es igual en valor
absoluto áh — a: hallándose
por completo comprendida en
la región del plano limitado
por las rectas paralelas al eje
de las ordenadas que pasan
por los puntos O y I).

Cuando x tiende hacia a, y
tiende hacia lo infinito: luego la recta AB, que tiene por ecuación x = a,
es asíntota de la curva.

Figura 52.

— 187 —

Por ser

dy_
dx

anh h cos^ O
h cos^ 9 sen H

en los puntos C y D, donde 9 = 0, las tangentes á la curva son paralelas

al eje de las ordenadas. Y ea el punto O, donde p = O y eos O ^ — ,

h

dy_
dx

yJlF

igualdad <jue determina las tangentes á la curva en O, punto doble de la
misma.

Así como por ser

dy

dx

O,

cuando eos 9

Vi'

vese

que la curva posee dos pun-
tos, P y Q, en donde el valor
absoluto de las ordenadas es
máximo.

Caso 2."— Si A = a, la dis-
tancia OD = h — a se reduce
á O, y la curva adquiere la for-
ma indicada en la figura 53.
Y por ser en el punto O

d!l

ylh^

dx

= 0,

este punto lo será de retroceso,
y las tangentes en él á la curva
coincidirán con el eje de las
abscisas.

Caso .3.° — Sea h < a. Procediendo como en los casos anteriores, se
concluye sin dificultad que la curva posee la forma indicada en la figura 5-4,

- 183 —

siendo entonces 0C= a -\- h y OD ^= n — h. En los puntos C y D Xa,
tangente resulta perpendicular al eje de las abscisas, y la recta AB, que
tiene por ecuación x^a, será asíntota de la curva. Curva en este caso
desprovista de puntos máximos y mínimos en el sentido de las ordenadas,

pero que posee uno aislado en el

origen O.

1 94. La construcción de las

normales á la concoide de Nico-

medes es operación muy sencilla.

Adviertiendo que (fig. 51)

^=OM=OC±h,

se deduce que

f¿p _ dOC
'd^~ d^ '

Luego las subnormales polares
de la curva en los puntos M y N
coinciden con la subnormal polar
de la recta ^i? en el punto C. De
manera que para trazar la normal
á la concoide en los puntos M
y A" bastará trazar la recta OK,

perpendicular á OM, y por el punto C la recta CL, perpendicular á AB:

las normales pedidas pasan por el punto L.

195. Para determinar los puntos de inflexión de la curva, aplicaremos

á la ecuación (1) la fórmula conocida

\ d^ J

O,

y así hallaremos esta otra:

h cos3 9 ± 3a cos^ 9 rp 'Ja = O,

— 189 —

por medio de la cual se determinan los valores de h á que corresponden
los puntos mencionados. Mas para la fácil construcción de estos puntos
conviene hallar los de la recta AB (fig. 51), de los cuales se deducen los
de inflexión, mediante la construcción expuesta en el Núm. 192. Y para
esto advirtamos que, representando por p, los radios vectores de los pun-
tos de la recta AB, que tiene por ecuación p^ = , por eliminación de

eos 9

eos 9 entre esta ecuación y la anterior se deduce la que sigue:
2pi3 — 3a-plqIrt2/^ = 0,

que determina los valores de p^ en los puntos de la recta á que corres-
ponden puntos de inflexión en la curva. Siendo de advertir que de las raí-
ces de esta ecuación deben utilizarse solamente las comprendidas entre
« é X, por ser las únicas á que corresponden puntos de la recta AB.

Para determinar el número de puntos de inflexión reales que tiene la con-
coide, consideremos separadamente los tres casos de ser /¿ >• a, k ==a,
y /« < a.

Ca.so 1.° — Sea h ■< a. Aplicando el teorema de Sturm á la ecuación

esto es, formando los polinomios de Sturm , correspondientes á esta ecuación
2pi3 — 3rt-^Pi — «2A; 6pi2_3a2,- 2a^^^^cfih; y Zd^—^k^,

y determinando los signos de estos polinomios, cuando p = « y p ^ co, de-
dícense estas dos series de signos:

p = fl - + + +

p = «> + 4- + +.

Luego la rama de la curva, situada á la derecha de la recta AB, tiene
dos puntos de inflexión reales.

Y, aplicando el mismo teorema á la ecuación

— 190 —

concluyese por el mismo procedimiento que también existen otros dos pun-
tos reales de inflexión en la rama situada á la izquierda.

Caso 2.° — Si es 7¿ >• a, por medio del mismo teorema de Sturm, se
verá que existen dos puntos de inflexión en la rama situada á la derecha
de AB, y que no existen puntos de este nombre en la otra rama.

Caso 3.° — Y si es /?= a, la ecuación de que se trata se convertirá en
esta otra:

2pi3 — 3«2pi — «3 = 0,

que tiene por raíces

?y = -c> y Pi = |(l±V3").
Y entonces solamente á la raíz — (l + y ^ j corresponden puntos de la

u

recta ^fí.- de los cuales se derivan, por la construcción del Núm. 192,
dos puntos de inflexión reales, situados en la rama de la curva colocada á
la derecha de AB.

Por referencia á la otra rama tenemos la ecuación

2pi3-3«2p^-f a3==o,
cuyas raíces son éstas:

Pi = «, y Pi = |(-i±V3").

Luego la rama de la izquierda carece de puntos del mencionado nombre.
196. Adviértase que la curva de que se trata es unicursal; pues su-
poniendo en su ecuación cartesiana que

— (.r -)- /¿ — a)=^[x — h — a) t^, ó

a — ;» 4- (a + h) /2
X = ,

1 +/2

hállase inmediatamente que

2t[a — h + (a^h)fi\

— 191 —

197. El área A, descrita por el radio vector de la curva, cuando O
varía desde O hasta 9, se desprende de la fórmula

J = — r p--^ dfí = ^ fa- tange + h^ H ± 2ah log tang i \- —\\.

11)8. El descubrimiento de la concoide se atribuye á Nicomedes,
geómetra que floreció entre los 100 y 200 años antes de Cristo (Cantor:
Vorlesungen über Geschiehteder Mathematik, t. i, Leipxig, 1894, p.* 334
y 346). Los escritos de Nicomedes no han llegado basta nuestros días;
pero á la invención de la concoide se refieren Proclo en sus Comentarios
y Pappo en sus Colecciones MateimUicas : obra, la última, que contiene
un procedimiento para construir la concoide (Obras de Pappo, ed. Hultsch,
p. 242), así como la resolución , valiéndose de esta curva, del problema de
la trisección del ííngulo (1. c, p. 274), que Proclo (Obras , ed. Taylor, t. ii,
p. 73) atribuye al propio Nicomedes, y resolución también del problema
de Délos, que tiene por objeto determinar dos ¡nedias proporcionales entre
dos rectas dadas (Obras de Pappo , ed. Hultsch, p. 58 y p. 246). Al uso
de la concoide para resolver este último problema se refiere asimismo
EuTOCio en sus Comentarios al libro 2." de Arquímedes sobre la Esfera
y el Cilindro (Obras de Arquímedes , ed. Heiberg , t. ai,p. 122).

En la época moderna, del renacimiento de las Ciencias en Europa, mu-
chos y muy distinguidos geómetras volvieron á tratar de la concoide : como
Í^ERMAT, que determinó sus tangentes en una carta á Roberval de 1636
(Oeuvres de Fermat, t. ni,p. 142 y p. 293); Descartes, en el libro 2.°
de su Geometría, donde estableció también un método para determinar las
mismas líneas; Hüygens, los puntos de inflexión, en carta á Schooten,
de 1653 (Oeuvres, t. i, p. 245), y en su memoria del año 1654, titulada
Be circuli magnitudine inventa (Opera varia, t. ii, 1724); el mismo
Schooten, que propuso nuevo modo de hallar estos puntos en sus Co-
mentarios íí la Geometría de Descartes (1654); Newton, que demostró
el importante papel que esta curva desempeña en la resolución de los pro-
blemas dependientes de ecuaciones del 3.° y del 4.° grado (Arithmetica
Universalis, p. 52 y siguientes del to)no ii de la traducción francesa de
Beaudeaux) ; Roberval (Mémoires de VAcadémie des Sciences de Pa-

— 192 —

rís, 1730, p. 32 y 289), que insistid en la determinación de sus tangentes y
sus áreas; y Wallts (De curvarum redificatione et complanatione, 1659),
y Juan Bernoülli (Opera, t. ni, p. 400), que asimismo se aplicaron á la
resolución del segundo problema: etc., etc.

199. A propósito de la concoide de Nicomcdes, réstanos exponer com-
pendiosamente los procedimientos á que antes aludimos, empleados por los
antiguos geómetras, para resolver, apoyándose en las propiedades de aque-
lla curva, el problema de la trisección del ángulo, y el de Délos (véase pá-
gina 2, al tratar de la cisoidc), 6 de las dos medias proporcionales entre
dos líneas dadas.

1." Comencemos por el de la trisección, y sea (fig. bb) ABC e\ ángulo,

que se trata de dividir en

j. ^ tres partes iguales.

Por el punto A hágase
pasar la recta A C, perpen-
dicular á la BC; y las ylD
y BD, paralelas á las BC
Fig. 55. y AC, por los puntos A

y B. Y, tras de esto, tráce-
se asimismo la concoide, que tenga por jJoZo el punto B, por hase la AC,
y por intervalo el doble de AB; y sea E el punto de su intersección con
la DA prolongada. Pues si unimos el punto E con el B, nos resultará el
ángulo EBC, precisamente igual á la tercera parte del ABC que se trata
de trisecar.

Porque, en efecto, si F representa el punto en que la línea BE corta á
la AC, y H el punto medio de la FE, resulta que FH = HE = AH; y,
por lo tanto, que FE=2AH. Y como, por definición de la concoide, es
también FE=2BA, dedúcese de aquí que BA=AH; y, en consecuen-
cia, ABH=AHB=2AEB = 2FBC. Ó, finalmente, ABC=3FBC.
2° Ocupémonos ahora en la resolución del problema de Délos: 6, de-
signando por a y b dos segmentos de recta conocidos, busquemos otros
dos, X é y, tales que entre ellos existan las siguientes relaciones:

X y a'

— 193 —

Para esto consideremos dos rectas, una d otra perpendiculares , iV^ y AM
(fig. 56), y sobre ellas señalemos los dos segmentos, AB y AC, respecti-
vamente iguales á los a y b.

Por los puntos B y C tracemos
las paralelas BD y CD á las AC y
AB; y por los puntos medios de es-
tas rectas, E y F, l&a DG y FH,
perpendicular la última á la AC, y
sobre la cual ha de señalarse el pun-
to H, de manera que sea CH= BE.
Y por el C trácese, finalmente, la
recta CH' , paralela á la OH.

Tras de esto, construyase la con-
coide, que tenga por^oto el punto H
y por base la CH', y cuyo intervalo

sea igual á BE; y designemos por M el punto donde la curva corta á la
recta AC, prolongada en caso necesario: punto que debe satisfacer á la
condición KM= BE= HC, y que, unido con el D, determina la recta
MDN y los segmentos NB y MC, que son precisamente los que se bus-
can, X é y.

Para demostrarlo, advirtamos que

FM'^ = {FO + CiMf = FG"--{- ÜM X AM,
y, por lo tanto, que

FM^ -f FH'^ = FC^ + FH^ + Cilf X AM: 6
{A) HM' = HC^ + CM X AM.

También del examen de la figura se deduce que

NB AC

BA CM

y, por cuanto BA = 2BE y OC ^2AC, de esta Ciltima igualdad, en

13

— 194 —

virtud de la semejauza de los triáugulos MGH y MCK, se infiere la que
sigue:

NB GC HK

BE CM KM
6 esta otra:

NB + BE _ HK+ KM ^^ NE _ HM

BE KM BE KM

De donde, advirtiendo que BE =KM, resulta, ñnalmente, que NE=HM.
Y, por lo tanto,

{A') HM^ = ÑE^ = (NB + BE)'^ = BE^ + NB x NA.

Comparando las expresiones (A) y {A'), y recordando que, por construc-
ción, HC = BE, hállase también que

AM NB
CMxAM=NBx NA, 6 ii_ = ^^.

NA CM
Pero, según manifiesta la figura,

CM _ A3£ _ _SD

1)C "^ NA ~ NB ■

Luego

CM NB BD X CM NB h

DC CM NB a CM NB

Ó, si NB = x y CM=y,

y__x^

b

a y X
conforme se quería demosti'ar.

— 195 —

n

LA PARÁBOLA VIRTUALIS

200. La curva que tiene por ecuación

(1) (ír-2 _ lyf =, (fi (^2 _ _y2) ^

fué por primera vez considerada por G. Saint- Vincent, de quien recibió
el nombre de parábola virtualis (Opus geom. , 1647); poco tiempo des-
pués por Slüse y Huygens, en la correspondencia matemática que uno
con otro sostuvieron; y posteriormente por Cramer en su célebre Intro-
duction a l'Analyse des Dignes Courbes (Genéve, 1750, p. 451), desig-
nándola con el de besace (bis-saccus: alforja).

201. La ecuación (1) muestra inmediatamente que el eje de las orde-
nadas es también eje de simetría de la curva.

Resolviendo la ecuación por referencia á y, resulta

(2)
y, por lo tanto,

y'

y =

bx^ ± ax \a^ -\- b^ — x^
2bx ^ «(g^-f ¿a — 2x2)

Cfi -f- ¿,2 - (.^2 _^ 62)-y^2_^ft2_a;2

De donde se desprenden las conclusiones siguientes:
1." El origen de las coordenadas es un punto doble de la curva, y las
tangentes en este punto se hallan determinadas por la ecuación

y =^

V«2 + b'^

2." En el intervalo de a; = O á
X = 0P= Va2 + ¿2 (gg. 57)^ á. ca-
da valor de x corresponden dos va-
lores reales de y : uno positivo y otro
negativo, en el intervalo de x^O á x^=OB^a, en donde es // = O ; y
ambos positivos, en el intervalo de x ^a á x = yn^ + ^>^ ■

— 196 —

3." Cuando x > \a^ -{- b'^ , y es imaginario. Y en el punto C , donde

a abscisa es igual á \d^ -\- b"^ ^ y z= PC = b, é y' = a.

Para determinar los puntos en que las ordenadas pasan por un valor
máximo ó mínimo, basta atender á la igualdad

, — 2x^ -{- a!^ .X -{- 2bxy

^ ~ {a^ + b^)y — bx^

de la cual, poniendo y' = O, se desprende que 2by -f- «"" — 2x^ = 0. Y
eliminando después la rr, entre esta ecuación y la de la curva, se deduce
que, en los puntos de que se trata,

•^ = 2 •

Ecuación que determina dos paralelas al eje de las abscisas, tangentes á
la curva en los puntos D y U , y A y A' , en que el valor absoluto de y es
máximo. Las abscisas correspondientes á estos cuatro puntos resultan de-
terminadas por la expresión

.Vi

« = :r -^ — V(a2 + ¿2) -t- ¿, yja'i ^ ¿2 .

La ecuación (2) muestra que la parábola cuya ecuación es

w = X-,

•^ «2 ^ }jl

divide por mitad todas las cuerdas de la pa-
rábola virtualis, paralelas al eje de las abs-
cisas.

202. Cramer propuso el siguiente mé-
todo, muy sencillo, para construir \a parábola
virtualis. Trácense la circunferencia OKLO
(fig. 58) y la cuerda variable OL, que pasa
por un punto fijo de esta circunferencia, adoptado como origen de las

Fisura 58.

— 197 —

coordenadas. Por el punto L tírese después la recta LN, paralela al eje
de las abscisas, y tómese sobre ella el segmento NM igual á OL. El lugar
descrito por M, cuando OL varíe de dirección, será la. parábola virtiialis.
Representemos, en efecto, por

X^-\-Y-^ — aX — bY^Q

la ecuación del círculo considerado, y por x é // las coordenadas del pun-
to M, y tendremos:

OL^==X-^-j-T'- = N][r = x^ é y = Y;

y, por lo tanto, eliminando X é Y en la ecuación del círculo, por medio de
estas últimas, concluiremos que

203. La determinación de los pimíos de inflexión de la curva depen-
de de una ecuación de tercer grado, conforme veremos ahora.

Derivando, en efecto, la expresión de y', poco antes encontrada, relati-
vamente á X, háUase que

2b _ ax 3(a2-f-¿2) _2£ca

a2 + b^ ■ «2 ^ ¿2

{a^ -f- o — íc )

E igualando este valor de y" á cero,

4Í2 (a2 + ¿2 _ a;2)3 = «2 a.2 [S (a2 _^ ¿2) _ 2a;2].

Ecuación de tercer grado, por relación á íc^, que dará tres valores para
esta cantidad, 6 seis para x, de dos en dos iguales y de signos contrarios.
A cada valor de x corresponderán dos valores de y , determinados por la
ecuación (2): uno referente al punto de inflexión, y otro al segundo punto
de la curva, que tiene la misma abscisa que el primero.

204. La parábola virtualis es curva unicursal.

Porque si en la ecuación (2) se pone

x = ya^ + b^. ^^~"\

— 198 —
inmediatamente se concluye que

b{fi—l)^±2atif- — l)

y-

(¿2 + 1)2

205. Para hallar el área A, limitada por una de las ramas de la para-
bola virtualis, emplearemos la fórmula

bx''--\-ax\a:^+l)^—x' , / bx^^ — axya^-]-h^ - x"- ,
o a- + 0^ Jo «" + b-^

de la cual se deduce que

A = —a\Ja^ + b-^.
3

Luego esta área es igual á la tercera parte de la de un rectángulo, de
lados iguales á las abscisas de los puntos B y C.

206. Si en la ecuación (1) se supone que i = O, se hallará esta otra:

rt^ ¿/^ = sr? {cfi — x^) ,

correspondiente á una parábola virtualis especial, denominada por Ga-
briel Marie (Exereices de Géométrie DescriptiveJ lemniscata de Gerono,
en memoria del matemático de este nombre, que la estudió en su Coun^
de Géométrie Analytique , y á la cual Adbry (Journal de Mathéniatiques
Spéciales, 1895, jxíg. 267) denominó el odio, en atención á su forma, re-
presentada en la figura 59, aunque preferible acaso hubiera sido llamarla
entonces parábola virtualis recta, reservando el calificativo de oblicua á
cualquiera de las obtenidas en los otros supuestos, ó cuando fuere b ^ 0.

La curva á que ahora en particular nos referimos puede trazarse por el
método general indicado en el Ndm. 201 , tomando como base de cons-
trucción una recta paralela á la OE, que pase por el centro del círculo, y
también por este otro procedimiento.

Desde el punto O (fig. 59), y con el radio OA = a, descríbase la cir-
cunferencia ABA^ B^, y por el A la tangente AT, sobre la cual se fijará

— 199 —

el D, á distancia del eje de las abscisas, inferior al radio. Trácese luego
por D la paralela DN al mis-
mo eje; y por el C, de inter-
sección de esta paralela con
'a circunferencia, bájese la or-
denada GP=DA, que corta-
rá á la recta OD en el M{x,y),
correspondiente al ocho.

En efecto: de la compara-
ción de los triángulos OPM y
OAD inmediatamente resulta
que el lugar geométrico, así
construido, tiene por ecua-
ción, deducida de la igualdad
OP _ OA
PM ~ CP

, la siguiente:

Fignra 59.

a^ _y2 ^ ^2 ^g¡2 — gjSj .

como se dedujo de la (1), en el supuesto de ser b = 0.
Diferenciando dos veces la última ecuación, hállase que

>/

a}/a^-

.'/

x-

a (a^ — x^) ^

De manera que si .7; = ±a, ;/'= 3o:si x = ± — j^, w' = 0 é « = ±: — ;

y si a; = o, y" = 0.

Lo cual quiere decir: 1°, que la curva es tangente á la circunferencia
en los puntos A y A^; 2.°, que en los

de ordenada máxima en absoluto, las tangentes á la curva son paralelas
al eje de las abscisas; y 3.°, que el origen O de las coordenadas es un punto
doble de inflexión, en el cual las tangentes á la curva, aa^ y a^Ug, for-

200 —

man con el eje de las abscisas ángulos iguales d 45°. La curva tiene ade-
más cuatro puntos de inflexión imaginarios, correspondientes á las absci-

sas

-VI-

m

LA CRUCIFORME (KREUZCURVE)
207. Consideremos la elipse que tiene por ecuación

X2 ya

y por tangente en el punto {X, T) la representada por esta otra:

a^Y{y — Y) + b-^X{x — X) = 0. '

Tangente que corta á los ejes en dos puntos, definidos por las coorde-
nadas

Trazando por estos puntos dos paralelas á los ejes de la elipse, deter-
mínase otro, M, cuyas coordenadas, x é y, serán

X '' Y

Y el lugar geométrico descrito por este punto, cuando la tangente varía,
es la cuártica, denominada cruciforme (kreuxcurve) , cuya ecuación,

x^ y

resulta de la eliminación de las X éY, entre las ecuaciones precedentes
y la de la elipse, de donde la nueva curva se deriva.

Las propiedades de la cruciforme fueron estudiadas por Schoüte en
dos trabajos importantes, publicados, el primero, en las Actas de la Acá-

201

demia de Amsterdam (2." serie, t. xix, 1883, p. 420), y el segundo en
los Archiv der Maihematik und Physilc, Leipzig, 2." serie, t. n, p. 113;
t. III, p. 113; t. IV, p. 308; y t.vi,p. 113, en los cuales el ilustre geómetra
holandés trata extensamente del grupo de curvas de 4.° orden, dotadas de
tres puntos dobles de inflexión: grupo á que pertenece la cruciforme, así
denominada por el mismo Schodte en el último de los trabajos mencio-
nados, y desde entonces por este nombre conocida. Antes, sin embargo,
de que las investigaciones de Schoute diesen importancia á la curva de
que tratamos, ya había sido ésta considerada por Terqüem (Nouvelles
Ármales des Mathématiques , 1847, p. 394), quien la definió como polar
reciproca de la evoluta de la elipse, relativamente al círculo que tiene por
ecuación x^ -\- ^j'^ = a^ — é^; y también por J. Booth (A Treatise on
some New Geometrical Methods, London, t. i, 1873, p. 145), que expre-
só su ecuación en coordenadas tangenciales.

208. La forma de la cruciforme se obtiene muy fácilmente por me-
dio de las ecuaciones

y

bx

v^

y =

(«2 —

T> y

a2)2

3«2 bx

3o2 y

(x^ — a^) 2

(ÍC2

7212

Las cuales demuestran
que la curva se compone de
cuatro ramas iguales (figu-
ra 60), simétricamente dis-
tribuidas relativamente á
los ejes coordenados , y que
se extienden indefinidamen-
te en dos direcciones dis-
tintas, sin puntos en que
las ordenadas ó las absci-
sas pasen por valores má-
ximos ó mínimos. En cam-
bio, las rectas AB, A' B' ,
CD, (7 D' , cuyas ecuacio-
nes son j-^rta é i/ = ±b,
son asíntotas de las cuatro ramas constitutivas de la curva.

D

Figura 60,

— 202 —

El origen de las coordenadas es un punto aislado de la misma curva, y
por ser en este punto ^/" = O, la curva posee en él una inflexión imagi-
naria.

Las asíntotas, paralelas al eje de las abscisas, se cortan en lo infinito, y
determinan un imnto doble de la curva ; así como las paralelas al eje de
las ordenadas determinan otro. Y como también ?/"= O, cuando a; = oo y
cuando «/ = oo, concluyese que son de inflexión ambos puntos.

209. Fácil es ver, además, que la subnormal de la curva considerada,
en el punto (x, y), está dada por la ecuación

X (y^ — 6'"^)

yy = -^ — r^'

g¡J X^

y que la ordenada. Y, del punto donde la tangente corta al eje de las orde-
nadas tiene por expresión

Fórmulas estas dos que permiten construir la tangente y la normal á la
cruciforme en un punto cualquiera.

Existe, sin embargo, otro método que permite, con mayor facilidad que
el apuntado, trazar las tangentes á la curva: método relacionado con el de
construcción de la cruciforme, expuesto en el Núm. 207, y que se funda
en el teorema siguiente:

Las tangentes á la elipse en el punto (X, Y), y á la cruciforme en el
correspondiente {x, y), se cortan en un punto de la recta que une el cen-
tro de la elipse con el punto (X, — Y).

En efecto: la primera tangente tiene por ecuación

a^ Y

y la tangente á la cruciforme en el punto {x, y), correspondiente al (X, Y),
esta otra:

^i-¿/ = — TT^^^'i — --^^

— 203 —

O, sustituyendo por x é ij sus valores, expresados en función de X é Y,
esta otra:

62

Con auxilio de la ecuación de la elipse, las ecuaciones de las dos tan-
gentes consideradas se pueden también escribir de este otro modo :

a^ Yy^ + ¿2 Xx^ = a^ b^, y

a'' ys 2/1 + 6* JÍ3 ¿c^ = «4 ¿4.

De las cuales resulta la siguiente, por substracción ordenada de sus miem-
bros, después de multiplicados los de la primera por a^ b^:

«'' r (¿)2 — 72) y^ J^ ¿,4 X («2 _ X^) X^ = 0.

Ecuación á que deben satisfacer las coordenadas x^ é y^ del punto en que
ambas tangentes se cortan.
Mas, por ser

O- — i ' ^ ^ — y a'' — X'' =

¿2

la precedente ecuación se reduce á la forma

Xy,-\-Yx^ = (),

y demuestra que el punto {x^, y^ corresponde á la recta que pasa por el
origen de las coordenadas, ó centro de la elipse en este caso, y el punto
{X, — Y): conforme en el enunciado del teorema se afirmó.

210. El radio de curvatura de la cruciforme se halla determinado
por la fórmula

{b'' ¿c6 + «4 yti) 2

'~ Sa^b^x^y^

— 204 —

O por esta otra, más compendiosa, llevando en cuenta el valor de la
normal:

en la cual N representa la longitud de la normal trazada por el punto á
que el radio i? corresponde.

211. Consideremos ahora la hipérbola equilátera, que pasa por el
punto {x, y) de la cruciforme, y cuya ecuación es

AT— ¿2 — — a2Z = o,

representando por A é F las coordenadas de los puntos de la hipérbola.
Escribiendo esta ecuación como sigue

Y^b'^—{x — d^X-^)-\

y

y derivándola dos veces, resulta

y y

Si en estas ecuaciones se supone que Jí = x, poniendo además por y su
valor, en función de x, hállase también que

Y' = " .. é Y" = 2a^bx (x^ — a^V^.

{x^ — a") -

Y, comparando este valor de Y' con el anteriormente obtenido de y' , ad-
viértese que ambos valores son iguales. Luego la hipérbola considerada es
tangente á la cruciforme en el punto {x, y).

El radio de curvatura de la hipérbola en el punto (x, y) tiene por ex-
presión

yZJ"

— 205 —
Pero como

resulta, en conclusión, que

N^ 2

B= = — R

fy" 3

Luego la raxón del radio de curvatura de la cruciforme al de la hipér-
bola considerada, correspondiente al mismo punto, es constante.

Teorema éste demostrado por Balitrand en un artículo inserto en el
Journal de Mathématiques Spéciales (t. xiv, 1890, p. 54).

212. La cruciforme tiene, como hemos visto, dos puntos dobles y un
punto aislado, y, en consecuencia, es unicursal. Efectivamente: poniendo
en su ecuación

V-Í^V(-7)('+i)-'('

encuéntranse las relaciones siguientes:

a!=a ■ é ij^

2í ¿2—1

de las cuales vamos á deducir ahora algunas propiedades interesantes de
sus tangentes.
Por ser

dy ibt dx ¿2_i
— i = y = a ,

dt (¿2—1)2 dt 2 ¿2

la ecuación de la tangente á la curva admite la siguiente forma:

Y=-S^.-J^X + bSt±^.

a (¿2_lj3 (¿2—1)3

Y si desde un punto (a, P) trazamos todas las tangentes posibles á la

— 206 —

curva, los puntos de contacto corresponderán á los seis valores de t, da-
dos por la ecuación

a (p — 6) /6 __ 3a (p _^ ¿) i(4 _^ 8¿a<3 + 3a (^ - 6) f-^ — a (p + 6) = 0.

Las condiciones á que deben satisfacer a y ^ para que más de dos de estos
seis puntos de contacto se hallen en línea recta, se determinan del siguiente
modo.

La recta cuya ecuación es

ux + r¿/ + 1 = O

cri'ta á la curva en cuatro puntos, correspondientes á los valores de t, da-
dos por la ecuación

«MÍ* + 2(1 + vb) f^ — 2 (1 — vb) t — mi = 0.
Poniendo ahora por brevedad

A=a(ü-b), B=aiíi + b), A'=2-í-Í^ y L = 2 ^ — ^^

att au

infiérese, como en el Núm. 143, que las condiciones, para que los cuatro
puntos de intersección de la recta con la curva coincidan con puntos de
contacto de las tangentes tiradas por el punto (a, p), son éstas:

8aLb-\-AL — K{AK-^ — 3B) = Q; i — KL = 0;
— AK-\-L{AK-^ — SB) = 0; y AK^ — 4:B=i).

De las cuales se desprenden las siguientes:

AK=BL; KL = á; 8ab -}- AL — BK=0; y ^^^ — 45 = 0.

Pero como, por eliminación de L entre las dos primeras, se deduce la
cuarta, las cuatro ecuaciones condicionales anteriores quedan reducidas á
solamente estas tres:

(A) AK=BL; KL = 4:; y 8a.b -^ AL — BK= 0.

— 207 —
Y, eliminando Ky L entre ellas, concluyese que

6, sustituyendo A y B por sus valores,

a" p-'

Luego, cuando por un punto cualquiera de la cruciforme se tiran tan-
gentes á esta curva, hállanse cuatro puntos de contacto, diferentes del de
partida, situados en línea recta. Y, recíprocamente, los puntos de partida
situados sobre la cruciforme son los que exclusivamente goxan de la pro-
piedad demostrada.

La ecuación de la recta que satisface á la condición de pasar por los
puntos de contacto de las tangentes consideradas, es

ux -f vy -\- 1^0:
en la cual u y v representan cantidades dadas por las expresiones

i 1

u^^ y v = j,

resultantes de las (A).

Y como la ecuación KL = 4 equivale á la siguiente

a^ u^ -\- b^ 1'"^ = 1 ,

las tangentes consideradas deben serlo también á la curva representada
por esta ecuación, en coordenadas tangenciales; ó por esta otra, en coor-
denadas cartesianas:

^+-^ = L
a^ b^

Luego las tangentes á la cruciforme, tiradas por los puntos de la misma
curva, tienen por envolvente la elipse representada por la última ecuación.
Los teoremas que acabamos de demostrar deben considerarse como am-
pliación, discurrida por Schoute, de los teoremas de Em. Weyr, relati-
vos á la lemniscata, y demostrados en el Nñm. 143.

— 208 ~

213. Por ua método análogo al empleado en el Nflm. 144, se de-
muestra asimismo el teorema siguiente:

Los seis puntos de contacto de las tangentes á la cruciforme , que parten
de un pimto cualquiera, no situado sobre la curra, corresponden á una
cónica. (Schoüte).

Consideremos, en efecto, la cónica

ux^ -(- vy^ -\- wxy -{- kx -\- ly -]- \ ^ (i ,

y se verá primeramente que los valores de t en los puntos de intersección
de la cónica con la curva, á que nos referimos ahora, proceden de la
ecuación

¿s + 4f + Bi!« + Ct'' + Df — At^ -i- Et^' — Ct -^ 1 = 0:

en la cual

2 bw + k D_A b^ V + bl -}- 1 ^

a u ' a^ u '

2 bw — k _ j^._ 2 — a'^ u -^r ib^ V — i
a u a- u

ií, = — 5--

a'^ u

Y los de t también , correspondientes á los puntos de contacto con la cur-
va, de las tangentes que pasan por el (a, ¡i), de esta otra:

¿fl — 3^/4 + Lí3 -(- 3¿2 — Z= O,
donde

p_6 a(p-6)

Y, en consecuencia, las condiciones para que los seis puntos de contacto
de las tangentes, trazadas por el punto (a, P), se hallen sobre la cónica,
serán

C~L+'iAK=0; Z)— 3 — ^Z, + 3is:(B+3ír) = 0;

4^ + L(.B+3A') = 0; E -\- K — i (B -\- 'dK) = 0;

C=AK; y 1 + ir (5 + 3Á'j = 0.

— 209 —
De las cuales solamente las cinco siguientes son en realidad distintas :

Determinados, con auxilio de estas relaciones, los valores de A, B, C,
D y E, las ecuaciones

Aau — 2bw = 2k; Ba^ u — ib^v = 4: (bl -{- 1);

Cau — 2bw = — 2k; (Da^ ^ 2a^) u — 8b^ v = — S; y

Ea^ti — áb'^v = á{l — bl),

servirán luego para hallar los coeficientes tt, v, w, k, I, de la cónica.

214. Partiendo de la ecuación de la tangente, dada en el Núm. 212,
puede hallarse fácilmente la ecuación tangencial de la cruciforme.

Comparando, en efecto, aquella ecuación con esta otra

ux -{- vy -\- 1 = 0,
dedúcese que

8/3 (¿2 — 1)3

u = y V- —

a (¿a + 1)3 b {f + 1)3

Y, por eliminación de / entre estas ecuaciones, obtiénese la buscada,
correspondiente á la curva de que se trata:

215. La cruciforme fué definida anteriormente por una de sus varias
relaciones con la elipse, entre las cuales es otra de las más interesantes
aquella de que ahora pasamos á tratar, primeramente advertida por Neu-
BERG (Mathesis, 1894,^. 47), y que puede enunciarse como sigue:

Si, correspoyidiente á cada punto de una elipse dada, se determina el

14

— 210 —

centro de curvatura de la hipérbola homofocal que fase por aquel punto,
el lugar geométrico de estos centros será precisamente una cruciforme.

Para demostrarlo, recordemos que las ecuaciones de la elipse y de la
hipérbola homofocal correspondiente á ella, son

a2 ^ ¿2 ^ ^2 £2

á condición de ser

J.2 + Jg2 ^ «2 _ Jji ^ ¿\

Y, además, que las coordenadas del centro de curvatura de la hipérbola,
en el punto (¡Cj, y^), se hallan expresadas por las fórmulas

ó, sustituyendo A y B por sus valores

a h

desprendidos de la ecuación de la hipérbola y de la relación A^ -}- B^ = (?,

a" , b'^

c' X c' y

De donde, por eliminación de x é y entre estas últimas ecuaciones y
la de la elipse, se deduce, finalmente, esta otra, también de la cruciforme:

«6 ¿6

+ r = i-

216. Otra relación entre la cruciforme y la elipse, merecedora de
consignarse en este sitio, es la expresada en el siguiente teorema, ya ante-
riormente mencionado:

La cruciforme es la polar reciproca de la evoluta de la elipse

Y 2 ya

a2 ^ ¿2

— 211 —
relativamente al círculo que tiene por ecuación

x^ -{- y-^ = a^ — ¿2 = c^.
Consideremos, en efecto, la ecuación de la evoluta de la elipse,

y la correspondiente á la polar del punto {X., Y) , por referencia al círculo
considerado ,

Xx -{- 7y = x^ -\- y^ = c^.

Y advirtiendo ahora que la polar recíproca pedida es la envolvente de
esta recta, designando en este caso la X un parámetro arbitrario, bastará,
para hallar su ecuación, eliminar por de pronto la Y entre las dos últimas
ecuaciones consideradas, con lo cual se obtendrá la que sigue:

(aX\ 3 (_b_\ 3 (c^ — Xx^ _

[c^J '^Wl [ y ) ~ '

y después la X entre esta ecuación, y su derivada con relación á la
misma X,

a^ yi {c^ — Xxy^ — b^xX^ = 0; ó

X («2 f J^ ¿2 ^2)

Obteniéndose, en conclusión, de esta manera la ecuación de la cruciforme

x^ y-

A lo que precede agregaremos que también es una cruciforme, según
demostró Retai.li (Matliesis, 1894, p. 50), la polar reciproca de la evo-
luta de una elipse, relativamente á la misma elipse.

— 212 —

Y cruciforme también la polar recíproca de la curva

i. 1

(ffla;)3+(6í/)3 = l,

que representa la evoluta de una elipse, por referencia al círculo imagi-
nario

ÍC^ + 2/^ + 1 = 0.
IV

LA PUNTIFORME ( KOHLENSPI TZENCUR V El
217. Consideremos una hipérbola, cuya ecuación sea

¿2

= 1.

Tracemos una tangente á esta curva; y, por los puntos en que esta tangente
corta á cada uno de sus ejes, una paralela al otro eje: el punto de inter-
sección de las rectas así obtenidas describe, cnando la tangente varía, una
curva, denominada por Schoüte puntiforme carbonosa (kohlenspitxen-
curve), por su semejanza de figura con las dobles puntas de carbón de un
mechero eléctrico, en la memoria anteriormente citada al tratar de la
cruciforme (Archiv der Mathematik, 2." serie, t. 11, ni, iv y vi). Curva
que pertenece también, como ésta, á la clase de las que poseen tres puntos
de inflexión dobles, estudiadas, como ya se indicó, por el mismo Schoüte
en aquel interesante trabajo.

218. Procediendo como en el Núm. 207, hállase que la ecuación de
la curva es

^ i^_

y, por lo tanto, que de las fórmulas relativas á la cruciforme se pasará á
las correspondientes á la puntiforme, poniendo en ellas — 6^ por -|- h^.

— 213 —
219. Y de análogo modo se deduce, con auxilio de las ecuaciones

bx , a^b „ Sa^bx

>/ =

Va2 _ a;2 '

U

3 '

y

(a2_£c2)2

(«a _ a,2) 2

que la curva tiene la forma indicada en la figura 61: simétrica relativa-
mente á los ejes de las coordenadas; con
dos asíntotas, AC y BD, cuyas ecuacio-
nes son x^a y x^ — a, y otras dos,
imaginarias, determinadas por la ecuación
y = ± ib; y un punto de inflexión doble
en el origen O, donde las tangentes á la
curva determinan con el eje de las absci-
sas ángulos cuyas tangentes trigonométri-
cas son iguales á dr — .La curva no posee

otros puntos de inflexión ni más puntos
dobles á distancia finita del origen; pero
sí dos puntos de inflexión dobles en lo
infinito. Y también es fácil ver que el mé-
todo expuesto en el Núm. 209, para tra-
zar las tangentes á la cruciforme, es apli-
cable, sin modificación substancial, á esta Figura 6i.
otra curva.

220. Las fórmulas que expresan los valores de la subnormal, de la
ordeñada del punto en que la tangente corta el eje de las ordenadas, y del
radio de curvatura, son

3

-S.,

X (;í/M-¿2)

x^y

y R =

{¥x^-\-ayf

N3 ¿4 ^4

■ X"

X"

Sa:n^x^y^

2 „8

3a^y

221. Y, mudando en el análisis del Núm. 211 6^ en — b"^, se ve pa-
recidamente que la hipérbola equilátera, que pasa por el punto (x, y), y
tiene por ecuación

XY+b^ — — a^ — = 0,

,^,. .,..;,.,. y (O

— 214 —

es tangente á la puntiforme en aquel punto, y que entre los radios de
curvatura de las dos curvas existe la relación

representando por i?j el radio de curvatura de la hipérbola en el punto (x, y).
222. Las propiedades relativas á las tangentes, demostradas en los
Núms. 212 y 213, por referencia á la cruciforme, son, con leves varian-
tes de expresión, aplicables también á la punti forme , como basta, para
verlo, mudar, en el análisis fundamental de aquellas propiedades, b en

& V — 1. Pudiendo con esto dar como ciertos los teoremas siguientes, des-
cubiertos por ScHOüTK:

1." Cuando por un punto cualquiera de la puniiforme se traxan tan-
gentes á esta curva, hállanse cuatro puntos de contacto, diferentes del de
partida, situados en linea recta. Y, reciprocamente, tan sólo los puntos de
la curva satisfacen á esta condición.

La recta que pasa por aquellos cuatro puntos tiene por ecuación

p£C + a¿/ + ap=0;

representando a y p las coordenadas del punto de la curva por el cual se
tiran las tangentes.

2." Las tangentes á la puntiforme, traxadas por los puntos de la cur-
va d que acabamos de referirnos, son también tangentes d la hipérbola,
envolvente suya, á que corresponde la ecuación

a2 ¿2

3." Los seis puntos de contacto de las tangetites á la puntiforme, tira-
das por cualquier otro punto no situado sobre la curva, están sobre una
cónica.

Y también es fácil ver que entre la puntiforme y la hipérbola de donde
procede existen las mismas relaciones que en los Núms. 215 y 216 se

— 216 —

vio que existían entre la cruciforme y la elipse; y que la primera tiene
por ecuación tangencial la que sigue:

i. 1

(aM)3 — (ii;)3 = 1.

LA cuArtica piriforme

223. Aplícase el nombre de cuártica piriforme á la curva que tiene
por ecuación

comprendida entre las secciones del cono-cuneus, conoide especial, dado
á conocer por Wallis (Opera mathematica, t. ii): curvas recientemente
estudiadas por Ossian Bonnet en los Nouvelles Afínales des Matkémati-
ques (1844, p. 75), y después por Broca rd (Nouvelle Correspondance,
t. VI, 1880,2?. 91, 121 y 213, y Mathesis, t. iii, 1883,^. 23, 116 y 191);
por MiSTER (Mathesis, 1881, p. 78 y 128); etc., etc.

224. Por medio de las ecuaciones

y-

— X \ X (a ■
b

■x)

Sax^ — éx^
y = 17,

2b{a — xy^

vese fácilmente que la curva
es de la forma indicada en la
figura 62: simétrica con rela-
ción al eje de las abscisas, y
comprendida entre las para-
lelas al délas ordenadas, defi-
nidas por las ecuaciones a; = 0 Figara 62.
y x = a; con un punto de re-
troceso en el origen, donde la tangente coincide con el eje de las abscisas;

— 216 —

dos puntos, Mj y N^, determinados por la ecuación //' = O, correspondien-

3
tes á la abscisa x^ — a, en los cuales y pasa por un valor máximo en

4
absoluto; otro, A^, que satisface á la condición y' ^=co, cuyas coordena-
das son (a, 0), en que la tangente á la curva es paralela al eje de las orde-
nadas; y otros dos de inflexión reales, definidos por la ecuación

y" = 0, ú 8x^—l2ax + Sa^ = 0,

que, utilizando solamente la raíz x de esta ecuación, á que corresponden
valores reales de y, tienen por coordenadas

4 ob

225. La cuártica piriforme puede construirse fácilmente, conforme
ahora veremos (Longchamps: Essai de la Géométrie de la Bcgle, 1890,
p. 131). ' ^

Tracemos una circunferencia de radio igual á — a; y sea C su centro.

En esta circunferencia señalemos el punto A, y tracemos luego el diáme-
tro ACAy Por el punto H, cuya distancia al A sea igual á b, levantemos
la perpendicular HB al diámetro mencionado. Y por el A tracemos la
recta, de posición variable, AM; por el M, en que esta recta corta á la
HB, la MP, paralela á la recta AC; y por el P, donde la MP corta á
la circunferencia, la PQ, paralela á la recta BH. El punto Q, variable
cuando AM varía, describirá la cuártica inri forme de que se trata.

En efecto, tomando el punto A como origen de las coordenadas, y la
AC como eje de las abscisas, resulta que

p^ = x(a — £c), y PR = MH=btangMAH = -^:

de donde, por eliminación de PE, se desprende la ecuación del Núm. 223.

226. Fácil es también trazar las tangentes á la cuártica piriforme, fun-
dándose para ello en una propiedad de las mismas tangentes, que pasamos
á demostrar.

Las ecuaciones de las tangentes, en los puntos <3 y P, á la cuártica

— 217 —

considerada y á la circunferencia que figura en su construcción, represen-
tando por ¿/j la ordenada PR del punto P de la circunferencia, son éstas:

Pero, como también

y\ b

y dx x\ dx y^)'

eliminando entre estas cuatro ecuaciones los valores de «/, , — ~ y —->

^^ dx dx

obtiénese esta otra:

x{x — b)Y -\- b !/X= byx,

correspondiente á una recta, y á la cual deben satisfacer las coordenadas
del punto de intersección de las dos tangentes consideradas.

Y, como esta ecuación queda además satisfecha cuando en ella se susti-
tuyen, en lugar de ^ é F, las coordenadas b y — ^, del punto M, y tam-

ce

bien cuando por las mismas X. é Y se ponen las coordenadas a; y O del
punto R, resulta que:

Las tangentes á la circunferencia y á la cuártica, en los puntos P y Q,
se cortan en determinado punto de la recta MR (Longchamps, /. c).

Luego, trazada la tangente á la circunferencia en el punto P, la tan-
gente ú. la cuártica en el Q, se hallará uniendo por una recta este punto
con el de intersección de la primera tangente con la línea MR prolongada.

227. El área limitada por un arco de la cuártica piriforme, por el eje
de las abscisas y por una paralela al eje de las ordenadas, se halla definida
por la fórmula

x^ {a — x)^ dx

I [x(a—x) a "''^~\\r~.

X)

— 218

De donde resulta que el valor del área total, limitada por la curva, es

igual á

Tía'

(OsStAN BONNET, /. c).

VI

LA CURVA DEL DIABLO

228. Con el extraño nombre de Curtía del Diablo se designa la curva
que tiene por ecuación (Lacroix: Traite élémentaire de Galcul Différen-
tiel et Integral, 1837, p. 158; Briot et Bouguet: Géométrie Analytique,
2.' ed., p. 197; Laurent: Traite d' Analyse , t. ii, p. 185; etc.)

.y'' — X* — 96a2 yí -)_ 100«'^ x'^ = 0;

6, en coordenadas polares,

p2=96a^ + 4a2

eos '^6
eos 29

229. De esta segunda ecuación fácilmente se concluye que p = ± 10 a,

cuando 9=0: de manera que la cur-
va corta el eje de las abscisas en los
puntos A y A' (fig. 63), tales que
OA = OA'=^lQa; que, cuando 9 va-

ría desde O hasta — , p varía desde

4

dr 10 a hasta di oo; y, por lo tanto,
que todas las rectas, que pasan por O
y forman con el eje de las abscisas

ángulos comprendidos entre O y — ,
Figara 63.

cortan á la curva en dos puntos equi-

distantes del O, y que la BB', correspondiente al ángulo — , es asíntota de la

curva; que, en el intervalo de 9 = — á 9= are eos

^'

p es imagí-

— 219 —
nario y no existe curva á qué referirle; y, finalmente, que en el intervalo

de 9 = are eos \/ ^^^ á O == — , p varía desde O hasta 0D=a\/Q6 y des-
V 49 2 "^ * -^

de O hasta OD' = a\ 96 . A los otros valores de O corresponden arcos de la
curva, simétricos de los anteriores, por referencia á los ejes de las coorde-
nadas: como se ve, además, inmediatamente por medio de la ecuación car-
tesiana de la misma curva.

Para determinar los puntos en que las tangentes son paralelas á los ejes
de las coordenadas, recurriremos á la ecuación antes citada, de la cual se
desprende que

x^ — 50 «'^.0"

y

.í/3 — 48a2^

Por lo tanto, será y' ^ O cuando sea ít ^ 0: luego en los puntos D y D'
la tangente resulta paralela al eje de las abscisas. Y también será y' = 0

cuando sea a; = dz 5a Y2. Pero, como á estos valores de x no correspon-
den valores reales de y, ninguna consecuencia geométrica, relacionada con
la forma de la curva, se deduce de esto.

De la expresión anterior se infiere asimismo que ?/' = oo, cuando y = 0

y cuando ?/= ± 4a yS. Luego la tangente á la curva será paralela al
eje de las ordenadas en los puntos A y A' y en los E, E', F, F' , etc.,

situados sobre las rectas cuyas ecuaciones son ?/ = dr 4a y 3.

230. El área limitada por dos rectas dirigidas á la curva desde el
centro O, y por el arco de la curva que intersecan, se halla determinada
por la fórmula

^=.- i^^'-Qjc -0.0,0 f,x , .. o r^'cos2 9íí9

1 r^i r^i

= - p2rf9 = 48«2(9i-9o) + 2a2 -

^ ^9o Jo.

eos 2 9

= 49a^ Í9, - 9;, - ^ log (^en2e, - 1) (sen29„ + 1)
4 (sen29j + l)(sen2eo — 1)

- 220 —

VII

EL FOLIUM SIMPLEX Ú OVOtDE

231. Dase el nombre de folium simplex, 6 el de ovoide, á la curva
que tiene por ecuación en coordenadas polares (Longchamps : Essai de la
Oéométrie de la Regle, etc., París, 1890, p. 126. Brocard: Journal de
Math. Spédales, 1891,^. 85) la siguiente:

(1) p=:a!Cos^6,
6, en coordenadas cartesianas, esta otra:

(2) (0-2 + ?/2)--í = ax^

De cualquiera de estas ecuaciones concluyese fácilmente que la curva

se reduce á una rama cerrada,
y simétrica relativamente al
eje de las abscisas, la cual
pasa por los puntos O y O'
(fig. 64), en donde es a; = 0
y x = a, 6 p^« y p = 0:
con la advertencia de que, co-
mo á i/ = O corresponden tres
valores de x iguales ¡í O, el
punto O es triplo, coincidien-
do las tres tangentes á la ciu--

Fignra 64.

va en este punto con el eje de las ordenadas.
Derivando la ecuación (2), resulta

4.x {x^ -f }h {x + ijif) = 5ax^ = 3 (,r2 + ff: 6
3í/2 — íf2

y

4:xy

Y de esta ecuación y de la (2) se concluye que y adquiere un valor abso-

Vi-

— 221 —

luto máximo en los puntos que tienen por abscisa común a y por

_ 16 '^

9
ordenadas ± a

16

232. La construcción del folitim simpléx se obtiene fácilmente del
siguiente modo (Longchamps, /. c). Tómense dos puntos, O y O', sepa-
rados por la distancia a. Por el punto O tírese una recta cualquiera, y por
el O' una perpendicular á ella, lo que determina el punto M. Por este
punto trácese una perpendicular á 00', lo que determinará el punto H.
Y por éste otra perpendicular á OM, cuyo punto de intersección designa-
remos por K. Pues el lugar geométrico descrito por K, cuando OM varía
de dirección , será la curva de que ahora se trata.

De la construcción efectuada, suponiendo que 0K=^ y KOO' = %,
resulta, en prueba de ello, que

p = OHx cos9 = OM X cos2 6 = 00' x coss 9: ó p—a cos^ e.

233. La determinación de las tangentes y de las normales al folium
simplex se logra fácilmente, fundándose en las siguientes propiedades de
ambas rectas:

1.° Poniendo r= O en la ecuación de la normal

„ 4¿cv -^

obtiénese, para valor de la abscisa del punto en que esta recta corta el
eje del mismo nombre (Longchamps, 1. c, p.l21),

4a; , 4íc 4 cosO 4

2.° De análogo modo se verá que la tangente corta el eje de las orde-
nadas en el punto cuya ordenada tiene por valor

4 sen 6"

— 222 —
Y 3.° Por ser

—^= — Sacos^ 9 sen6,
ao

la subnormal S„ tendrá por expresión

S^ = — 30H.sen^ = — 3HK '

234. Al radio de curvatura del foliu^n simplex corresponde la fórmula

a cos2 e (9 — 8 cos2 9) 2
H = -

12 — 8cos2 9

Por lo tanto , el radio será nulo en el punto O, é igual á — en el O'. Y

4

como los valores de 9, correspondientes á 7? = co son imaginarios, conclu-
yese que la curva carece de puntos de inflexión reales.

235. El área limitada por el folium simplex tiene por expresión

■n

-ir

%os6 9(/e = — 7ra2.
32

236. Y la diferencial de los arcos del mismo folium esta otra:
ds = a cos2 9(9 — 8 cos^ 9) 2 d^-.
ó, poniendo 9 = 10,

= — 3asen2oj(l sen^cj) dw.

\ 9 /

o

Mas, siendo fácil cerciorarse de la exactitud de la siguiente identidad, que
también puede deducirse de uaa fórmula conocida de la Teoría de las In-
tegrales elípticas,

223 —

sen'' (i) I 1 sen-oj 1 rfto = dtorfco

\ 9 J .... I ^.

24 Aw 24

d { sen 2 w Ato},

6

en donde

Aoj:^ \/l ^sen'^ü),

resulta, en conclusión, que

-v^

ds = [-7A(i)íZijj4-— íí {sen 2ü)Aw}.

8 L¿^oj J 2

De donde inmediatamente se deduce que la determinación de la longitud
de los arcos del foliuin simplex depende de intef/rales elípticas de primera
y de segunda especie.

vm

EL FOLIUM DÚPLEX Ó BIFOLIUM

237. El nombre de folium dúplex fué dado por Longchamps (Jour-
nal de Mathématiques Spéciales, 1886; Essai de la Géométrie de la Re-
gle, 1890,^. 122) á la curva cuya ecuación, en coordenadas polares, es

(1) p = cos2 6(íico89-|-6sen9),

y en coordenadas cartesianas

(2) {x^ + y^)^ = x^{ax + hy).

Curva que representa la solución del problema propuesto por los
años 1869 en los concursos para la admisión en la Escuela Politécnica de
París, reducido á encontrar el lugar geométrico de las proyecciones del

M

'T-^

— 224 —

vértice de un ángulo recto, perteneciente á un triángulo isósceles, sobre
los ejes de las parábolas tangentes á los tres lados del mismo triángulo
(Nouvelles Annales des Mathématiques , 1869, ^j. 378): problema estudia-
do por LoNGCHAMPS (1. c), y por Brocard (Journal de Mathématiques
Spéciales, 1881, p. 66; 1891, p. 108).

238. Para construir el folmm dúplex discurrió Longchamps el pro-
cedimiento siguiente.

Tómese un ángulo recto AOB (figu-
ra 65), en el cual sean OA = ay OB^^b;
y por los puntos A y B trácense dos
rectas, AM y BM, perpendiculares
una á otra. Por su punto de intersec-
ción M, trácese luego la recta MH,
perpendicular á la AO; y por el H, la
HK, perpendicular á la AM. El lugar
descrito por K, cuando AM varía de
situación, es el folium dúplex, representado por la ecuación (1).
Suponiendo, en efecto, que AK= ^ y KAH^ O, hállase que

p = ^ií cose = AMcoB^ 9 = {AO cos9 + OB sen9) cos^ 8.

^

H
Figura 65.

239. Y poniendo en ella

a=b tangw y

COSOJ

k, 6 a^^kaentí) y 6 = A-cosw,

inmediatamente se transforma en esta otra,

p = A- cos^ 9 sen (9 -(- w).

que permite descubrir cuál es la forma de la curva á que se refiere.

Supongamos, en efecto, para fijar las ideas, que a y b son números po-
sitivos. Pues de esta ecuación se deduce que, cuando 9 varía desde O

hasta — , p variará desde O A = k senoj = a hasta O, y el punto genera-

¿i

— 225 —
dor de la curva describirá el arco ABO (fig. 66); que, cuando 9 varía
desde — hasta tt — w, el mismo punto generador de la curva describe el

arco OCDO; y que, finalmente, cuando 9 varía desde tc — oj hasta u, el
punto mencionado describe
el arco OEA. A los otros
valores de 9 no correspon-
den puntos de la curva, dis-
tintos de los anteriores.

De lo que precede resul-
ta asimismo que O es un
punto múltiplo de la cur-
va, en el cual se encuen-
tran reunidos un punto de
retroceso, formado por los

dos arcos OB y OC, tangentes al eje de las ordenadas, y un punto simple,
perteneciente al arco DO A, cuya tangente en O forma un ángulo igual
á — u) con el eje de las abscisas.

Poniendo en (2) y = tx, hállanse las ecuaciones

Figura B6.

X--

a + bt

(1 + ñ^ '

t{a + bt)
(1 + fif

De las cuales resulta que los valores de t en los puntos B, G y E, donde
el valor absoluto de y pasa por un máximo, satisfacen á la ecuación

26í3^_3«í2_26í_o = 0;

y que los valores de t en los puntos F y D, donde el valor absoluto de x
pasa también por un máximo, se hallan determinados por la expresión

36í2_^4aí — 6 = 0.

Derivando la ecuación (2), relativamente á x, y poniendo y' = 0, obtié-
nese la ecuación

a:^+ y^ = —ax-{-—by,
4 4

ifi

— 226 —
según la cual los puntos B, C y E corresponden á una circunferencia cuyo

centro tiene por coordenadas a.^—a y p= — b, y cuyo radio es igual

8 ■*

á Va2 + ^2.

240. El área A, limitada por la curva y por dos rectas que pasan por
el origen de las coordenadas, se encuentra fácilmente como sigue.

Suponiendo, en efecto, que una de las rectas sea la OA, y que la otra
forme el ángulo 9 con el eje de las abscisas, hallaremos que

^=—1 co8nsen2(9 + üj)dO
2 Jo

Jc^ ( . 5 „ \rsen(Jcos9 / , .
^ 1 eos "^ (1) eos 2 ü) I I eos ' y

2 V 8 /Leí

, 5 „. , 3.5 \ , 1.3.5 „1

-\ C082f)H )■

4 2.4/

2.4.6

cos5esen(9 + 2w).

12

241. Con el nombre de foliiim dúplex podría designarse también
cualquiera de las curvas que constituyen el interesante grupo definido por
la ecuación

(1) y = ±yjx [yjp — ax-± yjr — hx\, 6

[t/2 -)- (a -)- 6) a;2 — ip -{- r) íc]^ = 4a;2 (p — ax) ir — 6íc),

éntrelas cuales se hallan, como casos particulares, contenidas la estudiada
por Cramer eu su hüroduction a V Analyse des Ligues courbes, pág. 239,
que tiene por ecuación esta otra

y ^y ax±\/2ax — x^,

y las cuái'ticas encontradas por el profesor español Sr. Ruiz- Castizo, al

- 227 -

proponerse determinar el lugar geométrico engendrado por un punto de
un segmento de recta, cuando este segmento se mueve, en un mismo
plano siempre, apoyándose por sus extremos en una recta y una circun-
ferencia dadas, á partir de una posición inicial, en la cual el segmento,
indefinidamente prolongado, pasa por el centro de la circunferencia y es
perpendicular á la recta fija. Cuárticas minuciosamente discutidas por el
citado profesor en interesante opúsculo, titulado Estudio analítico de un
Lugar geométrico de cuarto orden, impreso en Madrid el año 1889, y al
cual remitimos al lector que desee completar las someras indicaciones de
su contenido, que pasamos á exponer.

242. Para lo cual, y con objeto de fijar las ideas, supondremos que
las cantidades a, b, p y r, que figuran en la ecuación (1), son positivas, y

que — es fracción menor que la -j-. De no ser positivas algunas de aque-
llas cantidades, ó de ser todas negativas, fácil sería ver que las curvas
comprendidas en la ecuación son, substancialmente, de la misma forma
que en el supuesto primero.

De la ecuación (1) inmediatamente se concluye que cualquiera de las
curvas á que corresponde es simétrica por referencia al eje de las absci-
sas; que está por completo comprendida entre el eje de las ordenadas y la

p
paralela al mismo eje, cuya abscisa es igual á — ; que á cada valor de x,

ct

p
comprendido entre O y — , corresponden dos valores positivos y dos ne-

p

gativos de y, finitos los cuatro; y, últimamente, que, si x = — , los dos

Cí

valores positivos son iguales, é iguales también los negativos. Y con no
mayor dificultad se advertirá que la curva posee dos puntos duplos: en
coincidencia con el origen de las coordenadas uno, y determinado el otro
por las coordenadas

cuando p 5 r; ó un punto triplo, que coincide con el origen de las coor-
denadas, cuando p = ;■.

De la igualdad

— 228 —

ax

■^P

^'('"-i7 + -)]'

que Be obtiene desenvolviendo en serie, ordenada por las potencias de x,
el segundo miembro de la ecuación (1), se deduce que el límite hacia el

y

cual tiende — , cuando x tiende hacia cero y p ^ r, admite dos valores
se

infinitos; y un valor infinito y otro nulo, cuando p = r. De manera que las
tangentes á las dos ramas de la curva, en el origen mencionado, coinciden
ambas con el eje de las coordenadas, en el primer supuesto; y una de aque-
llas tangentes con el eje de las ordenadas, y la otra con el de las abscisas,
en el segundo.

Las curvas consideradas poseen, pues, una de las formas indicadas en

las figuras 67, 68 y 69: la primera, cuando la abscisa x^ está comprendida

P P

entre O y — ; la segunda, cuando x^ < O, <5 íCj > — ; y la tercera, cuan-

— 229 —

do p = r. E41 el primer caso, el punto (:Cj, 0) representa un nodo; y en el
segundo un punto aislado.
Partiendo de la ecuación

',ax , >• — 2bx 1

2l\/pc

\rx — bx^ J

para determinar las abscisas de los puntos donde la ordenada de la curva
adquiere un valor máximo 6 mínimo, dedúcese la siguiente ecuación de
tercer grado:

{p — 2 ax)^ {r — bx) = {r — 2bxf (p — ax).

Y de la ecuación

L (¿Jíc — ax^)^ {rx — bx^)^ A

se concluye asimismo que las abscisas de los puntos de inflexión de la
curva se desprenden de esta otra:

rp
x =

MI.

ph

Á propósito de la cual conviene advertir que de ella solamente se des-
prende para x un valor real, correspondiente á dos puntos de inflexión,

V
reales también, cuando aquel valor se halla comprendido en O y — .

243 . Las curvas que acabamos de considerar pueden ser engendradas
por un punto itf de un segmento determinado de recta BD móvil, de ma-
nera que por su extremo D se apoye en una cónica cualquiera, ADE, y
por el B en la B-Bj, perpendicular al eje prolongado AE de la misma có-
nica, levantada por un punto K, cuya distancia al A se halle expresada
por la longitud constante del segmento BD. En el caso de reducirse la
cónica directriz á un círculo, hállanse las curvas estudiadas por el Sr. Cas-
tizo; constituyendo la demostración que vamos á dar una sencilla genera-

230 —

lización de la del teorema ó principio fundamental, propuesto y demostrado
por aquel geómetra, en el supuesto por él exclusivamente admitido.

Supongamos primeramente que la cónica represente una elipse, y
designemos (fig. 70) por C su centro, por 2a su eje mayor AE, y el

menor, C^j, por 2|'3;
y por O la posición
inicial del M, de ma-
nera que MD = O A,
MB = KO = m, y
BD = KA = k.

Adoptando para
origen de las coorde-
nadas el punto O; pa-
ra eje de las ordena-
das la recta Oy, pa-
ralela á la directriz
RR^; y para el de las
abscisas \& Ox, pro-
longación de la EA,
la ecuación de la elip-
se podrá escribirse de
este modo:

Figura 70.

{x^ —k-\- m + o.f , y^

P'

= 1.

Designando asimismo por x é y las coordenadas del punto M, y por .Tj
é y^ las del punto D, correspondiente á la elipse, resulta que

y=MP=MQ+QP= SJmd'- QD^ + Q.P^\/{k - m)'^ - (x, - x)^ -f-í/i
6 ¿/ = ¿ \/a2 —(x^ — k-\-m■i- af + V'cA- — m)^ — {x^ — x)^ .

Pero de los triángulos BML y BDS se desprenden estas relaciones
B3I LM

BD

SD

KP
SD

— 231 —

6 las siguientes, teniendo en cuenta los signos A& x y x^,

m m + x kx

y x^=k — m-\-

k m-\- x^

m

De donde, por sustitución de este valor de Xy en la expresión prece-
dente del de y, hállase que la ecuación de la curva, engendrada por el
punto M, al moverse la' recta BD en las condiciones poco antes definidas,
es la siguiente:

a.in y

m ' " ' a»2 1/ ~ k

Si la cónica directriz fuese una hipérbola, la curva engendrada por M
tendría por ecuación

k — m

m

Y- x^ - 2mx + ^ A As + 2 ^ «a; ,

que se deduce de la anterior poniendo en ella ¡3 y — 1 en vez de p.

Y de análoga manera se demuestra que, si la directriz fuese una pará-
bola, ésta tendría por ecuación, en las condiciones convenidas del proble-
ma, la siguiente:

y^^ = 2a {x ^k -{- m):
de la cual se desprende, para ecuación de la curva buscada, la que sigue:

V2ak , k — m ./ '
X -\ y _ £c2 — 2mx .
m m

Siendo de advertir que en las fórmulas correspondientes á los tres su-
puestos examinados debe cambiarse el signo de m, cuando el punto M se
halle más allá del B, siguiendo la dirección DBF: en cuyo caso también
el O resultará situado á la izquierda del K

— 232 —
IX

EL FOLIUM TRIPLEX Ó TRIFOLIUM

244. También fué Longchamps quien aplicó el nombre de trifoUum
á la curva representada por la ecuación, referida á coordenadas pola-
res p y 9,

(1) . p = 4a eos (29 — w) eos (B — w),

y estudiada por el mismo geómetra (Journal des Mathématiques Spéeia-
les, 1887, p. 203 y p. 220; Traite de Oéométrie Analytique, 1884, j?. 512;
Essai de la Géométrie de la Regle, 1890, p. 125), y por Brocard (Mé-
moires sur divers problémes de Géométrie dont la solution depende de la
trisection de l'angle. Alger, 1874, núms. 21-23; Journal de Mathémati-
ques Spédales, \mi,p. 68, y I8n,págs. 32, 56, 80, 106, 123, 177; y
en El Progreso Matemático, t. ii, p. 271). — En el caso de ser w = O, el
trifolium se denomina recto, y oblicuo en el contrario.

Al estudio de esta curiosa curva fué inducido Longchamps por el de
las podarías de la hipocichide de tres retrocesos, relativas á los puntos de
BU círculo tritangente, que en efecto, y conforme veremos más adelante,
son trifolios. Y á su vez Brocard fijó también la atención en esta curva
al ocuparse en la resolución del siguiente problema.

Sean (fig. 71) una circunferencia de centro O y radio a = OP; P un

Figura 71,

punto fijo de esta circunferencia; y OL una recta, también de posición in-
variable.

— 233 —

Tracemos por el punto P la recta móvil PR, y desde R la RS, paralela
á la OL y á la PLy Y, á contar de los puntos R y S, señálense, sobre
la línea que determinen, los M y M' y los m y m', de manera que sean
RM= RM' y Sm = Sm , y los cuatro segmentos así determinados igua-
les á la cuerda PR.

Pues el problema aludido consiste en hallar el lugar geométrico descrito,
en combinación, por los puntos M, M', m y m , cuando PR varía de
situación, girando alrededor del punto fijo P. Lugar ó curva buscada que
resulta ser un trifolium, cuya ecuación, en coordenadas polares, coincide
con la (1): considerando para ello como polo el punto P y como eje la recta
PQ, y designando por w el ángulo LOQ=L^PO y por 9 el ángulo MPO,
correspondiente al radio vector p, igual á PM.

Del exameu y condiciones de la figura se deduce, en efecto, que

RPM= RMP = MPLy = MPO —L^PO = ^ — ^;

i2PZi = 2J/Pij = 2f9 — oj); y

PR = 2acosRPO = 2a eos {RPL^ -|- m) = 2a eos (29 — w).

Y como p = PM=2PR eos (9 — w), resulta, en conclusión, que

p = 4a eos (9 — (i))cos (29 — to); ó
(2) p = 4acos9'cos(29' + w),

si el ángulo 9', que reemplaza al 9, se refiere al eje PLy

De cualquiera de las ecuaciones ( 1 ) ó ( 2 ) puede deducirse la ecuación
de la curva en coordenadas cartesianas, adoptando, si de la (2), la recta
PLj para eje de las abscisas. Y así se obtiene la siguiente:

(íc^ -f í/^)^ = 4aa; (x^ — ¡f) cosw — 8ax^ y seno).

Del sistema de generación del trifolium que se acaba de exponer dedujo
Beocaed esta notable propiedad de la curva:

Cada una de Ins tangentes á la circunferencia PQR, paralelas á la
recta OL , toca al trifolium en dos puntos equidistantes del de contacto
con la misma circunferencia.

— 234 —

Pues, en efecto: cuando la recta SB, moviéndose paralelamente á la
PL^, tiende á confundirse con la tangente á la circunferencia KT, los
puntos S y R se aproximan indefinidamente al ^^ y á la PK la recta PR.
Y como los segmentos RM y Sm son iguales á PR, los puntos de la cur-
va, M j m, tienden á confundirse en uno solo, U, donde se verifica que
KU= PK, y por el cual pasa la recta KT, tangente común á la circun-
ferencia PKQ y al trifolium. Y del mismo modo puede demostrarse que
aquella recta es tangente á la curva en el punto V, donde KV= PK.

Al mismo Brocárd se debe también la demostración de que los puntos
donde la circunferencia PKR corta al trifolium (excluyendo el P) son los
vértices de un triángulo equilátero.

De la ecuación de la circunferencia, p = 2a cos^, y de la (1), que se
puede escribir de este otro modo:

p = 2acos9 + 2acos(39 — 2w),

resulta, para determinar los valores de 9 en aquellos puntos, la nueva
ecuación

008(39 — 2io) = O,
que admite estas cuatro soluciones:

0=300 + — oj, 9 = 90° + — w, 9=1500+ — O),
3 3 3

y 9 = 2100 + A O).
3

Los ángulos que forman con PO las rectas tiradas desde el centro de la
circunferencia á los puntos de su intersección con la curva son, pues, res-
pectivamente iguales á

600 + — O), 1800+ -i O), 3000 + —IÜ, y 4200 + —iu;
3 3 3 3

cuya diferencia constante es de 120°.

245. Con estos antecedentes, la forma de la curva que estudiamos se
desprende fácilmente del análisis de la ecuación (2).

235

TU

Supongamos, para fijar las ideas, que sea w <; — .

La ecuación (2) muestra que, cuando 6' varía desde O hasta , p

varía desde ia coso) hasta O, y el punto generador de la curva describe el
arco^5P(fig. 72).

Flgnra 72.

Cuando, después, 9' varía desde hasta — , p es negativo, y su

valor absoluto aumenta desde O hasta un límite superior, y decrece en se-
guida hasta O, describiendo el punto generador de la curva el arco PDEFP.

Cuando 9' varía desde — hasta — tz , el punto generador descri-

2 4 2 '

be el arco POHKP.

Q

Y, finalmente, cuando 9' varía desde — ti hasta it, p varía desde O

4 2

hasta — 4a costo, y el punto generador describe el arco PLA.

A los valores de 9', superiores á n, no corresponden puntos de la curva
distintos de los anteriores.

De lo que precede se concluye que el punto P es triplo, y que las tan-

TT tO TT

gentes á la curva en este punto forman ángulos iguales á — , — , y

— 7: con el eje de las abscisas. Una de las tangentes en el punto

— 236 —

triplo coincide, pues, con el eje de las ordenadas, y las otras dos son per-
pendiculares una d otra (Brocard).

Las tangentes paralelas al eje de las abscisas tocan á la curva cada una
en dos puntos, H y B, y E y L (Núm. 244), hallándose por medio de la
expresión, igualada á cero,

dy cos(49' -\- w)

dx 2 eos 9' sen (3 9' + wl '

los cuatro valores de 9' en estos puntos,

7tw3 u5 (1) 7 O)

8 T' 8"''~T' s" T' ^ T^'^T'

Valiéndose de la misma fórmula, se advierte que los valores de 9' en los
puntos en que la tangente es paralela al eje de las ordenadas tienen por
expresión

7t CO 2 TI ti)

3 3^3 T'

246. A estas meras indicaciones reduciremos aquí el interesante estu-
dio del trifolium. Para ampliarle, acódase á los trabajos especiales, ante-
riormente mencionados, y principalmente á la memoria titulada: Le trifo-
lium (Jotirnal de Mathématiques Spéciales, 1891), donde la curva á que
se refiere fué analizada por Brocard con bastante detenimiento. Confor-
me también puede verse en el resumen del mismo trabajo, igualmente pu-
blicado por Brocard en El Progreso Matemático (t. ii, p. 71), que, hasta
poco tiempo há, editaba en Zaragoza el profesor Galdeano.

X

BICOR NIO

247. Los ingleses dan el nombre de Cocket Hat á la curva que tiene
por ecuación

o;* + x2 y2 _j_ 4aa;2 y — 2U^ x~ -f 3a^ f — 4a^ y -{- a'' = O,

- 237 —

estudiada por Longchamps ea el Journal de Mathématiques Spécia-
les, 1896, con el nombre de bicornio , sugerido por Brocard.
Escribiendo la ecuación anterior del modo siguiente:

(a;2 — a2)2 + 4a</ {x^- — a^) + 3 a^ y^ + x^ if = O,

(1)

y =

2az^yla^ — x^ '

obtiénese fácilmente la forma
de la curva (fig. 73).

Porque, en primer lugar, se
advierte que es simétrica rela-
tivamente al eje de las orde-
nadas, y que las paralelas á
este eje, cuyas abscisas se ha-
llan comprendidas entre -\-ay
— a, la cortan en dos puntos.
Y, además, cuando o; ^ dr a,

resulta que y = O : luego las dos ramas de la curva cortan
abscisas en los puntos Ay A' .

Por otra parte, como de la igualdad

al eje de las

, — 4aa; ±: x \a^

■ x"

{2azii\a^ — x^f

se desprende que y' = — l, cuando ea x = a; é y'=l, cuando x = — a,
concluyese que A y A' son puntos de retroceso, donde las tangentes for-
man ángulos de — 45" y -f- 45" con el eje de las abscisas.

Por ser y = a é y = — a, cuando es o; = O, y ser también en este
caso y' ^0, concluyese asimismo que la curva corta al eje de las orde-
nadas en los puntos (O, a) y j O, — a J, y que en estos puntos la tangente
es paralela al eje de las abscisas.

— 288 —
Poniendo en la ecuación (1)

X-

\a^ — fi , resulta que y ■■

2amt

Y de estas ecuaciones se deducirán los puntos de inflexión de la curva,
con auxilio de la fórmula

dx^ a)'3 t{2a^:.tf

que, combinada con las ecuaciones inmediatas precedentes, determina los
puntos de inflexión buscados:

(-*iVí y=i}

248. Si entre t y x establecemos la relación siguiente:

yla? — t^=x{t + a), 6 í =

a{l—x^)

l-^x^
las expresiones de x'é y, en función de t, se transformarán en estas otras:

2ax , ail—x^)^

x = -—-— é y = .

1+^2 " (14- x^) {I _^ ^x'^)

por referencia á la rama superior de la curva, y

2a X , a (1 — ^2)2

1+^2 " (1 + a;2) (3 + X^)

tratándose de la inferior: fórmulas que dan los valores Aq x é y en función
racional de x, y de las cuales se deduce, en consecuencia, que el bicornio
pertenece á la clase de curvas unieursales.

249. El bicornio puede ser fácilmente construido por el siguiente
procedimiento, ideado por Carlota Scott, de Pensiívania. — E. U. (In-
termédiaire des Mathématiciens , 1896, p. 250).

239

Trácense dos circunferencias, C y C , del mismo radio, a, y una á otra
tangentes exteriormente, conforme representa la figura 74; y tómense,
para origen de las coordenadas, el centro
de la C; para ejes de las ordenadas, la
línea CC de los centros, y de las absci-
sas, la CX) perpendicular á ésta. Y, por
un punto cualquiera, M, de la circunfe-
rencia C , trácese la paralela MP á la
línea de los centros, y, finalmente, la jjo-
lar AB Ag aquel punto, relativamente á
la otra circunferencia C. Pues aquella pa-
ralela y la polar se cortarán en otro pun -
to, K, que es precisamente un punto del
bicornio.

Para demostrarlo, adviértase que las
ecuaciones de las dos circunferencias con-
sideradas, C y C , son éstas: Figura 74.

Z2 _|_ y2 = «2 y x^ + {Y—2af = a^

Y, siendo x^ é y^ las coordenadas del punto M, la polar AB, ya defini-
da, tendrá por ecuación

y las de los puntos K, x é y satisfarán, en consecuencia, á estas otras
relaciones :

íc = «1 y xXi-{- yy^= á'; 6 x^=x^ é y-

a? — x'^
Vi

Mas, por ser también íCj é y^ las coordenadas de un punto correspon-
diente á la circunferencia C , deberá verificarse que

Pues por eliminación de estas coordenadas, Xié y^, entre las tres últi-
mas ecuaciones, hállase finalmente esta otra:

— 240 —

que coincide con la del bicornio, poco más atrás consignada y discutida

XI

LA CURVA K

250. Atribuyó Aubry (Journal de Mathéniatiques Spéciales, 1895,
p. 201) el nombre de cappa, K, á la curva dotada de la ecuación, en co-
ordenadas polares,

p = atang6;
ó de esta otra, equivalente, en coordenadas cartesianas:

Esta curva fué ya considerada por Barrow en sus Lectiones geometricce,

publicadas por los años 1669,
con el siguiente procedimien-
to para construirla.

Trácese (fig. 75) una recta
CD, paralela al eje de las or-
denadas, y á la distancia a del
mismo eje; y sobre ella señá-
lese el segmento CN, arbitra-
rio. Tómese después sobre ON,
á partir de O, el segmento OM,
igual á NC. y el lugar que
describa AI, cuando CN va-
ríe, será la curva pedida.
251. Fácil es ver que esta
curva tiene la forma indicada en la figura: simétrica relativamente á los
ejes de las coordenadas; con dos ramas infinitas, AOB y A'OB' , tangen-

I B'

B £

Figura 75.

— 241 —

tes al eje de las abscisas en el punto O; y dos asíntotas , CD y C D' , cu-
yas ecuaciones son x^=a y x = — a.

252. Las tangentes á la curva K pueden obtenerse muy fácilmente
por el siguiente procedimiento, no advertido hasta ahora, que sepamos.

La ecuación general de las tangentes, referida á coordenadas polares, es

— = — eos (9 — 9,) + f— ) sen (9 — 9,),
P Pi ^ Pi /

representando por 9j y pj las coordenadas del punto de contacto.
Aplicándola á la curva considerada, resulta

*

" ''*''''^cosí9-9j) L_sen(9-9J.

p sen9j sen'^6^

Y poniendo en esta ecuación 9 = 29^, se deduce que

— = — sentí,.

P

Luego la tangente pasa por el punto cuyas coordenadas polares son

26j y ; esto es, por el punto de intersección del vector correspon-

sen9j

diente al ángulo 29, con la recta p = , 6 y = — a en coordena-

1 , . sen 9

das cartesianas.

253. El radio de curvatura de la curva considerada se halla expresado

por la fórmula

3

fí =

(l +— £en2 29ya
(2 + sen2 9) eos* 9

que en el punto O se reduce á R= —^ a.

264. Y el área de la figura, limitada por el arco OM de la curva y por
las rectas OP y P}f, se desprende de la fórmula

Jo V a^-.T^ 2 ' ^2

.r

re sen — ,
a

16

- 242 -
De la cual, cuando sea x := a, resulta:

■na-

Luego el área de la figura , comprendida entre la curva y una asíntota,
es igual á la mitad del área del círculo de radio igual á a.

xn

CONCOIDES FOCALES DE LAS CÓNICAS

255. Dada una elipse, si á partir de uno de sus focos se traza un haz
de rectas divergentes, y sobre todas estas rectas, desde los puntos de sus
respectivas intersecciones con la curva, se toma un segmento de longitud
constante h, el lugar geométrico, determinado por los extremos de este
segmento, se denomina concoide focal de aquella elipse: no por analogía
de forma con la concoide de Nicomedes, ni menos de propiedades, sino
por mera semejanza de trazado.

De la ecuación polar de la elipse, referida á un foco,

_ V

^^ l + ecos9'

se desprende, por definición, que á la concoide corresponde esta otra:

1 -j-e cos'J

en la cual h representa una longitud constante, positiva 6 tiegativa; y
p y e, en función de los semiejes a y h de \a elipse, lo que sigue:

62 Va2

c

p = — y e =

a a a

Ó, en coordenadas cartesianas,

(2) (£c2 + ¿/2 — h e xf = (a'2 J^tf){pJ^h — exf.

256. El estudio de la curva á que esta ecuación corresponde se faci-

— 243 —

lita comenzando por hallar sus punios múltiplos, para lo cual basta igua-
lar á cero, independientemente, las derivadas parciales de la misma ecua-
ción, relativamente á a; é y. Y de esta manera se deduce que la curva po-
see tres puntos duplos, definidos por las expresiones siguientes:

[x = 0,y = 0); y |^a; = — ^ = íKj, ?/=rfc y -^ = ±yij-

Para hallar las tangentes £í la curva en el punto (x = O, ?/ ^ 0), hay
que diferenciar dos veces la ecuación (2) con relación á x, considerando
la y como función de la misma x, y poner después en el resultado a; = O
é y = O, Con lo cual los coeficientes angulares de las tangentes en este
punto quedan determinados por la expresión

V-

h-^ é'- — ip -{- h)

{p + hr-

de la cual, cuando

/í2e2>(p + A)^ ó ¿2_^2«/¿ + /í2<0, ó ih-\-a-\-c)ih-\-a—c)^0,

se deducen dos valores reales para y', iguales y de signos contrarios, esto
es, en el caso de ser h negativa y hallarse su valor absoluto comprendido
entre a — cy a -\- c, 6 coincidir aquel valor con los de a — c ó a -f- c.
En los demás supuestos, los valores de y' resultan imaginarios.

Luego la curva posee un nodo en el origen de las coordenadas, cuando h
es negativa y su valor absoluto se encuentra comprendido entre a — c y
a -\- c; y un punto de retroceso en el mismo origen, cuando h = c — a 6
h^ — (a-\- c). En los demás casos, el origen representa un punto aislado
de la curva.

Del análisis del radical que figura en la composición de y^, se deduce
que y^ solamente será real cuando sean

p -\- h^ O y he^ > P -\- ^i; <5 p + /í < O y he^ < P + h;
6 p + /í = 0; ó he^=p + h.

Las primeras dos desigualdades exigen que Ji> — p y h <C — o,, una
con otra incompatibles.

- 244 —

La tercera y cuarta que /? < — p y /* > — a.

Y las dos últimas que h = — p 6 h= — a.

Luego los puntos (a;^, ± y y) serán puntos duplos reales de la curva
cuando h sea negativa y su valor absolido se halle comprendido entre p
y a; 6 igual, en absoluto también, á una ú otra de estas dos cantidades.

La existencia de estos puntos duplos reales admite fácil explicación
geométrica.

Cuando, en efecto, h sea negativa y su valor absoluto se halle compren-
dido entre a — c y a-\-c, 6 entre FA y FB, existen dos vectores de la
elipse, FP y FQ (fig. 76), de longitudes iguales á la de h. Luego el foco F

{h = AK=BH>FA y <FB).

Fignra TB.

es un punto de la concoide, correspondiente á los puntos P y ^ de la elipse.
Y del mismo modo, cuando el valor absoluto de h esté comprendido entre
p y a, 6 FR y AO (fig. 77), existen dos cuerdas iguales de la elipse, SS^
y UUi, que pasan por el foco, y cuyo valor es igual al doble del valor ab-
soluto de h, y los puntos medios M y M^ en la misma figura de estas cuer-
das corresponden, en consecuencia, según el modo de construcción de la
concoide, á los dos extremos de las mismas cuerdas, y constituyen así
otros dos puntos duplos.

257. De lo que precede, y teniendo siempre en cuenta el modo de
construir, con arreglo á su definición, la curva de que se trata, resulta que
ésta admite varias formas.

— 245 —

S¡ h es negativa y su valor absoluto se halla comprendido entre a — c
y p,ó entre a y a -\- c, la curva, según lo acabado de exponer, presen-

Y

s.

{h — AK—BH>FR y <:A0).
Fignra 77.

tara la forma indicada en la figura 76. Y si el valor absoluto de h está com-
prendido entre p y a, la apuntada en la figura 77.

En ambos casos las abscisas de los puntos H y K son x = a — c -\- h
y x = — {a -\- c -\- h); y \siS tangentes á la curva en el punto F se hallan
representadas por FP y FQ.

Figura 78. {h— FÁ).

Si h^c — a 6 /¿ = — (c -\- a), el punto H coincide con el í-^, y la

curva presenta un punto de retroceso en F (fig. 78).

— 246 —

Si k = — p6h = ~ FR, las tangentes FP y FQ, ahora FR y FR^
(fig. 79), coinciden con el eje y de las ordenadas. Y uno con otro los pun-

tos ií y iT de la figura SO, que tenían por abscisas FH^ a — c -\- h y
FK= a -{- c -\- h, cuando h ^ — a.

En los demás casos la curva es de figura ovalada, sin puntos duplos
reales, pero siempre con un punto aislado en í.

(li = AO).

258. Pasemos ahora al estudio de la concoide focal de la hipérbola.
Como la ecuación polar de esta curva, por referencia á su foco, tiene
por expresión

— 247 —

n — P

1 + e eos 'i

en la cual, representando por a y i los semiejes, y por^J y e el parámetro
y la excentricidad,

¿a
^ = - y e:

la ecuación de su concoide focal será

c
a

+ h:

1 + « eos 9
6, en coordenadas cartesianas,

(aja + ,,2 _ ;,g^)2 _ (^2 4. ^2) (p _f_ ^ _ g^)2.

^^-x

(Tí = áP = Bi7> i^O + OB).

Figura 81.

Procediendo ahora en el análisis de esta ecuación como se procedió en

248

el caso de la anterior, concluyese que la curva presentará un nodo en el
origen de las coordenadas cuando

62-)- 2«/í — /í2 <0, ó (h~-a — c){h — a + c)> i):

para lo cual es menester que sea

h^ a -\- c 6 h <ia — c.

El nodo se reducirá á punto de retroceso cuando h = aáz c, y á simple
punto aislado en los demás casos.

Y con igual facilidad se concluye que los puntos

h

P + h

■=Xi, y:

V

ip-\-h){he^—p — h)

yi

serán puntos duplos reales cuando h ^ a, y también cuando h < — |j/
é imaginarios en los demás casos.

{h = AHz=i BP> FA).
Figura 82.

La curva Se compone de dos ramas infinitas, correspondientes á las de
la hipérbola, que una á otra se cortan cuando /i > a; 6 simplemente se

— 249 —

tocan, si h = a. Una de estas ramas, MPQ (figs. 81, 82 y 83), aseméjase
á las de la hipérbola. Pero la otra, DFKHK^ FD^, presenta la forma indi-
cada en la figura 81, cuando /« > a -f- c, ó en la 82, DFK^HKFD^,
cuando h<^a — c y h^ — P>' 7 1^ indicada en la figura 83, cuando
h <^a — c y /í < — p. Si fuese k = a -\- c, 6 h = a — c, los puntos

Figura -3, (/i = AH <BP>FK).

H y F coincidirían uno con otro, y la rama de la curva presentaría un
punto de retroceso en F, como en el caso de la elipse á que la figura 78
se refiere. Y, si es A := — p, la curva adquiere en las proximidades de F
una forma, que asimismo recuerda el caso de la concoide elíptica, repre-
sentado en la figura 79, coincidiendo entonces las tangentes en F con el
eje de las ordenadas. En los demás casos, la segunda rama de la concoide se
asemeja, como la primera, á una rama de la hipérbola de donde se derivan.

259. Consideremos ahora, más en particular, los casos de ser h = — a,
tratándose de la concoide elíptica; y h= -\-a, por referencia á la hiper-
bólica.

La ecuación de las dos concoides se expresará entonces de este modo:

250

P'

V —

1 -f- e cos8

a =

c -\- a cosG

a -\- ccosQ '

la cual coincide con la de las curvas encontradas por Jaeabek (Mathesis,

í. V, p. 1 1 6 ) , en la resolución del siguiente problema :

Representando por M, figura 84, un punto de una circunferencia de
centro C; por A otro punto fijo, tomado en el
plano de la misma circunferencia; por ^lA'una
perpendicular á la recta AM; y por K e\ punto
de intersección de la ^Z"con la CM, hallar el
lugar geométrico descrito por K , cuando el M
varía de posición sobre la circunferencia y la
describe por completo.

Para deducir la ecuación de la curva así en-
gendrada, designemos por a el radio de la cir-
cunferencia, y por c la distancia CA ; y supon-
gamos, por de pronto, que c <ia, 6 que el pun-
to A se halla comprendido dentro de la circun-
ferencia.
Representando por p y 6^ las coordenadas polares CK y KCA, hállase

que

AK^ + Z¥^

Fisura 84.

K3r

(a-p)2

Y como

AK' = ^^ -i- c^ — 2 pe cos\ y AJir = a^ + c- — 2accos^^,

inmediatamente se deduce que

c — a eos O,
P = ^- 7 *-

ó, poniendo Gj^ = O — n,

p = — c

c-\- a eos 9
a -\- ecos 9

Luego la curva que satisface al problema propuesto es una concoide
díptica, correspondiente al supuesto de ser h= —a.

— 251 —

Y del mismo modo se concluiría que, cuando sea c> «, ó el punto A
se halle situado fuera de la circunferencia, al mencionado problema satis-
face la concoide hiperbólica, obtenida en el caso de ser h = a.

Las llamadas curvas de Jarabek fueron atentamente estudiadas por
Dewulf, quien por primera vez demostró su conformidad con las dos
concoides mencionadas (1. c, p. 113); así como Neüberg (1. c, p. 115)
hizo ver la frecuencia de su manifestación en distintos problemas de Geo-
metría, de dos y de tres dimensiones.

260. De la concoide focal de la parábola, ya por incidencia se trató en
el Núm. 74, pág. 67, de este libro, donde vimos, poniendo ahora 2p
por a, y h por k, que su ecuación es como sigue:

(3,2 ^ ^2 + /,^)2 = (^ + /, + ^)-2 (a;2 + ^2).

Ecuación que coincide con la que se desprende, en el supuesto de ser
e = — 1, de la correspondiente á la concoide elíptica.

Para hallar los puntos duplos de
la nueva curva, bastará, pues, in-
troducir en las fórmulas que deter-
minan estos puntos en la primera,
la hipótesis c = — 1 , y se hallará
que la concoide focal de la parábola
posee un punto duplo, en coinciden-

2'

cia con el foco: nodo, si h <
pitnto de retroceso, si h = — — ; y

punto aislado , cuando sea /¿ > — — .

Como asimismo se concluye fácil-
mente que la curva tiene además
otros dos puntos duplos

Figura 85. (ft — AH-=:l)).

\x = -{p^}i), ¿/ = ±V-p(p + A)]:

reales, cuando h < — p; é imaginarios en otro caso.

— 252 —
Dada la parábola NMAM^ N^ (figs. 85, 86 y 87), con el foco en F, á la
distancia éste, FA, del vértice A, igual á^, cuando sea h> — -^, la
concoide parabólica estará representada por una sola rama de apariencia,

^ X

Figura 86. {h = FA).

<

Fignra 87. (7i = AH > FM).

ahora análoga á la curva á que se refiere, pero con un punto aislado en F,
situado en la región interior de la misma parábola.

Cuando sea li = — p, la concoide adquiere la forma repsesentada en
la figura 85, como desprendida de la 79 por prolongación indefinida del
eje AB de la elipse. Y forma análoga adquiere cuando h está comprendida

entre —y — p.

Si /i = — ^, la concoide, figura 86, presenta un punto de retroceso

en F, como la concoide elíptica de la figura 78, en otro supuesto análogo.

Y si es h <C — p, como h =■ AH, la concoide resultante será la repre-
sentada en la figura 87, en forma de laxada, como la concoide hiperbólica
de la figura 83.

De advertir es, en conclusión, que entre los modos de tender hacia
lo infinito las ramas de las concoides hiperbólicas y de las parabólicas exis-
te una diferencia esencial, por cuanto las concoides de la hipérbola poseen

— 253 —

dos asíntotas rectilíneas, que coinciden con las de la hipérbola á que se
refieren, mientras que la concoide parabólica carece de asíntotas rectilí-
neas, á distancia finita. Por definición, sin embargo, resulta en cambio que
la concoide del último nombre admite por asíntota curvilínea la misma
parábola de donde procede.

XUI

BREVE NOTICIA DEL ORIGEN Y DESCUBRIMIENTO
DE LA TEORÍA DE LAS CUARTICAS

261. Daremos punto á la reseña individual de las cuárticas más no-
tables y de mayor interés que conocemos, someramente efectuada en los
dos capítulos IV y V de este libro, cerrando el último, como complemento
indispensable de todo lo expuesto en ambos, con algunas muy breves indi-
caciones de los trabajos de mayor valer referentes al origen y desenvolvi-
miento de la teoría general de aquellas curvas, y también, para satisfac-
ción del curioso lector, de las obras donde se encuentran consignados.

El estudio, en conjunto y en los detalles, de las curvas de cuarto orden
debe considerarse como continuación inmediata, y natural ampliación, del
de las de tercerQ, iniciado éste y fundamentado, conforme ya en lugar
oportuno se advirtió (pág. 98) por Newton en su célebre Enumeratio.
Mas, por ser el nuevo estudio mucho más difícil y complejo que el pri-
mero, sus progresos no fueron tan rápidos como los en relativamente breve
tiempo conseguidos en éste; y hoy es el día en que el capítulo de la Geo-
metría de las Curvas, referente á las cuárticas en particular, no posee to-
davía una organización sistemática tan armónica y perfecta como el que
trata de las cúbicas. Lo cual se comprende fácilmente, porque el número
de las formas que es menester considerar en las primeras supera con gran-
de exceso al de las segundas; las dificultades del análisis, discusión y
clasificación ó agrupamiento razonado de aquéllas, muy superiores también
á las que atañen á las segundas ; y, aunque ambas clases de curvas posean
propiedades hasta cierto punto comunes ó análogas, bien mirado el asunto,
percíbense múltiples diferencias en los detalles, que por todo extremo
complican la teoría de las cuárticas.

— 254 —

De las curvas de este nombre trataron, en primer término, Macla uein
en su Geometría Orgánica, publicada en 1730; y casi á la vez Brage-
LONGUE en tres distintas memorias, presentadas á la Academia de Cien-
cias de París por los años 1730, 1731 y 1732. Y, no mucho más tarde,
insistieron en el mismo asunto, Eülercu el capítulo xi del tomo ii de su
Introductio in Analijsim infinitorum, y Cramek en su Introduction á
l'Analyse des Ligues Courbes (1750, pág. 369), donde se encuentran las
primeras clasificaciones de aquellas curvas, fundadas, como la propuesta
por Newton para las cúbicas, en la naturaleza de los puntos situados en
lo infinito.

La clasificación de Eüler fué de nuevo muy atentamente tomada en
cuenta por Plücker, y publicada, después de corregida de algunos erro-
res inadvertidamente cometidos por aquel gran geómetra, su autor, en
una memoria inserta en el tomo i del Journal de Liouville. Y, posterior-
mente, el mismo Plücker incluyó otra nueva y mucho más perfecta cla-
sificación de las cuárticas, basada en la naturaleza de los puntos singula-
res, en su Tlieorie des algebraichen Curven. (Bonn, 1839).

Pero quien estudió el problema de la enumeración sistemática de las
formas que presentan las cuárticas con mayor profundidad, sutileza de
ingenio, y riqueza en los detalles, fué Zeüthen, en una importante memo-
ria, publicada en el tomo vil, pág. 140 de los Mathematische Annalen.
A la cual sirve de precioso complemento el opúsculo recientemente publi-
cado en New- York por R. Gentry, con el título de On ilie forms of the
Plañe Quartic Curves: en cuyas páginas con gran lucidez se exponen,
amplían y comentan los trabajos del eminente geómetra dinamarqués, líneas
antes mencionado.

En la clasificación de las cuárticas, discurrida por Zeüthen, á que aca-
bamos de referirnos, tómanse en consideración y desempeñan papel fun-
damental las bitange^ites á las mismas curvas: rectas singulares que no
existen en el caso de las cíibicas, pero que, por referencia al de las cuár-
ticas, han servido de base para muy hermosos y fecundos trabajos, entre
los cuales, por su importancia fundamental en el concepto matemático,
merecen mencionarse el de Steiner, inserto en el tomo 49 del Journal
de Crelle, y los de O. Hesse en los 49, 52 y 55 de la misma importante
publicación periódica.

— 955

Á la clasificación de las cuárticas por medio de sus puntos singulares,
á que acabamos de aludir, menester es que preceda un estudio profundo
de estos puntos. Comenzando por advertir que, en el caso de las cuárticas,
hay que tener en cuenta no solamente los pantos singulares, ya estudiados
al tratar de las ctibicas, sino los de contacto de las tangentes dobles: á
todos los cuales se aplica el nombre de puntos sÍ7igulares ordinarios ; y,
ademíís, otros puntos singulares de orden más elevado. La enumeración de
estos nuevos puntos y determinación de la equivalencia de cada uno de
ellos con un cierto número de puntos ordinarios son cuestiones previas,
de resolución indispensable para proceder á la clasificación de las cuárti-
cas, estudiadas con admirable perspicacia por Cayley en diversos traba-
jos, insertos en el tomo v de los Mathematical Papers.

Entre los problemas previos auxiliares, de mayor eficacia para penetrar
luego con desembarazo en el estudio de las cuárticas, han preocupado, ade-
más, preferentemente la atención de ilustres geómetras el de la distribución
en estas curvas de los puntos de inflexión , y el de la determinación del
número de puntos reales de este nombre. Problema, el primero, sin so-
lución satisfactoria hasta ahora, cuando las cuárticas carecen de puntos
duplos; mas no tanto en el supuesto contrario, conforme dejnostró Brill
en diversas publicaciones interesantes, insertas en los Mathematische
Animlen (tomo xii, p. 90; y xiii, /;.' 103, 175 y 517). Así como en el
análisis del segundo logró Zeüthen deducir (1. c.) que las curvas de cuar-
to orden, sin puntos duplos, poseen ocJio de inflexión reales.

A todo lo cual añadiremos, en conclusión, que quien desee profundizar,
con relativa facilidad, en la mai-eria de que tratamos, comenzando por en-
terarse de los trabajos en ella efectuados, y expuestos en orden y estilo
didáctico, debe dedicarse seriamente al estudio de la obra magistral de
Salmón, Higher plañe Curves, tantas veces por nosotros ya citada, con
merecido elogio siempre, y en la cual hallará el lector condensada la doc-
trina general y fundamental de las cuárticas, en muy meditado y substan-
cioso capítulo.

CAPÍTULO SEXTO

SÉXTICAS Y BICUÁRTICAS MAS NOTABLES

LA CURVA DE WATT

262. Entre las curvas de quinto orden, 6 quínticas, no estudiadas
sistemáticamente todavía, no conocemos ninguna dotada de nombre pro-
pio y verdaderamente notable por sus propiedades, ora en el concepto
teórico, ya por la importancia y alcance de sus aplicaciones. Y otro tanto
podemos decir á propósito de las de séptimo.

Por lo cual prescindimos de todas ellas, y pasamos á tratar abreviada-
mente de las séxticas más notables, tampoco numerosas, comenzando por

la titulada curva de Watt, y de
alguna de octavo orden, hicuár-
tica, merecedora también de par-
ticular estudio.

La curva de Watt, engendra-
da por el punto medio M del la-
do BC de un cuadrilátero arti-
culado, ABCD (fig. 88), cuyo
lado AD permanece fijo, mien-
tras los ^ Z? y CD, de igual lon-
gitud, articulados en A y B q\
primero, y el segundo en C y D, varían de posición. Esta figura desem-
peña, en efecto, interesante papel en el artificio cinemático para las trans-
misiones del movimiento en las Máquinas de Vapor, imaginado á fines del
siglo pasado por el célebre ingeniero de aquel nombre.

En la teoría de la curva de ^YATT se han ocupado varios muy distinguí-

— 257 —

doí? geómelras: como Pkpny, antes que otro alguno, en su Nourelle Ar-
chilecture Hi/ilrauliíjue (Parts, 1796); Hachette, en su Histoirc des
Machines á vapcur, el cual presentó la ecuación de la curva sin descen-
der á su minuciosa análisis; Vincent, en las Mémoires de la Société Ro-
yale des Sciences de Lille, 1837; S. Roberts, Cayley y Clifford, en
los Proceedinr/s of London Mathematical Society (años 1876 y 1878);
Lacolonge, en l^s Mémoires de la Société des Sciences Physiqíies et
Naturelles de Bordeaux (1885, p. 101); etc., etc.

2Gí>. La ecuación de la curva de Watt se puede hallar por el siguiente
muy sencillo procedimiento, propuesto por Catalán (Mathesis, 1885,
;;. 154).

Sean i[() la recta que pasa por el medio de BC y AD; BE y CF dos
paralelas Á MO; y EF una paral^ig á BC. Como sin dificultad se advierte
que los triángulos AEO y OFD son iguales, é ¡guales también, por con-
secuencia, las rectas una á otra paralelas, AE y FD, concluyese de aquí
que los triángulos AEB y FCD serán iguales asimismo.

De donde resulta que los ángulos AEB y DFC son parecidamente igua-
les; y como, por la disposición de sus lados, además de iguales son suple-
mentarios uno de otro, ambos serán necesariamente rectos.

Esto sentado, supongamos que AO = a, BM^ c y AB= h; y que p
y 9 representan las coordenadas polares, OM y MOD, del punto M, ge-
nerador de la curva de que se trata, referidas al punto O como polo, y á
la recta OD como eje.

De los triángulos rectángulos CDF, ODG y OFG se desprenden estas
igualdades:

p-^ = 62 _ fjji^^ DG = a aeafi, y FG = \/c^ — a^ cos^ 9.
Luego, para, ecuación polar de la curva de Watt deduciremos la que sigue:
p2 = 62 _ [a sen 8 — \/c^ — a^ eos- 'i\\
debiendo variar 9 desde — ■r^ hasta -rc; ó

p2 = 6-2 — [a sen 9 ± \/c^ — a^ eos-' 9]'',
en la cual basta que 9 varíe desde O hasta it.

17

— 258 —

Y de ésta, poniendo x = p cosS é y = ^ senO, y suprimiendo el factOj,
común x^ -\- y'^, se deduce la siguiente, de sexto grado, en coordenadas car-
tesianas (Lacolonge : 1. c.) :

(í/2 -I- ,^2)3 _ 2 52 (£C2 + ff + (Si + 4«2 _f) (a-a + y1)

— 4a2¿2j^-2 = o,

donde

52 = «2 _|_ 52 _ c2.

264. Por medio de la
ecuación polar de la curva de
Watt, y atendiendo á su mo-
do de generación, hállase fá-
cilmente su forma, fig. 89, in-
firiéndose en primer lugar: que
la curva es simétrica por refe-
rencia á los dos ejes coorde-
nados; que corta perpendicu-
larmente al de las ordenadas
en dos puntos reales, My M^,
dados por la ecuación

p2 = 6-3 _ (a _ c)2,

y en dos imaginarios, y tam-
bién al de las abscisas en otros
dos puntos, S y Si, definidos
por la ecuación

rignra 89,

donde las tangentes forman
con el eje de las abscisas ángulos, w, determinados por la expresión

tanga) =

52

a\c^ — «2

— 259

y los cuales, suponiendo, como en el problema mencionado de Mecánica
se supone, que a > c, son reales, pero aislados; y que no posee ramas in-
finitas. Y, en segundo lugar, que la figura de la curva se asemeja á la de
las lemniscatas, cuando los lados del cuadrilátero pueden tomar la po-
sición indicada en la figu-
ra 90, coincidiendo el pun-
to medio de BC con el O:
lo cual solamente se verifi-
cará cuando las tres rectas
a, b y c puedan formar un
triángulo.

Considerando, con
Watt, solamente este caso,
de inmediata aplicación en
la Teoría de las Máquinas
de Vapor, procuremos ha-
llar, por medio de la ecua-
ción polar de la curva, los
valorea de O, cuando p = 0. Si por G' se designan estos valores particula-
res, la fórmula

Fignra 90.

senil' =

52

2ab

servirá para determinar los ángulos de las tangentes á la curva, en el ori-
gen, con el eje de las abscisas. Pero adviértase bien que á cada valor de 9',
dado por esta ecuación, corresponden, además del valor p = O, estos otros
valores, dados por la ecuación

&4 — («2 _ c2)2 (62 _ fl2 ^ c2) (¿2 _|- ^2 _ (.2)

62

62

reales cuando se supone, como también en el problema á que nos referi-
mos se admite, que 6- _|_ (.2 > a^. Concluyese, pues, que cualquier tan-
gente á la curva de Watt, en el origen de las coordenadas, la corta ade-
más en dos puntos. A' y Á'( (fig. 89).

— 260 —

Para hallar el punto L, donde el radio vector forma con Ox un ángulo
mínimo, nos valdremos de la ecuación

c2 = a2cos2fJ:

la cual expresa que los dos valores de p, correspondientes íí un valor de-
terminado de 9, son iguales en este caso. Representando, pues, ])or 6" este
ángulo, resulta

,,, c
cosb = — .
a

El valor de p en el punto L se despi-ende de la fórmula

p2 = h^-\- C^ — «2.

La curva de Watt tiene dos puntos de inflexión reunidos en su centro.
Otro, evidentemente, de inflexión también, entre O y L.Y tres más, co-
rrespondientes á éste, en los otros tres cuadrantes.

265. En la aplicación de la curva de Watt á las Máquinas de Vapor
es necesario dar á los lados del cuadrilátero longitudes tales que la curva
se desvíe poco de su eje. Y el procedimiento propuesto por el inventor
para conseguirlo, fué el de hacer pequeño el ángulo de las rectas OK
y OL, prolongando en lo posible la forma alargada de las inflexiones en el
punto O. Por lo cual desígnanse muchas veces las curvas de esta especie
con el nombre de curras de larga inflexión.

206. En el precedente análisis de la ecuación de la curva considerada
se ha supuesto que las constantes que en ella figuran han de satisfacer á
determinadas condiciones del problema mecánico á que se refiere. Pero,
aun en el caso de no satisfacer á condición alguna restrictiva, el estudio
de aquella ecuación se efectáa del mismo modo, habida cuenta de las si-
guientes consideraciones, relacionadas con la naturaleza de los puntos sin-
gulares que la curva posee.

1." El origen de las coordenadas es un punto duplo, en el cual las
tangentes forman con el eje de las abscisas ángulos, cuyos valores, O',
tienen por expresión

sea*)' =

261 —
B2

2ab

debiéndose emplear el signo -{- cuando B^ sea positivo, y el — en el caso
contrario.

La curva poseerá, pues, en el origen un ?iodo, si ia^ b'^ >• B'^; y un
punto aislado cuando sea 4a'^ b^ << B'K

2." Los puntos (± B, 0) son duplos, y las tangentes en ellos á la curva
forman con el eje de las abscisas los ángulos w, que se desprenden de esta
fórmula:

52

tangió = ±

a yjc

Por lo tanto, cada uno de estos puntos representará un nodo real cuando
ií^ > O y c> a; un nodo imaginario cuando 5^ <; O y c > a; y un
yunto aislado cuando c < a.

A todo lo cual conviene agregar que las asíntotas de la curva admiten
por ecuaciones las que siguen:

y = zt ix; ij = ± i (x -\- a); é y = dzi {x — a).

De las cuales se desprende, por conclusión, que la curva tiene dos puntos
triplos imaginarios situados en lo infinito.

11

LA ASTROIDE

267. Recibe el nombre de astroide la curva envolvente de las rectas
que cortan á los lados de un ángulo recto, de tal modo, que la longitud
del segmento ao, limitado por aquellos lados (fig. 91), sea constante.

Para hallar la ecuación de la curva, tomemos como ejes de las coorde-
nadas los lados del ángulo, y advirtamos que la ecuación de la recta mó-
vil, poniendo Oo^'^, 0a = 9. y ao = l, tiene por expresión

- + -^=1

— 262 —
debiendo a y j3 satisfacer á la condición siguiente:

a2 + p2 ^ p.

La ecuación de la envolvente pedida resulta de la eliminación de a S

y entre estas ecuaciones y las

do.

X

JL^=0 y a + pi^
32 da ^ ^ doL

que se obtienen derivando las an-
teriores, relativamente á a, y con-
siderando á ¡i como función de a.
Para efectuar esta eliminación,
notemos que las dos (iltimas ecua-
ciones dan

X

Íi3

de manera que, poniendo

X

■ = >-,

la ecuación [- -^ ^ 1 se convierte en esta otra :

Xa2 + >^2^1;

y de la ecuación a^ -)- ¡32 = ¿2 gg deduce luego que ). = — ,

7 a

En consecuencia:

y, por lo tanto,

(1)
que es precisamente la ecuación buscada de la astroide.

111
x^ -\- y^ = l^,

— 263 —
Ecuación de Q.° grado, en realidad, que puede escribirse de este modo:

(a,2 _^ yl _ 12)3 + 27 r-í X2 ^2 ^ 0.

268. Partiendo de la ecuación (1), y teniendo presentes las ecua-
ciones

i 1

,3 1 / ^ \ 3

/ = -(-)• . .--i(0

cosa fácil es determinar la forma de la curva: simétrica, relativamente, á
los ejes de las coordenadas; con cuatro retrocesos (fig. 91) en los puntos
A, A^, B, B^, colocados á la distancia / del centro O; y sin puntos de in-
flexión.

269. La ordenada Tq del punto en que la tangente corta el eje de las
ordenadas, la subtangente, la subnormal, y las longitudes de la tangente
y de la normal , se hallan expresadas por las fórmulas

1^

1

1 / 7 \ 3

270. Comparando la ecuación de la tangente ú la astroide,

1

Y+l^l^'x-[l^y)^ = Q,

con la ecuación

MF-f-wZ+l = 0,
hállanse las relaciones

-i i

n = — (Py) 8 y v = — {l^xf^;

y con esto la ecuación de la curva, en coordenadas cartesianas, poco antes
consignada, se transforma en esta otra, en coordenadas tangenciales,

264 —

-1- + ^ = ^:

de la cual se deduce que la curva á que se refiere es de cuarta clase.

271 . De la fórmula general, adecuada al objeto, dedficese la siguiente
expresión del radio de curvatura de la astroide:

/?« = 27Z

■í' y>

según la cual, el cubo del radio de curvatura de la astroide en el jmnto
{x, y) es proporcional al rectángulo de las coordenadas del mismo punto.
272. Para hallar la evoluta de la astroide por muy sencillo procedi-
miento, adviértase que la astroide admite por ecuaciones las siguientes

(2) x=l8en^t é i/ = lcos''t:

en las cuales t representa una nueva variable independiente, por cuanto
los valores de x é y, así expresados, satisfacen evidentemente £í la (1),
cualquiera que sea el de t.

Partiendo de estas ecuaciones, y aplicando las fórmulas adecuadas al
objeto, demostradas en el Cálculo Diferencial, hállase que las coordena-
das, x^ é ¿/j, del centro de curvatura, correspondiente al punto de la cur-
va [x, y), se hallan determinadas por estas otras expresiones:

x^^=l sen^ / -f- 3 ¿ cos^ t sen t é y^^l eos'' t -\- 21 sen^ t eos t.

Y cambiando ahora de ejes coordenados, y adoptando para los nuevos
las bisectrices de los ángulos formados por los primitivos, encuéntranse
estas igualdades:

V2 V2 í -\
a?2 = (íPj — ?/j) = ~ — / (sen¿ — cost)^= 2Í senH t j, é

?/2 = -^ (a?! + ¿/i) = —^ I {sent + eos/;' = 2lco&^ (t — -^ j.

O, suponiendo que t = ty-\ ,

4

— 265 —
x.¿ = 2 1 sen^ t^ é ¡j.^^2l cos'' ty

Ecuaciones éátas correspondientes ¡í la evoluta de la astroide, según las
cuales la nueva curva es otra astroide con el mismo centro que la primi-
tiva, é inscripta en un círculo, de radio doble de aquel á que la primitiva
se refería. Con la particularidal de que las rectas que pasan por su centro
y por los puntos de retroceso forman ángulos de 45° con las rectas análo-
gas, correspondientes á la primera astroide, de donde procede la segunda.

273. Para determinar el íírea, limitada por la astroide, por el eje de
las abscisas, y por las ordenadas de los puntos cuyas abscisas son O y x,
emplearemos la fórmula

A=\ \ [r^ —.v^fdx.

2

de la cual, poniendo x^=l* t'^, se deduce este resultado:
A=^3P C tHi — t^y^ dt

= — P I— Vi— ¿2 Íí5 — — <3 -I- A A _J_ A are sen t\
2 L \ 4 ' 8 j ' 8 J

De donde se concluye para expresión del área total, limitada por la as-
troide, poniendo t = l, y multiplicando el resultado por 4, la siguiente:

8

274. La rectificación del arco de la astroide, comprendido entre los
puntos que tienen por abscisas O y x, se obtiene por medio de esta otra
fórmula:

Luego el cubo de la longitud del arco de astroide, comprendido entre
los puntos (O, 1) y {x, y), es proporcional al cuadrado de la abscisa x.

— 266 —

(Haton de la Goupilliére: Journal de I' École Polytechnique , Pa-
rís, xun,p. 141).

3

Y la longitud de un cuadrante de la curva es igual á — I (Juan Ber-

NODixi: Opera omnia, t. ui,p. 446).

275. En el lugar acabado de citar de sus obras, estudió el mismo
JüAN Bernoulli la astroide, basándose en la definición del Núm. 2tí7,
y halló su ecuación, su forma y su longitud.

Trató de ella también d'Alembert en las Memorias de la Academia de
Berlín, año 1747, y después en sus Opúsculos (t. iv, sxm).

Amstein (Société vaudaise des Sciences Naiurelles, t. xv, p. 175), le
dio el nombre que la distingue, y que recuerda su forma.

Y por parte de otros geómetras ha sido objeto con posterioridad de in-
teresantes estudios, referentes muchos á sus distintos modos de genera-
ción, según puede verse en la curiosa noticia sobre la materia, publicada
por Haton de la Goupilliére en los Nouvelles Anuales des Mathéma-
tiques (2.'^ serie, t. xin,p. 534; y t. xix, p. 94).

De aquellos modos de generación, que constituyen otras tantas defini-
ciones de la curva, mencionaremos los siguientes:

1.° La envolvente de las elipses, dotadas del mismo centro y con ejes
en la misma dirección, siempre que la suma de estos ejes permanezca ade-
más constante, es una astroide (Desgranges, Nouvelles Anuales des
Mathéniatiques , 1.^ serie, t. xx,p. 351).

2.° La astroide es también el lugar geométrico del vértice de una pa-
rábola, que se desliza entre dos rectas perpendiculares entre sí, defor-
mándose al propio tiempo, de tal modo que el foco describa una circunfe-
rencia alrededor del punto de intersección de aquellas rectas (Bispal, Nou-
velles Anuales des Mathématiques, 2.°- serie, t. iv, p. 331).

3." Astroide asimismo es el lugar de los puntos que tienen por coor-
denadas rectangulares los radios de curvatura de la elipse en las extremi-
dades de sus diámetros conjugados (Brasí^ne, Nouvelles Aúnales des Ma-
thématiques, 2.°' serie, t.ii,p. 12).

4.° Y astroide, finalmente, la curva descrita por un punto de una cir-
cunferencia, que rueda, sin resbalar, sobre otra circunferencia fija, exterior
á ella y de radio cuatro veces mayor que la móvil. Como se verá cuando
tratemos de las curvas que admiten este modo de generación (epicicloides) .

— 267 —

Apoyándose en este último modo de generación de la curva, la astroide
fué designada por Montucci (Comptes rendas de l'Académie de París,
t. hx,j}.^ 440, 846) con el nombre de cubo -cicloide.

A los procedimientos de generación mencionados, todavía podrían agre-
garse los muy curiosos propuestos por Pigeon (NouveUes Anuales des
Mathématiques , 2." sene, t. iii, p. GO); por Lemoine (1. c, t. xiii,^j. 334);
y por Barbarin (1. c, t. xiv, p. 328): etc., etc.

III

LAS CURVAS PARALELAS A LA ASTROIDE

276. Denomínanse, en general, curvas paralelas á otra curva cual-
quiera las obtenidas tomando sobre las normales á ésta, en uno (i otro
sentido, segmentos de longitud arbitraria h, constante en cada caso. De
esta definición resulta que entre los radios de curvatura de ambas curvas
consideradas, R de la propuesta, y R^ de la en particular deducida por el
indicado procedimiento, existe la relación R^^ R± h.

Cuando la curva fundamental es una astroide, las curvas paralelas po-
seen algunas propiedades interesantes, que han fijado la atención de insig-
nes geómetras, y que, por lo mismo, consideramos aquí dignas de estudio.

De las ecuaciones de la astroide

(1) x^l sen^ t é ¿/ = / cos^ t

dedúcese que —— = — cotí; y, por lo tanto, que t representa el ángulo

formado por la normal á la curva con el eje de las abscisas.

Y como las curvas paralelas á la astroide se forman tomando sobre
cada una de las normales, á partir del punto á que corresponden, un seg-
mento de longitud constante, li, concluyese que las coordenadas de aque-
llas curvas paralelas se hallarán expresadas de este modo:

(2) x^ I sen^ t -\- h eos t é y = 1 eos ' t -\- h sen /.

277. De estas ecuaciones fácil es inferir la forma de cualquiera de las

268 —

curvas que representan, dotadas todas, por definición, de ejes de simetría,
en coincidencia con los rectangulares de las coordenadas, y desprovistas
todas de ramas infinitas reales.

De sus derivadas, con relación íí t, dedúcese, en efecto, que

== 3 / sen^ ¿ eos < — hsent y — ^

dt di

3 1 eos- i sen t -\- h eos t ;

y esto basta para demostrar que las curvas de que se trata poseen cuatro
puntos de retroceso, correspondientes á los valores de t, determinados por
la ecuación

2h

3 1 sen t eos i ^ h, 6 sen 2 < =

31

reales, cuando 4/í'^ < 91^; é imaginarios, en el supuesto contrario.

Y como la astroide, de donde proceden, carece de puntos de infle-
xión, también de ellos carecerán las curvas paralelas, de forma oval con-
vexa, siempre que sea 4/¿"^>> 9/^^ y de la forma indicada en la figura 92,
M il/j Jfo M3 , en los demás casos.

— 269 —

278. Para continuar el estudio de las curvas mencionadas, propongá-
monos ahora hallar la longitud del segmento determinado, sobre una tan-
gente cualquiera, por los puntos de intersección de esta tangente con las
rectas á que corresponden las siguientes ecuaciones:

y = vY tang p é y = X tang p'.

Como la tangente considerada tiene por ecuación

y — (/ cos^ t -\- h sen t) = — cot t[X — / sen^ t — h eos t] ,

las coordenadas de aquellos puntos (X-^, T^) y {X^, y^) serán

(/sen¿cos<-f /?) cos¡3 (I sen icos i -\- h) sen ^

^*~ cos(p— í) ^~ cos{^ — t) ' ^

{I sení cost -\- h) cos^' (lsentcost-{-h)sen^'

eos (§' — t) '- eos (P' — t)

Y la longitud. A, del segmento de tangente, comprendida entre ambos
puntos, se hallará expresada por la fórmula

(¿sení cosí + /') sen(¡3 — P')

eos {[i — t) 003 (P' — t)

270. Condición necesaria y suficiente para que las rectas considera-
das limiten, en todas las tangentes á una cualquiera de las curvas paralelas
á la astroide, una longitud constante, A, es que cualquier valor de t satis-
faga á la siguiente relación, consecuencia inmediata de la fórmula que
acaba de obtenerse:

sen(,3 — |3') (/ sen í cosí + h) = A [eos p eos P' — cos(P -f p') sen^ t
-\- sen (¡5 4- [i') sen t eos t\.

La cual se resuelve en estas tres ecuaciones condicionales:

(3) /¿sen(¡3 — p') = Acos¡3cosíd', tang p tang ¡í' = 1, y

I sen (¡3 — ¡i') = A sen (p + p').

— 270 —

Para determinar el valor de p, eliminaremos en la última ecuación los
de ¡3' y A con auxilio de las dos primeras, y así se obtendrá la que sigue:

(4) h tang2 ¡i — I tangp 4-/^ = 0,

de la cual se deduce que

^^ 2h

Y de análoga manera se hallaría por eliminación, también en la última

de las (3), de las P y A, que

tangP'=i^Ví^i^.
2h

Luego tangp y tang¡5' son las dos raíces de la ecuación (4).

Y así, determinados los valores de |3 y ¡3', de la primera ecuación (3)
se concluirá sin dificultad el de A.

De todo lo cual se deduce que, dada tma jMralela á la astroide, existen
dos rectas que, por sus intersecciones con las tangentes á la curva, deter-
minan segmentos de longitud constante. — Rectas, entiéndase bien, reales,
cuando ¿2;> 4,ffi- imaginarias, si P <4/i2; y coincidentes una con otra,
cuando P = ih^.

Como asimismo se concluye que, en el caso de ser l^ > ih^, cualquier
curva paralela á la astroide es envolvente de una recta, móvil de manera
que la longitud de un segmento de esta recta, comprendido entre otras dos
rectas fijas, permanexca constante.

280. Con igual facilidad se deduce de los antecedentes expuestos
que, recíprocamente, la envolvente de una recta, móvil de manera que
permanezca constante el segmento suyo, comprendido entre otras dos rec-
tas dadas, que una á otra se corten, es una paralela á la astroide.

Pues, en efecto, adoptando para eje de las abscisas la recta que pasa
por el punto de intersección de las otras dos rectas mencionadas y forma
un ángulo de 45" con la bisectriz del ángulo 2a de estas mismas rectas, y
designando por p y P' los ángulos que una y otra forman también con el
eje de las abscisas, tendremos que

— 271 —

. 4 4

Luego estos ángulos, ¡3 y ¡3', satisfacen á la segunda de las ecuaciones (3);
y, si por A representamos la longitud constante del segmento, las primera
y tercera de aquellas ecuaciones determinarán los valores de h y /. Y la
curva buscada, resultará así paralela á la astroide, determinada por las
ecuaciones

A A

íc = sen^ / é y = — cos^í;

sen 2 a sen 2 a

y la distancia de sus puntos á los correspondientes de esta asfcroide lo es-
tará por la expresión

eos -

.a)cos(| + aj

11 = — A ^^ í '— = A cot 2 a.

sen 2 a 2

281. Las envolventes de las rectas, secantes de los lados de un án-
gulo cualquiera, en términos de que los segmentos de las mismas, com-
prendidos entre los lados del ángulo, sean de longitud constante, fueron
por vez primera estudiadas, en los tomos i y v de los NouveUes Ármales
des Mathématiqíies , por Meelieüx y Joachmisthal.

Salmón (Higher plañe Curves, 3." ed., n.° 118), advirtió su relación
con las curvas paralelas á la astroide; y algunos autores, fijando la aten-
ción en sus cuatro puntos de retroceso reales á distancia finita, les dieron
el nombre de tetracúspides. Nombre que nosotros, en un artículo publicado
en el tomo i (serie 2.") de El Progreso Matemático (Zaragoza, 1899), pro-

pusimos sustituir por el de astroides de dos ejes cuando a S — , y por el de

•i

astroide de cuatro ejes cuando se trate, en particular, de la curva correspon-
diente al supuesto de ser a= — . De la cual son, efectivamente, ejes las

■i

rectas que pasan por su centro, y también por cada par de puntos de re-
troceso opuestos con relación al mismo centro, y asimismo las bisectrices
de los ángulos formados por estas rectas.

272

282. El área de la curva, representada por las ecuaciones (2), se de-
termina con auxilio de la fórmula

-\ eos 2 í sen ' t — - — .

4 64 4

De la cual, para expresión del área total, limitada por la curv:i, ?e dcá-
prcnde esta otra:

"('"-f'l-

Y también la longitud de los arcos de la misma curva puede fácilmcníe
obtenerse, apoyándose en la ecuación

ds

= ± (3Í sení cos¿ — h).

dt

Pues, designando por t^ y íg los valores de t en los extremos del arco con-
siderado, y suponiendo estos puntos comprendidos entre los mismos pun-
tos de retroceso, hállase por integración que

— I (8en2<2 — sen2íj) — h {t.^ — íj) :

debiendo emplearse para expresión del resultado final el signo que pro-
duzca para s un valor positivo.

283. Por haberlo considerado más sencillo, al precedente breve estu-
dio de las curvas paralelas á la asiroide hemos procedido tomando como
base para ello las ecuaciones simultáneas (2), de las cuales, mediante la
eliminación de sen/, que no estimamos pertinente detallar, se obtiene la
siguiente ecuación cartesiajia, única, de aquellas curvas:

[3 (X2 + if — l"^) — 4A2]3 + [IllxiJ — 9h (X2 + í/2) — 18/2/, _|_ 8/í2J2= Q.

Como se obtiene la tangencial de las mismas comparando la ecuación de
sus tangentes

— 273 —

sen t y. eos t ^

Z sen / eos t -\-h I sen t eos t -f- h

con \2luY -{- vX=l: de donde se desprende que

sen¿ cosí

y r =

Iseut cost -\- h I sen i eos t -\- li

y, finalmente, por eliminación de t entre ambas, esta otra:

/2 „2 ,,.2 ^ (2/í/ _ 1) (íí2 ^ ,,2) ^ /¿2 (,,2 ^ ,,,2,2 ^ Q.

IV

LAS EVOLUTAS DE LA ELIPSE Y DE LA HIPÉRBOLA

284. La astroide se halla comprendida en el grupo de curvas deter-
minado por la ecuación general

[(íF+(i)->f+..(if(f)

al cual corresponde también la evolula de la elipse, indicada en la figu-
ra 93; con los ejes de simetría, BD y CA; cuatro puntos de retroceso,
A y C (± «, 0), y C y D (O, ± i); y ninguno de inflexión.

285. La ecuación de la tangente á la curva (1) tiene por expresión:

\_
(2) Y=-Í^Xx + b^y^;

de la cual se deduce que los puntos de intersección, P y ^, de la tangente
que representa, con los ejes coordenados, se hallan así definidos:

2 1

(0,6 3,^3j y (aix',Oy

18

— 274 —

Pues, si por estos puntos se trazan las rectas PMy QM, paralelas á los
ejes, quedará determinado el punto M, que tiene por coordenadas

'L — A JL

y, sustituyendo estos valores de a; é í/ en la ecuación (1) á que correspon-
den, hállase entre los de x, é y^ la relación general siguiente:

(3)

^1 _L lll _ 1
«2 "•" ¿2

-De todo lo cual se deduce que cuando la tangente PQ á la curva (1)
varía de situación, el punto M describe U7ia elipse (3), que pasa por los
puntos de retroceso de la (1); y que, recíprocamente, la envolvente de las
posiciones diversas de la PQ, cuatido Mdescribe la elipse (3), coincide cotí
la curva (1).

286. Otra propiedad interesante de las curvas que estudiamos es la
siguiente:

Las curvas representadas por la ecuación (1) son las envolventes de las
elipses á que corresponde la ecuación

«2 jy2

1,

— 275 —
myos semiejes satisfaceyi á la condición

a b

En efecto, la ecuación de las elipses consideradas puede escribirse como
sigue:

Y, para hallar la que corresponde á la envolvente pedida, menester es, y
basta, eliminar a entre la última ecuación y su derivada, por referencia á
la misma a:

a^ b'^ (a — a)'

Eliminación que se facilita advirtiendo que

i_

-,2 ,,8 \ 3

a — a / a^ y^y^

1__

Sustituyendo este valor de a en la ecuación de las elipses, cuya envol-
vente se busca, hállase, en fin, como prueba de la proposición enunciada,
el resultado siguiente:

1

6, mediante sencillas reducciones,

«2 + ¿2(^2^2) J[^+(¿2^2J J ^'

i. 1

S / „ \ 3

= 1.

287. El área limitada por la curva (1), por el eje de las abscisas, y

— 276 —

por las ordenadas correspondientes á las abscisas O y a;^ resulta expresada
por la fórmula

li = | f [a'-J] dx.

O, representando por A el área limitada por la astroide, inscrita en el
Gírenlo de radio a (Núm. 264), y por las mismas ordenadas,

^ a

Y, como corolario de esta igualdad, concldyese que el área Jimitacla

por la evoluta de la elipse es igual á — nab.

8

288. La rectificación de la curva (1) se obtiene por medio de la fór-
mula

o, poniendo x = af^,

S=3 C tS/tí^^ («2 — ¿2) ¿2 ¿f ^ -p^— - { [¿2 + («2 _ ¿,2) ¿2]2 _ ¿3 | .

De donde se concluye que

_2 3

La longitud de un cuadrante de la evoluta de la elipse será, pues, igual

, a3 — ¿3
a .

«2 — ¿2

28!>. Según es fácil verificar, á la ecuación de la evoluta de la elipse
satisfacen los valores de x é y, dados por las expresiones

x = a sen3 1 é y = b cos^ t,

277 —

en las cuales t representa una nueva variable independiente. Y, si esta va-
riable t se !•€
ciñese que

riable t se relaciona con otra, x, mediante la ecuación tang — t = x, con-

8íix3 ¿ (1 — ^2)3

X = é M = — ^^ :

(l+*2)3 ^ (1+^2)3

lo cual prueba que la curva de que tratamos pertenece á la categoría de las
unicursales.

290. La ecuación (2) de la tangente á la evoluta de la elipse puede
escribirse de este modo:

Y X

b ^ y ^ a ^ X ^

De la cual, comparada con la

uY-}-vX=l,

se desprende que

1 1

h * y ^ ,a '^ X ^

Y, eliminando de la (1), con auxilio de estas dos últimas relaciones, los
valores de x é y, concluyese, como ecuación tangencial de la curva de
que se trata, que así resulta demostrado ser de cuarta clase, la siguiente:

^ 2 y 2 6 2 j^ 2

291. La evoluta de la hipérbola tiene por ecuación

(í)-(ir='-

de la cual se deducen consecuencias análogas á las obtenidas en el estudio
de la correspondiente á la elipse.

278 —

La nueva curva, como es fácil ver, tiene la forma indicada en la figu-
ra 94: consta^de dosjamas infinitas, MAN y PBQ; y posee dos punios

Figura 94.

de retroceso reales, A y B, donde x = ±a, y otros dos imaginarios
(o, ±¿ Y — 1 j. Y como á su ecuación satisfacen las siguientes expresiones

X ■■

' — P-' \3

i^1 ^ -K^)

de las cuales, introduciendo la nueva variable a por e', se desprenden es-
tas otras

0(í2-fl)3 ¿,(í2_l)3

x= é y=-

8*3

Sz^

queda con esto, parecidamente, demostrado que, como la de la elipse, es
también unicursal la evoluta de la hipérbola.

292. Para dar por terminado este punto, conviene recordar que entre
ambas evolutas y la cruciforme y la pimtiforme existen interesantes re-
laciones, ya advertidas anteriormente (Núms. 215 y 21G), al ocuparnos
en el estudio de las dos curvas que se acaban de mencionar.

293. El grupo de curvas, representado por la ecuación (1),

(C+íir

=1,

279

es caso particular de otro grupo más amplio 6 general, representado tam-
bién por la misma ecuación, mas referida para ello á ejes coordenados, de
dirección arbitraria, rectan-
gulares ú oblicuos. En este
último caso, cada curva es
de apariencia análoga á la
representada en la fig. 95,
y sus tangentes en los pun'
tos de retroceso son diáme-
tros conjugados.

Al nuevo grupo de cur-
vas que acabamos de defi-
nir, denominadas tetracús-
pides por Bella vitis, en
su Sposixione del Método
dslle Equipollenxe (Mode-

na, 1854, núms. 189-191), fácil sería extender las propiedades, anterior-
mente demostradas, por referencia á la evoluta de la elipse. Pero lo intere-
sante para nuestros lectores es advertir que las tetracúspides de Bella vi-
tis no deben confundirse con las paralelas á la astroide, estudiadas en el
párrafo precedente, por cuanto en éstas las tangentes en los puntos de re-
troceso son cuatro rectas distintas (fig. 92), y en las otras se reducen á dos,
AB y BC (fig. 95), tangente cada una á la curva en dos de aquellos puntos.

Algunos autores confunden una con otra las dos clases de curvas: sobre
lo cual ya llamamos la atención en un artículo, publicado en la revista
Mathesis (t. xxi, 1901, pág. 217.)

Figura 95.

V

EL ESCARABAJO

294, Consideremos el ángulo recto AOB (fig. 96), en cuyos lados se
apoya por sus extremos el segmento, de longitud constante y posición va-
riable, AB. En la bisectriz, Ox, del ángulo, señálese un punto fijo, P, que
tomaremos por origen de las coordenadas; y, por este punto, trácese la

280

perpendicular PM al segmento móvil mencionado. El lugar geométrico
descrito por M, cuando AB varía de situación, es la podaría, respecto del
punto P, de la astroide, envolvente de AB, y recibe el nombre de esca-
rabajo (Laurent: Traite de Anahjse, t. ii, p. 183; Painvin: Géométrie

Analytiqíie, p. 432 ; etc.)

Para hallar la ecuación de esta cur-
va, supongamos que OA = a, OB = |3
PO = a, y AB^l; y formemos las
ecuaciones de las rectas AB y PM
que, por su intersección, determinan el
punto M.

La recta A B pasa por los puntos A
y B, cuyas coordenadas son

^

\2

Figura 96.

{\J2

— a,

^

s/2

y tiene por ecuación, en consecuencia, la siguiente:

Y como la PM es perpendicular á la anterior, su ecuación será ésta:

(|3 + «)í/ + (P-a)^ = 0.

Además, es evidente que

a2 + p--^=Z2.

Y, por lo tanto, eliminando a y ¡3 entre estas tres ecuaciones, bailare-
mos la ecuación buscada de la curva.

Para efectuar la eliminación, advirtamos primeramente que la primera

— 281 —

de las tres ecuaciones puede escribirse, con auxilio de la segunda, como
sigue:

(-^)-(-

V2

+ a X = 0.

Y deduciendo luego de esta ecuación, combinada también con la segun-
da, los valores de a y ¡j, y sustituyéndolos en la tercera, hallaremos, final-
mente, esta otra como ecuación del escarabajo:

(1) 4 (^'2 + 2/2 ^ axf {x^ + f) = /2 (¿y2 _ ai^f.

La cual, poniendo a? = p cosí é y ^^ p sen 9, sencillísimamente se trans-
forma en la que sigue, expresada en coordenadas polares:

(2) p = — « cosB dr — cos29.

295. Por medio de esta ecuación procuraremos ahora determinar la
forma de la curva.

1.° Para ello comencemos por suponer que Z < 2a.

Considerando primeramente la parte de la curva, correspondiente á la
ecuación

(3) p^ — ffcosfi ccs2(),

2

representemos por 9j el menor de los ángulos positivos que satisfacen á la
ecuación

a eos O -j eos 29 = O,

2

dado por la ecuación

— a + yJa^+2P

cosí).

21

inferior á — , por ser cosO^ positivo.
12

— 282 —
Mientras 9 varíe desde O hasta Oj, o será negativo, y variará desde

— a hasta O, y el punto generador de la curva describirá el arco

AM' B (fig. 97). Cuando después 9 varíe desde 9^ hasta — , p variará des-

¿I

de O hasta — , y el punto generador de la curva producirá el arco B C. Y,

ó

continuando la variación de 9 desde — hasta ft, p variará desde — hasta

2 2

a : y así resultará des-

crito el arco CB.

La parte de la curva co-
rrespondiente á los valores
crecientes de 9, desde u
^ hasta 27T, es simétrica de la
precedente respecto al eje
de las abscisas.

Pues fijemos ahora la
atención en aquella otra
parte de la curva, corres-
pondiente á la ecuación

Figura 97.

(4)

p = — a eos 9 A eos 2 9.

Cuando en la (3) se sustituye 9 por MBx := 9', hállase la ecuación

p = — a eos 9' eos 2 9',

¿I

á la que corresponde el punto M' . Y cuando, en la (4), se sustituye 9 por
9' -f- T^, dedúcese que

o = a eos 9' -I cos29',

2

á la que corresponde el mismo punto M' . Luego los puntos de la curva

— 283 —

determinados por la ecuación (4), concuerdan con los que de la simple
consideración de la (3) se desprenden.

2." El caso de ser ¿ > 2a se discute de análogo modo.

De la ecuación

acos9-| cos20 = 0

2

se desprenden entonces para cos9 dos valores, inferiores á la unidad y de
signos contrarios, á los cuales corresponden cuatro de O, que representare-
mos por 9i, — 9j, 9.2, — 9,3: infe-
riores los primeros, en valor ab-

soluto, á — ^; y los otros superio-
res. Cuando 9 pasa por los valores

O, 9j, — ,9o, TT, el radio p adquie-
re los designados por

— a , O,

2

/

-, O, a

y la curva presenta la forma in-
dicada en la figura 98, en la cual

í X

Figura 98.

AB = a^—;

BD = a — ^; y BC = — .

9 O

296. De esta discusión se concluye que, en ambos casos considerados,
la curva posee tres puntos múltiplos á distancia finita. Para determinar
sus coordenadas apliquemos á la ecuación cartesiana de la curva el méto-
do general, utiliza!)le para la investigación de los puntos de aquel nom-
bre, y así obtendremos este doble sistema de ecuaciones:

x^ O é 11 = 0; y
x^ -\- ¡j'^ -\- ax = 0 é y'^ = x^:

284

el primero de los cuales determina como múltiplo el origen de las coorde-
nadas; y el segundo los valores de las coordenadas de S y S':

"'A -4- "

2 2

Siendo de advertir además que el primero de estos puntos es cuadruplo
y solamente duplos los dos dltimos.

Si, en efecto, ponemos t/ = ) £c en la ecuación de la curva, y se procu-
ra después que x tienda indefinidamente á cei'o, las ecuaciones de las tan-
gentes á la misma curva en el origen serán de la forma y=-\x: debiendo
satisfacer el coeficiente A á la ecuación bicuadrada

cuyas cuatro raíces, )j, 'k¿, \ y A^, son reales, cuando Z> 2a, 6 sola-
mente dos cuando X < 2«.

A todo lo cual es menester agregar que la figura transformada que se

1 y

obtiene de la ecuación del escarabajo , poniendo en ella x= é y^-^ ,

posee dos nodos imaginarios en los puntos (O, ±' /). Luego también el es-
carabajo posee otros dos imaginarios, correspondientes, en lo infinito.

297. La determinación de las tangentes á la curva se desprende con
facilidad del valor de la subnormal polar, dado por la fórmula

S„ = -^- = a sen O rp / sen 2 0.

298. Y el área descrita por el radio vector, p, cuando 9 varía desde O
hasta 8, de esta otra:

1 /^9 „2 /^9 1-2 r>^

A = — \ p2rf9 = — (l + cos29)d9H 1 (l+cos49)á9

•- Jo Jo -'■" Jo

e
(cos39 + cos9)<¿9:

al p«

285

A = -(a^-\- '-^ "l e + ^ sen49 n; — senSG
4 \ 4/64 12

-\ a^ sen 2 9 zr: — senO.

S • 4

299. El escarabajo, considerado en general, es la podaría, réspede
del punió P, de la envolvente de la 7-ecta AB, cualquiera que sea el án-
gulo AOB: envolvente estudiada precedentemente (Núms. 278 á 281).
Cuando el ángulo AOB es recto, como lo era en el caso especialmente
en los anteriores párrafos examinado, la envolvente se resuelve, como es
sabido, en una astroide.

VI

LA ATRIFTALOIDE

300. Con el nombre de atriftaloide designó Haughton la curva que
tiene por ecuación, en coordenadas polares, la siguiente:

(1) p2 (p — ^) + ^3 sec2 9 = 0.

Curva por él encontrada en sus indagaciones sobre la forma de la super-
ficie de los mares que cubren una esfera atractiva, y cuyas propiedades
geométricas fueron luego estudiadas por R. Townsend en jan trabajo titu-
lado On geometrical properiies of the Aíriphthaloid , inserto en los Pro-
ceedings of the Boyal Irish Academy, 1882, y por Longchamps también,
en un artículo publicado en el Journal de Mathématiques Spéciales,
t. XVII, 1893, p. 63, donde propuso un método para construir sus tan-
gentes *.

301 . La ecuación de la curva, referida á coordenadas cartesianas, es

* La palabra atriftaloide procede de tres palabras griegas, fandidas en
una sola: partícula privativa a; participio t;m-Ó5 del verbo 'ptpw, trillar ó des-
menuzar; y OaXaaoz, mar.

- 286 —
(2) x'^ {.r- + ¡ñ = {hx' — k^f,

por medio de la cual puede construirse la atriftaloide fácilmente.

Poniendo, en efecto, x" -\- y"^ = p-, resulta x^ {h ±: p) := k^. Y, por lo
tanto, de la intersección de la circunferencia, de radio arbitrario p y centro
en el origen de las coordenadas, con las rectas cuyas ecuaciones son

(3) X: -■ * ' ^'

-Vt

resultarán ocho puntos de la curva, correspondientes á cada valor particu-
lar de p, cuando el radio p se halle comprendido entre límites convenientes.

302. Para hallar la figura de la curva de que se trata, advirtamos en
primer lugar que, según la ecuación claramente expresa, el origen de las
coordenadas es centro de la curva, y los ejes de las coordenadas son ejes
de simetría,

Y, en segundo lugar, notemos que, si la ecuación (2) se escribe de este
modo.

(4) ij

g_ {hx'^ — Tc^f

X*

inmediatamente se ve que el eje de las ordenadas es asíntota de la curva;
que las rectas paralelas á este eje la cortan en dos puntos, reales ó imagi-
narios; y que la ordenada y solamente es infinita en el punto correspon-
diente á X ^ 0.

Pues escribiendo ahora la ecuación (4) bajo la forma

(hx^ — k^ — x^)ih x^ — l-^ + íc3)

r = ■■

X'

asimismo se advierte desde luego que las abscisas de los puntos donde la
curva corta al eje de este nombre son raíces de estas otras ecuaciones :

(5) íc3 — Aa;2 -f í;3 = O y íc^ + /ia'2 — fc3 = O,

iguales y de signos contrarios las de la primera á las de la segunda, por
cuanto solamente por el signo de x difieren ambas.

- 287 -

Representando, pues, por zb a, ± [i y ± y las raíces de las dos ecua-
ciones, podemos escribir

_ A / jx' — g^) (x^ — p-^) (x^ — yg)

Respecto á la índole de las raíces a, p y y, tres casos pueden presen-
tarse.

1.° Si las raíces a, p y y son reales , 6 si

4^3 > 27Í-3,

la curva corta al eje de las abscisas en seis puntos A y A' [O, ± a.), B
y B' (0,± [i), y C y C" (O, ± y): los A', B' y C serán simétricos de las

Figni'a 99.

A, B y C con respecto á la Oy. Y, suponiendo que a^ < p2 ^ ^2^ confor-
me indica la figura 99, los valores de y serán:
Imaginarios , cuando sea x^ >■ y'^;

— 288 —

Reales, cuando sea x^ < y^ y a-^ >■ p^;

Imaginarios también, cuando x^ < P^ y s-;^ > °'-^j y

Reales otra vez , cuando x^ sea <; oA

Luego la curva posee dos ramas infinitas, que pasan por los puntos A
y A' , y que tienen por asíntota común el eje de las ordenadas; y dos ramas
aisladas y ceri-adas, que pasan por \oa B y C y los B' y C". En los seis
puntos mencionados las tangentes á la curva son paralelas al eje acabado
de citar.

2." Si es

4ft3 = 27F,

dos de las raíces de cada una de las ecuaciones (5) son iguales, y, resol-

12 2

viendo la primera, resulta a = h, [i = — h, y y ^ — h.

O O ó

Luego los puntos B y C se confunden entonces uno con otro, y los óva-
los se desvanecen; reduciéndose la curva á dos ramas infinitas y á dos

puntos aislados, cuyas coordenadas son í± — h, 0).
3.° Y si es

4Zí3<27F,

dos raíces de cada una de las ecuaciones (5), las a y P, por ejemplo, serán
imaginarias. Y como entonces el producto de los factores x- — a^ y x^ — ¡3^
de la expresión de y es positivo, y el valor de y, en consecuencia, imagi-
nario cuando a;^ > y^, y j-eal cuando x^ varíe entre O y y-, la curva se
reducirá á dos ramas infinitas, sin óvalos ni puntos aislados á ella adjuntos.

303. Determinemos ahora los puntos de la atriftaloide donde las orde-
nadas son máximas ó mínimas.

Consideremos para ello piimeramente las ramas finitas de la curva,
correspondientes á las ecuaciones

a;2+,/2 = p2 y p=.7í--^"': (p>0).

Derivando la primera ecuación relativamente á x, y prestando atención
á la segunda, resulta

1

— 289 —
, , dp 2Fp

y, por consiguiente,

{A) y y = ! X.

Mediante \a y' = 0, hállase luego que

2A;3p = £c'':
6, eliminando la x'*,

2p(p — A)2=í;3.

De la cual, poniendo p ^ p^ -f- /¿, se concluye finalmente:

(6) p^3 4./jp^2_lp_0.

¿i

Esta ecuación y la p ^ p^ -)- ^^ determinan los valores del radio, d, del
círculo considerado en el Nüm. 301 , correspondiente á los puntos donde
las ordenadas de la curva adquieren valores máximos ó mínimos. Y las

V-f ^-*v¿

,„2

(7) 0= = + y-77' ¿/ = ±Vp^-^'^

determinan después las coordenadas de aquellos puntos, que serán reales
cuando sean O > pj > — h, y p^ ;> ^2_

Del mismo modo, para determinar los máximos y mínimos de las orde-
nadas en las ramas de la curva correspondientes á las ecuaciones

1-3
a-2 + ^2=p2 y p^___^^

x-
6 en las ramas infinitas, tenemos las ecuaciones

(6') p^3_;ip^2 + 1^.3 = o, p = pi-/í, x=\/'^^,y = y^^-x^

que admiten soluciones reales cuando son p^ > A y p^ > £C-.

19

- 290 —

Fácil es ver también que, ea el supuesto de existir los dos óvalos
anteriormente considerados, la curva solamente poseerá cuatro puntos,
M y N, M' y N' , donde las ordenadas serán máximas 6 mínimas; y que»
si los óvalos no existen, no habrá en la curva punto alguno donde las or-
denadas satisfagan á semejante condición.

Fijémonos, en comprobación de lo dicho, en los siguientes polinomios
de Sturm, correspondientes á la ecuación (6):

'^^ 2 '^^ 9 '' 2 4 V 4/í3 j A

Para que existan los dos óvalos anteriormente considerados, es menes-
ter que sea 4/i^> 21k^; y entonces los polinomios de que se trata, po-
niendo en ellos sucesivamente pj = O y pj = — h , adquieren los siguien-
tes signos:

+

Pi = 0

- o_ + +

Pl=-A

- + - +■

Luego entre Pi ^ O y pj = — h existen dos valores reales de pj que
satisfacen á la ecuación (6), y que dan para p valores positivos y para x
valores reales. Pero como el número de los puntos máximos y mínimos en
cada medio óvalo BMC debe ser evidentemente impar, solamente los va-
lores de y, correspondientes á uno de estos valores de p^, serán reales; y
precisamente á estos valores corresponden los puntos M, N, M', N', don-
de las ordenadas son máximas en valor absoluto.

Consideremos ahora las ramas infinitas de la curva.

Para lo cual aplicaremos el teoreyna de Sturm á la ecuación (6'), bus-
cando el número de raíces de esta ecuación comprendidas entre h é ao.
Ó como las raíces de la ecuación (6') difieren solamente por el signo de las
raíces de la (6), nos limitaremos á buscar el número de raíces de esta ecua-
ción, comprendidas entre — h y — oo. Recurriendo, como anteriormente,
al teorema mencionado, hállanse los resultados siguientes:

Pi = — 0° — + — +

Pi = -/' - + - +.

— 291 —

Lo cual prueba que no existen puntos de ordenada máxima ni mínima
en esta rama.

Pero consideremos ahora el caso de no existir los óvalos, 6 de ser
4/i3 <27/c3.

Para resolver entonces la cuestión, habremos de recurrir á la ecua-
ción (6'), procurando determinar el número de sus raíces comprendidas
entre A é co, ó á la (6), entre — hy — c». Y, por nueva aplicación del
teorema de Sturm, obtendremos estos resultados.

1.» Si27A-3> 12A3,

Pi = — <» — + — —

Pi = -ft _ + + _.

2.° Si 27/,-3<8/í3,

?,=^-h _ + _ +.

3." Y si 27F < 12/í3, y 27/^3 > 8/í.3,

Pi = — °° — + — —

Pi = — /i 1- + — _.

Concluyese, pues, que el número de las raíces de la ecuación (6'), com-
prendidas entre h é co, es igual á 0; y, por consiguiente, que en las ramas
infinitas de la curva no existen tampoco en este caso puntos cuyas ordena-
das sean máximas ó mínimas.

304. El punto donde la normal á la atriftaloide corta al eje de las
abscisas, tiene por expresión

2p/í3

X=xi-yy' = ±-

£C*

debiendo emplearse el signo -|-, cuando se trate de los óvalos, y el — ,
cuando de las ramas infinitas. Por medio de esta fórmula, ninguna dificul-
tad ofrece la construcción de las normales y tangentes.

292

305. La determinación de los puntos de inflexión de la atriftaloide
depende de la resolución de una ecuación de 5." grado.

Para demostrarlo advirtamos que las dos ramas de la curva pueden re-
presentarse por las ecuaciones

X^ + í/2 = p2 y ^2

h — p

designando ahora p una variable independiente, positiva 6 negativa, y de
las cuales se desprenden estas otras

{B) ^ + ^^' = 1^ y p = ;,_/,3^-2^

que á su vez producen las que siguen:

y"2 _^ ^¿," + 1 = 2^3 ^-3 Al^ _ 6pP a;-" = 4//' ¿c-« — 6pF x'K

dx

Y por lo tanto, poniendo y" = 0, hallaremos que

y'^ = 4/íG íp-G _ 6 pP cc-4 — 1.

De la cual, eliminando la y' con auxilio de la primera de las {B), j susti-
tuyendo después y^ y x~^ por sus valores

se deduce la siguiente ecuación de 5.° grado,

6p5 _ 12Api 4- 6^2 p3 ^ 15/.3 p2_ 18A¿3 p _|_ 4^2/^.3 == Q

para determinar los valores de p en los puntos de inflexión ; deduciéndose
luego de las dos anteriores las coordenadas x é y de los mismos puntos
mencionados.
306. Por ser

Cydx= Cx-'^ y/{hx^- — /¿3)--2 _ a;6 dx,

— 293 —
<5, suponiendo x^ = t,

Cydx^j p-a Vi [{ht - ¿3)2 _ ¿3] ¿f^
con auxilio de la expresión

hállase sin dificultad que

J J \T J yjT J tyjT

De manera que las cuadraturas de las áreas, limitadas entre dos orde-
nadas y los arcos correspondientes de la atriftaloide, dependen de tres
integrales elípticas, de primera, segunda y tercera especie, y de fácil re-
ducción á la forma normal adoptada por Weierstras.

VII

LA CURVA DE TALBOT

307. Con el nombre de Curva de Talbot, por haber sido empleada
por este ilustre geómetra (1821), antes que por ninguno otro, para la re-
presentación de las integrales elípticas completas de primera especie, con
U7i módulo arbitrario (Anuales de Mathe'matiques de Gergonne, t. xiv,
p. 280), conforme poco más adelante explicaremos, se designa la envol-
vente de las rectas, trazadas por todos los puntos de una elipse, perpendi-
cularmente á los diámetros que pasan por aquellos puntos. Curva que, por
el motivo apuntado, mereció que fijase también en ella la atención Legen-
DRE en su célebre Tratado de las Funciones Elípticas (1825-1832), y cuya
forma estudió Roche (1821) en los mencionados Anuales de Gergonne,
t. XIV, p. 207.

308. De la definición expuesta resulta inmediatamente que la curva
(/e Talbot posee un centro, coincidente con el de la elipse, y con relación
al cual puede considerarse como podaría suya; y que de la misma puede
asimismo desprenderse fácilmente su representación analítica.

— 294 —

Para lograr esto último, designemos por a y 6 los semiejes de la elipse
fundamental, á la cual corresponden las ecuaciones

x = a eos cp é ,v == 6 sen o ,

designando por 'f un ángulo auxiliar, en función del cual la ecuación del
diámetro de la elipse, que pasa por el punto arbitrario (x, y), tiene por ex-
presión

Y == Jí — tang»,

y la ecuación de la perpendicular en aquel punto al diámetro considerado
esta otra:

b Y sen <f -\- aX eos 'f — b'^ sen^ ce — a^ cos'^ f = 0.

De la cual se deduce, por su derivación con respecto á tp, la que sigue:

¿Fcostf — aX senes -|- 2 (a^ — b'^) sencp coso = 0.

Y, eliminando entre ambas ecuaciones la variable », se hallará la que á la
envolvente buscada, ó ourva de Talbot, corresponde.

Para el estudio de esta curva no es, sin embargo, menester efectuar la
eliminación indicada. Porque de las dos últimas ecuaciones se desprenden
desde luego estas otras :

(1) Jí = -^í— í^ («2 -)- c^ sen2 tf ) é r=-— ^(a^ — 2c-i + c2sen2!f),

en las cuales c'^ ^ a^ — b^, adecuadas para la determinación de las coor-
denadas de los puntos de la envolvente en función del parámetro », ó para
realizar con suma sencillez aquel estudio.

309. Comencemos, en efecto, por precisar la forma de la curva.

De cuya definición y procedencia resulta desde luego que es simétrica
por referencia á los ejes coordenados, y tangente á la elipse en los extre-
mos de ambos ejes de esta curva. Y también que el ángulo de sus tangen-
tes con el eje de las abscisas variará siempre en el mismo sentido: lo cual
excluye el supuesto de que la envolvente de que se trata pueda poseer pun-
tos de inflexión reales.

— 295 —
Además: por ser

df a do b

resulta, en cambio, que la misma curva posee cuatro puntos de retroceso,
determinados por la ecuación

a2_2¿2

a2_2e2 4-3c2sen2ü = 0, ó sen'^<p =

3c^

de la cual se deducen para tp valores reales cuando a^ ^ 2¥, é imagina-
rios en el contrario supuesto.

Al eje de las ordenadas córtale la curva en los extremos del eje menor
de la elipse, á la cual es allí tangente, y también en los puntos imagina-
rios y duplos, donde se verifica que a^ + c- sen^ tp = 0. Y al de las abs-
cisas en los extremos del eje mayor, y en los puntos además donde

a^ — 2c^ -f c'^sen^ o^ O, ó cos9 = ±: — :
' ' c

puntos reales cuando a^ > 2¿'^, é imaginarios, y duplos también, si se
verifica lo contrario.

De cuanto precede se concluye que la curva presenta la forma indicada
en la figura 100, cuando es o^ > 26^; y la de un óvalo convexo, cuando

A— X

— 296 —

a^ •< 2b'-^. Y, si «2 = 2b^, también la de un ómlo convexo con im ¡junto
triplo en cada uno de los extremos del eje mayor de la elipse.

310. SegCm es fácil averiguar, el radio de curvatura de la curva de
Talbot tiene por expresión analítica la siguiente:

{ci^ — 2c^ -\- Zc^ sen^ tp) (a^ sen^ o -\- b"^ cos'^ cp) 2

R

a^b^

311. Y su reetificación depende de una integral elíptica de primera
especie, conforme pasamos á demostrar.
Por de pronto, en efecto,

Ó, en el supuesto de ser

Tc^ = "^ ~ ^' y Acp = \/l — A'-^sen-'c,

ds= Accrfffi -I sen^ csAcpíícp.

b ' • b ' ^ ^

Y, como

„ ^ , 1—h^d^^ 2/.'2 — 1 1
sen^cpAmatD = — ■ — - — A'íffcf. a senaaA* ,

dedúcese, en conclusión, que

ds = b — (í [sen 2 &/ A cpl , ó

A-p 66 '

^ rf d'f 3c2 „ .
s = b I — ^ sen2yA(p:

Jo ^^9 66

resultado el último encontrado por el mismo Talbot (/. c). Y del cual, si
tp = — , se desprende la fórmula

s = 6

Jo ^9

— 297 —

á que nos referimos al empezar el estudio de la curva (Nóm. 307), y que,
en efecto, representa la integral elíptica de primera especie, con el mó-
dulo 7>", mediante el arco, s, de la curva, aquí ahora considerado.

312. A todo lo cual agregaremos que esta misma curva es unicursal:
como sencillamente se demuestra, poniendo en las ecuaciones (1)

l — r^ 2t

sen o = y eos '^ =

1 + ¿2 " ' 1 _|_ ¿2

Porque entonces aquellas ecuaciones se transforman en las siguientes:

« (1 + tr b (1 + ¿2)

que determinan sus coordenadas en función racional de la variable /.

313. Por último: la ecuación cartesiana de la curva de Talbot puede
obtenerse, conforme ya más atrás (Ndm. 308) apuntamos, por eliminación
de tp entre las ecuaciones (1), ó por la de t entre las dos anteriores, equi-
valentes á las primeras. Y así lo verificó por primera vez Tortolini (Nou-
relies Anuales des Mathématiqíies , 1846,29. 365), hallando por resultado
la ecuación final siguiente, de sexto grado:

[3 («2 íc2 + 62 ^2) _ 4 (a'. J^ ¿1 _ (¿2 ¿2)] 3
— [9 (2 ¿2 _ „2) fl2 ¿2 _|_ 9 (2 «2 _ ¿2^ ¿2 ^2

— 4 (2a'' + L' 6'' — 5fl2 62jj2 =, 0.

vni

LAS TOROIDES
A. DEPÍNICiÓN Y PROPIEDADES MAS NOTABLES DE ESTAS CURVAS

314. Si sobre las normales á una curva cualquiera, y á partir de
los puntos de la misma, se toman de uno ú otro lado, interior ó exterior,
segmentos iguales, de longitud constante k, obtiénese una nueva curva,

- 298 —

denominada, como es ya bien sabido (N6m. 27 Q) , paralela á la propuesta,
6 en primer término considerada. Y, modificando el valor de I- , dedícen-
se series de curvas, paralelas todas á la fundamental, á las cuales co-
rresponde la misma evoluta de ésta, y cada una de las cuales es además
envolvente de los círculos de radio ív, y centro situado sobre la curva
primitiva.

31.5. Recordadas estas nociones generales, fijemos la atención espe-
cialmente en las curvas paralelas á la elipse, estudiadas no há mucho
tiempo por Bretón de Champ en un artículo, á ellas concerniente, pu-
blicado en los Nonvelles Aúnales de Mathématiques (1884, t. III), y de-
nominadas por él toroides, en razón de coincidir con las curvas que limi-
tan las áreas obtenidas por la proyección de un toro sobre un plano obli-
cuo al plano de su ecuador. Como fácilmente puede verse, advirtiendo que
la superficie del toiv es la envolvente de las esferas, de radio constante,
k, y cuyos centros se hallan situados sobre una circunferencia dada: cir-
cunferencia que se proyecta en figura de elipse sobre el mismo plano de
proyección, en el cual las esferas que el toro envuelve se hallan represen-
tadas por círculos también, de radio k y centro sobre la elipse, tangentes á
las curvas que limitan la proyección del toro, y envolventes éstas á su vez
de los mismos círculos.

316. La forma de las curvas paralelas á la elipse es fácil de obtener,
partiendo de su definición, resumida en la igualdad Ií.^p±k: en la
cual p representa el radio de curvatura de la elipse; B el de la curva pa-
ralela, considerada en cualquier caso particular; y k la distancia de las dos
curvas.

De la igualdad á que nos referimos se deduce: que las curvas jjaralelas
de la elipse no pueden poseer puntos de inflexión, puesto que el valor de
R ha de ser finito siempre, ó en todos los puntos de la curva; y que las
correspondientes á la igualdad particular R= ^ -\- k, tampoco pueden po-
seer puntos de retroceso reales; pero sí las que corresponden á esta otra,
E = p — /,-.• las cuales poseerán cuatro puntos reales de aquel nombre,
cuando el valor de k se encuentre comprendido entre los valores extremos
del radio de curvatura de la elipse considerada, por cuanto entonces exis-
tirán cuatro puntos, situados sobre la evoluta, donde será E = 0. Las pa-
ralelas á la elipse serán, pues, de forma ovalado • convexa , 6 de la forma

— 290 —

apuntada en la fig. 101: en la cual, según el teorema fundamental de las
evolutas, AM es igual en
longitud al arco AE, CP
igual al CE; etc., etc.: en
el supuesto, bien entendi-
do, de que AE> AO. Por-
que, si la longitud del arco
A Ees igual á AO, los pun-
tos M, O y N coincidirán,
y los arcos EMG y FNH
serán tangentes uno á otro
en el punto O. Y cuando
la longitud del arco A E sea
menor que AO, los arcos
FNH y EM O no tendrán
ningún punto común.

317. La forma de las
curvas paralelas á la elipse
fué determinada por Bre-
tón DE Champ (1. c.) por
el procedimiento que acaba
de apuntarse. Pero las bases
de su teoría analítica esta-
bleciólas Cauchy (Comp-
fes Rendus de VAcadémie

des Sciences de Paris, 1841, pág. 1062) buscando la envolvente de la cir-
cunferencia

cuyo centro describe la elipse

,2 M

— 4--í^ = l

en el supuesto de ser
(1)

«2 I ¿2

aa^iz:ií_i2?/:^_i

— 300 —
de donde se deducen las ecuaciones

„2 j,2 " ¿2 ,,2 fj2 ^2 r|2 „2

(9 + a2)2 ^ (9 + ¿2)2 (fj + «2)2 (8 + ¿2)2

Y, eliminando entre ellas la 9, obtiénese la ecuación cartesiana de las cur-
vas, ó de las envolventes buscadas.

La eliminación fué hecha por Catalán (Nouvelles Annales des Mathé-
maiiques, 1844, t. III, pág. 553), y el resultado á que llegó se halla re-
presentado por una ecuación de octavo grado, que en este lugar nos dis-
pensamos de transcribir, á causa de su complicación, y porque el estudio
de la curva á que corresponde puede efectuarse directamente, y con mayor
sencillez, por medio de las ecuaciones de Cauchy, conforme demostramos
en un trabajo, publicado, en 1898, en las Mémoires couronnés et autres
mémoires, publiés pa?- l'Académie Royale de Belgique, de donde á renglón
seguido pasamos á extractar la parte más esencial, ó pertinente al asunto
de que ahora se trata.

318. Resolviendo las ecuaciones (2), relativamente áx é y, obtiénense
estos valores:

a2 ^ /e2_¿2/,-2 ^ ^ _ 9 + ?'M I cfiJl
yj a^-h^ ^ ~ 9 V a' -

que expresan las coordenadas de cualquier punto de la curva, en función
del parámetro arbitrario 9. — Los puntos reales de la curva corresponden á
los valores reales de 9, comprendidos entre bl- y al-, y entre — bl- y — al.-
en términos de que, para cada valor de I-, aquellas ecuaciones determinan
una curva algébrica, con dos ramas reales, una de las cuales corresponde
á I{= p -\- I- , j la otra á ñ = p — 1-.

De las mismas ecuaciones (2^ dedícense también las siguientes:

d^_ 93 + a2i27,9 _ ^ dy ()S^aV/^l-^ ^

^' rf9 ~

e-2ya2_¿2yíj2_¿,2 7.2 dh (i2ya^_i,-2y/an-"-h^

dx V «••^A-2 — 92

X (9 + ¿2)

2/ (9 + «2)

— 301 —

Con auxilio de las cuales puédese determinar la figura de las toroides: de-
terminación poco antes ya efectuada por sencillo procedimiento, basado en
la consideración de la e voluta de la elipse. Mas ahora, apoyándonos en su
examen, ahondaremos más en el asunto, procurando hallar los puntos sin-
gulares de aquellas curvas, no solamente reales, sino también imaginarios,
situados éstos á distancia finita ó infinita.

319. Empezando por la investigación de los nodos, situados á distan-
cia finita, examinaremos los casos siguientes:

1." I- < a.

Suponiendo que sea ft = — Jfi, hállase que

(5) x=±-5-- yb^-l-, í/ = 0, é ij =±——= ^.

Y como, por hipótesis, A: > a > ¿^ los puntos determinados por las dos
primeras ecuaciones, resultan imaginarios. La tercera nos enseña, además,
que y' posee dos valores diferentes en cada uno de aquellos puntos, y,
por lo tanto, que estos puntos son Jiodos de la curva.

Supongamos ahora que 9 = — a^,y hallaremos que entonces

a a^ y

Fórmulas que determinan parecidamente dos puntos de la curva, situa-
dos en el eje de las ordenadas, y en cada uno de los cuales g' posee dos

valores reales, cuando k < — , y dos también imaginarios, cuando h > — .

b b

Por lo tanto, en el primer caso la curva posee dos nodos reales sobre
el eje de las ordenadas (que uno con otro coinciden, si k = «); y en el se-
gundo dos puntos aislados.

2.° Sean a>Jc> b.

Y la curva tendrá entonces cuatro nodos imaginarios , cuyas coordena-
das se hallan definidas por los sistemas de ecuaciones (5) y (6).

3.° Y admitamos finalmente que sea k

<

En este caso la curva tiene dos nodos reales, coincidentes uno con otro,
cuando k = b, hallándose sus coordenadas definidas por las ecuaciones (5);

— 302 ~
y otros dos imaginarios, por las (6). Los dos nodos reales se reducen á

¿2

simples puntos aislados, cuando A- < — .

a

De la precedente, muy sencilla, discusión resulta demostrado el siguiente
teorema :

«Cada una de las curvas algébricas, representadas por las ecuaciones (3),
posee, á distancia finita, cuatro nodos: dos, de los cuatro, siempre imagi-
narios; y otros dos, también itnaginarios , si A- se halla comprendido entre

a y b; 6 reales los dos, en el supuesto contrario. Cuando sea A' >> — , ó

A' < — , los dos nodos reales se convierten en puntos aislados.^

320. Los valores de 8 en los puntos de retroceso deben satisfacer á

doc d n

las ecuaciones ^ O y — —= O, ó á esta otra, en suma:

63 + a'-^ ¿2 ^2 = 0.

De donde se concluye que existirán cuatro puntos de retroceso reales
cuando la raíz real de esta ecuación se halle comprendida entre — ¿ A- y

¿2 (¿¿

— ak, 6 cuando A' satisfaga á las condiciones — < A" << — ; y, además,

a b

otros ocho puntos del mismo nombre, imaginarios. De no verificarse las
últimas condiciones, imaginarios serán los doce puntos mencionados.

Los puntos de retroceso de la curva se pueden asimismo obtener me-
diante la ecuación p- = A'^, en la cual, como ya poco más atrás se advir-
tió, representa p el radio de curvatura de la elipse. De la última ecuación
se desprende, en efecto, esta otra:

_2_ _S_ _8_

a4p2_|_¿4a2=A^ i-' a 3

correspondiente á tres distintas elipses, real una é imaginarias las otras
dos: las cuales, por sus intersecciones con la elipse propuesta, determinan
los doce puntos de retroceso de la toroide considerada.

32 1 . En el precedente estudio para nada se ha tenido en cuenta la

condición de ser A = 6 k = — . Supliremos la omisión ahora.

b a

— 303 —
En el primero de estos casos, los puntos de retroceso reales y los nodos,

también reales, existentes sobre el eje de las ordenadas, cuando a ■</i; < — ,

b

forman, por su reunión 6 coincidencia en los extremos del eje mayor de
la evoluta de la elipse, dos puntos triplos, donde la tangente es paralela
al eje de las abscisas; y la curva adquiere la forma de un óvalo convexo.
Y, en el segundo, los puntos de retroceso reales y los nodos, reales tam-
bién, que la curva posee, situados en el eje de las abscisas, cuando

b>k>—,
a

forman parecidamente, por su reunión en los extremos del eje menor de
aquella evoluta, otros dos puntos triplos, donde la tangente es paralela al
eje de las ordenadas: presentando entonces la curva la forma asimismo
ovalado-convexa.

322. Fijemos ahora la atención en los puntos de la curva situados en
lo infinito, procurando para ello determinar ante todo sus asíntotas.

De las ecuaciones (3) se concluye, por de pronto, que, cuando 9 tiende
hacia O, x tiende hacia i<x> , é y hacia oo ; y que, en el supuesto de ser x

é y del mismo signo, la relación — tiende hacia -y- i. Y asimismo se ad-

y b

y

vierte que, cuando O tiende hacia oo, x tiende hacia oo también, é — hacia i.
En el primer caso resulta que

lim [x iy I = dz — , lim \ ib lAlA

0=0 V b ■') Ya2 _ ¿2 6=0 ( \, ^ 6

\ 2 ¿2^2 ^ j b \ ^ h}\ 2 a^h^ })

= ±i — \'a:^ — ¿2.
b

Luego, en el supuesto á que nos referimos, la curva poseerá dos asín-
totas, definidas por las ecuaciones

x=~iy±—y¡a^-W-, ó y ^ — -ixÜz — Sa' -b\
b b ' ü a a "

— 304 —
y otras dos por las que siguen :

y = — ix±: — V«^ — b'\
a a ^

Y, en el segundo, se concluye que

-"('+f)('-i^+-)--'-v»-^

Luego la curva posee, además, otras cuatro asíntotas, determinadas por
las ecuaciones

y

= ix ± i V«'^ — b^, é ¿/ = — ix ± i Va-^ — b^'.

Y como á cada uuo de estos pares de asíntotas corresponde un nodo,
situado en lo infinito, infiérese que las toroides poseen cuatro nodos ima-
ginarios en la situación mencionada.

323. Puesto que, según lo acabado de ver, las toroides poseen doce
puntos de retroceso y ocho nodos; 6 dos puntos triplos, seis nodos y ocho
puntos de retroceso, — concluyese que estas curvas son del género uno. En
corroboración de lo cual las ecuaciones (3) enseñan que las coordenadas x
é ¿/ de las mismas curvas son funciones reales de O y del radical

De donde fácilmente se deduce, aplicando una fórmula de Plücker, ya
varias veces empleada, que la clase de las toroides es igual á cuatro, de-
biendo ser, en consecuencia, de cuarto grado la ecuación tangencial de las
toroides.

Para hallar la cual, tomemos, por de pronto, la de su tangente

ya2^2_6Í' ^ y02_¿2/,2 j^^^.

(e + r-) V«- — b^ ^0 + A;2)Va2 — ¿2

— 305 —
que, comparada con esta otra,

uY+vX=l,
exige, para su identificación, las dos siguientes condiciones:

u = — ,- — y v^= —

(9 + í'2) \/a^ — ¿2 í O + fc2^) y/„2 _ ¿2 ■

de donde, por eliminación de &, se desprende la ecuación pedida:

\{a^ — A-2) f'¿ + (¿2 _ /L-2) u^ _ lj2 = 4 p ( j^2 _j_ j,¿l^,

Y si, bapándose en esta ecuación, nos proponemos hallar los focos de la
curva á que se refiere, con auxilio esto de un método conocido, y ya en
este libro varias veces aplicado, hallaremos que la toroide de que en par-
ticular se trata posee dos focos en coincidencia con los de la elipse: focos,
singulares, donde se cortan las asíntotas, determinadas por ecuaciones con
coeficientes + * y — ^•

324. El estudio de las toroides puédese también efectuar por distinto
procedimiento del expuesto.

Representando, en efecto, por a y ¡3 las coordenadas de los puntos de
la elipse, y por f un ángulo auxiliar, podremos escribir que a == asenta
y P = 6 eos»: con lo cual, para determinar las toroides que de la misma
elipse proceden, dispondremos de estas ecuaciones

(íc — asena)^-{-{y — h cos'^T'^ ^ k'^, y

a (x — asenta) b (y — ¿costa)
senta cosí

la segunda de las cuales resulta de la derivación, con respecto á -^ , de la

primera.

a^ ¿2

De estas ecuaciones, suponiendo que "k" = , se desprenden las

que siguen:

bk sen ''-v , , , . k cose

x^a sen 9 -j , é y = b eos 'f -) — . ,

a\ 1 — X2 sen^ -p V 1 — '^^ ^^n^ ¡p

20

— 306 —

que pueden servir para demostrar las varias propiedades de las toroides,
renglones antes deducidas de la consideración de las ecuaciones (3).

No emprenderemos aqní, sin embargo, por considerarlo innecesario,
este nuevo estudio, y nos limitaremos á señalar la utilidad de las ultimas
fórmulas para hallar el valor, A, de las áreas y el s de las longitudes de
los arcos, de las curvas á que se refieren.

Para lo cual advirtamos que de aquellas fórmulas se infieren sencilla-
mente estas otras, diferenciales suyas:

_=acos9 + ^—3-, y -^=-bsenrf '— ^;

a(l— )i2sen2(f.)a a^ (I —l^ seu^ cfP

y que, en consecuencia, aplicando, por de pronto, la fórmula general

se deduce esta otra:

.4=ira6^^ + -^ r Él-^^ka fW I ~ l^ .en^ ^ d<?

2 L « Jo 1 — ^ sen2 o Jq

, b^Jc n do 1

^~r ^ — r •

Pero

Jo (l-X^sen^,)^ '' LJo V^l-XW^J

i = — \ are tangí — cote I .

, l-A-^seu2« bl2 ^\b 7J

Luego, finalmente:

A = — abtf -\- Jc'^ k^ are tang j — cottp j

^nhl^ eos '^ seno ^ ^^^ f^s/ 1 -l^ sen^ 'f dA

\/l — X'^sen^cp Jo ' J

— 307 —
Y de esta fórmula se concluye que el área descrita por el radio vector de
un punto de la curva, cuando (f varía desde O hasta — , es

Jj = i- r a 6 t: + A;a 7t + 4 í;a r V l^->^s¡^ d tf 1 ,

debiendo atribuirse á A' el signo positivo cuando se trate de la rama exte-
rior de la curva considerada, y el negativo cuando de la interior.

El área comprendida entre dos ramas de la toroide tiene, pues, por ex-
presión, encontrada por Cauchy {/. c), la siguiente:

A.-, = 8ka^ \/í — X2 sen2 -^ d<f.

Jo

De análogo modo, para determinar la longitud, s, de los arcos de to-
roide, representemos por s^ la de los arcos de elipse correspondientes, á
que se refiere la expresión

Y como, además,

dx ,7.2 / ^? \^
= acos(p +ffoa''co8tf — *— 1 y

df ' \dxy)

dy . ,1,2 í df Y

— 2- = — b sen ti — Acrto-^ senr ' — — '

infiérese que

/ do Y
>* I — '-I
'\dsj

U? / .dv \ ds^ ) J

De donde, por integración, se deduce

; = s, + kab i ( — ^ 1 do = s, -I- kab I — r- r —

== Sj — k are tang I — cot ¡p j + C.

— 308 —

O, tomando por origen de los arcos s y s^ los puntos de la elipse y de la
toroide, correspondientes á (p = O, esta otra igualdad:

s = s, -+- K k are tang ( — cot o |.

2 ^[b ■)

Recordando, finalmente, la relación

dy b ^

-f- = tang»,

ax a

y representando por o) el ángulo formado por el eje de las abscisas con la
normal á la toroide, en el punto correspondiente al valor considerado de ©,
hállase que

tang 0)= — cotcp;
b

y, en consecuencia (Bretón de Champ, /. c),

B. podarías centrales de las toroides

fí25. En nuestra Memoria sóbrelas Curvas paralelas á la elipse, men-
cionada en el Nfim. 317, hicimos el estudio, por vez primera creemos, de
las propiedades de la podaría central de cualquier toroide, del cual es tra-
sunto compendioso lo que á renglón seguido pasamos á exponer.

Sean Ji. é F las coordenadas de un punto de la podaría considerada,
correspondiente al {x, y) de la toroide. De las ecuaciones de la tangente á
esta curva, N&m. 323, y de la perpendicular á esta tangente, trazada por

X, se desprenden los

Ij2 _ ¿2 /,2

siguientes resultados:

(7) j,^l±Jf_\/^-^i^ , r^±iiÍlV"^^^-^\

¿2 y a2_¿2 k-^ \ d¿ — l)i

— 309 —

6 valores de X é Y, correspondientes á un punto de la podaría, en fun-
cidn del parámetro variable 9.

Cada podaría, según esto, consta de dos ramas reales distintas, corres-
pondiente una á la rama exterior, y otra á la interior, de la toroide de que
en particular se trata, deduciéndose los puntos reales de la primera rama
por la variación de 9 entre bk y ak, y los de la segunda por la variación
análoga de 9 entre — bk y — ak; resultando fácilmente definida la forma
de la curva por medio de las ecuaciones (7) y de esta otra:

,„, dT 2 9¿ + fc^ 9 — rt^ k^ \ / 92 _ ¿2 ¿2

(o) —

«2 k2 ■t / 92 -

dX 2 92 + /c^ 9 _ //2 ¿2 y ^2 /.2 _ (j2

Las dos ramas son simétricas una de otra por referencia á los ejes coor-
denados, á los cuales cortan en los puntos {a ± k, 0) y (O, 6 ± k), donde
las tangentes á la podarla son además perpendiculares al eje que por ellos
pasa. La rama exterior posee cuatro puntos, donde el valor absoluto de
la ordenada es máximo, correspondientes á la raix positiva de la ecuación

292-f A26_a2A2^0,

cuando esta raíz se halla comprendida entre bk y ak. Y la interior otros
cuatro, donde el valor absoluto de la ordenada es también máximo, corres-
pondientes á la raíz negativa de la misma ecuación, cuando esta raíz se
halla comprendida entre — bk y — ak.

A los valores de 9, determinados por la ecuación

292-f A;2 6_¿2y¡.2 = 0,

puede suceder que no corresponda ningtín punto de la curva, ó que co-
rrespondan cuatro, situados en cada rama, donde el valor absoluto de la abs-
cisa pasa por un máximo.

Si k> a, 6 k <cb, el origen de las coordenadas representará un punto
cuadruplo aislado. Y, si 6 <; A <; a, un nodo cuadruplo real. Pero, en este
caso, solamente dos de las tangentes que pasan por el nodo serán distintas,

Vg2 /¡a

y presentando entonces la rama interior la forma indicada en la fig. 102.

— 310 —

Finalmente, cuando sean k = a 6 k=h, la curva tiene, además, un
nodo cuádmplo en el origen de las coordenadas, y la rama interior se com-
pone de dos óvalos, tangentes
en este punto al eje de las abs-
cisas, si ,fc = a, ó al de las or-
denadas, si I- = b.

326. Con auxilio de las
ecuaciones (7) obtiénese fácil-
mente la ecuación cartesiana
de la podaría central de ki to-
roide.

De aquellas ecuaciones de-
dúcese, en efecto, primera-
mente que

a;2 02 _ ¿2 ^2

y

2 a2 fc2 _ 62

y sustituyendo en una de aquellas ecuaciones (7) el valor de d^, proceden-
te de la última, concluyese esta otra, que es la buscada ahora:

(9) [(«2 + ^2)a_(a2a,2 + ¿2^/2) _ A-2(a;2 + ¿/2)]2 = 4 ^2(„2^24.¿2^2) (^2+ ^^2,.

De la cual se desprende, en primer lugar, que la curva posee cuatro
asíntotas, determinadas por las ecuaciones

*' 2 2

y que cada una de estas asíntotas es doble. Y de las mismas ecuaciones se
deduce también que la curva posee dos puntos cuadruplos en lo infinito,

y dos focos singulares, así definidos: l± —-\/ a^ — b'^,0\.

327. La misma ecuación (9) puede también escribirse de este modo:

[(a;2 + ^2)2 _ («2 ^2 + ¿2 yl) ^ ^2 (^2 + ^2)]2 = 4 ^2 (^,2 + ^2)3.

Ó, suponiendo que íc = p cosO é y == p senQ,

- 311 —
{k ± p)2 = aa cos2 9 + b^ sen^ 6.

De donde se infiere que las curvas consideradas tienen por ecuación po-
lar la que sigue:

p = A ± \/a2 cos2 9 + ¿2 sen2 9.

De la cual inmediatamente resulta demostrado que las podarías de las
curvas paralelas á la elipse son concoides de lemniscata elíptica (Núme-
ro 121). Teorema también resultante de una proposición general, de fácil
demostración, según la cual las podarias, relativas á un mismo punto, de
dos curvas paralelas son concoides una de otra, y de la particular, ya de-
mostrada anteriormente, según la cual la lemniscata elíptica es hpodaria
central de la elipse.

328. Si eliminamos la variable 9, entre la ecuación de l&podaria cen-
tral de las toroides

«2 —¿2

(p — /,-)2 = o2 (i ._ -Ííl-A sena e'

y la de una recta, que pasa por el punto (O, i/q),
p sen 9 == .4 p eos w -|- í/q.

hállase que

(1+^2)2

(p8-4^p')

(¿2 _ a2^2

¿2 _ «2 [ ¿,2 _ aa J '^ ^ ^ ^°

ecuación que determina los valores de p, en los puntos donde la recta cor-
ta á la curva de que se trata. Valores, p¡, pg, p3, . . . pg, que deben satisfa-
cer á esta condición :

Pl + P2 + P3 + ?i + PS + P6 + P7 + Ps = ^ ^•

La cual, en lenguaje vulgar, vale tanto como decir que la suma de las
distancias del centro á los puntos donde una recta cualquiera corta á la
curva es igual d ik.

— 312- -=.
Asimismo se deduce de lo expuesto que

-Pi?o= — -— K,

1 + J2

representando por 1^ pj pgla suma de los productos binarios de las canti-
dades Pu p2> • • • p8> y por ^ una cantidad independiente de y^. Y, en con-
secuencia :

La cual significa que la suma de los cuadrados de las distancias del cen-
tro á los 'puntos en que una recta cualquiera corta á la curva permanece
constante, cuando la recta se mueve paralelamente á sí misma.

Y, por ser A = tangoj, concluyese también que

Pt P-. • • • P8 = \^_^J^J = 'Jo' ib-' - cfi)-' eos'* o,,

representando por w el ángulo de la recta dada con el eje de las abscisas.
Expresión que se transforma en la que sigue, si por á se designa la dis-
tancia de la recta al centro de la curva:

y de la cual se concluye que el producto de las distancias del centro de la
curva á los puntos de inteisección de esta curva con una recta es constan-
te, por referencia á todas las rectas equidistantes del expresado centro.
329. Análogamente: la circunferencia que tiene por ecuación

p2 — 2 a p cose — 2 ¡3 p sene + a^ + [J^ = R^,

corta á la podaría de cualquier curva paralela á la elipse en ocho puntos:
siendo cosa fácil averiguar que los valores de p en estos puntos satisfacen
á las siguientes condiciones, en las cuales K^ representa una cantidad in-
dependiente de R •

- 313 —

p'i + p'2 + --- + p'8 = A'i' y

, , , (5-2 _ «2)2 (^2 ^ 02y.

P 1 P 2 • • • P 8 — |-4 (3^2 ^ p) _ (¿2 _ a2)J2 ^ 16 p2 («2 _/;2 , '

que, puestas en castellano, dirían;

La suma de las distancias de su centro á los pimíos en que una cir-
cunferencia cualquiera corta á la podaria de una toroide es independiente
del radio de la circunferencia.

Y el producto de las mismas distancias no varía tampoco cuando la po-
daria, considerada en primer término, se sustituye por la de otra toroide,
paralela á la misma elipse, ó á otra elipse, homofocal de la primitiva.

IX

LA CURVA EQUIPOTENCIAL

330. En un artículo, publicado en el Phylosophical Magaxine (1857,
t. XIV, p. 142), denominó Cayley curva equipotencial á la que, en coor-
denadas bipolares, tiene por ecuación la siguiente:

(1) J^ + ^*l = l

^^' r ^ r' a'

en la cual m, m' y I' designan cantidades constantes, y r y r' las distan-
cias de uno cualquiera de sus puntos á otros dos fijos, en el plano de la
misma curva, separados por la distancia invariable a. Curva que desem-
peña en Física importante papel, porque representa el meridiano de aque-
lla superficie de resolución, en la cual se verifica que el potencial de las
masas, m y m', de dos centros de atracción 6 de repulsión, situados en su
eje, á la distancia a uno de otro, es constante en toda la superficie: de
donde procede el nombre que á la curva atribuyó el mencionado eminente
geómetra.

331. Para hallar su ecuación en coordenadas cartesianas, adoptemos
por origen de las mismas uno de los centros fijos, y por eje de las absci-

- 314 —

sas la recta que relaciona ambos centros; é inmediatamente podremos es-
tablecer las ecuaciones siguientes:

(2) r-^ = asá + í/2 y ,.'2 = (^^ _ ay2 _!_. ^2,

De las cuales, por su combinación con la (1), para eliminar las r y r' , se
desprende la ecuación pedida, de grado 8.°:

{a^ irfi [{x — aj^ -\- y^] -\- a^ m"^ {x^ + y^)
- ¥- (a;2 + y^) [[x — af + y^\ ] ^ = 4a'' m^ m'^ {x^ + y^) [{x — af + y%

Con auxilio de esta ecuación, concluyese fácilmente que cada una de las
rectas y = ±ix é y^±i{x — a) corta á la curva en dos puntos coin-
cidentes uno con otro, situados á distancia finita. Luego el origen de las
coordenadas (O, 0) y el punto (a, 0), centros de las coordenadas bipolares
consideradas, son focos ordinarios de la curva.

Y, por medio de la misma ecuación, concluyese también que las mismas
rectas son asíntotas de la curva, y, por consecuencia, que los referidos
puntos son además focos singulares; y que también son dobles las men-
cionadas asíntotas.

La curva posee, pues, dos puntos cuadruplos en lo infinito, con dos
tangentes distintas en cada uno de ellos.

332. Los valores de las coordenadas, x é y, de los puntos de la curva
pueden expresarse fácilmente en función de r. Para lo cual basta acudir
á las ecuaciones (1) y (2), de donde se desprenden estas otras:

(a^ -\- r^) (kr — a mf — a^ m"^ r^

(3) x^ s — ñ \i ' ®

^ 2a (kr — a7nY

(4)

fcV— [r — «i) [r — y.,) . . . (r — ag)
2a (Tcr — ani)'^

representando por a^, a^, ... «g las raíces de las ecuaciones de segundo grado

í {r — a) (kr — am) — am' r = O,

\{r — a) {kr — am) -f- am' ?• = O,
(5)

¡(r -\- a) {kr — am) — am' r = O,

\ {r -\- á) {kr — am) + am' r = 0.

— 315 —

Reales siempre y desiguales, por pares, si corresponden á las ecuaciones
primera, tercera y cuarta; y reales, solamente, las correspondientes á la
segunda, cuando

(k -\- m — m')'^ — 4A;»2 > O, 6

[tc - (\/m + \/m-f\ [tc-[\I7i- \/m'f\ > 0;

é imaginarias en el supuesto contrario.

O, en otros términos, por referencia exclusiva á las raíces de la ecuación

segunda: reales y desiguales si í- > [y m-\-y m') , <5 ]i-<.\\/m — y m'} -,
imaginarios cuando k se encuentra comprendida entre ambos valores; é

iguales cuando k = ( \m + V '«') , 6 k={\/ m — \m') .
333. Fundándose en estos resultados y en las igualdades

dx r [{kr — am)^ -\- a^ mm'^]

dr a {kr — ain)^

dy _ k^ F' (>•) (kr — fflw) ~'íkF (r)
dr 2a 2 {kr — am)'^\JY(^)
en las cuales

F{r) = — {r~ «i) (r — a.^) (r — «3) . . . (r — Vg),

puédese hallar la forma general de la curva, distinguiendo tres casos para
ello.

1." Supongamos que las raíces a sean todas reales y desiguales, y que
«8 > «7 > . . . > »!.

En este caso y será real y finita cuando r se halle comprendida en los
intervalos («g «-), («g a.), (a^^ «g) y (ag aj); é imaginaria en los demás.

Luego la curva se compondrá entonces de cuatro óvalos, simétricos
con relación al eje de las abscisas, al cual cortan normalmente en los pun-
tos donde r es igual á cualquiera de las raíces «j, ag, ... ag.

Para hallar los puntos de estos óvalos , donde las tangentes son parale-
las al eje de las abscisas y eje también de la curva, hay que resolver la
ecuación de octavo grado, relativamente á r:

(8) F' (r) {kr — am) — 4:kF{r) = 0.

— 316 —
Respecto á la cual comenzaremos por advertir que, siendo

F' {r) = ~ [(r — y-,) (r — ag,/ . . . (r — a^)

+ '> — «s) C — «e) •••(»• — «i)

4- (r — o(g) (r — a„) . . . (r — a.,)],

la función F' (r) será negativa cuando sea r = «g, ag, a^ d a.,; y positiva
cuando r =: «„, a,., ag <5 aj; y, por lo tanto, que el primer miembro de la
ecuación (8) variará de signo seis ó siete veces, cuando sucesivamente se
atribuyan á r los valores a^, a-, Og, . . . a^. Luego tres de los óvalos consi-
derados poseen un punto á cada lado del eje, donde la tangente es para-
lela á este mismo eje, y el CHarto puede poseer uno ó tres puntos, dota-
dos de igual propiedad.

La tangente es perpendicular al eje de las abscisas ó eje de la curva en
los puntos en que le corta, y en aquellos otros correspondientes á los va-
lores de r, dados por la ecuación

3,

(kr — amy -\- a^ mm^=:Q, ó r = .

A."

A los cuales corresponden dos puntos, simétricamente situados con respec-
to al eje de las abscisas: reales cuando /• se halla comprendido en los inter-
valos («g, «.), (ag, a.), (a^, íZg) y (a^.otj), é imaginarios en el caso contrario.

2." Si dos de las raíces Cj, a^, . . . ag fuesen imaginarias, veríase de
análogo modo que la curva se compone de tres óvalos, con un eje común,
coincidente con el de las abscisas; y los puntos donde las tangentes á la
curva son paralelas, ó perpendiculares al mismo eje, se determinarán por
medio de las mismas ecuaciones que en el caso anterior.

3.° Y cuando las dos raíces de la segunda de las ecuaciones (5) sean
iguales, los valores de r, que satisfarán á esta ecuación, tendrán por ex-
presión

a Vni , a \ni
-, ó r^-

\m -{- \m' \m — \m'

conforme sea k = \ \ m -|- \»i') > <5 A- = ( \7n — y

m j .

— 317 —

Dos de los óvalos á que nos referimos tendrán entonces un punto co-
mún, situado sobre el eje de las abscisas: necesariamente punto duplo de
la curva, cuya abscisa estará representada en cualquier caso por el valor
de /• que le corresponda.

334. Previas las indicaciones que acabamos de exponer, en cualquier
caso es factible precisar, con relativa sencillez, la figura de la curva. Y
así se comprende que, en su hermosa é importante memoria, poco más
atrás mencionada, lograse Cayley determinar, por modo casi intuitivo,
y sin detenerse en detalles analíticos, la distribución de los óvalos com-
ponentes, por referencia á los focos, y las modificaciones que en su for-
ma y disposición experimentan conforme el valor de k varía. Asunto so-
bre el cual no insistiremos aquí, limitándonos á recomendar con empeño
la lectura de la memoria original, y en grado sumo instructiva, del ilustre
geómetra citado. No daremos, sin embargo, por ultimada nuestra tarea
sin antes demostrar algunas propiedades de los puntos de intersección de
una transversal cualquiera con la curva de que se trata.

Y, para ello, supongamos que la ecuación de la transversal sea ésta:

Ax-{-By-\-C = 0.

Por su combinación con las (3) y (4), ó eliminación entre las tres de las
coordenadas x é y, hállase la siguiente, condicional, á que deben sa-
tisfacer los valores de r, correspondientes á los ocho puntos de inter-
sección:

A \(a^ -^r2) (l-r— amf—cí^ m'^ r^] + £í-2\/Í>) + 2aC(A->-— rtw)2 = 0; ó
£2 ^.i F (r) _ { (tr — amf [2aC +A{a^ + r^) — a^ w"^ r^ } 2 = O ;

6, finalmente:

I-'' {A^ + B-) >•« — áam F (A^ + B^) r'
-f . . . + «4 m» [B2 a'* + {2aC + Aa^)^] = 0.

Y de esta ecuación se deduce:

1.'^ Que la suma de las distancias t\, r.2, . . .,rf^, de los puntos de ínter-

— 318 —

sección de la transversal con la curva, al foco adoptado por origen de las
coordenadas, satisface á la condición

'■l + ''2 + -" + '8 = 'i-T^J

y que, del propio modo, la suma de las distancias r\, r\, . . ., r'g, de los
mismos puntos al segundo foco, satisface á esta otra:

r\^r', + ... + r', = -i^.

K

Lo cual, en términos generales, significa que la suma de las distancias,
á cualquiera de los focos de la eqiapotendal, de los puntos en que una
transversal arbitraria corta á la curva, es cantidad constante.

Y 2° Que el producto de las ocho distancias 6 valores de r tiene por
expresión la siguiente:

r,r

1'2'

l-> L A^ + B^ J,

Expresión que se transforma en esta otra

suponiendo que

C+Aa = Q, ó 4(¿c — OI + J5í/ = 0,

ó que la transversal pasa por el foco (a, 0).

De donde se deduce que el producto de las distancias, á uno de los fo-
cos, de los puntos donde las transversales que pasan por el otro cortan á
la curva, es asimistno cantidad constante.

Las dos propiedades que acabamos de demostrar parécenos que, por
vez primera, fueron por nosotros advertidas en un artículo publicado en
los Archiv der Mathematih und PhysiJc (3." serie, t. m), así como el pro-
cedimiento analítico, líneas antes empleado, para el estudio de la curva
equipotencial á que se refiere.

— 319 —

X

NOTA FINAL COMPLEMENTARIA, REFERENTE Á LA HISTORIA
DE LAS CURVAS ALGÉBRICAS

335. Dimos por terminada la reseña de las curvas más notables de
tercer grado, y exposición de sus más salientes propiedades, con una bre-
ve noticia histdrico-bibliográfica, págs. 98 y 99, concerniente á tan intere-
sante asunto. Y de análoga manera procedimos (págs. 253-255), después
de efectuado el examen individual de las curvas de cuarto, por su núme-
ro y la dificultad de su análisis, todavía de mayor interés que las de terce-
ro. Pues al hacer punto en el estudio, cada vez más complicado, de las
curvas algébricas, de grados ú órdenes superiores, antes de pasar al de las
transcendetites , natural es que procedamos de análoga manera.

336. La Eiiumeratio linear um tertii ordinis de Newton, ya varias
veces por nosotros mencionada, constituye el fundamento de la Teoría de
las Curvas algébricas, no solamente porque en aquella obra admirable se
encuentran consignados los primeros teoremas generales á tales curvas re-
ferentes, sino también porque la demostración de los resultados relativos
á las cúbicas, en ella contenidos, exigió la adopción de razonamientos
de, relativamente, fácil ampliación á las de los órdenes superiores: tanto
que, en sentir de Cramer, poco faltó á Stirling, sucesor inmediato y
muy sagaz comentador de la original producción de Newton, para formu-
lar la primera teoría de las mencionadas curvas algébricas, y ahorrar á
los geómetras que le sucedieron todo trabajo en este sentido, á no ser el
complementario en los detalles.

337. A los teoremas de Newton, áque acabamos de referirnos, agre-
garon otros, de interés y transcendencia asimismo, Nicole, Maclaürin,
Cotes, Euler y Cramer: organizadores, estos dos, de la doctrina mate-
mática de aquellas mismas curvas, que sistemáticamente expusieron, aquél,
en su Introductio in Analysin Infinitorum, y, el último, en su Introduc-
tion á VAnaljse des Ligues courbes. Producciones ambas de grande y me-
recida celebridad, donde se hallan expuestos los fundamentos de la teoría
de las intersecciones de las curvas algébricas, de sus centros y diámetros,
de sus puntos singulares, y de sus asíntotas: ampliados posteriormente

— 320 ~

con nuevos é importantes teoremas, descubiertos por los sagaces geóme-
tras que Á los mencionados sucedieron en gran número, hasta los tiempos
actuales.

338. Los primeros importantes progresos en la Teoría de lus Curvas
algébricas fueron, posteriormente, debidos al eminente geómetra Plüc-
KER, quien estableció la noción general y fecunda de los focos (Journal
de Crelle, tomo x, 1833), varias veces en este nuestro libro recordada
y utilizada; introdujo en el análisis geométrico las coordenadas tangen^
dales (System der analytischen Geometrie, 1835); mostró la importancia
del nuevo modo de representación analítica de las curvas algébricas, en
tan provechoso artificio basado; y dio á conocer (1. c.) las fórmulas que lle-
van su nombre, y que ligan los números expresivos del orden y de la clase
de una curva cualquiera, con los que designan cuántos puntos y rectas sin-
gulares la misma curva posee: descubrimientos notables todos, que sirvie-
ron de punto de partida y de eficaz estímulo para otros, de sumo interés
asimismo, emprendidos por diversos ilustres geómetras del apenas finado
siglo XIX, con el fin, unos, de precisar el número y situación de los focos,
y de indagar las ^TO^í'erfarfes focales de las curvas; otros, con el de estu-
diar á fondo la naturaleza de aquellos puntos y rectas, y de extender ó
ampliar la aplicación de las fórmulas de Plücker; y, otros, con el de dis-
currir y exponer nuevos procedimientos para determinar más fácil y siste-
máticamente lo antes de ellos trabajosamente encontrado, y no todavía pre-
sentado con la claridad que lo abstruso y extraño de la materia para su
pronta difusión exigía.

339. A la noción de orden y clase de las curvas, introducida por
Plücker en la ciencia geométrica, agregó poco más tarde Riemann la del
género, de no menor transcendencia, según poco después hizo ver Clebsch,
al tratar del problema de la representación de las mismas curvas por me-
dio de funciones, de naturaleza determinada, con un parámetro arbitrario:
demostrando que las del género cero son unicursales ; que las coordeníidas
correspondientes á las del uno pueden expresaráe por funciones racionales
de un parámetro arbitrario y de la raíz cuadrada de otra función entera,
de tercero ó cuarto grado, del mismo parámetro; etc., etc. Con lo cual in-
trodujo en el estudio de las curvas, no unicursales, el uso de las funciones
elípticas, kiperelipficas y abelianas, empleando las propiedades de estas

— 321 —

funciones para deducir otras, correspondientes á las curvas: relacionando
de esta manera las doctrinas miís elevadas de la Geometría con las supe-
riores del Análisis; y abriendo con esto amplio camino de inesperadas in-
vestigaciones á la insaciable y fecunda curiosidad de los más ilustres geó-
metras de los tiempos presentes.

S40. Sin remontarse á tanta altura, es de advertir que en el estudio
muy variado de las curvas empléanse con frecuencia los llamados métodos
de transformación, por medio de los cuales redócense el análisis y deta-
llado conocimiento de una curva á los de otra, por algfin concepto más
sencilla, y ligada con la primera por las mismas condiciones, analíticas <5
geométricas, que sirven para bien definir la transformación. Distinguién-
dose entre las muchas y muy variadas transformaciones que pueden em-
plearse, por su sencillez y fecundidad, las denominadas lineales ú homo-
gráficas, que comprenden la proi/eciira, profundamente estudiada por Pon-
CELET y por Chasles; las birracionales de cualquier grado, por Cremo-
NA; y las que se efectúan ^ot polares recíprocas, también, por los mismos
primeros geómetras mencionados, cuidadosa y muy ampliamente estudia-
das y empleadas. Con la advertencia de que, por resultado de las prime-
ras, no varían ni el número ni la naturaleza de los puntos singulares de
las curvas á que se aplican; y que, por medio de las segundas, conforme
Noether demostró, se pueden siempre reducir las curvas en que existen
puntos duplos con tangentes coincidentes, á otras que posean puntos, sí,
del mismo nombre, pero con tangentes distintas. A todo lo cual hay que
agregar todavía que, ni las transformaciones birracionales, ni las de ca-
rácter general, limitadas por la condición de que á cada punto de la curva
en primer término considerada, solamente corresponda en la transformada
otro punto, alteran el género de la curva propuesta, según Riemann con-
siguió demostrar.

341. Suele completar el estudio de las curvas, minuciosamente con-
sideradas, el de otras curvas muy notables, que de ellas se derivan y que
á ellas se asocian con diversos fines: verdaderas transformadas suyas,
por procedimiento bien definido. Como las evolutas y las evolventes, las
podarlas, las recíprocas, las paralelas, las concoides, las polares con rela-
ción á un punto, y otras muchas, cuyo detenido estudio constituye otros
tantos interesantes capítulos de Geometría: mereciendo, entre ellas, espe-

21

— 322 —

cial atención las denominadas covariantes , introducidas en la ciencia por
Hesse, Cayley y Steiner, y que, en honor de estos célebres geómetras,
y en razón de su importancia indiscutible en la moderna Teoría de las
Curvas, son conocidas y frecuentemente designadas por los nombres de
hessiana, cayleyana y steineriana.

342. Otras muchas cuestiones, referentes á las curvas algébricas, sin
conexión bien perceptible ó inmediata con las en los precedentes renglo-
nes mencionadas, han sido objeto de penoso, y al fin satisfactorio, estudio,
para distinguidos matemáticos de nuestros días, como Klein, que encon-
tró interesante relación entre el número de sus inultos y tangentes smgu-
lares reales; Cayley, Gerbaldi, y otros, que se ocuparon en la determi-
nación de aquellos puntos en que una curva cualquiera admite con una có-
nica un contacto de quinto orden; Staudt, Zedther, y algunos más, en
la del número de sus ramas; Cremona, Caporali, Guccia..., que estu-
diaron los sistemas lineales de las curvas, y, con especialidad, los haces y
las redes; y Brill, Noether, Segre..., las propiedades de los grupos de
puntos, resultantes de cortar una curva dada por sistemas definidos de
otras curvas, de cualesquiera órdenes: etc., etc.

343. En tantos y tan complicados trabajos de investigación matemá-
tica, unos investigadores han empleado procedimientos puramente geomé-
tricos, y preferido otros utilizar, para el logro de sus fines, los métodos
analíticos, más fecundos, y también, en general, de más fácil aplicación,
entre ellos, como es natural, los derivados del Algebra, y, muy en parti-
cular, de aquella parte de esta ciencia consagrada á la Teoría de las For-
mas, que en la Geometría Superior de las Curvas es donde más impor-
tantes resultados ha producido.

344. El número de notas y memorias, destinadas á la exposición y
dilucidación de tan múltiples y variados puntos de doctrina como dejamos
señalados, compréndese, sin esfuerzo, que ha de ser inmenso: como de ello
puede cualquiera convencerse con solamente repasar los índices de las re-
vistas científicas y publicaciones matemáticas en los últimos cincuenta
años dadas á luz en Europa y en los Estados Unidos de América. Mencio-
narlas aquí, á nada útil conduciría, y por eso nos limitaremos á citar, como
de lectura provechosa para cuantos deseen adquirir compendioso conoci-
miento de la Historia y Bibliografía de la Teoría general de las Curvas

— 3-23 —

Algébricas, á que nos referimos, íntimamente conexionadas con las de las
Funciones del mismo nombre, así en los tiempos antiguos como en los
modernos, sin olvidar las obras ya mencionadas (pái^s. 99 y 255), por re-
ferencia á la Historia de las ctlbicas y de las cuárlicas, el famoso Aper^u
hislorique de Chasles (París, 1875), y la notable Información sobre tan
vasto asunto, presentada por Beill y Noethek á la Sociedad Matemática
de Alemania, y por ésta publicada en el tomo iii de su Jahresbericht , co-
rrespondiente al año 1894, pág. 107 y siguientes. Así como, para el estu-
dio sistemático de asunto tan hermoso y de tanta importancia recomenda-
mos, preferentemente, las obras didácticas de Salmón y de Clebsch, ya
citadas en el Núm. 104, á propósito de la Teoría general de las Cúbicas,
donde la doctrina de las curvas se encuentra admirablemente tratada por
métodos analíticos; y á la de Cremosa, titulada Introduzione a una Tea-
ria geométrica delle Curve piane (Bolonha, 1862), merecedora también
de grande elogio, y en cuya exposición se emplean los sintéticos.

CAPÍTULO SÉPTIMO

CURVAS TRANSCENDENTES NOTABLES

I

LA LOGARÍTMICA

345. Aplicó HüYGENS el nombre de logarítmica á la curva represen-
tada por la ecuación, en coordenadas cartesianas,

M = ae"', ó — =log— :
'^ m ^ a

años antes, en 1644, ya considerada por Torricelli, en carta dirigida á
Ricci, contenida en la colección de las de aquel perspicaz geómetra, pu
blicada en 1864 por Ghinassi, y, poco más adelante, también por James
Gregory, que trató de esta curva en su Oeometrice pars prima, dada á
luz en 1668, definiéndola en términos equivalentes á la igualdad

(fr"=(fr

en la cual las coordenadas x é y se refieren á un punto variable, y las x'
é y', y x" é y" á dos puntos fijos de la curva. Pero el estudio de sus pro-
piedades, como el nombre, debe atribuirse principalmente á Hüygens,
quien determinó sus áreas, sus tangentes, el volumen de los sólidos de re-
volución por ella engendrados, etc., etc. (Huygexs: De causa gravita-
tis, 1691). Siendo de advertir que los resultados en estos varios conceptos
obtenidos por aquel célebre geómetra fueron por él simplemente enuncia-
dos, y demostrados más tarde por Nicolás en su obra De spiralibus hy-
perbolicis et lineis logarithmicis , publicada en 1696; y también por el
P. Güido-Grandi, en un trabajo titulado Demonstratio theorematum
Hugenianorion.

— 325 —

346. Como la forma de la curva es siempre la misma, cualesquiera
que sean los signos de a y ni, supondremos que a y m son positivos, y en
tal supuesto procuraremos determinarla.

Cuando x varía desde — oo hasta -}- oo,y ae conserva siempre positiva,
y aumenta, constante é
indefinidamente, desde
O hasta oo. Luego la cur-
va consta de una rama
única, que por derecha é
izquierda se extiende in-
definidamente (fig. 103)
en el sentido de las abs-
cisas positivas y negati-
vas, y tiene por asíntota el eje de este nombre. Al eje de las ordenadas le
corta la curva en el punto A, donde OA ^ a. Y como la derivada y" no
se anula en punto alguno, resulta que la curva tampoco posee ninguno de
inflexión.

347. La subtangente, la subnormal, la longitud de la tangente y la
longitud de la normal de la logarítmica hállanse expresadas por las fór-
mulas

S, = m, S,=l-, T=yly^ + m^ y N = -l-^|y^ + mh

y_

m

la primera de las cuales muestra que la subtangente de la logarítmica es
ca?itidad constante,

348. El radio de curvatura tiene por expresión

R =

{y^ -\- m^) ^ rrfi N^

N^

my

y'

S 2*

349. Y el área de la zona, comprendida entre la logarítmica, el eje
de las abscisas y las ordenadas de los puntos (a;Q,?/o) 7 Í^dVi)) ^sta otra,
sencillísima:

A = a j e"'dx = m (y^ — yo).

326

350, La longitud del arco, comprendido entre los mismos puntos de
la curva, se desprende de la fórmula

. / — S~~; :, , m . x i/{^ + m^ — ¡n

= Vz/i^ + m' + — log y ^ :

representando por Tf, y 7'j las longitudes de las tangentes d la curva en

los puntos (j'o, 2/o) 7 (•*'i.!/i)-

351. Y el volumen del sólido engendrado por la zona plana, cuya
área hemos poco antes determinado, cuando gira alrededor del eje de las
abscisas, de esta otra fórmula, también por su sencillez notable:

v=~iy^'-}Jo')-

A este volumen corresponde un área, U, de la superficie lateral del só-
lido á que se refiere, determinada como sigue:

:2u rwy'

U=2-K S/y^^m^dy.

Ó, representando por s, la longitud del arco de la parábola y^ = 2?» a-,
comprendido entre los puntos (r^iy^) y U'dI/i),

U= 2nms.

— 327

352. Con la curva que acabamos de estudiar hállase estrechamente
ligada, analítica y geométricamente, la que tiene por ecuación

11 = -^ X -\ • log

que el ingeniero español D. E. Saavedra utilizó en la resolución práctica
del problema de « hallar la forma y dimensiones mejores de las gradas de
un anfiteatro, para que todos los espectadores que en ellas tomen asiento
puedan ver sin estorbo un punto determinado de la sala.» (Anales de la
Construcción y de la Industria. Madrid, 1886, p.^ 329-332). Curva á que
el ilustre sabio, su descubridor, después de estudiarla minuciosamente en
el lugar designado, al cual, para más detalles, remitimos al lector, deno-
minó visoria, porque, en la solución del mencionado problema, pasa, ó
debe pasar, por el órgano visual de los espectadores que ocupan una mis-
ma fila del anfiteatro.

La conexión de la visoria con la logarítmica puede establecerse fácil-
mente, deduciéndose de ella un procedimiento sencillo de construir la pri-
mera curva y sus tangentes por referencia á la segunda.

Para demostrarlo, transformemos la ecuación de la visoria, poniendo

Yx
en ella y = , y hallaremos esta otra :

Y = -- — h b\ log I ¿c al — log ( p a\

Y-^ = blog(.v-^a\

en la cual

P

log (p — Y ")'

Y, hecho esto, construyase la logarítmica, referida á los ejes coordenados
(fig. 104), O'x y O' y', que tenga por ecuación

y' ^=b log x.

— 328 —
O la siguiente, por referencia á las Ox y 0¡/,

P

= blog(x a\:

en la cual

■a y — |j representan las coordenadas del punto O, con re-

lación á los anteriores ejes.

Designemos ahora por N un punto
de esta segunda logarítmica; por NK
y NR dos paralelas á los ejes coorde-
nados, trazadas por el punto iV^; y por
KH otra paralela al eje de las ordena-
das, trazada á la distancia a de O y: y
tendremos

MR

MR

OR

KR

KH OH

JL
Y

X

a

Luego M es un punto de la visoria.
Y, por análoga construcción á la em-
pleada en el Nüm. 78, es cosa fácil ver, asimismo, que las tangentes á las
dos curvas consideradas, en los puntos M y N, se cortan en otro punto de
la recta KP; de manera que el trazado de la tangente ií la visoria se des-
prende inmediatamente del que á la tangente á la logarítmica corresponde.
De la ecuación de la visoria y de su derivada segunda.

y

2b r X

al X al 2 ¡X a]

se deducen sin dificultad las siguientes consecuencias, suficientes para de-
finir la forma y propiedades más notables de la curva á que se refieren.

Curva que posee una asíntota, determinada por la ecuación x = — a,

hacia la cual indefinidamente converge cuando x varía desde co hasta — a,

2

— 329 —
si p > — a, 6 desde — co hasta — a, si ;j < — «,- un ptmto de inflexión

real, cuando x = a, en el primer supuesto, é imaginario en el segundo;
y dos de ijitersección con el eje de las abscisas, allí donde sea

1 / 1 \ "g
x=0, 6 x = — a-\-\n ale bx ,

2 \ 2 y

uno de ellos aislado.

Todo lo cual es de inmediata y útil aplicación en la práctica.

II

LA CATENARIA

353. Por los años 1690, Jacobo Bernoulli propuso en las Acta
Eruditorum , p. 219, el problema de hallar la curva formada por un hilo
pesado, flexible, inextensible , y de densidad constante en toda su longitud,
fijo ó suspeyíso por sus dos extremos. Y en el mismo volumen de las Acta
(p. 360) declaró poco tiempo después Leibnitz que había él resuelto aquel
problema; pero que no publicaba la solución hasta ver si algún otro geó-
metra también le resolvía. Como efectivamente le resolvieron el autor de
la cuestión, su hermano Juan Bernoulli, y Huyqens, en el volumen de
las Acta correspondiente á 1691.

La misma curva fué también encontrada por Juan Bernoulli como
solución del problema que tiene por objeto determinar la figura de una
vela, impelida é hinchada por el viento (Opera omnia, i. i, p. 59). Habien-
do sido sus propiedades principalmente estudiadas por aquel tan eminente
geómetra, en varios lugares de sus obras. (Opera omnia, 1. 1, p. 49; f. iii,
p. 495-504, etc.)

A la curva á que nos referimos se da el nombre de catenaria, que,
según en la Mecánica Racional se demuestra, tiene por ecuación

/gc-j-e c\

— 330 —

De la cual fácilmente se infiere que el eje de las y es eje de simetría de la
curva, y la tangente en el punto inferior, A, cuya ordenada O A = c (figu-
ra 105), paralela al eje de las abs-
cisas. La y además crece desde c
basta Go, conforme x varía desde O
hasta ± GO. Y, por conservarse
siempre positiva y finita la y", la
curva presenta constantemente su
convexidad al eje de las abscisas,
sin inflexiones en ningún punto,

segCm claramente indica la figura.

354. De la ecuación

Fignra 105.

V/-c^=|(e'-« ').

hállase que

V.:

,2 _ ,.2

Expresión de la cual se deduce el siguiente sencillo procedimiento para
construir la tangente á la curva en un punto cualquiera B.

Desde O como centro y con el radio OA, igual á c (fig. 105), descríbase
una circunferencia; y desde Q, sobre el eje de las ordenadas, á la misma
distancia que el B del eje de las abscisas, trácese la tangente QT á la cir-
cunferencia de que se trata. Por ser OQ = //, y OT = c, será

Y, si TS es paralela al eje de las abscisas, resultará además que

lang QTS = tang QOT= ^ y" ~ ^' = y'.

Luego la tangente á la curva en el punto B serí también paralela á QT.

355. El radio de curvatura de la catenaria resulta expresado por la
fórmula

— 331 —

R = — y'^

De manera que en el punto A, donde y es mínima é igual á e, también R
posee un valor mínimo, é igual á esta misma cantidad c: 6 resulta máxima
la curvatura de la catenaria.

356. Representando por s lá longitud del arco ^7? de la curva, há-
llase que

rv

1 + — je^+e"^ — 2jrf.x> = — íe^ — r^l
= Vf — c^=QT= BM.

Igualdad de la cual se desprende una consecuencia importante, con auxi-
lio de los teoremas de Huygens, relativos á la teoría de las evolutas.

En efecto: el lugar geométrico descrito por el punto, M, de intersección
de la recta Bilf con la TS, es una evolvente de la catenaria considerada; y,
debiendo ser la tangente á ésta perpendicular á BM, deberá ser también
paralela, á OT; y, por lo tanto, MU= TO. Luego la evolvente de la cate-
7iaria, engendrada por M, es una curva, tal que los segmentos de las tan-
gentes, comprendidos entre los puntos de contacto y una recta fija, son
constantes.

Por consideraciones geométricas sencillas se vería asimismo que las de-
más evolventes de la catenaria gozan todas de la misma propiedad.

Las curvas que la poseen se llaman tractrices, y serán poco más ade-
lante especialmente estudiadas.

357. Designando por A el área BPOA, sencillamente se encuen-
tra que

p_r.)^.^.Vy'

lo cual demuestra que A varía proporcionalmente al arco AB = s.

358. La curva plana que pasa por dos puntos dados y engendra una
área mínima, cuando gira en rededor de un eje situado en su mismo plano,
es una catenaria.

— 332 —
Aplicando, en efecto, el método de las variacianes á la integral

f'.V

2^\ yMl + y"^dx,

que representa el valor del área descrita por un arco de curva plana, com-
prendido entre los puntos cuyas abscisas son Xq y x^, cuando gira en re-
dedor del eje de las abscisas, obtiénese, para determinar la curva, la
ecuación

y y" - y'2 _ 1 = O
que, por integración, produce esta otra,

a' — « ^ log ¿/ + V¿/^ - c%

O c

en la cual a y c representan constantes arbitrarias. O las que siguen:

y + yy'

c

y_

--T'

-a

7

c

-V.v^-

-C2

c

y + Vy'-c^

De donde, por adición, se deduce finalmente que

fácilmente reducible á la forma en que se presentó anteriormente la ecua-
ción de la catenaria, por una simple traslación ó cambio del origen de las
coordenadas.

Pero adviértase bien que, si el análisis precedente nos enseña que al
problema á que se refiere, dado que admita solución, solamente puede sa-
tisfacer la catenaria, de ninguna manera prueba que la admita en reali-
dad: siendo menester para decidirlo, ó poner este punto preliminar en
claro, recurrir á la variacióti de segundo orden de la función integral de

— 333 -

donde se partió. Para lo cual puede consultar el lector la obra de Todhun-
TER, titulada Researches in tke Calculus of Variations, p. 55.

359. De todas las curvas planas de igual perímetro, que pasan por
dos puntos dados, la catenaria es también aquella que, girando alrededor
de un eje trazado en su mismo plano, engendra la superficie de revolución
de área máxima ó mínima.

Para demostrarlo basta, como en el caso anterior, aplicar el método de
las variaciones á la integral

llevando en cuenta la igualdad

que expresa la condición de que todas las curvas son de igual perímetro.
Y así se obtiene la misma ecuación diferencial del número precedente y
se demuestra el teorema acabado de enunciar.

Advirtamos á propósito de este asunto que de las condiciones á que
deben satisfacer los dos puntos dados, para que el área considerada re-
sulte precisamente mínima, trató con especialidad Lindeloff en un tra-
bajo inserto en los Math. Annalen, t. ii, p. 160, al cual remitimos al lec-
tor que estime necesario consultarle.

Y asimismo nos parece pertinente advertir que la superficie, en este y
el anterior párrafo estudiada, á la cual suele aplicarse el nombre de cate-
noide ó de aliseide, posee, además de las expuestas, la propiedad de que
cualquier contorno cerrado, sobre ella descrito, comprende una área mí-
nima: como Meusnier demostró por vez primera (Mémoires des Savants
étrangers, t. x, p. 477).

360. Por último, adviértese fácilmente que la ecuación de la catena-
ria, en coordetiadas íjitrínsecas, es

— 33-1 —
comprendida en la siguiente

la cual corresponde á una clase de curvas, designadas por Cesáro con el
nombre de alisoides — de a)>'j3-i;: cadena. (Nouvelles Anuales des Mathé-
matiqíies, 1886, jj. 75).

III

LA TRACTRIZ DE LEIBNITZ

361. El problema de hallar una curva, cuya tangente sea de longitud
constante, c, depende de la integración de la ecuación

gy\ ^ y'^ = cg',

de la cual se deduce esta otra:

.T + a = ± \\/c^ - í/2 _ c log V^^'-^' + ^1,

(1)

designando por a la constante arbitraria.

Esta ecuación representa diferentes curvas, todas iguales, pero diferen-
temente distribuidas con relación á los ejes de las coordenadas, y á todas
las cuales se aplica el nombre de tractrices, 6 de curras de tangentes
iguales.

El primer geómetra que descubrió las tractrices fué Leibnitz (Acta
eruditorum, 1693), al buscar la curva descrita por un punto en movi-
miento que se dirige constantemente hacia otro, móvil también éste, en
línea recta, de manera que la distancia comprendida entre ambos puntos
no varíe. En la curva que satisface á este problema, el segmento de la tan-
gente comprendido entre el punto de contacto y la recta dada es, en efec-
to, de longitud constante. Del mismo problema trataron también Hüygens
y Clairaut, el primero de los cuales denominó tractoria á la curva que
le satisface.

335 —

362. Consideremos una de las curvas representadas por la ecuación (1),
ó sea la correspondiente en particular á la ecuación

X ■■

,V¿í:r73 + ,,ogV£!zii¿+^,

Por medio de esta ecuación y de la diferencial de donde procede,

IL

dx

V

c^ — ¿/^

se ve que, cuando y propende hacia O, x se aproxima constante é indefi-
nidamente ií 4- co, y — T—
dx

tiende hacia 0: luego el
eje de las abscisas es (fi-
gura 106) asíntota de la
curva.

Cuando y==c, resulta

que a; ^ O, y

dy_
dx

Figura lOü.

de manera que la curva
toca al eje de las orde-
nadas en un punto A,
cuya ordenada es igual
á c: punto singular de partida ó parada (point d'arrct), pues á valores
de y, superiores á c, corresponden valores imaginarios de x. Como corres-
ponden también á los negativos de la misma ordenada y, cualesquiera que
sean sus valores absolutos.

363. Por ser O A = c, y ser también igual á c la longitud de todas las
tangentes á la curva, se puede construir la tangente á ésta en un punto
cualquiera, M, describiendo desde el mismo punto como centro una cir-
cunferencia de radio igual á AO, y uniéndole por una recta al punto N,
colocado del lado de las abscisas positivas, donde la circunferencia corta
al eje de las abscisas.

— 336 -
364. Y como

y

(c2 - y^f '
resulta también que el radio de curvatura tiene por expresión

R.

,_c\Jf--f

y

y que las coordenadas, x^ ^ Vy, del centro de curvatura, pueden asimismo
expresarse de este modo:

C + \/c2 - y^ ^ c2

^i = clog^ ¡L. é 2/, = y

De donde se deduce que

— !— i 2_=eS ó 5^ ^=e <■ ;

y, por consiguiente,

Luego ?a evoluta de la tractrix es tina catenaria: teorema recíproco del
demostrado en el Núm. 356.

365. Para determinar el área comprendida entre la curva, el eje de las
abscisas y dos paralelas al eje de las ordenadas, advertiremos que

^= r'-~rdy = - ry/r^^-y-'dy.

= |- are sen ^ + ^ \4^^2 - ^ are son iL ._ ^V¡rr^..

De donde se desprende que el área comprendida entre la curva y los dos

ejes coordenados es igual á .

4

— 337 -

366. La longitud del arco de la tractriz, comprendido entre los pun-
tos (,Tq, y^, (íCj, ?/,), tiene por expresión sencillísima la que sigue:

-rv

1 A dii = c log — .

dy^ yo

367. Y el área de la superficie de revolución engendrada por la trac-
triz al girar en derredor del eje de las abscisas, esta otra, no menos nota-
ble por su sencillez:

■=.,£.y>

fí=2. I j\/l+i£<¡« = 2««.

La superficie de revolución, á que corresponde el área determinada por
la última fórmula, se denomina pseudo- esfera, y fué cuidadosamente estu-
diada por Beltrami, quien demostró su importancia en la interpretación
de la Geometría de Lobatchevsky, según puede verse en el Giornale di
Matematiche, Napoli, t. vi, 1868.

368. La tractriz hállase comprendida en el grupo de curvas especial-
mente considerado por el geómetra español Sr. Duran Loriga (Intermé-
diaire des Mathématieiens , t. iv, p. 148), que individualmente satisfacen
á la condición de ser constante el perímetro del triángulo formado por la
tangente á una cualquiera de tales curvas; por la ordenada en el punto de
contacto; y por el eje de las abscisas, cualquiera que sea el ángulo, 9, de
este eje con el de las ordenadas.

Representando, en efecto, por x é y las coordenadas del punto de con-
tacto, y por Xq la abscisa del punto en que la tangente corta al eje de su
nombre, las longitudes de los lados del triángulo serán

\y^ + (a-Q — x)^ — 2?/ (a^o — ^) cosS, y, y x^ — x:

igual la última á — y .

dy

Y la constancia del perímetro resultará expresada, en consecuencia, por

esta ecuación:

y^ (77)'+ ^' ir^) ^«^^ + (y' - ^') = o-

^>:ís

De la cual se deduce que ha de ser

cos9

cosfl :Tr c

[V-

— log

/ZT

q-\-\q^ — t/

]■

suponiendo que

^2

4c2

4 — eos '^ 9

Y si en esta ecuación, que representa el grupo de curvas antes definido,
se supone que O = — , hallaremos la correspondiente, en particular, á la

tractriz, en los párrafos anteriores considerada.

IV

LA SINTRACTRIZ DE SYLVESTER

3(i9. Sea B (fig. 106) un punto de la tangente MN á la tractriz; c la

longitud de MN; y ala, lon-
gitud de BN. Al lugar des-
crito por B, cuando la tan-
gente varía, sin variar a,
fué dado por Sylvester el
nombre de sintractriz (Huv:
cum, pariter).

Para hallar la ecuación
de esta curva, representan-
do por X é y las coordena-
das del punto B, y por A' é Y las del punto M, se hallará, por de pron-
to, que

y -a' y ■

Fianra 107.

A = Vc^ — y^ — V«^ — 'f

Y, eliminando ahora X é F entre estas ecuaciones y la correspondiente
á la tractriz.

X + Vc2 — Y'^^c log

— 339 —

c

r

resultará para ecuación de la sintractriz esta otra:

X -\- V « — y^ = cíog ■ — ^^~.

370. Para determinar su forma basta fijar la atención en la ecuación
que se acaba de encontrar y en las dos siguientes, derivadas suyas:

dx

.f — ac d^x _ a[{a—2c)y^-ira-c]

dy y^a^-/ df f^a-_f^

Y, recordando que a < c, se concluirá entonces fácilmente que la nueva
curva, compañera como inseparable de la tractriz, considerada en el Nú-
mero 362, es de la forma indicada en la figura: con un ^unto de parada
ó arranque sobre el eje de las ordenadas, en A, donde la ordenada máxi-
ma adquiere el valor a; una tangente en este punto, paralela única al eje
de las abscisas; una inflexión en el C, cuya ordenada tiene por expresión

y = a\ ; y una asíntota, en coincidencia con el mismo eje de las

V 2c — a

abscisas.

371. El radio de curvatura de la sintractriz se determina por la
fórmula

i- íL

j^_a^ [¡ñ(a — 2c) + acY-
y[(a-2c)y''- + ci'c\ '

372. Y la longitud de los arcos de la misma curva y el valor de sus
áreas pueden también determinarse por medio de funciones elementales.

En efecto: representando por A el área limitada por la curva, por el eje
de las ordenadas, y por la ordenada del punto {x, y), sin dificultad se en-
cuentra que

^ = TtÍ^^^^- I2/ V«^^^ + ^ («-20 [are sen ^-^1
Ja Va2_^2 2 2 L « 2 J

— 340 —

Y, poniendo y = O, concluyese para expresión del valor del área, com-
prendida entre la curva, la asíntota, y el eje de las ordenadas esta otra:

A, ■= — Tza{2c, — a).
' 4

Como, de análogo modo, se hallará qne la longitud de los arcos de la
curva depende de la integral

i

"V(a-2c)?/2+ac2^^

l/Va' — f
6 de la siguiente, expresable por funciones elementales,

1 /^V(a — 2c)¿ + ac2

iP

t^¡c^ — t

dt,

si ponemos en la anterior por y^ la nueva variable t.

373. En los renglones precedentes hemos supuesto que c>- a; ó, lo
que vale tanto, que el punto generador de la curva, B, se halla compren-
dido entre el correspondiente de la tractriz, M, y el N, donde la tan-
gente MN corta al eje de las abscisas. Y del mismo modo puede conside-
rarse el caso de ser c <:ia.

Las propiedades especiales de la curva, en el supuesto de ser a = 2c,
fueron estudiadas por M. d'Ocagne en los Nouvelles Annales des Mathé-
matiquea, 1871, p. 82.

V

CATENARIA DE IGUAL RESISTENCIA

374. Dase el nombre de catenaria de igual resistencia á la curva co-
rrespondiente á la ecuación

X I ~ — X — t: \

?/ ^ — a log eos — < — < — I.

'' ^ «\2«2/

Curva por vez primera estudiada por Minchin en su Treatise of Statics

— 341 —

Oxford , 1877, segCm dice Ramsey en el ínter médiaire des Mathémati-
cíews. (1896,^;. 30).

375. De la ecuación anterior se infiere fácilmente que la catenaria de
igual resistencia es de la forma
representada en la figura 108:
simétrica relativamente al eje
de las ordenadas; tangente en
O al eje de las abscisas; con
dos asíntotas rectas, KL y
K'L' , definidas por las ecua-

Clones X ■

; y sin nin-

gún punto de inflexión.
376. Por ser

O
Figura 108.

K

/ = tang— ,

vese que el ángulo f, formado por la tangente en el punto {x, y) con el eje
de las abscisas, tiene por expresión

X

Y el radio de curvatura esta otra:

R =

a

a

X COStp

eos —
a

la cual muestra que la proyección de este radio sobre el eje de la curva es
constante.

377 Comoí¿s = ^, integrando y tomando para origen de los

X

eos —
a

arcos el vértice O de la curva, tendremos que

_- 4- _\ = « log tang ^j + - j:

— 342 —

fórmula adecuada á la determinación de la longitud de los arcos de la ca-
tenaria de igual resistencia.
878. Y por ser

tang ' ' " '

tang(| + -)

dedúcese que

3 S

gffi _|_ g ft __

es

sec^(-J +

t)

coses

Luego

22 = -^/e« + e~«).

Ecuación ésta de la catenaria de igual resistencia en coordenadas intrín-
secas, empleada por algunos geómetras para definir la curva. (Cesáro:
Lexiotd di Oeometria intrinseca. Napoli, 1896, p. 8.)

379. Cuando la catenaria de igual resistencia rueda sobre la recta OK,
sus centros de curvatura, correspondientes á los puntos en que al rodar
va sucesivamente tocando á la OK, forman otra curva, cuya ecuación es
fácil hallar. La abscisa de cada punto de la nueva curva es, en efecto,
igual á la longitud s del arco de la catenaria considerada, comprendido en-
tre el punto O y el punto en que llega á tocar á la recta OK; y la orde-
nada igual también al valor correspondiente de R. Representando, pues,
por X éY estas coordenadas, la ecuación de la curva así engendrada será

(X x^

La cual representa una catenaria ordinaria.

— 343 —
VI

LA CURVA DE LOS SENOS

380. Leibnitz dio el nombre de curva de los senos á la que tiene por
ecuación

,1 = a sea — ,

•' m

con posterioridad denominada sinusoide: curva de que ya, antes de Leib-
nitz, iv&t6 RoBEEVAL en un trabajo, titulado De trochoide ejusque spatio,
inserto en el tomo VI de las Memorias de la Academia de Ciencias de
París, 1730, donde, por intervenir en el método por él ideado para cua-
drar la cicloide 6 trocoide, la denominó compañera de la célebre curva de
estos últimos nombres (trochoidis comes).

La sinusoide fué también estudiada más tarde por Pitot (Histoire de
VAcadémie des Se. de París (1724, p. 107), quien demostró que, cuando
se planifica un cilindro recto, de base circular, las secciones planas, que
forman con el eje ángulos de 45°, se transforman en sinusoides: como lo
son también las curvas obtenidas proyectando una hélice, trazada en la su-
perficie del mismo cilindro, sobre un plano paralelo á su eje. (Chasles:
Aper(^.u historique, 1875, p. 139; y Cantor: Vorlesungen etc., t. ii, 1900,
p. 878, y t. III, 1896, p. 428).

Para hallar la forma de la sinusoide, y con objeto de fijar las ideas, su-
pondremos que a y m son positivos.

Cuando *■ crece desde O hasta —tmi, y crece también desde O hasta a;

y cuando después x crece desde — wtc hasta mtz, y decrece desde a has-
ta 0: correspondiendo además á los valores de x, equidistantes de -— m^r,

valores iguales de y. Luego á los valores de x comprendidos entre O y nm
corresponde un arco, OAB (fig. 109), de la curva de los senos, cuya base
OB es igual á 7mz, simétrico con relación á la recta AP, perpendicular
al eje de las abscisas en el punto medio de OB. Siendo evidente que á

— 344 —

los demás valores sucesivos 6 anteriores de x corresponden otros arcos,
iguales al primeramente considerado y de la misma base rmz, alternada-
mente situados unos
á continuación inde-
finida de otros, por
arriba y por debajo
del eje de las absci-
sas.

Adviértase que en
el punto A la tangen-
te á la curva es para-
^"'««■•a 109. ig,^ jji gjg ¿g jgg gjjg.

cisas; y que los otros puntos O, B, . . ., donde la curva corta al mismo eje

y donde y' = — , son puntos de inflexión.

381. La subtangente , la subnormal, la longitud de la normal, y la
longitud de la tangetite se hallan determinadas por las fórmulas

íf

N--

^\lm^ + a^-f, y r=,yy— ^

2_^2

Y el radio de curvatura por esta otra:

R =

(m^ 4- «2 — ^3) 2 „j2 ]S[3

my

r

382. El área de la figura, limitada por la curva, por el eje de las abs-
cisas y por las ordenadas, y^ é y^, de los puntos correspondientes á las
abscisas Xf,y x^, puede calcularse por la fórmula

A=^m \y a^ — y(^ — \¡ a^ — y^y

383. Pero la rectificación de la misma curva de los senos depende

— 345 -

de una integral elíptica; pues si, en efecto, se representa por s la longi-
tud del arco comprendido entre el punto O y el punto (x,y), hállase que

-rv^

—dy:

■r

6, poniendo y = at, y Te ■

Va2 + m^ '

Va^ + m^J'Y-l-^

J-dt.

De manera que s depende de una integral elíptica de segunda especie.

A esta expresión del valor de s puede, poniendo t = sencp, y por tanto
y =^a sencp, dársele la forma

s = Va2 + m^ I Vi — ^^ sen2 cp . do ,

6

s = A.E{k, cp):
en donde

A = \Ja^ + m^, y E{k,<f)= \ s/í—kHen^<fdz.

Jo

384. Busquemos el teorema que corresponde, en el caso de la curva
de los senos, al teorema de Fagnano, relativo á los arcos de la elipse.
La igualdad, ya empleada en el Núm. 161,

"" sencp coscp

E (k, cp) + í; {k, ^)-E U, ^] = -£

k^ sen^ cp
conduce, teniendo en cuenta que (fig. 109)

OM=AE(k,'j^); OM' = AE{k,i¿); y OA=AEÍk,^\,

- 346 —
al resultado siguiente:

OM + OM' — OA = OM — AM'

Aki^ sentí cosff

y 1 — . ^2 ppn2 :

■ sen^ :p
cuando entre (f- y <]> existe la relación

cosas cost[ = sentp sen i y 1 — k^.

El segundo miembro de esta igualdad puede ser construido fácilmente.

y

Sustituyendo, en efecto, sen ce por — , hállase que

A k^ sen o eos * V a^ — i/^ //-

' '- — !j "^

\/l — /i-2sen2© ' \/a^^m^ — y^ '^ '
si por T se designa la longitud de la tangente á la curva en el punto M.
Luego: OM — AM' ^ -^, cuando

tanga tang']^

\/a2 + m^

in

Pero, siendo MT la tangente á la curva en el punto M, MNla normal,
y QL una perpendicular á esta normal, trazada por el pie de la ordenada
de M, resulta que

y = MQ=T sen MTO, y QL = // sen NMQ = ysenM TO.

Luego

OM—AM'=QL.

Igualdad que, abreviadamente, expresa el teorema que, en el caso de la
curva de los senos, corresponde al de Fagnano, relativo á los arcos de la
elipse.

385. Con la curva de los senos, en los anteriores párrafos estudiada,
tienen estrecha conexión la de las tangentes 6 tangentoide , y la de las
secantes 6 secantoide , á las cuales corresponden estas ecuaciones

y = tangíc é y = seco;.-
compuestas ambas de número infinito de ramas iguales.

— 347 —

La rama de la tangentoide, correspondiente á los valores de x, com"

prendidos entre y — , extiéndese indefinidamente en el sentido de

2 2

las ordenadas positivas y negativas, y corta al eje de las abscisas en el

punto donde x = 0: el cual, al propio tiempo que á uno de los puntos de

inflexión, corresponde á uno de los centros de la curva, limitada ésta por

dos de sus asíntotas , x = v -25 = +

2 2

Y la rama de la secantoide, correspondiente á los mismos valores de x,
extiéndese por completo en el sentido de las ordenadas positivas, es tan-
gente al eje de las abscisas en el punto y = 0 ya; = 0,y tiene asimismo

por asíntotas las rectas x = y x = -\ -.

2 2

386. A propósito de estas curvas, representativas de las funciones
trigonométricas, advertiremos que también han sido tomadas en cuenta
otras, correspondientes á distintas funciones fundamentales del Análisis:
como la sinusoide elíptica, de forma parecida á la secantoide trigonomé-
trica; y la curva ¿ra/wma , considerada por Godefroy en su excelente mo-
nografía sobre la función del mismo nombre (París, 1901); etc., etc. Pero
de tales curvas, exclusivamente destinadas á representar gráficamente las
variaciones de las funciones á que se refieren, no hay por qué tratar en
este sitio.

387. De mayor interés creemos el estudio de otra especie de sinu-
soide, definida por la ecuación

(1) I sen(a; + í» I =c.-

en la cual x é y representan las coordenadas de los puntos de la curva, c
una constante, i el radical imaginario y — 1, y I sen (x -\- iy) ¡ el móduh
de sen(a; + iy), por nosotros primeramente considerado en las Memorias
de la Academia de Madrid (t. xviii, 1897, p. 96), y poco después en el
Journal de Crelle (t. 116, p. 16), al tratar del desenvolvimiento de las
funciones en series, ordenadas por las potencias del seno de la variable:
problema en cuya solución representa papel fundamental la mencionada
curva. De ambos trabajos procede lo que,á propósito del asunto, pasamos
á exponer ahora.

- 348 —
La ecuación (1) puede escribirse como sigue:

I sencc cosí y -\- seniy cosa; | = c,

ea la cual

6

. e-'J — e" . e-'J + e"

sen*M = — t- , y cos^^/ = ,

* 2 ^ • 2

(2) Y sen^ X cos^ iy — cos^ x sen^ iy = c.

Y como el valor del primer miembro de esta ecuación no varía, cuando
en ella se pone x por x -\- n, vese en el acto que y es una fimción perió-
dica de X, de período igual á ic: por lo cual basta considerar, en el estudio
de la curva, la rama definida por los valores de x, comprendidos entre

7T 71

y — . Y por ser también la curva simétrica, relativamente á los ejes

coordenados, concluyese sin dificultad que, para completar su estudio,
bastará limitarse al de la parte correspondiente á los valores positivos
Ae X é y.

Esto advertido, consideremos separadamente el caso de ser c < 1 , del
de ser c > 1.

Primer caso. Inmediatamente se advierte entonces, suponiendo para
ello que a; ^ O, que la parte considerada de la curva corta al eje de las

ordenadas en el punto cuya ordenada es igual á log \c -\- \c^ -\- 1 j. Y tam-
bién, cuando y^d, que la misma parte á que nos referimos corta al eje
de las abscisas en el punto cuya abscisa es igual á are sene.

Póngase ahora en la ecuación (2), por SQxfiiy, la expresión 1 — cos^iy;
y, resolviéndola luego por relación á cos^ iy, resultará que

(3) cos"-^ i y = c^ -)- cos^ x;
y, en consecuencia.

e-y + €'■

= ±\/c^ +

cos-^ X,

y = log [±: y c^ -\- cos^ X rt y c"^ — sen- x\.

- 349 -
Así, pues: considerando solamente la rama de la función y, que se reduce
á log \c -\-\J c^ -{- l) cuando ¿r = O, hallaremos que

(4) y^ log [y c^ -j- cos^ ce + V c^ — sen^ x\ :

ecuación cartesiana de la curva de que ahora se trata, por medio de la
cual se advierte que, cuando x varía desde O hasta are sene, y varía desde

log (e + \/c2 + l) hasta 0.

Derivando la ecuación (3), por referencia á la variable x, obtiénese
esta otra

sen 2 X

y

i sen 2 i y

que sirve para determinar las tangentes á la curva, y de la cual se con-
cluye, además, que ésta corta perpendicularmente á los ejes coordenados.
Para hallar sus puntos de mflexidn menester es eliminar por de pronto
la y entre la ecuación

sen^ 2x cos2iy = eos 2 a; sen^ 2iy,

resultante de la derivación de la anterior, con respecto también á x, po-
niendo luego y" ^ O, y la transformada de la (2)

co82iy = 2c^ -\- eos 2 a?.
De donde resulta que

(5) cos2íc = — c2±:\/c'* — 1.

Lo cual demuestra que, en el supuesto de ser c < 1, la curva de que se
trata carece de inflexión real.

De manera que, en el caso á que nos referimos, la curva representada
por la ecuación (1), se compondrá de un número infinito de óvalos con-
vexos, iguales unos á otros, cuyos centros corresponden á los puntos
(O, 0), (O, ± tt), (O, ± 2it)..., y cuyos ejes son iguales á 2 are sene y á

21og(e + \/e2 + l).

— 350 —

Segundo caso, ó c > 1.

Por medio de una discusión, análoga á la verificada en el anterior su-
puesto, es fácil persuadirse de que la curva considerada consta solamen-
te de dos ramas simétricamente dispuestas con relación al eje de las abs-
cisas , é indefinidamente prolongadas en el sentido de las abscisas positivas
y negativas, formando una serie de ondas, de amplitud igual á -k. La or-
denada adquiere un valor máximo, igual á log (c + y c- -j- l), en los pun-
tos donde x posee los valores O, dr ix, dz 2-, ...; y un valor mínimo, igual

á log (c -f" V c^ — 1/) 6Q aquellos otros donde los valores de x son igua-

13 5

les á dz — ~) — — ■'^j — — ■^j ••• Y la curva presenta entoaces jJ untos de

¿ ¿i ¿

inflexión reales, cuyas abscisas determina la ecuación (5).

VII

CUADRATRIZ DE DINÓSTRATO

388. Se llama cuadratriz de Dinóstrato la curva engendrada (figu-
ra 110) por un punto M, móvil de
tal manera que en todas sus posi-
ciones se verifica esta igualdad,

AP are ai

AO

are ac

representando A un punto fijo, y abe
el cuadrante de una circunferencia
de centro O y de radio igual á la
unidad.

Por ser, designando a y O el seg-
mento O A y el arco ab, y x é y las coordenadas del punto M,

Fiiiui'a no.

?/:=£(• tangO y

a — X

11

— 351 —

hallaremos, eliminaado 9 entre estas dos expresiones, la siguiente ecua-
ción de la cuadratriz de Dinóstrato:

7:03
1/ ^ X cot -

2a

389. La historia de la cuadratriz de Dinóstrato hállase relacionada
con la de los célebres problemas de la trisección del ángulo y de la eiia-
dratura del circulo, que tanto se afanaron por resolver los antiguos geó-
metras. En el estudio de esta curva se ocupó, efectivamente, por vez pri-
mera HiPPiAS, que se cree vivió en la segunda mitad del siglo iv, anterior
á Jesucristo, como lo testifica Proclo en sus Comentarios (prop. 9.* del
libro 3.° y principio del libro 4."); y el cual la empleaba para resolver el
primero de aquellos problemas.

Ea las obras de Pappo [ed. Hultsch, p. 250-252) hállase expuesto un
procedimiento de construcción de la curva de que se trata, así como su
aplicación á la resolución del problema de la cuadratura del círculo {I. c,
p. 256): aplicación debida á Dinóstrato, de quien por esta circunstancia
recibió nombre aquella curva.

Muchos siglos después, el P. Léotaud, que vivió cu el xvii, escribió,
referente al mismo asunto, una obra titulada Líber in quo mirahiles qua-
draticis facultates varice exponuntur. Y también la estudiaron Roberval
(Mémoires de l'Académie des Sciences. París, t. vi, 1730, p. 57); Fermat
(CEuvres, t. iii, p. 145); Juan Bérnoulli (Opera omnia, t. i, p. 447,
y t. II, p. 176 y p. 179); y otros autores.

La cuadratriz de Dinóstrato forma parte, en fin, de una clase de cur-
vas estudiadas recientemente por Fodret en los Nouvelles Anuales des
Mathématiques (3." serie, t. V, 1886,^. 39).

390. La figura de la cuadratriz se deduce fácilmente del análisis de
su ecuación, renglones antes encontrada.

Poniendo en ella x = 0, hállase por de pronto ?/ = O X oo; cuyo ver-
dadero valor, puesto en claro por procedimiento muy conocido, es el si-
guiente:

2a

- 352 —

Luego la curva corta al eje de las ordenadas en un punto B (fig. 111), en

donde la ordenada 0B= ——. Y como en este punto ?/' = O, la tangente

será allí paralela al eje de las abscisas.

Advirtiendo además que el eje de las ordenadas es también eje de la
curva, bastará, en consecuencia, estudiar la forma y propiedades de ésta
en la región situada á la derecha del eje mencionado.

Figura lU.

Cuando x varía, pues, desde O hasta 2a, y decrece constantemente des-
de BO hasta — ce, y el punto (x, y) describe la rama BDC de la curva
que corta al eje de las abscisas en el punto D, dado por la abscisa OD=a.
A esta rama corresponde la asíntota PQ, que tiene por ecuación x=2a.

Cuando x varía desde 2 a hasta 4a, y decrece constantemente desde oo
hasta — 00, y el punto {x, y) describe la rama infinita GFG' de la curva
que corta al eje de las abscisas en el punto F, en donde es x = 3íi, y de
la cual son asíntotas las rectas PQ y P"Q", á las cuales corresponden las
ecuaciones a; = 2ayfl5 = 4a.

Y, continuando la variación de x en el mismo sentido, obtiénense las
otras ramas de la curva, iguales todas á la anterior, y en número infinito.

Los antiguos geómetras limitábanse á considerar una muy reducida parte
de la curva alrededor del punto B. Hasta que el P. Léotaud, en su obra

— 353 —

poco antes citada, demostró por primera vez que la curva consta de infi-
nitas ramas, y determinó sus asíntotas.
Formando la ecuación y" =0, resulta

= tang -

2a 2a

y, por tanto, y = — — . Luego la cuadratriz de Dinóstrato posee un nú-
mero infinito de puntos de inflexión, situados todos sobre la paralela al eje
de las abscisas que pasa por el punto B.

391. Para comprender cómo la curva que estamos considerando pue-
de servir para cuadrar el círculo, basta advertir que, siendo 0B= ,

esta igualdad determina el valor de tc, cuando sea conocida la ordenada,
OB, del punto en que aquella curva corta al eje de las ordenadas. Solución
del problema, sin embargo, puramente teórica, puesto que no se conoce
ningún procedimiento de trazar la curva por medio de un movimiento con-
tinuo: como ya en lo antiguo fué advertido, según afirma Pappo. En la
obra de Zeuthen, titulada Oeschichte der Mathematik in AUertum und
Miííelarter (Kopenhagen, 1896, p. 76), encuéntrase expuesta en lenguaje
corriente la solución, dada por Dinóstrato, del problema referido.

392. El área A, limitada por el arco DBD' de la cuadratriz y por el
eje de las abscisas, se obtiene fácilmente partiendo de la siguiente fór-

muía, en la cual — — = t,

2a

u

íc cot dx=2i I I tcottdt:

2a \^ JJo

que, integrando por partes, y advirtiendo que ¿logsení es igual á cero,
cuando t lo es asimismo, se convierte en la que sigue :

A = — 2(^\ C^logsentdt.

La integral definida, de la cual depende el valor explícito de A, fué de-

23

— 354

terminada del siguiente modo por Todhunter (A Treatise on the Integral
Calculus. London, 1883,^. 65):

It lL 1t

I \ogBentdt= I \ogcoBtdt^ — í logj \di

1 C^ n
= — I iogsen2ííZí -log2.

Mas, poniendo 2t^y,

I logsen2¿rf/ = — I log sení/c?//= I log sen¿/fZ?/.
c/o 2 .7o Jo

LiUego

logsen¿f/í = log2.

o -

De manera que, finalmente,

4a2 1og2

VIII

CURVA ELÁSTICA, Ó LINTEARIA

393. Dase el nombre de lintearia, 6 de curva elástica, á la definida
por la ecuación

c) dx

Jo y a^ — [x'

,2 I /.^2

de cuyo análisis se deduce fácilmente la forma de aquella curva.
Para ello, supongamos primeramente que c > 0.

— 355 —

Por ser la integral considerada igual a! límite de una suma de elemen-
tos, de la forma

(íc^ -\- c) dx
\/a? - (a;2 + cf '

concluyese inmediatamente que y será imaginaria cuando c > a, cualquie-
ra que sea x, y, por lo tanto, que en este caso no existe curva realizable;
que, siendo a > c, «/ es también imaginaria cuando el valor absoluto de x

es mayor que ya — c, y, por consiguiente, que la curva no se extiende
más allá de las rectas paralelas al eje de las ordenadas que pasan por los

puntos My M', cuyas abscisas son iguales á \a — e y — ya — c; y
que á los valores negativos del

límite superior de la integral co- jIM

rresponden valores de y iguales,
pero de signo contrario á los que
corresponden á los valores posi-
tivos de este límite: de manera,
que la curva se compone de dos
arcos iguales, OM y OM' (figu-
ra 112), dispuestos uno de cada Figura 112.
lado de los ejes de las coordenadas.

Las tangentes á la curva elástica se determinan por la ecuación

P'

dy_

dx

x^ -\- c

y/ «2 _ (x^ + cf

la cual demuestra que y no admite valores máximos ni mínimos; que el
coeficiente angular de la tangente en el origen de las coordenadas es igual

á , ; y que las rectas PM y P' M', paralelas al eje de las orde-

nadas en los puntos extremos de la curva, son tangentes á la misma curva.

Y del propio modo se concluye que, en el caso de ser c ■< O y a> c,

la curva posee la forma representada en la figura 113, donde OP, igual

á OP' , lo es también á \ a — c. Pero en este caso debe advertirse que la

— 356 -

curva admite ordenadas máximas (en valor absoluto) en los puntos A'' y N',

correspondientes á las abscisas y — c y — V — c.

394. Para hallar el va-
lí lor del radio de curvatura
de ambas curvas conside-
radas, adviértase que

-X

9n^

a' X

Figura IIH.

[cfi — {x^ + c)-^Y

Con lo cual basta par* con-
cluir que

R =

2x

Luego el radio de curvatura de la curva elástica en el punto (x, y) es in-
versamente proporcional á la abscisa x.

Mereciendo notarse que esta propiedad es exclusiva de la curva de que
ahora se trata, y que analíticamente la define. Para verlo basta integrar la
ecuación

(1-f /2)^ _ a_ ^
y" 20='

Por ser, en efecto,

dy' __

J^^]L-=2xdx.

(1 + 2/'^) 2

J

(1 + :y'2)2

vrr

hállase en el acto que

x^ + c

dy

precisamente la ecuación diferencial de las curvas elásticas.

395. Aunque la integral de que depende la expresión finita de y no
pueda determinarse por procedimientos ó funciones elementales, puede
serlo, sí, por funciones elípticas, como ahora veremos.

— 357 -
Póngase en aquella integral x^ = v~^, y resultará que

p-^ {x"-\-c)dx _ 1 r* icv-}-l)dv

2 c

O, poniendo además v = t -\-

3 «2 _ pa

+ l)dt

nr (a.2 _[_ c) dx c r"" (e< + a

Jo V^a2 — (x2 + cf \/a^ — c^ Jt (c< + a)\/4i

Üdt r^ dt 1

en donde

2 c2 4 c2 + 3a2 8c(9a2_c2)
a = ; o, ^ ' ; y g»^

3 a^-c^' ^' 3 (a2-c2)2' ''^ 27 (a^ _ c2)3

Luego y depende de una integral elíptica de primera especie y de otra de
tercera, reducidas, según esto, á la forma normal, adoptada por Weiers-

TRASS.

Para expresar y por medio de funciones elípticas, póngase ahora

C" dt , , . dt ,

I =?<, t = p{ti), y , = — du,

Ji yát^-g^t-g., \JU^-g,t-g,^

representando por p (u) la función elíptica de Weierstrass, correspon-
diente á las invariantes g^ y g^. Y así tendremos que

p {x^ + c)dx ^ c r p" du 1

Jo \/a2 — (a;2 + cf ^a^ — c^V Jo cp (m) + a J '

a
ó, poniendo — = — p (v),

p {x^ + c)dx _ c r^^ 1 r" du 1

Jo \/a'^ - (x2 + c)2 \Ja^ — c2 L ^ Jo i? (") — P (*') J '

— 358 —
Expresióa que, por la igualdad conocida (expuesta en nuestro Curso de
Análisis, t. III, pág. 175)

P (v)

};(u — v) — ^{u-\- V) + 2C (f) =■

p{u)—p [V) '

y recordando que ^ (u) es la integral de — j) (u) {1. c.¡ p. 179), se trans-
forma como sigue:

I = 7— c'/iJ'(i') + log , + 2X,{v)u \.

De todo lo cual concluyese, finalmente, que

o c 1 .

ct -\- a. p (ti) — p {v)

<j {n — v)

y = / I {cp' {V) + 2 r (r)) m +

p' (v) Va- - c2 L

log

a {u -(- t')

Fórmulas que expresan los valores de x é y, en función de la variable in-
dependiente u, por medio de las funciones elípticas de Weierstrass.

396. La longitud de los arcos de la curva elástica, contados á partir
del origen de las coordenadas, se desprende de la fórmula

-r

adx

dependiente asimismo de las funciones elípticas, y de la cual, procediendo
como anteriormente, se deducen estas otras:

J'^^- adx _ a í"^ dt _ a

u.

Ó, finalmente,

\/a2-

— u.

.2

397. De la curva elástica trató por vez primera Jacobo Bernodlli,
en 1694, en las Acta Eruditorum (Jacobi Bernoulli Opera, t. i. Geiie-

— 359 —

0(R, 1744, p. 576), y en 1705 en las Mémoires de l'Académie des Sciences
de Parts (Opera, t. ii, p. 976). A fijar la atención en esta curva le indujo
el problema de la determinación de la forma que adquiere una lámina
elástica, fija por uno de sus extremos, y sobre la cual actúa una fuerza
perpendicular á la misma lámina, y situada en el plano de su fibra media.
Problema que generalizó posteriormente PoissoN (Traite de Mécanique,
seconde édition, t. i. Paris, 1833,^. 598), considerando el caso de no ser
la fuerza perpendicular á la lámina, sino de serlo simplemente á la super-
ficie que pasa por la mencionada fibra media; y, más tarde, Binet (Gomptes
rendus de l'Académie des Sciences de Paris, i. xviii, p. 1115) y Wantzel
(ítem, p. 1197), que estudiaron el caso de actuar la fuerza en una dirección
cualquiera. A estas generalizaciones del problema considerado corresponde
otra muy notable de la noción de curva elástica, que, en el último de los
casos considerados, se convierte en curva de doble curvatura, las coorde-
nadas de cuyos puntos enseñaron á determinar los geómetras últimamente
mencionados, haciéndolas depender de simples cuadraturas ; y Hermite,
últimamente, expresándolas por medio de funciones elípticas, en su im-
portante memoria Sur quelques applications des fonctions elliptiques (Pa-
ris, 1885, p. 93).

La curva elástica fué hallada también por Eüler como solución de los
siguientes problemas, fáciles de resolver por el método de las variaciones:

1." Entre las curvas del mismo perímetro, que pasan por dos puntos
fijos, hallar aquella que, girando al rededor de un eje, engendra el sólido
de máximo volumen (Metlwdus inveniendi lineas curvas maximi minive
proprietate gaudentes, 1744, cap. V, núm. 46).

Y 2° Entre las curvas del mismo perímetro y que limitan la misma
área, hallar aquellas que, girando al rededor de un eje, engendran un sólido
de máximo 6 mínimo volumen (1. c, cap. VII, núm. 22).

398. Advirtamos, para concluir, que Jacobo Bernoulli (Opera,
1. 1, p. 597) encontró la misma ecuación que para la forma de una lámina
elástica, sujeta á la acción de una fuerza, agente en determinadas condi-
ciones, para la de un lienxo rectangular, flojo y suspenso por dos de sus
bordes opuestos, sobre el cual se hace gravitar un líquido pesado: por lo
cual á la curva de que se trata aplicó el nombre de üntearia.

— 300 —
IX

CURVA ISÓCRONA PARACÉNTRICA

399. En 1689 propuso Leibnitz, en las Acta Eruditorum, pág. 198,
el siguiente problema : hallar la airva plana por la cual debe descender
un punto grave, para que su distancia á otro punto fijo varíe proporcio-
nalmente al tiempo empleado en recorrer ó describir cada arco de curva.

A la curva que satisface á la condición expresa llamóla el insigne au-
tor del anterior enunciado curva isócrona paraccntrica. Y el problema á
que se refiere resolvióle, conforme á continuación expondremos, Jacobo
Bernoulli, que publicó la solución en el tomo de las mismas Acta, co-
rrespondiente al año 1694, págs. 276 y 336 (Opera, t. i, p.' 601 y 608).

400. Adoptando para origen de las coordenadas el punto fijo dado, y
para eje de las ordenadas la vertical que pasa por este punto; si por xéy

se designan las coordenadas del móvil, la distancia r ^=- y x- -\- y^ entre
ambos puntos debe variar, conforme pide el enunciado del problema , pro-
porcionalmente al tiempo t. Y, por lo tanto,

d\x^-\- y^ 1 ( ^ dor ^_ _ dy

dt ^ '

Ya,2 j^y^X dt dt f

designando por k una constante dada.

En virtud del descenso ó caída de los graves, se verifica además, según
es bien sabido, que

dl__dx^ + dy^_

dt^ dt^ ^

si por s se representa la longitud de un arco cualquiera de la curva.
Y eliminando dt entre las dos ecuaciones anteriores, resulta esta otra:

k^ (íc2 + 2/2) [dx^ + dy'^) = 2g (y + h) (xdx + ydyf.

Supongamos, en particular, que la curva pasa por el punto fijo, consi-
derado en su definición, y hallaremos que, cuando sea y = O, será tam-

— 361 ~

bien — i^ — '^^—^ — := — —, y, en consecuencia, k^ \2qh: con lo cual la
dt dt

ecuación anterior se reducirá á la que sigue :

h (ÍC2 + ^2) ^d^2 + ¿y2) = {y-\-h) {xdx + ¡/dy)'':

6, en términos más sencillos,

{xdx -\- ydy) \ij = \k {¡/dx -)- xdy).

40 1 . Para integrar esta ecuación diferencial de la curva isócrona pa-
racéntrica, procedió Bernoülli (/. c.) conforme á renglón seguido se ex-
plica.

Póngase en ella primeramente

hy = vx. y hx = ryít^ — z^,

y hallaremos, por de pronto, que

V dx
ydx — xdij = , , y xdx -\- ydy ^vdv:

de donde se desprende, en conclusión, que

V 2 dv =

\J{h^ — z^) X

E integrando ahora, y determinando la constante arbitraria por la condi
ción de ser v ^ O, cuando sea z^O, hállase que

^—H'

dz

6, suponiendo que sea z = h cos2w.

\Jv=£'- ^"'"^

— Vcos2tjj

— 362 —

Vese, pues, que los valores de v y de x é y dependen del valor de la
longitud de un arco de lemniscata (Núm. 146): razón por la cual á la cur-
va estudiada en el Núm. 139 le fué aplicado, entre todas las de su mismo
nombre genérico, el especial de lemniscata de Jacobo Bernoulli.

402. La integración de la ecuación diferencial, en el párrafo anterior
considerada, puede efectuarse por procedimiento más sencillo que el aca-
bado de exponer, comenzando por escribir aquella ecuación en coordena-
das polares, mediante las expresiones x = ^ eos 9 é «/ ^ p sen O, transfor-
mándose con esto en la que sigue:

P Vsen9

De donde, integrando y determinando la constante arbitraria por la con-
dición de ser p = O, cuando 9 = O, se desprende que

- \¡h re rffj

^-^í

\/sen9

■K

6, suponiendo que 6 = w,

_ eos ¿ ü)

i

CAPÍTULO OCTAVO

LAS ESPIRALES

ESPIRAL DE ARQUiMEDES

403. La espiral de Arquímedes es la curva engendrada por un pun-
to móvil, con movimiento uniforme, á lo largo de una línea recta, mien-
tras ésta gira, con movimiento uniforme también, alrededor de otro punto
fijo, con el cual coincide el primero en su posición inicial. Curva minucio-
samente estudiada por el gran geómetra de Siracusa en el Tratado que le
consagró; pero cuyo descubrimiento y el enunciado de sus principales
propiedades atribuyeron algunos autores á Conon, reservando las demos-
traciones para Arquímedes: por lo cual fué durante mucho tiempo co-
nocida con el nombre de espiral de Conon (Pappo: Comentarios, ed.
Hidtsch, 1. 1, p. 234; Montücla: Histoire des Mathématiques , 2." ed., t. i,
p. 226; etc.). Pero Nizze, autor de una traducción alemana de las obras
de Arquímedes, demostró con gran copia de argumentos la falsedad de
esta conjetura, habiendo sido sus conclusiones aceptadas como buenas por
los historiadores modernos (P. Tannery, Cantor, G. Loria, etc.)

Las demostraciones de las propiedades de la espiral, propuestas por
Arquímedes, parecíanle á Libri tan largas y complicadas, que, fijándose
en ellas, decía: Apres vingt siccles de travaux et de dccouvertes, les inté-
lligences les plus puissantes viennent encoré échouer centre la synthcse
diffieile du Traite des Spirales. Opinión refutada por Peyeaed, traduc-
tor al francés y comentador de las obras del célebre geómetra griego, quien
con razón sostuvo que solamente pueden calificarlas como de difícil ó pe-
nosa inteligencia los lectores no familiarizados con los antiguos métodos
de investigación geométrica; pero no los conocedores de aquellos métodos,

364

para los cuales ninguna seria dificultad presentan. Sea como quiera, aque-
llas propiedades se demuestran actualmente de la manera más sencilla por

los procedimientos del
Análisis moderno, apo-
yándose en la simplicí-
sima ecuación de la cur-
va, ó en su definición,
expresada en coordena-
das polares:

De esta ecuación se
deduce, en efecto, inme-
diatamente que el punto
generador de la curva
parte del origen de las
coordenadas, tangencial-
mente al eje polar, y des-
cribe luego un número
infinito de vueltas ó re-
voluciones en derredor
de aquel punto de partida, alejándose de él constantemente (fig. 114), en
un sentido ó en otro, según el sentido inicial del movimiento.

404. La subnormal, S,,; la subtangente, S,; la longitud de la nor-
mal, N; y el ángulo, V, de la tangente á la curva con el radio vector del
punto de contacto, se hallan expresos por estas fórmulas:

..=i=».- s.

p2d6

tangF

<¿p

_ prf9 __p
~ dp ~ o

pB; N=\a^ + ?^; y

De las cuales, la primera y la última permiten fácilmente construir las
normales y las tangentes á la espiral considerada. Y la segunda muestra
que la subtangente OT es igual á la longitud del arco, MA^ M^, de la cir-

- 365 —

cunferencia, descrita desde el polo O, con el radio OM, igual á p. Rela-
ción muy curiosa, entre el problema de la rectificación de la circunÍCTen-
cia y el de la determinación de la tangente á la espiral, hallada por Ar-
QüÍMEDES, y primero ó más antiguo ejemplo conocido de la determinación
de la tangente á una curva por medio de la subtangente.

405. El radio de curvatura de la espiral de Arquímedes tiene por
expresión

R.

p2 + 2a2 ~ N^-\-a^

de la cual se concluye una sencilla construcción del centro de curvatura.
406. El íírea A, recorrida por el radio vector de la espiral conside-
rada, cuando 9 varía desde 9f) hasta 9j, se determina de este modo:

O 6a

Y comparando el valor de A con los de las áreas de los sectores circu-
lares, que abarcan el mismo ángulo 6^ — 9^ y corresponden á los radios
pj y Pi3, determinados por las fórmulas

^1 = T- Pi^ (Pi — Po) y ^o = l^PoMpi — Po).
¿a 2a

hállanse las siguientes igualdades, obtenidas por Arquímedes:

A _ p,3_p^3 _P»P0 + Í(PI-P0)^

A 3p,MPi-Po) p,2 ' ^

A.-A Po + 2p, . P° + f(P^-Po^
^~'' ^^ + '^« Po+j(P.-Po)'

De la fórmula (A) dedúcese además, poniendo 9^=2 («— 1) 7t y 9j=2/í k,

— 366 —

y representando por ^("' el valor del área recorrida por el radio vector,
cuando éste describe la espira 6 vuelta de orden ?i, la igualdad

^C) = — 7:3 a2 (3n2 — 3« + 1),

ó

de la cual resultan varias relaciones interesantes, señaladas también por
Arquímedes, entre las cuales recordaremos las siguientes:

A'^^l = — n^a^; ^(2) — ^(i' = 8n3a2; A^"^ — Á^«-^^ = 8{n—l) n^a^;
3

^a) = 1 (^(2)_ ^(1)). j^n) _ ^;«-i) = (,i _ 1) (^c^)— 4('0; etc.
6

El procedimiento de Arquímedes para determinar el valor de A fué
verdaderamente notable, y constituye uno de los primeros ejemplos cono-
cidos del método de los indivisibles y del infÍ7iitesÍ7nal. Como en los mé-
todos así denominados, Arquímedes consideró, en efecto, el área A como
una suma de sectores circulares, en número creciente indefinido, y esto
bastó para, en cierto modo, revelarle el resultado que buscaba, utilizando
luego para demostrar su legitimidad el procedimiento clásico de exkaución,
empleado siempre por los antiguos geómetras para la resolución de cues-
tiones de este género, y referente al cual puede consultar el lector con pro-
vecho la excelente obra de Zeuthen, titulada Geschichte der Mathernatik
in Altertum und Mittelarter (1896, p. 166-183), donde también encon-
trará, expuesto en la forma usual ahora, el método original de que se valió
el mismo Arquímedes para calcular el valor de A.

407. La longitud, s, del arco de la espiral de Arquímedes, compren-
dido entre los puntos (p^, 9^) y (pj ,9i), se halla expresada por la fórmula

=rv^'^-"-c^^^-'-

Y como la longitud del arco de la parábola, y'^ = 2px, comprendido en-
tre los puntos (Xq, y^) y (x^, y^), lo está por la siguiente

+ y^ dy>

— 367 —

se ve que la lo?igitud del arco de la espiral de Arquímedes es igual á la
del arco de la parábola anterior, comprendido entre los puntos cuyas or-
denadas son iguales á los radios vectores de las extremidades del arco de
la espiral.

Proposición esta última debida, segúa testimonio de Pascal, á Ro-
BERVAL. Pero como la demostración dada por este célebre geómetra estu-
viese fundada en consideraciones cinemáticas, Pascal propuso otra muy
distinta, completamente geométrica. (Oeuvres, ed. Hachette, t. ii, 1889,
p. 450).

Para más amplias informaciones, referentes á la historia de la espiral
de Arquímedes, véase G. Loria: Le scienxe esatte nel'antica Grecia, t. ii,
Moffewa, 1895, 2J. 113-122.

n

ESPIRAL DE GALILEO

408. Fermat, en sus cartas al P. Mersenne, de 26 de Abril de 1636
y 3 de Junio del mismo año [Oeuvres, ed. O. Villars, t. ii, 1894, p. 12),
y en uno de sus escritos (Oeuvres, t. iii, p. 70), menciona una espiral, á
la cual atribuye el nombre de Galileo. Y algunos pasajes de las obras
de Mersenne (transcritos en el tomo ii, p. 15, de la nueva edición de las
obras de Fermat), sugirieron á P. Tannery la conclusión de que la espi-
ral así denominada es la curva representada en coordenadas polares por
la ecuación

p = a _ ¿,í)2.

Curva que Fermat estudió á instancia de Mersenne, que la había en-
contrado al resolver el problema de «hallar la curva descrita, relativamen-
te á la Tierra, animada del movimiento de rotación diurna, por un punto
material grave, que desciende hacia ella libremente, según la ley de Ga-
lileo.»

409. La forma de esta espiral es fácil de obtener (fig. 115),

'VI

Cuando O varía desde O hasta \ / — , p decrece desde a hasta 0; y cuan-

— 368 —

do después O varía desde

Vf

hasta 00 , el radio vector p es negativo y

crece en valor absoluto desde O hasta oo. Luego el punto generador de

la curva parte del A, en donde es
OA = a; aproxímase al O hasta
encontrarlo, describiendo la rama
ABCO; y después se aleja indefini-
damente de este punto, dando un
numero infinito de vueltas alrededor
del mismo. La tangente en el punto

O forma un ángulo, igual á

y/l

con el eje Ox.

A los valores negativos de 9 co-
rresponde otra rama igual de la cur-
va, simétrica de la primera relativa-
mente al eje Ox.

410. Representando por V el
ángulo formado por la tangente con
el radio vector del punto de contacto, hállase que

Figura 115.

tangF:

p

2V¿(rt — p)

Fórmula que permite construir fácilmente las tangentes á la curva, y
muestra que en el punto A la tangente es perpendicular al eje Ox.

411. La expresión del radio de curvatura de la curva , en el punto
(p, 9), dice como sigue:

ji^ (p2-4¿p4-4a¿>)^ _
p2 — 6¿(p + 8a¿>

Y como, sustituyendo en el segundo término del denominador de esta
igualdad, p por su valor en función de a, 6 y 9, se ve que este denomina-
dor no puede ser nulo, concluyese que la curva no posee punto ninguno
de inflexión.

— 369 —

412. Para determinar los puntos duplos, existentes en la rama de
la curva, dependiente de los valores positivos de 9, basta atender á que
estos puntos deben evidentemente corresponder á dos valores de 8, sepa-
rados uno de otro por el arco (2w -|- 1) ir, representando por n un número
entero y positivo, y además á dos valores de p, iguales y de signo contra-
rio, conforme indican estas expresiones:

p = a_6e2 y — p = a — 6[9 + (2« + l)itf.

De las cuales, por eliminación de p y resolución de la ecuación del segun-
do grado resultante, se deduce que ha de ser

, q _ — (2w -|- 1) 7i¿) jr V4a& — b^ -rt^ (2?^ + 1)^

b

Ecuación ésta que puede dar para 9 valores imaginarios, negativos y po-
sitivos. A los imaginarios no corresponden puntos de la curva; y á los ne-
gativos tampoco corresponde ninguno de la rama considerada: basta, pues,
considerar los valores positivos de 0.

Para que 9 sea real, es necesario que se verifique la condición

4a>¿>7t2(2M + l)2;

y para que sea positivo necesítase además que resulte satisfecha esta otra
condición

\/4ab~b^n^i2n-{-iy^ >(2w -f 1) u¿,

2a>6it2(2^j-j_l)a.

La condición única para que el valor de 9 sea real y positivo se reduce,
pues, á la siguiente:

2a>¿)7:2(2n+l)2:

de la cual se desprenderán los valores de n á que corresponden los de 9,
dados por la igualdad (1), pertenecientes á los puntos duplos buscados.

21

— 370 —
Poniendo en las fórmulas anteriores n = 0, concluyese que solamente

existirán puntos dobles cuando sea \ / — > — =:-.

V ¿ V2

Pero, además de los puntos duplos que acabamos de determinar, la
curva posee los puntos existentes en la rama de la curva que corresponde
á los valores negativos de O, simétricos de los anteriores relativamente al
eje Ox, y los colocados sobre este eje, en que las dos ramas de la curva
se cortan.

413. El área descrita por el radio vector, cuando 9 varía desde O
hasta 6, se halla definida por la fórmula

414. Y la rectificación de la curva se obtiene con auxilio de las inte-
grales elípticas de 1.' y de 2." especie, conforme ahora pasamos á de-
mostrar.

Por de pronto

ds = yjb'^ 94 + 2 (2¿2 — ab) 62 -f a2 . dH-

6, poniendo ^^^ x^

1 b^x^ 4-2 {2b^ — ab)x 4- a^ ,
ds = ^ dx.

2 \/x [¿a %2 ^ 2 (2 ¿2 - ab) x + a^]
Pues poniendo ahora

^2 [¿a x,^^2 (2¿2 — ab)x-\- a^] = F{x},

se hallará que

6 \/F{x)

1 [F' (x) + 2 (2¿2 — ab)x-\- 2a^\ dx

y, por lo tanto,
ds

= — dF(x) 4-- ' dx .

3L V^(^) J

— 371 .—

Para lograr que en F{z) desaparezca el término del segundo grado, ad-
mitamos que

, , , 2 2b — a

3 6

y con esto se hallará que

1 rb j./r-, " 2i2b — a)vdv

ds =

3

Vb ,./r-z " I 2{2b — a)vdt

+

■92

2a^dv

¿>\/4í)3

}

9 1^^—92
en donde

q, = l2h^ — ^ y f/., = 4 ('2^2 — "^\ h.

De manera que, en efecto, s depende de dos integrales elípticas, una de
primera y otra de segunda especie, reducidas á la forma normal, adoptada
por Weierstrass.

Y además vese, en conclusión, que una de estas integrales desaparece

cuando ¿ = — a.
2

m

ESPIRAL DE FERMAT

415. La denominada espiral de Fermat, estudiada por el gran geóme-
tra de Toulouse, en carta dirigida al P. Mersenne en 3 de Junio de 1636
(Oeuvres, ed. G. Villars, t. iii, 1896, p. 277), tiene por ecuación

Cuando 9 crece desde O hasta 00 , los valores positivos de p , correspon-
dientes á 9, crecen también desde O hasta 00 . El punto generador de la
curva da, pues, un número infinito de vueltas alrededor del origen de las
coordenadas, describiéndola curva OABCD... (fig. 116), que se aleja cada
vez más del mencionado origen, donde la curva es tangente al eje polar ó
de las abscisas.

— 372 —

A los valores negativos de p corresponde otra rama OA' B'... de la cur-
va, igual á la primera y tangente también en el punto O al eje de las abs-

cisas. Las dos ramas reunidas forman una curva continua, de la cual O es
un punto de inflexión y un centro.

416. El ángulo V, formado por la tangente con el radio vector del
punto de contacto; la subnormal 5„; y la subtangente Sf se expresan por
las fórmulas

tangí = -^, «„=—-, y S,
a^ 2p

_ 2p^

de las cuales se desprenden diversos procedimientos para construir las tan-
gentes é. la curva.

417. La expresión del radio de curvatura es

4 \2

R:

p ■\

— 873 —

418. El área descrita por el radio vector, cuando 9 varía desde Qg
hasta 9,, queda determinada por la fórmala

^ = iPp-^d8 = ^{V-6o^).
2 A 4

De la cual, poniendo 9q = O, 2Tt, in,... y ^^ = ^^-\-2tz, se deducen
para valores de las áreas A^, A^, A^,..., correspondientes á una, dos, etc.,
revoluciones del citado radio, estas otras:

Al = a^ K^, A^ = Sa^ v?, A^ = ^a^ v?,...

Por ser OD ^ a y 2it, el área A^ resulta igual á la mitad del área del
círculo de radio OD.

Y por ser constante, é igual á 2a^Tt^, la diferencia de dos números su-
cesivos de la serie A^, A^, Ar^,..., vese que el aumento del área en cada
revolución es igual al área del círculo del mismo radio.

Proposiciones ambas demostradas por Fermat en la carta á que renglo-
nes antes se hizo referencia.

419. La longitud del arco de la curva, comprendido entre el punto
O y el (9,p) tiene por expresión

Jo \ UU Jo 2V/9(4e2+l)

resoluble en las integrales elípticas

r 92^9 n ¿9

J V'O (492 + 1) J V^9(4 6a_|_i)'

La primera de estas integrales es susceptible de reducción, pues inte-
grándola por partes se halla, en efecto, por de pronto

J \/íj(492 + l) «L J V9(4 92-|-i) J

- 374
y, por lo tanto,

9(462+ 1)
Luego

s =

3 L Jo V 9 (4 02 + 1) J

cuyo valor depende exclusivamente de una integral elíptica de primera es-
pecie.

IV

ESPIRAL PARABÓLICA

420. La espiral de Fermat pertenece á un grupo de curvas estudia-
das por Jacobo Bernoulli en su Specimen Calculi Differentialis in di-
mensione parabolce Aefócow¿¿s, publicado en 1691 en las Acta Ernditorum
(Opera, t. i, p. 431), en donde determinó sus tangentes, sus puntos de
inflexión, sus áreas y la longitud de sus arcos, y á las cuales aquel emi-
nente geómetra dio el nombre de espirales parabólicas.

Tienen por ecuación general estas curvas la siguiente:

(p — o)2=2¿ja9.

De la cual se desprende la que corresponde á la espiral de Fermat po-

niendo en ella, primeramente, p = — , y después a = 0.

a

42 1 . Las espirales parabólicas se componen de dos ramas.
La primera, ABCD... (fig. 117), correspondiente á la ecuación

p = a tJ- Y 2 pa9,

parte del punto A, donde es 9 = O, y p = O A ^ a, y da un número infi-
nito de vueltas alrededor del origen O, alejándose indefinidamente de este
punto.

— 875 —

Y la segunda rama, AOEFQ..., correspondiente á la ecuación

p = a — Y 2paO,

parte del mismo punto A y aproxímase cada vez más al O, hasta encon-
trarle allí donde 9 ^ — , para después alejarse indefinidamente del mismo

2p
punto.

Figura 117.

La tangente á la curva en el punto O forma un ángulo igual á con

2p

el eje de las abscisas. En los demás puntos Bebnoülli determinó las tan-
gentes valiéndose de las siguientes expresiones:

P (P — «) „ P^ (P — «)
tangw= , y Oj =

ap

ap

designando por w el ángulo de la tangente buscada con el radio vector del
punto de contacto, y por S, la subtangente: fórmulas de las cuales se de-
duce que la curva es tangente al eje de las abscisas en el punto A.

422. La curva tiene evidentemente puntos duplos para cuya deter-

— 376 —

minación es menester encontrar dos valores de B, que difieran entre sí en
(2w -|- 1)71, siendo n número entero y positivo, y á los cuales correspon-
dan valores de p iguales y de signo contrario. En estos puntos debe, pues,
verificarse que

2 = a-\-yJ 2im^, y — ^ = a — 'yj 2pa[^ -\- {2n -\-\)-k\;

p = a — '\/2j5a9, y — p = a — Vs jía [9 -f (2 »i + 1) ti],

según que el punto duplo proceda de la intersección, una con otra, de
ambas ramas, 6 de cortarse una de estas ramas á sí misma. En ambos ca-
sos, por eliminación de p, se obtiene este resultado:

{ 4 a2 — 2 pa [2 6 -f (2 M + 1) tt] } 2 = 16 p2 ^2 9 [9 ^ (2 „ _^ i) „];

y, por lo tanto,

^_ [2a-p{2n + l)^f _
8 ap

Fórmula en la cual n representa cualquier número entero positivo, y que
sirve para determinar los valores de 9 á que corresponden puntos duplos
de la curva.

423. Para determinar los puntos de inflexión de la espiral conside-
rada, recurriremos á la fórmula general

p2 — p — ^

di

^m--

que, aplicada al caso de que ahora se trata, se transforma en la que sigue:

p2 ( p — a)3 + 2 p^ «2 ( p _ a) ^ pa «2 p = 0.

De esta ecuación, combinada con la de la curva, se deducirán los valo-
res de p y 6, correspondientes á los puntos de inflexión buscados, entre
los cuales muestran las mismas ecuaciones que ha de poseer la curva uno
real, por lo menos. Y también de su atenta consideración se infiere que los

^ 377 —

puntos de inflexión reales de la curva se hallan situados en el interior de
la circunferencia, cuyo centro coincide con el origen de las coordenadas,
y cuyo rculio es igual á a; y que el valor de p en estos puntos es positivo.
Luego, fuera del arco AEFO de la curva, no es posible que ésta posea
ninguno de aquel nombre.

424. El área descrita por el radio vector p, al pasar de una posición
á otra distinta, es fácil de calcular. Pues, en efecto, tomando como posi-
ción inicial del radio la O A, el área se hallará expresada de este modo:

[s -j
^^ 3 J

De donde se deduce, por referencia al signo — , y poniendo por 9 su valor

en el punto O, donde O = , que el

2p

O A y su cuerda, tiene por expresión

en el punto O, donde O = , que el área A^, comprendida entre el arco

2p

A= "

2ip

425. Para rectificar la espiral considerada, contando los arcos á partir
del punto A, hállase que

fórmula transformable en integrales elípticas.

Para más amplias informaciones referentes á la espiral parabólica véase
G. E. Weyer: Ueber die paraboUsche Spirale, Leipzig, 1894.

V

ESPIRAL HIPERBÓLICA

426. Con el nombre de espiral hiperbólica designó Juan Bernoulli
(Acia Eruditorum, 1713, jj. 77; Opera omnia, t. i, p. 552) la curva de-
finida por la ecuación

p(j = m ,

en la cual m representa una constante.

— 878 —

Como p disminuye y tiende hacia O, conforme 9 aumenta y tiende hacia oo
vese que la curva da un número infinito de vueltas en rededor del orig en, O,
de las coordenadas, al cual indefinidamente se aproxima, y que por tal mo-
tivo constituye un punto asintótico de la misma curva ( fig. 11 8).

Representando por x é y
las coordenadas cartesianas
de la curva, hállase que

•3

f

B

1

í

^V^

L>

y = p sen '

■ m

sen 8

Figara 118.

de manera que y tiende ha-
cia m, conforme 9 se apro-
xima á cero. Luego la recta
AB, paralela al eje Ox, y
cuya distancia á este eje es
igual á m, es asíntota de la
curva.

427. La subtangente, la subnor?nal, la longitud de la tangente y la
longitud de la normal de la espiral hiperbólica, resultan expresadas por
las fórmulas siguientes:

S,^-m; S„ = - — = --^;

fp m

La primera de las cuales demuestra que la subtangente es cantidad
constante, cualquiera que sea el punto de la curva á que se refiera: pro-
piedad que permite construir con suma facilidad la tangente en cualquier
caso.

428. El radio de curvatura tiene por expresión

jg ^ p jm^ + P^)

s

,2\ 2

w

m

N3

de la cual también fácilmente se deduce la determinación del centro de

— 379 —

curvatura, y que, además, muestra que la curva carece de pimtos de in-
flexión.

429. El área descrita por el radio vector, cuando éste se mueve desde
la posición correspondiente al ángulo ()q, hasta la correspondiente al 9^, se
determina por la fórmula

2j8„ 2

(Po — Pi).

y es igual al área de un triángulo de construcción muy sencilla.

430. Y por esta otra la longitud del arco de la curva, comprendido
entre los puntos (Po, 9o) 7 (pi, 9i):

« = P yp' ^ + I • '¿P = J' Vm«í'^ + pVrfp

2 v/pi^ + m« +

kSTT^+^iog-^

L 2 V/Pn^ +

m

2 \/p„2 + ^a +

m

O

«= T,- To + ^log Í^:í^^1ÍZ^±^:
"^ 2 ^ (Ti + m)(7o-m)

representando por Tq y T^ las longitudes de las tangentes á la curva en
los puntos considerados.

43 1 . Entre los resultados que acabamos de obtener, referentes á la
espiral hiperbólica , y los obtenidos en los Núms. 347 á 350, al tratar de
la curva logarítmica, adviértense algunas analogías y relaciones en las
cuales conviene insistir un momento.

Si consideramos un punto de la espiral hiperbólica y otro de la logarít-
mica (Núm. 345), tales que la ordenada cartesiana de éste sea igual al ra-
dio vector de aquél, las lotigitudes de la subtangente, de la subnormal, de
la tangente, y de la normal en ambas curvas, correspondientes á los dos
mencionados puntos, son iguales. Y si consideramos además dos puntos de

— 380 —

la espiral hiperbólica y otros dos de la logarítmica, tales que las ordenadas
de los últimos sean iguales á los radios vectores de los primeros; el área de
la figura, formada por estos radios vectores y por la espiral, es mitad del
área de la figura, limitada por las dos ordenadas, por el arco de la logarít-
mica entre ellas comprendido, y por el eje de las abscisas. Así como la
longitud del arco, comprendido entre los dos puntos considerados de la
espiral, es igual á la longitud del arco comprendido entre los puntos co-
rrespondientes de la logarítmica.

VI

L I T U US

432. El lituus (cayado 6 báculo) es una curva espiral, de la cual
trató por vez primera Cotes en su Harmonía mensurarum, publicada
en 1722, y que tiene por ecuación, en coordenadas polares, la que sigue:

De la cual inmediatamente se deduce que: «El lituus es una curva de
tal condición que, al variar de situación el punto generador, pasando de
M á My.., el área del sector circular, que tiene por centro el origen O de

Fisnra 119.

las coordenadas, y que se halla comprendida entre el eje polar Ox y el
radio vector OM, permanece constante».

— 381 —

433. La misma ecuacióa enseña que, cuando 9 aumenta, el punto ge-
nerador de la curva describe un número infinito de vueltas alrededor del
O, aproximándose indefinidamente á él, sin jamás alcanzarle. Cuando, por
el contrario, 9 tiende hacia O, el punto generador se aleja indefinidamente
del eje de las ordenadas, aproximándose al mismo tiempo al de las absci-
sas, como asíntota que es de la curva. En los puntos A, B, C, D, E..., don-

Ti 3 5

de 6 es sucesivamente igual á — ,ir, — u, 2w, — it,— , p adquiere estos

otros valores, correspondientes á los de 9 (fig. 119):

OA

=.yi,oi,=„yx,oc=ayx,...

434. La subtangente de la curva en el punto (9, p) tiene por expresión

5,= p2Í!. = _l^,

dp p

igualdad que permite construir las tangentes al liíuus.

4Í5. Para determinar los radios de curvatura del lituus sirve esta
otra fórmula:

j.^ p(4a4^p4)2
2 a2 (p* — 4 a*)"

436. Y los puntos de ififlexión de la curva se encuentran mediante
el análisis de la igualdad

^¿92 [d^ ) ^

que, en el caso de que se trata, se reduce á

19-^-1 = 0:
4

de donde se concluye que 9 = ±: — . Como á 9 :^ corresponde un

— 382 —
valor imaginario de p, la curva posee un solo punto de inflexión, M.¿, defi-
nido por las coordenadas 6= — yp=av2.

id

437. El área A, descrita por el radio vector, cuando 9 varía desde 8q
hasta 6j , se halla expresada por la fórmula

A^ — a'^ log _ .

2 ^ \

438. Mas por ser

la curva no es rectificable por medio de funciones elementales.
Reduzcamos la integral anterior á la forma

»j

^ (1 + 46^)^9
2 e \/ O (1 -t- 4 92) '

y sencillamente se verá que la rectificación de la curva depende de las in-
t«grales

9 \/8 (1 + 4 92) J VMI + 462)'
y teniendo presente la igualdad general conocida, fácil de verificar,

r ¿9 _ 2 V 9 (4 92 + 1) ^ r* 9¿9

J '9 V (4 92 -t-T)9 ^ J VH4íI'+1j '

hállase, en conclusión, que

_ l"Veo(4Bo2 + l) y ^i, (4 9,2 + 1) ^ ^ p ^¿9 I

L ^0 ^1 A \/9(492 + l)J

Por lo tanto, s depende de una integral elíptica de segunda especie, re-
ducida á la forma normal adoptada por Weierstrass.

— 383 —
VII

ESPIRAL LOGARÍTMICi»

439. Las primeras indicaciones referentes á la espiral logarítmica en-
cuéntranse en dos cartas escritas por Descartes al P. MersEnne en 1638:
en las cuales el gran filósofo habla de la curva, secante á todas las rectas,
situadas en su mismo plano y que parten de un cierto punto ú origen, for-
mando con ellas un ángulo constante: precisamente la denominada espiral
logarítmica. Cuyas propiedades notables fueron poco más tarde descu-
biertas por Jacobo Bernoulli, quien las expuso en dos artículos, publi-
cados en 1691 y 1692 en las Acta Eruditorum (Opera, t. i, p. 442 y
p. 491).

440. Por ser, representando por V el ángulo formado por el radio
vector que pasa por un punto de la curva con la tangente á la curva en el
mismo punto,

tangF=-S-— ,
dp

la ecuación diferencial de las curvas, á las cuales corresponde un valor
constante de V, será

prf6 1
dp ""T"

que, integrada, produce la siguiente ecuación finita de las mismas curvas,
ó de las espirales logarítmicas:

p = Ce'\

Por medio de esta ecuación vese que la parte de la curva, correspon-
diente á los valores positivos de 6, desde O hasta co, arranca (fig. 120) del
punto A, cuyas coordenadas son O y C, y da un número interminable de
vueltas alrededor del origen de las coordenadas ó polo, desviándose cada
vez más de este origen; y la correspondiente á los valores negativos, desde O

— 384 ~

hasta — 00, parte del mismo punto, y describe también infinito número de
vueltas en derredor del polo, aproximándose á él incesantemente sin alcan-
zarle nunca.

Figura 120.

441. La subnormal, la subtangente y la longitud de la normal tienen
por expresiones respectivas las siguientes:

Sn = C^> Si = {, y iV=p\/l + c2:

de las cuales inmediatamente se deduce que S„, Sfy N son proporciona-
les á fi

442. Y el radio de curvatura esta otra:

B=i>yi-(-c2

proporcional también a p, e igual én longitud á la normal.

Trazando, pues, la normal á la curva en el punto M, y prolongándola
hasta cortar en JV^á la recta ON, perpendicular á OM, se obtiene el cen-
tro de curvatura N, correspondiente al punto M.

— 385 —

Y así es fácil obtener el valor de las coordenadas (J^ y pj del punto N.
Tenemos, con efecto, por ser ON la subnormal,

p^ = ON'=cp=^Cce<'\ y 6^ = JVO.r = fl +

2
Eliminando luego S entre estas ecuaciones, hállase que

Y poniendo ahora

2 c

resulta finalmente

Luego la evoluta de la espiral logarítmica es otra espiral logarítmica,
igual á la primera y referida al mismo polo (Jacobo Beenoulli).
Si fuese, representando por 7i cualquier número entero.

^ _ He ^ 9

?Í7T

la evoluta de la espiral considerada coincidiría con la propia curva.

443. Si 05 representa la perpendicular, trazada desde el origen O á
la ilíí'(fig. 120), tangente ésta á la espiral en el punto M, el lugar geo-
métrico de S, conforme M varíe, será la podaría de la curva, relativa-
mente al punto O.

Por ser OS = OMaen OMS y tang 0M8 = — , resulta que

ÓS= , P ..

Y por ser también MOS ^ OMN, el ángulo MOS será constante, y
podrá designarse por a.

Representando, pues, por p' y S' las coordenadas polares de S, há-
llase que

p'= P y 9' = 9 -a.

■ Vc'^ + l

— 386 —

Ecuaciones que, combinadas con la de la curva, producen para ecua-
ción de la podaría la siguiente :

.í C 0(6' + a)

tí 1

V^c2"+ 1

de la cual se concluye, procediendo como en el ndniero anterior, que la
podaría de la espiral logarítmica es otra espiral logarítmica, igual á la
primera (Jacobo Bbenodlli).

444. Demuéstrase también en la Óptica que las cáusticas por refle-
xión y por refracciÓ7i de la espiral logarítmica son asimismo espirales lo-
garítmicas. (Jacobo Bernoulli). Estas propiedades de reproducción de
la curva, y las consideradas en los Núms. 442 y 443 , vivamente excita-
ron y sostuvieron la atención del mismo eminente geómetra mencionado,
en el detallado estudio á que se consagró para ponerlas bien en claro.

445. El área descrita por el radio vector de la espiral logarítmica,
cuando 9 varía desde 6q hasta 8j, tiene por expresión

4c

446. Y con no menor facilidad se encuentra la longitud de un arco, s,
de la curva, comprendido entre los puntos (Oq, Pq) y (9^, pj), valiéndose de
la fórmula

í:v;

f/f)2 , , , \/l 4- c2 ,

vm

lESPIRAL DE POINSOT

447. Dase el nombre de espiral de Poinsot á la curva definida por
la ecuación

2a

e -f- e

— 387 -

por haber sido considerada por aquel tan ilustre geómetra en su célebre
memoria titulada Théorie Nouvelle de la Rotaüon des Corps, presentada
al Instituto de Francia en 1834 y publicada ea el Journal de Liouville
(1!^ serie, t. xvi).

Por ser p = a cuando es O ^ O, y p = O cuando es O = oo, y por ser
negativa la derivada

da
-^ = — Zam

e-9-e-

(e"

I ^ g-m9y2

cuando O es positiva y diferente de cero, vese que una parte, ABCD..., de
la curva resulta engendrada por un punto que, partiendo de A, en donde

Figura 121.

p = «y6 = 0, da un número infinito ]de vueltas^alrededor del origen O,
en sentido positivo, aproximándose indefinidamente á este punto. Y, como
la ecuación de la curva no se altera cuatido se muda 9 en — 6, concluyese
que la otra parte AB^CDy.., de la curva es simétrica de la primera, rela-
tivamente al eje O A (fig. 121).

—'388 —

448. El ángulo F, formado por la tangente á la curva con el radio
vector del punto de contacto, se determina por la fórmula

tang F ^

,„p (e™» — e-™®)

según la cual la tangente á la curva en el punto A es perpendicular á OA.
Representando por N\a longitud de la normal polar, hállase que

^ '/" ' „2\ „2 ™2n2.

a

nf) a^ — w p""

fórmula adecuada para construir las normales á la curva.

449 . El radio de curvatura de la espiral de PomsoT puede calcular-
se por esta otra fórmula:

De la cual se concluye que la curva carece de punios de inflexión.

En el punto A, la expresión del radio de curvatura se reduce á la que
sigue :

a

R:

m^ -)- 1

450. Para hallar el área recorrida por el radio vector de la espiral
considerada, cuando & varía desde O hasta H, sirve esta otra fórmula:

A = 2a^^ r '^ = — í- ^— I

Jo ^e'«0_^g-™e,2 2>n 12 e^'-O + lJ

451. Y para determinar la longitud s del arco de la misma espiral,
comprendido entre el punto ^ y el punto (9, p), comenzaremos por escribir
la expresión, fácil de encontrar.

í

O 2adH r 5

V(l + w2) (e^'"^ + e-"^"'®) + 2(1— ^2).

(e'^' + e-'"^)

m0^2

1

— 389 —
Mas, poniendo e^"*" = %^ y representando por U\a, integral

^= r « "^^ », V^(l + m^) (e^^S + e-2^9) + 2 (1 -m^),

hállase que

~ 2mJ (x + í)^ V *

= J_ C t( 1 + ^»^) :t2 + 2 (1 — ??z2) X + 1 + w2] ¿^

2»í J (x + 1)2 Vz [(1 + ^2) ;í2 _^ 2 (1 — m^) x; + 1 + m^] '
Suponiendo además que

Z [(1 + W2) í;2 _|_ 2 (1 _ .,«2) ;5; _^ 1 _|_ ^2] = F (x) ,

despréndese la identidad

í^íí)_ = 1 + ,„2 _ 4,;^2 r — 1: 1 1_

X (X + 1)2 L ^^ + 1 (^ + 1)^ J

De la cual se infiere que

U= -- [(1 + m^} f-^^_4m2 f í^^-=^

2w L J Vi?^(*) J (x + 1)Vj^(x)

4- 4m2 f ^' . I

J {z-\-l)^\F(x)A

Y de ésta, empleando una fórmula demostrada en la Teoría de las Fun-
ciones elípticas, ó la siguiente identidad, fácil de verificar por diferen-
ciación:

p rf;t ^ }/f{x) r dx

J {x-{-i)^}/¥jx) 4^2 (x + 1) J (^+i)y;^

1 + ^2 r'{x-{-l)dx
^m^ J yjF (x)

— 390 —
lo que sigue:

IT^ ] V\F{x) m'^4-1 r dx 1 + m^ r xdx I

2mlx+l 2 J ^^Y(^) 2 J VF(¡)J"

Para que las integrales elípticas que figuran en esta fóroaula adquieran
la forma normal adoptada por Weierstrass, basta poner

x^ V -\- h y h ^

3 \ -\- m^

con lo cual desaparece el término de segundo grado que entra en la com-
posición de F(x), y se obtiene finalmente

2m I ^ \x. -r llí- 1 . I í/ZHjJ g y g

r 5 + ^2 r dv

L3(i + m-^) J y4V3_^,^,

J y4iT3 — ^j t; _ ^2 2 (í^ + 1 + A) J ■

en donde las invariantes g^ y ¿r^ significan lo que sigue:

^^ = 4(3;í2_i) y g.^ = Ui2h^-l).

Vese, pues, que la rectificación de la espiral de Poinsot depende de
dos integrales elípticas, una de primera y otra de segu?ida especie.

TX

ESPIRAL TRACTRIZ

452. Con el nombre de espiral tractrix se designa la curva cuya tan-
gente, en coordenadas polares, es de longitud constante. Curva estudiada
por RouQüEL en los Nouvelles Annales de Mathématiques (1863, p. 494),
donde también se encuentran resueltas por el mismo matemático dos cues-
tiones que, referentes á ella, había propuesto anteriormente Haton de la
GoüPiLLiÉRE (Nouvelles Annales des Mathématiques, 1863, p. 336).

— 391 —
458. De la definición anterior inmediatamente se deduce que
d9\2 „ . .. ,1 a^d(, rfp

y/a^

É, integrando, encuéntrase, en términos finitos, que la ecuación de la men-
cionada curva será

fj:

v«2

p' p

are eos -^

en la cual 9 puede ser positiva ó negativa, no figurando en ella la constan-
te arbitraria, introducida por la integración, por haber ya sido eliminada
mediante la condición de ser 6 = 0 cuando p ^ a.
Por medio de la anterior ecuación y de su diferencial

Va^ — P^

d^

dp p2

adviértese que, cuando o varía desde a hasta O, los valores positivos de O
crecen constantemeute desde O
hasta 00, y el punto generador
de la curva describe un arco (fi-
gura 122), ABCD..., que parte del
punto A, colocado á la distancia
a del punto O, y describe un nú-
mero infinito de vueltas alrede-
dor de este punto, 6 polo asintó-
tico, al cual se aproxima cada vez
más, sin llegar á confundirse con
él nunca.

A los valores negativos de 9 corresponde otra rama de la curva, igual á
la precedente y simétricamente dispuesta relativamente al eje Ox, AB^CDy,.

454. Por ser

Hfin n f'.fiNU

dx

Figura 122.

seno — C08U

eos 9 -|- sen O

v/«

— 392 —

vese, en primer lugar, que las dos ramas de la curva son tangentes al eje
Ox en A, donde en consecuencia la curva posee un punto de retroceso.

Y, por medio de la misma ecuación, vese también que los puntos donde
y pasa por un valor máximo ó por uno mínimo se hallan definidos por la
expresión

tang9 = ^

P

Y como poniendo o; ^ p eos 9 é ?/ = p sea O se halla la ecuación

x^ -\- y'^ ± ax -^ Q ,

que representa dos círculos iguales, cuyos centros están en el eje Ox, á la

distancia — a del polo O, resulta que los puntos de la curva donde y pasa

por un máxwio ó por un tjiínimo corresponden á las circunferencias de
los círculos á que acabamos de referirnos.

Y del mismo modo se concluye que los puntos donde x pasa por un má-
ximo ó por un mínimo se hallan situados sobre las circunferencias

x^ -\- y^ ± ay = 0.

Propiedades que no hemos encontrado mencionadas por autor alguno,
ni en las cuales sabemos tampoco si antes de ahora ha reparado nadie.
455. El radio de curvatura de la espiral traetrix tiene por expresión

R.

ap\/

2 „2

p V « — p

a2 — 2,o2 •

según la cual la curva posee dos puntos de inflexión, cuyas coordenadas
son (RouqüEL: 1. c.)

Representando por a el ángulo de la normal en un punto cualquiera con
el radio vector del mismo punto, dedúcese que

\/a2 - f ^ ?

cota = !— , ó sena = — .

p a

393 —

Y, utilizando esta igualdad, podemos dar á la expresión del radio de cur-
vatura la siguiente forma (RouqueL: 1. c.)

_, p cosa

eos 2 a

456. Designando por s, según costumbre, la longitud de los arcos de
la curva,

7 A / o dh^

df

y, en consecuencia, tomando por origen de los arcos el punto Á,

s = a log = — a log sena.

457. Y no más difícil es hallar la siguiente expresión del área, A,
descrita por el radio vector de la espiral tractriz, cuando este radio varía
desde a hasta un valor cualquiera, p:

A = p Va^ — p^ a'-^ are sen — -\ a^ -n.

4 4 a ' 8

458. Para dar por terminado este asunto, transcribiremos, sin dete-
nernos á demostrarlas, las dos proporciones siguientes, enunciadas por
Haton de la Goüpilliére (I, c), y demostradas por Roüquel (/. c.) y
Laqüiére (Nouvelles Ármales des Mathématiques, 1863,^. 549):

1.* La curva recíproca de la evolvente del círculo para los radios ema-
nados del centro es una espiral tractriz.

2.* Y también lo es el lugar geométrico del polo de una espiral hiper-
bólica que rueda sobre otra igual, coincidentes ambas una con otra al ini-
ciarse el movimiento.

394

X

LA COCLEOIDE

459. Falkenbürg y Benthen (Mew Archief, Amsterdam, t. x,
p. 76) designaron con el nombre de cocleoide (de xoyXri, concha) á ia cur-
va que tiene por ecuación

sen9

r = «

Curva de la cual se tuvo la primera noción por un problema propuesto
en 1857 por Catalán en su Manuel des Candidats á l'Ecole Polytechni-

que, y que años des-
pués estudiaron CesIro
(Nouvelle Correspon-
dance, t. iv, 1878, pá-
gina 283); Falkenbürg
(Archiv der Mathema-
tik, Leipzig, t. cxx, pá-
gina 259); Neuberg
(Matthesis, t. v, 1885,
p. 89); etc., etc.

4G0. Del análisis de
la ecuación es fácil infe-
rir la forma de la curva.
Cuando 6 varía desde
O hasta ir, su punto ge-
nerador describe el arco
^50 (fig. 123), tangente
en O al eje polar. Cuan-
do, á continuación, 8 va-
ría desde ir hasta 27t, el mismo punto describe el arco Od eO, también tan-
gente en O al eje polar. Y, suponiendo que la variación de () continúe, obtié-
nense una serie de arcos cerrados, como el OfgO, tangentes todos al eje

Fignra 123.

— 395 —

polar en el punto O, y que no pueden cortarse unos á otros; porque, si se
cortasen, los valores de 9 en los puntos de intersección deberían satisfa-
cer á esta condición:

sen (O -)- nn) sen (O -|- niTz)

S -\- n-K O -)- mn

en la cual m y n representan números enteros positivos, uno par y otro
impar: lo cual daría para O un valor negativo, contradictorio con lo antes
supuesto.

Admitiendo valores negativos de 9, obtiénese, sí, otra rama de la cur-
va, simétrica de la anterior relativamente al eje polar, señalada en la figu-
ra 123 con las mismas letras, diferenciadas con subíndices, que la prime-
ra, salvo en los puntos A y O, comunes á las dos.

46 1 . Por ser

dp 9cos9 — sen9 p(acos9 — p)

^9 ~ " 92 08^9 '

vese que será — = O , cuando sea 9 = O , y también cuando sea p = a eos 9.
d9

Luego la circunferencia, de radio igual á — OA, y cuyo centro coinci-

ó

de con el punto medio de O A , corta á la curva en los puntos en que p pasa
por un valor máximo ó mínimo.

462. Y por ser

dy 9 sen 2 9 — sen'^9

'^'^ 9cos29 — — sen29
2

resulta que la tangente á la curva en el punto A es perpendicular al eje
de las abscisas.

La derivada ,— es infinita en los puntos donde
a (cos^ 9 — sen^ 9) = p eos 9.
Y, poniendo en esta ecuación x = p eos 9 é ¿/ = p sen 9, resulta que

{x^ -\- y^) X = a {x^ — y'^).

— 396 —

Luego todos los puntos en que la tangente es perpendicular al eje de

las abscisas corresponden á la cúbica representada por esta ecuación , ó

sea á una estrofoide.

d ii
Por ser —^ = O en los puntos donde

p = 2a eosO,

vese qne todos los puntos donde la tangente es paralela al eje de las abs-
cisas corresponden á una circunferencia de radio igual á a, y cuyo cen-
tro se halla situado en A.

46;}. La ecuación, referida á coordenadas polares, de las tangentes á
la cocleoide, es

— = — — sen (9 — 2&,) H ^ sen (9 — 9.),

p pj ^ asenQj ^

representando por 9^ y p^ las coordenadas del punto de contacto.

Y poniendo en esta ecuación 6 ^ 29^, hállase que p = a.

Luego la tangente á la curva en el punto (9j, pj) pasa por el (20,, a):
esto es, por el punto simétrico del vértice A, relativamente á la recta que
une eZ (9j, pj) con el origen. Teorema debido á Cesíro [1. c), que facilita
grandemente la construcción de las tangentes á la cocleoide.

404. El radio de curvatura de la curva de este nombre se halla de-
terminado por la fórmula

(a^ + p^ — 2apcos9)^_
26(a2 — apcosO) "

de la cual, en el caso de ser 9 = O, se desprende para valor del radio, en

3
el punto A, R = — a. Y, poniendo p = O, vese que en el punto O, donde
4

9 = zt 7c, ib 2Tr, dr '¿tz..., se verifica que R = - — , .

■^ 27:

465. A las propiedades de la cocleoide acabadas de exponer agrega-
remos, para concluir, el siguiente enunciado de un teorema descubierto
también por Cesaro {1. c.) de fácil demostración:

Cuando un punto móvil describe una circunferencia, el centro de gra-

— 397 —

vedad del arco descrito se tnuere asimismo sobre una cocleoide, cuya tan-
gente en un punto cualquiera se dirige constantemente hacia el punto ge-
nerador de la circunferencia.

466. La cocleoide es la curva inversa de la cuadratriz de DiNÓs-
TRATO. Siendo de advertir que los antiguos geómetras emplearon esta de-
signación en sentido diferente del que actualmente se le atribuye. Como
que, según un comentario de Jamblique, conservado por Simplicius en
sus Comentarios sobre Aristóteles, Pappo aplicó el nombre de cocleoide á
la misma curva á que Proclo y Eütocio dieron el nombre de concoide:
esto es, á la curva considerada en el Núm. 163. [Véase P. Tannery:
Histoire des ligues et des surfaces courbes dans l'antiquité. (BuUetin des
Sciences Mathématiques , 1883, p. 183.)]

XI

LA CLOTOIDE

467. Denominó Cesáro clotoide, nombre derivado del de la parca
hilandera Cloto (KXoOw), á la curva de curvatura proporcional á la longi-
tud de un arco de la misma, contado á partir de ua punto fijo, hacia la
cual llamó la atención por vez primera Jacobo Bernoulli, según puede
verse en un fragmento de sus escritos, publicado después de su muerte
(Jacobi Bernoulli Basileensis Opera, t. n, Oenevce, 1744, p. 1084); y que
Cornü descubrió de nuevo en época reciente, al ocuparse en el estudio de
los fenómenos de difracción de la luz (Comptes rendus de l'Académie des
Sciences, Paris, 1864,/?. 113). Pero Cesaro, como ya queda dicho, fué
quien le dio nombre (Nouvelles Afínales des Mathématiques, 3." serie,
t. V, 1886; y Lezioni di Oeometria intrinseca, Napoli, 1896), y quien
descubrió y estudió sus principales propiedades.

468. Representando por p el radio de curvatura de la clotoide en un
punto cualquiera; por s la longitud del arco, comprendido entre este pun-
to y otro punto fijo; y por a una constante, la ecuación de la clotoide es,
por definición,

(1) ps = a2.

— 398 —

Siendo preciso para obtener la ecuación de la curva, referida á coorde-
nadas cartesianas, recurrir al Cálculo Integral, como sigue.
De las ecuaciones diferenciales conocidas

d^ X 1 dy d'^ y \ dx

ds^ ^ ds ^ ds'^ p ds

se desprenden, en efecto, estas otras:

d^ X s dy d^ y s dx

ds^ ~~^'ds' ^ ~ds^~ ^~~(fi di'

d ce (] íi

que pasamos á integrar. Para lo cual, poniendo -7— ^ i y — "- = z, se

as ds

encuentra, por de pronto, que

dt s dx s

ds~ a^ ^ ds ~~^ '

Y como la ecuación ds^ = dx^ + ^2/^ equivale á esta otra, t^ -\- x^= 1,
resulta que

dt

ds a^

y, de consiguiente,

are sen r = \-c,, o =¿^sen| \- c,]-

2a2 ' ds \2a^ V

De la ecuación t^ -\- x^= I se deduce también que

-^ = ,: = VT^^ = eos (— + cX
ds \2a^ 7

y, en consecuencia, para determinar los valores de x é y disponemos de
estas dos ecuaciones:

X

= I sen í [-C, |/í„ 4 ,, X y= \ cosí \- cA ds -\- c^:

399

las cuales pueden simplificarse adoptando, para origen de las coordenadas
el punto, origen de los arcos, donde s==0, y para dirección del eje de las
ordenadas la tangente á la curva en el mismo punto. Porque, en tal su-
puesto, hallaremos que Cj = O, c^ = O, y Cj = 0; y, por lo tanto,

(2)

"=r

2 «2

ds é ?/ =

?/ = i eos as.

Jo 2a^

463. Indaguemos ahora cuál es la forma de la clotoide.

De la ecuación (1) inmediatamente se infiere que o solamente adquiere
el valor oo cuando s = 0; y que solamente será igual á cero cuando sea
igual á 00 el de s. Luego la curva so-
lamente admite un punto de infle- ^ -^
xión en el origen (fig. 124), sin más
inflexiones en todo su trayecto: co-
mo se infiere también que la curva-
tura aumenta constantemente con s'

Y de esta otra relación,

dy
dx

eos

2a2

cotg

sen

2a2'

2 «2

-X

Flgnra 124.

concluyese también con gran facili-
dad que las tangentes á la clotoide,

paralelas al eje de las abscisas, corresponden á infinidad de puntos, de-
terminados por los valores de s, dados por las ecuaciones

2a2

y las paralelas al eje de las ordenadas á infinito número de puntos tam-
bién, correspondientes á los valores de s, definidos por las ecuaciones

2a2

O, Tí, 2iz, ^-n...

— 400 —

.■?"

Poniendo en las ecuaciones (2) = r. y tomando como límite de s

2a2

el 00, encuéntrase

a f"^ senv ^ ,. a /^*cost'

y 2 Jo sjv ''='^ y 2 Jo \¡v

Las integrales que figuran en estas ecuaciones son conocidas en el Aná-
lisis por el nombre de integrales de Fresnel, por haberlas empleado este
sutilísimo físico y eminente geómetra en sus investigaciones de Óptica, y

VI-

representan el número constante \/ — . Luego

\ímx:= — y ■r. y \ímy= — V ■^•

s=a> 2 •<=^ 2

Y, en consecuencia de todo, las coordenadas x é y serán finitas, cual-
quiera que sea s; y el punto {x, y) se aproximará indefinidamente al

| — a\/ TT, —ay'-K] conforme s se aproxime, indefinidamente también,

al valor oo.

Mudando s en —s, x é y cambian simplemente de signo: luego la cur-
va posee otra rama igual á la hasta ahora considerada, y dispuesta, por re-
ferencia á los ejes de las coordenadas negativas, como lo está la primera
relativamente á los ejes de las positivas.

La cicloide, en suma, presenta, como advirtió por primera vez Cornu,
la forma indicada en la figura 124, en la cual Ay B representan dos pun-
tos asintóticos i— a\J - , — a V''^) y | — — «V-^, — --aV"j;7 O

un punto de inflexión.

470. La evoluta de la clotoide puede hallarse por medio de las ecua-
ciones conocidas

dy . r, dx

x — y- = — ?-S- é y — ^ = ? -rT>

(donde a y ¡3 designan las coordenadas del centro de curvatura), y de las
cuales se deduce que

— 401 —
«2 s'^ ,, cfi

X — a = eos -f-TT , y u — 3 = — sen

s 2a^ ' ■' -^ "^ s 2a^'

ecuaciones éstas que determinan las coordenadas a y ¡3 de los puntos de
la evoluta en función de s.

471. Ijas propiedades más interesantes de la clotoide son las refe-
rentes Á los centros de gravedad de sus arcos, descubiertas por Cesaro
(Noiivelles Anuales des Mathcmaliques , .3." serie, t. v, 18S6, jj. 511; y
Lezioni di Oeometria intrínseca, §. Vf). Mereciendo, entre ellas, espe-
cialmente mencionarse las siguientes:

1.° Sean Sq y s^ los valores de s, d contar del origen de las coordena-
das, hasta las extremidades de un arco de la clotoide; (Xq, y^) y (x^^,y¡) las
coordenadas de estos puntos extremos; y (X, Y) las del centro de grave-
dad del arco. Y, siguiendo á PoissoN (Traite de Mécanique, t. i, 1883,
j). 121), hallaremos que

ds I sen ds

í„ Jo 2o2

= .s-| I sen as — ■«„ I sen ds — I s sen ds

X 2a2 °j„ -¿a^ Js, 2á^

= s, I sen -ds — s„ I sen as + ft- I eos — eos — - — 1;

Jo 2a2 °J„ 2 «2 ^ \^ 2 «2 2 «2/

y, del mismo modo,

ds I eos ds

'., 1 2«2

= s, I eos ds — .«ni eos ds — o- sen — sen — - — I.

Jo 2a2 - 'X 2a^ I ¿a^ 2a^ j

Por lo tanto, representando por (a^, [Íq) y (y.^, [i^) las coordenadas de los
centros de curvatura en las extremidades del arco considerado, podemos
escribir

(«1 - s^) X = s^ a, — Sq -/£, y (.«j — s^) Y= Sj pi — ,«0 p^.

•26

— 402 —

Y como por medio de estas igualdades resulta igual á cero el determi-
nante

X Y I

'■> 1

queda con esto demostrado que él centro de gravedad de un arco cual-
quiera de clotoide corresponde á la recta que une los centros de curvatura
de las extremidades del mismo arco.

2° Por lo expuesto, las coordenadas del centro de gravedad del arco
OM se hallan expresas por las fórmulas

="1"'

s^X^Sj^ I sen ^ ^ ds -\- a^

Sil=s, sen -—

Jo ^«-

\ 2a2 )

ds — ft- (-(n-^-i- :

Y siendo la ecuación del círculo osculador de la clotoide, en el punto

es fácil cerciorarse de que los valores de ^ é F la satisfacen. Luego el
centro de gravedad del arco OM de la clotoide se halla situado en la in-
tersección del círculo osculador en M con la perpendicular á la tangente
en O, trazada por el punto (a^, ^^).

472. La clotoide forma parte de una clase importante de curvas, cuya
ecuación, R^=ks'^, en coordenadas intrínsecas, fué estudiada por Piron-
DiNi en el Giornale di Matematiche (Napoli, 1892, p. 326), y á la cual
pertenecen también la evolvente del círculo y la espiral logarítmica. En
el trabajo consagrado á dilucidar tan interesante materia presenta además
el ilustre geómetra mencionado a'gnnos otros teoremas referentes á las re-

— 403 —

laciones que existen entre los radios de curvatura, la longitud de los ar-
cos, y las dimensiones de las áreas de las varias curvas consideradas y de
sus evolventes y evolutas , merecedores de atento estudio.

XI

LA PSEUDOCATENARIA

473. Dase el nombre de pseudocatenaria á la curva que tiene por
ecuación en coordenadas intrínsecas (E. Césaro: Lezioni di Geometría
intrínseca, 1896, p. 17) la si-
guiente: "^

R=.k^a- ^,
a

en la cual s representa la longi-
tud de los arcos, y i2 el radio de
curvatura en el punto donde se
supone que el arco termina.

Como la posición del punto ini-
cial de la curva es arbitraria, su-
pondremos que aquel punto es el
O (fig. 125), donde s = 0; y pa-
ra eje de las abscisas adoptare-
mos la tangente OK, correspondiente al mismo punto inicial. Y de esta
manera, para determinar el ángulo que cualquier otra tangente á la curva
forme con OK, dispondremos de la fórmula

Fisura 125.

(1)

rs ds fs ads I , ka + .f

Jo ^ Jo !'"a^-s^ 2k ^ ka-s

Adoptada la tangente OK para eje de las abscisas, las cantidades
dij

dx
ds

y -~j^ se hallarán expresadas por las fórmulas
dx

ds

= eos -í

y

dy_
ds

■ .sen -í,

— 404 —
de las cuales se desprendea los siguientes valores de x é y:

X = I CCS '.

-- I CCS 'i «a é </ = I sene rij,

Jo ' <^? Jo ' ^

tomando el punto O, correspondiente á s^^O, como origen de las coor-
denadas. Y susti
la igualdad (1),

ds
denadas. Y sustituyendo por su valor en función de u, deducido de

\A) s = = ka — --

obtiénense estos resultados:

= 4aA;^ — ; ; — 5-, y

{B)

\ Jo (e'^-í+e-^-f)^'

1 Jo (e''V+e-''rf

474. Fundados en las fórmulas anteriores, podemos determinar fá-
cilmente la forma de la curvea, en el intervalo des = 0 á s = ± ka.

Vese, en primer lugar, por las fórmulas [A) y (B), que, cuando por s
se toma — s, o; se transforma en — a: con lo cual x se convierte en — x,
sin cambio ninguno en el valor de y. Luego la curva resulta simétrica re-
lativamente al eje de las ordenadas (fig. 125).

Por ser li finito, cualquiera que sea el valor de s, la curva no posee

puntos de inflexión. Y, como las derivadas — — y — r— no pueden ser nu-
las al mismo tiempo, la rama considerada carece también de pmitos de
retroceso.

Cuando s = 0, hállase que R^k-a; y éste será el radio del círculo
osculador de la curva en el origen O.

Y, cuando s tiende hacia ak, '^ tiende hacia 00: luego el ángulo de la

- 405 —

tangente con el eje de las abscisas aumenta indefinidamente, mientras en
las mismas circunstancias el radio de curvatura, R, disminuye indefinida-
mente también y propende hacia 0.

Vese, pues, que la curva se compone de dos ramas, OB y OB' , que
parten del punto O y dan un número infinito de vueltas, situadas unas
dentro de otras, aproximándose cada vez más á dos puntos asintóticos,
cuyas coordenadas, x^ é y^, se expresan de este modo:

Jo (e'-'í+e-''

Tta

' -,2fc (, 2k

475. Fijemos ahora la atención en los valores de s, superiores á ka.

Tomando como punto inicial de esta parte de la curva el (a-p, >/q); para
valor correspondiente de s el s^; y para posición inicial de la tangente una
paralela á Ox, dedúcese que

, = pil == _L [log 1±^ _ log i^±^|
' Js, li 2fc L s — ka Sa — ka\

Y para determinar los valores Aq x é y servirán estas fórmulas :

J'^in fjg /^i ds

cosQ rf'f + J^o é ^= 'sentp——rf'i + //().
o df Jo d'f

Pero, poniendo " = é^'', hállase que

Sfl — ka

e*<?^-''_j_ e- '■■?-/'
s = ka — ; : 7-'}

y, por lo tanto,

ds — éak^

— 406
Luego

x = — 4a/í^ I — ; 7 — ■ — '- ¡-S- 4- Xr. é

Jo í'^'

V = — 4aA"' I — ; 7 — - — '- 7-5- + í/n-

Y, como en el caso poco antes examinado, adviértese que esta rama,
AÁ, de la curva, aisladamente considerada, no posee puntos de inflexión
ni punios de retroceso tampoco, pero sí un ptinto asintótico, corrfspon-
diente á s ^ ka, alrededor del cual da una infinidad de vueltas. Y asimis-
mo se ve que, cuando s tiende hacia 00, R tiende hacia — 00, y la curva,
en consecuencia, A tomar la forma rectilínea.

A los valores de s, comprendidos entre — hay — 00, corresponde una
rama de la curva, A'A', igual á la anterior.

Para establecer la continuidad de s hay que suponer empalmadas en
los puntos asintóticos las ramas AA y A'A' con la rama única BOB'.

XII

LA PSEUDOTRACTRIZ

476. Con el nombre de pseudotractrix se designa la curva cuya ecua-
ción, en coordenadas intrínsecas (Cesáro: Lexioni di Geometria intrín-
seca, 1896,^. 18), es como sigue:

R = ka\ l — e ";

la cual desde luego nos enseña que será R = 0 cuando sea s ^ 0; y, por
lo tanto, que el origen de las coordenadas es un punto de retroceso de la
curva á que se refiere.

Apliquemos á esta curva las ecuaciones conocidas

f" ds dx
?= -„-. -— =coso, y
Jo ^ ds

dti

—f- = sen*:
ds

— 407 —

representando por 9 el ángulo de la tangente con el eje de las abscisas,
que admitiremos se confunde con la tangente en el punto correspondiente
á s = 0. Y en este supuesto se deduce, por de pronto, que

s

___^J^ í" ds _^J_ r" e^ds

•~"~/c«Jo y/' I^~-haX \l^f~'
yi — e" \l e"' — I

s

Para obtener la integral indicada, póngase e"' = t; y hallaremos este
otro resultado:

Del cual se infiere que

Además ,

dx

ds
dy _

'^ = ± — 102(6"+ ye" — 1 )•

= cos — log(e"^+ V^" — 1) y
rilog/'e~+YeV_iU

sen
ds

De donde resultan para expresiones de las coordenadas x é // las si-
guientes:

x^ I coscíds = I eos — iog|e<'+ ye" — 1 j ds, é

s ^ / 2s

y = I sen ., í/s = ± I sen — log 1 c " -|- ye" — 1 j f/ < ,

tomando el punto correspondiente á s = O como origen de las mismas.
A las precedentes expresiones de x é í/ se les puede dar distinta forma.

— 408 —
« Integrando por partes, hállase, en efecto, que

ds

f/i, é

r-í ds , ds rt d^s
x= I eos 'i íí'i = senes I gen.;

Jo dr ' ' d'f Jo d^^^

f? ds , \ ds Tf , ri d-^s .
// ^ I senes rfi ^ — coses -j- I cos-s -a>,

Jo ' do ' i ' d'f Jo Jn ' df

1 e'"r+e-'"^
Pero, como e"= , y, por lo tanto.

s == a log

eH-f e-''í

2

=a/í: — ; ~-,

áak^

-)¡(is2

df (e^'í+e-*"?)

f/s

teniendo en cuenta que = R, hállase, finalmente, que

X = A' senes

r. í A 12 C'f COS&rfep
1/^ — R coses 4- 4aF — ^ ^ — :;- •

(e*?+e-*T)^

expresiones en las cuales se debe sustituir es por su valor, precedentemente
Tf encontrado.

477. De las ecuaciones que aca-
bamos de obtener se deduce fácilmen-
te la forma de la curva. Porque, en pri-
mer lugar, vese que á cada valor de s
corresponden dos valores de y, iguales
"-"^ y de signo contrario, y un solo valor de
x: luego la curva es simétrica por refe-
rencia al eje de las abscisas (fig. 126).

Figura 121)

son simultáneamente nulas, la curva no tiene punios de retroceso, distiu

„ , , . , dx dy

Como las derivadas y — ; — no

ds ds

— 409 —

tos del de este numbre ya considerado. Y como R no puede ser infinito,
tampoco los admite de inflexión.

La expresión de o muestra que la tangente á la curva forma con el eje
de las abscisas un ángulo, que aumenta indefinidamente con s.

Y, cuando s se aproxima al oo, R propende á confundirse con ka, y la
curva, por lo tanto, á confundirse con una circunferencia de radio igual
á ka.

Concluyese, pues, que cada rama de la curva da un número infinito de
vueltas, dentro de un círculo asintótico de la curva, quedando cada vuelta
en el exterior de la que inmediatamente le precede.

478. Las coordenadas del centro del círculo asintótico acabado de
considerar pueden obtenerse fácilmente. En efecto, las x^ é y^ del cen'ro
del circulo osculador de la curva en el punto s tienen por expresión

Luego

{A)

.Xj = a; — R sen;p é y^= y -{- R costp.

í . ,o C^ senado

\ Jo {e'"^+e-""<f

■^' Jo (e'^'

t<f_l_e-H)2"

Y como si s se aproxima indefinidamente á <x>,rf propende también á
confundirse con ce, y los círculos oseuladores á que nos referimos tienden
igualmente á confundirse con los círculos asinióticos considerados, las
coordenadas de los centros de estos círculos serán

, Z"^' seu'ifíta ira
x. = — iak- I — ; — ; — ^ = ; , é

_, . ,., C^ cos'ido , Tía

¿/i = ±4a/ú2

Jo

(e''^+e-*íf

De las fórmulas (^4) infiérese además otra consecuencia importante;
pues, comparándolas con las (B) del Núm. 473, concluyese que la evo-
luta de la pseudotractrix es una pseudocatenaria.

CAPÍTULO NOVKNO

PARÁBOLAS É HIPÉRBOLAS

I

DE LAS PARÁBOLAS EN GENERAL

479. Aplícase el nombre de 'parábolas á las curvas que tienen por
ecuación general la siguiente:

(1) y = a^-^-x^,

en la cual k representa cualquier número real, mayor que cero.

Si k es número irracional, la curva será transcendente; y, si racional é

igual á — , algébrica. En este último caso será

(2) a""" y" = x'".

Los primeros geómetras que se ocuparon en el estudio de esta clase de
curvas fueron Fermat (Oeuvres, t. n, p. 95, y t. iii, p. 169 y 21i5), y,
estimulado por éste, Eoberval (Méinoires de VAcadémie de París, t. vi,
p. 429, 1730), quienes detei minaron también sus áreas, y además los volú-
menes de los sólidos producidos por su revolución alrededor de los ejes
coordenados, los centros de gravedad de estas áreas y sólidos, sus tangen-
tes, etc.; De.scaetes, que, por distinto camino, llegó á los mismos resulta-
dos que Fermat y Roberval, de los cuales dio conocimiento al P. Mer-
SENNE en una de sus cartas (Letlres de Descartes, ed. in 4.°, /. u, carta 89);
yWALLis, que determinó asimismo las áreas por los métodos expuestos
en su Arithmetica Infinitonim : etc., etc.

480. La forma de cualquiera de las parábolas por los mencionados
geómetras estudiada se obtiene por medio de las ecuaciones

— 411 —

y

X", y =

n — m m
in — — — 1

— a » £C" é ij"-
n

m
n

n — m m

o

a " -r"

n

Fisura 127.

y depende de los valores de m y n, los cuales puede suponerse, sin res-
tringir la cuestión, que satisfacen á la condición
de ser m > n.

Si III es un número impar y n par, la curva
se compone (fig. 127) de dos ramas infinitas, si-
métricamente dispuestas relativamente al eje de
las abscisas, al cual son tangentes, y que se ex-
tienden indefinidamente en el sentido de las abs-
cisas positivas. El origen O será entonces un
■punto de retroceso de la curva, desprovista de
puntos de inflexión á distancia finita.

Si ni es par y » impar, la curva tiene la mis-
ma forma general que la parábola cónica.

Y si ?« y n son impares, la curva posee dos ramas infinitas iguales, tan-
gentes (fig. 128) al eje de las absci-
sas en el origen, donde la curva pre-
sentará una inflexión.

En el caso de las parábolas trans-
cendentes se ve del mismo modo que
la curva consta de una rama única,
la cual parte del origen de las coor-
denadas, donde es tangente á uno
de los ejes, y se extiende indufini-
dameiite en el sentido de las absci-
sas y de las ordenadas positi^ as.

Figura 128.

481. La ecuación de las tangentes á la=i parábolas y = a^
Y— II = l-a^-^x"~^ (X — x).

- ^' x'' es

De la cual, poniendo X = O, se deduce para expresión de la ordenada
del punto, donde cada tangente corta el eje de las ordenadas,

r=(i

'y>

— 412 —

que proporciona un medio fácil de construir las tangentes á las curvas
consideradas.

482. El radio de curvatura de la curva 1/ = «^~^ x'' se desprende de
la fórmula

R =

3

(ÍC2 + F (/2) 2

I- (k — 1) xy

483. El área, A, limitada por un arco de parábola, por el eje de las abs-
cisas, y por una paralela al de las ordenadas, trazada por el punto (x^, y^),
tiene por expresión la siguiente:

y es igual á la fracción del área del rectángulo , cuyos lados son

fe H~ i

iguales á x^é y^

484. El volumen del sólido de revolución, engendrado por el área
que acabamos de considerar, cuando gira alrededor del eje de las abscisas,
se halla determinado por la fórmula

Jo 2A + 1

Y el del sólido, de revolución también, engendrado por el área limitada
por un arco de la parábola, por el eje de las ordenadas, y por la perpendi-
cular á este eje trazada por el punto (Xj, í/j), girando alrededor del mismo
eje, por esta otra:

Jo h + 2 ' ^'

485. La longitud de los arcos de las curvas de que tratamos, com-
prendida entre el punto (x^, ?/j) y el origen de las coordenadas, depende
de la integral binomia

-X'^'^

I -f /,:2a2('-fc)j;'í'*^-».¿¿c.-

- 413 —

que solamente puede expresarse por funciones elementales cuando sea en-
tero uno de los números

' 6 '

2{k — l) 2(fc — 1)

486. Escribiendo la ecuación de las tangentes á las curvas (2) del si-
guiente modo:

y comparando esta ecuación con la expresada en coordenadas tangenciales

uY+vX—\ = 0,
hállase que

m

x = é y

(n — m) V (n — m) u

Y, sustituyendo estos valores de x é y ea \a ecuación cartesiana de la
curva, resulta la ecuación tangencial de las parábolas algébricas

a'"-" v"' == (— I)"" (n — m)"-'" ?<"

Ijo cual enseña que la clase de las parábolas algébricas es igual al orden
de las tnismas curvas.

II

LA PARÁBOLA SEMICÚBICA

487. Poniendo en la ecuación general de las parábolas algébricas
)« = 3 y w = 2, hállase la ecuación particular

que representa una curva, denominada parábola semicúbica, y también,
muchas veces, parábola de Neil, en memoria del geómetra que primero la
rectificó.

— 414 —

488. De los resultados obtenidos anteriormente, por referencia á las
parábolas de cualquier orden, despréndense inmediatamente los en particu-
lar aplicables á la parábola semiefibiea, entre los cuales es el más notable
el correspondiente á la rectificación de la curva.

Representando por s la longitud del arco, comprendido entre el origen
de las coordenadas y el punto (x^,y^), hállase, en efecto, inmediata-
mente que

rv

áa 27 LV 4 a / J

con lo cual queda demostrado que la parábola semicúbica es rectificable
algébricamente.

A tan interesante resultado, como primer caso de rectificación algébrica
de una curva, llegó antes que otro alguno el geómetra inglés Neil, ya
mencionado, por un método que es consecuencia inmediata de las doc-
trinas publicadas por Wallis en su A?-ithmetica Infinitorum; y después
el geómetra holandés Van-Houraet, por distinto procedimiento, que le
permitió asimismo rectificar otras curvas. (Montucla: Histoire dea Ma-
thématiqíies, t. u,p. 151).

489. La parábola semicúbica es la evoluta de la parábola cónica: re-
presentada por la ecuación y"^ = 2px, y cuya evoluta, según es fácil de-
terminar, tiene á su vez por ecuación la siguiente:

que corresponde, en efecto, á una para! ola semicúbica, de eje coincidente
con el de la cónica, y un punto de retroceso en (p, 0): conforme descubrió
HuYGENS y lo consignó en su Horologium oscillatorium (Opera varia,
t.i,p. 99).

490. La parábola semicúbica figura en la interesante cuestión de Me-
cánica propuesta por Leibnitz en 1687, donde se pide la curva que debe
recorrer un grave para que se aleje uniformemente de un plano horizontal.
Problema resuelto muy poco tiempo después por el mismo Hüygens, y del
cual dio también Leibnitz una solución que publicó en 1(389 en las Acta

— 415 —

Eruditorum. Por esta tan curiosa propiedad, la parábola semicúbica fué
calificada de isócrona.

491. La evoluta de la parábola semicúbica, ó segunda evoluta de la
cónica, tiene por ecuación á su vez (Salmón: Higher plañe Curves, 2."
ed., núm. 99), la siguiente:

(790 \a

III

LA PARÁBOLA CÚBICA

492. Pongamos ahora en la ecuación general de las parábolas algé-
bricas m = 3 y «=1, y hallaremos la correspondiente á la parábola
cúbica

denominada también por algunos geómetras parábola de Wallis.

493. De los resultados generales obtenidos anteriormente, tratándose
de las parábolas de orden cualquiera, se deducen los aplicables al caso de
la parábola cúbica, entre los cuales nos detendremos aquí, un momento so-
lamente, en el estudio del relativo á la rectificación de la curva.

Sea s la longitud de un arco de la misma, comprendido entre el origen
de las coordenadas y el punto [x^, y^), determinado por la expresión

de la cual, suponiendo que x^ = t, se deduce la siguiente:
^ j^, p. ^ _3_ rf, t^dt

— 416 —
O, por ser

esta otra:

' dt

■'-iV'e+^)+^ry

4<l¿2+ J^

que comprende una sola integral elíptica de primera especie, reducida á
la forma normal adoptada por Weierstrass.

IV

DE LAS HIPÉRBOLAS EN GENERAL

494. Llámanse hipérbolas las curvas comprendidas en la ecuación

^/ = a^+'^£C-^ (/c> 0):

transcendentes, cuando k es irracional, y, si racional, algébricas. En este
segundo caso, poniendo por k la fracción — , en la cual m y n represen-
tan números enteros, la ecuación anterior se convierte en la que sigue:

495. Para hallar la forma de estas curvas basta atender á las igual-
dades

m + n m m + n _ m ^

« = rt « X~^, í/' = a "■ £C " , é

^ n

I m + íí m

„ m w -\- n 2

n n

a " .*■

— 417

Si m es número impar y n par, la curva tiene la forma indicada en la
figura 129: simétrica relativamente al eje de las abscisas, y con dos ramas
infinitas, desprovistas de puntos de inflexión, y con los ejes coordenados
por asíntotas.

Si m es par y n impar, también y

tiene la curva dos ramas de la mis-
ma forma que en el caso anterior,
aunque dispuestas de distinto modo:
una á cada lado del eje de las orde-
nadas, el cual resulta ser entonces
eje de simetría de la curva.

Y,ú m y n son impares, la cur-
va se compone de dos ramas igua-
les, colocadas una en el ángulo yOx
de los ejes, y la otra en el inferior,
y'Ox, opuesto por el vértice al primero.

Cuando k sea irracional, la curva constará solamente de una rama, si-
tuada en el ángulo yOx de los ejes de las coordenadas, asíntotas ambos
de la curva.

496. Comparando la ecuación de las parábolas con la de las hipérbo-
las, adviértese que se pasa de una á otra por el simple cambio de k en
— k. Luego de las fórmulas obtenidas, por referencia á las parábolas, se
deducirán las correspondientes al caso de las hipérbolas, efectuando en
ellas la misma mutación.

Así, la ordenada del punto en que una tangente á cualquier hipérbola
corta el eje de las ordenadas, se hallará expresada por la fórmula

Y={l + k)y.
El radio de curvatura de la misma hipérbola por

k{k^\) xy

El área, limitada por un arco de la curva, por el eje de las abscisas, y

'ül

— 418 —
por las paralelas al eje de las ordt;u;i..ao , ^u^ pasan por los puntos (Xq, yg)
y (^i> 2/1) > por esta otra:

El volumen engendrado por el área precedente, cuando gira alrededor
del eje de las abscisas, por la siguiente:

1 — 2/f

El, parecidamente, engendrado por el área, limitada por la curva, por
el eje de las ordenadas, y por dos paralelas al eje de las abscisas, en su
movimiento de revolución alrededor del eje de las ordenadas, conforme á
continuación se indica:

^1 = ~¡~^ ^'^^ ^^ ~ *°^ ^°^'

Y la longitud del arco de la curva, comprendido entre los puntos («g, y^)
^ i^v Vi)' POi' '* integral

s= \ \l^k^a^(^+^)x-^^^ + ^1 dx.

Así como la ecuación tangencial de las hipérbolas algébricas se halla
representada por la ecuación

(w -t- n)" "^ "«"'+" m" ?''" == n" m"» ,

la cual muestra que la clase de las curvas á que se refiere es igual á su
orden.

497. Los geómetras que primeramente se ocuparon en el estudio de
las hipérbolas, de cualquier orden, fueron también Wallis, que determinó
las áreas, en su Arithmetica infinitorum., y Fermat, que resolvió la mis-
ma cuestión en su trabajo Sur la transformation et la smiplification des

—'419 —

lieux etc. (Oeuvres, t. iii, p. 216), donde el mismo eminente geómetra
manifiesta (p. 224) haber presentado á los matemáticos, sus contemporá-
neos, otro método para trazar tangentes á estas curvas, y para determinar
sus centros de gravedad.

A todo lo cual debemos agregar que en dos cartas, dirigidas á Digby
por Feemat (Oeuvres, t. ii, p. 338 y 377), se demuestra que este geó-
metra había ya tratado de las curvas á que ahora nos referimos con prio-
ridad á la publicación de la célebre obra de Wallis, anteriormente citada.

CAPÍTULO DBCIJVIO

CURVAS CICLOIDALES

LA CICLOIDE ORDINARIA

498. Llámase cicloide la curva engendrada por un punto cualquiera, M
(fig. 130), de una circunferencia MG... Q..., que rueda sobre una recta de
longitud indefinida OEB... sin resbalar, 6 de manera que en cada posición
de la circunferencia la distancia OQ del origen O de las coordenadas, y

Y

G D

ii— X

origen también del movimiento, al punto Q, de contacto de la circunfe-
rencia con la recta OB, sea igual á la longitud del arco MQ.

De esta definición inmediatamente se concluye que la cicloide ha de
componerse de una serie, ó sucesión continua, de arcos, iguales al ODB;
que la hase, OB, de cada uno será igual á la longitud de la circunferencia
generadora; que todos ellos poseerán un eje de simetría, como DE, per-

— 421 —

pendicular á la base OB; y que sus extremidades, O y B, corresponderán
á otros tantos puntos de retroceso de la curva.

499. Fijando la atención en el movimiento de las ruedas de un ca-
rruaje, ocurrióle al P. Mersenne, por los años 1615, proponer á los
geómetras de su tiempo el estudio de las propiedades de la curva en los
renglones anteriores definida, y á la cual fué por Pascal aplicado el nom-
bre de ruleta: curva que, como más tarde advirtió Wallis, en carta di-
rigida á Leibnitz, había ya sido figurada con exactitud por el Carde-
nal Cusa, en un manuscrito que lleva la fecha de 1454. Pero transcurrie-
ron aún algunos años más, antes de que á tan interesante estudio diera en
algún punto solución satisfactoria el ilustre Roberval, determinando el
área limitada por el arco OBB y por la recta OB, que demostró ser igual
al triplo del área del círculo generador. (Mersenne, Harmonie univer-
selle, t. II; y Roberval, Métnoires de la Académie, Paris, t. vi, 1730, pá-
gina 311). Proposición celebrada y divulgada por el mismo Mersenne, y
de la cual discurrieron en breve nuevas demostraciones Descartes y
Fermat.

Otro resultado, de verdadera importancia en la teoría de la curva, fué
el obtenido por Descartes, quien asimismo logró demostrar que la nor-
mal á la cicloide, en un punto cualquiera de la curva, pasa también por
aquel otro punto donde el círculo generador toca á la recta sobre la cual
rueda. Propiedad, conforme el gran geómetra igualmente demostró, ex-
tensiva á todas las curvas engendradas por el movimiento de un punto,
ligado invariablemente con una curva, que rueda sobre otra. El resultado
á que acabamos de referirnos fué comunicado por Descartes á Mersen-
ne en una carta que le escribió concerniente á la teoría de la cicloide, en
23 de Agosto de 1638.

Otros procedimientos para determinar las tangentes y normales á la ci-
cloide fueron ideados más tarde por Fermat (Oeuvres, t. iii, p. 144), y
por Roberval (Z; c, p. 76). Y, continuando este último geómetra después
sus investigaciones sobre esta curva (á la cual llamó trocoide), determinó
el volumen del sólido, engendrado por ODB, cuando gira alrededor de OB
ó alrededor de DE; y el centro de gravedad de su área; etc. (Pascal, His-
toire de la roulette: Oeuvres, ed. Hacheite, t. iií, 1889, p. 337; y Rober-
val, Traite des indivisibles, Mémoires de V Académie, Paris, t. vi, 1730).

. — 422 —

Tías de Robeeval y Descartes contribuyeron eficazmente al progreso
de la teoría de la cicloide Wren, que rectificó la curva (Pascal, 1. c), y
Pascal, que resolvió una serie de cuestiones referentes á los centros de
gravedad de sus arcos, y á los de los sólidos que engendra por su revolu-
ción alrededor de la base ó del eje; á las dimensiones de las superficies de
estos sólidos, y á los centros de gravedad de estas mismas superficies; etc.
Cuestiones previamente propuestas por Pascal á los geómetras contem-
poráneos suyos, y que fueron en parte resueltas, por el mismo Wren la
relativa á los centros de gravedad de los arcos de la curva, y la referente
á las dimensiones de las superficies de sus sólidos de revolución por Fer-
MAT. Pero, habiendo quedado por resolver las demás, decidióse él á pu-
blicar las suyas, en carta á Carca vi (Oeuvres, i. iii, 1889, p. 304), y en
su Traite general de la Boulette (1. c, p. 431).

Nuevas é importantes propiedades d-^ la cicloide fueron posteriormente
descubiertas por Huygens (Oeuvres completes, publiées par la Société
hollandaise des Sciences , t. i, p. 817; y De horollogio osdllatorio) , que
extendió á ella'su teoría de las evolutas y descubrió el papel importante
que la misma curva representa en la Teoría Mecánica del Péndulo; y por
Juan Bernoulli, que también la encontró en un problema célebre, rela-
tivo al descenso de los graves. (Acta Eruditorutn, 1696 y 1697.)

500. Para hallar la ecuación de la cicloide, sea M un punto de la
curva; G la posición correspondiente del centro del círculo generador; r el
radio de este círculo; O el punto de partida de M; MF una paralela á OB;
y t el ángulo MCQ. Tomando el punto O por origen de las coordenadas y
la recta fija, OB, por eje de las abscisas; y advirtiendo que, por definición,
OQ = are MQ = rt, hallaremos desde luego estas ecuaciones

x^r [t — sen ¿ ) é y :=r {1 — co%t):

las cuales determinan las coordenadas x é y áe los puntos de la curva, en
función de otra tercera variable independiente, t. Y eliminando t entre es-
tas ecuaciones, puede obtenerse la ecuación cartesiana buscada. Pero, sin
necesidad de esto, y con mucha sencillez, se deducen las propiedades de
la curva de los antecedentes sentados, conforme vamos á ver ahora.

501. La ecuación de la normal á la cicloide es -

— 423 —

at " dt

donde

dx ,, j, dy

=r(\ — cosí), y ~-=rsení.

■ dt dt

Para hallar su intersección con el eje de las abscisas, póngase Y= O, y
resultará

X = x -\- r sení = OQ.

Luego la normal á la cicloide en un punto dado pasa por el punto
donde el circulo generador correspondiente toca á la recta sobre que rueda
(Descartes).

502. La longitud de la normal se deduce de la expresión

JV = r V 2 (1 — cosí) =2r sen — .

2

Y, determinando el radio de curvatura por medio de la fórmula

3

\(

dxY , ( dti\^\'^

H- l^""

Hm

hállase que

dx d^ y dy d^x
dt dt^ dt dt^

R = 2r\¡2{l— eos í) = 2N.

De manera que el radio de curvatura resulta igual al duplo de la longitud
de la normal (Hüygens).

Tomando, pues, sobre la normal MQ la longitud QM^, igual á MQ, M-^
será el centro de curvatura de la curva, correspondiente al punto M. Y
trazando In recta M^ S, perpendicular á OB, por ser M^ S := MP, y
OS^ OQ -|- PQ, concluyese que las coordenadas (x^,yi) del centro de
curvatura, Jfj, podrán determinarse por las fórmulas

X

j = r(í + sení) é yj = r (— 1 + cosí):

— 424 —

de las cuales, por eliminación de t, se desprende la ecuación de la evoluta.
Como / es variable independiente, no hay dificultad en sustituir en es-
tas ecuaciones, sin alterar la naturaleza de la curva que representan, ¿ + 71:
en vez de ¿, y así resultará

a;i = r (¿4- 7c — sení) é y = r (— 1 — cosí):

6, trasladando el origen de las coordenadas al punto Oj, cuyas coordena-
das son Tzr — 2r y

a:i = r{t — seai) é ¿/j = /• (1 — cosí).

Por medio de estas ecuaciones vese, pues, que la evoluta de la cicloide
es otra cicloide igual á la primera, en la cual el punto O, representa un
punto de retroceso, y los O y B los vértices de dos de sus arcos consecu-
tivos (HüYGENS).

503. Para hallar la longitud del arco de la cicloide, comprendido en-
tre los puntos correspondientes á 1 = 1^ y t = t^, nos valdremos de la
fórmula

s= r'yjdx^ + dy^ = 2r T' sen - rfí = 4r feos -^ - eos Aj
Jk Jto '^ \ 2 2 )

De la cual, poniendo t^ = -n, se concluye que la longitud del arco DM re-
sulta dada por la igualdad

s =4/- eos — te,:
2 "

6, advirtiendo que MG = 2/- eos — t^, s = 2MG.

Luego la longitud del arco DM de la cicloide será igual al duplo de la
cuerda MO (Hdygens: Oeuvres, t. 11, p. 343).

Y, poniendo /q = O y ¿j = 2it, s = 8r: de manera que la longitud de
un. arco completo de la cicloide resulta igual á ocho veces el radio del cír-
culo generador (Wren).

— 425 —

504. El área, 5, de la porción MOPde la cicloide tiene por expresión
la siguiente:

S = r^ C (1 — costf dt = r^\ — t — 2 seat -\ 8en2í .

De la cual se deduce que el área ODB, comprendida entre la base y un
arco completo de la curva, designado por las mismas letras, es igual á tres
veces el área del círculo generador (Roberval).

505. Representando por Fel volumen del sólido, engendrado por la
cicloide, cuando ésta gira alrededor de su base, ó

Jr»2izr ri^Ti

/da; = 7tr3 I {I —costf di = 5Tz^r^,
o Jo

y por Fj el del cilindro circunscrito á este sólido, ó

Fi = 87t2r3,

concluyese que la razón de V á V^ es igual d la de 5 á 8, conforme Ro-
berval encontró.

506. Tomando el punto D por origen de las coordenadas, y las rectas
DE y DQ por ejes, para lo cual basta poner nr — x en vez de x, y2r — y
en lugar de y, hállanse las ecuaciones

íc = ('re — t)r-\-raeat, y ^ r {I -\- cobI).
Y el área KDL se determinará luego por medio de la fórmula
ilj = — r2 I [{tz — t)-\-sent]Bentdt

= r^Hn — t)lcost-\ j + sení -\ sen2n.

Fórmula de la cual se deduce que A^ será independiente de n cuando sea

eos t -\ ^ O ,

— 426 —
y, en consecuencia,

t = — 11 é w := — r:
6 ^2

reduciéndose entonces la expresión de A^ á la siguiente:

■2

Y asimismo se concluye de los antecedentes expuestos que el área de
la figura, limitada por el arco KDL y su cuerda, KL, es igual á la mitad
del área del exágono regular, inscripto en el círculo generador de la ci-
cloide, cuando KL divide á DE en dos segmentos, uno con otro, en la
relación de 1 á 4 Resultado interesante este último descubierto por Hüy-
GENS (Oeuvres, t. ii, p. 201).

507. El valor de la superficie del sólido, engendrado por la cicloide,
cuando ésta gira alrededor de la base , se halla expresado por la fórmula

dt

2^^ t 64

(1 — cosí) sen — dt = r? r^.

64
Luego el valor de la superficie considerada es igual á del área del

círculo generador (Pascal y Fermat).

508. Cuando el círculo generador de la cicloide se mueve, el punto F
describe una curva, en la que fijó también su atención Roberval (Mémoi-
res de l'Académie, Paris, t. vi, 1730), denominándola compañera de la
cicloide, y cuya forma es bien fácil deducir.

Representando por x^ é y^ las coordenadas del punto F, encuéntrase, en
efecto, por de pronto, que

Xi = rt é y^ = r{l — cost);

— 427 —
j, en consecuencia,

6, poniendo r — !/i = jj%f y *i = ^Co,

Luego la curva buscada es una sinusoide, á la cual Wallis, que tam-
bién la estudió, aplicó el nombre de curva de los senos versos.

509. Terminaremos cuanto respecto á la cicloide consideramos perti-
nente decir en este lugar, mencionando las dos propiedades siguientes, que
prestan á la curva gran importancia en algunos interesantes problemas de
Dinámica.

1.* La cicloide es la cvrva que debe describir la extremidad libre de un
péndulo para que el tiempo de cada una de las oscilaciones de éste sea
independiente de la amplitud de las mismas.

Propiedad descubierta por Hdygens, quien procuró utilizarla en la
construcción de un péndulo isócrono, fundándose para ello, además, en la
teoría de las e volutas, inserta en su obra admirable titulada De horollogio
osdllatorio (Opera varia, t. i, p. 29).

2." La cicloide es también la curva que debe recorrer un móvil, sujeto
solamente á la fuerxa de gravedad, para caer de un punto dado á otro,
también dado, en el mínimo tiempo posible.

Problema propuesto por Juan Bernoülli en las Acta Eruditorum
de 1696 (p. 269), y cuya solución fué dada por el mismo geómetra en el
volumen de las Acta, correspondiente á 1697, y también, en distintos tér-
minos, con fecha muy poco posterior, por su hermano Jacobo. Más tarde
ocupáronse también en el mismo asunto Euler (Methodus inveniendi
lineas curvas maximi minive proprietates gaudentes, 1744, núm. 34; y
Lagrange, que aplicó á la resolución del problema su Método de las Va-
riaciones (Oeuvres, t. ii, p. 58; t. x, p. 440).

- 428 —
U

CICLOIDES contraídas Y DILATADAS

510. Cuando una circunferencia rueda sin resbalar sobre una recta
fija, los puntos del círculo que limita, interiores á ella, engendran curvas
denominadas cicloides contraídas, y los exteriores otras curvas, á las cua-
les se aplica el nombre de cicloides dilatadas.

De ambas especies de cicloides trató por vez primera Descartes en su
correspondencia epistolar con el P. Mersenne, determinando las formas
generales de unas y otras y el trazado de sus tangentes, y demostrando
que las contraídas poseen puntos de itiflexiÓ7i, que enseñó asimismo á
construir. Posteriormente ocupáronse también en su estudio Pascal, quien
manifestó, en carta dirigida á Huygens (Oeuvres, ed. Eackette, t. iii,
p. 439), que su rectificación dependía de la rectificación de la elipse; y
RoBERVAL, que determinó sus áreas: etc., etc.

511. Procediendo como en el caso de la ordinaria, es fácil hallar las
ecuaciones de estas otras dos variedades de cicloides.

Tanto en el caso de las contraídas como en el de las dilatadas, estas
ecuaciones serán las siguientes:

x^rt — asent é y ^ >' — acos¿,

si por r se representa el radio del círculo generador; por a la distancia
(< ó > que r) del punto, generador también, de una cualquiera de aque-
llas curvas, en particular, al centro del mismo círculo; y por t el ángulo
de las rectas que unen este centro con el punto de la curva engendrada,
correspondiente á determinada posición del círculo móvil, y al punto en
que éste toca á la recta sobre la cual rueda.

512. Para determinar la forma de la curva resultante, advirtamos, en
primer lugar, que en ambos casos la curva ha de componerse de una su-
cesión indefinida de arcos ¡guales; y que, por lo tanto, bastará para estu-
diarla fijarse en la forma correspondiente á uno de estos arcos, definido por
los valores de t, comprendidos entre O y 2tv. Y, en segundo lugar, que

— 429 —

dy_
dx

asent

X

r — a eos t

d^y ^ x'ij"
dx^

■ y'x" a{r eos t — a)

X'

{r — acosff

Esto sentado, consideremos separadamente los dos casos, de las cicloi-
des contraídas y de las dilatadas.

Primero. — Sea a <Cr.

A ¿ = O corresponde un punto A (fig. 131), cuya ordenada, positiva é
igual á r — a, es mítiima, por ser también en aquel punto y' = 0. Y á

Figura 131.

^ = 7c otro punto, D, cuya ¡abscisa es igual á -Kr, y la ordenada, máxima
ahora, igual á r -\- a. Siendo facilísimo igualmente cerciorarse de que la
curva es simétrica, relativamente á DQ.

d ti

Además, la derivada ^ es nula cuando r cosí := a. Luego á los va-
lores de t, determinados por esta ecuación, corresponden dos puntos de
inflexión, E y E' , de la curva (Descartes).

Segundo. — Supongamos ahora que a> r.

A < = O corresponderá en este caso un punto, A (fig. 132), cuya orde-
nada, negativa é igual ár — a, debe también considerarse como míni-

— 430 —

ma. Y á t = -, otro punto, D, cuya ordenada, igual á r -\- a, es máxi-
ma. Resultando también simétrica la curva por referencia á la recta DQ.
La ecuación rcost = a produce para t valores imaginarios : luego en
este caso la curva carece de puntos de inflexión.

Y, por ser

dy

— : Go cuando r = a cosí, é y = 0 entonces, concluyese

que las tangentes á la curva, en los puntos de intersección de ésta con el
eje de las abscisas, son perpendiculares al mismo eje.

513. Tanto en el caso de las cicloides contraídas como en el de las
dilatadas, la ecuación de la normal en el punto (x, y) es la que sigue:

T-y =

a eos t

a sent

{X — x)i

de la cual, cuando sea Y= O, se desprende que

Y I a sent

Jí = X -\- y := x-\- a sen t = OP.

r — a eos t

Luego la normal á la curva en el punto M corta á la recta fija en el
punto en que el círculo de radio r, á que se refiere la definición de la cur-
va, toca á la misma recta (Descartes).

— 431 —
De la ecuación general

x' y" — y' x"
dedúcese que el radio de curvatura de las cicloides tiene por expresión

R-

{r^ + (í^ — 2ar cost)'

a (r eos t — a)

Luego, en el punto A, R será igual á , y, en el D, igual á

{r + af

a
Por medio de las fórmulas del Cálculo Diferencial, adecuadas al objeto,
hállase que las coordenadas x^ é y^ del punto de la evoluta, que corres-
ponde al (íc, y), serán éstas:

r — a cosí \ . r(r — acost)'^

X. "' * — *• ^ -■ —

/, r — a cosí \

Sj = r ( r sen t\ é y^--

\ reos/ — a )

a (rcosí — a)

En el caso de ser a <r, la evoluta del arco AD de la cicloide (fig. 131)
se compone de dos ramas: una, FO, que pasa por el punto F, determina-
do por la igualdad

AF=^^r^^,
a

y de la cual es asíntota la normal á la curva en el punto de inflexión E;
y otra, HI^, por el H, donde se verifica que

y de la cual es también asíntota la misma normal.

Y si es a > ?•, la evoluta HTF del arco ABKD pasará por los puntos
H, T y F (ñg. 132), situado el primero sobre la recta, prolongada, DQ; el
segundo sobre el eje de las abscisas; y el tercero sobre el de las ordena-

— 432 —

das Oy: recta y ejes tangentes á la evoluta en los tres mencionados pun-
tos, conforme manifiesta la figura. (Dieu: Nouvelles Anuales des Mathé-
7natiques, t. xi, p. 131).

514. Para rectificar las cicloides consideradas, basta advertir que

ds = yjx'^ + ?/'2 di = Vr2 + a2 — 2 ar eos t dt.
Ó, poniendo ¿ = ti -)- 28,

*'''" 8en2 9 d9.

Luego la rectificación de los arcos de la curva de que se trata depende
de la rectificación de otros arcos de una elipse (Pascal); ó, como la pre-
cedente fórmula enseña, del cálculo de una integral elíptica de segunda
especie.

515. Para encontrar el área limitada por la cicloide y por una paralela al
eje de las abscisas, transportemos el origen de las coordenadas al punto D,
cambiando para ello x en ur — x,éy enr -\~ a — y; y así resultará que

x = r{-K — t')-\-ase\ít é y ^= a {\ -\- cost).
Luego

A=2 C^xdy=2a\(-K—t)(rcoBt-\--^

+ r sen t A sen 2 1

4

Y, si ¿ = 0, hallaremos finalmente para expresión del área, limitada
por la curva y por la recta AA' , la siguiente:

A = 2Tiair-\--\.

433 —

III

EPICICLOICIES E HIPOCICLOIDES

5 I 6. Desígnase con el nombre de epicicloide la curva engendrada por
un punto cualquiera de una circunferencia, cuando ésta rueda sin resbalar
sobre otra circunferencia fija, situada á distinto lado que la primera de su
común tangente.

La más remota mención de las epicicloides encuéntrase en una obra del
célebre pintor y grabador alemán Alberto üukero, que floreció entre los
siglos XV y XVI, publicada en 1606, con el título de Instilutionum geo-
metricarwn libri quatuor...

Muchos años después, en 1674, por resultado de sus investigaciones
sobre las mejores formas de los engranajes de imas ruedas dentadas con
otras, para obtener determinados fines de transmisión d€ movimientos, el
astrónomo dinamarqués Ola US Rofmer encontró las mismas curvas, se-
gún afirma Leibnitz en dos de sus cartas, dirigidas á Juan Bernoulli.
Y, á partir de esta fecha, fijaron su poderosa atención en el minucioso aná-
lisis de las propiedades de las mismas curvas Xewton (Principia Mathe-
matica, lib. i, prop. 49), que logró rectificarlas; Juan Bernoulli (Opera
Oinnia, t. iii, p. 449 463), quien de- ..

terminó sus áreas y sus evolutas por
medio del Cálculo Diferencial; La
HiRE, en las Mémoires de Mathé-
matiques et de Physique de l'Aca-
démie des Sciences de Paris, 1694;
EüLER (Nova Acta Petropolitancv ,
pars prior, 1781, p. 48), que des-
cubrió su doble generación; etc.

Para determinar la ecuación de
las epicicloides, sean O el centro
(fig. 133) de la circunferencia fija,
ABR, que adoptaremos por origen
de las coordenadas; C el de la circunferencia móvil, BMD, en una cual-

28

Fisnra 133.

— 434 —

quiera de sus posiciones; B el punto de tangencia de ambas circunferencias;
a el ángulo AOB; p el MCB; M el punto generador de la curva; y ^ la
posición inicial de este punto. La ley de generación de la curva se traduce
por la igualdad

arco^B = arco BM;
ó, si i2 y /• designan los radios de las circunferencias fija y móvil,

Esto supuesto, proyectemos la línea OCil/ sobre el eje de las abscisas;
y, advirtiendo que los ángulos formados por las rectas OC y CM con el
eje de las abscisas positivas son respectivamente iguales áa yáTr-(-a-)-P,
contados también en sentido positivo, hallaremos que la abscisa x del pun-
to M tiene por expresión

íc ^ (i? -j- r) cosa — r cos(a -|- P);

y la ordenada, y, del mismo punto, proyectando también la línea OCM so-
bre el eje de las ordenadas,

y = {R -\-r) sena — r sen (a -)- P).
Ecuaciones que pueden también escribi'se de este otro modo:

x=={E~f- r) eos a — r eos a é

r

(1)

y = {i{ -\- r) sena — r sen- a.

De las cuales se deduciría la ecuación cartesiana de la epicicloide que
representan, por eliminación de a. Mas, para estudiar la curva á ()ue am-
bas* se rífit'icn, es preferible, como en el caso de la cicloide, valerse de
las dos simultáneamente, considerando la variable a como independiente.

517. Cnmenzareüios, {¡ues, el estudio pur ti de la normal á la curva,
en uno cualquiera de sus puntos.

Por ser

435 —

= (ñ -|- *■) f — seux -)- sea (a -|- p)] y

dy

= (72 + r) [cosa — eos (a -f ¡3)],

dv.
la ecuación de la normal será

Y — y sea(a -|- p) — sena
X. — X cos(a -)- p) — cosa

La cual, sustituyendo en ella x é ij por sus valores, dados por las ecua-
ciones de la curva, y por X. é F los iicosa y físena de las coordenadas
del punto B, queda satisfecha: luego la normal á la curva en el punto M
pasa por el B, en donde las dos circunferencias se tocan. Y, en conse-
cuencia, la tangente á la curva en aquel punto será la recta DM, perpon-
dicular á i? Jf (Descartes).

Y si además se pretende hallar la longitud , A-, de la recta BM, bien fácil
será conseguirlo, bastando para ello advertir que

BM=k=y(Rcosy. — xf + (ñsena — y)2
= r Y(cosa — eos (a -f- p))^ + (sena — sen (a -|- p))^ =2r sen — p.

518. Del modo de generación de las epicicloides resulta inmediata-
mente que cada una de estas curvas se compone de una sucesión de arcos
iguales, comprendidos entre los puntos donde la curva, engendrada por
el M de la circunferencia móvil, encuentra á la circunferencia fija, 6 direc-
tora del movimiento: puntos que corresponden evidentemente á [- =2?ítc,
siendo n nfimero entero, y valores de a comprendidos en la serie

T T * ?'

a=0, 2 7t, 4 TT, 6 Tt, ...

R R R

7* 'yyt /'

Si — es un número racional, — .cuando fuere a.=-2n — Tr=2»i7T, el
R n R

_ 436 —

punto generador de la curva vuelve, después de describir n arcos igua-
les, á la posición primitiva. A, de donde partió; y, si continúa girando
la circunferencia móvil sobre la fija, se reproducirá, sin variante, la epici-

cloide ya engendrada. Pero si — es irracional, el punto generador de la

R

curva describirá, sí, indefinidamente otros arcos, iguales unos á otros,
pero no coincidentes en situación ó superponibles por series, en las revo-
luciones consecutivas de la circunferencia móvil, apoyada de continuo en
la fija. Siendo de advertir que, en el primero de estos casos, las curvas
engendradas por el punto M serán algébricas, y transcendentes en el se-
gundo. Y no solamente algébricas en aquél, sino además unicursales.
En efecto: x é y son entonces funciones racionales de sena y cosa,

y de sen — a y eos — a; y, según enseña la Trigonometría, sen m — y
■' m ni "^ m

cosm — , y sen»— ^ y cos»i — , lo son igualmente de sen — y de eos— ^.

m m •' m m ■' m

Pues poniendo, por otra parte, tang — — == t, en las fórmulas que deter-

ó 7)1)

minan el seno y el coseno en función de la tangente, se hallará que

a 2í a 1 — <2

sen — = y eos — =

m

1 _|_ ¿2 m 1 + ¿2

De todo lo cual se infiere que las coordenadas x é y pueden también
considerarse como funciones racionales de la misma variable auxiliar t.

i") 1 9 . Los puntos , donde la circunferencia fija corta á la epicicloide , lo
son de retroceso de esta curva. Para persuadirse de lo cual basta fijarse en
el inicial de la serie de arcos iguales, componentes suyos, correspondiente
al valor de a :=: 0. Con este valor de a, el coeficiente diferencial

dy cosa — eos (a + |3)

cosa — eos ( 1 A I a

_ \ "- }

dx sen(a + ¡í) — sena I R\

^ ' '^' sen 1 1 -| ^ j a — sena

adquiere, por de pronto, la forma indeterminada — , que fácilmente se

resuelve en esta otra: -— = 0. Luego la tangente á la epicicloide en el
dx

— 437 —

punto A, donde a = O y coinieaza la generación de la curva, coincidirá
con el eje de las abscisas.
520. Por ser

^=(fí + r)r-sena + sen(a + p)A +^jl y

-^ = (ñ + r) T- cosa + cos(a + P) j'l + ~\\,

el radio de curvatura, R^, de las epicicloides podrá calcularse por la si-
guiente fórmula

V dx^ ^ da? j _ 2

R,

dx d^y dy d- x R-\-2r

da do? dtj. d<}?

ó, en virtud de una relación anteriormente hallada (Juan Beenoulli),

__ 2k{R + r)
^''~ R+2r •

Y como el denominador de R^ no puede ser nulo, resulta que la curva
no posee puntos de inflexión.

521. Para hallar las evolutas de las epicicloides, basta advertir que,
de las fórmulas conocidas

dy í dy'^ dx^ \ dx í dx^ dy^ \

í¿a \d'j?- d'j?) , , dx \drt^ da^ I

dx d^ y dy d? x dx d^ y dy d^ x

dx da? da. da? da. da? da. da?

se desprenden, en función de a, las coordenadas .Tj é y^ de los puntos de
las evolutas buscadas:

R

£Ci = \{R -4- r) cosa + r eos (a + 8)1 é

R + 2r

^1 = ~„ , o [(^ + O sena + r sen (a -f ¡3)].

— 438 —

Ecuaciones las dos últimas que pueden también escribirse de este otro
modo:

x^ =z (/3 _j_ ^) cosa -\~ r eos ^ "^ a é

ÍÜ4- 2r L '' J

„ , -, (« + O sen a + r sen a ;

y\

T

6y poniendo a = a^ -| r,

Si cambiamos ahora de ejes coordenados, adoptando para eje de las
abscisas otro, que forme con el primitivo un ángulo igual á '— ~, halla-
remos para las nuevas coordenadas, x.^ é y.^, las expresiones siguientes:

a;3=— -— — (fí + r)cosaj — rcos^-i-í-a. é
R 4- 2;- L r ^J

^2 = „ I ^ l-K + r) senaj — ;• sen — a. .

i?-j-2rL '^ . J

O, poniendo finalmente

R + 2r ' i? + 2r'^^

estas otras:

X={R -\- r) cosy., — reos — ~ — y., é

r ^

Y=(R-{- r) sena, — r sen — — t- o,.

— 439 —

Ecuaciones ambas que coinciden cou las de la curva en primer término
considerada. Luego la evoliUn da una epicicloide es otra epicicloide seme-
jante á la propuesta, cayos círculos generadores , fijo ij móvil, tienen res-
pectivamente sus radios iguales á ti , coincidiendo el

^ R^2r •' R-\-2r

centro del primero con el centro de la epicicloide dada (Juan Bernoulli).

522, Cualquier epicicloide puede ser engendrada por dos circunfe-
rencias diferentes, rodando sobre la misma circunferencia fija, una exterior
y otra interiormente á ella.

En efecto, si por el punto M tiramos la recta MP, p.iralela á CO, y por
el O la recta RP, paralela á MC, de la igualdad de los tres ángulos MPR,
BCM y ROC, y de la circunstancia de pasar por R la circuufereucia de
centro P y radio PM, igual á R-\- r, resultan las igualdades

arco R M arco BM arco R B

R + r »•

R

y, por lo tanto,

arcoiíilf — arco BM

arco RB

R

" R '

6

arcoRM — arcoi?ilí= arcoi24 — ¡ltcoBA;
6, finalmente,

arcoi2ií= arco 72 A

Luego el punto M de la circunferencia, de centro P y radio R + '',
dentro de la cual se halla comprendida la circunferencia fija , al rodar,
en contado siempre con ésta la. primera, describe la misma curva que
el M, de la circunferencia, de centro C y radio r, cuando ésta rueda sobre
la de centro O y radio R. (Ecjler).

523. Por ser

,ÉL_y_^:±^riR + r)iR + 2r^

dP ^ dp R ^

440 —

el área A, limitada por uno de los arcos de epicicloide y por los radios
componentes de la circunferencia fija, que pasan por sus extremos, se halla
expresada por la fórmula (Juan Bernodlli)

2 Jo V d'íi -^ dp) ^ R

524. Y por ser

/ dx y í dy \2 ,-2 / ,/,^,-2 ,1 2 4 r2 ( // + ;■)■' o 1 o

%

la longitud, s, de uno cualquiera de aquellos arcos lo estará por esta
otra (Newton):

-r^[%f(%i-^-

8/-(Jg-|-r)
R

525. Consideremos ahora las mismas circunferencias que en el NCi-
mero 510, y supongamos que la de radio r y la de radio R sean tangen-
tes una á otra interiormente. En este caso las curvas engendradas por un
punto de la circunferencia móvil se denominan hipocicloides.

Y, por procedimiento análogo al empleado en el caso de las epicicloides,
fácilmente se deduce que las ecuaciones de estas curvas son las siguientes:

x = (tí — r) cosa + r eos a é

r

y = [tí — /■) sena — r sen a,

que solamente discrepan de las correspondientes á las epicicloides por el
cambio de r en — r. De manera que las propiedades de las hipocicloides
serán análogas á las de las epicicloides, y se deducirán de éstas cambian-
do también, en los razonamientos para descubrirlas y fórmulas que las ex-
presan, r por — r, y viceversa.

Las dos especies de curvas mencionadas denomínanlas algunos auto-

— 441 —

res con el nombre común de epicicloides, distinguiéndolas luego, segün los
casos, con los calificativos de exteriores 6 interiores.

526. Entre las interiores, ó hipocicloides , merecen mención particu-
lar las obtenidas suponiendo que i?==4ry R = 2r.

Cuando R=ir, las ecuaciones generales de las hipocicloides adquie-
ren las siguientes formas:

£C= 3r cosa -f r cos3a é )/ = 3/-sena — rsenSa;
6

x^ár cos^ a é ¡j = ir sen^ a,

de las cuales se desprende esta otra:

que representa (Ndm. 267) una astroide, 6 hipocicloide. de cuatro retro-
cesos.

Y poniendo en las mencionadas ecuaciones generales R^2r, hállanse
las particulares que siguen:

// = O y ,r = 2r cosa;

correspondientes á una línea recta (Cardan).

Pero, entre todas las hipocicloides, la de más notables propiedades y más
digna de especial consideración es la denominada hipocicloide de tres re-
trocesos, que á continuación pasamos á estudiar.

— 442 —

IV

HIPOCICLOIDE DE TRES RETROCESOS

527. Suponiendo que sea R = 3r, de las ecuaciones geaj^rales de las
hipocicloides se desprenden estas otras:

(1) £c ^r (2 cosa -)- cos2a) é y = r {2 sena. — sen2ct).

En este caso, la circunferencia directora, de radio E, es evidentemente
igual en longitud á tres veces la de radio r: componiéndose la curva en-
gendrada por un punto cualquie-
ra de la segunda , en su movimien-
to de traslación rotatoria, tangen-
cial á la primera por dentro de
la misma, de tres arcos superpo-
nihles, limitados en los puntos de
retroceso, equidistante uno cual-
quiera de los otros dos. A, A^
y A.¿ (fig. 134), y vértices, por
lo tanto, del triángulo equilátero
AA^ A^. De los arcos de la hipo-
cicloide serán tangentes en los
puntos mencionados las bisectri-
ces de este triángulo, y norma-
les á ellos, en C, Cj y Cg, las mismas bisectrices, que por definición han
de cortarse en el centro O del círculo CC^C.^, de igual radio, r, que el ge-
nerador de la curva.

La hipocicloide de tres retrocesos ha sido objeto de trabajos de sumo
interés.

EüLER fué el primer geómetra que atentamente se ocupó en su estudio,
cuyos resultados consignó en una memoria titulada De duplici genesi epi-
cycloidum qiinm /if/pocgcloidun>, publicada en 1781 en las Acta de l'Aca-
démie de S. Petersbourg. Trataron después del mismo asunto Steinek

Fignra 134.

— 443 —

(Jonrnal de Crelle, t. liii, p. ¿31); Scuroter (Journal de Crelle, t. Liv);
y algunos más. Pero quien la estudió con mayor amplituJ y más contribuyó
á su celebridad fué Ceemona, que la consagró una bella é importante me-
moria, publicada en el volumen del Journal de Crelle, correspondiente al
aüo de 1865 (t. lxiv, p. 101), donde la calificó de maravillosa, por el gran
número de interesantes propiedades que posee.

En esta memoria demostró, en efecto, el eminente geómetra italiano
muchos teoremas, anteriormente ya enunciados por Steiner, y otros nue-
vos y muy importantes, empleando para ello consideraciones puramente
geométricas.

Más tarde, Painvin (Nouvelles Annalcs des Mathématiqíies , 2." serie,
t. IX, p. 212 y 25G) demostró de nuevo estas proposiciones y algunas
otras más, por procedimientos analíticos, y merced al empleo de las coor-
denadas trilineares y tangenciales.

Y LoNGCHAMPS (Journal des MathémaUques spéciales, 2.^ serie, t. viii,
p. 1G9) se valió para los mismos fines de las coordenadas cartesianas, con-
forme, substancialmente, por ser lo más elemental y más fácil de compren-
der, haremos á renglón seguido. No sin antes advertir que, además de los
trabajos á que acabamos de referirnos, han sido publicados otros muchos
referentes á esta curva célebre: como puede verse en la lista de todoáf
ellos, formada por Brocard, y dada á luz en el Intermédiaire des Mathe-
maticicns (t. iii, 1896, p. 166).

528. La hipocicloide de tres retrocesos, de Steiner, triangnkir, ó tri-
cHspidal, que de estos varios modos se denomina, es una curva algébrica
de cuarto orden, que tiene por ecuación la siguiente, fácilmente deducible
eliminando la a entre las ecuaciones (1):

(^2 _|_ ,,2)2 ^ 8?-íc {3tf — «2) -f 18r2 (a;2 + y^) — 27/' = 0;

y cuyas coordenadas, x é y, por ser unicursal, podemos expresar en
función racional de un parámetro t. Bastando para ello suponer que

tang — a = — <.• de donde se desprende que

o 1 1 2¿ ^1

sena=2sen — acos — a= ; y cos«=cos'^ — a-

■¿ 2 l + ¿2 ' 2

— 444 —
Con lo cual las ecuaciones (1) de la curva redficense á las siguientes:

_ _¡i4_6¿2_[_3 _ 8/3

(¿2 + 1)2 ■' (¿2 _,_ 1)2

Y, en consecuencia,

dy dy dx

dx~ dt ' dt ~ '

529. Por referencia á sus tangentes, la curva de que ahora se trata
posee propiedades importantes, que pasamos á determinar.

Con este objeto, traslademos el origen de las coordenadas al punto de
retroceso. A, para lo cual basta poner x — Zr por x ; y así se hallará que

,„- 4r¿2(¿2 + 3) . 8 ¿3

(2) x= \ — é y = -r

(<2 -f 1)2 -" (/2 _^ 1^,2

Y como la ecuación de las tangentes es

Y - y = t{X—x),

fransformarémosla en la que sigue, poniendo en ella por x é y sus valores,
poco antes encontrados:

(3j Y-tX-^^^ = 0.

¡?2 + 1

Para trazar, pues, por el pun^o (a, ¡3) tangentes á la curva, habrá que
determinar la incógnita t por medio de la ecuación

(4) (4r + a)¿3 — P¿-^ + a< — ¡Ü = 0:

de la cual se desprenden para t tres valores, reales los tres, ó uno real y
dos imaginarios, que representarán los coeficientes angulares de las ecua-
ciones de las tres tangentes á la curva por el punto considerado, reales ó
imaginarias asimismo.
Sean

/^ == tanga, t.^^^tangb, y ¿3 = tange

— 445 —

estos tres coeficientes, sometidos, segftn la ecuación anterior demuestra, á
las condiciones

4 r + a 4 r -|- a

de las cuales se deduce que

tanga -(- tangft + tange == tanga . tangi . tange,

y, por consiguiente,

tanga -I- tangft , , , ,^

tange = ' ' = — tangía + h).

1 — tanga tangft

Igualdad de la cual resulta, atendiendo á que el eje de las abscisas
coincide con la tangente en el punto de retroceso, y á que los otros pun-
tos de este nombre se encuentran en las mismas condiciones que el ante-
rior, el teorema siguiente, debido á Laguerre (Nouvelles Anuales de
Mathématiqíies , 1870, p. 254):

Las tres tangentes que se pueden tratar á la hipocicloide de tres retro-
cesos por cualquier punto exterior á ella, forman con una cualquiera de
las tangentes en los puntos de retroceso tres ángulos , cuya suma es múl-
tiple de -.

5oO. La condición para que dos de las tangentes trazadas por el pun-
to (/, p) formen un áugalo recto, es

t, /.,+ != 0.

Pero, como además t^ t^ t.¿ = , resulta que

ir -\- a

P

4r + a

La cantidad es, pues, en este caso raíz de la ecuación (4),

4r -\- a

la cual, en consecuencia, se reduce á la que sigue:

+ — + 1=0,

(4r-fa)2 4r4-a

— 446 —

que, considerando las a y p como variables, representa la curva á que co-
rresponden los puitos por los cuales se pueden trazar tangentes á la hipo-
cicloide considerada, perpendiculares entre sí.

La última ecuación puede también escribirse de este otro modo:

(a+3.-)2 + ¡b2 = ,.-2,

que, abreviadamente, expresa el siguiente teorema de Painvin:

El lugar geométrico de los puntos por donde pueden trazarse tangentes
á la hipoeicloide de tres retrocesos, perpendiculares entre sí, es una cir-
cunferencia de radio r, y cuyo centro coincide con el de la hipoeicloide.
Por ser, en este caso,

2B

4»- -j- a
¿j y ^2 serán entonces raíces de la ecuación de segundo grado

t^ !^.-l = 0.

4í--|- a

531 . Cualquier tangente á la curva considerada corta á ésta en dos
puntos, además del de tangencia, separados entre sí por la distancia que
pasamos á determinar.

Sea X el valor de t en el punto de contacto. La ecuación de la tangente
será entonces

4rX3

a2 + 1

y los puntos de su intersección con la curva se determinarán por elimina-
ción áe X é Y entre esta ecuación y las ecuaciones de la hipoeicloide

„ 4r/2(/2 + 3) 8<3

Jv ^ él —

(¿2 + 1)2 (¿2 J^ 1)2

de donde se concluye que

\t'* _ 2 (■a2 ^ 1) ti -j- ), (a2 + 3) í' — X3 = o,

— 447 —
6

f/_>,)2(><2_2/— A) = 0.

Los valores de t en los puntos donde la tangente corta á la curva se
hallan, pues, definidos por la ecuación de segundo grado

cuyas raíces, i' y i", satisfacen á esta condición:

t' ¿" + 1 = 0.

Luego las tangentes á la curva en aquellos puntos son una á otra per-
pendiculares (Ckemona).

Para hallar ahora la distancia A entre estos puntos, advirtamos que, re-
presentando por x' é y', y x" é ij", sus coordenadas, será

Y, atendiendo á las igualdades

4,.f2(¿'2^3) SrP
x' = í^ ! é u= , y

„ _ _ irt"^{t"^ + ^) ^ ^ „ ^ _ 8rt"^

^ - (¿"2 + 1)2 ^ (¿"2 + 1)2'

dos de las cuales, sustituyendo t" por -, se convierten en estas otras:

4r(3¿'2+l) - 8rt'

X == • e y —

(¿'2+1)2 ^ (¿'2+1)2'

se concluye, finalmente, que

A2 = 16/-2.

Luego la longitud de la parte de cualquier tangente, interceptada por
la curva, es constante é igual á ir (Cremona).

— 448 —

532. El lugar geométrico de los puntos por donde se pueden iraxar
tange?ttes á la Jiipocicloide de tres retrocesos , de manera que los de con-
tacto resulten en línea recta, es la circunferencia que pasa por los de re-
troceso (P. Delens: Journal de Mat/iématiques spécialés, 4/ serie, t. xvi,
p. 193).

Los puntos en que la recta

ux -}- vy -\- lu = 0

corta á la curva se hallan, en efecto, determinados por la ecuacidn si-
guiente, obtenida por eliminación de las x é y entre ésta y las ecuacio-
nes (2) de la curva:

{w — iru) t'^ — 8rr¿3 + {2w — 12ru) t^ + w = 0.

Y para que la recta pase por los puntos de contacto de las tres tangentes,
trazadas por el punto (a, P), es necesario y suficiente que las raíces de la
ecuación (4) coincidan con tres raíces de la anterior, ó que el resto de la
división de sus primeros miembros sea idénticamente nulo. Basta, pues,
formar este resto, igualar á cero los coeficientes de las diversas potencias
de t, y eliminar u, v y iv entre las ecuaciones resultantes, para obtener el
lugar geométrico pedido. Y procediendo de este modo, como se procedió
en cuestiones análogas, discutidas en los Nfims. 164 y 212, obtiénese,
en conclusión, la ecuación de la circunferencia, de radio igual á 3r.

533. Comparando la ecuación de la tangente (3) con la

uY-\-vX-{-l = 0,

V

hállase que

¿2 + 1 ¿2+1

y r = .

y, por consiguiente, eliminando t entre las dos,

ecuación tangencial de la curva, suponiendo que el origen de las coordena-
das coincide con el punto de retroceso, A.

— 449 —

Si partimos de esta ecuación y buscamos la de la polar de la curva,
por ella representada, relativamente á la recta

»'n// + "0^*" + 1 = 0,
para lo cual se debe aplicar la fórmula

"u fu + ''o /,' + "■„ /■-/ = o
Á la ecuación homogénea

/"(?/, V, ir) = irv^ — 1)2 w — ti^ ic = 0, /

encuéntrase la ecuación

(5) u^ _|_ ( I _ 1 2 /• i-o) 1-2 j^ 2 », ?í + 2 í'„ r = O ,

que representa una cónica.

Y, buscando la ecuación cartesiana de esta cónica, por el método cono-
cido (Laürent: Traite d'Analyse, t. ii,^;. 59), obtiénese la siguiente:

(-2(1- 12rí'o) «, y - 2 r„ .r = 1 - l2rvo,

que representa una parábola.

Pues escribamos esta ecuación bajo la forma

("u ^ — í"o y'f — 2 («n y + í'o •'^) + -■i''^'() ''o /y = 1 — i2rív,;

cambiemos de coordenadas, con auxilio de las expresiones

X = ,r, cosy. — ¿/j sena é ?/ = //^ cosa -|- .i\ sena,

adoptando para eje de las abscisas en el nuevo sistema una recta, paralela
á la resta dada, que forme con el primitivo eje de este nombre el ángulo

a, determinado de este modo: tanga = —; y hallaremos, por resul-

tado final,

— ^ .rj2 -f 2 — 2- i/i -\- 2iniQ r^, {^/^coscl. -{- Xyseoa) = l~l2rv^.
sen'^a sena

29

450

Y cambiando luego el origen de las coordenadas, por medio de las ex-
presiones x^=x -\- h é y^^ y -\- I, á condición de determinar primera-
mente h , con auxilio de la igualdad

2 h — \- 24 /• II Q Vq sen a ^ O ,

sen- a

y, después /, valiéndose de la igualdad

^'" /¿a -I- 2 — ^ I -j- 2-1 r 71^ r^ (/.• eos a -f ¡i sen »)
sen^ a sen a

= 1-12/T,,
nos resultará, finalmente, la ecuación

_Io!_ ^.2 + 2 ^^ .y + 24,-»o /'o yco,..= 0,
sen'^ a sena

según la cual el eje de la parábola coincide con el eje de las ordenadas, y,
por consiguiente, es perpendicular día recia dada.

534. Para determinar los focos de la parábola anterior, apliquemos á
la ecuación (5) el método general, valedero para la determinación de los
puntos de aquel nombre en las curvas algébricas.

Poniendo para ello

1 i

u = y v= -,

b -{- ai h -\- ai

hallaremos la ecuación

12rvQ — 2uQ(b-\- ai) — 2r^^i(b-^ai) =0.
que se descompone, ó resuelve, en las dos siguientes:

Wq b — I'q a = 6 r í'q y tiy^a -{- Vq h = 0.

, por ser tanga ■= 9- ,

Uq

b -\- a t&nga. =^ — 6 r tanga y a — ¿» tanga = 0:

— 451 —

ecuaciones que determinan las coordenadas a y b del foco de la parábola,
y enseñan que, cuando la recta dada se mueve paralelamente, el foco no
varía, por cuanto a uo varía tampoco.

Las dos propiedades que acabamos de demostrar se hallan consignadas
en la memoria de Painvix, anteriormente citada, y fueron descubiertas por
Cremona. Mas las demostraciones que acabamos de proponer difieren de
las formuladas por uno y otro geómetra.

5í{5. Si la recta dada es tangente á la hipocicloide, se verificará que

4»-V — V— V = 0.

Y poniendo u = u„ y v = i\¡ en la ecuación de la parábola, dedúcese
la relación, idéntica á la anterior,

,,^2 4. (1 _ 12,.,^) ,,^2 + 2u,^ + 2 v^^ = 0.

De manera que la recia considerada resulta también tangente á la pa-
rábola.

5í56. Busquemos los puntos en que esta recta

«o 2/ + ^0 a? + 1 = O

toca á la curva y á la parábola: ¡)uutos Jados por la ecuación

ufu (II o, Vq, Wq) + í'/;' (íí-o. í'o- "■q) + >''f-' K' 'o' ='"o) = O,

representando por f(u, v, iv) = O la ecuación homogénea de la curva.
Aplicando esta igualdad á la ecuación de la hipocicloide

hállase que

2mo u - {I2rv^^ - 2v^) v + v^^ + u^^ = 0;

y la ecuación de la parábola conduce al mismo resultado.

Luego la recta considerada toca á las dos curvas en el mismo punto.

Y como ya se ha visto que el eje de la parábola es perpendicular á la
recta de que se trata, resulta que el punto de contacto, común á la hipoci-
cloide y á la parábola, coincide con el vértice de la segunda (Cremona).

— 452 —

Si, además, se elimina tanga entre las dos ecuaciones de donde se des-
prenden las coordenadas, a y h, del foco de la parábola, hállase la ecuación

a2-|-¿2 + 6r«=0.

Luego todos los focos de las parábolas, correspondientes á las diversas
rectas, encuéntranse situados sobre la circunferencia que paf^a por los
puntos de retroceso de la hipocicloide (Cremona).

537. El radio de curvatura de la hipocicloide de tres retrocesos se
halla expresado por la fórmula

3
i?=8í'sen — o. = él,-
2

en el supuesto de representar /.: la distancia, al punto considerado de la
curva, del punto en que el círculo generador de la misma curva toca al
círculo fijo ó director del movimiento.

Las coordenadas x^ é y^ del centro de curvatura de la misma hipoci-
cloide tienen por expresión

íCj = 3/' (2 cosa — eos 2 a) é !/j = 3/' (2sena -j- sen2a):

ó, poniendo a -)- tc por a,

jSj = — 3»- (2 cosa -f eos 2 a) ó .í/i = — 3?- (2 sena — sen2a):

las cuales corresponden también á una hipocicloide de tres retrocesos, en-
gendrada por una circunferencia de radio 3r; ó una curva, salva la situa-
ción, idéntica á la primitiva.

538. El valor del área, limitada por uno de los tres arcos componen-
tes de la hipocicloide de tres retrocesos y por los radios de la circunferen-
cia fija que pasan por los extremos del mismo arco, tiene por expresión

9

A= — T.r^,
3

2
y es igual, en consecuencia, d — del área del circulo generador.

— 453 —

Y el valor del área total del triángulo curvilíneo, formado por los tres
arcos de la curva, igual á 2Kr^: doble del área del mismo círculo.

o'iid. Auálúgameatc: la longitud de uno de aquellos tres arcos es igual

4

á — Tzr, ó á dos terceras ¡¡artes de la lonr/itud de la circunferencia gene-
radora. Y la longitud total doble de la longitud de la circunferencia des-
arrollada.

540. Las hipocicloides de tres retrocesos poseen afín otras propieda-
des interesantes, relativas á sus podarlas, descubiertas por Longchamp.s
(Journal de Mathéniatiques spéciales , 1887, p. 203 y 220), y por Bno-
CARD (ídem, 1891, p. 32), que relacionan su teoría con la de otras cuárti-
cas anteriormente consideradas.

Como muestra ó prueba de lo dicho, tomaremos por origen de las coor-
denadas el punto C.

La ecuación (3) de las tangentes á la hipocicloide transfórmase en la si-
guiente:

4rt

Y=tX

¿2 + 1

Y la perpendicular á esta recta, trazada por el punto (a, ¡i), tiene asimis-
mo por ecuación

Y-¡i = -j{X-o.).

Eliminando la t entre ambas ecuaciones, obtiénese la que sigue, corres-
pondiente á la podarla de la hipocicloide considerada, relativamente al
mismo punto (a, |3):

= X (a - X) [{X - a)2 + (y _ p)2] _ 4r (a - x) {y - [if.
Ó, trasladando el origen de las coordenadas á este punto (a, p),
{A) rj iy + p) {x^ + ¿/2) + (¿c + a) X {x^ + ¿z^) - 4 rx,f = 0.
Suponiendo ahora que a y ¡i representan las coordenadas de un punto

— 454 —

de la circunferencia, tangente á la hipocicloide en los puntos C, Cy y C^^
hállase que

a = r -f- '■ CCS ci) y p = rsenw,

designando por w el ángulo formado con el eje Cx por la recta que une el
centro de la circunferencia considerada al punto (a, p).

Y, en virtud de las precedentes igualdades y de las j;=pcosO é 2/=p8eníl,
la ecuación de la curva considerada se reduce á la forma

p = — r(senO seno) -j- cosO + cosBcosw — 4coa9 sen^ 9);
ó

p^ — r[cos(9 — oj) + cos39]:
6, finalmente,

p = — 2r eos j 29 w "j eos U + — wY

Vese, pues, que la podaría de la hipocicloide de tres retrocesos, relati-
vamente á un punto cualquiera de la circunferencia, tangente á la curva
en los puntos C, P, y C.¿, es un trifoliuin. (Losgchamp.s).

541. Ampliaremos un poco más eúe asunto, fijando breves momentos
la atención en las podarias de la misma hipocicloide, relativamente á los
puntos de la recta CA,

Poniendo para ello en la ecuación (A) ¡i = O, dedúcese la ecuación

p = — a cos9 -\- 4r eos 9 sen^ 9:

la cual representa una rosácea de tres hojas, cuando a = r; un folium
dúplex (Núm. 237), cuando a = 0; un folium simplex (Núm. 231), si
a. = ir: y un trifolium (Núm. 244) en el caso de ser a = 2r (Brocard).

542. La hipocicloide de tres retrocesos puede, también, trazarse fá-
cilmente por puntos y tangentes, conforme vamos á indicar ahora.

Consideremos para ello una circunferencia, de centro O y radio I¿^; y,
á contar de un punto fijo de la misma, C, señalemos los arcos CM y CN
(fig. 135), de doble longitud el segundo que el primero. Pues, designando

— 455 —

por w el ángulo COM, y las coordenadas de los puntos My N, respecti-
vamente, por x^ é y, y .Fo é y.^, los valores de estas coordenadas podrán
expresarse de este modo :

x^ = — fíjCOSdj é í/j = ñjsenw, y x^= — y¿jCos2(i) é 2/2^ — i?iSen2a).

Con los cuales se deducirá para ecuación de la recta, MN, que pasa por
aquellos puntos, la siguiente:

1.1 3

y sen — to + JL eos — w ^ — R, eos — tü.

2 2 ^2

Y la envolvente de las posiciones que la recta toma, conforme to varía,
se determinará por medio de esta ecuación, y de su derivada con rela-
ción á u),

1.1 3

Y eos — u) — X sen — w = 3 /2. sen — w,
2 2 ^ 2 '

equivalentes á estas otras:

X= R^{cob2io — 2 cosw) é
r=i2i (sen2w+ 2 senoj),

las cuales se reducen á las (1) del Nú-
mero 527, poniendo en ellas tt — a
por O).

De donde se concluye que la en-
volvente de las distintas posiciones
de la recta MN, conforme M y N
varían sobre la circunferencia, conser-
vándose constante siempre la relación
arco CN = 2 arco CM, es una hipoci-
r.loide de tres retrocesos.

543. De análoga manera: sobre la
recta MN, también indefinidamente
prolongada, señalemos ahora el punto
K, de manera que MK=MN; y demostraremos que, cuando la recta 3IN
varíe de posición, sin alterarse la relación expuesta, el lugar geométrico,
descrito por K, coincide asimismo con la hipocicloide mencionada.

— 456 —

Trazando, en efecto, por el punto O la recta OL , perpendicular íí la
MN; proyectando la línea quebrada KLO, sucesivamente, sobre los ejes
de las abscisas y ordenadas, OX y O Y; y representando por Jl é Y las
coordenadas variables del punto K ^ hallarenios que

-rX= KL sen LOC -\- LO eos LOC é
Y= AL eos LOC— OLsenLOC.

Ecuaciones que, por ser

Lo = I\\ eos LON= /i'i eos ~r ^', KL = 3 LA = ÍJ /?] sen — o),

1

y J^OC=—i^,

se transforman en otras dos, que coinci<len con las dos poco antes deduci-
das y correspondientes ¡í la hipocicloide de tres retrocesos.

Luego, según lo acabado de manifestar, la curva de este nombre puede
considerarse engendrada, tanto por un pimío en movimiento, conforme ií
ley bien definida, como por intersecciones sucesivas de una recta, móvil
conforme también ;í la consignada en el 542: recta que, en todas sus
posiciones, resultará tauyente á la mencionada curva.

544. Designemos ahora por l'otro punto de la misma recta genera-
triz, relacionado con los M y N por la condición de ser VN= NM ; y
veamos cuál es la curva descrita por este punto, V, cuando la recta á que
corresponde varía de situación, de la manera antes explicada, ó al propio
tiempo que el A' describe la hipocicloide.

Proyectando para ello la línea quebrada, Y LO, sobre los ejes de las
coordenadas, y representando por ^Y^ é Y^ las coordenadas del V, hállan-
66 estas ecuaciones :

A'i = — (OL eos LOC--LFseuLOC) é
Yi = — {OL eos LOS + L Feos LSO),

que, procediendo como en el caso anterior, se transformarán en estas otras:
A^i ^ i?] (cosoj — 2cos2oj) é Y^=^ — ii'^ (senio -|- 2 sen2w),

— 457 —

correspondientes á la curva buscaiJa, y de las cuales, por eliminación de w,
se deduce, en coordeuadas cartesianas, la ecuación fmica de la misma
curva,

27 3

Y{^+C2X,^-3R,X- — 7?j2) 1Y-(X,+R,){X,+3R,)(X,- ■-- R,f=0:

cuárlica muy notable, estudiada por LoJíGCHAMPS en el Journal des Ma-
thématiques spéciales (1885), y por Brocard y M. d'Ocagne en el vo-
lumen del mismo periódico correspondiente al año 1886, representada en
la fig. lo6. Donde se ve que posee tres ejes: aA, a^ A^ y a^ A.^, que forman
entre sí ángulos de 60° ó de 120°;
y fres nodos , situados sobre es-

tos ejes.

distancia — R, de
2

su centro; y es tangente, además,
á las dos circunferencias, de cen-
tro común. O, y radios i?, y OA^i
igual éste á 3 1,\, en los puntos,
respectivamente, C, C^ y C.,,
y a, a^ y ff^, pertenecientes asi-
mismo á los ejes y vértices de dos
triángulos equiláteros. —En la fi-
gura es de notar la línea A._^ A^,
que corta al círculo interior y á

la cuártica trinodal en los puntos p, q y /■, de tal modo que pq = qr: lo
cual permite construir, en cualquier caso, la cuártica por procedimiento
muy sencillo. La conexión, ó íntimo enlace, de esta cuártica con la hipoci-
cloide tricHspidal, AC.¿A^C ..., se manifiesta también muy claramente
en la figura.

Finirá 135.

— 458 —
IV

EVOLVENTE DEL CÍRCULO

545. Entre las curvas epicicloidales notables merece también contar-
se la espiral evolvente del circulo, correspondiente al caso particular de
ser r=a): como que entonces el circulo móvil se convierte, efectiva-
mente, en una recta, reduciéndose la epicicloide de los demás casos á la
curva engendrada por un punto de una recta móvil, que rueda sin resbalar
soKre una circunferencia fija, á la cual se conserva tangente aquella recta
en todas las posiciones que sucesivamente va tomando.

Las ecuaciones de la evolvente del círculo se infieren inmediatamen-
te por medio de las generales de las epicicloides, sustituyendo en éstas

sen — a y eos — a por sus desarrollos en serie, y suponiendo después
r r

que r = oo. Con lo cual se obtienen las siguientes:

£c = 72 (cosa -j- ^- sena) é ij:^R{seay. — acosa);

de las cuales se desprenden además estas otras diferenciales:
dx = Ry.C0S9-da. y r/// = /'a sena (ía.

546. La curva á que se refieren estas ecuaciones es de bien sencilla
construcción; pues si, en efecto, representamos (fig. 137) por Ammim.¿...
el círculo director, de centro O, y por PQ la tangente generadora de la
curva, en su posición inicial en A; trazando por un punto cualquiera, m^,
la tangente á la circunferencia, y señalando en ella el J/j á la distancia
)Wj Jfj, igual al arco desarrollado, m^ vi A, este punto, M^, corresponderá
á la curva buscada. Y repitiendo la misma construcción, por referencia á
los demás puntos de la circunferencia, se determinarán sucesivamente cuan-
tos otros se consideren necesarios de la evolvente.

Y advirtiendo que, á contar del punto inicial ylj, la rotación de la tan-
gente PAQ puede efectuarse en dos sentidos opuestos, Ammy.. y Am^m.^...,
dedúcese que la curva resultante de este doble giro constará de dos ramas

— 459 —

distintas, AMMy.. y ANN^..., con un punto intermedio de retroceso,
en A. Siendo también de advertir que, por definici(1n ó construcción, las
tangentes á la circunferencia, como la Mni (prolongada), M^N^, etc., son
normales á una y otra raiia de la curva, conforme pide la teoría general
de las evoliitas y evolventes.

547. Por ser

Figura 187

rfs2 = rf.í'2 + di/ = fi2 a2 dx^,

concluyese que la longitud del arco AMAI^, correspondiente al ángulo
a = ?Wj O A, tiene por expresión s = — fi^^.

— 460 —

Y, análogamente: representando por A el área recorrida por el vector
de M, cuando este punto describe el arco A3IMy. de la curva, el valor de
la diferencial de esta área, en función de a, se hallará expresado como sigue:

7 i 1 / f^'/ ^^\ 7 o ,

2 \ ch. (b. '

De manera que, en conclusión,

ií^

X ¡I rfj. = — i)'-'y.^

d'J. da. I G

548. Por ser m^ ü/, el radio, i?,, de curvatura de la evolvente consi-
derada, en el punto il/j, este radio, en función del R, del círculo, tendrá
por expresión R^ = v.R, y, por lo tanto, la ecuaeión intrínseca de la evol-
vente será: R^ = 2sñ.

Luego, cuando la curva de este nombre ruede sobre la recta O A, inde-
finidamente prolongada (eje de las abscisas), los centros de curvatura,
correspondientes á los puntos donde la curva sea tanr/ente á esta recta, se
hallarán situados sobre la parábola representada por la ecuación

f = 2R{x-R).

(CE8AR0, Mathesis, 1884, p. 233.)

459. La podaría de la evolvente del circulo, relativamente alpunto O,
es una espiral de Arquímedes. (Mannheim: Nouvelles Aúnales de Mathé-
matiques, 1880, p. 186.)

La tangente á la curva de que se trata tiene, en efecto, por ecuación
ésta:

Feosa — ^ sena = — R%;

y la perpendicular á la tangente, trazada desde el mismo punto O,, esta
otra:

Fsena + X cosa = 0.

De las cuales se desprenden para X é Y los valores siguientes:
X= — i?a sena é Y^ — ^acosa;

— 461 —
y de aquí, para ecuacióo cartesiana de ]& podaría, la siguiente:

X2 _^ ya ^ 2^2 arc'i tang — .
O, en coordetiadas polares:

representando por p el radio vector de la curva, contado desde el origen,
y por 9 el áa^ulo formado por el radio de este nombre, correspondiente al
punto {X, Y], con el eje de las ordenadas.

550. De las dos ecuaciones fundamentales de la evolvente

a; = 72 (cosa -|- asena) é y = Ji (senci. — acosa)

se deducen sin dificultad las que siguen:

íccosa -}- ?/ sena= /? y x^ -\- y- = R'-^ {I -\~ tt) .

Y de éstas, por eliminación de a en la primera, la siguiente, única, en
coordenadas cartesianas, de la curva:

Vx^ + y^ — R^ a/,

X eos \ / - — M^ — 1- y sen \ / '-- = R,

r:'

equivalente, en coordenadas polares, por referencia al punto de origen O,
á cualquiera de las dos siguientes:

'-('-V-i^)='^' ' "V"^

R

are eos —

P

De donde, por referencia al Núm. 453, y suponiendo que pp, = /<?-, se
desprende, en conclusión, que la curva inversa de la evolvente del círculo
por referencia al mismo punto mencionado, es una espiral tractrix. (Ha-
TON DE LA Goupilliere: Nouvelles Aúnales de Mathématiques , 1863,
p.498.)

-551. Del estudio de la evolvente del circulo y determinación de la Ion-

— 462 —

gitud de sus arcos, y extensión de las áreas de la misma curva, entre de-
terminados límites, trató JuAX Bebnoulli en sus Lectiones Calculi inte-
gralis (Opera omnia, i. ni, p. 446). Y, muy recientemente, el geómetra
italiano Pirondini ha vuelto á discurrir sobre la misma materia, amplián-
dola con nuevas y muy interesantes investigaciones, en el Periódico di
Matemática (Lirorno, \. xii, p. 112, 1897).

V

EPICICLOIDES É HIPOCICLOIDES CONTRAÍDAS Y DILATADAS

552. Sábese ya que, cuando una circunferencia móril rueda sin res-
balar, ó de un modo continuo, sobre otra fija, tangente á éáta exterior-
mente, cualquiera de sus puntos engendra otra curva, llamada epicicloide
(Núm. 510). Pero si el punto generador corresponde, no precisamente á la
circunferencia primera, sino á la región de su plano, interior ó exterior á
ella, supuesta mó/il también, con igual y simultáneo movimiento, la curva
resultante, epicicloide asimismo, será epicicloide contraída, en un caso, y
dilatada, en otro. Y, por referencia á la hipocicloide (Núm. 525), ó curva,
engendrada por un punto de una circunferencia móvil, que rueda interior-
mente á otra fija, 6 directriz, podrá decirse, análogamente, que serán Itipo-
cicloides contraídas las procedentes de los puntos del plano de la circunfe-
rencia móvil, interiores á ella; y dilatadas las generadas por los exteriores.

Representando por R el radio de la circunferencia fija; por r el de la
móvil; por a la distancia del punto generador de la curva al centro de la
primera; y por a el ángulo que forma la recta que une los centros de am-
bas circunferencias con el eje de las abscisa?, por procedimiento análogo
al expuesto en el caso de las epicicloides ordinarias (Núm. 51(>), conclu-
yese que las epicicloides contraídas y dilatadas tienen por ecuaciones las
siguientes:

iry I \ R + r ,7j , V R + r
a! = (i? + r)cosa — a eos a é y = [R -\- r) seay. — asen — a,

/• r

553. Las curvas á que estas ecuaciones se refieren compónense de se-
ries de arcos iguales, en námero finito ó infinito, según que — sea racio-

— 463 —

nal 6 irracional: siendo, además, cosa fácil ver que los arcos componentes
de las series, poseen, aisladamente considerados, análoga figura á la de los
arcos componentes también de las cicloides contraídas ó dilatadas, estu-
diadas ea los Náms. 510 é inmediatos siguientes (figs. 107 y 108), ha-
llándosí ahora reemplazada la base 00^ de entonces por un arco del cir-
culo fijo, de longitud igual á la circunferencia móvil, 27:r.

554. E igualmente se advierte, procediendo con atención en el estu-
dio de este asunto, que, como en el caso de las epicicloides ordinarias, es
aplicable el método de Descartes al trazado de tangentes á las nuevas cur-
vas; porque la normal á la curva en cualquier punto pasa también ahora
por aquel otro punto donde el círculo generador correspondiente toca al
círculo fijo: como entonces tocaba al círculo director del movimiento.

555. El radio a de curvatura de las epicicloides de que tratamos, con-
traidas 6 dilatadas, suponiendo que sea p = — a, tiene por expresión la
siguiente:

^ 4(ig + r)[r^ + a2 — 2arcosp]a

r^ -^a^(R-\- r) — a (fí + 2?j r cosfi '

La cual muestra que las epicicloides solamente poseen puntos de retroceso
reales, cuando a = r, 6 en el caso de la epicicloide ordinaria; y puntos
de inflexión, cuando

a<r y E>^^^'^^=^, 6 a> r y i?<^(^-^^

caso el último á que corresponden los valores de p, determinados por la
igualdad

fl r3 + «2 (7? + r)

C08p= ■ ^^ ! '-.

ar (/? + 2r)

556. La diferencial del arco s de las mismas epicicloides depende de
la fórmula

¿,-2 = [R^rf\iJ^^—2— co? pl áa^.

— 4G4 —
O, poniendo por ¡5 la expresión ti -|- 29,

rfs2 = 4 (/? + rf l'^-V fl -_ 4 — ^^^ sen^e | cVfi.

ar

(rT«)-

Luego Za rectificación de los arcos de epicicloides , contraidas ó dilata-
das, depende de la de arcos de elipse. Lo cual constiUije una aini)liación
del teorema de Pascal, relativo á las cicloides de los mi-rnos nombres (Nú-
mero 514), descubierta por Nicolle. ( Memo ir es de VAcadcmie , Pa-
rís, 1708.)

557. Advirtióse en el Ndm. 159 que la curva denominada caracol de
Pascal era una epicicloide, engendrada por un punto de la circunferen-
cia de radio R , cuando rueda sobre otra, fija, del mismo radio. Lo cual
puede ahora demostrarse sencillamente.

Suponiendo, en efecto, que R = r, de las ecuaciones obtenidas en el
Núm. 552 se deducen para este caso particular las que siguen:

£C = 27?cosa — acos2a é ?/ = 2 7?sena — fflsen2a,
equivalentes á estas otras:
g;2 _j_ ,^2 ::_ 4 7^2 _j_ ^2 — 4 i?a eos a y x = 2R eos a — a (2 co&^a — 1 ),

y de las cuales, por eliminación entre ellas de cosa, se infiere que
{x^-J^f—4:R^—a^¡^=—SR^ax-\-8R^a^—iR:^ix^-^-i/'^ — iR-^ — o").

O, trasladando el origen de las coordenadas al punto {n, 0), para lo cual
basta poner .r en vez de x-\- a, se halla finalmente que

(£c2 -f f- + 2a xP = 4 7i« (.r2 + if).

Ecuación que, en coordenadas polares, se convierte en la que sigue:

p = — 2acosQ±2J?,

correspondiente al caiacol mencionado.

— 465 —

558. A propósito de las hipoeicloides, baste saber que sus ecuaciones
son éstas:

7? — r R — r

x = (R — >•) eos c/.-\- a eos a é y^=(R — ?•) sen a — a sen a

De las cuales se deducen resultados análogos á los acabados de consig-
nar, por referencia á las epicicloides contraídas y dilatadas.

559. A las dos variedades de curvas extendió, en 1869, Foüret el
teorema de Euler, relativo á la doble generación de las epicicloides é
hipoeicloides ordinarias (Nútn. 522). Por sencillo procedimiento geométri-
co, FouRET demostró, en efecto (Noiivelles Aúnales, 2." serie, t. viii, 1869,
p. 162), que las curvas de estos nombres pueden ser engendradas por dos
círculos diferentes, de radios r y r^, rodando en contacto con otros dos,
fijos, de radios R y R^, siempre que los cuatro radios y las distancias, a
y a^, del punto generador, en cada caso, á los centros de los círculos mó-
viles, satisfagan á las siguientes condiciones:

„ R R±r

R^ = a--, r^=a , y a^ ^ /¿ _|_ r.

560. Para dar por ultimada la teoría de las cicloides, epicicloides é
hipoeicloides , en este largo Capítulo X expuesta, advertiremos que de las
podarias de estas curvas, de sus paralelas y evolventes, y de otras curvas,
de atractivo estudio, con ellas también estrechamente ligadas, trató Bari-
siEN en dos interesantes artículos, publicados en el Journal de Sciencias
Mathematicas (Coimhra, i. xiv, p. 121, y t. xv, p. 47), donde hallará el
lector sus ecuaciones y la deducción razonada de los valores de sus áreas
y de las longitudes de sus arcos, con otros detalles geométricos, merece-
dores de atención asimismo.

iit

— 466

VI

RULETA DE DELAUNAY

561. Aplícase el nombre de ruleta de Delauna Y, por su modo de
generación, y en recuerdo del ilustre geómetra que estudió primeramente
sus más salientes propiedades, á la curva engendrada por cualquiera de

los focos de una elipse ó de una hi-
pérbola , cuando la generatriz rueda
sin resbalar sobre una recta indefi-
nida á ella tangente. (Journal de
Liouville, i." serie, t. vi, 1841).

Consideremos por de pronto, y
exclusivamente casi, el supuesto de
ser la generatriz una elipse, AMB
(fig. 138), de semiejes CA ^ a y
CB = b; focos situados en i'^ y F^

Figura 138.

y semidistancia focal, CF ^ c= \a^ — b'^.

Por referencia á los ejes coordenados, CX' y CY', móviles con la ge-
neratriz, la ecuación de ésta será

Y, designando por Jf el punto de su tangencia con la recta OX, sobre la
cual rueda, adoptada como eje permanente de las abscisas; por FP la
perpendicular á este eje, trazada desde el foco F; y por AA^ el eje de la
elipse generatriz, coincidente, en su posición inicial, con el de las ordena-
das, O Y, las coordenadas x éy del /'', generador de la ruleta, serán éstas:

y = FP y x = OM— PM.

Determinando ahora, con los recursos propios de la Geometría Analí-
tica, la distancia FP, comprendida entre el foco F, cuyas coordenadas,

— 467 —

por referencia al sistema de los ejes móviles, son c y O, y la tangente OX,
en el punto M(x',y'), hállase que

Var' — ex
«2 + ex'

ex

Por ser FM^ a , también se deduce sin dificultad, que

a ^

Y, finalmente, por definición

OM=are MA = s'.

Las ecuaciones de la ruleta, por referencia á los ejes fijos, OX y O Y,
serán, pues, en consecuencia de esto.

cy y ,
X = s ^2-=^ e y

-Vi

■ex

+ ex'

las cuales determinan los valores de a; é ?/ en función de la cantidad arbi-
traria x'.

562. Del modo de generación de la ruleta se deduce que esta curva

constará de un número infinito de arcos, iguales unos á otros, como el re-
presentado en la figura 139.

El arco componente, tomado como ejemplo, arranca de un punto F^
situado en el eje de las ordenadas, á la distancia a — c del de las absci-

— 468 —

sas, igual á la del foco generador al vértice mis próximo de la elipse; se
levanta luego, desviándose del segundo de aquellos ejes, hasta llegar á
otro punto, F.^, cuja ordenada, a -J- c, es igual ú. la del mismo foco al
vértice de él más apartado, y la abscisa á la longitud de la mitad de la
elipse en movimiento; y se aproxima, finalmente, en la sucesión de éste,
al eje de las abscisas, describiendo un arco, F.^F^, igual al F^F.->,y simé-
tricamente situado por referencia á KF^,.

Por medio de la segunda de las ecuaciones de la ruleta, combinada con
la ecuación de la elipse, se obtienen las igualdades

X = ^— é y =

de las cuales resulta (Serret: Calcul integral, 1880, p. 498)
ds =\d.v^ + rfy 2 =, y J

(¿2 4- j,2)2 Y4 «2 ^2 _ (¿2 ^ ^2)2
C _,, ,, 8a2¿2y2_(¿,2_^^2)3

d{yy) = •^. ^ ^ ' dy;

¿2 (¿2 + _^2)2y4„2y2_(62_^^2)2

y, por consiguiente ,

dx V^ -\- y"^

dy V4a2 2/2_(¿2_^^2)2

Igualdad esta última que determina «1 coeficiente angular de las tangentes
á la curva considerada, y demuestra que —j— = O, cuando y = a — c é

«/ = a + c; y, por lo tanto, que las tangentes en los puntos F^ y F., son
paralelas al eje de las abscisas.

Derivando la ecuación anterior, relativamente á y, hállase también que

d^x éa^yíy'^ — b^)

^y' [4a2a/2_(¿2 4.^2)2J2

Luego— — es nula cuando y = h: de manera que la curva posee dos
dy'^

- 469 —

inflexiones en los puntos R y S, cuyas ordenadas son iguales á b.Y como
Á y = b corresponden los valores re' = O é y' = b, infiérese que la abs-
cisa del primero de estos puntos es igual á la longitud de un cuadrante de

la elipse, y el coeficiente angular de la tangente en aquel punto igual á — .

b

563. El radio de curvatura de la ruleta de Delaünay tiene por ex-
presión

3

df

Y la loiiiritiid de la nonn;il usta otra:

=."V'

, = „M, + d±\'- '"J'

di/ ) y^ -\- b^

Luego entre R y N existe la siguiente notable relación, descubierta por
el mismo DelaüNAY:

R N a

504. Para estudiar la ruleta, engendrada por el foco interior de una
rama de hipérbola, cuando esta rama rueda sobre una recta, basta en las
fórmulas anteriores cambiar b^ en — b-. Y entonces fácilmente se ve que
la curva se compone de una rama dnica, simétrica por referencia al eje de
las ordenadas; la cual, partiendo del punto cuya ordenada es igual á c — a,
se extiende indefinidamente hasta lo infinito, sin presentar en su trayecto
jmntos de inflexión.

5G5. DelaüNAY encontró ambas curvas aquí consideradas al propo-
nerse determinar las superficies de revolución , de curvatura media cons-
tante. Sábese, en efecto, que los radios de curvatura principales de las
mencionadas superficies son, en cada punto, el radio de curvatura de la
sección meridiana y &\ segmento de la normal, comprendido entre aquel
punto y el eje de revolución. Luego, representando por R y N este radio

— 470 —

y este segmento déla normal, el problema que se trata de resolver se halla
formulado en la ecuación siguiente:

R N a'

á la cual satisfacen, por consiguiente, las superficies (Núm. 56S) cuyos
meridianos son ruletas de Delatjnay.

566. Las ruletas á que nos referimos fueron también encontradas por
Delatjnay al ocuparse en otro problema interesante de Cálculo de las
Variaciones.

Si queremos, en efecto, determinar la curva plana que, girando al re-
dedor de un eje, situado en su plano, engendra la superficie de revolucióti
mínima, correspondiente á un volumen dado, será menester que hallemos
el mínimo valor de la integral

'1 + /2 a^^

habida cuenta de esta ecuación condicional:

' y^ dx= const.

r

Cuestión de mínimos relativos, que puede resolverse por método cono-
cido, y que produce para ecuación diferencial de las curvas pedidas (Se-
RRET: Calcul Integral, 1880, p. 733) la siguiente:

d.= - ^y'-^^'^

la misma, renglones antes ya deducida, representante de las ruletas de
Delaunay.

567. Antes de dar por ultimado este asunto, es de advertir que, por
procedimiento analítico, análogo al del Núm. 561 , puede también demos-
trarse que, cuando una parábola rueda sobre una recta, su foco describe
una catenaria. Por lo cual propuso Lindelof denominar también las cur-

— 471 —

vas de Delaunay con el nombre de catenarias , elíptica una, é hiperbó-
lica la otra, según fuese la generatriz, una elipse 6 una hipérbola.

Y añadiremos más: que CesIro estudió estas curvas valiéndose de su
ecuación común, expresa en coordenadas intrínsecas, en un artículo pu-
blicado en los Nouvelles Annales de Mathématiques , 1888, donde expuso
la Teoría general de las Ruletas, y, como aplicación de ella, la particular
de la ruleta de Delaunay.

VII

PSEUDOCICLOIDES

5<i8. Con el nombre de pseudocicloides fueron estudiadas por Cesaro
en sus Lezioni di Geometria intrínseca (Napoli, 1856, p. 12 y p. 32)
las curvas representadas por las ecuaciones, en coordenadas del mismo
nombre,

. yi;2 p2 :

/¿2pa

-<

por motivos que se apuntarán más adelante (Núm. t574)

569. Fijemos la atención por de
pronto en la primera de estas ecua-
ciones.

Por ser independiente aquella ecua-
ción de los ejes de las coordenadas,
puédense tomar arbitrariamente el pun-
to inicial de la curva á que corresponde
y la tangente á la misma curva en este
punto. Admitamos, pues, como punto
inicial, el A de la figura 140, correspon-
diente á s = a, y como tangente ini-
cial la recta A^AK.

Los ángulos, (p, que con esta tangente forman las demás, pueden repre-
sentarse por la fórmula

Figara 140.

^,, * 1 f ••>• ds rs ds .

(1) -L. = — = — = log

k k Ja ? Ja Ys2 _ «2

+y/s

— 472 -

Y, adoptando para eje de las abscisas la recta A^ ^4 X, y para origen de

las coordenadas un punto O de esta recta, tal que sea O A = , ha-

F + 1
Haremos que

X

Cf ds a ^ r»? ds

= I eos» do -) e y^ \ sen»

Ja (¿tp ' F + 1 ' Ja ' df

df.

Pero de la fórmula (1) y de la ecuación de la curva se deduce este va-
lor de s, en función de -c :

-íe
2

Luego

T T

X-

I cos'iíe '' — e '' )-| — é iy= — j 'seno; \e '' —e * ); ó

Aa ri e" +e " , e " — e " 1 ,

£c :^ I — eos es \~ sen o , é

2(F^l)L/v 2 ' 2 J

(2)

/ca r 1 e " + í ^ e ''• — e "

ri

— I — sentó

1) Ik '

COS.;

2 (/c2 + 1) L /í ' 2 ' 2 J

570. Con lo cual podemos ahora determinar la forma de la curva.

Si en estas ecuaciones ponemos — cp por te, vese, en efecto, que x no
cambia de valor ni de signo, y que y cambia solamente de signo: luego
la curva es simétrica, relativamente al eje de las abscisas.

En el punto A la curva es, como ya se dijo, tangente al eje de las abs-
cisas, y aquel punto A lo será de retroceso.

Cuando el valor de s sea inferior al de «, la curva será imaginaria.

Y representando por p^ el radio vector de un punto cualquiera de la cur-
va, hállase que

tí, O '^ tp 2-

o 7,q I- 1 / _¡_ ' V X _f_ __J V

4 (,/í2 -f 1)2

— 473 -

Por medio de esta fórmula y de la (1) vese que » y pj^ crecea iadefiaida-
mente, conforme s crece; y que, por lo tanto, cada rama de la curva debe
dar un número infinito de vueltas alrededor del punto O, alejándose cada
vez más de este punto con tendencia á lo infinito.

571. Sea Fel ángulo que el radio vector forma con la tangente en el
punto á que corresponde, y hallaremos que

-.^ X2i' — yx' ,
tang V = —^ -^ — = A:

^x' + uu'

De manera que, cuando o se aproxime indefinidamente al oo , tangF
propenderá á confundirse con tangí;.

La proyección del radio vector, pj, sobre la tangente es igual á pj cosF,

y, por lo tanto, á — ^ . Y la del mismo pj sobre la normal, igual á

rr ■ ^ ^''^P
Pi sen V, y, en consecuencia, á • ■ — .

^' ¿2 + 1

572. Consideremos ahora la segunda curva, que tiene por ecuación

k^ p2 — s^ ^ cfi.
En este caso,

e^-e

k

9
e''-+e

?
k

de manera que

ds _ ,__ s + V*- + d'-

ha i 1 e''— e '' , e^' + e^M
X = — coso ■ + sen o I ,

¿2 + 1 L A: ' 2 ' 2 J

O ü 9 9

ka r é^^e"^ , 1 e~— e""^")

y = — coso -] sents , 3

F+1 L ' 2 ^ k • 2 J^

„ «27,2 r 1 / :^ -1x2 , /-^- -^vn

— 474 —
tomando ahora por origen de las coordenadas el punto O (fig. 141 ) sobre

la perpendicular VA á la ÁA^,á la distancia

del punto O.

Por medio de estas fórmulas concluyese, como en el caso anterior, que
la curva parte del punto A, correspondiente á s= O, donde posee una
tangente paralela al eje de las abscisas; que es simétrica relativamente al
eje de las ordenadas; y que da también un número infinito de vueltas alre-
dedor del origen, alejándose indefinidamente de este punto.

Y, procediendo como en el caso anterior, dedúcese, parecidamente, que

en este caso el ángulo F varía desde — n hasta are tangA', y que las pro-
yecciones del radio vector, p^, sobre la tangente y sobre la normal, son

s k^ P
también iguales á — — — y — .

573. Determinando las coordenadas del
centro de curvatura de las pseudocicloides por
medio de las fórmulas conocidas, veríase asi-
mismo fácilmente que la evoluta de la pseudo-
cicloide, representada por la ecuación k^ p^ =
52 — Qj2^ gg Id pseudocicloide á que corresponde
la ecuación k^ p2 = s^ + ^^; V 9'^^> recíproca-
mente, la evoluta de esta segunda pseudocicloi-
de coincide con la primera.

Las curvas, pues, en este lugar consideradas,
representan las soluciones del problema estudiado por Eüler en el tomo i
de las Nova Acta Petrop. (1783), que tenía por objeto hallar las curvan
iguales á una de sus evolutas sucesivas: por lo cual algunos autores las
denominan curvas de Euler.

574. Las así denominadas pueden también calificarse de epicicloides,
engendradas por círculos imaginarios, conforme enseñó Saüssure en un
artículo, inserto en el tomo xvii, p. 269, del American Journal of Ma-
thematics, donde á las por nosotros aquí consideradas (Núm. 569), apli-
có el nombre de paracicloides , y á las de que se trata en el Núm. 572
el de kiperdcloides.

Poniendo, en efecto, en la ecuación intrínseca de las epicicloides

— 475 —

B^s^-^(R^ 2r)-^ p2 = 16 (ñ 4- rj^ r^,

obtenida por eliminación de p entre las ecuaciones de los Nanas. 520 y 5 ¿4,

i{R-\- r)r sen - ,3
s= (/c + '■) eos — p y jj = .

R 2 R-{-2r -

en lugar de R y r, los valores

R

1 + ¿2 2(1 + /(;2)

hállase este resultado:

«(1 — ki) . . . -/-

y ?• == ^ — , siendo 2 =Y — 1,

¿2 p2 == s2 _ „2.

y, poniendo

R = -

l+A-2 ^ '' 2(1+7^2)

este otro:

A:2 p2 = «2 _|. „2_

Curvas estas últimas que se hallan á su vez comprendidas, como casos
particulares, en el grupo de las estudiadas por Wülffing en un artículo
publicado en el Zeitschrifl fiir Mathematik , t. xliv, y cuyas ecuaciones
se deducen sustituyendo en las contenidas en el Núm. 552 , para deter-
minar las coordenadas de las epicicloide8,j?roto«(7aáas y contraídas, R y r
yaya, por valores imaginarios. A las curvas correspondientes á las ecua-
ciones así encontradas denominó el mismo Woí.ffing pseudotrocoides.

CAPÍTULO UNDKCIMO

VARIAS CLASES DE CURVAS

I

PERLAS DE SLUSE

575. Pascal y Sluse dieron el nombre de perlas á las curvas repre-
sentadas por la ecuación

)/" = Tc{a~xfx'",

en la cual m, ?i y p designan números enteros y positivos.

Las noticias más antiguas de estas curvas encuéntranse en tres cartas de
Sluse á Huygens, del 14 de Agosto de 1657 y 8 de Enero y 12 de Abril
de 1658, y otra á Pascal del 6 de Abril de 1658. (Cartas de Sluse, pu-
blicadas por C. le Paige en el Bulletino di Boncompagni. — Roma,
t. XVII, 1884). En esta filtima carta atribuye el eminente geómetra de
Liége á Pascal la primitiva noción de estas curvas, cuyas tangentes,
añade, determinó él en todos los casos, así como las dimensiones de sus
áreas, sus centros de gravedad, y los volúmenes de sus sólidos de revolu-
ción, en algunos casos particulares.

Y, por su parte, Pascal, en carta del 10 de Diciembre del mismo año
(Oeuvres , ed. Hachette, t. iii, p. 444), comunicó á Sluse una aplicación
importante de las perlas á la resolución de cierto problema de Geometría
de los Sólidos.

El método empleado por Sluse para determinar las tangentes ála.<i per-
las, hállase expuesto en carta suya, dirigida también á Pascal en 29 de
Junio de 1658: método que constituye una interesante aplicación del ge-
neral de las tangentes, y que es uno de los principales descubrimientos del
mismo Sluse.

— 477 —

576. La forma de cada, perla depende de los valores de las constan-
tes m, ft y p, que figuran en la ecuación general anterior.

Por ser

"/-
' V/'- ^-1 ,~~K ' , , T y [am — ip -\- in) .v]

y ^ .T" (a— íc)" [am — {p-\-m)x\ = ^i-^ ^-^—^ — '-^,

""■ nx {a — íc)

vese que cualquier perla corta el eje de las abscisas en los puntos donde
x=0 y X = a, siendo la tangente, en el primero de estos puntos, para-
lela al eje de las abscisas cuando m> n^ y al de las ordenadas cuando
m <iii; y, en el segundo, paralela á uno ú otro eje, si p > w ó p <in, sin
contar que la tangente es además paralela al eje de las abscisas allí donde

la abscisa es igual á .

577. Representando por 5( la subtangente, será

„ nx {a — x)

ma — {p -\-m) X

lo cual permite construir sencillamente en cualquier caso las tangentes á
las perlas.

578. El área A de la zona, limitada por el arco de una perla, por el
eje de las abscisas, y por las paralelas al eje de las ordenadas, trazadas
por los puntos cuyas abscisas son x^ y Xj, tiene por expresión la fórmula

■.\/k I \a-

p m

¿c) " x" dx:

cuyo segundo miembro puede representarse por funciones elementales,

cuando alguno de los números — , ^— 6 — — es entero.

n n n

Concluyese, pues, que los problemas de la determinación de las áreas
de las perlas coinciden con los de integración de las expresmies diferen-
cíales hinomias, y que, al resolver Slüse en muchos casos los primeros,
resolvió también implícitamente los segundos, si no en todos, en algunos

478

de aquellos, bastante frecuentes, en que las integrales de estas expresiones
pueden expresarse por funciones elementales.

579. Al volumen, V, del sólido, engendrado por el movimiento de la
zona, cuya área acabamos de considerar, alrededor del eje de las abscisas,
corresponde la fórmula

1 r^.

. 2p 2m

íc) " X " dx,

2^ 2m
resoluble en funciones elementales cuando alguno de los números , ,

2 {m -\- p)
ó , es entero.

11

580. Entre las variedades de jjer-
las son las de mayor interés aquellas
que tienen por ecuación ésta:

f = kx"(a—x),

á las cuales Pascal denominó perlas
de orden ii-\- 1.
Si n es par, la forma de la curva es la de la figura 142 : simétrica rela-
tivamente al eje de las abscisas; y secante al eje de este nombre en el
punto A, situado á la distancia a
del O. La abscisa del punto B,
donde y pasa por un valor máxi-
na

Figura 142.

mo, es igual á

-jyloscoe-

n + 1
fícientes angulares de las tan-
gentes, en el punto doble O, son

j_
iguales á ±. n(ka)". La curva,

además, se extiende indefinida-
mente en el sentido de las absci- Figura 143.
sas negativas.

Si w es impar, la curva tiene la forma indicada en la figura 143, en la
cual la distancia OA es también igual á la a; y la abscisa del punto Bj

— 479 —

donde la ordenada es máxima, igual asimismo á . Pero la curva se

w+ 1

extiende en este caso indefinidamente, tanto en el sentido de las abscisas
negativas como en el de las positivas, cortándola solamente en un punto
cualquier paralela al eje de las ordenadas.

581. En el caso de que ahora tratamos, la ecuación de la tangente á
la perla en el punto (x, y) tiene por expresión

nx (a — ■ x)
que se reduce, cuando Jí = O, á esta otra:

__jx___

n{a — x)

Por medio de la cual con gran sencillez se construirá gráficamente la tan-
gente.

582. En el caso de las perlas particulares á que nos referimos, el
valor del área A puede calcularse por la siguiente fórmula:

1 , 71 + 1 I

!í+lr n , , na -\\

De la cual, para expresión A y del arco OBA en las figuras anteriores,
se desprende la que sigue, poniendo para ello Xq = O y a;^ ^ a:

A =

n¿ '"y

_ Cí

{n-\-l){2n+l)

583. Las varias curvas á que en estos últimos párrafos nos hemos
referido, hállanse comprendidas en el grupo representado por la ecuación

y = Tcx^ (a — x) ,
en la cual a y ¡3 serán números positivos siempre: racionales tratándose

- 480 —

de perlas algébricas, é irracionales ambos, ó racional uno é irracional
otro, por referencia á las llamadas transcendentes. Y, en cualquier caso,
la curva que se considere pasará por los puntos que tengan por abscisas O
y a; y el área, limitada por la misma curva y la cuerda definida por es-
tos dos puntos, tendrá por expresión

A = l- \ V(a — £c)Prfa; = A-a^ + P + i j e {i — tf dt
Jo Jo

r(a+fl + 2) '

en la cual V representa lá función gamma de Euler.

Y, parecidamente, el volumen engendrado por la revolución del área A
alrededor del mismo eje de las abscisas, esta otra:

F=^F I x'''{a-xf^dx

"=^F rV'(a

_ „^^.^2ra+g)+ir(2a + i)r(2,3 + i)

r[2 (a + p) + 1]

584. Concluiremos advirtiendo que entre las perlas de Sluse hállan-
se comprendidas las curvas á que corresponden las ecuaciones

ax^ — x^^b'^y, ax^ — x'' = a^ ¡/^, y ax^ — x'^^y'*,

particularmente estudiadas por el mismo SlüSE y por Huygens y ScHOO-
TEN en varias cartas, que pueden verse en el tomo ii de las Obras com-
pletas del segundo de estos tres geómetras.

A la segunda de estas curvas, de que ya se trató con algún detalle en
la pág. 215 del presente libro, aplicó Huygens el nombre de cuártica
piriforme, en carta dirigida á Sluse, fechada el 22 de Enero de 1658
(Obras citadas, il, pág. 123). Y á la primera ¡lámanla algunos autores pa-
rábola de Wallis.

481 ^

n

ROSACEAS DE G. GRANDI

585. Aplícase el nombre de rosáceas, 6 de rodóneas, á las curvas com-
prendidas en la ecuación general siguiente, referida á coordenadas polares:

p = a senmU.

Curvas por vez primera estudiadas por Gdido-Grandi en un opúsculo
titulado Flores geometrici ex rhodonearum et elceliarum curvarum des-
criptione resultantes, y publicado en Florencia, aOo de 1728.

586. La figura caracterís-
tica de cada rotácea depende
del valor numérico de m.

Cuando 9 (fig. 144) varía

tz

desde O hasta , p aumenta

m '

desde O hasta O A = a, y dis-
minuye después desde a has -
ta 0: de manera que el punto
generador de la curva descri- K'
be una rama ú hoja de la cur-
va, tangente á las rectas que

forman con el eje de las abscisas ángulos iguales á O y á — , y simétrica

relativamente á la recta O A , correspondiente á 9 = . Y una segunda

2/«

hoja, igual á la primera, resultará descrita á continuación, si G varía luego

desde hasta . O, en términos generales, á los valores de 9, com-

m ni

prendidos entre cada dos ntímeros sucesivos de la serie

Fignra 144.

TC 2lt 37t 47C

'-' t 1 ) *

m m m m

31

— 482 —

corresponderá una hoja de la curva; así como á los valoree de O, compo-
nentes de la serie

TT Sti 5u Tt:

2m 2m '2ni 2m

corresponderán los ejes de las hojas, iguales todas unas á otras.

587. En el supuesto de ser m ntimero irracional, las hojas á que aca-
bamos de referirnos se diferenciarán unas de otras; su número total resul-
tará infinito; y la curva entonces será transcendente. Pero, si m es número

racional, igual á — , la rosácea correspondiente será una cuma algébrica.

Para persuadirse de lo cual basta recordar que de las fórmulas de Tri-
gonometría, que expresan los desarrollos de sena — , sen O y eos O, ordena-

dos por las potencias de sen — y eos — , resulta que las cantidades sen9,

cos6, y sen h están ligadas por una relación algébrica, y advertir que de

P
la ecuación de las rosáceas y de las ecuaciones, .c = p cosO é y = osen O,
resulta que las mismas cantidades son también funciones algébricas de x
y de y. En este caso el número de hojas de la curva será finito y se deter-
minará conforme ahora vamos á exponer.

l.° Si en m^ — , lo^ números a y ¡3 son impares, el punto genera-
dor de la curva vuelve á la posición A cuando

2ni 2m

porque entonces la dirección del vector, correspondiente á este valor de 6,
será O A'; y la ecuación de la curva dará para valor de este vector p= — a:
luego el número de hojas de la rosácea resultará igual á a.

2.° Si p es impar y a. par, aquel punto generador vuelve á la posición
A, cuando

6 = iÍ^^ + AA^ = -^+2p.:
2 m 2 m

por cuanto la dirección del vector, correspondiente á este valor de 9, será

— 483 —

entonces OA; su valor, dado por la ecuación de la curva, p = a; y el nú-
mero de hojas de la curva igual á 2 a.

Y 3.° Si p es par y a impar, el mencionado punto generador de la
curva regresa á la posición A , cuando

2m 2m

y el número de ramas de la rosácea será igual también á 2a, como en el
segundo de los dos supuestos anteriores.

En la hipótesis particular de ser p = l, vese, finalmente, que, cuando m
sea entero, el número de ramas de la rosácea será igual á m, 6 á 2m, se-
gún que m sea impar 6 par.

588. Para construir las rosáceas pro-
puso Guido -Ghandi el siguiente método.

En una circunferencia de radio igual á a
(fig. 145) y centro O, señalemos, á partir del
punto A, dos arcos, AB y AC, tales que sea
AB= mAC; y sobre el radio OC tomemos
luego la longitud OM, igual al segmento BP
de la perpendicular trazada desde B sobre
O A: el punto M corresponderá á la curva
pedida, por cuanto, siendo AOC =6, inmediatamente se concluye que

p_= 0M=^ BP=a sen BOA = a sení?2 9.

Para lograr el mismo fin, ideó
PiRONDiNi (Mathesis, 1894,
p. 15) este otro método. Tó-
mense dos rectas iguales, O A
y AM (fig. 146), articuladas
en A y O, y supongamos (jue
— ambas giran alrededor de es-
tos puntos y en el mismo sen-
tido, con velocidades cuya ra-
zón sea igual á n; y, además, que A-^ y M^ sean las posiciones iniciales
dití A y M. Pues con esto, y mediante la notación adjunta:

Figura 145.

— 484 —
OM = p, MOM^ = iD, 0A=— a, y AOM^ = y,

hallaremos que

y, por lo tanto,

1 n
w^a-H na. y o = a eos — a ,

2 ^ 2

n

p ^ a eos tjj .

» + 2

Cuando MA se mueva en sentido contrario de OA, resultará del mismo
modo, representando por AM' la recta que en este caso sustituye á la AM,

— n
p = a eos O).

w + 2

Y poniendo

= m, y

— 6.

« + 2 2 m

hallaránse para n dos distintos valores, á los cuales corresponde la misma
rosácea, p = a senwzB: de donde se deduce que cada rosácea -puede ser
engendrada de dos modos difer edites, por la rotañón de O A y A M alrede-
dor de O y A, con velocidades cuya razóti sea constante.

589. La subnormal polar de las rosáceas tiene por expresión la igual-
dad, fácil de construir,

S„ = am eos m6.

En el punto A, como en los análogos de las demás hojas de la rosácea,

vértices todos de estas hojas, 6 ramas, de la curva, donde se verifica que

71 3 ir
«¿6 = — , ..., y, por lo tanto, cos»í9 =0, la subnormal es nula: luego

los ejes de las ramas son normales á la curva.

590. Aplicando á las rosáceas la ecuación general de las normales á
las curvas, expresa en coordenadas polares, hállase la ecuación

a _ eos (9 — 9i) , sen(9 — Bj)

7n eos to9,

— 485 —

en la cual 6j representa el valor de 9 en el punto donde esta recta es nor-
mal á la curva.

Y poniendo en esta ecuación 9 = (;??,-(- 1 ) 9j -| , conclóyese, final-
mente, que

m

p = a.

1 — m

Luego la normal á una rosácea, en el punto correspondiente á 9 ^ 9j,
corta al vector, correspondiente al ángulo (m -j- 1) 9j -| , en el punto

¿i

cuyo radio del mismo nombre se desprende de esta igualdad: proposición
demostrada por Aubry (Journal des Mathématiques spéciales, t. xvii,
1893, p. 173).

591. El radio de curvatura de las rosáceas puede determinarse por la
fórmula

m^ — 1 2 y

^ m^

R = am

2 sen^ jra9

De la cual se infiere que las rosáceas carecen de puntos de inflexión
reales.

Y que demuestra además, poniendo 9 = 0 y 9= — —, que el radio de

2 m

curvatura es, en el centro de las rosáceas, igual á , y en los vértices á

2

í«^ -f- 1

592. El valor del área, A, de uua hoja de las rosáceas, según de-
mostró Guido-Grandi, tiene por expresión:

. -na'
A =

593. Pero la rectificación de las rosáceas no es tan sencilla, pues de-

— 486 —

pende de la rectificación de arcos de elipse, como también advirtió por vez
primera el mismo Guido -GrandI.

Consideremos, en efecto, una rama cualquiera de estas curvas.

La longitud del arco comprendido entre el origen de las coordenadas y
el punto (9, p) tiene por expresión general la siguiente:

s= I \/ p-^-^^dH = am\ A/i— '"^~^ senhn^.d^;
ó, poniendo ot9 = lü,

=»rv

w2— 1 .-,

1 sen-cü . (iiü

De manera que aquella longitud depende de una integral elíptica de
segtmda especie.

Si es m < 1, el módulo de la integral precedente será imaginario. Pero,

poniendo w ^ x, lo que da

—-TV

>n J TI y

1 — (1 — m^) sen^T .(íx,

s dependerá asimismo de otra integral elíptica de segunda especie, y de
módulo real.

De donde se deduce que la longitud del arco comprendido entre el ori-
gen y el vértice de una hoja tendrá por expresión

=cv

^m2 J^

1 sen'^wí/o), si TO > 1; y

m^

M' V' -

(1 — m^) sen^x í/x, si ?w < 1:

en atención á que, en el vértice, 9 = y, por tanto, u= — y x ^ 0.

2m 2

- 487 —

594. Por ser las loagitudas de los arcos de rosácea iguales á las de
arcos de elipse , puédense extender á los primeros ciertas interesantes pro.
piedades, conocidas y ya demostradas por referencia á los segundos. Fijé-
monos particularmente en el teorema aplicable á las rosáceas, que corres-
ponde al de Fagnano.

Consideremos (fig. 144, p." 481) los arcos de rosácea OM, OM' y O A;
y sean 'f y <j/ los valores de oj en los puntos M j M'. El valor de w en el

punto A será — .

Del teorema de adición de las integrales elípticas de segunda especie

se infiere que

„ /. - \ It^ sen* coses
E{k,'^)-\-E{k,^)-E[k, -]= , -f^T'

en el doble supuesto de ser

E {k, w) = 1 V 1 — k^ sen^ w dio,

j de existir entre <p y <}/ la relación

coscf cos<|; = sentp senij' \í — k^.

Pero cuando sea w> 1 (y del mismo modo se trataría el caso de ser
m < 1),

OM=aE{k,'i) y OM' = aE(k,\); y

OA = aE{k,\^) y k^ = -— .

Luego

, .,, aJc^ sentó costo

OM-\-OM' — OA = OM—AM'

\/l — fc2

sen'" -f

faltando ahora construir el segundo miembro de esta igualdad. Para lo cual
basta advertir que, en el punto M, p=a sen-o; y, por tanto, d¡i=a costpcía
de manera que

dp eos (p

ds \/l — k''

sen 2 to

— 488 —
Y, en consecuencia,

nlt'^ fíon i coso. , , (7s

= alx^ sen'j

Vi _ A-2s,n2,,, ' ds'

Si advertimos, además, que — — es igual al coseno del ángulo V , forma-

ds

do |)or la tangente á la curva, con el radio vector del punto de contacto,

concluiremos que

nli^ son -i coses „

ak'^ eos V sentp;

V 1 — T{'^ sen ^ »
ó, representado por ij el valor de B en el punto M,

ah' sen'£ cose f i
= a/i"' eos V sen

Vi — A-'-í sen2 s
Igualdad de la cual sencillamente se desprende esta otra:

7}} — 1 cp

OM — AM'^^a cosFsen-_L,

m - m

cuyo segundo miembro muy fácilmente puede asimismo construirse.

m

ESPIGAS

595. AuBRY (Journal de Mathématiques spéciales , 1895, p. 201)
designó con el nombre de espigas á las curvas comprendidas en la ecuación

P =

sen TOí

Cuando 6 varía desde O hasta — , p decrece desde oo hasta a.- valor éste

m '

que corresponde á 9 ^ ; y crece después, desde a hasta oo. El punto

2 m

— 489 —

generador de la curva describe, pues, una rama infinita BAC (ñg. 147), de
la cual O A es un eje de simetría; y las rectas OX y OD, que forman en-
tre sí un ángulo igual á — , serán asíntotas de la curva.

m

Una segunda rama de la misma curva, igual á la anterior, resulta des-
crita cuando 9 varía desde — ■ hasta .

m m

Y en términos generales, á los
valores de O, comprendidos entre
cada dos números sucesivos de
la serie

-K 2ll 3tt 47t

m m m tn

corresponde una rama de la cur-
va considerada.

596. Procediendo como en
el caso de las rosáceas, se verá
que las espigas son curvas algié-
tricas, cuando m sea número ra-
cional, y transcendentes cuando irracional; y que, en el caso de ser m ra-
cional é igual á — , el número de ramas resulta igual á a, si a y ^ son am-
bos impares; é igual á 2a, si uno de estos números es par é impar el
otro. Cuando m sea irracional, el número de ramas será infinito.

697. Por ser

Figura 147.

— == sen wíOj eos (9 — 9 J -f~ '"* eos ?«9j sen (9 — 9j)

la ecuación, referida á coordenadas polares, de la tangente á una espiga,
en el punto (9^, p^), poniendo 9 = 9^ -f- ^'^ ^i> será

a 1 -\-m „ o
— = senSmü,.

P 2

Y, con auxilio de esta fórmula, encuéntrase el radio vector del punto,

— 490 —

donde la tangente á la curva corta á la recta que pasa por el origen de las
coordenadas y forma un ángulo, igual á í^ -j- mOj, con el eje de las
abscisas.

598. El radio de curvatura de las espigas se halla expresado por la
fórmula

eos- )«ít \^

R

a I L -[- w I

\ sen^ Ȓ9 /

(1 — m^) sen »w9

de la cual se desprende que las curvas de que ahora tratamos carecen de
puntos de inflexión á distancia finita. En los vértices de las mismas curvas

R =
y en los puntos donde 9 es igual á

1

1 -

—

o'

TC

57t

ám ám ám

3

R

599. El área descrita por el radio vector de una espiga, cuando 9 va-
ría desde A0= X hasta 9^, se deduce de la fórmula

2 m

A = I = cotmüj.

Y, si 9j = , el área se expresará como sigue :

2m

600. La rectificación de las espigas depende también de las integra-
les elípticas de primera y de segunda especie, en los términos que á ren-
glón seguido se exponen.

— 491
Por de pronto,

,;j2 I

1 sen^ m9 dH;

6, poniendo ;w9 = w y

2Ȓ') V

)n^

- "^ V^i

Ic^f

sen"' 0)

Y, apoyándonos ahora en la identidad

d [cot iiiy 1 —- Ic^ sen^ O) \ y 1 — fc^ sen- w

dü) sen^ (1)

P-1

■2 cpn^ i

■Vi-fc'^

\/l-í:
puédese también escribir

ds = — aíí(cotwYl — fr- sen'^ü)) — aQc^ — 1) ,

yl — k^ sen^ü)

— a V 1 — A:^ sen^ w rfuj.

Luego la longitud, s, de los arcos de las espigas depende de una inte-
gral elíptica de primera especie y de otra de segunda.

En el caso de ser m ■< 1 , A; será imaginaria; pero la dificultad de aquí

resultante puede eludirse poniendo mO ^ x, porque así

ds = ^ V'l — ifc2sen2Tíí-c y F = 1 — m^.

m cos^ T

Y como
(¿[taDgT\/l — fc^scn^T] _\/l— fc3sen2T 1

_|_y/l_fc2aen2T,

— 492

dx

hallaremos, en conclusión, que

ds=-— |íí(tangTV'l — fc2 s.-u2 t) + -=

"* * yi— fc^sen^T

— V^l - i;2sen2T(/-i¡-

Luego la longitud 5 depende también entonces de integrales elípticas de
primera y segunda especie, de módulo real.

IV

NUDOS

601. También fué AuBRY quien, en el mismo Journal de Mathéina-
tiques spéciales (1895, p. 201), designó con el nombre de nudos á las cur-
vas ya anteriormente conocidas, representadas por la ecuación

p = a tang wí 9 ,

Figura 148.

de curvas que se acaban de estudiar. Si H varía desde O hasta

que, dando á la palabra
espiral suficiente ampli-
tud para aplicarla á cual-
quier curva, definida por
una ecuación en coorde-
nadas polares, tal vez
fuera preferible denomi-
nar espirales tangentoi-
des, cuya forma (fig. 148)
depende del valor de m,
como dependían las for-
mas de las otras clases

7C

2m

au-

menta desde O hasta oo , y el punto generador de la curva describe la rama
infinita OA..., tangente al eje OX en el punto O. Y cuando después 9 varía

desde O hasta , p decrecerá desde O hasta — oo, y el punto genera-

2m

— 493 —

dor de la curva describirá una rama infinita OB..., igual á OA... y simétri-
ca de ésta relativamente al punto O, centro de la curva.

602. Sábese además que la ecuación general de las asíntotas de las
curvas planas, en coordenadas polares, tiene por expresión la siguiente:

-=/-'(a)sea(9-a),
P

representando por a las raíces de la ecuación /"(6) ^ O, y por p

f0)

la ecuación de la curva. De donde, por referencia á las curvas considera-
das, se concluye que la ecuación de la asíntota, correspondiente á la rama
OA..., tiene por expresión

a
— = — ■ m sen

P

("-—]■

O, en coordenadas cartesianas, esta otra:

y = x tang

2m •^

m eos ■

2m

De donde se deduce que la rama O A... de la curva posee una asíntota,
MN, secante al eje de las abscisas en el punto M, á la distancia del ori-
gen de las coordenadas, igual á , y la rama OB otra, M' N',

m sen

2m

paralela á la primera, y que además pasa por el punto M! del mismo eje

de las abscisas, siendo OM' = OM.

60.Í. A los valores de O, comprendidos entre -, — y ^r — , -- — y - — ,

2m 2m 2m 2m

etc., etc., corresponden otras ramas de la curva, iguales á la designada

por BOA.

Como en el caso de las rosáceas, infiérese también que, cuando m sea

irracional, el número de ramas de la curva resultará infinito, y la curva

será entonces transcendente. Mientras que, si m es racional, é igual á — ,
aquel número será igual á 2a cuando a y ^ sean impares, é igual á a cuan-

— 494 —

do uno de estos números sea yar, é impar el otro: caso este último en que
será algébrica la curva.

604. La subtangenie y la subnormal de los nudos se hallan determi-
nadas por las fórmulas

a o am '

enlazadas por la siguiente relación:

605. Y el radio de curvatura de los mismos nudos por esta otra:

i? =

a i ni^ A sen^ 2to9 |

V 4 }

(2?n2 -|- sen^ mh) eos* m9

que en el punto O se reduce á i¿ = — am,y que en todos los casos en-

seña que las curvas de este nombre carecen de inflexiones reales , á dis-
tancia finita, salvo en el punto O.

606. El área descrita por el radio vector, cuando 9 varía desde O
hasta 9j, puede fácilmente calcularse por la fórmula

A = I ' tang2 »i9í/9 = (tangw/í) — mil).

2 Jo 2m

V

CURVAS DE LAME

607. Con el nombre de curvas de Lame, y también, alguna vez, con
el de estoroides (Leroy: Oéométrie Descriptive, París, 1872, p. 203) se
distinguen las curvas representadas por la ecuación

(í)"+(i)'

= 1,
previamente estudiadas por aquel distioguido geómetra en un trabajo titu-

— 495 —

lado Examen des différentes méthodes employées pour resondre les pro-
blemes de Géométrie (París, 1828), y, con posterioridad, por Euret y
GiLBERT en los Nouvelles- Anuales des Mathématiques (1854, p. 193,
y 1870, p. 370), y por R. Godefroy (Journal de l'École Polytechnique
de París, 1892), y las cuales son algébricas cuando m representa un nú-
mero racional, y transcendentes en caso contrario.

008. La forma de cualquiera de estas curvas depende de m, bastando
para determinarla el atento examen de su ecuación y de estas otras dos,
derivadas suyas:

— xy

= - {m - 1)

¿2"

X"

a"' ,,2m-l

Eq efecto: para fijar las ¡deas, supongamos que a y b s'>n números po-
sitivos.

2P

Primer caso. — Si m = ■

y w > 1 , la curva presenta la forma

2a+ 1

general de una elipse, simétrica por referencia ;í los ejes de las coordena-
das; secante al eje de las abscisas en los dos puntos definidos por la ecua-
ción x = ±a, donde las tangentes trazadas desde ellos á la curva son
perpendiculares al mismo eje; y secante también al eje de las ordenadas
en otros dos puntos, y = ± b, donde asimismo las tangentes á la curva
que por ellos pasan son perpendiculares al segundo eje mencionado. Es-
tos cuatro puntos son múltiplos, cuan,
do p es diferente de a; pero solamen-
te una de las ramas que por ellos pasan
será real, careciendo además la curva
de otros punios singulares , reales asi-
mismo.

20

Sequndo caso. — Si ?n = y

2a + 1

/« <; 1, la curva será de la forma in-
dicada en la figura 149: simétrica tam-
bién relativamente á los ejes de las coordenadas, con sus semiejes iguales
á a y b, y cuatro puntos de retroceso en ^, B, C, D.

Fignra 149.

Tercer caso. — Si ahora m =
la curva bajo la forma

— 496 —

2¡Í+1

2a+l

> 1, escribiendo la ecuaciíín de

= b

ap + i

-{T*']

2o+l

Figura 150.

se verá fácilmente que la curva á que
se refiere tiene la forma indicada en la
figura 150: secante á los dos ejes de las
coordenadas en los puntos A y B, {a, 0)
y {0,¿), extendiéndose luego indefini-
damente, tanto en el sentido de las abs-
cisas positivas como de las negativas,
y alejándose constantemente del eje de
las abscisas. Los puntos ^ y jB lo son
de inflexión, y las tangentes á la cur-
va en ellos son perpendiculares, respec-
tivamente, al eje de las abscisas y al de

las ordenadas. La recta COI), paralela á la ^5, que tiene por ecuación

í/ = X, es asíntota de la curva.

*' a

Cuarto caso. — Si fue-

re m = < ij

2a+l

veríase del mismo modo
que la curva es de la
forma representada en
la figura 151: tangente
á los ejes de las coorde-
nadas en los puntos A
y B, {a, 0) y (O, b), am-
bos de inflexión, y que
además se extiende in-
definidamente tanto en el sentido de las abscisas positivas como de las
negativas. En este caso la curva carece de asíntotas.

Fiffura 151.

— 497 —

2a 4- 1
Quinto caso. — Si m = — ^ — > 1 , la ecuación

muesitra que la curva posee la forma indica-
da en la figura 152, en la cual los puntos A
y B, 6 {a, 0) y (O, b), lo son de retroceso,
y las tangentes á la curva en estos puntos,
respectivamente, perpendiculares al eje de
las abscisas y al de las ordenadas. La recta
OC, perpendicular á h AB, será entonces
asíntota de la curva.

Sexto caso. — Si m ■

2a + 1

< 1,1a cur-

va será de la forma indicada en la figura 153: tangente respectivamente á
los ejes de las abscisas y de las ordenadas en los puntos A y B, ó {a, 0)

y (O, b). Curva que en este caso
se extiende indefinidamente, á mo-
do de parábola, en dos distintas
direcciones ó rumbos, y carece
de asíntotas, y de puntos de in-
flexión y puntos múltiplos reales
fuera de los A y B.

Séptimo caso. — Cuando m sea
irracional, la curva se reducirá

X al arco AB de la figura 150, pá-

Figuta 153. g'°^ •Í96, si TO > 1, ó al de la

151 , si rw < 1.
609. La ecuación de las tangentes á las curvas de Lame, en el punto
(x, y), será

A

.•¿¿

— 498 —

De la cual , poniendo en ella JY = O , se desprende el valor de la ordena
da, Y, del punto en que esta tangente corta el eje de las ordenadas:

a"'y"'-'i j/"»-!

Así como, poniendo Y = 0, se deduce para valor de la abscisa,^,
del punto de intersección de la misma tangente con el eje de las abscisas
esta otra relación:

X = ^

Resultando entre los segmentos X é Y la que sigue :

X Y

610. La expresión del radio de curvatura de las mismas curvas dice
como sigue:

~ (m — 1) a"" 6"" a;*"-* y'"'^ '

611. Comparando la ecuación de las tangentes con la ecuación

uY+vX=í,

hállase que u =— y v =

Y, en consecuencia, la ecuación tangencial de las curvas de Lame po-
drá expresarse de este modo:

612. El área limitada por un arco de curva de Lame, por el eje de
las abscisas, y por dos paralelas al de las ordenadas, trazadas por los ex-

— 499 —

tremos del arco, depende de una integral, que solamente podrá expresarse
por funciones elemetitales cuando sea m = 2 , ó en el caso de reducirse la
curva á una elipse.

613. La ecuación general que acabamos de considerar comprende
como casos particulares, las de algunas curvas notables. Si, por ejemplo

m = 2, hállase la elipse, conforme ya hemos advertido; si m = — , la

2 2 "

parábola; si íw = — , la evoluta de la elipse; si m=^— j a = b, la,

astroide: etc., etc.

614. La /)o¿ar de la cónica

a2 p2

relativamente al punto {x, y) de la curva de Lamí considerada, tiene por
ecuación

a2 ^ p2

y la envolvente de las posiciones de la misma polar, cuando el punto {x, y)
varía de posición, describiendo la curva á que corresponde, se hallará por

eliminación de a;, ?/ y -p- entre su ecuación y las siguientes:

(t)"+(Í

' , X . Y dy ^

a'

De donde se desprende esta otra:

Luego la polar recíproca de la curva de Lame, de que se trata, relati-
vamente á la cónica propuesta , es otra curva de Lame.

— 500 -

615. Relativamente al punto {x-^, y^), la ecuación de la polar de la
misma curva será:

m — 1 /í#\w — 1

{V) +y\\) -^

ó, suponiendo que os ^ vla^j™ 1 y b = By^^"-^ ,

m — 1 / j/ \ ™ — 1

1.

A

Luego las polares sucesivas de las curvas de Lame son otras curvas
del mismo nombre.

H16. Las curvas de Lame pueden considerarse como perspectivas de
las representadas por la ecuación , en com'denadas trilineales.

{íMiTHíh-

á las cuales se aplica el nombre de curvas tria^igulares simétricas , y que
Lagoüenerie estudió en un trabajo, publicado por los años 1867, con
el título de Recherches sur les surfaces reglées tetraédrales symétriques;
y por Jamet en otro, inserto en los Aúnales de l'École Nórmale Supé-
rieure (París, 1887); etc.

Las propiedades proyectivas de las curvas triangulares se desprenden
de las correspondientes á las de Lame, contenidas en la ecuación

(^)"+(ir='-

suponiendo en ella que

-ÜJ ' -V-(-f)"

Y así: por ser ( — ^^^ ) + j ^ j ^ 1 la ecuación (Núme-

Cl

— 501 —

ro 614) de la. 2)olar recíproca de la precedente curva de Lame, relativa-
mente á la cónica

vese también que la ecuación de la polar recíproca de la curva triangular
considerada, relativamente á la cónica que tiene por ecuación, expresada
en el mismo sistema de coordenadas triangulares ,

es la curva tria?igular simétrica, representada por esta otra ecuación:

Y del propio modo se verá que la polar de la curva triangular conside-
rada, por referencia al punto {X^, F^, Z^), es otra curva trianqular, defi-
nida por la ecuación

Híf+HiJ +^'1^1 -»•

617. La ecuación tangencial de las curvas triangulares simétricas
obtiénese ad virtiendo que la de sus tangentes posee la forma

uX^ + vY^-\- ivZ^ = (i,
en la cual

J^m — 1 y m — 1 ^m — 1

U= , v = , y IV ^ :

A"' B'" C"

ó, en consecuencia,

Z = (4'»í/j"'-i, Y={B^v)'^-\ y Z=(C""^^^)'«-l; ó

(4m)™-14-(5z;)'"-i+(Cm')"'-i=0,
que es la ecuación buscada.

— 502 —

VI

CURVAS DE PERSEGUIMIENTO

618. Las curvas de este nombre, 6 de seguimiento simplemente, ex-
citaron por vez primera la curiosidad de Bouguer, quien las descubrió
buscando por de pronto la que describe en mar tranquilo un barco, empe-
ñado en los alcances de otro, ambos animados de movimiento uniforme,
rectilíneo el del perseguido, y variable en dirección de un modo continuo
el del perseguidor. (Mémoires de l'^cadéinie des Sciences de París, 1732,
p. 1). Curvas de la misma forma general á las descritas por un perro, dis-
parado con velocidad constante, hacia una persona, mientras ésta, con
paso también acompasado, ó igual, recorre una línea recta, de posición
arbitraria en el plano de la curva: por lo cual suelen también designarse
con el nombre de curvas del perro, y á las cuales prestaron asimismo
fecunda atención otros geómetras distinguidos, como Maupertüis, F. de
Saint Laurent (Anuales de Oergonne, t. xiii, p. 145.), etc.

619. Para estudiar las
propiedades de estas cur-
vas, supongamos que Á y B
(fig. 154) representan dos
móviles, animados de mo-
vimientos uniformes: recti-
líneo el del primero, en la
dirección señalada por el
eje de las ordenadas, OAA';
y curvilíneo el segundo, á
lo largo de la curva CBB',
cuya ecuación, y = f(x),
nos proponemos determinar
con los datos del problema,
comenzando por advertir que esta curva ha de satisfacer á la condición de
que su tangente, en cualquier posición del punto B, corte al eje de las
ordenadas en la posición que corresponde al punto A.

Fignra 154.

— 503 —

Esto sentado, si por x é y representamos las coordenadas del punto B,
la ecuación de esta tangente será

Y—y = f'(x){X-x);

y, por lo tanto, la ordenada del punto A se hallará expresada por la
fórmula

OA = y~ xf (x').

Cuando A se traslade de la posición, así designada, ala A', B pasará á
la B'; y, por cuanto los movimientos de A y B son uniformes,

(1) ■ ^^' =m,

arco BB'

siendo esta m cantidad constante positiva.

Pero, representando por x -\- h é y -\- k las coordenadas del punto B',
resultará que

OA'=y-\-k-{x-\-h)f'{x-\-h),
y, en consecuencia,

AA' = k~{x + h)f'(xi-h)-Jrxf' {x).

Luego, representando por s la longitud del arco CB, si C además designa
la posición inicial del punto B, en atención á que, cuando s aumenta, x
disminuye, dedúcese que la ecuación diferencial de las curvas de perse-
guimiento será la siguiente:

,. A A' xf"(x) xy"

m = lim = i — í — - = — ^

arco 55' ds Vi _|_ „'2

E integrando esta ecuación, hállase por de pronto esta otra:
y' + y/l + y'^^cx"^,

I

— 504 —
sencillamente traosformable en las que siguen:

De la cual, repitiendo la integración, se desprende que

2 Im + l (m—í}cx"'-^\

cuando sea m ^ 1 , 6

si m ^ 1 .

Con lo cual queda resuelto el problema de que se trata, en términos
finitos, debiendo ser determinadas las constantes c y C por medio de los
valores de y' é y en el punto inicial del movimiento de B.

Con auxilio de las mismas ecuaciones, concluyese también que la recta
X = O, recorrida por el móvil A, será asíntota de la curva cuando sea
»M>-1 óm=l,y que, por el contrario, la curva cortará á esta recta cuan-
do sea w <; 1: luego, en los primeros casos, el móvil i? no encuentra al A,
hacia el cual se aproxima indefinidamente; pero sí en el último.

620. Advertido lo que precede, fácil será determinar la forma de las
curvas, representadas por las ecuaciones á que nos referimos. Por de pron-
to, supondremos que c>0, como asimismo podemos también suponer
que C= O, cambiando para ello, si fuere menester, el origen de las coor-
denadas. Y, tras de esto, examinaremos los siguientes casos:

Q _ I -I

1.° Si es ?w = — — > 1, la curva constará de dos ramas iguales

2b

y simétricamente dispuestas relativamente al eje de las abscisas, ambas de

la forma indicada en la fig. 154, que se extenderán indefinidamente en el

sentido de las abscisas positivas, con dos puntos de inflexión reales, co-

/ 1 \2n + l

rrespondientes á la abscisa x= [ | , cuando b sea par, y con

505 —

una asíntota común en coincidencia con el eje de las ordenadas. El valor
absoluto de y pasa entonces por un mínimo, correspondiente á los puntos

cuya abscisa es igual á c '^'^ + 1.

2.° Si fuese m = ^ — > 1 , la curva tendría la misma forma ge-

26 + 1

neral que en el caso anterior, sin puntos de inflexión reales; pero el eje de

simetría coincidiría entonces con el de las ordenadas, é y sería mínimo

2b + 1

cuando fuese x = ± c '^«^ + 1 .

3.° Si es m

'¿a

26,+ 1

dicada en la figura anterior, otra rama en
el ángulo opuesto de los ejes coordenados,
dispuesta de tal modo que el origen de las
coordenadas sea centro de la curva. Y, en
este caso, el valor absoluto de la ordenada

• > 1, la curva tendrá, además de la rama in-

será mínimo cuando sea a; = rb c

2a + 1

4.° Si fuese m =

26

■25+1
'2a

1, la

lira 155.

curva resulta de la forma señalada en la
figura 155: tangente al eje de las ordena-
das en el origen; y con un 'punto doble sobre el eje de las abscisas, allí

b

'2o + 1

donde x =

(1 —m)c-

y otros dos puntos donde el valor
absoluto de y es máximo, corres-

2»

pendientes á x^ c ^n + i

5.° Si es m = líL±l < i,
26+1

la curva presentará la forma in-
dicada en la figura 156: con un
punto de retroceso en el origen de las coordenadas, y dos, de mínimos

_ 2M-1
valores de y, correspondientes á las abscisas x ^zh c 2» + i

Figura. 156.

— 506 -,

6.° Sim

2a

- ■< 1, la curva será de la forma representada en
26+1 ^

la figura 157, y poseerá en el origen de las coordenadas un punto de in-
flexión.

7.° Si m fuese irracional, la curva sería de la forma señalada en la

figura 154, en el supuesto de ser
»w > 1, y de la diseñada en la 158
cuando fuese w < 1.

8.° Y si es jw = 1 , la forma de
la curva será la que representa, en
general, la figura 154.

62 1 . Las longitudes de los ar-
cos de las curvas que vamos estu-
diando encuéntranse fácilmente, par-
Fignra 157. tiendo de la ecuación (1), de la cual

se deduce (fig. 154), por de pronto, para s la siguiente:

= BB' =

AA'

OA'—OA

m

m

Y como la ordenada OA', ó la 04, de cualquiera de los dos puntos, don-
de las tangentes á la curva, eu A' y A, y
cortan al eje de las Y, pueden expresarse,
en función de la abscisa correspondiente,
C] ó x^, de este modo,

2 \_m->rl

■^ — 1

, etc.,

Figura 168.

concluyese que la determinación del valor de s no presenta, en efecto,
dificultad alguna.

622, Por algunos geómetras han sido estudiadas otras curvas de per-
seguimiento, basadas en condiciones primordiales del movimiento de los

— 507 —

puntos A y B, distintas de las simplicísimas, adoptadas para fundamentar
el razonamiento del Núm. 619, del cual se desprenden las consecuencias
en los inmediatos siguientes consignadas: conforme puede verse en el caso
examinado en el tomo xiii de los Ármales de Oergonne (p. 289 y 391),
adonde remitimos al curioso lector.

VI

ESPIRALES SINUSOIDES

62ii. Haton de IjA Goüpilliére aplicó el nombre de espirales sinu-
soides á las curvas representadas por la ecuación

p" = a" seujifi,

en un artículo publicado en los Nouvelles Anuales de Mathématiques
(París, 1876, p. 97), en donde insertó una lista ó resumen de sus princi-
pales propiedades. Y Bassani, en otro artículo, publicado en el Oiornale
di Matematieke (Napoli, t. xxiv, 1886, p. 23), trató también del mismo
asunto, agregando nuevas propiedades á las contenidas en la mencionada
lista del geómetra francés.

La forma de cada espiral sinusoide depende de n.

2o it

Si n fuese positivo é igual á , cuando 9 varía desde O hasta — ,

2^3 -|- 1 '*

el punto generador de la curva describe (considerando, por de pronto, so-
lamente los valores positivos de p) una rama cerrada, que pasa por el ori-
gen de las coordenadas y es tangente en este punto á las rectas que for-

man con el eje de las abscisas ángulos iguales á O y — : rama, además, si-

7C

n'
métrica relativamente á la recta que pasa también por el origen y forma

con el mismo eje un ángulo igual á .

2n

Cuando, después, 9 varía desde — hasta , p es imaginario.

p _ q -_

Cuando la misma 9 varía desde hasta , el punto generador de

n n

la curva describe otra rama, igual á la que primeramente describió.

— 508 —

Y, continuando por el mismo orden los giros del radio vector, el punto
generador de la curva describirá una serie de ramas , alternadamente reales

é imaginarias, terminando la de orden I cuando sea 9 = — —,

n

Dando, pues, á I el valor ég, llégase al valor de 9 ^ 2 {2p -\- 1) iz: con
lo cual se ve que el punto generador de la curva vuelve á la posición pri-
mitiva de donde partió, después de describir 2 (2p -)- 1) ramas, reales 6

imagiiiarias , de la misma curva.

2o

Cuando n sea negativo é igual á — , p varía desde oo hasta a;

2p + l

y desde a hasta oo , cuando 8 varíe desde O hasta — . El punto generador
de la curva describe, pues, en este caso una rama abierta, que tiene por
asíntotas las rectas que forman con el eje los ángulos O y — ; simétrica

también relativamente al vector que forma con el eje el ángulo ; y se-
an

cante de este vector en el punto (9:^ — —, p = fl|. Y continuando, lo

\ 2n / ;

mismo que cuando n era positivo, los giros sucesivos de 9, concluyese,
análogamente, que la curva se compone de 2 (2p -|- 1) ramas, alternada-
mente reales é imaginarias, siendo las reales iguales todas unas á otras.
Si á los valores negativos de p nos atenemos ahora, hallaremos otras

2 {2p -\- V) ramas, iguales á las precedentes.

2^ + 1
Y suponiendo, por último, que sucesivamente sean n=^ y

n = — '—^ — por análogo género de consideraciones llegaremos á resul-

2^ + 1
tados comparables á los en los anteriores supuestos acabados de obtener.

Vese también, como en el Núm. 587, que, en todos los casos hasta
ahora examinados, las espirales sinusoides son curvas algébricas. Pero, en
el de ser n irracional, el número de ramas de la curva será infinito y la
curva iranscendente.

624. Aplicando á las espirales sinusoides la fórmula conocida

-,ft sen9 4- p cosí
a.y cío

dx da n

-35- coso — p seno

— 509 —
hállase la igualdad

-g-=tang(,í+l)9,

que, representando por tp el ángulo de la tangente á la curva con el eje de
las abscisas positivas, produce esta nueva igualdad:

<p = (n + 1) 9.

Por medio de la cual pueden determinarse las tangentes á la curva, para-
lelas al eje de las abscisas en los puntos donde 9 = — , siendo k en-

7Í + 1

tero, par 6 impar; y perpendiculares al mismo eje en aquellos otros donde

ti = , SI A; es entero é impar.

2 {71 +1)

Y también se ve que, cuando él radio vector gira uniformemente alre-
dedor del polo, la tangente gira uniformemente alrededor del punto de
contacto. Por lo cual Laqüiére dio á estas curvas el nombre de curvas
de itiflexión proporcional. (Nouvelles Aúnales de Mathématiques , Pa-
rís, 1883).

625. Por ser — - = p cot«9, el ángulo V, que forma la tangente con
el radio i>eetor, en el punto de contacto, podrá determinarse como sigue:

tangF= p — = tangw9,

6 F= /i9. Luego el ángulo que se acaba de definir será igual á n veces
el ángulo del mismo radio vector con el eje polar.

Y de la misma última Igualdad se concluye también que la tangente á
la curva es perpendicular al radio vector del punto de contacto en los

puntos donde tc9 = — hit {k impar), ó en las extremidades de los ejes de

la curva; y que coincide con este radio en los puntos donde »9 = jfcir,
sea k par 6 impar, 6 en los puntos donde el radio vector es nulo.

510 —

626. Sean OP y OQ dos vectores de la curva, y PM y QM dos tan-
gentes á la misma en los puntos Py Q. Suponiendo (fig. 159) que sean

QOX=H, POX = ^', OQM=a y OPM = a',

y, en virtud del teorema anterior,

a = Tt — >i9 y u'^n^';
hállase que

PMQ + 6' — e + - — n9 4-_ n9' = 2tt.

Luego

S Pilfg=T.-(l + /í)(9'-e),y
PJí5=(l4-n)(9' — 9):

igualdad consignada por Bar-
-X BiEE y Lucas en los Nou-
velles Annales de Mathémati-
ques (2.'* serie , t. v, p. 2 7 ) , que
determina el ángulo de las tangentes á la curva en dos puntos dados.

627. Por medio de la fórmula

O

Figura 159.

P^ +

R =

d^^ }

¿2(5

d92

y de estas otras dos

-^ = pcot/í9, y --^ = pcot2/i9

np

(¿9

d92

sen

2rí.9'

dedúcese la siguiente, para expresión del radio de curvatura de las espi-
rales sinusoides:

i2 =

P

(n -)- 1) senwO '

— 511 —

según la cual las curvas de este nombre carecen de puntos de inflexión,
fuera del polo.

Y, representando por N la longitud de la normal, y teniendo en cuen-
ta que

"-^^'-m

sennQ '

hállase, según lo demostrado por Haton de la Goupilliére en su Tliése,
página 34, esta otra expresión

N

R =

n-\-l

O, por cuanto senwO = ( — I , la que sigue:

R =

(n + l)p"-i

La cual nos dice que el radio de curvatura es inversamente proporcional
á la potencia n — 1 del radio vector, en el punto considerado : propiedad
característica de las espirales sinusoides, conforme demostró Bassani
(1. c, p. 27).

628. Por ser, representando por s la longitud de los arcos,

j-, 1 ds 1 ds dp

~ n-\-l ' á9 '

^ p cotnH

n-\-l d^ n + 1 dp íZ9
dR _ (n - 1) a» dp

dp {n + 1) p" (¿6

Vffl'" — p'"

R:

(n+l)p"-'
concluyese, eliminando dp, c¿9 y p entre estas ecuaciones, que

w + 1 dR

ds = ■

n — 1

^]'

•1

— 512 —
ó, poniendo {n -^ 1) b en vez de a,

M + 1 dR

ds =

n — 1

Ecuación, en coordenadas intrínsecas, de las espirales sinusoides, utilizada
por Cesíro para el estudio de estas curvas (Nouvelles Anuales de Mathé-
matiques, 1888, p. 183; y Lexioni di Geometria intrinseca, Napoli, 1896,
pág. 51).

629. La proyección del radio de curvatura sobre la normal á la cur-
va, en el punto (9, o), es igual á R sen F. Pero, como

R sen V= sen ti 9 = — - —

(w+l)p"-' »+l

entre la proyección del radio de curvatura, sobre el radio vector corres-
pondiente, y el mismo radio vector existe una razón constante.

Teorema que puede también ser enunciado de otro modo.

Si trazamos, en efecto, el círculo de curvatura, correspondiente á un
punto de la curva, en este círculo, secante del vector que pasa por el mis-
mo punto, quedará determinada una cuerda, que será proyección ortogo-
nal, á su vez, del segmento por el mismo círculo interceptado sobre la

/ n \ 2p

normal: igual, en consecuencia, á2R cosí V\^ — .

\2 j n + V

Luego el círculo de curvatura intercepta sobre el radio vector del punto
considerado una cuerda, en raxón constante con este radio. Teorema des-
cubierto por Maclaürin (Treatise of Fluxions, cap. xi), y que Alle-
GRET demostró asimismo ser característico de las espirales sinusoides
(Nouvelles Annales de Mathématiques , 2." serie, t. xi, p. 162).

030. La rectificación de las espirales sinusoides se obtiene por me-
dio de la fórmula

i:v^^+(^p-»r'-""""'^=^x>"'"'"-

— 513 —
De la cual, poniendo 8enF= t, se desprende esta otra:

_ 1_

(Y—i^)~ -i dt.

De manera que la longitud de ios arcos de las curvas consideradas so-
lamente podrá expresarse por funciones elementales, cuando — represente

un número entero.

Aplicando á la integral, que figura en la expresión de s, una fórmula,
bien conocida, de reducción de las integrales binomias, llégase á esta otra:

s=a[<«(l-<^)M, +-^« i t"^ i\-t^) -^dt: 6

s=a sen" Feos F -I '-^ a sen" VdV.

Pero, si consideramos otra espiral sinusoide, definida por la ecuación

l+-2«

(n \ "
sen fi| , la longitud, s., del arco de esta curva, com-
l + 2n )

prendido entre los puntos donde las tangentes forman con los radios vec-
tores de los puntos de contacto ángulos iguales á Fq y F¡ , tendrá por ex-
presión

R, =a ^^-^^ sen » VdV.

Y así se ve que entre s y s^ existe la relación (Bessani, 1. c, p. 29)

s = (Pi — Pu) eos F + - sj.

1 -|- 2m

Cuando sean 0^, = O y Oj = , ó cuando el arco que se pretende rec-

2«

tificar sea mitad de la primera rama de la curva, hállase que /q = 0 y ¿j = l;

y, por lo tanto,

s=^rt^-\i-t^)-^dt=^BÍ^,\\

33

— 514 —

designando por Bl — , — j una integral euleriana de primera especie.

De todo lo cual se concluye, recordando algunos teoremas de frecuente
aplicación, referentes á las integrales eulerianas, que

a

6S1. El área descrita por el radio vector de una espiral sinusoide,
cuando 9 varía desde Oq hasta 9j, tiene por expresión

A = -- \ 'fm = ~[ '[seníiO]" ííO;

ó, poniendo sennO = /,

rt2 r>t, 1- -1-

A = -^ '¿"(1— ¿2) '2¿l_

Designemos, además, por s^ la longitud de los arcos de la curva

n + 2

p = ff sen U ;

L n + 2 \

y, de lo expuesto renglones antes, deduciremos que

liuego

A = So.

2(« + 2) -

682. Para determinar las podarías de las espirales sinusoides por re-
lación al polo, puede precederse de este modo.

— 515 —

Sean 9j y p^ las coordenadas polares del punto de la podaría, corres-
pondiente al punto il/(9, p) de la curva. Del triángulo MTO (fig. 160) se
desprende que

pj = OT^ p senF^ p senw9 = a [senraSJ

,— +1

Y como también

&! = TOX = I

-(f-'') = ' + »'-T

Figura 160.

la precedente ecuación se convertirá en la que sigue:

i + »

P^==4"°TT^('' + Í)]

ó, cambiando ahora la recta que sirve de origen común á los ángulos
vectores, ó suponiendo que Sj -| = 9', llégase á esta conclusión:

i + «

P, = a I sen ■ 1 I

segfin la cual las podarías de las espirales sinusoides son otras espirales
sinusoides: teorema debido á W. Roberts (Journal de Lionville, 1847).

— 516

Representando por i?j el radio de curvatura de la podaría de una espi-
ral sinusoide dada, hállase que

6, por ser

2n + 1 -^

Pj ^ a (sen/í9) " ,

R, = -^Í+A-« (sen«9)^= _ü±i_ „
' 2n-\-l 2« + l ^

Luego eZ rarfío de curvaitira de la podaría de una espiral sinusoide es
proporcional al radio vector del punto correspondiente de la curva á que
se refiere (Bassani).

()33. La clase de curvas que acabamos de considerar comprende, en
particular, muchas curvas notables. Como, por ejemplo: la circunferencia,
si í^ := 1; la línea recta, ú n^ — 1; la lemniscata de Bernoülli, cuan-
do m= 2; en el caso de ser n = — 2,1a hipérbola equilátera; y, si w = O,
la espiral logarítmica: etc., etc.

684. Las espirales sinusoides poseen, además de las expuestas, otras
muchas propiedades, geométricas y mecánicas, que pueden y merecen ver-
se en los trabajos de Haton de la Goupilliére y de Bassani, poco
más atrás mencionados.

VII

CURVAS DE RIBAUCOUR

635. Dase el nombre de curvas de Ribaücour, en memoria del ¡las-
tre geómetra que las descubrió, al estudiar las superficies llamadas elasoi-
des, 6 de curvatura media nula, á las que poseen la propiedad de que sus
radios de curvatura son proporcionales á las normales eii todos sus pun-
tos (Mémoires couronnés de l'Académie de Belgique, t. XLiv, 1880).

— 517 —

La ecuación diferencial de las curvas de RiBAucoüR será, pues, por
definición,

y

representando por m una constante, 6

myy" = 1 + y"^.

d-^y

Como, además,

" '^ ^^y ^ Al. . " ^^ = y' '^y'

dx^ dx dy dy

la igualdad anterior puede escribirse en esta forma:

my' dy' dy

l + y'^~ir'

De la cual, mediante dos integraciones sucesivas, se obtienen las ecua-
ciones siguientes, diferencial áe primer orden, y finita, de las curvas de
RibaüCOUR:

di/

V(cí/)"' — 1

dx ■

V

(Cí/)™— 1

Siendo de advertir, ó recordar, que, según la teoría de las integrales U-
nomias, la última ecuación solamente podrá expresarse por funciones ele-
mentales cuando sea m número entero.

636. En la clase de las curvas de Ribaucoür hállanse comprendidas
algunas, parfeí/ares, muy notables, ya consideradas en distinto concepto.

1." Si, por ejemplo, m = — 1, la ecuación (1) representa una circun-
ferencia.

— 518 —
2° Si wí = 1 , poniendo c^ por c~i , hállase que

dij

/ — c^

y, en consecuencia,

£C — Cj = Cg log-^— ! i-^^i 2-:

de donde se deduce que

Y sumando ordenadamente estas ecuaciones obtiénese por fin esta otra,
correspondiente á la catenaria:

3." Si fuere wí=2 , hallarfase que

x — c^=\icy — l) ■^dij = — {cy — l)-2,

c{x — c^f = 2{cy—í)•,

y la curva representada entonces por (1) sería una parábola.

4.° Y si fuere >n ^ — 2, encontraríase también sin dificultad que

dx \ cy '

ecuación diferencial de la cicloide,
637. Por ser

ds = Vi + y'^ dx = /'^^^ dy,

\{cy)^-\

— 519 —

las longitudes de los arcos de las curvas de Ribaucour podrán represen-
tarse por la fórmula

Ja

i_

\ {cyY^—l

designando por a y 6 las coordenadas de los extremos del arco considera-
do. Arco, según la misma fórmula, que no admite representación exclusi-
va por medio de funciones elementales, sino en el caso de ser m número
entero.

638. El radio de curvatura de las curvas de que tratamos tiene por
expresión

-i- JL i + L

E = mij {eyy = ?«c"' y '". ;•

Luego, si 1 -| es mayor que cero, R será nulo cuando sea y = 0;

y si menor R será infinito en el mismo segundo supuesto. Las curvas de
Ribaucour no admiten, pues, puntos de inflexión ni puntos de retroceso,
desviados del eje de las abscisas.

639. Por ser

dR = m\l + -^Ycyy^dy,
infiérese que

ds=

dR

(ra + 1)

6, poniendo — = a,

m + lj ,

dR

- — 520 —

Y si además se admite que = -—^ — , la última ecuación adqui-

m -\- I n — 1

rirá la forma

« + 1 r dR

1/

V(4r^

Ecuación, en coordenadas intrínsecas, de las curvas de Ribaucour, uti-
lizada por CesIro para el estudio de estas curvas (Nouvelles Annales
de Mathématiques , 3." serie, t. vii, 1888, p. 179; y Lexioni di Geometria
intrinseca, Napoli, 1896, p. 49).

640. Advertiremos, para concluir, que las curvas acabadas de consi-
derar, como las espirales sinusoides de que momentos antes tratamos, son
casos particulares de un grupo más extenso de otras curvas, estudiado por
el mismo Cesaro en los trabajos también pocos renglones antes men-
cionados.

CAPITULO DÉCIMOSEOUNDO

CURVAS DE DOBLE CURVATURA

ESPIRAL DE PAPPO

641. Consideremos una esfera y en ella dos círculos máximos que pa-
sen por los polos P y P'; uno de ellos, PAP' , fijo (fig. 161), y el otro,
PMC, variable ó móvil al-
rededor del eje PP'. La y
curva descrita por el pun-
to M del círculo variable,
cuando este círculo PMC
se aparta del PAP' con mo-
vimiento uniforme, y al mis-
mo tiempo M se aleja del
punto P con movimiento
uniforme también , y de tal
modo que, al terminar PMC
su primera revolución com-
pleta, M se encuentre en el
punto A del ecuador, reci-
be el nombre de espiral de
Pappo, por haber este cé-
lebre geómetra llamado sobre ella la atención por vez primera en sus fa-
mosas Colecciones Matemáticas.

Sea p el radio de la esfera; cp la longitud AOC del punto M; y 9 la co-
latitud Pif del mismo punto: de la definición anterior se deduce que

— 522 —

Y ésta será la ecuación de la curva, expresada en coordenadas esfé-
ricas.

642. Para determinar el área esférica limitada por la espiral de que
se trata,. por el ecuador CAB y por el meridiano PA, procederemos como
sigue:

De la fórmula general bien conocida de Geometría irifinitesimal, apli-
cable á la determinación del área de las superficies curvas, referidas á
coordenadas polares.

se deduce en este caso particular, por ser p cantidad constante, esta otra:

U= rrp2sen9rfxrf9.

Y como en los límites del área pedida O varía desde — hasta -~, y f des-
de O hasta 2 ti, aquella área tendrá por expresión

d'f I s<

ó, después de integrada,

D"=4p2.

En la cual está compendia'ia la siguiente proposición, debida á Pappo
(prop. 30.'^ del libro IV de la obra citada): el área esférica limitada por la
espiral, por el ecuador y por el meridiano inicial, vale tanto como el
cuadrado del diámetro de la esfera. Resultado muy notable por constituir
el más antiguo ejemplo de la cuadratura de una superficie curva.

643. Con igual sencillez podemos determinar también el volumen del
sólido limitado por la porción de la superficie de la esfera comprendida
entre la curva y el ecuador, por el ecuador y por el cilindro recto que pasa

523 —

por la curva. Pues, en términos generales, el volumen V de un sólido geo-
métrico entre determinados límites tiene por expresión

=//'

f{r cosf, rseB(ci)rdrdf,

suponiendo que r representa el radio vector de la proyección de M sobre
el plano coordenado xy, y z = f{x,y) la ecuación de la superficie del
mismo sólido. Y como, en el caso ahora considerado,

f{r costp, r sencp) == yp^ — x^ — y^= Vp^ — ^^'

y la ecuación de la proyección de la espiral sobre el plano del ecuador es

o ?

r = p seno = p sen -j-;

concluyese que

F= p"íítp P \/p2 _ ^2 . rdr;

ó, integrando,

'P«-4

F=-^p3.

9

644. La rectificación de la espiral de Pappo depende de la de un
arco de elipse.

Pues, en efecto, si por x, y y x, designamos las coordenadas cartesianas
de los puntos de la curva, hállase que

tp CD m

a; = p sen -j COSÍ", ^ = p sen -j sentp, y ;j; = pcos-^,

y por lo tanto, representando por x' , y' y z las derivadas áe x, y y x, re-
lativamente á 'f ,

s = I ■ y.V^ + y'^ + «'2 df = pC'^ \/~ + ^®°^ ~ ^f-

524

-^vñ.x"V-T

6 2 'f J

— eos"'-!- (í-í:

7 4 '

71 O

6, poniendo — por — — f- w,

2 4

= — Vl7¡5 r"A/l — — sen2w.(Zoj.

II

CURVA DE VIVIANI

645. En 1692, Viviani, discípulo de Galileo, propuso en las Acta
Eruditorum el siguiente problema: determinar sobre un hemisferio una
curva cerrada tal que, si en la superficie total del hemisferio se prescinde
de la que limita la curva buscada, resulta otra superficie exactamente cua-
drable.

Problema que muy luego fué resuelto por Leibnitz y Jacobo Ber-
NOüLLi en el mismo volumen de las Ada; y después por Wallis y por el
Marqués de L'Hospital: etc., etc. Y que la espiral de Pappo, anterior-
mente considerada, resuelve también, conforme hemos visto en el Nú-
mero 642.

Para resolver su célebre problema, Viviani empleó la curva resultante
de la intersección de la esfera con dos cilindros rectos, de iguales bases
circulares, y éstas de radio igual á la mitad del de la esfera, perpendicu-
lares ambos al círculo máximo, que sirve de base al hemisferio, y uno á
otro tangentes en el centro de la esfera: curva que se designa con el nom-
bre de su inventor, y también con el de ventana de Viviani.

La solución dada por este matemático del problema á que acabamos de
referirnos, fué por él publicada en un opúsculo titulado Formaxione e mi-
sura di tiitti i cieli, con la stritctura e quadratura esatta d'un 7iovo cielo
ammirahile, Firenze, 1692. Viviani, sin embargo, no dio á conocer las
demostraciones de los resultados por él obtenidos, que pocos años después

— 525 —

insertó el Padre Güido-Grandi en otro opúsculo que sobre el mismo
asunto publicó en 1699 con el título de Geométrica dirinatio Vivanea-
rum prohlematum.

La curva de Viviani forma • Y

parte de una clase de curvas
consideradas por el geómetra
griego EüDOSio, de las cuales
trataremos en seguida. No sin
antes añadir que P. Tannery
juzga probable que esta curva
coincida con otra, denominada
paradoxiís de Menelao, y de
la cual se encuentra alguna va-
ga indicación en las obras de
Pappo. (BuUetin des Sciences
Matkématiques, 1883, p. 290.)

646. Las ecuaciones de la curva de Viviani son, tomando para ori-
gen de las coordenadas el centro de la esfera, para plano x-y el de las ba-
ses de los cilindros y para eje de las y la tangente común á los dos círcu-
los (fig. 162),

Figura 162.

x^ + y' +

a-

,-^ + y^^qiax = 0,

s¡ a representa el radio de la esfera.

Para demostrar que esta curva resuelve el problema de Viviani, bus-
quemos el área S de la porción del hemisferio que se proyecta en AMOPBG
y en ANOQBD.

Representando por A la figura OPBCO, en virtud de un teorema bien
conocido del Cálculo Integral, hállase que

S

-^/ÍV

/i

a y

(Í|P,..=4JJ^.,...

Y cambiando de coordenadas con auxilio de las ecuaciones a; = pcos(p,
</ = p sentp, de las cuales se desprende que x^ = a^ — p% por medio de

- 526 —

las fórmulas de Cálculo Integral, referentes á la transformación de las
integrales duplas, hállase luego que también

píZpdo

-m

yja'^-f

Para reducir esta integral dupla á dos integrales simples, adviértase
ahora que la ecuación polar del arco OPB es p = acos9, y la del arco
BC, p = a. De manera que la integral simple

pdp

representa la suma de los elementos de la duple, contados á lo largo de
la línea OPK, que forma con OZ el ángulo o; 7 la integral

Jo Ja oos'f y a^ p2 Jo

sencodc? = a

la suma también de todos los elementos de la duple, correspondientes á
las posiciones de OK, cuando ésta varía desde OB hasta OC.
El resultado final será, pues, el obtenido por Viviani:

4a2

647. El área lateral de la parte del cilindro que entra en la definición
de la curva de Viviani, limitada por la base del hemisferio considerado y
por la superficie de la esfera, se determina por la fórmula

Jo ' dx

en la cual s representa la longitud de los arcos de la curva que limita la
base del cilindro. Poniendo poi
del cilindro y por la ecuación

ds

base del cilindro. Poniendo por y y sus valores, dados por la ecuación

dx

ifi -I a^ -\- x^ — ax

ds-í _■ ^ 4 ^ a^

dx^ ~ y^ 4í/2

~ 527 —
hállase que

1 '" Va {a— z) , C \ladx, „ „

Jo \az — x^ Jo

\az — x^ Jo \x

Resultado éste encontrado por Roberval, quien le dio á conocer en su
Traite des Indivisibles (Mémoires de VAcadcmie des Sciences de Pa-
rís, 1730, p. 213).

(>48. El ilustre astrónomo d'Arrest (Nouvelles Annales de Matké-
matiques, t. xiv y xv, p. 401 y 53) advirtió por vez primera que la cur-
va de ViviANí es la proyección estereográfica de una lemniscata de Ber-

NOULLI.

Para demostrar lo cual, por referencia á la misma esfera anteriormente
considerada, supondremos trazada en el plano coordenado XY la lemnis-
cata que tiene por ecuaciones

Imaginemos además un cono que tenga por vértice el punto (O, O, — a)
y por directriz la lemniscata considerada.

Las ecuaciones de la generatriz de este cono son

X = Je y, z -{- a = ly.

Eliminando las x, y y % entre estas ecuaciones y las de la lemniscata,
obtiénese la ecuación de condición para que la generatriz encuentre á la
directriz

(A:2 + 1)2 = (A-2_1)¿2.

Y eliminando después las k y I entre esta ecuación y las de la generatriz,
encuéntrase finalmente para ecuación del cono considerado la siguiente:

Esta ecuación y la de la esfera determinan una curva, cuya proyección
sobre el plano xy se obtiene por eliminación entre ambas de la x, y la
cual tiene por ecuación esta otra:

(«•■^ -f 2az + a2) (¿2 -f íy2 _ „.) ^ o.

— 528 —

que se descompone en dos, coincidente la segunda con la de uno de los
círculos que representan la proyección de la curva de Viviani sobre el
plano zy.

Y del mismo modo el cono, cuyo vértice coincide con el punto (O, O, a),
determinará aquella otra parte de la curva de Viviani que se proyecta
sobre el otro círculo:

^^ -\- f + az = 0.

649. Representando, en conclusión, por a y O la longitud y la latitud
de un punto cualquiera de la curva de Viviani, en el supuesto de coin-
cidir con el plano del ecuador los planos de ambos círculos anteriormente
considerados, resultará que

a; = asen'), «/ =asencpco80, í = a coscp cos9;

y de las ecuaciones

*2 + f ±ax = 0

se desprenderá que cosO=q;co8'f , y, por lo tanto, 9= i en aquella parte
de la curva que se proyecta sobre el círculo correspondiente al signo in-
ferior, y 6 ^ TT — es en la otra parte de la misma curva. Relaciones intere-
santes entre la longitud y la latitud de los puntos de la curva á que se
refieren, descubiertas por Juan Beenoülli.

050. La curva de Viviani hállase comprendida entre las curvas á que
corresponden las ecuaciones

x^ + y^ + «2 = a% (X — bf + 2/2 = b\

las cuales representan los lugares geométricos de los puntos de la superfi-
cie de un cilindro equidistante de un punto dado en la misma superficie.
Estas curvas, designadas por La Loubére con el nombre de ciclo-cilin-
dricas, fueron estudiadas por Roberval en su Traite des Í7idivisibles (Mé-
nioires de VAcadémie des Sciences de Paris, t. v, 1730, p. 241).

529 —

ni

HIPOPEDA DE EUDOSIO Ó LEMNISCATA ESFÉRICA

651. La curva de Viviani forma parte de una clase de curvas, con-
sideíadas por Eüdosio de Cnido, geómetra griego que floreció cerca
de 400 años antes de J. C, y á las cuales dióse en la antigüedad el nombre
de hipopedas. Eudosio, creador del más antiguo sistema istronómico ma-
temático de que se tiene noticia, reconstituido modernamente por ScHlAP-
PARELLi, utilizó en él las hipopedas para representar las trayectorias del
movimiento de anomalía de
los planetas (Schiapparelli:
Le sfere omocentriche di Eu-
Dosso, di Callipo e di Aris-
TOTELE. Milano, 1875).

Según el ilustre astrónomo
milanés, las hipopedas son las
curvas de intersección de la
esfera con los cilindros de ba-
se circular á ella tangentes in-
teriormente. Y, en consecuen-
cia, la curva de Viviani es
una hipopeda, correspondien-
te al oaso de que el radio de
la base del cilindro sea mitad del radio de la esfera.

De la definición precedente resulta, sin dificultad, que las hipopedas son
curvas de doble curvatura, simétricas con relación al plano del círculo
máximo que pasa por el punto de contacto de la esfera con el cilindro,
perpendicular á la generatriz de éste, y también al del círculo máximo que
pasa por el mismo punto y es perpendicular al anterior. De donde se des-
prende, igualmente, que el punto de contacto del cilindro con la esfera es
un punto doble de la hipopeda, en el cual se reúnen dos inflexiones de
la misma curva. Por la forma de esta curva, Schiapparelli la designó
con el nombre de lemniscata esférica.

31

Fjgnra 163.

I

— 530 —

Tomando, como en el caso de la curva de Viviani, por origen de las
coordenadas el centro de la esfera; por plano xy el de la base del cilindro,
ypor eje de las x, la recta que pasa por el punto de contacto de la esfera
con el cilindro (fig. 163), las ecuaciones de las hipopedas serán éstas:

cc^ + iñ + --^ = «^ (^^ - bf + ?/2 = (a - hf ;

en las cuales a representará el radio de la esfera, y {h, 0) las coordenadas
del centro de la base del cilindro.

652. El área de la porción de superficie del cilindro, limitada por el
plano zy y por la hipopeda, se determinará fácilmente, conforme á conti-
nuación se indica.

Planificando el cilindro, vese, en efecto, que esta área puede expresarse
por la fórmula

A = 2 \ v«^ - -^ - y^ ■ — d-,

= 2 p V«^

J-2b~n

representando por s la longitud de los arcos de la curva que limita la

base del mismo cilindro, y á condición también de sustituir los valores de

ds
?/ y de por los deducidos de la ecuación del cilindro y de esta otra:

dx

ds^ {a — 6)2

dx^ y^

Resulta, pues, en conclusión,

J-2b-a Y (a — 6)2 _ (;v _ 5)2

Tratándose, en particular, de la curva de Viviani, en cuyo caso

b = — a, hállase el teorema de Eoberval ya mencionado (Núm. 047).

El resultado referente á las hipopedas, consideradas en general, que acaba-
mos de obtener, hállase mencionado en la Histoire des Mathématiques de
MONTÜCLA (t. III, p. 101).

— 531 —

IV

CLELIAS

653. Consideremos una esfera (fig. 164), de polos P y Pj y radio
0M = a; y en el plano, X.OY, de su ecuador, un punto, de posición va-
riable, S, proyección del M, situado éste sobre la misma esfera, y deter-
minado por su colatitud ]\rOP=^, y su longitud SOX = (f. Si por p
designamos, además, la dis-
tancia OS, proyección sobre ^
el ecuador del radio 031, ha-
llaremos que

p := a senO,

y suponienda que el punto M
describa sobre la esfera una
curva, sujeta á la condición
de ser, en todas sus posicio-
nes, sen 9= senma ó G=mcp, y
el S describirá una rosácea,
inscripta en el mismo ecua-
dor, y que tendrá por ecuación

p = asenȒ(p.

Fignra 164.

A la curva así engendrada
por i/dió el P. GüidoGrandi, en sus Flores Oeometrici, etc., ya citadas
en el Núm. 585, el nombre de clelia, en honor de la Condesa Clelia Borro-
meo, á quien dedicó aquella obra.

La espiral de Pappo es una clelia correspondiente á m = — .

4

654. Por su modo de generación vese fácilmente cuál es la forma de
estas curvas. Cada clelia se compone, en efecto, de muchas hojas iguales,

— 532 —

tangentes todas al ecuador y reunidas en el polo P, que será un punto
múltiplo de la curva.

Por medio de las fórmulas

a; = a sen9 eos», í/ = a sen 9 sen» y x=acos9,

obtiénense las coordenadas cartesianas de los puntos de las clelias, po-
niendo en ellas 9 = toco, lo que da

£C = a sen OT ;p eos ts, 2/ = a sen mee sen®, x = acosmi^.

655. Designemos por s la longitud de un arco de clelia; y de la
fórmula

con auxilio de las ecuaciones anteriores, se deducirá que

ds = a Vi + wí^ \/ 1 cos^ r«<p . d<o;

y, por lo tanto, poniendo mcp = íj,

Vi +

m

V-TÍ

ds ^ a ~ \ / 1 sen^ 'jí . di

Luego la longitud del arco considerado exprésase por una integral
elíptica de segunda especie (Güido-Geandi: 1. c).

656. Las clelias fueron empleadas por Guido-Geandi para resolver
el problema de Viviani, á que nos hemos referido en el Núm. 645.

Busquemos, en efecto, el área de aquella porción de la superficie esfé-
rica, limitada por una media Iioja de la clelia, por el meridiano que la re-
pasa de la hoja siguiente y por el ecuador. Como en el Núm. 646, se
hallará que

S:

J J Va2 — p2 Jo ' Ja sen m»- \a^ — p»

533 —

'-'£

am

cosmfdf ■■

m

657. El volumen V del sdlido limitado por aquella porción de la su-
perficie esférica, exterior á la clelia, comprendida entre esta curva y el
meridiano que pasa por una de sus tangentes, por este meridiano, por el
plano del ecuador y por el cilindro que tiene por base la proyección sobre
el plano del ecuador de la clelia considerada, es dado por la fórmula

V

o Ja- SI

v«

, rdr = -

sen m(f

m

LOXODROMIA

658. Desígnase con el nombre de loxodromia la curva esférica secan-
te de todos los círculos má-
ximos que pasan por los ¿i
mismos polos, formando
con ellos un ángulo cons-
tante, V.

Sean PA uno de estos
círculos ó meridianos (figu-
ra 165), á partir del cual
se cuentan las longitudes;
tp la longitud del punto M,
generador de la curva; y 9
la colatitud PM del mis-
mo punto. Del triángulo in-
finitesimal formado por las
tangentes á la curva y al

meridiano PB en el punto M, y por la tangente al paralelo infinitamente
próximo de aquel que pasa por M, y del triángulo esférico formado por

Flgnra 165.

— 534 —

un arco infinitamente pequeño de la curva considerada y por los meridia-
nos que pasan por M y por un punto infinitamente próximo, se deduce,
representando por s la longitud de los arcos de la loxodromia , que

í/s . cosF= í/0 y <ís.senF= — senOcítp,

contando las longitudes de manera que s disminuya conforme 'f aumente.
Si Fes constante, integrando la primera de las dos ecuaciones anterio-
res, resultará esta otra:

s eos T ' = 6j — 9o'

Eliminando ds entre las mismas dos ecuaciones previas, liííUase ade-
más que

rf6

rftf. = — tangF-

sen«

E, integrando esta última, se infiere, en conclusión, que

cp - tfo = — tang V logtang— 9 — logtang— % .

Y así se encuentra la ecuación de la loxodromia, referida á coordena-
das esféricas, y la longitud de sus arcos en función de las mismas coor-
denadas, las cuales fácilmente pueden convertirse en cartesianas con auxi-
lio de las siguientes fórmulas, representando en ellas por a el radio de
la esfera:

X-

: a senG cosíp, // = a sen 8 sen tp y .v = acosO.

A la ecuación de la curva puede darse forma más sencilla, adoptando
por primer meridiano aquel que pasa por el punto donde la curva corta

el ecuador. Porque entonces serán, en efecto, ^q= — Y ^o=^>y¡ 6u con-
secuencia,

(1) y = — tangFlogtang — 0.

— 535 —

Y por medio de esta ecuación, ó de la anterior, adviértese que te
aumenta indefinidamente cuando 9 disminuye y se aproxima indefinida-
mente también á 0: luego la curva posee la forma de una espiral, com-
puesta de un número infinito de vueltas descritas alrededor del polo P,
al cual de continuo se aproxima sin jamás alcanzarle.

659. Propongámonos ahora encontrar la proyección estereográfica de
la loxodromia por referencia al polo P', 6 la intersección con el plano del
ecuador del cono que tiene por vértice el polo P' y por directriz la mis-
ma loxodromia.

Las coordenadas polares del punto C ó de la proyección estereográfica
del M de la curva son la longitud tp del mismo punto M y \a recta OC^r,
Mas, por ser MN perpendicular á OP,

CO OP'

MN P'N
6, por cuanto NM-= a sen9 y NO = a cosO,

Luego

asen9 a-\-acoaH

a sen 9 . 1

1 + cosO 2

íitang— 9 = ae ta^gi^:

ecuación polar de la proyección estereográfica de la loxodromia relativa-
mente al polo P , que, según esto, es una espiral logarítmica.

(}6(). De la loxodromia trató por vez primera el ilustre geómetra por-
tugués Pedro NuSez en 1537, en su Tratado en defensao de carta de ma-
rear, y en 1546, en su obra titulada De arte atque ratione navigandi,
donde consignó los primeros principios de la teoría de aquella curva, que
le sirvieron para resolver el problema náutico de « hallar el derrotero de
una nave para que ésta corte todos los meridianos por donde pasa, formando
con ellos un ángulo constante». Después estudiaron la misma curva Ste-
viN en su Precis de Géographie y Snellius en su Tiphys Batavus.

En las Phylosophical Transactions del año 1596, Hallev demostró

— 536 —

que la proyección estereográfica de la loxodromia sobre el plano del ecua-
dor es una espiral logarítmica; Leibnitz, en 1691, consignó asimismo en
las Acia Eruditonim la ecuación de la curva renglones antes expuesta;
Jacobo Bernoülli, en el mismo volumen de aquellas Acia (Opera,
t. I, p. 444), además de la longitud de sus arcos, determinó el área de
la superficie esférica limitada por un arco de loxodromia, por el ecua-
dor y por dos meridianos; y Maupertuis, en las Memorias de la Aca-
demia de Ciencias de París (año 1744), se ocupó también de la misma
curva; etc , etc.

Para el estudio más detallado de la historia de la loxodromia, puede
verse la obra de Günther titulada Studien xur Geschichte der Maih. und
Phy. Geographie (Halle, 1879); y para el estudio general de las loxodro-
mias trazadas sobre una superficie de revolución cualquiera, puede verse
un artículo interesante de Pirondini, publicado en 1888 en los Nouvelles
Ármales de Mathématiques.

VI

EPICICLOIDES ESFÉRICAS

061. Dase el nombre de epicicloide esférica á la curva descrita por
un punto de una circunferencia móvil que rueda en contacto con otra fija,
cuyo plano forma con el de la primera un ángulo constante.

Las epicicloides esféricas comenzaron á ser estudiadas por Jacobo Heb-
MANN en una Memoria titulada De epicycloidibus in superficie spherica des-
criptis, publicada en los Comment. Acad. Petrop. (t. i, p. 210): inducido
á ello al tratar de resolver un problema propuesto por Offenburgds en
las Acta Eruditorum (1718, p. 175), en el cual se pedía la construcción,
sobre la superficie de una esfera, de una ventana limitada por un contorno
rectificable.

Poco después fijó su atención en las mismas curvas Juan Bernoülli
en dos trabajos coleccionados en sus Opera omnia (t. iii, p. 216 y 230),
donde demostró que no es exacta en todos los casos la solución del pro-
blema de Offenburgus propuesta por Hermann, y estudió á fondo el
problema de la rectificación de las epicicloides esféricas.

— 537 —

662. Busquemos tras de esto las ecuaciones de las mencionadas epici-
cloides, y para ello supongamos que LAK (fig. 166) represente el círculo
fijo, de radio p, trazado en el plano xy, y cuyo centro, O, tomaremos por
origen de las coordenadas; AME A el círculo móvil, de centro en (7 y ra-
dio r; M el punto generador de la curva, que admitiremos parte del L, si-
tuado en la recta OL , que nos servirá de eje de las x; oj el ángulo que
uno con otro forman los planos de ambos círculos; Ox' y O y' dos nuevos

Fignrn lfi«.

ejes coordenados rectangulares y móviles, el primero de los cuales pasa
por el punto A donde el círculo móvil toca al círculo fijo; t el ángulo MCA;
y 9 el LOA.

Si por el punto M trazamos la paralela MB á la tangente comftn á los
dos círculos en el punto A, esta recta cortará á la CA en otro punto , B,
del plano ZOA, que se proyecta en el punto P de la recta Ox. Y el C se
proyectará en el punto Q de la misma recta, y el ángulo CAQ será
igual al w.

— 538 —

Y todo esto sentada, en virtud del modo de generación de la curva, la
longitud del arco MA será igual á la del arco LA, y resultará, por lo
tanto, que

ri! = pO.

Pero las coordenadas del punto M, referidas á los ejes x', y', x, son

x' = OP, y' = MB, X = BP;

y, en consecuencia,

x' = O A — AP = O A — {CA — CB) cosió = p — r (1 — cost) costo,
y' = — ?"sen/, y x = BA senw ^ r (í — cosí) sentó.
Ó

x =¡> — ;• I 1 — eos — O I cosü),
y' = — r sen — 6, *^>(l — eos — Slsenaj.

Recordemos ahora que entre las coordenadas x' é y' y \as x é y existen
las siguientes relaciones:

x = x' costl — //' sen9 é y ^ x' senS -|- y' cos9.

Luego las ecuaciones de las epicicluides esféricas podrán expresarse de
este modo:

/ p \ P Y>

x = ¡I cosO — /■ I I — eos — o I costo cosO -|- r sen — O seuB,

/ p \ p

y = ^ sen 9 — /• I 1 — eos — ') I cosw sen 9 — ^-sen— 6 eos O y

A = /• I 1 — eos — S ) sen 10 :
donde 9 designa la variable independiente.

— 539 —

663. Si por el centro del círculo móvil concebimos una perpendicular
al plano de este círculo, esta perpendicular cortará al eje de las z en un
punto, V, independiente de 9, y que podrá considerarse como eje de un
cono de revolución cuya base sea el círculo considerado. Por lo tanto, la
epicicloide esférica podrá también considerarse como engendrada por un
punto de la circunferencia que limita la base de un cono recto, al rodar
éste sobre otro cono fijo, cuyo vértice coincide con el del cono móvil y
cuya base sea el circulo fijo.

664. Además, todos los puntos de la epicicloide hállanse situados so-
bre la superficie de una esfera cuyo centro es el punto V, y el radio, r,
igual á VL. Para determinar este radio basta trasladar el origen de las
coordenadas al punto V, admitiendo que Z^x, -\-li, '^ h sea una canti-
dad que determinaremos á renglón seguido.

Partiendo, por de pronto, de la ecuación

hállase que

5^ = ps -)_ 2?-2 — 2r2 eos— 9 — 2p/- í 1 — eos— 0| cosw

+ }fi -\-2hr\\ — eos — O 1 sentó;

resultado que debe ser independiente de 9. Luego

p cosió — r

h=- ;

senu)

y, en consecuencia,

' y^ senw /

fórmula que determina el radio ¿í de la esfera sobre la cual se encuentra
situada la epicicloide.

— 540 —
665. Por ser

dx

eos -í- U 1 COSO) sen t

- = — p sen ^ -\- r í 1 — eos — O j

d9
p sen — 9 coso cosO + r sen — 8 cosfi + o eos — 9 sen9.

r
dy

= p eos 9 — rí 1 — ; eos— 9 j costo cosO

— p sen -^ 9 costo sen9 + ?• sen — 9 senO — o eos— 9 cog9,

J

dx ,p .

=: psen-^ o sentó,

d^ '^ r

dedficese que

ds2 = M -|- 5 eos — 9 — r^ eos* -^ ^ sen^" to ¿9»;

en donde

A = 2^^ ~\- r^cos^to -|- '■^ — 4p r costo,

y

B = — 2p2 — 2»-^ cos^ (j) -\- 4pr costo.
Pues, poniendo ahora

eos — 6 = ¿, — sen— 9rf9== — dt,
r r r

hállase que

r \ r'^

. , , . Jsen^io — Bt — A ,,
ds^ — \ / di

-yV^

■"* t eeii^ O) -\- r^ sen^ co — B

p V ¿ + 1

541 —

ds = — senw \/ dt,

p V ¿+1 '

en donde

r^ sen- oj — B

E, integrando tras de esto,

r2 r

■■ — senoj I -

P J

(t -\- K) dt

1^ V r {2t + K+\)dt , r .

H-sen(o — + —

^p LJ V¿' + (A'4-i)í4-A' J V

(^— \)dt

¿2 + (A'+l)< + A'

= — sen w {\/¿2 4-(A'4-1)í4-íí:
+ \{K- 1) log [a'+ 1 + 2< + 2 VV' + (A+1)< + a]};

y, en conclusión,

s = — sentü

P

ycos^ £ 9 + (TT + 1) eos -^ 9 + A
+ i-(K-l)logrA'4-l + 2co8Í-6

+ 2 Vcos^^ 9 + (A+ 1) cos-^ O + a1 I .

La determinación del arco s depende, puea, de logaritmos, excepto
cuando es A'=l, ó costo = — . Lo cual se verifica cuando el radio r del

— 542 —

círculo mdvil es igual á AT: 6 cuando el centro del circulo móvil coincide
con el de la esfera. Porque en este caso.

s = — senco eos — S + 1 ,

? L *• J

y la epicicloide resulta exactamente rectificable.

De los arcos de esta epicicloide especialisima es, pues, necesario valer-
se para resolver el problema de Offenburgds (Juan Bernodlli: 1. c).

VII

ELIPSE ESFÉRICA

666. Sean A y B dos puntos fijos (fig. 167), correspondientes á la cir-
cunferencia de un círculo máximo de la esfera , y M otro punto móvil so-
bre la superficie de la esfera,
y de tal modo que en todas sus

posiciones se verifique la con-
0 dición

(«) MA^MB = 2c,

representando por c una cons-
tante y por MA y MB dos ar-
cos de círculos máximos dis-
tintos, y en tales supuestos
procedamos á buscar la ecua-
ción de la curva engendrada

FiRura 167. PO"" -^•

Para plano zx tomaremos

el del círculo máximo que pasa por los puntos fijos A y B; para el xy el

del círculo máximo que pasa por el punto medio de AB; y para el xy

el que pasa por el centro de la esfera y es perpendicular á los anteriores;

y sean además » y 9 la longitud ADC y la colatitud DM del punto M.

— 543 —

Del teorema fundamental de la Trigonometría esférica, representando
por d el arco A D, se desprende que

cobMA = cos9 cosd -\- senQ sení? coscp,
eos MB = eos 9 eos d — sen 9 sen fZ eos (p .

Ecuaciones de las cuales se deduce que

MB — MA MB-^MA 1^ ,^„ , ,^,, , ,

CCS 1 eos == — [coslffi + eos 1/4] =■ C089 cosd,

y

MB—MA MB-\-MA 1, ,,„

sen sen = — — [cosilíB— cosMá]=sen9sení/coscp;

y de éstas la que sigue:

,^, ^ cos^9co82<¿ sén^ tí sen^ íZ cos'^ <p

cos^ c sen^ c

Ecuación la última, en coordenadas esféricas, de la curva engendrada
por el punto M, á la cual se aplica el nombre de elipse esférica; así como
al punto D se le atribuye el de centro de la misma curva, y á los A y B
el de focos.

(í()7. La elipse esférica es, evidentemente, simétrica por referencia á
los planos zx y zy, y corta el arco DF en un punto L tal que

DL = ^(AL + BL) = e,

y al arco DG en otro punto, P, de manera qae PA = PB = c.

Representando por h el arco DP, podremos introducir esta constante,
en lugar de la d, en la ecuación de la curva, conforme á continuación se
demuestra.

— 544 —

Supongamos, efectivamente, que cp = — , y advirtamos que de aquella
ecuación resulta entonces que ^ = h, 6

cos^ b cos^ d

1 =

eos" c

Y eliminando ahora la d entre esta ecuación y la anterior, encuéntrase
esta otra :

(2) l=sen2 6T^^ + -^^^l.

L sen^ c sen^ b J

668. En coordenadas cartesianas, nna de las ecuaciones de la elipse
esférica es necesariamente la ecuación de la esfera, y la otra se deduce
como sigue:

Póngase x = R senil cosa é y ^ R sen O seas, representando por R el
radio de la esfera; y de aquí inmediatamente se infiere que

(3) 222 = -^ +. ^

sen^ e sen- b

Ecuación ésta de la proyección de la curva sobre el plan,o xy, y de la cual
se deduce que lu elipse esférica resulta de la intersección de la esfera con
un cilindro de base elíptica: siendo también cosa fácil de averiguar que
las proyecciones de la curva sobre lo3 otros planos de las coordenadas han
de representar una hipérbola y otra elipse.

669. Llegados á este punto, natural es asimismo tratar de averiguar
cuál es la curva descrita por M cuando haya de ser

MB — MA = 2c.

Pero designando por B' un punto del meridiano DA, tal que

DB' = T. — d,

adviértese sin dificultad que

MB' + MA = T. — MB-[- MA = Ti — 2c = 2Í—— A

— 545 —

Luego las curvas que satisfacen á la nueva condición también son elip-
ses esféricas en distinta disposición que las anteriores, relativamente á los
ejes de las coordenadas.

(570. Cualquier elipse esférica puede considerarse como intersección
de la esfera con uti cono de base elíptica cuyo vértice coincida con el cen-
tro de la esfera, y que tenya por eje el radio que pasa por el centro de la
elipse.

Para demostrarlo, advirtamos que las ecuaciones de la recta que pasa
por M y por el centro de la esfera son

Y= — X y Z = — X.

X X

Pues eliminando las x, y y % entre estas ecuaciones, la de la esfera

X"- + ?/2 ^ ^2 = 722

y la (3), hállase como final esta otra:

tang^c tang2¿>

que representa el cono á que nos referimos.

Y si por el punto D concebimos un plano tangente á la esfera, este pla-
no cortará al cono considerado según una elipse determinada por las ecua-
ciones

Y2 3-2

Z=R y — 1 =1.

i?2 tang2 c E^ tangs h

671. Para determinar el área de la porción de la esfera limitada por
la elipse, podemos recurrir á la fórmula general de Cálculo Integral

que, por ser en el caso de la esfera p = i2, se reduce á esta otra:

— 54G —
Ó, extendiendo la integral doble á toda el área considerada,

íZj sen9d9 = i2^ d — cos9) d^:

Jo Jo

en donde se debe sustituir 8 por su valor expreso en función de tp, dado
por la ecuación (2).

Para lo cual advertiremos que esta ecuación (2) puede escribirse como
sigue:

eos 9 = cose

V

1 + iñBg;^. tangs p

Luego

i 7-7- tang'' tp

A = jB2 {271 — 4 cose 1 V / ^^^^^7 d-?]

H 5-r tans'' o

' sen^ó ^ '

Y poniendo ahora

, tange ,

hállase también que

di

A = R^\2-—4:Cosc

COS34, l + --^tg^A \ / 1+ — — tg2^

\ tg^c / V cos-o

tge

J'^a d^
o rl jg^c-tg^^^^ -lA / _ cos^6-cos-^r¡^

L tg2c J V C0S25

Pero de la resolución del triángulo PDA se desprende que

, cose
cosa ^

eos 6

— 547 —
y, por lo tanto,

„ , cos^ b — cos"^ e
sen'^ a = -

cos^ b

Además , representando por e la excentricidad de la elipse que sirve de
base al cono considerado anteriormente, el cuadrado de esta excentricidad
tiene por expresión

y tang2 c — tang'^ b
tang^ c

Con lo cual el valor de A podrá representarse como sigue:

^ = i?2;2.-4cos.-'^°^^ ^^ ^

-r

tang c J^ (1 _ g2 sen2 ^) V 1 — sen^ d sen2(¡^

De manera que el área considerada depende de una integral elíptica de
tercera especie.

Conclusión deducida por Gudermann y publicada en el Journal de
Crelle, t. xiv, p. 217; pero la demostración expuesta fué dada por Booth,
en su obra titulada A Treatrise on some new geometrical methods, t. ii,
London, 1877, p. 9.

()72. Para hallar la longitud de los arcos de la elipse esférica, pode-
mos escribir la ecuación de su proyección sobre el plano xy del siguiente
modo:

.■r = j4 cosco é i/^=Bsenu),

en donde

A ^ Rseoc y i? = 72sen6;

adquiriendo con esto la ecuación de la esfera esta otra forma:

z = V-B-^ — [A^ cos2 (O + 5¿ sen2 oj].

De todo lo cual, atribuyendo á la co las condiciones de variable inde-
pendiente, se desprenden las siguientes consecuencias

— 548 — ^

(¿0)2 ~ V íZw / \ dw / V <íco j
_ E2 (^2 sepa O) ^ ^2 cps^ o,) _ ^2 ^2

1 -\ tang- u

, , B? — B'^ ^ 2

1 4 tang'' w

^ í:2— ^2

Y suponiendo ahora que sea

tang ^ = ^ \/ ;;^ ^- tangu),

hállase también que

L AHR'—B^) \ V

A^

6, reemplazando A y B por sus valores, poco antes consignados,
sen^fecosc ^'j^

ds=R-

senncosb

r, sen^c— sen26 p.lA /. sen^c— sen^i
1 sen^i I / 1- sen-<{/

L sen^ccos'^i 'J V sen^c

ts b di

tgc

r, tg^c — tfí^b o,1a/i sen-c— sen^i .

1 \ .^^ sen^'} \ / 1 ^-^sen-^

|_ tg^c J V sen'^c

Pero advirtiendo asimismo que

tg^c — tg2¿) sen^c — sen-b
tg'^c sen^ccos-ft

— 549
llégase á esta otra conclusión final

ds=Rsenb^ '^^

tgc (1 — e2 sea^) Vi — fcos^ b . sen^.]/

Igualdad debida también á Gudermann (Journal de Crelle, t. xiv, pá-
gina 169), según la cual, la rectificación de la elipse esférica depende de
una integral elíptica de tercera especie, conforme asimismo demostró
L. BOOTH (1. c).

673. El primer geómetra que se ocupó en el estudio de la elipse esfé-
rica, perece haber sido Fuss, el cual publicó, referente á esta curva, dos
Memorias, en las Nova Acta Petropolitana, año de 1788, tituladas Pro-
Mema quorundam sphaericorum solutio y De proprietatibus quibus-
dam ellipseos in superficie sphaerica descripíae.

De la misma curva trató poco más tarde F. F. Schubert, en otra Me-
meria publicada en 1801 en las mencionadas A'^ova Acta, etc., con el título
Problemata ex doctiina sphaerica. Y con posterioridad diéronse á la es-
tampa otros muchos trabajos referentes á esta misma curva, de los cuales
consideramos suficiente meucionar los siguientes:

MagnüS: Théorémes sur l'hijperboloide á une nappe et sur les surfa-
ees coniques du second ordrefAnnali di Matemática, Milano, t. xvi, 1825).

Chasles: Mémoire sur les propriétés genérales des coniques sphériqíies
(Mémoires de l'Académie de Belgique, t. vi, 1831); y Resume d'une théo-
rie des coiiiques sphériques h'omofocales (Comptes rendus de l'Académie
des Sciences de Paris, 1860).

Gudermann: Ucber die analytiscke Spharik (Journal de Crelle, vi
tomo, 1830).

Ceemona: Sur les coniques sphériques (Nouvelles Annales de Mathé-
matiques, t. xix, 1860).

Cayley: On a theorem relating to Spherical conics (Quarierly Jour-
nal, t. III, 1860).

Voght: Die spharische Kegelschnitt (Breslau, 1873).

Noticias bibliográficas éstas referentes á la elipse esférica, procedentes
del libro de Gino Loria , titulado // passato ed il presente delle princi-
pan teoria geometriche (Torino, 1896, p. 136).

- 550 —

En el notable Tratado de Geometría de la Posición, de D. E. Torroja
(Madrid, 1899, página 672), puede verse el estudio, por métodos pura-
mente geométricos, de la elipse esférica.

VIII

cíclicas

674. La curva que hemos estudiado pertenece á una clase general de
curvas que resultan de la intersección de un cono cualquiera de segundo
orden con una esfera, á las que Lagüerre dio el nombre de analagmáti-
cas esféricas en un artículo publicado en 1867 en el Bulletin de la Sociélé
Philomatique de París, y Darboüx el de cíclicas en su notable Memoria
Sur une classe remarquahle de courhes etc. (París, 1873), donde las estu-
dió con profundidad. Estas curvas también resultan de la intersección de
la esfera con cualquier superficie de segundo orden, y por cada una de
ellas pueden pasar cuatro conos, reales ó imaginarios, distintos ó coinci-
dentes, según un teorema debido á PoNCELET, y demostrado analítica-
mente por Painvin en los Nouvelles Aúnales de Mathématiques (1868
y 1869).

Si se toma por origen de coordenadas el eentro de la esfera y se repre-
sentan por (a, P, y) las del vértice del cono, las ecuaciones de las curvas
consideradas pueden siempre reducirse á la torma

\oc^ + íñ + '^ = R\

(1)

■ |^(^_a)-^ + i?(y-p)2+í7(*-Yi2 = 0,

en las cuales R representa el radio de la esfera, y A, B y C constantes
arbitrarias.

La elipse esférica corresponde al caso particular de estar situado el vér-
tice del cono en el centro de la esfera.

(575. Pasemos ahora á estudiar sucintamente algunas propiedades fun-
damentales de las cíclicas, considerando primero sus transformadas por
radios vectores recíprocos. Llamemos {xy,y^,x{} á las coordenadas del

551 —

centro de transformación, y traslademos el origen á este punto; las ecua-
ciones de la cíclica son

{X + .r.,f + (y + í/i)2 + (í + X.,f = R\

A {X + X, -^fJ^B{y + y^- p)'^ + (7 (^ + ^, - y)2 = 0;
y haciendo

■'^~"LT2 + r2_^Z2 ' ^~ X^ + Y^ + Z^' ^~ X^ + Y^-JrZ^'
resulta para las ecuaciones de la transformada

(R'—x,^-l/,^-z,^){X^+Y^^+Z^~)-2r-(x,X+y,Y+z,Z)-k'^ = 0,

\A {X, - a)2 + S (y, - ¡3)2 + C{z,- y)^] (Z^ + Y^ + Z^)^

+ 2&2 [A (X, - a) A' + B ( í/i - p) r + C (. ^ - y) 2] {X^ + F^ + 2')

+ fc'' (4^2 + 572 j^ CZ^) = O,

de las cuales se deducen las siguientes consecuencias:

1.^ Eliminando ^2 -\-Y'- -\- Z'^ entre dichas ecuaciones, la resultante
es de segundo grado: luego la cíclica se transforma en otra cíclica.

2." Si el centro de transformación está sobre la esfera, se tiene
Xj2 _|- y^ -(- 'x,^ z= B?^ y, por consiguiente, la primera de las ecuaciones
precedentes se reduce á la siguiente:

2(x,X^y^Y+x,Z)^Tc^ = (i,

y la curva es plana. Cambiando la dirección de los ejes coordenados, y
eligiendo para eje de las % una perpendicular al plano de la curva, la se-
gunda ecuación toma la forma

(X2 + 72)2 + ^^ (A2 + 72) + U^ = O,

en la que ii^ y Mo representan funciones enteras de A é 7 de primero y
segundo grado, respectivamente. Por tanto, la tratis formada de la cíclica
es en este caso una cuártica bicircular. Darboux (1. c.) se fundó en este

— 552 —

teorema para deducir de las propiedades de las cíclicas esféricas las de
las cuárticas bicirculares.

3.^ Si el centro de transformación está sobre la cíclica considerada,
se tiene

^i' + y i' + 2i' = R', A ix, - af + B{y,- ^pf + C {K, - Y)2 = O,

y la cíclica se transforma en una eiibica circular.

A.'' Si el centro de transformación esfá situado en el vértice del cono
y el módulo k es igual al segmento de las tangentes á la esfera trazadas
por dicho punto, comprendido entre él y el de contacto, ni el cono ni la
esfera son alterados por la transformación considerada, sucediendo, por
consiguiente, lo mismo á su intersección. La cíclica es, pues, analagmá-
tica relativamente á los vértices de los cuatro conos que pasan por ella.

07(í. Sea P el vértice del cono (P), que al cortar á la esfera deter-
mina la cíclica considerada, y (L) la circunferencia de contacto de la es-
fera con el cono circunscripto del mismo vértice. Los planos tangentes al
cono (P) determinan en la esfera circunferencias (C) que son bitangentes
á la cíclica en cuestión.

Por otra parte, cada circunferencia (C) es tangente á dos círculos má-
ximos de la esfera, cuyos planos pasan por P, estando los puntos de con-
tacto situados sobre la circunferencia (L). Luego las circunferencias (C)
cortan todas ortogonalmente á la circunferencia (L).

El polo de cada una de estas circunferencias (C) debe estar situado so-
bre la perpendicular bajada desde el centro de la esfera al plano tangente
al cono (P), que contiene la circunferencia considerada. Luego los polos
de (C) forman una curva que coincide con la que resulta de la intersec-
ción de la esfera con el cono, suplementario de (P), cuya ecuación es

A ^ B ^ C ~ '

y la curva es, por consiguiente, una elipse esférica.
Resulta, pues, el siguiente teorema:
La cíclica es la envolvente de las circunferencias (C) que cortan orto-

— 553 —

gonalmente á ¡a de contado del cono con la esfera, y cuyos polos están
situados sobre una elipse esférica.

Los otros tres conos de segundo orden que pasan por la cíclica originan
análogas formas de generación de esta curva.

077. Llamando, como en las curvas planas, focos de las curvas esfé-
ricas á los centros de círculos de radio nulo bitangentes íí la curva, se ve
que los puntos de contacto sobre la esfera de los planos tangentes comu-
nes á ella y al cono (P) son focos de la cíclica considerada. Resulta, por
consiguiente, que los cuatro puntos de intersección de la circunferencia
(L) con la elipse esférica anteriormente estudiada son focos de la cíclica.
A los cuatro modos de generación de la curva, como envolvente de círculos
bitangentes, corresponden, pues, 16 focos, reales ó imaginarios, distintos
ó coincidentes.

078. Sean pj, pg y Og las distancias de un punto cualquiera de la cí-
clica á tres focos, situados en la circunferencia (L), y D^, D.^, D^ las del
mismo punto á los planos tangentes á la esfera en estos focos, los cuales,
según ya dijimos, son también tangentes al cono (P).

.Llamando (x^, y^, x^), (x.^, y2, ^2)' (^s' ?/3' ^3' ^^^ coordenadas de tres
puntos del cono situados respectivamente sobre las tres rectas de contacto
de esta superficie con los planos tangentes á la esfera, mencionados ante-
riormente, las ecuaciones del cono y de estos planos son, tomando el vér-
tice del cono por origen,

Ax^ + By^-JrCz^ = 0,
AxiX + ByiY+ Cx^Z=0,
Ax^X + By^Y-\-CK^Z^Q,
Ax^X+By^Y+Cx^Z=0;

resultando, por consiguiente,

KD^ = AXiX-\-By^y-{-CziX,
KD^ = Ax.2X -{- By.2 y + Cz^ x-,
KD^ = Ax^x-\rBy^y-\-CxzX,,

siendo K una cantidad cuyo valor no es necesario escribir.

— 554 —

Eliminando x, y, x entre estas ecuaciones y la del cono, se obtiene una
ecuación homogénea de segundo grado respecto á D^, D^ y D^; y por ser
los planos considerados tangentes al cono, debe reducirse á cuadrados
perfectos al ser Dy^O, Dg = O, Dg ^ 0. Tendrá, pues, la forma

(ilfl»! + ND^ — L 2)3)2 = 4:MNDy D^,
de donde se deduce

\/iií V^i + v^ V^ + V¿ V^= 0.

Basta fijarse en las relaciones, fáciles de demostrar,

2/2' ^2 2R' ^3 2R'

para deducir que p^, o^ y p., están ligadas por una expresión de la forma

/«Pi + A-po + ¿p3 = 0,

en la cual /¿, k y I son cantidades constantes.

Recíprocamente, toda superficie representada por una ecuación de esta
forma corta á la esfera según una cíclica.

Para demostrarlo basta poner en esta ecuación

Pi' = (-^ ~ ooif + (y - ¿/i)'^ + (* - z,f,
p./ = {x — x^)^ + {y — y^f + (- — Hf, etc.,

hacer desaparecer los. radicales, y, en fin, sustituir .j;^ _j- |^2_j_ ^2 pQp j^2
De este mod(j se obtiene una ecuación de segundo grado ea x, y y z.

Se ve análogamente que también resultan las cíclicas de la intersección
de la esfera con las superficies representadas por las ecuaciones

Api + A;p2 = /; Pip2='«-

A estas cíclicas se les dieron respectivamente los nombres de cartesia-
nas esféricas y cassiiiicas esféricas.

— 555 —

679. Antes de terminar, apliquemos la doctrina expuesta á la elipse
esférica.

Hemos visto en el Núm. (570 que á la ecuación del cono que determina
esta curva se la puede dar la forma

^' I y^ —.2 X

tang2 c tang^ b

Las ecuaciones de las proyecciones de la curva sobre los planos coorde-
nados son, por consiguiente,

{A) sea^b \ — ^ — 1 x^ + x^ = a^ cos^ b,

L tang^¿> tang^c J

sen^ c I ?/^ -|- 3^2 = a^ cos^ c,

|_ tang'^c tang^i J '

^•2 tf

sen^c sen^i

Los cuatro conos de segundo orden á que hicimos referencia en el Nd-
mero (}7(> redúeense en el caso actual á un cono y tres cilindros.

Consideremos los focos situados sobre el primero de los cilindros cita-
dos. Estos focos deben coincidir (Núm. (577) con los puntos de contacto
de la esfera y los planos tangentes comunes á ella y al cilindro: luego de-
ben estar situados en la circunferencia máxima de la esfera que está en
el plano xz, y confundirse con los puntos de contacto de esta circunfe-
rencia con las tangentes comunes á ella y á la curva representada por la
ecuación {A), que está en el referido plano. Aplicando á esta ecuación y
á la x^ -\- xr = R^ el método que generalmente se emplea para obtener
los puntos de contacto de las tangentes comunes á dos curvas dadas, re-
sulta, representando por x' y *' las coordenadas de los puntos pedidos,

x' = ± R =± R cosd, y' = ± R aend.

eos 6

La curva tiene, por lo tanto, cuatro focos reales sobre la circunferen-

I

— 556 —

cía considerada, que coinciden con aquellos á que ya se dio este nombre
en el Núm. 666.

Es fácil ver que sobre las circunferencias de contacto del cono y de los
otros dos cilindros mencionados con la esfera sólo existen focos imagi-
narios.

Para hacer un estudio más detallado de la teoría de las cíclicas, con-
súltese la obra de Darboux anteriormente citada y diversos trabajos de
Laguerre publicados en el Bulletin de la Sociélé Philomatique de París.

CAPÍTULO DKCIMOTKRCKRO

CURVAS DE DOBLE CURVATURA (CONTINUACIÓN)

HÉLICE CILINDRICA

680, Consideremos un cilindro recto cuya base sea APB ... (fig. 168),
y supongamos que el punto M se mueva sobre la superficie de este cilin-
dro, de manera que en
todas sus posiciones sea
constante la razón de la
ordenada MP á la lon-
gitud s del arco AP.

A la curva así engen-
drada por M se aplica
el nombre de hélice ci-
lindrica, la cual tendrá
por ecuaciones las dos
siguientes :

F {^>y)=^^> X''=cs.

Pignra 168.

681. Para determi-
nar el ángulo 9, formado
por las tangentes á la hélice con las generatrices del cilindro, procedere-
mos como sigue:

Por ser 6 igual al ángulo formado por las tangentes á la curva con el
eje de las x, su coseno tendrá por expresión

cos9 = ■

dx

yJdx^ + dy^-\-dx^

— 558 —
Y como

resulta desde luego que

cose

Vlfc^'-

Lo cual demuestra que el ángulo 6, poco antes definido, es constante.

Y, con no menor sencillez, se demuestra que, inversamente, las curvas
cuyas tangentes forman un ángulo conístante cotí utia recta dada, son
hélices cilindricas.

Para ello tómese la recta dada por eje de las z, é intégrese luego la
ecuación

dz

yjdx^ 4- dtf + dx^

que simboliza el problema, conviniendo en representar por F(x, ?/) = O,
la ecuación del cilindro proyectante de la curva sobre el plano xy, y por
s la longitud del arco de la curva que limita la base de este cilindro, com-
prendido entre un origen fijo y el punto (x, y).
De donde se desprende, que

dx^ + dy^ = ds^,
y, por consiguiente,

(1 — e^) dx^ = (? ds^;

6, integrando y designando por Cj una constante arbitraria,

Vi + c2

Las ecuaciones de las curvas buscadas serán, pues, éstas:
F{x,y)^(i y 3: = -^=L^s + q;

yi — c2

559

de otras tantas hélices como valores particulares se atribuyan á la cons-
tante c^.

682. Las hélices son lineas geodésicas de las superficies cilindricas á
que corresponden.

Si planificamos, en efecto, la superficie cilindrica considerada, y toma-
mos la recta AY (fig. 169), correspondiente á la CA de la 123, para eje
de las ordenadas, y la AX, correspondiente á la curva APB, como eje
de las abscisas, las coordenadas
{x , y') del punto correspondien- ^
te al punto M, serán

x' = AP' =
y' = MP'

s, é

Y, en consecuencia, hallaremos
y' = ex'

Fisura 169.

como ecuación de la transforma-
da de la hélice, la cual representa una recta.

Bastando ahora atender á que con la planificación del cilindro no se
altera la longitud de las líneas trazadas sobre su superficie, para concluir
que la hélice es una linea geodésica de esta superficie.

683. Tomando el arco s por variable independiente, puédese dar á las
ecuaciones de la hélice la forma

£p = ?(s). y = 'H^)> ^ = cs,

y hallar fácilmente sus radios de curvatura y de torsión. Para lo cual
basta aplicar al caso particular de que se trata, las fórmulas generales co-
nocidas

R =

jx'^ + y'^ + x'^)

'2\2

[{x ¡r - y' x"f + {x' z" - x x"f + (y' x" - x y"f]^

{x' y" - y' x"f + (x' X- - z' x"f + {y' x" - x y")^
(«' y" — y' *") x'" -\- (a?' ^" — -' x") y'" + iy' x" — x' y") x"

— 560 —

representando por R y r los radios de curvatura y de torsión, y por
x', y',... las derivadas de x, y, x relativamente á s.

Desprendiéndose de este modo, por referencia al radio de torsión r, el
siguiente resultado:

c^ [x"-^ + y"^) ■{- iy' x' - X- y")\

7 ' " *

c{y X —X y )

ó, por ser x"- + y"^ = s'- ^1 y x x" -j- y' y" = O ,

(1 + a (x"M y"')
r = .

c{y" x"'—x" y'")
Y, por referencia al de curvatura E, este otro:

l^e2

R

(x-^ + y'^r

De las expresiones de 22 y í* resulta además que

r _ 1 {x"^ + y"-'y'
R c ' y" x" — x" y"

Y, como la expresión

3

{x"^ + y"^y^

y"x'" — x'y"

representa el radio de curvatura de la curva plana, cuyas ecuaciones son

:Y = . 6-' = ?'(«) é Y=y' = '\'{s),
y que, por ser x"^ + ?/"- = 1, es una circunferencia cuya ecuación es

hállase, finalmente, que

R~~ c'

-- 5fil —

r

6 que en las hélices cilindricas es constante la razón — del radio de tor-

R

sión al radio de curvatura.

V

684. E inversamente , sí la razón — del radio de torsión para el ra-
il

dio de curvatura de una curva es constaiite, la curva será una hélice ci-
lindrica.

Teorema debido á Bertrand {Journal de Lioüville, t. viii, 1843),
demostrado por Serret del modo que á continuación se expresa.

Sean (a, a', a"), {b, V , b"), (c, c', c") los cosenos de los ángulos de la
tangente, de la normal principal y de la binormal, con los ejes coordena-
dos, cantidades entre las cuales existen nueve relaciones, conocidas por
el nombre de fórmulas de Frenet, seis de las cuales dicen como sigue:

da b

ds^ R '

da'
ds^

b'
R'

da"
dsj^

h"

~ r'

de b
ds^ r

de
ds^

b'

r '

de"
ds^

b"
r

representando por Sj la longitud de los arcos de la curva considerada.

f
Poniendo en estas ecuaciones = ni, háilanse por de pronto estos

resultados :

da da' da"

— ■ = — - = — - = 'w;
de de" de'

é, integrando,

a = me -\- A, a = me -\- B, a" = m,c' -j- C;

en donde A, B, C representan cantidades constantes, dos de ellas arbitra-
rias y la otra determinable por la ecuación

^•2 -\-B^-\- C- = {a— mcf + (a' — mc'f + (a" — mc'f = 1 + m^,

resultante de las ecuaciones anteriores y de las siguientes, condicionales:

a2 + a'2 + a"^=l, c'^ + c'^ + c'"-^ = 1 , ac -^ a' c -^ a" c" = Q.

. — 562 —

Cambiemos ahora de ejes coordenados; y tomando para nuevo eje de
las X la recta cuyos coeficientes angulares sean Ay B, tendremos

y, por tanto,

a = mc, a'=mc', a"==mc"-\- Yl + '"^ =

de donde resulta, multiplicando la primera ecuaci(5n por a, la segunda
por a' y la tercera por a" , sumándolas luego y atendiendo á las ecuacio-
nes anteriores, que

1

Vl +

m'

Lo cual demuestra que la tangente á la curva considerada forma un
ángulo constante con el eje de las %; y, por lo tanto, que esta curva es
una hélice cilindrica.

085. El -plano osculador, en cualquiera de sus punios, de la hélice
de este nombre forma también un ángulo constante con las generatrices
del cilindro á que esta hélice corresponde.

La tercera de las fórmulas de Frenet, anteriormente consignadas,
muestra, en efecto, que, en el caso de la hélice cilindrica, Zy"=0; y la

sexta que = O, ó c" = constante. Y por ser b"= O, vese también que

las normales principales de la hélice cilindrica son perpendiculares á las
generatrices del cilindro donde la hélice está traxada.

086. La rectificación de las hélices de que tratamos se obtiene fácil-
mente. Representando por Sj la longitud del arco ÁM, tenemos que

,=fV.'

+ f2 + c2.ds;

ó, por ser o'^ (s) -|- 'j''^ (*) ^ 1 >

s,^y/i-j-cKs,

— 563 —

conforme se deduce también fácilmente por procedimiento puramente geo-
métrico.

(J87. Entre las hélices cilindricas, la más importante de todas es la
trazada sobre el cilindro de base circular ya mencionada por los antiguos
geómetras, como Pappo en sus Colecciones Matemáticas (ed. Hultch.,
p. 1.110) y Proclo en sus Comentarios (ed. Taijlor, i. i, p. 129); de don-
de se infiere que su teoría había sido anteriormente expuesta por Apolo-
Nio en un Tratado sobre el tornillo, que no ha llegado hasta nosotros
(P. Tannery: Balletin des Sciences Mathéinatiques , 1883, p. 278), y por
Geminus (Chasles: Aperru historique, 2." ed., p. 25).

Adoptando el eje del cilindro de base circular como eje de las z, y re-
presentando por p el radio de aquella base, las ecuaciones de las hélices
trazadas sobre el mismo cilindro serán éstas:

0 19 O

X' -f í/- = p- y x= es,

S ' s

X = p eos — , y = p sen — , y x= es.
' p "^ ' P

Hélices caracterizadas por las dos siguientes propiedades importantes:

. 1.^ La de poseer radios de curvaíum y de torsión, R y r, constantes
en todos sus punios; conforme lo demuestran las expresiones de estos ra-
dios, deducidas de las fórmulas generales del Núm. (>83:

/^ = p(l+e^), ,==¿0+^,

Y 2.^ «La de ser exclusivas estas propiedades de las hélices trazadas
sobre cilindros de base circular.

Teorema el dltimo demostrado por vez primera por Pcjiseüx (Journal
de Liouville, t. vii, 1842, y de cuya exactitud es f ícil darse cuenta.

En efecto: por ser constante la razóu de la torsión á la curvatura de la
curva á que una y otra se refieren, esta curva debe ser (N(im. 684) una
hélice. Y para ver que esta hélice resulta trazada sobre un cilindro de base
circular, basta advertir que la expresión de R, hallada en el Núm. 683, nos

enseña que en este caso también es constante la expresión (j;'"^ +2/ '^)^>

— 564 —

la cual, como es ya sabido, representa el radio de curvatura de la curva,
cuyas ecuaciones son x ^ e (s) é y = '!¿(s): esto es, el radio de curvatura
de la curva que limita la base del cilindro. Radio que, por ser constante,
corresponde á una circunferencia de círculo.

n

HÉLICE CÓNICA

(588. Imaginemos un cono de revolución que tenga por vértice el ori-
gen O de las coordenadas (fig. 170); por eje de figura el OZ de las mis-
mas; por generatriz la rec-
ta OA , sometida á la con-
dición de formar con el mis-
mo eje, OZ, el ángulo cons-
tante ZOA = H, y cuya pro-
yección, OP=p, sobre el
plano coordenado XOT,
forma con la recta OJÍ, de
situación fija, el ángulo va-
riable POX = (s: pues to-
mando sobre el cono un
punto M^ (x, ij, z), móvil
de manera que en la suce-
sión de sus posiciones la
distancia MP == Z varíe
proporcionalmente al ángulo o, aquel punto trazará sobre el cono una
cierta curva, denominada por el ilustre geómetra Chasles en su Aperru
hísiorique, hélice cónica, cuyas ecuaciones y propiedades inmediatamente
se desprenden de los supuestos aquí establecidos.

089. En efecto: por definición, y sin más que fijar un momento la
atención en la figura, concluyese que

Fijrnra 170.

:c = p coses, </ = i>sen'5 y
representando por a una constante.

; = p cot6 = a<f,

— 5fi5 —
Luego las precedentes podrán también escribirse como sigue:
x-== as costp tangO, ?/ ^ acp sena tang9 y x^^a^.

690. Por ser p = íiif tang9, la ecuación de la curva descrita por la
proyección P del punto M, cuando éste describe la hélice sobre el cono,
se ve que la proyección de aquella hélice cónica sobre cualquier plano,
perpendicular al eje del cono, es una espiral de Arqulmedes.

691. Y por ser también respectivamente iguales á cos'f sen 6, sen-f senO
y cos^t los cosenos de los ángulos formados por la recta O A con los ejes
de las X, de las y y de las x; é iguales asimismo y por idéntico orden á

, — ^ y los cosenos de los ángulos formados por la tangente á la

ds ds ds

curva en el punto M con los mismos ejes; y porque á estas igualdades

pueden agregarse además las cuatro siguientes, de muy fácil deducción,

■ — '■ — = a tangfi (coses — -isentp),
do

— ^= a tangS (sentp -(- cp cos'f), — — = a,
df íZ'f

— = a Vtang2 9(l + í2) + l,
(¿tp

concluyese que el coseno del ángulo w, formado por la tangente á la cur-
va con la generatriz del cono correspondiente al punto de contacto, se
hallará expresado por la fórmula

d.v ^ . dy f, , dx „

cosw = coscp sena -| ^sentp senQ -\ cosa

ds ds ds

cosw

Vl+ f sen^Q

692. Y la longitud de los arcos de la hélice cónica por esta otra:
-^ fVl + tp^sen^Oíícp

cost

- — r« (1 + f sen2 0)¥ -] ?— log(o senO + Yl + tp2 sen2 (,)].

cosO L senS ' j

2 eos

— 566 —

693. La hélice cfjnica es una de las curvas de doble curvatura que ya
tuvieron en cuenta los geómetras griegos. A ella se refiere, en efecto,
Pappo en sus Colecciones Matemáticas (libro 4.", prop. 29), y Proclo la
cita asimismo en sus Comentarios.

Con mucha posterioridad trató de ella también Pascal en un artículo
titulado Dimensión d'un solide formé por le nioyen d'une spirale au-
tour d'un cune (Oeuvres, ed. Hachette, t. iii, p. 448), en el cual determinó
el volumen de aquel sólido, definido por el cilindro de base OPL limitada
por la primera espira de la proyección de la hélice sobre la base del cono,
por la superficie del mismo cono y por los planos xx y xy. Problema que
resolvió empleando los procedimientos de la Geometría infinitesimal, sin-
tetizados más tarde en la siguiente fórmula del Cálculo Integral:

V=//a f(? costp, p sencp) ?dpd<f,

en la cual T representa el volumen buscado del sólido, limitado por la su-
perficie que tiene por ecuación x, = f{x, y); por el cilindro cuya base A
se halla referida á las coordenadas p y 'f ; y por el plano xy.

De todo lo cual, y en atención á que el cono y la base del cilindro tie-
nen respectivamente por ecuaciones

z^ = {x^ -\- y'^) coi^ h y p = a(ftang9,
concluyese finalmente que íí^\

di i p2 cotOcíp = — «3 Tx4 tang2 9.

o Jo 3

m

HÉLICE CILINDRO CÓNICA

694. Prosiguiendo el estudio del mismo asunto, iniciado pocos años
antes por Tissot en los Nourelles Anuales de Mathématiques (1852),
P. Serret designó con el nombre de hélices cilindro-cónicas las curvas
trazadas sobre la superficie de un cono de revolución, que forman un án-

— 507 —

guio conístante con las generatrices del mismo cono: curvas por él atenta-
mente consideradas en su obra titulada Théorie nouvelle géométrique et
mécaniqíie des lignes á double courbiire (París, 1860, p. 101).

(595. Supongamos que el cono de referencia sea el engendrado por la
recta O A al girar ésta alrededor del eje OZ de las x,, formando con él un
ángulo constante, 6; y sean, como en el caso anterior, P la projecci(5n del
punto M de la superficie del cono sobre el plano de las KT,^ é\ ángulo
FOX y p la distancia OP.

Los cosenos de los ángulos formados por la recta O A con los ejes coor-
denados tienen por expresión

eos ^ 0-X ^ coso senil, eos 40 Y"^ sen j sen 9 y cosAOZ^=cos^;

y las correspondientes á los ángulos formados por la tangente á cualquier
curva, descrita por el punto variable M, con los mismos ejes, estas otras:

dx dy dx
ds ds ds

en las cuales ds = \d¡j^ -\- dy^ -f- dx!^.

La condición, pues, para que M describa una curva que corte las gene-
ratrices del cono, formando con ellas un ángulo constante, será, en con-
secuencia,

dx f, , dy r, . dx f,

coscpseny-j ^ sen 'p sentí -| cosf) = c.

ds ds ds

Pero en atención á que

a; = ¡5costp, y^pseníp y ;5; = pcot9,
hállase también que

dx = cos<sdp — p sencpíí^, dy = senf áp -{- p cosad'-s,

dx = cot^dp y ás2 = -^r_ ^ p2 ¿ 2,

sen^Q

— 5G8
Luego

rfp c

■ senOdtc.

p Vi - '

E integrando esta ecuación,

p = e""", a = — -=■ sen9.
Vi — c^

Las ecuaciones de la hélice cilindro-cónica serán, pues, éstas:

(1) x = e*** eos -fl , y = e"-'^ sea'f y s: = e"'í'cot9.

A las tres últimas ecuaciones precede, expresada en coordenadas pola-
res, esta otra, p = e"'^, correspondiente á la proyección de la hélice cilin-
dro cónica sobre el plano de las xy, 6 sobre la base del cono, represen-
tada por una espiral logarítmica: lo que constituye una propiedad muy
interesante de la misma hélice.

(jíM). El coseno de los ángulos to formados por las tangentes á la
curva en primer término considerada, con el eje de las x, se baila expre-
sado por la fórmula

dx a cotQ

costo :

y¡dx^-\-dy'^+dz^ V«^ + 1 + «^ cot^ 9

Y, por lo tanto, el ángulo w será constante, y la curva á que corres-
ponde coincidirá (Núm. OSl) con una hélice cilindrica, trazada sobre la
superficie de este nombre, que tenga por base la espiral logarittnica ante-
riormente considerada. Circunstancia que justifica el calificativo de cilin-
dro cónica aplicado á la hélice de qne ahora se trata.

607. Al estudiar las propiedades de la espiral logarítmica quedó de-
mostrado (Núm. 440) que la curva de este nombre da un número infinito
de vueltas alrededor del punto O, aproximándose á él indefioidamente sin
llegar á encontrarle nunca: luego la hélice cilindro cónica da también un
ilimitado número de vueltas sobre la superficie del cono, aproximándose
indefinidamente á su vértice sin jamás alcanzarle. .

698. De lo que se dice en el Núm. 696 se infiere que, planificando el

— 569 -
cono, la hélice cilindro-cónica ha de transformarse en una curva que cor-
tará á todas las rectas que fueran generatrices del cono, formando con
ellas un ángulo constante, 6 sea en una espiral logarítmica.

()99. Aplicando á las ecuaciones (1) las fórmulas adecuadas á la de-
terminación de los radios de curvatura, R, y de torsión, r, encuéatranse
estos resultados:

_ e"'^ (g-^ 4- 1 4- a^ cot^ 6) _ _ e'^P (g^ -|- i -f a2 cot2 9)

700. Como complemento de lo expuesto en los últimos párrafos , debe
advertirse que la hélice cilindro-cónica, que acaba de estudiarse, no es la
única curva dotada de la propiedad de cortar, según ángulos constantes,
las generatrices de un cono y de un cilindro, sobre cuyas superficies estu-
viere trazada. G. Pirondiní ha demostrado, en efecto, en una importante
Memoria recientemente publicada en el Journal für Mathematik (Berlín,
t. 118, p. 61), que existen otras curvas que satisfacen la misma condición,
á todas las cuales se aplica el nombre común de hélices cilindro -cónicas.
Habiendo demostrado, además, aquel ilustre geómetra que, si la hélice
cilindro-cónica corresponde á un cilindro que pasa por el vértice del
cono, este cono será de revolución forzosamente.

IV

Círculo alabeado

701. La hélice trazada sobre un cilindro de base circular es caso par-
ticular de las curvas de curvatura constante, denominadas, en términos
generales, círculos alabeados (CesIro: Lexioni di Geometría intrínseca,
Napoli, 1896, p. 144).

Aplicando á estas curvas la fórmula conocida

en la cual R representa el radio de curvatura, r el de torsión, y R¡^ el de

— 570 —

la esfera osculatriz del círculo alabeado, resulta que 7?j = R; y, por lo
tanto , el radio de la esfera osculatriz es igual al de curvatura.
Por medio de las fórmulas

Xr, — x= Rb — r c,

° ds

ds

Xq — x = Rb — r c ,

ds

en las cuales b, b' y b" representan los cosenos de los ángulos directores

de la normal principa!; c, c y c" los de la binormal, y oCq, y^ y Xq las

coordenadas del centro de la esfera osculatriz, aplicables á todas las cur-

d T}

vas, vese, pouiendo = O, que las coordenadas del centro del círculo

ds

alabeado puedan expresarse por las ecuaciones

Xa — x = Rb,' y^ — y = Rb' y ZQ — z = Rb",

de manera que el expresado centro se obtendrá tomando sobre la normal
principal, á partir del punto á que se refiere, una longitud igual á R.

702. En virtud de las fórmulas de Frenet, podemos también escri-
bir las ecuaciones anteriores como sigue:

Designemos ahora por s^ la longitud de un arco cualquiera del lugar
geométrico de los centros de las esferas osculatrices de la curva conside-
rada, y por R' y r' sus radios de curvatura y torsión; y tendremos que

dsj^^ ^ d.r¿^ diif? dxQ-
ds^ rf«2 ds^ ds^

L ds ds^ ds ds^ ds ds^ J

571

Pero de la igualdad

m^m^m^''

recordando una expresión conocida de R, se deduce asimismo que

dx d^ x , dii d^ 11 , dx d^ x.

1 ^ — ^-] - = 0, y

ds ds^ ds ds'^ ds d^-^

dx d^x d// d:';/ dx d-^x
ds ds^ ds ds'^ ds rfs'

mh&hm]

1

1^'

Luego

dsjS

ds^

-'^m-mHm

Y como, además, es cosa sabida que
f^ W ds' ) \ ds^ j WsV J R^ (ís

d[ —

cuando R sea constante, resultará que

-2 W ds-' ) \ ds^ ) \ í/.s3 / J

1

Luego

dsj R

~ds f

Mas, por la teoría general de las curvas alabeadas (véase, por ejemplo,
Laürent: Traite d'Ariali/ se, t. ii, p. 380), sábese que

ds^ r'

_ R'
ds R r

— 572 —

De donde, por combiaaciÓQ con el resultado anterior, se desprenden las
siguientes relaciones finales, descubiertas por Bouquet, que determinan los
radios de curvatura y de torsión del lugar geométrico de los centros de
las esferas osculalrices del círculo alabeado:

R

R^ = rr'.

Así como, comparando las ecuaciones que determinan .r^, í/q, y x^ con
aquellas otras que determinan los centros de los círculos osculadores de
las curvas, vese que, en el circulo alabeado, los centros de las esferas os-
culalrices coinciden con los centros de los círculos osculadores.

ELIPSE logarítmica

703. El geómetra inglés J. BooTH, en su libro titulado A Treatise on
somc neiv geometrical Methods (London, 1877, t. ii, p. 51), aplicó el nom-

Fignra 171.

bre de elipse logarítmica á la curva acbd (fig. 171), resultante de la inter-
sección del paraboloide de revolución, engendrado por la parábola aOb al

— 573 —

girar ésta alrededor de su eje Ok, y eje tambiéa de las coordenadas, con
el cilindro elíptico, de base ACBD y eje común con el paraboloide.
Las ecuaciones de la curva serán, pues, éstas:

2kz = x^ + f y ^ + -^=1.

De las cuales, por eliminaciones sucesivas de \as y y x, resultan estas
otras :

correspondientes á las proyecciones de la curva, parabólicas ambas, sobre
los planos coordenados de las xx é yx., siendo evidente que en los puntos
de la elipse, que se proyectan en C y D, del eje de las y, las tangentes á
la curva son paralelas al de las x, y en los A y B, del eje de las x, asi-
mismo paralelas al de las y.

704. En la mencionada obra, Booth se ocupó muy especialmente en
la rectificación de la curva de que tratamos por procedimiento de análisis
muy distinto del que á renglón seguido pasamos á exponer, por conside-
rarle más sencillo y ventajoso del propuesto por aquel ilustre matemático.

De la ecuación fundamental

ds^ dx^ , dz^

dy"^ dy^ dy^

y de las ecuaciones de la curva obtiénese, por de pronto, la igualdad

ds^ ^^ a2y2 y2 / ^2 y

dy^ ¿■2(y2_¿3) ^ /.2 ^^ 52J

(a2_¿a)2 _^ __ a^-¿^ ^, _ _ ^^ ^^

¿* "^ b^ ^ '^

¿Mí/2 _ ¿2)

De la cual, poniendo

(«2 _ ¿,2)2 ^^^ _ «"-¿' ^/.2 _j_ «2 _ ¿O) yl _ y, ^2

= (4 + By^) {G + By'^) = AC + B {A -\- C) y'' -\- B^ y\

— 574 —
se deducen, para determinar A , B y C, Islb tres siguientes:

La B resulta desde luego determinada por la primera; y para determi-
nar las A y C, basta advertir que estas cantidades son las raíces reales de
la ecuación de segundo grado

A' 2 _ (¿2 4- «2 _ ¿2) X _ ¿,2 Jcl = O ,

una de las cuales, A, por ejemplo, es negativa.
Tras de estos preliminares, póngase ahora

A + By^=ic + Jñ^i^

G
y hallaremos que

..o._ Ajt^-l) y ^^ {Jl-AjAdl

Con lo cual ds podrá escribirse como sigue:

, {C — AT-A f-dt

C

si

l-b^Jcy/A+Bb'^ (1 — X¿2)2Y(1_¿2)(1_¿'2¿2)'

^ ~ C ' ~ C ' ^ -t- J562 ~ C ■ ^ _ («2 _ ¿2) •

en donde O «< ¿2 <^ i_
Pero

(1

¿2 ^ 1 r 1 1 1

— X¿2)2 ~ X |_ (1 — >-¿¥ 1 — ^¿^ J"

— 575 -
Ijuego

kC\/c^A + 562 I (1 - lf'f\/{l - ñ (1 - ¿2 ¿2)
dt

6, finalmente, si ¿ = sen es,

¿, = _ {C-AfA

dti

d-3

(1 — Xsen^cí) y 1 — ¿2 gen2,^
Resulta, pues, para determinar s, la fórmula

• ,^k[ (' — '^ r — ^í — l

\J (l_Xsen2-j)2A-^ ./ (1 - X sen^ (f ) A :^ f

en la cual

X= (C-AfA ,

j^ — ~ y Ai=Vl — i^sen^-o.

kC\Jc\J A + Bli^ ^ . V

A la expresión anterior de s puede darse distinta forma. Demuéstra-
se, en efecto, en la Teoría de las integrales elipticas, y se pueden ade-
más verificar j?or diferenciación , las identidades

/' d^^ .- ^' \ ^

J (l — l sen2 -^)2 A tp 2(1— X) (X — t^) \

H / (1 — Xsen^cp) — í / },

^ X2 J ' ' A-^ X2 J (1— Xsen2cp)Acp )

en donde

. sen ts eos cí A to
4>

1 — X sen2

f

— 576 —
identidades de las cuales se desprende la igualdad

,/ (1 — Xsen2-i)2A-f 2(1 — A)(X — ¿2) j

i^ — X í-cVi 3 ¿2 — 2 / ¿2 — 2 A + A- /' ¿4 I

-}? 7a7 5^2 ./ (1— >sen2(p)A'f )

Luego la expresión de s, podra escribirse como sigue:

s= i— a2cI, 4-X/"A»do

2(l-X)(X-¿2) I T- V . .

+ (^-^ - ^) /'f + (X^ - ^^) /', /■, ,, }.
,/ Ai ,/ (1 — Asen^tfjAo )

Y así se ve que s i^uede expresarse por integrales elípticas de primera,
segunda y tercera especie.

VI

HIPÉRBOLA LOGARÍTMICA

705. El mismo Booth, en la obra poco antes mencionada (A Treatise,
etc., t. II, p. 76), designó con el nombre de hipérbola logarítmica á la cur-
va de intersección de un paraboloide de revolución con un cilindro recto
de base hiperbólica, cuyo eje coincide con el del paraboloide (fig. 172).

Las ecuaciones de la curva así deBnida son las siguientes:

2hz = x^ + y^ y |:_^=1;

— 577 —

las cuales muestran que las proyecciones de la curva sobre los planos x»
é yx, son arcos de parábola.

706. La hipérbola logarítmica se compone, evidentemente, de dos
ramas iguales, simétri-
camente dispuestas res-
pecto del plano Jtí/. Ra-
mas simétricas también
relativamente al plano
XX, y que parten de los
puntos ajb, correspon-
dientes á los vértices de
la hipérbola, teniendo
en estos puntos sus tan-
gentes paralelas al eje
de las y. Las asíntotas
de la hipérbola determi-
nan además dos planos
perpendiculares al de
las xy, secantes del pa-
raboloide según dos parábolas, que son, evidentemente, asíntotas de la cur-
va considerada.

707. Por procedimiento algún tanto artificioso, Booth consiguió rec-
tificar la hipérbola logarítmica, valiéndose de las integrales elípticas (1. c);
pero al mismojesultado puede también llegarse, utilizando el por nosotros
discurrido para rectificar la elipse de aquel nombre, pocas páginas atrás,
con solamente cambiar en los razonamientos ó trámites del cálculo, refe-
rente al primer caso, b'^ en — 6^. Con lo cual se hallará, con aplicación al
segundo, esta otra fórmula:

s = — I — l-^ * + X/"A<3>dcD

./ Acf ,/ (1 — >. sen2cp)Affl )

en donde

FiR. 172.

37

— 578 —

a^ + h^ ^ ^^^_ ^(;_¿2/,2^

¿2 ' '

^_ A .„ A C-Bb^ A O— («2 + ¿2)

C C A — Bb^ C A — {á' + b-^)

{C—A)^A

K =

kcyjcyl A — Bm

En este caso A y B son las raíces de la ecuación

(a) X2 - (r- 4 a2 + ¿.2) X + ¿2 ¿2 = o,

ambas positivas.

Como A y B tienen el mismo signo, y C — {ar + b"^) y A — {á^ + b'^)
signos contrarios, i" será negativa; y, por tanto, i imaginaria. Pero, po-

Tí

niendo cp = A, hallaremos que

s = \ — l^^l>,—f^d^

2{i-i)(k-ñ\
_(¿2_)o /'j^_A2_«2) r ^ I,

en donde

, sen -Leos A A A ., «/, .o oi
(j)^ =: 1 ' — t-^ AA = yl — ^ cos2(i.

1 — X cos^ij'

Y, como también,

AA = Vi — ^•2 Vi — i^ sen2A,
1 — ), cos2<{> = (1 — )0 (1 — \ sen2<|.),
en donde

¿2 ^((7_a2_¿2) >^

•^^ ¿2_i (a2_^¿2)((7_j) ' ^ ),_!

579 —

concluyese, finalmentej que
K

2{i—\){\—i

i^ — I í' d'\ X2 —

_|_).2<i.^_yi_,Y^^,y,i

. _ i^ — A í'_d^ A^ — ¿2 n (Uj_ i

\J\-i^'l Aj^ (1 _ X) yrr^y (1 - \ seü2^) Aj^"/ j'

en donde

A^'l/ = yi— /sen2.]/.

Siendo cosa fácil ver que j es real, y que también y ^ ^ \

VII

PARÁBOLA logarítmica

708. El mismo BooTH, en su mencionado libro (A Treatise etc., i. II,

z

Flgnra 173.

página 110), atribuyó el nombre amparábala logarítmica á la curva resul-
tante de la intersección de un paraboloide de revolución con un cilindro

— 580 —

recto, que tenga por base una parábola, cuyo foco coincida con un punto
del eje del paraboloide.

Las ecuaciones de esta curva son

2 A-í; = ;c2 -\- y^ é ,f = A^lfi -\- ihx.

Y la curva, evidentemente simétrica respecto al plano zx, parte del
punto a (fig. 173), correspondiente al vértice A de la parábola, en el cual
la tangente será paralela al eje de las y, y se extiende indefinidamente,
apartándose del plano xy á medida que x é y aumentan.

701). La rectificación de la parábola logarítmica fué obtenida por
BooTH valiéndose también de las integrales elípticas, conforme ahora va-
mos á exponer.

Representando por s la longitud de los arcos de la curva, hállase que

\/^, dy^ . dz^ ^ 1 A /(2
V dx^ dx^ k V

ds A /, , dy^ . dz^ 1 \ {2h-^x)\l--'+ (r+h) {v^2h)\

dx V dx^ dx^ k \ X -}- h

{2h-rx)\Jc''--{-(x + h){x + 2h)]

Jcy/{x + h) {X + 2h) [Jc^ + (x + A) (íc + 2 A)]
De donde, en el supuesto de ser

(x + 2h){x + ll) = r-t^ng^,

se desprenden fácilmente estas otras expresiones:

x = --h + -\Jh^ + 4¿2 taüg2^,

2>fe2tang>^f?A
dx ^ • ' "

cos'-¿V/í^ + -l/':^tang2(|; ''

d'\ , ,, df^

(1) ds = -k ?— + /.ft-

cos=¡ (j> cos3 \ Va2 + 4 ¿2 tang- <{/

— 581 —
Luego, si fuere h = 27c, hallaremos que

J cos3 ¿I J

di^

cos'^tf

caso en el cual la curva puede ser rectificada por medio de funciones ele-
mentales.

Si fuere /í >• 2 A;, tendremos que

cos-^o \ / 1 sen^d/

V tt'

/í2

La primera de las integrales que figura en esta fórmula, puede ser cal-
culada por medio de funciones elementales. Y la segunda representa un
arco de hipérbola, que, como es sabido, puede expresarse por integrales
elípticas de primera y segunda espede.

Y, si fuere 2 & > h, póngase en el segundo de los términos de la fór-
mula (1)

tang({/ = — tangv;
y se hallará con esto

\'l + -^tang2i;
US = K -■ 1 dv

cos^ij/ 2 cosí;

^'+11

{^-^}

, d'L , h 4/(;2 ,

= k '■ 1 dv.

cos3(|- 2 „ \ / 4k^ — h^

V-

4/(;2

— 582

Luego

+ /.

COS^ V \/ I
4/,'2 — 7^2

v-

dv

4P — /¿2

Í/.-2 ,/

4A;2
dv

sen- í'

V^

4ÁÍ2

U^ — h^

O < <1.

4A2

Lo cual demuestra que también entonces podrá expresarse s por una
integral compuesta de funciones elementales i otra, elíptica, que represen-
tará un arco de hipérbola; y otra, elíptica asimismo, de primera especie.

VIII

CURVA DE ARQUITAS

710.

Sea OBA (fig. 174) una semicircunferencia, cuyo diámetro OA

representaremos por a; OZ una
recta perpendicular á OA, y OCA'
otra semicircunferencia igual á la
primera y cuyo plano es perpen-
dicular al plano de ésta y á OZ.
Dase el nombre de curva de Ar-
QUITAS á la curva que resulta de
la intersección del toro engen-
drado por el círculo OBA, cuan-
do gira alrededor de OZ, ccn el
cilindro cuja base es el círculo
OCA! . Esta curva fué, en efecto,
considerada por Arquitas, geó-
metra que vivió cerca de 400 años antes de J. C, el cual la empleó para
resolver el problema d? Délo.

Fignra 1"4.

— 583 —

Tomando para eje de las x la recta que pasa por el punto O y por el
centro de la circunferencia OCA' , las ecuaciones de la curva de Arqui-
TAS son las siguientes:

(,,2 J^ y-, ^ ,2^2 _ ,,2 (,,.2 + ^2) ^ ,,.2 J^ _y2 _ „,, = Q , '

la primera de las cuales representa el toro y la segunda el cilindro con-
siderado.

711. El método empleado por Arquitas para resolver el problema de
Délo, esto es, para construir dos medias proporcionales á dos rectas da-
das, es conocido por los Comentarios de Eutocio al libro II de Arquí-
medes (Archimedes: Opera omnia, ed. Heiberg, t. iii, p. 98). Vamos á
exponerlo.

Sea C el punto en que la semicircunferencia OCA' corta á la recta OA;
B el punto de la semicircunferencia OBA que se proyecta en C, sobre el
plano xy, y CD la perpendicular trazada desde C sobre OA'. El punto B
pertenece á la curva de Arquitas, cualquiera que sea la recta OA, y po-
demos determinar esta recta de tal modo que sea

OD b ,,

= — , {b<a).

OB a

Se consigue esto determinando B por medio de la intersección de la
curva de Arquitas con el cono de base circular cuyo eje es OJÍ y cuya ge-
neratriz forma con este eje un ángulo S, dado por la ecuación

fi *
coso = .

a

Las rectas OB y OC son las dos medias pedidas.
Tenemos, en efecto,

OC^ = a. OD, OB^:=a . OC;

y eliminando en la primera de estas ecuaciones OB,

OB^ = a. OC, OC'^b. OB,

— 584 —
ó

a _0B _ OC
0B~ 0C~ b '

Este método para resolver el problema de Délo, puramente teórico, es
muy notable por ser el ejemplo más antiguo que se conoce de la resolu-
cidn de un problema de Geometría plana por medio de consideraciones
de .Geometría del espacio.

712. La curva que resulta de la intersección del cono que entra en la
construcción precedente, con el toro, está dada por las ecuaciones

,^.2 + ^2 _|. .2 _ ^ ^2^ (^2 J^yoj^ .2)2 = „2 ( -,2 ^ ^2) ^

y la ecuación de la proyección de esta curva sobre el plano xy es

(1) a2a;i = &*(^' + «/"),

ó, en coordenadas polares,

a eos- ti

Por medio de la curva representada por esta ecuación resuélvese fácil-
mente el problema de Délo. En efecto, ei radio vector del punto de inter-
sección de esta curva con la circunferencia cuya ecuación es p = a cos9,
viene dado por la igualdad

Resulta, pues, que pj y v = V^pi satisfacen á las ecuaciones

b p, V

Pj V a

Se sabe por una carta de Eratóstene á Tolomeo III, que se encuentra
en los Comentarios de Eutocio (ver Gino Loria : Le seienxe esatte nelV
antica Grecia, t. i, Modena, 1893, p. 71 y 135), que Eddosio, geómetra

— 585 —

griego ya citado (Núm. 651), empleó, para resolver el problema de Délo,
una curva plana con puntos de inflexión, á la cual dio el nombre de Icam-
■pila. No se sabe cuál es la curva que los antiguos conocían por este nom-
bre; pero las circunstancias de haber sido Eudosio discípulo de Arquitas,
y la de figurar la curva cuya proyección expresa la ecuación (1) en
el método de Arquitas para resolver el problema de Délo, llevaron á
P. Tannery á considerar probable la coincidencia de la kampila con la
curva representada por (1). (Mémoires de la Sociélédes sciences pki/siqíies
de Bordeaux, 2/ serie, t. ii, p. 277; Bulletin des sciences mathémati-
qms, 1884, p. 101).

IX

HORÓPTERA

713. Una cuestión de Óptica fisiológica, que se encuentra en la mo-
numental obra que Helmhotz consagró á esta ciencia, condujo á estudiar
una curva, á la que se dio el nombre de horóptera, y cuyas ecuaciones son

2r 2rXz

(1) X:

1 + X2x2 1+X2*2

siendo X y r dos constantes.

Las propiedades de la curva citada fueron deducidas analítica y geo-
métricamente por LuDwiG en un opúsculo titulado Die horopterlcurve etc.
(Halle, 1902); por Schür en el Zeitschrift fiir Mathematik (t. xlvii, 1902);
por Stdyvaert en Mathesis (t. xxiii, 1903); etc.

714. No mencionaremos aquí las consideraciones de Óptica y Geome-
tría que permitieron deducir las ecuaciones anteriormente escritas, y que
pueden leerse en los trabajos anteriormente citados; nos limitaremos á in-
dicar la forma de la curva y algunas de sus propiedades.

Eliminando z en las ecuaciones (1), se ve, ante todo, que la curva está
situada en la superficie cilindrica de revolución que tiene por ecuación

y'^ = r{:2r-x),

— 580 —

qne su proyecci(5n sobre el plano xx es una cúbica de Agnesi (NCim. 75);
y sobre el xy una aiiguínea (Ndm. (»4).

Como la cúbica de Agnesi se construye con facilidad, puede cómoda-
mente ser empleada, en unión del cilindro ya citado, para construir la
horópiera y sus tangentes.

Las mismas ecuaciones (1) hacen ver que la horópiera está situada so-
bre el paraboloide hiperbólico que tiene por ecuación

de cuya circunstancia se deduce otro medio fácil de construirla.

Fignra 175.

Observemos, finalmente, que la curva está situada sobre la superficie
de revolución representada por la ecuación

y que tiene por eje el de las %.

Se ve fácilmente, por medio de las ecuaciones de la curva, que ésta
tiene la forma que indica la figura 175. Parte del punto A, en que corta
al eje de las x, formando con el plano xij un ángulo cuyo coseno es igual

— 587 —

á 2r\, y se extiende indefinidamente en el sentido de las x positivas y ne-
gativas, teniendo el eje Ox por asíntota. Las cuerdas paralelas al plano zy
quedan divididas en partes iguales por la recta OA , que es, por consi-
guiente, eje de la curva.

?/
715. Haciendo -^ = tang¿ (llamando t al ángulo BOA), puede darse

á las ecuaciones de la horóptera la forma

x = 2r cos^ /; ¿/ = '■ sen 2t, z ^ 2_.

Aplicando á estas últimas la ecuación general del plano osculador

A(X — x)-^B{Y—i/)-^ CiZ—z) = 0,
en las que

A = z'y" — y' x", B = x'z" — z' x", C=y'x" — i'' y",
se obtiene en primer lugar

A = Í!L_sen3í, B= ^^' cosSt, C=—8r^,

\ cos-^ t Icos^ t

y también

Ycos3í — Xsen3t—2)'kcos^t-\- Srcosí sen2¿ = 0.

Por medio de estas ecuaciones se ve, haciendo ^Y = O é Y= O, que el
plano osculador en el punto (x, y, x) corta al eje OZ en un punto cuya
ordenada es 3a (Stuyvaert, 1. c).

710. Aplicando á las mismas ecuaciones las fórmulas generales de los
radios de curvatura y torsión, que representamos por R y T, respectiva-
mente, se deduce

p _ (1 + 4/2 r2cos4 ty^ 1 + 4)2r2¿osG t

n , i = .

4 /• X2 cos3 < ( 1 + 4 X2 ,-2 cosG o 2 3 A eos- í

_ 588 —

Estas igualdades manifiestan que en el punto A dichos radios tienen los
valores

1-f 4).V^ l + i'K^r^

y que la curva no tiene puntos reales en los cuales el plano osculador sea
estacio7iarío.

717. Eliminando x é y entre las ecuaciones (1) y la ecuación

ax -\- by -\- cz ~{- d=0,

se obtiene una ecuación de tercer grado en «.Por consiguiente, la horóp-
tera pertenece á la clase de curvas algébricas que se conocen con el nom-
bre de cúbicas alabeadas, y que están caracterizadas por la circunstancia
de poder ser cortadas por un plano arbitrario en tres puntos.

Fueron estas curvas consideradas por primera vez por Mobiüs, y han
sido, después, objeto de muchos é importantes trabajos, que no citaremos,
limitándonos á decir que en el Treatrise on the anahjtic geonietry de Sal-
món se consagran algunas páginas á su estudio analítico, y en la obra de
D. E. ToRROJA, titulada Teoría geométrica de las líneas alabeadas, etc.,
se dedica un capítulo á su estudio geométrico.

X

CURVAS DE BERTRAND

718. Bertrand demostró en una Memoria publicada en 1850 en el
tomo XV del Journal de Liouville, que existe una clase de curvas tales
que á cada una se puede asociar otra que tiene las mismas normales
principales. A estas curvas se las designó con el nombre de curvas de
Bertrand.

Sean (C) y (C") dos de estas curvas; {x, y, z) y (x^, y^, z-¡) las coor-
denadas de dos puntos correspondientes; i? y í- los radios de curvatura y
de torsión de la curva (C) en el punto {x, y, x); {a, a', a"), {b, b', b")
y (c, c',c") los cosenos directores de la tangente, de la normal principal y

— 589 —

de la binormal á la curva en el punto citado; llamemos, finalmente, I i \a
distancia de los puntos {x, y, x) y (x^, y^, z^).

Entre las citadas cantidades existen las conocidas relaciones

(1)
(2)

da b
ds ~ r'

da' b'
ds R'

da"
ds

b"
" R'

de h
ds^ r '

de' V
ds r '

de"
ds

b"

~~ r '

a c

di/ a
ds R

c'
r '

dh"
ds.

a"
R

c"
r

ds

denominadas fórmulas de Frenet.

Representemos por (aj,a'j,«"j) los cosenos directores de la tangente á
la curva (C) en el punto {x^,y^^,x^, y observando que los cosenos direc-
tores de la normal principal á ella en el mismo punto son {b, b',b"), se
obtiene

(4) X^ = X + lb, y^ = y-^lb', ;t, =;í + Z¿>",

(5) Z;ai + 6'a\ + 6"a"i = 0,

íZflj b da' ^ b' da!' -^ b"

ds-^ iíj ds^ i?! ds-^ R^

llamando s^ á la longitud de los arcos de la curva (C) y R^ al radio de
curvatura en el punto (¿p^, y,, x^).

De la ecuación (5) se deduce la siguiente:

bdx^ -\- b' dy^ -\- b" dx^ = 0;

y eliminando x^, y^y x^ por medio de las ecuaciones (4), y teniendo en
cuenta las relaciones

bdx^b' dy + b"dx = 0,

}j2 J^ ¿'2 ^ ¿"2 ^ 1 ^

bdb-\-b'db' + b"db" = 0,

— 590

se obtiene dl^ 0. Se ve, pues, que I es constante y que por consiguiente
se puede establecer que

d.t'^ / dx I j dh \ ds ^, f di/ , , di/ \ ds

«1 = ^ = -^ + / — , a'i = -^ + I ^~ , etc.,

dsj \ ds ds ) ds^ \ ds ds / rfsj

y, teniendo en cuenta las relaciones (3) ,

l-[('-i)«-'f]t'

«■■=[(-Í)»'-'t]1'

Si ahora se sustituyen los valores de a^, a\ y a'\, deducidos de estas
ecuaciones, en las igualdades (G), y se tienen presentes las fórmulas (1) y
(2), resultan las ecuaciones

r Aa + Bb + Cc = 0,

Aa+Bb'^Cc' = 0,
Aa" -i- Bb" -\-Cc" = 0,

habiendo hecho

A = (l-±]d^-ld(^],
\ rJ ds^ \RJ

B = \^(l-±]-l-]^ds-^ds,
C=-ld-^-ld(l

siendo necesario, para que aquéllas se verifiquen , que se tenga
^==0, i?=0, C=0.

— 591 —
De la primera y la última se deduce

resultando por integración

K r

representando h una constante.

Resulta, pues, que las curras de Bertrand estíín caracterizadas por la
existencia de una relación lineal entre la curvatura y la torsión (Ber-
trand, 1. c).

El método que hemos empleado para llegar á este resultado, se debe á
J. A. Serret (Journal de Liouville, t. XVI).

719. Las ecuaciones (7) y las siguientes

a2 + a'2 + a"2 = 0, h'^ + h"^ + V"^=l, c'- + c'^ + c"^= I ,
ac -\- a' c' -\- a" c" = O,
dan

^ ds^- \ R) r- r2

Si observamos ahora que (C) es una curva de Bertrand que satisface
á la ecuación que resulta permutando en (S) / y — /, se obtiene

2

llamando r^ al radio de torsión de (C").

Resulta, por consiguente, rr^ = P _|_ /¿2. ¡^ q„e demuestra que el pro-
ducto de los radios de torsión de (C) y (C), en los puntos (x, y, x) y
{x^, y^, x^), es constante.

720. Si representamos por co el ángulo de las tangentes á (C) y (C)
en los puntos {x, y, x) y {:i\, y^, x^), se tiene

costo = aa^ -{- a' a\ -j- a'\ a'\,

— 592 —
y, por lo tanto, las f(5rmulí\s (7) dan

coso =11

R ) ds^ Y/¿2 ^ ¿2

Resulta, pues, que el ángulo de las tangentes, en los puntos correspon-
dientes de las dos curras, es constante.

Se ve fácilmente que este ángulo es igual al de los planos osculadores
de las curvas (C) y (C) en los puntos {x, y, x) y (.íj, y^, »,). Luego el
ángulo de los planos osculadores, en los puntos correspondientes, es
constante. Se debe este teorema á O. Bonnet, que lo publicó en el Jour-
nal de l'Ecole Polgtechnique de Paris (cuaderno XXXII, nota 1.").

721. La ecuación 5 = 0^ da, teniendo en cuenta las (S) y (9),

= — 1 = [hr—lR).

i?! IR\ Rj í2j(/Sj2 R{h^-{-p)

Esta fórmula permite determinar la curvatura de (C) cuando se cono-
cen la curvatura y la torsión de (C), y la

k /_/

r,

R,

sirve para calcular la torsión de (C).

Relativamente á las curvas de Bertrand, consúltense las Lecons sur
la théorie des surfaces, de G. Darroux (t. I, p. 13), en las que se emplea
para su estudio un método cinemático elegantísimo; un artículo de Ce-
SÁRO, publicado en la Rivista di Mathematica (Torino, t. U), etc.

CAPÍTULO DECIMOCUARTO

POLLODIA Y HERPOLLODIA

722. Demuéstrase en Mecánica que el movimiento de un cuerpo alre-
dedor de un punto fijo equivale al movimiento del mismo cuerpo alrede-
dor de un eje, que se mueve describiendo un cono elíptico, con el vértice
en el punto fijo considerado. En este movimiento el elipsoide de inercia
del cuerpo gira alrededor del punto fijo, quedando siempre tangente á un
plano perpendicular al eje del momento de las cantidades de movimiento,
sobre el cual rueda. El lugar de los puntos de contacto, sobre aquel pla-
no, es una curva á la cual Poiissot, á quien se debe esta teoría (Jhéorie
nouvelle de la rotation des corps, présentée á l'Institut le 19 mai 1834),
dio el nombre de herpollodia.

Designó también este ilustre geómetra con el de pollodia la curva de in-
tersección del cono á que acabamos de referirnos con el elipsoide de iner-
cia. Esta última curva es el lugar geométrico, sobre el elipsoide, de los
puntos de contacto de esta superficie con el plano de la herpollodia.
Demuéstrase también en Mecánica que, siendo

2 ^5 O

aP f^ c2 ^ '

la ecuación del elipsoide de inercia, la ecuación del cono es

(a2 _ ^2) + ^ (¿2 _ ,2) + -^ (c2 _ -,2) _ O,

a* 6* c'

en la que yi representa la distancia del centro del elipsoide al plano fijo.
Esta distancia satisface á la condición a'^ ■ri^' e.

723. La ecuación de la herpollodia puede ser obtenida por un medio

38

— 594 —

enteramente geométrico. Antes de hallarla, estudiemos algunas propieda-
des de la pollodia.

Notemos, en primer lugar, que las ecuaciones de esta última curva son
las dos que acabamos de escribir; y que, eliminando entre ellas sucesiva-
mente X, y, z, se ve que las proyecciones de aquélla sobre los planos xy
y xy son elipses, y sobre el plano xx es una hipérbola.

Sea r la distancia del centro del elipsoide al punto {x, y, x) de la pollo-
dia; tendremos la ecuación

x^ -\- y"^ -\- x^ = r^,

por medio de la cual y de las anteriores se obtienen las ecuaciones siguien-
tes, que determinan las coordenadas de los puntos de la pollodia en fun-
ción del parámetro variable r:

x^ = P[r^ — a?) y'-=Q{r^—[t% x^- = R (7-^ ~ f) ,
donde es

p= ^- , g= '- , i2=

(a2_¿2,(f,2_c2, (l2_c^^^b2_a-2) (t'-^_a2)(c2_¿2j

//2f2 a-r^ a^h^

{A) ,2 = b^ + C^^-±^, p2 = ,2 + «2_JL^, 2_^2 + i2_^.

7,2 f^ y2

Entre las cantidades P, Q y R existen las relaciones
(fí) P+Q + R = l, Pa2+í?|3'^ + 72y2 = 0,

que se deducen de la ecuación x^ -\- y^ -\- z^ = r^, sustituyendo en ella
^^> y^ y ^^ por sus valores é igualando después los coeficientes de las mis-
mas potencias de r,

724. En la cuestión de Mecánica á que anteriormente nos hemos re-
ferido, las cantidades a, b y c no son completamente arbitrarias; satisfa-
cen á la condición

2^ «'*'

a2-f 62

— 595 —
Tenemos, pues,

7|2>

a2 -(- ¿2 '

y, en virtud de la tercera de las igualdades (A), y^ > o.

-Observemos además que las expresiones de P, Q y R hacen ver que es
-P> O, Q < O, ñ > O, y que de las dos primeras igualdades (A) y de la
desigualdad r, > c resultan las desigualdades a^ > O, ¡j^ > O, las cuales
muestran que a y |3 son reales.

Notemos, finalmente, que x, y y x no son reales para todos los valores
de r. En efecto, de las igualdades {A) resultan las siguientes:

¡i2_^2_(,2_¿2)j^i_^Y
^2_,2 = („2_,2)|^1_Í!\

en las cuales se observa que es ¡3 > y > a cuando vi>6^y¡3>a>Y
cuando n <b; de las expresiones de x^, i/ y x^ se deduce también que x,
y y X sólo son reales cuando es r^jÜ y r^y, si r¡> b; y cuando es r^ ^
y /• ^ a, si /| < b. De estas desigualdades se concluye que la expresión

r=(,-2_a2)(r2_p2)(,,.2_^2,

es negativa, resultado del que más adelante ha de hacerse uso.

De las fórmulas anteriores se deducen también las siguientes consecuen-
cias, que tendremos necesidad de aplicar:

o o (7.2 -C^) (7,2 -¿2)
' ~^ == i '

r,2

[O A = ± Y|3 yJ(-ri2-o?){y,^-^f)^r?-f) = (.,2 _ ^2) (,^2 _ ¿2) (,^2 _ ^2),

— 596 —
donde se debe emplear el signo + cuando r\ <.l>, y el signo — cuando

725. Es fácil obtener la expresión de la diferencial de la longitud de
los arcos de la poUodia. Tenemos, en efecto,

|_ ,.-' _ a2 ,.2 _ ¡^2 r'2 — f]

6, eliminando P, Q j R por medio de las ecuaciones (J5),

ds^ = [r* — (a2 + .32 + f) ,-2 + Q (p2 _ a^) (p2 _ ^2)

+ a2^2 + ¡i2.^2ji_^.

Puede darse otra forma á la expresión de rfs^, sustituyendo Q por su
valor en función de a, (3 y y, como ahora veremos.
Las ecuaciones {A) dan

-,2(.y2_¿2) -,2(„2_;,2)

7)2 _ ¿2 ' .^2 _ ¿2

j2_.^2 r.3 (■^2_a2)(^2_¿,2)(.,,2_c2)

(y,2 — a2)(T2_c2) ■ 7|3

■/I A

r?-

■[^ — ¿(2 7j3 ■

Sustituyendo ahora los valores de a?^ Ifi y c^ en la expresión de Q, se
obtiene en primer lugar

Z)4 (y,2 _ ¿2)2 ^

*- ~ (¿4 _ 2 ¿2 .,^2 _|. .,j2 ^2^ (^,4 _ 2 ¿2 y,2 _|_ .^2 ^2) '

y después

Q__ 64(,2_¡32)

y, finalmente,

2A

2vi4 _ ,;2 (^2 + ¡32 + 2) + «2 .^2 _
(f;2 _ ^2) (¡¡52 _ 0,2)

— 597 —

Poniendo ahora este valor de Q en la expresión de ds^, se liega al resul-
tado que queríamos obtener:

p. _ (a2 + ¡32 _^ ^2) ^2 ._ ,2 (^2 _!_ ¡32 + ^2)

+ 2-,* - ^ + a? ^2 + ^2 ^2 +p2 ^2!

^^ ,

que hace ver que s depende de las integrales elípticas.

726. Pasemos á estudiar la herpollodia. Para eso refirámosla á coor-
denadas polares p y <? , existentes en el plano de la curva, y tomemos para
origen de estas coordenadas el pie de la perpendicular bajada del centro
del elipsoide sobre este plano. El triángulo rectángulo formado por el ra-
dio vector de un punto de la curva, por la distancia de este punto al cen-
tro del elipsoide y por la perpendicular á que acabamos de referirnos, da

f = r2-r?.

Cuando tiene lugar el movimiento de rotación del elipsoide, la pollodia
rueda sin resbalar sobre la herpollodia, las diferenciales de las longitudes
de los arcos de las dos curvas son, por lo mismo, iguales, y tenemos, re-
presentando por s la longitud de los arcos de la pollodia,

¿.2 = dp2 + ¡,2 df = 41^ + fdf;

yí. -¡L

6, sustituyendo ds^ por su valor hallado anteriormente,

Tir^—r?) I [' y?)

+ (a2 ¡32 + o?f + ¡32 f) -r? - (a2 + ,3'^ + f) r.i + 2 /¡e

— 2A— a2¡32y2l.

— 598
Pero se tiene que

( "' ~ ^}^ '''' ~" - ^ + (■''' - ""^ ^'^ - P') ^'^' - t')

= (o? p2 + a2 f + ¡32 ^.2) ,2 _ (,.0 j^ .2 ^ ^2) .^, _|_ 2 ,^fi _ 2 A - a2 ,32 y2

Luego

ó

((7) íío = + ^^

pV-r

(--^)

donde

r= (p2 + -,2 - a2) [f ^ .2 _ |32) (.2 + .,2 _ ^2).

Conviene notar que esta cantidad T es, como ya hemos visto, negativa.

La ecuación que acabamos de obtener es la ecuación diferencial de la
herpollodia y hace ver que la ecuación finita de esta curva depende de
las fimciones elípticas. Por eso su estudio ha sido hecho por algunos geó-
metras por medio de estas funciones, método que no exponemos por no
alargar excesivamente este trabajo (*). El por nosotros empleado para
estudiar la herpollodia está sacado del capítulo VI del tomo VJI del Traite
de Mécanique genérale, de Resal, y de un trabajo de Barbarix publicado
en los Nouvelles Aúnales de Mathématiques (3.^ serie, t. IV, 1885).

727. Para hallar la forma de la curva representada por la ecuación
diferencial (C), debemos notar en primer lugar que la rama correspon-

(*) Para el estudio de la rotación de los sólidos por medio de las funciones
elípticas, se pueden consultar las obras siguientes:

Hekmite: <S'¡tr qudqnes applicafioiis des fo.ictions élliptiques, París, 1885.

C. DE Spaüüe: Sur le mouvemeut cVun solide autour d'un pohit fixe(Annales
de la Sociéié scientifique de Bruxelles^ t. IX, 1885, p. 49).

Halphen: Traite des fonotions élliptiques, t. II, p. 43.

— 599

.diente al signo inferior sólo difiere de la que corresponde al signo superior
en la posición, razón por la cual sólo consideraremos la ecuación

d-j =

dp

,V-r

•'iP^ +

La igualdad p- = r^ — -r^ pone de manifiesto que p y r pasan al mismo
tiempo por sus valores máximos y mínimos; luego tenemos, atendiendo á
lo que se dijo anteriormente respecto á los límites de r (Nám. 724),

^V^

'2--'^

P 5 Vf - 'i^ si r, > 6; p ^ \/aa — n^ si o < b.

La curva está , pues, comprendida entre dos circunferencias, una ex-
terior de radio igual á\¡ ^-—f?,y otra interior de radio igual a yy"-^ — r^

ó áy o? — y?.

Representando por Fel án-
gulo que forma la tangente á la
curva en el punto A (fig. 176)
con el radio vector OA, tene-
mos / / \ \ A

...^A I ( O ) ^^

d's>

•ir"-^ + i

tgF=p

do

V— T '

Fignra 176.

y, poniendo p^yp^ — -^2^
tangF:^ — co . Luego la cur-
va es tangente al círculo exte-
rior en el punto A. Del mismo modo se demuestra que la curva es tan-
gente al círculo interior en el punto en que la encuentra.

728. Tomando para eje, á partir del cual se cuentan los ángulos ®, la
recta OA, tenemos

r_ivb("'"+^)*

\/^-T)=

600

En el caso de ser r, <&, la cantidad A es positiva; y, por lo tanto, tam-
bién lo es la cantidad vip^ _] . En el caso de ser r,> i, A es negativa;

pero dando á p^ su valor mínimo y^ — 'r?, vese que la cantidad r,p2 j_ A

--rr, vese que la cantiaaa op^ -|-
es positiva; en efecto, la desigualdad

■'? if - ■'?? > {y?- a'-^) {;>? - ¡32) (r,2_ y2)

da la siguiente:

l>^''-^,

■r? - c2 < y 2,

la cual es verdadera. El binomio considerado 7ip2 -)_ -^ es, por lo tanto,

'?
siempre positivo cuando se da á p2 su mínimo valor.

La igualdad (1) hace ver que cp crece, cuando p decrece desde y ¡i^ _ .^,2

hasta V"-^ — f? ^ Vy^ — i?. El arco considerado de la curva (arco ABC
de la figura) se aproxima cada vez más á la circunferencia interior á me--
dida que o aumenta.

Los otros arcos de la herpollodia son iguales al anterior, y gozan de la
misma propiedad de ser tangentes á las dos circunferencias consideradas.

720. Suponía Poinbot que su herpollodia tenía puntos de inflexión;
pero Hess demostró, en un opúsculo intitulado Das Rollen einer F lache
xiveiten Grades anf einer invariabeln Ebene (Munich, 1880), la inexac-
titud de esta afirmación. La misma observación hizo después el Conde
DE Sparre en los Compies rendas de l'Académie des Sciences de París
(1884) y en la Memoria anteriormente citada. Sparre se fundó, para de-
mostrar este teorema, en la teoría de las funciones elípticas; empleare-
mos aquí, para el mismo fin, un método más elemental, seguido por Ke-

SAL {1. C).

La'ecuación diferencial de la herpollodia da, ya sea o una cantidad po-
sitiva 6 negativa,

— 601 -

-

dp

_ pV"

-2

df

■'.f +

A '
yi3

d^o

== —

?T

1

2p3 7

>T

df

(..

■n^ J

1 /

•^3

p3

'Ir, \ V2

_ ft2\ 1

/^2 _L

.,íí

b^'-vJ

+ (p2 + -^2 _ ^2) (p.2 + ,^0 _ ^2^ ^ ^^2 + ,2 _ ^2^ ^^g + ,^2 _ ^2)].

Por medio de estas igualdades y de la fórmula

Ií =

\!'-mf

d-p
df

9

f/p V

-?'

podemos calcular el radio de curvatura R de la herpollodia. Su expresidn,
igualada sucesivamente á O y á co, da los puntos de retroceso y de in-
flexión de esta curva.
Haciendo, para ello,

se tiene, en primer lugar,

R =

.¡{.'^iJ-r

N

+ (p2 + -,2_„2)(p2_^,.2_p2)J,

— 602
y, ordenando según las potencias de p,

+ I 2ri I (V,^ - a2) (Y,2 _ ri2) + (-,2 _ 0-2) (r2 _ -yS) _^ (,2 _ p2^ (,,3 _ ^2)J

d, en virtud de las fórmulas (A) y (C),

A^ = [a^ ¿2 (c2 _ .,2, ^ «2 c2 (¿2 _ .,2) _ ¿2 ^2 ^2] il

_ A (^2 ¿2 ^^ „2 ^.2 _^ ^,2 ^2) p4.
Y,''

Por medio de la expresión de ^, se puede ver ahora que los puntos de
inflexión de la herpollodia deben satisfacer á la ecuación JV"=0, la cual da

^ ^ (,,2 _ a2) (,2 _ ¿2) (,;2 _ ,2) (^2 ¿,2 ^ ^2 ,2 ^ ¿,2 ^2) ^

'^ ~ 7,2 [a2 ¿2 (c2 _ y,'--) 4- a2 c2 (62 — y2) — 6^ c^ -riS )

Si es 71 > 6, el segundo miembro de esta igualdad es positivo (puesto
que además se verifica que a> r¡,c <y,). Pero, como el míuimo valor que
tiene p2 es igual á y^ — -,2^ y por tanto á

(a2_-,2)(y,2_;,2)

■^2

debe ser

(a-l — -,,2) (y 2 _ ¿2, (.,2 „ ,.2, (,,2 ^2 J^ i;^.2 ^ „2 ^2) ^ (^2 __ .,2) (,2 __ /,2, ^
y 2 [«2 /,2 (y 2 _ c2) 4- „2 c2 (-^2 _ ¿,2, ^ ¿2 ^2 -,2 J -,,2

lo que da

a2¿>2

c2<

a2 + í-2

— 603 —

Luego el elipsoide no coincide con el elipsoide considerado por Poinsot.

Sea ahora v) <; b. En este caso el numerador de la expresión de ^^ es
positivo, y p es imaginario, ó real, según que el denominador sea negativo
6 positivo. Dase el último caso, cuando es

„2 ¿2 _|_ (¿2 ¿i _^ ¿2 ^2

Pero como entonces el valor de p^ debe ser inferior á su valor máximo
P^ — -rr; esto es, á

(^2 _ ,2) (,,2 _ c2)

2 '

tenemos la desigualdad

(a2 _ -,2) (¿2 _ -^2) (.,j2 _ g2) (^ ¿2 J^ a^ c^ J^ ¿2 ^2) («2 _ .,2) (.,2 _ c^)

y2 [2 a^ 62 c2 _ ,2 («2 ¿2 _[- a2 c2 + ¿2 c2)] 7,2

ó

a? + cS
lo que no puede ser, porque, por ser vi> c, tenemos

,2

y;-^>

a2 + c2

y, por tanto, si aquella desigualdad tuviese lugar, tendríamos r\>h, lo
que es contrario á la hipótesis. Resal saca esta conclusión por otro pro-
cedimiento, que no nos parece exacto.

Demostremos ahora que la herpoUodia no tiene puntos de retroceso.
Para eso basta notar que el numerador de R no puede ser nulo, ni el
denominador infinito. En efecto, el factor

no puede ser nulo, puesto que T es negativo (Núm. 724).

— 604 —

730. La ecuacidn diferencial de la herpollodia es integrable cuando
es V. = ¿, y resulta entonces una espiral que, por haber sido considerada
por PoiNSOT, en la Memoria atrás citada, se llama espiral de Poinsot.

Si es o = b, tenemos a == y = r¡ y, por tanto,

poniendo

',, = tp'—'?-

Luego

el

■f^dp

2 „2

Integrando, se obtiene

VPo'-p' + Po

Tenemos también

Luego

Po'-?

— C

1

VPo^-

~-p2

-Po

?

-

Vpo^-

-P^

+ ?o

e

c p

j _Po_Í P"? 2o

e Ti -)- ce
c p

o

Pil ?n

Ó , poniendo c = e t, ,

P = -

e TI -j- e Ti

— 605 —

Cambiando el eje á partir del cual se cuenta el ángulo <p, podemos aún
escribir

2p,

Po? Po?

e <\ -{- e 'H

Es esta la ecuación de la espiral de Poinsot, la cual ya fué anterior-
mente estudiada (Núm. 447).

IOTA A LOS EUMEROS 47 Y 186

El teorema estudiado en el Nám. 47 puede deducirse con mucha facili-
dad del demostrado en el N(im. 46 (que no es nuevo, como erróneamente
afirmamos en dicho número, sino consecuencia de otro teorema conocido
relativo á las curvas analagmáticas) y del demostrado en el Núm. 45.

En. efecto, representando por O el punto de intersección de las rectas
que pasan por los dos puntos de contacto de los círculos bitangentes á la
cúbica circular, por (C) uno de estos círculos, por A y B sus puntos de
contacto con aquella cúbica y por (C) el círculo considerado en el Nú-
mero 45, teniendo en cuenta que este círculo corta perpendicularmente al
círculo (C), y que su centro coincide con O, se advierte que las tangentes
á (C) tiradas por O tienen sus puntos de contacto en las intersecciones de
las circunferencias de (C) y (C). Luego tenemos, en virtud de un teorema
de Geometría elemental bien conocido,

OAxOB = R^.

R representa el radio de (C) y, por lo tanto, la transformación por ra-
dios vectores recíprocos cambia entre sí los puntos ^ y 5 de la cúbica,
la cual, por tal motivo, es analagmática.

De modo análogo se demuestra el teorema relativo á las cuárticas bi-
circulares, considerado en el Núm. 189, si se atiende á que la ecuación
de la recta que une los dos puntos de contacto de cada una de las circun-
ferencias estudiadas en el Núm. 185 con la cuártica es

^ ^^-A' — h

— 608 —
6 sustituyendo y por su valor, dado en el referido Núm. 185,

y á que esta recta, por tanto, pasa por el centro del círculo considerado
en el Nüm. 186.

HOTA AL HUMERO 48

Vamos á reproducir aquí una demostración del teorema utilizado en el
Núm. 48, relativo al número de tangentes á una curva que se pueden
trazar por un punto de ella, publicada en el t. Vil, p. 138 de L'Enseigne-
ment malhématique.

Sea

la ecuación de la curva considerada, de grado m.

La ecuación de su primera polar, respecto al punto (í;,, ?/,), es, según
se sabe, la siguiente:

dx dy

siendo su grado {rn — 1).

También es sabido que estas curvas se cortan en los puntos de contac-
to de las tangentes á la primera, trazadas por el punto (¿Cj, y^.

Esto dicho, vamos á demostrar el siguiente lema:

'S'* (^1, yi) es un punto múltiple de orden k de la curva considerada,
es también midtiple del mismo orden de su polar, siendo tangentes entre
sí las k ramas de la curva y las k de la polar que pasan por aquél.

Se puede considerar como comprendido en este enunciado el caso de
un punto simple, que corresponde á la hipótesis Jc = l.

Para demostrar el precedente lema, escribamos la ecuación de la curva
del siguiente modo:

f{Xi + x — x^, y^-\- y —y^) = Q,

— 610 —

y desarroHemos su primer miembro segúo las potencias de x — x^ éy — ¡j^,
resultando

df , ,^ df ^ , 1 r ^^V , y->

+ 2 -^^— (x-x,) {>, -^y,) + -^ (y - y A + ... = 0.

La ecuación de la polar de esta curva puede escribirse del siguiente
modo, ordenando su primer miembro por las potencias dea; — x^ é y — ?/j,

df r. ..^ , df

{X - .7-,) + -l-{y- ;y^) + —J- {x - X^f

axj^ ayy L dx-'^

+ 2---l—(x--x,){y-y,) + -^{y-y,f\ + ...=(i.

Esta ecuación nos dice, en primer lugar, que si (.i\, í/j) es un punto
simple de la curva considerada, la recta que tiene por ecuación

\

dxy dy^

es tangente á esta curva y á su polar.

Se ve asimismo que si (xj, y^ es un punto doble de la curva cuyas

cordenadas satisfacen á las ecuaciones - — ^ O, =0; l^s dos reo-

dx dy

tas representadas por las ecuaciones

±-L(x- x,f + 2 -^^ {X - T,) {y - y O + -yf- i>/->/x)' = O,
dx\ dxy dy^ dy\

son tangentes en el punto {x^, ?/,) á la curva y á su polar.

Continuando en la misma forma el razonamiento, se demuestra el lema
precedente.

- Gil —

Basándonos en el anterior lema, vamos á determinar el número de tan-
gentes que se pueden trazar á una curva dada por el punto (cc^, ?/j).

Supongamos primero que la curva tiene solamente un punto múltiple,
que coincide con (fj^, ?/j), y que sea k su orden.

La curva dada y su polar se cortan en m {m — 1) puntos, y uno de es-
tos puntos coincide con [x^, y^.

Ahora bien, siendo este punto del orden de multiplicidad Te en la curva
y en la polar, representa /v^ intersecciones, Pero como las k ramas de la
curva Eon tangentes á las /,: ramas de la polar, cada rama de aquélla tiene
aún otro punto común con la polar. Por consiguiente, el número de inter-
secciones de la curva y de su polar, distintas de (íCp í/^), es igual á

m(m — 1) — /í(/c + l).

Ahora bien, estos puntos coinciden con los puntos de contacto^de las
tan gentes á la curva, trazadas por (íCj, y^; resulta, por consiguiente, re-
presentando el número de estas tangentes por t,

t = m{m — l) — k{k+ 1).

{Sa.\moü : Hig/ier platie Curves).

Si (ojj, ijj) es un punto simple, se verifica aún la fórmula anterior, su-
poniendo entonces k = 1.

Si la curva dada tiene o puntos dobles y v puntos de retroceso, distin-
tos del. {x^, tjj), el valor de / se puede obtener con facilidad, empleando
el método de que habitualmente se hace uso para demostrar aquella de las
fdrmulas de Plücker que determina la clase de la curva, y el lema de-
mostrado anteriormente. De este modo resulta

í = m {m — l) — 2o — 3v — k (k + 1).

KOTA AL lUMERO 96

Consideremos dos curvas {0} y (C), cuyas coordenadas (x, y) y {X, Y)
están ligadas por las relaciones

__ aX-\-bT4-c ^ a' X -\- b' Y -}- c'

''~ X + pY+q ' ^~ X + pY+q '

y vamos á demostrar que una de estas curvas es una perspectiva de la
otra.

Para probarlo, observemos, ante todo, que los segundos miembros de
las fórmulas anteriores pueden escribirse del modo siguiente:

^f-Xcosa — F sen a 4- A , "I

L x+py+q J

„ r X sena + ycosa -\- k , "I
L A+i>Y + (/ J

determinándose a, p, h, k, x^ é y^ por medio de las ecuaciones

(1) P (cosa + «o) ^'"i

(2) P(pa;o — sena) = ¿í,

(3) p {qx, + h) = c,

(4) _ ¡3(sena + ¿/„) = a',

(5) ¡3 (pí/o + cosa) = Z;',

(6) P(2yo-t-/0 = c'-

— 614 —

En efecto, las ecuaciones (1) y (2), unidas á las (4) y (5), dan las si-
guientes:

(7) ap — 6 = ¡j (2^ eos a -|- sen a) ,

(8) a p — &' = ¡3(2jsena — ^cosa),

para determinar a y p. Por otra parte, la ecuación (1) determina á a^, y
las (3), (4), (6) dan respectivamente los valores de h, y^ y k.
Ya probado esto, hagamos

h -\- Xcosa — Fsena = X^,
k -^ X sena -|- Fcosa ^ l'j ,

que equivale á un cambio de los ejes coordenados á que está referida la
curva {€'). Se llega así á expresiones de la forma

X, . , Y, . ,

X = ' \- X o, y = h !/ o

a, X, + b,Y,-i-c, a, X, + &, Y, + c,

y haciendo en primer lugar

a^==Xcosa^, &^ = X8ena, c^ = Xe,
y después

A\, = X^ cosaj -|- ^1 senaj -|- e,

• Y.,=Ti cosai — Xi sen a^ ,

lo que también equivale á un cambio de los ejes á que está referida (C);
resulta

(X2 — e) cosaj — F, senaj

X = — — — r i^ O'

k X2

Yo cosa, -\- (Xo — e) sen oti

y=-^ — ^: +^»-

— 615 —
Cambiemos ahora los ejes á que está referida la curva (C), haciendo

, , cosa,

X = íc o -\ r-^ ^2 cosa^ — ij, senai,

A

y resulta

sena, ,

y = x-, sena, -\- y., cosw^ ,

e _ Y,

\X.

IX.,

Estas relaciones entre las coordenadas (x.,, i/.,) y (X,, Yo) de
(C) y (C) prueban, como vamos á ver, que son perspectivas.

curvas

Í-X.

Fisara 177.

Sea, en efecto, F(fig. 177) el vértice del cono; PAD una generatriz; A
j B los puntos en que ésta corta al plano a;., y.^, paralelo á Z., Y2» 7 ^^
plano X2 Yo; y supongamos que A es un punto de la curva (C), situada
en el plano x.^ y.,, y B uno de la curva (C), colocada en el X., Yo.

Las coordenadas del punto A respecto á los ejes rectangulares O'x^ y

— 61(i —

O'?/,, y tales que 0'C= OP, son AK y LC, y las coordenadas de B rela-
tivamente á los ejes OX, y O Y., son BB y OB.
Pero se tiene

AL BL CB BB' OB

PO BO OB' LO OC'

y, por consiguiente, haciendo OP^ e, 0C= — , resulta

e — x, _ X, — ) -' Y, ^

T. ' ■ — '*'^^3'

e A, y.

Luego las coordenadas (x^, y,) 7 (-^2, ^2) <íe los puntos A y B están
ligadas por las relaciones (9).

ILSTA DE m CURVAS ESTUDIADAS EiN ESTA OBRA

Alisoides, 334.

Analagmáticas de tercer orden (vid. cúbicas circulares).

Analagmáticas de cuarto orden (vid. cuárticas bicirculares).

Analagmáticas esféricas, 550.

Anguínea, 59-63, 73-74.

Astroide, 261-273, 441.

Atriftaloide, 285-293.

Besace, 195-200.

Bicornio, 236-240.

Bifolium, 223-231.

Caracol de Pascal, 142-158, 464.

Cardioide, 154-157.

Cartesianas, 176.

Cartesianas esféricas, 554.

Cassínicas, 109-118.

Cassí nicas esféricas, 554.

Catenaria, 329-334.

Catenaria de igual resistencia, 340-342.

Catenaria elíptica, 471.

Catenaria hiperbólica, 471.

Cíclicas, 550-556.

Cicloide, 421-427.

Cicloides dilatadas y contraídas, 428-432.

Círculo alabeado, 569-572.

Cisoide de Diocles, 1-7, 15, 16, 49-50, 71-72.

Cisoide oblicua, 7-12.

Cisoides, 12-13.

Clélias, 531-533.

— 618 —

Clotoide, 397-403.

Cocleoide, 394-397.

Compañera de la cicloide, 426.

Concoide de Nicomedes, 185-194.

Concoide parabólica de Descartes, 66-67.

Concoide de Sluse, 13-16.

Concoides focales de las cónicas, 242-253.

Cruciforme, 200-212.

Cuadratriz de Dinóstrato, 350 354.

Cuárticas bicirculares, 172-184.

Cuárticas piriformes, 215-218, 480.

Cúbica de Agnesi, 68-74.

Cúbica mixta, 77-79.

Cúbicas alabeadas, 588.

Cúbicas de Chasles, 94-98.

Cúbicas circulares, 35-52.

Cubo-cicloide, 267.

Cucumeide, 18.

Curva de Arquitas, 582-685.

Curva de Jarabek, 251.

Curva de larga inflexión, 256-261.

Curva de las secantes, 347.

Curva de las tangentes, 340-347.

Curva de las tangentes iguales, 334-338.

Curva del diablo, 218-219.

Curva de los senos, 343-350.

Curva de los senos versos, 427.

Curva de Rolle, 74-76.

Curva de Talbot, 293-297.

Curva de Viviani, 524-528.

Curva de Watt, 256-261.

Curva elástica, 354-359

Curva equipotencial, 313-318.

Curva isócrona paracéntrica, 360-365.

Curva gamma ,347.

— 619 —

Curva K, 240-242.

Curvas aplanéticas (vid Óvalos de Descartes) 158.

Curvas de Bertraad, 588-592.

Curvas de inflexión proporcional, 509.

Curvas de Lame, 494-501.

Curvas del perro, 502-507.

Curvas de perseguimiento, 502-507.

Curvas de Ribaucour, 516-520.

Curvas ciclo cilindricas, 528.

Curvas paralelas á la astroide, 267-273.

Curvas paralelas á la elipse, 297-313.

Curvas triangulares simétricas, 500-501.

Elipse de Caesini (vid. cassínicas).

Elipse esférica, 542-549, 555-556.

Elipse logarítmica, 572-576.

Epicicloides, 438-441.

Epicicloides contraídas y dilatadas, 462-465.

Epicicloides esféricas, 536-542.

Espiral de Arquímedes, 363-367.

Espiral de Fermat, 371-374.

Espiral de Galileo, 367-371.

Espiral de Poinsot, 386-390, 604-605.

Espiral de Pappo, 521-524.

Espiral hiperbólica, 377-380.

Espiral logarítmica, 383-386.

Espiral parabólica, 374-377.

Espiral tractriz, 390-393,

Espiral sinusoide, 507-516.

Escarabajo, 279-285.

Espigas, 488-492.

Espíricas, 109.

Espíricas de Perseo, 100-109.

Estrofoide, 16-30, 49.

Esferoides , 494.

Evoluta de la elipse, 273-277.

— 620 —
Evoluta de la hipérbola, 277-278.
Evolvente del círculo, 458-462.
Flor de jazmín, 53.
Focal con nodo (vid. estrofoide), 18.
Focal de Quetelet (vid. estrofoide), 18.
Folium de Descartes, 53-58, 72-73.
Folium dúplex, 223-231.
Folium parabólico, 80-82.
Folium simplex, 220-223.
Folium triplex, 232-236.
Galand, 53.

Hélice cilíudrica, 556-564.
Hiéice ciliüdro-cónica, 566-569.
Hélice cónica, 564-566.
Herpollodia de Poinsot, 593-603.
Hipérbolas, 416-419.
Hipérbola logarítmica, 576-579.
Hipercicloides, 474.
Hipocicloides, 438-441,

Hipocicloides contraídas y dilatadas, 462-465.
Hipocicloides de tres retrocesos ó tricuspidales, 442-457.
Hipocicloides de Steiner, 442-457.
Hipocicloides triangulares , 442-457.
Hipopeda de Eudosio, 529-530.
Horóptera, 585-588.
Kampila, 584.

Kohlenspitsencurva (vid. puntiforme).
Kreuzcurva (vid. cruciforme).
Lemníscata de Bernoulli, 130-141.
Lemníscata de Gerono, 198.
Lemníscatas elípticas é hiperbólicas, 118-130.
Lemníscatas esféricas-529-530.
Lintearia, 354-359.
Lituus, 380-382.
Logarítmica, 325-329.

621

Logoeíclica, 18.
Loxodromia, 533-536.
Nudos, 492-494.
Ocho, 198.

Óvalos de Cassini, 109-118.
Óvalos de Descartes, 157 171.
Ovoide, 220-223.
Parábolas, 410'-413.
Parábolas divergentes, 82-94.
Paiábola de Descartes, 66 67.
Parábola de Nei I, 413 415.
Parábola de Wallis, 415-416.
Parábola cúbica, 415-416.
Parábola logarítmica, 579 582.
Parábola semicúbica, 88, 413-415.
Parábola virtualis, 195-200.
Paracicloides , 474.
Pteroide, 18.
Perlas de Sluse, 476-480.
PoUodia, 593-605.
Pseudo-catenaria, 403-406.
Pseudocicloide, 471-475.
Pseudotractriz, 406 409.
Pseudotrocoide, 475.
Pseudoversiera, 71-74.
Puntiforme, 212-215.
Ruleta de Delaunay, 466-471.
Rosáceas, 481-488.
Serpentina, 59.
Sintractriz, 838-340.
Sinusoide, 343-350.
Secantoide, 347.
Tangentoide, 346 347.
Tetracúspide de Bellavitis, 279.
Toroides, 297-313.

622

Tractriz, 334-338.

Tridente, 63-66.

Trifolium, 232-236.

Trisectriz de Maclaurio, 31-35, 56.

Trocoide, 421.

Yersiera, 68-74.

Visiera, 71 .

Visoria, 327-329.

LISTA DE LOS AÜTOPiES (LTADOS

R

Abel, pág. 140.
Agnesi, págs. 18, 68.
Allegret, pág. 512.
Amstein, pág. 266.
Apolonio, pág.
Arquitas, p'íg. 582, 585.
Aristóteles, pág. 529.
Arqüi'medes, págs. 2, 363, 366, 583.
AuBRY, 18, 68, 71, 198, 246, 485,
488, 492.

6

Balitrand, págs. 10, 11, 12, 27,
205.

Barbarin, pág. 267, 589.

Barbier, pág. 510.

Barisien, pág, 465.

Barrow, págs. 68, 240.

Bassani, págs. 507, 511, 513, 516.

Bella viTis, pág. 279.

Beltrami, pág. 337.

Benthen, pág. 394.

Bernoulli (Jacobo), págs. 130,
266, 329, 358, 360, 361, 362,
374, 383, 384, 394, 427, 524, 536.

Bernalli (Juan), págs. 53, 55, 58.

192, 329, 351, 377, 422, 427, 43.3,

437, 439, 440.
Bertrand, 561, 588, 591.
Binet, 359.
Birpal, pág. 266.
BoNNET (O.), 215, 592.
BooTH, pág. 18, 21, 22, 118,119,

126, 128, 129, 201, 547, 549,

572, 576, 579.
BOUGUER, pág. 502.
BouQüET, 572.
Bragelongue, 254.
Brassine, pág. 266.
Brill, pág. 255, .322,323.
Briot, pág. 218.
Brocard, págs. 158, 215, 220.

224, 232, 236, 237, 443, 454,

457.

e

Caltppo, pág. 529.

Cantor (M), pág. 68, 99, 191,

343, 363.
Caporali, pág. 322.
Carcavi, pág. 422.
Cardan, pág. 441.

— G24 -

Casali, pág. 18, 27.
Casey, págs. 175, 181, 184.
Cassini, 109-118.
Castillon, pág. 254.
Castizo, pág. 226.
Catalán, pág. 257,300, 394.
Cauchy, pág. 299, 300, 307.

De Gua, pág. 89.

Delauna Y, págs. 466, 469,470.

Delens, pág. 448.

Descartes, págs. 53, 55, 66, 67,
72, 73, 74, 89, 157, 158, 191,
388, 410, 421, 422, 423, 428,
429, 430,435, 463.

Desgranges, pág. 266.

Cayley, 97, 99, 255, 549.

Cesaro, pág. 111, 334, 342, 394, Dewulf, pág. 251.

396, 397, 401 , 403, 406, 460, Dieu, pág. 432.

471, 512, 520, 569, 592. Dighy, pág. 419.

Chasles, pág. 67, 85, 94, 95, 96, Dinüstkato, págs. 350, 351, 353

97, 98, 100, 161, 170, 171, 321, Diocles págs. 35, 71.

323 , 343, 549, 563, 564. Dürége pág. 99.

Clairaut, pág. 83, 334. Durero (Alb.), pág. 433.

Clebesch, pág. 94, 99, 320, 323.
Clifford, pág. 257.

CoNON, pág. 363. E

Conté (A.), pág. 67.
CoRNU, págs. 397,400.
Cotes, 319,380.

Elgé, pág. 76.
Erostatene, pág. 584.

Cramer, págs. 99, 195, 196, 226, Eüdosio, pág. 529, 584.

254,257,313,317,319,322. Eüler, págs. 99, 130, 254, 319,

Cremona, págs. 321, 323, 443, 447,

451,452, 549.
Cosa, pág. 421.

254, 359, 427, 433, 439, 442,

465, 474.
EüRET, pág. 495.
EüTOCio, págs. 2, 191, 397, 583.

D

Darboux, págs. 109, 118, 175,

176,550,556,592. Fagnano, págs. 130, 137, 140,

D' Alembert, pág. 266. 152, 345, 346, 487.

De Champs (Bretón), págs. 298, Falkenbdrg, pág. 394.

299, 308. Fermat, págs. 2, 5, 53, 68, 191,

625 —

351, 367, 371, 373, 410, 418,

419, 421,422, 426.
FouRET, págs. 351, 465.
Fresxel, pág. 400.
Frenet, págs. 561, 562, 570.
Fuss, pág. 549.

G

Galdeano, págs. 106,296.

Galileo, pág. 367.

Garun, pág. 118.

Geminus, pág. 563.

Gentry, pág. 254.

Gerbaldi, pág. 322.

Ghinasi, pág. 324.

GlLBERT, pág. 495.

GoDEPROY, págs. 347, 495.

GoüPiLLiÉKE (Haton de La)^ pági-
nas 266, 390, 393, 461, 507,
511, 516.

Grandi (Guido), págs. 324, 481^
483, 485, 486, 525, 531, 532.

Gregory (James), págs. 68, 324.

GucciA, pági 322.

Gudbrmann, págs. 547, 549.

GUENOCHI, pág. 169.

GÜNTTER, págs 19, 536.

H

Hachette, pág. 257.
Halley, pág. 535,
Halphen, pág. 94, 598.

Hart, págs. 45, 181.

Haüghton, pág. 285.

Helmohtz, pág. 585.

Hermann, pág. 536.

Hermite, pág. 359, 598.

Herón, pág. 100.

Herschel, pág. 158.

Hess, 600.

Hesse (O.) págs. 254, 322.

Heuraet, pág. 414.

HiPPiAS, pág. 351.

HoüEL, pág. 118.

HüYGENS, págs. 2, 5, 6, 14, 15, 53,
71,191, 195,324,329,331,334,
414, 422, 423, 424, 426, 427,
428.

Jamblique, pág. 397.
Jamet, pág. 500.
Jarabek, págs. 250, 251.

JOACCHIMTHAL, pág. 271.

K

Kepler, pág. 109.

KlEPERT, pág. 140.

Klein, pág. 322.

Lacolonge, pág. 257.
Lacroix, pág. 218.

40

— 626 —

La Gournerie, pág. 109, 175, 500.
Lagrange, pág. 427.
Laguerre, pág. 118, 180,445, 550,

556.
La Hire, págs. 157, 433.
La Loubére, pág. 528.
Laquiére, pág. 393, 509.
Lame, 494.

Laurent, págs. 218, 280, 449, 571.
Legendre, págs. 24, 33, 31, 293.
L'HopiTAL, págs. 53, 58, 524.
Lehmds, pág 18.
Leibnitz, págs. 71, 130, 329, 334,

343, 360, 414, 421, 433, 524, 536.
Lemoine, pág. 267.
Le Paige, p.íg. 476.
Leotaüd, págs. 351, 3ri2.
Leroy, pág. 494.
LiBRí, pág. 367.
Liguine, pág. 158.
Lima, pág. 31.
LiNDLOF, págs. 333, 470.
Lioüville, pág. 140.

LOBATSCHEFSKY, pág. 337.

Longchamp-s, págs. 9, 3t, 52, 65,
71, 77, 78, 80, 81, 216, 217,
220, 221, 285, 443, 453, 454,
457.

Loria (Gino), págs. 14, 18, 33,34,
71, 99, 363, 367, 549, 584.

Loriga, pág. 337.

LuDWiG, pág. 585.

Lucas, pág. 510.

M

Macladrin, págs. 31, 35, 51, 53,
56,72,73,89,99, 254, 319,512.

Magnus, pág. 549.

Malfatti, pág. 118.

Mannhein, pág. 460.

Marie (G.), pág. 198.

Massan, pág. 6.

Maupertuis, pág. 502, 536.

Menelao, págs. 170, 525.

Merlieüx, pág. 271.

Mersexne, págs. 53, 367, 371,
383, 410, 421, 428.

Meusnier, pág. 333.

MiSTER, pág. 215.

MoBius, pág. 97, 588.

MoiVRE, pág. 18.

MoN'TUCCi, págs. 18, 267.

MoNTüCLA, pág. 67, 100, 363, 414,
530,

MouTARD, págs. 167, 175.

N

Neil, pág. 413.

Neuberg, págs. 209, 251, 394.

Newton, págs. 2, 59, 63, 82, 85,

95, 97, 98, 99, 169, 191, 253,

254, 319, 433, 440.
Nicolás, pág. 324.
NicoLE, págs. 83, 99, 319, 464.
NicoMEDES, págs. 66, 185, 191.
NizzE, pág. 363.

— 627 —

NoETHER, págs. 322, 323.
NuSez (Pedro), pág. 535.

Prony, pág. 257.
PüiSEUx, pág. 563.

©

Q

OfpenbürgüS, págs. 536, 542. Quetelet, pags. 18, 27, 171.

Paga NI, pág. 109.

Painvjn, págs. 280, 443, 446, 451,

550.
Pappo, págs. 2, 191, 351, 853,

363, 397, 521, 522, 525, 563,

566.
Pascal (B.), píg. ,367, 421, 422,

426,428,464, 476,478, 566.
Pascal (E.), piígs. 142, 143, 147.
Peano, pág. 71.
Peirce, pág. 68.
Perseo, págs. 100, 109.
Pesenas, pág. 31.
Peyrard, pág. 363.
Pigeon, pág. 267.
PiRONDiNi, págí. 402, 462, 483,

536, 569.
PiTOT, pág. 343.
Pittarelli, pág. 149.
Plücker, págs. 304, 320.
PoiNsoT, pág. 386, 593, 600, 604.
PoissoN, págs. 359, 401.
Poncelbt, págs. 321 , 550.
Proclo, págs. 2, 100, 191, 351,

397, 563,566.

R

Ramsay, pág. 340.
Resal, págs. 598, 600, 603.
Retalli, pág. 211.
RiiiAucouR, pág. 516.
Ricci, pág. 324.
Riemann, págs. 320, 321.
RoBERTS (S.), págs. 184, 257.
ROBERTS (W.), pág. 515.
RoBERVAL, págs. 18, 53, 142, 143,

147, 158, 191, 343, 351, 367,

422,425, 426, 428.
Roche, pág. 293.
RoEMER, pág. 433.
Rolle, pág. 74, 76.
RouQUEL, págs. 390, 393. ^

Saavedra, pág. 327.
Saint-Laurent, pág. 502.
Saint-Vincent, pág. 195.
Salmón, págs. 42, 45, 83, 99, 169,
181, 255, 271,323, 415, 588, 611.
Saussure, pág. 474.

628 -

SCHIAPPARELLI , pág. 529.

ScoTT (Carlota), pág 238.
ScHOUTE, págs. 31, 132, 134, 136,
200, 201,207,208, 212, 214.

SCHOOTE, pág. 191.
SCHOTER, pág. 443.
SCHOÜBERT, pág. 549.

ScHüR, pág. 585.

Segre, pág. 322.

Serret(J. a.), págs. 113, lis, 123,

561,591.
Serret (P.), pág. 566.
Simplicios, pág. 397.
Sluse, págs. 26, 13, 15, 71, 195,

476,477, 480.
Sparre, pág. 598, 600.
Sneluus, pág. 535.
Staudt, pág. 322.
Steiner, págs. 254, 322, 442, 443,

451, 442.
Stevin, pág. 535.
Stirling, págs. 98, 319.
Sturm, pág. 171.
Stüvayert, págs. 585, 587.
Sylvester, pág. 338. .

Talbot, págs. 293, 296.
Tannery (P.), págs. 55, 143, 36.3,

367, 397,525, 563, 585.
Terquem, pág. 201.
TissoT, pág. 566.

Todhünter , págs. 333 , 354.
Tolomeo, pág. 584.
Türricelu, pág. 18, 324.
Toiíroja, pág. 550, 588.
TOWNSEND, pág. 285.

Valdés, pág. 27.

Verdus, pág. 18.

VlNCENT, pág. 257.

ViviANí, págs. .524, 525, 526,

532.
VoGT, pág. 549.

W

Wallis, pág. 2, 5, 192, 215, 410,
414, 415, 418, 419, 421, 427,
480.

Wantzel, pág. 359.

Watt, pág. 256.

WEIER.STRASS, págs. 79, 93, 94, 371,
382, 390,417.

Weyer, pág. 377.

Weyr (Em.), 132, 134, 135, 207.

WOLFFING, pág! 475.

Wren, págs. 422,. 424.

Zahradnik, pág. 13.

Zeuthen, pág. 254, 255, 322, 366.

I2^IDIC3±I

Páginas

In L'RODUCCIÓN V

CAPÍTULO PEIMERO.-Cíí/«Va.s notables 1

I La cisoide 1

II La concoide de Sluse 13

III La estrofoide 16

IV La triseotriz de Maolauria 31

V Las cúbicas circulares 35

CAPITULO SEGUNDO.— Cú&íms notables (continuación) 53

I El folium de Descartes 53

II La anguínea de Newton 59

III El tridente de Newton 63

IV La concoide parabólica de Descartes 66

V La cúbica de Agnesi 68

VI La curva de Rolle 7-4

VII La cúbica mixta 77

VIII El folium parabólico 80

IX Las parábolas divergentes 82

X Las cúbicas de Chasles 94

XI Conclusión. — Sucinta noticia bibliográfica sobre las cúbicas en

general 98

CAPÍTULO TERCERO. -Cítáríicas notables 100

I Las espíricas de Perseo 100

II Las cassínicas 109

III Las lemníscatas 118

IV La leraní-icata de Bernoulli 130

CAPITULO CUARTO. -Citíirftcas notables (continuación) 142

I El caracol de Pascal 142

II La cardioide 1.54

III Lo-i óvalos de Descartes 157

IV Las cuárticas bioirculares 172

CAPÍTULO QUINTO. -Ciiííí-íi>a.9 notables (continuación) 182

I La concoide de Nicomedes 182

II La parábola virtualis 195

— 630 —

Páginas

III La cruciforme oQfj

IV La puntiforme 212

V La ctiártica piriforme 215

VI La curva del Diablo 218

VII El folium simplex ú ovoide 220

VIII El folium dúplex ó biíolium 223

IX El folium triplex ó trif olium 232

X Bicornio 236

XI La curva K 240

XII Concoides focales do las cónicas 242

XIII Breve noticia del origen y descubrimiento de la teoría de las

cuárticas 253

CAPITULO SEXTO. — Séxticas y bicuárticas más notables 256

I La curva de Watt 256

II La astroide 261

III Las curvas paralelas á la astroide 2G7

IV Las evolutas de la elipse y de la hipérbola 273

V El escarabajo 27!)

VI La atrif taloide 285

VII La curva de Talbot 293

VIII Las toroides 297

IX La curva equipotencial 313

X Nota final complementaria referente á la historia de las curvas

algébricas 319

CAPÍTULO SÉPTIMO.-Cuí-üíís transcendentes notables 324

I La logarítmica 324

II La catenaria 329

III La tractriz de Leibnitz 334

IV La sintraotriz de Syl vester 338

V La catenaria de igual resistencia 340

VI La curva de los senos 348

VII Cuadratriz de Dinóstrato 350

VIII Curva elástica , ó lintearia 354

IX Curva isócrona paracéatrica 360

CAPÍTULO OCTAVO.— ins espirales 363

I Espiral de Arquímodes 363

II Espiral de Galileo 367

III Espiral de Fermat 371

IV Espiral parabólica / 374

— G31 —

Páginas

V Espiral hiperbólica 377

VI Li tuus 380

VII Espiral logarítmica 883

VIII Espiral de Poinsot 386

IX Espiral tractriz 390'

X La cooleoiJe 394

XI La clotoide 397

XII La pseudocatenaria 403

XÍII La pseudotractriz 406

CAPÍTULO NOVENO.— Prtí-a6o?as e hipérbolas 410

I De las parábolas en general 410

II La parábola semicúbica 413

III La parábola cúbica 415

IV De las hipérbolas en general 41G

CAPÍTULO DÉCIMO.— CiííTíW cicloidales 420

I La cicloide ordinaria 420

II Cicloides contraídas y dilatadas 428

III Epicicloides é hipocioloides 433

IV Hipocicloido de tres retrocesos 4 12

V Evolvente del círculo 458

VI Epicicloides é hipocioloides contraídas y dilatadas 462

VII Ruleta de Delaunay 466

VIII Pseudocicloides 471

CAPÍTULO UNDÉCIMO.— Kíj?-íV/s ciases de curvas 476

I Perlas de Sluse 476

II Rosáceas de G. Grandi 481

III Espigas 488

IV Nudo.s 492

V Curvas de Lame ; 494

VI Curvas de perseguimiento 502

VII Espirales sinusoides 507

VIII Curvas de Ribaucour 516

CAPÍTULO DÉCIMOSEGUNDO.-CMí-yas de doble curvatura 521

I Espiral de Pappo 521

II Curva de Viviani 524

III Hipopeda de Eudosio ó lemníscata esférica 529

IV Clelias 531

V Loxodromia 533

VI Epicicloides esféricas 536

— G3'i

VII Elipse esférica 542

VIII Cíclicas 550

CAPÍTULO DECIMOTERCERO.- CioTrtS de doble curvafum (conti-
nuación) 557

I Hélice cilindrica 557

II Hélice cónica 564

III Hélice cilindro-cónica 566

IV Círculo alabeado 569

V Elipse logarítmica 572

VI Hipérbola logarítmica 576

VII Parábola logarítmica 579

Vril Curva de Arquitas 582

IX Horóptera 585

X Curvas de BertranJ 588

CAPÍTULO BÉGIMOCVARTO.—Foílodia y herpoUodia 593

Nota á los núms. 47 y 186 607

Nota al núm. 48 609

Nota al núm. 96 613

Lista de las curvas estudiadas en esta obra 617

Lista de los autore í citados 623

id: R RATAS

Página.

Línea

Dice. Debe decir.

6

1

10 Febrero 4 Marzo

8

20

asíntota de una rama de la curva

y

corta á la otra rama asíntota de la curva y la corta...

13

13

la corta corta la cónica

12

16

la curva la cónica

40

Sustituir, en todo el cálculo del
núm. 47, 2h por h, y 2C' por C

72

12

Maclaurin Newton

73

11

Maclaurin Newton

182

Sustituir , en todo el cálculo,

371

áCporC, y 2C'por C".

6'

^^M.

s ^i